UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁCENTRO DE CIÊNCIAS AGRÁRIAS DEPARTAMENTO DE AGRONOMIA HIDRÁULICA PARA ACADÊMICOS DAS CIÊNCIAS AGRÁRIAS Prof. Paulo Sérgio Lourenço de Freitas Prof. Roberto Rezende. INDÍCE HIDRÁULICA............................................................................................................. 1 1. HIDROSTÁTICA.................................................................................................... 3 1.1 Conceitos básicos. .............................................................................................................3 1.3 Relações importantes........................................................................................................6 1.4 Manometria. ......................................................................................................................8 1.4.1 Formas de pressão................................................................................................8 1.5 Classificação dos manômetros.........................................................................................9 1.5.1 Manômetro de coluna líquida ..............................................................................9 1.5.2 Manômetro metálico ou manômetro de Bourdon. ...............................................9 1.6 Manômetro aberto ou piezômetro...................................................................................9 1.7 Manômetro em “U” ........................................................................................................10 1.8.1 Manômetro diferencial.......................................................................................11 1.9 Manômetro de Bourdon ( metálico)..............................................................................12 2.0 .HIDRODINÂMICA. .......................................................................................... 12 2.1 Classificação dos movimentos........................................................................................12 2.2 Linhas e tubos correntes ................................................................................................13 2.3 Equação da continuidade ...............................................................................................14 2.4. Teorema de Bernoulli para fluidos perfeitos. .............................................................15 2.5. Aplicação do teorema de Bernoulli aos fluídos reais..................................................19 Análise dimensional................................................................................................. 20 4.0 Perda de carga .................................................................................................... 24 4.1 A História da Equação de Darcy-Weisbach.................................................................24 4.2 Viscosidade ......................................................................................................... 28 4.3 Coeficiente de atrito f .......................................................................................... 30 4.4 Fórmula de Hazen-Willians ............................................................................... 38 5.0 Perda de carga localizada .................................................................................. 41 5.1 Métodos comprimentos virtuais ....................................................................................44 5.2 Diâmetro equivalente ........................................................................................... 1 Perda de carga em tubulações com saídas laterais espaçadas eqüidistantes ........... 2 3.1. Introdução .......................................................................................................... 12 3.1.1 Classificação das Máquinas de Fluido .......................................................................13 3.4.7 Semelhanças entre bombas .........................................................................................32 SOLUÇÃO ................................................................................................................. 52 3. MEDIÇÃO DE VAZÃO. ....................................................................................... 63 3.1 Medição direta ................................................................................................................63 3.2 Método do flutuador.......................................................................................................63 3.2.1 Determinação da velocidade média. ..................................................................64 3.2.2 Determinação da seção média do curso d'água. .......................................................65 3.3 Método do Vertedor. ......................................................................................................66 3.3.1 Equação geral da vazão para vertedores de paredes delgadas. ..........................68 3.3.2. Vertedor retangular de parede delgada .............................................................71 3.3.2.1 Equação de Francis. ........................................................................................72 3.3.3 Vertedor triangular.............................................................................................73 3.3.4 Vertedor trapezoidal de parede delgada.............................................................75 3.3.5 Vertedor retangular de parede espessa ..............................................................76 3.3.6 Instalação e operação de vertedores...................................................................78 4. ORIFÍCIOS. .......................................................................................................... 79 4.1 Classificação. ...................................................................................................................79 4.1.3 Quanto a natureza das paredes...........................................................................80 4.1.4 Quanto ao escoamento. ......................................................................................80 4.1.5 Quanto à contração da veia. ...............................................................................81 4.2 Equação para cálculo da vazão......................................................................................82 4.2.1 Orifícios afogados de pequenas dimensões em paredes delgadas. ....................82 4.3 Orifícios com escoamento livre de pequenas dimensões e paredes delgadas............84 4.4 Orifícios livres de grandes dimensões em paredes delgadas. .....................................84 4.4.1 para uma seção retangular..................................................................................85 .............................................0 LISTA DE EXERCÍCIO ......... 107 ............................................ 99 BIBLIOGRAFIA..............................................4..........................................................86 5....................................... ................................................2 Velocidade d'água nos canais..................................... .....4.......................92 5...........................................1 Locação direta..............................................................................4.97 5............................................................. 88 5.................................................................................99 6.........................................5 Escoamento com nível variável .............................1 Forma geométrica de canais..............3 construção de um canal................. ................97 5.....................................88 5....................................2 Locação indireta..................4.......................4 Locação de um canal........................................................0 ESCOAMENTO EM CONDUTOS LIVRES...............3 Dimensionamento de canais.......98 5.................................94 5.............................. em que cada problema era investigado isoladamente. tão em moda na Itália. Sextus Julius Frontinus foi nomeado Superintendente de Águas de Roma.C. em Nipur (Babilônia). tendo dado lugar a estudos teóricos que freqüentemente se afastavam dos resultados experimentais. e as contribuições de Galileu. Na Mesopotâmia. os conhecimentos que hoje constituem a Mecânica dos fluidos apresentavam-se separados em dois campos distintos: a Hidrodinâmica Teórica. atualmente a hidráulica tem significado muito mais amplo: é estudo do comportamento da água e de outros líquidos. foi construído na Assíria (691 a. condução). Grandes aquedutos romanos foram construídos em várias partes do mundo. existiam coletores de esgotos desde 3750 a. a atenção dos filósofos voltou-se para os problemas encontrados nos projetos de chafarizes e fontes monumentais. A hidráulica sempre constituiu fértil campo para investigações e análises matemáticas. o que contribuiu para que a Hidráulica fosse cognominada a “ ciência dos coeficientes”. tubo. Alguns princípios da Hidrostática foram enunciados por Arquimedes. No século XVI. água e aulos.C. Um novo tratado publicado em 1856 por Stevin. 1 HIDRÁULICA O significado etimológico da palavra hidráulica é “ condução de água” ( do grego hydor.C. No seu tempo. O primeiro sistema público de abastecimento de água de que se tem notícia. que estudava os fluidos perfeitos. Assim foi que Leonardo da Vinci apercebeu-se da importância de observações nesse ramo da ciência. existiam canais de irrigação construídos na planície situada entre os rios Tigre e Eufrates e. Torricelli e Daniel Bernoulli constituíram a base para o novo ramo científico. .). quer em movimento. Obras hidráulicas de certa importância remontam à Antigüidade. a partir de 312 a.C.C. A bomba de pistão foi concebida pelo físico grego Ctesibius e inventada por seu discípulo Hero (200 a. Várias expressões assim deduzidas tiveram de ser corrigidas por coeficientes práticos.). e a Hidráulica Empírica. no seu tratado sobre corpos flutuantes (250 a.). quer em repouso. o aqueduto de Jerwan.C. Entretanto. Devem-se a Euler as primeiras equações gerais para o movimento dos fluidos. No ano 70 a. Do primeiro ele tirou a concepção de que a matéria é composta de átomos que se movem rapidamente em todas as direções. A chave da interpretação das peculiaridades do movimento dos fluidos ideais. que o matemático suíço estruturou sua hidrodinâmica. Daniel Bernouili inspirou-se em Demócrito e Arquimedes para desenvolver as idéias centrais de sua mecânica dos fluidos. foi dada no Tratado de Hidrodinâmica. contemporâneo de Galileu. e a hidrodinâmica. com desenvolvimento da produção de tubos de ferro fundido. mas ele completou e confirmou seus resultados. que Daniel Bernoulii publicou em Estrasburgo. O norueguês Stevin.. Mas. A mecânica dos fluidos divide-se em duas partes: a hidrostática. portanto. é aos fluidos elásticos . em conseqüência do emprego de novas máquinas hidráulicas. Não se sabe se Blaise Pascal (1623-1662) tinha conhecimento do trabalho de Stevin. O grande sábio de Siracusa foi o primeiro a assinalar. que os fluidos não guardam espaços vazios entre si.que . complementando e sistematizando o estudo do princípio de Arquimedes. é que Hidráulica teve um progresso rápido e acentuado. ainda. por sua aplicação ao vôo de aparelhos mais pesados que o ar. Talvez o conjunto de estudos que realizou sobre o escoamento de um líquido por um orifício seja uma de suas mais importantes obras.os gases . em 1738. nos treze capítulos. Mas foi a partir dos conceitos de hidrostática e mecânica desenvolvidos por Arquimedes. principalmente graças a Euler. porém. ainda no século II a. que estuda o equilíbrio dos fluidos. Foi Torricelli quem se preocupou primeiro com o problemas suscitados pelo movimento dos fluidos.de cuja obra Daniel Bernoulli é considerado um continuador -. A primeira nasceu com Arquimedes . assinalando como a transmissão das pressões a todos os pontos de um líquido em equilíbrio podia ser aproveitada na prensa hidráulica. com crescimento das cidades e importância do sistema de abastecimento de água e. estudou a distribuição das pressões nos líquidos em equilíbrio. apresentando-se. Já os fundamentos da dinâmica dos líquidos surgem apenas no século XVIII. macroscopicamente contínuos e uniformes. com Stevin e Pascal. mas recebeu um estudo sistemático somente no final do século XVII. que estuda seu movimento. seguida de pequena apresentação da Hidrostática. O tratado principia com uma breve história da Hidráulica. A dinâmica dos gases apresenta impulso maior na atualidade. 2 Apenas no século XX.C. apesar de relativamente pouco conhecida. em Kg ou g V. HIDROSTÁTICA A hidrostática é ramo da hidráulica que estuda as forças que atuam nos líquidos. Para isto necessário medir a pressão. em Kgf/m3 ou N/m3. Para ele. 3 Bernoulli dedica a parte mais importante da obra. Os pulverizadores para fazerem aplicações eficientes devem operar em pressão adequada. esboçando uma teoria cinética dos gases.volume. a) Massa específica. e esta é medida por meio de manômetros. esses fluidos são compostos "de minúsculas partículas que se deslocam de cá para lá.massa específica.peso específico. m ρ= V onde: ρ . Estudo das pressões em que os líquidos estão submetidos é de grande importância para atividades agrícolas. 1. correspondem a uma força constante distribuída por toda a superfície em contato com o fluido. em m3 ou cm3 b) Peso específico p γ= V onde: γ . A idéia básica de sua teoria cinética é a de que a pressão de um fluido sobre a parede do recipiente que o contém é devida aos inúmeros choques (contra a parede) das pequenas partículas (moléculas) que compõem o fluido. em média. 1.massa da substância. numa movimentação rápida". A parede fica sujeita a uma multiplicidade de forças que.1 Conceitos básicos. . pois os sistemas de irrigação são projetados para funcionarem a uma determinada pressão. em Kg/m3 ou g/cm3 m. Prisma Imaginando-se no interior de um líquido em repouso. promovendo uma pressão sobre esta face P1. γ ρ d= Substância ou d = Substância γ H 2O ρ H 2O 1. em Kgf ou N. 4 P. segundo a vertical deve ter: Sendo F1 a força exercida pelo peso da água sobre a face superior do prisma.peso da substância. Na face inferior atua um força de empuxo que devida ao deslocamento da água pelo volume do prisma que pode ser calculada pela expressão E =γ V em que . um prisma ideal e considerando-se todas as forças que atuam nesse prisma.2 Lei de Stevin Figura 1. c) Densidade. P = γAh substituindo as forças na equação 1. sendo que a força que atua na face superior é devido a coluna de água sobre esta e força na face inferior é resultado do empuxo. Y Z X ∑Fy = 0 A forças que atuam sobre o prisma imaginário são devido a pressão que atua nas faces inferior e superior do prisma.volume do prisma Considerando que o sistema esteja em equílibrio. y e z. F 2 = P2 A.peso especifico do líquido V. F1 + P − F 2 = 0 (1) F1 = P1 A. Mas o que interessa no presente estudo é somatório das forças na direção da vertical. obtém-se: P1 A + γAh − P2 A = 0 ⇒ P1 − P2 = −γh P 2 − P1 = γ h “A diferença de pressões entre dois pontos da massa de um líquido em equilíbrio é igual a diferença de profundidade multiplicada pelo peso específico do líquido”. E outra força que atua no sistema é força peso do prisma imaginário. . 5 E. a força resultante sobre o sistema é zero em todas direções x.empuxo em kgf γ. esta coluna foi equilibrada pela pressão atmosférica . Experiência de Torricelli. 6 1. esta será calculada com sendo pressão produzida pelo peso do mercúrio no tubo sobre a base. considerando altura que mercúrio atingiu foi de 760 mm e que este produz uma pressão na base e. Consideraremos que o tubo utilizado por Torriceli apresentava uma área da base de 1 cm2. Figura 2. O mercúrio elevou-se em um tubo vedado a uma altura de 760 mm. a partir desta experiência mostraremos as unidades de maior utilização na hidráulica e na irrigação. F A pressão é dada por P = A . = 760 mmHg).3 Relações importantes Torricelli fez uma experiência com uma cuba de mercúrio ao nível do mar. A esta valor de coluna de mercúrio foi atribuído o valor da pressão atmosférica ao nível do mar( 1 atm. esta pode ser calculada de duas maneiras: Considerando que o mercúrio produz uma pressão na base do tubo. Existe duas maneiras calcular altura da coluna de água equivalente a pressão atmosférica.0336kgf Substituindo na expressão da pressão obtém-se: F 1. Substituindo o mercúro pela água. p γ= ⇒ P = γ V . é possível calcular o peso do líquido. isto implica que a pressão atmosférica ao nível do A 1 cm cm mar produz uma pressão equivalente a uma coluna de mercúrio de 760mm e uma pressão de 1.76 m = 7. P = γ V = 13600 kgfm −3 X 7. a coluna de líquido necessária para produzir a mesma pressão do mercúrio é muito maior.0366 kgf cm-2. Uma maneira de calcular a pressão é utilizando o princípio de Stevin.0336 2 .600 kg m-3. A coluna de mercúrio é sustentada por uma pressão de 1. 7 Considerando que as propriedades dos líquidos.6 x10 −5 m 3 = 1. transformaremos a unidade de pressão para kgf cm-2 para kgf m-2 isto resulta em: kgf kgf kgf kgf 1.0336kgf kgf P= = 2 = 1. então o volume do V mercúrio no tubo utilizado por Torricelli foi: Altura = 760 mm=0. e a partir do peso específico de um determinado líquido e conhecido o volume.0336 kgf cm-2 p γ = ⇒ P = γV V Como a unidade de peso específico é kgf m-3.76m = 1. O peso específico do mercúrio é de 13.0336 = 1.0336 = 1.76 m Área= 1 cm-21x 10-4 m-2 V = A h = 1 x10 −4 m 2 x 0. em razão do peso especifico da água ser muito menor do que a do mercúrio.0336kgf A A m 10 m m . a pressão pode ser calculada pela expressão: P = γ h = 13600 kgf m −3 0.6 x10 −5 m 3 O peso do líquido pode ser calculado.0336kgf m −2 Outra unidade de pressão muito utilizada na hidráulica e na irrigação é expressa em metros de coluna de água (mca).0336x10 4 = 10336 cm 2 10 − 4 m 2 m2 m2 F P kgf P kgf Pr essão = = ⇒ 10336 2 = − 4 2 ⇒ P = 10336 2 x10 − 4 m 2 ⇒ P = 1. Manometria é estudo dos manômetros. P -pressão efetiva. pode variar do valor negativo igual a pressão atmosférica local até valor positivo qualquer.c. Manômetros são dispositivos utilizados na medição de pressão efetiva em função das alturas das colunas líquidas. 8 p kgf γ = ⇒ P = γV ⇒ P = γAh ⇒ 1.1 Formas de pressão.033 Kgf/cm2 = 760 mmHg. Para atmosfera técnica: 1 atm = 10 m.são medidas em uma escala cuja origem coincide com vácuo completo. 1. é medida em uma escala cuja origem coincide com a pressão atmosférica local.0 Kgf/cm2 = 760 mmHg. pode ser positiva. e chamada de pressão efetiva negativa ou vácuo. 1. .4.76m = 1000 3 xh ⇒ = h ⇒ h = 10.336mca 2 2 m m 1000 Para atmosfera normal ou física: 1 atm = 10. Absoluta e efetiva ( ou manométrica ou piezométrica) Pabs = p + Patm P abs -pressão absoluta.33 m. negativa ou nula. Quando a pressão efetiva é menor do que zero.336mca 1000 x10 − 4 Outra maneira de chegarmos ao mesmo valor é igualando a pressão produzida pela coluna de mercúrio e pressão produzida pela coluna de água Pr essão HG = Pr essão H 2O kgf kgf 10336m γ HG hHG = γ H O hH O ⇒ 136000 3 x 0.a= 1. Pabs e Patm .c.4 Manometria.0336kgf = 1000 3 x10 − 4 m 2 xh V m 1. ou sucção ou depressão. assim sendo podem ser positivas.a= 1.0336 onde h é igual h = mca = 10. c.c.5= 4 m. 1.a e P = -9 m.a e P = .a C C Pabs =0 m.a 1.piezômetro simples ou manômetro aberto . A altura da coluna do líquido acima do ponto A é valor da pressão em que submetido o referido ponto.c.5.1 Manômetro de coluna líquida .c.c.a e P = 15 m.5 m. Representação da pressão absoluta e manométrica.2 Manômetro metálico ou manômetro de Bourdon.5.c.Tubo em U .6 Manômetro aberto ou piezômetro. A A Pabs = 15+9= 24 m.5 Classificação dos manômetros 1. 9 Figura 3. Consiste de um tubo transparente ligado ao interior da tubulação ou do recipiente que contém líquido.Manômetro diferencial 1. .a B B Pabs = 9 . em Kgf/m3 . . O líquido manométrico tem a finalidade de aumentar ou reduzir o comprimento da coluna líquida.altura da coluna do líquido. γ .pressão. em Kgf/m2 . e densidade maior. h.7 Manômetro em “U” utilizado para medir pressões de pequenos e grandes valores. Qualquer que seja o local da inserção do tubo piezométrico. benzina e gasolina. ser imiscível com líquido de contato e apresentar coloração diferente do líquido de contato. 