MATEMATICASFINANCIERAS Rodolfo Enrique Sosa Gómez 1 MATEMATICAS FINANCIERAS Las Matemáticas Financieras o Ingeniería Económica tienen como objetivo fundamental el estudio y análisis de todas aquellas operaciones y planteamientos en los cuales intervienen las magnitudes de: Capital, Interés, Tiempo y Tasa. Rodolfo Enrique Sosa Gómez 2 MATEMATICAS FINANCIERAS La Matemática Financiera la podemos asociar con dos símbolos es decir el de los números (#) y el de los pesos ($), ya, que cuando hablamos de Matemáticas automáticamente hacemos relación con los números; y cuando hablamos de Finanzas lo relacionamos con el signo pesos; de allí la asociación. Rodolfo Enrique Sosa Gómez 3 MATEMATICAS FINANCIERAS Variables financieras: Capital Tiempo Tasa Interés Cuota Monto C t i I R M Rodolfo Enrique Sosa Gómez 4 VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO NUNCA SE DEBEN SUMAR VALORES EN FECHAS DIFERENTES Rodolfo Enrique Sosa Gómez 5 . INTERES ES LO QUE SE PAGA O SE RECIBE POR CIERTA CANTIDAD DE DINERO TOMADA O DADA EN PRESTAMO Rodolfo Enrique Sosa Gómez 6 . Rodolfo Enrique Sosa Gómez 7 .INTERES SIMPLE Es aquel interés que se genera sobre un capital que permanece constante en el tiempo. t Rodolfo Enrique Sosa Gómez 8 .INTERES SIMPLE Formula general de la tasa de interés: i=I/C Si condicionamos esta fórmula a la expresión de unidades de tiempo se obtiene la siguiente ecuación: I=i.C. INTERES SIMPLE Clasificación del interés simple: Interés simple comercial en forma ordinaria Interés simple comercial en forma exacta Interés simple exacto en forma comercial Interés simple exacto en forma ordinaria Rodolfo Enrique Sosa Gómez 9 . 90 días al trimestre. 180 días al semestre. 30 días al mes Interés simple exacto: 365 días al año Tabla o calculadora para las demás equivalencias Rodolfo Enrique Sosa Gómez 10 .INTERES SIMPLE Clasificación del interés simple Interés simple comercial: 360 días al año. t) Rodolfo Enrique Sosa Gómez 11 . t ). Se deduce de la suma entre el capital y los intereses que se generan durante determinado período de tiempo M=C+I M = C + ( i . C .INTERES SIMPLE Valor futuro a interés simple: También conocido como monto. luego por factorización M=C(1+i. INTERES SIMPLE Concepto de Equivalencia Financiera: Es la relación de igualdad que se establece entre una o unas deudas y uno o unos pagos en un momento determinado en el tiempo denominado fecha focal (momento de la negociación) Rodolfo Enrique Sosa Gómez 12 . .INTERES SIMPLE Equidad entre el tiempo y la tasa: .La tasa y el tiempo siempre deben ir expresadas en la misma unidad de base.La tasa es la que condiciona la expresión del tiempo. Rodolfo Enrique Sosa Gómez 13 . INTERES SIMPLE Series uniformes a interés