Matrices

OBJETIVOResolver problemas sobre matrices, utilizando definiciones, propiedades y métodos adecuados para cada tipo, en situaciones reales propias de la ingeniería y ciencias aplicadas. CONTENIDO: 1.1 ALGEBRA DE MATRICES 1.2 CLASIFICACION DE LAS MATRICES CUADRADAS 1.3 MATRIZ TRANSPUESTA 1.4 MATRIZ TRANSPUESTA - CONJUGADA 1.5 TRAZA DE UNA MATRIZ 1.6 POTENCIA DE UNA MATRIZ 1.7 CUESTIONARIO 1.1 ALGEBRA DE MATRICES En esta sección se introduce terminología básica, se define una matriz, matriz identidad y matriz escalar. Se define y establecen las operaciones que se pueden realizar entre matrices, además, enunciaremos las propiedades más importantes. Las matrices se escribirán mediante un solo símbolo, que por lo común serán letras mayúsculas como A, B, C, D, etc. Cuando no se utilicen números específicos para designar los elementos de una matriz, se utilizarán minúsculas de la forma a ij . No existen restricciones sobre el número de filas o columnas que una matriz puede tener. DEFINICION 1.1.1 Una matriz es una ordenación rectangular de elementos distribuidos en n filas (horizontales) y m columnas (verticales), el elemento que está en la i-ésima fila y en la j-ésima columna se denota por a ij , siendo este elemento, un número real o complejo. Formalmente lo denotamos como A = (a ij ). Una matriz con n filas y m columnas se llama matriz de n x m; la expresión n x m es su orden o forma y lo expresamos como 11 12 1 21 22 2 1 2 m m n n nm a a a a a a a a a | | | | = | | | \ . A En otras palabras, podemos decir que una matriz de n x m definida sobre el conjunto K, es una aplicación a : A x B ÷ K que asocia a cada par (i, j) el número a ij . Los MATRICES JOE GARCIA ARCOS 2 elementos horizontales a i1 , a i2 , ..., a im representan las filas de la matriz y los elementos verticales a 1j , a 2j , ..., a nj representan las columnas. Así, la letra i representa la fila y la j representa la columna. Si n = m la matriz se denomina cuadrada y se dice que tiene orden n. Si una matriz tiene una sola fila, se le llama matriz fila y se la representa por A = (a i1 a i2 ... a im ). Si una matriz tiene una sola columna, se le llama matriz columna y se representa por 1 2 j j nj a a a | | | | = | | | \ . A . En particular, un elemento a ij puede considerarse como una matriz de una fila y una columna. Es conveniente designar a la matriz con letras mayúsculas en correspondencia, si es posible, con la letra minúscula común con la cual se designan sus elementos. A continuación se dan algunos tipos de matrices: 1 0 4 5 6 2 7 9 1 | | | = | | \ . A ; 2 5 7 1 9 2 | | = | \ . B ; 1 4 8 | | | = | | \ . C ; ( ) 1 2 9 = ÷ D , siendo A una matriz de 3 x 3, B de 2 x 3, C de 3 x 1 y D de 1 x 3. DEFINICION 1.1.2 Una matriz cuadrada que tiene el número 1 como elementos de la diagonal principal, y los demás elementos son ceros, se denomina matriz identidad y se denota como I = (o ij ), donde 1, si 0, si ij i j i j = ¦ o = ´ = ¹ , o se denomina delta de Kronecker. Matrices de este tipo se dan a continuación: 2 1 0 0 1 | | = | \ . I ; 3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 | | | = | | \ . I ; 4 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 | | | | = | | \ . I ; etc. DEFINICION 1.1.3 Una matriz cuadrada que tiene el número o e K diferente de cero, como elementos de la diagonal principal, y los demás elementos son ceros, se denomina matriz escalar y se denota como E = oI. Este tipo de matrices tienen la siguiente forma: 2 0 1 0 0 0 1 a a a | | | | = = | | \ . \ . E ; 3 0 0 1 0 0 0 0 ( ) 0 1 0 0 0 0 0 1 a b a b a b a b + | | | | | | = + = + | | | | + \ . \ . E ; etc. La definición de operaciones entre matrices es lo que determina la utilidad de ellas puesto que una matriz de por sí es solamente un arreglo de números. Veremos que aquellas definiciones que intuitivamente parecen obvias para operar con matrices son también las más útiles. MATRICES JOE GARCIA ARCOS 3 A continuación se explican algunas operaciones que se pueden realizar con matrices. Definidas las matrices, podemos comenzar a estudiar su álgebra. Se explicará primero el significado de la afirmación de que dos matrices A y B son iguales. Lo anterior significa que los elementos correspondientes de cada matriz son iguales, es decir a ij = b ij para cada i y j. Cuando las matrices son iguales, se escribe A = B. Para que dos matrices sean iguales, el número de filas de A debe ser el mismo que el número de filas de B, y el número de columnas de A debe ser el mismo que el número de columnas de B. DEFINICION 1.1.4 Dadas A = (a ij ), B = (b ij ), matrices de igual orden. Las matrices A y B se dice son iguales si y sólo si los elementos correspondientes a cada una de estas son iguales. Es decir, dadas las matrices 11 12 1 21 2 2 2 1 2 m m n n n m a a a a a a a a a | | | | = | | | \ . A y 11 12 1 21 2 2 2 1 2 = m m n n n m b b b b b b b b b | | | | | | | \ . B por definición estas matrices son iguales si y sólo si se cumple que a 11 = b 11 , a 12 = b 12 , ..., a nm = b nm . De manera más compacta, se escribe A = B si a ij = b ij , para todo i, j e ×. EJEMPLO 1.1.1 Sean A y B dos matrices de 2 x 3: 1 2 2 a b b a b a b a b ÷ + + ÷ | | = | ÷ ÷ \ . A y 1 3 c c c i | | ÷ t = | | + t t+ \ . B . ¿Cuando A y B son iguales? SOLUCION Las matrices A y B son iguales si cumplen la siguiente identidad: 1 2 2 1 3 a b b a b c a b a b c i | | ÷ + + ÷ | | ÷ t = | | | ÷ ÷ + t t+ \ . \ . lo cual implica que a – b + 1 = i, 2 + 2b – a = t, b = c, a = c + t, - b = 3 y a – b = t + i. V EJEMPLO 1.1.2 Determine los valores de a, b y c para que las matrices dadas sean iguales 2 4 1 6 | | = | \ . A y 2 2 1 2 a b c a c a a b + + ÷ | | = | + + \ . B . SOLUCION Para que A y B sean iguales se debe cumplir por definición que sus correspondientes elementos sean iguales, es decir: 2 2 2 4 1 1 2 6 a b c a c a a b + + = ¦ ¦ ÷ = ¦ ´ + = ¦ ¦ + = ¹ ¬ 2 2 2 4 0 2 6 a b c a c a a b + + = ¦ ¦ ÷ = ¦ ´ = ¦ ¦ + = ¹ ¬ 0 3 4 a b c = ¦ ¦ = ´ ¦ = ÷ ¹ . V Se definirá ahora la suma de matrices, que consiste simplemente, como esperará el lector, en sumar los elementos correspondientes. Es decir, la suma C de una matriz A que tenga n filas y m columnas, y una matriz B que tenga n filas y m columnas es MATRICES JOE GARCIA ARCOS 4 una matriz que tiene n filas y m columnas cuyos elementos están dados por c ij = a ij + b ij , para todo i, j. DEFINICION 1.1.5 Dadas A = (a ij ), B = (b ij ) y C = (c ij ), matrices de igual orden. Si se cumple que C = (a ij ) + (b ij ) = (a ij + b ij ) = (c ij ), i, j e N a la matriz C se le denomina adición de A y B. Es decir; si a cada par de matrices de orden n x m le hacemos corresponder otra matriz del mismo orden cuyos elementos se obtienen sumando término a término los correspondientes a dichas matrices, se denomina adición de matrices. Dadas las matrices A y B, detalladamente podemos interpretar la adición de matrices de la siguiente manera: C = A + B 11 12 1 11 12 1 21 2 2 2 21 22 2 1 2 1 2 m m m m n n nm n n n m b b b a a a b b b a a a a a a b b b | | | | | | | | = + | | | | | | \ . \ . 11 11 12 12 1 1 21 21 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 m m m m n n n n n m n m a b a b a b a b a b a b a b a b a b + + + | | | + + + | = | | | + + + \ . . Debemos tener muy en cuenta que la adición de las matrices A y B se puede realizar solamente cuando B tiene el mismo número de filas y el mismo número de columnas que A. De aquí que el orden de la matriz suma es la misma que la de los sumandos. EJEMPLO 1.1.3 Dadas las matrices 1 1 4 5 3 6 9 1 2 i i Sen | | ÷ | | = + t | | t | \ . A y 3 4 4 5 3 3 2 4 Tan i Cos i Tan t | | ÷ ÷ | | | = ÷ ÷t | t t | | \ . B Determine A + B. SOLUCION 3 4 1 1 4 4 + 5 3 6 5 3 3 9 1 2 2 4 Tan i i i Sen Cos i Tan t | | | | ÷ ÷ | ÷ | | | | = + t + ÷ ÷t | | | t t t | | | \ . \ . A B 1 ( 3) 1 4 ( 4 ) 2 1 0 4 (5 3 ) ( 5) 6 3 3 9 (1 ) 3 1 9 0 9 1 2 2 4 Tan i i i i i i i Sen Cos i Tan t | | + ÷ ÷ + + ÷ | ÷ + | | | | | = + + ÷ + t + ÷t = + t | | | t t t + | \ . + + + | \ . . V MATRICES JOE GARCIA ARCOS 5 TEOREMA 1.1.1 Sean las matrices A = (a ij ), O = (o ij ) de igual orden, entonces A + O = O + A = A. DEMOSTRACION Sean A, O matrices de igual orden, entonces A + O = (a ij ) + (o ij ) = (a ij + o ij ) = (o ij + a ij ) = (a ij ) = A. TEOREMA 1.1.2 Si A = (a ij ) y B = (b ij ) son matrices de igual orden, entonces la adición de matrices es conmutativa, es decir, A + B = B + A. DEMOSTRACION Sean las matrices A, B de igual orden, entonces: A + B = (a ij ) + (b ij ) = (a ij + b ij ) = (b ij + a ij ) = (b ij ) + (a ij ) = B + A. TEOREMA 1.1.3 Si A = (a ij ), B = (b ij ), C = (c ij ) son matrices de igual orden, entonces la adición de matrices es asociativa, es decir, A + (B + C) = (A + B) + C. DEMOSTRACION Sean A, B, C matrices de igual orden, entonces: A + (B + C) = (a ij ) + (b ij ) + (c ij ) = (a ij ) + (b ij + c ij ) = (a ij + b ij + c ij ) = (a ij + b ij ) + (c ij ) = ((a ij ) + (b ij )) + (c ij ) = (A + B) + C. % CALCULAR LA SUMA DE MATRICES clc;clear; fprintf('\n SUMA DE MATRICES \n') fil=input('Ingrese el numero de filas de las Matrices A y B: '); col=input('Ingrese el numero de columnas de las Matrices A y B: '); %Ingreso de elementos fprintf('Matriz A:\n') for f=1:fil for c=1:col fprintf('Ingrese el elemento A:(%d,%d)',f,c) A(f,c)=input(' :'); end end fprintf('Matriz B:\n') for f=1:fil for c=1:col fprintf('Ingrese el elemento B:(%d,%d)',f,c) B(f,c)=input(' :'); end end fprintf(' LA MATRIZ A ES:\n') A end fprintf(' LA MATRIZ B ES:\n') B MATRICES JOE GARCIA ARCOS 6 end fprintf(' LA SUMA C ES:\n') C=A+B end La siguiente operación que se considerará es la de multiplicar una matriz por un número. Esta operación recibe el nombre de multiplicación por un escalar. Para multiplicar una matriz A por un número o, simplemente se multiplica cada elemento de A por o. DEFINICION 1.1.6 Dada A = (a ij ) una matriz arbitraria y o un escalar. El producto del escalar o y la matriz A se define como la matriz C = (c ij ) del mismo orden que A, cuyos elementos se obtienen multiplicando el escalar por cada uno de los elementos de A. Es decir; formalmente se expresa esta operación de la siguiente manera: 11 12 1 11 12 1 21 2 2 2 21 2 2 2 1 2 1 2 = α = m m m m n n n m n n n m a a a a a a a a a a a a a a a a a a o o o | | | | | | o o o | | o = | | | | | | o o o \ . \ . C A Cada elemento de A se multiplica por el escalar o. El producto oA es, por consiguiente, otra matriz con n filas y m columnas, si A tiene n filas y m columnas. Es decir, la matriz resultante del producto por un escalar conserva el orden de la matriz original. EJEMPLO 1.1.4 Dada la matriz 1 4 4 1 4 Tan Cos i i Sen t t | | ÷ | | = t | ÷ | \ . A y k = 1 + i. Determine kA. SOLUCION 1 4 4 (1 ) 1 4 Tan Cos k i i i Sen t t | | ÷ | | = + t | ÷ | \ . A (1 ) (1 ) (1 ) 1 4 4 (1 ) (1 )(1 ) (1 ) 4 i Tan i Cos i i i i i i Sen t t | | + + + ÷ | | = t | + + ÷ + | \ . 1 1 1 2 1 1 2 2 i i i i i + | | + ÷ | | = + | ÷ | \ . . V TEOREMA 1.1.4 Sea A = (a ij ) una matriz arbitraria y k un número, entonces kA = Ak. DEMOSTRACION Sean A una matriz arbitraria y k un número, entonces: MATRICES JOE GARCIA ARCOS 7 kA = k(a ij ) = (ka ij ) = (a ij k) = (a ij )k = Ak. EJEMPLO 1.1.5 Un fabricante de sacos los produce en color negro, azul y rojo para hombres, mujeres y niños. La capacidad de producción en miles en la planta A está dada por la matriz Hombres Mujeres Niños Negro 3 5 6 Azul 2 3 4 Rojo 5 1 3 La producción en la planta B está dada por Hombres Mujeres Niños Negro 2 3 3 Azul 4 2 5 Rojo 1 3 2 a.- Determine la representación matricial de la producción total de cada tipo de sacos en ambas plantas. b.- Si la producción en A se incrementa en un 15% y la de B en un 30%, encuentre la matriz que representa la nueva producción total de cada tipo de saco. SOLUCION a.- Para obtener la matriz de producción total, sumamos las matrices que relacionan las plantas A y B: 3 5 6 2 3 3 5 8 9 2 3 4 4 2 5 6 5 9 5 1 3 1 3 2 6 4 5 | | | | | | | | | + = | | | | | | \ . \ . \ . . b.- La nueva matriz de producción total la obtenemos sumando las matrices 3 5 6 2 3 3 6.05 9.65 10.8 1.15 +1.30 1.15 2 3 4 1.30 4 2 5 7.5 6.05 11.1 5 1 3 1 3 2 7.05 5.05 6.05 | | | | | | | | | = + = | | | | | | \ . \ . \ . A B . V EJEMPLO 1.1.6 El costo en dólares de comprar un boleto aéreo de la ciudad A a cada una de las cuatro ciudades B, C, D y E, está relacionado en la matriz P = (75 62 35 55). Si la directiva de la aviación civil aprueban un incremento del 12% en las tarifas. Hallar las nuevas tarifas. SOLUCION Las nuevas tarifas se obtienen multiplicando la matriz P por 1.12, es decir; ( ) ( ) 1.12 1.12 75 62 35 55 84 69, 44 39, 2 61, 6 = = P . V EJEMPLO 1.1.7 Una empresa produce tres tamaños de radios en tres modelos diferentes. La producción en miles en su planta A está dada por la matriz Tamaño 1 Tamaño 2 Tamaño 3 Modelo 1 20 32 25 Modelo 2 15 15 29 Modelo 3 12 27 30 La producción en miles en su planta B está dada por la matriz MATRICES JOE GARCIA ARCOS 8 Tamaño 1 Tamaño 2 Tamaño 3 Modelo 1 35 42 19 Modelo 2 25 35 25 Modelo 3 12 18 21 a.- Escriba una matriz que represente la producción total de radios en ambas plantas. b.- El dueño de la empresa planea abrir una tercera planta en C, la cual tendrá una vez y cuarto la capacidad de la planta en A. Escriba la matriz que representa la producción en la planta C. c.- ¿Cuál sería la producción total de las tres plantas? SOLUCION a.- Para representar la producción total en ambas plantas, debemos sumar ambas matrices 20 32 25 35 42 19 55 74 44 15 15 29 25 35 25 40 50 54 12 27 30 12 18 21 24 45 51 | | | | | | | | | + = | | | | | | \ . \ . \ . . b.- Para encontrar la matriz C, tenemos que multiplicar a la matriz A por 1.25, es decir 20 32 25 25 40 31.25 1.25 15 15 29 18.75 18.75 36.25 12 27 30 15 33.75 37.5 | | | | | | = | | | | \ . \ . . c.- Para representar la producción total de las tres plantas, debemos sumar las matrices A, B y C, es decir: 20 32 25 35 42 19 25 40 31.25 + + 15 15 29 25 35 25 18.75 18.75 36.25 12 27 30 12 18 21 15 33.75 37.5 | | | | | | | | | = + + | | | | | | \ . \ . \ . A B C 80 114 75.25 58.75 68.75 90.25 39 78.75 88.5 | | | = | | \ . . V EJEMPLO 1.1.8 Una compañía tiene plantas en cuatro provincias, I, II, III y IV, y cuatro bodegas en los lugares P, Q, R y S. El costo en miles de dólares de transportar cada unidad de su producto de una planta a una bodega está dado por la matriz Prov. I Prov. II Prov. III Prov. IV Bodega P 13 12 17 12 Bodega Q 19 17 13 15 Bodega R 8 9 11 13 Bodega S 19 21 9 15 a.- Si los costos de transportación se incrementan uniformemente en $500 por unidad, ¿cuál es la nueva matriz? b.- Si los costos de transportación se elevan en un 25%, escriba los nuevos costos. SOLUCION a.- Obtenemos la nueva matriz, sumándole a la matriz A la matriz de incrementos 13 12 17 12 0.5 0.5 0.5 0.5 13.5 12.5 17.5 12.5 19 17 13 15 0.5 0.5 0.5 0.5 19.5 17.5 13.5 15.5 8 9 11 13 0.5 0.5 0.5 0.5 8.5 9.5 11.5 13.5 19 21 9 15 0.5 0.5 0.5 0.5 19.5 21.5 9.5 15.5 | | | | | | | | | | | | + = | | | | | | \ . \ . \ . . b.- Los nuevos datos los obtenemos multiplicando la matriz A por 1.25, es decir MATRICES JOE GARCIA ARCOS 9 13 12 17 12 16.25 15 21.25 15 19 17 13 15 23.75 21.25 16.25 18.75 1.25 8 9 11 13 10 11.25 13.75 16.25 19 21 9 15 23.75 26.25 11.25 18.75 | | | | | | | | = | | | | \ . \ . . V TEOREMA 1.1.5 Si A = (a ij ), B = (b ij ) son matrices de igual orden y k un número, entonces se cumple la ley distributiva respecto a la adición de matricial, es decir, k(A + B) = kA + kB. DEMOSTRACION Sean A, B matrices de igual orden y k un número, entonces: k(A + B) = k((a ij ) + (b ij )) = k(a ij ) + b ij ) = (ka ij + kb ij ) = (ka ij ) + (kb ij ) = kA + kB. TEOREMA 1.1.6 Si A = (a ij ) es una matriz arbitraria y k, t números, entonces se cumple la ley distributiva con respecto a la adición de escalares, es decir, (k + t)A = kA + tA. DEMOSTRACION Sean A una matriz arbitraria y k, t números, entonces: (k + t)A = (k + t)(a ij ) = ((k + t)a ij ) = (ka ij + ta ij ) = (ka ij ) + (ta ij ) = kA + tA. % MULTIPLICACION DE UN ESCALAR Y UNA MATRIZ clc;clear; fprintf('\n PRODUCTO POR UN ESCALAR \n') fil=input('Ingrese el numero de filas de la Matriz A: '); col=input('Ingrese el numero de columnas de la Matriz A: '); n=input('Ingrese el escalar: '); %Ingreso de elementos for f=1:fil for c=1:col fprintf('Ingrese el elemento (%d,%d)',f,c) A(f,c)=input(' :'); end fprintf('\ LA MATRIZ A ES: \n') A end fprintf('\ LA MATRIZ PRODUCTO B ES: \n') B=A*n End La matriz opuesta de A puede obtenerse multiplicando la matriz original por el escalar –1. De acuerdo con esta definición; B = (-1)A, notándose B = -A, lo cual podemos expresarlo detalladamente como = +(- ) C A A 11 12 1 11 12 1 21 2 2 2 21 2 2 2 1 2 1 2 m m m m n n n m n n n m a a a a a a a a a a a a a a a a a a ÷ ÷ ÷ | | | | | | ÷ ÷ ÷ | | = + | | | | | | ÷ ÷ ÷ \ . \ . MATRICES JOE GARCIA ARCOS 10 11 11 12 12 1 1 21 21 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 m m m m n n n n n m n m a a a a a a a a a a a a a a a a a a ÷ ÷ ÷ | | | | | | ÷ ÷ ÷ | | = = | | | | | ÷ ÷ ÷ \ . \ . . DEFINICION 1.1.7 Una matriz B = (b ij ) que, dada una matriz A = (a ij ) cumple la ecuación matricial (o ij ) = (a ij ) + (b ij ), para todo i, j e N recibe el nombre de matriz opuesta o negativa de A. La operación de restar una matriz B de una matriz A se define exactamente como esperará el lector: A – B es la matriz cuyos elementos son a ij – b ij . Se observa también que la resta puede definirse en términos de operaciones ya definidas, como A – B = A + (-B). Es decir, para restar dos matrices, restamos sus correspondientes elementos. DEFINICION 1.1.8 Dadas A = (a ij ), B = (b ij ) y C = (c ij ), matrices de igual orden. Si se cumple que C = A - B = (a ij ) - (b ij ) = (a ij – b ij ) = (c ij ), i, j e N a la matriz C se le denomina resta de A y B. Es decir; si a cada par de matrices de orden n x m le hacemos corresponder otra matriz del mismo orden cuyos elementos se obtienen restando término a término los correspondientes a dichas matrices, se denomina resta de matrices. Dadas las matrices A y B, detalladamente podemos interpretar la resta de matrices de la siguiente manera: = - C A B 11 12 1 11 12 1 21 2 2 2 21 2 2 2 1 2 1 2 = m m m m n n n m n n n m a a a b b b a a a b b b a a a b b b | | | | | | | | ÷ | | | | | | \ . \ . 