Carlos Mario Morales C ©20121 Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes Matemáticas Financieras No está permitida la reproducción total o parcial de este libro, ni su tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso previo y por escrito del titular del copyright. DERECHOS RESERVADOS © 2011 por Carlos Mario Morales C. carrera 77c No 61-63 Medellín-Colombia Teléfono: 421.28.93 E_Mail:
[email protected] Impresión digital en Colombia. Matemáticas Financieras Carlos Mario Morales C. Editorial propia. Medellín, 2012 ISBN: Pendiente Formato 21x24 cm. Paginas: 2 Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes Datos Catalográficos para citar este libro Anualidades y gradientes UNIDAD 3: ANUALIDADES Y GRADIENTES OBJETIVO Al finalizar la unidad los estudiantes estarán en capacidad de calcular operaciones financieras en las cuales la contraprestación se hace a través de cuotas periódicas. Para esto deducirá los modelos matemáticos para calcular el valor actual, futuro, interés y número de pagos para diferentes tipos de operaciones y aplicará estos en situaciones de la vida empresarial. CONTENIDO 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Anualidades Anualidades anticipadas Anualidades diferidas Anualidades perpetuas Gradientes Ejercicios resueltos Ejercicios propuestos 3 Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes Finalmente la tasa de interés es el tipo de interés que se acuerda en la operación. si por el contrario las cuotas crecen con la inflación por ejemplo. la operación se denomina gradiente. por el contrario si las cuotas son cambiantes se le denomina gradiente. perpetuas. En esta unidad de aprendizaje se analizan cada una de ellas determinándose los modelos matemáticos que permiten simular y analizar estos tipos de operación financiera. entre otros. el tiempo o plazo de la operación es el intervalo de tiempo que sucede desde el inicio del primer periodo de pago y el final del último. los pagos a plazos. 4 . una persona compra un automóvil pagado una cuota inicial y el resto del dinero en cuotas mensuales iguales durante un tiempo determinado. también denominado como cuota o deposito. y en general todo tipo de renta son. los pagos periódicos a las compañías de seguros. variables. sino pagos a intervalo regular. se configura una operación financiera de anualidades. durante un tiempo determinado. Anualidad o gradiente es un sistema de pagos a intervalos iguales de tiempo. por ejemplo. los sueldos. anticipadas. diferidas. definida así en la vida cotidiana se encuentran innumerables ejemplos de este tipo de operaciones: el pago de dividendos. el tiempo o plazo y la tasa de interés.Introducción Es corriente que se pacte entre el deudor y acreedor el pago de una obligación financiera en cuotas periódicas a una tasa de interés. Cuando. Cuando las cuotas son constantes la operación recibe el nombre de anualidad. los fondos de amortización. de esta forma. no significa pagos anuales. ejemplos de anualidades o gradientes. Dependiendo de la forma como se pacten los montos y periodos de pago las operaciones se pueden clasificar en ordinarias. Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes En este tipo de operaciones se distinguen los siguientes elementos: la renta o pago. el periodo de pago o de renta. El periodo de renta es el tiempo que se fija entre dos pagos consecutivos. La renta se define como el pago periódico. A A A A A A A Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes 0 1 2 3 4 5 6 Respuesta El sistema de pagos no corresponde a una anualidad ya que no obstante los pagos son iguales y se hacen a intervalos de tiempo igual. es necesario que al momento de aplicarse las formulas a situaciones particulares.1. por lo cual. Los modelos matemáticos que se deducen para el cálculo y análisis de este tipo de anualidades tienen en cuenta las anteriores condiciones. Los pagos se hacen a iguales intervalos de tiempo A todos los pagos (rentas) se les aplica la misma tasa de interés El número de pagos y periodos pactados es igual Las anualidades que cumplen con estas condiciones son las ordinarias o vencidas y las anticipadas. Ejemplo 1. el número de pagos no es igual al número de periodos 5 . Anualidades Son operaciones financieras en las cuales se pacta el cubrimiento de las obligaciones en una serie de pagos periódicos iguales que cumple con las siguientes condiciones: Los pagos (rentas) son de igual valor. se asegure que se cumplan dichas condiciones. Determinar si el siguiente sistema de pagos corresponde a una anualidad. Determinar si el siguiente sistema de pagos corresponde a una anualidad. . Determinar si el siguiente sistema de pagos corresponde a una anualidad. A A A´ A´´ A A 0 1 2 3 4 5 6 Ejemplo 4. Es la forma general de una anualidad ordinaria o vencida Ejemplo 3. Determinar si el siguiente sistema de pagos corresponde a una anualidad. A A A A A A 0 1 2 3 4 5 6 Respuesta Si se supone que la tasa de interés que se aplica a cada pago es la misma. A A A A A A 0 1 2 3 4 5 6 6 Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes Respuesta El sistema de pagos no corresponde a una anualidad ya que no obstante que el número de pagos es igual al número de periodos y los intervalos de tiempo son iguales los pagos no son iguales. se hacen a intervalo de tiempo igual y los periodos pactados corresponden al número de pagos. se puede afirmar que el sistema corresponde a una anualidad teniendo en cuenta que los pagos son iguales.Ejemplo 2. se obtiene: [ ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ]( ) Multiplicando esta por el factor ( . se puede afirmar que el sistema corresponde a una anualidad teniendo en cuenta que los pagos son iguales. La situación se muestra en la grafica No 7. GRAFICA NO 7 – VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD A 0 1 2 3 i n-2 n-1 n Vp Para calcular el valor presente se utiliza la formula (12).1 Valor presente de la anualidad se paga en cuotas iguales .Respuesta Si se supone que la tasa de interés que se aplica a cada pago es la misma. ( ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes Factorizando A. esto da como resultado la siguiente ecuación: 7 . se hacen a intervalo de tiempo igual y los periodos pactados corresponden al número de pagos. a una tasa de interés efectiva por periodo . considerando cada valor de A como un valor futuro y sumando todos los resultados en 0. Es la forma general de una anualidad anticipada 1. Para la deducción del modelo matemático se considera una operación en la cual un préstamo durante periodos. Un pequeño empresario para reponer su equipo de producción hoy. se obtiene: [ La cual también se puede expresar como: [ Donde: ( ) ] ( ) ( ) ] El factor * hallar ( ) + suele nombrarse como: ( ⁄ ). a partir del próximo mes.( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ]( ) Restando la ecuación (a) de la (b).000 mensuales. la tasa de interés efectiva a la cual son trasladados los pagos al valor inicial y el número de pagos . dado el pago o renta . si el banco que financia la operación cobra una tasa de interés del 24% N-m. La formula (23) se puede escribir en notación clásica. ¿De cuánto dinero dispondrá para la reposición de los equipos? Solución Parámetros ) ( ) 8 . está en capacidad de realizar 36 pagos de $2´000. se obtiene: ( ) [ ( ) ( ) ] Despejando de este resultado el Vp. como: ( ⁄ Ejemplo 5. Este significa el factor para Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes . El calculo se realiza utilizando la formula (23) . se debe hallar el valor presente de los pagos mensuales. Nótese que la tasa efectiva de interés coincide los periodos en los cuales se realiza los pagos. En la siguiente gráfica se representa la operación: 2´000.000 o Numero de pagos: 36 o Tasa de interés: 24% N-m Representación gráfica Para determinar lo que el pequeño empresario tendrá disponible para reposición de equipos. lo primero que se debe hacer es hallar la tasa efectiva mensual a partir de la tasa nominal.000 0 1 2 3 34 35 36 j = 24%N-m Vp =¿? Cálculos Para determinar el valor presente. considerando ( ⁄ ). 9 Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes Teniendo la tasa efectiva de interés se procede a calcular el valor presente. para esto se utiliza la formula (15): [ ( ) ] [ Respuesta El pequeño empresario dispondrá de ( ) ] para la reposición de los equipos.o Pagos: $2´000. 000 Cálculos Para determinar el valor de los pagos mensuales.000 a través de un crédito.2 Pagos o renta a partir del valor presente . Si la empresa de financiamiento ofrece las siguientes condiciones: préstamo del 90% del valor total en cuotas iguales durante 60 meses y una tasa efectiva de interés del 0. ¿Cuál será el valor de la cuota mensual? Solución o o o o Parámetros Valor del automóvil: $64´000.95% EM. Una persona desea comprar un automóvil que tiene un precio de $64´000.000 Financiación: 90% del valor total Numero de pagos: 60 Tasa de interés: 0.95% EM Representación gráfica Considerando que solo se financia el 90% del valor del vehículo el préstamo debe ser por un valor de: Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes 𝑃 En la siguiente gráfica se representa la operación: A= ¿? 