I Escribir explícitamente las siguientes matrices.1.- A = (aij)K4x4 / aij = (-j)i-1 2.- B = (bij)K3x4 / 2i j sí (i j )impar y B = 2I - A 2 3 1 0 2 x2 1 0 2 3 2 x2 donde A = bij = j i sí (i j) par 3.- C = (cij)K4x3 / cij = 2 3 4 1 3.- Resolver el sistema: ( 2X + Y)t = ( 3Yt + Y)t + 2Y (2Y - At)t = 2( X + B) min{i, j} sí i j 4 (1) max{i, j} sí i j 4 4.- D = (dij)K4x4 / i. j sí (i j)impar d = min{i, j} sí (i j) par SI A = ij 5.- E = (eij)K4x4 / eij 4.- Calcular la matriz X, sí E = D, Donde 1 j sí i j = 1 j sí i j E = 2( CXt + A= 3 x-y -2 Ct = ,B= 2x2 2 y+4 3 4 2x2 -1 C= 0 At)t + 2 (Bt At)t Para 1- Sean las matrices x 1 2 D = C (Xt + AB) + Bt II OPERACIONES CON MATRICES. x-2y ,B= 2x2 Sí A = B hallar la matriz E = A + 3C 2.-Hallar la matriz X en : 3(X+ 2A) – 2( 2X + B) = 4( B- 3A +X) 2 0 0 2 2x2 , At = 1 2 0 1 2 x2 y C = At - B 5.- Calcular la matriz X, sí: Calcular X.B) = (Bt + ( 2X .Sea A = 6.. 9. 1 2 1 A= 0 1 3 0 0 1 3X 3 Bt 0 1 0 y A= 0 0 1 1 0 0 3X 3 0 0 1 B= 1 0 0 0 1 0 3X 3 2 0 0 = 0 2 0 y 0 0 2 3X 3 1 0 2 C= 0 1 1 3 2 0 3X 3 8. B= 3 2 15 8 2x2 4 2 15 7 2x2 4 3 6 9 2x2 7.B).Halar la matriz E = AB2 sí: B= . y f(x. en : A(X ...Sean las matrices: .. b) Evaluar f(A.Bt) At )t Donde A= 2 1 0 3 2x2 .y) = x2 – xy + y2 a) verificar que A y B conmutan. $6 la hora como mecanógrafa y $1. El número de horas trabajadas en cada tipo de trabajo en un período de 4 semanas esta dado por la matriz A. B= 0 3 7 1 8 9 2 x3 3 7 1 C= 2 6 1 1 4 0 3X 3 Sí E = ABC. b) ¿Cuánto es el ingreso máximo de Susana y a que semana le corresponde? c) ¿Cuánto es el ingreso mínimo de Susana y a que semana le corresponde? III.Susana gana $ 5 en una hora como institutriz.. MATRICES CUADRADAS ESPECIALES . c) ¿De que color de calzado se produce en mayor cantidad para hombres.Un fabricante de zapatos los produce en color negro . damas y caballeros. hallar s = e11 + e12 + e23 10. 11.. mujeres y niños? Para el caso b). I Semana II III IV Institutriz Mecanógrafa Niñera 15 10 16 12 4 2 3 A= 6 2 7 0 4 a) Determine la matriz de ingreso total por semanas de Susana. encuentre la matriz que representa la nueva producción total de cada tipo de calzado.A= 2 1 3 4 2x2 . mujeres y niños? Para el caso b). La capacidad de producción (en miles de pares ) en la planta de Callao esta dada por la matriz siguiente: Hombres Mujeres Niños Negro Gris Blanco 30 34 20 45 20 16 14 26 25 La producción en la planta de villa el salvador esta dado por : Hombres Mujeres Niños Negro Gris Blanco 35 30 26 52 25 18 23 24 32 a) Determine la representación matricial de la producción total de cada tipo de zapatos a en ambas plantas b) Si la producción en la planta del callao se incrementa en un 50% y la de villa el salvador en un 25%. d) ¿De que color de calzado se produce en menor cantidad para hombres. gris y blanco para niños.50 en una hora como niñera. probar que la siguientes matriz es idempotentes. es indempotente.-Mostrar-4que la matriz -3 A= 1 3 0 -1 .j . entonces la matriz E = BtAB es simétrica. 6. probar que la matriz A es 1 .Mostrar que las matrices . a) A = 15 52 25 45 2 x2 3.b. 0 1 -1 A= 4 -3 4 34 -3 43 3 B= -1 -1 Son involutivas. sí A es una matriz involutiva entonces probar que la matriz B = 1 2 (I . . sí A + B = I y AB = ..A) .Sea A una matriz definido por 1 1 1 A = 2 1 0 . cualquier que sea la matriz cuadrada B. 9. DETERMINANTES. es nilpotente de índice 4 8. donde a. e) E = (eij)K3x3/ i j 2 eij = i 2 j 2 sí i j sí i j .Demostrar que si la matriz A e simétrica. d) D = (dij)K4x4/ dij = 2i – (-1)j.Demostrar. 2. c) C = (aij)K3x3/ cij = max{i.j}.0 3x3 periódica y determinar su periodo. 5.Sea la matriz B = (bij)K3x3/ bij = 2i .-Sía Ay B son matrices involutivas y AB = BA = -5 -8 0 3 5 0 1 2 -1 . 