11 11 12 12 1 1 21 21 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 m m m m n n n n n m n m a b a b a b a b a b a b a b a b a b ÷ ÷ ÷ | | | ÷ ÷ ÷ | = | | | ÷ ÷ ÷ \ . . Debemos tener muy en cuenta, como lo hicimos para la adición, que la resta de las matrices A y B se puede realizar solamente cuando tienen el mismo orden. De aquí que el orden de la matriz obtenida de la resta es la misma que la de A y B. EJEMPLO 1.1.9 Dadas las matrices 13 5 12 17 6 8 | | = | \ . A y -6 11 3 = 15 2 1 | | | \ . B . Determine la matriz M tal que A - 2M = 3B. SOLUCION Como A – 2M = 3B, entonces: MATRICES JOE GARCIA ARCOS 11 2M = A – 3B ¬ 1 = ( - 3 ) 2 M A B Reemplazando los datos conocidos, obtenemos: 13 5 12 -6 11 3 13 5 12 -18 33 9 1 1 = - 3 = - 17 6 8 15 2 1 17 6 8 45 6 3 2 2 | | | | | | | | | | | | | | | | | | \ . \ . \ . \ . \ . \ . M 31 28 3 1 28 0 5 2 ÷ | | = | ÷ \ . . V EJEMPLO 1.1.10 Dadas las matrices 4 4 4 4 Sen Cos Cos Sen t t | | | | = t t | ÷ | \ . A , 4 4 4 4 Tan Sen Sen Tan t t | | ÷ | | = t t | | \ . B . Determine A - B. SOLUCION 2 2 2 1 4 4 4 4 2 2 2 - 2 2 2 1 4 4 4 4 2 2 2 Sen Cos Tan Sen Cos Sen Sen Tan | | | | t t t t | | | | ÷ ÷ | | | | | | | | = ÷ = ÷ | | t t t t | | ÷ | | ÷ | | \ . \ . \ . \ . A B 2 1 2 2 2 2 1 2 | | ÷ | | = | ÷ ÷ | \ . . V EJEMPLO 1.1.11 Tres máquinas de gaseosas se localizan en un centro comercial. El contenido de estas máquinas se presenta en la siguiente matriz de inventario: Coca - Cola Fanta Sprite Maquina I 65 32 84 Maquina II 92 65 36 Maquina III 45 72 93 Los elementos indican el número de latas de cada tipo de gaseosa que contiene cada máquina. Suponga que la matriz de ventas para el día siguiente es Coca - Cola Fanta Sprite Maquina I 53 25 70 Maquina II 80 60 30 Maquina III 35 65 85 donde los elementos indican el número de latas de cada tipo de gaseosa que vende cada máquina. Hallar la matriz de inventario al final del día. SOLUCION La matriz de inventario al final del día se obtiene de la siguiente manera: 65 32 84 53 25 70 12 7 14 92 65 36 80 60 30 12 5 6 45 72 93 35 65 85 10 7 8 | | | | | | | | | ÷ = | | | | | | \ . \ . \ . . Si cada máquina se recarga con 30 latas de Coca-Cola, 20 latas de Fanta y 15 latas de Sprite, entonces la matriz de inventarios es la siguiente: MATRICES JOE GARCIA ARCOS 12 12 7 14 30 20 15 42 27 29 12 5 6 30 20 15 42 25 21 10 7 8 30 20 15 40 27 23 | | | | | | | | | + = | | | | | | \ . \ . \ . . V EJEMPLO 1.1.12 Determínense las matrices P y Q de orden 3 x 2, tales que satisfagan el sistema de ecuaciones 2 +3 = - - = ¦ ´ ¹ P Q A P Q B , donde 1 3 = 2 4 1 2 | | | | | \ . A y -1 0 = -1 -3 1 -1 | | | | | \ . B . SOLUCION Multiplicando la segunda ecuación por 2, y sumandole a la primera, obtenemos las matrices P y Q. = - - 3 = + 2 ¦ ´ ¹ P A B Q A B Es decir: 1 3 -1 0 -1 -3 -3 0 2 -3 = - 2 4 - 3 -1 -3 = -2 -4 - -3 -9 = 1 5 1 2 1 -1 -1 -2 3 -3 -4 1 | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | \ . \ . \ . \ . \ . P 1 3 -1 0 1 3 -2 0 -1 3 = 2 4 + 2 -1 -3 = 2 4 + -2 -6 = 0 -2 1 2 1 -1 1 2 2 -2 3 0 | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | \ . \ . \ . \ . \ . Q . V A continuación, dividamos una matriz A en partes mediante un sistema de rectas verticales y horizontales. Estas partes pueden ser consideradas como matrices de órdenes inferiores que forman, interpretadas como elementos, la propia matriz; se denominan bloques o submatrices de la matriz A, mientras que la propia matriz A, dividida de un modo determinado en submatrices, se denomina hipermatriz. Una misma matriz puede ser dividida en submatrices de diferentes maneras. DEFINICION 1.1.9 Se denomina hipermatriz a una ordenación rectangular de submatrices. Una submatriz derivada de una matriz A es la formada por los elementos que pertenecen simultáneamente a h filas y k columnas de A. La conveniencia de la división en submatrices consiste en que las operaciones principales sobre hipermatrices se realizan formalmente siguiendo las mismas reglas que en el caso de matrices corrientes. En efecto, supongamos una matriz A dividida de algún modo en submatrices: 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn | | | | = | | | \ . A A A A A A A A A A . Al multiplicar todas las submatrices por un número k multiplicaremos, al mismo tiempo, todos los elementos de la matriz A por k. Por consiguiente 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn k k k k k k k k k k | | | | = | | | \ . A A A A A A A A A A . Sea B una matriz dividida en el mismo número de submatrices que la matriz A MATRICES JOE GARCIA ARCOS 13 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn | | | | = | | | \ . B B B B B B B B B B . supongamos, además, que las correspondientes submatrices de las matrices A y B son del mismo número de filas y de columnas respectivamente. Para sumar las matrices A y B hay que sumar sus elementos correspondientes. Pero lo mismo ocurrirá, si sumamos las submatrices correspondientes de estas matrices. Por esto 11 11 12 12 1 1 21 21 22 22 2 2 1 1 2 2 + n n n n m m m m mn mn + + + | | | + + + | = | | | + + + \ . A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B . % CALCULAR LA RESTA DE MATRICES clc;clear; fprintf('\n RESTA DE MATRICES \n') fil=input('Ingrese el numero de filas De las Matrices A y B: '); col=input('Ingrese el numero de columnas De las Matrices A y B: '); %Ingreso de elementos fprintf('Matriz A:\n') for f=1:fil for c=1:col fprintf('Ingrese el elemento A:(%d,%d)',f,c) A(f,c)=input(' :'); end end fprintf('Matriz B:\n') for f=1:fil for c=1:col fprintf('Ingrese el elemento B:(%d,%d)',f,c) B(f,c)=input(' :'); end end fprintf(' LA MATRIZ A ES:\n') A end fprintf(' LA MATRIZ B ES:\n') B end fprintf('LA MATRIZ DIFERENCIA C ES:\n') C=A-B End Como podemos ver, resulto fácil definir la igualdad, la multiplicación por un escalar, y la suma de matrices. No es tan obvio, en cambio, cómo debe definirse la multiplicación matricial. En este caso debe abandonarse, el concepto de matriz como simple arreglo de números puesto que esta idea no nos proporciona una guía para una definición propia. Ahora definiremos la operación más complicada de multiplicar dos matrices. DEFINICION 1.1.10 Dadas A = (a ij ) y B = (b ij ), matrices en las cuales el número de columnas de A es igual al número de filas de B. Se llama producto de A y B a una matriz C = (c ij ) cuyo orden es el número de filas de A y el número de columnas de B, denotada ( ) ij ik kj k c a b ¬ | | = = | \ . ¿ C , para todo i, j e ×. MATRICES JOE GARCIA ARCOS 14 De la propia definición se deduce que, en general, no es posible multiplicar dos matrices rectangulares, ya que se exige que el número de columnas de la primera matriz coincida con el número de filas de la segunda. Por lo tanto la condición necesaria y suficiente para que el producto AB esté definido, es que el número de columnas de A sea igual al número de filas de B. Para formar los elementos de la primera fila de la matriz AB se han multiplicado ordenadamente los elementos de la primera fila de A con los elementos de cada columna de B y, después se suman los correspondientes productos. Procediendo análogamente con cada una de las demás filas de A, se obtienen los elementos de cada una de las restantes filas de AB. La notación formal se expresa como C = AB y sus elementos se determinan de la siguiente manera: 11 12 1 11 12 1 21 2 2 2 21 2 2 2 1 2 1 2 = p m p m n n n p p p p m a a a b b b a a a b b b a a a b b b | || | | | | | = | | | | | | \ .\ . C AB 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 k k k k k k m k k k k k k k k k m k k k n k k n k k n k k m k k k a b a b a b a b a b a b a b a b a b ¬ ¬ ¬ ¬ ¬ ¬ ¬ ¬ ¬ | | | | | = | | | | \ . ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ . El producto de dos matrices, en términos generales, depende del orden de los factores incluso en el caso en que el conjunto al cuál pertenecen sus elementos es conmutativo. Si se consideran matrices no cuadradas, puede ocurrir incluso que el producto de dos matrices tomadas en un orden tenga sentido y tomadas en el orden contrario, no lo tenga. EJEMPLO 1.1.13 Pruébese que si A es una matriz cuadrada y B = oA + |I, donde o y | son escalares, entonces AB = BA. SOLUCION Calculamos el producto matricial AB, previamente reemplazando la identidad de B y obtenemos el resultado requerido: AB = A(oA + |I) = oA 2 + |AI = (oA + |I)A = BA. V EJEMPLO 1.1.14 Si 2 1 2 3 ÷ | | = | ÷ \ . A y 7 6 9 8 | | = | \ . B . Hallar matrices C y D de orden 2, tales que AC = B y DA = B. SOLUCION Para determinar matrices C y D, debemos tomar matrices de 2 x 2 cuyos elementos son desconocidos y los establecemos como sigue: 2 1 7 6 2 3 9 8 a b c d ÷ | || | | | = | | | ÷ \ .\ . \ . ¬ 2 2 7 6 2 3 2 3 9 8 a c b d a c b d ÷ ÷ | | | | = | | ÷ + ÷ + \ . \ . 2 1 7 6 2 3 9 8 e f g h ÷ | || | | | = | | | ÷ \ .\ . \ . ¬ 2 2 3 7 6 2 2 3 9 8 e f e f g h g h ÷ ÷ + | | | | = | | ÷ ÷ + \ . \ . De aquí, establecemos los siguientes sistemas de ecuaciones: MATRICES JOE GARCIA ARCOS 15 2 7 2 3 9 a c a c ÷ = ¹ ` ÷ + = ) c = 8 y d = 7; 2 2 7 3 6 e f e f ÷ = ¹ ` ÷ + = ) 19 4 f = y 33 4 e = 2 6 2 3 8 b d b d ÷ = ¹ ` ÷ + = ) 15 2 a = y 13 2 b = ; 2 2 9 3 8 g h g h ÷ = ¹ ` ÷ + = ) 25 4 h = y 43 4 g = Solucionados ambos sistemas y obtenemos las matrices pedidas: 15 13 2 2 8 7 | | | = | | \ . C y 33 19 4 4 43 25 4 4 | | | | = | | \ . D . V EJEMPLO 1.1.15 Determine la matriz M de modo que satisfaga la relación 3 1 5 7 = -2 2 -5 9 | | | | | | \ . \ . M . SOLUCION Para resolver este problema, debemos tomar una matriz M de 2 x 2 cuyos elementos son desconocidos y los establecemos de la siguiente manera: 3 1 5 7 2 2 5 9 a b c d | || | | | = | | | ÷ ÷ \ .\ . \ . ¬ 3 2 2 5 7 3 2 2 5 9 a b a b c d c d ÷ + | | | | = | | ÷ + ÷ \ . \ . . Dos matrices se dice son iguales si sus correspondientes elementos son iguales, por tanto 3 2 5 2 7 a b a b ÷ = ¹ ` + = ) ¬ 4a = 12 ¬ a = 3 y b = 2; 3 2 5 2 9 c d c d ÷ = ÷ ¹ ` + = ) ¬ 4c = 4 ¬ c = 1 y d = 4 Por lo tanto 3 2 = 1 4 | | | \ . M . V EJEMPLO 1.1.16 Encontrar todas las matrices de orden dos que conmutan con la matriz Cos Sen Sen Cos u ÷ u | | = | u u \ . A . SOLUCION Multiplicamos a la matriz A por la izquierda y derecha por una matriz 2 x 2 de variables: a b Cos Sen Cos Sen a b c d Sen Cos Sen Cos c d u ÷ u u ÷ u | || | | || | = | | | | u u u u \ .\ . \ .\ . Igualando los elementos de estas matrices, establecemos un sistema de ecuaciones: aCos bSen aCos cSen aSen bCos bCos dSen cCos dSen aSen cCos cSen dCos bSen dCos u + u = u ÷ u ¦ ¦ ÷ u + u = u ÷ u ¦ ´ u + u = u + u ¦ ¦ ÷ u + u = u + u ¹ ¬ ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 b c Sen a d Sen a d Sen b c Sen + u = ¦ ¦ ÷ u = ¦ ´ ÷ u = ¦ ¦ + u = ¹ Si Senu = 0, entonces: b + c = 0 ¬ b = -c y a - d = 0 ¬ a = d por lo tanto la matriz buscada es d c c d ÷ | | | \ . , para todo c, d e R. V MATRICES JOE GARCIA ARCOS 16 EJEMPLO 1.1.17 Dadas las matrices A, B, ¿en qué condiciones son válidas las siguientes ecuaciones? a.- (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 ; b.- (A + B)(A - B) = (A - B)(A + B) = A 2 - B 2 . SOLUCION a.- (A + B) 2 = (A + B)(A + B) = AA + AB + BA + BB si AB = BA = A 2 + 2AB + B 2 . b.- (A + B)(A - B) = AA - AB + BA - BB si AB = BA = A 2 - B 2 (A - B)(A + B) = AA + AB - BA - BB si AB = BA = A 2 - B 2 . V EJEMPLO 1.1.18 Dadas las matrices A, B, C, D, suponga que todas las operaciones están definidas; demuestre entonces, a partir de la definición de multiplicación de matrices, que: (A + B)(C + D) = A(C + D) + B(C + D) = AC + AD + BC + BD. Bajo qué hipótesis están definidas todas las operaciones? SOLUCION Realizamos el producto (A + B)(C + D) = AC + AD + BC + BD = (AC + AD) + (BC + BD) = A(C + D) + B(C + D) Las matrices A y B deben ser de orden m x n y las matrices C + D de orden n x p. V EJEMPLO 1.1.19 Si A, B, C son tres matrices tales que AC = CA y BC = CB, pruébese que: (AB ± BA)C = C(AB ± BA). SOLUCION Tenemos como hipótesis que tanto A y C como B y C son conmutativas para el producto, entonces: (AB ± BA)C = ABC ± BAC = ACB ± BCA = CAB ± CBA = C(AB ± BA). V EJEMPLO 1.1.20 Dadas las matrices 1 0 2 0 1 1 2 0 2 | | | = | | \ . A , 1 3 0 0 4 1 2 3 0 | | | = ÷ | | \ . B , 6 5 7 2 2 4 3 3 6 | | | = | | \ . C . Muestre que AC = BC, sin embargo, A = B. SOLUCION Primero realizamos el producto AC y luego BC: 1 0 2 6 5 7 12 11 19 0 1 1 2 2 4 5 5 10 2 0 2 3 3 6 18 16 26 | || | | | | | | = = | | | | | | \ .\ . \ . AC ; 1 3 0 6 5 7 12 11 19 0 4 1 2 2 4 5 5 10 2 3 0 3 3 6 18 16 26 | || | | | | | | = ÷ = | | | | | | \ .\ . \ . BC . De esta manera queda demostrado que AC = BC sin que A = B. V EJEMPLO 1.1.21 Muestre que A y B conmutan si y sólo si A - oI y B - oI conmutan para un cierto escalar unidad. SOLUCION Realizamos los productos correspondientes a (A - oI)(B - oI) y (B - oI)(A - oI): (A - oI)(B - oI) = (B - oI)(A - oI) MATRICES JOE GARCIA ARCOS 17 AB - oAI - oIB + o 2 II = BA - oBI - oIA + o 2 II AB - oA - oB + o 2 I 2 = BA - oB - oA + o 2 I 2 AB = BA. V EJEMPLO 1.1.22 Sea a b c d | | = | \ . A una matriz de 2 x 2 con ad – bc = 0. Encuentre una matriz B tal que AB = BA = I. SOLUCION Realizamos los productos AB = I y BA = I, luego resolvemos los sistemas de ecuaciones lineales generados por cada uno de ellos: 1 0 0 1 a b x y c d z u | || | | | = = | | | \ .\ . \ . AB ¬ 1 0 0 1 ax bz cx dz ay bu cy du + = ¦ ¦ + = ¦ ´ + = ¦ ¦ + = ¹ ¬ ; ; d c x z ad bc ad bc b a y u ad bc ad bc ÷ ¦ = = ¦ ¦ ÷ ÷ ´ ÷ ¦ = = ¦ ÷ ÷ ¹ 1 0 0 1 x y a b z u c d | || | | | = = | | | \ .\ . \ . BA ¬ 1 0 0 1 ax cy bx dy az cu bz du + = ¦ ¦ + = ¦ ´ + = ¦ ¦ + = ¹ ¬ ; ; d c x z ad bc ad bc b a y u ad bc ad bc ÷ ¦ = = ¦ ¦ ÷ ÷ ´ ÷ ¦ = = ¦ ÷ ÷ ¹ . Por lo tanto la matriz B tiene la forma siguiente: d b ad bc ad bc c a ad bc ad bc ÷ | | | ÷ ÷ | = ÷ | | ÷ ÷ \ . B . V EJEMPLO 1.1.23 Demuestre que si AB = O y B = O, no existe ninguna matriz C tal que CA = I. SOLUCION Si A = O por ser B = O, la no existencia de la matriz C para que CA = I, es obvia. Si A = O y B = O, entonces A = O, CA = CO, CA = O para que CA = I necesariamente la matriz C debe ser la inversa de A, en caso contrario no podemos obtener CA = I. V EJEMPLO 1.1.24 Sea A una matriz de n x n. Suponga que AB = B para toda matriz B de n x n. Pruebe que A = I. SOLUCION Tenemos que: AB = B ¬ AB – B = O ¬ (A – I)B = O. Por hipótesis B = O, entonces A – I = O, de donde A = I. V EJEMPLO 1.1.25 Encuentre un ejemplo para probar que existen matrices no cuadradas A y B, tales que AB = I. Específicamente, pruebe que existe una matriz A de m x n y una matriz B de n x m, tales que AB es la matriz identidad de m x m. Demuestre que BA no es la matriz identidad de n x n. Pruebe en general que, si m = n, entonces AB y BA no pueden ser ambas matrices identidad. SOLUCION Sea 1 3 1 4 2 1 ÷ | | = | \ . A y a b c d e f | | | = | | \ . B , entonces: MATRICES JOE GARCIA ARCOS 18 1 3 1 3 3 1 0 4 2 1 4 2 4 2 0 1 a b a c e b d f c d a c e b d f e f | | ÷ + ÷ + ÷ | | | | | | | = = = | | | | + + + + \ . \ . \ . | \ . AB . Igualando las matrices, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones: (1) 3 1 (2) 4 2 0 (1) (2) 5 5 1 (3) 3 0 (3) (4) 5 5 1 (4) 4 2 1 a c e a c e a c b d f b d b d f + ÷ = ¦ ¦ + + = + + = ¦ ¦ ¬ ´ ´ + ÷ = + + = ¹ ¦ ¦ + + = ¹ ¬ 5 5 1 5 5 1 a b a c c d b d e f ¦ ¹ | | + = ¦ ¦ | = ´ ` | + = ¦ ¦ | \ . ¹ ) B . Como comprobación, podemos escoger la matriz B de la siguiente manera: 3 3 5 10 1 3 1 1 0 2 1 4 2 1 0 1 5 2 8 6 5 5 | | ÷ | | ÷ | | | | | = ÷ = | | | \ . \ . | | ÷ | \ . AB . Con esto queda demostrado que existen matrices no cuadradas, tales que el producto AB es la matriz I. A continuación, vamos a demostrar que el producto BA no es la matriz I: 3 3 3 6 9 5 10 5 5 10 1 0 0 1 3 1 2 1 8 1 9 0 1 0 4 2 1 5 2 5 5 10 0 0 1 8 6 16 12 14 5 5 5 5 5 | | | | ÷ ÷ ÷ | | | | | | ÷ | | | | | = ÷ = ÷ = | | | | \ . | | | \ . | | ÷ ÷ | | \ . \ . BA . V EJEMPLO 1.1.26 Suponga que la tercera columna de B es la suma de las primeras dos columnas. ¿Qué se puede decir sobre la tercera columna de AB? ¿Por qué? SOLUCION La tercera columna de AB es la suma de las primeras dos columnas de AB. He aquí por qué. Denotemos las primeras tres columnas de B por b 1 , b 2 , b 3 . Si b 3 = b 1 + b 2 , entonces la tercera columna de AB es Ab 3 = Ab 1 + Ab 2 , por una propiedad de la multiplicación de matrices. V EJEMPLO 1.1.27 Un comerciante de radios, tiene 10 radios de tamaño I, 15 de tamaño II y 8 de tamaño III. Los radios de tamaño I se venden a $60 cada uno los de tamaño II en $47 cada uno y los de tamaño III se venden a $40 cada uno. Calcular el precio de venta de su existencia de radios. SOLUCION Construimos una matriz A en la cual constan la cantidad de radios de cada uno de los tamaños y, una matriz B de precios por tamaño. Realizamos el producto de AB para obtener el precio de venta de la existencia de radios ( ) 60 10 15 8 47 $1625 40 | | | = | | \ . . V EJEMPLO 1.1.28 Una empresa utiliza tres tipos de materias primas P 1 , P 2 y P 3 en la elaboración de tres productos Q 1 , Q 2 y Q 3 . El número de unidades de P 1 , P 2 y P 3 usados por cada unidad de Q 1 son 4, 3 y 2 respectivamente, por cada unidad de Q 2 son 5, 3 y 4, MATRICES JOE GARCIA ARCOS 19 respectivamente, y por cada unidad de Q 3 son 2, 5 y 3 respectivamente. Suponga que la empresa produce 28 unidades de Q 1 , 18 unidades de Q 2 y 39 unidades de Q 3 a la semana. a.