0 1 2 3 58 59 60 i = 0. o lo ).1. ( ⁄ ).99% EM Vp =57´600. [ ( ⁄ ( ) ) ] ( ) ( ) De la ecuación (23) se puede deducir el factor para hallar . para lo cual se aplica 10 . dado el valor presente que es igual ( ⁄ Los símbolos tienen el mismo significado que en la ecuación (23) Ejemplo 6. 3 Pagos o renta con base en el valor futuro es equivalente a pagos iguales . se obtiene: ( ) [ ( ) ] ) ( ) ] ( ) ( ) 11 Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes . formula (12).directamente la formula (25). para determinar este modelo. a una tasa de Igual que se hizo en el la deducción anterior. durante 8. ( [ Remplazando ( ) en ( ). considerando la tasa efectiva de interés mensual: [ ( ) ] [ Respuesta El valor de la cuota mensual será de $ ( ) ] 1. se considera una operación en la cual el valor final interés efectiva por periodo . GRAFICA NO 8 – VALOR FUTURO DE UNA ANUALIDAD A periodos. La situación se muestra en la grafica No 0 1 2 3 i n-2 n-1 n Vf Para determinar el valor futuro ( ⁄ ) remplazamos en la formula (24) el valor presente en función del valor futuro. 7% EM Representación gráfica En la siguiente gráfica se representa la operación: A= ¿? 0 1 2 3 i = 0.000 Cálculos Para determinar los pagos del ahorro ( ⁄ ) se aplica directamente la formula (26).000 o Numero de pagos: 5 años = 60 meses (inicia un mes después de tomar la decisión) o Tasa de interés: 0.[ ( ) ] ( ) ) ( ⁄ Ejemplo 8. Solución Parámetros o Valor futuro: $100´000.7 EM 58 59 60 Vf =100´000. si la fiducia le asegura una tasa de interés efectiva mensual del 0.000 dentro de cinco años. considerando la tasa efectiva de interés mensual: [ ( ) ] Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes [ Respuesta Se deberá realizar un ahorro de $ ( ) ] mensual 12 . ) ( De cuánto deberá ser el ahorro mensual de una persona que proyecta adquirir una casa de $100´000.7%. ) ( Un padre de familia quiere conocer de cuánto dispondrá para la educación superior de su hijo.4 Valor futuro de la Anualidad De la formula (26) se puede determinar el valor futuro en función de los pagos. para lo cual se aplica directamente la formula (28). edad en la cual estima iniciara los estudios universitarios. si inicia un ahorro mensual de 300. así: [ ( ) ] ( ) ) ( ⁄ Ejemplo 7.000 0 1 2 3 j = 10% N-m 94 95 96 Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes Vf =¿? Cálculos Para determinar el valor futuro del ahorro ( ⁄ ) inicialmente se debe hallar la tasa de interés efectiva mensual.1.000 o Numero de pagos: 8 años = 96 meses o Tasa de interés: 10% N-m Representación gráfica En la siguiente gráfica se representa la operación: A= 300. un mes antes de que cumpla 10 años y hasta cuando cumpla 18. considerando la tasa efectiva de interés mensual: 13 .000. ( ⁄ ). para esto se aplica la formula (15). la fiducia donde se realiza el ahorro asegura una de interés del 10% N-m Solución Parámetros o Valor de los pagos: $300. considerando que la tasa de interés que ofrece la fiducia esta expresa en nominal: Con esta tasa de interés efectiva se puede calcular. de la ecuación (28) se puede Si se conocen el determinar el valor de . los pagos . se obtiene: ( ( ) ) ( ) ) ) ) ( ( ( ) ) ) 14 . A continuación se deduce la formula para calcular el valor de . a partir de la ecuación (28).5 Número de pagos con base en el valor futuro . y la tasa de interés . se obtiene: ( ( ( Despejando . los pagos . y la tasa de interés . Lo mismo se podría hacer a partir de la ecuación (23) cuando se conocen . [ ( ( ( ) ) ) ] Aplicando logaritmo en ambos lados de la ecuación se obtiene: ( ( ) ) ( ) Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes Por propiedades de los logaritmos.[ ( [ Respuesta El Padre de familia dispondrá de $ ( ) ) ] ] cuando su hijo cumpla 18 años 1. es decir. el número de pagos. 000. desde el punto de vista practico el ahorrador (deudor) tiene dos opciones: a) Terminar de ahorrar (pagar) en el semestre 6.000 0 1 2 3 j = 7% N-s n-2 n-1 n Vp=4´500.Ejemplo 8. y el valor de los pagos se puede determinar el valor de para lo cual se aplica directamente la formula (30). el banco reconoce por este tipo de ahorros una tasa de interés del 7% N-s Solución Parámetros o Valor futuro: 4´500.000 o Tasa de interés: 7% N-s Representación gráfica En la siguiente gráfica se representa la operación: A= 600.000 Cálculos Inicialmente se hallar la tasa de interés efectiva semestral aplicando la formula (15). No obstante. el valor futuro . Cuántos pagos semestrales de $600. aumentando el último pago 15 Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes . considerando la tasa efectiva de interés semestral: ( ( ( ( ) ) ) ) ( ) Esta respuesta indica que deben hacerse 6. considerando que la tasa de interés nominal que cobra el banco: Con esta tasa de interés efectiva.000 o Valor de los pagos: $600.77 pagos semestrales.000 deberá realizar un padre de familia para pagar la universidad de su hijo que en futuro estima le costará $4´500. es decir.000 deberá realizar un padre de familia para pagar la universidad de su hijo que hoy día cuesta $4´500.5% ES ) ( ) ( ) ) Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes 16 .b) O terminar de ahorrar (pagar) en el semestre 7. y la tasa de interés . el banco cobra tasa de interés del 3.000.6 Número de pagos con base en el valor presente . el número de pagos. a partir de la ecuación (23). disminuyendo el ultimo pago Respuesta Se deben realizar 6 o 7 pagos. de la ecuación (23) se puede . 1.000 o Valor de los pagos: $600. los pagos . A continuación se deduce la Si se conocen el determinar el valor de fórmula para calcular el valor de .000 o Tasa de interés: 3. Cuántos pagos semestrales de $600. [ ( [ ) ( ( ] ) ) ] ( ( ) ) Aplicando logaritmo en ambos lados de la ecuación. se obtiene: ( ) ( ( Ejemplo 9.5% ES Solución Parámetros o Valor presente: 4´500. Representación gráfica En la siguiente gráfica se representa la operación: A= 600. No obstante por tratarse de ecuaciones con más de una raíz.5% ES n-2 n-1 n Vp=4´500.000 0 1 2 3 i = 3.7 Tasa efectiva de interés a partir del valor presente o . No obstante. no es posible hallar la solución analíticamente. [ ( ) ] 17 Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes .85 pagos semestrales. considerando la tasa efectiva de interés semestral: ( ( ( ( ) ) ) ) Esta respuesta indica que deben hacerse 8. 1. por esta razón se debe utilizar un método de tanteo y error.000 Cálculos El número de pagos se puede calcular directamente de la formula (31). disminuyendo el último pago Respuesta Se deben realizar 8 o 9 pagos. desde el punto de vista practico el ahorrador (deudor) tiene dos opciones: a) Terminar de ahorrar (pagar) en el semestre 8. aumentando el último pago b) O terminar de ahorrar (pagar) en el semestre 9. es decir: el valor presente valor futuro interés a partir de la formula (23) o (28). el valor y numero de pagos se puede determinar el valor de la tasa de Cuando se tienen los demás elementos de la anualidad. es la siguiente: a) Se asigna un valor inicial a la tasa de interés b) Si el valor es menor que la igualdad y se calcula la ecuación. una renta de $5 millones durante 30 años. por un pago inmediato de $90 millones. Con el siguiente ejemplo se ilustra el anterior procedimiento: Ejemplo 10. Si una compañía de pensiones ofrece. uno mayor y otro menor. entonces se disminuye la tasa y se vuelve a calcular.000 Cálculos Para determinar la tasa de interés se parte de la formula (23): [ ( ) ] 18 .000 0 1 2 3 i = ¿? EA 28 29 30 Vp=90´000. suficientemente aproximados a los valores de la igualdad. ¿Qué tasa de interés está reconociendo? Solución Parámetros o Valor presente: 90´000. en caso contrario se aumenta la tasa y se vuelve a calcular c) Cuando se logre determinar dos valores.[ ( ) ] La forma de proceder en estos casos.000 o Numero de pagos: 30 anuales Representación gráfica En la siguiente gráfica se representa la operación: Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes A= 5´000.000 o Valor de los pagos: $5´000. se procede a calcular la tasa de interés por interpolación. se puede concluir que la tasa de interés está entre 3% y 4%.206.75 90´000. así se obtiene la fracción que sumada a 3% completa la tasa de interés.De acuerdo al procedimiento descrito se le da valor inicial a la tasa (efectiva anual) y se calcula el valor del lado derecho. se obtiene la tasa de interés buscada: 3.75 y 90´000. así para un valor de . Sumando el resultado a 3%. se obtiene: Considerando que el valor de la derecha es mucho mayor al lado izquierdo.206.166.50. obteniendo: Considerando que en este caso el valor de la menor al lado derecho. En este caso se calcula para .693% 19 .50 3% X 4% Aplicando una sencilla regla de tres: si para una diferencia entre 98´002.75 y 86´460. existe una diferencia del 1%.166. obteniendo: Considerando que el valor de la derecha es mayor al lado izquierdo. aumentamos el valor de y se vuelve a calcular.693% Este resultado se puede comprobar remplazando este valor en la ecuación (23) y verificando que se cumple la igualdad. aumentamos el valor de y se vuelve a calcular. que diferencia en % habrá para diferencia entre 98´002.206. [ ( ) ] Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes Respuesta La compañía de pensiones reconoce una tasa efectiva anual de: 3. En este caso se calcula para .000 86´460.000. El valor exacto se calcula por interpolación como se indica a continuación: 98´002. Anualidades anticipadas En los negocios es frecuente que los pagos se efectúen al comienzo de cada periodo. a una tasa de interés efectiva por periodo . Una anualidad anticipada es una sucesión de pagos o rentas que se efectúan o vencen al principio del periodo del pago.. este tipo de operaciones financieras reciben el nombre de anualidades anticipadas. ventas a plazos. En la gráfica No 9 se comparan las anualidades vencidas y anticipadas GRAFICA NO 9 – COMPARACIÓN DE ANUALIDADES VENCIDAS Y ANTICIPADAS Anualidad Vencida 1 2 3 n-2 n-1 n 0 .1 Valor presente de las anualidades anticipadas se paga en cuotas iguales . y contratos de seguros. 