-.-e·" • ,Matemática Algebra lineal Stanley L. Grossman • • • MATEMÁTICAS 4 . GROSSMAN STANLEY S. UNIVERSITY OF MONTANA UNIVERSITY COLLEGE LONDON Adaptación: JOEL IBARRA ESCUTIA INSTITUTO MÉXICO· TECNOLÓGICO DE TOLUCA BOGOTÁ • BUENOS AIRES • CARACAS • GUATEMALA MADRID • NUEVA YORK. AUCKLAND SAN JUAN • SANTIAGO· • LONDRES • MILÁN • MONTREAL sso PAULO • NUEVA DELHI SAN FRANCISCO • SINGAPUR • SAN LUIS • SIDNEY • TORONTO .4 MATEMÁTICAS Álgebra lineal 1. Unidad 2 44 47 MATRICES y DETERMINANTES 3. Carl Friedrich Gauss... Unidad 3 57 60 169 74 153 149 .2 Productos vectorial 3.7 3.3 3.1 2..6 3. Breve historia de los determinantes 3.10 Determinantes e inversas 154 3..11 Regla de Cramer 160 Resumen 165 Competencias finales.. 1777-1855 31 Sistemas homogéneos de ecuaciones 38 Resumen 43 Competencias finales. Sir William Rowan Hamilton...4 3 11 Competencia específica a desarrollar 11 Introducción 11 Dos ecuaciones lineales con dos incógnitas 12 m ecuaciones con n incógnitas: eliminación de Gauss-Jordan y gaussiana 17 Semblanza de .4 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales 84 Inversa de una matriz cuadrada 89 Transpuesta de una matriz 108 Matrices elementales y matrices inversas 113 Determinantes 123 Propiedades de los determinantes 134 Demostración de tres teoremas importantes y algo de historia Semblanza de .9 Semblanza de ..3 2.l Competencia específica a desarrollar Vectores y matrices 47 47 3. 1805-1865 y matricial Semblanza de .2 2. Arthur Cayley y el álgebra de matrices 3.CONTENIDO PRÓLOGO A ESTA EDICiÓN PREFACIO DEL AUTOR 1 VII XIII NÚMEROS COMPLEJOS 1 Competencia específica a desarrollar 2 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 2.8 3.5 3. 3 Subespacios 180 4. y FORMAS VECTORES CARACTERíSTICOS 305 CANÓNICAS A.3 Formas cuadráticas y secciones cónicas 328 RESPUESTAS A PROBLEMAS Unidad 1 Unidad 2 Unidad 3 Unidad 4 Unidad 5 Apéndice A íNDICE 274 IMPARES 338 339 344 359 374 380 ANALfTICO 387 338 305 .2 Definición y propiedades básicas 174 4. espacio de los renglones y espacio de las columnas de una matriz 216 4.6 Bases y dimensión 206 4.1 Introducción 173 4.1 5.7 Rango.10 Espacios con producto interno 251 Resumen 258 Competencias finales. Unidad 4 262 5 TRANSFORMACIONES 5.8 Cambio de base 231 4. nulidad.9 Bases ortonormales 243 4.1 Valores característicos y vectores característicos A. Unidad 5 302 A VALORES CARACTERfsTICOS.2 5.5 Independencia lineal 192 4.4 Combinación lineal y espacio generado 186 4.VI Contenido 4 ESPACIOS VECTORIALES 173 Competencia específica a desarrollar 173 4.2 Matrices semejantes y diagonalización 320 A.3 ApÉNDICE LINEALES 265 Competencia específica a desarrollar 265 Definición y ejemplos 265 Propiedades de las transformaciones lineales: imagen y núcleo Representación matricial de una transformación lineal 281 Resumen 301 Competencias finales. dirigida a alguna materia del área básica. Entre las principales características de esta serie. Unidad 1: Competencias específicas. instrumentales y sistémicas. listadas a continuación. Unidad 3: Sistemas de ecuaciones lineales. Notación formal de fácil accesibilidad para los alumnos. heurístico y algorítmico para modelar fenómenos y resolver problemas. Los planes de estudio de las instituciones de educación superior se renuevan constantemente para estar a la altura de las necesidades actuales y se establecen nuevas metodologías que deben ser respaldadas con obras editoriales de calidad. . se desarrolla esta obra. instrumentales. Utilización de las tecnologías de información y comunicación (TIC). Instituto Tecnológico de Toluca Las competencias y el álgebra lineal Una de las características más sobresalientes de esta obra es que ha sido organizada para contribuir al desarrollo de competencias específicas. para una mejor comprensión y una solución más eficiente. matriz inversa y regla de Cramer. Utilizar el determinante y sus propiedades para probar la existencia y el cálculo de la inversa de una matriz. genéricas. Manejar las matrices. Los libros elaborados cubren los planes de estudio más recientes que se imparten en los institutos tecnológicos. Gauss-Jordan. cursada en las principales escuelas de ciencias e ingeniería. Joel Ibarra E. nuestros reconocidos autores siguen ofreciendo el estilo científico preciso y de fácil comprensión que ha caracterizado a cada una de las obras. así como en otras áreas de las matemáticas y de la ingeniería. • Actividades encaminadas al desarrollo de competencias genéricas.