Universidade Federal de Juiz de ForaInstituto de Ciências Exatas Departamento de Física TEORIA DE ERROS MEDIDAS E GRÁFICOS Prof. Carlos R. A. Lima Edição – Março de 2010 ÌNDICE CAPÍTULO 1 - PRINCÍPIOS BÁSICOS DA ESTATÍSTICA -------------------------------------------------------------------------------- 03 1.1- Introdução ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 03 1.2- Apresentação de resultados ---------------------------------------------------------------------------------------------------- 03 1.3- Análise das médias ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 04 1.3.1- A mediana ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 05 1.3.2- O modo ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 05 1.3.3- A média harmônica ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 05 1.3.4- A média geométrica ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 05 1.3.5- A média aritmética -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 06 1.4- Análise da dispersão -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 06 1.4.1- O desvio médio ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 06 1.4.2 - O desvio padrão ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 06 1.5- Curvas teóricas de distribuição estatística ---------------------------------------------------------------------------------- 07 CAPÍTULO 2 - A DISTRIBUIÇÃO NORMAL OU GAUSSIANA --------------------------------------------------------------------------- 09 2.1- Introdução ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 09 2.2- A dispersão e a distribuição normal ------------------------------------------------------------------------------------------ 10 2.3- Intervalos de Confiança ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 12 CAPÍTULO 3 - DISTRIBUIÇÃO ESTATÍSTICA DE STUDENT --------------------------------------------------------------------------- 14 CAPÍTULO 4 - MEDIDAS E ERROS -------------------------------------------------------------------------------------------------------17 4.1 - Grandezas Físicas e Padrões de Medida ------------------------------------------------------------------------------------17 4.2- Classificação dos Erros ------------------------------------------------------------------------------------------------------------18 4.3- Algarismos Significativos ----------------------------------------------------------------------------------------------------------18 4.4- Propagação de Erros ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------20 CAPÍTULO 5 - CONSTRUÇÃO DE ESCALAS E GRÁFICOS ---------------------------------------------------------------------------- 23 5.1- Introdução -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------23 5.1- Escala Linear -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------23 5.2- Escala Logarítmica -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------24 5.3- Papeis monolog e loglog ----------------------------------------------------------------------------------------------------------25 5.4- Gráficos --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------27 5.4.1- Introdução --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------27 5.4.2- Construção de gráficos----------------------------------------------------------------------------------------------------------27 5.4.3- Relações lineares-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------29 5.4.3.1- Método Gráfico -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------29 5.4.3.2- Método dos Mínimos Quadrados ------------------------------------------------------------------------------------------29 5.4.4- Gráficos de Funções Não- Lineares -----------------------------------------------------------------------------------------31 5.4.4.1- Funções Polinomiais ----------------------------------------------------------------------------------------------------------32 5.4.4.2- Funções Exponenciais -------------------------------------------------------------------------------------------------------33 5.4.4.3- Uso de papéis loglog para linearizar funções polinomiais-----------------------------------------------------------34 5.4.4.4- Uso de papéis monolog para linearizar funções exponenciais-----------------------------------------------------36 REFERÊNCIAS --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------37 2 CAPÍTULO 1 - PRINCÍPIOS BÁSICOS DA ESTATÍSTICA 1.1- Introdução Um pesquisador social procura obter conclusões sobre um grande número de sujeitos. Por exemplo, os 170000000 de indivíduos que compõem a população Brasileira, os 400000 habitantes da cidade de Juiz de Fora, ou os 8000 estudantes da Universidade Federal de Juiz de Fora. Cada um desse grupos, investigados pelo pesquisador social, é denominado tecnicamente de população ou universo. A população consiste de um conjunto de dados com alguma característica comum, seja ela, nacionalidade, cidadania ou matrícula na Universidade Federal de Juiz de Fora. Como, em geral, a população é composta de um número muito grande de indivíduos, dados ou observações, o pesquisador social raramente analisa esse grupo. Em lugar disso, é analisado somente uma amostra, que se constitui de um número menor de dados retirados da população. O pesquisador procura tirar conclusões de sua amostra e estende-las para toda a população. O processo de amostragem faz parte do dia-a-dia de todas as pessoas. Por qual outro processo seria possível obter informações sobre alguma medida, se não amostrando-se aquelas que se é capaz? Por exemplo, pode-se concluir que vale a pena investir na bolsa de valores depois de saber que algumas pessoas ganharam dinheiro com essas aplicações. Os métodos de amostragem utilizados por um pesquisador são, em geral, mais elaborados e sistemáticos do que aqueles que se poderiam utilizar no dia-a-dia. Sistematicamente, o pesquisador procura obter uma amostra mais representativa possível de toda a população. Se todos os dados puderem participar da amostra, diz-se que o método utilizado é o de amostragem aleatória e, se este não for o caso, diz-se que o método é o de amostragem não aleatória. Propõe-se aqui fazer uma breve discussão sobre as técnicas disponíveis para o tratamento estatístico de medidas, erros e disposições gráficas em processos de observações experimentais. Existem duas propriedades estatísticas básicas associadas a um conjunto de dados de uma amostra: Tendência da maioria dos dados manterem-se em torno de um valor central e tendência destes dispersar em torno desse valor central. A dispersão de dados em torno de um valor central pode referir-se a uma medida precisa ou exata. A precisão refere-se a uma aproximação de um grupo de medidas de um valor que não é, necessariamente, o valor verdadeiro e, exatidão refere-se a uma aproximação de um grupo de medidas do valor verdadeiro. A diferença entre precisão e exatidão pode ser melhor compreendida observando-se a Fig. 1.1. Preciso e inexato Preciso e exato Impreciso e exato Impreciso inexato Fig. 1.1- Possíveis pontos atingidos em um alvo ilustrando a diferença entre precisão e exatidão O aspecto importante que se deve enfatizar aqui é que se pode ter uma amostra de grande precisão, mas não necessariamente de grande exatidão. Essa condição peculiar pode ocorrer, por exemplo, quando um bom experimentador utiliza instrumentos que estejam descalibrados. 1.2- Apresentação de resultados É possível perceber que amostras retiradas de uma determinada população devem seguir uma determinada distribuição. Seja, por exemplo, uma amostra contendo um conjunto de dados representados pelas idades de 32 pessoas de uma determinada cidade, organizadas em ordem crescente de magnitude como mostra a Tab. 1.1(a). Nota-se que algumas pessoas podem ter a mesma idade e o que se busca é a média de idades que compõe essa amostra. Pode-se construir uma distribuição de freqüência com os dados dessa amostra 3 Nesse caso.3. 10 10 8 8 6 6 Freqüência Freqüência A vantagem da distribuição de freqüência sobre a tabela de dados é na exposição de uma tendência clara a um certo valor central. ou percentual do total. o modo.separando-os em sete diferentes subgrupos. e (b) Distribuição de freqüências de idades em sete subgrupos. 1. juntamente com a tabela de distribuição de freqüências. 1.1. 1. Essa tendência pode ser melhor apresentada numa forma gráfica denominada de histograma como mostra a Fig. As informações apresentadas no histograma. a média geométrica e a média 4 . Em ambos os gráficos nota-se claramente uma tendência central para determinados valores da tabela de dados. a média harmônica. (b) Polígono de freqüências.2 (a).2. devem ser divididas pelo número total de dados. 4 2 4 2 0 0 20 40 60 Idades (a) 80 100 0 0 20 40 60 80 100 Idades (b) Fig. sendo que.