ESTRATEGIAS PROPUESTAS PARA LA RESOLUCIÓN DEL PRACTIQUEMOS DE LA FICHA N° 4COMPETENCIA CAPACIDAD INDICADORES Actúa y piensa matemáticamente en Emplea estrategias heurísticas, situaciones de regularidad, equivalencia Elabora y usa recursos gráficos y otros, al resolver y cambio. estrategias problemas relacionados a la proporcionalidad. ITEM 1: Observa el anuncio de rebajas: Antes: S/. 63,00 Ahora: S/. 47,80 Antes: S/. 119,70 Ahora: S/. 100,00 a. ¿Están rebajados estos artículos proporcionalmente? b. Si la respuesta anterior es negativa, responde: ¿cuál de las dos prendas han rebajado más? Resolución: a) determinamos la tabla: Precio normal Precio rebajado Precio zapatillas S/. 119,70 100,00 Precio pijama S/. 63,00 47,80 Precio antes de la rebaja: Observamos que no se conserva la constante de proporcionalidad, entonces no se rebajaron proporcionalmente Precio después de la rebaja: Rpta: Los artículos no están rebajados proporcionalmente. B) Para determinar que prenda han rebajado más, necesitamos hallar el porcentaje: (Aplicamos parte/todo) Descuento del pijama = S/. 63,00 – S/. 47,80 = S/. 15,20 % pajama = Zapatillas = S/. 119,70 – 100,00 = S/. 19,70 % zapatilla = Rpta: El pijama fue la que tuvo más rebaja. EQUIPO DE COORDINADORES MACRO REGIONALES 1 ÁREA MATEMÁTICA Si multiplicamos por cierto número a una cantidad de los ingredientes. al resolver y cambio.5 1 Harina (vasos) 2 2/3 4/3 2da forma: determinando la constante de proporcionalidad Cantidades Cantidades Huevos (unidades) 3 2 Mantequilla (vasos) 1 Azúcar (vasos) 1. ¿cómo debemos modificar los restantes ingredientes de la receta para poder hacer el postre? Resolución: 1era forma: Elaboramos la tabla. situaciones de regularidad. entonces tenemos que multiplicar por ese mismo número a todas las cantidades del resto de los ingredientes de la receta. 1. entonces tenemos que dividir a todas las cantidades del resto de los ingredientes de la receta. reducimos a la unidad.5 vasos de azúcar y 2 vasos de harina. 3 huevos. 1 vaso de azúcar y de vaso de harina.5 0. equivalencia Elabora y usa recursos gráficos y otros. 2. Si dividimos a una cantidad de uno de los ingredientes. ITEM: Los ingredientes de una receta para un postre casero son los siguientes: 1 vaso de mantequilla.5 Harina (vasos) 2 Hallando: Mantequilla: vaso Azúcar: vaso Harina: vaso Respuesta: Necesitamos de vaso mantequilla. Si solo tenemos 2 huevos. COMPETENCIA CAPACIDAD INDICADORES Actúa y piensa matemáticamente en Emplea estrategias heurísticas. :3 x2 Cantidades Cantidades Cantidades Huevos (unidades) 3 1 2 Mantequilla (vasos) 1 1/3 2/3 Azúcar (vasos) 1. estrategias problemas relacionados a la proporcionalidad. EQUIPO DE COORDINADORES MACRO REGIONALES 2 ÁREA MATEMÁTICA . ¿Cuánto le corresponde a cada uno. 2500 respectivamente. 3083. S/. de modo inversamente proporcional al tiempo que han tardado en llegar. 3708 respectivamente. S/. Elabora y usa puede tomar una variable en una equivalencia y cambio. estrategias proporcionalidad inversa.08 respectivamente. 18 min. S/. 3750. el segundo S/. d. 3750. 9250 entre los tres primeros corredores que lleguen a la meta.72. 15. 3700.90 respectivamente. el segundo. 2472. 18) = 180 12 15 18 15k + 12k + 10k = 9250 37k = 9250 x 180 k = 45000 180 b Respuesta: el primero recibe S/. c. y el tercero. ITEM 3: En una prueba de ciclismo se reparte un premio de S/. Resolución: Asignamos letras a los premios que han recibido cada ciclista según su orden de llegada. 2466. Primero recibió “a” soles Segundo recibió “b” soles Tercero recibió “c” soles Luego: a +b + c = 9250 Premio S/. a b c Tiempo ( minutos ) 12 15 18 Las magnitudes premio y tiempo son inversamente proporcionales. El primero tarda 12 min. según el orden de llegada? a. 3083. 3090 y S/. S/. 2466. 2500 CLAVE: D EQUIPO DE COORDINADORES MACRO REGIONALES 3 ÁREA MATEMÁTICA .25 y S/. b. S/. S/. 