1.4 Formulación de problemas lineales.Para formular un problema de programación lineal hay que tomar en cuenta los siguientes pasos: Objetivo: (Maximizar o minimizar) el problema Restricciones: dinero, materia prima; mano de obra; máquinas y equipo, tiempo, espacio, insumos, transportes. Que se puede maximizar en un problema de una compañía: Utilidades, producción, valor presente, medios publicitarios, etc. Que se puede minimizar en un problema: costos, desperdicios, tiempo, etc. Requerimiento: especificaciones, contenido, demanda, contratos con clientes, etc. Estructura de un problema de programación lineal Enfoque directo: 1. Variables de decisión y parámetros Las variables de decisión son incógnitas que deben ser determinadas a partir de la solución del modelo. Los parámetros representan los valores conocidos del sistema o bien que se pueden controlar. 2. Restricciones Las restricciones son relaciones entre las variables de decisión y magnitudes que dan sentido a la solución del problema y las acotan a valores factibles. Por ejemplo si una de las variables de decisión representa el número de empleados de un taller, es evidente que el valor de esa variable no puede ser negativo. 3. Función Objetivo La función objetivo es una relación matemática entre las variables de decisión, parámetros y una magnitud que representa el objetivo o producto del sistema. Por ejemplo si el objetivo del sistema es minimizar los costos de operación, la función objetivo debe expresar la relación entre el costo y las variables de decisión. La solución óptima se obtiene cuando el valor del costo sea mínimo para un conjunto de valores factibles de las variables. Es decir hay que determinar las variables X 1, X2,...,Xn que optimicen el valor de Z = f(X1, X2, ..., Xn) sujeto a restricciones de la forma g(X1, X2,....,Xn) b. Donde X1, X2,....,Xn son las variables de decisión, Z es la función objetivo y f es una función matemática. Función objetivo: Que es lo que se quiere lograr Variables de decisión: Que es lo que va a decidir 1 Restricciones: Que es lo que nos limita lograr el objetivo principal de la organización. Estructura matemática de un modelo de programación lineal Max o Min Z = C1X1 + C2X2 +....+ CnXn Sujeto a: a11X1 + a12X2+.....+ a1nXn (, =, ≥) b1 a21X1 + a22X2+.....+ a2nXn (, =, ≥) b2 am1X1 + am2X2+....+ amnXn (, =, ≥) bm Xj ≥ 0; j Forma simplificada de la estructura del modelo n Max o Min Z C j X j j 1 n Sujeto a: aij X j (, =, ≥) bi para i = 1,2,.....,m j 1 Xj ≥ 0; j Donde: XI,X2,….,Xn = Representa las variables de decisión a determinar del problema. CI,C2,….,Cn = Representa la contribución a la función objetivo por cada unidad de XI,X2,….,Xn aij = Son los coeficientes tecnológicos ( uso de recursos i por cada unidad de variable Xj). b1,b2,….,bm = Son los recursos o requerimientos del problema. 2 1.5 Formulación de problemas más comunes. Ejercicio 1.01 Un agricultor tiene 200 acres de tierra en los que puede plantar una combinación de las cosechas I y II. La cosecha I requiere de un día-hombre de trabajo y $10 de capital por cada acre plantado, mientras que la cosecha II requiere 4 días-hombre de trabajo y $20 de capital por cada acre plantado. La cosecha I produce $40 de entrada neta por acre y la II $60. el cultivador tiene $2200 de capital y $320 días-hombre disponibles cada año. ¿ Cuál es la estrategia óptima para su plantación de tal manera que se maximice la contribución al objetivo? Planteamiento del problema: Primeramente se deben definir que representan las variables de decisión. Sea: X1 = No de acres de tierra de la cosecha I. X2 = No de acres de tierra de la cosecha II. Función objetivo: Max. Z = 40X1 + 60X2 Sujeto a: X1 + X2 ≤ 200 Restricción de acres de tierra X1 + 4X2 ≤ 320 Restricción de días-hombre 10X1 + 20X2 ≤ 2200 Restricción de capital X1, X2 ≥ 0 Ejercicio 1.02 Un fabricante de botes de fibra de vidrio produce cuatro modelos diferentes que deben pasar por tres operaciones diferentes: moldeado, ensamble y acabado. La tabla dada contiene toda la información necesaria. Modelo Moldeado Ensamble Acabado Compuesto de Utilidad (h/unidad) (h/unidad) (h/unidad) moldeado ($/unidad) (gal./unidad) 1 3 5 10 200 160 2 2 3 8 200 124 3 4 6 12 280 212 4 3 4 3 220 170 Disponible 48 horas 96 horas 160 horas 4800 gal Los pronósticos de venta indican que en promedio, no deben producirse por semana más de 8 unidades del modelo 4. Excepto por esta restricción, la demanda será suficiente para absorber cualquier cantidad producida. El objetivo es maximizar la contribución a las utilidades. 