(a) Histograma das idades das pessoas e. 32 37 41 43 43 48 50 51 51 53 55 57 57 60 61 63 64 64 68 69 69 71 75 75 76 77 78 82 88 88 91 94 Subgrupos 30-39 40-49 50-59 60-69 70-79 80-89 90-100 Freqüência II IIII IIIIIII IIIIIIII IIIIII III II (a) Total 2 4 7 8 6 3 2 (b) Tab. 1. 1. A escala vertical passa a ser a ocorrência relativa. 1.Análise das médias Existem várias formas de se escrever um valor médio de um grupo de dados que compõe uma amostra. Os dados podem ser ainda plotados na forma de um diagrama de freqüências relativas.(a) Tabela de idades das pessoas consultadas. ou no polígono de freqüências. as freqüências que aparecem nas abscissas do histograma. As freqüências de dados em cada subgrupo podem ser distribuídas como mostra a Tab.1(b). podem ser transcritas numa outra forma gráfica denominada de polígono de freqüências como mostra a Fig. as mais importantes [01] são: A mediana. que no caso é 32.2 (b). 1601 1.0253 1. 5 .3. A mediana.4. 1. é utilizada para medidas que crescem como uma progressão geométrica. por exemplo. obtido somando-se os salários e dividindo-se por cinco. 1. que é um valor representativo para o crescimento populacional anual dessa pequena cidade. 1... De acordo com a eq.00.1. está associado ao valor mais freqüente dos dados que compõe a amostra. a taxa média de crescimento da pequena cidade. o crescimento anual da população de uma pequena cidade do interior do Estado de Minas Gerais.2. 3.00 2 11000.2.00 4 12500.0511 1.2) Seja.00. Metade dos dados está acima desse valor e a outra abaixo..0253 1. (1. como mostra a Tab.0378 ou. A intenção. é um valor central entre os dados que compõe a amostra.Dados de crescimento populacional de uma pequena cidade do interior do Estado de Minas Gerais. os salários anuais em dólares.0399 Tab. 1.2).3. Professor Salário (US$) 1 10000.0352 1.xn (1.00 3 12000. não sendo necessariamente. é utilizada freqüentemente para se fazer estimativas de valores típicos de taxas de variação.00 Tab. é gerar um valor representativo associado a todos os dados de uma determinada amostra. o meio caminho entre o maior e o menor valor.0352 1. será: xG 4 1. por exemplo..Salários anuais de professores de uma determinada Universidade Brasileira.A média geométrica. é US$ 14100.O modo.A média harmônica. 1. Essas estimativas são representativas quando seguem a seguinte equação: xG n n x i 1 i n x1 x2 . ou crescem proporcionalmente a um determinado valor.0399 4 1.2. O salário médio. 1.3.3.1) n 1 x i 1 i onde xi são os valores de cada um dos dados da amostra e n é o número total desses dados.. por estar muito distante da maioria dos valores que compõe a amostra.3. mostrados na Tab. Essa não é uma boa estimativa para o salário médio dos professores. dada por US$ 12000. é um valor mais representativo desses salários.78% .00 5 25000.A mediana. ano 1998 1999 2000 2001 2002 população 29894 31422 32527 33349 34681 crescimento Taxa de crescimento em relação ao ano anterior 1528 1105 822 1332 1.3. O valor do modo deve ser obtido da média entre os dados do intervalo que definem o pico do histograma.1. de qualquer uma dessas definições.aritmética. Seja. 1. Essas estimativas são representativas quando seguem a seguinte relação: xH n (1. de cinco professores de uma determinada Universidade Brasileira.3.0511 1. 4) n É importante que o valor absoluto x i x seja utilizado.O desvio médio médio.4. se assim não fosse. é a média aritmética dos desvios de cada dado da amostra em torno do valor n x x i 1 x i (1. As formas mais importantes de se representar a dispersão de uma amostra são feitas por meio das 06definições de desvio médio e desvio padrão [01].3. é obtida simplesmente da razão entre a soma dos valores e o número total n de todos os dados de uma amostra.O desvio padrão x . * n x* x i 1 i x 2 (1. ou RMS (Root Mean Square). isto é x . ocorrem nas amostras típicas. por causa disso. que: x i x n uma vez que.4.1. pode ser estimado utilizando-se a definição de dispersão. em geral. em geral. 1. ocorrem nas amostras típicas e. é a mais utilizada para a determinação de valores médios e. x 2 2 nx 2 e x x n 2 i 2 xi x x 2 n i x n 2 i 2 x xi n x n 2 x n 2 i x2 x . isto é.Análise da dispersão O grau de confiabilidade. 1. pois.3) n Sempre que o número de dados da amostra tiver um tamanho relativamente grande. ter-se-ia: x x i n x x x i n i n nx x x 0 n (1.A média aritmética.5. a utilização da média aritmética será mais indicada para obtenção de médias representativas. como: 6 .2 . A dispersão é uma medida das flutuações de todos os dados de uma amostra em torno do valor médio. É importante notar. é mais freqüentemente utilizado em cálculos estatísticos. isto é n x x i 1 i (1. é a raiz média quadrática. de uma amostra. ou precisão. o desvio médio é raramente utilizado para a estimativa de um resultado estatístico. Assim. (1. 1. a eq. das flutuações de cada dado da amostra em relação ao valor médio.4.6) pode ser rescrita.6) n O desvio padrão tem uma melhor representatividade das verdadeiras flutuações que.5) Por se pouco representativo das verdadeiras flutuações que.1. 7) x uma vez que.2 0.0 0 2 4 6 8 0 10 1. 1. inclui-se o termo população pai. Como nesse processo os limites inferior e superior dos dados da amostra não devem ser alterados significativamente.0 2 4 6 8 10 1. 1.3.0 0 2 4 6 8 10 Fig.6 0. 7 .1 0.6 0.2 0.0 0.4 0.8 0.x x* 2 i n x2 2 1 1 n xi2 n 2 x 2 n xi2 xi n n (1. n 2 2 1. na Fig.6 Freqüência Freqüência N=20 Intervalo=0. Nessas condições extremas. x i .8 N= Intervalo=0. o histograma transforma-se numa curva suave de uma função de distribuição teórica como mostra a última seqüência da Fig.3.0 0.4 0.8 N=100 Intervalo=0.0 0.0 1.4 0. os intervalos dos subgrupos devem se estreitar progressivamente tendendo a zero.2 0. 1.5.5 0.0 0 2 4 6 8 10 0.4 0.2 0.0 0. 1. quando o número de dados tende ao infinito ( n ).6 0.3.Efeito do aumento do número de dados de uma amostra sobre a morfologia do histograma correspondente. É notável. que o número N de subgrupos de um histograma cresce proporcionalmente ao número n de dados de uma amostra. para representar todas as medidas possíveis de uma determinada grandeza G.Curvas teóricas de distribuição estatística No vocabulário básico da estatística.8 N=2 Intervalo=1 Freqüência Freqüência 0. suficiente para se chegar às propriedades da função de distribuição correspondente. Não existem muitas funções matemáticas que se comportam morfologicamente como a função de distribuição mostrada na última seqüência da Fig. Binomial. A distribuição de Poisson. vale a pena considera-la com mais detalhes. é utilizada em situações em que se disponha somente de eventos binários. Poisson e Gaussiana ou normal [01] . em geral. por isso. obtêm-se informações sobre a credibilidade de todo o processo de medida. Essa função identifica a população de todos os dados possíveis (mas não os valores verdadeiros) e. A distribuição Gaussiana ou Normal. Por exemplo. é a distribuição que inspirou os resultados de dispersão discutidos na seção 1. podem ser destacadas as distribuições. A distribuição Binomial. quando algumas delas são jogadas para cima um certo número de vezes. Dentre as poucas funções consideráveis. determinação do número de automóveis que passam por um determinado ponto de uma avenida por unidade de tempo em diferentes momentos do dia. Por exemplo. determinação do número de moedas que dão cara ou coroa. 8 .4. associada a uma determinada população é. a partir do conhecimento de suas propriedades.3.A função de distribuição teórica tem a vantagem de poder ser tratada analiticamente. é utilizada em situações em que os eventos são independentes e que cada um deles não influencia os outros. uma amostra finita. válidos para sistemas genéricos de uma única população e que. Na verdade. 1. como se faz no Capítulo 2. Introdução A distribuição normal ou Gaussiana.45% 99. positivos ou negativos. 2. Note na Fig. x x x (a) y ymáx ymáx e 1 2 z -4 -2 0 2 4 68. 2.1. também para a população.1.A DISTRIBUIÇÃO NORMAL OU GAUSSIANA 2. 95.1 mostra a percentagem da área total abaixo da curva normal para diferentes valores de z .1 (b) mostrase algumas frações percentuais da área total abaixo da curva definida pela distribuição normal. 9 .Morfologia da distribuição normal ou Gaussiana. Vale a pena relatar que. quando a distribuição normal foi criada em 1773. y é a freqüência relativa da variável de medida x . é: 1 y e 2 onde.CAPÍTULO 2 . a partir da origem ( z 0 ). A expressão geral para essa distribuição [01]. A Fig. O desvio padrão dá uma estimativa das flutuações ou erros aleatórios de x em torno do valor médio . * O valor de tem uma correlação direta com a precisão do instrumento utilizado no processo de medida. uma vez que estes se referem a um número finito de dados analisados (amostra). 