MATEMATICAS I Manual Del Profesor

MATEMÁTICAS IGUÍA DEL PROFESOR SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICA SUBSECRETARÍA DE EDUCACIÓN SUPERIOR E INVESTIGACIÓN CIENTÍFICA SUBSISTEMA DE UNIVERSIDADES TECNOLÓGICAS COORDINACIÓN GENERAL DE UNIVERSIDADES TECNOLÓGICAS ELABORÓ: (GRUPO DE DIRECTORES DE LA CARRERA DE PROCESOS AGROINDUSTRIALES) REVISÓ: FECHA DE ENTRADA EN VIGOR: (COMISIÓN ACADÉMICA NACIONAL DEL ÁREA DE PROCESOS AGROINDUSTRIALES) APROBÓ: COORDINACIÓN GENERAL DE UNIVERSIDADES TECNOLÓGICAS SEPTIEMBRE DEL 2001 Revisión no. 0. Fecha de revisión: Página 1 F-CADI-SA-MA-27-GP-A I. DIRECTORIO DR. REYES TAMES GUERRA SECRETARIO DE EDUCACIÓN PÚBLICA DR. JULIO RUBIO OCA SUBSECRETARIO DE EDUCACIÓN SUPERIOR E INVESTIGACIÓN CIENTÍFICA DR. ARTURO NAVA JAIMES COORDINADOR GENERAL DE UNIVERSIDADES TECNOLÓGICAS RECONOCIMIENTOS: ING. ÁLVARO ÁLVAREZ GONZÁLEZ UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE LA HUASTECA ARQ. RUSS EDUARDO GALVÁN VERA. UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE LA HUASTECA ING. SAID SALDIVAR HERNÁNDEZ UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE LA HUASTECA ARQ. CARLOS ENRIQUEZ ZEPEDA TOLEDO UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE LA HUASTECA ING. ADOLFO LÓPEZ ZAVALA UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE LA HUASTECA HIDALGUENSE HIDALGUENSE HIDALGUENSE HIDALGUENSE HIDALGUENSE MATEMÁTICAS DR. © 20001 ESTA OBRA, SUS CARACTERÍSTICAS Y DERECHOS SON PROPIEDAD DE LA: COORDINACIÓN GENERAL DE UNIVERSIDADES TECNOLÓGICAS (CGUT) FRANCISCO PETRARCA No. 321, COL. CHAPULTEPEC MORALES, MÉXICO DF. LOS DERECHOS DE PUBLICACIÓN PERTENECEN A LA CGUT. QUEDA PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN PARCIAL O TOTAL POR CUALQUIER MEDIO, SIN AUTORIZACIÓN PREVIA Y POR ESCRITO DEL TITULAR DE LOS DERECHOS. ISBN (EN TRÁMITE) IMPRESO EN MÉXICO. II. ÍNDICE CONTENIDO I. DIRECTORIO Y RECONOCIMIENTOS II. ÍNDICE III. INTRODUCCIÓN A LA ASIGNATURA IV. DIAGNOSTICO DE CONOCIMIENTOS V. UNIDADES TEMÁTICAS I. ECUACIONES LINEALES II. SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES III. MATRICES IV. DETERMINANTES V. MATRIZ INVERSA VI. SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES VI. REFERENCIAS VII GLOSARIO VIII. ANEXOS. PAGINA 2 3 4 5 6 6 25 37 58 69 75 78 por lo que es muy necesario un curso normal del álgebra de vectores. La materia de álgebra lineal es tan indispensable para los estudiantes de las carreras técnicas y científicas. . en la presente guía se presentan diversos temas que permiten al estudiante resolver los problemas de álgebra lineal que se le presenten. en la aplicación del producto matricial a la dispersión de una enfermedad contagiosa. por ejemplo. etc. El álgebra lineal tiene gran aplicación en las diferentes disciplinas. INTRODUCCIÓN DE LA ASIGNATURA.III. V. el álgebra lineal es su primer curso verdadero de matemáticas.IV DIAGNOSTICO DE CONOCIMIENTOS Para muchos estudiantes. En este curso los estudiantes deben hacer cálculos numéricos sino también hacer demostraciones que les permitirán tener una mejor comprensión de la materia. UNIDADES TEMÁTICAS . 1. así como las herramientas que permitan determinar la ecuación que representa una relación lineal.Tener conocimiento de las características algebraicas de las ecuaciones lineales.2 Representación grafica de una ecuación lineal 1.1 Representar gráficamente las ecuaciones lineales 1.2.2 Aplicar las ecuaciones lineales 1.1.2.2 Elaborar gráficas de ecuaciones lineales y su aplicación 1..UNIDAD 1 1.1 Aplicar la función de dependencia 1.1 Representación gráfica de una ecuación lineal 1.2.2 Función 1.1 Identificar ecuaciones lineales y sus características 1.2.2.1.3 Planteamiento y solución de un problema DEMOSTRACIÓN DE HABILIDADES PARCIALES (RESULTADO DE APRENDIZAJE) 1.3 Ley de dependencia 1.2 Función lineal 1.1 Relaciones lineales 1. de las cuales se obtienen gráficas que les permiten una mejor compresión de estas situaciones y pueden.1. además prever el comportamiento de una variable con respecto de la otra. ECUACIONES LINEALES INTRODUCCIÓN Las ecuaciones lineales permiten describir situaciones practicas que incluyen dos o más variables. OBJETIVO Y CRITERIOS DE APRENDIZAJE 1. 1.4 Ecuaciones lineales 1.1.2.1.3 Planteamiento y solución de problemas Página 9 9 9 9 9 10 11 11 16 20 9 10 12 18 20 . 2.1.2.2 Realizar operaciones con matrices 3.3 Aplicar el método de solución por reducción 2.2 Aplicar el método de solución por sustitución 2.2.2.2 Aplicar la matriz transpuesta 3.2.2 Ecuaciones equivalentes 2.1.1.4 Aplicar el método de solución con tres variables Página 24 24 24 24 25 25 27 29 32 25 28 29 32 OBJETIVO Y CRITERIOS DE APRENDIZAJE 3.1..1.1 Aplicar el método de solución por igualación 2.1.Entender la naturaleza de una matriz y la representación matricial de datos. 2.3 Sistemas de ecuaciones lineales 2.1 Aplicación de sistemas de ecuaciones 2.1 Identificar los productos de matrices cuadrados 3.3 Solución de sistemas de ecuaciones simultáneas por el método de eliminación Gaussiana 3.1.3 Matriz transpuesta 3. Conocerá las posibilidades del conjunto solución para diversos tipos de ecuaciones.4 Rango de una matriz DEMOSTRACIÓN DE HABILIDADES PARCIALES (RESULTADO DE APRENDIZAJE) 3.2 Tipos de matrices 3.1.1 Representar datos en forma matricial 3.OBJETIVO Y CRITERIOS DE APRENDIZAJE 2.1.1 Desarrollar operaciones con matrices 3.6 Método de reducción 2.1.2 Transformaciones elementales de una matriz 3. Lograr interpretar gráficamente los conjuntos solución.2 Aplicar sistemas de ecuaciones simultaneas por eliminación Gaussiana 36 36 36 37 39 42 42 48 49 55 39 40 40 43 49 .Comprender la naturaleza de los sistemas de ecuaciones y su representación gráfica. Comprender el álgebra matricial.5 Eliminación por sustitución 2.2.1 Operaciones con matrices 3.4 Eliminación por igualación 2. Aplicar el cálculo matricial en la solución de problemas con arreglos matriciales.1.7 Sistemas de ecuaciones lineales con tres variables DEMOSTRACIÓN DE HABILIDADES PARCIALES (RESULTADO DE APRENDIZAJE) 2.3 Definir las matrices simétricas y antisimetricas 3.1.1. 3.1.1 Ecuaciones simultaneas 2.1 Matriz 3.1.1..1. 1..1. 4.1.2 Solución por el método de Sarrus 4. 4.1.1 Determinantes 4.1.2 Inversa de una matriz cuadrada 5.Comprender la determinante es un concepto básico del álgebra matricial así como su particular aplicación en la sección de ecuaciones simultaneas. 5..1.1.1.4 Menores y cofactores 4.2 Realizar la inversa de una matriz por el método Gaussiana 5.1 Aplicar el método de menores y cofactores 4.1 Aplicar los sistemas de ecuaciones por el método de la inversa 74 74 74 75 .2. conocer las condiciones necesarias de las matrices para la obtención de la inversa por el método Gaussiana y por cofactores.1.1.1 Inversa de una matriz 5.1 Inversa por Gauss-Jordán DEMOSTRACIÓN DE HABILIDADES PARCIALES (RESULTADO DE APRENDIZAJE) 5.OBJETIVO Y CRITERIOS DE APRENDIZAJE 4.1..2 Aplicar el método de reducción Página 57 57 57 58 59 63 66 63 67 OBJETIVO Y CRITERIOS DE APRENDIZAJE 5.Identificar la inversa multiplicativa de una matriz.1 Solución de sistemas de ecuaciones por medio de la inversa DEMOSTRACIÓN DE HABILIDADES PARCIALES (RESULTADO DE APRENDIZAJE) 6.Obtener la solución de sistemas de ecuaciones lineales por el método inversa 6.1 Utilizar la determinante para la solución de ecuaciones simultaneas.3 Propiedades de los determinantes 4.1.1 Aplicar la inversa de una matriz para obtener el reciproco de una matriz 5.1.3 Método de la adjunta 5.5 Determinantes por el método de reducción DEMOSTRACIÓN DE HABILIDADES PARCIALES (RESULTADO DE APRENDIZAJE) 4.1 Sistemas de ecuaciones simultaneas por eliminación inversa 6.1 Realizar operaciones por método de la adjunta y Gauss-Jordán 68 68 68 69 70 70 70 71 OBJETIVO Y CRITERIOS DE APRENDIZAJE 6. de qué modo varía y cuando varía x.00. 1 2 Si un automóvil desarrolla una velocidad de 6 m por segundo.1. La notación para expresar que y es función de x es: y = f(x). En el ejemplo se observa que el tiempo es la variable independiente y el espacio recorrido es la variable dependiente. 2 Función Se dice que y es función de x cuando a cada valor de la variable x corresponden uno o varios valores determinados de la variable y. y es función de x.1. Relaciones lineales 1 Estás relaciones son definidas por medio de igualdades llamadas ecuaciones lineales o ecuaciones de primer grado con dos variables que usualmente son x. si anda durante 3 segundos recorrerá un espacio de 18 metros. Si la pieza tiene 5 metros. y. así como las herramientas que permitan determinar la ecuación que representa una relación lineal.00. lo interesante es saber como y depende de x. . recorrerá un espacio de 12 metros.1. Criterio de aprendizaje 1. En este ejemplo se observa que el costo de la pieza es la variable dependiente y el número de metros es la variable independiente.1. el costo será de $16. Si anda durante 2 segundos. el espacio que recorra dependerá del tiempo que está andando. 