- ¿Cuál es el consumo semanal de materia prima? b.- Si los costos por unidad para P 1 , P 2 y P 3 son 60, 52 y 18, respectivamente, ¿cuá- les son los costos de las materias primas por unidad de Q 1 , Q 2 y Q 3 ? c.- ¿Cuál es la cantidad total gastada en materias primas a la semana en la produc- ción de Q 1 , Q 2 y Q 3 ? SOLUCION a.- Para obtener el consumo semanal de la materia prima, construimos la matriz A de unidades por producto y una matriz B de cantidad de materia prima por producto y luego realizamos el producto AB ( ) ( ) 4 3 2 28 18 39 5 3 4 280 333 245 2 5 3 | | | = = | | \ . AB . b.- Los costos de materia prima por unidad de cada producto lo calculamos de la siguiente manera: a la matriz B del inciso anterior le multiplicamos la matriz C de costos por unidad para cada tipo de materia prima, es decir 4 3 2 60 432 5 3 4 52 528 2 5 3 18 434 | || | | | | | | = = | | | | | | \ .\ . \ . BC . c.- Si sumamos los tres tipos de materia prima, obtenemos la cantidad total gastada a la semana en la producción de los tres productos P 1 + P 2 + P 3 = 280 + 333 + 245 = 858. V EJEMPLO 1.1.29 Demostrar que la igualdad AB – BA = I es imposible. SOLUCION Sea 11 12 1 21 22 2 1 2 ... ... ... ... ... ... n n n n nn a a a a a a a a a | | | | = | | | \ . A , 11 12 1 21 22 2 1 2 ... ... ... ... ... ... n n n n nn b b b b b b b b b | | | | = | | | \ . B , 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 2 2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 ... ... ... ... ... ... n n n k k k k k kn k k k n n n k k k k k kn k k k n n n nk k nk k nk kn k k k a b a b a b a b a b a b a b a b a b = = = = = = = = = | | | | | | = | | | | | | \ . ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ AB , 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 2 2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 ... ... ... ... ... ... n n n k k k k k kn k k k n n n k k k k k kn k k k n n n nk k nk k nk kn k k k b a b a b a b a b a b a b a b a b a = = = = = = = = = | | | | | | = | | | | | | \ . ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ BA . Entonces la suma de los elementos diagonales de la matriz AB es igual a MATRICES JOE GARCIA ARCOS 20 1 1 n n ik ki i k a b = = ¿¿ , que es exactamente igual a la suma de los elementos diagonales para la matriz BA. Por consiguiente, la suma de los elementos diagonales de la matriz AB – BA es igual a cero, y la igualdad AB – BA = I es imposible. V TEOREMA 1.1.7 Sean A = (a ij ), B = (b ij ) y C = (c ij ), matrices compatibles para el producto, entonces (AB)C = A(BC). DEMOSTRACION Sean A, B, C matrices compatibles para el producto y D = BC, entonces para todo i, j natural 1 ( ) m ij ik kj k d b c = | | = | \ . ¿ . Sea E = AD, entonces para todo i, j natural 1 1 1 1 1 ( ) m m m m m ij ir rj ir rk kj ir rk kj r r k r k e a d a b c a b c = = = = = | | | | | | | | = = = | | | | | \ . \ . \ . \ . ¿ ¿ ¿ ¿¿ . Por otra parte, sea F = AB, entonces para todo i, j natural 1 ( ) m ij ik kj k f a b = | | = | \ . ¿ . Sea G = FC, entonces para todo i, j natural 1 1 1 1 1 ( ) m m m m m ij ir rj ik kr rj ik kr rj r r k r k g f c a b c a b c = = = = = | | | | | | | | = = = | | | | | \ . \ . \ . \ . ¿ ¿ ¿ ¿¿ . Obtenemos E = G y, por tanto (AB)C = A(BC). De este teorema se deduce que el producto de varias matrices dispuestas en un orden determinado no depende de cómo se coloquen los paréntesis. Por esto podemos hablar no sólo sobre el producto de dos matrices, sino también sobre el producto de un número mayor de matrices. TEOREMA 1.1.8 Sean A = (a ij ), B = (b ij ) y C = (c ij ), matrices compatibles para el producto y suma respectivamente, entonces A(B + C) = AB + AC. DEMOSTRACION Sea D = B + C, entonces (d ij ) = (b ij + c ij ). Si E = AD, entonces 1 ( ) m ij i k k j k e a d = | | = | \ . ¿ 1 ( ) m i k k j i k k j r a b a c = | | = + | \ . ¿ 1 1 m m i k k j i k k j r r a b a c = = | | | | = + | | \ . \ . ¿ ¿ = + AB AC. TEOREMA 1.1.9 Sean A = (a ij ), B = (b ij ) y C = (c ij ), matrices compatibles para la suma y el producto respectivamente, entonces (B + C)A = BA + CA. DEMOSTRACION Sea D = B + C, entonces (d ij ) = (b ij + c ij ). Si E = DA, entonces MATRICES JOE GARCIA ARCOS 21 1 1 1 1 ( ) ( ) + m m m m ij ik kj ik ik kj ik kj ik kj k r r r e d a b c a b a c a = = = = | | | | | | | | = = + = + = | | | | \ . \ . \ . \ . ¿ ¿ ¿ ¿ BA CA. De las propiedades 1.1.8 y 1.1.9 se desprende directamente la siguiente regla general: para multiplicar una suma de matrices por otra hay que multiplicar cada matriz de la primera suma por cada matriz de la segunda suma y sumar los productos obtenidos. Si las operaciones indicadas en uno de los miembros son posibles, las operaciones indicadas en el otro miembro también son posibles y los resultados obtenidos en ambos miembros coinciden. TEOREMA 1.1.10 Sean A = (a ij ), I = (o ij ) matrices cuadradas de igual orden. En las matrices cuadradas es posible definir un elemento neutro respecto del producto matricial, llamado matriz unidad o identidad, representado por I, que cumple AI = IA = A. DEMOSTRACION Si D = AI, entonces 1 ( ) ( ) ( ) m ij ik kj ij jj ij r d a a a = | | = o = o = | \ . ¿ Si E = IA, entonces 1 ( ) ( ) ( ) m ij ik kj ii ij ij r e a a a = | | = o = o = | \ . ¿ Por tanto, D = E = A. TEOREMA 1.1.11 Sean A = (a ij ), B = (b ij ) matrices compatibles para el producto. En general, el producto de dos matrices no es conmutativo, y, por tanto AB = BA. DEMOSTRACION Si D = AB, entonces 1 ( ) m ij ik kj r d a b = | | = | \ . ¿ Si E = BA, entonces 1 ( ) m ij ik kj r e b a = | | = | \ . ¿ Claramente observamos que D = E y, por tanto, en general el producto de matrices no es conmutativo. EJEMPLO 1.1.30 Demuestre que AB = BA dadas las matrices 2 4 3 7 6 9 1 i i i i i + + | | = | + ÷ \ . A , 8 4 5 6 2 3 2 4 5 i i i i i ÷ | | | = ÷ | | + + \ . B . SOLUCION 8 4 5 2 4 3 42 21 6 4 6 2 7 6 9 1 97 25 27 24 3 2 4 5 i i i i i i i i i i i i i i ÷ | | + + + ÷ | | | | | = ÷ = | | | + ÷ + + \ . \ . | + + \ . AB ; 8 4 5 20 35 38 1 9 8 2 4 3 6 2 12 8 42 6 6 2 7 6 9 1 3 2 4 5 32 42 83 19 7 4 i i i i i i i i i i i i i i i i i i i ÷ + ÷ + | | | | + + | | | | = ÷ = ÷ + ÷ | | | + ÷ \ . | | + + + ÷ + \ . \ . BA . MATRICES JOE GARCIA ARCOS 22 Por tanto AB = BA. V EJEMPLO 1.1.31 Dadas las matrices 4 4 4 4 Sen Cos Cos Sen t t | | | | = t t | ÷ | \ . A , 4 4 4 4 Tan Sen Sen Tan t t | | ÷ | | = t t | | \ . B . Demuestre que AB = BA. SOLUCION Realizamos el producto AB: 4 4 4 4 4 4 4 4 Sen Cos Tan Sen Cos Sen Sen Tan t t t t | || | ÷ | | | | = t t t t | | ÷ | | \ .\ . AB 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 | || | | | + ÷ ÷ | | | | | | = = | | | ÷ + ÷ | | | \ .\ . \ . . También efectuamos el producto BA: 4 4 4 4 4 4 4 4 Tan Sen Sen Cos Sen Tan Cos Sen t t t t | || | ÷ | | | | = t t t t | | ÷ | | \ .\ . BA 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 | || | | | + ÷ ÷ | | | | | | = = | | | ÷ + ÷ | | | \ .\ . \ . . Por tanto AB = BA. V % CALCULAR LA MULTIPLICACION DE MATRICES clc;clear; fprintf('\n PRODUCTO ENTRE MATRICES \n') fil1=input('Ingrese el numero de filas de la matriz A : '); col1=input('Ingrese el numero de columnas de la matriz A: '); fil2=input('Ingrese el numero de filas de la matriz B : '); col2=input('Ingrese el numero de columnas de la matriz B: '); if (col1==fil2) %Ingreso de elementos fprintf('Matriz A:\n') for f=1:fil1 for c=1:col1 fprintf('Ingrese el elemento A:(%d,%d)',f,c) A(f,c)=input(' :'); end end fprintf('Matriz B:\n') for f=1:fil2 for c=1:col2 fprintf('Ingrese el elemento B:(%d,%d)',f,c) B(f,c)=input(' :'); end end fprintf(' LA MATRIZ A ES:\n') MATRICES JOE GARCIA ARCOS 23 A fprintf(' LA MATRIZ B ES:\n') B fprintf(' LA MATRIZ PRODUCTO C ES:\n') C=A*B else fprintf('\n Las dimensiones no coinciden\n') end A continuación damos de forma general, la multiplicación de hipermatrices. Consideremos las matrices 11 12 1 21 22 2 1 2 p p m m mp | | | | = | | | \ . A A A A A A A A A A y 11 12 1 21 22 2 1 2 n n p p pn | | | | = | | | \ . B B B B B B B B B B . divididas en submatrices A ik y B kj de manera que el número de columnas de la submatriz A ik sea igual al número de filas de la submatriz B kj . En estas condiciones las expresiones C ij = A i1 B 1j + A i2 B 2j + ... + A ip B pj tienen sentido. Por tanto 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 k k k k k km k k k k k k k k km k k k nk k nk k nk km k k k ¬ ¬ ¬ ¬ ¬ ¬ ¬ ¬ ¬ | | | | | = | | | | \ . ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ A B A B A B A B A B A B AB A B A B A B es decir, las matrices divididas de manera adecuada en submatrices pueden ser multiplicadas de la forma corriente. DEFINICION 1.1.11 Si A y B son dos hipermatrices cuyas submatrices son (A ik ), (B kj ), para todo i, j, k e ×, respectivamente, la hipermatriz producto C = AB se define como ( ) ij ik kj k c ¬ | | = = | \ . ¿ C A B , para todo i, j, k e ×. EJEMPLO 1.1.32 Determine AB, dadas las matrices 4 3 5 2 1 0 4 6 3 8 1 2 3 6 2 1 2 5 6 7 1 0 3 5 1 | | | | | = | | | \ . A y 0 3 9 1 1 3 6 3 2 4 6 8 1 4 6 3 2 4 8 5 | | | | | = | | | \ . B . SOLUCION El producto AB se establece de la siguiente manera: 11 11 12 12 11 12 12 2 2 11 12 21 22 21 11 2 2 21 21 12 2 2 2 2 + + = = + + | | | | | | | \ . \ . A B A B A B A B C C AB C C A B A B A B A B 11 2 4 6 4 3 0 3 9 5 2 1 1 4 6 0 4 1 3 6 6 3 8 2 4 8 | | | || | | | | = + | | | | \ .\ . \ . | \ . C MATRICES JOE GARCIA ARCOS 24 3 21 54 14 32 50 17 53 104 4 12 24 31 68 118 35 80 142 | | | | | | = + = | | | \ . \ . \ . . 12 8 4 3 1 5 2 1 13 51 64 3 0 4 3 6 3 8 12 97 109 5 | | | || | | | | | | | | | | = + = + = | | | | | | | \ .\ . \ . \ . \ . \ . | \ . C . 21 1 2 3 6 2 2 4 6 0 3 9 1 2 5 6 7 1 4 6 1 3 6 1 0 3 5 1 2 4 8 | | | || | | | | | | = + | | | | \ . | | | \ . \ .\ . C 2 9 21 16 44 70 18 53 91 2 9 21 30 72 122 32 81 143 0 3 9 13 36 56 13 39 65 | | | | | | | | | = + = | | | | | | \ . \ . \ . . 22 1 2 3 6 2 8 7 52 59 1 1 2 5 6 7 3 7 93 100 3 1 0 3 5 1 5 1 44 45 | | | || | | | | | | | | | | | | | | | = + = + = | | | | | | | \ . | | | | | | \ . \ .\ . \ . \ . \ . C . 17 53 104 64 35 80 142 109 = 18 53 91 59 32 81 143 100 13 39 65 45 | | | | | | | | \ . AB . V EJEMPLO 1.1.33 Dada = | | | \ . O I A B O donde las submatrices O, I, B son de k x k. Determine A 2 y A 4 . SOLUCION Realizamos el producto AA y luego A 2 A 2 y obtenemos los resultados correspondientes: 2 + + = = = = + + | || | | | | | | | | | \ .\ . \ . \ . O I O I O IB OI IO B O A AA B O B O BO OB BI O O B ; 2 2 4 2 2 2 2 + + = = = = + + | | | | | || | | | | | | | \ .\ . \ . \ . B O B O B O BO OB B O A A A O B O B OB BO O B O B . V Las propiedades entre hipermatrices son las mismas que estudiamos anteriormente. PROBLEMAS 1.1.1 Multiplicar las matrices: a.- 1 2 1 2 3 1 1 2 1 0 1 2 1 1 0 0 1 2 3 1 1 1 2 1 3 1 1 | || || | | | | ÷ | | | | | | ÷ \ .\ .\ . ; b.- 1 1 1 1 1 1 a b c a c c b a b b c a | || | | | | | | | \ .\ . . 1.1.2 Pruebe que si A es una matriz de n x n y B = aA + bI, siendo a, b números reales, entonces A y B son conmutativas. 1.1.3 Hallar todas las matrices de segundo orden, cuyos cubos son iguales a la matriz nula. 1.1.4 Pruebe que las matrices A y B son conmutativas, si y solamente si C = aA + bB y D = cA + dB lo son, donde a, b, c, d son números reales. MATRICES JOE GARCIA ARCOS 25 1.1.5 Dadas las matrices 1 2 3 | | | = | | \ . A , 1 0 2 | | | = | | \ . B , 1 4 4 | | | = | | \ . C , 0 0 1 | | | = | | \ . D . a.- Encuentre escalares a y b tales que C = aA + bB; b.- Demuestre que no existen escalares a y b tales que D = aA + bB; c.- Encuentre escalares no nulos a, b, c tales que aA + bB + cC = O. 1.1.6 Hallar todas las matrices se segundo orden, cuyos cuadrados son iguales a la matriz nula. 1.1.7 Hallar todas las matrices conmutativas con la siguiente matriz: a.- 1 2 4 1 ÷ | | | \ . ; b.- 1 2 2 1 ÷ | | | ÷ \ . ; c.- 1 1 1 1 | | | ÷ \ . ; d.- 2 1 1 1 | | | ÷ \ . ; e.- 3 4 5 1 | | | \ . ; f.- 2 3 2 4 ÷ | | | \ . ; g.- 1 4 3 2 ÷ | | | \ . ; h.- 3 8 3 1 | | | \ . ; i.- 1 4 2 8 ÷ | | | \ . . 1.1.8 Hallar todas las matrices conmutativas con la siguiente matriz: a.- 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ÷ | | | ÷ | | ÷ ÷ \ . ; b.- 0 1 4 3 2 1 1 1 3 ÷ | | | | | ÷ \ . ; c.- 5 1 3 2 1 1 1 1 3 | | | ÷ | | ÷ \ . ; d.- 4 5 1 1 3 0 2 0 1 | | | ÷ | | \ . ; e.- 1 3 0 2 1 3 5 2 1 ÷ | | | | | ÷ \ . ; f.- 1 1 7 2 3 1 1 4 1 ÷ | | | | | \ . . 1.1.9 Encuentre matrices A y B de 2 x 2 tales que AB = O pero BA = O. 1.1.10 Hallar todas las matrices de tercer orden, cuyos cuadrados son iguales a la matriz nula. 1.1.11 Hallar todas las matrices de tercer orden, cuyos cuadrados son iguales a la matriz identidad. 1.1.12 Suponga que la última columna de AB es completamente cero pero B misma no tiene ninguna columna de ceros. ¿Qué se puede decir sobre las columnas de A? 1.1.13 Demuestre que si el producto AB es de n x n, entonces el producto BA está definido. 1.1.14 Demuestre que si A es una matriz de m x n, n > m, entonces existe un vector columna no nulo para el cual Av = O. 1.1.15 Encuentre una matriz B tal que ABC = D dado que 3 7 2 1 5 3 | | | = ÷ | | \ . A , 2 5 4 9 6 2 | | = | \ . C , 9 3 5 7 2 4 7 5 0 | | | = | | \ . D . 1.1.16 Demuestre que si A es una matriz de n x n tal que Av = v para cualquier vector columna, entonces A = I. 1.1.17 Hallar todas las matrices de segundo orden, cuyos cuadrados son iguales a la matriz identidad. 1.1.18 Hallar todas las matrices reales de segundo orden, cuyos cubos son iguales a la matriz identidad. 1.1.19 Hallar todas las matrices reales de segundo orden, cuyas cuartas potencias son iguales a la matriz identidad. 1.1.20 Hállese la familia de matrices de la forma 0 0 0 0 a b c d e | | | = | | \ . A tales que A 2 = I. 1.1.21 Encontrar una matriz A de 4 x 4 cuyos elementos cumplan la condición siguiente: a.- a ij = i – j; b.- a ij = mín{i, j}; c.- a ij = j 1+ j ; d.- a ij = |i - j|; e.- a ij = máx{i, j}; f.- 1 si 1 1 si 1 ij i j a i j ¦ ÷ > ¦ = ´ ÷ ÷ s ¦ ¹ . 1.1.22 Pruebe con un ejemplo que si B tiene una columna de ceros, entonces AB tiene una columna correspondiente de ceros. 1.1.23 Encuentre una matriz A tal que: a.- 3 1 2 4 0 3 1 0 0 3 | | | = ÷ | | \ . A ; b.- 2 1 2 1 3 0 2 0 5 1 ÷ | | | = | | ÷ \ . A ; c.- 3 2 0 0 1 3 2 1 1 1 | | | = ÷ | | ÷ \ . A ; d.- 2 1 2 1 1 0 2 1 2 1 | | | = | | ÷ \ . A . 1.1.24 Sean A y B matrices tales que el producto AB está definido. Demuestre que si A tiene dos columnas idénticas, entonces las dos columnas correspondientes de AB también son idénticas. MATRICES JOE GARCIA ARCOS 26 1.1.25 Represente como un producto de matrices las siguientes expresiones: a.- x 2 + 5y 2 – 4z 2 + 2xy – 4xz; b.- 4x 2 + y 2 + z 2 – 4xy + 4xz – 3yz; c.- 2x 2 + 18y 2 + 8z 2 – 12xy + 8xz – 27yz; d.- -12x 2 – 3y 2 – 12z 2 + 12xy – 24xz + 8yz; e.- 3x 2 + 2y 2 – z 2 – 2u 2 + 2xy – 4yz + 2yu; f.- 4x 2 + y 2 + 9z 2 – 12xz; g.- 2x 2 + 3y 2 + 6z 2 – 4xy – 4xz + 8yz; h.- 3x 2 + 10y 2 + 25z 2 – 12xy – 18xz + 40yz; i.- 5x 2 + 5y 2 + 2z 2 + 8xy + 6xz + 6yz; j.- 2x 2 + 9y 2 + 3z 2 + 8xy – 4xz – 10yz. 1.1.26 Encuentre una matriz A de orden 2 x 2, tal que AB = I si 3 1 1 3 i i | | = | ÷ \ . B . 1.1.27 Comprobar que las identidades algebraicas (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 y (A + B)(A – B) = A 2 – B 2 no son ciertas para las matrices de 2 x 2: 1 3 4 5 ÷ | | = | \ . A y 0 1 2 3 ÷ | | = | ÷ \ . B Modificar el segundo miembro de esas identidades para obtener fórmulas válidas para todas las matrices cuadradas A y B. ¿Para qué matrices A y B son válidas las identidades establecidas anteriormente? 1.1.28 Sean A y B matrices de n x n. Demuestre que si todos los elementos de la j-ésima columna de A son nulos entonces todos los elementos de la j-ésima columna de AB son nulos. 