15 min.40 y S/. 3699. 3000 y S/. S/. COMPETENCIA CAPACIDAD INDICADORES Actúa y piensa matemáticamente Determina el conjunto de valores que en situaciones de regularidad. S/. Aplicamos la constante de proporcionalidad: k = 12 * a a= K = 15 * b b= k = 18 * c c= Sabemos que: a + b + c = 9250 Reemplazamos: k + k + k = 9250 Hallamos mcm (12. función lineal y lineal afín.60. 3000 y el tercero S/. De 5 a 6 pasajeros c. 15.COMPETENCIA CAPACIDAD INDICADORES Actúa y piensa matemáticamente Elabora y usa estrategias Determina el conjunto de valores en situaciones de regularidad. ¿cuánto valdrá otro diamante de 100 g de peso? a. 4 000 c. ITEM 5: El precio de un diamante es directamente proporcional al cuadrado de su peso. una proporcionalidad inversa. 56 pasajeros Resolución: 1era forma: Elaboramos la tabla N° Pasajeros 14 X Precio S/. que puede tomar una variable en equivalencia y cambio. ¿cuántos pasajeros habrá cuando el pasaje cuesta S/.6 Número de pasajeros= x Entonces 35 = x 2da forma:Empleando la constante de proporcionalidad: K= (N° de pasajeros) (Precio del pasaje) K= 14 x 15= 210 210= 6X Rpta. 6 Clave: A COMPETENCIA CAPACIDAD INDICADORES Actúa y piensa matemáticamente Elabora y usa estrategias Determina el conjunto de valores en situaciones de regularidad. Si un diamante que pesa 80 g cuesta S/. S/.6? a.15 S/. S/.3200 S/.3200. función lineal y lineal afín. 5 000 b. que puede tomar una variable en equivalencia y cambio.X EQUIPO DE COORDINADORES MACRO REGIONALES 4 ÁREA MATEMÁTICA . 50 Resolución: 1era forma: Elaboramos la tabla Pesoal cuadrado (80g)2 (100g)2 Precio S/. 84 pasajeros d. función lineal y lineal afín. 35 pasajeros b. ITEM 4:El precio de un pasaje varía inversamente con relación al número de pasajeros. Si para 14 pasajeros el precio es S/. S/.: Habrá 35 pasajeros cuando el pasaje cueste S/. una proporcionalidad inversa. 2 048 d. S/. : El otro diamante de 100 g de peso cuesta S/. resolver problemas relacionados a la proporcionalidad. halla numéricamente el valor de y/x a. 5000 CLAVE: A COMPETENCIA CAPACIDAD INDICADORES Actúa y piensa matemáticamente Emplea estrategias heurísticas. Elabora y usa estrategias recursos gráficos y otros. 10 c. ITEM 6:El gráfico muestra el comportamiento de dos magnitudes (cantidad de obreros y tiempo). 275 d. 440 b. 6 EQUIPO DE COORDINADORES MACRO REGIONALES 5 ÁREA MATEMÁTICA . al equivalencia y cambio.Precio del diamante de 100g = x Reemplazamos los valores de la tabla en la relación generalizada Desarrollamos los cuadrados Simplificamos Hallamos el valor de x 2da forma:Empleando la constante de proporcionalidad: = X = 5000 Rpta. en situaciones de regularidad. Resolución: Se ubican las coordenadas en el gráfico mostrado: 1era forma:Elaboramos la tabla Observando el gráfico. completamos la Tabla: Obreros 100 200 y Tiempo ( días) 80 x 20 Observamos que la cantidad de obreros aumenta y la cantidad de días disminuye por lo tanto son magnitudes Inversamente proporcionales: Hallamos el valor de “x” (100)(80) = (200)(x) 8000 = 200x 40 = x Hallamos el valor de “y” 8000 = 20y 400 = y Hallamos el valor de y/x 400/40 =10 2da forma:Empleando la constante de proporcionalidad: K= (Números de obreros) (Número de días)= (100) (80)= 8000 Hallamos “x” 8000=200x x= 40 Hallamos “y” 8000=20y y=400 Hallamos “y/x” 400/40 = 10 EQUIPO DE COORDINADORES MACRO REGIONALES 6 ÁREA MATEMÁTICA . 3 b. 9 x= x = 12 El valor de x.6 = 9 . c. Elabora y usa estrategias recursos gráficos y otros. Elabora y usa estrategias recursos gráficos y otros. resolver problemas relacionados a la proporcionalidad. en situaciones de regularidad. 14 aciertos. Todos los ejercicios tenían la misma puntuación. Señale el valor de x. El valor de x.75 Resolución: De acuerdo. en proporcionalidad directa. al enunciado del ítem y a la gráfica. por lo tanto: = entonces 6.y a. Si Sergio resolvió correctamente 24 de las 30 preguntas que tenía su examen. 