NecesidadManipulación de piezas Movimiento espacial del extremo del robot Necesidad de herramientas matemáticas para especificar posición y orientación de las piezas y del extremo del robot Herramientas Matemáticas Localización espacial Especificación conjunta de la posición y orientación de un sólido rígido en el espacio, con respecto a un sistema de referencia fija S={O,X,Y,Z} Al sólido rígido se le asocia un sistemas de coordenadas (dextrógiro) S’= {O’,U,V,W} La posición y orientación del sólido con respecto al sistema S, queda totalmente determinada por la del sistema S´con respecto aS W V U Z Y X Herramientas Matemáticas Representación de la posición Vector de posición en coordenadas – Cartesianas – Cilíndricas – Esféricas Herramientas Matemáticas Ejercicio: Obtener las componentes de los vectores U y V sobre los ejes cordenados X, Y. Teniendo en cuenta los vectores unitarios ix, jy y conociendo que que U y V son ortogonales. U = ___________ i x + ___________ jy V = ___________ i x + ___________ jy Herramientas Matemáticas Caso 2D Herramientas Matemáticas .Representación de la Orientación Mediante Matrices de Rotación. Caso 2D P = pui u + pv jv pu = P ⋅ i u pv = P ⋅ j v Herramientas Matemáticas P = px i x + py jy px = P ⋅ i x py = P ⋅ jy .Representación de la Orientación Mediante Matrices de Rotación. Caso 2D P = pui u + pv jv pu = P ⋅ i u pv = P ⋅ j v P = px i x + py jy px = P ⋅ i x py = P ⋅ jy Herramientas Matemáticas .Representación de la Orientación Mediante Matrices de Rotación. Representación de la orientación mediante Matrices de Rotación. Caso 2D P = px i x + py jy P = pui u + pv jv px = P ⋅ i x = ( pui u + pv jv ) ⋅ i x py = P ⋅ jy = ( pui u + pv jv ) ⋅ jy px = pui u ⋅ i x + pv jv ⋅ i x py = pui u ⋅ jy + pv jv ⋅ jy ⎡ px ⎤ ⎡i x ⋅ i u ⎢ p ⎥ = ⎢j ⋅ i ⎣ y⎦ ⎣ y u i x ⋅ jv ⎤ ⎡ pu ⎤ ⎢p ⎥ jy ⋅ jv ⎥ ⎦ ⎣ v⎦ ⎡ px ⎤ ⎡ pu ⎤ ⎢ p ⎥ = R⎢ p ⎥ ⎣ v⎦ ⎣ y⎦ ⎡cosθ − senθ ⎤ R= ⎢ ⎥ sen θ cos θ ⎣ ⎦ Herramientas Matemáticas . Representación de la Orientación Mediante Matrices de Rotación. Caso 3D Herramientas Matemáticas . Matrices de Rotación. Composición de Rotaciones Concatenación de rotaciones Orden de la composición: Rotación sobre OX Rotación sobre OY Rotación sobre OZ Multiplicación de matrices Las rotaciones que se especifican con respecto a los EJES FIJOS se PREMULTIPLICAN Herramientas Matemáticas . Interpretación Geométrica Si {xyz}R{uvw} representa la matriz de rotación que relaciona el sistema {UVW} con el sistema {XYZ} (i.Matrices de Rotación.e pxyz={xyz}R{uvw} puvw) Las columnas de la Matriz {xyz}R{uvw} corresponden con las coordenadas de los vectores u.w en la base {XYZ} ux {xyz}R {uvw} = vx vy vz wx wy wz uy uz Herramientas Matemáticas .v. Interpretación Geométrica ux {xyz}R {uvw} = vx vy vz wx wy wz 0 0 -1 0 1 0 0 uy uz = 0 1 Herramientas Matemáticas .Matrices de Rotación. Obtener las coordenadas de un punto en el sistema S. Herramientas Matemáticas . conocidas sus coordenadas en el sistema móvil 3. Representar la orientación del sistema móvil S’ con respecto al fijo S 2.Usos de la Matriz de Rotación La matriz de rotación R permite: 1. Obtener el punto b que resulta de rotar el punto a. Propiedades Matrices de Rotación. Son matrices ortonormales: • Sus vectores por columnas o por filas son ortonormales entre si: • Producto escalar • de un vector por otro cualquiera = 0 • de un vector por si mismo =1 • Producto vectorial • de un vector por el siguiente da el tercero • Su Inversa coincide con su Traspuesta • Su determinante es la unidad Herramientas Matemáticas . Características del Uso