matematicas inacap

Página 1 de 94GUÍA: UNIDAD 1, ÁLGEBRA EN LOS REALES Área de EET Página 2 de 94 Derechos Reservados Titular del Derecho: INACAP N° de inscripción en el Registro de Propiedad Intelectual # ___ . ____ de fecha ___-___-___. © INACAP 2002. Página 3 de 94 UNIDAD 1 Pensamiento: “ La escala de la sabiduría tiene sus peldaños hechos de números “ Blavatsky Página 4 de 94 1. ÁLGEBRA EN LOS REALES 1.1 Razones y Proporciones Definición 1: Se denomina Razón al cuociente entre dos números o de dos magnitudes de una misma especie. Se denota por: 0 b , IR b , a b : a o b a ≠ ∈ ∀ Se lee: “a es a b” a: antecedente de la razón. b: consecuente de la razón. Definición 2: Toda razón tiene un cuociente, denominado Valor de la razón. Este valor es solo un número, por lo tanto, es independiente de toda unidad en que estén expresados los términos de la razón. , IR k k b a ∈ = k = valor de la razón Definición 3: Se llama Proporción a la igualdad de dos razones. Una proporción se denota por: Se lee : “a es a b como c es a d ” Los elementos que componen la proporción se denominan términos de la proporción. En particular: a, d términos extremos; b, c términos medios. Cada uno de estos cuatro términos se llama una cuarta proporcional respecto de los tres restantes. Los cuatro términos se dice que son proporcionales. 0 d , 0 b , IR d , c , b , a d : c b : a o d c b a ≠ ≠ ∈ ∀ = = Página 5 de 94 ( ) c b d a d c b a ⋅ = ⋅ ⇔ | . | \ | = Teorema 1: En toda proporción, el producto de los (términos) extremos es igual al producto de los (términos) medios. Del teorema 1 se deducen de inmediato las siguientes propiedades: Propiedades de las proporciones: 1) Si d c b a = también se cumple: a) a c b d = alternar los extremos b) d b c a = alternar los medios c) c d a b = invirtiendo las razones d) b a d c = permutando las razones e) d c c b a a + = + componiendo la proporción con respecto al antecedente. f) d d c b b a + = + componiendo la proporción con respecto al consecuente g) d - c c b - a a = descomponiendo la proporción con respecto al antecedente h) d d - c b b - a = descomponiendo la proporción con respecto al consecuente i) d - c d c b - a b a + = + componiendo y descomponiendo la proporción 2) Si k d c b a = = , donde k es la constante de proporcionalidad, se cumple : ¹ ´ ¦ ⋅ = ⋅ = d k c b k a Página 6 de 94 Definición 4: Una proporción se denomina Proporción Continua si tiene sus términos extremos o sus términos medios iguales: a c b a = o d b b a = En estos casos el término que se repite se denomina Media Proporcional de los dos términos que quedan. Cada término que no se repite: Tercera Proporcional entre los dos que quedan Definición 5: Una Serie de Proporciones es una igualdad de tres o más razones. Se denota: f c e b d a = = se anota f : e : d c : b : a = Se lee: “a es a b es a c como d es a e es a f ” Observemos que si f : e : d c : b : a = entonces: k f c e b d a = = = , donde k es la constante de proporcionalidad, y se tiene: ¦ ¹ ¦ ´ ¦ ⋅ = ⋅ = ⋅ = f k c e k b d k a Página 7 de 94 1.2 Variación de Magnitudes Definición 1: Una magnitud variable A varía en forma (Directamente) Proporcional a la variación de la magnitud B (de igual o distinta naturaleza que A), si y sólo si: A = k B k : Constante de proporcionalidad Se anota: A :: B o A α B Gráficamente : La gráfica de y = k x, k > 0, es siempre una recta que pasa por el origen. La pendiente de la recta depende del valor de k. Cuanto mayor sea el valor de k, mayor será la pendiente. Definición 2: Una magnitud variable A varía en forma Inversamente Proporcional a la variación de la magnitud B (de igual o distinta naturaleza que A), si y sólo si: A = k B 1 k : Constante de proporcionalidad Se anota: A :: B 1 o A α B 1 y = k x, k > 0 x y Página 8 de 94 Gráficamente : La gráfica de y = x k , k > 0 y x > 0, tendrá la forma ilustrada en la figura. La gráfica de una variación inversa no está definida en x = 0 Observación 1: A y B son magnitudes que varían, de acuerdo a las definiciones 6 y 7, pero sus variaciones están ligadas ya sea por A = k B o A = k B 1 Definición 3: Se denomina Variación Conjunta si una cantidad puede variar directamente como un producto de dos o más cantidades distintas. La forma general de una variación conjunta, donde A varía directamente con respecto de B y de C, es : A = k ⋅ B ⋅ C k : Constante de proporcionalidad Observación 2: La variación de una magnitud A puede estar ligada a la variación de dos o más magnitudes en forma proporcional o inversa. Teorema 1: En A = k B a A 1 le corresponde B 1 A 2 le corresponde B 2 Entonces: 2 1 2 1 B B A A = Proporción Directa y = k > 0, x > 0 k / x, x y Página 9 de 94 Observación 3: En una Proporción Directa, o “cuando A varía proporcionalmente con B”, cuando A aumenta entonces B aumenta, y cuando A disminuye entonces B disminuye, pero debe existir una constante k que las ligue: A = k B. Teorema 2: En A = k B 1 a A 1 le corresponde B 1 A 2 le corresponde B 2 Entonces: 1 2 2 1 B B A A = o 2 1 2 1 B 1 B 1 A A = Proporción Inversa Observación 4: En una Proporción Inversa, o “cuando A varía inversamente con B”, cuando A aumenta entonces B disminuye, y cuando A disminuye entonces B aumenta, pero debe existir una constante k que las ligue: A = k B 1 ⋅ . Definición 4: Se denomina Proporción Compuesta a la combinación de proporciones directas e inversas o ambas. Un método consiste en descomponer la proporción compuesta en proporciones simples y luego multiplicar ordenadamente las proporciones formadas. Al formar cada proporción simple, consideramos que las demás magnitudes no varían. Página 10 de 94 1.4.3 PORCENTAJE Se llama tanto por ciento de un número a una o varias de las cien partes iguales en que se puede dividir dicho número, es decir, uno o varios centésimos de un número. El signo del tanto por ciento es % Algunas veces las fracciones o decimales se expresan como porcentajes; por ejemplo, el 5% quiere decir 100 5 ó 0,05 . En general a% significa “ a partes de 100 “, y es, simplemente, otra manera de escribir 100 a . Esto corresponde a la proporción directa % a % 100 x 1 = Una forma simple de convertir un número decimal a porcentajes es multiplicar el decimal por 1 escrito en forma de 100%. Ejemplo 1 0, 26 = 0,26 x 1 = 0,26 x 100% = 26 % Los porcentajes se utilizan con frecuencia para describir los incrementos o reducciones en cantidades como población, sueldos y precios. Cuando una cantidad aumenta, el porcentaje de incremento se da por: % 100 x original cantidad aumento de cantidad Cuando una cantidad disminuye, el porcentaje de decrecimiento se da por: % 100 x original cantidad nto decrecimie de cantidad Página 11 de 94 EJERCICIOS RESUELTOS RAZÓN, PROPORCIÓN Y VARIACIÓN 1.- Sea R 1 y R 2 dos resistencias tal que su suma es 91Ω y están en la razón 4 : 3 Calcular el valor de cada resistencia. Resolución: 39 2 R 7 3 91 2 R 9 2 R y 52 1 R : Solución 1 teo. aplicando 52 1 R 3 7 2 R 91 39 91 1 R 3 3 4 2 R 2 R 1 R 91 39 1 R o componiend 91 2 R 1 R 91 2 R 1 R : en do reemplazan 3 4 2 R 1 R = ⋅ = = = = = − = + = + = + ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ = + = + = 3 2.- Calcular la Cuarta proporcional entre los siguientes valores a) 6,18,15 b) 2, 7,12 Resolución: Se pueden determinar tres proporciones distintas en cada caso 45 x 7,2 x 5 x 6 15 18 x 15 6 18 x 18 6 15 x 1 teo. aplicando 1 teo. aplicando 1 teo. aplicando 6 15 18 x iii) 15 18 6 x ii) 15 18 x 6 i) a) = = = ⋅ = ⋅ = ⋅ = = = = 42 x 1,16 x 3,42 x 2 7 12 x 12 7 2 x 7 2 12 x 1 teo. aplicando 1 teo. aplicando 1 teo. aplicando 2 12 7 x iii) 12 7 2 x ii) 12 7 x 2 i) b) = = = ⋅ = ⋅ = ⋅ = = = = Página 12 de 94 3.- Calcular los dos valores de la tercera proporcional para los siguientes números. a) 5 1 2 1 y b) 0.2 y 0.08 Resolución: 1,25 x 4 5 x 2x 1 5 2 x 2 1 5 2 x 2 1 2 1 5 1 ii) 0,08 x 25 2 x 5x 1 2 5 x 5 1 2 5 x 5 1 5 1 2 1 i) a) = ⇒ = ⇒ = ⇔ = ⇔ = = ⇒ = ⇒ = ⇔ = ⇔ = 0,5 x 0,08 0,2 0,2 x x 0,2 0,2 0,08 ii) 0,032 x 0,2 0,08 0,08 x x 0,08 0,08 0,2 i) b) = ⇒ ⋅ = ⇔ = = ⇒ ⋅ = ⇔ = 4.- La corriente en un circuito es de 7.50 A .Se incrementa el voltaje provocando que la corriente del circuito aumente a 8.4375A . ¿En que porcentaje aumento la corriente? Resolución: % 12,5 x 7,50 93,75 x % x % 100 A 0,9375 A 7,50 A 0,9375 A 7,50 A 8,4375 : Incremento = ⇒ = ⇒ = = − 5.- Si 30 máquinas fabrican 2000 m. de cable eléctrico en 20 días ¿Cuántas máquinas iguales serán necesarias para producir 7000 m. de cable en 14 días. Resolución: máquinas 150 x 7000 x 14 2000 14 7000 30 20 x 2000 30 20 metros de N máquinas N días N = ↔ ↔ ⋅ ⋅ ⋅ = ↔ ↔ ° ° ° Solución : 150 máquinas. Página 13 de 94 GUÍA DE EJERCICIOS RAZON, PROPORCION Y VARIACION 1.- Un disco de 500 kilobytes de capacidad se llena por Internet a razón de 5 KB/s, en 12 horas. ¿Cuánto tiempo tardaría en llenarse un disco de 1250 kilos, por un disco a razón de 8 k/s? Solución: 1 hora 52 minutos 30 segundos 2.- Un instalador de redes gana $160.000 al mes y paga $40.000 de arriendo por la casa que habita. ¿Qué tanto por ciento del suelo representa lo que cancela de arriendo. Solución : 25% 3.- El perímetro de la puerta de un gabinete es 128 cm y la razón entre las medidas de sus lados es 5:3. Calcular el área. Solución : 960 cm 2 4.- Dos resistencias R 1 y R 2 están conectadas en paralelo, ¿Qué tanto por ciento de la corriente pasa por R 1 si R 1 : R 2 = 5 : 8. Solución : 61,5% 5.- La potencia en un circuito está dada por: | | | | A I donde , W R I P R V 2 = ⋅ = ¿Qué tanto por ciento varía la potencia P si la tensión V varía disminuyendo en 15%? Solución: Disminuye en 27,75% 6.- Si m : n = 5 : 4 ¿ En qué razón están las fracciones 6n 5m 2 y 4n 3m 1 + + ? Solución: 49: 62 7.- Encuentre dos números tales que su diferencia, suma y producto estén en la razón 1:7:27. Solución: 4 27 9, 8.- En un rectángulo se cumple la proporción h:b =27:21. Si la base b aumenta en 1.0 m resulta un cuadrado. ¿ Cuánto mide la diagonal del rectángulo? Página 14 de 94 9.- Si el diámetro de un circulo disminuye en 15%, ¿En qué tanto por ciento disminuye el área del círculo? Solución: 0,7225 S 10.- Sabiendo que el producto de tres números es 125 y que son proporcionales a 2 , 4 y 27. ¿Calcule dicho número? Solución : 5 10 4 5 3 3 2 , , 11.- Con mi dinero puedo comprar 20 led a $20 c/u. Si suben a $25. ¿Cuántas podré comprar? Solución : 16 led 12.- Se tienen 3 barriles A, B y C con mezclas diferentes de bencina B 1 , B 2 , B 3 . En el barril A, estos están en la razón 1:2:3 ; en el barril B , en la razón 3:5:7 , y en el barril C en la razón 3:7:9 . ¿Qué cantidad de litros de cada barril debe sacarse para formar una mezcla que contenga 17 [ l ] de B 1 , 35 [ l ] de B 2 y 47 [ l ] de B 3 . Solución: Del barril A 12 L, B 30 L, C 57 L 13.- Si , en idénticas condiciones de remuneración, el salario percibido por x - 1 trabajadores en x + 1 días es el salario percibido por x + 2 trabajadores en x - 1 días como 9:10, encuentre el valor de x. Solución: 8 14.- Supongamos que las masas M1 y M2 ubicadas a r [ cm] de distancia se alejan en un 20 %. ¿ En qué tanto por ciento disminuye la fuerza gravitatoria que las atrae? Solución: 31% 15.- Un artículo sube su precio en 10 % y luego sufre una rebaja de un 10 %. ¿ Varía su precio finalmente? En caso afirmativo ¿ en cuánto varió su precio? Solución: Bajo en 1% 16.- Los cuadrados de los tiempos de revolución de los planetas alrededor del Sol son directamente proporcionales a los cubos de sus distancias al Sol. Sabiendo esto y tomando distancias de la Tierra y | | | | km 8 10 1,08 y km 8 10 1,50 Sol al Venus ⋅ ⋅ respectivamente, calcule el tiempo de revolución. Solución: 224 días aproximadamente Página 15 de 94 17.- Si el radio basal de un cono circular recto aumenta en 15%, mientras que su altura disminuye en 20%. ¿ En qué tanto porciento varía a) el área basal del cono, b) el área total del cono y c) el volumen del cono? Solución: a) aumenta en 32,5 % , b) faltan datos, c) aumenta 5,8 % 18.