Matematicas 2do Maestro

2do Grado Volumen IIMATEMÁTICAS II Libro para el maestro 2do Grado Volumen I MATEMÁTICAS II Libro para el maestro Matemáticas II. Libro para el maestro. Volumen I, fue elaborado en la Coordinación de Informática Educativa del Instituto Latinoamericano de la Comunicación Educativa (ILCE), de acuerdo con el convenio de colaboración entre la Subsecretaría de Educación Básica y el ILCE. SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICA Josefina Vázquez Mota SUBSECRETARÍA DE EDUCACIÓN BÁSICA José Fernando González Sánchez Dirección General de Materiales Educativos María Edith Bernáldez Reyes Dirección de Desarrollo e Innovación de Materiales Educativos Subdirección de Desarrollo e Innovación de Materiales Educativos para la Educación Secundaria Dirección Editorial INSTITUTO LATINOAMERICANO DE LA COMUNICACIÓN EDUCATIVA Dirección General Manuel Quintero Quintero Coordinación de Informática Educativa Felipe Bracho Carpizo Dirección Académica General Enna Carvajal Cantillo Coordinación Académica Armando Solares Rojas Asesoría Académica María Teresa Rojano Ceballos (DME-Cinvestav) Judith Kalman Landman (DIE-Cinvestav) (Convenio ILCE-Cinvestav, 2005) Autoras Ana Laura Barriendos Rodríguez, Diana Violeta Solares Pineda Colaboración (actividaddes tecnológicas) Deyanira Monroy Zariñán Colaboradores Araceli Castillo Macías, Rafael Durán Ponce, Ernesto Manuel Espinosa Asuar, Silvia García Peña, José Cruz García Zagal, Olga Leticia López Escudero, Jesús Rodríguez Viorato Apoyo técnico y pedagógico Ma. Catalina Ortega Núñez Coordinación editorial Sandra Hussein Primera edición, 2007 (ciclo escolar 2007-2008) D.R. © Secretaría de Educación Pública, 2007 Argentina 28, Centro, 06020, México, D.F. ISBN 978-970-790-964-9 (obra completa) ISBN 978-970-790-966-3 (volumen I) Impreso en México D ISTRIBUCIÓN GRATUITA -P ROHIBIdA SU VENTA Servicios editoriales Dirección de arte: Rocío Mireles Gavito Diseño: Zona gráfica Diagramación: Bruno Contreras, Victor Vilchis Iconografía: Cynthia Valdespino, Fernando Villafán Ilustración: Gustavo Cárdenas, Curro Gómez, Carlos Lara, Gabriela Podestá Fotografía: Cynthia Valdespino, Fernando Villafán Índice 4 12 20 24 26 28 30 32 34 36 Introducción al modelo pedagógico renovado La enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas en el modelo renovado de Telesecundaria La tecnología en el modelo renovado de Telesecundaria C I N C O S U G E R E N C I A S PA R A E N S E Ñ A R E N L A T E L E S E C U N D A R I A Crear un ambiente de confianza Incorporar estrategias de enseñanza de manera permanente 3 Fomentar la interacción en el aula 4 Utilizar recursos múltiples 5 Desplegar ideas en el aula para consultas rápidas Pistas didácticas 1 2 40 45 Mapa-índice Clave de logos BLOQUE 1 Multiplicación y división de números con signo Problemas aditivos con expresiones algebraicas Expresiones algebraicas y modelos geométricos Ángulos Rectas y ángulos Ángulos entre paralelas La relación inversa de una relación de proporcionalidad directa Proporcionalidad múltiple Problemas de conteo Polígonos de frecuencias BLOQUE 2 La jerarquía de las operaciones Multiplicación y división de polinomios Cubos, prismas y pirámides Volumen de prismas y pirámides Aplicación de volumenes Comparación de situaciones de proporcionalidad Medidas de tendencia central 46 48 66 82 92 106 118 128 140 154 168 1 SECUENCIA 2 SECUENCIA 3 SECUENCIA 4 SECUENCIA 5 SECUENCIA 6 SECUENCIA 7 SECUENCIA 8 SECUENCIA 9 SECUENCIA 10 SECUENCIA 184 186 196 212 224 236 244 252 11 SECUENCIA 12 SECUENCIA 13 SECUENCIA 14 SECUENCIA 15 SECUENCIA 16 SECUENCIA 17 SECUENCIA 272 288 304 Examen bloque 1 Examen bloque 2 Bibliografía Introducción al modelo pedagógico renovado Presentación La trayectoria de la Telesecundaria no ha sido ajena al avance de las tecnologías de la información y la comunicación y a las enormes posibilidades que dichas tecnologías han abierto para la educación. La renovación del modelo pedagógico ofrece, en esta tradición innovadora, la posibilidad de trabajar de manera flexible con la introducción del video, además de enriquecer la interacción en el aula al incluir los recursos informáticos, materiales en audio, así como materiales impresos diversos y renovados, de acuerdo con las necesidades de un sistema educativo que prepara a sus alumnos para producir y utilizar diferentes tipos de conocimientos y herramientas conceptuales, analíticas y culturales, para operar de modo competente en un medio complejo y dinámico. La renovación del modelo pedagógico de la Telesecundaria insiste en que el alumno encuentre múltiples oportunidades y maneras para expresar lo que sabe y acercarse a lo que no sabe; situaciones en las que pueda desplegar sus ideas y conocer las de los demás. Para lograr esto, las actividades propuestas requieren la colaboración entre los participantes, la consulta a diferentes fuentes y la participación en situaciones de aprendizaje variadas, así como usos diversos de la lectura y la escritura, el desarrollo de un pensamiento lógico-matemático, la comprensión del mundo natural y social, la formación en valores éticos y ciudadanos y la creatividad. Con base en lo anterior, se introducen nuevos materiales y actividades de aprendizaje que fomenten la consulta de varias fuentes, la discusión, la comparación de textos, la integración de diferentes formas de representación (imagen, sonido, gráficos, texto, mapas, entre otros), y el uso de herramientas digitales para la exploración y la verificación de conjeturas. La relevancia de los contenidos escolares para la vida de los alumnos de Telesecundaria y la necesidad de crear situaciones de aprendizaje en las que la experiencia y el conocimiento de los alumnos son relevantes y útiles para participar en la clase, constituyen desde luego el principal punto de partida de la renovación. 4 L ibro p ara el mae s t r o La organización pedagógica en el aula En la nueva propuesta pedagógica para Telesecundaria, la actividad en el aula se organiza en secuencias de aprendizaje que duran entre una y dos semanas; las secuencias abarcan un cierto número de sesiones, dependiendo de la asignatura. Cada secuencia se articula en torno a la realización de un proyecto, la resolución de una o varias situaciones problemáticas o el análisis de un estudio de caso, que ponen en juego el tratamiento de varios contenidos de los Programas de estudio 2006 para la educación secundaria, y al menos uno de sus ámbitos o ejes transversales. El trabajo por proyectos, estudios de caso o la resolución de situaciones problemáticas permiten combinar el desarrollo de competencias con la atención a algunas necesidades de los adolescentes, tanto en el contexto personal como en el social/comunitario. El cambio de sesiones diarias a secuencias de una o dos semanas permite disponer del tiempo necesario para el trabajo alrededor de las situaciones problemáticas, proyectos temáticos, o estudios de caso, cuya realización exige la elaboración de productos y la discusión de los mismos ante el grupo. Otra de las razones de esta modificación tiene que ver con la necesidad de ampliar el tiempo para profundizar en la comprensión, la reflexión y la elaboración de conceptos y nociones, lo cual permite ofrecer mayores oportunidades para el aprendizaje. Se pretende que las secuencias de aprendizaje cumplan con los siguientes propósitos educativos: 1. Centrarse en el aprendizaje más que en la enseñanza, y en el alumno más que en la disciplina. • Proporcionar acceso a fuentes de información y recursos variados, impresos y tecnológicos, así como a diferentes formas de representación de ideas, situaciones y conceptos. • Presentar los contenidos de manera lógica y darle prioridad al tratamiento a profundidad sobre el extensivo. • Centrar el tratamiento temático en el desarrollo de nociones, habilidades y actitudes para la comprensión de conceptos centrales. • Utilizar, como referencia, los conocimientos e intereses de los alumnos. Li b r o p ara e l m ae s t r o 5 2. Promover la interacción en el aula y propiciar la participación reflexiva y colaborativa entre los alumnos. • Ampliar las prácticas lectoras y de escritura. • Contener actividades que permitan a los alumnos dar explicaciones ordenadas, formular argumentos lógicos, hacer interpretaciones fundamentadas y realizar análisis abstractos. 3. Presentar un proceso de evaluación que constituya una herramienta que oriente las decisiones del docente y de los alumnos. • Responder a una demanda social e interinstitucional de certificar los conocimientos curriculares previstos por asignación de calificaciones. • Reconocer los diferentes modos de representación en que se pueden expresar los procesos de producción de conocimiento y el lugar propicio para su evaluación. 4. Establecer estrategias claras de vinculación con la comunidad. • Incorporar el enfoque intercultural en los contenidos, discurso y diseño. El papel del docente en el modelo renovado El modelo pedagógico renovado de Telesecundaria busca ampliar las prácticas de los docentes para que puedan: • Fomentar discusiones en el aula que impliquen razonamientos complejos. • Llevar a cabo actividades de aprendizaje que promuevan la discusión, el planteamiento de preguntas auténticas y la búsqueda de respuestas, el análisis y solución de problemas, la elaboración de productos culturales. • Integrar las participaciones de los alumnos para concluir, cuestionar y construir andamiajes, a fin de que éstos transiten hacia entendimientos más profundos. • Trabajar con una multiplicidad de materiales didácticos (impresos, digitales, de audio y video), utilizándolos de tal modo que tengan relevancia y sean significativos para el aprendizaje. • Reconocer los avances y aprendizajes de sus alumnos, así como los aspectos que requieren mayor reflexión. Es necesario concebir la transformación de la práctica docente en la Telesecundaria como un proceso paulatino, que permita a los docentes reconocer y recuperar logros alcanzados y aprender de los errores cometidos. Para apoyar al maestro, los nuevos materiales didácticos 6 L ibro p ara el mae s t r o aportan elementos que favorecen un proceso gradual de mejora continua, en el cual se articulen materiales educativos, actividades y formas de participación novedosas de los maestros y los alumnos. La evaluación en el modelo renovado Desde el modelo pedagógico renovado se propone considerar que la evaluación es parte del proceso didáctico y que significa para los estudiantes una toma de conciencia de lo que han aprendido y, para los docentes, una interpretación de las implicaciones de la enseñanza de esos aprendizajes. A la hora de reflexionar sobre la evaluación, se aplican los mismos interrogantes que a la hora de pensar las actividades de aprendizaje y su valor en la construcción del conocimiento. En el modelo renovado planteamos que la evaluación tiene que ver más con la producción de conocimientos que con la reproducción de ellos, y por lo tanto requiere actividades que promuevan la revisión crítica de lo aprendido y de las actividades realizadas. La evaluación, planteada desde esta perspectiva, favorece en los alumnos el mejoramiento de sus producciones y proporciona a los docentes la oportunidad de mejorar su práctica y crecimiento profesional. En el modelo renovado de Telesecundaria, en términos generales se propone: 1. La evaluación del aprendizaje a partir de los diferentes modos de representación y expresión del conocimiento (ensayos, elaboración de proyectos, análisis de fuentes, resolución de casos, entre otras). 2. La incorporación de opciones de evaluación inspirados en pruebas estandarizadas a las que los alumnos tienen necesariamente que enfrentarse a lo largo de su vida escolar. 3. La evaluación del desempeño de los alumnos en su participación en la solución de problemas, la elaboración de proyectos, la utilización del pensamiento de nivel superior, el despliegue de estrategias de razonamiento en situaciones reales, las prácticas sociales del lenguaje y los productos alcanzados. 4. La evaluación entre pares: esto permite a los estudiantes, ver, juzgar y aprender del trabajo de los demás, basándose en los criterios definidos. La definición de criterios puede centrar la discusión durante la clase y el análisis del trabajo realizado por el grupo. Cuando se logra que los estudiantes participen en el establecimiento de los criterios a partir de los aprendizajes esperados, les es más fácil comprender los aspectos importantes de un producto. Li b r o p ara e l m ae s t r o 7 Para el caso de la evaluación de desempeño se requiere cubrir ciertos criterios que la conviertan en una herramienta eficaz: tener un propósito claro, identificar los aspectos observables, crear un ambiente propicio para realizar la evaluación, emitir un juicio o calificación que describa el desempeño. Se trata de formular criterios significativos, importantes y que los alumnos comprendan. Dadas las características anteriores, este tipo de evaluación consume mucho tiempo. Por ello, en una primera etapa los materiales renovados proponen los lugares específicos para evaluar, así como los criterios apegados a los aprendizajes esperados establecidos en los Programas de estudio 2006. Se espera que, con el tiempo, los maestros puedan conocer gradualmente las exigencias de este tipo de evaluaciones de tal manera que establezcan el momento para realizarla, los criterios para efectuarla y que éstos puedan establecerse conjuntamente con sus alumnos. Se pretende que el profesor se familiarice con la idea de conceder mayor valor a los tipos más importantes de desempeño (proyectos, portafolio, etcétera) que a los cuestionarios cortos, las pruebas objetivas o a las tareas escolares, pues los primeros ofrecen una visión más completa e integrada del aprendizaje. Las orientaciones específicas van dirigidas a que los métodos con que se valoren los diversos tipos de información evaluativa sean los más sencillos posible y su descripción concreta está expuesta en los documentos particulares de cada área académica. Características de los nuevos materiales Un aspecto clave de la renovación pedagógica para la Telesecundaria es la disponibilidad de diversos materiales en el aula. Los nuevos materiales impresos incluyen llamados a diversos tipos de recursos: libros de consulta, libros temáticos de difusión científica y cultural, literatura, incluidos en las colecciones de las Bibliotecas Escolares y de Aula; material audiovisual en video y programas transmitidos por la red satelital Edusat y actividades para realizar en la computadora con capacidad de despliegue o de ejecución. Algunos de estos materiales se integrarán de manera gradual para llevar a cabo las actividades propuestas por el modelo renovado. En el material de base o libro para el alumno se hacen invitaciones específicas para el uso de varios recursos, y se crean tiempos curriculares para la lectura, la consulta y el trabajo con estos materiales. 8 L ibro p ara el mae s t r o Materiales impresos Libro para el alumno Funciona como texto articulador de recursos múltiples, impresos, audiovisuales e informáticos. Integra, en dos volúmenes por asignatura, la información básica y las actividades de aprendizaje. El libro para el alumno cuenta con un mapa de contenidos, el cual se concibe como una herramienta que permite ver el panorama global del curso y de sus partes, las secuencias de aprendizaje con los temas y el uso de otros recursos involucrados, audiovisuales e informáticos, así como los aspectos que cada asignatura considera relevantes. Además de las secuencias de aprendizaje vinculadas con los contenidos programáticos, se proponen sesiones al final de cada bimestre, destinadas a la integración de los conocimientos y a la evaluación de los aprendizajes. De la misma manera, se incluye una sesión introductoria que ayudará al docente y alumnos a conocer sus materiales y las formas de trabajo sugeridas para el curso. Con base en lo planteado en los Programas de estudio 2006, las asignaturas constan de cinco bloques o bimestres integrados por un número variado de temas y subtemas. La distribución de los contenidos en cinco bloques por curso tiene la intención de apoyar a los docentes en el reporte de los avances de los logros de aprendizaje de los alumnos. El modelo pedagógico renovado retoma esta organización como eje articulador de toda la programación. La estructura general de las secuencias es la misma para todas las asignaturas, si bien se introducen subtítulos de acuerdo con las necesidades específicas de cada una de ellas. Las etapas generales y las específicas, así como su descripción se incluyen en las introducciones de cada volumen. El trabajo en cada secuencia considera diferentes formas de organización entre los alumnos, así como actividades que pueden realizarse en versiones para lápiz y papel o mediante la tecnología, con el énfasis en su uso como herramienta para la enseñanza (despliegue en aula) o bien con énfasis en su uso como herramienta para el aprendizaje (aula de medios). Las indicaciones sobre el tipo de actividades que pueden ser realizadas con el apoyo de recursos audiovisuales, informáticos u otros impresos, así como las formas de organización para el trabajo, están claramente indicadas a lo largo de las secuencias de aprendizaje mediante logotipos alusivos, cuya equivalencia puede ser consultada en la clave de logos de la página 45. Li b r o p ara e l m ae s t r o 9 Libro para el maestro El libro para el maestro reproduce, en formato reducido, las secuencias del libro para el alumno, con orientaciones didácticas concretas ligadas a la secuencia, además de ofrecer recursos y formas alternativas de abordar los contenidos. Este material incorpora la familiarización del docente con el modelo pedagógico renovado, la propuesta de uso de la tecnología, la presentación general del curso y sus propósitos, junto con la descripción general de las secuencias. También proporciona criterios de uso para los materiales impresos y tecnológicos y propuestas de evaluación. El apartado titulado “Cinco sugerencias para enseñar en la Telesecundaria”, proporciona recomendaciones didácticas generales y pistas didácticas concretas que el docente puede desplegar para el trabajo en el aula. Cada secuencia da inicio con un texto breve, el cual incluye información general como un resumen, los propósitos de la secuencia, qué se espera lograr y el enfoque. Un recuadro proporciona información referente a las sesiones en que se divide la secuencia, los temas que se abordarán, las destrezas y las actitudes por desarrollar, los productos esperados, los recursos por utilizar, la relación con otras asignaturas o secuencias, en resumen, la información que cada asignatura considere relevante para que el profesor pueda planear su trabajo y tener un panorama general de la secuencia. Las sugerencias y orientaciones específicas por sesiones y actividades o grupos de actividades principian con un breve texto sobre la intención didáctica de las mismas y el tiempo estimado para realizarlas. Asimismo, se incorporan las respuestas a las actividades planteadas diferenciando, cuando sea aplicable, las respuestas esperadas y el tratamiento didáctico de los errores, de las respuestas modelo y de las libres; se incluyen ideas para el maestro sobre qué aspectos o criterios debe considerar, en qué debe hacer énfasis, cómo orientar a los alumnos, etcétera. Otros recursos impresos En los materiales de base para cada una de las asignaturas se consideró el uso de otros libros. Los impresos aprovechan las colecciones de las Bibliotecas Escolares y de Aula. 10 L ibro p ara el mae s t r o Materiales audiovisuales La utilización de las Tecnologías de la Información y de la Comunicación (TIC), en el modelo renovado para Telesecundaria, considera la actualización y el replanteamiento del uso de la televisión. Los nuevos materiales audiovisuales consideran diversos elementos como audiotextos, videos para un uso flexible y diverso, de corta duración, así como material para ser transmitido vía satélite. La inserción de estos recursos depende del diseño didáctico de cada asignatura y secuencia. En el apartado “La tecnología en el modelo renovado de Telesecundaria” se describen las características generales y los usos del material audiovisual. Materiales informáticos Son materiales para el despliegue en el aula de representaciones dinámicas, interactivas y ejecutables de situaciones, fenómenos y conceptos, que permitan retroalimentar el tratamiento de temas concretos, la realización de actividades y generar dinámicas diversas para las intervenciones de los alumnos. De igual manera se aprovechan las experiencias que dan cuenta de la inserción de las TIC en el aula, entre las que destacan el proyecto de Enseñanza de las Matemáticas y de la Física con Tecnología (EMAT-EFIT), el proyecto de Enseñanza de la Ciencia por medio de Modelos Matemáticos (ECAMM), el proyecto de Enseñanza de las Ciencias con Tecnología (ECIT), y Enciclomedia, como herramienta para la vinculación y el despliegue de recursos. La forma como se articula cada uno de estos recursos en las secuencias de aprendizaje se aborda en la propuesta concreta de cada asignatura y en el apartado “La tecnología en el modelo renovado de Telesecundaria”. Li b r o p ara e l m ae s t r o 11 La enseñanza y el aprendizaje de las Matemáticas en Telesecundaria El enfoque con el cual se diseñaron los nuevos materiales para Telesecundaria considera que la resolución de problemas es la estrategia que permite a los alumnos apropiarse de los conocimientos matemáticos. Aunque la resolución de problemas ha estado presente en diversas posturas y prácticas de enseñanza, se le han otorgado diferentes significados. Desde el enfoque, en los nuevos materiales para Telesecundaria se asume que resolver problemas sirve para aprender cuando los conocimientos se ponen en juego y solucionan alguna situación. Con ese propósito, en el libro para el alumno se plantean situaciones problemáticas. Una situación problemática es aquella que representa un reto para el alumno, es decir, que implica una solución que no es tan sencilla como para que resulte obvia, ni tan difícil que a sus ojos parezca imposible de resolver. Una situación problemática puede tomar muchas formas: un enunciado, una construcción geométrica, una actividad puramente numérica, etcétera. El alumno echa mano de sus conocimientos previos para enfrentar el reto que le plantea la situación problemática y producir una solución. En este primer acercamiento quizá no resuelva correctamente el problema o siga procedimientos no convencionales. El maestro debe ser consciente de que lo importante es que el alumno obtenga al menos una solución. Después, el trabajo matemático que se desarrolla en las sesiones procura acercar al alumno a una (o varias) soluciones correctas, económicas y en muchos casos, convencionales. En buena medida, el desafío para el estudiante está en reestructurar algo que ya sabe, modificándolo o ampliándolo para enfrentar el problema nuevo que le presenta la situación problemática. Por ello, en este enfoque es fundamental permitir a los alumnos entrar en acción con la situación problemática antes de “darles la clase” y explicarles paso a paso lo que tienen que hacer; aun cuando pueda parecer que cometen muchos errores, que les toma mucho tiempo o que llegan a conclusiones equivocadas. Lo anterior no quiere decir que el maestro ya no deba enseñar fórmulas, definiciones o algoritmos; tampoco significa que no deba dar explicaciones o aclarar dudas. La diferencia está en el momento en el que introduce esos aspectos: en lugar de tomarlos como punto de partida, se pretende que se 12 L ibro p ara el mae s t r o aborden una vez que los alumnos hayan enfrentado la situación problemática; es decir, primero ellos utilizan sus conocimientos previos para resolver el problema y luego el docente va orientando el trabajo matemático hasta formalizar los nuevos conocimientos (por ejemplo, definiendo algún concepto o dándole nombre a un procedimiento). La ejercitación de una técnica de resolución y la aplicación de lo aprendido siguen siendo necesarias, por lo que es conveniente dar espacios para ello. En la perspectiva que ahora se propone, hay que considerar también que los conocimientos matemáticos que se enseñan no están acabados, pues se trata de nociones que se van enriqueciendo. Por ejemplo, en la primaria los alumnos saben que 3 478 es mayor que 976 porque su experiencia les dice que los números con más cifras son mayores; pero si los números son 0.6 y 0.325, la comparación a partir de la cantidad de cifras ya no es un conocimiento que pueda funcionar de la misma manera. Por otra parte, se reconoce la importancia de la interacción entre los alumnos para el logro de los propósitos de aprendizaje, no sólo porque pueden apoyarse entre sí para comprender el planteamiento de un problema o intercambiar estrategias de solución, sino también porque se reconoce que el aprendizaje se produce en un medio social determinado; por eso es condición indispensable que existan mecanismos de comunicación oral, gráfica o escrita, que permitan transmitir información al otro y construir significados matemáticos compartidos. El papel del docente en el modelo renovado Desde la perspectiva que orienta el diseño de estos materiales, tanto los alumnos como los docentes se enfrentan a nuevos retos que reclaman actitudes distintas frente al conocimiento matemático y una revisión sobre lo que significa enseñar y aprender matemáticas. Los estudiantes aprenden matemáticas resolviendo problemas que implican la modificación de sus conocimientos previos, y el maestro se encarga de organizar las condiciones para que este aprendizaje tenga lugar. No se trata sólo de buscar las explicaciones más sencillas y amenas para dar la clase o de limitarse a plantear las instrucciones iniciales, sino de analizar Li b r o p ara e l m ae s t r o 13 y proponer problemas adecuados para que los alumnos aprovechen lo que ya saben y avancen en el uso de técnicas y razonamientos cada vez más eficaces. El maestro debe ocuparse de los siguientes aspectos: • seleccionar y proponer problemas interesantes, debidamente articulados, para que los alumnos apliquen lo que saben y avancen en el uso de técnicas y razonamientos más eficaces; • organizar al grupo para que los alumnos trabajen en equipos, en parejas o individualmente; fomentar la comunicación de procedimientos y resultados obtenidos en el grupo; • identificar cómo interpretan los alumnos esos problemas, considerando que los resultados diferentes no son necesariamente incorrectos, sino que corresponden a una interpretación distinta del problema; • asegurarse que los alumnos aprendan las nociones o procedimientos que se establecen en los propósitos de aprendizaje. Organización didáctica En el curso de Matemáticas para primer grado, los contenidos se trabajan a lo largo de 32 secuencias de aprendizaje organizadas en 5 bloques, uno por bimestre. En cada secuencia se aborda un contenido del programa de matemáticas en varias sesiones (de 2 a 5, dependiendo de la amplitud del contenido que se trate). La propuesta curricular actual considera una clase diaria de 50 minutos. En total, son 200 clases durante todo el ciclo escolar. En el libro para el alumno de Matemáticas para Telesecundaria hay 123 sesiones, por lo que el maestro dispone de 77 sesiones que puede utilizar a su criterio para repasar temas, continuar trabajando sesiones que se hayan prolongado, realizar actividades de evaluación, etcétera. Los nuevos materiales educativos El modelo pedagógico renovado de Telesecundaria considera el diseño de nuevos materiales educativos: libro para el alumno, libro para el maestro, materiales informáticos e impresos complementarios. El propósito de todos ellos es promover la adquisición de los conocimientos descritos tanto en la propuesta curricular actual como en el modelo pedagógico de Telesecundaria, y articular la utilización de los múltiples recursos impresos e informáticos. 14 L ibro p ara el mae s t r o Libro para el alumno Está conformado por dos volúmenes. La estructura y la organización de cada una de las sesiones que conforman una secuencia tienen la finalidad de favorecer procesos de enseñanza y aprendizaje acordes a los planteamientos del enfoque: la resolución de problemas como detonadora de la búsqueda de soluciones y la utilización de conocimientos previos; la comunicación y argumentación de resultados, así como de los procedimientos de resolución; el análisis y la reflexión en torno a las nociones y los procedimientos matemáticos que resuelven el problema; y la formalización de los conocimientos matemáticos que los alumnos deben aprender. Con el propósito de que desarrollen actividades acordes a cada uno de esos aspectos, cada sesión se compone, en general, de los apartados que se mencionan a continuación: Para empezar Introducción del tema o presentación de un contexto determinado; se procura retomar las experiencias y conocimientos previos de los alumnos. Consideremos lo siguiente Planteamiento de una situación problemática en torno a la cual se organizan la mayor parte de las actividades de la sesión. Manos a la obra Actividades articuladas alrededor del propósito de aprendizaje establecido y orientadas al análisis de los procedimientos o nociones que se pretenden formalizar. A lo que llegamos Información y actividades centradas en la formalización y la socialización del conocimiento matemático. Lo que aprendimos Incluye tanto la ejercitación de técnicas como la valoración individual y colectiva de lo aprendido. Para saber más Sugerencias de vínculos con materiales impresos o computacionales (Internet, multimedia, etc.) que amplían la información y las aplicaciones de los temas tratados en cada secuencia. Li b r o p ara e l m ae s t r o 15 Es necesario aclarar que la estructura de las sesiones no es rígida; hay unas en las cuales se parte de una situación problemática y otras que son un repaso de sesiones anteriores. En cada una de las sesiones se sugieren diferentes formas de organizar el trabajo de los alumnos (individual, en parejas o en equipos, y trabajo grupal). La importancia de alternar estas formas de trabajo se basa en el reconocimiento de que es posible aprender conocimientos matemáticos participando en actividades que son compartidas con otros. Las sesiones también consideran la utilización de recursos multimedia en distintos momentos, dependiendo del propósito específico de cada secuencia. Se proponen los siguientes recursos tecnológicos, cuyo uso dependerá de la infraestructura con la que cuente la escuela: Recursos tecnológicos para Matemáticas Se transmiten uno por semana a través de la red satelital Edusat; su propósito es ampliar la información y diversificar los contextos desarrollados en cada una de las secuencias. Su uso y el momento en que se presentan son optativos. La programación y los contenidos de estos videos pueden consultarse en la Revista Edusat. Se señalan tanto en el libro para el alumno como en el libro del maestro. Programas integradores Videos de consulta Se indican en el impreso con el icono de una cámara de video; su propósito es contextualizar, ejemplificar y formalizar el contenido que se aborda en la secuencia. Interactivos Se indican en el impreso con el icono de un ratón; se utilizan en el salón de clases. Su propósito es desarrollar ideas intuitivas sobre los contenidos, verificar respuestas y validar hipótesis y conjeturas de los alumnos. Trabajo en el Aula de Medios Trabajo en hojas de cálculo, geometría dinámica, calculadora y Logo. Permiten llevar a cabo el trabajo colaborativo en entornos tecnológicos. Promueven en los alumnos el desarrollo del pensamiento lógico y el análisis de datos mediante la resolución de problemas. Se trabajan en el Aula de Medios. Libro para el maestro El libro para el maestro también consta de dos volúmenes, y en él se reproducen, en formato reducido, las sesiones que conforman el conjunto de las secuencias del libro para el alumno. Su propósito es ofrecerle orientaciones didácticas para abordar los contenidos de enseñanza, desarrollar en los alumnos los conocimientos y habilidades esperados y evaluar el aprendizaje. 16 L ibro p ara el mae s t r o Para cada una de las secuencias, usted encontrará: • Una descripción general y los propósitos de la secuencia y de cada sesión. • Recomendaciones para la organización del grupo. • Información respecto a los posibles procedimientos, dificultades y errores de los alumnos ante un problema matemático concreto y sugerencias de cómo usted puede intervenir. • Soluciones correctas a los problemas y preguntas que se le plantean al alumno. • Explicaciones de conceptos matemáticos que pueden ayudarle en el desarrollo de la clase. • Orientaciones para propiciar el intercambio de idas entre los alumnos y la confrontación de distintos procedimientos y soluciones. • Actividades para recuperar lo aprendido y formalizar los conocimientos matemáticos esperados. • Formas alternativas de abordar los contenidos, desarrollar conocimientos y habilidades y evaluar el aprendizaje. Estas orientaciones y sugerencias didácticas aparecen junto a las actividades específicas de cada secuencia de aprendizaje. El libro para el maestro no pretende ser un documento normativo de su trabajo, sino un recurso que puede enriquecer sus experiencias, saberes y estilos de enseñanza para que los alumnos y sus aprendizajes constituyan, realmente, el centro de la organización del trabajo en el aula. Los recursos tecnológicos en la enseñanza y el aprendizaje de las Matemáticas En el modelo de Telesecundaria que ha estado operando, los programas de televisión han desempeñado un papel central en las actividades de enseñanza y de aprendizaje que se llevan a cabo en el aula, pues además de ser una fuente de información para alumnos y docentes, otro de sus propósitos ha sido también provocar intercambios de experiencias y puntos de vista entre el docente y los alumnos. Si bien el modelo se ha visto enriquecido con las experiencias y las innovaciones que los docentes introducen en sus prácticas, la forma en que está diseñado limita las posibilidades de dialogar y profundizar en el tratamiento de los contenidos matemáticos. Li b r o p ara e l m ae s t r o 17 El modelo renovado para la Telesecundaria, además de ampliar y diversificar el tipo de recursos tecnológicos (materiales audiovisuales, material informático para el trabajo con una computadora por salón de clases y hojas de trabajo para el Aula de Medios), sugiere un uso de los recursos tecnológicos acorde con las concepciones de aprendizaje y de enseñanza que se promueven en el enfoque: su propósito es apoyar la realización de actividades centradas en la exploración de los problemas, la argumentación y comunicación de los posibles procedimientos de resolución, así como estimular las diversas formas de colaboración en el salón de clases: entre el alumno y el recurso tecnológico, entre los alumnos al trabajar en equipos, y entre el grupo y el docente. La evaluación Tradicionalmente, la evaluación se usa para medir lo que los alumnos saben respecto de algún conocimiento y, a partir de esa medición, se asigna una calificación. En el modelo que ahora se propone, la evaluación tiene, además, el objetivo de identificar los logros y las dificultades en los procesos de enseñanza y aprendizaje, haciéndolos evidentes a los docentes y alumnos, con la finalidad de que se tomen decisiones oportunas para mejorar la eficiencia de esos procesos. Para ello, se proponen dos recursos de evaluación: la integración de un portafolios del alumno y un examen escrito bimestral. Estos instrumentos pretenden apoyar el trabajo de evaluación, por lo que son susceptibles de ser adaptados a las condiciones específicas del grupo de alumnos y complementados con otras prácticas validadas por la experiencia docente. 18 L ibro p ara el mae s t r o El portafolios del alumno Consiste en armar una carpeta para cada alumno en la que el maestro reúna algunos ejercicios. Tiene dos funciones principales: por una parte, proporcionarle información sobre el grado de avance del alumno de manera constante y sin tener que esperar a que acabe el bimestre y aplique el examen. Esto permite al docente estar en posición de tomar decisiones efectivas y a tiempo cuando considere que hay aspectos que los estudiantes no han comprendido o han comprendido débilmente. Por otra parte, los ejercicios del portafolios pueden convertirse en un insumo más para asignar a los alumnos la calificación bimestral. En cada secuencia, el maestro encontrará sugerencias de ejercicios para integrar al portafolios, qué aspectos son importantes en ellos y recomendaciones en caso de que los alumnos tengan dificultades. El examen bimestral En el libro para el maestro se presenta, al final, una colección de problemas con sus soluciones para seleccionar algunos de ellos y elaborar un examen escrito. Se recomienda darle un valor que no sea superior al 50% de la calificación final. Li b r o p ara e l m ae s t r o 19 La tecnología en el modelo renovado de Telesecundaria El papel innovador de la Telesecundaria se reafirma en la propuesta del modelo renovado, que ofrece al maestro la posibilidad de trabajar con una gama de medios más amplia que incluye, además de los materiales impresos y de televisión, recursos informáticos. La inclusión del uso de la computadora, materiales en audio, programas de televisión transmitidos por la red satelital Edusat y videos de consulta, junto con la colección de las Bibliotecas Escolares y de Aula, tienen la finalidad de actualizar y diversificar los materiales educativos disponibles para crear en el aula situaciones de aprendizaje dinámicas, múltiples y variadas. Estos recursos se articulan a través del libro para el alumno: es decir, en éste aparecen llamadas para hacer uso de los diferentes recursos y, en puntos específicos del libro para el maestro, indicaciones sobre cómo y cuándo utilizar, entre otros, el video, los materiales informáticos, la televisión y los audiotextos Los recursos tecnológicos utilizados en el modelo renovado son de dos tipos: I NTERACTIVO 1. Despliegue de material interactivo1 y multimedia en pantalla grande, que permite distintos tipos de actividades: S E SIONES EXPO SITOR IAS Y DE DISCUSIÓN presentación de temas, contenidos, mapas conceptuales o procedimientos por parte del profesor, con apoyo visual y acceso a fuentes de información complementarias; presentación de producciones de los alumnos (realizadas en aula de medios),y búsqueda de información en fuentes digitales previamente seleccionadas. A ULA DE M EDIOS ACT IVIDA DES Y DISC U S IONES COL ECTIVA S realización de actividades en grupo, con participaciones individuales o por equipos “pasando al pizarrón”, como por ejemplo: resolución de problemas, realización de experimentos virtuales, verificación de respuestas, validación de hipótesis y conjeturas, análisis de textos, videos, datos e información en general; realización de actividades de producción de los alumnos, individual o por equipos, como por ejemplo: búsqueda y presentación de información, registro de datos, elaboración de reportes, producción de textos y otros materiales, y búsqueda de información en fuentes digitales previamente seleccionadas. 1 Actividades preparadas para realizarse en computadora. 20 L ibro p ara el mae s t r o M AT E M Á T I C A S I I En la asignatura Matemáticas II se puede mencionar el siguiente ejemplo de uso de un material interactivo; el ejemplo remite a una parte específica del interactivo pero, si se considera oportuno, se puede explorar el resto para trabajar otra escena de acuerdo con las condiciones del grupo, ya que en el interactivo se desarrolla todo el tema abordado en la secuencia. En el bloque 1, secuencia 3, sesión 1, Expresiones algebraicas y modelos geométricos, se le solicita al alumno que, a partir del material interactivo, obtenga diferentes expresiones algebraicas equivalentes para calcular el área de un rectángulo, como se muestra en la página 47. MATEMÁTICAS II En esta secuencia encontrarás distintas expresiones algebraicas que representan disitintas formas de calcular el área de un rectángulo. Para simplificar los cálculos omitiremos las unidades de medida de sus lados. Puedes pensar que se trata de medidas en centímetros. Consideremos lo siguiente De las siguientes expresiones, ¿cuáles representan el área del rectángulo enmarcado en rojo? Recuerda que: Para indicar qu e un número multiplica a un a exp se usan los parén resión tesis: 5 (b + 3) = 5 × (b + 3) 4 a a) 4(a + 2) b) 4a + 8 c) 4a + 2 2 d) 2(a + 2) + 2(a + 2) Comparen sus respuestas y comenten: ¿Cómo saben cuáles son correctas y cuáles no? Manos a la obra I. Contesten las siguientes preguntas. a) ¿Cuál es la medida de la altura del rectángulo enmarcado en rojo? altura = b) Escriban una expresión que sirva para calcular la medida de la base de este rectángulo. base = c) ¿Qué expresión resulta al multiplicar la medida de la altura por la medida de la base? altura × base = 47 Li b r o p ara e l m ae s t r o 21 LA TECNOLOGÍA EN EL MODELO RENOVADO DE TELESECUNDARIA 2. Programas de televisión por Edusat y videos de consulta con las siguientes características: P ROGR A MAS INT EGRA D ORES P ROGRAMA INTEGRADOR E DUSAT Estos programas son transmitidos por la red satelital Edusat, con horarios que permiten un uso flexible para apoyar los contenidos revisados durante una semana. Se encuentran indicados en el libro para el maestro, de tal manera que tenga la posibilidad de elegir cuándo verlos. Se debe consultar la cartelera Edusat para conocer los horarios de transmisión y repeticiones a lo largo de cada semana. Estos programas permiten la: presentación de temas desde una perspectiva integradora de los contenidos estudiados en la semana; ejemplificación de conceptos a partir de contextos socioculturales cercanos a las experiencias de los alumnos; presentación de contextos socioculturales lejanos a las experiencias de los jóvenes para que puedan conocer diversas formas de vida, e integración de información proveniente de diversas fuentes. P ROGR A MAS DE EX T ENSIÓN ACADÉMICA Estos programas apoyan algunos contenidos temáticos a través de películas y documentales, y se transmiten por la red satelital Edusat. Se debe consultar la cartelera para conocer los horarios de transmisión. Este tipo de programas: fomentan el sentido crítico, con la finalidad de desarrollar una visión más amplia del mundo; reúnen diversos contenidos de las áreas de conocimiento en algún programa, película o documental, y ofrecen un espacio de recreación entre los jóvenes para apoyar los contenidos. V IDEO V IDEOS DE C ONSU LTA Estos materiales permiten trabajar contenidos específicos indicados en el libro para el alumno y en el libro para el maestro. El maestro tiene la posibilidad de elegir cuándo y cómo verlos en cada tema o sesión. Estos videos permiten la: interactividad en el aula a partir de un contenido específico; demostración de distintas maneras de colaborar en actividades dentro y fuera del aula; posibilidad de desplegar conocimientos y dudas, y capacidad de plantear y examinar hipótesis y conjeturas, a partir de diversos ejemplos o actividades problematizadoras. 22 L ibro p ara el mae s t r o M AT E M Á T I C A S I I Además, los videos de consulta tienen una o más de las siguientes funciones: ejemplificar distintas aplicaciones de un concepto en diversos contextos y permiten observar estas aplicaciones en situaciones concretas de la vida diaria; plantear un problema o situación en particular que permita abordar el contenido de un tema desde una perspectiva crítica que, a su vez, promueva la formulación de preguntas auténticas y la búsqueda de respuestas dentro y fuera del aula; abordar aspectos específicos de un tema, dando información puntual y formalizadora, que ayude al entendimiento profundo de un concepto o noción; promover la reflexión colectiva mediante el diálogo y la comunicación en el aula a partir del análisis de diversas problemáticas, así como de diferentes opciones de solución; contextualizar diversos contenidos que proporcionen elementos para entender el entorno que existe alrededor de un tema, y demostrar procesos o procedimientos que permitan acceder a un conocimiento inductivodeductivo. En la asignatura Matemáticas II se puede mencionar el siguiente ejemplo de uso de un video de consulta: En el bloque 1, secuencia 6, sesión 3, Ángulos entre paralelas, el alumno puede, a partir del video Relaciones importantes (en el que se resumen las relaciones de medida entre los ángulos que se forman cuando dos rectas paralelas son cortadas por una transversal), reforzar los conceptos vistos a lo largo de la secuencia a partir de la presentación dinámica de los resultados. MATEMÁTICAS 9. ¿Cuánto mide el ángulo formado por la escalera y la pared? II 50º Relaciones importantes Las relaciones de los ángulos entre paralelas y la de los triángulos y paralelogramos te permiten resolver múltiples problemas. A lo que llegamos Los ángulos interiores de un triángulo siempre suman 180º. En un paralelogramo: Los ángulos opuestos son iguales. Los ángulos consecutivos suman 180º. Los cuatro ángulos interiores suman 360º. Para saber más Sobre animaciones que representan la suma de los ángulos interiores de un triángulo consulta: http://www.geometriadinamica.cl/default.asp?dir=guias&sub Ángulos en el triángulo Ruta: Triángulos, prismas y pirámides [Fecha de consulta: 22 de febrero de 2007] Resuelve el problema 2.1 de la página de internet de Educabri Clase 5: http://www.oma.org.ar/omanet/educabri/00-05.htm [Fecha de consulta: 22 de febrero de 2007] 91 Li b r o p ara e l m ae s t r o 23 1 2 3 4 5 Cinco sugerencias para enseñar en la Telesecundaria C I N C O S U G E R E N C I A S PA R A E N S E Ñ A R E N L A T E L E S E C U N D A R I A 1 Crear un ambiente de confianza Aprender significa tomar riesgos: Lo nuevo siempre causa cierta inseguridad e intentar algo por primera vez implica estar dispuesto a equivocarse. Por eso es importante crear un ambiente de confianza en el cual los alumnos puedan decir lo que piensan, hacer preguntas o intentar procedimientos nuevos sin temor. Algunas ideas para lograr esto son: • Antes de calificar una respuesta, reflexione sobre su origen, en muchas ocasiones las preguntas tienen más de una solución. Por ello, es importante valorar planteamientos diferentes y no obligar a todos a llegar a una solución única. Ayude a los alumnos a aprender a escuchar a sus compañeros y a encontrar diferencias y semejanzas en las propuestas, analizando sus partes y detectando hasta qué punto se acerca a una respuesta satisfactoria. En Matemáticas, por ejemplo, muchas veces los alumnos obtienen soluciones diferentes, que corresponden a interpretaciones distintas del problema. Es una tarea colectiva comprender las distintas interpretaciones que pueden aparecer en la clase sobre un mismo problema. • Los alumnos pueden aprender unos de otros: en el trabajo de equipo es conveniente que los alumnos tengan diferentes niveles de conocimientos y experiencias. Algunos serán lectores fluidos, otros sabrán argumentar con detalle sus ideas, otros dibujarán con mucha facilidad, otros harán cálculos y estimaciones con soltura. Formar equipos heterogéneos propicia que unos puedan compartir lo que saben con otros. Esto es particularmente útil para la realización de los proyectos de Ciencias, debido a que éstos integran contenidos conceptuales, habilidades y actitudes desarrolladas a lo largo de un bloque o al final del año escolar. 26 L ibro p ara el mae s t r o • Los docentes pueden modelar las actividades para los alumnos usando su propio trabajo para ejemplificar alguna actividad o situación que desea introducir al grupo. Si los alumnos tienen que escribir, leer en silencio, o trabajar de manera individual en alguna tarea, el maestro puede hacer lo mismo. Esto lo ayudará a darse cuenta de cuánto tiempo toma, qué retos especiales presenta o qué aspectos hay que tomar en cuenta para realizarla. Al compartir su propio trabajo, también puede escuchar comentarios, responder preguntas, ampliar información y tomar sugerencias. • Mientras los alumnos trabajan en grupos, el maestro debe estar atento a qué ocurre en los equipos: aprovechar la oportunidad para hacer intervenciones más directas y cercanas con los alumnos, sin abordarlos de manera individual. Mientras ellos desarrollan una tarea, puede pasar a los equipos y escuchar brevemente, registrando frases o palabras de los alumnos para retomarlas en las discusiones generales; también puede participar en algunos grupos para conocer la dinámica del trabajo en equipo. Además, en algunos momentos, puede orientar el diálogo de los alumnos, si considera pertinente destacar algún contenido conceptual. • Considere tiempo para mejorar los productos y/o las actividades: en ocasiones los alumnos concluyen una actividad y después de discutirla con otros se dan cuenta de que les gustaría modificarla. Puede resultar de gran provecho dar oportunidad a los alumnos para revisar algún aspecto de su trabajo. Cuando lo considere pertinente, déles tiempo para reelaborar y sentirse más satisfechos con su trabajo. Cómo hacer una lluvia de ideas Cómo coordinar la discusión de un dilema moral Li b r o p ara e l m ae s t r o 27 C I N C O S U G E R E N C I A S PA R A E N S E Ñ A R E N L A T E L E S E C U N D A R I A Incorporar estrategias de 2 enseñanza de manera permanente Es importante usar diferentes prácticas académicas de manera constante y reiterada. Se trata de guiar la lectura de distintos tipos de textos, gráficas, esquemas, mapas, fórmulas e imágenes; demostrar diversas formas de expresar y argumentar las ideas, utilizar términos técnicos; plantear preguntas, elaborar textos, registrar datos y realizar operaciones matemáticas. Las siguientes estrategias pueden servir como lineamientos generales para la enseñanza en el aula: • Invite a los alumnos a leer atentamente y dar sentido a lo que leen: las diferentes fórmulas, gráficas, mapas, tablas e imágenes que se les presentan en los libros para el alumno, libros de las Bibliotecas Escolares y de Aula, recursos digitales, videos, etc. Reflexione con ellos sobre por qué se incluyen estos recursos en la actividad, qué tipo de información aportan y en qué aspectos deben poner atención para comprenderlos mejor. • Las actividades relacionadas con los mapas, imágenes, gráficas, problemas y textos incluidos en las secuencias, tienen la finalidad de favorecer la construcción colectiva de significados: en lugar de utilizarlas para verificar la comprensión de lectura o la interpretación de la información representada, se busca construir con el grupo, con la participación de todos, qué dice el texto o las otras representaciones, qué conocemos acerca de lo que dice, qué podemos aprender de ellos y qué nos dicen para comprender mejor nuestro mundo. • Utilice diferentes modalidades de lectura: la lectura en voz alta constituye una situación privilegiada para escuchar un texto y comentarlo sobre la marcha, haciendo pausas para plantear preguntas o explicar su significado; la lectura en pequeños grupos crea oportunidades para que todos lean; la lectura en silencio favorece la reflexión personal y la relectura de fragmentos. Según la ocasión y el propósito, también puede preparar lecturas dramatizadas con todo el grupo o en equipos. • Ayude a los alumnos a construir el sentido de sus respuestas: en lugar de ver estas actividades como pautas para verificar la comprensión de los estudiantes, utilícelas para construir, junto con ellos, los significados de los textos incluidos en las secuencias. • Cuando los alumnos deben escribir respuestas o componer pequeños textos, puede modelarse cómo iniciar el escrito en el pizarrón: pida a dos o tres estudiantes que den ejemplos de frases iniciales para ayudar a todos a empezar a escribir. 28 L ibro p ara el mae s t r o Cómo concluir un diálogo o actividad • Invite a los alumnos a leer en voz alta los diferentes textos que van escribiendo: proporcione pautas para revisar colectivamente los escritos, dando oportunidad a los alumnos para reconsiderar sus textos y escuchar otras maneras de redactar lo que quieren expresar. Esto los ayudará a escuchar cómo se oye (y cómo se entienden) sus escritos. Propicie la valoración y aceptación de las opiniones de los otros con el fin de mejorar la composición de textos. Modele y propicie el uso de oraciones completas, en lugar de respuestas breves y recortadas. • Plantee preguntas relacionadas con los temas que tienden a extender el conocimiento disciplinario y sociocultural de los estudiantes: algunas preguntas pueden promover el pensamiento crítico en los estudiantes porque no sólo se dirigen a los contenidos conceptuales, también se involucra el desarrollo de actitudes, porque se promueve la reflexión de aspectos éticos, de salud, ambiente e interculturales, entre otros. • Busque ejemplos de uso del lenguaje de acuerdo a la temática o contenido académico: para ejemplificar algún tipo de expresión, identifique fragmentos en los libros de las Bibliotecas Escolares y de Aula y léalos en clase. Incorpore la consulta puntual de materiales múltiples y la lectura de muchas fuentes como parte de la rutina en clase. • Busque ejemplos del contexto cotidiano y de la experiencia de los alumnos, de acuerdo a la temática o contenido académico. • Utilice la escritura como una herramienta de aprendizaje; no todo lo que se escribe en el aula tiene que ser un texto acabado: muchas veces, cuando intentamos poner una idea por escrito, nos damos cuenta de nuestras preguntas y dudas. También se puede usar la escritura para ensayar relaciones y procesos, hacer predicciones, formular hipótesis o registrar interrogantes que pueden retomarse en una ocasión posterior. En matemáticas, por ejemplo, el carácter de formal o acabado del procedimiento de solución de un problema depende del problema que trata de resolverse. Por ejemplo, para un problema de tipo multiplicativo, la suma es un procedimiento informal, pero esta misma operación es un procedimiento experto para un problema de tipo aditivo. El conocimiento matemático está en construcción permanente. Cómo introducir otros recursos Para hacer uso del diccionario Cómo leer un mapa Cómo apoyar la elaboración de resúmenes Li b r o p ara e l m ae s t r o 29 C I N C O S U G E R E N C I A S PA R A E N S E Ñ A R E N L A T E L E S E C U N D A R I A 3 Fomentar la interacción en el aula El diálogo e interacción entre los pares es una parte central en el proceso de aprendizaje: la participación con otros nos ayuda a desplegar nuestros conocimientos, demostrar lo que sabemos hacer, anticipar procesos, reconocer nuestras dudas, oír las ideas de los demás y compararlas con las propias. Por ello, es deseable: • Fomentar la interacción en el aula con múltiples oportunidades para opinar, explicar, argumentar, fundamentar, referirse a los textos, hacer preguntas y contestar: las preguntas que se responden con “sí” o “no”, o las que buscan respuestas muy delimitadas tienden a restringir las oportunidades de los alumnos para elaborar sus ideas. Las preguntas abiertas, en cambio, pueden provocar una variedad de respuestas que permiten el análisis, la comparación y la profundización en las problemáticas a tratar; también permiten explorar razonamientos diferentes y plantear nuevas interrogantes. Además, dan pie a un uso más extenso de la expresión oral. • Crear espacios para que los alumnos expresen lo que saben sobre el tema nuevo o lo que están aprendiendo: en diferentes momentos de las secuencias (al inicio, desarrollo, al final) pueden abrirse diálogos, con el fin de que contrasten sus conocimientos con los de otros alumnos, y con ello enriquecer y promover la construcción compartida de conocimientos. 30 L ibro p ara el mae s t r o • Incorporar en las actividades cotidianas los diálogos en pequeños grupos: algunos estudiantes que no participan en un grupo grande, es más probable que lo hagan en un grupo más pequeño o en parejas. • Utilizar ciertos formatos de interacción de manera reiterada, con materiales de apoyo escritos y/o gráficos para organizar actividades: algunos ejemplos de estos formatos son la presentación oral de reseñas de libros, la revisión de textos escritos por los alumnos, realización de debates, el trabajo en equipo en el que cada alumno tiene una tarea asignada (coordinador, relator, buscador de información, analista, etcétera). • Realizar cierres de las actividades: obtener conclusiones que pueden ser listas de preguntas, dudas o diversas opiniones; los acuerdos del grupo; un registro de diferentes formas de expresión o propuestas de cómo “decir” algo; un resumen de lo aprendido, un diagrama, una tabla, un procedimiento eficaz para resolver un problema, entre otros. Cómo llevar a cabo un debate Cómo conducir una revisión grupal de textos Cómo conducir un diálogo grupal Cómo coordinar la discusión de un dilema moral Li b r o p ara e l m ae s t r o 31 C I N C O S U G E R E N C I A S PA R A E N S E Ñ A R E N L A T E L E S E C U N D A R I A 4 Utilizar recursos múltiples Una parte fundamental de la educación secundaria es aprender a utilizar recursos impresos y tecnológicos para conocer diversas expresiones culturales, buscar información y resolver problemas. Por ello es indispensable explorar y conocer diferentes materiales como parte de la preparación de las clases y • Llevar al aula materiales complementarios: para compartir con los alumnos y animarlos a buscar y compartir con el grupo diferentes recursos. • Promover el uso constante de otros recursos tecnológicos y bibliográficos disponibles en la escuela: si tienen acceso a computadoras, puede 32 L ibro p ara el mae s t r o Cómo anotar referencias de las fuentes utilizadas fomentarse su uso para la realización de los trabajos escolares y, de contar con conectividad, para buscar información en Internet. Asimismo las colecciones de Bibliotecas Escolares y de Aula, la biblioteca de la escuela y la biblioteca pública son fuentes de información potenciales importantes. Por otro lado, el uso de recursos tecnológicos, como los videos, los simuladores para computadora y otras actividades ejecutables en pantalla facilitan la comprensión de fenómenos o procesos matemáticos, biológicos, físicos y químicos que muchas veces son difíciles de replicar en el laboratorio o a través de alguna actividad experimental. Cómo introducir otros recursos Li b r o p ara e l m ae s t r o 33 C I N C O S U G E R E N C I A S PA R A E N S E Ñ A R E N L A T E L E S E C U N D A R I A 5 Desplegar ideas en el aula para consultas rápidas Las paredes del aula constituyen un espacio importante para exponer diferentes recursos de consulta rápida y constante. Por ejemplo, se puede: • Crear un banco de palabras en orden alfabético de los términos importantes que se están aprendiendo en las distintas materias. Sirven de recordatorio para los estudiantes cuando tienen que resolver sus guías, escribir pequeños textos, participar en los diálogos, etc. • Dejar apuntadas diferentes ideas aportadas por todos para resolver algún tipo de problema. Por ejemplo, puede hacerse un cartel para orientar qué hacer cuando uno encuentra una palabra desconocida en un texto: ¿QUÉ HACER CUANDO NO SABES QUÉ SIGNIFICA UNA PALABRA? Tratar de inferir el significado del texto. Buscarlo en el diccionario. Preguntar al maestro o a un compañero. Saltarla y seguir leyendo. 34 L ibro p ara el mae s t r o • Colgar mapas, tablas, gráficas, fórmulas, diagramas y listas para la consulta continua. • Puede involucrar a los alumnos en el registro de la historia del grupo y la evolución de las clases. Una forma de hacer esto es llevar una bitácora donde se escribe cada día lo que ocurrió en las diferentes clases. Los alumnos, por turnos, toman la responsabilidad de llevar el registro del trabajo y experiencias del día. La bitácora se pone a disposición de todos para consultar. Esta no es una actividad para calificar o corregir. Se trata de darle importancia y presencia a la memoria del grupo durante el año escolar. Cada alumno podrá seleccionar qué fue lo relevante durante el día y escribirá de acuerdo a su estilo y sus intereses. Cómo organizar la bitácora del grupo Li b r o p ara e l m ae s t r o 35 Pistas didácticas Cómo conducir un diálogo grupal • Acepte dos o tres intervenciones de los alumnos. Anote algunas respuestas en el pizarrón, para recuperarlas en la discusión o conclusiones. • Acepte respuestas distintas; sugiera que se basen en lo que dice el texto (video, mapa o problema) o en situaciones parecidas. • Para avanzar en el diálogo, resalte las diferencias y semejanzas entre las participaciones de los alumnos. Por ejemplo: “Juan dijo tal cosa, pero María piensa esta otra, ¿qué otras observaciones se podrían hacer?” • Cierre cada punto y dé pie al siguiente inciso. Por ejemplo: “Ya vimos las características comunes a todos los seres vivos, ahora pasaremos a las diferencias entre un ser vivo y un objeto inanimado”. • En cada ocasión otorgue la palabra a distintos alumnos, incluyendo los que no levanten la mano. • Señale claramente el momento de las conclusiones y el cierre de los comentarios. Cómo conducir una revisión grupal de textos individuales • Solicite un voluntario para leer su texto frente al grupo. Copie fragmentos breves de los textos en el pizarrón o usando el procesador de textos, para ejemplificar frases o expresiones que puedan ser mejoradas. • Acepte dos o tres intervenciones, para hacer comentarios sobre el contenido cotejando lo que plantea el libro para los alumnos. En el pizarrón haga las modificaciones sugeridas por los comentaristas y pregunte al autor si está de acuerdo, si su texto mejora con las aportaciones o se le ha ocurrido otra idea para mejorarlo. Permita que sea el propio autor el que concluya cuál es la manera que mejor se acerca a lo que quiere relatar, la corrija en el pizarrón y después en su cuaderno. • Solicite que todos relean y revisen sus textos, hagan las correcciones necesarias y lo reescriban con claridad para, posteriormente, poder leerlo con facilidad ante el grupo. • En cada ocasión invite a alumnos distintos a revisar sus textos con todo el grupo, incluyendo a los que no se autopropongan. • Siempre propicie actitudes positivas hacia la revisión para el mejoramiento de la expresión escrita. Cómo anotar referencias de las fuentes utilizadas • Cuando se utilizan textos o imágenes que aparecen en distintos medios, se cita su procedencia, usando alguno de los siguientes códigos: • Libro: apellido del autor, nombre del autor, título, lugar de edición, editorial y año de publicación. Si se trata de un diccionario o enciclopedia, anotar también las palabras o páginas consultadas. • Revista o periódico: título, número, lugar y fecha de publicación, páginas consultadas. • Programa de TV: Nombre del programa, horario de transmisión y canal. 36 L ibro p ara el mae s t r o Cómo organizar la bitácora del grupo • La bitácora es una actividad compartida por todos los miembros del grupo. Se busca escribir día a día la vida del grupo escolar. Es una actividad libre de escritura en el sentido de que cada alumno puede elegir qué aspecto del día comentar y cómo comentarlo. No se trata de corregirlo sino de compartir las diferentes perspectivas acerca de los eventos centrales de la convivencia en el aula. • Cada día un alumno diferente se hace responsable de escribir, dibujar, insertar fotografías, etcétera. • Es una actividad que los alumnos pueden realizar en un procesador de palabras. • Si cuenta con conectividad, se puede crear un blog (bitácora electrónica) del grupo que se despliegue en Internet. En la página www.blogspot.com se explica cómo hacerlo. Cómo hacer una lluvia de ideas • Plantee una pregunta abierta relacionada con una actividad, texto, imagen o situación (¿Qué pasaría si…? ¿Cómo podríamos…? ¿Por qué creen que esto ocurre así…? ¿Qué les sugiere esto?). • Permita y promueva que los alumnos den su opinión, anote ideas y sugerencias y planteen dudas. • Conforme los alumnos van participando, apunte en el pizarrón, de manera abreviada, sus comentarios y aportaciones. También puede anotar sus ideas en un procesador de palabras y proyectarlas en la pantalla. • Cuando los alumnos han terminado de participar, revise con ellos la lista y busquen diferentes formas de organizar sus ideas (juntar todas las similares, ordenarlas cronológicamente, agruparlas por contenido, etcétera). • Resuma con el grupo las principales aportaciones. • Retome las participaciones cuando sea pertinente relacionarlas con otras intervenciones. Cómo concluir un diálogo o una actividad • Hacia el final del diálogo o de una actividad, resuma los comentarios de todos los participantes. • Señale las principales semejanzas y diferencias en las aportaciones. Recuérdele al grupo cómo se plantearon y cómo se resolvieron. • Ayude a los alumnos a definir las conclusiones, inferencias y acuerdos principales de la actividad y de sus reflexiones. • Permita a los alumnos expresar sus dudas y contestarlas entre ellos. • Anote en el pizarrón las ideas y conclusiones más importantes. Li b r o p ara e l m ae s t r o 37 Cómo llevar a cabo un debate • Antes de empezar, solicite a dos alumnos que desempeñen las funciones de moderador y de secretario, explicándoles en qué consiste su labor. • Defina con claridad los aspectos del tema seleccionado que se van a debatir; debe plantearse con claridad cuál o cuáles son los puntos o aspectos que se están confrontando. • El moderador anota en una lista los nombres de quienes desean participar e inicia la primera ronda de participaciones para que cada uno exprese su punto de vista y sus argumentos acerca del tema. • El secretario toma notas de las participaciones poniendo énfasis en las ideas o conceptos que aportan. • Al agotar la lista de participaciones, el moderador hace un resumen de los comentarios. De ser necesario y contar con tiempo, puede abrirse una nueva lista de participaciones; o bien, al final resume las principales conclusiones o puntos de vista para que el secretario tome nota de ellas. • Cada vez que sea necesario, es importante que el moderador les recuerde a los participantes cuáles son los puntos centrales del debate, para evitar distracciones. • Al final, el secretario lee sus anotaciones y reporta al grupo las conclusiones o puntos de vista. Cómo introducir otros recursos • Explore y lea con anticipación los materiales, seleccionando aquellos que desea compartir con el grupo. • Presente el material (libro, revista, artículo de periódico, mapa, imagen, etcétera) al grupo, comentando qué tipo de material es, el autor o artista, el año. • Lea o muéstrelo al grupo. • Converse con los alumnos acerca de la relación de este material con el trabajo que se está desarrollando. Propicie la reflexión sobre la relación del material presentado con la actividad que se realiza o el contenido que se trabaja. • Invítelos a revisar el material y conocerlo más a detalle, o que ellos sugieran, aporten, lleven o busquen material relevante para los temas que están abordando en el curso. Cómo coordinar la discusión de un dilema moral • Pida a los alumnos que lean el dilema individualmente y respondan las preguntas. Indique que los comentarios se harán más adelante. • Aclare con el grupo el sentido del dilema, preguntándoles, ¿por qué es un dilema?, ¿cuál es el tema central?, ¿qué habrá pensado el personaje en cuestión? • Invite a los alumnos a intercambiar ideas en plenaria. • Explique previamente dos reglas básicas: a) Debatir argumentos y no agredir ni elogiar a personas, y b) turnarse el uso de la palabra, de modo que se ofrezcan equilibradamente argumentos a favor y en contra de cada postura. • A medida que el grupo identifique las posturas y argumentos posibles, anótelos en el pizarrón e invite al grupo a organizarlos, mediante preguntas como: ¿Cuál es el mejor argumento a favor de X postura y por qué? ¿Habría otros argumentos?, ¿cuáles? • Para cerrar, invite al grupo a redefinir o confirmar sus posturas iniciales, con base en los argumentos dados, y a buscar salidas diversas y más satisfactorias al dilema. 38 L ibro p ara el mae s t r o Cómo apoyar la elaboración de resúmenes • Elija el texto que se va a resumir y léalo con el grupo. • Solicite participaciones a partir de las preguntas: ¿cuál consideran que es la idea principal de cada párrafo?, ¿cuáles serán las ideas secundarias o ejemplos? Acepte participaciones de los alumnos, escriba algunas en el pizarrón o con el procesador de textos y después proponga usted sus respuestas a las mismas preguntas. • A partir de las respuestas, ejemplifique en el pizarrón cómo retomar la idea principal de cada párrafo. Puede incluir definiciones textuales, vocabulario técnico y ejemplos del texto. • De ser posible, muestre a los alumnos ejemplos de resúmenes elaborados por usted o por otros estudiantes. Cómo conducir una revisión grupal de textos colectivos • Solicite a un equipo voluntario para leer su texto frente al grupo y otro para comentarlo. Copie fragmentos breves del texto en el pizarrón para ejemplificar frases o expresiones que puedan ser mejoradas. • Acepte dos o tres observaciones de los comentaristas, basadas en las pautas de revisión. En el pizarrón haga las modificaciones sugeridas y pregunte a los autores si están de acuerdo, si su texto mejora con las aportaciones o se les ocurre otra idea para mejorarlo. Permita que los autores sean quienes decidan sobre la manera que mejor se acerca a lo que quieren decir, reelaboren su idea en el pizarrón y luego en su cuaderno. • Solicite que en cada equipo relean y revisen sus textos, hagan las correcciones necesarias y lo reescriban con claridad para, posteriormente, leerlo con facilidad ante el grupo. • En cada ocasión, invite a equipos distintos a que revisen y comenten sus textos con todo el grupo. Siempre propicie actitudes positivas hacia la revisión para el mejoramiento de la expresión escrita. Para hacer uso del diccionario • Haga una lista, con sus alumnos, de las palabras que no conocen o no comprenden. • Búsquenlas en el diccionario en orden alfabético. • Lea el significado e intenten utilizarlo dentro de un contexto. También pueden hacer uso de sinónimos. • Relea las oraciones que contienen las palabras consultadas para comprenderlas ampliamente. • Si aún quedan dudas, busque la palabra en un libro especializado. Cómo leer un mapa • Pida a los alumnos que identifiquen el título del mapa para saber qué tipo de información representa. Si se trata de un mapa histórico, solicite a los estudiantes que identifiquen de cuándo data y si representa hechos o procesos del pasado. • Revise con los alumnos las referencias o simbología. • Señale claramente cuál es la escala empleada en el mapa. • Revise con el grupo la simbología utilizada y su explicación. • Comente con el grupo la información que se puede obtener a partir del mapa o relacionándolo con otras informaciones previas. • Interprete la orientación a partir de leer la rosa de los vientos. Li b r o p ara e l m ae s t r o 39 Bloque 1 SESIÓN Videos Los números con signo 40 SECUENCIA Interactivos Aula de medios 1.1 Los números con signo RECURSOS TECNOLÓGICOS Muchas maneras de hacer lo mismo 1 y 2 (Logo) ¿Cómo restamos números con signo? (Calculadora) 1. Multiplicación y división de números con signo. [12-29] Resolver problemas que impliquen multiplicaciones y divisiones de números con signo. 1.2 1.3 1.4 1.5 2.1 Los gallineros Suma y resta de expresiones algebraicas La regla de los signos 2 Multiplicación y división de números con signo La regla de los signos 1 Multiplicación y división de números con signo Más multiplicaciones de números con signo Multiplicaciones de números con signo Multiplicación y división de números con signo L ibro d el maestro Rectángulos (Logo) 2.2 2.3 2.4 3.1 3.2 4.1 4.2 4.3 5.1 5.2 5.3 Relaciones entre ángulos Parejas de rectas Rectas que se cortan Rectas que no se cortan Deducción de medidas de ángulos Rectas perpendiculares y paralelas Rectas perpendiculares y paralelas Rectas perpendiculares y paralelas Ángulos opuestos por el vértice 6.1 6.2 6.3 7.1 7.2 7.3 Problemas Europa y Plutón Factores de proporcionalidad Proporcionalidad con Logo 8.1 8.2 8.3 9.1 9.2 9.3 Reparto de dulces La casa de cultura Diagrama de árbol Anticipar resultados en problemas de conteo 10.1 Rezago educativo y gráficas 10.2 Anemia en la población infantil mexicana 10.3 ¿Qué gráfica utilizar? Polígonos de frecuencias en los reportes de investigación Polígono de frecuencias ¿Cómo nos estacionamos? Más problemas ¿De cuántas formas? Diagrama de árbol La excursión El volumen La proporcionalidad múltiple Proporcionalidad múltiple El peso en otros planetas Los ángulos en los paralelogramos y en el triángulo Relaciones importantes El peso en otros planetas Ángulos alternos internos Ángulos interiores del triángulo y del paralelogramo Ángulos correspondientes Ángulos entre paralelas Ángulos internos de triángulos Medidas de ángulos El grado como unidad de medida Más expresiones equivalentes Más expresiones equivalentes Expresiones equivalentes Cuadrados mágicos y números consecutivos La magia de los chinos Suma y resta de expresiones algebraicas Modelos geométricos de expresiones algebraicas Modelos geométricos de expresiones algebraicas Reconocer, estimar y medir ángulos Reconocer, estimar y medir ángulos La tabla numérica Suma y resta de expresiones algebraicas A medir contornos 2. Problemas aditivos con expresiones algebraicas. [30-45] Resolver problemas que impliquen adición y sustracción de expresiones algebraicas. Rectángulos de diferentes tamaños (Logo) Suma con polinomios (Calculadora) 3. Expresiones algebraicas y modelos geométricos. [46-55] Reconocer y obtener expresiones algebraicas equivalentes a partir del empleo de modelos geométricos. 4. Ángulos. [56-69] Resolver problemas que impliquen reconocer, estimar y medir ángulos, utilizando el grado como unidad de medida. Clasificación de ángulos (Geometría dinámica) Suma de los ángulos interiores de un triángulo (Geometría dinámica) Trazo de una paralela (Geometría dinámica) Posiciones relativas de las rectas en el plano (Geometría dinámica) Ángulos formados por la intersección de dos rectas (Geometría dinámica) Paralelas y secantes (Logo) Relaciones de los ángulos entre paralelas (Geometría dinámica) ¿Cuánto suman? (Logo) ¿Cuánto peso si estoy en Saturno? (Calculadora) 5. Rectas y ángulos. [70-81] Determinar mediante construcciones las posiciones relativas de dos rectas en el plano y elaborar definiciones de rectas paralelas, perpendiculares y oblicuas. Establecer relaciones entre los ángulos que se forman al cortarse dos rectas en el plano, reconocer ángulos opuestos por el vértice y adyacentes. 6. Ángulos entre paralelas. [82-91] Establecer las relaciones entre los ángulos que se forman entre dos rectas paralelas cortadas por una transversal. Justificar las relaciones entre las medidas de los ángulos interiores de los triángulos y paralelogramos. 7. La relación inversa de una relación de proporcionalidad directa. [92-103] Determinar el factor inverso dada una relación de proporcionalidad y el factor de proporcionalidad fraccionario. 8. Proporcionalidad múltiple. [104-117] Elaborar y utilizar procedimientos para resolver problemas de proporcionalidad múltiple. 9. Problemas de conteo. [118-131] Anticipar resultados en problemas de conteo, con base en la identificación de regularidades. Verificar los resultados mediante arreglos rectangulares, diagramas de árbol u otros recursos. 10. Polígonos de frecuencias. [132-147] Interpretar y comunicar información mediante polígonos de frecuencia. E VA L U A C I Ó N Bloque 2 SESIÓN Videos El concurso de la tele Jerarquía de las operaciones y uso de paréntesis SECUENCIA Interactivos 11.1 El concurso de la tele 11.2 Más reglas RECURSOS TECNOLÓGICOS Aula de medios Aprende a calcular con Logo (Logo) Construcción de números solo con “cuatro cuatros” (Calculadora) Construcción de programas VII (Calculadora) 11. La jerarquía de las operaciones. [150-159] Utilizar la jerarquía de las operaciones y los paréntesis si fuera necesario, en problemas y cálculos. 12. Multiplicación y división de polinomios. [160-175] Resolver problemas multiplicativos que impliquen el uso de expresiones algebraicas. 12.1 Los bloques algebraicos 12.2 A cubrir rectángulos 12.3 ¿Cuánto mide la base? 13.1 Desarrolla tu imaginación 13.2 Más desarrollos planos 13.3 El cuerpo escondido 13.4 Patrones y regularidades 13.5 Diferentes puntos de vista 14.1 Las cajas 14.2 Más volúmenes de prismas 14.3 Arroz y volumen 15.1 El decímetro cúbico 15.2 Capacidades y volúmenes 15.3 Variaciones Problemas prácticos Unas fórmulas se obtienen de otras Cubos, prismas y pirámides La geometría a tu alrededor Cubos, prismas y pirámides Cubos, prismas y pirámides Los bloques algebraicos Multiplicación y división de expresiones algebraicas Multiplicación y división de expresiones algebraicas 13. Cubos, prismas y pirámides. [176-187] Describir las características de cubos, prismas y pirámides. Construir desarrollos planos de cubos, prismas y pirámides rectos. Anticipar diferentes vistas de un cuerpo geométrico. 