1. es lo que se llama ley de dependencia entre la variables. etc. la relación que liga a las variables. 1. debido a que la palabra función indica dependencia. el costo de la pieza depende del numero de metros que tenga la pieza. 1.Objetivo de aprendizaje 1. Identificar ecuaciones lineales y sus características. 1.1 Aplicar la función de dependencia Ejemplos: Si un metro de tela cuesta $2. no basta con saber que y depende de x.1. Tener conocimiento de las características algebraicas de las ecuaciones lineales. 3 Ley de dependencia Siempre que los valores de una variable y dependen de los valores de otra variable x. Sumar el inverso proporcional de –12 y simplificar.. B y C son: A = 9.3y . Ecuaciones lineales 4 Ecuación. B y C son: A = 2. 9x + 3y – 3y = 0 – 3y 9x = . Resolviendo la ecuación paso a paso y tomando a x como variable dependiente se tiene: 1... y es cualquier ecuación equivalente (Dos o más ecuaciones son equivalentes cuando tienen exactamente las mismas soluciones) a una forma Ax + By + C = 0 en donde A. 1.1. se tiene: 1.2x – 3y –12 = 0 La ecuación dada es una ecuación de primer grado y es una ecuación lineal en la que los valores de las constantes A..1.Se define como una igualdad en la que intervienen 2 o más incógnitas de términos que pueden ser ecuaciones algebraicas.12_-_2x 3 2. 3. Definición..Sumar el inverso proporcional de –12 y simplificar 2. diferenciales.. integrales o vectoriales.Sumar el inverso proporcional de 2x y simplificar 3.Solución general 2x – 3y –12 + 12 = 0 + 12 2x – 3y = 12 2x – 3y – 2x = 12 – 2x -3y = 12 – 2x -3y(-1/3) = (12 –2x)(-1/3) y = .Solución general 2x – 3y –12 +12 = 0 + 12 2x – 3y = 12 2x – 3y + 3y = 12 + 3y 2x = 12 + 3y 2x (1/2) = (12 + 3y)(1/2) x = 12 + 3y 2 Si se resuelve a resolver la misma ecuación y se toma a y como variable dependiente se tiene: 1..Multiplicar el inverso proporcional de –3 y simplificar 4.- 9x + 3y = 0 La ecuación dada es una ecuación de primer grado y es una ecuación lineal en la que los valores de las constantes A... Una ecuación lineal o ecuación de primer grado en x.Multiplicar el inverso proporcional de 2 y simplificar 4.Sumar el inverso proporcional de 3y y simplificar.1. Resolviendo la ecuación paso a paso y tomando x como la variable dependiente. B y C son constantes reales. B = -3 y C = -12. B = 3 y C = 0.2 Aplicar las ecuaciones lineales Ejemplos: 1. trascendentes.. 2..Sumar el inverso proporcional de –3y y simplificar. 9.18.7y = 136 x .12y + 11x = 354 13y + 10x = 294 8y -11x = 300 21x . la grafica de dicha ecuación es una línea recta.3y 9 x=-1y 3 3.8.2.Solución general Ejercicios propuestos 1.5.15..12.Solución general Si se resuelve la misma ecuación y se toma a y como variable dependiente se tiene: 1.3.4. Las ecuaciones de primer grado con dos variables se les llaman ecuaciones lineales debido a que representan líneas rectas.13.3y)(1/9) x = .6.17.25y = 705 20y .5y = 0 9x + 11y = 203 8x .8y = 115 15x .2x + 3y = 5 3x + 5y = 43 7x .2 1..13y = 162 7x + 5y = 0 10x + y = 32 9x .2.23x = 411 7x + 13y = 43 11x .10.9x 3y(1/3) = 9x(1/3) y = 9x 3 y = 3x 3.14.19.12y = 0 x+y=4 y–x=5 3y + x = 9 1. .7.20.Sumar el inverso proporcional de –9x y simplificar 2.... 1 Elaborar gráficas de ecuaciones lineales y su aplicación Representación grafica de una ecuación lineal Cuando el conjunto de los números reales es el conjunto de sustitución de las dos variables de una ecuación.Multiplicar el inverso proporcional de 9 y simplificar 9x (1/9) = (.2.4y = 86 11.16.Multiplicar el inverso proporcional de 3 y simplificar 9x + 3y –9x = 0 – 9x 3y = . 1.Características de las gráficas 1. Por lo tanto el origen es un punto de la recta y basta hallar otro punto cualquiera y unirlo con el origen.5)y su gráfica es: Y .0) y B (3.1 Representar gráficamente las ecuaciones lineales Ejemplos: Representar gráficamente la ecuación 5x – 3y = 0 La ecuación dada carece de término independiente. la línea recta que ella representa no pasa por el origen. y) de la recta son: A (0. la línea recta que ella representa pasa por el origen. ahora se busca el valor de y para un valor cualquiera: Por ejemplo: Para x = 3 y = 5(3)/ 3 y=5 Por lo tanto los puntos (x. Si la ecuación tiene término independiente. Despejando a y se tiene: -3y = -5x (-1)(-3y = -5x) 3y = 5x 3y(1/3) = 5x(1/3) y = 5x 3 Al obtener el despeje de y.3.- 1. por lo que la línea recta pasa por el origen.2.2.Toda ecuación de primer grado con dos variables representa una línea recta. Si la ecuación carece de término independiente. - Representar gráficamente la ecuación 3x + 4y = 15 La ecuación dada tiene término independiente.3 ¾). y) de la recta son: A (0. Por lo tanto los puntos (x.- Representar gráficamente la siguiente ecuación y-2 =0 Resolviendo la ecuación se obtiene: y – 2 + 2 = 0 +2 y=2 La ecuación es equivalente a 0x + y = 2. lo más cómodo es hallar los interceptos sobre los ejes.2).2). En este caso. Por lo tanto para cualquier valor de x. y) de la recta son: A (5. Del mismo modo que: . por lo tanto la línea que ella representa no pasa por el origen.2. etc. y = 2 y es un valor constante o bien es el lugar geométrico de todos los puntos cuya ordenada es 2.0) y B (0. B (2. y su gráfica es: Y 3. él intercepto sobre el eje de las x se obtiene haciendo y = 0 y él intercepto sobre el eje de la y se obtiene haciendo x = 0 Resolviendo la ecuación para: y = 0 3x + 4(0) = 15 x = 0 3(0) + 4y = 15 3x + 0 = 15 0 + 4y = 15 3x(1/3) = 15(1/3) 4y(1/4) = 15(1/4) x = 15 y = 15 3 4 x=5 y=3¾ Por lo tanto los punto (x. La representación grafica de las tres ecuaciones forman una familia de rectas y su grafica es: Y 4.- Hallar la intersección de rectas de las siguientes ecuaciones.-4). G(1. por lo tanto la recta de la primera ecuación pasa por el origen y la segunda no. F (-1. 3x + 4y = 10 con 2x + y = 0 La primera ecuación se observa que tiene término independiente y la segunda ecuación carece de término independiente.y+4=0 y y+1=0 y+4–4=0–4 y+1–1=0–1 y=-4 y=-1 Cuyos valores son: D (-2.etc. etc.-4).3x 4 2x + y = 0 2x + y –2x = 0 – 2x y = -2x .-1). E (0.-1). Despejando a y de ambas ecuaciones se obtiene: 3x + 4y = 10 3x + 4y – 3x = 10 – 3x 4y = 10 – 3x 4y(1/4) = (10 – 3x) (1/4) y = 10 . 0) Para x=0 2x + y = 0 2(0) + y = 0 0 +y=0 y=0 y = 0 3x + 4(0) = 10 3x + 0 = 10 (3x)(1/3) = 10(1/3) x = 10 3 x=3½ y=1 2x + 1 = 0 2x + 1 –1 = 0 – 1 2x = . y) son D(0.1).Por lo tanto los puntos de (x. 2 ½) B(3 ½.0) y E(-1/2.1 2x(1/2) = -1(1/2) x=-½ Los puntos de (x. y) son: Para 3x + 4y = 10 x = 0 3(0) + 4y = 10 0 + 4y = 10 4y(1/4) = 10(1/4) y = 10 4 y=2½ Los puntos de A(0. La grafica de ambas ecuaciones es: Y Ejercicios propuestos . y + 1 = 0 con y–4=0 6.6x = .. dicho de otra manera si nos movemos en la recta con ecuación f(x) = mx + b (figuras a y b) partiendo de un punto P de tal manera que la abscisa aumente una unidad. y la línea recta que ella representa pasa por el origen.y – 4 = 0 9.5x + 6y = ..2y – 3x = 9 12..Representar gráficamente las siguientes ecuaciones 1...2.7x – 2y –14 = 0 14.las tres formas que se mencionan a continuación..9 con 5x – 2y = .. donde m y b son constantes..3x + 4y = -1 18. y la línea que elle representa no pasa por el origen y su intercepto sobre el eje de la y es igual al término independiente b.2(3x-y) = 2x + 3 10. o sea si es de la forma y = mx + b.2x + 3y = -20 8. El significado de la constante m (pendiente de la recta) indica cuantas unidades cambia la ordenada cuando x aumenta una unidad.8y – 15x = 40 17.constante. y .y = 0 2.. Si la función carece de término independiente..38 con 8x – 5y + 17 = 0 1.5x – 2y + 14 = 0 con 6x – 7y = .7x –12y = 84 11.3x – 4y – 6 = 0 16..30 con 7x + 2y = 22 con 4x – 3y = ..2x + 5y = -20 10.26 4x – 3y = 24 7.. Toda función de primer grado representa una línea recta y por eso se llama función lineal..5x + 2y = 0 4..2x – 4 = 3y 19. y que la ecuación puede escribirse de una de 1. Si la función tiene término independiente..8x = 3y 5..3x = 2y 3.3x + 8y = 28 8.y la función se llama ecuación lineal. 2. o sea si es de la forma y = mx donde m es 3.5x – 4y = 8 9...2x – y = 0 5....5y 10.x – y = .. Función líneal 2 Una ecuación lineal representa una función....y – 1 = 0 3.y – 7 = 8 7..12 – 3x = 4(x-y) Hallar la intersección de las siguientes ecuaciones 1..9 con con con con x+y=5 3x + y = 18 5x + 4y = .9x + 2y = 0 15...4 6..x ..y + 5 = 0 2.. la unidad cambia (aumenta o disminuye) m unidades.10x – 3y = 0 13.x – y = 2 4. f(x1)) X x2 – x1 1. f(x)) 1 Unidad m = f(x) – f(x + 1) < 0 P1 (x + 1). f(x2)) f(x2) – f(x1) P1(x1. f(x)) x a) y P(x.P1 (x + 1.2 Representación gráfica de una ecuación lineal Ejemplos: . f(x + 1) b) x La pendiente de una recta está dada por: m = f(x2)_-_f(x1) por lo tanto m = y2_-_y1 x2 – x1 x2 – x1 La ecuación de la pendiente se obtiene a partir de la siguiente figura: y P2(x2.2. f(x + 1)) m = f(x + 1) – f(x) > 0 1Unidad P(x. 2/3 Por lo tanto de la ecuación se obtiene que: m = -2 y b = -2/3 x=1 y = .- Una recta que intersecta y en (0.-3) cuya grafica es: Y 2. y dado que m = 3.6x 3y + 2 –2 = .3. Resolviendo.