- Si y varía proporcionalmente a la suma de dos cantidades de las cuales una varía directamente a x y la otra inversamente a x; y si y = 6 cuando x = 4, y y = 3 1/3 cuando x = 3, hallar la ecuación que relaciona a x e y. Solución: y = 2x – x 8 19.- Se tienen dos pedazos de aleación de plata con cobre. Uno de ellos contienen p% de Cu y el otro, q%. ¿ En que proporción se deben tomar las aleaciones del primero y segundo pedazos para obtener una nueva aleación que contenga r% de Cu?. ¿Para cuáles relaciones entre p, q y r el problema es posible?. Solución: El problema tiene solución para r - p y p - r positivos, o para r - q y p - r negativos 20.- Determinar si la variación entre las cantidades indicadas es directa o inversamente proporcional. a) La luz que ilumina un objeto y la distancia de la luz al objeto. Solución: Inversa b) La velocidad y la distancia recorrida por un auto en un periodo de tiempo especifico. Solución: Directa. c) El diámetro de una manguera y el volumen que sale de ella. Solución: Directa d) La distancia entre dos ciudades en un mapa y la distancia real entre las dos ciudades. Solución: Directa e) Un peso y la fuerza necesaria para levantar ese peso. Solución: Directa f) El desplazamiento en pulgadas cúbicas expresado en litros producido por una máquina y los caballos de fuerza de la máquina. Solución: Directa g) El volumen de un globo y su radio. Solución: Directa h) La abertura del obturador de una cámara y la cantidad de luz solar que llega a la película. Solución: Directa i) El tiempo necesario para exponer adecuadamente una película y el tamaño de la abertura del lente de la cámara. Solución: Inversa. Página 16 de 94 21.- En los ejercicios siguientes, (i) escriba la variación y (ii) determine la cantidad indicada. a) V varía directamente con respecto de I. Determine V cuando I = 3 y k = 4. b) A varía directamente con respecto del cuadrado de B. Determine A cuando B = 8 y k= c) R varía inversamente proporcional con respecto de I. Determine R cuando I = 12 y k = 6. d) L varía inversamente con respecto del cuadrado de P. Determine L cuando p = 4 y k = 100. e) E varía directamente con respecto de F e inversamente con respecto de q. Determine E cuando F = 12, q = 4 y k = 3. f) E varía directamente con respecto de Q e inversamente con respecto del cuadrado de r. Determine k cuando E = 20, Q = 4 y r = 40. g) F varía conjuntamente con respecto de M 1 y M 2 e inversamente con respecto de d. Si F es 20 cuando M 1 = 5, M 2 = 10 y d = 0,2, determine F cuando M 1 = 10, M 2 = 20 y d = 0,4. Solución: 40 h) S varía conjuntamente con respecto de I y del cuadrado de T. Si S es 8 cuando I = 20 y T = 4, determine S cuando I = 2 y T = 2. Solución: i) A varía conjuntamente con respecto de R 1 y R 2 e inversamente con respecto del cuadrado de L. Determine A cuando R 1 = 120, R 2 = 8, L = 5, y k = . Solución: j) La longitud de estiramiento de un resorte, S, varía directamente con respecto de la fuerza ( o peso), F, aplicada al resorte. Si un resorte se estira 1,4 pulgadas con una carga de 20 libras, ¿cuánto se estirará con una carga de 10 libras? k) La intensidad, I, de la luz recibida en una fuente varía inversamente con respecto del cuadrado de la distancia, d, a la fuente. Si la intensidad de la luz es de 20 bujías – pie a 15 pies, determine la intensidad de la luz a 12 pies. l) Las rentas semanales de videocintas, R, en Blockbuster Video varían directamente con respecto del costo de su propaganda, A, e inversamente con respecto del precio de renta diario, P. Cuando el costo por publicidad es de $ 400 y el precio de la renta diaria es de $ 2, ellos rentan 4600 cintas por semana.¿ Cuántas cintas rentarían por semana si se incrementa su publicidad a $500 y elevaran su precio por renta a $ 2.50? Solución: 22.- En la Tierra, el peso de un objeto varía directamente con respecto de su masa. Si un objeto con un peso de 256 libras tiene una masa de 8 slugs, determine la masa de un objeto que pesa 120 libras. 23.- El peso, W, de un objeto en la atmósfera de la Tierra varía inversamente con respecto del cuadrado de la distancia, d, entre el objeto y el centro de la Tierra. Una persona que pesa 140 libras parada en la Tierra se encuentra aproximadamente a 4000 millas de distancia del centro de la Tierra. Determine el peso (o fuerza de atracción gravitacional) de esta persona a una distancia de 100 millas de la superficie de la Tierra. Página 17 de 94 24.- Una compañía eléctrica cobra $ 0.162 por kilowatt – hora. ¿ Cuál es el gasto eléctrico si se utilizan 740 kilowatts – hora en un mes ( considere mes bancario equivalente a 30 días) ? La tasa de watts de un aparato, W, varía conjuntamente con respecto del cuadrado de la corriente, I, y la resistencia, R. Si esta tasa es de 1 watt cuando la corriente es de 0,1 ampere y la resistencia es de 100 ohms, determine la tasa de watts cuando la corriente es de 0,4 ampere y la resistencia es de 250 ohms. 25.- La resistencia eléctrica de un cable, R, varía directamente con respecto de su longitud, L, e inversamente con respecto del área de su sección transversal, A. Si la resistencia de un cable es de 0,2 ohm ( Ω ) cuando la longitud es de 200 pies y el área de su sección transversal es de 0,05 pulgada cuadrada, determine la resistencia de un cable cuya longitud es de 5000 pies con un área de sección transversal de 0,01 pulgada cuadrada. 26.- El número de llamadas telefónicas entre dos ciudades durante un periodo de tiempo dado, N, varía directamente con respecto del número de habitantes p 1 y p 2 de las dos ciudades e inversamente con respecto de la distancia, d, entre ellas. Si se realizan 100.000 llamadas entre dos ciudades que se encuentran a una distancia de 300 kilómetros y los números de habitantes de las ciudades son 60.000 y 200.000, ¿ cuántas llamadas se realizan entre dos ciudades con poblaciones de 125.000 y 175.000 que se encuentran a 450 kilómetros de distancia? 27.- Escriba un párrafo explicando los diferentes tipos de variaciones. Incluya en su análisis los términos de variación directa, inversa, conjunta y combinada. Dé su propio ejemplo de cada tipo de variación. 28.- (a) Si y varía directamente con respecto de x y la constante de proporcionalidad es 2, ¿ varía x directamente o inversamente con respecto de y ? Explique.(b) Dé la nueva constante de proporcionalidad para x como variación de y. 29.- (a) Si y varía inversamente con respecto de x y la constante de proporcionalidad es 0,3, ¿ varía x directamente o inversamente con respecto de y ? Explique. (b) Dé la nueva constante de proporcionalidad para x como variación de y. 30.- Un articulo en la revista Outdoor and Travel Photography dice: “ Si una superficie es iluminada por una fuente puntual de luz, la intensidad de la iluminación producida es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. En términos prácticos, esto significa que los objetos cercanos serán sobre expuestos, si el tema del fondo tiene la exposición adecuada con un flash. Así, el flash directo no ofrece resultados gratos si existe un objeto entre el plano principal y el sujeto.” Si el sujeto que usted está fotografiando se encuentra a 4 pies del flash y la iluminación sobre este sujeto es de de la luz del flash, ¿ cuál es la intensidad de iluminación en un objeto interpuesto que esta a 3 pies de distancia del flash? Página 18 de 94 31.- En una región especifica del país, la cantidad de gasto de agua de un cliente, W, es directamente proporcional al promedio diario de temperatura del mes, T, al área de césped, A, y la raíz cuadrada de F, donde F es el tamaño de la familia, e inversamente proporcional al número de pulgadas de lluvia, R. En un mes, el promedio diario de temperatura es 32° y el número de pulgadas lluvia es de 5,6. Si la familia promedio de 4 personas que tiene 1000 pies cuadrados de césped paga en promedio $ 68 de agua, estime el gasto de agua promedio en el mismo mes para una familia de 6 personas que tienen 1500 pies cuadrados de césped. 32.- La ley de Coulomb establece que la fuerza de atracción o repulsión, F, entre dos cargas puntuales, q 1 y q 2 , es directamente proporcional al producto de dichas cargas, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, r, entre ellas. Escriba la fórmula que representa la ley de Coulomb. ¿Qué le sucede a la fuerza de atracción si se duplica una carga, la otra se triplica y la distancia entre las cargas se reduce a la mitad? 33.- La presión, P,en libras por pulgada cuadrada (psi) sobre un objeto a x pies bajo el mar es de 14.70 psi más el producto de una constante de proporcionalidad, k, y el número de pies, x, a los que el objeto se encuentra bajo el nivel del mar . El 14,70 representa el peso, en libras, de la columna de aire ( a partir del nivel del mar hasta la parte superior de la atmósfera) que esta sobre un cuadrado de 1 pulgada por 1 pulgada de agua mar. kx representa el peso, en libras, de una columna de agua de 1 pulgada por 1 pulgada por x pies. Escriba una fórmula para la presión sobre un objeto que se encuentra a x pies bajo el nivel del mar. Si un medidor de presión en un submarino a 60 pies de profundidad registra 40,5 psi, determine la constante k. Un submarino está construido para soportar una presión de 160 psi. ¿ Hasta qué profundidad puede descender el submarino? Página 19 de 94 1.4. Elementos del Álgebra 1.4.1. Conjuntos Numéricos Los Números Reales El conjunto de los Números Reales (IR) es un conjunto no vacío denotado IR, cuyos elementos se llaman Números Reales. Estos números reales verifican los siguientes tres tipos de axiomas: 1. Axiomas de Cuerpo. 2. Axiomas de Orden 3. El axioma de Completitud o del Supremo. Debido a esto, se dice que IR es un Cuerpo Ordenado Completo. IR = { a, b, c,......} donde: a, b, c,......... son los números reales. Los Axiomas de Cuerpo. En reales hay definidas dos operaciones binarias internas la Suma o Adición (+), y el Producto o Multiplicación (·) Estas operaciones cumplen los siguiente 9 Axiomas: Axiomas: 1. La suma es asociativa: a + ( b + c ) = ( a + b ) + c 2. La suma es conmutativa: a + b = b + a 3. En reales existe un número real llamado El Elemento Neutro para la suma: 0 , tal que: a + 0 = a, IR a ∈ ∀ . 4. Para cada número real a existe un número real llamado El Opuesto de a : - a , tal que: a + (- a ) = a Página 20 de 94 5. La multiplicación es asociativa: a · ( b · c ) = ( a · b ) · c 6. La multiplicación es conmutativa: a · b = b · a 7. En reales existe un número real llamado El Elemento Neutro para la multiplicación: 1 , tal que: a · 1 = a, IR a ∈ ∀ . 8. Para cada número real 0 a≠ existe un número real llamado El Inverso de a: a 1 , tal que: a · a 1 = 1 9. La multiplicación es distributiva respecto de la suma, tal que: a ·( b + c ) = a·b + a·c Algunas propiedades básicas de la (+) y del (·) Definición 1: a – b = a + (-b) Resta o diferencia, a menos b a: minuendo, b: sustraendo 2: IR * = IR – { 0 } es decir ( ) | | | | ( ) 0 a IR a IR a ≠ ∧ ∈ ⇔ ∈ Teoremas : En IR 1: | | | | d b c a d, b b a d c , b a = + = + ⇒ = = 2: | | | | c b c a c, b c a b a = + = + ⇒ = 3: | | | | b a c b c a = ⇒ + = + 4: | | | | b a 0 c , c b c a = ⇒ ≠ = 5: IR 0 ! ∈ ∃ Página 21 de 94 6: - 0 = 0 7: IR 1 ! ∈ ∃ 8: IR a cada para único es a ∈ − 9: * IR a cada para único es a 1 ∈ 10: - (-a) = a 11: - (a + b – c ) = - a - b – c 12: a · 0 = 0 13: ( - a ) ( - b ) = a b 14: ( - a ) b = a (- b ) = - (a b) = - a·b 15: - ( a b c ) = (- a ) b c = a (- b ) c = a b (- c ) = - a b c 16: | | ( ) ( ) | | o 0 b 0 a 0 b a = ∨ = ⇒ = ⋅ ( ) ( ) | | | | o 0 b 0 a 0 b a = ⇒ ≠ ∧ = ( ) ( ) | | | | 0 b a 0 b 0 a ≠ ⇒ ≠ ∧ ≠ ........... en IR no hay divisores de cero 17: Si un producto de números reales es 0, por lo menos uno de sus factores es el número 0. 