1.1.29 Hállese la familia de matrices de la forma 0 0 0 0 a b c d e | | | = | | \ . A tales que A 2 = O. 1.1.30 Construya una matriz aleatoria A de 4 x 4 y compruebe si (A + I)(A – I) = A 2 – I. La mejor manera de hacer esto es calcular (A + I)(A – I) – (A 2 – I) y verificar que esta diferencia sea la matriz cero. Hágalo para tres matrices al azar. Luego haga la prueba para (A + B)(A – B) = A 2 – B 2 procediendo de la misma manera con tres pares de matrices de 4 x 4 al azar. Informe los resultados. 1.1.31 Sea 0 0 0 1 | | = | \ . A . Demuestre que para toda ma- triz B de 2 x 2 (AB – ABA) 2 = (BA – ABA) 2 = O. 1.1.32 Encuentre todas las matrices de 4 x 4 que conmuten con la matriz 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 | | | | = | | \ . A . 1.1.33 La matriz PARA A PARA B PARAC DE A 1.50 1.25 1.05 DE B 0.75 0.50 0.45 DE C 0.35 0.45 0.95 representa la proporción de una población de electores que cambia del partido i al partido j en una elección dada. Es decir, p ij (i = j) representa la proporción de la población de electores que cambia del partido i al partido j y p ii representa la proporción que permanece leal al partido i de una elección a otra. Encuentre el producto de P con sí misma. ¿Qué representa este producto? 1.1.34 Pruebe con un ejemplo que si A tiene una fila de ceros, entonces AB tiene una fila correspondiente de ceros. 1.1.35 Suponga que se quiere calcular la cantidad de dinero que se tiene al cabo de n años si invertimos $ 250 a un interés compuesto anual del, 4.5, 5, 5.5 %. Si colocamos P dólares durante un año a un interés r, entonces el valor que se tiene al final del año es Capital final = P + rP = (1 + r)P. Encuentre el monto al final del tercero y cuarto años de una inversión de $ 250 al interés de 4.5, 5 y 5.5 %, respectivamente. 1.1.36 El costo en dólares de comprar un boleto aéreo de la ciudad A a cada una de las cuatro ciudades B, C, D y E, está relacionado en la matriz P = (75 62 35 55). Si la directiva de la aviación civil aprueba un incremento del 12% en las tarifas. Hallar las nuevas tarifas. 1.1.37 Suponga que una matriz de n x n satisface la ecuación A 2 – 2A + I = O. Demuestre que A 3 = 3A - 2I y que A 4 = 4A – 3I. 1.1.38 Demuestre que si ambos productos AB y BA están definidos, entonces AB y BA son matrices cuadradas. 1.1.39 Tres máquinas de gaseosas se localizan en un centro comercial. El contenido de estas máquinas se pre- senta en la siguiente matriz de inventario: A B C Maquina I 65 32 84 Maquina II 92 65 36 Maquina III 45 72 93 MATRICES JOE GARCIA ARCOS 27 Los elementos indican el número de latas de cada tipo de gaseosa que contiene cada máquina. Suponga que la matriz de ventas para el día siguiente es A B C Maquina I 53 25 70 Maquina II 80 60 30 Maquina III 35 65 85 donde los elementos indican el número de latas de cada tipo de gaseosa que vende cada máquina. Hallar la matriz de inventario al final del día. 1.1.40 Un comerciante de radios, tiene 10 radios de tamaño I, 15 de tamaño II y 8 de tamaño III. Los radios de tamaño I se venden a $60 cada uno los de tamaño II en $47 cada uno y los de tamaño III se venden a $40 cada uno. Calcular el precio de venta de su existencia de radios. 1.1.41 Un fabricante de sacos los produce en color ne- gro, azul y rojo para hombres, mujeres y niños. La capa- cidad de producción en miles en la planta A está dada por la matriz Hombres Mujeres Niños Negro 3 5 6 Azul 2 3 4 Rojo 5 1 3 La producción en la planta B está dada por Hombres Mujeres Niños Negro 2 3 3 Azul 4 2 5 Rojo 1 3 2 a.- Determine la representación matricial de la producción total de cada tipo de sacos en ambas plantas. b.- Si la producción en A se incrementa en un 15% y la de B en un 30%, encuentre la matriz que representa la nueva producción total de cada tipo de saco. 1.1.42 Sean A y B dos matrices de 3 x 3. Demuestre que la ecuación matricial AB – BA = I no tiene solución. 1.1.43 Una empresa utiliza tres tipos de materias primas P 1 , P 2 y P 3 en la elaboración de tres productos Q 1 , Q 2 y Q 3 . El número de unidades de P 1 , P 2 y P 3 usados por cada unidad de Q 1 son 4, 3 y 2 respectivamente, por cada unidad de Q 2 son 5, 3 y 4, respectivamente, y por cada unidad de Q 3 son 2, 5 y 3 respectivamente. Suponga que la empresa produce 28 unidades de Q 1 , 18 unidades de Q 2 y 39 unidades de Q 3 a la semana: a.- ¿Cuál es el consumo semanal de materia prima? b.- Si los costos por unidad para P 1 , P 2 y P 3 son 60, 52 y 18, respectivamente, ¿cuáles son los costos de las materias primas por unidad de Q 1 , Q 2 y Q 3 ? c.- ¿Cuál es la cantidad total gastada en materias primas a la semana en la producción de Q 1 , Q 2 y Q 3 ? 1.1.44 Sean las matrices 2 2 3 2 | | = | \ . A , 1 1 0 1 | | = | \ . B , 1 0 | | = | \ . C , ( ) 2 1 = ÷ D , 3 1 | | = | \ . E . Encuéntrese cada uno de los productos que se piden, y compruébese el resultado mediante la multiplicación directa: a.- | || | | | \ .\ . A O B O O B O I ; b.- | || | | | \ .\ . A B A O B A I B ; c.- | || | | | \ .\ . A C E I D O O D ; d.- | || | | | | | | | \ .\ . A O O I O B O O O O O B . 1.1.45 Utilizando el programa hecho anteriormente, realice el producto por partición entre las matrices 1 1 2 3 4 5 6 2 3 0 1 3 1 2 9 0 1 6 4 5 2 7 4 81 56 92 102 15 i i i ÷ | | | | | = ÷ | ÷ | | \ . A y 93 67 34 0 0.5 1 4 8 3 0 8 56 71 23 41 3 1 1 6 2 9 0 0 2 1 3 4 5 6 9 6 2 1 3 i i | | | ÷ | | = | ÷ | | | | \ . B . 1.1.46 Una fábrica elabora muebles de comedor y sala en dos sitios. La matriz proporciona el costo total de manufactura de cada producto en cada lugar (suponga que solamente hay costos de mano de obra y de material): SITIO1 SITIO2 COMEDOR 65 45 SALA 50 60 a.- Dado que la mano de obra corresponde a casi 2/5 del costo total, determine la matriz B que proporciona los costos de mano de obra para cada producto en cada sitio. b.- Encuentre la matriz C que da los costos de material para cada producto en cada sitio. 1.1.47 En un ecosistema, ciertas especies proveen de comida a otras. El elemento a ij de la matriz de consumo es igual al número de unidades de la especie j consumi- das diariamente por un individuo de la especie i. MATRICES JOE GARCIA ARCOS 28 Construya la matriz (a ij ) para el siguiente ecosistema simple que consiste de tres especies: a.- Cada especie consume en promedio 1 unidad de cada una de las otras especies. b.- La especie 1 consume una unidad de la especie 2; la especie 2 consume ½ unidad de cada una de las especies 1 y 3; la especie 3 consume 2 unidades de la especie 1. c.- La especie 1 consume 2 unidades de la especie 3; la especie 2 consume 1 unidad de la especie 1; la especie 3 no consume de ninguna de las otras especies. 1.1.48 Cierta empresa cuenta con cuatro fábricas, cada una de ellas produce dos productos: FABRICA1 FABRICA2 FABRICA3 FABRICA4 PRODUCTO1 125 105 95 80 PRODUCTO2 55 60 75 60 Determine los niveles de producción que habría si ésta se incrementase en un 25 %. 1.1.49 Un agricultor cosecha dos veces al año, las cuales se distribuyen a cuatro mercados: MERCADO1 MERCADO2 MERCADO3 MERCADO4 COSECHA1 125 105 95 80 COSECHA2 55 60 75 60 La ganancia en una unidad del producto i se representa en la matriz ( ) B 1.25 3.25 = . Encuentre el producto BA y explique qué representa cada elemento de este producto. 1.1.50 La siguiente tabla, que puede ser vista como una matriz, da el costo en centavos de un kilo de cada uno de los productos en tres supermercados: CARNE PESCADO POLLO PAPAS ARROZ SUPERMERCADO1 80 35 65 25 25 SUPERMERCADO2 85 40 70 30 30 SUPERMERCADO3 75 45 65 35 35 Si se compran 4 kilos de carne, 4 kilos de pescado, 3 kilos de pollo, 10 kilos de papas, 10 kilos de arroz, encuentre el costo total en cada uno de los supermercados. 1.1.51 Una compañía tiene plantas en cuatro provincias, I, II, III y IV, y cuatro bodegas en los lugares P, Q, R y S. El costo en miles de dólares de transportar cada unidad de su producto de una planta a una bodega está dado por la matriz Prov. I Prov. II Prov. III Prov. IV Bodega P 13 12 17 12 Bodega Q 19 17 13 15 Bodega R 8 9 11 13 Bodega S 19 21 9 15 a.- Si los costos de transportación se incrementan uniformemente en $500 por unidad, ¿cuál es la nueva matriz? b.- Si los costos de transportación se elevan en un 25%, escriba los nuevos costos. 1.1.52 Una empresa produce tres tamaños de radios en tres modelos diferentes. La producción en miles en su planta A está dada por la matriz Tamaño 1 Tamaño 2 Tamaño 3 Modelo 1 20 32 25 Modelo 2 15 15 29 Modelo 3 12 27 30 MATRICES JOE GARCIA ARCOS 29 La producción en miles en su planta B está dada por la matriz Tamaño 1 Tamaño 2 Tamaño 3 Modelo 1 35 42 19 Modelo 2 25 35 25 Modelo 3 12 18 21 a.- Escriba una matriz que represente la producción total de radios en ambas plantas. b.- El dueño de la empresa planea abrir una tercera planta en C, la cual tendrá una vez y cuarto la capacidad de la planta en A. Escriba la matriz que representa la producción en la planta C. c.- ¿Cuál sería la producción total de las tres plantas? 1.1.53 La siguiente tabla da el costo en centavos de un kilo de mariscos en tres diferentes supermercados: CAMARON CONCHA CALAMAR SUPERMERCADO1 0.95 1.10 0.45 SUPERMERCADO2 0.90 0.95 0.50 SUPERMERCADO3 0.93 1.00 0.55 Si un comprador compra 3 kilos de camarón, 2 kilos de concha y 4 kilos de calamar, encuentre el costo total en cada uno de los supermercados. 1.2 CLASIFICACION DE LAS MATRICES CUADRADAS En esta sección clasificamos y definimos las diversas partes de una matriz cuadrada, se introduce términología básica, enunciamos sus correspondientes propiedades. Las matrices cuadradas, desempeñan un papel muy importante en todos los aspectos del álgebra de matrices. Su estructura requiere un análisis particular, el cual se discutirá a continuación, de modo que no resulte incomprensible el estudio de las operaciones que pueden efectuarse sobre este particular tipo de matrices. DEFINICION 1.2.1 Sea A una matriz cuadrada de n x n. Dentro de este tipo de matrices, podemos distinguir tres regiones que se definen de la siguiente manera: a.- La diagonal principal, está formada por los elementos a ij para los cuales i = j. b.- El triángulo superior, está formado por los elementos a ij para los cuales i < j. c.- El triángulo inferior, está formado por los elementos a ij para los cuales i > j. Es decir, la diagonal principal de una matriz cuadrada son todos los elementos que se encuentran en la línea que va del vértice superior de la izquierda al inferior de la derecha. La diagonal secundaria la forman los elementos de una matriz que se encuentran en la línea que va del vértice superior derecho al inferior izquierdo. De la definición anterior, podemos distinguir algunas matrices cuya estructura permite una clasificación bien determinada. DEFINICION 1.2.2 Se dice que una matriz T = (t ij ) de orden n, es triangular superior (inferior) si existen elementos t ij = 0, con i > j (i < j). Este tipo de matrices se determinan, cuando los elementos situados debajo (encima) de la diagonal principal son nulos. Es decir: MATRICES JOE GARCIA ARCOS 30 11 12 1 2 2 2 0 0 0 n n n n t t t t t t | | | | = | | | \ . T , t i j = 0 si i > j; 11 21 2 2 1 2 0 0 0 n n n n t t t t t t | | | | = | | | \ . T , t ij = 0 si i < j. TEOREMA 1.2.1 La adición de dos matrices triangulares, ambas superiores o inferiores, es una matriz triangular superior o inferior. DEMOSTRACION Sean A = (a ij ), con a ij = 0, para todo i > j y B = (b ij ), con b ij = 0, para todo i > j. A + B = (a ij ) + (b ij ) = (a ij + b ij ) = (c ij ), con c ij = 0, para todo i > j. Sean A = (a ij ), con a ij = 0, para todo i < j y B = (b ij ), con b ij = 0, para todo i < j. A + B = (a ij ) + (b ij ) = (a ij + b ij ) = (c ij ), con c ij = 0, para todo i < j. TEOREMA 1.2.2 El producto de dos matrices triangulares, ambas superiores o inferiores, es una matriz triangular superior o inferior. DEMOSTRACION Sean T = (t ij ) con t ij = 0, para todo i > j y T´ = (t´ ij ) con t´ ij = 0, para todo i > j, las matrices triangulares superiores. C = TT´, poseerá el elemento general c ij = t i1 t´ 1j + t i2 t´ 2j + … + t i n t´ n j = 1 ´ n i k k j k t t = ¿ que en este caso se transforma en 1, ´ n ij ik kj k k j c t t > s = ¿ , ya que, de otra manera, algún sumando se anulará. La suma, pues, sólo estará definida para aquellos valores del índice k que cumplan i s k s j, luego, c ij = 0 si i s j y, c ij = 0 si i > j, por tanto, C es triangular superior. De forma análoga se demuestra cuando son triangulares superior. EJEMPLO 1.2.1 Sea 3 2 A 1 3 2 2 a a b c a b c a b c b a b c b c a b c c + ÷ ÷ + | | | = ÷ ÷ ÷ + ÷ | | ÷ ÷ + \ . Analice en qué condiciones es la matriz: a.- Triangular superior; b.- Triangular inferior. SOLUCION a.- Para que la matriz A sea triangular superior, debe resolverse el siguiente sistema de ecuaciones no homogéneo: 1 0 3 0 2 2 0 a b c b c a b c ÷ ÷ ÷ = ¦ ¦ ÷ = ´ ¦ ÷ + = ¹ lo cual implica que 5 3 a = ÷ , b = - 2, 2 3 c = ÷ . Por tanto la matriz buscada tiene la MATRICES JOE GARCIA ARCOS 31 forma siguiente: 5 7 6 3 0 2 3 2 0 0 3 | | ÷ ÷ ÷ | | = ÷ ÷ | | | ÷ \ . A b.- Para que la matriz A sea triangular inferior, debe resolverse el siguiente sistema de ecuaciones homogéneo: 3 0 2 0 0 a b c a b c a b c + ÷ = ¦ ¦ ÷ + = ´ ¦ + ÷ = ¹ lo cual implica que a = b = c = 0. Por tanto la matriz buscada tiene la forma siguiente: 5 0 0 3 1 2 0 2 0 0 3 | | ÷ | | = ÷ ÷ | | | ÷ \ . A . V DEFINICION 1.2.3 Se dice que una matriz T de n x n es estrictamente triangular, si es triangular superior (inferior) y además posee la diagonal principal nula. Este tipo de matrices se las puede visualizar a continuación: 12 13 1 2 3 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 n n n n t t t t t t ÷ | | | | | = | | | \ . T , t i j = 0 si i > j; 21 11 12 13 1 2 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 n n n n n n n n t t t t t t t t ÷ ÷ ÷ ÷ | | | | | = | | | | \ . T , t i j = 0 si i s j. EJEMPLO 1.2.2 Las llamadas matrices de giro de Pauli son 0 1 ( ) 1 0 x | | = | \ . S , 0 ( ) 0 i y i ÷ | | = | \ . S , 1 0 ( ) 0 1 z | | = | ÷ \ . S . Demuestre que S(x)S(y) = iS(z), S(y)S(x) = -iS(z), S 2 (x) = S 2 (y) = S 2 (z) = I. SOLUCION 0 1 0 0 1 0 ( ) ( ) ( ) 1 0 0 0 0 1 i i x y i i z i i ÷ | || | | | | | = = = = | | | | ÷ ÷ \ .\ . \ . \ . S S S ; 0 0 1 0 1 0 ( ) ( ) ( ) 0 1 0 0 0 1 i i y x i i z i i ÷ ÷ | || | | | | | = = = ÷ = ÷ | | | | ÷ \ .\ . \ . \ . S S S ; 2 0 1 0 1 1 0 ( ) I 1 0 1 0 0 1 x | || | | | = = = | | | \ .\ . \ . S ; MATRICES JOE GARCIA ARCOS 32 2 2 2 0 0 0 1 0 ( ) I 0 0 0 1 0 i i i y i i i | | ÷ ÷ ÷ | || | | | = = = = | | | | | ÷ \ .\ . \ . \ . S ; 2 1 0 1 0 1 0 ( ) I 0 1 0 1 0 1 z | || | | | = = = | | | ÷ ÷ \ .\ . \ . S . V EJEMPLO 1.2.3 Las matrices M(s), N(t) y P(u) están definidas por 0 ( ) 1 0 s s s | | | = | | \ . M , 1 0 ( ) 1 t t | | = | \ . N , 1 ( ) 0 1 u u | | = | \ . P , siendo s = 0. Demuestre que la condición necesaria y suficiente para que una matriz a b c d | | = | \ . A , pueda ponerse en la forma M(s)N(t)P(u) es a = 0 y ad – bc = 1. SOLUCION Como A = M(s)N(t)P(u), entonces 0 1 0 1 1 1 0 1 0 s a b u c d t s | | | | | || | | = | | | | | \ . \ .\ . \ . ¬ 1 s su a b t tu c d s s s | | | | | = | | + | \ . \ . 0 1 1 1 ( 1) 1 ( 1) 1 a s b b su u si a a t c t ac s b d tu d ac d cb ad bc s a a a = ¦ ¦ ¦ = ¬ = = ¦ ¦ ´ = ¬ = ¦ ¦ | | ¦ = + ¬ = + ¬ = + ¬ ÷ = | ¦ \ . ¹ Por lo tanto, a = 0 y ad – bc = 1. V DEFINICION 1.2.4 Se dice que una matriz cuadrada es diagonal si, los triángulos superior e inferior son nulos. Es decir: 11 2 2 0 0 0 0 0 0 0 n n d d d | | | | = | | | \ . D , d i j = 0 si i < j e i > j. Debido a su estructura peculiar, las matrices diagonales también pueden denotarse como Diag(a 11 , a 22 , ..., a nn ), en la cual debe existir algún elemento no nulo. TEOREMA 1.2.3 La adición de dos matrices diagonales es una matriz diagonal. DEMOSTRACION Sean A = Diag(a 11 , a 22 , ..., a nn ) y B = Diag(b 11 , b 22 , ..., b nn ), entonces A + B = Diag(a 11 , a 22 , ..., a nn ) + Diag(b 11 , b 22 , ..., b nn ) = Diag(a 11 + b 11 , a 22 + b 22 , ..., a nn + b nn ). Lo cual indica que es una matriz diagonal. MATRICES JOE GARCIA ARCOS 33 TEOREMA 1.2.4 El producto de dos matrices diagonales de igual orden es una matriz diagonal. DEMOSTRACION Sean A = Diag(a 11 , a 22 , ..., a nn ) y B = Diag(b 11 , b 22 , ..., b nn ), se tiene entonces que a ij = o ij a i = o ij a j y b ij = o ij b i = o ij b j , por tanto, la matriz producto C = AB tiene como elemento general c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + … + a i k b kj = o i1 o 1j a i b j + o i 2 o 2j a i b j + … + o ik o kj a i b j = o ij a i b j . TEOREMA 1.2.5 Una matriz diagonal conmuta con todas las matrices diagonales. DEMOSTRACION Sea A = Diag(a 11 , a 22 , ..., a nn ) y B = Diag(b 11 , b 22 , ..., b nn ), matrices diagonales conocidas, mediante el teorema anterior, tenemos que AB = Diag(a 1 b 1 , a 2 b 2 , ..., a n b n ). Del mismo modo tenemos que BA = Diag(b 1 a 1 , b 2 a 2 , ..., b n a n ). Por tanto AB = BA. DEFINICION 1.2.5 Se dice que una matriz T = (t ij ) de orden n, es tridiagonal si al menos un elemento de la diagonal principal y la paralela situada por encima y por debajo, es diferente de cero. De forma general, una matriz de este tipo se expresa como 11 1 2 21 2 2 2 3 3 2 3 3 0 0 0 0 0 0 0 0 n n t t t t t t t t | | | | | = | | | | \ . T . DEFINICION 1.2.6 Se dice que una matriz T de orden n es banda si existen enteros p y q, 1 < p, q < n, con la propiedad de que t ij = 0 siempre que i + p s j o j + q s i. El ancho de banda para una matriz de este tipo se expresa como r = p + q – 1. La definición de la matriz banda forzó a estas, a concentrar todos sus elementos no nulos alrededor de la diagonal principal, es decir 1,1 1,2 1,3 21 2 2 2 3 2 4 31 3 2 3 3 3 4 4 2 4 3 4 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 n n t t t t t t t t t t t t t t t | | | | | | = | | | | \ . T . Las matrices tridiagonales son un caso particular de las matrices banda. EJEMPLO 1.2.4 Sean a y b números tales que a = b. Encuentre todas las matrices A de 2 x 2 tales que 0 0 0 0 a a b b | | | | = | | \ . \ . A A . MATRICES JOE GARCIA ARCOS 34 SOLUCION Haciendo que x y z u | | = | \ . A , entonces: 0 0 0 0 x y a a x y z u b b z u | || | | || | = | | | | \ .