de Matrices para Representar una Orientación • Su composición se realiza mediante el álgebra de matrices (facilidad de uso) • Precisan 9 elementos (redundancia) • Riesgo de inconsistencia tras varias operaciones (redondeos) Herramientas Matemáticas . • Posibilidad de especificar los giros sobre ejes fijos (XYZ) o sobre ejes móviles (UVW) • 12 combinaciones posibles sobre ejes fijos y 12 sobre ejes móviles • De todas las más frecuentes son: • Giros consecutivos entorno a 3 ejes. Ángulos de Euler perpendicular cada eje con el siguiente. debiendo ser • Ejes Móviles: WUW (ZXZ) y WVW (ZYZ) • Ejes Fijos (XYZ) Herramientas Matemáticas .Representación de la Orientación. • Girar el sistema OU'V'W' un ángulo θ con respecto al eje OU'. • Girar el sistema OU''V''W'' un ángulo ψ con respecto al eje OW'' convirtiéndose finalmente en el OU'''V'''W''' Si θ es nulo el primer y tercer giro se producen sobre el mismo eje (Z) Herramientas Matemáticas . convirtiéndose así en el OU'V'W’.Ángulos de Euler WUW • Girar el sistema OUVW un ángulo ϕ con respecto al eje OZ. convirtiéndose así en el OU''V''W'’. Ángulos de Euler WVW • Girar el sistema OUVW un ángulo ϕ con respecto al eje OZ. convirtiéndose así en el sistema OU''V''W'’. convirtiéndose finalmente en el OU'''V'''W'''. • Girar el sistema OU’’V’’W’’ un ángulo ψ con respecto al eje OW''. Si θ es nulo el primer y tercer giro se producen sobre el mismo eje (Z) Herramientas Matemáticas . • Girar el sistema OU'V'W' un ángulo θ con respecto al eje OV'. convirtiéndose así en el OU'V'W’. Angulos Euler XYZ • Giros entorno a los ejes fijos (XYZ) • Guiñada-Cabeceo-Alabeo • Yaw-Pitch-Roll Girar el sistema OUVW un ángulo ψ con respecto al eje OX. (Roll) (guiñada. cabeceo y alabeo) • • • Herramientas Matemáticas . (Pitch) Girar el sistema OUVW un ángulo ϕ con respecto al eje OZ. (Yaw) Girar el sistema OUVW un ángulo θ con respecto al eje OY. Par de rotación • Dados los sistemas {O.ky. existe un único vector k (kx. tal que girando alrededor de él un ángulo θ se convierte el primer sistema en el segundo.V. k es el vector propio real de la matriz de rotación.U.X. θ Se puede obtener como el argumento de los valores propios complejos de la matriz de rotación Herramientas Matemáticas .W}.Y.kz).Representación de la orientación.Z} y {O. Representación conjunta mediante matrices Herramientas Matemáticas . Coordenadas homogéneas Herramientas Matemáticas . 0.0) en el caso de robótica) w1x1: escalado global (1 en el caso de robótica) Herramientas Matemáticas .Matrices de transformación homogénea • Matriz 4x4 que representa la transformación de un vector en coordenadas homogéneas de un sistema de coordenadas a otro • • • • R3x3: matriz de rotación p3x1: vector de traslación f1x3: transformación de perspectiva ((0. Rotar (R) y trasladar (p) un vector r con respecto a un sistema de referencia fijo OXYZ para transformarlo en el r’. Herramientas Matemáticas . Transformar un vector r expresado en coordenadas con respecto a un sistema O'UVW.Aplicación de las matrices de transformación homogénea • • • Representar la posición y orientación de un sistema girado y trasladado O'UVW con respecto a un sistema fijo de referencia OXYZ. que es lo mismo que representar una rotación y traslación realizada sobre un sistema de referencia. a su expresión en coordenadas del sistema de referencia OXYZ. Propiedades de las MTH NO son Ortonormales Herramientas Matemáticas . Usos alternativos de las MTH Herramientas Matemáticas . Traslación con matrices homogéneas Matriz básica de traslación: T( p ) = Cambio de sistema de coordenadas: Desplazamiento de un vector: Herramientas Matemáticas . Calcular las coordenadas (rx . base) Trasladar el sistema (cambio de Según la figura el sistema O'UVW está trasladado un vector p(6.rz) del vector r cuyas coordenadas con respecto al sistema O'UVW son ruvw(-2.3) Herramientas Matemáticas .8) con respeto del sistema OXYZ.Ejemplo de traslación (I). ry .