ORGANI ZAÇÃO ETRATAMENTO DE DADOS Mar i a Eugéni a Gr aça Mar t i ns João Pedr o Pont e Junho de 2010 Í ndi ce Capít ulo 1 – I NTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Capít ulo 2 – ORI ENTAÇÕES CURRI CULARES PARA O ENSI NO DA ESTATÍ STI CA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2. 1 I nt rodução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2. 2 Lit eracia est at íst ica como obj ect ivo curricular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2. 3 Pensament o est at íst ico e raciocínio est at íst ico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2. 4 A Est at íst ica e a Mat emát ica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2. 5 Orient ações met odológicas para o ensino da Est at íst ica . . . . . . . . . . . . . . . 11 2. 5. 1 Orient ações gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2. 5. 2 Tarefas e recursos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2. 5. 3 Organização do t rabalho dos alunos e avaliação . . . . . . . . . . . . . . 16 Capít ulo 3 – A I NVESTI GAÇÃO ESTATÍ STI CA. DADOS E VARI ÁVEI S . . . . . . . . . . . . 19 3. 1 O que é uma invest igação est at íst ica? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3. 2 Recenseament o e sondagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3. 3 População e amost ra. Dados e variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Tarefa – Classificação de variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3. 4 “ Limpar” os dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Tarefa – Vamos limpar est es dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Tarefa – Não serão irmãos a mais? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Proj ect o – Os Censos vão às Escolas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Capít ulo 4 – TABELAS E GRÁFI COS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4. 1 I nt rodução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4. 2 Diagramas de Venn e de Carroll . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Tarefa – Número de let ras do nome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Tarefa – Figuras geomét ricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Tarefa – Números de 1 a 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Tarefa – Múlt iplos de 2 e 4, at é 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Tarefa – Figuras e sólidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Tarefa – Aj udas a lavar a loiça? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Tarefa – Preferes maçã, laranj a ou banana? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4. 3 Tabelas e gráficos para dados qualit at ivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4. 3. 1 Esquemas de cont agem gráfica ( t ally chart s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Tarefa – O mês do aniversário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4. 3. 2 Tabela de frequências para dados qualit at ivos . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Exemplo – Animal domést ico preferido das t urmas A e B . . . 51 4. 3. 3 Gráfico de pont os e gráfico de barras para dados qualit at ivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4. 3. 3. 1 Gráfico de pont os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4. 3. 3. 2 Gráfico de barras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Exemplo – Seguro do agricult or . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Tarefa – Prat o preferido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4. 3. 4 Pict ograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Tarefa – Bolachas preferidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Exemplo – Os passageiros de um navio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Exemplo – Campo de j ogos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Exemplo – Seguro do agricult or ( cont . ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Tarefa – os animais do j ardim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4. 3. 5 Gráfico circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Exemplo – A piza preferida nas t urmas A e B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Tarefa – Animal domést ico preferido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Tarefa –Meio de t ransport e ut ilizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4. 3. 6 Nem sempre um gráfico com barras é um gráfico de barras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Exemplo – Número de queixas recebidas num hospit al, por negligência médica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Exemplo – Quant idade de açúcar nos cereais para crianças 72 4. 4 Tabelas e gráficos para dados quant it at ivos discret os . .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . 73 4. 4. 1 Tabela de frequências para dados quant it at ivos discret os . 73 4. 4. 2 Gráfico de pont os e gráfico de barras para dados quant it at ivos discret os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 4. 4. 2. 1 Gráfico de pont os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 4. 4. 2. 2 Gráfico de barras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Tarefa – Número de irmãos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Exemplo - Candidat os a algumas vagas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 4. 4. 2. 2 1 Gráfico de barras para comparar dois ou. mais conj unt os de dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Tarefa – Alguns dados sobre o agregado familiar . . . . . . . . . . . . . . 80 Tarefa – Cinco mont inhos de feij ões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 4. 5 Tabelas e gráficos para dados quant it at ivos cont ínuos . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Exemplo – Alt ura e peso dos alunos de uma escola do 1. º ciclo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4. 5. 1 Tabela de frequências para dados quant it at ivos cont ínuos 87 4. 5. 2 Hist ograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Exemplo – Duração de chamadas t elefónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 4. 5. 3 Gráficos das frequências relat ivas acumuladas . . . . . . . . . . . . . . . . 91 4. 6 Out ras represent ações gráficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4. 6. 1 Gráfico ( ou diagrama) de caule- e- folhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Tarefa – Quant os segundos se consegue est ar sem respirar94 Exemplo – O t empo de sono do Pedro e do David . . . . . . . . . . . . . 98 Tarefa– Vamos comparar as idades dos nossos pais e das nossas mães . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Tarefa – Qual a espécie de milho mais vant aj osa? . . . . . . . . . . 101 4. 6. 2 Diagrama de ext remos e quart is . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 4. 7 Formas frequent es de dist ribuição de dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Exemplo – Salários de t rabalhadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Exemplo – Qual o aspect o da dist ribuição? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 4. 8 Represent ações gráficas e t abelas de frequências para dados bivariados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 4. 8. 1 Diagrama de dispersão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 Tarefa – Vamos comer queij o, mas não exageremos. . . . . . . 112 4. 8. 2 Gráfico de linhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 Tarefa – As vendas est ão a correr bem? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Tarefa – Regist o da t emperat ura máxima e mínima no Port o, Lisboa, Faro, Pont a Delgada e Funchal . . . . . . . . . . . . . 116 Capít ulo 5 – CARACTERÍ STI CAS AMOSTRAI S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 5. 1 I nt rodução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 5. 2 Medidas de localização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 5. 2. 1 Média . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 Exemplo da “ pouca resist ência” da média . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Tarefa – Número de vogais e de consoant es do nome . . . . . 126 Tarefa – Desvios ent re os dados e a média . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 Tarefa – Quais as idades dos meus filhos? Qual a minha idade? Qual a idade da minha mulher? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 Tarefa – I dade média dos finalist as do curso de Mat emát ica de 1950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 5. 2. 2 Mediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 Tarefa – Not as no t est e de Mat emát ica das t urmas 9. º A e 9. º B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . · 138 Tarefa – Média ou mediana dos salários? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 Tarefa – Número de cigarros fumados por dia . . . . . . . . . . . . . . . . 141 5. 2. 3 Moda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 5. 2. 4 Quart is . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 Tarefa – Not as no t est e de Mat emát ica das t urmas 9. º A e 9. º B ( cont . ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 5. 2. 5 Percent is . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 Exemplo – A obesidade é um problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 Exemplo – Conversa ent re mãe e filho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 5. 3 Medidas de variabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 5. 3. 1 Amplit ude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 5. 3. 2 Amplit ude int erquart il . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 5. 3. 3 Out ras medidas de variabilidade: O desvio médio absolut o e o desvio padrão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 Tarefa – Desvios ent re os dados e a média ( cont .) . . . . . . . . . . 151 Tarefa – Temperat uras de duas cidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 Tarefa – Vamos comparar os consumos dos carros . . . . . . . . . 158 Tarefa – vamos comparar as not as no mesmo t est e de I nglês de alunos de t rês escolas diferent es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 Capít ulo 6 – PROBABI LI DADE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 6. 1 I nt rodução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 6.2 Probabilidade empírica ou experiment al de um acont eciment o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 Exemplo – Qual o animal domést ico preferido?. . . . . . . . . . . . . . . 170 Exemplo – Qual a probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 Tarefa – A escala de probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 Tarefa – Serão os j ogos j ust os ( ou equilibrados) ? . . . . . . . . . . . 174 Tarefa – O que é mais provável? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 Tarefa – Qual o meio de t ransport e ut ilizado pelos alunos para irem para a escola? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 Tarefa – Como seleccionar uma de duas pessoas, de uma forma j ust a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 Exemplo – Os dissabores da regularidade a longo t ermo . . 181 Tarefa – O j ogo será j ust o? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 Tarefa – Qual a composição do saco de berlindes? . . . . . . . . . . 182 Tarefa – Os sacos de berlindes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 Tarefa – Qual o t ipo de prat o que os alunos preferem? . . . . 185 Tarefa – Qual a probabilidade do próximo condut or ut ilizar a Via Verde? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 6. 3 Selecção de uma amost ra de uma população com o obj ect ivo de est imar uma probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 6. 3.1 Amost ra aleat ória simples sem reposição e com reposição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 Exemplo – Como seleccionar alunos de uma t urma . . . . . . . . . 191 6. 3. 2 Amost ra est rat ificada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 Tarefa – O meio de t ransport e ut ilizado pelos alunos para irem para a escola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 6. 3. 3 Amost ragem sist emát ica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 6. 4 Experiência aleat ória, Espaço de result ados, Acont eciment os . . . . . 195 Exemplo – Espaços de result ados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 Exemplo – Lançament o da moeda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 Exemplo – Tempo de vida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 Exemplo – Lançament o de dois dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 Exemplo – O saco de berlindes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 6. 4. 1 Ut ilização de diagramas de Venn para represent ar acont eciment os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 Exemplo – Família de 2 filhos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 Exemplo – A caixa de disquet es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 6. 4. 2 Ut ilização de diagramas em árvore para represent ar acont eciment o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 Tarefa – A caixa de bombons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 Tarefa – Quant as t oilet es pode a Mariana vest ir? . . . . . . . . . . . . 208 Tarefa – Quais os result ados que fazem com que o Pedro ganhe o j ogo? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 6. 4. 3 Operações com acont eciment os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 Tarefa – Lançament o de duas moedas de 1 euro . . . . . . . . . . . . 213 Tarefa – Lançament o de t rês moedas de 1 euro . . . . . . . . . . . . . 214 6. 5 Modelo de Probabilidade para um fenómeno aleat ório. Probabilidade de um acont eciment o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 6. 5. 1 Probabilidade de um acont eciment o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 6. 5. 2 Processos de const rução de modelos de probabilidade ou Como at ribuir probabilidades aos acont eciment os element ares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 6. 5. 2. 1 Sit uação de simet ria – Regra de Laplace . . . . . . . . . . . . 217 6. 5. 2. 2 Probabilidade experiment al ou frequencist a . . . . . . . . 220 Tarefa – Qual o j ogo preferido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 6. 5. 2. 3 Probabilidade subj ect iva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 6. 5. 3 Exemplos de modelos de probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 Exemplo – Lançament o da moeda de um euro . . . . . . . . . . . . . . . 222 Exemplo – Lançament o do dado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 Tarefa – Dados especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 Tarefa – A caixa de past ilhas M&M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 Tarefa – O Tipo sanguíneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 Exemplo - Se seleccionar, ao acaso, uma pessoa resident e em Port ugal, é mais provável que sej a homem ou mulher? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 Exemplo – A idade da população resident e em Port ugal . . . 226 Tarefa – Qual a cor preferida para pint ar o pát io da escola? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 Tarefa – A rolet a de duas cores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 Tarefa – O j ogo com berlindes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 Tarefa – As duas caixas de berlindes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 Tarefa – Quant os lançament os são necessários? . . . . . . . . . . . . . 229 Tarefa – A caixa com drageias de chocolat e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 Tarefa – O j ogo de andebol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 Tarefa – Escolhe ao acaso uma let ra do alfabet o . . . . . . . . . . . . 233 Tarefa – Escolhe ao acaso uma let ra da palavra “ palavra” 233 Tarefa – Será que o Pedro vai comer a sua frut a preferida? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 Tarefa – A caixa de disquet es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 Tarefa – Lançament o de um dado equilibrado . . . . . . . . . . . . . . . . 235 Tarefa – Uma escolha difícil ent re 5 candidat os! . . . . . . . . . . . . . 236 Tarefa – Um j ogo desequilibrado! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 Tarefa – Lançament o de dois dados. Será que o j ogo é j ust o? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 Tarefa – Ainda o lançament o de dois dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 Tarefa – O lançament o de duas moedas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 Tarefa - Quem consegue dar primeiro a volt a ao quadrado? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 Tarefa – Quem é que ganha o j ogo? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 Tarefa – Moedas não equilibradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 Tarefa – Vamos est imar a área do círculo com raio 0, 5 unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 Tarefa – Vamos est imar o valor de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 Tarefa – Est imar a área de figuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 Tarefa – Uma chuva de met eorit os! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 Tarefa especial – Vamos const ruir alguns dos nossos mat eriais para fazer experiências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 Capít ulo 7 – SI MULAÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 7. 1 I nt rodução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 7. 2 Números aleat órios e números pseudo- aleat órios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 7. 3 Simular o lançament o de uma moeda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 7. 4 Cálculo da probabilidade de acont eciment os por simulação . . . . . . . . 263 Tarefa – Calcular a probabilidade de sair 2 faces Euro, em 2 lançament os de uma moeda de um euro, equilibrada . . . 263 Tarefa – Qual a probabilidade de numa família de quat ro filhos, t odos serem rapazes? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 Tarefa – Qual a probabilidade de numa família haver um “ casalinho” , mas com t rês filhos no máximo! . . . . . . . . . . . 268 Tarefa – Est imar as probabilidades dos result ados da soma das pint as das faces viradas para cima, quando se lançam dois dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 Tarefa – O j ogo é j ust o? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 Tarefa – Vamos a uma apost a? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 Tarefa – Qual a probabilidade de no lançament o de uma moeda, se verificarem pelo menos 3 faces Euro seguidas? 276 Tarefa – Quem é que recebe mais comida? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 Tarefa – Qual será a probabilidade de cada amigo ficar com o seu chapéu- de- chuva? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 Tarefa – Qual a probabilidade de passar no exame? . . . . . . . . 285 Tarefa propost a – Pequena sondagem sobre o t ipo sanguíneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 Tarefas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 1 Introdução Neste capítulo fazemos uma breve introdução aos objectivos da presente brochura. Organização e t rat ament o de dados 2 Organização e t rat ament o de dados 3 1. I nt r odução Todos os dias nos deparamos com informação est at íst ica sobre áreas t ão diversas como a economia, a educação, o desport o, a medicina ou a polít ica. A nossa vida é em larga medida governada por dados que, conscient ement e ou não, ut ilizamos na t omada de decisões. Sendo a Est at íst ica a ciência que t rat a dos dados, ela deve fazer part e da educação dos alunos desde os níveis de escolaridade mais element a- res, para que est es possam vir a ser cidadãos informados, consumidores int eligen- t es e profissionais compet ent es. Est reit ament e relacionada com a Est at íst ica surge a Teoria da Probabilidade, t eoria que serve de base à quant ificação da incert eza – uma caract eríst ica sempre present e na nossa vida de t odos os dias. A preocupação com a compreensão dos aspect os element ares da Est at íst ica e da Probabilidade t em vindo a reflect ir- se no currículo escolar dos mais diversos países. Em Port ugal, isso acont ece desde há várias décadas. O novo Programa de Mat emá- t ica do Ensino Básico inclui o t ema “ Organização e t rat ament o de dados” nos t rês ciclos, numa perspect iva de valorização da lit eracia est at íst ica e do processo de invest igação est at íst ica, aspect os em que vai bast ant e além do programa ant erior. Reconhecendo o papel do t ema no desenvolviment o social e pessoal do aluno, o programa refere que est e deve adquirir, ao longo da escolaridade, conheciment o de conceit os e represent ações de modo a compreender e ser capaz de produzir infor- mação est at íst ica e de a ut ilizar para resolver problemas e t omar decisões informa- das. O programa apont a, t ambém, para o desenvolviment o da compreensão da noção de probabilidade, t ant o no seu aspect o t eórico, como experiment al. Not e- se que, para além dos obj ect ivos gerais de aprendizagem da Organização e t rat amen- t o de dados, o t rabalho nest e t ema visa igualment e as finalidades e os obj ect ivos gerais de aprendizagem da disciplina de Mat emát ica no seu t odo, art iculando- se com os out ros t emas do programa e com as capacidades t ransversais – Resolução de problemas, Raciocínio e Comunicação. A present e brochura desenvolve as orient ações met odológicas respeit ant es ao t ema Organização e t rat ament o de dados, e discut e aspect os fundament ais dos conceit os t rabalhados no ensino básico, sugerindo t arefas a propor aos alunos e indicando como podem ser concret izadas na aula. Num ou nout ro pont o, vai- se além do pro- grama, abordando assunt os de int eresse para a formação do professor. Dest e modo, o próximo capít ulo analisa o que se ent ende por lit eracia est at íst ica e pen- sament o est at íst ico, realçando a sua import ância no exercício da cidadania, e apre- sent a as orient ações met odológicas para o ensino da Est at íst ica. O capít ulo 3 indica como se desenvolve uma invest igação est at íst ica e discut e os conceit os fundamen- t ais de dados e variáveis. De seguida, o capít ulo 4 t rat a da represent ação de dados em t abelas e gráficos, um processo fundament al na realização de qualquer est udo est at íst ico. No capít ulo 5 surgem as medidas de localização e de dispersão, que permit em caract erizar de forma abreviada aspect os import ant es de um cert o con- j unt o de dados. No capít ulo 6, apresent amos uma abordagem dos conceit os fun- dament ais relat ivos à probabilidade indicados no programa. Finalment e, o capít ulo 7, most ra como os meios comput acionais podem ser usados para simular o com- port ament o dos fenómenos aleat órios. Organização e t rat ament o de dados 4 Organização e t rat ament o de dados 5 2 Orientações curriculares para o ensino da Estatística A Estatística pode ser considerada a ciência dos “dados”, Analisamos aqui o que se entende por literacia estatística, realçando o facto de que um cidadão que a possui é um cidadão melhor informado, podendo assim participar mais conscientemente na vida social. De seguida, apresentamos as orientações metodológicas gerais para o ensino da Estatística, dando especial atenção às tarefas, recursos e modo de trabalho dos alu- nos. Organização e t rat ament o de dados 6 Organização e t rat ament o de dados 7 2.1 I nt r odução Nest e capít ulo começamos por analisar o que se ent ende, hoj e em dia, por lit eracia est at íst ica, bem como por pensament o est at íst ico e raciocínio est at íst ico. De segui- da, apresent amos as principais orient ações met odológicas para o ensino da est at ís- t ica, com especial at enção às t arefas e recursos, à organização do t rabalho dos alu- nos e à avaliação. 2. 2 Li t er aci a est at íst i ca como obj ect i vo cur r i cul ar O obj ect ivo do ensino da Est at íst ica, a nível element ar, é, ant es de mais, promover a lit eracia est at íst ica, ensinando os alunos a ler e int erpret ar dados. Tal como foi import ant e para os nossos avós aprenderem a ler e cont ar, hoj e em dia, a educa- ção para a cidadania inclui saber ler e int erpret ar os números e gráficos com que nos deparamos no dia- a- dia. Quant as mães ( e pais. . . ) não ficam perplexas ao ouvi- rem o pediat ra do seu filho dizer que a cabeça da criança est á no percent il 25%, a alt ura no 50%, et c. ? E quant os não gost ariam que t odos est es números rondassem os 100%, sem se aperceberem que est ariam a desej ar o indesej ável? Na linha do que sugere Lyn Art hur St een 1 , podemos dizer que a lit eracia est at íst ica consist e num conj unt o de conheciment os, convicções, predisposições, hábit os men- t ais, capacidades de comunicação e habilidades que as pessoas precisam para lidar de maneira eficaz com sit uações envolvendo dados de nat ureza quant it at iva e qua- lit at iva que surgem na sua vida e na sua act ividade profissional. O progressivo desenvolviment o da Est at íst ica e a crescent e necessidade de conheciment os est a- t íst icos para enfrent ar sit uações do quot idiano conduziram a uma preocupação crescent e com a lit eracia est at íst ica, à semelhança do que acont eceu, inicialment e, com a lit eracia mat emát ica, exigida por uma quant ificação cada vez mais acent ua- da de muit os aspect os da sociedade. A lit eracia est at íst ica deve permit ir a cada um de nós resolver com segurança mui- t os problemas que nos dizem direct ament e respeit o ou que nos são frequent emen- t e apresent ados pelos meios de comunicação social e cuj a resolução apela a conhe- ciment os e pensament o est at íst icos. I nt erpret ar t abelas e gráficos, ent ender dispu- t as salariais, índices de preços, oscilações bolsist as, t axas de desemprego, t axas relat ivas à evolução de doenças, mecanismos e result ados eleit orais e de sonda- gens, comparar a qualidade e os cust os de bens ou serviços são apenas alguns exemplos. Richard Sheaffer 2 considera mesmo que est a nova lit eracia const it ui um dos obj ect ivos principais da educação ao nível element ar. Na sua perspect iva, t ra- t a- se de um obj ect ivo que ult rapassa a própria disciplina de Mat emát ica, devendo ser igualment e assumido por out ras disciplinas. A produção int ensiva de informação é um fenómeno que se t em vindo a int ensificar desde as últ imas décadas do século XX, provocado pelo desenvolviment o dos com- put adores e pela sua ut ilização crescent e na sociedade. Os cálculos e gráficos aut omát icos t ornaram- se fundament ais na prát ica da Est at íst ica e na sua ut ilização em t odas as esferas vida social. Est a t ransformação rápida é responsável pelo apa- reciment o do conceit o de lit eracia est at íst ica, correspondendo à necessidade do 1 Ver St een, 2001. 2 Sheaffer, 2001 Organização e t rat ament o de dados 8 homem moderno se adapt ar às novas condições de vida, compreendendo e usando com eficácia a informação que lhe chega diariament e. Muit os dos ut ilizadores act uais de Est at íst ica t rabalham com diversos t ipos de soft a- re especialment e concebidos para fazer análise est at íst ica de dados. Um dos pro- gramas mais conhecidos é o SPSS ( St at ist ical Package for t he Social Sciences) , lar- gament e usado na invest igação em Psicologia, Sociologia e Educação, que permit e calcular as medidas de est at íst ica descrit iva e fazer t odo o t ipo de análises est at íst i- cas inferenciais. Out ra família de programas muit o usados, principalment e na ges- t ão de empresas, é o SAS ( St at ist ical Analysis Syst em) , que permit e est udar as quest ões est rat égicas das organizações como o cont rolo de cust os, o aument o de proveit os e a eficiência e t ransparência financeiras. Um dos desenvolviment os mais recent es dest e soft ware, o JMP 7 apresent a gráficos para explorar, compreender e visualizar int eract ivament e os dados, sendo especialment e apropriado para quem quer visualizar as relações e ident ificar dados com informação pot encialment e duvi- dosa ( “ out liers” ) . Em muit as empresas e inst it uições ut iliza- se a folha de cálculo Excel para a realização do t rat ament o est at íst ico de dados. Embora a folha de cál- culo não t enha sido originalment e concebida para isso, a verdade é que ela permit e calcular medidas est at íst icas e represent ar dados em gráficos de vários t ipos, alguns visualment e bast ant e apelat ivos. Para a maior part e dos est udos est at íst icos simples o Excel serve perfeit ament e e, por isso, nest a brochura recorremos a est e programa para a realização de diversas t arefas. Na verdade, a t ecnologia pode ser muit o út il para o ensino e aprendizagem dos conceit os est at íst icos. Por exemplo, se pret endermos analisar a fraca resist ência da média, ist o é, o fact o dest a ser muit o influenciada por alguns dados, mesmo em pequena quant idade, mas de grandeza muit o diferent e dos rest ant es, facilment e fazemos essa experiência numa folha de cálculo. Um processo de grande ut ilidade, igualment e ligado à t ecnologia, é a simulação, que pode ser ut ilizada, nomeada- ment e, para a visualização dos conceit os est at íst icos e para uma melhor compreen- são da variabilidade, ideia chave em Est at íst ica. Foi, aliás, o desenvolviment o des- t es meios t ecnológicos que fez com que surgisse uma nova forma de ensinar Est a- t íst ica, cent rando a at enção nos conceit os e não na forma de os calcular. A preocupação com o ensino da Est at íst ica a nível básico e secundário conheceu um moment o import ant e, nos anos 80, quando a American St at ist ical Associat ion ( ASA) , em cooperação com o Nat ional Council of Teachers of Mat hemat ics ( NCTM) , desenvolveram o proj ect o Quant it at ive Lit eracy t endo em vist a int roduzir nos pro- gramas mais análise de dados e Est at íst ica element ar. Os proponent es do proj ect o escolheram o t ermo “ lit eracia quant it at iva” em part e porque ant ecipavam alguma ansiedade relat ivament e ao t ermo “ Est at íst ica” . Segundo indica St een ( 2001) , “ lit e- racia quant it at iva” ( ou “ numeracia” , como t ambém é referida) , não deve ser ent en- dida como Est at íst ica nem t ão pouco como Mat emát ica: Lit eracia quant it at iva é mais uma maneira de est ar, uma maneira de abor dar os problemas que emprega e enalt ece t ant o a Est at íst ica como a Mat emát ica. Ao cont rário da Est at íst ica, que se cent ra fundament alment e na incert eza, a numeracia é frequent ement e acerca da lógica da cert eza. Ao cont rário da Mat emát ica, que t rat a fundament alment e com o reino plat ónico de est rut uras abst ract as, a numeracia est á frequent ement e ancor ada em dados derivados e relacionados com o mundo empírico. ( …) Um desafio t ípico de numeracia envolve dados reais e processos incert os, mas requer Mat emát ica element ar. Em cont rast e, um problema t ípico de Mat emát ica envolve números e proces- Organização e t rat ament o de dados 9 sos direct os, mas requer sofist icados conceit os abst ract os. O t est e da nume- racia, assim como para qualquer lit eracia, consist e em verificar se uma pes- soa usa, nat uralment e, prát icas apropriadas em muit os cont ext os diferent es. ( . . . ) Para ser út il para o aluno, a numeracia deve ser aprendida e usada em múlt iplos cont ext os – em Hist ória e Geografia, em Economia e Biologia, em Agricult ura e Culinária. Numeracia não é um ent re muit os assunt os, mas uma part e int egrant e de t odos os assunt os ( St een, 2001- The Quant it at ive Lit eracy Design Team, p. 5) . Um aspect o fundament al na lit eracia est at íst ica é a capacidade de compreender e usar o pensament o est at íst ico e o raciocínio est at íst ico, pelo que se impõe uma dis- cussão dest es conceit os. 2.3 Pensament o est at íst i co e r aci ocíni o est at íst i co Fala- se muit as vezes indist int ament e de lit eracia est at íst ica, pensament o est at íst ico e raciocínio est at íst ico. A est e respeit o, Bet h Chance ( 2002) , diz: Poucos [ aut ores] dão uma definição formal do que se ent ende por pensamen- t o est at íst ico. Muit os ut ilizam indiferent ement e os t ermos “ pensament o” , “ raciocínio” e “ lit eracia” como um esforço para a compreensão dos conceit os est at íst icos para que a sua ut ilização não sej a merament e uma manipulação de fórmulas, como t em sido demasiadas vezes ut ilizada e ensinada. ( p. 2) Na verdade, o ensino da Est at íst ica a nível pré- universit ário começou por dar espe- cial at enção ao raciocínio est at íst ico, ist o é, aos modos de raciocinar e resolver pro- blemas próprios da Est at íst ica, enfat izando t écnicas, represent ações e processos de inferência. Post eriorment e, percebeu- se a necessidade de at ender à nat ureza dos dados est at íst icos, valorizando de modo det erminant e o papel do cont ext o, pelo que se alargou a at enção a processos de pensament o mais amplos e variados. Finalment e, as considerações sobre as finalidades do ensino da Est at íst ica na socie- dade act ual t rouxeram para primeiro plano as preocupações com a lit eracia est at ís- t ica. Est es t rês conceit os est ão est reit ament e relacionados porque a lit eracia est a- t íst ica apoia- se no pensament o est at íst ico e est e, por sua vez, t em como núcleo fundament al o raciocínio est at íst ico. Uma invest igação est at íst ica realiza- se em diversas et apas e envolve aspect os específicos de raciocínio ou pensament o em cada uma delas. A primeira et apa con- sist e na formulação de quest ões para invest igar. Nest e pont o, é preciso considerar se as quest ões são ou não apropriadas e t êm ou não uma nat ureza est at íst ica, ist o é, envolvem ou não variabilidade nos dados. A segunda et apa evolve a recolha dos dados. É preciso ent ão definir um plano apropriado e seleccionar t écnicas de reco- lha de dados. A t erceira et apa refere- se à análise de dados, começando pela esco- lha da represent ação mais adequada t endo em cont a a nat ureza dos dados e os fins em vist a. Calculam- se medidas est at íst icas, de localização, dispersão e associação, por exemplo. Procura- se, dest e modo, descrever a t endência cent ral e a variabili- dade dos dados, o que pode envolver a procura de regularidades, bem como a ident ificação de diferenças ent re os dados e ent re os dados e dist ribuições de pro- babilidade conhecidas. Finalment e, a quart a et apa diz respeit o à int erpret ação dos result ados, t endo em cont a a quest ão propost a. Nest e pont o formulam- se conclu- sões referent es aos dados, possíveis generalizações para além dos dados e t ambém possíveis quest ões que podem servir de base a novas invest igações. Organização e t rat ament o de dados 10 Como Shaughnessy e Pfannkuck ( 2002) , podemos considerar que a forma est at íst i- ca de pensar envolve aspect os como: Reconheciment o da necessidade de dados, de modo a poder fazer j ulgamen- t os sobre sit uações reais; Realização de cert as t ransformações numéricas para facilit ar a compreensão ( represent ação em t abelas e gráficos, cálculo de medidas de localização e dispersão) ; Procura de causas e explicações e previsão de acont eciment os a part ir da exploração da variabilidade, usando modelos est at íst icos; Consideração do cont ext o como essencial não só para observar mas t ambém int erpret ar as mensagens exist ent es nos dados. Em resumo, podemos dizer que o raciocínio est at íst ico envolve um processo explíci- t o onde se ident ificam fact os, est abelecem relações e fazem inferências. O pensa- ment o est at íst ico, pelo seu lado, t em um lado int uit ivo, informal e implícit o que suport a o nosso raciocínio. Finalment e, a lit eracia est at íst ica é a capacidade que nos permit e int erpret ar a informação, avaliar a sua credibilidade, e produzir nova informação, quando necessário. 2. 4 A Est at íst i ca e a Mat emát i ca Devemos t er em at enção que a Est at íst ica e a Mat emát ica são ciências diferent es. Moore et al ( 1997) discut em est a diferença nos seguint es t ermos: A Est at íst ica é uma disciplina met odológica. Ela exist e não por si própria, mas ant es com o obj ect ivo de oferecer a out ros campos de est udo um conj unt o de ideias coerent es e de inst rument os para t rat ar os dados. A necessidade de uma t al disciplina acont ece devido à omnipresença da variabilidade. Os indi- víduos variam. Medidas repet idas do mesmo indivíduo variam ( …) A Est at íst i- ca fornece- nos os meios para t rat ar com dados que t êm em linha de cont a a presença da variabilidade. O foco na variabilidade dá nat uralment e à Est at ís- t ica um cont eúdo que a t orna diferent e da própria Mat emát ica e de out r as Ciências Mat emát icas, mas não é só o cont eúdo que dist ingue o pensament o est at íst ico do mat emát ico. A Est at íst ica requer um t ipo de pensament o dife- rent e, j á que os dados são mais do que números, são números com um con- t ext o ( …) Na análise de dados o cont ext o fornece o significado. ( p. 801) Dest e modo, enquant o que o pensament o mat emát ico se refere a relações ent re conceit os abst ract os, o pensament o est at íst ico t em sempre present e o cont ext o que dá origem aos dados, que, por sua vez, permit em ( ou não) responder a cert as quest ões. Para ilust rar est a ideia, consideremos a sit uação em que t emos um con- j unt o de not as de alunos a uma det erminada disciplina e calculamos a respect iva média e mediana. Sob o pont o de vist a mat emát ico aplicámos duas fórmulas que conduzem a dois números, a média e a mediana. Sob o pont o de vist a est at íst ico, t emos muit o mais do que isso. A comparação daqueles dois números, um relat iva- ment e ao out ro, permit e- nos visualizar cert os aspect os da est rut ura dos dados, ist o é, o comport ament o global da t urma, naquela disciplina. Também David Vere- Jones ( 1995) sublinha que o raciocínio est at íst ico é diferent e do mat emát ico e que a educação est at íst ica não se pode rest ringir a uma visão da Est at íst ica como um simples ramo da Mat emát ica. O raciocínio mat emát ico é um raciocínio eminent ement e lógico, em que uma proposição ou é verdadeira ou é fal- sa. Em cont rapart ida, no raciocínio est at íst ico, t rat amos com afirmações em que Organização e t rat ament o de dados 11 não podemos dizer que são verdadeiras nem t ão pouco falsas. As sit uações est at ís- t icas envolvem incert eza, que procuramos quant ificar at ravés da probabilidade: A incert eza acompanha- nos no dia- a- dia, em t odas as sit uações. A Est at íst ica é muit o diferent e dos vários ramos da Mat emát ica est udados no ensi- no básico e secundário, como a Geomet ria, a Álgebra e a Análise. I sso result a do seu envolviment o direct o com o est udo de out ras áreas como as Ciências da Saúde, a Economia, as Ciências Polít icas e out ras ciências sociais. É import ant e ensinar um médico, um t écnico da indúst ria farmacêut ica, um sociólogo, um psicólogo e t odo aquele que faz uso da Est at íst ica a ut ilizá- la correct ament e. A ut ilização incorrect a dest a ciência pode levar a decisões erradas com consequências negat ivas quer para o desenvolviment o das out ras ciências quer para a vida do cidadão comum. Como refere Chris Chat field ( 1991) , os não especialist as comet em erros est at íst icos com grande frequência. Para o evit ar, é preciso desenvolver a lit eracia est at íst ica. Em Est at íst ica, preocupamo- nos sobret udo com as medidas que se podem ut ilizar para reduzir a informação cont ida num conj unt o de dados, com as represent ações gráficas mais convenient es para represent ar esses dados e com o modo de ut ilizar a t ecnologia para calcular essas medidas e fazer essas represent ações gráficas, de modo a responder a quest ões concret as, int erpret ando de modo adequado t oda a informação disponível. Enquant o que na Mat emát ica sobressaem os aspect os lógi- cos, na Est at íst ica sobressai a pert inência das int erpret ações. É import ant e subli- nhar est a diferença ent re Est at íst ica e Mat emát ica, uma vez que a Est at íst ica, nos níveis básico e secundário, est á int egrada na disciplina de Mat emát ica e é ensinada por professores de Mat emát ica, que precisam de t er a clara percepção de que se t rat a de assunt os diferent es – que devem ser encarados de modo diferent e e, mui- t as vezes, ensinados de modo diferent e. 2.5. Or i ent ações met odol ógi cas par a o ensi no da Est at íst i ca 2. 5. 1 Or i ent ações ger ai s A invest igação sobre o ensino e aprendizagem da Est at íst ica e os result ados de est udos int ernacionais ( como o TI MSS) t êm evidenciado que os alunos revelam, com frequência, dificuldades e ideias incorrect as t ant o no campo concept ual como em aspect os comput acionais. Algumas dest as dificuldades relacionam- se com a nat ureza da Est at íst ica, enquant o que out ras derivam das est rat égias de ensino ut i- lizadas e do t ipo de experiências de aprendizagem proporcionadas aos alunos. A quest ão cent ral que se coloca no ensino da Est at íst ica t em a ver, ant es de mais, com os seus obj ect ivos. At é aqui, a prát ica de ensino t em valorizado sobret udo a aprendizagem da represent ação de dados em t abelas e gráficos e do cálculo de medidas est at íst icas como médias e medianas. Ora, como j á referimos no pont o ant erior, o obj ect ivo cent ral é o desenvolviment o da lit eracia est at íst ica, que inclui a capacidade de ler e int erpret ar dados organizados na forma de t abelas e gráficos e de os usar para responder às quest ões mais variadas. Num out ro nível, o ensino da Est at íst ica visa desenvolver nos alunos a capacidade de planear e execut ar uma invest igação est at íst ica, bem como a capacidade de int erpret ar e avaliar crit ica- ment e os result ados de um est udo est at íst ico j á realizado. Organização e t rat ament o de dados 12 O t rabalho do professor t em de cont emplar t odos est es obj ect ivos. Por um lado, ele t em de promover a capacidade dos alunos compreenderem e usarem conceit os e represent ações est at íst icas na resolução de quest ões diversas – incluindo conceit os como dados, variável, população, amost ra, dist ribuição e medidas est at íst icas e represent ações como t abelas e gráficos. Por out ro lado, o professor t em de promo- ver nos alunos a compreensão do que é uma invest igação est at íst ica, nas suas et a- pas fundament ais de formulação de quest ões, recolha, análise e int erpret ação dos dados e habilit á- los para realizar est udos dest e t ipo. O Programa de Mat emát ica assume que est es dois obj ect ivos desenvolvem- se em paralelo e reforçam- se mut uament e. A aprendizagem dos conceit os e represent ações específicas é essen- cial para a realização de est udos est at íst icos cada vez mais complexos e a com- preensão do que é uma invest igação est at íst ica dá sent ido aos diversos conceit os e represent ações. Dest e modo, o programa apresent a como propósit o principal de ensino, no 1. º ciclo, desenvolver nos alunos a capacidade de ler e int erpret ar dados organizados na forma de t abelas e gráficos assim como de os recolher, organizar e represent ar, com o fim de resolver problemas em cont ext os variados relacionados com o seu quot idiano. Nos ciclos seguint es est e propósit o inclui t ambém a produção da infor- mação est at íst ica e a capacidade de t omar decisões informadas e apresent ar argu- ment os a apoiá- las. Nos obj ect ivos gerais de aprendizagem dos 2. º e 3. º ciclos sur- ge ainda o planeament o e a realização de est udos envolvendo procediment os est a- t íst icos, com int erpret ação dos result ados obt idos, incluindo a avaliação int uit iva da credibilidade de argument os por part e dos alunos. A ênfase do t rabalho na Est at íst ica é colocada na análise explorat ória de dados e no envolviment o progressivo dos alunos em experiências de nat ureza invest igat iva, desde os primeiros anos de escolaridade. Ao longo dos t rês ciclos, dá- se realce a processos e capacidades que promovem a lit eracia est at íst ica dos alunos. Dest e modo, não se pret ende que os alunos, quando acabam o ensino básico, sej am capazes de realizar est udos est at íst icos sofist icados, mas sim que compreendam e saibam ut ilizar a linguagem básica e as ideias fundament ais da Est at íst ica, desde a formulação de quest ões a invest igar à int erpret ação dos result ados. O GAI SE College Report ( 2005) , enuncia seis recomendações que reflect em est a preocupação com o desenvolviment o da lit eracia est at íst ica: Salient ar a lit eracia est at íst ica e desenvolver o pensament o est at íst ico; Ut ilizar dados reais; Acent uar a compreensão dos conceit os, em vez de apenas t eoria e procedi- ment os; Foment ar uma aprendizagem act iva na sala de aula; Ut ilizar t ecnologia para desenvolver a compreensão dos conceit os e a análise dos dados; Ut ilizar a avaliação para conhecer e melhorar a aprendizagem dos alunos. São inúmeros os document os para o ensino da Est at íst ica que realçam o fact o de est a ser a ciência dos “ dados” . Nela procura- se responder a quest ões de nat ureza muit o diversa, sej a de out ras ciências, sej a dos mais diversos campos da act ividade social, at ravés de uma análise convenient e de dados e da sua int erpret ação. Ao compreenderem que os dados são mais do que números, e ao reconhecerem a Organização e t rat ament o de dados 13 necessidade de dados para t omarem decisões fundament adas, os alunos desenvol- vem o seu pensament o est at íst ico. A diferença ent re a Est at íst ica e a Mat emát ica, j á realçada no pont o ant erior, arras- t a consigo a preocupação da part e dos educadores est at íst icos sobre a ênfase que se deve colocar nos conceit os e no t rabalho com dados, em det riment o das fórmu- las e cálculos. A célebre frase do poet a Ant ónio Machado “ Caminant e, no hay cami- no, se hace camino al andar” , t raduz, de forma exemplar, a met odologia que deve ser seguida no ensino da Est at íst ica, desde o seu início. Devem ser os alunos, sob a orient ação do professor, a planear a recolha dos dados necessários, para dar res- post a às suas quest ões, nomeadament e sob a forma de pequenos proj ect os de invest igação. Est es dados serão depois t rat ados e esse t rat ament o dará algumas respost as e provocará, event ualment e, novas quest ões. O que os alunos aprendem est á relacionado com o modo como aprendem e, por consequência, com as experiências que lhes são proporcionadas pelos professores. Assim, há dimensões no ensino que são essenciais para uma aprendizagem em pro- fundidade e ext ensão, nomeadament e o t ipo de t arefa e os recursos mobilizados para a sua realização. 2. 5. 2 Tar ef as e r ecur sos No ensino da Est at íst ica há lugar para os mais diversos t ipos de t arefa, incluindo invest igações, proj ect os, j ogos, problemas e exercícios. O Programa de Mat emát ica sublinha que os conceit os dest e t ema devam ser t rabalhados em t odos os ciclos, a part ir de problemas variados e t ambém de invest igações e proj ect os. Há t ambém necessidade de propor exercícios para aprofundar e relacionar o conheciment o e a compreensão de conceit os e processos e criar rot inas de ut ilização adequada de procediment os. Os j ogos t ant o podem servir para a int rodução de novos conceit os como para a consolidação de aprendizagens j á realizadas. Uma invest igação est at íst ica é uma t arefa em que se começa por definir uma área de int eresse – suscit ada por uma curiosidade ou por uma necessidade muit o con- cret a – e que se desenvolve ao longo das quat ro et apas j á referidas no pont o 2. 1. 2: ( i) formulação de quest ões e concepção de um plano de invest igação, ( ii) selecção das t écnicas de recolha e recolha dos dados, ( iii) represent ação e análise dos dados, e ( iv) int erpret ação dos dados e formulação de conclusões. Quando a inves- t igação est at íst ica se revest e de complexidade significat iva e se prolonga no t empo, refere- se muit as vezes que se t rat a de um proj ect o de invest igação est at íst ica ou simplesment e de um proj ect o. Dest e modo “ invest igação” e “ proj ect o” est at íst ico acabam por ser dois conceit os que se sobrepõem. Também, por vezes se fala em “ exploração” est at íst ica, em especial quando j á t emos um conj unt o de dados reuni- do e procuramos descobrir ao mesmo t empo que regularidades encerram e que quest ões podemos formular a seu respeit o. Podemos dizer que um “ problema” est at íst ico é uma quest ão bem definida que se coloca numa das et apas de uma invest igação est at íst ica, para a qual não há uma respost a imediat a, e que um “ exercício” é t ambém uma quest ão bem definida que se coloca num dado moment o do processo est at íst ico para a qual o aluno j á conhece um processo de resolução. Nos primeiros anos de escolaridade, o programa advoga que a aprendizagem da Est at íst ica t em por base act ividades relat ivas a sit uações diversificadas e dia- a- dia dos alunos, ricas em informação. Os alunos regist am os dados e represent am- nos Organização e t rat ament o de dados 14 em t abelas e gráficos simples. A classificação e cont agem de obj ect os são ent ão t arefas import ant es, usando diagramas de Venn e de Carroll, que const it uem for- mas simples de represent ação de dados. Assim, desde o 1. º ciclo, os alunos devem envolver- se em experiências de recolha e organização de dados qualit at ivos e quant it at ivos discret os, represent ando- os em t abelas de frequências absolut as e em gráficos de vários t ipos, como pict ogramas e gráficos de barras, ident ificando a sua moda. Progressivament e, o professor deve dar at enção à linguagem ut ilizada que, sendo familiar aos alunos, deve promover o sent ido de rigor, de acordo com o seu nível de desenvolviment o. Deve procurar que os alunos clarifiquem o significado de expressões e o uso de t ermos menos precisos colocando quest ões do t ipo Podes explicar de uma out ra maneira? Dás- me um exemplo para perceber o que significa? Por que dizes isso? As propost as de t rabalho para os alunos do 2. º ciclo est endem o que j á foi ant e- riorment e feit o em t ermos de análise, aprofundando a int erpret ação dos dados. A formulação de quest ões e problemas com significado para os alunos – quando pos- sível em colaboração com out ras disciplinas – e, de seguida, a recolha, análise e int erpret ação de dados, devem est ar sempre present es. Na realização de proj ect os e invest igações envolvendo dados de nat ureza variada, incluindo dados quant it at i- vos discret os e cont ínuos, os alunos represent am- nos em t abelas de frequências absolut as e relat ivas, gráficos de barras, circulares e de linha e diagramas de caule- e- folhas. Para descrever, analisar e int erpret ar a informação que esses dados con- t êm recorrem à moda, média arit mét ica, ext remos e amplit ude. Quando os dados não permit em responder às pergunt as formuladas, o professor deve discut ir as opções t omadas e incent ivar os alunos a fazer nova recolha dados. Compet e- lhe providenciar que os alunos t rabalhem com dados relevant es e façam eles próprios a sua recolha. Assim, não só a sua familiaridade com a informação aument a, como pode ser maior a sua mot ivação para const ruírem a sua “ hist ória” , represent ando- a de maneiras diferent es, ext raindo conclusões e fazendo previsões. Para além disso, t rabalhando com os seus próprios dados, os alunos aprendem muit o mais facilmen- t e o sent ido de vários conceit os est at íst icos como média, mediana e moda. Os pro- blemas ambient ais e sociais, em especial os que se manifest am na sua região, const it uem, frequent ement e, um t erreno fért il para quest ões a invest igar, possibili- t ando aos alunos abordar problemas que os afect am, propor soluções e sent ir a ut i- lidade do seu t rabalho. No 3. º ciclo, os alunos podem realizar invest igações est at íst icas que incluem a comparação de dois ou mais conj unt os de dados, com a ident ificação das suas semelhanças e diferenças. Nest e ciclo alarga- se o report ório das medidas est at íst i- cas – que passam a incluir a mediana, os quart is e a amplit ude int erquart il – e das formas de represent ação de dados – com os diagramas de ext remos e quart is e os hist ogramas. É nest e ciclo que os alunos est udam as noções de população e amos- t ra, ponderando element os que afect am a sua represent at ividade e realizando e discut indo predições baseadas em est udos com amost ras. Assim, o professor pode propor a realização de invest igações est at íst icas baseadas em sit uações reais, onde se ut ilizem os conceit os est at íst icos est udados. Para desenvolverem essas invest i- gações, os alunos formulam quest ões, planeiam o est udo est at íst ico, seleccionam amost ras adequadas, recolhem dados dessas amost ras, represent am- nos e int er- pret am- nos. A part ir das propriedades verificadas nos dados recolhidos, espera- se que os alunos façam conj ect uras e discut am a validade das conclusões para a população de onde a amost ra foi seleccionada. Deve discut ir- se que informação é Organização e t rat ament o de dados 15 necessária para t omar uma decisão válida ou t irar uma conclusão fundament ada. Os alunos, ao t erminar o ensino básico, devem t er consciência de que rarament e se obt ém t oda a informação pret endida at ravés de uma amost ra, mesmo em condi- ções ópt imas de recolha de dados, permanecendo sempre alguma incert eza nas conclusões formuladas sobre a população. É import ant e que t enham oport unidade de analisar em que casos é adequado recorrer ao est udo de t oda a população ou apenas de uma amost ra desenvolvendo t ambém o seu sent ido crít ico relat ivament e ao uso de amost ras mal seleccionadas. Dest e modo, para além das capacidades t ransversais de Resolução de Problemas, Raciocínio e Comunicação, t ambém as represent ações assumem um papel funda- ment al em Est at íst ica. Lidar com dados est at íst icos envolve necessariament e esco- lher uma forma de os represent ar ( em t abelas, diagramas e gráficos) . As t abelas e as represent ações gráficas a usar dependem da nat ureza dos dados recolhidos e dos aspect os que pret endemos analisar. Assim, ao longo do ensino básico, é impor- t ant e que os alunos t enham oport unidade de comparar diversos t ipos de represen- t ação para a mesma sit uação e verificar quais são os mais apropriados. Devem ain- da desenvolver uma at it ude crít ica relat ivament e à ut ilização de gráficos enganado- res. Um out ro aspect o que assume grande import ância em Est at íst ica é o das conexões. Uma das caract eríst icas principais das t arefas dest e t ema é o grande int eresse que pode t er a ut ilização de dados reais, que muit as vezes proporcionam um envolvi- ment o ent usiást ico dos alunos na aprendizagem. Est es dados são recolhidos para responder a quest ões e não para t reinar fórmulas ou realizar represent ações gráfi- cas. Frequent ement e, originam a formulação de novas quest ões e a recolha de novos dados. Mas t ambém há sit uações em que é út il o uso de dados hipot ét icos, nomeadament e quando pret endemos explorar propriedades de alguns conceit os est at íst icos. Podemos falar de conexões ent re a Est at íst ica e diversos campos da Mat emát ica, como a Geomet ria ( gráficos circulares) , os Números e operações ( cálculo de médias e quart is) , e a Álgebra ( t abelas, gráficos de linha) . E, sendo os dados est at íst icos sempre referent es a algum cont ext o, exist e margem para o est abeleciment o de conexões com áreas de act ividade e campos do conheciment o dos mais diversos. Assim, por exemplo, os frequent es est udos de opinião levados a cabo pelos diver- sos canais de t elevisão ou as sondagens polít icas podem ser analisados. As invest i- gações em ciência, sobre a aliment ação, mudanças climát icas, ou variação da nat a- lidade fornecem t ambém oport unidade para os alunos compreenderem como a nat ureza da amost ra est á relacionada com a informação a ser recolhida e os obj ec- t ivos do est udo, para serem discut idos os cuidados a t er na selecção da amost ra e as generalizações que se podem fazer. Um aspect o a considerar pelo professor quando planeia t rabalho a realizar são os recursos necessários. Na aprendizagem da Est at íst ica os recursos fundament ais são: ( i) os dados – t ant o quant o possível reais e recolhidos pelos próprios alunos – e os inst rument os que permit em a sua recolha; e ( ii) as calculadoras e comput ado- res que realizam cálculos e t odo o t ipo de represent ações de forma, rápida, exact a e eficaz. Já referimos a import ância de usar dados reais de sit uações do quot idiano, com dest aque nat ural para dados exist ent es em j ornais e revist as e na I nt ernet . Por out ro lado, no ensino da Est at íst ica a t ecnologia t em um papel fundament al. A t ecnologia serve não só para a realização de cálculos fast idiosos e a sua represen- Organização e t rat ament o de dados 16 t ação gráfica, mas t ambém para visualizar os conceit os est at íst icos. Por exemplo, a comparação do comport ament o da média e da mediana, quando se modificam alguns dos dados de um cert o conj unt o, é imprat icável sem a ut ilização de calcula- doras ou do comput ador. O programa de Mat emát ica não advoga, no ensino básico, a ut ilização de vários t ipos de soft ware de Est at íst ica. Trat a- se de produt os dispen- diosos 3 que não se j ust ificam para a concret ização dos nossos obj ect ivos, para os quais, como j á dissemos, é suficient e o uso da calculadora e de uma folha de cálcu- lo como o Excel. Também se recomenda a ut ilização de applet s que permit am visualizar a represent ação e comport ament o de alguns conceit os est at íst icos. 2. 5. 3 Or gani zação do t r abal ho dos al unos e av al i ação Sej a qual for o t ipo de t arefa, é fundament al que o professor dê indicações claras sobre o que espera do t rabalho dos alunos e os apoie na sua realização. Em Est at ís- t ica, part icularment e na realização de invest igações e proj ect os, o t rabalho dos alu- nos em grupo const it ui uma forma nat ural de organização. Est as t arefas t êm de ser realizadas em diversas et apas, permit indo dividir responsabilidades ent re os alunos. Em cada et apa, é necessário verificar se os obj ect ivos pret endidos foram at ingidos ou se é necessário fazer alguma correcção. O t rabalho realizado em grupo é usual- ment e muit o mais criat ivo, complet o e est imulant e do que o realizado individual- ment e. No ent ant o, para que est e t rabalho result e, é necessária a definição de obj ect ivos claros, a est rut uração e calendarização das acções a realizar e verifica- ção do seu cumpriment o. Espera- se dos alunos a t omada de iniciat iva e assunção de responsabilidades. O t rabalho dos diversos grupos t em de ser apresent ado na t urma e discut ido por t odos. Est a forma de organizar o t rabalho permit e desenvolver uma dinâmica em aula em que t odos os alunos t êm oport unidade de apresent ar o seu t rabalho, de o ver quest ionado pelos out ros alunos e t ambém de quest ionar o t rabalho dos seus colegas. Est e moment o de discussão, para além de cont ribuir para desenvolver a capacidade de comunicação dos alunos, permit e- lhes muit as vezes aprofundar a compreensão dos conceit os, negociar significados e reformular raciocínios incorrec- t os. A discussão em grande grupo é o moment o privilegiado para a part ilha e deba- t e de ideias, a sist emat ização dos conceit os e a inst it ucionalização de conhecimen- t os. O professor t em que garant ir nest es moment os condições para uma efect iva part icipação e aprendizagem da generalidade dos alunos, invest indo na gest ão do espaço e do t empo e na qualidade das int ervenções. Por vezes, os t rabalhos reali- zados pelos diversos grupos podem ser expost os fora da sala de aula, nout ros locais da escola ou mesmo fora dest a, apresent ado o t rabalho dos alunos a uma comunidade mais alargada. Na realização de out ros t ipos de t arefa na sala de aula, como problemas e exercí- cios, podem ser mais vant aj osas out ras formas de organização, por exemplo com os alunos a t rabalhem individualment e ou em pares. As formas de organização do 3 Um dos problemas mais sér ios suscit ados pela ut ilização dest es t ipos de soft ware de Est at íst ica, é a facilidade com que qualquer pessoa os ut iliza, sem saber muit o bem o que est á a fazer . Por exemplo, se t iver um conj unt o de dados qualit at ivos, codificados com números, bast a carregar num bot ão para obt er a média, que nest e caso não t em qualquer sent ido! Analogament e, pode chegar à conclusão que exist e uma fort e correlação ent re duas variáveis, porque carregou num bot ão para o cálculo da correlação, mas esqueceu- se que ant erior ment e deveria t er feit o uma represent ação gráfica dos dados, para se aper ce- ber da exist ência de uma associação linear ent r e os dados! Est es problemas suger em a necessidade de desenvolver t ambém uma lit eracia no uso dest e t ipo de programas, o que t erá de ser equacionado quando eles event ualment e se t ornarem mais acessíveis. Organização e t rat ament o de dados 17 t rabalho dos alunos devem variar, sucedendo- se as oport unidades para t rabalho aut ónomo, int eracção no seio de pequenos grupos e discussões colect ivas com a moderação do professor. Finalment e, uma palavra para a avaliação. A realização de t odo o proj ect o ou inves- t igação deve t er, nat uralment e, uma, avaliação própria, feit a em função da apre- sent ação oral e escrit a e, event ualment e de informação recolhida durant e o desen- rolar do processo. Para além disso, as aprendizagens em Est at íst ica podem ser ava- liadas como quaisquer out ras aprendizagens, recorrendo a uma variedade de font es de informação escrit a e oral ( t est es, regist os escrit os com respost a a quest ões colocadas na aula, quest ões orais, et c. ) . Mais do que os aspect os comput acionais, a avaliação deve insist ir sobre o conheciment o e a compreensão dos conceit os est a- t íst icos. Para que os próprios alunos t enham ideia da forma como est ão a progredir na compreensão dest es conceit os é muit o import ant e o feedback do professor rela- t ivament e ao seu t rabalho. I sso deve ocorrer t ant o a propósit o da realização de pequenas invest igações e dos respect ivos relat órios como das rest ant es t arefas realizadas no dia- a- dia. Organização e t rat ament o de dados 18 Organização e t rat ament o de dados 19 3 A investigação estatística. Dados e variáveis Descrevemos as diversas componentes de uma investigação estatística, realçando a omnipresença da variabilidade, e discutimos diversos conceitos fundamentais, com destaque para as variáveis e os dados estatísticos. Organização e t rat ament o de dados 20 Organização e t rat ament o de dados 21 3.1 I nt r odução É usual dizer que, sob o pont o de vist a est at íst ico, o indivíduo não t em int eresse e só passa a ser int eressant e quando faz part e de um t odo! Por exemplo, a quest ão “ Qual é o peso da Maria” não t em int eresse sob o pont o de vist a est at íst ico. No ent ant o, o peso da Maria e dos colegas da t urma da Maria j á t em int eresse est at ís- t ico, pois admit imos a exist ência de variabilidade nesses pesos e poderá ser uma quest ão int eressant e saber qual o comport ament o da variável Peso, relat ivament e aos alunos da t urma da Maria, nomeadament e para fazer um est udo sobre obesi- dade na t urma. Em cont rapart ida, não faria sent ido realizar uma invest igação est a- t íst ica para averiguar quant os alunos da t urma da Maria t êm nome, pois sabemos que t odos os alunos t êm nome, pelo que na respost a a est a quest ão não espera- mos a exist ência de variabilidade. I ndicámos no capít ulo 2 que é a ideia- chave de variabilidade que est á na base de qualquer est udo est at íst ico. Como é referido em GAI SE ( 2005, p. 11) , “ A formula- ção de uma quest ão est at íst ica requer uma compreensão da diferença ent re uma quest ão que ant ecipa uma respost a det erminist a e uma respost a baseada em dados que variam” . Como j á referimos no capít ulo 2, uma invest igação est at íst ica envolve, de um modo geral, quat ro fases: 1. ª fase – Formulação do problema a invest igar, na forma de quest ões que se pro- curam responder at ravés de dados; 2. ª fase – Planeament o adequado para recolher dados apropriados; 3. ª fase – Organização e t rat ament o dos dados recolhidos, at ravés de t abelas, grá- ficos e algumas medidas; 4. ª fase – I nt erpret ação dos result ados obt idos e formulação de conclusões A profundidade com que est as fases são t rat adas depende do nível de ensino dos alunos. Assim, nos dois primeiros anos do 1. º ciclo, as quest ões a t rat ar podem prender- se com quest ões relacionadas com a t urma, precisando de ser muit o orien- t adas pelo professor. A classificação e cont agem de obj ect os são t arefas indicadas para início do t rabalho em Est at íst ica, começando os alunos por classificar os dados ut ilizando diagramas de Venn e de Carroll. Ant es de solicit ar aos alunos a realização de represent ações gráficas, deve pedir- se- lhes para int erpret arem gráficos j á cons- t ruídos. À medida que o ano de escolaridade dos alunos aument a, eles vão progressivamen- t e colocando as suas quest ões, que j á não se rest ringem ao ambient e da t urma. A pouco e pouco os alunos ut ilizam inst rument os apropriados para medir a variabili- dade exist ent e ent re os indivíduos de um grupo e a comparar grupos. Assim, no 3. º ciclo, começam a compreender que os result ados que obt êm, ao est udar det ermi- nados conj unt os de dados, são suscept íveis de generalização, em det erminadas condições. É a alt ura de dist inguir ent re popul ação e amost r a e de ponderar os element os que podem afect ar a represent at ividade de uma amost ra em relação à respect iva população. Ao longo de t odos os ciclos, os alunos começam, a pouco e pouco, a t omar cont act o com a variabilidade devida ao acaso e a ut ilizar linguagem associada a est e concei- Organização e t rat ament o de dados 22 t o, desenvolvendo a noção de probabilidade. No 3. º ciclo, aprendem alguns proces- sos de, em det erminadas sit uações, quant ificar est a probabilidade. 3. 2 Recenseament o e sondagem 4 É nat ural que o t ermo “ sondagem” j á faça part e do vocabulário do aluno, pois est amos const ant ement e a ouvir os meios de comunicação social anunciarem os result ados de sondagens. Já o mesmo pode não acont ecer com as palavras “ recen- seament o” ou “ censo” , mas est es t ermos são cert ament e conhecidos dos seus pais, que foram recenseados em 2001, se nessa dat a viviam em Port ugal. O t ermo recenseament o est á, regra geral, associado à cont agem oficial e periódica dos indivíduos de um país ou região. Para a maioria das pessoas a palavra recen- seament o ou censo limit a- se a esse significado. Ela abrange, no ent ant o, um leque mais vast o de sit uações. Assim pode definir- se recenseament o do seguint e modo: Recenseament o – Est udo cient ífico de um universo de pessoas, inst it uições ou obj ect os físicos com o propósit o de adquirir conheciment os, observando t odos os seus element os, e fazer j uízos quant it at ivos acerca de caract eríst icas import ant es desse universo. Assim, a realização de recenseament os pode- se est ender a out ras sit uações, t ais como, às habit ações ( recenseament o da habit ação) , às indúst rias ( recenseament o indust rial) , à Agricult ura ( recenseament o agrícola) , et c. É import ant e que fique cla- ro que a palavra recenseament o est á associada à análise de t odos os element os da população em causa e que t em por obj ect ivo não só a enumeração dos seus ele- ment os, como t ambém o est udo de caract eríst icas import ant es. O recenseament o geral de uma população é uma prát ica que remont a à ant iguida- de ( Roma e Egipt o) , onde j á há conheciment o de recenseament os da população, feit os a int ervalos regulares, com o obj ect ivo principal de obt er informação para a colect a de impost os, chamada para o serviço milit ar e out ros assunt os governa- ment ais. Apesar disso, a sua prát ica corrent e, com caráct er periódico, só t eve lugar, na maioria dos países, a part ir do sec XI X. Esses censos periódicos são feit os em geral de 10 em 10 anos e, em princípio, t odos os países são encoraj ados a cumprir cert as normas int ernacionais ao elaborar um recenseament o. Em Port ugal, a primeira operação que se conhece dest e género foi levada a cabo por D. João I I I em 1527 e ficou conhecida pelo "numerando dos vizinhos", t endo permit ido est abe- lecer uma est imat iva da população port uguesa. Est e apurament o est at íst ico const i- t ui um mot ivo de orgulho para os port ugueses vist o que foi um dos primeiros est u- dos dest e género conhecido na Europa. O I NE, I nst it ut o Nacional de Est at íst ica, t em a seu cargo fazer recenseament os da população port uguesa, o últ imo dos quais, o XI V Recenseament o Geral da Popula- ção, foi realizado em 2001. Nessa alt ura, o I NE desenvolveu um proj ect o j unt o das escolas para mot ivar os alunos e fazer com que est es fossem para casa e falassem com os pais da import ância de um censo. No fim dest e capít ulo, apresent amos a forma como o proj ect o foi desenvolvido. 4 Est a secção segue de pert o a brochura de Est at íst ica, 10. º ano ( Graça Mart ins et al. ( 1999) ) . Organização e t rat ament o de dados 23 Nest e recenseament o de 2001 ficaram a conhecer- se variadas caract eríst icas do povo port uguês como a sit uação civil, a habit acional, a população emigrant e, et c. Os dados relat ivos aos censos são ext remament e import ant es pois t êm influência direct a na decisão em assunt os de int eresse nacional e local – na educação, emprego, saúde, t ransport es, recursos nat urais, et c. , et c. Comparando result ados de recenseament os sucessivos pode ext rapolar- se e predizer padrões fut uros da população. Podemos obt er informação sobre, por exemplo, a est rut ura da idade da população e o cresciment o populacional, fundament al para o planeament o na cons- t rução de novas escolas, aloj ament o para idosos, et c. A realização de um recenseament o geral da população, além de implicar gast os muit o elevados, é ext remament e difícil de conduzir. Há problemas associados com a recolha adequada da informação, seu armazenament o, t rat ament o, post erior divulgação, et c. Assim, principalment e quando o número dos element os da popula- ção é muit o elevado, não é viável inquirir t odos os element os da população sempre que se quer est udar uma ou mais caract eríst icas part iculares dessa população. Mui- t as vezes isso nem é desej ável, pela pert urbação que provoca nos inquiridos. Surge ent ão o conceit o de sondagem, que se pode definir como o est udo cient ífico de uma part e de uma população com o obj ect ivo de analisar at it udes, hábit os e preferên- cias da população relat ivament e a acont eciment os, circunst âncias e assunt os de int eresse comum. A realização de sondagens é uma act ividade da segunda met ade do séc. XX. Embora ant es de 1930 j á se t enham realizado sondagens, est as eram feit as de um modo muit o pouco cient ífico. Foi necessário um desenvolviment o ade- quado de mét odos e t écnicas est at íst icas para que os result ados das sondagens pudessem ser analisados cient ificament e. Só em 1973 é que, pela primeira vez, apareceu publicado nos órgãos de comunica- ção social o result ado de uma sondagem realizada em Port ugal, nomeadament e, "63% dos Port ugueses nunca vot aram" ( Paula Vicent e et al. , 1996) . Embora as sondagens se t enham popularizado devido a quest ões polít icas, elas não são ape- nas um import ant e inst rument o polít ico; acima de t udo const it uem um inst rument o de import ância vit al em est udos de nat ureza económica e social. Assim, se nos meios polít icos as sondagens são usadas para obt er informação acerca das at it udes dos eleit ores, de modo a planear campanhas, et c. , elas são import ant es t ambém em est udos de mercado, para t est ar as preferências dos consumidores, descobrir o que mais os at rai nos produt os exist ent es ou a comercializar, t endo como obj ect ivo o de sat isfazer os client es e aument ar as vendas. Também na área das ciências sociais as sondagens são import ant es para, por exemplo, est udar as condições de vida de cert as camadas da população. Devemos t er present e que, cont rariament e ao recenseament o, as sondagens inqui- rem ou analisam apenas uma part e da população em est udo, ist o é, rest ringem- se a uma amost ra dessa população, mas com o obj ect ivo de ext rapolar para t odos os element os da população os result ados observados na amost ra. Uma sondagem realiza- se em várias fases: escolha da amost ra, obt enção da infor- mação, análise dos dados e relat ório final. Para que os result ados de uma sonda- gem sej am válidos há necessidade de essa amost ra ser represent at iva da popula- ção. O processo de recolha da amost ra, a amost ragem, t em de ser efect uada com os cuidados adequados. Quando são usadas t écnicas apropriadas e a amost ra é Organização e t rat ament o de dados 24 suficient ement e grande, os result ados obt idos encont ram- se em geral pert o dos result ados que se obt eriam, se fosse est udada t oda a população. 3.3 Popul ação e amost r a. Dados e v ar i áv ei s É desde os primeiros anos que os alunos devem compreender que dados são mais do que números e que a Est at íst ica permit e t ransformar dados em informação. Uma caract eríst ica dos dados est at íst icos é a variabilidade e é est a variabilidade que é obj ect o do est udo da Est at íst ica. Perant e uma colecção de dados, há duas formas possíveis de abordar a sua análise, consoant e o nosso int eresse sej a: o Apenas explorar a colecção de dados e encont rar padrões – est a colecção de dados é, por assim dizer, a popul ação em est udo. o Ext rapolar para um universo mais vast o os padrões encont rados na colecção de dados, a qual é part e ( ou amost r a) desse universo ( ou popul ação) 5 . Para dar dois exemplos da nossa vida corrent e, pense- se nos result ados obt idos quando se pergunt a aos alunos da t urma quant os irmãos t êm e nos result ados obt idos numa sondagem, encomendada por um candidat o às próximas eleições presidenciais. No primeiro caso, a população é a t urma e os dados que se t êm refe- rem- se a t oda a população. É est e o cont ext o que, de um modo geral deve ser ut ili- zado para os alunos mais novos, em que não se procura generalizar os result ados obt idos na análise dos dados. No segundo caso, os dados referem- se a uma peque- na part e da população de int eresse e procura- se, após a sua análise, generalizar para um conj unt o mais vast o. A grande maioria das sit uações onde é necessária a ut ilização de met odologias est at íst icas, enquadra- se nest e segundo caso. Popul ação – Conj unt o de unidades individuais, que podem ser pessoas, animais ou result ados experiment ais, com uma ou mais caract eríst icas em comum, que se pret endem analisar. Amost r a – Part e da população que é observada com o obj ect ivo de obt er informa- ção para est udar a caract eríst ica pret endida. Se se observar t oda a população diz- se que se faz um Censo. Como dissemos ant eriorment e, o obj ect ivo da Est at íst ica é o est udo de populações, ist o é, conj unt os de indivíduos ( não necessariament e pessoas) com caract eríst icas comuns, que se pret endem conhecer. A uma caract eríst ica comum, que assume valores diferent es de indivíduo para indivíduo, chamamos var i ável . Em t ermos mais precisos, uma v ar i áv el é uma caract eríst ica de um indivíduo ou obj ect o à qual se possa at ribuir um número ou uma cat egoria. O indivíduo ou coisa relat iva- ment e ao qual se recolhe a informação é designado por uni dade obser v aci onal ou caso. Ao result ado da observação da variável num indivíduo ou obj ect o, cha- mamos dado est at íst i co ou simplesment e dado. Sendo ent ão o nosso obj ect ivo o est udo de uma ( ou mais) caract eríst ica da popula- ção, vamos ident ificar população com a variável ( caract eríst ica) que se est á a est u- 5 Est a secção segue de pert o Graça Mar t ins et al ( 2007) e Graça Mar t ins ( 2006) . Organização e t rat ament o de dados 25 dar, dizendo que a população é const it uída por t odos os valores que a variável pode assumir. Por exemplo, relat ivament e à população port uguesa, se o obj ect ivo do nosso est udo for a caract eríst ica alt ura, diremos que a população é const it uída por t odos os valores possíveis para a variável alt ura. Vimos t ambém que amost ras são conj unt os de dados, que represent em convenien- t ement e as populações de onde foram recolhidos. Do mesmo modo ident ificaremos amost ra com os valores observados para a variável em est udo, sobre alguns ele- ment os da população. Assim, na cont inuação do exemplo referido, os valores 156cm, 171cm, 163cm, 168cm, 166cm, obt idos ao medir a alt ura de 5 port ugue- ses, const it uem uma amost ra da população a est udar. Nest e moment o vamos admit ir que dispomos de um desses conj unt os de dados, sem nos preocuparmos como foram obt idos, e pret endemos desenvolver processos de análise que nos permit am responder a algumas quest ões, t ais como: Serão os dados quase t odos iguais? Serão muit o diferent es, uns dos out ros? De que modo é que são diferent es? Exist e alguma est rut ura subj acent e ou alguma t endência? Exist em alguns agrupament os especiais? Exist em alguns dados muit o diferent es da maior part e? Est as quest ões, de um modo geral, não podem ser respondidas rapidament e, olhando unicament e para o conj unt o dos dados! No ent ant o, se est iverem organi- zados sob a forma de t abelas ou gráficos, j á a respost a às quest ões ant eriores se t orna mais simples. A met odologia est at íst ica ut ilizada depende das variáveis que se est ão a est udar, pelo que é import ant e começar por classificá- las. Uma classifi- cação possível é a que se apresent a a seguir. Uma variável diz- se quant i t at i v a ( ou numérica) se se referir a uma caract eríst ica que se possa cont ar ou medir. Por exemplo, o número de irmãos de um aluno escolhido ao acaso, na t urma, é uma variável quant it at iva de cont agem, enquant o que a sua alt ura é uma variável quant it at iva de medição. Uma variável diz- se qual i t at i v a ( ou cat egórica) se não for suscept ível de medi- ção ou cont agem, mas unicament e de uma classificação, podendo assumir várias modalidades ou cat egorias. Por exemplo, a cor dos olhos do aluno referido ant e- riorment e, é uma variável qualit at iva. Se só assumir duas cat egorias, diz- se bi nár i a. É o caso da variável sexo, que assume as cat egorias Feminino e Mascu- lino. As variáveis quant it at ivas de cont agem, ist o é, que se referem a caract eríst icas que só se podem cont ar e não se podem medir, designam- se t ambém por variá- veis quant it at ivas di scr et as; por sua vez, as variáveis quant it at ivas de medição, ist o é, que se podem medir, t ambém se designam por variáveis quant it at ivas cont ínuas. Est as designações são bast ant e import ant es, pois as ferrament as est at íst icas a ut ilizar dependem do t ipo de variável em est udo. Algumas variáveis qualit at ivas apresent am uma ordem subj acent e – são designa- das por qual i t at i v as or di nai s. São exemplos de variáveis qualit at ivas ordinais: o nível social ( com as cat egorias “ baixo” , “ médio” e “ elevado” ) , o grau de sat isfação Organização e t rat ament o de dados 26 com um produt o ( com as cat egorias “ nada sat isfeit o” , “ pouco sat isfeit o” , “ sat isfei- t o” , “ bast ant e sat isfeit o” e “ muit o sat isfeit o” ) e grande part e das variáveis ut iliza- das em inquérit os na área das ciências sociais onde se avalia o nível at ingido em cada variável solicit ando ao respondent e que coloque uma cruz numa grelha nume- rada de 1 a 5 ( escala de Lickert ) . No 1. º ciclo, logo desde o 1. º e 2. º anos de escolaridade, os alunos t rabalham com dados qualit at ivos e dados quant it at ivos discret os. Também podem ser t rabalhados dados de t ipo cont ínuo, devidament e discret izados. No 2. º e 3. º ciclo t rabalha- se com t odo o t ipo de dados, qualit at ivos e quant it at ivos, discret os e cont ínuos. Tur ma de r ef er ênci a Para exemplificar os conceit os à medida que vão sendo int roduzidos, vamos ut ilizar um conj unt o de dados relat ivos aos alunos da t urma ( considerada t urma de refe- rência) e que podem ser obt idos, pedindo–lhes para preencherem a seguint e ficha: O professor pode fazer algumas recomendações relat ivament e ao preenchiment o da ficha, como por exemplo: Se os alunos ut ilizarem mais de um meio de t ransport e, consideram só o que ut ilizam na maior part e do t empo que levam de casa à escola; Para darem o t empo que demora de casa à escola, dão um valor aproximado ou ent ão, no dia seguint e, t êm o cuidado de verificar quant o t empo demora- ram; Para medirem o compriment o do palmo ut ilizam uma régua, em que colo- cam o polegar da mão direit a j unt o ao zero da régua e vêem at é quant os cent ímet ros chega o dedo mindinho. Uma t abela possível, obt ida numa t urma de 24 alunos, é a seguint e: Dados da t urma Nome Número de let ras no nome Número de irmãos Cor dos olhos Transport e ut ili- zado para ir de casa à escola Tempo de casa à escola ( minu- t os) Comprimen- t o do palmo ( cm) Ana Godinho 10 1 Cast anhos Aut ocarro 15 165 Ana Sofia Silva 13 2 Pret os A pé 5 150 Andreia Sousa 12 0 Cast anhos Met ro 14 173 Carolina Mart ins 15 0 Azuis Carro 8 189 Daniela Silva 12 3 Cast anhos Carro 12 187 David Leal 9 1 Cast anhos Carro 10 195 Diogo Oliveira 12 4 Cast anhos A pé 13 137 Filipa Duart e 12 1 Verdes Aut ocarro 20 166 Helena Afonso 12 2 Azuis Carro 10 186 I nês Mart ins 11 1 Pret os Carro 15 153 Joana Manso 10 0 Cast anhos Met ro 17 159 João Miguel Ribeiro 17 1 Cast anhos Met ro 13 144 Organização e t rat ament o de dados 27 João Pedro Bat ist a 16 1 Cast anhos Met ro 18 142 Liliana I sabel Cruz 17 2 Cast anhos Aut ocarro 9 155 Margarida Cabral 20 0 Cast anhos Aut ocarro 21 158 Miguel Est eves 13 2 Azuis A pé 7 138 Nuno Pest ana 11 3 Pret os A pé 6 161 Pat rícia Sant os 14 1 Cast anhos Carro 11 163 Pedro Pinheiro 13 1 Verdes A pé 12 172 Raquel Loureiro 14 0 Azuis Met ro 19 164 Rit a Mar t ins 11 2 Cast anhos Aut ocarro 15 165 Simão Valent e 12 1 Cast anhos A pé 6 164 Sofia Mat ias 11 0 Cast anhos A pé 7 190 Tiago Neves 10 3 Cast anhos A pé 16 168 A t abela ant erior apresent a os valores observados, nos alunos da t urma, para as variáveis Número de let ras do nome, Número de irmãos, Cor dos olhos, Transport e ut ilizado para ir de casa à escola, Tempo que leva de casa à escola e Compriment o do palmo. A met odologia ut ilizada para obt er os dados da t abela, permit e facilmen- t e apercebermo- nos da nat ureza desses dados. Assim, ao preencherem as fichas, a part ir das quais se const ruiu a t abela, os alu- nos: Cont aram o número de let ras do nome, pelo que os dados correspondent es a essa variável são discret os; Mediram, com uma régua, o compriment o do palmo, pelos que os dados correspondent es a essa variável são cont ínuos; Mediram, com um relógio, o t empo que demoram de casa à escola, pelo que os dados respeit ant es a essa variável são cont ínuos; Não puderam medir nem cont ar a cor dos olhos, mas unicament e at ribuir- lhe uma cat egoria, pelo que a variável correspondent e é qualit at iva. Não se deve insist ir, j unt o dos alunos, sobret udo dos mais novos, nas designações das variáveis. O que deve ser realçado é que est as t êm nat ureza diferent e, e as ferrament as ut ilizadas para t rat ar os dados result ant es das observações dessas variáveis, t ambém t erão que ser diferent es, em algumas sit uações. Por exemplo, podemos represent ar dados qualit at ivos ou quant it at ivos discret os ut ilizando um diagrama de barras, mas não t em sent ido ut ilizar est a mesma represent ação para dados cont ínuos, caso em que podemos usar um hist ograma ou gráfico de linha. Tar ef a – Cl assi f i cação de var i áv ei s 1. Para cada uma das variáveis a seguir consideradas indica se é de nat ureza quali- t at iva ou quant it at iva e nest e caso se é discret a ou cont ínua: a) Número de past ilhas numa caixa de Smart ies b) Cor do cabelo do primeiro colega que encont rar quando chegas à escola c) I dade do colega da alínea ant erior d) Número de livros que comprast e no últ imo mês e) Marca do primeiro carro que passa, quando vais à j anela f) Velocidade do carro da alínea ant erior g) Tempo que levas de casa à escola h) Rendiment o mensal de uma família i) Tempo de duração de uma chamada t elefónica j ) Número de mensagens que recebes no t elemóvel ( se não t iveres t elemóvel, pode ser o do t eu Pai) , por dia Organização e t rat ament o de dados 28 k) Número de moedas que t ens no port a- moedas l) Número de t elevisões numa casa m) O t eu peso n) A t ua alt ura o) A t ua not a num t est e de Mat emát ica p) O t eu programa favorit o na TV 2. Dá alguns exemplos de variáveis qualit at ivas e quant it at ivas discret as e cont í- nuas ( não uses os exemplos do exercício ant erior) . 3. Algumas quest ões que t alvez t e possam int eressar, são as seguint es: a) Há muit os colegas meus com animais domést icos? b) Quant os colegas haverá com 2 irmãos, como eu? c) Haverá mais colegas com t elemóvel, ou sem t elemóvel? Como é que procederias para obt er respost a para est as quest ões? 4. Dá exemplo de out ras quest ões, para as quais sej a necessário recolher dados, se se quiser conhecer a respost a. 3.4 “ Li mpar ” os dados É comum, quando se procede a uma análise de dados recolhidos verificar que est es cont êm erros, acident ais ou não acident ais. Assim, ant es de se proceder ao t rat a- ment o dos dados at ravés de t abelas, gráficos ou do cálculo de medidas, deve- se olhar crit icament e para os dados recolhidos, com o obj ect ivo de os “ limpar” dos erros. Por exemplo, se ao recolher informação sobre o t amanho do pé, se obt iver a informação de 300cm, obviament e que est e valor est á errado. Est e erro pode ser acident al, nomeadament e ao digit ar no comput ador o zero, carregou- se 2 vezes e ficaram 2 zeros. Se numa respost a sobre o ano de escolaridade, aparecer 1, 2, t am- bém est á errado, pois o ano de escolaridade t em de se exprimir na forma de um número int eiro. Est es erros podem ser acident ais, mas há out ros que podem resul- t ar de respost as dadas com pouco cuidado ou por brincadeira. Tar ef a – Vamos l i mpar est es dados 6 . Na t abela que se apresent a a seguir, alguns alunos mais brincalhões ent ret iveram- se a alt erar alguns dos dados de uma t abela que cont ém respost as de alunos do ensino básico. Procura det ect ar esses erros e quando possível, sugere alt erações de forma a t er dados “ limpos” : Sexo Data de nas- cimento Ano de esco- laridade Naturalidade Altura Tamanho do pé Disciplina ou actividade prefe- rida Distância de casa à escola M 12-04-1991 5 Portugal 143 26 Educação musical de 1 a 2 km F 31/02/92 4 Portugal 132 22 Estudo do Meio menos de 2 km F 14-01-1991 5.00 Portugal 14.2 2.3 Educação Física 2.5423 km M 07-09-1989 6 Portugal 136 25 Matemática de 1 a 2 km M 13-12-1991 4 Angola 128 24 Língua Portuguesa de 1 a 2 km M 14-03-2001 5 Portugal 140 67 Matemática menos de 1 km F 06-05-1989 7 Moçambique 142 24 Língua Portuguesa de 3 a 5 km F 15-08-1990 6 Portugal 138 21 Língua Portuguesa 85km M 20-02-1990 6 Portugal 192 23 Matemática de 1 a 2 km 6 Adapt ada de uma act ividade do Censusat school. Organização e t rat ament o de dados 29 M 19-05-1990 6 Portugal 140 20 Educação Física de 1 a 2 km 0 29-06-1992 7 Lua 48 21 Estudo do Meio 3000km M 09-10-1991 4 Cabo Verde 128 21 Língua Portuguesa menos de 1 km F 18-12-1990 5 Angola 135 21 Matemática menos de 1 km F 18-07-1991 0.5 Portugal 13.7 20 Ir para casa de 3 a 5 km M 03-06-1934 4 Portugal 129 21 Informática menos de 1 km F 13-02-1989 7 Moçambique 148 23 Matemática de 1 a 2 km F 15-09-1988 7 Portugal 150 22.5 Educação Física de 1 a 2 km F 07-08-1989 7 Portugal 140 24 Informática menos de 1 km M 08-06-1989 7 Angola 142 24 Matemática menos de 1 km M 31/11/87 11 Marte 1520 22 Informática de 5 a 10 km F/M 16-07-1988 8 Portugal 142 26 Chinês de 2 a 3 km F 28-04-1988 8 Portugal 145 26.5 Educação Física 1 kg M 25-03-1992 4.1 Portugal 132.1 2.4.5 Matemática menos de 1 km M 26-02-1992 4 Portugal 130 21 Educação Física menos de 1 km F 08-07-1999 6 Portugal 142 22 Língua Portuguesa de 2 a 3 km M 23-05-1990 6 Cabo Verde 151 25.5 Matemática de 2 a 3 km M 01-03-1987 9 Angola 162 25 Educação Física menos de 1 km F 07-08-1991 6 Portugal 150 23 Educação musical 2 saltos F 03-03-1992 4 Portugal 135 21 Informática menos de 1 km No exemplo ant erior, alguns dos erros foram provocados deliberadament e com o obj ect ivo de ilust rar uma sit uação que ocorre com frequência, sem ser int encional. Efect ivament e, é comum haver um dígit o repet ido, uma vírgula a assinalar a casa decimal mal colocada, uma dat a t rocada, et c. Out ros erros que foram int roduzidos deliberadament e, ret rat am sit uações int encionais, como é o caso de responder Mar- t e ou Lua à pergunt a sobre a nat uralidade. Assim, ant es de começar a t rat ar um conj unt o de dados, deve t er- se um olhar crít ico para det ect ar est e t ipo de erros que podem dest ruir t oda uma análise subsequent e. Por exemplo, referindo- nos ainda à t abela do exemplo ant erior, se se proceder ao cálculo da média dos valores referent es à alt ura, obt ém- se o valor aproximadamen- t e igual a 178cm. No ent ant o se limparmos os dados de alguns erros óbvios, nomeadament e os assinalados na t abela seguint e Ant es Depois 14, 2 142 192 eliminar 48 148 13, 7 137 1520 152 132, 1 132 j á o valor obt ido para a média vem aproximadament e igual a 141 cm. Já ant eriorment e chamámos a at enção para o fact o de “ . . .os dados são mais do que números, são números com um cont ext o” . Ora foi precisament e esse cont ext o que nos guiou nas alt erações a fazer. Se t odas as alt erações, com excepção de uma, são mais ou menos óbvias, não t ínhamos alt ernat iva para o valor 192, pelo que decidimos eliminá- lo, não sem cust os, pois reduzimos a nossa amost ra de uma uni- dade, passando a t er só 28 dados em vez dos 29 iniciais. Organização e t rat ament o de dados 30 Tar ef a – Não ser ão i r mãos a mai s? Regist ou- se numa t abela de frequências que se apresent a a seguir, o result ado de um inquérit o feit o j unt o de alunos do 1. º ciclo do ensino básico de várias escolas, em que se colocava, ent re out ras, a seguint e quest ão Quant os irmãos t ens? Tabela 1 Número de irmãos Freq. Rel ( %) 0 16 1 51 2 18 3 7 4 ou mais 8 A seguir apresent am- se as respost as de alguns alunos de uma escola sobre algu- mas quest ões, ent re as quais t ambém se pergunt a quant os irmãos t êm: Tabela 2 Sexo Dat a de nasciment o Código Post al Nº de irmãos Nº irmãos com menos 18 anos M 12-04-1991 1050- 027 0 0 F 27-02-1992 1200- 013 1 1 F 14-01-1991 1150- 110 2 2 M 07-09-1989 1100- 115 1 1 M 13-12-1991 1070- 031 1 1 M 14-03-2001 1121- 025 0 0 F 06-05-1989 1150- 043 2 1 F 15-08-1990 1070- 014 1 1 M 20-02-1990 1050- 006 2 2 M 19-05-1990 1075- 100 1 1 M 29-06-1992 1180- 121 5 4 M 09-10-1991 1210- 121 3 3 F 18-12-1990 1170- 114 1 1 F 18-07-1991 1032- 045 1 1 M 03-06-1991 1180- 121 5 4 Haverá alguma coisa de est ranho nest a t abela? De acordo com a Tabela 1, qual a percent agem de alunos com 4 ou mais irmãos? Esse result ado não nos fará pensar se algo de anormal não se passará com as res- post as dadas na Tabela 2? ( Observe- se que, de acordo com a t abela 1, a percent a- gem de alunos do 1º ciclo com 4 ou mais irmãos anda à volt a de 8%. De acordo com a t abela 2, aparent ement e em 15 alunos, 2 t êm 5 irmãos! No ent ant o, se repararmos melhor, verificamos que a morada é a mesma, pelo que afinal os 2 alu- nos que responderam são, com elevada probabilidade, irmãos. . . ) Organização e t rat ament o de dados 31 PROJECTO* GABI NETE DOS CENSOS 2001 Avenida Ant ónio José de Almeida 1000-043 Lisboa Telef.: 21 842 61 00 Fax: 21 842 63 58 Organização e t rat ament o de dados 32 O projecto "OS CENSOS VÃO ÀS ESCOLAS" foi desenvolvido pelo Gabinete dos Censos 2001 e teve como objectivos: Dar a conhecer aos alunos dos diversos graus de ensino: o que são, para que servem e como se fazem os Censos; Mobilizar os pais e familiares dos alunos para a participação nos CENSOS 2001. Este projecto consistiu numa aula relativa aos Censos, que foi ministrada em todas as escolas do ensino oficial e particular na primeira quinzena de Março de 2001. Foram desenvolvidos três tipos de aulas de acordo com o nível de ensino: NÍVEL DE ENSINO IDADES LIGAÇÕES CURRICULARES Ensino Básico - 1º Ci- clo 6-10 Estudo do Meio Ensino Básico - 2º e 3º Ciclos 10-15 História e Geografia de Portugal Geografia História Matemática Ensino Secundário 15-18 Geografia Matemática História Economia Introdução ao Desenvolvimento Económico e Social A seguir apresentamos a parte do projecto referente aos 1º, 2º e 3º ciclos. Organização e t rat ament o de dados 33 1. O QUE SÃO OS CENSOS? Os Censos são a contagem de todas as pessoas que vivem no nosso País e de todas as habitações onde as pessoas vivem. Com os Censos ficamos a saber: Quantos somos – o número total de pessoas que vivem em Portugal de norte a sul, Regiões Autónomas dos Açores e da Madeira, e em cada uma das nossas cidades, vilas e aldeias; Como somos – a idade das pessoas, as profissões, os estudos que as pessoas têm; Onde vivemos – os locais onde as pessoas vivem; Como vivemos – as características das habitações existentes em Por- tugal. 2. PARA QUE SERVEM OS CENSOS? É muito importante conhecermos quantas são e como são as pessoas que vivem em Portugal e em cada uma das nossas cidades ou bairros para saber- mos: - O número de escolas, creches, lares de idosos que são necessários; - Onde se devem construir as vias de comunicação, os hospitais, as fábri- cas,…; - O número de representantes que cada região tem na Assembleia da República; - Como distribuir o dinheiro pelas Câmaras Municipais. Os resultados dos Censos são muito importantes porque servem para conhecer melhor o presente e preparar o futuro. 3. QUEM FAZ OS CENSOS? O Instituto Nacional de Estatística (INE) é o organismo encarregue da pre- paração, execução e apuramento dos dados dos Censos 2001. Dada a complexidade da operação estatística “Censos 2001”, o INE tem a colaboração das Câmaras Municipais - responsabilizam-se pela organização, coordenação e controlo das tarefas do recenseamento na área do município - e das Juntas de Freguesia que asseguram a execução das operações dos Censos 2001 nas respectivas áreas. Organização e t rat ament o de dados 34 4. COMO SE FAZEM OS CENSOS ? A contagem das pessoas e das habitações é feita através do preenchimento de questionários. Os questionários são entregues em cada casa e depois de preenchidos pelas pessoas são recolhidos por um recenseador (pessoa que distribui e recolhe os questionários). Para tudo isto ser possível é muito importante que nas nossas casas seja preenchido um questionário por cada pessoa que lá vive. Tu também contas! ACTIVIDADES: - Dar a preencher aos alunos a ficha de trabalho “ O Meu Censo”. - Depois de preenchidas as fichas apurar os resultados da turma de modo a ser possível responder a algumas perguntas: - Quantos rapazes e quantas raparigas existem na turma? - Quantos alunos têm 6, 7 ou 8 anos? - Quantos alunos nasceram em determinado local? - Quantos alunos têm irmãos? Organização e t rat ament o de dados 35 Nome: ____________________________________ Menino Menina Quantos anos tens? Local onde moras? ____________________________ Local onde nasceste ? __________________________ Quantas pessoas vivem em tua casa? Tens irmãos ou irmãs ? Sim Não Organização e t rat ament o de dados 36 1. O QUE SÃO OS CENSOS? A forma mais antiga e também mais directa de conhecer o número de pessoas que habitam um determinado território, consiste em realizar uma contagem através da observação exaustiva dos indivíduos, a que se dá o nome de recenseamento ou de uma forma mais abreviada "censo". Os Censos são tradicionalmente a contagem da população de um país a que, em épo- ca mais recente, se acrescentou a sua melhor caracterização e um levantamento do parque habitacional. É exactamente através dos Censos que o país fica a saber : Quantos somos? - O total de pessoas a viver em Portugal Continen- tal, Regiões Autónomas dos Açores e da Madeira e em cada um dos seus concelhos, freguesias ou bairros. Como somos? - As características da população: sexo, idade, nacio- nalidade, naturalidade, profissão, grau de instrução, estatuto socio- profissional, etc . Onde vivemos? – Os locais onde vivemos. Como vivemos? - As características dos alojamentos onde vivemos. Breve História dos Censos Já antes da era de Cristo se faziam recenseamentos, geralmente com objectivos militares e de cobrança de impostos. Por isso, a norma era a de as populações se deslocarem aos seus locais de origem e se apresentarem às respectivas autorida- des para o registo de pessoas e/ou bens. O primeiro censo populacional conhecido no território que é hoje Portugal foi reali- zado no ano zero, por ordem do Imperador César Augusto e dizia respeito à então província romana da Lusitânia. Posteriormente, na Idade Média também os Árabes efectuaram vários recenseamentos durante a sua permanência na Península Ibéri- ca. Já após a fundação da nacionalidade foram realizadas várias contagens mais ou menos extensas tendo preocupações sobretudo de ordem militar. A primeira des- tas operações foi o Rol de Besteiros do Conto, de D. Afonso III (1260-1279). Em 1864, realizou-se o I Recenseamento Geral da população portuguesa, que foi o primeiro a reger-se pelas orientações internacionais do Congresso Internacional de Estatística de Bruxelas em 1853, marcando o início dos recenseamentos da época moderna. Organização e t rat ament o de dados 37 Embora estas orientações já indicassem que os recenseamentos deveriam ser rea- lizados de 10 em 10 anos o censo seguinte apenas se realizou em 1878, ao qual se seguiria o Censo de 1890. A partir de então os recenseamentos da população têm vindo a realizar-se, com poucas excepções, regularmente em intervalos de 10 anos. Outro marco importante ocorreu em 1970, quando em simultâneo com o Recensea- mento da População se realizou o I Recenseamento da Habitação. O último censo realizado em Portugal foi em 1991. 2. PARA QUE SERVEM OS CENSOS? Através dos Censos é possível obter, para cada nível de detalhe geográfico (regiões, concelhos, freguesias, lugares,…) uma “fotografia” de todos os indivíduos residentes em Portugal e das condições em que habitam. Os censos são uma fonte única e renovável que, caracterizando a população e o parque habitacional, surge como valioso instrumento de diagnóstico, planeamento e intervenção, em vários domínios: - Na definição de objectivos e prioridades para as políticas globais de desenvol- vimento (investimentos em educação, saúde, habitação ou transportes, medidas de combate ao desemprego, melhoria das condições de habitação, distribuição de fundos a nível regional e local,…); - No planeamento regional e urbano (localização de escolas, hospitais, vias de comunicação, fábricas, etc); - Nos estudos de mercado e sondagens de opinião; - Na investigação em ciências sociais e políticas (elaboração de estudos no domí- nio económico e social,…) Assim, os dados recolhidos pelos censos, sobre a população e a habitação, são fun- damentais para proporcionar, ao governo e às autarquias locais, informação básica indispensável à definição e execução das suas políticas. Revestem-se, por isso, do maior interesse para toda a sociedade. Os resultados dos Censos são fundamentais para conhecer o presente e preparar melhor o futuro do País. 3. QUEM FAZ OS CENSOS? O Instituto Nacional de Estatística (INE) é o organismo encarregue da prepara- ção, execução e apuramento dos dados dos Censos 2001. Dada a complexidade da operação estatística “Censos 2001”, o INE tem a colabo- ração das autarquias locais. Assim, as Câmaras Municipais responsabilizam-se pela organização, coordenação e controlo das tarefas do recenseamento na área da res- pectiva jurisdição; enquanto que as Juntas de Freguesia asseguram a execução das operações dos Censos 2001 nas respectivas áreas. Organização e t rat ament o de dados 38 4. COMO SE FAZEM OS CENSOS ? A recolha de dados é realizada através do preenchimento de vários tipos de ques- tionários de acordo com a unidade estatística a caracterizar: edifício, alojamento, família e indivíduo. Os questionários são distribuídos em cada alojamento e depois de devidamente preenchidos são recolhidos por um recenseador (pessoa que distribui e recolhe os questionários) que, em caso de dificuldade, ajuda no preenchimento. Assim, todos os alojamentos serão observados e todas as pessoas residentes serão caracterizadas através de questionários. A informação recolhida refere-se às 0 horas do dia 12 de Março de 2001 - “momento censitário”, que corresponde ao dia e hora em relação aos quais se reco- lhem os dados. Para tudo isto ser possível é muito importante que nas nossas casas seja preenchido um questionário por cada pessoa que lá reside ou esteja tempo- rariamente presente. Tu também contas! Organização e t rat ament o de dados 39 ACTIVIDADES: - Ficha de Trabalho. Completa as seguintes frases: 1. Os Censos contam todos os residentes em _______________ . 2. Os Censos realizam-se de ___ em ___ anos. 3. Os dados censitários são fundamentais para a analisar o P_ _ S_ _T_ e preparar o F_ _ UR_ do país. 4. Os indivíduos responsáveis pela distribuição e recolha dos questionários designam-se por R_C_ _S_ _ _O_ES. Descobre as palavras relacionadas com os Censos – População, Habitação, Edifício, Alojamento, Família, Indivíduo. G A H E N O L I A P I A T E L R O R P H E A R H T E T O E R N J F C Y T O B P A H L O H S A P J O E D Ç E D I F Í C I O A O S D A I U Ç O T I L Ã O K J D L A U D J D I F B C I A D V O P A R P O T U P R A S R A R I L P E I G M H A I R O Ç J A M T P B H Ã T R I D P O P U L A Ç Ã O P E E U A O A L A E U O L O F G O A M J G N Ç R U T Ç E B Ç O N F U L A Ç E O T R T A A L W A O B I Ã R L E Q Ç Q H B A E O F D I G Í M I O P O F A M I L I A R O A P O Ç A L Ã H A S O B Ç T O F Ã E O Organização e t rat ament o de dados 40 4 Tabelas e gráficos Apresentamos alguns processos, nomeadamente tabelas e gráficos, para organizar a informação contida nos dados, de forma a realçar as suas características mais importantes. Organização e tratamento de dados 42 Organização e tratamento de dados 43 4.1 I nt r odução Neste capítulo apresentamos formas de organizar os dados através de tabelas e gráficos. De acordo com o Programa de Matemática, logo nos 1.º e 2.º anos de escolaridade, os alunos aprendem a classificar dados utilizando diagramas de Venn e Carroll e aprendem a trabalhar com tabelas de frequências absolutas, gráficos de pontos e pictogramas. Pretende-se que os alunos saibam ler e interpretar informa- ção registada por estes meios, e que saibam também construir representações des- tes tipos para um certo conjunto de dados. Nos 3.º e 4.º anos os processos de representação são alargados aos gráficos de barras. Mais tarde, no 2.º ciclo, os alunos aprendem a trabalhar com tabelas de frequências relativas e continuam a trabalhar com as representações anteriores, aprendendo também a construir e interpretar gráficos circulares e de linha, bem como diagramas de caule e folhas. Finalmente, no 3.º ciclo, os alunos trabalham com histogramas e diagramas de extremos e quartis. As tabelas e os gráficos são instrumentos essenciais à representação e análise de dados, que os alunos devem aprender a usar com desembaraço. Isso tanto pode ocorrer na realização de investigações estatísticas, nas quais os alunos recolhem os seus próprios dados, usualmente organizados em grupos, como em tarefas mais estruturadas como as que apresentamos ao longo deste capítulo. O trabalho deve ter sempre como ponto de partida situações do dia-a-dia dos alunos ou situações com as quais eles sejam familiares. Toda a representação de dados em tabelas ou gráficos deve ser motivada por uma ou mais questões e depois dos dados represen- tados deve indagar-se que outras questões seria ainda possível responder. É impor- tante que os alunos ganhem sensibilidade para as potencialidades das diversas formas de representação dos dados e a sua adequação em função da natureza das variáveis em jogo (qualitativas, nominais ou ordinais, e quantitativas, discretas ou contínuas), e também para alguns aspectos que facilmente induzem em erro, como aqui apresentamos. 4. 2 Di agr amas de Venn e de Car r ol l Começamos por referir algumas formas de classificar e organizar números ou objectos em listas ou tabelas simples, que não se podendo chamar propriamente instrumentos estatísticos, ajudam a organizar de uma forma simples alguns tipos de informação. Os di agr amas de Venn são representações gráficas particularmente adequadas para os alunos mais novos. Utilizam círculos ou rectângulos para uma classificação rápida de objectos ou números, que partilhem características comuns. Usualmente, considera-se um rectângulo que representa todo o conjunto a ser classificado, e dentro desse rectângulo consideram-se círculos que representam os elementos com as características de interesse. Os di agr amas de Car r ol l são tabelas rectangulares para organizar dados ou objectos segundo critérios de sim/não. O nome atribuído a estes diagramas, é uma homenagem a Lewis Carroll, matemático e escritor inglês, que gostava muito de problemas de lógica e de jogos matemáticos. Organização e tratamento de dados 44 Tar ef a – Númer o de l et r as do nome. Num primeiro momento, o professor dese- nha no quadro 2 círculos com a indicação de que num círculo se colocam nomes com 4 ou menos letras e no outro nomes com 4 ou mais letras. Depois, escolhe ao acaso 10 alunos, para irem ao quadro, colocar o seu nome no círculo adequado. No fim, uma representação possível, em diagrama de Venn, pode ser a seguinte: Algumas questões que podem ser colocadas: 1. Quantos alunos têm 4 letras no nome? 2. Quantos alunos têm mais de 4 letras no nome? A seguir, o professor pede aos alunos que disponham os nomes no seguinte dia- grama de Carroll, de acordo com os critérios indicados: Depois da tabela completa, algumas questões que se podem colocar: 1. Quantos rapazes têm o nome na tabela? 2. Quantas raparigas têm o nome com 4 ou menos letras? Tar ef a – Fi gur as geomét r i cas. O professor pede a cada aluno que desenhe no caderno uma figura geométrica. De seguida pede a vários alunos para irem ao qua- dro e representarem no seguinte diagrama de Venn, a figura que tinham desenha- do no caderno. Pode surgir, por exemplo: Organização e tratamento de dados 45 Algumas questões: 1. O que é um quadrado? 2. Um quadrado é um rectângulo? 3. E um rectângulo é um quadrado? 4. Quantos alunos desenharam figuras? 5. Quantas das figuras desenhadas não são nem Triângulos, nem Rectângulos? 6. E quantas das figuras desenhadas não são nem Triângulos, nem Rectângu- los, nem Quadrados? 7. Como se explica que a resposta às questões 5. e 6. seja exactamente a mesma? Tar ef a – Númer os de 1 a 30. O professor pede aos alunos que classifiquem num diagrama de Venn e noutro de Carroll, os números de 1 a 30, segundo os seguintes critérios: ser ou não múltiplo de 3 e ser ou não par. Duas representações possíveis são: Algumas questões que se podem colocar, relativas a ambos os diagramas: 1. Quantos múltiplos de 3 são números pares? 2. Quais os números que não são pares nem múltiplos de 3? 3. E que números são simultaneamente pares e múltiplos de três? Tar ef a – Múl t i pl os de 2 e 4, at é 20. Representar num diagrama de Venn, os números de 1 a 20 que sejam múltiplos de 2 e também múltiplos de 4. Organização e tratamento de dados 46 Algumas questões: Dos números de 1 a 20, 1. Quantos são múltiplos de 4? 2. Quantos são múltiplos de 2? 3. Dê exemplo de um múltiplo de 2 que não seja múltiplo de 4. 4. Todos os múltiplos de 4 são múltiplos de 2? Tar ef a – Fi gur as e sól i dos. O professor pede aos alunos para classificarem no diagrama de Carroll, que se apresenta, as seguintes figuras no plano e sólidos geométricos: Cubo, quadrado, triângulo equilátero, pirâmide, cilindro, rectângulo, trapézio, esfera, círculo, cone, prisma triangular, prisma com base quadrangular, paralelo- gramo, paralelepípedo. Algumas questões: 1. Quais as figuras planas sem linhas perpendiculares? 2. Quais os sólidos com linhas perpendiculares? 3. No conjunto indicado, há mais figuras planas ou sólidos geométricos? Tar ef a – Aj udas a l avar a l oi ça? Foi feito um inquérito numa escola onde se per- guntava “em tua casa, ajudas a lavar a loiça?”. Responderam 258 alunos, dos quais 175 eram raparigas. Responderam afirmativamente à pergunta 118 raparigas e 51 rapazes. Preenche a tabela seguinte: Rapar i ga Rapaz Total Aj uda Não aj uda Total A partir da tabela anterior, completa o seguinte diagrama de Venn: Organização e tratamento de dados 47 O que é que representa e qual o valor: 1) De cada um dos círculos do diagrama anterior? 2) Da intersecção dos dois círculos? 3) Da parte do rectângulo exterior aos círculos? Tar ef a – Pr ef er es Maçã, Lar anj a ou Banana? Considera o seguinte diagrama de Venn, que foi construído numa turma, em que cada aluno manifestou o seu gosto relativamente a 3 frutos. Marca com um V (Verdadeiro) ou um F (Falso), cada uma das frases seguintes: A Joana gosta de Banana A Rita e o Manuel gostam de laranja A Rita gosta de tudo O Pedro e a Filipa gostam de Laranja A Teresa não gosta de nada O Manuel, o Pedro e o David gostam de Maçã A turma tinha 13 alunos 3 alunos não gostam de nenhum dos 3 frutos A Rita e a Sara gostam de Banana e Laranja O Bernardo não gosta de Laranja A Joana ou gosta de Banana ou de Maçã 6 alunos gostam de Laranja O Pedro e a Rita gostam dos mesmos frutos 10 alunos gostam de Laranja ou Maçã Organização e tratamento de dados 48 4.3 Tabel as e gr áf i cos par a dados qual i t at i v os Como dissemos anteriormente, os dados qualitativos são os que resultam da obser- vação de variáveis qualitativas. Representam a informação que identifica alguma qualidade não susceptível de medição ou contagem, mas unicamente de classifica- ção, podendo assumir várias categorias ou modalidades. Por exemplo, o estado civil de um indivíduo pode assumir as categorias solteiro, casado, viúvo ou divorciado. Por vezes codificam-se as variáveis qualitativas com números, como por exemplo, no caso da variável sexo, em que se pode representar o sexo masculino por 1 e o feminino por 2. No entanto, o facto de as categorias estarem representadas por números, não leva a variável a mudar de natureza, pelo que, por exemplo, não faz qualquer sentido calcular a média destas observações. 4. 3. 1 Esquemas de cont agem gr áf i ca ( t al l y char t s) Existem algumas representações muito simples que se podem construir directa- mente a partir do conjunto de dados ou durante o processo de recolha. Uma manei- ra possível de ir registando os dados, à medida que os vamos recolhendo, é utilizar o esquema de contagem gráfica (t ally chart ). Por exemplo, pretende-se averiguar, na turma, qual a cor preferida dos alunos. Então os alunos vão, um a um, ao qua- dro registar a sua cor preferida, do seguinte modo: O primeiro aluno, que prefere a cor verde, escreve Verde e à frente desenha um traço; O aluno seguinte que prefere a cor amarela, escreve Amarela e à frente um traço; A seguir vem outro aluno que prefere a cor verde e coloca um traço ao lado do que já lá estava; E assim sucessivamente, os alunos vão escrevendo as cores se é a primeira vez que aparecem ou colocando traços à frente das cores que já estão no quadro. O quinto traço coloca-se de forma oblíqua a cortar os 4 traços ante- riores. No fim obtém-se um esquema idêntico ao seguinte: Da representação anterior, imediatamente se conclui que a cor preferida é a Ver- melha, seguindo-se a Verde. Estes resultados podem sugerir ao professor que questione os alunos sobre qual o seu clube de futebol preferido. Será que as prefe- rências de cor têm a ver com as preferências clubísticas? Um esquema de contagem gráfica para a variável Cor dos olhos dos alunos da tur- ma em referência é o seguinte: Organização e tratamento de dados 49 Como se verifica, predominam os olhos Castanhos, seguindo-se os Azuis. Só 2 alu- nos têm olhos Verdes. Este esquema de contagem gráfica tem a grande vantagem de: permitir identificar as diferentes categorias ou modalidades que a variável qualitativa pode assumir no conjunto dos dados e permitir organizar os dados de tal maneira que facilmente se conta o núme- ro de elementos (frequências absolutas) em cada uma dessas categorias. Não sendo um passo necessário para a construção das tabelas de frequência (que a seguir se apresentam), é um passo que, uma vez concluído, serve de base para a construção dessas tabelas. Tar ef a – O mês de ani v er sár i o. O professor propõe à turma averiguar qual o mês em que há mais alunos a fazer anos. Então distribui a seguinte folha, que pas- sa de aluno para aluno, até todos terem assinalado com um traço o mês do seu aniversário: Mês Janeiro Fevereiro Março Abril Maio Junho Julho Agosto Setembro Outubro Novembro Dezembro Qual o mês em que há mais alunos a fazer anos? Qual o mês em que há menos alunos a fazer anos? Quantos alunos estavam na turma, no dia em que se realizou esta tarefa? 4.3.2 Tabel a de f r equênci as par a dados qual i t at i vos Os dados qualitativos são organizados na forma de t abel as de f r equênci as, com duas ou mais colunas. Na primeira coluna, coluna das cat egorias ou classes, indi- cam-se todas as categorias presentes no conjunto de dados ou amostra a analisar; na coluna seguinte, coluna das frequências absolut as, regista-se o número de ele- mentos da amostra, que pertencem a cada categoria (ou classe). É usual juntar Organização e tratamento de dados 50 uma terceira coluna, coluna das frequências relat ivas, onde se regista, para cada categoria (ou classe) o valor que se obtém dividindo a frequência absoluta dessa categoria pela dimensão da amostra (número de elementos). Fr equênci a absol ut a de uma categoria ou classe, é o número de elementos da amostra iguais a cada uma das categorias; Fr equênci a r el at i v a = amostra da dimensão absoluta frequência . Uma tabela de frequências reflecte a forma da dist ribuição da variável em estudo, na amostra considerada, isto é, quais as categorias ou modalidades que assume, assim como a frequência (absoluta e/ou relativa) com que assume essas modalida- des. Enquanto os alunos não conhecerem fracções ou numerais decimais, utilizam- se unicamente frequências absolutas na construção das tabelas de frequências. Para o conjunto de dados da turma, vamos construir a tabela de frequências respei- tante às variáveis Cor dos olhos e Transport e ut ilizado para ir de casa à escola: Cor dos olhos Categorias Número de alunos Castanhos 15 Pretos 3 Verdes 2 Azuis 4 Transport e ut ilizado Categorias Número de alunos Autocarro 5 A pé 8 Metro 5 Carro 6 A tabela correspondente à variável Cor dos olhos foi obtida a partir do esquema de contagem gráfica construído para esta variável, na secção anterior. A partir das tabelas construídas, pode dar-se resposta a algumas questões. Por exemplo, a partir da tabela respeitante à variável Transport e ut ilizado, algumas questões são: a) Qual o(s) meio(s) de transporte mais utilizado? b) Qual o(s) meio(s) de transporte menos utilizado? c) Quantos alunos vão de carro ou de metro? d) A partir dos dados apresentados, é de admitir que um número razoável de alunos mora perto da escola? e) Quantos alunos tem a turma? (admita que cada aluno preencheu uma das fichas a partir das quais se construiu o ficheiro Dados da Turma). Se, ao organizar um conjunto de dados qualitativos, se verificar que existe uma categoria predominante dá-se-lhe o nome de moda. Assim, no que diz respeito à variável Cor dos olhos, a moda é a categoria “Olhos castanhos”, enquanto no que diz respeito à variável Transport e ut ilizado, a moda é o “A pé”. Estas tabelas podem ser complementadas com a coluna das frequências relativas: Cor dos olhos Categorias Freq. abs. Freq. rel. Castanhos 15 0,625 Pretos 3 0,125 Verdes 2 0,083 Azuis 4 0,167 Total 24 1 Transport e ut ilizado Categorias Freq. abs. Freq. rel. Autocarro 5 0,208 A pé 8 0,333 Metro 5 0,208 Carro 6 0,250 Total 24 1 Organização e tratamento de dados 51 Nas tabelas anteriores introduzimos também uma linha com os totais das colunas. Esta metodologia é aconselhável, pois é um processo de verificação de que as fre- quências devem estar bem calculadas, já que: A soma das frequências absolutas é igual à dimensão da amostra; A soma das frequências relativas é igual a 1. Esta última condição nem sempre se verifica devido ao facto de algumas frequên- cias relativas serem dízimas infinitas, obrigando a arredondamentos. Por exemplo, se somarmos as frequências relativas na tabela que diz respeito à variável Trans- port e ut ilizado, obtemos o valor 0,999, que arredondado às unidades dá 1. A utilização das frequências relativas é aconselhada quando se pretendem compa- rar duas amostras que digam respeito à mesma variável, mas que tenham dimen- são diferente. Ex empl o – Ani mal domést i co pr ef er i do dos al unos das t ur mas A e B. Os pro- fessores de duas turmas da escola, A e B, pretendem averiguar se os alunos têm gostos idênticos relativamente ao animal doméstico preferido. Assim, em cada tur- ma os alunos disseram qual o animal doméstico preferido e construíram as tabelas de frequência respectivas: Animal doméstico preferido Turma A Categoria N.º de alunos Cão 11 Gato 5 Passarinho(s) 3 Peixe(s) 1 Animal doméstico preferido Turma B Categoria N.º de alunos Cão 14 Gato 6 Passarinho(s) 4 Peixe(s) 2 As duas tabelas foram apresentadas nas duas turmas (em conjunto) e houve alguns alunos que, tendo em conta os dados apresentados, exprimiram as suas opiniões: Na turma B há mais alunos do que na turma A a preferirem o Cão; Na turma B há o dobro dos alunos da turma A que preferem os Peixes. Será que estas conclusões estão correctas? Na verdade, as conclusões não estão correctas pois estão baseadas nas frequências absolutas e as turmas não têm o mesmo número de alunos. Assim, devem-se cal- cular as frequências relativas, para se poderem tirar conclusões correctas, no que diz respeito à comparação das turmas. Adicionando uma coluna com as frequências relativas a cada uma das tabelas, temos: Animal doméstico preferido Turma A Categoria N.º de alunos Freq. relativa Cão 11 0,55 Gato 5 0,25 Passarinho(s) 3 0,15 Peixe(s) 1 0,05 Total 20 1 Animal doméstico preferido Turma B Categoria N.º de alu- nos Freq. rela- tiva Cão 14 0,54 Gato 6 0,23 Passarinho(s) 4 0,15 Peixe(s) 2 0,08 26 1 Organização e tratamento de dados 52 Ao compararmos as frequências relativas, verificamos que, afinal, na turma A há uma maior (embora pequena) frequência de alunos a preferirem o Cão. Verificamos também que, nas duas turmas, existe igual preferência pelos Passarinhos e que, embora haja 2 vezes mais alunos da turma B do que da turma A, a preferirem os peixes, não podemos dizer que na turma B existe o dobro dos alunos da turma A, a preferirem esse animal. 4. 3. 3 Gr áf i co de pont os e gr áf i co de bar r as par a dados qual i t at i v os 4.3.3.1 Gr áf i co de pont os A representação gráfica mais simples que se pode obter e que não necessita de nenhuma organização prévia dos dados, é o gráfico ou diagrama de pontos. Tal como o esquema de contagem gráfica, é uma representação que se pode ir cons- truindo, no caso dos dados qualitativos, à medida que se recolhem os dados. Começa-se por desenhar um eixo horizontal (ou vertical), onde se assinalam (igualmente espaçadas) as diferentes categorias ou modalidades que a variável assume no conjunto dos dados. Por cima de cada categoria (ou ao lado), marca-se um ponto sempre que ao recolher um dado ou ao percorrer o conjunto dos dados se encontrar um elemento da respectiva categoria. Por exemplo, para os dados da turma de referência, podemos distinguir os seguintes passos na construção do grá- fico de pontos para a variável Transport e ut ilizado: A construção do gráfico de pontos é facilitada se se utilizar papel quadriculado. Neste caso desenha-se um ponto por quadrícula, como se apresenta a seguir: A organização dos dados num gráfico de pontos permite visualizar quais as catego- rias que predominam e quais as menos frequentes. Ao investigarem qual o animal doméstico preferido, a metodologia a seguir para a recolha de dados pelos alunos pode ser a utilizada no esquema de contagem gráfi- ca. O primeiro aluno a ir ao quadro, que já manifestou oralmente a sua preferência Organização e tratamento de dados 53 pelo Cão, começa por desenhar um eixo horizontal ou vertical, onde assinala uma posição para situar a categoria Cão, escrevendo por baixo o nome Cão e, por cima, desenhando um ponto. O aluno seguinte, que prefere o gato, assinala uma posição para a categoria Gato e procede como o aluno anterior. Os outros alunos vão dese- nhando pontos em cima dos que já lá estão ou acrescentando categorias, em posi- ções igualmente espaçadas umas das outras. Se esta investigação tivesse sido colocada à turma A da secção anterior, o resultado seria o seguinte: Se na representação gráfica anterior se envolverem os pontos com um rectângulo e a seguir se apagarem os pontos, obtemos um gráfico de barras, que é objecto de estudo da secção seguinte: Al t er nat i va ao gr áf i co de pont os Uma alternativa ao gráfico de pontos consiste em desenhar quadrados em vez de pontos. Enquanto que no gráfico de pontos a preferência de cada aluno é represen- tado por um ponto, nesta representação alternativa, cada aluno desenha um qua- drado, obtendo-se um gráfico como o que se apresenta a seguir: Cão Peixes Gato Passarinhos Cão Peixes Gato Passarinhos Ana José Manel Tiago Filipa Inês Miguel Pedro Daniel Isabel Jorde Antón Filipe Teresa Maria Sofia Sónia Joana Miguel João Esta representação é muito aliciante para os alunos, pois cada um tem a oportuni- dade de colocar o seu nome no quadrado correspondente ao seu animal preferido. Organização e tratamento de dados 54 Para se obter a frequência em cada animal doméstico, basta agora contar os qua- drados respectivos 4.3.3.2 Gr áf i co de bar r as Uma forma de visualizar a informação de uma tabela de frequências é através do gráfico ou diagrama de barras. Para construir este gráfico, começa-se por desenhar um eixo horizontal (ou vertical), onde se assinalam (igualmente espaçadas) as dife- rentes categorias ou modalidades que a variável assume no conjunto dos dados. A ordem por que se colocam as categorias é arbitrária, a não ser que haja alguma ordem subjacente, como no caso dos dados qualitativos ordinais. Por cima de cada categoria (ou ao lado), desenha-se uma barra com altura proporcional ao número de casos observados nessa categoria. Desenha-se ainda um eixo vertical (horizon- tal), onde se marcam as frequências. Ao contrário das alturas das barras, que dão uma mensagem muito precisa, a lar- gura das barras não transmite qualquer informação. Deve, no entanto ter-se em atenção que, no mesmo gráfico, as barras devem ter todas a mesma largura, pois as barras mais largas podem chamar mais a atenção, induzindo em erro. A observação que fizemos relativa às tabelas de frequência, quando se utilizam para comparar amostras que digam respeito à mesma variável, mas de dimensão diferente, tem aqui igual cabimento. Neste caso, as alturas das barras têm de ser iguais às frequências relativas das categorias para que a soma das alturas das bar- ras em qualquer dos gráficos seja igual a 1, permitindo a comparação. Se não tivéssemos esta precaução e utilizássemos as frequências absolutas, a comparação entre os gráficos poderia induzir em erro. Eis os gráficos de barras correspondentes às tabelas de frequência construídas na secção 4.3.2 para as variáveis Cor dos olhos e Transport e ut ilizado: Ao contrário do gráfico de pontos, que não necessita de um eixo onde se marcam as frequências, no gráfico de barras ele faz parte integrante do gráfico e não pode ser omitido. Por vezes, para facilitar a leitura das frequências associadas às diferentes catego- rias, desenham-se linhas paralelas ao eixo onde estão assinaladas as categorias: Organização e tratamento de dados 55 Gr áf i co de bar r as hor i zont ai s Os gráficos de barras horizontais utilizam o eixo vertical para marcar as classes e o eixo horizontal para marcar as frequências. São especialmente indicados no caso das variáveis quantitativas, em que, por vezes, o nome das classes é longo, sendo mais fácil colocá-los verticalmente do que ao lado uns dos outros. Ex empl o – Segur o do agr i cul t or 1 . Com o objectivo de fazer um seguro, um agri- cultor teve de fazer o levantamento do número e tipo de árvores de fruto existentes no seu pomar. O resultado apresenta-se na tabela seguinte: Classes Freq. abs. Freq. rel. ( %) Laranjeiras 320 22,4 Limoeiros 135 9,5 Pessegueiros 257 18,0 Macieiras 335 23,5 Pereiras 379 26,6 Total 1426 100,0 O gráfico de barras horizontais tem o seguinte aspecto: 1 Graça Martins et al (1999) Organização e tratamento de dados 56 A principal vantagem dos gráficos, relativamente às tabelas, está na rapidez de lei- tura, pois permitem-nos ter uma percepção imediata de quais as categorias de maior e menor frequência, assim como a ordem de grandeza de cada categoria relativamente às restantes. Para que um gráfico de barras transmita a informação que se pretende, sem ambi- guidade, deve ter associado: o nome da variável que se está a estudar; os nomes das categorias que a variável assume, no eixo horizontal (ou ver- tical); uma escala no eixo vertical (ou horizontal). Nesta escala devem estar mar- cadas as frequências absolutas ou as frequências relativas das categorias que a variável assume no conjunto de dados considerados. Tar ef a – Pr at o pr ef er i do (Sugerida por uma actividade do CensusAtSchool). Na escola, o Director pretende averiguar os pratos preferidos dos alunos que comem na cantina, pelo que encarrega uma comissão de fazer um inquérito a alguns alu- nos. A metodologia utilizada para seleccionar estes alunos, foi a de interrogar os que se dirigiam à cantina, num dia escolhido ao acaso. A comissão encarregue do estudo apresentou ao Director um gráfico e um pequeno relatório com as conclu- sões: Relatório: Os alunos interrogados apontaram 7 pratos distintos. Das respostas, pudemos tirar as seguintes conclusões: a) O Hambúrguer com bat at as frit as foi o prato mais votado b) O número de alunos que escolheu Hambúrguer com bat at as frit as, foi o dobro dos que escolheram Frango assado c) Os Filet es de peixe receberam menos 4 votos do que o Hambúrguer com bat at as frit as d) O Esparguet e à Bolonhesa foi o segundo prato mais votado e) O Bacalhau com nat as teve mais 4 votos do que o Peixe assado f) Houve quem votasse nas Ervilhas com ovos g) 5 alunos votaram no Bacalhau com nat as Organização e tratamento de dados 57 O Director recebeu este pequeno relatório e não ficou satisfeito, pois achou as con- clusões muito confusas. Afinal, quantos alunos tinham votado? E quantos votaram em cada prato? Podes ajudar a completar adequadamente o gráfico anterior? (Colocar as categorias e numerar a escala do eixo vertical). 4.3.4 Pi ct ogr ama Um pictograma é uma representação gráfica que usa símbolos alegóricos às variá- veis que se estão a estudar. Por exemplo, se se estiver a estudar a variável cor dos olhos, é natural utilizar como símbolo um olho, enquanto que se o objecto do estu- do for o sabor do gelado preferido, é natural utilizar como símbolo um gelado. A representação é idêntica ao gráfico de barras, com um eixo horizontal (ou vertical), mas onde se substitui a barra pelo número de símbolos correspondentes a cada categoria. Por exemplo, o pictograma correspondente à variável Cor dos olhos da turma de referência, pode ter o seguinte aspecto: Not a – Por vezes uma figura representa mais do que um indivíduo. Nessa altura deve estar junto à representação gráfica o valor de cada figura. Tar ef a – Bol achas pr ef er i das. No seguinte pictograma apresenta-se o resultado de um inquérito a uma turma, sobre qual o sabor preferido de um determinado tipo de bolachas: Algumas questões: a) Quantos alunos responderam a esta questão? b) Quantos alunos disseram preferir sabor a Limão? Organização e tratamento de dados 58 c) Qual é o sabor mais popular? d) Que nome se dá à categoria mais preferida? A utilização de pictogramas exige vários cuidados, pois as figuras podem induzir em erro, como se ilustra nos exemplos seguintes. Ex empl o – Os passagei r os de um nav i o. Considere um navio que transporta 525 pessoas, de acordo com a seguinte tabela de frequências, para a variável Tipo de passageiro: Categorias Freq. Abs. Tripulação 141 1.ª classe 51 2.ª classe 115 3.ª classe 218 Total 525 A utilização do seguinte pictograma, para representar as frequências das categorias da variável em estudo, induz o leitor em erro: Há um princípio básico de uma boa representação gráfica, que neste caso foi que- brado – o princípio das áreas: a área ocupada por part e de um gráfico, deve ser proporcional ao valor que essa part e represent a. Ora, na figura anterior, a informação que se pretendia transmitir era a dada pelo comprimento do barco. Utilizaram-se figuras cujas áreas não são proporcionais aos valores das categorias, não dando uma informação correcta sobre as frequências correspondentes às diferentes categorias. Por exemplo, ao visualizar o gráfico ante- rior ficamos convencidos de que o número de passageiros viajando em 3.ª classe é mais do dobro dos que viajam em 2ª, quando na verdade não chega ao dobro. Uma representação gráfica correcta seria a seguinte, utilizando um gráfico de bar- ras: Organização e tratamento de dados 59 Ex empl o – Campo de j ogos (adaptado de Graça Martins et al. 1999). Numa esco- la o Director pretende construir um campo de jogos, pelo que gostaria de ter uma ideia de quais os jogos preferidos dos alunos. Encarregou um aluno de recolher a informação necessária, o qual utilizou a seguinte metodologia: elaborou uma lista de jogos possíveis e percorreu todas as turmas da escola, em número de 20, per- guntando dentro de cada turma qual a opinião dos alunos cujo número fosse um múltiplo de 5. Em três turmas foram seleccionados 6 alunos e nas restantes 5. O resultado da recolha da informação tinha o seguinte aspecto Futebol x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Volei x x x x x x x x x x x x x x x x x x Basquete x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Ténis x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Andebol x x x x x x x O aluno, ao perguntar a cada elemento da amostra a sua opinião, apontava o resul- tado com um x à frente da modalidade seleccionada. A forma como a informação foi recolhida permite imediatamente concluir que a modalidade preferida foi o fute- bol. A fim de transmitir verbalmente a informação ao Director, o aluno construiu a seguinte tabela de frequências Classes Freq. abs. Freq. rel ( %) Futebol 32 31.1 Volei 18 17.5 Basquete 27 26.2 Ténis 19 18.4 Andebol 7 6.8 Total 103 100 Então o Director foi informado que as preferências dos alunos vão para o futebol seguindo-se o basquete. Depende agora das disponibilidades financeiras contem- plar as diferentes modalidades, tendo em conta as preferências dos alunos. Procu- rando transmitir a informação graficamente, os alunos construíram o seguinte pic- tograma, onde se substituiu a barra por uma figura humana: Organização e tratamento de dados 60 Na figura anterior a imagem correspondente à classe futebol é substancialmente maior que a que é utilizada para as outras modalidades ou classes. Daí dar uma ideia, errada, de que, por exemplo, a percentagem de alunos que preferem o fute- bol é várias vezes superior aos que preferem volei, quando nem sequer chega a ser o dobro. Este problema foi ocasionado pelo facto de se pretender que a figura humana ficasse proporcional, pelo que à medida que se aumentou a altura, tam- bém se aumentou a largura. O gráfico de barras correspondente tem o seguinte aspecto: Gráfico de barras para a variável Jogo prefer ido Na construção do gráfico de barras, como já dissemos nas indicações para a sua construção, deve ter-se em atenção que as barras devem ter a mesma largura, pois a mensagem que devem transmitir é a que está contida nas diferentes alturas das barras. Se umas barras forem mais largas do que outras, temos tendência a crer que as classes a que correspondem as barras mais largas têm maior frequência do que a que efectivamente têm. Este é um problema que não é tido em conta na construção de muitos pict ogramas, em que as barras são substituídas por figuras, para tornar a representação gráfica mais atraente, como aconteceu no caso deste exemplo. Um pictograma possível, é o que se apresenta a seguir, em que a figura utilizada é uma figura humana, que corresponde a uma percentagem de 5%, que se replica o número de vezes que for necessário, sendo possível utilizar uma frac- ção da figura: Organização e tratamento de dados 61 Pictograma para a variável Jogo preferido Ex empl o – Segur o do agr i cul t or (cont.). Uma representação gráfica possível para este exemplo, apresentado na secção 4.3.3.2 seria a seguinte, em que se con- sidera uma figura sugestiva, mas sem incorrer no erro da representação inicial do exemplo anterior. Pictograma para a variável Tipo de árvore Embora seja comum dizer que uma imagem vale mais do que mil palavras, não podemos deixar de chamar a atenção para que esta frase tem sentido se a infor- mação transmitida pela imagem for correcta, o que, como vimos, nem sempre acontece. Tar ef a – Os ani mai s do j ar di m – No jardim da escola, que tem um lago muito bonito, o professor decidiu ir com os alunos verificar que tipo de animais é que havia no jardim. Verificaram que havia animais de 4 tipos: cães, peixes, patos e tartarugas, de acordo com o seguinte pictograma Organização e tratamento de dados 62 Algumas questões que podem ser colocadas, são as seguintes: • Quantos patos há no jardim? • Quantos peixes há no jardim? • Quantos animais vivem no jardim? • Há alguns animais que existam na mesma quantidade? Se existirem, quais são? • Quantos peixes há a mais do que patos? • Ofereceram 2 tartarugas para o jardim da escola. Quantas tartarugas exis- tem agora? No problema anterior, o que é o dado? Dado é o resultado da observação do tipo de animal, pelo que o conjunto de dados observados foi: Cão, Cão, Cão, Peixe, Peixe, Peixe, Peixe, Peixe, Pat o, Pat o, Pat o, Pat o, Tart aruga, Tart aruga, Tart aruga Cada figura do pictograma representa cada dado, de uma forma sugestiva. A partir do pictograma facilmente se constrói a tabela de frequências absolutas e o gráfico de barras associado: Tipo de animal Frequência absoluta Cão 3 Peixe 5 Pato 4 Tartaruga 3 Total 15 Organização e tratamento de dados 63 4. 3. 5 Gr áf i co ci r cul ar Uma representação gráfica muito utilizada, nomeadamente na comunicação social, é o gr áf i co ci r cul ar . A base desta representação é um círculo que representa a forma como o total de um conjunto de dados se distribui pelas categorias. O círculo é dividido em sectores circulares, tantos quantas as categorias da variável em estudo, e o ângulo de cada sector é proporcional à frequência da categoria que representa. Assim, cada sector representa uma fracção do total de dados. Os alunos devem começar por aprender a ler a informação transmitida por estas representações gráficas e só posteriormente procederem à sua construção. Para os alunos mais novos, a construção do gráfico circular deve ser feita através de dobragens do círculo em 2, 4 ou 8 partes, pelo que para estes alunos só se reco- menda a sua utilização para representar frequências relativas próximas de ½, ¼, 1/8, ou para interpretar frequências relativas relacionadas com estas. Ex empl o – A pi za pr ef er i da nas t ur mas A e B. Na turma, o professor apresen- tou os resultados de um inquérito, sobre qual a piza preferida nas turmas A e B, utilizando os seguintes gráficos circulares: Tur ma A Tur ma B Como se verifica, num gráfico circular utilizam-se percentagens, já que é a forma indicada para representar a fracção de cada categoria como parte do todo, em que este “todo” é representado pelo círculo e equivale a 100%. Tivemos o cuidado de colocar estas percentagens, assim como os nomes das categorias, ao lado das “fatias” respectivas do círculo, para uma melhor leitura do gráfico. Destas representações gráficas, imediatamente se conclui que: A maior parte dos alunos, tanto da turma A (50%), como da turma B (31%), preferem a piza Quatro queijos; A piza menos preferida, é a de Vegetais, tanto para os alunos da turma A, como da turma B; Metade dos alunos da turma A prefere a piza Quatro queijos e metade dos restantes, prefere a piza Margarita; Na turma A há igual número de alunos a preferirem a piza de Frango e a piza de Atum, enquanto que na turma B existe igual número de alunos a preferirem a piza Margarita e a de Frango. Exemplo de algumas questões suplementares, envolvendo um desafio mais forte, são as seguintes: Organização e tratamento de dados 64 Podemos afirmar que o número de alunos da turma A que prefere piza Qua- tro queijos, é superior ao número de alunos da turma B a preferir o mesmo tipo de piza? Sabe-se que na turma A, há 10 alunos a preferirem piza Quatro queijos. Quantos alunos tem a turma? Nas condições da alínea anterior, quantos alunos da turma A preferem piza de Vegetais? Se se duplicasse o número de alunos da turma A (situação pouco razoável, devido ao elevado número de alunos...) a preferirem cada tipo de piza, o que acontecia ao gráfico circular? Admitindo agora que tínhamos a tabela de frequências correspondente à piza prefe- rida da turma A, vejamos como proceder à construção do gráfico circular respecti- vo: Pi za pr ef er i da Frequência Absoluta Frequência Relativa (%) Margarita 5 25 Quatro queijos 10 50 Vegetais 1 5 Frango 2 10 Atum 2 10 Total 20 100 Como 50% dos alunos preferem a piza Quatro queijos, então metade do cír- culo corresponde a esta categoria; Como 25% dos alunos prefere piza Margarita, um quarto do círculo, corres- ponde à categoria Margarita; O quarto do círculo restante deve ser dividido em 5 sectores aproximada- mente iguais, considerando-se uma das partes para a categoria Vegetais e duas partes para a categoria Frango e outras duas para a categoria Atum. Finalmente pintam-se os sectores e colocam-se as etiquetas e as percenta- gens correspondentes Nem sempre a construção do gráfico circular é tão simples como no caso anterior, em que as frequências relativas eram relativamente fáceis de marcar. Por exemplo, no caso da turma B, é mesmo necessário dividir a amplitude do ângulo de 360º em amplitudes proporcionais às frequências relativas das categorias para construir os sectores circulares. Estas amplitudes que se obtêm multiplicando 360º pelas fre- Organização e tratamento de dados 65 quências relativas das categorias são acrescentadas à tabela de frequência e para desenhar os sectores circulares é necessário utilizar um transferidor: Pi za pr ef er i da Frequência Absoluta Frequência Relativa (%) Amplitude do ângulo Margarita 7 27 97º Quatro queijos 8 31 111º Vegetais 2 8 27º Frango 7 27 98º Atum 2 7 27º Total 26 100 360º Not a – Em Graça Martins et al. (2007, p. 90) ensina-se a construir um gráfico cir- cular a partir de papel quadriculado e cartolina. A utilização dos gráficos circulares merece alguns cuidados, nomeadamente quando o número de categorias que a variável assume for demasiado grande, tornando confusa a informação que procura transmitir. Por exemplo, admitamos que as pre- ferências dos alunos de uma outra turma foram as seguintes: O gráfico está bem construído, com a legenda e as percentagens associadas às categorias indicadas, mas a mesma informação seria mais facilmente apreendida através de um gráfico de barras, como se apresenta a seguir, em que se torna mais fácil de visualizar as diferenças entre as frequências das diferentes categorias: Nem sempr e a ut i l i zação de gr áf i cos ci r cul ar es é a mai s conveni ent e Embora no exemplo anterior tenhamos utilizado dois gráficos circulares para com- parar os gostos de duas turmas, por vezes é preferível a utilização de gráficos de Organização e tratamento de dados 66 barras dispostos de forma adequada. Esta observação é especialmente adequada para o caso em que nas distribuições em análise, algumas categorias tenham valo- res próximos, o que faz com que as áreas dos sectores circulares sejam difíceis de comparar. Por exemplo, para distinguir os gostos dos rapazes dos gostos das raparigas da turma B, a utilização dos gráficos circulares não é tão adequada como o gráfico de barras pois nesta representação o comprimento das barras torna mais fácil comparar as frequências correspondentes às mesmas categorias. Da representação gráfica anterior concluímos que a moda nos rapazes é a piza Quatro queijos, enquanto que nas raparigas é a Piza Margarita. Tar ef a – Ani mal domést i co pr ef er i do. O gráfico circular seguinte mostra o resultado de uma sondagem a 50 alunos de um escola, sobre qual o animal domés- tico preferido: Estima o número de alunos que: a) Têm cão b) Têm gato ou pássaro c) Não têm animal doméstico Organização e tratamento de dados 67 Tar ef a – Mei o de t r anspor t e ut i l i zado. Aos mesmos alunos da tarefa anterior perguntou-se qual o meio de transporte que utilizavam para ir para a escola. Os resultados obtidos estão na seguinte tabela: Tr anspor t e ut i l i zado N.º de alunos Carro 8 Transportes públicos 21 A pé 18 Autocarro da Câmara 2 Outro 1 Completa a tabela seguinte com as frequências relativas, com 2 casas decimais e em percentagem: Tr anspor t e ut i l i zado N.º de alunos Fracção do todo (2 casas decimais) Fracção do todo (percentagem) Carro 8 Transportes públicos 21 A pé 18 Autocarro da Câmara 2 Outro 1 Total 50 Na figura seguinte apresentam-se 2 círculos, em que no primeiro estão marcadas 50 divisões iguais e no segundo 100 divisões iguais: a) Cada um dos círculos anteriores pode servir para construir gráficos circula- res: num deles é mais fácil utilizar as frequências absolutas e no outro as frequências relativas (em percentagem). Explica porquê. b) Constrói os gráficos circulares utilizando quer as frequências absolutas, quer as frequências relativas. Compara as representações obtidas e descreve o que concluíste. c) A partir da tabela de frequências inicialmente dada, construiu-se o seguinte gráfico de barras para os mesmos dados: Organização e tratamento de dados 68 i) Qual das representações gráficas preferes? O gráfico circular ou o gráfico de barras? ii) Qual o tipo de informação que é realçada pelo gráfico circular? iii) Qual o tipo de informação que é realçada pelo gráfico de barras? Not a – No texto anterior alertámos para o facto de ser necessário algum cuidado na utilização do gráfico circular, nomeadamente quando a distribuição a represen- tar, apresenta muitas categorias (ou classes) ou quando os valores das frequências de algumas das categorias estão próximos. No entanto é uma representação por excelência, quando o que se procura realçar é a forma como os dados se distribuem pelas categorias, já que representa a fracção de cada categoria como parte do todo, em que este “todo” é representado pelo círculo e equivale a 100%. Assim, a escolha da representação gráfica adequada para representar um conjunto de dados pode depender do que é que se procura realçar na distribuição desses dados. 