3 Planteamiento del problema: Sea: X1 = No de botes de fibra de vidrio del modelo 1. X2 = No de botes de fibra de vidrio del modelo 2. X3 = No de botes de fibra de vidrio del modelo 3. X4 = No de botes de fibra de vidrio del modelo 4. Max. Z= 160X1 + 124X2 + 212X3 + 170X4 Restricción de: Sujeto a: 3X1 + 2X2 + 4X3 + 3X4 ≤ 48 Moldeado 5X1 + 3X2 + 6X3 + 4X4 ≤ 96 Ensamble 10X1 + 8X2 + 12X3 + 3X4 ≤ 160 Acabado 200X1 + 200X2 + 280X3 + 220X4 ≤ 4800 Compuesto X4 ≤ 8 X1, X2, X3, X4 ≥ 0 Ejercicio 1.03 Un inversionista tiene $10,000, con los cuales desea obtener la mayor ganancia posible. El planea invertir parte de su dinero en acciones, otra parte en bonos y el resto depositarlo en una cuenta de ahorros. El inversionista cree que puede ganar 8% en el dinero invertido en acciones y el 7% en el dinero invertido en bonos. En la cuenta de ahorro gana el 5%. Como las acciones representan una inversión de bastante riesgo, decide invertir en acciones no más de la mitad de lo que va invertir en bonos y no más de lo que va a depositar en ahorro. Además el inversionista ha decidido tener por lo menos $2000 en la cuenta de ahorros por cualquier emergencia que se pueda presentar. ¿Qué cantidad de dinero deberá invertir en acciones, que tanto en bonos y que tanto en cuenta de ahorros? Planteamiento del problema: Sea: X1 = Cantidad de dinero a invertir en acciones. X2 = Cantidad de dinero a invertir en bonos. X3 = Cantidad de dinero a invertir en ahorros. Max. Z= 0.08X1 + 0.07X2 + 0.05X3 Sujeto a: X1 + X2 + X3 = 10000 X1 ≤ 1/2X2 X1 ≤ X3 X3 ≥ 2000 X1, X2, X3 ≥ 0 4 Ejercicio 1.04 Una empresa tiene tres tipos de máquinas procesadoras, cada una de diferente velocidad y exactitud: la de tipo 1 puede procesar 25 pzas/hr, la de tipo 2; 20 pzas/hr y la de tipo 3; 10 pzas/hr. El funcionamiento de la de tipo 1 cuesta $2/hr; la de tipo 2 $1.75/hr y la tipo 3 1.5/hr. Cada dia (8 horas) se deben procesar por lo menos 4500 piezas y hay disponibles 10 máquinas de la de tipo 1, 12 máquinas de la de tipo 2 y 20 máquinas de la de tipo 3. ¿Cuántas máquinas de cada tipo debe utilizar para minimizar el costo total? Planteamiento del problema: Sea: X1 = No. de máquinas del tipo 1 a utilizar. X2 = No. de máquinas del tipo 2 a utilizar. X3 = No. de máquinas del tipo 3 a utilizar. Debido a que el rendimiento de las máquinas está dado en piezas por hora y se requiere procesar 4500 en un turno de 8 horas, el rendimiento deberá convertirse a piezas por turno. Min. Z= 16X1 + 14X2 + 12X3 Sujeto a: 200X1 + 160X2 + 80X3 ≥ 4500 X1 ≤ 10 X2 ≤ 12 X3 ≤ 20 X1, X2, X3 ≥ 0 Ejercicio 1.05 Una mujer quiere elaborar un programa semanal de ejercicio, el cual incluirá trote, ciclismo y natación. A fin de variar el ejercicio, ella planea dedicar al ciclismo por lo menos el mismo tiempo que le dedicará al trote y la natación combinados. Además quiere nadar al menos 2 horas por semana, ya que es la actividad que mas le gusta. Si en el trote consume 600 calorías por hora, en el ciclismo 300 calorías por hora y en la natación consume 300 calorías por hora y si desea quemar en total al menos 3000 calorías semanales debido al ejercicio. ¿Cuántas horas deberá dedicar a cada tipo de ejercicio si quiere alcanzar su objetivo en el menor tiempo posible? Planteamiento del problema: Sea: X1 = No. de horas a dedicar al trote a la semana. X2 = No. de horas a dedicar al ciclismo a la semana. X3 = No. de horas a dedicar a la natación a la semana. Min. Z= X1 + X2 + X3 Sujeto a: 600X1 + 300X2 + 300X3 ≥ 3000 X2 ≥ X1 + X3 X3 ≥ 2 X1, X2, X3 ≥ 0 5 Ejercicio 1.06 Un avión de carga debe realizar su viaje hasta que todas sus bodegas hayan sido cargadas. El avión tienes 3 bodegas: inferior, media y superior. Debido a limitaciones en el espacio de las bodegas, el avión no puede llevar más de 100 toneladas de carga en cada viaje. No deben