- Determinar la pendiente y la ordenada al origen la grafica de la recta cuya ecuación es 6x + 3y + 2 = 0 Despejando a y de la ecuación se obtiene: 6x + 3y + 2 – 6x = 0 – 6x 3y + 2 = .2(0) – 2/3 y = .2(1) – 2/3 y = -2 –2/3 y = -6_-_2 . Encuentre una ecuación de dicha recta y grafíquela. observa que la intersección con y es (0. la ecuación se obtiene por simple sustitución en y = mx + b quedando como: y = 3x – 3.3) tiene una pendiente igual a 3. y) donde A (1. resolviendo la ecuación se obtienen los puntos de (x.1.6x – 2 3y = .6x – 2 3y (1/3) = (-6x – 2) (1/3) y = -6x_-_2 3 y = .b) entonces b = .0) y B (0.2x – 2/3 Para x=0 y = . 2.2. y) son A (0. Planteamiento y solución de un problema .- 1..4 2x – y = 2 8.3 y = .5..4x + y = 8 7x + 8y + 3 = 0 7.y = 8 – 3x 2x = y – 1 10..y = (5x – 4) / 2 1.y = 3x + 3 2x – 3y = 0 9.y = -2x ..-2/3) y B (1.4. 4x + 2y – 1 = 0 6.8/3 Por lo tanto los puntos (x.2.-8/3) cuya grafica es: Y Ejercicios propuestos Encontrar las pendientes y ordenadas al origen de las rectas representadas por las ecuaciones siguientes y graficar cada una.. Plantear la ecuación que relaciona las variables con los datos para obtener lo que se pide..Leer el problema completo paso a paso (más de una vez sí es necesario) 2..3. es decir.2. Estrategia para la solución de un problema 1.4.9..¿Cuáles son los datos? 5.8. A=? L=¿ P = 2A + 2L P = 2A + 2L Como: P = 150 cm y A = (2/3)L entonces 150 cm = 2((2/3)L) + 2L 150 cm = (4/3)L + 2L 150 cm = 4L_+_6L 3 150 cm (3) = 10L 450 cm = 10L L = 450_cm 10 L = 45 cm A = (2/3)L A = (2/3)(45 cm) A = 30 cm .Procedimiento u operaciones para obtener lo que se pide. 7.. Si el ancho es dos terceras partes de su largo..7.6. para poder plantear una ecuación que nos permita encontrar la solución a dicho problema.Leer el problema completo paso a paso (más de una vez sí es necesario) Hacer un dibujo o gráfica (si la situación lo permite) Identificar las variables Indicar cual o cuales son los datos Identificar la pregunta Plantear la ecuación que relaciona las variables con los datos para obtener lo que se pide Realizar las operaciones necesarias para obtener lo que se pide Dar la respuesta Verificar si el resultado es correcto y preguntarse si es razonable o no. Aplicación al problema 1..3 A este tipo de problemas es necesario hacer un análisis profundo.5.Hacer un dibujo si la situación lo permite..2. Ancho 3. Largo L = Largo A = Ancho P = perimetro P = 150 cm A = (2/3)L Obtener las dimensiones del rectangulo. 1.3 Planteamiento y solución de problemas Ejemplos: Obtener las dimensiones de un rectángulo cuyo perímetro es 150 cm.¿Cuál es la pregunta? 6.- Proceso mental 1.Identificar e indicar las variables 4. .4...Verificación A = Ancho = 30 cm L = Largo = 45 cm 45 cm 30 cm A = Ancho = (2/3)(45 cm) = 90/3 = 30 cm P = 45cm + 45cm + 30cm + 30cm = 150cm 2..¿Cuáles son los datos? • Carlos es exactamente tres veces la . 29 27 + 28 + 29 = 84 5.. Proceso mental Aplicación 1.Carlos tiene exactamente tres veces la edad de Miriam.Procedimiento para obtener lo que se pide 8.¿Cuál es la pregunta? 6..Dar la respuesta 9..Obtener los tres números consecutivos cuya suma sea 84 1.Identificar las variables x = Edad actual de Carlos y = Edad actual de Miriam 3. para obtener lo que se pide 7.Leer el problema 2.3. x + 2 = 29 Los números son: 27. ¿Qué edad tiene cada uno de ellos?.Respuesta 9. y.. pero dentro de dos años sólo será dos veces mayor que ella.8.2.Plantear la ecuación que relaciona las variables con los datos.Proceso mental Leer el problema completo paso a paso (mas de una vez sí es necesario) Hacer un dibujo si la situación lo permite Identificar las variables ¿Cuáles son los datos? Aplicación No se aplica Sean x.. 28.. los tres números consecutivos y=x+1 z=x+2 x + y + z = 84 Obtener los tres números consecutivos de tal forma que la suma sea 84 x + y + z = 84 6x + (x + 1) + (x + 2) = 84 x + (x + 1) + ( x + 2) = 84 x + x + 1 + x + 2 = 84 3x + 3 = 84 3x = 84 – 3 3x = 81 x = 81/3 x = 27 Por lo tanto los números son: x = 27. x + 1 = 28..Verificación 3. z.. Si su altura es la cuarta parte de su base. de tal manera que la longitud de una de ellas es la ¾ partes de la longitud de la otra... 2.La suma de tres enteros consecutivos es 66... (x + 2) = 2(y + 2) Sujetos Edad Edad dentro de actual dos años Carlos x x+2 Miriam y y+2 ¿Cuáles son las edades de Carlos y Miriam? x = 3y (x + 2) = 2(y + 2) x + 2 = 2(y + 2) 3y + 2 = 2y + 4 3y – 2y = 4 – 2 y=2 La edad actual de Miriam es y = 2 y la de Carlos es x =3y x = 3(2) x=6 Edad de Carlos = 3 (Edad de Miriam) 6 = 3(2) 6=6 Ejercicios propuestos Si un lado de un triangulo mide la quinta parte de su perímetro. el segundo lado mide la décima parte del perímetro y el tercer lado mide 5.Representación de la información 5. 6.. resulta 74. más que 2/3 partes de su longitud y su perímetro es de 136 cm..Obtener el área de un triangulo equilátero si uno de sus lados mide 6 cm.Un agricultor tiene 100m de alambre de púas y desea cercar un solar rectangular.La suma de tres enteros impares consecutivos es 105. ¿Cuál es el número?..Si el triple de un número es disminuido en 20.¿Cuál es la pregunta? 6..Cada una de los lados de un triangulo isósceles tiene 5 cm. Encuentre la longitud de cada lado.Un trozo de madera de 9 metros se divide en dos partes. 12. más de longitud que la base del triangulo. 11. ¿Cuál es el perímetro?. 3.Si el doble de un número se la aumente 8. en el cual un de sus largos da a un río y no necesita cerca.Si el ancho de un rectángulo es de 3 cm. Obtener los números 10. 8.. El largo es de 100 metros más que el ancho.. Obtener el número.Ecuación que relaciona las variables con los datos 7.Procedimiento para obtener lo que se pide 8.- . El perímetro mide 38 cm. 9.4.Respuesta 9. Hallar la longitud de cada parte. resulta 100... 5..Obtener las dimensiones de un rectángulo cuyo perímetro es de 100 cm.22verificación edad de Miriam x = 3y • Carlos dentro de dos años sólo será dos veces mayor que ella. ¿Cuál es el área de dicho solar?. 7..Si se toma cuatro veces la edad que tendrá Miguel dentro de cuatro años y se le restan 1. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo?... Obtener esos números.. 4. 24 cuatro veces la edad que tenía hace cuatro años.500. Si la mezcla pesa 10 kg y se vende a $135.14. ¿Cuántos kilogramos hay de cada tipo de nuez en la mezcla?. en tanto que B demora 4 horas. la edad de la mayor es 20 años y la edad de la menor es de 5 años.13. Sin embargo la esposa de Víctor puede lavar el coche en 45 minutos ¿Cuánto se tardarán en lavar el coche juntos?. para que está ultima tenga 20 dólares más?. Marco tiene 5 monedas más de $0.16. ¿Cuál es la edad de Sonia?.00. María tiene dos hijas. ¿Cuánto tiempo tardarán los dos juntos en hacer el jardín?. En una familia hay dos hermanas. Si Paty le ayuda.50 que de $0. Obtener las edades de Alfredo y Jorge.00 el kilo. El sueldo asciende a 200 dólares más que lo recibido por las horas extras. En el supermercado se mezclan dos tipos de nuez. ¿Cuál es el sueldo de José Luis sin las horas extras?. Si se vendieron boletos a $50 y $75. le tomará 20 minutos. ¿Cuántos se vendieron de cada tipo?. ¿Cuánto demorarán en hacer el trabajo juntos? Miriam puede recoger su habitación en 30 minutos. Obtener las edades de María y sus hijas.22. Si el valor total es de $10. Hace tres años la edad de María era tres veces la suma de las edades de las hijas y el próximo año su edad será el doble de la suma de las edades de sus hijas. Cuatro veces la edad de Jorge es diez años más que dos veces que la edad que Alfredo tenía hace un año. Dentro de diez años la edad de Sonia será 5/8 de la que tenga su mamá. Dentro de dos años la edad de Alfredo sería el triple de la de Jorge hace cinco años. Hace dos años Sonia tenía la mitad de la edad de su madre.00 el kilo. una que cuesta $100. Calcular los años de Miguel.21.00 el kilo y la otra de $150. A demora 3 horas en hacer cierto trabajo. una de ellas es diez veces mayor que la otra. .23. Hace cuatro años Pedro tenía el triple de la correspondiente a su hermana.19.20. ¿cuanto dinero tendrá que darle una de ellas a la otra. Luis se tarda 5 días en hacer un jardín y Manuel se tarda 3 días en el mismo jardín. ¿Cuánto tiempo le tomará Paty arreglar la habitación sola? Víctor puede lavar su coche en una hora y a su hijo también le lleva el mismo tiempo en lavar el mismo coche. La edad actual de pedro es el doble de la de su hermana. ¿Cuántas monedas hay de cada clase?. ¿Cuál es la edad actual de Pedro?. ¿Dentro de cuantos años la edad de la menor será la mitad de la edad de la mayor? José Luis la última semana ganó 250 dólares incluyendo el pago por horas extras. resultaría exactamente los años que tiene Miguel ahora.18.17. En un teatro se vendieron 500 boletos por un total de $32.25.15. Si dos personas poseen la misma cantidad de dinero. 1. y = 2 satisfacen x–y=1 ambas ecuaciones. 