4.3.6 Nem sempr e um gr áf i co com bar r as é um gr áf i co de bar r as... É comum utilizarem-se gráficos com barras para representar os próprios dados e não as frequências com que as diferentes classes ou categorias surgem no conjunto de dados que se está a estudar. Por exemplo, admitamos que se estava interessado em saber qual o número de alunos de cada uma das turmas do 7º. ano, de determinada escola. Depois de feita a contagem, chegou-se aos seguintes resultados: Turma Nº. de alunos A 27 B 26 C 25 D 26 E 25 A tabela anterior não é uma tabela de frequências, mas simplesmente uma tabela que apresenta os dados. Neste caso, a unidade observacional, isto é o objecto do nosso estudo, sobre o qual pretendemos recolher informação, é a t urma, porque o nosso objectivo era saber quantos alunos tinha cada turma do 7º. ano. O dado é o Organização e tratamento de dados 69 resultado da nossa observação! Assim, os nossos dados são o número de alunos das turmas A, B, C, D e E ou seja 27, 26, 25, 26, 25 Uma forma possível de representar a informação anterior, é utilizando um gráfico com barras, como o que se apresenta a seguir: O gráfico anterior, embora seja um gráfico com barras, não é o que se chama, em Estatística, um gráfico de barras, pois é um gráfico onde estão representados os dados e não as frequências absolutas ou relativas de um conjunto de dados. Admitamos agora que considerávamos um conjunto de 25 alunos do 7º. e decidía- mos investigar a que turma pertencia cada aluno Agora, a unidade observacional é o aluno e a característica que estamos a estudar é a turma a que pertence, pelo que os nossos dados serão do tipo A, C, B, A, E, C, .. . ., A Após resumir a informação contida no conjunto de dados anteriores, através de uma tabela de frequências, poderíamos construir o gráfico de barras associado. Um resultado possível poderia ser: Turma Freq. Absoluta A 4 B 3 C 5 D 6 E 7 Total 25 Este gráfico, embora idêntico ao apresentado no início desta secção, é um gráfico de barras onde estão representadas as f r equênci as absolutas das categorias assumidas pela variável em estudo – Turma a que o aluno pert ence, no conjunto dos dados. No outro gráfico estão representados os dados obtidos ao observar a variável – Número de alunos por t urma. Organização e tratamento de dados 70 Conf usão ent r e dados e f r equênci a! A situação em que se confundem dados com f r equênci as é mais comum do que se poderia pensar. Mesmo em obras científicas aparecem situações em que se faz essa confusão. Reproduzimos a seguir um exemplo, de entre os vários que encon- trámos, em livros de texto de Matemática para o Ensino Básico: “O gráfico represent a as áreas dos cont inent es 1. Qual o cont inent e que t em menor área? 2. Qual a área da Europa em ha? 3. Qual o cont inent e com maior área? 4. Const rói uma t abela de frequências” A resposta apresentada para a questão 4 é a seguinte: Continente Área milhões km2 Oceânia 9 Europa 10 Ásia 44 América 42 África 30 No gráfico anterior estão representadas as áreas dos cinco continentes e essas áreas são os dados resultantes da observação da variável Área de cada cont inent e. Assim, não tem qualquer sentido a questão 4, onde se pede para construir uma tabela de frequências, pois nem o gráfico apresenta as frequências, nem a tabela é uma tabela de frequências. No entanto, tanto o gráfico como a tabela apresentam correctamente os dados observados. Outro exemplo também encontrado num texto de Matemática é o seguinte: “ No j ardim zoológico cont ou- se o número de visit ant es que durant e uma semana assist iram ao espect áculo dos golfinhos. Os result ados obt idos foram: Segunda – 0; Terça – 1000; Quart a– 1500; 5ª feira – 1250; Sext a– 1500; Sábado – 3000; Domingo – 2500 1. Elabora uma t abela de frequências absolut as 2. Const rói um gráfico de barras correspondent e, considerando as frequências absolut as de 500 em 500 3. I ndica os dois dias com maior número de visit ant es. Porque será?” Organização e tratamento de dados 71 A resolução apresentada é a seguinte: Dia da semana Nº. de visitan- tes 2ª 0 3ª 1000 4ª 1500 5ª 1250 6ª 1500 Sáb. 3000 Dom. 2500 Mais uma vez, nem a tabela anterior é uma tabela de frequências, nem o gráfico é um gráfico de barras. At enção às escal as! A principal vantagem dos gráficos, relativamente às tabelas, está na rapidez de lei- tura, pois permitem-nos ter uma percepção imediata de quais as categorias de maior e menor frequência, assim como a ordem de grandeza de cada categoria relativamente às restantes. Para que um gráfico com barras, quer represente os dados ou as frequências (gráfi- co de barras) transmita a informação que se pretende sem ambiguidade, deve ter uma escala onde devem estar marcados o valor dos dados ou das frequências (absolutas ou relativas). A manipulação das escalas, sobretudo a do eixo onde estão marcadas as frequên- cias, pode ser usada com o intuito de transmitir informação incorrecta, como se verifica nos dois exemplos seguintes. Ex empl o – Númer o de quei x as r ecebi das num hospi t al , por negl i gênci a médi ca. Suponha que num determinado hospital o número de queixas, no período de 2003 a 2007, foi o seguinte: 8, 9, 12, 13 e 12. Foram apresentadas as seguintes representações gráficas para transmitirem a informação anterior: 7 8 9 10 11 12 13 2003 2004 2005 2006 2007 N ú m e r o d e q u e i x a s 7 9 11 13 2003 2004 2005 2006 15 17 19 2007 N ú m e r o d e q u e i x a s A representação gráfica da esquerda procura realçar o facto do número de queixas ter aumentado substancialmente, enquanto que a do lado direito procura desvalori- Organização e tratamento de dados 72 zar esse aumento. Em nenhum dos gráficos a escala se inicia no ponto 0, o que é um erro. Por outro lado, no gráfico do lado direito ainda se diminuiu a distância entre os incrementos do eixo vertical, ao mesmo tempo que se aumentou a distân- cia entre as categorias no eixo horizontal. Uma representação correcta pode ser a seguinte: Mais à frente veremos outra representação gráfica, o gráfico de linha, mais sugesti- vo e apropriado para representar este tipo de informação, em que se procura representar a evolução de uma variável, com o tempo. Ex empl o – Quant i dade de açúcar nos cer eai s par a cr i anças. Uma empresa que vende cereais para crianças faz publicidade aos seus cereais da marca “Que Bom”, alegando que têm menos açúcar do que os da concorrência. Para fundamen- tar a sua alegação apresenta o gráfico do lado esquerdo da figura seguinte, onde compara os 9grs de açúcar, por 100grs do cereal “Que Bom”, com os 15, 14, 12, 11 e 11 gramas, de açúcar, por 100grs, respectivamente dos cereais A, B, C, D e E: g r s a ç ú c a r / 1 0 0 g r s _ _ _ _ _ _ _ 8 9 10 11 12 13 14 15 _ A B C D E Que Bom g r s a ç ú c a r / 1 0 0 g r s _ _ _ 10 5 _ 0 15 A B C D E Que Bom Organização e tratamento de dados 73 4.4 Tabel as e gr áf i cos par a dados quant i t at i vos di scr et os Como já vimos na secção 3.3, as variáveis quantitativas de contagem, isto é, que se referem a características que só se podem contar e não se podem medir, desig- nam-se também por variáveis quantitativas di scr et as. O resultado da observação destas variáveis são os dados quantitativos discretos. Estas variáveis só podem assumir um número finito ou infinito numerável de valores distintos. 2 4.4.1 Tabel a de f r equênci as par a dados quant i t at i v os di scr et os A construção da tabela de frequências para dados quantitativos discretos é idêntica à construída para dados qualitativos, considerando-se agora para cl asses os valo- res distintos que surgem no conjunto de dados. Os dados discretos são organizados na forma de uma t abel a de f r equênci as, com três ou mais colunas. Na primeira coluna, coluna das classes, indicam-se todos os valores distintos, * i x , presentes na amostra a analisar; na coluna seguinte, coluna das frequências absolut as n i , regista-se o número de vezes que cada valor * i x , surge na amostra. Numa terceira coluna, coluna das frequências relat ivas (ou per- centagens) f i , regista-se, para cada classe * i x , o valor que se obtém dividindo a frequência absoluta pela dimensão da amostra (número de elementos). Pode ainda incluir-se na tabela de frequências mais duas colunas, a coluna das fre- quências absolutas acumuladas e a coluna das frequências relativas acumuladas, onde, para cada classe, se coloca a soma das frequências absolutas ou relativas, respectivamente. As colunas das frequências acumuladas, nomeadamente a das frequências relativas é bastante útil no cálculo da mediana e dos quartis, medidas de localização de alguns pontos importantes da distribuição dos dados, como veremos mais à frente. No exemplo da turma de referência, a variável Número de irmãos é de natureza discreta e a tabela de frequências construída a partir dos valores observados para os alunos da turma tem o seguinte aspecto: N.º de irmãos * i x Freq. Abs. n i Freq. Rel. f i Freq. Abs. Acum. Freq. Rel. Acum. 0 6 0,250 6 0,250 1 9 0,375 15 0,625 2 5 0,208 20 0,833 3 3 0,125 23 0,958 4 1 0,042 24 1,000 Total 24 1,000 Da tabela anterior podemos retirar algumas conclusões relativas a esta turma: Na turma predominam os alunos com um único irmão, pelo que o valor de 1 para a variável Número de irmãos, é a moda; 25% dos alunos não têm nenhum irmão; Não há alunos com mais de 4 irmãos; Mais de 95% dos alunos têm 3 ou menos irmãos. 2 Recordemos que num conjunto infinito numerável pode estabelecer-se uma correspondência entre os seus elementos e o conjunto dos números naturais Organização e tratamento de dados 74 No caso das variáveis qualitativas, ao construirmos as tabelas de frequência, não considerámos as frequências acumuladas. Efectivamente, só para alguns casos especiais das variáveis qualitativas, as variáveis or di nai s – em que se pode esta- belecer uma ordenação ou hierarquia entre as classes, é que tem sentido calcular as frequências acumuladas. Por exemplo, se os alunos da Turma de referência fizessem um teste de Língua Portuguesa e fossem classificados com as classifica- ções de Não sat isfaz, Sat isfaz pouco, Sat isfaz, Sat isfaz muit o e Sat isfaz plenamen- t e, uma tabela de frequências possível, seria a seguinte: Classificação Freq. Abs. n i Freq. Rel. f i Freq. Abs. Acum. Freq. Rel. Acum. Não satisfaz 1 0,042 1 0,042 Satisfaz pouco 4 0,167 5 0,208 Satisfaz 11 0,458 16 0,667 Satisfaz muito 6 0,250 22 0,917 Satisfaz plenamente 2 0,083 24 1,000 Total 24 1,000 Tendo em consideração a tabela anterior, poderíamos concluir que: Só 5 alunos, ou seja, cerca de 21% dos alunos é que tiveram classificação negativa; Cerca de 79% (100%-21%) dos alunos tiveram nota positiva. Embora a variável em estudo seja de tipo qualitativo, tem a particularidade de ser or di nal , pois pode-se estabelecer uma hierarquia entre as classes ou categorias que assume: Não sat isfaz é menor que Sat isfaz pouco, etc. No entanto, para os mesmos alunos, se estivermos a estudar a variável Cor dos olhos, para a qual cons- truímos a tabela de frequências Categorias Freq. abs. Freq. rel. Castanhos 15 0,625 Pretos 3 0,125 Verdes 2 0,083 Azuis 4 0,167 Total 1 já pode dar origem a interpretações erradas juntarmos, à tabela, as colunas das frequências acumuladas. Não se pode dizer que 75% (62,5%+12,5%) dos alunos têm cor dos olhos menor ou igual a Pretos. Poderíamos eventualmente interpretar esse valor dizendo que 75% dos alunos têm olhos Castanhos ou Pretos, mas não é este o objectivo das frequências acumuladas. 4. 4. 2 Gr áf i co de pont os e gr áf i co de bar r as par a dados quant i t at i vos di s- cr et os 4.4.2.1 Gr áf i co de pont os Tal como para os dados qualitativos, a representação gráfica mais simples que se pode obter e que não necessita de nenhuma organização prévia dos dados, é o grá- fico ou diagrama de pontos. É uma representação que se pode ir construindo à medida que se recolhem os dados. Começa-se por desenhar um eixo horizontal (ou vertical), onde se assinalam todos os valores que a variável assume no conjunto dos dados. Por cima de cada valor (ou ao lado), marca-se um ponto sempre que ao Organização e tratamento de dados 75 recolher um dado ou ao percorrer o conjunto dos dados se encontrar um valor igual. Por exemplo, para os dados da turma de referência, podemos distinguir os seguintes passos na construção do gráfico de pontos para a variável Número de irmãos: Se entre o mínimo e o máximo da amostra, houver alguns valores que não existam no conjunto dos dados a analisar, esses valores devem também ser assinalados no eixo, embora não se lhes associem quaisquer pontos. Por exemplo, o gráfico de pontos correspondente à variável Número de let ras no nome, da turma de referên- cia, tem o seguinte aspecto: Da representação anterior, imediatamente se conclui que, na turma: Predominam os nomes com 12 letras; Não há nomes com 18 ou 19 letras; O nome maior tem 20 letras. Para a construção do gráfico de pontos recomenda-se a utilização do papel quadri- culado. O gráfico de pontos dá uma informação muito semelhante à que é transmitida pelo gráfico de barras. 4.4.2.2 Gr áf i co de bar r as Dado um conjunto de dados de tipo quantitativo discreto, para o qual se construiu uma tabela de frequências, a representação gráfica mais utilizada é o gráfico de barras. Para este tipo de dados, a construção do gráfico de barras é semelhante à que fizemos para os dados de tipo qualitativo. Começa-se por desenhar um eixo (normalmente horizontal) e nesse eixo marcam-se os valores * i x , que constituem as classes. Nesses pontos marcam-se barras de altura igual à respectiva frequência absoluta ou relativa. Fazemos aqui uma observação idêntica à que já fizemos no caso da construção do gráfico de pontos: deve marcar-se no eixo a sequência com- pleta dos valores entre o mínimo e o máximo observados, mesmo que alguns des- ses valores não constem da amostra. Por exemplo, para o caso da variável Número de let ras no nome, da turma de refe- rência, tem-se: Organização e tratamento de dados 76 N.º de letras no nome * i x Freq. Abs. n i Freq. Rel. f i 9 1 0,042 10 3 0,125 11 4 0,167 12 6 0,250 13 3 0,125 14 2 0,083 15 2 0,042 16 1 0,042 17 2 0,083 20 1 0,042 Total 24 1,000 As conclusões que tiramos a partir da representação gráfica anterior, são idênticas às obtidas a partir do gráfico de pontos. Tar ef a – Númer o de i r mãos. O professor propôs na sua turma A averiguar o número de irmãos dos alunos (da turma) e posteriormente comparar com o número de irmãos dos alunos da turma de referência. Para proceder à recolha dos dados, sugeriu que se construísse no quadro um “tally chart”, onde cada aluno ia assinalar quantos irmãos tinha. Admita que se obteve, como resultado, o seguinte esquema: Depois de todos os alunos presentes terem ido ao quadro, um diálogo possível pode ser o seguinte: Professora – A partir da representação anterior pode-se concluir quantos alunos estão inscritos na turma A? Aluno – Pode-se concluir que neste dia do estudo estão presentes 26 alunos, mas não quantos alunos estão inscri- tos na turma, já que alguns podem ter faltado. A seguir, o professor propõe que um dos alunos vá ao quadro e, com a ajuda dos colegas, construa a tabela de frequências para a variável em estudo e o gráfico de barras: Tur ma A N.º de irmãos N.º de alunos 0 4 1 7 2 9 3 4 4 2 Total 26 Os alunos chegaram a algumas conclusões interessantes, tais como: Predominam os alunos com 2 irmãos; Há quatro alunos sem irmãos; O número de alunos sem irmãos é igual ao número de alunos com 3 irmãos. Para proceder à comparação solicitada, construíram o gráfico de barras para a variável Número de irmãos da turma de referência, tendo obtido o seguinte: Organização e tratamento de dados 77 Tur ma de r ef er ênci a N.º de irmãos N.º de alunos 0 6 1 9 2 5 3 3 4 1 Total 24 Os alunos queriam começar a fazer comparações entre os dois gráficos, mas o pro- fessor chamou a atenção para um ponto muito importante: é que as duas turmas não tinham o mesmo número de alunos e por isso não é correcto comparar repre- sentações gráficas em que as alturas das barras são as frequências absolutas. É necessário juntar às tabelas de frequências uma nova coluna com as frequências relativas e construir outros gráficos de barras em que as alturas das barras são as frequências relativas. Agora sim, já se podem fazer comparações, pois a soma das alturas das barras nos dois casos é igual a 1. Este estudo apresenta-se a seguir: Tur ma A N.º de irmãos Freq. abs. Freq. rel. 0 4 0,154 1 7 0,269 2 9 0,346 3 4 0,154 4 2 0,077 Total 26 1,000 Tur ma de r ef er ênci a N.º de irmãos Freq. abs. Freq. rel. 0 6 0,250 1 9 0,375 2 5 0,208 3 3 0,125 4 1 0,042 Total 24 1,000 Algumas conclusões: De um modo geral, os alunos da turma A têm mais irmãos que os alunos da turma de referência; Enquanto que na turma A, cerca de 15% dos alunos não têm irmãos, na turma de referência esse valor aumenta para 25%; Na turma A predominam os alunos com 2 irmãos, enquanto que na turma de referência predominam os alunos com 1 irmão; Enquanto que na turma A, mais de 15% dos alunos têm 3 irmãos, na turma de referência esse valor não chega aos 13%. Perante as conclusões anteriores, o professor lançou a seguinte questão: Não sabemos a idade dos alunos da turma de referência! Poderemos, no entanto, adian- tar a hipótese de que são mais novos do que os alunos da turma A? Porque é que o professor se lembrou de fazer esta suposição? Ainda continuando com o mesmo tema, o professor colocou as seguintes questões aos alunos: Calcular a totalidade de irmãos dos alunos da turma; Organização e tratamento de dados 78 Se todos os alunos tivessem o mesmo número de irmãos, quantos irmãos teriam? Facilmente os alunos indicaram um processo para calcular o número total de irmãos, pois bastou fazer 1×7+2×9+3×4+4×2 = 45 Para ver quantos irmãos teriam, se todos tivessem o mesmo número de irmãos, sugeriram que se dividisse o número total de irmãos, pelo número total de alunos 26 45 ≈1,7 Como interpretar este valor de 1,7, a que chamamos médi a do número de irmãos? Se todos os alunos tivessem o mesmo número de irmãos, cada aluno teria mais do que 1 irmão, mas não chegaria a ter 2 irmãos, embora estivesse lá perto. Quantos irmãos mais seriam necessários para dar os 2 irmãos para cada aluno? Seriam necessários 7 irmãos, para ter no total 52 irmãos, já que 52/26=2. Neste caso diríamos que cada aluno tinha, em média, 2 irmãos. Embora o gráfico de barras seja a representação mais utilizada para dados discre- tos, a sua utilização nem sempre é a mais conveniente, nomeadamente quando o número de valores distintos assumidos pelos dados é “muito” grande, dando ori- gem a demasiadas classes. Ex empl o - Candi dat os a al gumas vagas (Adaptado de Freedman, 1991). No Distrito Sanitário de Chicago, a escolha dos técnicos é feita mediante um exame. Em 1966, havia 223 candidatos para 15 vagas. O exame teve lugar no dia 12 de Março e os resultados dos testes (inteiros numa escala de 0 a 100) apresentam-se a seguir: 26 27 27 27 27 29 30 30 30 30 31 31 31 32 32 33 33 33 33 33 34 34 34 35 35 36 36 36 37 37 37 37 37 37 37 39 39 39 39 39 39 39 40 41 42 42 42 42 42 43 43 43 43 43 43 43 43 44 44 44 44 44 44 45 45 45 45 45 45 45 46 46 46 46 46 46 47 47 47 47 47 47 48 48 48 48 48 48 48 48 49 49 49 49 50 50 51 51 51 51 51 52 52 52 52 52 53 53 53 53 53 54 54 54 54 54 55 55 55 56 56 56 56 56 57 57 57 57 58 58 58 58 58 58 58 58 59 59 59 59 60 60 60 60 60 60 61 61 61 61 61 61 62 62 62 63 63 64 65 66 66 66 67 67 67 67 68 68 68 69 69 69 69 69 69 69 71 71 72 73 74 74 74 75 75 76 76 78 80 80 80 80 81 81 81 82 82 83 83 83 83 84 84 84 84 84 84 84 90 90 90 91 91 91 92 92 92 93 93 93 93 95 95 Neste caso, a construção da tabela de frequências, segundo a metodologia descrita para dados discretos, conduziria a uma tabela com demasiadas classes. Assim, resolvemos tomar como classes uma partição natural, para os dados considerados, que é a seguinte: considerar como classes os intervalos 20 a 29, 30 a 39, 40 a 49, 50 a 59, 60 a 69, 70 a 79, 80 a 89, 90 a 99. Organização e tratamento de dados 79 Classes Freq. abs. Freq. rel. 20 a 29 6 0,027 30 a 39 36 0,161 40 a 49 52 0,233 50 a 59 46 0,206 60 a 69 36 0,161 70 a 79 12 0,054 80 a 89 20 0,090 90 a 99 15 0,067 Total 223 1 Tabela de frequências para os resultados dos testes A representação gráfica para os dados organizados desta forma já não pode ser um diagrama de barras, pois não existe um ponto onde colocar a barra, uma vez que as classes são intervalos. Veremos, mais à frente, que a representação gráfica ade- quada é o histograma. A organização dos dados na forma da tabela anterior permite realçar o facto de predominarem as classificações entre 40 e 49, diminuindo progressivamente para baixo e para cima desses valores. Temos, no entanto de estar conscientes de que ao fazer a redução de dados há informação que sobressai, como a estrutura subja- cente aos dados, embora haja outra informação que possivelmente se perde. Vejamos qual o aspecto da tabela se tivéssemos considerado como classes todos os valores distintos da amostra, sem os agrupar: Classe Classe Classe Classe Classe 26 1 40 1 52 5 64 1 78 1 27 4 41 1 53 5 65 1 80 4 29 1 42 5 54 5 66 3 81 3 30 4 43 8 55 3 67 4 82 2 31 3 44 6 56 5 68 3 83 4 32 2 45 7 57 4 69 7 84 7 33 5 46 6 58 8 71 2 90 3 34 3 47 6 59 4 72 1 91 3 35 2 48 8 60 6 73 1 92 3 36 3 49 4 61 6 74 3 93 4 37 7 50 2 62 3 75 2 95 2 39 7 51 5 63 2 76 2 Tabela de frequências para os dados sem estarem agrupados O diagrama de barras correspondente tem o seguinte aspecto Diagrama de barras dos resultados nos testes Organização e tratamento de dados 80 Da análise da tabela e do gráfico anterior verifica-se a existência de uma lacuna, não havendo classificações iguais a 85, 86, 87, 88 e 89 e o número de classifica- ções iguais ou superiores a 90 ser de 15, precisamente igual ao número de vagas, para os 223 candidatos. Não terá havido batota da parte dos examinadores? Chamamos a atenção para que esta representação, com tantas classes, não evi- dencia o padrão subjacente à distribuição dos dados, já que apresenta toda a variabilidade neles existente. Como dissemos anteriormente, embora estejamos perante um conjunto de dados discretos, o tratamento adequado será o mesmo dos dados contínuos, apresentado na próxima secção 4.5. 4.4.2.2 1 Gr áf i co de bar r as par a compar ar doi s ou mai s conj unt os de dados Quando pretendemos comparar dois (ou mais) conjuntos de dados relativos à mesma variável, uma representação gráfica adequada é o gráfico de barras, em que se apresentam, lado a lado, as distribuições das frequências para cada um dos conjuntos de dados. De preferência devem-se considerar sempre as frequências relativas, pois se os conjuntos de dados não tiverem o mesmo número de elemen- tos, não é correcto utilizar as frequências absolutas. No caso da tarefa Númer o de i r mãos da secção anterior, o gráfico de barras utili- zado para comparar as distribuições do número de irmãos na Turma A e na Turma de referência, tem o seguinte aspecto: Repare-se que tivemos o cuidado de juntar uma legenda, onde se indica a que tur- ma diz respeito cada cor das barras. Neste tipo de representação é mais fácil a comparação das frequências correspondentes às mesmas classes, uma vez que as barras estão adjacentes. Tar ef a – Al guns dados sobr e o agr egado f ami l i ar . Num inquérito realizado na escola, perguntou-se aos 26 alunos de uma turma do 6.º ano: Qual a dimensão do seu agregado familiar (quantas pessoas viviam em casa)? Quantos são crianças? Quantos aparelhos de televisão têm em casa? Quantos carros tem o agregado familiar. A comissão encarregue do estudo apresentou os seguintes gráficos A e B, que pro- curam resumir a informação contida nas respostas às 2 primeiras questões Organização e tratamento de dados 81 Gráfico A Gráfico B a) Qual dos gráficos se refere à variável Número de pessoas do agregado fami- liar? Porque é que o outro gráfico não pode representar o número de pes- soas do agregado familiar dos 26 alunos a quem foi colocada a questão? b) Quantos agregados familiares têm 2 pessoas? Essas duas pessoas podem ser ambas adultas? c) Dos 26 agregados familiares, 14 são constituídos por quantas pessoas? d) Quantas pessoas tem o maior agregado familiar? e) Quantas pessoas têm os 26 agregados familiares? f) Se o número de pessoas a que chegaste na alínea anterior estivesse dividido igualmente por todos os agregados familiares, quantas pessoas tinha cada agregado familiar? Interpreta o número a que chegaste. Considera agora também o outro gráfico que representa o número de crianças por agregado familiar. a) Quantos agregados familiares têm 1 criança? b) Qual o número de crianças que predomina nos agregados familiares? c) Pensas que os agregados familiares são fundamentalmente constituídos por um casal com um filho? Explica o teu raciocínio. Com os dados obtidos nas respostas às outras duas questões, construíram-se os dois gráficos seguintes a) Comparando os dois gráficos, qual dos dois achas mais razoável para repre- sentar o Número de t elevisões por agregado familiar? b) No gráfico do lado esquerdo a classe 2 tem frequência absoluta igual a 9 e no gráfico da direita a classe 1 tem também frequência absoluta igual a 9. Organização e tratamento de dados 82 No entanto as alturas das barras são diferentes. Como explicas esta situa- ção? c) Completa os gráficos com as legendas adequadas. Tar ef a – Ci nco mont i nhos de f ei j ões. Num determinado dia o professor organi- zou os alunos em 4 grupos e pediu a cada grupo para levar no dia seguinte uma “mão cheia” de feijões. Neste dia, encarregou cada grupo de dividir todos os feijões em montinhos com 1, 2, 3, 4 ou 5 feijões. Seriam necessários fazer os montinhos necessários até esgotar todos os feijões. Depois dos montinhos feitos, cada grupo foi ao quadro apresentar graficamente o resultado da organização dos feijões pelos montinhos com os cinco tamanhos. Os resultados foram os seguintes: a) Comenta as representações utilizadas. b) Quantos feijões tinha cada grupo? Organização e tratamento de dados 83 4.5 Tabel as e gr áf i cos par a dados quant i t at i v os cont ínuos Como vimos na secção 3.3, quando falámos das variáveis, uma variável quantitati- va contínua é aquela que é passível de ser medida usando um certo instrumento. Por exemplo, relativamente a um aluno da turma, podemos utilizar uma fita métri- ca para medir a variável alt ura, uma balança para medir a variável peso, um ter- mómetro para medir a t emperat ura, um relógio para medir o t empo que demora de casa à escola, um teste a Matemática para medir o nível de conheciment os nessa disciplina, etc. Os valores que resultam destas medições são dados quantitativos contínuos. No exemplo da turma de referência as variáveis t empo que demora de casa à esco- la e compriment o do palmo são de natureza contínua. Estas variáveis são apresen- tadas com um arredondamento ao minuto e ao centímetro, respectivamente, mas os seus verdadeiros valores podem ser quaisquer números reais de um determina- do intervalo. Em linguagem corrente pode dizer-se que uma variável contínua não varia por “sal- tos”, isto é, não passa de um valor a outro de um determinado intervalo, sem pas- sar por todos os valores intermédios. Embora seja comum, quando encontramos um jovem que não vemos há algum tempo, exclamar: “Mas que salto que deste! Estás tão alto!”, na realidade o jovem cresceu continuamente... Ao contrário da variável contínua, uma variável discreta varia por “saltos”. Por exemplo, se uma família tem 2 filhos e teve um outro filho, obviamente que passou de 2 para 3, sem passar por valores intermédios. Tendo em conta a própria definição de variável contínua, quando temos uma amos- tra de dados contínuos, estes podem ser todos diferentes, ou quando muito, exis- tem apenas alguns valores iguais. A ocorrência de valores iguais com maior fre- quência do que a que se esperaria para dados contínuos, deriva do facto do instru- mento de medida não ter uma grande precisão. Por exemplo, os valores apresenta- dos para as variáveis contínuas t empo que demora de casa à escola e compriment o do palmo encontram-se “discretizados” por uma limitação do instrumento que se utilizou para as medir. Outro exemplo de uma variável contínua, que se apresenta “discretizada” é a idade. Quando se diz que um jovem tem 9 anos, significa que já fez os 9 anos, mas ainda não fez os dez, pelo que o 9 representa um intervalo de valores que se pode exprimir da seguinte forma: 9≤idade<10. Mesmo existindo alguns valores iguais, o número de valores distintos pode ser tão grande que a metodologia utilizada para construir as tabelas de frequências de dados quantitativos discretos, em que se consideravam para classes os valores dis- tintos nos dados, não pode ser aqui utilizada. Correríamos o risco de a frequência observada para cada valor distinto ser 1! Então, a alternativa é considerar classes na forma de intervalos. Ao organizar os dados na forma de intervalos, o nosso objectivo é visualizar o padrão subjacente a esses dados. Por exemplo, é natural esperar que uma forma usual para a distribuição da variável compriment o do palmo dos alunos do 3.º ciclo tenha um aspecto simétrico, como o que se apresenta na figura seguinte, Organização e tratamento de dados 84 com uma concentração de valores em volta dos 16cm, e cada vez menos valores à medida que o comprimento para o palmo diminui ou aumenta. Já para a variável t empo de casa à escola em que, de um modo geral, predominam os tempos mais pequenos, em detrimento dos tempos maiores, esperamos uma distribuição com uma forma enviesada, como a que se apresenta a seguir, Como or gani zar os dados em cl asses? Perante um conjunto de dados quantitativos contínuos, ao agrupá-los e ao repre- sentá-los graficamente, temos como objectivo que essa representação nos ajude a compreender os dados, fazendo sobressair algum padrão subjacente. Algumas questões que procuramos responder são, por exemplo: A distribuição é simétrica ou enviesada? Qual o centro da distribuição dos dados? Tem pequena ou grande variabilidade? O primeiro passo no processo de agrupamento dos dados é saber em quantas clas- ses vamos agrupar os dados. Muitas vezes o tipo da variável que se está a estudar pode dar indicação do número de classes e de como construir essas classes. Ex empl o – Al t ur a e peso dos al unos de uma escol a do 1.º ci cl o. Pretendemos estudar as variáveis alt ura e peso dos alunos de uma escola do 1.º ciclo. Para isso, recolhemos a altura e o peso de 50 alunos dessa escola, obtendo os valores (em cm) para a alt ura e os valores (em kg) para o peso que se apresentam na seguinte tabela: Organização e tratamento de dados 85 Altura Peso Altura Peso Altura Peso Altura Peso Altura Peso 132 26 135 29 146 40 142 32 143 35 145 39 145 35 141 33 143 34 147 40 150 45 136 30 144 35 146 40 147 40 149 45 143 32 159 57 151 46 135 29 130 26 137 30 157 49 135 30 132 28 135 30 141 30 158 58 143 38 140 30 145 40 135 29 134 30 140 31 138 30 130 28 141 32 146 40 146 43 154 47 148 40 145 35 145 34 156 45 150 45 150 47 136 30 148 43 133 29 130 28 Ao percorrer, na tabela, os dados referentes à variável alt ura, verificamos que o valor mínimo é 130cm e o valor máximo 159cm. Assim, é natural considerar como classes, para organizar os dados, as seguintes: 130 ≤ altura <135 135 ≤ altura <140 140 ≤ altura <145 145 ≤ altura <150 150 ≤ altura <155 155 ≤ altura <160 As classes são todas disjuntas e a sua união contém todos os elementos da amos- tra, isto é, cada elemento da amostra só pode pertencer a uma das classes, mas pertence necessariamente a uma dessas classes. Considerando agora os dados referentes à variável peso, verificamos que os valores máximos e mínimos são respectivamente 26kg e 58kg, pelo que uma escolha pos- sível para as classes é: 25 ≤ peso <30 30 ≤ peso <35 35 ≤ peso <40 40 ≤ peso <45 45 ≤ peso <50 50 ≤ peso <55 55 ≤ peso <60 Do mesmo modo que anteriormente para a variável alt ura, também as classes anteriores foram construídas sem ambiguidade, na medida em que cada elemento da amostra pertence a alguma das classes e só a uma das classes. Regr a de St ur ges Nos exemplos apresentados anteriormente, a formação de classes foi fácil de fazer de forma intuitiva. No entanto, isso nem sempre acontece. Nestes casos podemos usar a chamada regra de St urges, que nos sugere o número de classes a usar para agrupar os dados: Regra de St urges – para organizar uma amostra, de dados contínuos, de dimensão n, pode considerar-se para número de classes o valor k, onde k é o menor inteiro tal que 2 k >n. Assim, se o número de elementos da amostra for 50, como nos exemplos apresen- tados anteriormente, o número aconselhado de classes é 6, já que 2 5 <50 e 2 6 >50. Note-se que esta regra não tem que ser seguida “à letra” e deve ser entendida como uma ajuda, quando não se tem qualquer ideia de quantas classes construir, Organização e tratamento de dados 86 para proceder ao agrupamento dos dados. É apresentada como informação para o professor, que, para este nível de ensino, não a deve ensinar aos alunos. Para a formação das classes, na forma de intervalos, com a mesma amplitude, con- sidera-se a seguinte metodologia: Passo 1 – Toma-se como amplitude h, de cada intervalo, um valor arredondado por excesso, do quociente que se obtém dividindo a amplitude da amostra (máximo – mínimo) pelo número de classes, k. Passo 2 – Formam-se as classes como intervalos fechados à esquerda e abertos à direita, ou vice-versa, isto é, abertos à esquerda e fechados à direita, sendo o extremo esquerdo do primeiro intervalo o mínimo da amostra, ou o extremo direito do k-ésimo intervalo o máximo da amostra, respectivamente. Subdi v i são em cl asses dos dados r ef er ent es à v ar i áv el Tempo que demor a de casa à escol a na Tur ma de r ef er ênci a Os valores observados são, depois de ordenados 5 6 6 7 7 8 9 10 10 11 12 12 13 13 14 15 15 15 16 17 18 19 20 21 Como a dimensão da nossa amostra é n=24, o menor inteiro k que satisfaz a con- dição 2 k >24 é k=5. Para obter a amplitude de classe h, vamos dividir a amplitude da amostra, que é 16 (=21 – 5), por 5. Este quociente vem igual a 3,2, pelo que um valor aproximado por ex cesso é, por exemplo, 3,25. Para a construção das classes vamos convencionar que todos os intervalos são fechados à esquerda e abertos à direita, isto é, da forma [a, b[, onde o a pertence ao intervalo, mas o b já não pertence. Utilizando esta metodologia, temos os seguintes intervalos, para as classes: 1ª classe: [5; 5+3,25[ → [5; 8,25[ 2ª classe: [8,25; 8,25+3,25[ → [8,25; 11,50[ 3ª classe: [11,50; 11,50+3,25[ → [11,50; 14,75[ 4ª classe: [14,75; 14,75+3,25[ → [14,75; 18,00[ 5ª classe: [18,00; 18,00+3,25[ → [18,00; 21,25[ O valor de 3,25 que utilizámos para a amplitude de classe, como aproximação por excesso do valor 3,2, é pouco natural. Mas o mesmo não acontece com 3 minutos e meio, pelo que outra alternativa possível para a amplitude de classe será h=3,5. Se se considerar este valor, o número de classes a usar é ainda de 5, como se pode ver facilmente, já que as classes que assim se obtêm [5; 8,5[, [8,5; 12,0[, [12,0; 15,5[, [15,5; 19,0[ e [19,0; 22,5[ contêm todos os elementos da amostra. Se se pretender construir intervalos em que os limites sejam números inteiros, podemos considerar como amplitude de classe 3 minutos ou 4 minutos, obtendo- se, respectivamente, as seguintes classes: Organização e tratamento de dados 87 Amplitude de classe igual a 3 minutos Amplitude de classe igual a 4 minutos [5; 8[ [8; 11[ [11; 14[ [14; 17[ [17; 20[ [20; 23[ [5; 9[ [9; 13[ [13; 17[ [17; 21[ [21; 25[ Repare-se que, quando se considerou como amplitude de classe 3 minutos, foi necessário construir 6 classes, de modo a cobrirem a totalidade dos dados; por outro lado, quando se considerou como amplitude de classe o valor 4 minutos, con- sideraram-se 5 classes, mas a última classe só tem um elemento. Chamamos a atenção para que não é correcto considerar a quarta classe na forma [17; 21], com o objectivo de evitar mais uma classe. A metodologia na construção dos intervalos de classe deve ser sempre a mesma: fechados à esquerda e abertos à direita, ou vice-versa. Deste modo, existe uma grande maleabilidade na construção dos intervalos de classe. Em muitas situações, a regra básica a seguir é utilizar a informação disponí- vel sobre a variável a estudar e o “bom senso” para a definição dos limites das classes. A regra de St urges pode ser usada como um primeiro passo na indicação de um número apropriado de classes. Na verdade, o que nós procuramos é um agrupa- mento dos dados em classes, para depois construirmos o histograma que, como veremos, deve evidenciar a estrutura subjacente aos dados. Assim, se se construí- rem muitas classes, essa representação apresentará muita da variabilidade presen- te nos dados, não conseguindo fazer sobressair o padrão que procuramos. Também um número muito pequeno de classes esconderá esse padrão. 4.5.1 Tabel a de f r equênci as par a dados quant i t at i v os cont ínuos Uma vez formadas as classes, a construção da tabela de frequências é idêntica à considerada para os dados discretos: Os dados contínuos são organizados na forma de uma t abel a de f r equênci as, com três ou mais colunas. Na primeira coluna, coluna das classes, consideram-se os intervalos (classes) escolhidos para agrupar os dados; na coluna seguinte, colu- na das frequências absolut as n i , regista-se o total de elementos da amostra, que pertencem a cada classe. Numa terceira coluna, coluna das frequências relat ivas (ou percentagens) f i , regista-se, para cada classe, o valor que se obtém dividindo a frequência absoluta pela dimensão da amostra. De um modo geral é útil acrescentar à tabela de frequências ainda mais três colu- nas: coluna do represent ant e de classe – em que se considera, usualmente, o pon- to médio, x’ i , do intervalo de classe; coluna das frequências absolut as acumuladas – onde, para cada classe, se considera a soma da frequência absoluta dessa classe com as frequências absolutas das classes anteriores e coluna das frequências rela- Organização e tratamento de dados 88 t ivas acumuladas, que se calcula de forma idêntica à anterior, mas agora com as frequências relativas. Vamos a seguir construir a tabela de frequências para os dados observados para a variável alt ura de um aluno da escola do 1.º ciclo, considerados na secção anterior. Considerámos as 6 classes aí definidas, com intervalos de amplitude 5cm, fechados à esquerda e abertos à direita: Classes Representante da Classe x’ i Freq. Abs. n i Freq. Rel. f i Freq. Abs. Acum Freq. Rel. Acum. Freq. Rel. Acum. (%) [130, 135[ 132,5 7 0,14 7 0,14 14 [135, 140[ 137,5 9 0,18 16 0,32 32 [140, 145[ 142,5 11 0,22 27 0,54 54 [145, 150[ 147,5 14 0,28 41 0,82 82 [150, 155[ 152,5 5 0,10 46 0,92 92 [155, 160[ 157,5 4 0,08 50 1,00 100 Total 50 1,00 Decidimos ainda acrescentar uma outra coluna, com as frequências relativas acu- muladas, agora em percentagem. A frequência absoluta da classe [130, 135[ é 7, porque existem nos dados 7 valores maiores ou iguais a 130 e menores que 135. Para as outras classes a metodologia é idêntica. A soma das frequências absolutas é igual a 50, que é o número de dados, enquanto que a soma das frequências relativas é igual a 1. Por vezes, esta soma não dá exactamente 1, sendo esta situação devida ao facto dos valores das frequências relativas serem arredondados. Como se verifica a partir da tabela predominam as alturas das classes centrais, havendo uma diminuição das frequências para as classes inferiores e superiores. 4.5.2 Hi st ogr ama Uma vez os dados agrupados numa tabela de frequências, estamos aptos a cons- truir o histograma, que é a representação gráfica mais utilizada para os dados quantitativos contínuos. O histograma é um gráfico, formado por uma sucessão de rectângulos adjacentes, tendo cada um por base um intervalo de classe e com área igual (ou proporcional) à frequência relativa (ou absoluta) dessa classe. Ao contrário do gráfico de barras, em que estas estão separadas e em que o que é relevante é a altura de cada uma, no histograma as barras (rectângulos) estão jun- tas e o que é importante é a área de cada uma. Considerando então para áreas das barras as frequências relativas, vemos que a área total ocupada pelo histograma é igual a 1 ou 100%. Tendo em conta a definição de histograma, para a sua construção é conveniente acrescentar uma nova coluna à tabela de frequências, com as frequências relativas a dividir pela amplitude de classe. Os valores desta coluna serão as alturas dos rec- tângulos com base nas classes respectivas: Organização e tratamento de dados 89 Classes Rep. Classe x’ i Freq. Abs. n i Freq. Rel. f i Altura rectângulo classe i=f i /h [130, 135[ 132,5 7 0,14 0,028 [135, 140[ 137,5 9 0,18 0,036 [140, 145[ 142,5 11 0,22 0,044 [145, 150[ 147,5 14 0,28 0,056 [150, 155[ 152,5 5 0,10 0,020 [155, 160[ 157,5 4 0,08 0,016 Total 50 1,00 No histograma ao lado, a área do rectângulo mais à esquerda é igual a 5×0,028=0,14; a área do rectângulo seguinte é 5×0,036=0,18 e assim suces- sivamente, donde a ár ea t ot al do hi st ogr ama é i gual a 1 (soma das frequências rela- tivas). Suponhamos que em vez de construirmos o histograma como anteriormente, tínhamos considerado para alturas dos rectângulos as frequências relativas. Então, neste caso, as áreas dos rectângulos já não seriam iguais às frequências relativas, mas sim proporcionais e a área total ocupada pelo histograma seria igual a 5, em que 5 é a amplitude de classe: No histograma ao lado, a área do rectângulo mais à esquerda é igual a 5×0,14; a área do rec- tângulo seguinte é 5×0,18 e assim sucessivamente, donde a ár ea t ot al do hi st ogr ama é i gual a 5 (=5× 1 onde 1 é a soma das frequências relativas). Suponhamos ainda que agora se considerava para altura dos rectângulos as fre- quências absolutas. O resultado seria o seguinte: No histograma ao lado, a área do rectângulo mais à esquerda é igual a 5×7; a área do rectângu- lo seguinte é 5×9 e assim suces- sivamente, donde a ár ea t ot al do hi st ogr ama é i gual a 250 (=5×50, onde 50 é a soma das frequências absolutas). Organização e tratamento de dados 90 Como se verifica, a imagem transmitida tem sempre o mesmo aspecto, já que as áreas dos rectângulos ou são iguais às frequências relativas, como é o caso do pri- meiro dos 3 histogramas anteriores, ou são proporcionais, com a mesma constante de proporcionalidade, que é igual à amplitude de classe no caso do segundo histo- grama ou à amplitude de classe vezes o número de dados, como é o caso do tercei- ro histograma. Assim, o eixo vertical só serve como auxílio para a construção dos rectângulos, não transmitindo, no caso do histograma, qualquer informação rele- vante: Não devemos perder de vista que o histograma representa os dados através das áreas das barras e não das alturas, o que constitui uma grande diferença relativa- mente ao gráfico de barras. Outra grande diferença é que no histograma as barras estão juntas, para transmitir a ideia de continuidade da variável em estudo, enquanto que no gráfico de barras, estas são separadas. De um modo geral, se tivermos n dados e estes tiverem sido organizados em k classes, todas com a mesma amplitude h, e representarmos por n i e f i , respectiva- mente as frequências absoluta e relativa da classe i, com i=1,...,k, a área total ocupada pelo histograma será igual a: a) 1, se se considerar para altura do rectângulo correspondente à classe i, f i /h, com i=1,...,k. b) h, se se considerar para altura do rectângulo correspondente à classe i, f i , com i=1,...,k. c) h× n, se se considerar para altura do rectângulo correspondente à classe i, n i , com i=1,...,k. Qualquer das formas anteriores pode ser utilizada para construir o histograma, excepto nas seguintes situações: 1) As classes têm amplitudes diferentes, sendo, neste caso, necessário utilizar o primeiro procedimento; 2) Pretende-se comparar histogramas de amostras com dimensão diferente, sendo, também necessário utilizar o primeiro procedimento, para compa- rarmos figuras com a mesma área (igual a 1). Ex empl o – Dur ação de chamadas t el ef óni cas 1 . Uma empresa, preocupada com os gastos em telefone, decidiu fazer um estudo sobre a duração (em minutos) das chamadas telefónicas. Assim, o departamento de controlo de qualidade recolheu uma amostra de dimensão 100, tendo construído a seguinte tabela de frequências, com os dados recolhidos: Duração da chamada (em minutos) Classes Freq. absoluta Freq. relativa [0, 2[ 28 0,28 [2, 5[ 37 0,37 [5, 10[ 23 0,23 [10, 20[ 9 0,09 [20, 30[ 3 0,03 Total 100 1,00 Elaborou depois o seguinte histograma, que apresentou à gerência: 1 Graça Martins et al. (2007). Organização e tratamento de dados 91 Um dos gerentes, que sabia o que era um histograma, manifestou-se bastante preocupado com a percentagem de chamadas razoavelmente longas, já que a per- centagem de chamadas com duração entre 5 e 10 minutos era um pouco superior às de duração entre 2 e 5 minutos e só um pouco inferior às de duração de 10 a 20 minutos, como se depreende pelas áreas dos rectângulos correspondentes às clas- ses respectivas. Pediu para consultar a tabela de frequências e concluiu que aquela representação gráfica não estava correcta, pois as áreas dos rectângulos não eram proporcionais às frequências, induzindo em erro. Ele próprio acrescentou mais uma coluna à tabela de frequências, com as alturas correctas dos rectângulos e cons- truiu o histograma correspondente: Duração da chamada (em minutos) Classes Freq. absoluta Freq. relativa Freq. relativa/amplitude classe [0, 2[ 28 0,28 0,140 [2, 5[ 37 0,37 0,122 [5, 10[ 23 0,23 0,046 [10, 20[ 9 0,09 0,009 [20, 30[ 3 0,03 0,003 Total 100 1,00 Repare-se que as duas representações são completamente diferentes. Agora, podemos concluir que predominam as chamadas com duração entre 2 e 5 minutos e que as chamadas com duração superior a 10 minutos são pouco frequentes. 4.5.3 Gr áf i cos das f r equênci as r el at i v as acumul adas A partir da tabela de frequências, em que se consideraram as frequências relativas acumuladas, é possível construir gráficos que apresentam a evolução dessas fre- Organização e tratamento de dados 92 quências ao longo das classes em que se organizaram os dados. Dois desses gráfi- cos são o chamado hi st ogr ama cumul at i v o ou histograma acumulado e a f unção cumul at i va. Utilizam-se fundamentalmente na determinação gráfica de valores aproximados para a mediana e quartis, quando os dados estão agrupados. Estas medidas serão estudadas mais à frente, quando considerarmos as características amostrais, mas vamos indicar a forma de as obter devido ao facto de serem muito simples de compreender e de usar na construção de um diagrama de extremos e quartis, uma representação gráfica muito útil. Como veremos, a medi ana, representada por Me, é um valor que divide a amostra ordenada ao meio, isto é, 50% dos elementos da amostra são menores ou iguais à mediana e os restantes 50% são maiores ou iguais à mediana. Uma vez a amostra dividida em duas partes com igual número de elementos, cada uma destas partes ainda pode ser dividida ao meio. Às medianas da parte inferior e superior dos dados, chamamos respectivamente 1.º quar t i l e 3.º quar t i l e representamos por Q 1 e Q 3 . Assim, o 1.º quartil, a mediana e o 3.º quartil dividem a amostra (ordena- da) em 4 partes iguais, cada uma contendo 25% dos dados. Para obter graficamente estas medidas para os dados relativos à altura de 50 alu- nos de uma escola do 1.º ciclo, mas a partir dos dados agrupados, consideremos de novo a tabela da secção 4.5.1, que já contém as frequências relativas acumuladas: Classes Rep. Classe x’ i Freq. Abs. n i Freq. Rel. f i Freq. Abs. Acum Freq. Rel. Acum. Freq. Rel. Acum. (%) [130, 135[ 132,5 7 0,14 7 0,14 14 [135, 140[ 137,5 9 0,18 16 0,32 32 [140, 145[ 142,5 11 0,22 27 0,54 54 [145, 150[ 147,5 14 0,28 41 0,82 82 [150, 155[ 152,5 5 0,10 46 0,92 92 [155, 160[ 157,5 4 0,08 50 1,00 100 Total 50 1,00 Repare-se que da tabela anterior ficamos a saber que a mediana se encontra na classe [140, 145[, já que antes desta classe se acumulam 32% dos dados e é nesta classe que se atinge os 50%. Admitindo que a frequência se distribui uniformemen- te sobre a amplitude de classe, isto é, a frequência de 22% (=54%-32%) se distri- bui uniformemente sobre o intervalo de amplitude 5cm, através da resolução de uma equação de proporcionalidade, obtém-se o incremento que devemos adicionar a 140cm, para obter a mediana: 22=54-32 5=145-140 18=50-32 x x= 22 5 18 ≈ 3,6 Então o valor aproximado para a mediana será 143,6 (=140+3,6). O processo que acabámos de descrever para a mediana pode também ser utilizado para obter valores aproximados para os quartis e é equivalente à seguinte resolu- ção gráfica: Organização e tratamento de dados 93 130 135 140 145 150 155 160 F r e q . r e l . a c u m . % 0 25% 50% 75% Me Q 1 Q 3 Os rectângulos do gráfico anterior têm por altura a frequência relativa acumulada e por essa razão se chama hi st ogr ama cumul at i v o ao gráfico obtido. À linha poli- gonal que se desenhou na figura anterior chama-se f unção cumul at i v a. Pode dizer-se que é esta função que é útil na determinação dos quartis e da mediana, pelo que o histograma cumulativo só serviu como meio auxiliar para a sua constru- ção, não tendo, neste momento, qualquer outra utilidade ou interpretação (obser- ve-se que a função cumulativa se pode construir independentemente do histograma cumulativo). Como a figura sugere o valor da mediana encontra-se próximo de 144. Do mesmo modo podemos avançar que o 1.º quartil deve andar próximo de 138, enquanto o 3.º quartil deve estar próximo de 148. 4.6 Out r as r epr esent ações gr áf i cas Para representar dados quantitativos usámos até aqui várias representações, de que destacamos o gráfico de barras e o histograma, de um modo geral utilizados para representar dados quantitativos discretos ou contínuos, respectivamente. Exis- tem outras representações gráficas que podem ser utilizadas para dados quantitati- vos de qualquer tipo e que são o caule-e-folhas e o diagrama de extremos e quar- tis, e ainda o gráfico de linha, especialmente adequado para representar observa- ções de variáveis que variam ao longo do tempo. 4.6.1 Gr áf i co ( ou di agr ama) de caul e- e- f ol has Pode considerar-se que o gráfico ou diagrama em caule-e-folhas é um tipo de representação que se situa entre a tabela e o gráfico, uma vez que, de um modo geral, apresenta os verdadeiros valores da amostra, mas de uma forma sugestiva, que faz lembrar o histograma. Organização e tratamento de dados 94 A base da construção de uma representação em caule-e-folhas está na escolha de um par de dígitos adjacentes nos dados, que vai permitir dividir cada dado do con- junto de dados em duas partes: o caule e a folha, que se dispõem para um e outro lado de um traço vertical, como exemplificamos a seguir. Tar ef a – Quant os segundos se consegue est ar sem r espi r ar 2 . Gostaríamos de ter uma ideia de quantos segundos conseguimos estar sem respirar. Suponha que um grupo de alunos fez esta experiência na turma e obteve os seguintes valores: 59, 38, 47, 23, 48, 55, 37, 48, 53, 37, 52, 39, 54, 57, 38, 46, 40, 41, 62, 63, 38, 65, 44, 68, 27, 35, 46, 60. Podem ser feitas perguntas do tipo: Quantos segundos esteve sem respirar o aluno que aguentou menos tempo? E o aluno que aguentou mais tempo? O professor pode, com a ajuda dos alunos, organizar os dados num diagra- ma de caule-e-folhas. Como o menor e o maior dos valores anteriores são, respectivamente, 23 e 68, para organizar os dados num gráfico de caule-e-folhas, vamos começar por consi- derar os seguintes caules (algarismos das dezenas dos valores iniciais): 2 3 4 5 6 Depois de considerar um segmento de linha vertical, ao lado dos caules, vamos pendurar as folhas, nos caules respectivos. Exemplificamos a seguir, um gráfico com a primeira folha, um outro com a primeira e a segunda folha e, finalmente, o gráfico com as folhas todas: 2 2 2 3 7 3 3 8 3 8 7 7 9 8 8 5 4 4 4 7 8 8 6 0 1 4 6 5 9 5 9 5 9 5 3 2 4 7 6 6 6 2 3 5 8 0 É costume ordenar as folhas correspondentes a cada caule, de modo que o gráfico final é o seguinte: 2 3 7 3 5 7 7 8 8 8 9 4 0 1 4 6 6 7 8 8 5 2 3 4 5 79 6 0 2 3 5 8 Repare-se que agora é muito fácil ordenar o conjunto de dados inicial, pois basta percorrer o gráfico de caule-e-folhas: 23, 27, 35, 37, 37, 38, 38, 38, 39, 40, 51, 44, 46, 46, 47, 48, 48, 52, 53, 54, 55, 57, 59, 60, 62, 63, 65 e 68. 2 Graça Martins et al. (2007), p. 62. Organização e tratamento de dados 95 Sugest ão – Pode ser repetida a tarefa anterior, mas depois de ter inspirado e expi- rado, profundamente, 3 vezes. É interessante comparar os resultados agora obti- dos, com os anteriores. É de notar que a representação em caule-e-folhas: É, em geral, muito simples de fazer e torna-se, por isso, acessível, até a alunos do 1.º ciclo. É necessário ter algum cuidado na escolha do exemplo, para que não haja problemas na escolha do(s) dígito(s) que vão constituir os caules - denominados dígit o( s) dominant es. Dá uma informação visual sobre a forma como os dados estão distribuídos. Permite identificar os dados iniciais, pelo que é muito útil para ordenar rapi- damente a amostra. É uma representação muito sugestiva para comparar duas amostras. Facilita o cálculo da mediana e dos quartis. Escol ha dos dígi t os domi nant es Na construção de um gráfico de caule-e-folhas nem sempre é imediata a escolha dos dígitos dominantes. Se essa escolha conduzir a muitos caules o resultado final tem pouco de representação gráfica, pois será muito disperso. Se conduzir a pou- cos caules, para além de poder esconder padrões nos dados, torna-se de pouca uti- lidade na ordenação da amostra. Vamos ver o que acontece, por exemplo, com os dados da variável Alt ura de um aluno de uma escola do 1. º ciclo, de que se tem uma amostra de 50 dados, considerados no início da secção 4.5 e que repetimos a seguir: 132 135 135 141 146 158 142 143 143 140 145 145 145 135 141 134 143 140 147 138 150 130 136 141 144 146 146 146 147 154 149 148 143 145 159 145 151 156 135 150 130 150 137 136 157 148 135 133 132 130 As alturas variam entre 130cm e 159cm. Se tomarmos como dígito dominante o das centenas, ficaremos apenas com 1 caule. Se tomarmos os dois primeiros dígi- tos (até à classe das dezenas), ficaremos com 3 caules, o que também é pouco tendo em conta que a dimensão da amostra é n=50. Este problema pode ser resol- vido subdividindo em dois, cada um dos 3 caules que se obtêm no segundo caso. No primeiro desses dois caules, identificado com um asterisco (*), colocam-se as folhas de dígitos 0, 1, 2, 3, e 4 e no outro, identificado com um ponto (.), as folhas de dígitos 5, 6, 7, 8, e 9. Deste modo ficamos ao todo com 6 caules que é um número razoável para a dimensão de amostra que temos. Há ainda a possibilidade de subdividir cada caule em 5, um para as folhas 0 e 1, outro para as folhas 2 e 3, e assim por diante até ao último que terá as folhas 8 e 9, mas iríamos obter 15 caules que já é excessivo. A subdivisão de cada caule só pode ser feita em 2 ou 5 sub caules, para que cada um destes possa ficar com igual número de folhas asso- ciado e como na notação decimal temos 10 folhas possíveis, ou associamos 5 ou 2 folhas a cada caule. Um gráfico de caule-e-folhas para representar os dados anteriores (onde a unidade de cada caule é a dezena de centímetros) é, então: Organização e tratamento de dados 96 13* 2 0 0 4 3 2 0 13. 5 5 6 7 5 6 5 5 8 14* 3 1 1 1 4 2 3 3 0 3 0 14. 5 9 5 8 5 5 6 6 5 8 6 6 7 7 15* 0 0 1 4 0 15. 9 7 8 6 Para construirmos o diagrama anterior percorremos os dados, coluna a coluna. O diagrama final deve apresentar-se com as folhas ordenadas: 13* 0 0 0 2 2 3 4 13. 5 5 5 5 5 6 6 7 8 14* 0 0 1 1 1 2 3 3 3 3 4 14. 5 5 5 5 5 6 6 6 6 7 7 8 8 9 15* 0 0 0 1 4 15. 6 7 8 9 A partir do diagrama anterior facilmente se obtém a amostra ordenada: 130 130 130 132 132 133 134 135 135 135 135 135 136 136 137 138 140 140 141 141 141 142 143 143 143 143 144 145 145 145 145 145 146 146 146 146 147 147 148 148 149 150 150 150 151 154 156 157 158 159 A amostra ordenada ou a própria representação em caule-e-folhas com as folhas ordenadas, são utilizadas para o cálculo de algumas estatísticas ordinais, isto é, medidas que nos dão uma ideia da proporção ou percentagem de elementos da amostra menores ou maiores que determinado valor. Por exemplo, na amostra anterior, como o máximo é 159, obviamente que 100% dos elementos da amostra são menores ou iguais a 159. Também se podem calcular outras percentagens: 6% (3 elementos) dos elementos da amostra são menores ou iguais a 130; 10% (5 elementos) dos elementos da amostra são menores ou iguais a 132; 24% (12 elementos) dos elementos da amostra são menores ou iguais a 135; 28% (14 elementos) dos elementos da amostra são menores ou iguais a 136; 32% (16 elementos) dos elementos da amostra são menores ou iguais a 138; 44% (22 elementos) dos elementos da amostra são menores ou iguais a 142; 52% (26 elementos) dos elementos da amostra são menores ou iguais a 143; etc. É evidente que para contar o número de elementos para calcular as percentagens anteriores não teríamos necessidade de dispor da amostra ordenada, se tivermos uma representação em caule-e-folhas, como é a situação presente. Efectivamente esta operação de contagem é mais fácil a partir do caule-e-folhas (com as folhas ordenadas) do que propriamente a partir da amostra ordenada. Um problema inverso do anterior é, dada uma percentagem, procurar um valor que satisfaça determinadas condições. Por exemplo, qual o val or tal que 50% dos ele- mentos da amostra são menores ou iguais a ele e os outros 50% são maiores ou iguais a ele, ou seja, com a notação introduzida na secção anterior, qual é o valor da mediana Me? Organização e tratamento de dados 97 Se a nossa amostra tivesse um número ímpar de dados, então seria o dado do meio, quando a amostra está ordenada. Como temos 50 elementos, então temos dois elementos no meio, pelo que qualquer valor entre esses dois estava em condi- ções de satisfazer a nossa pretensão. No entanto, para evitar que nesta situação de termos um número par de dados, cada um escolha um valor diferente para a mediana, convenciona-se que esta é a semi-soma desses dois elementos do meio. A partir do caule-e-folhas facilmente verificamos que os elementos na posição 25 e 26 são iguais a 143. Então o valor procurado é 143 (=(143+143)/2). Se determi- narmos, pelo mesmo processo, as medianas de cada uma das partes, em que os dados ficam divididos pela mediana, obtemos os quartis, respectivamente 1. º quar t i l se for o da parte inferior e 3. º quar t i l se for da parte superior. No caule-e- folhas seguinte assinalámos a negro a metade inferior: 13* 0 0 0 2 2 3 4 13. 5 5 5 5 5 6 6 7 8 14* 0 0 1 1 1 2 3 3 3 3 4 14. 5 5 5 5 5 6 6 6 6 7 7 8 8 9 15* 0 0 0 1 4 15. 6 7 8 9 Como temos agora 25 elementos, a mediana é o elemento do meio, ou seja o que está na posição 13, o valor 136. Então o 1.º quar t i l é 136. Para determinar o 3.º quar t i l , podemos ver qual o elemento que está na posição do meio da parte supe- rior, a itálico, ou seja o que está na posição 13, mas agora a contar do fim, obtendo 147. Chamamos a atenção para que na leitura do caule-e-folhas, a partir do fim, se começa sempre, em cada linha, pela folha mais afastada: 159 158 157 156 154 ... Compar ação ent r e o caul e- e- f ol has e o hi st ogr ama O caule-e-folhas dá uma imagem muito semelhante ao histograma. Vamos exem- plificar, rodando de 90º, no sentido contrário ao ponteiro do relógio, o caule-e- folhas anterior e comparar com o histograma construído na secção anterior, para os mesmos dados: Organização e tratamento de dados 98 No exemplo anterior, os caules correspondem às classes do histograma. Repare-se que pendurámos no caule 13* as folhas correspondentes aos valores 130, 130, 130, 132, 132, 133 134, que são precisamente os elementos da amostra perten- centes à classe [130; 135[, e assim sucessivamente, para os outros caules e as outras classes. A situação anterior, em que os caules correspondem às classes do histograma, só acontece quando estas têm amplitude 2, 5 ou 10 vezes uma potência de 10, em que os dois primeiros casos correspondem a dividir um caule em 5 sub caules ou 2 sub caules, como no exemplo anterior. De um modo geral, mesmo que não haja esta identificação entre os caules e as classes, o aspecto gráfico apresentado pelo caule-e-folhas e pelo histograma é idêntico, dando a mesma informação sobre a forma como se distribui a variável subjacente aos dados. De um modo geral, existe maior flexibilidade na construção do histograma, na medida em que não temos as restrições na construção das classes, que temos no caule-e-folhas para a construção dos caules, sendo esta uma grande vantagem dos histogramas relativamente aos caule-e-folhas. Por outro lado, o caule-e-folhas tem a vantagem de manter a informação existente na amostra, não havendo necessida- de de construir previamente as classes, que é uma operação que introduz sempre alguma subjectividade na construção do histograma. Ut i l i zação do caul e- e- f ol has par a compar ar 2 amost r as O gráfico caule-e-folhas é muito útil para comparar observações que digam respeito à mesma variável, mas que tenham sido recolhidas de grupos (populações) distin- tos. Ex empl o – O t empo de sono do Pedr o e do Dav i d 3 . A seguir apresentam-se os tempos de sono (em horas), medidos durante 30 noites seguidas, de dois jovens. Compare-os. Pedro David 8.7 9.3 8.7 7.1 9.5 7.1 9.4 5.3 7.4 8.3 7.1 7.4 6.6 7.3 6.3 7.1 7.5 7.4 6.0 6.7 5.9 7.9 7.9 7.8 6.9 5.8 10.0 7.5 6.4 6.2 9.9 4.7 6.5 6.2 6.2 8.6 6.3 5.6 8.6 8.2 7.5 8.4 8.9 5.9 7.7 8.7 7.7 6.6 10.1 9.4 9.0 8.5 7.6 8.1 9.6 7.6 7.9 7.6 8.8 7.1 Para representar os caule-e-folhas paralelos, determinamos os caules (comuns) a partir da amostra de maior amplitude, ou seja, neste caso, dos dados correspon- dentes ao David. 3 Adaptado de Graça Martins (2005), p. 55. Organização e tratamento de dados 99 7 4. 3 5* 9 9 8 6 5. 3 3 0 6* 2 2 2 4 9 7 6 5 6. 6 4 3 7* 1 1 1 1 1 4 4 9 7 6 7. 5 5 5 6 6 7 8 9 9 8* 1 2 3 4 9 7 7 6 8. 5 6 7 8 4 4 3 0 9* 9 6 9. 5 1 0 10* Os dados relativamente ao Pedro encontram-se para o lado esquerdo, enquanto que os referentes ao David estão para o lado direito. A representação anterior per- mite realçar a maior dispersão do sono do Pedro, enquanto que o David é mais regular, com uma duração de sono de um modo geral entre as 7 e as 8 horas. Tar ef a (Para os alunos mais novos) – Vamos compar ar as i dades dos nossos pai s e das nossas mães. O professor sugere ao alunos da turma a elaboração de um estudo para averiguar as idades dos pais dos alunos. Para recolher a informa- ção sobre as idades, o professor divide algumas folhas de papel A4, cor-de-rosa e azul, em 8 partes e dá a cada aluno uma parte azul e uma parte cor-de-rosa, com a indicação de as trazer no dia seguinte preenchidas da seguinte forma: 1. Cada rectângulo de papel é dobrado ao meio, vinca-se a dobra e tor- na-se a abrir; 2. O rectângulo de papel cor-de-rosa é para escrever a idade da mãe, enquanto que o papel azul é para escrever a idade do pai; 3. No lado esquerdo do rectângulo de papel coloca-se o algarismo das dezenas da idade, enquanto que no lado direito do papel se coloca o algarismo das unidades, que constituirão as folhas 4. Os rectângulos são novamente dobrados ao meio, ficando os alga- rismos pelo lado de fora e as folhas viradas para cima Organização e tratamento de dados 100 Em cada uma de duas cartolinas grandes, uma para colocar os rectângulos cor-de- rosa e outra os rectângulos azuis, desenha-se um eixo vertical e marcam-se, do lado esquerdo desse eixo os algarismos das dezenas (algarismos dominantes), que serão os caules. Agora cada aluno vai colocar os seus rectângulos de papel, que constituem as folhas, junto dos caules respectivos (o algarismo que ficou virado para baixo deve coincidir com o caule onde o aluno coloca o seu rectângulo de papel). Depois de todos os alunos terem colocado os seus rectângulos de papel nos lugares devidos, obteve-se as seguintes representações em caule-e-folhas, uma com as idades das mães e outra com as idades dos pais: Para finalizar, devem ordenar-se as folhas de cada caule: O professor sugere agora aos alunos que em vez de andarem a colocar os rectân- gulos de papel em duas cartolinas separadas, juntem as cartolinas como se apre- senta a seguir e coloquem os rectângulos com as idades das mães para o lado esquerdo e os rectângulos com as idades dos pais para o lado direito, sem esquecer que os menores valores são sempre os que estão mais perto dos caules: Organização e tratamento de dados 101 Eis alguns exemplos de observações que podem evidenciar-se na discussão desta situação por toda a turma: O facto de terem escrito as idades dos pais e das mães em papéis de cor diferente, permite agora comparar facilmente estes dois conjuntos de dados; Se tivessem feito numa cartolina transparente o caule-e-folhas referente a um dos conjuntos de dados, por exemplo a que tem as idades das mães, bastava inverter essa cartolina transparente e fazer coincidir os caules das duas cartolinas, que se obtinha uma representação idêntica à anterior; As representações anteriores permitem concluir que nas mães predominam as idades à volta dos vinte e tal anos, enquanto que nos pais predominam as idades à volta dos trinta e tal anos, isto é, os pais são, de um modo geral, mais velhos que as mães; A mãe mais nova tem 19 anos, enquanto que a mais velha tem 40 anos; O pai mais novo tem 24 anos, enquanto que o mais velho tem 42 anos; A mediana para as idades das mães é igual a 27 anos e meio (como temos um número par de dados, não existe o elemento do meio, pelo que se somam as duas idades do meio dos dados ordenados e divide-se por 2), enquanto que a mediana para as idades dos pais é 33 anos e meio. Tar ef a – Qual a espéci e de mi l ho mai s vant aj osa? 4 Os cientistas desenvolve- ram uma nova variedade de milho, mais rica em certos aminoácidos, constituintes das proteínas, do que o milho normal. Para testar a eficácia desta nova espécie de milho na alimentação animal, foi dada uma ração com este milho, geneticamente modificado, a 20 pintainhos machos, com 1 dia de vida. A um grupo de controlo, constituído por outros tantos pintainhos, com o mesmo tempo de vida, foi dada uma ração idêntica, mas em que o milho modificado foi substituído pelo milho nor- mal. Após 21 dias, o aumento de peso (em gramas) dos pintainhos foi: Milho normal Milho modificado 380 321 366 356 361 447 401 375 283 349 402 462 434 403 393 426 356 410 329 399 406 318 467 407 350 384 316 272 427 420 477 392 345 455 360 431 430 339 410 326 Exemplo de observações que o professor pode partilhar com os alunos ao propor esta tarefa: Pretende-se com esta experiência testar a eficácia de um produto novo, relativamente a um produto habitual. Neste caso, pretende-se saber se o milho modificado é melhor ou pior que o milho normal; 4 Adaptado de Moore (1997b), p. 234. Organização e tratamento de dados 102 A recolha de dados para este tipo de experiência pressupõe que se consti- tuam dois grupos: a um grupo dá-se o produto que se quer testar e ao outro grupo, que se chama grupo de controlo, dá-se o produto habitual; Este tipo de experiência é muito utilizado quando se pretende testar a eficá- cia de um novo medicamento. Por vezes, ao grupo de controlo dá-se aquilo a que se chama um placebo. Um placebo é um produto aparentemente idên- tico ao produto que se quer estudar, mas sem as mesmas propriedades químicas. Os indivíduos que tomam o placebo, pensam que estão a tomar o medicamento. Está provado que apesar de o placebo ser uma substância inerte, tem propriedades terapêuticas, pois o facto de um indivíduo estar a tomar uma substância que pensa que o vai curar, contribui para a cura – é o chamado “efeito placebo”. Quando se escolhem os indivíduos para os grupos que vão constituir o grupo do verdadeiro medicamento e o grupo do place- bo, estes não sabem a que grupo pertencem. Para representar os dados anteriores, o professor deve analisar os dados com os alunos para os ajudar na escolha dos caules convenientes. Uma situação possível seria escolher para caules os dois primeiros dígitos, mas esta escolha originaria um número demasiado grande de caules: ficaríamos com mais caules do que dados! Uma outra possibilidade será escolher para caules o algarismo das centenas originando 3 caules. Mas se escolhermos para caules o algarismo das centenas, como escolher então as folhas, já que ficamos depois com dois algarismos? Tem-se duas alternativas: ou se trun- cam todos os dados, do último algarismo, ficando com 2 algarismos, ou se consideram folhas com 2 dígitos. A primeira alternativa é a mais utilizada, embora as duas representações finais sejam idênticas. Algumas sugestões de representações: Milho normal Milho modificado 7 8 2 6 4 1 8 5 9 2 5 4 5 6 2 8 3 6 7 9 1 9 3 2 4 4 0 3 0 2 0 6 0 2 2 7 3 1 ou Milho normal Milho modificado 72 83 2 60 45 16 84 50 99 29 56 49 56 66 21 80 3 61 75 93 18 92 39 26 31 55 10 62 02 4 47 01 34 03 26 06 67 07 27 20 77 30 10 ou ainda, considerando na primeira das representações anteriores 2 sub caules para cada caule, já que se encontram penduradas um número exagerado de folhas num dos caules Milho normal Milho modificado 8 7 2. 4 4 2 2 1 3* 1 2 3 9 8 8 6 6 5 5 5 3. 6 7 9 9 3 1 0 4* 0 0 0 0 1 2 2 2 3 3 4 6 5 4. 6 7 O professor pode utilizar a última representação para pedir aos alunos que con- cluam da eficácia do milho modificado, no aumento do peso dos pintainhos. Pode ainda pedir que calculem a mediana dos dois grupos de dados e que comparem os valores obtidos. Organização e tratamento de dados 103 4. 6. 2 Di agr ama de ex t r emos e quar t i s Utilizando a mediana e os quartis, que se aprendeu a determinar nas duas secções anteriores, juntamente com o mínimo e o máximo que se obtêm directamente a partir da amostra ordenada, pode construir-se uma representação gráfica muito simples, mas que evidencia de uma forma extremamente eficaz a forma como os dados se distribuem. Esta representação construída com base nestes 5 números, chama-se di agr ama de ex t r emos e quar t i s e constrói-se da seguinte forma: 1 – Desenha-se um rectângulo que tem de comprimento a amplitude entre os dois quartis, calculados a partir dos dados, e por altura um valor qualquer, que não tem qualquer interpretação; 2 – Do meio dos lados do rectângulo, perpendiculares à base, saem dois segmentos de recta que unem esses lados respectivamente com o mínimo e o máximo do con- junto dos dados. 3 – No interior do rectângulo desenha-se um traço que assinala a posição da mediana. Na figura seguinte apresentamos o diagrama de extremos e quartis para o conjunto de dados da variável Alt ura de um aluno de uma escola do 1. º ciclo, de que se tem uma amostra de 50 dados, considerados no início da secção 4.5. Para estes dados já construímos, nas secções anteriores, o histograma, o gráfico de caule-e-folhas e obtivemos para a mediana e para o 1.º e 3.º quartis, respectivamente os valores 143, 136 e 147. Dos dados também se verifica que o mínimo é 130 e o máximo 159: Da representação gráfica anterior sobressaem algumas características, nomeada- mente: as alturas não se distribuírem de forma simétrica, tanto na parte central dos dados, como na parte mais afastada do centro; se os dados fossem simétricos, a mediana deveria situar-se a meio do rec- tângulo, o que não acontece; os 25% dos valores superiores também se encontram mais dispersos do que os 25% dos dados inferiores, isto é, existe uma maior variabilidade nas altu- ras dos alunos mais altos; Obser vação - O diagrama de extremos e quartis apresentado anteriormente foi colocado na horizontal. No entanto também poderia ser apresentado na vertical, como na figura seguinte que se obtém quando se utiliza a folha de cálculo Excel: Organização e tratamento de dados 104 Ut i l i zação do di agr ama de ex t r emos e quar t i s par a compar ar vár i as amos- t r as Os diagramas de extremos e quartis, quando colocados em paralelo, são muito úteis para comparar 2 ou mais amostras. Fazem sobressair as semelhanças e dife- renças entre a forma como os dados se distribuem, permitindo comparar a localiza- ção da mediana e dos quartis para as diferentes amostras, assim como a maior ou menor dispersão dos dados. A seguir apresenta-se o diagrama de extremos e quartis paralelos para a tarefa proposta na secção anterior, sobre a eficácia do milho modificado: A representação anterior torna evidente que o milho modificado produz, de um modo geral, maior aumento de peso nos pintainhos. Também se verifica que o aumento de peso apresenta menor variabilidade com este tipo de milho do que com o milho normal, o que significa que ao fim de um certo tempo a tomar a ração composta por milho modificado, os pintainhos têm um aspecto mais uniforme do Organização e tratamento de dados 105 que se tivessem sido alimentados com ração composta com milho normal. Notamos ainda, sobretudo para os dados do milho normal, na parte central dos dados (nos 50% dos dados do meio da amostra ordenada), um ligeiro enviesamento para a direita, isto é, existe uma maior dispersão entre os dados compreendidos entre o 3.º quartil e a mediana, do que entre a mediana e o 2.º quartil. Se não houver inconveniente para a saúde, parece que o milho modificado é uma boa aposta! Ao comparar várias distribuições de dados, devemos estar atentos à: Forma da distribuição; Simetria ou ausência de simetria; Variabilidade apresentada. Os diagramas de extremos e quartis são particularmente úteis para comparamos a distribuição de vários conjuntos de dados, realçando aspectos particulares, como: Comparação das medianas; Comparação da dispersão entre os dados, utilizando as amplitudes entre os quartis; Identificação de possíveis “outliers” (valores muito grandes ou muito peque- nos, relativamente aos restantes). Tar ef a – Qual o númer o de l et r as do nosso nome? Na escola os alunos vão organizar um passeio e o professor propôs que se mandassem fazer camisolas com o primeiro e último nome de cada aluno, no peito. O preço de cada camisola tem um valor fixo, ao qual é acrescido do preço do nome e este é tanto maior quanto mais letras tiver o nome. Por isso, o professor encarregou os alunos de fazerem um estudo sobre o número de letras do nome. 4.7 For mas f r equent es de di st r i bui ção de dados Dada uma amostra, o aspecto do histograma reflecte a forma da distribuição da população de onde os dados foram recolhidos, sugerindo-nos a escolha de um modelo teórico para essa distribuição. Ao agruparmos os dados, perdemos alguma informação contida nesses mesmos dados, mas em contrapartida obtemos informa- ção sobre a estrutura da população que eles pretendem representar. Alguns histo- gramas apresentam formas que, pela frequência com que surgem, merecem refe- rência especial e que referimos de seguida 5 . Di st r i bui ções si mét r i cas A distribuição das frequências faz-se de forma aproximadamente simétrica, relati- vamente a uma classe média: 5 Graça Martins (2005). Organização e tratamento de dados 106 Um caso especial importante de uma distribuição simétrica é aquele que sugere a forma de um "sino". Esta distribuição surge em amostras provenientes de Popula- ções Normais, termo cujo significado será explicado mais tarde, no âmbito das Pro- babilidades. Di st r i bui ções env i esadas A distribuição das frequências faz-se de forma acentuadamente assimétrica, apre- sentando valores substancialmente mais pequenos num dos lados, relativamente ao outro: Di st r i bui ções com caudas l ongas A distribuição das frequências faz-se de tal forma que existe um grande número de classes nos extremos, cujas frequências são pequenas, relativamente às classes centrais: Uma distribuição deste tipo pode ser sintoma da existência de elementos que não pertencem à população ou que foram recolhidos de forma incorrecta (denominados “outliers”). Di st r i bui ções com vár i os " pi cos" ou modas A distribuição das frequências apresenta dois ou mais "picos" a que chamamos modas, sugerindo que os dados são constituídos por vários grupos distintos, ou que há uma mistura de populações com distribuições distintas: Por exemplo, se ao representarmos os pesos de uma amostra de indivíduos, na forma de um histograma e obtivermos uma representação idêntica à anterior, temos sintomas da existência de uma mistura de duas populações distintas. Pode- mos, por exemplo, averiguar se não teremos uma amostra de indivíduos do sexo Organização e tratamento de dados 107 masculino ou feminino, ou até de indivíduos do mesmo sexo mas de classes etárias diferentes. No caso das variáveis contínuas 6 os modelos teóricos são caracterizados pelas cha- madas curvas de densidade. Estas são funções não negativas, que têm a particula- ridade de terem uma área unitária entre o eixo dos xx e o gráfico que as represen- ta. Por exemplo, o seguinte gráfico pode ser considerado a função densidade do modelo Normal, e a sua aplicação pode ser sugerida por um histograma com a forma de “sino”, como o que apresen- támos atrás como caso especial de uma distribuição simétrica. Os histogramas enviesados apresentados anteriormente também sugerem, para as populações de onde as amostras foram seleccionadas, modelos com funções densi- dade com gráficos com o seguinte aspecto: As distribuições com enviesamento para a direita são bem mais frequentes do que as que apresentam enviesamento para a esquerda. Uma variável que pode ser bem modelada por uma distribuição com enviesamento para a esquerda é a idade da reforma de um trabalhador. Efectivamente, a grande acumulação de idades das pessoas reformadas verifica-se à volta da classe etária dos 60 ao 70 anos. Para valores inferiores aos 60 anos há algumas pessoas que se reformam, mas com mui- to menor frequência. Outro exemplo de uma distribuição com um enviesamento para a esquerda é o que se obtém representando graficamente os resultados de um teste demasiado acessível para os alunos a que se destina. A maior parte dos alu- nos tem notas muito boas e só alguns alunos, os que não estudaram nada ou são muito fracos, é que têm uma nota reduzida. Ao contrário de um teste demasiado acessível, temos um teste demasiado difícil. Neste caso, os resultados apresentam uma distribuição com enviesamento para a direita. A representação gráfica de um teste adequado para os alunos a que se destina assemelha-se ao modelo Normal. Espera-se um número razoável de alunos com nota à volta da média das notas, com a frequência de alunos com nota alta ou baixa, a diminuir à medida que nos afastamos daquela média. A seguir apresentamos alguns exemplos com esquemas de histogramas estilizados, que procuram traduzir a distribuição subjacente a várias variáveis quantitativas contínuas. Ex empl o – Sal ár i os de t r abal hador es 7 . Recolheram-se os preços dos salários mensais de três tipos de trabalhadores. Os trabalhadores do grupo B ganham cerca de duas vezes mais do que os trabalhadores do grupo A; os trabalhadores do grupo 6 Graça Martins et al. (2007). 7 Adaptado de Freedman (1991). Organização e tratamento de dados 108 C ganham mais 1500 euros por mês do que os do grupo A. Qual dos esquemas seguintes, de histogramas, se refere a cada um dos grupos? Para resolvermos esta questão, podemos pensar que se se diz que os trabalhadores do grupo B ganham o dobro dos trabalhadores do grupo A, isto significa, por exem- plo, que enquanto a maior parte dos trabalhadores do grupo B aufere um salário à volta de 4000 euros, os do grupo A auferem um salário à volta de 2000 euros. Os trabalhadores do grupo C também têm um salário claramente superior aos do gru- po A. Então é natural esperar que a figura (2) corresponde aos trabalhadores do grupo A, pois é a única cuja média é claramente inferior a 4000. Por outro lado, se os trabalhadores do grupo C ganham 1500 euros a mais do que os do grupo A, isto significa que a distribuição dos salários dos trabalhadores do grupo C terá um aspecto idêntico ao dos trabalhadores do grupo A, mas deslocada para a direita de 1500 euros. Então a figura (3) corresponderá aos salários dos trabalhadores do grupo C. Por exclusão de partes a figura (1) deve corresponder aos salários dos trabalhadores do grupo B, sendo de facto compatível com a condição dada do seu salário ser cerca de duas vezes maior que o dos trabalhadores do grupo A. A distribuição com o aspecto (1) não é muito usual para representar salários, sendo mais usuais as distribuições com o aspecto (2) ou (3). Efectivamente, em geral, a distribuição dos salários tem um aspecto assimétrico, com um enviesamento para a direita. Isto deve-se ao facto de a maior parte dos salários se concentrarem numa determinada região, havendo alguns (poucos) salários que são substancialmente superiores aos restantes, provocando uma cauda da distribuição, alongada para a direita. Ex empl o – Qual o aspect o da di st r i bui ção? 8 . Seguidamente apresentam-se seis esquemas de histogramas, quatro dos quais apresentam os resultados do estudo, numa pequena cidade, das quatro características seguintes: a) Alturas de todos os elementos das famílias, em que os pais tenham idade inferior a 24 anos. b) Alturas dos casais (marido e mulher). c) Alturas de todos os indivíduos da cidade. d) Alturas de todos os automóveis. 8 Adaptado de Freedman (1991). Organização e tratamento de dados 109 Quais dos esquemas de histogramas podem representar cada uma das variáveis anteriores? Pensando na variável que representa a altura de um elemento, escolhido ao acaso, de uma família, em que os pais tenham idade inferior a 24 anos, esperamos obter um histograma com uma mancha idêntica à (2), onde se vislumbram 3 pontos, à volta dos quais se nota uma maior frequência, e que corresponderão à altura dos filhos – entre 80 e 90cm, que para casais com idades inferiores a 24 anos, ainda devem ser muito pequenos, e à altura dos membros do casal ou do marido, respec- tivamente à volta de 165cm e 190cm, aproximadamente: Quando consideramos a distribuição das alturas dos elementos de um casal, é natu- ral esperar um esquema idêntico ao da figura (3), com duas modas, reflectindo que de um modo geral, as alturas dos homens concentram-se em torno de um valor um pouco superior ao valor em torno do qual se concentram as alturas das mulheres. Ao escolher um indivíduo ao acaso, na cidade, esperamos que a distribuição das alturas seja descrita pela figura (4) que apresenta um enviesamento para a esquerda, correspondente às alturas das crianças, que estão em minoria. Finalmente, quando se estuda a variável que representa a altura de um carro, o histograma adequado é o que corresponde à mancha (1) que traduz o facto de os carros terem quase todos a mesma altura, andando à volta de 125cm. Caul e- e- f ol has, hi st ogr ama ou di agr ama de ex t r emos e quar t i s Já na secção 4.6.1, quando apresentámos a representação dos dados em caule-e- folhas, frisámos o facto de a informação transmitida pelo histograma sobre o padrão da distribuição da população subjacente aos dados, ser idêntica à transmiti- da pelo gráfico de caule-e-folhas. Adiantamos que o mesmo se verifica com o dia- grama de extremos e quartis. Por exemplo, as seguintes representações, obtidas para o mesmo conjunto de dados, dão o mesmo tipo de informação, sugerindo que a distribuição da população tem um enviesamento para a direita: Organização e tratamento de dados 110 Como já referimos, quando se faz a representação dos dados, perde-se sempre alguma informação que eles contêm, mas em contrapartida obtemos informação sobre a estrutura da população de onde eles provêm. Das representações gráficas anteriores, aquela em que se perdeu mais informação foi o diagrama de extremos e quartis, mas também foi a mais simples de ser construída – bastou recolher, a par- tir dos dados, informação sobre cinco números (mínimo, máximo, 1.º quartil, 3.º quartil e mediana). Ao construir o histograma também perdemos alguma da infor- mação contida nos dados, uma vez que os agrupámos em classes, mas em contra- partida ficámos com uma ideia do padrão da distribuição subjacente aos dados. A representação em que se perde menos informação é o caule-e-folhas, mas como também já vimos, devido à especificidade da escolha dos caules, a sua construção pode apresentar menos maleabilidade do que o histograma. 4.8 Repr esent ações gr áf i cas e t abel as de f r equênci as par a dados bi v ar i ados Embora a representação de dados bivariados não faça parte do programa do ensino básico, pensamos ser oportuno a introdução de uma breve referência à representa- ção deste tipo de dados. Uma representação gráfica frequentemente utilizada e com grande divulgação na comunicação social, o gr áf i co de l i nha ( ou sér i e t em- por al ) , que abordaremos a seguir, não é mais do que uma representação gráfica da forma como duas variáveis se relacionam uma com a outra, mas numa situação especial, em que uma das variáveis é o tempo. No nosso dia-a-dia temos muitas vezes necessidade de recolher informação sobre duas (ou mais) variáveis acerca do mesmo indivíduo. Por exemplo: quando os pais levam o filho ao pediatra ele recolhe informação sobre o peso e a altura da criança; quando um adulto vai ao médico, este recolhe informação sobre a idade, o peso, o nível de colesterol, a tensão máxima e mínima, etc.; quando alguém pretende comprar um carro, recolhe informação sobre a cilindrada e o consumo médio aos 100km; a um aluno candidato à Universidade pede-se a nota de candidatura e a nota na prova específica (esta prova varia de Faculdade para Faculdade); em estudos económicos estuda-se o salário de um indivíduo e o nível de escolaridade que detém; o governo interessa-se pela evolução da taxa de desemprego, ao longo dos últimos anos; Organização e tratamento de dados 111 para impor uma taxa máxima de álcool para os condutores, o governo encomendou um estudo sobre a associação entre a taxa de álcool e o tempo de reacção; quando troveja, associamos a distância a que se encontra a trovoada, com o tempo que demora o trovão, após vermos o relâmpago; etc. 4. 8. 1 Di agr ama de di sper são Nos casais, espera-se que a idade da mulher esteja relacionada com a idade do marido. Será verdade que quanto mais velha é a mulher, mais velho é o marido? Propomos fazer um estudo sobre esta questão, pelo que vamos utilizar a informa- ção sobre as idades da mulher e do marido da Tar ef a Vamos compar ar as i da- des dos nossos pai s e das nossas mães, da secção 4.6.1. Das representações aí consideradas, já concluímos que os homens tendem a ser mais velhos que as mulheres, mas na verdade nem todos os maridos são mais velhos do que as mulhe- res, nem tão pouco conseguimos saber qual a percentagem de homens que são mais velhos do que as respectivas mulheres. Efectivamente, com os dados relativos aos pais e às mães separados, nada podemos concluir. Uma solução que o profes- sor arranjou, para em qualquer altura recuperar os pares de dados trazidos, pelos alunos, nos dois pedaços de papel, foi numerar (na parte de dentro do papel) com o mesmo número, o par de pedaços de papel dado a cada aluno. Assim, conseguiu- se reconstituir as idades dos casais, que se apresentam na tabela seguinte: Idade da mulher 19 24 20 28 26 25 27 23 32 31 35 32 34 40 Idade do marido 28 29 27 26 31 24 39 33 37 34 35 42 40 41 Representámos num sistema de eixos coordenados os pontos de coordenadas (Ida- de da mulher, Idade do marido), como se apresenta a seguir: Na representação anterior, a que chamamos di agr ama de di sper são, apercebe- mo-nos que, de um modo geral, à medida que a idade da mulher aumenta, tam- bém aumenta a idade do marido. Dizemos de um modo geral, porque nem sempre isso aconteça, mas existe t endência a que homens mais velhos estejam casados com mulheres mais velhas. Di agr ama de di sper são – é uma representação gráfica para dados bivariados (pares de dados) quantitativos, em que cada par de dados (x, y) é representado por um ponto de coordenadas (x, y), num sistema de eixos coordenados. Organização e tratamento de dados 112 Este tipo de representação é muito útil, pois permite realçar algumas propriedades entre os dados, nomeadamente no que diz respeito ao tipo de associação entre as variáveis representadas por x e y. No exemplo anterior, a nuvem de pontos, embo- ra um pouco dispersa, apresenta uma forma alongada, que pode ser representada por uma recta com declive positivo: Quanto mais perto os pontos se dispuserem ao longo de uma recta, maior será o grau de associação entre as duas variáveis. Essa associação diz-se posit iva, se a recta tiver declive positivo. O exemplo anterior é um caso de uma associação posi- tiva. A associação será negativa, se a recta tiver declive negativo. Neste caso, quanto maior for o valor de uma das variáveis, menor será, de um modo geral, o valor da outra variável. Tar ef a – Vamos comer quei j o, mas não ex ager emos... 9 . O queijo, proveniente do leite, é um alimento rico em cálcio. No entanto, é necessário não abusar, já que, de um modo geral, é um alimento muito calórico e a maior parte das vezes rico em gordura. Na tabela seguinte apresentamos, para vários tipos de queijo, a quantida- de de gordura e o número de calorias, por cada 100 gramas de queijo: Al i ment o ( 100g) Gor dur a ( g) Cal or i as Queijo Brie 20 263 Queijo Camembert 23 313 Queijo da Ilha 26 357 Queijo da Serra curado 32 385 Queijo da Serra fresco 27 327 Queijo de Azeitão 25 309 Queijo de Évora 34 412 Queijo de Serpa 26 330 Queijo de Tomar 27 305 Queijo flamengo 20% 8 185 Queijo flamengo 30% 14 246 Queijo flamengo 45% 23 315 Queijo fresco 21 265 9 Adaptado de Graça Martins et al. (2007). Organização e tratamento de dados 113 Queijo Gorgonzola 37 407 Queijo Gruyère 20 315 Queijo Parmesão 28 401 Queijo Roquefort 32 371 Queijo Suíço 29 357 - Alimento com baixo teor em gordura mas podendo ter um elevado conteúdo em calorias. - Alimento intermediário: consumir com moderação. - Alimento rico em gordura: comer pontualmente ou moderar o seu consumo. A tabela anterior permite vários estudos no que diz respeito à quantidade de gordu- ra e ao número de calorias dos diferentes tipos de queijo. Uma possível abordagem é começar por tentar relacionar as duas variáveis Quantidade de gordura (em gra- mas) e Número de calorias. O diagrama de dispersão para estas variáveis tem o seguinte aspecto: No gráfico anterior é nítida a forte associação linear positiva entre a Quant idade de gordura e o Número de calorias, como aliás seria de esperar. Este exemplo, que será abordado mais à frente, pode ser aproveitado pelo professor para discutir com os alunos sobre os malefícios de ingerir alimentos com grande quantidade de gor- dura e já que o queijo faz bem, pois tem cálcio, necessário para uma boa formação dos ossos, devemos escolher os tipos de queijo com menos gordura, que também têm, de um modo geral, menos calorias. 4.8.2 Gr áf i co de l i nhas Um gráfico de linhas é um caso especial de um diagrama de dispersão. É utilizado para representar, visualmente, a forma como uma variável evolui em relação a outra variável, sendo esta outra variável, quase sempre, o tempo. Por exemplo, repare no gráfico que fez parte do Desafio 23 do ALEA (www.alea.pt ) e que foi reti- rado de uma notícia que apareceu no jornal Diário de Not ícias do dia 5 de Abril de 2008. Nesse desafio apresentou-se o gráfico tal e qual como apareceu na comunicação social e fazia parte do desafio responder às questões que se acrescentam a seguir: Organização e tratamento de dados 114 O gráfico apresenta a evolução da facturação total, em milhões de euros, do mer- cado discográfico português de 2000 a 2007. A partir da informação contida no grá- fico, pede-se que se responda a algumas questões. Fonte: AFP Quest ão 1: Embora a tendência da evolução da facturação seja nitidamente decrescente, houve alguns anos em que se verificou um ligeiro crescimento. Ent r e que anos consecut i v os se registou esse crescimento na venda de música grava- da? Qual o val or do cr esci ment o, em per cent agem? Apresenta o resultado aproximado às décimas. Quest ão 2: Na notícia afirma-se que o mercado português da música gravada fac- turou, em 2007, menos 13,7% que em 2006. De acordo com o gráfico, esta afir- mação é verdadeira? Justifica a tua resposta. Quest ão 3: De 2000 para 2007, qual o decréscimo, em percentagem, verificado na facturação discográfica? Apresenta o resultado aproximado às décimas. Este exemplo pode ser trabalhado com os alunos, com o auxílio do professor, quando aqueles estiverem a estudar e a interpretar a variação de uma função representada por um gráfico. Tar ef a – As v endas est ão a cor r er bem? A proprietária de uma livraria, montou, num canto da sala, uma máquina de café, a título de experiência. Os lucros com a venda dos livros estavam a baixar, de modo que a venda do café talvez ajudasse a equilibrar o negócio. Passado algum tempo, decidiu averiguar se o negócio com a máquina de café era compensador. Assim, pediu a um grupo de alunos do 3.º ciclo, da escola ao lado da livraria, que costumavam passar por lá para folhear uns livros, para lhe fazerem um pequeno estudo sobre se valeria a pena continuar com o negócio. Os jovens decidiram ajudar a senhora. Depois de trocarem algumas impressões uns com os outros de como atacar o problema, uma coisa não tinham dúvidas: precisavam de dados! Felizmente a dona da livraria tinha registado as quantias auferidas com a venda do café, nos últimos 20 dias. Os jovens registaram os dados, tendo a senhora garantido que a ordem apresentada, era a ordem pela qual os dados tinham sido recolhidos: 300, 100, 200, 300, 100, 200, 200, 300, 300, 300, 200, 300, 400, 300, 300, 400, 500, 400, 400, 500 Na posse dos dados, começaram a pensar na metodologia a seguir, de forma a extrair alguma informação que pudesse ajudar a proprietária. Nessa discussão, alguns dos alunos decidiram calcular algumas medidas, fazer algumas representa- ções gráficas, ou seja, tentar arranjar alguns processos úteis de conseguir que eles “falassem”, pois aquele conjunto de valores não lhes estava a dizer nada... Organização e tratamento de dados 115 Já todos sabiam calcular a moda e a média, pelo que começaram por aí. No entan- to, um deles alertou para o facto de reduzir um conjunto de dados a 2 medidas era talvez demasiado drástico, pelo que decidiram fazer duas representações gráficas, nomeadamente uma representação em caule-e-folhas e um diagrama de dispersão com os pares (dia, quantia auferida). Ao tomarem esta decisão, tentaram realçar alguns pontos, tais como: Alguns aspectos dos dados apresentados pelo caule-e-folhas, que não sobressaiam a partir do diagrama de dispersão; Alguns aspectos dos dados apresentados pelo diagrama de dispersão, que não sobressaiam a partir do caule-e-folhas; Qual das representações interessaria mais à proprietária da livraria. Apresentamos a seguir um pequeno relatório com a análise dos dados fornecidos pela proprietária da livraria: Relat ório Quest ão – Foi-nos pedido que elaborássemos um estudo, para averiguar se a venda de café na livraria estaria a resultar. A proprietária da livraria, forneceu-nos uma tabela com as vendas nos 20 últimos dias, não nos tendo fornecido mais nenhuma informação, nomeadamente os custos com a manutenção da máquina, os custos do grão de café, ou com a mão-de-obra envolvida neste pequeno negócio. Met odologia ut ilizada – Cálculo de algumas estatísticas: Moda Média Mediana 300 € 300€ 300€ O facto de as 3 medidas anteriores serem iguais, levou-nos a desconfiar que a dis- tribuição dos dados era simétrica, o que se veio a confirmar com o gráfico de caule- e-folhas, que apresentamos a seguir: 10 0 0 20 0 0 0 0 30 0 0 0 0 0 0 0 0 40 0 0 0 0 50 0 0 A distribuição dos dados é simétrica, razoavelmente concentrada em torno da média de 300 euros, não se tendo registado quantias muito baixas ou muito eleva- das. Como a representação anterior não nos diz nada sobre a forma como o negócio está a evoluir, construiu-se um gráfico de linhas, que se apresenta a seguir: Organização e tratamento de dados 116 Evolução das quantias auferidas nos últimos 20 dias Este gráfico é bem elucidativo ao mostrar que o negócio evolui de forma positiva, com tendência para crescer. Esta é uma característica importante, que não era realçada no caule-e-folhas, mas que naturalmente vai interessar à dona da livraria. Conclusão – Tendo em linha de conta a informação que nos foi facultada, concluí- mos que com a venda do café a proprietária aufere uma quantia média diária de 300 euros, havendo uma tendência para este valor aumentar. Tar ef a – Regi st o da t emper at ur a máx i ma e míni ma no Por t o, Li sboa, Far o, Pont a Del gada e Funchal . Pretende-se averiguar se haverá indícios de diferença na temperatura nas três cidades apontadas de Portugal continental, uma do norte, outra do centro e outra do Sul e das duas cidades dos arquipélagos dos Açores e Madeira, respectivamente. Para poderem responder a esta questão, os alunos resolveram fazer uma recolha de dados durante 20 dias. Para fazerem a tarefa, o professor arranjou cinco folhas quadriculadas, uma para cada cidade, como a que se apresenta a seguir. Pendurou na parede, com fita-cola e colocou ao pé das folhas dois lápis, um azul e outro encarnado. Os alunos foram divididos em grupos de dois e cada grupo ficou encarregue de ouvir no noticiário da manhã, num dia especificado pelo professor, sem esquecer os fins-de-semana, a previsão das temperaturas máxima e mínima para as cinco cidades. Quando os alunos chegavam à turma, apontavam com o lápis azul a temperatura mínima e com o lápis encarnado a temperatura máxima, de cada cidade, na folha respectiva. Ao fim dos 20 dias, completam o gráfico de linha unindo os pontos azuis e os pon- tos encarnados. Algumas questões que podem ser abordadas: Qual o valor máximo e mínimo obtido para as temperaturas recolhidas, para cada cidade? No caso das cidades de Portugal Continental, estes valores estarão associados à localização geográfica das cidades? Para cada cidade calcula, para cada dia, a diferença entre a temperatura máxima e a temperatura mínima. Utilizando uma representação gráfica ade- quada, compara os cinco conjuntos de dados obtidos. Se a escolha de dados tivesse sido feita noutra estação do ano, pensas que obterias dados com aspecto diferente? Haverá alguma(s) das cidades onde a estação do ano tenha menor influência do que noutra(s) cidades? Justifica a tua resposta. Organização e tratamento de dados 5 Características amostrais Uma descrição numérica das distribuições de dados é feita através de alguns núme- ros que realçam alguns aspectos específicos da distribuição dos dados, nomeadamen- te no que diz respeito à localização de alguns pontos importantes, como o centro da distribuição, ou à dispersão ou variabilidade apresentada pelos dados. Organização e tratamento de dados 118 Organização e tratamento de dados 119 5.1 I nt r odução Vimos, no capítulo anterior, alguns processos de resumir a informação contida nos dados, utilizando tabelas e gráficos. Veremos, neste capítulo, um outro processo de resumir essa informação utilizando determinadas medi das, na forma de números, calculadas a partir dos dados e que servem para os caracterizar, que se chamam est at íst i cas. Das medidas ou estatísticas que iremos definir, destacam-se as medi das de l ocal i zação, nomeadamente as que localizam o centro da distribuição dos dados, também chamadas medidas de t endência cent ral, e as medi das de di sper são, que medem a variabilidade dos dados. Observemos que, ao resumir a informação contida nos dados na forma de alguns números, estamos a proceder a uma redução "drástica" desses dados. Assim, aque- las medidas devem ser convenientemente escolhidas, de modo a representarem o melhor possível o conjunto de dados que pretendem sumariar. Definiremos várias medidas, mas notamos desde já que não se pode dizer que uma é melhor do que outra, de uma forma geral. Cada uma delas tem as suas vantagens e os seus inconvenientes e a escolha da medida a usar depende do contexto e da situação em causa. No 1.º ciclo só se estuda uma destas medidas – a moda. No 2.º ciclo surgem os conceitos de média aritmética, extremos e amplitude. E, finalmente, no 3.º ciclo, os alunos aprendem a mediana, os quartis e amplitude interquartil, devendo ser capa- zes de escolher as medidas de localização mais adequadas para resumir a informa- ção contida nos dados. O estudo destas medidas não deve redundar na realização de exercícios de cálculo repetitivos, em que a própria natureza dos dados nem che- ga a ser bem discutida, e, frequentemente, se perdem de vista as questões a que se queria responder. Pelo contrário, é na exploração de situações significativas para os alunos – com dados fornecidos pelo professor como os que se apresentam neste capítulo ou com dados recolhidos pelos próprios alunos – que estes conceitos devem ser considerados, aproveitando-se, para isso, as oportunidades relevantes. Como complemento de informação para o professor, para além das medidas de localização e dispersão incluídas no Programa, apresentamos ainda neste capítulo algumas medidas adicionais (percentis, desvio médio absoluto e desvio-padrão). 5.2 Medi das de l ocal i zação Será mesmo necessário utilizar os dois tipos de medidas, isto é de localização e de dispersão, para caracterizar um conjunto de dados? O exemplo seguinte procura responder a esta questão. Suponha que dois alunos do 7.º ano obtiveram as seguintes notas no 3.º período: Pedro 4 3 3 3 3 3 4 3 4 3 João 5 2 2 3 4 3 5 3 3 3 O Pedro e o João tiveram a mesma média de 3.3, mas o João não transitou de ano, pois teve duas negativas. Quer dizer que utilizámos uma medida de redução dos dados, a médi a, que não é suficiente para caracterizar e diferenciar os dois conjun- tos de dados. Efectivamente, se representarmos num diagrama de caule-e-folhas os dois conjuntos, obtemos duas representações com aspecto diferente, já que na Organização e tratamento de dados 120 segunda representação se verifica uma maior variabilidade, isto é, os dados estão mais dispersos: 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 4 4 5 5 5 Para definir as medidas que vão ser utilizadas para resumir a informação contida nos dados, utilizamos a seguinte notação para representar os dados x 1 , x 2 , x 3 , … , x n onde x 1 , x 2 ,...., x n , representam, respectivamente, a 1.ª observação ou 1º dado, a 2.ª observação ou 2º dado, a n-ésima observação ou n-ésimo dado, a serem consi- deradas ou considerados para constituir a amostra de dimensão n. Esta notação não pressupõe uma ordenação. Uma medida de localização é um número que nos dá informação sobre a ordem de grandeza dos dados da amostra, não só da parte central da distribuição dos dados, onde se concentram a maior parte dos dados, como também nas caudas. De entre as medidas de localização, merecem destaque especial as que indicam o cent ro de uma amost ra. Vimos no capítulo anterior que uma representação gráfica adequada para um conjunto de dados contínuos era, por exemplo, o histograma. Vimos também que um histograma pode ter vários aspectos, apresentando, nomeadamente, uma forma simétrica ou enviesada. No caso particular do histo- grama ser perfeitamente simétrico, não há dúvida em dizer qual o centro dessa dis- tribuição: No entanto, a situação anterior, a existir, é muito rara, pois devido à aleatoriedade presente nos dados, os histogramas não apresentam aquele aspecto. Por outro lado, quando o histograma é enviesado, a situação ainda se torna mais complicada, pois é difícil dizer o que é o centro. Existem então, vários processos para definir o centro, cujas medidas não dão necessariamente o mesmo resultado. Destas medi- das destacamos a média e a mediana, a definir seguidamente. Apresentaremos ainda outras medidas de localização, não para representarem o centro da distribuição dos dados, mas sim outros pontos representativos da aglo- meração das caudas, de que destacamos os quartis. Organização e tratamento de dados 121 5.2.1 Médi a A média amostral, ou simplesmente média, é a medida de localização do centro da amostra mais vulgarmente utilizada. Representa-se por x e calcula-se utilizando o seguinte processo: Somam-se todos os elementos da amostra; Divide-se o resultado da soma pelo número de elementos da amostra. Por exemplo, para os dados referentes à variável número de let ras do nome, da Turma de referência, vem que a média do número de letras dos nomes dos primei- ros 10 alunos considerados na tabela, Nome Número de letras no nome Ana Godi nho 10 Ana Sof i a Si l va 13 Andr ei a Sousa 12 Car ol i na Mar t i ns 15 Dani el a Si l va 12 Dav i d Leal 9 Di ogo Ol i v ei r a 12 Fi l i pa Duar t e 12 Hel ena Af onso 12 I nês Mar t i ns 11 Joana Manso 10 João Miguel Ribeiro 17 João Pedro Batista 16 Liliana Isabel Cruz 17 Maria Margarida Cabral 20 Miguel Esteves 13 Nuno Pestana 11 Patrícia Santos 14 Pedro Pinheiro 13 Raquel Loureiro 14 Rita Martins 11 Simão Valente 12 Sofia Matias 11 Tiago Neves 10 é igual a 10 11 12 12 12 9 12 15 12 13 10 = 11,8 O que significa uma média de 11,8 letras para o número de letras dos nomes dos 10 alunos? Obviamente que não há 11,8 letras! O que aquele valor significa é que 12 letras nos dão um valor que representa razoavelmente bem o número de letras dos nomes daqueles 10 alunos, isto é, se pretendêssemos distribuir equitativamente as 118 letras dos nomes dos 10 alunos, dando a cada um o mesmo número de letras, ou um número aproximado de letras, esse valor andaria à volta de 12 letras. Neste caso não poderíamos dar 12 letras a cada um dos 10 alunos, pois seriam necessárias 120 letras, mas poderíamos dar 12 letras a 8 dos alunos e 11 aos 2 restantes e ficavam todos com um número igual ou aproximado de letras. Se em vez do número de letras dos nomes, aqueles valores significassem a quan- tia, em euros, que cada aluno tinha no bolso, e pretendêssemos calcular a média Organização e tratamento de dados 122 das quantias que os 10 alunos tinham nos bolsos, a interpretação do valor 11,8 euros já não traria qualquer problema, pois se quiséssemos distribuir os 118 euros equitativamente pelos 10 alunos, seria possível dar a cada um a mesma quantia, ou seja 11 euros e 80 cêntimos. A média é uma estatística largamente utilizada no dia a dia. Quando um emprega- dor pergunta a um candidato a um emprego, qual a média da sua licenciatura, quer avaliar, a partir de um único número, todo o percurso escolar desse candidato como aluno (estamos a admitir que a média da licenciatura é a média aritmética simples, como a que foi aqui apresentada, o que nem sempre acontece). A média é, aliás, uma estatística com que o aluno se confronta durante todo o percurso escolar! Pode dizer-se que a média é o ponto de equilíbrio de todos os elementos da amos- tra, na medida em que equilibra os valores grandes com os pequenos. Esta caracte- rística pode-se tornar uma vantagem em certas situações: Quando o que se pretende representar é a quant idade t ot al expressa pelos dados, utiliza-se a média. Na realidade, ao multiplicar a média pelo número total de elementos, obtemos a quantidade pretendida! Utilizando a notação introduzida anteriormente para representar a amostra, a média obtém-se a partir da expressão: x = n x ... x x x n 3 2 1 A médi a ser á sempr e uma medi da r epr esent at i v a dos dados? Não, a média nem sempre é uma boa medida para representar os dados. O seguin- te exemplo é elucidativo do que acabamos de dizer. Suponha um aluno que ao longo do ano fez 6 testes, em que teve negativa em 5 deles e uma positiva, no primeiro teste, que era muito simples: 19 8,9 7,8 9,4 8,6 9,3 Pois este aluno teve uma média positiva, igual a 10,5, ou seja 11! Embora todas as notas, menos uma, estejam no intervalo [7,8; 9,4], o valor obtido para a média não reflecte o conjunto das notas do aluno! Uma medida que se pre- tendia representativa dos dados, não está a conseguir esse objectivo, pois se nos disserem que um conjunto de dados tem média 10,5, imediatamente pensamos em Organização e tratamento de dados 123 valores que não se afastam muito deste valor, uns menores e outros maiores, numa proporção aproximada. O que acontece é que a média é muit o sensível a valores muit o grandes ou muit o pequenos, vulgarmente chamados de “outliers”, dizendo-se por isso que é uma medida pouco resist ent e. A pouca resistência vem precisamente do facto de ser muito influenciada e “não resistir” a estes valores, mesmo que existam em pequena quantidade, quando comparados com todos os restantes valores. No caso do exemplo foi o valor 19 que inflacionou a média. Além disso, temos alguma razão para pensar que o aluno efectivamente não deveria ter média positi- va, pois só teve uma boa nota no primeiro teste, ainda por cima muito simples, como é afirmado. Sendo a média uma medida tão sensível aos dados, é preciso ter cuidado com a sua utilização, pois pode dar uma imagem distorcida dos dados que pretende representar! Efectivamente a média constitui um bom resumo dos dados nos casos em que estes se distribuem de forma aproximadamente simétrica, com uma zona central de maior concentração e caudas que não se alonguem demasiado. Esquematicamente podemos posicionar a média da forma que se segue, tendo em conta a representa- ção gráfica na forma de histograma: média média média No histograma do lado esquerdo temos uma figura aproximadamente simétrica, pelo que o centro está bem definido. No histograma do centro o enviesamento para a direita provoca uma deslocação da média para a direita; finalmente no histogra- ma da direita o enviesamento provoca uma deslocação da média para a esquerda. Quando a distribuição dos dados apresenta um grande enviesamento, tem pouco interesse utilizar a média como centro da distribuição dos dados. Aliás, quando a distribuição dos dados não for aproximadamente simétrica é o próprio conceito de “centro da distribuição” que deixa de ter sentido, pelo que nenhuma medida de tendência central tem interesse como resumo da informação contida nos dados. Ex empl o da “ pouca r esi st ênci a” da médi a – Considerando os valores 2, 3, 3 e 4, construímos um diagrama de barras e posicionámos a média. De seguida. alte- rámos um desses valores para estudar o seu comportamento. É interessante verificar que um diagrama de barras (ou histograma) se comporta como um balancé, em que o ponto de apoio é a média. Ao contrário da mediana, como se verá adiante, a percentagem de elementos para um e outro lado da média não é necessariamente igual a 50%. Organização e tratamento de dados 124 Repare-se como varia a média, à medida que se altera um dos dados. Para resta- belecer o equilíbrio entre o valor que está a aumentar e os restantes valores, a média também está a aumentar. Pode- se sempr e cal cul ar a médi a? Não, a média só pode ser calculada para dados quantitativos! Chamamos a atenção para que, com dados de tipo qualit at ivo, não tem sentido cal- cular a média, mesmo que os dados sejam números. Se, por exemplo, temos um conjunto de “1’s” e “2’s” para representar as categorias da variável sexo, em que se utilizou o 1 para representar o sexo masculino e o 2 para o sexo feminino (variável codificada), não tem qualquer significado calcular a média daquele con- junto de dados. A média só se pode calcular para dados quantitativos, quer discre- tos, quer contínuos. Cál cul o da médi a par a dados di scr et os agr upados Em amostras de dados quant it at ivos discret os aparecem muitos valores repetidos e, em vez de se somarem separadamente todos os valores da amostra, podem agrupar-se os valores que se repetem, obtendo-se n n x ... n x n x x k * k 2 * 2 1 * 1 , onde x * 1 , x * 2 , ..., x * k representam os k valores distintos que surgem na amostra e n i representa a frequência absoluta com que surge x * i , i=1, 2, ..., k. Por exemplo, para calcular a média do número de letras do nome dos 24 alunos da turma de referência, podemos considerar a tabela de frequências com os dados agrupados, construída na secção 4.4.2.2 Organização e tratamento de dados 125 Nº de letras no nome * i x Freq. Abs. n i Freq. Rel. f i 9 1 0,042 10 3 0,125 11 4 0,167 12 6 0,250 13 3 0,125 14 2 0,083 15 1 0,042 16 1 0,042 17 2 0,083 20 1 0,042 Total 24 1,000 e utilizá-la para calcular a média do número de letras dos nomes dos 24 alunos: 24 3 1 6 1 4 1 3 1 1 9 x 1 20 2 17 1 16 1 15 2 14 3 2 1 0 obtendo-se para x = 12,8 letras. Na figura seguinte apresentamos a posição da média: O gráfico anterior mostra-nos um enviesamento para a direita na distribuição do número de letras do nome dos 24 alunos. Retirando os valores correspondentes aos 3 nomes com mais letras, esperamos que a média diminua. Efectivamente, calcu- lando agora a média sem esses 3 valores obtemos o valor 12, diminuindo a média de cerca de uma unidade: Sugestão – Verificar como é que se pode calcular a média, quando os dados estão agrupados, utilizando as frequências relativas, em vez de utilizar as frequências absolutas. Organização e tratamento de dados 126 Cál cul o da médi a par a dados cont ínuos agr upados Para dados quantitativos contínuos, já organizados em classes, utiliza-se a fórmula anteriormente apresentada para calcular um valor aproximado para a média dos dados agrupados, sendo agora x * i o representante ou marca da i-ésima classe, que representámos por x’ i , e n i a respectiva frequência absoluta. O valor que se obtém para a média, quando os dados estão agrupados é, neste caso, um valor aproxima- do, já que não estamos a calcular a média com os verdadeiros valores. Assim, utili- zando a t abela de frequências const ruída, na secção 4. 5. 1, para a variável alt ura de um aluno da escola do 1º ciclo Classes Rep. Classe x’ i Freq. Abs. n i Freq. Rel. f i [130, 135[ 132,5 7 0,14 [135, 140[ 137,5 9 0,18 [140, 145[ 142,5 11 0,22 [145, 150[ 147,5 14 0,28 [150, 155[ 152,5 5 0,10 [155, 160[ 157,5 4 0,08 Total 50 1,00 podemos obter um valor aproximado para a média das alturas: 50 4 157,5 5 152,5 4 147,5 1 142,5 9 ,5 1 7 132,5 x 1 1 37 ≈ 143,8cm O valor obtido para a média, considerando os dados agrupados, é uma aproxima- ção do valor obtido quando se consideram todos os dados. Na figura seguinte apresenta-se a posição da média (aproximada) no histograma correspondente à tabela de frequências anterior: A distribuição dos dados não apresenta um grande enviesamento, pelo que a posi- ção da média reflecte razoavelmente bem o centro da distribuição dos dados. Sugestão – Verificar que o valor obtido para a média quando se consideram todos os dados é igual a 142,7cm. Tar ef a – Númer o de v ogai s e de consoant es do nome. Na turma o professor desenhou no quadro uma tabela com 2 colunas e pediu a cada aluno que fosse preencher a tabela, indicando na primeira coluna o número de vogais do primeiro e último nome e na segunda coluna o número de consoantes. Para os nomes dos alunos da turma de referência obter-se-ia a tabela seguinte: Organização e tratamento de dados 127 Nº de vogais Nº de consoantes 5 5 7 6 7 5 6 9 6 6 4 5 8 4 6 6 6 6 4 7 5 5 10 7 8 8 8 9 9 11 6 7 5 6 6 8 6 7 8 6 4 7 6 6 6 5 5 5 a) O professor pediu aos alunos que organizassem os dados numa tabela de fre- quências e construíssem o diagrama de barras para cada um dos conjuntos de dados. Pediu ainda que respondessem às seguintes questões: i) Qual o aspecto apresentado pelos diagramas de barras construídos para os dois conjuntos de dados? ii) A forma apresentada pelos diagramas de barras permite estimar o valor aproximado para as médias dos dois conjuntos de dados? Utili- zando as tabelas de frequência com os dados agrupados, calcule as médias dos conjuntos de dados e compare-as com os valores esti- mados a partir dos diagramas de barras. iii) Os nomes têm, de um modo geral, mais vogais ou mais consoan- tes? O que é que permitiu responder dessa maneira? iv) Quantos alunos têm no nome mais vogais do que a média? E mais consoantes do que a média? Este resultado era esperado a partir das representações gráficas dos dados? Para os dados da turma de referência, as tabelas de frequência e os diagra- mas de barras correspondentes são os seguintes: N.º de v ogai s no nome N.º de vogais N.º de alunos 4 3 5 4 6 9 7 2 8 4 9 1 10 1 Total 24 N. º de consoant es no nome N.º de consoantes N.º de alunos 4 1 5 6 6 7 7 5 8 2 9 2 10 0 11 1 Total 24 Organização e tratamento de dados 128 O gráfico do lado esquerdo é bastante atípico, apresentando 2 modas, com uma das modas, no ponto 6, bastante mais frequente que a outra moda, no ponto 8. Estamos numa situação em que a média não reflecte o comportamento dos dados, mas esperamos que esteja entre o 6 e o 7, mas mais perto do 6. Relativamente ao gráfico do lado direito, temos um enviesamento para a direita, pelo que estimamos que a média do número de consoantes esteja entre o 6 e o 7, talvez mais perto do 7. Utilizando as tabelas de frequências, calcularam-se as médias para o número de vogais e para o número de consoantes dos nomes dos 24 alunos: Média do número de vogais 24 151 1 10 4 5 3 4 24 ... x ≈6,3 Média do número de consoantes 24 156 1 11 4 6 1 4 24 ... x =6,5 Os valores obtidos para as médias estão perfeitamente dentro do intervalo de valo- res que esperávamos obter a partir das representações gráficas. Estes valores levam-nos a concluir que os nomes têm em média, aproximadamente o mesmo número de vogais e consoantes, com alguma predominância de nomes com mais consoantes do que vogais. No que diz respeito aos dados sobre o número de vogais e de consoantes no nome, temos, respectivamente: 16 nomes com um número de vogais inferior à média e 8 nomes com um número de vogais superior à média. 14 nomes com um número de consoantes inferior à média e 10 nomes com um número de consoantes superior à média. Os valores anteriores são sintomáticos da falta de simetria da distribuição dos dados. b) Se à lista de nomes anteriores juntasse o nome da professora, que se chama Maria Natividade Almeida Jorge, espera-se que a média do número de vogais e do número consoantes, se mantenha, aumente ou diminua? Porquê? Como procederia para calcular a média de cada conjunto de dados a que acrescentou mais um elemento? Considerando os dados da turma de referência, esperamos que as médias aumen- tem um pouco, pois estamos a acrescentar a cada um dos conjuntos de dados, um novo dado maior que os restantes, já que o novo nome tem 14 vogais e 13 con- soantes. Para calcular as novas médias vamos aproveitar alguns dos resultados obtidos para calcular as médias anteriores: Média do número de vogais 25 14 151 x =6,6 Média do número de consoantes 8 6 25 13 156 , x Organização e tratamento de dados 129 Apresentamos a seguir algumas tarefas para consolidar os conhecimentos sobre a média. Tar ef a – Desvi os ent r e os dados e a médi a. Na turma o professor perguntou a 10 alunos que tinham o estojo de lápis em cima da mesa, quantos lápis (incluindo lápis de cor) tinham no estojo. As respostas obtidas 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 8, 8, 9, encontram-se representadas no seguinte diagrama de pontos: O professor pediu aos alunos para calcularem o número total de lápis existentes nos 10 estojos, tendo um dos alunos, o Miguel, chegado rapidamente à conclusão que tinham, ao todo, 50 lápis. De seguida o professor perguntou se algum dos alunos saberia dizer com quantos lápis ficaria cada um dos 10 alunos, se se distri- buíssem os 50 lápis por todos, mas de forma igual. Todos responderam ao mesmo tempo que seriam 5 lápis! Cada um dos 10 alunos ficaria com 5 lápis e o gráfico de pontos que ilustra esta situação é o seguinte Imagine que a linha horizontal representa um balancé que está em equilíbrio no ponto de apoio assinalado no ponto 5. Existem agora vários processos de manter o balancé em equilíbrio, mas sem estarem todos os valores acumulados no ponto 5. Vejamos algumas situações: Deslocamos um dos pontos para a posição 7, mas para que o balancé mantenha o equilíbrio teremos de proceder de uma de duas maneiras: ou deslocamos um dos valores para a posição 3 ou 2 valores para a posição 4, como se apresenta a seguir Se tivéssemos deslocado um dos pontos para a posição 8, em vez da posição 7, para que o balancé mantivesse o equilíbrio teríamos de proceder de uma das seguintes formas: Organização e tratamento de dados 130 Peguemos na última situação e desloquemos um outro ponto da posição 5 para a posição 9. Como contrabalançar este ponto que afastámos da posição onde estava de 4 unidades (9-5=4)? Teremos de deslocar outro ou outros pontos da posição 5, mas agora para o lado esquerdo e de tal modo que as distâncias somem também 4 unidades. Uma situação possível é a que se apresenta a seguir (verifique se há mais situações possíveis): Colocámos 2 pontos na posição 3, pois a soma das suas distâncias à posição 5 é igual a 4 ((5-3)+(5-3)), como se pretendia. Retiremos ainda um outro ponto da posição 5 e coloquemos na posição 8. Para compensar este afastamento de 3 unidades, podemos deslocar para o outro lado, e a igual distância, um outro ponto: Repare-se que a representação a que chegámos, foi a que nos foi dada inicialmen- te, representando a distribuição dos dados. Da forma como chegámos a esta repre- sentação, verificamos que distância total dos pontos superiores a 5, é igual à dis- tância total dos pontos inferiores a 5: Organização e tratamento de dados 131 Este ponto que goza desta propriedade é precisamente a média que, como já tínhamos afirmado anteriormente, é o ponto de equilíbrio da distribuição dos dados. Se em vez de falarmos em distâncias, falarmos nas diferenças entre os valores e a média, obviamente que as diferenças entre os valores abaixo da média e a média têm sinal negativo. Como a soma dessas diferenças é igual, em valor absoluto, à soma das diferenças dos valores acima da média, para a média, vem que a soma das diferenças entre todos os valores da amostra e a média, é igual a zero. Pr opr i edade – Se a todos os valores da amostra, subtrairmos a média, a soma das diferenças obtidas é igual a zero. (x 1 - x ) +(x 2 - x ) +…+(x n - x ) =0 Repare-se que a propriedade anterior é uma consequência directa do facto da média ser o ponto de equilíbrio da distribuição dos dados. Para valores superiores à média, as diferenças são positivas mas para valores inferiores à média, as diferen- ças são negativas, sendo os totais das diferenças dos valores acima da média e abaixo da média iguais em valor absoluto. Tar ef a – Quai s as i dades dos meus f i l hos? Qual a mi nha i dade? Qual a i da- de da mi nha mul her ? – O professor chegou à turma e disse: a média das idades dos meus 4 filhos é 4 anos. O mais novo tem 2 e o mais velho 8. Que idades podem ter os meus dois outros filhos? O professor desenhou no quadro o gráfico de pontos que ilustrava a situação que acabava de descrever: 2 4 8 média Entretanto desenrolou-se o seguinte diálogo: Miguel (aluno): Oh professor, os outros dois filhos são gémeos? Professor: Por acaso são! Miguel: Então têm 3 anos, porque se a média é 4, a distância que vai do 8 ao 4 é 4, e a que vai do 2 ao 4 é 2, pelo que falta somar 2 unidades, para que o total das Organização e tratamento de dados 132 distâncias dos valores superiores a 4 seja igual ao total das distâncias dos valores menores que 4. Se considerar dois pontos no valor 3, fica tudo certo! 2 4 8 média As idades dos filhos do professor são 2, 3, 3 e 8 anos. Comentário – Como a idade é uma variável, que embora seja contínua, é conside- rada em números inteiros, poder-se-ia dar o caso de os filhos não serem gémeos e terem ambos 3 anos. Também se poderia dar o caso de um dos filhos ter também 2 anos, como o irmão mais novo e o outro ter 4 anos. Mas o diálogo não acabou aqui... Professor: a média das idades dos meus filhos com a minha idade é igual a 9 anos. Que idade tenho eu? Tiago (aluno) – Oh professor, eu vou fazer aqui umas contas rápidas e já lhe digo! Professor – Explica essas contas que vais fazer, para todos ouvirmos. Tiago – Sabemos que 9 8 3 3 2 5 professor idade 9 16 5 professor idade Então 16+idade professor=45 e portanto Idade professor=29 anos Professor – Muito bem, Tiago. Conseguiste calcular a minha idade utilizando a defi- nição da média. Miguel - Oh professor, eu sei resolver isto de outra maneira! Professor – Então explica-nos como é que fazes. Miguel – Todas as idades dos seus filhos são inferiores à média, que é 9. Calculei as distâncias dessas idades à média Idades Distâncias para a média 2 9-2=7 3 9-3=6 3 9-3=6 8 9-1=1 Total 20 Pelas contas que acabei de fazer, sei que a idade do professor tem de ser superior à média de 20 unidades. Então a idade do professor é 29 anos, pois 20+9=29! Professor – Muito bem Miguel. Mas agora ainda quero colocar outra questão. Qual é a média das idades da minha família, sabendo que a minha mulher tem 28 anos? Organização e tratamento de dados 133 André – Vou responder eu! Se a soma das idades dos filhos do professor com a idade do professor é 45 anos, como vimos há pouco, então temos anos ,2 12 6 73 6 28 45 A média é aproximadamente 12 anos. Professor – Muito bem André. Vejo que não te enganaste ao colocar no denomina- dor o valor 6, pois estamos a fazer a média das idades de 6 pessoas. Estava com receio que colocasses no denominador 2, por no numerador só teres 2 parcelas. André – Mas a primeira parcela já é o resultado da soma de 5 valores e eu para poupar tempo não os escrevi todos e pus logo o resultado. Tar ef a – I dade médi a dos f i nal i st as do cur so de Mat emát i ca de 1950. No jantar comemorativo dos 50 anos do curso, chegou-se à conclusão que a idade média dos matemáticos presentes era 71,5 anos. No ano seguinte os convivas resolveram comemorar de novo e, ao calcular a idade média dos presentes, che- gou-se à conclusão que esta tinha descido e era 71,2 anos. Como é possível que, tendo a idade dos presentes aumentado de um ano, a média tenha baixado? Vamos ver de seguida uma outra medida de localização do centro da amostra, alternativa à média – a mediana. 5.2.2 Medi ana A mediana é um valor que divide a amostra ao meio: metade dos valores da amos- tra são inferiores ou iguais (não superiores) à mediana e os restantes são maiores ou iguais (não inferiores) à mediana. Por outras palavras, até à mediana (inclusive) está, quanto muito, 50% da amostra; para lá da mediana (inclusive) está também, quanto muito, 50% da amostra. Como obter a mediana? Para determinar a mediana é fundamental, começar por or denar os dados. Entre- tanto podem-se verificar duas situações, quanto à dimensão da amostra: Se a dimensão da amostra é ímpar, há um dos elementos da amostra orde- nada que tem tantos elementos para a esquerda como para a direita e esse elemento cent ral é a mediana. Se a dimensão da amostra é par, não há nenhum elemento que tenha a propriedade de a dividir ao meio. Há dois valores cent rais e define-se a mediana como sendo a média aritmética desses dois valores. Vejamos como calcular a mediana para alguns valores das dimensões das amos- tras: Organização e tratamento de dados 134 N ímpar Valor de n – dimensão da amostra A mediana é o elemen- to na posição: 3 2ª 5 3ª 7 4ª 9 5ª 11 6ª ... … ... 27 14ª ... ... ... n 2 1 n N par Valor de n – dimensão da amostra A mediana é a semi- soma dos elementos nas posições: 4 2ª e 4ª 6 3ª e 4ª 8 4ª e 5ª 10 5ª e 6ª 12 6ª e 7ª ... … ... 26 13ª e 14ª ... ... ... n 2 n e 2 n +1 Repare-se que da forma como se calcula a mediana, quando a dimensão n da amostra é ímpar, a mediana é um elemento da amostra. Quando n é par, só será um elemento da amostra se os dois elementos centrais forem iguais. Uma regra prática para obter a posição da mediana consiste em fazer o quociente 2 1 n : Se este quociente for um número inteiro, o que se verifica quando n é ímpar , toma-se para mediana o elemento nessa posição; Organização e tratamento de dados 135 Se este quociente terminar em 0,5, o que se verifica quando n é par , consi- dera-se a sua parte inteira e faz-se a semi-soma do elemento a que corres- ponde essa ordem, com o elemento da ordem seguinte. Por exemplo, suponhamos que se pretende saber qual a mediana do número de letras do nome dos alunos da turma de referência: 10, 13, 12, 15, 12, 9, 12, 12, 12, 11, 10, 17, 16, 17, 20, 13, 11, 14, 13, 14, 11, 12, 11, 10 Para calcular a mediana é necessário começar por ordenar a amostra: 9, 10, 10, 10, 11, 11, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 13, 14, 14, 15, 16, 17, 17, 20 Temos 24 elementos, pelo que a mediana é a semi-soma dos elementos da 12.ª posição ( 5 12 2 1 24 , ) e da 13.ª posição. Como os elementos nestas posições são iguais a 12, a mediana é 12. Esquematicamente podemos posicionar a mediana da forma que se segue, tendo em conta a representação gráfica na forma de histograma: mediana mediana mediana Ao contrário da mediana que “divide” o histograma em duas partes com áreas iguais, a média, como vimos, é o ponto de equilíbrio do histograma, em que se entra em linha de conta não só com a frequência das classes, mas também, com a distância a que estão do centro. Assim, na figura anterior, enquanto que no histo- grama do lado esquerdo, a média coincidirá com a mediana, no do centro, que apresenta um enviesamento para a direita, a média será “puxada” para a direita da mediana. Por outro lado, no histograma que apresenta o enviesamento para a esquerda, a média será “puxada” para a esquerda da mediana: média mediana< mediana média< Como já referimos, a média, ao contrário da mediana, é uma medida muito pouco resistente, isto é, é muito influenciada por valores "muito grandes" ou "muito pequenos", mesmo que estes valores surjam em pequeno número na amostra. Estes valores, que chamámos de “outliers”, são os responsáveis pela má utilização da média em muitas situações em que teria mais significado utilizar a mediana. Organização e tratamento de dados 136 Por exemplo, na situação considerada para exemplificar a pouca resistência da média, e que voltamos a apresentar a seguir, verifica-se que, ao contrário da média, a mediana não se altera, quando se altera um dos dados: A mediana tem como principal desvantagem o facto de, no seu cálculo, só fazer intervir 1 ou 2 valores da amostra. No entanto, esta desvantagem transforma-se em vantagem, por comparação com a média, quando a distribuição da amostra é muito enviesada. A mediana é muito resistente e não é afectada pelos valores extremos, como acabámos de ver no exemplo anterior, em que a mediana não de alterou. Resumindo, como a média é influenciada quer por valores muito grandes, quer por valores muito pequenos, se a distribuição dos dados for enviesada para a direita (alguns valores grandes como out liers), a média tende a ser maior que a mediana; se for aproximadamente simétrica, a média aproxima-se da mediana e se for enviesada para a esquerda (alguns valores pequenos como out liers), a média tende a ser inferior à mediana. Representando as distribuições dos dados (esta observa- ção é válida para as representações gráficas na forma de diagrama de barras ou de histograma) na forma de uma mancha, temos, de um modo geral (Graça Martins, 2005): Observe-se que o simples cálculo da média e da mediana nos pode dar informação sobre a forma da distribuição dos dados. Organização e tratamento de dados 137 Cál cul o da medi ana quando os dados est ão agr upados No estudo de dados qualitativos ordinais (isto é, onde se pode considerar uma ordem subjacente às categorias) faz sentido indicar a categoria mediana. A catego- ria mediana é aquela onde, pela primeira vez, a frequência relativa acumulada atinge ou ultrapassa os 50%. Esta mesma definição serve para identificar a classe mediana no caso de se estar perante dados agrupados, quer sejam discretos, quer sejam contínuos. Consideremos o exemplo apresentado na secção anterior sobre a variável número de let ras no nome dos alunos da turma de referência, cuja tabela de frequências se apresenta a seguir: N.º de letras no nome * i x Freq. Abs. n i Freq. Rel. f i 9 1 0,042 10 3 0,125 11 4 0,167 12 6 0,250 13 3 0,125 14 2 0,083 15 1 0,042 16 1 0,042 17 2 0,083 20 1 0,042 Total 24 1,000 Para podermos calcular a mediana, a partir da tabela dos dados agrupados, vamos juntar à tabela uma nova coluna com as frequências relativas acumuladas: N.º de letras no nome * i x Freq. Abs. n i Freq. Rel. f i Freq. Rel. Acum. % 9 1 0,042 4,2 10 3 0,125 16,7 11 4 0,167 33,4 12 6 0,250 58, 4 13 3 0,125 70,9 14 2 0,083 79,2 15 1 0,042 83,4 16 1 0,042 87,6 17 2 0,083 95,9 20 1 0,042 ≈1 Total 24 1,000 Reparando na tabela, verifica-se que a frequência relativa acumulada atinge o valor 50% quando se soma a frequência relativa correspondente ao valor 12. Então a mediana é igual a 12. Numa tabela idêntica à anterior, com os dados agrupados, pode-se verificar uma situação especial como a que se apresenta a seguir: N.º de letras no nome * i x Freq. Rel. f i Freq. Rel. Acum. % 9 0,042 4,2 10 0,125 16,7 11 0,200 36,7 12 0,133 50, 0 13 0,125 62,5 14 … … 15 … … 16 … … 17 … … 20 … ≈1 Total 1,000 Organização e tratamento de dados 138 Na tabela anterior verifica-se que 50% dos alunos têm nomes com 12 ou menos letras e os outros 50% têm nomes com 13 ou mais letras. Esta situação só se pode verificar se o número de elementos da amostra for par. Como vimos anteriormente, neste caso a mediana será a semi-soma dos dois elementos centrais, pelo que a mediana seria 12,5. No caso de se tratar de uma variável contínua, como por exemplo a variável alt ura de um aluno da escola do 1.º ciclo, estudada na secção 4.5.1 e cuja tabela se apre- senta a seguir, a classe mediana também se consegue identificar facilmente, pois basta verificar qual a classe a que corresponde uma frequência acumulada igual a 50%: Classes Representante da Classe x’ i Freq. Abs. n i Freq. Rel. f i Freq. Abs. Acum. Freq. Rel. Acum. Freq. Rel. Acum. (%) [130, 135[ 132,5 7 0,14 7 0,14 14 [135, 140[ 137,5 9 0,18 16 0,32 32 [140, 145[ 142,5 11 0,22 27 0,54 54 [145, 150[ 147,5 14 0,28 41 0,82 82 [150, 155[ 152,5 5 0,10 46 0,92 92 [155, 160[ 157,5 4 0,08 50 1,00 100 Total 50 1,00 Da tabela anterior conclui-se que a classe mediana é a classe [140, 145[. No entan- to, ao contrário do que se verifica com as variáveis discretas agrupadas, em que a mediana está bem determinada, no caso de dados contínuos a classe mediana depende do agrupamento que se fizer para os dados. Vimos na secção 4.5.2 um processo de obter um valor aproximado para a mediana a partir da tabela de fre- quências ou a partir do histograma acumulado. Nota – Não existe uma notação única para representar a mediana. As notações mais usuais são m, M ou Me. Tar ef a – Not as no t est e de Mat emát i ca das t ur mas 9.º A e 9.º B. Na turma o professor apresentou as notas que os seus alunos das turmas 9.º A e do 9.º B tinham tido no mesmo teste a Matemática. Pretendia que os alunos lhe dissessem qual seria a turma que teve um melhor desempenho no teste. Notas da Turma 9.º A 10,6 9,8 10,4 10,8 11,2 10,2 11,6 10,6 9,8 12,2 12,4 11,4 10,8 13,8 8,6 10,4 11,2 11,8 10,6 11,6 Notas da Turma 9.º B 9,4 10,0 11,0 8,2 13,6 10,0 9,4 11,2 9,8 12,6 15,6 7,2 16,8 10,8 9,4 8,8 11,2 7,4 12,4 15,0 Para comparar as duas turmas, o professor sugeriu que os alunos se organizassem em grupos e cada um dos grupos tentaria retirar alguma informação relevante a partir dos dados. Depois de alguma discussão, ficou decidido que um dos grupos iria fazer uma representação gráfica dos dados e um outro grupo iria apresentar os resultados utilizando a média e a mediana, para terem uma ideia do comportamen- to global das turmas. Os outros grupos não especificaram qual a forma como iriam pegar no problema, pelo que se houvesse alguma informação relevante que não tivesse sido apresentada pelos 2 grupos, também interviriam na apresentação final das conclusões. Organização e tratamento de dados 139 Antes de começarem a organizar os dados, um aluno reparou que na turma B tinha havido uma nota muito boa, mas este facto não significava que a turma B tivesse tido um melhor desempenho. O comportamento individual não reflecte o compor- tamento da turma. Apresent ação do 1. º grupo O professor pediu-nos para compararmos os resultados num teste a Matemática, dos alunos do 9.º A e do 9.º B. Para termos uma ideia do comportamento global das notas, decidimos representar os dois conjuntos de dados numa representação em caule-e-folhas, que tem a mais valia de permitir obter, de uma forma muito simples, os dados ordenados: Notas da Turma 9.º A Notas da Turma 9.º B 7 2 4 6 8 2 8 8 8 9 4 4 8 4 6 4 8 6 2 8 4 6 10 0 0 8 6 8 2 4 6 2 11 0 2 2 4 2 12 6 4 8 13 6 14 15 6 0 16 8 Numa primeira análise, as representações gráficas anteriores permitem-nos con- cluir que os alunos da turma A foram mais regulares, havendo uma concentração de notas à volta dos valores 10 e 11, o que nos leva a sugerir que a média deve estar compreendida entre estes dois valores. Se se considerar que uma nota supe- rior a 9,5 é positiva, podemos dizer que na turma A houve apenas uma negativa. No que diz respeito à turma B, houve alunos com notas mais baixas mas, em con- trapartida, também houve alunos com notas mais altas. Como se pode ver, houve uma maior dispersão das notas. No que diz respeito à média, estimamos que deve estar perto de 11. Apresent ação do 2. º grupo Temos dois conjuntos de dados, referentes às notas de duas turmas e pretendemos averiguar qual a turma que teve um melhor desempenho no teste. Vamos utilizar como medidas de comparação a média e a mediana. Na utilização da média temos que ter os cuidados devidos, já que esta medida é muito pouco resistente, sendo facilmente influenciada por valores grandes ou pequenos, ou seja, valores que saiam fora do âmbito da maior parte dos restantes. Para calcular a mediana temos de ter os dados ordenados, que se apresentam a seguir: Notas da Turma 9.º A 8,6 9,8 9,8 10,2 10,4 10,4 10,6 10,6 10,6 10,8 10,8 11,2 11,2 11,4 11,6 11,6 11,8 12,2 12,4 13,8 Notas da Turma do 9.º B 7,2 7,4 8,2 8,8 9,4 9,4 9,4 9,8 10,0 10,0 10,8 11,0 11,2 11,2 12,4 12,6 13,6 15,0 15,6 16,8 Utilizando a expressão que nos permite calcular a média, concluímos que os dois conjuntos de dados têm a mesma média, igual a 10,99. O cálculo da mediana Organização e tratamento de dados 140 pode-nos trazer mais alguma informação interessante sobre as notas das duas turmas. Como temos um número par de dados, a mediana será a semi-soma dos elementos de ordem 10.ª e 11.ª, na amostra ordenada. Resumimos na seguinte tabela as características amostrais média e mediana dos dois conjuntos de dados: Média Mediana Notas turma A 10,99 ≈ 11 10,8 ≈ 11 Notas turma B 10,99 ≈ 11 10,4 ≈ 10 Os resultados anteriores são sintomáticos da falta de “regularidade” anunciada pelos nossos colegas, quando apresentaram a representação gráfica dos dados. Efectivamente, enquanto que na turma A a média e a mediana são muito próximas, o mesmo não acontece na turma B, sintoma da falta de simetria dos dados. Con- cluímos também que nesta turma, 50% dos alunos têm nota menor ou igual a 10,4. Uma investigação mais cuidada aos dados ordenados, permite-nos verificar que na turma A, só 30% dos alunos é que têm nota menor ou igual a 10,4. Se além disso nos preocuparmos com a percentagem de notas negativas, verificamos que na turma A só houve uma negativa, ou seja 5% de negativas, enquanto que na turma B houve 7 negativas (ou seja, 35%). Somos assim de opinião, que a turma A teve um melhor desempenho, embora na turma B tenha havido as duas melhores notas do teste. Tar ef a – Médi a ou medi ana dos sal ár i os? O professor chegou à aula e colocou a seguinte situação que lhe tinha sido colocada por um amigo que trabalha numa empresa que emprega 160 trabalhadores. Na empresa, iam em breve discutir um aumento de salários e o administrador estava um pouco renitente em dar um aumento superior à inflação, pois alegava que a média dos salários naquela empre- sa, estava de acordo com a média dos salários auferidos pelos trabalhadores daquele ramo de actividade. O amigo do professor estava confuso com esta situa- ção, pois tinha comparado salários de vários amigos seus, de outras empresas, e quase todos ganhavam mais que ele. Como explicar esta situação? Dados fornecidos pelo amigo do professor, sobre os 6 níveis de salários existentes na empresa: Salário (em euros) 400 450 600 700 1000 5000 Nº empregados 23 58 50 20 7 2 Quando o professor apresentou a tabela anterior, houve logo um aluno, o Miguel, que interpelou o professor, tendo-se estabelecido o seguinte diálogo: Miguel – Oh professor, eu acho que a média não é uma boa medida para caracteri- zar esses dados! Professor – Então porquê, Miguel? Miguel – Porque estou a ver que há dois salários que são muito grandes, quando comparados com os restantes. Como nós aprendemos que a média não é uma medida boa quando há destes valores “esquisitos”, de certeza que esses dois salá- rios vão fazer com que a média, venha “grande” e acaba por ser uma medida enganadora. Professor – A esses valores esquisitos de que falas, dá-se o nome de “outliers”, que efectivamente quer dizer “estranhos”, fora do contexto dos restantes. Mas então o que é que propões? Miguel – Penso que se deve calcular a mediana. Organização e tratamento de dados 141 Professor – Vamos então calcular a mediana e a média e aproveitamos para com- parar os dois resultados. Cálculo da média: 160 2 5000 7 100 20 700 50 600 58 450 23 400 x x ≈ 602 euros Cálculo da mediana: Para calcular a mediana considera-se a tabela das frequências relativas acumuladas Salário (em euros) 400 450 600 700 1000 5000 Nº empregados 23 58 50 20 7 2 Freq. Rel. (%) 14,38 36,25 31,25 12,50 4,38 1,25 Freq. Rel. acum. (%) 14,38 50, 63 81,88 94,38 98,75 100,00 A partir da tabela anterior concluímos que a mediana é 450 euros, porque corres- ponde ao valor em que se atingiu a frequência relativa acumulada de 50%. O Miguel tinha razão. A mediana dá-nos uma ideia mais correcta do nível dos salá- rios, que são de um modo geral baixos. Na verdade 50% dos salários são menores ou iguais a 450 euros. A média é muito superior à mediana, o que acontece sobre- tudo devido aos 2 salários de 5000 euros, eventualmente dos administradores, que inflacionaram a média. Repare-se que, dos 160 trabalhadores, só 29 é que têm um salário superior à média. O professor decidiu falar com o amigo e sugerir-lhe que na discussão sobre os aumentos dos salários invocassem o facto de a mediana ser tão baixa. Se os admi- nistradores ainda continuassem a querer utilizar a média, como medida de referên- cia, então deviam sugerir-lhe que não contassem para a média os 9 salários mais altos. A distribuição ainda continha algum enviesamento para a direita, mas agora a média viria igual a 525, mais próxima da mediana. Uma sit uação caricat a – Num autocarro viajavam 25 trabalhadores da empresa X, que em média ganhavam 450 euros por mês. O nível de vida destes trabalhadores aumentou de um momento para o outro, quando entrou no autocarro o administra- dor da empresa, pois passaram a ganhar muito mais, em média! Tar ef a –Númer o de ci gar r os f umados por di a 1 . O professor apresentou na aula um histograma que representa o resultado de um estudo sobre o Tabaco e a Saúde Pública e em que é apresentado o número de cigarros que é fumado por dia por indivíduos do sexo masculino: 1 Adaptada de Freedman et al. (1991). Organização e tratamento de dados 142 Nesse estudo era dito que os intervalos considerados para o número de cigarros por dia incluíam o limite superior e não o limite inferior e que a percentagem de homens que fumava 10 ou menos cigarros, por dia, era de 15%. Algumas questões relativamente ao estudo apresentado: a) Qual a percentagem de homens que fuma mais de meio maço, mas não mais de 1 maço, por dia? b) Qual a percentagem de homens que fuma mais de um maço, mas não mais de 2 maços, por dia? c) Estime a percentagem de homens que fuma mais de 3 maços por dia? d) Estime a percentagem de homens que fuma entre 2 e 3 maços por dia? e) Tendo em atenção o histograma anterior, espera que a mediana seja supe- rior ou inferior à média? Estime valores para essas características. f) Obtenha valores aproximados para a média e a mediana e compare os valo- res obtidos com os valores estimados na alínea anterior. g) O que é que se pretende mostrar com a figura seguinte? 5. 2. 3 Moda 2 Uma outra medida que costuma ser apresentada como medida de tendência central é a moda. No entanto a moda é uma medida que, a este nível, tem pouco interes- se, como medida de localização do centro da distribuição dos dados, e deve a sua importância ao facto de ser a única medida que pode ser calculada para dados qua- litativos, para os quais não se possa estabelecer uma hierarquia entre as várias categorias que a variável pode assumir, não sendo possível, portanto, nem calcular a média nem a mediana. Em amostras de dados qualitativos dá-se o nome de moda ou cat egoria modal, à categoria de maior frequência na amostra. Em amostras de dados quantitativos dis- cretos, designa-se por moda qualquer valor que esteja ladeado por valores de menor frequência. As modas são, pois, “picos” na distribuição de frequências. Em amostras de dados quantitativos contínuos, após subdivisão em classes, ficam iden- tificadas as classes modais, que são aquelas que estão ladeadas de classes de menor frequência. Em curvas que modelam situações da vida real, dá-se o nome de moda a qualquer máximo relativo da curva de densidade. Os modelos teóricos de interesse têm uma única moda e é usual dizer que o aparecimento de várias modas pode evidenciar 2 Esta secção segue de perto a secção 3.2.5 de Graça Martins et al (2007). Organização e tratamento de dados 143 mistura de populações e é nesta análise que poderá ter interesse a identificação da moda ou modas. Para ilustrar esta ideia, tome-se o exemplo das alturas na popula- ção portuguesa. Se considerarmos somente a subpopulação dos homens, a distri- buição das suas alturas não deve afastar-se muito do seguinte padrão: Note-se que a zona de maior concentração ou densidade, está entre 1,70m e 1,80m, sendo a moda (máximo relativo da curva) igual a 1,75m. A forma da distri- buição das alturas das mulheres deverá ser idêntica, mas localizada em torno de 1,60m: Que aconteceria se considerássemos as duas subpopulações em conjunto? Onde ficaria a moda? Em 1,75m, em 1,60m ou algures entre estes dois valores? Na ver- dade o que acontece é que surgem duas modas!... Uma, um pouco à direita de 1,60m e outra, um pouco à esquerda de 1,75m: A bimodalidade torna-se ainda mais evidente se a zona central de uma das distri- buições se encontrar muito afastada da zona central da outra e se a percentagem de observações pertencentes a cada uma das duas subpopulações for idêntica. Retomando o exemplo das alturas, se numa amostra de 100 indivíduos tivermos 10 mulheres e 90 homens é muito pouco provável que o histograma apresente bimo- dalidade, contrariamente ao que deverá ocorrer em amostras com 50 homens e 50 mulheres. Organização e tratamento de dados 144 Ainda a propósito deste exemplo, chamamos mais uma vez a atenção, para o facto de o histograma ser uma representação gráfica que, para alguns conjuntos de dados, pode mudar sensivelmente de aspecto, quando se altera a amplitude de classe ou o ponto onde se começam a construir as classes. Assim, para o mesmo conjunto de dados pode acontecer haver representações gráficas diferentes, nomeadamente em termos do número de modas. Sendo então a moda uma medida com uma aplicação relativamente restrita, tem algum interesse quando dispomos de uma amostra de grande dimensão, mas com um número restrito de valores distintos. Por exemplo, uma boa utilização da moda é na indicação do número de filhos de uma família “típica” portuguesa, ou no tama- nho do pé de uma mulher. O dono de uma sapataria tem interesse em saber qual o tamanho mais vendido, pois será nesse tamanho que vai investir mais, no princípio de cada época. Conf usão ent r e dado mai s f r equent e e dado com o mai or v al or ! Por vezes verifica-se haver alguma confusão entre dado mais frequente e dado com o maior valor. Para justificar o que acabámos de dizer, apresentamos a seguir dois exemplos retirados de textos de Matemática do Ensino Básico. “ O gráfico represent a o número de peixes que cinco amigos pescaram num dia: 1. 1 – Como se chama est e t ipo de gráfico? 1. 2 – Quant os peixes pescou o Ant ónio mais que o Pedro? 1. 3 – Quant os peixes pescaram ao t odo os cinco amigos? 1. 4 – Classifique a dist ribuição quant o à m oda. Just ifique” . O gráfico anterior apresenta os dados da variável que se está a estudar – Número de peixes pescados num dia, por cada um de cinco amigos. A partir desse gráfico verificamos que os dados são 30, 20, 25, 25, 30 pelo que temos dois dados com a mesma frequência, ou seja, temos duas modas: o 25 e o 30 (Seguramente que não era esta a resposta que os autores do exemplo pretendiam para a questão 1.4!). Ainda um segundo exemplo: “ O gráfico seguint e most ra o número de hect ares de florest a ardida, em Port ugal Cont inent al, ent re os anos de 2003 e 2007 Organização e tratamento de dados 145 Classifica a dist ribuição quant o à moda.” No exemplo anterior a variável em estudo é – Área ardida (em milhares de ha) em cada um dos anos considerados, pelo que os dados são (em milhares de ha) 416, 128, 320, 80, 17 Como os dados são todos diferentes, não existe moda (Seguramente que o que os autores pretendiam não era a resposta anterior!). Nota – A representação considerada anteriormente – gráfico de linha, é a adequada para representar este tipo de dados, em que se estuda a evolução da variável com o tempo. Obser vação - Quando se pretende saber qual o cent ro de uma dist ribuição de dados, a resposta a esta pergunta é fácil se a distribuição for aproximadamente simétrica e unimodal (só com uma moda). Se a distribuição dos dados apresentar outras formas, nomeadamente enviesamento ou várias modas, já o conceito de centro da distribuição dos dados pode não fazer sentido, como já referimos ante- riormente ao tratarmos das medidas de tendência central média e mediana. 