1. a leitura h acima do ponto A é sempre a mesma. Um líquido para ser usado com líquido manométrico deve apresentar as seguintes características: apresentar densidade definida.peso específico do líquido. 10 Figura 4.Esquema de piezômetros Esse manômetro é utilizado para medir pequenas pressões. P=γ h P. em m. formar menisco com líquido de contato. se a pressão e elevada. Os líquidos manométricos mais utilizados são: mercúrio. Para isso utiliza-se líquido indicador ou líquido manométrico com densidade menor que a do líquido do recipiente se a pressão é muito pequena. tetra cloreto de carbono. h 1. p A − γ 1. 11 Figura 5 Esquema de manômetro em “U” Pressão no ponto A.1 Manômetro diferencial .h = 0 p A = γ 2 .h p A = ( γ 2 − γ 1 ).8.h − γ 1 .h − γ 2 . 6. Com isso a seção circular tende a ser reta que por sua vez acarreta um aumento no raio de curvatura do tubo metálico e movimenta ponteiro sobre uma escala graduada diretamente para medir a pressão correspondente à deformação.HIDRODINÂMICA.1 Classificação dos movimentos.9 Manômetro de Bourdon ( metálico) Consiste de um tubo metálico de seção transversal ( seção reta) elíptica que tende a deformar quando a pressão P aumenta. 2.0 . 2. { Permanente { { Movimento Variado Uniforme acelerado Não -uniforme retartado . em conseqüência disso apresenta baixa precisão. 12 Figura. O manômetro metálico pode sofrer deformações permanentes. Esquema do manômetro diferencial 1. A hidrodinâmica tem por objeto o estudo do movimento dos fluidos. Figura 7 Esquema de funcionamento de um manômetro de Bourdon. a vazão é constante. além de mudarem de ponto para ponto. fonte: Azevedo Netto . 2. passa. no instante t considerado.2 Linhas e tubos correntes Em um líquido em movimento. pressão) são função exclusiva de ponto e independem do tempo. As linhas de corrente são as curvas que. sendo formados por linhas de corrente. Pelo próprio conceito. Em cada ponto de uma corrente. 13 Movimento permanente é aquele cujas características ( força. essas curvas não podem cortar-se. limitada por linhas de corrente. Um tubo de corrente as dimensões transversais sejam infinitesimais. Com o movimento permanente. Em curso d'água que ocorre uma cheia o movimento é variado podendo ser acelerado ou retardado. constitui que se chama filete de corrente. variam de instante em instante. pode-se considerar um tubo de corrente como figura imaginária. velocidade. são em função do tempo. às velocidades V. As características do movimento variado. Os tubos de corrente. consideram-se linhas de corrente as linhas orientadas segundo a velocidade do líquido e que gozam da propriedade de não serem atravessadas por partículas do fluido. isto é. animada de uma velocidade V. Quando a seção do curso d'água é variável o movimento é permanente acelerado ou retardado. uma partícula de fluido. Admitindo-se que o campo de velocidade V seja contínuo. matem-se tangentes aos pontos. em cada instante t. O movimento no curso d'água com seção é constante o movimento é permanente e uniforme. gozam da propriedade de não poderem ser atravessados por partículas de fluido. A. ) se o líquido for considerado incompreensível V1 A1 = V 2 A 2 de um modo geral. Linhas e tubos de corrente. teríamos w1 = γ2 V2 A2 Tratando-se de movimento permanente.área da seção de escoamento. em m3 s-1. V .3 Equação da continuidade Considerando-se o trecho de um tubo de corrente. em m2. de modo que w1 = γ1 ∫ V1 dA1 = γ1 V1 A1 onde V 1 é velocidade média na seção. Para a outra seção.vazão. . 2. a quantidade de líquido que atravessa a seção A1 é igual a quantidade que passa na seção A2 . Q . na unidade de tempo. indicado na figura com seções dA 1 e dA 2 e velocidades respectivas V 1 e V 2 . será: dw 1 = γ 1 V 1 dA 1 Uma corrente de dimensões finitas seria integrada por um grande número de tubos de corrente. em m s-1. 14 Figura 8. γ1 V 1 A 1 = γ2 V2 A2 (γ 1 = γ2 .velocidade média na seção. a quantidade de líquido de peso específico γ que atravessa a seção. Q = V 1 A 1 = V 2 A 2 = AV Em que. -o escoamento é permanente. Um tubo de corrente. passam a A1 '.4. V1 eV 2 . o líquido passasse de A1 A1 ' para A2 A2 '. Teorema de Bernoulli para fluidos perfeitos. neste intervalo de tempo. deixando-se de considerar aquelas que atuam normalmente à superfície lateral do tubo. num pequeno intervalo de tempo. temos: V12 V12 ( p1 − p2 ) − = + (Z 1 − Z 2 ) 2g 2g γ . inicialmente em A1 . Nas seções A1 e A 2 p e p indicadas. γ A1 ds1 = γ A2 ds2 = γ Vol e a soma dos trabalhos das forças externas( empuxo e gravidade) será: p A1 ds1 − p A2 ds2 + γ Vol ( Z1 − Z 2 ) 1 2 fazendo: p Mg γ Vol γ = V onde o peso: P = Mg ⇒ γ = V ⇒ M = g 1γ 1γ Vol V22 − Vol V12 = (P1 − P2 )Vol + γ (Z 1 − Z 2 )Vol 2g 2g simplificando a expressão. no qual escoa um líquido de peso específico γ . de área atuam as pressões 1 2 . respectivamente. enquanto que as A2 movem-se para A2 ' tudo ocorre se. sendo as velocidades. As partículas. não apresenta viscosidade e atrito externo. Serão estudadas apenas as forças que produzem trabalho. 15 2.o fluido é perfeito. Para dedução do teorema considerou-se as seguintes hipóteses: . -a energia se conserva. De acordo com o teorema das forças vivas “ variação da força viva em um sistema iguala o trabalho total de todas as forças que agem sobre os sistema” Assim considerando a variação da energia cinética: 1 1 1 m 2 V 22 − m 1V 22 = mV 2 2 2 Sendo o líquido incompressível. isto é. Calcular a pressão na seção inicial da tubulação de 250 mm(10”). Exercício 1. Esquema para dedução do teorema de Bernoulli. A pressão atuando na superfície da água é a pressão atmosférica. Figura 10. como atua em todos sentidos. Resolução: Denominando de 0 um ponto na superfície da água no reservatório. O ponto 0 localizado na . A vazão foi medida. altura da água H na barragem. De uma pequena barragem(Figura 10). a resultante da pressão atmosférica é nula. Esquema do exercício 1. havendo depois uma redução para 125 mm. encontrando-se 105 l/s. 16 p1 V2 p 2 V2 2 + 1 + Z1 = + + Z 2 = constante γ 2g γ 2g Figura 9. com poucos metros de extensão. então a pressão no ponto 1 é zero. parte uma canalização de 250 mm de diâmetro. e aplicando a equação de Bernoulli. denominando 1 o ponto na saída do reservatório. a água passa para atmosfera sob forma de jato. 01227 m 2 4 4 m3 0. como o movimento é permanente(as características que definem o movimento não mudam com o tempo).105 s 1000 s s O diâmetro na seção 2 é 125 mm é necessário transforma-lo para metros 0. para solucionarmos. não existe movimento da superfície do líquido. e como houvesse uma vazão de entrada na caixa igual a vazão estabelecida na tubulação.125 2 A= = = 0.01227 m 2 V ⇒ V = s 0. vamos relacionar o teorema de Bernoulli nos pontos 0 e 2 p0 V 02 p V2 + + Z0 = 2 + 2 + Z2 γ 2g γ 2g V 22 0+0+ H =0+ +0 2g V 22 0+0+ H =0+ +0 2g V 22 H = 2g A velocidade do escoamento da água na tubulação pode ser calculada pela seguinte equação: Q = AV Como a vazão é 105 L s-1 é necessário transformá-la para unidades de m3 s-1.127 m 2 m 2s s . p0 V 02 p V2 + + Z 0 = 1 + 1 + Z1 γ 2g γ 2g p1 V 12 0+0+ H = + +0 γ 2g p1 V 12 H = + γ 2g Na equação acima temos duas incógnitas. Considerando o plano de referência no eixo da tubulação.105 = 0. 17 superfície.105 m3 3 s = 8.125 m.55 m = 8.55 m Q = AV ⇒ 0. π D2 π 0. L 105 m 3 m3 105 = = 0. 49 mca γ Exercício 2. a pressão eleva-se para 21 lb pol-2 Calcular a velocidade e a vazão. em um pequeno trecho. mas primeiro vamos calcular a velocidade no ponto 1 utilizando a equação continuidade: π D 12 π 0 . . 726 m 2g 2 * 9 . 18 Calculando a altura H da água no reservatório V 22 8 .55 2 H = = = 3. Esquema do exercício 2.137 2 s s p1 V 12 p 2 . uma seção contraída de 75 m.81 A partir deste valor é possível calcular a pressão da água no ponto 1. A três metros acima desse ponto. 2329 ⇒ 1 = 3. 0491 m = 8 . 49 mca γ 2g γ 2 * 9 . 0491 m 2 4 4 m m V 1 A1 = V 2 A 2 ⇒ V 1 * 0 . 01227 m 2 ⇒ V 1 = 2 . Figura 11. Uma tubulação vertical de 150 mm de diâmetro apresenta.55 * 0 . 726 = 1 + ⇒ 3. 25 2 A1 = = = 0 . 726 = 1 + 0 . onde a pressão é de 1 atm.81 γ γ p1 = 3 .137 2 p p H = + ⇒ 3. 19 2. até o seu valor máximo no centro. em conseqüência das forças de atrito. o que se verifica é a variação de velocidade de ponto para ponto numa mesma seção. Por isso se introduz na equação de Bernoulli um termo corretivo h f ( perda de carga total). Nessas condições. o. A viscosidade e o atrito externo são os principais responsáveis pela diferença. e 2 quando. o valor desse coeficiente está próximo da unidade. Aplicação do teorema de Bernoulli aos fluídos reais Na dedução do teorema de Bernoulli foram feitas várias hipóteses. porém. sendo. Na prática. mas distribuição de velocidades. . será 1 quando houver uma velocidade única na seção. escoamento somente ocorre com uma perda de energia: perda de carga(a energia se dissipa sob a forma de calor).5. Geralmente. outra deve ser considerada: a dedução foi realizada para um tubo de corrente considerando-se determinada velocidade para cada seção. A experiência não confirma rigorosamente o teorema de Bernoulli. mca α -coeficiente de correção( coeficiente de Coriolis) Q V 1 -velocidade média na seção igual a A1 O valor de α varia entre 1 e 2. a velocidade variar parabolicamente de 0. omitido em muitos problemas da prática. Próximo às paredes do tubo. isto porque os fluidos reais se afastam do modelo perfeito. em uma canalização. mca Hf – perda de carga contínua. Corrige-se o termo V2 : g p1 V 12 p2 V 22 +α + Z1 = +α + Z2 + hf γ 2g γ 2g hf = Hf + ha Em que: hf – perde carga total. mca Há – perda de carga localizada. por isso. não tem velocidade única. 2 2 p1 V1 p V + + Z1 = 2 + 2 + Z 2 + h f γ 2g γ 2g Além dessa correção. Para escolher C n . Esta regra estabelece que as equações analiticamente deduzidas que regem os fenômenos. Um termo π forma-se como se segue. Buckingham sugeriu que se formasse grupos de parâmetros adimensionais a partir de uma série de parâmetros definidores do fenômeno.. o aumento desta implica em . a3 .. O teorema só permite determinar inteiramente os valores dos expoentes incógnitas quando o número de tais incógnitas é igual ao número de equações independentes de condição a que podemos recorrer. π = a1C1 a 2C 2 a3C 3 . Tais grupos seriam formados por multiplicação. a n ) Podem ser localizados conjuntos de variáveis que constituem agrupamentos naturais e..1. C 3 . Redução do número de variáveis Se um fenômeno físico qualquer se rege por uma relação entre π grandezas. Análise adimensional aplicada a perda de carga Para o caso de perda de energia em escoamentos. para qualquer fluido a perda de carga pode ser representada pela diferença de pressão ∆P entre dois pontos do escoamento desde que o escoamento seja plenamente estabelecido. 20 Análise dimensional Pode-se aplicar o teorema de Buckingham as grandezas entre as quais há alguma razão teórica ou experimental que permita admitir que exista uma relação.. Buckingham argumentou que uma adequada seleção dos expoentes levaria a um termo π adimensional. reduzir a dimensionalidade do problema. A experiência mostra que a perda de carga que ocorre em tubulação que conduzem água sob pressão é função velocidade (V) de água na tubulação. 3. a 2 . em tubulações de diâmetro constante. adapta-se a regra da homogeneidade dimensional. trabalhando com eles.C n . fato que poderá explicar a utilização do termo simbólico π para os representar. terão de ser válidas para todos os sistemas de unidades.. f (a1 .a nCn1 Multiplicando todos os parâmetros da série descritiva depois de elevarmos às potências C1 . C 2 . V . A experiência mostra ainda que. Matematicamente o problema pode ser expresso: F1 (∆p. a grandeza dependente (∆P) deve ser eliminada do sistema probásico. sempre que houver ρ. O comprimento da tubulação (L) tem uma relação direta com a perda de carga. L. ou seja: F1 (∆p. 21 maior perda de carga. π 2 . π 3 . cinemática e geométrica. em que grandezas de base devem ser dinâmica. a sua relação com perda de carga é inversa. Os termos π1. µ . ε ) = F2 (π 1 . ρ . Quanto ao diâmetro (D) o aumento deste reduz a perda de carga na tubulação. π 4 ) A experiência e a técnica de uso do teorema mostram que as grandezas de base devem ser tantas quantas forem as unidades fundamentais (3). D. V e D envolvidos no fenômeno. O teorema dos π ou teorema de Buckingham permite escrever a função F1 através de 7-3=4 adimensionais (4 termos π). V grandeza cinemática e D uma grandeza geométrica). V . E esta também depende das características do escoamento(Re) e da rugosidade interna das paredes da tabulação (ε ) . π2. D. π3 e π4 são representados por: . devem ser grandezas de base (ρ é grandeza dinâmica. o que vem a ser uma forma mais condensada. ε ) Estas grandezas físicas podem ser expressas como: F MLT − 2 [∆p] = = = MLT − 2 L− 2 = ML− 1T − 2 A L2 [D] = L −1 − 2 F ∂Z ML T − 1 −1 [µ] = = L − = ML T A ∂V L 2 LT 1 [V ] = LT −1 [ρ ] = massa = M L−3 Volume [ε ] = L [L] = L Existem 7 grandezas físicas e 3 unidades fundamentais. µ . L. ρ . vem: Para π1 a1 − 1 = 0 a1 = 1 − b1 + 2 = 0 ⇒ b1= 2 − 3a + b c c 1 1+ 1+1= 0 1= 0 ρV 2 π 1 = ρ V b D c ∆P −1 = ρ 1 V 2 ∆P −1 = a 1 1 1 ∆P ρV 2 π1 = ∆P ∆P π1 = ρV 2 para π2 a 2 − 1 = 0 a1 = 1 − b 2 + 1 = 0 ⇒ b = 1 − 3a + b c c 2 2 + 2 +1= 0 1=1 . 22 π1 = ρ 1 V b1 D c1 ∆P −1 π3 = ρ 3 V b3 D c3 L−1 a a π 2 = ρ a 2 V b2 D c2 µ −1 π 4 = ρ a 4 V b4 D c4 ε −1 π 1 = (ML−3 ) (LT ) (L) (ML ) −1 b1 −1 −1 T −2 a1 c1 a2 b −1 π 2 = ML− 3 LT −1 2 (L )c2 ML−1T −1 π 3 = (ML−3 ) (LT ) (L) (L ) a3 −1 b3 c3 −1 π 4 = (ML−3 ) (LT ) (L) (L) −1 b4 −1 a4 c4 π 1 = M a1 −1L− 3a1 + b1 + c1 +1T − b1 + 2 = M 0 L0T 0 π 2 = M a 2 −1L− 3a 2 + b2 + c 2 +1T − b2 +1 = M 0 L0T 0 π 3 = M a3 L− 3a3 + b3 + c3 −1T − b3 = M 0 L0T 0 π 4 = M a 4 L− 3a 4 + b4 + c 4 −1T − b4 = M 0 L0T 0 Igualando-se os expressos a zero. Re y. D D ρV 2 ∆p L ε = F3 . π 3 . . . π 4 ) = F2 . Re y ρV 2 D D . π 2 . 23 ρV D π 2 = ρ a 2 V b2 D c 2 µ −1 = ρ 1 V 1 D1 µ −1 = µ ρ V D VD π2 = = µ ν Número de Reynolds para π3 a 3 = 0 a3 = 0 − b3 = 0 ⇒ b3 = 0 − 3a + b c c 3 3+ 3−1= 0 3 =1 π 3 = ρ a3 V b3 D c3 L−1 = ρ 0 V 0 D1 L−1 = DL−1 = D L D π3 = L para π4 a 4 = 0 a 4 = 0 − b 4 = 0 ⇒ b4 = 0 − 3a + b + c c 4 4 4 −1= 0 4 =1 π 4 = ρ a 4 V b4 D c 4 ε −1 = ρ 0 V 0 D1 ε −1 = D ε −1 = D ε D π4 = ε rugosidade relativa ε π4 = D L ε ∆p F2 (π 1 . Re y g D D V2 L ε hf = 2 F4 . Ela é conhecida pelo nome de dois grandes engenheiros hidráulicos de meados do século XIX. L V2 hf = f esta é equação de Darcy-Weisbach deduzida a partir da análise D 2g dimensional 4. Re y ρV 2 D D Pressão pode ser expressa por: ∆ p = ρ g h f ρ ghf L ε = F4 . Re y o coeficiente de atrito é função do rugosidade relativa e número D de Reynolds. Re y ρV 2 D D V2 L ε hf = F4 . 24 ∆p L ε = F4 .0 Perda de carga 4. embora outros nomes tenham dado também importantes .1 A História da Equação de Darcy-Weisbach O que nós chamamos de equação de Darcy-Weisbach tem uma longa história de desenvolvimento. Re y 2g D D ε f = 2 F4 . d e e são coeficientes empíricos para um dado tipo de tubo. seu trabalho não foi o primeiro nesta área. publicou um relato descrevendo-o. é tradicional chamar f de "fator f de Darcy". .Comprimento do tubo. Darcy desta forma introduziu o conceito de coeficiente de atrito escalonado por diâmetro.Diâmetro de tubo. m V . sua equação teve fraco desempenho comparado com a equação empírica de Prony Apesar de Weisbach ter estado à frente da maioria dos outros engenheiros. Sua nova equação foi. Ele publicou uma compilação dos valores de f como uma função do material do tubo e da velocidade. publicou uma equação para escoamento em canais abertos que podia ser reduzida à mesma fórmula. Contudo.Fator de atrito. 25 contribuições. um diplomado precoce da l'Ecole des Ponts et Chaussées. Infelizmente. mca L . L d e 2 hf = c + 2 V + d + V D D D Em que.Perda de carga. o trabalho de Chézy ficou perdido até 1800 quando seu antigo aluno. c. Prony. Surpreendentemente Prony desenvolveu sua própria equação.Aceleração da gravidade m s-2 f . ainda que Darcy nunca tenha proposto isto naquela fórmula. m D . Portanto. o que nós atualmente chamamos de rugosidade relativa. ele não proveu dados adequados para a variação de f com a rugosidade relativa e com a velocidade. Antoine Chézy (1718- 1798).Velocidade média. adimensional Entretanto. propôs em 1845 a equação que nós usamos atualmente. Aproximadamente em 1770. natural da Saxônia. mas é sabido que Weisbach estava ciente dos trabalhos de Chézy na publicação de Prony. Julies Weisbach (1806-1871). L V2 hf = f D 2g onde hf . Os dois conceitos foram juntados por Fanning em 1880. quando aplicando o Diagrama do Moody. Darcy em 1857 publicou novas relações para o coeficiente de Prony baseado em um grande número de experimentos. m s-1 g . Por isto. 00025 Concreto liso (forma metálica) 0.0001 Concreto rugoso 0.0005 Aço rev. . Rouse e Nikuradse. epóxi 0. De um ponto de vista prático. Reynolds. que são válidas para estreitas faixas de aplicação. Jardim. Centrifugado 0. Portanto. e assim os valores do "f de Fanning" são apenas 1/4 dos valores do "f de Darcy". com ferrugem leve 0.0003 Aço com ferrugem leve 0.0015 Alumínio 0. Material do tubo Rug. tal como a equação de Hazen-Williams. ele deixa de lado importantes contribuições.000122 Aço com cimento centrifugado 0. não revestido novo 0.00006 Plásticos 0. vinil.007 Ferro fundido asfaltado 0. O nome é suficientemente bom. cobre 0. Textos mais antigos geralmente não davam nome à equação. a equação de Darcy-Weisbach somente tornou-se popular a partir do advento das calculadoras eletrônicas.0001 Concreto muito rugoso 0.Valores de rugosidade equivalente Material do tubo Rug. a equação de Darcy-Weisbach deveria ser considerada padrão e as outras deveriam ser deixadas para os historiadores. Ela requer uma grande quantidade de operações quando comparada a relações empíricas.0003 Concreto liso 0. Equiv (m) (m) Aço galvanizado 0. Colebrook. Uma recente e interessante discussão sobre este tema é apresentada por Liou (1998). por causa de sua precisão geral e ampla faixa de aplicação.0006 Ferro fund. c/esmalte.000004 Ferro fund. parece ser o primeiro a chamá-la de "Darcy-Weisbach". Locher (2000) e Swamee (2000).00006 Ferro fund.002 Fibrocimento 0. mas como mostrado anteriormente. 1944) que o construiu com base nos trabalhos de Poiseuille. White. Christensen (2000). Rouse. Rouse (1946). um óbvio ponto de confusão com a "Lei de Darcy". A equação de Darcy-Weisbach não foi universalmente proveitosa até o desenvolvimento do diagrama de Moody (Moody. equiv. Prandtl. Tullis. porém este nome não se torna universal até perto de 1980.000007 Concreto muito liso 0. 26 seria notado que Fanning utilizou o raio hidráulico. em 1946. ao invés de D na equação do atrito. centrifugado 0. Começando em meados do século 20 alguns autores.00016 Concreto alisado.0005 Manilha cerâmica 0.00012 Aço com grandes incrustações 0. Tabela 1 .00006 Valores extraídos de Assy. O nome da equação através do tempo é também curioso e pode ser localizado em livros-textos de hidráulica e mecânica dos fluidos.0001 Latão.0001 Ferro galvanizado 0. incluindo pelo menos um alemão. Kármaán. Blasius. Quintela. c/cim. Simon. Lencastre. chamaram-na de "Equação de Darcy".00015 Aço revestido com asfalto 0. 727 Óleo de algodão 38 38 Asfalto 120 1600 Óleo de baleia 38 38 Azeite 38 43 Óleo de linhaça 38 30 Benzol 20 0. a água tem compressibilidade igual a 5x10-5 cm2 Kgf-1. ao contrário do que se passa com os gases.(oC) ν (x10-6 ) Líquido Temp.66 Óleo bruto d= 0. do ponto de vista .612 Neste texto.(oC) ν (x10-6 ) Água 10 1. Por isto. A densidade dos líquidos.855 60 3. isto significa que em condições normais. o regime de escoamento é dito permanente. Estas condições representam a maioria das situações com as quais os projetistas de rede de tubulações hidráulica encontram.6 Óleo SAE-10 20 80 Glicerina 0 8310 Óleo SAE-10 30 45 Glicerina 20 1180 Óleo SAE-10 100 5 Glicerina 40 223 Tetracloreto carbono 20 0. Se a velocidade do fluido em qualquer seção do conduto não variar com o tempo.5 Água 80 0.5 Água 40 0. varia muito pouco quando se varia a sua pressão ou temperatura.855 40 4.855 100 2. uniformes e de seção circular.7 Álcool metílico 20 0. Entende-se por conduto forçado àquele no qual o fluido escoa à plena seção e sob pressão. seria necessário um incremento de pressão de 20 Kgf cm-2 para que um litro de água se reduza de 1 cm3.855 120 1.855 0 0. 