simple: Series vencidas: Valor presente 0 1 2 Valor futuro Valor presente Series anticipadas Valor presente Valor futuro 0 1 2 Rodolfo Enrique Sosa Gómez Valor presente Valor futuro 3 4 5 6 Valor futuro 3 4 5 6 14 . Rodolfo Enrique Sosa Gómez 15 . Los intereses que se generan en el primer período de capitalización se convierten en capital para generar mas intereses para el segundo período de capitalización y así sucesivamente.INTERES COMPUESTO Concepto: Es el interés que se genera sobre intereses. 000 130. Acumul.000 40.000 30.000 10.051 Rodolfo Enrique Sosa Gómez 16 .000 10.100 146.000 133. 0 0 110.100 3.000 21.000 120.000 Interés compuesto Diferencia Monto Interes Int.100 33.000 10.641 61.310 46.410 13.000 50.000 10.000 10.100 12.000 10.000 140.000 1.000 20.000 10.000 0 121.410 6.000 10.410 161.000 11.000 10% Anual 5 Años Interés simple Monto Interes Int.000 150. en intereses 0 0 0 110.051 11. Acumul.051 14.INTERES COMPUESTO Comparativo entre el interés simple y el interés compuesto Capital Tasa Tiempo Periodo en años 0 1 2 3 4 5 $ 100. INTERES COMPUESTO Comparativo entre el interés simple y el interés compuesto Periodo en años 0 0.000 110.881 110.051 17 .000 140.000 130.5 1 2 3 4 5 Int.410 161. Sim.000 133. Monto 104.000 121. Monto 105.100 146.000 Rodolfo Enrique Sosa Gómez Int.000 150. Com.000 120. INTERES COMPUESTO FORMULA GENERAL t M=C(1+i) Rodolfo Enrique Sosa Gómez 18 . INTERES COMPUESTO EXCEL Capital o valor presente: Tasa: Monto o valor futuro: Tiempo: Cuota: Rodolfo Enrique Sosa Gómez VA TASA VF NPER PAGO 19 . INTERES COMPUESTO Rodolfo Enrique Sosa Gómez 20 . INTERES COMPUESTO Rodolfo Enrique Sosa Gómez 21 . INTERES COMPUESTO Rodolfo Enrique Sosa Gómez 22 . 0 00 Regla comercial: 4 5 6 7 8 x 9 10 11 12 fecha 10 .00 0 focal Rodolfo Enrique Sosa Gómez 23 .INTERES COMPUESTO 0 1 2 3 4.0 00 5. 0 00 Regla de saldos insolutos: 4 5 6 7 8 x 9 10 11 12 fecha 10 .00 0 focal Rodolfo Enrique Sosa Gómez 24 .0 00 5.INTERES COMPUESTO 0 1 2 3 4. INTERES COMPUESTO TASAS: TASA NOMIAL TASA EFECTIVA TASAS EQUIVALENTES TASAS ANTICIPADAS TASAS VENCIDAS Rodolfo Enrique Sosa Gómez 25 . 0000% Vencida V Anticipada A Preparado por: Rodolfo Enrique Sosa Gómez Peguntas o comentarios: e-mail: [email protected] COMPUESTO Tabla para el calculo de las tasas de interés de equivalencia: MANUAL DE INGENIERÍA ECONÓMICA CONVERSIÓN DE TASAS DE INTERÉS SIMULADOR Para obtener la tasa efectiva Tasa nominal Periodicidad Modalidad Tasa efectiva Tasa efectiva Periodicidad Modalidad Periodicidad: Anual Semestral Cuatrimestral Trimestral Bimestral Mensual Diaria Para obtener la tasa nominal 0.com Teléfonos: (5)4307551 Cel: (315) 722 7258 Condominio Cañaveral Casa 135. Santa Marta. Rodolfo Enrique Sosa Gómez 26 .0000% Tasa nominal Modalidad A S C T B M D 0. 