5.2.4 Quar t i s A média e a mediana dão-nos duas formas diferentes de localizarmos o centro da distribuição dos dados. Existem outras medidas, os quar t i s, que localizam outros pontos da distribuição dos dados, que não o centro, e que têm a mais valia de ser- virem para definir uma medida da variabilidade existente entre os dados. Como vimos na definição de mediana, esta divide a amostra ordenada em duas partes com igual percentagem de elementos. Considerando cada uma destas partes e calculando a mediana, obteremos o 1.º e 3.º quartis, que já foram utilizados na construção do diagrama de extremos e quartis. A mediana, que também se poderia designar de 2.º quartil, e os 1.º e 3.º quartis localizam pontos que dividem a distri- buição dos dados em quatro partes, com igual percentagem de elementos. Daí vem o nome de quartis! Organização e tratamento de dados 146 Há vários processos para calcular os quartis, nem todos conducentes aos mesmos valores, mas a valores próximos, desde que a amostra tenha uma dimensão razoá- vel, que é a situação de interesse em estatística, em que se procura reduzir a informação contida nesses dados, através de algumas medidas. A metodologia que, a este nível, recomendamos para obter os quartis é a seguinte: Ordenar os dados e calcular a mediana Me; O 1.º quartil, Q 1 , é a mediana dos dados que ficam para a esquerda de Me; O 3.º quartil, Q 3 , é a mediana dos dados que ficam para a direita de Me. Ao calcular os quartis pelo processo anterior, podem-se levantar algumas dúvidas, no caso em que a dimensão da amostra é ímpar. Efectivamente, neste caso a mediana coincide com um dos elementos da amostra e poderíamos optar por consi- derá-lo incluído nas duas metades em que fica dividida a amostra, ou não o consi- derar em nenhuma das metades. A nossa opção é considerá-lo pertencente às duas metades. Por analogia com a definição que demos para a mediana, podemos dizer que até ao 1.º quartil (inclusive) está, pelo menos, 25% da amostra; para lá do 1.º quartil (inclusive) está, pelo menos, 75% da amostra. De forma análoga podemos dizer que até ao 3.º quartil (inclusive) está, pelo menos, 75% da amostra; para lá do 3.º quartil (inclusive) está, pelo menos 25% da amostra. Tar ef a – Not as no t est e de Mat emát i ca das t ur mas 9.º A e 9.º B (cont.). Na comparação dos resultados das duas turmas, podemos também utilizar os quartis, na medida em que quanto maiores forem, melhor terá sido o comportamento da turma. Vejamos então quais os quartis para os dois conjuntos de dados considera- dos. Para o seu cálculo vamos considerar as amostras já ordenadas: Notas da Turma 9.º A 8,6 9,8 9,8 10,2 10, 4 10, 4 10,6 10,6 10,6 10, 8 10, 8 11,2 11,2 11,4 11, 6 11, 6 11,8 12,2 12,4 13,8 Notas da Turma 9.º B 7,2 7,4 8,2 8,8 9,4 9,4 9,4 9,8 10,0 10, 0 10, 8 11,0 11,2 11,2 12, 4 12, 6 13,6 15,0 15,6 16,8 Como temos um número par de dados, a mediana, como já se viu, é a semi-soma dos dois elementos centrais. Cada uma das partes em que ficaram divididos os dados pela mediana, tem 10 elementos. A mediana de cada uma destas partes será ainda a semi-soma dos dois elementos centrais, assinalados a negro, obtendo-se para os quartis os valores seguintes: 1. º quar t i l 3. º quar t i l Notas turma 9.º A 4 10 2 4 10 4 10 , , , 6 11 2 6 11 6 11 , , , Notas turma 9.º B 4 9 2 4 9 4 9 , , , 5 12 2 6 12 4 12 , , , Da tabela anterior concluímos que pelo menos 25% dos alunos da turma 9.º B tive- ram negativa, enquanto que na turma 9.º A foram menos de 25% a ter negativa, já que 25% tiveram nota menor ou igual a 10,4. Por outro lado, 25% dos alunos da turma 9.º B tiveram nota maior ou igual a 12,5. Mais uma vez se comprova que a turma 9.º A é mais regular, pois 50% das notas estão no intervalo de amplitude 1,2 Organização e tratamento de dados 147 (=11,6-10,4), enquanto que na turma 9.º B, 50% dos alunos estão num intervalo de amplitude 3,1 (=12,5-9,4). O comportamento das duas turmas é visível quando se comparam os dois diagra- mas seguintes: Not as da t ur ma 9. º A Not as da t ur ma do 9º B É evidente a existência de um comportamento diferente das duas turmas: uma maior variabilidade na turma 9.º B, com alguns alunos a terem notas piores e tam- bém alguns alunos a terem notas melhores. 5.2.5 Per cent i s 3 Os percentis de que a mediana e os quartis são casos particulares, são medidas de localização com grande interesse, nomeadamente para avaliar a posição relativa dos dados. Por exemplo, suponha que uma mãe vai, com o seu bebé de 6 meses, à consulta de rotina, do pediatra. Este, depois de pesar e medir a criança, consulta umas tabelas e só nessa altura comenta com a mãe, o estado de crescimento do seu filho. Pode acontecer que alguns dos seus comentários sejam desta forma: -Minha senhora, o seu filho, no que diz respeito ao peso, está no percent il 90. Vamos ter que ter algum cuidado! Afinal o que significa o percentil 90? Significa que 90% das crianças com 6 meses têm um peso menor ou igual ao do bebé e só 10% têm um peso maior ou igual! De um modo geral define-se per cent i l p de um conjunto de dados, como sendo o valor que tem p% dos dados menores ou iguais a ele, e os restantes maiores ou 3 Esta secção, que foi integralmente retirada de Graça Martins et al (2007), inclui-se a título informativo, com um cunho complementar, uma vez que os percentis não fazem parte do programa. Organização e tratamento de dados 148 iguais. O 1.º e o 3.º quartis também são conhecidos como percentil 25% e 75%, respectivamente. Analogamente, a mediana é o percentil 50%. Ex empl o – A obesi dade é um pr obl ema. A comunicação social tem alertado a opinião pública para o problema da obesidade, nomeadamente nas crianças. Então, como é que poderemos saber se o nosso filho está obeso? Como é que o médico, além da sua experiência, sossega a mãe sobre a saúde e bem estar do seu filho? Existem tabelas, que apresentam, para cada idade, os valores dos percentis para as variáveis “peso” e “altura”. A tabela seguinte, que se retirou da Internet, apresen- ta, para os vários meses de idade, valores adequados, entre os quais deve estar o peso (em kg) da criança. Estes valores poderiam ser, por exemplo, os percentis 25% e 75% 4 , considerando-se um “peso normal”, aquele que se encontre nos 50% dos pesos centrais, quando se considera o conjunto dos pesos dos bebés (da popu- lação que se está a estudar, quer seja portuguesa, italiana, inglesa, alemã, etc.) com determinada idade: Ao nascer 1 mês 2 meses 3 meses 4 meses 5 meses 6 meses 7 meses 8 meses Mínimo 2.750 3.500 4.000 4.750 5.500 6.000 6.500 7.000 7.500 Máximo 4.000 5.000 6.000 7.000 7.800 8.500 9.000 9.700 10.000 9 meses 10 meses 11 meses 1 ano 1 ano 1m 1 ano 2m 1 ano 3m 1 ano 4m 1 ano 5 m Mínimo 7.900 8.300 8.500 8.800 9.000 9.250 9.500 9.700 9.800 Máximo 10.500 10.900 11.250 11.500 11.800 12.000 12.400 12.600 12.800 1 ano 6m 1 ano 7m 1 ano 8m 1 ano 9m 1 ano 10m 1 ano 11m 2 anos 2 anos 1m 2 anos 2m Mínimo 10.000 10.150 10.300 10.500 10.600 10.700 10.900 11.000 11.200 Máximo 13.000 13.300 13.600 13.800 14.000 14.200 14.500 14.650 14.800 2 anos 3m 2 anos 4m 2 anos 5m 2 anos 6m 2 anos 7m 2 anos 8m 2 anos 9m 2 anos 10m 2 anos 11m Mínimo 11.300 11.500 11.600 11.750 11.900 12.000 12.100 12.250 12.400 Máximo 15.000 15.250 15.500 15.700 15.900 16.000 16.300 16.500 16.750 3 anos 3 anos 4m 3 anos 8m 4 anos 4 anos 4m 4 anos 8m 5 anos Mínimo 12.600 13.200 13.750 14.300 15.000 15.500 16.000 Máximo 17.000 17.700 18.500 19.300 20.200 21.000 21.800 A partir da tabela anterior, concluímos que um peso razoável, nem muito magro, nem muito gordo, para um bebé de 2 anos e meio, será um peso compreendido no intervalo [11,750kg, 15,700kg]. Ex empl o – Conv er sa ent r e mãe e f i l ho. Imagine a seguinte conversa entre uma mãe e o seu filho de 15 anos. Filho - Mãe, tive 14 no teste de Biologia! Mãe – E então isso é bom ou nem por isso? Filho – Como assim? Digo que tive 14 e ainda me perguntas se isso é bom? Mãe – Pois, pergunto… E até pergunto a que percentil é que corresponde essa nota? Filho – Mas o que é isso de percentil? Não sei do que estás a falar! Mãe – Quantos alunos na tua escola fizeram esse teste? Filho – Foram 100, porquê? 4 Na apresentação da tabela não é indicado o que representam o mínimo e o máximo. Organização e tratamento de dados 149 Mãe – E quantos tiveram nota maior que 14? Filho – Bom, não vi bem, mas parece-me que foram uns 80! Mãe – Afinal, não tens razão para estar tão satisfeito! Ficaste no percentil 20. Só 20% dos teus colegas tiveram nota menor ou igual à tua. Esse exame foi mesmo muito fácil. 5.3 Medi das de var i abi l i dade Consideremos de novo as notas dos alunos das turmas 9.º A e 9.º B, consideradas na secção 5.2.2 e de novo na secção 5.2.4. Nos estudos e discussões envolvendo estes dois conjuntos de dados, verificámos que apesar de apresentarem a mesma média, têm um comportamento bastante diferente, no que diz respeito à variabili- dade. Como também adiantámos, as notas da turma 9.º B apresentam, uma maior variabilidade ou dispersão. Representando, de novo, os dois conjuntos na forma de diagramas de pontos Notas da turma 9.º A Notas da turma 9.º B mais uma vez, é visível que a distribuição das notas da turma 9.º B apresenta uma maior variabilidade que a distribuição das notas da turma do 9.º A, pelo que se levanta o problema de arranjar uma medida que possa ser utilizada para medir essa maior ou menor variabilidade e que possa caracterizar os dois conjuntos de dados, com distribuições tão diferentes, mas com a mesma média. Apresentamos a seguir as medidas de variabilidade mais vulgarmente utilizadas e que são a amplitude, a amplitude interquartil e o desvio padrão. 5. 3. 1 Ampl i t ude A amplitude é a medida mais simples que pode ser utilizada para medir a variabili- dade apresentada por um conjunto de dados. Obtém-se fazendo a diferença entre o máximo e o mínimo dos dados: Ampl i t ude = máximo – mínimo No caso das notas das turmas 9.º A e 9.º B, temos que a Amplitude (notas da turma 9.º A) = 13,8 – 8,6 = 5,2 Amplitude (notas da turma 9.º B) = 16,8 – 7,2 = 9,6 Como se esperava, a turma 9.º B apresenta uma amplitude maior. Organização e tratamento de dados 150 Esta medida, muito simples de calcular, pode também ser muito enganadora. É baseada em dois únicos dados, que podem ser muito atípicos na distribuição de todos os dados do conjunto. É uma medida muito “pouco resistente”, pois depende muito da existência de valores muito “pequenos” ou muito “grandes”, a que demos o nome de “outliers”, no nosso conjunto de dados. É uma medida que normalmente não é utilizada, sobretudo se a distribuição dos dados apresentar enviesamento ou “outliers”. 5.3.2 Ampl i t ude i nt er quar t i l Uma outra medida de variabilidade, alternativa à amplitude, é a amplitude inter- quartil. Esta medida, ao contrário da amplitude definida anteriormente, só entra em linha de conta com a parte central dos dados e calcula-se fazendo a diferença entre o 3.º e o 1.º quartis. A amplitude interquartil, que já foi utilizada na construção do diagrama de extremos e quartis, dá-nos informação sobre a amplitude do intervalo que contém 50% dos dados centrais. Esta informação, é visível no diagrama de extremos e quartis pelo comprimento da caixa. Ampl i t ude i nt er quar t i l = Diferença entre o 3.º quartil e o 1.º quartil Para as notas das turmas 9.º A e 9.º B, temos Amplitude interquartil (notas da turma 9.º A) = 11,6 – 10,4 = 1,2 Amplitude interquartil (notas da turma 9.º B) = 12,5 – 9,4 = 3,1 Como se verifica e era espectável, a amplitude interquartil é superior para as notas da turma 9.º B. Na interpretação da amplitude interquartil tem que se ter em atenção que uma amplitude interquartil nula não significa, necessariamente, a não existência de variabilidade. Por exemplo os seguintes dados 10 11 13 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 16 17 18 apresentam variabilidade, mas, no entanto, a amplitude interquartil é nula. Efecti- vamente o 1.º e 3.º quartis são iguais a 14, fazendo com que a diferença entre os quartis venha igual a zero. Propriedades da amplitude interquartil A amplitude interquartil será tanto maior, quanto maior for a variabilidade presente nos dados; Se não houver variabilidade, isto é, se os dados forem todos iguais, então a amplitude interquartil vem igual a zero; No entanto, se a amplitude interquartil de um conjunto de dados for nula, não significa necessariamente que não haja variabilidade; A amplitude interquartil é uma medida de variabilidade que se utiliza frequen- temente, sobretudo se os dados apresentarem algum enviesamento ou “outliers”. Organização e tratamento de dados 151 5.3.3 Out r as medi das de var i abi l i dade: O desv i o médi o absol ut o e o desvi o padr ão Quando estudámos as medidas de localização do centro da distribuição dos dados dissemos que as mais utilizadas são a média e a mediana. Então, ao pesquisarmos medidas de variabilidade, é natural que procuremos medidas que meçam a variabi- lidade relativamente a estas medidas de localização, que representam valores “típi- cos” da distribuição dos dados. Se falarmos, por exemplo, na alt ura média de um conjunto de alunos, é natural querermos saber qual a variabilidade das alturas desses alunos relativamente a essa média. Terão os alunos alturas semelhantes? Terão alturas muito afastadas da média? Como medir essa variabilidade? Para introduzir a noção de variabilidade, vamos retomar um exemplo da secção 5.2.1: Tar ef a – Desv i os ent r e os dados e a médi a ( cont .) . Na turma o professor per- guntou a 10 alunos que tinham o estojo de lápis em cima da mesa, quantos lápis (incluindo lápis de cor) tinham no estojo. As respostas obtidas 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 8, 8, 9, encontram-se representadas no seguinte diagrama de pontos: Vimos que a média dos valores considerados é igual a 5, mas também vimos que havia outras configurações, ou outros conjuntos de 10 dados que mantinham a mesma média. Alguns desses conjuntos apresentam-se a seguir: 1. 2. 3. 4. 5. 6. Organização e tratamento de dados 152 Qualquer dos conjuntos representados anteriormente apresenta variabilidade. Qual o que apresenta maior variabilidade? E que tipo de variabilidade estamos a preten- der medir? Se repararmos no conjunto de dados correspondente à representação 5 e 6, respectivamente os dados 2 2 2 2 2 8 8 8 8 8 e os dados 2 2 2 3 4 6 7 8 8 8 verificamos que no primeiro caso existem 5 valores iguais a 2 e 5 valores iguais a 8, enquanto que no segundo caso só dois dos valores é que se repetem e com menor frequência. Qual dos dois conjuntos apresenta maior variabilidade? Se pedirmos a um grupo de alunos para responderem a esta questão, dir-nos-ão que o primeiro conjunto apresenta menor variabilidade, pois intuitivamente estão a inter- pretar a variabilidade em termos de “mais ou menos iguais, uns relativamente aos outros”, independentemente de considerarem um ponto padrão como referência, nomeadamente a média. Vejamos então como medir a variabilidade de cada um dos conjuntos representa- dos anteriormente, considerando como ponto de referência a média. Comecemos por, em cada representação, substituir o ponto que representa o dado, pelo seu desvio para a média. Estes desvios serão positivos se os valores forem inferiores à média e positivos se forem superiores à média: 1. 2. 3. 4. 5. 6. Já sabemos que a soma dos desvios positivos é igual à soma dos desvios negativos, pelo que vamos considerar uma medida de variabilidade que entre em linha de con- Organização e tratamento de dados 153 ta com a soma dos desvios em valor absoluto. Para cada um dos conjuntos de dados anteriores temos: 1. Dados: 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6 Valor Desvio para a média Desvio para a média em valor absoluto 4 -1 1 4 -1 1 4 -1 1 5 0 0 5 0 0 5 0 0 5 0 0 6 1 1 6 1 1 6 1 1 Total 0 6 Média dos desvios absolutos = 10 6 =0,6 2. Dados: 2, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 8 Valor Desvio para a média Desvio para a média em valor absoluto 2 -3 3 4 -1 1 4 -1 1 5 0 0 5 0 0 5 0 0 5 0 0 6 1 1 6 1 1 8 3 3 Total 0 10 Média dos desvios absolutos = 10 10 =1,0 3. Dados: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 9 Valor Desvio para a média Desvio para a média em valor absoluto 3 -2 2 4 -1 1 4 -1 1 5 0 0 5 0 0 5 0 0 5 0 0 5 0 0 5 0 0 9 4 4 Total 0 8 Média dos desvios absolutos = 10 8 =0,8 4. Dados: 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 8 Valor Desvio para a média Desvio para a média em valor absoluto 4 -1 1 4 -1 1 4 -1 1 5 0 0 5 0 0 5 0 0 5 0 0 5 0 0 5 0 0 8 3 6 Total 0 10 Média dos desvios absolutos = 10 6 =0,6 5. Dados: 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6 Valor Desvio para a média Desvio para a média em valor absoluto 2 -3 3 2 -3 3 2 -3 3 2 -3 3 2 -3 3 8 3 3 8 3 3 8 3 3 8 3 3 8 3 3 Total 0 30 Média dos desvios absolutos = 10 30 =3,0 6. Dados: 2, 2, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 8, 8 Valor Desvio para a média Desvio para a média em valor absoluto 2 -3 3 2 -3 3 2 -3 3 3 -2 2 4 -1 1 6 1 1 7 2 2 8 3 3 8 3 3 8 3 3 Total 0 10 Média dos desvios absolutos = 10 24 =2,4 Para cada um dos conjuntos de dados calculámos a média dos desvios em valor absoluto e vamos considerar esta medida, a que chamamos desv i o médi o abso- l ut o, como uma medida da variabilidade dos nossos dados. Comparando os resul- tados obtidos, verificamos que o conjunto de dados que apresenta maior variabili- Organização e tratamento de dados 154 dade é o 5., enquanto que o 1. e o 4. apresentam a menor variabilidade, igual a 0,6. Este resultado a que chegámos é de certo modo esperado, pois reparando nas diferentes representações gráficas, verificamos que estes conjuntos são os que apresentam a distribuição com os dados mais perto da média. Desv i o médi o absol ut o - Consideremos uma amostra (x 1 ,x 2 ,...,x n ) com média x . Para medir a variabilidade dos dados relativamente à média, começa-se por calcu- lar, para cada dado, a diferença entre ele e a média, a que chamamos desvio: x 1 - x , x 2 - x , x 3 - x , ..., x n - x Para obter a variabilidade de todos os dados, seria natural somar todos os desvios. Acontece que, como já vimos, a soma destes desvios é sempre igual a zero, pelo que esta solução não serve. Então, vamos considerar não os próprios desvios, mas os seus valores absolutos: │x 1 - x │, │x 2 - x │, │x 3 - x │, ..., │x n - x │ Define-se desvio médio absoluto como sendo a média destes desvios absolutos: Desvio médio absoluto = n x x ... x x x x x x n 3 1 2 Recordemos que a substituição dos desvios pelos seus valores absolutos foi devida ao facto de a soma dos desvios ser igual a zero, uma vez que a soma dos desvios positivos cancela com a soma dos desvios negativos. Uma alternativa a considerar os módulos dos desvios, consiste em considerar os quadrados dos desvios e em construir uma outra medida à custa de uma média destes quadrados. Intuitivamen- te esta medida, a que vamos chamar variância, não nos parece uma boa alternati- va, pois resulta uma medida cujas unidades são o quadrado das unidades originais dos dados. Este inconveniente é ultrapassado se utilizarmos como medida de varia- biliade a raiz quadrada da variância, a que damos o nome de desv i o padr ão. Desv i o padr ão - Consideremos então a amostra (x 1 ,x 2 ,...,x n ) com média x . Para medir a variabilidade dos dados relativamente à média, começa-se por calcular, para cada dado, a diferença entre ele e a média: x 1 - x , x 2 - x , x 3 - x , ..., x n - x Para obter a variabilidade de todos os dados, vamos considerar não os próprios desvios, mas os seus quadrados: (x 1 - x ) 2 , (x 2 - x ) 2 , (x 3 - x ) 2 , ..., (x n - x ) 2 Define-se var i ânci a e representa-se por s 2 , a medida que se obtém somando os quadrados dos desvios e dividindo pelo número de observações menos uma: s 2 = 1 n ) x (x ... ) x (x ) x (x ) x (x 2 n 2 3 2 2 2 1 Para que a medida da variabilidade venha na mesma unidade dos dados originais, a media que se considera é s, a raiz quadrada da variância, a que se dá o nome de desv i o padr ão s = 1 n ) x (x ... ) x (x ) x (x ) x (x 2 n 2 3 2 2 2 1 Organização e tratamento de dados 155 Not as 1. No processo que leva à construção da variância, o motivo que nos leva a consi- derar os quadrados dos desvios, assim como anteriormente, na definição do desvio médio absoluto se consideraram os desvios absolutos, já tem uma explicação – a soma dos desvios das observações para a média, é sempre igual a zero, pelo que ou consideramos os desvios em valor absoluto, ou os seus quadrados. 2. Mas então porque é que não consideramos a média desses desvios ao quadrado, dividindo a sua soma por n em vez de (n-1), como está proposto? A este nível, a resposta que pode ser dada prende-se de certo modo com o motivo que nos levou a considerar os quadrados, em vez dos próprios desvios: como a soma dos n des- vios é igual zero, basta conhecer (n-1) desses desvios, para que o n-ésimo fique automaticamente determinado. Assim, como só temos (n-1) desvios independen- tes, dividimos por (n-1) em vez de n. Esta é uma forma “simplista” de abordar o problema, pois esta mesma razão levar-nos-ia a considerar para o desvio médio absoluto o quociente da soma dos desvios absolutos por n-1, em vez de ser por n, como fizemos. Vamos então adiantar um pouco mais a explicação, embora corra- mos o risco de a tornar mais complicada.... O que acontece é que em Estatística, normalmente o nosso objectivo é estudar populações a partir de amostras recolhi- das dessas populações. Quando se recolhe uma amostra, procede-se ao seu estudo gráfico para tentar obter a estrutura ou padrão da distribuição da população de onde se retirou a amostra e arranjar um modelo para essa população, e também se calculam algumas características amostrais, que pretendem “estimar” característi- cas populacionais correspondentes, que são os parâmetros. Por exemplo para conhecer o parâmetro – valor médio das alturas ou alt ura média dos portugueses adultos (população constituída pelas alturas de todos os portugueses adultos), recolhe-se uma amostra, uma vez que é impraticável observar a altura de todos os portugueses e calcular a média. A partir da amostra recolhida, calculamos a média e este valor é um valor aproximado do parâmetro alt ura média pretendido. Dize- mos que a média da amostra observada é uma est imat iva do valor médio da popu- lação de onde se observou a amostra. Ora o mesmo se passa se pretendermos conhecer o parâmetro variância da população, também chamado de variância popu- lacional. Para estimar este parâmetro, calculamos a variância da amostra observa- da e é agora que chegámos ao ponto crucial: pode-se mostrar que a variância que se calcula a partir da amostra, dividindo a soma dos quadrados dos desvios por n-1 dá uma “melhor” estimativa da variância populacional, do que se dividirmos por n. Como em Estatística, de um modo geral o nosso objectivo é fazer Inferência Esta- tística, isto é, inferir propriedades da população, a partir das propriedades verifica- das na amostra, convém que, no caso de estarmos a estimar parâmetros, que as estimativas sejam as melhores possíveis. Embora as “boas” propriedades manifes- tadas pela variância amostral, quando se pretende estimar a variância populacional, quando se considera n-1, já não se verifiquem quando calculamos o desvio padrão, mesmo assim, ainda é preferível considerar n-1 em vez de n. 3. Alguma literatura apresenta o desvio padrão s’, considerando n em vez de n-1: s’= n ) x (x ... ) x (x ) x (x ) x (x 2 n 2 3 2 2 2 1 Devemos acrescentar que este procedimento embora não esteja correcto, conduz a uma estimativa que também pode ser utilizada, desde que n seja suficientemente grande, ou seja, quando 1 1 n n , pois neste caso s’≈s. Organização e tratamento de dados 156 No que diz respeito ao desvio médio absoluto, não nos vamos preocupar se se divi- de por n ou por n-1, pois a medida que efectivamente é utilizada em Estatística, como medida da variabilidade de uma amostra é o desvio padrão e não o desvio médio absoluto. Por isso, as razões invocadas para o desvio padrão e que se pren- dem com a Inferência Estatística, não têm aqui cabimento. Tar ef a – Temper at ur as de duas ci dades 5 . Na seguinte tabela são apresentadas as temperaturas (ºC) médias mensais das cidades A e B: Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago Set Out Nov Dez Cidade A 3,9 5,6 10,0 15,0 19,4 23,3 25,6 25,0 21,7 15,6 10,6 6,1 Cidade B 9,4 11,1 11,7 13,3 14,4 16,7 17,2 17,8 18,3 16,1 12,8 9,4 a) A partir dos dados da tabela calcula a mediana das temperaturas médias mensais das duas cidades. Antes de calcular a mediana tens que ter alguma preocupação prévia com os dados? As medianas das temperaturas das duas cidades, são próximas? b) Uma vez que os centros das distribuições dos dois conjuntos de dados estão muito próximos, podemos concluir que não existe diferença entre estas duas cidades, no que diz respeito às temperaturas médias mensais? c) Qual das cidades apresenta maior variabilidade nas suas temperaturas men- sais? (Responde observando os diagramas de pontos) d) Qual a temperatura mensal mais alta para a cidade A? E a mais baixa? Qual a diferença de temperaturas? Que nome dás a esta diferença? e) Calcula a amplitude das temperaturas mensais da cidade B. f) Considera as temperaturas da cidade A, inferiores à mediana e calcula a mediana do conjunto de temperaturas considerado. Que nome dás a este valor? g) Faz o mesmo que na alínea anterior, mas agora com as temperaturas supe- riores à mediana. Que nome dás ao valor obtido? h) Verifica que um quarto dos valores são inferiores ou iguais ao 1.º quartil, um quarto são superiores ou iguais ao 3.º quartil e metade estão entre o 1.º e o 3.º quartis. i) Calcula a amplitude interquartil da distribuição das temperaturas mensais da cidade A. j) A amplitude interquartil da distribuição das temperaturas mensais da cidade A é superior à amplitude interquartil da distribuição das temperaturas men- sais da cidade B, que é 5,55ºC? A resposta que deste à alínea c) já previa a conclusão a que chegaste? 5 Adaptado de Rossmann et al. (2001), p. 83. Organização e tratamento de dados 157 k) A tabela seguinte apresenta algumas estatísticas relativas à distribuição das temperaturas mensais da cidade B. Completa-a com as estatísticas corres- pondentes da distribuição das temperaturas mensais da cidade A: Mínimo 1º quartil Mediana 3º quartil máximo Cidade A Cidade B 9 11,40 13,85 16,95 18 l) Constrói diagramas de extremos e quartis paralelos para as temperaturas das duas cidades, e compara as duas cidades no que diz respeito às tempe- raturas médias mensais. m) A média das temperaturas mensais da cidade A é 15,15ºC. Completa os dois valores em falta na coluna “desvio para a média” da tabela seguinte: Mês Temperatura Desvio para a média Valor absoluto do desvio Quadrado do desvio Jan 3,9 -11,25 11,25 126,5625 Fev 5,6 -9,55 9,55 91,2025 Mar 10,0 Abr 15,0 -0,15 0,15 0,0225 Mai 19,4 4,25 4,25 18,0625 Jun 23,3 8,15 8,15 66,4225 Jul 25,6 10,45 10,45 109,2025 Ago 25,0 Set 21,7 6,55 6,55 42,9025 Out 15,6 0,45 0,45 0,2025 Nov 10,6 -4,55 4,55 20,7025 Dez 6,1 -9,05 9,05 81,9025 Total 181,8 Depois de preencheres a coluna “Desvio para a média” com os valores que faltam, calcula a soma dos 12 desvios. Ficaste admirado com o valor a que chegaste? Porquê? n) Para obter uma medida da variabilidade dos dados, vamos trabalhar com as distâncias dos valores relativamente à média, pelo que vamos considerar os desvios em valor absoluto. Completa a coluna dos desvios em valor absoluto e depois calcula a soma dos valores dessa coluna. Consegues dizer, só fazendo uma operação de dividir, a que é igual a soma dos desvios positi- vos? o) Calcula a média dos valores absolutos dos desvios. Que nome dás à medida obtida? p) Uma alternativa a calcular os desvios para a média em valor absoluto, é considerar os quadrados dos desvios. Completa a coluna dos quadrados dos desvios e depois calcula a soma desses quadrados. q) Divide a soma obtida na alínea anterior por 11 (dimensão da amostra menos 1). Que nome dás à medida obtida? r) Para converter a medida obtida na alínea anterior, às unidades originais dos dados, calcula a sua raiz quadrada. Que nome dás à medida obtida? s) Com o auxílio da máquina de calcular ou da folha de Excel do computador, calcula o desvio padrão das temperaturas mensais da cidade B. Compara com o desvio padrão obtido para as temperaturas mensais da cidade A. Qual o maior? Era o que esperavas? Sugestão – esta tarefa pode ser aproveitada para comparar as temperaturas registadas pelos alunos em duas cidades, como por exemplo, Lisboa e Porto. Organização e tratamento de dados 158 Tar ef a – Vamos compar ar os consumos dos car r os. Para comparar o consumo médio de três tipos de carros, nomeadamente carros de família (Grandes), carros utilitários (Pequenos) e carros Desportivos, recolheu-se informação junto de algu- mas marcas de carros, do consumo médio de gasolina, por 100km. Os resultados obtidos são apresentados no seguinte diagrama de pontos: Para cada uma destas três amostras de carros, calculou-se a amplitude interquartil e o desvio padrão e construiu-se o diagrama de extremos e quartis. A partir das representações gráficas anteriores e sem fazeres quaisquer cálculos, associa cada par de estatísticas e cada diagrama de extremos e quartis a cada um dos tipos de carros considerados. Amplitude interquartil 0,3 1,5 0,7 Desvio padrão 0,59 1,09 0,47 Tipo ? ? ? Tar ef a – Vamos compar ar as not as no mesmo t est e de I ngl ês de al unos de t r ês escol as di f er ent es. De cada uma de três escolas da zona de Lisboa, A, B e C, foram seleccionados 100 alunos e registaram-se as notas obtidas no exame nacio- nal de Língua Portuguesa. O professor pediu a três grupos de alunos que resumis- sem a informação contida nos dados. Um dos grupos calculou algumas característi- cas amostrais e os outros dois grupos fizeram representações gráficas: Organização e tratamento de dados 159 A B C Média 16,1 12,1 13,9 Amplitude interquartil 1,85 2,05 1,8 Desvio padrão 1,4 1,51 1,4 i. ii. iii. a) Completa a seguinte tabela, estabelecendo as correspondências entre as características amostrais e as representações gráficas construídas Características amostrais A B C Histograma ii Diagrama de extremos e quartis 3 b) Qual o aspecto mais relevante sobre o comportamento a Inglês dos alunos das três escolas? Organização e tratamento de dados 160 6 Probabilidade Neste capítulo fazemos uma introdução à Probabilidade experimental de um acontecimento, obtida através da repetição de um número grande de vezes da experiência conducente à realização desse acontecimento. Considera-se também a Probabilidade teórica como modelo probabilístico em situações especiais de simetria. Ainda utilizando estes modelos, dão-se indicações sobre o cálculo de probabilidades de alguns acontecimentos. Organização e tratamento de dados 162 Organização e tratamento de dados 163 6.1 I nt r odução 1 A probabilidade, como acontece com muitas outras noções que usamos com frequência, não é fácil de definir, a menos que estejamos em condições de recorrer a conceitos matemáticos precisos. No entanto, sabemos usá-la com perícia, em muitas situações práticas, mesmo sem disso nos apercebermos. Qualquer um de nós, em face de um determinado acontecimento futuro, é capaz de fazer conjecturas sobre a probabilidade da sua realização. Quantas vezes nos ouvimos fazer afirmações do género “É muito provável que...”, “É pouco provável que...”, “É mais provável que...”. Embora os juízos probabilísticos que exprimimos sejam, a maior parte das vezes, em termos comparativos, há situações em que nos sentimos seguros em atribuir um valor numérico à possibilidade da realização de um determinado acontecimento. Por exemplo, se nos perguntarem qual a probabilidade de existir um homem com três metros de altura, respondemos certamente que essa probabilidade é zero, já que o nosso conhecimento nos faz acreditar que esse acontecimento é impossível. Por outro lado, se nos perguntarem qual a probabilidade de o Sol nascer amanhã, não temos dúvida em afirmar que é um. Se pretendermos decidir quem, entre duas pessoas deve fazer um determinado trabalho, podemos fazer a escolha atirando uma moeda ao ar. Neste caso assumimos implicitamente que, procedendo deste modo, estamos a ser justos já que atribuímos probabilidades iguais (na escala de 0 a 1 corresponderia a ½) a cada um de poder vir a realizar o dito trabalho. O termo Probabilidade é utilizado todos os dias de forma mais ou menos intuitiva, pois nos mais variados aspectos da nossa vida, está presente a incert eza: Se não avistarmos nuvens, dizemos que é pouco provável que chova; Dizemos que a probabilidade do próximo bebé, de uma determinada família, ser do sexo masculino é aproximadamente 50%; Dizemos que a probabilidade de lançar uma moeda de 1 euro ao ar e sair a face com o 1, é 50%; Dizemos que a probabilidade de ganhar no Euromilhões é quase nula; O político interroga-se sobre qual a probabilidade de ganhar as próximas eleições; O aluno interroga-se sobre qual a probabilidade de obter nota positiva num teste de respostas múltiplas, para o qual não se preparou e responde sistematicamente ao acaso; Para tratar determinada doença, o médico pretende saber se um novo medicamento oferece maior probabilidade de cura que o medicamento habitual; O fabricante desejaria saber se um produto que pretende lançar no mercado, terá uma boa probabilidade de aceitação; Numa fábrica, o departamento de controlo de qualidade pretende averiguar a probabilidade de uma máquina não avariar no próximo ano; Um empresário têxtil precisa de saber qual a probabilidade de conseguir vender camisas de homem de tamanho maior ou igual que 45, para saber se deve fazer camisas destes números; etc. 1 Nesta introdução seguimos de perto Graça Martins et al (1999) e Graça Martins et al (2007) Organização e tratamento de dados 164 Todos estes exemplos têm uma característica comum, que é o facto de não se conseguir prever com exact idão e de ant emão, qual o resultado da situação de incerteza. Perante as várias possibilidades que se nos apresentam, não sabemos qual a que se vai verificar. Ao emitirmos um juízo de valor, como fizemos em alguns dos exemplos considerados, não estamos mais do que a anunciar o nosso grau de convicção na realização de algum acontecimento. Para exprimir esta convicção estamos a recorrer, embora intuitivamente, à frequência relat iva com que o acontecimento se pode repetir. A probabilidade está presente sempre que estivermos perante um fenómeno aleat ório, isto é, um fenómeno para o qual não sabemos de antemão qual o resultado que se vai verificar, na próxima repetição (admite-se que o fenómeno se pode repetir), mas para o qual é possível verificar uma certa regularidade a longo t ermo, ou seja, para um grande número de repetições do fenómeno. É esta última característica do fenómeno aleatório que o distingue de um processo caótico, já que ambos têm a característica comum de não se conseguir antecipar com exactidão qual o resultado que se vai obter quando se realizam. Fenómenos al eat ór i os – São fenómenos para os quais os resultados das realizações individuais são incertos, mas em que se admite ser possível encontrar um padrão genérico de comportamento. São exemplos de fenómenos aleatórios aqueles que têm como resultado observável: - A chave do totoloto em cada semana; - A resposta de uma doença a um tratamento feito com determinado medicamento; - O estado do tempo no dia seguinte; - O comportamento dos eleitores nas próximas eleições legislativas; - O comportamento de um aluno no exame de resposta múltipla, para o qual não estudou; - O comportamento do mercado perante um produto novo para lavar a roupa; - O comprimento do próximo bebé a nascer na cidade; - etc. 6.2 Pr obabi l i dade empír i ca ou ex per i ment al de um acont eci ment o Nos fenómenos determinísticos, conseguimos dizer o que vai acontecer quando o fenómeno se realiza, mas o mesmo não acontece com os fenómenos aleatórios. Não temos dúvidas de que ao lançar ao ar uma moeda de um euro, ela cai, mas não sabemos qual a face que fica virada para cima quando ela assenta no sítio em que caiu, quer seja o chão, a nossa mão ou em cima de uma mesa. No exemplo anterior o resultado “A moeda cai”, obtido como consequência do lançamento da moeda ao ar, não é um resultado incerto, pois temos a certeza que a moeda não fica no ar 2 ! No entanto, já é um resultado incerto “A face Euro fica virada para 2 Estamos a pensar numa experiência feita num ambiente normal, no planeta Terra... Organização e tratamento de dados 165 cima”, pois não temos a certeza que isso aconteça. A nossa curiosidade leva-nos então a tentar antecipar o que vai acontecer quando lançamos a moeda ao ar e exprimimos essa necessidade utilizando a linguagem da probabilidade ao dizer “A probabilidade de lançar uma moeda de um euro ao ar e sair a face Euro é 50%”. À realização do fenómeno aleatório chamamos experiência aleat ória. Assim, no caso do lançamento da moeda a experiência aleatória consiste em lançar a moeda ao ar e verificar qual a face que fica virada para cima. A experiência é aleat ória porque não sabemos se é a face Euro ou a face Nacional que vai ficar virada para cima. Em contrapartida, a experiência que consiste em lançar a moeda ao ar e ver se cai, já não é aleatória! A repetição de experiências aleatórias associadas a determinado fenómeno aleatório é o processo utilizado para a aquisição de dados, que, uma vez analisados, nos permitem inferir propriedades do fenómeno aleatório em estudo. Admitamos, por exemplo, que tínhamos uma moeda de um euro e que pretendíamos verificar se havia alguma razão para suspeitar que a moeda não era equilibrada, isto é, se seriam diferentes as possibilidades de sair a face Euro ou a face Nacional quando se lança a moeda ao ar. Para recolher dados que nos permitam responder à questão anterior, vamos repetir um grande número de vezes a experiência aleatória que consiste em lançar a moeda ao ar e verificar a face que fica voltada para cima. Suponhamos que após a repetição da experiência 50 vezes, se tinha observado a seguinte sequência, onde representamos por E a face Euro e por N a face Nacional: E E E E E N N N E N E E N E E N E E E E N E N N E E N N E N N N N E N E N N E N N E N N E E N E E N Se resumirmos numa tabela de frequência os dados anteriores, obtemos o seguinte resultado: Face virada para cima Nº de vezes Frequência relativa Frequência relativa % Euro 26 26/50 52% Nacional 24 24/50 48% Nestes 50 lançamentos, a face Euro ficou virada para cima 26 vezes, pelo que a proporção de vezes que se obteve a face Euro está próxima dos 50%. Intuitivamente somos levados a concluir que não temos razão para rejeitar o modelo que tínhamos idealizado, de que a moeda era equilibrada. Repare-se que a situação descrita anteriormente é uma situação típica de uma invest igação est at íst ica: Formula-se uma conjectura; Recolhem-se dados que permitam avaliar da veracidade dessa conjectura; Exprime-se uma posição sobre a veracidade ou não da conjectura. Organização e tratamento de dados 166 Suponhamos, no entanto, que em vez da sequência anterior se tinham obtido os seguintes dados: E E E E E N E N E E N E N E E E E E E E E E N N E E N E E E E N N E N E N E E N N E N N E E N E E N Ao resumir as observações anteriores numa tabela de frequência, obtemos o seguinte resultado: Face virada para cima Nº de vezes Frequência relativa Frequência relativa % Euro 33 33/50 66% Nacional 17 17/50 34% Será que nestas circunstâncias ainda continuaríamos a dizer que “A probabilidade de lançar uma moeda de um euro ao ar e sair a face euro é 50%”? A nossa intuição leva-nos a dizer que algo de errado se passa com a moeda e que deve ter algum defeito, pois se a moeda fosse equilibrada esperaríamos que a proporção de vezes que sai a face Euro fosse aproximadamente igual à proporção de vezes que sai a face Nacional, como se observou na primeira sequência. Como dissemos anteriormente, a repet ição da experiência aleatória permitiu recolher dados que, uma vez analisados, nos permitem inferir propriedades do fenómeno aleatório em estudo e que, neste caso, se pode traduzir na seguinte conclusão sobre a conjectura “A moeda é equilibrada” e sobre o que acontece quando se lança a moeda ao ar: A moeda não é equilibrada e no próximo lançamento da moeda é mais provável sair a face Euro do que a face Nacional. Por que é que é necessár i o r epet i r a ex per i ênci a um gr ande númer o de v ezes? Na definição de fenómeno aleatório diz-se que: ... quando o fenómeno se realiza, não se conhece o resultado que se vai obter, mas, no entanto, verifica-se um padrão genérico de comport ament o ou uma regularidade a longo t ermo. Isto significa que à medida que formos repetindo a experiência aleatória associada a esse fenómeno, começamos a observar que o fenómeno tem um comportamento “previsível”. É o que acontece no caso do lançamento da moeda “equilibrada”. Não sabemos o que acontece em cada realização do fenómeno, mas ao fim de muitas realizações podemos afirmar que a proporção de vezes que se verifica a face Euro está próxima de 50%. Esta regularidade não se verifica quando repetimos a experiência um número pequeno de vezes. Suponhamos, por exemplo, que só tínhamos realizado as primeiras 10 experiências cujos resultados foram: Organização e tratamento de dados 167 E E E E E N N N E N Repare-se que a proporção de vezes que se verificou a face Euro foi de 60%. Vejamos ainda o que se passa com as restantes observações, mas consideradas em séries de 10: Proporção de faces Euro E E N E E N E E E E 80% N E N N E E N N E N 40% N N N E N E N N E N 30% N E N N E E N E E N 50% Como se verifica da tabela anterior, existe uma grande variabilidade na proporção de faces Euro nas sequências de 10 observações: E se se tivessem considerado séries de 5 lançamentos? Vejamos o que acontece com a proporção de faces euro nas 10 sequências de 5 lançamentos: Sequências Proporção de faces Euro E E E E E 100% N N N E N 20% E E N E E 60% N E E E E 80% N E N N E 40% E N N E N 40% N N N E N 20% E N N E N 40% N E N N E 40% E N E E N 60% Como se verifica do gráfico anterior, existe uma grande variabilidade nas proporções de vezes que surge a face Euro, no lançamento da moeda 5 vezes. Voltemos novamente à situação dos 50 lançamentos da moeda. Se voltássemos a repetir a experiência outras 50 vezes iríamos obter a mesma percentagem de faces Euro? Não necessariamente, mas o melhor é confirmar. Obviamente que estar a repetir a experiência 50 vezes é bastante maçador, mas enquanto não soubermos como rodear este problema simulando a experiência, assunto a tratar mais à frente, vamos recolher várias amost ras de dimensão 50 (os dados de cada amostra obtêm-se repetindo a experiência de lançar a moeda 50 vezes) e registar a percentagem de faces Euro, obtidas: 1ª amostra E E E N E N N E N N N N N E E E N E N N N E N N N E N N N E E N E N E E N E E E N E N E N E N E N E 2ª amostra N E N E E N E N E N N N N E N N E N E N E E N E E N N N N E E N N N E E E N E E E E N N E E N E N N Organização e tratamento de dados 168 3ª amostra N E E E N N N N E N N E E E E E N N E N E N N E N N N E E E E E N N E E N E N N N E N E N E N E E E 4ª amostra N N N N E N N E N E E N N N E E E E N E N N N N N E E E N N N E N N E N E E E E N E E N E N E E E N 5ª amostra N E N E N N N E N E N N E N E E E N E N N E E E E E N N N E E E N N N E E N N E E E E E N E N E E N 6ª amostra N E E N E E E N E N N N N E N N E N N N N E E E E N E E N E N E N E E E N E E N E E N N N N E N E N 7ª amostra N N E E N N E E N N N N E N N N E E N N E E N N E E N E N N E N E N E E N N E E E N N N E N N E E N 8ª amostra N E N N N E E E E N E E E N N E N E N N E E N E E E N N N E N E N E E N N N E N E N E E N E N E E N 9ª amostra E N N E E E E E N N E E E N E E N E E N E N N N N N E E N N E N N E N E E N E E E N N N E E E E N E 10ª amostra N N E E E E E N E E N E E E E N N E N N E E E E N N N N E E E E E N N N E E N N N N E N E E E N N N Na seguinte tabela de frequências apresentam-se as percentagens de faces Euro das 10 amostras que decidimos recolher: Proporção de faces Euro 1ª amostra 48% 2ª amostra 48% 3ª amostra 52% 4ª amostra 48% 5ª amostra 54% 6ª amostra 50% 7ª amostra 44% 8ª amostra 52% 9ª amostra 56% 10ª amostra 54% Como estávamos à espera, não obtivemos sempre a mesma percentagem de faces Euro, mas obtivemos valores razoavelmente próximos de 50%! Organização e tratamento de dados 169 E se em vez de repetir a experiência 50 vezes, repetíssemos 100? Sem muito trabalho podemos verificar o que acontece, pois basta juntar as amostras anteriores 2 a 2 para obter amostras de dimensão 100: Proporção de faces Euro 1ª e 2ª amostras 48% 3ª e 4ª amostras 50% 5ª e 6ª amostras 51% 7ª e 8ª amostras 47% 9ª e 10ª amostras 54% Não há dúvida! À medida que aumentamos o número de repetições da experiência aleatória, mais próximas umas das outras e de 50% ficam as percentagens de faces Euro obtidas: Dimensã o de cada amostra Proporção de faces Euro 5 10 50 100 Este exemplo dá-nos confiança que se aumentarmos ainda mais o número de repetições da experiência, a proporção de faces Euro vai t er t endência a est abilizar à volt a de 50%. Para finalizar, verifique-se que se tivéssemos considerado conjuntamente as 500 repetições (das 10 amostras de dimensão 50) da experiência aleatória, a percentagem de faces Euro obtidas seria de 50,6%, valor bem próximo de 50%. Esta regularidade estatística é utilizada para quantificar a probabilidade de um acontecimento, identificando-a com a frequência relativa com que esse acontecimento se observa, para um grande número de realizações da experiência. Em termos estatísticos “estimámos” a probabilidade (desconhecida) da realização de um acontecimento, pela frequência relativa ou percentagem de vezes com que esse acontecimento se verifica. É usual chamar a esta percentagem a probabilidade empírica ou experiment al. Organização e tratamento de dados 170 Pr obabi l i dade empír i ca ( ou f r equenci st a) – A pr obabi l i dade de um determinado acontecimento aleatório é a percentagem de vezes que se espera que ele aconteça, se se repetir a experiência, um grande número de vezes, nas mesmas condições. Ex empl o – Qual o ani mal domést i co pr ef er i do Consideremos a seguinte tabela que resultou de organizar a informação referente a uma sondagem feita a 50 alunos de uma escola, sobre qual o animal doméstico preferido: Animal doméstico preferido Nº de alunos Freq. Relativa Cão 35 0,70 Gato 8 0,16 Peixe 4 0,08 Passarinho 2 0,04 Outro qualquer 1 0,02 50 1,00 Suponhamos que na altura em que se recolheu a informação da tabela, se pretendia recolher informação sobre a preferência de mais um aluno da escola, escolhido ao acaso. Algumas questões que se podem colocar sobre este aluno, no que diz respeito ao animal doméstico preferido, são as seguintes: Qual será o animal doméstico mais provável, da preferência deste aluno? Qual será um valor aproximado para a probabilidade deste aluno preferir o Cão? Na tabela anterior, verificamos que dos 50 alunos, 35 preferem o Cão. Então, é natural esperar que este outro aluno também prefira o Cão. Por outro lado, já que a frequência relativa do acontecimento “O animal doméstico preferido é o Cão” é de 0,70, esperamos que a probabilidade deste acontecimento esteja próxima de 0,70 ou 70%. No exemplo anterior, a experiência consiste em seleccionar um aluno ao acaso e em averiguar qual o animal doméstico preferido. Existem várias respostas possíveis e é por essa razão que o resultado da experiência é aleat ório: antes de registar a resposta do aluno, não temos informação suficiente para saber, de entre os acontecimentos “O animal doméstico preferido é o Cão”, “O animal doméstico preferido é o Gato”, “O animal doméstico preferido é o Peixe”, “O animal doméstico preferido é o Passarinho”, “O animal doméstico preferido é Outro qualquer”, qual o acontecimento que se vai verificar. As probabilidades assumem valores numa escala de 0% a 100% (ou 0 a 1). Se um acontecimento é impossível, atribui-se-lhe uma probabilidade de 0% (ou 0). Se temos a certeza que um acontecimento se vai verificar, ou seja, se é um acontecimento cert o, então atribui-se-lhe a probabilidade de 100% (ou 1). A probabilidade pode-se exprimir sob a forma de percentagem, decimal ou fracção. Organização e tratamento de dados 171 Podemos utilizar uma escala de probabilidade para situar alguns acontecimentos, quanto à credibilidade atribuída à sua realização na próxima repetição da experiência aleatória: A probabilidade de um acontecimento não se verificar é igual a 100% (ou 1) menos a probabilidade de se verificar. Assim, como atribuímos anteriormente um valor aproximado de 70% ao acontecimento “O animal doméstico preferido é o Cão”, podemos dizer que um valor aproximado para a probabilidade do acontecimento “O animal doméstico preferido não é o Cão” é cerca de 30%. Ex empl o – Qual a pr obabi l i dade? 3 Um computador está programado para calcular várias probabilidades. Associe as respostas numéricas com as descrições verbais seguintes: (a) -50% (i) É tão provável acontecer, como não acontecer (b) 0% (ii) É muito provável que aconteça, mas não é certo (c) 10% (iii) Isto não pode acontecer (d) 50% (iv) Pode acontecer, mas é pouco provável (e) 90% (v) Isso acontecerá, de certeza (f) 100% (vi) Há um erro no programa (g) 200% Nos valores numéricos, existem 2 que não podem ser probabilidades. Assim, só podem ser atribuídos a um erro no programa, donde (vi) corresponde a (a) e (g). Se um acontecimento é tão provável de acontecer, como de não acontecer, então temos que a sua probabilidade é cerca de 50% e, portanto, (i) corresponde a (d). As outras associações são (ii) a (e); (iii) a (b); (iv) a (c) e (v) a (f). No ensino básico,, a probabilidade deve ser introduzida de uma forma intuitiva. De seguida descrevemos uma tarefa, que pode ser dividida em várias sessões, em que se descreve um processo que pode ser utilizado para introduzir a linguagem da probabilidade nos alunos do 1º ciclo. Tar ef a – A escal a de pr obabi l i dade. Com o objectivo de promover o domínio da linguagem da probabilidade, o professor pede aos alunos que relatem acontecimentos do dia a dia em que introduzam os termos impossível, cert o, provável, muit o provável, pouco provável. Depois de algum tempo dedicado a esta discussão, o professor desenha uma linha no quadro e no início da linha marca um zero. Então o professor diz aos alunos que 0 será a probabilidade que se vai atribuir a um acont eciment o impossível e que o maior valor possível para a probabilidade será 1 ou 100%, sendo o 1 marcado no fim da linha, a que corresponde o acontecimento cert o: 3 Freedman et al (1991) Organização e tratamento de dados 172 Alguma discussão em volta de alguns termos utilizados pelos alunos, permite acrescentar à linha anterior mais algumas indicações, chegando à seguinte representação: O professor pede aos alunos que vão sucessivamente ao quadro escrever algumas frases para depois, em conjunto as situarem no eixo anteriormente desenhado, de acordo com a credibilidade que lhes atribuem. Poderá haver alguma discussão sobre a posição onde colocar as frases, pois a credibilidade que se atribui a cada acontecimento, não é necessariamente igual para todos os alunos. Algumas das frases que os alunos escreveram, foram: A – Amanhã vai chover B – Hoje vou ver televisão quando chegar a casa C – Uma pedra de gelo num copo de água derrete D – O Benfica vai ganhar a taça E – Se lançar uma moeda de 1 Euro ao ar, vai aparecer a face Euro F – Se retirar uma carta ao acaso, de um baralho, obtenho um Rei G – Amanhã quando for passear, vou encontrar um dinossáurio vivo H – Amanhã quando for ao parque, vou ver passarinhos I – Amanhã o Sol vai nascer Numa sessão seguinte o professor divide os alunos em grupos de 3 ou 4 e dá a cada grupo uma folha A4, onde está desenhada a Escala de Probabilidade, e uma folha com um conjunto de declarações (O professor pode pedir aos alunos para fazerem a sua própria folha de declarações). Folha A4 com a escala de Probabilidade Organização e tratamento de dados 173 Folha com as declarações Os alunos, de cada grupo, devem começar por recortar esta folha, de modo a separarem as declarações. Depois, em conjunto, posicionam-nas na escala de probabilidade, de acordo com a credibilidade que atribuírem a cada uma dessas frases. Sugere-se que utilizem clipes. A meio da sessão, a folha de um dos grupos pode apresentar o seguinte aspecto: A sugestão de prenderem as declarações à folha, com um clipe, com a escala de Probabilidade, prende-se com o facto de depois de alguma discussão conjunta, os grupos poderem rever as suas convicções na credibilidade atribuída à realização de alguns dos acontecimentos, atribuindo-lhes uma posição diferente na escala. Organização e tratamento de dados 174 Tar ef a – Ser ão os j ogos j ust os ( ou equi l i br ados) ? Na turma o professor propõe alguns jogos para serem jogados com uma moeda ou com um dado por pares de alunos e pretende que no fim do jogo os alunos concluam se o jogo é justo ou não, isto é, se dará a mesma possibilidade de ganhar a ambos os jogadores. Para estes jogos o professor levou algumas moedas de 1 euro, alguns dados de 6 faces e um punhado de feijões. 1º j ogo – Este jogo é jogado por dois alunos, por exemplo o Pedro e a Rita, que têm à partida uma caixa com 20 feijões e um dado. O jogo consiste em lançar um dado e se sair face com um número par de pintas, o Pedro retira um feijão da caixa e fica com ele. Se sair face com um número ímpar de pintas é a Rita que retira o feijão. Ganha o jogo quem tiver mais feijões quando se esgotar a caixa. Algumas questões: À partida quais são as expectativas sobre quem vai ganhar o jogo? Será o jogo justo? Se jogarem 2 vezes o mesmo jogo, é de esperar que ganhe o mesmo jogador? 2º j ogo – Este jogo é jogado por dois alunos, por exemplo a Maria e a Joana, que têm à partida uma caixa com 20 feijões e um dado. O jogo consiste em lançar um dado e se sair face em que o número de pintas é um número primo, a Maria retira um feijão da caixa e fica com ele. Se sair uma face com um número de pintas que não sej a número primo, é a Joana que retira o feijão. Ganha o jogo quem tiver mais feijões quando se esgotar a caixa. Algumas questões: À partida quais são as expectativas sobre quem vai ganhar o jogo? Será o jogo justo? Se jogarem 2 vezes o mesmo jogo, é de esperar que ganhe o mesmo jogador? 3º j ogo – Este jogo é jogado por dois alunos, por exemplo o João e o Bernardo, que têm à partida uma caixa com 20 feijões e duas moedas de um Euro. O jogo consiste em lançar as moedas e se saírem duas faces iguais, o João retira um feijão da caixa e fica com ele. Se saírem duas faces diferent es, é o Bernardo que retira o feijão. Ganha o jogo quem tiver mais feijões quando se esgotar a caixa. Algumas questões: À partida quais são as expectativas sobre quem vai ganhar o jogo? Será o jogo justo? Se jogarem 2 vezes o mesmo jogo, é de esperar que ganhe o mesmo jogador? 4º j ogo – Este jogo é jogado por dois alunos, por exemplo a Sara e o Santiago, que têm à partida uma caixa com 20 feijões e dois dados. O jogo consiste em lançar os dois dados e se a soma das pintas for menor ou igual 6 a Sara retira um feijão da caixa e fica com ele. Se a soma das pintas for maior ou igual a 8 é o Santiago que retira o feijão. Se a soma das pintas for 7, ninguém retira feijões. Ganha o jogo quem tiver mais feijões quando se esgotar a caixa. Algumas questões: Organização e tratamento de dados 175 À partida quais são as expectativas sobre quem vai ganhar o jogo? Será o jogo equilibrado? Se jogarem 2 vezes o mesmo jogo, é de esperar que ganhe o mesmo jogador? Todos estes jogos devem ser orientados pelo professor, que deve chamar a atenção para o facto de em qualquer um dos deles se pretender a repetição da experiência aleatória 20 vezes. Deve indicar que isso não pode ser considerado um número razoável de vezes, de forma a estabilizar as frequências relativas com que os acontecimentos se realizam. No entanto, a partir dos resultados obtidos com as 20 repetições, os alunos podem conjecturar sobre se o jogo será justo ou não, tendo em conta o número de feijões que cada aluno que compõe o par conseguiu ganhar. Se o número de feijões for muit o diferente é natural que se ponha a hipótese de que o jogo não seja justo. Podem também os alunos colocar a hipótese de o número de vezes que jogaram o jogo não ser suficiente para decidirem sobre se o jogo será equilibrado ou não, e sugerirem que se façam mais algumas jogadas. Eventualmente poderão jogá-lo mais algumas vezes, registando o vencedor num esquema de contagem gráfica (t ally chart ). Tar ef a – O que é mai s pr ováv el ? Numa turma com 24 alunos, 16 são raparigas e 8 são rapazes. Dos 24 alunos, metade têm olhos castanhos e a outra metade, olhos de outra cor. Também se sabe que 8 dos alunos (rapazes ou raparigas) são louros. O professor que usa fichas, todos os dias selecciona uma ficha ao acaso, depois de ter baralhado as fichas como quem baralha um baralho de cartas, para que o aluno com o nome que consta na ficha seleccionada vá ao quadro resolver um problema. Na próxima ida ao quadro: É mais provável que seja seleccionado um rapaz ou uma rapariga? É mais provável que o aluno tenha olhos castanhos ou de outra cor? É mais provável que o aluno seja louro ou não seja louro? Quais as estimativas para as probabilidades dos acontecimentos anteriores? Para responder às três primeiras questões, os alunos devem ter sensibilidade para verificar que quantos mais alunos houver pertencentes a determinada categoria, mais provável é ser seleccionado um aluno pertencente a essa categoria, se a selecção for feit a aleat oriament e (ao acaso), como é pressuposto, ao exigir que as fichas sejam baralhadas. Assim, será mais provável ser seleccionada uma rapariga, do mesmo modo que é mais provável ser seleccionado um aluno que não seja louro e existe igual probabilidade de ser seleccionado um aluno de olhos castanhos e um que não tenha olhos castanhos. Para responder à última questão, decidiram registar numa folha as características do aluno seleccionado (sempre seleccionando uma ficha ao acaso) durante 30 aulas consecutivas, tendo obtido os seguintes registos: Organização e tratamento de dados 176 Dia Rapariga Olhos castanhos Louro 1 0 0 0 2 1 1 1 3 0 0 0 4 1 1 1 5 1 1 1 6 0 0 0 7 1 1 1 8 1 1 0 9 0 0 0 10 1 1 0 11 0 0 0 12 0 0 0 13 1 1 1 14 1 0 0 15 0 0 0 16 1 1 1 17 1 1 0 18 1 0 0 19 1 1 1 20 1 1 1 21 1 1 1 22 1 1 1 23 1 1 1 24 1 0 0 25 1 1 0 26 0 0 0 27 0 0 0 28 0 0 0 29 1 0 0 30 1 1 1 Total 20 16 12 Freq. Rel. 20/30≈ 67% 16/30≈53% 12/30=40% Na tabela anterior representou-se por um 1 sempre que se verificava o acontecimento de interesse, e por 0 caso contrário. Por exemplo, sempre que era seleccionada uma rapariga colocava-se um 1. Caso contrário escrevia-se um 0. Assim, no 1.º dia em que começaram a fazer os registos, verificou-se que foi ao quadro um rapaz que não tinha olhos castanhos e não era louro. Repare-se que com esta forma de registar as observações, para obter as frequências absolutas basta somar a coluna de 0’s e 1’s. Da tabela anterior conclui-se que uma estimativa para a probabilidade: de ser seleccionada uma rapariga é aproximadamente 67%; de ser seleccionado um aluno de olhos castanhos é aproximadamente 53%; de ser seleccionado um aluno louro anda à volta de 40%. Assim, numa próxima chamada ao quadro espera-se que o aluno seja rapariga e espera-se que o aluno não seja louro. Quanto ao facto de ter ou não olhos castanhos, espera-se que tanto possa acontecer uma coisa como outra. O professor deve chamar a atenção para que a partir da tabela anterior ainda se podem estimar as probabilidades de outros acontecimentos. Como estimar, por exemplo, a probabilidade de seleccionar uma “rapariga de olhos castanhos e loura”? Basta contar o número de linhas em que há três 1’s e dividir esse valor por 30, Organização e tratamento de dados 177 para obter a frequência relativa com que se observou o acontecimento pretendido. No caso considerado a estimativa obtida é de 40%(=12/30). O professor pode sugerir ainda que estimassem as probabilidades de outros acontecimentos, tais como: - O próximo aluno a ser chamado ser “rapaz de olhos castanhos e não louro”; - O próximo aluno a ser chamado ser uma “rapariga loura”; - O próximo aluno a ser chamado ser “rapaz de olhos não castanhos e não louro”; - etc. Tar ef a – Qual o mei o de t r anspor t e ut i l i zado pel os al unos par a i r em par a a escol a? 4 Num determinado dia o professor decidiu juntamente com os alunos fazerem um pequeno trabalho de investigação sobre o meio de transporte utilizado para irem para a escola. Decidiu escrever no quadro os meios de transporte que julgava serem os utilizados e pediu a cada um dos alunos que fosse ao quadro e assinalasse qual o meio de transporte que utilizou, à frente da categoria respectiva: Autocarro Carro A pé Comboio Bicicleta O primeiro aluno a ir ao quadro, e que utilizava o autocarro, em vez de colocar simplesmente um traço ou uma cruz à frente da categoria Aut ocarro, resolveu desenhar uma figura estilizada, que representava um rapaz: Autocarro Carro A pé Comboio Bicicleta Os outros alunos acharam a ideia muito interessante e no fim obtiveram o seguinte pictograma, correspondente ao meio de transporte utilizado pelos alunos presentes na turma, naquele dia: Autocarro Carro A pé Comboio Bicicleta Algumas questões, baseadas no pictograma anterior e a serem trabalhadas com os alunos, podem ser as seguintes: 4 Esta tarefa foi sugerida por um exemplo de Watson (2006). Organização e tratamento de dados 178 1. O que é que se ganhou em ter utilizado uma figura masculina ou feminina, em vez de utilizar simplesmente um traço ou uma cruz? 2. Quantos alunos estavam na turma naquele dia? 3. Se se tivesse feito o mesmo estudo noutro dia, ter-se-ia obtido um pictograma perfeitamente igual? 4. Um aluno que chegou atrasado à aula, já depois de se ter feito a representação gráfica anterior, disse que tinha vindo de Carro. Este aluno será rapaz ou rapariga? Justificar a resposta. 5. Admitindo que o Ricardo não tinha ido à escola naquele dia, por estar doente, representar numa escala de probabilidade, a “credibilidade” atribuída a cada uma das seguintes afirmações, relacionadas com o transporte utilizado pelo Ricardo para ir, no dia seguinte, para a escola: a) O Ricardo utiliza o Comboio b) O Ricardo utiliza a Bicicleta c) O Ricardo utiliza o Autocarro d) O Ricardo utiliza o Carro As respostas às questões anteriores podem ser várias e o professor deve ter a preocupação de investigar quais os argumentos que conduzem às respostas dos alunos. Por exemplo, pode-se esperar que algum aluno responda à questão 4. dizendo que é rapaz. Ao dar esta resposta, o aluno estará eventualmente a utilizar um raciocínio baseado no padrão da sequência: 2 raparigas, um rapaz, 2 raparigas, 1 rapaz! Neste caso o professor deve chamar a atenção que a ordem pela qual estão representados os símbolos não tem interesse relevante. Orienta-se então a discussão para o argumento frequencista: dos 5 alunos que viajaram de carro, 4 eram raparigas. Então é “mais provável” que um outro aluno que viaje de carro, seja rapariga. Na resposta à questão 5, a “credibilidade” atribuída à opção c) pode ser superior à atribuída à opção b). Efectivamente dos alunos que viajaram de bicicleta, só 1 é que é rapariga, o que nos inclina para uma “forte” credibilidade a que o Ricardo tenha viajado de Bicicleta. No entanto, verifica-se que dos 27 alunos, 9 viajaram de autocarro, acabando por ser este o meio de transporte mais utilizado. Com tão poucos dados recolhidos, não podemos ter certeza sobre quaisquer afirmações que façamos, mas podemos formular algumas conjecturas e atribuir-lhes um certo grau de credibilidade. Tar ef a – Como sel ecci onar uma de duas pessoas, de uma f or ma j ust a 5 . Na turma, constituída por 2 rapazes – o Tiago e o Ricardo, e 16 raparigas, era necessário escolher um aluno rapaz para pertencer a uma comissão que tinha de integrar os dois sexos. Como só havia dois rapazes decidiram atirar uma moeda de 1 euro ao ar. Se saísse a face Euro (E) seria escolhido o Ricardo, caso contrário, se saísse a face Nacional (N) seria o Tiago. Antes de lançarem a moeda, o Tiago questionou o professor sobre se esse processo de selecção seria justo. Embora fosse um processo habitual de fazer uma escolha entre duas situações, quem é que lhe garantia que seria de 50% a possibilidade de ser ele o escolhido? Ou por outras palavras, o que ele desejava saber era se a moeda era equilibrada. 5 Graça Martins et al. (2007), p.164 Organização e tratamento de dados 179 Decidiram fazer uma experiência que consistia em lançar a moeda algumas vezes e registar os resultados obtidos. A fim de 10 lançamentos, os resultados obtidos foram os seguintes: N E N N N E E E E E Estes resultados não sossegaram o Tiago, pois ele começou a pensar que só teria 40% de possibilidades de ser seleccionado, uma vez que em 10 vezes a moeda só lhe foi favorável 4 vezes! O professor chamou então a atenção para o facto de se ter de realizar a experiência um grande número de vezes, pois com 10 lançamentos não podemos tirar qualquer conclusão. Fizeram então mais 90 lançamentos, tendo obtido os seguintes resultados: N.º do lanç. Result. N.º de faces N Freq. Rel. da face N N.º do lanç. Result. N.º de faces N Freq. Rel. da face N 1 N 1 1,000 51 E 26 0,510 2 E 1 0,500 52 N 27 0,519 3 N 2 0,667 53 N 28 0,528 4 N 3 0,750 54 N 29 0,537 5 N 4 0,800 55 E 29 0,527 6 E 4 0,667 56 N 30 0,536 7 E 4 0,571 57 E 30 0,526 8 E 4 0,500 58 N 31 0,534 9 E 4 0,444 59 E 31 0,525 10 E 4 0,400 60 E 31 0,517 11 N 5 0,455 61 E 31 0,508 12 E 5 0,417 62 N 32 0,516 13 N 6 0,462 63 E 32 0,508 14 E 6 0,429 64 E 32 0,500 15 N 7 0,467 65 E 32 0,492 16 E 7 0,438 66 E 32 0,485 17 N 8 0,471 67 E 32 0,478 18 N 9 0,500 68 N 33 0,485 19 E 9 0,474 69 N 34 0,493 20 N 10 0,500 70 N 35 0,500 21 N 11 0,524 71 E 35 0,493 22 E 11 0,500 72 N 36 0,500 23 N 12 0,522 73 N 37 0,507 24 N 13 0,542 74 E 37 0,500 25 E 13 0,520 75 N 38 0,507 26 N 14 0,538 76 N 39 0,513 27 N 15 0,556 77 E 39 0,506 28 N 16 0,571 78 E 39 0,500 29 E 16 0,552 79 E 39 0,494 30 N 17 0,567 80 N 40 0,500 31 N 18 0,581 81 N 41 0,506 32 E 18 0,563 82 E 41 0,500 33 E 18 0,545 83 N 42 0,506 34 N 19 0,559 84 N 43 0,512 35 N 20 0,571 85 E 43 0,506 36 E 20 0,556 86 N 44 0,512 37 N 21 0,568 87 N 45 0,517 38 E 21 0,553 88 E 45 0,511 39 E 21 0,538 89 E 45 0,506 Organização e tratamento de dados 180 40 E 21 0,525 90 N 46 0,511 41 N 22 0,537 91 E 46 0,505 42 N 23 0,548 92 E 46 0,500 43 E 23 0,535 93 E 46 0,495 44 E 23 0,523 94 E 46 0,489 45 E 23 0,511 95 N 47 0,495 46 E 23 0,500 96 N 48 0,500 47 E 23 0,489 97 E 48 0,495 48 N 24 0,500 98 N 49 0,500 49 N 25 0,510 99 N 50 0,505 50 N 26 0,520 100 N 51 0,510 O gráfico seguinte mostra a evolução da frequência relativa da saída da face N, à medida que se fazem os sucessivos lançamentos da moeda: Tendo em conta os resultados anteriores, verifica-se que a frequência relativa da saída da face Nacional, tende a estabilizar à volta dos 50%. Assim, não temos razão para rejeitar a hipótese de a moeda ser equilibrada, dando 50% de probabilidade a cada face. Ai nda a r egul ar i dade a l ongo t er mo... Neste momento, em que já nos apercebemos do que é a regularidade a longo t ermo, é pertinente questionarmos: Será que o acaso pode ser governado? Então não estamos a admitir que a longo termo é possível obter um padrão genérico de comportamento do fenómeno aleatório? Efectivamente, quando observamos o fenómeno em estudo um número suficientemente grande de vezes (nas mesmas condições...), verifica-se um comportamento que pode ser modelado, isto é, podemos arranjar um modelo para exprimir a aleatoriedade. Mas atenção! Esta regularidade não existe a não ser a longo termo! E a longo termo significa que temos de repetir a experiência, nas mesmas condições, um número suficiente de vezes até verificarmos que a frequência relativa com que o acontecimento se realiza tem tendência a estabilizar. Na situação comum do lançamento de uma moeda ou de um dado, não podemos dizer qual a face que sai no próximo lançamento. No entanto se lançarmos a moeda ou o dado (equilibrados) um número razoável de vezes, esperamos que aproximadamente metade das vezes saia a face Euro da moeda e aproximadamente um sexto das vezes saia a face 1 do dado, de modo que a frequência relativa com que se verifica a face Euro anda à volta de 50% e a frequência relativa com que se verifica a face 1 anda à volta de 17%. Suponha agora que lança a moeda 8 vezes e que obteve a seguinte sequência: Organização e tratamento de dados 181 E N E E N N N N Se lançar novamente a moeda, o que é que espera que saia? Embora lhe apetecesse dizer que no próximo lançamento é mais provável que saia a face Euro, para equilibrar o número de faces Euro, com o número de faces Nacional, na verdade no próximo lançamento tanto pode sair a face Euro como a face Nacional, já que os sucessivos lançamentos são independentes uns dos outros – a moeda não tem memória... Ex empl o – Os di ssabor es da r egul ar i dade a l ongo t er mo... 6 . A regularidade a longo termo se não for bem compreendida, pode acarretar alguns dissabores! Foi o que aconteceu com aquele casal que tinha planeado ter 4 filhos. Depois de nascerem 4 raparigas, e na expectativa de terem um rapazinho, ainda tentaram mais 3 vezes e ficaram com uma linda equipa de 7 raparigas! Depois destas 7 raparigas o médico assegurou-lhes que era praticamente certo que o bebé seguinte seria rapaz. Infelizmente para este casal, os fenómenos aleatórios que consistem em ter mais uma criança ou lançar mais uma vez a moeda, são idênticos. Efectivamente 8 raparigas de seguida, é muito improvável, mas uma vez nascidas 7 raparigas, não é de todo improvável que o próximo bebé seja rapariga – e foi! Tar ef a – O j ogo ser á j ust o 7 ? O professor propõe aos alunos realizarem o seguinte jogo, para o qual é necessário algumas fichas ou berlindes ou até botões, desde que só difiram na cor: os alunos organizam-se em 5 grupos, e cada grupo escolhe uma ficha de cor diferente. As cinco fichas (amarela, verde, vermelha, azul, branca) são colocadas num copo de plástico opaco (ou numa caixa ou num saco...) e procede-se à extracção, com reposição, de 30 fichas. Sempre que se retira uma ficha, regista-se a cor e repõe-se novamente no copo, antes de retirar a seguinte. Ganha o grupo cuja cor tenha saído mais vezes. Será que o jogo é justo (equilibrado)? Na próxima vez que se jogar o jogo será que ganha o mesmo grupo? Se ganhar o mesmo grupo significa que o jogo não é justo? O professor, sem que os alunos se tenham apercebido, retirou duas das fichas, por exemplo a amarela e a verde e colocou duas fichas vermelhas em sua substituição. Pediu aos alunos para jogarem novamente o jogo e registarem os resultados. Depois de o jogo ser jogado algumas vezes, o professor questiona os alunos sobre se: Haverá algum grupo que esteja a ganhar mais vezes que os outros grupos? Os resultados são diferentes, quando comparados com a situação anterior? Depois de alguma discussão sobre a composição das fichas no copo de plástico, o professor mostra o seu conteúdo e pede aos alunos para fazerem uma previsão sobre qual será o próximo grupo a ganhar, se repetirem novamente o jogo. Note-se que este tipo de actividade é importante para desenvolver conceitos básicos de probabilidade. Neste jogo, se cada grupo for representado por uma cor, o jogo será justo, já que cada grupo tem a mesma possibilidade de ganhar. 6 Adaptado de Moore (1997) 7 Sugerido por Way (1997) Organização e tratamento de dados 182 Contudo, como as selecções são aleatórias, não temos a garantia que todas as cores saiam com igual frequência. Quando se alterou a composição das fichas no copo, espera-se que haja uma alteração nos resultados. Para já, há dois grupos que não podem ganhar! Esta actividade mostra também a forma como os dados nos podem ajudar a tomar decisões. O jogo permitiu gerar dados os quais são usados para tomar decisões acerca da composição das fichas no copo. Tar ef a – Qual a composi ção do saco de ber l i ndes? O professor chega à aula com um saco que contém 10 berlindes de duas cores, de entre cinco cores possíveis e pretende que os alunos: digam quais as cores dos berlindes que estão no saco e que estimem quantos berlindes são de cada cor. O professor começa por indicar qual a metodologia para a recolha de dados: - Pede a um aluno que retire um berlinde do saco, mostre o berlinde aos colegas para se aperceberem de qual a cor, e reponha o berlinde no saco. Uma vez que a “memória é curta”, a cor do berlinde é registada no quadro. Admitindo que o berlinde era azul, regista um A. Esta forma de realizar a experiência consiste numa ext racção com reposição. Neste momento, associado à experiência anterior podemos dizer que o acontecimento “O saco tem berlinde(s) de cor azul” é um acontecimento cert o, com probabilidade 100%. - O professor pede a outros alunos que procedam como o primeiro aluno. O segundo aluno a tirar o berlinde também tirou um berlinde azul, mas o terceiro aluno tirou um berlinde vermelho. Após estas três extracções com reposição, tem-se o seguinte registo no quadro (antes de cada extracção, os berlindes são baralhados dentro do saco) Neste momento os alunos já têm a resposta à primeira questão: no saco existem berlindes de cores Azul e Vermelha. Ficámos também a saber que o acontecimento Organização e tratamento de dados 183 “O saco contém berlindes de cor diferente de Azul ou Vermelha” é um acontecimento impossível, a que associamos a probabilidade de 0% (recordemos que o professor tinha dito que só havia duas cores distintas de berlindes no saco). - O professor propõe que se continue a realizar a mesma experiência de retirar o berlinde, registar a cor e repor o berlinde no saco. Após 10 realizações da experiência, os resultados obtidos foram Após as 10 extracções o professor lembra que o saco contém 10 berlindes e pergunta se neste momento podemos dizer que o saco tem 6 berlindes azuis e 4 vermelhos? É de esperar que se coloquem questões acerca desta situação, e que alguns alunos respondam que não, pois o mais natural é que ao retirar ao acaso os berlindes do saco, alguns berlindes tenham sido retirados mais do que uma vez e alguns nunca tenham chegado a ser retirados. O que fazer então, para estimar a proporção de berlindes de cada cor? Alguns alunos já alertados para o raciocínio frequencist a, sugerem que se façam várias extracções (com reposição), sendo de esperar que ao fim de “muitas” extracções a frequência relativa com que se verificou a saída de cada cor, possa reflectir a composição do saco. É razoável admitir que se o saco contiver uma maior proporção de berlindes azuis, estes saiam com maior frequência. Ao fim de 80 extracções os resultados encontram-se resumidos na seguinte tabela de frequências: Cor do berlinde Freq. Abs. Freq. Rel. Azul 54 0,675 Vermelha 26 0,325 80 1,00 O que concluir da tabela e do diagrama circular anteriores? A frequência relativa da saída de berlindes de cor azul é 0,675. Então esperamos que aproximadamente 68% dos berlindes do saco sejam azuis. Respondendo à questão inicial, como o saco tem 10 berlindes, est imamos que 7 berlindes sejam azuis e 3 berlindes sejam vermelhos. Se procedermos a uma nova extracção de um berlinde, qual a cor que esperamos que o berlinde tenha? Esperamos que seja Azul, já que a probabilidade de retirar um berlinde azul anda à volta de 68%, enquanto que a probabilidade de retirar um berlinde vermelho anda à volta de 32%. Organização e tratamento de dados 184 Para fazer a inferência sobre a composição do saco, um factor importante com que se teve de entrar em linha de conta, foi o número de repet ições da experiência aleatória. Intuitivamente estamos “confiantes” que quanto maior for o número de repetições da experiência, ou seja, quant o maior for a dimensão da amost ra recolhida, melhor será o resultado da nossa inferência. Na determinação da composição do saco de berlindes, pode acontecer que algum dos alunos sugira o seguinte raciocínio, para estimar o número de berlindes azuis: fazer várias sucessões de extracções de 10 berlindes (número de berlindes do saco) e contar em cada sucessão de 10 extracções, quantos berlindes azuis se obtiveram. Por exemplo, suponhamos que se tinha procedido a 8 sucessões de 10 extracções, com os seguintes resultados: Nº de berbindes azuis V A A V A A A A A V 7 A A A A V A A A V V 7 A A V A V A V A A A 7 A A V A A V A V A A 7 A V A A A V A V V A 6 V A A A V V A V A A 6 A A A A A A V A A A 9 A A A V A A A A A V 8 O número de berlindes azuis em 10 berlindes, variou entre 6 e 9. Qual o melhor valor para representar os 8 valores obtidos? Naturalmente a média! Assim, calculando a média dos dados anteriores 125 7 8 8 9 6 6 7 7 7 7 , = + + + + + + + obtemos 7,125, pelo que escolhemos o inteiro 7 (valor inteiro mais próximo de 7,125) como o número de berlindes azuis no saco. Será que este raciocínio que acabámos de fazer é diferente do raciocínio frequencista que utilizámos inicialmente? Vejamos que não! Se contabilizarmos o total de berlindes azuis no total de extracções realizadas, então a proporção de berlindes de cor azul será 57/80=0,7125. Admitindo que esta proporção reflecte a proporção de berlindes azuis no saco, consideramos que no saco de 10 berlindes, cerca de 70% são azuis, ou seja 7. Tar ef a – Os sacos de ber l i ndes. O professor organiza os alunos em grupos de 3 ou 4. Dá a cada um dos grupos um saco mistério com 4 berlindes. Cada grupo conhece a cor dos berlindes que estão no seu saco, mas não pode dizer aos outros grupos. A experiência consiste em cada grupo fazer 30 extracções, com reposição, de berlindes do seu saco registando a cor dos berlindes que saíram antes de os repor novamente no saco. Sugere-se que cada grupo tenha uma folha idêntica à seguinte para o acompanhamento da experiência: Folha 1. Verifica a composição do saco e regista, numa tabela, todos os result ados possíveis que poderás obter se retirares um berlinde, ao acaso, do saco. 2. Se realizares 30 experiências de retirar um berlinde e repô-lo no saco, quantas vezes esperas que se verifica cada um dos result ados? Preenche a tabela seguinte com as tuas predições: Organização e tratamento de dados 185 Resultado Número de vezes que se espera que se verifique o resultado 3. Realiza agora a experiência sugerida na alínea anterior e preenche a tabela seguinte: Resultado Frequência absoluta 4. Compara os resultados obtidos na tabela anterior, com os da tabela da alínea 2. Depois de cada grupo realizar a experiência, regista no quadro a tabela com os resultados obtidos. A partir dessas tabelas, tentam descrever a composição dos sacos uns dos outros. É claro que os berlindes podem ser substituídos por botões do mesmo tamanho e feitio, só diferindo na cor, ou “caricas” de refrigerantes também do mesmo tamanho, ou fichas feitas pelos próprios alunos, em cartolina grossa, etc. Tar ef a – Qual o t i po de pr at o que os al unos pr ef er em? Numa escola o Director pretende saber como se distribui a preferência dos alunos, relativamente a um conjunto de pratos de referência, ou seja, qual a probabilidade de cada prato ser o preferido, para satisfazer o mais possível os alunos que vão comer à cantina. Encarregou um grupo de alunos de recolher a informação necessária, tendo estes utilizado a seguinte metodologia: Elaboraram uma lista com os pratos que a cantina indicou; Colocaram-se à entrada da cantina na hora do almoço; De entre os alunos que iam chegando para almoçar, só eram seleccionados para responder de cinco em cinco alunos. Por exemplo, seleccionava-se para responder o 5º aluno a chegar, o 10º, o 15º, etc. O resultado da recolha da informação apresentou o seguinte aspecto: Esparguete à Bolonhesa | | | | | | | | | | | | | Peixe assado com batatas e legumes | | | | | | Filetes no forno com arroz e salada | | | | | | | | | | Bacalhau com natas e salada | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | Rolo de carne com puré e salada | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | A partir dos dados anteriores os alunos construíram uma tabela de frequências e um gráfico de barras, tendo elaborado um pequeno relatório que entregaram ao Director: Organização e tratamento de dados 186 Relatório Questão: Foi-nos pedido que investigássemos junto dos nossos colegas que vão comer à cantina, quais são os pratos preferidos, da seguinte lista de pratos: “Esparguete à Bolonhesa”, “Peixe assado com batatas e legumes”, “Filetes no forno com arroz e salada”, “Bacalhau com natas e salada” ou “Rolo de carne com puré e salada”. Metodologia: Decidimos recolher uma amostra de alunos a quem fizemos a pergunta sobre qual destes pratos era o seu preferido. A selecção dos alunos foi feita da seguinte forma: só interrogávamos os alunos que chegavam à cantina, de cinco em cinco. Esta forma de seleccionar evitou que atrasássemos a fila, o que aconteceria de perguntássemos a todos os alunos, assim como evitou, quanto a nós, que nas respostas os alunos não fossem influenciados uns pelos outros, por estarem próximos e ouvirem as respostas uns dos outros. A partir das respostas recebidas construímos uma tabela de frequências e um gráfico de barras, que se apresentam a seguir Prato preferido Freq. abs Freq. Rel. Esparguete à Bolonhesa 13 0,1688 Peixe assado com batatas e legumes 6 0,0779 Filetes no forno com arroz e salada 10 0,1299 Bacalhau com natas e salada 21 0,2727 Rolo de carne com puré e salada 27 0,3506 Total 77 1 Conclusões: Da tabela e do gráfico anteriores sobressai que o prato preferido é o Rolo de carne com puré e salada, sendo o menos preferido o Peixe assado com batatas e legumes. Concluímos que aproximadamente 35% dos alunos inquiridos preferem o Rolo de carne com puré e salada, cerca de 27% preferem o Bacalhau com natas e salada, cerca de 17% o Esparguete à Bolonhesa, cerca de 13% os Filetes no forno com arroz e salada e finalmente só cerca de 8% dos alunos é que preferem o Peixe assado no forno com batatas e legumes. Como acreditamos que a nossa amostra foi bem seleccionada e é representativa dos alunos que almoçam na cantina, pensamos que estas proporções devem ser reflectidas para a população constituída por todos os alunos que almoçam na cantina. Assim, recomendamos que em 35% dos dias que na cantina decidirem fazer um destes pratos, se faça o Rolo de carne. Recomendamos ainda que em cerca de 27% desses dias se faça o Bacalhau com natas. Destes pratos, o peixe assado com batatas e legumes só deve ser feito cerca de 8% das vezes. Organização e tratamento de dados 187 Nota: No processo de selecção dos alunos para responderem à questão de interesse, alguém do grupo sugeriu que se colocasse numa mesa, à entrada da cantina, um inquérito e se pedisse aos alunos para o preencherem e colocarem numa caixa, bem visível. Escusavam de estar a perder tempo à espera que os alunos fossem chegando para os interrogarem! No entanto depois de alguma troca de impressões abandonaram esta ideia, pois chegaram à conclusão que este processo de selecção da amostra, por respost a volunt ária, conduz quase sempre a uma amostra enviesada, isto é uma amostra que não é representativa da população que se pretende estudar. Lembraram-se aliás, que este é um processo muitas vezes utilizado, erradamente, pela comunicação social para fazer sondagens, junto da população. Tar ef a – Qual a pr obabi l i dade do pr óx i mo condut or ut i l i zar a Vi a Ver de? O professor propôs aos alunos estimarem a probabilidade de um condutor, escolhido ao acaso de entre os que passam à frente da Escola, utilizar a Via Verde. Baseado numa notícia que tinha lido na comunicação social, o professor tinha formulado a conjectura de que 25% dos automobilistas utilizam a Via Verde. Serão os dados recolhidos pelos alunos consistentes com esta conjectura, ou pelo contrário, põem- na em causa? A recolha de dados foi devidamente planeada entre o professor e os alunos, tendo estes sido distribuídos em grupos de dois alunos, em que cada grupo iria num dos intervalos, para a porta da escola, verificar quantos carros passavam e destes quantos tinham o identificador de Via Verde. Para uma recolha de dados mais eficiente, um dos elementos do grupo levava uma folha onde apontaria o que o colega lhe dissesse e que se traduzia em Sim ou Não. Por exemplo, suponhamos que o grupo 1 obteve o seguinte registo: Via Verde Registo das ocorrências Nº de carros Sim | | | | | | | | | | 11 Não | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | 36 Total 47 Ao fim de uma semana de recolha de dados, os 12 grupos de alunos juntaram os resultados obtidos na seguinte tabela, onde se registam também os valores acumulados e as frequências relativas correspondentes: Grupo Nº de carros com Via Verde Nº de carros Nº de carros com Via Verde acumulado Nº de carros acumulado Freq. rel. carros com Via Verde 1 12 47 12 47 0,2553 2 14 56 26 103 0,2524 3 12 38 38 141 0,2695 4 4 29 42 170 0,2471 5 15 49 57 219 0,2603 6 14 58 71 277 0,2563 7 19 65 90 342 0,2632 8 15 46 105 388 0,2706 9 17 73 122 461 0,2646 10 7 44 129 505 0,2554 11 14 57 143 562 0,2544 12 14 63 157 625 0,2512 Total 157 625 Organização e tratamento de dados 188 O gráfico de linha anterior mostra a evolução da percentagem de carros com Via Verde, perto dos 25%, com tendência a aproximar-se deste valor, à medida que o número de carros vistos aumenta. Este resultado permite-nos inferir que a nossa conjectura estava certa e que efectivamente a percentagem de carros com Via Verde anda à volta de 25%. Assim, estimamos que a probabilidade de o próximo carro, que passa à frente da escola, ter Via Verde é de cerca de 25%. 6.3 Sel ecção de uma amost r a de uma popul ação com o obj ect i v o de est i mar uma pr obabi l i dade Nas secções anteriores falamos frequentemente em seleccionar amostras de populações, com o objectivo de inferir para essas populações as propriedades verificadas na amostra. Assim, uma vez que se pretende estender à população as propriedades estudadas na amostra, esta tem que ser represent at iva da população, isto é, tem que reflectir a composição da população. Uma amostra que não seja representativa da População diz-se enviesada e a sua utilização pode dar origem a interpretações erradas, como se sugere nos seguintes exemplos: utilizar uma amostra constituída por 10 benfiquistas, para prever o vencedor do próximo Benfica – Sporting! utilizar uma amostra constituída por leitores de determinada revista especializada, para tirar conclusões sobre a população em geral. O planeamento de um estudo estatístico, que começa com a forma de seleccionar a amostra, deve ser feito de forma a evitar amost ras enviesadas. Alguns processos que provocam quase sempre amostras enviesadas são, por exemplo, a amost ragem por conveniência e a obtenção de uma amostra por respost a volunt ária. Este último processo é usado, com muita frequência, pelas estações de televisão, com resultados por vezes contraditórios com os que se obtêm quando se utiliza um processo correcto de seleccionar a amostra. É comum, quando se está a debater um tema de interesse geral, como por exemplo a “Despenalização do aborto”, ou os “Touros de morte em Portugal”, os meios de comunicação social convidarem a população a ligar ou a enviar uma mensagem para um ou outro número conforme a opinião for de “Sim” ou “Não”. De um modo geral, é um segmento da população com muito interesse no tema que responde a esta solicitação, fazendo com que a amostra obtida seja enviesada. Organização e tratamento de dados 189 A utilização de uma amostragem por conveniência também se realiza frequentemente, quando se selecciona a amostra a partir de uma listagem dos elementos de determinado clube ou grupo, como por exemplo a Ordem dos Engenheiros ou a Associação dos Professores. O problema da selecção da amostra é um problema para o qual, nesta fase, não é possível avançar nenhuma teoria, mas sobre o qual se podem tecer algumas considerações gerais, tanto no que diz respeito Ao número de elementos que devemos seleccionar, ou seja, à dimensão da amostra; Como à forma de seleccionar esses elementos da população, para constituírem a amostra. No que diz respeito à dimensão da amostra: Esta dimensão depende muito da variabilidade da população subjacente. Por exemplo, se relativamente à população constituída pelos alunos do 10.º ano de uma escola secundária, estivermos interessados em estudar a média das suas idades, a dimensão da amostra a recolher não necessita de ser muito grande já que a variável idade apresenta valores muito semelhantes, numa classe etária muito restrita. No entanto se a característica a estudar for o tempo médio que os alunos levam a chegar de casa à escola, já a amostra terá de ter uma dimensão maior, uma vez que a variabilidade da população é muito maior. Cada aluno pode apresentar um valor diferente para esse tempo. Num caso extremo, se numa população a variável a estudar tiver o mesmo valor para todos os elementos, então bastaria recolher uma amostra de dimensão 1 para se ter informação completa sobre a população; se, no entanto, a variável assumir valores diferentes para todos os elementos, para se ter o mesmo tipo de informação, com a mesma precisão, seria necessário investigar todos os elementos. Assim, quanto maior for a variabilidade da característica que se está a estudar, maior terá que ser a dimensão da amostra a recolher. A dimensão da amostra terá de ser tanto maior, quanto maior for a precisão exigida. Existem técnicas que permitem obter valores mínimos para as dimensões das amostras a recolher e que garantem estimativas com uma determinada precisão exigida à partida. Uma vez garantida essa precisão, a opção por escolher uma amostra de maior dimensão, é uma questão a ponderar entre os cust os envolvidos e o ganho com o acréscimo de precisão. Nos exemplos da secção anterior esta exigência já foi manifestada. Por exemplo, quando numa tarefa da secção anterior, procurámos estimar a proporção de condutores com Via Verde, obviamente que sabemos à partida que o intervalo (0, 1) contém essa proporção. Mas este saber não nos adianta nada! Nós precisamos de uma maior precisão, isto é, de dois valores a e b, entre 0 e 1, tal que o intervalo [a, b] tenha uma pequena amplitude (quanto menor for a amplitude do intervalo, maior é a precisão) e que com uma “grande confiança” contenha essa proporção: Organização e tratamento de dados 190 Note-se que a confiança de que estamos a falar pode ser medida em termos de probabilidade (a estudar ao nível do ensino secundário). Convém ainda observar que a dimensão da amostra a recolher não é directamente proporcional à dimensão da população a estudar, isto é, se por exemplo para uma população de dimensão 1000 uma amostra de dimensão 100 for suficiente para o estudo de determinada característica, não se exige necessariamente uma amostra de dimensão 200 para estudar a mesma característica de uma população análoga, mas de dimensão 2000, quando se pretende obter a mesma precisão. Como dizia George Gallup, um dos pais da consulta da opinião pública (Tannenbaum, 1998, p. 438): “Whet her you poll t he Unit ed St at es or New York St at e or Bat on Rouge ( Louisiana) …you need …t he same number of int erviews or samples. I t ’s no myst ery really – if a cook has t wo pot s of soup on t he st ove, one far larger t han t he ot her, and t horoughly st irs t hem bot h, he doesn’t have t o t ake more spoonfuls from one t han t he ot her t o sample t he t ast e accurat ely”. Finalmente chama-se a atenção para o facto de que se o processo de amostragem originar uma amostra enviesada, aumentar a dimensão não resolve nada, antes pelo contrário! Por exemplo, quando pretendemos estimar a altura média dos alunos de uma escola, não é pelo facto de se perguntar a altura a todos os elementos da equipa de basquete da escola, em vez de só a alguns, que obtemos uma melhor estimativa para essa altura média de todos os alunos da escola! 6.3.1 Amost r a al eat ór i a si mpl es sem r eposi ção e com r eposi ção Tão importante como a dimensão da amostra é a forma como os elementos são seleccionados da população. Como podemos estar confiantes de que a amostra obtida é representativa? Um princípio fundamental que se tem de ter presente é o da aleat oriedade. Temos de utilizar um processo que garanta que qualquer elemento da população tenha alguma possibilidade de pertencer à amostra: Amost ra aleat ória ou probabilíst ica e amost ra não aleat ória – Dada uma população, uma amostra aleatória ou probabilística é uma amostra tal que qualquer elemento da população tem alguma probabilidade de ser seleccionado para a amostra. Numa amostra não aleatória, alguns elementos da população podem não ter qualquer possibilidade de serem seleccionados para a amostra. Suponha o caso de um aluno que foi encarregue de seleccionar uma amostra de alunos da escola, para averiguar quantas horas passam por dia à frente da televisão. Este aluno decide só perguntar aos colegas do sexo feminino! Esta Organização e tratamento de dados 191 amostra não é aleatória, pois há parte dos alunos que nunca poderão ser seleccionados para pertencer à amostra. Existem algumas técnicas para obter amostras aleatórias. Exemplificamos duas dessas técnicas que conduzem às amost ras aleat órias simples e amost ras est rat ificadas. Amost r a al eat ór i a si mpl es sem r eposi ção – Dada uma população, uma amostra aleatória simples de dimensão n é um conjunto de n unidades da população, tal que qualquer outro conjunto de n unidades teria igual probabilidade de ser seleccionado. Uma amostra destas pode ser escolhida sequencialmente da população, escolhendo um elemento de cada vez, sem reposição, pelo que em cada selecção cada elemento tem a mesma probabilidade de ser seleccionado. Exemplificamos a seguir um processo de obter uma amostra aleatória simples. Ex empl o – Como sel ecci onar al unos de uma t ur ma. Consideremos a população constituída pelos 18 alunos de uma turma do 10.º ano de uma determinada escola secundária, em que a característica de interesse a estudar é a altura média desses alunos. Uma maneira possível de recolher desta população uma amostra aleatória, seria escrever cada um dos indicadores (n.º do aluno, nome, …) dos elementos da população num quadrado de papel, inserir todos esses bocados de papel numa caixa e depois seleccionar tantos quantos a dimensão da amostra desejada. A recolha tem de ser feita sem reposição pois quando se retira um papel (elemento da população), ele não é reposto enquanto a amostra não estiver completa (com a dimensão desejada). Qualquer conjunto de números recolhidos desta forma dará origem a uma amostra aleatória, constituída pelas alturas dos alunos seleccionados. O processo que acabámos de descrever não é prático se a população a estudar tiver dimensão elevada. Neste caso, um processo de seleccionar uma amostra aleatória simples consiste em utilizar uma opção da calculadora, a função randInt(i,j), que gera números aleatórios 8 inteiros dentro dos limites especificados i e j. Para seleccionar uma amostra de uma população utilizando a calculadora procede-se em duas etapas: atribui-se um número a cada elemento da população, sequencialmente, por exemplo de 1 até N (dimensão da população); utiliza-se a calculadora para gerar números inteiros entre 1 e N. Têm de se gerar, pelo menos, tantos números quantos os necessários para constituírem a amostra. Dizemos pelo menos, pois se durante o processo da geração se obtiver algum número igual a algum que já tenha saído, deita-se esse número fora e gera-se um outro. Ex empl o ( cont . ) - Considerando a população do exemplo anterior, constituída por 18 elementos, vamos numerá-los com os números 1, 2, 3, …, 17, 18 (podia ser utilizado qualquer outro conjunto de 18 números sequenciais). Para seleccionar uma amostra de dimensão 4 geramos 4 números na calculadora, utilizando a opção randInt(1,18). Como dissemos anteriormente, se se pretende uma amostra aleatória simples sem reposição, quando se geram os números, se se obtiverem 8 Pseudo-aleatórios Organização e tratamento de dados 192 números repetidos, tem de se proceder a novas gerações para se obterem números diferentes. Uma alternativa ao tipo de amostragem descrito anteriormente é considerar a amostra com reposição: Amost r a al eat ór i a com r eposi ção – para obter uma amostra aleatória com reposição, quando um elemento é seleccionado da população, verifica-se a característica de interesse e repõe-se na população, antes de se seleccionar o próximo elemento. Embora saia fora do âmbito deste nível, podemos adiantar que estes dois processos de amostragem não são equivalentes se a dimensão da população não for suficientemente grande. Uma inferência baseada numa amostra de dimensão n, recolhida sem reposição é, de um modo geral, mais correcta do que a baseada numa amostra da mesma dimensão, mas recolhida com reposição. No entanto, se a dimensão da população for muito grande, quando comparada com a dimensão da amostra que se recolhe, já podemos considerar os dois processos equivalentes. É aliás simples de explicar porque é que se verifica esta situação: se a população tiver uma grande dimensão, a probabilidade de seleccionar o mesmo elemento duas vezes é muito pequena, pelo que é praticamente indiferente que o elemento seleccionado para pertencer à amostra seja posteriormente reposto ou não, antes de seleccionar o próximo elemento. Quando é que se costuma considerar que a população é muito grande, utilizando-se até o termo “população infinita”? É quando a sua dimensão é pelo menos 20 vezes maior que a dimensão da amostra que se pretende seleccionar. 6.3.2 Amost r a est r at i f i cada Por vezes sabemos que a nossa população é constituída por alguns grupos mais ou memos homogéneos entre si, relativamente à característica que se está a estudar. Neste caso dizemos que a população é constituída por estratos e a melhor forma de recolher uma amostra desta população é recolher uma amost ra est rat ificada. Por exemplo se se pretende estimar a idade média dos alunos de uma escola secundária, é possível considerar três estratos mais ou menos homogéneos quanto à característica Idade e que são os anos de escolaridade – 10.º, 11.º e 12.º anos. Posteriormente, selecciona-se de cada um destes estratos uma percentagem de elementos que irão constituir a amostra, sendo esta percentagem, de um modo geral, proporcional à dimensão dos estratos. Amost r a est r at i f i cada - Uma vez identificados os estratos, extrai-se de cada um destes estratos uma amostra, de forma aleatória. O conjunto de todas estas amostras constitui a amostra pretendida. Tar ef a – O mei o de t r anspor t e ut i l i zado pel os al unos par a i r em par a a escol a. Como sel ecci onar uma amost r a par a f azer est e est udo? A Junta de Freguesia estava interessada em conhecer o meio de transporte utilizado pelos alunos para irem para a escola da sua zona, que só tinha o 3º ciclo, pois pretendia saber se seria necessário pedir um reforço nas carreiras de autocarros que servem a escola. Organização e tratamento de dados 193 Assim, pediu ao Director que lhe fornecesse a informação desejada. Conhecedor deste pedido, um grupo de 3 alunos, que pretendia fazer um pequeno projecto sobre Estatística, no âmbito dos seus trabalhos escolares, ofereceu-se para realizar este estudo. O primeiro passo para a realização do estudo, foi a planificação da recolha de dados. A amostra a recolher deveria reflectir a constituição da população, isto é, se um dos anos tivesse mais alunos seria necessário recolher para a amostra mais alunos desse ano. Então, terá de constituir-se a amostra com uma percentagem de alunos de cada ano de escolaridade, de modo a representar, o melhor possível, todos os alunos da escola. Esta percentagem teria de ser calculada em função do número de alunos que se pretendessem inquirir. Por exemplo, para simplificar, admitamos que a escola tem um total de 469 alunos, assim distribuídos pelos 3 anos: 7.º ano – 140 alunos; 8.º ano – 148 alunos; 9.º ano – 181 alunos Admitamos que, depois de algumas considerações sobre o número de alunos a inquirir, se tinha decidido recolher uma amostra de dimensão 75. O problema da escolha da dimensão da amostra sai fora do âmbito deste nível de ensino. Deve-se, no entanto, referir que quanto maior for a dimensão da amostra, mais fiáveis serão os resultados, mas também mais tempo será necessário para os obter (neste caso não se põe a questão dos gastos em dinheiro, como é normalmente a situação deste tipo de estudos). Neste caso, vamos admitir que o grupo decidiu inquirir 75 colegas, pois acharam razoável que cada um fizesse cerca de 25 entrevistas. O 1.º passo para a selecção da amostra é calcular a proporção de cada ano, na população: Ano Nº de alunos por ano Proporção 7.º 140 (6 turmas) 0,298507 8.º 148 (6 turmas) 0,315565 9.º 181 (7 turmas) 0,385928 Total 469 O 2.º passo é calcular quantos alunos se vão seleccionar de cada ano para pertencerem à amostra, o que será feito tendo em conta as proporções obtidas anteriormente: Ano Proporção Nº de alunos da amostra 7.º 0,298507 0,298507x75=22,39 22 8.º 0,315565 0,315565x75=23,67 24 9.º 0,385928 0,385928x75=28,94 29 Total 75 Perante os resultados anteriores decidiram que cada um dos 3 alunos que constituía o grupo que estava a realizar o estudo ficaria encarregue de inquirir cada ano de escolaridade. Como seleccionar agora os alunos de cada ano? Podem definir-se várias estratégias. Por exemplo, no caso do 7.º ano de escolaridade, com 6 turmas, de 4 das turmas escolhem aleatoriamente 4 alunos e das outras 2 escolhem 3 alunos. Esta escolha pode ser feita através do n.º do aluno, utilizando a função randInt(1, n.º alunos da turma), da calculadora, ou então utilizando o seguinte processo para a escolha dos alunos de uma das turmas com 25 alunos: quando tocar para um dos Organização e tratamento de dados 194 intervalos, são seleccionados, por exemplo, o 2.º, o 8.º, o 14.º e o 20.º alunos a saírem da sala. Este processo que acabamos de descrever, de seleccionar o 2.º, o 8.º, o 14.º e o 20.º, tem a particularidade, como se nota imediatamente, de a diferença entre os números ser constante e neste caso igual a 6. Temos aqui um caso particular da amostragem sistemática, que desenvolveremos mais em pormenor na secção seguinte. 6.3.3 – Amost r a si st emát i ca Uma alternativa à amostragem aleatória simples sem reposição, é a amostragem sistemática, particularmente indicada quando temos uma listagem dos indivíduos da População. Por exemplo, se pretendermos seleccionar uma amostra de 75 alunos de uma Escola com 1350 alunos, considera-se um ficheiro com o nome dos 1350 alunos ordenados por ordem alfabética (ou por qualquer outra ordem). Considera-se o quociente 1350/75=18 e dos primeiros 18 elementos da lista, selecciona-se um aleatoriamente. A partir deste elemento seleccionamos sistematicamente todos os elementos distanciados de 18 unidades. Assim, se o elemento seleccionado aleatoriamente de entre os primeiros 18, foi o 14, os outros elementos a serem seleccionados são 32 (=14+18), 50 (=32+18), 68 (=50+18), etc. Obviamente que o quociente entre a dimensão da população e a da amostra não é necessariamente inteiro, como anteriormente, mas não há problema pois considera-se a parte inteira desse quociente. Na secção anterior apresentou-se um exemplo de uma amostragem sistemática. Numa turma com 25 alunos, em que se pretendia seleccionar 4 alunos, utilizou-se o seguinte processo: 1) Fez-se o quociente 25/4, tendo-se obtido a parte inteira igual a 6; 2) Dos alunos com os números de 1 a 6, escolheu-se aleatoriamente 1, tendo-se obtido, por exemplo, o número 2; 3) Os alunos seleccionados são os números 2, 8 (=2+6), 14 (=8+6) e 20 (=14+6). Amost r a al eat ór i a si st emát i ca – Dada uma população de dimensão N, ordenada por algum critério, se se pretende uma amostra de dimensão n, escolhe-se aleatoriamente um elemento de entre os k primeiros, onde k é a parte inteira do quociente N/n. A partir desse elemento escolhido, escolhem-se todos os k-ésimos elementos da população para pertencerem à amostra. Organização e tratamento de dados 195 6.4 Ex per i ênci a al eat ór i a, Espaço de r esul t ados, Acont eci - ment os. Como dissemos na secção 3.3, o objectivo da Estatística é o estudo de Populações, isto é conjunto de indivíduos (não necessariamente pessoas) com algumas características comuns que se pretendem estudar. Por exemplo, podemos estar interessados em estudar a característica Número de irmãos de cada aluno de uma escola. O fenómeno que consiste em observar esta característica é um fenómeno aleat ório, pois não sabemos, antes de fazer a pergunta ao aluno, qual a resposta que ele vai dar. No entanto já não teria interesse averiguar a característica “O aluno tem nome?”, pois sabemos que neste caso todos os alunos teriam de dar a mesma resposta e que é “Sim”. Assim, a observação de uma característica que tenhamos interesse em estudar e a que chamámos Variável (secção 3.3), não é mais que a observação de um fenómeno aleatório, caracterizado pela existência de variabilidade dos seus resultados e em que a preocupação permanente é a de construir um modelo que traduza essa variabilidade. Um princípio fundamental da Estatística é compreender que: A variabilidade exist e e pode ser modelada Existem situações, que são aliás as mais correntes em Estatística, em que não é possível observar a característica em estudo em todos os elementos da População estudando-se só uma parte da População - a Amostra. Como o nosso objectivo é inferir propriedades para a população a partir do estudo dos dados da amostra, as amostras constituídas pelos dados recolhidos devem representar convenientemente as populações subjacentes. Como vimos na secção anterior, dizemos que neste caso as amostras são represent at ivas das populações de onde foram seleccionadas. Como também vimos na secção anterior, esta fase da selecção de uma amostra com o objectivo de tirar conclusões para a população é muito importante, pois se a amostra não for convenientemente seleccionada, as conclusões que depois retiramos para a população podem ser falsas. Por exemplo, não seria correcto, recolher informação junto de alguns rapazes da escola sobre quantas horas passam por semana a jogar no computador, se pretendermos saber quantas horas todos os alunos da escola gastam nessa actividade. De um modo geral, as raparigas não são tão entusiastas desta forma de passar o tempo... Assim, ao admitir a representatividade de uma amostra, seleccionada de uma população com o objectivo de estudar determinada característica, estamos a admitir que a proporção de indivíduos na população, com essa caract eríst ica, é preservada na amost ra. Por outro lado, ao inferir para a população as propriedades verificadas na amostra, estamos também a admitir a preservação da proporção verificada na amostra, para a população, sendo esta a base do raciocínio inferencial em Estatística, isto é do raciocínio que nos permite a partir do conhecimento da “parte” conjecturar para o “todo” e posteriormente tomar decisões, quantificando o erro das decisões tomadas (questão que se situa fora do âmbito desta brochura). Ao processo utilizado para a aquisição dos dados que constituem a amostra, damos o nome de experiência aleat ória. Como já referimos anteriormente, ex per i ênci a al eat ór i a é o processo de observar um resultado de um fenómeno aleatório. Organização e tratamento de dados 196 Quando se realiza uma experiência aleatória: - obtém-se um result ado, de entre um conjunto de resultados conhecidos de antemão, - mas não se t em conheciment o suficient e sobre o resultado que irá sair em cada realização da experiência. - Admite-se ainda que a experiência se pode repet ir e que as repetições são realizadas nas mesmas circunstâncias e são independent es. A experiência tem de se repetir tantas vezes quantas as observações necessárias para constituir a nossa amostra. Na selecção de uma amostra temos de ter em consideração que se deve recolher um número razoável de dados para que as nossas inferências sejam mais precisas. Um ponto importante a referir, é que, embora seleccionando o mesmo número de elementos da população, raramente se obtêm duas amostras com os mesmos dados. É precisamente esta aleatoriedade presente na repetição da experiência e por conseguinte, no processo de recolha de dados, ou dito ainda de outro modo, na selecção da amost ra, que, ao produzir um determinado padrão de comport ament o, nos vai permitir inferir para a População as propriedades verificadas na Amostra que entretanto se seleccionou. Se, por exemplo, estivermos interessados em averiguar se uma moeda é equilibrada, temos de repetir a experiência de lançar a moeda um número “grande” de vezes. Se após um grande número de lançamentos da moeda se verifica que a percentagem de vezes que a face Euro surge, é superior à percentagem de vezes da face Nacional, podemos inferir que a moeda não é equilibrada. Não poderíamos tirar esta conclusão, mesmo que em 10 lançamentos da moeda a face Euro tivesse surgido 8 vezes, pois uma repetição de 10 experiências não permite visualizar nenhum padrão de comportamento da moeda. A selecção aleatória de uma amostra, de dimensão razoável, permite que os resultados do estudo da amostra possam ser estendidos para a População (ver secção 6.3 sobre a selecção da amostra). São exemplos de experiências aleatórias: - Perguntar a uma pessoa ao acaso, da sua cidade, quantas pessoas constituem o seu agregado familiar; - Perguntar a um aluno ao acaso, da escola, qual o animal doméstico preferido; - Lançar uma moeda de 1 Euro ao ar e ver o resultado que sai; - Lançar uma moeda de um euro ao ar 10 vezes e ver quantas vezes sai a face euro; - Ao acordar, de manhã, ir à janela e num período de 5 minutos, ver quantos carros encarnados passam; - Medir o tempo que de manhã se leva a chegar à escola; - Perguntar a um aluno ao acaso, da escola, quantas mensagens de telemóvel enviou no dia anterior; - Escolher ao acaso 3 alunos da turma (com 10 rapazes) e verificar quantos são rapazes. As situações anteriores são exemplos de experiências aleatórias, porque além de envolverem aleatoriedade, o que se pretende observar está bem especificado. O mesmo não se passa com a seguinte situação: ao acordar, de manhã, ir à j anela. Organização e tratamento de dados 197 Efectivamente, na situação anterior não se especificou o que se pretende observar, ou seja, qual o fenómeno aleatório em estudo, de modo a termos uma experiência aleatória. No entanto, associado à situação anterior são experiências aleatórias (Graça Martins et al, 1999): - Ao acordar, de manhã, ir à j anela e ver se chove; - Ao acordar, de manhã, ir à j anela e contar num período de 5 minutos, quantos carros encarnados passam. Ao conjunto de todos os resultados possíveis associados à realização de uma experiência aleatória, chamamos espaço de resultados ou espaço amostral. Espaço de r esul t ados – conjunto cujos resultados são os que consideramos como possíveis, ao modelar um fenómeno aleatório. Ex empl o – Espaços de r esul t ados. Para cada uma das experiências aleatórias consideradas anteriormente construa o espaço de resultados associado. Nº de pessoas do agregado familiar {1, 2, 3, 4, ...} Perguntar a um aluno ao acaso, da escola, qual o animal doméstico preferido {cão, gato, peixe, passarinho, tartaruga, coelho, hámster, rato, tartaruga, ...} Lançar uma moeda de 1 Euro ao ar e ver o resultado que sai {face Euro, face Nacional} Lançar uma moeda de um euro ao ar 10 vezes e ver quantas vezes sai a face euro {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} Medir o tempo que leva a chegar à escola de manhã (em minutos) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... } Perguntar a um aluno da escola, escolhido ao acaso, quantas mensagens de telemóvel enviou no dia anterior {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... } Escolher ao acaso 3 alunos da turma (com 10 rapazes) e verificar quantos são rapazes {0, 1, 2, 3} Ao acordar, de manhã, ir à janela e ver se chove {chove, não chove} Ao acordar, de manhã, ir à janela e contar num período de 5 minutos, quantos carros encarnados passam {0, 1, 2, 3, 4, ...} A definição correcta do espaço de resultados associados a uma experiência é um passo fundamental para de seguida definirmos acontecimentos. No entanto, nem sempre esta definição é simples, sendo um processo que, por vezes, envolve alguma idealização no modelo utilizado para interpretar a realidade. Ex empl o – Lançament o da moeda 9 . Admita que tem uma moeda de um Euro, equilibrada. Mas o que é uma moeda equilibrada? É a moeda relativamente à qual 9 Graça Martins (2005), p. 128 Organização e tratamento de dados 198 se admite, à partida, que existe igual possibilidade de sair face Euro ou face Nacional ou no próximo lançamento que façamos com ela – estamos a admitir o princípio da simet ria, de que falaremos a seguir. Estamos, assim, a pensar num modelo mat emát ico para traduzir o facto de que em qualquer lançamento da moeda, só temos dois resultados possíveis, face Euro e face Nacional e em que a probabilidade de sair a face Euro é igual à de sair a face Nacional e igual a 1/2: Modelo para o resultado do lançamento da moeda equilibrada Resultado Face Euro Face Nacional Probabilidade 1/2 1/2 Não nos estamos a preocupar, por exemplo, com a força ou direcção com que atiramos a moeda, nem tão pouco com o desgaste acusado pela moeda após sucessivos lançamentos! Também não estamos a encarar a hipótese da moeda cair de pé! Se nos estivéssemos a preocupar em arranjar um modelo que traduzisse mais fielmente a realidade, estaríamos a arranjar um modelo matemático tão complicado que seria impossível de tratar e não nos serviria para nada. O estatístico George Box dizia: Todos os modelos são maus, alguns modelos são út eis. Assumindo então o modelo anterior, um pouco simplista, para o lançamento da moeda, se lançarmos a moeda repetidas vezes, esperamos que o número de faces Euro seja aproximadamente metade do número de lançamentos. Se, por outro lado, recolhermos uma amostra de dimensão 1, isto é, se fizermos um único lançamento, não sabemos qual o resultado que se vai verificar, se será face Euro ou face Nacional, mas dizemos que a probabilidade de sair face Euro é 1/2. Como refere Bartholomew (1995) “We all depend on models t o int erpret our everyday experiences. We int erpret what we see in t erms of ment al models const ruct ed on past experience and educat ion. They are t he const ruct s t hat we use t o underst and t he pat t ern of our experiences”. O comportamento de grandes grupos de indivíduos, pode ser também considerado aleatório e o processo utilizado para definir um modelo, é o de verificar o que é que se passa com um grande conjunto de indivíduos (Graça Martins, 2005), como exemplificamos a seguir. Ex empl o – Tempo de v i da 10 . Se nos perguntassem qual a probabilidade de uma determinada pessoa morrer no próximo ano, obviamente que não saberíamos dizer. No entanto, se observarmos milhões de pessoas, poderemos obter um padrão para o comportamento das mortes. É assim que poderemos dizer que a proporção de homens, com idades compreendidas entre 25 e 34 anos, que morrerão no próximo ano, anda à volta de 0,21%. Esta percentagem, verificada para um conjunto grande de indivíduos, será entendida como a probabilidade de que um homem jovem morra no próximo ano. Para as mulheres com aquela idade, a probabilidade de morrer será cerca de 0,07%. Estamos, a partir da observação de resultados verificados numa amostra, a inferir para toda a população constituída pelos indivíduos da classe etária considerada. Estes modelos têm muito interesse para as 10 Moore (1997). Organização e tratamento de dados 199 companhias de seguros, quando se trata nomeadamente de seguros de vida, já que lhes vai permitir definir uma política de preços para as apólices, sendo até natural que cobrem mais por um seguro de vida a um homem, do que a uma mulher. Pode ainda acontecer que tenhamos de idealizar um modelo que não corresponde à realidade, mas para o qual não exista outra possibilidade de o definir. Por exemplo se pensarmos na experiência aleatória que consiste em averiguar o tempo de vida T de uma pessoa escolhida ao acaso, consideramos para espaço de resultados S = {Todos os valores de T, tal que T>0}. Será que uma pessoa pode ter 500 anos? E 400? E 200? Temos dificuldade em estabelecer um limite superior para o valor de T, pelo que temos de nos abstrair um pouco da realidade considerando aquele modelo para o espaço de resultados. Acont eci ment o – É um resultado ou um conjunto de resultados do espaço de resultados. Considerando a experiência aleatória que consiste em perguntar a uma pessoa residente na sua cidade, escolhida ao acaso, quantas pessoas constituem o seu agregado familiar, o espaço de resultados é constituído por todos os inteiros não negativos (excluído o zero). Alguns acontecimentos são: - 3 pessoas, que podemos representar por {3} - Entre 2 e 4 pessoas (inclusive), que podemos representar por {2, 3, 4} - Mais de 3 pessoas, que podemos representar por {4, 5, 6,...} - Menos de 10 pessoas, que podemos representar por {1, 2, 3,..., 9} De um modo geral os acontecimentos são representados por letras maiúsculas A, B, etc. Diz-se que se realizou o acontecimento A, quando o resultado da experiência pertence a A. Quando os acontecimentos são constituídos por um único resultado, dizem-se acont eci ment os el ement ar es. Ex empl o – Lançament o de doi s dados Considerando a experiência aleatória que consiste em lançar dois dados e verificar as faces que ficam voltadas para cima, pretende-se identificar o espaço de resultados e os acontecimentos “o número de pintas é igual nos dois dados” e “a soma das pintas é 7”. Para descrever o espaço de resultados vamos considerar dois dados, um vermelho e um verde, para os distinguir. O espaço de resultados é constituído por todos os pares de dados considerados na figura a seguir. O número de elementos do espaço de resultados é 36 = 6X6. Organização e tratamento de dados 200 Chamamos a atenção que, por exemplo, o par (1,3) não é o mesmo que o par (3,1). No par ordenado, o primeiro elemento refere-se a um dos dados (neste caso o dado vermelho) e o segundo elemento refere-se ao outro dado (o dado verde). O acontecimento A, “o número de pintas é igual nos dois dados” é constituído pelos pares ou em notação em termos dos pares ordenados, referindo-nos ao número de pintas A = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)} Finalmente o acontecimento “a soma das pintas é 7” é constituído pelos pares ou em notação em termos dos pares ordenados B = {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)} Qual a diferença entre o espaço de resultados associado à experiência aleatória do lançamento de dois dados e a experiência que consiste no lançamento do mesmo dado duas vezes? O espaço de resultados é idêntico nas duas experiências. Considerámos dados de cores distintas para justificar a nossa opção para descrever o espaço de resultados como um conjunto de pares ordenados, mas é óbvio que este mesmo espaço serve para modelar o lançamento de dois dados idênticos ou dois lançamentos de um mesmo dado. Associado à experiência que acabámos de descrever no exemplo anterior, poderíamos ter considerado o seguinte espaço de resultados S: S = {saírem dois 1’s, sair um 1 e um 2, sair um 1 e um 3, sair um 1 e um 4, sair um 1 e um 5, sair um 1 e um 6, saírem dois 2’s, sair um 2 e um 3, sair um 2 e um 4, sair um 2 e um 5, sair um 2 e um 6, saírem dois 3’s, sair um 3 e um 4, sair um 3 e um 5, sair um 3 e um 6, saírem dois 4’s, sair um 4 e um 5, sair um 4 e um 6, saírem dois 5’s, sair um 5 e um 6, saírem dois 6’s}. Qual a desvantagem em considerar este espaço de resultados? Como veremos mais à frente, se o espaço de resultados for constituído por resultados igualmente possíveis, o que não acontece nesta situação, podemos utilizar uma regra conhecida pela regra de Laplace, para atribuir probabilidades a acontecimentos associados ao fenómeno em estudo. Organização e tratamento de dados 201 Ainda associado ao lançamento dos dois dados, suponhamos que o fenómeno aleatório que estávamos interessados em estudar, era o resultado da soma das pintas das faces que ficam voltadas para cima. Neste caso o espaço de resultados é S={2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} Not a hi st ór i ca (Freedman et al. 1991) - No século XVII, os jogadores italianos costumavam fazer apostas sobre o número total de pintas obtidas no lançamento de 3 dados. Acreditavam que a possibilidade de obter um total de 9 era igual à possibilidade de obter um total de 10. Por exemplo, diziam que uma combinação possível para dar um total de 9 seria 1 pinta num dos dados, 2 pintas num outro dado, 6 pintas no terceiro dado Abreviando o resultado anterior para “1 2 6”, todas as combinações para dar o 9 são: 1 2 6 1 3 5 1 4 4 2 3 4 2 2 5 3 3 3 Analogamente, obtinham 6 combinações para o 10: 1 4 5 1 3 6 2 2 6 2 3 5 2 4 4 3 3 4 Assim, os jogadores argumentavam que o 9 e o 10 deveriam ter a mesma possibilidade de se verificarem. Contudo, a experiência mostrava que o 10 aparecia com uma frequência um pouco superior ao 9. Pediram a Galileu que os ajudasse nesta contradição, tendo este realizado o seguinte raciocínio: Pinte-se um dos dados de branco, o outro de cinzento e o outro de preto. De quantas maneiras se podem apresentar os três dados depois de lançados? O dado branco pode apresentar 6 possibilidades diferentes. Para cada uma destas possibilidades o dado cinzento pode apresentar 6 possibilidades, obtendo-se 6× 6 possibilidades para os dois dados. Correspondendo a cada uma destas possibilidades, o dado preto pode apresentar 6 possibilidades obtendo-se no total 6× 6× 6 = 216 possibilidades. Galileu listou todas as 216 maneiras de 3 dados se apresentarem depois de lançados. Depois percorreu a lista e verificou que havia 25 maneiras de obter um total de 9 e 27 maneiras de obter um total de 10. O raciocínio dos jogadores não entrava em linha de conta com as diferentes maneiras como os dados se podiam apresentar. Por exemplo o triplo “3 3 3”, que dá o 9, corresponde unicamente a uma forma de os dados se apresentarem, mas o triplo “3 3 4” que dá o 10, corresponde a 3 maneiras diferentes: pelo que o raciocínio dos jogadores deve ser corrigido de acordo com a tabela seguinte: Triplos para o 9 Nº de maneiras Triplos para o 10 Nº de maneiras de obter o triplo de obter o triplo 1 2 6 6 1 4 5 6 1 3 5 6 1 3 6 6 1 4 4 3 2 2 6 3 2 3 4 6 2 3 5 6 2 2 5 3 2 4 4 3 3 3 3 1 3 3 4 3 Total 25 Total 27 Por vezes para definirmos o espaço de resultados associados com determinadas experiências, é necessário acrescentar algo sobre a metodologia da realização da experiência. Por exemplo se pretendermos obter o espaço de resultados associado à experiência aleatória que consiste em retirar duas bolas de uma caixa contendo quatro bolas brancas e duas pretas, é necessário saber se após retirar a primeira bola ela é reposta ou não na caixa. Na secção 6.3.1 já falámos no processo de amostragem sem reposição e com reposição. Vamos de seguida exemplificar esse processo, no contexto da construção do espaço de resultados. Organização e tratamento de dados 202 Ex t r acções com r eposi ção e sem r eposi ção Colocaram-se 11 numa caixa 3 papéis com o nome de 3 meninas: Ana, Maria e Filipa. Considere a experiência aleatória que consiste em retirar da caixa 2 papéis e verificar os nomes que saíram. Qual o espaço de resultados? Para responder a esta questão é necessário saber se a extracção se faz com reposição, isto é, se uma vez retirado um papel e verificado o nome se volta a colocar o papel na caixa, antes de proceder à extracção seguinte, ou se a extracção é feita sem reposição, isto é, uma vez retirado um papel, ele não é reposto antes de se proceder à próxima extracção. No esquema seguinte procuramos representar as duas situações: Admitimos que na 1.ª extracção saiu o papel com o nome da Maria. Na 2.ª extracção, saiu o nome da Filipa nos dois casos, mas na ext racção com reposição havia uma possibilidade em três de ele sair, tal como na 1.ª extracção, enquanto que na ext racção sem reposição havia uma possibilidade em duas de ele sair. Quer dizer que neste caso havia uma maior probabilidade de sair o nome da Filipa. Os espaços de resultados correspondentes às duas situações com reposição e sem reposição, são: Espaço de resultados com reposição Espaço de resultados sem reposição Ana, Ana Ana, Maria Ana, Filipa Maria, Ana Maria, Maria Maria, Filipa Filipa, Ana Filipa, Maria Filipa, Filipa Ana, Maria Ana, Filipa Maria, Ana Maria, Filipa Filipa, Ana Filipa, Maria 11 Graça Martins et al (1999). Organização e tratamento de dados 203 O acontecimento “saiu o nome da Maria” é constituído pelos seguintes resultados, considerando a extracção com reposição e sem reposição, respectivamente: Acontecimento “Saiu o nome da Maria” Resultados Com reposição Ana, Maria Maria, Ana Maria, Maria Maria, Filipa Filipa, Maria Sem reposição Ana, Maria Maria, Ana Maria, Filipa Filipa, Maria Ex empl o – O saco de ber l i ndes. Considere a experiência aleatória que consiste em extrair 2 berlindes, de um saco com 3 berlindes vermelhos e 2 azuis . Que espaço de resultados se associa a esta experiência? Para já é necessário saber se a extracção se faz com reposição ou sem reposição. Vamos considerar as duas situações. Para identificar o espaço de resultados será mais fácil numerar os berlindes, pelo que vamos numerar os berlindes vermelhos com 1, 2 e 3 e os azuis com 4 e 5. Com r eposi ção – Quando se retira um berlinde verifica-se a cor e torna-se a repor o berlinde no saco antes de extrair o próximo. um espaço de resultados pode ser constituído por todos os resultados, em número de 25, do esquema seguinte, em que se considera primeiro os berlindes como normalmente se apresentam, e a seguir numerados para ser mais fácil a interpretação: Sem r eposi ção – Neste caso o espaço de resultados é constituído por todos os resultados do espaço do esquema anterior, exceptuando os pares constituídos pelo mesmo berlinde: Organização e tratamento de dados 204 O acontecimento “tirar 2 berlindes de cor diferente” é constituído pelos resultados tanto no esquema com reposição, como sem reposição. Podemos consi der ar mai s do que um espaço de r esul t ados ao model ar um f enómeno al eat ór i o? Sim! A associação de um espaço de resultados a uma certa experiência aleatória nem sempre é única. No caso do exemplo anterior, podemos assumir que o espaço de resultados associado à experiência que consiste em retirar 2 berlindes de um saco com 3 berlindes vermelhos e 2 azuis é constituído pelos resultados elementares {2 berlindes vermelhos, 1 berlinde vermelho e 1 berlinde azul, 2 berlindes azuis} quer a extracção se faça com ou sem reposição. Este é aliás, o espaço de resultados mais intuitivo e que nos vem imediatamente ao pensamento quando idealizamos ou realizamos a experiência considerada. Normalmente é-nos indiferente qual o berlinde seleccionado em cada tiragem, porque estamos interessados unicamente na cor. No entanto, como veremos mais à frente, quando pretendermos associar probabilidades aos seus resultados, esta associação não é imediata como no espaço de resultados considerado inicialmente, já que os seus resultados não são todos igualmente possíveis. Do mesmo modo, o espaço de resultados associado à experiência aleatória que consiste em lançar 2 moedas de 1 Euro e ver o resultado que sai, também pode ser interpretado como sendo {(Euro, Euro), (Euro, Nacional), (Nacional, Euro), (Nacional, Nacional)} ou {(2 faces Euro), (2 faces Nacional), (1 face Euro e 1 face Nacional)}. Também, do mesmo modo que no caso anterior, este último espaço de resultados não tem os resultados todos igualmente possíveis ao contrário do primeiro. Organização e tratamento de dados 205 6.4.1 Ut i l i zação de di agr amas de Venn par a r epr esent ar acont eci ment os Uma técnica utilizada para visualizar o espaço de resultados e os acontecimentos associados a uma experiência aleatória, consiste em utilizar um rectângulo para representar o espaço de resultados e círculos para representar os acontecimentos. A essas representações chamamos diagramas de Venn. Ex empl o – Famíl i as de 2 f i l hos. Considere a experiência aleatória que consiste em verificar o sexo dos filhos das famílias de 2 filhos. O espaço de resultados é constituído pelos resultados S={MM, MF, FM, FF}. Seja A o acontecimento “pelo menos um dos filhos é do sexo masculino”. Representando num diagrama de Venn, temos - MM MF FM - - - FF S A Ex empl o – A cai x a de di squet es. Considere a experiência aleatória que consiste em retirar 2 disquetes, de uma caixa de 5 disquetes, em que 2 estão avariadas. Represente, através de um diagrama de Venn, o espaço de resultados e o acontecimento A = {pelo menos uma disquete está avariada}. Representando as disquetes boas por B1, B2 e B3 e as avariadas por A1 e A2, temos - - S B3B1 A B2B1 - - B2A2 - A2B2 - B1A1 - B3A2 - B3A1 - A1B2 - A2A1 - B3B2 - A2B3 - A1A2 - A1B3 - B1A2 - B1B3 - B2A1 - B1B2 - B2B3 - A2B1 - A1B1 - onde representamos, por exemplo, por B1B2, a saída das disquetes boas B1 e B2. De um modo geral os diagramas de Venn não são construídos à escala, pelo que a área ocupada dentro do espaço de resultados com a figura utilizada para representar um acontecimento não é, por este motivo, necessariamente proporcional à probabilidade de esse acontecimento se realizar. No entanto, se a área ocupada pelo espaço de resultados fosse igual à unidade e os diagramas de Venn fossem construídos à escala, já as figuras utilizadas para representar os acontecimentos seriam construídas de forma a que as suas áreas fossem iguais às probabilidades dos acontecimentos, que representam, se realizarem. Organização e tratamento de dados 206 6.4.2 Ut i l i zação de di agr amas em ár vor e par a r epr esent ar acont eci ment os Um outro processo utilizado para visualizar acontecimentos é o diagrama em árvore. Este processo é especialmente adequado quando a experiência aleatória implica a ocorrência de uma sequência de passos. Por exemplo, admitamos que uma loja que vende piza, tem duas modalidades para a base da piza, nomeadamente Base Alta ou Base Baixa e tem 3 alternativas para o tamanho: Pequena, Média ou Grande. Uma pessoa que escolha uma destas pizas, ao acaso, de quantas maneiras possíveis é que pode fazer a escolha, tendo em consideração o critério da base e do tamanho? O primeiro passo será a escolha da base, seguindo-se o tamanho da piza: 1º passo 2º passo O espaço de resultados associado a esta experiência aleatória, que consiste em seleccionar, ao acaso, uma piza, é constituído pelos seguintes resultados: {(Base Alta, Pequena), (Base Alta, Média), (Base Alta, Grande), (Base Baixa, Pequena), (Base Baixa, Média), (Base Baixa, Grande)} Suponhamos ainda que cada piza pode ter na cobertura 2 ou 3 tipos de queijo. Agora, de quantas maneiras diferentes se pode escolher a piza? Considerando agora mais um 3º passo, temos: Organização e tratamento de dados 207 1º passo 2º passo 3º passo Assim, o espaço de resultados associado à experiência aleatória que consiste em seleccionar uma piza ao acaso, tendo em consideração a base, o tamanho e a cobertura, é constituído pelos resultados: {(Base Alta, Pequena, 2 queijos), (Base Alta, Pequena, 3 queijos), (Base Alta, Média, 2 queijos), (Base Alta, Média, 3 queijos), (Base Alta, Grande, 2 queijos), (Base Alta, Grande, 3 queijos), (Base Baixa, Pequena, 2 queijos), (Base Baixa, Pequena, 3 queijos), (Base Baixa, Média, 2 queijos), (Base Baixa, Média, 3 queijos), (Base Baixa, Grande, 2 queijos), (Base Baixa, Grande, 3 queijos)} Associados ao espaço de resultados anterior, podemos considerar vários acontecimentos: Acontecimento Resultados para que o acontecimento se realize: Seleccionar uma piza ao acaso e ela ser Média e de 3 queijos (Base Alta, Média, 3 queijos) (Base Baixa, Média, 3 queijos) Seleccionar uma piza ao acaso e ela ser Média (Base Alta, Média, 2 queijos) (Base Alta, Média, 3 queijos) (Base Baixa, Média, 2 queijos) (Base Baixa, Média, 3 queijos) Seleccionar uma piza ao acaso e ela ter Base Alta e ser de 2 queijos (Base Alta, Pequena, 2 queijos) (Base Alta, Média, 2 queijos) (Base Alta, Grande, 2 queijos) Os resultados que compõem os acontecimentos anteriores obtêm-se muito facilmente a partir da árvore, percorrendo os ramos que satisfaçam as características desejadas. Por exemplo, ao pretender que a piza seja Média, verificamos que existem dois ramos com a característica Média, e cada um destes ramos ainda se divide em dois raminhos. Assim, todos os raminhos que tenham o Organização e tratamento de dados 208 nó na característica Média, serão resultados do acontecimento “Seleccionar uma piza ao acaso e ela ser Média”. Tar ef a – A cai x a de bombons. O professor leva para a sala de aula uma grande caixa cheia de bombons de três tipos, em igual proporção. Cada bombom ou tinha uma amêndoa, ou uma noz, ou uma cereja. O professor pediu ao Pedro para retirar dois bombons ao acaso. De quantas (e quais) maneiras possíveis é que o Pedro pode tirar os dois bombons? O professor pediu ainda para descreverem o acontecimento “O Pedro retirou pelo menos um bombom com amêndoa”, que vamos, para simplificar, representar pelo acontecimento A. O que se pretende é o espaço de resultados associado à experiência aleatória que consiste em retirar 2 bombons e verificar o tipo de bombom. Utilizando ainda o diagrama em árvore temos: S={noz noz, noz amêndoa, noz cereja, amêndoa noz, amêndoa amêndoa, amêndoa cereja, cereja noz, cereja amêndoa, cereja cereja} O acontecimento A é constituído pelos seguintes resultados: A={noz amêndoa, amêndoa noz, amêndoa amêndoa, amêndoa cereja, cereja amêndoa} Os diagramas em árvore são uma boa opção para representar, de uma forma sistemática, todos os resultados possíveis quando estamos perante uma sequência de acontecimentos, como no caso anterior e na tarefa seguinte. Tar ef a – Quant as “ t oi l et es” pode a Mar i ana v est i r ? Certa manhã a Mariana estava muito indecisa sobre o que devia vestir para ir para a escola. Tinha 1 saia de ganga e 2 pares de calças, um de ganga preta e outro de ganga azul, que ficavam muito bem com 3 t-shirts e que condiziam com dois pares de ténis, uns castanhos e outros brancos. Experimentou tantas toiletes, vestiu, despiu, vestiu..., que acabou Organização e tratamento de dados 209 por chegar atrasada à escola! És capaz de dizer quantas toiletes diferentes a Mariana poderia ter experimentado? Tendo em consideração o diagrama em árvore anterior, a Mariana se tivesse experimentado todas as combinações possíveis de peças de vestuário e calçado, teria experimentado 18 toiletes! Para obter cada uma das toiletes, basta seguir os ramos da árvore. De acordo com o diagrama anterior, a primeira e última toiletes são, respectivamente (Saia de ganga, t-shirt amarela, ténis castanhos) e (Calças azuis, t-shirt vermelha, ténis brancos). Tar ef a – Quai s os r esul t ados que f azem com que o Pedr o ganhe o j ogo? O professor propôs o seguinte jogo a ser jogado pelo Pedro e pelo Marco. Lança-se uma moeda de um Euro ao ar e se sair a face Euro, o Pedro ganha o jogo. Se sair a face Nacional, lança-se novamente a moeda ao ar e se sair a face Euro o Pedro ganha o jogo e se sair a face Nacional, ganha o Marco. Quais os resultados possíveis deste jogo e quais os resultados que fazem com que o Pedro ganhe o jogo? Organização e tratamento de dados 210 O esquema seguinte traduz o jogo anterior: num primeiro lançamento da moeda, ou sai face Euro ou face Nacional. Se sair face Euro o jogo acaba e o Pedro ganha. Se sair face Nacional lança-se novamente a moeda e o Pedro ganha novamente se sair face Euro. Assim, o Pedro ganha se se verificar Euro ou (Nacional, Euro), enquanto que o Marco ganha se se verificar (Nacional, Nacional) 6.4.3 Oper ações com acont eci ment os O facto de interpretarmos acontecimentos como conjuntos, aliada à utilização dos diagramas de Venn para os visualizar, vai-nos permitir introduzir alguma terminologia utilizada quando falamos de acontecimentos. Assim, representando os acontecimentos associados a um determinado espaço de resultados S, por A, B, C, ..., temos: Acont eci ment o compl ement ar Acontecimento compl ement ar do acontecimento A, é o acontecimento constituído por todos os resultados do espaço de resultados S, que não estão em A. Este acontecimento representa-se por ou A c Quando um acontecimento se realiza, o seu complementar não se pode realizar. Ex empl o – Lançament o do dado. Considere a experiência que consiste em lançar um dado com 6 faces e em verificar qual o número de pintas da face que fica virada para cima. O espaço de resultados associado é S={1, 2, 3, 4, 5, 6}. Se representar por A o acontecimento “saída de uma face com um número ímpar de pintas”, temos A={1, 3, 5}. O acontecimento complementar de A é o acontecimento “saída de uma face com um número par de pintas”, que representamos por ={2, 4, 6} Organização e tratamento de dados 211 Acont eci ment o i nt er secção Acontecimento i nt er secção dos acontecimentos A e B, é o acontecimento constituído pelos resultados que pertencem simultaneamente a A e a B. Este acontecimento representa-se por A·B ou (AeB) ou Para que o acontecimento intersecção de dois acontecimentos se realize, é necessário que os dois acontecimentos se realizem simultaneamente. Ex empl o – Lançament o do dado (cont.). Sejam B e C os seguintes acontecimentos: Acontecimento B ÷ “O número de pintas é maior ou igual a 3” ou seja B={3, 4, 5, 6} Acontecimento C ÷ “O número de pintas é menor ou igual a 4” ou seja C={1, 2, 3, 4} Acontecimento i nt er secção BeC={3, 4} Acont eci ment os di sj unt os ou mut uament e ex cl usi vos Acontecimentos di sj unt os ou mut uament e ex cl usi v os são acontecimentos que não têm resultados comuns Quando dois acontecimentos são mutuamente exclusivos, a realização de um deles implica que o outro não se realize. Ex empl o – Lançament o do dado (cont.). Sejam D e E os seguintes acontecimentos Acontecimento D ÷ “O número de pintas é menor ou igual a 2” ou seja D={1, 2} Acontecimento E ÷ “O número de pintas é maior que 4” ou seja E={5,6} Os acontecimentos D e E são mut uament e ex cl usi v os Organização e tratamento de dados 212 Acont eci ment o i mpossív el Acontecimento i mpossív el é o acontecimento que resulta da intersecção de acontecimentos disjuntos ou mutuamente exclusivos, ou seja, é o acontecimento que não tem qualquer resultado do espaço de resultados. Representa-se pelo símbolo Ø (um zero cortado por um traço). Ex empl o – Lançament o do dado (cont.). Sejam D e E os acontecimentos considerados anteriormente. Então DeE={}=Ø Acont eci ment o uni ão Acontecimento uni ão dos acontecimentos A e B é o acontecimento constituído por todos os resultados de A ou de B. Representa-se por AB ou (AouB) ou Para que a união de dois acontecimentos se realiza, basta que um dos acontecimentos se realize. Ex empl o – Lançament o do dado (cont.). Sejam F e G os seguintes acontecimentos Acontecimento F ÷ “O número de pintas é menor ou igual a 3” ou seja F={1, 2, 3} Acontecimento G ÷ “O número de pintas é maior que 2 e menor que 6” ou seja G={3, 4, 5} Acontecimento uni ão FouG={1, 2, 3, 4, 5} Organização e tratamento de dados 213 Tar ef a – Lançament o de duas moedas de 1 eur o. O professor propõe aos alunos realizar a experiência aleatória que consiste em lançar 2 moedas de 1 euro e verificar as faces que ficam viradas para cima. a) Quais os resultados que constituem o espaço de resultados? b) Representando por A o acontecimento “A face Euro verifica-se 1 vez” e por B o acontecimento “A face Nacional verifica-se pelo menos 1 vez”. Quais os resultados que compõem os acontecimentos , AouB e AeB? Resolução: Os resultados da experiência aleatória que consiste em lançar 2 moedas, e verificar as faces que ficam voltadas para cima, podem ser representados num diagrama em árvore, como se apresenta a seguir: No esquema anterior representámos por E a face Euro e por N a face Nacional. a) Então o espaço de resultados é S = {EE, EN, NE, NN} O espaço de resultados também poderia ser obtido a partir de uma tabela de dupla entrada: 2ª moeda 1ª moeda E N E EE EN N NE NN b) A = {EN, NE} B = {EN, NE, NN} = {EE, NN} AouB = {EN, NE, NN} AeB = {EN, NE} Observe-se que os acontecimentos A e B têm a particularidade de A estar contido em B, pois todos os resultados de A são resultados de B. Assim, como se visualiza no seguinte diagrama de Venn, quando dois acontecimentos A e B são tais que um está contido no outro, por exemplo A contido em B, a união destes dois acontecimentos é o acontecimento B, enquanto que a intersecção é o acontecimento A: Organização e tratamento de dados 214 Tar ef a – Lançament o de t r ês moedas de 1 eur o 1ª versão – Considere-se a experiência aleatória que consiste em lançar 3 moedas de 1 euro e verificar as faces que ficam viradas para cima. a) Quais os resultados que constituem o espaço de resultados? b) Considere os seguintes acontecimentos: i) A “a face Euro aparece 2 vezes” ii) B “a face Nacional aparece pelo menos 2 vezes” c) Quais os resultados que compõem os acontecimentos AouB e AeB? Considerando ainda um diagrama em árvore para representar os resultados da experiência aleatória que consiste em lançar 3 moedas e verificar as sequências das faces que ficam voltadas para cima, temos a) Do esquema anterior verifica-se que S = {EEE, EEN, ENE, ENN, NEE, NEN, NNE, NNN} b) A = {EEN, ENE, NEE} B = {ENN, NEN, NNE, NNN} c) AouB = {EEN, ENE, NEE, ENN, NEN, NNE, NNN} e AeB = {}=Ø Numa representação em diagrama de Venn, temos Repare-se que o acontecimento união de A e B é o acontecimento que se realiza sempre que não saírem 3 faces Euro no lançamento das 3 moedas. 2ª versão - Consideremos ainda a experiência aleatória que consiste em lançar as 3 moedas de 1 euro, mas agora pretende-se observar quantas vezes sai a face Euro. Qual o espaço de resultados associado? Quais os resultados que compõem A e B? Neste caso o que se pretende registar é o nº de vezes que sai a face Euro e não as sequências de faces. Assim S = {0, 1, 2, 3} A partir deste novo espaço de resultados, os acontecimentos A e B são: A = {2} e B = {0,1} (Para que a face Nacional apareça pelo menos 2 vezes, a face Euro não pode aparecer nenhuma vez ou só pode aparecer 1 vez. Organização e tratamento de dados 215 6.5 Model o de Pr obabi l i dade par a um f enómeno al eat ór i o. Pr obabi l i dade de um acont eci ment o No que se segue vamos admitir que os fenómenos aleatórios que se vão estudar são fenómenos cujos espaços de resultados são finitos. Assim, definir um modelo de probabilidade, para um fenómeno aleatório, implica: - A identificação de um espaço de resultados; - Uma forma de atribuir um número a cada um dos resultados, isto é, a cada acontecimento elementar, a que chamaremos probabilidade. O processo de atribuir probabilidades deve ser tal, que algumas regras básicas devem ser satisfeitas para todos os modelos: - Regra 1 – Uma probabilidade deve ser um número não negativo; - Regra 2 – A soma das probabilidades dos acontecimentos elementares que compõem o espaço de resultados é igual a 1. Observe-se que a definição anterior não exclui a possibilidade de um acontecimento elementar ter probabilidade zero. No entanto, em espaços finitos uma probabilidade igual a zero é interpretada, na prática, como uma impossibilidade, pelo que qualquer resultado do espaço de resultados, com probabilidade nula, pode ser eliminado do espaço de resultados (Feller, 1968, p. 22). 6.5.1 Pr obabi l i dade de um acont eci ment o Admitamos, para já, que tínhamos um modelo de probabilidade associado a um fenómeno aleatório (veremos a seguir alguns processos para atribuir probabilidades aos resultados de um espaço de resultados). Uma vez definido esse modelo, como obter a probabilidade de um acontecimento? Pr obabi l i dade de um acont eci ment o – A probabilidade de um acont eciment o A representa-se por P(A) e define-se como sendo a soma das probabilidades dos acontecimentos elementares que compõem A. Regr as par a a Pr obabi l i dade A interpretação que fizemos de Probabilidade de um acontecimento, no início deste capítulo, como a proporção de vezes que o acontecimento se verifica, quando repetimos a experiência um grande número de vezes, sugere-nos um conjunto de regras a que deve obedecer qualquer forma de atribuir probabilidades a acontecimentos de um mesmo espaço de resultados S: - Regra 1 – Qualquer que seja o acontecimento A, tem-se que P(A) ≥0; - Regra 2 – A probabilidade do espaço de resultados, S, é igual a 1, P(S)=1; - Regra 3 – Dados os acontecimentos A e B, disjuntos, então a probabilidade de A ou B se realizarem, P(AB), ou P(AouB), é igual à soma das probabilidades de A e de B se realizarem, P(AouB) = P(A) + P(B) Organização e tratamento de dados 216 Pr opr i edades da Pr obabi l i dade Tendo em conta as regras anteriores, e com a ajuda dos diagramas de Venn, podem-se deduzir as seguintes propriedades para a probabilidade de acontecimentos de um mesmo espaço de resultados S: Propriedade 1 – A probabilidade do acontecimento impossível é igual a zero, P(Ø)=0 P(S ou Ø) = P(S) + P(Ø) 1 = 1 + P(Ø) P(Ø) = 0 Propriedade 2 – A probabilidade P(A) de qualquer acontecimento A é tal que 0≤P(A)≤1 Esta propriedade é imediata tendo em conta que A é constituído por alguns resultados do espaço de resultados e a soma das probabilidades de todos os resultados é igual a 1 Propriedade 3 – A probabilidade do acontecimento complementar do acontecimento A, P( ) é igual a P( ) = 1 – P(A) Esta propriedade é imediata tendo em conta que: P(A ou )=P(A) + P( ) de acordo com a Regra 3 P(S) = 1 = P(A) + P( ) de acordo com a Regra 2 Propriedade 4 – Dados dois acontecimentos A e B, a probabilidade de A ou B ou ambos se realizarem, P(AB), é igual à soma das probabilidades de A e de B se realizarem, menos a probabilidade de A e B se realizarem conjuntamente: P(AB)=P(A)+P(B)-P(A·B) Para calcular a probabilidade de que A ou B ou ambos os acontecimentos se realizem, somamos as probabilidades dos acontecimentos elementares que compõem A e B. Se houver acontecimentos elementares comuns aos dois acontecimentos, as suas probabilidades estão a ser contabilizadas duas vezes, pelo que temos de subtrair a probabilidade conjunta, à soma das probabilidades. Nota – Quando perguntamos a alguém se quer fruta ou doce para a sobremesa, será que a pessoa tem de escolher uma de entre as duas alternativas, ou poderá escolher as duas? Esta ambiguidade não existe se perguntarmos “Amanhã vais para a escola de ténis ou de sandálias?” Normalmente quando utilizamos o termo “ou” Organização e tratamento de dados 217 ele não tem um significado disjuntivo ou exclusivo, pelo que quando se pede a probabilidade de os acontecimentos A ou B ocorrerem, significa que pode ocorrer qualquer um dos dois ou ambos os acontecimentos. Se pretendermos obter a probabilidade de A ou B ocorrerem, mas sem que ambos possam ocorrer, então, como facilmente se verifica construindo o diagrama de Venn P(AB)=P(A)+P(B)-2xP(A·B) 6.5.2 Pr ocessos de const r ução de model os de pr obabi l i dade ou como at r i bui r pr obabi l i dades aos acont eci ment os el ement ar es A probabilidade começou por ser estudada por matemáticos franceses que desenvolveram modelos matemáticos associados aos chamados jogos de azar. Neste caso, é quase sempre possível encontrar um espaço de resultados para cujos elementos, à partida, não se tem razão para admitir que não tenham igual probabilidade de ocorrer. É o que acontece com a moeda ou o dado, que admitimos serem equilibrados e portanto cada face tem igual possibilidade de sair, ou com o baralho de cartas, em que admitimos que cada uma das cartas tem a mesma possibilidade de ser extraída. Esta situação, embora bastante restritiva, é muito simples de ser tratada, como se descreve a seguir. 