-3.7. 11) según la transformación T(p) con p(6.-3.8) Herramientas Matemáticas .Ejemplo de traslación (II) Trasladar el vector • Calcular el vector r’xyz resultante de trasladar al vector rxyz(4.4. Rotación con matrices homogéneas • Matrices de rotación básicas: Herramientas Matemáticas . Rotación con matrices homogéneas Cambio de sistema de coordenadas: Rotación de un vector: Herramientas Matemáticas . 12]T Herramientas Matemáticas . Calcular las coordenadas del vector rxyz si ruvw = [4.Ejemplo de rotación Rotar el sistema (cambio de base) • Según la figura el sistema OUVW se encuentra girado -90º alrededor del eje OZ con respecto al sistema OXYZ.8. Combinación de rotaciones y traslaciones • Es posible combinar rotaciones y traslaciones básicas multiplicando las matrices correspondientes • El producto no es conmutativo: rotar y trasladar ≠ trasladar y rotar Trasladar T(p) y Girar Rotz(π) Girar Rotz(π) y trasladar T(p) Transformaciones expresadas en el sistema móvil Herramientas Matemáticas . Orden de la combinación de rotaciones y traslaciones Rotación seguida de traslación (expresadas en sistema fijo): Traslación seguida de rotación (expresadas en sistema fijo): Herramientas Matemáticas . ry .Ejemplo combinación de rotación y traslación (1) Rotación Traslación Sistema Fijo Un sistema OUVW ha sido girado 90° alrededor del eje OX y posteriormente trasladado un vector p(8.-11). Herramientas Matemáticas .4.12) con respecto al sistema OXYZ. Calcular las coordenadas (rx .rz) del vector r con coordenadas ruvw (-3.-4. -11).12) con respecto al sistema OXYZ y girado 90° alrededor del eje OX . Herramientas Matemáticas .-4.rz) del vector r de coordenadas ruvw (-3.4. Calcular las coordenadas (rx .ry .Ejemplo composición de rotación y traslación (2) Traslación Rotación Sistema Fijo Un sistema OUVW ha sido trasladado un vector p(8. 5.10) – giro de π sobre el eje OZ ⎡−1 0 ⎢ 0 −1 T = Rotz(π )T ( p) Rotx (−π ) = ⎢ ⎢0 0 ⎢0 0 ⎣ Herramientas Matemáticas 0 0 1 0 0 ⎤⎡1 0 ⎥⎢0 ⎥⎢ 0 ⎥⎢0 ⎢ 1⎥ ⎦⎣0 0 1 0 0 0 5 ⎤ ⎡1 0 0 0 5 ⎥ ⎢0 −1 0 ⎥⎢ 1 10 ⎥ ⎢0 0 −1 ⎢ 0 1⎥ ⎦ ⎣0 0 0 0 ⎤ ⎡−1 0⎥ ⎢ 0 ⎥= ⎢ 0⎥ ⎢ 0 ⎢ 1⎥ ⎦ ⎣0 0 0 −5 ⎤ 1 0 −5 ⎥ ⎥ 0 −1 10 ⎥ 0 0 1⎥ ⎦ . – traslación de vector pxyz(5.Composición general de matrices homogéneas (I) Transformaciones definidas PREMULTIPLICACIÓN sobre el sistema fijo (OXYZ) Ejemplo: • Obtener la matriz de transformación que representa al sistema O'UVW obtenido a partir del sistema OXYZ mediante – giro de ángulo -π alrededor del eje OX. ⎡1 ⎢0 T = T ( p) Rotx (−π ) Roty (π ) = ⎢ ⎢0 ⎢0 ⎣ Herramientas Matemáticas 0 1 0 0 0 −3⎤ ⎡1 0 0 0 10 ⎥ ⎢0 −1 0 ⎥⎢ 1 10 ⎥ ⎢0 0 −1 ⎢ 0 1⎥ ⎦ ⎣0 0 0 0 ⎤⎡−1 0 ⎥⎢ 0 ⎥⎢ 0 ⎥⎢ 0 ⎢ 1⎥ ⎦⎣ 0 0 0 1 0 0 −1 0 0 0 ⎤ ⎡−1 0 0 ⎥ ⎢ 0 −1 ⎥= ⎢ 0⎥ ⎢ 0 0 ⎢ 1⎥ ⎦ ⎣0 0 0 −3⎤ 0 10 ⎥ ⎥ 1 10 ⎥ 0 1⎥ ⎦ . – giro de -180° sobre el eje O'U del sistema trasladado – giro de 180° sobre el eje O'V del sistema girado.10.Composición general de matrices homogéneas (II) Transformación definidas POSMULTIPLICACIÓN Ejemplo: • Obtener la matriz de transformación que representa las siguientes transformaciones: sobre el sistema móvil (OUVW) – Traslación de un vector pxyz(-3.10). las MTH de cada transformación se deben premultiplicar – Sistema