1 i VENCIDA = i ANTICIPADA 1- i ANTICIPADA i VENCIDA i ANTICIPADA = Rodolfo Enrique Sosa Gómez 1+ i VENCIDA 27 .INTERES COMPUESTO Tabla para el calculo de las tasas de interés de equivalencia: MANUAL DE INGENIERIA ECONOMICA TABLA DE CONVERSIÓN DE TASAS DE INTERÉS POR: RODOLFO SOSA GÓMEZ O R I G E N CONOCI ENDO PERIODICA D E S T I N O T A S A: PARA .= e J . m -1 Tasa de Interés Continua iE.A. m m i E. 1+ -1 . = 1+ i E. 1- J = 1/ m m 1+ ip NOMINAL ANTICIPADA m J i LA NOMINAL VENCIDA 1/ m NOMINAL ANTICIPADA E.71828182846 i E.A. m 1+ m J J= -1 T A S A: PERIODICA i E. ó i p = Tasa efectiva o periódica / 100 J = Tasa nominal% / 100 m = Número de periodos contenidos en un año e = 2. = J= ip LA -1 J 1+ J m -1 1/ m 1+ COMPLEMENTOS: i E.A. = OBTENER EFECTIVA ANUAL NOMINAL VENCIDA i E.A.A.A.A.A. . 1 Cálculo de una cuota: 27 Cuota t = R1 + / . 11 C = ( 1 + ti ) 2 7 B = Pc . = Valor Periódico Equivalente I.( ( t . g ) Rodolfo Enrique Sosa Gómez 28 .C.E. ( t + 1 ) R.t (1+i) -1 1-(1+i) 17 M= R 18 C= R i i 16 1/t i= (M/C) .Eq. = Valor Presente de los Egresos V.t R. ( t . 2 t i i i (1+i) .P.g .1 Log ( 1 + i ) R Perpetuidad: C = 19 i SERIES PERIÓDICAS ANTICIPADAS A INTERES COMPUESTO t . 2t + ti .Eq.P.P.I ( t .1 ) .P.t)-B SERIES PERIÓDICAS ANTICIPADAS A INTERES SIMPLE 2t + ti .Ci ( 1 + ti ) 2 Log ( M / C ) Ln ( M / C ) 14 t = t= 15 Ln ( 1 + i ) SERIES PERIÓDICAS VENCIDAS A INTERES COMPUESTO t .1) 6 I=(R.I.P. = Tasa Interna de Retorno i = Rentabilidad Real r R1 = Valor de la primera cuota g = gradiente en $ o % V. ( t .1 ) 2t + ti . = Costo Periódico Equivalente 4 M=C(1+i. R.R.B.N.t) SERIES PERIÓDICAS VENCIDAS A INTERES SIMPLE F = Inflación D = Devaluación E = Tasa Extrangera i = Tasa Total T VENTAS A PLAZOS: 2. 2 2t + ti . = Valor Presente de los Ingresos V. ( t + 1 ) 9C= INTERÉS COMPUESTO t -t 12 M = C ( 1 + i ) 13 C = M ( 1 + i ) 2 10 M = R . = Ingreso Periódico Equivalente INTERÉS SIMPLE: 1 i= C.Eq.P.INTERES COMPUESTO FORMULAS MANUAL DE INGENIERIA ECONÓMICA B = Saldo insoluto Pc = Precio de contado FORMULAS FINANCIERAS: Ci = Cuota inicial Rodolfo Sosa Gómez C = Capital o Valor Presente M = Monto o Valor Futuro I = Interés i = Tasa de interés t = Tiempo: número de períodos.m.C. = Valor Presente Neto V. = Relación Beneficio Costo T.I.t (1+i) -1 1-(1+i) 20 M= R ( 1 + i ) 21 C= R i i R (1+i) Perpetuidad: C = R + 22 i También puede ser: t+1 (1+i) -1 23 M= R -(t-1) 1-(1+i) -1 i 24 C= R 1+ i GRADIENTE LINEAL O ARITMÉTICO CRECIENTE Y DECRECIENTE Cálculo de la cuota uniforme: Infinito: g 1 t R1 26 C= + 25 R = R1 + / . pagos o cuotas m = Periódos contenidos en un año R = Valor del pago o cuota I 2 M=C+I C 3 I = i.I 5i= B ( t + 1 ) .1 ) 8 M= R. t 1-(1+ i) i i 43 44 T.R.E.I.I. 2 . ( i . = C. crecientes y decrecientes: t-1 Cuota = R1 .P. 38 T.N.N. t C= 30 1+i t t (1+g)-(1+i) t-1 M= M = R1 .P. si i es mayor que g: R1 C= i-g Cálculo de una cuota en gradientes geómetricos o exponenciales.1 29 C= 28 C = R1.P.