27 Tabela 2 – valores de viscosidade cinemática (ν) m2/s Líquido Temp. para que sua densidade aumente um milésimo.855 80 2. Como exemplo.7 Água do mar 15 1.22 Óleo bruto d= 0.744 Óleo de soja 38 35 Gasolina 20 0.13 Água 20 1. Os condutos de seção circular são chamados de tubos ou tubulações.97 Óleo bruto d= 0.1 Água do mar 25 0.00 Óleo bruto d= 0. ou seja.61 Óleo bruto d= 0.5 Água do mar 5 1. em regime permanente. Abordaremos os aspectos práticos que envolvem a análise do escoamento de fluidos incompressíveis em condutos forçados. Um conduto é dito uniforme quando a sua seção transversal não varia com o seu comprimento.37 Óleo bruto d= 0.31 Leite 20 1. cm. cm s-1 ∆Z – Variação da altura entre as placas. óleo diesel.s ∆Z cm dina dina s µ= F= dina = = A∆V 2 cm cm 2 cm 2 cm s s . leite. Neste contexto se incluem querosene.2 Viscosidade A viscosidade de um fluido pode ser entendida como sendo a resistência a sua deformação. Dina µ . vinho. a densidade da água e de qualquer líquido é independente da temperatura e da pressão. Diante dessa reduzidíssima variação da densidade.g. vinhoto. água. álcool.Coeficiente de viscosidade dinâmica A – Área.variação da velocidade. O coeficiente de viscosidade dinâmica pode ser V+∆V ∆Z V A força tangencial que surge quando um líquido se desloca pode ser calculada pela seguinte fórmula: ∆V F=µA ∆Z em que F – Força. nos escoamentos de líquidos em regime permanente considera-se que os mesmos se comportam como incompressíveis. cm2 ∆V . 4. 28 prático. A unidade do coeficiente de viscosidade dinâmica no sistema c. gasolina. etc. com trajetórias irregulares. No escoamento laminar há um caminhamento disciplinado das partículas fluidas. sendo que as trajetórias de duas partículas vizinhas não se cruzam. é a utilização do número de Reynolds: VD Re = υ Substituindo na equação anterior na seguinte: número de Reynolds assume a conveniente forma: 4Q Re = πDυ Em que.diâmetro interno do tubo (m) Q .viscosidade cinemática do líquido (m2 s-1) Nas condições normais de escoamento o número de Reynolds é interpretado conforme segue Re > 4000. Re < 2000. então o escoamento é laminar.vazão no tubo (m3 s-1) n .número de Reynolds (adimensional) V . seguindo trajetórias regulares. Re . e em outro próximo da parede do tubo. .velocidade do líquido no interior do tubo (m s-1) D . então o escoamento é turbulento. e podendo uma mesma partícula determinado tempo localizar-se próxima do eixo do tubo. 29 dina s = poise cm 2 A unidade do coeficiente de viscosidade dinâmica no sistema Técnico kgf s m2 O coeficiente de viscosidade cinemática Os efeitos da viscosidade µ υ= ρ É conveniente ressaltar que um escoamento se classifica também como turbulento ou laminar. Já no escoamento turbulento a velocidade num dado ponto varia constantemente em grandeza e direção. O critério para determinar se o escoamento é turbulento ou laminar. estudos e pesquisas são realizados. Há tempo. onde não se pode determinar com precisão os elementos do dimensionamento. como ocorre em gotejadores de irrigação. e esta pode ser definida com a relação entre alturas das asperezas no tubo ε e seu diâmetro . o regime de escoamento na condução de líquidos no interior de tubulações é turbulento. procurando estabelecer leis que possam reger as perdas de carga em condutos. As equações que aqui são utilizadas se aplicam ao chamado escoamento turbulento. de Manning e de Flamant.8D δ= Re f δ −7 k< = 19. 30 Entre estes dois valores há a zona de transição. D A perda de carga que ocorre em escoamento de líquidos ao longo das tubulações. O atrito em sólidos há deslocamento entre as duas superfícies em contato. onde o escoamento é laminar. tais como escoamento a baixíssimas vazões. as vezes é interpretada de maneira equivocada como se atrito em líquidos fosse da forma do que ocorre em sólidos. sem dimensões.3 Coeficiente de atrito f O coeficiente de atrito f . é função do número de Reynolds e rugosidade relativa. enquanto. escoamento de líquidos não há deslocamento de fluido em contato com as paredes. junto as paredes forma uma camada aderente estacionária. D δ O valor da espessura da camada laminar aderente pode ser estimada pela seguinte equação: 32. exceto em situações especiais.5 a 30 D Re 8 3 ou . Várias fórmulas empíricas foram estabelecidas no passado e algumas empregadas até com alguma confiança em diversas aplicações de engenharia. como as fórmulas de Hazen-Williams. Em geral. 4. 8 x 0. VD 1.5 A definição de qual fórmula a ser utilizada depende do número de Reynolds e rugosidade relativa. Considerando um tubo de 50 mm de diâmetro e PVC com fluido deslocando a um a velocidade de 1.05 Calculando número de Reynolds: Re = υ = = 75.000 υ 1x10 − 6 32.5 m s-1.019 δ 0.05 * 75000 8 = 0.5 m s-1.000081 3 υ 1x10 −6 k < 100 = 100 = 0.019 δ 0.000067 V 1.05 δ= = = 0.0000159 k< = = 0.05 δ= = = 0.8D 32.5 a 30 D Re 8 = 30 x 0.5 0. Calculando número de Reynolds: VD 1. 31 υ k < 100 V Considerando um tubo de 50 mm de diâmetro e PVC com o fluido deslocando a uma velocidade de 1.0000159 k< = = 0. Tomando como exemplo a situação exposta a seguir.000159 Re f 75000 x 0.000053 3 3 δ −7 −7 k< = 19.8 x 0.5 0. Para regime de escoamento laminar a equação para calcular o valor do coeficiente de atrito: 64 f= Re No regime turbulento a definição de qual equação a ser utilizada depende do material do tubo e conseqüentemente da rugosidade.8D 32.000159 Re f 75000 x 0.05 Re = = = 75.000053 3 3 .000 1x10 − 6 32. 000081 3 υ 1x10 −6 k < 100 = 100 = 0.000. para valores de Reynolds menores que 100. 32 δ −7 −7 k< = 19.7 D R e f k Para tubos lisos o componente 3.5 a 30 D Re 8 = 30 x 0.316R e−025 Para condições de turbulência completa Nikuradse 1 D = 1.51 = −2LOG esta equação pode ser reescrita 1 = 2LOG 2. altura da asperezas é inferior a camada laminar (δ ) calculada pelas equações anteriores. que para que escoamento fosse considerado em tubos rugosos o δ valor de k < 3 Para tubos os lisos Von Kármán estabeleceu a seguinte equação: 1 ( = 2LOG R e ) f − 0.74 + 2LOG f 2ε Os valores de f obtidos para tubos rugosos são maiores do que os que seriam obtidos pela equação de tubo liso. Para o escoamento do fluido em que as condições são intermediárias 1 ε 2.05 * 75000 8 = 0. esta equação apresenta solução analítica.000067 V 1.000006 . para este caso. f = 0.51 = −2LOG + f 3.8 f Para condutos lisos. Para o tubo construído em PVC em que rugosidade das paredes o valor de k = 0.7 D torna-se muito pequeno e equação −1 1 2.51 f R f R f e f e . Blasius propôs uma equação.5 Para este escoamento se processando em um tubo construído com PVC e outro em aço galvanizado. 00551 + 20000 + D Re Para valores maiores que 107 1 f= ε 2 − 2 log D 3.51)− 1 = 2LOG 1 = 2LOG e ( R f ) f R f e −1 ( ) f 2. são seguintes equações: Para 4000 < Reynolds < 107 ε 10 6 3 1 f = 0.51) esta fórmula pode ser escrita da seguinte forma: 1 f ( = 2LOG R f − 0. 33 1 (2.51 1 f = 2LOG R ( e ) f − 2LO(2. Para as soluções das equações de Von Karman e Coolebrok-White pode-se adotar o procedimento a segui: .8 e ) Moody propôs uma equação para substituir a equação de Colebrok-White que apresenta solução analítica. qual necessário utilizar os métodos numéricos para obter os valores dos coeficientes de atrito.7 A partir da equação de Moody é possível confeccionar o ábaco mostrado na figura 1. A vazão é de 45 L/s. vencendo um desnível de 30m.000 υ 1x10 − 6 Vamos calcular o coeficiente de atrito ε 10 6 3 1 f = 0.0197 0. 250 230 . 000 .045 −1 O valor da velocidade V = πD 2 = π * 0.92m s Vamos calcular o número de Reynolds VD 0.200m de comprimento.250 Re = = = 230.00016 10 6 f = 0.00551 + 20000 + D Re 0. 4Q 4 * 0.92 * 0. da bomba ao reservatório superior.0003m.25 2 = 0. Dado: Є = 0. 34 Figura 1 – Diagrama de Moody Exemplo Uma bomba deverá recalcar água a 20 graus C em uma canalização de aço galvanizado com 250 mm de diâmetro e 1.055 * 1 + 20000 * + = 0. Qual deverá ser a pressão na saída da bomba? Usar a Fórmula Universal. 0826 f Q D5 * (0.125 Calculamos a perda de carga na tubulação.0197 * 2 5 0.125 458 .667 * 0.0826 * 0.00016 10 6 f = 0.0221 0 . 35 L 2 h f = 0.0221 * 2 5 0.045 −1 O valor da velocidade V = πD 2 = π * 0.045) = 4.125 Re = = = 458.00551 + 20000 + D Re 0. então p2=0. para calcularmos a pressão na entrada da bomba.125 2 = 3. 04 mca γ Considerando que a tubulação de diâmetro de 250 mm fosse substituída por uma tubulação de diâmetro de 125 mm.250 Calculamos a perda de carga na tubulação.045) = 145. p bomba V2 V2 + 1 + 0 = 0 + 2 + 30 + 4 .35 mca 1200 h f = 0.04 mca 1200 h f = 0. considerando o plano de referência na bomba z1=0. 04 γ 2g 2g p bomba = 34 .055 * 1 + 20000 * + = 0.667 m s Vamos calcular o número de Reynolds VD 3. p bomba V2 p V2 + 1 + Z1 = 2 + 2 + Z 2 + h f γ 2g γ 2g A velocidade na tubulação próxima a bomba é igual no final da tubulação v1=v2.375 υ 1x10 − 6 Vamos calcular o coeficiente de atrito ε 10 6 3 1 f = 0. 375 L 2 h f = 0. Z2=30m considerando que final da tubulação a pressão atuante é atmosférica.0826 f Q D5 * (0.0826 * 0. . 4Q 4 * 0. para calcularmos a pressão na entrada da bomba. O corrente valor da variável é o valor procurado. Z2=30m considerando que final da tubulação a pressão atuante é atmosférica. nos quais ordena-se adequadamente a equação. O número de repetições. porém colocando como valor inicial o novo valor calculado.Compara-se a diferença entre o valor calculado e o valor inicial com a tolerância estabelecida. muita utilidade em hidráulica.Arbitra-se um valor inicial qualquer para a variável do segundo membro. embora aproximativos. . o número de iterações poderá ser pequeno ou não. Os métodos numéricos. então p2=0. Encontram. isto é. É o caso dos métodos iterativos. mas para a que está no primeiro membro. 35 mca γ Obviamente. e se sucederá até que a diferença seja suficientemente pequena ou compatível com a precisão desejada. Se a diferença aumentar diz-se que os valores estão divergindo. 4. repete-se esta operação.Se maior. p bomba V2 V2 + 1 + 0 = 0 + 2 + 30 + 145 . calcula-se um novo valor para esta mesma variável procurada. isto é. e arbitra-se um valor inicial qualquer para a variável procurada que está no seu segundo membro. Se menor passa-se para o passo (5). e volta-se para o passso (2). o novo valor passa a ser o valor inicial. 5. 2- Calcula-se novo valor para a mesma variável que está no primeiro membro. 35 γ 2g 2g p bomba = 175 . contudo. 36 p bomba V2 p V2 + 1 + Z1 = 2 + 2 + Z 2 + h f γ 2g γ 2g A velocidade na tubulação próxima a bomba é igual no final da tubulação v1=v2. trata-se de uma equação implícita. dependendo do método a ser utilizado. a variável f aparece nos dois membros da equação. e se diminuir diz-se que os valores estão convergindo para a solução. Se a diferença entre o valor inicial e o novo valor calculado estiver fora da precisão desejada. considerando o plano de referência na bomba z1=0. Mas isto não sugere que seja impossível resolver equações implícitas. de forma não ser possível explicitá-la. 1. 3. são capazes de resolver equações implícitas com a precisão que se desejar. incorrem em operações matemáticas repetidas. Com o valor inicial já arbitrado. São métodos basicamente computacionais pois. 00016 + 10 = 0.0227)calculado Com este valor de f calcularemos o novo valor do diâmetro . L 2 h f = 0.123 Como f(0.67 m s −1 πD 2 π * 0.03. com uma perda de 35m em 1000m. para primeira tentativa de 0.03 (0. Dado: Є = 0.786 υ 1x10 − 6 ε 10 6 1 3 6 f = 0.1.02 O valor da velocidade V = = = 1.67 * 0. 02 ) 2 ⇒ D 5 = D5 35 D 5 = 0.0003 a 0.02 ) * 1000 2 35 = 0. (Usar a Fórmula Universal).0826 * 0.0826 0.123 2 VD 1.123 m 1 1 Com o diâmetro calculado. Tomaremos o valor de f.03) estimado difere do f (0.00002832 ⇒ (D 5 )5 = (0. 37 Exemplo Calcular o diâmetro que deverá assumir uma canalização de aço galvanizado amianto para transportar 20 L s-1 de água a 20 graus C.123 Re = = = 206.055 * 1 + 20000 * 0.00002832 ) 5 ⇒ D=0. 4Q 4 * 0.00551 + 20000 + = 0. Como não temos o diâmetro não é possível calcular o número de Reynolds. obervando o Diagrama de Moody verifica-se que o valor de f varia de 0.03 * 1000 * (0.0227 206786 D Re 0.0826 f Q D5 0.00016m. calcularemos um novo valor de coeficiente de atrito (f). A solução do exercício passa pela estima inicial de valor do fator de atrito(f). 3 * ln(2)]3 + . 4Q 4 * 0. Para determinação do valor do diâmetro utiliza-se um método numérico.00551 + 20000 + = 0.0227 * 1000 * (0.3 = 1 + 0.02 O valor da velocidade V = = = 1..23106 2 *1 3 * 2 *1 Em razão das dificuldades de obter o valor do coeficiente de atrito para a situação de projeto de rede hidráulica em que não conhece o diâmetro da tubulação utilizando a equação de Darcy-weisback.877 * 0. Antes da era computadores.1165 2 VD 1. .3 2 0.0227 (0.3 ln (2 ) + [0. havia grandes dificuldades de calcular valores.646 υ 1x10 − 6 ε 10 6 1 3 6 f = 0.1165 218 . 38 0. 02 ) 2 ⇒ D = 5 D5 35 ⇒ (D 5 )5 = (0. calcularemos um novo valor de coeficiente de atrito (f).055 * 1 + 20000 * 0. a x = 1 + x ln (a ) + [x ln(a )]2 + [x ln (a )] 3 + . = 1.877 m s −1 πD 2 π * 0.0826 0.0230 D Re 0.1165 Re = = = 216.. Desta forma dois engenheiros americanos propuseram uma equação e m que o coeficiente não dependia das características do escoamento..0826 * 0.02 ) * 1000 2 35 = 0. 646 Como o valor do f(0.00016 + 10 = 0.0227) da segunda tentativa converge para valor do f (0.1165 m 1 = 0. principalmente as potências de números fracionários.0227) calculado.000021432 ) 5 ⇒ D=0. O que poderia ser realizado utilizando séries come esta para calcular um número elevado uma potência.00002143 5 1 D Com o diâmetro calculado. 2! 3! Por exemplo para calcular 20..2 * ln(2)]2 + [0. 852 H f = 10. 39 4.852 D 4. novo 130 Latão 130 Alumínio 140 Considerando uma tubulação de 100 m de comprimento e para os diâmetros de 25 e 50 mm em PVC. rugoso e utilizando a equação de Blasius e Moody.valores de coeficientes de Hazen-Willians.Coeficiente de Hazen-wlliams é função do material que é fabricado tubo. Tabela 3 . Material Valor de C PVC 150 Aço galvazinado 130 Ferro fundido.00006 m e para aço zincado . aço zincado e ferro fundido foi calculado o valor de f. Os valores da rugosidade do tubo de PVC foi de 0. perda de carga utilizando as equações de Darcy e Hazen-Wilians. além do valor de f.4 Fórmula de Hazen-Willians A formula de Hazen-Willians é experimental.641 L C1. Q1. como fosse tubo liso.87 Onde C. sendo válida para água e para tubo de diâmetros iguais e superiores a 50 mm. 41 9.0294 0.0191 4.56 1.0312 0.65 37.13 4.06 7.96 8.86 4.02344 0.94 2.90 4.88 9.942 0.32 0.49 6.0235 0.0302 1.0243 0.454 0.035 0.15 3.48 4.0239 0.80 62.21 0.0193 4.0269 0.0193 0.407 0.0259 4.88 69.0316 0.38 8.0242 0.128 0.0236 7.0334 0.0242 0.07 7.221 0.79 3.06 4.85 4.55 2.814 0.0240 0.46 0. Valores de f e perda de carga (mca) calculada para tubo de PVC de 25 mm de diâmetro Valor de f Perda de carga Fórmula universal Vazão(m3 h-1) Reynolds Tubos Coolebrok Moody Blasius Tubos Coolebrok Moody Blasius Hazen- Lisos Lisos Wllinas 2.0376 0.0291 0.14 10.16 3.93 27.29 32.361 0.39 1.0194 3.57 22.17 3.15 3.23 12.12 4.721 8.0252 0.000 0.43 1.0240 0.0223 0.0372 0.0204 2.24 72.0191 0.84 3.89 13.08 4.0194 0.22 3.52 67.0236 0.21 17.0227 10.78 3. Valores de f e perda de carga (mca) calculada para tubo de PVC de 50 mm de diâmetro Valor de f Perda de carga Formula universal Vazão(m3 Reynolds Tubos Coolebrok Moody Blasius Tubos Coolebrok Moody Blasius Hazen- Lisos Lisos Wllinas h-1) 10.84 7.98 5.54 0.0240 0.0276 2.42 10.90 8.15 9.0301 0.98 3.314 0.0246 5.27 2.37 5.92 2.0304 0.0287 0.62 9.08 57.0241 0.59 0.44 Tabela 5.46 3.0198 3.0196 3.0201 0.63 3.49 3.87 3.38 4.16 64.70 3.38 4.77 1.500 0.0199 0.70 4.64 2.59 0.63 4.0202 2.268 0.91 9.57 2.0244 0.85 12.0237 0.0238 0.72 2.0346 0.57 1.0196 0.79 9.0281 0.02 2.58 1.024 0.0331 0.0197 0.0239 0.0200 3.60 75.0245 0.13 0.68 .21 5.44 59.029 0.37 4.13 5.03 5.0294 0.907 0.0286 0.0231 0.38 5.0296 0.175 0. 40 Tabela 4.52 1.0203 0.92 3.39 3. 0197 0.91 1.0300 0.08 8.26 2.64 3.02 12.0293 0.84 8.15 4.0223 0.17 4.0411 0.72 3.63 4.0291 0.39 1.39 4.91 12.63 4.06 9.0259 4.0194 3.000 0.03 0.23 15.500 0.06 5.08 8.0302 0.78 3.0227 10.13 6.14 4.06 10.0294 0.0290 0.44 59.0346 0.361 0.86 5.41 12.57 3.814 0.035 0.63 5.94 3.0301 0.0298 0.0290 0.0384 0.46 0.47 8.40 6.57 22.0196 3.0269 0.907 0.0300 0.93 27.49 6.53 2.88 69.85 12.71 3.76 4.55 5.81 5.0276 2.0292 0.721 0.0194 0.0299 0.92 4.16 4.0350 0.0200 3.0291 0.0302 0.38 6.0353 0.0382 0.0361 0.0191 4.0196 0.07 9.0203 0.38 5.08 57.24 72.0231 0.19 1.29 32.12 5.97 16. Valores de f e perda de carga (mca) calculada para tubo de aço zincado de 50 mm de diâmetro Valor de f Perda de carga Formula universal Vazão(m3 Reynolds Tubos Coolebrok Moody Blasius Tubos Coolebrok Moody Blasius Hazen- h-1) Lisos Lisos Wllinas 10.0289 0.0193 0.0356 0.72 9.221 0.0348 0.65 0.20 4.0199 0.80 62.03483 0.39 4.60 75.91 2.0252 0.70 4.0361 0.0191 0.0302 1.83 6.454 0.37 5.99 3.87 5.0369 0. Valores de f e perda de carga (mca) calculada para tubo de aço zincado de 25 mm de diâmetro Valor de f Perda de carga Formula universal Vazão(m3 h-1) Reynolds Tubos Coolebrok Moody Blasius Tubos Coolebrok Moody Blasius Hazen- Lisos Lisos Wllinas 2.0351 0.02 3.16 64.0193 4.81 1.54 0.52 67.65 0.0388 0.65 37.268 0.0236 7.21 17.62 3.78 8.0198 3.81 1.0293 0.94 2.0246 5. 41 Tabela 6.43 1.38 3.942 0.0411 0.407 0.58 0.175 0.0294 0.98 7.0202 2.0240 0.0201 0.67 5.49 .41 9.57 Tabela 7.128 0.0299 0.314 0.87 1.96 5.82 4.0204 2.40 8.76 10. 0389 0.66 5.0294 0.12 5.37 6.15 6.70 0.79 21.0269 0.80 62.91 17.454 0.0387 0.0503 0.0389 0.035 0.0497 0.29 32.49 6.05 16. Valores de f e perda de carga (mca) calculada para tubo de Ferro Fundido de 50 mm de diâmetro Valor de f Perda de carga Formula universal Vazão(m3 Reynolds Tubos Coolebrok Moody Blasius Tubos Coolebrok Moody Blasius Hazen- h-1) Lisos Lisos Wllinas 10.17 5.09 3.0199 0.0193 0.0197 0.15 6.38 6.63 5.0194 3.79 0.0231 0.13 8.0276 2.73 1.14 2.0498 0.175 0.98 7.16 64.64 3.942 0.128 0.907 0.08 57.65 37.0236 7.0223 0.0203 0.0198 3.0470 0.0200 3.0191 0.65 4.0227 10. Valores de f e perda de carga (mca) calculada para tubo de Ferro Fundido de 25 mm de diâmetro Valor de f Perda de carga Formula universal Vazão(m3 h-1) Reynolds Tubos Coolebrok Moody Blasius Tubos Coolebrok Moody Blasius Hazen- Lisos Lisos Wllinas 2.814 0.0202 2.0517 0.0193 4.73 7.51 10.88 69.0385 0.000 0.41 12.361 0.92 5.0385 0.0194 0.0191 4.0196 3.73 8.72 3.0387 0.85 12.62 1.0487 0.87 8.0479 0.0240 0.75 .314 0.94 4.11 3.0302 1.44 9.0386 0.44 59.43 1.28 1.21 17.0294 0.39 4.18 7.0385 0.0388 0.0504 0.64 6.60 2.63 7.38 8.39 8.86 4.0196 0.721 0.94 2.0201 0.10 7.0508 0.07 8.06 8.57 4.52 67.86 7.0472 0.65 3.23 22.0259 4.70 5.18 5.57 22.221 0.407 0.84 12.59 3.39 2.500 0.46 0.93 27.24 72.49 5.0384 0.87 5.0388 0.84 0.11 8.58 2.0346 0.0384 0.0537 0.0388 0.07 10.0389 0.0252 0.82 9.16 4.30 1.54 0.44 2.0384 0.28 8.08 9.80 4.0475 0.21 4. 42 Tabela 8.16 11.20 10.0500 0.0469 0.26 0.0384 0.60 75.0204 2.61 Tabela 9.268 0.0246 5. Nas condições de instalação de uma rede tubulação para recalque de água para suprir as necessidades humanas entre outras. para a montagem da tubulação.0 Perda de carga localizada O escoamento em tubulações em que há alteração da velocidade do fluido ou mudança da direção do escoamento causando uma perturbação promove uma perda de energia. 43 5. interrupção o fluxo da água e proteção do sistema contra fenômenos que surgem da interrupção brusca do fluxo. V2 V1 A1 A2 P1 P2 A perda de carga localizada pode ser estimada pela seguinte equação: p 1 V12 p V2 + + Z2 = 2 + 2 + Z2 + ht γ 2g γ 2g onde ht – perda de carga total (perda de carga localizada e contínua) p1 p 2 V2 V2 ht = − + 1 − 2 + Z1 − Z 2 γ γ 2g 2g A resultante atua da esquerda para direita (P1 − P2 )A2 A variação da quantidade de movimento Quantidade de Movimento = m (V1 − V2 ) mg γ= Vol . desvios de obstáculos. ou para fins de irrigação são necessárias. As perdas de cargas localizadas nas peças podem ser pequenas quando comparada com as perdas de carga contínuas que ocorrem ao longo da tubulação. várias peças que permitam acoplamentos dos tubos de diâmetros distintos. 44 Volγ m= g Volγ Quantidade de Movimento = (V1 − V2 ) g Impulso deve ser igual a variação da quantidade de movimento I = Ft Volγ Ft = (V1 − V2 ) g Vol γ F= (V1 − V2 ) t g (p1 − p 2 )A 2 = Q γ (V1 − V2 ) g p1 p 2 (V − V2 ) − A 2 = Q 1 γ γ g Q2 = S 2V2 p1 p 2 (V − V2 ) − A 2 = S 2 V2 1 γ γ g p1 p 2 (V − V2 ) − = V2 1 γ γ g Substituindo p1 p 2 V2 V2 ht = − + 1 − 2 γ γ 2g 2g p p V2 V2 h t = − 2 − 1 + 1 − 2 γ γ 2g 2g V − V 2 V12 V2 h t = − V 2 1 + − 2 g 2g 2g V − V2 V12 V2 h t = − 2 V 2 1 + − 2 2g 2g 2g − 2 V 2 V1 2 V 22 V2 V2 ht = + + 1 − 2 2g 2g 2g 2g V12 V2 h t = − 2 V1 V 2 + + 2 2g 2g . 30 Tê.40 Curva de 45º 0. Isto é ao comprimento real da tubulação será adicionado. 