2. mostra as formas da distribuição normal como função das variáveis x e z respectivamente. é uma representação matemática utilizada para sistemas genéricos de uma única população. Como e se referem a um número infinito de dados (população). z x x 2 2 2 2 z 2 1 e 2 ymáx e z 2 2 (2. 2. 2.1) y . seus valores não são necessariamente. ymáx 1 2 .1 (a). Na Fig.73% (b) Fig. que a função de distribuição normal determina valores únicos para os parâmetros e . os mesmos ymáx ymáx e 1 2 que x e x . embora estes não sejam suficientes para determinar a morfologia dessa função. ela era conhecida como a lei dos erros por causa da sua utilização na representação de erros em observações astronômicas e de outras ciências naturais.27% A Tab.1. é o valor médio de x para a população e é o desvio padrão de x . e o desvio padrão x * x* .3 e 2. z a partir da A utilização da Tab.5 3.72% 49.32% 49.38% 92. Nesse caso. a fração total no intervalo entre z 1.Percentagem da área total abaixo da curva normal para diferentes valores z ou origem z 0 . x1 5.2. x* não é a melhor estimativa para . e desvio padrão 10 unid.00% 19. o valor médio é x 5.5 . Assim.98% Tab.5 10 10 175 150 25 2.0 2. respectivamente. obtém-se primeiro. no entanto. a análise das propriedades de uma população requer estimativas de e . dados nas eqs. z1 x e z2 135 150 15 1. 92.A dispersão e a distribuição normal Como mencionado anteriormente.5 1. entre z 1.0 5.0 unid. pode ser verificada quando se utiliza uma amostra composta apenas por uma única medida.5 é 43.38% 49. por exemplo. é: x1 x 1 2 5. 2. x é a melhor estimativa para . 2.5 e z 2. e x2 175 unid.15% 34.5 0.13% 43.2) n 1 n é denominada de fator de correção de Bessel que pode ser obtida comparando valores n 1 observados xi com o valor médio para a população [02].0 0.5 e z 0 . entre z 0 e z 2.6. Uma justificativa da representatividade da correção de Bessel para a população.38% dessa mesma área.0 1 2 0 10 .1.0 unid. tem-se uma fração percentual da área total abaixo da curva normal de 43.z Fração Percentual de Área 0.32% e.0 3. 2. Para se determinar a proporção de observações entre x1 135 unid. . é: n x* A quantidade x n x* n 1 i 1 i x 2 (2.5 10 10 De acordo com a Tab.5 2. .1 pode ser ilustrado com um exemplo de uma população normal de média 150 unid.32% 47. a melhor estimativa de .1. Em outras palavras. e 175 unid. 2. 2. isto é. tem-se uma fração de 49. . . Na verdade.70% da área da distribuição normal cai dentro do intervalo entre x 135 unid. É razoável assumir que as melhores estimativas para esses parâmetros são: valor médio x e desvio médio x* .70% . De fato.0 1. os valores correspondentes da variável z .86% 49. . Amostra 1 Uma escolha de x ou x para análise da dispersão é indiferente para valores grandes de n . conhecida aqui como população pai. O erro padrão x de uma distribuição de amostragens pode ser utilizado para se encontrar o número de observações necessárias para gerar uma média com determinado grau de confiança. uma vez que. 2... Isso é correto para a população pois. denominada de amostra estatística.. x2 .. x x Fig. a distribuição de amostragens pode ser construída a partir dos valores médios x1 . Isso é correto para a amostra. de acordo * com a eq.. o valor médio x para a amostra é diferente do valor médio para a população. obtidos de um conjunto finito de amostras com n observações cada uma. (2. Sabe-se que. entretanto incorreto para a população. é obtida em termos do (2. As flutuações das medidas em torno do valor médio para a população. matematicamente. tal flutuação.2). x3 .. por: x n x . Por outro lado. têm melhor representatividade quando se utiliza o conceito de distribuição de amostragens ou média de amostras. mas sim reflete à presença das flutuações estatísticas inerentes a uma amostra com o número limitado de dados. 2. x * x* * Amostra 2 para esses casos. isso não se refere a um erro aleatório.2.Ilustração da construção de uma distribuição de amostragens Essas médias.2. o desvio é indeterminado.3) O conceito de distribuição de amostragens é correto para grandes ou pequenas amostras. para qualquer procedimento de medida para uma determinada entidade.. Na verdade. x . retiradas da população. desde que a população pai seja do tipo Gaussiana. População Pai 1 0 x x* 1 1 0 * isto é.. devem ter uma flutuação em torno de uma média De acordo com a teoria estatística. Amostra 3 Distribuição das amostragens Como ilustra a Fig..isto é. isso quer dizer que não se tem nenhuma informação sobre o desvio da população quando se tem uma amostra de apenas um único dado. conhecida como erro padrão desvio associado à população. o desvio é nulo. 11 . inclua a média da população. Deve-se reconhecer que o intervalo de confiança está diretamente associado à precisão de um instrumento de medida. 2. Na seção anterior.Comportamento do erro padrão x como função do tamanho n de cada amostra.4. como ilustra a Fig. 2. 2.3. x de uma distribuição de amostragens em Erro Padrão 6 4 2 0 0 10 20 30 40 n Fig.O gráfico da Fig. para uma determinada amostra estatística.4. tem um valor médio igual à média da população e um erro padrão igual a x n. No processo de execução de um grande número de medidas com um determinado instrumento. é comum optar pelo uso de instrumentos de maior precisão. associada a sua sensibilidade. são distribuídas normalmente e que. x x x Fig. pode ser estimado calculando-se a probabilidade de que. 2.3).Ilustração do conceito de intervalo de confiança. (2. Para alcançar esse objetivo.3. presente no intervalo de confiança x x . 2. viu-se que as médias x i de amostras.Intervalos de Confiança A credibilidade de um determinado processo de medida está vinculada a um denominado intervalo de confiança que pode ser estimado por técnicas padrões de estatística [01] . observações repetidas podem ocorrer com maior freqüência. necessariamente. uma relação entre o intervalo de confiança e a exatidão do processo de medida. os erros aleatórios serão menores do que a escala mais fina de leitura do instrumento de medida. Assim. Um intervalo de confiança. é denominado de limite de confiança. Nesse caso. 12 . No entanto.3 mostra o comportamento do erro padrão função do tamanho n das amostras de acordo com a eq. não existe. Nota-se que o erro padrão cai lentamente com o aumento de n . O parâmetro x . essa distribuição de amostragens. aumentar o valor de n não é uma forma apropriada de melhorar o grau de confiança de um resultado experimental. A repetição de uma medida é uma conseqüência da limitação da precisão do instrumento de medida. um certo intervalo x x sobre a média x da amostra. z 1.00 1.3.2. pelo menos. Nesse caso. para uma amostra contendo.00 68. tem-se: 5 1. níveis de confiança como são conhecidos. 345 6 unid. 2. 2.4) n onde z pode ser obtido de tabelas construídas a partir de forma padrão da distribuição normal para diferentes níveis de probabilidade ou. Para se obter o tamanho n da amostra necessário para que isso ocorra.27 31.65 90.27 2.96 para o nível de significância de 5% . Para se perceber o efeito do nível de confiança. como na Fig.00 5. A Tab. Tab. 2. o erro padrão da distribuição de amostragens é x 12 36 2 unid. Por exemplo. em torno da média x . Nível de Confiança 68. da eq. z Nível de Confiança (%) Nível de Significância(%) 3.27% 95. de cada lado em torno da média x . O que se procura.7 n 22 n Em outras palavras. (2.27% Grandeza G 345 2 unid.4). e 12 unid. 345 4 unid. 2. quando se utiliza um instrumento de precisão correspondente a 12 unid.4) pode ser utilizada para estimar o tamanho n necessário de uma amostra para gerar uma média x de credibilidade especificada. da referida amostra.73% de estar dentro do intervalo de confiança x 3 x x 3 x z n . (2.45 4.73% 4.3.2 que. Assim. (2.96 12 n 4.2 e a eq.Para uma medida particular. 2.00 10. Em geral.00 95. A eq. pode-se afirmar que a média para a população tem uma probabilidade de 99. e. é encontrar uma estimativa das magnitudes desses parâmetros a partir de informações extraídas de uma distribuição de amostragens. 22 unidades têm-se 95% de chance de que a média da população caia dentro de um intervalo de 5 unidades de cada um dos lados.73 0. 2.45% 99.30 99. de acordo com a Tab.00 99. e 12 unid. considere o exemplo de uma amostra que representa um conjunto de medidas. na verdade. o parâmetro x pode ser calculado. suponha que se deseja estabelecer um intervalo de confiança x 5 unid. x 345 unid.Valores típicos de z juntamente com os respectivos níveis de confiança e significância. ou significância.2 mostra alguns valores típicos de z juntamente com os respectivos níveis de confiança e significância. x 345 unid. não se sabe os valores dos parâmetros e . deve-se notar da Tab. para a diferença percentual entre 100% e o nível de confiança.55% 0.90 0.00 1. pode-se construir a Tab. por: (2.Níveis de confiança e significância para uma amostra com n 36 .55 1.10 3. 