18: ( a + b + c ) ( p + q ) = ap + bp + cp + aq + bq + cq Definición 3: b 1 a b : a b a ⋅ = = b a partido por b, a dividido por b b a En a es el numerador, b es el denominador. En a : b a es el dividendo, b es el divisor Página 22 de 94 Teoremas : En IR 19: 1 1 1 = 20: a 1 a = 21: b 1 a 1 ab 1 ⋅ = 22: a a 1 1 = Observación 1: 0 a 1 = es falsa en IR Teoremas : En IR 23: ( ) 0 a 0 b a = ⇔ | . | \ | = 24: ( ) c b d a d c b a = ⇔ | . | \ | = 25: ( ) b a 1 b a = ⇔ | . | \ | = 26: 1 1 1 1 1 − = − = − 27: b a b a b a b a − − = − − = − − = 28: b a b a b a b a − − − = − = − = − Página 23 de 94 29: d b c a d c b a = ⋅ 30: c b c a b a = 31: b c a b c b a + = + 32: d b c b d a d c b a + = + 33: c b a c b 1 a c b a = ⋅ = ⋅ 34: c b c a c b 1 a c b a + = + = + 35: a b b a 1 = 36: c b d a c d b a d c b a d c b a = ⋅ = ÷ = Algunos subconjuntos de los números reales Definición 4: Los números Naturales (IN) es el conjunto de todos los números que pueden ser formados partiendo con 1 y luego formando: 1 + 1, (1 + 1) +1, [ (1 + 1) +1 ], etc. IN = {1,2,3,4,5,6,7,8,.........} IN 0 = { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,.........} = IN ∪ { 0 } Página 24 de 94 Definición 5: Aritméticamente el conjunto de los números naturales es insuficiente, entre otras cosas, por no ser cerrado para la diferencia al no contener los inversos aditivos de sus elementos. Por ello, un primer paso para remediar sus consecuencias es agregar a IN sus inversos aditivos, obteniendo el conjunto z de los números Enteros. Z = { ....-5,-4,-3,-2,-1,0, 1,2,3,4,......} Z + = { 1,2,3,4,......} Z - = { ....-5,-4,-3,-2,-1} Z * = Z – { 0 } Definición 6: Otro problema que nos muestra la insuficiencia del conjunto IN e incluso del conjunto z, es la resolución de la ecuación ax = b; a,b ∈ z, a ≠ 0. Esta ecuación solo tiene solución en z, si b es múltiplo de a. Para que las ecuaciones de este tipo tengan siempre solución, se hizo necesario ampliar nuevamente el sistema numérico, creando los números Racionales ( Q ) Q = ) ` ¹ ¹ ´ ¦ ∈ ∈ * Z Z b , a / b a Q * = Q - { 0 } Todo número racional tiene un desarrollo decimal infinito y periódico, y a todo número decimal infinito y periódico le corresponde un número racional. Definición 7: Se denominan números Irracionales ( I ), a los números que no pueden ser anotados como cuocientes de dos números enteros. A éstos números les corresponde un desarrollo decimal infinito y no periódico. Entre ellos podemos mencionar: ,...... e , , 5 1 , 2 3 π + la Página 25 de 94 mayor parte de los logaritmos de los números, a la mayor parte de los valores de sen x, .......etc. Dentro del conjunto de los números irracionales, existen dos tipos: los algebraicos y los trascendentes. Los primeros son aquellos generados por las raíces inexactas, como por ejemplo: 2 . Los números irracionales trascendentes son números generados por procesos de mediciones, como por ejemplo el número π . Definición 8: La unión de conjunto de los números racionales y los números irracionales representan el conjunto de los números reales. I Q R ∪ = Los números reales se emplean en todas las fases de las matemáticas y es importante estar familiarizado con los símbolos que representan: IR = ) ` ¹ ¹ ´ ¦ − − − − − L L L L L L L L L L L L ; 8 ; 12 49 ; 3 ; 533 , 0 ; 0 ; 333 , 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 85 3 Conclusión: Todos los números reales tienen desarrollos decimales infinitos. A cada número decimal infinito le corresponde un número real. Todos los números decimales infinitos se dividen únicamente en dos grupos: 1. Los que tienen un desarrollo periódico. Los números reales racionales. 2. Los que tienen un desarrollo no periódico. Los números reales irracionales. Página 26 de 94 Números Racionales (Q ) Números Irracionales ( I ) Números Enteros ( Z ) Números Naturales ( N ) Números Reales ( R ) Página 27 de 94 GUÍA DE EJERCICIOS CONJUNTOS NÚMERICOS 1-. Determine en cada caso si las afirmaciones son falsas o verdaderas y justifique su respuesta. a) La suma de dos números negativos debe ser negativa. b) La diferencia entre dos números negativos debe ser negativa. c) El producto de dos números negativos debe ser negativo. d) El cociente de dos números negativos debe ser negativo. 2-. Realice las operaciones siguientes: a) –12 + ( -8 ) b) 13 + ( -5 ) c) –12 - ( -1 ) d) – 4 - (-13) + (-5 + 10) e) –5 (-17) (2) (-2) 4 f) –8 [ 4 + ( 7 - 8 ) ] g) 6 18 − − h) 9 36 − i) 7 0 − j) 6 7 ) 3 ( ) 4 10 ( − − − ⋅ + − 3-. ¿ Cuáles de las siguientes operaciones no están definidas ? a) 0 8 b) 6 6 9 − c) 5 5 4 4 − − d) 1 0 − 4-. Indique la propiedad ilustrada en cada una de las siguientes proposiciones. a) 3 + 2 = 2 + 3 b) 5 ⋅ 4 = 4 ⋅ 5 c) 3 + ( 5 + 4) = ( 3 + 5 ) + 4 d) (3 ⋅ 5) ⋅ 6 = 6 ⋅ (3 ⋅ 5) e) 6 + ( -6 ) = 0 f) 13 + 0 = 13 g) 8 ⋅ 1 = 8 h) ( ) 1 3 3 1 = − ⋅ | . | \ | − i) 6 ⋅ (2 ⋅ 4) = (6 ⋅ 2) ⋅ 4 j) 3 ⋅ ( 4 + 5 ) = 3⋅ 4 + 3⋅ 5 Página 28 de 94 5-. a) Evalué 6 – 8 y 8 – 6 b) Por medio de los resultados de la parte a), podríamos concluir que la sustracción no es una operación __________. c) ¿ Existen algunos números reales a y b para los que a – b = b – a? Si es así, dé un ejemplo. 6-. a) Evalúe 5 10 y 10 5 ÷ ÷ . b) Por medio de los resultados de la parte a), podríamos concluir que la división no es una operación __________. c) ¿Existen algunos números reales a y b para los que a b y b a ÷ ÷ ? Si es así, dé un ejemplo. 7-. Si el recíproco del un número ( a – 4 ) es 5 1 , determine el opuesto aditivo de a + 1. 8-. Muchos acontecimientos cotidianos pueden considerarse como operaciones que tienen opuestos o inversos. Por ejemplo, la operación inversa de “dormir” es “despertarse”. Para cada una de las actividades dadas, especifique su actividad inversa. a) Limpiar su cuarto. b) Ganar dinero. c) Subir el volumen de su radio. 9-. Muchas actividades cotidianas son conmutativas; lo que significa que el orden en que ocurren no afecta el resultado. Por ejemplo, “ponerse la camisa” y “ponerse los pantalones” son operaciones conmutativas. Decida si las actividades dadas son conmutativas. a) ponerse los zapatos; ponerse los calcetines. b) vestirse; bañarse. c) Peinarse el cabello; cepillarse los dientes. 10-. La propiedad distributiva se cumple para la multiplicación con respecto a la adición. ¿ Se cumple la propiedad distributiva para la adición con respecto a la multiplicación? Página 29 de 94 11-. La superficie, o borde, de un desfiladero está a una altitud de 0. En una caminata hacia la parte inferior del desfiladero, un grupo de excursionistas se detiene a descansar a 130 metros por debajo de la superficie. Luego, descienden otros 54 metros. ¿ Cuál es su nueva altitud? 12-. Cierto matemático griego nació en el año 426 a. C. Su padre nació 43 años antes. ¿ En que año nació su padre? 13-. El jueves 7 de abril de 1994, las acciones de Hewlett - Packard cerraron a 4 3 83 dólares ( por acción). Esto significaba 4 21 dólares sobre el precio al inicio del día. ¿ Cuánto costaba una acción al inicio del día? 14-. Determine en cada caso si las afirmaciones son falsas o verdaderas y justifique su respuesta. a) 7 3 es un elemento de Z b) 8 5 − es un elemento de Q c) 6 es un elemento de IR d) 7 − es un elemento de IR e) 3,9 es un número racional f) π es un elemento de II g) 2,89999..... es un elemento de II h) 0,878778777877778... es un elemento de Q i) 3,14159 es un elemento de Q j) b a , para cualquier a y b enteros es un número racional. k) Todo número irracional es un número real. l) Existen números decimales que no son reales. m) Hay números reales que son racionales e irracionales. n) Existe un número decimal que no puede expresarse como cociente de dos números enteros. Página 30 de 94 15-. Evalúe: a) 4 3 8 1 4 1 8 5 + − b) 3 + 2 1 1 1 1 1 1 1 + + + c) 3 2 2 ) 4 , 2 ( ) 8 , 0 ( ) 7 , 3 ( + − d) 2 2 3 3 2 3 1 2 1 | . | \ | − − | . | \ | − | . | \ | − e) 2 8 5 25 2 2 3 15 ÷ + ÷ ⋅ + ÷ f) 7 2 3 5 4 3 2 4 8 2 2 − ⋅ − − ⋅ ÷ − g) ( ) ( ) | | 16 2 4 3 8 64 5 8 4 8 2 4 4 2 2 3 2 + − − − + − − − − ⋅ ÷ − − Página 31 de 94 1.4.2. Expresiones Algebraicas. Introducción. El álgebra se desarrolló a partir de las reglas y operaciones de la aritmética. En el álgebra introducimos símbolos o letras tales como a, b, c, d, e, x ,y,... para denotar números arbitrarios y frecuentemente consideramos expresiones generales. Este lenguaje del álgebra es útil por dos razones. Primero, puede ser utilizado para abreviar y simplificar expresiones largas o complicadas, y segundo, es un modo adecuado de generalizar muchas expresiones específicas. Consideremos la siguiente expresión: “ si se suman dos números, el orden en que se suman no tiene importancia; esto es, se obtiene el mismo resultado si el segundo número se suma al primero, o si el primero se suma al segundo”. Esta larga descripción puede ser reducida y comprendida fácilmente por medio de la expresión algebraica: a + b = b + a Algunas fórmulas usadas en la ciencia y en la industria pueden servir para ilustrar la generalidad del álgebra. Por ejemplo si un avión vuela a una rapidez constante de 300 h mi durante 2 horas, entonces la distancia recorrida será 300 h mi x 2 h = 600 millas. Si introducimos símbolos y denotamos con r la rapidez constante, con t el tiempo transcurrido y con d la distancia recorrida, entonces el ejemplo anterior es un caso especial de la fórmula algebraica general: d = r t Cuando se dan valores numéricos determinados a r y t, la distancia d puede ser calculada sustituyendo adecuadamente en la fórmula. Además la fórmula se puede usar para resolver problemas relacionados. Por ejemplo, si conocemos r y se quiere averiguar el tiempo t necesario para recorrer una distancia d, puede obtenerse por medio de la fórmula: r d t = Página 32 de 94 Del mismo modo, si conocemos d y se quiere averiguar la rapidez constante r a la cual un avión recorrería esa distancia en un tiempo dado t, puede obtenerse por medio de la fórmula : t d r = Nótese cómo la introducción de una fórmula algebraica no sólo permite resolver convenientemente problemas especiales, sino que también amplía el alcance de nuestro conocimiento al sugerir problemas nuevos. Hay un número ilimitado de problemas en los que el enfoque simbólico puede conducirnos a conocimientos profundos y soluciones que serían imposibles de obtener con procesos numéricos. Expresiones Algebraicas. Definición 1: Un término, o monomio, se define como un número, una variable o un producto de números y variables. Definición 2: Un polinomio es un término o una suma finita de términos, con sólo exponentes enteros no negativos permitidos en las variables. Si los términos de un polinomio sólo tienen a la variable x, entonces el polinomio se denomina polinomio en x. Usaremos la notación: { } R sobre x en polinomio ) x ( p / ) x ( p : ] x [ R = N ∈ + + + + + + − − − − n , a x a ..... x a .. x a x a x a 0 1 i i 2 n 2 n 1 n 1 n n n Definición 3: Si 0 a n ≠ , diremos que p(x) es un polinomio de grado n y escribiremos: n ) x ( p gdo = El mayor exponente en un polinomio en una variable es el grado del polinomio. Cualquier número real puede ser considerado como un polinomio de grado cero y, en tal caso, los llamaremos polinomios constantes. Página 33 de 94 Definición 4: Para n i 0 ≤ ≤ , las expresiones i i x a las llamaremos los términos del polinomio y los elementos i a los coeficientes de los correspondientes i x . Observación 1: Un polinomio puede tener más de una variable. Un término que consiste en más de una variable tiene grado igual a la suma de todos los exponentes que aparecen en las variables en el término. El grado de un polinomio con más de una variable es igual al mayor grado de los términos del polinomio. Definición 5: Todo polinomio que consta exactamente de tres términos se conoce con el nombre de trinomio, y aquel que posee dos términos se denomina binomio. Definición 6: Términos semejantes son aquellos que tienen los factores con variables exactamente iguales. 