(1+ i) Infinito.R. ( 1 + i ) . < 0 2 i > 2 Resta de tasas efectivas: 1 + i 1 49 i = 1 T 1+ i 2 Rodolfo Enrique Sosa Gómez i 1 Nota: i >i 1 2 29 . (1 + i ) . ( 1 + / .(1+i) EVALUACIÓN DE PROYECTOS: V. = V. = V.P. + Spreads 39 V.D ) .I. t .P. I. = 1 Rentabilidad en moneda extranjera: 47 i = r ( 1 + i.A.1 R.P.M.t 1-(1+i) V. ( 1 + i.t 1-(1+i) . = 42 i .1 1 2 T i 2 Para V. = T.P.N. > 0 12 1 Suma de tasas efectivas: 48 i = ( 1 + i ) .P. ( 1 + g ) . V.P.g ) t 34 35 GRADIENTE GEOMETRICO O EXPONENCIAL DECRECIENTE t t t t (1+i)-(1-g) (1+i)-(1-g) 37 M = R1.N.I.(1+ i) t t (1+i)-(1+g) 31 M = R1.F 46 i = r 1 + F V. 41 V. ( 1 + i ) 33 g-i t (i-g). = 40 .N.P.E.P.N. .V. .C. Resultado ideal: R. 45 T.B.P.C.Eq.E.V. . 1 2 Nota: i Para V.Eq.i ) 2 2 1 V.Eq.INTERES COMPUESTO FORMULAS GRADIENTE GEOMETRICO O EXPONENCIAL CRECIENTE Si g es diferente de i: t t t -t (1+i)-(1+g) R1.N.N. / V.P.E) . R1.P.N. . > 1 V. t ( 1 + i ) 32 Si g es igual a i: R1.P. = i 2 - Rentabilidad real: i .P. g-i t (i-g).P.N.I.i ) 1 2 1 i + 12 V.I.R.P.V.O.B.P. (i+g) t (i+g). ( i . 36 C = R1. S.C.C. LIBOR PRIME RATE TMAR = T.I.I.C.INTERES COMPUESTO INFLACION .B.T. T.O Spreads Rodolfo+Enrique Sosa Gómez 30 .F. T.P. DEVALUACION TASAS COMBINADAS TASAS DEFLACTADAS D. ANUALIDADES VENCIDAS ANTICIPADAS PERPETUAS DIFERIDAS PERPETUAS DIFERIDAS Rodolfo Enrique Sosa Gómez 31 . ANUALIDADES Anualidad de 10 periodos ( forma anticipada ) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 5 6 7 8 9 10 10 10 10 10 32 Anualidad de 10 periodos ( forma vencida ) 0 1 2 3 10 10 10 4 10 Enrique 10 Sosa Gómez 10 Rodolfo . Anualidad de 5 periodos 0 1 ANUALIDADES 2 3 10 4 5 10 6 7 10 8 9 10 10 10 Anualidad diferida 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 10 10 10 Rodolfo Enrique Sosa Gómez 10 10 10 33 . ANUALIDADES Anualidad perpetua 0 1 2 3 4 5 10 10 10 10 10 4 5 Anualidad perpetua diferida 0 1 2 3 6 7 8 10 10 10 10 Rodolfo Enrique Sosa Gómez 10 34 . ANUALIDADES Rodolfo Enrique Sosa Gómez 35 . ANUALIDADES Rodolfo Enrique Sosa Gómez 36 . ANUALIDADES Rodolfo Enrique Sosa Gómez 37 . GRADIENTES LINEALES O ARITMETICAS: CRECIENTES Y DECRECIENTES VALOR PRESENTE Y VALOR FUTURO CALCULO DE CUOTA GRADIENTE DIFERIDA GRADIENTE PERPETUA GRADIENTE PERPETUA DIFERIDA Rodolfo Enrique Sosa Gómez 38 . GRADIENTES EXPONENCIALES O GEOMETRICAS CRECIENTES Y DECRECIENTES VALOR PRESENTE Y VALOR FUTURO CALCULO DE CUOTA GRADIENTE DIFERIDA GRADIENTE PERPETUA GRADIENTE PERPETUA DIFERIDA Rodolfo Enrique Sosa Gómez 39 . GRADIENTES Gradiente lineal creciente 1600 1400 1200 1000 0 1 2 3 4 Gradiente lineal decreciente 1000 950 900 850 0 1 2 3 Rodolfo Enrique Sosa Gómez 4 40 . 