13 . Como a distribuição de amostragens tem uma morfologia Gaussiana.73 Tab. com nível de significância de 5% para a média da população. 2.4). . com as seguintes características: n 36 .1(b).73% Nível de Significância 31. Utiliza-se também o termo níveis de significância.96 95. . (3.2) t é dada [01].DISTRIBUIÇÃO ESTATÍSTICA DE STUDENT Quando se dispõe de uma amostra com um número pequeno de componentes ( n 10 ).CAPÍTULO 3 . por: 1 2 (3.1) n n 1 onde t representa um fator que corrige as distorções promovidas pelas amostras de poucas medidas. a distribuição de amostragens de fator estatístico t2 f t Y0 1 n 1 n 2 t2 Y0 1 (3. pode-se dizer que existe uma probabilidade de 90% para que a média da população associada à entidade caia dentro do intervalo 345 5. 3. nos extremos do intervalo x x como ilustra a Fig. 3. Em vez de * calcular o erro padrão da distribuição de amostragens das médias x das amostras por lo para estimar o intervalo de confiança por meio do parâmetro x z .1(a). ou distribuição t como também é chamada. Notase que a distribuição t de Student aproxima-se da distribuição normal.03 unid. Segundo essa figura. Student sugeriu que no seu lugar [01] n x t x t n * x i 1 i x 2 (3.71 15 5. a medida que aumenta.1(b) mostra o perfil da distribuição de Student. Substituindo essa equação na eq. assim: * x 1. A Fig. 14 . 26 Com esse exemplo. Se essas amostras são obtidas de uma população de distribuição normal. pelo menos.1). t 1. cujo valor médio é . tal condição fica satisfeita quando x x . adota-se: n e. O problema de pequenas amostras foi tratado. o fator t deve ser tal que caia. então. 3.3) onde Y0 é uma constante que tem uma dependência com n de modo que a área abaixo da curva f t t seja unitária. x 345 unid.1. e n 1 é denominado grau de liberdade da distribuição estatística. o desvio padrão x deixa de ser uma estimativa segura para o desvio padrão da população. isto é da função parametrizada por z .03 unid. obtém-se: t x x* n De acordo com Student. Para um nível de confiança de 90%.71 para n 1 25 . no início do século XX. utilizá- n . por um químico irlandês que assinava com o nome de “Student”. de acordo com a Tab. e x 15 unid. Seja o exemplo de medidas de uma certa entidade com as seguintes características: n 26 . para vários valores de . 79 2.524 Tab. A Tab.677 0.765 0.(a) Condição limiar para determinação do fator t e.03 3.67 1.584 0. 1 2 3 4 5 10 15 20 25 30 60 120 t0 . 3.617 0.31 2.1 mostra valores de t para diferentes valores de graus de liberdade e de níveis de confiança [01] .Distribuição t de Student para diferentes graus de liberdade .00 1. No exemplo anterior onde x* 15 unid. para que a média da população caia dentro de um intervalo x x .1).978 0.99 t0 .81 1.58 12.533 0. qual seria o número mínimo de dados n .35 2.1) pode ser utilizada também para estimar o tamanho n da amostra necessário para gerar uma média x com uma credibilidade especificada.536 0.526 0.530 0. Normal) 0.04 2.66 2.856 0.09 2.848 0.84 4.0 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 t (b) (a) Fig.866 0.941 0. .96 6.92 5. com um nível de confiança de 99% .2 0.72 1.75 1.741 0. A eq. Nesse caso.687 0.84 2.4 x f(t) 0.18 2.683 0.75 2.71 1.02 1.842 1. fornece x 12 t * n n 0. por exemplo.95 t0 .527 0. .40 63.57 2.98 1.854 0.66 1.000 0.90 t0 .5 (Dist.13 2.70 1. para x 12 unid.674 0.860 0.542 0.23 2.1 x 0.879 0.531 0.376 1.1.65 1.62 2.816 0.17 2. 3.727 0. (3.1.691 0.92 2.569 0. 3.71 4.920 0.50 t0 .06 2.0.78 2.684 0. (b) Distribuições t para vários valores de .727 0.66 9.8 n .13 2.845 0. x 15 15 .061 0.60 t0 .559 0. pode-se perguntar.679 0.30 3.700 0.60 4. a eq.95 2.3 x 5 1 0.(3. são necessárias pelo menos 14 medidas para que um instrumento de medida. 3.530 2.110 3. calculados por essa equação e obtidos diretamente da distribuição de Student.Valores de t tabelados para um nível de confiança de 99% e calculados para x 15 x 12 unid. 3.2 mostra valores de t para alguns valores de n .170 3.653 2. seja capaz de gerar um nível de confiança de 99% .010 2. como da Tab.771 2. para um nível de confiança de 99% . . 16 . * unid.884 2. e Em outras palavras.1. 3.A Tab. .993 Tab.980 2. n t tabelado para um nível de confiança de 99% t calculado 10 11 12 13 14 3.060 3.2. de precisão estimado de x 15 * unid. potências de ou 10 3 m 1 milímetro 1 mm . utilizam-se três grandezas fundamentais. ou ainda a de um intervalo de tempo com um cronômetro. Por motivos evidentes. unidades e símbolos no Sistema Internacional de medidas (SI). denominadas comprimentos. 4. 4.2. por exemplo. As medidas de grandezas físicas podem ser diretas ou indiretas. massa e tempo.MEDIDAS E ERROS 4. como por exemplo. força. Em Particular na mecânica. Na Tab. 4. 4.1. As unidades de outras grandezas.1. etc. Para grandezas muito grandes ou muito pequenas é comum utilizar prefixos múltiplos ou submúltiplos de 10 .Prefixos múltiplos e submúltiplos de potência de 10 17 . 6 10 W 1 megawatt 1 MW . esse sistema é freqüentemente denominado de sistema MKS . trabalho. Realizar medida significa fazer uma comparação entre uma quantidade e outra. Por exemplo. Alguns exemplos de grandezas derivadas estão listados também na Tab.Grandezas fundamentais e derivadas com suas dimensões. dimensões. são derivadas das três grandezas fundamentais.Grandezas Físicas e Padrões de Medida As grandezas físicas podem ser expressas em termos de um determinado número de unidades fundamentais.. um comprimento com uma régua graduada. Quando se diz. 4.2 estão listados os prefixos mais comuns utilizados para as grandezas físicas. A medida direta é o resultado da leitura de um instrumento de medida. Uma medida Múltiplo 18 10 1015 1012 109 106 103 102 101 101 102 103 106 109 1012 1015 1018 Prefíxo ato Símbolo a fento f pico p nano n micro mili m centi c deci d deca da hecto h kilo k mega M giga G tera T peta P exa E Tab. que um certo comprimento vale 100 m .CAPÍTULO 4 . grandezas Fundamentais Nome comprimento massa tempo grandezas Derivadas dimensão L M T unidade símbolo kg s kg s m m Velocidade L T Aceleração L T m s Força M L T 2 kg m s 2 Newton N Trabalho M L2 T 2 N m Joule J Potência M L T J s Watt W m s 2 2 3 m s 2 m s 2 Tab. aceleração. tais como velocidade.1. estão especificados na Tab. estarse dizendo que tal comprimento corresponde a cem vezes o comprimento da unidade padrão. unidades e símbolos utilizados no Sistema Internacional de medida (SI). Nesse caso. definida como unidade padrão.1 . Note que o erro deve afetar somente o algarismo duvidoso da medida. Como exemplos pode ser citados. visão e audição.9 cm .indireta é a que resulta da aplicação de uma equação matemática que relaciona a grandeza a ser medida com outras diretamente mensuráveis. como: sistemático.1 é de 4. 0 1 2 3 4 cm 5 6 7 8 9 10 Posição da medida Fig.1 cm e o valor da medida deve ser apresentado como 4..1 e que o resultado encontrado foi x 9. Como exemplo de erros sistemáticos.8 cm . porem o algarismo 8 é duvidoso. podem ser eliminados ou compensados. onde pequenas flutuações das condições ambientais (temperatura. Os Erros Sistemáticos são provocados por fontes associadas a instrumentação ou ao método de medida utilizado. Os algarismos menos significativos devem ser simplesmente desprezados ou no máximo utilizados para efetuar arredondamentos. Como o erro da medida encontra-se nos décimos de centímetros. os erros são classificados [03. 0 0 C.1 cm . pressão. tais como em relação aos próprios instrumentos de medida. O procedimento padrão é a utilização de algarismos que se tem certeza de estarem corretos. pode-se dizer que o comprimento assinalado na escala graduada em centímetros da Fig. Esses algarismos são denominados de algarismos significativos e a sua quantidade estará diretamente relacionada à precisão da medida. De acordo com sua natureza. etc) afetam os resultados experimentais. Podia-se ter lido também 4.5423 cm e x 0. não tem sentido apresenta-lo com 18 . mas que foi calibrada a 20 dilatação de sua escala resultará num erro sistemático em todas as medidas. Esses erros podem ser reduzidos por meio da repetição cuidadosa das medições. tais como. não é possível realizar uma medida exata. erros de cálculo. O erro estimado de uma medida deve conter somente o seu algarismo mais significativo. Os Erros acidentais ocorrem devido a causas diversas e imprevisíveis difíceis de serem eliminadas.7 cm ou 4.A Os Erros Grosseiros ocorrem devido a imperícia ou distração do operador. 4. O erro que se comete é de 0. etc. Em outras palavras.Classificação dos Erros Por mais criteriosa que seja uma medição e por mais preciso que seja o instrumento. grosseiros e acidentais. Esses erros fazem com que as medidas estejam sistematicamente acima ou abaixo do valor verdadeiro. uma escolha errada de escalas. 