1.4.3 Operaciones con expresiones algebraicas. Definición 1: Los polinomios se suman, adicionando los coeficientes de términos semejantes. Definición 2: Los polinomios se restan, sustrayendo los coeficientes de términos semejantes. Definición 3: Los polinomios se multiplican, aplicando las propiedades asociativas y distributivas, junto con las propiedades de las potencias. Página 34 de 94 Definición 4: Se denominan productos notables a aquellos resultados de la multiplicación entre polinomios que tienen características especiales. Algunos de ellos: Caso 1: Cuadrado de un binomio ( ) ( ) ( ) 2 2 2 x y x 2 x y x y x y x + + = + = + ⋅ + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 y y x 2 x y x y x y x + − = − = − ⋅ − Caso 2: Suma por su diferencia ( ) ( ) 2 2 y x y x y x − = − ⋅ + Caso 3: Cubo de un binomio ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 3 3 y y x 3 y x 3 x y x y x y x y x + + + = + = + ⋅ + ⋅ + ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 3 3 x y x 3 y x 3 x y x y x y x y x − + − = − = − ⋅ − ⋅ − Caso 4: Binomios con un término común ( ) ( ) b a x ) b a ( x a x b x 2 ⋅ + ⋅ + + = + ⋅ + Caso 5: Binomios con un término común y coeficientes diferentes ( ) ( ) d b x ) c b d a ( x ac d x c b x a 2 ⋅ + ⋅ + + = + ⋅ + Caso 6: Cuadrado de un trinomio. ( ) ( ) ( ) yz 2 xy 2 xy 2 z y x z y x z y x z y x 2 2 2 2 + + + + = + + = + + ⋅ + + + Página 35 de 94 Definición 5: El proceso de encontrar polinomios cuyo producto es igual a un polinomio dado se denomina factorización. Un polinomio que no puede escribirse como un producto de dos polinomios con coeficientes enteros es un polinomio primo o polinomio irreducible. Un polinomio está completamente factorizado cuando se escribe como un producto de polinomios primos con coeficientes enteros. Caso 1: Factorización del máximo factor común: Los polinomios se factorizan por medio de la propiedad distributiva, buscamos un monomio que sea el máximo factor común de todos los términos del polinomio. Forma: ( ) b a x x b x a + = + Caso 2: Factorización por agrupación: Cuando un polinomio tiene más de tres términos, algunas veces puede factorizarse por medio de este método. Forma: ( ) ( ) ( ) ( ) b a y x y x b y x a y b x b y a x a + + = + + + = + + + Caso 3: Factorización de trinomios: La factorización es el opuesto de la multiplicación. Como el producto de dos binomios por lo general es un trinomio, podemos esperar trinomios factorizables ( que tengan términos sin factor común) que tengan como factores a dos binomios. Formas: a) ( ) ( ) ( ) b x a x b a x b a x 2 + + = + + + b) ( ) ( ) ( ) d c x b x a d b x bc ad c x a 2 + + = + + + Página 36 de 94 Caso 4: Factorización de trinomios cuadrados perfectos: Formas: a) ( ) ( ) b a b a b b a 2 a 2 2 + + = + ⋅ + b) ( ) ( ) b a b a b b a 2 a 2 2 − − = + ⋅ − Caso 5: Factorización de diferencia de cuadrados: Forma: ( ) ( ) b a b a b a 2 2 − + = − Caso 6: Factorización de diferencias de n – ésimo: Forma: ( ) ( ) + ∈ ∀ + + + − = − Z n b .......... b a b a a b a b a 1 - n 2 3 - n 2 - n 1 - n n n Caso 7: Factorización de sumas de n – ésimo: Forma: ( ) ( ) + ∈ ∀ + − + − + = + Z n b ...... b a b a a b a b a 1 - n 2 3 - n 2 - n 1 - n n n y n impar Teorema 1: ( Algoritmo de la división). Sean a(x), b(x)∈ R[x] con b(x) ≠ 0. Entonces existen dos únicos polinomios q(x), r(x) ∈ R[x] tales que: a(x) = q(x) · b(x) + r(x) donde r (x) = 0 o ) x ( b gdo ) x ( r gdo < Página 37 de 94 Ejemplo 1: Consideremos los polinomios: 3 x 2 x ) x ( a 3 + + = y 1 x 3 x 2 ) x ( b 2 + − = 4 9 x 4 15 4 3 x 4 9 x 2 3 3 x 2 3 x 2 3 x 2 1 x 2 3 x 4 3 x 2 1 ) 1 x 3 x 2 ( : ) 3 x 2 x ( 2 2 2 3 2 3 + + − + + + − + = + − + + Entonces: | . | \ | + + + − ⋅ | . | \ | + = + + 4 9 x 4 15 ) 1 x 3 x 2 ( 4 3 x 2 1 3 x 2 x 2 3 con gdo r (x) = gdo | . | \ | + 4 9 x 4 15 = 1 < gdo 2 ) 1 x 3 x 2 ( 2 = + − Al polinomio q (x) lo llamaremos el cuociente y al polinomio r (x) el resto en la división de a (x) por b (x). Corolario 1: (Teorema del resto) El resto de la división de un polinomio p (x) por x – a es: p (a). Definición 6: Sean a (x), b (x) ∈ R [ x ]. Diremos que el polinomio a (x) es divisible por el polinomio b (x) ( o bien que b (x) es un factor de a (x) ) y escribiremos: ) x ( b ) x ( a , si solo si existe c(x) ∈ R [ x] tal que a (x) = c(x) · b(x). Corolario 2: ( Teorema del factor ) Un polinomio p (x) es divisible por x – a si solo si p(a) = 0. Página 38 de 94 Definición 7: Para facilitar la búsqueda del cuociente q (x) y el resto r (x) cuando un polinomio sobre R es dividido por x – c, introduciremos el método de división sintética que describiremos a continuación: Sean n n 1 n 1 n 2 2 1 0 x a x a ...... x a x a a ) x ( p + + + + + = − − (1) n n 1 n 1 n 2 2 1 0 x b x b ...... x b x b b ) x ( q + + + + + = − − Entonces: ( ) ( ) ( ) ( ) ) r ) x ( r Aquí ( . x b x cb b ... .......... ......... x cb b x cb b cb r ) x ( r ) x ( q ) c x ( ) x ( p n 1 n 1 n 1 n 2 n 2 2 1 1 0 0 ≡ + − + + + − + − + − = + − = − − − − (2) igualando los coeficientes en (1) y (2) se tiene que: 0 0 1 0 1 1 n 2 n 1 n 1 n n cb r a , cb b a ,......., b c b a b a − = − = − = = − − − − 0 1 1 n n a a ..... a a − c 0 1 1 n b c b c ..... b c − 0 0 1 1 0 1 n 1 n 2 n n 1 n cb a r cb a b ..... b c a b a b + = + = + = = − − − − Así solamente listando los coeficientes y realizando simples multiplicaciones y sumas, podemos leer el cuociente y el resto, de la última línea. Definición 8: Sea p (x) ∈ R [ x ] gdo p(x) > 0. Diremos que p(x) es un polinomio irreducible en R [x] si solo si los únicos factores de p(x) son polinomios constantes o múltiplos constantes de p(x). En caso contrario diremos que p(x) es reductible sobre R [ x ]. Página 39 de 94 Teorema 2: Todo polinomio p (x) ∈ R [ x ] gdo p(x) > 0 puede escribirse como un producto de un número real distinto de cero y polinomios mónicos irreductibles sobre R [ x ]. Además, salvo el orden de los factores, esta expresión es única. Ejemplo 2: Sea p(x) = 12 x 8 x 14 x 4 x 2 2 4 5 − − − − . Entonces ( ) ( ) ( ) 3 x 2 x 1 x x 2 ) x ( p 2 2 − + + + = son polinomios mónicos irreductibles en R [ x ]. Observación 1: 1) Sea b (x) ∈ R [ x ] , gdo p(x) > 0. Si p (c) = 0 para algún c∈ R, entonces p (x) es reducible en R [x] pues, por el teorema del factor, x - c es un factor de p (x). 2) Los polinomios irreducibles en R [x] son los polinomios lineales (de primer grado ) y los polinomios cuadráticos: 0 ac 4 b con , c x b x a ) x ( d 2 2 < − + + = . Luego, dado p (x) ∈ R [ x ] , este polinomio puede escribirse (Teor. 2) en la forma: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . 0 c a 4 b y 0 a con c x b x a ) x ( d .......m, 3,........ 2, 1, i para y R r ,........, r a, donde x d ....... x d ) x ( d r x ...... r x r x a ) x ( p i i 2 i i i i 2 i i k 1 m 2 1 k 2 1 < − ≠ + + = = ∈ ⋅ − − − = Página 40 de 94 10 Figura 2 Figura 3 Figura 1.1 Figura 1.2 GUÍA DE EJERCICIOS ÁLGEBRA 1-. (a) Escriba una expresión polinomial para el área de la porción sombreada de la figuras (1.1 y 1.2 ) . (b) determine el área de los rectángulos mayor y menor: i) ii) 2-. Escriba polinomios para (a) el volumen y (b) el área de la superficie del objeto que se muestra en la figura 2: 3-. Escriba un polinomio en las variables r y s para el área de la región que se muestra en la figura 3 x x x + 2 10 r r s x + 4 x 2x 2x + 3 3x - 1 2x - 1 2x + 4 3x + 6 Área de la región sombreada es 67 cm 2 Área de la región sombreada es 139 cm 2 Página 41 de 94 a b a Figura 6 Figura 5.1 Figura 5.2 Figura 5.3 Figura 4.1 Figura 4.2 4-. En las figuras (4.1 y 4.2 ). ¿ cuántas veces es más grande el área o volumen de la figura de la derecha que el de la izquierda? Explique cómo determinó su respuesta. i) ii) 2 1 5-. En las figuras (5.1, 5.2 y 5.3) siguientes (a) escriba una expresión para el área sombreada y (b) escriba la expresión en forma factorizada. i) ii) iii) 6-. Explique cómo justifica la figura 6 la factorización de a 2 + 2 a b + b 2 = ( a + b ) 2 (a y b positivos) ab ab a 2 b 2 b a a + b b b a a a a x y x x x x + y 2x + 4 x + 8 12 x + 24 x + 4 3 x + 6 4x + 4 x + 2 x x + 1 2 x Página 42 de 94 b a - b a a a b b b a - b b a a a b Figura 9 Figura 8 Figura 7 b 7-. Explique como justifica la figura 7 la fórmula de Factorización de: a 2 – b 2 = (a + b) (a - b) donde , a > b > 0 8-. (a) Escriba una expresión para el área de la superficie de los cuatro lados de la figura 8 (omita la tapa y la base). (b) escriba la expresión en forma factorizada. 9-. La figura 9 indica que la fórmula de factorización para la diferencia de dos cubos, a - b = (a - b) (a 2 + a b + b 2 ) para a > b > 0, se puede justificar geométricamente. a - b a b 2 Página 43 de 94 10-. Factorice al máximo las siguientes expresiones: a) x 3 – ax 2 i) x 2 – 10x + 25 b) ax 3 – bx 2 + cx j) 6x 2 + 15x - 9 c) 9a 2 – ( a + b ) 2 k) 4x 2 - 12x + 9 d) a 2 + a – ab 2 – b 2 l) 2x 2 + 2x - 12 e) 27x 3 – 1 m) x 4 + x 2 + 1 f) 216 – x 6 n) 9x 4 + 6x 2 + 1 g) x 2n – 1 o) x 4 + 2x 2 + 9 h) 9 n - 1 p) (a + b) 3 + ( a – b) 3 11-. Simplifique hasta encontrar la expresión irreductible: a) ( ) ( ) 2 2 2 2 a 4 1 b x ab 2 ax 2 b x − + − − + b) by ay b 4 a 4 bd bc ad ac + − − − − + c) ( ) 2 2 n 1 n b a ) 1 ( ) b a ( ) 1 ( − − + − + d) 3 2 4 3 2 x x 2 x x x x x + − − + − 12-. Efectuar las operaciones siguientes, simplificando al máximo: a) 4 x x 6 x x x 2 2 2 − − − + b) 3 - 1 x 4 1 x 2 2 − + + c) a b b b a a b a b a 2 2 2 2 − − + + − + d) 3 x 4 x x 4 x 9 x 2 2 + + ⋅ + − e) 1 x 1 x 1 x 6 x 5 x 4 2 2 2 − + ÷ − + + f) 5 x x 3 2 x 3 3 x 2 − ⋅ | | . | \ | − − − g) | | . | \ | − + + | | . | \ | + + 1 x 2 x 1 : 1 x 1 x h) y x xy x y x xy x + − − + Página 44 de 94 13-. Efectúe las siguientes divisiones. Indique cuociente y resto. Exprese cada división en la forma : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = | . | \ | − + ÷ | . | \ | + − + = + ÷ + − + − = − ÷ − + = + ÷ + − + + = 1 x 5 x 2 1 1 x 2 9 x 20 399 x 2 ) d 2 x 2 x 16 x 3 x 8 x ) c 3 x 2 x 3 x 4 5 ) b 1 x 3 1 x x 5 x 2 ) a B R C B : A 2 2 3 2 2 3 4 3 2 3 4 14-. | . | \ | − + − + − = 2 1 p ) 2 ( p : calcule 1 x x 6 x 3 ) x ( p Si 2 3 15-. ( ) 2 x por divisible es 2 x 3 x 3 x 3 x que Demuestre 2 3 4 + + + + + 16-. Utilizando división sintética , determinar el cuociente y resto . Compruebe su respuesta. ( ) ( ) = + ÷ + − − + 1 x 1 x 5 x 6 x 2 x 4 2 3 4 17-. Determine si (x+3) es un factor del polinomio : 18-. Sin efectuar división , determine el resto en : ( ) x x x x x 4 3 2 4 5 20 4 − + − | \ | . | ÷ − 19-. Encuentre los valores de K para que : ) 3 x ( por divisible sea K 6 x K x 3 x 4 3 + + − + 20-. , 7 x 4 es 5 x 15 x 18 Kx px : a divide 2 x 3 x cuando resto El 2 3 4 2 − − + − + + − . 4 K y 1 p que Demuestre = = 21-. , 2 x por divisible es a b bx x 3 polinomio el b y a de valores que ¿Para 2 2 + − − + ? 