100.00 1.GRADIENTES Gradiente exponencial creciente 1.5 857.38 0 1 2 Rodolfo Enrique Sosa Gómez 3 4 41 .00 1.000.331.00 1.00 0 1 2 3 4 Gradiente exponencial decreciente 1000 950 902.210. 00 0.g V.F. ( Capital ) Si i dif.00 GRADIENTE EXPONENCIAL O GEOMETRICO CRECIENTE R1 (1ra Cuota) g (Gradiente en %) i % (Tasa) n (Tiempo) V.00 V.00 VALOR Enrique Sosa Gómez 0.00 V. ( Monto ) V.g 0.00 42 0.00 0. VALOR INFINITO DECRECIENTE #¡DIV/0! 0. ( Capital ) CUOTA No. ( Monto ) Si i dif. VALOR x x #¡DIV/0! #¡DIV/0! #¡DIV/0! 0.GRADIENTES GRADIENTE LINEAL O ARITMETICO CRECIENTE R1 (1ra Cuota) g (Gradiente en $) i % (Tasa) n (Tiempo) Ru (Cuota Uniforme) V.g V. ( Monto ) V. VALOR INFINITO Si i > g Rodolfo DECRECIENTE R1 (1ra Cuota) g (Gradiente en %) i % (Tasa) n (Tiempo) 0.P.00 CUOTA No.F.F. ( Capital ) Si i = g CUOTA No.00 R1 (1ra Cuota) g (Gradiente en $) i % (Tasa) n (Tiempo) Ru (Cuota Uniforme) V.00 0.P. ( Monto ) Si i = g V.00 0.P.g 0.P.P.00 .F.00 0. ( Capital ) Si i dif.00 24 0.F. ( Monto ) Si i dif. ( Capital ) CUOTA No. 0. R. T.I.P.N. Rodolfo Enrique Sosa Gómez 43 .EVALUACIONES FINANCIERAS FLUJO DE CAJA FLUJO DE CAJA NETO V. R.U.V. t/d UVRt = UVR 15 * ( 1 + i ) Rodolfo Enrique Sosa Gómez 44 . V. Procedimiento para el calculo de la U. $127.R.V. Que aplican entre el 16 de Agosto y el 15 de Septiembre Rodolfo Enrique Sosa Gómez 45 .U.V. Del 31 de Julio al 5 de Agosto: El DANE pública los resultados de la inflación del mes de Julio de 2002 Del 6 de Agosto al 15 de Agosto: El Banco de la Republica le informa los valores de la UVR que regirán entre el 16 de Agosto y el 15 de Septiembre.V.R.R.R. El sistema financiero actualiza sus bases de datos 15 de Agosto: U.7596: Valor ya calculado del mes anterior Del 16 de Agosto al 15 de Septiembre: Nuevos valores de la U. .U.d = Número de días calendario del respectivo período de calculo Rodolfo Enrique Sosa Gómez 46 .V.UVR t = Valor de la moneda legal colombiana de la UVR Del día t del período de calculo. -UVR 15 = Valor de la moneda legal colombiana de la UVR el día 15 de cada mes.R.i = Variación mensual del IPC durante el mes calendario inmediatamente anterior al mes de inicio del período de calculo -t = Número de días calendario transcurridos desde el inicio de un período de calculo hasta el día de calculo de la UVR. Por lo tanto. . . t tendrá valores entre 1 y 31 de acuerdo con el número de días calendario del respectivo período de calculo. 