14. Volumen de prismas y pirámides. [188-199] Justificar las fórmulas para calcular el volumen de cubos, prismas y pirámides rectos. Volumen de cubos, prismas y pirámides Volumen de cubos, prismas y pirámides Estimación y cálculo de volúmenes 15. Aplicación de volúmenes. [200-207] Estimar y calcular el volumen de cubos, prismas y pirámides rectos. Calcular datos desconocidos, dados otros relacionados con las fórmulas del cálculo de volumen. Establecer relaciones de variación entre diferentes medidas de prismas y pirámides. Realizar conversiones de medidas de volumen y de capacidad y analizar la relación entre ellas. 16.1 El rendimiento constante 16.2 La concentración de pintura Comparación de razones Comparación de cocientes Comparación de razones 16. Comparación de situaciones de proporcionalidad. [208-215] Resolver problemas de comparación de razones, con base en la noción de equivalencia. 17.1 El promedio del grupo en el examen 1 17.2 El promedio del grupo en el examen 2 17.3 Las calorías que consumen los jóvenes Medidas de tendencia central Estadísticas, alimentos y otras situaciones Medidas de tendencia central Li b r o d e l m ae s t r o 17. Medidas de tendencia central. [216-235] Interpretar y calcular las medidas de tendencia central de un conjunto de datos agrupados, considerando de manera especial las propiedades de la media aritmética. E VA L U A C I Ó N 41 42 Bloque 3 SESIÓN Videos Sucesiones de números Sucesiones de números con signo Sucesiones y recursividad con Logo Sucesiones geométricas con Logo 19.1 Piensa un número 19.2 El modelo de la balanza 19.3 Más allá de la balanza 19.4 Miscelánea de problemas 20.1 La cola de las tortillas 20.2 ¡Cómo hablan por teléfono! 20.3 El taxi 20.4 El resorte 20.5 El plan perfecto 21.1 Triángulos en polígonos 21.2 La suma de ángulos internos 22.1 Recubrimientos del plano 22.2 Los mosaicos y los polígonos regulares 23.1 Pendiente y proporcionalidad Enmosaicados Triangulación Los celulares Descripción de fenómenos con rectas Ángulos interiores de un polígono Ángulos interiores de un polígono Cubrimientos del plano Cubrimientos del plano Ecuación de la recta y = ax + b Recubrimiento del plano con polígonos regulares (Geometría dinámica) Rectas que “crecen” (Calculadora) ¿Qué gráficas crecen más rápido? (Calculadora) 23.2 Las pendientes negativas Ecuación de la recta y = ax + b Gráficas que “decrecen” (Calculadora) Más sobre gráficas que “decrecen” (Calculadora) 23.3 La ordenada al origen La ordenada al origen Ecuación de la recta y = ax + b Analizando gráficas de rectas (Hoja de cálculo) Un punto importante en una recta (Calculadora) 23.3 Miscelánea de problemas y algo más Medición de perímetros, áreas y ángulos (Geometría dinámica) Descripción de fenómenos con rectas Descripción de fenómenos con rectas Descripción de fenómenos con rectas Variación linea (2) (Hoja de cálculo) Gráficas de funciones (Logo) ¿Grados Farenheit o centígrados? (Calculadora) La balanza Resolución de ecuaciones de primer grado Ecuaciones (3) (Hoja de cálculo) Números perdidos (Calculadora) Sucesiones de números con signo SECUENCIA Interactivos 18.1 ¿Cuál es la regla? 18.2 Números que crecen 18.3 De mayor a menor RECURSOS TECNOLÓGICOS Aula de medios Descripción de programas (Calculadora) L ibro d el maestro 18. Sucesiones de números con signo Construir sucesiones de números con signo a partir de una regla dada. Obtener la regla que genera una sucesión de números con signo. 19. Ecuaciones de primer grado Resolver problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma: ax + bx + c = dx + ex + f y con paréntesis en uno o en ambos miembros de la ecuación, utilizando coeficientes enteros o fraccionarios, positivos o negativos. 20. Relación funcional Reconocer en situaciones problemáticas asociadas a fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas, la presencia de cantidades que varían una en función de la otra y representar esta relación mediante una tabla o una expresión algebraica de la forma: y = ax + b. Construir, interpretar y utilizar gráficas de relaciones lineales asociadas a diversos fenómenos. 21. Los polígonos y sus ángulos internos Establecer una fórmula que permita calcular la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono. 22. Mosaicos y recubrimientos Conocer las características de los polígonos que permiten cubrir el plano y realizar recubrimientos del plano. 23. Las características de la línea recta Anticipar el comportamiento de gráficas lineales de la forma y = mx + b, cuando se modifica el valor de b mientras el valor de m permanece constante. Analizar el comportamiento de gráficas lineales de la forma y = mx + b, cuando cambia el valor de m, mientras el valor de b permanece constante. E VA L U A C I Ó N Bloque 4 SESIÓN Videos Potencias y exponentes Potencias y exponentes Potencias y exponentes Potencias y exponentes Números muy grandes y muy pequeños Figuras congruentes Congruencia de triángulos Congruencia de triángulos Congruencia de triángulos Rectas y puntos notables del triángulo Rectas y puntos notables del triángulo Rectas y puntos notables del triángulo Rectas notables del triángulo ¿Cuándo dos eventos son independientes? Rectas y puntos notables del triángulo Probabilidad. Eventos independientes Probabilidad. Eventos independientes Probabilidad. Eventos independientes Frecuencia y probabilidad con Logo 28.1 Turismo, empleo y gráficas de línea 28.2 ¿Sabes cuántas personas visitan el estado en que vives? 28.3 ¿Cuántos extranjeros nos visitaron? 29.1 Albercas para chicos y grandes 29.2 Camino a la escuela Llenado de recipientes Gráficas formadas por segmentos de recta El turismo: Una ocupación interesante Gráficas de línea en la estadística Gráficas de línea en la estadística Gráficas de línea en la estadística Juego con dados 1, 2 y 3 (Logo) Trazar el incírculo de un triángulo (Geometría dinámica) Figuras directa o inversamente congruentes (Geometría dinámica) Bisectriz, altura, mediana y mediatriz de un triángulo cualquiera (Geometría dinámica) SECUENCIA Interactivos 24.1 Producto de potencias 24.2 Potencias de potencias 24.3 Cocientes de potencias 24.4 Exponentes negativos 24.5 Notación científica 25.1 Tres lados iguales 25.2 Un ángulo y dos lados correspondientes iguales 25.3 Un lado y dos ángulos correspondientes iguales 26.1 Mediatrices 26.2 Alturas 26.3 Medianas 26.4 Bisectrices 27.1 ¿Cuáles son los eventos independientes? 27.2 Dos o más eventos independientes 27.3 Eventos independientes y dependientes RECURSOS TECNOLÓGICOS Aula de medios Leyes de los exponentes I (Calculadora) Leyes de los exponentes III (Calculadora) Leyes de los exponentes II y IV (Calculadora) 24. Potencias y notación científica Elaborar, utilizar y justificar procedimientos para calcular productos y cocientes de potencias enteras positivas de la misma base y potencias de una potencia. Interpretar el significado de elevar un número natural a una potencia de exponente negativo. Utilizar la notación científica para realizar cálculos en los que intervienen cantidades muy grandes o muy pequeñas. 25. Triángulos congruentes Determinar los criterios de congruencia de triángulos a partir de construcciones con información determinada. 26. Puntos y rectas notables del triángulo Explorar las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo. 27. Eventos independientes Distinguir en diversas situaciones de azar eventos que son independientes. Determinar la forma en que se puede calcular la probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos independientes. 28. Gráficas de línea Interpretar y utilizar dos o más gráficas de línea que representan características distintas de un fenómeno o situación para tener información más completa y en su caso tomar decisiones. 29. Gráficas formadas por rectas Interpretar y elaborar gráficas formadas por segmentos de recta que modelan situaciones relacionadas con movimiento, llenado de recipientes, etcétera. Li b r o d e l m ae s t r o E VA L U A C I Ó N 43 44 Bloque 5 SESIÓN Videos Sistemas de ecuaciones Sistemas de ecuaciones El viaje Sistemas de ecuaciones Sistemas de dos ecuaciones (Hoja de cálculo) SECUENCIA Interactivos 30.1 La granja 30.2 Compras en el mercado 30.3 Solución gráfica de sistemas de ecuaciones RECURSOS TECNOLÓGICOS Aula de medios L ibro d el maestro 31.1 ¿Hacia dónde me muevo? 31.2 Rotaciones Movimientos en el plano Movimientos en el plano 31.3 Simetría central 31.4 Algo más sobre simetrías, rotaciones y traslaciones 32.1 ¿Cuáles son los eventos mutuamente excluyentes? 32.2 Dos o más eventos mutuamente excluyentes 32.3 Más problemas de probabilidad ¿Cuándo dos eventos son mutuamente excluyentes? Probabilidad. Eventos mutuamente excluyentes Probabilidad. Eventos mutuamente excluyentes Azar y probabilidad con Logo Movimientos en el plano Movimientos en el plano 30. Sistemas de ecuaciones Representar con literales los valores desconocidos de un problema y usarlas para plantear y resolver un sistema de ecuaciones con coeficientes enteros. Representar gráficamente un sistema de ecuaciones lineales con coeficientes enteros e interpretar la intersección de sus gráficas como la solución del sistema. Concepto de traslación (Geometría dinámica) Concepto de rotación (Geometría dinámica) Molinos y rehiletes 1 y 2 (Logo) Uso de la simetría central (Geometría dinámica) 31. Traslación, rotación y simetría central Determinar las propiedades de la rotación y de la traslación de figuras. Construir y reconocer diseños que combinan la simetría axial y central, la rotación y la traslación de figuras. 32. Eventos mutuamente excluyentes Distinguir en diversas situaciones de azar eventos que son mutuamente excluyentes. Determinar la forma en que se puede calcular la probabilidad de ocurrencia. E VA L U A C I Ó N EJE 1: Sentido numérico y pensamiento algebraico EJE 2: Forma, espacio y medida EJE 3: Manejo de la información Clave de logos T RABAJO INDIVIDUAL S ITIOS DE I NTERNET EN PAREJAS BIBLIOTECAS ESCOLARES Y DE AULA EN EQUIPOS V IDEO T ODO EL GRUPO PROGRAMA INTEGRADOR EDUSAT C ONEXIÓN CON OTRAS ASIGNATURAS I NTERACTIVO G LOSARIO A UDIOTEXTO C ONSULTA OTROS MATERIALES A ULA DE M EDIOS CD DE RECURSOS O TROS T EXTOS Li b r o d e l m ae s t r o 45 BLOQUE 1 Propósito del programa integrador. Mostrar casos en los que se resuelvan problemas de multiplicación y división de números con signo. SECUENCI A 1 Propósito de la sesión. Resolver problemas que implican efectuar sumas y restas de números con signo. En esta sesión se hace un repaso de lo que se estudió en las secuencias 25 y 33 del libro Matemát icas I. La secuencia va a servir también como repaso de las operaciones y de las tablas de multiplicar. Organización del grupo. Se sugiere resolver la sesión en parejas. Multiplicación y división de números con signo En esta secuencia resolverás problemas que impliquen sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de números con signo. SESIÓN 1 LOS NÚMEROS CON SIGNO Para empezar Los números con signo En las secuencias 25 y 33 de tu libro Matemáticas I Volumen II resolviste problemas en los que utilizaste sumas y restas de números con signo. En esta sesión recordarás cómo hacer esas operaciones. Los números con signo son los números positivos y los números negativos. El cero no tiene signo. Los números positivos se ubican a la derecha del cero en la recta numérica. Pueden aparecer con el signo + o sin él. Cuando llevan el signo + es porque se desea resaltar que , + 37 . son positivos. Por ejemplo: +3, +16, +7.9, +10.35, + 2 5 3 Los números negativos se ubican a la izquierda del cero en la recta numérica y siempre se escriben anteponiéndoles el signo –. Por ejemplo: –7, –1, –4.1, –12.73, – 8 , – 81 . 3 5 Descripción del video. El video es de introducción, por lo cual puede ser observado antes de iniciar con la sesión. En él se hace un breve recorrido histórico para conocer quiénes y cuándo utilizaron por primera vez los números negativos, y se proveen los distintos contextos que provocaron su uso a lo largo de la historia. Se complementa la información sobre los distintos conjuntos de números, en particular de los naturales y los enteros. – 81 5 –12.73 –7 –4.1 –8 3 –1 0 +2 5 +3 +7.9 +10.35 + 37 3 +16 Sugerencia didáctica. En el libro de primero muchas veces se escribieron los números positivos anteponiéndoles el signo +. Comente con los alumnos que en esta secuencia no se hará así. 12 Eje Sentido numérico y pensamiento algebraico. Propósitos de la secuencia Resolver problemas que impliquen multiplicaciones y divisiones de números con signo. Tema Significado y uso de las operaciones. Sesión 1 Propósitos de la sesión Los números con signo Resolver problemas que implican efectuar sumas y restas de números con signo. Multiplicaciones de números con signo Resolver multiplicaciones de un número entero positivo por un número negativo, de la forma 5 × (–3) . Más multiplicaciones de números con signo Resolver multiplicaciones de un número negativo por un número positivo, de la forma (–7) × 4. La regla de los signos 1 Identificar y utilizar la regla de los signos para multiplicar. La regla de los signos 2 Identificar y utilizar la regla de los signos para dividir. Recursos Aula de medios Video “Los números con signo” Programa integrador 1 Interactivo Antecedentes 2 En primer grado los alumnos ubicaron números con signo en la recta numérica e hicieron operaciones de suma y resta con ellos. En esta secuencia aprenderán a multiplicarlos y a dividirlos. 3 4 Interactivo 5 Interactivo 48 L ibro p ara el mae s t r o MATEMÁTICAS II Sugerencia didáctica. Comente esta información con los alumnos. Es frecuente que confundan el signo del número con el de la operación, así que conviene que lo repasen y que aclaren dudas. Cuando se hacen operaciones de números con signo, los números se escriben entre paréntesis para no confundir los signos de los números con los signos de la operación. Por ejemplo: (–4) + (+5) – (–15). Se puede escribir 5 en vez de +5 y entonces no son necesarios los paréntises: (–4) + 5 – (–15). Lo que aprendimos 1. Una sustancia química que está a una temperatura de –5 °C se calienta en un mechero hasta que alcanza una temperatura de 12 °C. ¿Cuántos grados subió la temperatura de la sustancia? 2. En una tienda de abarrotes se realizó el balance bimestral de todo un año. Se indicaron las ganancias con números negros y las pérdidas con números rojos. El saldo para un periodo se calcula sumando las ganancias y restando las pérdidas: Sugerencia didáctica. Al final de la sesión haga una puesta en común para que se revisen los resultados. Ene-Feb Balance bimestral Mar-Abr May-Jun Jul-Ago Sept-Oct Nov-Dic 960.60 773.50 1 755.75 441.80 2 997.25 4 647.00 a) Respondan sin hacer la cuenta, ¿el saldo anual fue positivo o negativo? Respuesta. Subió 17° C. Puede sugerir a los alumnos que utilicen el termómetro para efectuar la operación o verificar su resultado. b) ¿De cuánto fue el saldo anual en la tienda? c) En otra tienda, el saldo anual fue de $9 550.60. En el bimestre enero-febrero tuvieron pérdidas por $845.25. ¿Cuál fue el saldo en esta tienda de marzo a diciembre? 3. Escriban mayor que (>) o menor que (<) según corresponda. a) 7 < 18 b) 12 1 (–35) > < (–5) 14 (–3) c) (–19) e) (–27) < > d) (–7) f) (–11) Recuerden que: El número mayo r es el que está más a la de recha en la recta numérica. < 13 Respuestas. a) El saldo es positivo, a simple vista puede observarse que hay más ganancias que pérdidas. b) El saldo anual fue de $8 771.10. Para resolverlo lo mejor es sumar primero las ganancias, luego las pérdidas y restar los resultados. También puede hacerse sumando o restando el saldo de cada bimestre, uno por uno. Es importante que permita que los alumnos lo intenten de la manera que a ellos les parezca mejor. c) El saldo de marzo a diciembre fue de $10 395.85 . Este saldo tiene que ser mayor al saldo anual debido a que en enero-febrero hubo pérdidas. Es posible que muchos alumnos resten 9 550.60 – 845.25 y obtengan $8 705.35 . Una manera de que se den cuenta de que ese cálculo es erróneo es obteniendo el saldo de marzo a diciembre en la primera tienda (el saldo en ese periodo es de $9 731.70 ). Li b r o p ara e l m ae s t r o 49 SECUENCI A 1 Recuerden que: • Los números simétricos son los que están a la misma distancia del cero. • El valor absoluto de un número siempre es un número positivo, se representta utilizando dos barras verticales. 4. Escriban el simétrico o el valor absoluto de los siguientes números con signo, según corresponda: a) El simétrico de 29.3 es b) El simétrico de ( c) |25.1| = d) – 19 7 –29.3 19 7 ) es 25.1 2 13 | 2 – 13 |= e: Recuerden qu os del r dos númer ma su ra Pa • se pueden mismo signo os lores absolut sumar los va y el signo del s, ro me de los nú el signo de los resultado es se suman. e qu s ro me nú os de do r s númer • Para suma os, se puede signos distint diferencia de encontrar la solutos de los ab es lor los va signo del el y s, ro me nú el signo del resultado es yor valor número de ma absoluto. 5. Resuelvan las siguientes sumas: a) (–8) + (–15) = –23 b) 24 + (–24) = c) (–31) + 48 = d) 59 + (–81) = e) 4.3 + (–8.7) = f) 0 17 –22 –4.4 9 14 5 = 18 (– 18 ) + 18 (– 1 2)+ 7 9 = 6. Resuelvan las siguientes restas: a) (–31) – 14 = b) 46 – (–10) = – 45 46 + 10 = 56 (– 2) + 65 = 63 (– 52) + 19 = -33 (– 15.7) + 17.9 = 2.2 4 12 7 = – 12 Sugerencia didáctica. En el libro de primero no se hicieron ejercicios en los que hubiera que sumar más de dos números con signo, por ello puede ser útil que ponga un par de ejemplos en el pizarrón en los que se utilice el método de sumar por separado los positivos y los negativos, de esta manera se convierte en una suma de números con distinto signo. Sin embargo, aclare a los alumnos que también pueden decidir realizar las sumas una por una en cualquier orden. Recuerden que: eros con Para hacer restas de núm simétrico: signo se puede sumar el = –7. (–2) – 5 = (–2) + (–5) = 2. (–3) – (–5) = (–3) + 5 c) (–2) – (–65) = d) (–52) – (–19) = e) (–15.7) – (–17.9) = f) 21 1 (– 7 4 ) – (– 3 ) = (– 12 ) + 7. Resuelvan las siguientes sumas: Recuerden que: Para realizar una suma de varios números con signo podemos sumar primero todos los números positivos, después todos los números negativos y por último sumar los resultados. Por ejemplo: (–18) + 31 + (–24) = 31 + (–42) = –11. (–15) + 11 + (–8) + 28 = 39 + (–23) = 16. a) (–10) + 17 + (–15) = b) 28 + (–4) + 11 = –8 55 – 92 – 18 – 90 35 c) (–10) + (–21) + 86 = d) (–47) + (–12) + (–33) = e) 14 + (–25) + (–39) + 32 = f) (–10) + (–33) + (–38) + (–9) = 14 50 L ibro p ara el mae s t r o MATEMÁTICAS II Nov Dic Respuestas. a) Observe que al dibujar la recta los alumnos sitúen al cero, y que todas las unidades midan lo mismo. b) Al sumar las temperaturas promedio registradas se obtiene 42. El promedio anual de la temperatura mínima son 3.5° C (porque 42 ÷ 12 = 3.5 ). 8. El municipio de Temósachic, localizado en el noroeste del estado de Chihuahua, es uno de los municipios con las temperaturas más bajas del país. En el año 2006, en esa localidad se registraron las siguientes temperaturas mínimas promedio por mes (en grados centígrados): Ene Temperatura mínima promedio Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Sept Oct –7 –2 0 2 5 12 13 14 10 4 –3 –6 a) Dibujen una recta numérica y coloquen en ella todas las temperaturas. b) Con los datos mensuales del cuadro, calculen el promedio anual de la temperatura mínima. 9. El faro de Alejandría es una de las siete maravillas del mundo antiguo. Ptolomeo I, rey de Egipto, mandó construirlo en el año 291 antes de nuestra era, en la isla de Faro. Consistía en una torre de 134 metros de altura; en su parte superior, una hoguera permanente marcaba la posición de la ciudad a los navegantes. a) La construcción del faro tardó 12 años en completarse. ¿En qué año se terminó de construir? b) Ptolomeo I tenía 76 años cuando mandó construir el faro, ¿en qué año nació? c) El sucesor de Ptolomeo I fue su hijo, Ptolomeo II, quien se convirtió en rey en el año 285 antes de nuestra era, a la edad de 24 años. Se sabe que Ptolomeo II nació cuando su madre tenía 31 años. ¿En qué año nació la madre? 15 Respuestas. a) En el año 279 antes de nuestra era, porque (– 291) + 12 = –279. b) Nació en el año 367 antes de nuestra era, porque (–291) – 76 = –367. c) La madre de Ptolomeo II nació en el año 340 antes de nuestra era. Para responder esta pregunta es necesario averiguar primero en qué año nació Ptolomeo II. Hay que restar su edad en ese momento al año en que se convirtió en rey, es decir, (–285) – 24 = –309. Después, para averiguar en qué año nació su madre, hay que restar (–309) – 31 = –340. Posibles dificultades. Quizá muchos alumnos consideren que la respuesta a la pregunta a) es el año 303 . Sugiérales que sitúen los años en una línea de tiempo para que vean que la cuenta se hace de distinta manera cuando se trata de los años antes de nuestra era. Li b r o p ara e l m ae s t r o 51 Propósito de la sesión. Resolver multiplicaciones de un número entero positivo por un número negativo, de la forma 5 × (–3) . Organización del grupo. Se propone resolver la sesión individualmente y hacer comentarios grupales. S E C UENCIA 1 SESIÓN 2 MULTIPLICACIONES DE NÚMEROS CON SIGNO Para empezar Los números tienen su origen en la necesidad de contar y de medir. Los primeros números que fueron utilizados son los llamados números naturales: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12… Al conjunto formado por los números naturales, los simétricos de los números naturales y el cero, se le llama conjunto de los números enteros: Propósito de la actividad. Que los alumnos puedan seguir el patrón de las multiplicaciones con positivos para responder las de los negativos. Se les da la pista en el resultado de 6 × (–4) para que puedan confirmar o rectificar sus resultados. Es importante que usted no anticipe la regla de la multiplicación de un positivo por un negativo, deje que los alumnos encuentren los resultados de la manera que crean conveniente. Posibles procedimientos. Una posible respuesta es que continúen las tablas hacia los positivos: 4 × (−1) = 4, 4 × (−2) = 8 , etcétera. Aunque se les da la pista de 6 × (−4) = −24, alguno podría pensar que es un error. Un procedimiento correcto es ver que los resultados van disminuyendo de 4 en 4 en la primera tabla, y de 6 en 6 en la segunda tabla, de esta manera pueden completar los resultados. …, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4… Consideremos lo siguiente Las siguientes tablas son parte de las tablas de multiplicar del 4 y del 6. Completa los resultados: 4×6= 4×5= 4×4= 4×3= 4×2= 4×1= 4×0= 4 × (–1) = 4 × (–2) = 4 × (–3) = 4 × (–4) = 4 × (–5) = 4 × (–6) = 4 × (–7) = 24 20 16 6×6= 6×5= 6×4= 6×3= 6×2= 6×1= 6×0= 6 × (–1) = 6 × (–2) = 6 × (–3) = 6 × (–4) = 6 × (–5) = 6 × (–6) = 6 × (–7) = 36 30 24 12 8 4 0 18 12 6 0 –6 –12 –18 –24 –4 –8 –12 –16 –20 –24 –28 –30 –36 –42 3 16 Comparen sus respuestas. Comenten los procedimientos que siguieron para llenar las tablas. 52 L ibro p ara el mae s t r o MATEMÁTICAS II Manos a la obra I. Observa las tablas y responde las preguntas: a) ¿Cuánto se resta para pasar del resultado de 4 × 5 al resultado de 4 × 4? b) ¿Cuánto se resta para pasar del resultado de 4 × 1 al resultado de 4 × 0? c) Para pasar del resultado de 4 × 0 al resultado de 4 × (–1), se resta lo mismo. ¿Cuánto es 4 × (–1)? d) Entre dos renglones consecutivos de la tabla del 4, siempre se resta lo mismo. ¿Cuánto es 4 × (–5)? e) ¿Cuánto se resta entre dos renglones consecutivos de la tabla del 6? f) ¿Cuánto es 6 × (–2)? g) ¿Cuánto es 6 × (–5)? Comparen sus respuestas. II. Multiplicar 4 × 2 es lo mismo que sumar cuatro veces 2: 4 × 2 = 2 + 2 + 2 + 2 = 8. Propósito de la actividad. Se pretende que los alumnos se den cuenta del patrón que aparece en las tablas: los resultados siempre van disminuyendo (de 4 en 4 en la primera tabla y de 6 en 6 en la segunda). Si hay dificultades, escriba en el pizarrón las restas correspondientes. Por ejemplo: 0–4= (–4) – 4 = (–8) – 4 = 0–6= (–6) – 6 = Respuestas. a) Se resta 4. b) Se resta 4. c) Se hace la resta 0 – 4 = –4. d) -20. Se sigue restando –4 cada vez. e) Se resta 6 . f) –12 . Se suma cuatro veces 2. Expresa cada multiplicación como sumas: a) 5 × 3 = = g) –30. Se suma veces 3. b) 4 × 0 = 0 + 0 + 0 + 0 = Se suma veces 0. 17 Propósito del interactivo. Interpretar las multiplicaciones de números con signo como sumas. Sugerencias didácticas. Permita que los alumnos modifiquen los factores presentados en el interactivo para que recuerden que la multiplicación se puede interpretar como una suma repetida. Puede comenzar con los dos factores positivos y después ir cambiando el signo del segundo factor para mostrar que la idea de la suma repetida también sirve cuando se multiplican números con signo. Pida a los alumnos que relacionen los números que se están multiplicando con el resultado, llame su atención hacia los signos. Permita que una vez que hayan elaborado alguna conjetura la validen modificando los números a multiplicar (éstos se pueden modificar aumentando o disminuyendo el grado de dificultad de acuerdo con las necesidades de sus alumnos). Recuerde que puede explorar el resto del interactivo por si alguna actividad anterior o posterior le sirve para reafirmar algunos conceptos con sus estudiantes, esto no necesariamente deberá ser delante del grupo, puede explorar previamente el interactivo y seleccionar, si lo considera oportuno, algunas otras actividades. Propósito de la actividad. Se quiere que los alumnos recuerden que una multiplicación puede verse como una suma repetida, y que esta idea sirve también para cuando se multiplica un entero positivo por un número negativo. Li b r o p ara e l m ae s t r o 53 SECUENCIA 1 III. Cuando en una multiplicación el primer factor es un número entero positivo y el segundo factor es un número negativo, también se hace una suma repetida, por ejemplo: 2 × (–5) = (–5) + (–5) = –10. Se suma dos veces –5. O también: 4 × (–3.7) = (–3.7) + (–3.7) + (–3.7) + (–3.7) = –14.8. Se suma cuatro veces –3.7. Expresa las siguientes multiplicaciones como sumas repetidas y encuentra el resultado: a) 3 × (–8) = ( b) –8 )+( –8 )+( –8 )= –24 –44 (-4) × (–11) = (–11) + (–11) + (–11) + (–11) = c) 5 × (–2) = (–2) + (–2) + (–2) + (–2) + (–2) = –10 –4.8 d) 4 × (–1.2) = (–1.2) + (–1.2) + (–1.2) + (–1.2) = e) 6 × (– 4 3 Sugerencia didáctica. Pida a algunos alumnos que opinen al respecto. Y que comenten si están de acuerdo o no en que no es necesario hacer todas las sumas repetidas. Si es necesario, recuerden cómo se hacen las multiplicaciones con fracciones. Se esperaría que después de la discusión resolvieran las multiplicaciones del número IV sin tener que hacer las sumas repetidas. 4 4 4 4 4 – 24 ) = (– 4 3 3 ) + (– 3 ) + (– 3 ) + (– 3 ) + (– 3 ) + (– 3 ) = f) 6 × (–7) = –42 (–12) + (–12) + (–12) = –36. g) 3 × (–12)= Comparen sus respuestas y comenten: en otro grupo encontraron el resultado de 6 × (–7) diciendo que 6 × 7 = 42 y que, entonces, 6 × (–7) = –42. ¿Están de acuerdo con este procedimiento? ¿Cómo usarían este procedimiento para encontrar el resultado de 4 × (–1.2) y de 6 × (– 4 3 )? IV. Realiza las siguientes multiplicaciones: a) 8 × (–10) = b) 12 × (–4) = c) 7 × (–5.8) = d) 10 × (– 18 –80 –48 –40.6 1 7 ) = – 10 7 54 L ibro p ara el mae s t r o MATEMÁTICAS II A lo que llegamos Cuando en una multiplicación el primer factor es un número entero positivo y el segundo factor es un número negativo, se suma varias veces el número negativo. Por ejemplo: 5 × (–4) = (–4) + (–4) + (–4) + (–4) + (–4) = –20. Se suma cinco veces –4 Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que copien esta información en sus cuadernos. Dígales que pongan algunos ejemplos de multiplicaciones con dos factores de signos distintos en las que empleen números enteros, decimales y fracciones. 3 × (–6.4) = (–6.4) + (–6.4) + (–6.4) = –19.2. Se suma tres veces –6.4 4 × (– 7 3 7 7 28 ) = (– ) + (– 7 3 ) + (– 3 ) + (– 3 ) = (– 3 ) . 7 3 Se suma cuatro veces – 7 3 . En general, para encontrar el resultado de una multiplicación de este tipo se multiplican los valores absolutos de los números y al resultado se le antepone el signo –. Por ejemplo: 6 × (–3) = –18 Se hace la multiplicación 6 × 3 = 18, se le antepone el signo –, y el resultado es –18. 10 × (–8.32) = –83.2 Se hace la multiplicación 10 × 8.32 = 83.2, se le antepone el signo –, y el resultado es –83.2. Lo que aprendimos 1. Completa la expresión de cada una de las siguientes multiplicaciones como una suma y encuentra el resultado. a) 4 × 8 b) 8 × 0 = c) 3 × (–7) = = Sugerencia didáctica. Si no queda tiempo en la clase, deje esta actividad de tarea. Integrar al portafolios. Pida a los alumnos una copia de sus respuestas a estas actividades y revíselas para ver si han comprendido. Si lo considera necesario, repasen la información de A lo que llegamos. 8 + 8 + 8 + 8 = 32. = 0+0+0+0+0+0+0+0 (−7) + (−7) + (−7) 0 = –21 d) 9 × (–1) = (−1)+(−1)+(−1)+(−1)+(−1)+(−1)+(−1)+(−1)+(−1) = –9 e) 7 × (–2) = (–2) + (–2) + (–2) + (–2) + (–2) + (–2) + (–2) = –14 f) 4 × (−3) = (−3) + (−3) + (−3) + (−3) = –12. 19 Li b r o p ara e l m ae s t r o 55 SECUENCI A 1 g) 5 × (–10.4) = h) 6 × (– 2 5 (-10.4)+(-10.4)+(-10.4)+(-10.4)+(-10.4) 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 = –52 ) = (– )+(– )+(– )+(– )+(– )+(– ) = (– 12 5 ) 2×0= 2. Realiza las siguientes multiplicaciones: 5 × (–8) = 11 × 0 = –40 0 8 × (–7) = –56 –26 –18 0 –42 3 × (–9) = 10 × 0 = –27 0 2 × (–13) = 14 × (–3) = 7× – 3 4 = 6 × (–4.8) = –28.8 8 × (–2.25) = ( ) – 21 4 4 × – 11 3 = ( ) – 44 3 Propósito de la sesión. Resolver multiplicaciones de un número negativo por un número positivo, de la forma (–7) × 4. Organización del grupo. Esta sesión también se resuelve de manera individual. Propósito de la actividad. Se presentan nuevamente dos tablas, pero ahora en la segunda hay números negativos como primer factor. Se espera que los alumnos resuelvan la primera tabla utilizando lo que aprendieron en la sesión anterior, y que resuelvan la segunda encontrando un patrón en los resultados (va disminuyendo de 8 en 8) y viendo que dichos resultados coinciden renglón a renglón con los de la primera tabla (propiedad conmutativa, aunque no se maneja con ese nombre). Permita que los alumnos saquen sus propias conclusiones sin anticiparles la regla de los signos ni la conmutatividad. SESIÓN 3 MÁS MULTIPLICACIONES DE NÚMEROS CON SIGNO Para empezar En esta sesión vas a continuar haciendo multiplicaciones de números negativos con positivos. Consideremos lo siguiente Las siguientes tablas son parte de las tablas de multiplicar del 8. Encuentra los resultados: 8×6= 8×5= 8×4= 8×3= 8×2= 8×1= 8×0= 8 × (–1) = 8 × (–2) = 8 × (–3) = 8 × (–4) = 8 × (–5) = 8 × (–6) = 48 40 32 24 16 8 0 −8 −16 −24 − 32 − 40 − 48 6×8= 5×8= 4×8= 3×8= 2×8= 1×8= 0×8= (–1) × 8 = (–2) × 8 = (–3) × 8 = (–4) × 8 = (–5) × 8 = (–6) × 8 = 48 40 32 24 16 8 0 −8 −16 −24 − 32 − 40 − 48 3 20 Comparen sus respuestas. Comenten cómo van cambiando los resultados en las tablas. 56 L ibro p ara el mae s t r o MATEMÁTICAS II Manos a la obra I. Observa las tablas y responde las preguntas: a) En la tabla de la izquierda, de arriba hacia abajo, ¿los resultados aumentan o disminuyen? b) ¿Cuánto se resta para pasar del resultado de 4 × 8 al resultado de 3 × 8? c) ¿Cuánto se resta para pasar del resultado de 2 × 8 al resultado de 1 × 8? d) Para pasar del resultado de 0 × 8 al resultado de (–1) × 8, se resta lo mismo. ¿Cuánto es (–1) × 8? e) Entre dos renglones consecutivos de la tabla del 8, siempre se resta lo mismo. ¿Cuánto es (–5) × 8? f) ¿Cómo son los resultados en cada renglón de las dos tablas? ¿Son iguales o son distintos? Comparen sus respuestas. Comenten: si 8 × (–9) = –72, ¿cuánto es (–9) × 8? II. Completa los siguientes resultados: 10 × 5 = 10 × 4 = 10 × 3 = 10 × 2 = 10 × 1 = 10 × 0 = 10 × (–1) = 10 × (–2) = 10 × (–3) = 10 × (–4) = 10 × (–5) = 50 40 30 20 10 0 5 × 10 = 4 × 10 = 3 × 10 = 2 × 10 = 1 × 10 = 0 × 10 = (–1) × 10 = (–2) × 10 = (–3) × 10 = (–4) × 10 = (–5) × 10 = 50 40 30 20 10 0 Propósito de la actividad. Que los alumnos se den cuenta del patrón que aparece en las tablas: los resultados siempre van disminuyendo. Si hay dificultades, escriba en el pizarrón las restas correspondientes. Por ejemplo: 0–8= (–8) – 8 = (–16) – 8 = Respuestas. a) Se resta 8 . b) Se resta 8 . c) –8 . d) –40. e) Los resultados son iguales. 1 −10 −20 − 30 − 40 − 50 −10 −20 − 30 − 40 − 50 a) En las tablas, ¿los resultados aumentan o disminuyen? b) Los resultados, en cada renglón de ambas tablas, ¿son iguales o son diferentes? 21 Li b r o p ara e l m ae s t r o 57 SECUENCI A 1 III. Encuentra el resultado de las siguientes multiplicaciones: a) 7 × (–4) = c) 11 × (–9) = e) 5 × (–12) = g) 4 × (–27) = i) 15 × (–4) = k) 10 × (–16) = –28 –99 –60 –108 –60 –160 b) (–4) × 7 = d) (–9) × 11 = f) (–12) × 5 = h) (–27) × 4 = j) (–2) × 18 = l) (–14) × 13 = –28 –99 –60 –108 –36 –182 Comparen sus respuestas. Comenten cuál es el signo del resultado cuando multiplicamos un número negativo con uno positivo. Sugerencia didáctica. Comente a los alumnos que en las sesiones 2 y 3 han trabajado la multiplicación de un número positivo por uno negativo, y que el resultado es igual si el primer factor es positivo y el segundo negativo, o al revés, si el primero es negativo y el segundo positivo. 3 × (–8) = –24 (–8) × 3 = -24 A lo que llegamos Cuando en una multiplicación el primer factor es un número negativo y el segundo factor es un número entero positivo, se multiplican los valores absolutos de los números y al resultado se le antepone el signo –. Por ejemplo: (–8) × 2 = –16 Se hace la multiplicación 8 × 2 = 16, se le antepone el signo –, y el resultado es –16. IV. Cuando se multiplica un número entero positivo por una fracción o un número decimal negativo, se hace lo mismo: se multiplican los valores absolutos de los números y al resultado se le antepone el signo –. Realiza las siguientes multiplicaciones: a) 3 × (–4.1) = c) (– 4 5 –12.3 – 12 5 Comparen sus respuestas. b) (–9.47) × 10 = d) 5 × (– 10 7)= –19.47 – 50 7 )×3= 22 58 L ibro p ara el mae s t r o MATEMÁTICAS II –48 –4 –14 – 104 4 Propósito de la sesión. Identificar y utilizar la regla de los signos para multiplicar. Lo que aprendimos 1. Realiza las siguientes multiplicaciones: 0×5= 0 –14 –119 –49.6 7 x (–1) = –7 –77 –192 3 × (–16) = (–1) × 14 = (–7) × 11 = 1 × (–4) = (–17) × 7 = 16 × (–12) = (–3.5) × 4 = 8 × (–6.2) = 12 (– 2 9)×6= – 9 8 × – 13 4 = ( ) LA REGLA DE LOS SIGNOS 1 Para empezar SESIÓN 4 Cuando se multiplican números con signo se utiliza la regla de los signos. En esta sesión vas a conocer y a utilizar esta regla. Organización del grupo. Los alumnos trabajan de manera individual y comentan sus resultados con los demás. Consideremos lo siguiente Encuentra los resultados que hacen falta en la siguiente tabla y anótalos. × 4 3 2 1 0 –1 –2 –3 –4 4 16 12 8 4 0 3 12 9 6 3 0 2 8 6 4 2 0 1 4 3 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 –1 –4 –3 –2 –1 0 –2 –8 –6 –4 –2 0 –3 –12 –9 –6 –3 0 –4 –16 –12 –8 –4 0 –4 –8 –12 –3 –6 –9 –2 –4 –6 –8 –1 –2 –3 –4 1 2 3 4 2 4 6 8 3 6 9 12 4 8 12 16 Propósito de la actividad. Al llenar esta tabla se pretende que los alumnos utilicen lo que aprendieron en las dos sesiones anteriores para que continúen encontrando los patrones. De esta manera podrán concluir que un número negativo multiplicado por un número negativo da como resultado un número positivo. Es importante que no les anticipe cuál es el resultado de multiplicar un número negativo por un número negativo. –16 –12 Comparen sus respuestas. Comenten cómo van cambiando los resultados en cada renglón y en cada columna. 23 3 Li b r o p ara e l m ae s t r o 59 Propósito de la actividad. Se quiere que los alumnos se den cuenta del patrón que aparece en las tablas: los resultados en unas columnas/ renglones siempre aumentan o siempre disminuyen. Si ve que hay dificultades escriba en el pizarrón las sumas: (−12) + 3 = −9 (−9) + 3 = −6 (−6) + 3 = −3 (−3) + 3 = 0 0+3=3 Respuestas. a) Se suma 3 . b) Se suma 3 . c) 3 . d) 6 . SECUENCI A 1 Manos a la obra I. Observa las tablas y responde las preguntas: a) ¿Cuánto se suma para pasar del resultado de 4 × (–3) al resultado de 3 × (–3)? b) ¿Cuánto se suma para pasar del resultado de 1 × (–3) al resultado de 0 × (–3)? c) Entre dos resultados consecutivos de la tabla del (–3) siempre se suma lo mismo. ¿Cuánto es (–1) × (–3)? d) ¿Cuánto es (–2) × (–3)? II. Responde las siguientes preguntas: a) En la tabla del (–1), para pasar de un resultado al siguiente ¿se suma o se resta? . ¿Cuánto se suma o cuánto se resta? b) En la tabla del 1, para pasar de un resultado al siguiente ¿se suma o se resta? . ¿Cuánto se suma o cuánto se resta? c) En la tabla del 2, ¿cuánto se suma o cuánto se resta para pasar de un resultado al siguiente? d) En la tabla del (–4), ¿cuánto se suma o cuánto se resta para pasar de un resultado Respuestas. a) Se suma 1. b) Se resta 1. c) Se resta 2 . d) Se suma 4. e) Es positivo. a) 7 × (–2) = c) (–3) × (–6) = e) 3 × (–15) = al siguiente? e) ¿Cuál es el signo del resultado de multiplicar dos números negativos? Comparen sus respuestas. Comenten cuál es el resultado de multiplicar (–3) × (–7). III. Realiza las siguientes multiplicaciones: –14 18 –45 b) (–12) × 4 = d) (–9) × 2 = f) (–17) × (–4) = –48 –18 68 24 60 L ibro p ara el mae s t r o MATEMÁTICAS IV. Completa las afirmaciones con positivo o negativo : a) Cuando multiplicamos un número positivo por uno negativo el resultado es II Respuestas. a) Negativo. b) Negativo. c) Positivo. b) Cuando multiplicamos un número negativo por uno el resultado es positivo. c) Cuando multiplicamos un número el resultado es positivo. d) Cuando multiplicamos un número negativo por uno el resultado es negativo. Comparen sus respuestas. por uno positivo d) Positivo. A lo que llegamos Para multiplicar números con signo se multiplican los valores absolutos de los números y luego se determina el signo del resultado utilizando la regla de los signos: cuando multiplicamos Positivo por positivo el resultado es positivo. Positivo por negativo el resultado es negativo. Negativo por positivo el resultado es negativo. Negativo por negativo el resultado es positivo. Por ejemplo, para multiplicar (–4) × 11, primero se hace la multiplicación: Sugerencia didáctica. Copie esta información en una cartulina y péguela en el salón. 4 × 11 = 44, y utilizando la regla de los signos sabemos que el resultado es negativo. Entonces, (–4) × 11 = –44. V. Cuando se multiplican fracciones o números decimales con signo, también se utiliza la regla de los signos. Realiza las siguientes multiplicaciones: a) (–5) × 8.4 = –42 20.88 14 63 b) (–10.35) × (–4) = d) f) 4 11 12 5 41.4 c) (–5.8) × (–3.6) = e) (– 1 7 × (–3) = × – 1 2 = – 12 11 12 – 10 =– 6 5 25 ) × (– 14 9)= = 2 9 ( ) Li b r o p ara e l m ae s t r o 61 Integrar al portafolios. Guarde una copia de las respuestas de los alumnos a esta actividad. Si los alumnos tienen dificultades repasen la información de los apartados A lo que llegamos de las últimas tres sesiones. Propósito del interactivo. Resolver multiplicaciones de números con signo. Sugerencias didácticas. Si desea realizar más ejercicios con los alumnos, el interactivo presenta aleatoriamente los números a multiplicar. Una forma de utilizar el interactivo es formando equipos para resolver las tablas y antes de presionar el botón Verificar pregunte a los alumnos si las respuestas son correctas, en caso de no serlo, que ellos mismos expliquen por qué. Puede ocupar la actividad para evaluar lo aprendido por sus alumnos. Propósito de la sesión. Identificar y utilizar la regla de los signos para dividir. Organización del grupo. En esta sesión hay trabajo tanto individual como de parejas. Los comentarios sobre las respuestas y procedimientos son con todo el grupo. Propósito de la actividad. Se pretende que los alumnos utilicen la regla de los signos para saber cuál es el signo del resultado de una multiplicación o el de uno de los factores. En algunos casos es necesario dividir. Si observa los alumnos que cometen errores aritméticos en las divisiones no los corrija, es mejor pedirles que ellos realicen, al final, todas las multiplicaciones para verificar los resultados. SECUENCIA 1 Lo que aprendimos 1. Realiza las siguientes multiplicaciones: (–8) × 0 = (–17) × 1 = (–16) × 2 = 0 –17 –32 10.25 1 × (–15) = (–3) × 13 = –15 –39 195 0 × (–4) = 0 96 (–12) × (–8) = 7 × (–1.3) = 4× (–13) × (–15) = –9.1 (–2.5) × 4.1 = (– ) × (– 1 2 1 8 1 ) = 16 ( – 21 8 ) = – 84 8 SESIÓN 5 LA REGLA DE LOS SIGNOS 2 Para empezar La regla de los signos también se utiliza para hacer divisiones entre dos números con signo. Consideremos lo siguiente Completen los datos y los resultados que faltan en las siguientes multiplicaciones: × 2 –4 7 14 –4 –8 16 –12 –24 48 35 5 −20 −60 −8 –56 32 96 13 91 –52 −156 −15 –105 60 180 216 −18 −126 72 Comparen sus respuestas. Comenten qué hicieron para encontrar el signo de los números que faltaban. −28 Manos a la obra I. Respondan las siguientes preguntas: a) Un número multiplicado por 17 da como resultado 204, ¿cuál es la operación que se puede hacer para encontrar ese número? 26 3 Propósito de la actividad. Se pretende que los alumnos extiendan a los números negativos lo que ya saben hacer con las multiplicaciones y divisiones de números positivos. Se extiende la regla de los signos a la divisiones para que se siga cumpliendo la regla de los signos en las multiplicaciones. Respuestas. a) Se divide 204 entre 17. b) Es 12 . c) 12 × 17 = 204. d) La división es 184 ÷ (−8). e) 23 . f) 23 × (−8) = −184. Posibles dificultades. Quizá en los incisos g) e i) los alumnos no escriban los paréntesis. Recuérdeles lo que se vio en la sesión 1, en el apartado Para empezar : los paréntesis se utilizan para no confundir el signo del número con los signos de la operación. 62 L ibro p ara el mae s t r o MATEMÁTICAS b) ¿Cuál es el número que buscamos? c) Esto es cierto porque: × 17 = 204. II d) Para encontrar el número que multiplicado por –8 da como resultado 184, ¿cuál es la operación que se puede hacer? e) ¿Cuál es el número que buscamos? f) Esto es cierto porque: × (–8) = 184. II. En la siguiente tabla se presentan algunos problemas. Complétenla: Problema División que se hace para encontrar el número Verificación ¿Cuál es el número que al multiplicarlo por 3 da –78? ¿Cuál es el número que al multiplicarlo por –9 da 171? ¿Cuál es el número que al multiplicarlo por (–78) ÷ 3 = −26 −26 × 3 = –78 171 ÷ (−9) = −19 (–75) ÷ (–25) = (−19) × (−9) = 171 3 × (−25) = –75 −25 da −75 ? 3 Respuestas. a) Negativo. b) Negativo. c) Positivo. a) ¿Cuál es el signo del resultado de dividir un número negativo entre uno positivo? b) ¿Cuál es el signo del resultado de dividir un número positivo entre uno negativo? c) ¿Cuál es el signo del resultado de dividir un número negativo entre uno negativo? III. Encuentren el resultado de las siguientes divisiones: a) 12 ÷ (–6) = c) (–44) ÷ (–4) = e) (–16) ÷ (–8) = –2 11 2 b) (–18) ÷ 6 = d) (–20) ÷ 5 = f) 28 ÷ (–28) = –3 –4 –1 Comparen sus respuestas. Comenten qué hicieron para encontrar el signo de los resultados. 27 3 Li b r o p ara e l m ae s t r o 63 SECUENCIA 1 A lo que llegamos Sugerencia didáctica. Copie esta información en una cartulina y péguela en el salón. Para hacer divisiones entre números con signo se dividen los valores absolutos de los números y luego se encuentra el signo del resultado utilizando la regla de los signos: Cuando dividimos, Positivo entre positivo el resultado es positivo. Positivo entre negativo el resultado es negativo. Negativo entre positivo el resultado es negativo. Negativo entre negativo el resultado es positivo. Por ejemplo, para dividir (–110) ÷ (–5) , primero se hace la división: 110 ÷ 5 = 22, y utilizando la regla de los signos, sabemos que el resultado es positivo. Entonces, (–110) ÷ (–5) = 22. Sugerencia didáctica. Puede ser útil recordar cómo se hacen las divisiones con fracciones. a) (–7.4) ÷ 2 = IV. Cuando se dividen fracciones o números decimales con signo, también se utiliza la regla de los signos. Realicen las siguientes operaciones: –3.7 40 11 32 21 b) (–15.5) ÷ (–5) = d) (– f) 2 3 2 3 3.1 Integrar al portafolios. Seleccione una de las actividades de este apartado y pida a los alumnos que le entreguen una copia de sus respuestas. Sugerencia didáctica. Utilicen la calculadora de la computadora para verificar los resultados de estas operaciones. Hay que dar un clic en Inicio, luego ir a Programas, y en Accesorios encontrarán la calculadora. También pueden hacerlo con cualquier calculadora que haya en el salón. Es importante que los alumnos aprendan a distinguir entre las teclas de operadores (+ – ÷ ×) y la de cambio de signo (+/–) . Para realizar la operación 6× (–5.3) hay que oprimir: [ 6 ] [×] [ 5.3 ] [ +/– ] [ = ] Dé a los alumnos un tiempo para explorar cómo funciona la calculadora y posteriormente pida a algunos que expliquen paso por paso las teclas que hay que oprimir para obtener el resultado correcto en la operación 16 ÷ (–5) , por ejemplo. Proponga otras sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de números con signo. c) (–10) ÷ (– 11 4)= e) (– 8 3 )÷7= – ( ) – 2 21 6 3 ) ÷ (– 7 4)= ÷ – 1 3 = = –2 Lo que aprendimos 1. Realiza las siguientes operaciones: (–9) × 0 = (–2) × 7 = 12 × (–1) = 0 –14 –12 –4 –4.375 –31.8 (–1) × 17 = 6 × (–8) = –17 –48 45 24 1 × (–29) = (–7) × 3 = –29 0 × (–24) = 11 × (–4) = 0 –44 130 4.5 7.1 3.8 –21 15 (–9) × (–5) = (–48) ÷ (–2) = 16 ÷ (–5) = (–3) x 2.4 = (–15) × (–1) = (–56) ÷ 8 = (–10) × (–13) = (–18) ÷ (–4) = (–71) ÷ (–10) = (–34.2) ÷ (–9) = 44 ÷ (–11) = (–35) ÷ 8 = 6 × (–5.3) = 28 –7 7.25 0.75 –3.2 –7.2 (–29) ÷ (–4) = (–3.75) ÷ (–5) = Propósito del interactivo. Practicar las reglas para multiplicar y dividir números con signo. Sugerencias didácticas. Si desea realizar más ejercicios con los alumnos, el interactivo presenta aleatoriamente los números a multiplicar o dividir. Una forma de utilizar el interactivo es formando equipos para resolver las actividades propuestas y antes de presionar el botón Verificar, pregunte a los alumnos si las respuestas son correctas, en caso de no serlo que ellos mismos expliquen por qué. Puede ocupar la actividad para evaluar lo aprendido por sus alumnos. 64 L ibro p ara el mae s t r o MATEMÁTICAS (–3) × – 1 6 = II 84 (–12) ÷ – 2 7 = 2 Respuestas. ( ) 3 6 – 65 (– 13 2 2)×5= 7 8 ÷ (–4) = 7 – 32 ( ) =42 (–7.4) × 5.1 = –37.74 8 6 54 9 (–2.7) × (–10.5) =28.35 – 6 5 × – 5 = 25 ( ) ( ( ) – (– 1 7 ) × 13 = 10 (– 1 4 ) ÷ (– 3 ) = 13 7 3 40 a) Es 13.72° C porque la suma de las temperaturas mínimas es 68.6° C y 68.6 ÷ 5 = 13.72 . b) Es −6.84° C porque la suma de las temperaturas mínimas es −34.2° C y ( −34.2) ÷ 5 = -6.84. c) Del día 25 / XII / 06 es −1° C porque 8 + ( −10) = –2 y –2 ÷ 2 = −1. Del día 26 / XII / 06 es 4° C porque 17.4 + ( −9.4) = 8 y 8 ÷ 2 = 4. Del día 27 / XII / 06 es 5.7° C porque 20.2 + ( −8.8) = 11.4 y 11.4 ÷ 2 = 5.7. Del día 28 / XII / 06 es 8° C porque 16 + 0 = 16 y 16 ÷ 2 = 8 . Del día 29 / XII / 06 es 0.5° C porque 7 + ( −6) = 1 y 1 ÷ 2 = 0.5 . × – 9 2 = ( 72 ) – 12 = 6 33 (–11) ÷ – 10 3 = 10 ( ) 2 3 ÷ – 5 8 = ) – 16 15 2. Del 25 al 29 de diciembre de 2006 se registraron las siguientes temperaturas en Temósachic, Chihuahua: 25 Temperatura máxima Temperatura mínima 26 27 28 29 8 –10 17.4 –9.4 20.2 –8.8 16 0 7 –6 a) Encuentra el promedio de las temperaturas máximas en esos días. b) Encuentra el promedio de las temperaturas mínimas en esos días. c) Encuentra la temperatura promedio de cada día (el promedio calculado entre la temperatura máxima y la mínima de ese día). 3. Coloca los números que faltan para que todas las operaciones sean correctas: 24 ÷ × −1 × = −24 ÷ −8 = –3 ÷ 4 = = –2 = × −4 = 12 Para saber más Sobre los números enteros consulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula: Bosch, Carlos y Claudia Gómez. “Números enteros”, “Suma y resta de números enteros” y “Multiplicación y división de enteros”, en Una ventana al infinito. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2003. Sobre los números con signo: Marván, Luz María. “Números con signo”, “¿Mayor o menor?”, “El valor absoluto” y “Reglas para operar con negativos”, en Representación numérica. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2002. Sobre los egipcios consulta: http://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/faro/home.htm Sobre héroes, tumbas y sabios El periódico Egipcio Ruta: Menú [Fecha de consulta: 23 de mayo de 2007]. Red Escolar, Instituto Latinoamericano de la Comunicación Educativa. 29 Li b r o p ara e l m ae s t r o 65 SECUENCI A 2 Problemas aditivos con expresiones algebraicas Propósito del programa integrador. Mostrar casos en los que se resuelvan problemas aditivos con expresiones algebraicas. Propósito de la sesión. Resolver problemas que impliquen la suma de monomios. Organización del grupo. En esta sesión se sugiere que los alumnos trabajen de manera individual y que haya momentos de intercambio grupal. Sugerencia didáctica. Si lo considera necesario, pase a algunos alumnos al pizarrón a que dibujen rectángulos que cumplan dicha condición. En esta secuencia resolverás problemas de adición y sustracción de expresiones algebraicas. SESIÓN 1 LOS GALLINEROS Consideremos lo siguiente Don Lencho es un granjero que desea construir un gallinero de forma rectangular. El técnico avícola de la región le ha recomendado que el largo del gallinero mida el doble que su ancho. Para determinar las dimensiones del gallinero, don Lencho tiene una gran cantidad de posibilidades que respeten la recomendación anterior. a Posibles respuestas. Puede haber distintas respuestas correctas, como 6 a, 3 a + 3 a, a + 2 a + a + 2 a. Es importante que lo comenten y que los alumnos tengan claro que todas las respuestas correctas son expresiones equivalentes a 6 a. Si el número de metros que tiene el ancho se representa con la letra a, escribe una expresión algebraica que represente el perímetro del gallinero. Perímetro = Comparen sus expresiones algebraicas. Comenten: ¿Cuál es el perímetro del gallinero si el ancho mide 1 metro? 1 30 Eje Sentido numérico y pensamiento algebraico. Propósitos de la secuencia Resolver problemas que impliquen adición y sustracción de expresiones algebraicas. Tema Significado y uso de las operaciones. Sesión 1 Propósitos de la sesión Los gallineros Resolver problemas que impliquen la suma de monomios. A medir contornos Resolver problemas que impliquen la suma de binomios. La tabla numérica Resolver problemas que impliquen la suma o resta de monomios con coeficientes positivos y negativos. Cuadrados mágicos y números consecutivos Resolver problemas con números consecutivos que impliquen la suma de expresiones algebraicas. Recursos Interactivo Aula de medios Programa integrador 2 Antecedentes 2 En primero de secundaria los alumnos aprendieron a usar incógnitas como números generales y a resolver problemas aditivos con números enteros. En esta secuencia aprenderán a sumar y restar monomios y binomios. Aula de medios 3 Interactivo 4 Video “La magia de los chinos” Interactivo 66 L ibro p ara el mae s t r o MATEMÁTICAS II Perímetro del gallinero en metros Manos a la obra I. Completa la siguiente tabla para ayudar a don Lencho a decidir el tamaño del gallinero. Operaciones que se realizan para calcular el perímetro del gallinero Propósito del interactivo. Ejemplificar el uso de expresiones algebraicas. Que los alumnos se familiaricen con el uso de expresiones algebraicas. Sugerencias didácticas. Esta parte del interactivo presenta la traducción de enunciados en expresiones algebraicas; puede ocuparse para mostrar a los alumnos más ejemplos de cómo representar algebraicamente un problema. Conviene realizar las dos actividades ya que en la primera sólo se trabaja aritméticamente y en la segunda se hace la representación algebraica de los procedimientos realizados. Medida en metros del ancho Medida en metros del largo 1 1 1 2 2 6 3 4 9 12 2 3 6 8 18 24 27 48 4 4.5 9 16 2×a 8 a 6a Comparen sus tablas. Si es necesario, verifiquen sus respuestas dibujando en su cuaderno los rectángulos correspondientes (utilicen una escala de 1cm = 1m). Comenten: a) ¿Qué operación hicieron para obtener la medida del largo del gallinero cuando a representa la medida del ancho en metros? b) ¿Qué operaciones hicieron para obtener el perímetro del gallinero cuando a representa la medida del ancho en metros? II. Contesta lo siguiente: a) En las siguientes expresiones algebraicas la letra a representa el número de metros que tiene el ancho del gallinero. Subraya las expresiones que, al sumarse, permiten obtener el perímetro. ¡Cuidado, puede haber más de una que sea correcta! Respuestas. Con excepción de la primera, las demás expresiones representan la medida del perímetro. a+a+a a + a + 2a + 2a a+a+a+a+a+a 3a + 3 a e: Recuerda qu ) signo × (por confundir el , Para evitar n la literal x co n ió ac lic de la multip ibe. ” no se escr el signo “por o: Por lo mism +a sa=a+a 3a = 3 vece 31 Li b r o p ara e l m ae s t r o 67 SECUENCI A 2 b) El resultado de la suma a + a es 2a, o sea, 2 veces a. Completa el siguiente esquema para encontrar el resultado de la suma a + a + 2a + 2a. a + a a + a + 2a + 2a = (a + a) + ( a + a) + c) ¿Cuántas veces aparece a en la expresión a + a + (a + a) + (a + a)? 3 Propósito del interactivo. Identificar las partes que forman un término. Introducir el concepto de términos semejantes. Sugerencias didácticas. El interactivo es una animación que presenta términos semejantes a un término dado, el cual se puede modificar. Pida a los alumnos que obseven qué es lo que se mantiene constante y lo qué es que cambia al presentarles los términos semejantes al término dado. Puede pedir a los alumnos que modifiquen el término para validar sus conjeturas respecto de qué es un término semejante a otro. Comenten las soluciones que obtuvieron. A lo que llegamos a + a + 2a + 2a En una suma de expresiones algebraicas los sumandos se llaman términos. Por ejemplo, a y 2a son términos de la suma Los términos tienen coeficiente, literales y exponentes. El término 2a tiene: Coeficiente: 2 El término a tiene: Coeficiente: 1 El término 3a 2 tiene: Coeficiente: 3 Literal: a Exponente: 2 Literal: a Exponente: 1 Literal: a Exponente: 1 a, 3a, 2a, 1.5a, se les llama términos semejantes. Los términos numéricos son semejantes entre sí. Por ejemplo, 8 y –5 son términos semejantes. A los términos que tienen la misma literal con igual exponente como Sugerencia didáctica. Haga ver a los alumnos que un término puede tener varias literales con sus respectivos exponentes, por ejemplo en 3 a 2 b 3 el coeficiente es 3 y hay dos variables a cuyo exponente es 2 y b cuyo exponente es 3 . 3a 2 y 2a aunque tienen la misma literal no son semejantes porque no tienen el mismo exponente. 32 Sugerencia didáctica. Comente con los alumnos que mientras a representa una unidad lineal (para medir longitudes), a 2 representa una unidad de superficie (para medir áreas) y a 3 es una unidad cúbica (para medir volumen). También puede preguntar a los alumnos si 2 a y a 2 representan lo mismo o no, y si es el caso, en qué son distintas. Pídales algún ejemplo en el que se utilicen una u otra. 68 L ibro p ara el mae s t r o MATEMÁTICAS II Respuestas. Al rectángulo le corresponde la expresión 8 x y al trapecio la expresión 6.5x. III. Un hijo de don Lencho le presentó a su papá otros diseños para construir el gallinero. Une con una línea cada figura con la expresión de la derecha que representa su perímetro. 3x 8x x 1.5x 2x 2x 6x 4.5x 6.5x x Comparen las soluciones que obtuvieron. Comenten: ¿Cómo sumar términos semejantes cuando los coeficientes son decimales? 3 A lo que llegamos Para sumar términos semejantes se suman los coeficientes y se conserva la parte literal. Por ejemplo: 5.2x + 7.3x = 12.5x 5.2 + 7.3 = 12.5 IV. El perímetro del triángulo ABC es 13x. C 3x A ¿Cuál es la medida del lado BC? Comparen sus respuestas y comenten: 4x B ¿Qué operación hicieron para encontrar la medida del lado BC? 33 Li b r o p ara e l m ae s t r o 69 Propósito de la actividad. Lo que se plantea aquí tiene la intención de que los alumnos exploren la solución de problemas que involucran una resta de expresiones algebraicas utilizando algunos de sus conocimientos geométricos. Integrar al portafolios. Pida a los alumnos una copia de sus respuestas y procedimientos a cualquiera de las actividades del apartado Lo que aprendimos y guárdela en el portafolios. Si tienen dificultades analice a qué se deben, ya que pueden estar relacionadas con algunos conocimientos geométricos, o bien con la suma de expresiones algebraicas. Si ocurre esto último, revisen nuevamente la información de A lo que llegamos y propóngales otras sumas y restas de expresiones algebraicas. S E C UENCIA 2 A lo que llegamos Para restar términos semejantes se restan los coeficientes y se conserva la parte literal. Por ejemplo: 7x – 4x = 3x 7–4=3 Lo que aprendimos 1. El ancho de un rectángulo es 15x, y el largo tiene la medida del ancho más 3x. Dibuja en tu cuaderno el rectángulo con la medida de sus lados y escribe la expresión que corresponde a su perímetro. 2. Escribe la expresión del perímetro para cada uno de los siguientes polígonos regulares. Respuesta. El largo del rectángulo se obtiene sumando 15x + 3 x = 18 x ; por lo tanto, el perímetro del rectángulo es 66 x (perímetro = 15x + 15x + 18 x +18 x = 66 x). Posibles dificultades. A algunos alumnos puede serles difícil esta actividad porque no saben cuánto vale x ni tienen manera de averiguarlo. Si esto ocurre dígales que x puede ser cualquier medida, pero que el problema puede resolverse aunque ésta no se conozca, lo importante es que cumplan con la condición de que el largo sea 3 x mayor que el ancho. Una vez que hayan hecho el dibujo pídales que lo comparen con el de otros compañeros. Si no hubo errores, todos los rectángulos serán proporcionales. 2x 1.2z 2.4y P= 12 x P= 3.6 z P= 12 y 3. Encuentra el valor faltante en cada una de las figuras siguientes. a) b) y y El perímetro del triángulo isósceles es 5y. ¿Cuánto mide cada uno de los lados iguales? El perímetro del rectángulo es 8y. ¿Cuánto mide de largo? 34 Posibles dificultades. Si los alumnos no saben cómo hallar las medidas faltantes de los lados del triángulo isósceles recuérdeles que esa figura tiene dos lados iguales y uno desigual; por lo tanto, si el desigual mide y, cada uno de los otros debe medir 2 y. 70 L ibro p ara el mae s t r o MATEMÁTICAS A MEDIR CONTORNOS II SESIÓN 2 Para empezar x+3 x+z y– 2 Propósito de la sesión. Que los alumnos resuelvan problemas que impliquen la suma de binomios. Organización del grupo. En esta sesión se propone que el alumno trabaje de manera individual y en parejas, y que las discusiones sean grupales. Sugerencia didáctica. Pregunte a los alumnos en qué es distinto un monomio de un binomio y pídales que escriban ejemplos en el pizarrón. Respuestas. a) Los alumnos pueden escribir distintas expresiones correctas, como: P = 2 x + (x + 2) + 2 x + (x + 2 ) P = 4x + (x + 2) + (x + 2) P = 2x + x + 2 + 2x + x + 2 Son binomios expresiones algebraicas con dos términos como las siguientes: 5 3 2x + 7 Consideremos lo siguiente En el siguiente rectángulo se han determinado las medidas de la base y la altura. Ancho = x + 2 Largo = 2x P = 6x + 4 P = 6x + 2 + 2 P=x+x+x+x+x+x+2+2 a) ¿Cuál es la expresión algebraica que representa el perímetro del rectángulo? Comparen sus respuestas y comenten: ¿Cómo obtuvieron el perímetro del rectángulo? Pida a los alumnos que escriban en el pizarrón todas las expresiones distintas que hayan encontrado y comenten cuáles son correctas, es decir, cuáles son equivalentes. e: Recuerden qu es son semejant os in rm té s Do cuando: misma parte 1) tienen la . mo 3w y 2w co , al er lit icos, ér m nu os in 2) son térm como -2, 8. 35 Manos a la obra I. ¿Cuáles de las siguientes expresiones permiten encontrar el perímetro del rectángulo anterior? Subráyenlas. x + 2 + 2x 2x + 2x + (x +2) + (x + 2) 2x + (x +2) + 2x +(x + 2) (3x + 2) + (3x + 2) Respuestas. Con excepción de la primera, las demás expresiones representan el perímetro del rectángulo. Li b r o p ara e l m ae s t r o 71 SECUENCIA 2 3 Respuestas. a) 2 x, 2 x, x, x . b) La expresión quedaría 6 x + 4. c) 2 x + (x + 2) + 2 x + (x + 2) = 6 x + 4 (3 x + 2) + (3 x + 2) = 6 x + 4 Sugerencia didáctica. Pregunte a los alumnos por qué las expresiones obtenidas dan como resultado el mismo binomio (6 x + 4) . Pueden dar una variedad de respuestas, como “porque todas representan el perímetro del rectángulo”, “porque todas son iguales”, “porque dan lo mismo”, etcétera, lo importante es que se aseguren de que, efectivamente, las expresiones que escribieron son equivalentes a 6 x + 4. Respuesta. La expresión es 8 x + 2 . Comparen sus respuestas y comenten: ¿por qué las expresiones que señalaron representan lo mismo (el perímetro del rectángulo)? II. En la sesión anterior aprendieron a sumar términos semejantes: sumar los coeficientes y conservar la parte literal. ¿Cómo sumarían los términos semejantes de las expresiones anteriores? Contesten las siguientes preguntas. a) Para hacer la suma 2x + 2x + (x + 2) + (x + 2) se suman los términos semejantes. Completen: 2x + 2x + (x + 2) + (x + 2) = + en (x + 2) se El paréntesis r que x + 2 ca di in ra usa pa del a de un lado se es la medid is y el paréntes lo gu án ct re r. puede quita 2x + 2x + x + x = 2+2= b) Suma los términos semejantes de las siguientes expresiones: 2x + (x +2) + 2x +(x + 2) = + x + 2 + 2x = + + (3x + 2) + (3x + 2) = Comparen sus resultados. III. ¿Cuál es la expresión algebraica que representa el perímetro del siguiente rectángulo? x+2 3x – 1 3 Comparen las soluciones que obtuvieron. Sumen los términos semejantes y verifiquen si obtienen el mismo resultado. 36 72 L ibro p ara el mae s t r o MATEMÁTICAS II A lo que llegamos Para sumar binomios se suman los términos que son semejantes. (2x + 3) + (x – 2) = 3x + 1 2 x + x = 3x 3–2= 1 Lo que aprendimos 1. La altura de un rectángulo es x, y la base es 5 unidades mayor que la altura. Dibuja en tu cuaderno el rectángulo con la medida de sus lados y escribe la expresión que corresponde a su perímetro. No te olvides de sumar los términos semejantes. P= Integrar al portafolios. Pida a los alumnos que le entreguen una copia de sus respuestas a cualquiera de las dos actividades del apartado Lo que aprendimos. Sugerencia didáctica. Si el tiempo es insuficiente deje como tarea las actividades de este apartado. Respuestas. 1. El perímetro es 4x + 10 , porque la altura mide x y la base x + 5 . 2. El perímetro del trapecio es 5 r + 2 y el del hexágono es 6 r + 4. 3. El largo mide 3 y + 2 . 2. Escribe la expresión que corresponde al perímetro de cada polígono. No te olvides de sumar los términos semejantes. a) 2r b) r+2 r r r+1 r+1 r r r+2 Perímetro: r Perímetro: 3. El perímetro del rectángulo de la derecha es 10y + 6. ¿Cuál es la medida del largo? 2y + 1 37 Li b r o p ara e l m ae s t r o 73 Propósito de la sesión. Que los alumnos resuelvan problemas que impliquen la suma o la resta de monomios con coeficientes positivos y negativos. Organización del grupo. Al igual que en la sesión anterior, se sugiere que los alumnos trabajen en parejas, individualmente y en grupo. SECUENCI A 2 SESIÓN 3 LA TABLA NUMÉRICA Para empezar En la columna x de la siguiente tabla se encuentran algunos números enteros. e: Recuerda qu rx –x = –1 po Los números de las columnas: 2x, 3x, –3x, 0x, y –x se obtuvieron al multiplicar el coeficiente de cada expresión algebraica por el valor de x que está en su mismo renglón. x 5 4 3 2 1 0 –1 –2 –3 –4 –5 2x 2×5=10 8 6 4 2 0 3x 3×5=15 12 9 6 3 0 –3x –3×5=–15 –12 –9 –6 –3 0 0x 0×5=0 0 0 0 0 0 0×(-1)=0 0 0 0 0 Tabla 1 -x –1×5=–5 –4 –3 –2 –1 0 (–1)×(1)=+1 2 3 4 5 3x – x 15 – 5 =10 8 6 4 3x + (–x) 15 + (–5) = 10 8 6 2 0 (–3) – (–1)= (–3) +(+1)=–2 –4 –6 –6 –8 –10 0 (–3) +(+1)=–2 2x (–1) = –2 3x (–1) = –3 (–3)×(1)=+3 –4 –6 –8 –10 –6 –9 –12 –15 6 9 12 15 Completen la tabla y coementen: • ¿Por qué 3x – x equivale a restar el valor de x a 3x? • ¿Por qué el valor de 3x + (– x) equivale a sumar el valor de – x a 3x ? e: Recuerden qu do s, al minuen meros entero nú r ta res Para l sustraendo: de o ric ét sim se le suma el B) (simétrico de A-B=A+ (-B) A-B=A+ 38 74 L ibro p ara el mae s t r o MATEMÁTICAS II Respuestas. a) 2 x b) 2 x Sugerencia didáctica. En este punto pida a los alumnos que hagan las correcciones de los errores que hubieran podido cometer en las actividades anteriores y aclare dudas. También puede: • escribir la tabla en el pizarrón para que los alumnos la vayan llenando; • hacerles preguntas como: ¿En qué columna están los múltiplos de 2 ? Los múltiplos de 2 ¿son múltiplos de –2 ? ¿En qué se parecen y en qué son diferentes los números de las columnas 3 x y –3 x? • plantearles problemas como “si se suma el doble de un número con su triple ¿cuál es el resultado?” Será el quíntuplo de dicho número, es decir, 2 x + 3 x = 5x. Esto será importante posteriormente porque le permitirá al alumno hacer generalizaciones. Sugerencia didáctica. Los comentarios de los alumnos pueden ser diversos, dependiendo de lo que cada uno haya descubierto. Para casos como 2 x – (– x) es importante recordar que una sustracción con números enteros puede realizarse como una adición, cambiándole el signo al sustraendo. (–6) – (–4) = (–6) + (+4) = –2 39 Consideremos lo siguiente Las expresiones algebraicas del renglón superior de las primeras seis columnas son: x, 2x, 3x, –3x, 0x, y –x. a) ¿Cuál de ellas es el resultado de la resta 3x – x? b) ¿Cuál es el resultado de la suma 3x + (–x)? Comparen sus respuestas y comenten: ¿Cómo hicieron las operaciones? Manos a la obra I. Observen la tabla 1 y contesten: a) ¿Qué columnas tienen los mismos números que la columna 3x + (–x)? Si se agregaran la columna 2x + (–3x ) y la columna 2x + (–x ): b) ¿Qué otra columna de la tabla 1 tendría los mismos números que la columna 2x + (–3x )? c) ¿Qué otra columna de la tabla 1 tendría los mismos números que la columna 2x + (–x )? Comparen sus respuestas y comenten: ¿Por qué creen que la columna 3x + (–x ) tiene los mismos resultados que la columna 2x? A lo que llegamos Para sumar términos semejantes con coeficientes que son números con signo, se suman los coeficientes y se conserva la parte literal. Por ejemplo: 6x + (–8x ) = –2x 6 + (–8) = 6 – 8 = –2 (–6) – (+4) = (–6) + (–4) = –10 Propósito del interactivo. Practicar la suma de términos semejantes. Sugerencias didácticas. El interactivo presenta aleatoriamente ejercicios de suma de términos semejantes. Puede ocupar la actividad para evaluar lo aprendido por sus alumnos. Pídales que expliquen sus resultados, esto le orientará sobre cuales podrían ser las dificultades que tienen. Li b r o p ara e l m ae s t r o 75 SECUENCI A 2 II. Agregen a la tabla 1 la columna 2x – (–x ) y escriban los números que deben ir en cada renglón. a) ¿Qué columna tiene los mismos números que la columna 2x – (–x )? b) ¿Cuál es el resultado de la operación 2x – (–x )? Si se agregaran la columna x – (–x ) y la columna –x – (–3x ): e: Recuerden qu e de -x es -1 El coeficient c) ¿Qué otra columna de la tabla 1 tendría los mismos números que la columna x – (–x )? d) ¿Qué otra columna de la tabla 1 tendría los mismos números que la columna –x – (–3x )? Comparen sus respuestas y comenten cómo encontraron el resultado de las restas anteriores. A lo que llegamos Para restar términos semejantes con coeficientes negativos, se restan los coeficientes y se conserva la parte literal. – 2x – (– 5x ) = 3x Respuestas. a) [4 + (–1)] x = 3 x b) (2 – 1)x = x c) [1 – (–1)] x = (1 + 1)x = 2 x a) 4x + (–x ) = b) 2x – x = c) x – (–x ) = – 2 – (– 5) = – 2 + (+5) = +3 III. Apliquen las dos reglas anteriores para encontrar el resultado de las operaciones: Comparen sus respuestas. IV. Completen las siguientes operaciones sumando o restando términos semejantes. a) x – b) x + c) 2x + d) –3x – e) x – 40 Respuestas. x – x = 0x = 0 x + (–3 x) = –2 x 2 x + (–2 x) = 0 x = 0 –3 x – (– x) = –2 x = 0x = 0 = –2x = 0x = 0 = –2x = 5x x – (–6 x) = 7x 76 L ibro p ara el mae s t r o MATEMÁTICAS II Integrar al portafolios. Guarde una copia de las respuestas de los alumnos a esta actividad y valore si han aprendido a sumar monomios o es conveniente hacer un repaso. Lo que aprendimos 1. Para cada operación de la izquierda escoge su resultado de las expresiones que aparecen en la columna de la derecha. Operaciones a) 5x + (–3x) = b) –5x – (–3x) = c) 5x – (+3x) = d) –5x + (3x) = e) –3x – (–5x) = 2. El largo de un terreno rectangular mide 12.5 metros menos que el doble del ancho. La barda que lo rodea mide 197 metros. Si el ancho mide x metros: Resultados posibles 2x –8x –2x +8x Respuestas. a) 2 x – 12.5 b) Los alumnos pueden escribir distintas expresiones, como 2(2 x – 12.5) + 2 x 2 x – 12.5 + 2 x – 12.5 + x + x Aunque son correctas, pídales que efectúen las operaciones que han aprendido en estas sesiones para llegar a 6 x – 25 . c) Si la barda que rodea al terreno mide 197 metros, el perímetro puede expresarse como 6 x – 25 = 197; haciendo las operaciones necesarias se tiene que el ancho mide 37 metros y el largo 61.5 metros. Sugerencia didáctica. Si los alumnos lograron llegar a la expresión 6 x – 25 pero no saben de qué manera continuar resolviendo el problema, plantee las siguientes preguntas: ¿Qué número al restarle 25 es igual a 197 ? Y posteriormente: Ancho = x Largo a) ¿Qué expresión algebraica corresponde a la medida del largo? b) ¿Qué expresión corresponde al perímetro? c) ¿Cuántos metros mide cada lado del terreno? Ancho : metros Largo: metros 3. Un comerciante vendió cierta cantidad x de aguacate el lunes, el martes vendió 20 kg más que el lunes y el miércoles le faltaron 5 kg para vender el triple de lo que vendió el lunes. Si en los tres días vendió en total 167.5 kg de aguacate: a) ¿Qué cantidad de esta fruta vendió cada día? Lunes: kg Martes: kg Miércoles: kg b) ¿Qué día vendió un poco más de 50 kg de aguacate? c) ¿Qué día vendió 86.5 kg? ¿Qué número multiplicado por 6 da como resultado 222 ? También puede pedirles que revisen la secuencia 18 del libro de primer grado, en la que hay actividades que pueden servirles. 41 Respuestas. a) Lo que vendió el lunes puede expresarse como x, lo que vendió el martes x + 20 y lo que vendió el miércoles 3 x – 5 . Se obtiene la expresión Sugerencia didáctica. Al igual que en el problema anterior, puede ayudar a los alumnos planteándoles las siguientes preguntas: ¿Qué número al sumarle 15 da como resultado 167.5 ? Y posteriormente: ¿Qué número multiplicado por 5 da como resultado 152.5 ? x + (x + 20) + (3 x – 5) = 167.5 5x + 15 = 167.5 b) El martes (el lunes vendió 30.5 kilos, el martes 50.5 y el miércoles 86.5 ). Li b r o p ara e l m ae s t r o 77 Propósito de la sesión. Que los alumnos resuelvan problemas con números consecutivos que impliquen la suma de expresiones algebraicas. Organización del grupo. Se recomienda que los alumnos resuelvan la sesión individualmente y que los comentarios sobre las actividades realizadas sean grupales. Descripción del video. El video hace una pequeña descripción de los cuadrados mágicos y sus principales características. Se hace un recorrido histórico sobre el uso de los cuadrados mágicos por distintas culturas, principalmente por parte de los chinos. Se hacen referencias a las cualidades extraordinarias que les dieron estas culturas y la razón por la cual se les llaman mágicos. Sugerencia didáctica. Para fomentar el análisis de un cuadrado mágico se puede proponer a los alumnos que encuentren relaciones matemáticas entre los números que los forman, preguntándoles: • ¿Qué número está en el centro del cuadrado? • ¿Cuánto suman los dos números que están en los extremos de una misma diagonal? • ¿Cuánto suman los dos números que están en los extremos del renglón central? • ¿Cuánto suman los dos números que están en los extremos de la columna central? • ¿Cuánto suman los 9 números del cuadrado? • ¿La suma anterior tiene alguna relación con el número de la casilla del centro del cuadrado? • ¿Cuántas veces tienes que sumar el número del centro para encontrar lo que suman los tres números de cada renglón, columna o diagonal? Para seguir reflexionando sobre los cuadrados mágicos puede preguntarles: • ¿Qué relación encuentran entre el número de la casilla central y la suma de los tres números de cada columna, renglón o diagonal? • ¿Qué relación encuentran entre el número de la casilla central y la suma de los nueve números del cuadrado? • Si los números de una columna suman 60 ¿qué número estará en la casilla del centro del cuadrado?, ¿cuánto suman los nueve números que lo forman? SECUENCI A 2 SESIÓN 4 CUADRADOS MÁGICOS Y NÚMEROS CONSECUTIVOS Para empezar La magia de los chinos El origen de los cuadrados mágicos es incierto, aunque sabemos que antiguas civilizaciones los conocieron. Se piensa que su origen se da hace cerca de 400 años en la antigua China. En el siguiente cuadrado mágico, las sumas de los tres números de cada renglón, de cada columna y de cada diagonal dan como resultado el mismo número. 13 6 11 8 10 12 9 14 7 En total hay ocho sumas. Comprueba que todas dan el mismo número como resultado. Lo que aprendimos 1. Los números consecutivos: –6, –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1 y 2 se pueden acomodar en un cuadrado mágico para que sus renglones, columnas y diagonales sumen el mismo número. Completa el cuadrado mágico usando los números que se proporcionan. –3 +2 –5 –4 1 –2 –6 0 –1 Números faltantes: –6, –5, –4, –3 y 2 42 78 L ibro p ara el mae s t r o MATEMÁTICAS II 2. Para el siguiente cuadrado mágico los nueve números consecutivos están representados por las expresiones algebraicas: n, n + 1, n + 2, n + 3, n + 4, n + 5, n + 6, n + 7, n + 8. Acomoda las expresiones faltantes de manera que los renglones, columnas o diagonales sumen lo mismo. n+7 n n+5 n+2 n+4 n+6 n+3 n+8 n+1 Expresiones que falta colocar: n +2, n +3, n +5, n +6 y n +7. Haz las siguientes sumas para verificar si los renglones, columnas o diagonales suman lo mismo. No te olvides de sumar los términos semejantes. a) Renglón superior: b) Renglón central: c) Renglón inferior: d) Columna izquierda: e) Columna central: f) Columna derecha: g) Diagonal de izquierda a derecha h) Diagonal de derecha a izquierda ( ( n + ( (n + 4) + ( ) + ( )+ ( ) = ) = ) = = (n + 8) + (n + 1) + ( n + (n + 4) + (n + 8) = (n + 1) + ( ) +( ) = ) + (n + 4) + (n + 1) = ) + (n + 4) + ( )= 43 Li b r o p ara e l m ae s t r o 79 SECUENCIA 2 3. Realiza las siguientes sumas: a) 1 + 2 + 3 = b) 2 + 3 + 4 = Posibles respuestas. Los alumnos pueden responder cosas como “porque se puede obtener sumando tres veces el número de enmedio”, o “porque es tres veces el número inicial y se le suman tres”. c) 15 + 16 + 17 = d) n + (n +1) + (n +2) = Recuerda que: al 3 se obtienen Los múltiplos de os por 3. números enter los r lica ltip mu de 3: Son múltiplos … 0, 3, 6, 9, 12, , –3 , –6 , –9 …, e) ¿Por qué la suma de tres números consecutivos es un múltiplo de 3? 4. Realiza las siguientes sumas: Sugerencia didáctica. La suma de cuatro números consecutivos no es múltiplo de 4, pero déles tiempo a los alumnos para averiguarlo y pídales ejemplos que justifiquen su conclusión (por ejemplo, que el resultado de sumar 1+ 2 + 3 + 4 no es múltiplo de 4 ). Podrían incluso llegar a una respuesta generalizada: a) 1 + 2 + 3 + 4= b) 10 + 11+ 12 + 13 = c) 45 + 46 + 47 + 48 = d) 100 + 101 + 102 + 103 = e) n + (n +1) + (n +2) + (n +3) = f) ¿Será cierto que la suma de cuatro números consecutivos es un múltiplo de 4? n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) = 4 n + 6 , donde 4 n es múltiplo de 4 pero 6 no lo es. La suma de n números consecutivos es múltiplo de n siempre y cuando n sea número impar mayor que 1. La suma de dos múltiplos de un número también es múltiplo de ese número. Por ejemplo, 15 y 75 son múltiplos de 15 , la suma 15 + 75 = 90 también es múltiplo de 15 . Ayude a los alumnos a definir las conclusiones, inferencias y acuerdos principales de la actividad y de sus reflexiones. 44 Justifica tu respuesta 5. La suma de cinco números consecutivos es un múltiplo de 5. Realiza la siguiente suma para comprobarlo. n + (n +1) + (n +2) + (n +3) + (n +4) = ¿Por qué 5n + 10 es múltiplo de 5? 6. La suma de nueve números consecutivos de un cuadrado mágico es un múltiplo de 9. a) Realiza la siguiente suma para comprobarlo. n + (n +1) + (n +2) + (n +3) + (n +4) + (n +5) + (n +6) + (n +7) + (n +8) = b) ¿Por qué el resultado de la suma anterior es un múltiplo de 9? Recuerde que. Si se tienen nueve números consecutivos, el número del centro será el promedio de ellos, por lo que la suma se puede obtener multiplicando por 9 el número del centro. Por ejemplo, en la suma 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11+ 12 + 13 + 14, el número del centro es 10 y la suma es 9 × 10 = 90. Sugerencia didáctica. Se puede aprovechar esta actividad para destacar maneras creativas de sumar números consecutivos. Por ejemplo: 6 + 14 = 20 7 + 13 = 20 8 + 12 = 20 9 + 11 = 10 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 = 4 x 20 + 10 = 80 + 10 = 90. 