llevarse más de 40 toneladas de carga en la bodega inferior. Con fines de equilibrio la bodega intermedia debe llevar un tercio de la carga de la bodega inferior y la bodega superior debe llevar dos quintas partes de la carga de la bodega inferior. Sin embargo no debe llevarse más de 60 toneladas de carga en las bodegas media y superior combinadas. Las utilidades por el transporte son de $8, $10 y $12 por tonelada de carga en la bodega inferior, intermedia y superior respectivamente. Plantear el problema de P.L. para determinar la forma de cargar el avión que proporcione las mayores utilidades. Planteamiento del problema: Sea: X1 = No. de toneladas a transportar en la bodega inferior. X2 = No. de toneladas a transportar en la bodega media. X3 = No. de toneladas a transportar en la bodega superior. Max. Z= 8X1 + 10X2 + 12X3 Sujeto a: X1 + X2 + X3 ≤ 100 X1 ≤ 40 X2 = 1/3X1 X3 = 2/5X1 X2 + X3 ≤ 60 X1, X2, X3 ≥ 0 Ejercicio 1.07 Un granjero desea determinar cual es la mejor selección de animales para su granja con el objeto de maximizar sus utilidades por la venta de los animales al final del verano. Puede elegir entre comprar borregos, reses o cabras. Cada borrego requiere un acre de pastura y $15 de alimentación. Un borrego cuesta $25 y puede venderse en $60. Para las reses esos valores son 4 acres, $30, $40 y $100; y para las cabras los valores son 0.5 acres, $5, $10 y $20. La granja tiene 300 acres y el granjero dispone de $2500 para invertirlos en la compra y alimentación del rebaño. Por último el granjero no desea que más del 40% de sus animales sean cabras y que los borregos sean menos del 30%. Plantear este problema en forma de P.L. para maximizar las utilidades. Sea: X1 = No. de borregos a criar. X2 = No. de reses a criar. X3 = No. de cabras a criar. Precio de Costo Animal Utilidad venta Alimentación Compra Borrego $60 $15 $25 $20 Res $100 $30 $40 $30 Cabra $20 $5 $10 $5 6 Planteamiento del problema: Max. Z= 20X1 + 30X2 + 5X3 Sujeto a: X1 + 4X2 + 1/2X3 ≤ 300 40X1 + 70X2 + 15X3 ≤ 2500 X3 ≤ 0.4(X1+X2+X3) X1 ≥ 0.3(X1+X2+X3) X1, X2, X3 ≥ 0 Ejercicio 1.08 Una compañía que produce frutas mezcladas enlatadas tiene en almacén 10000 kilos de peras. 12000 kilos de durazno y 8000 kilos de cerezas. La compañía produce 3 tipos de mezclas de frutas. Que vende en latas de un kg. La primera combinación contiene la mitad de peras y la mitad de duraznos y se vende en $3. La segunda combinación tiene cantidades iguales de cada fruta y se vende en $5. La tercera combinación tiene la mitad de duraznos y la mitad de cerezas y se vende en $7. ¿Cuantas latas de cada combinación deberá producirse con objeto de maximizar la ganancia? Sea: X1 = No. de latas de la combinación 1 a producir. X2 = No. de latas de la combinación 2 a producir. X3 = No. de latas de la combinación 3 a producir. Max. Z= 3X1 + 5X2 + 7X3 Sujeto a: 1/2X1 + 1/3X2 ≤ 10000 kg. de peras 1/2X1 + 1/3X2 + 1/2X3 ≤ 12000 kg. de duraznos + 1/3X2 + 1/2X3 ≤ 8000 kg. de cerezas X1, X2, X3 ≥ 0 Ejercicio 1.09 Un granjero cría cerdo para venta y desea determinar qué cantidad de los distintos tipos de alimentos debe dar a cada cerdo para cumplir ciertos requisitos nutricionales a un costo mínimo. En la siguiente tabla se dan las unidades de cada clase de ingredientes nutritivos básicos contenidos en un kilogramo de cada tipo de alimento, junto con los requisitos nutricionales diarios y los costos de los alimentos. Ingredientes Kilogramo de Kilogramo de Kilogramo de Requerimiento Nutricionales Maíz Grasa Alfalfa mínima diaria. Carbohidratos 90 20 40 200 Proteínas 30 80 60 180 Vitaminas 10 20 60 150 Costos 42 36 30 7 Formule un modelo de programación lineal que minimice el costo total para este problema. Planteamiento del problema: Sea: X1 = Cantidad de kg. de maíz a proporcionar a cada cerdo. X2 = Cantidad de kg. de grasa a proporcionar a cada cerdo. X3 = Cantidad de kg. de alfalfa a proporcionar a cada cerdo. Min. Z= 42X1 + 36X2 + 30X3 Sujeto a: 90X1 + 20X2 + 40X3 ≥ 200 kg. de carbohidratos 30X1 + 80X2 + 60X3 ≥ 180 kg. de proteínas 10X1 + 20X2 + 60X3 ≥ 150 kg. de vitaminas X1, X2, X3 ≥ 0 Ejercicio 1.10 Cierta compañía fabrica y vende dos tipos de bombas hidráulicas normal y grande. El