6. 5. 2. 1 Si t uação de si met r i a – Regr a de Lapl ace Admitamos então que estamos numa situação de simetria, em que damos igual possibilidade à realização de cada resultado de um espaço de resultados. Por exemplo ao lançar dois dados equilibrados, damos igual possibilidade a cada um dos 36 resultados possíveis constituídos pelos pares ordenados (em que os números indicam o nº de pintas de cada um dos dois dados): (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) Então, se os 36 resultados são todos igualmente possíveis, tendo em conta as Regras 1 e 2 a satisfazer por qualquer Regras 1, 2 e 3, enunciadas para a Probabilidade, a cada um dos resultados atribui-se probabilidade 1/36. De um modo geral, se um espaço de resultados tem n resultados e todos são igualmente possíveis, então a cada acontecimento elementar atribuímos a probabilidade 1/n. O resultado anterior é imediato, tendo em consideração as regras que enunciámos para a Probabilidade. Efectivamente, se temos n resultados igualmente possíveis e a soma das probabilidades de todos os resultados, considerados como acontecimentos elementares, tem de ser igual a 1 (Regra 2 e Regra 3) e além disso a probabilidade de qualquer acontecimento elementar é maior que 0 (Regra 1 e o facto de em espaços finitos uma probabilidade igual a zero ser interpretada, na Organização e tratamento de dados 218 prática, como uma impossibilidade, pelo que qualquer resultado do espaço de resultados com probabilidade nula pode ser eliminado do espaço de resultados (Feller, 1968, p. 22)), vem imediatamente que cada acontecimento elementar tem probabilidade 1/n. No que diz respeito à probabilidade de qualquer acontecimento A, associado a um espaço de resultados, em que os resultados são igualment e possíveis, a regra 3, permite-nos atribuir-lhe uma probabilidade da seguinte forma: Se o acontecimento A for constituído por m resultados, ou seja m acontecimentos elementares, e o espaço de resultados for constituído por n resultados, a probabilidade de A é igual à soma de m parcelas iguais a 1/n, ou seja, é igual a m/n. Se um espaço de resultados, S, tem n resultados e todos são igualmente possíveis, então a probabilidade de qualquer acontecimento A, é igual ao quociente entre o número de resultados de A e o número de resultados de S. Mais geralmente, temos o seguinte resultado conhecido como Regr a ou Lei de Lapl ace Define-se probabilidade do acontecimento A associado a um espaço de resultados S, com n resultados igualmente possíveis, como sendo a razão entre o número m de resultados f avor ávei s a A (resultados que compõem A), e o número n de resultados possív ei s (resultados que constituem S): P(A) = n m Este processo de atribuir probabilidades aos acontecimentos exige uma enumeração correcta do espaço de resultados e a consequente enumeração de quais os resultados elementares que compõem os acontecimentos para os quais pretendemos atribuir probabilidades. Só aparentemente é que se tem uma tarefa simples! Senão vejamos: admitamos que se pretende calcular a probabilidade de no lançamento de duas moedas de um euro, se obter igual número de faces Euro (E) e faces Nacional (N). Não há dúvida de que o espaço de resultados é constituído pelos resultados S={EN, EE, NE, NN}, todos igualmente possíveis, e sendo o acontecimento A, saída de 1 face Euro e 1 face nacional A={EN, NE}, temos que P(A)=2/4, ou seja P(A)=50%. Suponhamos agora que lançamos 4 vezes a moeda e pretendemos obter a probabilidade de igual número de faces Euro e Nacional. Agora temos S= ={EEEE, EEEN, EENE, EENN, ENEE, ENEN, ENNE, ENNN, NEEE, NEEN, NENE, NENN, NNEE, NNEN, NNNE, NNNN} e A={EENN, ENEN, ENNE, NEEN, NENE, NNEE } e P(A)=6/16, ou seja P(A)=37,5%. E se lançarmos a moeda 6 vezes? O espaço de resultados é constituído por 64 resultados, todos igualmente possíveis, dos quais 20 constituem o acontecimento “Igual número de faces Euro e faces Nacional”. Continuando a representar este acontecimento por A, vem P(A)=31,25%. Nota: Para concluir que o espaço de resultados anteriormente referido, é constituído por 64 resultados possíveis, basta pensar da seguinte forma: Temos 6 espaços para preencher com as letras E ou N: Organização e tratamento de dados 219 _ _ _ _ _ _ No primeiro espaço podemos colocar o E ou o N, pelo que temos 2 possibilidades: E _ _ _ _ _ ou N _ _ _ _ _ No espaço seguinte temos outras 2 possibilidades, que combinadas com as anteriores dão 2x2=2 2 possibilidades: E E _ _ _ _ ou E N _ _ _ _ ou N E _ _ _ _ ou N N _ _ _ _ Repetindo o processo até à 6ª posição, o número de resultados diferentes é 2 6 . Para saber quantos destes resultados têm 3 faces Euro, podemos raciocinar da seguinte forma: 3 faces Euro seguidas Número de resultados E E E _ _ _ _ E E E _ _ _ _ E E E _ _ _ _ E E E 4 2 faces Euro seguidas E E _ E _ _ E E _ _ E _ E E _ _ _ E _ E E _ E _ _ E E _ _ E _ _ E E _ E E _ E E _ _ E _ _ E E _ _ E _ E E _ _ _ E _ E E _ E _ _ E E E _ _ _ E E 12 Sem faces Euro seguidas E _ E _ E _ E _ _ E _ E _ E _ E _ E E _ E _ _ E 4 Assim, o número de resultados possíveis com 3 faces Euro e 3 faces Nacional é igual a 20. E se o número de vezes que lançamos a moeda for 10? Generalizando o processo utilizado anteriormente para obter o número de resultados possíveis chegamos a 1024 (=2 10 ) resultados, todos igualmente possíveis. Podemos adiantar que destes Organização e tratamento de dados 220 resultados, 252 têm igual número de faces Euro e faces Nacional, mas a forma de chegar a este valor não é simples. Então a probabilidade de se realizar o acontecimento “Igual número de faces Euro e faces Nacional”, representado por A, será P(A) = 252/1024 ou seja P(A)≈25%. Como facilmente se depreende, à medida que o número de lançamentos da moeda aumenta, mais complicada é a tarefa de construir o espaço de resultados associado. A título de curiosidade, acrescentamos que se lançarmos a moeda 100 vezes, o número de resultados do espaço de resultados é igual a 1 267 650 600 228 229 401 496 703 205 376 e que a probabilidade de obter igual número de faces Euro e faces Nacional é aproximadamente igual a 8%. Existem instrumentos matemáticos de que a análise combinatória é um exemplo, que nos facilitam estes processos de contagem, mas que saem fora do âmbito deste curso. O mit o dos 50%! Outra situação que merece reflexão é o mito dos 50%. Com frequência ao resultado de uma situação aleatória é erradamente atribuída a probabilidade de 50%, quando temos dois resultados em jogo. Por exemplo, na confecção de um artigo produzido por uma máquina, este pode sair defeituoso ou não defeituoso. Embora só consideremos estas duas situações, como os resultados possíveis da análise do artigo, não tem sentido considerar que estes acontecimentos são igualmente prováveis. Do mesmo modo não tem qualquer sentido admitir que a probabilidade de ganhar o Euromilhões seja de 50%, embora os resultados possíveis para um jogador sejam ganhar ou não ganhar. Quem sabe se muita gente não joga, a pensar que tem 50% de probabilidade de ganhar! 6.5.2.2 Pr obabi l i dade ex per i ment al ou f r equenci st a Quando não é possível utilizar o argumento da simetria, admitindo que os resultados do espaço de resultados são igualmente possíveis, então recorre-se à definição de fenómeno aleatório e como já anteriormente frisámos, temos em consideração a regularidade que se observa na sua repetição, para quantificarmos a percentagem de vezes que um acontecimento se realiza, como sendo a sua probabilidade. Apresentamos a seguir, formalmente, a definição de probabilidade experimental ou frequencista, resultante de todo o desenvolvimento feito nas secções iniciais deste capítulo. Define-se pr obabi l i dade (experimental ou frequencista) de um acontecimento A e representa-se por P(A) como sendo o valor à volta do qual tende a estabilizar a frequência relativa da realização de A, num grande número de repetições da experiência aleatória. Mais uma vez chamamos a atenção para que esta regularidade tem que ser uma regularidade a longo t ermo. Esta regularidade não tem que existir, a não ser ao fim de um número muito grande de repetições do fenómeno aleatório. Nem, tão pouco, existe a lei das compensações! Se, por exemplo, no lançamento de uma moeda de um euro, que admitimos ser equilibrada, obtivermos a seguinte sequência de resultados Organização e tratamento de dados 221 Euro, Nacional, Nacional, Euro, Nacional não podemos esperar que no próximo lançamento saia a face Euro, para tentar compensar com mais uma face Euro, as três faces Nacional. Do mesmo modo, se obtivermos em seis lançamentos de uma moeda a sequência Euro, Euro, Euro, Euro, Euro, Euro será que é mais provável que no próximo lançamento se verifique a face Nacional? De modo nenhum, pois a moeda “não tem memória” e não é pelo facto de nos lançamentos anteriores ter saído a face Euro, que faz com que no próximo lançamento a face Nacional tenha maior possibilidade de sair. Os sucessivos lançamentos são independentes. Outra situação, não intuitiva, resultante de uma interpretação abusiva da regularidade a longo termo é considerar as seguintes proposições como equivalentes (Moore, 1997b, p. 421): “Em muitos lançamentos de uma moeda equilibrada, a proporção de faces Euro é aproximadamente 50%” “Em muitos lançamentos de uma moeda equilibrada, o número de faces Euro é aproximadamente metade do número de lançamentos” Na realidade, enquanto que a primeira asserção é verdadeira, o mesmo não se passa com a segunda. A regularidade a longo t ermo significa que a frequência relat iva da saída de face Euro tende a estabilizar à volta de 50%. Por exemplo, se lançarmos uma moeda 3000 vezes, em que se registou o número de faces Euro após 100, 500, 1000, 2000 e 3000 lançamentos, um resultado possível poderia ter sido o seguinte: Nº lançamentos Nº faces Euro obtidas x Metade dos lançamentos y |y - x| Freq. Relativa da face Euro 100 49 50 1 0,49 500 253 250 3 0,51 1000 495 500 5 0,50 2000 993 1000 7 0,50 3000 1510 1500 10 0,50 Como se verifica, pode acontecer que o número de faces Euro obtidas, se afaste de metade do número de lançamentos, não impedindo que a frequência relativa tenha tendência a estabilizar à volta do valor 50%. Tar ef a – Qual o j ogo pr ef er i do? Dão-lhe a escolher entre fazer 10 ou 100 jogadas com uma moeda de 1 euro, equilibrada, para ganhar uma viagem, nas seguintes situações: Ganha a viagem se a proporção de vezes que aparece a face Euro estiver entre 40% e 60%. Escolhe fazer 10 ou 100 jogadas? Ganha a viagem se o número de vezes que aparece a face Euro for igual a metade dos lançamentos. Escolhe fazer 10 ou 100 jogadas? De acordo com o que foi dito anteriormente, a proporção ou frequência relativa da saída da face Euro tende a estabilizar à volta de 50% (moeda equilibrada) à medida Organização e tratamento de dados 222 que o número de lançamentos da moeda aumenta, pelo que na primeira situação se deve escolher fazer 100 jogadas. Também de acordo com o que dissemos anteriormente, não é verdade que em muitos lançamentos da moeda equilibrada, o número de vezes que sai a face Euro seja igual a metade do número de lançamentos, pelo que na segunda situação escolheríamos só fazer 10 jogadas. Aliás, os resultados do exemplo apresentado na secção anterior permitem-nos inferir que à medida que se aumenta o número de lançamentos, diminua a probabilidade de obter igual número de faces Euro e faces Nacional. 6.5.2.3 Pr obabi l i dade subj ect i va A maior parte das vezes não se pode repetir a experiência as vezes que se quer, nem tão pouco assumir que os resultados da experiência são igualmente possíveis. Por exemplo, qual a probabilidade de um aluno obter uma nota superior a 14 na disciplina de Bioestatística, onde se encontra matriculado no 1º semestre, no curso de Biologia de determinada faculdade? Nem é desejável que a experiência se repita, nem devemos atribuir igual possibilidade aos acontecimentos nota superior a 14 e nota menor ou igual que 14. No entanto, se formos ver o currículo do aluno poderemos atribuir uma probabilidade elevada (ou baixa) ao acontecimento em causa. A probabilidade diz-se, neste caso, subjectiva, pois foi baseada em informação anterior e num julgamento subjectivo. Por exemplo, se lhe perguntarem qual a probabilidade do próximo presidente da República ser homem, o que responde? Não é natural esperar que exista igual probabilidade de ser homem ou mulher e com a informação que se tem do passado, é natural atribuir a esse acontecimento uma probabilidade de 100%. Uma vez que existe algo de arbitrário na atribuição de probabilidades a acontecimentos seguindo esta teoria, é de difícil aplicação, embora recentemente esteja a ter grande sucesso. Pr obabi l i dade subj ect i va – atribui-se a um acontecimento uma probabilidade com base na experiência e informação anteriores. 6. 5. 3 Ex empl os de model os de pr obabi l i dade Nesta secção apresentaremos alguns modelos de probabilidade e trabalharemos algumas das propriedades da probabilidade, formalizadas na secção 6.5.1. Ex empl o – Lançament o da moeda de um eur o - Consideremos a experiência aleatória que consiste em verificar qual a face que fica voltada para cima, quando se lança uma moeda de um euro. Um modelo de probabilidade que normalmente se mostra adequado para descrever o fenómeno associado é o seguinte Resultados Face Euro E Face Nacional N Probabilidade 1/2 1/2 Na tabela anterior apresentam-se os resultados possíveis e as probabilidades desses resultados ocorrerem. Como dissemos no início da secção 6.4, pode eventualmente acontecer que, ao lançar a moeda, ela fique em pé! No entanto este resultado é tão raro, que lhe atribuímos a probabilidade 0, não incluindo sequer o resultado “Ficar em pé”, como um resultado possível. Ao atribuir igual probabilidade à saída da face Euro e da face Nacional, estamos a admitir que a moeda foi Organização e tratamento de dados 223 construída de tal modo que se a lançarmos muitas vezes, aproximadamente 50% das vezes sairá a face Euro e as outras 50% das vezes a face Nacional. Se tivéssemos alguma razão para admitir que a moeda não era equilibrada, já o modelo anterior não servia. Ex empl o – Lançament o do dado – Consideremos a experiência aleatória que consiste em lançar um dado e verificar qual a face que fica voltada para cima. Também neste caso, um modelo que normalmente se mostra adequado para descrever o fenómeno aleatório associado é o seguinte Face Probabilidade 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 Mais uma vez, ao considerar o modelo anterior, estamos a admitir que o dado foi construído de tal modo que qualquer face terá igual probabilidade de sair, o que nos leva a questionar se o modelo se adequa! Na verdade, admitindo que o cubo que vai dar origem ao dado tinha sido construído nas devidas condições de modo que cada face tinha igual probabilidade de sair, quando se desenham as pintas, não estaremos a alterar a estrutura do cubo? Naturalmente que uma face com 6 pintas será um pouco mais pesada que uma com 1 pinta devido ao peso da tinta! E já agora, também não terá influência a forma como se agarra o dado, assim como a forma como se lança? O facto é que se pretendermos arranjar um modelo ideal que entre em consideração com todos estes factores, não vamos conseguir arranjar modelo nenhum. Então vamos adoptar o modelo anterior, que é bastante satisfatório e traduz razoavelmente bem o fenómeno em estudo, ou seja, o fenómeno que consiste em verificar qual a face que fica virada para cima quando se lança um dado, aparentemente “normal”. O facto de se admitir este modelo de probabilidade para o nº de pintas da face que fica virada para cima ao lançar um dado permite-nos agora construir modelos para experiências mais elaboradas, envolvendo vários lançamentos de um dado, ou o lançamento de vários dados. Mais uma vez chamamos a at enção para que os modelos de probabilidade, não são mais do que modelos! São idealizações “ mat emát icas” que t ent am t raduzir, o melhor possível, a realidade associada ao fenómeno que procuram descrever. Tar ef a – Dados especi ai s 12 . O professor chegou à aula e apresentou quatro indicações para as probabilidades dos resultados do lançamento de um dado: Face 1º dado Probabilidade 1/7 1/7 1/7 1/7 1/7 1/7 2º dado Probabilidade 1/6 1/6 1/6 1/12 1/12 1/3 3º dado Probabilidade 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/3 4º dado Probabilidade 1 1 2 1 1 2 12 Adaptado de Moore (1997), p. 415 Organização e tratamento de dados 224 Quais destas indicações estão correctas, só se pode saber lançando o dado um grande número de vezes. No entanto alguns dos modelos propostos não são modelos de probabilidade legítimos. Porquê? Nesta situação, em que se argumenta que os dados são especiais, não havendo nenhuma razão para admitir que os dados são equilibrados, só pela experimentação se poderia validar cada um dos modelos. No entanto, só o modelo respeitante ao dado 2 é que é legítimo, pois nenhum dos outros pode ser modelo de probabilidade, já que a soma das probabilidades de todos os resultados não é igual a 1. O modelo 4 ainda tem outro defeito, que é apresentar probabilidades superiores a 1. Tar ef a – A cai x a de past i l has M&M. O professor leva para a aula uma caixa de pastilhas M&M, com 100 pastilhas, e diz aos alunos que existem pastilhas de 6 cores. A composição das caixas é tal que a probabilidade de tirar uma pastilha ao acaso e ela ter cada uma das cores é dada pela seguinte tabela: Cor Vermelha Amarela Castanha Laranja Verde Azul Probabilidade 0,25 0,25 0,15 0,10 0,20 ? a) O professor não disse qual a probabilidade de a pastilha ter cor azul. Qual é essa probabilidade? Como a soma das probabilidades tem de dar igual a 1, então a probabilidade da pastilha ter a cor azul é 0,05. b) O professor pediu a um aluno para tirar 1 pastilha da caixa. i) Qual a probabilidade da pastilha ser vermelha? ii) E qual a probabilidade de ser vermelha ou amarela? iii) E qual a probabilidade de não ser vermelha? A probabilidade de ser vermelha é 0,25 ou 25%. A probabilidade de ser vermelha ou amarela, P(vermelha ou amarela)=P(vermelha)+P(amarela), pois os acontecimentos “Ser vermelha” e “Ser amarela” são disjuntos. Então a probabilidade pretendida é 0,50 ou 50%. A probabilidade de não ser vermelha é igual a 0,75 (=1-0,25) ou 75%. c) O professor decidiu distribuir, ao acaso, as pastilhas pelos 20 alunos da turma, cabendo a cada um 5 pastilhas. Qual a cor ou cores que se espera surjam com maior frequência? Quantas pastilhas se esperam de cor vermelha? E de cor azul? As pastilhas em maior proporção são as vermelhas e amarelas, numa proporção de 25% cada cor. Então nas 100 pastilhas espera-se que cerca de 25 sejam vermelhas e cerca de 25 sejam amarelas. A cor que existe em menor proporção é a azul e espera-se que sejam cerca de 5 pastilhas azuis nas 100 pastilhas. Tar ef a – O t i po sanguíneo. Como se sabe, é muito importante que um país tenha conhecimento da forma como se distribui o tipo de grupo sanguíneo, de entre os seus cidadãos. Esta importância reside em vários factores, nomeadamente na previsão de stocks. De acordo com informação disponível na página do Instituto Português do Sangue (http://www.ipsangue.org/maxcontent-documento-231.html e revista ABO nº 29 de Janeiro/ Março de 2007) a distribuição, média, dos grupos sanguíneos na população portuguesa faz-se de acordo com o seguinte modelo de probabilidade Organização e tratamento de dados 225 Tipo sanguíneo O A B AB Probabilidade 42% 47% 8% 3% Da tabela anterior concluímos que se seleccionarmos um indivíduo ao acaso na população portuguesa, o mais provável é que seja do grupo sanguíneo A e o menos provável é que seja do grupo sanguíneo AB. Quando referimos anteriormente que a distribuição é, em média, a que se apresenta, significa que há algumas alterações de região para região (ver referência anterior do Instituto Português do Sangue). A distribuição do tipo de sangue não é idêntica para todas as populações. Por exemplo, para a população espanhola o modelo anterior não é adequado, já que a distribuição do tipo de sangue se faz (em média) de acordo com o modelo Tipo sanguíneo O A B AB Probabilidade 45% 42% 10% 3% (http://pt.wikipedia.org/wiki/Grupo_sangu%C3%ADneo) Como se verifica, ao contrário do que se passa com a população portuguesa, na população espanhola é mais provável que um espanhol, seleccionado ao acaso, tenha sangue de tipo O. Esta tarefa pode ser adequada para o professor falar na turma sobre a compatibilidade entre os tipos sanguíneos que se apresenta no diagrama seguinte: Como se exemplifica na figura anterior, o grupo sanguíneo O é dador universal, pois pode doar sangue a qualquer pessoa, independentemente do seu tipo de sangue. No entanto só pode receber sangue de pessoas com o mesmo tipo de sangue O. O grupo sanguíneo AB é receptor universal, pois pode receber sangue de qualquer tipo; no entanto, só pode doar sangue a pessoas do mesmo tipo AB. Os grupos A ou B podem receber sangue dos seus respectivos grupos ou do grupo O. É importante o conhecimento deste esquema, pois numa situação de aflição em que não se tenha tempo de averiguar o grupo sanguíneo de um indivíduo a necessitar de sangue, sabe-se que se pode dar o grupo O. Tendo em consideração a tabela da distribuição do tipo de grupo sanguíneo da população portuguesa e o esquema anterior, responda às seguintes questões: Organização e tratamento de dados 226 a) O Ricardo tem sangue de tipo O. Se precisar de sangue, qual a probabilidade de escolhendo um indivíduo ao acaso de entre a população portuguesa, ele possa dar sangue ao Ricardo? O Ricardo só pode receber sangue de tipo O, pelo que a probabilidade de alguém lhe poder dar sangue, se for seleccionado ao acaso é de 0,42 ou 42%. b) A Rita tem sangue de tipo AB. Se precisar de sangue, qual a probabilidade de escolhendo um indivíduo ao acaso de entre a população portuguesa, ele possa dar sangue à Rita. Qualquer pessoa pode dar sangue à Rita, pelo que a probabilidade é igual a 1 ou 100%. c) A Joana tem sangue de tipo A. Se precisar de sangue, qual a probabilidade de escolhendo um indivíduo ao acaso de entre a população portuguesa, ele possa dar sangue à Joana. A Joana pode receber sangue tipo O ou tipo A. Assim a probabilidade que uma pessoa seleccionada ao acaso possa dar sangue à Joana é 0,89 (=0,42+0,47) ou 89%. Ex empl o – Se sel ecci onar , ao acaso, uma pessoa r esi dent e em Por t ugal , é mai s pr ováv el que sej a homem ou mul her ? De acordo com o Censo 2001 (www.ine.pt), a população residente em Portugal, distribui-se da seguinte forma, quanto ao sexo: Sexo Masculino Feminino Nº de residentes 5000141 5355976 Qual a probabilidade de escolhendo um residente ao acaso, ele ser do sexo feminino? De acordo com a tabela anterior, podemos definir o seguinte modelo de probabilidade para o fenómeno aleatório que consiste em averiguar o sexo de uma pessoa escolhida ao acaso, de entre a população residente: Sexo Masculino Feminino Probabilidade 0,48 0,52 Para obter o modelo anterior, considerámos como probabilidades dos acontecimentos Masculino e Feminino as suas frequências relativas na população considerada. Admitindo que os 10356117 residentes são igualmente possíveis de ser seleccionados, 5000141 e 5355976 são, respectivamente, o número de resultados favoráveis à ocorrência dos acontecimentos Masculino e Feminino. Assim, respondendo à questão colocada: A probabilidade de seleccionar um residente ao acaso e ele ser do sexo Feminino é 0,52, ou P(sexo feminino) = 0,52 Ex empl o – A i dade da popul ação r esi dent e em Por t ugal - Consideremos a experiência que consiste em seleccionar uma pessoa ao acaso de entre a população residente em Portugal e verificar qual a classe etária a que pertence, tendo em conta a seguinte classificação: entre 0 e 14 anos, entre 15 e 24 anos, entre 25 e 64 Organização e tratamento de dados 227 anos e 65 ou mais anos. De acordo com o censo de 2001, temos a seguinte tabela para o número de residentes de cada classe etária: Idade Entre 0 e 14 anos Entre 15 e 24 anos Entre 25 e 64 anos 65 ou mais anos Nº de residentes 1656602 1479587 5526435 1693493 Considerando como probabilidades, as frequências relativas, podemos considerar o seguinte modelo de probabilidade, para descrever o fenómeno aleatório que consiste em seleccionar, ao acaso, um indivíduo residente e verificar a que classe etária pertence: Idade Entre 0 e 14 anos Entre 15 e 24 anos Entre 25 e 64 anos 65 ou mais anos Probabilidade 0,160 0,143 0,534 0,164 Repare-se que nos dois exemplos anteriores, para uma mesma população, considerámos dois fenómenos aleatórios diferentes, tendo para cada um desses fenómenos construído um modelo de probabilidade: num dos casos estávamos interessados em averiguar o sexo de uma pessoa escolhida ao acaso, enquanto que no outro caso o que nos interessava era saber a idade dessa pessoa. Esta situação serve para chamar a atenção para o facto de que quando estamos interessados em estudar um fenómeno aleatório, ele tem que ser bem descrito, identificando o que se pretende efectivamente estudar. Nos exemplos considerados, não basta dizer que se seleccionou ao acaso um indivíduo residente em Portugal! É necessário dizer o que se pretende observar relativamente a esse indivíduo seleccionado. Tar ef a – Qual a cor pr ef er i da par a pi nt ar o pát i o da escol a? O director da escola decidiu investigar, junto dos alunos, qual a cor preferida para pintar o pátio da escola e pediu para votarem uma das seguintes cores: amarelo, verde ou azul. Como resultado da votação, 43% dos alunos escolheram amarelo, 35% azul e 12% verde. Qual a probabilidade de um aluno, escolhido ao acaso, preferir amarelo ou azul? E qual a probabilidade de não preferir o verde? A atribuição de probabilidades aos acontecimentos pode ser feita de várias formas: ou se repete a experiência muitas vezes e se verifica a percentagem de vezes que o acontecimento se realizou, ou se deduz a partir de resultados igualmente possíveis, ou se tem em conta outro tipo de informação. Neste caso temos as frequências relativas dos acontecimentos “Preferir amarelo”, “Preferir azul” ou “Preferir verde”, que vamos representar simplesmente por Amarelo, Azul ou Verde. Será que o modelo seguinte pode constituir um modelo de probabilidade para o fenómeno em estudo, que é o de averiguar qual a cor preferida? Cor preferida Amarelo Azul Verde Probabilidade 0,43 0,35 0,12 Repare-se que a soma das probabilidades anteriores não é igual a 1. Então não temos um modelo de probabilidade. No entanto basta considerar o resultado “Prefere outra cor diferente das 3 cores consideradas” com uma probabilidade de 0,10, para já termos um modelo de probabilidade. Cor preferida Amarelo Azul Verde Outra cor Probabilidade 0,43 0,35 0,12 0,10 Organização e tratamento de dados 228 P(Amarelo ou azul) =P(Amarelo)+P(Azul) (porque os acontecimentos Amarelo e = 0,43+0,35 Azul são disjuntos, uma vez que um = 0,43+0,35 aluno não pode preferir duas cores) = 0,78 A probabilidade de um aluno preferir amarelo ou azul é igual a 78%. O acontecimento “Não preferir verde” é o complementar de “Preferir verde”, pelo que P(Não preferir verde) =1-P(Verde) =1-0,12 =0,88 A probabilidade de um aluno não preferir o verde é 88%. Tar ef a – A r ol et a de duas cor es O professor pede a um aluno que faça rodar a roleta e observar a parte apontada pela seta. Qual a probabilidade da seta apontar uma parte preta? Qual a expectativa sobre o número de vezes que se espera que a seta aponte uma parte preta, se rolar a roleta 20 vezes? Se não obtiver 10 vezes a parte preta significa que a roleta está mal construída? Se rolar a roleta 100 vezes, qual a percentagem de vezes que espera que a seta aponte um número par? A probabilidade da seta apontar uma parte preta é ½ ou 50%, já que das 8 partes em que está dividida a roleta, que se admitem igualmente possíveis de serem apontadas pela seta, 4 são pretas, donde a probabilidade pretendida é 4/8 ou 50%. Se a roleta rodar 20 vezes espera-se que a seta aponte uma parte preta cerca de metade das vezes, ou seja 10 vezes, mas se não apontar 10 vezes não significa que a roleta esteja mal construída. Se rolar a roleta 100 vezes, espera-se que a seta aponte um número par, 25% das vezes. Tar ef a – O j ogo com ber l i ndes. Numa caixa estão 6 berlindes, 2 verdes e 4 vermelhos. Quando retira o berlinde anota a cor e repõe outra vez na caixa. a) Descreva um modelo de probabilidade para o fenómeno aleatório que consiste em retirar um berlinde e registar a cor. b) Ao fim de 300 extracções, com reposição, quantos euros espera ganhar: i) Se por cada berlinde verde que sair, ganhar 1 euro? ii) Se por cada berlinde verde ganhar 2 euros e por cada berlinde vermelho perder um euro? Um modelo de probabilidade para o fenómeno aleatório que consiste em registar a cor do berlinde pode ser o seguinte: Organização e tratamento de dados 229 Cor Verde Vermelha Probabilidade 1/3 2/3 já que dos 6 berlindes que estão na caixa, 2 são verdes e 4 são vermelhos. Como nas 300 extracções (com reposição) se espera que saia cerca de 100 vezes berlinde verde (1/3 das 300 vezes) e nas outras vezes berlinde vermelho, na primeira situação espera-se ganhar 100 euros, enquanto que na segunda situação se espera ganhar 200 euros e perder outros 200 euros, pelo que nesta segunda hipótese não é de esperar ganhar nem perder. Tar ef a – As duas cai x as de ber l i ndes. Suponha que tem as seguintes caixas, cada uma com 5 berlindes verdes e vermelhos. Quando se retira um berlinde, se ele for verde ganham-se 2 euros, se for vermelho ganha-se 1 euro: Dão-lhe a possibilidade de escolher uma das 2 caixas para fazer 100 extracções, com reposição. Qual das caixas prefere? Em cada extracção existem 2 possibilidades em 5 de sair um berlinde verde, se se fizer a extracção da caixa 1, enquanto que se for da caixa 2, essas possibilidades diminuem para metade. Assim, se se escolher a caixa 1, a probabilidade de extrair um berlinde verde é 40%, pelo que nas 100 extracções se espera que a cor verde saia cerca de 40 vezes e a cor vermelha 60 vezes, donde se espera ganhar aproximadamente 140 euros (=40x2+60x1). Com a caixa 2, em que a probabilidade de extrair um berlinde verde é de 20%, espera-se extrair 20 berlindes verdes e 80 vermelhos, donde o ganho seria aproximadamente de 120 euros (=20x2+80x1). Portanto é preferível a caixa 1. Tar ef a – Quant os l ançament os são necessár i os? Qual a probabilidade de, no lançamento de uma moeda de 1 euro, repetidamente, sair pela primeira vez a face Euro ao fim do 3º lançamento? Quando se lança uma moeda de 1 euro, a face Euro pode sair no 1º lançamento, ou pode sair pela 1ª vez no 2, ou 3º, ou 4º, etc. Lançamentos. O que se pretende é estimar a probabilidade do acontecimento “A face Euro saiu pela 1ª vez no 3º lançamento”. Para estimar esta probabilidade realizou-se 50 vezes a experiência de lançar a moeda até sair cara pela primeira vez, cujos resultados se apresentam a seguir: Nº experiência 1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º Nº lan- çamentos 1 N E 2 2 E 1 3 E 1 4 E 1 5 E 1 6 E 1 7 N N N E 4 Organização e tratamento de dados 230 8 N N E 3 9 N E 2 10 N N N N N E 6 11 N E 2 12 E 1 13 N N E 3 14 N E 2 15 N E 2 16 E 1 17 N E 2 18 E 1 19 N E 2 20 E 1 21 N E 2 22 N N N N N N E 7 23 E 1 24 E 1 25 E 1 26 E 1 27 E 1 28 E 1 29 E 1 30 E 1 31 E 1 32 N N N E 4 33 N N N E 4 34 N E 2 35 E 1 36 E 1 37 E 1 38 N E 2 39 E 1 40 N E 2 41 E 1 42 N N E 3 43 N N E 3 44 N N E 3 45 N N N N E 5 46 N E 2 47 E 1 48 N N E 3 49 E 1 50 N E 2 Nas 50 experiências, verificou-se a saída da face Euro pela primeira vez ao 3º lançamento, 6 vezes, pelo que uma estimativa para a probabilidade do acontecimento “A primeira vez que se regista a face Euro é ao fim do 3º lançamento” é 6/50=0,12. Vamos aproveitar as experiências anteriores para atribuir um modelo de probabilidade para o fenómeno aleatório que consiste em averiguar quantas vezes é necessário lançar a moeda até sair a face Euro. Quais os resultados possíveis? Nas experiências anteriores o valor máximo que obtivemos para o número de Organização e tratamento de dados 231 lançamentos foi 7, mas ninguém nos garante que ao realizar outra experiência não sejam necessários mais lançamentos. Assim propomos o seguinte modelo empírico, em que consideramos como probabilidades as frequências relativas obtidas nas 50 experiências: Nº de lançamentos 1 2 3 4 5 6 7 ou mais Probabilidade 25/50 13/50 6/50 3/50 1/50 1/50 1/50 ou Nº de lançamentos 1 2 3 4 5 6 7 ou mais Probabilidade 0,50 0,26 0,12 0,06 0,02 0,02 0,02 Vamos admitir que a moeda era equilibrada e considerar um modelo t eórico baseado nesta hipótese. Então, vejamos como calcular as probabilidades para os vários acontecimentos elementares: 1 lançamento, ou seja, sair a face E quando se lança a moeda: Casos igualmente possíveis: E N Casos favoráveis: E P(1 lançamento)= 1/2 =0,50 2 lançamentos, ou seja, não sair no 1º, mas no 2º: Casos igualmente possíveis: EE, EN, NE, NN Casos favoráveis: NE P(2 lançamentos)=1/4 =0,25 3 lançamentos, ou seja, não sair no 1º nem no 2º e sair no 3º: Casos igualmente possíveis: EEE, EEN, ENE, ENN, NEE, NEN,NNE, NNN Casos favoráveis: NNE P(3 lançamentos)=1/8 =0,125 4 lançamentos, ou seja, não sair no 1º, nem no 2º, nem no 3º e sair no 4º: Casos igualmente possíveis: EEEE, EEEN, EENE, EENN, ENEE, ENEN, ENNE, ENNN, NEEE, NEEN, NENE, NENN; NNEE, NNEE, NNNE, NNNN Casos favoráveis: NNNE P(4 lançamentos)=1/16 =0,062 Repare-se que a metodologia aqui seguida para obter os resultados possíveis sempre que se faz mais um lançamento foi acrescentar E ou N a cada resultado possível do lançamento anterior. Assim, de lançamento para lançamento, os resultados possíveis duplicam, mas obtemos sempre um único resultado favorável. Uma vez explicado o mecanismo, temos: 5 lançamento, ou seja, não sair no 1º, nem no 2º, nem no 3º, nem no 4º e sair no 5º: Casos igualmente possíveis: EEEEE, EEEEN, ..., em número de 32 Casos favoráveis: NNNNE Organização e tratamento de dados 232 P(5 lançamentos)=1/32 =0,031 6 lançamentos, ou seja, , não sair no 1º, nem no 2º, ...,nem no 5º e sair no 6º: Casos igualmente possíveis: EEEEEE, EEEEEN, ..., em número de 64 Casos favoráveis: NNNNNE P(6 lançamentos)=1/64 =0,016 7 ou mais lançamentos: P(7 ou mais)=1–P(1ou2ou3ou4ou5ou6) =1-{P(1)+P(2)+P(3)+P(4)+P(5)+P(6)} pois os acontecimentos são disjuntos =1-0,984 =0,016 Comparando os dois modelos, verificamos que as probabilidades empíricas e teóricas estão muito próximas: Tar ef a – A cai x a com dr agei as de chocol at e - Uma caixa tem 52 drageias de chocolate, das quais 15 são vermelhas, 10 azuis, 12 amarelas e as restantes verdes. Depois de abanar a caixa, para misturar as drageias, retira-se uma ao acaso, sem olhar. Qual a probabilidade de ser verde? Construir um modelo de probabilidade para o fenómeno aleatório que consiste em tirar uma drageia e verificar a cor. Número de drageias verdes = 52 – (15 + 10+ 12) = 52 – 37 = 15 Como a drageia é retirada ao acaso, todas têm igual possibilidade de serem retiradas, pelo que a probabilidade pretendida é P(drageia verde) = 15/52 As probabilidades de retirar uma drageia vermelha, amarela ou azul, calculam-se de forma análoga, pelo que temos o seguinte modelo de probabilidade: Cor da drageia Verde Vermelha Amarela Azul Probabilidade 15/52 15/52 12/52 10/52 Organização e tratamento de dados 233 Tar ef a – O j ogo de andebol - O estatístico da equipa de andebol de uma certa escola, com base no historial de jogos anteriores com o mesmo adversário, sugeriu o seguinte modelo probabilístico para o resultado final do próximo jogo: Resultado Vitória Empate Derrota Probabilidade 0,4 0,1 0,5 O treinador, que acha que a equipa está a atravessar um bom momento de forma, é de opinião que a probabilidade de Vitória deverá ser igual a 0,6 e não 0,4. Admitindo que a probabilidade de Empate não se altera, qual é a probabilidade da equipa vir a ser derrotada? A soma das probabilidades tem de ser igual a 1 (100%). Assim a probabilidade de derrota passará a ser igual a 0,3. Seria possível manter a probabilidade de derrota alterando a probabilidade de empate? Não, pois 0,6+0,5=1.1 e, para a soma de todas as probabilidades ser igual a 1, a probabilidade de empate teria de ser negativa, o que não é possível num modelo probabilístico. Tar ef a – Escol he ao acaso uma l et r a do al f abet o. O professor colocou a seguinte questão aos alunos: Suponham que escrevíamos cada letra do alfabeto num papel, colocávamos numa caixa e depois de baralhar, seleccionávamos um papel ao acaso. Qual a probabilidade de ser vogal? Se seleccionar 2 letras, qual a probabilidade de uma ser vogal e a outra consoante? Como o alfabeto português tem 26 letras (as letras k, w e y já pertencem ao alfabeto português), das quais 5 são vogais, a probabilidade pretendida é P(vogal) =5/26 =0,192 Para obter a probabilidade de ao retirar 2 letras, uma ser vogal e a outra consoante, vamos contar o número de casos possíveis e de casos favoráveis. - Casos possíveis: cada letra da 1ª extracção pode combinar-se com qualquer letra na 2ª extracção, excepto consigo própria, pelo que o número de casos possíveis é 26x25; - Casos favoráveis: se na 1.ª extracção sair uma vogal, ela pode combinar-se com qualquer consoante na 2.ª extracção e temos 5x21 casos; se na 1.ª extracção sair uma consoante, ela pode combinar-se com qualquer vogal e o número de casos é 21x5; assim o número de casos favoráveis é 5x21+21x5; P(vogal e consoante)= 25 26 5 21 21 5 × × + × =0,323 Tar ef a – Escol he ao acaso uma l et r a da pal av r a “ pal avr a” . Se escolheres ao acaso uma letra da palavra “palavra” quais os resultados que podes obter? São todos igualmente possíveis? Qual a probabilidade de seleccionares cada uma das letras? Organização e tratamento de dados 234 Quando seleccionamos ao acaso uma letra da palavra “palavra”, os resultados possíveis que podemos obter são p a l v r Estes resultados não são todos igualmente possíveis, pois a letra a tem maior probabilidade de ser seleccionada, pois das 7 letras que compõem a palavra, 3 são a’s. Então temos 3 em 7 possibilidades de escolher o a e 1 em 7 possibilidades de escolher qualquer uma das outras letras. Assim, um modelo de probabilidade para a escolha de uma letra ao acaso de “palavra” é: Letra p a l v r Probabilidade 1/7 3/7 1/7 1/7 1/7 Repare-se que a soma das probabilidades é igual a 1, como seria de esperar. Pode haver da parte de alguns alunos alguma dificuldade na compreensão da atribuição de probabilidades aos acontecimentos elementares anteriores constituídos por cada uma das letras anteriores. O professor poderá abordar o problema da seguinte forma: escreve cada um dos a’s de palavra com uma cor diferente e considera como resultados possíveis as 7 letras, em que distingue os 3 a’s, mas em que agora os 7 resultados são igualmente possíveis Letra p a l a v r a Probabilidade 1/7 1/7 1/7 1/7 1/7 1/7 1/7 O acontecimento que consiste em seleccionar um a é composto por 3 resultados favoráveis, que são os 3 a’s de cores diferentes, de entre 7 possíveis, de onde Probabilidade de seleccionar a = Probabilidade de seleccionar (a ou a ou a) = Prob. de sel.a + Prob. de sel. a + Prob. de sel. a = 1/7+1/7+1/7 = 3/7 A probabilidade de seleccionar cada uma das outras letras é 1/7. Tar ef a – Ser á que o Pedr o v ai comer a sua f r ut a pr ef er i da? O professor pediu a cada um dos alunos que trouxessem no dia seguinte uma peça de fruta, que podia ser a fruta preferida. Nesse dia, à medida que cada aluno trazia a peça de fruta esta era colocada num saco, enquanto o professor apontava no quadro quais os tipos de fruta e quantas peças de cada tipo se tinham juntado no saco: Quando chegasse a hora do lanche, cada aluno retirava do saco, ao acaso, uma peça de fruta. Qual a probabilidade de ao André, que era o primeiro aluno a retirar a peça de fruta, calhar a sua fruta preferida, que é a banana? Quando o professor acabou de explicar como iria ser feita a selecção de cada fruta, alguns alunos não estavam de acordo! Segundo eles, a escolha da peça de fruta Organização e tratamento de dados 235 não poderia ser feita de forma completamente aleatória, pois se as maçãs se podiam confundir ligeiramente com as laranjas e eventualmente com as peras, já o mesmo não se passava com as bananas. Estas são facilmente distinguíveis ao tacto, mesmo de olhos fechados. Então decidiram utilizar a seguinte metodologia: escreviam o nome de cada peça de fruta num papel, metiam o papel no saco, e o que os alunos seleccionavam era o nome do fruto e não o fruto propriamente dito. Ao todo o saco continha 24 papéis com nomes de frutos, dos quais 9 eram de bananas. Então a probabilidade de ao Pedro calhar uma banana é 9/24. Tar ef a – A cai x a de di squet es. Uma caixa tem 5 disquetes, das quais 1 está avariada. Selecciono 2 disquetes ao acaso. Qual a probabilidade de me calhar a disquete avariada? Obtenha um modelo de probabilidade para o fenómeno aleatório que consiste em escolher 2 disquetes e verificar quantas estão avariadas. Para facilitar, vamos representar as disquetes boas por B1, B2, B3 e B4 e a disquete avariada por A. Para obter os resultados possíveis associados a esta experiência vamos considerar a seguinte tabela (estamos perante uma extracção sem reposição): 2ª disquete B1 B2 B3 B4 A B1 - B1 B2 B1 B3 B1 B4 B1 A B2 B2 B1 - B2 B3 B2 B4 B2 A B3 B3 B1 B3 B2 - B3 B4 B3 A B4 B4 B1 B4 B2 B4 B3 - B4 A A A B1 A B2 A B3 A B4 - O espaço de resultados é constituído por 20 resultados igualmente possíveis, dos quais 8 fazem com que se verifique o acontecimento pretendido e que é “seleccionar a disquete avariada”. Então a probabilidade pretendida é 8/20 ou 40%. O espaço de resultados associado à experiência aleatória que consiste em extrair 2 disquetes e verificar quantas estão avariadas só pode ter como resultados possíveis o 0 e o 1. A probabilidade de 0 disquetes avariadas na amostra das 2 é 12/20, donde podemos considerar o seguinte modelo de probabilidade para o número de disquetes avariadas na amostra das duas disquetes: Número de disquetes avariadas 0 1 Probabilidade 0,60 0,40 Tar ef a – Lançament o de um dado equi l i br ado. Considere-se a experiência aleatória que consiste em lançar um dado equilibrado e em verificar a face que fica voltada para cima. a) Qual o modelo de probabilidade associado ao fenómeno aleatório em estudo? b) Qual a probabilidade de se obter uma face com 2 ou menos pintas? c) Qual a probabilidade de se obter um número par? Resolução: a) Ao dizermos que o dado é equilibrado estamos a colocar-nos numa situação de simetria ou equilíbrio, pelo que admitimos o seguinte modelo para a probabilidade de saída de cada uma das faces do dado: Face 1 2 3 4 5 6 Probabilidade 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 Organização e tratamento de dados 236 b) O acontecimento A, “Face com um número de pintas menor ou igual a 2” tem 2 resultados favoráveis, A = {1, 2} donde P(A) = 2/6 c) Quanto ao acontecimento B, “Saída de número par”, como temos 3 resultados favoráveis, B = {2, 4, 6}, donde P(B) =3/6. Tar ef a – Uma escol ha di f íci l ent r e 5 candi dat os! O professor pretendia eleger uma comissão constituída por 2 alunos para preparar a festa de finalistas. Como esta comissão tinha algumas regalias, nomeadamente estava dispensada de algumas aulas..., quando o professor acabou de falar, houve logo 5 alunos – a Rita, o Miguel, a Sara, a Sofia e o Tiago, que quase simultaneamente levantaram o braço desejosos de pertencer à comissão! Questões colocadas pelo professor: - Como escolher 2 alunos de entre os cinco candidatos? - Qual a probabilidade de os dois rapazes fazerem parte da comissão? - Qual a probabilidade de a comissão ser constituída por um aluno de cada sexo? Como o professor não pretende privilegiar nenhum dos alunos, terá de proceder a uma selecção aleatória de uma amostra de 2 alunos de entre os 5 alunos candidatos. Depois de alguma discussão, os alunos recordaram o que o professor tinha ensinado sobre a selecção aleatória de amostras. Neste caso é evidente que se tem de proceder a uma selecção sem reposição, pois não se pode correr o risco de o mesmo aluno ser seleccionado duas vezes. Então decidiu-se proceder do seguinte modo: escrevem-se os 5 nomes em pedaços de papel de igual tamanho, dobram-se, colocam-se numa caixa, baralham-se e retiram-se 2 nomes de uma vez. O professor tinha explicado que o processo anteriormente descrito de seleccionar uma amostra, dá a todas as amostras a mesma probabilidade de serem seleccionadas. Para calcular as probabilidades pretendidas, é necessário começar por construir o espaço de resultados. Um grupo de alunos propôs utilizar um diagrama em árvore e apresentou o seguinte esquema: Contudo, ao analisarem o diagrama anterior, alguns alunos questionaram o facto de na escolha dos dois alunos não interessar a ordem pela qual os alunos são escolhidos, pois seleccionaram-se os dois alunos ao mesmo tempo, pelo que seleccionar a Rita e o Miguel é idêntico a seleccionar o Miguel e a Rita. Assim, os pares que interessam são os dos seguintes ramos, pois todos os outros estão repetidos: Organização e tratamento de dados 237 Espaço de resultados: S = {Rita Miguel, Rita Sara, Rita Sofia, Rita Tiago, Miguel Sara, Miguel Sofia, Miguel Tiago, Sara Sofia, Sara Tiago, Sofia Tiago} Modelo de probabilidade: Par Rita Miguel Rita Sara Rita Sofia Rita Tiago Miguel Sara Miguel Sofia Miguel Tiago Sara Sofia Sara Tiago Sofia Tiago Prob. 1/10 1/10 1/10 1/10 1/10 1/10 1/10 1/10 1/10 1/10 O acontecimento “Os dois rapazes fazem parte da comissão” é constituído por um único resultado, pelo que a probabilidade pretendida é igual a 1/10. O acontecimento “A comissão tem alunos dos dois sexos” é constituído por 6 resultados, pelo que a probabilidade pretendida é igual a 6/10. A tarefa não terminou aqui, pois o professor colocou a seguinte questão: o que é que acontece se a selecção dos dois nomes não for feita de uma única vez, mas sequencialmente (sem repor o primeiro elemento seleccionado), interessando a ordem pela qual os nomes são seleccionados? Esta situação poderia colocar-se se, por exemplo, o primeiro elemento a ser seleccionado fosse o “representante” da comissão. Qual o espaço de resultados? Quais as probabilidades dos acontecimentos em jogo? Os alunos que tinham apresentado o primeiro esquema em árvore sugeriram que agora o espaço de resultados seria constituído pelos vinte resultados, visualizados no 1º esquema: S = {Rita Miguel, Rita Sara, Rita Sofia, Rita Tiago, Miguel Rita, Miguel Sara, Miguel Sofia, Miguel Tiago, Sara Rita, Sara Miguel, Sara Sofia, Sara Tiago, Sofia Rita, Sofia Miguel, Sofia Sara, Sofia Tiago, Tiago Rita, Tiago Miguel, Tiago Sara, Tiago Sofia} Como os resultados também são todos igualmente possíveis, o modelo de probabilidade adequado é o seguinte: Par Rita Miguel Rita Sara Rita Sofia Rita Tiago Miguel Rita Miguel Sara Miguel Sofia Miguel Tiago Sara Rita Sara Miguel Prob. 1/20 1/20 1/20 1/20 1/20 1/20 1/20 1/20 1/20 1/20 Par Sara Sofia Sara Tiago Sofia Rita Sofia Miguel Sofia Sara Sofia Tiago Tiago Rita Tiago Miguel Tiago Sara Tiago Sofia Prob. 1/20 1/20 1/20 1/20 1/20 1/20 1/20 1/20 1/20 1/20 O acontecimento “Os dois rapazes fazem parte da comissão” é constituído por dois resultados, pelo que a probabilidade pretendida é igual a 2/20 ou 1/10. Organização e tratamento de dados 238 O acontecimento “A comissão tem alunos dos dois sexos” é constituído por 12 resultados, pelo que a probabilidade pretendida é igual a 12/20 ou 6/10. Concluímos que os acontecimentos anteriores têm probabilidades iguais. No entanto agora, com este outro espaço de resultados tem sentido considerar outros acontecimentos, como por exemplo “O Miguel foi seleccionado para representante de um grupo”. Neste caso, de entre os 20 resultados possíveis só temos 4 favoráveis, pelo que a probabilidade pretendida é 4/20. Repare-se que este acontecimento não é o mesmo que “O Miguel foi seleccionado para a comissão”, cuja probabilidade é 8/20. Tar ef a – Um j ogo desequi l i br ado! O professor propôs o seguinte jogo ao Tiago e à Inês: lançam um dado e se sair uma face com menos de 3 pintas, o Tiago ganha um rebuçado. Se sair uma face com 3 ou mais pintas a Inês ganha um rebuçado. Ao fim de alguns lançamentos do dado, quem é que esperas que tenha mais rebuçados? Achas que o jogo é equilibrado? Ao fim de 30 lançamentos do dado, quantos rebuçados esperas que tenha cada um dos jogadores? Se concluíste que o jogo é desequilibrado, podes ajudar o professor a mudar as regras sobre o número de rebuçados que dá ao Tiago ou à Inês, em cada jogada, de modo que após 30 jogadas tenham aproximadamente o mesmo número de rebuçados? No jogo anterior, o Tiago tem metade da probabilidade da Inês de ganhar um rebuçado, já que a Inês tem 4 possibilidades em 6 de o ganhar. Assim, ao fim de alguns lançamentos é de esperar que Inês tenha mais rebuçados e o jogo não é equilibrado. Ao fim de 30 lançamentos, espera-se que 4/6 das vezes tenha saído uma face com 3 ou mais pintas, pelo que se espera que a Inês ganhe 20 das 30 jogadas e receba, por conseguinte, 20 rebuçados, enquanto que o Tiago só receberá 10. Para tornar o jogo equilibrado, basta dar 2 rebuçados ao Tiago, sempre que sair uma face com 1 ou 2 pintas. Embora se espere que ele só ganhe 10 das 30 jogadas, receberá 20 rebuçados, já que agora cada jogada ganha dá direito a 2 rebuçados. Tar ef a – Lançament o de doi s dados. Ser á que o j ogo é j ust o? Na escola o professor propôs o seguinte jogo para ser jogado entre a Rita, o João e o Miguel: lançam-se 2 dados de 6 faces e verifica-se a soma das pintas dos dados, que pode ir de 2 a 12. Se a soma for 2, 3, 4 ou 5 o João ganha um ponto; se for 6, 7 ou 8 ganha a Rita um ponto; finalmente, se for 9, 10, 11 ou 12, ganha o Miguel. A Rita ficou muito zangada com o professor, dizendo que este a estava a desfavorecer, uma vez que aos outros colegas dava 4 possibilidades, enquanto que a ela só dava 3 e assim os colegas tinham uma maior probabilidade de ganharem. Será que ela tinha razão? Para ser mais fácil de descrever a actividade, vamos considerar dois dados em que um é preto e o outro é branco. Vamos esquematizar todas as situações possíveis de se verificarem, quando se lançam os dois dados: Suponhamos que no dado preto saiu 1 pinta. Então no dado branco pode ter saído qualquer valor de 1 a 6: Organização e tratamento de dados 239 Repetindo o processo, mas agora com 2, 3, ..., 6 pintas no dado preto, obtemos a figura seguinte, onde temos esquematizado todos as situações possíveis, em número de 36 do espaço de resultados S: Vamos considerar uma tabela com os números das pintas e a soma respectiva: 6+1=7 6+2=8 6+3=9 6+4=10 6+5=11 6+6=12 5+1=6 5+2=7 5+3=8 5+4=9 5+5=10 5+6=11 4+1=5 4+2=6 4+3=7 4+4=8 4+5=9 4+6=10 3+1=4 3+2=5 3+3=6 3+4=7 3+5=8 3+6=9 2+1=3 2+2=4 2+3=5 2+4=6 2+5=7 2+6=8 1+1=2 1+2=3 1+3=4 1+4=5 1+5=6 1+6=7 Analisando com cuidado a tabela anterior, verificamos que existem algumas somas que surgem com mais frequência do que outras. Por exemplo a soma 12 só aparece quando sair 6 pintas nos dois dados enquanto que a soma 5 aparece nas seguintes situações Então concluímos que enquanto a probabilidade de o 12 sair é de 1 em 36, o 5 tem uma probabilidade maior, de 5 em 36. A partir da tabela anterior podemos construir uma outra tabela, com o número de vezes que pode sair cada resultado para a soma das pintas, quando se lançam 2 dados: Resultado da soma das pintas Número de vezes que se pode verificar Quem ganha 2 1 João 3 2 João 4 3 João 5 4 João 6 5 Rita 7 6 Rita 8 5 Rita 9 4 Miguel 10 3 Miguel 11 2 Miguel 12 1 Miguel Organização e tratamento de dados 240 Então quando se lançam os dois dados, de acordo com as regras estipuladas para o jogo: o João tem 10 (1+2+3+4) possibilidades de ganhar; a Rita tem 16 (5+6+5) possibilidades de ganhar; o Miguel tem 10 (4+3+2+1) possibilidades de ganhar. Afinal a Rita não tinha razão, pois estava a ser privilegiada neste jogo, que não era um jogo justo. O professor então propôs que redistribuíssem os resultados possíveis pelos 3 colegas, de forma a transformarem um jogo que não era justo, num jogo justo. Depois de alguma discussão, propuseram a seguinte regra: se a soma for 2, 7 ou 8 o João ganha um ponto; se for 4, 5 ou 6 ganha a Rita um ponto; finalmente, se for 3, 9, 10, 11 ou 12, ganha o Miguel. Será que chegaram a uma boa solução? Ainda aproveitando os resultados da tabela anterior, pode-se considerar o seguinte modelo de probabilidade associado à experiência que consiste em lançar dois dados e verificar a soma das pintas das faces que ficam viradas para cima: Resultado 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Probabilidade 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 Tar ef a – Vamos l ançar 2 dados ( cont ) . Uma versão desta tarefa pode ser realizada na sala de aula da seguinte forma: o professor coloca numa taça de plástico transparente alguns smarties (em número superior ao número de alunos da turma). A professora lança 2 dados e conforme o número que se verificar para a soma das pintas das faces que ficam voltadas para cima, retira um smartie da taça e coloca no prato do João, da Rita ou do Miguel (na figura, exemplificamos uma situação em que a soma é igual a 3, pelo que o smartie foi colocado no prato do João). Quando se esgotarem os smarties da taça, ganha aquele que tiver maior número de smarties no seu prato. Quem é que se espera que ganhe? No fim do jogo todos os alunos têm direito a um smartie, ficando o aluno ganhador com os que sobram. Organização e tratamento de dados 241 Tar ef a – Ai nda o l ançament o de doi s dados. Quando formalizámos a noção de espaço de resultados, vimos que associado à experiência aleatória que consiste em lançar dois dados e verificar as faces que ficam voltadas para cima, existem algumas dificuldades em especificar o espaço de resultados. Esta dificuldade prende-se com o facto de se poderem considerar os dois dados idênticos, como indist inguíveis. Neste caso, em que se consideram os dados indistinguíveis, o número de resultados do espaço de resultados não é 36, como na tarefa anterior, mas sim 21, como se apresenta a seguir, para o espaço S’: Os dois espaços de resultados considerados respectivamente na tarefa anterior e nesta tarefa, são usados para modelar situações diferentes, embora ambas associadas à experiência que consiste em lançar dois dados e verificar as faces voltadas para cima. Enquanto que no primeiro caso, se utiliza o espaço de resultados S com 36 resultados, para modelar o lançamento de dois dados iguais ou dois dados diferentes lançados ao mesmo tempo, ou um dado lançado duas vezes, no segundo caso considera-se que os dois dados são indistinguíveis. Como atribuir probabilidades aos resultados deste espaço de resultados S’? Podemos, como na tarefa anterior, argumentar que os resultados são todos igualmente possíveis? Não! Se lançarmos os dados, há o dobro das possibilidades de se obter, por exemplo (1,2) do que (1,1)! Os resultados em que as faces são iguais têm metade da possibilidade de qualquer um dos outros resultados. Se representarmos a probabilidade de sair faces iguais por p temos para a probabilidade de sair qualquer resultado: P + 2× p + 2× p +2× p +2× p +2× p + P + 2× p +2× p +2× p +2× p + P +2× p +2× p +2× p + P +2× p +2× p + P + 2× p + P Como a soma das probabilidades dos acontecimentos elementares que constituem o espaço de resultados tem de ser igual a 1, e tendo em consideração que a soma anterior é igual a 36× p, vem que 36× p=1 ÷ p=1/36 e o modelo de probabilidade associado é Resultado (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) Probabilidade 1/36 2/36 2/36 2/36 2/36 2/36 1/36 2/36 2/36 2/36 2/36 Resultado (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,4) (4,5) (4,6) (5,5) (5,6) (6,6) Probabilidade 1/36 2/36 2/36 2/36 1/36 2/36 2/36 1/36 2/36 1/36 Organização e tratamento de dados 242 Para atribuir as probabilidades anteriores aos acontecimentos elementares respectivos, poderíamos ter utilizado o modelo de probabilidades associado ao espaço de resultados S, em que cada acontecimento elementar tem probabilidade 1/36. Bastaria considerar cada resultado do espaço S’, em que as faces são diferentes, como um acontecimento constituído por dois resultados elementares do espaço S. Por exemplo, o resultado (1,2) de S’ é obtido se se verificar (1,2) ou (2,1) em S. Tar ef a – O l ançament o de duas moedas 13 . O professor no início da aula colocou a seguinte questão: tenho aqui duas moedas de 1 euro. Se as lançar, qual a probabilidade de obter “uma face Euro e uma face Nacional”? Os alunos dividiram-se na resposta a esta questão, que foi respondida da seguinte forma: Um pouco mais de 50% dos alunos respondeu ½, cerca de 25% dos alunos respondeu 1/3 e os restantes responderam ¼. Qual o raciocínio que pode ter estado por trás destas respostas? Esses raciocínios estarão correctos ou não? A resposta dada pela maior parte dos alunos é aquela que, de um modo geral, estaríamos à espera, já que os resultados possíveis do lançamento das duas moedas são Euro Euro, Euro Nacional, Nacional Euro e Nacional Nacional havendo, por conseguinte, 2 resultados favoráveis de entre 4 resultados igualmente possíveis. No entanto, com este mesmo espaço de resultados, alguns alunos interpretaram o acontecimento “uma face Euro e uma face Nacional”, como sendo uma face Euro, seguida de uma face Nacional, que embora não estivesse implícita na pergunta, poderia, efectivamente, ser interpretado dessa maneira, pelo que o raciocínio dos alunos que indicaram ¼ está correcto. Mais complicado será interpretar o que levou alguns alunos a responderem 1/3! Eventualmente teriam pensado em 3 resultados possíveis, dos quais só 1 seria favorável... e uma possibilidade é que tenham considerado como resultados possíveis 2 faces Euro, 2 faces Nacional, 1 face de cada qualidade esquecendo-se que estes resultados não são igualmente possíveis, pelo que não se pode aplicar a regra de Laplace. Efectivamente o resultado “uma face de cada qualidade” pode ser obtido de duas maneiras possíveis: “face Euro e face Nacional” ou “face Nacional e face Euro”. O professor para que os alunos compreendessem melhor esta situação, mostrou, por analogia, o que se passa com o lançamento de dois dados, em que o que interessa é o resultado da soma das pintas. Também neste caso, o espaço de resultados é constituído por 11 resultados, mas não são todos igualmente possíveis. Por exemplo, a probabilidade de obter 11 não é igual à probabilidade de obter 12, já que o 11 pode ser obtido de duas maneiras distintas, enquanto que o 12 só pode ser obtido de uma maneira. 13 Sugerida por Burrill (2006), p. 50 Organização e tratamento de dados 243 Tar ef a – Quem consegue dar pr i mei r o a vol t a ao quadr ado? Propomos a seguir um jogo 14 que consiste no seguinte. Numa cartolina, constrói-se um quadrado com 12 unidades de lado e em cada lado constroem-se 10 quadradinhos com uma unidade de lado: Este jogo é jogado por dois jogadores que movem o seu Pino na direcção indicada sendo o objectivo do jogo e as regras, os seguintes: Obj ect ivo do j ogo: Ser o primeiro jogador a dar uma volta completa ao quadrado, chegando ao ponto de onde partiu. Regra do j ogo: Depois de se escolher qual o jogador que começa o jogo, este lança 3 moedas de um euro e movimenta o seu pino um certo número de quadrados, de acordo com o tipo de faces que ficam voltadas para cima 3 faces Euro ÷ movimenta 10 quadradinhos 2 faces Euro e 1 Nacional ÷ movimenta 3 quadradinhos 1 face Euro e 2 Nacional ÷ movimenta 1 quadradinhos 3 faces Nacional ÷ movimenta 5 quadradinhos Quando o primeiro jogador acabar de mover o seu pino, será a vez do segundo jogador lançar as 3 moedas e movimentar o seu pino. Existe ainda uma regra especial e que é a seguinte: sempre que o pino de um jogador atingir ou ultrapassar o pino do outro jogador, este jogador que foi ultrapassado volta ao ponto de onde partiu. Esta tarefa, orientada pelo professor, vai ser utilizada para comparar os resultados experimentais do lançamento das 3 moedas, com alguns resultados teóricos. Para obter esses resultados experimentais, o jogo pode ser jogado por vários pares de alunos e o professor pede aos alunos para irem registando num gráfico, desenhado no quadro, os resultados dos sucessivos lançamentos das 3 moedas. Depois de alguns jogos, o gráfico pode apresentar o seguinte aspecto: 14 Sugerido pelo Sticks and Stones, Illuminations, www.illuminations.nctm.org Organização e tratamento de dados 244 O professor pede aos alunos para compararem as alturas das barras do gráfico e os alunos podem concluir que a ocorrência de 2 faces Euro ou uma face Euro são mais prováveis que a ocorrência de 3 faces ou 0 faces Euro. A partir do gráfico o professor pede ainda para os alunos estimarem a probabilidade de saírem 3 faces Euro quando se lançam as 3 moedas. No total das 31 ocorrências, verificou-se 4 vezes a saída de 3 faces Euro, pelo que uma estimativa para a probabilidade pretendida é 4/31 ou seja aproximadamente 12,9%. De modo análogo obtém-se como estimativa para a probabilidade da ocorrência de 2 faces Euro um valor aproximado a 38,7%. De seguida o professor propõe aos alunos que considerem o modelo de probabilidade associado à experiência que consiste em lançar 3 moedas de Euro e verificar as faces que ficam viradas para cima. A construção do modelo de probabilidade pressupõe que se obtenham todos os resultados possíveis e que depois se atribua uma probabilidade a cada um desses resultados, sem esquecer que a soma das probabilidades de todos os resultados tem que ser igual a 1. Para obter todos os resultados possíveis pode-se utilizar um diagrama em árvore, como o que se apresenta a seguir: Organização e tratamento de dados 245 O espaço de resultados S é constituído pelos seguintes resultados S = (EEE, EEN, ENE, ENN, NEE, NEN, NNE, NNN) Admitindo que a moeda é equilibrada, todos os resultados anteriores têm igual possibilidade de se verificarem, pelo que a probabilidade de cada um é 1/8: Resultado EEE EEN ENE ENN NEE NEN NNE NNN Probabilidade 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 Agora os alunos podem comparar as probabilidades experimentais calculadas anteriormente, com as probabilidades teóricas calculadas a partir deste modelo. Para já, concluem que a probabilidade de sair 3 faces Euro é igual à probabilidade de sair 0 faces Euro e igual a 1/8 ou seja aproximadamente 12,5%. Quanto ao acontecimento “2 faces Euro”, este é constituído por 3 resultados, pelo que a probabilidade de se realizar é 3/8 ou seja 37,5%. O acontecimento “1 face Euro” também tem probabilidade 3/8, pois também é constituído por três resultados elementares. Finalmente o professor ainda pode colocar a seguinte questão aos alunos: em média, quantas jogadas são necessárias para terminar um jogo? Uma estimativa deste valor pode ser obtida fazendo vários jogos, registando os resultados e fazendo a média dos resultados obtidos. No entanto podemos ainda abordar esta questão através do seguinte raciocínio: tendo em conta o modelo de probabilidade anterior, espera-se que em 8 jogadas saia 1 vez 3 faces Euro, 3 vezes 2 faces Euro, 3 vezes 1 face Euro e finalmente 1 vez 0 faces Euro, o que faz com que em 8 jogadas (considera-se uma jogada o lançamento das 3 moedas e a movimentação do pino de acordo com o resultado do lançamento) se espera movimentar o seguinte número de quadradinhos: 1× 10+3× 3+3× 1+1× 5 = 27 Assim, se em 8 jogadas se espera movimentar 27 quadradinhos, em média por jogada espera-se movimentar 27/8=3,375 quadradinhos. Então, para dar a volta aos 40 quadrados espera-se fazer 40/3,375≈12 jogadas. Como estão dois jogadores em jogo, espera-se terminar o jogo com um número de jogadas à volta de 24. Se algum jogador tiver de voltar atrás terá de haver mais jogadas para terminar o jogo! Tar ef a – Quem é que ganha o j ogo? 15 Na escola o professor propôs o seguinte jogo a ser jogado por dois alunos, o David e o António: lançam-se duas moedas e em cada lançamento, se saírem faces diferentes, o David ganha um ponto; caso contrário ganha o António o ponto. Ganha o jogo, aquele que, ao fim de 50 jogadas tiver ganho mais pontos. Quem é que ganhará o jogo? Apresentamos a seguir o resultado do lançamento de 2 moedas equilibradas: 15 Graça Martins et al (2007). Organização e tratamento de dados 246 Jogada 1ª moeda 2ª moeda Ant óni o ganha Dav i d ganha Pont os Ant óni o Pont os Dav i d 1 N N 1 0 1 0 2 E E 1 0 2 0 3 E N 0 1 2 1 4 N N 1 0 3 1 5 E N 0 1 3 2 6 N N 1 0 4 2 7 E E 1 0 5 2 8 E N 0 1 5 3 9 E E 1 0 6 3 10 E E 1 0 7 3 11 E N 0 1 7 4 12 N E 0 1 7 5 13 N N 1 0 8 5 14 E N 0 1 8 6 15 N N 1 0 9 6 16 E N 0 1 9 7 17 E N 0 1 9 8 18 E E 1 0 10 8 19 N E 0 1 10 9 20 N N 1 0 11 9 21 N E 0 1 11 10 22 N E 0 1 11 11 23 N E 0 1 11 12 24 N N 1 0 12 12 25 N N 1 0 13 12 26 E E 1 0 14 12 27 E E 1 0 15 12 28 N N 1 0 16 12 29 N E 0 1 16 13 30 E N 0 1 16 14 31 N E 0 1 16 15 32 E E 1 0 17 15 33 E N 0 1 17 16 34 N E 0 1 17 17 35 E E 1 0 18 17 36 E N 0 1 18 18 37 N E 0 1 18 19 38 E E 1 0 19 19 39 E N 0 1 19 20 40 E N 0 1 19 21 41 E E 1 0 20 21 42 N E 0 1 20 22 43 E E 1 0 21 22 44 E E 1 0 22 22 45 N E 0 1 22 23 46 N N 1 0 23 23 47 E E 1 0 24 23 48 E E 1 0 25 23 49 E E 1 0 26 23 50 E N 0 1 26 24 Neste jogo ganhou o António, pois ao fim de 50 jogadas tinha alcançado 26 pontos, enquanto que o David tinha 24 pontos. Resolveram jogar novamente o mesmo jogo, tendo obtido os resultados seguintes: Organização e tratamento de dados 247 Jogada 1ª moeda 2ª moeda Ant óni o ganha Dav i d ganha Pont os Ant óni o Pont os Dav i d 1 E E 1 0 1 0 2 E E 1 0 2 0 3 N N 1 0 3 0 4 N N 1 0 4 0 5 E N 0 1 4 1 6 N E 0 1 4 2 7 E N 0 1 4 3 8 E N 0 1 4 4 9 N E 0 1 4 5 10 N E 0 1 4 6 11 N N 1 0 5 6 12 N E 0 1 5 7 13 N E 0 1 5 8 14 E E 1 0 6 8 15 E N 0 1 6 9 16 N N 1 0 7 9 17 N N 1 0 8 9 18 E N 0 1 8 10 19 N E 0 1 8 11 20 N E 0 1 8 12 21 N N 1 0 9 12 22 N N 1 0 10 12 23 N E 0 1 10 13 24 E E 1 0 11 13 25 E E 1 0 12 13 26 N N 1 0 13 13 27 N E 0 1 13 14 28 N N 1 0 14 14 29 N E 0 1 14 15 30 E E 1 0 15 15 31 E E 1 0 16 15 32 N N 1 0 17 15 33 E E 1 0 18 15 34 N N 1 0 19 15 35 N E 0 1 19 16 36 E E 1 0 20 16 37 N E 0 1 20 17 38 E E 1 0 21 17 39 N E 0 1 21 18 40 E N 0 1 21 19 41 E N 0 1 21 20 42 E N 0 1 21 21 43 E N 0 1 21 22 44 N E 0 1 21 23 45 E E 1 0 22 23 46 E N 0 1 22 24 47 N E 0 1 22 25 48 N E 0 1 22 26 49 N N 1 0 23 26 50 E E 1 0 24 26 Desta vez ganhou o David! Resolveram fazer ainda um 3º jogo para a desforra e obtiveram os seguintes resultados: Organização e tratamento de dados 248 Jogada 1ª moeda 2ª moeda Ant óni o ganha Dav i d ganha Pont os Ant óni o Pont os Dav i d 1 N N 1 0 1 0 2 E N 0 1 1 1 3 E N 0 1 1 2 4 E N 0 1 1 3 5 E N 0 1 1 4 6 N E 0 1 1 5 7 E E 1 0 2 5 8 E E 1 0 3 5 9 N E 0 1 3 6 10 N N 1 0 4 6 11 E N 0 1 4 7 12 N N 1 0 5 7 13 N E 0 1 5 8 14 N N 1 0 6 8 15 E N 0 1 6 9 16 E N 0 1 6 10 17 N N 1 0 7 10 18 E N 0 1 7 11 19 N N 1 0 8 11 20 N N 1 0 9 11 21 N E 0 1 9 12 22 N E 0 1 9 13 23 N N 1 0 10 13 24 N N 1 0 11 13 25 E N 0 1 11 14 26 E E 1 0 12 14 27 E E 1 0 13 14 28 N E 0 1 13 15 29 N N 1 0 14 15 30 E E 1 0 15 15 31 E N 0 1 15 16 32 E E 1 0 16 16 33 N N 1 0 17 16 34 N N 1 0 18 16 35 N E 0 1 18 17 36 N E 0 1 18 18 37 E E 1 0 19 18 38 E N 0 1 19 19 39 E N 0 1 19 20 40 E E 1 0 20 20 41 E N 0 1 20 21 42 N N 1 0 21 21 43 E N 0 1 21 22 44 N N 1 0 22 22 45 E E 1 0 23 22 46 E N 0 1 23 23 47 E N 0 1 23 24 48 N E 0 1 23 25 49 N N 1 0 24 25 50 N N 1 0 25 25 Agora empataram! Afinal não se pode dizer à partida quem é que sairá o vencedor, pois qualquer um dos dois alunos tem igual “chance” de ganhar o jogo. Uma versão deste exemplo pode ser realizado na sala de aula, em que o professor desenha no quadro um trajecto que será percorrido pelos alunos que estão a jogar, Organização e tratamento de dados 249 da seguinte maneira: sempre que um dos alunos ganha, avança uma quadrícula. Ganhará o que chegar mais rápido à meta. António David Tar ef a – Moedas não equi l i br adas 16 . Na turma onde se realizou a actividade anterior, os alunos ficaram muito entusiasmados com a experiência feita, de tal modo que o professor resolveu propor ainda uma outra actividade relacionada com moedas. Tinha consigo 6 moedas, 5 das quais não tinham passado nos testes de controlo de qualidade e tinham sido rejeitadas por alegadamente não serem dadas como equilibradas. Para cada um destas 6 moedas, a probabilidade de sair a face Nacional era: Moeda A: 1 em 4 ou 1/4 Moeda B: 1 em 3 ou 1/3 Moeda C: 1 em 2 ou 1/2 Moeda D: 3 em 4 ou 3/4 Moeda E: 4 em 5 ou 4/5 Moeda F: 99 em 100 ou 99/100 Com o objectivo de identificar qual das moedas seria a A, B, ..., F, lançou-se cada moeda 5 vezes, tendo-se obtido os seguintes resultados: Nº do lançamento 1ª moeda 2ª moeda 3ª moeda 4ª moeda 5ª moeda 6ª moeda 1 N N E N N E 2 N N E N N N 3 E N N N N E 4 N N E E N E 5 N N E N N E Freq. relativa Qual é a moeda? a) Preencher a linha das frequências relativas com a proporção de faces nacionais obtidas nestes 5 lançamentos, de cada uma das moedas. Preencher a seguir a última linha com a letra da moeda que suspeita ter sido a 1.ª, 2.ª,..., ou 6.ª. b) Tem confiança que as suas suspeitas estejam correctas? Explique porquê. c) Suponha que se fizeram mais 5 lançamentos para cada uma das moedas, sendo agora as frequências relativas as apresentadas na tabela seguinte. Com esta informação adicional, tente novamente associar as moedas com as probabilidades respectivas. 10 lançamentos 1.ª moeda 2.ª moeda 3.ª moeda 4.ª moeda 5.ª moeda 6.ª moeda Freq. relativa 0,70 0,90 0,20 0,80 1,00 0,20 Qual é a moeda? d) Suponha agora que lança as moedas mais 15 vezes e posteriormente mais 25 vezes, obtendo as frequências relativas apresentadas nas tabelas seguintes. Mais uma vez se pede que preencha a última linha das tabelas: 25 lançamentos 1.ª moeda 2.ª moeda 3.ª moeda 4.ª moeda 5.ª moeda 6.ª moeda Freq. relativa 0,56 0,88 0,28 0,88 1,00 0,20 Qual é a moeda? 50 lançamentos 1.ª moeda 2.ª moeda 3.ª moeda 4.ª moeda 5.ª moeda 6.ª moeda Freq. relativa 0,58 0,92 0,26 0,78 1,00 0,32 Qual é a moeda? 16 Adaptado de Rossman et al (2001). Organização e tratamento de dados 250 e) Depois dos 50 lançamentos, estar-se-á razoavelmente seguro que as moedas estão correctamente identificadas? Explique porquê. f) O seguinte gráfico mostra a evolução da frequência relativa para as 6 moedas, à medida que o número de lançamentos aumenta: Comente o que é que este gráfico revela sobre a probabilidade, como um conceito sobre o comportamento de um processo aleatório a longo-termo e não a curto-termo. Tar ef a – Vamos est i mar a ár ea do cír cul o com r ai o 0, 5 uni dades. O professor apresentou aos alunos um gráfico, onde estava desenhada uma circunferência dentro de um quadrado de lado 1. Para o espaço delimitado pelo quadrado um atirador muito “nabo” 17 atirou, ao acaso, 100 setas, que ficaram marcadas, como se vê na figura seguinte: 17 O atirador era tão “nabo” e não tinha pontaria nenhuma, pelo que a seta podia acertar, ao acaso, em qualquer ponto do quadrado. Organização e tratamento de dados 251 Algumas das setas caíram dentro da circunferência e outras fora. O professor propôs aos alunos estimarem a área do círculo com base na distribuição das marcas dentro do quadrado. Se as marcas deixadas pelas setas se distribuem aleatoriamente pela superfície do quadrado, então a proporção de marcas dentro do quadrado dão-nos uma estimativa da área do círculo, já que a área do quadrado é 1. Assim, contando o número de marcas dentro da circunferência (neste caso é mais fácil contar as 22 marcas fora da circunferência), verificamos que essa proporção é (100- 22)/100=0,78. Este é o valor estimado para a área do círculo. Se os alunos já souberem calcular a área do círculo será interessante compararem o valor estimado com o valor calculado através da fórmula da área. Tar ef a – Vamos est i mar o val or de t. O trabalho desenvolvido na tarefa anterior pode ser utilizado para estimar o valor de t. Para isso basta admitir que se conhece que a área de um círculo de raio R é igual a tR 2 . Então, como vimos na tarefa anterior, uma estimativa para a área do círculo de raio 0,5 unidades é 0,78, pelo que uma estimativa para o valor de t será 0,78/0,5 2 =3,12. Obter-se-ia uma estimativa mais precisa para o valor de t se em vez de 100 pontos, aumentássemos o número de pontos que preenchem a área do quadrado, pois neste caso também se obteria uma estimativa mais precisa para a área do círculo. No capítulo seguinte sobre simulação, será apresentado um processo de gerar aleatoriamente os pontos que simulam as marcas das setas do atirador. Tar ef a – Est i mar a ár ea de f i gur as. O processo utilizado para estimar a área do círculo, pode ser utilizado para estimar a área de uma figura para a qual não exista uma expressão simples que permita calcular a sua área. O professor apresentou aos alunos uma fotografia, com área igual a uma unidade, de um pedaço de “céu”, onde estão desenhadas algumas estrelas e a lua, em quarto minguante. Nessa fotografia foram desenhados, aleatoriamente 100 pontos. A proposta do professor é que os alunos estimem a área dos corpos celestes da fotografia. Organização e tratamento de dados 252 Tar ef a – Uma chuva de met eor i t os! O professor apresentou uma figura, que representa o planisfério, onde estão registadas as marcas de 100 meteoritos que alcançaram o planeta Terra. Alguns caíram no mar, outros em terra. Baseando-te nos 100 meteoritos que se registam na figura, és capaz de estimar a probabilidade de o próximo meteorito cair em terra? (A área do rectângulo é igual a 1 unidade de área) Dos 100 meteoritos, que se distribuem aleatoriamente sobre a superfície terrestre, cerca de 30 (a contagem não é muito fácil...) alcançaram algum continente, pelo que estimamos que com uma probabilidade de 30%, o próximo meteorito alcance algum continente. Organização e tratamento de dados 253 Tar ef a especi al – Vamos const r ui r al guns dos nossos mat er i ai s par a f azer ex per i ênci as. Propomos aqui uma tarefa especial, que o professor, juntamente com o professor de outra disciplina, nomeadamente de Educação Artística ou Visual, pode levar a cabo juntamente com os alunos: construírem os seus próprios materiais. Como fomos indicando ao longo do texto, podem ser utilizados materiais como botões, tampas de refrigerantes, berlindes, etc. As moedas utilizadas nas experiências podem ser realizadas pelos alunos em cartolina dura, em que de um lado desenham um N, para indicar a face Nacional e do outro o símbolo do euro €. Propomos aqui a construção de um dado de 4 faces (tetraedro) e de um dado de 6 faces. Dado de 4 faces Dado de 6 faces Organização e tratamento de dados 254 7 Simulação Neste capítulo fazemos uma introdução à Simulação, instrumento poderoso, que sobretudo nas três últimas décadas, com o desenvolvimento e aperfeiçoamento dos meios computacionais, contribuiu de forma decisiva para o estudo de leis da probabilidade e cálculo de probabilidades associadas a determinados acontecimentos. No capítulo anterior, vimos que um processo de estimar a probabilidade de um acontecimento, seria repetir muitas vezes a experiência e contabilizar a proporção de vezes que o acontecimento se realiza nas sucessivas repetições. Veremos como, utilizando meios computacionais, quer seja a máquina de calcular, quer seja o computador, podemos imitar o comportamento da realização do fenómeno aleatório. Organização e tratamento de dados 256 Organização e tratamento de dados 257 7.1 I nt r odução Vimos no capítulo anterior que a definição de um modelo de probabilidade, associado a um fenómeno aleatório, pressupõe que sejam especificados todos os resultados possíveis e que a cada resultado possível seja atribuído uma probabilidade. Muitas vezes estas probabilidades são atribuídas tendo em conta a experiência que temos sobre a realização de fenómenos do mesmo género. É o que se passa com o modelo associado aos fenómenos aleatórios que consistem em lançar uma moeda ou um dado e verificar qual a face que fica virada para cima. Se não tivermos razões que nos levem a suspeitar que a moeda ou o dado não são equilibrados, consideramos os modelos, usuais, em que atribuímos igual probabilidade a cada uma das faces, quer da moeda, quer do dado. No entanto, mesmo neste caso em que é fácil definir um modelo para o fenómeno aleatório, por vezes não é fácil calcular probabilidades de acontecimentos relacionados com esse fenómeno. Por exemplo, se lançarmos 10 vezes uma moeda de um euro, equilibrada, o cálculo teórico da probabilidade do acontecimento “obter 4 ou mais faces Euro ou Nacional seguidas” não é acessível a este nível. Então a única solução seria repetir muitas vezes a experiência de lançar a moeda 10 vezes e estimar a probabilidade do acontecimento, pela proporção de vezes em que a face Euro ou a face Nacional aparece 4 ou mais vezes seguidas, em sequências de 10 lançamentos. Como é fácil de entender, estar a repetir a experiência de lançar a moeda 10 vezes, ver o que acontece, outras 10 vezes e ver o que acontece, e assim por diante..., não é uma tarefa simples. Esta situação não deixa os estatísticos muito preocupados, pois o comportamento aleatório do lançamento da moeda pode ser imitado, utilizando a tecnologia, e neste caso dizemos que estamos a simular a realização do fenómeno. Simulação – processo artificial utilizado para imitar o comportamento de um fenómeno aleatório, utilizando, de um modo geral, números aleatórios. Veremos na secção seguinte o que se entende por números aleatórios e veremos ainda que, hoje em dia, o que se utiliza são os números pseudo-aleatórios, gerados pela máquina de calcular ou pelo computador. 7.2 Númer os al eat ór i os e númer os pseudo- al eat ór i os Considere um saco com 10 berlindes, iguais ao tacto, e numerados de 0 a 9. Depois de baralhar os berlindes dentro do saco, seleccione um ao acaso, verifique o número do berlinde seleccionado e reponha-o no saco. Se repetirmos o processo várias vezes, poderemos obter uma sequência de dígitos como a que se apresenta a seguir: 7 1 3 1 9 2 2 0 3 4 0 5 7 5 6 2 8 3 9 5 ... Em cada selecção de um berlinde do saco, temos igual probabilidade de seleccionar cada um dos 10 dígitos 0, 1,..., 9. O berlinde seleccionado em cada extracção não depende dos berlindes seleccionados nas extracções anteriores, pelo que os resultados são independentes uns dos outros. Uma tabela com dígitos obtidos por este processo diz-se que é uma tabela de dígitos aleatórios. Organização e tratamento de dados 258 Dígi t os al eat ór i os - Uma tabela de dígitos aleatórios é uma listagem dos dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ou 9 tal que: qualquer um dos dígitos considerados tem igual possibilidade de figurar em qualquer posição da lista; a posição em que figura cada dígito é independente das posições dos outros dígitos. Apresenta-se a seguir um extracto de uma tabela de números aleatórios (Moore, 1997). O facto de os dígitos se apresentarem agrupados 5 a 5 é só para facilidade de leitura. Li nha 101 19223 95034 05756 28713 96409 12531 42544 82853 102 73676 47150 99400 01927 27754 42648 82425 36290 103 45467 71709 77558 00095 32863 29485 82226 90056 104 52711 38889 93074 60227 40011 85848 48767 52573 105 95592 94007 69971 91481 60779 53791 17297 59335 106 68417 35013 15529 72765 85089 57067 50211 47487 107 82739 57890 20807 47511 81676 55300 94383 14893 108 60940 72024 17868 24943 61790 90656 87964 18883 109 36009 19365 15412 39638 85453 46816 83485 41979 A partir da tabela de dígitos aleatórios podem-se obter números aleatórios de 2 dígitos - qualquer par dos 100 pares possíveis 00, 01, …98, 99, tem igual probabilidade de ser seleccionado, de 3 dígitos - qualquer triplo dos 1000 triplos possíveis 000, 001, …998, 999, tem igual probabilidade de ser seleccionado, etc., tomando os dígitos da tabela 2 a 2, 3 a 3, etc., a partir de uma linha qualquer e percorrendo-a da esquerda para a direita. A apresentação de uma tabela como a anterior tem mais interesse histórico do que interesse real. Efectivamente, hoje em dia, existe a possibilidade de utilizar o computador ou uma simples máquina de calcular para gerar os números aleatórios. No entanto, convém ter presente que os números que se obtêm são pseudo- aleat órios, já que é um mecanismo determinista que lhes dá origem, embora se comportem como números aleatórios (passam numa bateria de testes destinados a confirmar a sua aleatoriedade). Não obstante hoje em dia ser mais comum a utilização da tecnologia para fazer simulações, vamos na secção seguinte exemplificar o uso de uma tabela e dígitos aleatórios num processo de simulação. A f unção RAND do Ex cel ou da máqui na de cal cul ar Mais geralmente, quando falamos em números aleatórios, sem qualquer outra referência, não nos estamos a referir explicitamente a números inteiros, mas sim a números do intervalo [0, 1]. Os algoritmos de geração de números pseudo- aleatórios estão concebidos de modo a que ao considerar uma qualquer sequência de números gerados se obtenha aproximadamente a mesma proporção de observações em sub intervalos de igual amplitude do intervalo [0,1]. Assim, por exemplo, se se fizer correr o algoritmo 100 vezes, é de esperar que caiam 25 dos números gerados em cada quarto do intervalo [0,1]. Na tabela seguinte está listada Organização e tratamento de dados 259 uma sequência de 100 números pseudo-aleatórios (NPA) obtida através do gerador RAND do Excel 1 : 1ª coluna 2ª coluna 3ª coluna 4ª coluna 0,842050 0,406320 0,848744 0,810469 0,965131 0,676239 0,722927 0,825587 0,761648 0,552387 0,079614 0,298300 0,359825 0,208420 0,098150 0,818893 0,054705 0,102768 0,147229 0,557920 0,466613 0,493374 0,150888 0,540352 0,814300 0,638416 0,086141 0,007840 0,449515 0,090759 0,197460 0,209145 0,901502 0,552418 0,466389 0,221584 0,862762 0,507097 0,613583 0,389183 0,395195 0,415666 0,210044 0,379011 0,420519 0,469764 0,053714 0,478208 0,124664 0,765629 0,737348 0,696311 0,537707 0,451921 0,702749 0,683382 0,033277 0,523063 0,908485 0,708764 0,024371 0,213326 0,442821 0,983754 0,558313 0,283191 0,153907 0,655705 0,087859 0,429387 0,735276 0,890680 0,069915 0,221549 0,358037 0,578713 0,774156 0,039495 0,490216 0,755072 0,789583 0,480287 0,302539 0,970551 0,702971 0,109918 0,444822 0,995760 0,087455 0,713230 0,806147 0,569285 0,103532 0,623757 0,377823 0,161851 0,996667 0,129629 0,196290 0,753139 Como se pode verificar por contagem, esta lista inclui 30 números no intervalo [0;0,25], 24 números nos intervalos ]0,25;0,5] e ]0,5;0,75] e 22 números no intervalo ]0,75;1]. Embora haja métodos estatísticos para avaliar se são ou não significativas as diferenças entre estas frequências observadas e as frequências esperadas (25 – 25 – 25 – 25), facilmente a nossa sensibilidade aceita que estes resultados não contradizem o que se esperaria de uma escolha ao acaso de 100 números do intervalo [0,1]. Uma tabela idêntica à anterior poderia ter sido obtida a partir da função RAND, na máquina de calcular. A f unção RANDBETWEEN do Ex cel ou a f unção r andI NT da máqui na de cal cul ar No caso particular de pretendermos números inteiros, então podemos utilizar a função Randbetween(m, n) do Excel ou a função randINT(m, n) da máquina de calcular. Estas funções que têm como argumentos dois números inteiros m e n, com m<n, sempre que são utilizadas devolvem-nos um número inteiro entre m e n, tal que qualquer outro número inteiro entre esses limites tem igual probabilidade de surgir. Por exemplo, para simular o lançamento de um dado equilibrado, 1 Graça Martins et al (2007) e Anexo para interpretação do programa de MACS, pag 93 Organização e tratamento de dados 260 utilizamos a função randINT(1,6) da máquina de calcular, ou a função Randbetween(1, 6) do Excel. 7.3 Si mul ar o l ançament o de uma moeda A simulação do lançamento de uma moeda, embora seja um problema simples, está na base do cálculo da probabilidade, por simulação, de alguns acontecimentos, cujo cálculo analítico seria complicado. Permite ainda ilustrar alguns conceitos básicos de probabilidade que, por vezes, fogem à nossa intuição. É exemplo do que dissemos anteriormente a situação que diz respeito à regularidade a longo termo e que já foi abordada na secção 6.2 e 6.5.2.2 e que abordaremos de novo nesta secção. O processo de simulação pressupõe alguns passos que exemplificaremos de seguida: Passo 1 – Definição do modelo de probabilidade para o lançamento da moeda No modelo que vamos adoptar para o lançamento da moeda vamos admitir que: Em cada lançamento existe igual probabilidade de sair a face Euro e a face Nacional (admitimos que a moeda é equilibrada); Os lançamentos são independentes uns dos outros. Passo 2 – At ribuição de números aleat órios para representar os result ados do lançamento da moeda. Esta atribuição pode ser feita de várias maneiras, das quais vamos exemplificar duas, tendo em conta as tabelas de dígitos aleatórios e de números pseudo- aleatórios consideradas anteriormente. Considerando a tabela de dígitos aleatórios, sabemos que cada um dos dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, tem probabilidade igual a 1/10 ou 0,1 de surgir e que além disso os sucessivos dígitos da tabela são independentes. Então uma forma possível de atribuir dígitos ao resultado do lançamento da moeda, é considerar que: Cada dígito simula o resultado do lançamento da moeda; Dígitos ímpares representam a face Euro e dígitos pares a face Nacional (estamos a admitir que o zero é par). Este processo de atribuir probabilidades está de acordo com o modelo proposto, já que esta atribuição dá à saída de face Euro uma probabilidade igual a 5/10 (5 favoráveis em 10 possíveis), e além disso os dígitos sucessivos da tabela simulam lançamentos independentes. Nota: Outro processo possível seria considerar os dígitos menores que 5 (ou seja, 0, 1, 2, 3 e 4) para representarem a face Euro e os maiores ou iguais a 5 (ou seja 5, 6, 7, 8 e 9), para representarem a face Nacional. Passo 3 – Simular muitas repet ições Cada dígito da tabela simula um lançamento da moeda, pelo que para simular os sucessivos lançamentos basta considerar os dígitos sucessivos da tabela. Na simulação que apresentamos, vamos considerar que se pretende estimar a probabilidade do acontecimento “sair face Euro no lançamento da moeda” e vamos ainda ver o que acontece à diferença entre o número de faces Euro e faces Nacional, à medida que aumentamos o número de lançamentos: Organização e tratamento de dados 261 Nº de lançamento i Dígito Face Nº de faces Euro até ao lançamento i Proporção de faces Euro até ao lançamento i Diferença entre nº faces Euro e nº faces Nacional 1 1 E 1 1 1 2 9 E 2 1 2 3 2 N 2 0,6666667 1 4 2 N 2 0,5 0 5 3 E 3 0,6 1 6 9 E 4 0,6666667 2 7 5 E 5 0,7142857 3 8 0 N 5 0,625 2 9 3 E 6 0,6666667 3 10 4 N 6 0,6 2 11 0 N 6 0,5454545 1 12 5 E 7 0,5833333 2 13 7 E 8 0,6153846 3 14 5 E 9 0,6428571 4 15 6 N 9 0,6 3 16 2 N 9 0,5625 2 17 8 N 9 0,5294118 1 18 7 E 10 0,5555556 2 19 1 E 11 0,5789474 3 20 3 E 12 0,6 4 21 9 E 13 0,6190476 5 22 6 N 13 0,5909091 4 23 4 N 13 0,5652174 3 24 0 N 13 0,5416667 2 25 9 E 14 0,56 3 26 1 E 15 0,5769231 4 27 2 N 15 0,5555556 3 28 5 E 16 0,5714286 4 29 3 E 17 0,5862069 5 30 1 E 18 0,6 6 31 4 N 18 0,5806452 5 32 2 N 18 0,5625 4 33 5 E 19 0,5757576 5 34 4 N 19 0,5588235 4 ... 346 4 N 180 0,5202312 14 347 6 N 180 0,518732 13 348 8 N 180 0,5172414 12 349 1 E 181 0,5186246 13 350 6 N 181 0,5171429 12 351 8 N 181 0,5156695 11 352 3 E 182 0,5170455 12 353 4 N 182 0,5155807 11 354 8 N 182 0,5141243 10 355 5 E 183 0,515493 11 356 4 N 183 0,5140449 10 357 1 E 184 0,5154062 11 358 9 E 185 0,5167598 12 359 7 E 186 0,5181058 13 360 9 E 187 0,5194444 14 Da tabela anterior e do gráfico seguinte, concluímos que a proporção de faces Euro tende a estabilizar à volta dos 52%, para o número de lançamentos realizados. Se tivéssemos levado a simulação mais longe, seria de esperar que a proporção de faces Euro se aproximasse mais de 50%. Organização e tratamento de dados 262 No gráfico seguinte apresentamos a evolução da diferença entre o número de faces Euro e o número de faces Nacional. Ao contrário do que se passa com a proporção de faces Euro que se aproxima de 50%, à medida que o número de lançamentos aumenta, o número de faces Euro não se aproxima de metade dos lançamentos, e a diferença entre o número de faces Euro e faces Nacional não tende a estabilizar à volta de zero. Nota – É importante ter presente que os números pseudo-aleatórios utilizados no processo de simulação, são gerados por um mecanismo determinístico, que imita razoavelmente bem o aleatório. Há vários processos para gerar estes números, nomeadamente a função Rand do Excel, de que já falámos anteriormente. Todos estes processos foram estudados de forma que os conjuntos de números que geram, passam num conjunto de testes estatísticos, que não rejeitam a hipótese desses conjuntos de números poderem ser considerados como aleatórios. Organização e tratamento de dados 263 7.4 Cál cul o da pr obabi l i dade de acont eci ment os, por si mu- l ação Nesta secção vamos exemplificar o processo de estimar a probabilidade de alguns acontecimentos, por simulação. Tar ef a – Cal cul ar a pr obabi l i dade de sai r 2 f aces Eur o, em 2 l ançament os de uma moeda de um eur o, equi l i br ada. Os dois primeiros passos neste processo de simulação são idênticos aos considerados no lançamento da moeda equilibrada. Dois dígitos sucessivos da tabela simulam 2 lançamentos, pelo que considerando vários conjuntos de dois dígitos simulamos várias repetições. Iniciando a consulta da tabela na linha 102, temos: Repetição Dígitos Euro/Nacional Repetição Dígitos Euro/Nacional 1 73 Eur o Eur o 26 77 Eur o Eur o 2 67 Nacional Euro 27 55 Eur o Eur o 3 64 Nacional Nacional 28 80 Nacional Nacional 4 71 Eur o Eur o 29 00 Nacional Nacional 5 50 Euro Nacional 30 95 Eur o Eur o 6 99 Eur o Eur o 31 32 Nacional Nacional 7 40 Nacional Nacional 32 86 Nacional Nacional 8 00 Nacional Nacional 33 32 Nacional Nacional 9 19 Eur o Eur o 34 94 Euro Nacional 10 27 Nacioanl Euro 35 85 Nacional Euro 11 27 Nacioanl Euro 36 82 Nacional Nacional 12 75 Eur o Eur o 37 22 Nacional Nacional 13 44 Nacional Nacional 38 69 Nacional Euro 14 26 Nacional Nacional 39 00 Nacional Nacional 15 48 Nacional Nacional 40 56 Euro Nacional 16 82 Nacional Nacional 41 52 Euro Nacional 17 42 Naciona Nacional 42 71 Eur o Eur o 18 53 Eur o Eur o 43 13 Eur o Eur o 19 62 Nacional Nacional 44 88 Nacional Nacional 20 90 Euro Nacioal 45 89 Nacional Euro 21 45 Nacional Euro 46 93 Eur o Eur o 22 46 Nacional Nacional 47 07 Nacional Euro 23 77 Eur o Eur o 48 46 Naciona Nacional 24 17 Eur o Eur o 49 02 Naciona Nacional 25 09 Nacional Euro 50 27 Nacional Euro Assinalámos a preto o acontecimento de interesse, que era a saída de 2 faces Euro. Uma estimativa para a probabilidade desse acontecimento é 14/50 ou seja 0,28. As 50 repetições realizadas não são suficientes para estarmos confiantes na precisão da estimativa obtida para a probabilidade do acontecimentos “duas faces Euro no lançamento de uma moeda duas vezes”. Um maior número de repetições conduzir- nos-ia a uma probabilidade mais próxima de 0,25, que é o resultado teórico para a probabilidade desse acontecimento. A atribuição das probabilidades no passo 2 pode ser feita utilizando a tabela de números pseudo-aleatórios da página 253. Passo 2’ – Considerando então essa tabela, vamos admitir que: Cada número simula o resultado do lançamento da moeda; Um número ≤0,5 representa a face Euro e um número>0,5 representa a face Nacional. Esta atribuição de probabilidades está de acordo como modelo proposto, já que os intervalos [0, 0,5] e ]0,5, 1] têm igual amplitude, pelo que a probabilidade de obter números em cada um desses intervalos é 0,5. Organização e tratamento de dados 264 Passo 3’ – Para simular as várias repetições atribuímos os números pseudo- aleatórios aos resultados face Euro e face Nacional percorrendo as colunas 1 e 2 para as primeiras 25 repetições e de seguida as colunas 3 e 4 para as 25 repetições seguintes: Repetição Euro/Nacional Repetição Euro/Nacionalo 1 Nacional Euro 26 Nacional Nacional 2 Nacional Nacional 27 Nacional Nacional 3 Nacional Nacional 28 Eur o Eur o 4 Eur o Eur o 29 Euro Nacional 5 Eur o Eur o 30 Euro Nacional 6 Eur o Eur o 31 Euro Nacional 7 Nacional Nacional 32 Eur o Eur o 8 Eur o Eur o 33 Eur o Eur o 9 Nacional Nacional 34 Eur o Eur o 10 Nacional Nacional 35 Nacional Euro 11 Eur o Eur o 36 Eur o Eur o 12 Eur o Eur o 37 Eur o Eur o 13 Euro Nacional 38 Nacional Nacional 14 Nacional Euro 39 Nacional Nacional 15 Euro Nacional 40 Nacional Nacional 16 Eur o Eur o 41 Euro Nacional 17 Nacional Euro 42 Euro Nacional 18 Eur o Eur o 43 Nacional Nacional 19 Eur o Eur o 44 Euro Nacional 20 Nacional Euro 45 Euro Nacional 21 Nacional Euro 46 Euro Nacional 22 Nacional Euro 47 Euro Nacional 23 Euro Nacional 48 Nacional Nacional 24 Euro Nacional 49 Eur o Eur o 25 Nacional Euro 50 Euro Nacional A simulação anterior conduziu-nos a uma estimativa da probabilidade de 0,32. Quaisquer outros 50 números aleatórios ou pseudo-aleatórios conduzir-nos-iam a outras estimativas para a probabilidade do acontecimento de interesse. Como, de um modo geral, não sabemos qual o valor da probabilidade teórica, se calcularmos várias estimativas, não saberemos qual a mais precisa, ou seja, qual a que está mais perto da probabilidade teórica, caso fosse possível calculá-la, tendo em conta o modelo de probabilidade adoptado para o fenómeno aleatório em estudo e com o qual baseámos a nossa simulação. Se pretendermos aumentar a confiança na estimativa da probabilidade que estamos a calcular, temos uma solução que é aumentar o número de simulações do fenómeno em estudo. Não se f azem omel et as sem ovos... Como se lê em Moore (1996, p. 429) “Parece um pouco duvidoso iniciar um processo para obt er probabilidades assumindo que j á conhecemos algumas out ras probabilidades, mas nem mesmo na mat emát ica t emos alguma coisa sem dar nada em t roca. A ideia é est abelecer a est rut ura básica do fenómeno aleat ório e ent ão ut ilizar a simulação para passarmos dest e modelo para obt er probabilidades de acont eciment os mais complicados. O modelo é baseado em informação ou experiência passada. Se ele não descrever correct ament e o fenómeno aleat ório, Organização e tratamento de dados 265 ent ão as probabilidades obt idas a part ir dele por simulação, t ambém est arão incorrect as” (tradução livre). Outra forma de exprimir a ideia do parágrafo anterior é dizer que “não há almoços grátis!” Como se exemplifica no caso anterior, ao estimarmos a probabilidade de obter 2 faces Euro nos 2 lançamentos da moeda, estamos a partir do princípio e a assumir que a probabilidade de sair face Euro é igual à de sair face Nacional e igual a ½. Obviamente que não seria correcto utilizar o processo anterior para simular o lançamento de uma moeda enviesada, já que neste caso as duas faces não têm igual probabilidade de saírem, como foi assumido no modelo anterior. Nesta situação a única solução é proceder ao lançamento da moeda em estudo e ir registando os resultados obtidos, até conseguirmos que a frequência relativa, do acontecimento de que se pretende calcular a probabilidade, apresente uma certa estabilização. Tar ef a – Qual a pr obabi l i dade de numa f amíl i a de quat r o f i l hos, t odos ser em r apazes? O modelo para o nascimento de rapaz ou rapariga é idêntico ao do lançamento de uma moeda equilibrada, se assumirmos que existe igual probabilidade de nascer rapaz e rapariga e que os nascimentos são independentes uns dos outros (na realidade, de acordo com o nosso último censo, a probabilidade de nascer rapaz anda à volta de 51%). Assim, simular o nascimento de 4 crianças e ver o sexo, é idêntico a simular o lançamento de uma moeda de um Euro 4 vezes e verificar a face que fica voltada para cima. Passo 1 –Definição do modelo de probabilidade para o nascimento de rapaz O modelo que vamos adoptar para o nascimento de rapaz pressupõe que: Em cada nascimento existe igual probabilidade de ser rapaz ou rapariga; Os nascimentos são independentes uns dos outros. Passo 2 – At ribuição de números aleat órios para representar os result ados do nascimento. Vamos utilizar a função Rand do Excel, do seguinte modo: Cada número gerado simula o nascimento de uma criança; Um número ≤0,5 representa o nascimento de rapaz, e um número >0,5 representa o nascimento de rapariga. Como vimos no exemplo anterior, esta atribuição de probabilidades está de acordo com o modelo proposto, já que os intervalos [0, 0,5] e ]0,5, 1] têm igual amplitude, pelo que a probabilidade de obter números em cada um desses intervalos é 0,5. Passo 3 – Simular muitas repet ições Vamos gerar muitas repetições de 4 números pseudo-aleatórios, para simular os 4 nascimentos: 1º filho 2º filho 3º filho 4º filho 1º filho rapaz? 2º filho rapaz? 3º filho rapaz? 4º filho rapaz? Nº rapazes nos 4 filhos 4 rapazes ? 0,042293 0,832859 0,850776 0,415564 1 0 0 1 2 0 0,269279 0,881478 0,780493 0,102199 1 0 0 1 2 0 0,474479 0,528969 0,848406 0,660313 1 0 0 0 1 0 0,238322 0,804784 0,589457 0,413003 1 0 0 1 2 0 0,327561 0,785789 0,224090 0,626057 1 0 1 0 2 0 0,861051 0,018105 0,707192 0,016593 0 1 0 1 2 0 Organização e tratamento de dados 266 0,116059 0,553769 0,903991 0,378653 1 0 0 1 2 0 0,443542 0,586487 0,673580 0,278990 1 0 0 1 2 0 0,479738 0,498062 0,293571 0,465006 1 1 1 1 4 1 0,519160 0,836728 0,261501 0,709615 0 0 1 0 1 0 0,806497 0,986511 0,672229 0,206301 0 0 0 1 1 0 0,518291 0,922520 0,626536 0,738124 0 0 0 0 0 0 0,948191 0,176873 0,137029 0,291067 0 1 1 1 3 0 0,319196 0,034793 0,590844 0,564857 1 1 0 0 2 0 0,497591 0,035276 0,983357 0,613159 1 1 0 0 2 0 0,917203 0,195162 0,160754 0,571587 0 1 1 0 2 0 0,697895 0,876783 0,934845 0,620200 0 0 0 0 0 0 0,777700 0,048426 0,337187 0,179181 0 1 1 1 3 0 0,511748 0,767437 0,849113 0,344513 0 0 0 1 1 0 0,891218 0,307059 0,251028 0,616891 0 1 1 0 2 0 0,880875 0,865897 0,152129 0,109405 0 0 1 1 2 0 0,951888 0,908047 0,034045 0,863988 0 0 1 0 1 0 0,238392 0,082083 0,490909 0,833546 1 1 1 0 3 0 0,520766 0,698405 0,817629 0,333006 0 0 0 1 1 0 0,836980 0,148513 0,960522 0,880070 0 1 0 0 1 0 0,598769 0,606425 0,281036 0,831568 0 0 1 0 1 0 0,135802 0,722615 0,229893 0,230967 1 0 1 1 3 0 0,048072 0,493240 0,283100 0,083356 1 1 1 1 4 1 0,590230 0,316114 0,979242 0,060746 0 1 0 1 2 0 0,507317 0,237199 0,774544 0,043540 0 1 0 1 2 0 0,557046 0,632492 0,525553 0,493075 0 0 0 1 1 0 0,453047 0,003776 0,692767 0,223822 1 1 0 1 3 0 0,781730 0,146744 0,702416 0,335659 0 1 0 1 2 0 0,823291 0,370645 0,918915 0,884146 0 1 0 0 1 0 0,696797 0,234292 0,091790 0,292912 0 1 1 1 3 0 0,238624 0,979179 0,709441 0,435784 1 0 0 1 2 0 0,371197 0,458286 0,483376 0,845387 1 1 1 0 3 0 0,797437 0,994756 0,489628 0,648340 0 0 1 0 1 0 0,822567 0,405794 0,497899 0,794578 0 1 1 0 2 0 0,409935 0,784336 0,772683 0,789198 1 0 0 0 1 0 0,031521 0,634780 0,628484 0,776446 1 0 0 0 1 0 0,877285 0,818784 0,131070 0,377268 0 0 1 1 2 0 0,431466 0,779751 0,536371 0,544740 1 0 0 0 1 0 0,071561 0,715139 0,195817 0,236250 1 0 1 1 3 0 0,512900 0,636603 0,919911 0,200576 0 0 0 1 1 0 0,011701 0,826350 0,592355 0,106301 1 0 0 1 2 0 0,932498 0,230313 0,688338 0,940086 0 1 0 0 1 0 0,012260 0,731709 0,882629 0,291549 1 0 0 1 2 0 0,771633 0,282324 0,400765 0,751419 0 1 1 0 2 0 0,274627 0,720612 0,997822 0,886745 1 0 0 0 1 0 0,636812 0,257337 0,676606 0,341877 0 1 0 1 2 0 0,294693 0,785398 0,052230 0,067127 1 0 1 1 3 0 0,556242 0,331684 0,444164 0,391702 0 1 1 1 3 0 0,554021 0,404411 0,391814 0,007171 0 1 1 1 3 0 0,672498 0,442011 0,925602 0,873412 0 1 0 0 1 0 0,271859 0,075867 0,664250 0,033255 1 1 0 1 3 0 0,364026 0,845316 0,627482 0,856940 1 0 0 0 1 0 0,632611 0,553600 0,770940 0,274467 0 0 0 1 1 0 0,649012 0,029424 0,006652 0,975738 0 1 1 0 2 0 0,880217 0,464580 0,444413 0,229474 0 1 1 1 3 0 0,729499 0,862228 0,434498 0,712452 0 0 1 0 1 0 0,828743 0,473059 0,188661 0,362972 0 1 1 1 3 0 0,716120 0,509904 0,006310 0,038622 0 0 1 1 2 0 0,412185 0,497310 0,608060 0,849470 1 1 0 0 2 0 0,981724 0,115540 0,050374 0,286358 0 1 1 1 3 0 0,381995 0,448187 0,918297 0,122803 1 1 0 1 3 0 0,259900 0,155538 0,494559 0,196396 1 1 1 1 4 1 0,315719 0,364588 0,423351 0,503743 1 1 1 0 3 0 0,649735 0,399039 0,469560 0,555198 0 1 1 0 2 0 0,279561 0,400026 0,734911 0,884434 1 1 0 0 2 0 0,217361 0,710319 0,005094 0,087384 1 0 1 1 3 0 0,693183 0,111708 0,147777 0,169500 0 1 1 1 3 0 Organização e tratamento de dados 267 0,484144 0,427837 0,319137 0,725863 1 1 1 0 3 0 0,667289 0,471618 0,979072 0,318985 0 1 0 1 2 0 0,375134 0,258344 0,725386 0,251190 1 1 0 1 3 0 0,191600 0,062678 0,997449 0,221200 1 1 0 1 3 0 0,237928 0,570485 0,325694 0,095081 1 0 1 1 3 0 0,479030 0,416032 0,736089 0,454510 1 1 0 1 3 0 0,407433 0,253097 0,157676 0,636510 1 1 1 0 3 0 0,439608 0,986541 0,567047 0,105619 1 0 0 1 2 0 0,028231 0,344357 0,134230 0,159250 1 1 1 1 4 1 0,622533 0,397073 0,574875 0,553743 0 1 0 0 1 0 0,839669 0,023235 0,693584 0,578297 0 1 0 0 1 0 0,451561 0,152428 0,938211 0,987627 1 1 0 0 2 0 0,276442 0,775556 0,775507 0,796108 1 0 0 0 1 0 0,415808 0,177497 0,462652 0,300068 1 1 1 1 4 1 0,591290 0,217437 0,850252 0,584043 0 1 0 0 1 0 0,184162 0,337955 0,413556 0,824248 1 1 1 0 3 0 0,511650 0,734839 0,543550 0,167983 0 0 0 1 1 0 0,961578 0,127654 0,619978 0,597268 0 1 0 0 1 0 0,151112 0,759022 0,970418 0,348384 1 0 0 1 2 0 0,870196 0,884215 0,568004 0,733497 0 0 0 0 0 0 0,965750 0,997447 0,012327 0,269384 0 0 1 1 2 0 0,407247 0,134092 0,921995 0,633147 1 1 0 0 2 0 0,129992 0,026175 0,442862 0,157719 1 1 1 1 4 1 0,741260 0,046352 0,823044 0,740928 0 1 0 0 1 0 0,799936 0,900769 0,513758 0,075029 0 0 0 1 1 0 0,314404 0,518245 0,279696 0,640607 1 0 1 0 2 0 0,646709 0,492754 0,751594 0,791626 0 1 0 0 1 0 0,238706 0,194777 0,760938 0,320155 1 1 0 1 3 0 6 Na tabela anterior, as 4 primeiras colunas apresentam as 100 simulações dos nascimentos dos 4 filhos, utilizando a função RAND(), como se mostra a seguir: Nas colunas seguintes utilizámos a função IF, para verificar se cada nascimento era ou não rapaz. Sempre que fosse rapaz, assinalámos esse facto com um 1. Na coluna seguinte, ou seja a coluna I, colocámos a somas das 4 colunas anteriores, o que nos permite detectar facilmente se os 4 nascimentos são rapazes. Na coluna seguinte, a coluna J, ainda utilizando a função IF, verificámos se nos 4 nascimentos se tinha verificado os 4 rapazes. Caso afirmativo, assinalámos esse facto com um 1. Caso contrário com um 0. Este processo permite que a soma da coluna J nos dê o número de casos favoráveis à realização do acontecimento de que estamos a calcular a probabilidade. Na simulação anterior obtivemos 6 casos favoráveis, pelo que uma estimativa para a probabilidade pretendida é 6/100= 0,06. Organização e tratamento de dados 268 Repare-se que o processo anterior também nos permite obter a probabilidade de outros acontecimentos, tais como “nos 4 nascimentos 2 serem rapazes e os outros 2 raparigas”, “nos 4 nascimentos 3 serem rapazes”, etc. Resolução teórica A resolução teórica do problema anterior é simples, desde que usemos um modo expedito de representar todos os resultados do espaço de resultados. Uma forma simples de apresentar esses resultados é utilizando o diagrama em árvore. Os primeiros 2 nós da árvore representam o primeiro nascimento, que pode ser rapaz ou rapariga. Na representação que se segue só apresentamos os ramos em que o primeiro nascimento é rapaz. Os outros ramos a seguir ao primeiro nascimento rapariga são iguais aos ramos a seguir ao primeiro nascimento rapaz. Ao todo temos 16 resultados, todos igualmente possíveis, já que estamos a admitir que existe igual probabilidade de nascer rapaz ou rapariga, e destes 16 resultados só 1 é que é favorável à realização do acontecimento “os 4 nascimentos são rapazes”. Assim, a probabilidade pedida é 1/16= 0,0625. O resultado da simulação apresentada anteriormente, de 0,06, pode ser considerado uma boa estimativa da probabilidade teórica. Tar ef a – Qual a pr obabi l i dade de numa f amíl i a haver um “ casal i nho” , mas com t r ês f i l hos no máx i mo! Um casal pretende ter um casalinho de filhos, só tentando o terceiro filho no caso de os dois primeiros serem do mesmo sexo. Qual a probabilidade de ter um rapaz e uma rapariga? Como na tarefa anterior vamos admitir que existe igual probabilidade de nascer rapaz e rapariga e vamos simular o nascimento de três filhos, só entrando em consideração com o terceiro filho no caso de os dois primeiros serem do mesmo Organização e tratamento de dados 269 sexo. Esta metodologia é mais simples de implementar, do que estar em cada repetição a verificar se nos dois primeiros filhos já existem os dois sexos. Utilizando a folha de Excel, nas colunas B, C e D simulamos o nascimento de três crianças e nas colunas E, F e G, testamos se são rapazes ou raparigas: Na coluna H, testamos se os dois primeiros filhos são do mesmo sexo. Se forem de sexo diferente, consideramos um sucesso e assinalamos esse facto com um 1. Caso sejam do mesmo sexo, testa-se se o 3º filho é do mesmo sexo que os anteriores: se for de sexo diferente considera-se um sucesso que é assinalado, como no caso anterior, com um 1. Se forem todos do mesmo sexo esse acontecimento é um insucesso e é assinalado com um 0. A soma dos valores da coluna H dá-nos o número de sucessos. Nas colunas I e J consideramos, respectivamente, a frequência absoluta acumulada e a frequência relativa acumulada do acontecimento “Ter um casalinho”: Realizaram-se 1000 repetições de que se apresenta a seguir um pequeno extracto: ... Organização e tratamento de dados 270 Como se verifica da tabela anterior, a frequência relativa estabilizou à volta do valor 0,76, pelo que uma estimativa para a probabilidade de o casal ter um casalinho, num máximo de 3 filhos, é 0,76. E se a probabilidade de nascer rapaz for um pouco superior à de nascer rapariga, como indiciam os resultados do Censo 2001? Vamos então repetir a simulação anterior, mas agora considerando que a probabilidade de nascer rapaz é 0,51 e a de nascer rapariga 0,49. A única alteração que temos de fazer na simulação anterior, é nas colunas E, F e G, em que agora consideramos o nascimento de um rapaz sempre que o número pseudo-aleatório gerado for <0,51. Neste caso o resultado da simulação deu como estimativa para a probabilidade de o casal ter um casalinho, o valor de 0,74, como se verifica no extracto da folha de Excel que se apresenta a seguir: Tar ef a – Est i mar as pr obabi l i dades dos r esul t ados da soma das pi nt as das f aces v i r adas par a ci ma, quando se l ançam doi s dados. Vimos no capítulo anterior um modelo de probabilidade para o resultado da soma das pintas das faces viradas para cima, quando se lançam dois dados. Vamos admitir que os dados são equilibrados Passo 1 –Definição do modelo de probabilidade para o lançamento dos dois dados O modelo que vamos adoptar para o lançamento de cada um dos dados pressupõe que: Em cada lançamento existe igual probabilidade de sair cada uma das faces; Os lançamentos são independentes uns dos outros e de dado para dado. Passo 2 – At ribuição de números aleat órios para representar os result ados do lançamento de dois dados. Vamos utilizar a função Randbetween(1;6) do Excel, do seguinte modo: Cada número gerado simula o número de pintas da face que fica voltada para cima quando se procede ao lançamento de um dado; Organização e tratamento de dados 271 A função anterior é utilizada duas vezes para representar os dois dados. Passo 3 – Simular muitas repet ições Vamos gerar muitas repetições de 2 números pseudo-aleatórios, para simular os 2 lançamentos: Na figura acima está um pequeno extracto da tabela que contém as 1000 repetições realizadas e os resultados da soma do número de pintas. Utilizando agora a função Count if do Excel, facilmente se obtém a frequência relativa com que se verificou cada resultado: Na tabela anterior, as frequências relativas são estimativas das probabilidades dos resultados da soma das pintas das faces viradas para cima, quando se lançam dois dados. Na tabela e gráficos seguintes comparamos essas probabilidades experimentais com as probabilidades teóricas obtidas a partir do modelo de probabilidade da página 240: Organização e tratamento de dados 272 Tar ef a – O j ogo é j ust o? O Pedro e a Rita disputam entre si o seguinte jogo: lançam dois dados e calculam a diferença entre as pintas das faces que ficam viradas para cima. O Pedro ganha um rebuçado se essa diferença for 0, 1 ou 2, enquanto que a Rita ganha um rebuçado se a diferença for 3, 4 ou 5. Ao fim de 20 jogadas quem é que se espera que ganhe o jogo? O Pedro e a Rita estavam convencidos de que o jogo seria equilibrado, já que a cada um deles estavam atribuídos 3 dos 6 resultados possíveis. Começaram a desconfiar de que alguma coisa não estaria a correr bem, pois o Pedro estava a ganhar com mais frequência que a Rita. Afinal o jogo será justo? Se não for justo, consegues arranjar um processo de o tornar justo? O processo de simulação é idêntico ao da tarefa anterior, mas agora em vez de se calcular a soma das pintas, calcula-se a diferença. Utilizámos um outro processo para simular o número de pintas do dado, com o auxílio da função Rand(). O processo de simulação apresenta-se a seguir: Note-se que para obter a diferença entre as pintas dos dois dados considerámos a função ABS, que nos devolve o valor absoluto dessa diferença. Simulámos o lançamento dos dois dados 20 vezes, tendo obtido os seguintes resultados: Organização e tratamento de dados 273 Repetimos mais vezes a simulação das 20 jogadas, tendo obtido os resultados da tabela seguinte, onde na primeira linha aparece o número de rebuçados ou jogadas ganhas pelo Pedro em cada 20 jogadas: Dos 25 jogos (de 20 jogadas cada um dos jogos), o Pedro ganhou 23, a Rita 1 e empataram 1 jogo. Como se pode ver pelo resultado da simulação, o jogo está longe de ser equilibrado! Os resultados 0, 1 ou 2 saem com uma frequência muito maior que os restantes. Para obter uma estimativa, com maior precisão, para a probabilidade do Pedro ganhar o jogo simulámos 100 jogadas e concluímos que o Pedro ganha aproximadamente 69% das jogadas (0,19+0,29+0,21=0,69) enquanto que a Rita ganha cerca de 31%: Uma forma de equilibrar o jogo seria atribuir ao Pedro os resultados 0, 1 e 5 e à Rita os resultados 2, 3 e 4. Como complemento desta tarefa, vamos comparar as probabilidades experimentais obtidas para os resultados 0, 1, 2, 3, 4 e 5, com as probabilidades teóricas. Para obter estas probabilidades, basta fazer um raciocínio semelhante ao que foi feito para obter as probabilidades dos resultados da soma das pintas das faces obtidas quando se lançam dois dados. Considera-se uma tabela com os resultados dos lançamentos dos dois dados, a que chamámos Dado 1 e Dado 2, e preenche-se o interior da tabela com a diferença das pintas: Organização e tratamento de dados 274 Dado 2 Dado 1 1 2 3 4 5 6 1 0 1 2 3 4 5 2 1 0 1 2 3 4 3 2 1 0 1 2 3 4 3 2 1 0 1 2 5 4 3 2 1 0 1 6 5 4 3 2 1 0 Dos 36 pares, igualmente possíveis, que constituem o espaço de resultados associado ao lançamento dos dois dados: 6 pares fazem com que o resultado da diferença seja 0 10 pares fazem com que o resultado da diferença seja 1 8 pares fazem com que o resultado da diferença seja 2 6 pares fazem com que o resultado da diferença seja 3 4 pares fazem com que o resultado da diferença seja 4 2 pares fazem com que o resultado da diferença seja 5 Assim, tem-se o seguinte modelo de probabilidade para o resultado da diferença entre o número de pintas: Resultado 0 1 2 3 4 5 Probabilidade 6/36 10/36 8/36 6/36 4/36 2/36 ou, Resultado 0 1 2 3 4 5 Probabilidade 0,167 0,278 0,222 0,167 0,111 0,056 A partir do modelo anterior pode-se calcular a probabilidade (teórica) do Pedro ganhar a próxima jogada, bastando para isso somar as probabilidades de obter os resultados 0, 1 ou 2, que dá aproximadamente 67%. O valor da probabilidade experimental de aproximadamente 69%, obtido com as 100 jogadas, é uma estimativa razoavelmente próxima da probabilidade teórica. Pode-se ainda utilizar o modelo anterior para comparar as frequências relativas obtidas na simulação das 100 jogadas, com as probabilidades teóricas dos resultados que se obtêm quando se faz a diferença entre os valores das pintas obtidas quando se lançam dois dados: Organização e tratamento de dados 275 Tar ef a – Vamos a uma apost a? Cinco amigas encontraram-se para comer um gelado. Falaram sobre vários temas, até que surgiu o assunto dos signos. Nessa altura uma delas, a Maria, propôs a seguinte aposta às restantes: - Aposto um almoço em como duas de nós têm o mesmo signo! Alguém quer aceitar esta aposta? Se fosses uma das amigas da Maria aceitavas a aposta? Vamos ajudar-te a tomar uma decisão. Vejamos como simular a situação de em cinco pessoas, duas terem o mesmo signo. Sem a ajuda da tecnologia, este processo poderia ser simulado da forma seguinte: corta-se a figura seguinte de forma a separar os signos que se metem numa caixa. Depois selecciona-se, da caixa, um dos pedaços de papel, verifica-se qual o signo e repõe-se novamente na caixa o papel retirado. Repete-se este processo 5 vezes e regista-se se houve repetição de algum signo. Se nos 5 signos retirados houver repetições, regista-se esse facto como um sucesso. Repete-se algumas vezes o processo de retirar os cinco signos, e regista-se o número de sucessos. Este processo de simular o acontecimento de interesse, embora simples, é muito demorado e pouco interessante, pelo que rapidamente chegamos à conclusão que é preferível utilizar a tecnologia... Para simular a saída de cada um dos 12 signos, utilizou-se a função Randbetween(1;12) do Excel, que permite obter cada um dos valores inteiros entre 1 e 12 com igual probabilidade. Não nos vamos preocupar com a correspondência entre os signos e os números, já que a nossa questão se prende com a repetição de qualquer dos signos e não com algum em particular. Organização e tratamento de dados 276 Apresenta-se a seguir um extracto das 500 repetições em que em cada repetição se simulou a retirada, com reposição, de 5 signos. Sempre que na simulação dos cinco números ocorrerem pelo menos dois iguais, então registamos esse facto como um sucesso. Caso contrário temos um insucesso. Na coluna G representou-se por 1 um sucesso e por 0 um insucesso. O número de sucessos nas 500 realizações da experiência foi de 308, pelo que uma estimativa para a probabilidade de pelo menos duas das cinco amigas terem signos repetidos é 0,616, ou seja é superior a 60%. Com este resultado, talvez fosse de apostar no almoço! Tar ef a – Qual a pr obabi l i dade de no l ançament o de uma moeda, se v er i f i car em pel o menos 3 f aces Eur o segui das? O professor chegou à turma e escreveu no quadro várias sequências de E (Euro) e N (Nacional), que pretendiam representar o resultado do lançamento de uma moeda de um euro 6 vezes. Uma dessas sequências tinha sido inventada e o professor pretendia que os alunos lhe dissessem qual era a que a que eles achavam mais provável de ter sido inventada: E E N E E N E E E N E N E N E N E N N E E N N N N N E N N N Depois de algumas considerações sobre se a moeda seria ou não equilibrada, e de o professor responder que a moeda era equilibrada, a maior parte dos alunos exprimiu as suas conclusões, não em termos da “mais provável de ter sido inventada”, mas da “menos provável de ter sido inventada”. O seu raciocínio baseava-se no seguinte: se a moeda é equilibrada, então existe igual possibilidade de sair face Euro ou face Nacional, pelo que nos 6 lançamentos espera-se igual número de faces Euro e faces Nacional! Além disso 3 faces Euro ou Organização e tratamento de dados 277 3 faces Nacional seguidas é pouco provável...! Concluíam portanto, que o mais razoável é que a sequência não inventada fosse E N E N E N! Acontece que o raciocínio anterior está longe de estar correcto! Numa sequência de 6 lançamentos, não se pode esperar a regularidade que se espera numa sequência de muitos lançamentos. O facto da moeda ser equilibrada significa que depois de muitas repetições a frequência com que se verifica a face Nacional é aproximadamente igual à frequência com que se verifica a face Euro. Chamamos a atenção para que quando nos referimos à frequência, estamos a referir-nos à frequência relativa, pois já vimos que à medida que o número de repetições aumenta, a frequência absoluta não obedece a nenhuma regularidade. Por outro lado, embora seja pouco intuitivo para os alunos, é bem mais frequente observar uma sequência de 6 lançamentos em que se verificam 3 faces Euro seguidas, do que uma sequência em que haja alternância da face Euro com a face Nacional nos 6 lançamentos. Para vermos como a nossa intuição nos engana com frequência, vamos estimar essas probabilidades. Para isso repetiu-se 500 vezes a simulação de seis lançamentos da moeda. O processo de simulação é idêntico ao realizado noutras tarefas anteriores, pelo que nos abstemos de o considerar aqui e apresentamos só os resultados. Nas 500 simulações de 6 lançamentos da moeda, observou-se 150 vezes a sequência E E E e 13 vezes as sequências E N E N E N ou N E N E N E, pelo que uma estimativa para a probabilidade de 3 faces Euro seguidas é aproximadamente 30%, enquanto que uma estimativa para a probabilidade de obter uma sequência de 6 faces alternadas não chega a 3%! Tar ef a – Quem é que r ecebe mai s comi da? No jardim zoológico existem seis leões, cada um na sua jaula. O tratador resolveu arranjar um processo de dar a comida aos leões, em que cada pedaço de carne passa por cinco prateleiras até chegar a um leão. Em cada prateleira o pedaço de carne pode escorregar para a prateleira da direita ou da esquerda com igual probabilidade: O tratador estava convencido que ao fim de vários pedaços de carne, todos os leões teriam mais ou menos a mesma quantidade de comida, já que para chegar do tratador a cada leão cada pedaço de carne tem de passar pelo mesmo número de prateleiras. Acontece que ao fim de alguns dias uns leões estavam mais gordos do Organização e tratamento de dados 278 que outros e havia alguns que estavam mesmo a definhar! És capaz de mostrar ao tratador que este processo de lançar a comida aos leões é capaz de não ser bom? Vamos simular o lançamento de vários pedaços de carne e verificar se existem algumas posições onde seja mais provável de chegar a carne do que a outras. A simulação da saída do pedaço de carne de cada prateleira é idêntica à simulação do lançamento de uma moeda equilibrada, ou do nascimento de um rapaz, como fizemos numa das tarefas anteriores. Como cada pedaço de carne tem de percorrer 5 prateleiras: Se virar 5 vezes para a direita, vai parar ao Leão da jaula 1; Se virar 4 vezes para a direita e 1 vez para a esquerda em qualquer das prateleiras, vai parar ao Leão da jaula 2; Se virar 3 vezes para a direita e 2 vezes para a esquerda em quaisquer das prateleiras, vai parar ao Leão da jaula 3; Se virar 2 vezes para a direita e 3 vezes para a esquerda em quaisquer das prateleiras, vai parar ao Leão da jaula 4; Se virar 1 vez para a direita e 4 vezes para a esquerda em quaisquer das prateleiras, vai parar ao Leão da jaula 5; Se virar 0 vezes para a direita e 5 vezes para a esquerda, vai parar ao Leão da jaula 6. Sintetizando os diferentes passos da simulação, vamos admitir que: Em cada prateleira existe igual probabilidade de virar à esquerda ou à direita; As prateleiras são independentes umas das outras. Vamos utilizar a função Rand do Excel, do seguinte modo: Cada número gerado simula a saída de um pedaço de carne de uma prateleira; Um número ≤0,5 representa a saída para a direita, e um número>0,5 representa a saída para a esquerda. Vamos gerar muitas repetições de 5 números pseudo-aleatórios, para simular a passagem de muitos pedaços de carne pelas 5 prateleiras: Organização e tratamento de dados 279 A contagem do número de vezes que em cada linha aparece o E foi feita utilizando a função Countif, e a atribuição do número da jaula é feita adicionando a esse resultado o 1: Fizemos 500 repetições e obtivemos os seguintes resultados: Organização e tratamento de dados 280 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 1 2 3 4 5 6 Número da jaula F r e q . r e l . Os resultados anteriores comprovam que os leões não estavam a ser alimentados em igual proporção. Efectivamente, os leões das jaulas 3 e 4 recebiam 60% da comida, enquanto que os das jaulas 1 e 6 só recebiam cerca de 6%. Tar ef a – Qual ser á a pr obabi l i dade de cada ami go f i car com o seu chapéu- de- chuva? 2 Quatro amigos, o João, o Gonçalo, o Pedro e o Bernardo foram ao cinema e como estava a chover levaram chapéu-de-chuva, que tiveram de deixar no bengaleiro, à entrada da sala. Quando acabou o filme dirigiram-se ao bengaleiro e cada um colocou a sua ficha com o número do cabide onde estava o chapéu-de- chuva, em cima do balcão. A senhora que estava a tomar conta do bengaleiro pegou nas 4 fichas, retirou os 4 chapéus-de-chuva e entregou ao acaso um chapéu a cada um dos amigos! Qual a probabilidade de cada um ter recebido o seu chapéu-de-chuva? Esta probabilidade será superior ou inferior à probabilidade de nenhum ter recebido o seu chapéu? Vamos começar por descrever um processo de simulação da atribuição aleatória dos chapéus-de-chuva pelos 4 amigos, mas neste caso, em vez de usar a tecnologia, como nas tarefas anteriores, usamos um processo manual, com materiais simples e facilmente realizado na sala de aula: divide-se uma folha de papel A4 em 4 partes, e em cada uma das partes escrevemos um dos 4 nomes. Num pedaço de cartolina cortam-se 4 rectângulos iguais, do tamanho aproximado de uma carta de jogar e em cada um escreve-se também o nome de um dos 4 amigos. Estes cartões vão representar os chapéus-de-chuva. Baralham-se os cartões, e com os nomes virados para baixo, distribuem-se aleatoriamente sobre a folha de papel, cada um em cada uma das partes em que a 2 Adaptado de Rossman et al (2001), p. 301 Organização e tratamento de dados 281 folha foi dividida. De seguida viram-se os cartões e regista-se o número de chapéus que calharam aos respectivos donos: João Pedro Gonçalo Bernardo João Pedro Gonçalo Bernardo B e rn a rd o Pedro Gonçalo Na atribuição dos chapéus anteriormente considerada só houve uma correspondência correcta, uma vez que só o Pedro é que teve o seu chapéu. Esta experiência pode-se realizar na sala de aula por vários grupos de alunos, registando-se numa tabela os resultados obtidos por todos os grupos, para o número de chapéus que foram correctamente atribuídos. Ao fim de 125 repetições obtiveram-se os seguintes resultados: Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3 Grupo 4 Grupo 5 1 1 0 1 1 1 4 1 2 1 0 2 0 0 2 2 1 0 0 0 2 0 2 2 1 2 0 1 0 1 1 2 0 2 2 2 1 0 1 2 2 1 1 1 0 0 1 0 0 1 2 4 0 0 1 0 4 0 0 0 0 4 1 1 2 2 1 1 0 0 1 0 1 2 2 0 0 0 1 1 2 1 0 0 1 2 2 1 2 2 1 1 0 1 0 0 2 2 2 1 2 0 0 4 1 1 0 0 1 0 1 0 2 1 0 2 0 2 0 1 0 1 1 1 0 Os resultados anteriores podem ser resumidos na seguinte tabela de frequências e no diagrama de barras respectivo: Organização e tratamento de dados 282 Nº chapéus correctos Freq.abs. Freq.rel. 0 45 0,36 1 44 0,35 2 31 0,25 3 0 0,00 4 5 0,04 Total 125 Da tabela anterior verificamos que estimativas para a probabilidade de todos os amigos terem recebido o seu chapéu e de nenhum ter recebido o chapéu que lhe pertencia são, respectivamente, 4% e 36%. Verificamos também que não se verificou a possibilidade de três dos quatro amigos terem recebido os seus chapéus! Já seria um resultado esperado? Podemos adiantar que a probabilidade do acontecimento ”Três dos quatro amigos recebem o seu chapéu” é igual a zero? A implementação em Excel desta simulação pode ser feita da seguinte forma: 1. Representam-se os 4 amigos João, Gonçalo, Pedro e Bernardo por 1, 2, 3 e 4, respectivamente. 2. Gera-se um conjunto de 4 números pseudo-aleatórios e considera-se a ordem de cada um dentro desse conjunto (a probabilidade de haver dois números iguais é igual a zero). Estes números assim obtidos representam os chapéus-de-chuva. Cada uma destas ordenações é considerada como uma permutação dos 4 números 1, 2, 3 e 4. Sempre que houver coincidência de posição entre os números que representam os chapéus e os números que representam os amigos, temos um chapéu correctamente atribuído: Na tabela seguinte simulamos várias atribuições dos chapéus aos 4 rapazes. Nas colunas A, B, C e D geramos os números pseudo-aleatórios, enquanto que nas colunas E, F, G e H se colocam as ordens dos números anteriores: Organização e tratamento de dados 283 Sempre que houver uma coincidência de posição, considera-se que se atribuiu correctamente o chapéu ao seu dono. Por exemplo, na segunda simulação realizada, o Gonçalo e o Pedro receberam os seus chapéus; na terceira simulação foi o Bernardo que recebeu o seu chapéu; na quarta simulação o João e o Gonçalo receberam os seus chapéus; etc. Repare-se que na simulação correspondente à linha 18, todos os chapéus foram atribuídos correctamente aos seus donos. A determinação das ordens foi feita utilizando uma função do Excel, que é a função Rank, como se pode ver na figura seguinte: A função Rank(a,b,c) tem o seguinte significado: a é o elemento de que pretendemos obter a ordem, quando inserido numa lista, que é representada por b. O argumento c, quando omisso significa que a ordem que pretendemos é a ordem decrescente. Qualquer valor deste argumento, significa que a ordem é crescente. Utilizando a função IF nas colunas I, J, K e L, verificou-se se havia atribuição correcta do chapéu ao dono. Finalmente na colu- na M, contabilizou- se o número de atribuições correctas, em cada simulação Organização e tratamento de dados 284 Repetimos a simulação 500 vezes e obtivemos as seguintes estimativas (frequências relativas) para as probabilidades do número de chapéus correctamente atribuídos: Nº chapéus correctos Freq.abs. Freq.rel. 0 191 0,382 1 162 0,324 2 129 0,258 3 0 0,000 4 18 0,036 Total 500 1,000 Para esta situação é relativamente simples obter o modelo de probabilidade teórico, considerando todas as 24 permutações possíveis de 1234: Permutação Nº chapéus correctos Permutação Nº chapéus correctos 1234 4 1243 2 1324 2 1342 1 1423 1 1432 2 2134 2 2143 0 2314 1 2341 0 2413 0 2431 1 3124 1 3142 0 3214 2 3241 1 3412 0 3421 0 4123 0 4132 1 4213 1 4231 2 4312 0 4321 0 Então, considerando que todas as permutações são igualmente possíveis, a probabilidade de cada resultado do número de chapéus correctamente atribuídos é obtida através da lei de Laplace, como sendo o número de casos favoráveis sobre o número de casos possíveis: Nº chapéus correctos 0 1 2 4 Probabilidade 9/24 8/24 6/24 1/24 ou Nº chapéus correctos 0 1 2 4 Probabilidade 0,375 0,333 0,250 0,042 Comparando os resultados do modelo empírico anteriormente obtido, com o modelo teórico, verificamos que os resultados obtidos experimentalmente por simulação, estão próximos dos resultados teóricos: Organização e tratamento de dados 285 Tar ef a – Qual a pr obabi l i dade de passar no ex ame? O João é pouco estudioso e como não gosta da disciplina de Est udos Gerais, apresenta-se ao exame e responde a todas as questões ao acaso. O exame é constituído por 5 questões e cada questão é de resposta múltipla, tendo 6 respostas possíveis, das quais só uma é correcta. O João só passa no exame se responder bem a pelo menos 3 questões. Qual a probabilidade do João passar a Est udos Gerais? a) Qual a probabilidade do João responder certo a uma questão? b) Utilizar a tabela de dígitos aleatórios da página 258 para simular a realização de um exame à disciplina de Estudos Gerais. c) Simular várias repetições do exame. d) Qual a estimativa para a probabilidade do João passar ao exame? Resolução: a) Como o João responde ao acaso, a probabilidade de responder bem a cada questão é 1/6, já que cada questão tem 6 respostas possíveis, das quais só uma é a correcta. Assim, o João atira o dado ao ar e escolhe a resposta cujo número for o número de pintas do dado. b) Para utilizar a tabela de dígitos aleatórios da página 258, vamos proceder do seguinte modo: Consideram-se números decimais de 3 dígitos e se um desses números For menor que 0,167 admitimos que se escolhe a resposta 1; Estiver entre 0,167 e 0,333 admitimos que se escolhe a resposta 2; Estiver entre 0,333 e 0,500 admitimos que se escolhe a resposta 3; Estiver entre 0,500 e 0,667 admitimos que se escolhe a resposta 4; Estiver entre 0,667 e 0,833 admitimos que se escolhe a resposta 5; Estiver entre 0,833 e 1 admitimos que se escolhe a resposta 6. Repare-se que segundo esta metodologia, cada número tem igual probabilidade de sair, sendo essa probabilidade igual a 1/6, pois dividimos o intervalo (0, 1) em 6 partes iguais. Admitindo que o exame tem 5 questões e que as respostas certas são os números 2, 5, 4, 3, 1, respectivamnete, vejamos o resultado da simulação de um exame: Quest ão 1 Quest ão 2 Quest ão 3 Quest ão 4 Quest ão 5 Respost as cer t as 2 5 4 3 1 Número aleatório 0,192 0,239 0,503 0,405 0,756 Resultado simulação 2 2 4 3 5 Na simulação anterior o João respondeu bem a 3 questões! Será que não vale a pena estudar? c) Apresentamos a seguir o resultado da simulação de 24 repetições do exame (tantas quantas a tabela disponibilizou): Organização e tratamento de dados 286 2 5 4 3 1 Nº respostas certas Freq. rel. de 3 ou mais respostas certas. 1 0,192 0,239 0,503 0,405 0,756 2 2 4 3 5 3 1,000 2 0,287 0,139 0,640 0,912 0,531 2 1 4 6 4 2 0,500 3 0,425 0,448 0,285 0,373 0,676 3 3 2 3 5 1 0,333 4 0,471 0,509 0,940 0,001 0,927 3 4 6 1 6 0 0,250 5 0,277 0,544 0,264 0,882 0,425 2 4 2 6 3 1 0,200 6 0,362 0,904 0,546 0,771 0,709 3 6 4 5 5 1 0,167 7 0,775 0,580 0,009 0,532 0,863 5 4 1 4 6 0 0,143 8 0,294 0,858 0,222 0,690 0,056 2 6 2 5 1 2 0,125 9 0,527 0,113 0,888 0,993 0,074 4 1 6 6 1 1 0,111 10 0,602 0,274 0,001 0,185 0,848 4 2 1 2 6 0 0,100 11 0,487 0,675 0,257 0,395 0,592 3 5 2 3 4 1 0,091 12 0,940 0,076 0,997 0,191 0,481 6 1 6 2 3 0 0,083 13 0,607 0,795 0,379 0,117 0,297 4 5 3 1 2 1 0,077 14 0,593 0,356 0,841 0,735 0,013 4 3 6 5 1 1 0,071 15 0,155 0,297 0,276 0,585 0,089 1 2 2 4 1 1 0,067 16 0,570 0,675 0,021 0,147 0,487 4 5 1 1 3 1 0,063 17 0,827 0,395 0,789 0,020 0,807 5 3 5 1 5 0 0,059 18 0,475 0,118 0,167 0,655 0,300 3 1 2 4 2 0 0,056 19 0,943 0,831 0,489 0,360 0,940 6 5 3 3 6 1 0,053 20 0,720 0,241 0,786 0,824 0,943 5 2 5 5 6 0 0,050 21 0,617 0,909 0,065 0,687 0,964 4 6 1 5 6 0 0,048 22 0,188 0,833 0,600 0,919 0,365 2 6 4 6 3 2 0,045 23 0,154 0,123 0,963 0,885 0,453 1 1 6 6 3 0 0,043 24 0,468 0,168 0,348 0,541 0,979 3 2 3 4 6 0 0,042 d) Das 24 simulações do exame, o João só passaria em uma delas, pelo que uma estimativa para a probabilidade do João passar é 0,042. O número de simulações realizadas anteriormente não é suficiente, como se comprova pelo facto da frequência relativa do acontecimento “3 ou mais respostas certas” não ter estabilizado. Uma resolução alternativa à resolução anterior, sem utilizar a tabela de dígitos aleatórios, poderá ser a seguinte: Utilizar a função RAND() do Excel, ou da máquina de calcular, para gerar números pseudo-aleatórios entre 0 e 1; Se o número obtido for inferior a 0,167, considerar a resposta a uma questão como certa e atribuir o valor 1. Caso contrário atribuir o valor 0; Repetir o passo anterior 5 vezes, contabilizando o número de 1’s (respostas certas) obtidos (as), para simular a realização de um exame; Repetir o procedimento anterior até que a frequência relativa do acontecimento “3 ou mais respostas certas” estabilize. Tar ef a pr opost a – Pequena sondagem sobr e o t i po sanguíneo. De acordo com informação disponível na página do Instituto Português do Sangue (http://www.ipsangue.org/maxcontent-documento-231.html e revista ABO nº 29 de Janeiro/ Março de 2007), 42% da população tem grupo sanguíneo de tipo O. Na turma, o professor pediu a um grupo de alunos que investigassem junto de 10 colegas, escolhidos ao acaso, qual o seu grupo sanguíneo e que calculassem uma estimativa para a probabilidade de todos terem o grupo sanguíneo de tipo O. Para obter a estimativa pretendida, o grupo de alunos decidiu utilizar a seguinte metodologia: Organização e tratamento de dados 287 1º passo – Utilizando a função RAND() do Excel, simulou a resposta de cada aluno à questão “O teu grupo sanguíneo é de tipo O?”, da seguinte forma: Se o valor de RAND()<0,42, considera-se a resposta Sim e representa-se por um 1; caso contrário representa-se por um 0. 2º passo – Repetiram o processo anterior 10 vezes, em 10 colunas do Excel, para simular a pergunta a 10 colegas; 3º passo – Consideraram uma coluna auxiliar onde em cada célula colocaram o produto das 10 células da mesma linha. Se este produto for igual a 1, significa que todos os 10 alunos têm grupo O; 4º passo – Repetiram o processo anterior várias vezes para simular as respostas de 10 colegas e calcularam a frequência relativa do número de 1’s da coluna auxiliar, que dá uma estimativa da probabilidade pretendida. A simulação das 10 respostas foi repetida 1000 vezes e em nenhuma das vezes se verificou 1 em todas as respostas. Assim, uma estimativa para a probabilidade pretendida é 0. Nota – Assumindo que a probabilidade de um indivíduo, escolhido ao acaso, ter sangue de tipo O é 0,42, pode-se mostrar que a probabilidade de 10 indivíduos, escolhidos ao acaso, terem todos sangue de tipo O, é 0,00017. Uma alternativa à utilização da folha de Excel, é a utilização da máquina de calcular. Nas tarefas do capítulo seguinte consideramos 2 tarefas em que ela é utilizada. Organização e tratamento de dados 288 Tarefas Apresentam-se a seguir alguns exemplos de tarefas para a sala de aula. Organização e tratamento de dados 290 Organização e tratamento de dados 291 Tar ef a - Os ani mai s sel vagens Na folha seguinte estão alguns animais selvagens. O professor faz com que a folha percorra a turma e cada aluno regista com um traço, qual o seu animal preferido (só pode ser um), de modo a obter um esquema de contagem gráfica (tally chart). Depois da folha completa, os alunos respondem a algumas questões: a) Quantos alunos estavam na turma quando se fez esta actividade? b) Qual o animal preferido pelos alunos da turma? Quantos alunos o preferem? c) Qual o animal que os alunos da turma gostam menos? Quantos alunos o preferiram? d) Numa folha de papel quadriculado, cada aluno desenha a figura seguinte, para construir um gráfico com os dados obtidos no esquema de contagem gráfica. O professor dá indicações no sentido de: Completarem o eixo horizontal, onde se indica o animal preferido, com os nomes dos outros animais. Se houver mais de 8 alunos a preferirem algum animal, terão também de acrescentar mais alguns números no eixo vertical. Sobre cada nome de animal preenchem tantas quadrículas, quantos os alunos que preferiram esse animal e) O professor chama a atenção para o facto de o gráfico obtido indicar com maior clareza a informação sobre os animais selvagens preferidos pelos alunos da turma. f) O professor pode pedir para os alunos fazerem outras investigações deste género relativamente a outros assuntos de interesse O animal selvagem preferido Organização e tratamento de dados 292 Animais selvagens Total Organização e tratamento de dados 293 Tar ef a – O mês do nosso ani v er sár i o O professor faz passar uma folha A4 com o esquema que se apresenta a seguir, onde pede a cada aluno que coloque um x à frente do mês em que faz anos. Mês Janeiro Fevereiro Março Abril Maio Junho Julho Agosto Setembro Outubro Novembro Dezembro Depois de recolher a folha pede aos alunos para responderem a algumas questões: Quantos alunos colocaram um x na folha? Quantos alunos estão na sala de aula? Houve algum aluno que não colocou um x na folha? Será que esse aluno não se lembra em que mês faz anos? Qual o mês em que mais alunos fazem anos? Qual o mês em que menos alunos fazem anos? Outra forma de recolher a informação anterior é utilizando uma folha quadriculada e construir um gráfico de pontos: Organização e tratamento de dados 294 Organização e tratamento de dados 295 Tar ef a – Qual o t i po de gel ado pr ef er i do? Na turma, decidiram recolher informação sobre o tipo de gelado preferido. Pretendiam ainda averiguar se o gosto das meninas seria idêntico ao dos rapazes. Para responder à questão anterior, o professor escreveu no quadro os quatro tipos de gelados preferidos pelos alunos e pediu a cada aluno que apontasse qual o gelado preferido: Rapazes Raparigas |||||| Chocolate ||||||||||| ||| Baunilha |||| ||||||||||| Morango |||||| Nata || No esquema anterior podem-se distinguir os gelados preferidos dos rapazes e das raparigas, já que os rapazes registaram as suas preferências do lado esquerdo, enquanto que as raparigas o fizeram do lado direito. Algumas questões que podem ser respondidas a partir do esquema anterior: Quantos alunos estavam na turma, quando responderam a esta questão? Estavam mais rapazes, ou mais raparigas? Qual o gelado preferido das raparigas? O gelado preferido dos rapazes é o mesmo que o das raparigas? Algum rapaz prefere gelado de nata? Organização e tratamento de dados 296 Organização e tratamento de dados 297 Tar ef a – O nosso t i po de sandes f av or i t a par a o l anche O professor e os alunos decidiram fazer um pequeno trabalho de investigação sobre o tipo de sandes que os alunos da turma preferem para o lanche. Depois de alguma troca de impressões, chegaram à conclusão que os alunos gostavam de sandes de queijo, de fiambre, mistas e de doce. Mas qual seria a preferida? Cada aluno foi ao quadro escrever o nome da sandes preferida e o resultado foi o seguinte: queijo, queijo, doce, fiambre, mista, mista, queijo, fiambre, fiambre, fiambre, mista, mista, doce, fiambre, queijo, queijo, mista, fiambre, fiambre, queijo, doce, fiambre, mista, fiambre, fiambre, queijo Depois de todos terem escrito o nome da sandes preferida, obtiveram uma confusão de nomes, em que era muito difícil concluir alguma coisa com a informação recolhida desta forma. Seria necessário organizar os dados para saberem qual a sandes preferida. A maneira mais simples seria construírem uma tabela (de frequências), onde colocavam o nome de todas as sandes e à frente de cada nome, o número de alunos que a preferiam: Tipo de sandes Número de alunos Queijo 7 Fiambre 10 Mista 6 Doce 3 Depois da tabela construída foi fácil concluir que a sandes preferida era a de fiambre e que aquela que os alunos gostavam menos era a de doce. Ainda sugeriram fazer uma representação gráfica muito simples, o gráfico de barras, que fazia sobressair melhor que uma tabela, a informação recolhida: Organização e tratamento de dados 298 Organização e tratamento de dados 299 Tar ef a – Qual a cor de car r os pr ef er i da pel os al unos da nossa escol a? Um comerciante de automóveis decidiu investigar quais as cores de carros preferidas pelos futuros compradores de carros. Assim, recolheu alguma informação junto dos alunos de uma escola que apresentou no seguinte pictograma onde representa 4 carros Cor Rapaz Rapariga Preta Encarnada Prateada Responde às seguintes questões: Quantos rapazes preferem a cor preta? Qual a cor preferida das raparigas? É a mesma que a dos rapazes? Quantas raparigas manifestaram a sua opinião? E quantos rapazes? Organização e tratamento de dados 300 Organização e tratamento de dados 301 Tar ef a – A t emper at ur a que f az em al gumas l ocal i dades A professora propôs aos alunos da turma fazerem um trabalho de investigação sobre o tempo que faz. Os alunos são divididos em grupos e cada grupo tem como objectivo estudar a temperatura numa dada região. Poderão escolher algumas cidades do Norte, Centro e Sul do país, como por exemplo, Porto, Lisboa e Faro e ainda a cidade onde vivem ou a mais perto da região em que vivem. Cada dia e durante 30 dias seguidos, cada grupo recolhe a informação, através dos meios de comunicação social, da Internet, etc., sobre a temperatura máxima e mínima que fará nesse dia. A planificação da recolha de dados deve ser feita com algum cuidado, tendo em conta os objectivos pretendidos. Por exemplo, se se pretender estudar a evolução da temperatura durante esses 30 dias, terá de se recolher a informação sobre o dia e sobre a temperatura máxima e mínima desse dia. Se se pretender unicamente calcular algumas estatísticas sobre as temperaturas, já não será necessário recolher informação sobre o dia em que as temperaturas foram recolhidas. A professora deve alertar para o facto de que este tipo de informação que se recolhe ao longo do tempo pode ser objecto de uma representação em gráfico de linha, pelo que temos uma informação mais rica se se registar também o dia. Para exemplificar apresentamos o registo da temperatura na cidade de Lisboa durante 10 dias seguidos: Dia Temp. Máxima(ºC) Temp. Mínima (ºC) 27-Mai 29 17 28-Mai 31 17 29-Mai 32 18 30-Mai 29 16 31-Mai 23 14 01-Jun 22 14 02-Jun 22 14 03-Jun 22 14 04-Jun 24 14 05-Jun 25 15 A partir dos dados anteriores constrói-se um gráfico de linhas, onde registamos a evolução das temperaturas máxima e mínima, entre as datas consideradas: Organização e tratamento de dados 302 A partir do gráfico anterior podemos responder facilmente a algumas questões tais como: Em que dia é que se verificou a temperatura máxima mais alta? Nesse dia a temperatura mínima também foi a mais alta? Qual o dia, ou dias, em que a temperatura mínima foi mais baixa? Houve maior variação entre as temperaturas máximas ou entre as temperaturas mínimas? Outras questões que podem ter interesse é averiguar a temperatura média, tanto entre as máximas como as mínimas, o dia em foi maior a diferença entre a temperatura máxima e a temperatura mínima, a que damos o nome de amplitude térmica, etc. Será também interessante comparar as temperaturas de várias cidades. Uma representação que também pode ser utilizada para comparar as temperaturas máximas com as mínimas ou as temperaturas entre cidades, é o diagrama de extremos e quartis. Para isso é necessário calcular a mediana e os quartis. Vamos exemplificar com os dados anteriores: Organização e tratamento de dados 303 Máximas Mínimas 1º quartil 22,25 14 Mínimo 22 14 Mediana 24,5 14,5 Máximo 32 18 3º quartil 29 16,75 A partir do diagrama de extremos e quartis anteriores apercebemo-nos que os dados apresentam um enviesamento para a direita, nomeadamente os dados referentes às temperaturas mínimas, que têm a particularidade de o mínimo e o 1º quartil coincidirem. Como seria de esperar, as temperaturas máximas são sensivelmente superiores às temperaturas mínimas. Esta representação é adequada para comparar vários conjuntos de dados, pelo que seria interessante os vários grupos juntarem os dados observados referentes às várias cidades e compararem-nos através de um gráfico deste tipo. Organização e tratamento de dados 304 Tar ef a – A cor r i da de aut omóv ei s Este jogo vai ser jogado por 11 corredores, escolhidos de entre os alunos da turma, com os carros numerados de 2 a 12, que vão participar numa corrida, com a seguinte particularidade. O vencedor da corrida não depende da velocidade do carro, mas do resultado do lançamento de dois dados, de acordo com as seguintes regras: Lançam-se dois dados equilibrados e somam-se as pintas das faces que ficam viradas para cima; Faz-se andar de uma quadrícula o carro cujo número é o resultado da soma anterior; para simular esta deslocação pode-se marcar uma cruz na quadrícula respectiva. O jogo termina assim que algum dos carros percorrer as 15 quadrículas, que estão à sua frente ou seja assim que as 15 quadrículas correspondentes a algum carro estiverem preenchidas. Esse carro será o vencedor. Algumas questões que o professor discutirá com os alunos, antes de começar a corrida: Porque é que os carros só estão numerados de 2 a 12? Porque é que não aparece o número 1? Quais são as expectativas para o(s) número(s) do(s) carro(s) vencedor(es)? Porquê? À medida que a tabela com os carros for sendo preenchida com cruzes, deve o professor juntamente com os alunos avaliar a representação que está a ser obtida e quais os carros que têm mais cruzes à frente. Deve chamar a atenção para o facto de, depois de um número razoável de lançamento dos dados, a tabela obtida permitir estimar, experimentalmente, as probabilidades do resultado da soma das pintas dos dados ser 2, 3, …, ou 12. Além desta avaliação experimental, sobre as probabilidades do resultado da soma das pintas dos dados ser 2, 3, …, ou 12, o professor orienta os alunos no sentido de obter teoricamente essas probabilidades, a partir de um modelo proposto para a experiência aleatória que consiste em lançar 2 dados e verificar a soma das pintas das faces viradas para cima. O espaço de resultados associado a esta experiência aleatória é constituído pelos seguintes resultados: S = (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12) Para obter as probabilidades dos acontecimentos elementares constituídos pelos resultados anteriores, constrói-se uma tabela de dupla entrada, em que na coluna do lado esquerdo se assinalam as pintas de um dos dados, por exemplo o Dado 1, e na primeira linha se assinalam as pintas do outro dado. As células do interior da tabela serão preenchidas com o resultado da soma dos algarismos que estiverem na mesma linha e na mesma coluna onde estão registadas o número de pintas: Organização e tratamento de dados 305 Da tabela anterior verifica-se que quando se lançam os dois dados existem 36 pares, igualmente possíveis, que fazem com que a soma das pintas varie entre 2 e 12. Só o par (1, 1) dá o resultado 2, assim como só o par (6, 6) dá o resultado 12. Para obter o resultado 3 ou 11 existem 2 possibilidades, dadas respectivamente pelos pares (1, 2), (2, 1) e (5, 6), (6, 5). Verifica-se também que o resultado 7 é o que se obtém mais vezes, pois pode ser obtido por obtido pelos pares (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2) e (6,1). Tendo em consideração a regra de Laplace, vem o seguinte modelo de probabilidade para o resultado da soma das pintas das faces dos dois dados: Resultado 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Probabilidade 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 Os alunos são incentivados a comparar as frequências relativas obtidas experimentalmente, com as probabilidades teóricas dadas pelo modelo anterior. Organização e tratamento de dados 306 Qual o carro vencedor da corrida? 