80 Respuestas. a) 9 n + 36 . b) Porque al sumar dos múltiplos de 9 se obtiene otro múltiplo de 9 + 36 , o bien, porque 9 n y 36 son múltiplos de 9. L ibro p ara el mae s t r o MATEMÁTICAS II Para saber más Sobre resolución de cuadrados mágicos consulta: http://interactiva.matem.unam.mx Juegos aritméticos Un cuadrado mágico. Ruta: Secundaria [Fecha de consulta: 23 de mayo de 2007]. Proyecto Universitario de Enseñanza de la Matemáticas Asistida por Computadora (PUEMAC), UNAM. Explora las actividades del interactivo Suma y resta de expresiones algebraicas. Propósito del interactivo. Mostrar una forma de sumar expresiones algebraicas. Sugerencias didácticas. En esta parte del interactivo se pretende que el alumno ponga en práctica sus habilidades para agrupar y sumar términos semejantes en la suma de expresiones algebraicas. 45 Li b r o p ara e l m ae s t r o 81 SECUENCIA 3 Expresiones algebraicas y modelos geométricos Propósito de la sesión. Obtener equivalencias algebraicas entre expresiones lineales, empleando al rectángulo como modelo geométrico. Organización del grupo. Se sugiere que trabajen en parejas y que se organicen momentos de intercambio grupal. Propósito de la actividad. Que los alumnos recuerden, a partir de un ejemplo sencillo, el tipo de situaciones en las que utilizaron expresiones algebraicas durante el primer grado de la secundaria. A partir de la expresión algebraica que se propone para el cálculo del área de un mismo rectángulo, los alumnos tratarán de obtener expresiones equivalentes. Sugerencia didáctica. Dedique a esta actividad sólo el tiempo necesario para que los alumnos recuerden cómo se obtiene el área de cualquier rectángulo (base por altura) y cómo se puede expresar algebraicamente el área de un rectángulo que mide 4 de altura y b de base. Enfatice que en este momento no van a expresar las unidades de medida. SESIÓN 1 En esta secuencia reconocerás y obtendrás expresiones algebraicas equivalentes a partir del empleo de modelos geométricos EXPRESIONES EQUIVALENTES Para empezar En primer año aprendiste a obtener expresiones algebraicas para calcular el área de distintas figuras geométricas. Por ejemplo, para un rectángulo de altura a y base b obtuviste la expresión ab. De igual manera, la expresión 4b representa el área de un rectángulo que mide 4 unidades de altura (a = 4) y b unidades de base. 4 Recuerda que: ab = a ×b 4b = 4 ×b b Los siguientes rectángulos tienen altura 4 y distintas bases: 2, 3 y 6. El área de cada uno se puede calcular usando la expresión 4b. Calcula las áreas usando esta expresión. 4 cm 4 cm 4 cm b = 2 cm Área = 46 b = 3 cm Área = Área = b = 6 cm Eje Sentido numérico y pensamiento algebraico. Propósitos de la secuencia Reconocer y obtener expresiones algebraicas equivalentes a partir del empleo de modelos geométricos. Tema Significado y uso de las operaciones. Sesión Propósitos de la sesión Recursos Antecedentes Durante el primer grado de la educación secundaria los alumnos aprendieron a identificar expresiones algebraicas equivalentes en el contexto del cálculo de áreas y perímetros de figuras. En esta secuencia trabajarán con expresiones algebraicas más complejas que las de primer grado, pues implican operaciones combinadas y el uso de paréntesis. Se espera que los alumnos logren reconocer y obtener ese tipo de expresiones a través de la resolución de problemas en los que se utilizan modelos geométricos. 1 Expresiones equivalentes A partir del rectángulo como modelo geométrico, obtener expresiones algebraicas equivalentes. Interactivo 2 Más expresiones equivalentes A partir de una expresión algebraica obtener otros equivalentes apoyándose en el rectángulo como modelo geométrico. Video “Más expresiones equivalentes” Interactivo 82 L ibro p ara el mae s t r o MATEMÁTICAS II En esta secuencia encontrarás distintas expresiones algebraicas que representan disitintas formas de calcular el área de un rectángulo. Para simplificar los cálculos omitiremos las unidades de medida de sus lados. Puedes pensar que se trata de medidas en centímetros. Propósito del interactivo. Obtener expresiones algebraicas equivalentes para indicar el área de un rectángulo. Sugerencias didácticas. Con el interactivo se pueden resolver las actividades I y II del libro del alumno. La primera parte ayuda a que los alumnos obtengan el área de un rectángulo como la suma de dos expresiones. La segunda actividad ayuda a mostrar que el área del rectángulo se puede obtener utilizando diferentes expresiones. En la tercera actividad usted puede modificar el nivel de dificultad de las expresiones propuestas para obtener el área del rectángulo. Permita que los alumnos exploren los diferentes ejercicios que se les presentan en el interactivo. Propósito de la actividad. Que los alumnos descubran que hay varias expresiones que sirven para calcular el área de un rectángulo. Sugerencia didáctica. Antes de que los alumnos respondan la pregunta, revise con ellos la información que se presenta en el recuadro: es importante que los alumnos se familiaricen con el uso de los paréntesis para expresar una multiplicación; coménteles que aun cuando la utilización del signo × es correcta, como se muestra en el mismo recuadro, lo mejor es utilizar sólo los paréntesis para evitar confusiones. Respuestas. Los incisos a, b y d son los correctos. Posibles errores. Es probable que los alumnos identifiquen únicamente las expresiones 4(a + 2) y 4 a + 8 y que no consideren la del inciso c). También puede suceder que algunos alumnos opinen que la expresión 4 a + 2 es correcta. Si esto sucede, permítales que en este momento contesten lo que ellos consideren, más adelante tendrán la oportunidad de revisar sus respuestas y de corregir, si es necesario. 47 Consideremos lo siguiente De las siguientes expresiones, ¿cuáles representan el área del rectángulo enmarcado en rojo? Recuerden que: Para indicar qu e un número multiplica a un a exp se usan los parén resión tesis: 5 (b + 3) = 5 × (b + 3) 4 a a) 4(a + 2) b) 4a + 8 c) 4a + 2 2 d) 2(a + 2) + 2(a + 2) Comparen sus respuestas y comenten: ¿Cómo saben cuáles son correctas y cuáles no? Manos a la obra I. Contesten las siguientes preguntas. a) ¿Cuál es la medida de la altura del rectángulo enmarcado en rojo? altura = 4 b) Escriban una expresión que represente la medida de la base de este rectángulo. base = a+2 c) ¿Qué expresión resulta al multiplicar la medida de la altura por la medida de la base? altura × base = 4(a + 2) 3 Sugerencia didáctica. Anote las expresiones algebraicas en el pizarrón y pregunte al grupo cuáles consideraron correctas y cuáles no. Es muy probable que haya respuestas distintas, por lo que conviene que anime a los alumnos a que expresen por qué consideran que alguna expresión es correcta o no. Usted puede registrar algunas de sus ideas en el pizarrón para, posteriormente, volver a ellas y que los alumnos vean si estuvieron en lo correcto o si es necesario que corrijan algunas de sus respuestas. No es necesario que en este momento todos lleguen a la respuesta correcta, podrán hacerlo más adelante. Propósito de la actividad. Las actividades I y II dan elementos que permiten establecer que las expresiones 4(a + 2) y 4 a + 8 sí permiten calcular el área del rectángulo. Aquellos alumnos que ya las habían identificado podrán constatar sus respuestas, y lo que no, tendrán oportunidad de corregirlas. Li b r o p ara e l m ae s t r o 83 SECUENCI A 3 II. Realicen lo siguiente. a) Escriban una expresión que represente el área del rectángulo verde oscuro: b) Escriban una expresión que represente el área del rectángulo verde claro: c) Observen que el área del rectángulo enmarcado en rojo es la suma del área del rectángulo verde claro y del verde oscuro. Escriban otra expresión que represente el área del rectángulo enmarcado en rojo a partir del área de los rectángulos verde claro y verde oscuro: Propósito de la actividad. Que los alumnos reconozcan la expresión 2(a + 2) + 2(a + 2) como una expresión algebraica que sí permite calcular el área del rectángulo. Comparen sus respuestas. III. En la siguiente figura, la superficie del rectángulo enmarcado en rojo se dividió con una línea horizontal. 2 2 a+2 a) Escriban una expresión que represente el área del rectángulo gris oscuro: 2(a + 2) b) Escriban una expresión que represente el área del rectángulo gris claro: 2(a + 2) c) Usando las expresiones anteriores, escriban una expresión que represente el área del rectángulo enmarcado en rojo: 2(a + 2) + 2(a + 2) 48 84 L ibro p ara el mae s t r o MATEMÁTICAS II IV. Dividan el rectángulo de abajo y usen esa división para encontrar otra expresión algebraica que represente su área. Propósito del interactivo. Obtener expresiones algebraicas equivalentes para indicar el área de un rectángulo. Sugerencias didácticas. Permita que los alumnos exploren las diferentes formas en que se pueden dividir los rectángulos. Pídales que escriban las expresiones con las que se determinaría el área del rectángulo. Si es necesario recuérdeles que para obtener el área del rectángulo original hay que sumar el área de todos los rectángulos en los que se dividió. Posibles dificultades. Probablemente algunos alumnos no sepan cómo usar las dos expresiones (de los incisos a y b) para calcular el área del rectángulo enmarcado en rojo (inciso c). Anime primero a los alumnos para que comenten cómo resolvieron el inciso c); es probable que algunos hayan escrito (a + 2) × 2 + (a + 2) × 2 , dígales que esta expresión es la misma que 2(a + 2) + 2(a + 2) , pero que es mejor no utilizar el signo × para evitar confusiones. Si aún hay dificultades, puede decirles que la suma de las áreas de los rectángulos gris oscuro y gris claro es igual al área del rectángulo enmarcado en rojo. Posteriormente, lea junto con los alumnos la información del recuadro y pídales que regresen al apartado Consideremos lo siguiente para que revisen sus respuestas, y en caso de que sea necesario, las corrijan. 4 a+2 Área = Comparen sus respuestas y comenten la siguiente información. Existen varias expresiones algebraicas que representan el área de un rectángulo de medidas 4 y (a + 2). Por ejemplo, las tres expresiones 4(a + 2), 4a + 8 y 2(a + 2) + 2(a + 2) representan su área. V. Contesten las siguientes preguntas: a) ¿Cuánto vale la expresión 4(a + 2), si a = 3? b) ¿Cuánto vale la expresión 4a + 8, si a = 3? c) ¿Cuánto vale la expresión 2(a + 2)+2(a + 2), si a = 3? VI. Completen la siguiente tabla calculando el valor de las expresiones 4(a + 2), 4a + 8 y 2 (a + 2) + 2 (a + 2) para los valores de a indicados en la primera columna. a 4 4(a + 2) 4(4+2)=4(6)=24 4a + 8 2(a + 2)+2(a + 2) 4(4) + 8 = 16 + 8 = 24 4(4.5)+8=18+8=26 4.5 4(4.5 + 2) = 4(11) = 44 5 4(5 + 2) = 4(7) = 28 4(5) + 8 = 20 + 8 = 28 5.5 4(5.5 + 2) = 4(7.5) = 30 4(5.5) + 8 = 22 + 8 = 30 6 2(4 + 2) + 2(4 + 2) = 2(6) + 2(6) = 12 + 12 = 24 2(4.5 + 2) + 2(4.5 + 2) = 2(6.5) + 2(6.5)= 13 +13 = 26 2(5 + 2) + 2(5 + 2) = 2(7) + 2(7) = 14 + 14 = 28 2(5.5 + 2) + 2(5.5 + 2) = 2(7.5) + 2(7.5)= 15 + 15 = 30 2(6+2)+2(6+2)=2(8)+2(8)=16+16=32 49 4(6 + 2) = 4(8) = 32 4(6) + 8 = 24 + 8 = 32 Propósito de la actividad. Que los alumnos ejerciten la sustitución de valores en una expresión algebraica. Sugerencia didáctica. Para mayor rapidez pida a las parejas que se organicen y que se dividan las columnas, pero que hagan los cálculos paso a paso como en los ejemplos. Antes de que empiecen, usted puede revisar con todo el grupo alguno de los ejemplos ya resueltos, haga énfasis en que primero se resuelve la operación que está indicada entre paréntesis. Mientras los alumnos terminan, usted puede reproducir la tabla en el pizarrón para que posteriormente puedan compararse los resultados. Li b r o p ara e l m ae s t r o 85 Sugerencia didáctica. Pida a algunos alumnos que completen la tabla en el pizarrón, escribiendo únicamente el resultado; en caso de que haya diferencias en algún resultado, pida al alumno que lo registró que escriba el desarrollo completo de las cuentas, para que el grupo pueda identificar si hubo algún error o no. Para el valor de 163.25 , una vez que los alumnos hayan expresado su hipótesis, pídales que la verifiquen sustituyendo el valor de a en cada una de las expresiones. Para que esto sea más rápido, unos alumnos pueden usar la primera expresión, otros la segunda y otros la tercera, y después comparan sus resultados. S E C UENCIA 3 Comparen los resultados que obtuvieron en las tres columnas y comenten: ¿Creen que para cualquier otro valor de a las tres expresiones coincidan? Por ejemplo, ¿coincidirán para a = 163.25? A lo que llegamos Las expresiones 4(a + 2), 4a + 8 y 2(a + 2) + 2(a + 2) siempre dan el mismo resultado al asignarle valores a a, pues representan el área del mismo rectángulo, por lo que se puede escribir: 4(a + 2) = 4a + 8 = 2(a + 2) + 2(a + 2) A este tipo de expresiones se les llama expresiones equivalentes. VI. Completen la siguiente tabla. a 4 4a + 2 4(4.5) + 2 = 18 + 2 = 20 Propósito de la actividad. Que los alumnos constaten que la expresión 4 a + 2 no sirve para calcular el área del rectángulo, pues el valor que se obtiene con ella no coincide con el de todas las demás. (a + 2), ¿por qué? 4.5 5 5.5 6 La expresión 4a + 2 no representa el área de un rectángulo de lados que miden 4 y Sugerencia didáctica. Si observa que los alumnos tienen dificultades para responder a esta pregunta, invítelos a comparar los resultados que se obtienen con esta expresión, con los que se obtuvieron en la otra tabla con las demás expresiones. Una vez que se hayan dado cuenta de que es errónea, pídales que regresen al problema inicial y que revisen si la habían elegido como correcta o no. También puede recuperar alguna de las ideas que los alumnos expresaron en el problema inicial respecto a si esta expresión era correcta o no. 50 Lo que aprendimos 1. Las siguientes figuras son dibujos del mismo rectángulo, con distintas divisiones de su superficie. Para cada una de estas figuras escribe una expresión algebraica que represente su área a partir de la división que se propone. 3 b+2 Expresión: 3(b +2) Sugerencia didáctica. Comente al grupo que cuando se multiplica por 1 no es necesario escribirlo, por ejemplo, 1 × b se escribe únicamente b. Esto debe considerarse particularmente para el tercer caso. Una vez que los alumnos hayan concluido, pídales que elijan un valor para b y que lo sustituyan en las expresiones que elaboraron, para verificar que efectivamente obtienen el mismo resultado en todas ellas. 86 L ibro p ara el mae s t r o MATEMÁTICAS 1 3 2 II b+2 b Expresión: 2 3 b + 6 ó 3 b + 3(2) Expresión: 2( b + 2) + ( b + 2) 2 2. Encuentren dos expresiones equivalentes que representan el área del rectángulo gris oscuro a partir de la figura que se propone. 3 3 c–6 ó 3 c–(2×3) Expresión 1 = 3(c–2) Expresión 2 c Llenen la siguiente tabla para verificar que las expresiones que obtuvieron dan el mismo resultado al sustituir los valores c = 3, 3.5, 4, 4.5 y algún otro valor que elijan. Expresión 1 Expresión 2 Incorporar al portafolios. Algunos alumnos podrían creer que deben calcular el área del rectángulo enmarcado en rojo. Acláreles que se trata del rectángulo gris oscuro; asímismo, si lo considera necesario, puede orientarlos señalando que (c–2) representa la medida de la base del rectángulo gris oscuro. c 3 3.5 4 4.5 3. Dividan la figura de la derecha en rectángulos de menor área y encuentren dos expresiones equivalentes que representen el área de la figura completa. a a(a + 2) = a 2 + 2a a+2 51 Sugerencia didáctica: Si los alumnos tienen dificultades, usted puede sugerirles dividir la figura usando una línea horizontal. Una vez que hayan escrito las expresiones, recuérdeles que para simplificar la notación se acostumbra escribir a 2 en lugar de a × a. Li b r o p ara e l m ae s t r o 87 Propósito de la sesión. Obtener expresiones algebraicas equivalentes a otra usando el modelo geométrico del rectángulo. Organización del grupo. Se sugiere que los alumnos trabajen en parejas y que el apartado Lo que aprendimos se resuelva individualmente. SECUENCIA 3 SESIÓN 2 MÁS EXPRESIONES EQUIVALENTES Para empezar En la sesión 1 aprendiste a obtener expresiones algebraicas equivalentes a partir de un rectángulo. En esta sesión aprenderás a obtener expresiones equivalentes a partir de otra dada. Consideremos lo siguiente Propósito de la actividad: Introducir al alumno a las dificultades que tiene la obtención de expresiones equivalentes. Posibles dificultades. Algunos alumnos podrían requerir de la representación del rectángulo para comprender mejor las expresiones equivalentes. Si es así, sugiérales que intenten dibujar un rectángulo que les ayude. Para cada una de las siguientes expresiones encuentren una expresión equivalente. a) 3(x +2) = b) 2(2x + 4) = Comparen sus respuestas y comenten cómo hicieron para encontrarlas. Manos a la obra I. Dibujen un rectángulo cuya área se represente con la expresión 3(x+2) Expresión Rectángulo 3(x+2) Sugerencia didáctica. Pida a algunas parejas que presenten al grupo las expresiones equivalentes que escribieron. En caso de que algunos alumnos no estén de acuerdo con algunas de las respuestas, invítelos a que den sus argumentos. Si no logran identificar o corregir sus respuestas, en las siguientes actividades tendrán la oportunidad de hacerlo. Dividan la superficie del rectángulo anterior en varios rectángulos pequeños. Encuentren las expresiones que corresponden al área de cada uno de los rectángulos pequeños y anótenlas: 3(x+2) = 3 x+6 Comparen sus respuestas. Comenten cómo dividieron la superficie del rectángulo grande y cómo encontraron el área de cada uno de los rectángulos pequeños. 52 Propósito del interactivo. Obtener expresiones algebraicas equivalentes para indicar el área de un rectángulo. Propósito de la actividad. Que los alumnos logren encontrar una expresión equivalente a la expresión 3(x+2) . Respuesta. 3 x 2 88 L ibro p ara el mae s t r o MATEMÁTICAS II II. Dibujen un rectángulo cuya área se represente con la expresión 2(2x + 4), divídanlo en rectángulos más pequeños y encuentren sus áreas. Expresión Rectángulo 2(2x + 4) 2(2x + 4) = 4x + 8 Comparen sus respuestas y comenten: ¿son equivalentes las expresiones que obtuvieron? ¿Por qué? III. Usen la siguiente figura para encontrar una expresión equivalente a x 2 + 2x. Sugerencia didáctica. Si los alumnos presentan dificultades para resolver, pídales que primero intenten estimar las medidas de los segmentos marcados usando expresiones algebraicas. x x2 2x x x 2 + 2x = 2 x(x+2) 53 Posibles dificultades. Esta es la primera vez que se estudia una expresión con coeficiente distinto de 1 en la literal, los alumnos no conocen un rectángulo que sirva para ello, sin embargo se espera que puedan lograrlo apoyándose en su experiencia adquirida con la expresión 3(x + 2) . Respuesta. 2 x x 4 Li b r o p ara e l m ae s t r o 89 Descripción del video. El video formaliza los conceptos vistos a lo largo de la secuencia en relación con las expresiones algebraicas equivalentes a partir de modelos geométricos. Se utilizan los recursos visuales para mostrar las equivalencias algebraica y geométricamente. Por tal razón se recomienda su uso al final de la secuencia. SECUENCI A 3 A lo que llegamos Más expresiones equivalentes Cuando se quiere encontrar una expresión equivalente a otra dada, puede ser útil construir un rectángulo cuya área se represente con la expresión. Por ejemplo, para la expresión dada 3(2x + 1) se puede construir un rectángulo que mida 3 unidades de altura y 2x+1 unidades de la base: 1 1 1 x x 1 Dividiendo este rectángulo en piezas de menor área se puede ver que la expresión 6x+3 también sirve para calcular su área, y por lo tanto es equivalente a la expresión 3(2x+1) . Lo que aprendimos 1. Para cada una de las siguientes expresiones encuentra una expresión equivalente a ésta. a) 3(2x+3) = 6 x+9 b) x (2x+4) = 2 x 2+4x 2. Para cada uno de los siguientes rectángulos anota las medidas de sus lados en los espacios marcados, y después usa la figura para escribir dos expresiones equivalentes que representen su área. a) 5 5a 15 a 5 a+15 54 3 = 5(a+3) 90 L ibro p ara el mae s t r o MATEMÁTICAS b) II a a2 4a a a 2+4 a = 4 a(a+4) Incorporar al portafolios. Si lo considera necesario, sugiera a los alumnos calcular el área de cada pieza y luego sumar todas las áreas. 3. Ayúdate de la siguiente figura para encontrar una expresión equivalente a la expresión (b + 1)(b + 2) = b 2+3 b+2 1 b b 1 1 Para saber más Sobre otras expresiones algebraicas equivalentes a partir de modelos geométricos consulta: http://www.interactiva.matem.unam.mx Una embarrada de álgebra Binomio al cuadrado Ruta: Álgebra [Fecha de consulta: 24 de mayo de 2007]. Proyecto Universitario de Enseñanza de las Matemáticas Asistida por Computadora (PUEMAC), UNAM. 55 Li b r o p ara e l m ae s t r o 91 Propósito del programa integrador. Presentar datos del grado como unidad de medida y explicar la posición relativa de dos rectas en el plano y los ángulos que se forman. Propósito de la sesión. Identificar a los ángulos como una herramienta para resolver problemas. Utilizar el transportador para medir ángulos. Organización del grupo. Se sugiere que los alumnos trabajen individualmente y que se organicen momentos para comentarios grupales. Descripción del video. Se hace un repaso histórico de la medición de ángulos y el uso del sistema sexagesimal. Se pone énfasis en la asociación que tiene la medición de los ángulos con la medición del tiempo. Se dan hipótesis de por qué la circunferencia está dividida en 360 grados. Sugerencia didáctica. Comente con los estudiantes las características de cada uno de los ángulos mostrados. Por ejemplo, ¿cuáles son los lados en cada uno?, ¿cuál es la dirección del giro?, ¿cuál es el ángulo es mayor? ¿cuál es el ángulo menor? Posibles dificultades. Para resolver el problema, los alumnos necesariamente tienen que utilizar el transportador. Pueden presentar dificultades o errores como los siguientes: • Colocar el transportador en posición incorrecta. • Confundir el sentido del giro y tomar medidas que no corresponden (sobre todo con los transportadores semicirculares). Otra dificultad puede ser interpretar mal las instrucciones. Usted puede ayudarlos a comprenderlas preguntando: ¿alguien ha entendido de qué se trata el problema? ¿Cuál es el punto de partida? ¿Hacia qué dirección debe mirar la persona en el punto de partida? ¿Y luego hacia adónde gira?, etcétera. Debe tener cuidado en no mostrarles en este momento la solución, sino únicamente ayudarlos en caso de que tengan dudas con algunas instrucciones. Lo interesante será ver cómo colocan el transportador, cómo miden los ángulos y el resultado que obtienen finalmente. SECUENCI A 4 Ángulos En esta secuencia determinarás la medida de ángulos usando tu transportador, y deducirás algunas medidas sin usarlo. SESIÓN 1 MEDIDAS DE ÁNGULOS Para empezar El grado como unidad de medida La regularidad de los fenómenos naturales y astronómicos interesó a hombres de todos los tiempos. Antiguas civilizaciones, como la babilónica, estimaron la duración del año en 360 días. Como estas civilizaciones pensaban que el Sol giraba alrededor de la Tierra, dividieron en 360 partes la trayectoria en la que veían moverse al Sol, haciendo corresponder a cada parte un día y una noche. Es probable que de esta división se derive la división de un giro completo en 360 partes, llamadas grados. Los siguientes son algunos ángulos que encontrarás frecuentemente en tus secuencias de geometría. Observa sus medidas y sus nombres. 270º 180º 90º 360º Ángulo recto Ángulo llano Ángulo entrante Son los ángulos que miden más de 180º y menos de 360º Ángulo perigonal Consideremos lo siguiente En el baúl de su papá, Jaime encontró un viejo pergamino en el que se indica cómo y dónde encontrar un cofre lleno de monedas de oro. Las indicaciones para llegar al tesoro estaban claras, pero una mancha de agua borró el mapa. Sigue las indicaciones y ayúdale a Jaime a reproducir el mapa. Supón que un paso es igual a un centímetro. 56 Eje Forma, espacio y medida. Tema Formas geométricas. Propósitos de la secuencia Resolver problemas que impliquen reconocer, estimar y medir ángulos, utilizando el grado como unidad de medida. Sesión Propósitos de la sesión Medidas de ángulos Identificar a los ángulos como una herramienta para resolver problemas. Utilizar el transportador para medir ángulos. Ángulos internos de triángulos Descubrir propiedades de los triángulos a partir de la medición de ángulos. Deducir medidas de ángulos. Deducción de medidas de ángulos Deducir la medida de ángulos a partir de las características y propiedades de las figuras. Hacer generalizaciones sobre medidas de ángulos a partir de casos particulares. Recursos Video “El grado como unidad de medida” Interactivo Programa integrador 3 Antecedentes Desde la escuela primaria los alumnos han trabajado con ángulos: los identifican, los miden mediante diversos recursos, y los usan como criterio para caracterizar determinadas figuras. En el primer grado de la secundaria los ángulos fueron un auxiliar importante para el estudio de ciertas nociones, como la simetría y la bisectriz, así como para la caracterización de los polígonos regulares. En este grado se pretende que los alumnos formalicen sus conocimientos y que a partir de ellos, elaboren deducciones sencillas que les permitan resolver situaciones en las que tienen que calcular la medida de un ángulo. Así mismo, se promueve la habilidad para medir ángulos utilizando el transportador. 1 2 Interactivo 3 92 L ibro p ara el mae s t r o MATEMÁTICAS Para encontrar el cofre tienes que llegar a la meseta del Cerro Colorado y caminar hasta el monolito que ahí encuentres. Luego, tienes que sentarte en el monolito viendo hacia al Este, gira 60º al Norte y camina de frente 3 pasos. En ese punto clava una estaca. Regresa al monolito y siéntate viendo al oeste. Gira 150º al sur y camina de frente 4 pasos, en este punto clava otra estaca. El cofre está enterrado justo a la mitad de la distancia entre las dos estacas. II Propósito del interactivo. Mostrar el uso del transportador y ejercitar su uso. Comparen sus mapas y comenten cómo hicieron para reconstruirlos. Manos a la obra I. Encierra con un círculo las ilustraciones en las que el transportador se utilice de manera correcta para medir el ángulo. 1 2 3 Sugerencias didácticas. El interactivo presenta un transportador que por su tamaño y fácil manejo puede ayudar a mostrar la manera correcta de medir los ángulos a todo el grupo. Pida a algunos alumnos que pasen al pizarrón a medir los ángulos presentados en el interactivo. Propósito de la actividad. Que los alumnos reflexionen sobre el uso del transportador para medir ángulos. 4 5 Respuesta. Las ilustraciones 2 y 3 son las correctas. En las ilustraciones 1, 4 y 5 el transportador está mal colocado. 57 estaca 1 3 60º cofre 150º 4 estaca 2 Li b r o p ara e l m ae s t r o 93 Sugerencia didáctica. Es importante que los alumnos argumenten por qué consideran que unas respuestas son correctas y otras incorrectas. Es posible que alguno de ellos haya utilizado una de las erróneas; invítelos a comentar las dificultades que tuvieron al utilizar el transportador en el problema inicial. Respuesta. La medición no es correcta, pues se está haciendo una lectura errónea en el transportador. SECUENCI A 4 Comparen sus respuestas y comenten los errores que descubrieron en el uso del transportador en las ilustraciones. Comenten ¿en la ilustración de abajo se está midiendo de manera correcta el ángulo? II. ¿Cuál de los siguientes ángulos cumple con las indicaciones del mapa para determinar el lugar de la primera estaca? estaca 1 estaca 1 Respuestas. De izquierda a derecha, el primer ángulo no mide 60°, y la longitud del lado debería ser de 3 cm; el segundo ángulo sí cumple con las indicaciones; en el tercero el giro se hizo en sentido contrario, y en el cuarto ángulo el punto de partida está mal orientado, pues tendría que estar dirigido hacia el este, no al oeste. monolito monolito monolito estaca 1 3 Sugerencia didáctica. Es probable que algunos alumnos hayan cometido errores similares a los que se presentan, por ello es importante que expresen sus argumentos sobre cuál ángulo cumple con las condiciones establecidas, de esa manera será posible que quienes hayan tenido errores o dudas, puedan corregirlos. estaca 1 monolito Comparen sus resultados y comenten los errores que descubrieron en los ángulos. Verifiquen sus mapas. Si es necesario, háganlos otra vez. A lo que llegamos Al medir un ángulo hay que colocar la marca central del transportador sobre el vértice del ángulo. La marca que corresponde a 0° debe coincidir con un lado del ángulo. 115º 115º Sugerencia didáctica. Cerciórese de que todos los alumnos tengan clara la forma correcta de medir ángulos usando el transportador. Para ello, dibuje un ángulo en el pizarrón y, si cuenta con un juego de geometría grande, pida a un alumno que pase a mostrar cómo se mide; también pueden hacerlo en el cuaderno con cualquier ángulo que ellos tracen. 58 94 L ibro p ara el mae s t r o MATEMÁTICAS III. A continuación se presenta una forma de medir ángulos mayores de 180º. II Propósito del interactivo. Mostrar el uso del transportador y ejercitar su uso. Sugerencias didácticas. Pida a los alumnos que pasen al pizarrón a medir los diferentes ángulos que presenta el interactivo. D E F Sugerencia didáctica. Generalmente los estudiantes cuentan con transportadores de 180°, por lo que es importante apoyarlos para medir un ángulo cuya medida es mayor que 180°. Prolonga uno de los lados del ángulo marcado de forma que la prolongación lo divida en dos ángulos. a) ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos que se formaron? b) ¿Cuánto mide el ángulo marcado originalmente? 180º y 100º 280º Comparen sus respuestas y comenten: ¿habrá alguna otra manera de medir un ángulo mayor que 180º? ¿Cuál? IV. Recuerda que un ángulo está formado por dos semirrectas que tienen el mismo punto inicial. A las semirrectas se les llama lados del ángulo. Al punto inicial se le llama vértice. vértice lado lado 59 Respuesta. Otra forma es midiendo el complemento de 360° del ángulo que se quiere medir. Li b r o p ara e l m ae s t r o 95 S E C UENCIA 4 Anota en los cuadritos los números del 1 al 5 para ordenar de mayor a menor los siguientes ángulos. 1 4 2 Sugerencia didáctica. Apoye a los alumnos para que expliciten que la longitud de los lados de un ángulo no influye en la medida de éste. 5 Comparen sus respuestas. Comenten: a) ¿En qué se fijaron para comparar los ángulos? b) ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos? 3 A lo que llegamos La medida de un ángulo no depende de la longitud de sus lados. Por ejemplo, el ángulo azul y el ángulo verde miden 100º. 60 96 L ibro p ara el mae s t r o MATEMÁTICAS II Lo que aprendimos 1. Considera las siguientes semirrectas como un lado y su punto inicial como vértice. Construye los ángulos que se piden, utiliza tu transportador. Q Incorporar al portafolios. Considere el primero y el segundo problema para el portafolios. Para el primer problema hay dos posibilidades correctas para cada ángulo, de acuerdo con la dirección que los alumnos decidan darle al giro. En caso de que los alumnos muestren errores en la resolución de estos problemas, revise con ellos nuevamente la forma correcta en que se miden los ángulos usando el transportador (apartado A lo que llegamos), y pídales que midan y construyan ángulos de manera similar a las actividades de este apartado. E R 120º 210º 70º 2. Usa tu transportador y determina cuánto miden los ángulos marcados. Respuestas. El ángulo morado mide 150° y el azul 100°. 3. Varios estudiantes fueron al museo y se pararon frente a una de las pinturas para observarla mientras escuchaban la explicación del guía. Las figuras muestran la forma como se acomodaron los estudiantes. A fin de ver la pintura completa, identifica quién tiene el mayor ángulo. ¿Cuál de todos tiene el mayor ángulo para ver la pintura completa? 61 Respuesta. El estudiante que está en medio de todos los demás. Li b r o p ara e l m ae s t r o 97 Propósitos de la sesión. Descubrir propiedades de los triángulos a partir de la medición de ángulos. Deducir medidas de ángulos. Organización del grupo. Los alumnos pueden resolver individualmente y comparar sus respuestas con todo el grupo. Sugerencia didáctica. Antes de que los alumnos traten de construir los triángulos, pídales que intenten anticipar una respuesta. Es posible que la mayoría piense que las tres opciones pueden ser las medidas de los ángulos de un triángulo, pues es probable que no sepan o que no recuerden que la suma de los ángulos internos de un triángulo debe ser de 180º. En caso de que algún alumno sí utilice ese conocimiento para poder anticipar en qué caso sí es posible construir un triángulo, invítelo a que comente al grupo sus argumentos. En este momento evite decir quién tiene la razón, invítelos a que construyan los triángulos para que verifiquen sus respuestas. Respuesta. La terna del inciso c) es la que funciona para construir el triángulo. SECUENCIA 4 SESIÓN 2 ÁNGULOS INTERNOS DE TRIÁNGULOS Para empezar Un ángulo se puede representar por medio de una letra mayúscula asignada a su vértice. Por ejemplo, el siguiente ángulo se puede representar como D. D Consideremos lo siguiente ¿Cuáles de las siguientes ternas son las medidas de los ángulos internos de un triángulo? Construye el triángulo correspondiente. Utiliza el segmento AB como uno de los lados. a) 30°, 60°, 70° A ¿Pudiste construir el triángulo? Justifica tu respuesta b) 50°, 70°, 120° B A ¿Pudiste construir el triángulo? Justifica tu respuesta 62 B 98 L ibro p ara el mae s t r o MATEMÁTICAS c) 50°, 60°, 70° II A ¿Pudiste construir el triángulo? Justifica tu respuesta B Comparen sus respuestas y comenten cómo construyeron sus triángulos. Manos a la obra I. La siguiente figura muestra una construcción incompleta en la que se intenta construir el triángulo con la terna de medidas 30º, 60º y 70° y con el segmento NM como uno de sus lados. Completa la construcción. a) Con tu transportador mide el tercer ángulo interno de este triángulo. ¿Cuánto mide? b) ¿Cuánto suman las medidas de los ángulos internos de este triángulo? 70º 30º Propósito de la actividad. Que los alumnos identifiquen que las medidas de los ángulos internos son características importantes para determinar la posibilidad de que un triángulo exista o no. Gradualmente irán identificando que la suma de los ángulos internos de un triángulo debe ser de 180º. N M Comparen sus respuestas. II. En la siguiente figura se intenta construir un triángulo con la terna 50°, 70° y 120° como medidas de sus ángulos internos y con el segmento QR como uno de sus lados. Completa la construcción. ¿Pudiste construir el triángulo? Justifica tu respuesta Q 120º R 63 Li b r o p ara e l m ae s t r o 99 SECUENCI A 4 Comparen sus construcciones y comenten: a) Si el ángulo en el vértice Q mide 50°, ¿cuánto mide el tercer ángulo interno? b) ¿Se puede construir un triángulo con dos ángulos internos que midan 70° y 120°? ¿Por qué? III. Dibuja un triángulo en una hoja blanca, pinta cada uno de sus ángulos internos de un color distinto. Corta el triángulo en tres partes de manera que en cada parte quede uno de los ángulos internos. Pega las tres partes haciendo coincidir los vértices en un punto rojo, como se indica en las fotos. Ten cuidado de que no se encimen las partes y que no dejen huecos entre ellas. Propósito de la actividad. Que los alumnos observen el ángulo que se forma al juntar los tres ángulos internos de un triángulo, para que con ello se pueda mostrar que la suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180°. Sugerencia didáctica. Es posible que los alumnos obtengan respuestas cercanas a 180°, usted puede aprovechar para que los alumnos reflexionen sobre la posibilidad de que haya errores cada vez que hacemos mediciones, y que esos errores son aceptables siempre y cuando las diferencias sean mínimas. ¿Cuánto mide el ángulo que se obtiene al pegar los tres ángulos del triángulo que dibujaste? Comparen sus respuestas y comenten: ¿Creen que si dibujan otro triángulo, la medida del ángulo formado al pegar sus tres ángulos internos sea la misma? ¿Por qué? Sugerencia didáctica. Aproveche la diversidad de triángulos que los alumnos construyeron para que concluyan que en todos los triángulos la suma de las medidas de sus ángulos internos es igual a 180°. Es recomendable trabajar con ellos esta conjetura antes de leer el apartado A lo que llegamos. 64 1 00 L ibro p ara el mae s t r o MATEMÁTICAS A P II R IV. Mide los ángulos internos de los siguientes triángulos. Anota las medidas en la tabla. Propósito del interactivo. Practicar el uso del transportador, comprobar que la suma de los ángulos interiores de los triángulos es 180°. Deducir las medidas de los ángulos interiores de otros triángulos. Sugerencias didácticas. Pida a algunos alumnos que midan los ángulos interiores de los triángulos presentados en el interactivo, mientras los demás llenan la tabla que se muestra. Se pretende que los alumnos concluyan que la suma de los ángulos interiores del triángulo es 180°. Con esta información pida a los alumnos que llenen las tablas que se presentan en el interactivo. X B C H Q J W Y I Suma de las medidas de los tres ángulos internos Triángulo Ángulo Ángulo Ángulo ABC WXY PQR HIJ A= W= J= A lo que llegamos La suma de las medidas de los ángulos internos de cualquier triángulo es igual a 180º. 65 Posibles errores. Es probable que los números que anoten en la quinta columna no sean exactamente 180º, pues son posibles algunos errores en la medición. Li b r o p ara e l m ae s t r o 101 SECUENCIA 4 Lo que aprendimos Sugerencia didáctica. A partir de los resultados obtenidos anteriormente, comente con los alumnos cómo pueden deducir la medida de los ángulos internos de un triángulo equilátero (la medida es de 60° ). Propósitos de la sesión. Deducir la medida de ángulos a partir de las características y propiedades de las figuras. Hacer generalizaciones sobre medidas de ángulos, a partir de casos particulares. Organización del grupo. Los alumnos pueden resolver de manera individual y comparar sus resultados con todo el grupo. SESIÓN 3 1. Los triángulos equilateros tienen sus tres ángulos internos iguales. Sin usar transportador, contesta la pregunta. ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos internos de cualquier triángulo equilátero? e: Recuerda qu ángulos tri n ma lla Se uellos equiláteros aq s tres que tienen su s. lados iguale DEDUCCIÓN DE MEDIDAS DE ÁNGULOS Para empezar ¿Sabías que en todos los triángulos isósceles dos de sus ángulos internos son iguales? Verifica esta propiedad en los siguientes triángulos isósceles y pinta del mismo color los ángulos que sean iguales. e: Recuerda qu eles ángulos isósc Se llaman tri nen tie e qu los los triángu ales. dos lados igu Sugerencia didáctica. El triángulo rojo es un triángulo equilátero; comente con los alumnos que el triángulo equilátero cumple con la propiedad de los triángulos isósceles, pues dos de sus ángulos son iguales. Los triángulos equiláteros son de la familia de los isósceles. A continuación se presentan varios problemas sobre medidas de ángulos. 66 1 02 L ibro p ara el mae s t r o MATEMÁTICAS II Lo que aprendimos Otra forma de representar ángulos es con tres letras mayúsculas, una para el vértice y dos para un punto de cada lado del ángulo. Así, el ángulo R T S se representará como TSR. Observen que la letra correspondiente al vértice se coloca en medio de las otras dos. 1. El pentágono regular está inscrito en un círculo de centro O y radio OA . C O B A Sin utilizar instrumentos de medición responde: ¿cuánto mide ABC? Comparen y comenten sus respuestas. Responde las siguientes preguntas. a) ¿Cuánto mide el ángulo central del pentágono? b) ¿Qué tipo de triángulo es OAB? c) ¿Cuánto miden OAB y OBA? d) OBA = OBC ¿por qué? Respuesta. 180º 67 Li b r o p ara e l m ae s t r o 103 Sugerencia didáctica. Es importante que estos ejercicios se realicen sin utilizar instrumentos de medición. SECUENCIA 4 2. En los siguientes triángulos isósceles se marcó la medida del ángulo formado por los lados iguales. Selecciona del recuadro las medidas de los ángulos faltantes y anótalas en el triángulo correspondiente. 113º 72º 45º Incorporar al portafolios. Elija el problema 3 o el 4 para la evaluación. Aclare a los alumnos que no deben utilizar el transportador para resolver los siguientes problemas, pues pueden hallar el valor de los ángulos estableciendo relaciones entre las características de las figuras y los conocimientos que han elaborado durante esta sesión. Respuestas. Hexágono: El ángulo mide 120°. El hexágono puede dividirse en 6 triángulos. La medida del ángulo central, y de los otros ángulos, es de 60° por tratarse de triángulos equiláteros. Pentágono: El ángulo mide 150°, pues se forma con la suma de los 90° del ángulo del rectángulo y los 60° del triángulo. 100º 54º 80º 67.5º 33.5º 40º 3. Determina el valor de los ángulos marcados y escribe en tu cuaderno el proceso que utilizaste para determinar el valor de cada uno. Hexágono regular Pentágono formado por un rectángulo y un triángulo equilátero 68 1 04 L ibro p ara el mae s t r o MATEMÁTICAS II 4. Sin utilizar instrumentos de medición, determina la medida de los ángulos marcados con rojo en las ilustraciones. N 50 º R S Respuesta. Mide 130°. En caso de que algún alumno ponga una medida menor, es probable que considere, de manera errónea, que como la representación del ángulo rojo es menor que la del ángulo gris, entonces el ángulo debe ser más pequeño. En ese caso, aclare a los alumnos que ese no es un buen criterio para comparar ángulos, en cambio, hay información pertinente en la que pueden apoyarse para determinar la medida del ángulo, en este caso, la medida del otro ángulo: 180° – 50° = 130°. O T RST = M MNO = Para saber más Sobre ángulos y cómo interactuar con ellos consulta: http://descartes.cnice.mecd.es/1y2_eso/Medicion_de_angulos/index.htm Ruta 1: El transportador de ángulos Ruta 2: Ángulos complementarios y suplementarios [Fecha de consulta: 24 de mayo de 2007]. Proyecto Descartes. Ministerio de Educación y Ciencia. España. 69 Li b r o p ara e l m ae s t r o 105 Propósito del programa integrador. Presentar datos del grado como unidad de medida y explicar la posición relativa de dos rectas en el plano y los ángulos que se forman. Propósito de la sesión. Profundizar en el estudio de las rectas paralelas al aprender a trazarlas con regla y compás y poder definirlas correctamente. Organización del grupo. Se sugiere trabajar en parejas todas las actividades de la sesión, y llevar a cabo intercambios de respuestas y comentarios con todo el grupo. Materiales. Instrumentos geométricos: regla, escuadras, transportador y compás. Propósito de la actividad. El estudio de las rectas paralelas inicia en tercer grado de educación primaria, en donde una forma de trazar rectas paralelas es el doblado de papel. Utilizar nuevamente ese recurso es una manera familiar y “tangible” de abordar el estudio de una noción que será ampliada y enriquecida en el transcurso de esta secuencia. Posible dificultad. No saber medir adecuadamente la distancia entre un punto y una recta, por lo que es importante que les recomiende leer con atención la nota del “Recuerden que”. Esta idea la practicaron en primer grado (al medir la distancia de puntos simétricos al eje de simetría y al medir alguna de las alturas de un triángulo). Se espera que la escala no represente una dificultad. Posibles procedimientos: • Marcar los puntos al “tanteo”, aproximando los 2 centímetros. • Marcar puntos a 2 cm de la recta pero sin conservar la perpendicularidad. Pueden darse cuenta del error al tratar de trazar una recta, pues los puntos no quedarán alineados. • Marcar los puntos usando la escuadra para medir los 2 cm de cada punto a la recta. • Para los alumnos que tienen una idea clara de que las paralelas son rectas que conservan la misma distancia entre sí, es probable que tracen la paralela a 2 cm (lo saben hacer con las escuadras) y ubiquen diez puntos de ella. Este procedimiento es el óptimo. SECUENCI A 5 Rectas y ángulos ¿Cómo se llaman las rectas que no se cortan?, ¿y las que sí se cortan?; cuando dos rectas se cortan se forman cuatro ángulos, ¿cómo se relacionan sus medidas? Este tipo de preguntas son las que podrás contestar cuando termines de estudiar esta secuencia. SESIÓN 1 RECTAS QUE NO SE CORTAN Para empezar Desde la escuela primaria has estudiado el trazo de paralelas usando distintos recursos, ¿lo recuerdas? Uno de esos recursos fue el doblado de papel. Consigue una hoja y haz los dobleces tal como se muestra en la figura y marca las rectas paralelas. Después pega la hoja en tu cuaderno. Consideremos lo siguiente Recuerden que: a un punto a un La distancia de lar re la perpendicu sob de mi se recta recta. la a nto pu l de Observen: Consideren que la recta roja representa una carretera y que 1 cm representa 1 km. La casa de Lety está situada a 2 km de la carretera del lado donde está el punto azul, señala con puntos cinco lugares donde podría estar la casa de Lety. 70 Eje Forma, espacio y medida. Tema Formas geométricas. Propósitos de la secuencia Determinar mediante construcciones las posiciones relativas de dos rectas en el plano y elaborar definiciones de rectas paralelas, perpendiculares y oblicuas. Establecer relaciones entre los ángulos que se forman al cortarse dos rectas en el plano y reconocer ángulos opuestos por el vértice y adyacentes. Sesión 1 Propósitos de la sesión Rectas que no se cortan Profundizar en el estudio de las rectas paralelas al aprender a trazarlas con regla y compás y poder definirlas correctamente. Rectas que se cortan Profundizar en el estudio de las rectas perpendiculares al aprender a trazarlas con regla y compás, poder definirlas correctamente y distinguirlas de las rectas oblicuas. Relaciones entre ángulos Identificar y definir a los ángulos opuestos por el vértice y a los adyacentes. Descubrir las relaciones entre las medidas de los cuatro ángulos que se forman cuando dos rectas se cortan. Recursos Interactivo Aula de medio Programa integrador 3 Antecedentes Los alumnos han trabajado con las nociones de ángulo y de rectas paralelas y perpendiculares desde la escuela primaria y en el primer grado de la secundaria. En ese último grado trazaron perpendiculares y paralelas y midieron ángulos para resolver situaciones relacionadas con las nociones de simetría, mediatriz y bisectriz, así como para construir diversas figuras geométricas. Se espera que en el segundo grado, además de reconocer esos tipos de rectas y las clases de ángulos, identifiquen y describan sus propiedades, establezcan relaciones entre ellos y elaboren argumentos para validar tales propiedades y relaciones; asimismo, que sean capaces de aplicar esas nociones para resolver ciertos problemas. 2 Interactivo 3 Video “Parejas de rectas” Interactivo 106 L ibro p ara el mae s t r o MATEMÁTICAS II Si localizaron bien los cinco puntos podrán unirlos con una línea recta, tracen esa línea recta. a) ¿Cómo son entre sí la recta roja y la que acaban de trazar? b) Anoten dos cosas de su alrededor que representen rectas paralelas. y c) Escriban una definición para rectas paralelas. Comparen las diferentes definiciones de rectas paralelas con sus compañeros y, entre todos, elijan aquellas que les parezcan adecuadas. Si creen que alguna es incorrecta traten de dar un ejemplo de por qué la consideran incorrecta. Propósito de la actividad. Definir objetos geométricos y comunicar a otros sus propiedades es una habilidad que tiene que ver con la adquisición y el desarrollo de un lenguaje matemático. Con esta actividad es posible identificar el grado de comprensión que tienen del objeto que están definiendo; al mismo tiempo, los alumnos tienen la oportunidad de expresar por escrito una idea. No se espera que los alumnos den una respuesta totalmente correcta o completa. Algunas respuestas podrían ser: “Son dos líneas rectas que no se juntan”, “Rectas que no se cortan”, “Rectas que están a la misma distancia”. Manos a la obra I. En cada caso marquen con si las rectas representadas son paralelas. 2 Sugerencia didáctica. Si el tiempo se lo permite, pida a los alumnos que primero comparen en parejas, para que tengan la oportunidad de corregir o enriquecer su definición. Posteriormente, pida a cada pareja que escriba en el pizarrón su definición para que el grupo las analice. Para orientar la confrontación grupal, es importante que destaque: • Las diferencias más relevantes entre las definiciones formuladas por los alumnos. • La idea de que todos los puntos de la recta paralela a la recta roja equidistan de ella. 1 2 3 4 5 6 II. Se desea trazar una paralela a la recta que pase por el punto P. P Si los alumnos consideran que alguna definición es incorrecta, invítelos a que den sus argumentos; puede ayudarles planteando un contraejemplo para que después ellos también lo hagan. Esto es un buen inicio de la argumentación y sienta las bases para que, poco a poco, los alumnos desarrollen el pensamiento deductivo que ocuparán posteriormente en las demostraciones geométricas. 71 Propósito de la actividad. Que los alumnos describan los pasos que se siguieron para trazar una paralela que pasa por el punto P a partir del análisis de la construcción ya realizada. Es importante que los alumnos practiquen continuamente trazos geométricos porque con ello profundizan en el estudio de las características y propiedades geométricas de las figuras. Por otra parte, además de desarrollar su habilidad para interpretar instrucciones, también es importante que aprendan a describir los pasos de una construcción, con la finalidad de que sean competentes para comunicar ideas matemáticas. Sugerencia didáctica. Pida a dos o tres parejas que lean al grupo los pasos que escribieron para reproducir la figura en sus cuadernos. Sugiera a los alumnos que hagan las correcciones que consideren necesarias con la finalidad de que la secuencia de trazos sea lo más clara posible. Propósito de la actividad. Que los alumnos consideren la posibilidad de que dos rectas (representadas por segmentos) que aparentemente son paralelas, sí llegan a cortarse al prolongar los segmentos (como sucede en los casos 2 y 4). Es decir, no basta con que vean que los dos segmentos no se cortan, deben considerar si sus prolongaciones tampoco lo harán. El propósito de hacerlo sobre una cuadrícula tiene que ver con la idea de que rectas con igual pendiente son paralelas (esto lo estudiarán en el bloque 3 y en tercer grado lo retomarán al estudiar la pendiente como razón de cambio). Recuerde a los alumnos que las rectas se pueden prolongar en ambos sentidos. Li b r o p ara e l m ae s t r o 107 Propósito del interactivo. Explorar paso a paso la construcción de una recta paralela a otra que pase por un punto dado. Explorar las características de las rectas paralelas. Sugerencias didácticas. Puede ocupar el interactivo para verificar los pasos propuestos por los alumnos. Además, al mover algunos de los elementos de la construcción los alumnos pueden explorar y generalizar características de las rectas paralelas. En la actividad III del libro del alumno el interactivo podría servir para que los alumnos exploren cuáles de las definiciones de rectas paralelas son correctas, o para mostrar contraejemplos en los que no se cumpla alguna de las características dadas. SECUENCI A 5 La siguiente figura muestra un procedimiento completo con el que, usando regla y compás, se trazó una recta que pasa por el punto P y es paralela a la recta negra. P' P C' O' O C Analicen la figura y a) Reprodúzcanla en su cuaderno. b) Escriban con sus propias palabras la secuencia de pasos que siguieron. III. Subrayen las dos definiciones correctas de rectas paralelas. En cuanto a las incorrectas, busquen un ejemplo para mostrar por qué lo son. 3 Propósito de la actividad. Aun cuando los alumnos han trabajado desde la primaria con las rectas paralelas, en esta actividad se espera que sean capaces de expresar, por sí mismos, lo que entienden de esa noción. Recuerde que es importante que argumenten sus respuestas y que sean capaces de expresar contrajemplos de las definiciones que consideran incorrectas. Respuestas: Los incisos b) y c) son los correctos. Sugerencia didáctica. Apoye a los alumnos en la elaboración de argumentos con preguntas y con ideas que les permitan identificar errores. Por ejemplo, es probable que algunos alumnos elijan el inciso d), este error puede ser resultado de identificar a los lados opuestos de los paralelogramos como rectas paralelas, por lo que se han creado la imagen de que las paralelas son del mismo tamaño; en este caso es importante comentar con ellos lo siguiente: • La rectas no tienen “medida” porque se pueden prolongar, en ambos sentidos, todo lo que deseemos. • Aun cuando los segmentos paralelos sí tienen medida, ésta no tiene por qué ser del mismo tamaño; por ejemplo, en un trapecio la pareja de lados paralelos siempre tiene medidas diferentes. a) Son rectas horizontales. b) Son rectas que siempre conservan la misma distancia entre sí. c) Son rectas que no se cortan. d) Son rectas que tienen la misma medida. A lo que llegamos Las rectas que no se cortan se llaman rectas paralelas. Si una recta m es paralela a la recta n, esto se escribe: m II n. 72 2 Sugerencia didáctica. Lea y comente esta información con sus alumnos. Pida que comparen esta definición con la que ellos escribieron en el inciso c) del Consideremos lo siguiente, y que agreguen o corrijan a su definición lo que crean necesario. 108 L ibro p ara el mae s t r o MATEMÁTICAS II Lo que aprendimos 1. Busca una manera de trazar rectas paralelas usando sólo regla y transportador. Cuando lo hayas hecho comenta en grupo los diferentes procedimientos, y si en alguno no están de acuerdo argumenten sus razones (pista: analiza los dobleces que hiciste al inicio de la sesión, te ayudará a resolver este problema). 2. En cada caso, traza una recta paralela a la recta que pase por el punto M. M M Sugerencia didáctica. La solución de este problema requiere saber un hecho importante: dos rectas perpendiculares a una tercera son paralelas entre sí. La forma en que se construyen paralelas con doblado de papel se basa en ese conocimiento. Si nota que los alumnos tienen dificultades, invítelos a que analicen la secuencia de doblado de papel que hicieron al inicio de esta sesión. También puede ayudarlos pidiendo que observen los bordes de la hoja de su libro, que vean que los lados opuestos son paralelos y los contiguos son perpendiculares, y que pueden aprovechar esta perpendicularidad para obtener paralelas (el transportador sirve para trazar los ángulos de 90º ). Sugerencia didáctica. Al igual que en el problema inicial, en éste ya se establece un punto por donde debe pasar la recta. Dado que no se especifica qué instrumentos geométricos deben emplear, los alumnos tienen al menos tres opciones para hacer el trazo: usando dos escuadras, la regla y el transportador o la regla y el compás, siguiendo el procedimiento ilustrado en el apartado Manos a la obra. Propósito de la sesión: Profundizar en el estudio de las rectas perpendiculares al aprender a trazarlas con regla y compás, poder definirlas correctamente y distinguirlas de las rectas oblicuas. Organización del grupo. Se sugiere que los alumnos trabajen en parejas durante toda la sesión y hagan una confrontación grupal. Materiales. Instrumentos geométricos. 73 RECTAS QUE SE CORTAN Para empezar SESIÓN 2 También las rectas perpendiculares pueden trazarse usando distintos recursos, como el doblado de papel. Consigue una hoja y haz los dobleces que se muestran en la figura, marca las rectas perpendiculares y después pega la hoja en tu cuaderno. Propósito de la actividad. En la primaria los alumnos iniciaron el estudio de las rectas perpendiculares también usando el doblado de papel. En esta actividad se recupera ese procedimiento como punto de partida para después arribar a un procedimiento más formal. Li b r o p ara e l m ae s t r o 109 Posibles procedimientos. Aun cuando no se menciona el uso de instrumentos geométricos, hágales notar que trazar una recta no puede hacerse “a mano alzada”, es decir, sin ningún instrumento; es importante que al menos usen la regla. Posiblemente los alumnos relacionen las rectas perpendiculares con la igualdad de los cuatro ángulos y traten de trazarlas. Una forma de hacerlo, aunque difícil, es al “tanteo”, utilizando únicamente la regla. Otras formas de hacerlo con instrumentos geométricos, son: • Usando las dos escuadras (lo hicieron en primer grado). • Con el transportador y la regla. Para el segundo caso (ángulos que no son todos iguales), es suficiente la utilización de la regla. S E C UENCIA 5 Consideremos lo siguiente En el primer recuadro tracen dos rectas que se corten formando cuatro ángulos iguales y en el segundo recuadro tracen dos rectas que se corten formando ángulos que no sean todos iguales. a) ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos del primer recuadro? b) Si trazaron bien las rectas del primer recuadro, se trata de dos rectas perpendiculares. Anoten dos cosas de su alrededor que representen rectas perpendiculares. c) Escriban una definición para rectas perpendiculares. d) Las rectas que trazaron en el segundo recuadro se llaman oblicuas. Escriban una definición para rectas oblicuas. Sugerencia didáctica. Al igual que en la comparación de respuestas de la sesión 1, es importante que invite a los alumnos a dar argumentos y contraejemplos para los casos en que consideren que una definición es incorrecta. Usted puede apoyarlos enfatizando el hecho de que si los cuatro ángulos deben medir lo mismo, la medida será de 90º, es decir, deben ser cuatro ángulos rectos. Comparen las diferentes definiciones de rectas perpendiculares y rectas oblicuas con las de sus compañeros y entre todos elijan aquellas que les parezcan adecuadas. Si creen que alguna es incorrecta traten de dar un ejemplo de por qué lo es. Manos a la obra I. En cada caso anoten si las rectas representadas son perpendiculares u oblicuas. 1 2 3 perpendiculares oblicuas oblicuas 4 5 6 perpendiculares 74 perpendiculares oblicuas Posibles procedimientos. Para determinar si las rectas son perpendiculares, es importante que los alumnos identifiquen si los ángulos que forman las rectas son de 90º. Para ello, es probable que recurran a procedimientos empíricos, como usar el transportador para medir los ángulos o la escuadra para ver si los ángulos son rectos; también es posible que se apoyen en deducciones lógicas; por ejemplo, en el caso número 4 pueden observar que al prolongar las rectas éstas coincidirán con los lados de un cuadrado que, como ya saben, sus ángulos son rectos. 110 L ibro p ara el mae s t r o MATEMÁTICAS II II. Se desea trazar una recta que pase por el punto P y que sea perpendicular a la recta dada. Propósito del interactivo. Mostrar paso a paso la construcción de una recta perpendicular a otra que pase por un punto dado. Sugerencias didácticas. El interactivo, a diferencia del impreso, muestra paso a paso los trazos realizados para obtener las rectas perpendiculares; puede mostrarlo a los alumnos y que ellos vayan escribiendo qué es lo que observan, posteriormente pueden mover los elementos que conforman la construcción para explorar que si efectivamente las indicaciones que escribieron se cumplen siempre o en qué casos no. En la actividad III del libro del alumno el interactivo parmite a los alumnos explorar cuáles de las definiciones de rectas perpendiculares son correctas, también permite mostrar contraejemplos en los que no se cumple alguna de las características dadas. P La siguiente figura muestra un procedimiento completo para hacer el trazo con regla y compás. O P O' Analicen la figura y a) Reprodúzcanla en su cuaderno. b) Escriban con sus propias palabras la secuencia de pasos que siguieron. III. Subrayen las dos definiciones correctas para rectas perpendiculares y para rectas oblicuas, para las otras definiciones den un ejemplo de por qué las consideran incorrectas. Rectas perpendiculares: a) Son dos rectas, una vertical y otra horizontal b) Son rectas que se cortan formando ángulos rectos c) Son rectas que no se cortan d) Son rectas que al cortarse forman cuatro ángulos iguales Rectas oblicuas: a) Son rectas que se cortan formando ángulos iguales b) Son rectas que se cortan formando dos ángulos agudos y dos obtusos c) Son rectas que se cortan formando ángulos que no son rectos d) Son rectas que no se cortan 75 Propósito de la actividad. Al igual que en el trazo de una paralela a una recta, en esta actividad se pretende que dado el punto de partida y el resultado final, los alumnos puedan reconstruir y comunicar los pasos que se siguieron para trazar una perpendicular a una recta que pase por un punto sobre ella. Sugerencia didáctica. Pida a dos o tres parejas que lean al grupo los pasos que escribieron para reproducir la figura en sus cuadernos. Sugiera a los alumnos que hagan las correcciones que consideren necesarias con la finalidad de que la secuencia de trazos sea lo más clara posible. Respuestas. Las definiciones correctas para el caso de las rectas perpendiculares son los incisos b) y d); y para el caso de las oblicuas son los incisos b) y c). Sugerencia didáctica. Insista en la importancia de que los alumnos den argumentos convincentes y que en lo posible den contraejemplos para aquellas definiciones que consideren incorrectas. Por ejemplo, la definición errónea de rectas perpendiculares que señala que una siempre es vertical y la otra siempre horizontal, puede ser discutida tomando como contraejemplo el caso número 5 del apartado Manos a la obra, actividad I. Li b r o p ara e l m ae s t r o 111 Sugerencia didáctica. Lea y comente esta información con los alumnos. Puede pedirles que la copien en sus cuadernos y que ilustren ambas definiciones con representaciones diversas. SECUENCIA 5 A lo que llegamos Si dos rectas que se cortan forman ángulos de 90º, entonces se llaman rectas perpendiculares; si se cortan formando ángulos que no son de 90º, se llaman rectas oblicuas. Si una recta p es perpendicular a la recta q, esto se escribe: p q. Para indicar que un ángulo mide 90º, es decir, que es recto, se coloca en el ángulo una marca como la roja. Sugerencia didáctica. Los alumnos podrán resolver fácilmente este ejercicio a partir de la consideración de que las perpendiculares forman ángulos de 90º : pueden trazar una recta y luego ayudarse del transportador para trazar la otra recta en un ángulo de 90º. Pídale a algún alumno que muestren en el pizarrón la manera en que lo hizo. Lo que aprendimos 1. Busquen una manera de trazar rectas perpendiculares usando sólo regla y transportador; cuando lo hayan hecho comenten en grupo los diferentes procedimientos, si en alguno no están de acuerdo argumenten sus razones. 2. Realicen los siguientes trazos en una hoja blanca, utilizando sus instrumentos geométricos. a) Un cuadrado de cualquier tamaño cuyos lados no sean paralelos a los bordes de la hoja. Posibles procedimientos. Hay distintas formas de resolver cada uno de estos ejercicios, permita que los alumnos exploren diferentes posibilidades. Una forma sencilla de resolverlos es trazar rectas perpendiculares, a partir de ahí se puede trazar tanto el cuadrado como el rectángulo de distintas maneras: Para el cuadrado, trazar un círculo con centro donde se cortan las rectas, y después unir los cuatro puntos en los que la circunferencia corta a las perpendiculares, para obtener los lados del cuadrado. También pueden trazar un lado del cuadrado de la medida elegida y en los extremos de ese segmento trazan dos segmentos perpendiculares de la misma medida, luego trazan el cuarto lado para cerrar el cuadrado. El rectángulo lo pueden hacer igual, cuidando que el primer segmento que tracen sea de medida diferente a las dos perpendiculares de los extremos. Para cumplir con la condición de que los lados de las figuras no sean paralelos a la hoja del cuaderno, es importante que las rectas perpendiculares se tracen en una posición distinta a aquella en la que una recta es horizontal y la otra vertical. b) Un rectángulo de cualquier tamaño cuyos lados no sean paralelos a los bordes de la hoja. 3. En cada caso, tracen una recta perpendicular a la recta r que pase por el punto P. P P r r 76 Posibles procedimientos. Como no se indica qué instrumentos geométricos deben utilizar, los alumnos pueden recurrir tanto a las escuadras, la regla y el transportador, como sólo a la regla y el compás. Los trazos que se piden en este ejercicio no son sencillos, si nota que sus alumnos tienen problemas puede ayudarlos dándoles algunas pistas. 112 L ibro p ara el mae s t r o MATEMÁTICAS RELACIONES ENTRE ÁNGULOS II SESIÓN 3 Para empezar Une dos palitos o lápices con una liga, como se muestra en la foto, y manipúlalos para formar ángulos. Propósito de la sesión. Identificar y definir los ángulos opuestos por el vértice y los adyacentes. Descubrir las relaciones entre las medidas de los cuatro ángulos que se forman cuando dos rectas se cortan. Organización del grupo. Se sugiere que los alumnos trabajen en parejas y que el apartado Lo que aprendimos lo resuelvan individualmente. Materiales. Un par de lápices, una liga y el transportador que se propone en esta sesión. ¿Cuántos ángulos se forman? ¿son todos diferentes? ¿hay algunos que sean iguales entre sí? , , . Propósito de la actividad. La manipulación de lápices unidos por una liga permite a los alumnos experimentar distintas posibilidades de formación de ángulos cuando dos rectas se cortan. Coloca los palitos de tal manera que todos los ángulos sean iguales. Cuando los colocas de esta manera ¿cuánto mide cada ángulo? Consideremos lo siguiente Sin utilizar transportador, en cada pareja de rectas averigüen y anoten la medida de cada uno de los tres ángulos a, b y c. a b c 60º a b 90º a b 115º c c 77 Sugerencia didáctica. Es importante que los alumnos no usen el transportador, pues esa restricción favorece que recurran a otros conocimientos que les permitan relacionar la medida del ángulo dado y los ángulos a, b , c. Posibles procedimientos. Los alumnos pueden apoyarse tanto en su percepción visual como en sus conocimientos previos para hacer estimaciones y para establecer distintas relaciones entre los ángulos, por ejemplo: • Apoyándose en la percepción visual, es posible identificar que el ángulo b es igual al ángulo del que se conoce la medida; y en el caso de las perpendiculares es sencillo visualizar la igualdad de los ángulos (los alumnos aprendieron en la sesión 2 que las rectas perpendiculares forman ángulos de 90º ). • Pueden determinar las medidas recurriendo a alguna de las siguientes relaciones: el ángulo del que se conoce la medida forma, junto con el ángulo a (o el c), un ángulo de 180°, de la misma manera que el ángulo b y el ángulo c (o el a). A partir de ahí se puede restar a 180º la medida del ángulo conocido para obtener la del otro ángulo. La otra posibilidad es que, sabiendo que los cuatro ángulos suman 360°, y que el ángulo dado y su opuesto miden lo mismo, sumen esas dos medidas y resten esa suma a 360°, y luego dividan el resultado entre 2 para obtener el valor de los ángulos a y c (porque a y c son iguales). En caso de que no obtengan todos los resultados correctos, en la confrontación tendrán la oportunidad de verificar sus respuestas usando un transportador. Li b r o p ara e l m ae s t r o 113 2 Sugerencia didáctica. Antes de llevar a cabo la comparación grupal, puede pedir a los alumnos que primero comparen entre parejas, para que todos tengan la oportunidad de intercambiar sus respuestas y puntos de vista. En la comparación grupal, en caso de que aún haya diferencias, invítelos a que argumenten sus respuestas antes de recurrir a la medición de ángulos. Finalmente, pídales que verifiquen utilizando el transportador. SECUENCI A 5 Comparen sus resultados. Sólo hasta que todos estén de acuerdo podrán utilizar el transportador y medir los ángulos, para verificar sus respuestas. Comenten: a) ¿Cómo pudieron calcular la medida de los ángulos? b) ¿Cuál es la relación entre los ángulos a y c de cada pareja de rectas? c) ¿Cuál es la relación entre los ángulos a y b de cada pareja de rectas? Manos a la obra I. De acuerdo con lo ilustrado contesten lo que se pide. Los ángulos a y b son ángulos opuestos por el vértice Los ángulos c y d son ángulos adyacentes Propósito de la actividad. La elaboración de definiciones y de argumentos respecto de la validez o no de una definición, es una habilidad que se desarrolla gradualmente en los alumnos, por ello es importante que tengan la oportunidad de expresar sus propias ideas aun cuando éstas sean incompletas o incorrectas. Sugerencia didáctica. En caso de que algunos alumnos quieran consultar un diccionario u otra fuente para investigar estas definiciones, invítelos a que primero traten de enunciar la definición y que después la comparen y la complementen con lo que dice el diccionario. a b a b d c d c b a a b d c c d Escriban una definición para: Ángulos opuestos por el vértice Ángulos adyacentes 3 Sugerencia didáctica. Es importante que invite a los alumnos a argumentar sus puntos de vista acerca de las diferentes definiciones que surjan en el grupo. Recuerde que la elaboración de argumentos es una parte fundamental del conocimiento matemático, además de que prepara a los alumnos para las demostraciones formales que tendrán que hacer en grados posteriores. Comparen las definiciones que escribieron para ángulos opuestos por el vértice y ángulos adyacentes. Si alguna definición les parece incorrecta traten de dar argumentos de por qué lo consideran así; por ejemplo, si algún equipo define a los ángulos opuestos por el vértice como ángulos que son iguales, pueden poner de ejemplo que los ángulos de un triángulo equilátero son iguales, pero no son opuestos por el vértice. 78 Sugerencia didáctica. Si algunos alumnos definen a los ángulos opuestos por el vértice como ángulos que son iguales, usted puede precisar que realmente no están dando una definición de ángulos opuestos, sino una propiedad, pues hay ángulos que son iguales pero que no están opuestos por el vértice. 114 L ibro p ara el mae s t r o MATEMÁTICAS II. Realicen lo que se indica. • Recorten una tira de papel de 10 cm de largo por 1 cm de ancho; a lo largo de ella y pasan2 do por la mitad, tracen una línea recta. Dibujen un punto en el centro de la tira. II • Coloquen la tira en el transportador como se muestra en el dibujo, de tal manera que puedan girarla. Giren la tira de modo que el ángulo 1 mida 30º. Ayúdense del transportador para obtener las medidas de los ángulos 2, 3 y 4. Anoten esas medidas en la tabla que se muestra adelante, en el renglón del ángulo de 30º. Repitan lo mismo con las otras medidas que se indican en la tabla para el ángulo 1. 120º 135º 150º 165º 180º 195º 210º 225º 240º 105º 90º 75º 60º 45º 30º 15º 360º 345º 330º 315º 255º270º 285º 300º 79 Propósito del interactivo. Explorar las propiedades de los ángulos formados por dos rectas. Sugerencias didácticas. En el interactivo se puede trabajar con otras medidas de los ángulos, lo cual ayudaría a mostrar contraejemplos o para que los alumnos generalicen las características de los ángulos opuestos por el vértice y de los ángulos adyacentes. El interactivo puede servir para generar otros ejercicios que les permitan a los alumnos validar sus hipótesis, o en su defecto presentarles contraejemplos para que analicen en qué casos son ciertas y en qué casos no. Se pueden adecuar los ejemplos de acuerdo a las necesidades de los alumnos aumentando o disminuyendo el grado de dificultad de los ejercicios planteados a los alumnos. Li b r o p ara e l m ae s t r o 115 SECUENCI A 5 Ángulo 1 Ángulo 2 Ángulo 3 Ángulo 4 30º 45º 75º 90º 130º 145º 150° 135° 105° 90° 50° 35° 30° 45° 75° 90° 130° 145° 150° 135° 105° 90° 50° 35° Son iguales Sugerencia didáctica. Si lo considera necesario, organice una puesta en común para que los alumnos comenten sus hallazgos acerca de las relaciones entre los ángulos. Lean y comenten en grupo la información del apartado A lo que llegamos; para ello, puede apoyarse en el pizarrón para trazar ahí dos rectas que se cortan e ir señalando los ángulos opuestos por el vértice y los ángulos adyacentes que suman 180°. Enfatice en el hecho de que éstos últimos son un caso especial, pues existen ángulos adyacentes que pueden sumar más o menos de 180° (en la tabla de la actividad I del Manos a la obra hay un par de ejemplos). a) ¿Qué relación encuentran entre las medidas de los ángulos 1 y 3? b) ¿Y entre las medidas de los ángulos 2 y 4? c) ¿Entre las medidas de los ángulos 1 y 2? d) ¿Y entre las medidas de los ángulos 3 y 4? Son iguales Suman 180° Suman 180° e) Regresen al problema del apartado Consideremos lo siguiente y verifiquen que sus respuestas coincidan con las relaciones que acaban de encontrar. A lo que llegamos Cuando dos rectas se cortan se forman cuatro ángulos. b c d a Descripción del video. En el video se muestran de manera visual y dinámica las posiciones relativas de dos rectas en el plano, el trazo de rectas paralelas y perpendiculares y las relaciones que hay entre los ángulos cuando las dos rectas se cortan. Este video se puede utilizar al final de la secuencia para reafirmar lo visto a lo largo de ésta. 80 Los ángulos a y c son opuestos por el vértice, observa que tienen el mismo vértice y los lados de uno son prolongación de los lados del otro. Los ángulos a y b suman 180º y, además, son ángulos adyacentes, observen que tienen en común el vértice y un lado. Parejas de rectas Ahora sabes que dos rectas pueden cortarse o no cortarse. Si se cortan pueden formar ángulos rectos o ángulos no rectos. 116 L ibro p ara el mae s t r o MATEMÁTICAS II Lo que aprendimos 1. Plantea una ecuación y encuentra el valor de los cuatro ángulos de la siguiente figura. x + 20° x 2. Si la suma de las medidas de dos ángulos adyacentes es 180°, y uno de ellos mide el doble del otro, ¿cuánto mide cada uno? 3. Anota las medidas de los otros tres ángulos que forman las diagonales. Incorporar al portafolios. Para los problemas 1 y 2, el propósito es que los alumnos integren sus conocimientos algebraicos y los geométricos para resolver una situación determinada, y para el problema 3, que acudan a las relaciones ya estudiadas entre dos rectas que se cortan y los ángulos que se forman. Por ello es importante que los alumnos no utilicen el transportador para resolver y, en lo posible, tampoco para verificar, pues tienen otros elementos que les permiten revisar sus respuestas y elaborar argumentos para validarlas. 50° Respuesta: La ecuación que se debe plantear es: x + x + 20 = 180. Al despejar x se tiene el valor de uno de los ángulos y, sumando 20 a ese valor, se obtiene la medida del otro ángulo. Para saber más Consulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula: De la Peña, José Antonio. “Rectas y puntos”, en Geometría y el mundo. México: SEP/ Santillana, Libros del Rincón, 2003. Sobre las ilusiones ópticas que se refieren a objetos geométricos, en particular a líneas paralelas consulta: http://www.opticas.info/articulos/ilusiones-opticas.php http://perso.wanadoo.es/e/ochum/ilu02.htm [Fecha de consulta: 24 de mayo de 2007]. Respuesta. Este problema puede resolverse haciendo estimaciones y probando con distintas medidas hasta obtener la correcta, o bien, planteando la siguiente ecuación: x + 2 x = 180. Deben constatar que efectivamente uno de los ángulos mida el doble del otro. Posibles procedimientos. Los alumnos pueden resolver estableciendo las siguientes relaciones: • La medida del ángulo opuesto al de 50° es también de 50°, por ser opuestos por el vértice. • El ángulo adyacente al de 50° se obtiene restando 180° menos 50° ; la medida de ese ángulo es de 130°. 81 Li b r o p ara e l m ae s t r o 117 Propósito del programa integrador. Mostrar los tipos de ángulos que se generan cuando dos rectas paralelas son cortadas por una transversal. Propósito de la sesión. Identificar la igualdad de los ángulos correspondientes cuando dos rectas paralelas son cortadas por una transversal. Organización de grupo. Se recomienda que los alumnos trabajen en parejas y que se organicen momentos para el intercambio grupal. Materiales. Una hoja delgada de papel y tijeras. Propósito de la actividad. Introducir el término “secante” o “transversal”, el cual habrá de utilizarse a lo largo de la secuencia. Sugerencia didáctica. En varias actividades de esta sesión se presentan a los alumnos paralelas cortadas por una secante en distintas posiciones, es decir: paralelas horizontales, paralelas verticales y en diagonal, para que los alumnos no fijen la noción de rectas paralelas a una sola representación. Si lo considera conveniente, puede trazar en el pizarrón varios sistemas de dos paralelas y una transversal para que los alumnos identifiquen tanto las paralelas como la transversal. Posibles procedimientos. Para resolver este problema los alumnos cuentan con algunos antecedentes: saben que dos ángulos opuestos por el vértice son iguales y que cuando dos rectas se cortan los ángulos adyacentes suman 180º, esto hará que sea relativamente sencillo calcular el valor de los tres ángulos que están junto con el ángulo de 135º. Después se enfrentarán a la dificultad de encontrar el valor de los otros cuatro ángulos, pues hasta ahora no se ha estudiado la relación entre éstos y los ángulos que ya determinaron. Apoyándose en la percepción visual, los alumnos podrían identificar que los dos conjuntos de ángulos son iguales. Otro procedimiento es el de calcar algunos ángulos y sobreponerlos en otros para determinar si son iguales. SECUENCI A 6 Ángulos entre paralelas En secuencias anteriores has estudiado, por un lado ángulos, y por otro rectas paralelas, ahora seguirás explorando ambos temas: ángulos entre paralelas. También trabajarás con los ángulos interiores de triángulos y paralelogramos. SESIÓN 1 ÁNGULOS CORRESPONDIENTES Para empezar Considera las siguientes rectas paralelas, r1 y r2. Recuerda que esto se escribe: r1 II r2 r1 r2 t Observa que la recta t corta a las dos rectas paralelas. Esta recta recibe el nombre de transversal o secante. Consideremos lo siguiente Sin medir, encuentren y anoten el valor de cada uno de los ángulos marcados con rojo. r1 r2 135º 45º 45º 135º 45º r1 II r2 135º 45º 135° Comparen sus resultados con los del resto del grupo, y si hay resultados diferentes argumenten sus respuestas para convencer a sus compañeros. 