“AÑO DE LA PROMOCIÓN DE LA INDUSTRIA RESPONSABLE YCOMPROMISO CLIMÁTICO” ASIGNATURA : MATEMATICA BASICA DOCENTE : Lic. SOTO CARVAJAL DEMETRIO ALUMNAS : ANDRADE PEREZ; Natividad : MEJIA HUINCHO; Yenci Beatris : MENDOZA HUINCHO; Rurth : YAULILAHUA RASMOS; Doris SEMESTRE : I Ciclo LIRCAY - 2014 DEDICATORIA: EL TRABAJO REALIZADO SE DEDICA A TODAS LAS FAMILIAS EMPRENDEDORAS DE LAPROVINCIA DE AMGARAES. INTRODUCCION Asociados con las herramientas más importantes del Álgebra Lineal se encuentran los temas relacionados con matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales, que permiten estudiar con mayor detalle muchas áreas de las matemáticas. Por ejemplo, las matrices juegan un papel importante en áreas como: las ciencias sociales y naturales, los negocios, diversas ingenierías, computación y, además, matemáticas pura y aplicada. Se estudiarán y desarrollarán temas relacionados con el álgebra de las matrices, aplicaciones de estas en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, y temas relacionados con determinantes y sus aplicaciones. En cada uno de los capítulos se presentan ejemplos resueltos, teoremas, demostraciones y ejercicios propuestos. El último capítulo contiene una importante variedad de ejercicios resueltos asociados con los temas desarrollados. El concepto de determinante de una matriz cuadrada tiene una gran relevancia dentro de la teoría de matrices. Los determinantes resultan de gran utilidad a la hora de resolver determinados sistemas de ecuaciones lineales (los llamados sistemas de Cramer), discutir la existencia de solución de sistemas de ecuaciones lineales generales (mediante el concepto de rango de una matriz y del Teorema de Rouché Frobenious), y analizar la dependencia lineal de un conjunto de vectores (lo cual, entre otras cosas, nos permitirá identificar posibles bases de un espacio vectorial). Además, la interpretación geométrica de los determinantes nos permite calcular, de forma sencilla, áreas y volúmenes de determinadas figuras geométricas, realizar productos vectoriales, y hallar las ecuaciones de un plano en el espacio. INDICE 1. MATRICES 1.1. DEFINICIONES DE MATRICES El concepto de Matriz es sencillo, es una tabla con m filas y n columnas de números reales ordenados (m, n ∊N). Veamos una definición más matemática de las matrices. Se llama matriz de dimensión (m x n) al conjunto de números reales dispuestos en m filas y n columnas de la siguiente forma: ( ) Con aij=elemento de la matriz A situado en la fila i y columna j Muchas veces la matriz A se denota también como A= (aij) El conjunto de todas las matrices con m filas y n columnas se denota como Mnxm (R). ( ) Dimensión de una matriz es el número de filas y columnas de la misma, en el ejemplo anterior, A es de dimensión 2x3. 1.2. ORDEN DE UNA MATRIZ El orden o dimencion de una matriz sta dadopor el producto indicado ̇ donde m indica el numero de gilasy nel numero de columnas. Por ejemplo: ( )es una matriz de orden 2x3 B ( )es una matriz de orden 2x2 El conjunto de matriz de orden ́ con coeficiento en k (k puede ser R o ), se denotara , es decir: { ( ) ⁄ } Asi, en los ejemplos anteriores: A , EEMPLO 1. Escribir explicitamente la matriz: a) A ( ) ⁄ b) B ( ) ⁄ c) C ( ) ⁄ Solucion. Escribiremos las componentes de cada matriz según el orden de la matriz y la definicion dada. a) , , , , ( ) b) , , , , , , ( + c) , , , , , , ( ) 1.3. TIPOS DE MATRICES: A. MATRICES CUADRADAS: Son las matrices que tienen igual número de filas que de columnas (m=n), y que como veremos son las únicas que pueden multiplicarse entre sí. El conjunto de todas las matrices cuadradas con n filas y columnas se denotan como Mnxn (R) o Mn(R). ( ) ELEMENTOS DE LAS MATRICES CUADRADAS: a. Diagonal principal: elementos de la forma aii, es decir en la diagonal que va desde a11 hasta ann b. Diagonal secundaria: elementos de la forma aij donde i+j=n+1, es decir los elementos en la diagonal que va desde a1n hasta an1 B. MATRICES TRIANGULARES SUPERIORES E INFERIORES: Son las matrices cuadradas tal que: a. SUPERIOR: elementos debajo diagonal de la principal son nulos aij=0 si i>j b. INFERIOR: elementos encima de la diagonal principal son nulos aij=0 si i<j ( ) ( ) C. MATRICES DIAGONALES: matrices cuadradas donde todos los elementos fuera de la diagonal son cero. ( ) D. MATRIZ ESCALAR: matriz diagonal en el que todos los términos de la diagonal son iguales: ( + E. MATRIZ UNIDAD O MATRIZ IDENTIDAD: matriz escalar cuyos elementos son 1. Se denota como I o Id: ( ) ( + ( ) F. MATRIZ COLUMNA: toda matriz con una sola columna_ Mmx1(R) ( + G. MATRIZ FILA: toda matriz con una única fila _ M1xn(R) 1.4. OPERACIONES CON MATRICES En esta sección se estudiarán las operaciones que se definen en el conjunto Mmxn (R) y algunas de sus propiedades más relevantes. 1.4.1. IGUALDAD DE MATRICES. Dos matrices M y N se dicen que son iguales (M=N) si se cumplen: Misma dimensión Elementos que ocupan el mismo lugar son iguales. 1.4.2. ADICIÓN DE MATRICES. Solo se pueden sumar matrices de la misma dimensión, veamos en qué consiste la suma de matrices: La suma de dos matrices de dimensión A y B es otra matriz que se denota como A+B con misma dimensión que las otras dos y definida como A+B = (aij) + (bij) = (aij+bij). Es decir A+B se obtiene sumando los elementos que ocupan la misma posición en las dos matrices que suman. Veamos un ejemplo de dos matrices A, B∊M2x3(R) ( ) ( * ( * Propiedades de la suma de matrices: como la suma de matrices definidas a partir de la suma de números reales cumple las mismas propiedades que estos, es decir: Asociativa: A+(B+C)=(A+B) +C Elemento neutro A+0=A, con O la matriz de igual dimensión que A con todos sus coeficientes iguales a cero Elemento opuesto: A + (-A)=0, con (-A) = (-aij) es decir los elementos opuestos a los de la matriz A. Conmutativa: A+B=B+A Ejemplo de elemento opuesto: ( ) ( ) Ejemplo de adición de matrices: ( ) ( ) ( ) 1.4.3. PRODUCTO DE UNA MATRIZ POR UN NÚMERO (ESCALAR): Sea k ∊ R (escalar) y A = (aij) una matriz de dimensión mxn (A ∊ M mxn(R)). El producto de k por A es otra matriz k*A de misma dimensión tal que: K*A = k (aij)=(k*aij), es decir la matriz k*A se obtiene de multiplicar por k cada elemento de la matriz A. ( + ( + Ejemplo producto de una matriz por un número (escalar): ( ) ( ) SUSTRACCION DE MATRICES: Sean A, B ∊ M mxn (R). Se define la resta de A y B, denotada como A-B, como la matriz de tamaño mxn dada por A-B = A + (-1*B). En términos generales, (A-B) ij = (A) ij – (B) ij, ⩝i,j ∊ N con 1 ≤i≤m,1 ≤j≤ n, de esta manera, si: ( ) ( * ( * Ejemplo de sustracción de matrices: ( ) ( ) ( ) 1.4.4. MULTIPLICACIÓN DE UNA MATRIZ FILA POR UNA MATRIZ COLUMNA: Sean A ∊ M1xn (R) y B∊ Mnx1 (R). Se define el producto de A y B, denotado como A _ B, como el número real dado por: ∑ En términos generales, si: ( + Ejemplo multiplicación de una matriz fila por una matriz columna: ( ) 1.5. PRODUCTO DE MATRICES El producto de matrices es una operación más compleja que las anteriores. Para poder multiplicar dos matrices es necesario que el nº de columnas de la primera matriz del producto sea igual al nº de filas de la segunda matriz. Veamos la definición del producto de matrices: El producto de la matriz A=(aij)∊Mmxn y B=(bij)∊Mnxp es otra matriz C=A·B∊Mmxp, con igual nº de filas que A y de columnas que B, tal que el elemento de la matriz C que ocupa la fila i y columna j, cij se obtiene multiplicando la fila i-esima de la primera matriz con la columna j-ésima de la segunda. Resulta más sencillo comprender el producto de matrices a partir de varios ejemplos 1: ( + ( + ( ) ( + Ejemplos 2: ( ) ( + ( * ( ) 1.6. TRANSPOSICIÓN DE MATRICES SIMÉTRICAS Y ANTISIMÉTRICAS Sea una matriz se llama matriz transpuesta y se escribe como que resulta de cambiar las filas por las columnas Ejemplos: ( ) ( + ( + ( + ( + PROPIEDAES: 1. 