60. x e y . al equivalencia y cambio. d. ITEM 7:En el siguiente gráfico ilustra dos variables. : El valor de y/x es igual a 10 CLAVE: B COMPETENCIA CAPACIDAD INDICADORES Actúa y piensa matemáticamente Emplea estrategias heurísticas. CLAVE: C COMPETENCIA CAPACIDAD INDICADORES Actúa y piensa matemáticamente Emplea estrategias heurísticas. ITEM 8 Dos amigos han obtenido la misma calificación en dos exámenes de Matemática con distinta cantidad de preguntas. 20 aciertos. ¿cuántos aciertos tuvo Jorge si su prueba constaba de 20 preguntas? a. 6 = 8 . 16 aciertos. 16 c. 24 aciertos Resolución: Elaboramos una tabla: Número de preguntas resueltas 24 x correctamente EQUIPO DE COORDINADORES MACRO REGIONALES 7 ÁREA MATEMÁTICA . 48 d.y = 12 . resolver problemas relacionados a la proporcionalidad. se trata de Magnitudes Directamente Proporcionales. al equivalencia y cambio.Rpta. y = y 4=y = entonces x . en situaciones de regularidad. b. 4 = 48 Rpta.y es 48 . se quiere envasar el total de la sustancia en un solo tipo de recipiente. ITEM 9:La distancia que cae un cuerpo partiendo del reposo varía en relación con el cuadrado del tiempo transcurrido (se ignora la resistencia del aire). Elabora y usa estrategias recursos gráficos y otros. ITEM 10: Se necesita envasar 600 L de una sustancia química en recipientes. 192 pies c. Además. La distancia que caerá en 9s es 576 pies. 576 pies b. resolver problemas relacionados a la proporcionalidad. Alternativa a) COMPETENCIA CAPACIDAD INDICADORES Actúa y piensa matemáticamente en Elabora y usa Emplea estrategias heurísticas. Volumen 10 Cantidad 60 EQUIPO DE COORDINADORES MACRO REGIONALES 8 ÁREA MATEMÁTICA . 25. al resolver problemas y cambio. recursos situaciones de regularidad. en situaciones de regularidad. Si un paracaidista de caída libre cae 64 pies en 3 s.Alternativa b) COMPETENCIA CAPACIDAD INDICADORES Actúa y piensa matemáticamente Emplea estrategias heurísticas. relacionados a la proporcionalidad. Completa la tabla con el volumen del recipiente y la cantidad de los recipientes necesarios. 30. Hay recipientes de 10. equivalencia estrategias gráficos y otros. 7. ¿qué distancia caerá en 9 s? a. 567 pies Resolución: Elaboramos una tabla: Distancia : d (pies) 64 x Tiempo: t (s) Aplicamos proporcionalidad relacionando la distancia y el tiempo al cuadrado: Rpta. 40 y 50 L. Total de preguntas del examen 30 20 Aplicamos proporcionalidad: Respuesta. al equivalencia y cambio. Jorge tuvo 16 aciertos. 15.11 pies d. 20. c. mientras que de los 160 alumnos de tercer grado. ¿Cuál de los grados ha mostrado más interés por la actividad? a. ITEM 11: En una institución educativa. ya que: (10)(60) = (15)(40) = (20)(30) = (25)(24) = (30)(20 )=(40)(15)=(50)(12) Comparamos los números de envases y observamos que la cantidad mínima corresponde a recipientes de 50 litros y se utilizan 12 envases. 14 envases. 15 envases. mientras que en segundo solo va el 80. 12 envases. Cantidad de 60 40 30 24 20 15 12 envases Observamos que se trata de magnitudes inversamente proporcionales. donde visualizamos el volumen del recipiente “ base ” y qué cantidad de este necesitamos para envasar: Volumen 10 15 20 25 30 40 50 . Han mostrado el mismo interés tanto los estudiantes de segundo y tercer grado. . equivalencia estrategias gráficos y otros. Han mostrado más interés los estudiantes de tercero porque va el 81. se apuntan 130. recursos situaciones de regularidad. b. RESOLUCIÓN: 1° Vamos a completar la tabla. RESOLUCIÓN: Aplicando Regla de Tres Simple: 1° Del enunciado del problema comprendemos que me hablan de dos grados de estudiantes: EQUIPO DE COORDINADORES MACRO REGIONALES 9 ÁREA MATEMÁTICA . COMPETENCIA CAPACIDAD INDICADORES Actúa y piensa matemáticamente en Elabora y usa Emplea estrategias heurísticas. d.25 %. d. se inscriben en una actividad extraescolar 170. b. al resolver problemas y cambio. mientras que en tercero solo van 130. Respuestac : La cantidad mínima de envases que se puede utilizar para envasar los 600 litros de la sustancia química es 12 recipientes. Han mostrado más interés los estudiantes de segundo grado porque van más estudiantes que tercero: en segundo van 170. c. relacionados a la proporcionalidad. Han mostrado más interés los estudiantes de tercer grado porque va más del 90 %. 