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ECV 0094 – Resistência dos Materiais – Departamento de Engenharia Civil da FURBProf. Rafael F. Jansen (ECV/CCT/FURB) 26 4. ESTUDO DAS TENSÕES 4.1. Definição Determinar as tensões nas várias seções com o objetivo de estabelecer as dimensões das barras, para que estas não rompam. Estudaremos as tensões decorrentes da tração e da compressão, do cisalhamento, dos momentos e de suas combinações. Tensão é a intensidade da força interna sobre um plano específico (área) que passo por um ponto. 4.2. Tensão normal - σ A intensidade de força, ou força por unidade de área, que age perpendicularmente a um plano, é definida com tensão normal, σ (sigma). = onde, σ – tensão normal média em qualquer ponto na área da seção transversal; P – força normal interna resultante, que é aplicada no centroide da área da seção transversal. P é determinada pelo método das seções e pelas equações de equilíbrio; A – área da seção transversal da barra. 4.3. Tensão de cisalhamento - τ A intensidade de força, ou força por unidade de área, que age tangente a um plano, é definida com tensão de cisalhamento, τ (tau). τ = V A onde, τ – tensão de cisalhamento média na seção, que consideramos ser a mesma em cada ponto localizado na seção transversal; V – força de cisalhamento interna resultante na seção determinada pelas equações de equilíbrio; A – área da seção transversal da barra. Departamento de Engenharia Civil – DEC/ECV/FURB Prof. Rafael Jansen ECV 0094 – Resistência dos Materiais – Departamento de Engenharia Civil da FURB Prof. Rafael F. Jansen (ECV/CCT/FURB) 27 4.4. Tensão admissível Um engenheiro responsável pelo projeto de um elemento estrutural deve restringir a tensão atuante no material a um nível seguro. Além disso, uma estrutura em uso contínuo deve ser analisada periodicamente para que se verifique quais cargas adicionais seus elementos ou partes podem suportar. Portanto, é necessário fazer os cálculos usando-se uma tensão segura ou admissível. Para se garantir a segurança, é preciso escolher uma tensão admissível que restrinja a carga aplicada a um valor menor do que a carga que o elemento pode suportar totalmente. Há varias razões para isso. Por exemplo, a carga para a qual o elemento é projetado pode ser diferente das cargas realmente aplicadas. As dimensões estipuladas no projeto de uma estrutura podem não ser exatas, na realidade, por causa de erros de fabricação ou cometidos na montagem de seus componentes. É possível ocorrer problemas com vibrações, impactos ou cargas acidentais desconhecidas, que não tenham sido comtemplados no projeto. Corrosão atmosférica, deterioração ou desgaste provocado por exposição a intempéries tendem a deteriorar os materiais em serviço. Por fim, as propriedades mecânicas de alguns materiais como: madeira, aço, concreto ou compósitos reforçados com fibras pode apresentar alta variabilidade. Um método para especificação da carga admissível para o projeto ou análise de um elemento é o uso de um número denominado de fator de segurança. O fator de segurança (FS) é a razão entre a carga de ruptura, Frup, e a carga admissível, Fadm. Neste contexto, Frup é determinada por ensaios experimentais do material, e o fator de segurança é selecionado com base na experiência. Assim, podemos confiar que as incertezas mencionadas foram consideradas e que o fator de segurança será valido para a utilização do elemento em condições semelhantes de carga e geometria. Em linguagem matemática, = Se a carga aplicada ao elemento estiver linearmente relacionada com a tensão desenvolvida no interior do elemento, como no caso da utilização de = ⁄, e = ⁄, então podemos expressar o fator de segurança com a razão entre a tensão de ruptura σrup (ou τrup) e a tensão admissível σadm (ou τadm); isto é, = = . Ou Departamento de Engenharia Civil – DEC/ECV/FURB Prof. Rafael Jansen . parafusos ou pinos são usados para interligar chapas. se um elemento estiver submetido a uma força normal em uma seção. Projeto de acoplamento simples Adotando-se premissas simplificadoras em relação ao comportamento do material. considere a junta sobreposta mostrada na figura. e = ⁄. Área da seção transversal de um acoplamento submetido a cisalhamento Muitas vezes. como mostra a figura. Jansen (ECV/CCT/FURB) 28 Em qualquer dessas equações o fator de segurança escolhido é maior que 1. a distribuição de tensão é uniforme na seção transversal e a área sombreada A é determinada. Área de seção transversal de um elemento de tração.5. A área da seção transversal de um elemento prismático submetido a uma força de tração pode ser determinada desde que a força tenha uma linha de ação que passe pelo centroide da seção transversal. geralmente podem ser usadas para projetar um acoplamento simples ou um elemento mecânico. pranchas ou vários elementos. a área de seção exigida é determinada por: = Por outro lado. considere a “barra com olhal” mostrada na figura. 4. as equações = ⁄. Rafael Jansen . então a área de seção exigida é: = A tensão admissível usada em cada uma dessas equações é determinada pela aplicação de um fator de segurança a uma tensão normal ou de cisalhamento especificada ou pela obtenção dessas tensões diretamente de uma norma de projeto adequada. Na seção intermediária a-a. Por exemplo. Rafael F. Se o parafuso estiver solto Departamento de Engenharia Civil – DEC/ECV/FURB Prof. Em particular. 4. Como exemplo.6. se a seção estiver sujeita a uma força de cisalhamento.ECV 0094 – Resistência dos Materiais – Departamento de Engenharia Civil da FURB Prof. para evitar o potencial de falha. para evitar falha. Considerando-se que a tensão de cisalhamento que provoca essa força está uniformemente distribuída na seção transversal. é seguro supor que qualquer força de atrito entre as chapas é desprezível.ECV 0094 – Resistência dos Materiais – Departamento de Engenharia Civil da FURB Prof. O parafuso esta sujeito a uma força de cisalhamento interna resultante V = P em sua seção transversal. a área da seção transversal do parafuso. é determinada como mostra a figura. a área A da chapa da base da coluna B mostrada na figura é determinada pela tensão de apoio admissível do concreto obtida por A = P/(σa)adm. Área exigida para resistir ao apoio A tensão normal produzida pela compressão de uma superfície contra outra é denominada tensão de apoio. Por consequência. Departamento de Engenharia Civil – DEC/ECV/FURB Prof. Rafael Jansen . é necessário determinar a área de apoio adequada para o material usando uma tensão de apoio admissível. Rafael F. Se essa tensão se tornar suficientemente grande. Jansen (ECV/CCT/FURB) 29 ou se a força de aperto do parafuso for desconhecida.7. poderá esmagar ou deformar localmente uma ou ambas as superfícies. A. 4. O resultado