82 Eje Forma, espacio y medida. Tema Formas geométricas. Propósitos de la secuencia Establecer las relaciones de los ángulos que se forman entre dos rectas paralelas cortadas por una transversal. Justificar las relaciones entre las medidas de los ángulos interiores de triángulos y paralelogramos. Sesión 1 Propósitos de la sesión Ángulos correspondientes Identificar la igualdad de los ángulos correspondientes cuando dos rectas paralelas son cortadas por una transversal. Ángulos alternos internos Identificar la igualdad de los ángulos alternos internos y alternos externos cuando dos rectas paralelas son cortadas por una transversal. Los ángulos en los paralelogramos y en el triángulo Explorar las relaciones entre los ángulos interiores de un triángulo y los ángulos interiores de un paralelogramo. Recursos Aula de medios Interactivo Programa integrador 4 Antecedentes En la secuencia 4 los alumnos aprendieron diferentes definiciones de ángulos y elaboraron deducciones sencillas para calcular la medida de un ángulo. En la secuencia 5, establecieron relaciones entre los ángulos que se forman al cortarse dos rectas en el plano y aprendieron a reconocer ángulos opuestos por el vértice y ángulos adyacentes. En esta secuencia los alumnos trabajarán con los ángulos que se forman entre dos paralelas cortadas por una secante: aprenderán a establecer relaciones de igualdad entre ellos, a justificar esa igualdad mediante la elaboración de argumentos y a nombrar los tipos de ángulos que resultan. 118 L ibro p ara el mae s t r o 2 Aula de medios 3 Aula de medios Video “Relaciones importantes” Interactivo MATEMÁTICAS II Manos a la obra I. Realicen la siguiente actividad. 1. Tracen en una hoja blanca de papel delgado (de preferencia transparente) dos rectas paralelas y una transversal, y numeren los ángulos de la siguiente manera: Propósito del interactivo. Explorar las características de los ángulos formados por dos paralelas cortadas por una transversal. Sugerencias didácticas. Al mover las rectas paralelas o la transversal se representan una infinidad de rectas paralelas y transversales, lo cual permite mostrar a los alumnos que los ángulos correspondientes son iguales no sólo para el caso que ellos trazaron. Además se pueden girar las rectas, para que los alumnos observen y comprueben que las características de los ángulos se mantienen independientemente de la posición de las rectas, siempre y cuando éstas sigan siendo paralelas. Las relaciones entre los ángulos se pueden explorar de dos maneras con el interactivo, una es moviendo los ángulos, para superponerlos, y otra es midiéndolos con el transportador. Al mover los ángulos, ya sea sobre la misma paralela o hacia la otra, los alumnos pueden explorar cuáles ángulos miden lo mismo, con la finalidad de que puedan generalizar las relaciones existentes entre los ángulos que se forman cuando dos paralelas son cortadas por una transversal. 2. Marquen una línea punteada como la que se muestra en el dibujo: 2 3 6 7 8 5 4 1 3 6 7 8 5 2 4 1 3. Corten la hoja por la línea punteada. 4. Coloquen una parte de la hoja encima de la otra de tal manera que el ángulo 1 coincida exactamente con el ángulo 5. Ahora tienen el ángulo 5 sobre el ángulo 1. Los ángulos 1 y 5 se llaman ángulos correspondientes. Propósito de la actividad. Que los alumnos comprueben, mediante la superposición de figuras, que los ángulos correspondientes son iguales. Asegúrese de que los alumnos efectivamente lleven a cabo esta actividad. ¿ y del 4? a) ¿Cuál es el ángulo correspondiente del 2? 6 , ¿y del 3? 7 8 b) ¿Cómo son entre sí las medidas de los ángulos correspondientes? iguales c) Verifiquen, midiendo, que cuando dos rectas paralelas son cortadas por una transversal los ángulos correspondientes son iguales. 83 Li b r o p ara e l m ae s t r o 119 Sugerencia didáctica. Es importante que recuerde a sus alumnos que el símbolo se refiere a la medida del ángulo, mientras que el símbolo se refiere al ángulo. Así, a, se lee “ángulo a”, mientras que a, se lee “la medida del ángulo a”. Organice un momento breve de comparación de respuestas. Invite a los alumnos a que argumenten sus afirmaciones. Respuestas. Deben subrayarse las afirmaciones a, c y d. SECUENCI A 6 II. Subrayen las afirmaciones verdaderas. a) 2= 1= 5= 5+ 6 porque son ángulos correspondientes. 5 porque son ángulos opuestos por el vértice. 7 porque son ángulos opuestos por el vértice. 6 = 180º porque son ángulos adyacentes que se forman Recuerden que: a” a se lee “ángulo a” dida del ángulo a se lee ”la me b) c) d) cuando dos rectas se cortan. III. Completen el razonamiento para encontrar f considerando que trata de dos rectas paralelas cortadas por una transversal. a = 50º y que se Propósito de la actividad. El desarrollo de un pensamiento deductivo es uno de los propósitos de las matemáticas, por ello, con esta actividad se propicia la elaboración de razonamientos deductivos sencillos a partir de casos particulares. a = e porque a c Entonces, el ∠ e mide son correspondientes 50º son adyacentes que se forman cuando dos rectas se cortan 130º e g b d f h e + f = 180º porque Por lo tanto, f= 3 Sugerencia didáctica. Es probable que los alumnos no tengan la necesidad de demostrar algo que les resulta obvio, y por ello mismo tengan dificultades para elaborar argumentos. En caso de que lo considere necesario, ayúdelos a completar las afirmaciones. IV. Regresen al problema del apartado Consideremos lo siguiente, identifiquen los ángulos correspondientes y verifiquen que sus respuestas hayan sido correctas. V. Consideren ahora dos rectas que no son paralelas y que son cortadas por una transversal. 2 3 6 7 8 5 4 1 Sugerencia didáctica. Asegúrese de que sus alumnos revisen las respuestas que dieron al problema inicial. a) En este caso también se dice que el ángulo 1 es correspondiente del ángulo 5, y el 2 del 6, ¿cuál es el correspondiente del 3? ¿y del 4? b) Comparen las medidas de los ángulos correspondientes cuando las rectas no son paralelas. 84 , Propósito de la actividad. Que los alumnos consideren que incluso rectas que no son paralelas, cuando son cortadas por una secante también forman ángulos correspondientes, pero en tal caso, esos ángulos no son iguales. Recuerde que. Dos rectas que son cortadas por una transversal son paralelas si –y sólo si– forman ángulos correspondientes iguales. 120 L ibro p ara el mae s t r o MATEMÁTICAS II A lo que llegamos Cuando dos rectas paralelas son cortadas por una transversal se forman ángulos correspondientes iguales. Sugerencia didáctica. Lea junto con los alumnos esta información, y coméntela. Usted puede pedirles que comparen lo que aquí se afirma con los casos que ellos resolvieron en las actividades III y V. 1 2 El 1 es correspondiente al 2 , por lo tanto 1= 2. Si dos rectas que no son paralelas son cortadas por una transversal los ángulos correspondientes tienen diferente medida. Lo que aprendimos Encuentra el valor de los ángulos que faltan en cada caso. Incorporar al portafolios. Antes de que los alumnos resuelvan, asigne al primero y al segundo caso una letra a cada uno de los ángulos, para que posteriormente puedan comparar sus resultados. Si identifica que en esos dos casos los alumnos tienen dificultades para determinar las medidas, repase con ellos la identificación de ángulos adyacentes, de ángulos opuestos por el vértice (apartado A lo que llegamos de la sesión 3, secuencia 5), y de ángulos correspondiente (A lo que llegamos de esta sesión). En el tercer caso se pretende vincular este tema de geometría con el tema de ecuaciones; la ecuación que debe plantearse es x + 3 x = 180º, al despejar x se obtiene x = 45º, por lo que un ángulo mide 45º y el otro 135º. También es probable que algunos alumnos lo resuelvan por ensayo y error: si logran identificar que un ángulo es el triple del otro (3 x) y ambos suman 180º, pueden empezar a buscar parejas de números que cumplan esa relación. Este procedimiento también es válido. x 80° 103° 3x ÁNGULOS ALTERNOS INTERNOS Para empezar SESIÓN 2 Cuando dos rectas paralelas son cortadas por una transversal se forman ocho ángulos. Observa que los ángulos 2, 3, 6 y 7 están dentro de las paralelas. 1 2 5 3 6 4 7 8 Estos ángulos se llaman internos. ¿Qué ángulos quedan fuera de las paralelas? ¿Cómo crees que se llaman estos ángulos? 1, 4, 5, 8 externos Propósito de la sesión. Identificar la igualdad de los ángulos alternos internos y alternos externos cuando dos rectas paralelas son cortadas por una transversal. Organización del grupo. Se sugiere que los alumnos resuelvan la sesión organizados en parejas. 85 Propósito de la actividad. Que los alumnos identifiquen a los ángulos que están dentro de las paralelas como “internos”, y a los que están fuera como “externos”. Si algunos nombran a estos últimos “exteriores”, puede decirles que aunque su respuesta es correcta, se acostumbra llamarlos “externos”. Li b r o p ara e l m ae s t r o 121 2 Sugerencia didáctica. El antecedente directo de esta actividad es la actividad III de la sesión anterior, en la que completaron un razonamiento para determinar la medida de un ángulo. En este caso ya no se les ofrecen afirmaciones para que las completen, sino que ellos tendrán que escribir, con sus propias palabras, el razonamiento deductivo que establece la igualdad entre los ángulos a y h. Para ello es importante que usted enfatice la indicación de que deben convencer a alguien respecto de la igualdad de los ángulos que se proponen. Posibles dificultades. Aun cuando los alumnos podrían disponer de las distintas formas de resolver apoyándose en las relaciones entre ángulos que han estudiado (opuestos por el vértice, adyacentes suplementarios y correspondientes), podrían tener dificultades como las siguientes: a) No recordar las relaciones que se han estudiado, o recordar algunas de ellas sin poder hacer todos los vínculos necesarios para resolver este caso. b) No poder elaborar una secuencia lógica de razonamientos, esto es, formular afirmaciones que no se deducen de otras. Por ejemplo: “Los ángulos a y f son iguales porque son opuestos por el vértice, y los ángulos c y h también son iguales porque son opuestos por el vértice, entonces el ángulo a es igual al ángulo h”. c) Establecer un razonamiento correcto pero no poder expresarlo por escrito. Usted puede sugerirles que revisen la actividad III de la sesión anterior y, principalmente, que platiquen primero en cada pareja sus ideas, y cuando uno de ellos logre convencer al otro, entonces que traten de redactar esas ideas. S E C UENCIA 6 Consideremos lo siguiente Sin medir los ángulos, ¿cómo podrían convencer a alguien de que argumentos. a = h? Anoten sus a b e f c g d h Comparen sus argumentos con los del resto del grupo, observen que hay diferentes maneras de llegar al mismo resultado. Manos a la obra I. Lean la siguiente información: a) Si dos ángulos están de diferente lado de la transversal, en diferente paralela y dentro de las paralelas, se llaman alternos internos. Por ejemplo, los ángulos 2 y 7 son alternos internos. Hay otra pareja de ángulos alternos internos, ¿cuál es? 1 2 5 3 6 4 7 8 6y3 b) Si dos ángulos están de diferente lado de la transversal, en diferente paralela y fuera de las paralelas, se llaman alternos externos. Por ejemplo, los angulos 1 y 8 son alternos externos. Hay otra pareja de ángulos alternos externos, ¿cuál es? 5y4 c) En la figura del apartado Consideremos lo siguiente identifiquen ángulos alternos internos o alternos externos y verifiquen que miden lo mismo. II. Con respecto a la figura del apartado Consideremos lo siguiente subrayen las afirmaciones que son verdaderas. a) b) c) d) 86 c= a= e= a= f porque son ángulos alternos internos. c porque son ángulos correspondientes. d porque son ángulos alternos externos. h porque son ángulos opuestos por el vértice. Sugerencia didáctica. Dado que hay distintas formas de argumentar correctamente la igualdad de esos ángulos, es conveniente que usted prepare diferentes razonamientos que puedan enriquecer los que surjan en el grupo. Un razonamiento posible es: • Los ángulos a y f son iguales por ser opuestos por el vértice. • Los ángulos f y h son iguales por ser correspondientes. • Si el ángulo a es igual al ángulo f, y si el ángulo f es igual al ángulo h, entonces los ángulos a y h también son iguales entre sí. Sugerencia didáctica. Asegúrese de que los alumnos efectivamente hagan esta actividad, pues por un lado les ayudará a precisar las nociones de ángulos alternos internos y alternos externos, y por el otro, podrán constatar las relaciones de igualdad que aquí se establecen. Esta actividad no requiere de mucho tiempo, pues ellos ya obtuvieron las medidas de esos ángulos, sólo tienen que compararlas. Respuestas. Incisos a, b y c. 122 L ibro p ara el mae s t r o MATEMÁTICAS II III. En la siguiente figura, los ángulos d y g son alternos internos entre dos paralelas cortadas por una transversal. Completen el razonamiento para justificar que los ángulos alternos internos siempre son iguales. d = f porque f= g porque son correspondientes son opuestos por el vértice a d b c e f g h Entonces, como los dos ángulos, el ∠ d y el ∠ g son iguales al ∠ f, podemos decir que los ángulos d y g son iguales IV. Escriban en su cuaderno un razonamiento parecido para justificar que dos ángulos alternos externos son iguales. V. Regresen al problema del apartado Consideremos lo siguiente y revisen los argumentos que dieron para justificar la igualdad de los ángulos a y h. Respuesta. Siguiendo el razonamiento anterior: los ángulos a y e son iguales por ser correspondientes; los ángulos e y h son iguales por ser opuestos por el vértice, entonces los ángulos a y h son iguales. Sugerencia didáctica. Los alumnos pueden elegir los ángulos a y h o los ángulos b y f para hacer esta actividad, pero conviene que lo hagan con a y h porque pueden usar después su escrito para verificar lo que respondieron en el problema inicial, como se pide en la siguiente actividad. A lo que llegamos Cuando dos rectas paralelas son cortadas por una transversal se forman ángulos alternos internos y alternos externos que miden lo mismo. El ∠ 1 es alterno externo del ∠ 7 , por lo tanto El ∠ 4 es alterno interno del ∠ 6 , por lo tanto 1= 4= 7. 6. Sugerencia didáctica. Es importante que usted formalice que los ángulos a y h son alternos externos y que por lo tanto son iguales. Puede pedir que identifiquen la otra pareja de ángulos alternos externos y, si consideran que también son iguales, pídales que den sus argumentos. También pueden regresar a la actividad II del Manos a la obra y corregir sus respuestas, en caso necesario. 2 3 6 7 8 5 4 1 87 Li b r o p ara e l m ae s t r o 123 Respuesta. Cuando las rectas que son cortadas por una secante no son paralelas, también se pueden identificar ángulos alternos internos y alternos externos, pero no hay ninguna relación de igualdad entre sus medidas. SECUENCIA 6 Lo que aprendimos 1. Investiguen si hay o no alguna relación entre los ángulos alternos internos y alternos externos cuando las dos rectas que corta la transversal no son paralelas. SESIÓN 3 Propósito de la sesión. Explorar las relaciones entre los ángulos interiores de un triángulo y los ángulos interiores de un paralelogramo. Organización del grupo. Se sugiere que los alumnos trabajen individualmente. LOS ÁNGULOS EN LOS PARALELOGRAMOS Y EN EL TRIÁNGULO Para empezar Las relaciones entre las parejas de ángulos que se forman cuando dos rectas son cortadas por una transversal se usan para seguir explorando y descubriendo otras propiedades de las figuras. Lo que aprendimos Propósito de la actividad. Que exploren las relaciones entre los ángulos interiores de paralelogramos. En esta actividad lo harán de manera intuitiva, para un caso particular, y en la siguiente actividad aplicarán sus conocimientos sobre paralelas para el caso general. 1. Considera la figura de la derecha y anota las medidas que faltan. 1= 2= 3= 135º 45º 135º 5= 6= ∠7 45º 135º 45º 135º 1 5 6 2 7 3 8 4 = 4 = 45° 8= Propósitos del interactivo. Explorar las relaciones entre los ángulos interiores del paralelogramo. Sugerencias didácticas. Usando el transportador, los alumnos pueden tomar las medidas de los ángulos opuestos o de los adyacentes, y modificar el paralelogramo. Esto les permitirá explorar varios paralelogramos y generalizar sus características. Puede ocupar el interactivo al final de la actividad para que los alumnos comprueben las conjeturas a las que llegaron. En caso de que éstas se limiten sólo a algunos casos, moviendo uno de los vértices se modificará el paralelogramo y usted podrá, mostrar contraejemplos que permitan a los alumnos acotar cada vez más sus respuestas. 2. Considera los siguientes paralelogramos. a) En el romboide se ha marcado una pareja de ángulos opuestos. Cada cuadrilátero tiene dos parejas de ángulos opuestos. Identifica y marca, con diferente color, cada pareja de ángulos opuestos en cada paralelogramo. 88 124 L ibro p ara el mae s t r o MATEMÁTICAS b) Subraya la afirmación verdadera • Los ángulos opuestos de un paralelogramo tienen diferente medida. • Los ángulos opuestos de un paralelogramo miden lo mismo. • Los ángulos opuestos de un paralelogramo suman 180º. 3. Ahora, en el romboide se ha marcado una pareja de ángulos consecutivos. a) Marca en los otros paralelogramos una pareja de ángulos consecutivos. II Propósito de la actividad. Se espera que los alumnos identifiquen la igualdad de los ángulos opuestos de un paralelogramo. Sugerencia didáctica. Si lo considera necesario, invite a los alumnos a que midan con el transportador (se trata de una validación empírica), o que recuerden algunas de las características que ya conocen de estas figuras; por ejemplo, en el caso del rectángulo y el cuadrado saben que todos sus ángulos son rectos, por lo tanto los ángulos opuestos son iguales. Invítelos también a que traten de identificar qué relación hay entre los lados de los paralelogramos con la cuadrícula en la que están dibujados. Respuesta. Sólo la segunda afirmación es verdadera. b) ¿Cuál es la relación entre las medidas de los ángulos consecutivos de un paralelogramo? 4. Considera las rectas paralelas que resultan de prolongar los lados del paralelogramo. r1 a r1 II r2 t1 II t2 b c t1 3 2 1 e 4 5 d r2 t2 a) Completa el siguiente razonamiento para demostrar que el ángulo 1 es igual al ángulo 3. Posibles dificultades. Es muy probable que los alumnos anoten relaciones falsas o que sólo se aplican para algunos paralelogramos. Por ejemplo, si dicen que los ángulos consecutivos son iguales, esto es válido para el cuadrado y el rectángulo, pero no para el rombo y el romboide. O bien, podrían afirmar que los ángulos consecutivos son uno agudo y el otro obtuso, pero el cuadrado y el rectángulo son un contraejemplo. Es importante que los invite a argumentar cualquiera de las relaciones que establezcan. 1= 3= 5 porque 5 porque son correspondientes son alternos internos 1 = Si ambos ángulos, el ∠ 1 y el ∠ 3, son iguales al ∠ 5, entonces: 3 b) Escribe en tu cuaderno un razonamiento para demostrar que el ángulo 2 es igual al ángulo 4. 89 Posibles dificultades. Para los ángulos 1 y 5 se consideran las paralelas r 1 y r 2 con la transversal t2 , por lo tanto son correspondientes. Para los ángulos 3 y 5 se consideran las paralelas t 1 y t 2 con la transversal r 2 , por lo que son alternos internos. Es posible que algunos alumnos tengan dificultades para identificar qué paralelas con qué transversal están en juego. Si lo considera necesario, resuelva esta actividad con todo el grupo. Sugerencia didáctica. Puede orientarlos diciéndoles que elaboren un razonamiento similar al anterior. Li b r o p ara e l m ae s t r o 125 SECUENCI A 6 5. Responde a las preguntas, se refieren a la figura anterior. a) Considera la transversal t 1 y las rectas paralelas r 1 y r 2, ¿cuánto suman las medi- Sugerencia didáctica. En la confrontación de resultados es importante que formalice dos propiedades de los paralelogramos: • Los ángulos opuestos de un paralelogramo son iguales. • Los ángulos consecutivos de un paralelogramo suman 180º. Esto lo trabajaron con casos particulares en los ejercicios 2 y 3, y en los ejercicios 4 y 5 trabajaron el caso general con pequeñas demostraciones. das de los ángulos 2 y 3? b) Justifica tu respuesta 180° 2 + a = 180º por ser adyacentes que se forman al cortarse dos rectas. a= 2+ 3 por ser alternos internos. Sustituyendo a por 3 en la suma anterior (porque son iguales) 3 = 180º 6. Revisa tus conjeturas de los ejercicios 2 y 3 y verifica si corresponden a los resultados hallados en los ejercicios 4 y 5. 7. En la secuencia 4 exploraste la relación de los ángulos interiores de un triángulo, ¿cuánto suman los tres ángulos interiores de un triángulo? Propósito del interactivo. Mostrar otra forma de comprobar que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180°. Sugerencias didácticas. Usando el transportador los alumnos pueden obtener las medidas de los ángulos interiores del triángulo, después modificarlo y verificar que para cualquier triángulo la suma de sus ángulos interiores es siempre 180°. El interactivo puede servir para generar otros ejercicios que le permitan a los estudiantes validar sus hipótesis, o en su defecto presentarles contraejemplos para que analicen en qué casos son ciertas y en qué casos no. Se pueden modificar los ejemplos para aumentar o disminuir el grado de dificultad de los ejercicios planteados a los alumnos. Propósito de la actividad. Las demostraciones no son sencillas para los alumnos y muchas veces no comprenden por qué tienen que demostrar, para un caso general, algo que ya saben. En la secuencia 4 los alumnos exploraron empíricamente la propiedad de que los ángulos interiores de un triángulo suman 180º. En este ejercicio se pretende que lo hagan para qualquier triángulo. 8. Se tiene un romboide cualquiera y se traza una de sus diagonales, observa que se forman dos triángulos. Completa el siguiente razonamiento para justificar que la suma de los ángulos interiores del triángulo ABC es 180º. B d b e a A c C d+ b+ d= e= e = 180º porque forman un ángulo de 180º. a porque c porque son alternos internos son alternos internos ay c , entonces la suma queda Si sustituimos dy e por sus iguales, que son a 90 + b + c = 180º 126 L ibro p ara el mae s t r o MATEMÁTICAS 9. ¿Cuánto mide el ángulo formado por la escalera y la pared? II Respuesta. Mide 40º (los tres ángulos suman 180º, la pared y el piso forman un ángulo de 90º y el otro ángulo es de 50º ). 50º Relaciones importantes Las relaciones de los ángulos entre paralelas y la de los triángulos y paralelogramos te permiten resolver múltiples problemas. Descripción del video. El video muestra de manera dinámica las relaciones que hay entre los ángulos que se forman entre dos rectas paralelas. Se destacan algunas de éstas figuras como el triángulo y los paralelogramos. Los recursos de traslación, rotación y reflexión de ángulos, para sobreponer un ángulo sobre otro, son utilizados para mostrar la congruencia que existe entre los ángulos formados. El video se puede utilizar al finalizar la secuencia como apoyo para formalizar los conceptos que se utilizaron. A lo que llegamos Los ángulos interiores de un triángulo siempre suman 180º. En un paralelogramo: Los ángulos opuestos son iguales. Los ángulos consecutivos suman 180º. Los cuatro ángulos interiores suman 360º. Sugerencia didáctica. Comente con los alumnos esta información y pídales que verifiquen, en uno de los paralelogramos anteriores, la tercera afirmación. Posteriormente pueden copiarla en su cuaderno. Para saber más Sobre animaciones que representan la suma de los ángulos interiores de un triángulo consulta: http://www.geometriadinamica.cl/default.asp?dir=guias&sub Ruta: Triángulos, prismas y pirámides Ángulos en el triángulo [Fecha de consulta: 24 de mayo de 2007]. Resuelve el problema 2.1 de la página de internet de Educabri Clase 5: http://www.oma.org.ar/omanet/educabri/00-05.htm [Fecha de consulta: 24 de mayo de 2007]. 91 Li b r o p ara e l m ae s t r o 127 SECUENCI A 7 Propósito de la sesión. Encontrar la relación inversa en una situación de proporcionalidad directa y establecer que ésta es la recíproca de la constante de proporcionalidad de la relación original. Organización del grupo. A lo largo de la sesión los alumnos trabajan en parejas y comentan sus resultados con todo el grupo. En el apartado Lo que aprendimos se sugiere que los alumnos trabajen de forma individual. Descripción del video. El video es introductorio a la sesión y ejemplifica las diferencias que hay en la fuerza de gravedad de los distintos planetas, y cómo ésta determina el peso de los cuerpos que se encuentran en ellos. La intención es mostrar cómo ésta es la razón por la cual el peso varía proporcionalmente de un planeta a otro. Sugerencia didáctica. Los alumnos han trabajado en numerosas ocasiones con relaciones de proporcionalidad directa, por lo que esta pregunta puede resultarles fácil. Recordar este tipo de relación entre dos cantidades les será de utilidad para abordar lo siguiente. Respuesta. En Júpiter un objeto pesa 2 .5 veces más que en la Tierra, por lo tanto, algo que en la Tierra pesa 12 kg en Júpiter pesa 30 kg. O bien, el objeto de 12 kg pesa el triple que el de 4 kg en la Tierra, entonces, dado que en Júpiter también se conserva esa relación, allá el objeto pesa 30 kg. x3 Tierra 4 12 Júpiter 10 ? La relación inversa de una relación de proporcionalidad directa En esta secuencia determinarás la relación inversa de una relación de proporcionalidad directa. SESIÓN 1 Para empezar El peso en otros planetas EL PESO EN OTROS PLANETAS ¿Sabías que el peso de un objeto varía en función de la fuerza de gravedad que actúa sobre él? Esto significa que un objeto no pesa lo mismo en la Tierra que lo que pesa en la Luna, Marte o en algún otro lugar del sistema solar. De hecho, el peso que tienen los objetos en un planeta y su peso en otro planeta son cantidades directamente proporcionales; por ejemplo, un objeto que en la Tierra pesa 4 kilogramos, en Júpiter pesa 10 kilogramos. ¿Cuánto pesa en Júpiter un objeto que en la Tierra pesa 12 kilogramos? En esta sesión descubrirás cómo encontrar el peso de un mismo objeto en distintos planetas y satélites del sistema solar. Consideremos lo siguiente La siguiente tabla muestra los distintos pesos que una misma barra de plomo tiene en la Tierra y en la Luna: Peso de la barra de plomo Peso en la Tierra (en kilogramos) Peso en la Luna (en kilogramos) 720 120 x3 92 Eje Manejo de la información Tema Análisis de la información Propósito de la secuencia Determinar el factor inverso dada una relación de proporcionalidad y el factor de proporcionalidad fraccionario. Sesión Propósitos de la sesión El peso en otros planetas Dada una relación de proporcionalidad directa, hallar la relación inversa. Establecer que la constante de proporcionalidad de la relación inversa es la recíproca de la constante de proporcionalidad de la relación original. Europa y Plutón Establecer las relaciones inversas en un problema donde se aplican sucesivamente dos constantes de proporcionalidad directa. Más problemas Resolver problemas en los que se deba hallar la constante de proporcionalidad y su inversa. Recursos Video Antecedentes 1 En primer grado los alumnos trabajaron diversas situaciones de proporcionalidad directa. Ahora se pretende que en una situación de proporcionalidad directa los alumnos encuentren la relación inversa y que establezcan el tipo de relación que hay entre las dos constantes de proporcionalidad. El estudio de estas constantes también permitirá repasar la multiplicación de fracciones. “El peso en otros planetas” 2 3 Interactivo 128 L ibro p ara el mae s t r o MATEMÁTICAS Con la información de la tabla anterior respondan lo siguiente: II a) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad que permite encontrar el peso de un objeto en la Luna a partir de su peso en la Tierra? b) Si una barra de plomo pesa en la Tierra 18 kilogramos, ¿cuántos kilogramos pesa en la Luna? c) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad que permite encontrar el peso de un objeto en la Tierra a partir de que se conoce su peso en la Luna? d) Si una barra de plomo pesa en la Luna 25 kilogramos, ¿cuántos kilogramos pesa en la Tierra? Comparen sus respuestas y comenten: ¿Cuántas veces es más pesado un objeto en la Tierra que en la Luna? Sugerencia didáctica. Muy posiblemente los alumnos sepan hallar los pesos correspondientes [incisos b) y d)] pero podrían tener dificultades para saber cuál es la constante de proporcionalidad y la inversa de dicha constante. Permítales contestar lo que puedan aunque cometan errores, y sigan resolviendo la sesión. Respuestas. a) Es 1 de kilogramo por cada kilogramo, 6 porque 720 × 1 = 120. 6 Es 6 kilogramos por cada kilogramo, porque 120 × 6 = 720. b) Pesa 3 kilogramos. c) d) Pesa 150 kilogramos. Manos a la obra I. Completen la siguiente tabla para encontrar el peso de algunas barras de plomo en la Luna conociendo su peso en la Tierra. 3 Respuesta. Es seis veces más pesado. Peso en la Tierra (en kilogramos) Peso respectivo en la Luna (en kilogramos) 720 72 12 1 18 120 12 2 1 6 3 Observen que al encontrar cuánto pesa en la Luna un objeto que pesa 1 kilogramo en la Tierra, se encuentra también la constante de proporcionalidad que permite saber el peso de un objeto en la Luna conociendo su peso en la Tierra. 93 Li b r o p ara e l m ae s t r o 129 2 Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que comparen esta tabla con la que llenaron en el número I del apartado Manos a la obra. Puede preguntarles: • ¿En qué se parecen? • ¿En qué son distintas? • ¿Creen que están relacionadas?, ¿de qué manera? Sugerencia didáctica. Analicen en grupo la manera en que completaron el diagrama. Resalte la relación entre las dos constantes de 1 proporcionalidad (6 y 6 ) que hay en esta situación. Una vez que lo hayan comentado, pídales que verifiquen los resultados que obtuvieron en las dos tablas anteriores utilizando las constantes que encontraron en el diagrama. Sugerencia didáctica. Aunque la cuestión de dividir entre un número y multiplicar por su recíproco ya la trabajaron en primer grado, puede seguir representando una dificultad para algunos alumnos. Cuando contesten las preguntas del libro usted puede hacerles otras: • ¿Pasará lo mismo con otras cantidades, por 1 ejemplo, multiplicar por 9 y dividir entre 9 ? • ¿Por cuál número habría que multiplicar para obtener el mismo resultado que si se divide 3 entre 2 ? • ¿Por cuál número habría que dividir para obtener el mismo resultado que si se multiplica por 10 ? 4 SECUENCI A 7 II. Completen la siguiente tabla para encontrar el peso de algunas barras de plomo en la Tierra conociendo su peso en la Luna. Peso en la Luna (en kilogramos) Peso en la Tierra (en kilogramos) 120 60 10 1 25 720 360 60 6 150 Comparen sus respuestas y verifiquen los resultados del apartado Consideremos lo siguiente. III. Completen el siguiente diagrama y comenten la relación que hay entre las constantes que utilizaron. Se multiplica por la constante de proporcionalidad, que es: o se divide entre: Peso en la Tierra Peso en la Luna Se multiplica por la constante de proporcionalidad, que es: Del diagrama anterior se observa que da el mismo resultado e: Recuerden qu distin de un número El recíproco 1 , : es a ro ce de a 1 =1 además, a × a to dividir entre 6 que multiplicar por su recíproco, que es ¿Están de acuerdo con esta observación? Justifiquen su respuesta 1 6 . 94 Sugerencia didáctica. Acepte dos o tres intervenciones de los alumnos. Anote algunas respuestas en el pizarrón para luego recuperarlas en la discusión o conclusiones. 130 L ibro p ara el mae s t r o MATEMÁTICAS II A lo que llegamos Cuando dos conjuntos de cantidades son directamente proporcionales, siempre hay en juego dos relaciones de proporcionalidad. El siguiente diagrama ilustra esta situación. Relación 1 Conjunto A Conjunto B Sugerencia didáctica. Es importante que comenten esta información, dedique tiempo a aclararla si es que existieran dudas. En ella aparece por primera vez en las secuencias de proporcionalidad la palabra “conjunto” y se utiliza para señalar a las “cantidades de un tipo”. Por ejemplo, un conjunto son los pesos que tienen los objetos en la Tierra, y otro conjunto son los pesos que tienen los objetos en la Luna. Comente lo anterior con los alumnos y pídales que, utilizando este esquema, propongan ejemplos en los que dos conjuntos se relacionen de manera directamente proporcional y señalen cuáles son las constantes, como: Relación 1 Const. 3 A. Núm. Dulces B. Costo Relación 2 La relación 1 permite encontrar las cantidades del conjunto B a partir de las cantidades del conjunto A. La relación 2, al revés, permite encontrar las cantidades del conjunto A a partir de las cantidades del conjunto B. Se dice que estas dos relaciones son inversas una de la otra. Además, las constantes de proporcionalidad asociadas a estas dos relaciones son recíprocas una de la otra. Por ejemplo, 1 6 es la constante de proporcionalidad que permite encontrar el peso en la Luna a partir del peso en la Tierra. Mientras que 6 es la constante de proporcionalidad que permite conocer el peso en la Tierra a partir del peso en la Luna. Estas dos relaciones son inversas y sus constantes de proporcionalidad son recíprocas. 6y 1 6 son recíprocos porque 6 × 1 6 =1o 1 6 × 6 = 1. Relación 2 Const. 1 3 Lo anterior puede leerse como “para hallar las cantidades del conjunto B debe aplicarse la constante 3 a las cantidades del conjunto A, mientras que para hallar las cantidades del conjunto A debe aplicarse la constante 1 a las 3 del conjunto B”. Lo que aprendimos La siguiente tabla muestra los distintos pesos que una barra de plomo tiene en la Tierra y en Venus: Peso de la barra de plomo Peso en la Tierra (en kilogramos) Peso en Venus (en kilogramos) 720 648 95 Li b r o p ara e l m ae s t r o 131 Sugerencia didáctica. Quizá sea problemático para algunos alumnos hallar una u otra constante en la relación del peso en la Tierra y en Venus porque las cantidades no hacen “evidente” dicha relación (como al relacionar 3 y 6 , 50 y 200 , 1 y 1 ). Anote en el pizarrón la 2 4 siguiente tabla para encontrar la constante de proporcionalidad de la relación 1 (averiguar las cantidades del conjunto B (peso en Venus) a partir de las cantidades del conjunto A (peso en la Tierra)): Tierra 720 360 180 90 10 1 Venus 648 SECUENCI A 7 Contesta las siguientes preguntas: a) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad que permite encontrar el peso de los objetos en Venus a partir de conocer su peso en la Tierra? b) Si una barra de plomo pesa 1 kilogramo en la Tierra, ¿cuánto pesa esa barra en el planeta Venus? c) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad que permite encontrar el peso de los objetos en la Tierra a partir de conocer su peso en Venus? d) Si una barra de plomo pesa 1 kilogramo en el planeta Venus, ¿cuánto pesa esa barra en la Tierra? SESIÓN 2 EUROPA Y PLUTÓN Para empezar Esta segunda tabla permite hallar la relación 2 (averiguar las cantidades del conjunto A (peso en la Tierra) a partir de las cantidades del conjunto B (peso en Venus): Venus 648 324 162 81 9 1 Tierra 720 ¿Sabías que Júpiter, el planeta más grande del sistema solar, tiene 16 lunas conocidas? Una de ellas se llama Europa. Europa tiene características que han fascinado a los astrónomos contemporáneos. Es un poco más grande que nuestro satélite, la Luna, pero lo más interesante es que su superficie está cubierta por una capa de hielo y se cree que debajo de esta helada capa existe una gran cantidad de agua. De ser así, sería el único lugar de nuestro sistema solar, además de nuestro planeta, donde existe agua en cantidades significativas. Consideremos lo siguiente Las siguientes tablas muestran los pesos de algunas barras de plomo en la Tierra, Europa y Plutón. Peso en Europa (en kilogramos) Peso en la Tierra (en kilogramos) Peso en la Tierra (en kilogramos) Peso en Plutón (en kilogramos) 30 1 240 8 240 15 16 1 O bien, puede preguntarles ¿habrá un número que multiplicado por 720 dé 648 ?; y ¿habrá un número que multiplicado por 648 dé 720 ? Si no los encuentran, sugiérales que usen la calculadora. Cuando los tengan, dígales que verifiquen si ese número funciona con otros valores, por ejemplo, ¿cuánto pesa un objeto en Venus si en la Tierra pesa 28 kilogramos? Respuestas. a) 9. 10 b) 0.9 o bien, 9 kg. 10 c) 10 . 9 d) 1.111… o bien, 10 kg. 9 Tabla 1 Tabla 2 a) ¿Cuánto pesa en Plutón una barra de plomo que en la Tierra pesa 1 kilogramo? 96 Propósito de la sesión. Establecer las relaciones inversas en un problema donde se aplican sucesivamente dos constantes de proporcionalidad directa. Organización del grupo. Se sugiere resolver las actividades individualmente. Integrar al portafolios. Pida a los alumnos una copia de sus respuestas a esta actividad. Si tras revisar las respuestas de los alumnos lo considera necesario, revisen juntos el apartado Manos a la obra y pídales que copien en sus cuadernos la información de A lo que llegamos . 132 L ibro p ara el mae s t r o MATEMÁTICAS b) ¿Cuánto pesa en Europa una barra de plomo que en la Tierra pesa 1 kilogramo? II c) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad que permite encontrar el peso de un objeto en Europa a partir de su peso en Plutón? Recuerda que: de una la constante a El producto de onalidad por la rci po pro de relación ersa 1 de la relación inv constante a : cir de es igual a 1, es 1 1 =1 a× a = a ×a Posibles dificultades. Se espera que sea fácil para los estudiantes responder a los incisos a) y b); en cambio, el c) y el d) pueden ser problemáticos. Con la información de las tablas 1 y 2 se conoce cuánto pesa un mismo objeto en la Tierra (240 kg), en Plutón (16 kg) y en Europa (30 kg). Lo que relaciona a esos datos es el peso del objeto en la Tierra; sin embargo, si no se tiene en cuenta este hecho y se observa el segundo renglón de la tabla, podría pensarse que el objeto pesa lo mismo en Plutón y en Europa (1 kg). Si algunos alumnos cometen ese error, pídales que justifiquen su respuesta y no los corrija, habrá oportunidad de hacerlo más adelante. Respuestas. a) 1 kg. 15 1 kg. 8 15 . 8 8 . 15 d) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad que permite encontrar el peso de un objeto en Plutón a partir de su peso en Europa? Comparen sus respuestas y sus procedimientos. Manos a la obra I. Completa la siguiente tabla para encontrar el peso de algunas barras de plomo en la Tierra y Plutón. Peso en Europa (en kilogramos) Peso en la Tierra (en kilogramos) Peso en Plutón (en kilogramos) b) c) d) 30 15 1 240 16 120 8 8 8 15 Comparen sus tablas y completen el siguiente diagrama, en el que se establecen algunas de las relaciones que hay entre los pesos de los objetos en Europa, la Tierra y Plutón. 97 Li b r o p ara e l m ae s t r o 133 SECUENCI A 7 Se multiplica por 8 Se multiplica por 15 1 Recuerden que: ciada La constante aso sucesiva Peso en Europa a la aplicación tes de de dos constan d es proporcionalida de las igual al producto se que dos constantes mente. aplican sucesiva Peso en la Tierra Peso en Plutón Se multiplica por 15 Diagrama 1 8 Sugerencia didáctica. Ahora sí, corrijan los errores que pudieron haber cometido en el apartado Consideremos lo siguiente. Verifiquen sus respuestas del apartado Consideremos lo siguiente. II. En la siguiente tabla se indican las relaciones de proporcionalidad del diagrama 1 y sus relaciones inversas correspondientes. Complétala. Relación de proporcionalidad Relación inversa Relación que a cada peso en Europa Relación que a cada peso en Europa asocia el peso correspondiente asocia el peso correspondiente en la . en laTierra Tierra. Relación que a cada peso en Plutón Relación que a cada peso en laTierra asocia el peso correspondiente asocia el peso correspondiente en Plutón. en la Tierra. Relación que a cada peso en Plutón Relación que a cada peso en Plutón asocia el peso correspondiente asocia el peso correspondiente en Plutón . en Plutón. Completa el siguiente diagrama para establecer las constantes de proporcionalidad de las relaciones inversas de las relaciones del diagrama 1. Se multiplica por 15 Se multiplica por 1 8 Peso en Plutón Peso en la Tierra Peso en Europa Se multiplica por Diagrama 2 98 15 8 134 L ibro p ara el mae s t r o MATEMÁTICAS Comparen sus tablas y diagramas. Comenten: II Respuestas. 15 . 8 b) Del peso en Plutón al peso en la Tierra 15 , del peso en la Tierra al peso en Europa 1 , 8 del peso en Plutón al peso en Europa 15 8 (porque 15 × 1 = 15 ). 8 8 a) a) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad que permite encontrar el peso de un objeto en Europa a partir de su peso en Plutón? b) ¿Cuáles son los recíprocos de las constantes de proporcionalidad indicadas en el Diagrama 2? El siguiente esquema muestra las constantes de todas las relaciones de proporcionalidad que hay entre los pesos en Plutón, la Tierra y Europa. Se multiplica por Se multiplica por 15 15 8 1 8 2 Sugerencia didáctica. Anote este diagrama en el pizarrón y analícenlo juntos. Enfatice la dirección de las flechas y que las constantes ( 15 8 y 15 ) son recíprocas. 8 Se multiplica por Peso en la Tierra Peso en Plutón Se multiplica por 1 15 Peso en Europa Se multiplica por 8 Se multiplica por 8 15 Lo que aprendimos 1. En la sesión 1 de la secuencia 16 de tu libro de Matemáticas I Volumen I aprendiste que los microscopios compuestos tienen dos lentes, llamados objetivo y ocular. Un microscopio compuesto tiene un lente objetivo que aumenta 15 veces el tamaño de lo que se observa y un lente ocular que lo aumenta 25 veces. Completa el siguiente diagrama para encontrar el aumento final obtenido con el microscopio. Se multiplica por Integrar al portafolios. Guarde una copia de esta actividad en el portafolios de cada alumno. 15 Se multiplica por 25 Tamaño real Tamaño obtenido con la primera lente Tamaño final Se multiplica por 375 99 Li b r o p ara e l m ae s t r o 135 SECUENCI A 7 Completa el siguiente diagrama para establecer las constantes de proporcionalidad de las relaciones inversas del diagrama anterior. Se multiplica por 1 25 Se multiplica por 1 15 Tamaño final Tamaño obtenido con el primer lente Tamaño real 1 Se multiplica por 375 Propósito de la sesión. Resolver problemas en los que deban hallar la constante de proporcionalidad y su inversa. Organización del grupo. En esta sesión se propone que los alumnos trabajen de manera individual. SESIÓN 3 PROBLEMAS Lo que aprendimos 1. El siguiente es el dibujo de un rompecabezas: 6 cm 4 cm 2 cm 6 cm 6 cm 6 cm 4 cm 2 cm 4 cm 2 cm 4 cm Figura 1 100 136 L ibro p ara el mae s t r o MATEMÁTICAS II Se va a hacer una copia del rompecabezas de la figura 1 de manera que el lado que mide 4 centímetros mida ahora 7 centímetros. a) Completen la siguiente tabla para encontrar algunas de las medidas de la copia. Medidas en el original (en centímetros) Medidas en la copia (en centímetros) 4 2 1 6 7 Posibles dificultades. La relación entre los 4 cm del original y los 7 cm de la ampliación puede ser problemática para algunos alumnos. Es posible que algunos utilicen una estrategia errónea: sumar 3 centímetros a cada una de las medidas. Si esto sucede, cuando junten las piezas del rompecabezas se darán cuenta de que algo estuvo mal porque no van a embonar. Para los alumnos puede ser difícil encontrar cuál fue el error y será necesario que usted intervenga. Puede preguntarles: ¿por cuál número tendríamos que multiplicar al 4 para que dé 7 ? Luego déles un tiempo para explorar posibles soluciones. La respuesta es 7 o 1.75 , que es la constante 4 de proporcionalidad de la relación 1 (hallar las medidas de la copia conociendo las del original). Otra forma de ayudarlos a detectar errores puede ser la siguiente: plantéeles que si a 4 (en el original) le toca 7 (en la copia), a 2 le toca 3 .5 y a 1 le toca 1.75 , que es el valor unitario. A partir de ese dato podrían calcular las demás medidas. Respuestas. c) d) 7 es la constante de proporcionalidad de 4 la relación 1. 4 es la constante de proporcionalidad de 7 la relación 2 . 3.5 1.75 10.5 b) Construyan las piezas de la copia del rompecabezas. Cada uno de los integrantes de equipo contruirá una pieza distinta . Al final, armen la copia del rompecabezas. c) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad que permite encontrar las medidas de la copia a partir de las medidas del original? d) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad de la relación inversa, la que permite encontrar las medidas del original a partir de las medidas de la copia? 2. Se va a hacer otra copia del rompecabezas de la figura 1 pero de tal manera que el lado que mide 2 centímetros mida ahora 3 centímetros. Completen la siguiente tabla para encontrar algunas medidas que tendrá la nueva copia del rompecabezas. Medidas del rompecabezas (en centímetros) Medidas de la copia (en centímetros) 2 4 6 3 6 9 a) ¿Por qué número hay que multiplicar las medidas de la figura 1 para obtener las medidas de la nueva copia? b) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad que nos permite obtener las medidas del rompecabezas original a partir de las medidas de la copia? 101 Respuestas. a) b) 3 es la constante de proporcionalidad de 2 la relación 1. 2 es la constante de proporcionalidad de 3 la relación 2 . Li b r o p ara e l m ae s t r o 137 Propósito del interactivo. Resolver problemas de proporcionalidad. Sugerencias didácticas. Si lo considera oportuno puede modificar las medidas presentadas en el interactivo para que los alumnos observen las relaciones entre las medidas reales y las medidas en el dibujo. También puede ocupar el botón Resolver para que se presenten los resultados de las tablas y que los alumnos generen algunas hipótesis de cómo se pueden obtener, para después cambiar los valores de la tabla y verificar su hipótesis. SECUENCI A 7 3. El siguiente es el dibujo del plano de una casa hecho a escala 2 000 cm a 10 cm. Recámara 2 Baño 1 Recámara 1 Baño 2 Patio y Jardín Sala y Comedor Completa la siguiente tabla para encontrar algunas medidas reales y del dibujo de la casa. Medidas reales (en centímetros) Largo de la casa Ancho de la casa Largo de la recámara 1 Ancho del baño 2 Largo del patio y jardín Largo del baño 2 Medidas en el dibujo (en centímetros) 2 000 10 5 1 000 500 200 2.5 1 3.5 1.3 700 260 360 Respuestas. a) b) 200 es la constante de proporcionalidad de la relación 1. 1 es la constante de proporcionalidad 200 de la relación 2 . Ancho de la recámara 2 1.8 a) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad que permite encontrar las medidas reales a partir de las medidas del dibujo? b) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad que permite encontrar las medidas del dibujo a partir de las medidas reales? 102 138 L ibro p ara el mae s t r o MATEMÁTICAS 4. Un automóvil tiene un rendimiento de 20 kilómetros por cada litro de gasolina. a) ¿Cuántos litros de gasolina consume si recorrió 380 kilómetros? II Respuestas. a) b) 19 litros. 1 . 20 b) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad que permite conocer la cantidad de gasolina que consumió el automóvil a partir del número de kilómetros que recorrió? Para saber más Sobre el peso y el tiempo en otros planetas consulta: http://www.astrored.org/contenidos/articulo.php/alex_dantart/peso [Fecha de consulta: 24 de mayo de 2007]. Explora el interactivo Porporcionalidad con Logo. Propósito del interactivo. Observar el efecto de ampliación o reducción de una figura e identificar los elementos invariantes y el factor de proporcionalidad para construir figuras a escala. Hacer uso de una variable para variar el tamaño de una figura o crear otras a diferentes escalas. Sugerencias didácticas. Se sugiere usar este interactivo para repasar los temas de proporcionalidad directa. Además puede usar los interactivos indicados en las secuencias 6, 7, 15 y 16 de primer grado. 103 Li b r o p ara e l m ae s t r o 139 SECUENCI A 8 Propósito del programa integrador. Abordar situaciones en las cuales se resuelven problemas de proporcionalidad múltiple. Propósito de la sesión. Resolver problemas de proporcionalidad múltiple en los que los conjuntos involucrados se relacionan de manera directamente proporcional. Organización del grupo. Se propone que resuelvan la sesión en parejas y que comenten sus resultados y procedimientos con todo el grupo. Descripción del video. El video es introductorio. A partir de varios ejemplos se ve cuándo dos cantidades son directamente proporcionales o inversamente proporcionales. Además se muestra la diferencia que hay entre la relación inversa de proporcionalidad y cantidades inversamente proporcionales para evitar confusiones entre ambos términos. Se dan los elementos necesarios para introducir el concepto de proporcionalidad múltiple. Propósito de la actividad. Los alumnos han calculado el volumen de prismas desde la primaria, sin embargo, lo que se pretende en esta actividad no es que repasen las fórmulas sino que exploren las relaciones entre las tres cantidades involucradas en el cálculo del volumen: la altura, el largo y el ancho. Proporcionalidad múltiple En esta secuencia estudiarás problemas en los cuales hay dos o más cantidades que se encuentran en proporción directa o proporción inversa con otra cantidad. A este tipo de problemas se les llama problemas de proporcionalidad múltiple. SESIÓN 1 EL VOLUMEN Para empezar La proporcionalidad múltiple Una de las situaciones en las que surgen problemas de proporcionalidad múltiple es el cálculo de volúmenes. En tu libro Matemáticas de sexto de primaria aprendieste a calcular los volúmenes de algunos prismas. Por ejemplo, para un prisma rectangular como el siguiente: e: Recuerden qu des os de cantida Dos conjunt nate proporcio en am ers inv son a aumentar un al do an cu les etcédoble, triple, cantidad al sponrre co d ida nt tera, su ca tad, nuye a la mi diente dismi tera. cé et , rte pa tercera Altura 3 cm Ancho 2 cm Largo 4 cm Prisma 1 El volumen se calcula: Volumen = 4 cm × 2 cm × 3 cm = 24 cm3 104 Eje Manejo de la información Propósito de la secuencia Elaborar y utilizar procedimientos para resolver problemas de proporcionalidad múltiple. Tema Análisis de la información Sesión Propósitos de la sesión El volumen Resolver problemas de proporcionalidad múltiple en los que los conjuntos involucrados se relacionan de manera directamente proporcional. La excursión Resolver problemas de proporcionalidad múltiple en los que los conjuntos involucrados se relacionan tanto de manera directa como inversamente proporcional. Más problemas Resolver problemas de proporcionalidad múltiple en diversos contextos. Recursos Aula de medios Video “La proporcionalidad múltiple” Interactivo Antecedentes 1 En primer grado los alumnos resolvieron diversas situaciones en las que dos cantidades se relacionaban de manera directamente proporcional e inversamente proporcional. En esta secuencia explorarán esas relaciones cuando hay tres o más cantidades en juego. 2 3 140 L ibro p ara el mae s t r o Programa integrador 5 MATEMÁTICAS II Consideremos lo siguiente Respondan lo siguiente: a) Si se aumenta al triple la medida del largo del prisma 1, ¿cuántas veces aumenta su volumen? b) Si disminuye a la mitad la medida del largo del prisma 1, ¿cuántas veces disminuye el volumen? c) Si aumenta al doble la medida del largo y aumenta al triple la medida de la altura del prisma 1, ¿cuántas veces aumenta el volumen? Comparen sus respuestas y comenten cómo las obtuvieron. Manos a la obra I. En la siguiente figura se aumentó al triple la medida del largo del prisma 1 y se obtuvo un nuevo prisma rectangular, al que llamaremos prisma 2. Largo cm Respuestas. a) Se aumenta el triple. Las medidas del nuevo prisma serían 12 cm , 3 cm y 2 cm , así que al variar una de las dimensiones (el largo) aumentándola al triple, el volumen también aumenta tres veces (de 24 cm 3 a 72 cm 3 ). b) Las medidas de dicho prisma serían 2 cm , 3 cm y 2 cm , y su volumen es 12 cm 3 , la mitad del prisma original porque una de sus dimensiones (el largo) disminuyó a la mitad. c) Las medidas de este prisma serían 8 cm , 9 cm y 2 cm , dando como resultado un volumen de 144 cm 3 . Con respecto al volumen del prisma original, el del nuevo aumentó 6 veces porque una de sus dimensiones aumentó al doble (el largo) y otra al triple (la altura). Sugerencia didáctica. Es importante que en este momento no dé explicaciones a los alumnos acerca de la relación entre la variación de la medida de una o dos dimensiones del prisma y su volumen. Permítales explorar dicha relación aunque cometan errores. Por ejemplo, los alumnos pueden pensar que al modificar las medidas del prisma como se indica en el inciso c) (aumentar al doble la medida del largo y al triple la de la altura) el volumen del prisma aumenta 5 veces (porque 2 + 3 = 5 ). Si algunos alumnos dan esa respuesta (u otra) pregúnteles por qué y sigan resolviendo la sesión, más adelante tendrán oportunidad de aclararlo. Altura 3 cm 4 cm 4 cm Prisma 2 4 cm Ancho 2 cm a) ¿Cuánto mide el largo del prisma 2? b) ¿Cuál es el volumen del prisma 2? c) ¿Por qué número hay que multiplicar el volumen del prisma 1 para obtener el volumen del prisma 2? d) Supongan que aumentara cinco veces el largo del prisma 1, ¿cuántas veces aumentará su volumen? e) ¿Cuánto medirá el volumen del nuevo prisma? 105 1 Sugerencia didáctica. Antes de contestar las preguntas siguientes pida a los alumnos que, observando los dibujos, digan cuántas veces aumentó el volumen del prisma 2 con respecto al 1. Para los alumnos es sencillo percibir el cambio en el volumen cuando se modifica una de las dimensiones (en este caso, el largo). Tener esto claro es importante para analizar lo que ocurre cuando se modifican dos dimensiones simultáneamente. Respuestas. a) 12 cm . b) 72 cm 3 (12 × 3 × 2 ). c) Por 3 . d) Aumenta 5 veces. e) 120 cm 3 . Li b r o p ara e l m ae s t r o 141 Propósito de la actividad. Con esta actividad se pretende seguir trabajando con los alumnos el hecho de que al aumentar o disminuir x número de veces una de las dimensiones del prisma, su volumen también aumenta o disminuye x veces. En este caso, la altura y la anchura permanecen fijas y se varía el largo. El número de veces en el que aumenta o disminuye el volumen, o bien, el número por el que hay que multiplicar el volumen del prisma original para obtener el del nuevo prisma, es la constante de proporcionalidad. Propósito de la actividad. Ahora se varía la altura y se dejan fijas las otras dos dimensiones, largo y ancho. La intención es que los alumnos se percaten de que no importa cuál sea la dimensión que se varíe, el volumen aumenta o disminuye tantas veces como lo haya hecho esa dimensión, es decir, si dos de las dimensiones del prisma permanecen fijas, entonces la variación de la otra medida se encuentra en proporción directa con el volumen del prisma. SECUENCI A 8 En la siguiente tabla las medidas del ancho y la altura del prisma 1 permanecen fijas, pero la medida del largo varía. Completen la tabla y encuentren los volúmenes correspondientes. Largo del prisma (cm) Ancho del prisma (cm) Altura del prisma (cm) Volumen del prisma (cm3) Variación del volumen del prisma (las medidas del ancho y la altura permanecen fijas pero cambia la medida del largo) 4 2×4 16 2 2 2 2 2 3 3 3 3 24 48 96 12 El largo aumentó 2 veces ¿Cuántas veces aumentó el volumen? 2 veces El largo aumentó 4 veces ¿Cuántas veces aumentó el volumen? 4 veces 1 vez El largo disminuyó 2 ¿Cuántas veces disminuyó el volumen? 1 2 vez Comparen sus respuestas. II. En la siguiente figura se aumentó al triple la medida de la altura del prisma 1 y se obtuvo un nuevo prisma rectangular, al que llamaremos prisma 3. 3 cm Altura cm 3 cm 3 cm Ancho 2 cm Largo 4 cm Prisma 3 106 142 L ibro p ara el mae s t r o MATEMÁTICAS a) ¿Cuánto mide la altura del prisma 3? b) ¿Cuánto mide el volumen del prisma 3? II c) ¿Por qué número hay que multiplicar el volumen del prisma 1 para obtener el volumen del prisma 3? En la siguiente tabla las medidas del largo y del ancho del prisma 1 permanecen fijas, pero la medida de la altura varía. Completen la tabla y encuentren los volúmenes correspondientes. Largo del prisma (cm) Ancho del prisma (cm) Altura del prisma (cm) Volumen del prisma (cm3) Variación del volumen del prisma (la medida del largo y el ancho permanecen fijas pero cambia la medida de la altura) Respuestas. a) 9 cm . b) 72 cm 3 . c) Por 3. Esa es la constante de proporcionalidad. 4 4 4 4 2 2 2 2 1 2 3 12 24 ×3 24 96 192 12 La altura aumentó 4 veces ¿Cuántas veces aumentó el volumen? La altura aumentó 8 veces ¿Cuántas veces aumentó el volumen? La altura disminuyó ¿Cuántas veces disminuyó el volumen? 4 veces 8 veces 1 vez 2 1 vez 2 A lo que llegamos Las situaciones de proporcionalidad múltiple se caracterizan porque dos o más cantidades se encuentran relacionadas proporcionalmente con otra cantidad. Por ejemplo, cuando las medidas del ancho y la altura de un prisma rectangular permanecen fijas, la medida de su largo se encuentra en proporción directa con la medida de su volumen. Es decir, cuando se aumenta al doble, o triple, etcétera, la medida del largo del prisma rectangular y la altura y el ancho permanecen fijos, la medida del volumen aumenta al doble, o triple, etcétera. Esto también sucede con las otras medidas del prisma. Es decir, cuando las medidas del largo y del ancho del prisma permanecen fijas, la medida de la altura del prisma se encuentra en proporción directa con el volumen del prisma. Y cuando las medidas de la altura y del largo del prisma permanecen fijas, la medida del ancho se encuentra en proporción directa con la medida del volumen. 107 Li b r o p ara e l m ae s t r o 143 Propósito de la actividad. Ahora se hacen variar dos de las dimensiones para hacer notar que si una dimensión aumenta o disminuye n veces, y la otra aumenta o disminuye m veces, el volumen varía n × m veces. Puede pensarse así: • cuando se varía una dimensión n veces, n es la constante de proporcionalidad y el volumen varía n veces; • cuando se varían dos dimensiones, n es una constante de proporcionalidad y m es otra constante de proporcionalidad, y el volumen se obtiene al multiplicar esas dos constantes (n × m). En la secuencia 16 del libro de primer grado los estudiantes abordaron la aplicación sucesiva de dos constantes de proporcionalidad. Si lo considera útil pueden repasar la información de los recuadros de A lo que llegamos. Propósito del interactivo. Que los alumnos exploren un problema donde dos cantidades están relacionadas proporcionalmente con otra y observen cómo cambian o se mantienen dichas relaciones. Sugerencias didácticas. Puede cambiar las medidas del prisma para que los alumnos trabajen con números sencillos y sea fácil encontrar relaciones, después puede modificar los números para comprobar que sus hipótesis se cumplen para otros casos, o elegir medidas en las que no se cumplan y pedir a los alumnos que expliquen por qué. También se puede trabajar con las medidas que presenta el interactivo aleatoriamente y ocupar el botón Resolver para que los alumnos trabajen con ejercicios resueltos, analizando las relaciones entre los números, para después comprobarlas con ejercicios que ellos resuelvan. Respuestas. a) 144 cm 3 . b) Por 6 . Una de sus dimensiones aumentó al triple (la altura) y otra al doble (el largo), por lo tanto el volumen aumentó 3 × 2 veces. SECUENCI A 8 III. Completen las medidas que faltan en el prisma 4 para encontrar qué sucede con el volumen del prisma 1 cuando la medida del largo se duplica y la medida de la altura se triplica, pero la medida del ancho permanece fija. Largo cm 3 cm Altura cm 3 cm 3 cm Ancho 2 cm 4 cm Prisma 4 4 cm a) ¿Cuánto mide el volumen del prisma 4? b) ¿Por qué número hay que multiplicar el volumen del prisma 1 para obtener el volumen del prisma 4? 108 144 L ibro p ara el mae s t r o MATEMÁTICAS II En la siguiente tabla las medidas del largo y de la altura del prisma 1 varían, pero la medida del ancho permanece fija. Completen la tabla y encuentren los volúmenes correspondientes. Largo del prisma (cm) Ancho del prisma (cm) Altura del prisma (cm) Volumen del prisma (cm3) Variación del volumen del prisma (las medidas del ancho permanece fija y cambian las medidas de la altura y del largo) 4 2 3 24 ¿Cuántas veces aumentó el largo? 2 veces 8=2×4 2 9=3×3 144 ¿Cuántas veces aumentó la altura? 3 veces ¿Cuántas veces aumentó el volumen? 6 veces ¿Cuántas veces aumentó el largo? 3 veces 12 2 12 288 ¿Cuántas veces aumentó la altura? 4 veces ¿Cuántas veces aumentó el volumen?12 veces ¿Cuántas veces aumentó el largo? 4 veces 16 2 9 288 ¿Cuántas veces aumentó la altura? 3 veces ¿Cuántas veces aumentó el volumen?12 veces 1 ¿Cuántas veces disminuyo el largo? 2 vez 2 2 12 48 ¿Cuántas veces aumentó la altura? 4 veces ¿Cuántas veces aumentó el volumen? 2 veces Comparen sus respuestas y comenten cómo las obtuvieron. A lo que llegamos En algunas situaciones de proporcionalidad múltiple, como en la del prisma rectangular, si dos o más de las cantidades varían al mismo tiempo, por ejemplo, si el largo aumenta n veces y al mismo tiempo el ancho aumenta m veces pero la altura permanece fija, entonces el volumen aumenta n × m veces. Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que verifiquen en la tabla anterior si efectivamente el volumen varía tantas veces como el producto del número de veces que varía el largo por el número de veces que varía la altura. 109 Li b r o p ara e l m ae s t r o 145 SECUENCI A 8 Respuestas. a) 144 cm 3 . b) Por 6 (la altura aumentó 3 veces y el ancho 2 , así pues, el volumen aumentó 3 × 2 veces). c) Aumentaría nueve veces. Lo que aprendimos 1. El siguiente prisma rectangular se obtuvo al variar las medidas del prisma 1 de la siguiente manera: la altura aumentó al triple, el ancho aumentó al doble y el largo se mantuvo fijo. Completen los datos que faltan en el dibujo. 3 cm Altura cm 3 cm cm Ancho: 3 cm cm Altura 4 cm Prisma 5 a) ¿Cuánto mide el volumen del prisma 5? b) ¿Por qué número hay que multiplicar el volumen del prisma 1 para obtener el volumen del prisma 5? c) Si las medidas del largo y del ancho del prisma 1 aumentaran al triple y la altura permaneciera fija, ¿cuántas veces aumentaría el volumen del prisma 1? 110 146 L ibro p ara el mae s t r o 2 cm 2 MATEMÁTICAS LA EXCURSIÓN II SESIÓN 2 Consideremos lo siguiente En una escuela se va a realizar una excursión. Los organizadores saben que en promedio 12 niños consumen 144 litros de agua durante 6 días. a) ¿Cuántos litros de agua hay que llevar a la excursión si van a ir 60 niños durante 3 días? b) Y si fueran 36 niños y los organizadores llevaran 144 litros de agua, ¿para cuántos días de excursión alcanzaría el agua? Comparen sus respuestas. Propósito de la sesión. Resolver problemas de proporcionalidad múltiple en los que los conjuntos involucrados se relacionan tanto de manera directa como inversamente proporcional. Organización del grupo. Al igual que en la sesión anterior, se propone que los alumnos trabajen en parejas y que los comentarios se hagan con todo el grupo. Manos a la obra I. Respondan las siguientes preguntas. a) Si en lugar de ir 12 niños a la excursión fueran 24 niños: • ¿Los 144 litros de agua alcanzarían para más o menos días? • ¿Para cuántos días alcanzaría el agua? • ¿El número de días aumentaría al doble o disminuiría a la mitad? b) Si en lugar de ir 12 niños a la excursión fueran 6 niños: • ¿Los 144 litros de agua alcanzarían para más o menos días? • ¿Para cuántos días alcanzaría el agua? • ¿El número de días aumentaría al doble o disminuiría a la mitad? c) Si fueran a la excursión 4 niños y llevaran 144 litros de agua: • ¿Para cuántos días alcanzaría el agua? • ¿El número de días aumentaría al triple o disminuiría a la tercera parte? Propósito del problema. En este caso, y a diferencia de las situaciones planteadas en la sesión 1, las cantidades no sólo se relacionan de manera directamente proporcional sino también de manera inversamente proporcional. Es decir, en la sesión anterior al aumentar una o dos de las dimensiones del prisma se vio que el volumen también aumenta en forma directamente proporcional; mientras que en este problema si se deja fija la cantidad de litros de agua, la cantidad de días y la cantidad de niños se relacionan de manera inversamente proporcional (mientras más niños vayan a la excursión, menos días alcanzará el suministro de agua y viceversa, mientras más días dure la excursión, el suministro alcanza para menos niños). Sugerencia didáctica. Comprender las relaciones de proporcionalidad inversa puede ser difícil para algunos alumnos, especialmente en situaciones como ésta en la que entran en juego tres cantidades (litros de agua, días que dura la excursión y número de niños que asisten). Permita a sus alumnos explorar la situación mediante los procedimientos que quieran aunque no lleguen a obtener respuestas correctas. En el transcurso de la sesión irán trabajando la situación para lograrlo. Posibles dificultades. Quizá algunos alumnos confundan la relación inversa de una relación de proporcionalidad directa con una relación inversamente proporcional. La primera la han trabajado en tablas y esquemas diversos y es la que permite “ir de regreso”, por ejemplo, si la constante de proporcionalidad es “por 3”, la inversa de esa constante es “por 1 ”. La 3 segunda es un tipo de variación distinta en la que cuando una cantidad aumenta el doble, la otra disminuye a la mitad, si aumenta el triple la otra disminuye a la tercera parte, etcétera (revisaron situaciones de proporcionalidad inversa en la secuencia 37 de primer grado). Si lo considera necesario, comente esto con los alumnos y recuerden secuencias de su libro de primero en las que hayan trabajado con una y otra. Respuestas. a) Deben llevar 360 litros. b) Alcanzaría para 2 días. Comparen sus respuestas. 111 Respuestas. a) Los 144 litros alcanzarían para menos días porque se incrementa el número de niños. Como es el doble de niños, la cantidad de días que duraría el agua sería la mitad, o sea, 3 días. b) Serían la mitad de niños, por lo tanto el agua alcanzaría para el doble de días (12 ). c) Si va la tercera parte de niños (4 ) el agua alcanzaría para tres veces más días (18 ). Sugerencia didáctica. Las anteriores preguntas tienen el propósito de que los alumnos noten que cuando la cantidad de agua permanece fija (144 litros), si se aumenta n veces el número de niños, entonces el número de días disminuye n veces; y que si se disminuye el número de niños n veces, entonces el número de días aumenta n veces. Si lo considera útil para el momento de comparar sus respuestas, pídales que completen una tabla como la siguiente para verificarlas y haga énfasis en que la cantidad de agua permanece fija y las otras dos cantidades son inversamente proporcionales. Cantidad de agua consumida 120 litros 120 litros 120 litros 120 litros Número de niños 12 24 6 4 Días de excursión 6 Li b r o p ara e l m ae s t r o 147 Sugerencia didáctica. Permita a los alumnos que contesten lo que consideren correcto, no les dé las respuestas en este momento. Una vez que analicen las siguientes tablas, pídales que revisen sus respuestas y corrijan si es necesario. SECUENCI A 8 d) Comenten las siguientes afirmaciones. Pongan la letra V cuando la afirmación sea verdadera y la letra F cuando la afirmación sea falsa. Cuando el número de litros de agua permanece fijo (144 litros), el número de días y el número de niños son cantidades directamente proporcionales. Cuando el número de litros de agua permanece fijo (144 litros), el número de días y el número de niños son cantidades inversamente proporcionales. F V Las siguientes tablas son útiles para determinar si dos conjuntos de cantidades son directamente proporcionales o inversamente proporcionales. Cantidades directamente proporcionales Si una cantidad aumenta al do- …la otra aumenta al doble, al ble, al triple, etcétera… triple, etcétera. Cantidades inversamente proporcionales Si una cantidad aumenta al doble, …la otra cantidad disminuye a la al triple, etcétera… mitad, tercera parte, etcétera. Si una cantidad disminuye a la …la otra cantidad disminuye a mitad, tercera parte, etcétera… la mitad, tercera parte, etcétera. Si una cantidad disminuye a la mi- …la otra cantidad aumenta al tad, tercera parte, etcétera… doble, al triple, etcétera. Respuestas. a) Habría que llevar más agua, si va a haber 5 veces más niños y el número de días permanece igual, se necesita cinco veces más agua (720 litros). II. Respondan las siguientes preguntas. Recuerden que en promedio 12 niños consumen 144 litros de agua durante 6 días. a) Si en lugar de ir 12 niños a la excursión fueran 60 niños: • ¿Habría que llevar más o menos agua para 6 días de excursión? • ¿Cuánta agua habría que llevar? • ¿La cantidad de agua aumentaría cinco veces o disminuiría a la quinta parte? b) Comenten las siguientes afirmaciones. Pongan la letra V cuando la afirmación sea verdadera y la letra F cuando la afirmación sea falsa. Cuando el número de días permanece fijo (6 días), el número de niños y la cantidad de agua que se consumirá son cantidades directamente proporcionales. Cuando el número de días permanece fijo (6 días), el número de niños y la cantidad de agua que se consumirá son cantidades inversamente proporcionales. V F 112 148 L ibro p ara el mae s t r o MATEMÁTICAS c) Si en lugar de ir 6 días de excursión fueran sólo 3 días: • ¿Los 12 niños necesitarían más o menos de 144 litros de agua? • ¿Cuánta agua tendrían que llevar? • ¿La cantidad de agua aumentaría al doble o disminuiría a la mitad? II Respuestas. c) Necesitarían menos agua, si el número de días se reduce a la mitad, la cantidad de litros de agua necesarios también (72 litros). d) 24 litros. e) 2 litros. d) ¿Cuántos litros de agua consumen 12 niños durante 1 día de excursión? e) ¿Cuántos litros de agua consume 1 niño durante 1 día de excursión? f) Comenten las siguientes afirmaciones y pongan la letra V cuando la afirmación sea verdadera y la letra F cuando la afirmación sea falsa. Cuando el número de niños permanece fijo (12 niños), el número de días y la cantidad de agua que se consumirá son cantidades V directamente proporcionales. Cuando el número de niños permanece fijo (12 niños), el número de días y la cantidad de agua que se consumirá son cantidades inversamente proporcionales. F g) ¿Cuántos litros de agua consumirán 60 niños durante 1 día de excursión? h) ¿Cuántos litros de agua consumirán 60 niños durante 3 días de excursión? 113 Respuestas. g) 120 litros. h) 360 litros. Li b r o p ara e l m ae s t r o 149 SECUENCI A 8 A lo que llegamos En los problemas de proporcionalidad múltiple puede suceder que cuando una de las cantidades permanece fija las otras dos sean directamente proporcionales o inversamente proporcionales. Por ejemplo: 1. Si el número de niños que van a ir a la excursión permanece fijo, entonces el número de días que van a estar en la excursión y el número de litros de agua que se consumirán son cantidades directamente proporcionales. 2. Si el número de litros de agua que se consumió en la excursión permanece fijo, entonces el número de días y el número de niños son cantidades inversamente proporcionales. Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que con este método verifiquen sus respuestas a las preguntas planteadas al inicio de la sesión. Una de las técnicas útiles para resolver algunos problemas de proporcionalidad múltiple es encontrar el valor que corresponde a las unidades. Por ejemplo, en el problema de la excursión la cantidad de agua que consume 1 niño durante 1 día es el valor que corresponde a las unidades: en 1 día 1 niño consume 2 litros de agua. El valor que le corresponde a las unidades en este caso es 2. Luego, si queremos saber cuántos litros de agua consumirán 70 niños durante 5 días de excursión, solamente tenemos que hacer una multiplicación, el siguiente esquema ilustra mejor este hecho. Número de niños que fueron a la excursión Número de litros de agua que consumieron 70 niños durante 5 días de excursión 2 × 5 × 70 = 700 Valor que le corresponde a las unidades: número de litros de agua que consume 1 niño durante 1 día de excursión Número de días que duró la excursión Así que 70 niños durante 5 días de excursión consumirán 700 litros de agua. 114 150 L ibro p ara el mae s t r o MATEMÁTICAS II Lo que aprendimos 1. Responde las siguientes preguntas. Recuerda que en promedio 12 niños consumen 144 litros de agua durante 6 días. a) Si en lugar de ir 6 días de excursión van 18 días. • ¿Los 144 litros de agua alcanzarían para más o menos niños? • ¿Para cuántos niños alcanzaría el agua? • ¿El número de niños aumentó al triple o disminuyó a la tercera parte? b) Si en lugar de ir 6 días de excursión van 2 días. • ¿Los 144 litros de agua alcanzarían para más o menos niños? • ¿Para cuántos niños alcanzaría el agua? • ¿El número de niños aumentó al triple o disminuyó a la tercera parte? Respuestas. a) Alcanzarían para menos niños. Como los días de excursión son el triple (18 ), el agua alcanzaría para la tercera parte de los niños (4 ). b) Alcanzarían para más niños. Si se reduce a la tercera parte el número de días, el agua alcanzaría para tres veces más niños (36 ). 2. Completa la siguiente tabla para verificar si el número de niños y el número de días de la excursión son cantidades directamente proporcionales o inversamente proporcionales cuando la cantidad de agua permanece fija (144 litros). Cantidad de agua consumida Días de excursión Número de niños 144 litros 144 litros 144 litros 144 litros 6 3 12 1 12 24 6 72 Propósito de la sesión. Resolver problemas de proporcionalidad múltiple en diversos contextos. Sugerencia didáctica. Esta sesión está dedicada a emplear los conocimientos y las técnicas de resolución aprendidos en las dos anteriores. Puede dejar algunos de tarea o pedir que cada equipo resuelva un problema y luego lo expliquen a los demás en el pizarrón. Integrar al portafolios. Pida a los alumnos una copia de sus respuestas a las actividades 2 y 3 . MÁS PROBLEMAS Lo que aprendimos 1. En la sesión 1 de esta secuencia se calculó el volumen del prisma rectangular 1 SESIÓN 3 Prisma 1 3 cm 4 cm 2 cm Volumen = 4 cm × 2 cm × 3 cm = 24 cm3 115 Li b r o p ara e l m ae s t r o 151 Respuestas. a) 192 cm 3 (porque sus medidas serían 8 de largo, 6 de alto y 4 de ancho). b) Por 8 (porque sus tres dimensiones aumentaron dos veces, entonces el volumen es 2 × 2 × 2 veces mayor que el prisma 1). c) 648 cm 3 (porque sus medidas serían 12 de largo, 9 de alto y 6 de ancho). d) Por 27 (porque sus tres dimensiones aumentaron tres veces, entonces el volumen es 3 × 3 × 3 veces mayor que el prisma 1). Respuestas. a) 75 tabiques. b) 25 tabiques. c) 900 tabiques. Sugerencia didáctica. Si los alumnos tienen dificultades para resolver este problema sugiérales que dibujen en sus cuadernos los muros, y así será más sencillo ver que el muro que mide 1 m largo por 3 m largo (inciso a) es de la mitad del tamaño que el original. Además, como mide 3 m2 es fácil notar que para construir cada metro cuadrado se necesitan 25 tabiques (con lo que se responde el inciso b). Respuesta. Las últimas dos afirmaciones son correctas, cuando se deja fija una de las dimensiones, la superficie (expresada en cantidad de ladrillos) es directamente proporcional a la dimensión que varía. Respuestas. d) 1 metro. e) 2 metros. f) 4 metros. g) “… son cantidades inversamente proporcionales” porque si la superficie (cantidad de tabiques) permanece fija y la altura aumenta, el ancho debe disminuir, y viceversa. SECUENCI A 8 Contesta las siguientes preguntas: a) Si se aumenta cada una de las dimensiones (altura, largo y ancho) del prisma 1 al doble se obtiene un nuevo prisma: el prisma 6. ¿Cuál es el volumen del prisma 6? b) ¿Por qué número hay que multiplicar el volumen del prisma 1 para obtener el volumen del prisma 6? c) Al aumentar cada una de las dimensiones (altura, largo y ancho) del prisma 1 al triple se obtiene otro nuevo prisma: el prisma 7. ¿Cuál es el volumen del prisma 7? d) ¿Por qué número hay que multiplicar el volumen del prisma 1 para obtener el volumen del prisma 7? 