10 envases.¿Qué cantidad mínima de envases se puede utilizar para envasar los 600 litros de la sustancia química? a.95 %. de los 210 estudiantes de segundo grado de secundaria. . c. RESOLUCIÓN: EQUIPO DE COORDINADORES MACRO REGIONALES 10 ÁREA MATEMÁTICA . 100% 170 …………………. Veamos: 2° grado de secundaria3° grado de secundaria N° de estudiantesPorcentajeN° de estudiantesPorcentaje 210 ……………. 100% 2° Ahora queremos saber qué porcentaje del total de estudiantes de cada grado me representan los estudiantes que se inscribieron a esa actividad extraescolar. porque si una aumenta la otra también aumenta proporcionalmente.95 4° Analizando los valores de “ X ” e “ Y ” . X = 100 .2. equivalencia argumenta puede tomar una variable en una y cambio.. De acuerdo a lo calculado sólo la alternativa “ c ” es la correcta. en tal sentido la respuesta a la pregunta del ítem es: El tercer grado ha mostrado mayor interés en inscribirse a la actividad extraescolar. Y = 100 .…….4 días.……..25 X = 80. X 130 …………………… Y 3° Calculamos “ X ” e “ Y ”. 5° Para responder el ítem tenemos que leer una por una las alternativas y sólo una será la correcta. proporcionalidad inversa... Así encontramos el valor de “ X ” e “ Y ”.95 %. función lineal y lineal afín. Concluimos que Y me representa mayor porcentaje. 6° Respuesta: c.25 %. César puede alimentar a sus cachorros durante 6 días. Han mostrado más interés los estudiantes de tercero porque va el 81. mientras que en segundo solo va el 80. ¿Para cuántos días tendrá comida si compra una caja de 5 litros de leche? a. X = 80. Para calcular estos valores tenemos que analizar qué clase de magnitudes son “ N° de estudiantes ” respecto al “ Porcentaje ” y llegamos a la conclusión que son MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES. 100% 160 ……………. COMPETENCIA CAPACIDAD INDICADORES Actúa y piensa matemáticamente en Razona y Determina el conjunto de valores que situaciones de regularidad.. d. b..15 días..…….……. 100% 160 …………….952380… Y = 81. 2° grado de secundaria3° grado de secundaria N° de estudiantesPorcentajeN° de estudiantesPorcentaje 210 …………….. 24 días.. ITEM 12: Con 2 L de leche. 18 días.. ……. Entonces son dos MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES 3/1=6/2=9/3 La razón de proporcionalidad es K= 3 X/5 = 3 X= 3(5) X= 15 Respuesta a. Si comprar 5 litros de leche le alcanzará para alimentar a los cachorros durante 15 días. x Analizamos cómo son las magnitudes “ Litros de leche ” y “ Número de días ”. 4° Calculamos el valor de “ X ” : X = 6. Escribamos el dato y la incógnita: Volumen de leche N° de días 2 L ………………. X 3° Nos tocaría : Si una aumenta la otra también aumenta proporcionalmente y si una disminuye la otra también disminuye proporcionalmente. Utilizamos la estrategia de Ensayo error completando la tabla: Litros de leche 1 2 3 .. 6 días 5 L …………………….. Si comprar 5 litros de leche le alcanzará para alimentar a los cachorros durante 15 días. Usando la regla de tres simple directa: 1° Del enunciado comprendemos que me hablan de dos magnitudes “ Volumen de leche ” y “ Número de días ”.……. 