proceso de manufactura asociado con la fabricación de las bombas implica tres actividades, ensamblado, pintura y pruebas de calidad. Los requerimientos de recursos para ensamble, pintura y prueba de las bombas se muestran en la tabla siguiente. La contribución a las utilidades por la venta de una bomba normal es de $50 y $75 para una bomba grande. Existen disponibles por semana 4800 horas para ensamble, 1980 horas para pintura y 900 horas para pruebas. La experiencia de ventas señala que la compañía puede esperar vender cuando menos 300 bombas normales y 180 bombas grandes por semana. A la compañía le gustaría determinar la cantidad de cada tipo de bomba que se debe fabricar semanalmente para maximizar sus utilidades. Tabla de datos. Tipo de Tiempo de Tiempo de Tiempo de bomba ensamble pintura pruebas Normal 3.6 horas 1.6 horas 0.6 horas Grande 4.8 horas 1.8 horas 0.6 horas Planteamiento del problema: Sea: X1 = Cantidad de bombas tipo normal a fabricar. X2 = Cantidad de bombas tipo grande a fabricar. Max. Z= 50X1 + 75X2 Sujeto a: 3.6X1 + 4.8X2 ≤ 4800 1.6X1 + 1.8X2 ≤ 1980 0.6X1 + 0.6X2 ≤ 900 X1 ≥ 300 X2 ≥ 180 X1, X2 ≥ 0 8 BATERIA DE EJERCICIOS A RESOLVER Ejercicio 1.11 Considere el problema de carga (problema de la mochila). Suponga que cinco artículos se van a cargar en el barco. El peso W i y el volumen Vi por unidad de los diferentes artículos así como sus valores correspondientes Ri, están tabulados es seguida. Artículo i Wi Vi Ri 1 5 1 4 2 8 8 7 3 3 6 6 4 2 5 5 5 7 4 4 El peso y volumen máximo de la carga están dados por W = 112 y V = 109, respectivamente. Se requiere determinar la carga más valiosa en unidades discretas de cada artículo. Formule el problema como un modelo de programación lineal. Planteamiento del problema: Ejercicio 1.12 Una compañía tiene tres plantas que fabrican cierto producto que debe mandarse a tres centros de distribución. Las plantas 1, 2 y 3 producen 12, 17 y 11 cargas mensuales, respectivamente. Cada centro de distribución necesita recibir 15 cargas al mes. El costo de transportar una carga de las plantas a los centros de distribución se encuentra en la tabla siguiente: Centro de distribución Planta 1 2 3 1 5 7 8 2 6 11 9 3 9 8 10 ¿Cuántas cargas deben mandarse desde cada planta a cada uno de los centros de distribución para minimizar el costo total de transporte? Planteamiento del problema: 9 Ejercicio 1.13 Cierta compañía trabaja las 24 horas diarias y requiere el siguiente personal: Periodo Hora Número mínimo 1 10 - 14 3 2 14 - 18 5 3 18 - 22 13 4 22 - 02 8 5 02 - 06 19 6 06 - 10 10 Cada trabajador labora 8 horas consecutivas por día (por ejemplo si entra a trabajar a las 10:00, sale de trabajar a las 18 horas). El objetivo es determinar el número más pequeño requerido para cumplir con los requerimientos anteriores. Planteamiento del problema: Ejercicio 1.14 Motores recreativos fabrica carritos para golf y vehículos para nieve en sus tres plantas. La planta A produce diariamente 40 carritos para golf y 35 para nieve; la planta B produce diariamente 65 carritos para golf y ninguno para nieve. La planta C produce diariamente 53 vehículos para nieve y ninguno para golf. Los costos diarios de operación de las planta A, B y C son $21000, $19000 y $18200 respectivamente. ¿Cuántos días incluyendo domingos y días de fiesta deberá operar cada planta durante el mes de septiembre, a fin de lograr una producción mínima de 1500 carritos de golf y 1100 vehículos para nieve, a un costo mínimo. Planteamiento del problema: 10 Ejercicio 1.15 El jefe del departamento de carnes de una tienda de autoservicio se encuentra la mañana del sábado con que dispone de una existencia de 200 lb. de bola, 800 lb. de solomillo y 150 lb. de carne de cerdo que se emplearán para preparar carne molida para hamburguesas, tortitas de carne para día de campo y albondigón. La demanda de cada tipo de carne siempre excede la existencia de la tienda. La carne para hamburguesas debe contener por lo menos 20% de bola molida y 50% de solomillo molido (por peso); las tortitas deben ser al menos 20% de molida de cerdo y 50% de solomillo molido; y la carne para albondigón al menos 10% de bola molida, 30% de molida de