\ . \ .\ . ¬ ax by ax ay az bu bz bu | | | | = | | \ . \ . ( ) 0 0, ( ) 0 0, ax ax by ay a b y y si a b az bz a b z z si a b bu bu = ¦ ¦ = ¬ ÷ = ¬ = = ¦ ´ = ¬ ÷ = ¬ = = ¦ ¦ = ¹ Por tanto 0 0 x u | | = | \ . A . V EJEMPLO 1.2.5 Sea D una matriz diagonal de 3 x 3 con los elementos de la diagonal principal distintos de cero. Encuentre una matriz diagonal E tal que DE = ED = I. SOLUCION Sean 0 0 0 0 0 0 a b c | | | = | | \ . D y 0 0 0 0 0 0 z x y | | | = | | \ . E , entonces: 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 z 0 0 1 a x b y c | || | | | | | | = | | | | | | \ .\ . \ . ¬ 1 1 , 0 1 1 , 0 1 z 1 z , 0 ax x a a by y b b c c c ¦ = ¬ = = ¦ ¦ ¦ = ¬ = = ´ ¦ ¦ = ¬ = = ¦ ¹ , por otro lado tenemos: 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 z 0 0 0 0 1 x a y b c | || | | | | | | = | | | | | | \ .\ . \ . ¬ 1 1 , 0 1 1 , 0 1 z 1 z , 0 xa x a a yb y b b c c c ¦ = ¬ = = ¦ ¦ ¦ = ¬ = = ´ ¦ ¦ = ¬ = = ¦ ¹ . Por lo tanto, la matriz buscada tiene la forma siguiente: 1 0 0 1 0 0 1 0 0 a b c | | | | | = | | | | \ . E . V EJEMPLO 1.2.6 Sean D una matriz diagonal y A una matriz arbitraria m x n: a.- Si AD está definida. ¿Cuál es la relación entre A y AD?; b.- Si DA está definida. ¿Cuál es la relación entre A y DA? SOLUCION a.- Como A es de m x n, entonces D debe ser de n x n, para que AD esté definida y sea de m x n. Por lo tanto la relación entre las matrices A y AD es que tienen igual orden, es decir son matrices rectangulares de m x n. MATRICES JOE GARCIA ARCOS 35 b.- Como A es de m x n, entonces D debe ser de m x m, para que DA esté definida y sea de m x n. Por lo tanto la relación entre las matrices A y DA es que tienen igual orden, es decir son matrices rectangulares de m x n. V Siguiendo con las hipermatrices, en el caso de matrices cuadradas resulta necesario, como regla general, dividirlas de manera que las submatrices diagonales también sean cuadradas. Es fácil ver que, divididas dos matrices cuadradas en submatrices de manera que las submatrices diagonales sean cuadradas y que los ordenes de las submatrices diagonales correspondientes coincidan, esta división satisface tanto las condiciones en las que es posible la adición submatriz por submatriz, como las condiciones que son necesarias para poder multiplicarlas como hipermatrices. Además para poder realizar la multiplicación de una hipermatriz por sí misma es necesario y suficiente que todas sus submatrices diagonales sean cuadradas. Toda hipermatriz de tipo 11 22 … … = … pp | | | | | | | \ . A O O O A O A O O A donde A 11 , A 22 , …, A pp son submatrices cuadradas y O son submatrices nulas de dimensiones adecuadas, se llama hipermatriz diagonal. Una hipermatriz cuadrada se denomina hipermatriz triangular si todas sus submatrices en la diagonal principal, es decir, A 11 , A 22 , ..., A pp son cuadradas y todas las submatrices que se encuentran por un lado de la diagonal principal son nulas. Además podemos decir que si A y B son dos hipermatrices triangulares con los mismos órdenes de las correspondientes submatrices diagonales y los ceros por un lado de la diagonal, su producto AB también será una hipermatriz triangular con los mismos órdenes de las submatrices diagonales y los ceros por el mismo lado de la diagonal. PROBLEMAS 1.2.1 Pruebe con un ejemplo que para multiplicar dos hipermatrices cuadradas es suficiente que las submatrices diagonales sean cuadradas, con la particularidad de que los órdenes de las correspondientes submatrices diagonales sean iguales entre sí. 1.2.2 Demuestre que para multiplicar dos hipermatrices cuadradas es suficiente que las submatrices diagonales sean cuadradas, con la particularidad de que los órdenes de las correspondientes submatrices sean iguales entre sí. 1.2.3 Una condición necesaria y suficiente para que la matriz B de orden n conmute con una matriz diagonal A, es que B sea una matriz diagonal. ¿Cómo tiene que ser la matriz diagonal A para que conmute con cualquier matriz B del mismo orden que A? 1.2.4 Sea D una matriz diagonal de 3 x 3 con los elementos de la diagonal principal distintos de cero. Encuentre una matriz diagonal E tal que DE = ED = I. 1.2.5 Encontrar una matriz diagonal A de 3 x 3 que cumpla lo siguiente: a.- 5 1 0 0 0 1 0 0 0 10 | | | = | | \ . A ; b.- 3 1 0 0 0 10 0 0 0 1 | | | = | | \ . A ; c.- 4 10 0 0 0 1 0 0 0 1 | | | = | | \ . A ; d.- 25 7 0 0 0 5 0 0 0 3 | | | = | | \ . A . 1.2.6 Describa el producto AB si A es una matriz diagonal de n x n y B es una matriz de n x n. Si en la matriz diagonal A se tiene que a 11 = a 22 = ... = a nn , ¿cómo cambian los resultados? 1.2.7 Pruebe con un ejemplo que para realizar la multiplicación por bloques de una hipermatriz por sí misma es necesario y suficiente que todas sus submatrices diagonales sean cuadradas. MATRICES JOE GARCIA ARCOS 36 1.2.8 Demuestre que si A y B son dos matrices hipertriangulares con los mismos órdenes de las correspondientes submatrices diagonales y los ceros por un lado de la diagonal, su producto AB también será una matriz hipertriangular con los mismos órdenes de las submatrices diagonales y los ceros por el mismo lado de la diagonal. 1.2.9 Demuestre que si A y B son matrices diagonales de n x n, entonces AB = BA. 1.3 MATRIZ TRANSPUESTA En esta sección se introduce la terminología básica y se define la matriz transpuesta, analizamos sus casos particulares si la matriz es cuadrada, enunciamos sus correspondientes propiedades. Sea A cualquier matriz. Considérese la matriz a partir de A intercambiando filas y columnas, de manera que la primera columna de A se convierta en la nueva fila de la nueva matriz, la segunda columna se convierta en la segunda fila, etc. La matriz obtenida a partir de A intercambiando filas y columnas de este modo se denomina transpuesta de la matriz A. DEFINICION 1.3.1 Sea A = (a ij ) una matriz de n x m. Mediante la transposición se obtiene una nueva matriz de m x n, representada por A T = (a ji ) cuyos elementos se obtienen intercambiando filas por columnas. La transpuesta de una matriz es una aplicación de (n x m) en (m x n), determinada mediante la regla de formación f : (n x m) ÷ (m x n) A ÷ A T (a ij ) ÷ (a ij ) T = (a ji ), para todo i, j e ×. Es decir, mediante la transposición se intercambian las filas de la matriz original por sus columnas. A continuación, damos algunas de las propiedades más importantes de la transpuesta de una matriz. TEOREMA 1.3.1 Para toda matriz A = (a ij ), se cumple que (A T ) T = A. DEMOSTRACION Sea A = (a ij ) una matriz cualquiera, entonces (A T ) T = ((a ij ) T ) T = (a ji ) T = (a ij ) = A. TEOREMA 1.3.2 Para toda matriz A = (a ij ) y para todo número k, se cumple que (kA) T = kA T . DEMOSTRACION Sea A = (a ij ) una matriz cualquiera y sea k un número, entonces (kA) T = (k(a ij )) T = (ka ij ) T = (ka ji ) = k(a ji ) = kA T . MATRICES JOE GARCIA ARCOS 37 TEOREMA 1.3.3 Para todo par de matrices A = (a ij ) y B = (b ij ), se cumple que (A + B) T = A T + B T . DEMOSTRACION Sean A= (a ij ) y B = (b ij ) matrices de igual orden, entonces: (A + B) T = (a ij + b ij ) T = (c ij ) T = (c ji ) = (a ji + b ji ) = (a ji ) + (b ji ) = A T + B T . TEOREMA 1.3.4 Para todo par de matrices A = (a ij ) y B = (b ij ), compatibles para el producto, se cumple (AB) T = B T A T . DEMOSTRACION Sean A = (a ij ) de n x k y B = (b ij ) de k x m. Entonces AB es de n x m y (AB) T es de m x n. B T es de m x k y A T es de k x n, así que B T A T también es de m x n. Para probar que (AB) T = B T A T , debemos ver que el elemento (i, j) de (AB) T es igual al elemento (i, j) de B T A T . Escribimos A T = (a´ ij ) y B T = (b´ ij ). Notemos que a´ ij = a ji y b´ ij = b ji . El elemento (i, j) de B T A T es 1 1 1 ´ ´ k k k it tj ti jt jt ti t t t b a b a a b = = = = = ¿ ¿ ¿ y la última suma es exactamente el elemento (j, i) de AB. Pero éste es el elemento (i, j) de (AB) T . Así pues, los elementos (i, j) de B T A T y de (AB) T son lo mismo; por lo tanto, B T A T = (AB) T . EJEMPLO 1.3.1 Si A conmuta con B, demuestre que A T conmuta con B T . SOLUCION Siendo AB = BA, debemos probar que A T B T = B T A T . Es decir: A T B T = (BA) T = (AB) T = B T A T . V EJEMPLO 1.3.2 Suponga que A es n x n y X es n x 1. Demuestre que X T AX es de 1 x 1. Si X = BY, demuestre que X T AX = Y T (B T AB)Y. SOLUCION Conocemos que A es de n x n y X es de n x 1. Entonces X T AX es (1 x n)(n x n)(n x 1) = 1 x 1. Como X = BY entonces X T AX = (BY) T A(BY) = (Y T B T )A(BY) = Y T (B T AB)Y. V % TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ clc;clear; fprintf('\n TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ \n') fil=input('Ingrese el numero de filas: '); col=input('Ingrese el numero de columnas: '); %Ingreso de elementos for f=1:fil for c=1:col fprintf('Ingrese el elemento (%d,%d)',f,c) A(f,c)=input(' :'); end end fprintf(' LA MATRIZ A ES:\n') A end MATRICES JOE GARCIA ARCOS 38 fprintf(' LA MATRIZ A ES:\n') B=A.' end DEFINICION 1.3.2 Una matriz cuadrada A se denomina simétrica, si se cumple que esta matriz es igual a su transpuesta, es decir: A = A T . Es claro que una matriz simétrica debe ser cuadrada; es simétrica con respecto a la diagonal principal, es decir que, una reflexión en la diagonal principal deja a la matriz sin cambio. Una matriz simétrica de n x n no tiene sus n 2 elementos arbitrarios puesto que a ij = a ji , ambos uno encima y otro debajo de la diagonal principal. El número de elementos de arriba de la diagonal principal es 2 2 n n ÷ . Los elementos de la diagonal son también arbitrarios. Entonces, el número total de elementos arbitrarios en una matriz simétrica de n x n es 2 ( 1) 2 2 n n n n n ÷ + + = . EJEMPLO 1.3.3 Dadas dos matrices simétricas A, B de orden n. ¿Cuándo es el producto AB simétrico? SOLUCION Si A = A T y B = B T , entonces AB = (AB) T = B T A T = BA. Por lo tanto el producto AB es simétrico, cuando es conmutativo, es decir AB = BA. V TEOREMA 1.3.5 Para toda matriz cuadrada A, siempre es posible encontrar una matriz simétrica S mediante A + A T . DEMOSTRACION Como A es una matriz cuadrada y S = A + A T , entonces debemos probar que S T = S. Es decir S T = (A + A T ) T = A T + (A T ) T = A T + A = A + A T = S. EJEMPLO 1.3.4 Si A y B son matrices reales arbitrarias de n x n y A es simétrica, entonces B T AB es simétrica. SOLUCION Debemos probar que (B T AB) T = B T AB, conociendo que A = A T : (B T AB) T = B T A T (B T ) T = B T A T B = B T AB. V EJEMPLO 1.3.5 Dadas las matrices n x n simétricas A y B, entonces A + B es simétrica. SOLUCION Si A = A T y B = B T , entonces debemos probar que (A + B) T = A + B: (A + B) T = A T + B T = A + B. V EJEMPLO 1.3.6 Si A y B son matrices reales arbitrarias de n x n, entonces AB T + BA T es simétrica. SOLUCION Debemos probar que (AB T + BA T ) T = AB T + BA T . Es decir: MATRICES JOE GARCIA ARCOS 39 (AB T + BA T ) T = (AB T ) T + (BA T ) T = (B T ) T A T + (A T ) T B T = BA T + AB T = AB T + BA T . V EJEMPLO 1.3.7 Para cualquier matriz A muestre que los productos AA T y A T A están definidos y son matrices simétricas. SOLUCION Si A es n x m, entonces A T es m x n. Por lo tanto AA T es n x n, A T A es m x m y los productos están definidos. Además debemos probar que AA T = (AA T ) T y A T A = (A T A) T : (AA T ) T = (A T ) T A T = AA T y (A T A) T = A T (A T ) T = A T A. V EJEMPLO 1.3.8 Dada la matriz 2 a a b a c a b b a b b c b c c + ÷ | | | = ÷ + | | ÷ + \ . A . Encuentre una matriz S simétrica. SOLUCION Sabemos que S es simétrica si se cumple que S = A + A T . Es decir: T = + 2 2 a a b a c a a b b c a b b a b a b b b c b c b c c a c a b c + ÷ ÷ ÷ | | | | | | = ÷ + + + + | | | | ÷ + ÷ + \ . \ . S A A 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a a a b c a b a b c a b c a b c c + ÷ | | | = + + | | + ÷ + + \ . . V % CALCULO DE UNA MATRIZ SIMETRICA clc;clear; fprintf('\n MATRIZ SIMETRICA MEDIANTE: A+At\n') filcol=input('Ingrese el numero de filas y columnas: '); %Ingreso de elementos for f=1:filcol for c=1:filcol fprintf('Ingrese el elemento (%d,%d)',f,c) A(f,c)=input(' :'); end end fprintf(' LA MATRIZ A ES:\n') A end fprintf(' LA MATRIZ TRANSPUESTA B ES:\n') B=A.' end fprintf(' LA MATRIZ SIMETRICA S ES:\n') S=A+A.' end % CALCULO DE UNA MATRIZ SIMETRICA clc;clear; fprintf('\n MATRIZ SIMETRICA MEDIANTE: S=A*At y Q=At*A \n') fil=input('Ingrese el numero de filas: '); col=input('Ingrese el numero de columnas: '); MATRICES JOE GARCIA ARCOS 40 %Ingreso de elementos for f=1:fil for c=1:col fprintf('Ingrese el elemento (%d,%d)',f,c) A(f,c)=input(' :'); end end fprintf(' LA MATRIZ A ES:\n') A end fprintf(' LA MATRIZ TRANSPUESTA B ES:\n') B=A.' end fprintf(' LA MATRIZ SIMETRICA S ES:\n') S=A*A.' end fprintf(' LA MATRIZ SIMETRICA Q ES:\n') Q=A.'*A end DEFINICION 1.3.3 Una matriz cuadrada A se llama antisimétrica, si se cumple que esta matriz es igual al opuesto de la transpuesta, es decir: A = -A T . Una matriz antisimétrica es también una matriz cuadrada, y a ij = - a ji . Luego, los elementos de la diagonal principal son cero, a ii = 0, y el número de elementos arbitrarios en una matriz antisimétrica de n x n es ( 1) 2 n n ÷ . Los elementos simétricos respecto de la diagonal principal coinciden en una matriz simétrica y son opuestos en una matriz antisimétrica. EJEMPLO 1.3.9 Sean A y B dos matrices antisimétricas de orden n. Demuestre que AB es antisimétrica si y sólo si BA = -AB. ¿Cuándo es simétrico el producto de dos matrices antisimétricas? SOLUCION Como A y B son dos matrices antisimétricas, entonces: A = -A T ; B = -B T y BA = - AB. Debemos probar que (AB) T = - (AB). (AB) T = B T A T = (- B)(- A) = BA = - (AB). Además, dado A = - A T ; B = - B T y AB = - (AB) T . Debemos probar que AB = - BA. AB = - (AB) T = - (B T A T ) = - (- B)(- A) = - (BA). Dado A = - A T y B = - B T , debemos encontrar una condición para que (AB) T = AB. (AB) T = B T A T = (- B)(- A) = BA. Por lo tanto, para que el producto de dos matrices antisimétricas sea simétrico es necesario que BA = AB. V TEOREMA 1.3.6 Para toda matriz cuadrada A, siempre es posible encontrar una matriz antisimétrica R mediante A - A T . DEMOSTRACION Como A es una matriz cuadrada y R = A - A T , entonces debemos probar que R T = R. Es decir R T = (A - A T ) T = A T - (A T ) T = A T – A = - (A - A T ) = R. MATRICES JOE GARCIA ARCOS 41 TEOREMA 1.3.7 Una matriz cuadrada A puede expresarse como la adición de una matriz simétrica S y una matriz antisimétrica B. DEMOSTRACION Sea S = ½ (A + A T ) y B = ½ (A - A T ), sumando las matrices S y B, obtenemos: A = S + B = ½ (A + A T ) + ½ (A - A T ) = ½ A + ½ A T + ½ A - ½ A T = A. EJEMPLO 1.3.10 Dada la matriz = 2 a a b a c a b b a b b c b c c + ÷ | | | ÷ + | | ÷ + \ . A . Encuentre una matriz R antisimétrica. SOLUCION Sabemos que R es antisimétrica si se cumple que R = A - A T . Es decir: T - 2 2 a a b a c a a b b c a b b a b a b b b c b c b c c a c a b c + ÷ ÷ ÷ | | | | | | = = ÷ + ÷ + + | | | | ÷ + ÷ + \ . \ . R A A 0 2 2 0 2 2 0 b a b b a c a b a c ÷ | | | = ÷ ÷ | | ÷ + ÷ + \ . . V EJEMPLO 1.3.11 Dada una matriz simétrica A y una matriz antisimétrica B, ambas del mismo orden, demuestre que si A y B conmutan, AB es antisimétrica. SOLUCION Si A = A T ; B = - B T y AB = BA, entonces debemos probar que (AB) T = AB. (AB) T = B T A T = (- B)(A) = - (BA) = - (AB). V EJEMPLO 1.3.12 Si A y B son matrices antisimétricas, pruebe que A(AB + BA) – (AB + BA)A es simétrica. SOLUCION Sabemos que A T = -A, B T = -B y S = A(AB + BA) – (AB + BA)A = A 2 B – BA 2 . Por lo tanto, tenemos que mostrar que S T = S; es decir S T = (A 2 B – BA 2 ) T = (A 2 B) T – (BA 2 ) T = B T (A T ) 2 – (A T ) 2 B T = (-B)(-A) 2 – (-A) 2 (-B) = -BA 2 + A 2 B = A 2 B – BA 2 = S. De esta manera queda demostrado que A(AB + BA) – (AB + BA)A es simétrica. EJEMPLO 1.3.13 Sea A una matriz antisimétrica. Demostrar que A 2n es una matriz simétrica y A 2n+1 es una matriz antisimétrica. SOLUCION Por demostrar que A 2n = (A 2n ) T , conociendo que A T = -A. n = 1: A 2 = (A 2 ) T MATRICES JOE GARCIA ARCOS 42 (A 2 ) T = (AA) T = ((-A T )(-A T )) T = (A T A T ) T = ((A 2 ) T ) T = A 2 . n = k: A 2k = (A 2k ) T . Hipótesis inductiva. n = k + 1: A 2k+2 = (A 2k+2 ) T (A 2k+2 ) T = (A 2k A 2 ) T = (A 2 ) T (A 2k ) T = A 2 A 2k = A 2k+2 . Por demostrar que A 2n+1 = -(A 2n+1 ) T , conociendo que A T = -A. n = 1: A 3 = -(A 3 ) T - (A 3 ) T = - (AAA) T = - ((-A T )(-A T )(-A T )) T = ((A 3 ) T ) T = A 3 . n = k: A 2k+1 = -(A 2k+1 ) T . Hipótesis inductiva. n = k + 1: A 2k+3 = -(A 2k+3 ) T - (A 2k+3 ) T = - (A 2k+1 A 2 ) T = - (A 2 ) T (A 2k+1 ) T = - (AA) T (-A 2k+1 ) = - ((-A T )(-A T ) T (-A 2k+1 ) = - ((A 2 ) T ) T (-A 2k+1 ) = (-A 2 )(-A 2k+1 ) = A 2k+3 . V % CALCULO DE UNA MATRIZ ANTISIMETRICA clc;clear; fprintf('\n MATRIZ ANTISIMETRICA MEDIANTE: A-At \n') filcol=input('Ingrese el numero de filas y columnas: '); %Ingreso de elementos for f=1:filcol for c=1:filcol fprintf('Ingrese el elemento (%d,%d)',f,c) A(f,c)=input(' :'); end end fprintf(' LA MATRIZ A ES:\n') A end fprintf(' LA MATRIZ TRANSPUESTA B ES:\n') B=A.' end fprintf(' LA MATRIZ ANTISIMETRICA R ES:\n') R=A-A.' end PROBLEMAS 1.3.1 De ser posible, encuentre matrices de 2 x 2 tales que A T A = AA T . 