45 V12 V2 ht = + − 2 V1 V 2 + 2 2g 2g ht = (V 1 − V2 ) 2 2g A 1 V1 = A 2 V2 A1 V1 = V2 A2 2 A V1 − 1 V1 A2 ht = 2g 2 A V12 h t = 1 − 1 A2 2g V2 ha = K 2g Valores do coeficientes de K Peça K Ampliação Gradual 0.75 Cotovelo de 90º 0. um comprimento com propósito de calcular a perda de carga.75 Válvula de retenção 2.50 5.20 Válvula-de-pé 1. saída bilateral 1.40 Curva de 90º 0.90 Cotovelo de 45º 0. saída lateral 1.1 Métodos comprimentos virtuais Este método pressupõe a substituição das peças instaladas no sistema de tubulações por um comprimento virtual que provocasse a mesma perda de carga que as peças instaladas.30 Bocais 2.20 Te. As perdas de carga ao longo da tubulação pode ser estimada pela equação de Darcy- weisbach .50 Registro de gaveta aberto 0.80 Medidor venturi 2. L m= f D V2 Hf =m 2g As perdas localizadas podem ser estimadas V2 ha = K 2 então m=k L K= f D KD L= f Utilizando a equação acima e tabela de coeficiente de perda de carga localizada. 46 L V2 Hf = f D 2g Para uma determinada tubulação o comprimento L e diâmetro D e fator de atrito podem ser considerados constantes. calculou-se o compriemnto equivalente para tubos de aço galvazinado . 17 4.19 3.95 0.100 2.33 25.19 1.47 15.86 1.97 33.59 4.17 29.70 0.02 5.64 9.91 1.150 3.33 1.69 16.51 24.56 7.71 5.12 0.23 12.85 1.22 0.37 3.27 3.59 20. Para tubulações de PVC ou cobre.125 3.98 2.81 49.79 11.26 24.32 4.86 3.59 46.98 0.48 0.52 2.59 6.97 0.13 .82 4.350 11.26 2.67 0.53 16. Diâmetro Curva Curva Válvula de Válvula de Registro de Ampliaçã Cotovelo Cotovelo Tê saida Tê saida Redução de 90o de 45o pé crivo retenção Gaveta o Gradual de 90o de 45o lateral bi.96 1.04 3.37 1.39 0.21 1.33 0.69 35.99 8.42 1.200 5.79 68.43 7.71 0.09 3.99 2.95 17.78 2.43 1.28 3.40 7.91 10.64 18.82 5.075 1.38 2.37 4.99 12.97 3.22 0.91 0.19 19.19 2.88 20.025 0.38 14.250 7.19 10.02 35.52 0.300 9.20 0.44 1.59 7. 1 Para conexões e registros (em metros de tubulação).050 1.51 8.16 0.47 2.99 8.73 0.60 2.97 24.60 7.64 0.69 0.22 1.04 0.82 12.93 1.37 23.22 5. Gradual lateral 0.69 5.85 10.44 0.44 0.69 5.64 57.99 1.87 5.64 2.33 6.49 0.77 0.81 41. 62 0. Gradual lateral 0.89 25.88 2.20 0.94 13.83 1.93 1.075 1.43 0.22 0.019 0.20 0.93 3.40 0.77 1.76 1.58 0.35 1.89 3.75 49.82 0.10 0.30 3.300 6.46 2.58 2.76 0.72 32.78 0.88 0.60 7.45 0.10 0.29 0.60 1.60 3.76 8.79 0.65 0.100 1.10 0.250 5.15 0.10 1.10 4.73 1.73 10.26 14.14 9.94 17.83 3.45 1.27 1.88 24.45 0.08 5.15 0.20 1.65 4.35 0.19 0.28 0.66 0.83 17.75 5.24 1.20 29.49 0.95 1.49 1.050 0.21 16.77 0.56 4.25 0.12 0.17 0.125 2.68 1.36 2.26 0.52 1.46 0.14 0.24 1. 2 Para conexões e registros (em metros de tubulação).08 0.88 3.69 2.48 0.038 0.20 0.06 0.95 0.10 3.47 0.90 0.35 0.03 0.72 5.07 6.11 0.39 7.01 4.24 0.063 0.28 0.013 0.025 0.29 0.52 3.38 2.200 3.73 1.91 11.350 7.63 35.95 12.43 1.39 1.94 5.97 2.58 2.24 3.96 .89 14.87 2.94 2.25 3.37 1.05 0.20 0.11 0.16 3.52 21.42 1.45 0.32 0.12 0.21 0.69 2.93 0.38 6.08 0.60 11.69 0.88 0.39 0.150 2.09 0.20 7.18 0.97 8.64 0.26 4.16 0.77 3.66 5.21 2.05 0.68 6.14 0.64 1.37 0.92 17.032 0.55 2.28 0.68 40.75 7.21 17. Para tubulações de aço galvanizado Diâmetro Curva Curva Válvula de Válvula de Registro de Ampliaçã Cotovelo Cotovelo Tê saida Tê saida Redução de 90o de 45o pé crivo retenção Gaveta o Gradual de 90o de 45o lateral bi.21 2.96 8.97 12.06 0.49 2.55 0.29 0.56 0.92 23.20 0. Peça Números de diâmetros Ampliação Gradual 13 Redução Gradual 6 Cotovelo de 90º 36 Cotovelo de 45º 16 Curva de 90º 16 Curva de 45º 8 Te. saída bilateral 65 Registro de gaveta aberto 8 Válvula-de-pé 250 Válvula de retenção 100 .2 Diâmetro equivalente Considerando o comprimento equivalente apresentado na tabela de comprimentos equivalentes. Então a tabela de comprimentos equivalentes pode ser reduzida. 1 5.com coeficiente de variação na faixa de 9 a 26%. saída lateral 50 Tê. dividindo-se este comprimento pelo diâmetro da canalização verifica-se uma pequena variação no resultado obtido. apesar da variação da vazão que escoa ao longo da tubulação.0826 f (1) 5 D 0. Para calcularmos a perda de carga que ocorre ao longo da tubulação utilizaremos a equação universal. Q ( x )2 dx dh f = 0. diminuído a velocidade de escoamento. menor é valor da vazão que percorre o trecho da tubulação . podemos considerar a vazão constante neste trecho da tubulação. 2 Perda de carga em tubulações com saídas laterais espaçadas eqüidistantes Figura 1 – Esquema vazão distribuída ao longo da tubulação.0826 f K= D5 Considerando que esta parte da equação pode ser considerada constante. esta irá reduzindo ao longo da tubulação. para situação em que o diâmetro (D) é constante e o valor de f é tomado como constate. Sendo que Q(x) é função de x. quanto maior valor de x. consequemente o número de Reynolds. (2) dh f = K Q ( x )2 dx (3) Considerando um trecho elementar dx. aumentado o valor de f. Esta vazão que é derivada ao longo da tubulação será denominada de q. A vazão que percorre o trecho elementar dx é diferença entre vazão no inicio da tubulação denominada de QM (vazão de montante) e vazão que foi derivada até trecho considerado dx. Q( x ) = QM − qx (6) Substituindo a equação 6 em 5 L hf = K ∫( 0 Q M − qx )2 dx L hf = K ∫ ( 2 Qm − 2 Q m qx + q 2 x 2 )dx 0 L L L ∫ ∫ ∫ 2 2 2 hf = K Q m dx − 2 Qm qxdx + q x dx 0 0 0 Resolvendo a integral 2 L L L Qm x 2 Q m qx 2 q 2 x3 hf = K − + 0 2 0 3 0 substituindo os limites de integração: . L ∫ dhh = ∫ 0 K Q ( x )2 dx (4) L hf = K ∫ 0 Q ( x )2 dx (5) Para solucionarmos o problema é necessário conhecer a função da vazão ao longo da tubulação Q(x) é função de x. como pode ser observado na equação abaixo. isto é a vazão que derivada lateralmente é constante ao longo desta. Consideraremos que a distribuição da vazão ao longo da tubulação é constante ao longo da mesma. 3 A perda de carga que ocorre ao longo da tubulação é soma de todas as perdas de cargas que ocorrem os todos os trechos elementares. Qm − Q J = qL (9) Substituindo a equação 9 em 8. tornando a perda carga calculada pela expressão menor do que aquela realmente estaria q 2 L2 q 2 L2 q 2 L2 ocorrendo. 4 2 2 Q m q L2 q 2 L3 hf = K Qm L− + 2 3 como o valor de L é comum em todas as partes da equação vamos colocar em evidência 2 2 Qm q L q 2 L2 hf = K L Qm − + (7) 2 3 Para que a expressão entre os parêntesis se torne um quadrado perfeito. 2 2 Qm q L q 2 L2 hf = K L Qm − + 2 4 2 qL hf = K L Q m − (8) 2 Considerando que a vazão no início da tubulação é Qm e que vazão que escoa no final da tubulação é Q J (vazão de jusante). A diferença entre as vazões − = . (Q − Q J ) 2 hf = K L Qm − m 2 2 Q + QJ hf = K L m (10) 2 . o último q 2 L2 termo da expressão deveria ser tornando o termo da expressão divido por 4. mas ocorre na realidade é que vazão diminuiu ao longo da tubulação em razão da perda de carga e a consequemente redução da pressão ao longo da tubulação. mas esta diferença poderia 3 4 12 ser compensada pela razão que assume que a vazão distribuída ao longo da tubulação é constante. isto faria 4 com que a vazão utilizada para cálculo da perda de carga fosse menor do que realmente. e espaçados de 18 m.0050m 3 s −1 Q J = Qm − qL = 0.555 x10 −5 * 90 = 0.0060m 3 s −1 . Considerando que vazão no inicio da tubulação seja de 39. vamos considerar o cálculo da perda de carga apenas para o trecho inicial de 5 aspersores.011 − 0. temos calcularmos o valor do número de Reynolds: Figura 2 – Linha de aspersores Calculando a vazão fictícia Qm = 3.011 m 3 s −1 qL = 5.vazão fictícia.6 m 3 h −1 = 0. Isto faz com que a vazão que percorrerá a uma tubulação reduza a cada trecho de 18 m de 3.0050 = 0. 5 Qm + Q J Qf = (11) 2 em que Q f .011 m 3 s −1 Qm = 0.0826 f Q 2f 5 D Exemplo: Considerando uma linha de irrigação por aspersão com 11 aspersores médios de vazão de 3.6 m3 h-1. Mas para isto. A vazão distribuída q é igual 5.555 x10-5 m3 s-1 m-1 Para calcularmos a perda de carga é necessário calcularmos o valor de f da fórmula universal.6 m3 h-1 e pressão de operação de 30 mca.6 m3 h-1.6 * 11 = 39. instalados em uma tubulação é de 75 mm de diâmetro. m3 s-1 L hf = K L Q 2f = 0. 075 Re = = = 144 .01x10 −6 .085 Q = AV = V ⇒V = = = 1.304 υ 1x10 −6 Considerando o escoamento turbulento neste primeiro trecho Valor da espessura da camada laminar pode ser calculada 32.745 ( )2 Re Lυ 2 180 * 1.12 = 11.92 * 0.5 D β= Re f Tomando a equação universal L V2 hf = f D 2g multiplicando pelo diâmetro quadrado L V 2 D2 υ 2 hf = f D 2g D 2 υ 2 rearranjando a equação Lυ 2 V 2 D 2 hf = f D3 2g υ2 onde V 2D2 Re 2 = υ2 Lυ 2 hf = f Re 2 3 D 2g explicitando o número de Reynolds ao quadrado versus f D 3 2g h f = f Re 2 Lυ 2 D 3 2g h f Re f = Lυ 2 D3 2g h f 0. 6 πD 2 4Q 4 * 0.92 m s −1 4 πD 2 π * 0.075 2 VD 1.075 * *9.81 * 6 f = = = 137 .953. 075 β= = = 0.0826 * 0.44 5 D 0.0211 0.555 x10 * 90 = 734.00551 + 20.0826 f 0.78mca D 5 0.555 x10 −5 2* 90 2 = 4. ε 10 6 3 1 f = 0.000208 como valo de ε não é maior que 8β.5 D 32. A diferença entre as duas perdas de cargas foi 0. 0211 0.000 + D Re y 1 6 3 f = 0.82 mca 2 3 2 3 Observa-se para esta situação em que hipótese de considerar o último termo da equação 7 não apresentou erros significativos.79%. o escoamento é turbulento e de paredes lisas.0826 * f Q f = 0. 2 2 Qm q L q 2 L2 hf = K L Qm − + 2 3 2 2 Qm q L q 2 L2 hf = K L Qm − + −5 2 2 * 0.00006 m. para se tornar o quadrado perfeito.0085 2 = 4.0211 K= = = 734.0826 * 0. O valor da rugosidade para o plástico é de ε=0.075 Considerando a perda de carga sem a consideração da substituição do último termo da equação 7.000 0. 00006 + 10 = 0. o valor f pode ser calculado pela equação a seguir. 7 32.745 ε 0. 44 * 90 * 0. .134 mca sendo o erro relativo de 2.5 * 0.011* 5.011 − + ( ) 5.075 5 Calculando a perda de carga L 2 90 hf = K 0.0211 0.000208 Re f 11.00006 = = β 0.075 144304 f = 0 .00551 + 20. 166 1.811 135.0215 0.009 2.001 0.068 3 0. 8 Outra maneira de calcular Calculando a perda de carga em cada trecho Trecho Vazão Velocidade Reynolds f Hf (m3 s-1) (m s-1) (mca) 1 0.75 0.60 0.0222 0.859 0.010 2.15 0.037 152.006 1.765 0.0236 0.002 0.0287 0.45 0.90 0.347 7 0.953 0.0251 0.226 16.007 1.018 Perda de carga total 5.20 Perda de carga (mca) 1.0212 0.905 67.812 0.50 1.906 0.0209 1.679 50.003 0.005 1.0227 0.05 0.133 9 0.00 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 Distância Figura 2 – Perda de carga ao longo da linha lateral .930 0.883 0.358 101.584 118.063 10 0.228 8 0.132 84.789 0.659 5 0.977 0.004 0.008 1.836 0.0218 0.35 1.309 2 0.491 6 0.851 4 0.264 169.30 0.453 33.0210 1. 573 0.6 0.57 10.008 1.217 16.479 6 34. Considerando que o aspersor do centro irá operar com a pressão adequada.115 83. Considerando que a vazão ao longo da linha de aspersores pode ser considerada constante e igual q.003 0.0252 0.0290 0. os demais irão operar com a pressão de serviço somada a perda de carga.57 3.9 3.0237 0.264 169.665 49. Trecho Pressão Vazão Vazão Vazão Velocidade Número f Hf Serviço aspersor no trecho no trecho Reynolds (mca) (m3 h-1) (m3 h-1) (m3 s-1) (m s-1) (mca) 1 38.0 0.007 1.6 3.645 5 35.61 H 0.0228 0.622 0.2 3.221 8 34.555 0.0215 0.3 0.0218 0. E será reduzida a perda de carga ocorrida no trecho.6 0.899 0.004 0.005 1.0 0.69 28.61 21.059 3 36.2 0.132 0.7 3.001 0. para grandes linhas poder dispendioso e as vezes tedioso. 9 Ajustou-se por meio de regressão uma equação de vazão em função da pressão para aspersor modelo ZE 30 D a parti dos dados do catalogo do fabricante Q = 0.0210 1.309 2 37.337 7 34.244 0.59 17. se aspersor estiver localizado a montante do aspersor do centro.74 32.4 0.009 2.0222 0.060 10 34.568 117.5 3. . Christiansen em 1942 apresentou uma solução para o problema.0209 1.797 134.5 equação de um aspersor Considerando o critério para dimensionamento de linhas laterais de irrigação por aspersão.069 0.9 0.3 3.0 3.751 0.128 9 34.010 2.441 33.57 7.2 3.0212 0.002 0.006 1.7 0.4 3.3 0.092 Solução apresentada por Christiansen Este método de calcular a perda de carga somando trecho.7 3.744 0.765 0. que considera a variação da pressão ao longo da linha lateral seria no máximo de 20% da pressão de serviço.017 Perda de carga total 5. se aspersor estiver localizado a jusante.341 100.028 152.80 36.890 66.838 4 35.64 24.58 14. e que em cada trecho para inicio é somado uma vazão q: Trecho 1 qm hf1 = K S D 2m + n trecho 2 hf 2 = K S (2q )m =KS 2m q m D 2m + n D 2m + n Trecho 3 hf 3 = K S (3q )m =KS 3m q m D 2m + n D 2m + n No trecho de número N . 10 K1 LV m Hf = (12) Dn A equação da vazão Q Q 4Q Q Q = AV ⇒ V = = = = K2 A π D2 π D2 D2 4 Q V = K2 elevando os as duas partes da equação por m D2 Qm Vm = Km (13) 2 D 2m 4 onde K 2 = π Substituindo a equação 13 em 12 Q m K1 L K 2m D 2m Qm m Qm Hf = = K1 L K 2m = K1 K m L Q = K L Dn D n D 2m 2 D 2m + n D 2m + n Considerando o cálculo da perda de carga do final da tubulação para início. considerando que a vazão que escoa no trecho final é q. .. 11 hf N = K S (Nq )m =KS N mqm D 2m + n D 2m + n N Hf = ∑ (hf + hf 1 1 2 + hf 3 .. + N m )) = KS D 2m + n ∑ N m qm 1 N Hf = KS D qm 2m + n ∑N1 m L Q Substituindo S = e q= N N N N N Q N m LQ N m Nm ∑ m ∑ Hf = KS qm D 2m + n ∑ 1 L N N m = K N D 2m + n Nm = K ∑ 1 N N m D 2m + n 1 = 1 KL Q m N m +1 D 2 m + n N ∑ Nm KL Q m KL Q m Hf = 1 =F N m +1 D 2m + n D 2 m+ n N ∑ Nm F= 1 N m+1 1 1 m −1 F= + + m + 1 2N 6N 2 ... + N m )) = KS D 2m + n ∑ ((1 + 2 m + 3m + . + KS D 2m + n D 2m + n D 2m + n D 2m + n 1 N N Hf = ∑ KS D qm 2m + n ((1 + 2 m m + 3 + .... + N m )) qm 1 1 N N Hf = KS D qm 2m + n ∑ ((1 + 2 1 m m + 3 + .hf N ) N q m N m ∑ m KS q q m 2m q m 3m Hf = + KS + KS + ... 0826 f Qm 3 m 3 D5 A perda de carga de em tubulação com saídas laterais com vazão final igual a zero a perda de carga é 1/3 daquela que ocorreria se a vazão percorresse toda a tubulação. (fórmula de perda de carga universal) o valor converge para 3 Considerando que a vazão no final da linha é zero. poderíamos calcular a perda de carga utilizando o conceito de vazão de fictícia. 12 O fator de Christiansen quando o número de saídas tende para infinito e expoente da 1 equação de vazão é igual a 2. 2 2 Q m q L q 2 L2 hf = K L Qm − + 2 3 equação 6 Qm − Q J = qL como que QJ é zero a equação 9 pode ser escrita Qm = qL substituindo na equação 6 2 2 2 Qm Q m Q m hf = K L Qm − + 2 3 Q2 hf = K L Qm − Qm + m 2 2 3 Q 2 hf = K L m 3 1 1 L 2 hf = K L Q 2 = 0. . alguns conceitos devem ser considerados.2.1 Máquinas hidráulicas São aquelas nas quais o fluido não varia de peso específico ao passar pela máquina. ventilador. Para tratarmos deste assunto. abordaremos o assunto referente à máquina hidráulica denominada Bomba Hidráulica.2. que se caracterizam por apresentar como meio operante um fluido.1. Define-se máquina como um transformador de energia.1.1.1. particular atenção será dada às chamadas máquinas de fluido. Introdução Instalação de recalque é conjunto formado por tubulações e sistema de bombeamento com a finalidade transportar líquidos de uma cota inferior para uma superior. 13 INSTALAÇÕES DE RECALQUE 3.1 Classificação das Máquinas de Fluido As máquinas de fluido podem ser classificadas em: 3. sendo uma das formas de energia envolvidas o trabalho mecânico. turbinas. 3.2 Máquinas térmicas São aquelas nas quais o fluido tem seu peso específico sensivelmente variado ao passar pela máquina. etc. Exemplos: bombas.1.1 Conceito . Dentre as diversas máquinas existentes. Dentre estas máquinas de fluido. Bombas Hidráulicas 3. 3. 3. Exemplo: compressor de ar.1. que consiste basicamente de um cilindro ou corpo da bomba.2 Classificação As bombas hidráulicas são classificadas de acordo com a forma de energia que fornecem ao fluido. recebendo energia mecânica de uma fonte (motor). geralmente de ferro fundido. O movimento do pistão é alternativo e a ação conjunta de duas ou mais válvulas permite a captação e elevação do fluido. 14 São máquinas que. dentro do qual se move um pistão acionado por uma vareta que se prolonga pêra fora.2. muito usadas para impulsionar o óleo lubrificante em motores a combustão interna. Na figura a seguir pode-se ver o esquema de uma bomba a pistão do tipo aspirante- calcante: Figura 2. Esquema de uma bomba a pistão Existem também as bombas volumétricas nas quais o movimento é rotativo.2. O movimento do órgão fornecedor de energia e alternativo. 3. .2.1 Bombas volumétricas São aquelas que fornecem energia de pressão ao fluido. 3. podemos citar as bombas de engrenagens. captam o fluido de uma fonte e fornecem a este a energia mecânica convertida em uma outra forma. Como exemplo. Um exemplo típico desta bomba é chamada de pistão. estando o mesmo em movimento.fazfacil. O rotor é dotado de palhetas curvas que..3. pela ação da força centrífuga impulsionam a água na direção saída. dentro do qual o rotor gira.html Figura 4.2.3. Corte esquemático de uma turbobomba 3./hidraulica_bomba_2. Tem ainda por função receber o fluido impulsionado pelo rotor e conduzi-lo em direção à saída da bomba. 3.2.2.2.2 Bombas hidrodinâmicas ou turbobombas São aquelas nas quais é fornecida energia ao fluido na forma de energia cinética. responsável pelo fornecimento de energia ao fluido. 3. 15 3. promovendo aumento de pressão.2 Corpo da bomba Conduto de diâmetro variado.br/.com. O movimento do órgão fornecedor de energia é rotativo.1 Rotor É o órgão móvel.3 Componentes de uma bomba 3.4 Classificação de Turbobombas .2.. Transforma energia cinética em energia de pressão com pequena perda por turbulência Fonte: www.2. 2.4. conforme o escoamento do fluido dentro do rotor.2. 16 As turbobombas são classificadas. São bombas adequadas para elevar grandes vazões a pequenas alturas.ufcg. 3.html Figura 5. O seu funcionamento assemelha-se ao funcionamento de um ventilador doméstico.br/saneamento/Bomb02.edu.4. São bombas adequadas para elevar pequenas vazões a grandes alturas. mostrando componentes.1 Bombas radiais ou centrífugas São aquelas nas quais o fluido entra no rotor na direção axial (direção do eixo da bomba) e sai na direção radial.2 Bombas axiais São aquelas nas quais o fluido entra na direção axial e sai na direção axial.3 Bombas mistas ou diagonais .4.dec.2. em: 3. Fonte: http://www. 3. Cortes de uma bomba radial. velocidade específica da bomba De acordo com Deniculli.2. 17 São aquelas nas quais o fluido entra no rotor na direção axial e sai em uma direção diagonal. as bombas radias ou centrífugas são mais largamente empregadas em irrigação.5 Velocidade Específica de uma Bomba A velocidade específica de uma turbobomba é um índice que expressa o tipo da bomba. intermediária entre a axial e a radial.energia fornecida ao fluido pela bomba ou altura manométrica da instalação (m) ns .vazão que passa pela bomba (m3/s) n . as turbobombas são mais comumente usadas e. o tipo da bomba pode ser definido em função do valor da sua velocidade específica da seguinte forma: Tipo de bomba Velocidade específica (ns) bomba radial 10 < ns < 220 bomba axial 120< ns > 200 bomba mista 70 < ns < 120 Dentre as bombas hidráulicas.5 ns = 3 4 Hm em que: Q . 3.3. O seu valor pode ser determinado usando-se a expressão: n. ou seja. São bombas adequadas para elevar médias vazões a médias alturas.rotação a que a bomba opera (rpm) Hm . BOMBAS CONTRÍFUGAS . entre estas.Q 0. 3. Portanto. Bombas de múltiplos estágios ou multicelular: Possui dois ou mais rotores dentro da carcaça.2 Número de rotores dentro da carcaça Bomba de simples estágio ou unicelular: Possui um único rotor dentro da carcaça. a entrada de fluido se faz por duas entradas. Estes rotores estão instalados em série (o fluido que sai do primeiro entra no segundo e assim por diante).1. as dimensões excessivas fazem com que os fabricantes limitem as bombas unicelulares a alturas até 100 metros. o que não ocorre com o de simples sucção. 3. na prática. sendo semelhante à hélice de um ventilador.3. o que permite a elevação do fluido a grandes alturas (Hm > 100 metros). → Bomba de dupla sucção.1 Número de entradas de fluido → Bomba de sucção simples. sendo normalmente usado em bombas pequenas. por evitar a chamada . Este tipo de rotor permite um melhor rendimento da bomba.3 Tipo de rotor → Rotor aberto: O rotor consiste de apenas algumas palhetas. 18 3. pois apresentará menos problema de entupimento. Teoricamente seria possível a construção de uma bomba assim para elevar qualquer vazão a qualquer altura.1 Classificação: Devido à grande diversidade de bombas centrífugas construídas para atender as mais diversas situações. → Rotor fechado: É aquele no qual as palhetas se apresentam entre dois discos metálicos.3. 