2. 3. 4. A. MATRIZ SIMÉTRICA: Es toda matriz cuadrada A∊Mnxn(R) tal que coincide con su transpuesta ⟶A= , es decir los elementos simétricos respecto a la diagonal son iguales, veamos un ejemplo de dimensión 3: ( + ( + Ejemplo. ( ) ( ) ( + ( + ( ) ( ) B. MATRIZ ANTISIMÉTRICA: Es u qu u de su transpuesta - ⟶A=- , es decir los elementos simétricos respecto a la diagonal son opuestos, y los de la diagonal son cero. Veamos un ejemplo de dimensión 3: ( + ( + ( + Ejemplo. ( ) ( ) ( + ( + ( ) ( ) 1.7. MATRIZ INVERSA: La matriz inversa de una matriz cuadrada A∊Mnxn(R) es otra matriz cuadrada de misma dimensión que se denota como A-1∊Mnxn(R) tal que se cumple: A·A-1=A-1·A= Id con Id∊Mnxn(R) No todas las matrices cuadradas tienen inversa, así las matrices que tiene inversa se llaman matrices regulares y las que no tienen inversa se denominan matrices singulares. A. CÁLCULO DE LA INVERSA: El método más sencillo para el cálculo de la inversa lo veremos en el tema siguiente, cuando definamos el determinante de las matrices. Para matrices 2x2 podemos calcular la inversa a partir de la definición: Ejemplo1: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Tenemos 4 ecuaciones con 4 incógnitas, que podemos agruparlas en dos sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas: Los sistemas son: { { Las soluciones son x=7/8, y=-1/4, z=-3/8 y t=1/4, con lo que: ( ) ( ) ( ) ( ) Ejemplo2: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Las soluciones son x=T=0 Y=1/2 z=1 ( ) ( ) COMPROBANDO: ( ) ( ) Ejemplo 3: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Y+2 3X+4Z 3Y+4 ( ⁄ ⁄ ) ( ) 1.8. MATRICES NO SINGULAR Algunas matrices cuadradas cumplen con ciertas condiciones que nos dirigen hacia un estudio más detallado respecto de ellas y de algunas de las propiedades que satisfacen. Las matrices no singulares poseen una serie de aplicaciones sumamente importantes en el estudio de esta materia. Sea A ∈ Mn (R). Si existe alguna matriz A0 de orden n, tal que AA0 = In y A0A = In, entonces se dice que A es una matriz no singular o invertible. Si A es una matriz no singular de orden n, toda matriz que satisfaga y In es llamada una inversa de A y denotada como ; de esta manera, si A es una matriz no singular de orden n se cumple que = Si A no posee matriz inversa alguna, se dice que A es singular. Ejemplo: Si se tiene que A ( +entonces ( + es una matriz de A, ya que ( + ( + ( + ( + Y, ademas ( + ( + ( + ( + Es decir, Ejemplo: Determine, en caso de exitir, si se tiene que A ( ) Solucion: Supongamos que A es no sigular y que ( ) Como A es no singular, se debe cumplir que y que veamos(cosidera la primera de las igualdades): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { { De esta manera,si ( ) entoces SOLUCION: Ahora, es necesario deterninar si con la matriz encontrada anterior mente se satisfasce la igualdad o no. Veamos: ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) Asi, es no singular y, ademas, ( ) 1.9. MATRICES ELEMENTALES: El procedimiento realizado en el ejemplo 2.12 para la obtención de la matriz inversa de alguna matriz no singular es, en muchas ocasiones, de manejo algebraico laborioso. Se desarrollarán procedimientos que permiten obtener dicha matriz inversa de una forma más eficiente que la mencionada; además, se definirá el concepto de matriz equivalente que es de suma importancia en el desarrollo de temas