1.3.2 Si A es una matriz de n x n y X es la matriz de 1 x n, compruebe que T 2 1 n ii i ij i j i i j a x a x x = = = + ¿ ¿ XAX . 1.3.3 Si AA T = I y BB T = I, demuestre que (AB)(AB) T = I. 1.3.4 Demuestre que una matriz simétrica de n x n tiene, en general, ( 1) 2 n n + elementos distintos y una antisimétrica ( 1) 2 n n ÷ elementos distintos. 1.3.5 Sea A una matriz de n x n. Determine si A es simétrica con la siguiente condición: a.- a ij = i 2 + j 2 ; b.- a ij = i 2 – j 2 ; c.- a ij = 2i – 2j; d.- a ij = 2i 2 + 2j 3 . 1.3.6 Comprobar si existe alguna matriz A de 3 x 2 tal que A T A = I. 1.3.7 Demuestre que si A T A = A, entonces A es simé- trica y A = A 2 . 1.3.8 Dada la matriz 2 1 3 1 4 6 2 1 3 1 6 3 i i i i | | ÷ + ÷ | = + ÷ + | | ÷ + t+ ÷t \ . A . a.- Exprésese la matriz A como suma de una matriz simétrica y otra antisimétrica. b.- Hallar dos matrices simétricas diferentes a la del apartado a). 1.3.9 Encuentre todas las matrices reales A de 3 x 3 para las cuales A T A = O. 1.3.10 Demuestre que si una matriz A de n x n satisface la ecuación A 3 + 4A 2 – 2A + 7I, entonces A T también la satisface. MATRICES JOE GARCIA ARCOS 43 1.3.11 De ser posible, encuentre todos los valores de a, b y c para los cuales A es simétrica: 3 3 5 4 2 1 4 1 1 5 a b c a b c a b c ÷ + + ÷ | | | = + ÷ | | ÷ \ . A . 1.3.12 Dadas las matrices siguientes: 1 2 3 1 3 0 1 2 2 2 i i i i i ÷ | | | = ÷ | | ÷ + \ . A , 4 3 2 1 3 i i i ÷ | | = | ÷ ÷ \ . B , 2 4 6 3 i i ÷ | | | = | | ÷ \ . C , 1 2 3 6 8 4 1 3 i i i i | | | = ÷ | | + ÷ \ . D . Determine las siguientes operaciones: a.- (3D T – B T C T ) T ; b.- B(A – D) T C; c.- A(B T B – CC T ). 1.3.13 Encuentre matrices antisimétricas A y B de 3 x 3, que satisfagan la condición AB = -BA. 1.3.14 Dadas las matrices 2 4 6 + 2 3 9 7 1 7 | | | = | | \ . A B , T 0 0 0 + 0 0 0 0 0 0 | | | = | | \ . A A , T 0 0 0 - 0 0 0 0 0 0 | | | = | | \ . B B . Hállense A y B. 1.3.15 Si A es una matriz simétrica, demuestre que 2A 2 – 3ª + I es simétrica. 1.4 MATRIZ TRANSPUESTA - CONJUGADA En esta sección se introduce la terminología básica y se definen las matrices conjugadas y transpuesta - conjugada, analizamos sus casos particulares si la matriz es cuadrada, enunciamos sus correspondientes propiedades. DEFINICION 1.4.1 Mediante la conjugación, una matriz cualquiera A se transforma en una nueva matriz, representada por A, cuyos elementos se construyen mediante la regla : f ÷ A A ( ) ( ) ( ) ij ij ij a a a ÷ = ¬ i, j e ×. Mediante la conjugación se cambian los signos de la parte imaginaria de A. Es decir: Re = Re A A y Im = -Im A A . Como casos particulares pueden encontrarse matrices tales que = A A , entonces Im = 0 A , y la matriz A en este caso recibe el nombre de matriz real. Por el contrario, si Re = 0 A , entonces = A A y, a la matriz A se le da el nombre de matriz imaginaria pura. En este último caso la matriz A es expresable como el producto de la unidad imaginaria, considerada como un escalar, por una matriz real. Toda matriz puede ser expresada en la forma A = B + iC, en la cual B y C son matrices reales, e i es la unidad imaginaria. La conjugada de la matriz 2 1 5 1 4 4 3 i i ÷ | | = | + \ . A es 2 1 5 1 4 4 3 i i + | | = | ÷ \ . A . TEOREMA 1.4.1 Para toda matriz A = (a ij ), se cumple que = A A . DEMOSTRACION Si A es una matriz, entonces MATRICES JOE GARCIA ARCOS 44 = ( ) ( ) ( ) ij ij ji a a a = = = A A. TEOREMA 1.4.2 Para toda matriz A = (a ij ) y para todo número k, se cumple que ( ) k k = A A . DEMOSTRACION Dada A una matriz y k un número complejo, entonces ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ij ij ij ij k k a ka ka k a k = = = = = A A. TEOREMA 1.4.3 Para todo par de matrices A = (a ij ) y B = (b ij ) de n x m, se cumple que + = + A B A B . DEMOSTRACION Dadas A y B dos matrices compatibles para la suma, entonces + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + ij ij ij ij ij ij ij ij a +b c c a b a b = = = + = + = A B A B. TEOREMA 1.4.4 Para todo par de matrices A = (a ik ) y B = (b kj ) compatibles para el producto, se cumple = AB AB. DEMOSTRACION Dadas A y B dos matrices compatibles para el producto, entonces k = ( ) ( ) ik kj ij ij ik kj k a b c c a b ¬ ¬ | | | | = = = = | | \ . \ . ¿ ¿ AB AB. % CONJUGADA DE UNA MATRIZ clc;clear; fprintf('\n CONJUGADA DE UNA MATRIZ \n') fil=input('Ingrese el numero de filas: '); col=input('Ingrese el numero de columnas: '); %Ingreso de elementos for f=1:fil for c=1:col fprintf('Ingrese el elemento (%d,%d)',f,c) A(f,c)=input(' :'); end end fprintf(' LA MATRIZ A ES:\n') A end fprintf(' LA MATRIZ CONJUGADA B ES:\n') B=conj(A) end DEFINICION 1.4.2 La aplicación sucesiva y de orden indistinto de la conjugación y la transposición sobre una matriz A se representa por A + . La nueva matriz recibe el nombre de matriz conjugada - transpuesta de A y se nota de la siguiente manera: + T T = ( ) = A A A . La transpuesta - conjugada de la matriz 2 1 5 1 4 4 3 i i ÷ | | = | + \ . A es 2 1 1 4 5 4 3 i i + | | | = + | | ÷ \ . A . MATRICES JOE GARCIA ARCOS 45 TEOREMA 1.4.5 Para toda matriz arbitraria A, se cumple que (A + ) + = A. DEMOSTRACION Dada una matriz A arbitraria, entonces + + T T T T ( ) = (( )) (( ) ) = ( ) = = A A A A A. TEOREMA 1.4.6 Para toda matriz arbitraria A y para todo número k, se cumple que ( ) k k + + = A A . DEMOSTRACION Dada la matriz A arbitraria y k un número complejo, entonces + T T T + ( ) = ( ) = ( ) = ( ) = k k k k k A A A A A . TEOREMA 1.4.7 Para todo par de matrices A y B de n x m, se cumple que (A + B) + = A + + B + . DEMOSTRACION Dadas A y B dos matrices compatibles para la suma, entonces + T T T T T + + ( + ) = ( + ) = ( + ) = ( ) +( ) = + A B A B A B A B A B . TEOREMA 1.4.8 Para todo par de matrices A y B compatibles para el producto, se cumple (AB) + = B + A + . DEMOSTRACION Dadas A y B dos matrices compatibles para la suma, entonces + T T T T T + + ( ) = ( ) = ( ) = ( )( ) = AB AB B A B A B A . EJEMPLO 1.4.1 Demostrar que si las matrices A y B son conmutables, lo son también las matrices A + y B + . SOLUCION Si AB = BA, entonces debemos demostrar que A + B + = B + A + . Es decir: A + B + = (BA) + = (AB) + = B + A + . Con lo cual se verifica que A + y B + son conmutables. V EJEMPLO 1.4.2 Demuestre que si A es una matriz compleja y A + A = O, entonces A = O. SOLUCION Si A = O, entonces: A + A = A + O ¬ A + A = O. V % MATRIZ TRANSPUESTA-CONJUGADA clc;clear; fprintf('\n MATRIZ TRANSPUESTA-CONJUGADA \n') fil=input('Ingrese el numero de filas: '); col=input('Ingrese el numero de columnas: '); %Ingreso de elementos for f=1:fil for c=1:col fprintf('Ingrese el elemento (%d,%d)',f,c) A(f,c)=input(' :'); end end fprintf(' LA MATRIZ A ES:\n') A end MATRICES JOE GARCIA ARCOS 46 fprintf(' LA MATRIZ CONJUGADA B ES:\n') B=conj(A) end fprintf(' LA MATRIZ TRANSPUESTA-CONJUGADA C ES:\n') C=B.' end DEFINICION 1.4.3 Matrices hermíticas, son las matrices para las cuales la transpuesta conjugada es igual a la matriz original. Es decir: A + = A. A nivel de sus elementos se tiene: ( ) ( ) ij ji a a = , ¬ i, j e ×, luego, ( ) ( ) ii ii a a = , ¬ i e × y, por tanto, Im 0 ii a = , ¬ i e ×. EJEMPLO 1.4.3 Si A es una matriz de m x n con elementos complejos, entonces: a.- AA + es hermítica; b.- A + A es hermítica. SOLUCION a.- Tenemos que probar que (AA + ) + = AA + . Es decir (AA + ) + = (A + ) + A + = AA + . b.- Tenemos que probar que (A + A) + = A + A. Es decir (A + A) + = A + (A + ) + = A + A. V EJEMPLO 1.4.4 Dada A arbitraria, demuéstrese: a.- (AA + - A + A) es hermítico; b.- (AA + + A + A) es hermítico. SOLUCION a.- Por demostrar que (AA + - A + A) = (AA + - A + A) + . Es decir: (AA + - A + A) + = (AA + ) + - (A + A) + = (A + ) + A + - A + (A + ) + = AA + - A + A. b.- Por demostrar que (AA + + A + A) = (AA + + A + A) + . Es decir: (AA + + A + A) + = (AA + ) + + (A + A) + = (A + ) + A + + A + (A + ) + = AA + + A + A. V EJEMPLO 1.4.5 Toda matriz real y simétrica es hermítica. SOLUCION Sea A esta matriz, entonces, A T = A y = A A , luego: + T T = ( ) = = A A A A. V EJEMPLO 1.4.6 La condición necesaria y suficiente para que el producto de dos matrices hermíticas A y B sea hermítico es que AB = BA. SOLUCION Se sabe que A + = A y B + = B, entonces: i.- Supóngase que AB = BA, pero, AB = BA = B + A + = (AB) + y por lo tanto el producto es hermítico. ii.- Supóngase que AB = (AB) + , entonces: AB = (AB) + = B + A + = BA y por tanto, AB = BA. V MATRICES JOE GARCIA ARCOS 47 EJEMPLO 1.4.7 Sea A = B + iC la descomposición hermítica de una matriz A. Hallar la descomposi- ción hermítica de la matriz A + . SOLUCION Para que B + iC sea la descomposición hermítica de la matriz A, entonces, B es real y simétrica, y C es real y antisimétrica. Por tanto, para la descomposición hermítica de A + , las matrices B y C deben cumplir las mismas condiciones y (A + ) + = A. V EJEMPLO 1.4.8 Si A es una matriz arbitraria de n x n con elementos complejos, entonces: a.- A + A + es hermítica; b.- A - A + es antihermítica. SOLUCION a.- Tenemos que probar que (A + A + ) + = A + A + . (A + A + ) + = A + + (A + ) + = A + + A = A + A + . b.- Tenemos que probar que (A - A + ) + = - (A - A + ). (A - A + ) + = A + - (A + ) + = A + - A = - (A - A + ). V EJEMPLO 1.4.9 Demuestre que si A es hermítica y A = O, entonces A 2 = O. SOLUCION Si A = O, entonces: A + A = A + O ¬ A + A = O ¬ AA = O ¬ A 2 = O. V EJEMPLO 1.4.10 Pruébese que toda matriz hermítica A puede escribirse como A = B + iC, siendo B real y simétrica y C real y antisimétrica. SOLUCION Debemos probar que A + = A: A + = (B + iC) + = B + + (iC) + = B + + i C + = B T - iC T = B – i(-C) = B + iC = A. V % CALCULO DE UNA MATRIZ HERMITICA clc;clear; fprintf('\n MATRIZ HERMITICA MEDIANTE: H=A+A+\n') filcol=input('Ingrese el numero de filas y columnas: '); %Ingreso de elementos for f=1:filcol for c=1:filcol fprintf('Ingrese el elemento (%d,%d)',f,c) A(f,c)=input(' :'); end end fprintf(' LA MATRIZ A ES:\n') A end fprintf(' LA MATRIZ TRANSPUESTA B ES:\n') B=A' end fprintf(' LA MATRIZ HERMITICA H ES:\n') H=A+A' end % CALCULO DE UNA MATRIZ HERMITICA clc;clear; fprintf('\n MATRIZ HERMITICA MEDIANTE: H=A*A+ y P=A+*A \n') fil=input('Ingrese el numero de filas: '); col=input('Ingrese el numero de columnas: '); %Ingreso de elementos for f=1:fil for c=1:col MATRICES JOE GARCIA ARCOS 48 fprintf('Ingrese el elemento (%d,%d)',f,c) A(f,c)=input(' :'); end end fprintf(' LA MATRIZ A ES:\n') A end fprintf(' LA MATRIZ TRANSPUESTA B ES:\n') B=A' end fprintf(' LA MATRIZ HERMITICA H ES:\n') H=A*A' end fprintf(' LA MATRIZ HERMITICA P ES:\n') P=A'*A end DEFINICION 1.4.4 Matrices antihermíticas, son aquellas para las cuales la transpuesta conjugada es igual al opuesto de la matriz original. Es decir: A + = - A. Sus elementos cumplirán, por tanto, ( ) ( ) ij ji a a = ÷ , ¬ i, j e ×, entonces, ( ) ( ) ii ii a a = ÷ , ¬ i e ×, y se cumple Re 0 ii a = , ¬ i e ×. EJEMPLO 1.4.11 La condición necesaria y suficiente para que el producto de dos matrices antihermíticas A y B sea hermítico es AB = BA. SOLUCION Se sabe que A + = -A y B + = -B, entonces: i.- Sea AB = BA, entonces: AB = BA = (-B)(-A) = B + A + = (AB) + y por tanto el producto es hermítico. ii.- Sea AB = (AB) + , entonces: AB = (AB) + = B + A + = (-B)(-A) = BA, y por tanto, AB = BA. V EJEMPLO 1.4.12 Toda matriz compleja se puede escribir como suma de una matriz real y una matriz imaginaria; es decir, si C es compleja, entonces C = A + iB donde A y B son matri- ces reales. Demuestre que C es hermítica si y sólo si A es simétrica y B es antisimé- trica. Pruebe que C es antihermítica si y sólo si A es antisimétrica y B es simétrica. SOLUCION a) ¬ Como C = A + iB con A y B matrices reales, A es simétrica y B es antisimé- trica, debemos demostrar que C + = C. Es decir: C + = (A + iB) + = A + – iB + = A – i(-B) = A + iB = C. : Como C = A + iB con A y B matrices reales y C + = C, debemos demostrar que A es simétrica y B es antisimétrica. Es decir: C + = (A + iB) + = A + – iB + = A T – iB T para que C + = C, A debe ser simétrica A T = A y B debe ser antisimétrica B T = -B. b) ¬ Como C = A + iB con A y B matrices reales, A es antisimétrica y B es simé- trica, debemos demostrar que C + = -C. Es decir: MATRICES JOE GARCIA ARCOS 49 C + = (A + iB) + = A + – iB + = (-A) – iB = -(A + iB) = -C. : Como C = A + iB con A y B matrices reales y C + = -C, debemos demostrar que A es antisimétrica y B es simétrica. Es decir: C + = (A + iB) + = A + – iB + = A T – iB T para que C + = C, A debe ser antisimétrica A T = -A y B debe ser simétrica B T = B. V EJEMPLO 1.4.13 Sean A y B matrices antihermíticas. ¿En qué condiciones es C = mA + nB una matriz antihermítica? SOLUCION Debemos probar que C + = -C, bajo ciertas condiciones: + + + + = ( + ) = ( ) +( ) m n m n C A B A B + + + + + = -( + ) = - , si , = + = -( + ) - , si , m n m n m n m n m n m n ¦ e ¦ ´ = e ¦ ¹ A B A B C A B A B C Es decir C + = -C si m y n son números reales. V EJEMPLO 1.4.14 Exprese la matriz A como suma de una matriz hermítica y una antihermítica. 2 1 2 = 1 2 2 2 3 1 2 2 i i i i i i i + + | | | ÷ ÷ | | + + \ . A . SOLUCION Una matriz hermítica es S = ½ (A + A + ), es decir: 2 1 2 2 1 3 4 1 2 4 2 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 4 3 3 2 2 3 1 2 2 1 2 2 2 2 2 4 2 3 3 4 i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i ( + + ÷ + + + | | | | | | ( | | | = ÷ ÷ + ÷ ÷ = ÷ ÷ ( | | | | | | ( + + ÷ + ÷ ÷ + \ . \ . \ . ¸ ¸ S . Una matriz antihermítica es R = ½ (A + - A), es decir: 2 1 3 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2 1 0 1 2 2 1 2 2 2 2 2 3 1 2 2 2 2 1 4 i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i ( ÷ + + + ÷ ÷ | | | | | | ( | | | = ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ = ÷ ÷ + ( | | | | | | ( ÷ + ÷ + + ÷ ÷ + ÷ \ . \ . \ . ¸ ¸ R . Comprobación: A = S - R. 4 1 2 4 2 2 1 2 2 2 1 2 1 1 2 4 3 3 1 0 1 1 2 2 2 2 4 2 3 3 4 2 2 1 4 3 1 2 2 i i i i i i i i i i i i i i i i i i i ( + + ÷ ÷ + + | | | | | | ( | | | = ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ + = ÷ ÷ ( | | | | | | ( ÷ + ÷ ÷ + ÷ + + \ . \ . \ . ¸ ¸ A . % CALCULO DE UNA MATRIZ ANTIHERMITICA clc;clear; fprintf('\n MATRIZ ANTIHERMITICA MEDIANTE: A-A+ \n') filcol=input('Ingrese el numero de filas y columnas: '); %Ingreso de elementos for f=1:filcol for c=1:filcol fprintf('Ingrese el elemento (%d,%d)',f,c) A(f,c)=input(' :'); end end fprintf(' LA MATRIZ A ES:\n') A end fprintf(' LA MATRIZ TRANSPUESTA-CONJUGADA B ES:\n') B=A' end MATRICES JOE GARCIA ARCOS 50 fprintf(' LA MATRIZ ANTIHERMITICA H ES:\n') H=A-A' end DEFINICION 1.4.5 Una matriz A de n x n para la cual el producto con su transpuesta conjugada es conmutativo, se denomina normal. Es decir: A + A = AA + . EJEMPLO 1.4.15 Sean D, F y G matrices diagonales de n x n en las que los elementos de las diagona- les principales sean respectivamente números reales, imaginarios puros y complejos de módulo 1. Si U es una matriz unitaria n x n, demuéstrese que las matrices U + DU, U + FU y U + GU son respectivamente hermítica, antihermítica y unitaria. SOLUCION a.- Como D es una matriz diagonal real y UU + = U + U = I, entonces debemos probar que U + DU es una matriz hermítica. Es decir: (U + DU) + = U + D + (U + ) + = U + D + U = U + DU; b.- Como F es una matriz diagonal imaginaria y UU + = U + U = I, entonces debemos probar que U + FU es una matriz antihermítica. Es decir: (U + FU) + = U + F + (U + ) + = U + F + U = U + (-F)U = -(U + FU); c.