3. É usado se faz o bombeamento de líquidos muito sujos.1. O inconveniente é que este rotor acarreta baixo rendimento. O rotor de dupla sucção opera com equilíbrio dos empuxos axiais.3. a entrada do fluido se faz através de uma única entrada.1. é conveniente classifica-las de acordo com: 3.3. Rotores: aberto (a). pois.1. 3. → Bomba de sucção positiva: O eixo da bomba situa-se acima do nível da água no reservatório de captação.5 Direção do eixo → Bomba de eixo horizontal: Instalação mais comum. em função das condições locais. poderá haver entupimento.3.3. o eixo da bomba é instalado na direção horizontal.4 Posição do eixo da bomba em relação ao nível da água Esta classificação refere-se não a uma característica da bomba em si. → Bomba de eixo vertical: Quando se faz necessário. Deve ser usado em bombeamento de líquidos limpos. a bomba pode ser instalada de forma a que o seu eixo esteja na direção vertical. caso contrário.1. semi-aberto (b) e fechado (c) 3. Figura 6. 19 recirculação da água. mas da forma como a bomba está instalada. → Rotor semi-aberto: As palhetas deste rotor são fixadas em apenas um disco metálico. → Bomba de sucção negativa ou bomba afogada: O eixo da bomba situa-se abaixo do nível da água no reservatório de captação. Suas características são intermediárias entre os rotores anteriores. É . podendo. 20 necessário que a bomba usada tenha sido construída de forma a permitir este tipo de instalação. acessórios. Figura 7. → Tubulação de recalque: inicia-se na saída da bomba ao ponto que deseja-se ou necessita-se do fornecimento de água. 3. Um sistema é composto de: → Tubulação de sucção: inicia-se no reservatório de captação à entrada da bomba. no entanto. encontrar-se tal montagem em outras situações.1 Conceitos Sistema ou instalação de recalque é a denominação do conjunto constituído por tubulações. Esquema de instalações de recalque com sucção positiva (a) e com sucção negativa (b). → Conjunto motobomba: Insere ao líquido a energia necessária para sua movimentação.4.4. válvulas e os meios mecânicos de elevação de líquidos. conexões. . O uso de uma bomba assim instalada é comum quando se retira água de poços. Instalação de Recalque 3. 4. . Hg – altura geométrica de recalque (m). quando se tratar de descarga livre no recalque).2 Altura Estática ou Geométrica da Instalação de Recalque É a diferença de nível entre os níveis da água nos reservatórios inferior e superior (ou entre o nível da água no reservatório inferior e o nível da saída da água. Esquema de uma instalação de recalque 3. ou seja. A altura geométrica total da instalação pode ser dividida em duas partes: Hg = Hr + Hs em que: Hg – altura geométrica de sucção (m). a bomba de fornecer ao líquido. o líquido bombeado percorre as tubulações de sucção e de recalque. que devem ser compensadas pela bomba. e Hr – altura geométrica total (m). 21 Figura 8. 3.4. Este movimento acarreta perdas de carga. bem como o interior da bomba.3 Altura Manométrica da Instalação Se o sistema está em funcionamento. A pressão no recalque e na entrada da bomba pode ser obtida: PR − PS M −V = γ γ V R 2 − VS 2 Considerando a diferença de velocidade na tubulação de sucção e 2g recalque que é muito pequena. 22 energia suficiente para vencer a diferença de nível entre os dois reservatórios. tem-se Considerando o manômetro e vacuômetro na instalação do sistema de bombeamento. a expressão da carga cinética pode ser desprezada. (Z R − Z S ) = Z Como a diferença de altura entre os dois pontos considerados é muito pequena a carga potencial pode ser desprezada. m. define-se a altura manométrica da instalação como sendo a soma destas duas parcelas: a diferença de nível e as perdas de carga. pose-se escrever: P − PS VR 2 − VS 2 Hm = (Z R − Z S ) + R + γ 2g Pela Figura 08. Dessa forma. Então a altura manométrica para instalação de recalque em funcionamento é: P − PS V R − VS 2 2 Hm = (Z R − Z S ) + R + γ 2 g . A equação de energia aplicada entre a entrada e a saída de uma bomba fornece (Figura 08): PS VS 2 P V 2 ZS + + + Hm = Z R + R + R γ 2g γ 2g em que: Hm = energia fornecida ao fluido pela bomba. acrescida da energia que será perdida por atrito ao longo do escoamento. Assim. Hft corresponde à soma das perdas de carga contínua e localizadas que ocorrem nas tubulações de sucção e de recalque. Hm – altura manométrica da instalação (m).4 Diâmetro da Tubulação de Sucção e Diâmetro de Recalque Teoricamente. Hft = Hfs + Hfr em que: Hfs – perdas de carga localizadas + contínua na sucção (m). Assim: Hm = Hg + Hft ou Hm = (hgs + Hfs) + (hgr + Hfr) 3. .). Hfr – perdas de carga localizadas + contínua no recalque (m). 23 M −V Hm = 0 + + 0 γ M −V Hm = γ De acordo com esta expressão.c. Hm = Hg + Hft em que: Hft – perda de carga total na instalação (m. pode-se usar um diâmetro qualquer para a tubulação de recalque.a.4. energia de posição. Deve-se observar que um diâmetro grande implicará em pequena velocidade da água e. energia de pressão ou energia cinética. pode ser fornecida ao fluido. 24 portanto, pequena perda de carga. Isto fará com que a potência do conjunto de bombeamento seja reduzida (menor custo). Por outro lado, o custo desta tubulação será elevado. Se o diâmetro da tubulação recalque for pequeno, a perda de carga será maior, o custo do conjunto de bombeamento será maior e o da tubulação, menor. Existe, porém, um diâmetro que tornará mínimo o custo do sistema (bomba + tubulação), conforme mostrado no gráfico a seguir. Para se encontrar este diâmetro, economicamente mais adequado, pode-se usar a fórmula de Bresse: Dr = KxQ 0,5 em que: Dr – diâmetro da tubulação de recalque (m), Q – vazão elevada (m3/s), K – coeficiente econômico, que depende do custo da energia, dos materiais e das máquinas usadas. O K varia, portanto, com o tempo e com a região. Para construir a Figura 9, adotou um sistema de recalque de água instalado em área com desnível de 30m , operando 12 horas por dia, bombeando uma vazão de 20 m3 h-1 dimensionou o sistema. Os preços do conjunto motobomba, tubulação de PVC e preço energia preço de mercado. Utilizando a equação de Bresse com o valor de K=1, observa-se na Figura 9 que o diâmetro obtido pela equação de Bresse foi que apresentou o menor custo total, para esta condição a velocidade no tubo de 75 mm é igual 1,26 m s-1 , enquanto no tubo de 50, 100 e 125 mm é 2,86, 0,71 e 0,45 m s-1 , respectivamente. Para o diâmetro de 50 mm O custo da energia elétrica é R$ 0,20 reias o kWh, e total foi calculado para período de um ano. 25 18.000 16.500 15.000 13.500 Valores (R$) 12.000 10.500 9.000 7.500 6.000 4.500 3.000 1.500 0 50 75 100 125 Diâmetro da tubulaão (mm) CustoTotal Tubulações Bomba Energia Figura 9. Gráfico para expressar a relação custos-diâmetro. No Brasil são citados os seguintes valores para K: Azevedo Netto: K entre 0,90 e 1,40 média: K = 1,2 (1986) Silvestre.: K entre 0,75 e 1,40 (1985) Para instalações de menor porte, podemos usar K com valor igual ou maior que 0,8, respeitando-se os limites acima. Pode-se também usar o critério da velocidade, que consiste em limitar a velocidade da água no recalque a um valor máximo. Este valor máximo, de acordo com Azevedo Neto, para linhas de recalque, deve ser inferior a 2,4 m s-1. É usual adotar-se, em termos práticos: Vr = < 2,0 m/s Para os nossos objetivos, adotar: K=1,0 para determinarmos Diâmetro de recalque. Usar diâmetro comercial imediatamente inferior no recalque; Verificar velocidade na tubulação. Se a velocidade do líquido na tubulação de recalque atende aos limites citados, o diâmetro é adequado. 3.4.4.1 Diâmetro da tubulação de sucção Uma vez determinado o diâmetro adequado para tubulação de recalque, define-se para tubulação de sucção o diâmetro comercial imediatamente superior a este. 3.4.5 Potência Necessária ao Funcionamento da Bomba 26 A potência necessária para que a bomba funcione, ou seja, a potência solicitada por esta para operar, será determinada segundo a expressão: Potência é definida como trabalho por tempo Trabalho Pot = t Trabalho é força pela distância Trabalho = Fd Fd F Pot = = d t t A força é massa por aceleração F = mg m3 , multiplicando a força por m3 m3 mg m m3 mg m 3 kgf m 3 Pot = = m = m s m3 s m3 s γ= kgf m3 O peso específico do líquido m3 e vazão é Q = s e distância e no presente caso é relativa altura manométrica. kgf m 3 Pot = m = γ Q Hman m3 s A unidade resultante da fórmula de potência é: kgf Pot = m s Um cavalo vapor corresponde a 736 W, para transformar kgf para Newtons Multiplicamos por 9, 81 9,81 N Pot = Hm 736 s A potência da bomba será dada pela fórmula: γ.Q.Hm Pot = 75 A potência do motor será dada pela fórmula: Hm – altura manométrica da instalação (mca). Calculada a potência do motor. operar com sobrecarga. adota-se o motor disponível comercialmente com a potência imediatamente superior. Em um caráter prático. ηb – rendimento da bomba. → Para motores a gasolina: 50% de folga. computando-se a folga necessária. recomendam-se os seguintes valores: → Para motores elétricos: Potencia solicitada pela bomba (cv) Folga (%) <2 50 2a5 30 5 a 10 20 10 a 20 15 > 20 10 → Para motores a diesel: 25% de folga.Q. em cv: .4. Os motores elétricos são construídos comas seguintes potências.Hm Pot = 75η b em que: Pot – potência necessária ao funcionamento da bomba (cv). para evitar que em algumas condições. fornecido pelo fabricante (decimal). 27 γ. Q – vazão elevada (m3 s-1). 3.5. Esta margem de segurança é dada sobre a potência solicitada pela bomba.1 Potência do motor O motor usado para acionar a bomba deve sempre ser selecionado de forma a operar com uma margem de segurança de potência. γ – peso específico do líquido bombeado (kgf m-3). 336 mca. deslocaram para interior da voluta e ao atingirem a região de sobrepressão “implodem”. uma tubulação de sucção e uma tubulação de recalque. V ocorrerá a cavitação (vaporização do líquido). Em se tratando de uma bomba centrífuga. Figura 10. em termos de pressão absoluta. a pressão. Se esta pressão p decrescer até um valor igual à pressão de vapor do líquido ( γ = 0. 28 1/4 7½ 45 1/3 10 50 1/2 12 60 1 15 80 1½ 20 100 2 25 125 3 30 150 5 35 200 6 40 300 3. estando a bomba p atm desligada.6 Cavitação Uma instalação de recalque compõe-se de um conjunto motobomba. Na entrada da bomba. comunicada à tubulação de recalque. comunicada à tubulação de sucção e uma sobrepressão na sua periferia.4. é igual à pressão atmosférica = 10. A γ bomba estando em operação. .24 mca para água a 20ºC). a pressão na entrada é menor que a atmosférica. o movimento do rotor gera uma supressão no seu centro. Estas bolhas de vapor no interior do líquido. ao nível do mar). gerando um efeito mecânico que pode danificar as paredes da bomba e gerando um barulho. 2 P1 P0 V12 V0 Z 0 − Z1 = − + − + hf s γ γ 2g 2g ou: Z1 − Z 0 = (P0 − P1 ) − V12 − hf s γ 2g Para uma bomba em funcionamento. Para que não ocorra cavitação. Este valor corresponde à altura máxima de sucção.6. que também deve ser considerada no cálculo da altura de sucção. representada por Pa. 4. a pressão decresce da entrada da bomba até o centro do rotor. Assim: . tem-se: 2 2 V P0 P V Z 0 + + 0 = Z1 + 1 + 1 + hf s γ 2g γ 2g em que: hfs – perda de carga total na sucção (contínua + localizada). Esquema de tubulação de sucção e bomba. da entrada da bomba até o centro do rotor ocorre perda de carga. 29 Figura 10. dada por: hg s máx = (Pa − Pv ) − V1 2 − hf s γ 2g Expressão obtida aplicando-se o teorema de Bernoulli aos extremos da tubulação de sucção. o menor valor que P1 pode assumir é igual ao valor da pressão de vapor do líquido bombeado. Contudo. Em outras palavras.1 Altura máxima de sucção Aplicando Bernoulli entre (0) e (1). o valor de P0 é igual ao valor da pressão atmosférica local. é dada uma margem de segurança. 30 hg s máx = (Pa − Pv ) − V12 − h fs − h i γ 2g ou então: hg s < (Pa − Pv ) − V12 − hf − hi γ s 2g em que: hi – perda de carga localizada no interior da bomba (m). Em português corresponde a Altura Positiva Líquida de Sucção (APLS). ficando: NPSHd > 1.15 x NPSHr . Separando as condições locais das grandezas relacionadas com a bomba: 2 Pa Pv V hg s − + + hf s < − 1 − h i γ γ 2g Finalmente: Pa Pv V2 − hg s + + hf s > 1 + h i γ γ 2g Local Bomba O primeiro termo da desigualdade acima é denominado NPSH disponível no local (NPSHd). Para não ocorrer cavitação: NPSHd > NPSHr Na prática. O segundo termo é denominado NPSH requerido pela bomba (NPSHr). O nome NPSH corresponde às iniciais do nome em inglês: Net Positive Suction Head. a medida mais usual consiste em reduzir as perdas de carga na tubulação de sucção.Hm em que: δ – coeficiente de cavitação da bomba. Outra alternativa. possuem menor tendência à cavitação. 31 Medidas para dificultar a ocorrência de cavitação: A pressão de vapor cresce com o aumento da temperatura (Pv da água a 100ºC = 10. calculado pela fórmula: δ = 0. apresentando menor ns que as bombas axiais.0065 * Z p = 101. As bombas axiais. seria o uso de uma bomba com menor NPSHr. – evitar sucção de ar. – usar maior diâmetro na sucção. Quanto maior δ. na verdade. devem sempre trabalhar afogadas. ns4/3 em que: ns – rotação específica da bomba. – tornar esta tubulação a mais reta possível. – A pressão atmosférica em um dado local pode ser estimada pela expressão: 5. a experiência mostra que: hi = δ.13 * 293 .0012 . Reduzir as perdas de carga na tubulação de sucção. maior tendência à cavitação. Observações: 1 – Segundo Silvestre (??). As bombas radiais.33 mca). 2568 293 − 0. Na prática. 4. Q. da massa específica do fluido (ρ). 3. Protótipo: Produto fabricado individualmente ou produzido de modo artesanal. D. ou da comercialização Figura 11. µ . Matematicamente o problema pode ser expresso: F1 (∆p. potência da bomba. com o propósito de servir de teste antes da fabricação em escala industrial. kPa Z – altitude local (m). e segundo as especificações de um projeto para fabricação em série. ρ . Semelhança entre geométrica entre dois rotores (corte longitudinal) A teoria e a experiência mostram que o gradiente de pressão ∆P. pot . 32 em que: Pressão atmosférica local.7 Semelhanças entre bombas Modelo: representação em pequena escala de algo que se pretende executar. diâmetro rotor (D). da viscosidade dinâmica ou absoluta (µ). ε ) Estas grandezas físicas podem ser expressas como: F MLT −2 [∆p] = = = MLT −2 L− 2 = ML−1T −2 A L2 [D] = L . Os termos π1. π 4 ) A experiência e a técnica de uso do teorema diz que as grandezas de base devem tantos forem as unidades fundamentais (3). ρ . 33 F ∂Z ML−1T −2 L [µ] = =0 = ML−1T −1 A ∂V L2 LT −1 [Q ] = L3T −1 [ρ] = massa = M L−3 Volume −2 [pot ] = trabalho = FD = MLT L = ML2 T −3 t t T [n ] = T −1 Existem 7 grandezas físicas e 3 unidades fundamentais. sendo uma grandeza dinâmica. uma grandeza cinemática e uma geométrica. pot . ) = F2 (π 1 . devem ser grandezas de base (ρ é grandeza dinâmica. a grandeza dependente (∆P) deve ser eliminada do sistema probásico. n grandeza cinemática e D uma grandeza geométrica). sempre que houver ρ. O teorema dos π ou teorema de Buckingham permite escrever a função F1 através de 7-3=4 adimensionais (4 termos π). o que vem a ser uma forma mais condensada. π2. A experiência mostra ainda que. uma grandeza dinâmica. π3 e π4 são representados por: a a π1 = ρ 1 n b1 D c1 ∆P π 3 = ρ 3 n b3 D c3 Q a π2 = ρ 2 n b 2 Dc 2 µ π4 = ρa 4 V b 4 Dc4 pot −1 ( b1 ) ( ) π1 = ML−3 1 T −1 (L )c1 ML−1T − 2 a ( ) ( a ) ( ) ( ) ( π 2 = ML−3 2 T −1 b2 L c2 ML−1T −1 ) ( ) ( ) a π 3 = ML−3 3 T −1 b3 ( ) (L )c3 L3 T −1 = (ML ) (T ) (L ) (ML T ) −1 b 4 −3 a 4 c4 2 −3 π4 Para π1 Resolvendo para diferença de pressão . V e D envolvidos no fenômeno. Q. π 2 . D. n. π 3 . µ . ou seja: F1 (∆p. vem: a1 + 1 = 0 a1 = −1 − 3a1 + c1 − 1 = 0 ⇒ b1= −2 − b − 2 = 0 c 1 1= −2 ∆P π 1 = ρ a1 n b1 D c1 ∆P = ρ − 1n − 2 D − 2 ∆P = ρn 2 D 2 ∆P π1 = ρ n2D2 para π2 ( a ) ( ) ( ) ( π 2 = ML−3 2 T −1 b2 L c2 ML−1T −1 ) a 2 −3a π2 = M L 2 T − b 2 Lc 2 ML−1T −1 a2 +1 −3a2 + c2 −1 −b −1 π3 = M L T 2 = M 0 L0T 0 a 2 + 1 = 0 a 2 = −1 − b 2 − 1 = 0 ⇒ b2 = −1 − 3a + C − 1 = 0 c 2 2 2 = −2 µ π 2 = ρ a 2 n b2 D c 2 µ = ρ −1 n −1 D − 2 µ = ρ n D2 µ υ π2 = = ρ n D2 n D2 υ π2 = n D2 Número de Reynolds Vazão . 34 a1 − 3 a1 −1b c π1 = M L T 1 L 1 ML−1T − 2 a1 +1 − 3 a1 + c1 −1 − b − 2 π1 = M L T 1 = M 0 L0T 0 Igualando-se os expressos a zero. vem: a 3 = 0 a 3 = 0 − b 3 − 1 = 0 ⇒ b 3 = −1 − 3 a + c + 3 = 0 c 3 3 3 = −3 π3 = ρ 3 n b 3 D c3 Q = ρ0 n −1 D − 3 Q a Q π3 = n D3 coeficiente de vazão Potência solicitada pela bomba para π4 ( a ) ( ) ( ) ( π 4 = ML− 3 4 T −1 b4 L c4 M L2T − 3 ) a4 −3 a4 π4 =M L T − b 4 Lc 4 ML2T − 3 a 4 +1 − 3 a 4 + c 4 + 2 − b − 3 π3 = M L T 3 = M 0 L0T 0 a 4 + 1 = 0 a = −1 4 − b4 − 3 = 0 ⇒ b = −3 4 − 3a + c + 2 = 0 c = −5 4 4 4 . 35 para π3 ( a ) ( ) ( ) ( π3 = ML− 3 3 T −1 b3 L c 3 3 −1 LT ) a3 3 a3 π3 = M L T − b 3 L c 3 L3 T − 1 a3 −3 a 3 + c 3 + 3 π3 = M L T − b 3 −1 = M 0 L0 T 0 Igualando-se os expressos a zero. a diferença de pressão é ∆P = ρ1 g H m . a equação transforma-se = Q1 = 1 organizando a equação Q n 1 D3 n 2 D3 2 n 1 2 2 Para a pressão ∆P1 ∆P2 ρ1 n12 D12 = ρ 2 n 22 D22 Sendo a pressão expressa por P = γ h e peso específico γ = ρ g portanto. 36 pot π 4 = ρ a 4 n b 4 D c 4 pot = ρ − 1 n − 3 D 5 pot = ρ n 3 D5 pot π4 = ρ n 3 D5 Operação de bombas semelhantes Igualando-se os dois coeficientes de duas semelhantes: Q1 Q2 = considerando o diâmetro constante para determinada bomba n 1 D3 n 2 D3 1 2 Q1 Q2 n D1 = D 2 . ρ 1 g Hm1 ρ 2 g Hm 2 = ρ 1 n12 D12 ρ 2 n 22 D22 reorganizando a equação Podemos eliminar os termos comuns ρ 1 g Hm1 2 2 ρ 2 g n1 D1 = ρ 1 Hm 2 ρ 2 n 2 D 2 2 2 2 D2 Hm1 n1 1 = 2 Hm 2 n 2 D 2 2 . Substituindo na equação acima. 37 2 2 Hm1 n1 D1 = Hm 2 n 2 D2 2 D2 Hm1 n1 1 = 2 considerando o diâmetro constante para determinada bomba Hm 2 n 2 D 2 2 2 D2 2 Hm1 n1 1 Hm1 n1 D1 = D 2 . a equação transforma-se = 2 organizando a equação = Hm 2 n 2 D Hm 2 n 2 2 2 2 Para a potência Pot Pot 2 1 = ρ1 n1 D1 ρ 2 n 23 D 25 3 5 Pot ρ n3 D5 1 = 1 1 1 Pot 2 ρ 2 n 23 D 25 3 5 Pot 1 n1 D1 = Pot 2 n 2 D2 Pot ρ n3 D5 1 = 1 1 1 considerando o diâmetro constante para determinada bomba D1 = D2 . Pot 2 ρ 2 n 23 D 25 ρ n3 D5 2 1 = 1 1 1 Pot Hm1 n1 a equação transforma-se Pot organizando a equação Hm = 2 2 ρ 2 n 23 D 25 2 n 2 Redução no diâmetro do rotor A redução do diâmetro do rotor pela usinagem em um torno mecânico. Esta operação é necessária quando o ponto de projeto (intersecção da curva do sistema com a curva da bomba). A redução no diâmetro do rotor não permite utilizar as equações obtidas para semelhança geométrica. . mantendo-se constante a rotação e o rendimento. Alguns pesquisadores obtiveram outras equações experimentais. isto pode ocorrer até uma redução de 20% do diâmetro original. → Rendimento (e).4. → Potência absorvida (Pot). 38 2 Q1 D1 = segundo Luis Bergeron e outros (equação experimental) Q2 D 2 Q1 D = 1 segundo J. Tais curvas normalmente relacionam a vazão recalcada pela bomba com: → Altura manométrica (Hm). A curva característica corresponde a o funcionamento da bomba. . as curvas de uma bomba são apresentadas pelo seu fabricante. Geralmente. → NPSH requerido. com a vazão recalcada variando dentro de toda a faixa possível de operação da bomba.8 Curvas Características das Bombas Centrífugas A curva característica de uma bomba centrífuga representa as condições hidráulicas operacionais da bomba em um determinado nível de rotação. Karassik (equação experimental) Q2 D 2 Q1 n = 1 Q2 n 2 2 Hm1 n1 = Hm 2 n 2 substituindo a equação 2 2 2 Q Hm1 Q1 1 = = Hm 2 Q 2 Q 2 2 esta equação utilizada para traçar a parábola de isoeficiência 2 Hm1 Q1 = Hm 2 Q 2 3. as curvas por este apresentada não são mais válidas. Caso a bomba seja colocada para operar com rotação diferente daquela especificada pelo fabricante.0 50 3. o aspecto geral das curvas características é mostrado abaixo: 101 60 100 50 Rendimento (%) Hmna(mca) 99 40 98 30 97 20 96 10 95 0 20 30 40 50 60 20 30 40 50 60 Vazão(m3 h-1) 3 -1 Vazão(m h ) 4.1 Aspecto geral das curvas Para as bombas centrífugas.4.5 NPSH Pot (cv) 2.0 30 1.0 40 2. É comum em catálogos de fabricantes a apresentação de linhas de mesmo rendimento sobre as curvas de altura manométrica versus vazão. Aspecto das curvas características.0 20 30 40 50 60 0 3 Vazão(m h ) -1 20 30 40 50 60 Vazão(m3 h-1) Figura 12.8. . não se apresentando as curvas de rendimento separadamente. 39 É importante observar que estas curvas são apresentadas para a bomba operando a um determinado nível de rotação (rotação nominal da bomba).5 20 1.0 0.5 10 0.5 3. 