4. Por exemplo. umidade. pode-se medir a velocidade v de um carro por meio das medidas diretas da distância percorrida x e do intervalo de tempo t .1.3. Por exemplo. ou em fatores associados ao operador sujeitos as variações. 4. 4. Esses erros podem ter várias origens. existe sempre uma incerteza quando se compara uma medida de uma dada grandeza física com sua unidade.Medida de um comprimento utilizando-se uma escala graduada em centímetros. O algarismo 4 é correto. em princípio. por mais experiente que seja o operador e por mais preciso que seja o aparelho utilizado. Por exemplo. uma vez que v x t . admitindo-se geralmente o uso de apenas um algarismo duvidoso.Algarismos Significativos A medida de uma grandeza física é sempre aproximada. Esta limitação reflete-se no número de algarismos que se pode utilizar para representar uma medida. Pode-se dizer que uma medida terá exatidão quando os erros sistemáticos forem desprezíveis e uma medida terá precisão quando esse for o caso para os erros acidentais. 4.8 0. suponha que se faça um cálculo da média x e do erro x de medidas de um comprimento de uma peça com a escala da Fig. pode-se citar a utilização de uma régua graduada numa temperatura de 30 C .432 cm . 04].2. e. 4 cm . Faça o arredondamento numa única observação de um algarismo.32 10 todos têm 2 algarismos 3 4 0. porém há uma norma nacional (ABNT NBR 5891:1977) e uma internacional (ISO 31-0:1992.001 ). o algarismo 9 é exato. Por exemplo.4 . e 2.000531 0. 32 3. e.02 10 2 todos têm 1 algarismo significativo.3500 4.1 ).Zeros à direita de um algarismo significativo são também significativos. O arredondamento.30 cm são medidas diferentes. Para executar operações matemáticas com algarismos significativos. c) No caso do algarismo descartado ser igual a cinco. se após o cinco descartado existirem quaisquer outros algarismos diferentes de zero. a maneira correta de apresentar o erro seria simplesmente x 0. no entanto.4 cm . Evite olhar o último algarismo para arredondar o penúltimo.5 0. A primeira tem 3 algarismos significativos e a segunda. d) No caso do algarismo descartado ser igual a cinco. 1. pode-se dizer que 2 0.Zero situado entre algarismos significativos é também significativos. O arredondamento pode ser feito de diversas maneiras. 25. o último algarismo retido será acrescido de uma unidade somente se for impar (Exemplos: 4.3 cm como 0. Uma boa sugestão é que o arredondamento só se faz uma vez. a forma recomendada de apresentar a medida referida. tem 4 algarismos significativos. Nesse caso.0012 423. segue as seguintes regras: a) O último algarismo de um número deve sempre ser mantido caso o algarismo descartado seja inferior a cinco (Exemplo: 423. 3. deve-se primeiro transformar todas as parcelas para a mesma unidade e seguir as regras abaixo: 1. Por exemplo. b) O último algarismo de um número deve sempre ser acrescido de uma unidade caso o algarismo descartado seja superior a cinco (Exemplo: 245.2 10 0. 2 significativos. Similarmente.Zeros à esquerda do primeiro algarismo significativo diferente de zero não são algarismos significativos. Por exemplo. tanto 25. podem ser utilizados para fazer o devido arredondamento. em seguida o antepenúltimo e assim por diante até chegar onde se quer. Durante um processo de medida experimental.531 10 5.2 ). de acordo com essas normas. o último algarismo retido será acrescido de uma unidade (Exemplo: 2. consequentemente. Com esse procedimento.053 m tem 4 algarismos significativos.25 1. 25.253 m tem a mesma medida e tem 3 algarismos significativos.2 10 0. se após o cinco descartado só existirem zeros ou não existir outro algarismo. cm tem 3 Para que uma medida seja apresentada com um número de algarismos significativos apropriado. Anexo B). o algarismo 5 é duvidoso pois este é afetado pelo erro. de maior precisão.3 cm e 25. os algarismos 4.31 10 todos têm 3 algarismos significativos. o resultado deve ser apresentado somente com um algarismo duvidoso e o número de algarismos significativos vai depender do tamanho dos algarismos duvidosos de cada parcela da 19 .6 246 ).algarismos que se referem aos centésimos e milésimos de centímetros. é 9. resultante de um cálculo.0502 2. é importante ficar atento as seguintes regras associadas aos algarismos significativos: 1. No caso da média. muitas vezes é necessário se fazer um arredondamento do resultado.No caso de soma ou subtração. ou seja. Esses algarismos. não se deve fazer o arredondamento do arredondamento. 2 e 3 também são duvidosos.3 algarismos significativos e 2. 8xxxxx 109.421x 0.No caso de multiplicação e divisão.09 xxx 20. o resultado deve ser apresentado com um número de algarismos significativo igual ao da parcela que tiver o menor número de algarismos significativos. uma vez que. Outros exemplos interessantes de soma e subtração com algarismos significativos são os que se seguem: 1 4.3 cm 3.operação.1x 19 . um dos instrumentos tinha precisão apenas de centímetros. uma vez que isso não alteraria a precisão do instrumento com o qual ela foi efetuada.00 x 102 .9 xx 15.998 13. portanto.67 cm estaria incorreto do ponto de vista de algarismos significativos.00 x 0.6 7998 x 30 xxxx 23994 x 7 xxxxx 47988 x 3 xxxxx 4. como se pode notar com os exemplos que se seguem: 8 .421xx 2. utilizando x após o último algarismo significativo. Por exemplo. é um artifício para representar algarismos desconhecidos.3 cm com 3. isso relataria a utilização de instrumentos de precisão de milímetros quando. deve ser executada como segue: 1 4.041x 0.0498 x 98. Essas operações podem ser efetuadas utilizando-se o mesmo artifício adotado na soma e subtração. A adição de x com 7 será um algarismo desconhecido que poderá ser maior do que 10 .37 cm 7. xxxx 7.3 xx cm 3.37 cm .1x xxxxx 8348 x 25044 x 25 . realizadas com uma escala graduada em centímetros e outra em milímetro.37 x cm 7 . Deve-se ficar claro que uma operação matemática não pode alterar a precisão de uma medida.7 xx cm O procedimento adotado na operação acima. a adição entre as medidas 4. e a adição de um algarismo conhecido com um desconhecido dará um algarismo desconhecido. Um resultado 4.4 Propagação de Erros 20 . haverá a possibilidade de um “vai um” e o segundo algarismo do resultado deverá ser acrescido de uma unidade e será duvidoso.0003 x 15 . na verdade.348 x 3. Assim. respectivamente. n V x . por: Vi V xi . que: V1 V x1 .3) Em outras palavras. extraindo-se a raiz quadrada. isto é. Vi V xi .. yi i 1 n ou. da eq.. y 0 n V V x. Suponha que uma quantidade V seja calculada como função de outras quantidades x .1). O desvio padrão V de V pode ser obtido a partir da eq. dividindo o resultado por n n 1 e. uma vez que. então.y (4.2). o valor médio V é o valor de V calculado utilizando-se os valores médios de x e y .4) onde 21 . yi . y . Como V V xi yi x y n V i i 1 (4.2) 0 . cada valor V xi .. como: Vi onde x i xi x .y i 1 n V nV x . (4. y .. Nesses casos.(4. obtém-se: i 1 n V n Vi i 1 n V xi . de forma que V V x . y seja V x . n Vi n n 1 2 V xi n 2 2 yi 2 V i 1 V i 1 V 2 x n n 1 y n n 1 x 2 n xi yi V i 0 y n n 1 ou ainda 2 V 2 2 V V V V y 2 xy x y x x x y y 2 (4. onde x e y são. .. é importante conhecer como o erro nas medidas diretas afeta a grandeza final [03. 04]. então o valor médio de V será nulo. y . Suponha que x .. . Vn V xn .. de modo. V2 V x2 .Normalmente devem-se utilizar valores medidos e afetados por erros para se fazer cálculos e encontrar os valores de outras grandezas indiretas. y1 . y (4.1) Esse desvio de Vi pode ser determinado por meio do cálculo diferencial. yn Admitindo que o valor mais provável de V x . n V Vi n . em seguida.. yi yi y . y . os valores médios de x e y . y tenham sido determinados n vezes. y2 . elevando-a ao quadrado. yi V x . yi difere de V x . Operação Adição Subtração Multiplicação Divisão Relação x x y y x y x y x x y y x y x y x x y y x y x y y x x x x 1 x y y x y y y y 2 Tab.. pode-se calcular o valor de V imediatamente em termos de x e y . .3 [03] . x z y 2 2 (4. A generalização da eq. a eq..3.4). o erro adotado deve ser o erro do próprio aparelho. (4.. . y. Nessas relações todos os termos posteriores ao sinal devem ser tomados em módulo. entretanto. quando se sabe as quantidades x x e y y .. quando uma correlação é conhecida. xy n 1 xi yi n n 1 x y i 1 (4. ou suspeitada.7) Do ponto de vista prático. y . 4.6) à funções de mais de duas variáveis é imediata..6) Os erros independentes são mais freqüentes do que os correlacionados. na determinação da velocidade de um corpo por meio de medidas de tempos e distâncias. z .5) anula-se resultando em xy 0 .. Se a quantidade V for calculada como função de quantidades x . (4. cujo valor depende do tipo de erro que se comete. então: 2 V 2 2 2 V V V y x z . . que será o menor erro possível cometido na medida. Quando o erro aleatório calculado for nulo. torna-se: 2 V 2 2 V V y x x y 2 (4. o somatório presente na eq.. necessariamente.. Quando os desvios em x e em y são independentes. por exemplo.5) é denominado de coeficiente de correlação [04]. de forma que V V x .