3+2=5 3–2=1 5=5 1=1 2.Comprender la naturaleza de los sistemas de ecuaciones y su representación gráfica.1. ECUACIONES LINEALES INTRODUCCIÓN El estudio de los sistemas de ecuaciones lineales y sus soluciones es uno de los temas más importantes del álgebra lineal. Por lo que en está sección se introducirá la terminología básica y se analizarán métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales..1 Aplicación de sistemas de ecuaciones 2. Como se muestra el siguiente ejemplo: x+y=5 Este sistema son simultaneas cuyos valores de x = 3. Lograr interpretar gráficamente los conjuntos solución. Objetivo de aprendizaje 2. 1 Ecuaciones simultaneas Dos o más ecuaciones con dos incógnitas son simultaneas cuando se satisfacen para iguales valores de las incógnitas. 2 Ecuaciones equivalentes Son aquellas ecuaciones en las que se obtienen una de la otra. Conocerá las posibilidades del conjunto solución para diversos tipos de ecuaciones.UNIDAD 2 2. tal es el caso del siguiente sistema: x+=4 2x + 2y = 8 Son equivalentes porque si se divide la segunda ecuación entre 2 se obtiene la primera . Criterio de aprendizaje 2. Otros tipos de ecuaciones son las ecuaciones independientes y no se obtienen una de la otra.1 se despeja una incógnita ya sea x ó y de ambas ecuaciones.-Una vez que se han obtenido los os valores de X se hace la igualación x = x 13_-_4y = 19_+_2y 7 5 3. Una ecuación incompatible. 2.- . por ejemplo despejemos a x de ambas ecuaciones..1. por ejemplo: A1x + B1y + C1 = 0 A2x + B2y + C2 = 0 Lo que se busca de dicha ecuación son los pares ordenados ( x. Las ecuaciones equivalentes tienen infinitas soluciones. 2. En un sistema de ecuaciones nuestro interés es encontrar el conjunto solución de un sistema. 2. cuando dichas ecuaciones tienen una sola solución son simultaneas o compatibles. Para resolver un sistema de ecuaciones es necesario obtener de las dos ecuaciones una sola ecuación con una sola incógnita.Como paso No.1 5x – 2y = 19 ----. 7x = 13 – 4y 5x = 19 + 2y x = 13_-_4y x = 19_+_2y 7 5 2.1. y se ha 1. y los métodos de eliminación más usuales son: Igualación.-Se observa que ahora se tiene una sola ecuación con una sola incógnita. son también ecuaciones independientes que no tienen una solución común. por ejemplo el siguiente sistema de ecuaciones x + 2y = 10 2x + 4y = 5 Ambas ecuaciones son incompatibles debido a que no hay ningún par de valores de x e y que verifique ambas ecuaciones.1. 7x + 4y = 13 ----. a este tipo de operación se le llama eliminación.1 Aplicar el método de solución por igualación Ejemplo: Resolver el siguiente sistema por el método de igualación.ecuación.2 1. Eliminación por igualación 4 El método de igualación consiste en despejar la misma incógnita de las ecuaciones dadas y posteriormente hacer la igualación de ambas incógnitas. y) que satisfagan simultáneamente ambas ecuaciones. Sistemas de ecuaciones lineales 3 Un sistema de ecuaciones lineales es la reunión de dos o más ecuaciones con dos más incógnitas. Comparación (sustitución) y de Reducción (suma o resta). Los valores de las incógnitas x.34y = 68 y = 68 -34 y = -2 4. Resolviendo le ecuación: 5(13 – 4y) = 7(19 + 2y) 65 –20y = 133 + 14y -20y – 14y = 133 – 65 . 15x – 11y = -87 ----... sustituyendo los valores de x.1 -12x – 5y = -27 ----.2 15x = -87 + 11y -12x = -27 + 5y x = -87_+_11y -----2 x = -27_+_5y ----.4 15 -12 -87_+_11y = -27_+ 5y 15 -12 -12(-87 +11y) = 15(-27 + 5y) 1044 – 132y = -405 + 75y -132y – 75y = -405 – 1044 -207y = -1449 y = -1449 -207 y=7 Sustituyendo Y en ecuación 3.Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el método de igualación. y son: x = 3 y = -2 6.eliminado la variable x..Sustituyendo el valor de y en cualquiera de las ecuaciones dadas. x = -87_+_11(7) 15 Respuesta: x = -2/3 x = -87_+_77 y=7 . y en alguna de las dos ecuaciones: 7(3) + 4(-2) = 13 21 – 8 = 13 13 = 13 2.La verificación del resultado se obtiene. para obtener el valor de x. 1 7x + 4(-2) = 13 7x – 8 = 13 7x = 13 + 8 7x = 21 x = 21/7 x=3 5. por ejemplo en ec. 13y – 8x = 30 15x – 11y = -87 -12x – 5y = -27 16.5x + 4y = -17 3x – 2y = 3 7.24x – 5y = -5 3x + 4y = 5 18.7x – 3y = 9 2.7x + 9y = 42 12x + 10y = -27 17.6x + 5y = 5 4x + 3y = 1 8.2x – 3y = 7 4x – 6y = 12 5. 24x – 36y = -11 19.15 x = -10/15 x = -2/3 Comprobación: -12(-2/3) – 5(7) = -27 -30/3 – 77 = -87 -10 – 77 = -87 -87 = -87 Ejercicios propuestos Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de igualación 1.x – 2y = 4 11.. 9x + 16y = 7 . . x + 6y = 27 2x + y = 2 .. 6x – 18y = -85 .x + 2y = 5 3x – y = 1 3.3x + 8y = 1 2x + 7y = 4 9.-x + y = -1 2x + 4y = -1 6.7x – 4y = 5 9x + 8y = 13 14.. .. 20..x – 3y = -6 2x – 3y = -3 4.2x – y = 7 3x + 2y = 0 10..-5x – 4y = 14 3x – 2y = -2 12..4y – 3x = 0 14x –11y = -29 15.. 5x + 4y = 14 . 5x + 8y = -60 3x + 5y = 7 2x – y = -4 13. - .. 1.24 2x – 25 = -24 2x = -24 + 25 2x = 1 x=½ 1.1 8x – 3y = 19 ----.2 Aplicar el método de solución por sustitución Ejemplos: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el método de sustitución.- Resolver el siguiente sistema de ecuaciones 2x + 3y = 7 ----. por ejemplo x de la ecuación 1. 2x = -24 –5y x = -24_-_5y ----.Sustituir el valor de x en la ecuación 2 8 (-24_.-Despejar a una de las incógnitas de cualquiera de las dos ecuaciones..1. 2x + 5y = -24 ----. 2. 3x – 2 (7_-_2x) = 4 4 3x – 14_+_4x = 4 3 9x_-_14_+_4x = 4 3 9x – 14 + 4x = 4(3) 13x = 12 + 14 x = 26 13 x=2 .2 1.1 3x – 2y = 4 ----.2 Despejar a y de ecuación 1 2x + 3y = 7 3y = 7 – 2x y = 7_-_2x 3 Sustituyendo a y en ecuación 2. 2x + 5(-5) = .x=½ y = -5 Sustituyendo y en cualquiera de las ec.3 2 2. Eliminación por sustitución 5 Este método consiste en despejar una de las incógnitas de cualquiera de las ecuaciones dadas y sustituir está incógnita en la siguiente ecuación.5y) – 3y = 19 2 4(-24 – 5y) – 3y = 19 -96 –20y – 3y = 19 -20y – 3y = 19 + 96 -23y = 115 y = 115 -23 y = -5 Por lo tanto los resultados son: 2.2. 3 Aplicar el método de solución por reducción Ejemplos: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el método de reducción. quien multiplicamos por 2.4y + 3x = 8 8x – 9y = -77 4...x + 3y = 6 6.32x – 25y = 13 16x + 15y = 1 9. 1...5x + 4y = 14 -5x – 4y = 14 2.x – 5y = 8 -7x + 8y = 25 5.Una vez que se ha multiplicado por 2 se observa que los coeficientes de y se eliminan al hacer la suma de ambas ecuaciones debido a que tienen signos distintos...1.5x + 7y = -1 -3x + 4y = -24 3.Se igualan los coeficientes de una de las incógnitas ya sea x ó y de ambas ecuaciones eligiendo el mas sencillo..1 4x – 3y = -23 ----.Una vez obtenido el valor de x se sustituye en la ecuación: y = 7_-_2x 3 y = 7_-_2(2) 3 y = 7_-_4 3 y=3 y=1 3 Por lo tanto los resultados del sistema son: x = 2 y=1 Ejercicios propuestos Resolver los siguientes ejercicios por el método de sustitución.15x + 11y = 32 7y – 9y = 8 7..4x + 5y = 5 -10y – 4x = -7 8.2 1. 5x + 6y = 20 (4x – 3y = -23)2 8x – 3y = -46 2.1.10x + 18y = -11 5x – 2y = 13 16x – 9y = -5 2. en este caso el mas sencillo es y. 1..- .-13y + 11x = -163 -8x + 7y = 94 10... 2.. 5x + 6y = 20 ----. Método de reducción 6 En este método se hacen los coeficientes iguales de una de las incógnitas. .Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el método de reducción 10x + 9y = 8 ----. por la tanto multipliquemos ecuación 1 por 4 y ecuación 2 por 5. (10x + 9y = 8) 4 40x + 36y = 32 (8x – 15y = -1) -5 -40x_+_75y_=_5_ 111y = 37 y = _37_ 111 y=⅓ Sustituyendo y en ecuación 2.26 13 x = -2 3..1 8x – 15y = -1 ----.Sustituyendo el valor de x en cualquiera de las ecuaciones dadas.2 En está ecuación se igualan los coeficientes de x cuyos múltiplos son: 4 y 5. 8x – 15(1/3) = -1 8x – 5 = -1 8x = 4 x=4 8 x=½ Por lo tanto los valores del sistema son: x=½ y=⅓ . 5(-2) + 6y = 20 -10 + 6y = 20 6y = 20 + 10 6y = 30 y = 30 6 y=5 4.Por lo tanto los resultados del sistema son: x = -2 y=5 2. para obtener el valor de y.5x + 6y = 20 8x_-_6y_=_-46 13x = -26 x = . 9x + 7y = -4 11x – 13y = -48 12x + 11y = -48 7....12x –17y = 104 6.11x – 9y = 2 13x – 15y = -2 8..18x + 5y = -11 15x + 19y = -31 2..Ejercicios propuestos Resolver los siguientes ejercicios por método de reducción....15x – y = 40 19x + 8y = 236 4.10x – 3y = 36 2x + 5y = -4 9..12x –14y = 20 12y – 14x = -19 5.36x – 11y = -14 24x – 17y = 10 3. 1..6x – 5y = -9 4x + 3y = 13 .7x – 15y = 1 -x – 6y = 8 10. 1. Sistemas de ecuaciones lineales con tres variables 7 Para resolver un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas se procede por los 1.. Se resuelve el sistema formado por las dos ecuaciones con dos incógnitas que se han 4. se obtiene: ( x + 4y – z = 6) 2 (2x_+_5y_-_7z_=_-9) -1 2x + 8y – 2z = 12 -2x_-_5y_+_7z_=_9_ 3y + 5z = 21 Por lo tanto 3y + 5z = 21 ----.4 Aplicar el método de solución con tres variables Ejemplos: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones x + 4y – z = 6 ----.incógnitas. con lo cual se halla la tercera incógnita.Combinando ecuación (3) con ecuación (1) y se elimina la incógnita x.1. Se combinan dos de las ecuaciones dadas y se elimina una de las incógnitas (lo más 2.. obteniéndose otra ecuación con dos incógnitas . hallando de este modo dos de las incógnitas.2 3x – 2y + z = 2 ----. 