3x3 Hallar La traza de la matriz E = (A + B)2 IV. probar que la matriz B = AAt es una matriz simétrica...0 . 1 nilpotente -3 4 de es una matriz 11..-Sea A una matriz triangular definido por 1 a b A = 0 1 c . -1 -3-4 4 3x3 3x3 3x3 indice 2.-Expresar las siguientes matrices como la suma de dos matrices una simétrica y la otra antisimentrica..j . entonces A y B son matrices Idempotentes.1. 10.cR-{0} 0 0 1 3x3 probar que la matriz E = A + I. b) B = (bij)K3x3/ bij = 2i ... 7. 4. a) A = (aij)K2x2/ aij = i +2j .Sea A una matriz cuadrada. - 6.3.4. i) Identificar en cada una de las matrices. a) 1 2 -2 0 1 3x3 3x3 3x3 -3 x+5 -3 -6 6 x-4 x+3 -1 1 7 x-5 1 6 -6 x+2 2 5 -3 -2 -2 -3 2 -5 1 3 -2 -2 -1 -6 4 b) 3x3 9.- 10.- x+1 c) 3x3 3 3 -2 -5 -5 2 8 -5 -2 4 7 -3 2 -3 -5 d) 4x4 4 e) 8 4x4 1 2 2 3 1 0 -2 0 3 -1 1 -2 4 -3 0 3 f) 0 0 5 2 -4 0 0 0 1 0 7 7 -5 3 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 5 0 2 0 1 2 0 4 3 0 0 1 7 3x5 3x5 3x5 1 2 -1 2 1 0 0 3 -6 1 0 0 0 -6 1 1 0 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 2 1 0 1 0 -3 1 3x5 3x4 0 0 0 3x3 2.5.Sean las siguientes matrices. las matrices: escalonada y escalonadas reducidas por filas.- 8. RANGO DE UNA MATRIZ Y MATRICES ESCALONADAS 3x3 1. 1.2.Sean las siguientes matrices. ii) Si la matriz es escalonada.- 3 -2 4 5 a-b a 13 2x2 a-2 2a -3 1 a+b 2x21 0-4 a-1 5 2x2-2 1 3 -3 -2 4 -4 2 5 -1 0-2 6 -1 14 6 -3 -2 4 x-2 14 32 1 x+1 -2 0 x-1 0 x-4 3 -3 11. 4x4 .. identificar los elementos distinguidos y posteriormente hallar la suma de los elementos distinguidos.7.- 12 1 1 1 1 1-x 1 1 1 1 y+1 1 1 1 1 1-y 4x4 V.Evaluar el determinante de cada una de las matrices.. describir todas las matrices escalonadas de orden 2x2 posibles que están en la forma escalonada reducida por filas. Hallar el rango de la matriz.i) Reducir la matriz en su forma escalonada. a la forma escalonada reducida por filas. Adjunto y la matriz inversa si existe de las siguientes matrices. a) 2 -2 -4 b) 3x4 5 8 -2 0 1 7 -2 -4 2 2x2 2x2 c) 3x4 2x2 2. a) 1 2 2 b) 3x5 c) 4x4 d) e) 0 0 2 1 0 2 5 3 -3 -2 4 5 4x4 3 -1 2 0 4 4 -5 6 -5 7 1 f) 3x5 3 1 0 1 3 1 -2 1 -4 2 5 -1 0 3 6 -2 1 4 0 2 -1 0 0 1 1 3 -2 2 5 -3 -3 1 2 3 -4 4 3 -1 6 -1 5 1 3x3 3x3 3x3 3x3 3x3 1 2 -2 3 3 -1 5 0 4 0 2 1 1 7 2 -3 4x4 .Hallar la inversa de la siguientes matrices si existe. INVERSA DE UNA MATRIZ 1. VI. ii) iii) a) b) c) d) e) f) g) 1 -2 3 -1 2 -1 2 2 3 1 2 3 0 1 3 -2 2 1 -4 3 2 3 2 -1 1 3 -4 -4 1 -6 1 2 -5 3x3 1 2 -1 2 1 2 4 1 -2 3 3 6 2 -6 5 1 3 -1 2 0 11 -5 3 2 -5 3 1 4 1 1 5 0 1 3 -2 0 4 -1 3 3..-Halla la matriz de cofactores .. Reducir la matriz a la forma canónica por filas. esto es. regular y súper .Una empresa de productos químicos produce tres tipos de fertilizantes: económico . Cada tipo de fertilizante contiene nitratos . C = Adj (B) y 9 0 1 A= 0 2 0 1 1 1 5.. si se cumple que BXA = C donde B = Adj (A) .. el tipo regular en la proporción 4 : 3 : 3 y el tipo súper en la proporción 2 : 5 : 3 .Hallar la matriz X .. Donde 5 1 0 Adj(A)= 2 4 1 1 2 1 . Cada mes la empresa obtiene un suministro de 6 toneladas de nitratos .. .Hallar la matriz X . A >0 3 2 1 B= 0 1 3 0 0 1 4. fosfatos y potasio en cantidades que se especifican a continuación: El tipo económico contiene dichos ingredientes en la proporción 3 : 6 : 1 . sí C = B B y 1 -1 A C X AB = 3 I . 10 toneladas de fosfatos y 4 toneladas de potasio.g) 2 4 3 2 3 6 5 2 2 5 12 -3 4 5 14 14 4x4 3. Encontrar la producción mensual de cada tipo de fertilizante ( en toneladas ) con el suministro de ingredientes indicado.Sean las matrices: A= 1 0 2 y B= 1 0 2 2 -2 0 2 -2 0 Determinar la matriz X que satisface la ecuación -3 -3 -1 3x3 -1 3x3 AX = At + 2B 0 0 4.