é o diagrama de corpo livre para uma seção que passa entre as chapas e pelo parafuso mostrado na figura. Por exemplo. Seria difícil determinar a distribuição real da tensão de cisalhamento ao longo da haste. chama-se tensão de tração à relação: Departamento de Engenharia Civil – DEC/ECV/FURB Prof. Dada uma barra de área A. Rafael F. Rafael Jansen . hastes ou elementos serão apoiados de tal modo que pode ser desenvolvida uma tensão de cisalhamento no elemento. submetida a uma força P de tração. onde d é o diâmetro da haste e l é o comprimento do engaste. ainda que ele esteja submetido a uma carga axial. desde que d e τadm sejam conhecidos. Um exemplo dessa situação seria uma haste de aço cuja extremidade esteja engastada em concreto e carregada como mostra a figura. Em alguns casos. além disso. Área exigida para resistir a cisalhamento provocado por carga axial. consideramos que a tensão de apoio admissível para o concreto é menor do que a tensão admissível para o material da chapa de base da coluna e. mas. se considerarmos que ela é uniforme. Essa área é (2πrl ou πdl). por essa fórmula. Jansen (ECV/CCT/FURB) 30 É claro que. poderemos usar A = V/τadm para calcular l. O diagrama de corpo livre da haste mostra que uma tensão de cisalhamento age na área de contato da haste com o concreto. que a tensão de apoio é uniformemente distribuída entre a chapa e o concreto.ECV 0094 – Resistência dos Materiais – Departamento de Engenharia Civil da FURB Prof. como mostra a figura. ou seja. Rafael F. Rafael Jansen . quais as dimensões que deve ter esse tirante. Jansen (ECV/CCT/FURB) 31 É importante observar que.000 Kgf = = 1500 ! "á$%& '% ( í$ (*+. a barra se submete a esforços de soma nula. na sua parte inferior (desprezamos o peso próprio da barra. sabendo-se que o aço resiste a 150 MPa. Exemplo 1: Seja um tirante existente em uma construção. Como: = ∴ = . Sendo de aço. para permanecer em equilíbrio. a 1500 Kgf/cm2? P = 20 tf = 20.ECV 0094 – Resistência dos Materiais – Departamento de Engenharia Civil da FURB Prof.= = Departamento de Engenharia Civil – DEC/ECV/FURB Prof. face à grandeza da tração P). com 200 KN ou 20 tf de tração. ele é usado primariamente para determinar a relação entre a tensão normal média e a deformação normal média em muitos materiais usados na engenharia. Essas mudanças são denominadas deformações e podem ser altamente visíveis ou praticamente imperceptíveis se não forem utilizados equipamentos que façam medições precisas. a deformação nominal. Jansen (ECV/CCT/FURB) 32 5. Utilizando os dados registrados. Essa propriedade é inerente ao próprio material e deve ser determinada por métodos experimentais. é determinada diretamente pela leitura da deformação no extensômetro. Embora seja possível determinar muitas propriedades mecânicas importantes de um material por esse teste. 5. O diagrama tensão-deformação Pelos dados obtidos em um ensaio de tração ou compressão. Por exemplo. polímeros e compósitos. A curva resultante é denominada diagrama tensão-deformação e. então. Um exemplo típico é a expansão ou contração térmica de um telhado causada pelas condições atmosféricas. como mateias. dividindo a carga aplicada P pela área original da seção transversal do corpo de prova. A0. 5. construir um gráfico com esses resultados.1. Rafael F. Rafael Jansen . os elementos estruturais de um edifício sofrem apenas leves deformações quando há muitas pessoas andando dentro dele. PROPRIEDADES MECÂNICAS DOS MATERIAIS 5. normalmente. no comprimento de referência do corpo de Departamento de Engenharia Civil – DEC/ECV/FURB Prof. ou dividindo a variação δ. podemos determinar a tensão normal.ECV 0094 – Resistência dos Materiais – Departamento de Engenharia Civil da FURB Prof. cerâmicas. ela pode ser descrita de duas maneiras. é possível calcular vários valores da tensão e da deformação correspondentes no corpo de prova e. uma tira de borracha sofrerá uma grande deformação quando esticada. Diagrama tensão-deformação convencional. esta tende a mudar a forma e o tamanho dele. Deformação Sempre que uma força é aplicada a um corpo. esse cálculo considera que a tensão é constante na seção transversal e em toda a região entre os pontos de calibragem.2. Por outro lado. O ensaio de tração e compressão A resistência de um material depende de sua capacidade de suportar uma carga sem deformação excessiva ou ruptura. Um dos testes mais importantes nesses casos é o ensaio de tração ou compressão.3. Também pode ocorrer deformação de um corpo quando há mudança de temperatura. Temos: = / Dessa mesma maneira. nome que se deve a Thomas Young. tenha sempre em mente que dois diagramas tensão-deformação pra um determinado material nunca serão exatamente iguais. poderíamos utilizar a área da seção transversal e comprimento. que publicou uma explicação sobre o módulo em 1807. Esse diagrama é muito importante na engenharia porque proporciona os meios para se obterem dados sobre a resistência à tração (ou compressão) de um material.1%). Por consequência. Lei de Hooke O diagrama tensão-deformação para a maioria dos materiais de engenharia exibe uma relação linear entre tensão e deformação dentro da região elástica. 0= 1 ℓ/ Se os valores correspondentes de σ e ε forem marcados em um gráfico no qual a ordenada . sua geometria. já que os resultados dependem de variáveis como a composição e as imperfeições microscópicas do material. 0 Nesta expressão. como a maioria dos metias. a distorção do material não é severa dentro dessa faixa. Jansen (ECV/CCT/FURB) 33 prova pelo comprimento de referência original do corpo de prova.ECV 0094 – Resistência dos Materiais – Departamento de Engenharia Civil da FURB Prof.e a tensão e a abscissa é a deformação. a deformação até o limite de elasticidade permanecerá pequena. isto é. pois. 5. reais do corpo de prova no instante em que a carga é medida. denominada módulo de elasticidade ou módulo de Young. um aumento na tensão provoca um aumento proporcional na deformação. a curva resultante é denominada diagrama tensão-deformação convencional. Em vez de sempre usar a área da seção transversal e o comprimento originais do corpo de prova para calcular a tensão e a deformação. Diagrama tensão-deformação real. E representa a constante de proporcionalidade. Rafael Jansen . e a representação gráfica de seus valores é denominada diagrama tensão-deformação real. a maioria dos projetos de engenharia fica dentro da faixa elástica.4. Os valores da tensão e da deformação calculados por essas medições são denominados tensão real e deformação real. Entretanto. e o erro associado à utilização de valores de engenharia de σ e ε é muito pequeno (aproximadamente 0. Rafael F. Contando que o material seja “rígido”. em comparação com seu valores reais. Os diagramas de σ-ε