posteriores. Una matriz elemental de orden n, denotada como E , es toda matriz que se obtiene de la matriz In después de aplicarle una, y solo una, operación elemental. Una matriz elemental de orden n se dice que es del tipo a, tipo b o tipo c si se realiza, respectivamente, a la matriz In la operación elemental a, b o c de la definición 2.24; asimismo, toda matriz elemental de orden n se denota, de manera más específica y basados en el tipo que sea, como , o Sea A ∈ (R). Una operación elemental sobre las filas de A es cualquiera de las tres siguientes: 1 kFi Modificar la fila i de A multiplicándola por un número real k, k = 0 2 Fi ↔ F j Intercambiar las filas i y j de A 3 kF j + Fi Modificar la i-ésima fila de A sumándole k veces la fila j Definición (Matrices equivalentes por filas) Una matriz B es equivalente por filas con una matriz A, si B se obtiene a partir de A mediante una secuencia finita de operaciones elementales sobre sus filas. Si la matriz B es equivalente por filas con la matriz A se escribe A ∼ B. Concidera la matriz p define como P ( + Son equivalentes por filas con p las matrices siguientes R ( + Z ( + B ( + F ( + H ( + Ejemlpo: Son matrices elementalesn de orden 3 las matrices siguientes: ( + ( + ( ) ( + ( + ( + Ejercicio: Concidera la matriz A definidas como A ( + y las matrices elementos de Orden 3 y definidas por ( + , ( + y ( + 1. Determine las matrices p,Q y R quen se obtiene a partir de A, despues de realizar, respectivamente, la operación elemtal 2. Verifique que se cumplen las iguldades siguientes: A Con base en el teorema anterior, obtenga la matriz que se obtiene de aA despues de realizarle, secuencialmente, las operaciones elemtales sobre filas siguientes: EJEMLPO: L ’ ( + ( + son mutumaente inversas, ya que: ( + ( + ( + ( + Note que para obtener se aplicada a la matriz la peracion elemetal inversa de la aplicada a la misma idemtidad para la obtencion de 1.10. REDUCCION DE MATRICEZ Los conceptos y resultados enunciados anteriormente dan lugar a aplicaciones importantes den- tro del estudio del álgebra matricial; el concepto de matriz reducida por filas contempla varios de los resultados mencionados y permite simplicidad en varios cálculos que se presentarán. A. MATRIZ ESCALONADA REDUCIDA POR FILAS Sea A (). Se dice que A es una matriz escalonada reducida por filas, si A cumple, si- multáneamente, las condiciones siguientes: Cualquier fila que contenga entradas distintas de cero precede a toda fila nula (en caso de existir alguna). La primera entrada distinta de cero de cada fila es el único elemento no nulo de su columna. El primer elemento no nulo de cada fila es 1 y se encuentra en alguna columna posterior a la que contiene la primera entrada no nula de la fila que le precede. Ejercicio: Son matrices escalanadas reducidas por filas siguientes: ( + ( ) ( ) ( + ( ) Ejercicio: Demuestre el teorema 2.10 Ejemplo: La matriz escaladona reducida por filas que es equivalente por filas con la matriz A defnifida como. A ( ) esta dada por R ( )ya que A ( ) ( ) ( , ( ) ( ) ( ) Ejemplo: Para determinar la matriz inversa, en caso de existir, de la matriz A ( + se pude seguir procedimiento al siguiente: ( | + ( | + ( | + ( | + ( | + ( | + ( | + Como la matriz A es equivalente por filas con la matriz , entonces A es una matriz no singular y su inversa es la matriz ( +,matriz que se obtuvo de despues de realizar las mismas operaciones elementales que las efectuadas en A para la obtencion de Eercicio: Utilisando operaciones elementales sbre filas determine, en caso de existir, la matriz inversa de cada una de las matrces siguientes. ( + ( + B. RANGO DE UNA MATRIZ Sea (R). Si R es la matriz escalonada reducida por filas equivalente con A, se define el rango de