BEER 06-ok.qxd:BEER 06.qxd 09/10/09 09:13 AM Página 344 344 6.160 En el sistema de engranes planetarios mostrado en la figura, el radio del engrane central A es a 18 mm, el radio de cada engrane planetario es b y el radio del engrane exterior E es (a + 2b). Se aplica un par de magnitud MA 10 N · m en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj en el engrane central A, y se aplica un par de magnitud MS 50 N · m en un sentido contrario al de las manecillas del reloj en el brazo BCD. Si el sistema está en equilibrio, determine a) el radio b que deben tener los engranes planetarios y b) la magnitud del par ME que debe aplicarse sobre el engrane exterior E. Análisis de estructuras B C D *6.161 Dos ejes AC y CF, los cuales están contenidos en el plano vertical xy, se conectan mediante una junta universal en C. Los cojinetes en B y D no ejercen ninguna fuerza axial. Un par con magnitud de 500 lb · in. (el cual actúa en el sentido de las manecillas del reloj cuando se ve desde el eje positivo x) se aplica sobre el eje CF en F. En el instante en que el brazo de la pieza transversal unida al eje CF está en posición horizontal, determine a) la magnitud del par que debe aplicarse al eje AC en A para mantener el equilibrio y b) las reacciones en B, D y E. (Sugerencia: La suma de los pares ejercidos sobre la pieza transversal debe ser igual a cero.) A E Figura P6.160 y 1.8 m 4 in. 6 in. 500 lb-in. A A B 0.9 m B C 30° z E D C 0.3 m D 5 in. F E x Figura P6.161 1.8 m F G W H J 0.5 m 1m 1.3 m Figura P6.163 *6.162 Retome el problema 6.161, y ahora suponga que el brazo de la pieza transversal unida al eje CF está en posición vertical. 0.5 m *6.163 Las tenazas mecánicas de gran tamaño que se muestran en la figura se emplean para asir una placa gruesa de metal HJ de 7 500 kg. Si se sabe que no existe deslizamiento entre las asideras de las tenazas y la placa en H y J, determine las componentes de todas las fuerzas que actúan sobre el elemento EFH. (Sugerencia: Considere la simetría de las tenazas para establecer las relaciones entre las componentes de la fuerza que actúa sobre EFH en E y las componentes de la fuerza que actúa sobre CDF en D.) www.FreeLibros.me Como los elementos son delgados e incapaces de soportar cargas laterales. Como los elementos que constituyen a la armadura son elementos rectos sujetos a dos fuerzas.2]. todas las cargas deben estar aplicadas en las uniones o nodos.3]. Las armaduras que se obtienen repitiendo este procedimiento reciben el nombre de armaduras simples.25 Por el método de los nodos [sección 6. La primera mitad del capítulo estuvo dedicada al análisis de armaduras. siempre se pueden dibujar los diagramas de cuerpo libre de los pernos en un orden tal que únicamente se incluyen dos incógnitas en cada diagrama. donde n es el número total de nodos [sección 6. el análisis de estructuras constituidas por elementos rectos que están conectados únicamente en sus extremos. por tanto. Después se dibuja el diagrama de cuerpo libre para cada perno.4] se pueden determinar las fuerzas en los distintos elementos de una armadura simple.25a).25b).BEER 06-ok. la fuerza ejercida por un elemento sobre el perno está dirigida a lo largo de dicho elemento y. mostrando las fuerzas ejercidas sobre el mismo por los elementos o apoyos que éste conecta. En el caso de una armadura simple. también será una armadura rígida la que se obtiene agregándole a dicha armadura triangular dos nuevos elementos y conectándolos en un nuevo nodo (figura 6.qxd:BEER 06. Se puede comprobar que en una armadura simple el número total de elementos es m 2n 3. Análisis de armaduras Se dice que una armadura es rígida si está diseñada de modo que no se deformará mucho o se colapsará bajo la acción de una carga pequeña.qxd 09/10/09 09:13 AM Página 345 R E PA S O Y R E S U M E N DEL CAPÍTULO 6 En este capítulo se aprendió a determinar las fuerzas internas que mantienen unidas a las distintas partes de una estructura.FreeLibros. una armadura está constituida por pernos y por elementos sujetos a dos fuerzas [sección 6. sólo se desconoce su magnitud.me Método de los nodos 345 . Estas fuerzas se obtienen a partir de las dos ecuaciones de equilibrio correspondientes o —si sólo están involucradas tres fuerzas— a partir www. es decir. Armaduras simples B C A a) D B A C b) Figura 6. De la misma forma. Una armadura triangular constituida por tres elementos conectados en tres nodos es una armadura rígida (figura 6. Primero. por tanto. se obtienen las reacciones en los apoyos considerando a toda la armadura como un cuerpo libre. 