20 .. Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes Para la deducción del modelo matemático se considera una operación en la cual un préstamo durante periodos. es el caso de los arrendamientos. 1 2 3 n-1 n Anualidad Anticipada 2. La situación se muestra en la grafica No 10. GRAFICA NO 10 – VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADA A 0 1 2 3 i n-2 n-1 n 𝑽𝒑 Si se analiza la operación se puede afirmar que el valor presente en este caso se puede determinar como la suma de y el valor presente de una anualidad durante n-1 periodos. desde el periodo 0.2. 5% EM 𝑉 =¿? 𝑝 Para determinar el valor presente de la anualidad anticipada se aplica directamente la formula (32): [ [ ( ( ) ) ( ( ) ] ) ] Respuesta El valor total del contrato al momento de su firma es: 21 Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes Cálculos .5% efectivo anual.[ ( ( ) ( ) ] ) [ Ejemplo 11. ¿Cuál será el pago único al inicio del contrato que cubre todo el arriendo? Solución Parámetros o Valor de los pagos anticipados: $4´000.000 mensuales al principio de cada mes. durante de un año.5% Representación gráfica En la siguiente gráfica se representa la operación: A= 4´000.000 o Numero de pagos: 12 mensuales o Tasa de interés efectiva mensual: 2.000 0 1 2 3 10 11 12 i = 2. ) ( ] ( ) El contrato de arriendo de una oficina fija pagos de $4´000. Si se supone un interés del 2. durante Para la deducción del modelo matemático se considera una operación en la cual un ahorro se paga en cuotas iguales periodos. ha través de la formula (11). ¿Cuánto podrá retirar al cabo de un año? Solución Parámetros o Valor de los pagos anticipados: $5´000. desde el periodo 0.2 Valor futuro de las anualidades anticipadas . los cuales se pagan de manera anticipada. a una tasa de interés efectiva por periodo . ( [ Ejemplo 12.000 mensuales. La situación se muestra en la grafica No 11.000 o Numero de pagos: 12 mensuales o Tasa de interés efectiva mensual: 2% Representación gráfica En la siguiente gráfica se representa la operación: ) ]( ) ( ) 22 Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes . Una empresa arrienda una bodega que tiene de sobra por $5´000. Si cada que recibe el arriendo lo coloca en un fondo de inversiones que promete una tasa de interés del 2% EM.2. hasta el periodo n. GRAFICA NO 11 – VALOR FUTURO DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADA A -1 0 1 2 i 3 n-2 n-1 n 𝑽𝒇 Si se analiza la operación se puede afirmar que el valor futuro de la anualidad anticipada es igual al valor futuro de la anualidad durante n periodos (desde -1 hasta n-1) trasladada 1 periodo. A= 5´000.000 0 1 2 3 10 11 12 i = 2% EM 𝑉𝑓 =¿? Cálculos Para determinar el valor futuro de la anualidad anticipada se aplica directamente la formula (33): [ ( [ ( ) ]( ) ) ]( ) Respuesta El valor ahorrado por el empresario al cabo de un año es: 3. Anualidades diferidas Hasta el momento se ha considerado que el pago de las rentas se inicia inmediatamente después de que se plantea la operación; no obstante, existen transacciones donde los pagos o rentas se realizan después de haber pasado cierta cantidad de periodos, en estos casos la operación se denomina anualidad diferida. En la gráfica No 12 se ilustran este tipo de actividades. GRAFICA NO 12 –ANUALIDAD DIFERIDA A 0 1 2 3 i n-3 n-2 n-1 n 𝑽𝒑 23 Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes 3.1 Valor presente de las anualidades diferidas En este caso se halla el valor presente de la anualidad en un periodo antes de iniciarse los pagos, utilizando para ello la formula (23), el valor hallado se traslada al periodo 0 utilizando para ello la formula (12) Ejemplo 12. Una empresa acepta que un cliente le pague el valor de una compra realizada el día de hoy, en seis cuotas mensuales de $800.000 a partir del séptimo mes. Si la empresa aplica una tasa efectiva de interés del 2,5% EM, ¿Cuál será el valor de la venta? Solución Parámetros o Valor de los pagos: $800.000 o Numero de pagos: 6 mensuales, a partir del mes 7 o Tasa de interés efectiva mensual: 2,5% Representación gráfica En la siguiente gráfica se representa la operación: 800.000 0 1 2 3 7 8 9 10 i = 2,5% 11 12 𝑽𝒑 ¿? Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes Cálculos Para determinar el valor presente inicialmente calculamos el valor presente de la anualidad en el periodo 6, utilizando para ello la ecuación (23): [ ( ) ] ) [ ( ] Este valor se traslada al periodo 0, para esto se utiliza la formula (12) 24 ( ( ) ) Respuesta El valor de la venta realizada por la empresa es: 3.2 Valor futuro de las anualidades diferidas En este caso se halla el valor presente de la anualidad un periodo antes de iniciarse los pagos, utilizando para ello la formula (23), el valor hallado se traslada al periodo n utilizando para ello la formula (11) Ejemplo 13. Si un padre inicia un ahorro mensual de $50.000, cuando su hijo cumple 1 año, ¿Cuál será el valor ahorrado, cuando este cumpla 18 años, si el banco donde hace el deposito le reconoce un interés anual del 0,6% EM? Solución Parámetros o Valor de los pagos: $50.000 o Numero de pagos: 204 mensuales, a partir del mes 12 o Tasa de interés efectiva mensual: 0,6% Representación gráfica Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes En la siguiente gráfica se representa la operación: 50.000 0 1 11 12 211 212 213 214 215 216 i = 0,6% 𝑽𝒇 ¿? Cálculos Para determinar el valor futuro inicialmente calculamos el valor presente de la 25 ¿Cuánto se deberá colocar en el fondo al momento de terminar la reparación general. doce años después de una reparación general. Anualidades perpetuas Cuando el número de pagos de una anualidad es muy grande. teniendo en cuenta la definición de anualidad perpetua. si 26 . [ ( ( ) ] Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes im A [ →∞ ) ] im ( →∞ ) Ejemplo 14. para esto se utiliza la formula (11) ( ( ) ) Respuesta El valor del ahorro cuando el hijo cumpla 18 años es : 4. o cuando no se conoce con exactitud la cantidad de pagos se dice que la anualidad es perpetua. Partiendo del valor presente de la anualidad formula (23) se puede hallar el limite cuando n tiende a infinito. Al deducirse los modelos matemáticos se debe tener en cuenta que solo existe el valor presente ya que por tratarse de una anualidad perpetua el valor futuro de este tipo de anualidades sería infinito. El consejo municipal de Santa Fe de Antioquia resuelve crear un fondo para proveer a perpetuidad las reparaciones del puente colonial de esa población que se estima tendrá un costo anual de $91 millones de pesos.anualidad en el periodo 11. utilizando para ello la ecuación (23): [ ( ( ) ] ) [ ] Este valor se traslada al periodo 216. a partir del año 12 o Tasa de interés efectiva anual: 7% Representación gráfica En la siguiente gráfica se representa la operación: 91 millones 0 1 11 12 13 14 15 n-2 n-1 ∞ i = 7% EA 𝑽𝒑 ¿? Cálculos Lo que habrá que depositar en el fondo será igual al valor presente de la anualidad perpetua calculada en el año 11. y este valor trasladado al momento 0. que es donde se supone se termino la reparación general. para lo cual se utiliza la formula (34).la tasa de interés de colocación del mercado es del 7% anual? Solución Parámetros o Valor de los pagos: $91 millones o Numero de pagos: infinitos. para esto se utiliza la formula (12): ( ( Respuesta En el fondo se deben colocar: ) ) 27 Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes . 1 Ley de formación Considerando que los pagos en cada periodo serán diferentes. la ley de formación indica que cada pago es igual al anterior.1. puede tener un sinnúmero de variantes. así como se muestra a continuación: 28 . las anualidades son casos particulares de los gradientes donde el crecimiento es cero.5. la cual puede ser positiva en cuyo caso las cuotas son crecientes. es necesario que al momento de aplicarse las formulas a situaciones particulares. no obstante. las cuales a su vez pueden generar cuotas crecientes o decrecientes. en este caso. en la vida cotidiana las más utilizadas son el gradiente aritmético y el geométrico. entonces igual que el caso de la anualidad los modelos matemáticos que se deducen para el cálculo y análisis de los gradientes tienen en cuenta las anteriores condiciones por lo cual. lo que causa que los pagos sean todos iguales. entonces estos se identificaran con un subíndice que indica el consecutivo del pago. cada pago será igual al anterior más una constante.1 Gradiente aritmético Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes Para el gradiente aritmético. Gradientes Son operaciones financieras en las cuales se pacta cubrir la obligación en una serie de pagos periódicos crecientes o decrecientes que cumplen con las siguientes condiciones: Los pagos cumplen con una ley de formación Los pagos se hacen a iguales intervalos de tiempo A todos los pagos (rentas) se les aplica la misma tasa de interés El número de pagos y periodos pactados es igual La ley de formación. En el caso de que la constante sea cero. De acuerdo a la ley de formación. es decir se tiene el caso de una anualidad. 