móvil O´UVW.Reglas de composición de MTH Si el sistema O´UVW se obtiene mediante transformaciones definidas con respecto al: – Sistema fijo OXYZ. las MTH de cada transformación se deben postmultiplicar Herramientas Matemáticas . n representa las coordenadas del eje O'U del sistema O'UVW con respecto del sistema OXYZ. a representa las coordenadas del eje O'W del sistema O'UVW con respecto del sistema OXYZ.Interpretación geométrica de las MTH • • • • p representa la posición del origen de O'UVW con respecto del sistema OXYZ. o representa las coordenadas del eje OY del sistema O'UVW con respecto del sistema OXYZ. Herramientas Matemáticas . 2. 3.MTH Para la figura de abajo. 4. encuentre las matrices de transformación de 4x4 y para i=1. 5 Herramientas Matemáticas . Aplicación en un robot La localización del extremo del robot respecto a su base queda definida asociando a la base del robot un sistema de referencia fijo {R}=(OXYZ) y al extremo un sistema de referencia {H} que se mueva con él. • o: vector perpendicular a a en el plano definido por la pinza del robot. el origen de {H} está en el punto p y los vectores directores de {H} son n.Interpretación geométrica de las MTH. • n: vector que forme terna ortogonal con los dos anteriores. Expresado en la base {R}. {R} {H} Herramientas Matemáticas . a escogidos de modos que: • a: vector en la dirección de aproximación del extremo del robot a su destino (approach). o. Relación entre los métodos de localización espacial ANGULOS DE EULER – MATRICES DE TRANSFORMACIÓN HOMOGÉNEA WUW WVW XYZ Herramientas Matemáticas . θ aparece como elemento aislado. pudiéndose despejar directamente A continuación se pueden obtener ϕ y ψ. Herramientas Matemáticas .Relación entre los métodos de localización espacial MATRICES DE TRANSFORMACIÓN HOMOGÉNEA. θ y ψ.ANGULOS DE EULER Se deberán despejar ϕ. se produce indeterminación y solo se puede obtener el valor de ϕ+ψ. En los casos WUW y WVW. si θ es 0. de la relación directa. Se gira k hasta hacerlo coincidir con Z (T(x.-β)).α). 3. Herramientas Matemáticas . Se deshacen las rotaciones iniciales Siendo Vθ = 1 . 2.Cθ.T(y.Relación entre los métodos de localización espacial PAR DE ROTACIÓN – MATRICES DE TRANSFORMACIÓN Se trata de expresar el giro θ en rotaciones básicas 1. Se realiza el giro dado por el par (θ). PAR DE ROTACIÓN = Nota: Cuando θ es próximo a 0 o a π. las ecuaciones quedan indeterminadas V es el verseno definido por Vθ = 1 – Cθ Herramientas Matemáticas .Relación entre los métodos de localización espacial MATRICES DE TRANSFORMACIÓN . Aplicarlo al caso concreto de que el robot B deje el objeto a 1 unidad sobre la vertical de su origen y girado π/2 respecto del eje Z. (Ver figura) El robot B ejecuta un programa con una orden del tipo: “Deja el objeto en la localización Tbo” Esta orden implica dejar el objeto en una localización de coordenadas definidas por la matriz de transformación homogénea Tb0 (las coordenadas se encuentran definidas con respecto al sistema de referencia del robot B. Sb). Este objeto debe ser recogido por el robot A. para lo que éste tendrá que una orden del tipo: “Recoge el objeto en localización Tao” Se pide: 1. Encontrar la expresión que define el valor que debe tomar Tao en función de Tbo 2. Herramientas Matemáticas . a las que están asociadas sus sistemas de referencia Sa y Sb . están ubicados de modo que la base B está desplazada 2 unidades en la dirección del eje Y del sistema Sa y girada -90º respecto del nuevo eje Z. Sus bases.Ejercicio Dos robots (A y B) cooperan en una misma tarea.