1 resto da 1 x por dividirlo al pero − 22-. , 0 ) 5 ( p ) 1 ( p Si . ax bx x 14 x 10 x 2 ) x ( p Sea 2 3 4 5 = − = + − − + = producto como ) x ( p escribir . grado primer de factores de 1.4.4. Potencias 27 x 12 x 4 x ) x ( P 2 3 + − − = Página 45 de 94 Potencias de base real y exponente natural o entero. entero. exponente de potencias las definir basta , Como n exponente y a base de potencia : n a n o n , a Z N z N R ⊂ ∈ ∈ ∈ Definición 1: : entonces n , a Z R ∈ ∈ ( ) ( ) | | | | ( ) ( ) | | ( ¸ ( ¸ = ⇒ ≠ ∧ ∈ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ¦ ) ¦ ` ¹ ⋅ = = ∈ = ⇒ ≠ ∧ = − − + + n n n n 1 n 1 0 a 1 a 0 a n ) 3 a veces n a .......... a a a a a : bien o a a a a a n ) 2 1 a 0 a 0 n ) 1 Z z 4 4 4 3 4 4 4 2 1 Teorema 1: Z R ∈ ∈ n m, ; b , a : adecuadas nes restriccio las Con 1. n m n m a a a + = ⋅ 2. n m n m a a a − = 3. ( ) n m n m a a ⋅ = 4. ( ) n n n b a b a ⋅ = ⋅ 5. n n n b a b a = | . | \ | 6. n n a b b a | . | \ | = | . | \ | − 1.4.5 Notación Científica Página 46 de 94 Con frecuencia, los científicos e ingenieros trabajan con números muy grandes o muy pequeños. Por ejemplo, la frecuencia de una señal de radio de FM puede ser de 14.200.000.000 hertz ( o ciclos por segundos ) y el diámetro de un átomo es aproximadamente de 0,0000000001 metros. Como es difícil trabajar con muchos ceros, los científicos acostumbran expresar tales números con exponentes. Por ejemplo, el número 14.200.000.000 puede escribirse como 1,42 x 10 10 , y 0,0000000001 como 1 x 10 -10 o ( 10 -10 ) están en una forma llamada notación científica. Definición 1: Un número está escrito en notación científica cuando se expresa en la forma: entero un es n y , 10 k 1 donde 10 k n < ≤ ⋅ Es decir es una manera de escribir cantidades muy grandes o muy chicas en forma abreviada utilizando las potencias de 10 tanto con exponentes negativos como positivos. Algoritmo para escribir un número en notación científica: 1. Mueva el punto decimal en el número a la derecha del primer dígito distinto de cero. Con esto se obtiene un número mayor o igual a 1 y menor que 10. 2. Cuente el número de lugares que movió el punto decimal en el paso 1. si el número original fue 10 o mayor que 10, la cuenta se considera positiva. Si el número original fue menor que 1, la cuenta se considera negativa. 3. Multiplique el número obtenido en el paso 1 por 10 elevado al número ( potencia) determinado en el paso 2. Página 47 de 94 Algoritmo para convertir un número en notación científica a forma decimal. 1. Observe el exponente de la base 10. 2. (a) Si el exponente es positivo, mueva el punto decimal hacia la derecha el mismo número de lugares del exponente. Tal vez sea necesario agregar ceros al número. Con esto se obtiene un número mayor o igual que 10. (b) Si el exponente es 0, el punto decimal en el numero no se mueve de su posición actual. Elimine el factor 10 0 . Con esto se obtendrá un número mayor o igual a 1 pero menor que 10. (c) Si el exponente es negativo, mueva el punto decimal hacia la izquierda el mismo número de lugares que el exponente. Tal vez sea necesario agregar ceros. Esto produce un número menor que 1. Página 48 de 94 A continuación se presenta un resumen de las potencias de 10 y los prefijos y sufijos que se sustentan en ellas y que son de gran utilidad en las diferentes asignaturas de tu especialidad: NOMBRE SIMBOLO VALOR Yotta Y 1.000. 000. 000. 000. 000. 000. 000. 000 = 24 10 Zetta Z 1. 000. 000. 000. 000. 000. 000. 000 = 21 10 exa E 1. 000. 000. 000. 000. 000. 000 = 18 10 peta P 1. 000. 000. 000. 000. 000 = 15 10 tera T 1. 000. 000. 000. 000 = 12 10 giga G 1. 000. 000. 000 = 9 10 mega M 1. 000. 000 = 6 10 kilo K 1. 000 = 3 10 hecto H 100 = 2 10 deca D 10 = 1 10 unidad 1 = 0 10 deci d 0.1 = 1 10 − centi c 0. 01 = 2 10 − mili m 0. 001 = 3 10 − micro µ 0. 000. 001 = 6 10 − nano n 0. 000. 000. 001 = 9 10 − pico p 0. 000. 000. 000. 001 = 12 10 − femto f 0. 000. 000. 000. 000. 001 = 15 10 − atto a 0. 000. 000. 000. 000. 001 = 18 10 − zepto z 0. 000. 000. 000. 000. 000. 000. 001 = 21 10 − yocto y 0. 000. 000. 000. 000. 000. 000. 000. 001 = 24 10 − Página 49 de 94 GUÍA DE EJERCICIOS POTENCIAS 1-. Realice las operaciones indicadas utilizando los teoremas sobre exponentes enteros positivos: 2-. Calcular el valor numérico de 3-. Simplifique las expresiones siguientes de modo que el resultado no contenga exponentes negativos ni cero : ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 2 3 4 3 4 2 2 4 3 5 3 5 2 2 2 3 3 4 2 2 3 2 2 5 y x y x y x 2 y x 4 y x 2 ) f y x 12 y x 48 y x 12 ) c y 7 x 3 x 2 y 7 x 3 x 2 ) e z y x 7 z x 4 y x 5 ) b y x 3 y x 21 y x 27 y x 9 ) d y x 21 y x 4 ) a − + − − + − ⋅ − − − − ⋅ ⋅ + − − ⋅ n m n m ) b b a b a a 2 b a ) a 3 3 3 5 3 2 0 2 3 + + + + − − − − − − ( ) ( ) ( ) ( ) 2 b 2 , 0 a para a b b a b a a b b a b a A 3 6 4 5 − = = − + ⋅ − − − ⋅ − − − = Página 50 de 94 4-. Ejecute las operaciones indicadas y simplifique si es posible: 5-. Expresar en potencia de diez los siguientes números: a) 0,01 b) 0,00002 + 0,003 × 0,01 + 0,00007 c) 300.000.000.000 d) 0,00000000000000000002 e) 0,0005 ÷ 0,1 - 0,03 + 5 × 0.003 + 0,0007 f) 0,0000000000009 × 0,000000000012 ÷ 0,0000000006 × 0,000000007 g) 100.000.000.000 × 500.000.000.000 ÷ 0,000000000000000000000025 h) 1 ÷ 0,000000008 + 400.000.0000 - 1 ÷0,00000125 6-. La distancia de la Tierra al planeta Plutón es de 4.58 x 10 9 kilómetros. En abril de 1983, el Pioneer 10 transmitió señales de radio desde Plutón hacia la Tierra a la velocidad de la luz, 3.00 x 10 5 kilómetros por segundo. ¿ Cuánto tardarán ( en segundos) las señales en llegar a la Tierra? ( )( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 3 3 2 1 2 3 5 3 2 0 2 3 x 1 x 1 ) h y x y x ) g y x y x ) f y x ) e y y 5 2 y y 2 y 3 y ) d b a b a a 2 b a ) c − − − − − − − − − − − − − − − − − − − + − + + + + + ⋅ + − − ⋅ + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n m n 4 m n 5 n n 2 n 3 m 3 b 2 b 3 b 2 b b 1 b 1 b 1 2 2 3 1 m 2 m 1 m 2 m 1 2 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 x x x x ) j 81 27 3 9 ) i b 3 2 b 3 b 2 ) h 81 27 9 ) g x 3 x 5 x ) f 3 2 ) e 1 x 1 x 1 x ) d b 3 b 2 ) c x 3 x 2 x ) b x ) a 2 + + + + − − + + − − − + + − − − − − − − − − − − − − − | | . | \ | ÷ | | . | \ | ÷ = − − − ÷ ⋅ − + − − − − ⋅ + ⋅ − ⋅ = − ÷ − − Página 51 de 94 7-. Un año luz es la distancia que la luz recorre en un año. Encuentre el número de millas en un año luz, si la luz viaja a 1,86 x 10 5 millas por segundo. 8-. Cuando la distancia entre los centros de la Luna y la Tierra es de 4.60 x 10 8 metros, un objeto sobre la línea que une los centros de la Luna y de latiera ejerce la misma fuerza gravitacional sobre cada uno cuando este se encuentra a 4,14 x 10 8 metros desde el centro de la Tierra. ¿ Cuál es la distancia del objeto al centro de la Luna en ese punto? 9-. La distancia al sol es de 93.000.000 millas. Si una nave espacial viaja a una velocidad de 3100 millas por hora, ¿ cuánto tiempo tardará en llegar al Sol? 10-. El Pioneer 10, una sonda del espacio profundo, se demoró 21 meses para viajar de Marte a Júpiter. Si la distancia de Marte a Júpiter es de 998 millones de kilómetros, determine la velocidad promedio del Pioneer 10 en kilómetros por hora (suponga que hay 30.4 días en un mes) 11-. Los futuros computadores podrían ser fotónicos ( es decir, que operan mediante señales de luz) más que electrónicos. La velocidad de la luz (3 x 10 10 s cm ) será un factor limitante para el tamaño y la velocidad de tales computadores. Suponga que una señal debe ir de un elemento de un computador fotónico a otro en un nanosegundo, ¿ cuál es la distancia máxima posible entre estos dos computadores. Dé su respuesta (a) en centímetros y (b) en pulgadas. (Información relacionada con el tema en la revista IEEE SPECTRUM august 2002 o www.ieee.org) 12-. La capacidad de almacenamiento de un computador se describe en kilobytes, donde 1k representa un kilobyte ( o aproximadamente 1000 bytes) de memoria. Si se quiere un byte para representar un solo símbolo como una letra, un número, un signo de puntuación, ¿ aproximadamente cuántos símbolos es capaz de almacenar un computador de 512k? Dé la respuesta(a) en forma decimal (b) en notación científica. Página 52 de 94 1.4.6 Las Raíces en Reales Definición 1: r, a ∈ R; n∈ N * : 1) r es una raíz de orden n ( o es una Raíz Enésima) del número a, si sólo si: a r n = 2) { } a r / R r R n n a = ∈ = Conjunto de las Raíces Enésimas de a Si n = 2 : Raíces Cuadradas. n = 3 : Raíces Cúbicas. n = 4 : Raíces Cuartas. .................................... Teorema 1: Todo número real positivo tiene siempre una y una raíz enésima positiva (de orden n) Definición 2: 1) La única raíz positiva de orden n del número positivo a se denomina La Raíz Aritmética de Orden n de a. Se denota: n a donde n : índice de la raíz : radical a : número subrradical 2) 0 0 n = Página 53 de 94 Teorema 2: En Reales 1. ( ¸ ( ¸ ) ` ¹ ¹ ´ ¦ − = ⇒ ( ¸ ( ¸ + ∈ n n n a a , a R par : n , a R 2. ( ¸ ( ¸ ) ` ¹ ¹ ´ ¦ = ⇒ ( ¸ ( ¸ + ∈ n n a a R impar : n , a R 3. { } | | φ = = ⇒ ( ¸ ( ¸ ∈ n a R par : n , a - R 4. ( ¸ ( ¸ ) ` ¹ ¹ ´ ¦ − − = ⇒ ( ¸ ( ¸ − ∈ n n a a R impar : n , a R 5. { } 0 R n 0 = Propiedades de las raíces aritméticas: Teoremas 3 : Con las restricciones adecuadas. 1. ( ) ( ) n n b a b a = ⇒ = 2. n n n b a b a ⋅ = ⋅ 3. n n n b a b a = 4. ( ) n m m n a a = 5. a a n n = 6. n n n b a b a ⋅ = ⋅ 7. n q p n p q a a = ⋅ ⋅ 8. m n m n a a ⋅ = Página 54 de 94 Potencias de base real positiva y exponente racional Definición 3: : entonces , n , m ; a + ∈ ∈ + ∈ Z Z R n m n m a a = Teoremas 4 : Q R ∈ + ∈ q , p ; b , a . Con las restricciones adecuadas: 1. q p q p a a a + = ⋅ 2. q p q p a a a − = 3. ( ) q p q p a a ⋅ = 4. ( ) p p p b a b a ⋅ = ⋅ 5. p p p b a b a = | . | \ | Racionalización de algunos tipos de expresiones: 1. b b a b b b a b a = ⋅ = 2. b b a b b b a b a n m n n m n n m n n m n m − − − = ⋅ = 3. ( ) c b c b a c b c b c b a c b a − − ⋅ = − − ⋅ + = + 4. ( ) ( ) ( ) | | ( ) c 2 c b c c b a c c b c c b d c b a d c b a − + − + ⋅ = − + − + ⋅ + + = + + Página 55 de 94 GUÍA DE EJERCICIOS RAICES 1-. a) ¿ Cuántas raíces cuadradas debe tener todo número real positivo? Indíquelos. b) Determine todas las raíces cuadradas del número 36. c) Cuando nos referimos a “ la raíz cuadrada”, ¿ a cuál raíz nos estamos refiriendo? d) Determine la raíz cuadrada de 36. 2-. Explique por qué 49 − no es un número real. 3-. ¿Una expresión radical con un índice par y un número real como radicando será siempre un número real? Explique su respuesta. 4-. ¿En qué circunstancias la expresión dada no es un número real? a) n x b) n m x 5-. La fórmula para el periodo de un péndulo ( el tiempo requerido para que el péndulo haga una oscilación completa) es g l 2 T π = donde T es el periodo en segundos, l es su longitud en pies y g es la aceleración de gravedad. En la tierra la gravedad es 32 2 seg pies . a) Determine el periodo de un péndulo cuya longitud es de 6 pies. b) Si se duplica la longitud de un péndulo, ¿ qué efecto tendrá esto sobre el período? Explique. c) La gravedad de la Luna es 6 1 la de la Tierra. Si un péndulo tiene un periodo de 2 segundos en la Tierra, cuál será el periodo del mismo péndulo en la Luna? Página 56 de 94 6-. La iluminación I, en candelas-pie, producida por una fuente de luz se relaciona con la distancia d, en pies, desde la fuente de luz por la ecuación I k d = , donde k es una constante. Si k = 640 , ¿ qué tan lejos de la fuente de luz habrá una iluminación de 2 candelas – pies? Dé el valor exacto, y luego redondee al décimo de pie más cercano. 