5. Como el lector ya lo habrá deducido. negativa lo cual genera cuotas decrecientes. los pagos son uniformes. la cual determina la serie de pagos. más una constante . se asegure que se cumplan dichas condiciones 5. ( ) 29 . durante la grafica No 13.2 Valor presente de un gradiente aritmético Para la deducción del modelo matemático se considera una operación en la cual un préstamo se paga en una serie de cuotas formada a través de un gradiente aritmético.1. GRAFICA NO 13 – VALOR PRESENTE DE UN GRADIENTE ARITMÉTICO 𝑨𝟏 (𝒏 𝟏)𝒌 𝑨𝟏 𝑨𝟏 𝑨𝟏 𝒌 𝑨𝟏 𝟐𝒌 (𝒏 𝟑)𝒌 (𝒏 𝟐)𝒌 𝑨𝟏 0 1 2 3 i Vp n-2 n-1 n Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes Para calcular el valor presente se utiliza la formula (12). considerando cada valor de las cuotas y sumando todos los resultados en 0.𝑃 ( ) 5. a periodos. La situación se muestra en una tasa de interés efectiva por periodo . de esta forma la ecuación se puede escribir como: [ ( ) ] [ ( ) ( ) ( ) ( ) ]( ) Supongamos que el factor de [ ( es igual . las fracciones con numerador corresponde al valor presente de la anualidad y que las otras expresiones tienen como factor común K. es decir: ) ( ) ( ( ) ] ) Si multiplicamos la ecuación anterior por ( ( ) [ ( ) ( ).( ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) Rescribiendo la ecuación se obtiene el siguiente resultado: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) De la anterior expresión se puede concluir que la primera parte. entonces se obtiene: Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes ( ) ( )( ) ) ] Si se resta ( ) ( [ ) de . se obtiene: ( ( ) ( ) ( )( ) ) ] [ ( ) ( ) ( ( ) ] ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) [ ( ) ] ( ) 30 . para lo cual se utiliza la formula (35): [ ( ) ] [ ( ) ( ) ] 31 Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes Solución . 𝟏 𝟔𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 𝟏 𝟒𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 𝟏 𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 𝟏 𝟐𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 𝟏 𝟖𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 𝟖𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 0 1 2 3 i =5% 4 5 6 Vp = ¿? o o o o Parámetros Valor del pago inicial: $800.000 Numero de pagos: 6 semestrales Tasa de interés efectiva anual: 5% ES El gradiente tiene un crecimiento de $200.000. es decir Cálculos Para hallar el equivalente del ahorro se debe calcular el valor presente del gradiente. Un padre de familia esta dispuesto a realizar el ahorro que se muestra en la grafica. sí el banco reconoce una tasa de interés del 5% semestral. se obtiene: [ ( ) ( ) ] ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ]( ) Ejemplo 15.[ Remplazando (b) en (a). de cuánto debería ser la inversión hoy para igualar dicho ahorro. 1. ( [ ( [ Ejemplo 15.000 o Numero de pagos: 6 semestrales 32 Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes . basta remplazar el valor presente ( ) del gradiente. formula (37).[ ( ) ] [ ( ) ( ) ] Respuesta El valor equivalente del ahorro al día de hoy es: 5. en la formula (11).3 Valor futuro de un gradiente aritmético Para hallar el valor futuro ( ). ¿Qué valor recibirá una persona que realiza el ahorro semestral que se indica en la gráfica? El banco donde se realiza el ahorro reconoce una tasa de interés del 6% semestral. 𝟐 𝟖𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 𝟐 𝟑𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 𝟏 𝟑𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 𝟏 𝟖𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 𝟑 𝟑𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 ) [ ( ( ) ( ) ]( ) ) ( ) ] ] ) ] [ 𝟖𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 0 1 2 3 i 4 5 6 Vf = ¿? Solución Parámetros o Valor del pago inicial: $800. como equivalente de dichos pagos. La principal aplicación de dicha serie es el cálculo del costo de capital. GRAFICA NO 14 – VALOR PRESENTE DE UN GRADIENTE ARITMÉTICO INFINITO 𝑨𝟒 𝑨𝟐 𝑨𝟑 𝑨𝟏 0 1 2 3 i 4 … ∞ Vp = ¿? Modelo matemático 33 Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes . solo tiene sentido hablar del valor presente.000.4 Valor presente de un gradiente aritmético infinito Cuando se habla de pagos de gradientes matemáticos infinitos. para lo cual se utiliza la formula (38): [ ( ) ] ( [ ) ] [ ( ) ] ( [ ) ] Respuesta El valor final del ahorro es: 5.1. es decir Cálculos Para hallar el valor final del ahorro se debe calcular el valor futuro del gradiente .o Tasa de interés efectiva anual: 6% ES o El gradiente tiene un crecimiento de $500. Planeando la ecuación de valor de la serie se obtiene: im [ →∞ [ ( ( ) ] [ ( ( ) ( ) ] im ) [ ]] im →∞ [ ) ] im [ →∞ [ →∞ ( ) ] ] ( ) Ejemplo 16.5% EA El gradiente tiene un crecimiento de $2´000. para lo cual se utiliza la formula (37): 34 Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes . es decir Cálculos Para hallar el valor inicial que debe colocar la persona se debe calcular el valor presente del gradiente infinito .5% anual.5 % 4 … ∞ Vp = ¿? Solución o o o o Parámetros Valor del pago inicial: $30´000.000.000 Numero de pagos: infinitos Tasa de interés efectiva anual: 6. ¿Qué valor deberá cancelar una persona un año antes de su retiro para recibir anualmente una pensión de 30 millones. la cual se incrementara 2 millones cada año? El fondo de pensiones reconoce una tasa de interés del 6. 𝟑𝟔 𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 𝟑𝟐 𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 𝟑𝟎 𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 𝟑𝟒 𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 0 1 2 3 i = 6. así como se muestra a continuación: 𝑃 Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes ( ( ( ) ) ) ( ( ) ) ( ) 5. en este caso.2 Valor presente de un gradiente geométrico Para la deducción del modelo matemático se considera una operación en la cual un préstamo se paga en una serie de cuotas formadas a través de un gradiente 35 . 5. De acuerdo a la ley de formación.2 Gradiente geométrico Para el gradiente aritmético. si G es positiva el gradiente será con cuotas crecientes. entonces estos se identificaran con un subíndice que indica el consecutivo del pago. cada pago será igual al anterior multiplicado por una constante. es decir se tiene el caso de una anualidad.1 Ley de formación Considerando que los pagos en cada periodo serán diferentes. si G es negativo el gradiente será decreciente y si G es igual a 0. los pagos son uniformes.( ) Respuesta El futuro pensionado deberá cancelar : 5. la ley de formación indica que cada pago es igual al anterior. multiplicado por una constante (1+G).2.2. se obtiene: ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) 36 Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes . para lo cual se utiliza la formula (12). ( ( ( ) ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) Multiplicando la ecuación anterior por . se obtiene: ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) Restando ( ) de ( ). La situación GRAFICA NO 14 – VALOR PRESENTE DE UN GRADIENTE GEOMÉTRICO 𝑨𝟏 (𝟏 𝑨𝟏 (𝟏 𝑨𝟏 (𝟏 𝑨𝟏 (𝟏 𝑮)𝟐 𝑨𝟏 (𝟏 𝑮) 𝑮)𝒏 𝟑 𝑮)𝒏 𝟏 𝑮)𝒏 𝟐 𝑨𝟏 0 1 2 3 i n-2 n-1 n Vp Para calcular el valor presente se la ecuación de valor. considerando cada valor de las cuotas y sumando todos los resultados en 0. periodos. a una tasa de interés efectiva por periodo . durante se muestra en la grafica No 14.geométrico. 000 y con incrementos del 10% anual? Suponga que se reconoce una tasa de interés del 7% EA Solución Parámetros 37 Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes ( ] . no obstante. así como se muestra a continuación: im → ( ( [ ) ( ( [ ( ( ) ) ) ) ) ) ] im → ( ) im [ → ( ] ] ( ) ( ) De ( ) y ( ) se puede concluir que: ( [ ) ( ) ) ( ( ) ) Ejemplo 17. ¿Cuál será el valor hoy de una pensión de un trabajador que le pagaran durante su época de jubilación 24 pagos anuales iniciando en 2´000. esta situación se puede aclarar usando la regla de L´ôpital y derivando la expresión con respecto a .[ ( ( [ ) ) ( ( ( ] ( ( [ ) ( ( [ ) ( ) ) ) ) ] ] ) ] ) ( [ ) ( ( ) ) ] ( ) Si el valor presente es indeterminado. 000 y con incrementos del 10% anual? Suponga que se reconoce una tasa de interés del 10% EA Solución Parámetros o Valor del pago inicial: $2´000. ¿Cuál será el valor hoy de una pensión de un trabajador que le pagaran durante su época de jubilación 24 pagos anuales iniciando en 2´000. ( ( [ ) ( ( [ ) ( ) ) ) ) ] ] ( Respuesta El valor presente de la pensión es : Ejemplo 18.o o o o Valor del pago inicial: $2´000. es decir Representación grafica 𝟏𝟕 𝟗𝟎𝟖 𝟔𝟎𝟒 𝟖𝟕 𝟐 𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 𝟐 𝟐𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 𝟐 𝟒𝟐𝟎 𝟎𝟎𝟎 0 1 2 3 i=7% … … 24 Vp = ¿? Cálculos Para hallar el valor inicial de la pensión que se deberá pagar se aplica la formula (38) cuando . considerando que se trata de un gradiente geométrico con un crecimiento del 10%.000 Numero de pagos: 24 anuales Tasa de interés efectiva anual: 7% EA El gradiente tiene un crecimiento del 10% anual.000 38 Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes . 2. es decir Representación grafica 𝟏𝟕 𝟗𝟎𝟖 𝟔𝟎𝟒 𝟖𝟕 𝟐 𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 𝟐 𝟐𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 𝟐 𝟒𝟐𝟎 𝟎𝟎𝟎 0 1 2 3 i=7% … … 24 Vp = ¿? Cálculos Para hallar el valor inicial de la pensión que se deberá pagar se aplica la formula (38) cuando .o Numero de pagos: 24 anuales o Tasa de interés efectiva anual: 10% EA o El gradiente tiene un crecimiento del 10% anual.3 Valor futuro de un gradiente geométrico Para hallar el valor futuro ( ). ( ( [ ) ( ) ) ) ]( ) ( 39 . formula (40). considerando que se trata de un gradiente geométrico con un crecimiento del 10%. basta remplazar el valor presente ( ) del gradiente. en la formula (11). ( ( Respuesta El valor presente de la pensión es : ) Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes ) 5. es decir Representación grafica 40 Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes . ) ) ( ) ( ) [( ) ( ) ] ( ) ( ) Ejemplo 19. ) [( ) ( ) ] ( ( De esta manera.5% ES El gradiente tiene un crecimiento del 4% anual.000 e incrementos del 4%? Suponga que se reconoce una tasa de interés del 3.( De otro lado.000 Numero de pagos: 36 semestrales Tasa de interés efectiva semestral: 3. ¿Cuál será el valor final de un ahorro que se realiza durante 36 semestres iniciando con un pago de 3´000.5% ES Solución o o o o Parámetros Valor del pago inicial: $3´000. es decir Representación grafica 41 Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes Ejemplo 20. ¿Cuál será el valor final de un ahorro que se realiza durante 36 semestres iniciando con un pago de 3´000. ( ( Respuesta El valor del ahorro es: ) [( ) [( ) ) ( ( ) ] ) ] .000 e incrementos del 4%? Suponga que se reconoce una tasa de interés del 4% ES Solución o o o o Parámetros Valor del pago inicial: $3´000.𝟏𝟔 𝟓𝟒𝟖 𝟎𝟒𝟔 𝟏𝟎 𝟑 𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 𝟑 𝟏𝟓𝟎 𝟎𝟎𝟎 𝟑 𝟑𝟎𝟕 𝟓𝟎𝟎 0 1 2 3 i = 3.5% … … 36 Vf = ¿? Cálculos Para hallar el valor final del ahorro se aplica la formula (39) cuando considerando que se trata de un gradiente geométrico con un crecimiento del 4%. .000 Numero de pagos: 36 semestrales Tasa de interés efectiva semestral: 4% ES El gradiente tiene un crecimiento del 4% anual. 42 Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes 5.2. Cuando se habla de pagos de gradientes geométricos infinitos.𝟏𝟔 𝟓𝟒𝟖 𝟎𝟒𝟔 𝟏𝟎 𝟑 𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 𝟑 𝟏𝟓𝟎 𝟎𝟎𝟎 𝟑 𝟑𝟎𝟕 𝟓𝟎𝟎 0 1 2 3 i = 4% … … 36 Vf = ¿? Cálculos Para hallar el valor final del ahorro se aplica la formula (39) cuando considerando que se trata de un gradiente geométrico con un crecimiento del 4%. solo tiene sentido hablar del valor presente. ( ( Respuesta El valor del ahorro es: ) ) . La situación se ilustra en la grafica No 16. como equivalente de dichos pagos.4 Valor presente de un gradiente aritmético infinito . cuando tiende a ∞. no hay límite 43 . y por consiguiente el límite será ) [ ] ( ) ( ) . ( De la ecuación ( ) para cuando im ( ) ) ) es menor que 1. y no tendrá límite cuando Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes tiende a ∞. Si igual entonces la expresión ( ( .GRAFICA NO 16 – VALOR PRESENTE DE UN GRADIENTE GEOMÉTRICO INFINITO 𝑨𝟒 𝑨𝟐 𝑨𝟑 𝑨𝟏 0 1 2 3 i 4 … ∞ Vp = ¿? Modelo matemático De la ecuación ( ) para cuando ( . se obtiene: →∞ ( ) ( ) En este caso. se obtiene: ( [ ) ( im ) ) ( [ ) ( im [( →∞ ] ) ) ) ) →∞ ( ] ( ( ( Si entonces la expresión ( ( ( ) ) ) ) ) ] es mayor que 1. como: ( ∞ ) ( ) Ejemplo 21.5% EM Solución o o o o Parámetros Valor del pago inicial: $4´000. considerando que ≤ . es decir Representación grafica 0 1 2 i = 1.5% 3 … ∞ Vp = ¿? Cálculos Para hallar el valor de la prima del seguro se debe calcular el valor presente de la serie infinita de la formula (42).5% EM El gradiente tiene un crecimiento del 1% mensual. 44 Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes 𝟒 𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 𝟒 𝟎𝟒𝟎 𝟎𝟎𝟎 𝟒 𝟎𝟖𝟎 𝟒𝟎𝟎 .000 Numero de pagos: infinitos Tasa de interés efectiva mensual: 1.De ( ) y ( ) entonces se puede escribir el valor presente de un gradiente geométrico infinito. ¿Cuál será el valor de la prima de un seguro que pretende realizar pagos de forma indefinida. y teniendo en cuenta que se trata de un gradiente geométrico con un crecimiento del 1%.000 con incrementos mensuales del 1%? Suponga que se reconoce una tasa de interés del 1. iniciando en 4´000. Respuesta El valor del ahorro es: ( ( ) ) 45 Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes . Ejercicios resueltos 6. a partir del año 12 o Tasa de interés efectiva anual: 7% Representación gráfica En la siguiente gráfica se representa la operación: 3 millones 0 12 1 13 7 19 8 20 9 21 10 22 11 23 12 24 26 13 i = 30% EA 𝑽𝒑 ¿? Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes Cálculos Para calcular el deposito se calcula el valor presente 7 de la anualidad. aplicando la formula (23) y el resultado se traslada al periodo 0. los cuales se iniciara al cumplir 20 años. Se estima que para esa época el valor de la matrícula anual de la universidad va ser de $3´000.000 y no sufrirá modificaciones durante los seis años que duraran sus estudios. utilizando la formula (12) [ ( ) ] ) [ ( ] ( ) 46 .6. Solución Parámetros o Valor de los pagos: $3 millones o Numero de pagos: 6. ¿Cuál deberá ser el valor del depósito $X? Suponga que la fiducia le reconoce una tasa de interés del 30% anual. es decir cuando el hijo cumple 12 años.1 Un padre de familia cuando su hijo cumple 12 años hace un depósito de $X en una fiduciaria con el objeto de asegurar sus estudios universitarios. utilizando la formula (12) [ ( ( ) ] ) [ ] 47 Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes . desde el 1 de octubre de 2010. es decir el 01 de marzo del 2010.5% efectivo mensual.000.5% Representación gráfica En la siguiente gráfica se representa la operación: 1´200.11 𝑽𝒑 ¿? Cálculos Para calcular el préstamo se calcula el valor presente de la anualidad.03.2 Una pequeña empresa solicita un préstamo el día 1 de marzo de 2010 y acuerda efectuar pagos mensuales de $1´200.08. ¿Cuál será el valor del préstamo? Solución Parámetros o Valor de los pagos: $1´200. aplicando la formula (23) y el resultado se traslada al periodo 0.000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 01.000 o Numero de pagos: 11.( )7 Respuesta El deposito que deberá hacer el padre de familia es: 6. a partir del 1 de octubre o Tasa de interés efectiva mensual: 3.5% EM 01. Si el banco aplica una tasa de interés del 3.10 i = 3.10 01.10. hasta el 1 de agosto de 2011. en un fondo que paga un interés del 6% N-s ¿Cuántos retiros semestrales de $800. esto con el fin de configurar la anualidad. es decir el 01 de abril del 2013.13 𝑽𝒑 𝟏𝟎 𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 j = 6% N-s Cálculos Para calcular el número de retiros.( ( Respuesta El préstamo será de: ) ) 6. inicialmente llevamos el deposito inicial hasta seis meses antes de iniciar lo retiros.04. si el primer retiro lo hace el primero de abril de 2013? Solución Parámetros o Valor de los pagos: $800.04.12 5 6 7 8 9… n… 01.000 o Tasa de interés: 6% N-s o Periodos semestrales Representación gráfica En la siguiente gráfica se representa la operación: 800.000 0 01.000 podrá hacer.10 1 2 3 4 01.04.04. para esto se utiliza la formula (11) Tasa de interés efectiva se calcula a partir de la formula (15) Numero de periodos: 5 periodos (semestres) 48 Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes . $10 millones.3 Un inversionista que depositó el primero de abril de 2010.11 01. 4 Un trabajador deposita en un fondo de pensiones el día de hoy la suma de $1´000.( ( ) ) A partir de la anualidad configurada se puede calcular el numero de retiros (pagos) utilizando la formula (31) ( ( ( ( ) ) ) ) Respuesta El inversionista podrá hacer: retiros semestrales de $800.000.000 Representación gráfica En la siguiente gráfica se representa la operación: A = ¿? 