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Organização e tratamento de dados 307 Tar ef a – A cor dos ol hos 1 Com esta tarefa pretende-se desenvolver as propriedades do gráfico circular 2 . Os dados resultantes da observação da variável Cor dos olhos numa amostra de alunos, são apresentados, já organizados, na seguinte tabela de frequências: Cor dos olhos Pretos Castanhos Azuis Verdes Nº de alunos 12 18 7 3 1. A quantos alunos foi observada a cor dos olhos? 2. Representa graficamente os dados no seguinte gráfico circular e pinta com lápis de cor as zonas referentes a cada categoria. 3. Supõe que duplicavas o número de alunos em cada categoria da variável Cor de olhos. Qual o aspecto do gráfico circular que representa estes novos dados? Justifica a tua resposta. 4. Supõe que duplicavas o número de alunos que tem olhos pretos, isto é, a tabela de frequências é agora a seguinte: Cor dos olhos Pretos Castanhos Azuis Verdes Nº de alunos 24 18 7 3 O ângulo do sector circular correspondente à categoria olhos Pretos, também duplicava? Justifica a resposta. 5. Supõe que o professor te apresentava o seguinte gráfico circular, que representa a distribuição da Cor dos olhos de outros 40 alunos: Completa a legenda anterior, sabendo que: a moda é a cor Castanha; o número de alunos com olhos Azuis é 2; o número de alunos com olhos Verdes é o triplo do de olhos Azuis. 1 Activalea 13 – www.alea.pt 2 Esta actividade é especialmente adequada para ser resolvida no Excel, pois permite visualizar imediatamente no gráfico circular, qualquer alteração processada na tabela de frequências. Organização e tratamento de dados 308 Organização e tratamento de dados 309 Tar ef a – Os j ogos ol ímpi cos de At enas, em 2004 Esta tarefa tem como objectivo desenvolver a capacidade de resumir a informação contida em dados com distribuição enviesada Nos jogos olímpicos de 2004, realizados em Atenas, foram distribuídas 929 medalhas, pelos 74 países medalhados. Nestes jogos Portugal ganhou 3 medalhas, 2 de prata e 1 de bronze. a) Sabes quem ganhou as 3 medalhas de Portugal e em que modalidades? (Se não souberes pesquisa em http://www.olympic.org/uk/games) b) Em média, quantas medalhas ganhou cada um dos países medalhados? c) Nestes jogos os países que mais se distinguiram foram os EUA com 102 medalhas, a Rússia com 92, a China com 63 e a Alemanha e Austrália com 49 medalhas, cada um. i) Quantas medalhas ganharam ao todo estes 5 países? Quantas medalhas ganharam os 69 países restantes? ii) Em média, quantas medalhas ganhou cada um dos 69 países referidos na alínea anterior? d) De acordo com as respostas que deste às alíneas anteriores, achas que a média é, neste caso, uma boa medida de localização do centro da distribuição dos dados? e) A variável Número de medalhas ganhas por cada país medalhado é discreta ou contínua? f) A seguir apresentamos a tabela de frequências do conjunto de dados em estudo: Tabela 1 Nº de medalhas Nº de países Nº de medalhas Nº de países 1 10 19 2 2 7 22 1 3 7 23 1 4 5 27 1 5 9 30 2 6 5 32 1 7 4 33 1 8 4 37 1 10 3 49 2 12 2 63 1 15 1 92 1 16 1 102 1 17 1 g) Com os dados da Tabela 1, alguém construiu a seguinte representação gráfica: Organização e tratamento de dados 310 Achas que o gráfico anterior, que pretende representar a distribuição do Número de medalhas ganhas por cada país medalhado está correcta? Porquê? h) Outra representação gráfica para os dados é a seguinte: Que nome se dá à representação anterior? A distribuição dos dados é simétrica ou enviesada? i) Tendo em conta a representação anterior e sem fazeres quaisquer cálculos, qual a relação de grandeza que esperas que haja entre a média e a mediana? Serão aproximadamente iguais ou não? Neste caso qual é a medida que tu esperas que seja maior? j) Embora a representação mais comum para os dados discretos seja o diagrama de barras, existem outras representações que podem ser utilizadas, como por exemplo o caule e folhas, o diagrama de extremos e quartis e até o histograma, apesar desta representação ser mais adequada para dados de tipo contínuo. No entanto, como temos muitos dados e o número de valores distintos é razoavelmente grande, justifica- se aqui a construção de um histograma. Procede a um agrupamento dos dados de acordo com as seguintes classes e completa a tabela de frequências: Organização e tratamento de dados 311 Tabela 2 Classes Freq.absoluta Freq.relativa Freq.rel.acumulada [0, 10[ [10, 20[ [20, 30[ [30, 40[ [40, 50[ [50, 60[ [60, 70[ [70, 80[ [80, 90[ [90, 100[ [100, 110[ Total k) Constrói o histograma para os dados em estudo e interpreta o gráfico obtido. l) A partir da Tabela 2 consegues dizer, sem fazeres quaisquer cálculos, qual o intervalo onde estão a mediana e os 1º e 3º quartis? Justifica a tua resposta. m) Utilizando ainda a Tabela 2 calcula um valor aproximado para a média do Número de medalhas ganhas por cada país medalhado. Compara o valor obtido com o que obtiveste na alínea b). O que concluis? (Não t e esqueças que, efect ivament e, quando t emos os dados originais, e precisamos de conhecer a média, não se deve ir calculá- la a part ir dos dados agrupados, pois o erro comet ido pode ser razoável, como verificast e nest e exemplo). n) Constrói o diagrama de extremos e quartis e interpreta a representação obtida. o) Nas alíneas k) e n) construíste duas representações para os mesmos dados e obtiveste representações que te dão o mesmo tipo de informação sobre a estrutura subjacente aos dados. 1) Qual das duas representações foi mais simples de construir? 2) Se te pedissem para organizar os dados originais em classes, escolhias necessariamente as classes que te foram apresentadas? 3) Se pedisses a duas pessoas diferentes para, a partir da Tabela 1, organizarem os dados na forma de um histograma ou de um diagrama de extremos e quartis, qual das duas representações vinha necessariamente igual? Da alínea ant erior podes concluir que a const rução do hist ograma depende, em grande part e, da pessoa que o est á a const ruir. Est a part icularidade faz com que o hist ograma não sej a aquilo a que se chama uma figura resist ent e, pois o aspect o result ant e depende do número de classes e da amplit ude de classe que se considera. Organização e tratamento de dados 312 Organização e tratamento de dados 313 Tar ef a – Fazes a cama quando t e l ev ant as? Esta tarefa tem como objectivo desenvolver a compreensão da utilização do diagrama de Venn e de Carroll para resumir a informação e a utilização destas representações para facilitar o cálculo de probabilidades Num inquérito a alunos de uma escola secundária, 490 de 564 raparigas interrogadas, responderam que si m à pergunta “Fazes a cama quando t e levant as?”. Dos 476 rapazes interrogados, 425 responderam afirmativamente à mesma questão. Com a informação anterior completa o seguinte diagrama de Carroll: Faz a cama Não faz a cama Rapariga Rapaz Depois de completares a tabela anterior, junta mais uma linha e uma coluna, para colocares os totais: Faz a cama Não faz a cama Totais Rapariga Rapaz Totais Responde às seguintes questões: a) Quantos alunos participaram no inquérito? b) Quantos alunos fazem a cama? c) Quantos alunos não fazem a cama? d) Quantos rapazes não fazem a cama? e) Quantas raparigas não fazem a cama? f) Quem é que tu pensas que faz a cama com mais frequência? Os rapazes ou as raparigas? g) Calcula a percentagem de raparigas e de rapazes que fazem a cama quando se levantam. Qual a percentagem mais elevada? A resposta que deste à questão anterior, está de acordo com os valores que obtiveste nesta questão? h) Preenche o seguinte diagrama de Venn e responde às questões seguintes: O que significam e quanto valem (em números inteiros) os espaços representados pelas letras (Toma como exemplo a letra a): a - Número de raparigas que não faz a cama =74 b.-. _____________________________________ c.-. _____________________________________ d.-. _____________________________________ 1) Quantos alunos têm o hábito de fazer a cama? 2) Se escolhesses um aluno ao acaso (de entre os inquiridos), seria mais provável que fosse rapaz ou rapariga? 3) Se escolhesses um aluno ao acaso, seria mais provável que fosse um dos que faz a cama ou dos que não faz a cama? 4) Se escolhesses um aluno de entre os que faz a cama, seria mais provável que fosse rapaz ou rapariga? Justifica a tua resposta. Organização e tratamento de dados 314 Organização e tratamento de dados 315 Tar ef a – Quant o t empo gov er nar am os pr esi dent es da r epúbl i ca por t ugueses? 3 Esta tarefa tem como objectivo interpretar o diagrama de extremos e quartis – forma, simetria e variabilidade Para responder à questão em estudo, recolheu-se a informação necessária na página oficial da Presidência da República Portuguesa 4 . Parte dessa informação é apresentada a seguir: Presidentes 2006/ … - Cavaco Silva 1996/2006 - Jorge Sampaio 1986/1996 - Mário Soares 1976/1986 - Ramalho Eanes 1974/1976 - Costa Gomes 1974/1974 - António de Spínola 1958/1974 - Américo Tomás 1951/1958 - Craveiro Lopes 1926/1951 - Óscar Carmona 1926/1926 - Gomes da Costa 1926/1926 - Mendes Cabeçadas 1925/1926 - Bernardino Machado 1923/1925 -Teixeira Gomes 1919/1923 - António José de Almeida 1918/1919 - Canto e Castro 1917/1918 - Sidónio Pais 1915/1917 - Bernardino Machado 1915/1915 - Teófilo Braga 1911/1915 - Manuel de Arriaga 1. A tabela anterior mostra os sucessivos Presidentes da República de Portugal, desde a implantação da República. Sabes em que data foi implantada a República? Até essa data, qual o regime que vigorava em Portugal? 2. Consultando a fonte de informação indicada na introdução, investiga quanto tempo, em meses, esteve na presidência cada um dos presidentes. Por exemplo, o presidente Teófilo Braga esteve desde 29 de Maio a 5 de Outubro de 1915, o que perfaz 4 meses e 6 dias, ou seja 4,2 meses (6 dias é 0,2 (=6/30) meses). A partir dos dados obtidos, responde às seguintes questões: 2.1. Qual ou quais os presidentes que estiveram mais tempo na presidência? 2.2. Qual ou quais os presidentes que estiveram menos tempo na presidência? 2.3. Consegues detectar algum período bastante conturbado da vida política portuguesa? Justifica a tua resposta. 2.4. Constrói um diagrama de extremos e quartis para os tempos em que os presidentes estiveram na presidência da república. Interpreta a representação obtida. 3 Activalea 21 – www.alea.pt 4 http://www.museu.presidencia.pt/presidentes.php Organização e tratamento de dados 316 Organização e tratamento de dados 317 Tar ef a – O l ançament o da r ol et a par a aj udar a compr eender a al eat or i edade e a v ar i abi l i dade 5 Esta tarefa tem como objectivo compreender a variabilidade e a aleatoriedade Apresenta-se a seguir um exemplo de um teste de avaliação que o professor pode aplicar na aula aos seus alunos para averiguar a compreensão de alguns conceitos básicos associados à probabilidade e à estatística. Questão 1. a) O que entendes por variabilidade? b) Utiliza a palavra variabilidade numa frase c) Dá um exemplo de algo que varie Questão 2. a) O que entendes por aleat ório? b) Dá um exemplo de algo que aconteça de forma aleatória O professor leva para a sala de aula uma roleta como a que se apresenta na figura Questão 3. Se rodares a roleta uma vez, qual a probabilidade de a seta cair na zona sombreada? Questão 4. Se rodares a roleta 50 vezes, quantas vezes esperas que a seta caia na zona sombreada? Porquê? Questão 5. Se rodares de novo a roleta 50 vezes, esperas obter o mesmo valor que indicaste na questão anterior, para o número de vezes que esperas que a seta caia na zona sombreada? Questão 6. Quais os valores que te surpreenderiam, se os obtivesses como resultado de rodares a roleta 50 vezes? Questão 7. Supõe que rodas a roleta 50 vezes e registas o número de vezes que a seta aponta a zona sombreada e que procedes da forma anterior 6 vezes. Aponta os valores que descrevam os resultados que poderias obter _____, _____, _____, _____, _____, _____ Questão 8. Supõe que cada aluno da turma rodou a roleta 50 vezes e que os resultados do número de vezes que a seta apontou a zona sombreada se registaram no seguinte gráfico: 5 Adaptado de Thinking and Reasoning with Data and Chance, NCTM, 2006, pag. 64 Organização e tratamento de dados 318 a) Quantos alunos estavam na turma? b) Qual foi o menor valor obtido? c) Qual foi o maior valor obtido? d) Qual é a amplitude dos valores obtidos? e) Qual é a moda dos valores obtidos? Questão 9. Imagina que outras três turmas apresentaram gráficos semelhantes ao anterior, em que era pressuposto estarem representados os resultados da experiência de rodar várias vezes a roleta 50 vezes. Desconfia-se que terá havido “batota” e algum(a) da(s) turma(s) em vez de realizarem a experiência, inventaram os resultados. Alguns dos resultados não resultaram da realização da experiência? Porquê? Turma A x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 Turma B x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 Turma C x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 Organização e tratamento de dados 319 Tar ef a - Um j ogo com doi s dados 6 . Esta tarefa tem como objectivo comparar a probabilidade teórica e a probabilidade experimental de um acontecimento. Uma boa actividade introdutória ao estudo das probabilidades é apresentar este jogo aos alunos e perguntar-lhes se lhes parece que algum dos jogadores está em vantagem. JOGO DOS DOI S DADOS – Dois jogadores. – Em cada jogada, cada jogador lança um dado e somam-se os pontos dos dois dados. – O jogador A marca um ponto se a soma for 5, 6, 7 ou 8. – O jogador B marca um ponto se a soma for 2, 3, 4, 9, 10, 11 ou 12. – Ganha quem primeiro obtiver 20 pontos. Depois de ouvir as opiniões dos alunos mas antes de as discutir, propor que eles façam alguns jogos. Para isso, devem organizar-se em grupos de dois, escolhendo entre si qual deles é o jogador A e qual é o B. Uma boa parte dos alunos prefere ser o jogador B porque, das onze somas possíveis, há sete que fazem o jogador B ganhar e só quatro que o fazem perder. Um pouco apressadamente concluem que a probabilidade de ganhar seria 7 11 . Depois de cada aluno receber um dado, cada grupo de alunos faz um jogo. Se o professor não dispuser de dados suficientes, pode-se usar a calculadora gráfica para simular o lançamento dos dados. Na TI-83 carregamos na tecla MATH e em PRB escolhemos 5:randInt(. Depois escrevemos, separados por vírgulas, os limites entre os quais queremos que a máquina escolha números inteiros ao acaso: 1 e 6. Como queremos o resultado de dois dados, acrescentamos mais uma vírgula e o número 2. Agora, cada vez que carregarmos em ENTER aparecem dois números correspondentes aos dois dados. Somando os dois números, vemos se foi o jogador A ou o jogador B a ganhar. Neste exemplo, o jogador A marcou pontos no 2º, 3º e 6º lançamentos. Terminado o jogo, cada grupo vai ao quadro registar o seu resultado numa tabela com o seguinte aspecto. Jogador A Jogador B 20 14 19 20 20 16 ... ... Total 274 223 6 Graça Martins et al (1999), p.44 Organização e tratamento de dados 320 Normalmente, o jogador A ganhará a maior parte dos jogos. Isto faz-nos suspeitar que A está em vantagem. Além disso, a soma dos pontos de todos os jogos, é também maior para A. No exemplo que aqui apresentamos, vemos que A fez 274 pontos e B fez 223. Houve 274 + 223 = 497 jogadas. Então, as frequências relativas das jogadas vitoriosas para cada jogador são: f A = 274 497 ≈ 0.551 f B = 223 497 ≈ 0.449 Em seguida, o professor pode propor aos alunos que procurem mostrar que realmente o jogador A está em vantagem. Se necessário, ir indicando pistas: Será a soma “2” tão fácil de acontecer como a “7”? Só sai “2” se em ambos os dados sair 1, enquanto que “7” é possível de várias maneiras: 1+6 ou 2+5 ou 3+4 ou ... Por outro lado, sair 3 num dado e 4 no outro é diferente de sair 4 no primeiro e 3 no segundo... Pedir em seguida aos alunos que identifiquem os dados – por exemplo, dado azul e dado vermelho – e façam uma tabela de duas entradas com todos os casos possíveis. Dado Ver mel ho 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 Dado 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 azul 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 Vê-se então que há 36 casos elementares possíveis e organiza-se um quadro com o número de casos favoráveis para cada resultado. Resul t ado 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Casos f avor ávei s 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 Agora já podemos ver se algum jogador tem vantagem. O jogador A ganha se sair 6, 7, 8 ou 9. Os casos favoráveis a A são 5+6+5+4 = 20. O jogador B ganha saindo 2, 3, 4, 5, 10, 11 ou 12. Os casos favoráveis a B são 1+2+3+4+3+2+1 = 16. Conclui-se então que o jogo é favorável ao jogador A, apesar de só lhe servirem quatro resultados. A probabilidade de ele ganhar uma jogada é 20 36 ou 55.6%. Para o jogador B, a probabilidade de ganhar é 16 36 ou 44.4%. Esta actividade pode ser formalmente apresentada da seguinte forma: Considere a experiência aleatória que consiste em lançar dois dados e em verificar a soma das pintas das faces que ficam viradas para cima. Qual a probabilidade de se obter um 6, 7, 8 ou 9? Como o espaço de resultados S associado a esta experiência é constituído por S = {(1,1), (1,2), …, (1,6), (2,1), (2,2),…, (2,6), (3,1), (3,2),…, (3,6), (4,1, (4,2),…, (4,6), (5,1), (5,2) …, (6,6), (6,1), (6,2), (6,6)}, todos eles igualmente possíveis, se os dados forem equilibrados, o acontecimento D, que faz com que a soma das pintas seja a pretendida, é constituído pelos resultados D = {(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1), (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1), (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2), (3,6), (4,5), (5,4), (6,3)}, pelo que a probabilidade pretendida é 20 36 . Organização e tratamento de dados 321 Tar ef a – Qual a pr obabi l i dade de obt er uma soma super i or a 13, quando se l ançam 3 dados? 7 Esta tarefa tem como objectivo comparar a probabilidade teórica com a probabilidade experimental de um acontecimento. Num certo jogo, lançam-se três dados normais e ganha-se quando a soma das pintas é maior que 13. Qual é a probabilidade de ganhar? Há vários processos de descobrir esta probabilidade, uns experimentais, outros teóricos. Quando o cálculo teórico é muito trabalhoso, difícil ou mesmo impossível, recorre-se aos métodos experimentais para obter um valor aproximado. Vamos ver aqui vários desses processos e no fim determinaremos o valor exacto 1º Pr ocesso – Experimentação directa Pegam-se em três dados, lançam-se muitas vezes e de cada vez regista-se o resultado da soma. Ao fim de muitas experiências (que podem ir sendo feitas simultaneamente por várias pessoas diferentes), calcula-se a frequência relativa dos resultados maiores que 13. Se o número de experiências for suficientemente grande, esta frequência é uma boa estimativa da probabilidade. 2º Pr ocesso – Simulação com a calculadora Em vez de usar os dados, podemos fazer uma simulação com a calculadora, pedindo para ela gerar um conjunto de três números aleatórios entre 1 e 6, inclusive. Cada um destes números corresponde a um dado. Cada vez que carregarmos em ENTER aparece-nos um conjunto de três números que temos de somar para ver se o resultado é maior que 13. ç Podemos evitar o trabalho de somar os três números. Com a instrução sum(, a máquina efectua imediatamente a soma dos três números da lista, embora assim deixemos de saber que números saíram efectivamente nos dados. y LIST ë 7 Graça Martins et al (1999), p.48 Organização e tratamento de dados 322 Cada vez que carregamos em ENTER obtemos um número entre 3 e 18. Para evitar enganos e maior facilidade da contagem, é aconselhável fazer aparecer cinco resultados de cada vez. Depois de registar os resultados, faz-se CLEAR, obtêm-se mais cinco resultados, e assim sucessivamente. Na figura anterior temos os resultados de 10 experiências, em que só uma vez a soma foi maior que 13. Se houver um grupo de alunos a fazer isto simultaneamente, rapidamente se consegue um grande número de experiências. 3º Pr ocesso – Programa de simulação com a calculadora É possível usar um programa muito simples que faça todo o trabalho anterior por nós. Em anexo neste livro está o programa DADOS3 que faz precisamente isto. Chamamos o programa, indicamos quantas experiências queremos fazer e passado uns momentos a máquina indica-nos o número de experiências e a frequência relativa de resultados maiores que 13 Começámos com 100 experiências e a frequência é de 0,15. Mas este número de experiências é demasiado pequeno para podermos ter confiança no resultado. Então, carregando em ENTER, aparece um menu que permite continuar a simulação. Acrescentamos mais 900 experiências, para que o total passe a ser 1000. Nesta simulação, a frequência foi de 0,167. É de esperar que a probabilidade de ganhar neste jogo seja um valor bastante próximo deste. É de referir que este programa faz cerca de 500 experiências num minuto. Prolongámos a simulação até às 10000 experiências e a frequência foi de 0,1651. 4º Pr ocesso – Cálculo teórico Os processos anteriores só nos dão valores aproximados da probabilidade pedida, valores esses tanto mais fiáveis quanto maior tiver sido o número de experiências feito. No entanto, podemos obter o valor exacto da probabilidade fazendo o cálculo teórico. Para isso temos de calcular o número de casos possíveis quando se lançam três dados e o de casos favoráveis, que correspondem a somas maiores que 13. Organização e tratamento de dados 323 Casos possíveis = 6 3 = 216 Antes de contabilizar os casos favoráveis, convém contar o número de maneiras diferentes com que pode aparecer um conjunto de três números: 1) Números todos iguais (por exemplo 5-5-5) só há uma maneira: 5-5-5. 2) Dois iguais e um diferente (por exemplo 6-6-5) três maneiras: 6-6-5, 6-5-6, 5-6-6. 3) Todos diferentes (por exemplo 6-5-4) seis maneiras: 6-5-4, 6-4-5, 5-6-4, 5-4-6, 4-6-5, 4-5-6. Façamos um quadro para as várias somas maiores ou iguais a 14. Soma Tipo Nº de casos 18 6 - 6 - 6 1 17 6 - 6 - 5 3 16 6 - 6 - 4 3 6 - 5 - 5 3 15 6 - 6 - 3 3 6 - 5 - 4 6 5 - 5 - 5 1 14 6 - 6 - 2 3 6 - 5 - 3 6 6 - 4 - 4 3 5 - 5 - 4 3 Total 35 Agora já podemos determinar a probabilidade: P(soma > 13) = 35 216 ≈ 0.162 Organização e tratamento de dados 324 Bibliografia Organização e t rat ament o de dados 326 Organização e t rat ament o de dados 327 Bi bl i ogr af i a Na preparação dest a Brochura seguiu- se essencialment e a seguint e bibliografia: Burrill G. ed. ( 2006) - Thinking and Reasoning wit h Dat a and Chance. NCTM, I nc. Rest on Chance B. ( 2002) - Component s of St at ist ical Thinking and I mplicat ions for I nst ruct ion and Assessment , Journal of St at ist ics Educat ion, Volume 10, Number 3. Chat field, C. ( 1991) . Avoiding St at ist ical Pit falls. St at ist ical Science, 6, 3, 240- 268. De Veaux, R. e Velleman, P. ( 2004) – I nt ro St at s, Pearson Educat ion, I nc. Feller, W. ( 1968) – An I nt roduct ion t o Probabilit y Theory and it s Applicat ions, John Wiley & Sons. Freedman, D. , Pisani, R. , Purves, R. , Adhikari, A. ( 1991) . - St at ist ics. W. W. Nort on & Company. Gaise Report ( 2005) - Guidelines for Assessment and I nst ruct ion in St at ist ics Educat ion ( GAI SE) Report , A Pre- k- 12 curriculum framework, August 2005 –American St at ist ical Associat ion Gal, I . ( 2002) . Adult ’s St at ist ical Lit eracy: Meanings, Component s, Responsabilit ies. I nt ernat ional St at ist ical Review, 70, 1, 1- 51. Graça Mart ins, M. E. , Branco, J. ( 2000) – Lit eracia Est at íst ica. Revist a da APM Graça Mart ins, M. E. , Mont eiro, C., Viana, J. P. , Turkman, M. A. A. ( 1999a) – Probabilidades e Combinat ória, Minist ério da Educação, Depart ament o do Ensino Secundário. Graça Mart ins, M. E. , Cerveira, A. ( 1999b) – I nt rodução às Probabilidades e à Est at íst ica, Universidade Abert a. Graça Mart ins, M. E., Mont eiro, C. , Viana, J. P. , Turkman, M. A. A. ( 1997) – Est at íst ica, Minist ério da Educação, Depart ament o do Ensino Secundário. Jenni Way, ( 1997) - Way in Reflect ions, vol. 21, nº 1, May 97, Research in Probabilit y and St at ist ics: Reflect ions and Direct ions. I n D. Grouws ( Ed. ) , Handbook of Research on Mat hemat ics Teaching and Learning. Mann, P. ( 1995) – I nt roduct ory St at ist ics. John Wiley & Sons. Mendenhall. W. , Beaver, R. ( 1994) – I nt roduct ion t o Probabilit y and St at ist ics. Duxbury Press. Moore, D. ( 1997) . New Pedagogy and New Cont ent . The Case of St at ist ics. I nt ernat ional St at ist ical Review, 65, 2, 123- 165 Moore, D. ( 1997) – St at ist ics – Concept s and Cont roversies. Freeman. Moore, D. ( 1996) – The Basic Pract ice of St at ist ics, Freeman. Moore, D. , McCabe, G. ( 1996) – I nt roduct ion t o t he Pract ice of St at ist ics, Freeman. Rasfeld, P. ( 2001) . The Role of St at ist ics in School Mat hemat ics Teaching Today. Organização e t rat ament o de dados 328 I nt ernat ional Journal for Mat hemat ics Teaching and Learning, ht t p: / / www. cimt . plymout h. ac.uk/ j ournal/ default . ht m. Rossman, A. and Chance B. ( 2001) – Workshop St at ist ics , Discovery wit h dat a. Key College Publishing. Emeryville, CA. Sheaffer, R. L. et al ( 2004) – Act ivit y- based st at ist ics – st udent guide. Key College Publishing, USA. Sheaffer, R. ( 2001) – Quant it at ive Lit eracy and St at ist ics. Amst at News 293, Nov 2001, 3- 4 St een, L. A. , ed ( 1997) . Why Numbers Count : Quant it at ive Lit eracy for Tomorrow America. The College Board. New York. St een, L. A. , ed ( 2001) . Mat hemat ics and Democracy: The case for Quant it at ive Lit eracy. Prepared by t he Nat ional Council on Educat ion and t he Disciplines. Princet on. Tannenbaum, P. and al. - Excursions in modern Mat hemat ics, Prent ice Hall, 1998. Vere- Jones, D. ( 1995) . The Coming of Age of St at ist ical Educat ion. I nt ernat ional St at ist ical Review, 63, 1, 3- 23. Vicent e, P., Reis, E. , Ferrão, F. – Sondagens, Edições Sílabo, Lda, 1996 Wat son J. M. ( 2006) - I ssues for St at ist ical Lit eracy in t he Middle School, I COTS- 7 Pági nas na I nt er net ALEA - ht t p: / / www. alea. pt I nst it ut o Nacional de Est at íst ica - www. ine. pt ( Tem informação sobre Port ugal, ao nível da freguesia) Eurost at – europa. eu. int / comm/ eurost at / ( Tem informação relat iva aos diversos países da Europa) World Healt h Organizat ion – ht t p: / / www.who. int / research/ en/ ( Tem informação sobre t emas ligados à saúde, para t odos os países do mundo) World in figures – ht t p: / / . st at .fi/ t up/ maanum/ index_en. ht ml ( Tem informação das mais diversas áreas, t ais como população e est at íst icas vit ais, cult ura, religiões, emprego, consumo, et c. , relat iva a t odos os países do mundo) Índice Capítulo 1 – INTRODUÇÃO ..................................................................... 3 Capítulo 2 – ORIENTAÇÕES CURRICULARES PARA O ENSINO DA ESTATÍSTICA ...................................................................... 5 2.1 Introdução .............................................................................. 7 2.2 Literacia estatística como objectivo curricular............................... 7 2.3 Pensamento estatístico e raciocínio estatístico .............................. 9 2.4 A Estatística e a Matemática .................................................... 10 2.5 Orientações metodológicas para o ensino da Estatística ............... 11 2.5.1 Orientações gerais ...................................................... 11 2.5.2 Tarefas e recursos ...................................................... 13 2.5.3 Organização do trabalho dos alunos e avaliação .............. 16 Capítulo 3 – A INVESTIGAÇÃO ESTATÍSTICA. DADOS E VARIÁVEIS ............ 19 3.1 O que é uma investigação estatística? ....................................... 21 3.2 Recenseamento e sondagem ................................................... 22 3.3 População e amostra. Dados e variáveis .................................... 24 Tarefa – Classificação de variáveis ................................. 27 3.4 “Limpar” os dados .................................................................. 28 Tarefa – Vamos limpar estes dados ................................ 28 Tarefa – Não serão irmãos a mais? ................................. 30 Projecto – Os Censos vão às Escolas ............................... 31 Capítulo 4 – TABELAS E GRÁFICOS ........................................................ 41 4.1 Introdução .......................................................................... 43 4.2 Diagramas de Venn e de Carroll ............................................... 43 Tarefa – Número de letras do nome................................ 44 Tarefa – Figuras geométricas......................................... 44 Tarefa – Números de 1 a 30 .......................................... 45 Tarefa – Múltiplos de 2 e 4, até 20 ................................. 45 Tarefa – Figuras e sólidos ............................................. 46 Tarefa – Ajudas a lavar a loiça? ..................................... 46 Tarefa – Preferes maçã, laranja ou banana? .................... 47 4.3 Tabelas e gráficos para dados qualitativos ................................. 48 4.3.1 Esquemas de contagem gráfica (tally charts) .................. 48 Tarefa – O mês do aniversário ....................................... 49 4.3.2 Tabela de frequências para dados qualitativos ................ 49 Exemplo – Animal doméstico preferido das turmas A e B ... 51 4.3.3 Gráfico de pontos e gráfico de barras para dados qualitativos ................................................................. 52 4.3.3.1 Gráfico de pontos.............................................. 52 4.3.3.2 Gráfico de barras .............................................. 54 Exemplo – Seguro do agricultor ..................................... 55 Tarefa – Prato preferido ................................................ 56 4.3.4 Pictograma ................................................................ 57 Tarefa – Bolachas preferidas ......................................... 57 Exemplo – Os passageiros de um navio........................... 58 Exemplo – Campo de jogos ........................................... 59 Exemplo – Seguro do agricultor (cont.) ........................... 61 Tarefa – os animais do jardim........................................ 61 4.3.5 Gráfico circular ........................................................... 63 Exemplo – A piza preferida nas turmas A e B ................... 63 Tarefa – Animal doméstico preferido ............................... 66 Tarefa –Meio de transporte utilizado ............................... 67 4.3.6 Nem sempre um gráfico com barras é um gráfico de barras... ............................................................... 68 Exemplo – Número de queixas recebidas num hospital, por negligência médica ...................................................... 71 Exemplo – Quantidade de açúcar nos cereais para crianças 72 4.4 Tabelas e gráficos para dados quantitativos discretos ............................. 73 4.5 4.6 4.7 4.8 4.4.1 Tabela de frequências para dados quantitativos discretos . 73 4.4.2 Gráfico de pontos e gráfico de barras para dados quantitativos discretos.................................................. 74 4.4.2.1 Gráfico de pontos.............................................. 74 4.4.2.2 Gráfico de barras .............................................. 75 Tarefa – Número de irmãos ........................................... 76 Exemplo - Candidatos a algumas vagas .......................... 78 4.4.2.2 1 Gráfico de barras para comparar dois ou. mais conjuntos de dados ........................................ 80 Tarefa – Alguns dados sobre o agregado familiar .............. 80 Tarefa – Cinco montinhos de feijões ............................... 82 Tabelas e gráficos para dados quantitativos contínuos ................. 83 Exemplo – Altura e peso dos alunos de uma escola do 1.º ciclo ..................................................................... 84 4.5.1 Tabela de frequências para dados quantitativos contínuos 87 4.5.2 Histograma ................................................................ 88 Exemplo – Duração de chamadas telefónicas ................... 90 4.5.3 Gráficos das frequências relativas acumuladas ................ 91 Outras representações gráficas ................................................ 93 4.6.1 Gráfico (ou diagrama) de caule-e-folhas ........................ 93 Tarefa – Quantos segundos se consegue estar sem respirar94 Exemplo – O tempo de sono do Pedro e do David ............. 98 Tarefa– Vamos comparar as idades dos nossos pais e das nossas mães ......................................................... 99 Tarefa – Qual a espécie de milho mais vantajosa? .......... 101 4.6.2 Diagrama de extremos e quartis ................................. 103 Formas frequentes de distribuição de dados............................. 105 Exemplo – Salários de trabalhadores ............................ 107 Exemplo – Qual o aspecto da distribuição? .................... 108 Representações gráficas e tabelas de frequências para dados bivariados........................................................................ 110 4.8.1 Diagrama de dispersão .............................................. 111 Tarefa – Vamos comer queijo, mas não exageremos... .... 112 4.8.2 Gráfico de linhas ...................................................... 113 Tarefa – As vendas estão a correr bem? ........................ 114 Tarefa – Registo da temperatura máxima e mínima no Porto, Lisboa, Faro, Ponta Delgada e Funchal............. 116 Capítulo 5 – CARACTERÍSTICAS AMOSTRAIS ........................................ 117 5.1 Introdução ........................................................................ 119 5.2 Medidas de localização.......................................................... 119 5.2.1 Média ..................................................................... 121 Exemplo da “pouca resistência” da média ...................... 123 Tarefa – Número de vogais e de consoantes do nome ..... 126 Tarefa – Desvios entre os dados e a média .................... 129 Tarefa – Quais as idades dos meus filhos? Qual a minha idade? Qual a idade da minha mulher? .......................... 131 Tarefa – Idade média dos finalistas do curso de Matemática de 1950 ................................................................... 133 5.2.2 Mediana .................................................................. 133 Tarefa – Notas no teste de Matemática das turmas 9.ºA e 9.ºB ....................................................................... ·138 Tarefa – Média ou mediana dos salários?....................... 140 Tarefa – Número de cigarros fumados por dia ................ 141 5.2.3 Moda ...................................................................... 142 5.2.4 Quartis ................................................................... 145 Tarefa – Notas no teste de Matemática das turmas 9.ºA e 9.ºB (cont.) .............................................................. 146 5.2.5 Percentis ................................................................. 147 Exemplo – A obesidade é um problema ......................... 148 Exemplo – Conversa entre mãe e filho .......................... 148 5.3 Medidas de variabilidade ....................................................... 149 5.3.1 Amplitude................................................................ 149 5.3.2 Amplitude interquartil ............................................... 150 5.3.3 Outras medidas de variabilidade: O desvio médio absoluto e o desvio padrão ................................... 151 Tarefa – Desvios entre os dados e a média (cont.).......... 151 Tarefa – Temperaturas de duas cidades ........................ 156 Tarefa – Vamos comparar os consumos dos carros ......... 158 Tarefa – vamos comparar as notas no mesmo teste de Inglês de alunos de três escolas diferentes .................... 158 Capítulo 6 – PROBABILIDADE ............................................................. 161 6.1 Introdução .......................................................................... 163 6.2 Probabilidade empírica ou experimental de um acontecimento.................................................................. 164 Exemplo – Qual o animal doméstico preferido?............... 170 Exemplo – Qual a probabilidade ................................... 171 Tarefa – A escala de probabilidade ............................... 171 Tarefa – Serão os jogos justos (ou equilibrados)? ........... 174 Tarefa – O que é mais provável? .................................. 175 Tarefa – Qual o meio de transporte utilizado pelos alunos para irem para a escola? ............................................. 177 Tarefa – Como seleccionar uma de duas pessoas, de uma forma justa ............................................................... 178 Exemplo – Os dissabores da regularidade a longo termo.. 181 Tarefa – O jogo será justo? ......................................... 181 Tarefa – Qual a composição do saco de berlindes? .......... 182 Tarefa – Os sacos de berlindes .................................... 184 Tarefa – Qual o tipo de prato que os alunos preferem? .... 185 Tarefa – Qual a probabilidade do próximo condutor utilizar a Via Verde? ............................................................. 187 6.3 Selecção de uma amostra de uma população com o objectivo de estimar uma probabilidade............................................. 188 6.3.1 Amostra aleatória simples sem reposição e com reposição .................................................................. 190 Exemplo – Como seleccionar alunos de uma turma ......... 191 6.3.2 Amostra estratificada ................................................ 192 Tarefa – O meio de transporte utilizado pelos alunos para irem para a escola .............................................. 192 6.3.3 Amostragem sistemática............................................ 194 6.4 Experiência aleatória, Espaço de resultados, Acontecimentos ..... 195 Exemplo – Espaços de resultados ................................. 197 Exemplo – Lançamento da moeda ................................ 197 Exemplo – Tempo de vida ........................................... 198 Exemplo – Lançamento de dois dados ........................... 199 Exemplo – O saco de berlindes .................................... 203 6.4.1 Utilização de diagramas de Venn para representar acontecimentos ......................................................... 205 Exemplo – Família de 2 filhos ...................................... 205 Exemplo – A caixa de disquetes ................................... 205 6.4.2 Utilização de diagramas em árvore para representar acontecimento........................................................... 206 Tarefa – A caixa de bombons....................................... 208 Tarefa – Quantas toiletes pode a Mariana vestir? ............ 208 Tarefa – Quais os resultados que fazem com que o Pedro ganhe o jogo? .................................................. 209 6.4.3 Operações com acontecimentos .................................. 210 Tarefa – Lançamento de duas moedas de 1 euro ............ 213 Tarefa – Lançamento de três moedas de 1 euro ............. 214 6.5 Modelo de Probabilidade para um fenómeno aleatório. Probabilidade de um acontecimento ................................................. 215 6.5.1 Probabilidade de um acontecimento ............................ 215 6.5.2 Processos de construção de modelos de probabilidade ou Como atribuir probabilidades aos acontecimentos elementares .............................................................. 217 ...... 229 Tarefa – Quantos lançamentos são necessários?...................................2...................................................... 222 Exemplo – Lançamento da moeda de um euro .......................................... é mais provável que seja homem ou mulher? .......................... 235 Tarefa – Lançamento de um dado equilibrado .. 229 Tarefa – A caixa com drageias de chocolate .......... 236 Tarefa – Um jogo desequilibrado! ......... 241 Tarefa – O lançamento de duas moedas ...................................................3 Exemplos de modelos de probabilidade ................ 255 ......... 228 Tarefa – As duas caixas de berlindes .............. 223 Tarefa – A caixa de pastilhas M&M ............. ao acaso.............................................. 226 Exemplo – A idade da população residente em Portugal................................................................... 222 Exemplo – Lançamento do dado........... 217 6.......... 234 Tarefa – A caixa de disquetes .......6........................................................... 245 Tarefa – Moedas não equilibradas .... 249 Tarefa – Vamos estimar a área do círculo com raio 0....................................Se seleccionar...........................................................5..................... 253 Capítulo 7 – SIMULAÇÃO ....... 221 6....................... 228 Tarefa – O jogo com berlindes .5. 238 Tarefa – Lançamento de dois dados............................................ 220 Tarefa – Qual o jogo preferido ................................................... 233 Tarefa – Escolhe ao acaso uma letra da palavra “palavra” 233 Tarefa – Será que o Pedro vai comer a sua fruta preferida? .................1 Situação de simetria – Regra de Laplace .................. 238 Tarefa – Ainda o lançamento de dois dados .... 232 Tarefa – O jogo de andebol ................................ 235 Tarefa – Uma escolha difícil entre 5 candidatos! .............................5....... 243 Tarefa – Quem é que ganha o jogo? ....... 252 Tarefa especial – Vamos construir alguns dos nossos materiais para fazer experiências ......................... 251 Tarefa – Uma chuva de meteoritos! . uma pessoa residente em Portugal..... Será que o jogo é justo? .......... 226 Tarefa – Qual a cor preferida para pintar o pátio da escola? ......... 222 6.......................Quem consegue dar primeiro a volta ao quadrado? ... 251 Tarefa – Estimar a área de figuras....3 Probabilidade subjectiva ................................ 242 Tarefa ................... 233 Tarefa – Escolhe ao acaso uma letra do alfabeto .........5........................................ 224 Exemplo ......................................................2................. 223 Tarefa – Dados especiais ..............2 Probabilidade experimental ou frequencista ............................. 227 Tarefa – A roleta de duas cores..... 250 Tarefa – Vamos estimar o valor de ............. 224 Tarefa – O Tipo sanguíneo ................................5 unidades ....2.......................................................................... ....................................................................................... 260 Cálculo da probabilidade de acontecimentos por simulação .............................2 7............. 268 Tarefa – Estimar as probabilidades dos resultados da soma das pintas das faces viradas para cima............... se verificarem pelo menos 3 faces Euro seguidas? 276 Tarefa – Quem é que recebe mais comida? .......................................... 285 Tarefa proposta – Pequena sondagem sobre o tipo sanguíneo .........................................1 7. quando se lançam dois dados ..........4 ..............3 7....... 272 Tarefa – Vamos a uma aposta? ......... 265 Tarefa – Qual a probabilidade de numa família haver um “casalinho”............. 257 Números aleatórios e números pseudo-aleatórios .................................................................................. 280 Tarefa – Qual a probabilidade de passar no exame? ................... mas com três filhos no máximo! ....Introdução ............. 286 Tarefas ...................... 325 7.................................................. 275 Tarefa – Qual a probabilidade de no lançamento de uma moeda....... 270 Tarefa – O jogo é justo? . 277 Tarefa – Qual será a probabilidade de cada amigo ficar com o seu chapéu-de-chuva? ... equilibrada .. 257 Simular o lançamento de uma moeda ........ 263 Tarefa – Calcular a probabilidade de sair 2 faces Euro........ 289 Bibliografia . em 2 lançamentos de uma moeda de um euro............................................................. 263 Tarefa – Qual a probabilidade de numa família de quatro filhos.................. todos serem rapazes? ................. .1 Introdução Neste capítulo fazemos uma breve introdução aos objectivos da presente brochura. Organização e tratamento de dados 2 . apresentamos uma abordagem dos conceitos fundamentais relativos à probabilidade indicados no programa. Estreitamente relacionada com a Estatística surge a Teoria da Probabilidade. a educação. um processo fundamental na realização de qualquer estudo estatístico. conscientemente ou não. realçando a sua importância no exercício da cidadania. De seguida. utilizamos na tomada de decisões. No capítulo 5 surgem as medidas de localização e de dispersão. A nossa vida é em larga medida governada por dados que. o desporto. e apresenta as orientações metodológicas para o ensino da Estatística. ao longo da escolaridade. sugerindo tarefas a propor aos alunos e indicando como podem ser concretizadas na aula. abordando assuntos de interesse para a formação do professor. O novo Programa de Matemática do Ensino Básico inclui o tema “Organização e tratamento de dados” nos três ciclos. o trabalho neste tema visa igualmente as finalidades e os objectivos gerais de aprendizagem da disciplina de Matemática no seu todo. o próximo capítulo analisa o que se entende por literacia estatística e pensamento estatístico. para que estes possam vir a ser cidadãos informados. tanto no seu aspecto teórico. articulando-se com os outros temas do programa e com as capacidades transversais – Resolução de problemas. como experimental. A presente brochura desenvolve as orientações metodológicas respeitantes ao tema Organização e tratamento de dados. mostra como os meios computacionais podem ser usados para simular o comportamento dos fenómenos aleatórios. numa perspectiva de valorização da literacia estatística e do processo de investigação estatística. e discute aspectos fundamentais dos conceitos trabalhados no ensino básico. Introdução Todos os dias nos deparamos com informação estatística sobre áreas tão diversas como a economia. isso acontece desde há várias décadas. o capítulo 7. Reconhecendo o papel do tema no desenvolvimento social e pessoal do aluno. O programa aponta. vai-se além do programa. aspectos em que vai bastante além do programa anterior. O capítulo 3 indica como se desenvolve uma investigação estatística e discute os conceitos fundamentais de dados e variáveis. Sendo a Estatística a ciência que trata dos dados. A preocupação com a compreensão dos aspectos elementares da Estatística e da Probabilidade tem vindo a reflectir-se no currículo escolar dos mais diversos países. a medicina ou a política. para além dos objectivos gerais de aprendizagem da Organização e tratamento de dados. para o desenvolvimento da compreensão da noção de probabilidade. No capítulo 6. o programa refere que este deve adquirir. também. Em Portugal.Organização e tratamento de dados 3 1. . o capítulo 4 trata da representação de dados em tabelas e gráficos. ela deve fazer parte da educação dos alunos desde os níveis de escolaridade mais elementares. Finalmente. que permitem caracterizar de forma abreviada aspectos importantes de um certo conjunto de dados. consumidores inteligentes e profissionais competentes. conhecimento de conceitos e representações de modo a compreender e ser capaz de produzir informação estatística e de a utilizar para resolver problemas e tomar decisões informadas. teoria que serve de base à quantificação da incerteza – uma característica sempre presente na nossa vida de todos os dias. Note-se que. Num ou noutro ponto. Deste modo. Raciocínio e Comunicação. Organização e tratamento de dados 4 . realçando o facto de que um cidadão que a possui é Estatística. De seguida. dando especial atenção às tarefas. um cidadão melhor informado. podendo assim participar mais conscientemente na vida social.Organização e tratamento de dados 5 2 Orientações curriculares para o ensino da Estatística A Estatística pode ser considerada a ciência dos “dados”. recursos e modo de trabalho dos alunos. Analisamos aqui o que se entende por literacia estatística. apresentamos as orientações metodológicas gerais para o ensino da . Organização e tratamento de dados 6 . 1 Introdução Neste capítulo começamos por analisar o que se entende. 2001 2 . Na sua perspectiva. mecanismos e resultados eleitorais e de sondagens. Os cálculos e gráficos automáticos tornaram-se fundamentais na prática da Estatística e na sua utilização em todas as esferas vida social. ensinando os alunos a ler e interpretar dados. com a literacia matemática. é. convicções. taxas de desemprego. bem como por pensamento estatístico e raciocínio estatístico. comparar a qualidade e os custos de bens ou serviços são apenas alguns exemplos. inicialmente. Richard Sheaffer2 considera mesmo que esta nova literacia constitui um dos objectivos principais da educação ao nível elementar. predisposições. O progressivo desenvolvimento da Estatística e a crescente necessidade de conhecimentos estatísticos para enfrentar situações do quotidiano conduziram a uma preocupação crescente com a literacia estatística. provocado pelo desenvolvimento dos computadores e pela sua utilização crescente na sociedade. Tal como foi importante para os nossos avós aprenderem a ler e contar. Sheaffer. devendo ser igualmente assumido por outras disciplinas. hoje em dia. apresentamos as principais orientações metodológicas para o ensino da estatística. taxas relativas à evolução de doenças. A literacia estatística deve permitir a cada um de nós resolver com segurança muitos problemas que nos dizem directamente respeito ou que nos são frequentemente apresentados pelos meios de comunicação social e cuja resolução apela a conhecimentos e pensamento estatísticos. A produção intensiva de informação é um fenómeno que se tem vindo a intensificar desde as últimas décadas do século XX.. antes de mais. sem se aperceberem que estariam a desejar o indesejável? Na linha do que sugere Lyn Arthur Steen1.. índices de preços. 2001. à organização do trabalho dos alunos e à avaliação. hoje em dia. a altura no 50%. a nível elementar. correspondendo à necessidade do 1 Ver Steen.2 Literacia estatística como objectivo curricular O objectivo do ensino da Estatística. etc. Esta transformação rápida é responsável pelo aparecimento do conceito de literacia estatística. entender disputas salariais. trata-se de um objectivo que ultrapassa a própria disciplina de Matemática. 2. podemos dizer que a literacia estatística consiste num conjunto de conhecimentos. Interpretar tabelas e gráficos. exigida por uma quantificação cada vez mais acentuada de muitos aspectos da sociedade. Quantas mães (e pais.? E quantos não gostariam que todos estes números rondassem os 100%. capacidades de comunicação e habilidades que as pessoas precisam para lidar de maneira eficaz com situações envolvendo dados de natureza quantitativa e qualitativa que surgem na sua vida e na sua actividade profissional. promover a literacia estatística. a educação para a cidadania inclui saber ler e interpretar os números e gráficos com que nos deparamos no dia-a-dia. à semelhança do que aconteceu. hábitos mentais. por literacia estatística. com especial atenção às tarefas e recursos.) não ficam perplexas ao ouvirem o pediatra do seu filho dizer que a cabeça da criança está no percentil 25%. De seguida.Organização e tratamento de dados 7 2. oscilações bolsistas. desenvolveram o projecto Quantitative Literacy tendo em vista introduzir nos programas mais análise de dados e Estatística elementar. Um dos desenvolvimentos mais recentes deste software. alguns visualmente bastante apelativos. Em contraste. nomeadamente. (…) Um desafio típico de numeracia envolve dados reais e processos incertos. um problema típico de Matemática envolve números e proces- . a numeracia é frequentemente acerca da lógica da certeza. é o SAS (Statistical Analysis System). Outra família de programas muito usados. principalmente na gestão de empresas. nesta brochura recorremos a este programa para a realização de diversas tarefas. Por exemplo. Embora a folha de cálculo não tenha sido originalmente concebida para isso. largamente usado na investigação em Psicologia. como também é referida). Segundo indica Steen (2001). o desenvolvimento destes meios tecnológicos que fez com que surgisse uma nova forma de ensinar Estatística. mas requer Matemática elementar. Os proponentes do projecto escolheram o termo “literacia quantitativa” em parte porque antecipavam alguma ansiedade relativamente ao termo “Estatística”. Ao contrário da Estatística. facilmente fazemos essa experiência numa folha de cálculo. o aumento de proveitos e a eficiência e transparência financeiras. Um processo de grande utilidade. a tecnologia pode ser muito útil para o ensino e aprendizagem dos conceitos estatísticos. Sociologia e Educação. A preocupação com o ensino da Estatística a nível básico e secundário conheceu um momento importante. mas de grandeza muito diferente dos restantes. Um dos programas mais conhecidos é o SPSS (Statistical Package for the Social Sciences). a numeracia está frequentemente ancorada em dados derivados e relacionados com o mundo empírico. que pode ser utilizada. por isso. Na verdade. se pretendermos analisar a fraca resistência da média. que se centra fundamentalmente na incerteza. é a simulação. compreender e visualizar interactivamente os dados. que permite estudar as questões estratégicas das organizações como o controlo de custos. o facto desta ser muito influenciada por alguns dados. mesmo em pequena quantidade. ideia chave em Estatística. aliás. isto é. uma maneira de abordar os problemas que emprega e enaltece tanto a Estatística como a Matemática. Para a maior parte dos estudos estatísticos simples o Excel serve perfeitamente e. igualmente ligado à tecnologia. centrando a atenção nos conceitos e não na forma de os calcular. a verdade é que ela permite calcular medidas estatísticas e representar dados em gráficos de vários tipos. que permite calcular as medidas de estatística descritiva e fazer todo o tipo de análises estatísticas inferenciais. em cooperação com o National Council of Teachers of Mathematics (NCTM). o JMP 7 apresenta gráficos para explorar. Foi.Organização e tratamento de dados 8 homem moderno se adaptar às novas condições de vida. não deve ser entendida como Estatística nem tão pouco como Matemática: Literacia quantitativa é mais uma maneira de estar. Ao contrário da Matemática. Em muitas empresas e instituições utiliza-se a folha de cálculo Excel para a realização do tratamento estatístico de dados. nos anos 80. que trata fundamentalmente com o reino platónico de estruturas abstractas. “literacia quantitativa” (ou “numeracia”. para a visualização dos conceitos estatísticos e para uma melhor compreensão da variabilidade. sendo especialmente apropriado para quem quer visualizar as relações e identificar dados com informação potencialmente duvidosa (“outliers”). compreendendo e usando com eficácia a informação que lhe chega diariamente. Muitos dos utilizadores actuais de Estatística trabalham com diversos tipos de softare especialmente concebidos para fazer análise estatística de dados. quando a American Statistical Association (ASA). “raciocínio” e “literacia” como um esforço para a compreensão dos conceitos estatísticos para que a sua utilização não seja meramente uma manipulação de fórmulas. envolvem ou não variabilidade nos dados. pelo que se alargou a atenção a processos de pensamento mais amplos e variados. enfatizando técnicas. Numeracia não é um entre muitos assuntos. como tem sido demasiadas vezes utilizada e ensinada. consiste em verificar se uma pessoa usa. A segunda etapa evolve a recolha dos dados. tendo em conta a questão proposta. isto é. percebeu-se a necessidade de atender à natureza dos dados estatísticos. Beth Chance (2002). isto é. a quarta etapa diz respeito à interpretação dos resultados. Neste ponto. Estes três conceitos estão estreitamente relacionados porque a literacia estatística apoia-se no pensamento estatístico e este. mas uma parte integrante de todos os assuntos (Steen.3 Pensamento estatístico e raciocínio estatístico Fala-se muitas vezes indistintamente de literacia estatística. bem como a identificação de diferenças entre os dados e entre os dados e distribuições de probabilidade conhecidas..Organização e tratamento de dados 9 sos directos. assim como para qualquer literacia. práticas apropriadas em muitos contextos diferentes. pelo que se impõe uma discussão destes conceitos. (p. começando pela escolha da representação mais adequada tendo em conta a natureza dos dados e os fins em vista. 2) Na verdade. Uma investigação estatística realiza-se em diversas etapas e envolve aspectos específicos de raciocínio ou pensamento em cada uma delas. as considerações sobre as finalidades do ensino da Estatística na sociedade actual trouxeram para primeiro plano as preocupações com a literacia estatística. Posteriormente. aos modos de raciocinar e resolver problemas próprios da Estatística. 2. em Economia e Biologia. O teste da numeracia. de localização. mas requer sofisticados conceitos abstractos. descrever a tendência central e a variabilidade dos dados. A este respeito. Neste ponto formulam-se conclusões referentes aos dados. pensamento estatístico e raciocínio estatístico. diz: Poucos [autores] dão uma definição formal do que se entende por pensamento estatístico. dispersão e associação. Calculam-se medidas estatísticas. tem como núcleo fundamental o raciocínio estatístico. é preciso considerar se as questões são ou não apropriadas e têm ou não uma natureza estatística.. A terceira etapa refere-se à análise de dados. a numeracia deve ser aprendida e usada em múltiplos contextos – em História e Geografia.) Para ser útil para o aluno. por exemplo. naturalmente. Procura-se. 2001-The Quantitative Literacy Design Team. valorizando de modo determinante o papel do contexto. Muitos utilizam indiferentemente os termos “pensamento”. . o que pode envolver a procura de regularidades. o ensino da Estatística a nível pré-universitário começou por dar especial atenção ao raciocínio estatístico. É preciso então definir um plano apropriado e seleccionar técnicas de recolha de dados. (. deste modo. Finalmente. por sua vez. em Agricultura e Culinária. representações e processos de inferência. A primeira etapa consiste na formulação de questões para investigar. Finalmente. 5). Um aspecto fundamental na literacia estatística é a capacidade de compreender e usar o pensamento estatístico e o raciocínio estatístico. possíveis generalizações para além dos dados e também possíveis questões que podem servir de base a novas investigações. p. por sua vez. Sob o ponto de vista matemático aplicámos duas fórmulas que conduzem a dois números. isto é. temos muito mais do que isso. tem um lado intuitivo. Em resumo. Realização de certas transformações numéricas para facilitar a compreensão (representação em tabelas e gráficos. Procura de causas e explicações e previsão de acontecimentos a partir da exploração da variabilidade. um relativamente ao outro. Moore et al (1997) discutem esta diferença nos seguintes termos: A Estatística é uma disciplina metodológica. permite-nos visualizar certos aspectos da estrutura dos dados. cálculo de medidas de localização e dispersão). de modo a poder fazer julgamentos sobre situações reais. podemos dizer que o raciocínio estatístico envolve um processo explícito onde se identificam factos. mas não é só o conteúdo que distingue o pensamento estatístico do matemático. O foco na variabilidade dá naturalmente à Estatística um conteúdo que a torna diferente da própria Matemática e de outras Ciências Matemáticas. o comportamento global da turma. pelo seu lado. (p. já que os dados são mais do que números. O raciocínio matemático é um raciocínio eminentemente lógico.Organização e tratamento de dados 10 Como Shaughnessy e Pfannkuck (2002). no raciocínio estatístico. 801) Deste modo. a literacia estatística é a capacidade que nos permite interpretar a informação. Para ilustrar esta ideia. informal e implícito que suporta o nosso raciocínio. Consideração do contexto como essencial não só para observar mas também interpretar as mensagens existentes nos dados. Também David Vere-Jones (1995) sublinha que o raciocínio estatístico é diferente do matemático e que a educação estatística não se pode restringir a uma visão da Estatística como um simples ramo da Matemática. naquela disciplina. usando modelos estatísticos. 2. a média e a mediana. estabelecem relações e fazem inferências. Finalmente. Medidas repetidas do mesmo indivíduo variam (…) A Estatística fornece-nos os meios para tratar com dados que têm em linha de conta a presença da variabilidade. consideremos a situação em que temos um conjunto de notas de alunos a uma determinada disciplina e calculamos a respectiva média e mediana. Os indivíduos variam. Ela existe não por si própria. são números com um contexto (…) Na análise de dados o contexto fornece o significado. podemos considerar que a forma estatística de pensar envolve aspectos como: Reconhecimento da necessidade de dados. Em contrapartida. em que uma proposição ou é verdadeira ou é falsa. que. O pensamento estatístico. o pensamento estatístico tem sempre presente o contexto que dá origem aos dados. Sob o ponto de vista estatístico. mas antes com o objectivo de oferecer a outros campos de estudo um conjunto de ideias coerentes e de instrumentos para tratar os dados.4 A Estatística e a Matemática Devemos ter em atenção que a Estatística e a Matemática são ciências diferentes. enquanto que o pensamento matemático se refere a relações entre conceitos abstractos. A Estatística requer um tipo de pensamento diferente. avaliar a sua credibilidade. A necessidade de uma tal disciplina acontece devido à omnipresença da variabilidade. permitem (ou não) responder a certas questões. A comparação daqueles dois números. e produzir nova informação. quando necessário. tratamos com afirmações em que . como a Geometria. que inclui a capacidade de ler e interpretar dados organizados na forma de tabelas e gráficos e de os usar para responder às questões mais variadas. As situações estatísticas envolvem incerteza. ensinados de modo diferente. o objectivo central é o desenvolvimento da literacia estatística. Algumas destas dificuldades relacionam-se com a natureza da Estatística.5.Organização e tratamento de dados 11 não podemos dizer que são verdadeiras nem tão pouco falsas. um técnico da indústria farmacêutica. é preciso desenvolver a literacia estatística.1 Orientações gerais A investigação sobre o ensino e aprendizagem da Estatística e os resultados de estudos internacionais (como o TIMSS) têm evidenciado que os alunos revelam. o ensino da Estatística visa desenvolver nos alunos a capacidade de planear e executar uma investigação estatística. as Ciências Políticas e outras ciências sociais. Isso resulta do seu envolvimento directo com o estudo de outras áreas como as Ciências da Saúde. de modo a responder a questões concretas. que procuramos quantificar através da probabilidade: A incerteza acompanha-nos no dia-a-dia. uma vez que a Estatística. dificuldades e ideias incorrectas tanto no campo conceptual como em aspectos computacionais. interpretando de modo adequado toda a informação disponível. Num outro nível. É importante ensinar um médico. Em Estatística. antes de mais. Enquanto que na Matemática sobressaem os aspectos lógicos. Até aqui. Ora. a prática de ensino tem valorizado sobretudo a aprendizagem da representação de dados em tabelas e gráficos e do cálculo de medidas estatísticas como médias e medianas. 2. a Álgebra e a Análise. com os seus objectivos. como já referimos no ponto anterior. com as representações gráficas mais convenientes para representar esses dados e com o modo de utilizar a tecnologia para calcular essas medidas e fazer essas representações gráficas. está integrada na disciplina de Matemática e é ensinada por professores de Matemática. Orientações metodológicas para o ensino da Estatística 2. A utilização incorrecta desta ciência pode levar a decisões erradas com consequências negativas quer para o desenvolvimento das outras ciências quer para a vida do cidadão comum. Para o evitar.5. preocupamo-nos sobretudo com as medidas que se podem utilizar para reduzir a informação contida num conjunto de dados. É importante sublinhar esta diferença entre Estatística e Matemática. com frequência. a Economia. . um sociólogo. Como refere Chris Chatfield (1991). A Estatística é muito diferente dos vários ramos da Matemática estudados no ensino básico e secundário. A questão central que se coloca no ensino da Estatística tem a ver. nos níveis básico e secundário. que precisam de ter a clara percepção de que se trata de assuntos diferentes – que devem ser encarados de modo diferente e. bem como a capacidade de interpretar e avaliar criticamente os resultados de um estudo estatístico já realizado. em todas as situações. muitas vezes. os não especialistas cometem erros estatísticos com grande frequência. na Estatística sobressai a pertinência das interpretações. enquanto que outras derivam das estratégias de ensino utilizadas e do tipo de experiências de aprendizagem proporcionadas aos alunos. um psicólogo e todo aquele que faz uso da Estatística a utilizá-la correctamente. desenvolver nos alunos a capacidade de ler e interpretar dados organizados na forma de tabelas e gráficos assim como de os recolher. enuncia seis recomendações que reflectem esta preocupação com o desenvolvimento da literacia estatística: Salientar a literacia estatística e desenvolver o pensamento estatístico. Nela procura-se responder a questões de natureza muito diversa. recolha. seja dos mais diversos campos da actividade social. com interpretação dos resultados obtidos. Deste modo. Ao compreenderem que os dados são mais do que números. mas sim que compreendam e saibam utilizar a linguagem básica e as ideias fundamentais da Estatística. através de uma análise conveniente de dados e da sua interpretação. amostra. Fomentar uma aprendizagem activa na sala de aula. quando acabam o ensino básico. São inúmeros os documentos para o ensino da Estatística que realçam o facto de esta ser a ciência dos “dados”. seja de outras ciências. distribuição e medidas estatísticas e representações como tabelas e gráficos.º e 3. dá-se realce a processos e capacidades que promovem a literacia estatística dos alunos. Ao longo dos três ciclos. incluindo a avaliação intuitiva da credibilidade de argumentos por parte dos alunos. Nos ciclos seguintes este propósito inclui também a produção da informação estatística e a capacidade de tomar decisões informadas e apresentar argumentos a apoiá-las. população. ele tem de promover a capacidade dos alunos compreenderem e usarem conceitos e representações estatísticas na resolução de questões diversas – incluindo conceitos como dados.Organização e tratamento de dados 12 O trabalho do professor tem de contemplar todos estes objectivos. desde a formulação de questões a investigar à interpretação dos resultados. Utilizar dados reais. Deste modo. O GAISE College Report (2005). sejam capazes de realizar estudos estatísticos sofisticados. O Programa de Matemática assume que estes dois objectivos desenvolvem-se em paralelo e reforçam-se mutuamente. Utilizar a avaliação para conhecer e melhorar a aprendizagem dos alunos. o programa apresenta como propósito principal de ensino. em vez de apenas teoria e procedimentos. análise e interpretação dos dados e habilitá-los para realizar estudos deste tipo. Utilizar tecnologia para desenvolver a compreensão dos conceitos e a análise dos dados. com o fim de resolver problemas em contextos variados relacionados com o seu quotidiano. no 1. e ao reconhecerem a . nas suas etapas fundamentais de formulação de questões. Acentuar a compreensão dos conceitos. Por um lado. Nos objectivos gerais de aprendizagem dos 2. Por outro lado. A aprendizagem dos conceitos e representações específicas é essencial para a realização de estudos estatísticos cada vez mais complexos e a compreensão do que é uma investigação estatística dá sentido aos diversos conceitos e representações. o professor tem de promover nos alunos a compreensão do que é uma investigação estatística. variável. desde os primeiros anos de escolaridade.º ciclos surge ainda o planeamento e a realização de estudos envolvendo procedimentos estatísticos. não se pretende que os alunos. A ênfase do trabalho na Estatística é colocada na análise exploratória de dados e no envolvimento progressivo dos alunos em experiências de natureza investigativa. organizar e representar.º ciclo. para a qual não há uma resposta imediata. se hace camino al andar”. Os alunos registam os dados e representam-nos .2: (i) formulação de questões e concepção de um plano de investigação. a planear a recolha dos dados necessários. ricas em informação. com as experiências que lhes são proporcionadas pelos professores. Há também necessidade de propor exercícios para aprofundar e relacionar o conhecimento e a compreensão de conceitos e processos e criar rotinas de utilização adequada de procedimentos. O Programa de Matemática sublinha que os conceitos deste tema devam ser trabalhados em todos os ciclos. nomeadamente o tipo de tarefa e os recursos mobilizados para a sua realização. Podemos dizer que um “problema” estatístico é uma questão bem definida que se coloca numa das etapas de uma investigação estatística. Também.1. A diferença entre a Estatística e a Matemática. há dimensões no ensino que são essenciais para uma aprendizagem em profundidade e extensão. Quando a investigação estatística se reveste de complexidade significativa e se prolonga no tempo. por consequência. os alunos desenvolvem o seu pensamento estatístico. em detrimento das fórmulas e cálculos. projectos. e que um “exercício” é também uma questão bem definida que se coloca num dado momento do processo estatístico para a qual o aluno já conhece um processo de resolução. de forma exemplar. já realçada no ponto anterior. 2. Estes dados serão depois tratados e esse tratamento dará algumas respostas e provocará. desde o seu início. a partir de problemas variados e também de investigações e projectos. Nos primeiros anos de escolaridade.Organização e tratamento de dados 13 necessidade de dados para tomarem decisões fundamentadas. em especial quando já temos um conjunto de dados reunido e procuramos descobrir ao mesmo tempo que regularidades encerram e que questões podemos formular a seu respeito. A célebre frase do poeta António Machado “Caminante. (ii) selecção das técnicas de recolha e recolha dos dados. sob a orientação do professor.5. incluindo investigações. Deste modo “investigação” e “projecto” estatístico acabam por ser dois conceitos que se sobrepõem. jogos. a metodologia que deve ser seguida no ensino da Estatística. O que os alunos aprendem está relacionado com o modo como aprendem e. Os jogos tanto podem servir para a introdução de novos conceitos como para a consolidação de aprendizagens já realizadas.2 Tarefas e recursos No ensino da Estatística há lugar para os mais diversos tipos de tarefa. nomeadamente sob a forma de pequenos projectos de investigação. Devem ser os alunos. (iii) representação e análise dos dados. problemas e exercícios. e (iv) interpretação dos dados e formulação de conclusões. Assim. arrasta consigo a preocupação da parte dos educadores estatísticos sobre a ênfase que se deve colocar nos conceitos e no trabalho com dados. eventualmente. novas questões. traduz. para dar resposta às suas questões. refere-se muitas vezes que se trata de um projecto de investigação estatística ou simplesmente de um projecto. o programa advoga que a aprendizagem da Estatística tem por base actividades relativas a situações diversificadas e dia-a-dia dos alunos. no hay camino. por vezes se fala em “exploração” estatística. Uma investigação estatística é uma tarefa em que se começa por definir uma área de interesse – suscitada por uma curiosidade ou por uma necessidade muito concreta – e que se desenvolve ao longo das quatro etapas já referidas no ponto 2. Para além disso. desde o 1. constituem. Deve procurar que os alunos clarifiquem o significado de expressões e o uso de termos menos precisos colocando questões do tipo Podes explicar de uma outra maneira? Dás-me um exemplo para perceber o que significa? Por que dizes isso? As propostas de trabalho para os alunos do 2. ponderando elementos que afectam a sua representatividade e realizando e discutindo predições baseadas em estudos com amostras. Para descrever. Os problemas ambientais e sociais. o professor pode propor a realização de investigações estatísticas baseadas em situações reais. Compete-lhe providenciar que os alunos trabalhem com dados relevantes e façam eles próprios a sua recolha. Neste ciclo alarga-se o reportório das medidas estatísticas – que passam a incluir a mediana. os alunos aprendem muito mais facilmente o sentido de vários conceitos estatísticos como média. Assim. a recolha. identificando a sua moda. como pictogramas e gráficos de barras. circulares e de linha e diagramas de caulee-folhas. frequentemente. planeiam o estudo estatístico.Organização e tratamento de dados 14 em tabelas e gráficos simples. É neste ciclo que os alunos estudam as noções de população e amostra.º ciclo. que constituem formas simples de representação de dados. onde se utilizem os conceitos estatísticos estudados. Progressivamente. Na realização de projectos e investigações envolvendo dados de natureza variada.º ciclo estendem o que já foi anteriormente feito em termos de análise. extremos e amplitude. os alunos formulam questões. os alunos devem envolver-se em experiências de recolha e organização de dados qualitativos e quantitativos discretos. A classificação e contagem de objectos são então tarefas importantes. seleccionam amostras adequadas. No 3. com a identificação das suas semelhanças e diferenças. o professor deve discutir as opções tomadas e incentivar os alunos a fazer nova recolha dados. Quando os dados não permitem responder às perguntas formuladas. média aritmética. recolhem dados dessas amostras. análise e interpretação de dados. de seguida. os quartis e a amplitude interquartil – e das formas de representação de dados – com os diagramas de extremos e quartis e os histogramas. trabalhando com os seus próprios dados. representando-os em tabelas de frequências absolutas e em gráficos de vários tipos. devem estar sempre presentes. não só a sua familiaridade com a informação aumenta. os alunos representam-nos em tabelas de frequências absolutas e relativas. analisar e interpretar a informação que esses dados contêm recorrem à moda. Assim. extraindo conclusões e fazendo previsões. representando-a de maneiras diferentes. um terreno fértil para questões a investigar. possibilitando aos alunos abordar problemas que os afectam. sendo familiar aos alunos. aprofundando a interpretação dos dados. A partir das propriedades verificadas nos dados recolhidos. incluindo dados quantitativos discretos e contínuos. Assim. A formulação de questões e problemas com significado para os alunos – quando possível em colaboração com outras disciplinas – e. usando diagramas de Venn e de Carroll. gráficos de barras. representam-nos e interpretam-nos.º ciclo. espera-se que os alunos façam conjecturas e discutam a validade das conclusões para a população de onde a amostra foi seleccionada. Para desenvolverem essas investigações. em especial os que se manifestam na sua região. deve promover o sentido de rigor. os alunos podem realizar investigações estatísticas que incluem a comparação de dois ou mais conjuntos de dados. propor soluções e sentir a utilidade do seu trabalho. Deve discutir-se que informação é . de acordo com o seu nível de desenvolvimento. como pode ser maior a sua motivação para construírem a sua “história”. o professor deve dar atenção à linguagem utilizada que. mediana e moda. Organização e tratamento de dados 15 necessária para tomar uma decisão válida ou tirar uma conclusão fundamentada. para além das capacidades transversais de Resolução de Problemas. Lidar com dados estatísticos envolve necessariamente escolher uma forma de os representar (em tabelas. As tabelas e as representações gráficas a usar dependem da natureza dos dados recolhidos e dos aspectos que pretendemos analisar. Assim. Mas também há situações em que é útil o uso de dados hipotéticos. E. mesmo em condições óptimas de recolha de dados. exacta e eficaz. Um outro aspecto que assume grande importância em Estatística é o das conexões. existe margem para o estabelecimento de conexões com áreas de actividade e campos do conhecimento dos mais diversos. Estes dados são recolhidos para responder a questões e não para treinar fórmulas ou realizar representações gráficas. diagramas e gráficos). As investigações em ciência. Os alunos. ao longo do ensino básico. Uma das características principais das tarefas deste tema é o grande interesse que pode ter a utilização de dados reais. originam a formulação de novas questões e a recolha de novos dados. Assim. como a Geometria (gráficos circulares). Na aprendizagem da Estatística os recursos fundamentais são: (i) os dados – tanto quanto possível reais e recolhidos pelos próprios alunos – e os instrumentos que permitem a sua recolha. ao terminar o ensino básico. Devem ainda desenvolver uma atitude crítica relativamente à utilização de gráficos enganadores. Raciocínio e Comunicação. É importante que tenham oportunidade de analisar em que casos é adequado recorrer ao estudo de toda a população ou apenas de uma amostra desenvolvendo também o seu sentido crítico relativamente ao uso de amostras mal seleccionadas. Podemos falar de conexões entre a Estatística e diversos campos da Matemática. sobre a alimentação. A tecnologia serve não só para a realização de cálculos fastidiosos e a sua represen- . no ensino da Estatística a tecnologia tem um papel fundamental. Um aspecto a considerar pelo professor quando planeia trabalho a realizar são os recursos necessários. com destaque natural para dados existentes em jornais e revistas e na Internet. Já referimos a importância de usar dados reais de situações do quotidiano. também as representações assumem um papel fundamental em Estatística. permanecendo sempre alguma incerteza nas conclusões formuladas sobre a população. rápida. que muitas vezes proporcionam um envolvimento entusiástico dos alunos na aprendizagem. os frequentes estudos de opinião levados a cabo pelos diversos canais de televisão ou as sondagens políticas podem ser analisados. e a Álgebra (tabelas. para serem discutidos os cuidados a ter na selecção da amostra e as generalizações que se podem fazer. mudanças climáticas. devem ter consciência de que raramente se obtém toda a informação pretendida através de uma amostra. nomeadamente quando pretendemos explorar propriedades de alguns conceitos estatísticos. Frequentemente. por exemplo. gráficos de linha). Deste modo. ou variação da natalidade fornecem também oportunidade para os alunos compreenderem como a natureza da amostra está relacionada com a informação a ser recolhida e os objectivos do estudo. é importante que os alunos tenham oportunidade de comparar diversos tipos de representação para a mesma situação e verificar quais são os mais apropriados. e (ii) as calculadoras e computadores que realizam cálculos e todo o tipo de representações de forma. os Números e operações (cálculo de médias e quartis). Por outro lado. sendo os dados estatísticos sempre referentes a algum contexto. de o ver questionado pelos outros alunos e também de questionar o trabalho dos seus colegas. por exemplo com os alunos a trabalhem individualmente ou em pares. a sistematização dos conceitos e a institucionalização de conhecimentos.3 Organização do trabalho dos alunos e avaliação Seja qual for o tipo de tarefa. a estruturação e calendarização das acções a realizar e verificação do seu cumprimento. No entanto. é impraticável sem a utilização de calculadoras ou do computador. Trata-se de produtos dispendiosos3 que não se justificam para a concretização dos nossos objectivos. para que este trabalho resulte. A discussão em grande grupo é o momento privilegiado para a partilha e debate de ideias.Organização e tratamento de dados 16 tação gráfica. podem ser mais vantajosas outras formas de organização. sem saber muito bem o que está a fazer. permitindo dividir responsabilidades entre os alunos. o que terá de ser equacionado quando eles eventualmente se tornarem mais acessíveis. como já dissemos. Por exemplo. Por vezes. os trabalhos realizados pelos diversos grupos podem ser expostos fora da sala de aula. codificados com números. noutros locais da escola ou mesmo fora desta. a utilização de vários tipos de software de Estatística. se tiver um conjunto de dados qualitativos. o trabalho dos alunos em grupo constitui uma forma natural de organização. O programa de Matemática não advoga. Estas tarefas têm de ser realizadas em diversas etapas. completo e estimulante do que o realizado individualmente. Por exemplo. O trabalho dos diversos grupos tem de ser apresentado na turma e discutido por todos. negociar significados e reformular raciocínios incorrectos. O trabalho realizado em grupo é usualmente muito mais criativo. como problemas e exercícios. no ensino básico. é fundamental que o professor dê indicações claras sobre o que espera do trabalho dos alunos e os apoie na sua realização. Espera-se dos alunos a tomada de iniciativa e assunção de responsabilidades. para se aperceber da existência de uma associação linear entre os dados! Estes problemas sugerem a necessidade de desenvolver também uma literacia no uso deste tipo de programas. a comparação do comportamento da média e da mediana. permite-lhes muitas vezes aprofundar a compreensão dos conceitos. Também se recomenda a utilização de applets que permitam visualizar a representação e comportamento de alguns conceitos estatísticos. pode chegar à conclusão que existe uma forte correlação entre duas variáveis. 2. mas também para visualizar os conceitos estatísticos. é necessário verificar se os objectivos pretendidos foram atingidos ou se é necessário fazer alguma correcção. porque carregou num botão para o cálculo da correlação. quando se modificam alguns dos dados de um certo conjunto. é necessária a definição de objectivos claros. é a facilidade com que qualquer pessoa os utiliza. . Na realização de outros tipos de tarefa na sala de aula. Este momento de discussão. para os quais. As formas de organização do 3 Um dos problemas mais sérios suscitados pela utilização destes tipos de software de Estatística. é suficiente o uso da calculadora e de uma folha de cálculo como o Excel. O professor tem que garantir nestes momentos condições para uma efectiva participação e aprendizagem da generalidade dos alunos. Em cada etapa. particularmente na realização de investigações e projectos.5. para além de contribuir para desenvolver a capacidade de comunicação dos alunos. basta carregar num botão para obter a média. Em Estatística. Esta forma de organizar o trabalho permite desenvolver uma dinâmica em aula em que todos os alunos têm oportunidade de apresentar o seu trabalho. que neste caso não tem qualquer sentido! Analogamente. mas esqueceu-se que anteriormente deveria ter feito uma representação gráfica dos dados. apresentado o trabalho dos alunos a uma comunidade mais alargada. investindo na gestão do espaço e do tempo e na qualidade das intervenções. feita em função da apresentação oral e escrita e.Organização e tratamento de dados 17 trabalho dos alunos devem variar. naturalmente. registos escritos com resposta a questões colocadas na aula. Para que os próprios alunos tenham ideia da forma como estão a progredir na compreensão destes conceitos é muito importante o feedback do professor relativamente ao seu trabalho. recorrendo a uma variedade de fontes de informação escrita e oral (testes. etc. interacção no seio de pequenos grupos e discussões colectivas com a moderação do professor. as aprendizagens em Estatística podem ser avaliadas como quaisquer outras aprendizagens. A realização de todo o projecto ou investigação deve ter. uma. avaliação própria. uma palavra para a avaliação. Finalmente. a avaliação deve insistir sobre o conhecimento e a compreensão dos conceitos estatísticos. eventualmente de informação recolhida durante o desenrolar do processo. questões orais.). . sucedendo-se as oportunidades para trabalho autónomo. Isso deve ocorrer tanto a propósito da realização de pequenas investigações e dos respectivos relatórios como das restantes tarefas realizadas no dia-a-dia. Para além disso. Mais do que os aspectos computacionais. Organização e tratamento de dados 18 . . realçando a omnipresença da variabilidade. e discutimos diversos conceitos fundamentais. Dados e variáveis Descrevemos as diversas componentes de uma investigação estatística. com destaque para as variáveis e os dados estatísticos.Organização e tratamento de dados 19 3 A investigação estatística. Organização e tratamento de dados 20 . A classificação e contagem de objectos são tarefas indicadas para início do trabalho em Estatística.Organização e tratamento de dados 21 3. 4. “A formulação de uma questão estatística requer uma compreensão da diferença entre uma questão que antecipa uma resposta determinista e uma resposta baseada em dados que variam”. as questões a tratar podem prender-se com questões relacionadas com a turma.ª fase – Planeamento adequado para recolher dados apropriados. a tomar contacto com a variabilidade devida ao acaso e a utilizar linguagem associada a este concei- . 11). gráficos e algumas medidas. começando os alunos por classificar os dados utilizando diagramas de Venn e de Carroll.º ciclo. sob o ponto de vista estatístico. É a altura de distinguir entre população e amostra e de ponderar os elementos que podem afectar a representatividade de uma amostra em relação à respectiva população.ª fase – Formulação do problema a investigar. os alunos começam. Como já referimos no capítulo 2. uma investigação estatística envolve. precisando de ser muito orientadas pelo professor. Assim. Em contrapartida. nomeadamente para fazer um estudo sobre obesidade na turma. deve pedir-se-lhes para interpretarem gráficos já construídos. de um modo geral. Ao longo de todos os ciclos. No entanto. 3. pois admitimos a existência de variabilidade nesses pesos e poderá ser uma questão interessante saber qual o comportamento da variável Peso. a questão “Qual é o peso da Maria” não tem interesse sob o ponto de vista estatístico. Antes de solicitar aos alunos a realização de representações gráficas. Indicámos no capítulo 2 que é a ideia-chave de variabilidade que está na base de qualquer estudo estatístico. Como é referido em GAISE (2005. À medida que o ano de escolaridade dos alunos aumenta.1 Introdução É usual dizer que. na forma de questões que se procuram responder através de dados. Assim.ª fase – Interpretação dos resultados obtidos e formulação de conclusões A profundidade com que estas fases são tratadas depende do nível de ensino dos alunos. ao estudar determinados conjuntos de dados. não faria sentido realizar uma investigação estatística para averiguar quantos alunos da turma da Maria têm nome. eles vão progressivamente colocando as suas questões.ª fase – Organização e tratamento dos dados recolhidos. através de tabelas. começam a compreender que os resultados que obtêm. que já não se restringem ao ambiente da turma. pelo que na resposta a esta questão não esperamos a existência de variabilidade. quatro fases: 1. o peso da Maria e dos colegas da turma da Maria já tem interesse estatístico. no 3.º ciclo. A pouco e pouco os alunos utilizam instrumentos apropriados para medir a variabilidade existente entre os indivíduos de um grupo e a comparar grupos. são susceptíveis de generalização. p. a pouco e pouco. relativamente aos alunos da turma da Maria. o indivíduo não tem interesse e só passa a ser interessante quando faz parte de um todo! Por exemplo. pois sabemos que todos os alunos têm nome. em determinadas condições. nos dois primeiros anos do 1. 2. o último dos quais. foi realizado em 2001. Esses censos periódicos são feitos em geral de 10 em 10 anos e. 3. associado à contagem oficial e periódica dos indivíduos de um país ou região. apresentamos a forma como o projecto foi desenvolvido. em princípio. . Apesar disso. instituições ou objectos físicos com o propósito de adquirir conhecimentos. O INE. chamada para o serviço militar e outros assuntos governamentais. tem a seu cargo fazer recenseamentos da população portuguesa. todos os países são encorajados a cumprir certas normas internacionais ao elaborar um recenseamento. a primeira operação que se conhece deste género foi levada a cabo por D.º ciclo. o XIV Recenseamento Geral da População. observando todos os seus elementos.º ano (Graça Martins et al.2 Recenseamento e sondagem4 É natural que o termo “sondagem” já faça parte do vocabulário do aluno. em determinadas situações. com o objectivo principal de obter informação para a colecta de impostos. se nessa data viviam em Portugal. no entanto. Já o mesmo pode não acontecer com as palavras “recenseamento” ou “censo”. às habitações (recenseamento da habitação). na maioria dos países. regra geral. quantificar esta probabilidade. O termo recenseamento está. Nessa altura. Este apuramento estatístico constitui um motivo de orgulho para os portugueses visto que foi um dos primeiros estudos deste género conhecido na Europa. um leque mais vasto de situações. onde já há conhecimento de recenseamentos da população. No fim deste capítulo. a partir do sec XIX. feitos a intervalos regulares. aprendem alguns processos de. à Agricultura (recenseamento agrícola). que foram recenseados em 2001. 10. desenvolvendo a noção de probabilidade. o INE desenvolveu um projecto junto das escolas para motivar os alunos e fazer com que estes fossem para casa e falassem com os pais da importância de um censo. Assim. a sua prática corrente. Ela abrange. No 3. como também o estudo de características importantes. às indústrias (recenseamento industrial). 4 Esta secção segue de perto a brochura de Estatística. a realização de recenseamentos pode-se estender a outras situações. pois estamos constantemente a ouvir os meios de comunicação social anunciarem os resultados de sondagens. João III em 1527 e ficou conhecida pelo "numerando dos vizinhos". etc. e fazer juízos quantitativos acerca de características importantes desse universo. mas estes termos são certamente conhecidos dos seus pais. Assim pode definir-se recenseamento do seguinte modo: Recenseamento – Estudo científico de um universo de pessoas. Para a maioria das pessoas a palavra recenseamento ou censo limita-se a esse significado. tais como.Organização e tratamento de dados 22 to. Em Portugal. (1999)). É importante que fique claro que a palavra recenseamento está associada à análise de todos os elementos da população em causa e que tem por objectivo não só a enumeração dos seus elementos. Instituto Nacional de Estatística. tendo permitido estabelecer uma estimativa da população portuguesa. só teve lugar. O recenseamento geral de uma população é uma prática que remonta à antiguidade (Roma e Egipto). com carácter periódico. por exemplo. estudar as condições de vida de certas camadas da população. Surge então o conceito de sondagem. A realização de um recenseamento geral da população. alojamento para idosos. a estrutura da idade da população e o crescimento populacional. recursos naturais. principalmente quando o número dos elementos da população é muito elevado. a população emigrante. descobrir o que mais os atrai nos produtos existentes ou a comercializar. apareceu publicado nos órgãos de comunicação social o resultado de uma sondagem realizada em Portugal. elas não são apenas um importante instrumento político. estas eram feitas de um modo muito pouco científico. Há problemas associados com a recolha adequada da informação. mas com o objectivo de extrapolar para todos os elementos da população os resultados observados na amostra. obtenção da informação. Foi necessário um desenvolvimento adequado de métodos e técnicas estatísticas para que os resultados das sondagens pudessem ser analisados cientificamente. além de implicar gastos muito elevados. isto é.. circunstâncias e assuntos de interesse comum. tem de ser efectuada com os cuidados adequados. emprego. Podemos obter informação sobre. "63% dos Portugueses nunca votaram" (Paula Vicente et al. Só em 1973 é que.Organização e tratamento de dados 23 Neste recenseamento de 2001 ficaram a conhecer-se variadas características do povo português como a situação civil. Quando são usadas técnicas apropriadas e a amostra é . seu armazenamento. Também na área das ciências sociais as sondagens são importantes para. elas são importantes também em estudos de mercado. XX. fundamental para o planeamento na construção de novas escolas. etc. Devemos ter presente que. Os dados relativos aos censos são extremamente importantes pois têm influência directa na decisão em assuntos de interesse nacional e local – na educação. saúde. Assim. etc. se nos meios políticos as sondagens são usadas para obter informação acerca das atitudes dos eleitores. tendo como objectivo o de satisfazer os clientes e aumentar as vendas. é extremamente difícil de conduzir. etc. etc. Embora as sondagens se tenham popularizado devido a questões políticas.. etc. posterior divulgação. transportes. etc. Assim. contrariamente ao recenseamento. acima de tudo constituem um instrumento de importância vital em estudos de natureza económica e social. pela primeira vez. pela perturbação que provoca nos inquiridos. para testar as preferências dos consumidores. não é viável inquirir todos os elementos da população sempre que se quer estudar uma ou mais características particulares dessa população. hábitos e preferências da população relativamente a acontecimentos. de modo a planear campanhas.. tratamento. Uma sondagem realiza-se em várias fases: escolha da amostra. a amostragem. Comparando resultados de recenseamentos sucessivos pode extrapolar-se e predizer padrões futuros da população. Muitas vezes isso nem é desejável. Embora antes de 1930 já se tenham realizado sondagens. O processo de recolha da amostra. 1996). A realização de sondagens é uma actividade da segunda metade do séc. restringem-se a uma amostra dessa população. nomeadamente. análise dos dados e relatório final. por exemplo. a habitacional. que se pode definir como o estudo científico de uma parte de uma população com o objectivo de analisar atitudes. as sondagens inquirem ou analisam apenas uma parte da população em estudo. Para que os resultados de uma sondagem sejam válidos há necessidade de essa amostra ser representativa da população. que se pretendem analisar. O indivíduo ou coisa relativamente ao qual se recolhe a informação é designado por unidade observacional ou caso. por assim dizer. chamamos variável. Como dissemos anteriormente. A grande maioria das situações onde é necessária a utilização de metodologias estatísticas. o Para dar dois exemplos da nossa vida corrente. Amostra – Parte da população que é observada com o objectivo de obter informação para estudar a característica pretendida. encomendada por um candidato às próximas eleições presidenciais. Dados e variáveis É desde os primeiros anos que os alunos devem compreender que dados são mais do que números e que a Estatística permite transformar dados em informação. Uma característica dos dados estatísticos é a variabilidade e é esta variabilidade que é objecto do estudo da Estatística. No primeiro caso.3 População e amostra. há duas formas possíveis de abordar a sua análise. enquadra-se neste segundo caso. Sendo então o nosso objectivo o estudo de uma (ou mais) característica da população. a população é a turma e os dados que se têm referem-se a toda a população. se fosse estudada toda a população. É este o contexto que. a qual é parte (ou amostra) desse universo (ou população)5. pense-se nos resultados obtidos quando se pergunta aos alunos da turma quantos irmãos têm e nos resultados obtidos numa sondagem. Perante uma colecção de dados. consoante o nosso interesse seja: o Apenas explorar a colecção de dados e encontrar padrões – esta colecção de dados é. animais ou resultados experimentais. No segundo caso. os resultados obtidos encontram-se em geral perto dos resultados que se obteriam. em que não se procura generalizar os resultados obtidos na análise dos dados. Se se observar toda a população diz-se que se faz um Censo. após a sua análise. conjuntos de indivíduos (não necessariamente pessoas) com características comuns. os dados referem-se a uma pequena parte da população de interesse e procura-se. que se pretendem conhecer. População – Conjunto de unidades individuais. generalizar para um conjunto mais vasto. 3.Organização e tratamento de dados 24 suficientemente grande. de um modo geral deve ser utilizado para os alunos mais novos. vamos identificar população com a variável (característica) que se está a estu- 5 Esta secção segue de perto Graça Martins et al (2007) e Graça Martins (2006). o objectivo da Estatística é o estudo de populações. com uma ou mais características em comum. A uma característica comum. Extrapolar para um universo mais vasto os padrões encontrados na colecção de dados. isto é. chamamos dado estatístico ou simplesmente dado. que assume valores diferentes de indivíduo para indivíduo. Em termos mais precisos. a população em estudo. que podem ser pessoas. uma variável é uma característica de um indivíduo ou objecto à qual se possa atribuir um número ou uma categoria. Ao resultado da observação da variável num indivíduo ou objecto. . sobre alguns elementos da população. se o objectivo do nosso estudo for a característica altura. e pretendemos desenvolver processos de análise que nos permitam responder a algumas questões. Por exemplo. sem nos preocuparmos como foram obtidos. isto é. o número de irmãos de um aluno escolhido ao acaso. constituem uma amostra da população a estudar. mas unicamente de uma classificação. a cor dos olhos do aluno referido anteriormente. A metodologia estatística utilizada depende das variáveis que se estão a estudar. isto é. é uma variável qualitativa. na continuação do exemplo referido. 171cm. também se designam por variáveis quantitativas contínuas. Estas designações são bastante importantes. o grau de satisfação . Uma classificação possível é a que se apresenta a seguir. “médio” e “elevado”). Por exemplo. 163cm. diremos que a população é constituída por todos os valores possíveis para a variável altura. 166cm. as variáveis quantitativas de medição. na turma. que assume as categorias Feminino e Masculino. por sua vez. obtidos ao medir a altura de 5 portugueses. Uma variável diz-se qualitativa (ou categórica) se não for susceptível de medição ou contagem. é uma variável quantitativa de contagem. já a resposta às questões anteriores se torna mais simples. diz-se binária. designam-se também por variáveis quantitativas discretas. Algumas variáveis qualitativas apresentam uma ordem subjacente – são designadas por qualitativas ordinais. Neste momento vamos admitir que dispomos de um desses conjuntos de dados. que se referem a características que só se podem contar e não se podem medir. Do mesmo modo identificaremos amostra com os valores observados para a variável em estudo. Assim. não podem ser respondidas rapidamente. Por exemplo. podendo assumir várias modalidades ou categorias. tais como: Serão os dados quase todos iguais? Serão muito diferentes. pelo que é importante começar por classificá-las. de um modo geral. As variáveis quantitativas de contagem.Organização e tratamento de dados 25 dar. os valores 156cm. que se podem medir. relativamente à população portuguesa. que representem convenientemente as populações de onde foram recolhidos. olhando unicamente para o conjunto dos dados! No entanto. Vimos também que amostras são conjuntos de dados. pois as ferramentas estatísticas a utilizar dependem do tipo de variável em estudo. Se só assumir duas categorias. 168cm. uns dos outros? De que modo é que são diferentes? Existe alguma estrutura subjacente ou alguma tendência? Existem alguns agrupamentos especiais? Existem alguns dados muito diferentes da maior parte? Estas questões. se estiverem organizados sob a forma de tabelas ou gráficos. É o caso da variável sexo. enquanto que a sua altura é uma variável quantitativa de medição. São exemplos de variáveis qualitativas ordinais: o nível social (com as categorias “baixo”. Uma variável diz-se quantitativa (ou numérica) se se referir a uma característica que se possa contar ou medir. dizendo que a população é constituída por todos os valores que a variável pode assumir. º e 3. dão um valor aproximado ou então. os alunos trabalham com dados qualitativos e dados quantitativos discretos.º ciclo trabalha-se com todo o tipo de dados. em que colocam o polegar da mão direita junto ao zero da régua e vêem até quantos centímetros chega o dedo mindinho. logo desde o 1. no dia seguinte. Para medirem o comprimento do palmo utilizam uma régua.Organização e tratamento de dados 26 com um produto (com as categorias “nada satisfeito”. qualitativos e quantitativos. Uma tabela possível. é a seguinte: Dados da turma Número de letras no nome 10 13 12 15 12 9 12 12 12 11 10 17 Número de irmãos 1 2 0 0 3 1 4 1 2 1 0 1 Cor dos olhos Castanhos Pretos Castanhos Azuis Castanhos Castanhos Castanhos Verdes Azuis Pretos Castanhos Castanhos Transporte utilizado para ir de casa à escola Autocarro A pé Metro Carro Carro Carro A pé Autocarro Carro Carro Metro Metro Tempo de casa à escola (minutos) 15 5 14 8 12 10 13 20 10 15 17 13 Comprimento do palmo (cm) 165 150 173 189 187 195 137 166 186 153 159 144 Nome Ana Godinho Ana Sofia Silva Andreia Sousa Carolina Martins Daniela Silva David Leal Diogo Oliveira Filipa Duarte Helena Afonso Inês Martins Joana Manso João Miguel Ribeiro . “satisfeito”. devidamente discretizados. obtida numa turma de 24 alunos. discretos e contínuos. “pouco satisfeito”. No 2.º e 2.º anos de escolaridade. “bastante satisfeito” e “muito satisfeito”) e grande parte das variáveis utilizadas em inquéritos na área das ciências sociais onde se avalia o nível atingido em cada variável solicitando ao respondente que coloque uma cruz numa grelha numerada de 1 a 5 (escala de Lickert). consideram só o que utilizam na maior parte do tempo que levam de casa à escola. Para darem o tempo que demora de casa à escola.º ciclo. têm o cuidado de verificar quanto tempo demoraram. como por exemplo: Se os alunos utilizarem mais de um meio de transporte. vamos utilizar um conjunto de dados relativos aos alunos da turma (considerada turma de referência) e que podem ser obtidos. Também podem ser trabalhados dados de tipo contínuo. Turma de referência Para exemplificar os conceitos à medida que vão sendo introduzidos. pedindo–lhes para preencherem a seguinte ficha: O professor pode fazer algumas recomendações relativamente ao preenchimento da ficha. No 1. Organização e tratamento de dados 27 João Pedro Batista Liliana Isabel Cruz Margarida Cabral Miguel Esteves Nuno Pestana Patrícia Santos Pedro Pinheiro Raquel Loureiro Rita Martins Simão Valente Sofia Matias Tiago Neves 16 17 20 13 11 14 13 14 11 12 11 10 1 2 0 2 3 1 1 0 2 1 0 3 Castanhos Castanhos Castanhos Azuis Pretos Castanhos Verdes Azuis Castanhos Castanhos Castanhos Castanhos Metro Autocarro Autocarro A pé A pé Carro A pé Metro Autocarro A pé A pé A pé 18 9 21 7 6 11 12 19 15 6 7 16 142 155 158 138 161 163 172 164 165 164 190 168 A tabela anterior apresenta os valores observados, nos alunos da turma, para as variáveis Número de letras do nome, Número de irmãos, Cor dos olhos, Transporte utilizado para ir de casa à escola, Tempo que leva de casa à escola e Comprimento do palmo. A metodologia utilizada para obter os dados da tabela, permite facilmente apercebermo-nos da natureza desses dados. Assim, ao preencherem as fichas, a partir das quais se construiu a tabela, os alunos: Contaram o número de letras do nome, pelo que os dados correspondentes a essa variável são discretos; Mediram, com uma régua, o comprimento do palmo, pelos que os dados correspondentes a essa variável são contínuos; Mediram, com um relógio, o tempo que demoram de casa à escola, pelo que os dados respeitantes a essa variável são contínuos; Não puderam medir nem contar a cor dos olhos, mas unicamente atribuirlhe uma categoria, pelo que a variável correspondente é qualitativa. Não se deve insistir, junto dos alunos, sobretudo dos mais novos, nas designações das variáveis. O que deve ser realçado é que estas têm natureza diferente, e as ferramentas utilizadas para tratar os dados resultantes das observações dessas variáveis, também terão que ser diferentes, em algumas situações. Por exemplo, podemos representar dados qualitativos ou quantitativos discretos utilizando um diagrama de barras, mas não tem sentido utilizar esta mesma representação para dados contínuos, caso em que podemos usar um histograma ou gráfico de linha. Tarefa – Classificação de variáveis 1. Para cada uma das variáveis a seguir consideradas indica se é de natureza qualitativa ou quantitativa e neste caso se é discreta ou contínua: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) Número de pastilhas numa caixa de Smarties Cor do cabelo do primeiro colega que encontrar quando chegas à escola Idade do colega da alínea anterior Número de livros que compraste no último mês Marca do primeiro carro que passa, quando vais à janela Velocidade do carro da alínea anterior Tempo que levas de casa à escola Rendimento mensal de uma família Tempo de duração de uma chamada telefónica Número de mensagens que recebes no telemóvel (se não tiveres telemóvel, pode ser o do teu Pai), por dia Organização e tratamento de dados 28 k) l) m) n) o) p) Número de moedas que tens no porta-moedas Número de televisões numa casa O teu peso A tua altura A tua nota num teste de Matemática O teu programa favorito na TV 2. Dá alguns exemplos de variáveis qualitativas e quantitativas discretas e contínuas (não uses os exemplos do exercício anterior). 3. Algumas questões que talvez te possam interessar, são as seguintes: a) Há muitos colegas meus com animais domésticos? b) Quantos colegas haverá com 2 irmãos, como eu? c) Haverá mais colegas com telemóvel, ou sem telemóvel? Como é que procederias para obter resposta para estas questões? 4. Dá exemplo de outras questões, para as quais seja necessário recolher dados, se se quiser conhecer a resposta. 3.4 “Limpar” os dados É comum, quando se procede a uma análise de dados recolhidos verificar que estes contêm erros, acidentais ou não acidentais. Assim, antes de se proceder ao tratamento dos dados através de tabelas, gráficos ou do cálculo de medidas, deve-se olhar criticamente para os dados recolhidos, com o objectivo de os “limpar” dos erros. Por exemplo, se ao recolher informação sobre o tamanho do pé, se obtiver a informação de 300cm, obviamente que este valor está errado. Este erro pode ser acidental, nomeadamente ao digitar no computador o zero, carregou-se 2 vezes e ficaram 2 zeros. Se numa resposta sobre o ano de escolaridade, aparecer 1,2, também está errado, pois o ano de escolaridade tem de se exprimir na forma de um número inteiro. Estes erros podem ser acidentais, mas há outros que podem resultar de respostas dadas com pouco cuidado ou por brincadeira. Tarefa – Vamos limpar estes dados6. Na tabela que se apresenta a seguir, alguns alunos mais brincalhões entretiveram-se a alterar alguns dos dados de uma tabela que contém respostas de alunos do ensino básico. Procura detectar esses erros e quando possível, sugere alterações de forma a ter dados “limpos”: Data de nascimento 12-04-1991 31/02/92 14-01-1991 07-09-1989 13-12-1991 14-03-2001 06-05-1989 15-08-1990 20-02-1990 Ano de escolaridade 5 4 5.00 6 4 5 7 6 6 Tamanho do pé 26 22 2.3 25 24 67 24 21 23 Disciplina ou actividade preferida Educação musical Estudo do Meio Educação Física Matemática Língua Portuguesa Matemática Língua Portuguesa Língua Portuguesa Matemática Distância de casa à escola de 1 a 2 km menos de 2 km 2.5423 km de 1 a 2 km de 1 a 2 km menos de 1 km de 3 a 5 km 85km de 1 a 2 km Sexo M F F M M M F F M Naturalidade Portugal Portugal Portugal Portugal Angola Portugal Moçambique Portugal Portugal Altura 143 132 14.2 136 128 140 142 138 192 6 Adaptada de uma actividade do Censusatschool. Organização e tratamento de dados 29 M 0 M F F M F F F M M F/M F M M F M M F F 19-05-1990 29-06-1992 09-10-1991 18-12-1990 18-07-1991 03-06-1934 13-02-1989 15-09-1988 07-08-1989 08-06-1989 31/11/87 16-07-1988 28-04-1988 25-03-1992 26-02-1992 08-07-1999 23-05-1990 01-03-1987 07-08-1991 03-03-1992 6 7 4 5 0.5 4 7 7 7 7 11 8 8 4.1 4 6 6 9 6 4 Portugal Lua Cabo Verde Angola Portugal Portugal Moçambique Portugal Portugal Angola Marte Portugal Portugal Portugal Portugal Portugal Cabo Verde Angola Portugal Portugal 140 48 128 135 13.7 129 148 150 140 142 1520 142 145 132.1 130 142 151 162 150 135 20 21 21 21 20 21 23 22.5 24 24 22 26 26.5 2.4.5 21 22 25.5 25 23 21 Educação Física Estudo do Meio Língua Portuguesa Matemática Ir para casa Informática Matemática Educação Física Informática Matemática Informática Chinês Educação Física Matemática Educação Física Língua Portuguesa Matemática Educação Física Educação musical Informática de 1 a 2 km 3000km menos de 1 km menos de 1 km de 3 a 5 km menos de 1 km de 1 a 2 km de 1 a 2 km menos de 1 km menos de 1 km de 5 a 10 km de 2 a 3 km 1 kg menos de 1 km menos de 1 km de 2 a 3 km de 2 a 3 km menos de 1 km 2 saltos menos de 1 km No exemplo anterior, alguns dos erros foram provocados deliberadamente com o objectivo de ilustrar uma situação que ocorre com frequência, sem ser intencional. Efectivamente, é comum haver um dígito repetido, uma vírgula a assinalar a casa decimal mal colocada, uma data trocada, etc. Outros erros que foram introduzidos deliberadamente, retratam situações intencionais, como é o caso de responder Marte ou Lua à pergunta sobre a naturalidade. Assim, antes de começar a tratar um conjunto de dados, deve ter-se um olhar crítico para detectar este tipo de erros que podem destruir toda uma análise subsequente. Por exemplo, referindo-nos ainda à tabela do exemplo anterior, se se proceder ao cálculo da média dos valores referentes à altura, obtém-se o valor aproximadamente igual a 178cm. No entanto se limparmos os dados de alguns erros óbvios, nomeadamente os assinalados na tabela seguinte Antes 14,2 192 48 13,7 1520 132,1 Depois 142 eliminar 148 137 152 132 já o valor obtido para a média vem aproximadamente igual a 141 cm. Já anteriormente chamámos a atenção para o facto de “...os dados são mais do que números, são números com um contexto”. Ora foi precisamente esse contexto que nos guiou nas alterações a fazer. Se todas as alterações, com excepção de uma, são mais ou menos óbvias, não tínhamos alternativa para o valor 192, pelo que decidimos eliminá-lo, não sem custos, pois reduzimos a nossa amostra de uma unidade, passando a ter só 28 dados em vez dos 29 iniciais. Organização e tratamento de dados 30 Tarefa – Não serão irmãos a mais? Registou-se numa tabela de frequências que se apresenta a seguir, o resultado de um inquérito feito junto de alunos do 1.º ciclo do ensino básico de várias escolas, em que se colocava, entre outras, a seguinte questão Quantos irmãos tens? Tabela 1 Número de irmãos 0 1 2 3 4 ou mais Freq. Rel (%) 16 51 18 7 8 A seguir apresentam-se as respostas de alguns alunos de uma escola sobre algumas questões, entre as quais também se pergunta quantos irmãos têm: Tabela 2 Sexo M F F M M M F F M M M M F F M Data de nascimento 12-04-1991 27-02-1992 14-01-1991 07-09-1989 13-12-1991 14-03-2001 06-05-1989 15-08-1990 20-02-1990 19-05-1990 29-06-1992 09-10-1991 18-12-1990 18-07-1991 03-06-1991 Código Postal 1050-027 1200-013 1150-110 1100-115 1070-031 1121-025 1150-043 1070-014 1050-006 1075-100 1180-121 1210-121 1170-114 1032-045 1180-121 Nº de irmãos 0 1 2 1 1 0 2 1 2 1 5 3 1 1 5 Nº irmãos com menos 18 anos 0 1 2 1 1 0 1 1 2 1 4 3 1 1 4 Haverá alguma coisa de estranho nesta tabela? De acordo com a Tabela 1, qual a percentagem de alunos com 4 ou mais irmãos? Esse resultado não nos fará pensar se algo de anormal não se passará com as respostas dadas na Tabela 2? (Observe-se que, de acordo com a tabela 1, a percentagem de alunos do 1º ciclo com 4 ou mais irmãos anda à volta de 8%. De acordo com a tabela 2, aparentemente em 15 alunos, 2 têm 5 irmãos! No entanto, se repararmos melhor, verificamos que a morada é a mesma, pelo que afinal os 2 alunos que responderam são, com elevada probabilidade, irmãos...) Organização e tratamento de dados 31 PROJECTO* GABINETE DOS CENSOS 2001 Avenida António José de Almeida 1000-043 Lisboa Telef.: 21 842 61 00 58 Fax: 21 842 63 Organização e tratamento de dados 32 O projecto "OS CENSOS VÃO ÀS ESCOLAS" foi desenvolvido pelo Gabinete dos Censos 2001 e teve como objectivos: Dar a conhecer aos alunos dos diversos graus de ensino: o que são, para que servem e como se fazem os Censos; Mobilizar os pais e familiares dos alunos para a participação nos CENSOS 2001. Este projecto consistiu numa aula relativa aos Censos, que foi ministrada em todas as escolas do ensino oficial e particular na primeira quinzena de Março de 2001. Foram desenvolvidos três tipos de aulas de acordo com o nível de ensino: NÍVEL DE ENSINO Ensino Básico - 1º Ciclo Ensino Básico - 2º e 3º Ciclos IDADES 6-10 10-15 LIGAÇÕES CURRICULARES Estudo do Meio História e Geografia de Portugal Geografia História Matemática Geografia Matemática História Economia Introdução ao Desenvolvimento Económico e Social Ensino Secundário 15-18 A seguir apresentamos a parte do projecto referente aos 1º, 2º e 3º ciclos. Com os Censos ficamos a saber: Quantos somos – o número total de pessoas que vivem em Portugal de norte a sul. as fábricas.Onde se devem construir as vias de comunicação.O número de escolas. as profissões. . . Dada a complexidade da operação estatística “Censos 2001”. PARA QUE SERVEM OS CENSOS? É muito importante conhecermos quantas são e como são as pessoas que vivem em Portugal e em cada uma das nossas cidades ou bairros para sabermos: . 3. 2.O número de representantes que cada região tem na Assembleia da República. Os resultados dos Censos são muito importantes porque servem para conhecer melhor o presente e preparar o futuro.e das Juntas de Freguesia que asseguram a execução das operações dos Censos 2001 nas respectivas áreas. O QUE SÃO OS CENSOS? Os Censos são a contagem de todas as pessoas que vivem no nosso País e de todas as habitações onde as pessoas vivem. Como vivemos – as características das habitações existentes em Portugal. o INE tem a colaboração das Câmaras Municipais . QUEM FAZ OS CENSOS? O Instituto Nacional de Estatística (INE) é o organismo encarregue da preparação. Onde vivemos – os locais onde as pessoas vivem.responsabilizam-se pela organização. . Como somos – a idade das pessoas. os estudos que as pessoas têm. Regiões Autónomas dos Açores e da Madeira. os hospitais. coordenação e controlo das tarefas do recenseamento na área do município . creches. execução e apuramento dos dados dos Censos 2001. lares de idosos que são necessários. e em cada uma das nossas cidades. vilas e aldeias.Como distribuir o dinheiro pelas Câmaras Municipais.…. .Organização e tratamento de dados 33 1. Dar a preencher aos alunos a ficha de trabalho “ O Meu Censo”.Quantos rapazes e quantas raparigas existem na turma? .Depois de preenchidas as fichas apurar os resultados da turma de modo a ser possível responder a algumas perguntas: . Os questionários são entregues em cada casa e depois de preenchidos pelas pessoas são recolhidos por um recenseador (pessoa que distribui e recolhe os questionários).Quantos alunos nasceram em determinado local? . Para tudo isto ser possível é muito importante que nas nossas casas seja preenchido um questionário por cada pessoa que lá vive.Organização e tratamento de dados 34 4.Quantos alunos têm irmãos? .Quantos alunos têm 6. 7 ou 8 anos? . COMO SE FAZEM OS CENSOS ? A contagem das pessoas e das habitações é feita através do preenchimento de questionários. . Tu também contas! ACTIVIDADES: . Organização e tratamento de dados 35 Nome: ____________________________________ Menino Quantos anos tens? Menina Local onde moras? ____________________________ Local onde nasceste ? __________________________ Quantas pessoas vivem em tua casa? Tens irmãos ou irmãs ? Sim Não . Posteriormente. . Breve História dos Censos Já antes da era de Cristo se faziam recenseamentos. em época mais recente. naturalidade. Regiões Autónomas dos Açores e da Madeira e em cada um dos seus concelhos. por ordem do Imperador César Augusto e dizia respeito à então província romana da Lusitânia. na Idade Média também os Árabes efectuaram vários recenseamentos durante a sua permanência na Península Ibérica.As características da população: sexo. a que se dá o nome de recenseamento ou de uma forma mais abreviada "censo". estatuto socioprofissional. realizou-se o I Recenseamento Geral da população portuguesa. O primeiro censo populacional conhecido no território que é hoje Portugal foi realizado no ano zero. Já após a fundação da nacionalidade foram realizadas várias contagens mais ou menos extensas tendo preocupações sobretudo de ordem militar. freguesias ou bairros. Em 1864. Onde vivemos? – Os locais onde vivemos. que foi o primeiro a reger-se pelas orientações internacionais do Congresso Internacional de Estatística de Bruxelas em 1853. Afonso III (1260-1279). grau de instrução. Como somos? . de D. A primeira destas operações foi o Rol de Besteiros do Conto. profissão. É exactamente através dos Censos que o país fica a saber : Quantos somos? . etc . Por isso. nacionalidade.O total de pessoas a viver em Portugal Continental. idade.As características dos alojamentos onde vivemos. marcando o início dos recenseamentos da época moderna. se acrescentou a sua melhor caracterização e um levantamento do parque habitacional. geralmente com objectivos militares e de cobrança de impostos. consiste em realizar uma contagem através da observação exaustiva dos indivíduos. Os Censos são tradicionalmente a contagem da população de um país a que. a norma era a de as populações se deslocarem aos seus locais de origem e se apresentarem às respectivas autoridades para o registo de pessoas e/ou bens.Organização e tratamento de dados 36 1. O QUE SÃO OS CENSOS? A forma mais antiga e também mais directa de conhecer o número de pessoas que habitam um determinado território. Como vivemos? . Os resultados dos Censos são fundamentais para conhecer o presente e preparar melhor o futuro do País. habitação ou transportes. QUEM FAZ OS CENSOS? O Instituto Nacional de Estatística (INE) é o organismo encarregue da preparação. A partir de então os recenseamentos da população têm vindo a realizar-se. planeamento e intervenção. . as Câmaras Municipais responsabilizam-se pela organização. .Nos estudos de mercado e sondagens de opinião. hospitais. enquanto que as Juntas de Freguesia asseguram a execução das operações dos Censos 2001 nas respectivas áreas.Na investigação em ciências sociais e políticas (elaboração de estudos no domínio económico e social. medidas de combate ao desemprego. informação básica indispensável à definição e execução das suas políticas. caracterizando a população e o parque habitacional. etc). do maior interesse para toda a sociedade. O último censo realizado em Portugal foi em 1991. para cada nível de detalhe geográfico (regiões.…). por isso. Revestem-se.…) Assim. freguesias. com poucas excepções. saúde. são fundamentais para proporcionar. . surge como valioso instrumento de diagnóstico. os dados recolhidos pelos censos. vias de comunicação.No planeamento regional e urbano (localização de escolas. sobre a população e a habitação. Dada a complexidade da operação estatística “Censos 2001”. concelhos. Outro marco importante ocorreu em 1970. ao governo e às autarquias locais. melhoria das condições de habitação. 2.Organização e tratamento de dados 37 Embora estas orientações já indicassem que os recenseamentos deveriam ser realizados de 10 em 10 anos o censo seguinte apenas se realizou em 1878. Assim. fábricas. quando em simultâneo com o Recenseamento da População se realizou o I Recenseamento da Habitação. o INE tem a colaboração das autarquias locais. lugares. PARA QUE SERVEM OS CENSOS? Através dos Censos é possível obter. . regularmente em intervalos de 10 anos. - 3. distribuição de fundos a nível regional e local. execução e apuramento dos dados dos Censos 2001. ao qual se seguiria o Censo de 1890. coordenação e controlo das tarefas do recenseamento na área da respectiva jurisdição. em vários domínios: Na definição de objectivos e prioridades para as políticas globais de desenvolvimento (investimentos em educação.…) uma “fotografia” de todos os indivíduos residentes em Portugal e das condições em que habitam. Os censos são uma fonte única e renovável que. todos os alojamentos serão observados e todas as pessoas residentes serão caracterizadas através de questionários. Para tudo isto ser possível é muito importante que nas nossas casas seja preenchido um questionário por cada pessoa que lá reside ou esteja temporariamente presente. alojamento. que corresponde ao dia e hora em relação aos quais se recolhem os dados. família e indivíduo. em caso de dificuldade. Os questionários são distribuídos em cada alojamento e depois de devidamente preenchidos são recolhidos por um recenseador (pessoa que distribui e recolhe os questionários) que.Organização e tratamento de dados 38 4. Tu também contas! . A informação recolhida refere-se às 0 horas do dia 12 de Março de 2001 “momento censitário”. ajuda no preenchimento. COMO SE FAZEM OS CENSOS ? A recolha de dados é realizada através do preenchimento de vários tipos de questionários de acordo com a unidade estatística a caracterizar: edifício. Assim. Descobre as palavras relacionadas com os Censos – População.Ficha de Trabalho. Completa as seguintes frases: 1.Organização e tratamento de dados 39 ACTIVIDADES: . 2. Edifício. Alojamento. Família. e 4. G E H A D R A P G R E O A A L O J A M E N T O A H R O S D S T E Ç A F P E H H D I R P U R A D O N T S A F A B A U L I Ç O E A I B R H O T W G A L T P U C I Ã A Ç A Í L I O J Ç I L T L E O M Ã A E O O A P R A B B I H P R E T D E I E Ç I O A I N D I V I D U O Ã P S A J Ç L O G P O N R O O T F E Ã P M O L F L F B E C D O A H P O U E A Ç L Y I K R A U F L Q M T R T F J P I L G A Ç I O O O Í D O R A O Ç Q L F R B C L T O Ç A E H I Ã P P I A U Ç Ã M O B A E H A O U P J O J T A R O . 3. Os Censos contam todos os residentes em _______________ . Os Censos realizam-se de ___ em ___ anos. Os dados censitários são fundamentais para a analisar o P_ _ S_ _T_ preparar o F_ _ UR_ do país. Os indivíduos responsáveis pela distribuição e recolha dos questionários designam-se por R_C_ _S_ _ _O_ES. Indivíduo. Habitação. Organização e tratamento de dados 40 . para organizar a informação contida nos dados. nomeadamente tabelas e gráficos. . de forma a realçar as suas características mais importantes.4 Tabelas e gráficos Apresentamos alguns processos. Organização e tratamento de dados 42 . os alunos trabalham com histogramas e diagramas de extremos e quartis. os alunos aprendem a classificar dados utilizando diagramas de Venn e Carroll e aprendem a trabalhar com tabelas de frequências absolutas.1 Introdução Neste capítulo apresentamos formas de organizar os dados através de tabelas e gráficos. e que saibam também construir representações destes tipos para um certo conjunto de dados. matemático e escritor inglês.Organização e tratamento de dados 43 4. . considera-se um rectângulo que representa todo o conjunto a ser classificado. As tabelas e os gráficos são instrumentos essenciais à representação e análise de dados. Os diagramas de Carroll são tabelas rectangulares para organizar dados ou objectos segundo critérios de sim/não. que gostava muito de problemas de lógica e de jogos matemáticos. aprendendo também a construir e interpretar gráficos circulares e de linha.º e 2. 4.º anos de escolaridade. e quantitativas. Finalmente.º ciclo. que os alunos devem aprender a usar com desembaraço. Toda a representação de dados em tabelas ou gráficos deve ser motivada por uma ou mais questões e depois dos dados representados deve indagar-se que outras questões seria ainda possível responder. e também para alguns aspectos que facilmente induzem em erro. discretas ou contínuas). e dentro desse rectângulo consideram-se círculos que representam os elementos com as características de interesse. ajudam a organizar de uma forma simples alguns tipos de informação. Isso tanto pode ocorrer na realização de investigações estatísticas. nas quais os alunos recolhem os seus próprios dados. no 2. como em tarefas mais estruturadas como as que apresentamos ao longo deste capítulo.2 Diagramas de Venn e de Carroll Começamos por referir algumas formas de classificar e organizar números ou objectos em listas ou tabelas simples.º ciclo.º e 4. Usualmente. gráficos de pontos e pictogramas. como aqui apresentamos. no 3. usualmente organizados em grupos. O trabalho deve ter sempre como ponto de partida situações do dia-a-dia dos alunos ou situações com as quais eles sejam familiares. Os diagramas de Venn são representações gráficas particularmente adequadas para os alunos mais novos. Nos 3. que não se podendo chamar propriamente instrumentos estatísticos. logo nos 1. É importante que os alunos ganhem sensibilidade para as potencialidades das diversas formas de representação dos dados e a sua adequação em função da natureza das variáveis em jogo (qualitativas. O nome atribuído a estes diagramas. é uma homenagem a Lewis Carroll. os alunos aprendem a trabalhar com tabelas de frequências relativas e continuam a trabalhar com as representações anteriores. bem como diagramas de caule e folhas. nominais ou ordinais.º anos os processos de representação são alargados aos gráficos de barras. Mais tarde. Pretende-se que os alunos saibam ler e interpretar informação registada por estes meios. que partilhem características comuns. De acordo com o Programa de Matemática. Utilizam círculos ou rectângulos para uma classificação rápida de objectos ou números. Quantos alunos têm 4 letras no nome? 2. em diagrama de Venn. a figura que tinham desenhado no caderno. o professor desenha no quadro 2 círculos com a indicação de que num círculo se colocam nomes com 4 ou menos letras e no outro nomes com 4 ou mais letras.Organização e tratamento de dados 44 Tarefa – Número de letras do nome. Depois. algumas questões que se podem colocar: 1. No fim. O professor pede a cada aluno que desenhe no caderno uma figura geométrica. Pode surgir. Quantos rapazes têm o nome na tabela? 2. De seguida pede a vários alunos para irem ao quadro e representarem no seguinte diagrama de Venn. o professor pede aos alunos que disponham os nomes no seguinte diagrama de Carroll. Quantos alunos têm mais de 4 letras no nome? A seguir. pode ser a seguinte: Algumas questões que podem ser colocadas: 1. escolhe ao acaso 10 alunos. de acordo com os critérios indicados: Depois da tabela completa. Quantas raparigas têm o nome com 4 ou menos letras? Tarefa – Figuras geométricas. colocar o seu nome no círculo adequado. Num primeiro momento. para irem ao quadro. uma representação possível. por exemplo: . Quantos múltiplos de 3 são números pares? 2. nem Quadrados? 7. 4. nem Rectângulos. O que é um quadrado? Um quadrado é um rectângulo? E um rectângulo é um quadrado? Quantos alunos desenharam figuras? Quantas das figuras desenhadas não são nem Triângulos. até 20. Duas representações possíveis são: Algumas questões que se podem colocar. relativas a ambos os diagramas: 1. 5. . os números de 1 a 20 que sejam múltiplos de 2 e também múltiplos de 4. Como se explica que a resposta às questões 5.Organização e tratamento de dados 45 Algumas questões: 1. os números de 1 a 30. e 6. seja exactamente a mesma? Tarefa – Números de 1 a 30. 2. O professor pede aos alunos que classifiquem num diagrama de Venn e noutro de Carroll. nem Rectângulos? E quantas das figuras desenhadas não são nem Triângulos. segundo os seguintes critérios: ser ou não múltiplo de 3 e ser ou não par. E que números são simultaneamente pares e múltiplos de três? Tarefa – Múltiplos de 2 e 4. Representar num diagrama de Venn. Quais os números que não são pares nem múltiplos de 3? 3. 6. 3. Organização e tratamento de dados 46 Algumas questões: Dos números de 1 a 20. O professor pede aos alunos para classificarem no diagrama de Carroll. 3. Todos os múltiplos de 4 são múltiplos de 2? Tarefa – Figuras e sólidos. paralelepípedo. dos quais 175 eram raparigas. prisma triangular. 2. as seguintes figuras no plano e sólidos geométricos: Cubo. Quais os sólidos com linhas perpendiculares? 3. Responderam 258 alunos. No conjunto indicado. rectângulo. triângulo equilátero. há mais figuras planas ou sólidos geométricos? Tarefa – Ajudas a lavar a loiça? Foi feito um inquérito numa escola onde se perguntava “em tua casa. cone. Quantos são múltiplos de 4? Quantos são múltiplos de 2? Dê exemplo de um múltiplo de 2 que não seja múltiplo de 4. esfera. paralelogramo. círculo. pirâmide. trapézio. quadrado. 1. que se apresenta. 4. Algumas questões: 1. Preenche a tabela seguinte: Rapariga Ajuda Não ajuda Total Rapaz Total A partir da tabela anterior. Responderam afirmativamente à pergunta 118 raparigas e 51 rapazes. prisma com base quadrangular. completa o seguinte diagrama de Venn: . cilindro. ajudas a lavar a loiça?”. Quais as figuras planas sem linhas perpendiculares? 2. Marca com um V (Verdadeiro) ou um F (Falso). o Pedro e o David gostam de Maçã 3 alunos não gostam de nenhum dos 3 frutos O Bernardo não gosta de Laranja 6 alunos gostam de Laranja 10 alunos gostam de Laranja ou Maçã . Laranja ou Banana? Considera o seguinte diagrama de Venn. que foi construído numa turma. cada uma das frases seguintes: A Joana gosta de Banana A Rita gosta de tudo A Teresa não gosta de nada A turma tinha 13 alunos A Rita e a Sara gostam de Banana e Laranja A Joana ou gosta de Banana ou de Maçã O Pedro e a Rita gostam dos mesmos frutos A Rita e o Manuel gostam de laranja O Pedro e a Filipa gostam de Laranja O Manuel. em que cada aluno manifestou o seu gosto relativamente a 3 frutos.Organização e tratamento de dados 47 O que é que representa e qual o valor: 1) De cada um dos círculos do diagrama anterior? 2) Da intersecção dos dois círculos? 3) Da parte do rectângulo exterior aos círculos? Tarefa – Preferes Maçã. pelo que. O quinto traço coloca-se de forma oblíqua a cortar os 4 traços anteriores. podendo assumir várias categorias ou modalidades. O aluno seguinte que prefere a cor amarela. No fim obtém-se um esquema idêntico ao seguinte: Da representação anterior. é utilizar o esquema de contagem gráfica (tally chart). Por vezes codificam-se as variáveis qualitativas com números. imediatamente se conclui que a cor preferida é a Vermelha. na turma. não faz qualquer sentido calcular a média destas observações. o estado civil de um indivíduo pode assumir as categorias solteiro. A seguir vem outro aluno que prefere a cor verde e coloca um traço ao lado do que já lá estava. seguindo-se a Verde. pretende-se averiguar. Então os alunos vão.1 Esquemas de contagem gráfica (tally charts) Existem algumas representações muito simples que se podem construir directamente a partir do conjunto de dados ou durante o processo de recolha. os dados qualitativos são os que resultam da observação de variáveis qualitativas. por exemplo. o facto de as categorias estarem representadas por números. um a um.3 Tabelas e gráficos para dados qualitativos Como dissemos anteriormente. os alunos vão escrevendo as cores se é a primeira vez que aparecem ou colocando traços à frente das cores que já estão no quadro. Uma maneira possível de ir registando os dados. do seguinte modo: O primeiro aluno. casado. à medida que os vamos recolhendo. Será que as preferências de cor têm a ver com as preferências clubísticas? Um esquema de contagem gráfica para a variável Cor dos olhos dos alunos da turma em referência é o seguinte: . escreve Verde e à frente desenha um traço. 4. não leva a variável a mudar de natureza. escreve Amarela e à frente um traço. no caso da variável sexo. em que se pode representar o sexo masculino por 1 e o feminino por 2. E assim sucessivamente. Por exemplo. ao quadro registar a sua cor preferida. viúvo ou divorciado. mas unicamente de classificação. No entanto. qual a cor preferida dos alunos. que prefere a cor verde.3. como por exemplo. Por exemplo. Estes resultados podem sugerir ao professor que questione os alunos sobre qual o seu clube de futebol preferido.Organização e tratamento de dados 48 4. Representam a informação que identifica alguma qualidade não susceptível de medição ou contagem. que pertencem a cada categoria (ou classe). Este esquema de contagem gráfica tem a grande vantagem de: permitir identificar as diferentes categorias ou modalidades que a variável qualitativa pode assumir no conjunto dos dados e permitir organizar os dados de tal maneira que facilmente se conta o número de elementos (frequências absolutas) em cada uma dessas categorias. É usual juntar .2 Tabela de frequências para dados qualitativos Os dados qualitativos são organizados na forma de tabelas de frequências. que passa de aluno para aluno. com duas ou mais colunas.3. coluna das categorias ou classes. no dia em que se realizou esta tarefa? 4. até todos terem assinalado com um traço o mês do seu aniversário: Mês Janeiro Fevereiro Março Abril Maio Junho Julho Agosto Setembro Outubro Novembro Dezembro Qual o mês em que há mais alunos a fazer anos? Qual o mês em que há menos alunos a fazer anos? Quantos alunos estavam na turma. regista-se o número de elementos da amostra. na coluna seguinte. predominam os olhos Castanhos.Organização e tratamento de dados 49 Como se verifica. uma vez concluído. coluna das frequências absolutas. é um passo que. Na primeira coluna. seguindo-se os Azuis. Não sendo um passo necessário para a construção das tabelas de frequência (que a seguir se apresentam). indicam-se todas as categorias presentes no conjunto de dados ou amostra a analisar. Então distribui a seguinte folha. serve de base para a construção dessas tabelas. Tarefa – O mês de aniversário. O professor propõe à turma averiguar qual o mês em que há mais alunos a fazer anos. Só 2 alunos têm olhos Verdes. Frequência relativa = frequência absoluta . no que diz respeito à variável Cor dos olhos.208 0.208 0. Enquanto os alunos não conhecerem fracções ou numerais decimais.125 0.333 0. abs. A partir das tabelas construídas.083 0. quais as categorias ou modalidades que assume. Para o conjunto de dados da turma. algumas questões são: a) b) c) d) Qual o(s) meio(s) de transporte mais utilizado? Qual o(s) meio(s) de transporte menos utilizado? Quantos alunos vão de carro ou de metro? A partir dos dados apresentados. 5 8 5 6 24 Freq. 0. enquanto no que diz respeito à variável Transporte utilizado. para cada categoria (ou classe) o valor que se obtém dividindo a frequência absoluta dessa categoria pela dimensão da amostra (número de elementos). se verificar que existe uma categoria predominante dá-se-lhe o nome de moda. isto é. na secção anterior. Por exemplo. 15 3 2 4 24 Freq. dimensão da amostra Uma tabela de frequências reflecte a forma da distribuição da variável em estudo. pode dar-se resposta a algumas questões. utilizamse unicamente frequências absolutas na construção das tabelas de frequências. Estas tabelas podem ser complementadas com a coluna das frequências relativas: Cor dos olhos Categorias Castanhos Pretos Verdes Azuis Total Freq. Se. assim como a frequência (absoluta e/ou relativa) com que assume essas modalidades. a moda é o “A pé”.250 1 . Frequência absoluta de uma categoria ou classe. a moda é a categoria “Olhos castanhos”. a partir da tabela respeitante à variável Transporte utilizado.625 0. rel. 0. Assim.Organização e tratamento de dados 50 uma terceira coluna. onde se regista. é de admitir que um número razoável de alunos mora perto da escola? e) Quantos alunos tem a turma? (admita que cada aluno preencheu uma das fichas a partir das quais se construiu o ficheiro Dados da Turma). na amostra considerada.167 1 Transporte utilizado Categorias Autocarro A pé Metro Carro Total Freq. rel. ao organizar um conjunto de dados qualitativos. abs. vamos construir a tabela de frequências respeitante às variáveis Cor dos olhos e Transporte utilizado para ir de casa à escola: Cor dos olhos Categorias Castanhos Pretos Verdes Azuis Número de alunos 15 3 2 4 Transporte utilizado Categorias Autocarro A pé Metro Carro Número de alunos 5 8 5 6 A tabela correspondente à variável Cor dos olhos foi obtida a partir do esquema de contagem gráfica construído para esta variável. é o número de elementos da amostra iguais a cada uma das categorias. coluna das frequências relativas. Esta metodologia é aconselhável. Exemplo – Animal doméstico preferido dos alunos das turmas A e B.05 1 Animal doméstico preferido Turma B Categoria Cão Gato Passarinho(s) Peixe(s) N. Por exemplo.999. devem-se calcular as frequências relativas. relativa 0. Na turma B há o dobro dos alunos da turma A que preferem os Peixes. que arredondado às unidades dá 1.º de alunos 14 6 4 2 26 Freq. obtemos o valor 0. Assim. relativa 0.º de alunos 11 5 3 1 Animal doméstico preferido Turma B Categoria Cão Gato Passarinho(s) Peixe(s) N. para se poderem tirar conclusões correctas. mas que tenham dimensão diferente. temos: Animal doméstico preferido Turma A Categoria Cão Gato Passarinho(s) Peixe(s) Total N. pretendem averiguar se os alunos têm gostos idênticos relativamente ao animal doméstico preferido. no que diz respeito à comparação das turmas. A e B.15 0.º de alunos 14 6 4 2 As duas tabelas foram apresentadas nas duas turmas (em conjunto) e houve alguns alunos que.15 0. as conclusões não estão correctas pois estão baseadas nas frequências absolutas e as turmas não têm o mesmo número de alunos.º de alunos 11 5 3 1 20 Freq. Assim. Esta última condição nem sempre se verifica devido ao facto de algumas frequências relativas serem dízimas infinitas.54 0. Adicionando uma coluna com as frequências relativas a cada uma das tabelas.Organização e tratamento de dados 51 Nas tabelas anteriores introduzimos também uma linha com os totais das colunas.08 1 . obrigando a arredondamentos. se somarmos as frequências relativas na tabela que diz respeito à variável Transporte utilizado. Os professores de duas turmas da escola. Será que estas conclusões estão correctas? Na verdade. em cada turma os alunos disseram qual o animal doméstico preferido e construíram as tabelas de frequência respectivas: Animal doméstico preferido Turma A Categoria Cão Gato Passarinho(s) Peixe(s) N.23 0. pois é um processo de verificação de que as frequências devem estar bem calculadas. tendo em conta os dados apresentados. A soma das frequências relativas é igual a 1. A utilização das frequências relativas é aconselhada quando se pretendem comparar duas amostras que digam respeito à mesma variável. já que: A soma das frequências absolutas é igual à dimensão da amostra.55 0.25 0. exprimiram as suas opiniões: Na turma B há mais alunos do que na turma A a preferirem o Cão. não podemos dizer que na turma B existe o dobro dos alunos da turma A. Tal como o esquema de contagem gráfica. marca-se um ponto sempre que ao recolher um dado ou ao percorrer o conjunto dos dados se encontrar um elemento da respectiva categoria. a metodologia a seguir para a recolha de dados pelos alunos pode ser a utilizada no esquema de contagem gráfica. onde se assinalam (igualmente espaçadas) as diferentes categorias ou modalidades que a variável assume no conjunto dos dados. O primeiro aluno a ir ao quadro. como se apresenta a seguir: A organização dos dados num gráfico de pontos permite visualizar quais as categorias que predominam e quais as menos frequentes. afinal. Começa-se por desenhar um eixo horizontal (ou vertical). Por cima de cada categoria (ou ao lado).Organização e tratamento de dados 52 Ao compararmos as frequências relativas.3.3.1 Gráfico de pontos A representação gráfica mais simples que se pode obter e que não necessita de nenhuma organização prévia dos dados. que já manifestou oralmente a sua preferência . Ao investigarem qual o animal doméstico preferido. a preferirem esse animal.3. à medida que se recolhem os dados. na turma A há uma maior (embora pequena) frequência de alunos a preferirem o Cão. Neste caso desenha-se um ponto por quadrícula. 4. Verificamos também que. para os dados da turma de referência. é uma representação que se pode ir construindo. podemos distinguir os seguintes passos na construção do gráfico de pontos para a variável Transporte utilizado: A construção do gráfico de pontos é facilitada se se utilizar papel quadriculado. é o gráfico ou diagrama de pontos. verificamos que. Por exemplo. embora haja 2 vezes mais alunos da turma B do que da turma A. nas duas turmas. existe igual preferência pelos Passarinhos e que. a preferirem os peixes. no caso dos dados qualitativos.3 Gráfico de pontos e gráfico de barras para dados qualitativos 4. onde assinala uma posição para situar a categoria Cão. começa por desenhar um eixo horizontal ou vertical. Enquanto que no gráfico de pontos a preferência de cada aluno é representado por um ponto. O aluno seguinte. por cima. cada aluno desenha um quadrado.Organização e tratamento de dados 53 pelo Cão. Os outros alunos vão desenhando pontos em cima dos que já lá estão ou acrescentando categorias. que é objecto de estudo da secção seguinte: Alternativa ao gráfico de pontos Uma alternativa ao gráfico de pontos consiste em desenhar quadrados em vez de pontos. obtemos um gráfico de barras. em posições igualmente espaçadas umas das outras. . obtendo-se um gráfico como o que se apresenta a seguir: Maria Daniel Isabel Tiago Inês Pedro Miguel Filipa Manel José Ana Jorde Sofia Sónia Filipe Antón Miguel João Joana Teresa Cão Gato Passarinhos Peixes Cão Gato Passarinhos Peixes Esta representação é muito aliciante para os alunos. nesta representação alternativa. escrevendo por baixo o nome Cão e. desenhando um ponto. que prefere o gato. pois cada um tem a oportunidade de colocar o seu nome no quadrado correspondente ao seu animal preferido. o resultado seria o seguinte: Se na representação gráfica anterior se envolverem os pontos com um rectângulo e a seguir se apagarem os pontos. Se esta investigação tivesse sido colocada à turma A da secção anterior. assinala uma posição para a categoria Gato e procede como o aluno anterior. Por cima de cada categoria (ou ao lado). as alturas das barras têm de ser iguais às frequências relativas das categorias para que a soma das alturas das barras em qualquer dos gráficos seja igual a 1. pois as barras mais largas podem chamar mais a atenção. no gráfico de barras ele faz parte integrante do gráfico e não pode ser omitido.2 para as variáveis Cor dos olhos e Transporte utilizado: Ao contrário do gráfico de pontos. onde se marcam as frequências. no entanto ter-se em atenção que. no mesmo gráfico. basta agora contar os quadrados respectivos 4. Desenha-se ainda um eixo vertical (horizontal). como no caso dos dados qualitativos ordinais. Eis os gráficos de barras correspondentes às tabelas de frequência construídas na secção 4.2 Gráfico de barras Uma forma de visualizar a informação de uma tabela de frequências é através do gráfico ou diagrama de barras. que dão uma mensagem muito precisa. Se não tivéssemos esta precaução e utilizássemos as frequências absolutas.3. a comparação entre os gráficos poderia induzir em erro. A ordem por que se colocam as categorias é arbitrária. quando se utilizam para comparar amostras que digam respeito à mesma variável. tem aqui igual cabimento.3.3. para facilitar a leitura das frequências associadas às diferentes categorias. Deve. Por vezes. as barras devem ter todas a mesma largura. mas de dimensão diferente. desenham-se linhas paralelas ao eixo onde estão assinaladas as categorias: . Para construir este gráfico. Neste caso. induzindo em erro. A observação que fizemos relativa às tabelas de frequência. onde se assinalam (igualmente espaçadas) as diferentes categorias ou modalidades que a variável assume no conjunto dos dados.Organização e tratamento de dados 54 Para se obter a frequência em cada animal doméstico. Ao contrário das alturas das barras. começa-se por desenhar um eixo horizontal (ou vertical). que não necessita de um eixo onde se marcam as frequências. desenha-se uma barra com altura proporcional ao número de casos observados nessa categoria. permitindo a comparação. a largura das barras não transmite qualquer informação. a não ser que haja alguma ordem subjacente. (%) 22. sendo mais fácil colocá-los verticalmente do que ao lado uns dos outros. 