3y + 5z = 21 ----.obtenido. ( x + 4y – z = 6) 3 (3x_-_2y_+_z_=_2) -1 3x +12y .3 1.Ahora se combinan las ecuaciones (4) y (5) para obtener una ecuación con una sola incógnita. y eliminamos a x de la ecuación (1) multiplicando por 2 y ecuación 2 por –1.4 7y – 2z = 8 ----.. Se combina la tercera ecuación con cualquiera de las otras dos ecuaciones dadas y se 3.4 2.. 7y – 2z = 8 ----.1 2x + 5y – 7z = -9 ----. Los valores de las incógnitas obtenidos se sustituyen en una de las ecuaciones dadas de tres 5..siguientes pasos.. 2.. multiplicando la ecuación (1) por 3 y ecuación (3) por –1.2..5 .3z = 18 -3x +_2y_-_ z_=_-2 14y – 4z = 16 Dividiendo a la ecuación entre 2.elimina entre ellas la misma incógnita que se eliminó antes.5 3.sencillo es eliminarla por suma o resta) y con ello se obtiene una ecuación con dos incógnitas.Combinando ecuaciones (1) y (2). _2z = 8) 5 6y +10z = 42 35y . se sustituyen los valores de x.Sustituyendo los valores de y = 2. z.10z = 40 41y = 82 y = 82 41 y=2 4.3 1. por ejemplo en ecuación (1). x + 4y – z = 6 1 + 4(2) – 3 = 6 1 + 8 -3=6 6=6 2..Resolver el siguiente sistema de ecuaciones con tres incógnitas.2z = 2y – 1 8 80 – x + 2z = 8(2y – 1) Por lo tanto los resultados del sistema son: .Se simplifican y se ordenan cada una de las ecuaciones dadas: 5z – 20 + 6x . z = 3 en cualquiera de las tres ecuaciones dadas.. z – 4 + 6x_-_19 = -y ---------..19 = -y 5 5z – 20 + 6x – 19 = -y(5) 80 – x .Sustituyendo el valor de y en ecuación 5 se tiene: 7(2) – 2z = 8 14 – 2z = 8 -2z = 8 – 14 z = -6 -2 z=3 5. (3y + 5z = 21) 2 (7y. y.1 5 10 – (x_-_2z) = 2y – 1 -----. por ejemplo en ecuación (1).Resolviendo este sistema.. se busca eliminar la incógnita Z por lo que la ecuación (4) se se multiplica por 2 y ecuación (5) por 5. en cualquiera de las ecuaciones dadas. x + 4(2) – 3 = 6 x+ 8 – 3=6 x=6–5 x=1 x=1 y=2 z=3 6.Para la comprobación de resultados.2 8 4z + 3y = 3x – y ----. Combinando las ecuaciones (4) y (5) y la ecuación 4 se multiplica por 2 y la ecuación 5 por 7 para eliminar a y.4 3.1 -x – 16y + 2z = .2 y = 130 26 y=5 6.Sustituyendo los valores de z y y en ecuación 3. 26y – (-2) = 132 26y = 132 .88 ----.3 2.Combinando ecuaciones (2) y (3)..1 -3x + 3y + y + 4z = 0 -3x + 4y + 4z = 0 ----.Sustituyendo el valor de z en ecuación 5. por lo que la ecuación 2 se multiplica por –3 para eliminar a x. por lo que la ecuación (2) se multiplica por 6..6x + 5y + 5z = 39 ----.2 6x + 5y + 5z = 39 ----.2 -3x + 4y + 4z = 0 ----. 6x + 5y + 5z = 39 (-x .3 80 – x + 2z = 16y – 8 -x –16y + 2z = -8 – 80 -x – 16y +2z = -88 ----..96y + 12z = -528 -91y + 17z = -489 -91y + 17z = -489 ----.88) 6 6x + 5y + 5z = 39 -6x .7z = 924 27z = -54 z = -54 27 z = -2 5..16y + 2z = .. 26y – z = 132 ----. .Combinando las ecuaciones (1) y (2) y se busca eliminar a x. (-x – 16y + 2z = -88)(-3) -3x + 4y+ 4z = 0 -3x + 48y – 6z = 264 -3x + 4y + 4z = 0 52y – 2z = 264 Dividiendo la ecuación entre 2. (-91y + 17z = -489)2 ( 26y – z = 132)7 -182y + 34z = -978 182y .5 4. 9x + 4y – 10Z = 6 6x – 8y + 5z = -1 12x + 12y –15z = 10 x+y–z=1 z+x–y=3 z–x+y=7 3y –z + 5x = -11 10x – y + z = 10 2y + 15x – z = -7 5x – 3z = 2 2z – y = -5 x + 2y – 4z = 8 x+y+z=6 x – y + 2z = 5 x – y – 3z = -10 2. 1.4x – y + 5z = -6 3x + 3y – 4z = 30 6x + 2y – 3z = 33 7x + 3y – 4z = -35 3x – 2y + 5z = 38 x + y – 6z = -27 6x + 3y + 2z = 12 9x – y + 4z = 37 10x + 5y + 3z = 21 2x + 4y + 3z = 3 10x – 8y – 9z = 0 4x + 4y – 3z = 2 x–y+z=2 x+y+z=4 2x + 2y – z = -4 6.. y y z son: -3x + 4(5) + 4(-2) = 0 -3x + 20 – 8 = 0 -3x = -12 x = -12 -3 x=4 x= 4 y= 5 z = -2 7. Sustituyendo valores de x.- 4.Los valores de x.Comprobación de resultados.- ..- 5. y y x en ecuación 1 6(4) + 5(5) + 5(-2) = 39 24 + 25 – 10 = 39 39 = 39 Ejercicios propuestos Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones.- 3. j ] mxn . donde los elementos pueden ser números. Está estructurada con la intención de que sirva de apoyo. Una matriz se representa por una letra mayúscula y los elementos que la componen están encerrados en corchetes. funciones.1 Representar datos en forma matricial 3. MATRICES INTRODUCCIÓN En esta unidad está compuesta para ofrecer una referencia breve sobre algunos términos y métodos para la manipulación de matrices. También cuenta con una sección de ejercicios de repaso para que el estudiante practique. para que el estudiante conozca y comprenda los pasos que siguen en el proceso de solución de diferentes problemas.UNIDAD 3 3. etc.1. Criterio de aprendizaje 3. Objetivo de aprendizaje 3.. Comprender el álgebra matricial. Aplicar el cálculo matricial en la solución de problemas con arreglos matriciales.1 Matriz Es un arreglo rectangular o cuadrado de elementos distribuidos en un orden: en renglones (m) y columnas (n).Entender la naturaleza de una matriz y la representación matricial de datos. además cuenta con ejercicios resueltos que ejemplifican su solución. rectores. el orden o tamaño de una matriz se denota por el producto mxn. es decir: A = [ a i. amn.. Son los elementos donde el subíndice i = j: a11 a22... 2… n  columnas... y así podemos representar de manera general una matriz. A = [ a i j ] n x n es una matriz triangular si: a i j = 0 para i =. a11 A= a21 am1 a12. a1n a22. 1). i. a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33 3x3 2).1. donde todos los elementos que están en la parte superior de la diagonal principal son diferentes de la 0.Matriz cuadrada: es un arreglo de orden mxn. donde el número de renglones = columnas... A= 1 0 0 5 2 3 6 1 i = renglón j = columna . 3.Donde: i = 1. a2n mxn Forma general am 2.. Matriz triangular superior: Es una matriz cuadrada. 2… m  renglones j = 1.2 Tipos de matrices.Matriz triangular: la cual puede ser triangular superior e inferior.. a i j = 0 para i =. j son los elementos que componen la matriz.. amn Diagonal principal (cuadrados). . A=k[I] A = [a I j ] n x n es una matriz escalar Si n i j = k para i = j A i j = 0 para i = j 3 A = 0 0 0 3 0 0 0 =3[I]3x3 0 .Matriz triangular inferior: Es una matriz cuadrada donde todos los elementos que están en la parte inferior de la diagonal son diferentes de 0.Matriz escalar = es el caso de una matriz identidad donde todos los elementos de la diagonal principal son igual a una constante y se puede representar. 1 2 3 0 4 5 0 0 6 3)...Matriz diagonal: es una matriz cuadrada en donde todos los elementos son 0 excepto los de la diagonal principal. a i j = para i = j a I j = para i = j A= 1 0 0 2 0 0 0 0 3 4.. A [ a i j ] n x n es triangular inferior si: a i j = 0 para i L. a i j <> 0 para iz. y se denota (i) I = [ i i j ] n x n si i I j = 1 para i = j i I j = 0 para i = j 1 A= 0 0 0 1 0 0 0 =3x3 1 5). donde todos los elementos de la diagonal principal tienen el valor de I..Matriz identidad. y todos los restantes elementos son 0.es una matriz cuadrada. tal que el elementos i j (a) es el elemento j i At A= [aij]mxn At = [a i j ] n x m La transpuesta de una matriz A se calcula al primer renglón de A tomando como primer columna de At. A = I 3.1 Identificar los productos de matrices cuadrados Ejemplo: A= 0 . A = [ a i j ] es una matriz nula si a i j = 0 para todo i y para todo j.6. una matriz cuadrada A.A es igual a una matriz identidad... A.i 0 ) = x+0=1 a es una matriz unitaria porque A. .1. el segundo renglón de A como la segunda columna de At y así sucesivamente. = I 3.0 2x2 A.I i .i i .0 1 0 0 1 c11 = ( 0 – I ) o i 0 i = 0 + 0 = -1 c21 = ( i o 0 i -i 0 = 0+0=0 c12 = ( 0 – i ) = 0 – i2 = -1 c22 = (. Se dice que la transpuesta de una matriz A de m x n es la matriz A t de orden n x m. se llama unitaria si el producto de A. A= 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 x 3 7.I 0 I 2x2 0 .1.Matriz nula: es una matriz donde todos los elementos son 0.A= 0 .Matriz unitaria En el caso complejo.3 Matriz transpuesta 8)..Matriz transpuesta At. A. .. 1 4 5 4 2 6 5 6 3 1 4 5 4 2 6 5 6 3 A= A = 3x3 t Si es simétrica 3x3 B= 1 0 i–2 1+i Bt = 2x2 1 i–2 0 No es simétrica 1+i 2x3 . . . . am1 a12 . a1 n a22 .a11 A= a21 . . am2 . . amn m x n a12 a01 . a1n a2n amn m x n 3. . . . . am1 am2 .Matriz Antisimétrica Es una matriz cuadrada donde A = At. . . ..1..2 Aplicar la matriz transpuesta Ejemplo: Hallar la transpuesta de la matriz correspondiente: A= B= 1 -3 1 4 2 4 2 5 At = 2x2 3 6 2x3 1 . .3 Definir las matrices simétricas y antisimetricas Ejemplo: Determinar si las matrices son simétricas o no. . . 3. a2 n nt= a11 a21 .3 2 4 4 5 6 3x 2 1+I 0 -2 1+2I 2x2 1 B6 = 2 3 Ct= C= 1+I -2 0 1 + 2i 2 x 2 a) Matriz simétrica Una matriz cuadrada es simétrica si A = At 10). Es la matriz que no es simétrica. . .1. C= 1 E 2 3 2x2 Ct = 1 2 2 3 Si es simétrica 2x2 Propiedades de una matriz transpuesta 1.- [ at ] = A 2.- [ A + B ] t = A t + B t 3.- [ A . B ] t 4.- La transpuesta de un producto = producto de la Transp. con el orden de los factores invertidos. [A.B]t=Bt.At 5.- Si A y B son M. Iguales y simétricas, el resultado también es una matriz simétrica. A . B = C donde: A, B, C con simétricas. 11).- Matriz Columna. Es un arreglo de (m x i) elementos, y también se conoce como vector columna . a11 a21 a m1 a: mx1 12).