- Como G es una matriz diagonal compleja de módulo 1 y UU + = U + U = I, enton- ces debemos probar que U + GU es una matriz unitaria. Es decir: (U + GU) + (U + GU) = U + G + (U + ) + U + GU = U + G + UU + GU = U + G + IGU = U + G + GU = U + IU = U + U = I. (U + GU)(U + GU) + = U + GUU + G + (U + ) + = U + GUU + G + U = U + GIG + U = U + GG + U = U + IU = U + U = I. V EJEMPLO 1.4.16 Demuestre que una matriz real antisimétrica es normal. SOLUCION Para que una matriz sea real y antisimétrica, debe cumplir que = A A y A T = -A. Debemos probar que esta matriz es normal, es decir + T T 2 T T + = ( ) = = (- ) = - = (- ) = = ( ) = AA A A AA A A A A A A A A A A A . Por tanto se cumple que AA + = A + A y la matriz A es normal. V EJEMPLO 1.4.17 Demuestre que una matriz antihermítica es normal. SOLUCION Como A + = -A, hay que demostrar que A + A = AA + . Es decir: A + A = (-A)A = A(-A) = AA + . Con lo cual queda probado que una matriz antihermítica es normal. V EJEMPLO 1.4.18 Sean A y B matrices normales y AB = O. ¿Resulta de esto que BA = O? SOLUCION Como A + A - AA + = O, B + B - BB + = O y AB = O, entonces: (A + A - AA + )(B + B - BB + ) = O A + AB + B – A + ABB + – AA + B + B + AA + BB + = O A + ABB + – A + ABB + – A + ABB + + A + ABB + = O A + OB + – A + OB + – A + OB + + A + OB + = O ¬ O = O. Por lo tanto, no es condición que BA = O. V EJEMPLO 1.4.19 Demuestre que si C = A + iB donde A y B son matrices reales y simétricas, entonces C es normal si y sólo si A y B conmutan. MATRICES JOE GARCIA ARCOS 51 SOLUCION ¬ Como C = A + iB con A y B son matrices reales y simétricas y CC + = C + C, entonces debemos probar que AB = BA. Es decir: (A + iB)(A + iB) + = (A + iB) + (A + iB) (A + iB)(A + – iB + ) = (A + – iB + )(A + iB) (A + iB)(A – iB) = (A – iB)(A + iB) A 2 – iAB + iBA + B 2 = A 2 + iAB – iBA + B 2 -iAB + iBA = iAB – iBA ¬ 2iBA = 2iAB ¬ AB = BA. : Como C = A + iB con A y B son matrices reales y simétricas y AB = BA, en- tonces debemos probar que CC + = C + C. Es decir: CC + = (A + iB)(A + iB) + = (A + iB)(A + – iB + ) = (A + iB)(A – iB) = A 2 – iAB + iBA + B 2 = A 2 – iBA + iAB + B 2 = (A – iB)A + (A – iB)Ib = (A – iB)(A + iB) = (A + – iB + )(A + iB) = (A + iB) + (A + iB) = C + C. V EJEMPLO 1.4.20 Demostrar que una matriz A es una matriz normal si, y sólo si, las matrices B y C de su descomposición hermítica A = B + iC son conmutables. SOLUCION Debemos probar que A + A = AA + . Es decir: A + A = (B + iC) + (B + iC) = (B + - iC + )(B + iC) = B + B + iB + C – iC + B + C + C = BB + - iBC + + iCB + + CC + = (B + iC)(B + - iC + ) = (B + iC)(B + iC) + = AA + . V EJEMPLO 1.4.21 Sea A = B + iC una matriz normal compleja de n x n. Demostrar que la matriz D real de 2n x 2n = | | | \ . B -C D C B es también normal. SOLUCION Si A es una matriz normal, entonces las matrices B y C de la descomposición hermí- tica A = B + iC son conmutables. Por lo tanto: + + + + = = = + + | | | | | | | | | | | | | | | | | \ . \ . \ . \ . \ . B -C B -C B C B -C BB CC -BC CB D D C B C B C B -C B -CB BC CC BB + + + - = = = = - + | | | | | | | || | | | | | | | | \ . \ .\ . \ . \ . BB CC BC CB B -C B C B -C B -C DD C B C B C B CB BC CC BB -C B . Con esto queda demostrado que D es una matriz normal. V EJEMPLO 1.4.22 Sea A una matriz normal y supóngase que conmuta con una cierta matriz B. De- muestre que: a.- A + conmuta con B; b.- A conmuta con B + . MATRICES JOE GARCIA ARCOS 52 SOLUCION Si una matriz normal conmuta con una matriz B, entonces: a.- (AA + )B = B(A + A) ¬ A(A + B) = (BA + )A ¬ A + B = BA + b.- (AA + B) + = (BA + A) + ¬ B + (AA + ) + = (A + A) + B + ¬ B + AA + = A + AB + (B + A)A + = A + (AB + ) ¬ B + A = AB + . V % COMPROBACION DE UNA MATRIZ NORMAL clc;clear; fprintf('\n COMPROBACION DE UNA MATRIZ NORMAL \n') filcol=input('Ingrese el numero de filas y columnas: '); %Ingreso de elementos for f=1:filcol for c=1:filcol fprintf('Ingrese el elemento (%d,%d)',f,c) A(f,c)=input(' :'); end end fprintf(' LA MATRIZ A ES:\n') A end fprintf(' LA MATRIZ A ES:\n') B=A' end fprintf(' LA MATRIZ A ES:\n') C=A'*A end fprintf(' LA MATRIZ A ES:\n') D=A*A' end if (C==D) fprintf('\n LA MATRIZ ES NORMAL') else fprintf('\n LA MATRIZ NO ES NORMAL') end PROBLEMAS 1.4.1 Demuestre mediante un ejemplo que, si A y B son matrices hermíticas, no necesariamente se cumple que AB sea hermítica. ¿Qué se cumple si A y B son hermíticas y AB = BA? 1.4.2 Pruebe con un ejemplo, que existe una matriz com- pleja simétrica que no es normal. 1.4.3 Sea A una matriz antihermítica y A n = I para algún n > 0, demuestre que A 4 = I. 1.4.4 Demuestre: Los elementos de la diagonal principal de una matriz hermítica son reales y que los elementos de la diagonal principal de una matriz antihermítica son imaginarios puros. ¿Qué son los elementos de la diagonal principal de una matriz antisimétrica? 1.4.5 Demuestre mediante un ejemplo que, si A y B son matrices hermíticas, no necesariamente se cumple que AB sea hermítica. ¿Qué se cumple si A y B son hermíticas y AB = BA? 1.4.6 Sean A y B matrices normales conmutables, A = C + iD, B = E + iF, sus descomposiciones hermíticas. De- muestre que todas las matrices C, D, E y F son conmuta- bles. 1.4.7 Dar ejemplos que muestren que en el caso general la suma A + B y el producto AB de matrices normales A y B ya no serán matrices normales. 1.4.8 Pruebe con un ejemplo, que hay una matriz com- pleja antisimétrica que no es normal. 1.4.9 Dada la matriz 2 1 3 1 4 6 2 1 3 1 6 3 i i i i | | ÷ + ÷ | = + ÷ + | | ÷ + t+ ÷t \ . A . a.- Exprésese la matriz A como suma de una matriz her- mítica y otra antihermítica. b.- Hallar 3 matrices hermíticas diferentes a la del apar- tado a). MATRICES JOE GARCIA ARCOS 53 1.5 TRAZA DE UNA MATRIZ En esta sección se introduce la terminología básica y se define la traza de una matriz, enunciamos sus correspondientes propiedades. DEFINICION 1.5.1 Sea una matriz cuadrada A = (a ij ). Se define la traza de una matriz A, a la suma de los elementos que componen la diagonal principal, representada por 11 22 1 Tr( ) ... n nn ii i a a a a = = + + + = ¿ A . TEOREMA 1.5.1 Para todo par de matrices cuadradas A = (a ij ) y B = (b ij ) de igual orden, entonces Tr(A + B) = Tr(A) + Tr(B). DEMOSTRACION Dadas A y B matrices cuadradas compatibles para la suma y A + B = C, entonces 1 1 1 1 Tr( + ) = Tr( ) ( ) ( ) Tr( ) +Tr( ) n n n n ii ii ii ii ii i i i i c a b a b = = = = = = + = + = ¿ ¿ ¿ ¿ A B C A B . TEOREMA 1.5.2 Para toda matriz cuadrada A = (a ij ) y para todo número k, entonces Tr(kA) = kTr(A). DEMOSTRACION Dada A una matriz cuadrada y k un número, entonces 1 1 Tr( ) Tr( ) n n ii ii i i k ka k a k = = = = = ¿ ¿ A A . TEOREMA 1.5.3 Para toda matriz cuadrada A = (a ij ), entonces Tr(A T ) = Tr(A). DEMOSTRACION Sea A una matriz cuadrada, al transponer esta matriz, podemos observar que la matriz A T conserva el mismo orden de A y, además los elementos de la diagonal principal no varían. Es decir T 1 1 Tr( ) Tr( ) n n ii jj i i a a = = = = = ¿ ¿ A A . TEOREMA 1.5.4 Para todo par de matrices cuadradas y compatibles para el producto A = (a ik ) y B = (b kj ), entonces Tr(AB) = Tr(BA). DEMOSTRACION Sean AB = C, BA = D, de modo tal que 1 n ij ik kj k c a b = = ¿ y 1 n ij iq qj q d b a = = ¿ Ahora bien 1 1 1 Tr( ) = Tr( ) = n n n ii ik ki i k k c a b = = = | | = | \ . ¿ ¿ ¿ AB C 1 1 1 Tr( ) = Tr( ) = n n n pp pq qp p p q d b a = = = | | = | | \ . ¿ ¿ ¿ BA D MATRICES JOE GARCIA ARCOS 54 Trabajando con la última serie se intercambia el orden de las sumas y se emplea la conmutatividad en 9 para obtener 1 1 Tr( ) = n n qp pq q p a b = = | | | | \ . ¿ ¿ BA Pero los índices son solamente índices mudos a los que se les puede dar cualquier nombre y eso no altera el valor de la suma. Sea entonces q = i, p = k y se halla 1 Tr( ) = = Tr( ) n ik ki i a b = ¿ BA AB . EJEMPLO 1.5.1 Si Tr(A) = 0, pruebe que existen matrices B y C tales que A = BC – CB. SOLUCION Como A = BC – CB, entonces: Tr(A) = Tr(BC – CB) = Tr(BC) – Tr(CB) = Tr(BC) – Tr(BC) = 0. Con esto se demuestra que existen matrices B y C. V EJEMPLO 1.5.2 Si Tr(ABC) = Tr(CBA) para toda matriz C, pruebe que AB = BA. SOLUCION Si AB = BA, entonces ABC = BAC. Haciendo que BA = D, obtenemos: Tr(ABC) = Tr(BAC) = Tr(DC) = Tr(CD) = Tr(CBA). Con esto probamos que las matrices A y B son conmutativas. V EJEMPLO 1.5.3 Sean A y B matrices hermíticas complejas de un mismo orden. Demuestre que la traza de la matriz AB es un número real. SOLUCION Dadas las matrices A y B hermíticas complejas de igual orden, entonces + + + T Tr( ) = Tr( ) = Tr( ) = Tr( ) = Tr( ) AB A B BA BA BA lo cual indica que Tr(AB) es un número real. V EJEMPLO 1.5.4 Dada la matriz 1 3 5 2 | | = | \ . A , determine una matriz B tal que Tr(AB) = Tr(A)Tr(B). SOLUCION La matriz B debe tener la misma forma que la matriz A. Es decir = a b c d | | | \ . B y 3 3 = 5 2 5 2 a c b d a c b d + + | | | + + \ . AB . Por lo tanto Tr(AB) = a + 3c + 5b + 2d, Tr(A) = 3, Tr(B) = a + d. Por tanto a + 5b + 3c + 2d = 3a + 3d ¬ 2a - 5b – 3c + d = 0 La familia de matrices que cumple esta condición esta dada por = / 2 5 3 0 a b a b c d c d ¦ ¹ | | ¦ ¦ ÷ ÷ + = ´ ` | ¦ ¦ \ . ¹ ) S . V % CALCULO DE LA TRAZA DE UNA MATRIZ clc;clear; fprintf('\n TRAZA DE UNA MATRIZ \n') filcol=input('Ingrese el numero de filas y columnas: '); %Ingreso de elementos for f=1:filcol MATRICES JOE GARCIA ARCOS 55 for c=1:filcol fprintf('Ingrese el elemento (%d,%d)',f,c) A(f,c)=input(' :'); end end fprintf(' LA MATRIZ A ES:\n') A end fprintf(' LA MATRIZ A ES:\n') TrA=trace(A) end PROBLEMAS 1.5.1 Sean A y B matrices cuadradas de n x n y sean a y b escalares. Demuestre que Tr(aA + bB) = aTr(A) + bTr(B). 1.5.2 Sea A una matriz compleja de n x n. Demuestre que Tr(A + A) > 0, y que la igualdad se verifica si y sólo si A es la matriz nula. 1.5.3 Sea A la matriz de n x n cuyos elementos son a ij = i + j, i, j = 1, 2, …, n. Calcule la traza de A y demuestre que su valor coincide con la suma de los elementos de su diagonal secundaria. 1.5.6 Demuestre que si A es una matriz de n x n y si Tr(AB) = 0 para todas las matrices B de n x n, entonces A es la matriz nula. 1.5.4 Sea A = SBS -1 , donde 1 1 0 = 1 2 1 0 1 3 | | | | | \ . B y 1 1 0 = 1 1 1 1 0 1 | | | | | \ . S Encuentre A y verifique que Tr(A) = Tr(B). 1.5.5 Demuestre que si A y B son dos matrices complejas, entonces 2 + + + Tr( ) Tr( )Tr( ) s B A A A BB . 1.6 POTENCIA DE UNA MATRIZ En esta sección se introduce la terminología básica y se define la n-ésima potencia de una matriz, analizamos sus casos particulares, enunciamos sus correspondientes propiedades. DEFINICION 1.6.1 Sea A una matriz cuadrada y n e ×. Se define la n-ésima potencia de A como el producto, repetido n veces, de A por sí misma, y se simboliza por A n , Es decir n veces ... = n · · · A A A A . TEOREMA 1.6.1 Si dos matrices conmutan sus potencias naturales también conmutan. DEMOSTRACION Sean A, B compatibles para el producto y AB = BA. Si se multiplica AB = BA por la izquierda por B n-1 , obtenemos que B n-1 = B n A, o, lo que es lo mismo, B n A = B n-1 BA = B n-1 AB = B n-2 BAB = B n-2 AB 2 = ... = AB n , por lo tanto, AB n - B n A = O. Si multiplicamos la ecuación anterior por la izquierda por A m-1 , obtendremos que A m-1 B n A = A m B n , o, lo que es lo mismo, A m B n = A m-1 B n A = A m-2 B n A 2 = ... = B n A m , por lo tanto, A m B n - B n A m = O. Esto quiere decir que si las matrices A y B son conmutables, cualesquiera potencias naturales de las mismas también son conmutables. MATRICES JOE GARCIA ARCOS 56 EJEMPLO 1.6.1 Dada la matriz 0 0 = 0 0 0 0 a b c | | | | | \ . A , siendo a, b, c e K. Determine A k para todo k e ×. Calcúlese también p(A) para el polinomio p(x) = 1 + x 5 + x 7 . SOLUCION n = 1: 0 0 0 0 0 0 a b c | | | | | \ . ; n = 2: 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a a a b b b c c ac | | | || | | | | | = | | | | | | \ .\ . \ . ; n = 3: 2 3 2 3 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a a a b b b ac c a c | | | | | | | | | | | = | | | | | | \ . \ . \ . ; 1 0 0 0 0 0 0 k k k k a b a c ÷ | | | | = | | \ . A . 5 7 ( ) + + p = A I A A 5 7 5 7 4 6 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 a a b b a c a c | | | | | | | | | | | = + + | | | | | | \ . \ . \ . 5 7 5 7 4 2 1 0 0 0 1 0 (1 ) 0 0 a a b b a c a | | + + | | = + + | | + \ . . V EJEMPLO 1.6.2 Sean a, b, c, d números arbitrarios; se considera la matriz a b c d | | = | \ . A . Calcular A 2 y probar que existen números p y q, que se calculan en función de a, b, c y d, tales que A 2 – pA – qI = O. Indicar en qué casos los coeficientes p y q no son únicos. SOLUCION Para encontrar A 2 , debemos multiplicar AA: 2 2 a b a b a bc ab bd c d c d ac cd bc d | | + + | || | = | | | | + + \ .\ . \ . 2 1 0 0 1 a b a b a b p q p q c d c d c d | || | | | | | ÷ ÷ = ÷ ÷ | | | | \ .\ . \ . \ . A A I 2 2 0 0 a bc ab bd pa pb q pc pd q ac cd bc d | | + + | | | | = ÷ ÷ | | | | + + \ . \ . \ . MATRICES JOE GARCIA ARCOS 57 2 2 0 0 0 0 a bc pa q ab bd pb ac cd pc bc d pd q | | + ÷ ÷ + ÷ | | = = | | | + ÷ + ÷ ÷ \ . \ . 2 2 (1) 0 (2) 0 (3) 0 (4) 0 a bc pa q ab bd pb ac cd pc bc d pd q ¦ + ÷ ÷ = ¦ + ÷ = ¦ ´ + ÷ = ¦ ¦ + ÷ ÷ = ¹ ¬ 2 2 (1) (4) ( ) 0 (2) (3) ( )( ) ( ) 0 a d p a d b c a d p b c ¦ ÷ ÷ ÷ ÷ = ¦ ´ ÷ ÷ + ÷ ÷ = ¦ ¹ p a d b c a d = + ¦ ¦ = ´ ¦ = ¹ . Reemplazamos el valor encontrado de p en la primera o cuarta ecuación, y obtenemos que q = bc – ad. Además p y q no son únicos cuando b = c y a = d. V EJEMPLO 1.6.3 Demostrar que las matrices dadas satisfacen las ecuaciones que se indican: a.- 1 3 = 2 2 | | | ÷ \ . A ; A 2 – 3A + 8I = O; b.- = a b c d | | | \ . A ; A 2 – (a + d)A + (ad – bc)I = O. SOLUCION a.- 1 3 1 3 1 3 1 0 3 8 2 2 2 2 2 2 0 1 | || | | | | | ÷ + | | | | ÷ ÷ ÷ \ .\ . \ . \ . 5 9 3 9 8 0 0 0 6 2 6 6 0 8 0 0 ÷ | | | | | | | | ÷ + = | | | | ÷ ÷ ÷ \ . \ . \ . \ . ; b.- 1 0 ( ) ( ) 0 1 a b a b a b a d ad bc c d c d c d | || | | | | | ÷ + + ÷ | | | | \ .\ . \ . \ . 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 a bc ab bd a ad ab bd ad bc ad bc ac cd cb d ac cd ad d | | | | + + + + ÷ | | | | ÷ + = | | | | | | ÷ + + + + \ . \ . \ . \ . . V EJEMPLO 1.6.4 Sea la matriz 0 1 0 0 | | = | \ . B . Se considera la familia de matrices de la forma C = aI + bB, donde a, b son escalares reales. Calcúlese C n , ¬ n e Z + . SOLUCION 1 0 0 1 0 1 0 0 0 a b a b a | | | | | | = + = | | | \ . \ . \ . C n = 1: 0 a b a | | = | \ . C ; n = 2: 2 2 2 2 0 0 0 a b a b a ab a a a | | | || | = = | | | | \ .\ . \ . C ; n = 3: 2 3 2 3 2 3 2 3 0 0 0 a ab a b a a b a a a | | | | | | = = | | | | | \ . \ . \ . C ; MATRICES JOE GARCIA ARCOS 58 n = 4: 3 2 4 3 4 3 4 3 4 0 0 0 a a b a b a a b a a a | | | | | | = = | | | | | \ . \ . \ . C ; Por tanto 1 0 n n n n a na b a ÷ | | = | | \ . C . V EJEMPLO 1.6.5 Sea la matriz A, hallar A n para todo n e Z + : a.- 1 0 1 = 0 0 0 1 0 1 | | | | | \ . A ; b.- 1 1 1 1 1 1 1 1 1 | | | = | | \ . A ; c.- 0 0 0 0 0 0 a b c | | | = | | \ . A . SOLUCION a.- Como 1 0 1 0 0 0 1 0 1 | | | = | | \ . A , entonces: n = 2: 2 1 0 1 1 0 1 2 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 0 1 1 0 1 2 0 2 | || | | | | | | = = = | | | | | | \ .\ . \ . A A; n = 3: 3 2 2 0 2 1 0 1 4 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 2 2 0 2 1 0 1 4 0 4 | || | | | | | | = = = = | | | | | | \ .\ . \ . A A A; n = 4: 4 3 4 0 4 1 0 1 8 0 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 2 4 0 4 1 0 1 8 0 8 | || | | | | | | = = = = | | | | | | \ .\ . \ . A A A. Por lo tanto: A n = 2 n -1 A. b.- Como 1 1 1 1 1 1 1 1 1 | | | = | | \ . A , entonces: n = 2: 2 1 1 1 1 1 1 3 3 3 1 1 1 1 1 1 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 3 3 3 | || | | | | | | = = = | | | | | | \ .\ . \ . A A ; n = 3: 3 2 3 3 3 1 1 1 9 9 9 3 3 3 1 1 1 9 9 9 9 3 3 3 3 1 1 1 9 9 9 | || | | | | | | = = = = | | | | | | \ .\ . \ . A A A ; n = 4: 4 3 9 9 9 1 1 1 27 27 27 9 9 9 1 1 1 27 27 27 27 3 9 9 9 1 1 1 27 27 27 | || | | | | | | = = = = | | | | | | \ .\ . \ . A A A . Por lo tanto: A n = 3 n-1 A. c.- n = 1: 0 0 0 0 0 0 a b c | | | | | \ . ; n = 2: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a b a b ac c c | || | | | | | | = | | | | | | \ .\ . \ . ; MATRICES JOE GARCIA ARCOS 59 n = 3: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ac a b c | || | | | | | | = | | | | | | \ .\ . \ . . Por lo tanto: A n = O, n > 2. V EJEMPLO 1.6.6 Si A es una matriz de 2 x 2 que satisface A 2 – A + I = O, determine A 3n en términos de A para n e Z + . SOLUCION Como A 2 – A + I = O, entonces, A 2 = A – I. Multiplicando ambos miembros de esta ecuación por A sucesivamente, obtenemos: A 3 = A 2 – A ¬ A 4 = A 3 – A 2 ¬ A 5 = A 4 – A 3 ¬ A 6 = A 5 – A 4 Por lo tanto A 3n = A 3n-1 – A 3n-2 . V EJEMPLO 1.6.7 Sean las matrices A, B, compatibles para el producto, entonces se cumple, para cualquier potencia de B -1 - -1 =0 - = ( - ) m m m k m k k ¿ AB B A B AB BA B . SOLUCION Demostraremos la identidad utilizando el proceso de inducción matemática P(m): -1 - -1 =0 - = ( - ) m m m k m k k ¿ AB B A B AB BA B . P(1): 0 1 1 k -k k=0 - = ( - ) ¿ AB B A B AB BA B AB – BA = B 0 (AB – BA)B 0 = I(AB – BA)I = AB – BA. P(n): -1 - -1 =0 - = ( - ) n n n k n k k ¿ AB B A B AB BA B . P(n+1): +1 +1 - =0 - = ( - ) n n n k n k k ¿ AB B A B AB BA B -1 - 0 =0 = ( - ) + ( - ) n k n k n k ¿ B AB BA B B AB BA B -1 - -1 =0 = ( - ) + ( - ) n k n k n k | | | \ . ¿ B AB BA B B B AB BA I = ( - ) + ( - ) n n n AB B A B B AB BA +1 +1 = - + - n n n n AB B AB B AB B A +1 +1 = - n n AB B A Por lo tanto P(m) es verdadera. V EJEMPLO 1.6.8 Sean A y B matrices de n x n tales que AB = BA = O. Demuestre que (A + B) k = A k + B k , para k e ×. SOLUCION Ya que A y B son conmutativas, podemos utilizar el teorema del binomio. Es decir: =0 ( + ) = k k k-i i i k i | | | \ . ¿ A B A B 0 -1 1 -2 2 0 = + + + …+ 0 1 2 k k k k k k k k k | | | | | | | | | | | | \ . \ . \ . \ . A B A B A B A B MATRICES JOE GARCIA ARCOS 60 0 0 = + = + 0 k k k k k k k | | | | | | \ . \ . A B A B A B . V EJEMPLO 1.6.9 Dada la matriz, calcular A n siendo n e Z + : a.