2. Sabiendo que para construir un muro de 3 metros de largo y 2 metros de altura se necesitan 150 ladrillos, contesta las siguientes preguntas: a) ¿Cuántos tabiques se necesitan para construir un muro que mida un metro de largo por 3 metros de alto? b) ¿Cuántos tabiques se necesitan para construir un muro que mida 1 metro de largo por 1 metro de alto? c) ¿Cuántos tabiques se necesitan para construir un muro que mida 12 metros de largo por 3 metros de alto? Subraya las afirmaciones correctas: • Si la medida de la altura del muro permanece fija (2 metros), entonces el número de ladrillos es inversamente proporcional a la medida del largo del muro. • Si la medida del largo del muro permanece fija (3 metros), entonces la medida de la altura y el número de ladrillos que se necesitan son cantidades directamente proporcionales. • Si la medida de la altura del muro permanece fija (2 metros), entonces la medida del largo y el número de ladrillos que se necesitan son cantidades directamente proporcionales. d) Si un muro mide 4 metros de largo y está hecho con 100 tabiques, ¿cuánto mide su altura? 116 152 L ibro p ara el mae s t r o MATEMÁTICAS su altura? II e) Si un muro mide 2 metros de largo y está hecho con 100 tabiques, ¿cuánto mide f) Si un muro mide 1 metro de largo y está hecho con 100 tabiques, ¿cuánto mide su altura? g) Completa la siguiente afirmación para que sea correcta. Si la cantidad de tabiques permanece fija (100 tabiques), entonces la medida del largo y la medida de la altura son cantidades proporcionales. 3. Damián es un granjero y se dedica a la crianza de guajolotes. Él sabe que 10 guajolotes consumen aproximadamente 120 kilogramos de alimento durante 3 días. a) ¿Cuántos kilogramos de alimento consumen 10 guajolotes durante 1 día? Respuestas. a) 40 kg . b) 4 kg . c) 4 800 kg . d) A 5 guajolotes. e) A 20 guajolotes. b) ¿Cuántos kilogramos de alimento consume un guajolote durante 1 día? c) ¿Cuántos kilogramos de alimento consumen 40 guajolotes durante 30 días? d) Si se consumieron 240 kilogramos de alimento durante 12 días, ¿a cuántos guajolotes se alimentaron? e) Si se consumieron 240 kilogramos de alimento durante 3 días, ¿a cuantos guajolotes se alimentaron? Para saber más Sobre los prismas rectangulares y otras figuras geométricas consulta: http://es.wikipedia.org/wiki/Prisma [Fecha de consulta: 24 de mayo de 2007]. 117 Li b r o p ara e l m ae s t r o 153 Propósito de la sesión. Encontrar procedimientos sistemáticos de conteo en situaciones en las que no resulta práctico contar los casos uno por uno. Organización del grupo. Se sugiere que los alumnos resuelvan individualmente, y que se organicen momentos de intercambio grupal. Descripción del video. El video es de introducción, contiene algunos ejemplos en los que resulta importante responder la pregunta ¿de cuántas formas? Posibles procedimientos. Los alumnos pueden intentar hacer una lista o una tabla, aunque es posible que no lo hagan de manera sistemática, por lo que tal vez omitan el conteo de algunos casos. Sugerencia didáctica. Usted puede ayudarles a comprender el problema formulando algunas preguntas, como: ¿cuántos lugares hay en el estacionamiento?, ¿cuántas personas hacen uso del estacionamiento?; si Sofía se estaciona en el lugar A, ¿qué lugares puede elegir Miguel?, y si Miguel se estaciona en el lugar B, ¿qué opciones tiene Sofía? También puede sugerirles que se apoyen en un dibujo o que representen en su cuaderno, de alguna manera, la forma en que se pueden ocupar los lugares y qué lugares quedan libres. Respuesta. En total hay 20 maneras en las que pueden estacionarse. La lista puede ser así: Sofía Miguel A B A C A D B A B C B D... SECUENCI A 9 Problemas de conteo En esta secuencia vas a identificar regularidades para resolver problemas de conteo. Verificarás tus resultados utilizando arreglos rectangulares, diagramas de árbol u otros recursos. SESIÓN 1 ¿CÓMO NOS ESTACIONAMOS? Para empezar ¿De cuántas formas? Existen situaciones en las que queremos ordenar o repartir varios objetos y resulta útil conocer de cuántas maneras distintas podemos realizarlo. En los problemas de conteo se responde la pregunta ¿de cuántas formas? Es importante contar de manera sistemática y para ello conviene saber desarrollar patrones. En ocasiones contar los casos de uno en uno no resulta práctico, ya que puede requerir de mucho tiempo y además se corre el riesgo de no contarlos todos. En la secuencia 8 de tu libro Matemáticas I Volumen I resolviste problemas de conteo utilizando tablas, diagramas de árbol y enumeraciones. En esta secuencia conocerás otras técnicas de conteo. En la secuencia 32 de este libro aprenderás a calcular probabilidades y tomar decisones utilizando las técnicas de conteo. Consideremos lo siguiente En un edifico nuevo hay cinco departamentos y cinco lugares para estacionarse. Los lugares de estacionamiento se identifican con letras de la A a la E. Se han habitado dos departamentos únicamente, el de Sofía y el de Miguel, quienes estacionan cada noche su auto en alguno de los lugares. Por ejemplo, Sofía puede estacionarse en el lugar D y Miguel en el lugar B. ¿Cuáles son todas las formas en las que se pueden estacionar Sofía y Miguel? ¿En total cuántas son? Comparen sus respuestas. Comenten los procedimientos que utilizaron. 118 Eje Manejo de la información Tema Representación de la información. Antecedentes En el primer grado los alumnos resolvieron problemas de conteo con apoyo de representaciones gráficas, tales como tablas y diagramas de árbol. Asimismo, exploraron procedimientos sistemáticos de conteo, particularmente la regla del producto. En el segundo grado los alumnos continúan desarrollando su razonamiento combinatorio a través de la resolución de problemas de conteo. Las combinaciones son un caso particular del tipo de problemas que se aborda en la secuencia (las combinaciones también se presentan, por ejemplo, cuando tenemos que escoger tres objetos de cinco posibles, y no importa el orden). Para ello, utilizarán diagramas de árbol y arreglos rectangulares como recursos para organizar la información y averiguar el número total de casos posibles. 154 L ibro p ara el mae s t r o Propósito de la secuencia Anticipar resultados en problemas de conteo, con base en la identificación de regularidades. Verificar los resultados mediante arreglos rectangulares, diagramas de árbol u otros recursos. Sesión 1 Propósitos de la sesión ¿Cómo nos estacionamos? Encontrar procedimientos sistemáticos de conteo en situaciones en las que no resulta práctico contar los casos uno por uno. Recursos Video “De cuántas formas” Interactivo 2 La casa de cultura Identificar situaciones en las que importa el orden y en las que no importa el orden. 3 Reparto de dulces Encontrar procedimientos sistemáticos para contar todas las maneras en las que podemos repartir varios objetos. Interactivo MATEMÁTICAS II Manos a la obra I. La siguiente lista sirve para encontrar todas las posibles formas en las que se pueden estacionar Sofía y Miguel. La lista no indica quién de los dos llegó primero a estacionarse, sino los distintos lugares de estacionamiento que pudieron ocupar. Hacen falta varias opciones, encuéntralas todas y escríbelas en tu cuaderno. Sofía Miguel A A A A B B B Responde las siguientes preguntas: B C D E A C a) Un día Sofía llegó primero y escogió el lugar B; cuando llega Miguel, ¿cuántos lugares tiene para escoger? 4 4 b) Otro día Miguel llegó primero y escogió el lugar D; cuando llega Sofía, ¿cuántos lugares tiene para escoger? c) ¿Cuántos lugares tiene para escoger la primera persona en llegar? d) ¿Cuántos lugares tiene para escoger la segunda persona en llegar? e) ¿De cuántas maneras distintas pueden estacionarse Sofía y Miguel? Comparen sus respuestas 5 4 20 II. Ha llegado un nuevo vecino, llamado Paco; también estaciona su auto cada noche en alguno de los lugares. ¿De cuántas formas pueden estacionarse Sofía, Miguel y Paco? 119 Sugerencia didáctica. Permita que los alumnos respondan estas preguntas sin anticiparles que multiplicar 5 × 4 es la forma más rápida de obtener todas las combinaciones. En los incisos c) y d) es conveniente que aclare a los alumnos que la primera persona en llegar no va a ser necesariamente Sofía, y la segunda persona en llegar no necesariamente será Miguel. En la tabla anterior fijamos el lugar de una persona (Sofía) y vemos las opciones de la otra (Miguel); en los incisos a) y b) fijamos las opciones según el orden en el que pudieran llegar a estacionarse, y en los incisos c) y d) no se sabe quién llega primero y quién después, pero se está contando lo mismo, eso es lo importante. Se pregunta de esa manera para que los alumnos puedan ir identificando los factores 5 y 4. Propósito de la actividad. Que los alumnos exploren técnicas de conteo al resolver problemas en los que, al aumentar el número de vecinos, aumentan también las formas de estacionarse. Posibles dificultades. Dado que en este caso aumenta considerablemente el número de opciones, es probable que los alumnos no cuenten todas. Usted puede animarlos a encontrarlas todas utilizando una lista o una tabla, pues resulta poco práctico intentar enumerar todas las opciones. Respuesta. Hay 60 maneras en que los vecinos pueden estacionarse. Propósito de la actividad. Que los alumnos conozcan una forma sistemática de enumerar todas las formas de estacionarse. Sugerencia didáctica. Aclare a los alumnos que, en la lista que se presenta, fijamos el lugar de una persona (Sofía) y vemos las opciones de la otra persona (Miguel). Esto nos permite ver las distintas formas en que pueden quedar estacionados, pero no quiere decir que primero llegó Sofía a estacionarse y luego Miguel. Se pueden intercambiar los nombres en la tabla, de manera que primero fijamos el lugar de Miguel y vemos las opciones que tiene Sofía. De cualquier manera se están contando las mismas formas de estacionarse. Es importante que los alumnos identifiquen que en este tipo de problemas no es relevante el orden en el que se vayan colocando los objetos (en este caso el orden en el que se vayan estacionando), sino que estamos identificando todas las posibles maneras en que pueden quedar colocados al final. Durante la sesión aparecen preguntas en las que sí interviene el orden de llegada, esto se hace para hacer más clara la expresión que se obtiene para contar todas las posibles maneras que tienen los vecinos para estacionarse. Se pregunta de manera general, cualquiera de los vecinos pudo llegar en primer lugar o en segundo lugar. Lo importante es que, cuando todos los lugares están vacíos, hay 5 opciones para estacionarse. Si ya se ocupó un lugar, quedan 4 lugares para estacionarse. Es semejante a lo que ocurre en la tabla: Sofía tiene 5 opciones, y para cada opción que ella escoge, Miguel tiene 4 opciones para escoger. Al final obtenemos la expresión 5 × 4. Lo que se esperaría es que los alumnos logren generalizar y digan que la primera persona en llegar (sin especificar quién fue) tiene 5 opciones, y la segunda persona en llegar (sin especificar quién fue) tiene 4 opciones. Sin embargo, esto no es fácil de lograr, por eso se utilizan mucho los recursos como la enumeración, las tablas y los diagramas de árbol, para resolver los problemas. Respuesta. La lista tiene veinte renglones, se fija el lugar en el que está Sofía y luego se va cambiando el lugar en el que está Miguel. Li b r o p ara e l m ae s t r o 155 Propósito del interactivo. Utilizar el diagrama de árbol como técnica de conteo en la resolución de problemas. Sugerencias didácticas. Para resolver este tipo de problemas utilice la opción Muchos recorridos presentada en el interactivo. Pida a los alumnos que identifiquen cuáles son los datos que deben ir en cada nivel y cuáles en las ramas. Se puede ocupar el interactivo para: • que los alumnos introduzcan los datos y observen cómo se construye el árbol; • presentar problemas con menos datos para que los alumnos puedan empezar a generalizar otra forma de obtener el número de resultados posibles, y cada vez aumentar el número de datos; • mostrarles que cuando los datos son demasiados es conveniente utilizar otras estrategias, como puede ser la multiplicación. Propósito de la actividad. Utilizar al diagramas de árbol como un recurso que permite identificar y contar las opciones posibles. Además, en este caso, el diagrama permite ilustrar la operación a la que se quiere llegar para encontrar el número total de formas de estacionarse: 5 × 4 × 3 . Sugerencia didáctica. Aclare a los alumnos que en el diagrama se pone un orden para identificar los distintos niveles (Sofía, Miguel, Paco), pero esto no indica el orden en el que llegaron a estacionarse. Para economizar tiempo y con la finalidad de que todos los alumnos tengan el mismo diagrama, lo que les facilitará responder las preguntas siguientes, usted puede copiar en el pizarrón la parte del diagrama que se presenta en el libro, y pedir a algunos alumnos que pasen a completarlo. Una vez que todo el grupo esté de acuerdo con el diagrama, cada alumno lo copia en su cuaderno. Propósito de la actividad. Se espera que, a partir de las preguntas y con la ayuda del diagrama, los alumnos establezcan la operación que permite contar todos los casos. En el apartado A lo que llegamos se analiza por qué esta operación es la correcta. Sugerencia didáctica. Nuevamente, aclare a los alumnos que la primera persona en llegar no necesariamente es Sofía, la segunda persona en llegar no necesariamente es Miguel y la tercera persona en llegar no necesariamente es Paco. SECUENCI A 9 III. Las posibles maneras de estacionarse que tienen Sofía, Miguel y Paco se pueden representar utilizando un diagrama de árbol. El diagrama indica el lugar que escogió cada uno, sin importar quién llegó primero a estacionarse. Complétalo en tu cuaderno: Sofía Miguel Paco C B A B C D E Utiliza el diagrama de árbol para responder las siguientes preguntas: a) Si Sofía está en el lugar C y Miguel no ha llegado, cuando llega Paco, ¿en qué lugares se puede estacionar? A, C D E D E Lugares ocupados ABC ABD ABE B, D, E C, D b) Si Paco está en el lugar B y Miguel está en el lugar E, cuando llega Sofía, ¿en qué lugares se puede estacionar? A, c) ¿Cuántos lugares tiene para escoger la primera persona en llegar? d) ¿Cuántos lugares tiene para escoger la segunda persona en llegar? e) ¿Cuántos lugares tiene para escoger la tercera persona en llegar? 5 4 3 60 f) ¿De cuántas maneras distintas pueden estacionarse Sofía, Miguel y Paco? Otra manera con la que podemos calcular el número total de formas que tienen para estacionarse Sofía, Miguel y Paco, es realizando una operación. Subraya cuál es: • 5+4+3 • 5×4×3 • 5×5×5 • 5+5+5 C A D B C D E B D E B C E B C D C D E A D E A C E A C D B D E A D E A B E A B D B C E A C E A B E A B C B C D A C D A B D A B C ¿Por qué es la operación correcta? E A 120 C B D Posibles respuestas. • Se multiplican las opciones de cada vecino. • El primero en llegar tiene 5 opciones, el segundo tiene 4 y el tercero tiene 3 opciones. • Una respuesta parcialmente correcta puede ser: ésta es la operación que nos da el número total de opciones. E A B C D E A B D C E A B E C Digrama de árbol de la actividad III. 156 L ibro p ara el mae s t r o D MATEMÁTICAS IV. Responde las siguientes preguntas: II a) En el diagrama de árbol, Sofía está en el primer nivel, Miguel en el segundo y Paco en el tercero. Si en otro diagrama de árbol ponemos a Paco en el primer nivel, a Sofía en el segundo y a Miguel en el tercero, ¿habría más, menos o el mismo número de posibles formas de estacionarseentre los tres? Explica por qué: Propósito de las preguntas. En el inciso a) se espera que los alumnos se den cuenta de que podemos presentar el diagrama de árbol de distintas maneras, pero siempre estamos contando el número total de opciones o de formas de estacionarse. En el inciso b) se pretende reafirmar la idea de que no importa el orden en el que lleguen a estacionarse, sino el número de formas distintas en las que los autos pueden quedar colocados. Respuestas. a) Es el mismo número de formas de estacionarse. El nivel en el que esté cada uno no es importante, podríamos cambiarlos de lugar pero seguiríamos contando el número total de posibles formas para estacionarse. b) Es la misma manera, no importa el orden de llegada sino el lugar que haya escogido cada uno, y quedaron en los mismos lugares en esos dos días. Sugerencia didáctica. Una vez que los alumnos hayan identificado que con la operación 5 × 4 pueden contar el número de formas de estacionarse, pídales que vuelvan al problema inicial para que, en caso de ser necesario, corrijan su respuesta. b) Un día Paco llegó primero y se estacionó en el lugar C; luego llegó Sofía y se estacionó en el lugar E; Miguel fue el último en llegar y se estacionó en el lugar A. Otro día Miguel llegó primero y se estacionó en el lugar A, luego llegó Paco y se estacionó en el lugar C, al final llegó Sofía y se estacionó en el lugar E. ¿Se cuenta como la misma manera de estacionarse o son formas distintas? Explica por qué: Comparen sus respuestas. Comenten si, para contar el número total de formas que tienen para estacionarse los vecinos, es importante saber el orden en el que llegaron a estacionarse. V. Los cinco departamentos están ocupados. Cada vecino estaciona su auto en alguno de los cinco lugares. Responde las siguientes preguntas: a) ¿De cuántas maneras distintas pueden estacionarse los vecinos? b) ¿Cuál es la operación a realizar para encontrar de cuántas maneras distintas pueden estacionarse los cinco vecinos? c) ¿Cuál sería el inconveniente de realizar un diagrama de árbol para encontrar todas las formas de estacionarse que tienen los cinco vecinos? d) Cierto día, dos de los vecinos no utilizaron su auto y lo dejaron estacionado, ¿de cuántas maneras distintas pueden estacionarse los tres vecinos restantes? Comparen sus respuestas. Para el caso en el que hay dos personas en el edificio, Sofía y Miguel, comenten cuál es la operación que se hace para calcular el número total de formas que tienen para estacionarse. 121 Propósito de la actividad. Dado que ahora son cinco vecinos y el número de casos aumenta considerablemente, es poco práctico intentar contar las opciones una por una. Se espera que los alumnos puedan generalizar los procedimientos de resolución que han utilizado, identificando a la multiplicación (5 × 4 × 3 × 2 × 1) como la operación que permite obtener el número total de opciones. Respuestas. a) 120 b) (5 × 4 × 3 × 2 × 1) . Es lo mismo que (5 × 4 × 3 × 2) . c) Son demasiadas opciones. El árbol es muy grande. Llevaría demasiado tiempo completarlo. d) Son seis maneras (es un caso en el que hay tres lugares y tres vecinos: 3 × 2 × 1). Li b r o p ara e l m ae s t r o 157 Sugerencia didáctica. Lea y comente esta información con los alumnos. En los casos de cuatro y de cinco vecinos el resultado es el mismo debido a que con cuatro vecinos queda sólo un lugar desocupado cada vez, sería lo mismo si llega otro vecino y se estaciona en ese lugar. Posteriormente, usted puede preguntarles que pasaría en otros casos, por ejemplo: si hay seis departamentos y tres vecinos, ¿de cuántas maneras pueden estacionarse? Incorporar al portafolios. Elija uno de los tres problemas para identificar los aprendizajes y las dificultades de los alumnos. Se espera que puedan resolver utilizando los recursos que se vieron en la sesión: enumeración, tablas y diagramas de árbol. Es poco probable que utilicen directamente la multiplicación; usted puede proponer que identifiquen la operación que resuelve cada uno de los problemas una vez que los alumnos hayan comparado sus respuestas y procedimientos. Respuestas. 1. Son 24 números (4 × 3 × 2 ): Primer dígito Segundo dígito Tercer dígito Número que se forma SECUENCI A 9 A lo que llegamos Podemos contar las distintas maneras en las que se pueden estacionar los vecinos fijándonos en el número de opciones que tiene para cada uno en el momento en que llega: Cuando todos los lugares están vacíos, cualquier vecino tiene cinco opciones para escoger. Cuando ya está ocupado un lugar, los otros vecinos tienen cuatro lugares para escoger. Si hay dos lugares ocupados, los tres vecinos restantes tienen tres lugares para escoger. Luego, si hay tres lugares ocupados, quedan dos lugares para los dos vecinos restantes. Finalmente, queda un lugar para el último vecino. El número total de casos posibles se obtiene multiplicando: Si hay dos vecinos: 5 × 4. Si hay tres vecinos: 5 × 4 × 3. Si hay cuatro vecinos: 5 × 4 × 3 × 2. Si hay cinco vecinos: 5 × 4 × 3 × 2 × 1. Lo que aprendimos 1. Con los dígitos 2, 4, 8, 5 queremos formar números de tres cifras; en cada número no se puede repetir ninguno de los dígitos. ¿Cuántos números podemos formar? Haz una lista con todos los números. 2. En una telesecundaria, dos alumnos deben escoger un día, de lunes a viernes, en el que les va a tocar hacer las tareas de limpieza del salón; cada uno debe escoger un día distinto. ¿De cuántas maneras puede hacerse el rol de limpieza de esa semana? Haz un diagrama de árbol para representar todos los roles distintos. 3. Cuatro alumnos van con el médico a que les pongan una vacuna y ninguno quiere pasar primero, ¿de cuántas formas distintas pueden ordenarse para pasar con el médico? 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 8 8 8 8 8 8 4 4 5 5 8 8 2 2 5 5 8 8 2 2 4 4 8 8 2 2 4 4 5 5 5 8 8 4 5 4 5 8 2 8 2 5 4 8 2 8 2 4 4 5 2 5 2 4 245 248 258 254 285 284 425 428 452 458 482 485 524 528 542 548 582 584 824 825 842 845 852 854 2. Hay 20 formas (5 × 4 ). 3. Hay 24 formas (4 × 3 × 2 × 1). Aunque no se les pide que hagan la lista de todas las formas de ordenarse, una manera de resolverlo es identificando a cada alumno con un número o una letra, también es posible inventar un nombre para cada alumno. 122 Martes Lunes Miércoles Jueves Viernes Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Lunes Miércoles Martes Jueves Viernes Lunes Jueves Martes Miércoles Viernes Lunes Viernes Martes Miércoles Jueves 158 L ibro p ara el mae s t r o MATEMÁTICAS LA CASA DE CULTURA II SESIÓN 2 Para empezar La Casa de Cultura es un lugar en los municipios y barrios en el que se fomentan la cultura, el arte y la educación. En la Casa de Cultura hay bibliotecas públicas, se imparten talleres y cursos, y se organizan conferencias, obras de teatro, exposiciones, conciertos y presentaciones de libros. La Casa de Cultura tiene como objetivo contribuir a que la población tenga la oportunidad de acercarse a diversas expresiones artísticas y también preservar las tradiciones del lugar donde se ubique. Propósito de la sesión. Identificar situaciones en las que importa el orden y en las que no importa el orden. Organización del grupo. Los alumnos pueden trabajar de manera individual y comparar sus resultados grupalmente. Consideremos lo siguiente Fernanda asiste a la Casa de Cultura de su municipio; en esta Casa de Cultura se imparten cuatro talleres: danza, música, teatro y dibujo. Fernanda se va a inscribir sólo a dos de los talleres. ¿Cuántas formas posibles tiene para inscribirse? Nombre: Casa de Cultu ra Inscripción a los talleres Deseo inscrib Comparen sus respuestas. Expliquen cómo hicieron para encontrar las distintas formas que tiene Fernanda para inscribirse. ¿Es lo mismo o es distinto si Fernanda pone en la hoja de inscripción “música y teatro” o si pone “teatro y música”? Fernanda irme a los sig uientes taller y es: Respuesta. Hay seis formas posibles para inscribirse: danza y música, danza y teatro, danza y dibujo, música y teatro, música y dibujo, teatro y dibujo. Los alumnos pueden hacer una lista, una tabla o un diagrama de árbol. Posibles errores. Puede haber alumnos que no identifiquen que en este caso el orden no es importante, por lo que podrían contar más opciones de las debidas (por ejemplo, repetir la misma opción: danza y música, música y danza). Permita que los alumnos resuelvan por sí mismos aun cuando cometan errores. Firma 123 Sugerencia didáctica. Enfatice el hecho de que en este problema el orden en que se presentan las opciones no es relevante. Li b r o p ara e l m ae s t r o 159 SECUENCI A 9 Propósito de la actividad. Sugerir a los alumnos que una manera de contar todas las formas posibles, en este caso, es utilizando una lista de enumeración. Manos a la obra I. En la siguiente lista hacen falta varias de las opciones que tiene Fernanda, encuéntralas todas y escríbelas en tu cuaderno. danza y música danza y teatro danza y Propósito de la actividad. Que los alumnos identifiquen que, en este caso, el orden no importa, ya que se están escogiendo dos de los talleres, sin importar cuál va primero en la hoja de inscripción. II. En el diagrama de árbol están representadas las formas en las que Fernanda puede inscribirse: Música Danza Teatro Dibujo Danza Música Teatro Dibujo Danza Teatro Música Dibujo Danza Dibujo Música Teatro Respuesta. En el árbol hay 12 opciones, las cuales se obtienen mediante la operación 4 × 3 . Como cada opción aparece 2 veces, se divide 12 ÷ 2 . a) ¿Cuántas opciones hay en el diagrama? 12 veces b) Cada una de las opciones está repetida: ¿cuántas veces aparece cada una? 2 c) Subraya cuál de las siguientes operaciones sirve para calcular el número total de formas que tiene Fernanda para inscribirse: • 4×3 Posibles respuestas: • Hay 12 opciones y cada una se repite 2 veces, hay que dividir 12 entre 2 . • Para el primer taller hay 4 opciones, y 3 opciones para el segundo taller, luego se divide entre 2 . • Es con la que se obtiene el número de opciones (aunque ésta no es del todo correcta). • 4×3 2 d) ¿Por qué es la operación correcta? Comparen sus respuestas. 124 Sugerencia didáctica. Apoyándose en el diagrama de árbol, haga notar a los alumnos que cada una de las opciones aparece 2 veces, y que por ello el resultado de multiplicar 4 × 3 debe ser dividido después entre 2 . 160 L ibro p ara el mae s t r o MATEMÁTICAS II III. Otra Casa de Cultura imparte los mismos talleres: danza, música, teatro y dibujo. Para inscribirse hay que indicar cuál es la primera opción y cuál es la segunda. a) En tu cuaderno haz una lista con todas las posibles maneras de inscribirse. b) ¿Cuántas maneras son? Propósito de la actividad. Identificar una situación en la que, de manera contraria a la anterior, el orden sí importe. 12 maneras 4 c) Si no se ha llenado todavía ninguna de las opciones en la hoja de inscripción, ¿cuántos talleres hay para poner en la primera opción? Respuesta. El número total de posibles formas de inscribirse son 12 (son las mismas que se muestran en el diagrama de árbol anterior): Primera danza danza danza música música música teatro talleres: d) Si ya se puso la primera opción, ¿cuántos talleres hay para poner en la segunda opción? Segunda música teatro dibujo danza teatro dibujo danza música dibujo danza música teatro 3 e) Subraya cuál de las siguientes operaciones sirve para calcular el número total de formas de llenar la hoja de inscripción: • 4×3 • 4×3 2 f) Argumenta tu respuesta Casa de Cultura Inscripción a los talleres Nombre: Deseo inscribirme a los siguientes Primera opción Segunda opción teatro teatro dibujo dibujo dibujo Firma 125 Li b r o p ara e l m ae s t r o 161 SECUENCI A 9 A lo que llegamos En los problemas de conteo hay que distinguir si importa o no el orden en el que pongamos las opciones. Además, siempre hay que tener cuidado al utilizar un diagrama de árbol o una lista de enumeración, porque es posible que se cuente, erróneamente, varias veces la misma opción. Propósito de la actividad. Generalizar el caso en el que se tienen n opciones y se escogen dos de ellas, tanto en situaciones en las que sí importa el orden como en situaciones en las que no importa. IV. En otra Casa de Cultura se imparten seis talleres: literatura, dibujo, alfarería, guitarra clásica, grabado y danza. Es posible inscribirse a dos de los talleres. Responde las siguientes preguntas: a) Si la inscripción se hace sin tener que indicar el orden de preferencia, ¿de cuántas maneras distintas se puede llenar la hoja de inscripción? hay 15 b) ¿Cuál es la operación con la que podemos calcular el número total de posibles 6×5 formas de inscribirse en este caso? 2 Respuesta. n (n−1) Posibles errores. Algunos alumnos podrían pensar que deben sumar 1 al número de opciones (en este caso, sumar 1 al número de talleres), obteniendo así n (n + 1). Sugerencia didáctica. En caso de que los alumnos tengan dificultades para identificar la fórmula general, pídales que identifiquen en cada uno de los casos que anteriormente resolvieron, el valor de n. c) Si se hace la inscripción indicando el orden de preferencia (primera y segunda opción), ¿de cuántas maneras distintas se puede llenar la hoja de inscripción? hay 30 maneras d) ¿Cuál es la operación con la que podemos calcular el número total de posibles formas de inscribirse en este caso? 6×5 e) En la Casa de Cultura hay n talleres distintos. En la hoja de inscripción se ponen dos talleres y hay que indicar el orden de preferencia. Subraya cuál de las siguientes expresiones generales sirve para calcular el número total de formas de inscribirse: • n (n +1) 2 • n (n-1) • n (n-1) 2 • n (n +1) Comparen sus respuestas. 126 162 L ibro p ara el mae s t r o MATEMÁTICAS II A lo que llegamos En una Casa de Cultura se imparten m talleres. Es posible inscribirse a dos talleres. Si en la hoja de inscripción hay que indicar el orden de preferencia, hay m (m-1) distintas formas de inscribirse. Si no indicamos el orden de preferencia, hay m (m-1) maneras de hacerlo. 2 Sugerencia didáctica. Lea esta información junto con los alumnos, comente con ellos que este resultado es válido en cualquier caso en el que haya m opciones, de las que vamos a escoger dos. Incorporar al portafolios. Estos ejercicios se resuelven de manera similar a los de la sesión, pero es posible que algunos alumnos tengan dificultades con el cambio de contexto. Usted puede orientarlos pidiéndoles que identifiquen, en cada caso, si el orden importa o no. En el problema 3 hay una dificultad adicional: se deben elegir tres alumnos, mientras que en los problemas anteriores se tenían sólo dos opciones. Lo importante es que identifiquen que en este problema no importa el orden, pues se trata de contar todas las maneras posibles de escoger tres de los cinco alumnos, y por lo tanto deberán multiplicar y luego hacer una división. En este último punto los alumnos podrían pensar que deben dividir entre 3 , pero la operación que ×3 . Para atender resuelve el problema es: 5 × 4 6 ese error, se puede escoger a tres de los alumnos del problema (por ejempo: Elisa, Franciso y Germán) y, en el pizarrón, enlistar todas las formas posibles en las que se puede ordenarlos (son seis). A partir de esa lista los alumnos podrán percatarse de cuántas veces se repite una misma combinación, lo que les permitirá identificar que deben dividir entre 6 . Respuestas. 1. De seis maneras distintas. No importa el orden. Una manera de realizarlo es numerando los ejercicios del 1 al 4. También pueden 3 =6 aplicar la expresión general: 4 × 2 2. Hay 20 comités distintos. (P – Presidente, S – Secretario. E, F, G, J, M son las iniciales del nombre de cada alumno): P E S F G J M P J J J J S E F G M P F F F F S E G J M P M M M M S E F G J P G G G G S E F J M Lo que aprendimos 1. Juan tiene que elegir dos de los cuatro ejercicios que le dejaron de tarea. ¿De cuántas formas distintas puede realizar su tarea? 2. Una maestra tiene que elegir a dos alumnos para un comité, uno va a ser presidente y el otro va a ser secretario. Para ello dispone de cinco voluntarios: Elisa, Francisco, Germán, Jorge y María. ¿De cuántas maneras distintas puede elegir a los alumnos? Haz una lista con todos los posibles comités que puede elegir la maestra. 3. Ahora la maestra tiene que elegir a tres alumnos para organizar la fiesta de fin de año. Para ello dispone de cinco voluntarios: Juan, Sandra, Alejandra, Hugo y Patricia. Haz una lista con todas las maneras distintas en las que la maestra puede elegir a los alumnos. ¿Cuántas son? REPARTO DE DULCES Consideremos lo siguiente Julián tiene cuatro dulces de distintos sabores: fresa, piña, sandía y naranja. Julián sabe que a sus primos Diego y Emilio les gustan mucho esos dulces y se los va a regalar. ¿De cuántas maneras distintas puede repartir los cuatro dulces? (puede decidir regalar todos a uno de sus primos). Comparen sus respuestas. Comenten los procedimientos que utilizaron. SESIÓN 3 127 Propósito de la sesión. Encontrar procedimientos sistemáticos para contar todas las maneras en las que podemos repartir varios objetos. Organización del grupo. Se sugiere que los alumnos trabajen de forma individual y que se hagan intercambios grupales. Posibles procedimientos. Los alumnos podrían intentar hacer una lista con los dulces que le tocan a Emilio y a Diego en cada caso (dar todos los dulces a un solo niño, dar el de fresa a Diego y todos los demás a Emilio, etc.), pero con este procedimiento es posible que no encuentren todos los casos. A lo largo de la sesión se explora ese procedimiento y también otro, en el que nos fijamos a quién le toca cada dulce, en vez de los dulces que le tocan a cada niño. Respuesta. Hay 16 maneras de repartirlos. E E E 3. Hay 10 maneras de elegirlos. JSA JSH JSP JAH JAP JHP SAH SAP SHP AHP Li b r o p ara e l m ae s t r o 163 Propósito de la actividad. Sistematizar una manera de contar todas las posibles reparticiones. Cada una de las posibilidades (4 dulces a un niño, 3 dulces a un niño y 1 al otro, 2 y 2 ) incluye, a su vez, varios casos de repartición. Respuesta Diego FPSN FPSN FPS N FPN S FSN P PSN F FP SN FS PN FN PS N FPS S FPN P FSN F PSN SN FP PN FS PS FN Emilio SECUENCI A 9 Manos a la obra I. Julián tiene las siguientes posibilidades para repartir los dulces: los cuatro dulces a uno de sus primos, tres dulces a uno y un dulce al otro o dos dulces a cada uno. En la siguiente lista hacen falta varias de las maneras de repartirlos, encuéntralas todas. Cada sabor se identifica por su inicial: Diego Emilio FPSN FPSN FPS N FPN N FPS S Comparen sus respuestas. II. Julián tiene dos opciones para regalar el dulce de fresa: se lo puede dar a Diego o se lo puede dar a Emilio. Responde las siguientes preguntas: Propósito del interactivo. Utilizar el diagrama de árbol como técnica de conteo en la resolución de problemas. Sugerencias didácticas. Para resolver este tipo de problemas utilice la opción de Muchos recorridos presentada en el interactivo. Pida a los alumnos que identifiquen cuáles datos deben ir en cada nivel y cuáles en las ramas. Se puede ocupar el interactivo para: • que ellos introduzcan los datos y observen cómo se construye el árbol; • presentar problemas con menos datos para que los alumnos puedan empezar a generalizar otra forma de obtener el número de resultados posibles, y cada vez aumentar el número de datos; • mostrarles que no siempre es práctico resolver los problemas utilizando un diagrama de árbol. a) ¿Cuántas opciones tiene Julián para regalar el dulce de piña? b) ¿Cuántas opciones tiene Julián para regalar el dulce de sandía? c) ¿Cuántas opciones tiene Julián para regalar el dulce de naranja? 2 2 2 128 Propósito de la actividad. Presentar una estrategia distinta para encontrar el número total de formas en las que se puede hacer la repartición. En lugar de plantear qué dulces le tocan a cada niño, se plantea ¿quién recibe cada uno de los dulces? Posibles errores. Después de completar el diagrama de árbol es posible que los alumnos piensen que hay 2 opciones para repartir el dulce de fresa, 4 opciones para el de piña, 8 para el de sandía y 16 para el de naranja. Si se presenta este caso, hay que aclarar que, para cada sabor, hay sólo 2 opciones: se le da a Diego o se le da a Emilio. 164 L ibro p ara el mae s t r o MATEMÁTICAS II d) Otra forma de representar las posibles maneras de repartir los dulces es utilizando un diagrama de árbol. Complétalo en tu cuaderno. Fresa Piña Sandía Naranja Emilio Emilio Emilio Emilio Diego Diego Diego Diego e) Ilumina, en el diagrama de árbol que hiciste, la opción en la que Julián le da a Emilio el dulce de fresa y el de sandía, y a Diego, el de piña y el de naranja. f) Ilumina de otro color la opción en la que Julián le da a Emilio el dulce de sandía y a Diego todos los demás. g) ¿De cuántas maneras distintas puede repartir los cuatro dulces? Propósito de los incisos e) y f). Que los alumnos identifiquen el sentido del diagrama de árbol: cada uno de los caminos entre los niveles indica una posible repartición. Sugerencia didáctica. Es importante que analice con los alumnos la operación que se sugiere: como hay cuatro dulces, y para cada dulce Julián tiene dos opciones (se lo da a Diego o se lo de a Emilio), se hace la multiplicación 2 × 2 × 2 × 2 . Esta situación es similar a los casos presentados en las sesiones anteriores, con la diferencia de que en esta situación sí es posible repetir la misma opción para cada dulce. Propósito de la actividad. A partir de los resultados anteriores, generalizar para otras situaciones de reparto. En este caso Julián tiene 5 dulces y 3 opciones para regalar cada uno de los dulces. 16 Comparen sus respuestas. Una forma de calcular el número total de maneras en las que se pueden repartir los dulces es multiplicando 2 × 2 × 2 × 2. Comenten por qué se hace así. También podemos escribir esta operación como 24. III. Julián tiene cinco dulces de sabores distintos: fresa, piña, sandía, naranja y limón. Los va a regalar a sus primos Diego, Emilio y Camila. Responde las siguientes preguntas. a) ¿Cuántas opciones tiene Julián para regalar cada dulce? b) ¿De cuántas maneras distintas puede repartir los dulces? Julián para repartir los dulces? 3 243 c) ¿Cuál es la operación con la que podemos calcular todas las maneras que tiene 3 × 3 × 3 × 3 × 3 o también 3 5 129 FRESA PIÑA SANDÍA NARANJA EMILIO Diego EMILIO Diego EMILIO Diego EMILIO Diego EMILIO Diego EMILIO Diego EMILIO Diego EMILIO Diego EMILIO EMILIO Diego EMILIO EMILIO Diego Diego EMILIO EMILIO Diego Diego EMILIO Diego Diego Li b r o p ara e l m ae s t r o 165 Propósito de la actividad. Generalizar la manera en que contamos todas las formas de repartir objetos, cuando en cada lugar puede ir más de un objeto. Hay un cambio de contexto, por lo que puede resultar difícil para los alumnos identificar que es un caso similar al reparto de dulces. Sugerencia didáctica. Como una forma de invitar a los alumnos a que prueben la aplicación directa de una multiplicación, usted puede comentarles que tanto en la actividad III como en ésta sería poco práctico realizar un diagrama de árbol debido a que son muchas las opciones posibles. Anímelos para que identifiquen la operación que resuelve el problema y que la apliquen para obtener el total de posibilidades. Posibles respuestas. • Cada canica la podemos colocar en alguna de las 4 cajas, entonces se multiplica 4 x 4 x 4. • Hay 4 opciones para cada canica. Respuesta. Puede colocar cada canica en n cajas, por lo tanto tiene n m formas distintas de colocar las canicas. Sugerencia didáctica. Lea y comente esta información con los alumnos. Usted puede plantear otros ejemplos sencillos para que los alumnos entiendan cuál es la multiplicación que resuelve el problema. Otra forma de plantear la generalización q p es: ¿qué representa el número que se escribe como base?, ¿qué representa el exponente? SECUENCI A 9 IV. Roberto tiene tres canicas de distintos colores: azul, rojo y blanco. Las va a colocar en cuatro cajas numeradas. Puede colocar varias canicas en la misma caja. Responde las siguientes preguntas. a) ¿En cuántas cajas puede colocar cada canica? en 4 cajas b) Subraya la operación que nos sirve para calcular todas las formas posibles de colocar las canicas. • 43 • 4×3 • 34 c) Argumenta tu respuesta. d) Roberto tiene m canicas, todas de distinto color, y tiene n cajas numeradas. Roberto va a colocar las canicas en las cajas, es posible colocar varias canicas en la misma caja. Subraya la expresión general que nos sirve para calcular todas las formas posibles de colocar las canicas. • mn • nm • mn Comparen sus respuestas. A lo que llegamos Si se tiene seis dulces de distinto sabor y hay cuatro niños a los que podemos regalar los dulces, cada dulce lo podemos dar a alguno de los cuatro niños. El número total de posibles reparticiones se puede calcular multiplicando 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4. Es decir, el número total de reparticiones es 46. Generalizando, si tenemos p objetos distintos y los queremos repartir en q cajas o bolsas, el número total de reparticiones es qp (p puede ser mayor, menor o igual a q). 130 166 L ibro p ara el mae s t r o MATEMÁTICAS II Lo que aprendimos 1. Con los dígitos 2, 4, 6, 7, 9 queremos formar números de dos cifras, se puede repetir los dígitos. Haz una lista con todos los números que podemos formar. ¿Cuántos son? 2. Vamos a colocar una canica roja y una canica azul en cuatro cajas numeradas. Es posible colocar las dos canicas en la misma caja. ¿De cuántas maneras podemos hacerlo? 3. Con los dígitos 5, 6, 8 queremos formar números de cinco cifras, se puede repetir los dígitos. ¿Cuántos números distintos podemos formar? 4. Julián tiene cuatro dulces, todos son de fresa. Los va a regalar a sus primos Diego y Emilio. ¿De cuántas maneras puede regalar los dulces a sus primos? 5. Vamos a colocar tres canicas azules en tres cajas numeradas. Es posible colocar las tres canicas en la misma caja. ¿De cuántas maneras podemos hacerlo? Sugerencia didáctica. Recomiende a sus alumnos que primero intenten encontrar cuántos casos hay, esto les servirá para dos cosas: • Si se les pide hacer una lista de todos los casos (enumerar), podrán verificar su resultado. • Pueden decidir si conviene o no enumerarlos. Incorporar al portafolios. Evalúe los aprendizajes y las dificultades de los alumnos con los problemas 1, 2 y 3 . Respuestas. 1. Se pueden formar 25 números. Se multiplica 5 × 5 o se hace la operación 5 2 : 22, 24, 26, 27, 29, 42, 44, 46, 47, 49, 62, 64, 66, 67, 69, 72, 74, 76, 77, 79, 92, 94, 96, 97, 99. 2. Hay 16 maneras. Cada canica puede colocarse en alguna de las 4 cajas. Se multiplica 4 × 4 o se hace la operación 4 2 . 3. Se pueden formar 243 números. Se multiplica 3 × 3 × 3 × 3 × 3 o se hace la operación 3 5 . En este caso no resulta práctico intentar hacer la lista con todos los números. Para saber más Sobre otros ejemplos de problemas de conteo consulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula: Bosch, Carlos y Claudia Gómez. “El principio de las casillas”, “Contar: principio de la suma” y “¿Cuántos caminos llevan a Roma?”, en Una ventana al infinito. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2003. Nozaki, Akiro. Trucos con sombreros. México: SEP/FCE, Libros del Rincón, 2005. Sobre la Casa de Cultura consulta: http://sic.conaculta.gob.mx Centros culturales (Dar clic en el mapa sobre tu Ruta: Espacios culturales (Dar clic en el mapa sobre tu municipio). estado) [Fecha de consulta: 24 de mayo de 2007]. Sistema de información cultural - CONACULTA Explora las actividades del interactivo Anticipar resultados en problemas de conteo. Propósito del interactivo. Mostrar el arreglo rectangular como técnica de conteo en la resolución de problemas. Sugerencias didácticas. Mediante el uso del interactivo se puede presentar a los alumnos otra forma de resolver problemas de conteo, utilizando arreglos rectangulares. Es importante aclararles que aunque existen diferentes técnicas de conteo, no todas son igualmente eficaces, por lo que ellos deberán decidir cuál conviene usar de acuerdo con las características de cada problema. 131 Sugerencia didáctica. En todos los problemas que se resolvieron en la sesión, los objetos que se repartían eran distintos entre sí (por ejemplo, dulces de distintos sabores). En los problemas 4 y 5 , los objetos que se reparten son todos iguales, por lo que el procedimiento para resolverlos es distinto al que se utilizó en los problemas anteriores. Permita que los alumnos intenten resolverlos y, posteriormente, en la comparación de resultados, haga notar esta característica, contrastando con el tipo de problemas que han resuelto. Para ello, se puede apoyar en la información del último A lo que llegamos . Respuestas. 4. En este ejercicio todos los objetos son iguales, por lo que sólo importa cuántos le tocan a cada uno. Hay 5 maneras de repartirlos: Diego 4 3 2 1 0 Emilio 0 1 2 3 4 5. También en este caso todos los objetos son iguales. Hay 10 maneras de repartirlos: caja 1 3 0 0 2 2 1 1 0 0 1 caja 2 0 3 0 1 0 2 0 2 1 1 caja 3 0 0 3 0 1 0 2 1 2 1 Li b r o p ara e l m ae s t r o 167 SECUENCI A 10 Propósito del programa integrador. Presentar casos donde se utilicen los polígonos de frecuencias e interpretar la información contenida. Propósito de la sesión. Resolver problemas que implican la interpretación y construcción de polígonos de frecuencias de datos cuantitativos (tablas de frecuencia, histograma, polígono de frecuencias). Organización del grupo. Se sugiere resolver la sesión de manera individual y en parejas. Polígonos de frecuencias En esta secuencia, aprenderás a interpretar y a comunicar información mediante polígonos de frecuencias. Como recordarás, existen diferentes tipos de gráficas estadísticas. En primer grado aprendiste a construir las gráficas de barras y las circulares, ahora aprenderás a interpretar y a construir otro tipo de gráficas, llamadas histogramas y polígonos de frecuencias, que también son muy utilizadas en libros, periódicos y revistas. SESIÓN 1 REZAGO EDUCATIVO Y GRÁFICAS Para empezar 2 Propósito de la actividad. Se pretende que los alumnos interpreten la información que presenta un polígono de frecuencias para comprender las características más importantes de la situación, en este caso el rezago educativo en nuestro país en el año 2000. Desde 1993 la educación básica obligatoria comprende hasta la secundaria completa. Cuando una persona tiene más de 15 años y está en alguna de las siguientes situaciones: no sabe leer ni escribir, no terminó de estudiar la primaria, únicamente estudió la primaria o no terminó de estudiar la secundaria, se considera que esa persona se encuentra en rezago educativo. Consideremos lo siguiente La siguiente gráfica es un polígono de frecuencias. En ella se presentan los datos que se obtuvieron en el censo del año 2000 acerca de la población mexicana que se encuentra en rezago educativo. Población mexicana de 15 años y más en condición de rezago educativo en el año 2000 12 10 8 6 4 2 0 15-29 30-44 45-59 60-74 75-89 Edades (en años) Fuente: INEGI. XII Censo General de Población y Vivienda, 2000. Base de datos. 132 Eje Manejo de la información Propósito de la secuencia Interpretar y comunicar información mediante polígonos de frecuencias Tema Representación de la información Sesión Propósitos de la sesión Rezago educativo y gráficas Resolver problemas que implican la interpretación y construcción de polígonos de frecuencias de datos cuantitativos (tablas de frecuencia, histograma, polígono de frecuencias). Anemia en la población infantil mexicana Resolver problemas que implican la interpretación y construcción de polígonos de frecuencias relativas (histograma y polígono de frecuencias relativas). ¿Qué gráfica utilizar? Interpretar polígonos de frecuencias de dos o más conjuntos de datos. Número de personas (en millones) Recursos Video Vínculos Antecedentes 1 “El peso en otros planetas” Programa integrador 6 En primero de secundaria los alumnos aprendieron a representar información mediante gráficas de barras y circulares. En esta secuencia interpretarán y construirán polígonos de frecuencias. Video 2 “Polígonos de frecuencias en los reportes de investigación” Interactivo Ciencias I Secuencia 12 3 Ciencias I Secuencia 12 168 L ibro p ara el mae s t r o MATEMÁTICAS en esa condición? II Respuestas. a) 10 millones de personas. b) V, V, F, F, V. Sugerencia didáctica. Es posible que algunos alumnos cometan errores al contestar estas preguntas al no considerar que los datos están agrupados, equivocarse al interpretar la escala del eje vertical o alguna otra dificultad. Si esto sucede, permítales seguir resolviendo las actividades y luego pídales que regresen a estas preguntas para que las corrijan. a) En el intervalo de entre 15 y 29 años de edad hay 11 millones de personas que están en condición de rezago educativo. ¿Cuántas personas de 30 a 44 años están b) Toma en cuenta la información que presenta el polígono de frecuencias y anota V o F según sean verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. El intervalo de edad con mayor cantidad de personas en condición de rezago educativo es el de 15 a 29 años. En el año 2000, alrededor de 35 millones de personas se encontraban en condición de rezago educativo. 8 millones de personas en condición de rezago educativo tienen 45 años. De la población en condición de rezago educativo, la cantidad de personas que tienen entre 15 y 29 años es el doble de la que tiene entre 45 y 59 años. Si la población total en México era de 97.5 millones, aproximadamente el 36% de las personas estaban en condición de rezago educativo. Manos a la obra I. Contesta las siguientes preguntas tomando en cuenta el polígono de frecuencias. a) ¿Cuántos intervalos de edad hay? comprende cada intervalo? del mismo tamaño? ¿Cuántas edades ¿Todos los intervalos son Respuestas. Hay 5 intervalos de edad y todos son del mismo tamaño porque cada uno comprende 15 edades. que: or ite inferi Recuerda e un lím rvalo tien año de un te in a Cad tam tre perior. El la diferencia en y uno su a es igual riores o fe in es o intervalo it el polígon sivos lím dos suce Por ejemplo, en e inferior . it es lím superior primer s el encias, el es 30, entonce 5. de frecu c) Si en el intervalo de entre 45 y 59 años de edad hay 7 millones siguiente es igual a 30-1 el y 5 1 es alo de personas que están en condición de rezago educativo, ¿podel interv tamaño drías decir cuántas personas de 50 años de edad hay en esa condición? b) La frecuencia en el intervalo de entre 15 y 29 años de edad es de 11 millones de personas que están en condición de rezago educativo, ¿en qué intervalo la frecuencia es de 5 millones de personas que están en esa condición? Sugerencia didáctica. Comenten esta información. Ponga varios ejemplos para que los alumnos sepan distinguir qué es un límite superior y qué es un límite inferior y cómo calcular el tamaño de un intervalo. ¿Y de 45 años? ¿Por qué? 133 Respuesta. En el de personas de 60 a 74 años de edad. Posibles dificultades. Quizá algunos alumnos crean que sí es posible determinar, a partir del polígono de frecuencias, cuántas personas de 50 años tienen rezago educativo y traten de ubicar el 50 en la gráfica (aproximadamente serían 7 millones de personas). De la misma manera, pueden pensar que hay 8 .5 millones de personas de 45 años que tienen rezago educativo. Si esto ocurre, explíqueles que al sumar esas dos cantidades (7 millones + 8 .5 millones) se obtiene un resultado mayor al total de personas en ese grupo de edad que tienen rezago educativo, así que esos datos no son correctos. Es difícil para los alumnos darse cuenta de que en este tipo de gráficas deben observarse los puntos del polígono porque son los que determinan la altura con respecto al eje vertical, y que la línea que los une simplemente es una conexión para marcar la tendencia general en la gráfica (si sube, baja o se mantiene) pero no representa ningún valor en particular. Aunque es posible que hubiera más personas de 55 años con rezago educativo que de otras edades de ese mismo intervalo, esto no se puede saber a partir del polígono de frecuencias, lo cual no significa que no sea confiable, sino que la información que muestra es de datos agrupados. Li b r o p ara e l m ae s t r o 169 SECUENCI A 10 d) Completa la siguiente gráfica a partir de los datos del polígono de frecuencias. Población mexicana de 15 años y más en condición de rezago educativo en el año 2000 12 10 Número de personas (en millones) 8 6 4 2 Respuestas. e) Son diferentes e indican la cantidad de personas que hay en cada intervalo de edad en condición de rezago educativo, es decir, la frecuencia del intervalo. f) Son iguales porque los intervalos son del mismo tamaño. g) Los puntos que señalan cuántas personas hay en cada intervalo. h) En la mitad de la parte superior. 0 15-29 30-44 45-59 60-74 75-89 Edades (en años) Fuente: INEGI. XII Censo General de Población y Vivienda, 2000. Base de datos. e) Esta gráfica es un histograma. ¿Las alturas de las barras son iguales o diferentes? ¿Qué indican? f) Compara el tamaño del ancho de las barras, ¿son iguales o diferentes? ¿Por qué crees que ocurre eso? Ahora, calca el histograma en una hoja de papel delgado y coloca la copia sobre el polígono de frecuencia del apartado Consideremos lo siguiente. g) ¿Qué puntos del polígono de frecuencias quedan cubiertos con las barras del histograma? h) ¿En qué parte de las barras quedan los puntos del polígono de frecuencias? En el histograma que calcaste dibuja el polígono de frecuencias. Consideren el primer punto del polígono de frecuencias y tracen a partir de ese punto un segmento perpendicular al eje horizontal. Este segmento intersecta al eje horizontal en el punto medio del intervalo 15-29 años de edad. Sugerencia didáctica. Si no saben cómo hacer estos trazos pídales que observen la gráfica que aparece más adelante, en el apartado A lo que llegamos. 134 Tracen los segmentos que faltan para los otros puntos del polígono de frecuencias. Observen que las barras del histograma quedan divididas en dos partes iguales y que los puntos del polígono de frecuencias están sobre la mitad de la parte superior de cada barra, es decir, a la mitad de cada “techo de las barras”. 170 L ibro p ara el mae s t r o MATEMÁTICAS II A lo que llegamos Los histogramas se utilizan para presentar información acerca de una situación sobre la cual se tienen datos organizados en intervalos. Si los intervalos son del mismo tamaño, como los que estudiaste en esta sesión, un histograma tiene las siguientes características importantes: • La altura de una barra está determinada por la frecuencia del intervalo correspondiente. • La anchura de las barras es igual para cada una debido a que esta medida representa el tamaño de cada intervalo. • En un histograma las barras se dibujan sin dejar espacios vacíos entre ellas porque abarcan todo el intervalo correspondiente a los datos agrupados. Un polígono de frecuencias de datos organizados en intervalos del mismo tamaño es la gráfica que se obtiene al unir, mediante una línea poligonal, los puntos medios consecutivos de los techos de las barras. Estas gráficas nos permiten observar de manera general la tendencia de los datos. Sin embargo, no es correcto darle significado a la línea que une a los puntos medios, ya que solamente estamos representando la frecuencia por intervalo y no para cada valor del intervalo. Por ejemplo, la siguiente gráfica muestra a la población varonil de 15 años y más en condición de rezago educativo en el año 2000 en México; como podemos ver, en el intervalo de 15 a 29 años de edad hay 5 millones de varones en total, pero no sabemos cuántas personas hay de 15, 16, 17… o 29 años de edad. Población varonil de 15 años y más en condición de rezago educativo en el año 2000 6 5 Número de varones (en millones) 4 3 2 1 0 15-29 30-44 45-59 60-74 75-89 Edades (en años) Tanto en los histogramas como en los polígonos de frecuencias se pueden representar frecuencias absolutas, relativas o porcentajes. 135 Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que revisen las respuestas que anotaron en el apartado Consideremos lo siguiente y que las corrijan si es necesario. Enfatice que en este tipo de gráficas los datos están agrupados y pregúnteles qué representan las líneas que unen a los puntos medios en el polígono. Li b r o p ara e l m ae s t r o 171 Sugerencia didáctica. Comente con los alumnos que el resultado obtenido en cada renglón de la tercera columna indica el porcentaje de personas que se encontraban en rezago educativo de cada grupo de edad, no con respecto a toda la población de 15 años o más. Por eso en el último renglón no se suman todos los porcentajes para obtener el porcentaje de personas en situación de rezago educativo de todos los grupos de edad. Posibles dificultades. Existen diversas maneras de calcular un porcentaje. Por ejemplo, para saber qué porcentaje de personas de entre 15 y 29 años de edad tiene un rezago educativo podría calcularse: • (28 ÷ 100) × 11 • (11 ÷ 28) × 100 En el libro de primer grado los alumnos trabajaron con la primera y para algunos podría ser confuso emplear la segunda. Compare junto con ellos estas dos formas de efectuar el cálculo. Puede preguntarles ¿da el mismo resultado si se hace de una u otra forma?, ¿por qué? Respuestas. a) 11 , que representan el 39.2 %. 28 SECUENCI A 10 II. En la siguiente tabla se presenta el número de personas de 15 años y más que habitan en México. Complétala con los datos que se dan en el polígono de frecuencias. Población total y de personas en condición de rezago educativo en México en el año 2000. Edades Número total de personas (en millones) Número de personas en condición de rezago educativo (en millones) Porcentaje de personas en condición de rezago educativo por grupo de edad 15-29 30-44 45-59 60-74 75-89 Total 28 20 10 6 2 66 11 (11÷ 28) × 100 = 39.2 10 7 5 1.5 34.5 ( ( ( 10 20 7 10 ) × 100=50 ) × 100=70 (5 6 ) × 100=83.33 ( 1.5 2 ) × 100=75 34.5 66 ) × 100=52.2 a) En el año 2000 había 11 millones de personas entre 15 y 29 años de edad con rezago educativo. ¿Qué fracción representa de la población total de ese intervalo de edad? ¿Qué porcentaje representan? b) ¿Cuántas personas de 15 años y más había en México en el año 2000? c) ¿Y cuántas personas de 15 años y más estaban en condición de rezago educativo? d) ¿Qué porcentaje de la población de 15 años y más se encontraba en condición de rezago educativo? III. Lean el texto informativo: ¿Quién es el INEA? del anexo 1 y contesten las siguientes preguntas. De acuerdo con cifras del INEGI, la población total en México durante el año 2000 era de 97.5 millones de personas. a) ¿Qué porcentaje de la población total representan las personas que tienen un rezago educativo? b) ¿Por qué razón creen que no están consideradas las personas menores de 15 años? b) 66 millones. c) 34.5 millones. d) 52.2 %. c) En su localidad, ¿conocen a alguien de entre 15 y 29 años que se encuentre en condición de rezago educativo? ¿Cuáles consideran que son las causas de esa situación? 136 Respuestas. a) 35.38 % (porque 34.5 millones es el 35.38 % de 97.5 millones). b) Porque no se encuentran en rezago educativo al estar en edad de acudir a la primaria o a la secundaria. c) y d) Las respuestas son abiertas. Los alumnos podrían mencionar cosas como “porque no terminó la primaria”, “porque cuando estudió la secundaria no era obligatoria”, etcétera. e) Sí, pueden estudiar en el sistema de educación para adultos. 172 L ibro p ara el mae s t r o MATEMÁTICAS educativo? II d) ¿Y conocen a personas de 60 a 89 años que se encuentren en condición de rezago ¿Cuál creen que es la razón principal de esa situación? e) ¿Creen que estas personas puedan cambiar la condición de rezago en que se encuentran? ¿Cómo? f) Investiguen qué programas o alternativas existen para mejorar la condición educativa de estas personas en su localidad. 4 Lo que aprendimos 1. Construye el polígono de frecuencias que corresponde al siguiente histograma. Población de mujeres de 15 años y más en condición de rezago educativo en el año 2000 7 6 Número de mujeres (en millones) 5 4 3 2 1 0 15-29 30-44 45-59 60-74 75-89 Edades (en años) Fuente: INEGI. XII Censo General de Población y Vivienda, 2000. Base de datos. a) ¿Cuántas mujeres de entre 30 y 44 años se encuentran en rezago educativo? b) En tu cuaderno, elabora la tabla de frecuencias que corresponde a esta situación. c) Si la población total de mujeres entre 30 y 44 años era de 10 millones de personas, ¿qué porcentaje representa la población de mujeres que se encuentra en rezago educativo en ese intervalo? Respuestas. a) 5 millones. c) 50 %. Sugerencia didáctica. Dé un tiempo para hablar de lo que se plantea en el inciso d). 137 Li b r o p ara e l m ae s t r o 173 SECUENCI A 10 d) ¿Qué opinas sobre la situación en que viven estas mujeres? 2. Analiza la siguiente gráfica para contestar las preguntas que se plantean. Calificaciones del grupo de 2° en el examen de matemáticas 9 8 7 Número de alumnos 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 Calificaciones 6 7 8 9 10 Respuestas. a) F, V, V. b) Lo aprobaron 18 y la calificación que más alumnos obtuvieron fue 5 . a) Anota en el recuadro V o F según sean verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones, de acuerdo con la información que presenta la gráfica anterior. La mayoría de los alumnos obtuvieron 10 de calificación. Más de la mitad del grupo reprobó el examen. El grupo está formado por 40 alumnos. b) En tu cuaderno, elabora la tabla de frecuencias que corresponde a esta gráfica y contesta las siguientes preguntas. ¿Cuántos alumnos aprobaron el examen? ¿Cuál es la calificación que más alumnos obtuvieron? 138 174 L ibro p ara el mae s t r o MATEMÁTICAS ANEMIA EN LA POBLACIÓN INFANTIL MEXICANA II SESIÓN 2 Conexión con Ciencias I Secuencia 12: ¿Cómo evitar problemas relacionados con la alimentación? Para empezar Propósito de la sesión. Resolver problemas que implican la interpretación y construcción de polígonos de frecuencias relativas (histograma y polígonos de frecuencias relativas). Organización del grupo. Se propone resolver la sesión tanto individualmente como en parejas, y hacer comentarios en grupo. La nutrición es el proceso por medio del cual el organismo obtiene, a partir de los alimentos, los nutrientes y la energía necesarios para el sostenimiento de las funciones vitales y de la salud. Un problema nutricional es la anemia la cual ocurre cuando no hay una cantidad suficiente de hierro para producir los glóbulos rojos necesarios que transportan el oxígeno a cada célula del organismo. Este tema lo estudiaste ya en la secuencia 12 ¿Cómo evitar problemas relacionados con la alimentación? en tu libro de Ciencias I Volumen I. Consideremos lo siguiente La siguiente gráfica muestra el porcentaje de personas de 5 a 11 años que tenían anemia en el año 1999, según datos obtenidos en la Encuesta Nacional de Nutrición de ese año. Porcentaje de la población infantil con problemas de anemia en el año 1999. 40 30 Porcentaje 20 10 Sugerencia didáctica. Pida a sus alumnos que revisen la secuencia 12 del libro de Ciencias I (primer grado). La utilizarán en esta sesión y en la siguiente. Propósito de la actividad. Ahora los alumnos interpretarán y representarán en una misma gráfica dos polígonos de frecuencias que corresponden a dos conjuntos de datos en los que se analiza la misma variable (porcentaje de niños y de niñas que padecen anemia). 0 Niñas Niños 5 6 7 8 9 10 11 Edades (en años) Fuente: Encuesta de Nacional de Nutrición 1999. Contesten en sus cuadernos las siguientes preguntas: a) ¿Cómo describirían el comportamiento de esta enfermedad en las niñas de 5 a 11 años de edad? b) ¿La mayoría de la población infantil que padece anemia son hombres o mujeres? ¿Cómo se presenta esta situación en la gráfica? Comenten sus respuestas. 139 Respuestas. a) Las niñas presentan mayor problema a los 6 años (aproximadamente el 32 % de ellas la padecen), después de esa edad se reduce el porcentaje hasta casi la mitad. A los 11 años es igual a la de los niños. b) Es un poco mayor la población de niñas que padecen esta enfermedad. Si pensamos que de cada edad hay cien niñas y cien niños, entonces a los 5 años el 11% son niñas que padecen anemia y el 12 % son niños, lo que significaría que hay 11 niñas y 12 niños de 5 años que padecen anemia. De la misma manera, a los 6 años de edad habría 32 niñas y 26 niños; a los 7 años serían 25 niñas y 26 niños; y así sucesivamente. Habría aproximadamente 140 niñas y 132 niños que padecen anemia en un grupo de 700 niñas y 700 niños de entre 5 y 11 años de edad. Sugerencia didáctica. Comenten en grupo la respuesta al inciso b). La respuesta que se da en este libro es una manera de interpretar la gráfica, pero es importante que los alumnos digan cómo contestaron esa pregunta y si llegaron a la misma conclusión. Posibles dificultades. Algunos alumnos podrían sumar el porcentaje de las niñas que tienen anemia a los 5 años con el de las que la padecen a los 6 , a los 7, etcétera, como una manera de contestar el inciso b), pero es una estrategia incorrecta. Si ocurre, discutan por qué no puede hacerse así. Li b r o p ara e l m ae s t r o 175 Respuestas. a) 32 %. b) En el sexto intervalo, porque ahí “caben” todos los niños y niñas que tengan desde 10 años hasta 10 años 11 meses. c) No, porque los datos están agrupados y no es posible saber cuántas niñas de las que se consideran en ese intervalo tenían exactamente 7 años y medio. d) Niños a los 6 y 7 años, y niñas a los 6 . e) A los 7 y a los 9 años. Posibles dificultades. En el inciso c) se les vuelve a preguntar si es posible conocer la frecuencia de un dato en particular. Algunos alumnos pueden contestar que sí, pero habrá que insistir en que la línea que une a los puntos muestra la tendencia general, pero no es posible saber qué porcentaje tuvo ese dato. Se sugiere insistir en que ese porcentaje es resultado de los datos obtenidos en ese intervalo. SECUENCI A 10 Manos a la obra I. Contesten las siguientes preguntas a partir de la información que presentan los polígonos de frecuencias anteriores. a) ¿Qué porcentaje de niñas de 6 años tenía anemia en 1999? En el primer intervalo se consideran a las niñas y niños que tienen entre 5 años y 5 años 11 meses. b) ¿En qué intervalo crees que están considerados los niños que tienen 10 años y 8 meses de edad? ¿Por qué? c) ¿Puedes saber cuál es el porcentaje exacto de niñas de 7 años y medio que tenían anemia en 1999? ¿Por qué? d) ¿A qué edad es mayor el porcentaje de niños anémicos? ¿Y el de niñas anémicas? e) ¿Para qué edades el porcentaje de niños con anemia fue mayor que el de niñas? f) Utilicen los datos que presenta el polígono de frecuencias para completar la siguiente tabla. Porcentaje de niños de 5 a 11 años que padecen anemia, de acuerdo con su edad Edad Porcentaje de niñas Porcentaje de niños 5 6 7 8 9 10 11 11 32 25 21 18 20 15 12 28 26 19 20 15 15 II. La siguiente tabla presenta el número de niños y niñas de 5 a 11 años de edad que había en México en el año 2000. Población infantil de 5 a 11 años de edad (en millones de personas) Total Niños Niñas 11.7 6 5.7 Fuente: INEGI. Censo General de Población, 2000. 140 176 L ibro p ara el mae s t r o MATEMÁTICAS niños y niñas tenían anemia en el año de 2000? b) Para orientar las acciones médicas y sociales que ayuden a corregir esta situación es útil conocer el porcentaje de personas que padecen anemia, principalmente si se trata de niños de 5 a 11 años. Investiguen en la secuencia 12 ¿Cómo evitar problemas relacionados con la alimentación? de su libro Ciencias I Volumen I, cuáles son algunas de las causas de esa enfermedad y cuáles son algunas de sus consecuencias si no se atiende correctamente. Coméntenlas en su grupo. II Conexión con Ciencias I Secuencia 12: ¿Cómo evitar problemas relacionados con la alimentación? a) Si la población infantil era de 11.7 millones, y 19.5% padecían anemia, ¿cuántos Respuestas. a) El 19.5 % de 11.7 millones son 2 281 500 niños. Sugerencia didáctica. Pregunte a los alumnos cuántos niños son 11.7 millones, resaltando el significado de la parte decimal (¿cuántos niños son 0.7 millones?). A lo que llegamos Polígonos de frecuencias en los reportes de investigación Los polígonos de frecuencias presentados en una misma gráfica permiten comparar el comportamiento de dos o más conjuntos de datos que se refieren a una misma situación o fenómeno. Lo que aprendimos 1. Para determinar si una población tiene problemas de nutrición se analizan factores como la estatura, el peso y la anemia. La siguiente gráfica presenta los porcentajes de la población de 5 a 11 años con estatura por debajo de sus valores normales (o estatura baja) según su edad y sexo. Porcentaje de la población de 5 a 11 años de edad que presentan estatura baja 25 20 Porcentaje 15 10 5 0 5 6 7 8 Edades 9 10 11 Niñas Niños Descripción del video El video es ejemplificador. Se muestran diversas situaciones para conocer qué tipo de información es conveniente representar en polígonos de frecuencias e histogramas. Se proveen los elementos para construir este tipo de gráficas y para poder analizar la información a partir de un histograma dado. a) ¿A qué edad es mayor el porcentaje de niñas con estatura baja? ¿Y en los niños? 141 Respuestas. a) Las niñas a los 5 años y los niños a los 5 y a los 7. Li b r o p ara e l m ae s t r o 177 SECUENCI A 10 b) Utiliza los datos que presenta el polígono de frecuencias para completar la siguiente tabla. Sugerencia didáctica. Puede ser confusa la información de esta columna, especialmente debido a las cantidades negativas. Comente con los alumnos que se está cuantificando la diferencia entre el porcentaje de niñas y niños con baja estatura por grupo de edad, pero el punto de referencia son las niñas. Por eso en el tercer renglón las niñas tienen una diferencia de −5 respecto al porcentaje de los niños. Pregunte a los alumnos si es posible hacer la tabla tomando como punto de referencia a los niños y cómo quedaría esa tabla. Porcentaje de niños de 5 a 11 años que tienen talla baja de acuerdo con su edad Edad Porcentaje de niñas Porcentaje de niños Diferencia de porcentajes niñas-niños 5 6 7 8 9 10 11 23 16 14 11 14 18 18 19 16 19 15 14 18 15 4 0 −5 −4 0 0 3 c) ¿En qué edades el porcentaje de niñas con estatura baja fue mayor que el de los niños? d) En tu cuaderno, elabora un polígono de frecuencias en el que se puedan comparar los porcentajes de niñas de 5 a 11 años que padecen anemia con los porcentajes de niñas que tienen estatura baja. Para hacerlo, utiliza la información que se presenta en las siguientes dos gráficas. Respuesta. c) A los 5 y a los 11 años. Porcentaje de niñas entre 5 y 11 años con problemas de anemia en el año 1999. Porcentaje de niñas de 5 a 11 años de edad que tenían estatura baja en 1999. 25 20 Porcentaje 15 10 5 Propósito de la actividad. Ahora los alumnos van a representar en una misma gráfica dos polígonos de frecuencias que corresponden a dos variables diferentes (el porcentaje de niñas que padecen anemia y el porcentaje que tienen baja estatura). 40 Porcentaje 30 20 10 0 5 6 7 Edades 8 9 10 11 0 5 6 7 8 Edades 9 10 11 e) ¿Coincide la edad en que hay mayor porcentaje de niñas con problemas de anemia y estatura baja? ¿Por qué crees que suceda esto? 142 Respuesta. e) No coinciden. Aunque son problemas que están relacionados, no necesariamente se manifiestan al mismo tiempo. 178 L ibro p ara el mae s t r o MATEMÁTICAS ¿QUÉ GRÁFICA UTILIZAR? II SESIÓN 3 Propósito de la sesión. Interpretar polígonos de frecuencias de dos o más conjuntos de datos. Organización del grupo. Al igual que en la sesión anterior, el trabajo es en parejas e individualmente, y los comentarios grupales. Consideremos lo siguiente La siguiente gráfica presenta el porcentaje de niños menores de 5 años que tienen estatura baja de acuerdo con su edad. Estos datos están tomados de la Encuesta Nacional de Nutrición de 1999. Porcentaje de la población menor de 5 años que tiene estatura baja de acuerdo con su edad 30 Niños Niñas Porcentaje 20 Sugerencia didáctica. Haga notar a los alumnos que en el eje horizontal la edad de los niños se presenta en meses. 10 0 0-11 12-23 24-35 36-47 48-59 Edades (en meses) a) ¿En qué intervalo se encuentran los niños y las niñas de un año y medio de edad que tienen estatura baja? b) ¿En qué intervalo de edad se encuentra el mayor porcentaje de niñas menores de 5 años que tienen estatura baja? , ¿creen que se podría utilizar una edad que represente a ese intervalo?, ¿cuál sería? Respuestas. a) En el segundo. b) En el cuarto, cuando tienen de 36 a 47 meses de edad. Una edad que represente a ese intervalo sería aquella que se encuentre en el punto medio del mismo, es decir 41.5 meses. Comenten sus respuestas. Manos a la obra I. Contesten las siguientes preguntas tomando en cuenta los polígonos de frecuencias anteriores. a) ¿Qué información se presenta en el eje horizontal? ¿Qué unidad o escala se utiliza? ¿Cuántos intervalos se utilizan para representar los datos? ¿De qué tamaño es cada intervalo? ¿Son iguales? Respuestas. a) En el eje horizontal se representan las edades de los menores de 5 años que tienen baja estatura. La edad se expresa en meses. Hay cinco intervalos, todos de 11 meses. 143 Li b r o p ara e l m ae s t r o 179 Respuestas. b) En el eje vertical se representa el porcentaje de 5 años que tienen baja estatura. El valor mínimo es 0 % y el máximo 30%. c) El cuarto (de 36 a 47 meses). d) En el primero (0 -11 meses) y en el segundo (12 -23 meses). Esa tendencia se invierte tanto en el tercer intervalo (24 -35 meses) como en el quinto (48 -59 meses). e) 17.5 , 41.5 , 53.5. SECUENCI A 10 b) Ahora, en el eje vertical, ¿qué información se presenta? ¿Cuáles son los valores mínimo y máximo que están rotulados en este eje? c) Si quieren conocer qué porcentaje de niñas de 3 años de edad tienen estatura baja, ¿cuál de los intervalos de edad deben consultar? d) ¿En qué intervalo de edad el porcentaje de niños con problemas de estatura es Recuerden que: Cada intervalo puede ser e identificado por su límit inferior y superior, pero también podemos utilizar el punto medio del intervalo que se obtiene es con sólo sumar los límit inferior y superior del esta ir intervalo y divid suma entre 2. mayor que el de las niñas? en que se invierta esa situación? ocurre y cuál es la diferencia de porcentajes? ¿Hay algún momento en la gráfica ¿En qué intervalo de edad Consideren el punto del polígono de frecuencias en el cual el porcentaje de niños con estatura baja es el mayor. Tracen a partir de ese punto un segmento perpendicular al eje horizontal. Este segmento intersecta al eje horizontal en el punto medio del inter intervalo 12-23 meses de edad. e) Señalen los puntos medios de los intervalos que faltan, ¿cuáles son esos puntos? f) Completen la siguiente gráfica: Porcentaje de la población menor de 5 años que tiene estatura baja de acuerdo con su edad 30 25 Porcentaje 20 15 10 5 Hombres Mujeres Sugerencia didáctica. Acepte dos o tres intervenciones de los alumnos. Anote algunas respuestas en el pizarrón, para luego recuperarlas en la discusión o en las conclusiones. Conexión con Ciencias I Secuencia 12: ¿Cómo evitar problemas relacionados con la alimentación? 0 5.5 29.5 Edades (en meses) g) Investiguen en la secuencia 12 ¿Cómo evitar problemas relacionados con la alimentación? de su libro Ciencias I Volumen I, cuáles pueden ser algunas causas de este problema y preséntenlas en una gráfica o tabla que consideren que muestra mejor la información. Expliquen a sus compañeros y a su profesor por qué la eligieron. 144 180 L ibro p ara el mae s t r o MATEMÁTICAS II A lo que llegamos Un polígono de frecuencias se construye a partir de los puntos medios de los techos de las barras de un histograma. Otra manera de construirlo consiste en calcular el valor que se ubica en el punto medio de cada intervalo. El punto medio de un intervalo es el promedio de los valores extremos del intervalo. Lo que aprendimos 1. En la siguiente lista aparecen los pesos de los alumnos de segundo grado de una escuela secundaria. Los pesos se registraron redondeando al kilogramo más cercano. Grupo A 38, 64, 50, 42, 44, 35, 49, 57, 46, 58, 40, 47, 38, 48, 52, 45, 68, 46, 38, 76 Grupo B 65, 46, 73, 42, 47, 45, 61, 45, 48, 42, 50, 56, 69, 38, 36, 55, 52, 67, 54, 71 a) ¿Cuál es el peso máximo de los alumnos del grupo A? ¿Y del grupo B? b) ¿Cuál es el peso mínimo de los alumnos del grupo A? ¿Y del grupo B? c) ¿Cuál es el rango de los pesos de los alumnos del grupo A? ¿Y del grupo B? d) En tu cuaderno, organiza los pesos de los alumnos de ambos grupos en una tabla de datos reunidos en nueve intervalos iguales. e) ¿Cuáles son los pesos que se consideran en el primer intervalo? Respuestas. a) En el A 76 kg, en el B 73 kg. b) En el A 35 kg, en el B 36 kg. c) En el A el rango es de 41 kg, en el B es de 37 kg. d) Los intervalos son: 35 -39, 40-44, 45-49, 50-54, 55-59, 60-64, 65-69, 70-74, 75-79. e) 35, 36, 37, 38 y 39 kg. Los intervalos son de cinco edades. f) 37, 42, 47, 52, 57, 62, 67, 72 y 77 kg. Integrar al portafolios. Pida a los alumnos una copia de sus respuestas a la actividad 1 del apartado Lo que aprendimos. Si tuvieron dificultades, revisen los aspectos de esta secuencia, en los que se destaca lo siguiente: • Qué es un intervalo. • Cómo determinar el tamaño de un intervalo. • Cómo determinar el punto medio de un intervalo. • Cómo elaborar un polígono de frecuencias. • Cómo interpretar la información que da un polígono de frecuencias (destacando lo que representan y lo que no representan las líneas que unen a los puntos medios). Recuerda que: El rango es la dif erencia entre el mayor valor de los datos y el meno r. ¿De qué tamaño son los intervalos? f) ¿Cuál es el punto medio de cada intervalo? g) Elabora, en tu cuaderno, una gráfica que presente los polígonos de frecuencias de los dos grupos. Utiliza los puntos medios para rotular el eje horizontal. h) En tu cuaderno, describe, a partir de los polígonos de frecuencias, cómo es la distribución del peso de los alumnos de ambos grupos. 