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n 𝑽𝟎 𝟏 𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 𝑽𝟑 𝟑 𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 𝑽𝑨 𝟓 𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 11 12 13 14 15 16 17… i = 20% EA 49 Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes .000 y un veinteavo retiro por una fracción de los $800. comenzando al final del año 14? El fondo reconoce una tasa del 20% efectivo anual Solución Parámetros o Valor de los pagos: 5´000. año 1: 1´000. año 3: 3´000.0000 o Tasa de interés: 20% EA o Periodos anuales: 6 o Depósitos extras.000 y dentro de tres años $3´000. durante 6 años. ¿Cuánto dinero podrá retirar anualmente en forma indefinida.000.000. al final del año 5 comienza a hacer depósitos anuales de $5´000.000 6. de otro lado se ofrece una casa que requerirá de una suma de $3.Cálculos Para determinar el valor que trabajador puede retirar anualmente en forma indefinida se debe configurar la anualidad perpetua con valor presente en el periodo 13.000.000 anuales para mantenimiento y de $2.000. de los ahorros de $1´000. Si la casa-lote se va usar por tiempo indefinido y suponiendo que el costo de capital de la empresa es del 35% efectivo anual.000 cada 4 años para reparaciones mayores. como el valor futuro de la anualidad con pagos de $5´000.000 anuales y de $3.71 6.000.807. Su agente inmobiliario le presenta dos ofertas: una casa para la cual se estima un costo de mantenimiento de $2.000.000. despejando A Respuesta El trabajador podrá realizar retiros anuales de 23´013. aplicamos la formula (34). más el valor futuro.5 Una empresa estudia el arriendo de una casa lote para sus operaciones. traslada al periodo 13. Para calcular los valores futuros se utilizan las formulas (11) y (28). ¿Cuál de las dos alternativas le aconsejaría tomar a la empresa? Solución Parámetros 50 Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes .500.000 y 3´000. por su parte. en este mismo periodo.000 cada tres años para reparaciones adicionales. ( ( ( [ ( [ ) ( ) ) ) ] ) ) ]( Para determinar el monto que puede retirar a perpetuidad. Este valor se calcula. o Casa No 1 o Anualidad mantenimiento: 2´000. El calculo del valor presente se realiza aplicando la formula (34) y considerando que ambos casos el valor presente es la suma de las dos anualidades en el periodo cero (0) Casa No1 51 .0000 anual. anualidad de reparaciones $2´500.000 cada 4 años o Casa No 2 o Anualidad mantenimiento: 3´000. se compara el valor presente de ambas alternativas. anualidad de reparaciones $3´000.000 cada 3 años o Tasa de interés: 35% EA o Periodos anuales: perpetuo Representación gráfica En la siguientes gráficas se representan las dos alternativas: Casa No1 i = 35% EA 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12… n 𝑨𝟏 𝟐 𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 𝑨𝟐 𝟑 𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 Casa No2 i = 35% EA Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes 0 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12… 𝑨𝟏 𝑨𝟐 𝟑 𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 𝟐 𝟓𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 Cálculos Para determinar la mejor alternativa.0000 anual. para ello se utiliza la formula (16). considerando que es igual a 1 y es ( ) ( ) Considerando esta tasa de interés se puede ahora calcular el valor presente de la alternativa. como sigue: Casa No2 Para la anualidad de cada tres años se debe determinar la tasa efectiva equivalente partiendo de la tasa efectiva anual. considerando que es igual a 1 y es ( ) ( ) Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes Considerando esta tasa de interés se puede ahora calcular el valor presente de la alternativa. como sigue: Respuesta El valor presente de la segunda alternativa es mucho mayor que el de la primera por lo cual la mejor opción será la casa No1 52 .Para la anualidad de cada cuatro años se debe determinar la tasa efectiva equivalente partiendo de la tasa efectiva anual. para ello se utiliza la formula (16). hechos por 10 años. como sigue: [ [ ( ( ) ) ] ] 53 Respuesta Las cuotas semestrales para pagar la deuda son de Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes . ¿Cuál debe ser el valor de los pagos semestrales vencidos que. Para esto. utilizando para ello la formula (25).6 Con una tasa de interés del 24% N-t.000? Solución Parámetros o Valor presente o actual: $120´000. considerando que es igual a 4 y es ( ( ) ) Considerando esta tasa de interés se puede ahora calcular los pagos de la anualidad.000 o Tasa de interés: 24% N-t o Periodos semestrales: 20 Representación gráfica En la siguiente gráfica se representa la operación: i = 24% N-t 0 1 2 3 4 5 6 7 8… 16 17 18 19 20 𝑨 ¿? Cálculos Considerando que se trata de pagos semestrales es necesario determinar la tasa de interés efectivo semestral a partir de la tasa nominal trimestral dada.6. amortizarán una deuda de $120´000. utilizando para ello la formula (16). utilizando para ello la formula (15) A partir de esta tasa se halla la tasa efectiva semestral. inicialmente se halla la tasa efectiva trimestral a partir de la nominal. inicialmente se halla la tasa efectiva trimestral a partir de la nominal. como sigue: 54 . ¿Cuál debe ser el valor de los pagos semestrales anticipados que. utilizando para ello la formula (15) Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes A partir de esta tasa se halla la tasa efectiva semestral.6. Para esto.7 Con una tasa de interés del 24% N-t. utilizando para ello la formula (16).000? Solución Parámetros o Valor presente o actual: $120´000. considerando que es igual a 4 y es ( ( ) ) Considerando esta tasa de interés se puede ahora calcular los pagos de la anualidad.000 o Tasa de interés: 24% N-t o Periodos semestrales: 20 Representación gráfica En la siguiente gráfica se representa la operación: i = 24% N-t 0 1 2 3 4 5 6 7 8… 16 17 18 19 20 Cálculos 𝑨 ¿? Considerando que se trata de pagos semestrales es necesario determinar la tasa de interés efectivo semestral a partir de la tasa nominal trimestral dada. amortizarán una deuda de $120´000. despejando A de la formula (32). hechos por 10 años. 8 Un señor desea comprar una póliza de seguro que garantice a su esposa el pago de $4´000. hallar el valor de la póliza de seguro suponiendo que la compañía de seguros garantiza el 24% N-m Solución Parámetros o Tasa de interés: 24% N-m o Anualidad 1: $4´000.000 mensuales durante 10 años y adicionalmente $5´000.000 al final de cada año durante este mismo período.000 mensuales durante 120 meses o Anualidad 2: $5´000. Si el primer pago se efectúa al mes del fallecimiento del señor. Para realizar el cálculo se requiere hallar la tasa efectiva de interés 55 Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes .000 anuales durante 10 años Representación gráfica En la siguiente gráfica se representa la operación: 𝑨𝟐 𝟓 𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 0 1 2 3… 12 𝑨𝟏 13… 24… 36… 48… 117 118 119 120 𝟒 𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 i = 24% N-m Cálculos El valor de la póliza corresponde al valor presente de la suma de las dos anualidades.[ ( ) ( ) ] ) ( ) [ ( ] [ ] Respuesta Las cuotas semestrales anticipadas para pagar la deuda son de 6. Para esto se utiliza la formula (23). como sigue: [ Anualidad mensual [ Anualidad anual [ Valor de la póliza: ( ) ] ( ) ] Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes ( ) ] Respuesta El valor de la póliza es: 56 . considerando que es igual a 12 y es ( ( ) ) Considerando estas tasas de interés se puede ahora calcular los valores presentes de las anualidades y sumarlos para obtener el valor de la póliza. utilizando para ello la formula (16).anual y mensual equivalente a la tasa nominal dada. Tasa efectiva mensual Tasa efectiva anual A partir de esta tasa efectiva mensual se halla la tasa efectiva anual. 9 Una pequeña empresa acuerda con su banco un préstamo el cual se pagara en 12 cuotas mensuales.000 y los pagos sucesivos disminuyen cada uno en $800. Si el primer pago es de $6´000. Tasa efectiva mensual Considerando la tasa de efectiva mensual se puede ahora calcular el valor final de 57 . se utiliza la ley de formación del gradiente matemático considerando y . ( ( ) ) Para realizar el cálculo del valor final se requiere hallar inicialmente la tasa efectiva de interés mensual equivalente a la tasa nominal dada.000 a) ¿Cuál será el valor del último pago? b) ¿Cuál será el valor final de los pagos.6. con Representación gráfica En la siguiente gráfica se representa la operación: 𝑨𝟏 𝟐 𝟖𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 y i = 36% N-m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 𝑨𝟏 𝟔 𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 𝒚 𝑲 𝟖𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 Cálculos Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes Para calcular el pago en el periodo 12. suponiendo una tasa del 36% N-m? Solución Parámetros o Tasa de interés: 36% N-m o Pagos mensuales decrecientes. 000 4 5 6 7 8 9 10 Solución Parámetros o Tasa de interés: 30% E o Pagos mensuales crecientes. más el valor futuro en el periodo 5 de los valores de los periodos 1 y 2.000 200.000 0 1 2 3 100.000 180.10 Hallar el valor de $X en el flujo de caja que se muestra en la gráfica. con Cálculos El Valor de X será equivalente al valor de la serie gradiente aritmética que inicia en el periodo 2.los pagos. Para calcular el valor presente del gradiente y 58 Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes X . considerando una tasa de interés efectiva del periodo del 30% 220.000 160.000 80. como sigue: [ ( ( ) ] ( [ ) ] ) [ ) ] [ ( ] Respuesta El valor de la póliza es: 6. Para esto se utiliza la formula (36). valorada en el periodo 5. una vez hallado. Lo primero es hallar el valor presente de la serie gradiente en el periodo 2.000 120.000 140. este se lleva al periodo 5. 