7-. Simplifique cada una de las expresiones siguientes ( todas se suponen definidas) : 8-. Realice las operaciones indicadas y exprese el resultado en la forma más simple posible: ( ) ( ) 3 19 33 3 2 6 ) e a b b a 2 ) d 3 4 7 3 16 28 ) c b a y y x b x y a ) b 1 a 1 a a a a a a a ) a 2 1 2 1 1 3 2 2 3 4 1 2 2 2 3 1 2 2 1 2 1 2 1 2 3 2 2 5 3 2 7 − + ( ( ( ¸ ( ¸ | . | \ | − | . | \ | ⋅ + − − | | . | \ | ⋅ | | . | \ | ⋅ | . | \ | | | . | \ | + ⋅ | | . | \ | − + − + − + − − − 3 2 3 2 3 2 3 2 ) j 4 3 2 ) i y z x 169 ) h 16 9 ) g 5 4 12 ) f 25 ) e 26 4 ) d 243 y x ) c z y x 64 ) b y x 3 ) a 4 3 2 4 2 6 4 3 3 6 7 2 2 2 3 + − + − + ⋅ ⋅ ⋅ Página 57 de 94 9-. Simplifique las expresiones siguientes de modo que el resultado no contenga exponentes negativos o fraccionarios: ( ) ( ) ( ¸ ( ¸ + − − + + | . | \ | − + + ⋅ | . | \ | − − − ⋅ 3 2 2 3 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 3 b ab 2 a b ab 2 a b 2 1 ) c b a b a b a b a b 4 ) b 10-. Factorice y simplifique: ( ) 2 2 3 3 3 1 3 1 3 1 3 1 b a 2 b a 4 b a ) a − ( ( ¸ ( ¸ + − | | . | \ | + ⋅ | | . | \ | + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 3 2 1 2 3 2 2 2 2 a a a a 2 ) f y x y x 2 y x y x y x y x ) e 0 a 1 b ab 2 a 1 b ab 2 a 1 b ab 2 a 1 b ab 2 a ) d − − − − − | | . | \ | + + − + ⋅ + − + − + − ⋅ + > + − − + + + − + + + 2 1 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 ) b a ( a ) b a ( ) d x a ) x a ( ) x a ( x ) c 16 x 8 x ) b 72 6 ) a + + + − − + − + + − − Página 58 de 94 11-. Simplifique las expresiones siguientes : 12-. Evalué: 13-. Racionalizar: ( ) ( ) 2 1 2 1 cx cx 1 2 1 x c x c 3 3 3 2 3 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 1 a 1 a 1 1 a 3 c b a e c ab e b a c be ae ) e a x : x x a 2 a x a x a x a x a ) d x x ) c 3 3 ) b 2 2 2 2 ) a 2 | | | | | . | \ | ( ¸ ( ¸ | . | \ | + − + − | | | . | \ | + − + + − + ( ( ¸ ( ¸ − − − − + − + 6 8 6 8 ) f c b a 1 ) e 2 3 7 5 ) d 5 3 2 ) c x 1 ) b 2 3 ) a 7 2 + − − + − − + 2 2 x si , x x 4 1 x 4 2 1 ) b 1 a , a 1 a x 2 si 1 x x 1 x ) a 3 2 2 2 2 3 2 2 4 2 2 = ( ( ( ¸ ( ¸ | | | . | \ | − − + | | . | \ | − − > + = − − − − − Página 59 de 94 1.4.7 Logaritmos Definición 1: . IR , IR n ; 1 b , IR b ∈ α ∈ ≠ ∈ + + Entonces el número α se llama el logaritmo de n en base b, si y sólo si: n log anota se y , n b b = α = α Observación 1: i) Los logaritmos son exponentes, y de acuerdo a la definición ( ) ( ) n b ) n log ( n b n log b b = ⇔ = α ⇔ = α ii) Solo los números reales positivos tienen logaritmos. iii) Cuando la base de un logaritmo es 10, ésta base no se anota. iv) En n b = α el número n : argumento del logaritmo. Teoremas-. Con las condiciones requeridas 1) ( ) ) q log p log ( q p b b = ⇔ = 2) 1 b log b = 3) IR n n b log n b ∈ = 4) 0 1 log b = 5) r log q log p log ) r q p ( log b b b b + + = ⋅ ⋅ 6) p log p 1 log b b − = | | . | \ | 7) q log p log q p log b b b − = | | . | \ | 8) IR r , p log r p log b r b ∈ = 9) p log n 1 p log b n b = Página 60 de 94 Sistemas de Logaritmos Un sistema de logaritmos es el conjunto de los logaritmos de todos los números reales positivos respecto de una misma base. Cualquier número real positivo distinto de 1 puede usarse como base de un sistema de logaritmos. En matemáticas y en las restantes ciencias se usan por lo general dos números como bases, que dan origen a dos Sistemas de Logaritmos: 1) El sistema de Logaritmos Decimales ( Vulgares o de Briggs ) cuya base es el número 10 y que se anotan : log n. 2) El sistema de Logaritmos Naturales (Neperianos o de Neper) cuya base es un número real irracional llamado el Número e, cuyo valor aproximado es 2,718281.... El usar éste número como base de un sistema de logaritmo puede parecer extraño, pero su uso simplifica notablemente muchas fórmulas, teoremas y muchos aspectos teóricos de la matemática. Los logaritmos naturales se anotan: ln x, Ln x, L x,....... Observación 2: El valor del número e se aproxima por medio de la expresión : n n 1 1 | . | \ | + conforme n toma valores cada vez más grandes. Escribimos cuando 71828182 , 2 e n 1 1 , n n ≈ → | . | \ | + ∞ → . ( →, léase tiende a ) Véase la tabla siguiente: n Valor aproximado de n n 1 1 | . | \ | + 1 2 2 2,25 5 2,48832 10 2,59374 25 2,66584 50 2,69159 100 2,70481 500 2,71557 1.000 2,71692 10.000 2,71815 1.000.000 2,71828 Página 61 de 94 Cambio de Base Conocidos los logaritmos de los números respecto de una base, se pueden obtener los logaritmos respecto de otra base multiplicando los logaritmos del primer sistema por una constante de proporcionalidad que se calcula de antemano: Cambiar de Base. De este modo se tiene que : Conocidos los logaritmos de los números n respecto de la base b se pueden obtener los logaritmos de esos mismos números respecto de una base a de acuerdo a: n log a log 1 n log b b a ⋅ = Página 62 de 94 GUÍA DE EJERCICIOS LOGARITMOS 1-. Cambiar las expresiones dadas, a la forma logarítmica. a) 4 3 = 64 b) 2 7 = 128 c) 10 -3 = 0,001 d) t r = s 2-. Cambiar las expresiones dadas, a la forma exponencial. a) 3 1000 log 10 = b) 2 01 , 0 log − = c) 0 1 log 7 = d) 5 243 1 log 3 − = e) p r log t = f) 4 81 log 3 = 3-. Calcular las expresiones dadas. a) 128 log 64 1 log 16 1 log 2 2 2 + − b) 100 log 001 , 0 log 4 1 log 2 − + c) 000 . 000 . 10 log 000 . 10 log 000 , 0 log 1 , 0 − + d) 243 1 log 243 log 3 1 3 − e) 64 log 729 log 729 log 4 1 3 1 3 − + f) 3 3 1 2 1 729 log 2 25 , 0 log 5 − − 4-. Escriba la expresión dada como un solo logaritmo a) ) 3 x 2 ( log 5 ) 2 x ( log 3 1 x log 2 a a a + − − + b) | | . | \ | + − y x log 3 y x log 2 x y log a 3 a 3 2 a 5-. Desarrollar usando los teoremas sobre logaritmos. a) 3 5 2 a z y x log b) 3 a z y x log c) 3 2 6 a z y x log 6-. Demostrar a) ) 2 2 3 ( log 2 2 3 2 2 3 log 2 1 a a + = − + b) = + + x b x b log 2 2 a - x b x b log 2 2 a − + Página 63 de 94 1.5 ECUACIONES EN IR 1.5.1 Introducción Las ecuaciones en IR son igualdades entre números reales que contienen una o más incógnitas o variables. Resolver una ecuación es encontrar los números reales que sustituidos por las incógnitas transforman la ecuación en una igualdad verificable. El o los números reales encontrados constituyen una solución de la ecuación. En Matemáticas, cuando hablamos de aplicaciones hablamos de resolver problemas. Las ecuaciones permiten plantear y resolver algunos tipos de problemas. Este aspecto del entrenamiento matemático es de tal importancia, que el National Council of Teachers of Mathematics de Estados Unidos recomendó que, durante la presente década, todo el proceso de enseñanza – aprendizaje en Matemática se centrara en la resolución de problemas. La resolución de problemas comprende la aplicación de la Matemática al mundo físico, servir a la teoría y práctica de otras asignaturas o ciencias y plantear y resolver problemas que extiendan las fronteras de las Matemática misma. Los estudiantes deben aprender a: - formular preguntas claves; - analizar y conceptuar problemas; - definir el problema y sus metas; - descubrir patrones y similitudes en los problemas; - buscar información apropiada; - experimentar ( en Matemática ); - trasladar destrezas y estrategias a nuevas situaciones; - escarbar en sus conocimientos para aplicar la Matemática. El siguiente ejemplo nos parece adecuado: Alrededor del año 240 A.C. Eratóstenes, estando a cargo de la biblioteca de Alejandría, supo que en Syena, al mediodía, los rayos del sol se reflejaban en el agua de un pozo profundo. Este hecho mostraba que el sol estaba directamente sobre ese punto de la tierra y, en consecuencia, sus rayos apuntaban en línea recta al centro de la tierra. En el mismo día y hora, la medición de la sombra proyectada por un pilar en Alejandría, Página 64 de 94 A s C mostraba que los rayos del sol incidían en ese punto de la tierra formando un ángulo de o 5 1 7 con la vertical, como muestran las figuras 1, 2, 3. Como los ángulos correspondientes entre paralelas son congruentes, entonces o 5 1 7 OBC AOB = ∠ = ∠ dado que o 5 1 7 es 50 1 de los o 360 que comprende el circulo y el arco s (distancia desde Syena a Alejandría es casi exactamente 480 millas, Eratóstenes concluyo que la circunferencia completa (longitud de un meridiano) es de: (50) (480 millas) = 24000 millas. (240 años A.C.) B Figura 1 Figura 2 Figura 3 Página 65 de 94 Obsérvese que este ejemplo reúne casi todos los objetivos de aprendizaje que hemos propuesto, además de ser una excelente muestra de la verdadera importancia de la Matemática en ingeniería: proporcionar comprensión. Otra razón por la cual hemos incluido este ejemplo es para contrastarlo con el típico problema que enfrenta el estudiante y cuyo enunciado sería más o menos como sigue: En la figura 3, OA es paralela con BC y ∠ OBC = o 5 1 7 . Si s = 480 millas, calcule el perímetro de la circunferencia. Meditemos , entonces acerca de cuánto pierde aquel estudiante que piensa que su único objetivo ante este problema consiste en obtener un resultado como sea . Las recomendaciones que se dan a continuación un primer paso en la enseñanza – aprendizaje. Resolución de problemas: A continuación se describe brevemente que se entiende por un problema en matemática y como se debe proceder para resolverlo: Problema es toda situación en que se trata de determinar ciertos elementos llamados incógnitas a partir de otros llamados datos. El enunciado es la proposición en la que se definen los datos, las incógnitas y las relaciones que verifican los datos e incógnitas. La resolución es el procedimiento mediante el cual se determinan los valores de las incógnitas (raíces o soluciones del problema). Esta puede esquematizarse en los siguientes pasos: i) la elección de la (s) incógnita (s) ii) el planteo de la (s) ecuación (es) correspondiente (s) al enunciado iii) la solución de la (s) ecuación (es) iv) la verificación y discusión de la (s) solución (es) Página 66 de 94 Es decir , resolver un problema supone que usted debe: 1. Leer cuidadosamente el enunciado. 2. Reconocer los datos y despreciar la información superflua. 3. Identificar la o las incógnitas. 4. Introducir una o más variables. 5. Establecer las ecuaciones que relacionan los datos y lo que se quiere averiguar, según las normas dictadas por el enunciado. 6. Resolver las ecuaciones, y 7. Comprobar y discutir las raíces o soluciones. Página 67 de 94 1.5.2 La Ecuación de Primer Grado con una variable en reales. Una ecuación de primer grado con una variable en reales es toda ecuación de la forma: a x + b = 0, con a ∈ IR * b , x ∈ IR. x : la variable o incógnita de la ecuación. a,b : números reales dados de antemano. Teorema 1: La ecuación a x + b = 0 , con a ∈ IR * b , x ∈ IR tiene siempre una y sólo una solución en IR: a b x − = Ecuaciones de Primer Grado con más de una variable en reales. Son ecuaciones de la forma: ax + by + c = 0 o ax + by + cz + d = 0 donde: x, y, z............. son las variables; a, b, c, números reales dados de antemano. Estas ecuaciones tienen infinitas soluciones, que se obtienen despejando una de las variables y dándole valores arbitrarios a las otras. Cada solución es un par, un trío, un cuarteto......ordenado. Estos resultados pueden darse tabulados donde los elementos de cada línea de la tabla es una solución de la ecuación. Página 68 de 94 Sistemas de ecuaciones lineales: a) sistemas de ecuaciones lineales con dos variables. Son de la forma: ) ` ¹ = + = + 2 2 2 1 1 1 c y b x a c y b x a .......forma normal b) sistemas de tres ecuaciones lineales con tres variables. Son de la forma: ¦ ) ¦ ` ¹ = + + = + + = + + 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 d z c y b x a d z c y b x a d z c y b x a ..... forma normal Para resolver estos sistemas se elimina una de las incógnitas o variables combinando las ecuaciones, se continúa de éste modo hasta obtener una única ecuación con una única variable. Para eliminar incógnitas se usan por lo general dos procedimientos: a) Por sustitución : que consiste en despejar una variable en una de las ecuaciones y sustituirla en las restantes. b) Por reducción o igualación de los coeficientes de la variable que se desea eliminar. En general es largo el procedimiento para resolver sistemas y su estudio condujo al descubrimiento de los determinantes que simplifican bastante éstos problemas. Determinantes de 2 x 2 y de 3 x 3 en reales 1) Determinantes de 2 x 2: Están formados por cuatro números reales ordenados, formando un cuadrado de dos filas y de dos columnas. Representan a un número real. Página 69 de 94 a 2 b 1 a 1 b 2 = (a 1 b 2 ) – (a 2 b 2 ) A B 2 2 1 1 b a b a El número real que representa se calcula: 2 2 1 1 b a b a 2) Determinantes de 3 x 3 Están formados por nueve números reales ordenados formando un cuadrado de tres filas y de tres columnas. Representa a un número real, que se calcula: 2 2 2 1 1 1 3 3 3 2 2 2 1 1 1 c b a c b a ) B ( A c b a c b a c b a − = Determinantes y sistemas de ecuaciones lineales. Los sistemas de n ecuaciones lineales con n variables se resuelven con determinantes según la regla de Cramer. Cada variable es igual al cuociente del determinante correspondiente a la variable dividido por el determinante principal ∆ del sistema. Primera fila Segunda fila Segunda columna Primera columna ¦ ) ¦ ` ¹ 2 1 3 1 3 2 3 2 1 c b a c b a c b a + ¦ ¹ ¦ ´ ¦ + 3 1 2 2 3 1 1 2 3 c b a c b a c b a Página 70 de 94 1) En: ) ` ¹ = + = + 2 2 2 1 1 1 c y b x a c y b x a el determinante principal del sistema es 2 2 1 1 b a b a = ∆ 2 2 1 1 X b c b c = ∆ , 2 2 1 1 y c a c a = ∆ Determinantes correspondientes a las variables. La solución del sistema es : ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ ∆ ∆ = ∆ ∆ = y x y x o | | . | \ | ∆ ∆ ∆ ∆ y x , 2) En: ¦ ) ¦ ` ¹ = + + = + + = + + 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 d z c y b x a d z c y b x a d z c y b x a c b a c b a c b a 3 3 3 2 2 2 1 1 1 = ∆ c b d c b d c b d 3 3 3 2 2 2 1 1 1 X = ∆ c d a c d a c d a 3 3 3 2 2 2 1 1 1 y = ∆ d b a d b a d b a 3 3 3 2 2 2 1 1 1 z = ∆ La solución del sistema es: | | . | \ | ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ z y x , , Página 71 de 94 1.5.3 Ecuación de Segundo grado con una variable en reales Definición 1: Se llama Ecuación de Segundo Grado con una Variable, a toda ecuación que puede ser anotada de la forma de la forma: IR x , c , b ; IR a con , 0 c x b x a * 2 ∈ ∈ = + + Para obtener las raíces o soluciones de la ecuación 0 c x b x a 2 = + + realizaremos el siguiente procedimiento: a 2 ac 4 b b x a 2 ac 4 b b x : ecuación la de soluciones las obtenemos reales en visto 16 teorema el aplicando 0 a 2 ac 4 b a 2 b x a 2 ac 4 b a 2 b x do factorizan 0 a 2 ac 4 b a 2 b x cuadrados de diferencia como resando exp y 0 a igualando a 4 ac 4 b a 2 b x fracciones las sumando y do factorizan a c a 2 b a 2 b x a b x a 2 b / a c x a b x a 1 / c x b x a ) c ( / 0 c x b x a 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 − + − = ∨ − − − = = | | | . | \ | − − + ⋅ | | | . | \ | − + + = | | | . | \ | − − | . | \ | + − = | . | \ | + − | . | \ | = | . | \ | + + | . | \ | + − = + ⋅ − = + − + = + + 2: Se llama Discriminante de la ecuación 0 c x b x a 2 = + + al número real c a 4 b 2 − = ∆ Página 72 de 94 Teorema 1: La ecuación 0 c x b x a 2 = + + : 1) Si 0 > ∆ : tiene dos y sólo dos raíces: a 2 b , a 2 b ∆ − − ∆ + − 2) Si 0 = ∆ : tiene una y sólo una raíz : a 2 b − 3) Si 0 < ∆ : no tiene raíces (en IR ) En el teorema siguiente, cuando 0 = ∆ , se considera dos veces la única raíz para aplicarlo. Teorema 2: En 0 c x b x a 2 = + + , si 0 ≥ ∆ y las raíces son β α y : 1) a b − = β + α 2) a c = β ⋅ α 3) ( ) ( ) β − α − = + + x x a c x b x a 2 Ecuaciones reducibles a ecuaciones de segundo grado Hay ecuaciones que aparentemente no corresponden a ecuaciones de segundo grado, pero que mediante transformaciones pueden ser resueltas con el teorema 1. Hay que tener en cuenta: 1) Si para resolver una ecuación esta debe elevarse al cuadrado, es obligatorio verificar las raíces encontradas en la ecuación propuesta. Se descartan las que no sirven. 2) Para eliminar los denominadores de una ecuación, se multiplica por el producto de los denominadores. Página 73 de 94 Sistemas de ecuaciones de segundo grado: Sólo consideraremos sistemas de ecuaciones con dos variables. Por lo menos en una de las ecuaciones deben aparecer una o las dos variables con exponente 2, o como números subrradicales, o aparecer el producto de ellas: x y Por lo general se utiliza el método de sustitución para resolverlas. No olvidemos, que si elevamos al cuadrado una o las dos ecuaciones debemos verificar las soluciones en el sistema propuesto. 1.5.4 Ecuaciones Exponenciales Son ecuaciones donde la o las variables aparecen en el exponente. Se resuelven: a) Usando la propiedad “Si dos potencias de igual base son iguales, sus exponentes, tienen que ser iguales: ) n m ( ) a a ( n m = ⇒ = ” b) Efectuando transformaciones o sustituciones. c) Usando logaritmos. 1.5.5 Ecuaciones con Logaritmos En estas ecuaciones, la variable aparece en el argumento del logaritmo. Se resuelven aplicando la definición de logaritmo y sus propiedades (vistas en el punto 1.4.7). Recordemos que el argumento tiene que ser un número real positivo, por lo que en algunos casos tendremos que verificar el número correspondiente a la variable en la ecuación propuesta. Página 74 de 94 1.6 LOS AXIOMAS DE ORDEN 1.6.1 El orden en los reales. En IR hay definida una relación binaria a < b, que se lee” (el número real) a es menor que (el número real) b” Esta relación cumple los siguientes cuatro axiomas: Axiomas 1) De Tricotomía: IR b , a ∈ ∀ , una y sólo una de las tres proposiciones siguientes es verdadera: a < b, b < a, a = b. 2) De Adición : ( ) ( ) c b c a b a + < + ⇒ < 3) De Multiplicación: ( ) ( ) c b c a c 0 , b a ⋅ < ⋅ ⇒ < < 4) De Transitividad: | | | | ( ) ( ) c a c b b a < ⇒ < ∧ < Algunas propiedades básicas relativas al orden en IR. Definición 1: ( ) ( ) a b b a < ⇔ > a > b se lee: a es mayor que b. 2: ( ) | | | | ( ) b a b a b a = ∨ < ⇔ ≤ a ≤ b se lee: a es menor o igual que b. 3: ( ) ( ) a b b a ≤ ⇔ ≥ a ≥ b se lee: a es mayor o igual que b. 4: { } 0 a / IR a IR > ∈ = + Conjunto de los Números Reales Positivos. { } 0 a / IR a IR < ∈ = − Conjunto de los Números Reales Negativos. Página 75 de 94 Observación 1: Toda proposición matemática que contenga a alguna de los símbolos: <, >, ≥ ≤ , , se llama una desigualdad. 2: Se llaman Números pares ( o Múltiplos de 2 ) a los números naturales que se obtienen al multiplicar los números naturales por 2: 0,2,4,6...... Se llaman Números Impares a los números que no son pares: 1,3,5,7.... Teorema 1 : En IR 1: Tricotomía para a < b, b < a, a = b. 2: ( ) ( ) b a b a − > − ⇔ < 3: ( ) ( ) 0 a 0 a < − ⇔ > , ( ) ( ) 0 a 0 a > − ⇔ < 4: ( ) ( ) ( ) 0 b a 0 a b 0 a < − ⇔ > − ⇔ < 5: ( ) ( ) b a c b c a < ⇒ + < + 6: ( ) ( ) 0 a 0 a 2 > ⇒ ≠ 7: 0 a : IR a 2 ≥ ∈ ∀ 8: ( ) ( ) 0 a 0 a 2 ≠ ⇒ > 9: 1 > 0 10: ( ) ( ) c b c a 0 c , b a ⋅ > ⋅ ⇒ < < 11: ( ) ( ) c b a : 0 c ! b a + = > ∃ ⇔ > 12: L L L L 3 2 1 0 1 2 3 < < < < − < − < − 13: ( ) ( ) 0 b a , 0 b a 0 b , 0 a > ⋅ > + ⇒ > > 14: ( ) ( ) d b c a d c , b a + < + ⇒ < < 15: ( ) ( ) c b c a d c 0 , b a 0 ⋅ < ⋅ ⇒ < < < < 16: ( ) ( ) 0 b a 0 b , b a < ⋅ ⇔ < > Página 76 de 94 17: | | | | ( ) ( ) 0 b a 0 b , 0 a 0 b , 0 a > ⇔ < < ∨ > > 18: ( ) | . | \ | > ⇔ > 0 a 1 0 a , ( ) | . | \ | < ⇔ < 0 a 1 0 a 19: ( ) | . | \ | < ⇒ > < c b c a 0 c , b a ( ) | . | \ | > ⇒ < < c b c a 0 c , b a 20: ( ) | . | \ | < ⇒ < < a 1 b 1 b a 0 21: ( ) ( ) b c a : IR c b a < < ∈ ∃ ⇒ < “ IR es denso con la relación < ” 22: { } 0 a / a > ∈ = + Z Z , { } 0 a / a < ∈ = − Z Z 23: ( ) ( ) 0 a par : n , 0 a n > ⇒ ≠ ( ) ( ) 0 a impar : n , 0 a n > ⇒ > ( ) ( ) 0 a par im : n , 0 a n < ⇒ < 24: Desigualdad de Bernoulli: k∈ IR , k > -1, entonces IN n ∈ ∀ : ( ) nk 1 k 1 n + ≥ + . Observación 1: Si en los teoremas anteriores se cambia (< ) por ( ≤ ), los teoremas conservan su validez. Página 77 de 94 1.6.2 Intervalos en reales. EL Eje de los Números reales o la recta numérica. IR P 1 0 1 2 ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ → ÷ − − “A cada punto del eje real le corresponde un único número real, y a cada número real le corresponde un único punto del eje real (correspondencia biyectiva o biunívoca)” Intervalos en reales Definición 1: Intervalos Finitos en IR; de extremo inicial a y extremo final b. Si a< b : 1) | | { } b x a / IR x b , a ≤ ≤ ∈ = : Intervalo cerrado en IR 2) ( ) { } b x a / IR x b , a < < ∈ = : Intervalo abierto en IR 3) | ) { } b x a / IR x b , a < ≤ ∈ = : Intervalos semi abiertos o ( | { } b x a / IR x b , a ≤ < ∈ = semi cerrados en IR. Definición 2: Intervalos infinitos en IR 1) | ) { } x a / IR x , a ≤ ∈ = ∞ + 2) ( ) { } x a / IR x , a < ∈ = ∞ + 3) ( | { } a x / IR x a , ≤ ∈ = ∞ − 4) ( ) { } a x / IR x a , < ∈ = ∞ − Gráficamente: Definición 1: Definición 2: [ ] x [ x a b a + ∞ ( ) x ( x a b a + ∞ [ ) x ] x a b -∞ a ( ] x ) x a b -∞ a Abscisa de P Página 78 de 94 1.6.3 Inecuaciones Lineales Una inecuación en IR es una desigualdad que contiene una o más variables. Resolverla es encontrar los valores de las variables que la satisfacen. Para resolverlas se van aplicando los teoremas 1 al 24. La solución se expresa por lo general usando intervalos en IR. En los sistemas, se resuelve cada inecuación independientemente y se compatibilizan las soluciones parciales. 1.6.4 Inecuaciones Cuadráticas Una inecuación cuadrática o inecuación de segundo grado es cualquier función proposicional que pueda escribirse como una desigualdad de la forma: 0 c x b x a 2 < + + 0 c x b x a 2 ≤ + + 0 c x b x a 2 > + + 0 c x b x a 2 ≥ + + La resolución de una inecuación de segundo grado es algo más compleja que la de primer grado. Primeramente, a cada una de las inecuaciones anteriores se le asocia la ecuación: 0 c x b x a 2 = + + . Sea ac 4 b 2 − = ∆ ( discriminante de la ecuación ). Sabemos que según sea 0 > ∆ , 0 = ∆ , 0 < ∆ , la ecuación tendrá dos raíces reales distintas, dos raíces reales e iguales o dos raíces complejas, respectivamente. Denotando por β α, las raíces de 0 c x b x a 2 = + + el análisis de las inecuaciones se reduce a seis casos. Las soluciones en cada uno de ellos se obtiene fácilmente si consideramos la gráfica de c x b x a y 2 + + = . Página 79 de 94 Si a > 0 Si a < 0 Ejemplo 1: Resolver 2 x 2 + x –15 > 0 R) Se tiene a = 2, b = 1, c = -15 , ∆ = (1) 2 – 4 (2) (-15) = 121 Las raíces del trinomio son : α = - 3, β = 2 5 Estamos en el caso: a > 0 (parábola abierta hacia arriba) ∆ > 0 (parábola corta a OX en –3 y 2 5 ) Página 80 de 94 por lo tanto 2x 2 + x –15 > 0 si x ∈ ( - ∞, -3 ) ∪ | . | \ | ∞ + , 2 5 lo que expresado en un cuadro: - ∞ + ∞ x : -3 2 5 2x 2 + x –15 + 0 - 0 + Cuadro que da las variaciones de signo de 2x 2 + x –15 cuando x recorre IR Observación 1: A veces es necesario estudiar las variaciones de signo de expresiones más complicadas. Cuando se trate de productos o de cuocientes se construyen cuadros como los señalados en los ejemplos anteriores en base a los valores que anulan las expresiones que intervienen : Valores Críticos ( V.C) Ejemplo 2: Resolver 0 1 x 8 x 16 15 x x 2 2 2 ≥ − + − − + R) - ∞ + ∞ Para 2x 2 + x –15 x : -3 2 5 2x 2 + x –15 + 0 - 0 + - ∞ + ∞ Para -16x 2 + 8x –1 x : 4 1 -16x 2 + 8x –1 - 0 - Página 81 de 94 Los valores críticos ( V C ) son : - 3, 2 5 , 4 1 combinando ambos cuadros: - ∞ + ∞ x - 3 4 1 2 5 2x 2 + x –15 + 0 - - - 0 + -16x 2 + 8x –1 - - - 0 - - - 1 x 8 2 x 16 15 x 2 x 2 − + − − + - 0 + ∃/ + 0 - 0 1 x 8 x 16 15 x x 2 2 2 ≥ − + − − + si x ∈ ¸ ¸ − 4 1 , 3 ∪ ( ¸ ( ( ¸ ( 2 5 , 4 1 Página 82 de 94 1.6.5 Módulos o valores absolutos en IR Definición 1: Si IR a ∈ , el valor absoluto de a, denotado por a , es: ¦ ¹ ¦ ´ ¦ < − > = = 0 a si a 0 a si a 0 a si 0 a a : módulo de a , o valor absoluto de a. La más importante aplicación del valor absoluto se encuentra en la definición de límite, pilar sobre el que se asienta el Calculo Diferencial. Teoremas : En IR 1: IR a 0 a ∈ ∀ ≥ 2: IR a ∈ ∀ a a 2 = 3: ( ) ( ) b a b a = ⇒ = 4: ( ) ( ) 0 a 0 a = ⇒ = 5: a a − = c b a c b a + − − = − + 6: a a a ≤ ≤ − 7: : 0 b ≥ ( ) ( ) b a , b a b a − = = ⇔ = Página 83 de 94 8: : 0 b > ( ) ( ) b a b b a < < − ⇔ < ( ) ( ) b a b b a ≤ ≤ − ⇔ ≤ 9: : 0 b ≥ ( ) ( ) b a , b a b a − < > ⇔ > ( ) ( ) b a , b a b a − ≤ ≥ ⇔ ≥ 10: b a b a + ≤ + : Desigualdad triangular c b a c b a − + + ≤ − + 11: b a b a ⋅ = ⋅ c b a c b a ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ 12: b a b a = a 1 a 1 = 13: Z ∈ n n n a a = 1.6.6 Conjuntos acotados en IR Definición 1: IR , ; A , IR A ∈ β α φ ≠ ⊆ 1) ( A está Acotado Superiormente en IR por α ) ) A a a ( ∈ ∀ α ≤ ⇔ : α una cota superior de A 2) ( A está Acotado Inferiormente en IR por β) ) A a a ( ∈ ∀ β ≥ ⇔ : β una cota inferior de A 3) ( A está Acotado en IR ) ⇔ ( A está Acotado superiormente e inferiormente en IR) Página 84 de 94 Observación 1: ( A está acotado en IR ) ( ) A a k a : IR k ∈ ∀ ≤ ∈ ∃ ⇔ + Definición 2: IR i , s ; A , IR A ∈ φ ≠ ⊆ 1) (s es El Supremo o la cota superior estricta de A ) ⇔( s es una cota superior de A, y si , s es otra cota superior de A, debe cumplirse: s ≤ , s ) 2) (i es El Ínfimo o la cota inferior estricta de A ) ⇔( i es una cota inferior de A, y si , i es otra cota inferior de A, debe cumplirse: i ≤ , i ) Observación 2: El supremo de A es la menor de las cotas superiores de A. El ínfimo de A es la mayor de las cotas inferiores de A. Teorema 1: 1) Si A tiene supremo, tiene uno y sólo un supremo. 