convencional e real são praticamente coincidentes quando a deformação é pequena. Departamento de Engenharia Civil – DEC/ECV/FURB Prof. Aqui consideramos que a deformação é constante em toda a região entre os pontos de calibragem. Assim. L0. seu modo de fabricação e a taxa de carga e temperatura utilizadas durante o teste. Embora os diagramas tensão-deformação convencional e real sejam diferentes. Esse fato foi descoberto por Robert Hooke e pode ser expresso matematicamente como: = 3. Essa é uma das principais razões para a utilização dos diagramas tensão-deformação convencionais. As diferenças entre os diagramas começam a aparecer na faixa do endurecimento por deformações quando a amplitude da deformação se torna mais significativa. em geral. Rafael Jansen . que vai de 0 a E1 – trecho chamado elástico – é o de maior interesse. quando solicitado por uma força. Para cada P há um correspondente δ. Nesse trecho. chegaríamos ao seguinte diagrama. Rafael F. sofre uma deformação. a relação entre a tensão e a deformação é dada pela lei de Hooke. Chamamos de δ ao deslocamento da barra pela ação de P. O primeiro. os valores de δ Departamento de Engenharia Civil – DEC/ECV/FURB Prof. submetida a uma força de tração P que vai crescendo de zero até a ruptura do material. três trechos significativos. no caso de uma barra de aço comum: Vemos no gráfico. de comprimento l e de seção transversal A. Vejamos como é o deslocamento δ em função d carga aplicada. à medida que fossemos retirando P. verificaríamos que. caso tivéssemos atingido a carga P2 com o deslocamento δ2 e retirássemos a carga (P). Jansen (ECV/CCT/FURB) 34 Todo material. δ1 – P1 δ2 – P2 δ3 – P3 Colocando em um gráfico o deslocamento δ em relação a P até a barra romper-se. Consideramos uma barra.ECV 0094 – Resistência dos Materiais – Departamento de Engenharia Civil da FURB Prof. o diagrama é sempre o mesmo para um determinado material. Jansen (ECV/CCT/FURB) 35 iriam diminuindo até o valor zero. Rafael Jansen . A reta descendente é paralela à reta ascendente OE1. Departamento de Engenharia Civil – DEC/ECV/FURB Prof. O trecho E2R é pequeno e quando atingirmos R a barra se romperá. quando P também seria nulo. Mais interessante do que fazer o diagrama P e δ é fazer um diagrama tensão-deformação (σ x ε) = 1 % 0 = ℓ Pois. esse trecho é denominado elástico. Rafael F. nele. ocorrerão deformações permanentes quando a carga N for retirada. assim.ECV 0094 – Resistência dos Materiais – Departamento de Engenharia Civil da FURB Prof. À relação 5 ℓ chamamos de ε: é a deformação. essa grandeza não tem unidade (valor adimensional). Por isso. independente da área A e do comprimento l da barra. no caso do aço. O trecho E1E2 é chamado de plástico. ECV 0094 – Resistência dos Materiais – Departamento de Engenharia Civil da FURB Prof. 2. = = . O material é aço. o deslocamento δ de uma barra de comprimento l quando submetida a uma tensão σ. para um dado material. 1. Cálculo do deslocamento – δ 1 = 3. Exemplo 1: Calcular o deslocamento (δ) de um tirante de 20 metros de comprimento e 10 cm2 de área quando submetido a uma força de 15.000 MPa 10. determinar a tensão.000 MPa Para que serve a lei de Hooke? Para determinar. Rafael Jansen . cuja tangente é 67 = ·. Jansen (ECV/CCT/FURB) 36 O segmento OE é uma reta – trecho elástico – que forma com o eixo das abscissas (deformação) 8 9 um ângulo α. Rafael F. que é designado por E: 3 = 0 A expressão anterior traduz a lei de Hooke. Cálculo da tensão: P = 15.000 Kgf/cm2 700.100. por exemplo: Material Aço Madeira Alumínio Concreto Módulo de elasticidade (E) 2.000 Kgf/cm2 Módulo de elasticidade (E) 210.000 Kgf/cm2 210. O módulo de elasticidade é um valor constante para cada material.000 Kgf/cm2 100.000 Kgf = 150.000 MPa 21. 0 → 3 = ∴ 0 = → 0 = 0 3 ℓ ℓ 3 = → 3 = → 1 = 1 0 3 ℓ Departamento de Engenharia Civil – DEC/ECV/FURB Prof. Ou.000 N = 0.001 < . sabendo-se a deformação do corpo é ε. Essa tangente define o módulo de elasticidade.000 MPa 70.000 Kgf. Assim. Exemplo 2: Um tirante apresenta uma deformação ε = 0.5mm) tem quando é tracionada com uma força de 30 KN. 0 = Exemplo 3: Qual o deslocamento de uma barra de aço de diâmetro igual a 12. se ele tiver um comprimento de 30 m? P = 30KN = > 1. Jansen (ECV/CCT/FURB) 37 Portanto: 1= ℓ = 3 No cálculo numérico. Qual é a tensão a que esse tirante está submetido? 3 = ∴ = 3.25 >' = = 1. devemos ter atenção com o Sistema de unidades.ECV 0094 – Resistência dos Materiais – Departamento de Engenharia Civil da FURB Prof.000429. = 3. Rafael Jansen .23 4 4 1= ℓ = 3 Departamento de Engenharia Civil – DEC/ECV/FURB Prof. 0 0 . Rafael F.5 mm (φ12. 50 m.07 4 4 Eaço = 205. Tensão na barra: < .54 >' = = 5. C = = D O alongamento da haste de 3. Rafael F. = = . Jansen (ECV/CCT/FURB) 38 Exemplo 4: Uma barra de aço com módulo de elasticidade igual a 205. Deformação da barra (lei de Hooke): . P = 35KN = > 2.4 mm (1”) está sujeita a uma tração axial de 35 KN.5 metros de comprimento para uma carga axial de 35 KN vale: 1 = 0 ∙ ℓ/ 1 = Departamento de Engenharia Civil – DEC/ECV/FURB Prof. 2.000 MPa de seção circular com diâmetro igual a 25. Rafael Jansen .ECV 0094 – Resistência dos Materiais – Departamento de Engenharia Civil da FURB Prof. Calcular o alongamento da barra supondo um comprimento inicial de 3.000 MPa 1. Exemplo 5: Uma barra de aço A-36 tem as dimensões mostradas na figura abaixo. Rafael Jansen . F=G CHIJKLMNILJO COPKQRHSTRKJO Essa expressão tem sinal negativo porque o alongamento longitudinal (deformação positiva) provoca contração lateral (deformação negativa) e vice-versa. ela é causada somente pela força axial ou longitudinal. Da mesma forma. assim como a largura da tira diminuem. Departamento de Engenharia Civil – DEC/ECV/FURB Prof. Por exemplo. no entanto. um corpo deformável não apenas se alonga. se esticarmos uma tira de borracha. pra a maioria dos sólidos não-porosos. Jansen (ECV/CCT/FURB) 39 5. podemos notar que a espessura. O coeficiente de Poisson (ν) é adimensional e. determine a mudança em seu comprimento e a mudança nas dimensões da área de sua seção transversal a aplicação da carga.ECV 0094 – Resistência dos Materiais – Departamento de Engenharia Civil da FURB Prof. em geral. Rafael F. nenhuma força ou tensão age em uma direção lateral de modo a deformar o material nessa direção. mas também se contrai lateralmente. entre 1/4 e 1/3. O material comporta-se elasticamente. Além do mais. seu valor encontra-se. Coeficiente de Poisson Quando submetido a uma força de tração axial. Se uma força axial P = 80 kN for aplicada à barra. uma força de compressão que age sobre um corpo provoca contração na direção da força e. Observe que a deformação lateral é a mesma em todas as direções laterais (ou radiais).5. seus lados se expandem lateralmente. isto é. Mudança nas dimensões.U = = . Rafael Jansen . Deformação: O aço A-36 tem um módulo de elasticidade Eaço = 200 GPa e. Jansen (ECV/CCT/FURB) 40 1.U = < . portanto. 