A, denotado como como el número de filas no nulas que posee la matriz R. Si es la matriz definida por ( ) se tiene que ya que r su matriz escalonada reducida por filas ( ver ejenplo2.27) esta dada por ( ) Ejercicio: Verifique que si se tiene que ( ) 2. DETERMINANTES Un concepto importante asociado con las matrices cuadradas es el concepto de determinante, concepto de mucha utilidad por sus variadas aplicaciones: cálculo de áreas, cálculo de matrices inversas, cálculo de volúmenes y en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, entre otros. Dado que cada matriz cuadrada está relacionada con un único número real, el determinante puede ser considerado como una función que tiene como dominio el conjunto de las matrices cuadradas y cuyo condominio es el conjunto de los números reales. Algunos de los conceptos más relevantes en el estudio de los determinantes son enunciados a continuación. Las definiciones que se consideran son de suma importancia para el desarrollo de contenidos posterios, relacionados con ciertas propiedades que se cumplen cuando se calculan determinantes. 2.1. DETERMINANTE DE UNA MATRIZ DE ORDEN 1 Si A es una matriz de orden 1, tal que A= , su determinante, denotado como ||, det (A) o , se define como||= , 2.2. MENOR DE UN ELEMENTO Si A 2 Mn (R), se define el menor del elemento aij de A, denotado por MA i j, como el determinante de la matriz que se obtiene a partir de A luego de eliminar su i-ésima fila y su j-ésima columna. Considere la matriz A definida como ( ) Para la matriz A se tiene que: || || || || 2.3. COFACTOR DE UN ELEMENTO Si A∊ (), se define el cofactor del elemento de A, denotado por como el número dado por 2.4. MATRIZ DE COFACTORES Si A∊ (), se define la matriz de cofactores de A, denotada como , como la matriz de orden n dada por: ⟨⟩ Con base en la matriz ( ) se tiene que: De esta manera, ( * ( ) 2.5. DETERMINANTE DE UNA MATRIZ DE ORDEN N Sea A∊ (), 2 Mn (R) con n≥2, el determinante de A se define, de manera recursiva, como el número real dado por: || ∑⟨⟩ Considere la matriz del ejemplo y verifique que el determinante de toda matriz de orden dos está dado por: | | Con base en la definición se tiene que: || ∑⟨⟩ || ⟨⟩ ⟨⟩ || || De esta manera | | Ejemplo: Considere las matrices A y B definidas por ( ) ( ) Para estas matrices se cumple que: || || || || || || || || Por otra parte, se tiene que: | | |( ) ( )| | | | | | | | | Observe que, para estas matrices | | || || Ejemplo: Considere la matriz A, definida por ( + y obtenga el valor de || Con base en la definición se tiene que: || ∑⟨⟩ || ⟨⟩ ⟨⟩ ⟨⟩ || || || || | | | | || || || || Ejemplo: Considere la matriz B, definida por ( + y obtenga el valor de || Con base en la definición se tiene que: || ∑⟨⟩ || ⟨⟩ ⟨⟩ ⟨⟩ || || || || | | | | || || || || Ejemplo: Considere la matriz B, definida por ( ) y obtenga el valor de || Con base en la definición se tiene que: || ∑⟨⟩ || ⟨⟩ ⟨⟩ ⟨⟩ ⟨⟩ || || || || | | | | || || || 2.6. DETERMINANTES DE ORDEN 2 (ASOCIADOS A MATRICES 2X2) Cuando A es una matriz 2x2 hay 2! = 2 permutaciones del par (1 2); éstas son: {(1 2), (2 1)}. Entonces, el determinante de A contendrá los dos términos: Signatura (1 2) y signatura (2 1) Como signatura (1 2) = (-1)= 1 y signatura (2 1) = (-1) = -1,y signatura el determinante de orden 2 será: | | | | Ejemplo: | | 2.7. DETERMINANTES DE ORDEN 3(ASOCIADOS A MATRICES 33). Si A es una matriz su determinante( de orden 3) vendra dada por: ( + | | ( ) 2.8. DETERMINANTES DE ORDEN SUPERIOR A 3 (ASOCIADOS A MATRICES NXN CON N>3) En el caso de determinantes de orden superior a 3 (es decir, asociados a matrices de tamaño nxn con n > 3), la expresión resultante tiende a complicarse, por lo que recurriremos al método de desarrollo por adjuntos para su cálculo. Primero de todo, fijémonos en la disposición de signos siguientes (similar a las casillas blanca y negras en un tablero de ajedrez. Para calcular el determinante de una matriz 4x4 (o superior) se debe hacer: 1. Elegir aquella fila o columna que tenga el mayor número de ceros (si ninguna línea tiene ceros, se coge una línea cualquiera). 