2 y 6. se pasa una sección a través de los elementos BD. El método de los nodos también se extiende para el análisis de armaduras espaciales o tridimensionales [sección 6.6]. dicho elemento está en tensión [problema resuelto 6.BEER 06-ok. www. pero que se obtienen conectando rígidamente varias armaduras simples [sección 6.FreeLibros.25a. Un signo positivo indica que el elemento está en tensión. P2 P1 P3 n D B A G E C n a) P1 A P2 B FBD FBE C E FCE b) Figura 6. Si las armaduras simples que constituyen a la armadura compuesta han sido conectadas en forma apropiada (por medio de un perno y un eslabón o por medio de tres eslabones que no son concurrentes ni paralelos) y si la estructura resultante está bien apoyada (por medio de un perno y un rodillo).26a.qxd 09/10/09 09:13 AM Página 346 346 Análisis de estructuras Método de secciones del triángulo de fuerzas correspondiente. Si la fuerza ejercida por un elemento sobre un perno está dirigida hacia el perno.3]. se determina la magnitud de la fuerza FBD. Por ejemplo. si la fuerza ejercida por un elemento sobre un perno está dirigida hacia fuera de éste. esto es. dicho elemento está en compresión.me . donde m es el número de elementos.26b). Algunas veces se simplifica el análisis de una armadura si se identifican primero los nodos que se encuentran bajo condiciones especiales de carga [sección 6. la cual representa la fuerza en el elemento BD. Si se escribe 兺ME 0. El método de secciones es más eficaz que el método de los nodos cuando únicamente se desea determinar la fuerza en un solo elemento —o en muy pocos elementos— [sección 6.26 Armaduras compuestas El método de secciones es útil para el análisis de armaduras compuestas. se remueven dichos elementos y se usa la porción ABC de la armadura como un cuerpo libre (figura 6. armaduras que no se pueden construir a partir de la armadura triangular básica de la figura 6. r es el número de incógnitas que representan a las reacciones en los apoyos y n es el número de nodos.1]. Entonces se satisface la siguiente condición necesaria —pero no suficiente—: m r 2n. un signo negativo indica que el elemento está en compresión [problemas resueltos 6. BE y CE.qxd:BEER 06. la armadura compuesta será estáticamente determinada.8].7].5]. para determinar la fuerza en el elemento BD de la armadura de la figura 6. rígida y completamente restringida. 7]. Por otra parte. De hecho. Cuando dos elementos sujetos a fuerzas múltiples están conectados por un perno.12.BEER 06-ok. como se sugirió.6]. se supone que los pernos forman una parte integral de uno de los elementos que éstos conectan.11].4 y 6. así como las fuerzas internas en cada una de las conexiones [sección 6. Las ecuaciones de equilibrio correspondientes proporcionan las fuerzas de salida ejercidas por la máquina en términos de las fuerzas de entrada que se le aplican.me 347 . problema resuelto 6. Si el armazón permanece rígido cuando se separa de sus apoyos. Análisis de un armazón Cuando se desensambla el armazón y se identifican los diversos elementos que lo constituyen como elementos sujetos a dos fuerzas o elementos sujetos a fuerzas múltiples. Entonces se pueden resolver las ecuaciones de equilibrio obtenidas a partir de los diagramas de cuerpo libre de los elementos sujetos a fuerzas múltiples para determinar las distintas fuerzas internas [problemas resueltos 6. las cuales se deben representar por dos componentes desconocidas.FreeLibros. este último actúa sobre los elementos sujetos a fuerzas múltiples con fuerzas iguales y opuestas de magnitud desconocida pero cuya dirección es conocida. También pueden emplearse las ecuaciones de equilibrio para completar la determinación de las reacciones en los apoyos [problema resuelto 6. sobre los cuales actúan tres o más fuerzas. Las máquinas están diseñadas para transmitir o modificar fuerzas y siempre contienen partes móviles [sección 6. observando que cuando dos elementos sujetos a fuerzas múltiples están conectados al mismo elemento sujeto a dos fuerzas. si el armazón es estáticamente determinado y rígido. éstos ejercen entre sí fuerzas iguales y opuestas cuya dirección es