320 135 257 335 379 1426 Freq. Com o objectivo de fazer um seguro.6 100. o nome das classes é longo.4 9.0 O gráfico de barras horizontais tem o seguinte aspecto: 1 Graça Martins et al (1999) .0 23. por vezes. Exemplo – Seguro do agricultor1.Organização e tratamento de dados 55 Gráfico de barras horizontais Os gráficos de barras horizontais utilizam o eixo vertical para marcar as classes e o eixo horizontal para marcar as frequências.5 18.5 26. em que. São especialmente indicados no caso das variáveis quantitativas. abs. rel. O resultado apresenta-se na tabela seguinte: Classes Laranjeiras Limoeiros Pessegueiros Macieiras Pereiras Total Freq. um agricultor teve de fazer o levantamento do número e tipo de árvores de fruto existentes no seu pomar. assim como a ordem de grandeza de cada categoria relativamente às restantes. A metodologia utilizada para seleccionar estes alunos. Para que um gráfico de barras transmita a informação que se pretende. Na escola. o Director pretende averiguar os pratos preferidos dos alunos que comem na cantina. pudemos tirar as seguintes conclusões: a) O Hambúrguer com batatas fritas foi o prato mais votado b) O número de alunos que escolheu Hambúrguer com batatas fritas. A comissão encarregue do estudo apresentou ao Director um gráfico e um pequeno relatório com as conclusões: Relatório: Os alunos interrogados apontaram 7 pratos distintos. Nesta escala devem estar marcadas as frequências absolutas ou as frequências relativas das categorias que a variável assume no conjunto de dados considerados. num dia escolhido ao acaso. deve ter associado: o nome da variável que se está a estudar.Organização e tratamento de dados 56 A principal vantagem dos gráficos. sem ambiguidade. foi a de interrogar os que se dirigiam à cantina. relativamente às tabelas. Tarefa – Prato preferido (Sugerida por uma actividade do CensusAtSchool). os nomes das categorias que a variável assume. pelo que encarrega uma comissão de fazer um inquérito a alguns alunos. uma escala no eixo vertical (ou horizontal). pois permitem-nos ter uma percepção imediata de quais as categorias de maior e menor frequência. no eixo horizontal (ou vertical). foi o dobro dos que escolheram Frango assado c) Os Filetes de peixe receberam menos 4 votos do que o Hambúrguer com batatas fritas d) O Esparguete à Bolonhesa foi o segundo prato mais votado e) O Bacalhau com natas teve mais 4 votos do que o Peixe assado f) Houve quem votasse nas Ervilhas com ovos g) 5 alunos votaram no Bacalhau com natas . Das respostas. está na rapidez de leitura. mas onde se substitui a barra pelo número de símbolos correspondentes a cada categoria. Por exemplo. o pictograma correspondente à variável Cor dos olhos da turma de referência. enquanto que se o objecto do estudo for o sabor do gelado preferido. é natural utilizar como símbolo um olho. Por exemplo. é natural utilizar como símbolo um gelado. Afinal. A representação é idêntica ao gráfico de barras. pois achou as conclusões muito confusas. 4. com um eixo horizontal (ou vertical). Nessa altura deve estar junto à representação gráfica o valor de cada figura. Tarefa – Bolachas preferidas. No seguinte pictograma apresenta-se o resultado de um inquérito a uma turma. se se estiver a estudar a variável cor dos olhos.3.Organização e tratamento de dados 57 O Director recebeu este pequeno relatório e não ficou satisfeito.4 Pictograma Um pictograma é uma representação gráfica que usa símbolos alegóricos às variáveis que se estão a estudar. pode ter o seguinte aspecto: Nota – Por vezes uma figura representa mais do que um indivíduo. quantos alunos tinham votado? E quantos votaram em cada prato? Podes ajudar a completar adequadamente o gráfico anterior? (Colocar as categorias e numerar a escala do eixo vertical). sobre qual o sabor preferido de um determinado tipo de bolachas: Algumas questões: a) Quantos alunos responderam a esta questão? b) Quantos alunos disseram preferir sabor a Limão? . ª classe é mais do dobro dos que viajam em 2ª.Organização e tratamento de dados 58 c) Qual é o sabor mais popular? d) Que nome se dá à categoria mais preferida? A utilização de pictogramas exige vários cuidados. que neste caso foi quebrado – o princípio das áreas: a área ocupada por parte de um gráfico. Por exemplo. deve ser proporcional ao valor que essa parte representa. Utilizaram-se figuras cujas áreas não são proporcionais aos valores das categorias. Abs.ª classe 3. a informação que se pretendia transmitir era a dada pelo comprimento do barco. Considere um navio que transporta 525 pessoas. ao visualizar o gráfico anterior ficamos convencidos de que o número de passageiros viajando em 3. pois as figuras podem induzir em erro. Uma representação gráfica correcta seria a seguinte. não dando uma informação correcta sobre as frequências correspondentes às diferentes categorias. como se ilustra nos exemplos seguintes. para a variável Tipo de passageiro: Categorias Tripulação 1. para representar as frequências das categorias da variável em estudo. quando na verdade não chega ao dobro.ª classe 2. Ora. Exemplo – Os passageiros de um navio. 141 51 115 218 525 A utilização do seguinte pictograma. induz o leitor em erro: Há um princípio básico de uma boa representação gráfica.ª classe Total Freq. de acordo com a seguinte tabela de frequências. utilizando um gráfico de barras: . na figura anterior. Encarregou um aluno de recolher a informação necessária.8 100 Então o Director foi informado que as preferências dos alunos vão para o futebol seguindo-se o basquete. tendo em conta as preferências dos alunos. Em três turmas foram seleccionados 6 alunos e nas restantes 5.5 26. O resultado da recolha da informação tinha o seguinte aspecto Futebol Volei Basquete Ténis Andebol x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xxxxxxxxxxxxxxx x xxxxxxxxxx xx O aluno. o aluno construiu a seguinte tabela de frequências Classes Futebol Volei Basquete Ténis Andebol Total Freq. onde se substituiu a barra por uma figura humana: . Depende agora das disponibilidades financeiras contemplar as diferentes modalidades. Procurando transmitir a informação graficamente. o qual utilizou a seguinte metodologia: elaborou uma lista de jogos possíveis e percorreu todas as turmas da escola. ao perguntar a cada elemento da amostra a sua opinião. 32 18 27 19 7 103 Freq.Organização e tratamento de dados 59 Exemplo – Campo de jogos (adaptado de Graça Martins et al. A forma como a informação foi recolhida permite imediatamente concluir que a modalidade preferida foi o futebol. pelo que gostaria de ter uma ideia de quais os jogos preferidos dos alunos. A fim de transmitir verbalmente a informação ao Director.2 18.1 17. 1999). perguntando dentro de cada turma qual a opinião dos alunos cujo número fosse um múltiplo de 5. Numa escola o Director pretende construir um campo de jogos. rel (%) 31. abs. os alunos construíram o seguinte pictograma. apontava o resultado com um x à frente da modalidade seleccionada. em número de 20.4 6. Se umas barras forem mais largas do que outras. Este problema foi ocasionado pelo facto de se pretender que a figura humana ficasse proporcional. errada.Organização e tratamento de dados 60 Na figura anterior a imagem correspondente à classe futebol é substancialmente maior que a que é utilizada para as outras modalidades ou classes. que corresponde a uma percentagem de 5%. é o que se apresenta a seguir. para tornar a representação gráfica mais atraente. pois a mensagem que devem transmitir é a que está contida nas diferentes alturas das barras. Daí dar uma ideia. pelo que à medida que se aumentou a altura. em que as barras são substituídas por figuras. por exemplo. sendo possível utilizar uma fracção da figura: . de que. que se replica o número de vezes que for necessário. a percentagem de alunos que preferem o futebol é várias vezes superior aos que preferem volei. temos tendência a crer que as classes a que correspondem as barras mais largas têm maior frequência do que a que efectivamente têm. Este é um problema que não é tido em conta na construção de muitos pictogramas. quando nem sequer chega a ser o dobro. Um pictograma possível. em que a figura utilizada é uma figura humana. como já dissemos nas indicações para a sua construção. como aconteceu no caso deste exemplo. deve ter-se em atenção que as barras devem ter a mesma largura. também se aumentou a largura. O gráfico de barras correspondente tem o seguinte aspecto: Gráfico de barras para a variável Jogo preferido Na construção do gráfico de barras. mas sem incorrer no erro da representação inicial do exemplo anterior.3. Verificaram que havia animais de 4 tipos: cães. o professor decidiu ir com os alunos verificar que tipo de animais é que havia no jardim.). Pictograma para a variável Tipo de árvore Embora seja comum dizer que uma imagem vale mais do que mil palavras. que tem um lago muito bonito. Uma representação gráfica possível para este exemplo.Organização e tratamento de dados 61 Pictograma para a variável Jogo preferido Exemplo – Seguro do agricultor (cont. o que.2 seria a seguinte. Tarefa – Os animais do jardim – No jardim da escola.3. patos e tartarugas. em que se considera uma figura sugestiva. nem sempre acontece. peixes. apresentado na secção 4. não podemos deixar de chamar a atenção para que esta frase tem sentido se a informação transmitida pela imagem for correcta. como vimos. de acordo com o seguinte pictograma . Pato. A partir do pictograma facilmente se constrói a tabela de frequências absolutas e o gráfico de barras associado: Tipo de animal Cão Peixe Pato Tartaruga Total Frequência absoluta 3 5 4 3 15 . Pato. Peixe. Pato. pelo que o conjunto de dados observados foi: Cão. Cão. o que é o dado? Dado é o resultado da observação do tipo de animal. Peixe. Quantas tartarugas existem agora? No problema anterior. Tartaruga. são as seguintes: • Quantos patos há no jardim? • Quantos peixes há no jardim? • Quantos animais vivem no jardim? • Há alguns animais que existam na mesma quantidade? Se existirem. quais são? • Quantos peixes há a mais do que patos? • Ofereceram 2 tartarugas para o jardim da escola. Tartaruga. Tartaruga Cada figura do pictograma representa cada dado. de uma forma sugestiva. Cão. Peixe. Peixe.Organização e tratamento de dados 62 Algumas questões que podem ser colocadas. Peixe. Pato. Na turma. o professor apresentou os resultados de um inquérito. é a de Vegetais. Na turma A há igual número de alunos a preferirem a piza de Frango e a piza de Atum. são as seguintes: . ou para interpretar frequências relativas relacionadas com estas. utilizando os seguintes gráficos circulares: Turma A Turma B Como se verifica. Exemplo de algumas questões suplementares. preferem a piza Quatro queijos. 4 ou 8 partes. A base desta representação é um círculo que representa a forma como o total de um conjunto de dados se distribui pelas categorias. ao lado das “fatias” respectivas do círculo. tanto para os alunos da turma A. imediatamente se conclui que: A maior parte dos alunos. 1/8. para uma melhor leitura do gráfico. a construção do gráfico circular deve ser feita através de dobragens do círculo em 2.3. ¼. assim como os nomes das categorias.5 Gráfico circular Uma representação gráfica muito utilizada. pelo que para estes alunos só se recomenda a sua utilização para representar frequências relativas próximas de ½. tantos quantas as categorias da variável em estudo. Tivemos o cuidado de colocar estas percentagens. cada sector representa uma fracção do total de dados. Para os alunos mais novos. nomeadamente na comunicação social. é o gráfico circular. e o ângulo de cada sector é proporcional à frequência da categoria que representa. O círculo é dividido em sectores circulares. Destas representações gráficas.Organização e tratamento de dados 63 4. prefere a piza Margarita. A piza menos preferida. envolvendo um desafio mais forte. tanto da turma A (50%). como da turma B (31%). em que este “todo” é representado pelo círculo e equivale a 100%. num gráfico circular utilizam-se percentagens. Exemplo – A piza preferida nas turmas A e B. enquanto que na turma B existe igual número de alunos a preferirem a piza Margarita e a de Frango. Metade dos alunos da turma A prefere a piza Quatro queijos e metade dos restantes. como da turma B. sobre qual a piza preferida nas turmas A e B. Os alunos devem começar por aprender a ler a informação transmitida por estas representações gráficas e só posteriormente procederem à sua construção. Assim. já que é a forma indicada para representar a fracção de cada categoria como parte do todo. o que acontecia ao gráfico circular? Admitindo agora que tínhamos a tabela de frequências correspondente à piza preferida da turma A. Por exemplo. corresponde à categoria Margarita. considerando-se uma das partes para a categoria Vegetais e duas partes para a categoria Frango e outras duas para a categoria Atum. é superior ao número de alunos da turma B a preferir o mesmo tipo de piza? Sabe-se que na turma A. é mesmo necessário dividir a amplitude do ângulo de 360º em amplitudes proporcionais às frequências relativas das categorias para construir os sectores circulares. no caso da turma B. Quantos alunos tem a turma? Nas condições da alínea anterior. em que as frequências relativas eram relativamente fáceis de marcar. um quarto do círculo. Estas amplitudes que se obtêm multiplicando 360º pelas fre- . há 10 alunos a preferirem piza Quatro queijos.Organização e tratamento de dados 64 Podemos afirmar que o número de alunos da turma A que prefere piza Quatro queijos.. Como 25% dos alunos prefere piza Margarita. quantos alunos da turma A preferem piza de Vegetais? Se se duplicasse o número de alunos da turma A (situação pouco razoável.. então metade do círculo corresponde a esta categoria. Finalmente pintam-se os sectores e colocam-se as etiquetas e as percentagens correspondentes Nem sempre a construção do gráfico circular é tão simples como no caso anterior.) a preferirem cada tipo de piza. devido ao elevado número de alunos. vejamos como proceder à construção do gráfico circular respectivo: Piza preferida Margarita Quatro queijos Vegetais Frango Atum Total Frequência Absoluta 5 10 1 2 2 20 Frequência Relativa (%) 25 50 5 10 10 100 Como 50% dos alunos preferem a piza Quatro queijos. O quarto do círculo restante deve ser dividido em 5 sectores aproximadamente iguais. 90) ensina-se a construir um gráfico circular a partir de papel quadriculado e cartolina. admitamos que as preferências dos alunos de uma outra turma foram as seguintes: O gráfico está bem construído. nomeadamente quando o número de categorias que a variável assume for demasiado grande. tornando confusa a informação que procura transmitir. com a legenda e as percentagens associadas às categorias indicadas. Por exemplo. p. por vezes é preferível a utilização de gráficos de . como se apresenta a seguir.Organização e tratamento de dados 65 quências relativas das categorias são acrescentadas à tabela de frequência e para desenhar os sectores circulares é necessário utilizar um transferidor: Piza preferida Margarita Quatro queijos Vegetais Frango Atum Total Frequência Absoluta 7 8 2 7 2 26 Frequência Relativa (%) 27 31 8 27 7 100 Amplitude do ângulo 97º 111º 27º 98º 27º 360º Nota – Em Graça Martins et al. A utilização dos gráficos circulares merece alguns cuidados. mas a mesma informação seria mais facilmente apreendida através de um gráfico de barras. em que se torna mais fácil de visualizar as diferenças entre as frequências das diferentes categorias: Nem sempre a utilização de gráficos circulares é a mais conveniente Embora no exemplo anterior tenhamos utilizado dois gráficos circulares para comparar os gostos de duas turmas. (2007. Da representação gráfica anterior concluímos que a moda nos rapazes é a piza Quatro queijos. enquanto que nas raparigas é a Piza Margarita. sobre qual o animal doméstico preferido: Estima o número de alunos que: a) Têm cão b) Têm gato ou pássaro c) Não têm animal doméstico . o que faz com que as áreas dos sectores circulares sejam difíceis de comparar. Tarefa – Animal doméstico preferido. Esta observação é especialmente adequada para o caso em que nas distribuições em análise. Por exemplo. O gráfico circular seguinte mostra o resultado de uma sondagem a 50 alunos de um escola. a utilização dos gráficos circulares não é tão adequada como o gráfico de barras pois nesta representação o comprimento das barras torna mais fácil comparar as frequências correspondentes às mesmas categorias.Organização e tratamento de dados 66 barras dispostos de forma adequada. para distinguir os gostos dos rapazes dos gostos das raparigas da turma B. algumas categorias tenham valores próximos. Organização e tratamento de dados 67 Tarefa – Meio de transporte utilizado. Aos mesmos alunos da tarefa anterior perguntou-se qual o meio de transporte que utilizavam para ir para a escola. Os resultados obtidos estão na seguinte tabela: Transporte utilizado Carro Transportes públicos A pé Autocarro da Câmara Outro N.º de alunos 8 21 18 2 1 Completa a tabela seguinte com as frequências relativas, com 2 casas decimais e em percentagem: Transporte utilizado Carro Transportes públicos A pé Autocarro da Câmara Outro Total N.º de alunos 8 21 18 2 1 50 Fracção do todo (2 casas decimais) Fracção do todo (percentagem) Na figura seguinte apresentam-se 2 círculos, em que no primeiro estão marcadas 50 divisões iguais e no segundo 100 divisões iguais: a) Cada um dos círculos anteriores pode servir para construir gráficos circulares: num deles é mais fácil utilizar as frequências absolutas e no outro as frequências relativas (em percentagem). Explica porquê. b) Constrói os gráficos circulares utilizando quer as frequências absolutas, quer as frequências relativas. Compara as representações obtidas e descreve o que concluíste. c) A partir da tabela de frequências inicialmente dada, construiu-se o seguinte gráfico de barras para os mesmos dados: Organização e tratamento de dados 68 i) Qual das representações gráficas preferes? O gráfico circular ou o gráfico de barras? ii) Qual o tipo de informação que é realçada pelo gráfico circular? iii) Qual o tipo de informação que é realçada pelo gráfico de barras? Nota – No texto anterior alertámos para o facto de ser necessário algum cuidado na utilização do gráfico circular, nomeadamente quando a distribuição a representar, apresenta muitas categorias (ou classes) ou quando os valores das frequências de algumas das categorias estão próximos. No entanto é uma representação por excelência, quando o que se procura realçar é a forma como os dados se distribuem pelas categorias, já que representa a fracção de cada categoria como parte do todo, em que este “todo” é representado pelo círculo e equivale a 100%. Assim, a escolha da representação gráfica adequada para representar um conjunto de dados pode depender do que é que se procura realçar na distribuição desses dados. 4.3.6 Nem sempre um gráfico com barras é um gráfico de barras... É comum utilizarem-se gráficos com barras para representar os próprios dados e não as frequências com que as diferentes classes ou categorias surgem no conjunto de dados que se está a estudar. Por exemplo, admitamos que se estava interessado em saber qual o número de alunos de cada uma das turmas do 7º. ano, de determinada escola. Depois de feita a contagem, chegou-se aos seguintes resultados: Turma A B C D E Nº. de alunos 27 26 25 26 25 A tabela anterior não é uma tabela de frequências, mas simplesmente uma tabela que apresenta os dados. Neste caso, a unidade observacional, isto é o objecto do nosso estudo, sobre o qual pretendemos recolher informação, é a turma, porque o nosso objectivo era saber quantos alunos tinha cada turma do 7º. ano. O dado é o Organização e tratamento de dados 69 resultado da nossa observação! Assim, os nossos dados são o número de alunos das turmas A, B, C, D e E ou seja 27, 26, 25, 26, 25 Uma forma possível de representar a informação anterior, é utilizando um gráfico com barras, como o que se apresenta a seguir: O gráfico anterior, embora seja um gráfico com barras, não é o que se chama, em Estatística, um gráfico de barras, pois é um gráfico onde estão representados os dados e não as frequências absolutas ou relativas de um conjunto de dados. Admitamos agora que considerávamos um conjunto de 25 alunos do 7º. e decidíamos investigar a que turma pertencia cada aluno Agora, a unidade observacional é o aluno e a característica que estamos a estudar é a turma a que pertence, pelo que os nossos dados serão do tipo A, C, B, A, E, C, ....,A Após resumir a informação contida no conjunto de dados anteriores, através de uma tabela de frequências, poderíamos construir o gráfico de barras associado. Um resultado possível poderia ser: Turma A B C D E Total Freq. Absoluta 4 3 5 6 7 25 Este gráfico, embora idêntico ao apresentado no início desta secção, é um gráfico de barras onde estão representadas as frequências absolutas das categorias assumidas pela variável em estudo – Turma a que o aluno pertence, no conjunto dos dados. No outro gráfico estão representados os dados obtidos ao observar a variável – Número de alunos por turma. Organização e tratamento de dados 70 Confusão entre dados e frequência! A situação em que se confundem dados com frequências é mais comum do que se poderia pensar. Mesmo em obras científicas aparecem situações em que se faz essa confusão. Reproduzimos a seguir um exemplo, de entre os vários que encontrámos, em livros de texto de Matemática para o Ensino Básico: “O gráfico representa as áreas dos continentes 1. Qual o continente que tem menor área? 2. Qual a área da Europa em ha? 3. Qual o continente com maior área? 4. Constrói uma tabela de frequências” A resposta apresentada para a questão 4 é a seguinte: Continente Oceânia Europa Ásia América África Área milhões km2 9 10 44 42 30 No gráfico anterior estão representadas as áreas dos cinco continentes e essas áreas são os dados resultantes da observação da variável Área de cada continente. Assim, não tem qualquer sentido a questão 4, onde se pede para construir uma tabela de frequências, pois nem o gráfico apresenta as frequências, nem a tabela é uma tabela de frequências. No entanto, tanto o gráfico como a tabela apresentam correctamente os dados observados. Outro exemplo também encontrado num texto de Matemática é o seguinte: “No jardim zoológico contou-se o número de visitantes que durante uma semana assistiram ao espectáculo dos golfinhos. Os resultados obtidos foram: Segunda – 0; Sexta– 1500; Terça – 1000; Sábado – 3000; Quarta– 1500; Domingo – 2500 5ª feira – 1250; 1. Elabora uma tabela de frequências absolutas 2. Constrói um gráfico de barras correspondente, considerando as frequências absolutas de 500 em 500 3. Indica os dois dias com maior número de visitantes. Porque será?” Organização e tratamento de dados 71 A resolução apresentada é a seguinte: Dia da semana Nº. de visitantes 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª Sáb. Dom. 0 1000 1500 1250 1500 3000 2500 Mais uma vez, nem a tabela anterior é uma tabela de frequências, nem o gráfico é um gráfico de barras. Atenção às escalas! A principal vantagem dos gráficos, relativamente às tabelas, está na rapidez de leitura, pois permitem-nos ter uma percepção imediata de quais as categorias de maior e menor frequência, assim como a ordem de grandeza de cada categoria relativamente às restantes. Para que um gráfico com barras, quer represente os dados ou as frequências (gráfico de barras) transmita a informação que se pretende sem ambiguidade, deve ter uma escala onde devem estar marcados o valor dos dados ou das frequências (absolutas ou relativas). A manipulação das escalas, sobretudo a do eixo onde estão marcadas as frequências, pode ser usada com o intuito de transmitir informação incorrecta, como se verifica nos dois exemplos seguintes. Exemplo – Número de queixas recebidas num hospital, por negligência médica. Suponha que num determinado hospital o número de queixas, no período de 2003 a 2007, foi o seguinte: 8, 9, 12, 13 e 12. Foram apresentadas as seguintes representações gráficas para transmitirem a informação anterior: 13 Número de queixas 19 Número de queixas 17 15 13 11 9 7 2003 2004 2005 2006 2007 12 11 10 9 8 7 2003 2004 2005 2006 2007 A representação gráfica da esquerda procura realçar o facto do número de queixas ter aumentado substancialmente, enquanto que a do lado direito procura desvalori- Organização e tratamento de dados 72 zar esse aumento. Em nenhum dos gráficos a escala se inicia no ponto 0, o que é um erro. Por outro lado, no gráfico do lado direito ainda se diminuiu a distância entre os incrementos do eixo vertical, ao mesmo tempo que se aumentou a distância entre as categorias no eixo horizontal. Uma representação correcta pode ser a seguinte: Mais à frente veremos outra representação gráfica, o gráfico de linha, mais sugestivo e apropriado para representar este tipo de informação, em que se procura representar a evolução de uma variável, com o tempo. Exemplo – Quantidade de açúcar nos cereais para crianças. Uma empresa que vende cereais para crianças faz publicidade aos seus cereais da marca “Que Bom”, alegando que têm menos açúcar do que os da concorrência. Para fundamentar a sua alegação apresenta o gráfico do lado esquerdo da figura seguinte, onde compara os 9grs de açúcar, por 100grs do cereal “Que Bom”, com os 15, 14, 12, 11 e 11 gramas, de açúcar, por 100grs, respectivamente dos cereais A, B, C, D e E: 15 grs açúcar/100grs _ grs açúcar/100grs 15 _ 14 _ 13 12 11 10 9 _ _ _ _ _ _ 10 5_ 8_ A B C D E Que Bom 0_ A B C D E Que Bom onde. respectivamente. considerando-se agora para classes os valores distintos que surgem no conjunto de dados.4 Tabelas e gráficos para dados quantitativos discretos Como já vimos na secção 3.958 1. medidas de localização de alguns pontos importantes da distribuição dos dados.Organização e tratamento de dados 73 4.833 0. Acum. a coluna das frequências absolutas acumuladas e a coluna das frequências relativas acumuladas. coluna das classes. No exemplo da turma de referência.125 0. Abs. 2 Recordemos que num conjunto infinito numerável pode estabelecer-se uma correspondência entre os seus elementos e o conjunto dos números naturais . Pode ainda incluir-se na tabela de frequências mais duas colunas.042 1. designam-se também por variáveis quantitativas discretas. 0.625 0. a variável Número de irmãos é de natureza discreta e a tabela de frequências construída a partir dos valores observados para os alunos da turma tem o seguinte aspecto: N.º de irmãos Freq. com três ou mais colunas. As colunas das frequências acumuladas. Abs. as variáveis quantitativas de contagem. fi 0. Rel. i surge na amostra.208 0.250 0. regista-se o número de vezes que cada valor x * . na coluna seguinte. 25% dos alunos não têm nenhum irmão. Acum. x * . regista-se. como veremos mais à frente.1 Tabela de frequências para dados quantitativos discretos A construção da tabela de frequências para dados quantitativos discretos é idêntica à construída para dados qualitativos. para cada classe x * .4. pelo que o valor de 1 para a variável Número de irmãos. presentes na amostra a analisar. coluna i das frequências absolutas ni.375 0.000 x* i 0 1 2 3 4 Total Da tabela anterior podemos retirar algumas conclusões relativas a esta turma: Na turma predominam os alunos com um único irmão. Mais de 95% dos alunos têm 3 ou menos irmãos. Não há alunos com mais de 4 irmãos. nomeadamente a das frequências relativas é bastante útil no cálculo da mediana e dos quartis. isto é.000 Freq. Na primeira coluna. se coloca a soma das frequências absolutas ou relativas. o valor que se obtém dividindo a i frequência absoluta pela dimensão da amostra (número de elementos). Os dados discretos são organizados na forma de uma tabela de frequências. que se referem a características que só se podem contar e não se podem medir. ni 6 9 5 3 1 24 Freq.250 0. Numa terceira coluna. Estas variáveis só podem assumir um número finito ou infinito numerável de valores distintos. indicam-se todos os valores distintos. para cada classe. 6 15 20 23 24 Freq.2 4. é a moda. coluna das frequências relativas (ou percentagens) fi. O resultado da observação destas variáveis são os dados quantitativos discretos. Rel.3. Acum. não considerámos as frequências acumuladas. Por exemplo. pois pode-se estabelecer uma hierarquia entre as classes ou categorias que assume: Não satisfaz é menor que Satisfaz pouco.208 0. seria a seguinte: Classificação Não satisfaz Satisfaz pouco Satisfaz Satisfaz muito Satisfaz plenamente Total Freq.000 Tendo em consideração a tabela anterior.917 1. para os mesmos alunos. as colunas das frequências acumuladas. ao construirmos as tabelas de frequência.5%+12.042 0. Satisfaz pouco.167 0. para a qual construímos a tabela de frequências Categorias Castanhos Pretos Verdes Azuis Total Freq.083 1. 4.250 0. Embora a variável em estudo seja de tipo qualitativo. No entanto. Não se pode dizer que 75% (62. é o gráfico ou diagrama de pontos. É uma representação que se pode ir construindo à medida que se recolhem os dados. a representação gráfica mais simples que se pode obter e que não necessita de nenhuma organização prévia dos dados.042 0. é que tem sentido calcular as frequências acumuladas. 0. poderíamos concluir que: Só 5 alunos.5%) dos alunos têm cor dos olhos menor ou igual a Pretos. uma tabela de frequências possível.1 Gráfico de pontos Tal como para os dados qualitativos.000 Freq. ni 1 4 11 6 2 24 Freq. Acum. Abs.458 0. Satisfaz.Organização e tratamento de dados 74 No caso das variáveis qualitativas.4. as variáveis ordinais – em que se pode estabelecer uma ordenação ou hierarquia entre as classes. Cerca de 79% (100%-21%) dos alunos tiveram nota positiva. se estivermos a estudar a variável Cor dos olhos.125 0.667 0. Rel. tem a particularidade de ser ordinal.2. onde se assinalam todos os valores que a variável assume no conjunto dos dados. Poderíamos eventualmente interpretar esse valor dizendo que 75% dos alunos têm olhos Castanhos ou Pretos. rel. Rel. Satisfaz muito e Satisfaz plenamente. Por cima de cada valor (ou ao lado). à tabela. 1 5 16 22 24 Freq. mas não é este o objectivo das frequências acumuladas. cerca de 21% dos alunos é que tiveram classificação negativa. Abs. fi 0. só para alguns casos especiais das variáveis qualitativas.2 Gráfico de pontos e gráfico de barras para dados quantitativos discretos 4. Efectivamente.083 0. se os alunos da Turma de referência fizessem um teste de Língua Portuguesa e fossem classificados com as classificações de Não satisfaz.625 0.167 1 já pode dar origem a interpretações erradas juntarmos. abs.4. marca-se um ponto sempre que ao . 0. etc. 15 3 2 4 Freq. ou seja. Começa-se por desenhar um eixo horizontal (ou vertical). Começa-se por desenhar um eixo (normalmente horizontal) e nesse eixo marcam-se os valores x * .2 Gráfico de barras Dado um conjunto de dados de tipo quantitativo discreto. tem o seguinte aspecto: Da representação anterior. O nome maior tem 20 letras. mesmo que alguns desses valores não constem da amostra. Por exemplo. Por exemplo. da turma de referência. Nesses pontos marcam-se barras de altura igual à respectiva frequência absoluta ou relativa. a construção do gráfico de barras é semelhante à que fizemos para os dados de tipo qualitativo. na turma: Predominam os nomes com 12 letras. para os dados da turma de referência. o gráfico de pontos correspondente à variável Número de letras no nome. tem-se: . Fazemos aqui uma observação idêntica à que já fizemos no caso da construção do gráfico de pontos: deve marcar-se no eixo a sequência completa dos valores entre o mínimo e o máximo observados. Não há nomes com 18 ou 19 letras. que constituem i as classes. a representação gráfica mais utilizada é o gráfico de barras. O gráfico de pontos dá uma informação muito semelhante à que é transmitida pelo gráfico de barras. houver alguns valores que não existam no conjunto dos dados a analisar. 4.Organização e tratamento de dados 75 recolher um dado ou ao percorrer o conjunto dos dados se encontrar um valor igual.2. para o caso da variável Número de letras no nome. embora não se lhes associem quaisquer pontos. Para este tipo de dados.4. Para a construção do gráfico de pontos recomenda-se a utilização do papel quadriculado. podemos distinguir os seguintes passos na construção do gráfico de pontos para a variável Número de irmãos: Se entre o mínimo e o máximo da amostra. imediatamente se conclui que. para o qual se construiu uma tabela de frequências. da turma de referência. esses valores devem também ser assinalados no eixo. Por exemplo. 125 0. um diálogo possível pode ser o seguinte: Professora – A partir da representação anterior pode-se concluir quantos alunos estão inscritos na turma A? Aluno – Pode-se concluir que neste dia do estudo estão presentes 26 alunos.083 0.083 0. mas não quantos alunos estão inscritos na turma.042 0.042 0.167 0. Abs. construa a tabela de frequências para a variável em estudo e o gráfico de barras: Turma A N. tendo obtido o seguinte: .º de irmãos 0 1 2 3 4 Total N.º de alunos 4 7 9 4 2 26 Os alunos chegaram a algumas conclusões interessantes.125 0.250 0. o professor propõe que um dos alunos vá ao quadro e.Organização e tratamento de dados 76 N. sugeriu que se construísse no quadro um “tally chart”. O professor propôs na sua turma A averiguar o número de irmãos dos alunos (da turma) e posteriormente comparar com o número de irmãos dos alunos da turma de referência. fi 0.º de letras no nome x* i 9 10 11 12 13 14 15 16 17 20 Total Freq. construíram o gráfico de barras para a variável Número de irmãos da turma de referência.000 As conclusões que tiramos a partir da representação gráfica anterior. Rel. já que alguns podem ter faltado.042 0. Para proceder à recolha dos dados. o seguinte esquema: Depois de todos os alunos presentes terem ido ao quadro. onde cada aluno ia assinalar quantos irmãos tinha. Há quatro alunos sem irmãos. são idênticas às obtidas a partir do gráfico de pontos. ni 1 3 4 6 3 2 2 1 2 1 24 Freq. A seguir. Tarefa – Número de irmãos. como resultado. Admita que se obteve. O número de alunos sem irmãos é igual ao número de alunos com 3 irmãos. tais como: Predominam os alunos com 2 irmãos. com a ajuda dos colegas.042 1. Para proceder à comparação solicitada. Enquanto que na turma A. abs.346 0. rel. Enquanto que na turma A.º de alunos 6 9 5 3 1 24 Os alunos queriam começar a fazer comparações entre os dois gráficos.154 0. já se podem fazer comparações. os alunos da turma A têm mais irmãos que os alunos da turma de referência.250 1 9 0. . cerca de 15% dos alunos não têm irmãos. 4 7 9 4 2 26 Freq. pois a soma das alturas das barras nos dois casos é igual a 1.000 Turma de referência N. Perante as conclusões anteriores.º de irmãos 0 1 2 3 4 Total Turma A Freq. o professor lançou a seguinte questão: Não sabemos a idade dos alunos da turma de referência! Poderemos. o professor colocou as seguintes questões aos alunos: Calcular a totalidade de irmãos dos alunos da turma. Agora sim.º de irmãos Freq.208 3 3 0. rel. 0 6 0. enquanto que na turma de referência predominam os alunos com 1 irmão. É necessário juntar às tabelas de frequências uma nova coluna com as frequências relativas e construir outros gráficos de barras em que as alturas das barras são as frequências relativas. Na turma A predominam os alunos com 2 irmãos. Este estudo apresenta-se a seguir: N. Freq.269 0.125 4 1 0.375 2 5 0.000 Algumas conclusões: De um modo geral.154 0. na turma de referência esse valor aumenta para 25%. mas o professor chamou a atenção para um ponto muito importante: é que as duas turmas não tinham o mesmo número de alunos e por isso não é correcto comparar representações gráficas em que as alturas das barras são as frequências absolutas.077 1. adiantar a hipótese de que são mais novos do que os alunos da turma A? Porque é que o professor se lembrou de fazer esta suposição? Ainda continuando com o mesmo tema. mais de 15% dos alunos têm 3 irmãos. abs. no entanto.Organização e tratamento de dados 77 Turma de referência N. 0.º de irmãos 0 1 2 3 4 Total N. na turma de referência esse valor não chega aos 13%.042 Total 24 1. que é a seguinte: considerar como classes os intervalos 20 a 29. conduziria a uma tabela com demasiadas classes. No Distrito Sanitário de Chicago. O exame teve lugar no dia 12 de Março e os resultados dos testes (inteiros numa escala de 0 a 100) apresentam-se a seguir: 26 33 37 42 44 46 49 52 56 58 61 67 74 82 90 27 33 37 42 44 47 49 53 56 59 61 68 74 82 91 27 33 37 42 44 47 49 53 56 59 62 68 74 83 91 27 33 37 42 45 47 49 53 56 59 62 68 75 83 91 27 33 37 43 45 47 50 53 57 59 62 69 75 83 92 29 34 39 43 45 47 50 53 57 60 63 69 76 83 92 30 34 39 43 45 47 51 54 57 60 63 69 76 84 92 30 34 39 43 45 48 51 54 57 60 64 69 78 84 93 30 35 39 43 45 48 51 54 58 60 65 69 80 84 93 30 35 39 43 45 48 51 54 58 60 66 69 80 84 93 31 36 39 43 46 48 51 54 58 60 66 69 80 84 93 31 36 39 43 46 48 52 55 58 61 66 71 80 84 95 31 36 40 44 46 48 52 55 58 61 67 71 81 84 95 32 37 41 44 46 48 52 55 58 61 67 72 81 90 32 37 42 44 46 48 52 56 58 61 67 73 81 90 Neste caso. 50 a 59. Exemplo . 1991). Embora o gráfico de barras seja a representação mais utilizada para dados discretos. a escolha dos técnicos é feita mediante um exame. pois bastou fazer 1×7+2×9+3×4+4×2 = 45 Para ver quantos irmãos teriam. em média. para os dados considerados. Assim.7 26 Como interpretar este valor de 1.7. dando origem a demasiadas classes. 90 a 99. cada aluno teria mais do que 1 irmão. a que chamamos média do número de irmãos? Se todos os alunos tivessem o mesmo número de irmãos. já que 52/26=2. 40 a 49. segundo a metodologia descrita para dados discretos. sugeriram que se dividisse o número total de irmãos. 80 a 89. Neste caso diríamos que cada aluno tinha. 60 a 69. mas não chegaria a ter 2 irmãos. a construção da tabela de frequências. nomeadamente quando o número de valores distintos assumidos pelos dados é “muito” grande. Em 1966. 2 irmãos. quantos irmãos teriam? Facilmente os alunos indicaram um processo para calcular o número total de irmãos. embora estivesse lá perto.Candidatos a algumas vagas (Adaptado de Freedman. 70 a 79. . a sua utilização nem sempre é a mais conveniente. resolvemos tomar como classes uma partição natural. havia 223 candidatos para 15 vagas.Organização e tratamento de dados 78 Se todos os alunos tivessem o mesmo número de irmãos. 30 a 39. Quantos irmãos mais seriam necessários para dar os 2 irmãos para cada aluno? Seriam necessários 7 irmãos. para ter no total 52 irmãos. se todos tivessem o mesmo número de irmãos. pelo número total de alunos 45 ≈1. no entanto de estar conscientes de que ao fazer a redução de dados há informação que sobressai.090 0. sem os agrupar: Classe 26 27 29 30 31 32 33 34 35 36 37 39 1 4 1 4 3 2 5 3 2 3 7 7 Classe 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 1 1 5 8 6 7 6 6 8 4 2 5 Classe 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 5 5 5 3 5 4 8 4 6 6 3 2 Classe 64 65 66 67 68 69 71 72 73 74 75 76 1 1 3 4 3 7 2 1 1 3 2 2 Classe 78 80 81 82 83 84 90 91 92 93 95 1 4 3 2 4 7 3 3 3 4 2 Tabela de frequências para os dados sem estarem agrupados O diagrama de barras correspondente tem o seguinte aspecto Diagrama de barras dos resultados nos testes . mais à frente. Veremos. Vejamos qual o aspecto da tabela se tivéssemos considerado como classes todos os valores distintos da amostra.027 0. embora haja outra informação que possivelmente se perde.206 0. pois não existe um ponto onde colocar a barra. Temos. rel.161 0. como a estrutura subjacente aos dados. A organização dos dados na forma da tabela anterior permite realçar o facto de predominarem as classificações entre 40 e 49. uma vez que as classes são intervalos.067 1 Tabela de frequências para os resultados dos testes A representação gráfica para os dados organizados desta forma já não pode ser um diagrama de barras. diminuindo progressivamente para baixo e para cima desses valores. 0.233 0. 6 36 52 46 36 12 20 15 223 Freq. que a representação gráfica adequada é o histograma.161 0.054 0.Organização e tratamento de dados 79 Classes 20 a 29 30 a 39 40 a 49 50 a 59 60 a 69 70 a 79 80 a 89 90 a 99 Total Freq. abs. Organização e tratamento de dados 80 Da análise da tabela e do gráfico anterior verifica-se a existência de uma lacuna. tem o seguinte aspecto: Repare-se que tivemos o cuidado de juntar uma legenda. não evidencia o padrão subjacente à distribuição dos dados. De preferência devem-se considerar sempre as frequências relativas.5. Num inquérito realizado na escola.4. em que se apresentam. 87. com tantas classes. 86. embora estejamos perante um conjunto de dados discretos. para os 223 candidatos. uma vez que as barras estão adjacentes. Neste tipo de representação é mais fácil a comparação das frequências correspondentes às mesmas classes. A comissão encarregue do estudo apresentou os seguintes gráficos A e B.º ano: Qual a dimensão do seu agregado familiar (quantas pessoas viviam em casa)? Quantos são crianças? Quantos aparelhos de televisão têm em casa? Quantos carros tem o agregado familiar. perguntou-se aos 26 alunos de uma turma do 6. não havendo classificações iguais a 85. o tratamento adequado será o mesmo dos dados contínuos.2 1 Gráfico de barras para comparar dois ou mais conjuntos de dados Quando pretendemos comparar dois (ou mais) conjuntos de dados relativos à mesma variável. que procuram resumir a informação contida nas respostas às 2 primeiras questões . não é correcto utilizar as frequências absolutas. uma representação gráfica adequada é o gráfico de barras.2. as distribuições das frequências para cada um dos conjuntos de dados. já que apresenta toda a variabilidade neles existente. 4. Como dissemos anteriormente. onde se indica a que turma diz respeito cada cor das barras. Não terá havido batota da parte dos examinadores? Chamamos a atenção para que esta representação. apresentado na próxima secção 4. o gráfico de barras utilizado para comparar as distribuições do número de irmãos na Turma A e na Turma de referência. No caso da tarefa Número de irmãos da secção anterior. precisamente igual ao número de vagas. lado a lado. Tarefa – Alguns dados sobre o agregado familiar. pois se os conjuntos de dados não tiverem o mesmo número de elementos. 88 e 89 e o número de classificações iguais ou superiores a 90 ser de 15. quantas pessoas tinha cada agregado familiar? Interpreta o número a que chegaste. 14 são constituídos por quantas pessoas? d) Quantas pessoas tem o maior agregado familiar? e) Quantas pessoas têm os 26 agregados familiares? f) Se o número de pessoas a que chegaste na alínea anterior estivesse dividido igualmente por todos os agregados familiares. .Organização e tratamento de dados 81 Gráfico A Gráfico B a) Qual dos gráficos se refere à variável Número de pessoas do agregado familiar? Porque é que o outro gráfico não pode representar o número de pessoas do agregado familiar dos 26 alunos a quem foi colocada a questão? b) Quantos agregados familiares têm 2 pessoas? Essas duas pessoas podem ser ambas adultas? c) Dos 26 agregados familiares. qual dos dois achas mais razoável para representar o Número de televisões por agregado familiar? b) No gráfico do lado esquerdo a classe 2 tem frequência absoluta igual a 9 e no gráfico da direita a classe 1 tem também frequência absoluta igual a 9. Com os dados obtidos nas respostas às outras duas questões. a) Quantos agregados familiares têm 1 criança? b) Qual o número de crianças que predomina nos agregados familiares? c) Pensas que os agregados familiares são fundamentalmente constituídos por um casal com um filho? Explica o teu raciocínio. construíram-se os dois gráficos seguintes a) Comparando os dois gráficos. Considera agora também o outro gráfico que representa o número de crianças por agregado familiar. Num determinado dia o professor organizou os alunos em 4 grupos e pediu a cada grupo para levar no dia seguinte uma “mão cheia” de feijões. b) Quantos feijões tinha cada grupo? . Os resultados foram os seguintes: a) Comenta as representações utilizadas. Seriam necessários fazer os montinhos necessários até esgotar todos os feijões. Como explicas esta situação? c) Completa os gráficos com as legendas adequadas. Neste dia. 2. 4 ou 5 feijões. Depois dos montinhos feitos.Organização e tratamento de dados 82 No entanto as alturas das barras são diferentes. encarregou cada grupo de dividir todos os feijões em montinhos com 1. Tarefa – Cinco montinhos de feijões. 3. cada grupo foi ao quadro apresentar graficamente o resultado da organização dos feijões pelos montinhos com os cinco tamanhos. Estas variáveis são apresentadas com um arredondamento ao minuto e ao centímetro. não pode ser aqui utilizada. respectivamente. os valores apresentados para as variáveis contínuas tempo que demora de casa à escola e comprimento do palmo encontram-se “discretizados” por uma limitação do instrumento que se utilizou para as medir. Tendo em conta a própria definição de variável contínua. etc. não passa de um valor a outro de um determinado intervalo. sem passar por valores intermédios. existem apenas alguns valores iguais. o número de valores distintos pode ser tão grande que a metodologia utilizada para construir as tabelas de frequências de dados quantitativos discretos. mas os seus verdadeiros valores podem ser quaisquer números reais de um determinado intervalo. Mesmo existindo alguns valores iguais. que se apresenta “discretizada” é a idade. Embora seja comum. . Outro exemplo de uma variável contínua. uma balança para medir a variável peso. podemos utilizar uma fita métrica para medir a variável altura. Ao organizar os dados na forma de intervalos. sem passar por todos os valores intermédios. em que se consideravam para classes os valores distintos nos dados. relativamente a um aluno da turma. No exemplo da turma de referência as variáveis tempo que demora de casa à escola e comprimento do palmo são de natureza contínua. ou quando muito. Por exemplo. se uma família tem 2 filhos e teve um outro filho. obviamente que passou de 2 para 3. quando falámos das variáveis. Quando se diz que um jovem tem 9 anos. pelo que o 9 representa um intervalo de valores que se pode exprimir da seguinte forma: 9≤idade<10. é natural esperar que uma forma usual para a distribuição da variável comprimento do palmo dos alunos do 3. uma variável discreta varia por “saltos”. o nosso objectivo é visualizar o padrão subjacente a esses dados. Ao contrário da variável contínua. Por exemplo. estes podem ser todos diferentes. exclamar: “Mas que salto que deste! Estás tão alto!”.Organização e tratamento de dados 83 4. quando encontramos um jovem que não vemos há algum tempo.3. significa que já fez os 9 anos. um teste a Matemática para medir o nível de conhecimentos nessa disciplina.. Correríamos o risco de a frequência observada para cada valor distinto ser 1! Então.. A ocorrência de valores iguais com maior frequência do que a que se esperaria para dados contínuos. como o que se apresenta na figura seguinte. um termómetro para medir a temperatura. mas ainda não fez os dez. Os valores que resultam destas medições são dados quantitativos contínuos. quando temos uma amostra de dados contínuos. Em linguagem corrente pode dizer-se que uma variável contínua não varia por “saltos”. a alternativa é considerar classes na forma de intervalos. deriva do facto do instrumento de medida não ter uma grande precisão. na realidade o jovem cresceu continuamente.5 Tabelas e gráficos para dados quantitativos contínuos Como vimos na secção 3. Por exemplo. uma variável quantitativa contínua é aquela que é passível de ser medida usando um certo instrumento. um relógio para medir o tempo que demora de casa à escola. Por exemplo.º ciclo tenha um aspecto simétrico. isto é. recolhemos a altura e o peso de 50 alunos dessa escola. ao agrupá-los e ao representá-los graficamente. Muitas vezes o tipo da variável que se está a estudar pode dar indicação do número de classes e de como construir essas classes.º ciclo. em detrimento dos tempos maiores. Como organizar os dados em classes? Perante um conjunto de dados quantitativos contínuos. temos como objectivo que essa representação nos ajude a compreender os dados. Pretendemos estudar as variáveis altura e peso dos alunos de uma escola do 1.º ciclo. Já para a variável tempo de casa à escola em que. fazendo sobressair algum padrão subjacente. por exemplo: A distribuição é simétrica ou enviesada? Qual o centro da distribuição dos dados? Tem pequena ou grande variabilidade? O primeiro passo no processo de agrupamento dos dados é saber em quantas classes vamos agrupar os dados.Organização e tratamento de dados 84 com uma concentração de valores em volta dos 16cm. de um modo geral. Para isso. como a que se apresenta a seguir. Algumas questões que procuramos responder são. Exemplo – Altura e peso dos alunos de uma escola do 1. esperamos uma distribuição com uma forma enviesada. obtendo os valores (em cm) para a altura e os valores (em kg) para o peso que se apresentam na seguinte tabela: . predominam os tempos mais pequenos. e cada vez menos valores à medida que o comprimento para o palmo diminui ou aumenta. Assim. quando não se tem qualquer ideia de quantas classes construir. verificamos que os valores máximos e mínimos são respectivamente 26kg e 58kg. isso nem sempre acontece. para organizar os dados. mas pertence necessariamente a uma dessas classes. Nestes casos podemos usar a chamada regra de Sturges. de dimensão n. Considerando agora os dados referentes à variável peso. Assim. Note-se que esta regra não tem que ser seguida “à letra” e deve ser entendida como uma ajuda. é natural considerar como classes.Organização e tratamento de dados 85 Altura 132 145 150 149 130 135 145 130 148 150 Peso 26 39 45 45 26 30 40 28 40 47 Altura 135 145 136 143 137 141 135 141 145 136 Peso 29 35 30 32 30 30 29 32 35 30 Altura 146 141 144 159 157 158 134 146 145 148 Peso 40 33 35 57 49 58 30 40 34 43 Altura 142 143 146 151 135 143 140 146 156 133 Peso 32 34 40 46 30 38 31 43 45 29 Altura 143 147 147 135 132 140 138 154 150 130 Peso 35 40 40 29 28 30 30 47 45 28 Ao percorrer. . a formação de classes foi fácil de fazer de forma intuitiva. cada elemento da amostra só pode pertencer a uma das classes. na tabela. pelo que uma escolha possível para as classes é: 25 30 35 40 45 50 55 ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ peso peso peso peso peso peso peso <30 <35 <40 <45 <50 <55 <60 Do mesmo modo que anteriormente para a variável altura. de dados contínuos. como nos exemplos apresentados anteriormente. onde k é o menor inteiro tal que 2k>n. isto é. também as classes anteriores foram construídas sem ambiguidade. as seguintes: 130 135 140 145 150 155 ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ altura altura altura altura altura altura <135 <140 <145 <150 <155 <160 As classes são todas disjuntas e a sua união contém todos os elementos da amostra. No entanto. Regra de Sturges Nos exemplos apresentados anteriormente. o número aconselhado de classes é 6. verificamos que o valor mínimo é 130cm e o valor máximo 159cm. se o número de elementos da amostra for 50. pode considerar-se para número de classes o valor k. já que 25<50 e 26>50. na medida em que cada elemento da amostra pertence a alguma das classes e só a uma das classes. que nos sugere o número de classes a usar para agrupar os dados: Regra de Sturges – para organizar uma amostra. os dados referentes à variável altura. ou vice-versa. 11. de cada intervalo. pelo que um valor aproximado por excesso é.25[ [8.25 que utilizámos para a amplitude de classe. obtendose. por exemplo.75[ [14. [15. um valor arredondado por excesso. 3. Para obter a amplitude de classe h. 15. 18. 14. abertos à esquerda e fechados à direita.2. 19. com a mesma amplitude. [8. 8. mas o b já não pertence.50.5.00+3. 8. depois de ordenados 5 6 6 7 7 8 9 10 10 11 12 12 13 13 14 15 15 15 16 17 18 19 20 21 Como a dimensão da nossa amostra é n=24.75. 12. sendo o extremo esquerdo do primeiro intervalo o mínimo da amostra.00.5.50+3. 22. é pouco natural. Para a formação das classes. É apresentada como informação para o professor. Este quociente vem igual a 3.25. considera-se a seguinte metodologia: Passo 1 – Toma-se como amplitude h.0[ e [19. 18.25[ [18. 8. como se pode ver facilmente. Para a construção das classes vamos convencionar que todos os intervalos são fechados à esquerda e abertos à direita. já que as classes que assim se obtêm [5.5[. isto é. Se se pretender construir intervalos em que os limites sejam números inteiros.0.Organização e tratamento de dados 86 para proceder ao agrupamento dos dados. que.5[. 5+3.25[ [14. 21. vamos dividir a amplitude da amostra. onde o a pertence ao intervalo.50[ [11.00[ [18.75.0. Passo 2 – Formam-se as classes como intervalos fechados à esquerda e abertos à direita.2. na forma de intervalos.25+3. 14.25[ [11. [12. podemos considerar como amplitude de classe 3 minutos ou 4 minutos. da forma [a. temos os seguintes intervalos. b[. Subdivisão em classes dos dados referentes à variável Tempo que demora de casa à escola na Turma de referência Os valores observados são.5[ contêm todos os elementos da amostra. do quociente que se obtém dividindo a amplitude da amostra (máximo – mínimo) pelo número de classes. o número de classes a usar é ainda de 5.00. pelo que outra alternativa possível para a amplitude de classe será h=3.0[.25. que é 16 (=21 – 5).25. respectivamente.25[ → → → → → [5. por 5. não a deve ensinar aos alunos. como aproximação por excesso do valor 3. para este nível de ensino.25[ [8.75+3. as seguintes classes: . para as classes: 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª classe: classe: classe: classe: classe: [5. Se se considerar este valor. ou o extremo direito do k-ésimo intervalo o máximo da amostra. o menor inteiro k que satisfaz a condição 2k>24 é k=5. k.5. isto é. Utilizando esta metodologia. Mas o mesmo não acontece com 3 minutos e meio.50. respectivamente.25[ O valor de 3. 11. Na primeira coluna. não conseguindo fazer sobressair o padrão que procuramos. que pertencem a cada classe. existe uma grande maleabilidade na construção dos intervalos de classe. se se construírem muitas classes. coluna das frequências absolutas acumuladas – onde. 14[ [14. na coluna seguinte. para cada classe. como veremos. de modo a cobrirem a totalidade dos dados. regista-se. coluna das frequências relativas (ou percentagens) fi. x’i. para depois construirmos o histograma que. deve evidenciar a estrutura subjacente aos dados. essa representação apresentará muita da variabilidade presente nos dados. 20[ [20. para cada classe. Em muitas situações. 13[ [13. Numa terceira coluna. quando se considerou como amplitude de classe o valor 4 minutos.1 Tabela de frequências para dados quantitativos contínuos Uma vez formadas as classes. Assim. consideram-se os intervalos (classes) escolhidos para agrupar os dados. o valor que se obtém dividindo a frequência absoluta pela dimensão da amostra. 21]. com três ou mais colunas. a construção da tabela de frequências é idêntica à considerada para os dados discretos: Os dados contínuos são organizados na forma de uma tabela de frequências. o ponto médio. De um modo geral é útil acrescentar à tabela de frequências ainda mais três colunas: coluna do representante de classe – em que se considera. quando se considerou como amplitude de classe 3 minutos. do intervalo de classe. usualmente. A metodologia na construção dos intervalos de classe deve ser sempre a mesma: fechados à esquerda e abertos à direita. com o objectivo de evitar mais uma classe. Chamamos a atenção para que não é correcto considerar a quarta classe na forma [17. Também um número muito pequeno de classes esconderá esse padrão.Organização e tratamento de dados 87 Amplitude de classe igual a 3 minutos [5. 8[ [8. por outro lado. A regra de Sturges pode ser usada como um primeiro passo na indicação de um número apropriado de classes. Na verdade. 23[ Amplitude de classe igual a 4 minutos [5. 25[ Repare-se que. Deste modo. a regra básica a seguir é utilizar a informação disponível sobre a variável a estudar e o “bom senso” para a definição dos limites das classes. 17[ [17. o que nós procuramos é um agrupamento dos dados em classes. 21[ [21.5. 9[ [9. mas a última classe só tem um elemento. 17[ [17. regista-se o total de elementos da amostra. ou vice-versa. foi necessário construir 6 classes. consideraram-se 5 classes. coluna das frequências absolutas ni. 4. 11[ [11. coluna das classes. se considera a soma da frequência absoluta dessa classe com as frequências absolutas das classes anteriores e coluna das frequências rela- . ni 7 9 11 14 5 4 50 Freq.00 Freq. com intervalos de amplitude 5cm. que é a representação gráfica mais utilizada para os dados quantitativos contínuos.5. estamos aptos a construir o histograma. para a sua construção é conveniente acrescentar uma nova coluna à tabela de frequências. 160[ Total Representante da Classe x’i 132. Tendo em conta a definição de histograma. Considerando então para áreas das barras as frequências relativas. A soma das frequências absolutas é igual a 50. A frequência absoluta da classe [130. (%) 14 32 54 82 92 100 Decidimos ainda acrescentar uma outra coluna. Rel.5 142. fechados à esquerda e abertos à direita: Classes [130.10 0. Abs. Rel. fi 0. 135[ é 7. 0. com as frequências relativas acumuladas. 145[ [145.54 0. porque existem nos dados 7 valores maiores ou iguais a 130 e menores que 135. que se calcula de forma idêntica à anterior. com as frequências relativas a dividir pela amplitude de classe. Para as outras classes a metodologia é idêntica.92 1. 150[ [150. vemos que a área total ocupada pelo histograma é igual a 1 ou 100%.22 0.2 Histograma Uma vez os dados agrupados numa tabela de frequências. 140[ [140. Ao contrário do gráfico de barras. Os valores desta coluna serão as alturas dos rectângulos com base nas classes respectivas: .5 Freq.5 137.5 152. Por vezes. Rel.14 0.82 0.08 1.5 157.18 0. esta soma não dá exactamente 1.Organização e tratamento de dados 88 tivas acumuladas. Vamos a seguir construir a tabela de frequências para os dados observados para a variável altura de um aluno da escola do 1. tendo cada um por base um intervalo de classe e com área igual (ou proporcional) à frequência relativa (ou absoluta) dessa classe. havendo uma diminuição das frequências para as classes inferiores e superiores. formado por uma sucessão de rectângulos adjacentes. considerados na secção anterior. enquanto que a soma das frequências relativas é igual a 1. sendo esta situação devida ao facto dos valores das frequências relativas serem arredondados. Acum 7 16 27 41 46 50 Freq. no histograma as barras (rectângulos) estão juntas e o que é importante é a área de cada uma. 155[ [155. em que estas estão separadas e em que o que é relevante é a altura de cada uma.º ciclo. O histograma é um gráfico.32 0.00 Freq.14 0. mas agora com as frequências relativas. agora em percentagem. que é o número de dados.28 0. Considerámos as 6 classes aí definidas.5 147. Acum. 4. Abs. Acum. 135[ [135. Como se verifica a partir da tabela predominam as alturas das classes centrais. 14 0.5 Freq.18 e assim sucessivamente.08 1. a área do rectângulo seguinte é 5×9 e assim sucessivamente.036 0.Organização e tratamento de dados 89 Classes [130. 150[ [150. donde a área total do histograma é igual a 1 (soma das frequências relativas).028 0. O resultado seria o seguinte: No histograma ao lado.5 142. a área do rectângulo mais à esquerda é igual a 5×0.00 Altura rectângulo classe i=fi/h 0. Suponhamos que em vez de construirmos o histograma como anteriormente.5 157. a área do rectângulo seguinte é 5×0.5 147. 145[ [145. a área do rectângulo mais à esquerda é igual a 5×0.22 0.020 0.5 137.28 0. tínhamos considerado para alturas dos rectângulos as frequências relativas. 140[ [140. ni 7 9 11 14 5 4 50 Freq. as áreas dos rectângulos já não seriam iguais às frequências relativas. Suponhamos ainda que agora se considerava para altura dos rectângulos as frequências absolutas.5 152. neste caso.18 e assim sucessivamente.14.18 0. Classe x’i 132.14.028=0. a área do rectângulo seguinte é 5×0. Abs. Então.016 No histograma ao lado. . 155[ [155. fi 0.044 0. 135[ [135. em que 5 é a amplitude de classe: No histograma ao lado.036=0. donde a área total do histograma é igual a 5 (=5×1 onde 1 é a soma das frequências relativas). 160[ Total Rep. donde a área total do histograma é igual a 250 (=5×50. Rel. mas sim proporcionais e a área total ocupada pelo histograma seria igual a 5. onde 50 é a soma das frequências absolutas). a área do rectângulo mais à esquerda é igual a 5×7.056 0.10 0. ou são proporcionais.28 0. se se considerar para altura do rectângulo correspondente à classe i. com i=1. Assim. que é igual à amplitude de classe no caso do segundo histograma ou à amplitude de classe vezes o número de dados... 10[ [10. se se considerar para altura do rectângulo correspondente à classe i. o eixo vertical só serve como auxílio para a construção dos rectângulos. todas com a mesma amplitude h... o departamento de controlo de qualidade recolheu uma amostra de dimensão 100.00 Elaborou depois o seguinte histograma. enquanto que no gráfico de barras. sendo. absoluta 28 37 23 9 3 100 Freq. a área total ocupada pelo histograma será igual a: a) 1. Outra grande diferença é que no histograma as barras estão juntas. sendo. também necessário utilizar o primeiro procedimento.. respectivamente as frequências absoluta e relativa da classe i.k. De um modo geral. com i=1.k.. decidiu fazer um estudo sobre a duração (em minutos) das chamadas telefónicas. Uma empresa. fi/h. qualquer informação relevante: Não devemos perder de vista que o histograma representa os dados através das áreas das barras e não das alturas. no caso do histograma. se se considerar para altura do rectângulo correspondente à classe i.k. preocupada com os gastos em telefone. fi. Assim.. Qualquer das formas anteriores pode ser utilizada para construir o histograma.09 0. b) h.. 20[ [20. 2) Pretende-se comparar histogramas de amostras com dimensão diferente. com os dados recolhidos: Duração da chamada (em minutos) Classes [0. já que as áreas dos rectângulos ou são iguais às frequências relativas..k. . 5[ [5.. Exemplo – Duração de chamadas telefónicas1.Organização e tratamento de dados 90 Como se verifica.. relativa 0. com i=1.23 0. o que constitui uma grande diferença relativamente ao gráfico de barras..03 1. 30[ Total Freq. tendo construído a seguinte tabela de frequências. necessário utilizar o primeiro procedimento.37 0. que apresentou à gerência: 1 Graça Martins et al.. neste caso. 2[ [2.. ni. estas são separadas. e representarmos por ni e fi.. c) h×n. para transmitir a ideia de continuidade da variável em estudo. com i=1. (2007). se tivermos n dados e estes tiverem sido organizados em k classes. como é o caso do primeiro dos 3 histogramas anteriores. com a mesma constante de proporcionalidade. excepto nas seguintes situações: 1) As classes têm amplitudes diferentes.. não transmitindo. para compararmos figuras com a mesma área (igual a 1). a imagem transmitida tem sempre o mesmo aspecto. como é o caso do terceiro histograma. 2[ [2. com as alturas correctas dos rectângulos e construiu o histograma correspondente: Duração da chamada (em minutos) Classes [0. absoluta 28 37 23 9 3 100 Freq. relativa/amplitude classe 0. Ele próprio acrescentou mais uma coluna à tabela de frequências.37 0. 4.23 0.5.00 Freq.Organização e tratamento de dados 91 Um dos gerentes. em que se consideraram as frequências relativas acumuladas.3 Gráficos das frequências relativas acumuladas A partir da tabela de frequências. 30[ Total Freq. induzindo em erro. relativa 0. Agora. já que a percentagem de chamadas com duração entre 5 e 10 minutos era um pouco superior às de duração entre 2 e 5 minutos e só um pouco inferior às de duração de 10 a 20 minutos. manifestou-se bastante preocupado com a percentagem de chamadas razoavelmente longas. é possível construir gráficos que apresentam a evolução dessas fre- . pois as áreas dos rectângulos não eram proporcionais às frequências.09 0.003 Repare-se que as duas representações são completamente diferentes.03 1.140 0. podemos concluir que predominam as chamadas com duração entre 2 e 5 minutos e que as chamadas com duração superior a 10 minutos são pouco frequentes.28 0. 5[ [5. como se depreende pelas áreas dos rectângulos correspondentes às classes respectivas.046 0.009 0.122 0. que sabia o que era um histograma. 10[ [10. 20[ [20. Pediu para consultar a tabela de frequências e concluiu que aquela representação gráfica não estava correcta. 28 0. a frequência de 22% (=54%-32%) se distribui uniformemente sobre o intervalo de amplitude 5cm. Rel.5 142.92 1.14 0.82 0. fi 0.22 0.08 1. Estas medidas serão estudadas mais à frente.5. Rel.1. para obter a mediana: 22=54-32 18=50-32 x= 5=145-140 x 18 5 ≈ 3. mas a partir dos dados agrupados. 145[ [145. 145[. consideremos de novo a tabela da secção 4. 155[ [155.5 137. Como veremos.5 157.5 Freq. ni 7 9 11 14 5 4 50 Freq.º ciclo. quando considerarmos as características amostrais. cada uma contendo 25% dos dados.00 Freq. Acum.6).5 147.º quartil dividem a amostra (ordenada) em 4 partes iguais. 0.Organização e tratamento de dados 92 quências ao longo das classes em que se organizaram os dados. através da resolução de uma equação de proporcionalidade. Admitindo que a frequência se distribui uniformemente sobre a amplitude de classe.18 0. a mediana e o 3.10 0. Rel. isto é.º quartil e 3.º quartil e representamos por Q1 e Q3. a mediana. Acum. é um valor que divide a amostra ordenada ao meio.00 Freq. mas vamos indicar a forma de as obter devido ao facto de serem muito simples de compreender e de usar na construção de um diagrama de extremos e quartis. Assim.6 (=140+3. O processo que acabámos de descrever para a mediana pode também ser utilizado para obter valores aproximados para os quartis e é equivalente à seguinte resolução gráfica: . Utilizam-se fundamentalmente na determinação gráfica de valores aproximados para a mediana e quartis. Abs.14 0. (%) 14 32 54 82 92 100 Repare-se que da tabela anterior ficamos a saber que a mediana se encontra na classe [140. 140[ [140. Às medianas da parte inferior e superior dos dados. 135[ [135. Acum 7 16 27 41 46 50 Freq. 150[ [150.5 152.º quartil. Uma vez a amostra dividida em duas partes com igual número de elementos. Classe x’i 132. cada uma destas partes ainda pode ser dividida ao meio.54 0. isto é. chamamos respectivamente 1. já que antes desta classe se acumulam 32% dos dados e é nesta classe que se atinge os 50%.6 22 Então o valor aproximado para a mediana será 143. 160[ Total Rep. obtém-se o incremento que devemos adicionar a 140cm. Dois desses gráficos são o chamado histograma cumulativo ou histograma acumulado e a função cumulativa. Abs. Para obter graficamente estas medidas para os dados relativos à altura de 50 alunos de uma escola do 1. o 1. 50% dos elementos da amostra são menores ou iguais à mediana e os restantes 50% são maiores ou iguais à mediana. uma representação gráfica muito útil. quando os dados estão agrupados. representada por Me.32 0. que já contém as frequências relativas acumuladas: Classes [130. acum. uma vez que. especialmente adequado para representar observações de variáveis que variam ao longo do tempo. 4.º quartil deve andar próximo de 138. enquanto o 3. de um modo geral. mas de uma forma sugestiva.1 Gráfico (ou diagrama) de caule-e-folhas Pode considerar-se que o gráfico ou diagrama em caule-e-folhas é um tipo de representação que se situa entre a tabela e o gráfico. de que destacamos o gráfico de barras e o histograma. 4. que faz lembrar o histograma. respectivamente. e ainda o gráfico de linha. apresenta os verdadeiros valores da amostra. Existem outras representações gráficas que podem ser utilizadas para dados quantitativos de qualquer tipo e que são o caule-e-folhas e o diagrama de extremos e quartis. Como a figura sugere o valor da mediana encontra-se próximo de 144.º quartil deve estar próximo de 148. pelo que o histograma cumulativo só serviu como meio auxiliar para a sua construção. Do mesmo modo podemos avançar que o 1. neste momento.Organização e tratamento de dados 93 75% Freq. Pode dizer-se que é esta função que é útil na determinação dos quartis e da mediana. % 50% 25% 0 130 135 Q 140 1 145 Me Q 150 155 160 3 Os rectângulos do gráfico anterior têm por altura a frequência relativa acumulada e por essa razão se chama histograma cumulativo ao gráfico obtido. qualquer outra utilidade ou interpretação (observe-se que a função cumulativa se pode construir independentemente do histograma cumulativo). não tendo. . de um modo geral utilizados para representar dados quantitativos discretos ou contínuos.6. À linha poligonal que se desenhou na figura anterior chama-se função cumulativa.6 Outras representações gráficas Para representar dados quantitativos usámos até aqui várias representações. rel. 60. 52. 62. 41. Podem ser feitas perguntas do tipo: Quantos segundos esteve sem respirar o aluno que aguentou menos tempo? E o aluno que aguentou mais tempo? O professor pode. Suponha que um grupo de alunos fez esta experiência na turma e obteve os seguintes valores: 59. 63. 37. 55. um outro com a primeira e a segunda folha e.Organização e tratamento de dados 94 A base da construção de uma representação em caule-e-folhas está na escolha de um par de dígitos adjacentes nos dados. 46. 55. finalmente. 59. 38. que vai permitir dividir cada dado do conjunto de dados em duas partes: o caule e a folha. 37. Gostaríamos de ter uma ideia de quantos segundos conseguimos estar sem respirar. 47. 52. 46. como exemplificamos a seguir. 35. 62. (2007). Tarefa – Quantos segundos se consegue estar sem respirar2. 48. 53. 44. 63. 38. 38. 53. 57. 65. 39. 23 e 68. vamos pendurar as folhas. 48. 54. 51. 65 e 68. um gráfico com a primeira folha. 62. 27. que se dispõem para um e outro lado de um traço vertical. 46. 38. 38. 54. 23. 37. 60. 35. 48. 44. 40. 27. pois basta percorrer o gráfico de caule-e-folhas: 23. ao lado dos caules. . 47. de modo que o gráfico final é o seguinte: 2 37 3 5 778889 4 0 1466788 5 2 3 4 5 79 6 0 2358 Repare-se que agora é muito fácil ordenar o conjunto de dados inicial. 37. respectivamente. 38. 48. 57. vamos começar por considerar os seguintes caules (algarismos das dezenas dos valores iniciais): 2 3 4 5 6 Depois de considerar um segmento de linha vertical. nos caules respectivos. p. para organizar os dados num gráfico de caule-e-folhas. organizar os dados num diagrama de caule-e-folhas. com a ajuda dos alunos. 40. o gráfico com as folhas todas: 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 8 9 2 3 4 5 6 3 8 7 9 2 7 7 8 5 3 7 8 3 5 9 6 2 8 8 0 4 0 8 1 7 5 4 6 9 É costume ordenar as folhas correspondentes a cada caule. Exemplificamos a seguir. 46. 2 Graça Martins et al. 39. 68. Como o menor e o maior dos valores anteriores são. Este problema pode ser resolvido subdividindo em dois. mas depois de ter inspirado e expirado. considerados no início da secção 4. 1. Se tomarmos como dígito dominante o das centenas. em geral. Dá uma informação visual sobre a forma como os dados estão distribuídos. É necessário ter algum cuidado na escolha do exemplo. Facilita o cálculo da mediana e dos quartis. com os dados da variável Altura de um aluno de uma escola do 1. É interessante comparar os resultados agora obtidos.). Permite identificar os dados iniciais. de que se tem uma amostra de 50 dados. pelo que é muito útil para ordenar rapidamente a amostra. para que cada um destes possa ficar com igual número de folhas associado e como na notação decimal temos 10 folhas possíveis. É uma representação muito sugestiva para comparar duas amostras. 7. com os anteriores. por isso. A subdivisão de cada caule só pode ser feita em 2 ou 5 sub caules. outro para as folhas 2 e 3.5 e que repetimos a seguir: 132 145 150 149 130 135 145 130 148 150 135 145 136 143 137 141 135 141 145 136 146 141 144 159 157 158 134 146 145 148 142 143 146 151 135 143 140 146 156 133 143 147 147 135 132 140 138 154 150 130 As alturas variam entre 130cm e 159cm.denominados dígito(s) dominantes. identificado com um ponto (.Organização e tratamento de dados 95 Sugestão – Pode ser repetida a tarefa anterior. e assim por diante até ao último que terá as folhas 8 e 9. mas iríamos obter 15 caules que já é excessivo. ou associamos 5 ou 2 folhas a cada caule. ficaremos apenas com 1 caule. para além de poder esconder padrões nos dados. até a alunos do 1. Escolha dos dígitos dominantes Na construção de um gráfico de caule-e-folhas nem sempre é imediata a escolha dos dígitos dominantes. Se tomarmos os dois primeiros dígitos (até à classe das dezenas). 6. 2. um para as folhas 0 e 1. acessível.º ciclo. colocam-se as folhas de dígitos 0. No primeiro desses dois caules. Vamos ver o que acontece. identificado com um asterisco (*). pois será muito disperso.º ciclo. 8. 3 vezes. profundamente. Há ainda a possibilidade de subdividir cada caule em 5. torna-se de pouca utilidade na ordenação da amostra. Deste modo ficamos ao todo com 6 caules que é um número razoável para a dimensão de amostra que temos. Se conduzir a poucos caules. muito simples de fazer e torna-se. as folhas de dígitos 5. por exemplo. Um gráfico de caule-e-folhas para representar os dados anteriores (onde a unidade de cada caule é a dezena de centímetros) é. e 4 e no outro. cada um dos 3 caules que se obtêm no segundo caso. então: . É de notar que a representação em caule-e-folhas: É. para que não haja problemas na escolha do(s) dígito(s) que vão constituir os caules . ficaremos com 3 caules. 3. Se essa escolha conduzir a muitos caules o resultado final tem pouco de representação gráfica. o que também é pouco tendo em conta que a dimensão da amostra é n=50. e 9. ou seja. com a notação introduzida na secção anterior. 32% (16 elementos) dos elementos da amostra são menores ou iguais a 138. 0 5 0 5 0 6 0 5 0 5 0 7 0 5 1 5 0 8 2 5 1 5 1 9 2 5 1 5 4 3 6 2 6 4 6 7 8 3 3 3 3 4 6 6 6 7 7 8 8 9 A partir do diagrama anterior facilmente se obtém a amostra ordenada: 130 138 145 154 130 140 145 156 130 140 146 157 132 141 146 158 132 133 134 135 135 135 135 135 136 136 137 141 141 142 143 143 143 143 144 145 145 145 146 146 147 147 148 148 149 150 150 150 151 159 A amostra ordenada ou a própria representação em caule-e-folhas com as folhas ordenadas. Efectivamente esta operação de contagem é mais fácil a partir do caule-e-folhas (com as folhas ordenadas) do que propriamente a partir da amostra ordenada. qual é o valor da mediana Me? . dada uma percentagem. procurar um valor que satisfaça determinadas condições. 14* 14. Por exemplo. obviamente que 100% dos elementos da amostra são menores ou iguais a 159. etc. 14* 14. isto é. 24% (12 elementos) dos elementos da amostra são menores ou iguais a 135. na amostra anterior.Organização e tratamento de dados 96 13* 13. qual o valor tal que 50% dos elementos da amostra são menores ou iguais a ele e os outros 50% são maiores ou iguais a ele. medidas que nos dão uma ideia da proporção ou percentagem de elementos da amostra menores ou maiores que determinado valor. 44% (22 elementos) dos elementos da amostra são menores ou iguais a 142. coluna a coluna. são utilizadas para o cálculo de algumas estatísticas ordinais. 28% (14 elementos) dos elementos da amostra são menores ou iguais a 136. como é a situação presente. 10% (5 elementos) dos elementos da amostra são menores ou iguais a 132. É evidente que para contar o número de elementos para calcular as percentagens anteriores não teríamos necessidade de dispor da amostra ordenada. 2 5 3 5 0 9 0 5 1 9 0 7 0 6 1 5 1 8 4 7 1 8 4 6 3 5 4 5 0 2 6 2 5 0 5 5 8 3 3 0 3 0 6 6 5 8 6 6 7 7 Para construirmos o diagrama anterior percorremos os dados. como o máximo é 159. O diagrama final deve apresentar-se com as folhas ordenadas: 13* 13. Também se podem calcular outras percentagens: 6% (3 elementos) dos elementos da amostra são menores ou iguais a 130. Por exemplo. 52% (26 elementos) dos elementos da amostra são menores ou iguais a 143. 15* 15. se tivermos uma representação em caule-e-folhas. 15* 15. Um problema inverso do anterior é. pelo mesmo processo.Organização e tratamento de dados 97 Se a nossa amostra tivesse um número ímpar de dados. Então o 1. então temos dois elementos no meio. o caule-efolhas anterior e comparar com o histograma construído na secção anterior. pela folha mais afastada: 159 158 157 156 154 . 15* 15.º quartil se for da parte superior. no sentido contrário ao ponteiro do relógio. as medianas de cada uma das partes. Então o valor procurado é 143 (=(143+143)/2). a mediana é o elemento do meio. ou seja o que está na posição 13. A partir do caule-e-folhas facilmente verificamos que os elementos na posição 25 e 26 são iguais a 143. 0 5 0 5 0 6 0 5 0 5 0 7 0 5 1 5 0 8 2 5 1 5 1 9 2 5 1 5 4 3 6 2 6 4 6 7 8 3 3 3 3 4 6 6 6 7 7 8 8 9 Como temos agora 25 elementos. a itálico. No entanto. Chamamos a atenção para que na leitura do caule-e-folhas. cada um escolha um valor diferente para a mediana. respectivamente 1. em cada linha. convenciona-se que esta é a semi-soma desses dois elementos do meio. ou seja o que está na posição 13. 14* 14. Comparação entre o caule-e-folhas e o histograma O caule-e-folhas dá uma imagem muito semelhante ao histograma. quando a amostra está ordenada. Como temos 50 elementos. pelo que qualquer valor entre esses dois estava em condições de satisfazer a nossa pretensão. a partir do fim.. se começa sempre. em que os dados ficam divididos pela mediana. o valor 136. rodando de 90º.. então seria o dado do meio. para os mesmos dados: . obtendo 147. Se determinarmos. Para determinar o 3. mas agora a contar do fim. podemos ver qual o elemento que está na posição do meio da parte superior. Vamos exemplificar.º quartil. para evitar que nesta situação de termos um número par de dados.º quartil se for o da parte inferior e 3. obtemos os quartis. No caule-efolhas seguinte assinalámos a negro a metade inferior: 13* 13.º quartil é 136. ou seja.5 7.4 7. que são precisamente os elementos da amostra pertencentes à classe [130.9 6.8 6.3 5. em que os caules correspondem às classes do histograma. em que os dois primeiros casos correspondem a dividir um caule em 5 sub caules ou 2 sub caules.9 9.4 6. 130. neste caso.0 7.6 8. sendo esta uma grande vantagem dos histogramas relativamente aos caule-e-folhas.4 7. 3 Adaptado de Graça Martins (2005).4 6. Pedro 9.0 6. como no exemplo anterior.6 8. que é uma operação que introduz sempre alguma subjectividade na construção do histograma. só acontece quando estas têm amplitude 2.6 8.4 7.1 8. A situação anterior.1 7.4 6.1 9. p.7 7.7 5.6 5. 132.6 David 9. o caule-e-folhas tem a vantagem de manter a informação existente na amostra.1 7.7 9. na medida em que não temos as restrições na construção das classes.2 8.9 10.5 6. 5 ou 10 vezes uma potência de 10.1 Para representar os caule-e-folhas paralelos.6 8.9 10.7 9. mas que tenham sido recolhidas de grupos (populações) distintos.9 7. De um modo geral. 135[.3 8. 132. Repare-se que pendurámos no caule 13* as folhas correspondentes aos valores 130.2 8. os caules correspondem às classes do histograma. mesmo que não haja esta identificação entre os caules e as classes. Exemplo – O tempo de sono do Pedro e do David3.3 7.3 7.4 6.5 7.3 5.7 5. De um modo geral.6 7.9 7. existe maior flexibilidade na construção do histograma.9 9.5 7.0 6.2 7.7 7.1 7.6 6. de dois jovens. . para os outros caules e as outras classes.3 6. A seguir apresentam-se os tempos de sono (em horas).Organização e tratamento de dados 98 No exemplo anterior.6 7. dos dados correspondentes ao David.7 8. Utilização do caule-e-folhas para comparar 2 amostras O gráfico caule-e-folhas é muito útil para comparar observações que digam respeito à mesma variável. 133 134. 130.1 7.9 6.8 8. medidos durante 30 noites seguidas. determinamos os caules (comuns) a partir da amostra de maior amplitude. não havendo necessidade de construir previamente as classes.2 8.8 4.5 7. e assim sucessivamente.5 8. dando a mesma informação sobre a forma como se distribui a variável subjacente aos dados. Por outro lado. que temos no caule-e-folhas para a construção dos caules. 55. Compare-os. o aspecto gráfico apresentado pelo caule-e-folhas e pelo histograma é idêntico. 10* 2 6 1 5 1 5 5 2 2 4 1 5 2 6 1 5 3 7 1 1 4 4 6 6 7 8 9 9 4 8 Os dados relativamente ao Pedro encontram-se para o lado esquerdo. com a indicação de as trazer no dia seguinte preenchidas da seguinte forma: 1. enquanto que o papel azul é para escrever a idade do pai. 2. Tarefa (Para os alunos mais novos) – Vamos comparar as idades dos nossos pais e das nossas mães. ficando os algarismos pelo lado de fora e as folhas viradas para cima . em 8 partes e dá a cada aluno uma parte azul e uma parte cor-de-rosa. 9* 9. o professor divide algumas folhas de papel A4. enquanto que os referentes ao David estão para o lado direito. enquanto que no lado direito do papel se coloca o algarismo das unidades.Organização e tratamento de dados 99 9 9 8 3 3 9 7 6 4 9 7 9 7 7 4 4 3 9 1 7 3 6 0 5 3 6 6 0 6 0 4. No lado esquerdo do rectângulo de papel coloca-se o algarismo das dezenas da idade. O rectângulo de papel cor-de-rosa é para escrever a idade da mãe. cor-de-rosa e azul. 5* 5. com uma duração de sono de um modo geral entre as 7 e as 8 horas. 6* 6. 3. vinca-se a dobra e torna-se a abrir. que constituirão as folhas 4. O professor sugere ao alunos da turma a elaboração de um estudo para averiguar as idades dos pais dos alunos. 8* 8. Para recolher a informação sobre as idades. enquanto que o David é mais regular. Os rectângulos são novamente dobrados ao meio. 7* 7. Cada rectângulo de papel é dobrado ao meio. A representação anterior permite realçar a maior dispersão do sono do Pedro. que serão os caules. obteve-se as seguintes representações em caule-e-folhas. uma para colocar os rectângulos cor-derosa e outra os rectângulos azuis. devem ordenar-se as folhas de cada caule: O professor sugere agora aos alunos que em vez de andarem a colocar os rectângulos de papel em duas cartolinas separadas. desenha-se um eixo vertical e marcam-se.Organização e tratamento de dados 100 Em cada uma de duas cartolinas grandes. do lado esquerdo desse eixo os algarismos das dezenas (algarismos dominantes). sem esquecer que os menores valores são sempre os que estão mais perto dos caules: . Agora cada aluno vai colocar os seus rectângulos de papel. juntem as cartolinas como se apresenta a seguir e coloquem os rectângulos com as idades das mães para o lado esquerdo e os rectângulos com as idades dos pais para o lado direito. junto dos caules respectivos (o algarismo que ficou virado para baixo deve coincidir com o caule onde o aluno coloca o seu rectângulo de papel). uma com as idades das mães e outra com as idades dos pais: Para finalizar. que constituem as folhas. Depois de todos os alunos terem colocado os seus rectângulos de papel nos lugares devidos. isto é. Se tivessem feito numa cartolina transparente o caule-e-folhas referente a um dos conjuntos de dados. A mediana para as idades das mães é igual a 27 anos e meio (como temos um número par de dados. a 20 pintainhos machos. de um modo geral. foi dada uma ração com este milho. O pai mais novo tem 24 anos. o aumento de peso (em gramas) dos pintainhos foi: 380 283 356 350 345 Milho normal 321 366 349 402 410 329 384 316 455 360 356 462 399 272 431 361 434 406 427 430 Milho modificado 447 401 375 403 393 426 318 467 407 420 477 392 339 410 326 Exemplo de observações que o professor pode partilhar com os alunos ao propor esta tarefa: Pretende-se com esta experiência testar a eficácia de um produto novo. . do que o milho normal. permite agora comparar facilmente estes dois conjuntos de dados. pelo que se somam as duas idades do meio dos dados ordenados e divide-se por 2). As representações anteriores permitem concluir que nas mães predominam as idades à volta dos vinte e tal anos. constituintes das proteínas. com 1 dia de vida. por exemplo a que tem as idades das mães. 234. mas em que o milho modificado foi substituído pelo milho normal. constituído por outros tantos pintainhos. mais velhos que as mães. Tarefa – Qual a espécie de milho mais vantajosa?4 Os cientistas desenvolveram uma nova variedade de milho. Para testar a eficácia desta nova espécie de milho na alimentação animal. Neste caso. os pais são. foi dada uma ração idêntica. relativamente a um produto habitual.Organização e tratamento de dados 101 Eis alguns exemplos de observações que podem evidenciar-se na discussão desta situação por toda a turma: O facto de terem escrito as idades dos pais e das mães em papéis de cor diferente. enquanto que a mais velha tem 40 anos. mais rica em certos aminoácidos. p. enquanto que nos pais predominam as idades à volta dos trinta e tal anos. Após 21 dias. geneticamente modificado. que se obtinha uma representação idêntica à anterior. bastava inverter essa cartolina transparente e fazer coincidir os caules das duas cartolinas. não existe o elemento do meio. A mãe mais nova tem 19 anos. enquanto que a mediana para as idades dos pais é 33 anos e meio. enquanto que o mais velho tem 42 anos. pretende-se saber se o milho modificado é melhor ou pior que o milho normal. A um grupo de controlo. 4 Adaptado de Moore (1997b). com o mesmo tempo de vida. 4* 4. Um placebo é um produto aparentemente idêntico ao produto que se quer estudar. do último algarismo. estes não sabem a que grupo pertencem. mas esta escolha originaria um número demasiado grande de caules: ficaríamos com mais caules do que dados! Uma outra possibilidade será escolher para caules o algarismo das centenas originando 3 caules. . no aumento do peso dos pintainhos. pois o facto de um indivíduo estar a tomar uma substância que pensa que o vai curar. mas sem as mesmas propriedades químicas. já que se encontram penduradas um número exagerado de folhas num dos caules Milho normal 8 4 9 8 8 6 4 6 2 5 3 2 5 1 6 7 1 5 0 5 2. Está provado que apesar de o placebo ser uma substância inerte. que se chama grupo de controlo. Para representar os dados anteriores. Uma situação possível seria escolher para caules os dois primeiros dígitos. pensam que estão a tomar o medicamento. Algumas sugestões de representações: Milho normal 7 6 4 1 8 5 9 2 5 4 5 6 2 8 8 2 3 4 6 4 7 0 9 3 1 0 9 2 3 0 2 6 0 2 2 7 3 1 Milho modificado ou Milho normal 72 60 45 16 84 50 99 29 56 49 31 56 55 66 10 21 62 83 80 02 Milho modificado 2 3 4 61 47 75 01 93 34 18 03 92 26 39 06 26 67 07 27 20 77 30 10 ou ainda. como escolher então as folhas. Por vezes. Os indivíduos que tomam o placebo. 1 6 0 6 2 7 0 7 3 9 0 9 0 1 2 2 2 3 3 4 Milho modificado O professor pode utilizar a última representação para pedir aos alunos que concluam da eficácia do milho modificado. embora as duas representações finais sejam idênticas.Organização e tratamento de dados 102 A recolha de dados para este tipo de experiência pressupõe que se constituam dois grupos: a um grupo dá-se o produto que se quer testar e ao outro grupo. contribui para a cura – é o chamado “efeito placebo”. A primeira alternativa é a mais utilizada. Quando se escolhem os indivíduos para os grupos que vão constituir o grupo do verdadeiro medicamento e o grupo do placebo. já que ficamos depois com dois algarismos? Tem-se duas alternativas: ou se truncam todos os dados. tem propriedades terapêuticas. Pode ainda pedir que calculem a mediana dos dois grupos de dados e que comparem os valores obtidos. ficando com 2 algarismos. 3* 3. Mas se escolhermos para caules o algarismo das centenas. Este tipo de experiência é muito utilizado quando se pretende testar a eficácia de um novo medicamento. o professor deve analisar os dados com os alunos para os ajudar na escolha dos caules convenientes. ou se consideram folhas com 2 dígitos. ao grupo de controlo dá-se aquilo a que se chama um placebo. dá-se o produto habitual. considerando na primeira das representações anteriores 2 sub caules para cada caule. Observação . Dos dados também se verifica que o mínimo é 130 e o máximo 159: Da representação gráfica anterior sobressaem algumas características. tanto na parte central dos dados. chama-se diagrama de extremos e quartis e constrói-se da seguinte forma: 1 – Desenha-se um rectângulo que tem de comprimento a amplitude entre os dois quartis. nas secções anteriores. como na parte mais afastada do centro.O diagrama de extremos e quartis apresentado anteriormente foi colocado na horizontal. o gráfico de caule-e-folhas e obtivemos para a mediana e para o 1.2 Diagrama de extremos e quartis Utilizando a mediana e os quartis.5. respectivamente os valores 143. os 25% dos valores superiores também se encontram mais dispersos do que os 25% dos dados inferiores. 3 – No interior do rectângulo desenha-se um traço que assinala a posição da mediana. calculados a partir dos dados. existe uma maior variabilidade nas alturas dos alunos mais altos. de que se tem uma amostra de 50 dados.6. e por altura um valor qualquer.Organização e tratamento de dados 103 4. perpendiculares à base. considerados no início da secção 4. o histograma. saem dois segmentos de recta que unem esses lados respectivamente com o mínimo e o máximo do conjunto dos dados. Na figura seguinte apresentamos o diagrama de extremos e quartis para o conjunto de dados da variável Altura de um aluno de uma escola do 1. Esta representação construída com base nestes 5 números. que se aprendeu a determinar nas duas secções anteriores. 136 e 147. se os dados fossem simétricos.º quartis. Para estes dados já construímos. a mediana deveria situar-se a meio do rectângulo. o que não acontece. isto é. juntamente com o mínimo e o máximo que se obtêm directamente a partir da amostra ordenada. 2 – Do meio dos lados do rectângulo. No entanto também poderia ser apresentado na vertical. mas que evidencia de uma forma extremamente eficaz a forma como os dados se distribuem.º ciclo. pode construir-se uma representação gráfica muito simples. nomeadamente: as alturas não se distribuírem de forma simétrica.º e 3. como na figura seguinte que se obtém quando se utiliza a folha de cálculo Excel: . que não tem qualquer interpretação. Também se verifica que o aumento de peso apresenta menor variabilidade com este tipo de milho do que com o milho normal. Fazem sobressair as semelhanças e diferenças entre a forma como os dados se distribuem. o que significa que ao fim de um certo tempo a tomar a ração composta por milho modificado. sobre a eficácia do milho modificado: A representação anterior torna evidente que o milho modificado produz. de um modo geral. os pintainhos têm um aspecto mais uniforme do . maior aumento de peso nos pintainhos. A seguir apresenta-se o diagrama de extremos e quartis paralelos para a tarefa proposta na secção anterior.Organização e tratamento de dados 104 Utilização do diagrama de extremos e quartis para comparar várias amostras Os diagramas de extremos e quartis. permitindo comparar a localização da mediana e dos quartis para as diferentes amostras. quando colocados em paralelo. assim como a maior ou menor dispersão dos dados. são muito úteis para comparar 2 ou mais amostras. devemos estar atentos à: Forma da distribuição. parece que o milho modificado é uma boa aposta! Ao comparar várias distribuições de dados.º quartil. Os diagramas de extremos e quartis são particularmente úteis para comparamos a distribuição de vários conjuntos de dados. Comparação da dispersão entre os dados. sugerindo-nos a escolha de um modelo teórico para essa distribuição. existe uma maior dispersão entre os dados compreendidos entre o 3.Organização e tratamento de dados 105 que se tivessem sido alimentados com ração composta com milho normal.7 Formas frequentes de distribuição de dados Dada uma amostra. realçando aspectos particulares. Variabilidade apresentada. pela frequência com que surgem. mas em contrapartida obtemos informação sobre a estrutura da população que eles pretendem representar. isto é. Alguns histogramas apresentam formas que. Tarefa – Qual o número de letras do nosso nome? Na escola os alunos vão organizar um passeio e o professor propôs que se mandassem fazer camisolas com o primeiro e último nome de cada aluno. merecem referência especial e que referimos de seguida5. ao qual é acrescido do preço do nome e este é tanto maior quanto mais letras tiver o nome.º quartil e a mediana. na parte central dos dados (nos 50% dos dados do meio da amostra ordenada). Distribuições simétricas A distribuição das frequências faz-se de forma aproximadamente simétrica. relativamente aos restantes). O preço de cada camisola tem um valor fixo. do que entre a mediana e o 2. um ligeiro enviesamento para a direita. perdemos alguma informação contida nesses mesmos dados. . no peito. utilizando as amplitudes entre os quartis. Simetria ou ausência de simetria. Por isso. 4. relativamente a uma classe média: 5 Graça Martins (2005). sobretudo para os dados do milho normal. Ao agruparmos os dados. o professor encarregou os alunos de fazerem um estudo sobre o número de letras do nome. Se não houver inconveniente para a saúde. como: Comparação das medianas. Notamos ainda. Identificação de possíveis “outliers” (valores muito grandes ou muito pequenos. o aspecto do histograma reflecte a forma da distribuição da população de onde os dados foram recolhidos. Esta distribuição surge em amostras provenientes de Populações Normais. cujas frequências são pequenas. averiguar se não teremos uma amostra de indivíduos do sexo . na forma de um histograma e obtivermos uma representação idêntica à anterior. temos sintomas da existência de uma mistura de duas populações distintas.Organização e tratamento de dados 106 Um caso especial importante de uma distribuição simétrica é aquele que sugere a forma de um "sino". termo cujo significado será explicado mais tarde. Podemos. no âmbito das Probabilidades. relativamente ao outro: Distribuições com caudas longas A distribuição das frequências faz-se de tal forma que existe um grande número de classes nos extremos. relativamente às classes centrais: Uma distribuição deste tipo pode ser sintoma da existência de elementos que não pertencem à população ou que foram recolhidos de forma incorrecta (denominados “outliers”). se ao representarmos os pesos de uma amostra de indivíduos. sugerindo que os dados são constituídos por vários grupos distintos. apresentando valores substancialmente mais pequenos num dos lados. ou que há uma mistura de populações com distribuições distintas: Por exemplo. Distribuições enviesadas A distribuição das frequências faz-se de forma acentuadamente assimétrica. por exemplo. Distribuições com vários "picos" ou modas A distribuição das frequências apresenta dois ou mais "picos" a que chamamos modas. No caso das variáveis contínuas6 os modelos teóricos são caracterizados pelas chamadas curvas de densidade. temos um teste demasiado difícil. Ao contrário de um teste demasiado acessível. ou até de indivíduos do mesmo sexo mas de classes etárias diferentes. os trabalhadores do grupo 6 7 Graça Martins et al. A seguir apresentamos alguns exemplos com esquemas de histogramas estilizados. os resultados apresentam uma distribuição com enviesamento para a direita. modelos com funções densidade com gráficos com o seguinte aspecto: As distribuições com enviesamento para a direita são bem mais frequentes do que as que apresentam enviesamento para a esquerda. para as populações de onde as amostras foram seleccionadas. Neste caso. Outro exemplo de uma distribuição com um enviesamento para a esquerda é o que se obtém representando graficamente os resultados de um teste demasiado acessível para os alunos a que se destina. Estas são funções não negativas. como o que apresentámos atrás como caso especial de uma distribuição simétrica. Efectivamente. A maior parte dos alunos tem notas muito boas e só alguns alunos. Os trabalhadores do grupo B ganham cerca de duas vezes mais do que os trabalhadores do grupo A. é que têm uma nota reduzida. com a frequência de alunos com nota alta ou baixa. os que não estudaram nada ou são muito fracos. Os histogramas enviesados apresentados anteriormente também sugerem. e a sua aplicação pode ser sugerida por um histograma com a forma de “sino”. (2007). A representação gráfica de um teste adequado para os alunos a que se destina assemelha-se ao modelo Normal. o seguinte gráfico pode ser considerado a função densidade do modelo Normal.Organização e tratamento de dados 107 masculino ou feminino. a grande acumulação de idades das pessoas reformadas verifica-se à volta da classe etária dos 60 ao 70 anos. que têm a particularidade de terem uma área unitária entre o eixo dos xx e o gráfico que as representa. que procuram traduzir a distribuição subjacente a várias variáveis quantitativas contínuas. Para valores inferiores aos 60 anos há algumas pessoas que se reformam. Exemplo – Salários de trabalhadores7. Recolheram-se os preços dos salários mensais de três tipos de trabalhadores. Espera-se um número razoável de alunos com nota à volta da média das notas. Uma variável que pode ser bem modelada por uma distribuição com enviesamento para a esquerda é a idade da reforma de um trabalhador. mas com muito menor frequência. a diminuir à medida que nos afastamos daquela média. Adaptado de Freedman (1991). Por exemplo. . Seguidamente apresentam-se seis esquemas de histogramas. Por exclusão de partes a figura (1) deve corresponder aos salários dos trabalhadores do grupo B. podemos pensar que se se diz que os trabalhadores do grupo B ganham o dobro dos trabalhadores do grupo A. com um enviesamento para a direita. Exemplo – Qual o aspecto da distribuição?8. d) Alturas de todos os automóveis. de histogramas. havendo alguns (poucos) salários que são substancialmente superiores aos restantes. Qual dos esquemas seguintes. Por outro lado. 8 Adaptado de Freedman (1991). alongada para a direita. Então a figura (3) corresponderá aos salários dos trabalhadores do grupo C. quatro dos quais apresentam os resultados do estudo. sendo mais usuais as distribuições com o aspecto (2) ou (3). isto significa. em que os pais tenham idade inferior a 24 anos. os do grupo A auferem um salário à volta de 2000 euros. que enquanto a maior parte dos trabalhadores do grupo B aufere um salário à volta de 4000 euros. Efectivamente. mas deslocada para a direita de 1500 euros. . provocando uma cauda da distribuição. b) Alturas dos casais (marido e mulher). Isto deve-se ao facto de a maior parte dos salários se concentrarem numa determinada região. a distribuição dos salários tem um aspecto assimétrico. por exemplo. numa pequena cidade. se os trabalhadores do grupo C ganham 1500 euros a mais do que os do grupo A. se refere a cada um dos grupos? Para resolvermos esta questão. Então é natural esperar que a figura (2) corresponde aos trabalhadores do grupo A. Os trabalhadores do grupo C também têm um salário claramente superior aos do grupo A. pois é a única cuja média é claramente inferior a 4000. A distribuição com o aspecto (1) não é muito usual para representar salários. sendo de facto compatível com a condição dada do seu salário ser cerca de duas vezes maior que o dos trabalhadores do grupo A. das quatro características seguintes: a) Alturas de todos os elementos das famílias. em geral.Organização e tratamento de dados 108 C ganham mais 1500 euros por mês do que os do grupo A. c) Alturas de todos os indivíduos da cidade. isto significa que a distribuição dos salários dos trabalhadores do grupo C terá um aspecto idêntico ao dos trabalhadores do grupo A. que para casais com idades inferiores a 24 anos. frisámos o facto de a informação transmitida pelo histograma sobre o padrão da distribuição da população subjacente aos dados. Caule-e-folhas. Por exemplo. escolhido ao acaso. que estão em minoria. ainda devem ser muito pequenos. de uma família. com duas modas. as alturas dos homens concentram-se em torno de um valor um pouco superior ao valor em torno do qual se concentram as alturas das mulheres. o histograma adequado é o que corresponde à mancha (1) que traduz o facto de os carros terem quase todos a mesma altura. Ao escolher um indivíduo ao acaso. em que os pais tenham idade inferior a 24 anos. ser idêntica à transmitida pelo gráfico de caule-e-folhas. é natural esperar um esquema idêntico ao da figura (3). correspondente às alturas das crianças. as seguintes representações.Organização e tratamento de dados 109 Quais dos esquemas de histogramas podem representar cada uma das variáveis anteriores? Pensando na variável que representa a altura de um elemento. reflectindo que de um modo geral. aproximadamente: Quando consideramos a distribuição das alturas dos elementos de um casal. à volta dos quais se nota uma maior frequência. quando se estuda a variável que representa a altura de um carro. andando à volta de 125cm. Finalmente. e que corresponderão à altura dos filhos – entre 80 e 90cm. na cidade. dão o mesmo tipo de informação. Adiantamos que o mesmo se verifica com o diagrama de extremos e quartis. quando apresentámos a representação dos dados em caule-efolhas. respectivamente à volta de 165cm e 190cm. sugerindo que a distribuição da população tem um enviesamento para a direita: .6. histograma ou diagrama de extremos e quartis Já na secção 4. onde se vislumbram 3 pontos. e à altura dos membros do casal ou do marido. obtidas para o mesmo conjunto de dados.1. esperamos obter um histograma com uma mancha idêntica à (2). esperamos que a distribuição das alturas seja descrita pela figura (4) que apresenta um enviesamento para a esquerda. a partir dos dados. A representação em que se perde menos informação é o caule-e-folhas. 4. Uma representação gráfica frequentemente utilizada e com grande divulgação na comunicação social. a um aluno candidato à Universidade pede-se a nota de candidatura e a nota na prova específica (esta prova varia de Faculdade para Faculdade). mas numa situação especial. a sua construção pode apresentar menos maleabilidade do que o histograma. devido à especificidade da escolha dos caules.º quartil. em que uma das variáveis é o tempo. quando um adulto vai ao médico. o gráfico de linha (ou série temporal). pensamos ser oportuno a introdução de uma breve referência à representação deste tipo de dados.8 Representações gráficas e tabelas de frequências para dados bivariados Embora a representação de dados bivariados não faça parte do programa do ensino básico. o peso. Por exemplo: quando os pais levam o filho ao pediatra ele recolhe informação sobre o peso e a altura da criança.Organização e tratamento de dados 110 Como já referimos. informação sobre cinco números (mínimo. . uma vez que os agrupámos em classes. mas também foi a mais simples de ser construída – bastou recolher. este recolhe informação sobre a idade. 1. quando alguém pretende comprar um carro. etc.. perde-se sempre alguma informação que eles contêm. máximo. Das representações gráficas anteriores. mas como também já vimos. 3. recolhe informação sobre a cilindrada e o consumo médio aos 100km. a tensão máxima e mínima. o nível de colesterol. em estudos económicos estuda-se o salário de um indivíduo e o nível de escolaridade que detém. mas em contrapartida obtemos informação sobre a estrutura da população de onde eles provêm. mas em contrapartida ficámos com uma ideia do padrão da distribuição subjacente aos dados. aquela em que se perdeu mais informação foi o diagrama de extremos e quartis. Ao construir o histograma também perdemos alguma da informação contida nos dados.º quartil e mediana). não é mais do que uma representação gráfica da forma como duas variáveis se relacionam uma com a outra. No nosso dia-a-dia temos muitas vezes necessidade de recolher informação sobre duas (ou mais) variáveis acerca do mesmo indivíduo. que abordaremos a seguir. quando se faz a representação dos dados. o governo interessa-se pela evolução da taxa de desemprego. ao longo dos últimos anos. já concluímos que os homens tendem a ser mais velhos que as mulheres. 4. etc. também aumenta a idade do marido.8. com o tempo que demora o trovão. y). Será verdade que quanto mais velha é a mulher. Das representações aí consideradas. pelo que vamos utilizar a informação sobre as idades da mulher e do marido da Tarefa Vamos comparar as idades dos nossos pais e das nossas mães. apercebemo-nos que. porque nem sempre isso aconteça. mais velho é o marido? Propomos fazer um estudo sobre esta questão. Uma solução que o professor arranjou. associamos a distância a que se encontra a trovoada.6. de um modo geral. com os dados relativos aos pais e às mães separados. Diagrama de dispersão – é uma representação gráfica para dados bivariados (pares de dados) quantitativos. Dizemos de um modo geral. quando troveja. da secção 4. foi numerar (na parte de dentro do papel) com o mesmo número. nos dois pedaços de papel. o par de pedaços de papel dado a cada aluno. conseguiuse reconstituir as idades dos casais. a que chamamos diagrama de dispersão. Idade do marido). à medida que a idade da mulher aumenta. mas na verdade nem todos os maridos são mais velhos do que as mulheres. Efectivamente. após vermos o relâmpago. para em qualquer altura recuperar os pares de dados trazidos. em que cada par de dados (x. num sistema de eixos coordenados. mas existe tendência a que homens mais velhos estejam casados com mulheres mais velhas. que se apresentam na tabela seguinte: Idade da mulher Idade do marido 19 28 24 29 20 27 28 26 26 31 25 24 27 39 23 33 32 37 31 34 35 35 32 42 34 40 40 41 Representámos num sistema de eixos coordenados os pontos de coordenadas (Idade da mulher. Assim. nem tão pouco conseguimos saber qual a percentagem de homens que são mais velhos do que as respectivas mulheres. o governo encomendou um estudo sobre a associação entre a taxa de álcool e o tempo de reacção. como se apresenta a seguir: Na representação anterior. .1. pelos alunos. espera-se que a idade da mulher esteja relacionada com a idade do marido. nada podemos concluir.Organização e tratamento de dados 111 para impor uma taxa máxima de álcool para os condutores.1 Diagrama de dispersão Nos casais. y) é representado por um ponto de coordenadas (x. Essa associação diz-se positiva. que pode ser representada por uma recta com declive positivo: Quanto mais perto os pontos se dispuserem ao longo de uma recta. maior será o grau de associação entre as duas variáveis. pois permite realçar algumas propriedades entre os dados. se a recta tiver declive negativo. é um alimento muito calórico e a maior parte das vezes rico em gordura. nomeadamente no que diz respeito ao tipo de associação entre as variáveis representadas por x e y. O exemplo anterior é um caso de uma associação positiva. apresenta uma forma alongada.. embora um pouco dispersa. A associação será negativa. é um alimento rico em cálcio. de um modo geral. No exemplo anterior. a nuvem de pontos. . No entanto. O queijo. é necessário não abusar. o valor da outra variável. Neste caso. (2007).9. de um modo geral. mas não exageremos. a quantidade de gordura e o número de calorias. Na tabela seguinte apresentamos. quanto maior for o valor de uma das variáveis. já que. Tarefa – Vamos comer queijo. para vários tipos de queijo..Organização e tratamento de dados 112 Este tipo de representação é muito útil. se a recta tiver declive positivo. por cada 100 gramas de queijo: Alimento (100g) Queijo Brie Queijo Camembert Queijo da Ilha Queijo da Serra curado Queijo da Serra fresco Queijo de Azeitão Queijo de Évora Queijo de Serpa Queijo de Tomar Queijo flamengo 20% Queijo flamengo 30% Queijo flamengo 45% Queijo fresco Gordura (g) 20 23 26 32 27 25 34 26 27 8 14 23 21 Calorias 263 313 357 385 327 309 412 330 305 185 246 315 265 9 Adaptado de Graça Martins et al. proveniente do leite. menor será. menos calorias.pt ) e que foi retirado de uma notícia que apareceu no jornal Diário de Notícias do dia 5 de Abril de 2008. Uma possível abordagem é começar por tentar relacionar as duas variáveis Quantidade de gordura (em gramas) e Número de calorias. visualmente.Alimento com baixo teor em gordura mas podendo ter um elevado conteúdo em calorias. pode ser aproveitado pelo professor para discutir com os alunos sobre os malefícios de ingerir alimentos com grande quantidade de gordura e já que o queijo faz bem. de um modo geral.alea. o tempo. Por exemplo. Este exemplo.Organização e tratamento de dados 113 Queijo Gorgonzola Queijo Gruyère Queijo Parmesão Queijo Roquefort Queijo Suíço 37 20 28 32 29 407 315 401 371 357 . devemos escolher os tipos de queijo com menos gordura. sendo esta outra variável. 4.Alimento rico em gordura: comer pontualmente ou moderar o seu consumo. . a forma como uma variável evolui em relação a outra variável. A tabela anterior permite vários estudos no que diz respeito à quantidade de gordura e ao número de calorias dos diferentes tipos de queijo. Nesse desafio apresentou-se o gráfico tal e qual como apareceu na comunicação social e fazia parte do desafio responder às questões que se acrescentam a seguir: .Alimento intermediário: consumir com moderação. É utilizado para representar. que será abordado mais à frente.8. que também têm. repare no gráfico que fez parte do Desafio 23 do ALEA (www. O diagrama de dispersão para estas variáveis tem o seguinte aspecto: No gráfico anterior é nítida a forte associação linear positiva entre a Quantidade de gordura e o Número de calorias. quase sempre. como aliás seria de esperar. .2 Gráfico de linhas Um gráfico de linhas é um caso especial de um diagrama de dispersão. necessário para uma boa formação dos ossos. pois tem cálcio. Questão 3: De 2000 para 2007.. 300. em percentagem? Apresenta o resultado aproximado às décimas. de modo que a venda do café talvez ajudasse a equilibrar o negócio. 300. alguns dos alunos decidiram calcular algumas medidas. 400. para lhe fazerem um pequeno estudo sobre se valeria a pena continuar com o negócio. decidiu averiguar se o negócio com a máquina de café era compensador. tentar arranjar alguns processos úteis de conseguir que eles “falassem”. quando aqueles estiverem a estudar e a interpretar a variação de uma função representada por um gráfico. Fonte: AFP Questão 1: Embora a tendência da evolução da facturação seja nitidamente decrescente. em milhões de euros. 400. num canto da sala. 100. Nessa discussão. a título de experiência. Depois de trocarem algumas impressões uns com os outros de como atacar o problema. era a ordem pela qual os dados tinham sido recolhidos: 300. . Entre que anos consecutivos se registou esse crescimento na venda de música gravada? Qual o valor do crescimento. uma coisa não tinham dúvidas: precisavam de dados! Felizmente a dona da livraria tinha registado as quantias auferidas com a venda do café. 400. que costumavam passar por lá para folhear uns livros. 100. Questão 2: Na notícia afirma-se que o mercado português da música gravada facturou. Assim. Este exemplo pode ser trabalhado com os alunos. 200. em 2007. fazer algumas representações gráficas. 300. Tarefa – As vendas estão a correr bem? A proprietária de uma livraria. 300. pediu a um grupo de alunos do 3. do mercado discográfico português de 2000 a 2007. verificado na facturação discográfica? Apresenta o resultado aproximado às décimas. 500 Na posse dos dados. uma máquina de café. tendo a senhora garantido que a ordem apresentada. menos 13. de forma a extrair alguma informação que pudesse ajudar a proprietária.. 200. nos últimos 20 dias. 200. Passado algum tempo. 300. houve alguns anos em que se verificou um ligeiro crescimento. 300. Os lucros com a venda dos livros estavam a baixar. qual o decréscimo.Organização e tratamento de dados 114 O gráfico apresenta a evolução da facturação total. 300. 400. 200.º ciclo. da escola ao lado da livraria. Os jovens decidiram ajudar a senhora. pede-se que se responda a algumas questões. A partir da informação contida no gráfico. De acordo com o gráfico. em percentagem. ou seja. esta afirmação é verdadeira? Justifica a tua resposta. com o auxílio do professor.7% que em 2006. Os jovens registaram os dados. pois aquele conjunto de valores não lhes estava a dizer nada. começaram a pensar na metodologia a seguir. 500. montou. quantia auferida). Alguns aspectos dos dados apresentados pelo diagrama de dispersão. tais como: Alguns aspectos dos dados apresentados pelo caule-e-folhas. Como a representação anterior não nos diz nada sobre a forma como o negócio está a evoluir. pelo que começaram por aí. não nos tendo fornecido mais nenhuma informação. que não sobressaiam a partir do caule-e-folhas. nomeadamente uma representação em caule-e-folhas e um diagrama de dispersão com os pares (dia. ou com a mão-de-obra envolvida neste pequeno negócio. para averiguar se a venda de café na livraria estaria a resultar. um deles alertou para o facto de reduzir um conjunto de dados a 2 medidas era talvez demasiado drástico. que apresentamos a seguir: 10 20 30 40 50 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A distribuição dos dados é simétrica. que se apresenta a seguir: . A proprietária da livraria. razoavelmente concentrada em torno da média de 300 euros. pelo que decidiram fazer duas representações gráficas. tentaram realçar alguns pontos. levou-nos a desconfiar que a distribuição dos dados era simétrica.Organização e tratamento de dados 115 Já todos sabiam calcular a moda e a média. Ao tomarem esta decisão. Qual das representações interessaria mais à proprietária da livraria. nomeadamente os custos com a manutenção da máquina. forneceu-nos uma tabela com as vendas nos 20 últimos dias. não se tendo registado quantias muito baixas ou muito elevadas. Apresentamos a seguir um pequeno relatório com a análise dos dados fornecidos pela proprietária da livraria: Relatório Questão – Foi-nos pedido que elaborássemos um estudo. construiu-se um gráfico de linhas. os custos do grão de café. que não sobressaiam a partir do diagrama de dispersão. No entanto. Metodologia utilizada – Cálculo de algumas estatísticas: Moda 300 € Média 300€ Mediana 300€ O facto de as 3 medidas anteriores serem iguais. o que se veio a confirmar com o gráfico de caulee-folhas. compara os cinco conjuntos de dados obtidos. Utilizando uma representação gráfica adequada. Tarefa – Registo da temperatura máxima e mínima no Porto. respectivamente. de cada cidade. na folha respectiva. Conclusão – Tendo em linha de conta a informação que nos foi facultada. para cada dia. outra do centro e outra do Sul e das duas cidades dos arquipélagos dos Açores e Madeira. com fita-cola e colocou ao pé das folhas dois lápis. o professor arranjou cinco folhas quadriculadas. apontavam com o lápis azul a temperatura mínima e com o lápis encarnado a temperatura máxima. Para poderem responder a esta questão. sem esquecer os fins-de-semana. um azul e outro encarnado. Para fazerem a tarefa. uma do norte. concluímos que com a venda do café a proprietária aufere uma quantia média diária de 300 euros. . Esta é uma característica importante. Algumas questões que podem ser abordadas: Qual o valor máximo e mínimo obtido para as temperaturas recolhidas. completam o gráfico de linha unindo os pontos azuis e os pontos encarnados. pensas que obterias dados com aspecto diferente? Haverá alguma(s) das cidades onde a estação do ano tenha menor influência do que noutra(s) cidades? Justifica a tua resposta. como a que se apresenta a seguir. num dia especificado pelo professor. Quando os alunos chegavam à turma. Pendurou na parede. uma para cada cidade. estes valores estarão associados à localização geográfica das cidades? Para cada cidade calcula. os alunos resolveram fazer uma recolha de dados durante 20 dias. havendo uma tendência para este valor aumentar. mas que naturalmente vai interessar à dona da livraria. Lisboa. com tendência para crescer. Se a escolha de dados tivesse sido feita noutra estação do ano.Organização e tratamento de dados 116 Evolução das quantias auferidas nos últimos 20 dias Este gráfico é bem elucidativo ao mostrar que o negócio evolui de forma positiva. Ao fim dos 20 dias. Pretende-se averiguar se haverá indícios de diferença na temperatura nas três cidades apontadas de Portugal continental. a diferença entre a temperatura máxima e a temperatura mínima. que não era realçada no caule-e-folhas. Ponta Delgada e Funchal. Os alunos foram divididos em grupos de dois e cada grupo ficou encarregue de ouvir no noticiário da manhã. Faro. a previsão das temperaturas máxima e mínima para as cinco cidades. para cada cidade? No caso das cidades de Portugal Continental. como o centro da distribuição. nomeadamente no que diz respeito à localização de alguns pontos importantes. ou à dispersão ou variabilidade apresentada pelos dados. .Organização e tratamento de dados 5 Características amostrais Uma descrição numérica das distribuições de dados é feita através de alguns números que realçam alguns aspectos específicos da distribuição dos dados. Organização e tratamento de dados 118 . mas o João não transitou de ano. um outro processo de resumir essa informação utilizando determinadas medidas. apresentamos ainda neste capítulo algumas medidas adicionais (percentis. de uma forma geral. Suponha que dois alunos do 7. Quer dizer que utilizámos uma medida de redução dos dados. e. frequentemente. extremos e amplitude.º período: Pedro João 4 5 3 2 3 2 3 3 3 4 3 3 4 5 3 3 4 3 3 3 O Pedro e o João tiveram a mesma média de 3. Das medidas ou estatísticas que iremos definir. os quartis e amplitude interquartil. aproveitando-se.1 Introdução Vimos.º ciclo surgem os conceitos de média aritmética. pois teve duas negativas. mas notamos desde já que não se pode dizer que uma é melhor do que outra. também chamadas medidas de tendência central. na forma de números. se perdem de vista as questões a que se queria responder. a média. em que a própria natureza dos dados nem chega a ser bem discutida. que não é suficiente para caracterizar e diferenciar os dois conjuntos de dados. E.2 Medidas de localização Será mesmo necessário utilizar os dois tipos de medidas. alguns processos de resumir a informação contida nos dados. neste capítulo. que se chamam estatísticas. calculadas a partir dos dados e que servem para os caracterizar.3. Assim. isto é de localização e de dispersão.º ciclo só se estuda uma destas medidas – a moda. as oportunidades relevantes. para isso. ao resumir a informação contida nos dados na forma de alguns números. Definiremos várias medidas. de modo a representarem o melhor possível o conjunto de dados que pretendem sumariar. Pelo contrário. para caracterizar um conjunto de dados? O exemplo seguinte procura responder a esta questão. Veremos. utilizando tabelas e gráficos. se representarmos num diagrama de caule-e-folhas os dois conjuntos. no 3. O estudo destas medidas não deve redundar na realização de exercícios de cálculo repetitivos. Efectivamente. para além das medidas de localização e dispersão incluídas no Programa. é na exploração de situações significativas para os alunos – com dados fornecidos pelo professor como os que se apresentam neste capítulo ou com dados recolhidos pelos próprios alunos – que estes conceitos devem ser considerados. e as medidas de dispersão. devendo ser capazes de escolher as medidas de localização mais adequadas para resumir a informação contida nos dados. obtemos duas representações com aspecto diferente. No 1.º ano obtiveram as seguintes notas no 3. que medem a variabilidade dos dados. Como complemento de informação para o professor. os alunos aprendem a mediana.º ciclo.Organização e tratamento de dados 119 5. finalmente. nomeadamente as que localizam o centro da distribuição dos dados. 5. desvio médio absoluto e desvio-padrão). destacam-se as medidas de localização. já que na . No 2. no capítulo anterior. Observemos que. estamos a proceder a uma redução "drástica" desses dados. Cada uma delas tem as suas vantagens e os seus inconvenientes e a escolha da medida a usar depende do contexto e da situação em causa. aquelas medidas devem ser convenientemente escolhidas. a 1. isto é. x2. Vimos também que um histograma pode ter vários aspectos. De entre as medidas de localização.. respectivamente. No caso particular do histograma ser perfeitamente simétrico. a situação ainda se torna mais complicada.. representam. a n-ésima observação ou n-ésimo dado. quando o histograma é enviesado..ª observação ou 2º dado. Apresentaremos ainda outras medidas de localização. é muito rara. cujas medidas não dão necessariamente o mesmo resultado. Uma medida de localização é um número que nos dá informação sobre a ordem de grandeza dos dados da amostra. a serem consideradas ou considerados para constituir a amostra de dimensão n.. a definir seguidamente.ª observação ou 1º dado. Por outro lado. Vimos no capítulo anterior que uma representação gráfica adequada para um conjunto de dados contínuos era. a existir. pois devido à aleatoriedade presente nos dados. por exemplo.Organização e tratamento de dados 120 segunda representação se verifica uma maior variabilidade. Existem então. … .. xn. uma forma simétrica ou enviesada. não só da parte central da distribuição dos dados. os dados estão mais dispersos: 3 4 3333333 444 2 3 4 5 22 33333 4 55 Para definir as medidas que vão ser utilizadas para resumir a informação contida nos dados. utilizamos a seguinte notação para representar os dados x1. de que destacamos os quartis. xn onde x1. pois é difícil dizer o que é o centro. a 2. os histogramas não apresentam aquele aspecto. vários processos para definir o centro. . merecem destaque especial as que indicam o centro de uma amostra. x3. x2. onde se concentram a maior parte dos dados. mas sim outros pontos representativos da aglomeração das caudas. como também nas caudas. o histograma. não há dúvida em dizer qual o centro dessa distribuição: No entanto. a situação anterior. apresentando. Esta notação não pressupõe uma ordenação. não para representarem o centro da distribuição dos dados. nomeadamente. Destas medidas destacamos a média e a mediana. Neste caso não poderíamos dar 12 letras a cada um dos 10 alunos. é a medida de localização do centro da amostra mais vulgarmente utilizada. e pretendêssemos calcular a média . para os dados referentes à variável número de letras do nome. da Turma de referência. em euros. Representa-se por x e calcula-se utilizando o seguinte processo: Somam-se todos os elementos da amostra. ou simplesmente média. Se em vez do número de letras dos nomes. Por exemplo. vem que a média do número de letras dos nomes dos primeiros 10 alunos considerados na tabela. que cada aluno tinha no bolso. pois seriam necessárias 120 letras.8 letras! O que aquele valor significa é que 12 letras nos dão um valor que representa razoavelmente bem o número de letras dos nomes daqueles 10 alunos. Divide-se o resultado da soma pelo número de elementos da amostra. aqueles valores significassem a quantia.8 letras para o número de letras dos nomes dos 10 alunos? Obviamente que não há 11.Organização e tratamento de dados 121 5.1 Média A média amostral. Nome Ana Godinho Ana Sofia Silva Andreia Sousa Carolina Martins Daniela Silva David Leal Diogo Oliveira Filipa Duarte Helena Afonso Inês Martins Joana Manso João Miguel Ribeiro João Pedro Batista Liliana Isabel Cruz Maria Margarida Cabral Miguel Esteves Nuno Pestana Patrícia Santos Pedro Pinheiro Raquel Loureiro Rita Martins Simão Valente Sofia Matias Tiago Neves Número de letras no nome 10 13 12 15 12 9 12 12 12 11 10 17 16 17 20 13 11 14 13 14 11 12 11 10 é igual a 10 13 12 15 12 9 12 12 12 11 = 11. isto é. se pretendêssemos distribuir equitativamente as 118 letras dos nomes dos 10 alunos. mas poderíamos dar 12 letras a 8 dos alunos e 11 aos 2 restantes e ficavam todos com um número igual ou aproximado de letras.8 10 O que significa uma média de 11. dando a cada um o mesmo número de letras. esse valor andaria à volta de 12 letras.2. ou um número aproximado de letras. igual a 10. o valor obtido para a média não reflecte o conjunto das notas do aluno! Uma medida que se pretendia representativa dos dados. o que nem sempre acontece). x n n A média será sempre uma medida representativa dos dados? Não.5. a partir de um único número. utiliza-se a média. O seguinte exemplo é elucidativo do que acabamos de dizer. A média é uma estatística largamente utilizada no dia a dia.8 euros já não traria qualquer problema. seria possível dar a cada um a mesma quantia. no primeiro teste. todo o percurso escolar desse candidato como aluno (estamos a admitir que a média da licenciatura é a média aritmética simples. que era muito simples: 19 8.4]. em que teve negativa em 5 deles e uma positiva.5. Quando um empregador pergunta a um candidato a um emprego. menos uma. imediatamente pensamos em . ou seja 11 euros e 80 cêntimos. obtemos a quantidade pretendida! Utilizando a notação introduzida anteriormente para representar a amostra.9 7. ou seja 11! Embora todas as notas. 9. Suponha um aluno que ao longo do ano fez 6 testes. a média obtém-se a partir da expressão: x= x 1 x 2 x 3 .6 9. não está a conseguir esse objectivo.. na medida em que equilibra os valores grandes com os pequenos. pois se quiséssemos distribuir os 118 euros equitativamente pelos 10 alunos. quer avaliar.Organização e tratamento de dados 122 das quantias que os 10 alunos tinham nos bolsos. estejam no intervalo [7. Na realidade.3 Pois este aluno teve uma média positiva.8. A média é. como a que foi aqui apresentada. aliás. uma estatística com que o aluno se confronta durante todo o percurso escolar! Pode dizer-se que a média é o ponto de equilíbrio de todos os elementos da amostra. ao multiplicar a média pelo número total de elementos. pois se nos disserem que um conjunto de dados tem média 10. a interpretação do valor 11. qual a média da sua licenciatura.4 8.8 9. a média nem sempre é uma boa medida para representar os dados.. Esta característica pode-se tornar uma vantagem em certas situações: Quando o que se pretende representar é a quantidade total expressa pelos dados. como é afirmado. No histograma do centro o enviesamento para a direita provoca uma deslocação da média para a direita. mesmo que existam em pequena quantidade.Organização e tratamento de dados 123 valores que não se afastam muito deste valor. No caso do exemplo foi o valor 19 que inflacionou a média. Esquematicamente podemos posicionar a média da forma que se segue. quando a distribuição dos dados não for aproximadamente simétrica é o próprio conceito de “centro da distribuição” que deixa de ter sentido. finalmente no histograma da direita o enviesamento provoca uma deslocação da média para a esquerda. 3. Aliás. a percentagem de elementos para um e outro lado da média não é necessariamente igual a 50%. uns menores e outros maiores. pelo que nenhuma medida de tendência central tem interesse como resumo da informação contida nos dados. Ao contrário da mediana. ainda por cima muito simples. Sendo a média uma medida tão sensível aos dados. O que acontece é que a média é muito sensível a valores muito grandes ou muito pequenos. tendo em conta a representação gráfica na forma de histograma: média média média No histograma do lado esquerdo temos uma figura aproximadamente simétrica. construímos um diagrama de barras e posicionámos a média. Exemplo da “pouca resistência” da média – Considerando os valores 2. tem pouco interesse utilizar a média como centro da distribuição dos dados. dizendo-se por isso que é uma medida pouco resistente. em que o ponto de apoio é a média. como se verá adiante. pois só teve uma boa nota no primeiro teste. De seguida. pois pode dar uma imagem distorcida dos dados que pretende representar! Efectivamente a média constitui um bom resumo dos dados nos casos em que estes se distribuem de forma aproximadamente simétrica. Além disso. quando comparados com todos os restantes valores. com uma zona central de maior concentração e caudas que não se alonguem demasiado. A pouca resistência vem precisamente do facto de ser muito influenciada e “não resistir” a estes valores. temos alguma razão para pensar que o aluno efectivamente não deveria ter média positiva. 3 e 4. alterámos um desses valores para estudar o seu comportamento. Quando a distribuição dos dados apresenta um grande enviesamento. numa proporção aproximada. . é preciso ter cuidado com a sua utilização. vulgarmente chamados de “outliers”. É interessante verificar que um diagrama de barras (ou histograma) se comporta como um balancé. pelo que o centro está bem definido. i=1. k. construída na secção 4. podemos considerar a tabela de frequências com os dados agrupados. x k nk 2 . não tem qualquer significado calcular a média daquele conjunto de dados. a média também está a aumentar. por exemplo. à medida que se altera um dos dados. mesmo que os dados sejam números. a média só pode ser calculada para dados quantitativos! Chamamos a atenção para que. podem agrupar-se os valores que se repetem. . i Por exemplo. obtendo-se x * * x 1 n1 x * n2 . 2. em vez de se somarem separadamente todos os valores da amostra. quer discretos. Se. x* representam os k valores distintos que surgem na amostra e ni 1 2 k representa a frequência absoluta com que surge x* .4. em que se utilizou o 1 para representar o sexo masculino e o 2 para o sexo feminino (variável codificada)... com dados de tipo qualitativo.... para calcular a média do número de letras do nome dos 24 alunos da turma de referência. Cálculo da média para dados discretos agrupados Em amostras de dados quantitativos discretos aparecem muitos valores repetidos e.Organização e tratamento de dados 124 Repare-se como varia a média.. . Para restabelecer o equilíbrio entre o valor que está a aumentar e os restantes valores.. temos um conjunto de “1’s” e “2’s” para representar as categorias da variável sexo. Pode-se sempre calcular a média? Não. não tem sentido calcular a média. n onde x*. quer contínuos. x*.. A média só se pode calcular para dados quantitativos.2.2 . diminuindo a média de cerca de uma unidade: Sugestão – Verificar como é que se pode calcular a média.042 0. Rel. Efectivamente.083 0. em vez de utilizar as frequências absolutas.Organização e tratamento de dados 125 Nº de letras no nome x* i 9 10 11 12 13 14 15 16 17 20 Total Freq.8 letras.042 1.250 0. Retirando os valores correspondentes aos 3 nomes com mais letras.083 0. . quando os dados estão agrupados. fi 0.167 0.042 0. ni 1 3 4 6 3 2 1 1 2 1 24 Freq. utilizando as frequências relativas.042 0.125 0.000 e utilizá-la para calcular a média do número de letras dos nomes dos 24 alunos: x 9 1 10 3 11 4 12 6 13 3 14 2 15 1 16 1 17 2 20 1 24 obtendo-se para x = 12. calculando agora a média sem esses 3 valores obtemos o valor 12. Abs. Na figura seguinte apresentamos a posição da média: O gráfico anterior mostra-nos um enviesamento para a direita na distribuição do número de letras do nome dos 24 alunos. esperamos que a média diminua.125 0. 5 152.5 Freq.5 157. e ni a respectiva frequência absoluta.5 7 137.7cm. utilizando a tabela de frequências construída.28 0. 150[ [150. quando os dados estão agrupados é.5. para a variável altura de um aluno da escola do 1º ciclo Classes [130.10 0.1. é uma aproximação do valor obtido quando se consideram todos os dados. Para os nomes dos alunos da turma de referência obter-se-ia a tabela seguinte: . 140[ [140.5 14 152. um valor aproximado. neste caso.5 142. utiliza-se a fórmula anteriormente apresentada para calcular um valor aproximado para a média dos dados agrupados.5 4 50 ≈ 143. indicando na primeira coluna o número de vogais do primeiro e último nome e na segunda coluna o número de consoantes.18 0. pelo que a posição da média reflecte razoavelmente bem o centro da distribuição dos dados.5 5 157.5 137.08 1.22 0. considerando os dados agrupados. Na figura seguinte apresenta-se a posição da média (aproximada) no histograma correspondente à tabela de frequências anterior: A distribuição dos dados não apresenta um grande enviesamento. 155[ [155.5 11 147. 145[ [145. ni 7 9 11 14 5 4 50 Freq. Abs. O valor que se obtém para a média. Sugestão – Verificar que o valor obtido para a média quando se consideram todos os dados é igual a 142. na secção 4. Tarefa – Número de vogais e de consoantes do nome. Na turma o professor desenhou no quadro uma tabela com 2 colunas e pediu a cada aluno que fosse preencher a tabela.8cm O valor obtido para a média. já que não estamos a calcular a média com os verdadeiros valores.5 9 142.00 podemos obter um valor aproximado para a média das alturas: x 132. que i representámos por x’i. Classe x’i 132.Organização e tratamento de dados 126 Cálculo da média para dados contínuos agrupados Para dados quantitativos contínuos. já organizados em classes. Rel. fi 0. sendo agora x* o representante ou marca da i-ésima classe. 160[ Total Rep.5 147. Assim.14 0. 135[ [135. º de consoantes no nome N. de um modo geral. mais vogais ou mais consoaniii) tes? O que é que permitiu responder dessa maneira? iv) Quantos alunos têm no nome mais vogais do que a média? E mais consoantes do que a média? Este resultado era esperado a partir das representações gráficas dos dados? Para os dados da turma de referência.º de alunos 3 4 9 2 4 1 1 24 N.º de consoantes 4 5 6 7 8 9 10 11 Total N.Organização e tratamento de dados 127 Nº de vogais 5 7 7 6 6 4 8 6 6 4 5 10 8 8 9 6 5 6 6 8 4 6 6 5 Nº de consoantes 5 6 5 9 6 5 4 6 6 7 5 7 8 9 11 7 6 8 7 6 7 6 5 5 a) O professor pediu aos alunos que organizassem os dados numa tabela de frequências e construíssem o diagrama de barras para cada um dos conjuntos de dados. calcule as médias dos conjuntos de dados e compare-as com os valores estimados a partir dos diagramas de barras. Os nomes têm. as tabelas de frequência e os diagramas de barras correspondentes são os seguintes: N.º de vogais no nome N.º de alunos 1 6 7 5 2 2 0 1 24 .º de vogais 4 5 6 7 8 9 10 Total N. Pediu ainda que respondessem às seguintes questões: i) Qual o aspecto apresentado pelos diagramas de barras construídos para os dois conjuntos de dados? ii) A forma apresentada pelos diagramas de barras permite estimar o valor aproximado para as médias dos dois conjuntos de dados? Utilizando as tabelas de frequência com os dados agrupados. . talvez mais perto do 7. no ponto 6.5 24 24 Os valores obtidos para as médias estão perfeitamente dentro do intervalo de valores que esperávamos obter a partir das representações gráficas. apresentando 2 modas. Relativamente ao gráfico do lado direito. mas mais perto do 6. espera-se que a média do número de vogais e do número consoantes.3 24 24 Média do número de consoantes 4 1 6 4 . no ponto 8. aproximadamente o mesmo número de vogais e consoantes. que se chama Maria Natividade Almeida Jorge. já que o novo nome tem 14 vogais e 13 consoantes. pois estamos a acrescentar a cada um dos conjuntos de dados. Para calcular as novas médias vamos aproveitar alguns dos resultados obtidos para calcular as médias anteriores: Média do número de vogais 151 14 =6. No que diz respeito aos dados sobre o número de vogais e de consoantes no nome. pelo que estimamos que a média do número de consoantes esteja entre o 6 e o 7. 10 1 151 x ≈6. com alguma predominância de nomes com mais consoantes do que vogais.. bastante mais frequente que a outra moda.. respectivamente: 16 nomes com um número de vogais inferior à média e 8 nomes com um número de vogais superior à média..Organização e tratamento de dados 128 O gráfico do lado esquerdo é bastante atípico. Utilizando as tabelas de frequências. com uma das modas. se mantenha. 11 1 156 x =6. temos.8 25 . esperamos que as médias aumentem um pouco. temos um enviesamento para a direita. Estes valores levam-nos a concluir que os nomes têm em média. Os valores anteriores são sintomáticos da falta de simetria da distribuição dos dados. mas esperamos que esteja entre o 6 e o 7. um novo dado maior que os restantes. b) Se à lista de nomes anteriores juntasse o nome da professora.6 x 25 Média do número de consoantes 156 13 x 6. Estamos numa situação em que a média não reflecte o comportamento dos dados. 14 nomes com um número de consoantes inferior à média e 10 nomes com um número de consoantes superior à média. calcularam-se as médias para o número de vogais e para o número de consoantes dos nomes dos 24 alunos: Média do número de vogais 4 3 5 4 . aumente ou diminua? Porquê? Como procederia para calcular a média de cada conjunto de dados a que acrescentou mais um elemento? Considerando os dados da turma de referência. se se distribuíssem os 50 lápis por todos. encontram-se representadas no seguinte diagrama de pontos: O professor pediu aos alunos para calcularem o número total de lápis existentes nos 10 estojos. 4. Existem agora vários processos de manter o balancé em equilíbrio. 3. 8. chegado rapidamente à conclusão que tinham. 8. tendo um dos alunos. ao todo. mas de forma igual. quantos lápis (incluindo lápis de cor) tinham no estojo. 3. 5. 50 lápis. Tarefa – Desvios entre os dados e a média. 9. como se apresenta a seguir Se tivéssemos deslocado um dos pontos para a posição 8. em vez da posição 7. De seguida o professor perguntou se algum dos alunos saberia dizer com quantos lápis ficaria cada um dos 10 alunos. Todos responderam ao mesmo tempo que seriam 5 lápis! Cada um dos 10 alunos ficaria com 5 lápis e o gráfico de pontos que ilustra esta situação é o seguinte Imagine que a linha horizontal representa um balancé que está em equilíbrio no ponto de apoio assinalado no ponto 5. Vejamos algumas situações: Deslocamos um dos pontos para a posição 7.Organização e tratamento de dados 129 Apresentamos a seguir algumas tarefas para consolidar os conhecimentos sobre a média. Na turma o professor perguntou a 10 alunos que tinham o estojo de lápis em cima da mesa. 4. para que o balancé mantivesse o equilíbrio teríamos de proceder de uma das seguintes formas: . As respostas obtidas 2. o Miguel. mas sem estarem todos os valores acumulados no ponto 5. 4. mas para que o balancé mantenha o equilíbrio teremos de proceder de uma de duas maneiras: ou deslocamos um dos valores para a posição 3 ou 2 valores para a posição 4. como se pretendia. Como contrabalançar este ponto que afastámos da posição onde estava de 4 unidades (9-5=4)? Teremos de deslocar outro ou outros pontos da posição 5. mas agora para o lado esquerdo e de tal modo que as distâncias somem também 4 unidades. podemos deslocar para o outro lado. é igual à distância total dos pontos inferiores a 5: . verificamos que distância total dos pontos superiores a 5. e a igual distância. Retiremos ainda um outro ponto da posição 5 e coloquemos na posição 8. um outro ponto: Repare-se que a representação a que chegámos. representando a distribuição dos dados. pois a soma das suas distâncias à posição 5 é igual a 4 ((5-3)+(5-3)). foi a que nos foi dada inicialmente. Uma situação possível é a que se apresenta a seguir (verifique se há mais situações possíveis): Colocámos 2 pontos na posição 3. Da forma como chegámos a esta representação.Organização e tratamento de dados 130 Peguemos na última situação e desloquemos um outro ponto da posição 5 para a posição 9. Para compensar este afastamento de 3 unidades. sendo os totais das diferenças dos valores acima da média e abaixo da média iguais em valor absoluto. como já tínhamos afirmado anteriormente. (x1. é o ponto de equilíbrio da distribuição dos dados. Tarefa – Quais as idades dos meus filhos? Qual a minha idade? Qual a idade da minha mulher? – O professor chegou à turma e disse: a média das idades dos meus 4 filhos é 4 anos.Organização e tratamento de dados 131 Este ponto que goza desta propriedade é precisamente a média que. à soma das diferenças dos valores acima da média. falarmos nas diferenças entre os valores e a média. O mais novo tem 2 e o mais velho 8.x ) +…+(xn.x ) =0 Repare-se que a propriedade anterior é uma consequência directa do facto da média ser o ponto de equilíbrio da distribuição dos dados. é igual a zero. para que o total das . obviamente que as diferenças entre os valores abaixo da média e a média têm sinal negativo. vem que a soma das diferenças entre todos os valores da amostra e a média. Se em vez de falarmos em distâncias. a distância que vai do 8 ao 4 é 4.x ) +(x2. Que idades podem ter os meus dois outros filhos? O professor desenhou no quadro o gráfico de pontos que ilustrava a situação que acabava de descrever: 2 4 média 8 Entretanto desenrolou-se o seguinte diálogo: Miguel (aluno): Oh professor. a soma das diferenças obtidas é igual a zero. para a média. Propriedade – Se a todos os valores da amostra. porque se a média é 4. Para valores superiores à média. pelo que falta somar 2 unidades. as diferenças são positivas mas para valores inferiores à média. em valor absoluto. subtrairmos a média. os outros dois filhos são gémeos? Professor: Por acaso são! Miguel: Então têm 3 anos. e a que vai do 2 ao 4 é 2. as diferenças são negativas. Como a soma dessas diferenças é igual. . Conseguiste calcular a minha idade utilizando a definição da média.. sei que a idade do professor tem de ser superior à média de 20 unidades. pois 20+9=29! Professor – Muito bem Miguel. Então a idade do professor é 29 anos. Se considerar dois pontos no valor 3. Qual é a média das idades da minha família. Mas agora ainda quero colocar outra questão. poder-se-ia dar o caso de os filhos não serem gémeos e terem ambos 3 anos. Que idade tenho eu? Tiago (aluno) – Oh professor. como o irmão mais novo e o outro ter 4 anos. eu sei resolver isto de outra maneira! Professor – Então explica-nos como é que fazes.Oh professor. fica tudo certo! 2 4 média 8 As idades dos filhos do professor são 2. sabendo que a minha mulher tem 28 anos? . Tiago – Sabemos que 2 3 3 8 idade professor 9 5 16 idade professor 9 5 Então 16+idade professor=45 e portanto Idade professor=29 anos Professor – Muito bem. Comentário – Como a idade é uma variável. Também se poderia dar o caso de um dos filhos ter também 2 anos. que é 9. para todos ouvirmos. eu vou fazer aqui umas contas rápidas e já lhe digo! Professor – Explica essas contas que vais fazer. 3 e 8 anos. Calculei as distâncias dessas idades à média Idades 2 3 3 8 Total Distâncias para a média 9-2=7 9-3=6 9-3=6 9-1=1 20 Pelas contas que acabei de fazer. Miguel . Mas o diálogo não acabou aqui. é considerada em números inteiros. que embora seja contínua. Professor: a média das idades dos meus filhos com a minha idade é igual a 9 anos. 3.Organização e tratamento de dados 132 distâncias dos valores superiores a 4 seja igual ao total das distâncias dos valores menores que 4. Miguel – Todas as idades dos seus filhos são inferiores à média. Tiago. 2 Mediana A mediana é um valor que divide a amostra ao meio: metade dos valores da amostra são inferiores ou iguais (não superiores) à mediana e os restantes são maiores ou iguais (não inferiores) à mediana.Organização e tratamento de dados 133 André – Vou responder eu! Se a soma das idades dos filhos do professor com a idade do professor é 45 anos. Entretanto podem-se verificar duas situações. 50% da amostra. Tarefa – Idade média dos finalistas do curso de Matemática de 1950. ao calcular a idade média dos presentes. para lá da mediana (inclusive) está também.2 anos 6 6 A média é aproximadamente 12 anos. então temos 45 28 73 12. quanto muito. Como obter a mediana? Para determinar a mediana é fundamental. não há nenhum elemento que tenha a propriedade de a dividir ao meio. Há dois valores centrais e define-se a mediana como sendo a média aritmética desses dois valores. pois estamos a fazer a média das idades de 6 pessoas. como vimos há pouco. Vejo que não te enganaste ao colocar no denominador o valor 6. André – Mas a primeira parcela já é o resultado da soma de 5 valores e eu para poupar tempo não os escrevi todos e pus logo o resultado. chegou-se à conclusão que esta tinha descido e era 71. No jantar comemorativo dos 50 anos do curso. 5. até à mediana (inclusive) está.2. alternativa à média – a mediana. começar por ordenar os dados. Estava com receio que colocasses no denominador 2. Se a dimensão da amostra é par. chegou-se à conclusão que a idade média dos matemáticos presentes era 71. há um dos elementos da amostra ordenada que tem tantos elementos para a esquerda como para a direita e esse elemento central é a mediana. Por outras palavras. Vejamos como calcular a mediana para alguns valores das dimensões das amostras: . quanto muito. tendo a idade dos presentes aumentado de um ano. a média tenha baixado? Vamos ver de seguida uma outra medida de localização do centro da amostra.5 anos. Como é possível que. 50% da amostra. Professor – Muito bem André.2 anos. quanto à dimensão da amostra: Se a dimensão da amostra é ímpar. por no numerador só teres 2 parcelas. No ano seguinte os convivas resolveram comemorar de novo e. … A mediana é o elemento na posição: 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª .. 13ª e 14ª . 27 .Organização e tratamento de dados 134 N ímpar Valor de n – dimensão da amostra 3 5 7 9 11 ... 26 .... toma-se para mediana o elemento nessa posição. Quando n é par... . a mediana é um elemento da amostra. n . quando a dimensão n da amostra é ímpar.... só será um elemento da amostra se os dois elementos centrais forem iguais. 14ª ..... n n e +1 2 2 Repare-se que da forma como se calcula a mediana... . n1 2 N par Valor de n – dimensão da amostra 4 6 8 10 12 .... Uma regra prática para obter a posição da mediana consiste em fazer o quociente n 1 : 2 Se este quociente for um número inteiro. o que se verifica quando n é ímpar. n A mediana é a semisoma dos elementos nas posições: 2ª e 4ª 3ª e 4ª 4ª e 5ª 5ª e 6ª 6ª e 7ª … . 20. 14. a média coincidirá com a mediana. são os responsáveis pela má utilização da média em muitas situações em que teria mais significado utilizar a mediana.ª posição. 11. Por exemplo. 14. 20 Temos 24 elementos. Esquematicamente podemos posicionar a mediana da forma que se segue. Por outro lado.ª 24 1 posição ( 12. 17. 12. é uma medida muito pouco resistente. 13. suponhamos que se pretende saber qual a mediana do número de letras do nome dos alunos da turma de referência: 10. 11. como vimos. Assim. é o ponto de equilíbrio do histograma. 11. 14. 10. a média. ao contrário da mediana.Organização e tratamento de dados 135 Se este quociente terminar em 0. no histograma que apresenta o enviesamento para a esquerda. tendo em conta a representação gráfica na forma de histograma: mediana mediana mediana Ao contrário da mediana que “divide” o histograma em duas partes com áreas iguais. 10. 12. na figura anterior. 10. 12. 15. 13. 12. 10 Para calcular a mediana é necessário começar por ordenar a amostra: 9. 12. no do centro. mesmo que estes valores surjam em pequeno número na amostra.5 ) e da 13. 11. 