3. Em decorrência disto. Para um determinado tipo de rotor. A faixa de bom rendimento é relativamente estreita (> 65%). Aumentar a altura manométrica do projeto como margem de segurança para o dimensionamento do conjunto bomba-motor é um erro. 40 3. dentre as várias disponíveis. 3. A potência absorvida cresce com o aumento da vazão. que se adeque às suas condições. a vazão é nula e a potência solicitada pela bomba é mínima. pois assim a altura manométrica é máxima. com pequena variação de rendimento. cresce com a redução da altura manométrica. Compete ao fabricante da bomba definir o tipo de rotor para uma certa bomba.4. Esta.4. a posição da curva característica varia com a rotação deste.8. conforme a figura: . Bombas menores geralmente apresentam menor rendimento.3 Variação das curvas características As curvas características de uma bomba variam com alguns parâmetros.8. por sua vez. como descrito a seguir: A inclinação das curvas varia com o tipo do rotor. é conveniente ligar e desligar a bomba com o registro fechado. mantendo-se o diâmetro deste constante.2 Considerações sobre as curvas características Pode-se variar a vazão. Ao usuário compete a escolha de uma bomba. na faixa de melhor rendimento. especificada pelo fabricante.0 60. 41 100 80 Hman (mca) 60 40 20 0 10 20 30 40 50 60 Vazão (m 3 h-1) 3500 rpm 1700 rpm Figura 13. com um sistema de transmissão (ex: conjunto de polias). a posição da curva varia com o diâmetro do rotor. conforme a figura 80 70 Altura manométrica (mca) 60 50 40 30 20 30.0 80.0 45.0 65. pode-se usar motor de rotação diferente.0 55. de forma a fornecer a rotação adequada à bomba.0 40.0 50.0 70.0 75. Variação da vazão e altura manométrica com diâmetro do rotor . Se necessário.0 35.0 3 -1 Vazão( m h ) Ro to r 192 mm Ro to r 177 mm Ro to r 168 mm Ro to r 152 mm Figura 14.0 85. Para uma determinada rotação. Efeitos da variação da rotação da bomba A bomba deve operar na sua rotação nominal. 3. vida útil.4. são válidas as relações: 2 2 3 Q2 D2 Hm 2 D2 P2 D2 = = = Q1 D1 Hm1 D1 P1 D1 em que: P – potência necessária ao funcionamento da bomba (cv). A bomba escolhida será aquela que apresentar o melhor rendimento. adequado às suas condições. Para pequenas variações de diâmetro (menores que 20% do diâmetro original). onde pode ser verificado o comportamento acima descrito. marca-se na sua curva característica os valores de Q e Hm: . custo de manutenção etc.9 Escolha da Bomba e do Diâmetro do Rotor Determinados os valores de Q e Hm desejados. observando-se também outros aspectos tais como dimensões. entra-se com estes valores nas curvas fornecidas pelo fabricante. Estas relações são úteis porque o usuário pode comprar um rotor de maior diâmetro e fazer um corte ou usinagem no mesmo. de forma a obter um diâmetro menor. custo do motor. 42 Normalmente o fabricante apresenta as curvas características para uma bomba usando vários diâmetros de rotor. Escolhida a bomba a ser usada. custo. Assim a bomba funcionará em condições de pressão e vazão superiores ao ponto de projeto.10 Curva característica da tubulação Graficamente. → O ponto de projeto do sistema está entre duas curvas. Ponto de projeto de uma instalação de recalque. O ponto assim definido no gráfico é chamado de “ponto de projeto”. O ponto de operação da bomba irá operar é chamado “ponto de trabalho”. 43 Figura 18. pode-se mostrar a superposição das curvas características da bomba e da tubulação da seguinte forma: . Para definir o ponto de trabalho de uma bomba. duas soluções podem ser adotadas: • usa-se a bomba com rotor de maior diâmetro. é necessário o traçado da curva característica da tubulação.4. Neste caso usa-se o diâmetro de rotor referente a esta curva. Podem ocorrer as seguintes situações: → O ponto de projeto do sistema coincide com a curva da bomba. Neste caso. 3. 44 70 60 Altura manométrica (mca) 50 40 30 20 10 0 0,0 5,0 10,0 15,0 20,0 25,0 30,0 35,0 40,0 45,0 50,0 55,0 Vazão( m3 h-1) Curva do sistema 1 Curva da bomba Curva do sistema 2 Figura 15. Curvas características da bomba e tubulação. Para se traçar a curva característica da tubulação, deve-se considerar o seguinte: Hm = Hg + Hft Usando Hazen-Williams, pode-se escrever: 10,641 Hf t = .Lv.Q1,85 1,85 4,87 C .D Lv – comprimento virtual da tubulação (m), (expressa perdas de carga contínua e localizadas). Assim: Hft = K x Q1,85 e Hm = Hg + K x Q1,85 O valor de K pode ser obtido a partir dos valores de Q e Hm calculados para o ponto de projeto, fazendo-se: 45 (Hm p − Hg) Hmp = Hg + K x Qp 1,85 K= Q p1,85 Em que: Qp e Hmp – vazão e altura manométrica do ponto de projeto. Conhecido K, constrói-se uma tabela de Hm versus Q, a partir da qual traça-se a curva característica da tubulação. O ponto onde esta curva intercepta a curva da bomba com o rotor escolhido é o ponto de trabalho da bomba (Qt e Hmt). – a outra alternativa quando o ponto de projeto está entre duas curvas da bomba consiste em se determinar um diâmetro de rotor para o qual a curva característica da bomba passe pelo ponto de projeto. Os diâmetros se relacionam de acordo com a expressão: 2 0,5 Dp Q Q = p ⇒ D p = D 2 . p D Q Q 2 2 2 em que: Dp – diâmetro do rotor a ser usado para que a bomba opere no ponto de projeto (m). 3.5 Peças Especiais em uma Instalação Típica de Bombeamento Para que os componentes de uma instalação de recalque sejam montados convenientemente, de forma a operarem corretamente, um conjunto de peças especial deve ser instalado, cada uma delas com um fim específico, como descrito a seguir: 5.1 Na Tubulação de Sucção 3.5.1.1 Válvula de pé e crivo 46 Instalada na extremidade inferior da tubulação de sucção, a válvula de pé é unidirecional, permitindo a passagem da água apenas no sentido ascendente. Sua função é manter a tubulação de sucção e a carcaça da bomba cheias de água, quando a bomba não está em funcionamento (manter a bomba escorvada). O crivo consiste comumente de uma placa metálica, dotada de um grande número de orifícios, através dos quais a água penetra na tubulação. Sua função é de evitar que partículas de maior tamanho penetrem na tubulação, o que poderia acarretar entupimento do rotor. 3.5.1.2 Curvas Para permitir o alinhamento da tubulação com o eixo da bomba, usualmente horizontal, é as vezes necessário a instalação de uma curva na tubulação de sucção, uma vez que esta comumente imersa na água segundo uma direção perpendicular à superfície livre da mesma, quando se trata de tubos rígidos. A utilização de tubos flexíveis tornaria desnecessário o uso de curvas. 3.5.1.3 Redução excêntrica A redução excêntrica tem por objetivo permitir o engate da tubulação de sucção na entrada da bomba, comumente de diâmetro menor que o da tubulação. Esta redução é excêntrica, de forma a que o ponto mais alto ao longo de toda a tubulação de sucção coincida com a entrada da bomba, conforme mostrado na figura a seguir: permitindo a passagem da água apenas no sentido ascendente. 3.1 Ampliação concêntrica Permite o acoplamento da tubulação de recalque à saída da bomba. Na ausência da válvula de retenção.2 Válvula de retenção É uma válvula unidirecional.5.2. 3. Tem por função sustentar o peso da coluna de água que se encontra na tubulação de recalque.5.2. o que formaria uma bolha que poderia impedir o funcionamento da bomba. É recomendado o uso da redução excêntrica quando o diâmetro da sucção é igual ou maior que 100 mm. geralmente de diâmetro da saída da bomba é menor que o da tubulação. A instalação da tubulação de sucção desta forma impede o acúmulo de ar em algum ponto ao longo desta.2 Na Tubulação de Recalque 3. evitando que esta seja suportada pela bomba. Conjunto com conexões e peças especiais.5. . 47 Figura 16. estando o registro aberto. Esta pequena vazão é muito útil na escorva da bomba. A válvula de retenção é. quando o funcionamento da bomba é bruscamente interrompido. Além disto. Esta saída pode ser livre ou afogada e o cálculo de perde de carga localizada promovida por esta pode ser feita por um dos métodos já vistos. porém. na tubulação de recalque são usadas curvas de ângulos e em quantidade suficiente para que a tubulação acompanhe o perfil do terreno ou a linha. dotada de um dispositivo denominado “by-pass”. 3. em direção à bomba.4 Curvas Assim como na tubulação de sucção. às vezes. é conveniente a instalação de um manômetro logo após o registro de gaveta.2. definida em projeto.5. o peso da coluna de água sustentada pela bomba poderia fazer com que a bomba girasse em sentido contrário.3 Registro de gaveta Instalado após a válvula de retenção. É conveniente também a . É uma peça de importância fundamental. por onde deve passar. Além destas peças citadas. 3.5. permite a regulagem da vazão elevada pela bomba.2. a válvula de retenção evita que o golpe de aríete provocado pela interrupção brusca do fluxo de água. que permite o desvio de uma pequena vazão por um tubo de pequeno diâmetro dotado de um registro. o que permite o controle da sua abertura. 48 caso a válvula apresentasse problemas. ocasiona perda de carga localizada. A sua instalação após a válvula de retenção permite reparos nesta quando necessário.5 Saída da tubulação Não é uma peça especial. ou pelo desligamento do conjunto de bombeamento sem fechamento prévio do registro localizado após a bomba ou por interrupção do fornecimento energia e parada brusca de funcionamento. 3. pois a bomba radial deve sempre ser ligada e desligada com o registro de gaveta fechado.2.5. sem que a tubulação de recalque seja completamente drenada. 49 instalação de um vacuômetro na entrada da bomba. Quando se tratar de um conjunto que não seja do tipo monobloco (rotor fixado no próprio eixo do motor). devendo o local ser coberto para que o conjunto não seja submetido a chuvas ou sol em excesso. de fácil acesso para o operador bem como para o encarregado da manutenção. O conjunto deve ser instalado sobre uma fundação preferencialmente de concreto. 3. A tubulação de sucção deve ser a mais curta e reta possível. além ed facilitar a instalação e a retirada da mesma. Operação e Manutenção de Bombas Centrífugas Antes de se adquirir uma bomba centrífuga. absorver os golpes na partida e na parada do motor. Deve-se instalar o conjunto em uma posição tal que este esteja livre de inundações (cota superior ao nível máximo da água na fonte). Quando for possível. O acoplamento dos eixos do motor e da bomba deve ser feito com junta elástica. as curvas devem ser de raio longo. Quando necessárias. Os pesos das tubulações de sucção e de recalque não devem ser suportados pela bomba. principalmente. que poderia interromper o funcionamento da bomba. deve-se fazer cuidadosamente o projeto da instalação de recalque. evitando o trabalho de escorvamento periódico. cujas dimensões são usualmente definidas pelo fabricante. deve-se alinhar cuidadosamente os eixos do motor e o da bomba. O não alinhamento dos eixos pode implicar em desgaste excessivo de componentes e até mesmo quebra do eixo.6 Instalação. Isto evita o acúmulo de ar. O conjunto de bombeamento (bomba e motor) deve ser instalado em local seco. para medir a pressão negativa aí gerada pela bomba. que tem a função de compensar a dilatação em função da temperatura e. de forma a que nenhuma tensão seja exercida sobre a carcaça da bomba. bem ventilado. As tubulações devem ser dotadas de apoio próprio. a instalação do conjunto de forma a que a bomba opere afogada é conveniente. Além disto. . a tubulação de sucção deve ser instalada com uma ligeira inclinação. de forma a que o seu ponto mais alto coincida com a entrada da bomba. escolhendo-se aquela bomba que melhor se adeque às condições locais. deve ser instalada uma válvula de retenção logo após a saída da bomba. A bomba não deve funcionar sem recalcar líquido. é conveniente a construção de um poço se sucção. deve ser instalado um registro de gaveta. A válvula de pé deve ser instalada ed forma a ficar. no mínimo. Como o diâmetro da tubulação é normalmente maior que o diâmetro da entrada da bomba. A vedação no mancal de uma bomba pode ser feita por gaxeta ou por selo mecânico. que manterá a bomba escorvada. de acordo com normas específicas. a fim de se interromper o fluxo quando necessário. Esta válvula permite a passagem da água apenas no sentido ascendente. deve-se verificar que o registro está fechado e se a bomba está escorvada (tubulação de sucção e carcaça cheias de água). Com a bomba em funcionamento. 50 Na extremidade da tubulação de sucção deve ser instalada uma válvula de pé e crivo. é conveniente a instalação de um registro de gaveta na tubulação de sucção. esta deve apresentar as características específicas pelo fabricante da bomba. Caso a água na fonte esteja em movimento com velocidades consideráveis. indicado por uma seta na carcaça. deve-se verificar se está girando no sentido correto. Deve-se observar o nível mínimo da água na fonte. Este gotejamento . quando o funcionamento for interrompido. pois funcionará sem lubrificação. Após a válvula de retenção. Quando se tratar de gaxeta. é conveniente a instalação de uma redução excêntrica nesta entrada. A não observação destas normas pode acarretar danos e acidentes graves. Nunca permitir que a bomba gire em sentido contrário. impedindo também a entrada de partículas grandes que poderiam entupir o rotor. evitando que a bomba suporte o peso da coluna de água existente na tubulação de recalque. A excentricidade evita o acúmulo de ar. Antes de se dar a partida no motor que aciona a bomba. Na tubulação de recalque. de forma a evitar a agitação do líquido. cuja função é de interromper o fluxo do líquido. O circuito que alimenta o motor elétrico deve ser dimensionado em função da sua pot~encia. o que impede que estas se queimem em decorrência do atrito. impedindo que a água retorne à fonte. Se a bomba trabalhar afogada.5 vezes o diâmetro da tubulação de sucção. deve haver um pequeno vazamento de líquido pelas gaxetas. Esta interrupção deve ser promovida sempre antes da bomba ser ligada ou desligada. Ao dar a partida na bomba pela primeira vez. a uma profundidade igual a 2. 3. A altitude do local é de 550 metros e a bomba operará elevando água à temperatura média de 20ºC. Instalação de de sistema de bombeamento São dados: Desnível de sucção = 4 m. Comprimento do recalque = 1000 m. Comprimento da sucção = 9 m. 1 curva de 90º. sendo regulado pelo aperto dado no “aperta-gaxeta”. 1 redução excêntrica. fornecendo uma vazão de 40 m3 h-1. Peças especiais no recalque: 1 ampliação concêntrica. . 1 válvula de retenção. Peças especiais na sucção: 1 válvula de pé e crivo.7 Exemplo de Dimensionamento de uma Instalação de Recalque Um reservatório deve ser abastecido por uma bomba que funcionará durante 12 horas por dia. Desnível de recalque = 40 m. Figura 17. 1 registro de gaveta. 51 deve ser da ordem de duas a seis gotas por minuto. Para estas condições pede-se: Dimensionar a instalação de recalque.5 Dr = 1.89m s −1 π * 0. A tubulação será de PVC (C = 140).125 2 .4m s −1 Vs = = 0.0110. 2 curvas de 90º.5 Dr = 0. Verificar se a bomba selecionada apresentará problemas de cavitação.D 2 4 * 0.Q Q=AxV ⇒ V = Q/A ⇒ V= π.011 4 * 0. escolhendo a bomba em catálogo de fabricante.105 m = 105 mm Regra prática: Usar o diâmetro comercial imediatamente inferior no recalque e o imediatamente superior na sucção. Velocidades nas tubulações: 4.018 Vr = = 1. 52 2 curvas de 45º. Então: Dr = 100 mm (4”) e Ds = 125 mm (5”). A tubulação de recalque descarrega água no reservatório superior com saída livre.011 m3 s-1 Dr = K x Q0. SOLUÇÃO a) Diâmetro de recalque: Usando a fórmula de Bresse: Q= 40 m3 h-1 =0. Conferir velocidades.100 2 π * 0.0 x 0. Assim.85 Hf s = .125______________ 3.80 m Válvula de retenção _______1 x 100 x 0.75 m Redução Excêntrica _________1 x 06 x 0.303 m 1401. 53 Conforme valores citados anteriormente. os diâmetros serão usados.100_____ 10.125 4.0111.023.100____ 3.25 m Curva de 90º _________1 x 30 x 0.00 + 0.00 m Válvula de Pé _________1 x 250 x 0.100_______ Curvas de 45º _______2 x 15 x 0.87 Hfs = 0.50 m Lv = 1. Altura manométrica (método dos diâmetros equivalentes): Altura manométrica de sucção: Tubos retos __________________________________ 9. estes valores determinados acima são adequados.303 Hms = 4.90 m .00 m Ampliação concêntrica _______1 x 06 x 0. * 44.100______ 0.641 * 0.00 m Saída livre _______1 x 35 x 0.60 m Registro de gaveta _______1 x 08 x 0.303m Hms = 4.75 m Lv = 44.100______ 3.100_____ 0.125______________ 0.85 * 0.75 m 10.00 m 0.125_____________ 31.75 = 0.30m Altura manométrica de recalque: Tubos retos __________________________ 1000 m Curvas de 90 º _______2 x 30 x 6. tais como disponibilidade.87 mca Hm = 64. preço.100 4.57 m Hmr = 40.85 * 0.44% O primeiro critério a ser considerado para se definir qual a bomba será usada é o de maior rendimento. existência ou não de motor para acionar a bomba.87 mca Escolha da bomba em catálogo de fabricante: Entrando no mapa geral da bomba : Q = 40 m3 h-1 Hm = 64.023.30 = 64.87mca Seleção de modelos que se adequam: Consultando as curvas características de cada bomba obtém-se: BC 23 R 2 Dr = 192 mm 60. outros parâmetros devem ser analisados. 54 Lv = Comprimento virtual da tubulação. vamos selecionar a bomba: . Além deste critério.57+ 4.641 * 0.90 = 20.57 Hmr = 60.0111.87 Hfr = 20.57 m Altura manométrica de instalação: Hm = 60.85 Hf r = * 1.57 m 1401.48% BC 22 R2 Dr = 177 mm 56. freqüência de manutenção etc. Neste exemplo.00+ 20. 10. Os modelos não apresentam grandes diferenças.49% ME 32150 Dr = 142 mm 58. pode-se adotar as alternativas: a) Usar a bomba com o rotor de diâmetro correspondente à primeira curva acima do ponto de projeto e encontrar o ponto de trabalho da bomba. percebe-se que.85 64. Diâmetro do rotor: 192 mm Para se determinar o ponto de trabalho.253x10-2 Hm = 44 + 2.225x10-2x Q1.48% Figura 18.85 ⇒ K =2.85 . Observando-se o ponto de projeto marcado nas curvas características desta bomba. Assim. com qualquer diâmetro de comercial de rotor. esta bomba não operará no ponto de projeto. Curvas da bomba selecionada O próximo passo será definir o diâmetro do rotor que será usado. 55 Modelo: BC 23 R2 Rotação: 3500 rpm Rendimento: 60.87= 44 + K x 401. deve-se traçar a curva característica da tubulação: Hm = Hg + K x Q1. 56 Fornecendo alguns valores a Q e calculando os respectivos valores de Hm tem- se: Tabela 1. Valores da curva do sistema Q 0 10 15 20 25 30 35 40 45 50 Hm 44,00 45,59 47,38 49,75 52,68 56,17 60,18 64,72 69,76 75,30 Q 0 52,62 60,21 65,04 70,56 75,39 80,22 85,05 Hm 71,26 64,83 62,49 60,68 58,31 55,62 53,4 50,57 = -0,0016x2 - 0,2049x + 80,242 R2 = 0,9961 Igualando-se a curva do sistema − 0,0016 * Q 2 − 0,2049 * Q + 80,24 = 44 + 2,225 x10 −2 * Q1,852 Utilizando a planilha do Excel ou calculadora programável, a solução é rápida ,ou ainda pode-se resolver pelo método das tentativas. A solução da expressão é: vazão igual 43,45 m3 h-1 e altura manométrica de 68,30 mca. O ponto de trabalho da bomba com rotor de 192 mm será: Qt = 43,45 m3/h Hmt = 68,30 mca ηb = 61,18% Colocando-se a bomba em funcionamento e abrindo-se todo o registro, a bomba com o rotor de 192 mm funcionará neste ponto de trabalho. Pode-se fechar o registro parcialmente caso seja desejada uma vazão de 40 m3 h-1, referente ao ponto de projeto. Neste caso, o registro será fechado até que a altura manométrica seja igual a aproximadamente 64,31 mca b) Outra alternativa consiste em se encontrar qual o diâmetro do rotor para que a bomba funcione no ponto de projeto. Determinado os valores da curva de isoeficência 57 Da Figura 19, pode-se retirar: O ponto do projeto apresenta as seguintes características, Hman1= 64,87 mca Q= 40 m3 h-1 η1 = 55% D1=? Para o ponto sobre a curva de 192 mm homólogo, obtido pelo traçado da curva de isso rendimento. Hman1= 64,87 mca Q= 43,92 m3 h-1 η1 = 55% D1=192 mm Q2 = 43,92 m3/h e assim: Hm = −0,0016 * Q 2 − 0,2049 * Q + 80,24 Utilizando a equação de J. Karassik, determina-se qual a relação entre os diâmetros. Q1 D = 1 , para de terminar a vazão do ponto 2, é necessário traçar a curva de Q2 D 2 2 Hm1 Q1 isoeficiência.utlizando a equação = Hm 2 Q 2 2 Hm1 Q1 Hm1 Hm 2 64,87 Hm 2 Hm 2 = ⇒ = ⇒ = ⇒ 0,4054 = Hm 2 Q 2 Q 22 Q 22 40 2 Q 22 Q 22 Hm 2 = 0,4054 Q 22 Substituindo os valores de vazão na equação, encontra-se os valores apresentados a seguir. Pela curva isoeficiência 58 Q 40,0 41,0 41,5 42,0 44,0 46,0 48,0 Hm 64,87 68,15 69,83 71,52 78,49 85,79 93,41 80 70 Altura manométrica (mca) 60 50 40 30 20 30,0 35,0 40,0 45,0 50,0 55,0 60,0 65,0 70,0 75,0 80,0 85,0 Vazão( m3 h-1) Curva do sistema Rotor 177 mm Rotor 152 mm Rotor 192 mm Isoeficiência Rotor 168 mm Rendimento Figura 19. Curvas da bomba, sistema e isoeficiência D1 40 = = 0,9638 D2 41,5 Utilizando a proposta de Stepanoff (Deniculli,1993) ajustou-se uma equação a partir dos dados: Correção = 0,8536 * Valor + 0,1443 Correção = 0,8536 * 0,9638 + 0,1443 = 0,9670 O diâmetro a ser utilizado será: 192*0,9670=185 mm Este é o diâmetro do rotor a ser usado para que a bomba opere no ponto de projeto. Deve-se então adquirir um rotor de 192 mm de diâmetro e usiná-lo, ou seja, cortar neste até que seu diâmetro seja de 185 mm. 83 CV 75 * 0.64 .1 1000 * * 40 3600 Pot = = 14.15 = 18. 