desconocida. Los armazones están diseñados para soportar cargas y usualmente son estructuras estacionarias totalmente restringidas. las reacciones involucran sólo tres incógnitas y se pueden determinar a partir de dichas ecuaciones de equilibrio [problemas resueltos 6. Se dibuja el diagrama de cuerpo libre de cada uno de los elementos sujetos a fuerzas múltiples.10]. Ambas son estructuras que contienen elementos sujetos a fuerzas múltiples.9]. Sin embargo. ésta se desensambla y con el mismo procedimiento empleado para un armazón. las reacciones involucran más de tres incógnitas y no pueden determinarse todas las incógnitas a partir de las ecuaciones de equilibrio para el armazón completo [sección 6. Análisis de una máquina www. primero se considera al armazón completo como un cuerpo libre y se escriben tres ecuaciones de equilibrio [sección 6. es conveniente considerar primero el diagrama de cuerpo libre para el armazón completo con el fin de minimizar el número de ecuaciones que se deben resolver de manera simultánea.qxd 09/10/09 09:13 AM Página 347 La segunda parte del capítulo estuvo dedicada al análisis de armazones y máquinas. los diagramas de cuerpo libre de los elementos sujetos a fuerzas múltiples pueden proporcionar un número de ecuaciones igual al número de fuerzas desconocidas (incluyendo las reacciones) [sección 6. se dibuja el diagrama de cuerpo libre de cada uno de los elementos sujetos a fuerzas múltiples.11.5].qxd:BEER 06.6]. problema resuelto 6.5]. Elementos sujetos a fuerzas múltiples Para analizar una máquina. si el armazón deja de ser rígido cuando se separa de sus apoyos.4 y 6. Repaso y resumen del capítulo 6 Armazones y máquinas Para analizar un armazón. El análisis real de estas deformaciones es parte del estudio de la mecánica de materiales.3d. Esto se muestra en la figura 7. Es obvio que la acción de las fuerzas internas en el elemento AD no se limita a producir tensión o compresión como en el caso de los elementos rectos sujetos a la acción de dos fuerzas. B B –V M D –P P C A a) D P A F –M –F D –P V b) Figura 7.3c.FreeLibros.me C c) . como se muestra en la figura 7.qxd 25/10/09 12:54 PM Página 355 7.4. Fuerzas internas en elementos D E F C B G D D W J T C T Cx Cy B V J M FBE F Ax A –F –M J C D –V Cx Cy B a) c) FBE Ax A Ay b) Cx C Cy B A Ay T FBE Ax A 355 Ay e) d) Figura 7.1 El diseño del eje de una sierra circular debe tomar en cuenta las fuerzas internas que resultan de las fuerzas aplicadas a los dientes de la cuchilla. Es necesario señalar que en un elemento sujeto a dos fuerzas que no es recto. las fuerzas internas también producen corte y flexión. Se observa que cuando se determinan las fuerzas internas en un elemento.3 considera el cuerpo libre JD. donde el elemento sujeto a dos fuerzas ABC ha sido cortado en D. por otro lado. una fuerza V para balancear la componente horizontal de T y un par M para balancear el momento de T con respecto a J. Fotografía 7. En la figura 7.2. Las fuerzas internas que actúan en la parte JD del elemento AD son equivalentes al sistema fuerza-par que se muestra en la figura 7.3e se bosquejan las deformaciones que ocurrirán en el elemento AD. se encuentra que se mantendrá su equilibrio si se aplica en J una fuerza F para balancear la componente vertical de T. La fuerza F es una fuerza axial. las fuerzas internas también son equivalentes a un sistema fuerza-par. De nuevo se concluye que debieron haber existido fuerzas internas en J antes de que se cortara el elemento AD. De acuerdo con la tercera ley de Newton. se debe indicar sobre qué parte del elemento se supone que actúan dichas fuerzas.07Chapter07Beer estática.4 www. la fuerza V recibe el nombre de fuerza cortante y el momento M del par se conoce como el momento flector o flexor en J. En un punto dado del eje. estas fuerzas internas son equivalentes a un sistema fuerza-par consistente en fuerzas axiales y cortantes y en un par que representa los momentos de corte y de torsión. las fuerzas internas que actúan sobre AJ deben ser equivalentes a un sistema fuerza-par igual y opuesto.qxd:BEER 07. 