~ ~ PROLOGO A ESTA EDICION Vivimos tiempos de cambio y la educación no es ajena a este proceso. sus propiedades y operaciones a fin de expresar conceptos y problemas mediante ellas en los sistemas de ecuaciones lineales. Como una contribución a esta revolución educativa. Ejemplos y ejercicios renovados. Estructura que contribuye a desarrollar un pensamiento lógico. Notas históricas que fundamentan los conceptos básicos. así como las operaciones entre ellos para tener una base de conocimiento a utilizar en ecuaciones diferenciales y en diferentes aplicaciones de ingeniería. Unidad 2: Matrices y determinantes. Aunado a lo anterior. sistémicas y específicas. Modelar y resolver diferentes problemas de aplicaciones de sistemas de ecuaciones lineales en el área de las matemáticas y de la ingeniería por los métodos de Gauss. Manejar los números complejos y las diferentes formas de representados. se pueden mencionar: • • • • • • Adaptación al nuevo modelo de competencias. Habilidad para trabajar en forma autónoma. geométrica. Habilidades de investigación. Construir. los cuales se otorgan a profesores que adoptan este texto para sus cursos. contracción y rotación. Búsqueda del logro. Capacidad de generar nuevas ideas. Competencias genéricas • Procesar e interpretar datos. dilatación. Para obtener más información y conocer la política de entrega de estos materiales. Solución de problemas. analítico y sintético. • Argumentar con contundencia y precisión. • Establecer generalizaciones. • Resolución de problemas. Habilidades básicas de manejo de la computadora. heurístico. utilizando el álgebra de vectores. bases de un espacio vectorial y determinar la dimensión del espacio correspondiente. algorítmico. • Analizar la factibilidad de las soluciones. algebraica. Competencias • • • • Capacidad de análisis y síntesis. • Reconocimiento de conceptos o principios generales e integradores. Competencias • • • • • • instrumentales sistémicas Capacidad de aplicar los conocimientos en la práctica. • Toma de decisiones. • Pensamiento lógico. Materiales de apoyo Esta obra cuenta con interesantes complementos que fortalecen los procesos de enseñanzaaprendizaje. • Potenciar las habilidades para el uso de tecnologías de la información. trascendente y verbal. Unidad 4: Espacios vedoriales. . Aplicar las transformaciones lineales y sus propiedades para representadas mediante una matriz de reflexión. contacte a su representante McGraw-Hill. • Modelar matemáticamente fenómenos y situaciones. • Representar e interpretar conceptos en diferentes formas: numérica. Unidad 5: Transformaciones lineales. Comunicación escrita. así como la evaluación de los mismos. • Comunicarse en el lenguaje matemático en forma oral y escrita.VIII Prólogoa esta edición Comprender el concepto de espacio vectorial como la estructura algebraica que generaliza y hace abstracción de operaciones que aparecen en diferentes áreas de la matemática mediante las propiedades de adición y multiplicación por un escalar. Capacidad de aprender. campus Toluca • Alfonso Bernal Amador. Instituto Tecnológico de Los Mochis • Jesús Manuel Canizalez. Instituto Tecnológico de Culiacán . Culiacán campus Bertha Alicia Madrid. Universidad Javeriana. Universidad Autónoma Iberoamericana. Universidad Nacional Autónoma de México • Fernando López. Universidad de Occidente • José Carlos Ahumada. Universidad Iberoamericana. Universidad Nacional Autónoma de México • Jorge Alberto Castellón. Colombia Politécnica de Querétaro • César Meza Mendoza. Universidad de Occidente. Facultad de Ingeniería. Instituto