2.ECV 0094 – Resistência dos Materiais – Departamento de Engenharia Civil da FURB Prof. a deformação na direção z é: C = . portanto: V = C ∙ WX VU = 0Y ∙ ℓ/Y = 4.32. < . D CU = = 3 3. Rafael F. A tensão na barra é: . as deformações de contração em ambas as direções x e y são: F= CHIJKLM COPKQ Departamento de Engenharia Civil – DEC/ECV/FURB Prof. O alongamento axial da barra é. O valor do coeficiente de Poisson para o aço A-36 é: ν = 0. ECV 0094 – Resistência dos Materiais – Departamento de Engenharia Civil da FURB Prof. Jansen (ECV/CCT/FURB) Z= 0a = 0b 0 [\] → Z = ∴ 0a = 0b = cç_ 0Y 0^_[` 0Y Ce = Cf = cç_ 0Y = Assim. Rafael Jansen 41 . as mudanças nas dimensões da seção transversal são: V = C ∙ WX Para direção x: Para direção y: Ve = Ce ∙ WXe = Vf = Cf ∙ WXf = Departamento de Engenharia Civil – DEC/ECV/FURB Prof. Rafael F. Por exemplo. que antes eram horizontais e verticais. Visto que a deformação está relacionada com a tensão no interior da barra. Em outras palavras.1. considere o modo como uma barra retangular se deforma elasticamente quando submetida a uma força P aplicada ao longo do eixo de seu centroide. de tal modo que a deformação localizada por P seja desprezível. b-b e c-c. Em particular. a barra está presa a um apoio em uma de suas extremidades. que esta suficientemente afastada da extremidade. a seção c-c está longe o suficiente do ponto de aplicação de P. Rafael Jansen . Comparando as curvas. Também foi mostrado que a relação matemática entre tensão e deformação depende do tipo de material do qual o corpo é feito. Nesta figura. A distancia mínima em relação à extremidade da barra onde isso ocorre pode ser determinada por meio de uma análise matemática baseada na teoria da elasticidade. as deformações vão se nivelando e tornam-se uniformes em toda a seção média da barra. considere um perfil da variação da distribuição de tensão que age nas seções a-a. podemos afirmar que a tensão será distribuída mais uniformemente por toda a área da seção transversal se um corte for feito em uma seção distante do ponto onde a carga externa é aplicada. Rafael F.ECV 0094 – Resistência dos Materiais – Departamento de Engenharia Civil da FURB Prof. Departamento de Engenharia Civil – DEC/ECV/FURB Prof. a lei de Hooke será aplicável e haverá uma relação proporcional entre tensão e deformação. se o material se comportar de maneira linear elástica. Devido ao carregamento. Com essa ideia em mente. e a força é aplicada em um furo na outra extremidade. a tensão quase alcança um valor uniforme na seção c-c. CARGA AXIAL 6. Princípio de Saint-Venant Anteriormente. desenvolvemos o conceito de tensão como um meio para medir a distribuição de força no interior de um corpo e o conceito de deformação como um meio para medir a deformação geométrica de um corpo. Jansen (ECV/CCT/FURB) 42 6. Além disso. a barra deforma-se como indicam as distorções das linhas de grade desenhada sobre a barra. Observe a deformação localizada que ocorre em cada extremidade. Esse efeito tende a diminuir conforme as medições são feitas cada vez mais distante das extremidades. cada uma mostrada na figura. Deformação elástica de um elemento submetido à carga axial Usando a lei de Hooke e as definições de tensão e deformação. considere a barra mostrada na figura a). Em consequência. Então. o que deveria ocorrer devido ao alongamento lateral da barra – uma consequência do “efeito de Poisson”. por esse mesmo argumento. por exemplo. ela foi validada matematicamente. Por exemplo. elementos estruturais de paredes finas submetidos a carregamentos que provocam grandes deflexões podem criar tensões e deformações localizadas que tem influencia a uma distancia considerável do ponto de aplicação da carga. agora. no mínimo. Por exemplo. Essa carga distribuída poderia. podemos considerar que essa distancia é. esse princípio afirma que a tensão e a deformação produzidas em pontos de um corpo suficientemente distantes da região de aplicação da carga serão iguais à tensão e à deformação produzidas por quaisquer carregamentos aplicados que tenham a mesma resultante estaticamente equivalente e sejam aplicados ao corpo dentro da mesma região. será uniforme e. desenvolveremos. devemos observar que essa regra não se aplica a todos os tipos de elementos e casos de carregamento. Em essência. como o que acabamos de discutir. a distribuição de tensão resultante nessas regiões será a mesma que a causada por qualquer outra carga estaticamente equivalente aplicada ao corpo dentro da mesma área localizada.2. O fato de a tensão e a deformação comportarem-se dessa maneira é denominado princípio de Saint-Venant. se duas forças P/2 aplicadas simetricamente agirem sobre a barra figura c). 6. a distância de tensão na seção c-c. em 1855. A barra está sujeita a cargas concentradas em sua extremidades e a uma carga externa variável distribuída ao longo de seu comprimento. não temos mais de considerar as distribuições de tensão um tanto complexas que podem realmente se desenvolver nos pontos de aplicação de carga. Rafael Jansen . como o apoio impede a redução da largura da barra. igual à maior dimensão da seção transversal carregada. poderíamos demonstrar que a distribuição de tensão no apoio também se nivelará e se tornará uniforme em toda a seção transversal a uma curta distância do apoio. e somente em casos especiais. Observe. a seção c-c deve estar localizada a uma distancia no mínimo igual a largura (e não à espessura) da barra *. Entretanto. cuja área de seção transversal varia gradativamente ao longo de seu comprimento l. na figura a). discutido anteriormente. como regra geral. no caso da barra na figura b). Jansen (ECV/CCT/FURB) 43 Todavia. equivalente a σméd = P/A como antes. representar o peso de uma barra vertical ou Departamento de Engenharia Civil – DEC/ECV/FURB Prof. resumindo. portanto. que também se aplica a muitos outros casos de carregamento e geometria de elementos. O princípio de Saint-Venant afirma que os efeitos localizados causados por qualquer carga que age sobre um corpo serão dissipados ou atenuados em regiões suficientemente afastadas do ponto de aplicação da carga. Contudo. uma equação que pode ser usada para determinar a deformação elástica de um elemento submetido a cargas axiais. visto que foi observado pela primeira vez pelo cientista francês Barré de Saint-Venant. Essa regra se baseia na observação experimental do comportamento do material.ECV 0094 – Resistência dos Materiais – Departamento de Engenharia Civil da FURB Prof. que é suficientemente afastada dos efeitos localizados dessas cargas. Para generalizar o desenvolvimento. Além do mais. Rafael F. e mais a amplitude da força resultante criada por essa distribuição de tensão deve ser também igual a P. A força axial interna resultante é representada por P(x). causada por esse carregamento. o diagrama de corpo livre desse elemento é mostrado na figura abaixo. isolamos um elemento diferencial da barra de comprimento dx e área de seção transversal A(x) em uma posição arbitrária x. o deslocamento de uma das extremidades do elemento em relação à outra extremidade será d. Essa carga. a tensão e a deformação no elemento são: = "g. podemos relacioná-las usando a lei de Hooke. isto é: = 30 "g. 