- Matriz renglón. Es una matriz de tamaño ( n x 1) elementos y se conoce como vector A = [ a11 a12 a13 . . . a1n ] 1 x n 13).- Matriz simétrica A+At=A A = Es una matriz simétrica 3.2 Realizar operaciones con matrices 3.2.1 Operaciones con matrices. El álgebra matricial está gobernada por las siguientes reglas: 1.- La suma es conmutativa A+B=B+A 2.- El producto entre matrices no es conmutativo. (A.B) .C= C(A.B) 3.- La suma es asociativa. ( A + B) +C = A + ( B + C ) 4.- El producto es asociativo ( A . B) . C = A . (B . C) 5.- La multiplicación es distributiva sobre la suma. A.(B+C)=A.B+A.C 6.- La multiplicación por un escalar k es distributiva con respecto a la suma K ( A + B ) = K A + K B donde K E R 7.- Si K = 0 y k = 1 A0=0 A1=0 A+0=A Multiplicación de una matriz por un escalar K Es la matriz que se obtiene al multiplicar por el escalar K cada componente de una matriz A. KA= Ka11 Ka21 Ka12 . . . Ka 1 n Ka22 . . . Ka2n K am1 Km 2 . . . K amn mxn Suma de matrices La suma de la matrices A + B es una matriz C, y se obtiene al realizar la suma elemento a elemento correspondiente a la misma posición. La suma para matrices de diferente tamaño no está definida. A+B= a11 + b11 a21 + b21 . . . a m1 + b m1 a12 + b12 . . . a1 n + b1 n a12 + b22 . . . a x n + b2 n . . . . . . a m2 + b m2 amn + bmn Resta de matrices. La diferencia o resta de matrices es un caso particular de la suma, ( + ) por ( - ) 3.2.1 Desarrollar operaciones con matrices Ejemplo: Hallar a).- 2 A – 3 B b).- -A + C c).- - 3A – 3At Si A = 1 -3 -5 2 2x2 B= 0 -3 -1 6 C= 1 4 2 3 5 6 a) - 2 A = -2 10 6 + -4 0 9 = 3 -18 -2 13 15 -22 b) No se puede c) - 3ª - 3 A tt = -3 9 -3 1 -5 -3 2 = -3 9 + -3 15 9 -6 = -6 24 15 –6 15 - 6 24 -12 Si A = 1 3 -2 B= 0 2x2 -1 -4 -5 -1 C= 2x2 3 -5 2 1 2x2 d) - 2A - 3B –C = -2 -2 4 - 3 -6 0 e) -2a t -3bt – ct = -2 1 3 -2 0 -3 3 12 15 3 -1 -5 -4 -1 + -3 5 -2 -1 3 -5 = -2 21 7 2 2 1 Cm1 Cm2 Cmn m x n C11 = (a11 a12 . . . Sea una matriz A = [ a i j ] mxp y una matriz B = [a i j ] pxn. . bpn p x n A.-2 -6 4 0 f) – 3Ct – 2Bt = -3 3 2 -5 1 -2 + 3 15 12 3 = + -3 -2 5 -1 + = -2 7 1 2 -1 -5 -4 -1 -9 -6 15 -3 2 10 = -7 4 8 2 23 -1 Producto de matrices. a 2p . a1p a n a 22 . .B=C Donde C11 C12 C1n C = C21 C22 . A . . . de renglones de B. B = [ a i j ] mxp [ h i j ] pn = [ c i j ] mxn condición A= a 11 a 12 .B es una matriz C = (c i j )mxn. . . . bp1 bp2 . a1p b1p . se obtiene multiplicando la primera fila de A por la segunda columna de B. . . . . . entonces el producto de A . . . am1 am2 amp mxp B= b11 b12 . y el elemento c12. . CCn . tal que el número de columnas de A = num. . b1n b21 b22 . . b2n . . cuyo primer elemento c11 se obtiene multiplicando la primera fila o renglón de A por la primer columna de B. a1p ) b 11 b 12 bp1 C i j = E aik bKj a= 1 = a11 b11 + a12 b21 + . . . . . B a) A = 1 2 3 4 2X2 B= -3 8 6 -5 b) A = 1 2 3 4 5 6 2X3 B= 1 2 4 -2 0 1 3 2 -1 3 X 3 a) A . p Eamkbk2 K=1 . . B = 1 2 . . . . –3 8 = 9 -2 3 4 6 -5 15 4 C11 (1 2) -3 6 (-3 + 12) . . . p E amkbk1 K= 1 p Eak1 bk2 . K=1 p E k1 bxn p Ea2 kbkn K=1 .p C11 = E a1 K bk1 K=1 p E a1kb1k P Ea2 kb1k K= 1 . . p E amkbk2 . p E amkbkn mxn K=1 a) Hallar A . C12 (1 2) (8 -5) = ( 8 -10) C21 (3 4) (-3 6) = (-9 + 24) C22 (3 4) 8 -5 = (24 .20) 1 2 3 4 5 6 x 1 2 4 -2 0 1 3 2 -1 = 6 8 3 12 20 15 2 x 3 C11 (1 2 3) 1 -2 3 = (1 –4 + 9) 6 C12 (1 2 3) 2 0 2 = (2 + 0 + 6) = 8 C13 (1 2 3) 4 1 -1 = (4 + 2 – 3) = 3 C21 (4 5 6) (1 –2 3) = (4 – 10 + 18) =12 C22 (4 5 6) (2 0 2) = (8 + 0 + 12) = 20 C23 = (4 5 6) (4 1 –1) = 16 + 5 – 6 = 15 a) 2 3 -1 4 -2 5 2 x3 2 -1 0 6 = 3 6 -13 1 3 -5 1 26 5 0 4 1 -2 2 12 27 30 13 = 8 -4 26 12 13 32 1 2 4 2 6 0 4 1 4 3 0 -1 3 1 2 7 5 2 . b) Hallar f (A) si f ( x ) = -4 x4 + 3 x3 – 2 x2 – x – 2 mat. A A4 = A2 . A2 A -1 3 4 -5 -1 3 4 -5 = A2 13 -18 -24 37 A3 -85 129 172 -257 A4 = 4 601 -900 -1200 1801 -4 A4 = -2400 3600 + 3A3 = -255 387 -2A2 = -26 36 -A = 1 -3 3600 -7204 516 -771 48 -74 -4 5 2I = -2 0 0 -2 = . si A= -1 3 4 -5 1 0 1 0 1 0 0 0 1 f (A) = 4 A4 + 3 A3 – 2 A2 – A – 2I A2 = A .2686 4020 5360 -8046 2 x 2 f (a) si f (x) = 3x5 – 2x3 + 2x2 –x – 5 Si A = . id. A A3 = A2 .6 7 8 -9 . a1n a21 a22 . . es decir. xn se conoce como sistema de ecuaciones lineales. . De constantes mxn bn También puede representarse como matriz aumentada.2. . xn b1 = b2 a) Mat. . .2. a2n . . Un conjunto finito de ecuaciones lineales con variables x 1.3 Solución de sistemas de ecuaciones simultáneas por el método de Eliminación . y su representación general tiene la siguiente forma: a11 x1 + a12 x12 + . . . a11 a12 . .. am1 am2 . . . . + amn xn = bm donde: a i j = Coeficiente bi = Constante x j = Variable m = No ecuaciones n = No Variable El sistema también puede representarse en forma matricial.2 Transformaciones elementales de una matriz. amn x1 x2 . . . . . De coeficiente b) Mat. a11 + a12 . . am1 x1 + am2 x2 + . . .. . am1 + am2 . x2. De variable c) Mat. . + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + . a2n . . . amn b1 b2 bm mxn 3. . . . . a1n a21 + a22 . + a2n xn = b2 . . .Hallar 3 0 A= 4 3 0 4 3 3 2 3 2 2 2 4 1 1 1 0 4 5 5 3 1 2 2 5x5 4 B= 3 4 3 0 3 5 2 4 3 2 0 1 2 1 1 3 1 3 5 Hallar a) A –2At +Bt b) 3At – 2A + 3Bt si A = 1 2 3 -4 -4 -4 5 6 7 B = 2 -5 1 0 3 -2 1 2 -4 3 x 3 3. donde los mat.2. Procedimiento para transformar un sistema de ecuaciones a otro equivalente mediante operaciones elementales de renglón: 3.20 2) Asegúrese que el elemento que aparece en el primer renglón y la primer columna <> 0 R1 1 1 2 -1 0 1 -3 4 -1 R3 20 29 -9 3) Obtenga un pivote en el primer renglón y la primer columna mediante la multiplicación y división por un número diferente de 0. Pivote .  Sumar un múltiplo de un renglón a otro renglón (reemplazo de renglón).20 1) Representar el sistema como una mat. Para encontrar la solución de un sistema de m ecuaciones y de n variables o incógnitas.Gaussiana. aumentada 0 1 -1 2 -1 4 1 1 -3 9 29 .  Intercambio de renglones. porque se obtienen a partir de operaciones elementales de renglón como:  Multiplicar o dividir un renglón por un número distinto de 0.2 Aplicar sistemas de ecuaciones simultaneas por eliminación Gaussiana Ejemplo: Transformar y resolver: y–z=-9 2x – y + 42 = 29 x + y – 32 = . nos valdremos de operaciones elementales de renglón para simplificar una matriz aumentada. Obtenidas son equivalentes. 1 1 -3 0 -3 10 0 1 -1 -20 69 9 R2 R3 1 0 0 1 -3 -20 1 -1 -9 -3 10 69 R3 + 3 R 2 = 0 -3 10 69 0 3 -3 -27 0 0 7 42 1 1 -3 -20 0 1 -1 -9 0 0 7 42 R3 7 R3 7 1 1 -3 0 1 -1 0 0 1 -20 -9 6 x + y – 32 = -20 y – z = -9 z=6 1 2 3 de ec.1 1 -3 2 -1 4 0 1 -1 20 29 9 4) Obtenga 0 abajo de la columna donde se encuentra el segundo pivote mediante operaciones elementales: 1 1 -3 0 -3 10 0 1 -1 20 69 -9 R2 . 3 2 z = 6 y = .9 + 2 si z = 6 y = -9 + 6 = . y regrese al paso 2 para trabajar en el subarreglo.2R1 = 2 -1 4 -2 -2 6 0 -3 10 29 40 69 5) Ignore todos los renglones y columnas de pivotes anteriores.3 y=-3 . 2x1 – 3x2 – x3 = 1 x1 + x2 + 2x3 = 8 x1 – x2 + x3 = 6 2 -3 1 1 1 -1 -1 1 1 1 8 6 1 -1 1 1 1 2 2 -3 -1 6 8 1 R2 – R1 = 1 1 2 8 -1 1 -1 -6 0 2 1 2 1 0 2 -1 1 6 2 1 2 -3 -1 1 R3 – 2R1 2 -3 -1 1 -2 2 -2 -12 0 -1 -1 11 1 0 0 -1 1 6 2 1 2 -1 -3 11 = 1 -1 1 0 1 ½ 0 -1 -3 6 1 11 = 1 0 0 -1 1 1 ½ 0 -5/2 6 1 -10 1 0 0 -1 1 1 ½ 0 1 6 1 4 .1 x = 20 + 32 – 4 Si z = 6. lineal.3 x = -20 + 18 + 3 = 1 x=1 Ejemplo: Transformar y resolver el siguiente sistema de ec. y = . x1 – x2 + x3 = 6 x2 + ½ x3 = 1 x3 = 4 De 2 x 2 = 1 – ½ x3 x2 = -1 x1 = 6 – 1 – 4 x1 = 1 Matriz escalonada y matriz canónica.. aparecen en la parte de debajo de la matriz. Una matriz está en la forma escalonada si cumple las siguientes condiciones: 1).El primer número <> 0 (si empezamos por la izquierda) en cualquier renglón que no consista únicamente de 0 es 1.. 1 0 0 2 1 0 3 1 0 4 3 1 3x4 2). . Matriz de la forma escalonada. entonces el primer 1 en el renglón inferior está más a la derecha que el primer 1 del renglón superior.Si todos los renglones cuyos elementos tienen el valor de 0 (si existen). 1 3 5 -2 1 0 1 3 5 1 0 0 0 0 0 3x5 3).Si dos renglones sucesivos no consisten únicamente de 0. 1 0 0 2 1 0 3 5 1 Matriz Canónica (escalonada reducida).. . 1). y además cualquier columna que contenga el primer 1 del renglón o en las demás posiciones. consiste en transformar un sistema a la forma de una matriz escalonada. de la forma canónica. 1 0 0 2 1 0 3 1 0 4 3 1 1 0 0 0 1 0 3 1 0 0 0 1 3x4 A partir de la matriz escalonada y canónica surgen 2 métodos para la solución de un sistema de ecuaciones lineales.El método de Gauss Jordán que consiste en reducir un sistema de ecuaciones lineales a un mat.. Ejemplo: resolver el siguiente a) Por Gauss Jordán b) Gauss 2x1 – 3 x2 – x3 = 1 x1 + x2 + 2x3 = 8 x1 – x2 +x3 = 6 2 –3 –1 1 1 1 2 8 1 –1 1 6 1 1 2 2 -3 -1 1 -1 1 8 1 6 R2 – 2 R1 11 2 8 1 1 2 0 -5 -5 0 -2 -1 1 -1 4 8 15 -2 R2 5 1 1 2 8 0 1 1 3 0 -2 -1 -2 1 0 1 5 0 1 1 3 0 0 1 4 1 0 0 0 1 0 1 0 1 x1=1 x2 = -1 x3 = 4 a) Gauss Jordán b) Gauss 2x – y – 32 = 5 2x – 2y + 22 = 4 5x – 3y – z = 16 2 –1 –3 2 –2 2 5 –3 –1 5 5 16 R 2 x R1 2 –2 2 2 –1 –3 5 – 3 –1 5 5 16 .Decimos que una matriz escalonada reducida (canónica) si cumple con las 3 condiciones anteriores. 