2. Cada uno de los elementos de la línea dará lugar a un sumando, el cual se obtendrá como se explica en el paso siguiente. 3. Para cada elemento de la línea seleccionada, éste se multiplica por su correspondiente determinante adjunto (aquel determinante resultante de eliminar la fila y la columna a las que pertenece el elemento seleccionado). A dicho adjunto le precederá el signo que corresponda a la posición ocupada por el elemento seleccionado (según la tabla de signos arriba indicada). Ejemplo matriz 4x4: | | { u } | | | | | | | | | | Ejemplo matriz | | | | ( ) | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | = {los dos primeros determinantes se anulan mutuamente, pues son iguales pero de signo cambiado; el último determinante también se anula} = | | { } { } { } CONCLUSIONES Lo importante de estos temas es saber que es una matriz y para qué sirve y su utilidad en las matemáticas así como sus definiciones. Se llama MATRIZ a todo cuadro de números distribuidos en filas y columnas. Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Además de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma natural en geometría, estadística, economía, informática, física, etc. Su notación es muy simple una matriz se nombra por una letra mayúscula y sus elementos, una vez distribuidos en las filas y columnas respectivas, se encierran con corchetes o con paréntesis. Una de las principales aplicaciones de las matrices es la representación de sistemas de ecuaciones de primer grado con varias incógnitas. Estas operaciones con matrices con lleva varias operaciones escalares de A y B que llevan a la Clausura: Si En este caso el producto es un diagrama esquemático que ilustra el producto dedos matrices A y B dando como resultado la matriz aB esto es muy importantesaberlo para resolver ecuaciones de matrices SUGERENCIA Supongo que es un cuerpo, lo podemos suponer algebraicamente cerrado, pues en caso no sea así lo podemos considerar inmerso en su clausura algebraica (por ejemplo si se trata de, lo podemos suponer contenido en ). Luego como toda matriz definida sobre un cuerpo algebraicamente cerrado (como) es semejante a una matriz triangular y el polinomio característico y el determinate son conservados por la semejanza de matrices, si es triangular semejante a y los elementos de la diagonal de son tenemos que el polinomio característico de es Entonces como, y además Concluimos que (¡¡termina!!). Si tienes dudas, pregunta. Saludos. BIBLIOGRAFÍA 1. Carl D. Meyer´s (2000): "Matrix analysis and applied linear algebra", Philadelpia SIAM, 461, 468-470 2. Montes Lozano, A (1998): "Álgebra", Ediciones UOC, Módulo 3: "Matrices, vectores y sistemasde ecuaciones lineales", 45-48, 41-43, 43-45 3. G. J. Porter, D. R. Hill (1996): “Interactive Linear Algebra. A laboratory course using Mathcad”, Springer-Verlag New York, Inc., Section 3.1, 3.2, 3.3 4. H. Benker (1999): "Practical use of Mathcad. Solving mathematical problems with a computer algebra system", Springer-Verlag New York, Inc., 178-180 5. J. A. Moreno, D. Ser (1999): "Mathcad 8. Manual de usuario y guía de referencia de Mathcad 8", ediciones Anaya Multimedia, S.A., 155, 296. 6. H. Anton, C. Rorres (2000): "Elementary Linear Algebra: Applications Version", John Wiley&Sons. 7. Christian Páez Páez Escuela de Matématica, Instituto Tecnológico de Costa Rica Matrices y sistemas lineales 3013.