(4. z . (4.Operações práticas para os casos em que a quantidade V V x . utilizando as relações mostradas na Tab. uma vez que elas foram feitas com instrumentos diferentes.5). para os casos em que a quantidade V V x . Nesses casos. 4.... Isso pode ocorrer. y .. 22 . Se a medida da distância for menor que a verdadeira. que a medida do tempo também o seja. y. isso não implica. deve-se calcular xy utilizando-se a eq. 2.5 . a ou. os quais estão em correspondência com valores ordenados de uma grandeza. O valor de 5. 23 . 0.2 10 m cm unid.3.1.1 mostra o exemplo de uma escala linear.=2 cm . 1 cm na escala corresponde a a 10 unid. na qual se estabelece uma correspondência entre a unidade de comprimento na escala e o valor da grandeza analisada.Degrau g x : é a variação da grandeza em um passo.1. obtém-se M a 10 n cm unid.1. marcada por traços. A Fig.2) Os fatores de escala menores que 1 foram multiplicados por 10 que. m a 10 unid. .Escala Linear A escala linear possui o passo e o degrau constantes. 0. etc. por sua vez. Para se entender como se constrói corretamente um gráfico.5 .CONSTRUÇÃO DE ESCALAS E GRÁFICOS 5. em centímetro. Os resultados expostos num gráfico podem ser facilmente analisados e.1) M tem sempre um mesmo valor constante. onde m é um inteiro e a 1 . 1 . com a 1 a 1. 0. a 10 n .4 . M=2 cm Joule Na escolha do módulo é importante levar em conta. ou 2 a (5. escrevendo 1 a e m n . milímetro. E. 5. Por exemplo. E. 5. independentemente da escolha da distância L entre traços e correspondente variação g x da grandeza na escala. m M 1 cm 1 10 m cm unid.1. o comprimento disponível para o eixo.Introdução Os resultados de medidas podem ser apresentados com simplicidade e clareza por meio de um gráfico. Degrau=Const . da grandeza analisada. a variação da grandeza analisada e o interesse ou não de coincidir o “ zero” da grandeza com a origem da escala. de acordo com a eq. 2 . Assim. A curva aproximada que se obtém cujo traçado é orientado pelos pontos experimentais marcados no papel gráfico. 2. muitas vezes. foram absorvidas pela n potência de dez 10 .CAPÍTULO 5 . ou. ou 5 de acordo as normas de desenhos técnicos (NB-8) [04]. formular as seguintes definições e convenções [04]: E. permitem descobrir a expressão algébrica que relaciona as grandezas correspondentes.=1 Joule .Módulo M : é uma constante de proporção que existe entre o passo definida por: M L gx (5.1.1.Passo L : é a distância. é necessário antes.Escala: é qualquer trecho de curva. é uma imagem intuitiva da relação funcional investigada.1). 4. em geral uma reta. (5. entre dois traços numerados consecutivos numa escala. onde Passo=Const .1.4. E. 3) 24 . degrau = 1 J e Módulo = 2 cm / J . isto é. 5.2 mostra como se constrói uma escala n n n 1 logarítmica na base 10 . um ponto x 10 . consecutivas ( Fig.2. onde n é um número inteiro. Nessa escala. Nessa figura. 5.Escala Logarítmica A construção de uma escala logarítmica está relacionada à divisão de certo seguimento de reta em partes proporcionais aos valores dos logaritmos dos números numa determinada base a .Segmento de reta orientado utilizado para construir uma escala logarítmica na base 10.1. Na escala logarítmica a razão entre essas distâncias e as diferenças dos logarítmos dos pontos correspondentes é invariante.2 cm 0 2 1 3 Energia (J) Fig. A Fig. Se a base utilizada nessa escala for a base 10 . Lx é a distância do ponto x 10 n em relação à referência 10 n e L10 é a distância entre 10 n e 10 n 1 da escala logarítmica.2. 5. adota-se a década logarítmica como sendo a variação entre potências de 10 10 n a 10 n 1 ). é marcado numa década entre 10 e 10 . O papel milimetrado é o tipo de escala mais freqüentemente utilizada para representar a relação funcional entre duas grandezas. L10 Lx n log10 log10 log x 10 n log10 n n 1 L10 Lx n 1 10 log x log10 n log10 n log n 10 L10 Lx log10 log x ou log x Lx L10 (5.Exemplo de escala linear de passo = 2 cm . 5. Nesse tipo de escala pode-se utilizar 1 milímetro como passo mínimo. Aspectos gerais dos papeis loglog.A Eq.4. e na segunda os valores entre 1 e 10 .1 .1 a 10 . log a x Lx La (5. mostrados nas Figs. respectivamente.3 e 5. Similarmente. e assim por diante. Uma ou mais décadas da escala logarítmica podem ser utilizadas para representar pontos experimentais associados às grandezas analisadas. Alguns papeis logarítmicos comerciais apresentam suas décadas igualmente numeradas e. então o segundo traço vale 0.5.3 permite determinar o logaritmo de qualquer número x na base 10 a partir da escala construída.3.ou mesmo.3.4) É importante mencionar que a origem de uma escala logarítmica não precisa iniciar em 10 1 mas deve iniciar numa potência de 10 conveniente.. numa base natural e 2. se as grandezas tiverem variações de 0. respectivamente: ln x Lx Le .. 25 .781. 5. 5 . são construídos a partir da escala logarítmica e são utilizados para linearização de funções polinomiais e exponenciais.. ou semilog. nesse caso. é o experimentador que deve definir as faixas de potência de 10 que melhor lhe convém. Fig. na primeira década coloca-se os valores entre 0. como não existe logaritmo de números negativos ou nulos. 0 5. numa base a qualquer tem-se. ou 10 partes. na segunda década o primero traço vale 1 . esses não podem ser utilizados para construir uma escala logarítmica. Como na primeira década o primero traço vale 0.2 . Além disso. ou dilog e monolog.1 e 1 . Cada década apresenta 10 subdivisões. então o segundo traço vale 2 .5. Por exemplo. . Todas as décadas têm o mesmo comprimento e mesmas subdivisões. que podem também estar subdivididas em 2 .Papeis monolog e loglog Os papeis loglog. duas grandezas estão relacionadas entre si o gráfico dá uma idéia clara de como a variação de uma das quantidades afeta a outra. 0 mm 0. indicados na figura.48 . Portanto. deve-se notar que qualquer década do eixo logarítmico tem comprimento L10 30 mm .0 mm log 0. possui a escala vertical dividida de forma logarítmica. obtém-se: log 2 L2 9. como existe uma mesma correspondência entre logaritmos e comprimentos. enquanto que a escala horizontal está dividido linearmente.Gráficos 5. um gráfico bem feito pode ser a melhor forma de apresentar os dados 26 .Aspectos gerais dos papeis monolog. em todos os casos.5. 5. análoga à do papel milimetrado.4. para calcular . os mesmos resultados acima.4.5. mas. Para isso. O papel monolog.3 possui as escalas vertical e horizontal divididas de forma logarítmica. os logaritmos dos números 2 e 0. Sabendo disso e medindo os comprimentos L2 e L1. em um fenômeno físico. diretamente sobre as escalas loglog ou monolog.5. é possível colocar os valores das variáveis dependentes e independentes da função não linear. 48 102 log1.4. por exemplo. mostrado na Fig. Pode-se utilizar as Eq.4.5. Assim. encontram-se.30 L10 30. por outro lado.48 L10 2 5 mm 2 1.1.3 e o papel monolog da Fig.83 30.0 mm Os papeis logarítmicos podem apresentar diferentes tamanhos. mostrado na Fig. sem a necessidade de efetuar contas. 5.Introdução Um gráfico é uma curva que mostra a relação entre duas variáveis medidas.0148 nas bases 10 ou qualquer outro que se queira.Fig. 0148 log 1.4. O papel loglog. Quando. 48 2 L1. funções polinomiais.Escolher escalas tais que o gráfico cubra. No eixo horizontal (abscissa) é lançada a variável independente. Podemos dizer que um gráfico é um instrumento inventado para enxergar coisas que os nossos olhos às vezes não podem alcançar. A Fig. . correspondentes aos pontos experimentais. que relaciona as grandezas medidas.2. É comum buscar uma função que descreva apropriadamente a dependência entre duas grandezas medidas no laboratório. Essas barras fornecem uma estimativa dos erros aleatórios e de aparelho. A escala deve ser simples e sugere-se adotar valores múltiplos ou submúltiplos de números inteiros. os pontos serão indevidamente espalhados e torna-se difícil opinar sobre a forma da curva.Escrever nos eixos coordenados as grandezas representadas. cujo comportamento é caracterizado por uma função linear. 