2).Eliminación Gussiana o método de Gauss. R1 2 1 –1 1 2 –1 – 3 5 –3 – 1 5/2 5 16 1 –1 1 0 1 –5 0 2 –6 5/2 0 7/2 1 0 – 4 5/7 0 1 –5 0 0 0 4 7/2 R3 4 1 0 0 0 –4 1 –5 0 1 5/2 0 7/8 1 0 0 0 1 0 0 0 1 6 35/8 7/8 x1 = 6 x2 = 35/8 x3 = 7/8 b) 2 –1 –3 5 2 –2 2 5 5 – 3 – 1 16 2 –2 2 2 –1 –3 5 –3 –3 5 5 16 R1 2 1 –1 1 2 –1 –3 5 –3 –1 5/2 5 16 1 –1 1 5/2 0 1 –5 0 0 2 – 6 7/2 1 0 6 –1 1 1 –5 0 4 5/2 0 7/2 R3 4 1 – 1 1 5/2 0 1 –5 0 0 0 1 7/8 x1 – x2 + x3 = 5/2 x2 – b x3 = 0 x3 = 7/8 x2 – 5 ( 7/8 ) = 0 x2 – 35/8 = 0 x2 = 35/8 x + 2y + 22 = 2 x3 = 7/8 x1 = ( 5/8 ) + ( 7/8) = 5/2 x1 – 4/8 = 5/2 x1 = 5/2 + 4E/8 x1 = 35/8 . Sea: A= 1 -4 5 -4 2 -6 5 -6 3 B= 3x3 -1 -4 5 4 5 2 6 6 -3 3x3 C= 1 4 5 -4 5 2 -6 -6 3 3x3 1 -4 5 D = -4 -2 -6 5 -6 3 3x3 Obtener: 1.6At –3Bt +2At -3C 7.4 Rango de una matriz Sea una matriz de tamaño m x n.Ct 4.Bt 3.3x – 2y – 2 = 5 2x – 5y + 32 = – 4 x + 4y + 62 = 0 3... Ejemplo: Calcular el rango renglón y columna de A si 1 –1 2 A= 0 5 –8 3 2 –1 8 2 0 1 –1 2 0 5 –8 0 5 –8 0 10 –16 R2 1 –1 2 0 1 -8/5 0 5 –8 0 10 –16 1 –1 2 0 1 -8/5 0 0 0 0 0 0 El rango renglón de A = 2 Ejercicios propuestos... al transformarla a una matriz escalonada.At –7Bt +2At –3Dt 9.At 2.2At -3Ct 5.2.A X B .. El rango renglón de una matriz es el número de renglones diferentes de 0. de una matriz A dada....-At –3Bt +8At –3Dt 8. El rango renglón de una matriz es igual al rango columna de la matriz..5At –3Bt +7At 6. 10.C X D 12.- 15.- TEMA 4 ..x -y -3z = -4 2x -y -4z = -7 x +y -z = -2 x +y -z = 6 2x -3y -2z = 2 x -y -5z = 18 6x -3y -2z = -4 5x -y -4z = 9 -7x +3y -5z = -2 14.D x A 13.B X C 11... Utilizar la determinante para la solución de ecuaciones simultaneas 4. Criterio de aprendizaje 4. y se define como la suma de todos los productos elementales como signo de A. El trabajo que se efectuará sobre funciones determinantes tendrá importantes aplicaciones en la teoría de sistemas lineales y también conducirá a una formula explícita para calcular la inversa de una matriz invertible. es decir.1 Determinantes..6= -2 B= –2–3 4 5 1B1 = – 10 +12 = 2 . El determinante no está definido para matrices que no sean cuadradas. Se denota como determinante A o 1a1..1. A= a11 a12 a21 a22 = a11 a22 – a21 a12 A= 1 3 2 4 1A1 = 4 .Comprender la determinante es un concepto básico del álgebra matricial así como su particular aplicación en la sección de ecuaciones simultaneas. DETERMINANTES INTRODUCCIÓN En esta unidad se estudiará la función determinante. que es una función “función con valores reales de una variable matricial” en el sentido de que se asocia un numero real f(x) con una matriz x. Determinante.1. Determinante de tamaño 2. Un determinante es una constante asociada a una matriz cuadrada. Objetivo de aprendizaje 4.4. una matriz de tamaño m x n. A= –10 – 3 2 1 = –10 + 6 = – 4 Determinante de orden 3.1. + + a1 a12 a21 a22 a31 a32 + a13 a23 a33 a11 a21 a31 a12 a22 a32 a11 a22 a23 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 a13 a22 a31 – a11 a23 a32 – a12 a21 a33 Factorizando: a11 (a22 a33 –a32 a23 – a12 (a21 a33 –a31 a23) a13 (a21 a32 – a31 a22) Solo para determinantes del tamaño 3. (Sarrus) 1 A = 4 –1 4 B = 3 –3 –1 3 2 –3 0 4 1 2 0 2 = = 1 (–2 –0) + 3 (8 –0) + 2 (12 + 1) –2 + 24 + 22 = 44 4 (4 – 0) –2 ( –8 + 0) –3 (–2 –3 ) 16 + 16 + 15 = 47 –2 1 . a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 = a11 (a22 a33 – a32 a23) – a12 (a21 a33 – a31 a23) + a13 (a21 a32 – a31 a22) 4.2 Solución por el método de Sarrus. . 1 A = 3 2 4 2 1 5 = 4 (12 -0 ) – 0 (6 –0 ) + 0 6 3 4).Si una matriz A es triangular superior o inferior el valor del determinante de A es igual al producto de los elementos de la diagonal principal.1. el valor del determinante de dichos arreglos = 0. 0 2 |A| = 0 0 4 2 3 5 =0 3 1 |B|= 0 3 –2 0 4 3 0 =0 5 2). por un escalar K.4.. el valor del determinante de A quedará multiplicado por dicha escala.Si todos los elementos de una columna o de un renglón son 0 en un arreglo. 1).3 Propiedades de los determinantes..Cuando en un arreglo existen 2 columnas o 2 renglones con valores iguales en sus componentes el valor del determinante es 0 1 1 A = 3 3 = 1 (–8 + 15) –1 (–8 + 15) + 3 (6 –6) 7 –7 + 0 = 0 2 2 -5 3 -4 4 B = –2 4 –2 –1 –2 3 3 3 = 4( –3 + 6) +2 ( –6 –12 ) + 3 (4 + 4) 12 –36 + 24 = 0 3)...si se multiplica o factoriza una fila o columna de una matriz A. pero en signo contrario.1 |A|= Equivale 3 2 4 2 1 5 = 1 ( 6 –6 ) –4 (9 –12 ) + 5 (3 –4) 6 3 0 + 12 –5 = 7. 1 2 4 1 5 3 = 1 (30 – 30) – 4 (45 – 60) +5 (15 – 20) 0 60 25 = 35 | B | = K | A | = 15 10 30 1 A= 3 10 -100 La fila 3/2 -30 4 2 5 5 6 15 1 3 10 30 4 2 5 240 75 5 ( 7 ) = 35 -180 1 3 1 -10 -3 4 2 ½ -18 5 6 3/2 3 1 3 1 24 4 2 ½ 15 = 7/2 15/2 – 4 = 7/2 5. 4 –3 A = -1 2 2 = R1 -3 R2 4 –1 – 5 –1 2 – 3 = –1 (15 + 2) –2 ( -20 –8 ) –3 (-4 +12) |B| = 4 3 2 = -17 + 56 –24 4 –1 –5 = 15 . 7 x 5 = 35 Si K multiplica al renglón 2..Cuando en alguna matriz existe un intercambio de renglón el valor del determinante es el mismo. (A + B) <> det.si en una matriz 2 filas o columnas.. –5 –3 |A|= 2 = –5 ( –4 + 30) + (16 + 50) + 2 ( –24 –10) –130 + 198 –68 4 –1 –5 = 0 –10 –6 4 7. es decir. Si A = 1 3 2 -5 . A = At | 4 A= 1 –5 3 6 = 4 (–15 + 24) + 5 (5 –28 ) + 6 (6 –21) 4 = 36 – 115 – 90 = 169 7 –6 –5 4 At = –5 6 –1 3 4 7 = 4 (–15 + 24) + 1 (25 + 36) + 7 (–20 –18 ) –6 –5 36 + 61 –266 = 169 8). A + B = 4 – 0 . una es múltiplo de la otra el valor del determinante es 0. A + det.El det. B= 3 4 -2 6 A+B= 1 3 2 -5 + 3 4 –2 6 = 4 7 0 1 Det.6). B...El determinante de una matriz es igual al determinante de su transpuesta. B] = det. A = 1 2 = –5 –6 = –11 3 -5 Det. A 1 3 -1 2 = Det. B donde en 13 se tuvo un reemplazo de renglón. B] = -17 + 6 = -11 8 + 3 = 11 10). [A . [A . A = Det.Det. B 3 1 -5 -2 -6 + 5 = -1 11 (-1) = -11 Det. B Si A = 4 –1 3 2 . B 4 <> 15 9). A + det.Si se ha sumado múltiplos de una fila o columna a otra el valor del determinante no se altera. B= 17 6 -1 -1 Det. 1 |A| = 4 2 –1 3 2 = 1 (2 + 10) –2 (-8 –6) + 3 (-8 –6) 12 + 28 –42 = 11 2 3 = 1 (18 – 50) –2 (0 + 30) + 3 (0 + 27 -32 – 60 + 81 = -11 -2 3 –5 –2 1 Renglón 2 – 4 R1 = 0 -9 -10 3 -5 . A .. B= 3 –2 4 6 = 18 + 8 = 26 Det.Det. B= 3 1 -5 -2 A . (A + B) <> det. Det. det.. (reemplazo de renglón).. 4 Menores y cofactores Consideramos una matriz n. Menor del elemento a i j: Es el determinante de la submatriz M i j de orden n – 1 cuadrada que se obtiene a partir de suprimir la i-èsima fila y la j-èsima columna de una matriz A. + + + + + + + + + + - . A = [a i j ] n x n. es decir.1.4.cuadrada. Cofactor del elemento a i j : Se define como el menor con su correspondiente signo . y lo denotamos por: C i j = (-1) i + j M i j Nótese que los signos de los menores que lo acompañan para determinar un factor están en forma de tablero de ajedrez. 1 A = -1 0 2 4 1 3 1 2 3x3 M12 = 2x2 =1 M22 = 1 0 -1 1 0 2 3 2 =2 M23 = 1 0 = -2 M13 = -1 4 0 2 1 1 =1 = -1 M11 = 4 1 1 2 M21 = 2 1 3 2 M31 = 2 3 4 1 = -10 M32 = 1 3 =4 M33 = 1 -1 2 =6 4 -1 1 7 M= 1 -10 -2 2 4 -1 1 6 C23 = (-1)2+3 (1) = -1 C31 = (-1)3+1 (-10) = -10 C32 = (-1)3+2 (4) = -4 = C11 = (-1)1+1 (7) = 7 C12 = (-1)1+2 (-2) = 2 C13 = (-1)1+1 (-1) = -1 .+ + + nxn 4.1 Aplicar el método de menores y cofactores Ejemplo: Calcular todos los menores y cofactores de A.1. A = a11 C11 + a12 C12 . Det...C21 = (-1)2+1 (-1) = -1 C22 = (-1)2+2 (2) = 2 7 C = -1 2 -1 2 -1 = C33 = (-1)3+3 (6) = 6 7 -2 -1 1 2 1 = Cº = -10 4 6 7 -1 2 2 -1 -1 6 -10 -4 6 -10 -4 A partir de los cofactores podemos calcular el valor del determinante. Forma general = n │ A │ = E anj Cnj J=1 n │ A │ = E anj Cnj i=1 Método de cofactores usando i = 4 1 2 3 0 A= 4 1 2 3 4 -1 2 1 0 1 2 3 A = a41 c41 + a42 c42 + a43 + a44 c44 0 + 1 c42 + 2c43 + 3 c44 = c42 + 2c43 + 2c44 para cualquier j columna para cualquier i fila 1º fila . 20 = 20 C43 = (-1)4+3 1 4 = 1(1 + 3) –2 (4 –12 ) + 0 4 + 16 = 20 -1 –20 = -20 4 -1 C44 = (-1)4+4 1 4 4 c42 + 2 c43 + 3 c44 2 1 -1 3 2 = 1 (2 + 2) –2 (8 –8) + 3 (-4 –4) 2 4 –2 = -20 (-1) –20 = -20 20 + 2 (-20) + 3 (-20) 20 – 40 – 60 = -80 4.Elegir un elemento pivote (cualquiera) donde aij <> o en su defecto aij = 1.Usando aij como pivote efectuar operaciones elementales necesarios para transformara 0 el resto de los elementos de la columna o el renglón que contiene el pivote. cuando esto hallamos realizado. 2).. en el primer caso debe hacerse =1 para lo cual en necesario que dividamos la columna o el reglón donde se encuentra aij seleccionado entre sí mismo para hacerlo i.. tenemos ahora un determinante de orden n-1 como resultado de la eliminación de la columna y el renglón que contiene el pivote.6 Determinantes por el método de reducción. y el procedimiento es el siguiente: 1). Este método nos permite reducir la evolución de un determinante de orden n a la de un equivalente de orden n – 1. y multiplicarlo fuera del arreglo asociado con su correspondiente signo (-1)1+j para que no se altere el valor del determinante.C42 = (-1)11+2 1 4 4 3 2 2 2 1 0 3 1 0 3 1 = 1 (2 –6) –3 (4 –12) + 0 -4 + 24 =20 1.1. . 