'g Contando que essas quantidades não ultrapassem o limite de proporcionalidade. '1 = 3h i "g.'g "g . Na maioria dos casos. Esses efeitos ocorrem no interior de pequenas regiões do comprimento da barra e. Rafael Jansen . Isto nos dá: 1=j ℓ _ "g. devemos integrar essa expressão para determinar o deslocamento da extremidade exigido. P(x). de modo que a tensão normal será uniformemente distribuída na seção transversal. Rafael F.'g "g. Aqui. 3 onde: δ = deslocamento de um ponto na barra relativo a outro ponto. l. queremos determinar o deslocamento relativo δ (delta) de uma das extremidades da barra em relação à outra extremidade. Na análise a seguir. 'g '1 = "g. portanto.3 Para o comprimento total da barra. Departamento de Engenharia Civil – DEC/ECV/FURB Prof. deformará o elemento até a forma indicada pela linha tracejada e. já que o carregamento externo fará com que ele varie ao longo do comprimento da barra. Jansen (ECV/CCT/FURB) 44 forças de atrito que agem sobre a superfície da barra. portanto. l = distância original entre os pontos. Usando o método das seções. terão somente um leve efeito sobre o resultado final.ECV 0094 – Resistência dos Materiais – Departamento de Engenharia Civil da FURB Prof. '1 % 0 = "g. a barra se deformará uniformemente. desprezaremos as deformações localizadas que ocorrem em pontos de carregamento concentrado e nos locais em que a seção transversal muda repentinamente. o deslocamento de uma extremidade da barra em relação à outra é determinado pela adição algébrica dos deslocamentos das extremidades de cada segmento. E = módulo de elasticidade para o material. a equação acima poderá ser aplicada a cada segmento da barra onde todas essas quantidades são constantes. então a força interna P também será constante em todo o comprimento da barra. O resultado é que a Equação acima pode ser integrada e nos dará: 1= k 3 Se a barra for submetida a várias forças axiais diferentes. A. se uma força externa constante for aplicada a cada extremidade (figura abaixo). Para esse caso geral: 1=Σ k 3 Departamento de Engenharia Civil – DEC/ECV/FURB Prof. Então. Carga constante e área de seção transversal. a barra terá uma área de seção transversal constante. A(x) = área da seção transversal da barra. de modo que E é constante.ECV 0094 – Resistência dos Materiais – Departamento de Engenharia Civil da FURB Prof. localizada a distância x de uma extremidade. expressa em função de x. Além do mais. ou se a área da seção transversal ou o módulo de elasticidade mudar repentinamente de uma região da barra para outra. Rafael Jansen . Rafael F. Jansen (ECV/CCT/FURB) 45 P(x) = força axial interna na seção. Em muitos casos. e o material será homogêneo. 7 KN. respectivamente. força e deslocamento. Rafael F. consideremos que ambos. “P”. temos de desenvolver uma convenção de sinal para a força axial interna e o deslocamento de uma extremidade da barra em relação à outra extremidade. Aplicando a Equação para obter o deslocamento da extremidade A em relação à extremidade D.ECV 0094 – Resistência dos Materiais – Departamento de Engenharia Civil da FURB Prof. Rafael Jansen . Exemplo 1: Considere a barra mostrada na figura abaixo. PCD = . Para aplicar a equação acima.3 KN. Elas são PAB = + 5 KN. Jansen (ECV/CCT/FURB) 46 Convenção de sinais. PBC = . força e deslocamento negativos causarão compressão e contração. ao contrário. Essa variação na carga axial é mostrada no diagrama de força normal para a barra (figura c). Para tanto. são positivos se provocarem tração e alongamento. são determinadas pelo método das seções para cada segmento (figura b). respectivamente (figura abaixo). temos: Departamento de Engenharia Civil – DEC/ECV/FURB Prof. As forças axiais internas. Rafael Jansen . os resultados do carregamento interno podem ser mostrados graficamente em um diagrama de força normal. PROCEDIMENTO DE ANÁLISE O deslocamento relativo entre dois pontos A e B em um elemento carregado axialmente pode ser ℓ u"a. isto é. e carregamentos de compressão Departamento de Engenharia Civil – DEC/ECV/FURB Prof. • Para qualquer segmento. o módulo de elasticidade ou o carregamento interno mudar ux repentinamente. tendem a “nivelar-se” a uma distância suficientemente afastada dessas regiões. P(x). significará que a extremidade A se afasta da extremidade D (a barra alonga-se). essa área deve ser expressa em função de sua posição.w ux (ou 1 = vw ). carregamentos de tração são positivos. • Se essa força variar ao longo do comprimento do elemento. • Se a área da seção transversal. se o deslocamento tiver de ser determinado em relação a um ponto fixo. A aplicação exige as etapas descritas a Força interna • Use o método das seções para determinar a força axial interna P no elemento. • Se várias forças externas constantes agirem sobre o elemento. não se deve esquecer de ux atribuir o sinal adequado a P.a determinado aplicando-se a equação 1 = n_ seguir. A(x).w e 1 = Σ vw . deve-se fazer um corte em um local arbitrário a distancia x de uma extremidade do elemento e a força deve ser representada em função de x. isto é. se D estiver localizado em um apoio fixo. dando como resultado δ = nt r"p. Rafael F. entretanto. então. usando-se a lei de ℓ o"p.s . A notação de índice duplo é usada para indicar esse deslocamento relativo (δA/D). σ = E. v"a. • O deslocamento de um elemento carregado axialmente é determinado pela relação entre a carga aplicada e a tensão por meio da fórmula σ = P/A e pela relação entre o deslocamento e a deformação por meio da expressão ε = dδ/dx. é importante que as cargas não provoquem escoamento do material e que o material seja homogêneo e se comporte de maneira linear elástica. Jansen (ECV/CCT/FURB) 47 Se substituirmos os outros dados e a resposta calculada for positiva. o deslocamento calculado será denotado simplesmente com δA. Deslocamento • Quando a área da seção transversal do elemento varia ao longo de seu eixo.