5. para cada grandeza envolvida na experiência. são denominadas de barras de erro.A escala deve conter a informação do número de algarismos significativos das medidas e devem ser escolhidas tais que facilitem tanto a construção quanto a leitura dos gráficos. associados a cada ponto experimental. As pequenas barras. a variável cujos valores são escolhidos pelo experimentador. raiz quadrada.Escolher escalas tais que a precisão dos pontos sobre o gráfico seja aproximadamente igual à precisão dos pontos que representam os dados experimentais. resta traçar a curva. sobre os eixos coordenados. .experimentais.Nunca se deve assinalar os dados. aquela obtida em função da primeira.Construção de gráficos Há algumas regras básicas que devem ser seguidas na construção de gráficos: Colocar um título. com determinado número n de medidas. obtendo amostras estatísticas. é possível que a curva não passe por nenhum ponto do gráfico. não é necessário que a curva tenha início no primeiro e termine no último ponto experimental.5. ou seja. . Os erros aleatórios de cada ponto experimental são estimados. resultante do processo de medida de cada uma das grandezas.5 mostra um exemplo de construção de um bom gráfico.A escala adotada num eixo não necessita ser igual a do outro. isto é. etc. com suas respectivas unidades. 27 . . Quando todos os pontos experimentais já estiverem marcados no gráfico. Sendo assim. senos. Ao realizarmos uma medida sugere-se colocar num gráfico todos os pontos experimentais e traçar curvas que se ajustem o mais aproximadamente possível a esses pontos. Esta não precisa passar sobre todos os pontos. horizontal e vertical. marcados sobre cada ponto experimental. . Podemse adotar os resultados discutidos no Apêndice D para essas avaliações de erro. 80% da folha de papel disponível para a elaboração do mesmo. De fato.4. No eixo vertical (ordenada) é lançada a variável dependente. . A coordenada de cada ponto experimental será obtida calculando-se os valores médios de cada grandeza envolvida na experiência. aproximadamente. Algumas das curvas mais comuns são: linha reta. A forma dessas curvas pode auxiliar o experimentador a verificar a existência de leis físicas ou levá-lo a sugerir outras leis não previamente conhecidas. função exponencial. Se por exemplo o gráfico é feito muito mais precisamente do que o justificado pela precisão dos dados. especificando o fenômeno físico em estudo. cossenos. A Fig.5 mostra um exemplo de dados experimentais cuja dependência é caracterizada por uma reta. y desses b g pontos distribuídos sobre o gráfico.Fig. Na seqüência descrevem-se dois métodos que permitem determinar estes coeficientes a partir dos dados experimentais.1. O método se baseia numa estimativa dos parâmetros de uma reta que melhor se ajusta sobre aos n pontos experimentais. O coeficiente angular corresponde à inclinação da reta.4. como indicado na Fig. 5. e sua utilização requer uma boa dose de bom senso.Relações lineares Relações lineares são aquelas nas quais as grandezas envolvidas estão relacionadas por uma dependência do tipo: y ax b (5. enquanto que o coeficiente linear b é obtido pela interseção da reta com o eixo y .Apresentação geral de um bom gráfico. Os pontos quadrados representam os dados experimentais e sua dispersão é devida aos erros cometidos durante a experiência.Método Gráfico Esse método é apropriado quando se tem um número razoável de pontos experimentais n 10 . a partir do centro de gravidade x .5.5.5.5.3. 5. 5. y x . É importante mencionar que estes não são os únicos métodos encontrados na literatura. sendo apenas os mais comuns.4. y 1 n yi n i 1 (5. ou seja.5) onde a é o coeficiente angular e b é o coeficiente linear. onde x 1 n xi n i 1 . A linha reta contínua representa a curva que melhor descreve a dependência linear da grandeza x com a grandeza y .6) 28 .3. deve-se levar em conta os pesos relativo de cada ponto. aproximadamente. Gira-se a régua em até que. 84% dos pontos fiquem acima da régua no terceiro quadrante e a mesma quantidade abaixo no segundo quadrante. o que é consistente com o conceito de erro padrão. b 1 2 n bmáx bmin Caso os pontos experimentais tenham diferentes ponderações de erros. são obtidos por: a 1 amáx amin 2 . aproximadamente. determinando o coeficiente linear bmin . y gira-se a régua até que. metade dos pontos experimentais está no terceiro quadrante e metade no segundo. Os coeficientes linear e angular da reta média. Fig. bem como seus desvios padrões. determinando o coeficiente linear bm áx . coloca-se a ponta de um lápis sobre o ponto torno do ponto x. Com essas considerações. a reta que melhor se ajusta sobre os pontos experimentais. y e apóia-se ai uma régua transparente. é a reta média que fica na região intermediária entre as retas de inclinação mínima e máxima. pode-se seguir o mesmo procedimento. 5. Nota-se que. 68% dos pontos experimentais.6. 29 . 5.6. Neste exemplo. y x .são os valores médios das variáveis x e y . Esses pesos são. na região delimitada pelas retas de inclinação máxima e mínima.6. 5.Determinação dos coeficientes a e b pelo método gráfico Mantendo o lápis. b 1 bmáx bmin 2 (5. aproximadamente. Para se estimar a reta que melhor se ajusta aos pontos experimentais. no ponto x . 84% dos pontos fiquem abaixo da régua no terceiro quadrante e a mesma quantidade acima no segundo quadrante. como indicado na Fig. A reta traçada nessas condições tem uma inclinação mínima amin com certo desvio padrão e o prolongamento dessa reta intercepta o eixo y . Uma reta horizontal e uma vertical que passa por este ponto no gráfico. A reta traçada nessas condições tem uma inclinação máxima amáx com certo desvio padrão e o prolongamento dessa reta intercepta o eixo y . porém. aproximadamente. tem-se. respectivamente. iguais às inversas das barras de erro de cada ponto.7) a 1 2 n amáx amin . definem quatro quadrantes como se vê no exemplo da Fig. aproximadamente. b Nesse caso. b y ax b yi axi b 0 i i n n b i 1 b i 1 ou ainda n n n yi xi a xi2 b xi 0 i 1 i 1 n onde usou-se o fato que b nb . b y ax b yi axi b xi 0 i i n a i 1 n i 1 a e 1 n 2 n 2 f a. b 0 . y g da amostragem com a eq.5.2. Esse método se baseia na minimização da função: 1 n 1 n 2 calculado 2 y y yi axi b i i n i 1 n i 1 f a. ou a b 1 n 2 n 2 f a.8) por n e. numerador e denominador. em seguida. fazendo algumas manipulações algébricas. n n i 1 i 1 yi a xi nb 0 e i 1 Resolvendo este sistema de equações para a e b . pois ao contrário do método gráfico.Método dos Mínimos Quadrados O ajuste de curvas pelo método dos mínimos quadrados é importante. da primeira eq. obtém-se: i 1 n a n n n xi yi xi yi i 1 i 1 n n x 2 i i 1 i 1 F I G x J H K n b e 2 n n n n i 1 i 1 i 1 xi2 yi xi yi xi n n x 2 i i i 1 i 1 F I G x J H K n i 1 2 (5. ambos. o que se quer é.4. os coeficientes a e i i b minimizem a diferença entre os valores yi medidos e os valores yicalculado xi calculados por essa equação [16][17] . é independente da avaliação do experimentador. (5. Em outras palavras. b f a.(5. obtém-se: n a xi yi i 1 n 1 n x i yi n i 1 i 1 1 x xi n i 1 i 1 n n 2 i 2 n n n xi yi x yi i 1 i 1 2 2 1 x xi xi n i 1 n i 1 i 1 n n 2 i n 2 n xi yi xyi i 1 i 1 2 2 1 n x x n i n xi n i 1 i 1 i 1 n n 2 2 i 30 .8) i i 1 Dividindo. encontrar valores a e b que satisfaçam as condições f a.3.5). tal que. procura-se ajustar os dados b x . em seguida. ambos.12) onde utilizou-se a expressão do coeficiente angular dada na eq. x x i 1 b S 2 1 n i x2 n x x i 1 (5.8). a variável dependente x . Entretanto. obtém-se: 2 n n n n x yi n xi yi xi n x yi n xi yi xi yi xi yi xi i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 b i 1 i 1 i 1 i 1 2 2 n n n n 2 2 n n xi xi n n xi xi i 1 i 1 i 1 i 1 n n n n n n n n n 2 2 i 2 i ou. O método dos mínimos quadrados pode ser aplicado desde que os valores de xi sejam medidos sem erros e que todos os valores de yi tenham a mesma distribuição (por exemplo. poderia significar uma séria limitação para a utilização do método. geralmente pode ser adotada como um dado de referência cujo erro é regulado por um instrumento de precisão e. na prática. As medidas das posições s de um corpo que se move uniformemente em função do 31 . (5. da segunda eq. Gaussiana). S2 1 n 2 yi axi b n 2 i 1 (5. Isso.11) 2 i onde.10) onde utilizou-se a expressão do coeficiente angular dada na eq. discutido no Capítulo 2. fazendo algumas manipulações algébricas. n n n n x y x y i i i i n 1 n i 1 i 1 i 1 1 x y ax b yi i 2 n n i 1 n n i 1 2 n xi xi i 1 i 1 (5. n a x x y i 1 n i i x x i 1 (5. é: a S n .8) por n e. (5.9) 2 i Dividindo. (5. a variável independente y como o parâmetro estatístico do processo de medida.8).n n n xi yi xyi i 1 n x 2 i i 1 i 1 n 1 2 xi xi nx 2 i 1 n i 1 n n xi yi xyi i 1 n x i 1 2 i i 1 n n 2 x xi x 2 i 1 i 1 n n i 1 i 1 xi yi xyi x n i 1 2 i 2 xi x x 2 ou. As dispersões dos coeficientes angular a e linear b podem ser estimadas a partir da definição de erro padrão. o resultado. Isso se faz de forma criteriosa na Referência [05] e. numerador e denominador. em princípio. com o mesmo desvio padrão . Aplicando a função logaritmo a ambos os lados da eq. s1 m t s s2 m t s s3 m t s s10 0.tempo t é um exemplo clássico dessa condição. Desde que os intervalos de tempo nas tabelas sejam gerados por um cronômetro de precisão e que cada uma dessas tabelas apresenta as variáveis estatísticas si com uma mesma distribuição. 00 s11 1. 5. 