cerdo y 40% de solomillo molido. El resto de cada producto lo constituye un relleno barato, no de carne, del cual la tienda tiene una cantidad ilimitada. ¿Cuántas libras de cada producto deben prepararse, si el jefe del departamento desea minimizar la cantidad de carne que permanezca almacenada en la tienda después del domingo? Carne de Productos Bola Solomillo Cerdo Carne molida p 0.20 0.50 hamburguesas Tortitas de carne 0.50 0.20 Albondigñon 0.10 0.40 0.30 Disponible 200 lb 800 lb 150 lb Planteamiento del problema: Ejercicio 1.16 Un proveedor debe preparar con 5 bebidas de fruta en existencia, 500 litros de un ponche que contenga por lo menos 20% de jugo de naranja, 10% de jugo de toronja y 5% de jugo de arándano. Si los datos del inventario son los que se presentan a continuación. ¿Qué cantidad de cada bebida de fruta deberá emplear el proveedor a fin de obtener la composición requerida a un costo total mínimo? % jugo de % jugo de % jugo de Litros de Costo $ naranja toronja arándano por litro Existencias Bebida A 40 40 200 1.50 Bebida B 5 10 20 400 0.75 Bebida C 100 100 2.00 Bebida D 100 50 1.75 Bebida E 800 0.25 Planteamiento del problema: 11 Ejercicio 1.17 Un dietista está planeando el menú para la merienda a servirse en el comedor de una universidad. Se servirán tres platillos principales, teniendo cada uno diferente contenido nutricional. El dietista tiene interés en proporcionar por lo menos las necesidades mínimas de cada una de las 3 vitaminas en este alimento. En la tabla se resume el contenido de vitamina por onza de cada tipo de alimento, el costo por onza de cada alimento y los niveles diarios mínimos de las 3 vitaminas. Se seleccionar cualquier combinación de los 3 alimentos, siempre que la cantidad total a servir sea de por lo menos de 9 onzas. El problema es determinar el número de onzas de cada alimento que debe incluir en la comida a un costo total mínimo. Vitamina 1 Vitamina 2 Vitamina 3 Costo por onza Alimento 1 50 mg 20 mg 10 mg 10 Alimento 2 30 mg 10 mg 50 mg 15 Alimento 3 20 mg 30 mg 20 mg 12 Necesidades de vitamina 290 mg 200 mg 210 mg diaria mínima Planteamiento del problema: Ejercicio 1.18 Una firma elabora tres productos, los cuales se deben procesar en cuatro departamentos. En la tabla se indica el número de horas que requiere una unidad de cada producto en los diferentes departamentos y el número de libras que se requiere de materia prima. También se listan los costos de mano de obra y material por unidad, el precio de venta y las capacidades semanales de horas de trabajo y materia prima. Si el objetivo es maximizar la utilidad semanal total, formule el modelo de programación lineal para este problema. Producto A Producto B Producto C Disp. semanal Departamento 1 3.5 4 2 120 horas Departamento 2 2 2 100 horas Departamento 3 4 1 80 horas Departamento 4 2 3 6 150 horas Libras de materia prima 250 5.5 4 3.5 p/unidad Precio de venta $50 $60 $65 Costo de mano de obra por $30 $32 $36 unidad Costo de material por unidad $11 $8 $7 Planteamiento del problema: 12 Ejercicio 1.19 Problema de la ruta más corta. Se trata de encontrar el camino más corto de trasladarse de la ciudad 1 a la ciudad 6, de la siguiente figura. 18 3 5 21 19 23 1 6 22 32 24 19 2 4 Planteamiento del problema: Ejercicio 1.20 El editor de producción de Rayburn Publishing Company tiene 1,800 páginas de manuscrito que deben ser revisadas. Debido al poco tiempo involucrado, sólo hay dos revisores disponibles: Erhan Mergen y Sue Smith. Erhan tiene 10 días disponibles y Sue 12 días. Erhan puede procesar 100 páginas de manuscrito por día y Sue 150 páginas diarias. Rayburn Publishing ha desarrollado un índice utilizado para medir la calidad general de un revisor en una escala de 1 (peor) a 10 (mejor). La calidad de Erhan es 9 y la de Sue es 6. Además, Erhan cobra 3 dólares por página de manuscrito revisado; Sue cobra 2 dólares por página. Si se ha asignado un presupuesto de $4800 para la revisión. ¿Cuántas páginas deberán ser asignadas a cada revisor para completar el proyecto con la calidad más elevada posible? Planteamiento del problema: 13 Ejercicio 1.21 National Insurance Associates mantiene una cartera de inversiones en