Tecnológico de Sinaloa. Iteso • Jesús Vicente González Sosa. campus León • Guillermo Luisillo Ramírez. • Artu~o Valenzuela Valenzuela. unidad Mazatlán • Carlos Rodríguez Provenza. Universidad beroamericana. Instituto Tecnológico de Culiacán • Erik Norman Guevara Corona. Facultad de Ingeniería. Facultad de Ingeniería. campus Toluca • Edmundo Barajas Ramírez. Matemáticas y Ciencias de McGraw-Hill agradece de manera muy especial a todos los profesores que han contribuido con este importante proyecto: • Adán Medina. Universidad Salle del Bajío Iberoamericana. Escuela de Ingenierías • Andrés Basilio Ramírez y Villa. Universidad Nacional Autónoma de México • Esperanza Méndez Ortiz. Facultad de Ingeniería. Universidad de Occidente. de Sinaloa • Arturo Astorga Ramos. Universidad Nacional Autónoma de México Químico Biológicas. Instituto Tecnológico de Culiacán • Dinaky Glaros. ESIME • Aureliano Castro. Instituto Tecnológico de Tijuana • José Alberto Gutiérrez Palacios. Culiacán Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey. campus Culiacán • Benigno Valez. Instituto Politécnico Nacional • Héctor Escobosa. Instituto Tecnológico de Mazatlán • Tecnológico de Mazatlán • Gonzalo Veyro Santamaría. Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey. Universidad campus Ciudad de México • Carlos Camacho Sánchez. campus Toluca • José Antonio Castro Inzunza. Universidad La • Universidad Autónoma de Hermosillo • Arturo Fernando Quiroz. unidad Guamúchil • Jesús Gamboa Hinojosa. Universidad Nacional Autónoma • Alfredo Gómez Rodríguez. Tecnológico Regional de Querétaro de México campus León • Eduardo Miranda Montoya. Universidad Autónoma del Estado de México. Instituto Tecnológico de Hermosillo • José Carlos Aragón Hernández. Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey. Centro Universitario de Ciencias Exactas e Ingenierías. Escuela de Ingeniería de Culiacán • Beatriz Velazco. Instituto Tecnológico de Los Mochis • Irma Yolanda Paredes. campus Culiacán • Edgar Hernández López. Gabriel Martínez.Prólogo a esta edición AGRADECIMIENTOS IX ESPECIALES La división de Ingenierías. Universidad de Guadalajara • Javier Núñez Verdugo. Universidad 1 campus León • Edith Salazar Vázquez. Instituto Tecnológico de Culiacán Culhuacán. Instituto Tecnológico de • Eréndira Gabríela Avilés Rabanales. Universidad Autónoma de Baja California • Jorge Luis Herrera ArelIano. • Hortensia Beltrán Ochoa. Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey. unidad Culiacán. Instituto Tecnológico • Gerardo Campos Carrillo. Instituto • Arturo Muñoz Lozano. Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey. Instituto Tecnológico de Culiacán • Carlos Garzón. Cali. Instituto Tecnológico de Culiacán • Ramón Duarte. Universidad del Valle de A temajac • José Guadalupe Octavio Cabrera Lazarini. Universidad Nacional Autónoma • Lucía Ramos Montiel. ES/ME Culhuacán • Walter Magaña. unidad Mazatlán • Nasario Mendoza Patiño. Instituto Tecnológico de Los Mochis • Luis López Barrientos. Universidad del Valle. Regional de Querétaro de México • Maritza Peña Becerril. Universidad Iberoamericana. Martha Gutiérrez Munguía. ESIME • José Guillermo Cárdenas López. Tecnológico de Los Mochis • María Sara Valentina Sánchez Salinas. Universidad Autónoma • José Luis Herrera. Instituto Tecnológico de León Lucio López Cavazos. campus Hermosillo • Linda Medina. Universidad Autónoma • de Baja California • Universidad Politécnica de Querétaro • José Guadalupe Torres Morales. Universidad Autónoma de Sinaloa. unidad Guamúchil • Juan Leoncio Núñez Armenta. Instituto Tecnológico de Culiacán • Sithanatham Kanthimathinathan. Instituto Tecnológico de Culiacán • Iberoamericana. Instituto • del Estado de México Regional de Querétaro • José Luis Gómez Sánchez. Tecnológico • • José González Vázquez. Universidad de de Ciencias y Artes Marco Antonio Blanco Olivares. Universidad Autónoma de Sinaloa • Leonel Monroy. Tecnológico Regional de San Luis Potosí • Marco Antonio Rodríguez Rodríguez.x Prólogo a esta edición • José Espíndola Hernández. Cali. Universidad Nacional Autónoma Regional de Querétaro • Juan Castañeda. de Sinaloa . Tecnológico • Oscar René Valdez Casillas. Instituto Politécnico Nacional. Instituto Estudios Profesionales de México Roberto Guzmán González. Instituto Tecnológico y de • José Noé de la Rocha. Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey. Universidad Nacional Autónoma de México • Roberto Robledo Pérez. Universidad de Sanbuenaventura. • Ricardo Betancourt Riera. Instituto Tecnológico de Tijuana Colombia Autónoma Occidente. Escuela de Ingenierías de México • Oswaldo Verdugo Verdugo. campus Querétaro • Susana Pineda Cabello. • campus León Rosalba Rodríguez Chávez. Colombia • de Baja California • Oscar Guerrero. campus Querétaro • Luis Felipe Flores. Universidad de Occidente. Universidad Nacional Autónoma Lorenza de Jesús. Universidad Culhuacán. • Miguel Ángel Aguirre Pitol. Universidad Nacional Autónoma de México. Instituto Politécnico Nacional • campus León Martín Muñoz Chávez. Instituto Tecnológico de Culiacán Universidad Autónoma • Porfirio López. Colombia . Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey. Universidad Instituto Raúl Soto López. Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey. Tecnológico • Norma Olivia Bravo. Escuela de Ingeniería. Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey. Universidad de • Michell Gómez. Universidad de Occidente. Unidad Culiacán Cali. Facultad de Ingeniería • Salvador Rojo Lugo. Universidad Iberoamericana. campus Ciudad de México • Ricardo Martínez Gómez. campus León Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey. campus Toluca • Rosa María Rodríguez González. Cali. campus Culiacán Tecnológico de Culiacán • Juan Carlos Pedraza. Químico Biológicas. Tecnológico Regional de San Luis Potosí Estudios Superiores de Monterrey. Escuela de Ingeniería • Juana Murillo Castro. Universidad ICESI. Universidad Católica de Honduras. Universidad de Occidente. Universidad Popular Autónoma del Estado de Puebla • Irma Patricia Flores Allier. Universidad Pedagógica Nacional de Honduras • Kristiano Racanello. Instituto Tecnológico del Parral. Universidad Autónoma de San Luis Potosí • María Asunción Montes Pacheco. unidad Culiacán . Universidad Iberoamericana.Prólogo a esta edición XI Deseamos agradecer especialmente su participación en la sexta edición a las siguientes personas: Revisión y adaptación de la sexta edición: • José Job Flores Godoy. Universidad Iberoamericana Revisión técnica: • Abelardo Ernesto Damy Solís. Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey. Fundación Universidad de las Américas. campus Guadalajara • María Eugenia Noriega Treviño. Chihuahua • Iván Castañeda Leyva. campus Sinaloa • Martha Patricia Meléndez Aguijar. Puebla • Erik Leal Enríquez. Ciudad de México Universidad Autónoma Metropolitana Azcapotzalco • Eduardo Soberanes Lugo. Instituto Tecnológico de Celaya • Israel Portillo Arroyo. Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey. Instituto Politécnico Nacional • Dax André Pinseau Castillo. y conserva la estructura ya probada y clásica que tienen las otras ediciones de mi obra Álgebra lineal. Intenté volver accesibles un gran número de temas de álgebra lineal para una gran variedad de estudiantes que necesitan únicamente conocimientos firmes del álgebra correspondientes a la enseñanza media superior.PREFACIO DEL AUTOR Anteriormente el estudio del álgebra lineal era parte de los planes de estudios de los alumnos de matemáticas y fisica principalmente. como las aplicaciones de la multiplicación de matrices al proceso de contagio de una enfermedad. Aquí se solicita a los estudiantes no sólo que lleven a cabo cálculos matemáticos sino también que desarrollen demostraciones. Intenté. Al mismo tiempo. Otros son un poco más grandes. incluí también varios ejemplos y ejercicios que involucran algunos temas de esta materia. . PRERREQUISITOS Al escribir este libro tuve en mente dos metas. alcanzar un equilibrio entre la técnica y la teoría. CARACTERíSTICAS Esta