145 Li b r o p ara e l m ae s t r o 181 Propósito de la actividad. La intención es que los alumnos identifiquen distintas gráficas y distingan cuáles cumplen con las convenciones de representación adecuadas, como la escala en los ejes, títulos en la gráfica y los ejes, uso correcto de la gráfica de acuerdo al tipo de información que se presenta. SECUENCI A 10 Recuerden que: barras permite - Una gráfica de arar la frecuen mp co y tar sen pre do urre una cualida cia con que oc lor r ejemplo, el co un atributo. Po grupo de perso que prefiere un te a que sic mú de o tip nas o el r. gusta escucha cular puede ser cir a fic grá a Un las para comparar más adecuada s de un todo, distintas parte sen cuando la pre especialmente está en forma tos da los de tación Por ejemplo, el de porcentaje. rsonas que porcentaje de pe har la radio, ver prefieren escuc po. cine en un gru televisión o ir al 2. Busquen y copien distintas gráficas que se encuentren en periódicos, revistas, etcétera. Reúnan junto con sus compañeros de equipo las gráficas que encontraron y clasifíquenlas distinguiendo los diferentes tipos de gráfica que han estudiado. a) ¿Cuál es el tipo de gráfica que más se utiliza cuando se quiere comparar la relación entre dos conjuntos de datos en una misma situación? Propósito de la actividad. Los alumnos deben aplicar y recopilar la información, luego organizarla y representarla adecuadamente. Si es posible, pídales que hagan las tablas y gráficas con ayuda del programa de Excel. 3. Reúne la información que se pide en el siguiente cuestionario. Aplícalo a todos tus compañeros de grupo. Organiza la información y decide qué gráfica utilizar para presentar los resultados de cada una de las preguntas. Tipo de gráfica Tipo de gráfica Tipo de gráfica Tipo de gráfica Tipo de gráfica • ¿Qué deporte te gusta practicar? • ¿En qué mes es tu cumpleaños? • ¿Cuántos hermanos tienes? Respuestas. Deporte. Podría representarse mediante una gráfica de barras o con una circular, aunque no muestran lo mismo. La de barras permite conocer la frecuencia y el total debe obtenerse al sumar todas las frecuencias, mientras que la circular muestra cómo se reparten las preferencias del total de alumnos. Cumpleaños. Una gráfica de barras es adecuada para representar esa información en términos de frecuencia (en qué mes cumplen años más alumnos, en cuál menos, etc.). Una circular permitiría tener un panorama del año completo (ese sería el total) y conocer cómo se distribuyen los cumpleaños (las “rebanadas” de los meses serían de distintos tamaños). Número de hermanos. Una gráfica de barras es conveniente para mostrar la frecuencia (cuántos alumnos no tienen hermanos, cuántos tienen 1, cuántos tienen 2 , etc.). Estatura. Medir la estatura de los alumnos puede dar lugar a un número de datos mayor que en los otros casos, por lo que sería conveniente agruparlos (por ejemplo, los que miden de 1.2 a 1.29 metros en un intervalo) y presentar la información mediante un polígono de frecuencias o un histograma. Número de calzado. Al igual que en la medición de la estatura, la del calzado es conveniente representarla mediante un polígono de frecuencias o un histograma. • ¿Qué estatura tienes? • ¿Qué número de zapato calzas? a) Menciona una razón por la que elegiste cada tipo de gráfica: b) ¿Cuál es el deporte que más les gusta practicar a los hombres de tu grupo? c) ¿En qué mes hay más cumpleaños en tu grupo? d) ¿Cuál es el número promedio de hermanos que tienen en tu grupo? e) ¿Cuál es la estatura del compañero más alto de tu grupo? f) ¿Cuántos compañeros tienen la misma estatura que tú? g) ¿Quiénes son más altos, las mujeres o los hombres de tu grupo? h) ¿Qué número de zapato calzan la mayoría de tus compañeros hombres del grupo? ¿Y las mujeres? 146 Sugerencia didáctica. Dedique un tiempo suficiente para que comenten grupalmente las razones que los llevaron a elegir una gráfica u otra. Sugerencia didáctica. Las siguientes preguntas tienen que responderse a partir de la información que los alumnos hayan obtenido y representado en las gráficas. Analícenlas juntos para poder responderlas. 182 L ibro p ara el mae s t r o MATEMÁTICAS II Para saber más Sobre la variedad de información que puede ser presentada en polígonos de frecuencias, gráficas de barras, circulares y tablas estadísticas consulta: http://www.inegi.gob.mx Estadísticas por tema Estadísticas sociodeRuta 1: Información estadística Educación Población escolar Distribución porcentual de la mográficas población escolar de 3 a 24 años por entidad federativa y sexo para cada grupo de edad, 2000 y 2005 Estadísticas por tema Estadísticas sociodeRuta 2: Información estadística Población hablante de lengua indígena de 5 y más años por entidad mográficas federativa, 2000 y 2005 [Fecha de consulta: 24 de mayo de 2007]. Instituto Nacional de Estadística Geografía e Informática. Sobre los programas de apoyo que ofrece el Instituto Nacional para la Educación de los Adultos consulta: http://www.inea.sep.gob.mx Alfabetización Ruta 1: Proyectos Cero rezago Estrategias Ruta 2: Proyectos Oportunidades Estrategias Ruta 3: Proyectos [Fecha de consulta: 24 de mayo de 2007]. Instituto Nacional para la Educación de los Adultos. Explora las actividades del interactivo Polígono de frecuencias. Propósito del interactivo. Que los alumnos exploren otros ejemplos que impliquen la interpretación de datos cualitativos o cuantitativos mediante la construcción de polígonos de frecuencias. Sugerencias didácticas. En el interactivo se presentan varios contextos en los que los alumnos pueden aplicar lo aprendido. Si lo considera oportuno puede ocuparlo para evaluar lo aprendido por sus alumnos y mostrar otros ejemplos para clarificar algunos conceptos. Recuerde que en los interactivos se desarrolla todo el contenido de la secuencia, por tanto puede escoger algunas de las actividades para reforzar lo aprendido o incluso utilizarlas como una explicación alternativa. 147 Li b r o p ara e l m ae s t r o 183 BLOQUE 2 Propósito del programa integrador. Ejemplificar y explicar las reglas de la jerarquía de las operaciones, y uso de los paréntesis. Propósito de la sesión. Utilizar la jerarquía de las operaciones como un reglamento que ayuda a eliminar ambigüedades. Organización del grupo. En la sesión se sugieren momentos de trabajo en parejas e individualmente, y que comenten sus resultados y procedimientos con todo el grupo. Descripción del video. Se presenta el contexto necesario para introducir al alumno a los concursos en donde se opera con números enteros para acercarse lo más posible a una cantidad dada. En estos concursos se dan varias cantidades y un resultado. El objetivo es emplear estos números una sola vez y realizar sumas, restas, multiplicaciones y divisiones para obtener el resultado dado en el menor tiempo posible. Propósito del Interactivo. Explorar expresiones en donde sea necesario establecer un orden para resolverlas. Sugerencias didácticas. Puede ocupar el interactivo para mostrar a los alumnos la necesidad de conocer las convenciones con las que se realizan las operaciones. Pida a los alumnos que expliquen por qué se están obteniendo diferentes resultados para la misma expresión. Puede pedir que observen qué es lo que está haciendo el interactivo para indicar la respuesta correcta, una vez que los alumnos han establecido una hipótesis pueden contrastarla con otros ejercicios presentados aleatoriamente en el interactivo. Permita que una vez que hayan elaborado alguna conjetura la validen con los siguientes ejemplos. Sugerencia didáctica. Es importante que enfatice la siguiente cuestión: el ganador es el que más se acerque al 100 (en este caso), pero es posible “pasarse”o quedar “corto”, es decir, el número obtenido puede ser mayor, menor o igual al que se pide. SECUENCI A 11 La jerarquía de las operaciones En esta secuencia aprenderás a utilizar la jerarquía de las operaciones y los paréntesis en problemas y cálculos. SESIÓN 1 EL CONCURSO DE LA TELE Para empezar El concurso de la tele En 1965, en Europa aparecieron concursos televisados en los que se pedía a cada participante hacer operaciones con números. Estos concursos continúan viéndose en televisión y siguen llamando la atención de mucha gente. Uno de estos concursos tiene las siguientes reglas: 1. Se da una lista de números. Por ejemplo: 1, 3, 4, 9, 10. 2. Se da otro número, que será el número a alcanzar. Por ejemplo: 100. 3. Cada jugador debe sumar, restar, multiplicar o dividir los números de la lista hasta obtener un resultado lo más cercano posible al número dado. Por ejemplo: 9 × 10 + 4 + 3 + 1 = 98, o también 3 × 4 × 9 + 1 – 10 = 99. 4. El concursante deberá emplear cada uno de los números de la lista exactamente una sola vez. 5. Gana el concursante que obtenga el resultado más cercano al número a alcanzar. Por ejemplo, entre 9 × 10 + 4 + 3 + 1 = 98 y 3 × 4 × 9 + 1 – 10 = 99 gana la segunda opción, porque 99 está más cerca de 100 que 98. Consideremos lo siguiente I. Imaginen que están en uno de estos concursos y les dan la siguiente lista de números: 3 7 9 15 El número a alcanzar es el 117. Encuentren una forma de operar los números de la lista para quedar lo más cercano posible al 117. ¡El que quede más cerca del 117 gana! Anota tu respuesta aquí: 150 Eje Sentido numérico y pensamiento algebraico Propósito de la actividad. El contexto del concurso tiene la intención de crear en el alumno la necesidad de escribir y leer expresiones aritméticas en las que las operaciones deben efectuarse en un cierto orden, y que se dé cuenta de que si no se señala dicho orden puede haber ambigüedades. Sugerencia didáctica. Acepte todo tipo de respuestas sin importar si las escribieron con palabras, mediante un diagrama, un esquema o una expresión aritmética; pero recomiende a los alumnos utilizar los signos de suma, resta, multiplicación y división. Si algún alumno utiliza paréntesis pídale que explique qué significan en la expresión que escribió. Tema Significado y uso de las operaciones Propósitos de la secuencia Utilizar la jerarquía de las operaciones, y los paréntesis si fuera necesario, en problemas y cálculos. Sesión 1 Propósitos de la sesión El concurso de la tele Utilizar la jerarquía de las operaciones como un reglamento que ayuda a eliminar ambigüedades. Más reglas Utilizar las reglas de la jerarquía de operaciones para leer y escribir una expresión aritmética. Recursos Aula de medios Interactivo Programa integrador 7 Antecedentes En primer grado los alumnos han resuelto expresiones que involucran operaciones tanto aditivas como multiplicativas utilizando distintos tipos de números (fraccionarios, decimales, enteros). Ahora conocerán la jerarquía de las operaciones para que establezcan el orden correcto en el que deben efectuarse. 186 L ibro p ara el mae s t r o 2 Aula de medios MATEMÁTICAS Comparen sus respuestas y comenten: a) ¿Quiénes quedaron más cerca del 117? b) ¿Qué operaciones hicieron? II Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que quedaron más cerca del 117 que pasen al pizarrón a escribir sus soluciones y que las expliquen. Verifiquen entre todos los resultados. Sugerencia didáctica. Las razones de los alumnos para elegir una u otra opción pueden ser muchas, motívelos a que las expliquen a los demás. Aproveche este intercambio para hacerlos meditar sobre sus respuestas, y si hay opiniones distintas organice un pequeño debate en el que cada quien exponga sus razones y pueda contraargumentar una sola vez. Hágales ver que para justificar la elección del ganador es necesario exponer argumentos que logren convencer al resto de los compañeros. Sugerencia didáctica. Pida a un alumno que lea esta parte en voz alta. Cuando termine, dígales que sigan resolviendo en parejas. II. Las siguientes expresiones fueron las respuestas de dos concursantes. Ambos dicen haber obtenido exactamente el 117. Ana: 3 + 15 × 7 + 9 = 117 Beto: 3 + 15 × 7 − 9 = 117 a) ¿Cuál de estas respuestas creen que es correcta? b) ¿Por qué consideran que la otra es incorrecta? Comparen sus respuestas. Manos a la obra I. Los miembros del jurado señalaron que la ganadora era Ana. Pero Beto no está de acuerdo. Beto le dijo al jurado: Me ha tomado por sorpresa su veredicto. En mi humilde opinión, la expresión propuesta por mi contrincante no es correcta. Permítanme explicarles mis razones. Cuando el jurado le concedió la palabra, Beto tomó un gis y empezó a escribir sobre el pizarrón, al mismo tiempo que explicaba: La expresión de mi oponente pide calcular 3 + 15; luego, al resultado multiplicarlo por 7; y por último, a lo obtenido sumarle 9. Entonces, el resultado es 135 y no 117, como ella lo indica. 151 Li b r o p ara e l m ae s t r o 187 SECUENCI A 11 Completen el siguiente diagrama de acuerdo con lo que Beto explicó. 3 + 15 × 7 + 9 = × 7 + 9 = Sugerencia didáctica. Anote el diagrama en el pizarrón y explíquelo. Es importante que todos entiendan el orden en que se efectúan las operaciones. + 9 = 135 Comparen sus respuestas. Comenten: ¿están de acuerdo con lo que dijo Beto? II. Terminada la explicación de Beto, el jurado designó a unos de sus miembros para que expusiera los motivos de su veredicto. Dicho miembro se acercó al pizarrón y explicó: Vemos con claridad el error que has cometido. No tomaste en cuenta la jerarquía de operaciones. La forma correcta de calcular la expresión de Ana es la siguiente: primero debemos calcular el producto 15 × 7; después sumar 3 al resultado y, luego, a eso sumarle 9; así, el resultado es 117, y no 135 como lo has señalado. Sugerencia didáctica. Anote también este diagrama en el pizarrón y explíquelo. Cuando termine pida a los alumnos que expliquen en qué es diferente respecto del anterior. Para ayudarlos a verbalizar las diferencias puede hacerles preguntas como: • ¿En ambos diagramas están presentes los mismos números? • ¿En ambos diagramas se efectúan las mismas operaciones (dos sumas y una multiplicación)? • ¿Por qué entonces Beto dice que el resultado es 135 y el jurado dice que es 117? • ¿Quién creen que efectivamente ganó el concurso? Completen lo que escribió el miembro del jurado en el pizarrón: 3 + 15 × 7 + 9 = 3+ + 9 = + 9 = 117 Comparen sus respuestas y comenten: ¿Cuál es la diferencia entre ambos procedimientos? A lo que llegamos La jerarquía de las operaciones es un conjunto de reglas matemáticas que dicen qué operaciones deben hacerse primero. Una de estas reglas es la siguiente: Las multiplicaciones y divisiones se hacen antes que las sumas y las restas. 152 188 L ibro p ara el mae s t r o MATEMÁTICAS a) Ana: 3 + 15 × 7 + 9 = b) Beto: 3 + 15 × 7 − 9 = . . II III. Aplica esta regla para calcular el resultado de las expresiones de Ana y Beto respectivamente. Respuestas. En efecto Ana obtuvo 117, y considerando la jerarquía de operaciones Beto obtuvo 99. A lo que llegamos Si a las siguientes expresiones aplicamos la regla “Las multiplicaciones y divisiones se hacen antes que las sumas y restas”, nos dan los siguientes resultados: 2 + 14×6 + 8 = 2 + 84 + 8 = 94 y 2 + 14×6 – 8 = 2 + 84 – 8 = 78 La regla se aplica de la misma manera cuando aparecen divisiones, por ejemplo, 2 + 14÷7 + 8 = 2 + 2 + 8 = 12 Y 2 + 14÷7 – 8 = 2 + 2 – 8 = -4 IV. Después de haber escuchado la explicación del miembro del jurado, Beto se dio cuenta de su error. Agradeció la explicación y preguntó: ¿Cómo tengo que escribir la operación para indicar que primero sumo 3 y 15; y luego al resultado lo multiplico por 7? Con el uso correcto de los paréntesis puedes expresar esa operación. Pon paréntesis a la expresión de Beto para que sea correcta: 3 + 15 × 7 − 9 = 117 153 Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos escribir aquí la expresión, pero ahora con paréntesis. Li b r o p ara e l m ae s t r o 189 Propósito del interactivo. Mostrar expresiones en donde al cambiar de lugar el paréntesis se modifica el orden en que se resuelven las operaciones. Sugerencias didácticas. El interactivo se puede utilizar para mostrar cómo el uso de los paréntesis permite cambiar el orden de las operaciones. Permita que los alumnos exploren los diferentes ejercicios mostrados en el interactivo para descubrir cómo se comportan los paréntesis. A manera de evaluación puede pedir a los alumnos que coloquen los paréntesis en una expresión para obtener un resultado específico. SECUENCI A 11 A lo que llegamos Una regla de jerarquía de operaciones que permite sumar o restar antes de multiplicar o dividir es la siguiente: Las operaciones que estén encerradas entre paréntesis se realizan antes que las demás. Por ejemplo, (2 + 14) × 8 – 10 = 16 × 8 – 10 = 128 – 10 = 118 Los paréntesis pueden usarse varias veces, (2 + 14) × (8 – 10) = 16 × (8 – 10) = Sugerencia didáctica. Comente con los alumnos que en esta expresión no hacen falta los paréntesis pues, cómo se dijo, las multiplicaciones y las divisiones deben hacerse primero. Explique que esto no es un error, sino que el uso de los paréntesis enfatiza que primero se multiplica. Es como cuando decimos: “Ayer viernes fui a la escuela”. 16 × (–2) = -32 V. Después de la explicación del jurado, Beto le puso unos paréntesis a su expresión para que ésta quedara correcta. Al ver el cambio que Beto hizo a su expresión, el jurado decidió declarar un empate entre Ana y Beto, pues Beto, al igual que Ana, hizo bien sus cálculos, sólo que no supo escribir la expresión correctamente. Revisen las expresiones que encontraron al principio de la sesión y escríbanlas respetando las reglas de jerarquía de operaciones. Lo que aprendimos Sugerencia didáctica. Es posible que algunos alumnos consideren injusto el empate, pídales que expliquen por qué, pero no le dedique mucho tiempo a esa discusión, sólo haga notar que es importante escribir bien las expresiones y saber usar los paréntesis. 1. Une con una línea cada expresión de la columna izquierda con su respectivo valor de la columna derecha. I) 24 + 12 ÷ 4 + 2 = II) (24 + 12) ÷ 4 + 2 = III) 24 + 12 ÷ (4 + 2) = IV) (24 + 12) ÷ (4 + 2) = a) 6 b) 11 c) 19 d) 26 e) 29 154 Respuestas. I e II b III d IV a En la expresión I el resultado es 29, porque primero hay que efectuar la división. Pida a los alumnos que la escriban con paréntesis, quedaría 24 + (12 ÷ 4) + 2 , y luego que resuelvan por pasos (primero lo que está entre paréntesis). Sería 24 + 3 + 2 . En la expresión II el resultado es 11. Resolviendo primero lo que está entre paréntesis quedaría 36 ÷ 4 + 2 . Reconocer por qué son diferentes las expresiones III y IV puede ser difícil para los alumnos. En la III pídales que resuelvan primero lo que está entre paréntesis, quedaría 24 + 12 ÷ 6, y luego que efectúen la división, sería 24 + 2. En la IV hay dos paréntesis, por lo que pueden confundirse. Explíqueles que hay que resolver primero lo que está en los dos paréntesis, quedaría 36 ÷ 6. Posibles dificultades. Aunque las reglas de la jerarquía de operaciones no sean difíciles de entender, es posible que para algunos alumnos resulten confusas e incluso contradictorias con sus años de práctica aritmética, en la que siempre han efectuado los cálculos de izquierda a derecha sin importar qué tipo de operaciones fueran. Cuando los alumnos terminen de resolver estas actividades revísenlas juntos y aclaren dudas. 190 L ibro p ara el mae s t r o MATEMÁTICAS II 2. Las siguientes respuestas fueron dadas por algunos concursantes durante el transcurso de un programa televisivo. Todas las respuestas son erróneas, pues los concursantes olvidaron usar los paréntesis. Escriban los paréntesis faltantes para que las expresiones sean correctas. a) b) c) d) (11 + 2 ) × 10 + 8 = 138 10 + 12 × ( 2 + 13) = 190 Posibles dificultades. Comente con los alumnos el caso del inciso d). Explíqueles que es posible que en un paréntesis haya más de una operación, sin embargo, dentro de él también debe respetarse la jerarquía de operaciones. Por ejemplo, tanto en (10 ÷ 2 + 5) como en (5 + 10 ÷ 2) el resultado es 10. Sugerencia didáctica. Recuerde a los alumnos las reglas del juego: deben usarse todos los números pero no repetir ninguno. Posibles respuestas. Los alumnos pueden encontrar distintas expresiones en esta actividad, algunas darán exactamente el resultado de la meta y otras solamente un resultado aproximado. Recuerde que lo importante es que al escribirlas utilicen correctamente la jerarquía de operaciones. Algunas expresiones que arrojan exactamente el número meta son: 1. (1 + 5) ÷ 3 + 2 – 4 = 0 5×1+3–4–2=0 2. 6 – (9 – 7) – (10 – 8) = 2 3. (5 + 3) × (4 + 2) + 1 = 49 4. 23 × 8 + 10 × 12 + 15 = 319 Integrar al portafolios. Revise las expresiones que los alumnos escribieron e integre esta actividad al portafolio. Si los alumnos tienen dificultades repasen las reglas de la jerarquía de operaciones poniendo ejemplos. (10 (10 + 2 ) × (7 + 3) = 120 ÷ 2 + 5 ) × 3 = 30 3. Imaginen que están concursando en uno de estos programas televisados. Combinen los números de la primera columna junto con las operaciones de suma, resta, multiplicación y división para obtener un número lo más cercano posible al de la segunda columna. El que quede más cerca gana. ¡No olviden usar correctamente las reglas de jerarquía de las operaciones! Números Meta 1, 2, 3, 4, 5 6, 7, 8, 9, 10 1, 2, 3, 4, 5 8, 10, 12, 15, 23 0 2 49 319 MÁS REGLAS Para empezar En la sesión anterior vimos que a veces pueden ocurrir confusiones al calcular el valor de una expresión y que, para evitarlas, se ha acordado un conjunto de reglas que se conoce como jerarquía de operaciones. Estas reglas nos dicen qué operaciones se deben hacer primero. Hasta el momento hemos visto que: 1. Las operaciones que estén encerradas entre paréntesis se realizan antes que todo lo demás. 2. Las multiplicaciones y divisiones deben hacerse antes que las sumas y restas. Hay más reglas sobre jerarquía de operaciones que ayudan a evitar nuevas confusiones. Por ejemplo: 3. Las multiplicaciones y divisiones se hacen de izquierda a derecha. 4. Las sumas y restas se hacen de izquierda a derecha. SESIÓN 2 155 Propósito de la sesión. Que los alumnos utilicen las reglas de la jerarquía de operaciones para leer y escribir una expresión aritmética. Organización del grupo. El trabajo en esta sesión es individual, con algunos momentos de discusión grupal. Li b r o p ara e l m ae s t r o 191 Propósito de la actividad. Que el alumno se enfrente a nuevas ambigüedades en la lectura de expresiones y que las resuelva haciendo uso de las reglas de la jerarquía de operaciones. Sugerencia didáctica. Aunque los alumnos cometan errores al hallar los resultados de estas expresiones, permítales seguir resolviendo la sesión. Más adelante tendrán oportunidad de hacer correcciones. Respuestas. En las expresiones a) y b) hay que utilizar la regla 4 porque no hay operaciones entre paréntesis sino sólo sumas y restas. En las expresiones c) y d) hay que utilizar la regla 3 porque no hay operaciones entre paréntesis ni sumas ni restas. En la expresión e) hay que utilizar la regla 2 , porque no hay operaciones entre paréntesis, y después la regla 4 para hacer las sumas y restas. En la expresión f) hay que utilizar tanto la regla 1 para resolver primero lo que está entre paréntesis, como la regla 2 para efectuar la división antes que la suma. Sugerencia didáctica. Es posible que algunos alumnos apliquen una regla y no puedan decir cuál es o no sepan explicar por qué la eligieron. Las siguientes preguntas (Manos a la obra I) están diseñadas para ayudarlos a tomar conciencia de dichas elecciones, sin embargo usted también puede preguntarles cómo le hicieron para decidir cuál operación hacer primero. Respuestas. a) La resta, porque es la primera operación de izquierda a derecha. b) La regla 4. c) 24 ÷ 4 porque es la primera operación de izquierda a derecha. d) La regla 3. e) 10 ÷ 5 f) La regla 2. g) La regla 1 y la regla 2. Sugerencia didáctica. Después de contestar estas preguntas pida a los alumnos que revisen los resultados que obtuvieron en las expresiones del apartado Consideremos lo siguiente y que hagan las correcciones pertinentes. SECUENCI A 11 Consideremos lo siguiente Calcula el valor de cada una de las siguientes expresiones. Respeta las reglas de jerarquía de operaciones. a) 10 – 3 + 2 = c) 24 ÷ 4 × 2 = e) 20 – 10 ÷ 5 + 1 = 9 12 19 . . . b) 10 – 3 – 2 = d) 24 ÷ 4 ÷ 2 = f) (20 – 10) ÷ 5 + 1= 5 3 3 . . . Comenten: a) ¿En qué orden hicieron las operaciones para calcular el valor de las expresiones? b) ¿Qué regla emplearon para decidir qué operación hacer primero? Manos a la obra I. Contesta las siguientes preguntas tomando en cuenta las reglas de jerarquía: 1. Lo que esté encerrado entre paréntesis se hace primero que todo lo demás. 2. Las multiplicaciones y divisiones deben hacerse primero que las sumas y restas. 3. Las multiplicaciones y divisiones se hacen de izquierda a derecha. 4. Las sumas y restas se hacen de izquierda a derecha. a) ¿Qué operación hiciste primero para calcular el valor de la expresión 10 – 3 + 2, la resta o la suma? . . . . b) ¿Cuál de las reglas aplicaste (1, 2, 3 o 4)? la división 24 ÷ 4 o la división 4 ÷ 2? d) ¿Cuál de las reglas aplicaste (1, 2, 3 o 4)? c) ¿Qué operación hiciste primero para calcular el valor de la expresión 24 ÷ 4 ÷ 2, e) ¿Cuál de las siguientes operaciones hiciste primero para calcular el valor de la expresión 20 – 10 ÷ 5 + 1? Subráyala. 20 – 10 10 ÷ 5 5+1 f) ¿Cuál regla usaste para decidir qué operación hacer primero? . g) ¿Cuáles reglas usaste para encontrar el valor de la expresión (20 – 10) ÷ 5 + 1? Comparen sus respuestas. Si hay diferencias, comenten cuál regla usaron y cómo la usaron. 156 4 192 L ibro p ara el mae s t r o MATEMÁTICAS II A lo que llegamos Para calcular correctamente el valor de una expresión como 25 – 15 ÷ 5 + 5 debemos decidir cuál operación hacer primero. La regla de jerarquía de operaciones que usamos para decidir esto es: Las multiplicaciones y divisiones deben hacerse primero que las sumas y restas. 25 – 15 ÷ 5 + 5 Se hace primero Una vez decidido cuál operación hacer primero, calculamos dicha operación y reducimos la expresión. 25 – 15 ÷ 5 + 5 = 25 – 3 + 5 Para decidir cuál operación sigue por hacer, usamos otra regla de jerarquía de las operaciones: Las sumas y restas se hacen de izquierda a derecha 25 – 3 + 5 Primero esta (izquierda) Luego esta (derecha) Ya sabemos el orden en que hay que hacer las operaciones, sólo falta hacerlas: 25 – 3 + 5 = 22 + 5 = 27 II. Para cada una de las siguientes frases, escribe una expresión que represente los cálculos descritos en ella. a) A 12 le sumo el resultado de multiplicar 4 por 3: b) A 12 le sumo 4 y el resultado lo multiplico por 3: c) Divido 12 entre 4 y el resultado lo multiplico por 3: d) Divido 12 entre el resultado de multiplicar 4 por 3: 12 + 4 × 3 Sugerencia didáctica. Diga a los alumnos que no escriban el resultado de las operaciones descritas en la frase, lo que tienen que hacer es escribir una expresión, como se muestra en el ejemplo del inciso a). (12 + 4) × 3 12 ÷ 4 × 3 o bien (12 ÷ 4) × 3 12 ÷ (4 × 3) Sugerencia didáctica. Pida a algunos alumnos que pasen a escribir sus expresiones al pizarrón y pregunte a los demás si alguien obtuvo una expresión distinta para que también la escriba en el pizarrón. Pida que las expliquen y que, considerando la jerarquía de las operaciones, todo el grupo analice si ambas son correctas o alguno cometió un error. Comparen sus respuestas. Comenten si sus expresiones están bien escritas de acuerdo con las reglas de jerarquía de operaciones. 157 Li b r o p ara e l m ae s t r o 193 SECUENCI A 11 A lo que llegamos Una expresión que describe los cálculos de la frase “Multiplico 6 por 5 y al resultado lo divido entre 10” es: 6 × 5 ÷ 10 Los cálculos que indica esta expresión se realizan aplicando la siguiente regla de jerarquía de operaciones: Las multiplicaciones y divisiones se hacen de izquierda a derecha. 6 × 5 ÷ 10 Primero esta (izquierda) Luego esta (derecha) Otra expresión que describe los cálculos de la frase anterior es: (6 × 5) ÷ 10 En esta expresión los paréntesis se usan para evitar errores de jerarquía de operaciones, aunque ya no hagan falta. También se acostumbra escribir esta expresión así: 6×5 10 En esta última forma, la raya de división indica que toda la expresión del numerador 6 × 5, se divide entre el denominador 10. Integrar al portafolios. Pida a los alumnos una copia de las actividades 1 y 2. Si lo considera necesario, repasen las cuatro reglas de la jerarquía de operaciones poniendo ejemplos. Lo que aprendimos 1. Calcula el valor de las siguientes expresiones respetando la jerarquía de las operaciones. a) 30 ÷ 10 × 3 = c) 20 – 10 + 5 = 9 15 16 b) 30 ÷ (10 × 3) = d) 20 – (10 + 5) = 1 5 8 e) 20 – 30 ÷ 10 × 3 + 5 = f) (20 – 30) ÷ 10 × (3 + 5) = 2. Calcula el valor de las siguientes expresiones. a) 6 × 5 = 10 c) 5 × 8 = 10 e) 2 × 6 – 2 = 3 4 10 b) 4 – 6 × 5 = 10 d) 5 × 8 – 6 × 5 = 10 f) 5 × 8 – 6 × 5 = 2×6–2 1 1 1 158 194 L ibro p ara el mae s t r o MATEMÁTICAS II 3. ¿Sabías que no todas las calculadoras funcionan igual? Hay unas que están programadas para aplicar las reglas de jerarquía de operaciones y otras que no. Averigüemos si la calculadora que tienes (o la que haya en el salón) jerarquiza o no. Presiona la siguiente sucesión de teclas en la calculadora y escribe en el espacio marcado cuál fue el resultado. 1 + 2 × 3 = Ahora, calcula los valores de las siguientes dos expresiones sin usar la calculadora, pero tomando en cuenta la jerarquía de operaciones. a) 1 + 2 × 3 = 7 b) (1 + 2) × 3 = 9 Compara el resultado que te dio la calculadora con las expresiones anteriores. ¿Con cuál resultado coincide tu calculadora (con el de a o con el de b)? Si tu calculadora coincide con a entonces jerarquiza, y si coincide con b, no jerarquiza. Tu calculadora, ¿jerarquiza o no jerarquiza? . Para saber más Sobre los concursos de números consulta: http://www.rodoval.com/heureka/cifras.html [Fecha de consulta: 24 de mayo de 2007]. Sobre la jerarquía de operaciones consulta: http://descartes.cnice.mecd.es/Algebra/prioridad_operaciones_rat/Unidad_didactica.htm [Fecha de consulta: 24 de mayo de 2007]. Proyecto Descartes. Ministerio de Educación y Ciencia. España. Sugerencia didáctica. Pregunte a los alumnos: • ¿Qué teclas tendrían que oprimir en una calculadora que jerarquiza para que el resultado de 1 + 2 × 3 fuera 9 ? • ¿Qué teclas tendrían que oprimir en una calculadora que no jerarquiza para que el resultado de 1 + 2 × 3 fuera 7 ? Si disponen de aula de medios abran la calculadora de la computadora (ir a Programas y seleccionar Accesorios, ahí encontrarán Calculadora). En el menú Ver hay dos opciones: Científica o Estándar. Pida a los alumnos que averigüen en cuál de esas modalidades la calculadora jerarquiza y en cuál no. 159 Li b r o p ara e l m ae s t r o 195 SECUENCI A 12 Propósito del programa integrador. Mostrar las reglas para multiplicar polinomios y para dividir un polinomio entre un monomio. Propósito de la sesión. Resolver problemas que impliquen la multiplicación de un monomio por un monomio o por un polinomio. Organización del grupo. Se recomienda que las actividades de esta sesión los alumnos las resuelvan de manera individual y que hagan comentarios grupales. SESIÓN 1 Multiplicación y división de polinomios En esta secuencia resolverás problemas multiplicativos que impliquen el uso de expresiones algebraicas. LOS BLOQUES ALGEBRAICOS Descripción del video. El video es de introducción. Se presenta una explicación acerca de los bloques algebraicos, se define qué son y cómo se usan. Se dan varios ejemplos para mostrar su uso apoyándose en el recurso visual. Sugerencia didáctica. Aclare a los alumnos cómo se obtiene el área de cada bloque. 1×1=1 1 Para empezar Los bloques algebraicos Los bloques algebraicos son piezas de forma rectangular o cuadrada que permiten modelar operaciones con expresiones algebraicas. En esta secuencia ocuparás los siguientes bloques, cada uno de ellos tiene un área que se representa con una expresión algebraica: 1, x, x 2, y, xy, y 2. Área= 1 1 Área= x 1 Área= y x×1=x x×x=x 2 1 x y x × y = xy y×1=y y × y = y2 Recuerden también la diferencia entre una unidad lineal y una unidad de superficie. x Área= x 2 y x Área= xy Área= y 2 x y y Sugerencia didáctica. Un día antes, deje como tarea a los alumnos que recorten y peguen los bloques algebraicos. Es mejor que los peguen en un material rígido para manipularlos con facilidad. Recorta los Bloques algebraicos del anexo 2 Recortables y pégalos en cartón. 160 Eje Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema Significado y uso de las operaciones Propósito de la secuencia Resolver problemas multiplicativos que impliquen el uso de expresiones algebraicas. Sesión 1 Propósitos de la sesión Los bloques algebraicos Resolver problemas que impliquen la multiplicación de un monomio por un monomio o por un polinomio. Recursos Aula de medios Video “Los bloques algebraicos” Interactivo Antecedentes En las secuencias 1, 2 y 11 los alumnos aprendieron a multiplicar números con signo, a sumar y restar polinomios y el uso de los paréntesis. En esta secuencia aprenderán a multiplicar polinomios y a dividir un polinomio entre un monomio. 2 A cubrir rectángulos Resolver problemas que impliquen la multiplicación de polinomios. Aula de medios Interactivo 3 ¿Cuánto mide la base? Resolver problemas que impliquen la división de un polinomio por un monomio. Aula de medios 196 L ibro p ara el mae s t r o Programa integrador 8 MATEMÁTICAS II Cubre los rectángulos siguientes con los bloques algebraicos. Une con una línea cada rectángulo con el binomio que corresponda a su área. Rectángulo Área Propósito de la actividad. Esta actividad sirve para que los alumnos se inicien en la representación de una expresión algebraica usando el modelo de áreas. Usted puede pedirles que representen otros polinomios con los bloques algebraicos para que sigan practicando. Eventualmente, ya no tendrán necesidad de usarlos porque habrán comprendido qué es lo que representan, pero mientras los necesiten, permítales usarlos para hacer cálculos o verificar resultados. Sugerencia didáctica. Es importante que los alumnos contesten las actividades usando los bloques algebraicos y no utilizando la regla para medir los lados de los rectángulos. Explíqueles que la intención en esta secuencia no es calcular áreas de rectángulos midiendo sus lados (eso ya saben hacerlo), sino aprender a multiplicar y dividir expresiones algebraicas. Respuestas. Al rectángulo superior le corresponde x 2 + 2 x, al de en medio y + 1, y al inferior xy + x. Sabías que: y+1 x+1 Las expresiones algebrai cas se nombran de acuerdo con su número de términos: El monomio tiene un térm ino El polinomio tiene dos o más términos. El binomio es un polinomio que tiene dos términos. El trinomio tiene tres térm inos. x 2 + 2x xy + x Comparen sus soluciones. Consideremos lo siguiente Los siguientes rectángulos se han formado usando los bloques algebraicos. Rectángulo A Rectángulo B 2x 2x 3x x +y 161 Li b r o p ara e l m ae s t r o 197 SECUENCI A 12 Rectángulo C 2x Respuestas. Área del rectángulo A = 6 x 2 Área del rectángulo B = 2 x + 2 xy 2 3y ¿Qué expresión algebraica corresponde al área de cada rectángulo? a) Rectángulo A: Área = b) Rectángulo B: Área = c) Rectángulo C: Área = Comparen sus soluciones. Área del rectángulo C = 6 xy Sugerencia didáctica. Posiblemente algunos de los primeros intentos de los alumnos (como tratar de “rellenar” el rectángulo A con bloques de tamaño x) no sean exitosos. Dé tiempo a los alumnos para que exploren y en este momento no los corrija si se equivocan. Propósito del interactivo. Explorar mediante un modelo geométrico la multiplicación y división de monomios y polinomios. Sugerencia didáctica. El interactivo puede servir para generar otros ejercicios que permitan a los estudiantes validar sus hipótesis, o en su defecto presentarles contraejemplos para que analicen en qué casos son ciertas y en qué casos no. Se pueden modificar los ejemplos de acuerdo con las necesidades de los alumnos para aumentar o disminuir el grado de dificultad de los ejercicios planteados. En general el uso de la tecnología en el salón de clases se propone para que los alumnos exploren los interactivos y generen hipótesis que puedan validar. También pueden generarse ejemplos específicos en los que se muestre la validez de sus hipótesis o contraejemplos en los que no se validarán. Manos a la obra I. ¿Qué bloques algebraicos se usan para construir cada rectángulo? Para responder esta pregunta, completa la tabla. Rectángulo A B C Base Altura Base × Altura Expresión algebraica para el área 3x 2x 2x 2x (3x ) × (2x ) 6 bloques de x 2 o 6 x 2 2 bloques de x 2 y 2 bloques de xy o 2 x 2 + 2 xy 6 bloques de xy o 6 xy x+y 3y (x+y) × (2 x) (3 y) × (2 x) a) ¿Cuántos bloques algebraicos de área x 2 se requieren para formar el rectángulo A? b) ¿Cuántos bloques algebraicos de área x 2 se usan para formar el rectángulo B? 162 Sugerencia didáctica. En un primer momento no necesariamente tienen que escribir los polinomios que representan el área de cada rectángulo (tercera columna de la tabla). Por ello, en la última columna puede sugerir a los alumnos que escriban cuántos bloques de cada tipo usaron para construir cada rectángulo (como se muestra en la tabla). 198 L ibro p ara el mae s t r o MATEMÁTICAS II c) ¿Cuántos bloques algebraicos de área xy se usan para formar el rectángulo B? 3 Propósito de la actividad. El intercambio y la discusión en este momento son importantes para validar las respuestas que cada uno obtuvo. Ahora todos los alumnos deben comprender que el área de los polinomios A, B y C puede representarse con una expresión algebraica. d) ¿Cuántos bloques algebraicos de área xy se necesitan para formar el rectángulo C? Comparen sus soluciones. Regresen al apartado Consideremos lo siguiente y verifiquen las expresiones algebraicas que obtuvieron para las áreas de los rectángulos. II. Los siguientes rectángulos también se construyeron usando los bloques algebraicos. Rectángulo D Rectángulo E Rectángulo F Posibles dificultades. Para algunos alumnos puede resultar difícil identificar la medida de cada lado en estos rectángulos. Usted puede ayudarlos preguntándoles cuál es la medida de cada lado en términos de los segmentos x, y, 1. Si los alumnos miden los lados con su regla, pídales que encuentren la medida de cada segmento en milímetros: Segmento x = 23 mm Segmento y = 37 mm Segmento 1 = 17 mm x +2 a) Completa la tabla para encontrar las expresiones algebraicas que corresponden a las áreas de los rectángulos anteriores. Expresión algebraica para el área Rectángulo D E F Base Altura Base × Altura y y+1 x 3x (y ) × ( (y + 1) × ( 3x ) ) 3 xy Luego dígales que expresen la medida de los lados de los rectángulos con los segmentos x, y, 1 y no con milímetros. Por ejemplo, en vez de decir “la altura del rectángulo D mide 69 mm”, que lo expresen como “la altura del rectángulo D mide 3 x”. x x+2 x x+ 2) xy + x x 2 + 2x Recuerden que: x ×( Sugerencia didáctica. Diga a los alumnos que verifiquen con los bloques algebraicos sus respuestas en esta columna. Comparen sus soluciones. Verifiquen que hayan sumado todos los términos semejantes de las expresiones algebraicas. Términos semejantes son los términos que tienen la misma parte literal, como: w, 3w, 2w, 1.5w. 163 Li b r o p ara e l m ae s t r o 199 Sugerencia didáctica. Proponga a los alumnos otras multiplicaciones además de las que se explican aquí (término numérico por monomio, monomio por monomio, monomio por binomio) para que apliquen las reglas y las practiquen. S E C U ENCIA 12 A lo que llegamos Para multiplicar expresiones algebraicas existen algunas reglas que pueden servir: Recuerden que: 4 por x = 4x 1. Para multiplicar un término numérico por un monomio se multiplica el término numérico por el coeficiente del monomio, por ejemplo: Propósito del interactivo. Explorar mediante un modelo geométrico la multiplicación y división de monomios y polinomios. Sugerencias didácticas. Puede ocupar el interactivo para mostrar a los alumnos otros ejercicios y que practiquen la resolución de multiplicaciones de monomios y polinomios. x por x = x 2 (3) × (2y) = 3 (2y) = (2 × 3) (y) = 6y 6 2. Para multiplicar dos monomios se multiplican los coeficientes y se multiplican las partes literales, por ejemplo: x2 (2x) × (3x) = (2 × 3) (xx) = 6x 2 6 3. Para multiplicar un monomio por un binomio se multiplica el monomio por cada uno de los términos del binomio, por ejemplo: 2x 2 x (2x + y) = 2x 2 + xy xy III. Las reglas anteriores también se aplican para multiplicar expresiones algebraicas con cualquier tipo de coeficientes: fraccionarios, negativos o decimales, por ejemplo: x2 – 3x 8 1 x (2x – 5y – 3 ) = x 2 – 5 xy – 3 x 4 2 8 2 – 5 xy 2 164 Propósito de la actividad. Se pretende que los alumnos se den cuenta de que también se pueden multiplicar expresiones algebraicas cuando los coeficientes son decimales, fracciones o negativos. Las operaciones pueden parecer más difíciles, pero enfatice el hecho de que cuando los coeficientes son decimales o fracciones, positivos o negativos, las reglas para multiplicar polinomios son las mismas. 200 L ibro p ara el mae s t r o MATEMÁTICAS Realiza las siguientes multiplicaciones. a) 3 (1 2 x ) ( 4 xy ) = II Respuestas. a) 3 8 x 2y b) –15xy c) –6 yx + 9 y 2 d) –13 x 2 y – 6.25xy 2 + 3 xy b) (– 3x) (5y) = c) (– 3 5 y ) (10x –15y ) = d) (– 2.5xy ) (5.2x + 2.5y – 1.2) = Lo que aprendimos 1. Calcula el área del siguiente rectángulo multiplicando las expresiones que representan las medidas de la base y la altura. x 3y + 2 a) Área = (3y + 2) × (x ) = 3 yx + 2 x b) Cubre con bloques algebraicos la figura anterior para verificar si el área obtenida mediante la multiplicación corresponde a los bloques utilizados para cubrirla. Dibuja cómo quedó cubierto el rectángulo. 2. Completa las siguientes multiplicaciones. a) ( b) 3y 3 5 ) (5x ) = 15xy (1 2 xy ) ( x 3 x 2y ) = 10 ( ) c) (1.25z ) ( d) (– 3 5 –3 y – 5 3 ) = – 3.75yz )( z )=z 165 Li b r o p ara e l m ae s t r o 201 Propósito de la sesión. Resolver problemas que impliquen la multiplicación de polinomios. Organización del grupo. Las actividades se resuelven tanto individualmente como en parejas, y los comentarios son entre todo el grupo. SECUENCIA 12 SESIÓN 2 A CUBRIR RECTÁNGULOS Para empezar En esta sesión resolverás problemas de cálculo de áreas que impliquen la multiplicación de polinomios. Propósito de la actividad. Se pretende que los alumnos multipliquen las expresiones correspondientes a las medidas de los lados del rectángulo a través del uso de los bloques algebraicos. Sugerencia didáctica. Déles tiempo para explorar con los bloques algebraicos. Si aún no saben cómo multiplicar polinomios, el empleo de los bloques les permitirá hallar el resultado. Si ya saben cómo multiplicar ( y + 2) (3 x + y + 4) los bloques le darán sentido al resultado. Respuestas. a) ( y + 2) (3 x + y + 4) . b) 3 xy + y 2 + 6 y + 6 x + 8 , es decir, tres bloques cuya área sea xy, un bloque y 2 , seis bloques y, seis bloques x y ocho bloques de área 1. Consideremos lo siguiente Cubre con bloques algebraicos el siguiente rectángulo para calcular su área. y+2 3x+y +3 a) ¿Qué expresiones algebraicas tienen que multiplicarse para obtener el área del rectángulo? b) ¿Qué expresión algebraica representa el área? Comparen sus respuestas. 166 202 L ibro p ara el mae s t r o MATEMÁTICAS II Manos a la obra I. A continuación se presenta una forma de dividir la superficie del rectángulo. Aplica lo aprendido en la sesión 1 para encontrar las áreas de los rectángulos R1, R2 y R3. Propósito del Interactivo. Explorar mediante un modelo geométrico la multiplicación y división de monomios y polinomios. Sugerencias didácticas. Puede ocupar el interactivo para mostrar a los alumnos otros ejercicios y que practiquen la resolución de multiplicaciones de monomios y polinomios. y+2 R1 R2 R3 3x y 3 Propósito de la actividad. Ahora la base del rectángulo se divide en tres partes, tomando como criterio de tales divisiones cada uno de los términos que componen el polinomio que expresa su medida. La intención es que los alumnos vayan efectuando una a una las multiplicaciones de un binomio (altura del rectángulo) por un monomio (cada una de las partes de la medida de la base). Sugerencia didáctica. Si los alumnos no lograron obtener el área de todo el rectángulo en el apartado anterior (Consideremos lo siguiente) sugiérales que utilicen los bloques algebraicos para hallar el área de cada uno de los rectángulos en los que se dividió el original. Respuestas. a) 3 xy + 6 x a) Área de R1: (3x ) (y + 2) = b) Área de R2: (y ) (y + 2) = c) Área de R3: (3) (y + 2) = d) De los seis términos que se obtienen en las tres multiplicaciones anteriores, dos son semejantes. Escríbelos: y b) y 2 + 2 y c) 4y + 8 d) Los términos semejantes son 2 y y 4y. e) 3 xy + y 2 + 6 y + 6 x + 8 e) ¿Cuál es la suma del área de los rectángulos R1, R2, y R3? No olvides sumar los términos semejantes. Comparen sus soluciones. Regresen al apartado Consideremos los siguiente y comparen la expresión algebraica con el resultado que obtuvieron cubriendo el rectángulo con los bloques algebraicos. 167 Li b r o p ara e l m ae s t r o 203 SECUENCI A 12 II. A continuación se presenta otra forma de dividir la superficie del rectángulo. a) Cubran los rectángulos R4 y R5 con bloques algebraicos y luego calculen el área de cada uno. 2 R4 y R5 Respuestas. b) 6 x + 2 y + 8 c) 3 xy + y 2 + 4y d) 3 xy + y 2 + 6 y + 6 x + 8 Sugerencia didáctica. Pídales que verifiquen que la expresión correspondiente a la suma del área de los rectángulos R4 + R5 sea igual a la que obtuvieron al sumar las áreas de los rectángulos R1 + R2 + R3 . 3x + y + 3 b) Área de R4: (2) (3x + y + 3) = c) Área de R5: (y ) (3x + y + 3) = d) ¿Cuál es la suma del área de los rectángulos R4 y R5? Comparen sus respuestas y comenten con todo el grupo los procedimientos que usaron para multiplicar polinomios. A lo que llegamos Una forma de multiplicar y + 2 por 3x + y + 3 es la siguiente: (y + 2) (3x + y + 3) = y (3x + y + 3) + 2 (3x + y + 3) = 3xy + y 2 + 3y + 6x + 2y + 6 = 3xy + y 2 + 5y + 6x + 6 1º Se multiplica cada término de y +2 por todos los términos de 3x + y + 3 2º Se suman los términos semejantes 168 204 L ibro p ara el mae s t r o MATEMÁTICAS También puede multiplicarse de forma vertical II 3x + y + 3 y+2 6x + 2y + 6 + 3y 1º Se multiplica el término +2 por todos los términos de 3x + y + 3 2º Se multiplica el término y por todos los términos de 3x + y + 3 3º Se suman los términos semejantes Sugerencia didáctica. Plantee a los alumnos otras multiplicaciones de polinomios y pídales que las resuelvan mediante alguno de los dos procedimientos que se explican aquí. Es importante que señale las características de la multiplicación de forma vertical: al igual que se acomodan las cifras en las multiplicaciones que ellos ya conocen (unidades, decenas, centenas, etc.), cada término se acomoda en una “columna” y el resultado de la multiplicación se anota en esa misma columna. Por ello en el ejemplo se dejó un espacio para anotar el resultado de multiplicar y por y (no puede quedar debajo de 6 x). 3xy + y 2 3xy + y 2 + 6x + 5y + 6 III. Los procedimientos anteriores se aplican para multiplicar polinomios con coeficientes decimales, fraccionarios y negativos. 3 2 10 x – 3 2 xy 6 3 2 27 2 2 – 3 2 xy – 5 xy + 6y = 10 x – 10 xy + 6y 3 3 (1 2 x – 2y ) ( 5 x – 3y ) = 10 x 2 – 6 5 xy + 6y 2 Realiza o completa las siguientes multiplicaciones. a) (3.5x + 2y ) (3.5x) = b) (2xy ) (3x – 2y + 2) = c) 3 (1 2 x ) ( – 2x + 5 ) = 12.5x 2 + 7xy 6 x 2 y – 4x y 2 + 4xy –x 2 + 3 10 Integrar al portafolios. Solicite a los alumnos una copia de sus respuestas a esta actividad. Si tras revisarla considera que aún tienen dificultades, repasen la información de A lo que llegamos. x d) (3x + 6) (– 2x -5) = –6 x 2 – 27x – 30 2 e) (– 3x) ( –2 x + 5 y) = 6x – 15xy Lo que aprendimos 1. Completa las siguientes multiplicaciones. No olvides sumar todos los términos semejantes. a) (x – 2) (3x + 2) = ( x–2 2 ) 3x + ( – 6x + x–2 2x )2 – = 3x 4 = 3x – 4x – 4 2 169 Li b r o p ara e l m ae s t r o 205 SECUENCIA 12 b) – x 3x + + 2 5 5x – + 10 3x 2 – 6x – 3x 2 – x + 10 Respuesta. El área es 3 x 2 + 8 x + 4, es decir, 3 bloques cuya área es x 2 , + 8 bloques de x y 4 bloques de área 1. 2. Cubre el rectángulo con bloques algebraicos y encuentra su área. x+2 3x + 2 Área = 3. Coloca cada expresión en el círculo que le corresponda para que los productos de los tres términos de cada lado del triángulo mágico de la derecha sean iguales. – 4 9 Faltan por colocar: –1, 3 2 x, 9 4 x, 27 x 8 27 8 x 3 2 9 4 x –1 – 2 3 x 170 206 L ibro p ara el mae s t r o MATEMÁTICAS ¿CUÁNTO MIDE LA BASE? II SESIÓN 3 Para empezar Propósito de la sesión. Resolver problemas que impliquen la división de un polinomio por un monomio. Organización del grupo. Se sugiere trabajar las actividades individualmente y que comenten sus resultados de manera grupal. Propósito de la actividad. Ahora los alumnos tienen que hallar uno de los factores (en este caso, la base) conociendo el producto (área) y el otro factor (altura). Para encontrarlo pueden pensar lo siguiente: ¿qué número multiplicado por 2 x es igual a 6 x 2 + 2 xy?, es decir, 2x × = 6 x 2 + 2 xy. En esta sesión resolverás problemas que impliquen la división de un polinomio entre un monomio. Consideremos lo siguiente El área de un rectángulo es 6x 2 + 2xy. Su altura mide 2x. 2x A = 6x 2 + 2xy O bien, ¿cuál es el resultado de dividir 6 x 2 + 2 xy ÷ 2 x? Si lo considera útil, plantéeles algunas de esas preguntas y permítales explorar distintos procedimientos y respuestas, aunque cometan errores. Respuestas. a) 3 x + y b) 10 x + 2 y Respuestas. a) 6 bloques. b) 2 bloques. a) ¿Qué expresión algebraica representa la medida de la base? b) ¿Cuál es el perímetro del rectángulo? Perímetro = Comparen sus respuestas y verifiquen la medida de la base a partir de la expresión: Base × Altura = Área. Manos a la obra I. Con los bloques algebraicos cubre el rectángulo de área 6x 2 + 2xy. Después contesta las siguientes preguntas. a) ¿Cuántos bloques de área x 2 hay en el rectángulo? b) ¿Cuántos bloques de área xy hay en el rectángulo? Comparen sus respuestas y comenten: Si conocen el área y la altura de un rectángulo, ¿qué operación hay que hacer para calcular su base? 1 171 Li b r o p ara e l m ae s t r o 207 Respuesta. La expresión correcta es 2 x + 5 , porque al multiplicarla por 2 x se obtiene 4x 2 + 10 x. Sugerencia didáctica. Si los alumnos obtienen otras respuestas pídales que pasen al pizarrón a verificarlas, haciendo la multiplicación y la división que se proponen en los incisos b) y c). SECUENCIA 12 II. Responde las siguientes preguntas. a) Subraya la expresión que al multiplicarse por 2x dé como producto 4x 2 + 10x. 7x 2x 2 + 5 2x + 5x 2x + 5 b) Multiplica la expresión que subrayaste por 2x y verifica si obtienes 4x 2 + 10x. 2x ( ) = 4x 2 + 10x c) ¿Cuál es el resultado de la división Comparen sus respuestas. 4x 2+10x ? 2x A lo que llegamos Una manera de dividir el binomio 6x 2 + 2xy entre el monomio 2x consiste en buscar un binomio que multiplicado por 2x dé como producto 6x 2 + 2xy. 6x 2 + 2xy = 3x + y 2x Sugerencia didáctica. Si los alumnos tienen dificultades para trabajar esta actividad, anote los ejercicios en el pizarrón y resuélvanlos juntos, pero permita que sean ellos quienes propongan posibles respuestas y las justifiquen. Porque 2x (3x + y ) = (2x ) (3x ) + (2x ) (y ) = 6x 2 + 2xy III. La regla anterior para dividir un binomio entre un monomio se aplica para dividir cualquier polinomio entre un monomio con coeficientes decimales, fraccionarios o negativos. 6.4z 2 – 1.6xz + 7.2z = 8 z – 2 x + 9z 0.8z Porque Respuestas. a) 2 y – 4x + 3 9 yz – b) – 10 9 2 0.8z (8z – 2x + 9z) = 6.4z 2 – 1.6xz + 7.2z Realiza las siguientes divisiones: x+3 a) 6y 2 – 12xz + 9z = 3z Porque 172 3y ( ) = 6y 2 – 12xy + 9y 208 L ibro p ara el mae s t r o MATEMÁTICAS b) 2 –3 5 y z – 3xz + 2y II Sugerencia didáctica. Anote en el pizarrón esta expresión y comenten por qué no es posible simplificar 5x . 3y Respuestas. a) 5 x – 2 b) 4 y – 3 3 y + 2y x 2 4x + 5 y 3 2y 3 = 2y 3 Porque ( )=– 3 y 2z 5 – 3xy + 2y IV. No siempre es posible simplificar las expresiones al realizar una división, algunas veces sólo se deja indicada. Por ejemplo: Sabías que: 6y 2 – 9xy + 5x 5x = 2y – 3 x + 3y 3y 15xy = 5x 5x (3y) 3y = 3y ( ) Porque 3y ( 2y – 3x + 5x ) = 6y 2 – 9xy + 5x 3y x ) = 15xy Porque (3y )(5 Realiza las siguientes divisiones. a) 2x ( ) = 5x 2 – 3xy + 4y b) 4y 2 – 12x + 5y = 3y Comparen sus respuestas y comenten cómo dividir un polinomio entre un monomio. Sugerencia didáctica. Si no tienen suficiente tiempo en la clase, deje este apartado de tarea y posteriormente revise las respuestas de los alumnos. Integrar al portafolios. Seleccione una de las actividades de este apartado y pida a los alumnos una copia para guardarla en su portafolios. Si los alumnos tienen dificultades, repasen la información de A lo que llegamos de las tres sesiones de esta secuencia y propóngales más multiplicaciones y divisiones. Respuesta. La base mide 2 x + 5 y el perímetro es 8 x + 10. Lo que aprendimos 1. Encuentra la expresión algebraica que corresponde a la base del rectángulo. Posteriormente calcula su perímetro. 2x Área = 4x 2 + 10x Perímetro = 173 Li b r o p ara e l m ae s t r o 209 Posibles procedimientos. Los alumnos pueden utilizar distintos procedimientos para resolver esta actividad. • Multiplicar y (2 y + 3) para obtener el área del rectángulo formado por los rectángulos rojo y azul. Luego restar (2 y 2 + 3 y ) – 2 y para obtener el área del rectángulo rojo y posteriormente obtener la medida del largo de este rectángulo (2 y + 1) . • Obtener la base del rectángulo azul al dividir 2 y/ y = 2 , posteriormente restar (2 y + 3) – 2 = 2 y + 1 para obtener la base del rectángulo rojo. Finalmente, multiplicar (2 y +1) y = 2 y 2 + y para obtener el área del rectángulo rojo. Posibles procedimientos. • Descomponer la figura horizontalmente en dos rectángulos, uno con área x y el otro con área x 2 + xy + 2 x + y + 1. Luego sumarlas para obtener x 2 + xy + 3 x + y + 1. • Descomponer la figura verticalmente en dos rectángulos, uno con un área x 2 + 2 x y el otro con área xy + x + y + 1. Luego sumarlas para obtener x 2 + xy + 3 x + y + 1. Posibles dificultades. Al pretender obtener el perímetro, los alumnos pueden cometer el error de sumar las cuatro expresiones algebraicas que aparecen en la figura (3 x + 2 y + 5) y no tomar en cuenta que dos de los lados no tienen escrita su medida (x y 1) . Respuestas. a) Área: x 2 + xy + 3 x + y + 1 b) Perímetro: 4x + 2 y + 6 SECUENCIA 12 2. Calcula el área de la figura que se forma al unir el rectángulo rojo con el azul. El área del rectángulo azul es 2y. y Área = 2y 2y + 3 a) ¿Qué operación realizas para obtener el área del rectángulo formado al unir los rectángulos rojo y azul? b) ¿Qué área obtuviste? Área = c) Realiza las operaciones que consideres necesarias para completar la tabla siguiente. Rectángulo Rojo Azul Formado por los dos rectángulos. Base Altura Área Perímetro 2y + 1 2 2y + 3 y 2y 2 + y 2y 2y 2 + 3y 6y + 2 2y + 4 y y 6y + 6 3. Calcula el área y el perímetro del hexágono siguiente: y +1 x +2 x +1 x +y +1 a) Área = b) Perímetro = 174 210 L ibro p ara el mae s t r o MATEMÁTICAS II 4. El largo de un invernadero mide el doble que el ancho, y alrededor de éste se encuentra un pasillo de 2 metros de ancho y 136 metros cuadrados de área. Posibles procedimientos. El propósito de incluir este problema es que el alumno se familiarice con la resolución de ecuaciones. Para obtener la expresión algebraica que corresponde al área del pasillo puede haber varios caminos: • Obtener el largo (2 x + 4) y el ancho (x + 4) del rectángulo formado por el invernadero y el pasillo. Luego multiplicar (2 x + 4) (x + 4) para obtener el área de este rectángulo (que es 2 x 2 + 12 x + 16) . 2 metros x Invernadero 2x a) ¿Cuántos metros cuadrados de superficie tiene el invernadero? b) ¿Qué expresión algebraica le corresponde al área del invernadero? c) ¿Qué expresión algebraica le corresponde al área del pasillo? Posteriormente restarle a esta área el área del invernadero: (2 x 2 + 12 x + 16) – 2 x 2 = 12 x + 16 para obtener la expresión que corresponde al área del pasillo. Finalmente, igualar 12 x + 16 = 136 para hallar que x = 10 metros. • Dividir el pasillo en dos rectángulos de área 4x + 8 y otros dos de área 2 x, que al sumarse dan un área total de 12 x + 16 . Luego resolver la ecuación 12 x + 16 = 136 para hallar cuánto vale x (el ancho del invernadero). • Dividir el pasillo en seis regiones: dos de área 2 x, dos de área 4x y cuatro de área 4. Luego se suman para obtener el área total del pasillo (12 x + 16) . Después, resolver la ecuación 12 x + 16 = 136 para hallar cuánto vale x (el ancho del invernadero). El pasillo puede dividirse de otras formas. Sugerencia didáctica. Para resolver la ecuación 12 x + 16 = 136 se puede plantear al alumno preguntas como las siguientes: ¿Qué número sumado con 16 es igual a 136 ? ¿Qué número multiplicado por 12 es igual a 120 ? Respuestas. a) 200 m2 . b) 2 x 2 . c) 12 x + 16 . Para saber más Sobre resolución de triángulos mágicos consulta: http://interactiva.matem.unam.mx Juegos aritméticos (Dar clic en “17 por todos lados”). Ruta: Secundaria [Fecha de consulta: 24 de mayo de 2007]. Proyecto Universitario de Enseñanza de las Matemáticas Asistida por Computadora (PUEMAC), UNAM. 175 Li b r o p ara e l m ae s t r o 211 SECUENCI A 13 Propósito del programa integrador. Presentar características de cuerpos geométricos y algunos desarrollos planos para su construcción. Propósito de la sesión. Construir prismas y pirámides a partir de sus desarrollos planos. Organización del grupo. Los alumnos pueden trabajar en parejas y comparar grupalmente sus estrategias y resultados. Materiales. Instrumentos geométricos, cartulina o cualquier otro papel grueso, tijeras y pegamentos. Estos materiales se utilizarán durante las cinco sesiones de esta secuencia. Descripción del video. El video es introductorio, en él se muestran elementos geométricos tridimensionales que existen a nuestro alrededor, tales como pirámides, cubos y prismas diversos. Se muestra cómo construir uno de ellos a partir de una planilla y de sus principales características. Propósito de la actividad. Los alumnos has construido cuerpos geométricos con diferentes recuros a lo largo de la educación primaria, por lo que se espera que puedan construir, de alguna manera, el prima y la pirámide a partir de sus desarrollos planos. Es importante que los alumnos atiendan a la indicación de que se debe ser una sola pieza. Posibles dificultades. Probablemente los alumnos tendrán algunos problemas para trazar las figuras geométricas; dado que lo central de esta actividad no es el trazo de figuras, usted puede apoyarlos ya sea remitiéndolos a la secuencia 5, o incluso mostrando en el pizarrón cómo trazar algunas de las figuras. Habrá que tener cuidado de no dar pistas sobre la disposición de las caras. Propósito del interactivo. Explorar desarrollos planos de diferentes cuerpos geométricos. Propósitos de la secuencia Describir las características de cubos, prismas y pirámides. Construir desarrollos planos de cubos, prismas y pirámides. Anticipar diferentes vistas de un cuerpo geométrico. Cubos, prismas y pirámides Un dado, una caja o las pirámides de Teotihuacan tienen algo en común: son cuerpos geométricos de los cuales se pueden estudiar sus características y, en algunos casos, hacer los moldes para construirlos. Estos temas son los que estudiarás en esta secuencia. SESIÓN 1 DESARROLLA TU IMAGINACIÓN Para empezar La geometría a tu alrededor Mira a tu alrededor y observa las formas de edificios, casas, muebles, cajas, latas; muchas de ellas son cuerpos geométricos o combinaciones de ellos. Por ejemplo, la caja de al lado tiene forma de un cuerpo geométrico. Imagina que extendemos el molde con el que la hicieron: A este molde también se le llama desarrollo plano. Consideremos lo siguiente Elaboren con cartulina una casa y un pino como los siguientes. Pueden ser del tamaño que prefieran, la única condición es que no se permite hacer por separado las caras y luego unirlas, tienen que hacer el desarrollo plano de una sola pieza para cada uno. 176 Eje Forma, espacio y medida. Sesión 1 Propósitos de la sesión Desarrolla tu imaginación Construir prismas y pirámides a partir de sus desarrollos planos. Más desarrollos planos Ampliar los conocimientos sobre los desarrollos planos de cubos, prismas y pirámides. El cuerpo escondido Describir las características de cubos, prismas y pirámides. Patrones y regularidades Profundizar el estudio de las características de prismas y pirámides, identificando regularidades entre el número de caras, de aristas y de vértices. Diferentes puntos de vista Trazar diferentes vistas de un cuerpo geométrico formado por cubos. Recursos Video “La geometría a tu alrededor” Interactivo Interactivo Tema Formas geométricas. Antecedentes En la escuela primaria los alumnos exploraron distintas características de los cuerpos geométricos: identificaron las formas de sus caras, aprendieron a distinguir vértices y aristas. Asimismo, aprendieron tanto a identificar como a elaborar desarrollos planos de cuerpos geométricos, tales como prismas, cubos y pirámides. En este grado de la educación secundaria se retoman esas experiencias para continuar desarrollando la imaginación espacial de los alumnos, así como para ampliar sus conocimientos sobre las características y propiedades de los cuerpos geométricos. 212 L ib ro para el mae s t r o 2 3 4 5 Interactivo Programa integrador 9 MATEMÁTICAS II Comparen su casa y su pino con los de otros compañeros y comenten con ellos cómo son los desarrollos planos que elaboraron. Manos a la obra I. En el siguiente desarrollo plano de la casa: a) Tracen las tres caras que le faltan. b) Terminen de poner las pestañas donde consideren necesario para que pueda armarse y que quede bien pegada. c) Unan con líneas los lados que se pegarán para formar las aristas. pestaña Sugerencia didáctica. Por lo general hay varios desarrollos planos para un mismo cuerpo geométrico, por lo que es importante que los alumnos comparen los distintos desarrollos planos que hayan surgido en el grupo. Es relativamente sencillo que los alumnos identifiquen si su molde fue correcto o no, pues la actividad por sí misma se valida: si lo hicieron bien, entonces podrán construir lo pedido. Lo interesante será que los mismos alumnos identifiquen en dónde estuvo el error. Si el tiempo se lo permite, invítelos a que intenten un nuevo molde, de todas formas tendrán la oportunidad de elaborar otros a lo largo de la sesión. Propósito de la actividad. Desarrollar en los alumnos la habilidad de la imaginación espacial, al mismo tiempo que estudian ciertas características de los poliedros. Posibles respuestas. Es probable que los argumentos de los alumnos sean: “porque no se puede”, “porque está mal”, etcétera. Recuerde que en matemáticas es importante aprender a dar argumentos cuando se afirma o niega algo, por ello invítelos a que sean más explícitos diciendo qué es lo que está mal; por ejemplo, en el segundo patrón, el ancho de cada una de las caras rectangulares no coincide con la longitud de los lados del pentágono con los cuales se tienen que unir. II. Los siguientes desarrollos planos no se pueden armar para formar una casa. En cada caso busquen la razón y argumenten por qué no se podrá armar la casa. 177 Li b r o p ara e l m ae s t r o 213 Sugerencia didáctica. Recuerde que para un mismo cuerpo geométrico hay distintas posibilidades de desarrollos planos, por lo que es conveniente que los alumnos comparen sus diseños para que tengan la oportunidad de conocer otros modelos. SECUENCI A 13 III. En el siguiente desarrollo plano del pino: a) Tracen las caras que faltan. b) Pongan pestañas donde consideren necesario. c) Unan con líneas los lados que se pegarán para formar las aristas. Propósito del interactivo. Explorar desarrollos planos de diferentes cuerpos geométricos. IV. Los siguientes desarrollos planos no se pueden armar para formar un pino. En cada caso busquen la razón y argumenten por qué no se podrá armar el pino. Esta cara tiene que ir donde se señala Esta cara sobra 178 214 L ib ro para el mae s t r o MATEMÁTICAS II A lo que llegamos El desarrollo plano de un cuerpo geométrico es el patrón o molde plano para construirlo. Por lo general hay varios desarrollos planos para un mismo cuerpo geométrico. Los siguientes desarrollos son para armar un cubo, un prisma y una pirámide. Sugerencia didáctica. Destaque dos aspectos de la información que aquí se presenta: qué se entiende por “desarrollo plano” y que puede haber distintas posibilidades de desarrollos planos para un mismo cuerpo geométrico. Un mismo cuerpo geométrico tiene diferentes desarrollos planos. Por ejemplo, con cualquiera de los dos siguientes desarrollos planos se puede armar un tetraedro. Lo que aprendimos 1. Elijan un prisma o una pirámide, tracen el desarrollo plano en cartulina y ármenlo. Puede ser del tamaño que quieran. Sugerencia didáctica. Es importante que realicen esta actividad, pues los cuerpos que construyan será utilizados en actividades posteriores. Puede pedir a los alumnos que hagan esta actividad en casa, aun cuando se sugiere que sea en equipo. Si lo considera conveniente, indique a los alumnos que hagan el desarrollo plano y que doblen sobre los vértices para ver si se forma el cuerpo geométrico, pero que NO PEGUEN LAS PESTAÑAS, pues de esa manera podrán comparar, al día siguiente en clases, su molde con los de otros compañeros. Una vez que hayan comparado –y corregido, en caso de que sea necesario– entonces pegan las pestañas. 179 Li b r o p ara e l m ae s t r o 215 Propósito de la sesión. Ampliar los conocimientos sobre los desarrollos planos de cubos, prismas y pirámides. Organización del grupo. Se sugiere que los alumnos trabajen en parejas. Propósito de la actividad. En esta sesión se amplía el repertorio de ejercicios sobre los desarrollos planos, haciendo énfasis en la imaginación espacial de los alumnos. Dependiendo del tiempo con el que cuente, puede trabajar todos los ejercicios en el aula o dejar algunos para tarea en casa. Propósito de la actividad. Además de servir para validar la actividad anterior, es importante que construyan el cubo porque lo ocuparán en otras actividades. Posibles dificultades. Dado que este desarrollo plano no es muy conocido para los alumnos, es probable que la primera dificultad sea imaginar cómo se puede armar un cubo con él. Invítelos a que primero traten de imaginar cómo armar el cubo y cuáles caras quedarán opuesta una de la otra (antes de poner los puntos, pueden auxiliarse de otras marcas, por ejemplo: A – A’, B – B’…). Una vez que hayan ubicado los pares de caras opuestas, ponen los puntos. Si lo consideran necesario, pueden verificar sus respuestas calcando y recortando rápidamente el desarrollo para tratar de armar el cubo. Propósito de la actividad. Se espera que los alumnos desarrollen, de manera gradual, la habilidad de hacer la representación plana (el dibujo) de un cuerpo de tres dimensiones. Esto no es sencillo, es probable que los alumnos puedan imaginar el cuerpo, pero que tengan dificultades para dibujarlo. No se trata de que el dibujo sea exacto, sino de que intenten representar gráficamente aquello que imaginan. SECUENCI A 13 SESIÓN 2 MÁS DESARROLLOS PLANOS Manos a la obra I. Los siguientes son desarrollos incompletos para hacer un cubo. En cada uno dibujen la cara que falta. • Elijan uno de los desarrollos, dibújenlo del tamaño que quieran en una cartulina y ármenlo. II. Dibujen los puntos necesarios en cada cara para que con el siguiente desarrollo se arme un dado cuyas caras opuestas sumen 7. III. Con el siguiente desarrollo plano se arma un cuerpo geométrico. Dibujen el cuerpo armado a la derecha. • Reproduzcan el desarrollo en cartulina, al tamaño que gusten, pongan pestañas y armen el cuerpo. ¿Se parece al que dibujaron? 180 Sugerencia didáctica. En caso de que algunos alumnos no hayan podido armar el cuerpo geométrico, invítelos a que identifiquen en dónde está el error. Recuerde que es importante hacer el tetraedro y guardarlo, pues después van a ocuparlo. 216 L ib ro para el mae s t r o MATEMÁTICAS IV. Terminen este desarrollo para armar una pirámide con base cuadrada. II V. El siguiente desarrollo es para armar un prisma triangular. Pongan pestañas donde crean necesario y anoten las parejas de lados que se van a pegar, observen el ejemplo. e d a se pega con d c b g f Sugerencia didáctica. Una vez que hayan contestado el ejercicio, que calquen rápidamente el patrón y armen el cuerpo geométrico respectivo. Respuestas. b se pega con c, g se pega con h, e se pega con j, f se pega con i. a h j i Comparen sus procedimientos y sus resultados. 181 Propósito del interactivo. Explorar desarrollos planos de diferentes cuerpos geométricos. Li b r o p ara e l m ae s t r o 217 Propósito de la sesión. Describir las características de cubos, prismas y pirámides. Organización del grupo. La primera actividad se hace en equipos y las siguientes de manera individual. Materiales. Los cuerpos geométricos que construyeron en las sesiones 1 y 2. Sugerencia didáctica. Desde la escuela primaria los alumnos manejan estos términos; no obstante, es importante recordarlos junto con ellos. Adicionalmente, usted puede pedirles que identifiquen en algunos de los cuerpos geométricos que construyeron en las sesiones anteriores, caras, aristas y vértices de esos cuerpos. SECUENCI A 13 SESIÓN 3 EL CUERPO ESCONDIDO Para empezar En la primaria aprendiste algunos nombres relacionados con los cuerpos geométricos. cara arista vértice Consideremos lo siguiente Realicen esta actividad en equipos. Junten todos los cuerpos geométricos que hicieron en las sesiones anteriores. 1. Un equipo elije un cuerpo geométrico y lo mantiene oculto. 1 Sugerencia didáctica. Esta actividad tiene que trabajarse al menos con tres alumnos o tres equipos (uno es el que elige el cuerpo y lo oculta y los otros hacen preguntas). En caso de que sea necesario, usted puede involucrar a alumnos de otros grados, pues la actividad es interesante también para los alumnos de primer o tercer grado. Aun cuando no se establece un número específico de preguntas, es importante que usted regule el tiempo de manera tal que los alumnos sigan manteniendo el interés en el juego. Si nota que los alumnos no hacen ciertas preguntas, usted puede sugerirlas, por ejemplo: ¿Cuántas caras tiene el cuerpo geométrico? ¿Cuántas aristas? ¿Todas sus caras son iguales? ¿Tiene caras cuadradas? ¿Tiene caras en forma de polígonos regulares? ¿Tiene una o dos bases? ¿Su base o bases son polígonos regulares? 2. Los demás equipos tratan de adivinar cuál es ese cuerpo. Para ello formulan preguntas que puedan responderse sólo con un sí o un no y las anotan en el pizarrón junto con sus respuestas. Por ejemplo: • ¿Tiene 8 caras? • ¿Tiene caras triangulares? También pueden formular preguntas que se respondan con un número (puede ser una medida). Por ejemplo: • ¿Cuántos vértices tiene? • ¿Cuánto mide de altura? 3. Una vez que crean que tienen la información suficiente, trazan el desarrollo plano para construir el cuerpo. Cuando todos los equipos hayan terminado comparen el cuerpo que construyeron con el que estaba escondido. 4. Gana el equipo que haya construido el cuerpo más parecido al original. Cuando finalicen comenten la actividad, en particular analicen las preguntas que hicieron, cuáles de ellas fueron de mayor importancia y qué vocabulario geométrico emplearon. 182 Sugerencia didáctica. Si el trabajo se hizo individualmente, entonces gana el alumno que haya construido el cuerpo más parecido al original, esto incluye que se asemeje tanto en forma como en tamaño. Entre todos podrán decidir quién es el ganador. En caso de que ningún equipo o alumno logre construir el cuerpo, es necesario identificar si el equipo encargado de responder las preguntas lo hizo bien o no. Por ello es importante hacer el análisis de las preguntas y sus respuestas. 218 L ib ro para el mae s t r o MATEMÁTICAS II Manos a la obra I. Considera las siguientes preguntas y respuestas y dibuja el cuerpo en el recuadro de la derecha. a) ¿Es una pirámide? No b) ¿Tiene alguna cara cuadrada? d) ¿Es un cubo? No e) ¿Cuántas aristas tiene? 18 Respuesta. El cuerpo geométrico que reúne esas características es un prisma hexagonal cuyas caras laterales son cuadrados. Sí 6 c) ¿Cuántas caras cuadradas tiene? f) ¿Todas sus caras tienen la misma forma? g) ¿Las caras cuadradas son iguales? Sí No Comparen el dibujo que hizo cada uno y mencionen el nombre del cuerpo geométrico. PATRONES Y REGULARIDADES Manos a la obra SESIÓN 4 I. Observen cuáles son las bases y cuáles las caras laterales del siguiente prisma. Propósito de la sesión. Profundizar el estudio de las características de prismas y pirámides, identificando regularidades entre el número de caras, de aristas y de vértices. Organización del grupo. Es conveniente que trabajen organizados en parejas y que el apartado Lo que aprendimos lo resuelvan de manera individual. bases cara lateral a) ¿Cuántas bases tiene? b) ¿Qué forma tienen sus bases? 2 c) ¿Cuántas caras laterales tiene? 5 forma pentagonal d) ¿Qué forma tienen las caras laterales? forma rectangular II. Consideren el siguiente prisma que está apoyado sobre una de sus caras laterales. a) ¿Cuántas bases tiene? b) ¿Qué forma tienen sus bases? c) ¿Cuántas caras laterales tiene? d) ¿Qué forma tienen las caras laterales? e) ¿Cómo defines lo que es un prisma? base cara lateral Propósito de la actividad. Que los alumnos identifiquen a las bases como las dos caras poligonales iguales y paralelas, independientemente de que los prismas NO estén apoyados sobre ellas. En general, el término “base” tiene esta característica en muchos objetos geométricos, por ejemplo, las bases de los trapecios son los lados paralelos aunque el trapecio esté apoyado sobre uno de sus lados no paralelos; en el caso del triángulo, cualquiera de los lados puede considerarse base, aunque no sea en el que parezca apoyarse. Es importante que los alumnos construyan esta misma idea respecto de las bases de un prisma. 183 2 Propósito de la pregunta. Que los alumnos verbalicen lo que entienden por prisma. Recuerde que “definir” es una habilidad que permite poner en orden lo que se sabe de un objeto geométrico. Sugerencia didáctica. Promueva con sus alumnos que traten de decir con sus propias palabras lo que es un prisma y, de ser posible, haga una puesta en común sobre las diferentes respuestas que dieron, analizando cuáles definiciones son más adecuadas y por qué. Li b r o p ara e l m ae s t r o 219 SECUENCI A 13 III. Observen los siguientes prismas cuadrangulares. 6 cm 5 cm 3 cm Propósito de la actividad. Un aspecto importante que los alumnos deben trabajar es la relación interfigural, esto es, la relación entre las diversas figuras y los cuerpos geométricos. Este tipo de análisis los lleva a concluir que, por ejemplo, el cuadrado es un caso especial de los rombos, o que el triángulo equilátero es un caso especial del triángulo isósceles. Se espera que con este ejercicio los alumnos concluyan que el cubo es un caso especial de los prismas en general, y de los prismas cuadrangulares en particular. Propósito de la actividad. Además de trabajar el análisis y ladescripción de los prismas (forma de caras, números de caras, aristas y vértices), el propósito de este ejercicio es vincular el trabajo de geometría con el de sentido numérico y pensamiento algebraico; por ello, en el último renglón de la tabla se pide a los alumnos que busquen una expresión general algebraica. Sugerencia didáctica. Si identifica que los alumnos tienen dificultades para establecer la expresión general, invítelos a analizar los datos que obtuvieron para cada columna, por ejemplo: ¿cómo es el número de lados de las bases con relación al número de caras?, ¿cómo es el número de caras laterales con relación al número de aristas?, ¿cómo puede expresarse esa relación para todos los casos? 3 cm 3 cm 3 cm 3 cm 3 cm 3 cm Un cubo es un prisma, ¿por qué? IV. Consideren los siguientes dibujos de prismas, observen que el prisma recibe un nombre de acuerdo con la forma de sus bases. prisma triangular prisma pentagonal prisma hexagonal prisma cuadrangular prisma octagonal Prisma Triangular Cuadrangular Pentagonal Hexagonal Octagonal Con una base de n lados 184 Número de lados en cada base Número de caras laterales Número de caras en total Número de aristas Número de vértices 3 4 5 6 8 3 4 n 5 6 8 n 5 6 7 8 9 10 n+2 12 15 18 24 3n 6 8 10 12 16 2n 220 L ib ro para el mae s t r o MATEMÁTICAS V. Observen cuál es la base de una pirámide y cuáles las caras laterales. II base cara lateral a) ¿Cuántas bases tiene? b) ¿Cuántas caras laterales tiene? c) ¿Qué forma tienen las caras laterales de una pirámide? VI. Consideren los siguientes dibujos de pirámides, observen que la pirámide recibe su nombre de acuerdo con la forma de su base. Propósito de la actividad. Es el mismo del ejercicio IV, sólo que ahora se trabaja con pirámides. pirámide triangular pirámide octagonal Número de lados de la base Número de caras laterales pirámide pentagonal pirámide hexagonal Número de caras en total pirámide cuadrangular Pirámide Triangular Cuadrangular Pentagonal Hexagonal Octagonal Con una base de n lados Número de aristas Número de vértices 3 3 4 4 5 6 8 n 4 5 6 5 6 8 n 6 8 10 12 7 9 n+1 4 5 6 7 9 16 2n n+1 Comparen sus respuestas y la manera en que llegaron a ellas. 