acciones, bonos y otras alternativas de inversión. Actualmente hay fondos disponibles por $200,000 y deben ser tomados en consideración para nuevas oportunidades de inversión. Las cuatro opciones de valores que National está considerando así como los datos financieros relevantes correspondientes son los que siguen: Acción Datos financieros A B C D Precio por acción $100 $50 $80 $40 Tasa anual de rendimiento 0.12 0.08 0.06 0.10 Medida de riesgo por peso 0.10 0.07 0.05 0.08 invertido La medida de riesgo indica la incertidumbre relativa asociada con la acción, en función a su capacidad de alcanzar su rendimiento anual proyectado; valores más elevados indican mayor riesgo. Las medidas de riesgo son proporcionadas por el principal asesor financiero de la empresa. La administración general de National ha estipulado las siguientes vías de acción para las inversiones. La tasa de rendimiento anual de la cartera debe ser por lo menos de 9% y Ninguno de los valores puede representar más de 50% de la inversión total en pesos. a) Utilice programación lineal para desarrollar una cartera de inversiones que minimice el riesgo. b) Si la empresa ignora el riesgo y utiliza una estrategia de máximo rendimiento sobre la inversión. ¿cuál sería la cartera de inversiones? Planteamiento del problema: Ejercicio 1.22 La administración de Carson Stapler Manufacturing Company pronostica para el trimestre que viene una demanda de 5000 unidades para su modelo Sure-Hold. Esta engrapadora se ensambla a partir de tres componentes principales: la base, el cartucho de grapas y la manija. Hasta ahora Carson ha fabricado los tres componentes. Sin embargo, el pronóstico de 5000 unidades es un nuevo volumen máximo de venta y la empresa quizás no tenga suficiente capacidad de producción para la fabricación de todos los componentes. La administración está pensando contratar una empresa maquiladora local para producir por lo menos una parte de los componentes. Los requisitos de tiempos de producción por unidad son como sigue: Tiempo de producción (horas) Tiempo Departamento Base Cartucho Manija disponible (horas) A 0.03 0.02 0.05 400 B 0.04 0.02 0.04 400 C 0.02 0.03 0.01 400 14 Note que cada componente fabricado por Carson ocupa tiempo de producción en cada uno de los tres departamentos. Después de tomar en consideración los gastos generales, las materias primas y los costos por mano de obra de la empresa, el departamento de contabilidad ha llegado al costo unitario de manufactura de cada componente. Estos datos junto con las cotizaciones de la empresa maquiladora de los precios de compra, son como sigue: Costo de Componente Manufactura Adquisición Base $0.75 $0.95 Cartucho $0.45 $0.55 Manija $1.15 $1.40 Determine cuál sería la decisión de fabricar o comprar para Carson, que haga que pueda cumplirse la demanda de 5000 unidades a un costo total mínimo. De cada componente, ¿cuántas unidades deberán ser fabricadas y cuántas deberán ser adquiridas? Planteamiento del problema: Ejercicio 1.23 Golf Shafts (GSI) produce palos de grafito para varios fabricantes de palos de golf. Dos instalaciones de fabricación de GSI, una localizada en San Diego y la otra en Tampa, tienen capacidad para producir palos en diversos grados de rigidez, desde modelos normales, principalmente utilizados por golfistas promedio, hasta modelos extrarrígidos, utilizados principalmente por golfistas con bajo handicap y profesionales. GSI acaba de recibir un contrato para la producción de 200,000 palos normales y 75,000 rígidos. Dado que ambas plantas actualmente están produciendo palos de golf para cumplir con órdenes anteriores, ninguna de las plantas tiene capacidad suficiente, por sí misma, para llenar el nuevo pedido. La planta de San Diego puede producir hasta un total de 120,000 palos y la de Tampa, hasta un total de I80,000 palos de golf. Debido a diferencias en equipamiento en cada una de las plantas y de distintos costos de mano de obra, los costos de producción unitarios son distintos, como se muestra a continuación: Costo de San Costo de diego Tampa Palo normal $5.25 $4.95 Palo rígido $5.45 $5.70 Formule en modelo de programación lineal para determinar la manera en que GSI deberá