edición ofrece nuevas características. y también recurrían a ella aquellos que necesitaban conocimientos de la teoría de matrices para trabajar en áreas técnicas como la estadística multivariable. Como muchos estudiantes habrán llevado un curso de cálculo de al menos un año. El resultado es un libro que proporcionará a los estudiantes tanto las habilidades algebraicas para resolver problemas que surjan en sus áreas de estudio como una mayor apreciación de la belleza de las matemáticas. no son técnicas. De este modo el contexto de los ejemplos y ejercicios hace referencia a diferentes disciplinas. Algunos de los ejemplos son cortos. se demuestran los teoremas que se pueden probar empleando los resultados dados aquí. en este libro. Hoy en día. entre éstos se pueden contar el modelo de insumo-producto de Leontief y un modelo de crecimiento poblacional. TEORfA Para muchos estudiantes el curso de álgebra lineal constituye el primer curso real de matemáticas. Todas las técnicas importantes se describen con minucioso detalle y se ofrecen ejemplos que ilustran su utilización. por tradición. Éstos se indican con el símbolo e APLICACIONES Mi segunda meta fue convencer a los estudiantes de la importancia del álgebra lineal en sus campos de estudio. el álgebra lineal se estudia en diversas disciplinas gracias al uso de las computadoras y al aumento general en las aplicaciones de las matemáticas en áreas que. con las que es posible realizar operaciones con matrices y vectores. Adicionalmente. Sin embargo.4.6. Los problemas conservan un orden de acuerdo con su grado de dificultad y existe un equilibrio entre la técnica y las demostraciones.7 y A.l se encuentran versiones cada vez más completas de dicho teorema. Esta primera edición contiene una buena cantidad de ejemplos. .9. éstos constituyen la herramienta más importante del aprendizaje. Los problemas más complicados se encuentran marcados con un asterisco (*) y unos cuantos excepcionalmente difíciles con dos (**). EJERCICIOS El texto contiene ejercicios que se seleccionaron para esta edición. incluyendo aquellos que requieren demostraciones. debe hacerse hincapié en que no se requiere que los alumnos cuenten con una calculadora graficadora para que el uso de este libro sea efectivo. cada uno de los cuales incluye todos los pasos algebraicos necesarios para completar la solución. Cada sección comienza con una descripción detallada del uso de la Hewlett-Packard HP 50g para la resolución de problemas. El texto incluye secciones de "manejo de calculadora" que tienen por objeto ayudar a los estudiantes a usar sus calculadoras en este curso. Éstos se complementan con ejercicios de problemas impares. En las secciones 3. se otorgó un nombre a los ejemplos con el objeto de que resulte más sencillo entender el concepto esencial que ilustra cada uno. y es conveniente que se resuelvan antes de intentar los problemas más generales que les siguen. En muchos casos se proporcionaron secciones de ayuda didáctica para facilitar su seguimiento.XIV Prefacio del autor EJEMPLOS Los estudiantes aprenden matemáticas mediante ejemplos completos y claros.4. Por lo general a estas descripciones les sigue una serie de problemas adicionales con números más complicados que se pueden resolver fácilmente con calculadora. Muchos de ellos han sido aportados por profesores destacados en su impartición de la materia. Casi todos ellos comienzan con preguntas de opción múltiple o falso-verdadero que requieren pocos o ningún cálculo.4. TEOREMA DE RESUMEN Una característica importante es la aparición frecuente del teorema de resumen.5. Las respuestas a estas preguntas aparecen al final de la sección de problemas a la que pertenecen. Las secciones de manejo de calculadora son una característica opcional que debe usarse a discreción del profesor. Para esta edición se han actualizado estas secciones con uno de los modelos de vanguardia. AUTOEVALUACIÓN Los problemas de autoevaluación están diseñados para valorar si el estudiante comprende las ideas básicas de la sección. que une temas que en apariencia no tienen nada en común dentro del estudio de matrices y transformaciones lineales. Al igual que en todos los libros de matemáticas. 