5. Relações não lineares do tipo 1 / x ou 1 / x podem ser facilmente confundidas num gráfico.04]. o método dos mínimos quadrados poderá fornecer uma boa estimativa da relação linear entre as grandezas s e t . 5. (5.4. 04] : y kx m (5. será visto o comportamento dessas funções. 00 s33 3. 00 s22 2.1. 00 Fig. Na seqüência.Exemplo de valores si das posições medidas em função de intervalos de tempo t 1.7. Esse procedimento.Funções Polinomiais Essas funções tem a seguinte forma geral [03. como se vê nos exemplos da Fig. 00 s23 3. A linearização de funções não lineares pode ser efetuada tanto com escalas lineares ou com escalas logarítmicas [03.13). 00 s31 1. 00 s32 2.14) 32 . freqüentemente depara-se com funções não lineares.4. Muitas vezes.13) onde k e m são constantes. 00 s21 1. é desejável lançar os dados de uma amostra num gráfico de tal forma que se obtenha uma dependência linear. os métodos utilizados para lineariza-las com uma simples escala linear e com as escalas especiais logarítmicas.Gráficos de Funções Não. Essas dificuldades desaparecem com as funções lineares. 00 s12 2. 00 s20 0. 00 s30 0.Lineares Quando se coleta uma amostra de medidas e se constrói um gráfico para representá-la. Grande parte dos fenômenos científicos investigados na natureza tem comportamento não linear do tipo polinomial ou exponencial. Assim.7. obtém-se: log y log k m log x ou Y B AX (5. essas funções são difíceis de serem identificadas com precisão ou. tem como base a técnica de mudança de variável. desconhecidas. até mesmo. Nesse caso particular. pois estas têm identificações confiáveis. denominado de linearização de gráficos. 00 s13 3.4. é possível gerar tabelas onde se disponha diferentes valores si das posições medidas em função de intervalos de tempo t predefinidos. 5.4. 00 s predefinidos. bem como. através da relação expoente m do polinômio diretamente de m A . . Y log y .5.(5. m e e 2.16).8 é a reta que melhor se ajusta aos pontos marcados no gráfico. 5. por exemplo. dada na eq. Fig. a partir dos pontos marcados no gráfico.781. Por exemplo..4.16) onde k .13). são resultantes do cálculo do logarítmo dos dados x e y de uma determinada experiência cujo comportamento y f x é do tipo polinomial.8. Como mostrado nessa mesma figura.Linearização de uma função polinomial na escala linear em um papel milimetrado.onde. B log k . Aplicando a função logaritmo a ambos os lados da eq. numa escala linear.8. 04] : y ke mx (5. como: A e Y log y2 log y1 X log x2 log x1 (5. Pode-se construir um gráfico da função..4. k 10 B e o 5. em papel milimetrado. os pontos marcados no gráfico da Fig. pode-se determinar a constante k . são constantes.5. podem ser obtidos diretamente da reta ajustada.Funções Exponenciais Essas funções tem a seguinte forma geral [03. A partir dos valores obtidos de A e B . A m e X log x . os valores dos coeficientes angular A e linear B . obtém-se: log y log k m log e x ou 33 .2. (5. e obter A e B diretamente a partir do gráfico. A reta indicada na Fig. utilizando o método dos mínimos quadrados ou método gráfico.15) B intersecção da reta com o eixo Y Os coeficientes A e B poderiam ser obtidos também. 4.3. obtida da análise das funções exponenciais.17). 5. Fig. Isso significa que quando se constrói um gráfico dos pares ordenados x . são ambas logarítmicas. como: A e Y log y2 log y1 x2 x1 X (5. tem-se como resultado uma reta. Deve-se concluir que o papel loglog é apropriado para linearizar funções do tipo polinomiais. a reta indicada na Fig. os valores dos coeficientes angular A e linear B .9. y diretamente num papel loglog.17) Y log y . X log x e Y log y .9 é a reta que melhor se ajusta aos pontos marcados no gráfico. os pontos marcados no gráfico da Fig. os pontos marcados no papel loglog da 34 . a partir dos pontos marcados no gráfico. dada na Eq. Por exemplo. por exemplo. numa escala linear como. em um papel milimetrado e obter os valores de A e B diretamente a partir do gráfico.Uso de papéis loglog para linearizar funções polinomiais Na eq. observa-se que as variáveis.5.17). os coeficientes A e B poderiam ser obtidos também. utilizando o método dos mínimos quadrados ou método gráfico. pode-se determinar a constante k . Do mesmo modo. (5.Linearização de uma função exponencial na escala linear em um papel milimetrado. A partir dos valores obtidos de A e B . Como mostrado nessa mesma figura. Por exemplo.4. k 10 B e o 5. Novamente.9. (5. por meio da relação expoente m do polinômio diretamente de m A log e .Y B AX onde.5. são resultantes do cálculo do logarítmo dos dados y de uma determinada experiência cujo comportamento y f x é do tipo exponencial. pode-se construir um gráfico da função. A m log e e X x . podem ser obtidos diretamente da reta ajustada. (5.18) B intersecção da reta com o eixo Y Como antes. B log k . 7 .7 0. o valor desta constante pode ser calculado escolhendo-se também um ponto arbitrário x1 . (5. 5.65 1. 1.0 x 3 . Portanto.15). Nesse caso. são resultantes dos dados x e y de uma determinada experiência cujo comportamento y f x acredita-se ser do tipo polinomial.19).1 y neste exemplo. y2 . y1 na reta ajustada. 5.10. obtém-se a função polinomial que relaciona as variáveis x e k 15 3. 5.10 é a reta que melhor se ajusta aos pontos marcados no gráfico.Fig. y1 1. o valor da constante k . Alternativamente. Esses métodos só se aplicam aos pontos lineares marcados sobre escalas também lineares. 15 e y1 kx1m . (5.2 . Deve-se mencionar aqui.2 log1.15). o qual depende explicitamente do coeficiente B .ou: y1 x1m (5. escolhidos arbitrariamente sobre a reta ajustada no exemplo da Fig.10. Assim. e usando a eq. Além disso.10. 15 na Eq. O valor do expoente m do polinômio é obtido diretamente de m A . o valor do coeficiente angular A pode ser obtido diretamente da reta ajustada escolhendo-se nela dois pontos arbitrários x1 . y1 1. o método dos mínimos quadrados ou método gráfico também não pode ser utilizado para calcular ambos os coeficientes A e B . y1 e x2 . na Eq. y2 5. obtém-se: m A log 450 log15 2.(5.é: y 3.23 Por outro lado.7 3 . obtém-se k Substituindo os pontos x1 . Como mostrado nessa mesma figura. que como a origem dos papéis com escalas logarítmicas não pode ser nula. 450 .5. deve ser obtido de outra forma.1 .70 0. o valor do coeficiente linear B não pode ser determinado diretamente do gráfico pela intersecção com o eixo vertical. Fig.7 . substituindo o ponto x1 .20 3.Linearização de uma função polinomial em papel loglog. 35 .0 log 5.19) x2 .1 . A reta indicada na Fig. 05 . Como antes.05 0. Isso significa que quando se constrói um gráfico dos pares ordenados x.y diretamente num papel monolog.4. y2 .11.Uso de papéis monolog para linearizar funções exponenciais Na eq.8 . escolhendo-se nela dois pontos arbitrários x1 . 1500 . y2 2.80 1. 35 e y1 ke mx1 . obtida da análise das funções polinomiais.41 2.20) x2 . obtém-se k Substituindo os pontos x1 . escolhidos arbitrariamente sobre a reta ajustada no exemplo da Fig. Deve-se concluir que o papel monolog é apropriado para linearizar funções do tipo exponenciais.176 1.5. y1 na reta ajustada. y1 0.10. a reta indicada na Fig. é uma variável logarítmica. são resultantes dos dados x e y de uma determinada experiência cujo comportamento y f x acredita-se ser do tipo exponencial. (5.544 1.14). (5.Linearização de uma função exponencial em papel monolog. os pontos marcados no papel monolog da Fig.18). O valor do expoente m da exponencial é obtido diretamente de m A log e . 5. 5. obtém-se: A log1500 log 35 3. (5. Por exemplo.4. na Eq. 5.10 é a reta que melhor se ajusta aos pontos marcados no gráfico e o valor do coeficiente angular A pode ser obtido diretamente da reta ajustada.4. e usando a eq. observa-se que X x é uma variável linear enquanto que Y log y .25 36 .18).5. y1 e x2 . Fig. Nesse caso.10. tem-se como resultado uma reta. Pelo mesmo motivo mencionado anteriormente. o valor da constante k pode ser calculado escolhendo-se um ponto arbitrário x1 . ou y1 e mx1 (5. São José dos Campos –SP. ITA. neste exemplo.43 35 o ponto x1 . será: m REFERÊNCIAS [01] Gordon M. Squires. o valor da constante m . y1 0. “ Alguns Aspectos da Física da Luz” . Stempniak. Assim.8 . Portanto. L. Saunders College Publishing . [05] G. é: y 1. Cambridge. Prentice – Hall. “ Roteiros – Laboratório de Física I” .41 A 3. 37 . Bell. inc. a função exponencial e 3 .80 .. 35 na Eq. Cambridge University Press. 3rd. Por outro lado. [04] Roberto A. Loyd. ICE. Englewood[ [02] David H. (2002). Escola de Inverno de 11 a 17 de julho de 1999. Secound Edition. “Principles of Experimentation and Measurement”. substituindo log e 0. UFJF.67 e . “Practical Physics” . 1985. De Física.1. J. V. [03] M. Dep. Bragg.8 .20). obtém-se: k 3 . (5. (1997).8 1.67 . “ Physics – Laboratory Manual” .8 x que relaciona as variáveis x e y neste exemplo. edition.
Report "Material de Teoria de Erros, Medidas e Gráficos"