11 Hallar el primer pago de un gradiente aritmético creciente en $300. será igual a la suma de ( ). aplicamos la formula (11).000.000. considerando 3 periodos y la tasa de interés efectiva del periodo ( ( ) ) ( ) Para hallar el valor futuro de los valores de los periodos 1 y 2 se aplica igualmente la formula (11) ( ( ( ) ) ) ( ) ( ) Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes El valor de X. suponga una tasa del 20% 59 . ( ) y ( ) Respuesta El valor de X es: 6.se utiliza la formula (35). considerando que ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) [ ] [ ] [ ( ) ] [ ] Para hallar el valor futuro del valor anterior en el periodo 5. con primer pago de $1´000. que tenga 50 pagos y que sea equivalente a 50 pagos que crecen un 20%. con o Serie gradiente geométrica. entonces el valor presente debe ser igual al del gradiente geométrico. Para esto se aplica la formula (38). utilizando la formula (35).Solución Parámetros o Tasa de interés: 20% E o Serie gradiente aritmética.12 Con interés efectivo del 14% hallar el valor final de la siguiente serie. se puede despejar el valor de [ ( ) ] [ ( ) ( ( ) ( ) ) ] Respuesta El valor de la primera cuota del gradiente aritmético es: 6. se y un ¿? y y . considerando que pagos.y y ( ) ( ) Considerando que el gradiente aritmético es equivalente.300 7 1. Periodo Valor 1 300 2 500 3 700 4 900 5 1.000 8 700 9 400 10 100 11 -200 12 -500 60 Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes [ ( ) ] [ ] . con esto y sabiendo el numero de pagos. con Cálculos Para hallar el primer pago de la serie aritmética con y debe hallar primero el valor presente de la serie geométrica con . interés y valor del incremento.100 6 1. es decir: 61 Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes Considerando que se requiere el valor equivalente en el periodo 12. se halla el valor futuro del anterior valor en 12 utilizando la formula (11) . es: ( [ ) ( [ ) ] ] ( ) El valor de la serie será igual .Solución En la tabla se identifican dos series a) La primera es una serie aritmética creciente que se inicia en el periodo 0 y termina en el periodo 6. Para calcular el valor final se utiliza la formula (36) y la formula (11) ( [ ) ( ) ] ( [ ] ) Primera serie El valor final de esta serie en el periodo 6. con y b) La segunda es una serie aritmética decreciente que se inicia en el periodo 6 y termina en el periodo 12. es: ( [ ) ] ( [ ) ] ( ) ( ) Segunda serie El valor final de esta serie en el periodo 12. con y o Tasa de interés: 14% E Cálculos El Valor final será igual a la suma de las dos series creciente y decreciente valoradas en el periodo 12. 4 103. más el valor de la serie geométrica valorada en 0.3 + 9. iniciando en el periodo y terminando en y b) Una serie gradiente geométrica creciente que se inicia en el periodo termina en el periodo .4 179. con y c) Un pago de 9. utilizando la formula () ( ( [ ) ( ) ) ] 62 Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes .16 215 Solución En la tabla se identifica lo siguiente: a) Una anualidad con pagos . considerando que . seguidamente para este valor se calcula el equivalente en 0.68 124. más el valor presente del pago realizado en el periodo 9.Respuesta El valor final de la serie será: 6.13 Con interés efectivo del 6% hallar el valor presente de la siguiente serie.4 en el periodo 9 o Tasa de interés: 6% E Cálculos El valor presente de la serie será igual a la suma del valor presente de la anualidad. Periodo Valor 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 60 60 60 60 72 86. considerando . y la tasa de interés efectiva del periodo ( ) ) [ [ Gradiente geométrico ( ] ( ) ] Para valorar el gradiente en el periodo 0.42 149. Anualidad Para calcular el valor presente en 0 de la anualidad se utiliza la formula (23). inicialmente se calcula el valor presente en 4 el gradiente utilizando la formula (38). 000. considerando 4 periodos ( ( Pago periodo 9 El valor presente del pago del periodo 9. se utiliza la formula (12). considerando que este es el caso. se calcula utilizando la formula (12) ) ) ( ) ( ( El valor de la serie será igual a la suma de ) ) ( ) Respuesta El valor inicial de la serie será: Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes 6. si el primero corresponde a $1´000. entonces: ∞ y 63 . Solución Parámetros o Serie gradiente creciente con o Numero de pagos: infinitos o Tasa de interés: 8% E Cálculos Recordemos que en la formula (40) si el .( ( [ ) ( ) ) ] Para hallar el valor en el periodo 0. son crecientes en un 10% y la tasa efectiva es del 8%. entonces el valor presente del gradiente es infinito.14 Hallar el valor presente de una serie infinita de pagos. Se estima que los trabajos para el próximo año tendrán un costo de 10 millones de pesos.16 Para el mantenimiento y preservación de la carretera de acceso a una vereda los vecinos de la región quieren establecer un fondo. considerando el primer pago. el gradiente y la tasa de interés. y que este se incrementará todos los años en un 18%.000 y para el cual se reconoce una tasa del 2.( ∞ ) Respuesta El valor inicial de la serie será: ∞ 6.000. suponiendo que la fiducia reconoce un interés del 28% efectivo anual Solución 64 Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes .5% efectivo mensual? Solución Parámetros o Serie gradiente aritmética creciente con o Numero de pagos: infinitos o Tasa de interés: 2. cuyo primer pago es de $2´000. Hallar el valor del fondo.15 ¿Cuál será el valor inicial equivalente de una serie infinita de pagos mensuales que crecen cada mes en $300.5% EM Cálculos El valor equivalente inicial de una serie aritmética infinita se calcula utilizando la formula (37). y ( ) Respuesta El valor inicial de la serie es: 6. mediante pagos mensuales. para cancelar la deuda? . de esta forma el valor se calcula utilizando la formula (40). inicialmente se debe calcular la tasa de interés efectiva mensual. considerando que la tasa de interés es mayor que el gradiente. Suponiendo que la primera cuota es de $100.Parámetros o Serie gradiente geométrica creciente con o Numero de pagos: infinitos o Tasa de interés: 28% EA Cálculos El valor del fondo será el valor inicial de la serie geométrica infinita de los pagos estimados para el mantenimiento y preservación. mensuales Tasa de interés: 34. con un interés del 34.8% N-m. 65 Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes 6.8% N-m Cálculos Para calcular el gradiente de la serie geométrica creciente. El deudor tiene un plazo de 15 años para amortizar la deuda. ¿cuál debe ser el porcentaje de reajuste mensual de la cuota.000 y vence al final del primer mes.17 Una entidad financiera presta a un cliente $30 millones. ( ) y ( ) Respuesta Los vecinos deben establecer un fondo con un valor inicial de : Solución Parámetros o o o o Valor inicial Valor de la primera cuota: Numero de pagos: 180. utilizando la formula (15). previendo que . seguidamente se despejara de la formula (38). ( [ ) ( ( ) ) ] Considerando que se trata de una ecuación de orden con varias raíces de orden superior.000. costo de insumos y mano de obra en 0. la cual se considera permanecerá estable es de $2´500. valorados en el periodo 0 (en pesos de hoy). Después de hacer algunos tanteos se llega a un valor de 3. no es necesario calcular el equivalente de la inversión.000 cada uno.000 los cuales deberán ser pagados al principio de cada mes. la solución debe hacerse por tanteo y error.000 almuerzos durante todo año. Calcular cuál será el valor de su ganancia en pesos de hoy Solución Parámetros Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes o Valor total de los almuerzos: 𝑃 o Costo de los insumos: con incrementos mensuales de (serie geométrica creciente con pagos anticipados) o Costo de la mano de obra: (anualidad con pagos vencidos) o Inversión inicial o Tasa de interés: 3% EM Cálculos El valor de la ganancia será igual a los ingresos menos los egresos. El costo mensual de mano de obra. además estima que requerirá hacer una inversión inicial de $10 millones para la adecuación del restaurante. al final del año sin intereses. El empresario calcula que el costo de los insumos de cada almuerzo será de $2. los cuales le serán pagados a razón de $5. se le garantiza al menos la venta mensual de 6. El valor de los insumos se estima tiene un incremento del 5% mensual. Periodo 0 (en pesos de hoy) Para hallar la ganancia se calcula los ingresos.48% Respuesta La cuota debe tener un incremento mensual de: 6. teniendo en cuenta que este pago se realiza en este mismo periodo. 66 . Suponiendo un interés mensual del 3%.18 A un pequeño empresario le ofrecen en comodato un restaurante durante un año. se calculan utilizando la formula (12) ( ) ( ) ( ) Valor presente de los insumos. e [ [ ( ( ) ) ] ] ( ) La ganancia como se indico es igual a los ingresos ( ) menos el valor de los insumos ( ). considerando que se trata de un gradiente geométrico se utiliza la formula (38) teniendo en cuenta que el primer pago es: ( ) lo anterior considerando que se trata de pagos anticipados. teniendo en cuenta que . A esta serie se le debe sumar el pago se hace en el periodo 0. ( ) ( [ ) ) ] ( ) ( Valor presente de la mano de obra. considerando que se trata de una anualidad se utiliza la formula (23). menos el valor de la mano de obra ( ) y menos el valor de la inversión de Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes Respuesta La utilidad a valores actuales que obtendrá el empresario es: 67 .Valor presente de los ingresos. 