185 Li b r o p ara e l m ae s t r o 221 Sugerencia didáctica. Destaque con los alumnos cuáles son las características que deben considerarse cuando se describe un cuerpo geométrico, y cuál es la relación que existe entre el número de caras, de vértices y de aristas en prismas y pirámides. SECUENCI A 13 A lo que llegamos Es importante identificar las características de los cuerpos geométricos. Por ejemplo, este cuerpo geométrico es un prisma, está formado por dos caras iguales paralelas en forma de octágonos, por lo que se trata de un prisma octagonal. Sus caras laterales son rectángulos. Tiene en total 10 caras, 16 vértices y 24 aristas. Incorporar al portafolios. Esta actividad puede dejarse para realizarse en casa. Al día siguiente, pida a los alumnos que compartan su descripción con sus compañeros. Posteriormente, organice una puesta en común con todo el grupo. Lo que aprendimos 1. Describe en tu cuaderno cada uno de los siguientes cuerpos geométricos. Propósito de la sesión. Trazar diferentes vistas de un cuerpo geométrico formado por cubos. Organización del grupo. La primea actividad se realiza en equipos, el apartado Manos a la obra puede resolverse individualmente y la última actividad en parejas. Materiales. Los cubos que van a construir en esta sesión. SESIÓN 5 DIFERENTES PUNTOS DE VISTA Para empezar Dibuja las dos caras que hacen falta para que se pueda armar un cubo. Sugerencia didáctica. Dado que en esta sesión se ocuparán varios cubos, es importante que los alumnos los armen, pero si no cuenta con tiempo suficiente, puede dejarlo de tarea desde el día anterior, o sustituir los cubos de cartulina por cubos de algún otro material, inclusive dados (aclarando a los alumnos que no tomen en cuenta los puntos). Reproduce cinco veces en cartulina el desarrollo, de tal manera que cada arista del cubo mida 3 cm. No olvides poner pestañas donde haga falta y arma los cinco cubos. 186 222 L ib ro para el mae s t r o MATEMÁTICAS II Consideremos lo siguiente Reúnete con otros dos compañeros. Junten sus cubos y armen un cuerpo que tenga las siguientes vistas: frente arriba de un lado del otro lado Comparen su cuerpo geométrico con los de otros equipos. ¿Hay una manera o hay varias maneras de armar este cuerpo con los cubos? Manos a la obra I. Las vistas corresponden a la parte de arriba de los cuerpos. Colorea según corresponda. Propósito de la actividad. Una manera de representar cuerpos de tres dimensiones en el plano es a través de lo que se llama “vistas” del cuerpo, es decir, el dibujo de cómo se ve el cuerpo desde cierta posición: de frente, de arriba, de un lado, de atrás, etcétera. Posibles dificultades. La representación plana de cuerpos de tres dimensiones no es una tarea fácil. Al dibujar un cuerpo geométrico en el plano se pierde información y es importante aprender a interpretar lo que se ve dibujado. Los alumnos deben tener sus cubos y armar un cuerpo que tenga estas vistas, ellos mismos podrán validar si el cuerpo construido se ve como aquí se presenta. Sugerencia didáctica. Usted puede apoyar a los alumnos aclarando que “las vistas” se refieren a cuál es la imagen del cuerpo cuando se mira de frente, por arriba, por un lado… Aclare también que cuando en el dibujo hay espacios vacíos, quiere decir que ahí no hay ningún cubo. Sugerencia didáctica. Es muy probable que los alumnos concluyan que la respuesta no es única; si nota que todos armaron el mismo cuerpo geométrico, invítelos a que sigan explorando otras posibilidades. Propósito del interactivo. Explorar diferentes vistas de cuerpos formados con cubos. II. Dibuja en tu cuaderno las vistas de este cuerpo de frente, de arriba y de ambos lados. III. Inventen un cuerpo formado por cubos. Dibujen sus vistas e intercámbienlas con un compañero. Dejen que, a partir de las vistas que dibujaron, cada uno arme el cuerpo. Después comparen ambos, deben ser iguales, si no lo son, analicen en dónde estuvo la falla. Para saber más Consulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula: De la Peña, José Antonio. “Poliedros regulares” y “Más sobre poliedros regulares”, en Geometría y el mundo. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2003. Hernández Garciadiego, Carlos. “Poliedros”, en La geometría en el deporte. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2003. 187 Respuesta. Sugerencia didáctica. Asegúrese de que los alumnos efectivamente lleven a cabo esta actividad, pues además de que les resultará divertida, es una forma de ejercitar sus habilidades de imaginación espacial, y así usted podrá identificar los avances y las dificultades de sus alumnos. Arriba Lado Lado Frente Li b r o p ara e l m ae s t r o 223 Propósito del programa integrador. Mostrar cómo se obtienen las fórmulas para calcular el volumen de distintos cuerpos geométricos. Propósito de la sesión. Encontrar y justificar la fórmula para calcular el volumen de un prisma rectangular. Organización del grupo. Se sugiere que el problema inicial se resuelva en equipos, el apartado Manos a la obra en parejas, y el apartado Lo que aprendimos de manera individual. Sugerencia didáctica. Los alumnos deberían tener ya cierto dominio de la noción del centímetro cúbico y de su representación simbólica, sin embargo, es importante que usted se asegure de que no haya dudas al respecto, pues los alumnos harán uso de esa noción a lo largo de toda la secuencia. Posibles procedimientos. Los diferentes procedimientos que pueden usar son muy similares a los que se presentan en el apartado Manos a la obra. También puede suceder que haya alumnos que sepan aplicar la operación que resuelve el problema (multiplicar las tres medidas) pero tal vez no sepan justificar por qué se hace de esa manera. Posibles dificultades. • No acordarse de la fórmula. • Acordarse de la fórmula pero no manejar bien los decimales. • Si quieren hacerlo por conteo de cubos se enfrentarán al problema de las partes decimales, ya que aparecen fracciones de cubos. Sugerencia didáctica. Mientras los alumnos resuelven, trate de identificar al menos dos procedimientos de resolución que puedan contrastarse frente a todo el grupo. SECUENCI A 14 Volumen de prismas y pirámides Es importante saber calcular el volumen de un prisma y de una pirámide, pero es más interesante que sepas de dónde se obtienen las fórmulas para calcularlo. Estudiando esta secuencia lo sabrás. SESIÓN 1 LAS CAJAS Para empezar En la primaria aprendiste que el volumen de un cubo que mide un centímetro de arista es un centímetro cúbico: El centímetro cúbico es una unidad que se usa para medir el volumen de los cuerpos geométricos, se simboliza cm3. Consideremos lo siguiente ¿Cuál es el volumen, en centímetros cúbicos, de una caja como la siguiente? 2.5 cm 4 cm 6.5 cm Describan la manera en que calcularon el volumen de la caja. Comparen los procedimientos y los resultados con otros equipos. 188 Eje Forma, espacio y medida. Tema Medida. Propósito de la secuencia Justificar las fórmulas para calcular el volumen de cubos, prismas y pirámides. Sesión 1 Propósitos de la sesión Las cajas Encontrar y justificar la fórmula para calcular el volumen de un prisma rectangular. Recursos Interactivo Programa integrador 10 Antecedentes En la escuela primaria los alumnos tuvieron distintos acercamientos a la noción de volumen y llegaron a establecer la fórmula para calcular el volumen de ciertos prismas. A partir de esas experiencias y de sus conocimientos sobre el cálculo del área de diversas figuras geométricas, en este grado de la educación secundaria se espera que los alumnos sean capaces de justificar la fórmula para calcular el volumen del cubo y la de cualquier prisma; asimismo, establecerán la fórmula para obtener el volumen de pirámides. 2 Más volúmenes de prismas Comprobar que la fórmula V = B × h permite calcular el volumen de prismas rectos. Video “Unas fórmulas se obtienen de otras” Interactivo 3 Arroz y volumen Encontrar y justificar la fórmula para calcular el volumen de una pirámide. 224 L ib ro para el mae s t r o MATEMÁTICAS II Manos a la obra I. Consideren ahora una caja en forma de prisma rectangular con las siguientes medidas: Propósito del interactivo. Explorar una forma de obtener el volumen de un prisma. Propósito de la actividad. Que los alumnos experimenten distintas maneras de calcular el volumen de un prisma rectangular. Se presentan desde los primeros procedimientos que trabajaron en la primaria, como el conteo de cubos (procedimiento A), hasta el uso de la fórmula que aprendieron en sexto grado (procedimiento E). 2 cm 3 cm 4 cm Estos son algunos procedimientos para calcular el volumen de la caja, complétenlos. Procedimiento A . Se forma con centímetros cúbicos un prisma de esas medidas y luego se cuenta el número de cubos que se utilizaron. Procedimiento B. Se investiga cuántos centímetros cúbicos forman la base del prisma En la base caben: cubos Luego se multiplica este número por la altura del prisma: Número de centímetros cúbicos: × = Procedimiento C. Se investiga cuántos cubos se necesitan a lo largo, a lo ancho y a lo alto de la caja y se multiplican estos tres números. Procedimiento D. Se multiplican las medidas del prisma. 2 cubos 2 cm 3 cubos 4 cubos × × = × 4 cm × = 3 cm 189 Li b r o p ara e l m ae s t r o 225 SECUENCI A 14 II. El siguiente procedimiento también permite calcular el volumen del prisma: Procedimiento E. Se calcula el área de la base y se multiplica por la altura. a) ¿Qué forma tiene la base de la caja? b) ¿Cuál es el área de esta base? c) ¿Cuál es la medida de la altura de la caja? d) ¿Cuál es el producto del área de la base por la altura? III. Analicen todos los procedimientos y compárenlos con el procedimiento E. Escriban un argumento que muestre que el procedimiento E es el mismo que el B, C y D. Sugerencia didáctica. Es importante que usted enfatice que, si bien todos los procedimientos revisados permiten obtener un resultado correcto, algunos son más eficientes que otros, es decir, son más rápidos y evitan ciertos errores; en el caso del problema inicial es mejor aplicar los procedimientos D o E que cualquiera de los otros. Regresen al problema inicial y calculen el volumen de la caja utilizando el procedimiento E. ¿Llegan al mismo resultado? A lo que llegamos Con ayuda de su profesora o profesor, lean y comenten la siguiente información: Sugerencia didáctica. Es importante hacer énfasis en la simbolización que se propone; para ello, usted puede apoyarse en una de las ilustraciones anteriores, para que identifiquen el largo, el ancho y la altura. Lea y comente esta información con los alumnos, puede pedirles que expliquen con sus propias palabras lo que entendieron, también pueden copiar la información en sus cuadernos e ilustrarla con un ejemplo del cálculo del volumen de un prisma rectangular. Finalmente, puede pedirles que mencionen ejemplos de las situaciones en las que puede ser útil el cálculo de volúmenes de prismas. Al calcular el número de centímetros cúbicos (cm3) que forman el prisma se está calculando su volumen. Otras unidades de volumen son el decímetro cúbico (dm3) y el metro cúbico (m3). Hay varias maneras de calcular el volumen de un prisma rectangular, por ejemplo: Volumen del prisma rectangular = Largo x ancho x altura Si el largo se simboliza con l, el ancho con a y la altura con h, tenemos: V=l×a×h Observa que al multiplicar largo por ancho estás calculando el área de la base, así que otra manera de escribir la fórmula es: Volumen = Área de la base por la altura Si simbolizamos con B al área de la base, la fórmula puede escribirse: V=B×h 190 226 L ib ro para el mae s t r o MATEMÁTICAS II Lo que aprendimos 1. Calcula el volumen de los siguientes prismas. 3 cm Propósito de la actividad. Que los alumnos practiquen el cálculo de volúmenes de prismas rectangulares. Incorporar al portafolios. Si observa que los alumnos tienen dificultades, repase con ellos el apartado A lo que llegamos apoyándose en un ejemplo concreto. Usted puede poner otros ejercicios similares; también los alumnos pueden proponer otros prismas para seguir practicando. 4.5 cm 5 cm 5.1 dm 41 2 m Propósito de la sesión. Comprobar que la fórmula V = B×h permite calcular el volumen de prismas rectos. Organización del grupo. Se recomienda que el apartado Para empezar se trabaje en parejas y que el resto de la sesión se resuelva en equipos. Las actividades de Lo que aprendimos pueden resolverse de manera individual. Materiales. Instrumentos geométricos, cartulina o cualquier papel grueso, tijeras y pegamento. Para optimizar el tiempo de esta sesión se sugiere dejar de tarea la construcción de estos dos cuerpos geométricos y pedir a los alumnos que los lleven a clase ya construidos. 3.4 dm 6.2 dm 41 2 m 41 2 m MÁS VOLÚMENES DE PRISMAS SESIÓN 2 Para empezar Uno de ustedes construirá un prisma cuadrangular y el otro uno triangular, consideren las medidas indicadas en los siguientes desarrollos y no olviden poner las pestañas donde haga falta. 5 cm 5 cm 5 cm 5 cm 10 cm 10 cm 191 Posibles dificultades. Al construir el prisma triangular los alumnos podrían pensar que la medida de la base del rectángulo de la derecha también mide 5 cm. Hágales notar que la base mide más de 5 cm y que esa medida la podrán obtener una vez que hayan trazado el triángulo. Es importante que guarden sus prismas porque los ocuparán nuevamente en la sesión 3 de esta secuencia. Li b r o p ara e l m ae s t r o 227 Propósito de la actividad. Que a partir de la sesión anterior, en la que los alumnos calcularon el volumen del prisma rectangular, busquen una manera de calcular el volumen del prisma triangular. Posibles procedimientos. Es probable que los alumnos calculen el área de la base y la multipliquen por la altura, apoyándose en lo que ya saben o generalizando la fórmula de la sesión anterior. Una dificultad es que no recuerden cómo se calcula el área de un triángulo, si es así, usted puede ayudarles a recordarla, pero únicamente a los equipos que utilicen este procedimiento. También es probable que noten que con dos prismas triangulares forman un prisma cuadrangular y de ahí concluyan que para calcular el volumen del prisma triangular pueden calcular el del cuadrangular y dividir el resultado entre 2 . SECUENCI A 14 Consideremos lo siguiente Reúnanse con otra pareja y calculen el volumen de cada uno de los prismas que construyeron. a) Volumen del prisma cuadrangular b) Volumen del prisma triangular Expliquen cómo calcularon el volumen del prisma triangular. Comparen los procedimientos que emplearon para calcular el volumen del prisma triangular. Manos a la obra I. A un equipo se le ocurrió juntar dos prismas triangulares y vieron que formaban un prisma cuadrangular. a) ¿Cuál es el volumen del prisma cuadrangular que se formó? Sugerencia didáctica. Recomiende a los alumnos que primero comenten al interior de su equipo cómo encontraron el volumen del prisma triangular y cómo podrían redactar ese procedimiento. Uno de los miembros del equipo puede ir tomando nota, hacer una primera redacción y leerla a sus compañeros para que revisen si las ideas son claras y si coinciden con lo que hicieron. Cuando hayan hecho las correcciones necesarias, todos los miembros del equipo escriben el texto en su propio libro. b) ¿Qué parte del prisma cuadrangular es el prisma triangular? c) ¿Cuál es el volumen del prisma triangular? d) En la sesión anterior usaron la siguiente fórmula para calcular el volumen de un prisma rectangular: V = Área de la base por la altura e) ¿Esta fórmula se puede usar para un prisma cuadrangular? 192 Propósito de las actividades. Con las actividades I, II y III de este apartado se espera que los alumnos, a partir de la composición y descomposición de diferentes prismas, comprueben que la fórmula Área de la base por altura funciona para calcular el volumen de cualquier prisma cuya base sea un polígono. Propósito del interactivo. Explorar una forma de obtener el volumen de prismas. Propósito de las preguntas. Con los incisos e) y f) se pretende hacer notar que los prismas cuadrangulares son un caso especial de los rectangulares, porque el cuadrado es un rectángulo y, por lo tanto, la fórmula se aplica también a los prismas cuadrangulares. Esta idea se trabajó en la secuencia 13, en la que los alumnos identificaron al cubo como un caso especial de un prisma. 2 Sugerencia didáctica. Asegúrese de que los equipos efectivamente redacten sus explicaciones. Recuérdeles que primero pueden platicar sus ideas y después ponerlas por escrito. 228 L ib ro para el mae s t r o MATEMÁTICAS f) Expliquen por qué II g) ¿Podrán usar esta fórmula para calcular el volumen de un prisma triangular? Completen usando los datos del prisma triangular: V = Área de la base por la altura Área de la base = Altura= V= × = h) ¿Su resultado es el mismo que el que encontraste en el inciso c)? II. Ahora unan el prisma cuadrangular y el triangular para formar un prisma que tiene por base un trapecio (prisma trapezoidal). a) Como ya calcularon el volumen del prisma cuadrangular y el volumen del triangular pueden calcular el volumen del prisma trapezoidal. ¿Cuál es? b) ¿Se podrá calcular el volumen de un prisma trapezoidal con la fórmula: Área de la base por la altura? 193 Li b r o p ara e l m ae s t r o 229 4 Sugerencia didáctica. Es probable que algunos alumnos no se acuerden de la fórmula para calcular el área del trapecio; sugiérales que consulten la secuencia 14 del libro de primer grado, o que investiguen en alguna otra fuente cómo calcular el área de un trapecio. SECUENCI A 14 c) Calculen el volumen del prisma trapezoidal usando la fórmula: V = Área de la base por la altura Área de la base = Altura= Volumen = × = Sugerencia didáctica. En caso de que algunos alumnos no hayan obtenido los mismos resultados, invítelos a que identifiquen en dónde estuvo el error y que lo corrijan (la equivocación podría ser sólo en los cálculos o en la fórmula). Observen que, si hicieron bien las operaciones, obtienen el mismo resultado en los incisos a) y c). III. Con sus prismas cuadrangulares y triangulares traten de formar: • Un prisma con base en forma de romboide. • Un prisma con base en forma de trapecio isósceles (los trapecios isósceles son los que tienen sus lados no paralelos de la misma medida). • Para cada uno calculen su volumen de dos formas: a) Sumando los volúmenes de los cuerpos que utilizaron. b) Aplicando la fórmula A = B × h Sugerencia didáctica. Asegúrese de que los alumnos efectivamente armen los prismas que se indican y que calculen sus volúmenes con los procedimientos enunciados en a) y b), pues esto les permitirá no sólo ejercitar la aplicación de la fórmula, sino también establecer relaciones que los lleven a comprender por qué funciona la fórmula que se propone para obtener el volumen de distintos prismas. En el caso del prisma con base en forma de romboide, es posible que los alumnos no recuerden la fórmula para calcular el área de esa figura, o que no puedan identificar la altura de la misma. Si lo considera necesario, revise el caso de esa figura con todo el grupo. A lo que llegamos El volumen de un prisma se calcula con la siguiente fórmula: Volumen = área de la base por la altura Si simbolizamos el área de la base con B y a la altura con h, podemos escribir: V=B×h La base puede ser cualquier polígono así, que para calcular su área tienes que repasar la manera en que se calcula el área de los diferentes polígonos que conoces, recuerda que esto lo estudiaste en la secuencia 14 de primer grado. 194 Sugerencia didáctica. Comente con los alumnos que la fórmula que se revisó en la sesión anterior, efectivamente permite obtener el volumen de los prismas. 230 L ib ro para el mae s t r o MATEMÁTICAS II Lo que aprendimos 1. Calcula el volumen de los siguientes prismas. Sugerencia didáctica. Dado que el propósito de estos ejercicios es afianzar el manejo de una técnica, si lo considera necesario usted puede plantear otros ejercicios similares. 10 cm 8 cm 3.6 cm 3.4 cm 5 cm 3 cm 5.6 cm 3 cm 6 cm Propósito de la sesión. Encontrar y justificar la fórmula para calcular el volumen de una pirámide. Organización del grupo. Los alumnos pueden trabajar en parejas durante toda la sesión, y resolver individualmente el apartado Lo que aprendimos. Materiales. Los cuerpos geométricos de la sesión anterior, las pirámides que se proponen en esta sesión y arroz o cualquier otro grano o semilla pequeña, en cantidad suficiente para llenar el prisma cuadrangular. ARROZ Y VOLUMEN Para empezar SESIÓN 3 Uno de ustedes construirá una pirámide cuadrangular y el otro una triangular, consideren las medidas indicadas en los siguientes desarrollos. Dejen la base sin pegar porque van a llenar las pirámides de arroz o de alpiste. 10.3 cm 10 cm 5 cm 5 cm 5 cm 5 cm 195 Sugerencia didáctica. Para economizar tiempo, usted puede dejar de tarea la construcción de las pirámides. Comente a los alumnos que es posible que algunas caras no coincidan de manera exacta al tratar de unirlas, pues siempre hay la probabilidad de cierto margen de error al hacer mediciones. Li b r o p ara e l m ae s t r o 231 Propósito de la actividad. Dado que el cálculo del volumen de una pirámide es un tema nuevo para los alumnos, se espera que en este primer acercamiento logren identificar que el volumen de una pirámide es menor que el volumen de un prisma con la misma base y altura. Posibles procedimientos. Es poco probable que los alumnos logren deducir que el volumen de la pirámide es la tercera parte del volumen del prisma, en cambio, podrían pensar que es la mitad o alguna otra fracción. No se pretende que lleguen al resultado exacto, sino que enfrenten un nuevo problema que les permita explorar estrategias y soluciones posibles. Más adelante, a través de las actividades del apartado Manos a la obra, los alumnos podrán conocer y practicar un procedimiento sistemático. SECUENCI A 14 Consideremos lo siguiente Comparen el prisma cuadrangular, que construyeron en la sesión anterior, con la pirámide cuadrangular que acaban de armar. a) ¿Cuál de los dos tiene mayor volumen? b) ¿Cómo podrían calcular el volumen de la pirámide? c) Calculen el volumen de la pirámide y anoten su resultado. Volumen= Comparen sus procedimientos y sus resultados. Manos a la obra I. Realicen lo que se indica. a) Quiten una de las bases al prisma cuadrangular que construyeron en la sesión anterior para que puedan llenarlo de arroz o de alpiste. Sugerencia didáctica. En caso de que ninguno de los alumnos llegue al resultado correcto, no se los diga en este momento; permita que ellos mismos construyan la respuesta a lo largo de la lección. En cambio, sí es conveniente que los anime a expresar sus ideas y argumentos respecto de cuál de los cuerpos tiene mayor volumen y cómo podrían calcularlo, pues varias de estas ideas pueden ser una aproximación que les ayude a comprender las afirmaciones que más adelante se les presentarán. b) Verifiquen que la pirámide cuadrangular y el prisma cuadrangular tienen exactamente las mismas medidas de la base y la misma altura. Propósito de la actividad. Que los alumnos establezcan, de manera empírica, la relación entre los volúmenes de un prisma y de una pirámide con la misma base y altura. 196 Propósito del interactivo. Explorar una forma de obtener el volumen de pirámides. 232 L ib ro para el mae s t r o MATEMÁTICAS c) Llenen la pirámide cuadrangular de arroz y vacíen esta cantidad de arroz en el prisma cuadrangular. • ¿Qué parte del prisma quedó ocupada por el arroz? II d) Repitan el paso del inciso c) las veces que sea necesario hasta que el prisma se llene de arroz y comprueben su respuesta a la pregunta anterior. e) ¿Cuál es el volumen del prisma cuadrangular? ¿Cuál es el volumen de la pirámide? Posibles dificultades. Es probable que algunos alumnos no lleguen al resultado correcto (con una primera vez que se vacíe el contenido de la pirámide en el prisma, la capacidad de éste se ocupa sólo una tercera parte, por lo que el procedimiento debe hacerse 3 veces para llenar el prisma). Si nota que no llenan el recipiente con 3 veces, coménteles que probablemente hubo alguna imprecisión al llenar la pirámide o al vaciar las semillas (algunas se pudieron haber caído), o tal vez los cuerpos no tienen exactamente la misma base y la misma altura. Es importante que los alumnos constaten que el volumen de la pirámide es la tercera parte del volumen de un prisma con la misma base y altura. ¿Cómo lo averiguaron? f) Hagan lo mismo con el prisma triangular que construyeron en la sesión anterior y la pirámide triangular. • ¿Qué parte del volumen del prisma triangular es el volumen de la pirámide triangular? • ¿Cuál es el volumen de la pirámide triangular? • ¿Cómo lo averiguaron? 197 Sugerencia didáctica. Aun cuando algunos alumnos podrían generalizar sus hallazgos con la experiencia anterior, es importante que también hagan el vaciado de semillas con estos dos cuerpos geométricos, pues es una manera de comprobar su hipótesis, y para aquellos alumnos que todavía no identifican la relación entre los volúmenes de los prismas y las pirámides, es una oportunidad para lograrlo. Li b r o p ara e l m ae s t r o 233 2 Sugerencia didáctica. Anímelos a que comenten primero sus ideas con su pareja y que después ensayen una redacción. Cuando lean lo que escribieron a todo el grupo, considere un momento para que puedan corregir o enriquecer sus escritos. SECUENCI A 14 II. Expliquen la manera en que se puede calcular el volumen de una pirámide. Comparen sus resultados, en particular comenten lo que escribieron en la actividad II. A lo que llegamos El volumen de una pirámide recta de base poligonal puede calcularse con la fórmula: Volumen = área de la base × altura 3 B×h 3 Descripción del video. El video es formalizador. Con apoyo de las imágenes se refuerza el concepto de volumen y se da la justificación de algunas fórmulas de pirámides y prismas. Se dan ejemplos para trabajar visualmente la siguientes ideas: concepto de volumen, deducción de la fórmula para calcular el volumen de un prisma y deducción de la fórmula para calcular el volumen de una pirámide. V= Unas fórmulas se obtienen de otras Ahora ya conoces la relación que hay entre el volumen de un prisma y una pirámide que tienen igual base y altura, y esto te ha permitido construir la fórmula para calcular el volumen de una pirámide. Lo que aprendimos 1. Calcula el volumen de las siguientes pirámides cuya altura es de 8 cm. Incorporar al portafolios. Es importante que los alumnos practiquen el uso de esta fórmula y la que estudiaron en las sesiones anteriores, pues en la secuencia 15 las aplicarán a problemas de distintos contextos. Si identifica que los alumnos aún presentan dificultades, revise con ellos nuevamente el apartado A lo que llegamos de esta sesión y plantee problemas similares. 4.5 cm 3.6 cm 6.5 cm 198 3 cm 234 L ib ro para el mae s t r o MATEMÁTICAS II Para saber más Consulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula: Hernández Garciadiego, Carlos. “Volumen de prismas irregulares” y “Volumen de conos y pirámides”, en La geometría en el deporte. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2003. 199 Li b r o p ara e l m ae s t r o 235 SECUENCI A 15 Aplicación de volúmenes Propósito del programa integrador. Mostrar cómo se obtienen las fórmulas para calcular el volumen de distintos cuerpo geométricos. Y ahora que ya aprendiste las fórmulas para calcular el volumen de prismas y pirámides estás listo para explorar la relación entre volumen y capacidad, y también para resolver problemas relacionados con estos temas. SESIÓN 1 Propósito de la sesión. Encontrar la relación entre las medidas de volumen y de capacidad, en particular que 1 decímetro cúbico es igual a un litro. Organización del grupo. La sesión puede resolverse en parejas, intercalando momentos de discusión grupal. El apartado Lo que aprendimos puede resolverse individualmente. Materiales. Por pareja, una caja sin tapa en forma de cubo cuya base mida 10 cm por lado (puede pedir a los alumnos que previamente la construyan en casa), un recipiente de un litro de capacidad y semillas o granos pequeños (aproximadamente 1 kg). EL DECÍMETRO CÚBICO Para empezar En la sesión 1 de la secuencia anterior aprendiste que el volumen de un recipiente se puede calcular en centímetros cúbicos. ¿Qué volumen le cabe, en centímetros cúbicos, a una caja en forma de cubo que mide 5 cm de arista? Propósito de la actividad. Que los alumnos recuerden algunos de los aspectos que estudiaron en sexto grado respecto de la relación entre las medidas de volumen y capacidad. 5 cm En la primaria aprendiste que una unidad para expresar la capacidad es el litro. ¿Sabrías decir cuál es la capacidad de esta caja en litros? En esta lección aprenderás a responder preguntas como ésta. 200 . Eje Forma, espacio y medida. Tema Medida. Propósitos de la secuencia Calcular el volumen de cubos, prismas y pirámides rectos. Calcular datos desconocidos, dados otros relacionados con las fórmulas del cálculo de volumen. Establecer relaciones de variación entre diferentes medidas de prismas y pirámides. Realizar conversiones de medidas de volumen y de capacidad y analizar la relación entre ellas. Antecedentes A partir de lo que ya trabajaron en la secuencia 14, los alumnos aplicarán lo aprendido a diversas situaciones en las que tendrán la oportunidad de: • Hacer estimaciones. • Hallar datos faltantes a partir de otros conocidos. • Identificar relaciones de variación proporcional, ya sea directa o inversa. El antecedente inmediato para el último tipo de problemas es la secuencia 8 del bloque 1 del segundo grado, donde se abordaron problemas de proporcionalidad múltiple. Sesión 1 Propósitos de la sesión El decímetro cúbico Encontrar la relación entre las medidas de volumen y de capacidad, en particular que 1 decímetro cúbico es igual a un litro. Capacidades y volúmenes Resolver problemas relacionados con el cálculo de volúmenes y capacidades. Variaciones Explorar la manera en que varía el volumen de un prisma o una pirámide cuando varían sus dimensiones. Recursos Interactivo Programa integrador 10 2 Video “Problemas prácticos” 3 Interactivo 236 L ibro p ara el mae s t r o MATEMÁTICAS II 1 dm = 10 cm Consideremos lo siguiente Construyan una caja en forma de cubo, sin tapa, que mida 1 dm de arista y consigan un recipiente cuya capacidad sea de 1 litro. Investiguen: Recuerden que: La caja que construyeron es un decímetro cúbico (dm3). a) ¿Cuál es el volumen que le cabe a la caja medido en centímetros cúbicos? 1000 b) ¿Cuál es la capacidad de la caja medida en litros? cm3 1 litro c) ¿La capacidad de la caja será mayor, menor o igual a la del recipiente de 1 litro? Igual d) ¿A qué parte de 1 litro equivale 1 centímetro cúbico? A 1 mililitro Sugerencia didáctica. Es probable que algunos alumnos respondan inmediatamente a estas preguntas porque este tema ya lo estudiaron en la escuela primaria, en ese caso invítelos a que comprueben sus respuestas haciendo la actividad I del apartado Manos a la obra. Para quienes no tengan una respuesta, motívelos a que usen el material para investigar lo que se les pregunta. En caso de que algunas respuestas sean incorrectas, permita que los alumnos descubran sus errores mediante el desarrollo de las siguientes actividades. Más adelante pueden regresar a este apartado para corregir sus respuestas. Comenten sus respuestas a las preguntas anteriores y la manera en que las averiguaron. Manos a la obra I. Para saber si a la caja de un decímetro cúbico le cabe más o menos de un litro llenen el recipiente de un litro con alguna semilla pequeña y vacíen el contenido en la caja. Propósito del interactivo. Explorar la relación entre las medidas de volumen y de capacidad. Sugerencia didáctica. Con el interactivo puede presentar algunas animaciones de vacaido del contenido de un recipiente en otro para establecer las relaciones entre las medidas de volumen y de capacidad. Si lo considera oportuno puede explorar con sus alumnos otras escenas del interactivo que presentan las equivalencias entre unidades de volumen. 201 Sugerencia didáctica. Recuerde a los alumnos que 1 decímetro cúbico equivale a 1 000 centímetros cúbicos, pues es el resultado de multiplicar 10 cm × 10 × cm 10 cm. Las equivalencias entre las unidades de volumen es un tema complicado para los alumnos, y aunque se trata de una sesión de repaso, si lo considera necesario puede trabajar en grupo las actividades I y II del apartado Manos a la obra. Li b r o p ara e l m ae s t r o 237 SECUENCI A 15 a) ¿Cuál es la capacidad de la caja expresada en litros? b) Completen la siguiente igualdad: decímetro cúbico = litro dm3 = c) ¿A cuántos centímetros cúbicos equivale un decímetro cúbico? Entonces: cm3 = 1 1 cm3 = de litro II. Consideren ahora una cisterna en forma de cubo que mida 1 metro de arista. a) ¿Cuál es la capacidad de la cisterna en metros cúbicos? b) ¿Cuál es su capacidad en decímetros cúbicos? c) ¿Y en centímetros cúbicos? d) ¿Cuántos litros de agua le caben a esta cisterna? 1 m3 1000 dm3 1000 000 cm3 1000 litros Sugerencia didáctica. Enfatice la equivalencia que aquí se señala, pues les permitirá resolver las situaciones problemáticas que se plantean en el siguiente apartado. A lo que llegamos Las medidas de volumen y de capacidad tienen una estrecha relación. Es común usar las unidades de volumen para expresar la capacidad de un recipiente. En particular, la relación: Propósito del interactivo. Explorar la relación entre las medidas de volumen y de capacidad. 1 decímetro cúbico equivale a 1 litro 1 dm3 = 1 es muy útil para resolver problemas acerca de la capacidad de recipientes como peceras, albercas, cisternas, etcétera. 202 238 L ibro p ara el mae s t r o MATEMÁTICAS II Respuesta. 16 litros. Posibles procedimientos. Si los alumnos calculan el volumen en centímetros cúbicos obtendrán 1 000 cm3 y de ahí tendrán que hacer la conversión a 1 dm3 y 1 litro. Es más sencillo si hacen las conversiones a decímetros cúbicos desde las medidas lineales, es decir, el envase mide 2 dm × 1 dm × 1 2 dm, multiplicando estas cantidades obtienen directamente el resultado. En la mayoría de los problemas que implican la conversión entre capacidad y volumen conviene pasar las medidas involucradas a decímetros y después hacer los cálculos, de esta forma el resultado obtenido corresponde a la capacidad en litros. Una vez que los alumnos hayan resuelto, analice con ellos la ventaja de hacer los cálculos convirtiendo desde un principio los centímetros a decímetros. Respuesta. 1 litro. Lo que aprendimos 1. Calcula la cantidad máxima de agua que puede contener una pecera de las siguientes dimensiones: 2 dm 2 dm 4 dm 2. ¿Cuál es la capacidad, expresada en litros, de un envase que mide 20 cm de largo, 10 cm de ancho y 5 cm de altura? CAPACIDADES Y VOLÚMENES Lo que aprendimos Problemas prácticos SESIÓN 2 El tema del volumen y su relación con la capacidad tiene un amplio uso en la resolución de problemas reales. Los ejercicios siguientes son un ejemplo de ello. 1. Resuelvan los siguientes problemas. Por el momento no hagan operaciones, sólo den un resultado aproximado y anótenlo donde se indica. a) Se quiere construir un prisma cuadrangular (base cuadrada) cuyo volumen sea de 360 cm3. Si la altura será de 10 cm, ¿cuál será la medida de los lados del cuadrado de las bases? Estimación del resultado: b) La gran pirámide de Keops en Egipto tiene una base cuadrada de 270 m de lado y una altura de 167 m. ¿Cuál es su volumen? Estimación del resultado: 203 Propósito de la sesión. Resolver problemas relacionados con el cálculo de volúmenes y capacidades. Organización del grupo. Se sugiere que los alumnos resuelvan organizados en equipos y que comparen sus respuestas con todo el grupo. Descripción del video. Se presentan varios problemas en donde es necesario calcular el volumen de prismas y pirámides para resolverlos. El video se puede utilizar al final de la sesión, pues contiene problemas complementarios. Propósito de la actividad. La estimación de resultados es una habilidad matemática que los alumnos pueden desarrollar de manera gradual. En este caso, esa habilidad les permitirá centrar su atención en las relaciones entre los datos antes de hacer cálculos precisos. Sugerencia didáctica. Insista con los alumnos en que no se requiere que hagan un cálculo mental exacto sino que sólo aproximen sus resultados, es decir, que de acuerdo con la información que se les está dando, propongan una medida probable. Anime a los alumnos a que sugieran a sus compañeros de equipo una estimación probable; en caso de que hayan propuestas en las que las medidas son demasiado diferentes, pídales que argumenten su estimación; esto les ayudará a identificar posibles errores en la interpretación del problema. Sugerencia didáctica. Las cantidades involucradas en este problema son difíciles de manejar, no se preocupe si los alumnos dan una estimación muy alejada de la respuesta correcta, ellos se darán cuenta de qué tan cercana fue su estimación cuando hagan lo que se indica en la actividad 2. Li b r o p ara e l m ae s t r o 239 Sugerencia didáctica. Este problema tiene la característica de dar lugar a varias soluciones correctas, lo cual contribuye a que los alumnos consideren más de una alternativa de solución. Sin embargo, también es necesario que se reflexione en cuanto a la pertinencia, en un sentido práctico, de esas alternativas. Por ejemplo, un tinaco que mida 100 dm × 25 dm × 1 dm puede almacenar 2 500 litros de agua, pero seguramente sería poco práctico construir un tinaco con esas dimensiones; promueva este tipo de reflexiones con sus alumnos. S E C U ENCIA 15 c) Un señor desea constuir una cisterna de agua, en forma de prisma rectangular, para almacenar 2 500 litros de agua. Escriban un posible tamaño de la cisterna anotando las medidas del largo, ancho y profundidad. Estimación del resultado: d) Una alberca tiene un fondo rectangular de 50 m por 40 m, si se sabe que puede contener como máximo 4 000 000 de litros de agua, ¿cuál es la profundidad mínima de la alberca? Estimación del resultado: 4 cm 2 cm 9.5 cm e) Un lingote de oro tiene forma de prisma trapezoidal. Se sabe que un centímetro cúbico de oro pesa, aproximadamente, 19 gramos, ¿cuánto pesa el lingote ilustrado a la izquierda? Estimación del resultado: 3 cm Sugerencia didáctica. Recomiende a los alumnos que, particularmente para los problemas c y d, trabajen con decímetros desde un inicio. Respuestas. a) El lado del cuadrado mide 6 cm. b) El volumen de la pirámide es de 4 058 100 m3 . c) Hay varias respuestas posibles, una de ellas es: largo 25 dm, ancho 10 dm, altura 10 dm. d) Profundidad mínima: 20 dm (o también, 200 cm o 2 m). e) Peso del lingote: 1 263.5 g f) Volumen de la piedra: 450 cm3 (la altura de la pecera no es un dato necesario, es un distractor). f) En una pecera como la de la izquierda se introdujo una piedra y la altura del agua aumentó 0.9 cm. ¿Cuál es el volumen de la piedra? 20 cm 20 cm Estimación del resultado: 2. Calculen las respuestas a los problemas anteriores, pueden usar calculadora. Después comparen con sus estimaciones. a) b) c) d) e) f) Comenten sus respuestas y procedimientos con otros compañeros del grupo. 204 3 Sugerencia didáctica. Usted puede aprovechar la confrontación de resultados para que los equipos que hayan hecho estimaciones muy cercanas al resultado compartan con los demás sus estrategias de estimación. 240 L ibro p ara el mae s t r o MATEMÁTICAS VARIACIONES II SESIÓN 3. Lo que aprendimos 1. Consideren varias pirámides que tienen la base de igual tamaño y cuya altura varía. La base es un cuadrado de 10 cm de lado. Propósito de la sesión. Explorar la manera en que varía el volumen de un prisma o de una pirámide cuando varían sus dimensiones. Organización del grupo. Se sugiere que los alumnos trabajen organizados en equipos. Completen la siguiente tabla: Altura de la pirámide (cm) Propósito de la actividad. Que los alumnos identifiquen que, si se mantiene constante el área de la base, el volumen de una pirámide varía proporcionalmente en relación con la altura. El antecedente para que los alumnos puedan establecer esta relación se encuentra en todas las lecciones de proporcionalidad de primer y segundo grado, en particular la secuencia 8 del bloque 1 de segundo grado, en donde los alumnos estudiaron la proporcionalidad múltiple. 1 2 3 4 5 6 7 Volumen de la pirámide (cm3) Propósito del interactivo. Explorar cómo varía el volumen de una pirámide o de un prisma al variar alguna de sus dimensiones. Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que cambien la altura de la pirámide para llenar la tabla con los datos que se presentan. Si lo considera necesario pueden trabajar con diferentes pirámides. Pida a los alumnos que copien las tablas generadas para cada pirámide. Una vez que los alumnos sepan de dónde se obtienen los datos de las tablas puede presionar el botón Resolver para ahorrar tiempo y obtener los datos de diferentes tablas. Al final pida a los alumnos que analicen las tablas generadas, el propósito de esta actividad es que identifiquen la relación proporcional existente entre el volumen y la altura, cuando se modifica la altura y se mantiene el área de la base. • ¿Es proporcional la variación del volumen de la pirámide con respecto a la altura cuando la base se mantiene constante? • Argumenten su respuesta 2. Consideren un cubo en el que la medida de su arista va aumentando. 205 Sugerencia didáctica. Como lo que interesa es que los alumnos exploren la relación entre los datos, es importante que no inviertan mucho tiempo en hacer las operaciones, permítales que usen la calculadora para completar ésta y todas las tablas de la sesión. Sugerencia didáctica. En caso de que algunos alumnos no recuerden cómo identificar una relación de proporcionalidad, usted puede mencionarles algunas de sus características más relevantes (en la página 112 del volumen I del Libro para el Maestro de primer grado se ejemplifica la proporcionalidad directa entre dos conjuntos de cantidades, o bien, en la página 228 del volumen II del Libro para el Maestro también de primer grado, encontrará los criterios para determinar la proporcionalidad inversa). En la secuencia 8 del bloque 1 de este grado, los alumnos trabajaron con el caso del volumen de un prisma y establecieron que: “Cuando las medidas del largo y del ancho permanecen fijas, la medida de la altura se encuentra en proporción directa con el volumen”. En caso de que los alumnos muestren algunas dificultades, usted puede remitirlos al primer A lo que llegamos de la primera sesión de esa secuencia. Usted puede apoyar a los alumnos en la argumentación de sus respuestas haciendo preguntas como las siguientes: ¿cómo te diste cuenta de que son proporcionales?, ¿cómo puedes comprobarlo? Li b r o p ara e l m ae s t r o 241 SECUENCIA 15 Completen la siguiente tabla: 1 2 3 8 20 Medida de la arista (cm) Volumen del cubo (cm3) 125 3375 Sugerencia didáctica. En este caso no hay variación proporcional directa ni inversa. Para apoyar a los alumnos en la elaboración de argumentos, sugiérales que planteen un contraejemplo, es decir, que propongan una propiedad de la proporcionalidad directa y otra de la inversa que no se cumplan en esta tabla. • • ¿Es proporcional la variación del volumen del cubo con respecto a su arista? Argumenten su respuesta 3. Completen la siguiente tabla considerando que se trata de varios prismas cuadrangulares, todo ellos con un volumen igual a 400 cm3 y una base con área según la medida que se indica en la tabla. Área de la base (cm2) Posibles dificultades. Debido a que los alumnos están más familiarizados con la proporcionalidad directa que con la inversa, es probable que no identifiquen que, en este caso, al fijar el volumen y variar el área de la base y la altura del prisma, estos dos últimos conjuntos de cantidades son inversamente proporcionales entre sí: si el área aumenta al doble, la altura disminuye a la mitad, si aumenta cuatro veces, la altura disminuye a la cuarta parte, etcétera. Invítelos a que verifiquen al menos una propiedad tanto de la proporcionalidad directa (para que vean que en este caso no se cumple) como de la inversa. 1 4 16 25 100 Altura del prisma (cm) • ¿Es proporcional la variación de la altura al área de la base? • Argumenten su respuesta 4. Se tiene un prisma rectangular como el siguiente: 206 Propósito de la actividad. Que los alumnos exploren cómo varía el volumen de un prisma cuando se modifica una, dos o sus tres dimensiones. 242 L ibro p ara el mae s t r o MATEMÁTICAS II 2 3 Anoten en la tabla el número de cubos que se necesitarán para realizar lo que se indica en cada caso. Siempre se toma como referencia el prisma original. El número de cubos que se requieren es: ¿Cuántas veces aumentó el volumen? Si se: Aumenta sólo su altura al doble 24 36 6 Aumenta sólo el largo al triple Disminuye sólo el ancho a la mitad 1 vez ó 0.5 2 (realmente disminuye) Aumentan al doble el largo y el ancho 48 108 96 12 4 9 8 ninguna Aumentan al triple el ancho y la altura Aumentan al doble el largo, el ancho y la altura Aumentan al doble el largo y el ancho se disminuye a la mitad dejando la altura igual a) Si un prisma aumenta la medida de su largo, ancho y altura al triple, ¿cuántas veces aumenta su volumen? 27 veces no b) ¿El aumento del volumen es proporcional al aumento del largo, ancho y altura? c) Argumenten su respuesta Si fuera directamente proporcional, aumentaría 3 veces el volumen; si fuera inversamente proporcional, disminuiría una tercera parte. El volumen está aumentando 3 3 veces. Comenten sus respuestas y sus procedimientos con otros compañeros del grupo. Para saber más Consulten en las Bibliotecas Escolares y de Aula: De la Peña, José Antonio. “¿Cuál es la pirámide más grande?” en Geometría y el mundo. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2003. 207 Li b r o p ara e l m ae s t r o 243 Propósito del programa integrador. Mostrar mediante la comparación de razones, cuándo dos situaciones son directamente proporcionales. Propósito de la sesión. Establecer cuándo dos situaciones de proporcionalidad directa son equivalentes. Organización del grupo. La sesión se resuelve en parejas y los comentarios sobre las actividades son grupales. Propósito de la actividad. Sabemos que en una tabla que represente una situación de proporcionalidad los cocientes de las cantidades que se corresponden son iguales a la constante de proporcionalidad, por ejemplo: Constante de proporcionalidad 3 Cantidad de dulces 2 7 18 Cantidad a pagar 6 21 54 SECUENCI A 16 Comparación de situaciones de proporcionalidad En esta secuencia resolverás problemas de comparación de cocientes en situaciones de proporcionalidad directa. SESIÓN 1 EL RENDIMIENTO CONSTANTE Para empezar En la actualidad uno de los aspectos más importantes del diseño de un automóvil es el rendimiento. El rendimiento es el número de kilómetros que se recorren por cada litro de gasolina que se consume. Al diseñar un automóvil es importante verificar que, bajo las mismas condiciones de uso, se tenga un rendimiento constante. Es decir, que se recorra siempre la misma cantidad de kilómetros con la misma cantidad de gasolina. Consideremos lo siguiente Una compañía de automóviles hizo pruebas a tres de sus modelos para verificar que tuvieran rendimientos constantes. Las siguientes tablas muestran los registros de la distancia recorrida y la cantidad de gasolina gastada. Cantidad de gasolina (en litros) Distancia recorrida (en kilómetros) Cantidad de gasolina (en litros) Distancia recorrida (en kilómetros) En todos los casos 6 ÷ 2 = 3 , 21 ÷ 7 = 3 , 54 ÷ 18 = 3 , etcétera. Se utilizará este hecho para comparar relaciones entre conjuntos y averiguar si son o no directamente proporcionales. En términos del problema planteado, se podrá definir si los automóviles tienen un rendimiento constante. El rendimiento, como ya vieron en primer grado, es igual a la constante de proporcionalidad, y ahora verán que es también el cociente que resulta de dividir una cantidad del conjunto B (distancia recorrida) entre la cantidad correspondiente del conjunto A (cantidad de gasolina). Si siempre se obtiene el mismo número, el rendimiento es constante y se trata de una relación de proporcionalidad directa. 2 4 16 Modelo A 32 64 256 3 7 11 Modelo B 51 119 187 Cantidad de gasolina (en litros) Distancia recorrida (en kilómetros) 3 15 21 Modelo C 208 48 240 378 Eje Manejo de la información Tema Análisis de la información Propósito de la secuencia Resolver problemas de comparación de razones, con base en la noción de equivalencia. Sesión Propósitos de la sesión El rendimiento constante Establecer cuándo dos situaciones de proporcionalidad directa son equivalentes. Recursos Antecedentes 1 Los alumnos han trabajado desde la primaria diversos aspectos de las relaciones de proporcionalidad. En esta secuencia aprenderán a obtener los cocientes de cantidades correspondientes para establecer comparaciones entre dos o más relaciones. Interactivo 2 La concentración de pintura Comparar razones en distintas situaciones. Video “Comparación de razones” Interactivo 244 L ibro p ara el mae s t r o Programa integrador 11 MATEMÁTICAS a) De los modelos A , B y C, ¿cuál no tuvo un rendimiento constante? b) ¿Cuál modelo tuvo el mejor rendimiento? Comparen sus respuestas y cómo las obtuvieron. II Posibles procedimientos. Los alumnos pueden averiguar si los automóviles tienen un rendimiento constante de distintas maneras, por ejemplo: • Hallando el valor unitario en cada caso (encontrando cuántos kilómetros recorre cada automóvil con un litro de gasolina) y verificando que en todos los renglones de la tabla ese número permita obtener la distancia recorrida al multiplicarlo por la cantidad de litros de gasolina. • Encontrando la constante de proporcionalidad en cada caso. Para el automóvil A sería 2× 4× 16 × = 32 = 64 = 256 Manos a la obra I. Comenten: En una escuela dijeron que el modelo C tuvo rendimiento constante: 16 kilómetros por cada litro de gasolina. a) ¿Están de acuerdo con la respuesta de la otra escuela? ¿Por qué? b) Para comprobar si el modelo C tuvo rendimiento constante, hagan las multiplicaciones de las cantidades de gasolina por 16 y verifiquen si obtienen las distancias recorridas. c) Si se recorrieron 378 kilómetros con 21 litros de gasolina, ¿cuántos kilómetros se recorrieron por cada litro? d) ¿Cuál es el rendimiento del modelo A? e) ¿Cuál es el rendimiento del modelo B? II. Recuerden que cuando las cantidades de un conjunto son directamente proporcionales a las de otro conjunto se cumple la siguiente propiedad: Todos los cocientes que se obtienen al dividir una cantidad de un conjunto entre la cantidad correspondiente en el otro conjunto son iguales. Y recíprocamente, si son iguales todos los cocientes que se obtienen al dividir una cantidad de un conjunto entre la cantidad correspondiente en el otro conjunto, entonces son directamente porporcionales. En sus cuadernos hagan las divisiones de los kilómetros recorridos entre los litros de gasolina que se consumieron en las pruebas de los tres modelos de automóviles y contesten: a) De las siguientes relaciones subrayen las que son de proporcionalidad directa. • La relación entre el consumo de gasolina y la distancia recorrida por el modelo A. • La relación entre el consumo de gasolina y la distancia recorrida por el modelo B. • La relación entre el consumo de gasolina y la distancia recorrida por el modelo C. b) De las relaciones que son de proporcionalidad directa, ¿cuáles son las constantes de proporcionalidad correspondientes? Modelo Modelo Si el factor buscado es siempre el mismo número, el automóvil tiene un rendimiento constante. • Fijándose en las relaciones entre los números de cada tabla, por ejemplo, en la del modelo A 2 se duplica se cuatriplica 4 16 32 64 256 se duplica se cuatriplica En las tablas B y C no será sencillo hacer esto. Si algunos alumnos eligieron este procedimiento y no saben qué hacer, sugiérales que empleen alguno de los otros dos procedimientos. Respuestas. a) El modelo C (cuando consume 21 litros de gasolina tendría que recorrer 336 kilómetros para que su rendimiento fuera constante). b) El modelo B. Sugerencia didáctica. Pida a dos o tres alumnos que hayan empleado procedimientos distintos, que pasen al pizarrón a explicar cómo obtuvieron las respuestas. A B constante constante 16 kilómetros por cada litro de gasolina 17 kilómetros por cada litro de gasolina 209 Respuestas. a) No, el rendimiento del modelo C no es constante. c) 18 kilómetros por litro. Para hallar esa respuesta pueden pensarla como 21 × = 378, o bien, 378 ÷ 21 = d) 16 kilómetros por litro. e) 17 kilómetros por litro. Sugerencia didáctica. Es la primera vez que en una relación de proporcionalidad se mencionan a los cocientes de las cantidades que se corresponden. Haga ver a los alumnos que el cociente es precisamente la constante de proporcionalidad. También puede pedirles que verifiquen esta propiedad en alguna de las otras situaciones de proporcionalidad directa que hayan resuelto anteriormente. Si la situación es de proporcionalidad directa, los cocientes deben ser iguales. Li b r o p ara e l m ae s t r o 245 Sugerencia didáctica. Comenten esta información. A los alumnos les debe quedar claro cuáles son los cocientes de las cantidades que se corresponden y por qué son iguales a la constante de proporcionalidad. Enfatice que hallar los cocientes entre cantidades que se corresponden es un método útil para verificar si la relación es de proporcionalidad directa o no, y si lo es, el número obtenido es la constante de proporcionalidad. SECUENCI A 16 A lo que llegamos En una relación de proporcionalidad directa entre dos conjuntos de cantidades, los cocientes de las cantidades que se corresponden son iguales. Ese cociente se llama “constante de proporcionalidad”. Por ejemplo: El modelo A tuvo siempre un rendimiento constante porque los cocientes de las cantidades que se corresponden fueron siempre 16. El rendimiento del modelo A es de 16 kilómetros por litro de gasolina. III. Además de los modelos anteriores, la compañía encontró que los siguientes modelos tuvieron rendimientos constantes: • El modelo D recorrió una distancia de 680 kilómetros y tuvo un consumo de 40 litros de gasolina. • El modelo E recorrió una distancia de 630 kilómetros y tuvo un consumo de 35 litros de gasolina. • El modelo F recorrió una distancia de 192 kilómetros y tuvo un consumo de 12 litros de gasolina. a) ¿Cuál es el rendimiento que tuvo el modelo D? b) ¿Cuál es el rendimiento que tuvo el modelo E? c) ¿Cuál es el rendimiento que tuvo el modelo F? d) Entre los modelos A , D, E y F, ¿cuáles tuvieron el mismo rendimiento? e) ¿Cuál de ellos tuvo el mejor rendimiento? Comparen sus respuestas y comenten cómo las obtuvieron. Respuestas. a) 17 kilómetros por litro. b) 18 kilómetros por litro. c) 16 kilómetros por litro. d) El modelo A y el modelo F. e) El modelo E. Sugerencia didáctica. Si lo considera útil, plantee algunos ejemplos en el pizarrón en los que se comparen dos relaciones de proporcionalidad directa. Puede utilizar algunas situaciones del libro de primer grado. A lo que llegamos Dos relaciones de proporcionalidad directa se pueden comparar usando sus constantes de proporcionalidad o sus cocientes. Por ejemplo: • Si un modelo tiene rendimiento de 16 kilómetros por litro de gasolina, entonces tiene el mismo rendimiento que el modelo A. • Si un modelo G tiene rendimiento constante de 17 kilómetros por litro de gasolina, entonces el modelo G tiene un mejor rendimiento que el modelo A. 210 246 L ibro p ara el mae s t r o MATEMÁTICAS II Lo que aprendimos 1. Completa la siguiente tabla, en donde se muestra el tiempo y la distancia recorrida por cuatro automóviles. En la última columna se indican los cocientes de las distancias recorridas entre el tiempo que tardaron en recorrerlas. A este cociente se le llama velocidad (en este problema se considera que los automóviles siempre viajaron a velocidad constante). Tiempo del recorrido (en horas) Automóvil A Automóvil B Automóvil C Automóvil D Distancia recorrida (en kilómetros) Velocidad (en kilómetros por hora) Propósito del interactivo. Aprovechando los conceptos de rendimiento y de velocidad que se han visto en la secuencia, en el interactivo se presenta la relación del consumo de gasolina con la velocidad en la que realiza su recorrido, llegando a plantearse el problema de encontrar la velocidad óptima para hacer un recorrido con el menor gasto de gasolina. 3 11 1 7 249 924 84 595 83 84 84 85 Propósito de la actividad. En la situación anterior el cociente entre cantidades correspondientes era el rendimiento del automóvil. En esta situación se sigue trabajando con los cocientes pero tienen otro significado: la velocidad. El cociente que resulta al dividir la distancia recorrida entre el tiempo que toma recorrerla es justamente la manera de calcular la velocidad promedio. Respuestas. a) El automóvil D. b) El automóvil A. c) El B y el C. a) ¿Cuál automóvil fue a mayor velocidad? b) ¿Cuál automóvil fue a menor velocidad? c) ¿Cuáles automóviles fueron a la misma velocidad? y 2. Completa la siguiente tabla en donde se muestra la cantidad de libras esterlinas obtenida al cambiar dólares americanos en cinco casas de cambio distintas. Cantidad recibida (en libras) Casa de cambio A Casa de cambio B Casa de cambio C Casa de cambio D Casa de cambio E Cantidad cambiada (en dólares) Tipo de cambio 145 240 180 195 120 290 600 414 468 276 a) ¿Cuál casa de cambio ofrece mejor tipo de cambio de dólares a libras? b) ¿Cuál casa de cambio ofrece el peor tipo de cambio de dólares a libras? c) ¿Cuáles casas de cambio ofrecen el mismo tipo de cambio de dólares a libras? Respuestas. a) La casa B porque da 2.5 dólares por cada libra. b) La casa A porque da 2 dólares por cada libra. c) Las casas C y E. 211 Li b r o p ara e l m ae s t r o 247 Propósito de la sesión. Comparar razones en distintas situaciones. Organización del grupo. Se sugiere trabajar tanto individualmente como en parejas y con todo el grupo. SECUENCI A 16 SESIÓN 2 LA CONCENTRACIÓN DE PINTURA Para empezar En la sesión 6 de su libro de Matemáticas I Volumen I aprendiste que hay una gran diversidad de colores llamados colores compuestos. Los colores compuestos se pueden obtener mezclando los tres colores primarios: amarillo, azul y rojo. El color naranja, por ejemplo, se obtiene mezclando amarillo y rojo. Las distintas tonalidades naranja, más claro o más oscuro, dependen de las cantidades de colores amarillo y rojo que se mezclen. Propósito de la actividad. Este problema tiene la intención de que los alumnos logren mantener las proporciones de pintura amarilla y roja aunque la cantidad total de la mezcla (que será la pintura naranja) varíe. Más adelante verán que si en dos mezclas se utilizan los mismos colores en iguales proporciones, tendrán cocientes iguales. Posibles dificultades. Quizá algunos alumnos respondan que para preparar 12 litros de pintura naranja se necesitan 7 litros de amarilla y 5 litros de roja, es decir, sólo le aumentan un litro a cada color respecto de las cantidades necesarias para preparar 10 litros. Este procedimiento es incorrecto pero no los corrija en este momento, más adelante tendrán oportunidad de hacerlo. Respuestas. a) 7.2 litros de pintura amarilla y 4.8 litros de pintura roja. b) 13.8 litros de pintura amarilla y 9.2 litros de pintura roja. Propósito de la actividad. Aquí se pretende establecer que el cociente es una forma de medir la proporción de pintura amarilla que hay en la pintura naranja. En el contexto de las mezclas de pintura se le llama “concentración”. Recuerde que. Una razón es una relación entre dos cantidades. Por ejemplo, puede decirse que: • hay 6 litros de pintura amarilla por cada 10 de pintura naranja, • hay 6 litros de pintura amarilla por cada 4 de pintura roja, • hay 4 litros de pintura roja por cada 10 de pintura naranja. Un cociente es el resultado de dividir estas cantidades. Siguiendo con el ejemplo anterior: • la concentración de pintura amarilla en la naranja es de 0.6 (6 ÷ 10) , • la concentración de pintura amarilla comparada con la roja es de 0.666… (4 ÷ 6), • la concentración de pintura roja en la pintura naranja es de 0.4 (10 ÷ 4) . Consideremos lo siguiente En una escuela se hizo una colecta para comprar pintura y pintar con ella el edificio de la escuela. El color elegido fue el naranja. Para preparar 10 litros de pintura naranja del tono elegido se necesitan 6 litros de pintura amarilla y 4 litros de pintura roja. a) ¿Qué cantidades de pintura amarilla y roja se necesitan para obtener 12 litros de pintura naranja del tono elegido? b) ¿Qué cantidades de pintura amarilla y roja se necesitan para obtener 23 litros de pintura naranja del tono elegido? Comparen sus respuestas y comenten sus procedimientos. Manos a la obra I. Completen la siguiente tabla y encuentren qué cantidad de pintura amarilla se necesita para obtener 12 litros de pintura naranja. Cantidad de mezcla (pintura naranja) (en litros) Cantidad de pintura amarilla en la mezcla (en litros) 10 1 12 6 0.6 7.2 Comparen sus tablas y comenten el procedimiento anterior. Verifiquen su resultado dado en el apartado Consideremos lo siguiente con el obtenido al completar la tabla. II. La concentración de color amarillo en la pintura naranja es el cociente de la cantidad de pintura amarilla entre la cantidad de pintura naranja. Por ejemplo, la pintura naranja tiene la siguiente concentración de color amarillo: 6 6 ÷ 10 = 10 = 0.6 212 248 L ibro p ara el mae s t r o MATEMÁTICAS II a) Completen las siguientes tablas para encontrar las distintas cantidades de pintura naranja (mezcla) y amarilla y las concentraciones correspondientes. Cantidad de mezcla (en litros) Cantidad de pintura amarilla en la mezcla (en litros) Concentración de pintura amarilla en la pintura naranja 10 6 18 6 ÷ 10 Posibles dificultades. Pregunte a los alumnos qué cantidad de pintura naranja obtuvieron sabiendo que la mezcla lleva 11 litros de pintura amarilla. Si no logran obtener la respuesta sugiérales ampliar la tabla de la siguiente manera para hallar los dos valores unitarios: Cantidad pintura naranja 5 1 Cantidad pintura amarilla 3 1 11 De esta manera podrán averiguar que: • por cada litro de pintura amarilla hay 5 3 o 1.6… litros de pintura naranja; por lo tanto, cuando en la mezcla hay 11 litros de pintura amarilla la cantidad de pintura naranja serán 55 o 18.3… litros; 3 • por cada litro de pintura naranja hay 0.6 litros de pintura amarilla, entonces para hallar cuántos litros de pintura naranja habría si en la mezcla hay 11 litros de amarilla, se debe multiplicar por su recíproco, que es 10 6 (o dividir esa cantidad entre 0.6 ). Sugerencia didáctica. Comenten qué significa el número que obtienen en la calculadora al dividir 55 3 (si quieren expresar el resultado mediante un número decimal). Respuestas. b) Son del mismo tono de naranja porque los cocientes (al dividir la cantidad de pintura amarilla entre la cantidad de pintura naranja) son iguales. Es decir, la concentración de pintura amarilla tiene la misma proporción en todas la cantidades de pintura naranja de la tabla. c) 10 litros. d) 10 litros. 30 5 25 3 15 11 18.3 Comparen sus tablas y comenten: 18 ÷ 30 3÷5 15 ÷ 25 18.3 ÷ 11 b) ¿Serán del mismo tono las mezclas de pintura naranja obtenidas en la tabla anterior?, ¿cómo pueden verificarlo? c) ¿Cuántos litros de pintura roja necesitan para preparar 25 litros de pintura naranja del mismo tono? d) Si se usan 15 litros de pintura amarilla, ¿cuántos litros de pintura roja se deben mezclar para obtener pintura naranja del mismo tono? III. Completen la siguiente tabla para encontrar qué cantidad de pintura roja deben llevar los 23 litros de pintura naranja. Cantidad de mezcla (pintura naranja) (en litros) Cantidad de pintura roja en la mezcla (en litros) Concentración de pintura roja en la pintura naranja 10 1 23 4 4 ÷ 10 9.2 9.2 ÷ 23 = 0.4 a) ¿Cuál es la concentración de pintura roja en la pintura naranja? b) Verifiquen sus resultados dados en el apartado Consideremos lo siguiente. Comparen sus tablas y comenten: a) Si en un recipiente se ponen 2 litros de pintura roja, ¿qué cantidad de pintura amarilla se debe usar para que la pintura naranja tenga el tono elegido? 213 Posibles dificultades. Aquí también puede proponer a los alumnos una ampliación de la tabla: Cantidad pintura naranja 10 1 23 Así verán que: • por cada litro de pintura naranja hay 0.4 litros de pintura roja; • la constante de proporcionalidad que permite ir de la cantidad de pintura naranja (columna izquierda) a la cantidad de pintura roja (columna roja) es 0.4 ; por lo tanto, cualquier cantidad de la columna izquierda se multiplica por 0.4 para obtener su correspondiente en la columna derecha. Entonces 23 × 0.4 = 9.2 ; • la constante de proporcionalidad hallada es igual al cociente: 0.4. Li b r o p ara e l m ae s t r o 249 Cantidad pintura roja 4 Respuestas. a) 3 litros de pintura amarilla. b) Habría 5 litros de pintura naranja, de la cual 0.4 sería de pintura roja y 0.6 de pintura amarilla. Propósito del interactivo. Reforzar el concepto de razones equivalentes utilizando la igualación de colores y la determinación de las cantidades de cada color necesarias para obtener una cantidad de pintura. Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que varíen las cantidades de pintura para explorar qué sucede con los colores, cómo se relacionan con la cantidad de pintura que se mezcla. Sugerencia didáctica. En esta parte se establece el concepto de equivalencia. Comente con los alumnos que todas las cantidades de pintura naranja que tengan una concentración de pintura amarilla de 0.6 tienen el mismo tono, es decir, son equivalentes. SECUENCI A 16 A lo que llegamos En esta situación, la cantidad de pintura naranja está en proporción directa tanto con la cantidad de pintura roja como con la cantidad de pintura amarilla. Entonces, los cocientes de las cantidades de pintura amarilla entre las de pintura naranja son iguales. Cada uno de estos cocientes es la 6 , concentración de la pintura amarilla en la pintura naranja: 10 o sea que, en 10 litros de pintura naranja, 6 son de pintura amarilla. Análogamente, los cocientes de la cantidad de pintura roja entre la de pintura naranja son iguales. Cada uno de estos cocientes es la concen4 , o sea que, en 10 tración de pintura roja en la pintura naranja: 10 litros de pintura naranja, 4 son de pintura roja. IV. Las siguientes tablas muestran las cantidades de pintura que hay que mezclar para hacer dos tonos distintos de pintura naranja: naranja ocre y naranja sol. Propósito de la actividad. Aquí se establecerá la comparación de razones: el tono que tenga mayor concentración de pintura amarilla será más claro. Respuestas. 13 o 0.65 . a) 20 b) c) 27 45 Pintura amarilla (en litros) Pintura roja (en litros) Pintura naranja ocre (en litros) Pintura amarilla (en litros) Pintura roja (en litros) Pintura naranja sol (en litros) 7 13 20 18 27 45 o 0.6 . 13 20 a) ¿Cuál es la concentración de pintura roja en la pintura naranja ocre? (exprésalo como fracción y como decimal) Fracción Decimal El naranja ocre, porque o 0.65 > 0.6 . > 27 45 7 o 0.35 de litro de d) El naranja sol. Habría 20 pintura amarilla en cada litro de pintura 18 o 0.4 litros de pintura naranja ocre, y 45 amarilla en cada litro de pintura naranja sol. 7 < 18 o 0.35 < 0.4 , hay una Como 20 45 mayor concentración de pintura amarilla en el tono naranja sol. 214 b) ¿Cuál es la concentración de pintura roja en la pintura naranja sol? (exprésalo como fracción y como decimal) Fracción Decimal c) ¿Cuál de los dos tonos de naranja tiene una mayor concentración de rojo? d) ¿Cuál de los dos tonos de naranja tiene una mayor concentración de amarillo? 250 L ibro p ara el mae s t r o MATEMÁTICAS II A lo que llegamos Para comparar las concentraciones de un color se pueden comparar los cocientes entre las cantidades correspondientes. Por ejemplo: la concentración de pintura amarilla en la pintura naranja ocre es menor que la concentración de pintura amarilla en la pintura naranja sol: Concentración de pintura amarilla en la pintura naranja ocre: Concentración de pintura amarilla en la pintura naranja sol: Comparación de cocientes La comparación de cocientes te puede ayudar para resolver diferentes tipos de problemas. Las siguientes situaciones son un ejemplo de esto. 7 20 = 0.35 18 = 0.4 45 Descripción del video. A partir de varios contextos se dan ejemplos de comparaciones de cocientes. Se refuerzan los conceptos y procedimientos vistos a lo largo de la secuencia. Integrar al portafolios. Pida a los alumnos que le entreguen una copia de sus respuestas a estos dos problemas y analícelas. Verde agua (en litros) Lo que aprendimos Resuelve los siguientes problemas: 1. Al mezclar distintas cantidades de pintura amarilla y azul se forman diferentes tonos de color verde. Las siguientes tablas muestran las cantidades de pintura que hay que mezclar para hacer dos tonos distintos de pintura verde. Pintura amarilla (en litros) Pintura azul (en litros) Pintura verde botella (en litros) Pintura amarilla (en litros) Pintura azul (en litros) 7 3 10 18 12 30 a) ¿Cuál de los dos tonos de verde tiene mayor concentración de color azul? b) ¿Cuál es la concentración de pintura azul en la pintura verde botella? c) ¿Cuál es la concentración de pintura azul en la pintura verde agua? Respuestas. a) En la pintura verde agua. b) En cada litro de pintura verde botella hay 3 10 o 0.3 litros de pintura azul. c) En cada litro de pintura verde agua hay o 0.4 de litros de pintura azul. 12 30 2. En una escuela secundaria, 3 de cada 4 alumnos de primer grado hablan un idioma distinto al español; 4 de cada 5 en segundo y 5 de cada 6 en tercero. ¿En cuál de los tres grados la proporción de hablantes de un idioma distinto al español es mayor? Para saber más: Sobre el tipo de cambio entre monedas de distintos países consulta: http://www.euroinvestor.es/currency/ [Fecha de consulta: 24 de mayo de 2007]. 215 Respuesta. En tercer grado. La proporción en primer grado es de 3 de cada 4 alumnos, es decir, 3 4 de los alumnos hablan un idioma distinto al español; en segundo grado es de 4 5 3 4 5 y en tercero de 5 6 . Como 4 < 5 < 6 o 0.75 < 0.8 < 0.83… la proporción es mayor en tercer grado. Li b r o p ara e l m ae s t r o 251 SECUENCI A 17 Propósito del programa integrador. Ejemplificar cómo se calculan las medidas de tendencia central de un conjunto de datos agrupados. Propósito de la sesión. Interpretar y calcular la moda y media de datos agrupados, a partir de porcentajes. Organización del grupo. Se sugiere que los alumnos trabajen en parejas para resolver la sesión. Sugerencia didáctica. En la secuencia 38 de primer grado los alumnos trabajaron con el significado de la moda, media y mediana para interpretar y comunicar información sobre un conjunto de datos. Conviene recordarlo para lo que aprenderán en esta secuencia. Propósito de la actividad. La intención es que los alumnos busquen de qué manera podría calcularse un promedio cuando no se tienen todos los datos uno por uno sino agrupados. Es posible que cometan errores o que no sepan cómo hacerlo, permítales explorar durante un rato el problema y comenten las soluciones que propone cada quien. Sugerencia didáctica. Acepte dos o tres intervenciones de los alumnos. Anote algunas respuestas en el pizarrón para luego recuperarlas en la discusión o en las conclusiones. En cada ocasión otorgue la palabra a distintos alumnos, incluyendo a los que no levanten la mano. Medidas de tendencia central En esta secuencia aprenderás a calcular algunas de las medidas de tendencia central cuando un conjunto de datos está agrupado en intervalos. SESIÓN 1 EL PROMEDIO DEL GRUPO EN EL EXAMEN 1 Para empezar Cuando se realiza un estudio de una situación o fenómeno se obtiene una cantidad de datos (grande o pequeña) que puede organizarse y presentarse de distintas maneras, en una tabla de frecuencias o en una gráfica (de barras, circular o en un polígono de frecuencias); esto dependerá del tipo de datos que se ha obtenido y de los resultados que se quieren destacar. Otra manera de presentar los datos es a partir de sus medidas de tendencia central, las cuales proporcionan valores de la media, la mediana y la moda, que permiten resumir y comparar la tendencia de un conjunto o de varios conjuntos de datos para establecer conclusiones. Recuerden que: a central son Las medidas de tendenci den a valores numéricos que tien la parte localizar, en algún sentido, s. A dato central de un conjunto de edio se menudo el término prom es. Cada una asocia a estas medicion de tendende las diferentes medidas el nombre de cia central puede recibir valor promedio. Consideremos lo siguiente Un grupo de veinte alumnos contestaron un examen de matemáticas con 100 preguntas. Del total de alumnos, el 10% contestó correctamente entre 1 y 25 preguntas de la prueba; el 30%, entre 26 y 50 preguntas; el 50%, entre 51 y 75, y el resto entre 76 y 100. Se considera que el grupo tuvo un buen desempeño en el examen si su promedio es mayor o igual a 63 aciertos. ¿Fue bueno el desempeño del grupo? ¿Por qué? Con ayuda de su maestro, comparen el procedimiento que utilizaron para responder la pregunta anterior con los que utilizaron otros compañeros. Comenten: ¿Cuál de los siguientes valores es más conveniente utilizar para determinar si el desempeño que tuvo el grupo fue bueno de acuerdo con lo señalado al principio? • El intervalo de aciertos en el que hay un mayor porcentaje de alumnos. • La media aritmética de las cantidades obtenidas por los veinte alumnos. 216 Eje Manejo de la información Tema Representación de la información Propósitos de la secuencia Interpretar y calcular las medidas de tendencia central de un conjunto de datos agrupados, considerando de manera especial las propiedades de la media aritmética. Sesión 1 Propósitos de la sesión El promedio del grupo en el examen 1 Interpretar y calcular la moda y media de datos agrupados, a partir de porcentajes. El promedio del grupo en el examen 2 Comparar el valor de la media aritmética de datos agrupados y el valor de la media aritmética de datos sin agrupar, observar que la primera es representativa de varios conjuntos de datos que tengan la misma frecuencia en cada intervalo. Las calorías que consumen los jóvenes Resolver problemas que implican la determinación del punto medio del intervalo modal (como valor de la moda) y el cálculo de la media de datos agrupados a partir de información representada en polígonos de frecuencias. Recursos Vínculos Antecedentes 2 En primer grado los alumnos estudiaron situaciones en las que obtuvieron y analizaron las medidas de tendencia central. Ahora lo harán cuando los datos están agrupados. 3 Interactivo Video “Estadísticas, alimentos y otras situaciones” Interactivo Programa integrador 12 Ciencias I secuencia 11 252 L ib ro para el mae s t r o MATEMÁTICAS II Manos a la obra I. Completen la siguiente tabla. Resultados obtenidos por el grupo A en el examen de matemáticas Aciertos (intervalo) Porcentaje de alumnos Número de alumnos (frecuencia) 1-25 10% 2 6 10 2 20 26-50 51-70 76-100 Totales 30% 50% Propósito de la actividad. Al llenar esta tabla los estudiantes podrán conocer varios datos; por ejemplo, cuántos alumnos tuvieron menos de 50 aciertos, cuántos tuvieron más de 76 aciertos o cuántos tuvieron al menos 51 aciertos. Lo que no pueden saber es exactamente cuántos aciertos tuvo cada quién, por lo que la forma en la que han aprendido a calcular el promedio no les resulta útil aquí. Para poder hacerlo se necesita encontrar un valor representativo de cada intervalo, que es su punto medio. Cuando contesten las preguntas con los incisos a), b) y c) lean juntos la siguiente información y coméntenla. 10 % 100 % a) ¿Cuál es el intervalo de aciertos en el que hay más alumnos? b) ¿Cuántos alumnos tuvieron entre 1 y 50 aciertos en el examen? c) Con la información que tienen, ¿pueden decir cuántos alumnos respondieron correctamente a 63 preguntas? correctamente a más de 63 preguntas? ¿Y cuántos respondieron ¿Por qué? Respuestas. a) En el de 51 a 75 aciertos. b) 8 alumnos. c) No se puede saber con exactitud porque los datos están agrupados. Cada intervalo puede ser identificado y representado por su límite inferior y superior, pero también podemos utilizar el punto medio del intervalo, que se obti ene con sólo sumar los límit es inferior y superior del intervalo y divid ir esta suma entre 2. Por ejemplo, el punto medio del primer intervalo es: (1 + 25) = 26 = 13. 2 2 Ese valor permite efectuar operaciones aritméticas con intervalos. Recuerden que: Cuando un conjunto de datos está organizado en intervalos iguales, cada intervalo tiene un límite inferior y uno supe rior. El tamaño de un intervalo es igual a la diferencia entr e dos sucesivos límites inferiores o supe riores. 