11 54.83 23.261.63 56.326.2669 1.945.087.35 25.884.695.609.5697 423.372.2072 1.56 278.687.655.227.087.7769 2.728.59 23.7769 2.5101 419.087.986.24 51.249.699.313.95% 23.85 276.3635 1.3903 1.5742 136.087.000 15 180 TABLA DE AMORTIZACION EN U.14 23.087.35 269.896.1484 129.74 23.5300 178.9002 128.087.7770 130.04 284.7769 2.00 0.40 50.51 226.558.9664 133.000.61 23.4290 1.6270 175.000.660.087.828.7673 174.656.676.25 281.39 273.7769 2.0750 392.36 219.33 274.97 225.684.444.087.414.7769 2.7094 179.202.7769 2.4873 176.537.1529 175.664.7769 2.98 277.5919 427.1397 177.3866 396.7769 RESUMEN DEL CREDITO VECES QUE SE PAGO EL CREDITO SALDO EN PESOS MAS ALTO MES EN EL QUE SE OBTUVO EL SALDO + ALTO FECHA DEL SALDO MAS ALTO INTERESES PAGADOS CAPITAL PAGADO TOTAL PAGADO SALDO EN UVR 381.426.125.446.887.29 226.00 23.8973 137.810.5636 VALORES 127.54 23.89 283.24 23.00% 0.313.0483 1.9047 403.726.672.677.371.7769 2.062.3462 1.16 47 CUOTA EN .710.904.310.119.740.280.8722 1.2320 178.2640 134.681.9678 174.4307 Rodolfo Enrique 179.41 23.565.3223 132.432.19 280.087.5228 435.080.022.652.680.3479 385.95 49.000.38 223.197.691.80 227.00% 0.10 221.921.50 51.91 41.087.7020 1.0435 131.57 220.49% 12.025.76 272.7769 2.6136 134.9002 16-Nov-02 6.75 223.827.632.589.7769 2.82 23.39 225.19 55.08 222.604.963.21 52.A.550.1670 Sosa Gómez 3.4087 131.672.087.145. DATOS VALOR DE LA UVR FECHA DE REGISTRO TASA DE INFLACION TASA DE INFLACION MENSUAL TASA DE INTERES E.7769 2.10 221.420.R.37 224.346.706.86 49.278.2005 1.151.93 59.41 53.5132 173.R.259.304.048.427.7769 2.37 285.47 58.2804 179.1850 1.087.773. TASA DE INTERES MENSUAL VALOR PRESTAMO O DEUDA TIEMPO EN AÑOS TIEMPO EN MESES PERI ODO 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 PAGO FECHA 16-Nov-02 16-Dic-02 15-Ene-03 14-Feb-03 16-Mar-03 15-Abr-03 15-May-03 14-Jun-03 14-Jul-03 13-Ago-03 12-Sep-03 12-Oct-03 11-Nov-03 11-Dic-03 10-Ene-04 9-Feb-04 VALOR UVR 127.2801 411.948.003.4134 415.557.7286 388.668.582.6633 399.042.U.264.087.191.1136 1.74 23.4969 1.00 0.693.931.08 66 18-Abr-08 35.245.6666 1.74 TABLA DE AMORTIZACION EN PESOS ABONO A INTERESES EN SALDO EN CAPITAL EN PESOS PESOS PESOS PESOS 0.168.0261 177.33 23.5764 431.171.037.98 270.561.199.7769 2.702.7769 2.187.087.846.70 222.3601 175.672.462.783.37 54.1539 177.087.908.71 57.18 23.675.491.668.6813 132.576.1104 407.755.093.500.33 23.955.35 287.9905 176.061.31 219.735.314.13 59.265.845.2341 136.V.991.42 23.51 23.431.5228 129. CUOTA EN ABONO A INTERESES CAPITAL EN UVR UVR EN UVR 2.V.84 76.00 268.484.183.2541 1.9175 135.840. 000.R.000.000.000 25.000 0 -5.000.V.000 15.000 $ 10.000.000.U.000 20.000 Periodos (Cuotas mensuales) Rodolfo Enrique Sosa Gómez 48 .000.000 5. Curva de Amortización de Créditos Hipotecarios 30. MATEMATICAS FINANCIERAS FIN DE LA PRESENTACION RODOLFO ENRIQUE SOSA GOMEZ Rodolfo Enrique Sosa Gómez 49 .