ε.a • Quando se substituem dados nas equações 1 = n_ v"a. • Uma vez que a lei de Hooke é usada no desenvolvimento da equação do deslocamento.qp Hooke. em cada segmento do elemento se deve determinar a força interna entre quaisquer duas forças externas.ECV 0094 – Resistência dos Materiais – Departamento de Engenharia Civil da FURB Prof. Por fim. uma força de tração interna é positiva e uma força de compressão interna é negativa. ao passo que um resultado negativo indicaria que a extremidade A se aproxima da extremidade D (a barra fica mais curta). a Equação 1 = vw deverá ser aplicada a cada segmento para o qual essas quantidades sejam constantes. então será usado um único índice. essas duas equações sã combinadas. Por exemplo. x. ℓ u"a. PONTOS IMPORTANTES • O princípio de Saint-Venant afirma que ambas. deformação e tensão localizadas que ocorrem no interior das regiões de aplicação de carga ou nos apoios. Por conveniência. 3. usa-se um conjunto de unidades constantes. se a temperatura diminui. indica alongamento. ΔT = variação na temperatura do elemento. indica uma contração. o material contrai. Se a mudança na temperatura ocorrer em todo o comprimento do elemento. O cálculo dessas tensões térmicas pode ser feito pelos métodos descritos anteriormente. esses deslocamentos térmicos podem ser restringidos pelos apoios. δT = variação no comprimento do elemento.ECV 0094 – Resistência dos Materiais – Departamento de Engenharia Civil da FURB Prof. Neste caso. Rafael F. expande-se. estudos experimentais demonstram que a deformação de um elemento de comprimento l pode ser calculada pela fórmula: 1y = 7∆{k onde: α = uma propriedade do material denominada coeficiente linear de expansão térmica. A relação entre a expansão ou contração do material e o aumento ou redução da temperatura normalmente é linear. ou se δ mudar ao longo do comprimento. Se a temperatura aumenta. isto é. o que produz tensões térmicas que devem ser consideradas no projeto. 6. Exemplo de aplicação: Departamento de Engenharia Civil – DEC/ECV/FURB Prof. Contudo. l = comprimento inicial do elemento. a equação aplica-se para cada segmento que tenha comprimento dx. quando o elemento é estaticamente indeterminado. a mudança no comprimento do elemento é: ℓ 1y = j 7 ∆{ 'g _ A mudança no comprimento de um elemento estaticamente determinado pode ser calculada diretamente pela equação. Tensão térmica Uma mudança na temperatura pode provocar alterações nas dimensões de um material. visto que o elemento está livre para se expandir ou contrair quando sofrer mudança na temperatura. Além disso. ΔT = ΔT(x). se o resultado calculado for uma quantidade numérica positiva. o material. Rafael Jansen . As unidades medem deformação por grau de temperatura [1/°C [Celsius] ou 1/°K [Kelvin] no SI]. Se for esse o caso e se o material for homogêneo e isotrópico. Para qualquer segmento. Jansen (ECV/CCT/FURB) 48 são negativos. em geral. se for negativa. 2 g 10 = = 72 & "0.&] = 7. determine a tensão térmica normal média desenvolvida na barra. Departamento de Engenharia Civil – DEC/ECV/FURB Prof. pelos dados apresentados. Rafael F. à força que age em B. Rafael Jansen . Visto que F também representa a força axial interna no interior da barra. Visto que δA/B = 0."0. isto é: +↑ Σ b = 0 v + ~ = O problema é estaticamente indeterminado. SOLUÇÃO Equilíbrio. de volta à sua posição original. a tensão de compressão normal média é. portanto: = 7. o deslocamento térmico δT que ocorre em A (figura) é contrabalançado pela força F que seria exigida para levar a barra δ./℃]"60℃ − 30℃. a força em A é igual. Visto que não há nenhuma carga externa. mas oposta.2 O valor de F indica claramente que mudanças na temperatura podem provocar grandes forças de reação em elementos estaticamente indeterminados. = 7∆{ 3 = [12"10 . Jansen (ECV/CCT/FURB) 49 A barra de aço A-36 está restringida para caber exatamente entre dois suportes fixos quando T1 = 30°C. O diagrama de corpo livre da barra é mostrado na figura b).010 . Compatibilidade.ECV 0094 – Resistência dos Materiais – Departamento de Engenharia Civil da FURB Prof. [200"10 . uma vez que a força não pode ser determinada por equilíbrio. Se a temperatura aumentar até T2 = 60°C. A condição de compatibilidade em A torna-se: (+ ↑) 1v/~ = 0 = 1y − 1 A aplicação das relações térmicas e de carga-deslocamento resulta: 0 = 7∆{k − k k Assim.01 . Aqui uma linha radial localizada na seção transversal a uma distância x da extremidade fixa do eixo girará de um ângulo θ(x). marcados originalmente no eixo. os círculos e as retas longitudinais da grade. as seções transversais na extremidade do eixo continuam planas.ECV 0094 – Resistência dos Materiais – Departamento de Engenharia Civil da FURB Prof. Por essas informações. Rafael F. vemos que a torção faz com que os círculos continuem como círculos e cada linha longitudinal da grade se deforme na forma de uma hélice que intercepta os círculos em ângulos iguais. o elemento é submetido a uma deformação por cisalhamento. podemos considerar que. O resultado é que. em razão da diferença entre essas rotações. observe que. Δφ. o plano engastado será distorcido até uma forma oblíqua. Deformação por torção de um eixo circular Torque é um momento que tende a torcer um elemento em torno de seu eixo longitudinal. Rafael Jansen . definido dessa maneira. Para entender como essa distorção deforma o material. TORÇÃO 7. O ângulo θ(x). de φ(x) + Δφ. se o ângulo de rotação for pequeno. isolaremos agora um pequeno elemento localizado à distancia radial ρ (rô) da linha central do eixo (figura). e as linhas radiais nessas extremidades continuam retas durante a deformação. as faces anterior e posterior do elemento sofrerão uma rotação – a face posterior. Examinando a figura.1. Para calcular essa deformação. o Departamento de Engenharia Civil – DEC/ECV/FURB Prof. Podemos ilustrar fisicamente o que acontece quando um torque é aplicado a um eixo circular considerando que este seja feito a um eixo circular considerando que este seja feito de um material com alto grau de deformação. o comprimento e o raio do eixo permanecerão inalterados. Jansen (ECV/CCT/FURB) 50 7. é denominado ângulo de torção. Além disso. O efeito do torque é a preocupação primária em projetos de eixos ou eixos de acionamento utilizados em veículos e estruturas diversas. antes da deformação. como borracha. Se o eixo estiver preso em uma de suas extremidades e for aplicado um torque à sua outra extremidade. Devido à deformação observada na figura. depende da posição x e variará ao longo do eixo conforme mostra a figura. Quando o torque é aplicado. tendem a se distorcer segundo o padrão mostrado na figura. temos: BD = ρ dφ = dx γ Departamento de Engenharia Civil – DEC/ECV/FURB Prof. entre as faces sombreadas. é indicado no elemento e pode ser relacionado com o comprimento Δx do elemento e com a diferença no ângulo de rotação. após a deformação. γ. temos: Esse ângulo. Pela definição de deformação por cisalhamento. todavia. Se Δx → dx e Δφ → dφ.ECV 0094 – Resistência