217 Recuerde que. Hallar el punto medio de cada intervalo no quiere decir que sepamos que los dos alumnos que están en el primer intervalo obtuvieron exactamente 13 aciertos, ni que es el promedio del número de aciertos que obtuvieron esos dos alumnos. Lo que significa es que al desconocer los valores uno por uno se toma como valor representativo el punto medio del intervalo y con él se pueden efectuar otros cálculos (como el promedio). Sin embargo, es posible que los datos de hecho fueran 5 y 7 aciertos, lo que daría 6 de promedio en ese intervalo. Tomar el punto medio como valor representativo equivale, en cierta manera, a hacer una estimación. Coméntelo con los alumnos y póngales algunos ejemplos. Li b r o p ara e l m ae s t r o 253 Propósito de la actividad. En esta tabla los estudiantes calcularán cuántos aciertos obtuvieron en cada intervalo, es decir, tomando como “número de aciertos” el punto medio del intervalo se multiplica por la frecuencia (cuántos alumnos están en ese intervalo). Esto puede interpretarse así: se puede estimar que la suma del número de aciertos que obtuvieron los dos alumnos que se encuentran en el primer intervalo es 26 . Respuestas. a) 51-75 , hay 10 alumnos en ese intervalo y el punto medio es 63 . c) 20 alumnos. d) 1 060 aciertos. e) La media aritmética (promedio) es 53 (1060 ÷ 20) . El grupo no tuvo un buen desempeño porque se necesitaba que la media aritmética fuera de al menos 63 aciertos. Sugerencia didáctica. Cuando terminen de contestar estas preguntas, plantee a los alumnos las siguientes: • Hubo 10 alumnos (la mitad del grupo) que obtuvieron entre 51 y 75 aciertos, y el punto medio de ese intervalo es 63 ¿puede considerarse que 63 es la media aritmética del grupo?, ¿por qué? • ¿Cuántos aciertos tendría que haber obtenido todo el grupo para tener una media aritmética de 63 ? Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que copien esta información en sus cuadernos y aclare dudas si es necesario. SECUENCI A 17 II. Completen la siguiente tabla y, luego contesten las preguntas de los incisos. Aciertos Intervalo Punto medio del intervalo Número de alumnos (frecuencia) Aciertos × número de alumnos (punto medio × frecuencia) 1-25 26-50 51-75 76-100 Total 13 2 13 × 2 = 26 38 63 88 6 10 2 20 38 × 6 = 228 63 × 10 = 630 88 × 2 = 176 228 + 630 + 176 = 1 060 En el intervalo 1-25 su punto medio es 13 y su frecuecia 2, lo que podemos interpretar de las dos siguientes maneras: En el examen de matemáticas hubo dos alumnos que obtuvieron entre 1 y 25 aciertos. En el examen de matemáticas hubo dos alumnos que obtuvieron 13 aciertos. a) ¿Cuál es el intervalo que tiene el mayor número de alumnos (mayor frecuencia)? ¿Cuántos alumnos obtuvieron ese intervalo de aciertos? ¿Cuál es el punto medio de intervalo en el que se tiene el mayor número de alumnos (frecuencia)? b) Escriban, en su cuaderno, cómo interpretarían estos datos. c) ¿Cuántos alumnos son en total (frecuencia total)? d) ¿Cuál es la suma de los aciertos de todos los alumnos? e) ¿Cuál es la media aritmética del número de aciertos que obtuvo el grupo? ¿Consideran que el grupo tuvo un buen desempeño en el examen de matemáticas? ¿Por qué? A lo que llegamos Cuando un conjunto de datos está organizado en intervalos de igual tamaño, al que tiene mayor frecuencia se le llama intervalo modal y su punto medio se puede considerar que es el valor de la moda. 218 254 L ib ro para el mae s t r o MATEMÁTICAS II Una vez que se tiene el punto medio de cada intervalo se puede obtener la media aritmética de todo el conjunto de datos agrupados. Para ello, primero se multiplica el punto medio de cada intervalo por su frecuencia, luego se suman los productos y el total se divide entre el número de datos. Por ejemplo: Intervalo 0-6 7-13 14-20 Total Punto medio 3 10 17 Frecuencia 50 100 50 200 Producto (punto medio × frecuencia) 150 1000 850 2000 2000 200 Media aritmética= =10 III. Completen los siguientes párrafos, que corresponden a dos formas diferentes de reportar los resultados obtenidos por el grupo. Utilicen los valores de la moda, intervalo modal y media aritmética que calcularon en la actividad anterior, según se señala en cada inciso. a) Utilicen el valor de la media aritmética. El desempeño del grupo en el examen de matemáticas fue Insuficiente excelente/bueno/regular/insuficiente Propósito de la actividad. La actividad pretende que los alumnos aprendan a dar conclusiones basadas en los resultados que obtuvieron, dándole sentido al contexto en que se está desarrollando la sesión (exámenes de matemáticas y desempeño académico) como un punto básico e importante que debe estar presente en toda tarea estadística. 53 , debido a que el promedio de aciertos que obtuvieron los alumnos fue de que es (media aritmética) menor mayor/igual/menor al promedio de 63 aciertos que se señala como referencia. b) Otra forma de dar a conocer el desempeño de los alumnos es a partir del número de aciertos en que hubo mayor frecuencia, es decir, el intervalo modal o la moda. El desempeño del grupo en el examen de matemáticas fue debido a que el número de aciertos con mayor frecuencia fue de que es ya que bueno excelente/bueno/regular/insuficiente 63 aciertos (moda) , igual mayor/igual/menor al promedio de 63 aciertos que se señala como referencia, alumnos obtuvieron de 10 51 a (intervalo modal) 75 aciertos. 219 Li b r o p ara e l m ae s t r o 255 SECUENCI A 17 Comparen y comenten sus respuestas con las de sus compañeros. Respuestas. El del inciso a), porque la media aritmética incluye a todos los alumnos del grupo. Propósito de la actividad. Al analizar estas afirmaciones como posibles justificaciones se concluye la sesión en dos sentidos: el primero es responder las preguntas planteadas en el apartado Consideremos lo siguiente, el segundo es que aquí se aborda el conocimiento que se quiere que los alumnos aprendan, en este caso, obtener el intervalo modal, el punto medio del intervalo modal y la media aritmética de datos agrupados. Sugerencia didáctica. Utilice las respuestas que anotó en el pizarrón, según se recomendó al principio de esta sesión, y compárenlas con las respuestas que han obtenido en el Manos a la obra; si fuera necesario, lean nuevamente los recuadros de A lo que llegamos para dar respuesta al inciso c). Posibles dificultades. Quizá algunos alumnos consideren que da igual elegir la media aritmética o el intervalo modal debido a que ambas se pueden calcular, pero dada la situación que se quiere determinar (conocer el desempeño del grupo a partir del número de aciertos en el examen) la media aritmética es más apropiada porque considera a todos los miembros del grupo. Propósito de la sesión: Comparar el valor de la media aritmética de datos agrupados y el valor de la media aritmética de datos sin agrupar; observar que la primera es representativa de varios conjuntos de datos que tengan la misma frecuencia en cada intervalo. Organización del grupo. A lo largo de la sesión se sugiere que los alumnos trabajen tanto individualmente como en parejas, y que comenten sus resultados con todo el grupo. SESIÓN 2 c) ¿Cuál de los dos valores, media aritmética o moda, consideras que es correcto utilizar para presentar los resultados de este grupo? Marquen con una la afirmación que consideren que justifica su respuesta anterior. El primer resultado, porque el valor de la media aritmética de datos agrupados toma en cuenta el número de aciertos que obtuvieron los veinte alumnos. El segundo resultado, porque para obtener el valor de la moda de datos agrupados se toma en cuenta entre qué número de aciertos se concentra el mayor número de alumnos. Los dos resultados, porque tanto la media aritmética como la moda o el intervalo modal son medidas de tendencia central y, en este caso, se pueden calcular para determinar el desempeño del grupo. EL PROMEDIO DEL GRUPO EN EL EXAMEN 2 Para empezar En la sesión anterior calculaste la media aritmética del número de aciertos que obtuvieron los veinte alumnos del grupo A, al presentar un examen de matemáticas. También determinaron el intervalo de aciertos que con mayor frecuencia obtienen los alumnos. En esta sesión utilizarás esos valores para compararlos con los valores de la media y moda de datos sin agrupar. Consideremos lo siguiente Completen el siguiente cuadro con los valores de las medidas de tendencia central obtenidos en la sesión anterior. Intervalo modal del número de aciertos Punto medio del intervalo modal Media aritmética del número de aciertos 51-75 63 53 El grupo está inconforme con estos valores que se obtuvieron al agrupar los datos. Sugieren que es mejor tomar los datos sin agrupar para determinar su desempeño en el examen de matemáticas. 220 256 L ib ro para el mae s t r o MATEMÁTICAS II En la siguiente tabla se ha incluido el número de aciertos que cada uno de los veinte alumnos obtuvo en ese examen. Propósito del interactivo. Interpretar y calcular las medidas de tendencia central de un conjunto de datos agrupados. Número de aciertos en el examen de matemáticas por alumno del grupo A Intervalo Datos sin agrupar 1-25 26-50 51-75 76-100 11, 24 26, 30, 32, 32, 44, 48 53, 55, 55, 55, 60, 66, 68, 68, 70, 73 80, 97 ¿Qué tan diferentes son los valores de la media de los datos sin agrupar con respecto de los agrupados? ¿Será significativa esa diferencia como para rechazar los valores obtenidos al agrupar los datos? ¿Qué sucede con los valores de la moda obtenidos de estas dos maneras? ¿Son iguales o son diferentes? Comparen y comenten sus respuestas con las de sus compañeros. Si se dijo que un grupo tiene un buen desempeño cuando el promedio es mayor o igual a 63 aciertos, ¿cómo fue el desempeño del grupo de acuerdo con el valor de la media aritmética de datos sin agrupar? Sugerencia didáctica. Estas preguntas no son fáciles de contestar y los alumnos quizá no se animen a hacerlo. Lo importante en este punto es que reconozcan el problema (si hay o no diferencia entre los valores obtenidos cuando los datos están agrupados y cuando están sin agrupar) y que puedan dar una opinión al respecto o abiertamente decir “no lo sé”. En los siguientes apartados abordarán dicho problema. Manos a la obra I. Consideren la tabla con el número de aciertos de cada uno de los veinte alumnos para responder las siguientes preguntas. a) ¿Cuál es el número de aciertos que más alumnos obtuvieron? b) Compara este número con el punto medio del intervalo modal, ¿son iguales o diferentes? del intervalo modal? ¿Ese número está dentro e: Recuerden qu un de da mo La datos conjunto de es el sin agrupar ne dato que tie encia. mayor frecu 221 Respuesta. El desempeño sigue siendo malo, ya que obtuvieron menos de 63 aciertos como media aritmética. Propósito de la actividad. Obtener la moda y media aritmética de datos sin agrupar. Respuestas. a) 55 aciertos b) Son diferentes, el número sí está dentro del intervalo modal (que es 51-75 ). c) Ninguno tuvo exactamente 63 aciertos, pero 7 tuvieron más de 63 . d) 1 047 ÷ 20 = 52.35 , sí es un valor diferente al de la media aritmética de datos agrupados (53) . Li b r o p ara e l m ae s t r o 257 SECUENCI A 17 c) ¿Cuántos alumnos respondieron correctamente al menos 63 preguntas? d) En este conjunto de datos sin agrupar, ¿cuál es el valor de la media aritmética? ¿Este valor es diferente al valor de la media aritmética de datos agrupados? e) Completen el siguiente párrafo. Utilicen el valor de la media aritmética de datos sin agrupar. El desempeño del grupo A en el examen de matemáticas fue insuficiente excelente/bueno/regular/insuficiente Propósito de la actividad. Aunque en los dos grupos las frecuencias (número de aciertos en cada intervalo) coincidan, las calificaciones de cada alumno son distintas. Si los resultados de ambos grupos se analizaran agrupando los datos en los mismos intervalos se obtendría la misma media aritmética, lo que no sucedería conociendo cada uno de los datos. Al analizar los datos de esta tabla se pretende que los alumnos se den cuenta de que al agruparlos se pueden hacer afirmaciones sobre tendencias o estimaciones, pero no se pueden obtener valores “exactos”. debido a que el promedio de aciertos que obtuvieron los alumnos fue de que es 52.35 , (media aritmética) menor mayor/igual/menor al promedio de 63 aciertos que se señala como referencia. Ahora, consideren que otro grupo, también de veinte alumnos, obtuvieron el siguiente número de aciertos: Número de aciertos en el examen por alumno del grupo B (datos sin agrupar) 15, 20 , 28, 32, 32, 32, 47, 52, 60, 60, 65, 65, 70, 70, 72,72,75,75, 60, 60, 65, 65, 70, 70, 72, 72, 75, 75, 90, 100 Al agrupar los datos en el mismo número de intervalos del grupo A, los porcentajes de alumnos coinciden. Número de aciertos en el examen por alumno del grupo B (datos sin agrupar) Aciertos (intervalos) Porcentaje de alumnos 1-25 26-50 10 % 30 % 50 % 10 % 15, 20 28, 32, 32, 32, 47, 52 60, 60, 65, 65, 70, 70, 72, 72, 75, 75 90,100 Sugerencia didáctica. Acepte dos o tres intervenciones de los alumnos. Anote algunas respuestas en el pizarrón para luego recuperarlas en la discusión o en las conclusiones. En cada ocasión otorgue la palabra a distintos alumnos, incluyendo a los que no levanten la mano. 51-75 76-100 f) ¿Cuál de los dos grupos, el A o el B, tuvo un mejor desempeño en el examen de matemáticas? 222 258 L ib ro para el mae s t r o MATEMÁTICAS II II. Utilicen la información que aparece en la tabla anterior para contestar las siguientes preguntas. a) En el conjunto de datos sin agrupar, ¿cuál es el valor de la moda? b) Si se consideran los datos agrupados, ¿cuál es el intervalo modal? ¿y cuál es el punto medio de ese intervalo? c) Compara el valor de la moda de los datos sin agrupar con el punto medio del intervalo modal, ¿son iguales o diferentes? d) ¿El valor de la moda de los datos sin agrupar está dentro del intervalo modal? e) ¿Cuál es el valor de la media aritmética sin agrupar los datos? f) Completen el siguiente párrafo. Utilicen el valor de la media aritmética de los datos del grupo B. Respuestas. a) 32 . b) Es 51-75 cuyo punto medio es 63 . c) Son diferentes. d) No está dentro del intervalo modal, sino en un intervalo anterior, el de 26-50. e) 52.1. g) 53 . h) Son diferentes, la diferencia es de 0.9, puede considerarse un acierto menos. i) El grupo A, porque obtuvo 52.35 , pero de todos modos no tiene buen desempeño. j) Las medias aritméticas de los datos agrupados son iguales. Si se comparan así, puede decirse que ambos grupos tienen el mismo desempeño. El desempeño del grupo B en el examen de matemáticas fue insuficiente excelente/bueno/regular/insuficiente debido a que el promedio de aciertos que obtuvieron los alumnos fue de que es 52.1 (media aritmética) , menor mayor/igual/menor al promedio de 63 aciertos que se señala como referencia. g) Si consideran los datos agrupados, ¿cuál es el valor de la media aritmética? h) Comparen los valores de la media aritmética de los datos agrupados y sin agrupar. ¿Son iguales o diferentes? esta diferencia? i) Si comparan los valores de las medias aritméticas de los datos sin agrupar de los dos grupos, A y B, ¿cuál de los dos grupos tiene mejor promedio? ¿Alguno de los dos grupos logró tener un buen desempeño? (recuerden que un grupo tiene un buen desempeño si su promedio de aciertos es igual o mayor a 63). Si son diferentes, ¿es significativa j) Comparen los valores de la media aritmética de datos agrupados de los dos grupos. ¿Son iguales o diferentes? grupo tuvo mejor desempeño? 223 Si son diferentes, ¿qué Li b r o p ara e l m ae s t r o 259 Propósito de la actividad. Dar conclusiones sobre lo siguiente: • los valores de la media aritmética de datos sin agrupar tienen mayor precisión, • la media de datos agrupados presenta la tendencia de esa situación, pero también la de varios conjuntos del mismo número de datos y frecuencias. Entonces es más representativa. Sugerencia didáctica. Comente con los alumnos la importancia de tomar conciencia de lo que se puede saber cuando los datos están agrupados y cuando no lo están, porque les ayudará a comprender otros conceptos, como la diferencia entre lo que es una muestra y lo que es una población. Integrar al portafolios. Pida a los alumnos que “inventen” una situación con las siguientes características: • dos grupos, cada uno de 20 alumnos, hicieron un examen de matemáticas; • el examen tenía 100 preguntas, por lo que 100 es el número máximo de aciertos que fue posible obtener; • el número de aciertos que obtuvieron los alumnos de un grupo fue distinto al que obtuvieron los del otro grupo, sin embargo, ambos grupos obtuvieron los mismos valores al agrupar sus datos. Explíqueles que lo que tienen que entregar son cuatro tablas similares a las de esta secuencia: • Número de aciertos que obtuvo el grupo A sin agrupar. • Número de aciertos que obtuvo el grupo B sin agrupar. • Número de aciertos que obtuvo el grupo A con datos agrupados. • Número de aciertos que obtuvo el grupo B con datos agrupados. En cada tabla deben calcular la moda, el intervalo modal, el punto medio del intervalo modal y la media aritmética. SECUENCI A 17 Comparen y comenten sus respuestas con las de sus compañeros. a) Completen el siguiente párrafo a manera de conclusión, utilizando el valor de la media aritmética de datos agrupados de ambos grupos. El desempeño de los grupos A y B en el examen de matemáticas fue Insuficiente excelente/bueno/regular/insuficiente debido a que el promedio de aciertos que obtuvieron los alumnos fue de que es 53 (media aritmética) , menor mayor/igual/menor al promedio de 63 aciertos que se señala como referencia. A lo que llegamos Cuando un conjunto de datos está organizado en intervalos, estos intervalos están formados por varios datos individuales, y la frecuencia del intervalo se obtiene contando el número de datos individuales que hay en el intervalo. Por esta razón el valor de la moda de datos sin agrupar no necesariamente está incluido en el intervalo modal. Por ejemplo: Intervalo 60-62 63-65 66-68 69-71 Punto medio 61 64 67 70 Frecuencia 3 4 5 3 Grupo A (datos sin agrupar) 60, 60, 62 63, 64, 65, 65 66, 66, 67, 67, 68 71, 71, 71 Grupo B (datos sin agrupar) 60, 60, 60 63, 64, 64, 65 67, 67, 67, 68, 68, 69, 69, 70 El valor de la moda de datos sin agrupar del grupo A es 71 y el del grupo B es 67. El intervalo modal para ambos grupos es 66-68 y el punto medio del intervalo modal es 67. Observen que el valor de la moda (71) del grupo A no está incluido en el intervalo modal (66-68 ), mientras que el valor de la moda del grupo B, además de estar incluido, es el mismo valor del punto medio del intervalo modal. 224 260 L ib ro para el mae s t r o MATEMÁTICAS II Sugerencia didáctica. Analicen juntos el ejemplo de A lo que llegamos. Anote la tabla en el pizarrón y vayan leyendo la información. La media aritmética de un conjunto de datos agrupados es un valor que puede ser igual, menor o mayor al valor de la media aritmética de los datos sin agrupar, debido a que en su cálculo se utiliza el punto medio de cada intervalo. Por otra parte, el valor de la media aritmética de datos agrupados es representante de cualquier conjunto de datos que tenga los mismos intervalos y las mismas frecuencias en cada intervalo. Por ejemplo: considerando los datos de la tabla anterior, tenemos los siguientes valores. Media de datos agrupados = 984 15 = 65.6 986 15 980 15 Media de datos del grupo A sin agrupar = Media de datos del grupo B sin agrupar = = 65.7 = 65.33 Lo que aprendimos 1. Ahora utiliza los siguientes datos sin agrupar y completa la tabla en la que se ha cambiado el tamaño de los intervalos de 25 a 20. Número de aciertos en el examen por alumno del grupo A (datos sin agrupar) Propósito de la actividad. Con esta actividad se pretende que los alumnos analicen los cambios que se dan en la media aritmética al cambiar el tamaño de los intervalos. 11, 24, 26, 30, 32, 32, 44, 48, 53, 55, 55, 55, 60, 66, 68, 68, 70, 73, 80, 97 Aciertos Intervalo Punto medio del intervalo Número de alumnos Frecuencia Porcentaje Aciertos x número de alumnos (punto medio × frecuencia) 1-20 21-40 41-60 61-80 81-100 10.5 30.5 50.5 70.5 90.5 Total 1 5 7 6 1 20 5 25 35 30 5 100% 10.5 × 1 = 10.5 30.5 × 5 = 152.5 50.5 × 7 = 353.5 70.5 × 6 = 423 90.5 × 1 = 90.5 10.5 + 52.5 + 353.5 + 423 + 90.5 = 1 030 225 Li b r o p ara e l m ae s t r o 261 Respuestas. a) 1 030 ÷ 20 = 51.5 . b) 52.35 – 51.5 = 0.85 . d) La diferencia de la media aritmética de los datos agrupados con respecto a la obtenida con los valores reales fue menor cuando los datos se agruparon en intervalos de tamaño 25 . Ese tamaño de intervalo representó mejor la situación. Sugerencia didáctica. Comenten el asunto del tamaño de los intervalos y su capacidad de representar una situación. Es importante que los alumnos no piensen que la estadística es imprecisa y engañosa, porque aunque parece subjetiva, tiene sustento, y con base en la información que proporciona es posible describir y/o predecir con cierta exactitud el comportamiento de una situación. Diga a los alumnos que se debe ser responsable y cuidadoso al tomar la decisión de cómo agrupar los datos y qué medida utilizar, así como qué gráfica es más adecuada, a diferencia de utilizar mecánicamente una fórmula o procedimiento. Propósito de la actividad. Con este problema se pretende que en una situación real, los alumnos recopilen, organicen y determinen cuál es la manera más conveniente de tratar y presentar los datos (estas tareas las han estado desarrollando desde el grado anterior). Para centrar la atención en ello y evitar que los alumnos se distraigan o les tome mucho tiempo hacer las operaciones, dígales que usen calculadora o, si se puede, el programa Excel. Sugerencia didáctica. No limite el trabajo de los alumnos a simplemente calcular y presentar, cuestiónelos sobre la manera en que están organizando los resultados y pídales que justifiquen lo que están haciendo; por ejemplo, pregúnteles qué sucede si algún alumno tiene 0 de calificación (si no lo saben, dígales que revisen la secuencia 38 de primer grado). Esta actividad deben realizarla en grupo. Anote las calificaciones en el pizarrón y copie las tablas de los incisos b) y c) para que las vayan llenando juntos. Recuerda que: ética La media aritm que se es una medida te afecta fácilmen de por la presencia os valores extrem ra debido a que, pa lo, realizar su cálcu todos se consideran los valores. a) Al cambiar el tamaño de los intervalos, ¿cuál es el valor de la media aritmética del número de aciertos obtenidos por los alumnos? b) ¿Cuál es la diferencia entre la media aritmética de los datos sin agrupar y la media aritmética de los datos agrupados en intervalos de tamaño 20? c) Completa el siguiente cuadro: Media aritmética del número de aciertos sin agrupar Media aritmética del número de aciertos agrupados en intervalos de tamaño 25 Media aritmética del número de aciertos agrupados en intervalos de tamaño 20 52.35 53 51.5 d) ¿Cuál de los valores de las medias aritméticas de datos agrupados consideras que representa mejor la situación? ¿Por qué? 2. Comenten con sus compañeros y con el profesor cuál podría ser el valor de la media aritmética de sus calificaciones obtenidas en el examen de matemáticas en el primer bimestre, para considerar que tuvieron un buen desempeño. Anoten en el siguiente recuadro el valor que acordaron sería el referente para determinar el desempeño del grupo. a) Reúnan las calificaciones que obtuvieron todos los alumnos de su grupo en el examen del primer bimestre de matemáticas y anótenlas en el siguiente recuadro. 226 262 L ib ro para el mae s t r o MATEMÁTICAS II b) Calculen y anoten el valor de la media que obtuvieron. Usen una calculadora para realizar las operaciones. Resumen de las calificaciones de matemáticas obtenidas por el grupo correspondientes al examen del primer bimestre. Media aritmética Moda c) Completen la siguiente tabla con las frecuencias y puntos medios que corresponden a sus calificaciones agrupadas en intervalos. Usen una calculadora para realizar las operaciones. Calificación representativa (punto medio) Calif. representativa × número de alumnos Punto medio × frecuencia Calificaciones Número de alumnos (frecuencia) 0-2.0 2.1-4.0 4.1-6.0 6.1-8.0 8.1-10.0 Respuestas. d) En el tercero (de 4.1 a 6.0 ). e) 7, porque 0 es la calificación que obtuvieron esos dos alumnos y sí se debe contar. f) El punto medio del intervalo es 5.05 y es la calificación representativa de ese intervalo. Posibles dificultades. Tal vez algunos alumnos piensen que en el inciso e) sea más conveniente poner 5 en la frecuencia porque los ceros no suman puntos. Pregúnteles qué sucedería si se pusiera 5 al sumar las frecuencias, se deben dar cuenta que se obtendría una frecuencia total menor al número de alumnos que participaron en el examen; la siguiente pregunta que puede plantearles es si cambia el valor de la media aritmética. Si aún hay alumnos que tienen dudas al calcular la media aritmética, pídales que la obtengan considerando la frecuencia 5 y 7 de ese intervalo y vean los cambios que ocurren. d) Si un compañero dice que obtuvo 6.0 de calificación, ¿en qué intervalo lo anotarían? e) Si en el intervalo 0-2.0 hubo tres alumnos con 1.5, dos alumnos con 1.0 y dos alumnos con 0, ¿la frecuencia que se deberá anotar es, 5 o 7? ¿Por qué? f) Si en el intervalo de 4.1 a 6.0 se consideran las calificaciones de 4.1 a 6, ¿cuál es el punto medio de ese intervalo? ¿Qué significado tiene ese valor? g) Completen el siguiente cuadro. Media aritmética de las calificaciones sin agrupar Media aritmética de las calificaciones agrupadas Diferencia 227 Li b r o p ara e l m ae s t r o 263 SECUENCI A 17 h) ¿Qué calificación obtuviste en el examen de matemáticas del primer bimestre? ¿Cuál es la diferencia que hay entre tu calificación y la media aritmética de las calificaciones del examen sin agrupar? ¿Y cuál es la diferencia con respecto a la media aritmética de las calificaciones agrupadas? i) Otro aspecto que se puede analizar en esta situación es la moda. Completen el siguiente cuadro. Moda de las calificaciones sin agrupar Intervalo modal de las calificaciones Punto medio del intervalo modal Comenten con sus compañeros y con el profesor los resultados que obtuvieron al recopilar, organizar y analizar sus calificaciones. a) Completen el siguiente párrafo. Deberán utilizar el valor referente de la media aritmética de sus calificaciones que acordaron al principio de esta actividad y los valores que obtuvieron en esta actividad. El desempeño de nuestro grupo en el examen de matemáticas fue excelente/bueno/regular/insuficiente debido a que la calificación promedio que obtuvimos fue de (media aritmética) , que señalamos como Propósito de la sesión. Resolver problemas que implican la determinación del punto medio del intervalo modal (como valor de la moda) y el cálculo de la media de datos agrupados a partir de información representada en polígonos de frecuencias. Organización del grupo. En esta sesión hay momentos de trabajo individual y en parejas. SESIÓN 3 que es mayor/igual/menor a la calificación promedio de referente. Podemos decir que el % de los alumnos obtuvieron (punto medio del intervalo modal) (frecuencia mayor en forma de %) de calificación, por lo que es la calificación que más alumnos obtuvieron. LAS CALORÍAS QUE CONSUMEN LOS JÓVENES Para empezar Conexión con Ciencias I Secuencia 11: ¿Cómo usa mi cuerpo lo que como? Estadísticas, alimentos y otras situaciones Descripción del video. Se muestran varias situaciones en las cuales se utilizan las medidas de tendencia central para analizar datos y presentar resultados. Se dan estadísticas reales obtenidas del CENEVAL y el INEGI para ejemplificar su uso, en particular para destacar las propiedades de la media aritmética. En la secuencia 11 ¿Cómo usa mi cuerpo lo que como? de su libro Ciencias I Volumen I estudiaste las características de una alimentación suficiente, variada, equilibrada e higiénica. 228 Sugerencia didáctica. Si lo considera necesario, revise las secuencias 11 y 12 del libro de Ciencias I para ayudar a los alumnos con las dudas que tuvieran sobre el contexto que se utiliza en las sesiones 3 y 4. 264 L ib ro para el mae s t r o MATEMÁTICAS II Consideremos lo siguiente En una escuela se organizó una campaña de nutrición. La nutrióloga responsable de la campaña realizó un estudio de los patrones alimenticios de 100 adolescentes de 13 años de edad (50 varones y 50 mujeres). Los resultados que encontró sobre uno de los aspectos del estudio se muestran en la siguiente gráfica. Número de calorías consumidas diariamente por adolescentes de 13 años. 22 20 18 Número de adolescentes 16 14 12 10 8 6 4 2 0 1 000 a 1 500 1 500 a 2 000 2 000 a 2 500 2 500 a 3 000 3 000 a 3 500 3 500 a 4 000 4 000 a 4 500 4 500 a 5 000 5 000 a 5 500 Varones Mujeres Número de calorías a) ¿Quiénes consumen mayor número de calorías diariamente, las mujeres o los varones? b) ¿Cuál es la media aritmética de calorías que consumen diariamente las mujeres? ¿Y de los varones? ¿Y de todos? Sugerencia didáctica. Los alumnos ya saben cómo se calcula la media aritmética de datos agrupados, déles suficiente tiempo, ya que deben calcular tres medias. Usted puede ayudarles a leer la gráfica si les pregunta cosas como: • ¿Cómo se identifican las calorías que consumieron las mujeres? • ¿Cuál es la escala que tienen los ejes? c) ¿Cuál fue el número de calorías consumidas con mayor frecuencia por las mujeres? ¿Y cuál fue el de los varones? Comparen y comenten sus respuestas con las de sus compañeros. a) Si comparamos el número de calorías promedio y el número de calorías que más mujeres consumen, ¿estas cantidades se encuentran en el mismo intervalo? ¿Sucede lo mismo en el caso de los varones? 229 Li b r o p ara e l m ae s t r o 265 SECUENCI A 17 Manos a la obra I. Observen el polígono de frecuencias y contesten las siguientes preguntas. Número de calorías consumidas diariamente por adolescentes de 13 años. 22 20 18 Número de adolescentes 16 14 12 10 8 6 4 2 0 Respuestas. a) 500 y 4 000 calorías al día y 20 mujeres consumen entre 2 500 y 3 000. b) 3750 calorías por día, 2 750 calorías por día. c) Los puntos son 1 750 , 2 250 , 2 750 , 3 250 , 3 750 , 4 250 , 4 750 , 5 250. Varones Mujeres Número de calorías a) ¿Cuántos varones consumen entre 3 500 y 4 000 calorías al día? ¿Y cuántas mujeres consumen entre 2 500 y 3 000 calorías diarias? b) En el caso del polígono de frecuencias que muestra los resultados de los varones, ¿cuál es el valor del punto medio del intervalo con mayor frecuencia? Y en el caso del de las mujeres, ¿cuál es el valor del punto medio del intervalo con mayor frecuencia? c) ¿Cuáles son los puntos medios de los demás intervalos? Anótenlos al lado de la frecuencia que señala cada punto en la gráfica. Como ven, otra forma de construir la gráfica es a partir de los puntos medios de cada intervalo y sus frecuencias. Con esa misma información es posible construir la tabla de frecuencias y calcular la media aritmética de estos datos. 230 266 L ib ro para el mae s t r o MATEMÁTICAS II Mujeres (punto medio × frecuencia) (1250 × 2) = 2500 II. Completen la siguiente tabla tomando como base los datos de la gráfica anterior. Utilicen una calculadora. Número de calorías Intervalo Punto medio del intervalo Frecuencia Varones (punto medio × frecuencia) (1250 × 1) = 1250 Frecuencia Propósito del interactivo. Interpretar y calcular las medidas de tendencia central de un conjunto de datos agrupados. 1000-1500 1250 1 1 1 500-2 000 2 000-2 500 2 500-3 000 3 000-3 500 3 500-4 000 4 000-4 500 4 500-5 000 5 000-5 500 Total 1 750 2 250 2 750 3 250 3 750 4 250 4 750 5 250 2 5 7 12 16 4 2 1 50 (1 750 x 2) = 3 500 (2 250 x 5) = 11 250 (2 750 x 7) = 19 250 (3 250 x 12) = 39 000 (3 750 x 16) = 60 000 (4 250 x 4) = 17 000 (4 750 x 2) = 9 500 (5 250 x 1) = 5 250 166 000 2 8 20 10 5 2 0 1 50 (1750 x 2) = 3 500 (2 250 x 8) = 18 000 (2 750 x 20) = 55 000 (3 250 x 10) = 32 500 (3 750 x 5) = 18 750 (4 250 x 2) = 8 500 (4 750 x 0) = 0 (5 250 x 1) = 5 250 144 000 a) ¿Cuál es el número de calorías diarias que consumen con mayor frecuencia las mujeres? ¿Y cuál es el de los varones? b) ¿Cuál es la media aritmética de las calorías que consumen los varones? ¿Y la de las mujeres? c) ¿Cómo obtendrían la media aritmética de los 100 adolescentes? III. Completen la siguiente tabla. Número de calorías Intervalo Punto medio del intervalo Frecuencia Varones Mujeres Total Adolescentes (punto medio × frecuencia) Respuestas. a) 2 750 las mujeres y 3 750 los varones. b) Se divide el total entre la cantidad de varones, es decir, 166 000 ÷ 50 y la media es 3 320 calorías. La de las mujeres 144 000 ÷ 50 = 2 880 calorías. c) Hay varias maneras de hacerlo. • Sumar los totales de los productos (el de hombres y el de mujeres y se divide entre la suma de las frecuencias de hombres y mujeres, es decir, (166 000 + 144 000) ÷ 100 = 3 100 calorías. • Sumar las frecuencias por intervalo de varones y mujeres, luego multiplicar los puntos medios por frecuencia, obtener la suma y dividir entre la frecuencia total (como se pide en la actividad III). • Sumar los valores de las medias aritméticas obtenidas para varones y mujeres, luego dividir entre 2 porque son dos valores (3 320 + 2 880) ÷ 2 = 6 200 ÷ 2 = 3 100. Sugerencia didáctica. Los alumnos pueden emplear alguna de las formas que se señalan en el propio libro, pero la intención es que justifiquen por qué la utilizan y que expliquen qué quiere decir su resultado. En la siguiente actividad verán dos de las formas en que se puede encontrar la media aritmética del grupo. 1000-1500 1500-2000 2000-2500 1250 1750 2250 1 2 5 2 2 8 1+2=3 1250 × 3 = 2+2=4 5 + 8 = 13 7 + 20 = 27 12 + 10 = 22 16 + 5 = 21 4+2=6 2+0=2 1+1=2 100 1 750 x 4 = 7 000 2 250 x 13 = 29 250 2 750 x 27 = 74 250 3 250 x 22 = 71 500 3 750 x 21 = 78 750 4 250 x 6 = 25 500 4 750 x 2 = 9 500 5 250 x 2 = 10 500 310 000 231 2 500-3 000 3 000-3 500 3 500-4 000 4 000-4 500 4 500-5 000 5 000-5 500 Total 2 750 3 250 3 750 4 250 4 750 5 250 100 7 12 16 4 2 1 20 10 5 2 0 1 Li b r o p ara e l m ae s t r o 267 Respuestas. a) 2 500-3 000 , el punto medio es 2 750. b) Sí. c) 3 100 calorías. e) No. Propósito de la pregunta f). Se pretende que los alumnos generalicen el procedimiento para cuando se calcula una media de dos subgrupos. Si hay que obtener la media aritmética de las calorías que consumen los alumnos de segundo grado y tenemos como datos las medias aritméticas de los tres grupos que hay en ese grado, entonces podemos sumar las tres medias y dividir entre 3 . Si se quiere conocer la media aritmética de las calorías que consumen los alumnos de toda una escuela, si se conocen las medias de cada uno de los 5 grupos, éstas se suman y se divide entre 5 . Plantee a los alumnos situaciones como éstas y coméntenlas. SECUENCI A 17 a) ¿Cuál es el intervalo modal de las calorías consumidas diariamente por los adolescentes de 13 años, según los resultados del estudio? to medio de ese intervalo? b) Comparen este intervalo y el valor de su punto medio con los obtenidos en el caso de las mujeres, ¿son iguales? c) ¿Cuál es la media aritmética de las calorías que consumen los adolescentes de 13 años, según los resultados del estudio? ¿Cuál es el pun- d) Completen la siguiente expresión: x= ( media aritmética del número de calorías que consumen los varones + media aritmética del número de calorías que consumen las mujeres ) 2 = = (3 320 + 2 880) ( 2 x= = + 2 6 200 2 = 3 ) 100 = e) Comparen este valor con el de la media aritmética del número de calorías que consumen los varones, ¿son iguales? f) ¿Cuál de las siguientes expresiones representa el procedimiento que utilizaste en el inciso b) para obtener el valor de la media aritmética del número de calorías que consumen los 100 adolescentes? 1. x = x 1 + x 2 2. x = (x 1) (x 2) 3. x = (x 1 + x2 2 ) A lo que llegamos Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que copien la información de los dos procedimientos. Para obtener el valor de la media aritmética del número de calorías que consumen los 100 adolescentes de trece años que participaron en el estudio, y dado que se tienen las frecuencias y medias aritméticas del número de calorías que consumen varones y mujeres, se pueden realizar los siguientes procedimientos: 232 268 L ib ro para el mae s t r o MATEMÁTICAS Procedimiento 1 1. Sumar las frecuencias de varones y mujeres en cada intervalo para obtener la frecuencia total. 2. Calcular, para cada intervalo, el producto del punto medio y la frecuencia. 3. Obtener el cociente de la suma de los productos entre la frecuencia total. Procedimiento 2 II 1. Sumar los valores de las medias aritméticas (la del número de calorías que consumen los varones y la de las mujeres). 2. Obtener el cociente de la suma de las medias entre 2. IV. El siguiente polígono de frecuencias presenta el número de calorías que consumen los varones. Ubica en el eje horizontal el punto que corresponde al valor de la media aritmética y a partir de él traza una línea, de color rojo, perpendicular al eje. Número de calorías consumidas diariamente por varones de 13 años. 22 20 18 Número de adolescentes 16 14 12 10 8 6 4 2 0 1 000 a 1 500 1 500 a 2 000 2 000 a 2 500 2 500 a 3 000 3 000 a 3 500 3 500 a 4 000 4 000 a 4 500 4 500 a 5 000 5 000 a 5 500 Número de calorías a) ¿En qué intervalo se encuentra el segmento que trazaste? b) Si consideras el número de varones que hay en cada intervalo y el segmento que trazaste, ¿en qué parte de la gráfica hay más varones, antes del segmento o después de él? c) ¿Cuál es el intervalo modal? 233 Respuestas. a) En el quinto (de 3 000 a 3 500 calorías). b) Después de él. c) De 3 500 a 4 000 calorías. d) No, se encuentra en el intervalo anterior. e) La media aritmética. Li b r o p ara e l m ae s t r o 269 SECUENCI A 17 Ubica el punto medio del intervalo modal y traza un segmento, de color azul, perpendicular al eje horizontal que pase por él. d) ¿En ese mismo intervalo se encuentra la media aritmética? e) De izquierda a derecha, ¿qué punto se encuentra primero, la media aritmética o el punto medio del intervalo modal? V. Utilicen los resultados obtenidos en la sesión y seleccionen las respuestas correctas para completar el siguiente párrafo. De acuerdo con los resultados del estudio que se realizó para conocer los patrones alimenticios de 100 adolescentes de 13 años de edad, se encontró que la media aritmética del número de calorías que consumen es de 3 100 , 3 100 / 3 320 / 2 880 mientras que, si los separamos por sexo, la media aritmética del consumo de calorías en los varones es ellas es de mayor que la de las mujeres, la diferencia entre calorías. 220 mayor / igual / menor 440 / 220 En los varones, la mayor frecuencia en el consumo de calorías diarias se encuentra entre 3 500-4000 , y en el caso de las mujeres la mayor frecuencia . 3 500 a 4 000 / 2 500 a 3 000 está en el intervalo 2 500-3000 3 500 a 4 000 / 2 500 a 3 000 Propósito de la actividad. En esta situación se espera que los alumnos analicen y reflexionen sobre el problema de salud que puede representar un trastorno alimenticio. Comenten que la finalidad de la estadística no es calcular sino tomar decisiones informadas de acuerdo con lo que presentan las gráficas y medidas de tendencia. Lo que aprendimos Conexión con Ciencias I Secuencia 11: ¿Cómo usa mi cuerpo lo que como? 1. Investiguen en la secuencia 11 ¿Cómo usa mi cuerpo lo que como? de su libro Ciencias I Volumen I, qué, cómo y cuántas calorías deben consumir diariamente para mantenerse sanos, así como los riesgos que se tienen por no consumir las calorías adecuadas. a) De acuerdo con esa información, ¿cómo describirían a estos dos grupos de adolescentes, los varones y las mujeres? ¿Qué grupo de adolescentes presenta mayores problemas de salud, los varones o las mujeres? b) Si estuvieran a cargo de una campaña de nutrición en su escuela, ¿qué acciones realizarían para recopilar información sobre su situación nutricional?, ¿qué tipo de gráficas, tablas y medidas de tendencia central utilizarían para comunicar sus resultados a su comunidad escolar? Comenten y comparen sus respuestas con sus compañeros y su profesor. 234 270 L ib ro para el mae s t r o MATEMÁTICAS 2. En la tabla de datos agrupados de la derecha se presentan los salarios mensuales de 70 empleados de una compañía. a) Si el punto medio del primer intervalo de salarios es 2 500, ¿cuál es el límite inferior de ese intervalo? ¿Y cuál es el límite superior? ¿Cuál es el tamaño de cada intervalo? b) ¿Cuál es el salario promedio mensual (media aritmética de datos agrupados) de los 70 empleados? c) ¿Cuál es el salario que perciben el mayor número de empleados de esa compañía? d) Si se quiere utilizar una cantidad que represente mejor los salarios que se tiene en esta compañía, ¿cuál es el más conveniente utilizar, la media aritmética o el intervalo modal? . Justifiquen su respuesta y elaboren un párrafo a modo de reporte. Comparen y comenten sus respuestas con las de sus compañeros. II Frecuencia Punto medio del intervalo 2 500 7 500 12 500 17 500 22 500 27 500 32 500 37 500 14 12 12 10 8 6 5 3 Integrar al portafolios. Analice las respuestas de los alumnos a la actividad 2 de este apartado y guárdelas en su portafolios. Si lo considera necesario, repasen el Manos a la obra de las sesiones de esa secuencia. Respuestas. a) El límite inferior es 0 y el superior es 5 000. El tamaño de cada intervalo es 5 000. Para responder cuáles son los límites inferior y superior se requiere conocer el tamaño de los intervalos. Lo pueden saber si encuentran la diferencia entre el punto medio del segundo intervalo y el del primero (7 500-2 500) . Si el tamaño del intervalo es 5 000 entonces el límite inferior es 0 y el superior es 5 000 (porque (0 + 5 000) ÷ 2 = 2 500 ). b) Es de $15 285.71. c) 2 500, que está en el intervalo de 0 a 5 000. d) En esta situación la moda nos da una información que en la media está desdibujada, ya que la mayoría de los empleados (42 empleados) ganan menos de 15 000 pesos. Para saber más Sobre cómo utilizar e interpretar resultados estadísticos en una determinada situación consulten: http://www.inegi.gob.mx/inegi/default.asp Casos de negocios Fábrica de artículos de plástico Ruta 1: Recursos educativos Casos de negocios Restaurante típico Ruta 2: Recursos educativos [Fecha de consulta: 24 de mayo de 2007]. Sobre otros aspectos en los que se calculan y utilizan promedios consulten: http://cuentame.inegi.gob.mx Educación Ruta 1: Población Esperanza de vida Ruta 2: Población [Fecha de consulta: 24 de mayo de 2007]. Instituto Nacional de Estadística Geografía e Informática. 235 Li b r o p ara e l m ae s t r o 271 EXAMEN BLOQUE 1 PROPUESTA DE EXAMEN BIMESTRAL BLOQUE 1 A continuación se presenta una propuesta para evaluar los bloques 1 y 2 mediante exámenes que serán complementarios de la información que usted ha ido integrando en el portafolios del alumno. Los exámenes tienen las siguientes características: De cada secuencia se proponen entre uno y cuatro reactivos, cada reactivo evalúa un aspecto del contenido que se trató en la secuencia. Cada examen se arma de la siguiente manera: Hay dos opciones para cada reactivo, cada una evalúa el mismo contenido y tiene el mismo nivel de dificultad. La intención de poner estas dos opciones es que usted pueda elegir una o la otra y armar así distintas versiones del examen según le convenga. Encontrará todos los reactivos respondidos para facilitarle la calificación. Recomendaciones para la aplicación de los exámenes, su revisión y calificación: Debido a la longitud de los exámenes, se sugiere aplicar cada uno en dos sesiones de clase, al final de cada bloque. Una vez aplicado, haga una revisión grupal de las soluciones de los reactivos para aclarar dudas y dar oportunidad a que cada alumno haga las correcciones pertinentes de los errores que hubiera cometido. Se sugiere no asignar más del 50% de la calificación bimestral a los resultados de los exámenes, considere para el otro 50% las actividades que integró en el portafolios y otros aspectos que crea importantes (como la participación, el cumplimiento de tareas, etc.). 272 L ib ro para el mae s t r o MATEMÁTICAS II SECUENCIA 1. MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS CON SIGNO Reactivo 1 1. Lorena Ochoa, la mejor jugadora de golf en el 2006, tuvo los siguientes resultados durante los cuatro días de un torneo: Día 1 –3 Día 2 +2 Día 3 –1 Día 4 –4 El resultado final se obtiene al sumar los resultados de los cuatro días, ¿cuál fue el resultado final de Lorena en este torneo? 1’. En una liga de futbol, para decidir qué equipo va a descender es necesario contabilizar la diferencia total de goles obtenida durante seis torneos. El equipo Tucanes tuvo las siguientes diferencias de goles. Ape. 05 0 Respuesta: −6. Cla. 05 +2 Ape. 06 −11 Cla. 06 −7 Ape. 07 −12 Cla. 07 +3 La diferencia total de goles se obtiene sumando las seis cantidades. ¿Cuál es la diferencia total de goles obtenida por los Tucanes? Respuesta: −25. Reactivo 2 2. Encuentra el resultado de las siguientes multiplicaciones : (−12) × 0 = (−5) × 7 = 3 × (−2.7) = (−6) × 1 = (−11) × (−3) = (−6.2) × 2.5 = 0 × (−4) = 18 × (−4) = × –2 = (– 4 3) ( 9) 28 × (−1) = (−6) × (−13) = (−8) × 5 = 3 2’. Encuentra el resultado de las siguientes multiplicaciones: (−10) × 4 = (−7) × 6 = (−8) × 4.2 = 0 × (−7) = (−13) × 0 = 6 × (−17) = × –1 = (– 7 2 ) ( 15) 1 × (−15) = (−5) × (−15) = (−3.1) × (−5.6) = (−13) × (−11) = 3 = (−9) × 14 Li b r o p ara e l m ae s t r o 273 EXAMEN BLOQUE 1 Reactivo 3 3. Encuentra el resultado de las siguientes divisiones: (−36) ÷ 12 = (−45) ÷ (−6) = 24 ÷ (−24) = 2 ÷ (−8) = (−42) ÷ (−7) = 3 8 4 ÷ (−5) = ÷ –1 = (– 3 2) ( 9) ÷ – 12 = 5 ( ) 3’. Encuentra el resultado de las siguientes divisiones: 32 ÷ (−4) = (−37) ÷ (−8) = (−48) ÷ 12 = 4 ÷ (−10) = (−50) ÷ (−10) = ÷– 2 (– 10 3) 7 = 45 ÷ (−45) = ÷ –1 = (– 1 8) ( 7) 2. Respuestas: 0 3. Respuestas: 0 −35 −8.1 −6 33 −15.5 −72 8 27 −28 78 −40 3 −3 7.5 −1 −0.25 6 −8 27 2 −10 9 3’. Respuestas: 2’. Respuestas: −40 −42 −33.6 0 75 17.36 0 −8 −102 7 −30 −4 −0.4 5 −1 7 8 −15 143 −27 14 4.625 −35 3 SECUENCIA 2. PROBLEMAS ADITIVOS CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS Reactivo 1 Respuesta: b) 1. ¿Cuál es la expresión algebraica que representa el perímetro del rectángulo? a) 5x b) 10x c) 5x 2 d) 10x 2 274 L ib ro para el mae s t r o 4x x MATEMÁTICAS II 1’. ¿Cuál es la expresión algebraica que representa el perímetro del trapecio isósceles? 2.5x a) 6x b) 8x c) 6x 2 b) 8x 2 1.5x 2x Respuesta: b) Reactivo 2 2. El terreno que se presenta en la ilustración mide 80 metros de perímetro. ¿Cuánto mide cada una de sus dimensiones? a) Largo: 55 metros, Ancho: 25 metros b) Largo: 45 metros, Ancho: 35 metros c) Largo: 25 metros, Ancho: 15 metros d) Largo: 35 metros, Ancho: 15 metros 2’. El hexágono que se presenta en la ilustración mide 13.2 centímetros de perímetro. ¿Cuánto mide cada uno de sus cuatro lados iguales? a) r = 3.3 centímetros b) r = 3 centímetros c) r = 2 centímetros d) r = 1.8 centímetros Respuesta: d) 2x – 5 Respuesta: c) x r + 1.2 r r r + 1.2 r r Reactivo 3 3. Completa el siguiente cuadrado mágico para que la suma de las expresiones de cada renglón, de cada columna y de cada diagonal sea la misma. Respuesta: n−4 n n+4 n −3 n+3 n−2 n−1 n−4 n n+4 n+1 n+2 n −3 3’. En el cuadrado mágico faltan dos expresiones. La suma de las tres expresiones de cada renglón, de cada columna y de cada diagonal debe ser 3n – 12. ¿Cuáles son las expresiones que faltan? a) n + 2 y b) n − 6 y c) n − 6 y d) n – 2 y Respuesta: c) n – 12 n – 10 n – 12 n–8 n+4 n−1 n−8 n–4 n n+2 n−2 Li b r o p ara e l m ae s t r o 275 EXAMEN BLOQUE 1 SECUENCIA 3. EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y MODELOS GEOMÉTRICOS Reactivo 1 Respuestas: a), b) y d) 1. De las expresiones de la derecha, ¿cuáles sirven para calcular el área del rectángulo del lado izquierdo? a) 5x + 10 b) 5(x+2) c) 5x+2 d) 3(x+2) + 2(x+2) e) 2(x+2) + 2(x+2) 1’. El siguiente rectángulo fue dividido en cuatro rectángulos más pequeños (A, B, C y D). Encuentra una expresión que sirva para calcular el área de cada uno de los cuatro rectángulos. A= B= 5 x+2 Respuestas: A = 2a, a ×2, 2×a B = 6, 2×3 C = a 2, a ×a D = 3a, a ×3, 3×a 2 A B a C D C= D= a 3 Reactivo 2 Respuestas: i ii iii d b c ii) 2(x+3) iii) 3(x+1) 2. Une con una línea cada expresión del lado izquierdo con una expresión equivalente del lado derecho. i) 3(x+2) a) 2x+3 b) 2x+6 c) 3x+2 d) 3x+6 c) 3x+3 276 L ib ro para el mae s t r o MATEMÁTICAS II 2’. Para el siguiente rectángulo anota las medidas de sus lados en los espacios marcados. Y después escribe dos expresiones equivalentes que sirvan para calcular su área. Respuestas: Altura = 4 Base = a, 2 Expresiones: 4(a+2), 4a+8, 4÷(a+2), 4÷a+8 4a 8 = SECUENCIA 4. ÁNGULOS Y MEDICIÓN Reactivo 1 1. ¿Cuáles de las siguientes rectas forman los mismos ángulos de la misma medida con la recta l? Respuesta: Las rectas m y s. Los ángulos que forman con la recta l miden 60º y 120º l m n t s 1’. ¿Cuáles de las siguientes rectas son paralelas? Respuesta: Las rectas n y t son paralelas, porque forman ángulos correspondientes iguales con respecto a la recta l. l m n t s Li b r o p ara e l m ae s t r o 277 EXAMEN BLOQUE 1 2. Respuesta: 140º Reactivo 2 2. Deduce la medida del ángulo interno de un eneágono regular. Describe el proceso que utilizaste. O A B C Del centro del polígono se trazan segmentos a los vértices del mismo para formar triángulos isósceles, por ejemplo, el AOB y el DBOC. El ángulo CBA es un ángulo interno del eneágono que se forma con un ángulo interno del AOB y uno del BOC. La medida de los ángulos con vértice en O se obtiene dividiendo 360º entre 9, que es igual a 40º. Como la suma de las medidas de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180º, en el triángulo OAB se cumple que la suma de las medidas de los ángulos OAB y OBA es igual a 140º, y como estos dos ángulos son iguales, se tiene que cada uno mide 70º. Lo mismo pasa en los otros triángulos. Se tiene entonces que el ángulo CBA está formado por dos ángulos que miden 70º, de ahí que el ángulo interno del eneágono mida 140º. 2’. Respuesta: 150º 2’. Deduce la medida del ángulo interno de un dodecágono regular. Describe el proceso que utilizaste. 278 L ib ro para el mae s t r o MATEMÁTICAS II SECUENCIA 5. RECTAS Y ÁNGULOS Reactivo 1 1. En la siguiente figura hay cuatro ángulos y se da el valor de uno de ellos. Calcula y anota el valor de los otros tres. Respuesta: Los otros tres ángulos miden, respectivamente, 108º, 72º y 108º 72º 1’. En la figura hay cuatro ángulos y se da el valor de uno de ellos. Calcula el valor de los otros tres. 135º Respuesta: Los otros tres ángulos miden, respectivamente, 45º, 135º y 45º Reactivo 2 2. Considera la siguiente figura 4x + 15º x + 15º ¿Cuál ecuación es correcta? a) 4x + 15 = x + 15 b) 4x + 15 + x + 15 = 0 c) 5x + 30 = 180 d) 5x + 30 = 0 Respuesta: c) Li b r o p ara e l m ae s t r o 279 EXAMEN BLOQUE 1 2’. Considera la siguiente figura 2x + 10º 3x + 30º Respuesta: c) ¿Cuál ecuación es correcta? a) x + 10 = 5x + 30 b) x + 10 + 5x + 30 = 0 c) 5x + 40 = 180 d) 5x + 40 = 0 Reactivo 3 Definir lo que son rectas paralelas y rectas perpendiculares. Posibles respuestas: Rectas que no se cortan. Rectas que conservan la misma distancia entre sí. 3. Escribe una definición de rectas paralelas Posibles respuestas: Rectas que al cortarse forman ángulos iguales. Rectas que al cortarse forman ángulos rectos. Rectas que al cortarse forman ángulos de 90º. 3’. Escribe una definición de rectas perpendiculares 280 L ib ro para el mae s t r o MATEMÁTICAS II SECUENCIA 6. RECTAS Y ÁNGULOS Reactivo 1 1. Considera que en la figura la recta m es paralela a la recta n. m n 107º a ¿Cuánto mide el ángulo a? 1’. Considera que en la figura la recta p es paralela a la recta q. Respuesta: 73º a p q 54º ¿Cuánto mide el ángulo a? Respuesta: 126º Reactivo 2 2. Considera la siguiente figura 2x + 11º 2x + 9º ¿Cuánto vale x? Respuesta: x = 40 Li b r o p ara e l m ae s t r o 281 EXAMEN BLOQUE 1 2’. Considera la siguiente figura 3x + 20º 5x Respuesta: x = 20 ¿Cuánto vale x? Reactivo 3 3. Completa los siguientes enunciados anotando la relación entre los ángulos. p b a c f h d g i q Respuesta: Son alternos externos. Respuesta: Son correspondientes. ∠ a = ∠ h porque ∠ a = ∠ f porque 3’. Completa los siguientes enunciados anotando la relación entre los ángulos. p b a c f h d g i q Respuesta: Son alternos internos. Respuesta: Son correspondientes. 282 L ib ro para el mae s t r o ∠ d= ∠ f porque ∠ b = ∠ g porque MATEMÁTICAS II SECUENCIA 7. LA RELACIÓN INVERSA DE UNA RELACIÓN DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA Reactivo 1 1. Un automóvil viaja a velocidad constante y hace un recorrido de 365 kilómetros en un tiempo de 5 horas. a) ¿En cuánto tiempo haría un recorrido de 511 kilómetros ? b) ¿Cuántos kilómetros recorrió en tres horas? c) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad que nos permite encontrar la distancia recorrida a partir del tiempo del trayecto? d) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad de la relación inversa a la del inciso anterior? 1’. Un automóvil viaja a velocidad constante y hace un recorrido de 450 kilómetros en un tiempo de 6 horas. a) ¿En cuánto tiempo haría un recorrido de 225 kilómetros ? b) ¿Cuántos kilómetros recorrió en cinco horas? c) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad que nos permite encontrar la distancia recorrida a partir del tiempo del trayecto? d) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad de la relación inversa a la del inciso anterior? Respuestas: a) 3 horas. b) 375 kilómetros. c) 75 kilómetros por hora. d) 1 75 . Respuestas: a) 7 horas. b) 219 kilómetros. c) 73 kilómetros por hora. d) 1 73 . Reactivo 2 2. Si la constante de proporcionalidad de una relación de proporcionalidad directa es 9, ¿cuál es la constante de proporcionalidad de la relación inversa? a) −9 b) 9 c) – 1 9 d) 1 9 Respuesta: d) 2’. Si la constante de proporcionalidad de una relación de proporcionalidad directa es 1 3 , ¿cuál es la constante de proporcionalidad de la relación inversa? a) −3 b) 3 c) – 1 3 d) 1 3 Respuesta: b) Li b r o p ara e l m ae s t r o 283 EXAMEN BLOQUE 1 SECUENCIA 8. PROPORCIONALIDAD MÚLTIPLE Reactivo 1 Respuesta: 30 perros. 1. Sabiendo que un trineo jalado por 10 perros necesita 2 días para recorrer una distancia de 150 kilómetros, ¿cuántos perros necesitarían jalar el trineo para que hicieran un recorrido de 225 kilómetros en un día? Escribe tu procedimiento . 1’. Sabiendo que 20 albañiles necesitan 4 días para construir una barda de 40 m de largo, ¿cuánto tiempo necesitarán 6 albañiles para construir una barda de 30 m de largo? Escribe tu procedimiento . Respuesta: 10 días. SECUENCIA 9. PROBLEMAS DE CONTEO Respuesta: 30 números. 12, 13, 14, 17, 19, 21, 23, 24, 27, 29, 31, 32, 34, 37, 39, 41, 42, 43, 47, 49, 71, 72, 73, 74, 79, 91, 92, 93, 94, 97. Reactivo 1 1. Con los dígitos 1, 2, 3, 4, 7, 9 queremos formar números de dos cifras; en cada número no se puede repetir ninguno de los dígitos. ¿Cuántos números podemos formar? Haz una lista con todos los números. 1’. Con los dígitos 1, 2, 7, 9 queremos formar números de tres cifras; en cada número no se puede repetir ninguno de los dígitos. ¿Cuántos números podemos formar? Haz una lista con todos los números. Respuesta: 24 números. 127, 129, 172, 179, 192, 197, 217, 219, 271, 279, 291, 297, 712, 719, 721, 729, 791, 792, 912, 917, 921, 927, 971, 972. Reactivo 2 2. En una Casa de Cultura se imparten cinco talleres: literatura, dibujo, alfarería, grabado y danza. Es posible inscribirse a dos de los talleres sin indicar el orden de preferencia. ¿De cuántas maneras distintas se puede llenar la hoja de inscripción? 2’. En una Casa de Cultura se imparten cinco talleres: literatura, dibujo, alfarería, grabado y danza. Es posible inscribirse a dos de los talleres y hay que indicar el orden de preferencia. ¿De cuántas maneras distintas se puede llenar la hoja de inscripción? Respuesta: 10 maneras. Respuesta: 20 maneras. Reactivo 3 Respuesta. 9 maneras. 3. Vamos a colocar una canica roja, una azul y una blanca en dos cajas numeradas. Es posible colocar varias canicas en la misma caja. ¿De cuántas maneras podemos hacerlo? 3’. Vamos a colocar una canica roja y una blanca en tres cajas numeradas. Es posible colocar las dos canicas en la misma caja. ¿De cuántas maneras podemos hacerlo? Respuesta. 8 maneras. 284 L ib ro para el mae s t r o MATEMÁTICAS II SECUENCIA 10. POLÍGONOS DE FRECUENCIAS Reactivo 1 1. En la siguiente lista aparecen los pesos de los alumnos de un grupo de telesecundaria. Pesos: 60, 48, 72, 50, 65, 52, 70, 70, 76, 58, 67, 45, 73, 71, 57, 69, 50, 78, 48, 46. a) ¿Cuáles es el peso mínimo que se registró? ¿Y cuál es el máximo? rencia entre el peso máximo y mínimo? b) Organiza los datos en siete intervalos de tamaño 5 y represéntalos en una tabla de frecuencias c) ¿Cuál es el primer intervalo? nos hay en ese intervalo? d) Elabora el polígono de frecuencias que le corresponde. e) ¿Cuál es el título del polígono de frecuencias? ¿Cuántos alum¿Cuál es la dife- Respuestas: Peso mínimo: 45 kg Peso máximo: 78 kg. Diferencia: 33 kg Para organizar los datos en siete intervalos de tamaño 5, conviene iniciar con el intervalo 45 a 49, 50 a 54, 55 a 59, 60 a 64, 65 a 69, 70 a 74, 75 a 79. La frecuencia del primer intervalo es 4. Peso en kilogramos 45 a 49 50 a 54 55 a 59 60 a 64 65 a 69 70 a 74 75 a 79 Total 5 4 3 2 1 0 45-49 50-54 55-59 60-64 65-69 70-74 75-79 Número de personas 4 3 2 1 3 5 2 20 Peso de los alumnos de segundo grado Número de alumnos f) ¿Qué representan los valores del eje horizontal? g) ¿Y los valores del eje vertical? h) ¿Cuál es el primer intervalo? 1’ En la siguiente lista aparecen las edades de un grupo de personas en una reunión. Edades: 15, 21, 10, 8, 26, 11, 24, 18, 15, 23, 28, 12, 9, 6, 20, 17, 25, 16, 20, 23 a) ¿Cuántos años tenía la persona con mayor edad en el grupo? b) ¿Y cuántos años tenía el menor del grupo? c) Organiza los datos en cinco intervalos en una tabla de frecuencias. d) Elabora el polígono de frecuencias que le corresponde. e) ¿Cuál es el título del polígono de frecuencias? f) ¿Qué representan los valores del eje horizontal? g) ¿Y los valores del eje vertical? h) ¿Cuál es el primer intervalo? Peso en kilográmos Respuestas: La mayor tiene 28 años y la menor 6 años. Los intervalos más convenientes son: 5-9, 10-14, 15-19, 20-24, 25-29. Edades 5a9 10 a 14 15 a 19 20 a 24 25 a 29 Total 6 5 4 3 2 1 0 5-9 10-14 15-19 20-24 25-29 Número de personas 3 3 5 6 3 20 Edades de los alumnos de segundo grado Número de alumnos Edades en años Li b r o p ara e l m ae s t r o 285 EXAMEN BLOQUE 1 Reactivo 2 2. Los siguientes polígonos de frecuencias muestran las estaturas de los alumnos de segundo grado de una telesecundaria. Distribución de la estatura de los alumnos de segundo grado 6 5 Número de alumnos 4 3 2 1 0 1.35 a 1.39 1.40 a 1.44 1.45 a 1.49 1.50 a 1.54 1.55 a 1.59 1.60 a 1.64 1.65 a 1.69 1.70 a 1.74 1.75 a 1.79 Grupo A Grupo B Estatura en metros Respuestas: Hay dos grupos, el A y el B. En cada grupo hay 20 alumnos. La estatura mínima es 1.35 y la máxima es 1.74 metros. En el intervalo 1.45 a 1.49 metros. Hay más alumnos altos en el B. Hay 6 alumnos que miden más de 1.60 metros en el B, mientras que en el A solamente hay 3. a) ¿Cuántos grupos de segundo grado hay en esa telesecundaria? b) ¿Cuántos alumnos hay en cada grupo? c) ¿Cuál es la estatura mínima que pudo tener un alumno de estos dos grupos? ¿Y cuál es la estatura máxima? d) ¿Cuál es el intervalo de estaturas en qué hay mas alumnos del grupo A? ¿Y del grupo B? e) De acuerdo con la gráfica, ¿en cuál de los dos grupos hay más alumnos altos, en el grupo A o en el B? ¿Por qué? 286 L ib ro para el mae s t r o MATEMÁTICAS II 2’. Los siguientes polígonos de frecuencias muestran los resultados de las respuestas a dos preguntas de una encuesta que se realizó a los alumnos de una escuela. ¿Cuánto tiempo dedican los alumnos a ver televisión? ¿Y cuánto tiempo dedican a estudiar? 35 30 Número de alumnos 25 20 15 10 5 0 5–9 Ver televisión Estudiar 10 – 14 15 – 19 20 – 24 25 – 29 30 – 34 Horas semanales a) ¿Cuántos alumnos contestaron las dos preguntas? b) ¿Cuántos alumnos se dedican a estudiar entre 15 y 19 horas a la semana? ¿Y cuántos alumnos dedican entre 15 y 19 horas a la semana para ver televisión? Respuestas: 100 alumnos fueron encuestados. 20 alumnos estudian entre 15 y 19 horas. 20 alumnos ven televisión entre 15 y 19 horas a la semana. c) De acuerdo con la gráfica, ¿a qué dedican los alumnos más tiempo durante la semana a estudiar o a ver televisión? ¿Por qué? Los alumnos dedican más tiempo a ver televisión porque si sumamos los alumnos que ven de 15 a 34 horas hay 85, mientras que los alumnos que estudian ese mismo tiempo son 50. Li b r o p ara e l m ae s t r o 287 EXAMEN BLOQUE 2 PROPUESTA DE EXAMEN BIMESTRAL BLOQUE 2 SECUENCIA 11. LA JERARQUÍA DE LAS OPERACIONES Reactivo 1 Respuestas: a) 24 b) 69 c) 27 d) 99 1. Calcula el valor de las siguientes expresiones. a) 3 + 6 × 2 + 9 b) 3 + 6 × (2 + 9) c) (3 + 6) × 2 + 9 = = = d) (3 + 6) × (2 + 9) = 1’. Las siguientes expresiones son erróneas, coloca los paréntesis faltantes para que sean correctas: a) 6 + 2 ÷ 2 + 8 = 12 b) 15 – 3 × 2 + 1 = 6 Respuestas: a) ( 6 + 2 )÷ 2 + 8 = 12 b) 15 – 3 × (2 + 1) = 6 Reactivo 2 Respuestas: a b c d iv i v ii 2. Une con una línea cada frase del lado izquierdo con una expresión del lado derecho que represente los cálculos descritos ella. a) A 12 le resto 4 y lo multiplico por 3. b) A 12 le resto el resultado de multiplicar 4 y 3. c) Al resultado de dividir 12 entre 4 lo multiplico por 3. d) A 12 lo divido entre el resultado de multiplicar 4 y 3. 2’. Calcula el valor de las siguientes expresiones. a) 40 – 10 – 5 = i) 12–4×3 ii) 2÷(4×3) iii) 12–4÷3 iv) (12–4)×3 v) (12÷4)×3 Respuestas: a) 25 b) 35 c) −1 b) 40 – (10 – 5) = c) 40 ÷ 10 – 5 = 288 L ib ro para el mae s t r o MATEMÁTICAS II SECUENCIA 12. MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE POLINOMIOS Reactivo 1 1. ¿Cuál la expresión algebraica que representa el área del rectángulo? a) 4x b) 10x c) 5x 2 d) 4x 2 1’. ¿Cuál la expresión algebraica que representa el largo del rectángulo? a) 4x − 5 b) 3x − 3 c) 3x + 2.5 d) 3x – 2.5 A=6x 2–5 2x 4x Respuesta: d) x Respuesta: d) Reactivo 2 2. ¿Qué expresión algebraica representa el perímetro del rectángulo rojo? a) Perímetro = 6y + 10 b) Perímetro = 4y + 6 c) Perímetro = 6y + 5 d) Perímetro = 6y + 6 Área = 2y + 4 Respuesta: d) y+2 2y + 3 2’. La superficie cuadrada cultivada de maíz tiene 14 500 metros cuadrados menos que toda la parcela. ¿Cuál es el perímetro de la superficie cultivada de maíz? a) Perímetro = 1 000 metros b) Perímetro = 630 metros c) Perímetro = 200 metros d) Perímetro = 400 metros Respuesta: d) x + 40 Cultivo de maíz x x + 75 Li b r o p ara e l m ae s t r o 289 EXAMEN BLOQUE 2 Reactivo 3 3. ¿Qué expresión algebraica representa el área del rectángulo rojo? y+2 Área = 2y + 4 2y + 3 Respuesta: a) a) Área = 2y 2 + 5y + 2 b) Área = 2y 2 + 9y + 10 c) Área = 2y 2 + 7y + 6 d) Área = 2y 2 + 3y + 2 3'. La superficie cuadrada cultivada de maíz tiene 14 500 metros cuadrados menos que toda la parcela. ¿Cuál es el área de la superficie cultivada de maíz? Cultivo de maíz x + 40 x x + 75 Respuesta: c) a) Área = 1 000 metros cuadrados b) Área = 24 500 metros cuadrados c) Área = 10 000 metros cuadrados d) Área = 400 metros cuadrados 290 L ib ro para el mae s t r o MATEMÁTICAS II SECUENCIA 13. CUBOS, PRISMAS Y PIRÁMIDES Reactivo 1 1. Paco va a usar palillos del mismo tamaño para hacer las aristas de un cubo. ¿Cuántos palillos necesita? a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 1’. Juan va a clavar un alfiler en cada vértice de un prisma rectangular. ¿Cuántos alfileres necesita? a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 Respuesta: c) Respuesta: d) Reactivo 2 2. ¿Con cuál de los siguientes desarrollos es posible armar un cubo? a) b) Respuesta: c) c) d) Li b r o p ara e l m ae s t r o 291 EXAMEN BLOQUE 2 Respuesta: b) 2’. ¿Con cuál de los siguientes desarrollos es posible armar un prisma? a) b) c) d) Reactivo 3 Respuesta: Tiene una base en forma de hexágono y 6 caras laterales en forma de triángulos. Tiene 12 aristas y 7 vértices. 3. Describe las principales características de una pirámide hexagonal Respuesta: Tiene una base en forma de octágono y 8 caras laterales en forma de triángulos. Tiene 16 aristas y 9 vértices. 3’. Describe las principales características de una pirámide octagonal 292 L ib ro para el mae s t r o MATEMÁTICAS II Reactivo 4 4. Considera el siguiente cuerpo formado por cubos. ¿Cuál de las siguientes es la vista desde arriba de este cuerpo? a) b) Respuesta: c) c) d) 4’. Considera el siguiente cuerpo formado por cubos. ¿Cuál de las siguientes es la vista desde arriba de este cuerpo? a) b) Respuesta: a) c) d) Li b r o p ara e l m ae s t r o 293 EXAMEN BLOQUE 2 SECUENCIA 14. VOLUMEN DE PRISMAS Y PIRÁMIDES Reactivo 1 Respuesta: b) 1. Se tienen un prisma y una pirámide con la misma altura y cuyas bases son polígonos iguales en forma y medida. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? a) El volumen del prisma es la tercera parte del volumen de la pirámide. b) El volumen del prisma es el triple del volumen de la pirámide. c) El volumen del prisma es la mitad del volumen de la pirámide. d) El volumen del prisma es el doble del volumen de la pirámide. 1’. Se tienen un prisma y una pirámide con la misma altura y cuyas bases son polígonos iguales en forma y medida. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? a) El volumen de la pirámide es la tercera parte del volumen del prisma. b) El volumen de la pirámide es el triple del volumen del prisma. c) El volumen de la pirámide es la mitad del volumen del prisma. d) El volumen de la pirámide es el doble del volumen del prisma. Respuesta: a) Reactivo 2 Respuesta: c) 3. ¿Cuál es la fórmula para calcular el volumen de un prisma? a) Volumen = Área de la base × altura 2 b) Volumen = Área de la base × altura 3 c) Volumen = Área de la base × altura d) Volumen = Perímetro de la base × altura 3’. ¿Cuál es la fórmula para calcular el volumen de una pirámide? a) Volumen = Área de la base × altura 2 b) Volumen = Área de la base × altura 3 c) Volumen = Área de la base × altura d) Volumen = Perímetro de la base × altura Respuesta: b) 294 L ib ro para el mae s t r o MATEMÁTICAS II SECUENCIA 15. VOLUMEN DE PRISMAS Y PIRÁMIDES Reactivo 1 1. Cierto tipo de vidrio pesa 2 gramos por cada centímetro cúbico. ¿Cuánto pesa una pieza cuadrada de ese vidrio si mide 1 m por lado y tiene un grosor de 1 cm? a) 2 kg b) 20 kg c) 200 g d) 2000 g 1’. Cierto tipo de vidrio pesa 10 gramos por cada centímetro cúbico. Si una pieza en forma cuadrada de ese vidrio y de un 1 cm de grosor, pesa 5 kg, ¿cuál es la medida del área de la pieza de vidrio? a) 500 cm2 b) 50 cm2 c) 50 m2 d) 500 m2 Respuesta: b) Respuesta: a) Reactivo 2 2. La suma de las medidas de todas las aristas de un cubo es 120 cm, ¿cuál es el volumen del cubo? a) 10 cm3 b) 100 cm3 c) 1000 cm3 d) 10 000 cm3 2’. La suma del área de todas las caras del cubo es 150 cm2, ¿cuál es el volumen del cubo? a) 5 cm3 b) 25 cm3 c) 50 cm3 d) 125 cm3 Respuesta: c) Respuesta: d) Li b r o p ara e l m ae s t r o 295 EXAMEN BLOQUE 2 Reactivo 3 Respuesta: c) 3. ¿Cuál es la capacidad de una pecera en forma de prisma rectangular que mide 1 metro de largo por 50 cm de ancho y 70 cm de altura? a) 3.5 litros b) 35 litros c) 350 litros d) 3500 litros Respuesta: b) 3’. Se desea construir una pecera con una capacidad de 500 litros, ¿cuál opción señala las posibles medidas de esta pecera? a) 1 m × 5 m × 1 m b) 1 m × 0.5m × 1 m c) 1 m × 0.5 m × 0.1 m d) 10 m × 0.5 m × 1 m Reactivo 4 Respuesta: c) 4. ¿Cuál es la capacidad de una jeringa de 10 cm3? a) 10 decilitros b) 10 centilitros c) 10 mililitros d) 100 mililitros Respuesta: c) 4’. ¿Cuál es la capacidad de una jeringa de 5 cm3? a) 5 decilitros b) 5 centilitros c) 5 mililitros d) 50 mililitros SECUENCIA 16. COCIENTES IGUALES Reactivo 1 Respuesta: El día lunes. 1. Juan cambió 130 dólares el día lunes y le dieron $1 430 y el día viernes cambió 300 dólares y le dieron $31 50. ¿En que día le convenía cambiar todo su dinero? Respuesta: El día viernes. 1’. Juan cambió 130 dólares el día lunes y le dieron $1 365 y el día viernes cambió 300 dólares y le dieron $3 300. ¿En que día le convenía cambiar todo su dinero? 296 L ib ro para el mae s t r o MATEMÁTICAS II Reactivo 2 2. Al mezclar determinadas cantidades de pintura roja y azul se forman distintos tonos de pintura de color morado. Las siguientes tablas muestran las cantidades de pintura que hay que mezclar para hacer dos tonos distintos de morado. Pintura roja (en litros) Pintura azul (en litros) Pintura púrpura (en litros) Pintura roja (en litros) Pintura azul (en litros) Pintura violeta (en litros) 7 3 10 18 12 30 a) ¿Cuál de los dos tonos de morado tiene mayor concentración de color azul? b) ¿Cuál es la concentración de pintura azul en la pintura púrpura? Respuesta: a) La pintura violeta. 3 o 0.3. b) La concentración es 10 c) La concentración es 12 30 o 0.4. c) ¿Cuál es la concentración de pintura azul en la pintura violeta? 2’. Al mezclar determinadas cantidades de pintura amarilla y azul se forman distintos tonos de pintura de color verde. Las siguientes tablas muestran las cantidades de pintura que hay que mezclar para hacer dos tonos distintos de verde. Pintura amarilla (en litros) Pintura azul (en litros) Pintura verde olivo (en litros) Pintura rojaamarilla litros) Pintura azul (en litros) Pintura verde militar (en litros) 3 7 10 12 18 30 a) ¿Cuál de los dos tonos de verde tiene mayor concentración de color azul? b) ¿Cuál es la concentración de pintura azul en la pintura verde olivo? Respuesta: a) La pintura verde olivo. b) La concentración es c) La concentración es 7 10 o 0.7. 18 o 0.6. 30 c) ¿Cuál es la concentración de pintura azul en la pintura verde militar? Li b r o p ara e l m ae s t r o 297 EXAMEN BLOQUE 2 SECUENCIA 17. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Reactivo 1 1. En la siguiente lista aparecen los pesos de los alumnos de un grupo de segundo grado de telesecundaria. Pesos: 60, 48, 72, 50, 65, 52, 70, 70, 76, 58, 67, 45, 73, 71, 57, 69, 53, 78, 47, 46. a) Sin agrupar estos datos, ¿cuál es el valor de la moda? ¿Y cuál es el valor de la media aritmética? b) Elabora una tabla con los datos agrupados en siete intervalos. c) Identifica el intervalo modal y su punto medio y calcula la media aritmética de datos agrupados para completar la siguiente conclusión que se puede obtener sobre esta situación. El peso promedio de los alumnos de segundo grado de esta telesecundaria es de (media aritmética) kg. Los pesos que son más frecuentes (intervalo modal) entre los alumnos están entre . Respuestas: La moda sin agrupar los datos es 70 kg y la media aritmética es 61.35 kg. El intervalo modal es 70 a 74 y su punto medio es 72, y la media aritmética de datos agrupados es 61.75 kg. Pesos en kilogramos 45 a 49 50 a 54 55 a 59 60 a 64 65 a 69 70 a 74 75 a 79 total Punto medio del intervalo 47 52 57 62 67 72 77 Número de alumnos (frecuencia) 4 3 2 1 3 5 2 20 Punto medio × frecuencia 188 156 114 62 201 360 154 Media: 61.75 298 L ib ro para el mae s t r o MATEMÁTICAS II 1’. En la siguiente lista aparecen las edades de un grupo de 25 personas que se encuentran en una reunión. Edades: 15, 21, 10, 24, 8, 26, 11, 24, 18, 15, 23, 28, 12, 11, 27, 6, 11, 20, 17, 25, 16, 19, 20, 23, 20. a) Sin agrupar estos datos, ¿cuál es el valor de la moda? ¿Y cuál es el valor de la media aritmética? b) Elabora una tabla con los datos agrupados en cinco intervalos. c) Identifica el intervalo modal y su punto medio y calcula la media aritmética de datos agrupados para completar la siguiente conclusión que se puede obtener sobre esta situación. La edad promedio de las personas que asistieron a la reunión fue de (media aritmética) años. Las edades de (intervalo modal) a años son las de mayor frecuencia entre en estas personas. Respuestas: La moda sin agrupar los datos es 11 y 20 años y la media aritmética es 18 años. El intervalo modal es 20 a 24 años, su punto medio es 22, y la media aritmética de datos agrupados es 23 años. Edades 5a9 10 a 14 15 a 19 20 a 24 25 a 29 Punto medio del intervalo 7 12 17 22 27 total Número de personas (frecuencia) 2 5 6 8 4 25 Punto medio × frecuencia 14 60 102 176 108 Media: 23 Li b r o p ara e l m ae s t r o 299 EXAMEN BLOQUE 2 Reactivo 2 2. Los siguientes polígonos de frecuencias muestran las estaturas de los alumnos de segundo grado de una telesecundaria. Distribución de la estatura de los alumnos de segundo grado 6 5 Número de alumnos 4 3 2 1 0 1.35 a 1.39 1.40 a 1.44 1.45 a 1.49 1.50 a 1.54 1.55 a 1.59 1.60 a 1.64 1.65 a 1.69 1.70 a 1.74 1.75 a 1.79 Grupo A Grupo B Estatura en metros a) Considera los polígonos de frecuencias de ambos grupos, para completar el siguiente párrafo. Las estaturas con mayor frecuencia entre los alumnos de ambos grupos fueron de grupo A y a metros, ya que hubo alumnos del alumnos del grupo B con esas estaturas. metros y en el grupo B, La estatura promedio del grupo A es de la estatura promedio es de metros. b) Ingresaron 5 alumnos más en cada grupo, los que se quedaron en el grupo A miden 1.67 metros y los del grupo B miden 1.42. ¿Cuáles son los nuevos valores de las medias aritméticas de las estatura de cada grupo? 300 L ib ro para el mae s t r o MATEMÁTICAS II 2. Respuestas: 1.45 y 1.49. 5 alumnos del A y 5 alumnos del B. Media del grupo A: 1.49 metros y hay 7 alumnos por debajo de la media. Media del grupo B: 1.52 metros. Respuestas: Nueva media del grupo A: 1.52 metros (en la frecuencia del intervalo 1.65 a 1.69 se agregan 5, ahora es 6 y la frecuencia total es 25). Nueva media del grupo B: 1.50 metros. (en la frecuencia del intervalo 1.40 a 1.44 se agregan 5, ahora es 7 y la frecuencia total es 25). estaturas en metros intervalo 1.35-1.39 1.40-1.44 1.45-1.49 1.50-1.54 1.55-1.59 1.60-1.64 1.65-1.69 1.70-1.74 punto medio 1.37 1.42 1.47 1.52 1.57 1.62 1.67 1.72 número de alumnos frecuencia 4 3 5 3 2 1 1 1 20 número de alumnos frecuencia 3 2 5 2 2 2 2 2 20 punto medio × frecuencia 5.48 4.26 7.35 4.56 3.14 1.62 1.67 1.72 media 1.49 punto medio × frecuencia 4.11 2.84 7.35 3.04 3.14 3.24 3.34 3.44 estaturas en metros intervalo 1.35-1.39 1.40-1.44 1.45-1.49 1.50-1.54 1.55-1.59 1.60-1.64 1.65-1.69 1.70-1.74 punto medio 1.37 1.42 1.47 1.52 1.57 1.62 1.67 1.72 media 1.525 Li b r o p ara e l m ae s t r o 301 EXAMEN BLOQUE 2 2’ Los siguientes polígonos de frecuencias muestran los resultados de las respuestas a dos preguntas de una encuesta que se realizó a los alumnos de una escuela. ¿Cuánto tiempo dedican los alumnos a ver televisión? ¿Y cuánto tiempo dedican a estudiar? 35 30 Número de alumnos 25 20 15 10 5 0 5–9 Ver televisión Estudiar 10 – 14 15 – 19 20 – 24 25 – 29 30 – 34 Horas semanales a) De acuerdo con la información que muestran los polígonos de frecuencias, completa el siguiente párrafo Los alumnos de esta escuela dedican medio a ver televisión y horas a la semana en pro- horas a la semana a estudiar. El número de horas a la semana que es más frecuente que los alumnos vean televisión es de El y el que se dediquen a estudiar es de . % de los alumnos dicen que dedican entre 5 y 14 horas sema- nales a estudiar. b) Se aplicó la encuesta a 10 alumnos más y contestaron que no veían televisión y que se dedicaban a estudiar 27 horas a la semana, ¿cuál es el nuevo valor de la media aritmética en el caso de las horas a la semana que dedican a ver televisión ? ¿Y cuál es el nuevo valor de la media aritmética de las horas a la semana que se dedican a estudiar? 302 L ib ro para el mae s t r o MATEMÁTICAS II 2'. Respuestas: 21.5. 16. 22 (punto medio del intervalo modal). 12 (punto medio del intervalo modal). 50%, porque al sumar la frecuencia de esos dos intervalos son 50 alumnos que representan el 50% de los encuestados. Respuestas: 19.5. 17. (La frecuencia total es 110 en lugar de 100, la suma de las horas que ven televisión por la frecuencia no cambia, pero se afecta por el nuevo divisor; en cambio, la suma de las horas que dedican a estudiar por la frecuencia hace que se agregan 270 entre 110). horas por semana 5−9 10−14 15 −19 20−24 25−29 30−34 Punto medio 7 12 17 22 27 32 número de alumnos que ven televisión (frecuencia) 5 10 20 30 25 10 media número de alumnos que estudian (frecuencia) 20 30 20 15 10 5 media Punto medio × frecuencia 35 120 340 660 675 320 21.5 horas por semana 5−9 10−14 15 −19 20−24 25−29 30−34 Punto medio 7 12 17 22 27 32 Punto medio × frecuencia 140 360 340 330 270 160 16 Li b r o p ara e l m ae s t r o 303 Bibliografía Instituto Nacional de Estadística, Geografía e Informática. 23 agosto 2003. <http://www.inegi.gob.mx > SEP (2000), Fichero. Actividades didácticas. Matemáticas. Educación Secundaria, México. - (2000), Libro para el maestro. Matemáticas. Educación Secundaria, México. SEP-ILCE (2000), Matemáticas con la hoja electrónica de cálculo, Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología (Emat). Educación Secundaria, México. - (2000), Geometría dinámica, Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología (Emat). Educación Secundaria, México. - (2002), Biología, Enseñanza de las Ciencias a través de Modelos Matemáticos (Ecamm). Educación Secundaria, México. Revisor académico externo David Block Sevilla Diseño de actividades tecnológicas Mauricio Héctor Cano Pineda Emilio Domínguez Bravo Deyanira Monroy Zariñán MATEMÁTICAS I I Libro para el maestro Se imprimió por encargo de la Comisión Nacional de los Libros de Texto Gratuitos, en los talleres de , el mes de agosto de 2006. El tiraje fue de ejemplares, más sobrantes de reposición.