000 cada tres años para reparaciones adicionales. a partir del 1 de octubre del mismo año y hasta el 31 de diciembre del 2010. Si el fondo de inversiones le reconoce una tasa de interés del 12%EA.7.5 7.000 cada uno. Ejercicios propuestos 7. al final del año sin 7. la segunda alternativa requerirá de una suma de $3.000 y que permanecerá constante durante los seis años que duran los estudios.000. a partir de la fecha de jubilación que se estima será el 1 de abril del 2006? Un inversionista deposita hoy $1 millones. Si la Fiducia reconoce una tasa de interés del 20% N-t y estimando que para esa época el valor de la matrícula anual en la universidad será de $2´500. ¿Cuánto dinero podrá retirar mensualmente. para cancelar la deuda? A un pequeño empresario le ofrecen en comodato un restaurante durante dos años. mediante pagos semestrales. en forma indefinida.000.6 7.000. Suponiendo que la primera cuota es de $2´000. un padre hace un depósito de $X en una fiduciaria a nombre de su hijo con el objeto de asegurar los estudios universitarios. Si el fondo reconoce en promedio un interés del 36% N-s.8% N.4 7. durante 6 años. Si la entidad bancaria aplica una tasa de interés del 1. ¿De qué valor deberá ser el préstamo? Una persona próxima a pensionarse deposita en un fondo de inversión el 1 de mayo del 2000.000 platos durante todo año.000 mensuales como costo de mantenimiento y de $10´000. su capacidad económica solo le permite realizar pagos mensuales de $240.000 y vence al final del primer semestre. ¿Cuál deberá ser el valor de los pagos semestrales vencidos.000.8 68 Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes . se le garantiza al menos la venta mensual de 10. ¿Cuál será el porcentaje de reajuste mensual de la cuota.500.000 podrá hacer. hechos durante un periodo de 10 años. de otro lado. para amortizar una deuda de $45´000.7 7.2 7. comenzando al final del año 10? Una empresa tiene dos alternativas para una instalación de producción: la primera de ellas requiere la suma de $2. con un interés del 34.000 mensuales para mantenimiento y de $12´500.8% EM. ¿Cuál deberá ser el valor del depósito? Una persona quiere solicitar un préstamo bancario el día 1 de marzo del 2008. la suma de $10´000. ¿Cuántos retiros mensuales de $800. Considerando que la instalación se usara por tiempo indefinido y que el costo de capital de la empresa es del 35% EA.000 cada 4 años para reparaciones adicionales. al final del año 4 comienza a hacer depósitos semestrales de $800.1 Cuando su hijo cumple 10 años. los cuales le serán pagados a razón de $6.000? Una entidad financiera presta a un cliente $300 millones.3 7. ¿Cuál de las dos alternativas es más conveniente? Si un banco aplica una tasa de interés del 24% N-t. El deudor tiene un plazo de 20 años para amortizar la deuda. los cuales iniciará cuando cumpla 18 años. $3 millones en 2 años. el primero al final de mes. El valor de los insumos se estima tiene un incremento del 4% mensual. Si el primer pago se realiza un mes después de la muerte del señor.15 Si una fiducia reconoce una tasa del 20% EA. el modelo B.000 en pagos mensuales iguales durante tres años. durante el segundo año y $13´000.000 a partir del primero del 1 de agosto. $500 millones. ¿Cuál será el valor del depósito que deberá hacer el filántropo al inicio en la fiducia? Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes 7.000 al final de cada año durante ese periodo.9 Si un banco aplica una tasa de interés del 24% N-t.000. en forma indefinida.intereses. para amortizar una deuda de $45´000. Suponiendo que la fiducia que administrara el dinero reconoce una tasa de interés del 30% N-m. ¿Cuál será el valor póliza? La compañía de seguros aplica una tasa de interés del 24% N-m 7. ¿De cuánto serán las cuotas mensuales y las extraordinarias? Suponga una tasa de interés del 36% N-b 7. al final de cada mes.11 Una empresa metalmecánica tiene cuatro opciones para la compra de una maquinaria: el modelo A cuesta $300 millones.000 los cuales deberán ser pagados al principio de cada mes.000.10 Un señor desea contratar una póliza de seguro que garantice a sus hijos el pago de $2´500. fecha en la cual entrará en funcionamiento.14 Si se desea cancelar una deuda de $9´500.12 Un filántropo ha creado una institución de caridad y desea asegurar su funcionamiento a perpetuidad.000 cada 5 años 69 . Se estima que esta institución necesita para su funcionamiento $10´000.000 mensuales durante quince años y adicionalmente $5´000. durante el primer año. ¿Cuál debe ser el valor de la donación que se haga el 1 de enero del 2010 si el dinero es invertido inmediatamente en una fiduciaria que garantiza el 24% N-t? 7. el C $700 millones y el modelo D. y además se efectuaran abonos anuales extraordinarios de dos y media veces la cuota mensual.000. comenzando al final del primer año. ¿Qué es más conveniente para una institución de caridad recibir una renta perpetua de $4´800. $12´000. 7. al final de cada mes. Se estima que el costo de los equipos el 1 de julio del 2011 es de $45´500. Si la persona puede hacer 42 pagos mensuales de máximo $30 millones comenzando al final del mes 6. El empresario calcula que el costo de los insumos de cada almuerzo será de $2. Suponiendo un interés mensual del 3%. ¿Cuál será el modelo más costoso que podrá comprar? Suponga una tasa del 24% N-m 7.13 Un grupo de benefactores decide dotar un hospital de los equipos de laboratorio que requiere para operar.000? 7. El costo mensual de mano de obra. ¿Cuál deberá ser el valor de los pagos semestrales anticipados. además estima que requerirá hacer una inversión inicial de $50 millones para la adecuación del restaurante. $900 millones. al final de cada mes. hechos durante un periodo de 10 años.000 y que el costo de operación trimestral indefinidamente es de $3´000. la cual se considera permanecerá estable es de $3´500.000. Calcular el valor de la ganancia en pesos al final del comodato. 000 y el primer pago es de $500. que actualmente cuesta $40 millones.24 Para mantener en buen estado la escuela de un pueblo.21 Una persona quiere comprar un automóvil. Si el banco aplica una tasa de interés del 36% N-m y el primer pago es de $6´000.18 Para cancelar una deuda un banco exige 12 pagos mensuales vencidos.500 3 3.19 Si un Banco aplica una tasa de interés del 4% ES a un préstamo que se paga en 15 cuotas mensuales que decrecen linealmente en $40.16 Se quiere financiar la compra de un carro que tiene un costo de $47´000. Si se 70 . disminuyendo $800. calcule el valor de X. además que la máquina vieja podrá ser vendida en $20´000.000.recibiendo el primer pago al final del cuarto año o recibir $2´000.906.000 por mes a. Si el primer depósito es de $500. el cual se hace al final del primer mes. loa habitantes desean establecer una fiducia. y cuotas anuales vencidas extraordinarias del 5% del valor total durante el periodo de vigencia del préstamo. ¿Cuál será el valor del último pago? Al final. ¿Cuánto tiempo le llevará reunir el dinero necesario para la compra.000. decide establecer un fondo mediante depósitos mensuales crecientes en un 10%. ¿Qué ahorro trimestral debe hacer un empresario en una cuenta que paga el 30% N-m con el objeto de hacer la compra en el momento oportuno.882.17 Una máquina llegará al final de su vida útil dentro de 2 años.000 y se incrementan 3% cada mes.25 5 4. Periodo Valor 1 2.000 mediante el pago de 60 cuotas mensuales vencidas. para proveer recursos para las reparaciones futuras. si la fiducia reconoce una tasa de interés del 8% EA? 7. ¿Qué valor total se habrá pagado? 7.000.000 anuales de renta perpetua comenzando al final del primer año? 7. ¿Cuál será el valor de las cuotas mensuales? 7. Si los costos de operación son inicialmente de $20´000.000.8 EM. si el automóvil sube de precio cada mes un 1%? Suponga que los rendimientos pagados a los depósitos son el del 4% EM 7.000 2 2.125 4 3.20 Para el siguiente flujo de caja. con intereses del 33% N-m? Suponga que la primera cuota es de $500.000.81 6 0 7 X 8 -50.23 Un benefactor quiere donar un monto de dinero que en un futuro sirva para operar el centro de urgencias de un Hospital. para tal fin.000 y que la cuota crece $50. si se aplica una tasa de interés del 25% N-b. para esa época se estima que una nueva costará $90´000. ¿Cuánto deberá depositar el benefactor.22 ¿Cuántos pagos mensuales deben hacerse para cancelar una deuda de $20 millones.000 Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes 7. Los periodos son meses. ¿Cuál será el valor del préstamo? 7. b. Si la entidad financiera aplica una tasa de interés del 1. si tiene previsto hacer el primer deposito al final del sexto mes? 7.000 mensualmente 7. se estima que este costo se incrementará todos los años en un 15%. igualmente. ¿Cuánto será el valor inicial que se deberá depositar en la fiducia? 7.000 y que el costo de mantenimiento para el próximo año es de 10 millones.000? 71 Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes . para dentro de seis meses pagar la matrícula de su hijo en la Universidad que tiene un costo de $3´000.25 ¿Qué suma de dinero debe ahorrar un padre de familia mensualmente en una entidad que reconoce interés racional y paga una tasa de interés simple del 21% anual.estima una inversión inicial de $25´000. Considerando que la fiducia reconocerá una tasa de interés del 22% EA. 72 Glosario de términos .