dos Materiais – Departamento de Engenharia Civil da FURB Prof. Rafael Jansen . Rafael F. Δφ. Jansen (ECV/CCT/FURB) 51 ângulo entre as bordas AB e AC é 90°. as bordas do elemento se tornam AD e AC e o ângulo entre elas é θ`. aplicaremos agora a condição que exige que o torque produzido pela distribuição de tensão por toda a seção transversal seja equivalente ao torque interno resultante Mt na seção. temos: Departamento de Engenharia Civil – DEC/ECV/FURB Prof. e a equação indica que o valor da deformação por cisalhamento para qualquer um desses elementos varia somente cm sua distancia radial ρ em relação à linha central do eixo. Portanto.2. como observado na seção anterior. Usando essa equação. define a distribuição da tensão na seção transversal em termos da geometria do eixo. para toda a seção transversal. localizado em ρ. então. pela proporcionalidade de triângulos. τ = Gγ. Rafael Jansen . por consequência. Visto que dφ/dx = γ/ρ = γmáx/c. em outras palavras. = ' 'g Visto que dx e dφ são os mesmo para todos os elementos localizados em pontos da seção transversal em x. Essa variação é mostrada na figura. a deformação por cisalhamento no interior do eixo varia linearmente ao longo de qualquer linha radial. Jansen (ECV/CCT/FURB) 52 Portanto. Rafael F. o que mantém o eixo em equilíbrio. uma variação linear na tensão por cisalhamento. τ variará de zero na linha central do eixo longitudinal a um valor máximo τmáx na superfície externa. Em outras palavras. = ∙ áa 7. O torque produzido por essa força é dT = ρ(τ dA). está sujeito a uma força dF = τ dA. Nessa seção. podemos escrever: = ∙ áa Essa equação expressa a distribuição da tensão de cisalhamento em função da posição radial ρ do elemento. desenvolveremos uma equação que relaciona esse torque interno com a distribuição da tensão de cisalhamento na seção transversal de um eixo ou tubo circular. A fórmula da torção Quando um torque externo é aplicado a um eixo. Se o material for linear elástico. então dφ/dx é constante nesta seção. Especificamente cada elemento de área dA. nas faces anteriores de vários elementos selecionados localizados em uma posição radial intermediária ρ e no raio externo c. assim como ocorre com a deformação por cisalhamento para um eixo maciço. resulta em uma variação linear na tensão de cisalhamento correspondente ao longo de qualquer linha radial na seção transversal. então a lei de Hooke se aplica. ele cria um torque interno correspondente no interior do eixo. ou pela lei de Hooke (τ = Gγ) e pela equação [γ = (ρ/c)γmáx]. e. de zero na linha central do eixo até um valor máximo γmáx em seu contorno externo (figura).ECV 0094 – Resistência dos Materiais – Departamento de Engenharia Civil da FURB Prof. Consequentemente. ECV 0094 – Resistência dos Materiais – Departamento de Engenharia Civil da FURB Prof. portanto. Rafael F. Pelas equações. Seu valor . Rafael Jansen . J = momento polar de inércia da seção transversal.. Esse valor será representado pelo símbolo J e. Jansen (ECV/CCT/FURB) 53 = j " '. a equação pode ser escrita de uma forma mais compacta. c = raio externo do eixo. Ela representa o momento polar de inércia da área da seção transversal do eixo calculada em torno da linha central longitudinal do eixo. a saber: áa = onde τmáx = a tensão de cisalhamento Mt = Torque (momento torsor) interno resultante que age na seção transversal. a tensão de cisalhamento na distancia intermediária ρ pode ser determinada por uma equação semelhante: Departamento de Engenharia Civil – DEC/ECV/FURB Prof.. = j áa ' v v Visto que τmáx/c é constante: = áa j ' v A integral nessa equação depende somente da geometria do eixo. ECV 0094 – Resistência dos Materiais – Departamento de Engenharia Civil da FURB Prof. cm4 ou pol4. visto que a dedução da fórmula se baseia no fato de a tensão de cisalhamento ser proporcional à deformação por cisalhamento. Rafael Jansen . Toda via se isolarmos um elemento de volume do material na seção transversal. devido à propriedade complementar do cisalhamento. Já demostramos que a tensão de cisalhamento varia linearmente ao longo de cada linha radial da seção transversal do eixo. As unidades de medida comuns para J são mm4. como também uma distribuição de tensão de cisalhamento associada é desenvolvida ao longo de um plano axial. de espessura dρ e circunferência 2πρ (figura). Por consequência. portanto: = > ! 2 Observe que J é uma propriedade geométrica da área circular e é sempre positivo. dA = 2πρ dρ. Jansen (ECV/CCT/FURB) = 54 Qualquer uma das duas equações citadas é frequentemente denominada fórmula da torção. Departamento de Engenharia Civil – DEC/ECV/FURB Prof. Eixo maciço. Para esse anel. o torque interno Mt não somente desenvolve uma distribuição linear da tensão de cisalhamento ao longo de cada linha radial no plano da área de seção transversal. Se o eixo tiver uma seção transversal circular maciça. o momento polar de inércia Jp pode ser determinado por meio de um elemento de área na forma de um anel diferencial. como mostra a figura. então. Lembre-se de que ela só é usada se o eixo for circular e o material for homogêneo e comporta-se de uma maneira linear elástica. Rafael F. tensões de cisalhamento iguais também devem agir sobre quatro de suas faces adjacentes. em razão dessa distribuição axial da tensão de cisalhamento. Eixo tubular. 2 Como ocorre no eixo maciço. a figura a. então. a tensão de cisalhamento distribuída pela área da seção transversal do tubo varia linearmente ao longo de qualquer linha radial (figura a). Isso acontece porque a madeira é um material anisotrópico. eixos feitos de madeira tendem a rachar ao longo do plano axial quando sujeitos a um torque excessivo (figura). A resistência ao cisalhamento desse material. podemos determinar seu momento polar de inércia subtraindo Jp para um eixo de raio ci daquele determinado para um eixo de raio c0. Rafael Jansen . Se um eixo tiver uma seção transversal tubular. com raio interno ci e raio externo c0. paralela às fibras. direcionada ao longo da linha central do eixo. Rafael F. pela equação. a tensão de cisalhamento varia ao longo de um plano axial dessa mesma maneira (figura b). mostra exemplos da tensão de cisalhamento agindo sobre elementos de volume típicos.ECV 0094 – Resistência dos Materiais – Departamento de Engenharia Civil da FURB Prof. O resultado é: = > ! " / G ! . Além do mais. Jansen (ECV/CCT/FURB) 55 É interessante observar que. é muito menor do que a resistência perpendicular às fibras. Departamento de Engenharia Civil – DEC/ECV/FURB Prof. direcionada no plano da seção transversal. O momento polar de inércia para a área da seção transversal é: = > = 2 2. como mostra a figura. SOLUÇÃO 1. Determine o torque (momento de torção) interno resultante na seção. Rafael F. Rafael Jansen . temos: áa = → H Departamento de Engenharia Civil – DEC/ECV/FURB Prof. Jansen (ECV/CCT/FURB) 56 Exemplo 1: A distribuição de tensão em um eixo maciço foi representada em gráfico ao longo de três linhas radiais arbitrárias. Aplicando a fórmula da torção com τmáx = 56 MPa = 56 N/mm2.ECV 0094 – Resistência dos Materiais – Departamento de Engenharia Civil da FURB Prof. substituindo essa expressão na Equação. O torque interno resultante é representado por Mt(x).3. em geral. provocam apenas um leve efeitos no resultado final. Nesta seção. esses efeitos ocorrem no interior de pequenas regiões do comprimento do eixo e. Consideremos que o eixo tem seção transversal circular que pode variar gradativamente ao longo de seu comprimento (figura) e que o material é homogêneo e se comporta de maneira linear elástica quando o torque é aplicado. O resultado é que um elemento de material localizado em um raio arbitrário ρ no interior do disco sofrerá uma deformação por cisalhamento γ. Além do mais. saber calcular o ângulo de torção para um eixo é importante quando analisamos as reações em eixos estaticamente indeterminados. desenvolveremos uma fórmula para determinar o ângulo de torção φ (fi) de uma extremidade de um eixo em relação à sua outra extremidade. visto que o carregamento externo pode acarretar variação no torque interno ao longo da linha central do eixo. de tal modo que a rotação relativa de uma de suas faces em relação à outra será dφ (figura). Ângulo de torção (Φ) Às vezes o projeto de um eixo depende de restrição à quantidade de rotação ou torção que pode ocorrer quando o eixo é submetido a um torque. então γ = Mt(x)ρ/Jp(x)G. desprezamos as deformações dos torques e em locais onde a seção transversal muda abruptamente. Rafael F. A ação de Mt(x) provocará uma torção no disco. isolamos do eixo um disco diferencial de espessura dx localizado na posição x (figura).ECV 0094 – Resistência dos Materiais – Departamento de Engenharia Civil da FURB Prof. Os valores de γ e dφ são relacionados pela equação: 'ϕ 'g Visto que pela lei de Hooke (τ = Gγ) se aplica e que a tensão de cisalhamento pode ser expressa em termos do torque aplicado pela fórmula da torção τ =Mt(x)ρ/Jp(x). Rafael Jansen . Jansen (ECV/CCT/FURB) 57 7. Usando o método das seções. o ângulo de torção para o disco é: Departamento de Engenharia Civil – DEC/ECV/FURB Prof. Como ocorreu no caso de uma barra carregada axialmente. Pelo princípio de Saint-Venant. o material é homogêneo. o torque interno Mt(x) = Mt. o que resulta: ϕ k As semelhanças entre estas duas equações e as equações para uma barra carregada axialmente (δ = ʃ P(x) dx/A(x)E e δ = PL/AE) devem ser notadas. Rafael F. G = módulo de elasticidade ao cisalhamento do material.ECV 0094 – Resistência dos Materiais – Departamento de Engenharia Civil da FURB Prof. Nessa expressão. a saber: x j / 6 "g. φ = ângulo de rotação de uma extremidade do eixo em relação à outra extremidade. Mt(x) = torque interno na posição arbitrária x. 'g "a. determinado pelo método das seções e pela equação de equilíbrio de momento aplicada em torno da linha central do eixo. Integrando em todo o comprimento L do eixo. a área da seção transversal do eixo e o torque aplicado são constantes ao longo do comprimento do eixo (figura). normalmente. Torque e área de seção transversal constantes. J(x) = momento polar de inércia do eixo expresso em função da posição x. obtemos o ângulo de torção para o eixo inteiro. medida em radianos. Além disso. o momento polar de inércia J(x) = J e a Equação podem ser integrados. Se for esse o caso. Jansen (ECV/CCT/FURB) 'ϕ 58 "g. Departamento de Engenharia Civil – DEC/ECV/FURB Prof. 'g "g. Na pratica da engenharia. Rafael Jansen . de modo que G é constante. Em geral. para se obter um valor mais confiável de G. Pela equação G = MtL/Jφ. o ângulo de torção de uma extremidade em relação à outra é determinado pela soma vetorial dos ângulos de torção de cada segmento. Para tal. Se o eixo for submetido a vários torques diferentes ou se a área da seção transversal ou módulo de cisalhamento mudar abruptamente de uma região do eixo para a seguinte. Para esse caso: ϕΣ k Convenção de sinais.ECV 0094 – Resistência dos Materiais – Departamento de Engenharia Civil da FURB Prof. Rafael Jansen . Para tal. Rafael F. Então o torque aplicado Mt e o ângulo de torção φ são medidos entre um comprimento de referência L. a equação poderá ser aplicada a cada segmento do eixo onde essas quantidades são todas constantes. Para aplicar a equação. realizam-se diversos desses ensaios e utiliza-se o valor médio. usaremos a regra da mão direita. pela qual o torque e o ângulo serão positivos desde que o polegar esteja direcionado para fora do eixo quando os dedos o envolverem para dar a tendência da rotação. colocamos um corpo de prova de comprimento e diâmetro conhecidos em uma máquina de ensaio de torção como mostrada na figura. temos de desenvolver uma convenção de sinal para o torque interno e para o ângulo de torção de uma extremidade do eixo em relação à outra extremidade. Jansen (ECV/CCT/FURB) 59 Podemos usar a equação para determinar o módulo de elasticidade ao cisalhamento G do material. Departamento de Engenharia Civil – DEC/ECV/FURB Prof. Então. Jansen (ECV/CCT/FURB) 60 Exemplo 2: Considere o eixo mostrado na figura. temos: MtAB = Departamento de Engenharia Civil – DEC/ECV/FURB Prof. 1. que está submetido a quatro torques. Torques internos: Pela regra da mão direita. com torques positivos direcionados para longe da extremidade secionada do eixo. Rafael F.ECV 0094 – Resistência dos Materiais – Departamento de Engenharia Civil da FURB Prof. Rafael Jansen . O ângulo de torção da extremidade A em relação à extremidade D deve ser determinado. Jansen (ECV/CCT/FURB) 61 Pela regra da mão direita. com torques positivos direcionados para longe da extremidade secionada do eixo. A notação de índice duplo é usada para indicar esse ângulo de torção relativo (φA/D). com torques positivos direcionados para longe da extremidade secionada do eixo. Por exemplo. significa que a extremidade A girará na direção indicada pelos dedos da mão direita quando o polegar estiver direcionado para fora do eixo. temos: MtCD = 2. será usado apenas um índice. Ângulo de torção: ϕΣ k ϕv/ Se substituirmos os outros dados e encontrar uma resposta positiva. temos: MtBC = Pela regra da mão direita.ECV 0094 – Resistência dos Materiais – Departamento de Engenharia Civil da FURB Prof. Rafael Jansen . Rafael F. então o ângulo de torção calculado será representado por φA. se o ângulo de torção tiver de ser determinado em relação a um ponto fixo. Departamento de Engenharia Civil – DEC/ECV/FURB Prof. se D estiver localizado em um apoio fixo. entretanto. 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