17. que chamámos de “outliers”. enquanto que no histograma do lado esquerdo. o que se verifica quando n é par. 11. 12. 12. 11. 14. 12. 11. pelo que a mediana é a semi-soma dos elementos da 12. considera-se a sua parte inteira e faz-se a semi-soma do elemento a que corresponde essa ordem. 13. 12. mas também. a média. 17. Estes valores. 13. isto é. 16. 11. com a distância a que estão do centro. 12. 15. 12. 13. com o elemento da ordem seguinte. 9. 10. 12. a média será “puxada” para a esquerda da mediana: mediana <média média <mediana Como já referimos. 16. Como os elementos nestas posições são 2 iguais a 12. 13. a mediana é 12. 17. que apresenta um enviesamento para a direita. em que se entra em linha de conta não só com a frequência das classes. a média será “puxada” para a direita da mediana.5. é muito influenciada por valores "muito grandes" ou "muito pequenos". . 2005): Observe-se que o simples cálculo da média e da mediana nos pode dar informação sobre a forma da distribuição dos dados. e que voltamos a apresentar a seguir. No entanto. no seu cálculo. esta desvantagem transforma-se em vantagem. por comparação com a média. a média aproxima-se da mediana e se for enviesada para a esquerda (alguns valores pequenos como outliers). de um modo geral (Graça Martins. como acabámos de ver no exemplo anterior. . A mediana é muito resistente e não é afectada pelos valores extremos. a média tende a ser inferior à mediana. quando a distribuição da amostra é muito enviesada. temos. Resumindo.Organização e tratamento de dados 136 Por exemplo. se for aproximadamente simétrica. ao contrário da média. Representando as distribuições dos dados (esta observação é válida para as representações gráficas na forma de diagrama de barras ou de histograma) na forma de uma mancha. quer por valores muito pequenos. quando se altera um dos dados: A mediana tem como principal desvantagem o facto de. se a distribuição dos dados for enviesada para a direita (alguns valores grandes como outliers). verifica-se que. só fazer intervir 1 ou 2 valores da amostra. a mediana não se altera. a média tende a ser maior que a mediana. em que a mediana não de alterou. na situação considerada para exemplificar a pouca resistência da média. como a média é influenciada quer por valores muito grandes. Então a mediana é igual a 12.6 95.083 0. ni 1 3 4 6 3 2 1 1 2 1 24 Freq. a partir da tabela dos dados agrupados. Rel.Organização e tratamento de dados 137 Cálculo da mediana quando os dados estão agrupados No estudo de dados qualitativos ordinais (isto é.º de letras no nome x* i 9 10 11 12 13 14 15 16 17 20 Total Freq.7 36. A categoria mediana é aquela onde.042 0. a frequência relativa acumulada atinge ou ultrapassa os 50%.042 0. Consideremos o exemplo apresentado na secção anterior sobre a variável número de letras no nome dos alunos da turma de referência. pela primeira vez. Acum.125 0. verifica-se que a frequência relativa acumulada atinge o valor 50% quando se soma a frequência relativa correspondente ao valor 12. Abs.4 87. % 4. fi 0. Numa tabela idêntica à anterior.5 … … … … ≈1 .7 33.000 Freq.083 0.125 0.200 0.º de letras no nome x* i 9 10 11 12 13 14 15 16 17 20 Total Freq.º de letras no nome x* i 9 10 11 12 13 14 15 16 17 20 Total Freq. quer sejam discretos. Abs.000 Freq.2 16.000 Para podermos calcular a mediana.125 0.0 62. Acum.167 0.042 0. fi 0. Rel. % 4.167 0. Rel.042 0.125 … … … … … 1. onde se pode considerar uma ordem subjacente às categorias) faz sentido indicar a categoria mediana. Rel.125 0. com os dados agrupados.042 1.250 0.7 50. fi 0.4 58. pode-se verificar uma situação especial como a que se apresenta a seguir: N.2 83.133 0.042 0.4 70. quer sejam contínuos.042 0.042 1.250 0. Rel.083 0.2 16. ni 1 3 4 6 3 2 1 1 2 1 24 Freq.042 0.125 0. cuja tabela de frequências se apresenta a seguir: N. Esta mesma definição serve para identificar a classe mediana no caso de se estar perante dados agrupados. vamos juntar à tabela uma nova coluna com as frequências relativas acumuladas: N.9 79.083 0.9 ≈1 Reparando na tabela. 2 7.8 10.5 137. Tarefa – Notas no teste de Matemática das turmas 9. pelo que a mediana seria 12.2 16. . 155[ [155. no caso de dados contínuos a classe mediana depende do agrupamento que se fizer para os dados.Organização e tratamento de dados 138 Na tabela anterior verifica-se que 50% dos alunos têm nomes com 12 ou menos letras e os outros 50% têm nomes com 13 ou mais letras. Como vimos anteriormente.8 9. 7 16 27 41 46 50 Freq.6 7.5 152. Na turma o professor apresentou as notas que os seus alunos das turmas 9.5 147. estudada na secção 4.2 11.8 10. 150[ [150. o professor sugeriu que os alunos se organizassem em grupos e cada um dos grupos tentaria retirar alguma informação relevante a partir dos dados.6 9.º A 10.2 10.º A e do 9.º ciclo. 0. 145[.4 10.º B.º B tinham tido no mesmo teste a Matemática.5. neste caso a mediana será a semi-soma dos dois elementos centrais. 145[ [145.2 13.5 157. No caso de se tratar de uma variável contínua. em que a mediana está bem determinada. pelo que se houvesse alguma informação relevante que não tivesse sido apresentada pelos 2 grupos.82 0.º B 9. Acum.4 15. ni 7 9 11 14 5 4 50 Freq.º A e 9.6 10. 140[ [140.2 12.4 10.8 12.00 Freq.28 0. ficou decidido que um dos grupos iria fazer uma representação gráfica dos dados e um outro grupo iria apresentar os resultados utilizando a média e a mediana.4 12.2 11. para terem uma ideia do comportamento global das turmas.32 0.08 1.5.6 15.6 9. (%) 14 32 54 82 92 100 Da tabela anterior conclui-se que a classe mediana é a classe [140.8 8. ao contrário do que se verifica com as variáveis discretas agrupadas. pois basta verificar qual a classe a que corresponde uma frequência acumulada igual a 50%: Classes [130.0 9.6 11.18 0.5 142.6 Notas da Turma 9.14 0.0 11.0 11.2 9. Abs. Rel. Rel. como por exemplo a variável altura de um aluno da escola do 1.2 um processo de obter um valor aproximado para a mediana a partir da tabela de frequências ou a partir do histograma acumulado. Acum. Acum. Esta situação só se pode verificar se o número de elementos da amostra for par.8 10.4 11. Vimos na secção 4.8 10. fi 0.54 0.5 Freq. 160[ Total Representante da Classe x’i 132. a classe mediana também se consegue identificar facilmente.8 13.8 11. 135[ [135. Abs. No entanto.5.4 8.4 10.1 e cuja tabela se apresenta a seguir.8 Para comparar as duas turmas. As notações mais usuais são m.6 10. Nota – Não existe uma notação única para representar a mediana.00 Freq. Pretendia que os alunos lhe dissessem qual seria a turma que teve um melhor desempenho no teste. Depois de alguma discussão. Os outros grupos não especificaram qual a forma como iriam pegar no problema.0 8.4 11.22 0. Notas da Turma 9.10 0.6 12.14 0. M ou Me. também interviriam na apresentação final das conclusões.92 1.4 11. Rel. 6 10.0 15.º grupo O professor pediu-nos para compararmos os resultados num teste a Matemática.º B 24 28 4484 008 022 64 6 60 8 Numa primeira análise.0 10. de uma forma muito simples.8 Notas da Turma do 9. havendo uma concentração de notas à volta dos valores 10 e 11.8 9. Apresentação do 2.4 10. sendo facilmente influenciada por valores grandes ou pequenos.5 é positiva. valores que saiam fora do âmbito da maior parte dos restantes. Como se pode ver.6 13.4 11.4 9. O comportamento individual não reflecte o comportamento da turma. Para termos uma ideia do comportamento global das notas.2 7. No que diz respeito à média.6 16. Para calcular a mediana temos de ter os dados ordenados.º B.º A e do 9.Organização e tratamento de dados 139 Antes de começarem a organizar os dados.8 11. referentes às notas de duas turmas e pretendemos averiguar qual a turma que teve um melhor desempenho no teste.2 10. ou seja. podemos dizer que na turma A houve apenas uma negativa.8 9.6 9.4 13.6 10.99. Vamos utilizar como medidas de comparação a média e a mediana.6 15. em contrapartida. mas este facto não significava que a turma B tivesse tido um melhor desempenho.8 10. houve uma maior dispersão das notas.4 9. estimamos que deve estar perto de 11.6 11.0 11.2 8. concluímos que os dois conjuntos de dados têm a mesma média.4 10.0 10.º grupo Temos dois conjuntos de dados. o que nos leva a sugerir que a média deve estar compreendida entre estes dois valores.2 11.4 8. Apresentação do 1. dos alunos do 9.2 11. No que diz respeito à turma B.4 Utilizando a expressão que nos permite calcular a média.º B 7. as representações gráficas anteriores permitem-nos concluir que os alunos da turma A foram mais regulares.2 12. decidimos representar os dois conjuntos de dados numa representação em caule-e-folhas.8 11. O cálculo da mediana . já que esta medida é muito pouco resistente.6 10. os dados ordenados: Notas da Turma 9.8 10. que tem a mais valia de permitir obter.º A 6 88 64862846 682462 42 8 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Notas da Turma 9.6 11. houve alunos com notas mais baixas mas. igual a 10.8 10. também houve alunos com notas mais altas. Se se considerar que uma nota superior a 9.4 12. um aluno reparou que na turma B tinha havido uma nota muito boa. que se apresentam a seguir: Notas da Turma 9.2 12.º A 8.8 9.2 11. Na utilização da média temos que ter os cuidados devidos.8 12. permite-nos verificar que na turma A.ª e 11. Como temos um número par de dados. iam em breve discutir um aumento de salários e o administrador estava um pouco renitente em dar um aumento superior à inflação. Na empresa. fora do contexto dos restantes.4. pois tinha comparado salários de vários amigos seus. de outras empresas. eu acho que a média não é uma boa medida para caracterizar esses dados! Professor – Então porquê. 50% dos alunos têm nota menor ou igual a 10.4 ≈ 10 Os resultados anteriores são sintomáticos da falta de “regularidade” anunciada pelos nossos colegas. Como nós aprendemos que a média não é uma medida boa quando há destes valores “esquisitos”. sobre os 6 níveis de salários existentes na empresa: Salário (em euros) Nº empregados 400 23 450 58 600 50 700 20 1000 7 5000 2 Quando o professor apresentou a tabela anterior. o Miguel. ou seja 5% de negativas. embora na turma B tenha havido as duas melhores notas do teste. enquanto que na turma B houve 7 negativas (ou seja. a mediana será a semi-soma dos elementos de ordem 10. o mesmo não acontece na turma B. venha “grande” e acaba por ser uma medida enganadora. estava de acordo com a média dos salários auferidos pelos trabalhadores daquele ramo de actividade. sintoma da falta de simetria dos dados. Resumimos na seguinte tabela as características amostrais média e mediana dos dois conjuntos de dados: Média Notas turma A Notas turma B 10.4. Tarefa – Média ou mediana dos salários? O professor chegou à aula e colocou a seguinte situação que lhe tinha sido colocada por um amigo que trabalha numa empresa que emprega 160 trabalhadores. Efectivamente.99 ≈ 11 Mediana 10. tendo-se estabelecido o seguinte diálogo: Miguel – Oh professor. na amostra ordenada. de certeza que esses dois salários vão fazer com que a média.99 ≈ 11 10.ª. Concluímos também que nesta turma. Somos assim de opinião. Miguel? Miguel – Porque estou a ver que há dois salários que são muito grandes. verificamos que na turma A só houve uma negativa. pois alegava que a média dos salários naquela empresa. Se além disso nos preocuparmos com a percentagem de notas negativas. só 30% dos alunos é que têm nota menor ou igual a 10. e quase todos ganhavam mais que ele. quando apresentaram a representação gráfica dos dados. que efectivamente quer dizer “estranhos”. . quando comparados com os restantes. Mas então o que é que propões? Miguel – Penso que se deve calcular a mediana. 35%). Como explicar esta situação? Dados fornecidos pelo amigo do professor.Organização e tratamento de dados 140 pode-nos trazer mais alguma informação interessante sobre as notas das duas turmas. O amigo do professor estava confuso com esta situação.8 ≈ 11 10. Professor – A esses valores esquisitos de que falas. enquanto que na turma A a média e a mediana são muito próximas. Uma investigação mais cuidada aos dados ordenados. que interpelou o professor. que a turma A teve um melhor desempenho. dá-se o nome de “outliers”. houve logo um aluno. acum.50 94. Uma situação caricata – Num autocarro viajavam 25 trabalhadores da empresa X.25 81. porque corresponde ao valor em que se atingiu a frequência relativa acumulada de 50%. O nível de vida destes trabalhadores aumentou de um momento para o outro. quando entrou no autocarro o administrador da empresa. O professor apresentou na aula um histograma que representa o resultado de um estudo sobre o Tabaco e a Saúde Pública e em que é apresentado o número de cigarros que é fumado por dia por indivíduos do sexo masculino: 1 Adaptada de Freedman et al. A média é muito superior à mediana. que são de um modo geral baixos. . o que acontece sobretudo devido aos 2 salários de 5000 euros. mas agora a média viria igual a 525. como medida de referência.38 14. A distribuição ainda continha algum enviesamento para a direita. então deviam sugerir-lhe que não contassem para a média os 9 salários mais altos. só 29 é que têm um salário superior à média.Organização e tratamento de dados 141 Professor – Vamos então calcular a mediana e a média e aproveitamos para comparar os dois resultados. (%) 400 23 14.63 600 50 31. (%) Freq.25 100. Rel.25 50. que inflacionaram a média. O Miguel tinha razão. dos 160 trabalhadores.38 98. que em média ganhavam 450 euros por mês. Se os administradores ainda continuassem a querer utilizar a média. em média! Tarefa –Número de cigarros fumados por dia1.00 A partir da tabela anterior concluímos que a mediana é 450 euros. Rel. mais próxima da mediana.38 450 58 36. A mediana dá-nos uma ideia mais correcta do nível dos salários.88 700 20 12.75 5000 2 1. Na verdade 50% dos salários são menores ou iguais a 450 euros. Cálculo da média: x x≈ 400 23 450 58 600 50 700 20 100 7 5000 2 160 602 euros Cálculo da mediana: Para calcular a mediana considera-se a tabela das frequências relativas acumuladas Salário (em euros) Nº empregados Freq. (1991). Repare-se que. eventualmente dos administradores. pois passaram a ganhar muito mais. O professor decidiu falar com o amigo e sugerir-lhe que na discussão sobre os aumentos dos salários invocassem o facto de a mediana ser tão baixa.38 1000 7 4. No entanto a moda é uma medida que. f) Obtenha valores aproximados para a média e a mediana e compare os valores obtidos com os valores estimados na alínea anterior. à categoria de maior frequência na amostra.3 Moda2 Uma outra medida que costuma ser apresentada como medida de tendência central é a moda. nem calcular a média nem a mediana. . “picos” na distribuição de frequências. As modas são. g) O que é que se pretende mostrar com a figura seguinte? 5.Organização e tratamento de dados 142 Nesse estudo era dito que os intervalos considerados para o número de cigarros por dia incluíam o limite superior e não o limite inferior e que a percentagem de homens que fumava 10 ou menos cigarros. para os quais não se possa estabelecer uma hierarquia entre as várias categorias que a variável pode assumir. Em amostras de dados quantitativos discretos. ficam identificadas as classes modais. mas não mais de 2 maços. como medida de localização do centro da distribuição dos dados. tem pouco interesse. Algumas questões relativamente ao estudo apresentado: a) Qual a percentagem de homens que fuma mais de meio maço. a este nível. portanto. Em curvas que modelam situações da vida real. espera que a mediana seja superior ou inferior à média? Estime valores para essas características. por dia? b) Qual a percentagem de homens que fuma mais de um maço. não sendo possível.5 de Graça Martins et al (2007). após subdivisão em classes. designa-se por moda qualquer valor que esteja ladeado por valores de menor frequência. que são aquelas que estão ladeadas de classes de menor frequência. dá-se o nome de moda a qualquer máximo relativo da curva de densidade. e deve a sua importância ao facto de ser a única medida que pode ser calculada para dados qualitativos. mas não mais de 1 maço. por dia. Os modelos teóricos de interesse têm uma única moda e é usual dizer que o aparecimento de várias modas pode evidenciar 2 Esta secção segue de perto a secção 3.2. era de 15%.2. Em amostras de dados qualitativos dá-se o nome de moda ou categoria modal. Em amostras de dados quantitativos contínuos. pois. por dia? c) Estime a percentagem de homens que fuma mais de 3 maços por dia? d) Estime a percentagem de homens que fuma entre 2 e 3 maços por dia? e) Tendo em atenção o histograma anterior. contrariamente ao que deverá ocorrer em amostras com 50 homens e 50 mulheres.. sendo a moda (máximo relativo da curva) igual a 1. .75m: A bimodalidade torna-se ainda mais evidente se a zona central de uma das distribuições se encontrar muito afastada da zona central da outra e se a percentagem de observações pertencentes a cada uma das duas subpopulações for idêntica.60m ou algures entre estes dois valores? Na verdade o que acontece é que surgem duas modas!. Para ilustrar esta ideia. um pouco à direita de 1.70m e 1.Organização e tratamento de dados 143 mistura de populações e é nesta análise que poderá ter interesse a identificação da moda ou modas. A forma da distribuição das alturas das mulheres deverá ser idêntica. em 1.75m..60m: Que aconteceria se considerássemos as duas subpopulações em conjunto? Onde ficaria a moda? Em 1. Se considerarmos somente a subpopulação dos homens. Retomando o exemplo das alturas.75m. está entre 1. tome-se o exemplo das alturas na população portuguesa. Uma. se numa amostra de 100 indivíduos tivermos 10 mulheres e 90 homens é muito pouco provável que o histograma apresente bimodalidade.80m.60m e outra. mas localizada em torno de 1. um pouco à esquerda de 1. a distribuição das suas alturas não deve afastar-se muito do seguinte padrão: Note-se que a zona de maior concentração ou densidade. chamamos mais uma vez a atenção. A partir desse gráfico verificamos que os dados são 30. apresentamos a seguir dois exemplos retirados de textos de Matemática do Ensino Básico. para o mesmo conjunto de dados pode acontecer haver representações gráficas diferentes. ou seja. em Portugal Continental.2 1. para alguns conjuntos de dados.Organização e tratamento de dados 144 Ainda a propósito deste exemplo. Ainda um segundo exemplo: “O gráfico seguinte mostra o número de hectares de floresta ardida. no princípio de cada época. uma boa utilização da moda é na indicação do número de filhos de uma família “típica” portuguesa. O dono de uma sapataria tem interesse em saber qual o tamanho mais vendido.1 1. Sendo então a moda uma medida com uma aplicação relativamente restrita. Para justificar o que acabámos de dizer. mas com um número restrito de valores distintos. pode mudar sensivelmente de aspecto.4 – – – – Como se chama este tipo de gráfico? Quantos peixes pescou o António mais que o Pedro? Quantos peixes pescaram ao todo os cinco amigos? Classifique a distribuição quanto à moda. tem algum interesse quando dispomos de uma amostra de grande dimensão. Justifique”. Por exemplo. ou no tamanho do pé de uma mulher. por cada um de cinco amigos. 25.3 1. O gráfico anterior apresenta os dados da variável que se está a estudar – Número de peixes pescados num dia. temos duas modas: o 25 e o 30 (Seguramente que não era esta a resposta que os autores do exemplo pretendiam para a questão 1. quando se altera a amplitude de classe ou o ponto onde se começam a construir as classes. pois será nesse tamanho que vai investir mais. entre os anos de 2003 e 2007 . para o facto de o histograma ser uma representação gráfica que. 20. 25. Assim. “O gráfico representa o número de peixes que cinco amigos pescaram num dia: 1.4!). nomeadamente em termos do número de modas. 30 pelo que temos dois dados com a mesma frequência. Confusão entre dado mais frequente e dado com o maior valor! Por vezes verifica-se haver alguma confusão entre dado mais frequente e dado com o maior valor. nomeadamente enviesamento ou várias modas. esta divide a amostra ordenada em duas partes com igual percentagem de elementos. Considerando cada uma destas partes e calculando a mediana. com igual percentagem de elementos. Daí vem o nome de quartis! . não existe moda (Seguramente que o que os autores pretendiam não era a resposta anterior!). já o conceito de centro da distribuição dos dados pode não fazer sentido. 5.2.º quartis. Nota – A representação considerada anteriormente – gráfico de linha. Observação .º e 3. Se a distribuição dos dados apresentar outras formas. 320. A mediana.” No exemplo anterior a variável em estudo é – Área ardida (em milhares de ha) em cada um dos anos considerados. Existem outras medidas. que também se poderia designar de 2.4 Quartis A média e a mediana dão-nos duas formas diferentes de localizarmos o centro da distribuição dos dados. a resposta a esta pergunta é fácil se a distribuição for aproximadamente simétrica e unimodal (só com uma moda). pelo que os dados são (em milhares de ha) 416. em que se estuda a evolução da variável com o tempo.º quartil.º quartis localizam pontos que dividem a distribuição dos dados em quatro partes. 80. obteremos o 1. 17 Como os dados são todos diferentes.Quando se pretende saber qual o centro de uma distribuição de dados. é a adequada para representar este tipo de dados. e que têm a mais valia de servirem para definir uma medida da variabilidade existente entre os dados. que não o centro. que já foram utilizados na construção do diagrama de extremos e quartis. que localizam outros pontos da distribuição dos dados. os quartis. Como vimos na definição de mediana. como já referimos anteriormente ao tratarmos das medidas de tendência central média e mediana.Organização e tratamento de dados 145 Classifica a distribuição quanto à moda. e os 1. 128.º e 3. Tarefa – Notas no teste de Matemática das turmas 9.8 10. 25% da amostra.4 10.4 12. Na comparação dos resultados das duas turmas. podemos dizer que até ao 1.6 12. Mais uma vez se comprova que a turma 9.4 9.5 2 Da tabela anterior concluímos que pelo menos 25% dos alunos da turma 9.2 8. melhor terá sido o comportamento da turma. 75% da amostra. enquanto que na turma 9.º quartil (inclusive) está.4 10.6 15. pelo menos.0 10.º A foram menos de 25% a ter negativa.6 11.2 12.4 2 9.4 9. A nossa opção é considerá-lo pertencente às duas metades.º B tiveram nota maior ou igual a 12.8 9. 75% da amostra.4.º quartil 3. como já se viu. pois 50% das notas estão no intervalo de amplitude 1.6 16.0 15.8 10. neste caso a mediana coincide com um dos elementos da amostra e poderíamos optar por considerá-lo incluído nas duas metades em que fica dividida a amostra. ou não o considerar em nenhuma das metades.2 11.6 11.º A e 9.2 7.4 8. recomendamos para obter os quartis é a seguinte: Ordenar os dados e calcular a mediana Me. Efectivamente.6 10.8 9.º B (cont. Por outro lado. a este nível. no caso em que a dimensão da amostra é ímpar.8 Notas da Turma 9.º B 7. através de algumas medidas.0 10.2 11. é a semi-soma dos dois elementos centrais. desde que a amostra tenha uma dimensão razoável. mas a valores próximos.5. assinalados a negro.).4 2 12. Cada uma das partes em que ficaram divididos os dados pela mediana. O 3.6 2 Notas turma 9. pelo menos 25% da amostra.6 11. A metodologia que. O 1.º A Notas turma 9. 25% dos alunos da turma 9.º quartil.4 13. Ao calcular os quartis pelo processo anterior. nem todos conducentes aos mesmos valores.º A é mais regular.Organização e tratamento de dados 146 Há vários processos para calcular os quartis.º quartil (inclusive) está.6 10. para lá do 3. é a mediana dos dados que ficam para a esquerda de Me.º A 8.4 10.2 12. Vejamos então quais os quartis para os dois conjuntos de dados considerados.4 12. obtendo-se para os quartis os valores seguintes: 1.6 11. tem 10 elementos. Q1. pelo menos. para lá do 1.8 11.2 .4 11.6 10.º B 10.º quartil. já que 25% tiveram nota menor ou igual a 10. Por analogia com a definição que demos para a mediana. na medida em que quanto maiores forem.2 11. é a mediana dos dados que ficam para a direita de Me.º B tiveram negativa. De forma análoga podemos dizer que até ao 3.4 Como temos um número par de dados.6 9.4 9.8 10. a mediana.6 13.8 9.º quartil 11.8 12. pelo menos.4 9. A mediana de cada uma destas partes será ainda a semi-soma dos dois elementos centrais.4 10.º quartil (inclusive) está.2 10.8 11. Q3. podem-se levantar algumas dúvidas. Para o seu cálculo vamos considerar as amostras já ordenadas: Notas da Turma 9. podemos também utilizar os quartis. em que se procura reduzir a informação contida nesses dados.0 11. que é a situação de interesse em estatística.º quartil (inclusive) está. Organização e tratamento de dados 147 (=11.º B. suponha que uma mãe vai.º B. O comportamento das duas turmas é visível quando se comparam os dois diagramas seguintes: Notas da turma 9. 50% dos alunos estão num intervalo de amplitude 3. inclui-se a título informativo. .º A Notas da turma do 9ºB É evidente a existência de um comportamento diferente das duas turmas: uma maior variabilidade na turma 9. como sendo o valor que tem p% dos dados menores ou iguais a ele. e os restantes maiores ou 3 Esta secção. nomeadamente para avaliar a posição relativa dos dados.6-10. Vamos ter que ter algum cuidado! Afinal o que significa o percentil 90? Significa que 90% das crianças com 6 meses têm um peso menor ou igual ao do bebé e só 10% têm um peso maior ou igual! De um modo geral define-se percentil p de um conjunto de dados.4). à consulta de rotina.4). Por exemplo. depois de pesar e medir a criança. uma vez que os percentis não fazem parte do programa. com alguns alunos a terem notas piores e também alguns alunos a terem notas melhores. o estado de crescimento do seu filho. com o seu bebé de 6 meses. 5. Pode acontecer que alguns dos seus comentários sejam desta forma: -Minha senhora. enquanto que na turma 9. no que diz respeito ao peso. que foi integralmente retirada de Graça Martins et al (2007). consulta umas tabelas e só nessa altura comenta com a mãe. com um cunho complementar. do pediatra.1 (=12.2. são medidas de localização com grande interesse. Este.5 Percentis3 Os percentis de que a mediana e os quartis são casos particulares.5-9. o seu filho. está no percentil 90. 300 Máximo 15.700kg].600 Máximo 17.900 2 meses 4.000 3 anos Mínimo 12. Filho . A tabela seguinte.600 10.500 7. nomeadamente nas crianças. nem muito gordo.800 2 anos 2 anos 2 anos 2 anos 2 anos 2 anos 2 anos 2 anos 2 anos 3m 4m 5m 6m 7m 8m 9m 10m 11m Mínimo 11.500 11.500 1 mês 3.100 12.300 10. para cada idade.000 10 meses 8. sossega a mãe sobre a saúde e bem estar do seu filho? Existem tabelas. pergunto… E até pergunto a que percentil é que corresponde essa nota? Filho – Mas o que é isso de percentil? Não sei do que estás a falar! Mãe – Quantos alunos na tua escola fizeram esse teste? Filho – Foram 100. nem muito magro.650 14. Analogamente.300 10. Exemplo – A obesidade é um problema. quer seja portuguesa.400 12.750 18.000 1 ano 1 ano 1 ano 1 ano 1 ano 1m 2m 3m 4m 5m 9.000 1 ano 8.900 16.200 14. 15. para um bebé de 2 anos e meio.900 Máximo 10. porquê? 4 Na apresentação da tabela não é indicado o que representam o mínimo e o máximo.000 11.º e o 3.800 12.400 15.750 11. Exemplo – Conversa entre mãe e filho.Organização e tratamento de dados 148 iguais.500 5.300 10. a mediana é o percentil 50%.250 9. tive 14 no teste de Biologia! Mãe – E então isso é bom ou nem por isso? Filho – Como assim? Digo que tive 14 e ainda me perguntas se isso é bom? Mãe – Pois.500 11.500 9.000 16.500 11.800 5 meses 6.700 15. entre os quais deve estar o peso (em kg) da criança.200 17. para os vários meses de idade. O 1. será um peso compreendido no intervalo [11.900 12.600 15. respectivamente. concluímos que um peso razoável.250 11.000 7 meses 7.150 13.000 8. os valores dos percentis para as variáveis “peso” e “altura”.000 9.000 ano 1 ano 1 ano 1 ano 1 ano 2 anos 8m 9m 10m 11m 2 anos 2 anos 1m 2m 10.000 21.500 9.000 11 meses 8. quando se considera o conjunto dos pesos dos bebés (da população que se está a estudar.000 12.000 Máximo 13.250 12.000 12.000 15.500 15. Estes valores poderiam ser.) com determinada idade: Ao nascer Mínimo 2.800 1 ano 1 6m 7m Mínimo 10.600 13.600 11.000 14.000 9. além da sua experiência.200 21.900 11.500 10. valores adequados.500 19.800 12. por exemplo.750 7. como é que poderemos saber se o nosso filho está obeso? Como é que o médico.000 6. considerando-se um “peso normal”. italiana.300 16.750 Máximo 4.500 14.800 14.000 11.700 9.300 20.800 4 meses 5.000 9 meses Mínimo 7.º quartis também são conhecidos como percentil 25% e 75%.700 10. Então. apresenta. os percentis 25% e 75%4.800 3 anos 3 anos 4 anos 4m 8m 13. etc.300 15.500 6 meses 6.700 13.Mãe.750kg. .500 16. aquele que se encontre nos 50% dos pesos centrais. que apresentam.000 A partir da tabela anterior.500 10.750 4 anos 4 anos 5 anos 4m 8m 16.500 14. que se retirou da Internet. Imagine a seguinte conversa entre uma mãe e o seu filho de 15 anos. inglesa.700 8 meses 7.250 3 meses 4.200 13. alemã. A comunicação social tem alertado a opinião pública para o problema da obesidade. Obtém-se fazendo a diferença entre o máximo e o mínimo dos dados: Amplitude = máximo – mínimo No caso das notas das turmas 9. 5.º A e 9.º B.º B apresentam. uma maior variabilidade ou dispersão. mas parece-me que foram uns 80! Mãe – Afinal. Como também adiantámos.6 Como se esperava.º B) = 16.1 Amplitude A amplitude é a medida mais simples que pode ser utilizada para medir a variabilidade apresentada por um conjunto de dados. temos que a Amplitude (notas da turma 9.8 – 7.8 – 8. Representando.º B apresenta uma maior variabilidade que a distribuição das notas da turma do 9. as notas da turma 9. verificámos que apesar de apresentarem a mesma média.4. Esse exame foi mesmo muito fácil.º B apresenta uma amplitude maior. não vi bem. com distribuições tão diferentes.º A e 9.º B mais uma vez.6 = 5.º A. mas com a mesma média. é visível que a distribuição das notas da turma 9.3 Medidas de variabilidade Consideremos de novo as notas dos alunos das turmas 9. Só 20% dos teus colegas tiveram nota menor ou igual à tua. 5. Nos estudos e discussões envolvendo estes dois conjuntos de dados.3. a amplitude interquartil e o desvio padrão.º B.Organização e tratamento de dados 149 Mãe – E quantos tiveram nota maior que 14? Filho – Bom.º A) = 13.º A Notas da turma 9.2. . consideradas na secção 5. Apresentamos a seguir as medidas de variabilidade mais vulgarmente utilizadas e que são a amplitude. a turma 9. não tens razão para estar tão satisfeito! Ficaste no percentil 20. de novo.2 = 9.2 Amplitude (notas da turma 9. têm um comportamento bastante diferente.2 e de novo na secção 5.2. no que diz respeito à variabilidade. os dois conjuntos na forma de diagramas de pontos Notas da turma 9. pelo que se levanta o problema de arranjar uma medida que possa ser utilizada para medir essa maior ou menor variabilidade e que possa caracterizar os dois conjuntos de dados. se os dados forem todos iguais.º B. pode também ser muito enganadora.º B.º quartil e o 1.1 Como se verifica e era espectável. é visível no diagrama de extremos e quartis pelo comprimento da caixa. No entanto.Organização e tratamento de dados 150 Esta medida. mas. Esta medida.º e o 1.4 = 1. A amplitude interquartil é uma medida de variabilidade que se utiliza frequentemente. só entra em linha de conta com a parte central dos dados e calcula-se fazendo a diferença entre o 3. sobretudo se os dados apresentarem algum enviesamento ou “outliers”. Na interpretação da amplitude interquartil tem que se ter em atenção que uma amplitude interquartil nula não significa. É uma medida muito “pouco resistente”. Amplitude interquartil = Diferença entre o 3. no entanto. a não existência de variabilidade.º quartil Para as notas das turmas 9. não significa necessariamente que não haja variabilidade. Por exemplo os seguintes dados 10 11 13 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 16 17 18 apresentam variabilidade. sobretudo se a distribuição dos dados apresentar enviesamento ou “outliers”.º A e 9.º B) = 11. fazendo com que a diferença entre os quartis venha igual a zero. é a amplitude interquartil. que já foi utilizada na construção do diagrama de extremos e quartis. É baseada em dois únicos dados.6 – 10. a amplitude interquartil é superior para as notas da turma 9. Propriedades da amplitude interquartil A amplitude interquartil será tanto maior. isto é. A amplitude interquartil. pois depende muito da existência de valores muito “pequenos” ou muito “grandes”. então a amplitude interquartil vem igual a zero. dá-nos informação sobre a amplitude do intervalo que contém 50% dos dados centrais.º A) Amplitude interquartil (notas da turma 9. a amplitude interquartil é nula. Efectivamente o 1.2 Amplitude interquartil Uma outra medida de variabilidade.3. se a amplitude interquartil de um conjunto de dados for nula. ao contrário da amplitude definida anteriormente. a que demos o nome de “outliers”. Esta informação. temos Amplitude interquartil (notas da turma 9. que podem ser muito atípicos na distribuição de todos os dados do conjunto.5 – 9. no nosso conjunto de dados. muito simples de calcular.4 = 3.2 = 12. quanto maior for a variabilidade presente nos dados. É uma medida que normalmente não é utilizada.º quartis. alternativa à amplitude.º quartis são iguais a 14. Se não houver variabilidade. 5.º e 3. necessariamente. . 2. Se falarmos. 3. 6. Terão os alunos alturas semelhantes? Terão alturas muito afastadas da média? Como medir essa variabilidade? Para introduzir a noção de variabilidade. . é natural que procuremos medidas que meçam a variabilidade relativamente a estas medidas de localização.3 Outras medidas de variabilidade: O desvio médio absoluto e o desvio padrão Quando estudámos as medidas de localização do centro da distribuição dos dados dissemos que as mais utilizadas são a média e a mediana. As respostas obtidas 2. que representam valores “típicos” da distribuição dos dados. é natural querermos saber qual a variabilidade das alturas desses alunos relativamente a essa média. 8. mas também vimos que havia outras configurações.). Então. 3.1: Tarefa – Desvios entre os dados e a média (cont. por exemplo. 4. 5. ao pesquisarmos medidas de variabilidade.3. Alguns desses conjuntos apresentam-se a seguir: 1. quantos lápis (incluindo lápis de cor) tinham no estojo. 4. encontram-se representadas no seguinte diagrama de pontos: Vimos que a média dos valores considerados é igual a 5. 5. 2. 4. ou outros conjuntos de 10 dados que mantinham a mesma média. 9. 3. vamos retomar um exemplo da secção 5. 4. 8. Na turma o professor perguntou a 10 alunos que tinham o estojo de lápis em cima da mesa. na altura média de um conjunto de alunos.Organização e tratamento de dados 151 5. Qual dos dois conjuntos apresenta maior variabilidade? Se pedirmos a um grupo de alunos para responderem a esta questão. considerando como ponto de referência a média. Já sabemos que a soma dos desvios positivos é igual à soma dos desvios negativos. Comecemos por. independentemente de considerarem um ponto padrão como referência. pois intuitivamente estão a interpretar a variabilidade em termos de “mais ou menos iguais. uns relativamente aos outros”. 3. em cada representação. enquanto que no segundo caso só dois dos valores é que se repetem e com menor frequência. pelo que vamos considerar uma medida de variabilidade que entre em linha de con- . 4. Vejamos então como medir a variabilidade de cada um dos conjuntos representados anteriormente. nomeadamente a média. Qual o que apresenta maior variabilidade? E que tipo de variabilidade estamos a pretender medir? Se repararmos no conjunto de dados correspondente à representação 5 e 6. 5. Estes desvios serão positivos se os valores forem inferiores à média e positivos se forem superiores à média: 1. 2. substituir o ponto que representa o dado. dir-nos-ão que o primeiro conjunto apresenta menor variabilidade. 6. respectivamente os dados 2 e os dados 2 2 2 3 4 6 7 8 8 8 2 2 2 2 8 8 8 8 8 verificamos que no primeiro caso existem 5 valores iguais a 2 e 5 valores iguais a 8.Organização e tratamento de dados 152 Qualquer dos conjuntos representados anteriormente apresenta variabilidade. pelo seu desvio para a média. 5. 5. 5.6 10 2. 6. 5. 6 Valor Desvio para Desvio para a a média média em valor absoluto 4 -1 1 4 -1 1 4 -1 1 5 0 0 5 0 0 5 0 0 5 0 0 6 1 1 6 1 1 6 1 1 Total 0 6 6 Média dos desvios absolutos = =0. a que chamamos desvio médio absoluto. 5. 4. 4. 4. 5. Dados: 3. 4. 5. 2. Dados: 4. 3. 2. 6. 4. 4. 8 Valor Desvio para Desvio para a a média média em valor absoluto 2 -3 3 4 -1 1 4 -1 1 5 0 0 5 0 0 5 0 0 5 0 0 6 1 1 6 1 1 8 3 3 Total 0 10 10 Média dos desvios absolutos = =1. Comparando os resultados obtidos. 8 Valor Desvio para Desvio para a a média média em valor absoluto 4 -1 1 4 -1 1 4 -1 1 5 0 0 5 0 0 5 0 0 5 0 0 5 0 0 5 0 0 8 3 6 Total 0 10 6 Média dos desvios absolutos = =0. 5. 6. como uma medida da variabilidade dos nossos dados. 6 Valor Desvio para Desvio para a a média média em valor absoluto 2 -3 3 2 -3 3 2 -3 3 2 -3 3 2 -3 3 8 3 3 8 3 3 8 3 3 8 3 3 8 3 3 Total 0 30 30 Média dos desvios absolutos = =3.0 10 6. 7. 4. Dados: 2. 5. 5. 5. Dados: 4. 5. Dados: 2. 6. 5. 5. 5. 6.8 10 4. 5. 5. 8. 8 Valor Desvio para Desvio para a a média média em valor absoluto 2 -3 3 2 -3 3 2 -3 3 3 -2 2 4 -1 1 6 1 1 7 2 2 8 3 3 8 3 3 8 3 3 Total 0 10 24 Média dos desvios absolutos = =2. 5.0 10 3. 8. 5. Para cada um dos conjuntos de dados anteriores temos: 1. 5. 9 Valor Desvio para Desvio para a a média média em valor absoluto 3 -2 2 4 -1 1 4 -1 1 5 0 0 5 0 0 5 0 0 5 0 0 5 0 0 5 0 0 9 4 4 Total 0 8 8 Média dos desvios absolutos = =0. 4. 5. 5.Organização e tratamento de dados 153 ta com a soma dos desvios em valor absoluto.6 10 5. 6. 4. 4. Dados: 4. 5. 5. verificamos que o conjunto de dados que apresenta maior variabili- . 6.4 10 Para cada um dos conjuntos de dados calculámos a média dos desvios em valor absoluto e vamos considerar esta medida. 4. .. Intuitivamente esta medida. x n x n Recordemos que a substituição dos desvios pelos seus valores absolutos foi devida ao facto de a soma dos desvios ser igual a zero.x2. começa-se por calcular. igual a 0. x3.x Para obter a variabilidade de todos os dados.6.x )2. para cada dado..x │.x Para obter a variabilidade de todos os dados. (x n x )2 n 1 Para que a medida da variabilidade venha na mesma unidade dos dados originais. a media que se considera é s... xn.x .xn) com média x . x3. (xn. Desvio padrão . x2. verificamos que estes conjuntos são os que apresentam a distribuição com os dados mais perto da média.. a raiz quadrada da variância. começa-se por calcular.Organização e tratamento de dados 154 dade é o 5. a que damos o nome de desvio padrão.. Acontece que. Este inconveniente é ultrapassado se utilizarmos como medida de variabiliade a raiz quadrada da variância... a diferença entre ele e a média.. uma vez que a soma dos desvios positivos cancela com a soma dos desvios negativos. ..x . (x2. . vamos considerar não os próprios desvios. │xn.. não nos parece uma boa alternativa..... x2. Para medir a variabilidade dos dados relativamente à média. vamos considerar não os próprios desvios..x │ Define-se desvio médio absoluto como sendo a média destes desvios absolutos: Desvio médio absoluto = x 1 x x 2 x x 3 x .. Uma alternativa a considerar os módulos dos desvios. mas os seus quadrados: (x1.. Então.. (x3.Consideremos uma amostra (x1. apresentam a menor variabilidade.x ... como já vimos.x . pelo que esta solução não serve.x │. Este resultado a que chegámos é de certo modo esperado. e o 4. . pois resulta uma medida cujas unidades são o quadrado das unidades originais dos dados. a que chamamos desvio: x1. xn. pois reparando nas diferentes representações gráficas.x .x )2. Para medir a variabilidade dos dados relativamente à média. (xn x )2 n1 ..x )2 Define-se variância e representa-se por s2. consiste em considerar os quadrados dos desvios e em construir uma outra medida à custa de uma média destes quadrados. Desvio médio absoluto . . mas os seus valores absolutos: │x1. seria natural somar todos os desvios. para cada dado.x )2.x2.. a que se dá o nome de desvio padrão s= (x1 x )2 (x2 x )2 (x3 x )2 . │x3. a medida que se obtém somando os quadrados dos desvios e dividindo pelo número de observações menos uma: s2= (x 1 x )2 (x 2 x )2 (x 3 x )2 . │x2. a que vamos chamar variância.xn) com média x .x . a diferença entre ele e a média: x1...x │. a soma destes desvios é sempre igual a zero.Consideremos então a amostra (x1. enquanto que o 1.. calculamos a média e este valor é um valor aproximado do parâmetro altura média pretendido. Assim. mesmo assim. a resposta que pode ser dada prende-se de certo modo com o motivo que nos levou a considerar os quadrados. Esta é uma forma “simplista” de abordar o problema. 3. Por exemplo para conhecer o parâmetro – valor médio das alturas ou altura média dos portugueses adultos (população constituída pelas alturas de todos os portugueses adultos). dividindo a sua soma por n em vez de (n-1). considerando n em vez de n-1: s’= (x1 x )2 (x2 x )2 (x3 x )2 . como está proposto? A este nível. inferir propriedades da população.. (xn x )2 n Devemos acrescentar que este procedimento embora não esteja correcto. quando se pretende estimar a variância populacional. desde que n seja suficientemente grande. Ora o mesmo se passa se pretendermos conhecer o parâmetro variância da população. que são os parâmetros. ou os seus quadrados. de um modo geral o nosso objectivo é fazer Inferência Estatística. assim como anteriormente. como fizemos. isto é. já tem uma explicação – a soma dos desvios das observações para a média. que as estimativas sejam as melhores possíveis. Mas então porque é que não consideramos a média desses desvios ao quadrado. O que acontece é que em Estatística. para que o n-ésimo fique automaticamente determinado. embora corramos o risco de a tornar mais complicada. é sempre igual a zero. Para estimar este parâmetro. ou seja. também chamado de variância populacional. dividimos por (n-1) em vez de n. Como em Estatística. na definição do desvio médio absoluto se consideraram os desvios absolutos.. convém que. no caso de estarmos a estimar parâmetros. No processo que leva à construção da variância. recolhe-se uma amostra. pelo que ou consideramos os desvios em valor absoluto. normalmente o nosso objectivo é estudar populações a partir de amostras recolhidas dessas populações. ainda é preferível considerar n-1 em vez de n. . o motivo que nos leva a considerar os quadrados dos desvios.. procede-se ao seu estudo gráfico para tentar obter a estrutura ou padrão da distribuição da população de onde se retirou a amostra e arranjar um modelo para essa população. 2. Dizemos que a média da amostra observada é uma estimativa do valor médio da população de onde se observou a amostra. Quando se recolhe uma amostra. em vez dos próprios desvios: como a soma dos n desvios é igual zero. Alguma literatura apresenta o desvio padrão s’. como só temos (n-1) desvios independentes.Organização e tratamento de dados 155 Notas 1. quando se considera n-1. conduz a uma estimativa que também pode ser utilizada. já não se verifiquem quando calculamos o desvio padrão. dividindo a soma dos quadrados dos desvios por n-1 dá uma “melhor” estimativa da variância populacional. quando n 1. a partir das propriedades verificadas na amostra. em vez de ser por n. e também se calculam algumas características amostrais. calculamos a variância da amostra observada e é agora que chegámos ao ponto crucial: pode-se mostrar que a variância que se calcula a partir da amostra. que pretendem “estimar” características populacionais correspondentes. n 1 pois neste caso s’≈s. pois esta mesma razão levar-nos-ia a considerar para o desvio médio absoluto o quociente da soma dos desvios absolutos por n-1. Embora as “boas” propriedades manifestadas pela variância amostral... basta conhecer (n-1) desses desvios. A partir da amostra recolhida. Vamos então adiantar um pouco mais a explicação. uma vez que é impraticável observar a altura de todos os portugueses e calcular a média. do que se dividirmos por n. 7 Jul 25.1 Mar 10.0 11. no que diz respeito às temperaturas médias mensais? c) Qual das cidades apresenta maior variabilidade nas suas temperaturas mensais? (Responde observando os diagramas de pontos) d) Qual a temperatura mensal mais alta para a cidade A? E a mais baixa? Qual a diferença de temperaturas? Que nome dás a esta diferença? e) Calcula a amplitude das temperaturas mensais da cidade B. que é 5.2 Ago 25. são próximas? b) Uma vez que os centros das distribuições dos dois conjuntos de dados estão muito próximos. (2001).6 12.6 11.º e o 3.Organização e tratamento de dados 156 No que diz respeito ao desvio médio absoluto.1 Nov 10. podemos concluir que não existe diferença entre estas duas cidades.7 Abr 15.3 Mai 19. Tarefa – Temperaturas de duas cidades5.1 9. Por isso. não nos vamos preocupar se se divide por n ou por n-1. as razões invocadas para o desvio padrão e que se prendem com a Inferência Estatística. p.3 16. f) Considera as temperaturas da cidade A. . um quarto são superiores ou iguais ao 3. Antes de calcular a mediana tens que ter alguma preocupação prévia com os dados? As medianas das temperaturas das duas cidades.4 Jun 23. como medida da variabilidade de uma amostra é o desvio padrão e não o desvio médio absoluto.8 Dez 6. inferiores à mediana e calcula a mediana do conjunto de temperaturas considerado. pois a medida que efectivamente é utilizada em Estatística.6 16.0 13.4 Fev 5. i) Calcula a amplitude interquartil da distribuição das temperaturas mensais da cidade A.6 17.4 a) A partir dos dados da tabela calcula a mediana das temperaturas médias mensais das duas cidades.9 9.7 18. não têm aqui cabimento. 83.º quartis. Que nome dás ao valor obtido? h) Verifica que um quarto dos valores são inferiores ou iguais ao 1. mas agora com as temperaturas superiores à mediana.º quartil e metade estão entre o 1. Na seguinte tabela são apresentadas as temperaturas (ºC) médias mensais das cidades A e B: Jan Cidade A Cidade B 3. j) A amplitude interquartil da distribuição das temperaturas mensais da cidade A é superior à amplitude interquartil da distribuição das temperaturas mensais da cidade B.55ºC? A resposta que deste à alínea c) já previa a conclusão a que chegaste? 5 Adaptado de Rossmann et al.8 Set 21.4 14. Que nome dás a este valor? g) Faz o mesmo que na alínea anterior.3 Out 15.º quartil.0 17. 0 21.0225 18. m) A média das temperaturas mensais da cidade A é 15.7025 81.4 23.7 15.15ºC.0 15. . às unidades originais dos dados.15 4.40 13. é considerar os quadrados dos desvios. Completa a coluna dos desvios em valor absoluto e depois calcula a soma dos valores dessa coluna. Que nome dás à medida obtida? r) Para converter a medida obtida na alínea anterior. Que nome dás à medida obtida? p) Uma alternativa a calcular os desvios para a média em valor absoluto.15 10.6 25. Completa os dois valores em falta na coluna “desvio para a média” da tabela seguinte: Mês Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago Set Out Nov Dez Total Temperatura 3.0625 66. Qual o maior? Era o que esperavas? Sugestão – esta tarefa pode ser aproveitada para comparar as temperaturas registadas pelos alunos em duas cidades.8 Desvio para a média -11.9025 0.2025 20.45 6. Ficaste admirado com o valor a que chegaste? Porquê? n) Para obter uma medida da variabilidade dos dados.55 0.3 25. só fazendo uma operação de dividir.55 0. Compara com o desvio padrão obtido para as temperaturas mensais da cidade A.55 -0.45 6.5625 91. e compara as duas cidades no que diz respeito às temperaturas médias mensais.25 8.55 -9.45 -4. a que é igual a soma dos desvios positivos? o) Calcula a média dos valores absolutos dos desvios.25 9.15 4. calcula o desvio padrão das temperaturas mensais da cidade B.85 16.2025 42. q) Divide a soma obtida na alínea anterior por 11 (dimensão da amostra menos 1). Que nome dás à medida obtida? s) Com o auxílio da máquina de calcular ou da folha de Excel do computador.6 6.9 5.05 Quadrado do desvio 126.0 19.55 9.25 -9. Consegues dizer.05 Valor absoluto do desvio 11.15 10.95 18 1º quartil Mediana 3º quartil máximo l) Constrói diagramas de extremos e quartis paralelos para as temperaturas das duas cidades. Completa-a com as estatísticas correspondentes da distribuição das temperaturas mensais da cidade A: Mínimo Cidade A Cidade B 9 11. como por exemplo.Organização e tratamento de dados 157 k) A tabela seguinte apresenta algumas estatísticas relativas à distribuição das temperaturas mensais da cidade B. calcula a sua raiz quadrada.45 4.9025 Depois de preencheres a coluna “Desvio para a média” com os valores que faltam.6 10. Completa a coluna dos quadrados dos desvios e depois calcula a soma desses quadrados. Lisboa e Porto.1 181.6 10.4225 109. calcula a soma dos 12 desvios. vamos trabalhar com as distâncias dos valores relativamente à média.2025 0. pelo que vamos considerar os desvios em valor absoluto.25 8.55 0. nomeadamente carros de família (Grandes).3 0. calculou-se a amplitude interquartil e o desvio padrão e construiu-se o diagrama de extremos e quartis.7 0. do consumo médio de gasolina. foram seleccionados 100 alunos e registaram-se as notas obtidas no exame nacional de Língua Portuguesa. De cada uma de três escolas da zona de Lisboa.59 ? 1. por 100km. carros utilitários (Pequenos) e carros Desportivos. Para comparar o consumo médio de três tipos de carros. A.5 1. recolheu-se informação junto de algumas marcas de carros. O professor pediu a três grupos de alunos que resumissem a informação contida nos dados. associa cada par de estatísticas e cada diagrama de extremos e quartis a cada um dos tipos de carros considerados.09 ? 0. Amplitude interquartil Desvio padrão Tipo 0. Um dos grupos calculou algumas características amostrais e os outros dois grupos fizeram representações gráficas: .Organização e tratamento de dados 158 Tarefa – Vamos comparar os consumos dos carros.47 ? Tarefa – Vamos comparar as notas no mesmo teste de Inglês de alunos de três escolas diferentes. A partir das representações gráficas anteriores e sem fazeres quaisquer cálculos. B e C. Os resultados obtidos são apresentados no seguinte diagrama de pontos: Para cada uma destas três amostras de carros. 9 1.8 1.4 B 12.1 1.05 1. ii.4 i.Organização e tratamento de dados 159 A Média Amplitude interquartil Desvio padrão 16. a) Completa a seguinte tabela. iii. estabelecendo as correspondências entre as características amostrais e as representações gráficas construídas Características amostrais Histograma Diagrama de extremos e quartis A 3 B C ii b) Qual o aspecto mais relevante sobre o comportamento a Inglês dos alunos das três escolas? .51 C 13.1 2.85 1. Organização e tratamento de dados 160 . obtida através da repetição de um número grande de vezes da experiência conducente à realização desse acontecimento. dão-se indicações sobre o cálculo de probabilidades de alguns acontecimentos.6 Probabilidade Neste capítulo fazemos uma introdução à Probabilidade experimental de um acontecimento. Ainda utilizando estes modelos. . Considera-se também a Probabilidade teórica como modelo probabilístico em situações especiais de simetria. Organização e tratamento de dados 162 . Por exemplo. como acontece com muitas outras noções que usamos com frequência. 1 Nesta introdução seguimos de perto Graça Martins et al (1999) e Graça Martins et al (2007) . está presente a incerteza: Se não avistarmos nuvens..”. em muitas situações práticas. se nos perguntarem qual a probabilidade de o Sol nascer amanhã. não temos dúvida em afirmar que é um. Qualquer um de nós.. o médico pretende saber se um novo medicamento oferece maior probabilidade de cura que o medicamento habitual. O aluno interroga-se sobre qual a probabilidade de obter nota positiva num teste de respostas múltiplas. há situações em que nos sentimos seguros em atribuir um valor numérico à possibilidade da realização de um determinado acontecimento. ser do sexo masculino é aproximadamente 50%. mesmo sem disso nos apercebermos. O fabricante desejaria saber se um produto que pretende lançar no mercado. Por outro lado. “É mais provável que. é capaz de fazer conjecturas sobre a probabilidade da sua realização. “É pouco provável que.”. a maior parte das vezes. O termo Probabilidade é utilizado todos os dias de forma mais ou menos intuitiva. O político interroga-se sobre qual a probabilidade de ganhar as próximas eleições.Organização e tratamento de dados 163 6. é 50%. Embora os juízos probabilísticos que exprimimos sejam. podemos fazer a escolha atirando uma moeda ao ar.. Dizemos que a probabilidade do próximo bebé. Neste caso assumimos implicitamente que. No entanto. o departamento de controlo de qualidade pretende averiguar a probabilidade de uma máquina não avariar no próximo ano. Para tratar determinada doença. em termos comparativos. pois nos mais variados aspectos da nossa vida. para saber se deve fazer camisas destes números.1 Introdução1 A probabilidade. Dizemos que a probabilidade de lançar uma moeda de 1 euro ao ar e sair a face com o 1. em face de um determinado acontecimento futuro. Numa fábrica. terá uma boa probabilidade de aceitação... etc. Se pretendermos decidir quem. Um empresário têxtil precisa de saber qual a probabilidade de conseguir vender camisas de homem de tamanho maior ou igual que 45. estamos a ser justos já que atribuímos probabilidades iguais (na escala de 0 a 1 corresponderia a ½) a cada um de poder vir a realizar o dito trabalho. a menos que estejamos em condições de recorrer a conceitos matemáticos precisos. sabemos usá-la com perícia.. procedendo deste modo. não é fácil de definir. dizemos que é pouco provável que chova. entre duas pessoas deve fazer um determinado trabalho. Dizemos que a probabilidade de ganhar no Euromilhões é quase nula. já que o nosso conhecimento nos faz acreditar que esse acontecimento é impossível. respondemos certamente que essa probabilidade é zero. de uma determinada família. se nos perguntarem qual a probabilidade de existir um homem com três metros de altura.”. Quantas vezes nos ouvimos fazer afirmações do género “É muito provável que. para o qual não se preparou e responde sistematicamente ao acaso. na próxima repetição (admite-se que o fenómeno se pode repetir). etc. obtido como consequência do lançamento da moeda ao ar. O estado do tempo no dia seguinte. A resposta de uma doença a um tratamento feito com determinado medicamento. O comportamento de um aluno no exame de resposta múltipla. Para exprimir esta convicção estamos a recorrer. já que ambos têm a característica comum de não se conseguir antecipar com exactidão qual o resultado que se vai obter quando se realizam. um fenómeno para o qual não sabemos de antemão qual o resultado que se vai verificar. qual o resultado da situação de incerteza. para um grande número de repetições do fenómeno. no planeta Terra. Ao emitirmos um juízo de valor.. Não temos dúvidas de que ao lançar ao ar uma moeda de um euro. ela cai. mas não sabemos qual a face que fica virada para cima quando ela assenta no sítio em que caiu. não estamos mais do que a anunciar o nosso grau de convicção na realização de algum acontecimento.Organização e tratamento de dados 164 Todos estes exemplos têm uma característica comum. embora intuitivamente. ou seja. mas o mesmo não acontece com os fenómenos aleatórios. conseguimos dizer o que vai acontecer quando o fenómeno se realiza. No exemplo anterior o resultado “A moeda cai”. para o qual não estudou. É esta última característica do fenómeno aleatório que o distingue de um processo caótico.2 Probabilidade acontecimento empírica ou experimental de um Nos fenómenos determinísticos. a nossa mão ou em cima de uma mesa. quer seja o chão. mas para o qual é possível verificar uma certa regularidade a longo termo. A probabilidade está presente sempre que estivermos perante um fenómeno aleatório. Fenómenos aleatórios – São fenómenos para os quais os resultados das realizações individuais são incertos. já é um resultado incerto “A face Euro fica virada para 2 Estamos a pensar numa experiência feita num ambiente normal. O comportamento do mercado perante um produto novo para lavar a roupa. 6. não sabemos qual a que se vai verificar. São exemplos de fenómenos aleatórios aqueles que têm como resultado observável: A chave do totoloto em cada semana. isto é. que é o facto de não se conseguir prever com exactidão e de antemão. como fizemos em alguns dos exemplos considerados. à frequência relativa com que o acontecimento se pode repetir. mas em que se admite ser possível encontrar um padrão genérico de comportamento. . O comportamento dos eleitores nas próximas eleições legislativas. Perante as várias possibilidades que se nos apresentam.. não é um resultado incerto. pois temos a certeza que a moeda não fica no ar2! No entanto. O comprimento do próximo bebé a nascer na cidade. pois não temos a certeza que isso aconteça. se seriam diferentes as possibilidades de sair a face Euro ou a face Nacional quando se lança a moeda ao ar. de que a moeda era equilibrada. A experiência é aleatória porque não sabemos se é a face Euro ou a face Nacional que vai ficar virada para cima. se tinha observado a seguinte sequência. Exprime-se uma posição sobre a veracidade ou não da conjectura. Admitamos. já não é aleatória! A repetição de experiências aleatórias associadas a determinado fenómeno aleatório é o processo utilizado para a aquisição de dados. que. A nossa curiosidade leva-nos então a tentar antecipar o que vai acontecer quando lançamos a moeda ao ar e exprimimos essa necessidade utilizando a linguagem da probabilidade ao dizer “A probabilidade de lançar uma moeda de um euro ao ar e sair a face Euro é 50%”. a experiência que consiste em lançar a moeda ao ar e ver se cai. . que tínhamos uma moeda de um euro e que pretendíamos verificar se havia alguma razão para suspeitar que a moeda não era equilibrada. obtemos o seguinte resultado: Face Euro virada Nº de vezes 26 24 Frequência relativa 26/50 24/50 Frequência relativa % 52% 48% para cima Nacional Nestes 50 lançamentos. Para recolher dados que nos permitam responder à questão anterior. no caso do lançamento da moeda a experiência aleatória consiste em lançar a moeda ao ar e verificar qual a face que fica virada para cima. Assim. por exemplo. a face Euro ficou virada para cima 26 vezes. À realização do fenómeno aleatório chamamos experiência aleatória. Em contrapartida. Repare-se que a situação descrita anteriormente é uma situação típica de uma investigação estatística: Formula-se uma conjectura. Recolhem-se dados que permitam avaliar da veracidade dessa conjectura. Intuitivamente somos levados a concluir que não temos razão para rejeitar o modelo que tínhamos idealizado. onde representamos por E a face Euro e por N a face Nacional: E E E E N N E E E N N N N N N N E E N E N E E N N N E E E N N N E E E N E N E E N E E N N E N E E N Se resumirmos numa tabela de frequência os dados anteriores.Organização e tratamento de dados 165 cima”. Suponhamos que após a repetição da experiência 50 vezes. isto é. nos permitem inferir propriedades do fenómeno aleatório em estudo. pelo que a proporção de vezes que se obteve a face Euro está próxima dos 50%. vamos repetir um grande número de vezes a experiência aleatória que consiste em lançar a moeda ao ar e verificar a face que fica voltada para cima. uma vez analisados. Suponhamos. neste caso. nos permitem inferir propriedades do fenómeno aleatório em estudo e que. uma vez analisados. começamos a observar que o fenómeno tem um comportamento “previsível”. mas ao fim de muitas realizações podemos afirmar que a proporção de vezes que se verifica a face Euro está próxima de 50%. Isto significa que à medida que formos repetindo a experiência aleatória associada a esse fenómeno. pois se a moeda fosse equilibrada esperaríamos que a proporção de vezes que sai a face Euro fosse aproximadamente igual à proporção de vezes que sai a face Nacional. verifica-se um padrão genérico de comportamento ou uma regularidade a longo termo. que em vez da sequência anterior se tinham obtido os seguintes dados: E E E E E N E N E E N E N E E E E E E E E E N N E E N E E E E N N E N E N E E N N E N N E E N E E N Ao resumir as observações anteriores numa tabela de frequência. É o que acontece no caso do lançamento da moeda “equilibrada”. se pode traduzir na seguinte conclusão sobre a conjectura “A moeda é equilibrada” e sobre o que acontece quando se lança a moeda ao ar: A moeda não é equilibrada e no próximo lançamento da moeda é mais provável sair a face Euro do que a face Nacional. quando o fenómeno se realiza. Porque é que é necessário repetir a experiência um grande número de vezes? Na definição de fenómeno aleatório diz-se que: . Como dissemos anteriormente. Não sabemos o que acontece em cada realização do fenómeno. obtemos o seguinte resultado: Face virada para cima Euro Nacional Nº de vezes 33 17 Frequência relativa 33/50 17/50 Frequência relativa % 66% 34% Será que nestas circunstâncias ainda continuaríamos a dizer que “A probabilidade de lançar uma moeda de um euro ao ar e sair a face euro é 50%”? A nossa intuição leva-nos a dizer que algo de errado se passa com a moeda e que deve ter algum defeito. no entanto. não se conhece o resultado que se vai obter. no entanto.Organização e tratamento de dados 166 Suponhamos.. que só tínhamos realizado as primeiras 10 experiências cujos resultados foram: . Esta regularidade não se verifica quando repetimos a experiência um número pequeno de vezes.. como se observou na primeira sequência. por exemplo. a repetição da experiência aleatória permitiu recolher dados que. mas. mas consideradas em séries de 10: Proporção de faces Euro E N N N E E N E N N N N E N E N E E N E N E E E E N N N E N N E E E E E E N N N 80% 40% 30% 50% Como se verifica da tabela anterior. assunto a tratar mais à frente. existe uma grande variabilidade nas proporções de vezes que surge a face Euro. Se voltássemos a repetir a experiência outras 50 vezes iríamos obter a mesma percentagem de faces Euro? Não necessariamente. existe uma grande variabilidade na proporção de faces Euro nas sequências de 10 observações: E se se tivessem considerado séries de 5 lançamentos? Vejamos o que acontece com a proporção de faces euro nas 10 sequências de 5 lançamentos: Sequências Proporção de faces Euro E N E N N E N E N E E N E E E N N N E N E N N E N N N N N E E E E E N E E E N E E N E E E N N N E N 100% 20% 60% 80% 40% 40% 20% 40% 40% 60% Como se verifica do gráfico anterior. vamos recolher várias amostras de dimensão 50 (os dados de cada amostra obtêm-se repetindo a experiência de lançar a moeda 50 vezes) e registar a percentagem de faces Euro. no lançamento da moeda 5 vezes. mas o melhor é confirmar. Obviamente que estar a repetir a experiência 50 vezes é bastante maçador. Voltemos novamente à situação dos 50 lançamentos da moeda. Vejamos ainda o que se passa com as restantes observações. obtidas: 1ª amostra E E E N E N N N E E N E N N E E N N N E N E N N N E E E E E E N N E E N N E N N N E E N N E N N N E 2ª amostra N N E N N N E N E E N E E N N N E N N E N E N E N N E E N E N E E E N N E N N E E E E N N E E N E N . mas enquanto não soubermos como rodear este problema simulando a experiência.Organização e tratamento de dados 167 E E E E E N N N E N Repare-se que a proporção de vezes que se verificou a face Euro foi de 60%. Organização e tratamento de dados 168 3ª amostra N N E N E E E E N E N E N E N N E N N E N E E N E E E N E N E N N E N N E E N N E E N N N E E E N E 4ª amostra N E N E N E N N E N N N N E E N N N E E E N N E N E N E E E E N E E E E N N E E N N N E N E N E N N 5ª amostra N E E N N N E N N E N E N E E N N N E N N E N E E N N N E E E E E E N E E E N N N E E N E E E E E N 6ª amostra N N E E E E N N E E E N E E N N E E N E N E N N N E E E N N N E E E N N N N N N N N E E E N E E E N 7ª amostra N E N N E E E N N N N E E N E E N N N N E E N E N N N N E E N E E N E N N N N E E N E N N E N E E N 8ª amostra N E E N N N N N N E E N E E E N E E N E E N E N E N N E N N E E N N E E N E N N E E E N N E E E E N 9ª amostra E N N E N E E N E N E E E N E N N E N N E E E E E N N E E E E E N N E N E N N E E E N E N E N N N E 10ª amostra N N N N E N E E E E E E E E N E E N E N N N E E E E E N E N N N N N E E N N N E E E E E E N E N N N Na seguinte tabela de frequências apresentam-se as percentagens de faces Euro das 10 amostras que decidimos recolher: Proporção de faces Euro 48% 48% 52% 48% 54% 50% 44% 52% 56% 54% 1ª amostra 2ª amostra 3ª amostra 4ª amostra 5ª amostra 6ª amostra 7ª amostra 8ª amostra 9ª amostra 10ª amostra Como estávamos à espera. mas obtivemos valores razoavelmente próximos de 50%! . não obtivemos sempre a mesma percentagem de faces Euro. identificando-a com a frequência relativa com que esse acontecimento se observa.6%. Em termos estatísticos “estimámos” a probabilidade (desconhecida) da realização de um acontecimento. valor bem próximo de 50%. pois basta juntar as amostras anteriores 2 a 2 para obter amostras de dimensão 100: Proporção de faces Euro 1ª e 2ª amostras 3ª e 4ª amostras 5ª e 6ª amostras 7ª e 8ª amostras 9ª e 10ª amostras 48% 50% 51% 47% 54% Não há dúvida! À medida que aumentamos o número de repetições da experiência aleatória. a percentagem de faces Euro obtidas seria de 50. repetíssemos 100? Sem muito trabalho podemos verificar o que acontece. para um grande número de realizações da experiência. pela frequência relativa ou percentagem de vezes com que esse acontecimento se verifica. mais próximas umas das outras e de 50% ficam as percentagens de faces Euro obtidas: Dimensã o de cada amostra Proporção de faces Euro 5 10 50 100 Este exemplo dá-nos confiança que se aumentarmos ainda mais o número de repetições da experiência. verifique-se que se tivéssemos considerado conjuntamente as 500 repetições (das 10 amostras de dimensão 50) da experiência aleatória. Para finalizar.Organização e tratamento de dados 169 E se em vez de repetir a experiência 50 vezes. É usual chamar a esta percentagem a probabilidade empírica ou experimental. Esta regularidade estatística é utilizada para quantificar a probabilidade de um acontecimento. a proporção de faces Euro vai ter tendência a estabilizar à volta de 50%. . atribui-se-lhe uma probabilidade de 0% (ou 0). escolhido ao acaso.08 0.04 0. no que diz respeito ao animal doméstico preferido. Relativa 0. já que a frequência relativa do acontecimento “O animal doméstico preferido é o Cão” é de 0. A probabilidade pode-se exprimir sob a forma de percentagem. se pretendia recolher informação sobre a preferência de mais um aluno da escola. um grande número de vezes. Por outro lado. então atribui-se-lhe a probabilidade de 100% (ou 1). “O animal doméstico preferido é o Gato”. nas mesmas condições. .70 0. Se temos a certeza que um acontecimento se vai verificar. sobre qual o animal doméstico preferido: Animal doméstico preferido Cão Gato Peixe Passarinho Outro qualquer Nº de alunos 35 8 4 2 1 50 Freq. da preferência deste aluno? Qual será um valor aproximado para a probabilidade deste aluno preferir o Cão? Na tabela anterior. ou seja. As probabilidades assumem valores numa escala de 0% a 100% (ou 0 a 1). esperamos que a probabilidade deste acontecimento esteja próxima de 0. decimal ou fracção.16 0. “O animal doméstico preferido é Outro qualquer”.Organização e tratamento de dados 170 Probabilidade empírica (ou frequencista) – A probabilidade de um determinado acontecimento aleatório é a percentagem de vezes que se espera que ele aconteça. Se um acontecimento é impossível. de entre os acontecimentos “O animal doméstico preferido é o Cão”.00 Suponhamos que na altura em que se recolheu a informação da tabela. Exemplo – Qual o animal doméstico preferido Consideremos a seguinte tabela que resultou de organizar a informação referente a uma sondagem feita a 50 alunos de uma escola.70 ou 70%. Então. 35 preferem o Cão.02 1. se se repetir a experiência. Algumas questões que se podem colocar sobre este aluno. são as seguintes: Qual será o animal doméstico mais provável. não temos informação suficiente para saber. verificamos que dos 50 alunos. a experiência consiste em seleccionar um aluno ao acaso e em averiguar qual o animal doméstico preferido.70. “O animal doméstico preferido é o Peixe”. é natural esperar que este outro aluno também prefira o Cão. Existem várias respostas possíveis e é por essa razão que o resultado da experiência é aleatório: antes de registar a resposta do aluno. se é um acontecimento certo. “O animal doméstico preferido é o Passarinho”. No exemplo anterior. qual o acontecimento que se vai verificar. mas é pouco provável (e) 90% (v) Isso acontecerá. donde (vi) corresponde a (a) e (g). a probabilidade deve ser introduzida de uma forma intuitiva. (iii) a (b). Assim. Exemplo – Qual a probabilidade?3 Um computador está programado para calcular várias probabilidades. então temos que a sua probabilidade é cerca de 50% e. portanto. As outras associações são (ii) a (e). que pode ser dividida em várias sessões. Assim.Organização e tratamento de dados 171 Podemos utilizar uma escala de probabilidade para situar alguns acontecimentos. Depois de algum tempo dedicado a esta discussão. Com o objectivo de promover o domínio da linguagem da probabilidade.. De seguida descrevemos uma tarefa. existem 2 que não podem ser probabilidades. o professor desenha uma linha no quadro e no início da linha marca um zero. pouco provável. como não acontecer (b) 0% (ii) É muito provável que aconteça. como atribuímos anteriormente um valor aproximado de 70% ao acontecimento “O animal doméstico preferido é o Cão”. provável. de certeza (f) 100% (vi) Há um erro no programa (g) 200% Nos valores numéricos. quanto à credibilidade atribuída à sua realização na próxima repetição da experiência aleatória: A probabilidade de um acontecimento não se verificar é igual a 100% (ou 1) menos a probabilidade de se verificar. o professor pede aos alunos que relatem acontecimentos do dia a dia em que introduzam os termos impossível. Se um acontecimento é tão provável de acontecer. certo. (iv) a (c) e (v) a (f). podemos dizer que um valor aproximado para a probabilidade do acontecimento “O animal doméstico preferido não é o Cão” é cerca de 30%. (i) corresponde a (d). Tarefa – A escala de probabilidade. a que corresponde o acontecimento certo: 3 Freedman et al (1991) . sendo o 1 marcado no fim da linha. No ensino básico. muito provável. só podem ser atribuídos a um erro no programa. Associe as respostas numéricas com as descrições verbais seguintes: (a) -50% (i) É tão provável acontecer. como de não acontecer. mas não é certo (c) 10% (iii) Isto não pode acontecer (d) 50% (iv) Pode acontecer. em que se descreve um processo que pode ser utilizado para introduzir a linguagem da probabilidade nos alunos do 1º ciclo. Então o professor diz aos alunos que 0 será a probabilidade que se vai atribuir a um acontecimento impossível e que o maior valor possível para a probabilidade será 1 ou 100%. e uma folha com um conjunto de declarações (O professor pode pedir aos alunos para fazerem a sua própria folha de declarações). de um baralho. Algumas das frases que os alunos escreveram. pois a credibilidade que se atribui a cada acontecimento. obtenho um Rei G – Amanhã quando for passear. vou ver passarinhos I – Amanhã o Sol vai nascer Numa sessão seguinte o professor divide os alunos em grupos de 3 ou 4 e dá a cada grupo uma folha A4. onde está desenhada a Escala de Probabilidade. chegando à seguinte representação: O professor pede aos alunos que vão sucessivamente ao quadro escrever algumas frases para depois. permite acrescentar à linha anterior mais algumas indicações. foram: A – Amanhã vai chover B – Hoje vou ver televisão quando chegar a casa C – Uma pedra de gelo num copo de água derrete D – O Benfica vai ganhar a taça E – Se lançar uma moeda de 1 Euro ao ar. Poderá haver alguma discussão sobre a posição onde colocar as frases.Organização e tratamento de dados 172 Alguma discussão em volta de alguns termos utilizados pelos alunos. Folha A4 com a escala de Probabilidade . vou encontrar um dinossáurio vivo H – Amanhã quando for ao parque. não é necessariamente igual para todos os alunos. de acordo com a credibilidade que lhes atribuem. em conjunto as situarem no eixo anteriormente desenhado. vai aparecer a face Euro F – Se retirar uma carta ao acaso. a folha de um dos grupos pode apresentar o seguinte aspecto: A sugestão de prenderem as declarações à folha. de modo a separarem as declarações.Organização e tratamento de dados 173 Folha com as declarações Os alunos. de acordo com a credibilidade que atribuírem a cada uma dessas frases. A meio da sessão. Sugere-se que utilizem clipes. atribuindo-lhes uma posição diferente na escala. com a escala de Probabilidade. de cada grupo. Depois. os grupos poderem rever as suas convicções na credibilidade atribuída à realização de alguns dos acontecimentos. prende-se com o facto de depois de alguma discussão conjunta. com um clipe. . em conjunto. devem começar por recortar esta folha. posicionam-nas na escala de probabilidade. 1º jogo – Este jogo é jogado por dois alunos. O jogo consiste em lançar as moedas e se saírem duas faces iguais. é a Joana que retira o feijão. por exemplo a Sara e o Santiago. isto é. Para estes jogos o professor levou algumas moedas de 1 euro. alguns dados de 6 faces e um punhado de feijões. Se saírem duas faces diferentes. Ganha o jogo quem tiver mais feijões quando se esgotar a caixa. é o Bernardo que retira o feijão. por exemplo a Maria e a Joana. O jogo consiste em lançar um dado e se sair face em que o número de pintas é um número primo. Algumas questões: . Algumas questões: À partida quais são as expectativas sobre quem vai ganhar o jogo? Será o jogo justo? Se jogarem 2 vezes o mesmo jogo. Se a soma das pintas for 7. ninguém retira feijões. o João retira um feijão da caixa e fica com ele. Se sair uma face com um número de pintas que não seja número primo. é de esperar que ganhe o mesmo jogador? 4º jogo – Este jogo é jogado por dois alunos. que têm à partida uma caixa com 20 feijões e duas moedas de um Euro. Ganha o jogo quem tiver mais feijões quando se esgotar a caixa. O jogo consiste em lançar os dois dados e se a soma das pintas for menor ou igual 6 a Sara retira um feijão da caixa e fica com ele. Ganha o jogo quem tiver mais feijões quando se esgotar a caixa. Algumas questões: À partida quais são as expectativas sobre quem vai ganhar o jogo? Será o jogo justo? Se jogarem 2 vezes o mesmo jogo. por exemplo o Pedro e a Rita. é de esperar que ganhe o mesmo jogador? 2º jogo – Este jogo é jogado por dois alunos. O jogo consiste em lançar um dado e se sair face com um número par de pintas. Ganha o jogo quem tiver mais feijões quando se esgotar a caixa. o Pedro retira um feijão da caixa e fica com ele. Se a soma das pintas for maior ou igual a 8 é o Santiago que retira o feijão. Algumas questões: À partida quais são as expectativas sobre quem vai ganhar o jogo? Será o jogo justo? Se jogarem 2 vezes o mesmo jogo. Se sair face com um número ímpar de pintas é a Rita que retira o feijão. que têm à partida uma caixa com 20 feijões e dois dados. que têm à partida uma caixa com 20 feijões e um dado.Organização e tratamento de dados 174 Tarefa – Serão os jogos justos (ou equilibrados)? Na turma o professor propõe alguns jogos para serem jogados com uma moeda ou com um dado por pares de alunos e pretende que no fim do jogo os alunos concluam se o jogo é justo ou não. que têm à partida uma caixa com 20 feijões e um dado. é de esperar que ganhe o mesmo jogador? 3º jogo – Este jogo é jogado por dois alunos. por exemplo o João e o Bernardo. a Maria retira um feijão da caixa e fica com ele. se dará a mesma possibilidade de ganhar a ambos os jogadores. para que o aluno com o nome que consta na ficha seleccionada vá ao quadro resolver um problema. mais provável é ser seleccionado um aluno pertencente a essa categoria. Eventualmente poderão jogá-lo mais algumas vezes.Organização e tratamento de dados 175 À partida quais são as expectativas sobre quem vai ganhar o jogo? Será o jogo equilibrado? Se jogarem 2 vezes o mesmo jogo. Podem também os alunos colocar a hipótese de o número de vezes que jogaram o jogo não ser suficiente para decidirem sobre se o jogo será equilibrado ou não. registando o vencedor num esquema de contagem gráfica (tally chart). todos os dias selecciona uma ficha ao acaso. tendo obtido os seguintes registos: . os alunos podem conjecturar sobre se o jogo será justo ou não. como é pressuposto. Assim. decidiram registar numa folha as características do aluno seleccionado (sempre seleccionando uma ficha ao acaso) durante 30 aulas consecutivas. Na próxima ida ao quadro: É mais provável que seja seleccionado um rapaz ou uma rapariga? É mais provável que o aluno tenha olhos castanhos ou de outra cor? É mais provável que o aluno seja louro ou não seja louro? Quais as estimativas para as probabilidades dos acontecimentos anteriores? Para responder às três primeiras questões. se a selecção for feita aleatoriamente (ao acaso). Dos 24 alunos. é de esperar que ganhe o mesmo jogador? Todos estes jogos devem ser orientados pelo professor. depois de ter baralhado as fichas como quem baralha um baralho de cartas. e sugerirem que se façam mais algumas jogadas. que deve chamar a atenção para o facto de em qualquer um dos deles se pretender a repetição da experiência aleatória 20 vezes. a partir dos resultados obtidos com as 20 repetições. Tarefa – O que é mais provável? Numa turma com 24 alunos. Se o número de feijões for muito diferente é natural que se ponha a hipótese de que o jogo não seja justo. olhos de outra cor. do mesmo modo que é mais provável ser seleccionado um aluno que não seja louro e existe igual probabilidade de ser seleccionado um aluno de olhos castanhos e um que não tenha olhos castanhos. metade têm olhos castanhos e a outra metade. será mais provável ser seleccionada uma rapariga. os alunos devem ter sensibilidade para verificar que quantos mais alunos houver pertencentes a determinada categoria. Deve indicar que isso não pode ser considerado um número razoável de vezes. 16 são raparigas e 8 são rapazes. Também se sabe que 8 dos alunos (rapazes ou raparigas) são louros. tendo em conta o número de feijões que cada aluno que compõe o par conseguiu ganhar. No entanto. ao exigir que as fichas sejam baralhadas. Para responder à última questão. de forma a estabilizar as frequências relativas com que os acontecimentos se realizam. O professor que usa fichas. Caso contrário escrevia-se um 0. Como estimar. Assim. numa próxima chamada ao quadro espera-se que o aluno seja rapariga e espera-se que o aluno não seja louro.Organização e tratamento de dados 176 Dia 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 Total Freq. por exemplo. Assim. para obter as frequências absolutas basta somar a coluna de 0’s e 1’s. a probabilidade de seleccionar uma “rapariga de olhos castanhos e loura”? Basta contar o número de linhas em que há três 1’s e dividir esse valor por 30. Rel. verificou-se que foi ao quadro um rapaz que não tinha olhos castanhos e não era louro. sempre que era seleccionada uma rapariga colocava-se um 1. O professor deve chamar a atenção para que a partir da tabela anterior ainda se podem estimar as probabilidades de outros acontecimentos. . Quanto ao facto de ter ou não olhos castanhos. Da tabela de de de anterior conclui-se que uma estimativa para a probabilidade: ser seleccionada uma rapariga é aproximadamente 67%. Repare-se que com esta forma de registar as observações. espera-se que tanto possa acontecer uma coisa como outra. Rapariga Olhos castanhos Louro 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 20 20/30≈ 67% 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 16 16/30≈53% 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 12 12/30=40% Na tabela anterior representou-se por um 1 sempre que se verificava o acontecimento de interesse. e por 0 caso contrário. ser seleccionado um aluno de olhos castanhos é aproximadamente 53%. Por exemplo. no 1. ser seleccionado um aluno louro anda à volta de 40%.º dia em que começaram a fazer os registos. à frente da categoria respectiva: Autocarro Carro A pé Comboio Bicicleta O primeiro aluno a ir ao quadro.Organização e tratamento de dados 177 para obter a frequência relativa com que se observou o acontecimento pretendido. etc. tais como: O próximo aluno a ser chamado ser “rapaz de olhos castanhos e não louro”. que representava um rapaz: Autocarro Carro A pé Comboio Bicicleta Os outros alunos acharam a ideia muito interessante e no fim obtiveram o seguinte pictograma. O professor pode sugerir ainda que estimassem as probabilidades de outros acontecimentos. correspondente ao meio de transporte utilizado pelos alunos presentes na turma. em vez de colocar simplesmente um traço ou uma cruz à frente da categoria Autocarro. baseadas no pictograma anterior e a serem trabalhadas com os alunos. O próximo aluno a ser chamado ser uma “rapariga loura”. resolveu desenhar uma figura estilizada. No caso considerado a estimativa obtida é de 40%(=12/30). O próximo aluno a ser chamado ser “rapaz de olhos não castanhos e não louro”. podem ser as seguintes: 4 Esta tarefa foi sugerida por um exemplo de Watson (2006). naquele dia: Autocarro Carro A pé Comboio Bicicleta Algumas questões. Decidiu escrever no quadro os meios de transporte que julgava serem os utilizados e pediu a cada um dos alunos que fosse ao quadro e assinalasse qual o meio de transporte que utilizou. . Tarefa – Qual o meio de transporte utilizado pelos alunos para irem para a escola?4 Num determinado dia o professor decidiu juntamente com os alunos fazerem um pequeno trabalho de investigação sobre o meio de transporte utilizado para irem para a escola. e que utilizava o autocarro. quem é que lhe garantia que seria de 50% a possibilidade de ser ele o escolhido? Ou por outras palavras.Organização e tratamento de dados 178 1. o que nos inclina para uma “forte” credibilidade a que o Ricardo tenha viajado de Bicicleta. ter-se-ia obtido um pictograma perfeitamente igual? 4. O que é que se ganhou em ter utilizado uma figura masculina ou feminina. Efectivamente dos alunos que viajaram de bicicleta. Se saísse a face Euro (E) seria escolhido o Ricardo. a “credibilidade” atribuída à opção c) pode ser superior à atribuída à opção b). 2 raparigas. seja rapariga. já depois de se ter feito a representação gráfica anterior. em vez de utilizar simplesmente um traço ou uma cruz? 2. e 16 raparigas. 9 viajaram de autocarro. Antes de lançarem a moeda. verifica-se que dos 27 alunos. o que ele desejava saber era se a moeda era equilibrada. de uma forma justa5. disse que tinha vindo de Carro. acabando por ser este o meio de transporte mais utilizado. (2007). por estar doente. Por exemplo. Se se tivesse feito o mesmo estudo noutro dia. Este aluno será rapaz ou rapariga? Justificar a resposta. caso contrário. Ao dar esta resposta. Tarefa – Como seleccionar uma de duas pessoas. representar numa escala de probabilidade. 5 Graça Martins et al. Como só havia dois rapazes decidiram atirar uma moeda de 1 euro ao ar. Então é “mais provável” que um outro aluno que viaje de carro.164 . Orienta-se então a discussão para o argumento frequencista: dos 5 alunos que viajaram de carro. 1 rapaz! Neste caso o professor deve chamar a atenção que a ordem pela qual estão representados os símbolos não tem interesse relevante. Na resposta à questão 5. pode-se esperar que algum aluno responda à questão 4. Na turma. o aluno estará eventualmente a utilizar um raciocínio baseado no padrão da sequência: 2 raparigas. No entanto. 4 eram raparigas. se saísse a face Nacional (N) seria o Tiago. mas podemos formular algumas conjecturas e atribuir-lhes um certo grau de credibilidade. Embora fosse um processo habitual de fazer uma escolha entre duas situações. p. para a escola: a) O Ricardo utiliza o Comboio b) O Ricardo utiliza a Bicicleta c) O Ricardo utiliza o Autocarro d) O Ricardo utiliza o Carro As respostas às questões anteriores podem ser várias e o professor deve ter a preocupação de investigar quais os argumentos que conduzem às respostas dos alunos. 5. constituída por 2 rapazes – o Tiago e o Ricardo. Um aluno que chegou atrasado à aula. era necessário escolher um aluno rapaz para pertencer a uma comissão que tinha de integrar os dois sexos. dizendo que é rapaz. a “credibilidade” atribuída a cada uma das seguintes afirmações. o Tiago questionou o professor sobre se esse processo de selecção seria justo. só 1 é que é rapariga. relacionadas com o transporte utilizado pelo Ricardo para ir. Com tão poucos dados recolhidos. Quantos alunos estavam na turma naquele dia? 3. um rapaz. no dia seguinte. Admitindo que o Ricardo não tinha ido à escola naquele dia. não podemos ter certeza sobre quaisquer afirmações que façamos. 493 0.º do lanç.507 0.485 0.536 0.506 0.581 0.506 0.556 0.538 0. da face N 0.500 0.512 0.500 0. Fizeram então mais 90 lançamentos.556 0.571 0.524 0.417 0. Rel.467 0.506 0.559 0.478 0.516 0. pois ele começou a pensar que só teria 40% de possibilidades de ser seleccionado.429 0.553 0.537 0.517 0.508 0. pois com 10 lançamentos não podemos tirar qualquer conclusão.500 0.500 0.492 0.506 0.000 0.552 0.500 0.400 0.517 0.506 .563 0.545 0.500 0.510 0. tendo obtido os seguintes resultados: N.522 0.527 0.528 0.º de faces N 26 27 28 29 29 30 30 31 31 31 31 32 32 32 32 32 32 33 34 35 35 36 37 37 38 39 39 39 39 40 41 41 42 43 43 44 45 45 45 Freq.º do lanç.512 0.667 0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 Result.462 0. E N N N E N E N E E E N E E E E E N N N E N N E N N E E E N N E N N E N N E E N.525 0.500 0.500 0.500 0.520 0.438 0.667 0.º de faces N 1 1 2 3 4 4 4 4 4 4 5 5 6 6 7 7 8 9 9 10 11 11 12 13 13 14 15 16 16 17 18 18 18 19 20 20 21 21 21 Freq.800 0.542 0.444 0.500 0.474 0.526 0.538 N. da face N 1. uma vez que em 10 vezes a moeda só lhe foi favorável 4 vezes! O professor chamou então a atenção para o facto de se ter de realizar a experiência um grande número de vezes. Rel. N E N N N E E E E E N E N E N E N N E N N E N N E N N N E N N E E N N E N E E N.Organização e tratamento de dados 179 Decidiram fazer uma experiência que consistia em lançar a moeda algumas vezes e registar os resultados obtidos.519 0.485 0.750 0. A fim de 10 lançamentos.455 0.500 0.567 0.494 0.508 0.568 0.493 0.513 0.511 0.471 0. 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 Result.500 0.534 0.507 0. os resultados obtidos foram os seguintes: N E N N N E E E E E Estes resultados não sossegaram o Tiago.571 0.571 0. de modo que a frequência relativa com que se verifica a face Euro anda à volta de 50% e a frequência relativa com que se verifica a face 1 anda à volta de 17%. nas mesmas condições.Organização e tratamento de dados 180 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 E N N E E E E E N N N 21 22 23 23 23 23 23 23 24 25 26 0.523 0.500 0.511 0. Ainda a regularidade a longo termo.489 0.510 O gráfico seguinte mostra a evolução da frequência relativa da saída da face N.489 0. Neste momento.511 0. não podemos dizer qual a face que sai no próximo lançamento.495 0. isto é. esperamos que aproximadamente metade das vezes saia a face Euro da moeda e aproximadamente um sexto das vezes saia a face 1 do dado.548 0. Na situação comum do lançamento de uma moeda ou de um dado. No entanto se lançarmos a moeda ou o dado (equilibrados) um número razoável de vezes. podemos arranjar um modelo para exprimir a aleatoriedade. dando 50% de probabilidade a cada face..495 0.500 0. Suponha agora que lança a moeda 8 vezes e que obteve a seguinte sequência: . Mas atenção! Esta regularidade não existe a não ser a longo termo! E a longo termo significa que temos de repetir a experiência. em que já nos apercebemos do que é a regularidade a longo termo. verifica-se um comportamento que pode ser modelado. verifica-se que a frequência relativa da saída da face Nacional.510 0. tende a estabilizar à volta dos 50%..)..537 0.505 0. não temos razão para rejeitar a hipótese de a moeda ser equilibrada. um número suficiente de vezes até verificarmos que a frequência relativa com que o acontecimento se realiza tem tendência a estabilizar.500 0..525 0.500 0. à medida que se fazem os sucessivos lançamentos da moeda: Tendo em conta os resultados anteriores. Assim.505 0.500 0. quando observamos o fenómeno em estudo um número suficientemente grande de vezes (nas mesmas condições.535 0.520 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 N E E E E N N E N N N 46 46 46 46 46 47 48 48 49 50 51 0. é pertinente questionarmos: Será que o acaso pode ser governado? Então não estamos a admitir que a longo termo é possível obter um padrão genérico de comportamento do fenómeno aleatório? Efectivamente.495 0. retirou duas das fichas. com o número de faces Nacional. para o qual é necessário algumas fichas ou berlindes ou até botões. ainda tentaram mais 3 vezes e ficaram com uma linda equipa de 7 raparigas! Depois destas 7 raparigas o médico assegurou-lhes que era praticamente certo que o bebé seguinte seria rapaz. de 30 fichas. já que os sucessivos lançamentos são independentes uns dos outros – a moeda não tem memória. Pediu aos alunos para jogarem novamente o jogo e registarem os resultados. o jogo será justo. A regularidade a longo termo se não for bem compreendida. mas uma vez nascidas 7 raparigas.) e procede-se à extracção. Depois de nascerem 4 raparigas. com reposição. sem que os alunos se tenham apercebido. vermelha.. o professor questiona os alunos sobre se: Haverá algum grupo que esteja a ganhar mais vezes que os outros grupos? Os resultados são diferentes. Será que o jogo é justo (equilibrado)? Na próxima vez que se jogar o jogo será que ganha o mesmo grupo? Se ganhar o mesmo grupo significa que o jogo não é justo? O professor. Efectivamente 8 raparigas de seguida. Exemplo – Os dissabores da regularidade a longo termo. se repetirem novamente o jogo.. 6 7 Adaptado de Moore (1997) Sugerido por Way (1997) . e na expectativa de terem um rapazinho. Neste jogo. azul.Organização e tratamento de dados 181 ENEENNNN Se lançar novamente a moeda. antes de retirar a seguinte. branca) são colocadas num copo de plástico opaco (ou numa caixa ou num saco. desde que só difiram na cor: os alunos organizam-se em 5 grupos. na verdade no próximo lançamento tanto pode sair a face Euro como a face Nacional. Sempre que se retira uma ficha. Depois de o jogo ser jogado algumas vezes. Ganha o grupo cuja cor tenha saído mais vezes. e cada grupo escolhe uma ficha de cor diferente. não é de todo improvável que o próximo bebé seja rapariga – e foi! Tarefa – O jogo será justo7? O professor propõe aos alunos realizarem o seguinte jogo. por exemplo a amarela e a verde e colocou duas fichas vermelhas em sua substituição. os fenómenos aleatórios que consistem em ter mais uma criança ou lançar mais uma vez a moeda. o professor mostra o seu conteúdo e pede aos alunos para fazerem uma previsão sobre qual será o próximo grupo a ganhar. regista-se a cor e repõe-se novamente no copo. Infelizmente para este casal.. Note-se que este tipo de actividade é importante para desenvolver conceitos básicos de probabilidade. se cada grupo for representado por uma cor. pode acarretar alguns dissabores! Foi o que aconteceu com aquele casal que tinha planeado ter 4 filhos. As cinco fichas (amarela.6. quando comparados com a situação anterior? Depois de alguma discussão sobre a composição das fichas no copo de plástico. são idênticos. é muito improvável. verde.... para equilibrar o número de faces Euro. já que cada grupo tem a mesma possibilidade de ganhar. o que é que espera que saia? Embora lhe apetecesse dizer que no próximo lançamento é mais provável que saia a face Euro. Quando se alterou a composição das fichas no copo. os berlindes são baralhados dentro do saco) Neste momento os alunos já têm a resposta à primeira questão: no saco existem berlindes de cores Azul e Vermelha. regista um A. e reponha o berlinde no saco. O professor pede a outros alunos que procedam como o primeiro aluno. associado à experiência anterior podemos dizer que o acontecimento “O saco tem berlinde(s) de cor azul” é um acontecimento certo. O jogo permitiu gerar dados os quais são usados para tomar decisões acerca da composição das fichas no copo. Admitindo que o berlinde era azul. Uma vez que a “memória é curta”. Ficámos também a saber que o acontecimento . há dois grupos que não podem ganhar! Esta actividade mostra também a forma como os dados nos podem ajudar a tomar decisões. Após estas três extracções com reposição. mas o terceiro aluno tirou um berlinde vermelho. tem-se o seguinte registo no quadro (antes de cada extracção. Para já. O segundo aluno a tirar o berlinde também tirou um berlinde azul. mostre o berlinde aos colegas para se aperceberem de qual a cor.Organização e tratamento de dados 182 Contudo. não temos a garantia que todas as cores saiam com igual frequência. O professor começa por indicar qual a metodologia para a recolha de dados: Pede a um aluno que retire um berlinde do saco. de entre cinco cores possíveis e pretende que os alunos: digam quais as cores dos berlindes que estão no saco e que estimem quantos berlindes são de cada cor. Tarefa – Qual a composição do saco de berlindes? O professor chega à aula com um saco que contém 10 berlindes de duas cores. com probabilidade 100%. como as selecções são aleatórias. Neste momento. Esta forma de realizar a experiência consiste numa extracção com reposição. espera-se que haja uma alteração nos resultados. a cor do berlinde é registada no quadro. 54 26 80 Freq. Após 10 realizações da experiência. registar a cor e repor o berlinde no saco. alguns berlindes tenham sido retirados mais do que uma vez e alguns nunca tenham chegado a ser retirados. Então esperamos que aproximadamente 68% dos berlindes do saco sejam azuis.675. estimamos que 7 berlindes sejam azuis e 3 berlindes sejam vermelhos. para estimar a proporção de berlindes de cada cor? Alguns alunos já alertados para o raciocínio frequencista.325 1. . sendo de esperar que ao fim de “muitas” extracções a frequência relativa com que se verificou a saída de cada cor. Respondendo à questão inicial. e que alguns alunos respondam que não.Organização e tratamento de dados 183 “O saco contém berlindes de cor diferente de Azul ou Vermelha” é um acontecimento impossível. O que fazer então. já que a probabilidade de retirar um berlinde azul anda à volta de 68%. sugerem que se façam várias extracções (com reposição). enquanto que a probabilidade de retirar um berlinde vermelho anda à volta de 32%. O professor propõe que se continue a realizar a mesma experiência de retirar o berlinde. Rel. pois o mais natural é que ao retirar ao acaso os berlindes do saco. 0. É razoável admitir que se o saco contiver uma maior proporção de berlindes azuis.675 0. Abs. Ao fim de 80 extracções os resultados encontram-se resumidos na seguinte tabela de frequências: Cor do berlinde Azul Vermelha Freq. como o saco tem 10 berlindes.00 O que concluir da tabela e do diagrama circular anteriores? A frequência relativa da saída de berlindes de cor azul é 0. os resultados obtidos foram Após as 10 extracções o professor lembra que o saco contém 10 berlindes e pergunta se neste momento podemos dizer que o saco tem 6 berlindes azuis e 4 vermelhos? É de esperar que se coloquem questões acerca desta situação. possa reflectir a composição do saco. estes saiam com maior frequência. Se procedermos a uma nova extracção de um berlinde. a que associamos a probabilidade de 0% (recordemos que o professor tinha dito que só havia duas cores distintas de berlindes no saco). qual a cor que esperamos que o berlinde tenha? Esperamos que seja Azul. 125) como o número de berlindes azuis no saco. quantos berlindes azuis se obtiveram. ou seja 7. Intuitivamente estamos “confiantes” que quanto maior for o número de repetições da experiência. quanto maior for a dimensão da amostra recolhida.7125. com reposição. mas não pode dizer aos outros grupos. Por exemplo. Na determinação da composição do saco de berlindes. Dá a cada um dos grupos um saco mistério com 4 berlindes. pode acontecer que algum dos alunos sugira o seguinte raciocínio. então a proporção de berlindes de cor azul será 57/80=0. Se realizares 30 experiências de retirar um berlinde e repô-lo no saco. de berlindes do seu saco registando a cor dos berlindes que saíram antes de os repor novamente no saco.125 8 obtemos 7. Tarefa – Os sacos de berlindes. melhor será o resultado da nossa inferência.Organização e tratamento de dados 184 Para fazer a inferência sobre a composição do saco. Qual o melhor valor para representar os 8 valores obtidos? Naturalmente a média! Assim. pelo que escolhemos o inteiro 7 (valor inteiro mais próximo de 7. Verifica a composição do saco e regista. todos os resultados possíveis que poderás obter se retirares um berlinde. ou seja. calculando a média dos dados anteriores 77776698 7. ao acaso. foi o número de repetições da experiência aleatória. para estimar o número de berlindes azuis: fazer várias sucessões de extracções de 10 berlindes (número de berlindes do saco) e contar em cada sucessão de 10 extracções. A experiência consiste em cada grupo fazer 30 extracções.125. suponhamos que se tinha procedido a 8 sucessões de 10 extracções. Será que este raciocínio que acabámos de fazer é diferente do raciocínio frequencista que utilizámos inicialmente? Vejamos que não! Se contabilizarmos o total de berlindes azuis no total de extracções realizadas. 2. consideramos que no saco de 10 berlindes. Cada grupo conhece a cor dos berlindes que estão no seu saco. um factor importante com que se teve de entrar em linha de conta. numa tabela. com os seguintes resultados: V A A A A V A A A A A A V A A A A A V V A A A A V A A A A A A V A V V A A V A A A A A V V V A A A A V A A A V A A A A V V V A A A V A A V A A A V V A A A A A V Nº de berbindes azuis 7 7 7 7 6 6 9 8 O número de berlindes azuis em 10 berlindes. Admitindo que esta proporção reflecte a proporção de berlindes azuis no saco. Sugere-se que cada grupo tenha uma folha idêntica à seguinte para o acompanhamento da experiência: Folha 1. O professor organiza os alunos em grupos de 3 ou 4. variou entre 6 e 9. cerca de 70% são azuis. quantas vezes esperas que se verifica cada um dos resultados? Preenche a tabela seguinte com as tuas predições: . do saco. etc. Tarefa – Qual o tipo de prato que os alunos preferem? Numa escola o Director pretende saber como se distribui a preferência dos alunos. O resultado da recolha da informação apresentou o seguinte aspecto: Esparguete à Bolonhesa Peixe assado com batatas e legumes Filetes no forno com arroz e salada Bacalhau com natas e salada Rolo de carne com puré e salada | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | A partir dos dados anteriores os alunos construíram uma tabela de frequências e um gráfico de barras. etc. qual a probabilidade de cada prato ser o preferido. Colocaram-se à entrada da cantina na hora do almoço. só eram seleccionados para responder de cinco em cinco alunos. Depois de cada grupo realizar a experiência.Organização e tratamento de dados 185 Resultado Número de vezes que se espera que se verifique o resultado 3. regista no quadro a tabela com os resultados obtidos. tendo elaborado um pequeno relatório que entregaram ao Director: . só diferindo na cor. tentam descrever a composição dos sacos uns dos outros. Por exemplo. seleccionava-se para responder o 5º aluno a chegar. para satisfazer o mais possível os alunos que vão comer à cantina. Compara os resultados obtidos na tabela anterior. relativamente a um conjunto de pratos de referência. o 15º. ou fichas feitas pelos próprios alunos. Realiza agora a experiência sugerida na alínea anterior e preenche a tabela seguinte: Resultado Frequência absoluta 4. em cartolina grossa. com os da tabela da alínea 2. De entre os alunos que iam chegando para almoçar. ou “caricas” de refrigerantes também do mesmo tamanho. tendo estes utilizado a seguinte metodologia: Elaboraram uma lista com os pratos que a cantina indicou. o 10º. ou seja. Encarregou um grupo de alunos de recolher a informação necessária. A partir dessas tabelas. É claro que os berlindes podem ser substituídos por botões do mesmo tamanho e feitio. A selecção dos alunos foi feita da seguinte forma: só interrogávamos os alunos que chegavam à cantina.0779 0.Organização e tratamento de dados 186 Relatório Questão: Foi-nos pedido que investigássemos junto dos nossos colegas que vão comer à cantina. por estarem próximos e ouvirem as respostas uns dos outros. quanto a nós.1299 0. cerca de 13% os Filetes no forno com arroz e salada e finalmente só cerca de 8% dos alunos é que preferem o Peixe assado no forno com batatas e legumes. o que aconteceria de perguntássemos a todos os alunos.1688 0. assim como evitou. quais são os pratos preferidos. Destes pratos. recomendamos que em 35% dos dias que na cantina decidirem fazer um destes pratos. A partir das respostas recebidas construímos uma tabela de frequências e um gráfico de barras. “Filetes no forno com arroz e salada”. que nas respostas os alunos não fossem influenciados uns pelos outros. Concluímos que aproximadamente 35% dos alunos inquiridos preferem o Rolo de carne com puré e salada. 0. cerca de 27% preferem o Bacalhau com natas e salada. Como acreditamos que a nossa amostra foi bem seleccionada e é representativa dos alunos que almoçam na cantina.3506 1 Conclusões: Da tabela e do gráfico anteriores sobressai que o prato preferido é o Rolo de carne com puré e salada. o peixe assado com batatas e legumes só deve ser feito cerca de 8% das vezes. pensamos que estas proporções devem ser reflectidas para a população constituída por todos os alunos que almoçam na cantina.2727 0. . Metodologia: Decidimos recolher uma amostra de alunos a quem fizemos a pergunta sobre qual destes pratos era o seu preferido. sendo o menos preferido o Peixe assado com batatas e legumes. Recomendamos ainda que em cerca de 27% desses dias se faça o Bacalhau com natas. se faça o Rolo de carne. de cinco em cinco. abs 13 6 10 21 27 77 Freq. Rel. “Peixe assado com batatas e legumes”. Assim. Esta forma de seleccionar evitou que atrasássemos a fila. cerca de 17% o Esparguete à Bolonhesa. da seguinte lista de pratos: “Esparguete à Bolonhesa”. “Bacalhau com natas e salada” ou “Rolo de carne com puré e salada”. que se apresentam a seguir Prato preferido Esparguete à Bolonhesa Peixe assado com batatas e legumes Filetes no forno com arroz e salada Bacalhau com natas e salada Rolo de carne com puré e salada Total Freq. 2544 0. Lembraram-se aliás. rel. Serão os dados recolhidos pelos alunos consistentes com esta conjectura. conduz quase sempre a uma amostra enviesada. isto é uma amostra que não é representativa da população que se pretende estudar. verificar quantos carros passavam e destes quantos tinham o identificador de Via Verde. os 12 grupos de alunos juntaram os resultados obtidos na seguinte tabela. pela comunicação social para fazer sondagens.2471 0. um dos elementos do grupo levava uma folha onde apontaria o que o colega lhe dissesse e que se traduzia em Sim ou Não.2553 0.2695 0. que este é um processo muitas vezes utilizado. onde se registam também os valores acumulados e as frequências relativas correspondentes: Grupo Nº de carros com Via Verde 12 14 12 4 15 14 19 15 17 7 14 14 157 Nº de carros Nº de carros com Via Verde acumulado 12 26 38 42 57 71 90 105 122 129 143 157 Nº de carros acumulado 47 103 141 170 219 277 342 388 461 505 562 625 Freq. tendo estes sido distribuídos em grupos de dois alunos.2706 0.2603 0. carros com Via Verde 0. um inquérito e se pedisse aos alunos para o preencherem e colocarem numa caixa.Organização e tratamento de dados 187 Nota: No processo de selecção dos alunos para responderem à questão de interesse. erradamente.2512 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Total 47 56 38 29 49 58 65 46 73 44 57 63 625 .2563 0. Baseado numa notícia que tinha lido na comunicação social.2646 0. bem visível. à entrada da cantina. Para uma recolha de dados mais eficiente.2524 0.2554 0. junto da população. põemna em causa? A recolha de dados foi devidamente planeada entre o professor e os alunos. pois chegaram à conclusão que este processo de selecção da amostra. em que cada grupo iria num dos intervalos. escolhido ao acaso de entre os que passam à frente da Escola. utilizar a Via Verde. Escusavam de estar a perder tempo à espera que os alunos fossem chegando para os interrogarem! No entanto depois de alguma troca de impressões abandonaram esta ideia. ou pelo contrário. para a porta da escola.2632 0. suponhamos que o grupo 1 obteve o seguinte registo: Via Verde Sim Não |||||||||| |||||||||||||||||||||||||||||||||||| Total Registo das ocorrências Nº de carros 11 36 47 Ao fim de uma semana de recolha de dados. alguém do grupo sugeriu que se colocasse numa mesa. Tarefa – Qual a probabilidade do próximo condutor utilizar a Via Verde? O professor propôs aos alunos estimarem a probabilidade de um condutor. o professor tinha formulado a conjectura de que 25% dos automobilistas utilizam a Via Verde. Por exemplo. por resposta voluntária. fazendo com que a amostra obtida seja enviesada. os meios de comunicação social convidarem a população a ligar ou a enviar uma mensagem para um ou outro número conforme a opinião for de “Sim” ou “Não”. pelas estações de televisão. com muita frequência. perto dos 25%. ter Via Verde é de cerca de 25%. por exemplo. Alguns processos que provocam quase sempre amostras enviesadas são. Uma amostra que não seja representativa da População diz-se enviesada e a sua utilização pode dar origem a interpretações erradas. com o objectivo de inferir para essas populações as propriedades verificadas na amostra. para tirar conclusões sobre a população em geral. ou os “Touros de morte em Portugal”. De um modo geral.Organização e tratamento de dados 188 O gráfico de linha anterior mostra a evolução da percentagem de carros com Via Verde. como se sugere nos seguintes exemplos: utilizar uma amostra constituída por 10 benfiquistas. 6. O planeamento de um estudo estatístico. que começa com a forma de seleccionar a amostra. Assim. . com resultados por vezes contraditórios com os que se obtêm quando se utiliza um processo correcto de seleccionar a amostra. esta tem que ser representativa da população. Este resultado permite-nos inferir que a nossa conjectura estava certa e que efectivamente a percentagem de carros com Via Verde anda à volta de 25%. estimamos que a probabilidade de o próximo carro.3 Selecção de uma amostra de uma população com o objectivo de estimar uma probabilidade Nas secções anteriores falamos frequentemente em seleccionar amostras de populações. É comum. com tendência a aproximar-se deste valor. para prever o vencedor do próximo Benfica – Sporting! utilizar uma amostra constituída por leitores de determinada revista especializada. isto é. tem que reflectir a composição da população. a amostragem por conveniência e a obtenção de uma amostra por resposta voluntária. é um segmento da população com muito interesse no tema que responde a esta solicitação. Este último processo é usado. quando se está a debater um tema de interesse geral. uma vez que se pretende estender à população as propriedades estudadas na amostra. que passa à frente da escola. como por exemplo a “Despenalização do aborto”. deve ser feito de forma a evitar amostras enviesadas. à medida que o número de carros vistos aumenta. Assim. se numa população a variável a estudar tiver o mesmo valor para todos os elementos. tal que o intervalo [a. se. ou seja. Nos exemplos da secção anterior esta exigência já foi manifestada. nesta fase. isto é.Organização e tratamento de dados 189 A utilização de uma amostragem por conveniência também se realiza frequentemente. como por exemplo a Ordem dos Engenheiros ou a Associação dos Professores. à dimensão da amostra. Por exemplo. a dimensão da amostra a recolher não necessita de ser muito grande já que a variável idade apresenta valores muito semelhantes. já a amostra terá de ter uma dimensão maior. procurámos estimar a proporção de condutores com Via Verde. numa classe etária muito restrita. Cada aluno pode apresentar um valor diferente para esse tempo. quanto maior for a precisão exigida. mas sobre o qual se podem tecer algumas considerações gerais. é uma questão a ponderar entre os custos envolvidos e o ganho com o acréscimo de precisão. quando se selecciona a amostra a partir de uma listagem dos elementos de determinado clube ou grupo. O problema da selecção da amostra é um problema para o qual. 1) contém essa proporção. Por exemplo. No entanto se a característica a estudar for o tempo médio que os alunos levam a chegar de casa à escola. obviamente que sabemos à partida que o intervalo (0. se relativamente à população constituída pelos alunos do 10. No que diz respeito à dimensão da amostra: Esta dimensão depende muito da variabilidade da população subjacente. no entanto. maior é a precisão) e que com uma “grande confiança” contenha essa proporção: . Uma vez garantida essa precisão. uma vez que a variabilidade da população é muito maior. com a mesma precisão. a opção por escolher uma amostra de maior dimensão. quanto maior for a variabilidade da característica que se está a estudar.º ano de uma escola secundária. A dimensão da amostra terá de ser tanto maior. Existem técnicas que permitem obter valores mínimos para as dimensões das amostras a recolher e que garantem estimativas com uma determinada precisão exigida à partida. maior terá que ser a dimensão da amostra a recolher. a variável assumir valores diferentes para todos os elementos. para se ter o mesmo tipo de informação. então bastaria recolher uma amostra de dimensão 1 para se ter informação completa sobre a população. tanto no que diz respeito Ao número de elementos que devemos seleccionar. não é possível avançar nenhuma teoria. entre 0 e 1. estivermos interessados em estudar a média das suas idades. Num caso extremo. Assim. de dois valores a e b. seria necessário investigar todos os elementos. quando numa tarefa da secção anterior. Mas este saber não nos adianta nada! Nós precisamos de uma maior precisão. para constituírem a amostra. Como à forma de seleccionar esses elementos da população. b] tenha uma pequena amplitude (quanto menor for a amplitude do intervalo. Suponha o caso de um aluno que foi encarregue de seleccionar uma amostra de alunos da escola. mas de dimensão 2000. se por exemplo para uma população de dimensão 1000 uma amostra de dimensão 100 for suficiente para o estudo de determinada característica. não é pelo facto de se perguntar a altura a todos os elementos da equipa de basquete da escola. alguns elementos da população podem não ter qualquer possibilidade de serem seleccionados para a amostra. Convém ainda observar que a dimensão da amostra a recolher não é directamente proporcional à dimensão da população a estudar. Este aluno decide só perguntar aos colegas do sexo feminino! Esta . quando se pretende obter a mesma precisão. não se exige necessariamente uma amostra de dimensão 200 para estudar a mesma característica de uma população análoga. 438): “Whether you poll the United States or New York State or Baton Rouge (Louisiana) … you need … the same number of interviews or samples. It’s no mystery really – if a cook has two pots of soup on the stove. Como podemos estar confiantes de que a amostra obtida é representativa? Um princípio fundamental que se tem de ter presente é o da aleatoriedade.1 Amostra aleatória simples sem reposição e com reposição Tão importante como a dimensão da amostra é a forma como os elementos são seleccionados da população. one far larger than the other.3. um dos pais da consulta da opinião pública (Tannenbaum. isto é. p. aumentar a dimensão não resolve nada. Como dizia George Gallup. uma amostra aleatória ou probabilística é uma amostra tal que qualquer elemento da população tem alguma probabilidade de ser seleccionado para a amostra. antes pelo contrário! Por exemplo. Finalmente chama-se a atenção para o facto de que se o processo de amostragem originar uma amostra enviesada. quando pretendemos estimar a altura média dos alunos de uma escola. Numa amostra não aleatória. que obtemos uma melhor estimativa para essa altura média de todos os alunos da escola! 6. em vez de só a alguns. para averiguar quantas horas passam por dia à frente da televisão.Organização e tratamento de dados 190 Note-se que a confiança de que estamos a falar pode ser medida em termos de probabilidade (a estudar ao nível do ensino secundário). 1998. and thoroughly stirs them both. Temos de utilizar um processo que garanta que qualquer elemento da população tenha alguma possibilidade de pertencer à amostra: Amostra aleatória ou probabilística e amostra não aleatória – Dada uma população. he doesn’t have to take more spoonfuls from one than the other to sample the taste accurately”. sem reposição. O processo que acabámos de descrever não é prático se a população a estudar tiver dimensão elevada. Consideremos a população constituída pelos 18 alunos de uma turma do 10.j). inserir todos esses bocados de papel numa caixa e depois seleccionar tantos quantos a dimensão da amostra desejada. Exemplo – Como seleccionar alunos de uma turma. a função randInt(i. Amostra aleatória simples sem reposição – Dada uma população. escolhendo um elemento de cada vez. Dizemos pelo menos. 17. tantos números quantos os necessários para constituírem a amostra.18). quando se geram os números. …) dos elementos da população num quadrado de papel. Existem algumas técnicas para obter amostras aleatórias. sequencialmente. Qualquer conjunto de números recolhidos desta forma dará origem a uma amostra aleatória. constituída pelas alturas dos alunos seleccionados. Para seleccionar uma amostra de uma população utilizando a calculadora procede-se em duas etapas: atribui-se um número a cada elemento da população. 3.) .º ano de uma determinada escola secundária. A recolha tem de ser feita sem reposição pois quando se retira um papel (elemento da população). Exemplificamos duas dessas técnicas que conduzem às amostras aleatórias simples e amostras estratificadas. se se obtiverem 8 Pseudo-aleatórios . deita-se esse número fora e gera-se um outro.º do aluno.Considerando a população do exemplo anterior. um processo de seleccionar uma amostra aleatória simples consiste em utilizar uma opção da calculadora. pelo menos. Neste caso. utiliza-se a calculadora para gerar números inteiros entre 1 e N. Para seleccionar uma amostra de dimensão 4 geramos 4 números na calculadora.Organização e tratamento de dados 191 amostra não é aleatória. vamos numerá-los com os números 1. utilizando a opção randInt(1. …. Uma amostra destas pode ser escolhida sequencialmente da população. que gera números aleatórios8 inteiros dentro dos limites especificados i e j. em que a característica de interesse a estudar é a altura média desses alunos. Exemplificamos a seguir um processo de obter uma amostra aleatória simples. pelo que em cada selecção cada elemento tem a mesma probabilidade de ser seleccionado. Uma maneira possível de recolher desta população uma amostra aleatória. pois se durante o processo da geração se obtiver algum número igual a algum que já tenha saído. nome. seria escrever cada um dos indicadores (n. Como dissemos anteriormente. uma amostra aleatória simples de dimensão n é um conjunto de n unidades da população. 18 (podia ser utilizado qualquer outro conjunto de 18 números sequenciais). 2. Têm de se gerar. Exemplo (cont. tal que qualquer outro conjunto de n unidades teria igual probabilidade de ser seleccionado. constituída por 18 elementos. se se pretende uma amostra aleatória simples sem reposição. ele não é reposto enquanto a amostra não estiver completa (com a dimensão desejada). pois há parte dos alunos que nunca poderão ser seleccionados para pertencer à amostra. por exemplo de 1 até N (dimensão da população). 6. quando um elemento é seleccionado da população. O conjunto de todas estas amostras constitui a amostra pretendida. antes de se seleccionar o próximo elemento. utilizando-se até o termo “população infinita”? É quando a sua dimensão é pelo menos 20 vezes maior que a dimensão da amostra que se pretende seleccionar.2 Amostra estratificada Por vezes sabemos que a nossa população é constituída por alguns grupos mais ou memos homogéneos entre si. Por exemplo se se pretende estimar a idade média dos alunos de uma escola secundária. Uma alternativa ao tipo de amostragem descrito anteriormente é considerar a amostra com reposição: Amostra aleatória com reposição – para obter uma amostra aleatória com reposição. podemos adiantar que estes dois processos de amostragem não são equivalentes se a dimensão da população não for suficientemente grande. Quando é que se costuma considerar que a população é muito grande. de forma aleatória. é possível considerar três estratos mais ou menos homogéneos quanto à característica Idade e que são os anos de escolaridade – 10.Uma vez identificados os estratos.º. mas recolhida com reposição. quando comparada com a dimensão da amostra que se recolhe. tem de se proceder a novas gerações para se obterem números diferentes. relativamente à característica que se está a estudar.Organização e tratamento de dados 192 números repetidos.3. recolhida sem reposição é. Tarefa – O meio de transporte utilizado pelos alunos para irem para a escola. É aliás simples de explicar porque é que se verifica esta situação: se a população tiver uma grande dimensão. Posteriormente. mais correcta do que a baseada numa amostra da mesma dimensão. a probabilidade de seleccionar o mesmo elemento duas vezes é muito pequena.º anos. sendo esta percentagem. Neste caso dizemos que a população é constituída por estratos e a melhor forma de recolher uma amostra desta população é recolher uma amostra estratificada. de um modo geral. Amostra estratificada . Como seleccionar uma amostra para fazer este estudo? A Junta de Freguesia estava interessada em conhecer o meio de transporte utilizado pelos alunos para irem para a escola da sua zona. pelo que é praticamente indiferente que o elemento seleccionado para pertencer à amostra seja posteriormente reposto ou não. Uma inferência baseada numa amostra de dimensão n. de um modo geral. No entanto. proporcional à dimensão dos estratos. selecciona-se de cada um destes estratos uma percentagem de elementos que irão constituir a amostra. que só tinha o 3º ciclo. 11.º e 12. verifica-se a característica de interesse e repõe-se na população. . já podemos considerar os dois processos equivalentes. pois pretendia saber se seria necessário pedir um reforço nas carreiras de autocarros que servem a escola. extrai-se de cada um destes estratos uma amostra. Embora saia fora do âmbito deste nível. antes de seleccionar o próximo elemento. se a dimensão da população for muito grande. todos os alunos da escola.385928 469 Total O 2. como é normalmente a situação deste tipo de estudos). O primeiro passo para a realização do estudo. Como seleccionar agora os alunos de cada ano? Podem definir-se várias estratégias. para simplificar.º 181 (7 turmas) 0. com 6 turmas. terá de constituir-se a amostra com uma percentagem de alunos de cada ano de escolaridade. mas também mais tempo será necessário para os obter (neste caso não se põe a questão dos gastos em dinheiro. ou então utilizando o seguinte processo para a escolha dos alunos de uma das turmas com 25 alunos: quando tocar para um dos . um grupo de 3 alunos.º ano – 181 alunos Admitamos que. Esta escolha pode ser feita através do n.385928x75=28. Por exemplo. A amostra a recolher deveria reflectir a constituição da população.39 0. admitamos que a escola tem um total de 469 alunos. foi a planificação da recolha de dados. O 1. o que será feito tendo em conta as proporções obtidas anteriormente: Ano 7. da calculadora.º 9.º alunos da turma). referir que quanto maior for a dimensão da amostra.º passo para a selecção da amostra é calcular a proporção de cada ano. assim distribuídos pelos 3 anos: 7. pois acharam razoável que cada um fizesse cerca de 25 entrevistas.298507 0. ofereceu-se para realizar este estudo.315565x75=23. vamos admitir que o grupo decidiu inquirir 75 colegas.º Total Proporção 0. mais fiáveis serão os resultados. se tinha decidido recolher uma amostra de dimensão 75. na população: Nº de alunos por ano Ano Proporção 7. no âmbito dos seus trabalhos escolares.º 140 (6 turmas) 0. o melhor possível. depois de algumas considerações sobre o número de alunos a inquirir. O problema da escolha da dimensão da amostra sai fora do âmbito deste nível de ensino.º 148 (6 turmas) 0.Organização e tratamento de dados 193 Assim. de 4 das turmas escolhem aleatoriamente 4 alunos e das outras 2 escolhem 3 alunos. que pretendia fazer um pequeno projecto sobre Estatística. 8. n. no entanto.º ano – 140 alunos.º do aluno. Esta percentagem teria de ser calculada em função do número de alunos que se pretendessem inquirir.º 8. Então. utilizando a função randInt(1.67 0. pediu ao Director que lhe fornecesse a informação desejada. se um dos anos tivesse mais alunos seria necessário recolher para a amostra mais alunos desse ano. de modo a representar.298507x75=22. no caso do 7. Deve-se. Neste caso. Por exemplo. Conhecedor deste pedido. 9.385928 0.94 Nº de alunos da amostra 22 24 29 75 Perante os resultados anteriores decidiram que cada um dos 3 alunos que constituía o grupo que estava a realizar o estudo ficaria encarregue de inquirir cada ano de escolaridade.315565 9.315565 0. isto é.298507 8.º ano – 148 alunos.º ano de escolaridade.º passo é calcular quantos alunos se vão seleccionar de cada ano para pertencerem à amostra. 6.3. os outros elementos a serem seleccionados são 32 (=14+18). Este processo que acabamos de descrever. escolheu-se aleatoriamente 1. são seleccionados. escolhem-se todos os k-ésimos elementos da população para pertencerem à amostra. como se nota imediatamente.º. foi o 14. tendo-se obtido. 68 (=50+18). Obviamente que o quociente entre a dimensão da população e a da amostra não é necessariamente inteiro. o 8.º. 8 (=2+6). etc. Amostra aleatória sistemática – Dada uma população de dimensão N.3 – Amostra sistemática Uma alternativa à amostragem aleatória simples sem reposição.º e o 20. de seleccionar o 2.Organização e tratamento de dados 194 intervalos. Por exemplo. por exemplo. o número 2. 2) Dos alunos com os números de 1 a 6.º. considera-se um ficheiro com o nome dos 1350 alunos ordenados por ordem alfabética (ou por qualquer outra ordem).º e o 20. em que se pretendia seleccionar 4 alunos. mas não há problema pois considera-se a parte inteira desse quociente. A partir desse elemento escolhido. Numa turma com 25 alunos. Na secção anterior apresentou-se um exemplo de uma amostragem sistemática.º alunos a saírem da sala. que desenvolveremos mais em pormenor na secção seguinte. 3) Os alunos seleccionados são os números 2. 14 (=8+6) e 20 (=14+6). como anteriormente. onde k é a parte inteira do quociente N/n. particularmente indicada quando temos uma listagem dos indivíduos da População. 50 (=32+18). Considera-se o quociente 1350/75=18 e dos primeiros 18 elementos da lista. se o elemento seleccionado aleatoriamente de entre os primeiros 18. de a diferença entre os números ser constante e neste caso igual a 6. o 2. ordenada por algum critério. selecciona-se um aleatoriamente. por exemplo.º. o 8. tendo-se obtido a parte inteira igual a 6. o 14.º. se pretendermos seleccionar uma amostra de 75 alunos de uma Escola com 1350 alunos. A partir deste elemento seleccionamos sistematicamente todos os elementos distanciados de 18 unidades. . Assim. escolhe-se aleatoriamente um elemento de entre os k primeiros. utilizou-se o seguinte processo: 1) Fez-se o quociente 25/4. se se pretende uma amostra de dimensão n. o 14. é a amostragem sistemática. Temos aqui um caso particular da amostragem sistemática. tem a particularidade. Assim.3). as amostras constituídas pelos dados recolhidos devem representar convenientemente as populações subjacentes. Ao processo utilizado para a aquisição dos dados que constituem a amostra.. as raparigas não são tão entusiastas desta forma de passar o tempo. ao admitir a representatividade de uma amostra. experiência aleatória é o processo de observar um resultado de um fenómeno aleatório. . pois se a amostra não for convenientemente seleccionada. podemos estar interessados em estudar a característica Número de irmãos de cada aluno de uma escola. não seria correcto. No entanto já não teria interesse averiguar a característica “O aluno tem nome?”. isto é do raciocínio que nos permite a partir do conhecimento da “parte” conjecturar para o “todo” e posteriormente tomar decisões. pois sabemos que neste caso todos os alunos teriam de dar a mesma resposta e que é “Sim”. isto é conjunto de indivíduos (não necessariamente pessoas) com algumas características comuns que se pretendem estudar. com essa característica. Como já referimos anteriormente. para a população. caracterizado pela existência de variabilidade dos seus resultados e em que a preocupação permanente é a de construir um modelo que traduza essa variabilidade. que são aliás as mais correntes em Estatística. Assim. estamos também a admitir a preservação da proporção verificada na amostra. seleccionada de uma população com o objectivo de estudar determinada característica.Organização e tratamento de dados 195 6. não é mais que a observação de um fenómeno aleatório. Por exemplo. De um modo geral. Por outro lado.a Amostra. qual a resposta que ele vai dar. Como vimos na secção anterior. Um princípio fundamental da Estatística é compreender que: A variabilidade existe e pode ser modelada Existem situações. dizemos que neste caso as amostras são representativas das populações de onde foram seleccionadas. recolher informação junto de alguns rapazes da escola sobre quantas horas passam por semana a jogar no computador. Como o nosso objectivo é inferir propriedades para a população a partir do estudo dos dados da amostra. pois não sabemos. as conclusões que depois retiramos para a população podem ser falsas. Como dissemos na secção 3. em que não é possível observar a característica em estudo em todos os elementos da População estudando-se só uma parte da População .. ao inferir para a população as propriedades verificadas na amostra. se pretendermos saber quantas horas todos os alunos da escola gastam nessa actividade. Como também vimos na secção anterior. quantificando o erro das decisões tomadas (questão que se situa fora do âmbito desta brochura). estamos a admitir que a proporção de indivíduos na população. damos o nome de experiência aleatória. sendo esta a base do raciocínio inferencial em Estatística.4 Experiência aleatória. o objectivo da Estatística é o estudo de Populações. Acontecimentos. O fenómeno que consiste em observar esta característica é um fenómeno aleatório. é preservada na amostra.3. antes de fazer a pergunta ao aluno. Por exemplo. Espaço de resultados. esta fase da selecção de uma amostra com o objectivo de tirar conclusões para a população é muito importante. a observação de uma característica que tenhamos interesse em estudar e a que chamámos Variável (secção 3. permite que os resultados do estudo da amostra possam ser estendidos para a População (ver secção 6. pois uma repetição de 10 experiências não permite visualizar nenhum padrão de comportamento da moeda. mas não se tem conhecimento suficiente sobre o resultado que irá sair em cada realização da experiência. da escola. ver quantos carros encarnados passam. de dimensão razoável. Lançar uma moeda de 1 Euro ao ar e ver o resultado que sai. na selecção da amostra. nos vai permitir inferir para a População as propriedades verificadas na Amostra que entretanto se seleccionou. de manhã. é superior à percentagem de vezes da face Nacional. raramente se obtêm duas amostras com os mesmos dados. quantas mensagens de telemóvel enviou no dia anterior. ao produzir um determinado padrão de comportamento. temos de repetir a experiência de lançar a moeda um número “grande” de vezes. A experiência tem de se repetir tantas vezes quantas as observações necessárias para constituir a nossa amostra. Admite-se ainda que a experiência se pode repetir e que as repetições são realizadas nas mesmas circunstâncias e são independentes. ir à janela e num período de 5 minutos. o que se pretende observar está bem especificado. Se. Perguntar a um aluno ao acaso. podemos inferir que a moeda não é equilibrada. de manhã. de entre um conjunto de resultados conhecidos de antemão. Na selecção de uma amostra temos de ter em consideração que se deve recolher um número razoável de dados para que as nossas inferências sejam mais precisas. . ir à janela. Um ponto importante a referir.Organização e tratamento de dados 196 Quando se realiza uma experiência aleatória: obtém-se um resultado. é que. ou dito ainda de outro modo. embora seleccionando o mesmo número de elementos da população. da escola. Lançar uma moeda de um euro ao ar 10 vezes e ver quantas vezes sai a face euro. A selecção aleatória de uma amostra. É precisamente esta aleatoriedade presente na repetição da experiência e por conseguinte. porque além de envolverem aleatoriedade. que.3 sobre a selecção da amostra). por exemplo. quantas pessoas constituem o seu agregado familiar. Escolher ao acaso 3 alunos da turma (com 10 rapazes) e verificar quantos são rapazes. no processo de recolha de dados. As situações anteriores são exemplos de experiências aleatórias. Perguntar a um aluno ao acaso. Se após um grande número de lançamentos da moeda se verifica que a percentagem de vezes que a face Euro surge. estivermos interessados em averiguar se uma moeda é equilibrada. mesmo que em 10 lançamentos da moeda a face Euro tivesse surgido 8 vezes. São exemplos de experiências aleatórias: Perguntar a uma pessoa ao acaso. Não poderíamos tirar esta conclusão. qual o animal doméstico preferido. da sua cidade. Ao acordar. O mesmo não se passa com a seguinte situação: ao acordar. Medir o tempo que de manhã se leva a chegar à escola. . ou seja. equilibrada. Para cada uma das experiências aleatórias consideradas anteriormente construa o espaço de resultados associado.Organização e tratamento de dados 197 Efectivamente. . Espaço de resultados – conjunto cujos resultados são os que consideramos como possíveis. 1. 2. 5... 5. Ao conjunto de todos os resultados possíveis associados à realização de uma experiência aleatória. 10} Medir o tempo que leva a chegar à escola de manhã (em minutos) {1. } Perguntar a um aluno da escola. 9. 6. ao modelar um fenómeno aleatório.. 4. de manhã. Admita que tem uma moeda de um Euro. qual o animal doméstico preferido {cão. ir à janela e ver se chove. No entanto. 4. de manhã.. 128 . } Escolher ao acaso 3 alunos da turma (com 10 rapazes) e verificar quantos são rapazes {0. 2.. Nº de pessoas do agregado familiar {1. de manhã. . 3. 1999): Ao acordar. coelho. 4. 2. 1. ir à janela e contar num período de 5 minutos. 8. gato. 2.} Perguntar a um aluno ao acaso. ir à janela e ver se chove {chove. 3. hámster. passarinho. peixe. tartaruga. quantos carros encarnados passam {0. 4. 3} Ao acordar. não chove} Ao acordar. nem sempre esta definição é simples.} A definição correcta do espaço de resultados associados a uma experiência é um passo fundamental para de seguida definirmos acontecimentos.. 3. Mas o que é uma moeda equilibrada? É a moeda relativamente à qual 9 Graça Martins (2005). 7. de manhã.. de modo a termos uma experiência aleatória. 7. 1.. . 6. 3. Exemplo – Lançamento da moeda9. . 4. 3.. 7. associado à situação anterior são experiências aleatórias (Graça Martins et al. Exemplo – Espaços de resultados. p. No entanto. ir à janela e contar num período de 5 minutos. escolhido ao acaso. quantos carros encarnados passam. 1. 2. 5.} Lançar uma moeda de 1 Euro ao ar e ver o resultado que sai {face Euro. rato. envolve alguma idealização no modelo utilizado para interpretar a realidade. qual o fenómeno aleatório em estudo. 2. face Nacional} Lançar uma moeda de um euro ao ar 10 vezes e ver quantas vezes sai a face euro {0. quantas mensagens de telemóvel enviou no dia anterior {0. tartaruga. sendo um processo que. por vezes. Ao acordar. . da escola. 6. na situação anterior não se especificou o que se pretende observar. chamamos espaço de resultados ou espaço amostral. O estatístico George Box dizia: Todos os modelos são maus. Estes modelos têm muito interesse para as 10 Moore (1997). isto é. a probabilidade de morrer será cerca de 0. por exemplo. de que falaremos a seguir. um pouco simplista. obviamente que não saberíamos dizer. se lançarmos a moeda repetidas vezes. recolhermos uma amostra de dimensão 1. We interpret what we see in terms of mental models constructed on past experience and education. que morrerão no próximo ano. . esperamos que o número de faces Euro seja aproximadamente metade do número de lançamentos. será entendida como a probabilidade de que um homem jovem morra no próximo ano. para o lançamento da moeda. mas dizemos que a probabilidade de sair face Euro é 1/2. só temos dois resultados possíveis. Estamos. nem tão pouco com o desgaste acusado pela moeda após sucessivos lançamentos! Também não estamos a encarar a hipótese da moeda cair de pé! Se nos estivéssemos a preocupar em arranjar um modelo que traduzisse mais fielmente a realidade. alguns modelos são úteis. O comportamento de grandes grupos de indivíduos. com a força ou direcção com que atiramos a moeda. Como refere Bartholomew (1995) “We all depend on models to interpret our everyday experiences. Para as mulheres com aquela idade. Estamos. não sabemos qual o resultado que se vai verificar. They are the constructs that we use to understand the pattern of our experiences”.07%. com idades compreendidas entre 25 e 34 anos. poderemos obter um padrão para o comportamento das mortes. assim. à partida. que existe igual possibilidade de sair face Euro ou face Nacional ou no próximo lançamento que façamos com ela – estamos a admitir o princípio da simetria. se fizermos um único lançamento. é o de verificar o que é que se passa com um grande conjunto de indivíduos (Graça Martins. como exemplificamos a seguir. Se. se observarmos milhões de pessoas. Se nos perguntassem qual a probabilidade de uma determinada pessoa morrer no próximo ano. Assumindo então o modelo anterior. face Euro e face Nacional e em que a probabilidade de sair a face Euro é igual à de sair a face Nacional e igual a 1/2: Modelo para o resultado do lançamento da moeda equilibrada Resultado Probabilidade Face Euro 1/2 Face Nacional 1/2 Não nos estamos a preocupar.Organização e tratamento de dados 198 se admite. anda à volta de 0. Exemplo – Tempo de vida10. a inferir para toda a população constituída pelos indivíduos da classe etária considerada. se será face Euro ou face Nacional. por outro lado. a pensar num modelo matemático para traduzir o facto de que em qualquer lançamento da moeda. pode ser também considerado aleatório e o processo utilizado para definir um modelo. Esta percentagem. 2005). a partir da observação de resultados verificados numa amostra. estaríamos a arranjar um modelo matemático tão complicado que seria impossível de tratar e não nos serviria para nada. É assim que poderemos dizer que a proporção de homens.21%. verificada para um conjunto grande de indivíduos. No entanto. pelo que temos de nos abstrair um pouco da realidade considerando aquele modelo para o espaço de resultados. B. 5. que podemos representar por {4. já que lhes vai permitir definir uma política de preços para as apólices. que podemos representar por {2. 2. quando se trata nomeadamente de seguros de vida. um vermelho e um verde. Acontecimento – É um resultado ou um conjunto de resultados do espaço de resultados. Alguns acontecimentos são: 3 pessoas. 4} Mais de 3 pessoas. 6. consideramos para espaço de resultados S = {Todos os valores de T. dizem-se acontecimentos elementares. Exemplo – Lançamento de dois dados Considerando a experiência aleatória que consiste em lançar dois dados e verificar as faces que ficam voltadas para cima. 3.Organização e tratamento de dados 199 companhias de seguros.. 3.. Por exemplo se pensarmos na experiência aleatória que consiste em averiguar o tempo de vida T de uma pessoa escolhida ao acaso. do que a uma mulher.. Quando os acontecimentos são constituídos por um único resultado. quantas pessoas constituem o seu agregado familiar. que podemos representar por {3} Entre 2 e 4 pessoas (inclusive).} Menos de 10 pessoas.. pretende-se identificar o espaço de resultados e os acontecimentos “o número de pintas é igual nos dois dados” e “a soma das pintas é 7”. Pode ainda acontecer que tenhamos de idealizar um modelo que não corresponde à realidade. escolhida ao acaso. tal que T>0}. . quando o resultado da experiência pertence a A. Diz-se que se realizou o acontecimento A. que podemos representar por {1. o espaço de resultados é constituído por todos os inteiros não negativos (excluído o zero). Para descrever o espaço de resultados vamos considerar dois dados. O espaço de resultados é constituído por todos os pares de dados considerados na figura a seguir. Será que uma pessoa pode ter 500 anos? E 400? E 200? Temos dificuldade em estabelecer um limite superior para o valor de T. Considerando a experiência aleatória que consiste em perguntar a uma pessoa residente na sua cidade. mas para o qual não exista outra possibilidade de o definir. O número de elementos do espaço de resultados é 36 = 6X6. 9} De um modo geral os acontecimentos são representados por letras maiúsculas A.. para os distinguir. etc. sendo até natural que cobrem mais por um seguro de vida a um homem... Organização e tratamento de dados 200 Chamamos a atenção que, por exemplo, o par (1,3) não é o mesmo que o par (3,1). No par ordenado, o primeiro elemento refere-se a um dos dados (neste caso o dado vermelho) e o segundo elemento refere-se ao outro dado (o dado verde). O acontecimento A, “o número de pintas é igual nos dois dados” é constituído pelos pares ou em notação em termos dos pares ordenados, referindo-nos ao número de pintas A = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)} Finalmente o acontecimento “a soma das pintas é 7” é constituído pelos pares ou em notação em termos dos pares ordenados B = {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)} Qual a diferença entre o espaço de resultados associado à experiência aleatória do lançamento de dois dados e a experiência que consiste no lançamento do mesmo dado duas vezes? O espaço de resultados é idêntico nas duas experiências. Considerámos dados de cores distintas para justificar a nossa opção para descrever o espaço de resultados como um conjunto de pares ordenados, mas é óbvio que este mesmo espaço serve para modelar o lançamento de dois dados idênticos ou dois lançamentos de um mesmo dado. Associado à experiência que acabámos de descrever no exemplo anterior, poderíamos ter considerado o seguinte espaço de resultados S: S = {saírem dois 1’s, sair um 1 e um 2, sair um 1 e um 3, sair um 1 e um 4, sair um 1 e um 5, sair um 1 e um 6, saírem dois 2’s, sair um 2 e um 3, sair um 2 e um 4, sair um 2 e um 5, sair um 2 e um 6, saírem dois 3’s, sair um 3 e um 4, sair um 3 e um 5, sair um 3 e um 6, saírem dois 4’s, sair um 4 e um 5, sair um 4 e um 6, saírem dois 5’s, sair um 5 e um 6, saírem dois 6’s}. Qual a desvantagem em considerar este espaço de resultados? Como veremos mais à frente, se o espaço de resultados for constituído por resultados igualmente possíveis, o que não acontece nesta situação, podemos utilizar uma regra conhecida pela regra de Laplace, para atribuir probabilidades a acontecimentos associados ao fenómeno em estudo. Organização e tratamento de dados 201 Ainda associado ao lançamento dos dois dados, suponhamos que o fenómeno aleatório que estávamos interessados em estudar, era o resultado da soma das pintas das faces que ficam voltadas para cima. Neste caso o espaço de resultados é S={2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} Nota histórica (Freedman et al. 1991) - No século XVII, os jogadores italianos costumavam fazer apostas sobre o número total de pintas obtidas no lançamento de 3 dados. Acreditavam que a possibilidade de obter um total de 9 era igual à possibilidade de obter um total de 10. Por exemplo, diziam que uma combinação possível para dar um total de 9 seria 1 pinta num dos dados, 2 pintas num outro dado, 6 pintas no terceiro dado Abreviando o resultado anterior para “1 2 6”, todas as combinações para dar o 9 são: 126 135 144 234 225 333 Analogamente, obtinham 6 combinações para o 10: 145 136 226 235 244 334 Assim, os jogadores argumentavam que o 9 e o 10 deveriam ter a mesma possibilidade de se verificarem. Contudo, a experiência mostrava que o 10 aparecia com uma frequência um pouco superior ao 9. Pediram a Galileu que os ajudasse nesta contradição, tendo este realizado o seguinte raciocínio: Pinte-se um dos dados de branco, o outro de cinzento e o outro de preto. De quantas maneiras se podem apresentar os três dados depois de lançados? O dado branco pode apresentar 6 possibilidades diferentes. Para cada uma destas possibilidades o dado cinzento pode apresentar 6 possibilidades, obtendo-se 6 6 possibilidades para os dois dados. Correspondendo a cada uma destas possibilidades, o dado preto pode apresentar 6 possibilidades obtendo-se no total 6 6 6 = 216 possibilidades. Galileu listou todas as 216 maneiras de 3 dados se apresentarem depois de lançados. Depois percorreu a lista e verificou que havia 25 maneiras de obter um total de 9 e 27 maneiras de obter um total de 10. O raciocínio dos jogadores não entrava em linha de conta com as diferentes maneiras como os dados se podiam apresentar. Por exemplo o triplo “3 3 3”, que dá o 9, corresponde unicamente a uma forma de os dados se apresentarem, mas o triplo “3 3 4” que dá o 10, corresponde a 3 maneiras diferentes: pelo que o raciocínio dos jogadores deve ser corrigido de acordo com a tabela seguinte: Triplos para o 9 1 1 1 2 2 3 2 6 3 5 4 4 3 4 2 5 3 3 Total Nº de maneiras Triplos para o 10 de obter o triplo 6 1 4 5 6 1 3 6 3 2 2 6 6 2 3 5 3 2 4 4 1 3 3 4 25 Total Nº de maneiras de obter o triplo 6 6 3 6 3 3 27 Por vezes para definirmos o espaço de resultados associados com determinadas experiências, é necessário acrescentar algo sobre a metodologia da realização da experiência. Por exemplo se pretendermos obter o espaço de resultados associado à experiência aleatória que consiste em retirar duas bolas de uma caixa contendo quatro bolas brancas e duas pretas, é necessário saber se após retirar a primeira bola ela é reposta ou não na caixa. Na secção 6.3.1 já falámos no processo de amostragem sem reposição e com reposição. Vamos de seguida exemplificar esse processo, no contexto da construção do espaço de resultados. Organização e tratamento de dados 202 Extracções com reposição e sem reposição Colocaram-se11 numa caixa 3 papéis com o nome de 3 meninas: Ana, Maria e Filipa. Considere a experiência aleatória que consiste em retirar da caixa 2 papéis e verificar os nomes que saíram. Qual o espaço de resultados? Para responder a esta questão é necessário saber se a extracção se faz com reposição, isto é, se uma vez retirado um papel e verificado o nome se volta a colocar o papel na caixa, antes de proceder à extracção seguinte, ou se a extracção é feita sem reposição, isto é, uma vez retirado um papel, ele não é reposto antes de se proceder à próxima extracção. No esquema seguinte procuramos representar as duas situações: Admitimos que na 1.ª extracção saiu o papel com o nome da Maria. Na 2.ª extracção, saiu o nome da Filipa nos dois casos, mas na extracção com reposição havia uma possibilidade em três de ele sair, tal como na 1.