59 Figura 20.76 CV 75 * 0. Bomba no ponto de trabalho (rotor de 192 mm): 68. Diâmetro do rotor antes e após a usinagem (D − D u ) 192 − 185 U sin agem = = = 3.64 Potência do motor: Pm = Pot + folga Pm = 15.1 1000 * * 40 3600 Pot = = 15.76 x 1.12 cv Potência comercial do motor: Pm = 20 cv 2. Bomba no ponto de projeto (rotor usinado): 64.5 mm 2 2 Potência necessária ao funcionamento da bomba selecionada 1. 83 cv Potência do motor: Pm = 14.05m Cálculo da pressão atmosférica 5. o uso do rotor usinado não acarretou uso de motor com menor potência.48 mca NPSHd = 9.15 = 17. 2568 293 − 0.05 cv Potência comercial do motor: Pm = 20 cv Neste caso. 60 Pot = 14.48 . entretanto.303) NPSHd = 4. 2568 293 − 0.13 * = 94.24 + 0.(4. Verificação de cavitação 1 – Bomba no ponto de trabalho: Qt = 40 m3/h NPSHr = 4. Este trabalhará.13 * 293 5.80 kPa 293 P=9. com uma margem de segurança maior e consumo de energia menor.93 m NPSHd > NPSHr ⇒ a bomba pode ser instalada nestas condições Exercícios Propostos 1) .0 + 0.83 x 1.0065 * Z p = 101.0065 * 550 p = 101. Potência do conjunto.00 m Comprimento da sucção = 9.0 m Altura de recalque = 17. 61 1) Dimensione a adutora e o sistema de bombeamento para pivô-central com as seguintes características: comprimento da adutora 800 m.00 m Comprimento do recalque = 322. comprimento da lateral 610 m e evapotranspiração máxima da região de 6 mm d-1. Alturas manométricas de sucção e de recalque. Altura manométrica da instalação. Qual o custo de energia elétrica para efetuar uma irrigação. Altura geométrica da instalação. 2) Uma instalação de recalque apresenta os seguintes valores: Vazão elevada = 30 l/s Tubulação de PVC (C = 140) Rendimento da bomba = 70% Altura de sucção = 3.0 m Peças especiais na sucção: Válvula de pé e crivo Curva de 90º Peças especiais no recalque: Registro de gaveta Curva de 90º Válvula de retenção 2 curvas de 45º Saída livre Determine: Diâmetros das tubulações de sucção e de recalque. . Editora Globo.577p. São Paulo. 162p. C.A. 2007. .M. edgard Blucher Ltda. Bombas Hidráulicas. Imprensa Universitária. A. E. . NEVES. W. 625p. BERNARDO. J. 1998.Porto Alegre. Edgard Blucher Ltda. DENICULI. E..Manual de Hidráulica. Manual de hidráulica geral. 1986.A.& ALVAREZ. Curso de Hidráulica.8a ed.8a ed. 8a ed.1972.T.São Paulo. .SOARES. 411p. Viçosa: UFV. Manual de irrigação. 62 Referências AZEVEDO NETTO.G.Ed. 2008. S. Ed.. LENCASTRE. MANTOVANI. Viçosa. somente utilizado em cursos d'água que a utilização de outros métodos é impossível. A vazão é dada pela seguinte equação: . t. Este método é aplicável a pequenas vazões e devem ser feitas pelos três medições de tempo e trabalhar com a média.2 Método do flutuador. com auxílio de um flutuador e determinar a seção média do referido trecho. 63 3.1 Medição direta Consiste em tomar recipiente de volume conhecido e determinar o tempo necessário para enche-lo de água ou um líquido qualquer. Vol Q = t onde: Q. Consiste em medir a velocidade média de escoamento da água em um trecho do curso d' água previamente escolhido. vol volume do recipiente. O método é pouco preciso. 3.tempo necessário para encher o recipiente.vazão. MEDIÇÃO DE VAZÃO. 3. Toma-se um frasco(garrafa) parcialmente cheio de água de tal forma quee somente o gargalo se conserve fora da água.para canais com paredes lisas . Tem-se o tempo necessário para percorrer a distância conhecida( 10 m) e conseqüentemente a velocidade máxima( V 1 ). O flutuador tende a deslocar-se para região de maior velocidade. O flutuador deve ser lançado no curso d'água a uma distância de 5 metros à montante do primeira ponto. Figura 12. Essa determinação de tempo deve ser repetida três vezes. de pelo menos 10 metros de comprimento. Para marcar esta distância colocam-se duas varas transversais à direção do escoamento. Esquema de uma seção transversal de um curso d'água mostrando um flutuador Para determinar a velocidade. A velocidade média (V) é obtida através dos seguintes coeficientes corretivos: .área média da seção do curso.velocidade média do trecho. Um observador aciona o cronômetro quando o flutuador atingir a primeira marca e trava o cronômetro quando atingir a segunda.1 Determinação da velocidade média.2. marca-se um trecho retilíneo do curso d'água.V onde: A. 3. 64 Q = A . Trabalha-se com a média. V. 85 a 0.2 Determinação da seção média do curso d'água.2.65 a 0. no trecho considerado Figura 13.para canais com paredes irregulares e vegetação no fundo V=0.75 V 1 3.Vista superior de um curso d'água.85 V 1 . 65 cimento → V= 0. Deve ser considerada como média da medição de pelo menos três seções. .75 a 0. mostrando como se determina a velocidade média.95 V 1 .para canais com paredes pouco lisas terra → V=0. . O vertedor é uma passagem construída no alto de uma parede por onde a água escoa livremente. + A n − 1 + A n h 0 + h1 L h + h2 L h ( n − 1) + h n L A = ( ) + ( 1 ) + ( ) 2 n 2 n 2 n 3.. canais . São utilizados na medição de vazão de pequenos cursos d'água. A = A 0 + A1 + . nascentes ( Q ≤ 300 l / s ) .número de subseções. L.Seção transversal do curso d'água.largura superficial n. 66 Figura 14. O líquido escoa sob pressão atmosférica.3 Método do Vertedor. Os vertedores podem ser classificados de acordos com as algumas características: a) quanto à forma Retangular. Esquema mostrando o corte longitudinal.Esquema de um vertedor. 67 Figura 15. b) Quanto à espessura da parede (e): Figura 16. .parede delgada: a espessura da parede (e) não é suficiente para que estabeleça o paralelismo das linhas de corrente (e ≤ 2 H ) . 3 -Parede espessa: a espessura é suficiente para estabelecer o paralelismo das linhas de (e ≥ 2 H ) corrente 3 c) Quanto as contrações. triangular e trapezoidal etc. . Como pode ser observado na figura 17. P > P vertedor livre ' O lençol d'água escoa livremente à jusante do vertedor. Vista frontal de vertedores. o vertedor da figura 10-A não apresenta contrações. enquanto da figura B e C apresentam respectivamente uma e duas contrações. 68 O vertedor pode ter contração da veia líquida ou não. d) Quanto a relação entre altura d'água a jusante(P') e altura do vertedor. Esquema mostrando descarga livre e afogada. Figura 18. ' 3. Figura 17. onde atua pressão atmosférica .1 Equação geral da vazão para vertedores de paredes delgadas.3. .P < P vertedor afogado. Considera-se um vertedor de paredes delgada e seção geométrica qualquer (retangular . . . as seguintes hipóteses foram feitas: . Perfil longitudinal. Sendo escoamento permanente e considerando a seção(1) ligeiramente à jusante da crista do vertedor( local onde a pressão é nula) e utilizando a equação de Bernoulli entre as seções (O) e (1). isto é. com referência em A. ausência de atrito entre as referidas seções e incompressibilidade do fluido.Para dedução da equação geral.Pressão na cauda é nula. para linha de corrente genérica AB. triangular etc).P suficiente grande para se desprezar a velocidade de aproximação ( V 0 ).distribuição hidrostática das pressões nas seções (O) e (1). . . 69 Figura 19. P0 V 02 P1 V 12 + + Z 0 = + + Z1 γ 2g γ 2g V0≅ 0 . Tem-se : a referência do sistema será posicionada no ponto A.escoamento ideal entre as seções ( O) e (1). a vazão não poderá ser calculada simplesmente multiplicando a área versus velocidade e sim integrando a equação de velocidade. O vertedor foi divido simetricamente. Gráfico da velocidade no interior da lâmina d'água sobre a soleira do vertedor Considerando a variação da velocidade na lâmina d'água. 70 V 02 2 V th H 0 + + 0 = 0 + + (Y + H 0 − H ) 2g 2g V 2 0 = th + Y + H 0 − H − H 0 2 g 2 V th = 2 g ( H − Y ) Vth = 2 g ( H − Y ) equação da velocidade (1) 14 12 10 8 6 4 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 va ria çã o de y Figura 20. então a vazão que escoa na metade do vertedor é dada pela seguinte equação: . L X = f (y) = (5) 2 substituindo (5) em (4) . dA dA = X . dy d Q th = 2 V th .3. dA = 2 V th . Para um escoamento real sobre um vertedor de paredes delgadas a expressão geral para a vazão é dada pela seguinte equação: 1 d Q th = 2 2 g C Q ∫ H X ( H − y ) 2 dy (4) 0 3. Vertedor retangular de parede delgada O vertedor sem contração lateral. X . dy 1 d Q th = 2 2 g ∫ H X ( H − y ) 2 dy 0 Na equação acima devemos acrescentar um coeficiente (C Q) determinado experimentalmente.2. 71 d (Q ) th = 2 V th . Figura 21. Esquema de um vertedor retangular. dy (2) substituindo (1) em (2): d Q th = 2 2 g ( H − Y ) X . o qual inclui o efeito dos fenômenos desprezados inicialmente. 3. sem contração lateral. .1 Equação de Francis. O valor de C Q foi estudado por vários pesquisadores. sendo encontrado em função de H e P 3.2. 72 H 1 d Q th = 2 2g C Q ∫O L 2 (H − y) 2 dy 1 H 2 0 ∫ d Q th = 2g L C Q (H − y) dy (A) fazendo: H − y = u ∴ − dy = du quando: { y= o → H= u y = H → u= 0 1 1 ∫ ( H − y) 2 dy = ∫ 0u 2 (− du ) H 0 u H 3 u 2 2 32 3 = H (B) 2 3 Substituindo (B) em (A) 2 3 Q = 2g C Q L H 2 3 O vertedor retangular de parede delgada. 77 LH 2 onde: Q. para duas contrações Na falta de informação pode-se tomar o valor de C Q = 0.comprimento da soleira. 3. Esquema da passagem de um vertedor triangular. em m. 2 H . em m3/s.3.vazão. a fórmula para vertedores retangulares com duas contrações laterais é dada pela seguinte expressão: 3 Q = 1 . o valor de L' é usado na fórmula de vertedores retangulares no lugar de L.carga hidráulica.60 valor este apresentado por Poncelet. 73 Quando o vertedor possui contração lateral é necessário fazer a correção no valor de L. Figura 22.. em m. H. ou seja. L. φ X = y tg ( ) 2 substituindo na equação abaixo H 1 Q = 2 2g C Q ∫0 X (H − y) 2 dy H 1 y tg ( θ )(H − y) 2 dy Q = 2 2g C Q ∫0 2 H 1 Q = 2 2g C Q tg ( θ ) 2 0 ∫ y(H − y) 2 dy fazendo: . L ' = L − 0 .3 Vertedor triangular. 74 1 (H − y) 2 = u (H − y) = u2 ∴ H − u2 = y derivando a equação acima em relação a u y = H − u2 dy = 0 − 2u du dy = − 2 udu trocando os limites de integração. tem-se: y = 0 →u = H 1 2 y = u →u = 0 H 1 0 ∫0 y(H − y) 2 dy = H2 1 (H − u 2 ) u (−2u )du ∫ −2 ∫ ( H − u 2 ) u 2 du = −2 ∫ 0 0 1 1 ( Hu 2 − u 4 ) du H 2 H 2 integrando a equação acima. u3 u5 −2 H − = 3 5 H 12 3 5 0 2 O 2 H 3 H 3 − 2(H − ) − (− 2(H − )) 3 5 3 5 3 5 5 5 H 2 H 2 H 2 H 2 2(H − )) ⇒ 2 ( − )) 3 5 3 5 5 5 5 5 H 2 H 2 5H 2 3H 2 2( − )) ⇒ 2 ( − ) 3 5 15 15 . 3.: para pequenas vazões o vertedor triangular é mais preciso que o retangular. pois o valor de H a ser lido é maior quando comparado com o vertedor retangular. Na falta de maiores informações pode-se adotar o valor médio de C Q = 0. apresenta a seguinte característica.40 H 2 ( fórmula de Thompson) Obs. a inclinação das paredes 1:4( 1 na horizontal e 4 na vertical) para compensar o efeito da contração lateral da lâmina ao escoar por sobre a crista. . 3. O vertedor desenvolvido pelo engenheiro Cipolletti. a θ fórmula acima será simplificada para: 5 Q = 1.4 Vertedor trapezoidal de parede delgada.60. 75 5 5 2 5H 2 3H 4 5 2( − ) ⇒ H 2 15 15 15 1 H 2 4 52 ∫ 3 y(H − y) 2 dy = H 0 15 Substituindo na equação θ 4 5 Q = 2 2g C Q tg ( ) H 2 2 15 8 θ 5 Q = 2g C Q tg ( )H 2 15 2 O valor de C Q poderá obtido em tabela. tg ( 2 ) = 1 . se θ = 90o. H e P. em função de θ . adotando o valor de C Q =0. em m. H. Vertedor trapezoidal( Cipolletti) A vazão pode calculada como a soma das vazões que passam pelo vertedor retangular e pelos vertedores triangulares.86 L H 2 onde: Q.vazão. em m. 76 Figura 23.63. torna a fórmula acima simplificada: 2 3 Q = 2 . ou seja: 5 2 g C Q tg ( θ ) H 2 3 8 Q = 2g C Q L H 2 + 2 3 15 2 2 g C Q + C Q tg (θ ) L H 2 2 4 3 Q= 3 1 5 2 2 Segundo Deniculli.3.comprimento da soleira.carga hidráulica. 3. 9 . em m3/s. 81 * 0 .5 Vertedor retangular de parede espessa A espessura da parede ( e ) é suficientemente para que se estabeleça o paralelismo entre os filetes ou seja: as linhas de corrente sejam paralelas ( o que confere uma distribuição hidrostática das pressões) . L. 63 LH 2 3 3 Q = 1. tem-se: p0 V 02 p V 12 + + Z0 = 1 + + Z1 γ 2g γ 2g V 2th H + 0 + 0 = h + + 0 2g V th = 2g (H − h ) A = Lh Q th = A V th = Lh 2g (H − h) 1 Q th = L 2 g ( H h 2 − h 3) 2 Para determinar a vazão máxima. Figura 24. Aplicando a equação de Bernoulli entre (0) e (1) para linha de corrente AB. a segunda derivada deverá ser negativa. Corte longitudinal da instalação de vertedor de parede espessa. Para derivar esta equação vamos utilizar a regra da cadeia dQ dQ du = dh du dh u = H h2 − h3 du = 2H h − 3h 2 dh substituindo a variável “ u” na equação . uma função para ter ponto de máximo. 77 fonte: Deniculli. Princípio de Belanger: a altura h sobre a soleira se estabelece de maneira a produzir uma vazão máxima. vamos derivar a equação acima. 91. 50 m ) e da face à margem.6 Instalação e operação de vertedores. pelos 3 metros. 385 C Q L 2g H 2 Tomando-se o valor de CQ =0.3. -A distância da soleira ao fundo deverá ser superior a 3H ( ≈ 0 . 78 1 Q th = L 2g (u ) 2 d Q th 1 −1 = L 2g (u ) 2 du 2 d Q th 1 −1 = L 2 g ( u ) 2 ( 2 Hh − 3 h 2 ) dh 2 d Q th 1 L 2g = ( 2 Hh − 3 h 2) dh 2 1 (H h 2 − h 3) 2 dQ th para determinar o ponto de mínimo faz-se = 0 dh (H h 2 − h 3) ≠ 0 ⇒ h ≠ H 2H (2 H h − 3 h 2) = 0 ⇒ h = 3 substituindo a variável h na equação: 1 Q th = L 2 g ( H h 2 − h 3) 2 2 3 1 Q th = L 2g (H( 2H ) − 2H ) 2 3 3 4 8 1 Q th = L 2g ( H 3 − H 3) 2 9 27 12 8 1 Q th = L 2 g ( H 3 − H 3 ) 2 27 27 4 12 3 Q th = ( ) L 2g H 2 27 introduzindo na equação o coeficiente de correção da vazão CQ . tem-se: 3 Q th = 1 . tem-se: 3 Q th = 0 . . superior a 2H ( ≈ 0 . 55 LH 2 3. na prática. 30 m ) . Os seguintes cuidados devem ser tomados na instalação do vertedor e na medida da carga hidráulica: -escolher um trecho do canal retilíneo à montante e com pelo menos 20 H de comprimento. . e esse é construído abaixo da superfície do líquido. triangular etc. 2g . . circular. canais ou canalizações. 4. em paredes de reservatórios. .O valor de H deve ser medido a uma distância da soleira de 10 H( 1. 4. Forma de medir a carga hidráulica (H).2 Quanto às dimensões relativas . pela qual se escoa um líquido. 79 V2 P ≅ 3H permite tomar 0 ≈ 0.1. tanques.Deve ser instalado na vertical.A ventilação sob a cauda deve ser mantida para permitir o escoamento livre.1 Classificação.5m) fonte:Deniculli Figura 25.1. ORIFÍCIOS. devendo estar a soleira na posição horizontal. Orifício é uma abertura de perímetro fechado.Não permitir que haja qualquer escoamento lateral ou por baixo do vertedor. 4. 4.1 Quanto à forma geométrica: retangular. 4 Quanto ao escoamento. 80 Figura 26. Na prática . . Esquema de corte transversal de um orifício.1. 4. Esse caso será enquadrado no estudo dos bocais. d ≤ 3 . a) Pequeno: quando suas dimensões forem muito menores que a profundidade (h) em que se encontram. 4.1. h b) Grande: d ≥ h 3 d= altura do orifício. b) Parede espessa: (e ≥ d ) : nesse caso a veia líquida toca quase toda a parede do reservatório.3 Quanto a natureza das paredes a) parede delgada (e ≤ d ) : a veia líquida toca apenas a face interna da parede do reservatório. 81 fonte:Deniculli Figura 27. Esquema dos escoamentos livres e afogados. 4.1.5 Quanto à contração da veia. fonte: Azevedo Netto Figura 28. Contrações nos diversos orifícios. As partículas deslocam para orifício oriundas de todas as direções, em trajetórias curvilíneas. Ao atravessarem a seção do orifício continuam a se moverem em trajetórias curvilíneas( as partículas não mudam bruscamente de direção), obrigando o jato a contrair-se a uma distância do orifício ( onde as linhas de corrente são paralelas); 82 Figura 29. Contração do jato. No caso de orifícios abertos junto ao fundo ou às paredes laterais, é indispensável a ' correção. Nessas condições, aplica-se um coeficiente de descarga Cd corrigido. Para orifícios retangulares . C 'Q = C Q (1 + 0 ,15 k ) onde : perímetro em que há supressão k = perímetro total do orifício figura 28 inclui os seguintes casos: a + b k = (2a + 2 b) k= (2a + b ) ( 2a + 2 b ) b k = (2a + 2b) 4.2 Equação para cálculo da vazão. 83 4.2.1 Orifícios afogados de pequenas dimensões em paredes delgadas. Para orifícios de pequenas dimensões admite-se que todas as partículas que atravessam o orifício tem a mesma velocidade (d ≤ h ) 3 O escoamento é permanente, não há perda de energia. Apliquemos a equação de Bernoulli entre os pontos (0) e (1), situados na ;linha de corrente 0-1, com referência em (1) Figura 30. Escoamento afogado. 2 2 p1 1 V1 p 1 V2 + + Z1 = 2 + + Z2 γ 2 g γ 2 g Observando a figura 30: P0 V0 = desprezível Z1 = Z 2 ; = P atm e V = V γ 1 th V2 2 V TH 0 + 0 + h 0 = h1 + th + 0 ⇒ = h 0 − h1 2g 2g V th = 2 g ( h o − h 1) ( velocidade teórica na seção contraída) (1) Na prática a velocidade real (V) na seção contraída é menor que V th , devido às paredes existentes( atrito externo e viscosidade). A vazão (Q) que atravessa a seção contraída( e também o orifício). Nesse caso h1 = 0 e equação (6) escrita da segue maneira: Q = CQ A 2 gh . : V CV = ⇒ V = CV V th (2) V th V th = C V 2 g ( h 0 − h 1) ( velocidade real na seção contraída) (3) CV = f (d. é dada por: Q = AC CV 2 g ( h 0 − h1 ) (4) onde AC a área contraída. 4.3 Orifícios com escoamento livre de pequenas dimensões e paredes delgadas. h 0 − h 1) Q = CQ A 2 g ( h 0 − h 1) . 84 O coeficiente de velocidade ( CV ) é a relação entre V e V th . chamado de CC ( coeficiente de contração) a relação entre AC e A ( área do orifício): AC CC = ⇒ AC = CC A (5) A Substituindo (5) em (4) Q = CC CV A 2 g ( h 0 − h 1) Sendo C Q o produto do coeficiente de contração versus coeficiente de velocidade: CQ = CC CV ) C Q = f ( d . h 0 . C V é tabelado( na prática pode-se adotar CV =0. (6) 4. h1 é determinado experimentalmente. . C v e forma do orifício).4 Orifícios livres de grandes dimensões em paredes delgadas.985. Esquema mostrando o corte transversal de um orifício de grandes dimensões h . será: d Q = C Q V th dA (3) Substituindo (1) e (2) em (3) . portanto a carga hidráulica não pode ser considerada como única. 85 fonte:Deniculli Figura 31. no quais podem ser aplicados a equação para orifícios de pequenas dimensões. pois há variação de velocidade no orifício. Um grande orifício pode ser considerado como uma soma de infinitos orifícios de tamanho infinitesimais. A carga é variável de faixa para faixa.carga sobre o orifício elementar de espessura dh No orifício de grandes dimensões a velocidade de escoamento no orifício não pode ser considerada constante. Considerando um orifício de dimensões qualquer a sua área será: dA = Xdh (1) A velocidade na área elementar será: V th = 2 gh (2) A vazão no orifício de dimensões infinitesimais. Largura do orifício é constante. h2 ∫ 1 Q = CQ 2g h 2 Xdh h1 h2 ∫h 1 Q = CQ 2g 2 Xdh (para uma seção qualquer). que deságua em reservatório B( figura abaixo). Exercício. não é um orifício. Supondo regime permanente e sabendo que h' = 5 m.4. 2) A vazão em regime permanente. e sim um vertedor. Dados . Na parede vertical do reservatório A existe um orifício de pequenas dimensões afogado. Se h1 = 0 . h1 4. Este por sua vez possui também um pequeno orifício que deságua livremente na atmosfera. 3 OBS. 86 dQ = CQ 2 gh Xdh (4) X = f (h ) integrando a expressão (4). calcular: 1) os valores de H1 e H 2 .(X=L) h2 ∫h 1 Q = CQ 2g 2 Ldh h1 h2 ∫ 1 Q = C Q 2g L h 2 dh h1 2 3 h2 Q = C 2g L h 2 h1 3 Q 2 3 3 Q= C Q 2 g L( h 2 2 − h 1 2 ) .1 para uma seção retangular. Escoamento variável h0 -nível inicial da água no reservatório. Para um dado instante t. fonte:Deniculli Figura 32.área da seção do orifício. 87 C V 1 = C V 2 = 0 . o orifício possui uma vazão Q sob uma carga h.área da seção do reservatório. Se o nível da água do reservatório não for mantido constante. S.tempo necessário para atingir o nível h1 . h diminuirá com o decorrer do tempo e o escoamento deixará de ser permanente. ou seja: . A.5 Escoamento com nível variável No nossos estudos consideramos até momento a carga hidráulica h invariável. 98 C C 1 = C C 2 = 0 . Decorrido um pequeno intervalo de tempo dt. 61 A 1 = 2 cm 2 A2 = 4 cm 2 4. t. pode-se considerar que vazão continuará sendo a mesma. h1 -nível final da água no reservatório. 