programar la producción de este nuevo pedido para minimizar el costo total de producción. Planteamiento del problema: 15 Ejercicio 1.24 La Westchester Chamber of Commerce periódicamente patrocina seminarios y programas de servicio público. Actualmente están en marcha planes promocionales para el programa de este año. Las alternativas de publicidad incluyen televisión, radio y periódicos. Las estimaciones de auditorio, costos y limitaciones de utilización máxima de medios son como se muestran: Restricción Televisión Radio Periódico Auditorio por anuncio 100000 18000 40000 Costo por anuncio $2000 $300 $600 Uso máximo de los 10 20 10 medios Para asegurar un uso balanceado de los medios de publicidad, los anuncios en radio no deben exceder 50% del número total de anuncios autorizados. Además, la televisión deberá representar por lo menos 10% del número total de anuncios autorizados. Si el presupuesto promocional está limitado a $18200, ¿cuántos mensajes comerciales deberán ser emitidos en cada medio para maximizar el contacto total con el auditorio? Planteamiento del problema: 16 Ejercicio 1.25 La unión de crédito de los empleados de State University está planeando la asignación de los fondos para el próximo año. La unión de crédito efectúa cuatro tipos de préstamos a sus miembros y además, para estabilizar el ingreso, invierte en valores libres de riesgo. Las diversas inversiones productoras de ingresos, junto con sus tasas de rendimiento anual son: Tipo de Tasa de rendimiento anual préstamo/inversión (%) Préstamo para automóvil 8 Préstamo para muebles 10 Otros préstamo con 11 garantía Préstamos quirografarios 12 Valores libres de riesgo 9 Durante el siguiente año la unión de crédito tendrá $2000000 disponibles para invertir. Las leyes estatales y las políticas de la unión de crédito imponen las siguientes restricciones en la composición de préstamos e inversiones. Los valores libres de riesgo no pueden exceder el 30% de los fondos totales disponibles para inversión. Los préstamos quirografarios no pueden exceder el 10% de los fondos invertidos en todos los préstamos (automotriz, inmobiliario, otros con garantía y quirografarios). Los préstamos para mobiliario, más otros préstamos garantizados, no pueden exceder los préstamos automotrices. Otros préstamos garantizados más los quirografarios no pueden exceder los fondos invertidos en valores libres de riesgo. ¿Cómo deberán asignarse los $2000000 para cada una de estas alternativas de préstamo y de inversión, a fin de maximizar el rendimiento total anual? Planteamiento del problema: 17 Ejercicio 1.26 Hilltop Coffee fabrica un café mezclando tres tipos de café. El costo por libra y las libras disponibles de cada uno de los cafés son: Café Costo por libra Libras disponibles 1 $0.50 500 2 $0.70 600 3 $0.45 400 Se utilizaron pruebas de degustación entre los consumidores con los distintos cafés, a fin de obtener evaluaciones, en una escala del 0 al 100, y los valores más elevados indican un mejor resultado. Las normas de calidad del café mezclado requieren una evaluación del consumidor, por lo que se refiere a aroma, de por lo menos 75 y una evaluación del consumidor de por lo menos 80 por lo que se refiere a sabor. Las evaluaciones individuales de aroma y sabor para el café fabricado a partir de 100% de cada uno de los cafés, son las que siguen: Café Clasificación de Clasificación de aroma sabor 1 75 86 2 85 88 3 60 75 Suponga que los atributos de aroma y sabor de la mezcla de cafés son un promedio ponderado de los atributos de los utilizados en la mezcla. ¿Cuál es la mezcla de costo mínimo que cumple con los estándares de calidad y produzca 1000 libras de café mezclado? Planteamiento del problema: 18 Ejercicio 1.27 G. Kunz and Sons fabrican dos productos que se utilizan en la industria de la maquinaria pesada. Ambos productos requieren operaciones de manufactura en dos departamentos. A continuación aparecen las cifras de los tiempos de producción (en horas) y de la contribución a la utilidad de ambos. Para el próximo periodo de producción, Kuntz tiene un total de 900 horas de mano de obra disponibles que se pueden asignar a cualquiera de los dos departamentos. Encuentre