5 m E F 4.7° y A J F 1.8 m 1 200 N 3 600 N 2 400 N B K 1 800 N A SOLUCIÓN Reacciones y fuerzas en las conexiones.5 m V 3 600 N 1 200 N F B K M V 356 (1 800 N)(1.qxd:BEER 07. Las fuerzas internas en J están representadas por un sistema equivalente fuerza-par y se determinan al calcular el equilibrio de cualquiera de las partes en que ha sido dividido el elemento. b) Fuerzas internas en K. El sistema fuerza-par interno que actúa sox bre la parte JCF es igual y opuesto.2 m) M 0 M 2 160 N m F (1 800 N) cos 41. Si se considera el diagrama de cuerpo libre AJ.FreeLibros.7 m 1. D C 1 800 N A J 1 200 N C B 3 600 N F E 1 800 N 600 N a) Fuerzas internas en J. Si se hace el diagrama de cuerpo libre BK.7° 0 F 1 344 N V (1 800 N) sen 41.7 m B Para el armazón mostrado en la figura.6 m PROBLEMA RESUELTO 7. determine las siguientes fuerzas internas: a) en el punto J del elemento ACF y b) en el punto K del elemento BCD. se escribe y 1. esto se llevó a cabo en el problema resuelto 6. 2 400 N a C D K 2. Se corta el elemento ACF en el punto J y se obtienen las dos partes que se muestran en la figura.07Chapter07Beer estática.2 m A J 2. las fuerzas internas en J son equivalentes a un par M.qxd 25/10/09 12:54 PM Página 356 3.2 m V M l兺MJ 0: M V F q兺Fx 0: J C p兺Fy 0: 3 600 N F 1 800 N M 2 160 N m l F 1 344 N q V 1 197 N o Por tanto. Este armazón ya fue considerado en el problema resuelto 6. Se determinan las reacciones y las fuerzas que actúan sobre cada uno de los elementos del armazón. a una fuerza axial F y a una fuerza cortante V.me M 1 800 N m i F0 V 1 200 Nx .7° 0 V 1 197 N M F K C D 2 400 N x l兺MK 0: y兺Fx 0: x兺Fy 0: (1 200 N)(1.5. se escribe 1 800 N a = 41.1 1.5 m) M 0 M 1 800 N m F0 1 200 N V 0 V 1 200 N www.5 y los resultados encontrados se repiten a continuación. Se corta el elemento BCD en K y se obtienen las dos partes que se muestran en la figura. 1. www. 4. se deben repasar los métodos utilizados en el capítulo 6 para resolver este tipo de problemas. Por ejemplo.qxd 25/10/09 12:54 PM Página 357 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS EN FORMA INDEPENDIENTE En esta lección se aprendió a determinar las fuerzas internas en un elemento del armazón. se debe recordar que las fuerzas ejercidas por una polea sobre un elemento del armazón al cual está unida tienen la misma magnitud y dirección que las fuerzas ejercidas por el cable sobre la polea [problema 6. una fuerza cortante V y un par M que representa al momento flector en dicho punto.me 357 . Para determinar las fuerzas internas en un punto dado J de un elemento de un armazón. se debe tener cuidado de especificar la parte del elemento que se utilizó. cuando los armazones involucran poleas y cables. a) Si se suman momentos con respecto a J y se igualan a cero. la fuerza axial y la fuerza cortante.90]. Seleccionar uno de los dos diagramas de cuerpo libre que se han dibujado y utilizarlo para escribir tres ecuaciones de equilibrio para la porción correspondiente del elemento. puesto que las fuerzas y los pares que actúan en las dos partes tienen sentidos opuestos. 2. 5. Desensamblar el armazón y dibujar un diagrama de cuerpo libre para cada uno de sus elementos. se deben seguir los siguientes pasos.07Chapter07Beer estática.qxd:BEER 07. Cuando se escriban los resultados. 3. aplicando en el punto J de cada porción las componentes de fuerza y el par que representan las fuerzas ejercidas por la otra porción. Note que estas componentes de fuerza y pares tienen la misma magnitud pero sentidos opuestos. respectivamente. Puesto que la solución de los problemas propuestos correspondientes a esta lección requieren la determinación de las fuerzas que ejercen entre sí los distintos elementos de un armazón. Las fuerzas internas en un punto dado de un elemento recto sujeto a dos fuerzas se reducen a una fuerza axial. Se deben escribir tantas ecuaciones de equilibrio como sean necesarias para encontrar todas las fuerzas que actúan sobre el elemento en el cual está localizado el punto J. pero en todos los demás casos dichas fuerzas internas son equivalentes a sistemas fuerza-par constituidos por una fuerza axial F. Cortar el elemento en el punto J y dibujar un diagrama de cuerpo libre para cada una de las dos partes del elemento que se han obtenido de esta forma. se obtendrá una ecuación que proporcionará el momento flector en el punto J. b) Si se suman componentes en direcciones paralelas y perpendiculares al elemento en el punto J y se igualan a cero se obtendrán. Dibujar un diagrama de cuerpo libre para el armazón completo y se utiliza para determinar las reacciones que sean posibles en los apoyos.FreeLibros.