2) Si A tiene ínfimo, tiene uno y sólo un ínfimo. El axioma de completitud o del supremo en IR “ Todo subconjunto no vació de números reales que este acotado superiormente en IR, tiene supremo en IR” Teorema 2: Todo subconjunto no vacío de números reales que este acotado inferiormente en IR, tiene ínfimo en IR. Observación 1: En matemáticas existe solamente Un Cuerpo Ordenado Completo: El conjunto IR de los números reales. Página 85 de 94 GUÍA DE EJERCICIOS ECUACIONES E INECUACIONES Resolver las siguientes ecuaciones : ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) discutir , 9 5 y 2 y 5 2 y 4 4 y 7 ) 10 discutir , 3 x 1 x 3 1 x 6 ) 9 mn x x 1 mn 1 x m n 1 ) 8 b a 6 x x a 4 2 b x a ) 7 b a x bx a b ax ) 6 45 , 0 x 86 , 2 x 24 , 6 85 , 3 x 27 , 0 18 , 1 ) 5 27 , 0 x x 24 , 3 16 , 1 21 , 4 x 64 , 0 24 , 3 ) 4 3 2 x 4 x 1 x 3 3 x ) 3 2 7 x 0 4 x 3 x 2 x 1 x ) 2 3 4 x 3 x 2 1 x ) 1 2 2 2 2 3 2 3 = − = + − − = + = − = − = − = = + − = − = + = + − = − ⋅ = + − ⋅ − = − ⋅ − = + = − − + − = = − + − + + − = + = + − 2 1 x 3 x 2 1 x 2 1 x 2 1 x 2 ) 12 discutir 1 x 3 3 2 1 x 3 x 9 ) 11 − = + + = − + − + = − Página 86 de 94 Despejar la variable que se indica , en términos de las variables restantes. ( ) ( ) d para d 1 n a S ) 20 r para r l l r a S ) 19 v para t v t g 2 1 x ) 18 h para h r 3 h 3 1 V ) 17 R para R 1 R 1 R 1 R 1 ) 16 r para r 1 a S ) 15 q para r q q K F ) 14 g para g 2 mv K ) 13 0 0 2 2 2 3 2 1 1 2 2 1 2 − + = − − = + = − π = + + = − = = = 21) ¿Cuál debe ser el valor de c para que una solución de la ecuación 3x + 1 - 5c = 2c + x - 10 sea -3 ? R= 7 5 22) Encuentre valores para a y b tales que 5/3 es una solución de la ecuación ax + b = 0 .¿Son éstos los únicos valores posibles de a y b ? Explique. 23) a) Encuentre una ecuación en la siguiente lista , que no es equivalente a la ecuación que la precede. ( )( ) ( )( ) 2 1 2 x 1 x 2 x 2 x 2 x 1 x 4 x 2 x x 2 2 = + = + − + = − + − = − − b) Encuentre la solución de la primera ecuación . Página 87 de 94 Resolver los siguientes sistemas lineales : ( ) | . | \ | − − − = + + = − + = + + − = + + = − − = − + − − | . | \ | = − = − = + − = − 3 1 , 2 1 , 1 ) 1 , 1 , 2 ( 4 z 1 y 1 x 1 1 z 1 y 3 x 2 4 z 2 y 1 x 4 ) 27 y 5 5 x z 8 11 z 29 y 13 z 5 1 z 5 y 2 x 3 ) 26 1 , 1 6 5 , 2 3 3 t 5 r 2 3 t 4 r 1 ) 25 11 x 4 y 6 1 y 3 x ) 24 Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado: ( )( ) ( ) { } { } 0 1 x x ) 2 3 a 2 ; a 8 a 16 ax 6 x ) 31 12 ; 17 ) 2 x ( x 3 199 x 11 1 x ) 30 1 ; 3 2 4 2 x 1 x 3 ) 29 3 3 2 ; 3 3 2 0 1 x 12 x 9 ) 28 1 2 2 2 2 2 2 2 = − + − = − − − − = + + − ) ` ¹ ¹ ´ ¦ − = − + ¦ ) ¦ ` ¹ ¦ ¹ ¦ ´ ¦ − + = + − − − Página 88 de 94 Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones segundo grado : ( ) ( ) { } ( ) ( ) ( ) ) ` ¹ ¹ ´ ¦ | . | \ | − | . | \ | − − − ¦ ¹ ¦ ´ ¦ = − − = − ¦ ) ¦ ` ¹ ¦ ¹ ¦ ´ ¦ | . | \ | − | . | \ | − | | . | \ | − − | | . | \ | ¦ ¹ ¦ ´ ¦ = + = − ) ` ¹ ¹ ´ ¦ | . | \ | − − ¦ ¹ ¦ ´ ¦ = − = + ¦ ¹ ¦ ´ ¦ = + = + 3 3 4 , 3 3 7 , 2 3 4 , 2 3 7 , 1 , 4 , 1 , 4 0 y 28 xy 9 x 4 28 xy x 2 ) 42 1 , 2 1 , 1 , 2 1 , 3 2 , 2 , 3 2 , 2 10 y 9 x 4 2 xy 3 x 2 ) 41 3 7 , 3 2 , 1 , 6 7 xy y 4 y 2 x ) 40 3 , 4 , 4 , 3 25 y x 7 y x ) 39 2 2 2 2 2 2 2 2 2 { } ( ) ( ) ( ) { } { } 4 7 x 2 4 x 2 1 x 2 ) 38 9 79 , 7 4 6 x 3 x 4 ) 37 4 x 7 12 x 7 x 5 3 4 ) 36 3 1 ; 2 1 8 4 x 3 x 1 x 2 x ) 35 1 ; 0 1 2 x 4 x 1 x 1 x ) 34 0 x 9 x 8 1 ) 33 2 3 3 5 3 5 6 − = − − + ) ` ¹ ¹ ´ ¦ = − − − = + − + ) ` ¹ ¹ ´ ¦ − − + + = − − + − = − + − − + = + + Página 89 de 94 43) Para que un túnel pueda ser cavado en 24 días, se necesita una cuadrilla de 150 hombres. Al iniciar las labores, se cuenta sólo con 100 trabajadores. Al finalizar el día 16 se notifica a la empresa constructora que deberá pagar multas por atrasos en la entrega del trabajo. ¿ Cuántos trabajadores debe contratar la Empresa, para terminar la obra en 24 días? (120) 44) En cierto instante el reloj marca dos minutos menos de lo debido, aunque adelanta. Si marcase 3 minutos menos de lo que debe marcar, pero adelantará al día en ½ minuto más de lo que se adelanta, entonces marcaría la hora exacta un día antes que en la situación actual. ¿ En cuántos minutos al día se adelanta el reloj? 45) Un fabricante decide vender 6 artículos cuando el saldo de su cuenta bancaria es de U$1500. Invierte los 3/4 de su nuevo capital en pagar los impuestos y otras deudas. ¿ A cómo vendió cada articulo, si su cuenta bancaria es de U$ 1880 después de vender 4 artículos más? (U$273,64) 46) Un estanque queda lleno de agua por un grifo abierto durante 3 horas ; otro grifo lo llenará en 2 horas y un tubo de desagüe lo vaciará en 1 hora y 12 minutos. Suponiendo que el estanque esté vacío y abiertos , a la vez , los dos grifos y el tubo de desagüe , ¿Cuánto tiempo tardará en llenarse el estanque? 47) Hallar tres números enteros consecutivos, sabiendo que el cuociente de su producto por el cuadrado de su semi suma es igual a 130/21 (13,14 y15) 48) ¿Cuál es el número que es igual a la suma de su cuadrado más la fracción n/25, siendo n un número entero positivo ? .¿ Para qué valores de n admite soluciones este problema ?. ¿ Para que valores de n dichas soluciones son números fraccionarios ? (3/5, 2/5, 4/5 ,1/5) Página 90 de 94 49) Dos recipientes iguales de 30 litros de capacidad cada uno, contienen en total 30 litros de alcohol. El primer recipiente se llena hasta los bordes con agua y con la mezcla obtenida se rellena adicionalmente el segundo recipiente. Luego, del segundo recipiente se echan al primero 12 litros de la nueva mezcla. ¿ Cuánto alcohol había al principio en cada recipiente, si al final en el segundo hay 2 litros de alcohol menos que en el primero? 10[ l ] y 20 [ l ] 50) Un avión vuela de A a B en línea recta. Al cabo de cierto tiempo y a causa del viento contrario, el avión disminuye su velocidad hasta v[ km/h], como resultado de lo cual tarda t 1 minutos. Durante su segundo vuelo, el avión, por la misma causa, disminuye su velocidad hasta la misma magnitud, pero a d [km] más lejos de A que el primer vuelo y tarda t 2 minutos. Hallar la velocidad inicial del avión. 51) Un ángulo de un triángulo es 1/5 de la suma de los otros dos. El ángulo mayor más 10° es igual al doble de la suma de los otros dos. Encontrar los ángulos. (30°,100/3°, 582/5°) 52) Dos conductos A y B llenan un estanque en 20 horas. Si el conducto B fuera de desagüe, se tardaría 52 horas en llenar el estanque. ¿ En qué tiempo se llenará el estanque, estando abierto solamente el conducto A? , ¿ en qué tiempo solamente con B? (28,9 [h], 65 [h] ) 53) Los obreros A y B trabajaron el mismo número de días. Si A hubiese trabajado un día menos y B siete días menos, entonces A habría ganado $ 7200 y B $ 6480. Si, al contrario, A hubiese trabajado siete días menos y B un día menos, B habría ganado $ 3240 más que A. ¿ Cuánto ganó cada uno en realidad? ($7500, $ 9000) 54) Se diseño un envase en forma de paralelepípedo recto para contener una cantidad dada de producto. Para este diseño el ancho fue 16 [cm] más largo que el fondo y el largo fue 5 veces el fondo. Fue necesario rediseñar el envase. Se disminuyó el largo y ancho en 4 [cm] aumentando el fondo en ¼. ¿ Cuáles fueron las dimensiones finales del envase? ( 23 [cm], 28 [cm], 60 [cm]) Página 91 de 94 55) Si dos puntos se mueven sobre una circunferencia en sentidos opuestos de modo que uno de ellos se mueve con rapidez constante v[m/s], el segundo con aceleración lineal constante a [m/s 2 ] y en el instante inicial ambos se encuentran en el punto A, entonces el segundo encuentro será, de nuevo, en el punto A. ¿ Cuánto tiempo transcurre hasta el primer encuentro? ( v/a ( - 1 ) ) [s] Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales y logarítmicas: ( )( ) { } { } { } ( ) ( ) { } { } 1 2 log ) 3 x log( ) 2 x ( log ) 61 3 5 x log 2 7 x log ) 60 3 10 3 3 ) 59 3 , 1 257 4 64 4 ) 58 958 , 3 5 4 ) 57 3 , 2 81 3 ) 55 x 2 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 2 x 1 x − = + + + − + = + ⋅ = + − = + = − = + + − + − { } { } { } 3 , 2 3 ) x 5 ( log ) x 35 ( log ) 65 10 5 , 4 log 1 7 x 2 log 5 x 7 log ) 64 8 , 5395 , 853 , 1 1 x log 1 1 x log 5 1 ) 63 2 , 21 13 ) 4 x 3 ( log 2 ) 9 x 7 ( log ) 62 3 2 2 = − − + = + + + = + + − ) ` ¹ ¹ ´ ¦ − − = − Página 92 de 94 66) La corriente I de cierto circuito eléctrico en el tiempo t está dado por: I E R e Rt L = − | \ | . | | − 1 en la que E , R y L representa la tensión o voltaje aplicado, la resistencia y la inductancia, respectivamente. Use logaritmos naturales para evaluar t en términos de los demás símbolos. 67) Un condensador eléctrico (capacitor) con carga inicial Q se deja descargar. Después de t segundos, la carga Q es: kt 0 e Q Q = En la que k es una constante. Use logaritmos naturales para evaluar t e términos de Q, Q 0 y k. 68) La fórmula para el nivel de intensidad del sonido es decibeles en I I log 10 0 α | | . | \ | = α a) Determinar I en función de α y de I 0 b) Muestre que un incremento de un decibel en el nivel de intensidad alfa corresponde a un 26% de aumento en la intensidad I. 69) La corriente I (t) en el tiempo t que hay en cierto circuito eléctrico está dada por I (t) = I 0 e –Rt/L , en la que R y L representan la resistencia y la inductancia respectivamente, e I 0 es la corriente en el tiempo t= 0 ¿ En qué momento es la corriente 0,01 I 0 ? 70) Las estrellas se clasifican en categorías de brillo llamadas magnitudes. A las estrellas más débiles ( con flujo luminoso L 0 ) se les asigna magnitud 6. A las estrellas más brillantes se les asigna magnitud conforme a la fórmula: 0 L L log ) 5 , 2 ( 6 m − = en la que L es el flujo luminoso de la estrella. a) Determine m si L = 10 0,4 L 0 . m) Resuelva la fórmula para evaluar L en términos de m y de L 0 . Página 93 de 94 71) Resolver las siguientes inecuaciones y dar la respuesta usando intervalos en R. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( | ( | ( ) ( ) ∞ > − | . | \ | ∞ ∪ ∞ − < − ∪ − ∞ − ≤ + − < − ∅ < + + ∪ − − < + − ( ¸ ( ¸ − + ≤ − + ∞ ∪ ∞ − − > − ∞ + + > + + | . | \ | ∞ − > − − + ( ¸ ( \ | − ∞ − − ≥ − , 7 : R 0 7 x 1 ) k , 3 1 0 , : R 3 x 1 ) j 3 , 1 3 , : R 0 1 x 9 x ) i R I : R 6 x 2 ) h : R 0 16 x 8 x ) g 2 , 3 3 , 2 : R 0 12 x 7 x ) f 2 3 , 4 : R 4 x 3 8 x 5 x 5 ) e , 5 1 , : R 5 x 6 x ) d , 1 : R ) 3 x ( ) 7 x 2 ( ) 5 x ( ) 2 x ( 2 ) c 2 9 , : R 2 ) 1 x ( 5 ) 2 x ( 3 ) b 8 15 , : R 4 x 11 19 x 3 ) a 2 2 2 2 4 2 2 2 Página 94 de 94 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) | ) | . | \ | ∞ ∪ | . | \ | ∞ − < − − ≤ + − ∞ ∪ | . | \ | > − − ∞ ∪ − ∞ − < + + | . | \ | − < − ∞ ∪ ∞ − > + − < ∪ | . | \ | − < + + + − + − | . | ¸ ∪ ( ¸ ( \ | − − ≤ + − + − ∪ − ∞ − − > − , 6 7 2 1 , : R 4 1 x x 2 3 ) u 3 , 0 : R 2 2 x 3 x ) t , 7 7 , 4 15 : R 2 x 7 1 x 2 ) s , 1 2 , : R 3 1 x 5 x ) r 4 , 3 2 : R 7 x 3 5 ) q , 2 6 , : R 8 4 x 2 ) p 2 , 2 : R 2 x ) o 2 , 1 2 1 , 1 : R 0 2 x 3 x 2 x 2 x 3 x x ) n 5 , 2 1 3 4 , 7 : R 0 7 x 5 x 4 x 3 1 x 2 ) m 5 , 3 5 , : R 5 x 5 3 x 4 ) l 2 2 2 72) Una resistencia de 7 ohmios y una resistencia variable se instalan en paralelo. La resistencia resultante R T esta dada por R 7 R 7 R T + = , determine los valores de la resistencia variable R para los cuales la resistencia resultante R T será mayor de 3 ohmios 73) La intensidad I en lumen de cierta fuente de luz en un punto a r centímetros de la fuente está dada por 2 r 625 I = ¿ A qué distancia de la fuente de luz la intensidad será menor de 25 lumens?