5 Número de días 3 6 9 . Podemos representar matemáticamente así: Volumen de leche N° de días 2 L ………………. X = 15 Respuesta a. 6 días 2° La pregunta del ítem es: para cuántos días tendrán comida los cachorros si se compran 5 L de leche. Además me dicen que con 2L de leche César puede alimentar a sus cachorros por 6 días. EQUIPO DE COORDINADORES MACRO REGIONALES 11 ÁREA MATEMÁTICA . Así tenemos que al aumentar los litros de leche también aumentaría el número de días proporcionalmente. b. ITEM 13: 13. Se podrán servir igual cantidad de jarras. ¿Cuántas jarras se podrán servir si solo se llenan hasta tres cuartos de su capacidad? a. solo si se llenan hasta tres cuartos de su capacidad. estrategias que puede tomar una variable en equivalencia y cambio. Se podrán servir 27 jarras. Se podrán servir 48 jarras. COMPETENCIA CAPACIDAD INDICADORES Actúa y piensa matemáticamente Elabora y usa Determina el conjunto de valores en situaciones de regularidad. función lineal y lineal afín. Se podrán servir 24 jarras. Planteamos la regla de tres simple inversa: 1 jarra llena 36 jarras servidas AUMENTA + DISMINUYE . Nos damos cuenta que es una relación de proporcionalidad inversa. se podrá servir más jarras de agua. osea a ¾ partes. Con un depósito de agua se llenan 36 jarras. RESOLUCIÓN: 1. ¾ de jarra llena X jarras servidas Formamos la propiedad de proporcionalidad: 36 (1) = X ( ¾) .. entonces Respuesta: a) Se podrán servir 48 jarras de agua. una proporcionalidad inversa. EQUIPO DE COORDINADORES MACRO REGIONALES 12 ÁREA MATEMÁTICA . d. c.Del enunciado del problema comprendemos que: CAPACIDAD DE NÚMERO DE AGUA POR JARRAS SERVIDAS JARRA 1 36 ¾ X Analizamos que si disminuimos la cantidad de agua en cada jarra. Por lo tanto será menor de 40 metros. en situaciones de regularidad.. estrategias recursos gráficos y otros. ITEM 14: 14. Se deben colocar a 53. d. que se colocarían cada 40 m. COMPETENCIA CAPACIDAD INDICADORES Actúa y piensa matemáticamente Elabora y usa Emplea estrategias heurísticas. al equivalencia y cambio. c. entonces Respuesta:c) Se debe colocar a 30 metros de distancia. Después de un estudio minucioso. resolver problemas relacionados a la proporcionalidad.3 m de distancia entre ellas. RESOLUCIÓN: 1. es decir. ¿A qué distancia se deben colocar las vigas? a. Se deben colocar a la misma distancia entre ellas. Se deben colocar a 30 m de distancia entre ellas. Planteamos la regla de tres simple inversa: 30 vigas 40 metros AUMENTA+ DISMINUYE - 40 vigas X metros Formamos la propiedad de proporción inversa: (30)(40) = X (40) . COMPETENCIA CAPACIDAD INDICADORES EQUIPO DE COORDINADORES MACRO REGIONALES 13 ÁREA MATEMÁTICA . Hay una relación de proporcionalidad inversa. b. se decide reforzar la obra y se utilizan 10 vigas más. Se deben colocar a 300 m de distancia entre ellas.Usando regla de tres Número de vigas Distancia entre cada viga(m) 30 40 40 X Analizamos que si aumentamos el número de vigas la distancia disminuirá entre ellas. Para construir un puente de 1200 m se cuenta con 30 vigas. cada 40 m. 2000. 2000 respectivamente. EQUIPO DE COORDINADORES MACRO REGIONALES 14 ÁREA MATEMÁTICA . 960 y S/. 960 respectivamente RESOLUCIÓN: Empleando la constante de proporcionalidad: Pintores Días de Cobro por pintor trabajo S/. el segundo s/.960 y el tercer recibe S/. función lineal y lineal afín. 1200. 960. El primero ha trabajado 15 días. 4160. 1200 respectivamente. c. y el tercero 25 días. estrategias que puede tomar una variable en equivalencia y cambio. S/. Entre tres pintores han pintado la fachada de un edificio y han cobrado S/.Actúa y piensa matemáticamente en Elabora y usa Determina el conjunto de valores situaciones de regularidad. d. Todos reciben la misma cantidad. ITEM 15: 15. Reciben S/. S/. Reciben S/. S/. el segundo 12 días. Pintor 1 15 15K Pintor 2 12 12K Pintor 3 25 25K TOTAL 52 S/. 2000 y S/.4 160 = Pintor 1: 15 K = 15(80) = 1200 Pintor 2: 12 K = 12(80) = 960 Pintor 1: 25 K = 25(80) = 2000 Respuesta: a) El primer pintor recibe S/. Reciben S/. una proporcionalidad inversa. 1200 y S/. 1200. b. 2000. ¿Cuánto dinero tiene que recibir cada uno? a.