50 m de base e 3. 2S 1 1 t = (h 0 2 − h1 2 ) CQ A 2g Exercício: Em uma estação de tratamento de água(ETA). instalada junto ao fundo. mantida a vazão Q. 62 ) . .30 m de lado.50x16. existem dois decantadores de 5. será': dvol = Qdt (2) substituindo (1) em (2) tem-se: dvol = CQ A 2 gh dt (3) Ainda no mesmo intervalo de tempo pode-se dizer que o nível da água reduzirá no reservatório de dh. Igualando (3) com (4): − Sdh = C Q A 2 gh dt − S − S h− 1 dt = dh = 2 dh CQ A 2 gh CQ A 2g integrando no intervalo h1 a h0 t h1 −S −Sh1 h − 2 dh ∫ h − 2 dh 1 1 ∫ dt = ∫ ⇒t = 0 h0 C Q A 2 g CQ A 2 g h0 − S 1 h1 − 2S 1 1 t = (2 h 2 h 0 ) = (h1 2 − h0 2 ) C Q A 2g C Q A 2g − h0 1 1 ( h1 2 2 ) a diferença é menor do que zero. Para limpeza e reparos. Calcular a vazão inicial da comporta e determinar o tempo necessário para o esvaziamento de decantador ( C Q ' = 0 . 88 Q = CQ A 2 gh (1) Para esse intervalo de tempo dt o volume infinitésimal (dvol ) do líquido escoado. o que corresponde a um volume infinitésimal: dvol = − Sdh (4) onde o sinal negativo significa que h decresce com aumento de t. qualquer uma dessas unidades pode ser esvaziada por meio de uma comporta quadrada de 0.50 m de profundidade. em m2 .área da seção transversal.0 ESCOAMENTO EM CONDUTOS LIVRES. em m.1 Forma geométrica de canais. 33.borda livre do canal. geralmente. 89 5. pela seguinte expressão: P = b + 2h 1 + m 2 O raio hidráulico expressa a relação entre a área e o perímetro molhado. a fonte d'água localiza-se distante da parcela a ser irrigada. BL.altura da lâmina d'água no canal. m é igual a zero( m=0). então. A h ( b + mh ) Rh = ⇒ Rh = P b + 2h 1 + m 2 b) canais retangulares. Seção transversal de um canal trapezoidal.e P = b + 2h . E o perímetro molhado(P). A = bh . 5. Nos projetos de irrigação. necessitando de ser conduzida por meio de canais ou tubulações até a parcela a ser irrigada.inverso da declividade das faces laterais.largura do fundo do canal. a) canais trapezoidais fonte:Bernardo Figura. A área molhada pode ser calculada pela seguinte expressão: A = h ( b + mh ) Sendo: A. b. m. h. em m. Para canais retangulares. θ R2 área do setor = 2 área do triângulo x = R sen( θ ) y = R cos( θ ) 2 e 2 xy A= 2 R cos( θ ) R sen( θ ) A = 2 2 2 . Para canais triangulares o b é igual a zero(b=0). fonte:Bernardo Figura 34. então. 90 c) Canais triangulares. para a demonstração das equações do canal circular a)Área molhada Área molhada = área do setor.área do triângulo. Canal circular parcialmente Cheio.e P = 2h 1 + m 2 d) Canais circulares. A = m h2 . θD P = 2 (θ D h = ( 1 − COS ) 2 2 onde h é lâmina d'água. em m2. b) perímetro molhado. . no centro do canal.diâmetro do canal. 91 ⇒ R 2 cos( θ ) sen( θ ) área do triângulo = 2A 2 2 θ R 2 − R 2 cos( θ ) sen( θ ) área molhada = 2 2 2 θ área molhada = R 2 ( 2 − cos( θ ) sen( θ )) 2 2 sen( a + b ) = sen a cos b + sen b cos a sen( θ + θ ) = sen( θ ) cos( θ ) + sen( θ ) cos( θ ) 2 2 2 2 2 2 sen( θ ) = 2 sen( θ ) cos( θ ) 2 2 θ sen( θ ) − área molhada = R 2 ( 2 2 ) D R = 2 D2 θ sen( θ ) área molhada = ( − ) 4 2 2 D2 área molhada = A = (θ − sen( θ )) 8 onde.área molhada. A. D. θ . em radianos. em m.ângulo. tendo um valor mínimo próximo ao fundo.8 a 0. conforme Figura abaixo. utiliza-se a velocidade média. V 1 + V 2 + 2V 3 Vm = 4 sendo: V 1 -velocidade d'água a 0. sendo que o valor de K varia entre 0. Existem algumas expressões para o cálculo da velocidade média(Vm): Velocidade média = K.8 da profundidade.2 da profundidade. a partir da superfície livre. Distribuição da velocidade em um canal. fonte:Bernardo Figura 35. Velocidade média = velocidade a 0. e máximo próximo da superfície livre da água.9. 92 5. .6 e 0. Em conseqüência desta variação da velocidade com a profundidade. A velocidade da água em canal varia parabolicamente. x velocidade na superfície livre.6 da profundidade.2.2 Velocidade d'água nos canais.Velocidade média = média da velocidade a 0. 0. . V 3 -velocidade d'água a 0. .6 da profundidade.8 da profundidade. 93 V 2 -velocidade d'água a 0. 45 m/s Água de esgoto 0.30 m/s Água com areia fina 0.velocidade média da água . 94 Quadro 1. os quais foram determinados em função da erodibilidade do canal. 0.20 m/s Canal em rocha 2. Quadro 2. 1 1 V = Rh 2 3 I 2 n onde: V.20 a 0. Rh.raio hidráulico.50 m/s Canal em terreno arenoso comun.00 m/s Canal em concreto 4.00 a 10.60 m/s Água pluvial 0.70 a 0. Apresentaremos somente a equação Manning.00 a 4.80 a 1.75 m/s fonte: Bernardo 5. Valores máximos recomendáveis da velocidade média no canal.80 m/s Canal em terreno sílico-argiloso 0.80 m/s Canal em argiloso-arenoso 0.Valores mínimos recomendáveis da velocidade média no canal Tipo do canal Velocidade Água com suspensão fina 0. função do material do canal e de suas condições. .30 m/s Canal em areai grossa pouca compactada 0.00 m/s fonte: Bernardo No Quadro acima têm os valores de velocidade máxima recomendáveis. Porém outro problema é a sedimentação nos canais No Quadro abaixo consta os valores os valores mínimos recomendados para velocidade média nos canais. .30 a 0.3 Dimensionamento de canais Existem algumas equações para o dimensionamento de canais.coeficiente de rugosidade. Tipo do canal Velocidade Canal em areia muito fina 0. n. em m/s.60 a 0. Os problemas apresentados no item (1) e (2) são resolvidos diretamente com emprego da equação de Manning e a equação da continuidade.área molhada. 1) Conhecendo n. Rh. Refere-se ao dimensionamento geométrico de um canal. I. n. em m/m. Rh calcular Q. Existem vários métodos para a solução do problema(3). Quadro 3. Q. em m3/s. de modo que se obtenha soluções específicas. I. para emprego na fórmula de Manning. Valores de n. . mas apresentaremos apenas dois métodos mais generalizados.declividade do canal. calcular I. 2) Conhecendo n. calcular A e Rh. e a solução não é apenas utilização direta da equação de Manning como nos casos (1) e (2). citado por Neves. A. A. em m2. segundo Horton.vazão. Q. 95 I. A. O problema (3) é que encontramos com maior freqüência na prática. 3) Conhecendo Q. São três os tipos de problema que podem ser resolvidos diretamente com a equação da velocidade média e com a equação da continuidade. Q = AV onde. Dimensionamento de canais. aplicar a equação de Manning e a equação da continuidade. usando a equação de Manning h b) Seção de máxima eficiência. pelo método das tentativas. em seguida . recomenda-se utilizar os seguintes tipos de quadro. Para facilitar os cálculos. Quadro 4. caso não sejam idênticas. teremos: A P = − mh + 2h 1 + m 2 h . repetir os cálculos até encontrar dois valores idênticos. Comparar a vazão calculada com a vazão conhecida. 96 a) Métodos das tentativas. Tomando o valor de b na equação da área do canal e o substituindo na equação do perímetro molhado . Consiste em assumir valores para os parâmetros que definem a área e raio hidráulico de um canal e. para calcular qual será a vazão com os valores assumidos para os parâmetros geométricos do canal pode variar permanecer constante. Considerando constantes a área do canal(A) e a inclinação das paredes laterais(m) e variáveis a largura do fundo canal (b) e altura da lâmina d'água no canal(h). guia-se ao longo do terreno orientado pelo operador até que este faça a leitura conveniente do 2o ponto(estaca 1). Num grande projeto de irrigação.4. O ponto inicial da marcação tanto pode estar na origem como término do canal. toma-se como base o ponto mais alto deste. com a marcação. No segundo caso. Em terrenos íngremes a locação direta do canal é mais fácil. Nos pequenos projetos os canais podem ser locados diretamente no terreno ou indiretamente. iniciando a marcação na fonte dá água. seja esta de 1. Tendo-se um ponto inicial. tendo por exemplo o terreno a ser irrigado . . que pode ser o terreno a ser irrigado ou o local de assentamento de uma roda d'água ou carneiro hidráulico. segurando a mira e uma corrente. até chegar.4 Locação de um canal. ao ponto final. A = h ( b + mh ) Como . No primeiro caso. os outros são determinados com auxílio de um nível de luneta ou nível de mangueira. de modo que todo o terreno possa ser irrigado por gravidade. a) nível de luneta Instalado e nivelado o instrumento. 5. 97 A seção de máxima eficiência é aquela em que: dp = 0 dh dp A = − − m + 2 1+ m2 = 0 dh h2 A = h 2 (2 1+ m2 − m) que é área de máxima eficiência. e marca-se o canal em aclive.84 m. substituindo esta equação na anterior . faz-se a leitura da mira colocada no ponto inicial do canal(estaca zero).1 Locação direta. depois de levantados o perfil e as curvas de nível. impõe declive conveniente. os grandes canais são geralmente locados com auxílio das plantas aerofotogramétricas. Desse ponto o porta mira. chegando-se com ele à fonte d'água. teremos: b = 2 h ( 1+ m2 − m) 5. marcando-se com estacas de 10 em 10m ou de 20 em 20 m. Nesse caso não encontrados. Quando se loca um canal em terreno inclinado. 98 Supondo-se que a declividade do canal é de 1/1000 m (0.2 Locação indireta. o porta mira crava um estaca junto ao pé da mira. Se a declividade do terreno é acentuada e a declividade canal é muito menor. Quando se trata de grandes canais . os pontos correspondentes ao declive. ou saltos ao longo do canal(Figura 36 ) . Quando não se dispõe de nível de luneta. o canal será construído em terreno plano com a superfície irregular. é muito fácil fazer a locação direta . Faz-se o levantamento do perfil do terreno. podemos recorrer ao artifício de locar o canal com a declividade convenientemente calculada. em vez de uma encosta. No caso de pequenos canais. No ponto seguinte(estaca 2) a leitura será de 1. O mesmo não acontece quando.. geralmente . o operador orientará o porta mira para subir ou descer até que ele possa ler 1. uma vez que os pontos correspondentes ao declive são facilmente encontrados.90 m b) nível de barbante ou nível de mangueira. determina-se os cortes e aterros em cada estaca. . como na marcação direta. 5.87 m . e quando a marcação não precisa ser muito rigorosa pode se outro nível qualquer. Feito isso. No escritório. tendo-se o perfil do terreno. é conveniente o levantamento de uma faixa do terreno onde poderá ser construído o canal à semelhança do que se faz em locação de estradas. que serve para facilitar a localização do pontos. Após essa etapa o canal será projetado no escritório.3%) e que comprimento da corrente é de 10 m.4. e deixar pequenas quedas . marca-se a direção mais conveniente da construção do canal. sabendo-se que a pressão atmosférica local vale 720 mmHg. 36.05 metros abaixo da superfície. determine: o peso específico( ) massa específica( ) e a densidade(d ) 2) Conhecida a pressão absoluta de 5. em atmosferas técnicas e em metros de coluna d'água. à entrada de uma bomba centrífuga.430 Kgf/m2. 99 fonte:Daker Figura. situado 3. pede- se a pressão efetiva correspondente. 3) Calcular o peso específico de um líquido que apresenta uma pressão de 1.0 LISTA DE EXERCÍCIO γ ρ 1) Se 6 m3 de óleo pesam 4800 Kgf . Salto para redução de um canal 5.3 construção de um canal fonte:Daker Figura 37. Construção de um canal em uma encosta.4. 6. .4 Kgf/cm2 no fundo do reservatório. a pressão absoluta e efetiva em Kgf/cm2. 6) Qual a pressão no fundo de um reservatório que contém água. nos dois reservatórios. de acordo com indicação do manômetro diferencial do esquema. massa específica e densidade no sistema técnico. O líquido manométrico é o mercúrio. 100 4) O manômetro metálico da figura assinala uma pressão de -5.596 8) qual a pressão absoluta e relativa a 10 m de profundidade em água do mar( d=1. b) gasolina (densidade = 0. calcular o desnível que apresenta o mercúrio no manômetro diferencial. 10) Qual pressão na parte inferior de uma barragem sendo 10 m a profundidade da água. sendo a leitura do barômetro de 758 mm.024). encontram-se à mesma cota. 12) Calcular a diferença das pressões a montante e jusante do diafragma. Sabendo-se que as superfícies d'água. . Calcular o valor da pressão e altura da coluna d'água equivalente.75).08 mmHg. com densidade 1. porém havendo nos 3 inferiores uma camada de lama.75 e as seções dos êmbolos são respectivamente 40 e 4000 cm3.5. de mercúrio 9) Um conduto transporta um líquido sob pressão de 3 Kgf/cm2. Calcular o seu peso específico. se o reservatório contém gasolina(densidade = 0. para equilibrar a carga de 4400 Kgf colocada no êmbolo maior. com 3 m de profundidade? Idem. sendo o líquido: a) água. Os cilindros estão cheios de um óleo com densidade 0.75) 7) Em uma localidade a pressão atmosférica é medida por uma coluna de mercúrio de 760 mm. 11) Calcular o esforço p que dever ser aplicado no êmbolo menor da prensa hidráulica da figura. calcular a respectiva altura piezométrica. Densidade do mercúrio: 13. 5) dois dm3 de um líquido pesam 1640 gf. a pressão é de 1. 16) Um conduto é constituído por trechos.20 m. 15) Calcular a vazão que escoa sobre a crista da barragem. Velocidade da água no primeiro conduto V1= 0. 101 13) calcular a diferença de nível das superfícies dos dois depósitos. água calcular as pressões em A e B. Densidade do líquido manométrico d=0. com diâmetros de 0. Qual a vazão? ( Considerar escoamento sem atrito).5 Kgf/cm2. nas condições do esquema. 10 m acima de B.80) e tubo B.60 m/s.25 e 0. sabendo que no ponto A do primeiro. 14) O tubo A contém óleo (d=0. Calcular a pressão no ponto B do segundo trecho. para as indicações do manômetro..90. . segundo a indicação do manômetro. 0 Kgf/cm2.Converta esta profundidade em metros de coluna de água (mca) . os pontos B e C estão no mesmo líquido de peso específico( γ ) para o líquido manométrico de pequena densidade (d) e peso específico (. 20) No manômetro diferencial abaixo . expressar esta pressão em kg/cm2 e em pascal. γ 1 )obter a diferença de pressão entre B e C e expressa-la em função z . 18) mostrar a relação: 1 Atm.6) e metros de coluna de tetra cloreto de carbono(d=1.metros de coluna de mercúrio (d=13.contém 50 litros de água e 100 litros de óleo de densidade 0. = 760 mmHg = 1 Kgf/cm2 = 10. 102 17) Uma coluna cilíndrica de diâmetro 0. calcular a pressão na base do cilindro. sendo γ 1 d= γ 21) Determinar as pressões efetivas e absoluta do gás nos pontos A e C dos reservatório abaixo .6) e a pressão atmosférica de 1 Kgf/cm2 . sendo mercúrio o líquido manométrico d=13.33 mca 19) Que profundidade de óleo de densidade 0.78 .1 m .87 . d e y .6). produzirá uma pressão de 3. Obter a altura a que se elevou o vinho . Sabendo-se que os pontos 1 e 2 estão na mesma cota . 24) Na determinação da diferença de pressão entre dois pontos . para valores extremamente elevados . pede-se demostrar que: P − P = ( γ − γ ) ∑ hi n 1 2 2 1 . Torricelli substituiu o mercúrio por vinho . 23) O vacuômetro de um condensador marca 660 mm de mercúrio . i =1 . pode-se usar os chamados manômetros série e conforme o esquema abaixo . cujo o peso específico médio é de 990 Kgf\m3. ao repetir sua famosa experiência.. enquanto que o barômetro indica a pressão local é de 700 mmHg. 103 22) Dizem alguns historiadores que . Calcular a pressão absoluta em atmosfera. para n manômetros em série. supostas as mesmas as condições iniciais de gravidade e altitude. As extremidades superior e inferior do tubo têm os diâmetros de 100 mm e 50 mm. . 26) Água escoa no sentido ascedente. determinar a diferença de diferença pressão entre as extremidades do tubo ( considerar fluido ideal). 104 25) Considerar a água que escoa no sentido vertical ascedente.se a vazão é 60 l/s. respectivamente . calcular a difereça de presenção entre os dois pontos. 60 .75 m3/s com uma altura d'água igual a 1. transporta uma vazão de 6.5 mm na leitura de carga. Cq1=Cq2=0. b) O erro cometido na vazão. sendo Cq1 =Cq2 os coeficientes de descarga dos vertedores retangular e triangular. Calcular θ 2.85 m. O canal é revestido com alvenaria de tijolo em argamassa de cimento em boas condições.4 cm.05%. H=40 cm. determinar: a) altura mínima do vertedor.60 m de altura. contada acima do vértice. tem-se : L=1. 30) Um canal trapezoidal com talude 2H:1V. Um medidor de nível permite obter precisão de 0. Sabendo-se que a vazão máxima a ser medida é de 14 l/s. 105 26) Deseja-se construir um vertedor triangular de paredes delgadas de ângulo O= 90o para a medição de vazão em um laboratório. Determinar a porcentagem de erro provocada no cálculo da vazão.5% em toda a amplitude de valores de vazão.912 m3/s. mediu-se a carga sobre sua crista como sendo 11.10 a 0.20 m3/s com um erro no máximo. Q= 0. 28) Em um vertedor retangular de 0. 29) Deseja-se medir uma vazão que pode variar de 0. 27) Em um vertedor trapezoidal. acarretada por erro de 1 mm cometido na medição da carga. quando de fato era de 12 cm.25 m e uma declividade de fundo 0. . sendo a vazão próxima da máxima. Determine a largura de fundo. Qual será maior largura do vertedor retangular de soleira delgada que irá satisfazer no caso? Considere a fórmula de Poncelet. de 0. b= 4.0015 m/m para transportar uma vazão de 8. qual deve ser declividade de fundo deste? 36) Um canal trapezoidal será construído em concreto e com paredes inclinadas de 2:1.0 m.85.00050 m/m 33) Um canal trapezoidal. largura de fundo igual 2. 32) Determine a largura de fundo de um canal trapezoidal. Material de revestimento é concreto em condições regulares. produz um jato de água de velocidade V= 5 m/s.5 m determinar Y. b) Y= 1. I= 80 cm/km para declividade de fundo. de alvenaria em más condições. A vazão transportada será de 10 m3/s.0 declividade igual a I=0.025 e Y= 1. a) Quais as dimensões da seção para máxima eficiência? b) É inconveniente o emprego destes valores? 37) Dimensionar o canal do exercício anterior fixando: a) b= 1.20 m.80 m. e velocidade média no deve ser superior a 1.5 m/s . I= 0. 39) Qual diâmetro de um canal de concreto circular para transportar uma vazão de 0. 106 31)Dimensionar um canal trapezoidal com taludes 2H:1V. a) Qual a velocidade média da água? b) Qual a vazão? 35) Se no canal do exercício anterior quisermos transportar um vazão de 20 m3/s. declividade dos taludes 2H:1V.5 m3/s. Nestas condições determine: . sendo: a) paredes de terra.8 m3/s .5 m determinar b. Declividade de fundo I=0. com taludes 2H:1V. sendo a sua declividade de fundo de 0.60 m. Determine a máxima declividade de fundo possível 34) A seção transversal de um canal trapezoidal funciona em regime uniforme e apresenta seguintes as características: b= 6. b) paredes de concreto. deve transportar 35 m3/s sob condições de escoamento uniforme.6 m3/s altura d'água seja 1.016 m/m e n= 0. 38) Calcular a velocidade da água e a vazão de um canal trapezoidal com taludes de 1.5:1 e declividade de fundo de 1/1600 m/m. para que transportando uma vazão de 7.03).9 m/km (considerar que o canal fucionará a meia seção) 40) Um bocal cilíndrico de área igual a 2 cm2 e coeficiente de vazio Cq=0. De acordo com as condições topográficas. c) o uso de paredes revestidas ou no acarreta grande variação de vazão no canal (Considere as respostas a ou b do exercício no 10. escavado em terra (n=0. São Paulo..& ALVAREZ.316p.A. 1989.5a ed.G. sendo igual a 8.60 m de altura.6 m. Hidráulica aplicada à agricultura. Determine a vazão sendo Cq=0.60 m acima da borda superior do orifício.Rio de Janeiro. Cc e Cq. Livraria Freitas Bastos.1 DENICULLI. Imprensa Universitária.70 m altura esta localizada na parede vertical de um tanque.62 44) Qual erro cometido.Manual de Hidráulica. 1 e 2. O diâmetro do jato na seção contraída foi determinado. J.1986.A.62). 41) para o orifício retangular abaixo calacular. O coeficiente de vazão para o orifício de contração completa é igual a 0. BIBLIOGRAFIA AZEVEDO NETTO.2 m de base e 0. 45) Um orifício de 10. Vol.M.62 m de base e 0..W. BERNARDO. 43) Na parede vertical de um reservatório. Viçosa. DAKER. edgard Blucher Ltda. A água na agricultura.62.7a ed. 107 a) a carga no bocal(Cc=1) b) a vazão em escoamento. 1983. 1990. se o problema anterior tivesse sido resolvido como um orifício de pequena dimensão. 596p. Ed. calcular a vazão(Cq=0.S. Viçosa. Hidráulica.8 m acima da aresta superior a contração completa.3 l/s de um líquido sob um carga de 3.Vol..1 m cm de diâmetro descarrega 45. 42) um orifício retangular com 1.(notas de aula). O nível da água está a 0. um orifício retangular de contração completa tem 1. cujo o nível de água mantido constante a 2.81 cm. Manual de irrigação.UFV. Determinar Cv. . 108 LENCASTRE. NEVES.T. Manual de hidráulica geral.Editora Globo. E.Ed. Curso de Hidráulica.8a ed. edgard Blucher Ltda. 411p. . 1986.1972. São Paulo.577p.Porto Alegre.