- 2 1 3 2 ÷ | | | ÷ \ . ; b.- 1 1 1 0 | | | \ . . SOLUCION a.- n = 1: 2 1 3 2 ÷ | | | ÷ \ . ; n = 2: 2 1 2 1 1 0 3 2 3 2 0 1 ÷ ÷ | || | | | = | | | ÷ ÷ \ .\ . \ . ; n = 3: 1 0 2 1 2 1 0 1 3 2 3 2 ÷ ÷ | || | | | = | | | ÷ ÷ \ .\ . \ . ; n = 4: 2 1 2 1 1 0 3 2 3 2 0 1 ÷ ÷ | || | | | = | | | ÷ ÷ \ .\ . \ . . Cuando n es impar A n = A; cuando n es par A n = I. b.- n = 1: 1 1 1 0 | | | \ . ; n = 2: 1 1 1 1 2 1 1 0 1 0 1 1 | || | | | = | | | \ .\ . \ . ; n = 3: 2 1 1 1 3 2 1 1 1 0 2 1 | || | | | = | | | \ .\ . \ . ; n = 4: 3 2 1 1 5 3 2 1 1 0 3 2 | || | | | = | | | \ .\ . \ . ; n = 5: 5 3 1 1 8 5 3 2 1 0 5 3 | || | | | = | | | \ .\ . \ . . a 11 : 1 2 3 5 8 a 12 : 1 1 2 3 5 a 21 : 1 1 2 3 5 a 22 : 0 1 1 2 3 Por lo tanto 1 1 2 n n n n n a a a a ÷ ÷ ÷ | | = | \ . A . V % CALCULA LA POTENCIA DE UNA MATRIZ clc;clear; fprintf('\n POTENCIA DE UNA MATRIZ \n') filcol=input('Ingrese el numero de filas y columnas de la Matriz: '); pt=input('Ingrese la potencia a la que va elevar la matriz: '); %Ingreso de elementos for f=1:filcol for c=1:filcol fprintf('Ingrese el elemento (%d,%d)',f,c) A(f,c)=input(' :'); end end fprintf(' LA MATRIZ A ES:\n') A end fprintf(' LA POTENCIA DE LA MATRIZ A ES:\n') PotA=A^pt end DEFINICION 1.6.2 Respecto a las potencias naturales de una matriz definiremos las siguientes matrices: a.- Se conviene en que A 0 = I. b.- Una matriz periódica de periodo n cumple A n = A. Un caso particular lo forman las matrices idempotentes para las cuales A 2 = A. c.- Una matriz es nilpotente de índice n si A n = O. d.- Una matriz es involutoria si A 2 = I. MATRICES JOE GARCIA ARCOS 61 EJEMPLO 1.6.10 Encuentre una familia de matrices de 2 x 2 para que cumplan lo siguiente: a.- sean idempotentes; b.- sean nilpotentes de índice 2; c.- sean involutorias. SOLUCION a.- Para que una matriz A sea idempotente, debe cumplirse que A 2 = A. Es decir: a b a b a b c d c d c d | || | | | = | | | \ .\ . \ . ¬ 2 2 a bc ab bd a b c d ca dc d bc | | + + | | = | | | + + \ . \ . . Debemos resolver el sistema 2 2 (1) (2) (3) (4) a bc a ab bd b ca dc c d bc d ¦ + = ¦ + = ¦ ´ + = ¦ ¦ + = ¹ Restando la segunda ecuación de la primera, obtenemos 2 2 a a d d ab bd b ca dc c ¦ ÷ = ÷ ¦ + = ´ ¦ + = ¹ ¬ ( )(1 ) 0 a d a d ab bd b ca dc c ÷ ÷ ÷ = ¦ ¦ + = ´ ¦ + = ¹ ¬ 0 1 0 a d a d ab bd b ca dc c ÷ = ¦ ¦ ÷ ÷ = ¦ ´ + = ¦ ¦ + = ¹ De donde concluimos que 1 2 1 , 0 4 a d b c c ¦ = = ¦ ¦ ´ ¦ = = ¦ ¹ . Por tanto, una posible solución es la matriz 1 1 2 4 1 2 c c | | | | = | | \ . A . b.- Para que una matriz A sea nilpotente de índice 2, debe cumplirse que A 2 = O. Es decir: 0 0 0 0 a b a b c d c d | || | | | = | | | \ .\ . \ . ¬ 2 2 0 0 0 0 a bc ab bd ca dc d bc | | + + | | = | | | + + \ . \ . . Debemos resolver el sistema 2 2 (1) 0 (2) 0 (3) 0 (4) 0 a bc ab bd ca dc d bc ¦ + = ¦ + = ¦ ´ + = ¦ ¦ + = ¹ Restando la segunda ecuación de la primera, obtenemos 2 2 0 0 0 a d ab bd ca dc ¦ ÷ = ¦ + = ´ ¦ + = ¹ ¬ ( )( ) 0 0 0 a d a d ab bd ca dc ÷ + = ¦ ¦ + = ´ ¦ + = ¹ ¬ 0 0 0 0 a d a d ab bd ca dc ÷ = ¦ ¦ + = ¦ ´ + = ¦ ¦ + = ¹ De donde concluimos que a = d = 0 y si reemplazamos estos valores en las ecuaciones (1) y (4), obtenemos bc = 0, donde b = 0, c = 0 o c = 0, b = 0. Por tanto las matrices buscadas tienen la forma 0 0 0 c | | = | \ . A y 0 0 0 b | | = | \ . A . MATRICES JOE GARCIA ARCOS 62 c.- Para que una matriz A sea involutoria, debe cumplirse que A 2 = I. Es decir: 1 0 0 1 a b a b c d c d | || | | | = | | | \ .\ . \ . ¬ 2 2 1 0 0 1 a bc ab bd ca dc d bc | | + + | | = | | | + + \ . \ . . Debemos resolver el sistema 2 2 (1) 1 (2) 0 (3) 0 (4) 1 a bc ab bd ca dc d bc ¦ + = ¦ + = ¦ ´ + = ¦ ¦ + = ¹ Restando la cuarta ecuación de la primera, obtenemos 2 2 0 0 0 a d ab bd ca dc ¦ ÷ = ¦ + = ´ ¦ + = ¹ ¬ ( )( ) 0 0 0 a d a d ab bd ca dc ÷ + = ¦ ¦ + = ´ ¦ + = ¹ ¬ 0 0 0 0 a d a d ab bd ca dc ÷ = ¦ ¦ + = ¦ ´ + = ¦ ¦ + = ¹ De donde concluimos que a = d = 0 y reemplazando estos valores en las ecuaciones (1) y (4), obtenemos bc = 1 donde tenemos dos alternativas b = 1/c, c = 0 o c = 1/b, b = 0. Por lo tanto dos de las posibles soluciones son 0 1/ 0 c c | | = | \ . A y 0 1/ 0 b b | | = | \ . A . V EJEMPLO 1.6.11 Si A, B, C son matrices cuadradas de igual orden que cumplen lo siguiente: C es nilpotente, índice de nilpotencia 2, B y C son conmutativas y A = B + C. Demuéstrese que, para todo n e Z + , se cumple la ecuación A n+1 = B n (B + (n + 1)C). SOLUCION Sabemos que A n+1 = A n A, entonces: A n+1 = (B + C) n+1 = (B + C) n (B + C) = (B n + kB n-1 C + n(n - 1)B n-2 C 2 + ... + C n )(B + C) = (B n + nB n-1 C + C n )(B + C) = B n B + B n C + nB n C + nB n-1 C 2 + C n B + C n+1 = B n+1 + (n + 1)B n C = B n (B + (n + 1)C). V EJEMPLO 1.6.12 Si A es nilpotente de índice 2, demuéstrese que A(I ± A) n = A, siendo n e Z + . SOLUCION A(I ± A) n = A(I n ± nI n-1 A ± n(n - 1)I n-2 A 2 ± . . . ± A n ) = AI n ± nI n-1 A 2 ± . . . ± A n+1 = A ± A n-1 A 2 = A. V EJEMPLO 1.6.13 Sea una matriz cuadrada tal que A 2 = A. Demuéstrese que A n = A, para todo n e Z + . SOLUCION Probaremos esta proposición utilizando el proceso de inducción matemática. Si A 2 = A, entonces: P(n) : A n = A P(1) : A 1 = A P(k) : A k = A. Verdadero por hipótesis inductiva. P(k + 1) : A k+1 = A A k+1 = A k A = AA = A 2 = A, lo cual es verdadero. Por lo tanto se cumple que A n = A. V MATRICES JOE GARCIA ARCOS 63 EJEMPLO 1.6.14 Demuéstrese que si AB = A y BA = B, entonces A y B son idempotentes. SOLUCION Para que A y B sean idempotentes, debe cumplirse: A 2 = A y B 2 = B. A 2 = AA = ABAB = ABB = AB = A B 2 = BB = BABA = BAA = BA = B. V EJEMPLO 1.6.15 Si A es una matriz involutoria, demuéstrese que ½(I + A) y ½(I - A) son matrices idempotentes y que [½(I + A)][½(I - A)] = O. SOLUCION [½(I + A)] 2 = ¼(I + A)(I + A) = ¼(II + IA + AI + AA) si A 2 = I = ¼(I + 2IA + I) = ¼(2I + 2A) = ½(I + A) es idempotente. [½(I - A)] 2 = ¼(I - A)(I - A) = ¼(II - IA - AI + AA) si A 2 = I = ¼(I - 2IA + I) = ¼(2I - 2A) = ½(I - A) es idempotente. [½(I + A)][½(I - A)] = ¼(I + A)(I - A) = ¼(II - IA + AI - AA) si A 2 = I = ¼(I - I) = O. V EJEMPLO 1.6.16 Pruébese que la matriz A es involutoria si y sólo si, se cumple que (I - A)(A + I) = O. SOLUCION Para que la matriz A sea involutoria es necesario que se cumpla A 2 = I. (I - A)(A + I) = IA + II - AA - AI = A + I 2 – A 2 - A = I – I = O. V EJEMPLO 1.6.17 Las potencias naturales n > 2 de una matriz idempotente A, satisfacen la ecuación A n = A. SOLUCION Siendo A idempotente, se cumple que A n = A, entonces A 3 = AA 2 = AA = A 2 = A. Supóngase que A n = A, entonces A n+1 = AA n = AA = A 2 = A. V EJEMPLO 1.6.18 Las potencias de una matriz involutoria A cumplen las ecuaciones a.- A 2n = I, ¬ n e ×; b.- A 2n+1 = A, ¬ n e ×. SOLUCION Siendo A una matriz involutoria, debe cumplirse que A 2 = I; entonces: a.- A 2n = (A 2 ) n = I n = I; b.- A 2n+1 = AA 2n = AI = A. V EJEMPLO 1.6.19 Si A es una matriz idempotente, pruebe que (AB – ABA) 2 = O, para toda matriz B. SOLUCION Si A es idempotente, entonces A 2 = A; por lo tanto (AB – ABA) 2 = (AB – ABA)(AB – ABA) = ABAB – ABABA – ABAAB + ABAABA = ABAB – ABABA – ABA 2 B + ABA 2 BA = ABAB – ABABA – ABAB + ABABA = O. V EJEMPLO 1.6.20 Demuestre que para una matriz nilpotente A de índice de nilpotencia p la matriz A + es también nilpotente y posee el mismo índice de nilpotencia. SOLUCION Dado que A p = O, entonces tenemos que probar que (A + ) p = O. Es decir: MATRICES JOE GARCIA ARCOS 64 + + + + + + + veces veces ( ) = ... = ( ... ) = ( ) = = p p p p · · · · · · A A A A A A A A O O. V EJEMPLO 1.6.21 Demuestre que si A es idempotente, B = 2A – I es involutoria, si B es involutoria, A = ½(B + I) es idempotente. SOLUCION Si A 2 = A, entonces: B 2 = (2A - I) 2 = (2A - I)(2A - I) = 4A 2 – 4A + I = 4A – 4A + I = I. Si B 2 = I, entonces: 2 2 2 1 1 1 1 1 = ( + ) = ( +2 + ) = ( +2 + ) = (2 +2 ) = ( + ) = 2 4 4 4 2 | | | \ . A B I B B I I B I B I B I A . % COMPROBACION DE UNA MATRIZ PERIODICA clc;clear; fprintf('\n COMPROBACION DE UNA MATRIZ PERIODICA \n') filcol=input('Ingrese el numero de filas y columnas de la Matriz: '); pt=input('Ingrese la potencia a la que va elevar A: '); %Ingreso de elementos for f=1:filcol for c=1:filcol fprintf('Ingrese el elemento (%d,%d)',f,c) A(f,c)=input(' :'); end end fprintf(' LA MATRIZ A ES:\n') A end fprintf(' LA MATRIZ POTENCIA ES:\n') PotA=A^pt end if(A ==PotA) fprintf('\n LA MATRIZ A ES PERIODICA\n') if(pt==2) fprintf('\n LA MATRIZ A ES IDEMPOTENTE\n') end else fprintf('\n LA MATRIZ A NO ES PERIODICA\n') end % COMPROBACION DE UNA MATRIZ INVOLUTORIA clc;clear; fprintf('\n COMPROBACION DE UNA MATRIZ INVOLUTORIA \n') filcol=input('Ingrese el numero de filas y columnas de la Matriz: '); %pt=input('Ingrese la potencia a la que va elevar la matriz: '); pt=2; %Ingreso de elementos for f=1:filcol for c=1:filcol fprintf('Ingrese el elemento (%d,%d)',f,c) A(f,c)=input(' :'); end end fprintf(' LA MATRIZ A ES:\n') A end fprintf(' LA MATRIZ POTENCIA ES:\n') PotA=A^pt end I=eye(size(A)); end MATRICES JOE GARCIA ARCOS 65 if(PotA ==I) fprintf('\n LA MATRIZ A ES INVOLUTORIA\n') else fprintf('\n LA MATRIZ A NO ES INVOLUTORIA\n') end % COMPROBACION DE UNA MATRIZ NILPOTENTE clc;clear; fprintf('\n COMPROBACION DE UNA MATRIZ NILPOTENTE \n') filcol=input('Ingrese el numero de filas y columnas de la Matriz: '); pt=input('Ingrese la potencia a la que va elevar: '); %Ingreso de elementos for f=1:filcol for c=1:filcol fprintf('Ingrese el elemento (%d,%d)',f,c) A(f,c)=input(' :'); end end fprintf(' LA MATRIZ A ES:\n') A End fprintf(' LA MATRIZ POTENCIA ES:\n') PotA=A^pt end ceros=zeros(size(A)); if(PotA ==ceros) fprintf('\nLA MATRIZ A ES NILPOTENTE DE INDICE %d\n',pt) else fprintf('\nLA MATRIZ A NO ES NILPOTENTE\n') end PROBLEMAS 1.6.1 Si A 2 = A, demostrar que (A + I) k = I + (2 k – 1)A. 1.6.2 La ecuación A 2 = I se satisface para cada una de las matrices 2 x 2 1 0 0 1 | | | \ . , 1 0 1 c | | | ÷ \ . , 1 0 1 b | | | ÷ \ . donde b y c son números reales arbitrarios. Hallar todas las matrices A de 2 x 2, tales que A 2 = I. 1.6.3 Dada la matriz Cos Sen Sen Cos u ÷ u | | = | u u \ . A . Calcular A n siendo n e Z + . 1.6.4 Demuestre que una matriz triangular es nilpotente si, y sólo si, todos los elementos de la diagonal principal son nulos, y el índice del carácter nilpotente de la matriz triangular no supera su orden. 1.6.5 Sea k = 0, encuentre A n , n e Z + si 1 Cos kSen Sen Cos k u u | | | = | ÷ u u | \ . A . 1.6.6 La matriz a i i b | | = | \ . A , donde i 2 = -1, 1 2 (1 5) a = + y 1 2 (1 5) b = ÷ , tiene la propiedad de que A es idempotente. Describir en forma completa todas las matrices A de 2 x 2, con elementos complejos tales que A sea idempotente. 1.6.7 Determine a y b tales que A sea idempotente 1 0 a b | | = | \ . A . 1.6.8 Determine condiciones sobre a, b y c de modo que A sea idempotente 0 a b c | | = | \ . A . 1.6.9 Demuestre que A es idempotente sí y sólo si A T es idempotente. 1.6.10 Demostrar que una hipermatriz triangular es nilpotente si, y sólo si, todas sus submatrices en la diagonal principal son nilpotentes. MATRICES JOE GARCIA ARCOS 66 1.6.11 Dada la matriz n n Cos Sen k k n n Sen Cos k k t t | | | | = t t | ÷ | \ . A en donde k e Z + , encuentre A m para todo m. ¿A qué es igual la matriz A m cuando m = k? 1.6.12 Demuéstrese que, si A es matriz cuadrada, en- tonces: a.- A 3 – I = (A – I)(A 2 + A + I); b.- A 4 – I = (A 2 + I)(A + I)(A – I); c.- 3A 2 – 2A - I = (3A + I)(A – I); d.- A k – I = (A – I)(A k-1 + A k-2 + … + I). 1.6.13 Demuestre que si A es nilpotente, entonces A T es nilpotente con el mismo índice. 1.6.14 Sean las matrices 3 2 15 8 ÷ | | = | ÷ \ . A , 4 2 15 7 ÷ | | = | ÷ \ . B , 2 2 ( , ) 2 p x y x xy y = ÷ + y 2 2 ( , ) 2 1 q x y x y y = ÷ ÷ ÷ : a.- Verifíquese que A y B conmutan. b.- Evalúese p(A, B). c.- Evalúese q(A, B). d.- Demuéstrese que, en general, si A y B son matrices de n x n, y si A y B conmutan, entonces (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 y A 2 – B 2 = (A + B)(A – B) y verifíquese la validez de esas relaciones con las matrices A, B que se han dado. 1.6.15 Sea 2 ( ) 3 f x x x = ÷ + , 3 ( ) 2 1 g x x x = ÷ + , 3 1 2 0 | | = | \ . A , 1 2 3 4 ÷ | | = | \ . B . Evalúese: a.- f(A); b.- f(B); c.- f(I); d.- f(O); e.- g(A); f.- g(B); g.- f(A + B). 1.6.16 En cada una de las elecciones siguientes de la matriz A, demuéstrese que se puede expresar A como B + C, donde B es idempotente y C es nilpotente (recuérdese que O es idempotente y nilpotente al mismo tiempo): a.- 1 0 0 1 | | = | \ . A ; b.- 0 0 1 0 | | = | \ . A ; c.- 1 0 0 0 | | = | \ . A ; d.- 1 0 1 1 | | = | \ . A ; e.- 1 0 1 0 | | = | \ . A ; f.- 1 0 0 0 1 0 1 0 0 | | | = | | \ . A . 1.6.17 Demuestre que si A y B son idempotentes y AB = BA, entonces AB es idempotente. 1.6.18 Encuentre una matriz hipertriangular nilpotente de índice 2 tales que sus submatrices en la diagonal principal sean nilpotentes de índice 2. 1.6.19 Si A y B son matrices de 2 x 2. Calcule: a.- (AB – BA) 2 ; b.- (AB – BA) n , n > 2. 1.6.20 Si A y B son matrices de n x n tales que A(AB – BA) = (AB – BA)A y B(AB – BA) = (AB – BA)B. Demuestre que (AB – BA) 3 = O. 1.6.21 Encuentre una matriz triangular de 3 x 3, que sea nilpotente de índice 2. 1.6.22 Dada la matriz A. Hallar el valor del polinomio p(x): a.- 1 2 1 1 1 3 2 1 1 ÷ | | | = ÷ | | \ . A , p(x) = 3x 2 – 2x + 2; b.- 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ÷ | | | = ÷ | | ÷ ÷ \ . A , p(x) = 2x 2 + 3x – 1; c.- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 | | | = | | \ . A , p(x) = x 2 – 5x – 5; d.- 1 4 7 2 5 8 3 6 9 | | | = | | \ . A , p(x) = 3x 2 + 5x – 5; e.- 1 1 1 1 1 1 1 i i | | | = ÷ | | ÷ \ . A , p(x) = x 2 + 3x + 1; f.- 1 1 1 1 1 1 1 1 1 i i i ÷ | | | = ÷ ÷ | | ÷ ÷ \ . A , p(x) = x 2 - 3x – 2. 1.6.23 Hallar matrices A y B tales que 2 1 2 0 1 ÷ | | = | ÷ \ . A y 2 1 3 2 5 ÷ | | = | \ . B . 1.6.24 Dada la matriz 8 4 4 4 2 2 4 2 2 i i i i | | | = | | ÷ \ . A encuentre A n , n e Z + . MATRICES JOE GARCIA ARCOS 67 1.7 CUESTIONARIO Responda verdadero (V) o falso (F) a cada una de las siguientes afirmaciones. Para las afirmaciones que sean falsas, indicar por que lo es: 1.7.1 Si dos productos AB y BA están definidos y A es una matriz de m x n, entonces B es una matriz de m x n. 1.7.2 Una matriz que conmuta para el producto con una matriz diagonal que posee elementos en la diagonal distintos de dos en dos es también una matriz diagonal. 1.7.3 Si una matriz cuadrada A es conmutativa para el producto con todas las matrices cuadradas del mismo orden, ésta es la matriz nula. 1.7.4 Las operaciones sobre las matrices casi triangulares de la misma estructura, superiores o inferiores conducen a matrices casi diagonales de la misma estructura. 1.7.5 Si una matriz A es nilpotente de índice de nilpotencia n, entonces la matriz A es también nilpotente y posee el mismo índice de nilpotencia. 1.7.6 Si las matrices A y B son conmutables para el producto, entonces las matrices conjugadas A y B son anticonmutativas. 1.7.7 Una matriz triangular es nilpotente si, y sólo si, todos los elementos de la diagonal principal son nulos, y el índice de nilpotencia de la matriz triangular no supera su orden. 1.7.8 Si A es una matriz normal y conmuta con una cierta matriz B, entonces A conmuta con B. 1.7.9 El producto de dos matrices antisimétricas A y B es una matriz antisimétrica si, y sólo si, AB = BA. 1.7.10 Para que una matriz cuadrada A sea conmutativa con todas las matrices diagonales es necesario y suficiente que la propia matriz A sea diagonal. 1.7.11 Si A y B son matrices cuadradas de un mismo orden con la particularidad de que AB = BA, entonces Tr(AB) = Tr(BA). 1.7.12 Para que una matriz cuadrada A sea conmutativa con todas las matrices cuadradas del mismo orden, es necesario y suficiente que la matriz A sea escalar. 1.7.13 Las operaciones sobre las matrices casi diagonales de una misma estructura dan matrices casi diagonales de la misma estructura. 1.7.14 Si A es una matriz diagonal y todos los elementos de su diagonal principal se diferencian entre sí, cualquier matriz, conmutativa con A debe ser nula. 1.7.15 Si A es una matriz de 2 x 2 y k un número entero superior a dos, entonces A k = O si, y sólo si, A 2 = O. 1.7.16 Si para las matrices A y B ambos productos AB y BA están definidos con la particularidad de que AB = BA, entonces las matrices A y B son cuadradas y no necesariamente tienen el mismo orden. 1.7.17 Si A y B son matrices cuadradas de un mismo orden con la particularidad de que AB = BA, entonces (A - B) 2 = A 2 + B 2 . 1.7.18 Para cualquier matriz B con elementos reales o complejos, entonces la matriz A = BB + es antihermítica. 1.7.19 La suma A + B y el producto AB de matrices normales A y B son matrices normales. 1.7.20 Una matriz normal casi triangular es una matriz casi diagonal.