1. 2 A= 1 3 2 1 1 6 2 5 -3 -2 1 -4 1 (1)2+2 (1) = 1 1 -3 0 0 1 0 0 8 -3 -16 8 -4 5 25 5 2 -3 1 (-1)1+1 (-1) = 1 -3 8 5 1 = 1 0 8 40 5 40 = 1 40 40 8 5 Piv..260 A = 3 -1 2 6 2 8 = 3 (-30 –24) + 1 (-10 –40) + 2 (6 –30) -162 –50 –48 = -260 5 3 -5 4.Repetir el procedimiento hasta obtener un determinante de orden R1 /-1 3 -1 A = 2 5 2 = -3 2 5 1 6 -2 8 P aij = -1 pivote a12 = (-1)1+2 (-1) = -1 1 -3 1 -2 20 0 20 14 0 1 6 2 3 -5 3 -5 a22 20 14 20 1 Pivote aij = 1 = (-1)2+2 (1) -260 0 14 1 = .3).2 Aplicar el método de reducción Ejemplo: Resolver por el método de reducción.= 40 (-1)1+1 (40) 16 25 . .INVERSA DE UNA MATRIZ INTRODUCCIÓN En esta unidad se establecerán resultados sobre sistemas de ecuaciones lineales e invertibilidad de matrices la cual el trabajo dará por resultado un método totalmente nuevo para resolver sistemas de n ecuaciones con n incógnitas.120 TEMA 5 5.0 8 5 0 8 5 40 1 8 1 -3 = -40 (-3) = . Criterio de aprendizaje 5. tiene que ser cuadrada.Identificar la inversa multiplicativa de una matriz.. La inversa se parece al reciproco en el álgebra de los números reales. En el álgebra de matrices la multiplicación de una matriz por su inversa da por resultado la matriz identidad. La relación de una matriz “A” y su inversa (Denotada por) es que producto de A y. A = A–1 A = I 2). 3.(A–1)–1 = A . 1 Inversa de una matriz En algunas matrices puede identificarse otra matriz inversa multiplicativa o simplemente la inversa. 1).1. Si los renglones o columnas son independientes ( son combinaciones lineales de otros renglones o columnas). Inversa de una matriz cuadrada 5.Para que una matriz “A” tenga una inversa. Si no la tiene se dice que es una matriz singular. Observaciones importantes sobre la inversa 1..Objetivo de aprendizaje 5.. 2 Sean A y B 2 matrices cuadradas. Se obtiene un producto de uno al multiplicar una cantidad “B” por su reciproco 1/B. Si una matriz posee una inversa se le llama Matriz no singular..No toda matriz cuadrada posee una inversa. y se denota por A–1. entonces a la matriz cuadrada B se le conoce como la inversa de A.A–1 .. Es decir: A x =Ió x A = I. 2.1. Propiedades de la matriz inversa. conocer las condiciones necesarias de las matrices para la obtención de la inversa por el método Gaussiana y por cofactores. da origen a una matriz identidad.1 Aplicar la inversa de una matriz para obtener el reciproco de una matriz 5. en uno u otro orden. Una matriz cuadrada tendrá una inversa a condición de que todos los renglones y columnas sean realmente independientes es decir: ningún renglón o columna es una combinación lineal de los 2 renglones o columnas restantes.. donde AB= BA = I. La matriz no tendrá una inversa.La inversa de “A” también será cuadrada u de la misma dimensión que “A”. A-1 = 1 adjunta A donde A <> 0 adjunta = ct Transp. 0 0 7). 3 5.(At )-1 = (A–1)t Cálculo de una matriz inversa.. entonces la inversa de A es única A–1 es única.Si A es una matriz invertible. La A-1 por el método de la adjunta está definida por: 5.... 6).Una matriz cuadrada A es invertible si y solo si su forma escalonada reducida por renglones (canónica es una matriz identidad) a11 a12 a21 a22 1 0 0 1 1 0 0 1 b11 b12 b21 b22 1 0 b11 b12 b21 b22 A no tiene inversa.1. . b) Por Gauss – Jordán. a) Por el Método de la adjunta. Este puede hacer a partir de 2 métodos.3). A <> 0.Una matriz A tiene inversa y solo si det.(AB)–1 = A–1 B -1 4)... Método de la adjunta. 5).2 Realizar la inversa de una matriz por el método Gaussiana Inversa por Gauss – Jordán. de cofactor. 5 C12 = (-1)1+2 (4) = . A = Ct Adj. 3) Decidir si la matriz A es invertible. Si A = 1–3 4–5 2x2 a) Cij = (-1) i 5 (Mij) C11 = (-1)1+1 (-5) = . a) Si la matriz A puede ser reducida a una matriz identidad. b) por Gauss – Jordán. 5.2. A = -5 -4 │A│ = 1 -3 4 -5 A–1 = 1 │A │ adj A= 1 7 -5 -4 3 1 = . decimos que A es convertible. b) Si A uno puede ser reducida a una matriz identidad (es decir si tenemos algún renglón de 0) A no es invertible.3/7 1/7 = (-5 + 12) = 7 3 1 Cº = -5 3 -4 1 5.1. Por renglones para reducir la matriz A a una matriz canónica (escalonada reducida).El procedimiento para calcular A-1 por Gauss – Jordán es el siguiente: 1) Escribir una matriz aumentada de la forma [ A I ].1 Realizar operaciones por el método de la adjunta y Gauss-Jordán Ejemplo: Hallar A–1 a) por adjunta. 2) Utilizar la red.4 C21 = (-1)2+1 (-3) = 3 C22 = (-1)2+2 (1) = 1 Adj. 1 .5/7 -4/7 . Adjunta 1 6 2 A= -2 3 5 7 12 -4 1 A = -2 7 6 3 12 2 5 –4 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 = 0 6 15 2 9 1 2 0 1 0 0 1 R2 15 0 -30 -18 -7 0 1 A= 0 6 2 1 -7 0 0 0 = 1 1 0 6 0 2 0 1 -3 0 2 0 1 R3 -5 1 9/15 2/15 1/15 0 0 1 9/15 2/15 1/15 0 0 -30 -18 . A–1 = A–1 A = I A A-1 = 1 -3 4 -5 -5/7 -4/7 3/7 1/7 = 1 0 0 1 Método de Gauss – Jordán 1 -3 4 -5 1 0 0 1 = 1 0 -3 1 0 1 -3 0 1 3/7 -5/7 3/7 1 -40 1 1 -4/7 1/7 -4/7 1/7 Hallar A-1 a).A . b)...Por el método de Gauss – Jordán. Según corresponda 1 3 -1 –3 6 0 –2 1 3 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 –3 3 0 –2 1 1 1 0 0 0 1 6 0 1 R2 -3 –12 –2 –6 0 –3 –2 0 –3 1 0 0 1 –3 0 –2 1 0 0 0 1 -3 1 -2 4 -1 0 0 . 1 1 2 0 –3 4 –2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 = 1 2 -3 1 0 0 0 3 -2 2 1 0 0 -2 1 -1 0 1 A = -2 –1 1 0 2 –3 1 –3 –2/3 1 1 2/3 –1 1 2/3 –1 0 1/3 0 0 1/3 0 0 1 0 0 1 = 0 0 1 = 0 0 2 -3 5 -2 2 -3 1 0 0 R3 (-3) 0 1 1 –2/3 1 –2/3 2/3 1/3 0 –1/3 1/3 2/3 0 1 0 0 0 1 -2 0 -1 0 –2 1 0 0 2 1 0 -4 -5 R3 (-3) -1 -2 -2 -3 5 -2 -3 A= At = -2 -4 -5 0 -1 -2 -1 -2 -3 B = -1 6 -7 Demostrar las propiedades de A–1 entre renglones.b) C11 = (-1)1+1 3 5 = (-12 –60) = -72 12 -4 C12 = (-1)3 -2 7 5 -4 = -1 No tiene inversa. Al hacer dichas operaciones se podrá observar que existen casos como el de una matriz de 2x2. las cuales no tiene solución.1 Sistemas de ecuaciones simultaneas por eliminación inversa . Objetivo de aprendizaje 6. tienen una solución o bien un numero infinito de soluciones. SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES INTRODUCCIÓN En esta unidad se describirán los métodos para hallar las soluciones de un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas..0 0 0 1 2/3 4 3 2 1 0 1 –1/3 0 0 1 2 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 2/3 0 0 -2/3 1 0 1/3 1 1 -1/3 0 0 -2 4/3 -2 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 2 2 1 –1 –2 3 –3 -2 2 3 –2 TEMA 6 6.Obtener la solución de sistemas de ecuaciones lineales por el método inversa Criterio de aprendizaje 6. 3 sust.1. X1 – 2 X2 + 3 X3 =11 4X1 + X2 – X3 = 4 2X1 – X2 + 3X3 = 10 . 5 en 4 Sust. Un sistema de ecuaciones lineales lo podemos representar AX = b A = matriz de coeficientes X = matriz de variables B = matriz de constantes Su multiplicamos la ecuación por su inversa tenemos A-1 AA–1 X = A–1 b Por otro lado AA–1 = I . .1 Aplicar los sistemas de ecuaciones por el método de la inversa Ejemplo: Hallar la solución de el siguiente sistema de ecuación lineales usando la inversa. 3 en 4 5 2 Tenemos: X= n–1 b I x = A–1 b .. .. Ix=x.6. .1. 1 0 0 0 1 0 0 0 1 X1 X2 X3 = X1 X2 X3 6. 1 solución de sistemas de ecuaciones lineales por medio de la inversa La inversa de una matriz puede servir para determinar el conjunto solución de una sistema de ecuaciones de la forma AX=B donde B es una matriz cuadrada de coeficientes. Si no existe las ecuaciones son linealMente dependientes y no hay solución ni un numero infinito de soluciones. ambos miembros de la ecuación matricial. pueden multiplicarse por Produciendo: AX = B dado que x A = I puede rescribir Se como IX = x B. . Ejercicios propuestos.x -y -3z = -4 2x -y -4z = -7 x +y 2. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones simultáneas por medio de la inversa. 1.-z = -2 x +y -z = 6 2x -3y -2z = 2 x -y -5z = 18 .1 4 2 -2 1 X1 X2 X3 = 11 4 10 1 -1 -2 -1 1 –2 3 1 0 0 4 1 –1 0 1 0 2 –1 3 0 0 1 1 –2 0 0 3 1 0 0 1 0 0 1 R2 9 1 –2 0 1 0 3 3 –3 1 –2 0 0 0 0 1 9 -13 -4 3 –3 –2 -13/8 –1/9 1/9 1 0 0 0 0 1/9 1/9 2/9 1/9 0 0 1 0 0 0 0 0 1/9 1 1/9 –4/9 2/9 1/9 0 0 = 1 –13/9 –4//9 1 –13/9 4/3 –2/3 –1/3 –1/2 –1/4 3/4 0 0 0 1//6 1/4 0 0 1 –1/2 –1/4 A–1 1/6 1/12 3/4 X = A -1 b 1/6 -7/6 1/4 -1/12 3/4 11 4 10 = 2 -3 1 0 1 0 –3/6 –1/4 13/12 1/4 -1/12 3/4 -7/6 -1/4 13/12 -1/2 -1/4 1/4 13/12 -1/2 -1/4 Si hay cambio de renglones los resultados se alteran. Segunda edición. Howard Antón 1999. Grossman. Editorial McGraw-Hill inc. Editorial Iberoamericana. Publicaciones cultural. ECONOMÍA Y CIENCIAS SOCIALES.- 3x -2y -5z = 12 2x +7y -4z = -7 x +2y -z = -2 5. . Editorial Mc Graw-Hill Frank S.- x +y -z = -6 -9x -3y -2z = 2 8x -y -5z = 18 Bibliografía. Editorial Limusa. Baldor Aurelio 1997.3. ÁLGEBRA. USA. Tercera edición. Earl W. ÁLGEBRA LINEAL. Cuarta edición. CALCULO CON GEOMETRÍA ANALÍTICA Segunda edición . Décima quinta reimpresión.1990. Stanley I.- 6x -3y -2z = -4 5x -y -4z = 9 -7x +3y -5z = -2 4. MATEMÁTICAS APLICADAS PARA ADMINISTRACIÓN. Swokowski . INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA LINEAL. Budnick.