3. 3. MANEJO DE CALCULADORA En la actualidad existe una gran variedad de calculadoras graficadoras disponibles. el ejemplo 4 en la sección 2. Además. esta edición se ha enriquecido con diversos cambios. la sección de respuestas al final del libro ha cambiado por completo.5.5 se denomina ejemplo 4 en esa sección. CARACTERíSTICAS DE MATEMÁTICAS 4. De esta forma. Historia de la inducción matemática. Por ende. • Gran cantidad de problemas nuevos.4. Sir William Rowan Hamilton. hay siete semblanzas no tan breves y con más detalles. GEOMETRíA Algunas ideas importantes en álgebra lineal se entienden mejor observando su interpretación geométrica. que permitirán ejercitar y aplicar las habilidades adquiridas. Además. NUMERACiÓN La numeración de este libro es estándar. Dentro de cada sección. dispersas en el libro. problemas. interpretación geométrica de la dependencia lineal en 123• geometría de una transformación lineal de 122 en 122 • SEMBLANZAS HISTÓRICAS Las matemáticas son más interesantes si se conoce algo sobre el desarrollo histórico del tema. Las referencias a los mismos fuera de la sección se llevan a cabo por capítulo. Por esa razón se han resaltado las interpretaciones geométricas de conceptos importantes en varios lugares de esta edición. los ejemplos. además de otros actualizados. Breve historia de los determinantes. entre las que se cuentan las de: • • • • • Carl Friedrich Gauss.Prefaciodel autor RESÚMENES xv DE CAPíTULO Al final de cada capítulo aparece un repaso detallado de los resultados importantes hallados en el mismo. como son: • Secciones de manejo de la calculadora actualizadas. interpretación geométrica de un determinante de 2 X 2. . Para estimular este interés se incluyen varias notas históricas breves. Arthur Cayley y el álgebra de matrices. Éstas incluyen: • • • • La La La La geometría de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. teoremas y ecuaciones se encuentran numerados consecutivamente a partir del número l. sección y número. con frecuencia se proporciona el número de la página para que resulte sencillo encontrar referencias. pero fuera de ella se habla del ejemplo 2. ÁLGEBRA LINEAL Gracias a la participación de profesores y revisores. sugerencias matemáticas y. Deseo agradecer al departamento de matemáticas de UCL por proporcionarme servicios de oficina. En el caso de esta edición. de Valdosta State College. 1974) escrito por James E. su amistad durante mis visitas anuales. Parte del material apareció primero en Mathematicsfor the Biological Sciences (Nueva York. las soluciones a los problemas están elaboradas por los profesores que los aportaron. Turner y por mí.XVI Prefacio del autor AGRADECIMIENTOS Estoy agradecido con muchas personas que me ayudaron cuando escribía este libro. Quiero agradecer al profesor Turner por el permiso que me otorgó para hacer uso de este material. en especial. Grossman Missoula. Gran parte de este libro fue escrita mientras trabajaba como investigador asociado en la University College London. Stanley l. Todos ellos son muy valiosos. quien elaboró el Manual de Soluciones del libro. La efectividad de un libro de texto de matemáticas depende en cierto grado de la exactitud de las respuestas. entre los que cabe destacar la importantísima labor de Sudhir Goel. En esta edición fue posible incorporar muchos de ellos. Macmillan. de la University of Washington. En las ediciónes anteriores de mi obra Álgebra lineal se hicieron esfuerzos considerables para tratar de evitar los errores al máximo. Montana . Agradezco a aquellas personas que hicieron comentarios a esta edición. la sección de respuestas al final del libro se modificó casi por completo. Las respuestas fueron verificadas por varios profesores. y David Ragozin. Dado que hay gran cantidad de problemas nuevos.
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