el plan de producción y la asignación de la mano de obra (horas asignadas a cada departamento) que maximice la contribución a la utilidad total. Horas de mano de Utilidad por Producto obra unidad Depto. A Depto. B 1 $25 6 12 2 $20 8 10 Planteamiento del problema: Ejercicio 1.28 Seastrand Oil Company produce gasolinas de dos grados, normal y de alto octanaje. Ambas gasolinas se producen mezclando dos tipos de petróleo crudo. Aunque ambos tipos de petróleo crudo contienen los dos ingredientes principales necesarios para la producción de ambas gasolinas, su porcentaje en cada tipo de petróleo crudo es distinto, al igual que el costo por galón. Los porcentajes de ingredientes A y B en cada tipo de petróleo crudo y el costo por galón, son los que se muestran: Petróleo Costo Ingrediente Ingrediente crudo A B 1 $10 20% 60% 2 $15 50% 30% Cada galón de gasolina normal debe contener por lo menos 40% del ingrediente A, en tanto que cada galón de gasolina de alto octanaje puede contener como máximo 50% del ingrediente B. La demanda diaria de gasolina normal y de alto octanaje es de 800000 y 500000 galones respectivamente. ¿Cuántos galones de cada tipo de petróleo crudo se deberán utilizar en las dos gasolinas para satisfacer la de.nanda diaria a un costo mínimo? Planteamiento del problema: 19 Ejercicio 1.29 Frandec Company manufactura, ensambla y reconstruye equipo de manejo de materiales utilizado en almacenes y centros de distribución. Un producto que se conoce como Liftmaster, se ensarnbla a partir de 4 componentes: un bastidor, un motor, dos soportes y un cincho de metal. El programa de producción de Frandec requiere que el siguiente mes se fabriquen 5000 Liftmasters. Frandec adquiere los motores de un proveedor externo, pero los bastidores, soportes y cinchos pueden ser manufacturados por la empresa o adquiridos de un proveedor externo. Los costos de manufactura y adquisición por unidad aparecen a continuación: Componente Costo de Costo de manufactura adquisición Bastidor $38.00 $51.00 Soporte $11.50 $15.00 Cincho $6.50 $7.50 En la producción de estos componentes están involucrados tres departamentos. El tiempo (en minutos por unidad) necesario para procesar todos los componentes en cada uno de los departamentos así como la capacidad disponible (en horas) de cada uno de los tres departamentos, se muestra a continuación: Departamento Componente Corte Fresado Formado Bastidor 3.5 2.2 3.1 Soporte 1.3 1.7 2.6 Cincho 0.8 1.7 Capacidad 350 420 680 (hrs) Formule y resuelva un modelo de programación lineal para esta aplicación de fabricar o comprar. ¿Cuántos de cada uno de los componentes deberán ser fabricados, y cuántos deberán ser adquiridos? Planteamiento del problema: 20 Ejercicio 1.30 Two-Rivers Oil Company, cerca de Pittsburgh, envía en camión la gasolina a sus distribuidores. La empresa ha firmado recientemente un contrato de suministro para distribuidores de gasolina en el sur de Ohio y tiene 600,000 dólares disponibles para gastar en la expansión necesaria de su flotilla de pipa para gasolina. Hay disponibles tres modelos de pipas para gasolina. Modelo de Capacidad Costo de Costo pipa (galones) Adquisición mensual de operación Super Tanker 5000 $67000 $550 Regular line 2500 $55000 $425 Econo-Tanker 1000 $46000 $350 La empresa estima que la demanda mensual en la región será de 550,000 galones de gasolina. Debido a diferencias en tamaño y velocidad de las pipas, variará el número de entregas o viajes redondos posibles por mes para cada modelo de ellas. La capacidad de los viajes se estima en 15 para la Super Tanker, 20 para la Regular Line y 25 para la Econo-Tanker, por mes. Con base en la disponibilidad de mantenimiento y conductores, la empresa no desea agregar más de 15 nuevos vehículos a su flotilla. Además la empresa ha decidido adquirir por lo menos 3 de las nuevas Econo-Tanker para su uso en rutas de recorrido corto y baja demanda. Como una restricción final, la empresa no desea que más de la mitad de los nuevos modelos sean Super Tanker. Si la empresa desea satisfacer la demanda de gasolina con un gasto de operación mensual mínimo, ¿cuántos modelos de pipas deberá adquirir? Planteamiento del problema: 21