ª extracção, enquanto que na extracção sem reposição havia uma possibilidade em duas de ele sair. Quer dizer que neste caso havia uma maior probabilidade de sair o nome da Filipa. Os espaços de resultados correspondentes às duas situações com reposição e sem reposição, são: Espaço de resultados com reposição Ana, Ana Ana, Maria Ana, Filipa Maria, Ana Maria, Maria Maria, Filipa Filipa, Ana Filipa, Maria Filipa, Filipa Espaço de resultados sem reposição Ana, Maria Ana, Filipa Maria, Ana Maria, Filipa Filipa, Ana Filipa, Maria 11 Graça Martins et al (1999). Organização e tratamento de dados 203 O acontecimento “saiu o nome da Maria” é constituído pelos seguintes resultados, considerando a extracção com reposição e sem reposição, respectivamente: Acontecimento “Saiu o nome da Maria” Resultados Ana, Maria Maria, Ana Maria, Maria Maria, Filipa Filipa, Maria Ana, Maria Maria, Ana Maria, Filipa Filipa, Maria Com reposição Sem reposição Exemplo – O saco de berlindes. Considere a experiência aleatória que consiste em extrair 2 berlindes, de um saco com 3 berlindes vermelhos e 2 azuis . Que espaço de resultados se associa a esta experiência? Para já é necessário saber se a extracção se faz com reposição ou sem reposição. Vamos considerar as duas situações. Para identificar o espaço de resultados será mais fácil numerar os berlindes, pelo que vamos numerar os berlindes vermelhos com 1, 2 e 3 e os azuis com 4 e 5. Com reposição – Quando se retira um berlinde verifica-se a cor e torna-se a repor o berlinde no saco antes de extrair o próximo. um espaço de resultados pode ser constituído por todos os resultados, em número de 25, do esquema seguinte, em que se considera primeiro os berlindes como normalmente se apresentam, e a seguir numerados para ser mais fácil a interpretação: Sem reposição – Neste caso o espaço de resultados é constituído por todos os resultados do espaço do esquema anterior, exceptuando os pares constituídos pelo mesmo berlinde: Organização e tratamento de dados 204 O acontecimento “tirar 2 berlindes de cor diferente” é constituído pelos resultados tanto no esquema com reposição, como sem reposição. Podemos considerar mais do que um espaço de resultados ao modelar um fenómeno aleatório? Sim! A associação de um espaço de resultados a uma certa experiência aleatória nem sempre é única. No caso do exemplo anterior, podemos assumir que o espaço de resultados associado à experiência que consiste em retirar 2 berlindes de um saco com 3 berlindes vermelhos e 2 azuis é constituído pelos resultados elementares {2 berlindes vermelhos, 1 berlinde vermelho e 1 berlinde azul, 2 berlindes azuis} quer a extracção se faça com ou sem reposição. Este é aliás, o espaço de resultados mais intuitivo e que nos vem imediatamente ao pensamento quando idealizamos ou realizamos a experiência considerada. Normalmente é-nos indiferente qual o berlinde seleccionado em cada tiragem, porque estamos interessados unicamente na cor. No entanto, como veremos mais à frente, quando pretendermos associar probabilidades aos seus resultados, esta associação não é imediata como no espaço de resultados considerado inicialmente, já que os seus resultados não são todos igualmente possíveis. Do mesmo modo, o espaço de resultados associado à experiência aleatória que consiste em lançar 2 moedas de 1 Euro e ver o resultado que sai, também pode ser interpretado como sendo {(Euro, Euro), (Euro, Nacional), (Nacional, Euro), (Nacional, Nacional)} ou {(2 faces Euro), (2 faces Nacional), (1 face Euro e 1 face Nacional)}. Também, do mesmo modo que no caso anterior, este último espaço de resultados não tem os resultados todos igualmente possíveis ao contrário do primeiro. Organização e tratamento de dados 205 6.4.1 Utilização de diagramas de Venn para representar acontecimentos Uma técnica utilizada para visualizar o espaço de resultados e os acontecimentos associados a uma experiência aleatória, consiste em utilizar um rectângulo para representar o espaço de resultados e círculos para representar os acontecimentos. A essas representações chamamos diagramas de Venn. Exemplo – Famílias de 2 filhos. Considere a experiência aleatória que consiste em verificar o sexo dos filhos das famílias de 2 filhos. O espaço de resultados é constituído pelos resultados S={MM, MF, FM, FF}. Seja A o acontecimento “pelo menos um dos filhos é do sexo masculino”. Representando num diagrama de Venn, temos S A MM FM MF FF Exemplo – A caixa de disquetes. Considere a experiência aleatória que consiste em retirar 2 disquetes, de uma caixa de 5 disquetes, em que 2 estão avariadas. Represente, através de um diagrama de Venn, o espaço de resultados e o acontecimento A = {pelo menos uma disquete está avariada}. Representando as disquetes boas por B1, B2 e B3 e as avariadas por A1 e A2, temos S A A1A2 A2B1 A2A1 B3A1 A2B2 B1A1 B2B3 A1B2 B2B1 A1B1 B2A1 B3B1 B2A2 B3A2 B3B2 B1A2 B1B2 A2B3 B1B3 A1B3 onde representamos, por exemplo, por B1B2, a saída das disquetes boas B1 e B2. De um modo geral os diagramas de Venn não são construídos à escala, pelo que a área ocupada dentro do espaço de resultados com a figura utilizada para representar um acontecimento não é, por este motivo, necessariamente proporcional à probabilidade de esse acontecimento se realizar. No entanto, se a área ocupada pelo espaço de resultados fosse igual à unidade e os diagramas de Venn fossem construídos à escala, já as figuras utilizadas para representar os acontecimentos seriam construídas de forma a que as suas áreas fossem iguais às probabilidades dos acontecimentos, que representam, se realizarem. ao acaso. tem duas modalidades para a base da piza. Pequena). Grande)} Suponhamos ainda que cada piza pode ter na cobertura 2 ou 3 tipos de queijo. tendo em consideração o critério da base e do tamanho? O primeiro passo será a escolha da base. (Base Alta.4. Média ou Grande. temos: . Por exemplo.2 Utilização de diagramas em árvore para representar acontecimentos Um outro processo utilizado para visualizar acontecimentos é o diagrama em árvore. Pequena). uma piza.Organização e tratamento de dados 206 6. (Base Alta. ao acaso. de quantas maneiras diferentes se pode escolher a piza? Considerando agora mais um 3º passo. de quantas maneiras possíveis é que pode fazer a escolha. Média). (Base Baixa. (Base Baixa. que consiste em seleccionar. (Base Baixa. seguindo-se o tamanho da piza: 1º passo 2º passo O espaço de resultados associado a esta experiência aleatória. nomeadamente Base Alta ou Base Baixa e tem 3 alternativas para o tamanho: Pequena. é constituído pelos seguintes resultados: {(Base Alta. Grande). Média). Este processo é especialmente adequado quando a experiência aleatória implica a ocorrência de uma sequência de passos. admitamos que uma loja que vende piza. Agora. Uma pessoa que escolha uma destas pizas. 2 queijos). 3 queijos). 2 queijos). (Base Baixa. 3 queijos). Média. Média. 2 queijos) (Base Alta. Grande. Média. 2 queijos). todos os raminhos que tenham o . 2 queijos) (Base Baixa.Organização e tratamento de dados 207 1º passo 2º passo 3º passo Assim. Grande. 2 queijos). Média. Média. verificamos que existem dois ramos com a característica Média. 3 queijos) (Base Alta. o espaço de resultados associado à experiência aleatória que consiste em seleccionar uma piza ao acaso. Pequena. Pequena. 3 queijos) Seleccionar uma piza ao acaso e ela ter Base Alta e ser de 2 queijos (Base Alta. 3 queijos). 2 queijos). Média. e cada um destes ramos ainda se divide em dois raminhos. ao pretender que a piza seja Média. Grande. 2 queijos) (Base Alta. Grande. podemos considerar vários Resultados para que o acontecimento se realize: (Base Alta. Média. Média. (Base Alta. (Base Alta. Assim. Por exemplo. 2 queijos) Os resultados que compõem os acontecimentos anteriores obtêm-se muito facilmente a partir da árvore. 3 queijos) (Base Baixa. Média. Pequena. 3 queijos). (Base Baixa. percorrendo os ramos que satisfaçam as características desejadas. (Base Alta. (Base Baixa. 3 queijos)} Associados ao espaço acontecimentos: Acontecimento Seleccionar uma piza ao acaso e ela ser Média e de 3 queijos Seleccionar uma piza ao acaso e ela ser Média de resultados anterior. Grande. (Base Alta. 2 queijos) (Base Alta. (Base Alta. 3 queijos). o tamanho e a cobertura. Pequena. Pequena. é constituído pelos resultados: {(Base Alta. (Base Baixa. (Base Baixa. Média. Média. 2 queijos). (Base Baixa. 3 queijos) (Base Baixa. tendo em consideração a base. amêndoa cereja. cereja amêndoa} Os diagramas em árvore são uma boa opção para representar. uns castanhos e outros brancos. que acabou . ou uma cereja. todos os resultados possíveis quando estamos perante uma sequência de acontecimentos. como no caso anterior e na tarefa seguinte. Cada bombom ou tinha uma amêndoa. O que se pretende é o espaço de resultados associado à experiência aleatória que consiste em retirar 2 bombons e verificar o tipo de bombom. O professor leva para a sala de aula uma grande caixa cheia de bombons de três tipos. De quantas (e quais) maneiras possíveis é que o Pedro pode tirar os dois bombons? O professor pediu ainda para descreverem o acontecimento “O Pedro retirou pelo menos um bombom com amêndoa”. Utilizando ainda o diagrama em árvore temos: S={noz noz. Tinha 1 saia de ganga e 2 pares de calças. vestiu. despiu. representar pelo acontecimento A. em igual proporção. Tarefa – A caixa de bombons. amêndoa noz.. amêndoa amêndoa. amêndoa cereja. serão resultados do acontecimento “Seleccionar uma piza ao acaso e ela ser Média”.. que vamos. um de ganga preta e outro de ganga azul. de uma forma sistemática. cereja amêndoa. Experimentou tantas toiletes. ou uma noz. noz amêndoa. O professor pediu ao Pedro para retirar dois bombons ao acaso. para simplificar. vestiu. noz cereja.. que ficavam muito bem com 3 t-shirts e que condiziam com dois pares de ténis.Organização e tratamento de dados 208 nó na característica Média. amêndoa amêndoa. Tarefa – Quantas “toiletes” pode a Mariana vestir? Certa manhã a Mariana estava muito indecisa sobre o que devia vestir para ir para a escola. amêndoa noz. cereja cereja} O acontecimento A é constituído pelos seguintes resultados: A={noz amêndoa. cereja noz. basta seguir os ramos da árvore. teria experimentado 18 toiletes! Para obter cada uma das toiletes. ténis brancos). a primeira e última toiletes são. t-shirt amarela. De acordo com o diagrama anterior. Tarefa – Quais os resultados que fazem com que o Pedro ganhe o jogo? O professor propôs o seguinte jogo a ser jogado pelo Pedro e pelo Marco. ténis castanhos) e (Calças azuis. ganha o Marco. respectivamente (Saia de ganga. Quais os resultados possíveis deste jogo e quais os resultados que fazem com que o Pedro ganhe o jogo? . o Pedro ganha o jogo. Se sair a face Nacional. t-shirt vermelha. Lança-se uma moeda de um Euro ao ar e se sair a face Euro. lança-se novamente a moeda ao ar e se sair a face Euro o Pedro ganha o jogo e se sair a face Nacional. a Mariana se tivesse experimentado todas as combinações possíveis de peças de vestuário e calçado.Organização e tratamento de dados 209 por chegar atrasada à escola! És capaz de dizer quantas toiletes diferentes a Mariana poderia ter experimentado? Tendo em consideração o diagrama em árvore anterior. Exemplo – Lançamento do dado. 5}. o Pedro ganha se se verificar Euro ou (Nacional.. 2. 6} . O espaço de resultados associado é S={1. Nacional) 6. temos A={1. Considere a experiência que consiste em lançar um dado com 6 faces e em verificar qual o número de pintas da face que fica virada para cima. vai-nos permitir introduzir alguma terminologia utilizada quando falamos de acontecimentos.. B. por A. 6}. Assim.4. 5. Se sair face Euro o jogo acaba e o Pedro ganha. O acontecimento complementar de A é o acontecimento “saída de uma face com um número par de pintas”. Este acontecimento representa-se por ou Ac Quando um acontecimento se realiza. 4. ou sai face Euro ou face Nacional. Se sair face Nacional lança-se novamente a moeda e o Pedro ganha novamente se sair face Euro.. representando os acontecimentos associados a um determinado espaço de resultados S. 3. que representamos por ={2. é o acontecimento constituído por todos os resultados do espaço de resultados S. . 4. que não estão em A.3 Operações com acontecimentos O facto de interpretarmos acontecimentos como conjuntos. Se representar por A o acontecimento “saída de uma face com um número ímpar de pintas”. Euro). o seu complementar não se pode realizar. temos: Acontecimento complementar Acontecimento complementar do acontecimento A. enquanto que o Marco ganha se se verificar (Nacional. 3. C. aliada à utilização dos diagramas de Venn para os visualizar. Assim.Organização e tratamento de dados 210 O esquema seguinte traduz o jogo anterior: num primeiro lançamento da moeda. 4. 4} seguintes Acontecimentos disjuntos ou mutuamente exclusivos Acontecimentos disjuntos ou mutuamente exclusivos são acontecimentos que não têm resultados comuns Quando dois acontecimentos são mutuamente exclusivos. 3. 2. Exemplo – Lançamento do dado (cont. 2} Acontecimento E “O número de pintas é maior que 4” ou seja E={5.). é o acontecimento constituído pelos resultados que pertencem simultaneamente a A e a B.Organização e tratamento de dados 211 Acontecimento intersecção Acontecimento intersecção dos acontecimentos A e B.6} Os acontecimentos D e E são mutuamente exclusivos .). é necessário que os dois acontecimentos se realizem simultaneamente. 6} Acontecimento C “O número de pintas é menor ou igual a 4” ou seja C={1. Sejam B e C os acontecimentos: Acontecimento B “O número de pintas é maior ou igual a 3” ou seja B={3. 5. Este acontecimento representa-se por AB ou (AeB) ou Para que o acontecimento intersecção de dois acontecimentos se realize. Sejam D e E os seguintes acontecimentos Acontecimento D “O número de pintas é menor ou igual a 2” ou seja D={1. Exemplo – Lançamento do dado (cont. a realização de um deles implica que o outro não se realize. 4} Acontecimento intersecção BeC={3. ou seja. Sejam D e E os acontecimentos considerados anteriormente.). 4.Organização e tratamento de dados 212 Acontecimento impossível Acontecimento impossível é o acontecimento que resulta da intersecção de acontecimentos disjuntos ou mutuamente exclusivos.). Representa-se pelo símbolo Ø (um zero cortado por um traço). 2. 5} Acontecimento união FouG={1. é o acontecimento que não tem qualquer resultado do espaço de resultados. Exemplo – Lançamento do dado (cont. basta que um dos acontecimentos se realize. Representa-se por AB ou (AouB) ou Para que a união de dois acontecimentos se realiza. 3} Acontecimento G “O número de pintas é maior que 2 e menor que 6” ou seja G={3. 3. Então DeE={}=Ø Acontecimento união Acontecimento união dos acontecimentos A e B é o acontecimento constituído por todos os resultados de A ou de B. Exemplo – Lançamento do dado (cont. 2. 4. 5} . Sejam F e G os seguintes acontecimentos Acontecimento F “O número de pintas é menor ou igual a 3” ou seja F={1. NN} = {EE. a) Então o espaço de resultados é S = {EE. NN} AeB = {EN. como se apresenta a seguir: No esquema anterior representámos por E a face Euro e por N a face Nacional. NE. por exemplo A contido em B. Assim. podem ser representados num diagrama em árvore. quando dois acontecimentos A e B são tais que um está contido no outro. NN} AouB = {EN. como se visualiza no seguinte diagrama de Venn. pois todos os resultados de A são resultados de B. O professor propõe aos alunos realizar a experiência aleatória que consiste em lançar 2 moedas de 1 euro e verificar as faces que ficam viradas para cima. enquanto que a intersecção é o acontecimento A: . NN} O espaço de resultados também poderia ser obtido a partir de uma tabela de dupla entrada: 2ª moeda 1ª moeda E EE NE N EN NN E N b) A = {EN.Organização e tratamento de dados 213 Tarefa – Lançamento de duas moedas de 1 euro. EN. Quais os resultados que compõem os acontecimentos . AouB e AeB? Resolução: Os resultados da experiência aleatória que consiste em lançar 2 moedas. a união destes dois acontecimentos é o acontecimento B. NE} Observe-se que os acontecimentos A e B têm a particularidade de A estar contido em B. e verificar as faces que ficam voltadas para cima. NE. a) Quais os resultados que constituem o espaço de resultados? b) Representando por A o acontecimento “A face Euro verifica-se 1 vez” e por B o acontecimento “A face Nacional verifica-se pelo menos 1 vez”. NE} B = {EN. NE. ENN. 3} A partir deste novo espaço de resultados. mas agora pretende-se observar quantas vezes sai a face Euro. ENE. ENE.1} (Para que a face Nacional apareça pelo menos 2 vezes. 1. NNE. Assim S = {0. NEN.Organização e tratamento de dados 214 Tarefa – Lançamento de três moedas de 1 euro 1ª versão – Considere-se a experiência aleatória que consiste em lançar 3 moedas de 1 euro e verificar as faces que ficam viradas para cima. ENN. a face Euro não pode aparecer nenhuma vez ou só pode aparecer 1 vez. NNE. NEN. NNN} e AeB = {}=Ø Numa representação em diagrama de Venn. Qual o espaço de resultados associado? Quais os resultados que compõem A e B? Neste caso o que se pretende registar é o nº de vezes que sai a face Euro e não as sequências de faces. NNE. a) Quais os resultados que constituem o espaço de resultados? b) Considere os seguintes acontecimentos: i) A “a face Euro aparece 2 vezes” ii) B “a face Nacional aparece pelo menos 2 vezes” c) Quais os resultados que compõem os acontecimentos AouB e AeB? Considerando ainda um diagrama em árvore para representar os resultados da experiência aleatória que consiste em lançar 3 moedas e verificar as sequências das faces que ficam voltadas para cima. os acontecimentos A e B são: A = {2} e B = {0. NNN} b) A = {EEN. ENE. temos a) Do esquema anterior verifica-se que S = {EEE.Consideremos ainda a experiência aleatória que consiste em lançar as 3 moedas de 1 euro. NEN. temos Repare-se que o acontecimento união de A e B é o acontecimento que se realiza sempre que não saírem 3 faces Euro no lançamento das 3 moedas. 2. 2ª versão . . EEN. NEE} B = {ENN. NEE. NEE. NNN} c) AouB = {EEN. Regra 3 – Dados os acontecimentos A e B. para um fenómeno aleatório. p. No entanto. Observe-se que a definição anterior não exclui a possibilidade de um acontecimento elementar ter probabilidade zero. disjuntos. P(S)=1. P(AouB) = P(A) + P(B) . para já. como uma impossibilidade. pelo que qualquer resultado do espaço de resultados. é igual a 1. então a probabilidade de A ou B se realizarem. ou P(AouB). quando repetimos a experiência um grande número de vezes. que algumas regras básicas devem ser satisfeitas para todos os modelos: Regra 1 – Uma probabilidade deve ser um número não negativo. Regra 2 – A soma das probabilidades dos acontecimentos elementares que compõem o espaço de resultados é igual a 1. Probabilidade de um acontecimento No que se segue vamos admitir que os fenómenos aleatórios que se vão estudar são fenómenos cujos espaços de resultados são finitos. Uma forma de atribuir um número a cada um dos resultados. 1968. pode ser eliminado do espaço de resultados (Feller. P(AB). no início deste capítulo. S. sugere-nos um conjunto de regras a que deve obedecer qualquer forma de atribuir probabilidades a acontecimentos de um mesmo espaço de resultados S: Regra 1 – Qualquer que seja o acontecimento A. Regra 2 – A probabilidade do espaço de resultados.Organização e tratamento de dados 215 6. implica: A identificação de um espaço de resultados. com probabilidade nula.5 Modelo de Probabilidade para um fenómeno aleatório. 6. a cada acontecimento elementar. como obter a probabilidade de um acontecimento? Probabilidade de um acontecimento – A probabilidade de um acontecimento A representa-se por P(A) e define-se como sendo a soma das probabilidades dos acontecimentos elementares que compõem A. Uma vez definido esse modelo. é igual à soma das probabilidades de A e de B se realizarem. tem-se que P(A) ≥0. definir um modelo de probabilidade.5. Assim. em espaços finitos uma probabilidade igual a zero é interpretada.1 Probabilidade de um acontecimento Admitamos. isto é. 22). Regras para a Probabilidade A interpretação que fizemos de Probabilidade de um acontecimento. que tínhamos um modelo de probabilidade associado a um fenómeno aleatório (veremos a seguir alguns processos para atribuir probabilidades aos resultados de um espaço de resultados). na prática. a que chamaremos probabilidade. como a proporção de vezes que o acontecimento se verifica. O processo de atribuir probabilidades deve ser tal. menos a probabilidade de A e B se realizarem conjuntamente: P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB) Para calcular a probabilidade de que A ou B ou ambos os acontecimentos se realizem. P(Ø)=0 P(S ou Ø) = P(S) + P(Ø) 1 = 1 + P(Ø) P(Ø) = 0 Propriedade 2 – A probabilidade P(A) de qualquer acontecimento A é tal que 0≤P(A)≤1 Esta propriedade é imediata tendo em conta que A é constituído por alguns resultados do espaço de resultados e a soma das probabilidades de todos os resultados é igual a 1 Propriedade 3 – A probabilidade do acontecimento acontecimento A. as suas probabilidades estão a ser contabilizadas duas vezes. P( ) é igual a P( ) = 1 – P(A) complementar do Esta propriedade é imediata tendo em conta que: P(A ou )=P(A) + P( ) de acordo com a Regra 3 P(S) = 1 = P(A) + P( ) de acordo com a Regra 2 Propriedade 4 – Dados dois acontecimentos A e B. P(AB). e com a ajuda dos diagramas de Venn. a probabilidade de A ou B ou ambos se realizarem. ou poderá escolher as duas? Esta ambiguidade não existe se perguntarmos “Amanhã vais para a escola de ténis ou de sandálias?” Normalmente quando utilizamos o termo “ou” . podem-se deduzir as seguintes propriedades para a probabilidade de acontecimentos de um mesmo espaço de resultados S: Propriedade 1 – A probabilidade do acontecimento impossível é igual a zero. somamos as probabilidades dos acontecimentos elementares que compõem A e B. à soma das probabilidades. será que a pessoa tem de escolher uma de entre as duas alternativas. Nota – Quando perguntamos a alguém se quer fruta ou doce para a sobremesa. pelo que temos de subtrair a probabilidade conjunta.Organização e tratamento de dados 216 Propriedades da Probabilidade Tendo em conta as regras anteriores. Se houver acontecimentos elementares comuns aos dois acontecimentos. é igual à soma das probabilidades de A e de B se realizarem. 5) (6. considerados como acontecimentos elementares.2) (2.3) (3. De um modo geral.6) (3. se os 36 resultados são todos igualmente possíveis. como facilmente se verifica construindo o diagrama de Venn P(AB)=P(A)+P(B)-2xP(AB) 6. Esta situação.2) (6. se temos n resultados igualmente possíveis e a soma das probabilidades de todos os resultados.3) (4. É o que acontece com a moeda ou o dado. então a cada acontecimento elementar atribuímos a probabilidade 1/n.2. que admitimos serem equilibrados e portanto cada face tem igual possibilidade de sair.3) (5. pelo que quando se pede a probabilidade de os acontecimentos A ou B ocorrerem. na .2) (1. como se descreve a seguir.3) (1. tendo em conta as Regras 1 e 2 a satisfazer por qualquer Regras 1.3) (2.2) (3.2) (5. damos igual possibilidade a cada um dos 36 resultados possíveis constituídos pelos pares ordenados (em que os números indicam o nº de pintas de cada um dos dois dados): (1.6) Então. Por exemplo ao lançar dois dados equilibrados.1) (2.2 Processos de construção de modelos de probabilidade ou como atribuir probabilidades aos acontecimentos elementares A probabilidade começou por ser estudada por matemáticos franceses que desenvolveram modelos matemáticos associados aos chamados jogos de azar. em que admitimos que cada uma das cartas tem a mesma possibilidade de ser extraída. tem de ser igual a 1 (Regra 2 e Regra 3) e além disso a probabilidade de qualquer acontecimento elementar é maior que 0 (Regra 1 e o facto de em espaços finitos uma probabilidade igual a zero ser interpretada. é quase sempre possível encontrar um espaço de resultados para cujos elementos.1 Situação de simetria – Regra de Laplace Admitamos então que estamos numa situação de simetria.1) (3. mas sem que ambos possam ocorrer.5) (4.1) (5. significa que pode ocorrer qualquer um dos dois ou ambos os acontecimentos.6) (5. Efectivamente.1) (1.4) (5. se um espaço de resultados tem n resultados e todos são igualmente possíveis. O resultado anterior é imediato.4) (1. Se pretendermos obter a probabilidade de A ou B ocorrerem.6) (4. tendo em consideração as regras que enunciámos para a Probabilidade. é muito simples de ser tratada.5) (2.2) (4.4) (4. enunciadas para a Probabilidade. ou com o baralho de cartas. embora bastante restritiva. Neste caso.5. não se tem razão para admitir que não tenham igual probabilidade de ocorrer.4) (2.5) (1.6) (6. em que damos igual possibilidade à realização de cada resultado de um espaço de resultados.4) (6.4) (3.1) (6. 2 e 3.5) (5. a cada um dos resultados atribui-se probabilidade 1/36.3) (6. à partida.1) (4.5) (3.5.Organização e tratamento de dados 217 ele não tem um significado disjuntivo ou exclusivo. 6. então.6) (2. EEEN. NN}. EENN. e sendo o acontecimento A. permite-nos atribuir-lhe uma probabilidade da seguinte forma: Se o acontecimento A for constituído por m resultados. a probabilidade de A é igual à soma de m parcelas iguais a 1/n. dos quais 20 constituem o acontecimento “Igual número de faces Euro e faces Nacional”. NE. associado a um espaço de resultados. é constituído por 64 resultados possíveis. a regra 3. Suponhamos agora que lançamos 4 vezes a moeda e pretendemos obter a probabilidade de igual número de faces Euro e Nacional. então a probabilidade de qualquer acontecimento A. com n resultados igualmente possíveis. p. vem imediatamente que cada acontecimento elementar tem probabilidade 1/n. Nota: Para concluir que o espaço de resultados anteriormente referido. 1968. pelo que qualquer resultado do espaço de resultados com probabilidade nula pode ser eliminado do espaço de resultados (Feller. ENEN. em que os resultados são igualmente possíveis. ENEE. todos igualmente possíveis. Não há dúvida de que o espaço de resultados é constituído pelos resultados S={EN. Agora temos S= ={EEEE. Continuando a representar este acontecimento por A. Se um espaço de resultados. e o espaço de resultados for constituído por n resultados. ou seja P(A)=37. 22)). tem n resultados e todos são igualmente possíveis. ENNN. NNEE } e P(A)=6/16. NE}. ou seja P(A)=50%. NNNE. como sendo a razão entre o número m de resultados favoráveis a A (resultados que compõem A). ou seja m acontecimentos elementares. basta pensar da seguinte forma: Temos 6 espaços para preencher com as letras E ou N: .Organização e tratamento de dados 218 prática. se obter igual número de faces Euro (E) e faces Nacional (N). S. NENE. ENNE. ENEN. Só aparentemente é que se tem uma tarefa simples! Senão vejamos: admitamos que se pretende calcular a probabilidade de no lançamento de duas moedas de um euro. é igual a m/n. NENN. e o número n de resultados possíveis (resultados que constituem S): m P(A) = n Este processo de atribuir probabilidades aos acontecimentos exige uma enumeração correcta do espaço de resultados e a consequente enumeração de quais os resultados elementares que compõem os acontecimentos para os quais pretendemos atribuir probabilidades. NENE. como uma impossibilidade. NEEE. temos o seguinte resultado conhecido como Regra ou Lei de Laplace Define-se probabilidade do acontecimento A associado a um espaço de resultados S. vem P(A)=31. NNEE. E se lançarmos a moeda 6 vezes? O espaço de resultados é constituído por 64 resultados.25%. é igual ao quociente entre o número de resultados de A e o número de resultados de S. EE. NNEN. Mais geralmente. NEEN. NNNN} e A={EENN. ou seja. ENNE. EENE. saída de 1 face Euro e 1 face nacional A={EN. NEEN. todos igualmente possíveis. No que diz respeito à probabilidade de qualquer acontecimento A. temos que P(A)=2/4.5%. podemos raciocinar da seguinte forma: 3 faces Euro seguidas E _ _ _ E E _ _ E E E _ _ E E E _ _ E E _ _ _ E Número de resultados 4 2 faces Euro seguidas E E E _ _ _ E E E E E _ _ _ _ E E E E _ _ _ _ E _ E _ E _ _ _ _ E _ E E E E _ _ _ E _ _ E _ E _ E _ _ E _ _ E E E _ _ _ _ E E E E E _ _ _ E E E 12 Sem faces Euro seguidas E E _ E _ _ E _ E _ _ E _ E E _ E _ _ _ _ E E E 4 Assim. o número de resultados diferentes é 26. que combinadas com as anteriores dão 2x2=22 possibilidades: E E _ _ _ _ ou E N _ _ _ _ ou N E _ _ _ _ ou N N _ _ _ _ Repetindo o processo até à 6ª posição. pelo que temos 2 possibilidades: E _ _ _ _ _ ou N _ _ _ _ _ No espaço seguinte temos outras 2 possibilidades. todos igualmente possíveis. E se o número de vezes que lançamos a moeda for 10? Generalizando o processo utilizado anteriormente para obter o número de resultados possíveis chegamos a 1024 (=210) resultados. Podemos adiantar que destes . Para saber quantos destes resultados têm 3 faces Euro. o número de resultados possíveis com 3 faces Euro e 3 faces Nacional é igual a 20.Organização e tratamento de dados 219 _ _ _ _ _ _ No primeiro espaço podemos colocar o E ou o N. mas que saem fora do âmbito deste curso.2 Probabilidade experimental ou frequencista Quando não é possível utilizar o argumento da simetria. representado por A. Então a probabilidade de se realizar o acontecimento “Igual número de faces Euro e faces Nacional”. que nos facilitam estes processos de contagem. Mais uma vez chamamos a atenção para que esta regularidade tem que ser uma regularidade a longo termo. admitindo que os resultados do espaço de resultados são igualmente possíveis. a definição de probabilidade experimental ou frequencista.2. existe a lei das compensações! Se. Por exemplo. Com frequência ao resultado de uma situação aleatória é erradamente atribuída a probabilidade de 50%. tão pouco.Organização e tratamento de dados 220 resultados. não tem sentido considerar que estes acontecimentos são igualmente prováveis. embora os resultados possíveis para um jogador sejam ganhar ou não ganhar. A título de curiosidade. Esta regularidade não tem que existir. por exemplo. no lançamento de uma moeda de um euro. mais complicada é a tarefa de construir o espaço de resultados associado. O mito dos 50%! Outra situação que merece reflexão é o mito dos 50%. quando temos dois resultados em jogo. Existem instrumentos matemáticos de que a análise combinatória é um exemplo. num grande número de repetições da experiência aleatória. o número de resultados do espaço de resultados é igual a 1 267 650 600 228 229 401 496 703 205 376 e que a probabilidade de obter igual número de faces Euro e faces Nacional é aproximadamente igual a 8%. para quantificarmos a percentagem de vezes que um acontecimento se realiza. como os resultados possíveis da análise do artigo. temos em consideração a regularidade que se observa na sua repetição. resultante de todo o desenvolvimento feito nas secções iniciais deste capítulo. mas a forma de chegar a este valor não é simples. este pode sair defeituoso ou não defeituoso. Do mesmo modo não tem qualquer sentido admitir que a probabilidade de ganhar o Euromilhões seja de 50%. Nem. à medida que o número de lançamentos da moeda aumenta. que admitimos ser equilibrada. 252 têm igual número de faces Euro e faces Nacional. acrescentamos que se lançarmos a moeda 100 vezes. Define-se probabilidade (experimental ou frequencista) de um acontecimento A e representa-se por P(A) como sendo o valor à volta do qual tende a estabilizar a frequência relativa da realização de A. Embora só consideremos estas duas situações. Quem sabe se muita gente não joga. obtivermos a seguinte sequência de resultados . Apresentamos a seguir. formalmente. como sendo a sua probabilidade.5. a não ser ao fim de um número muito grande de repetições do fenómeno aleatório. será P(A) = 252/1024 ou seja P(A)≈25%. a pensar que tem 50% de probabilidade de ganhar! 6. então recorre-se à definição de fenómeno aleatório e como já anteriormente frisámos. Como facilmente se depreende. na confecção de um artigo produzido por uma máquina. não impedindo que a frequência relativa tenha tendência a estabilizar à volta do valor 50%.50 0. pode acontecer que o número de faces Euro obtidas. a proporção ou frequência relativa da saída da face Euro tende a estabilizar à volta de 50% (moeda equilibrada) à medida . Nacional. 1000.Organização e tratamento de dados 221 Euro. Escolhe fazer 10 ou 100 jogadas? Ganha a viagem se o número de vezes que aparece a face Euro for igual a metade dos lançamentos. 2000 e 3000 lançamentos.50 0. pois a moeda “não tem memória” e não é pelo facto de nos lançamentos anteriores ter saído a face Euro. Euro. o número de faces Euro é aproximadamente metade do número de lançamentos” Na realidade. 1997b. não intuitiva. A regularidade a longo termo significa que a frequência relativa da saída de face Euro tende a estabilizar à volta de 50%. p.49 0. um resultado possível poderia ter sido o seguinte: Nº lançamentos Nº faces Euro obtidas x 49 253 495 993 1510 Metade dos lançamentos y 50 250 500 1000 1500 |y . o mesmo não se passa com a segunda. Euro. as três faces Nacional. que faz com que no próximo lançamento a face Nacional tenha maior possibilidade de sair. para tentar compensar com mais uma face Euro. Relativa da face Euro 0. em que se registou o número de faces Euro após 100. Do mesmo modo. Euro. nas seguintes situações: Ganha a viagem se a proporção de vezes que aparece a face Euro estiver entre 40% e 60%. Euro.x| Freq. Escolhe fazer 10 ou 100 jogadas? De acordo com o que foi dito anteriormente. Tarefa – Qual o jogo preferido? Dão-lhe a escolher entre fazer 10 ou 100 jogadas com uma moeda de 1 euro. Outra situação. para ganhar uma viagem. Nacional. equilibrada. se afaste de metade do número de lançamentos. 421): “Em muitos lançamentos de uma moeda equilibrada. se obtivermos em seis lançamentos de uma moeda a sequência Euro. se lançarmos uma moeda 3000 vezes. 500. Por exemplo. Nacional não podemos esperar que no próximo lançamento saia a face Euro. Os sucessivos lançamentos são independentes. enquanto que a primeira asserção é verdadeira. Euro será que é mais provável que no próximo lançamento se verifique a face Nacional? De modo nenhum. a proporção de faces Euro é aproximadamente 50%” “Em muitos lançamentos de uma moeda equilibrada. Euro.50 100 500 1000 2000 3000 1 3 5 7 10 Como se verifica.51 0. resultante de uma interpretação abusiva da regularidade a longo termo é considerar as seguintes proposições como equivalentes (Moore. nem devemos atribuir igual possibilidade aos acontecimentos nota superior a 14 e nota menor ou igual que 14. Como dissemos no início da secção 6. embora recentemente esteja a ter grande sucesso. Por exemplo. Ao atribuir igual probabilidade à saída da face Euro e da face Nacional. pois foi baseada em informação anterior e num julgamento subjectivo. o que responde? Não é natural esperar que exista igual probabilidade de ser homem ou mulher e com a informação que se tem do passado. pelo que na primeira situação se deve escolher fazer 100 jogadas. Aliás. pelo que na segunda situação escolheríamos só fazer 10 jogadas. No entanto.5.Organização e tratamento de dados 222 que o número de lançamentos da moeda aumenta. o número de vezes que sai a face Euro seja igual a metade do número de lançamentos. qual a probabilidade de um aluno obter uma nota superior a 14 na disciplina de Bioestatística. quando se lança uma moeda de um euro. Probabilidade subjectiva – atribui-se a um acontecimento uma probabilidade com base na experiência e informação anteriores. os resultados do exemplo apresentado na secção anterior permitem-nos inferir que à medida que se aumenta o número de lançamentos. Por exemplo. neste caso. pode eventualmente acontecer que. é de difícil aplicação. nem tão pouco assumir que os resultados da experiência são igualmente possíveis.2. estamos a admitir que a moeda foi . não incluindo sequer o resultado “Ficar em pé”. Uma vez que existe algo de arbitrário na atribuição de probabilidades a acontecimentos seguindo esta teoria. ela fique em pé! No entanto este resultado é tão raro. 6.5. diminua a probabilidade de obter igual número de faces Euro e faces Nacional. é natural atribuir a esse acontecimento uma probabilidade de 100%. que lhe atribuímos a probabilidade 0. não é verdade que em muitos lançamentos da moeda equilibrada. subjectiva.1. se formos ver o currículo do aluno poderemos atribuir uma probabilidade elevada (ou baixa) ao acontecimento em causa. Também de acordo com o que dissemos anteriormente. formalizadas na secção 6.Consideremos a experiência aleatória que consiste em verificar qual a face que fica voltada para cima. onde se encontra matriculado no 1º semestre. como um resultado possível.3 Probabilidade subjectiva A maior parte das vezes não se pode repetir a experiência as vezes que se quer.3 Exemplos de modelos de probabilidade Nesta secção apresentaremos alguns modelos de probabilidade e trabalharemos algumas das propriedades da probabilidade. A probabilidade diz-se.5. 6. Exemplo – Lançamento da moeda de um euro . se lhe perguntarem qual a probabilidade do próximo presidente da República ser homem. ao lançar a moeda. no curso de Biologia de determinada faculdade? Nem é desejável que a experiência se repita.4. Um modelo de probabilidade que normalmente se mostra adequado para descrever o fenómeno associado é o seguinte Resultados Probabilidade Face Euro E 1/2 Face Nacional N 1/2 Na tabela anterior apresentam-se os resultados possíveis e as probabilidades desses resultados ocorrerem. admitindo que o cubo que vai dar origem ao dado tinha sido construído nas devidas condições de modo que cada face tinha igual probabilidade de sair. também não terá influência a forma como se agarra o dado. envolvendo vários lançamentos de um dado. Se tivéssemos alguma razão para admitir que a moeda não era equilibrada. aparentemente “normal”. a realidade associada ao fenómeno que procuram descrever. Tarefa – Dados especiais12. Então vamos adoptar o modelo anterior. p. não estaremos a alterar a estrutura do cubo? Naturalmente que uma face com 6 pintas será um pouco mais pesada que uma com 1 pinta devido ao peso da tinta! E já agora. aproximadamente 50% das vezes sairá a face Euro e as outras 50% das vezes a face Nacional. ao considerar o modelo anterior. o melhor possível. ou o lançamento de vários dados. assim como a forma como se lança? O facto é que se pretendermos arranjar um modelo ideal que entre em consideração com todos estes factores.Organização e tratamento de dados 223 construída de tal modo que se a lançarmos muitas vezes. Exemplo – Lançamento do dado – Consideremos a experiência aleatória que consiste em lançar um dado e verificar qual a face que fica voltada para cima. O facto de se admitir este modelo de probabilidade para o nº de pintas da face que fica virada para cima ao lançar um dado permite-nos agora construir modelos para experiências mais elaboradas. o que nos leva a questionar se o modelo se adequa! Na verdade. estamos a admitir que o dado foi construído de tal modo que qualquer face terá igual probabilidade de sair. já o modelo anterior não servia. que é bastante satisfatório e traduz razoavelmente bem o fenómeno em estudo. um modelo que normalmente se mostra adequado para descrever o fenómeno aleatório associado é o seguinte Face Probabilidade 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 Mais uma vez. não são mais do que modelos! São idealizações “matemáticas” que tentam traduzir. ou seja. 415 . o fenómeno que consiste em verificar qual a face que fica virada para cima quando se lança um dado. O professor chegou à aula e apresentou quatro indicações para as probabilidades dos resultados do lançamento de um dado: Face 1º dado 2º dado 3º dado 4º dado Probabilidade Probabilidade Probabilidade Probabilidade 1/7 1/6 1/6 1 1/7 1/6 1/6 1 1/7 1/6 1/6 2 1/7 1/12 1/6 1 1/7 1/12 1/6 1 1/7 1/3 1/3 2 12 Adaptado de Moore (1997). Também neste caso. Mais uma vez chamamos a atenção para que os modelos de probabilidade. quando se desenham as pintas. não vamos conseguir arranjar modelo nenhum. O professor leva para a aula uma caixa de pastilhas M&M. não havendo nenhuma razão para admitir que os dados são equilibrados. em que se argumenta que os dados são especiais. c) O professor decidiu distribuir. cabendo a cada um 5 pastilhas.50 ou 50%.ipsangue. pois os acontecimentos “Ser vermelha” e “Ser amarela” são disjuntos. Como se sabe. dos grupos sanguíneos na população portuguesa faz-se de acordo com o seguinte modelo de probabilidade . No entanto. nomeadamente na previsão de stocks.25) ou 75%.05. é muito importante que um país tenha conhecimento da forma como se distribui o tipo de grupo sanguíneo. com 100 pastilhas.org/maxcontent-documento-231. pois nenhum dos outros pode ser modelo de probabilidade. A composição das caixas é tal que a probabilidade de tirar uma pastilha ao acaso e ela ter cada uma das cores é dada pela seguinte tabela: Cor Probabilidade Vermelha Amarela Castanha Laranja Verde Azul 0. No entanto alguns dos modelos propostos não são modelos de probabilidade legítimos. De acordo com informação disponível na página do Instituto Português do Sangue (http://www. Então nas 100 pastilhas espera-se que cerca de 25 sejam vermelhas e cerca de 25 sejam amarelas. Esta importância reside em vários factores.75 (=1-0. Qual a cor ou cores que se espera surjam com maior frequência? Quantas pastilhas se esperam de cor vermelha? E de cor azul? As pastilhas em maior proporção são as vermelhas e amarelas. Tarefa – A caixa de pastilhas M&M.25 0. Tarefa – O tipo sanguíneo.10 0. que é apresentar probabilidades superiores a 1. só se pode saber lançando o dado um grande número de vezes. ao acaso.20 ? a) O professor não disse qual a probabilidade de a pastilha ter cor azul. média. numa proporção de 25% cada cor. de entre os seus cidadãos.25 ou 25%. as pastilhas pelos 20 alunos da turma. P(vermelha ou amarela)=P(vermelha)+P(amarela). A probabilidade de não ser vermelha é igual a 0.15 0. i) Qual a probabilidade da pastilha ser vermelha? ii) E qual a probabilidade de ser vermelha ou amarela? iii) E qual a probabilidade de não ser vermelha? A probabilidade de ser vermelha é 0. então a probabilidade da pastilha ter a cor azul é 0. A cor que existe em menor proporção é a azul e espera-se que sejam cerca de 5 pastilhas azuis nas 100 pastilhas. só pela experimentação se poderia validar cada um dos modelos. e diz aos alunos que existem pastilhas de 6 cores. já que a soma das probabilidades de todos os resultados não é igual a 1. Qual é essa probabilidade? Como a soma das probabilidades tem de dar igual a 1. Então a probabilidade pretendida é 0. b) O professor pediu a um aluno para tirar 1 pastilha da caixa.html e revista ABO nº 29 de Janeiro/ Março de 2007) a distribuição. Porquê? Nesta situação. só o modelo respeitante ao dado 2 é que é legítimo.25 0. A probabilidade de ser vermelha ou amarela.Organização e tratamento de dados 224 Quais destas indicações estão correctas. O modelo 4 ainda tem outro defeito. pois pode doar sangue a qualquer pessoa. tenha sangue de tipo O. É importante o conhecimento deste esquema. para a população espanhola o modelo anterior não é adequado. Quando referimos anteriormente que a distribuição é. o grupo sanguíneo O é dador universal. O grupo sanguíneo AB é receptor universal. no entanto. responda às seguintes questões: . já que a distribuição do tipo de sangue se faz (em média) de acordo com o modelo Tipo sanguíneo Probabilidade O 45% A 42% B 10% AB 3% (http://pt. Os grupos A ou B podem receber sangue dos seus respectivos grupos ou do grupo O. No entanto só pode receber sangue de pessoas com o mesmo tipo de sangue O. A distribuição do tipo de sangue não é idêntica para todas as populações. ao contrário do que se passa com a população portuguesa. o mais provável é que seja do grupo sanguíneo A e o menos provável é que seja do grupo sanguíneo AB. independentemente do seu tipo de sangue. na população espanhola é mais provável que um espanhol. significa que há algumas alterações de região para região (ver referência anterior do Instituto Português do Sangue). em média. a que se apresenta. Esta tarefa pode ser adequada para o professor falar na turma sobre a compatibilidade entre os tipos sanguíneos que se apresenta no diagrama seguinte: Como se exemplifica na figura anterior. Tendo em consideração a tabela da distribuição do tipo de grupo sanguíneo da população portuguesa e o esquema anterior. só pode doar sangue a pessoas do mesmo tipo AB.Organização e tratamento de dados 225 Tipo sanguíneo Probabilidade O 42% A 47% B 8% AB 3% Da tabela anterior concluímos que se seleccionarmos um indivíduo ao acaso na população portuguesa.org/wiki/Grupo_sangu%C3%ADneo) Como se verifica.wikipedia. sabe-se que se pode dar o grupo O. pois numa situação de aflição em que não se tenha tempo de averiguar o grupo sanguíneo de um indivíduo a necessitar de sangue. seleccionado ao acaso. pois pode receber sangue de qualquer tipo. Por exemplo. ele possa dar sangue ao Ricardo? O Ricardo só pode receber sangue de tipo O. respectivamente. Assim a probabilidade que uma pessoa seleccionada ao acaso possa dar sangue à Joana é 0.52 Para obter o modelo anterior.42 ou 42%. ou P(sexo feminino) = 0. c) A Joana tem sangue de tipo A. tendo em conta a seguinte classificação: entre 0 e 14 anos. respondendo à questão colocada: A probabilidade de seleccionar um residente ao acaso e ele ser do sexo Feminino é 0.89 (=0.48 0. ao acaso. a população residente em Portugal.ine. Se precisar de sangue. quanto ao sexo: Sexo Masculino Feminino Nº de residentes 5000141 5355976 Qual a probabilidade de escolhendo um residente ao acaso. 5000141 e 5355976 são. qual a probabilidade de escolhendo um indivíduo ao acaso de entre a população portuguesa.Consideremos a experiência que consiste em seleccionar uma pessoa ao acaso de entre a população residente em Portugal e verificar qual a classe etária a que pertence. pelo que a probabilidade é igual a 1 ou 100%. se for seleccionado ao acaso é de 0. Assim.47) ou 89%.52. de entre a população residente: Sexo Masculino Feminino Probabilidade 0. ele ser do sexo feminino? De acordo com a tabela anterior. A Joana pode receber sangue tipo O ou tipo A.Organização e tratamento de dados 226 a) O Ricardo tem sangue de tipo O. Se precisar de sangue. uma pessoa residente em Portugal. b) A Rita tem sangue de tipo AB. Qualquer pessoa pode dar sangue à Rita.42+0.pt). qual a probabilidade de escolhendo um indivíduo ao acaso de entre a população portuguesa. ele possa dar sangue à Rita. qual a probabilidade de escolhendo um indivíduo ao acaso de entre a população portuguesa.52 Exemplo – A idade da população residente em Portugal . é mais provável que seja homem ou mulher? De acordo com o Censo 2001 (www. ele possa dar sangue à Joana. podemos definir o seguinte modelo de probabilidade para o fenómeno aleatório que consiste em averiguar o sexo de uma pessoa escolhida ao acaso. pelo que a probabilidade de alguém lhe poder dar sangue. Exemplo – Se seleccionar. Se precisar de sangue. considerámos como probabilidades dos acontecimentos Masculino e Feminino as suas frequências relativas na população considerada. entre 25 e 64 . o número de resultados favoráveis à ocorrência dos acontecimentos Masculino e Feminino. distribui-se da seguinte forma. Admitindo que os 10356117 residentes são igualmente possíveis de ser seleccionados. entre 15 e 24 anos. 35% azul e 12% verde.164 65 ou mais anos Repare-se que nos dois exemplos anteriores. No entanto basta considerar o resultado “Prefere outra cor diferente das 3 cores consideradas” com uma probabilidade de 0. ou se tem em conta outro tipo de informação. Será que o modelo seguinte pode constituir um modelo de probabilidade para o fenómeno em estudo. escolhido ao acaso.43 Azul 0.160 Entre 15 e 24 anos 0.10. podemos considerar o seguinte modelo de probabilidade. verde ou azul. identificando o que se pretende efectivamente estudar. tendo para cada um desses fenómenos construído um modelo de probabilidade: num dos casos estávamos interessados em averiguar o sexo de uma pessoa escolhida ao acaso. Azul ou Verde.12 Repare-se que a soma das probabilidades anteriores não é igual a 1. De acordo com o censo de 2001.Organização e tratamento de dados 227 anos e 65 ou mais anos. ao acaso. Nos exemplos considerados.35 Verde 0. as frequências relativas. qual a cor preferida para pintar o pátio da escola e pediu para votarem uma das seguintes cores: amarelo.35 Verde 0. para uma mesma população. para descrever o fenómeno aleatório que consiste em seleccionar. considerámos dois fenómenos aleatórios diferentes. Como resultado da votação. Então não temos um modelo de probabilidade. enquanto que no outro caso o que nos interessava era saber a idade dessa pessoa.12 Outra cor 0. “Preferir azul” ou “Preferir verde”. 43% dos alunos escolheram amarelo. preferir amarelo ou azul? E qual a probabilidade de não preferir o verde? A atribuição de probabilidades aos acontecimentos pode ser feita de várias formas: ou se repete a experiência muitas vezes e se verifica a percentagem de vezes que o acontecimento se realizou. Esta situação serve para chamar a atenção para o facto de que quando estamos interessados em estudar um fenómeno aleatório. não basta dizer que se seleccionou ao acaso um indivíduo residente em Portugal! É necessário dizer o que se pretende observar relativamente a esse indivíduo seleccionado. temos a seguinte tabela para o número de residentes de cada classe etária: Idade Nº de residentes Entre 0 e 14 anos 1656602 Entre 15 e 24 anos 1479587 Entre 25 e 64 anos 5526435 1693493 65 ou mais anos Considerando como probabilidades. que vamos representar simplesmente por Amarelo. Neste caso temos as frequências relativas dos acontecimentos “Preferir amarelo”.143 Entre 25 e 64 anos 0. um indivíduo residente e verificar a que classe etária pertence: Idade Probabilidade Entre 0 e 14 anos 0. para já termos um modelo de probabilidade. Tarefa – Qual a cor preferida para pintar o pátio da escola? O director da escola decidiu investigar. Qual a probabilidade de um aluno. ou se deduz a partir de resultados igualmente possíveis. que é o de averiguar qual a cor preferida? Cor preferida Probabilidade Amarelo 0. junto dos alunos.43 Azul 0.534 0. ele tem que ser bem descrito. Cor preferida Probabilidade Amarelo 0.10 . a) Descreva um modelo de probabilidade para o fenómeno aleatório que consiste em retirar um berlinde e registar a cor. donde a probabilidade pretendida é 4/8 ou 50%. Qual a probabilidade da seta apontar uma parte preta? Qual a expectativa sobre o número de vezes que se espera que a seta aponte uma parte preta. Quando retira o berlinde anota a cor e repõe outra vez na caixa. Tarefa – O jogo com berlindes. quantos euros espera ganhar: i) Se por cada berlinde verde que sair.78 A probabilidade de um aluno preferir amarelo ou azul é igual a 78%. Se rolar a roleta 100 vezes. qual a percentagem de vezes que espera que a seta aponte um número par? A probabilidade da seta apontar uma parte preta é ½ ou 50%. b) Ao fim de 300 extracções.35 aluno não pode preferir duas cores) = 0. que se admitem igualmente possíveis de serem apontadas pela seta. mas se não apontar 10 vezes não significa que a roleta esteja mal construída. 4 são pretas. 2 verdes e 4 vermelhos. se rolar a roleta 20 vezes? Se não obtiver 10 vezes a parte preta significa que a roleta está mal construída? Se rolar a roleta 100 vezes.12 =0.88 A probabilidade de um aluno não preferir o verde é 88%. espera-se que a seta aponte um número par. 25% das vezes. já que das 8 partes em que está dividida a roleta. Numa caixa estão 6 berlindes. Tarefa – A roleta de duas cores O professor pede a um aluno que faça rodar a roleta e observar a parte apontada pela seta.43+0. ou seja 10 vezes. ganhar 1 euro? ii) Se por cada berlinde verde ganhar 2 euros e por cada berlinde vermelho perder um euro? Um modelo de probabilidade para o fenómeno aleatório que consiste em registar a cor do berlinde pode ser o seguinte: . pelo que P(Não preferir verde) =1-P(Verde) =1-0. com reposição.Organização e tratamento de dados 228 P(Amarelo ou azul) =P(Amarelo)+P(Azul) (porque os acontecimentos Amarelo e = 0. uma vez que um = 0.35 Azul são disjuntos.43+0. Se a roleta rodar 20 vezes espera-se que a seta aponte uma parte preta cerca de metade das vezes. O acontecimento “Não preferir verde” é o complementar de “Preferir verde”. sair pela primeira vez a face Euro ao fim do 3º lançamento? Quando se lança uma moeda de 1 euro. ou pode sair pela 1ª vez no 2. essas possibilidades diminuem para metade. pelo que nesta segunda hipótese não é de esperar ganhar nem perder. Lançamentos. com reposição. Como nas 300 extracções (com reposição) se espera que saia cerca de 100 vezes berlinde verde (1/3 das 300 vezes) e nas outras vezes berlinde vermelho. enquanto que se for da caixa 2. em que a probabilidade de extrair um berlinde verde é de 20%. etc. O que se pretende é estimar a probabilidade do acontecimento “A face Euro saiu pela 1ª vez no 3º lançamento”. repetidamente. Tarefa – Quantos lançamentos são necessários? Qual a probabilidade de. Qual das caixas prefere? Em cada extracção existem 2 possibilidades em 5 de sair um berlinde verde. cujos resultados se apresentam a seguir: Nº experiência 1 2 3 4 5 6 7 1º N E E E E E N N N E 2º E 3º 4º 5º 6º 7º Nº lançamentos 2 1 1 1 1 1 4 . 2 são verdes e 4 são vermelhos. cada uma com 5 berlindes verdes e vermelhos. Quando se retira um berlinde. pelo que nas 100 extracções se espera que a cor verde saia cerca de 40 vezes e a cor vermelha 60 vezes. Suponha que tem as seguintes caixas. espera-se extrair 20 berlindes verdes e 80 vermelhos. donde o ganho seria aproximadamente de 120 euros (=20x2+80x1). Assim. a face Euro pode sair no 1º lançamento. se for vermelho ganha-se 1 euro: Dão-lhe a possibilidade de escolher uma das 2 caixas para fazer 100 extracções. Tarefa – As duas caixas de berlindes. enquanto que na segunda situação se espera ganhar 200 euros e perder outros 200 euros. ou 3º. ou 4º. no lançamento de uma moeda de 1 euro. Portanto é preferível a caixa 1. se ele for verde ganham-se 2 euros. Com a caixa 2. donde se espera ganhar aproximadamente 140 euros (=40x2+60x1).Organização e tratamento de dados 229 Cor Probabilidade Verde 1/3 Vermelha 2/3 já que dos 6 berlindes que estão na caixa. a probabilidade de extrair um berlinde verde é 40%. se se fizer a extracção da caixa 1. na primeira situação espera-se ganhar 100 euros. se se escolher a caixa 1. Para estimar esta probabilidade realizou-se 50 vezes a experiência de lançar a moeda até sair cara pela primeira vez. Organização e tratamento de dados 230 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 N N N N E N N N E N E N E N N E E E E E E E E E N N N E E E N E N E N N N N N E N E N N E N E N E E E E E N E N N N E 3 2 6 2 1 E 3 2 2 1 2 1 2 1 2 N N N N E 7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 N N E N N E E 4 4 2 1 1 1 E E N N N N E N E E E E E N N E 2 1 2 1 3 3 3 5 2 1 3 1 2 Nas 50 experiências. pelo que uma estimativa para a probabilidade do acontecimento “A primeira vez que se regista a face Euro é ao fim do 3º lançamento” é 6/50=0. Vamos aproveitar as experiências anteriores para atribuir um modelo de probabilidade para o fenómeno aleatório que consiste em averiguar quantas vezes é necessário lançar a moeda até sair a face Euro. Quais os resultados possíveis? Nas experiências anteriores o valor máximo que obtivemos para o número de . 6 vezes. verificou-se a saída da face Euro pela primeira vez ao 3º lançamento.12. NENN. NNEE. ou seja.125 4 lançamentos. NEE. ou seja. NNN Casos favoráveis: NNE P(3 lançamentos)=1/8 =0. ENEN.NNE. não sair no 1º nem no 2º e sair no 3º: Casos igualmente possíveis: EEE.26 3 6/50 3 0. NEEN. NN Casos favoráveis: NE P(2 lançamentos)=1/4 =0. EENE. NNNN Casos favoráveis: NNNE P(4 lançamentos)=1/16 =0. temos: 5 lançamento. de lançamento para lançamento. EEEN. Assim. Então. nem no 3º e sair no 4º: Casos igualmente possíveis: EEEE. NENE.50 2 13/50 2 0. EEEEN. NEEE. ou seja.50 2 lançamentos. mas no 2º: Casos igualmente possíveis: EE. nem no 3º. em número de 32 Casos favoráveis: NNNNE . os resultados possíveis duplicam. NEN. NE. NNEE. nem no 2º. ENEE.02 Probabilidade Vamos admitir que a moeda era equilibrada e considerar um modelo teórico baseado nesta hipótese.02 7 ou mais 1/50 7 ou mais 0. Assim propomos o seguinte modelo empírico. .06 5 1/50 5 0. em que consideramos como probabilidades as frequências relativas obtidas nas 50 experiências: Nº de lançamentos Probabilidade ou Nº de lançamentos 1 25/50 1 0. nem no 4º e sair no 5º: Casos igualmente possíveis: EEEEE. mas ninguém nos garante que ao realizar outra experiência não sejam necessários mais lançamentos.062 Repare-se que a metodologia aqui seguida para obter os resultados possíveis sempre que se faz mais um lançamento foi acrescentar E ou N a cada resultado possível do lançamento anterior. ENN. ENNE. Uma vez explicado o mecanismo.02 6 1/50 6 0. não sair no 1º. nem no 2º. ou seja.12 4 3/50 4 0.. vejamos como calcular as probabilidades para os vários acontecimentos elementares: 1 lançamento. não sair no 1º. mas obtemos sempre um único resultado favorável. ENNN. não sair no 1º.. ou seja. sair a face E quando se lança a moeda: Casos igualmente possíveis: E N Casos favoráveis: E P(1 lançamento)= 1/2 =0. NNNE. ENE.25 3 lançamentos. EN. EEN.Organização e tratamento de dados 231 lançamentos foi 7.. EENN. Uma caixa tem 52 drageias de chocolate. ou seja. retira-se uma ao acaso. Qual a probabilidade de ser verde? Construir um modelo de probabilidade para o fenómeno aleatório que consiste em tirar uma drageia e verificar a cor. verificamos que as probabilidades empíricas e teóricas estão muito próximas: Tarefa – A caixa com drageias de chocolate .984 =0. sem olhar. .. 12 amarelas e as restantes verdes. Número de drageias verdes = 52 – (15 + 10+ 12) = 52 – 37 = 15 Como a drageia é retirada ao acaso.Organização e tratamento de dados 232 P(5 lançamentos)=1/32 =0. em número de 64 Casos favoráveis: NNNNNE P(6 lançamentos)=1/64 =0. amarela ou azul. para misturar as drageias.016 Comparando os dois modelos.. 10 azuis. pelo que temos o seguinte modelo de probabilidade: Cor da drageia Probabilidade Verde 15/52 Vermelha 15/52 Amarela 12/52 Azul 10/52 ... Depois de abanar a caixa.nem no 5º e sair no 6º: Casos igualmente possíveis: EEEEEE.016 7 ou mais lançamentos: P(7 ou mais)=1–P(1ou2ou3ou4ou5ou6) =1-{P(1)+P(2)+P(3)+P(4)+P(5)+P(6)} pois os acontecimentos são disjuntos =1-0. todas têm igual possibilidade de serem retiradas. . nem no 2º. . pelo que a probabilidade pretendida é P(drageia verde) = 15/52 As probabilidades de retirar uma drageia vermelha. calculam-se de forma análoga. das quais 15 são vermelhas. não sair no 1º. EEEEEN...031 6 lançamentos. ª extracção sair uma consoante. o que não é possível num modelo probabilístico.4 Empate 0. w e y já pertencem ao alfabeto português). para a soma de todas as probabilidades ser igual a 1. Tarefa – Escolhe ao acaso uma letra do alfabeto. a probabilidade pretendida é P(vogal) =5/26 =0. qual é a probabilidade da equipa vir a ser derrotada? A soma das probabilidades tem de ser igual a 1 (100%).5 O treinador.1 e. com base no historial de jogos anteriores com o mesmo adversário. Assim a probabilidade de derrota passará a ser igual a 0. Se escolheres ao acaso uma letra da palavra “palavra” quais os resultados que podes obter? São todos igualmente possíveis? Qual a probabilidade de seleccionares cada uma das letras? . que acha que a equipa está a atravessar um bom momento de forma.O estatístico da equipa de andebol de uma certa escola.3. Seria possível manter a probabilidade de derrota alterando a probabilidade de empate? Não. Casos possíveis: cada letra da 1ª extracção pode combinar-se com qualquer letra na 2ª extracção. seleccionávamos um papel ao acaso.Organização e tratamento de dados 233 Tarefa – O jogo de andebol .6 e não 0. Qual a probabilidade de ser vogal? Se seleccionar 2 letras. a probabilidade de empate teria de ser negativa. assim o número de casos favoráveis é 5x21+21x5. uma ser vogal e a outra consoante.ª extracção sair uma vogal. vamos contar o número de casos possíveis e de casos favoráveis. é de opinião que a probabilidade de Vitória deverá ser igual a 0. qual a probabilidade de uma ser vogal e a outra consoante? Como o alfabeto português tem 26 letras (as letras k.4. das quais 5 são vogais. pelo que o número de casos possíveis é 26x25.323 Tarefa – Escolhe ao acaso uma letra da palavra “palavra”.192 Para obter a probabilidade de ao retirar 2 letras. Casos favoráveis: se na 1. ela pode combinar-se com qualquer consoante na 2. colocávamos numa caixa e depois de baralhar. excepto consigo própria. Admitindo que a probabilidade de Empate não se altera. se na 1. ela pode combinar-se com qualquer vogal e o número de casos é 21x5. P(vogal e consoante)= 5 21 21 5 26 25 =0. pois 0. O professor colocou a seguinte questão aos alunos: Suponham que escrevíamos cada letra do alfabeto num papel. sugeriu o seguinte modelo probabilístico para o resultado final do próximo jogo: Resultado Probabilidade Vitória 0.5=1.6+0.1 Derrota 0.ª extracção e temos 5x21 casos. cada aluno retirava do saco. calhar a sua fruta preferida. Tarefa – Será que o Pedro vai comer a sua fruta preferida? O professor pediu a cada um dos alunos que trouxessem no dia seguinte uma peça de fruta. a escolha da peça de fruta . que são os 3 a’s de cores diferentes. enquanto o professor apontava no quadro quais os tipos de fruta e quantas peças de cada tipo se tinham juntado no saco: Quando chegasse a hora do lanche.a + Prob. pois das 7 letras que compõem a palavra. de onde Probabilidade de seleccionar a = = = = Probabilidade de seleccionar (a ou a ou a) Prob. mas em que agora os 7 resultados são igualmente possíveis Letra Probabilidade p 1/7 a 1/7 l 1/7 a 1/7 v 1/7 r 1/7 a 1/7 O acontecimento que consiste em seleccionar um a é composto por 3 resultados favoráveis. como seria de esperar. Assim. a 1/7+1/7+1/7 3/7 A probabilidade de seleccionar cada uma das outras letras é 1/7. O professor poderá abordar o problema da seguinte forma: escreve cada um dos a’s de palavra com uma cor diferente e considera como resultados possíveis as 7 letras. 3 são a’s. alguns alunos não estavam de acordo! Segundo eles. Então temos 3 em 7 possibilidades de escolher o a e 1 em 7 possibilidades de escolher qualquer uma das outras letras. de entre 7 possíveis. que era o primeiro aluno a retirar a peça de fruta. um modelo de probabilidade para a escolha de uma letra ao acaso de “palavra” é: Letra p a l v r Probabilidade 1/7 3/7 1/7 1/7 1/7 Repare-se que a soma das probabilidades é igual a 1. pois a letra a tem maior probabilidade de ser seleccionada. à medida que cada aluno trazia a peça de fruta esta era colocada num saco. que podia ser a fruta preferida. Nesse dia. de sel. a + Prob. de sel. uma peça de fruta. em que distingue os 3 a’s. os resultados possíveis que podemos obter são p a l v r Estes resultados não são todos igualmente possíveis. Pode haver da parte de alguns alunos alguma dificuldade na compreensão da atribuição de probabilidades aos acontecimentos elementares anteriores constituídos por cada uma das letras anteriores. de sel.Organização e tratamento de dados 234 Quando seleccionamos ao acaso uma letra da palavra “palavra”. que é a banana? Quando o professor acabou de explicar como iria ser feita a selecção de cada fruta. ao acaso. Qual a probabilidade de ao André. Estas são facilmente distinguíveis ao tacto. já o mesmo não se passava com as bananas. e o que os alunos seleccionavam era o nome do fruto e não o fruto propriamente dito. metiam o papel no saco. Tarefa – A caixa de disquetes. O espaço de resultados associado à experiência aleatória que consiste em extrair 2 disquetes e verificar quantas estão avariadas só pode ter como resultados possíveis o 0 e o 1. pelo que admitimos o seguinte modelo para a probabilidade de saída de cada uma das faces do dado: Face Probabilidade 1 1/6 2 1/6 3 1/6 4 1/6 5 1/6 6 1/6 . Então a probabilidade pretendida é 8/20 ou 40%. Então a probabilidade de ao Pedro calhar uma banana é 9/24. Considere-se a experiência aleatória que consiste em lançar um dado equilibrado e em verificar a face que fica voltada para cima. Uma caixa tem 5 disquetes. A probabilidade de 0 disquetes avariadas na amostra das 2 é 12/20. mesmo de olhos fechados. dos quais 8 fazem com que se verifique o acontecimento pretendido e que é “seleccionar a disquete avariada”. B3 e B4 e a disquete avariada por A. a) Qual o modelo de probabilidade associado ao fenómeno aleatório em estudo? b) Qual a probabilidade de se obter uma face com 2 ou menos pintas? c) Qual a probabilidade de se obter um número par? Resolução: a) Ao dizermos que o dado é equilibrado estamos a colocar-nos numa situação de simetria ou equilíbrio. donde podemos considerar o seguinte modelo de probabilidade para o número de disquetes avariadas na amostra das duas disquetes: Número de disquetes avariadas Probabilidade 0 0. pois se as maçãs se podiam confundir ligeiramente com as laranjas e eventualmente com as peras. Então decidiram utilizar a seguinte metodologia: escreviam o nome de cada peça de fruta num papel. Selecciono 2 disquetes ao acaso. Para obter os resultados possíveis associados a esta experiência vamos considerar a seguinte tabela (estamos perante uma extracção sem reposição): B1 B2 B1 B3 B1 B4 B1 A B1 B2 B1 B2 B3 B2 B4 B2 A B2 2ª disquete B3 B4 B1 B3 B1 B4 B2 B3 B2 B4 B3 B4 B4 B3 A B3 A B4 A B1 A B2 A B3 A B4 A - B1 B2 B3 B4 A O espaço de resultados é constituído por 20 resultados igualmente possíveis. B2. Para facilitar. vamos representar as disquetes boas por B1. dos quais 9 eram de bananas. das quais 1 está avariada.60 1 0.40 Tarefa – Lançamento de um dado equilibrado. Ao todo o saco continha 24 papéis com nomes de frutos. Qual a probabilidade de me calhar a disquete avariada? Obtenha um modelo de probabilidade para o fenómeno aleatório que consiste em escolher 2 disquetes e verificar quantas estão avariadas.Organização e tratamento de dados 235 não poderia ser feita de forma completamente aleatória. Então decidiu-se proceder do seguinte modo: escrevem-se os 5 nomes em pedaços de papel de igual tamanho.. o Miguel. pois todos os outros estão repetidos: . Depois de alguma discussão.Organização e tratamento de dados 236 b) O acontecimento A. “Face com um número de pintas menor ou igual a 2” tem 2 resultados favoráveis. pois não se pode correr o risco de o mesmo aluno ser seleccionado duas vezes. a Sofia e o Tiago. como temos 3 resultados favoráveis.. alguns alunos questionaram o facto de na escolha dos dois alunos não interessar a ordem pela qual os alunos são escolhidos. Tarefa – Uma escolha difícil entre 5 candidatos! O professor pretendia eleger uma comissão constituída por 2 alunos para preparar a festa de finalistas. dá a todas as amostras a mesma probabilidade de serem seleccionadas. Assim. houve logo 5 alunos – a Rita. a Sara. os alunos recordaram o que o professor tinha ensinado sobre a selecção aleatória de amostras. 6}. os pares que interessam são os dos seguintes ramos. é necessário começar por construir o espaço de resultados. dobram-se. B = {2. pelo que seleccionar a Rita e o Miguel é idêntico a seleccionar o Miguel e a Rita. 4. nomeadamente estava dispensada de algumas aulas. Para calcular as probabilidades pretendidas. “Saída de número par”. A = {1. baralham-se e retiram-se 2 nomes de uma vez. que quase simultaneamente levantaram o braço desejosos de pertencer à comissão! Questões colocadas pelo professor: Como escolher 2 alunos de entre os cinco candidatos? Qual a probabilidade de os dois rapazes fazerem parte da comissão? Qual a probabilidade de a comissão ser constituída por um aluno de cada sexo? Como o professor não pretende privilegiar nenhum dos alunos.. Um grupo de alunos propôs utilizar um diagrama em árvore e apresentou o seguinte esquema: Contudo. Como esta comissão tinha algumas regalias. colocam-se numa caixa. 2} donde P(A) = 2/6 c) Quanto ao acontecimento B. terá de proceder a uma selecção aleatória de uma amostra de 2 alunos de entre os 5 alunos candidatos. donde P(B) =3/6. Neste caso é evidente que se tem de proceder a uma selecção sem reposição. quando o professor acabou de falar. pois seleccionaram-se os dois alunos ao mesmo tempo. O professor tinha explicado que o processo anteriormente descrito de seleccionar uma amostra. ao analisarem o diagrama anterior. Sara Rita. Miguel Tiago. Sofia Tiago. Sara Tiago. Miguel Sofia. o modelo de probabilidade adequado é o seguinte: Par Prob. por exemplo. Rita Tiago. pelo que a probabilidade pretendida é igual a 1/10. Rita Sofia. pois o professor colocou a seguinte questão: o que é que acontece se a selecção dos dois nomes não for feita de uma única vez. Sofia Tiago} Modelo de probabilidade: Par Prob. A tarefa não terminou aqui. Rita Sofia. Miguel Rita. visualizados no 1º esquema: S = {Rita Miguel. Sara Miguel. Miguel Sara. Tiago Sofia} Como os resultados também são todos igualmente possíveis. Tiago Rita. mas sequencialmente (sem repor o primeiro elemento seleccionado). pelo que a probabilidade pretendida é igual a 6/10. Sara Sofia. Sofia Miguel. Miguel Sara. Sofia Sara. Qual o espaço de resultados? Quais as probabilidades dos acontecimentos em jogo? Os alunos que tinham apresentado o primeiro esquema em árvore sugeriram que agora o espaço de resultados seria constituído pelos vinte resultados. Rita Sara. pelo que a probabilidade pretendida é igual a 2/20 ou 1/10. Rita Miguel 1/20 Sara Sofia 1/20 Rita Sara 1/20 Sara Tiago 1/20 Rita Sofia 1/20 Sofia Rita 1/20 Rita Tiago 1/20 Sofia Miguel 1/20 Miguel Rita 1/20 Sofia Sara 1/20 Miguel Sara 1/20 Sofia Tiago 1/20 Miguel Sofia 1/20 Tiago Rita 1/20 Miguel Tiago 1/20 Tiago Miguel 1/20 Sara Rita 1/20 Tiago Sara 1/20 Sara Miguel 1/20 Tiago Sofia 1/20 O acontecimento “Os dois rapazes fazem parte da comissão” é constituído por dois resultados. O acontecimento “A comissão tem alunos dos dois sexos” é constituído por 6 resultados. Miguel Tiago. Par Prob. Sara Tiago. Rita Miguel 1/10 Rita Sara 1/10 Rita Sofia 1/10 Rita Tiago 1/10 Miguel Sara 1/10 Miguel Sofia 1/10 Miguel Tiago 1/10 Sara Sofia 1/10 Sara Tiago 1/10 Sofia Tiago 1/10 O acontecimento “Os dois rapazes fazem parte da comissão” é constituído por um único resultado. Tiago Sara. Sofia Rita. Tiago Miguel. . Rita Sara. Sara Sofia.Organização e tratamento de dados 237 Espaço de resultados: S = {Rita Miguel. Rita Tiago. interessando a ordem pela qual os nomes são seleccionados? Esta situação poderia colocar-se se. o primeiro elemento a ser seleccionado fosse o “representante” da comissão. Miguel Sofia. Se sair uma face com 3 ou mais pintas a Inês ganha um rebuçado. o Tiago tem metade da probabilidade da Inês de ganhar um rebuçado. que pode ir de 2 a 12. finalmente. receberá 20 rebuçados. pelo que se espera que a Inês ganhe 20 das 30 jogadas e receba. se for 9. Embora se espere que ele só ganhe 10 das 30 jogadas. espera-se que 4/6 das vezes tenha saído uma face com 3 ou mais pintas. uma vez que aos outros colegas dava 4 possibilidades. Se a soma for 2. Concluímos que os acontecimentos anteriores têm probabilidades iguais. dizendo que este a estava a desfavorecer. Neste caso. 4 ou 5 o João ganha um ponto. podes ajudar o professor a mudar as regras sobre o número de rebuçados que dá ao Tiago ou à Inês. A Rita ficou muito zangada com o professor. já que agora cada jogada ganha dá direito a 2 rebuçados. quantos rebuçados esperas que tenha cada um dos jogadores? Se concluíste que o jogo é desequilibrado. 20 rebuçados. quando se lançam os dois dados: Suponhamos que no dado preto saiu 1 pinta. Então no dado branco pode ter saído qualquer valor de 1 a 6: . Será que ela tinha razão? Para ser mais fácil de descrever a actividade. Será que o jogo é justo? Na escola o professor propôs o seguinte jogo para ser jogado entre a Rita. 7 ou 8 ganha a Rita um ponto. 3. Assim. 10. Tarefa – Um jogo desequilibrado! O professor propôs o seguinte jogo ao Tiago e à Inês: lançam um dado e se sair uma face com menos de 3 pintas. quem é que esperas que tenha mais rebuçados? Achas que o jogo é equilibrado? Ao fim de 30 lançamentos do dado. como por exemplo “O Miguel foi seleccionado para representante de um grupo”. enquanto que o Tiago só receberá 10. No entanto agora. sempre que sair uma face com 1 ou 2 pintas. em cada jogada. se for 6. Ao fim de 30 lançamentos. pelo que a probabilidade pretendida é igual a 12/20 ou 6/10. ganha o Miguel. o João e o Miguel: lançam-se 2 dados de 6 faces e verifica-se a soma das pintas dos dados. de modo que após 30 jogadas tenham aproximadamente o mesmo número de rebuçados? No jogo anterior. 11 ou 12. de entre os 20 resultados possíveis só temos 4 favoráveis. o Tiago ganha um rebuçado. Para tornar o jogo equilibrado. já que a Inês tem 4 possibilidades em 6 de o ganhar. Repare-se que este acontecimento não é o mesmo que “O Miguel foi seleccionado para a comissão”. Ao fim de alguns lançamentos do dado.Organização e tratamento de dados 238 O acontecimento “A comissão tem alunos dos dois sexos” é constituído por 12 resultados. ao fim de alguns lançamentos é de esperar que Inês tenha mais rebuçados e o jogo não é equilibrado. Tarefa – Lançamento de dois dados. por conseguinte. Vamos esquematizar todas as situações possíveis de se verificarem. com este outro espaço de resultados tem sentido considerar outros acontecimentos. basta dar 2 rebuçados ao Tiago. enquanto que a ela só dava 3 e assim os colegas tinham uma maior probabilidade de ganharem. cuja probabilidade é 8/20. pelo que a probabilidade pretendida é 4/20. vamos considerar dois dados em que um é preto e o outro é branco. verificamos que existem algumas somas que surgem com mais frequência do que outras. onde temos esquematizado todos as situações possíveis. mas agora com 2. com o número de vezes que pode sair cada resultado para a soma das pintas.. Por exemplo a soma 12 só aparece quando sair 6 pintas nos dois dados enquanto que a soma 5 aparece nas seguintes situações Então concluímos que enquanto a probabilidade de o 12 sair é de 1 em 36. .. 3.. A partir da tabela anterior podemos construir uma outra tabela. em número de 36 do espaço de resultados S: Vamos considerar uma tabela com os números das pintas e a soma respectiva: 6+1=7 6+2=8 6+3=9 6+4=10 6+5=11 6+6=12 5+1=6 5+2=7 5+3=8 5+4=9 5+5=10 5+6=11 4+1=5 4+2=6 4+3=7 4+4=8 4+5=9 4+6=10 3+1=4 2+1=3 1+1=2 3+2=5 2+2=4 1+2=3 3+3=6 2+3=5 1+3=4 3+4=7 2+4=6 1+4=5 3+5=8 2+5=7 1+5=6 3+6=9 2+6=8 1+6=7 Analisando com cuidado a tabela anterior.Organização e tratamento de dados 239 Repetindo o processo. obtemos a figura seguinte. 6 pintas no dado preto. de 5 em 36. o 5 tem uma probabilidade maior. quando se lançam 2 dados: Resultado da soma das pintas 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Número de vezes que se pode verificar 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 Quem ganha João João João João Rita Rita Rita Miguel Miguel Miguel Miguel . se for 4. . de forma a transformarem um jogo que não era justo. Uma versão desta tarefa pode ser realizada na sala de aula da seguinte forma: o professor coloca numa taça de plástico transparente alguns smarties (em número superior ao número de alunos da turma). pelo que o smartie foi colocado no prato do João). da Rita ou do Miguel (na figura. ficando o aluno ganhador com os que sobram. pois estava a ser privilegiada neste jogo. num jogo justo. que não era um jogo justo. 10. Quem é que se espera que ganhe? No fim do jogo todos os alunos têm direito a um smartie. 5 ou 6 ganha a Rita um ponto. propuseram a seguinte regra: se a soma for 2. Depois de alguma discussão. 11 ou 12. a Rita tem 16 (5+6+5) possibilidades de ganhar. de acordo com as regras estipuladas para o jogo: o João tem 10 (1+2+3+4) possibilidades de ganhar. pode-se considerar o seguinte modelo de probabilidade associado à experiência que consiste em lançar dois dados e verificar a soma das pintas das faces que ficam viradas para cima: Resultado Probabilidade 2 1/36 3 2/36 4 3/36 5 4/36 6 5/36 7 6/36 8 5/36 9 4/36 10 3/36 11 2/36 12 1/36 Tarefa – Vamos lançar 2 dados (cont). Será que chegaram a uma boa solução? Ainda aproveitando os resultados da tabela anterior. exemplificamos uma situação em que a soma é igual a 3. se for 3. 9. Afinal a Rita não tinha razão. ganha aquele que tiver maior número de smarties no seu prato. ganha o Miguel. o Miguel tem 10 (4+3+2+1) possibilidades de ganhar. finalmente. A professora lança 2 dados e conforme o número que se verificar para a soma das pintas das faces que ficam voltadas para cima. O professor então propôs que redistribuíssem os resultados possíveis pelos 3 colegas.Organização e tratamento de dados 240 Então quando se lançam os dois dados. Quando se esgotarem os smarties da taça. retira um smartie da taça e coloca no prato do João. 7 ou 8 o João ganha um ponto. Quando formalizámos a noção de espaço de resultados.6) 2/36 .5) 2/36 (2.2) 2/36 (3.1)! Os resultados em que as faces são iguais têm metade da possibilidade de qualquer um dos outros resultados. são usados para modelar situações diferentes.6) 2/36 (2.1) 1/36 (3. por exemplo (1. Se representarmos a probabilidade de sair faces iguais por p temos para a probabilidade de sair qualquer resultado: P + 2 p + 2 p +2 p +2 p +2 p + P + 2 p +2 p +2 p +2 p + P +2 p +2 p +2 p + P +2 p +2 p + P + 2 p + P Como a soma das probabilidades dos acontecimentos elementares que constituem o espaço de resultados tem de ser igual a 1.3) 1/36 (1.3) 2/36 (3.4) 1/36 (1. e tendo em consideração que a soma anterior é igual a 36 p. argumentar que os resultados são todos igualmente possíveis? Não! Se lançarmos os dados. para o espaço S’: Os dois espaços de resultados considerados respectivamente na tarefa anterior e nesta tarefa. como indistinguíveis.4) 2/36 (3. Enquanto que no primeiro caso.4) 2/36 (5. embora ambas associadas à experiência que consiste em lançar dois dados e verificar as faces voltadas para cima. como na tarefa anterior. para modelar o lançamento de dois dados iguais ou dois dados diferentes lançados ao mesmo tempo. mas sim 21.4) 2/36 (1.3) 2/36 (5. ou um dado lançado duas vezes.6) 2/36 (1. como na tarefa anterior. se utiliza o espaço de resultados S com 36 resultados. em que se consideram os dados indistinguíveis. como se apresenta a seguir. vem que 36 p=1 p=1/36 e o modelo de probabilidade associado é Resultado Probabilidade Resultado Probabilidade (1.6) 1/36 (2.2) do que (1.5) 2/36 (4. no segundo caso considera-se que os dois dados são indistinguíveis.6) 2/36 (2.5) 2/36 (1. Neste caso. Como atribuir probabilidades aos resultados deste espaço de resultados S’? Podemos.2) 1/36 (4. há o dobro das possibilidades de se obter.6) 2/36 (4. existem algumas dificuldades em especificar o espaço de resultados. vimos que associado à experiência aleatória que consiste em lançar dois dados e verificar as faces que ficam voltadas para cima. Esta dificuldade prende-se com o facto de se poderem considerar os dois dados idênticos. o número de resultados do espaço de resultados não é 36.5) 1/36 (2.5) 2/36 (6.Organização e tratamento de dados 241 Tarefa – Ainda o lançamento de dois dados. o resultado (1. efectivamente. pelo que o raciocínio dos alunos que indicaram ¼ está correcto. por analogia. Nacional Euro e Nacional Nacional havendo. Se as lançar. Por exemplo. já que o 11 pode ser obtido de duas maneiras distintas. 13 Sugerida por Burrill (2006). Efectivamente o resultado “uma face de cada qualidade” pode ser obtido de duas maneiras possíveis: “face Euro e face Nacional” ou “face Nacional e face Euro”. Também neste caso. cerca de 25% dos alunos respondeu 1/3 e os restantes responderam ¼. seguida de uma face Nacional. já que os resultados possíveis do lançamento das duas moedas são Euro Euro. que foi respondida da seguinte forma: Um pouco mais de 50% dos alunos respondeu ½. e uma possibilidade é que tenham considerado como resultados possíveis 2 faces Euro. Euro Nacional. poderíamos ter utilizado o modelo de probabilidades associado ao espaço de resultados S. qual a probabilidade de obter “uma face Euro e uma face Nacional”? Os alunos dividiram-se na resposta a esta questão. em que as faces são diferentes. em que cada acontecimento elementar tem probabilidade 1/36. 1 face de cada qualidade esquecendo-se que estes resultados não são igualmente possíveis. O professor para que os alunos compreendessem melhor esta situação.1) em S. como sendo uma face Euro. por conseguinte. poderia. pelo que não se pode aplicar a regra de Laplace. de um modo geral. mas não são todos igualmente possíveis. mostrou. enquanto que o 12 só pode ser obtido de uma maneira. com este mesmo espaço de resultados. estaríamos à espera. a probabilidade de obter 11 não é igual à probabilidade de obter 12.2) de S’ é obtido se se verificar (1. Qual o raciocínio que pode ter estado por trás destas respostas? Esses raciocínios estarão correctos ou não? A resposta dada pela maior parte dos alunos é aquela que. em que o que interessa é o resultado da soma das pintas. como um acontecimento constituído por dois resultados elementares do espaço S. p. Por exemplo. dos quais só 1 seria favorável. 2 resultados favoráveis de entre 4 resultados igualmente possíveis. ser interpretado dessa maneira. o que se passa com o lançamento de dois dados.2) ou (2. 2 faces Nacional. Bastaria considerar cada resultado do espaço S’..Organização e tratamento de dados 242 Para atribuir as probabilidades anteriores aos acontecimentos elementares respectivos. 50 . alguns alunos interpretaram o acontecimento “uma face Euro e uma face Nacional”.. o espaço de resultados é constituído por 11 resultados. que embora não estivesse implícita na pergunta. Tarefa – O lançamento de duas moedas13. No entanto. Mais complicado será interpretar o que levou alguns alunos a responderem 1/3! Eventualmente teriam pensado em 3 resultados possíveis. O professor no início da aula colocou a seguinte questão: tenho aqui duas moedas de 1 euro. orientada pelo professor. Esta tarefa. Para obter esses resultados experimentais.Organização e tratamento de dados 243 Tarefa – Quem consegue dar primeiro a volta ao quadrado? Propomos a seguir um jogo14 que consiste no seguinte. desenhado no quadro. o gráfico pode apresentar o seguinte aspecto: 14 Sugerido pelo Sticks and Stones. o jogo pode ser jogado por vários pares de alunos e o professor pede aos alunos para irem registando num gráfico. de acordo com o tipo de faces que ficam voltadas para cima 3 2 1 3 faces Euro faces Euro e 1 Nacional face Euro e 2 Nacional faces Nacional movimenta movimenta movimenta movimenta 10 quadradinhos 3 quadradinhos 1 quadradinhos 5 quadradinhos Quando o primeiro jogador acabar de mover o seu pino. vai ser utilizada para comparar os resultados experimentais do lançamento das 3 moedas. será a vez do segundo jogador lançar as 3 moedas e movimentar o seu pino. os resultados dos sucessivos lançamentos das 3 moedas. Numa cartolina. este lança 3 moedas de um euro e movimenta o seu pino um certo número de quadrados. este jogador que foi ultrapassado volta ao ponto de onde partiu. com alguns resultados teóricos. Existe ainda uma regra especial e que é a seguinte: sempre que o pino de um jogador atingir ou ultrapassar o pino do outro jogador.org . Illuminations. chegando ao ponto de onde partiu.illuminations. Depois de alguns jogos. constrói-se um quadrado com 12 unidades de lado e em cada lado constroem-se 10 quadradinhos com uma unidade de lado: Este jogo é jogado por dois jogadores que movem o seu Pino na direcção indicada sendo o objectivo do jogo e as regras.nctm. os seguintes: Objectivo do jogo: Ser o primeiro jogador a dar uma volta completa ao quadrado. Regra do jogo: Depois de se escolher qual o jogador que começa o jogo. www. sem esquecer que a soma das probabilidades de todos os resultados tem que ser igual a 1.7%. De seguida o professor propõe aos alunos que considerem o modelo de probabilidade associado à experiência que consiste em lançar 3 moedas de Euro e verificar as faces que ficam viradas para cima. pelo que uma estimativa para a probabilidade pretendida é 4/31 ou seja aproximadamente 12. De modo análogo obtém-se como estimativa para a probabilidade da ocorrência de 2 faces Euro um valor aproximado a 38.Organização e tratamento de dados 244 O professor pede aos alunos para compararem as alturas das barras do gráfico e os alunos podem concluir que a ocorrência de 2 faces Euro ou uma face Euro são mais prováveis que a ocorrência de 3 faces ou 0 faces Euro. A construção do modelo de probabilidade pressupõe que se obtenham todos os resultados possíveis e que depois se atribua uma probabilidade a cada um desses resultados. No total das 31 ocorrências. Para obter todos os resultados possíveis pode-se utilizar um diagrama em árvore. verificou-se 4 vezes a saída de 3 faces Euro. como o que se apresenta a seguir: . A partir do gráfico o professor pede ainda para os alunos estimarem a probabilidade de saírem 3 faces Euro quando se lançam as 3 moedas.9%. 5%. Para já. 3 vezes 1 face Euro e finalmente 1 vez 0 faces Euro. espera-se que em 8 jogadas saia 1 vez 3 faces Euro. se em 8 jogadas se espera movimentar 27 quadradinhos. o David ganha um ponto. ENE. O acontecimento “1 face Euro” também tem probabilidade 3/8.Organização e tratamento de dados 245 O espaço de resultados S é constituído pelos seguintes resultados S = (EEE. quantas jogadas são necessárias para terminar um jogo? Uma estimativa deste valor pode ser obtida fazendo vários jogos. registando os resultados e fazendo a média dos resultados obtidos. Finalmente o professor ainda pode colocar a seguinte questão aos alunos: em média. . pelo que a probabilidade de cada um é 1/8: Resultado Probabilidade EEE 1/8 EEN 1/8 ENE 1/8 ENN 1/8 NEE 1/8 NEN 1/8 NNE 1/8 NNN 1/8 Agora os alunos podem comparar as probabilidades experimentais calculadas anteriormente. em média por jogada espera-se movimentar 27/8=3. o David e o António: lançam-se duas moedas e em cada lançamento. Como estão dois jogadores em jogo. este é constituído por 3 resultados. Então.5%. se saírem faces diferentes. Quem é que ganhará o jogo? Apresentamos a seguir o resultado do lançamento de 2 moedas equilibradas: 15 Graça Martins et al (2007). NEE. No entanto podemos ainda abordar esta questão através do seguinte raciocínio: tendo em conta o modelo de probabilidade anterior.375≈12 jogadas. concluem que a probabilidade de sair 3 faces Euro é igual à probabilidade de sair 0 faces Euro e igual a 1/8 ou seja aproximadamente 12.375 quadradinhos. o que faz com que em 8 jogadas (considera-se uma jogada o lançamento das 3 moedas e a movimentação do pino de acordo com o resultado do lançamento) se espera movimentar o seguinte número de quadradinhos: 1 10+3 3+3 1+1 5 = 27 Assim. espera-se terminar o jogo com um número de jogadas à volta de 24. Quanto ao acontecimento “2 faces Euro”. EEN. Ganha o jogo. NEN. ENN. caso contrário ganha o António o ponto. pois também é constituído por três resultados elementares. com as probabilidades teóricas calculadas a partir deste modelo. aquele que. pelo que a probabilidade de se realizar é 3/8 ou seja 37. NNN) Admitindo que a moeda é equilibrada. 3 vezes 2 faces Euro. para dar a volta aos 40 quadrados espera-se fazer 40/3. ao fim de 50 jogadas tiver ganho mais pontos. Se algum jogador tiver de voltar atrás terá de haver mais jogadas para terminar o jogo! Tarefa – Quem é que ganha o jogo?15 Na escola o professor propôs o seguinte jogo a ser jogado por dois alunos. todos os resultados anteriores têm igual possibilidade de se verificarem. NNE. pois ao fim de 50 jogadas tinha alcançado 26 pontos. enquanto que o David tinha 24 pontos.Organização e tratamento de dados 246 Jogada 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 1ª moeda N E E N E N E E E E E N N E N E E E N N N N N N N E E N N E N E E N E E N E E E E N E E N N E E E E 2ª moeda N E N N N N E N E E N E N N N N N E E N E E E N N E E N E N E E N E E N E E N N E E E E E N E E E N António ganha 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 David ganha 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 Pontos António 1 2 2 3 3 4 5 5 6 7 7 7 8 8 9 9 9 10 10 11 11 11 11 12 13 14 15 16 16 16 16 17 17 17 18 18 18 19 19 19 20 20 21 22 22 23 24 25 26 26 Pontos David 0 0 1 1 2 2 2 3 3 3 4 5 5 6 6 7 8 8 9 9 10 11 12 12 12 12 12 12 13 14 15 15 16 17 17 18 19 19 20 21 21 22 22 22 23 23 23 23 23 24 Neste jogo ganhou o António. tendo obtido os resultados seguintes: . Resolveram jogar novamente o mesmo jogo. Organização e tratamento de dados 247 Jogada 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 1ª moeda E E N N E N E E N N N N N E E N N E N N N N N E E N N N N E E N E N N E N E N E E E E N E E N N N E 2ª moeda E E N N N E N N E E N E E E N N N N E E N N E E E N E N E E E N E N E E E E E N N N N E E N E E N E António ganha 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 David ganha 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 Pontos António 1 2 3 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 6 6 7 8 8 8 8 9 10 10 11 12 13 13 14 14 15 16 17 18 19 19 20 20 21 21 21 21 21 21 21 22 22 22 22 23 24 Pontos David 0 0 0 0 1 2 3 4 5 6 6 7 8 8 9 9 9 10 11 12 12 12 13 13 13 13 14 14 15 15 15 15 15 15 16 16 17 17 18 19 20 21 22 23 23 24 25 26 26 26 Desta vez ganhou o David! Resolveram fazer ainda um 3º jogo para a desforra e obtiveram os seguintes resultados: . . pois qualquer um dos dois alunos tem igual “chance” de ganhar o jogo. Uma versão deste exemplo pode ser realizado na sala de aula. em que o professor desenha no quadro um trajecto que será percorrido pelos alunos que estão a jogar.Organização e tratamento de dados 248 Jogada 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 1ª moeda N E E E E N E E N N E N N N E E N E N N N N N N E E E N N E E E N N N N E E E E E N E N E E E N N N 2ª moeda N N N N N E E E E N N N E N N N N N N N E E N N N E E E N E N E N N E E E N N E N N N N E N N E N N António ganha 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 David ganha 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 Pontos António 1 1 1 1 1 1 2 3 3 4 4 5 5 6 6 6 7 7 8 9 9 9 10 11 11 12 13 13 14 15 15 16 17 18 18 18 19 19 19 20 20 21 21 22 23 23 23 23 24 25 Pontos David 0 1 2 3 4 5 5 5 6 6 7 7 8 8 9 10 10 11 11 11 12 13 13 13 14 14 14 15 15 15 16 16 16 16 17 18 18 19 20 20 21 21 22 22 22 23 24 25 25 25 Agora empataram! Afinal não se pode dizer à partida quem é que sairá o vencedor. lançou-se cada moeda 5 vezes. relativa Qual é a moeda? 1. Ganhará o que chegar mais rápido à meta. Tinha consigo 6 moedas. Mais uma vez se pede que preencha a última linha das tabelas: 25 lançamentos Freq. António David Tarefa – Moedas não equilibradas16.00 6. .56 2.ª moeda 0.Organização e tratamento de dados 249 da seguinte maneira: sempre que um dos alunos ganha.ª moeda 0.88 3..20 1. tente novamente associar as moedas com as probabilidades respectivas.ª moeda 1.78 5. sendo agora as frequências relativas as apresentadas na tabela seguinte..28 4.26 4.ª moeda 0. F. Com esta informação adicional.88 5. de tal modo que o professor resolveu propor ainda uma outra actividade relacionada com moedas.58 2. 5 das quais não tinham passado nos testes de controlo de qualidade e tinham sido rejeitadas por alegadamente não serem dadas como equilibradas.ª. Na turma onde se realizou a actividade anterior. relativa Qual é a moeda? 1.ª moeda 1. obtendo as frequências relativas apresentadas nas tabelas seguintes..ª.00 6.ª moeda 0.80 5.ª moeda 0. relativa Qual é a moeda? 1ª moeda N N E N N 2ª moeda N N N N N 3ª moeda E E N E E 4ª moeda N N N E N 5ª moeda N N N N N 6ª moeda E N E E E a) Preencher a linha das frequências relativas com a proporção de faces nacionais obtidas nestes 5 lançamentos.20 d) Suponha agora que lança as moedas mais 15 vezes e posteriormente mais 25 vezes. Para cada um destas 6 moedas.ª.20 4.ª moeda 0. de cada uma das moedas. ou 6.ª moeda 0.ª moeda 0. Preencher a seguir a última linha com a letra da moeda que suspeita ter sido a 1. B..32 16 Adaptado de Rossman et al (2001). relativa Qual é a moeda? 50 lançamentos Freq. 10 lançamentos Freq. c) Suponha que se fizeram mais 5 lançamentos para cada uma das moedas. 2.ª moeda 0. avança uma quadrícula. os alunos ficaram muito entusiasmados com a experiência feita.ª moeda 0.92 3. tendo-se obtido os seguintes resultados: Nº do lançamento 1 2 3 4 5 Freq.ª moeda 1.ª moeda 0. . a probabilidade de sair a face Nacional era: Moeda A: 1 em 4 ou 1/4 Moeda D: 3 em 4 ou 3/4 99/100 Moeda B: 1 em 3 ou 1/3 Moeda E: 4 em 5 ou 4/5 Moeda C: 1 em 2 ou 1/2 Moeda F: 99 em 100 ou Com o objectivo de identificar qual das moedas seria a A.ª moeda 0.90 3. b) Tem confiança que as suas suspeitas estejam correctas? Explique porquê..70 2..ª moeda 0.00 6.ª moeda 0.ª moeda 0.. ao acaso.5 unidades. f) O seguinte gráfico mostra a evolução da frequência relativa para as 6 moedas. Tarefa – Vamos estimar a área do círculo com raio 0. em qualquer ponto do quadrado. estar-se-á razoavelmente seguro que as moedas estão correctamente identificadas? Explique porquê. que ficaram marcadas. como um conceito sobre o comportamento de um processo aleatório a longo-termo e não a curto-termo. ao acaso. Para o espaço delimitado pelo quadrado um atirador muito “nabo”17 atirou. 100 setas.Organização e tratamento de dados 250 e) Depois dos 50 lançamentos. como se vê na figura seguinte: 17 O atirador era tão “nabo” e não tinha pontaria nenhuma. . O professor apresentou aos alunos um gráfico. à medida que o número de lançamentos aumenta: Comente o que é que este gráfico revela sobre a probabilidade. onde estava desenhada uma circunferência dentro de um quadrado de lado 1. pelo que a seta podia acertar. como vimos na tarefa anterior. aumentássemos o número de pontos que preenchem a área do quadrado. O professor apresentou aos alunos uma fotografia. O processo utilizado para estimar a área do círculo. No capítulo seguinte sobre simulação. A proposta do professor é que os alunos estimem a área dos corpos celestes da fotografia.Organização e tratamento de dados 251 Algumas das setas caíram dentro da circunferência e outras fora.52=3.78. Tarefa – Estimar a área de figuras.12. Obter-se-ia uma estimativa mais precisa para o valor de se em vez de 100 pontos. Se as marcas deixadas pelas setas se distribuem aleatoriamente pela superfície do quadrado. em quarto minguante. pode ser utilizado para estimar a área de uma figura para a qual não exista uma expressão simples que permita calcular a sua área. contando o número de marcas dentro da circunferência (neste caso é mais fácil contar as 22 marcas fora da circunferência). Para isso basta admitir que se conhece que a área de um círculo de raio R é igual a R2. Então.78. com área igual a uma unidade. pois neste caso também se obteria uma estimativa mais precisa para a área do círculo. uma estimativa para a área do círculo de raio 0. já que a área do quadrado é 1. O professor propôs aos alunos estimarem a área do círculo com base na distribuição das marcas dentro do quadrado. então a proporção de marcas dentro do quadrado dão-nos uma estimativa da área do círculo.5 unidades é 0. Este é o valor estimado para a área do círculo. Nessa fotografia foram desenhados. aleatoriamente 100 pontos. verificamos que essa proporção é (10022)/100=0. de um pedaço de “céu”. Assim. Tarefa – Vamos estimar o valor de . O trabalho desenvolvido na tarefa anterior pode ser utilizado para estimar o valor de . .78/0. será apresentado um processo de gerar aleatoriamente os pontos que simulam as marcas das setas do atirador. pelo que uma estimativa para o valor de será 0. Se os alunos já souberem calcular a área do círculo será interessante compararem o valor estimado com o valor calculado através da fórmula da área. onde estão desenhadas algumas estrelas e a lua. que representa o planisfério. onde estão registadas as marcas de 100 meteoritos que alcançaram o planeta Terra. cerca de 30 (a contagem não é muito fácil.) alcançaram algum continente. que se distribuem aleatoriamente sobre a superfície terrestre.. és capaz de estimar a probabilidade de o próximo meteorito cair em terra? (A área do rectângulo é igual a 1 unidade de área) Dos 100 meteoritos.Organização e tratamento de dados 252 Tarefa – Uma chuva de meteoritos! O professor apresentou uma figura. Alguns caíram no mar. o próximo meteorito alcance algum continente. pelo que estimamos que com uma probabilidade de 30%. outros em terra. .. Baseando-te nos 100 meteoritos que se registam na figura. Propomos aqui uma tarefa especial. As moedas utilizadas nas experiências podem ser realizadas pelos alunos em cartolina dura. podem ser utilizados materiais como botões. juntamente com o professor de outra disciplina. Como fomos indicando ao longo do texto. etc. Dado de 4 faces Dado de 6 faces . nomeadamente de Educação Artística ou Visual. em que de um lado desenham um N. que o professor. pode levar a cabo juntamente com os alunos: construírem os seus próprios materiais.Organização e tratamento de dados 253 Tarefa especial – Vamos construir alguns dos nossos materiais para fazer experiências. para indicar a face Nacional e do outro o símbolo do euro €. Propomos aqui a construção de um dado de 4 faces (tetraedro) e de um dado de 6 faces. berlindes. tampas de refrigerantes. Organização e tratamento de dados 254 . 7 Simulação Neste capítulo fazemos uma introdução à Simulação, instrumento poderoso, que sobretudo nas três últimas décadas, com o desenvolvimento e aperfeiçoamento dos meios computacionais, contribuiu de forma decisiva para o estudo de leis da probabilidade e cálculo de probabilidades associadas a determinados acontecimentos. No capítulo anterior, vimos que um processo de estimar a probabilidade de um acontecimento, seria repetir muitas vezes a experiência e contabilizar a proporção de vezes que o acontecimento se realiza nas sucessivas repetições. Veremos como, utilizando meios computacionais, quer seja a máquina de calcular, quer seja o computador, podemos imitar o comportamento da realização do fenómeno aleatório. Organização e tratamento de dados 256 Organização e tratamento de dados 257 7.1 Introdução Vimos no capítulo anterior que a definição de um modelo de probabilidade, associado a um fenómeno aleatório, pressupõe que sejam especificados todos os resultados possíveis e que a cada resultado possível seja atribuído uma probabilidade. Muitas vezes estas probabilidades são atribuídas tendo em conta a experiência que temos sobre a realização de fenómenos do mesmo género. É o que se passa com o modelo associado aos fenómenos aleatórios que consistem em lançar uma moeda ou um dado e verificar qual a face que fica virada para cima. Se não tivermos razões que nos levem a suspeitar que a moeda ou o dado não são equilibrados, consideramos os modelos, usuais, em que atribuímos igual probabilidade a cada uma das faces, quer da moeda, quer do dado. No entanto, mesmo neste caso em que é fácil definir um modelo para o fenómeno aleatório, por vezes não é fácil calcular probabilidades de acontecimentos relacionados com esse fenómeno. Por exemplo, se lançarmos 10 vezes uma moeda de um euro, equilibrada, o cálculo teórico da probabilidade do acontecimento “obter 4 ou mais faces Euro ou Nacional seguidas” não é acessível a este nível. Então a única solução seria repetir muitas vezes a experiência de lançar a moeda 10 vezes e estimar a probabilidade do acontecimento, pela proporção de vezes em que a face Euro ou a face Nacional aparece 4 ou mais vezes seguidas, em sequências de 10 lançamentos. Como é fácil de entender, estar a repetir a experiência de lançar a moeda 10 vezes, ver o que acontece, outras 10 vezes e ver o que acontece, e assim por diante..., não é uma tarefa simples. Esta situação não deixa os estatísticos muito preocupados, pois o comportamento aleatório do lançamento da moeda pode ser imitado, utilizando a tecnologia, e neste caso dizemos que estamos a simular a realização do fenómeno. Simulação – processo artificial utilizado para imitar o comportamento de um fenómeno aleatório, utilizando, de um modo geral, números aleatórios. Veremos na secção seguinte o que se entende por números aleatórios e veremos ainda que, hoje em dia, o que se utiliza são os números pseudo-aleatórios, gerados pela máquina de calcular ou pelo computador. 7.2 Números aleatórios e números pseudo-aleatórios Considere um saco com 10 berlindes, iguais ao tacto, e numerados de 0 a 9. Depois de baralhar os berlindes dentro do saco, seleccione um ao acaso, verifique o número do berlinde seleccionado e reponha-o no saco. Se repetirmos o processo várias vezes, poderemos obter uma sequência de dígitos como a que se apresenta a seguir: 7 1 3 1 9 2 2 0 3 4 0 5 7 5 6 2 8 3 9 5 ... Em cada selecção de um berlinde do saco, temos igual probabilidade de seleccionar cada um dos 10 dígitos 0, 1,..., 9. O berlinde seleccionado em cada extracção não depende dos berlindes seleccionados nas extracções anteriores, pelo que os resultados são independentes uns dos outros. Uma tabela com dígitos obtidos por este processo diz-se que é uma tabela de dígitos aleatórios. Organização e tratamento de dados 258 Dígitos aleatórios - Uma tabela de dígitos aleatórios é uma listagem dos dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ou 9 tal que: qualquer um dos dígitos considerados tem igual possibilidade de figurar em qualquer posição da lista; a posição em que figura cada dígito é independente das posições dos outros dígitos. Apresenta-se a seguir um extracto de uma tabela de números aleatórios (Moore, 1997). O facto de os dígitos se apresentarem agrupados 5 a 5 é só para facilidade de leitura. Linha 101 102 103 104 105 106 107 108 109 19223 73676 45467 52711 95592 68417 82739 60940 36009 95034 47150 71709 38889 94007 35013 57890 72024 19365 05756 99400 77558 93074 69971 15529 20807 17868 15412 28713 01927 00095 60227 91481 72765 47511 24943 39638 96409 27754 32863 40011 60779 85089 81676 61790 85453 12531 42648 29485 85848 53791 57067 55300 90656 46816 42544 82425 82226 48767 17297 50211 94383 87964 83485 82853 36290 90056 52573 59335 47487 14893 18883 41979 A partir da tabela de dígitos aleatórios podem-se obter números aleatórios de 2 dígitos - qualquer par dos 100 pares possíveis 00, 01, …98, 99, tem igual probabilidade de ser seleccionado, de 3 dígitos - qualquer triplo dos 1000 triplos possíveis 000, 001, …998, 999, tem igual probabilidade de ser seleccionado, etc., tomando os dígitos da tabela 2 a 2, 3 a 3, etc., a partir de uma linha qualquer e percorrendo-a da esquerda para a direita. A apresentação de uma tabela como a anterior tem mais interesse histórico do que interesse real. Efectivamente, hoje em dia, existe a possibilidade de utilizar o computador ou uma simples máquina de calcular para gerar os números aleatórios. No entanto, convém ter presente que os números que se obtêm são pseudoaleatórios, já que é um mecanismo determinista que lhes dá origem, embora se comportem como números aleatórios (passam numa bateria de testes destinados a confirmar a sua aleatoriedade). Não obstante hoje em dia ser mais comum a utilização da tecnologia para fazer simulações, vamos na secção seguinte exemplificar o uso de uma tabela e dígitos aleatórios num processo de simulação. A função RAND do Excel ou da máquina de calcular Mais geralmente, quando falamos em números aleatórios, sem qualquer outra referência, não nos estamos a referir explicitamente a números inteiros, mas sim a números do intervalo [0, 1]. Os algoritmos de geração de números pseudoaleatórios estão concebidos de modo a que ao considerar uma qualquer sequência de números gerados se obtenha aproximadamente a mesma proporção de observações em sub intervalos de igual amplitude do intervalo [0,1]. Assim, por exemplo, se se fizer correr o algoritmo 100 vezes, é de esperar que caiam 25 dos números gerados em cada quarto do intervalo [0,1]. Na tabela seguinte está listada Organização e tratamento de dados 259 uma sequência de 100 números pseudo-aleatórios (NPA) obtida através do gerador RAND do Excel1: 1ª coluna 0,842050 0,965131 0,761648 0,359825 0,054705 0,466613 0,814300 0,449515 0,901502 0,862762 0,395195 0,420519 0,124664 0,537707 0,033277 0,024371 0,558313 0,087859 0,069915 0,774156 0,789583 0,702971 0,087455 0,103532 0,996667 2ª coluna 0,406320 0,676239 0,552387 0,208420 0,102768 0,493374 0,638416 0,090759 0,552418 0,507097 0,415666 0,469764 0,765629 0,451921 0,523063 0,213326 0,283191 0,429387 0,221549 0,039495 0,480287 0,109918 0,713230 0,623757 0,129629 3ª coluna 0,848744 0,722927 0,079614 0,098150 0,147229 0,150888 0,086141 0,197460 0,466389 0,613583 0,210044 0,053714 0,737348 0,702749 0,908485 0,442821 0,153907 0,735276 0,358037 0,490216 0,302539 0,444822 0,806147 0,377823 0,196290 4ª coluna 0,810469 0,825587 0,298300 0,818893 0,557920 0,540352 0,007840 0,209145 0,221584 0,389183 0,379011 0,478208 0,696311 0,683382 0,708764 0,983754 0,655705 0,890680 0,578713 0,755072 0,970551 0,995760 0,569285 0,161851 0,753139 Como se pode verificar por contagem, esta lista inclui 30 números no intervalo [0;0,25], 24 números nos intervalos ]0,25;0,5] e ]0,5;0,75] e 22 números no intervalo ]0,75;1]. Embora haja métodos estatísticos para avaliar se são ou não significativas as diferenças entre estas frequências observadas e as frequências esperadas (25 – 25 – 25 – 25), facilmente a nossa sensibilidade aceita que estes resultados não contradizem o que se esperaria de uma escolha ao acaso de 100 números do intervalo [0,1]. Uma tabela idêntica à anterior poderia ter sido obtida a partir da função RAND, na máquina de calcular. A função RANDBETWEEN do Excel ou a função randINT da máquina de calcular No caso particular de pretendermos números inteiros, então podemos utilizar a função Randbetween(m, n) do Excel ou a função randINT(m, n) da máquina de calcular. Estas funções que têm como argumentos dois números inteiros m e n, com m<n, sempre que são utilizadas devolvem-nos um número inteiro entre m e n, tal que qualquer outro número inteiro entre esses limites tem igual probabilidade de surgir. Por exemplo, para simular o lançamento de um dado equilibrado, 1 Graça Martins et al (2007) e Anexo para interpretação do programa de MACS, pag 93 Organização e tratamento de dados 260 utilizamos a função randINT(1,6) Randbetween(1, 6) do Excel. da máquina de calcular, ou a função 7.3 Simular o lançamento de uma moeda A simulação do lançamento de uma moeda, embora seja um problema simples, está na base do cálculo da probabilidade, por simulação, de alguns acontecimentos, cujo cálculo analítico seria complicado. Permite ainda ilustrar alguns conceitos básicos de probabilidade que, por vezes, fogem à nossa intuição. É exemplo do que dissemos anteriormente a situação que diz respeito à regularidade a longo termo e que já foi abordada na secção 6.2 e 6.5.2.2 e que abordaremos de novo nesta secção. O processo de simulação pressupõe alguns passos que exemplificaremos de seguida: Passo 1 – Definição do modelo de probabilidade para o lançamento da moeda No modelo que vamos adoptar para o lançamento da moeda vamos admitir que: Em cada lançamento existe igual probabilidade de sair a face Euro e a face Nacional (admitimos que a moeda é equilibrada); Os lançamentos são independentes uns dos outros. Passo 2 – Atribuição de números aleatórios para representar os resultados do lançamento da moeda. Esta atribuição pode ser feita de várias maneiras, das quais vamos exemplificar duas, tendo em conta as tabelas de dígitos aleatórios e de números pseudoaleatórios consideradas anteriormente. Considerando a tabela de dígitos aleatórios, sabemos que cada um dos dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, tem probabilidade igual a 1/10 ou 0,1 de surgir e que além disso os sucessivos dígitos da tabela são independentes. Então uma forma possível de atribuir dígitos ao resultado do lançamento da moeda, é considerar que: Cada dígito simula o resultado do lançamento da moeda; Dígitos ímpares representam a face Euro e dígitos pares a face Nacional (estamos a admitir que o zero é par). Este processo de atribuir probabilidades está de acordo com o modelo proposto, já que esta atribuição dá à saída de face Euro uma probabilidade igual a 5/10 (5 favoráveis em 10 possíveis), e além disso os dígitos sucessivos da tabela simulam lançamentos independentes. Nota: Outro processo possível seria considerar os dígitos menores que 5 (ou seja, 0, 1, 2, 3 e 4) para representarem a face Euro e os maiores ou iguais a 5 (ou seja 5, 6, 7, 8 e 9), para representarem a face Nacional. Passo 3 – Simular muitas repetições Cada dígito da tabela simula um lançamento da moeda, pelo que para simular os sucessivos lançamentos basta considerar os dígitos sucessivos da tabela. Na simulação que apresentamos, vamos considerar que se pretende estimar a probabilidade do acontecimento “sair face Euro no lançamento da moeda” e vamos ainda ver o que acontece à diferença entre o número de faces Euro e faces Nacional, à medida que aumentamos o número de lançamentos: 5155807 0.6 0.625 0.6666667 0. concluímos que a proporção de faces Euro tende a estabilizar à volta dos 52%.Organização e tratamento de dados 261 Nº de lançamento i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 Dígito Face Nº de faces Euro até ao lançamento i 1 2 2 2 3 4 5 5 6 6 6 7 8 9 9 9 9 10 11 12 13 13 13 13 14 15 15 16 17 18 18 18 19 19 180 180 180 181 181 181 182 182 182 183 183 184 185 186 187 Proporção de faces Euro até ao lançamento i 1 1 0.5714286 0. 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 Da tabela anterior e do gráfico seguinte.5555556 0.5181058 0.5833333 0.5652174 0.5769231 0.6 0.5555556 0.5156695 0.6666667 0. seria de esperar que a proporção de faces Euro se aproximasse mais de 50%.6 0.6 0.5588235 0. .5 0.5625 0.5757576 0.5141243 0.5416667 0.5806452 0. para o número de lançamentos realizados.6190476 0.5172414 0.7142857 0.5202312 0.6 0.5294118 0.6666667 0.518732 0.6428571 0.5862069 0.5789474 0.5186246 0.56 0.5909091 0.5170455 0.5154062 0.5140449 0.5171429 0. Se tivéssemos levado a simulação mais longe.5194444 Diferença entre nº faces Euro e nº faces Nacional 1 2 1 0 1 2 3 2 3 2 1 2 3 4 3 2 1 2 3 4 5 4 3 2 3 4 3 4 5 6 5 4 5 4 14 13 12 13 12 11 12 11 10 11 10 11 12 13 14 1 9 2 2 3 9 5 0 3 4 0 5 7 5 6 2 8 7 1 3 9 6 4 0 9 1 2 5 3 1 4 2 5 4 4 6 8 1 6 8 3 4 8 5 4 1 9 7 9 E E N N E E E N E N N E E E N N N E E E E N N N E E N E E E N N E N N N N E N N E N N E N E E E E .5625 0.515493 0..6153846 0.5167598 0.5454545 0.. são gerados por um mecanismo determinístico. Todos estes processos foram estudados de forma que os conjuntos de números que geram. à medida que o número de lançamentos aumenta. Ao contrário do que se passa com a proporção de faces Euro que se aproxima de 50%. Nota – É importante ter presente que os números pseudo-aleatórios utilizados no processo de simulação. de que já falámos anteriormente. o número de faces Euro não se aproxima de metade dos lançamentos. que imita razoavelmente bem o aleatório. . Há vários processos para gerar estes números. que não rejeitam a hipótese desses conjuntos de números poderem ser considerados como aleatórios. passam num conjunto de testes estatísticos. e a diferença entre o número de faces Euro e faces Nacional não tende a estabilizar à volta de zero.Organização e tratamento de dados 262 No gráfico seguinte apresentamos a evolução da diferença entre o número de faces Euro e o número de faces Nacional. nomeadamente a função Rand do Excel. Organização e tratamento de dados 263 7. já que os intervalos [0.25. Passo 2’ – Considerando então essa tabela.5. Iniciando a consulta da tabela na linha 102. por simulação Nesta secção vamos exemplificar o processo de estimar a probabilidade de alguns acontecimentos. Os dois primeiros passos neste processo de simulação são idênticos aos considerados no lançamento da moeda equilibrada. Um número ≤0. Dois dígitos sucessivos da tabela simulam 2 lançamentos. em 2 lançamentos de uma moeda de um euro.4 Cálculo da probabilidade de acontecimentos. As 50 repetições realizadas não são suficientes para estarmos confiantes na precisão da estimativa obtida para a probabilidade do acontecimentos “duas faces Euro no lançamento de uma moeda duas vezes”. temos: Repetição 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Dígitos 73 67 64 71 50 99 40 00 19 27 27 75 44 26 48 82 42 53 62 90 45 46 77 17 09 Euro/Nacional Euro Euro Nacional Euro Nacional Nacional Euro Euro Euro Nacional Euro Euro Nacional Nacional Nacional Nacional Euro Euro Nacioanl Euro Nacioanl Euro Euro Euro Nacional Nacional Nacional Nacional Nacional Nacional Nacional Nacional Naciona Nacional Euro Euro Nacional Nacional Euro Nacioal Nacional Euro Nacional Nacional Euro Euro Euro Euro Nacional Euro Repetição 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 Dígitos 77 55 80 00 95 32 86 32 94 85 82 22 69 00 56 52 71 13 88 89 93 07 46 02 27 Euro/Nacional Euro Euro Euro Euro Nacional Nacional Nacional Nacional Euro Euro Nacional Nacional Nacional Nacional Nacional Nacional Euro Nacional Nacional Euro Nacional Nacional Nacional Nacional Nacional Euro Nacional Nacional Euro Nacional Euro Nacional Euro Euro Euro Euro Nacional Nacional Nacional Euro Euro Euro Nacional Euro Naciona Nacional Naciona Nacional Nacional Euro Assinalámos a preto o acontecimento de interesse. equilibrada.5 representa a face Euro e um número>0. 1] têm igual amplitude. Um maior número de repetições conduzirnos-ia a uma probabilidade mais próxima de 0.28. por simulação. Uma estimativa para a probabilidade desse acontecimento é 14/50 ou seja 0. que é o resultado teórico para a probabilidade desse acontecimento.5.5 representa a face Nacional. vamos admitir que: Cada número simula o resultado do lançamento da moeda. A atribuição das probabilidades no passo 2 pode ser feita utilizando a tabela de números pseudo-aleatórios da página 253. que era a saída de 2 faces Euro. Esta atribuição de probabilidades está de acordo como modelo proposto. pelo que considerando vários conjuntos de dois dígitos simulamos várias repetições. . Tarefa – Calcular a probabilidade de sair 2 faces Euro. pelo que a probabilidade de obter números em cada um desses intervalos é 0.5] e ]0. 0. tendo em conta o modelo de probabilidade adoptado para o fenómeno aleatório em estudo e com o qual baseámos a nossa simulação. não saberemos qual a mais precisa. ou seja. p. se calcularmos várias estimativas.Organização e tratamento de dados 264 Passo 3’ – Para simular as várias repetições atribuímos os números pseudoaleatórios aos resultados face Euro e face Nacional percorrendo as colunas 1 e 2 para as primeiras 25 repetições e de seguida as colunas 3 e 4 para as 25 repetições seguintes: Repetição 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Euro/Nacional Nacional Euro Nacional Nacional Nacional Nacional Euro Euro Euro Euro Euro Euro Nacional Nacional Euro Euro Nacional Nacional Nacional Nacional Euro Euro Euro Euro Euro Nacional Nacional Euro Euro Nacional Euro Euro Nacional Euro Euro Euro Euro Euro Nacional Euro Nacional Euro Nacional Euro Euro Nacional Euro Nacional Nacional Euro Repetição 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 Euro/Nacionalo Nacional Nacional Nacional Nacional Euro Euro Euro Nacional Euro Nacional Euro Nacional Euro Euro Euro Euro Euro Euro Nacional Euro Euro Euro Euro Euro Nacional Nacional Nacional Nacional Nacional Nacional Euro Nacional Euro Nacional Nacional Nacional Euro Nacional Euro Nacional Euro Nacional Euro Nacional Nacional Nacional Euro Euro Euro Nacional A simulação anterior conduziu-nos a uma estimativa da probabilidade de 0. caso fosse possível calculá-la.. não sabemos qual o valor da probabilidade teórica. O modelo é baseado em informação ou experiência passada. Se pretendermos aumentar a confiança na estimativa da probabilidade que estamos a calcular. de um modo geral. Quaisquer outros 50 números aleatórios ou pseudo-aleatórios conduzir-nos-iam a outras estimativas para a probabilidade do acontecimento de interesse.. 429) “Parece um pouco duvidoso iniciar um processo para obter probabilidades assumindo que já conhecemos algumas outras probabilidades. qual a que está mais perto da probabilidade teórica. temos uma solução que é aumentar o número de simulações do fenómeno em estudo. Se ele não descrever correctamente o fenómeno aleatório. mas nem mesmo na matemática temos alguma coisa sem dar nada em troca. Não se fazem omeletas sem ovos. Como. . A ideia é estabelecer a estrutura básica do fenómeno aleatório e então utilizar a simulação para passarmos deste modelo para obter probabilidades de acontecimentos mais complicados.32. Como se lê em Moore (1996. 780493 0. é idêntico a simular o lançamento de uma moeda de um Euro 4 vezes e verificar a face que fica voltada para cima.5 representa o nascimento de rapariga. se assumirmos que existe igual probabilidade de nascer rapaz e rapariga e que os nascimentos são independentes uns dos outros (na realidade. apresente uma certa estabilização. do seguinte modo: Cada número gerado simula o nascimento de uma criança.785789 0.850776 0. Vamos utilizar a função Rand do Excel. Assim. 1] têm igual amplitude.102199 0.528969 0.327561 0.848406 0.589457 0.269279 0. e um número >0.881478 0. todos serem rapazes? O modelo para o nascimento de rapaz ou rapariga é idêntico ao do lançamento de uma moeda equilibrada.707192 4º filho 0.238322 0.861051 2º filho 0. Nesta situação a única solução é proceder ao lançamento da moeda em estudo e ir registando os resultados obtidos. já que neste caso as duas faces não têm igual probabilidade de saírem. Tarefa – Qual a probabilidade de numa família de quatro filhos. Como vimos no exemplo anterior. até conseguirmos que a frequência relativa. estamos a partir do princípio e a assumir que a probabilidade de sair face Euro é igual à de sair face Nacional e igual a ½.626057 0.413003 0.474479 0.018105 3º filho 0.5 representa o nascimento de rapaz.660313 0. Passo 1 –Definição do modelo de probabilidade para o nascimento de rapaz O modelo que vamos adoptar para o nascimento de rapaz pressupõe que: Em cada nascimento existe igual probabilidade de ser rapaz ou rapariga. simular o nascimento de 4 crianças e ver o sexo.5. para simular os 4 nascimentos: 1º filho rapaz? 1 1 1 1 1 0 2º filho rapaz? 0 0 0 0 0 1 3º filho rapaz? 0 0 0 0 1 0 4º filho rapaz? 1 1 0 1 0 1 Nº rapazes nos 4 filhos 2 2 1 2 2 2 4 rapazes ? 0 0 0 0 0 0 1º filho 0. 0. como foi assumido no modelo anterior.804784 0.042293 0.832859 0.224090 0. de acordo com o nosso último censo.5. Obviamente que não seria correcto utilizar o processo anterior para simular o lançamento de uma moeda enviesada. a probabilidade de nascer rapaz anda à volta de 51%).016593 .5] e ]0. Passo 3 – Simular muitas repetições Vamos gerar muitas repetições de 4 números pseudo-aleatórios. também estarão incorrectas” (tradução livre). esta atribuição de probabilidades está de acordo com o modelo proposto. Os nascimentos são independentes uns dos outros.415564 0. pelo que a probabilidade de obter números em cada um desses intervalos é 0. Outra forma de exprimir a ideia do parágrafo anterior é dizer que “não há almoços grátis!” Como se exemplifica no caso anterior. ao estimarmos a probabilidade de obter 2 faces Euro nos 2 lançamentos da moeda. Passo 2 – Atribuição de números aleatórios para representar os resultados do nascimento.Organização e tratamento de dados 265 então as probabilidades obtidas a partir dele por simulação. do acontecimento de que se pretende calcular a probabilidade. já que os intervalos [0. Um número ≤0. 479738 0.286358 0.636603 0.490909 0.291067 0.620200 0.229893 0.917203 0.169500 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 2 2 4 1 1 0 3 2 2 2 0 3 1 2 2 1 3 1 1 1 3 4 2 2 1 3 2 1 3 2 3 1 2 1 1 2 1 3 1 2 1 2 2 1 2 3 3 3 1 3 1 1 2 3 1 3 2 2 3 3 4 3 2 2 3 3 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 .148513 0.836980 0.497310 0.281036 0.109405 0.146744 0.734911 0.188661 0.195817 0.005094 0.903991 0.453047 0.391814 0.071561 0.797437 0.598769 0.817629 0.271859 0.722615 0.217361 0.979179 0.771633 0.378653 0.282324 0.672498 0.536371 0.434498 0.509904 0.518291 0.994756 0.983357 0.206301 0.877285 0.464580 0.333006 0.709615 0.975738 0.715139 0.777700 0.294693 0.767437 0.364588 0.863988 0.292912 0.826350 0.006310 0.553600 0.880070 0.710319 0.075867 0.257337 0.503743 0.979242 0.960522 0.648340 0.886745 0.606425 0.507317 0.Organização e tratamento de dados 266 0.673580 0.195162 0.443542 0.147777 0.230313 0.412185 0.922520 0.196396 0.781730 0.122803 0.918915 0.702416 0.238624 0.774544 0.335659 0.278990 0.720612 0.331684 0.048072 0.497899 0.052230 0.544740 0.283100 0.003776 0.784336 0.377268 0.592355 0.106301 0.160754 0.131070 0.785398 0.494559 0.489628 0.880875 0.423351 0.557046 0.649012 0.370645 0.091790 0.465006 0.772683 0.818784 0.664250 0.794578 0.862228 0.776446 0.925602 0.697895 0.223822 0.083356 0.831568 0.038622 0.836728 0.729499 0.779751 0.833546 0.554021 0.261501 0.823291 0.259900 0.307059 0.856940 0.511748 0.497591 0.444164 0.279561 0.672229 0.613159 0.031521 0.525553 0.035276 0.712452 0.626536 0.849113 0.634780 0.176873 0.873412 0.234292 0.344513 0.087384 0.381995 0.399039 0.371197 0.316114 0.293571 0.400026 0.444413 0.627482 0.586487 0.556242 0.237199 0.274627 0.291549 0.822567 0.236250 0.238392 0.012260 0.789198 0.337187 0.011701 0.362972 0.692767 0.882629 0.891218 0.571587 0.693183 0.770940 0.940086 0.483376 0.918297 0.884146 0.632611 0.230967 0.512900 0.007171 0.608060 0.315719 0.435784 0.034793 0.179181 0.716120 0.845316 0.458286 0.473059 0.932498 0.636812 0.493240 0.405794 0.391702 0.806497 0.590230 0.274467 0.200576 0.034045 0.404411 0.448187 0.048426 0.590844 0.688338 0.553769 0.431466 0.948191 0.884434 0.709441 0.319196 0.849470 0.409935 0.751419 0.632492 0.828743 0.043540 0.251028 0.519160 0.676606 0.400765 0.696797 0.493075 0.555198 0.934845 0.067127 0.981724 0.364026 0.738124 0.155538 0.698405 0.845387 0.137029 0.152129 0.628484 0.997822 0.115540 0.116059 0.564857 0.111708 0.033255 0.135802 0.919911 0.029424 0.731709 0.229474 0.006652 0.341877 0.876783 0.060746 0.520766 0.050374 0.880217 0.986511 0.616891 0.082083 0.865897 0.498062 0.442011 0.908047 0.951888 0.649735 0.469560 0. 184162 0.026175 0.075029 0.269384 0.591290 0.276442 0.961578 0.129992 0.970418 0.736089 0.471618 0.633147 0.884215 0.300068 0. Este processo permite que a soma da coluna J nos dê o número de casos favoráveis à realização do acontecimento de que estamos a calcular a probabilidade.511650 0.725863 0.636510 0.194777 0.191600 0. colocámos a somas das 4 colunas anteriores.415808 0.567047 0.325694 0.518245 0.734839 0.824248 0.759022 0.979072 0. utilizando a função RAND().740928 0.513758 0.760938 0.217437 0.725386 0.574875 0.127654 0.279696 0.543550 0.152428 0.439608 0.900769 0.775556 0.028231 0.253097 0.454510 0.151112 0.997447 0.023235 0.796108 0.251190 0.095081 0.348384 0.462652 0.693584 0.823044 0. Caso afirmativo.986541 0.619978 0. as 4 primeiras colunas apresentam as 100 simulações dos nascimentos dos 4 filhos.733497 0.105619 0. .965750 0. ou seja a coluna I.344357 0.319137 0.221200 0.337955 0.157719 0. Caso contrário com um 0.06.640607 0.134092 0. ainda utilizando a função IF.646709 0.238706 0.870196 0.375134 0.570485 0.584043 0. Na simulação anterior obtivemos 6 casos favoráveis. Na coluna seguinte.159250 0. pelo que uma estimativa para a probabilidade pretendida é 6/100= 0. o que nos permite detectar facilmente se os 4 nascimentos são rapazes. a coluna J.442862 0.314404 0.839669 0.413556 0.318985 0.492754 0. como se mostra a seguir: Nas colunas seguintes utilizámos a função IF. Sempre que fosse rapaz.741260 0.997449 0.987627 0.451561 0.062678 0.850252 0. Na coluna seguinte.597268 0. assinalámos esse facto com um 1.751594 0.167983 0.775507 0.921995 0.667289 0.568004 0.799936 0.578297 0.553743 0.427837 0.407247 0. verificámos se nos 4 nascimentos se tinha verificado os 4 rapazes.Organização e tratamento de dados 267 0.791626 0.484144 0.177497 0.258344 0.134230 0.938211 0.012327 0. para verificar se cada nascimento era ou não rapaz. assinalámos esse facto com um 1.622533 0.479030 0.407433 0.397073 0.046352 0.237928 0.320155 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 3 2 3 3 3 3 3 2 4 1 1 2 1 4 1 3 1 1 2 0 2 2 4 1 1 2 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 6 Na tabela anterior.416032 0.157676 0. Na representação que se segue só apresentamos os ramos em que o primeiro nascimento é rapaz. Qual a probabilidade de ter um rapaz e uma rapariga? Como na tarefa anterior vamos admitir que existe igual probabilidade de nascer rapaz e rapariga e vamos simular o nascimento de três filhos. tais como “nos 4 nascimentos 2 serem rapazes e os outros 2 raparigas”. Ao todo temos 16 resultados. Assim. só tentando o terceiro filho no caso de os dois primeiros serem do mesmo sexo. Resolução teórica A resolução teórica do problema anterior é simples. Os outros ramos a seguir ao primeiro nascimento rapariga são iguais aos ramos a seguir ao primeiro nascimento rapaz. considerado uma boa estimativa da probabilidade teórica. Os primeiros 2 nós da árvore representam o primeiro nascimento. só entrando em consideração com o terceiro filho no caso de os dois primeiros serem do mesmo . todos igualmente possíveis. a probabilidade pedida é 1/16= 0. e destes 16 resultados só 1 é que é favorável à realização do acontecimento “os 4 nascimentos são rapazes”.Organização e tratamento de dados 268 Repare-se que o processo anterior também nos permite obter a probabilidade de outros acontecimentos. de 0. etc. que pode ser rapaz ou rapariga. pode ser Tarefa – Qual a probabilidade de numa família haver um “casalinho”. “nos 4 nascimentos 3 serem rapazes”. mas com três filhos no máximo! Um casal pretende ter um casalinho de filhos. O resultado da simulação apresentada anteriormente. Uma forma simples de apresentar esses resultados é utilizando o diagrama em árvore. desde que usemos um modo expedito de representar todos os resultados do espaço de resultados.06.0625. já que estamos a admitir que existe igual probabilidade de nascer rapaz ou rapariga. a frequência absoluta acumulada e a frequência relativa acumulada do acontecimento “Ter um casalinho”: Realizaram-se 1000 repetições de que se apresenta a seguir um pequeno extracto: .Organização e tratamento de dados 269 sexo. Utilizando a folha de Excel. Esta metodologia é mais simples de implementar. testamos se os dois primeiros filhos são do mesmo sexo. A soma dos valores da coluna H dá-nos o número de sucessos. C e D simulamos o nascimento de três crianças e nas colunas E. Nas colunas I e J consideramos. com um 1. respectivamente.. . como no caso anterior. consideramos um sucesso e assinalamos esse facto com um 1. Se forem de sexo diferente. testamos se são rapazes ou raparigas: Na coluna H. testa-se se o 3º filho é do mesmo sexo que os anteriores: se for de sexo diferente considera-se um sucesso que é assinalado. do que estar em cada repetição a verificar se nos dois primeiros filhos já existem os dois sexos. nas colunas B. F e G. Caso sejam do mesmo sexo.. Se forem todos do mesmo sexo esse acontecimento é um insucesso e é assinalado com um 0. 51 e a de nascer rapariga 0. é 0. mas agora considerando que a probabilidade de nascer rapaz é 0. pelo que uma estimativa para a probabilidade de o casal ter um casalinho. como se verifica no extracto da folha de Excel que se apresenta a seguir: Tarefa – Estimar as probabilidades dos resultados da soma das pintas das faces viradas para cima. como indiciam os resultados do Censo 2001? Vamos então repetir a simulação anterior.49. E se a probabilidade de nascer rapaz for um pouco superior à de nascer rapariga. F e G. Vamos utilizar a função Randbetween(1. A única alteração que temos de fazer na simulação anterior.Organização e tratamento de dados 270 Como se verifica da tabela anterior.74. Vamos admitir que os dados são equilibrados Passo 1 –Definição do modelo de probabilidade para o lançamento dos dois dados O modelo que vamos adoptar para o lançamento de cada um dos dados pressupõe que: Em cada lançamento existe igual probabilidade de sair cada uma das faces. quando se lançam dois dados. a frequência relativa estabilizou à volta do valor 0.51. o valor de 0.76. em que agora consideramos o nascimento de um rapaz sempre que o número pseudo-aleatório gerado for <0. é nas colunas E. Vimos no capítulo anterior um modelo de probabilidade para o resultado da soma das pintas das faces viradas para cima.6) do Excel. Passo 2 – Atribuição de números aleatórios para representar os resultados do lançamento de dois dados. Neste caso o resultado da simulação deu como estimativa para a probabilidade de o casal ter um casalinho. do seguinte modo: Cada número gerado simula o número de pintas da face que fica voltada para cima quando se procede ao lançamento de um dado. num máximo de 3 filhos. .76. Os lançamentos são independentes uns dos outros e de dado para dado. quando se lançam dois dados. Utilizando agora a função Countif do Excel. Passo 3 – Simular muitas repetições Vamos gerar muitas repetições de 2 números pseudo-aleatórios. para simular os 2 lançamentos: Na figura acima está um pequeno extracto da tabela que contém as 1000 repetições realizadas e os resultados da soma do número de pintas. as frequências relativas são estimativas resultados da soma das pintas das faces viradas para cima. dados. Na tabela e gráficos seguintes comparamos experimentais com as probabilidades teóricas obtidas a probabilidade da página 240: das probabilidades dos quando se lançam dois essas probabilidades partir do modelo de .Organização e tratamento de dados 271 A função anterior é utilizada duas vezes para representar os dois dados. facilmente se obtém a frequência relativa com que se verificou cada resultado: Na tabela anterior. enquanto que a Rita ganha um rebuçado se a diferença for 3. com o auxílio da função Rand(). 1 ou 2. consegues arranjar um processo de o tornar justo? O processo de simulação é idêntico ao da tarefa anterior. tendo obtido os seguintes resultados: . Afinal o jogo será justo? Se não for justo. mas agora em vez de se calcular a soma das pintas. O processo de simulação apresenta-se a seguir: Note-se que para obter a diferença entre as pintas dos dois dados considerámos a função ABS. 4 ou 5. que nos devolve o valor absoluto dessa diferença. pois o Pedro estava a ganhar com mais frequência que a Rita. já que a cada um deles estavam atribuídos 3 dos 6 resultados possíveis. O Pedro ganha um rebuçado se essa diferença for 0. Ao fim de 20 jogadas quem é que se espera que ganhe o jogo? O Pedro e a Rita estavam convencidos de que o jogo seria equilibrado.Organização e tratamento de dados 272 Tarefa – O jogo é justo? O Pedro e a Rita disputam entre si o seguinte jogo: lançam dois dados e calculam a diferença entre as pintas das faces que ficam viradas para cima. Começaram a desconfiar de que alguma coisa não estaria a correr bem. Utilizámos um outro processo para simular o número de pintas do dado. Simulámos o lançamento dos dois dados 20 vezes. calcula-se a diferença. 1. e preenche-se o interior da tabela com a diferença das pintas: .21=0. para a probabilidade do Pedro ganhar o jogo simulámos 100 jogadas e concluímos que o Pedro ganha aproximadamente 69% das jogadas (0. Como complemento desta tarefa. 4 e 5. o jogo está longe de ser equilibrado! Os resultados 0. onde na primeira linha aparece o número de rebuçados ou jogadas ganhas pelo Pedro em cada 20 jogadas: Dos 25 jogos (de 20 jogadas cada um dos jogos).29+0. tendo obtido os resultados da tabela seguinte.19+0. Como se pode ver pelo resultado da simulação. 1 e 5 e à Rita os resultados 2. com maior precisão. Para obter uma estimativa.69) enquanto que a Rita ganha cerca de 31%: Uma forma de equilibrar o jogo seria atribuir ao Pedro os resultados 0. Para obter estas probabilidades. 3 e 4. o Pedro ganhou 23. Considera-se uma tabela com os resultados dos lançamentos dos dois dados. a que chamámos Dado 1 e Dado 2. com as probabilidades teóricas. a Rita 1 e empataram 1 jogo. basta fazer um raciocínio semelhante ao que foi feito para obter as probabilidades dos resultados da soma das pintas das faces obtidas quando se lançam dois dados.Organização e tratamento de dados 273 Repetimos mais vezes a simulação das 20 jogadas. 2. 1 ou 2 saem com uma frequência muito maior que os restantes. vamos comparar as probabilidades experimentais obtidas para os resultados 0. 3. O valor da probabilidade experimental de aproximadamente 69%. Resultado Probabilidade 0 0. que constituem o espaço de resultados associado ao lançamento dos dois dados: 6 pares fazem com que o resultado da diferença seja 0 10 pares fazem com que o resultado da diferença seja 1 8 pares fazem com que o resultado da diferença seja 2 6 pares fazem com que o resultado da diferença seja 3 4 pares fazem com que o resultado da diferença seja 4 2 pares fazem com que o resultado da diferença seja 5 Assim.111 5 0.056 0 6/36 1 10/36 2 8/36 3 6/36 4 4/36 5 2/36 A partir do modelo anterior pode-se calcular a probabilidade (teórica) do Pedro ganhar a próxima jogada.278 2 0. Pode-se ainda utilizar o modelo anterior para comparar as frequências relativas obtidas na simulação das 100 jogadas. obtido com as 100 jogadas. 1 ou 2.222 3 0. é uma estimativa razoavelmente próxima da probabilidade teórica.167 4 0. bastando para isso somar as probabilidades de obter os resultados 0. igualmente possíveis. tem-se o seguinte modelo de probabilidade para o resultado da diferença entre o número de pintas: Resultado Probabilidade ou.Organização e tratamento de dados 274 Dado 2 Dado 1 1 0 1 2 3 4 5 2 1 0 1 2 3 4 3 2 1 0 1 2 3 4 3 2 1 0 1 2 5 4 3 2 1 0 1 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 Dos 36 pares. que dá aproximadamente 67%. com as probabilidades teóricas dos resultados que se obtêm quando se faz a diferença entre os valores das pintas obtidas quando se lançam dois dados: .167 1 0. Depois selecciona-se. é muito demorado e pouco interessante. a Maria. duas terem o mesmo signo. Não nos vamos preocupar com a correspondência entre os signos e os números. regista-se esse facto como um sucesso. embora simples.. até que surgiu o assunto dos signos. Vejamos como simular a situação de em cinco pessoas. Repete-se este processo 5 vezes e regista-se se houve repetição de algum signo.. Este processo de simular o acontecimento de interesse.Aposto um almoço em como duas de nós têm o mesmo signo! Alguém quer aceitar esta aposta? Se fosses uma das amigas da Maria aceitavas a aposta? Vamos ajudar-te a tomar uma decisão. . propôs a seguinte aposta às restantes: . este processo poderia ser simulado da forma seguinte: corta-se a figura seguinte de forma a separar os signos que se metem numa caixa. Falaram sobre vários temas. e regista-se o número de sucessos. que permite obter cada um dos valores inteiros entre 1 e 12 com igual probabilidade. um dos pedaços de papel. verifica-se qual o signo e repõe-se novamente na caixa o papel retirado. já que a nossa questão se prende com a repetição de qualquer dos signos e não com algum em particular. Se nos 5 signos retirados houver repetições. Sem a ajuda da tecnologia. da caixa. Repete-se algumas vezes o processo de retirar os cinco signos. Nessa altura uma delas. Para simular a saída de cada um dos 12 signos.12) do Excel. utilizou-se a função Randbetween(1. pelo que rapidamente chegamos à conclusão que é preferível utilizar a tecnologia.Organização e tratamento de dados 275 Tarefa – Vamos a uma aposta? Cinco amigas encontraram-se para comer um gelado. pelo que uma estimativa para a probabilidade de pelo menos duas das cinco amigas terem signos repetidos é 0. e de o professor responder que a moeda era equilibrada. O número de sucessos nas 500 realizações da experiência foi de 308. então registamos esse facto como um sucesso.Organização e tratamento de dados 276 Apresenta-se a seguir um extracto das 500 repetições em que em cada repetição se simulou a retirada. Na coluna G representou-se por 1 um sucesso e por 0 um insucesso. então existe igual possibilidade de sair face Euro ou face Nacional. de 5 signos. ou seja é superior a 60%. pelo que nos 6 lançamentos espera-se igual número de faces Euro e faces Nacional! Além disso 3 faces Euro ou . não em termos da “mais provável de ter sido inventada”. Com este resultado. mas da “menos provável de ter sido inventada”. Uma dessas sequências tinha sido inventada e o professor pretendia que os alunos lhe dissessem qual era a que a que eles achavam mais provável de ter sido inventada: EENEEN EEENEN ENENEN NEENNN NNENNN Depois de algumas considerações sobre se a moeda seria ou não equilibrada. a maior parte dos alunos exprimiu as suas conclusões. com reposição. se verificarem pelo menos 3 faces Euro seguidas? O professor chegou à turma e escreveu no quadro várias sequências de E (Euro) e N (Nacional). Caso contrário temos um insucesso. Sempre que na simulação dos cinco números ocorrerem pelo menos dois iguais. O seu raciocínio baseava-se no seguinte: se a moeda é equilibrada. talvez fosse de apostar no almoço! Tarefa – Qual a probabilidade de no lançamento de uma moeda. que pretendiam representar o resultado do lançamento de uma moeda de um euro 6 vezes.616. que o mais razoável é que a sequência não inventada fosse E N E N E N! Acontece que o raciocínio anterior está longe de estar correcto! Numa sequência de 6 lançamentos. O tratador resolveu arranjar um processo de dar a comida aos leões. Acontece que ao fim de alguns dias uns leões estavam mais gordos do . cada um na sua jaula. embora seja pouco intuitivo para os alunos. não se pode esperar a regularidade que se espera numa sequência de muitos lançamentos. Para isso repetiu-se 500 vezes a simulação de seis lançamentos da moeda. Nas 500 simulações de 6 lançamentos da moeda. O facto da moeda ser equilibrada significa que depois de muitas repetições a frequência com que se verifica a face Nacional é aproximadamente igual à frequência com que se verifica a face Euro.Organização e tratamento de dados 277 3 faces Nacional seguidas é pouco provável. estamos a referir-nos à frequência relativa. Em cada prateleira o pedaço de carne pode escorregar para a prateleira da direita ou da esquerda com igual probabilidade: O tratador estava convencido que ao fim de vários pedaços de carne. Chamamos a atenção para que quando nos referimos à frequência. vamos estimar essas probabilidades. pois já vimos que à medida que o número de repetições aumenta. já que para chegar do tratador a cada leão cada pedaço de carne tem de passar pelo mesmo número de prateleiras. O processo de simulação é idêntico ao realizado noutras tarefas anteriores. Para vermos como a nossa intuição nos engana com frequência.. Por outro lado. observou-se 150 vezes a sequência E E E e 13 vezes as sequências E N E N E N ou N E N E N E. em que cada pedaço de carne passa por cinco prateleiras até chegar a um leão.. a frequência absoluta não obedece a nenhuma regularidade. do que uma sequência em que haja alternância da face Euro com a face Nacional nos 6 lançamentos.! Concluíam portanto. pelo que uma estimativa para a probabilidade de 3 faces Euro seguidas é aproximadamente 30%. todos os leões teriam mais ou menos a mesma quantidade de comida. pelo que nos abstemos de o considerar aqui e apresentamos só os resultados. é bem mais frequente observar uma sequência de 6 lançamentos em que se verificam 3 faces Euro seguidas. enquanto que uma estimativa para a probabilidade de obter uma sequência de 6 faces alternadas não chega a 3%! Tarefa – Quem é que recebe mais comida? No jardim zoológico existem seis leões. Se virar 0 vezes para a direita e 5 vezes para a esquerda. vai parar ao Leão da jaula 3. A simulação da saída do pedaço de carne de cada prateleira é idêntica à simulação do lançamento de uma moeda equilibrada. vai parar ao Leão da jaula 1. Vamos gerar muitas repetições de 5 números pseudo-aleatórios. vai parar ao Leão da jaula 5. Como cada pedaço de carne tem de percorrer 5 prateleiras: Se virar 5 vezes para a direita. do seguinte modo: Cada número gerado simula a saída de um pedaço de carne de uma prateleira.5 representa a saída para a esquerda. vai parar ao Leão da jaula 6. Vamos utilizar a função Rand do Excel. para simular a passagem de muitos pedaços de carne pelas 5 prateleiras: . Se virar 4 vezes para a direita e 1 vez para a esquerda em qualquer das prateleiras. As prateleiras são independentes umas das outras. vamos admitir que: Em cada prateleira existe igual probabilidade de virar à esquerda ou à direita. vai parar ao Leão da jaula 2.5 representa a saída para a direita. Se virar 3 vezes para a direita e 2 vezes para a esquerda em quaisquer das prateleiras. vai parar ao Leão da jaula 4. Se virar 2 vezes para a direita e 3 vezes para a esquerda em quaisquer das prateleiras. como fizemos numa das tarefas anteriores. Um número ≤0.Organização e tratamento de dados 278 que outros e havia alguns que estavam mesmo a definhar! És capaz de mostrar ao tratador que este processo de lançar a comida aos leões é capaz de não ser bom? Vamos simular o lançamento de vários pedaços de carne e verificar se existem algumas posições onde seja mais provável de chegar a carne do que a outras. e um número>0. ou do nascimento de um rapaz. Sintetizando os diferentes passos da simulação. Se virar 1 vez para a direita e 4 vezes para a esquerda em quaisquer das prateleiras. e a atribuição do número da jaula é feita adicionando a esse resultado o 1: Fizemos 500 repetições e obtivemos os seguintes resultados: .Organização e tratamento de dados 279 A contagem do número de vezes que em cada linha aparece o E foi feita utilizando a função Countif. o Gonçalo. Tarefa – Qual será a probabilidade de cada amigo ficar com o seu chapéude-chuva?2 Quatro amigos.35 0. enquanto que os das jaulas 1 e 6 só recebiam cerca de 6%. Baralham-se os cartões. e com os nomes virados para baixo.25 0. o João.10 0. como nas tarefas anteriores. Quando acabou o filme dirigiram-se ao bengaleiro e cada um colocou a sua ficha com o número do cabide onde estava o chapéu-dechuva. com materiais simples e facilmente realizado na sala de aula: divide-se uma folha de papel A4 em 4 partes. em vez de usar a tecnologia. A senhora que estava a tomar conta do bengaleiro pegou nas 4 fichas. Estes cartões vão representar os chapéus-de-chuva. o Pedro e o Bernardo foram ao cinema e como estava a chover levaram chapéu-de-chuva.20 0.30 0. Num pedaço de cartolina cortam-se 4 rectângulos iguais. p. os leões das jaulas 3 e 4 recebiam 60% da comida. Efectivamente. 301 Freq. distribuem-se aleatoriamente sobre a folha de papel. cada um em cada uma das partes em que a 2 Adaptado de Rossman et al (2001).Organização e tratamento de dados 280 0.15 0. e em cada uma das partes escrevemos um dos 4 nomes. à entrada da sala. retirou os 4 chapéus-de-chuva e entregou ao acaso um chapéu a cada um dos amigos! Qual a probabilidade de cada um ter recebido o seu chapéu-de-chuva? Esta probabilidade será superior ou inferior à probabilidade de nenhum ter recebido o seu chapéu? Vamos começar por descrever um processo de simulação da atribuição aleatória dos chapéus-de-chuva pelos 4 amigos. que tiveram de deixar no bengaleiro.05 0. do tamanho aproximado de uma carta de jogar e em cada um escreve-se também o nome de um dos 4 amigos. .00 1 2 3 4 5 6 Número da jaula Os resultados anteriores comprovam que os leões não estavam a ser alimentados em igual proporção. em cima do balcão. mas neste caso. usamos um processo manual. rel. Esta experiência pode-se realizar na sala de aula por vários grupos de alunos. uma vez que só o Pedro é que teve o seu chapéu. para o número de chapéus que foram correctamente atribuídos.Organização e tratamento de dados 281 folha foi dividida. Ao fim de 125 repetições obtiveram-se os seguintes resultados: Grupo 1 1 1 0 2 2 2 1 2 2 0 2 0 0 2 1 0 2 2 1 0 2 1 1 2 0 Grupo 2 1 4 2 1 0 0 2 1 1 1 4 4 4 1 0 0 1 2 1 2 0 0 0 0 1 Grupo 3 0 1 0 0 2 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 2 0 0 2 2 1 Grupo 4 1 2 0 0 2 0 2 1 1 0 0 0 1 0 2 1 0 2 1 2 4 1 1 0 1 Grupo 5 1 1 2 0 1 1 2 2 0 1 1 0 2 0 2 1 1 2 0 1 1 0 0 1 0 Os resultados anteriores podem ser resumidos na seguinte tabela de frequências e no diagrama de barras respectivo: . registando-se numa tabela os resultados obtidos por todos os grupos. De seguida viram-se os cartões e regista-se o número de chapéus que calharam aos respectivos donos: João Gonçalo João rdo Berna Gonçalo Bernardo Pedro Bernardo Gonçalo Pedro Pedro uma Na atribuição dos chapéus anteriormente considerada só houve correspondência correcta. Representam-se os 4 amigos João. 4% e 36%.04 Da tabela anterior verificamos que estimativas para a probabilidade de todos os amigos terem recebido o seu chapéu e de nenhum ter recebido o chapéu que lhe pertencia são. Cada uma destas ordenações é considerada como uma permutação dos 4 números 1. 3 e 4. 0. respectivamente. Verificamos também que não se verificou a possibilidade de três dos quatro amigos terem recebido os seus chapéus! Já seria um resultado esperado? Podemos adiantar que a probabilidade do acontecimento ”Três dos quatro amigos recebem o seu chapéu” é igual a zero? A implementação em Excel desta simulação pode ser feita da seguinte forma: 1. Sempre que houver coincidência de posição entre os números que representam os chapéus e os números que representam os amigos. 2. 2. Gera-se um conjunto de 4 números pseudo-aleatórios e considera-se a ordem de cada um dentro desse conjunto (a probabilidade de haver dois números iguais é igual a zero).36 0. C e D geramos os números pseudo-aleatórios. Nas colunas A. enquanto que nas colunas E. temos um chapéu correctamente atribuído: Na tabela seguinte simulamos várias atribuições dos chapéus aos 4 rapazes.00 0. 3 e 4. Estes números assim obtidos representam os chapéus-de-chuva.35 0. Gonçalo. respectivamente. B. Pedro e Bernardo por 1. G e H se colocam as ordens dos números anteriores: .Organização e tratamento de dados 282 Nº chapéus correctos 0 1 2 3 4 Total Freq. 2.25 0. 45 44 31 0 5 125 Freq.rel.abs. F. Organização e tratamento de dados 283 Sempre que houver uma coincidência de posição. como se pode ver na figura seguinte: A função Rank(a. Por exemplo. Repare-se que na simulação correspondente à linha 18. quando inserido numa lista. considera-se que se atribuiu correctamente o chapéu ao seu dono. em cada simulação . verificou-se se havia atribuição correcta do chapéu ao dono. na segunda simulação realizada. que é a função Rank. todos os chapéus foram atribuídos correctamente aos seus donos. O argumento c. J. Qualquer valor deste argumento. K e L. quando omisso significa que a ordem que pretendemos é a ordem decrescente. A determinação das ordens foi feita utilizando uma função do Excel. na terceira simulação foi o Bernardo que recebeu o seu chapéu. significa que a ordem é crescente.c) tem o seguinte significado: a é o elemento de que pretendemos obter a ordem. que é representada por b. na quarta simulação o João e o Gonçalo receberam os seus chapéus.b. Utilizando a função IF nas colunas I. o Gonçalo e o Pedro receberam os seus chapéus. etc. Finalmente na coluna M. contabilizouse o número de atribuições correctas. 036 1.abs.324 0.375 1 0.000 Para esta situação é relativamente simples obter o modelo de probabilidade teórico. estão próximos dos resultados teóricos: .042 0 9/24 1 8/24 2 6/24 4 1/24 Comparando os resultados do modelo empírico anteriormente obtido. considerando todas as 24 permutações possíveis de 1234: Permutação 1234 1324 1423 2134 2314 2413 3124 3214 3412 4123 4213 4312 Nº chapéus correctos 4 2 1 2 1 0 1 2 0 0 1 0 Permutação 1243 1342 1432 2143 2341 2431 3142 3241 3421 4132 4231 4321 Nº chapéus correctos 2 1 2 0 0 1 0 1 0 1 2 0 Então. a probabilidade de cada resultado do número de chapéus correctamente atribuídos é obtida através da lei de Laplace.rel. 0. como sendo o número de casos favoráveis sobre o número de casos possíveis: Nº chapéus correctos Probabilidade ou Nº chapéus correctos Probabilidade 0 0.382 0.333 2 0.258 0. verificamos que os resultados obtidos experimentalmente por simulação.250 4 0.Organização e tratamento de dados 284 Repetimos a simulação 500 vezes e obtivemos as seguintes estimativas (frequências relativas) para as probabilidades do número de chapéus correctamente atribuídos: Nº chapéus correctos 0 1 2 3 4 Total Freq. com o modelo teórico.000 0. 191 162 129 0 18 500 Freq. considerando que todas as permutações são igualmente possíveis. 503 4 Questão 4 3 0. Repare-se que segundo esta metodologia.Organização e tratamento de dados 285 Tarefa – Qual a probabilidade de passar no exame? O João é pouco estudioso e como não gosta da disciplina de Estudos Gerais. vejamos o resultado da simulação de um exame: Respostas certas Número aleatório Resultado simulação Questão 1 2 0.239 2 Questão 3 4 0. Estiver entre 0.500 admitimos que se escolhe a resposta 3. tendo 6 respostas possíveis. b) Para utilizar a tabela de dígitos aleatórios da página 258. 1) em 6 partes iguais.500 e 0. o João atira o dado ao ar e escolhe a resposta cujo número for o número de pintas do dado. d) Qual a estimativa para a probabilidade do João passar ao exame? Resolução: a) Como o João responde ao acaso. c) Simular várias repetições do exame. a probabilidade de responder bem a cada questão é 1/6. 1. 5.405 3 Questão 5 1 0. Assim. Qual a probabilidade do João passar a Estudos Gerais? a) Qual a probabilidade do João responder certo a uma questão? b) Utilizar a tabela de dígitos aleatórios da página 258 para simular a realização de um exame à disciplina de Estudos Gerais. já que cada questão tem 6 respostas possíveis. 3.333 admitimos que se escolhe a resposta 2. Estiver entre 0.756 5 Na simulação anterior o João respondeu bem a 3 questões! Será que não vale a pena estudar? c) Apresentamos a seguir o resultado da simulação de 24 repetições do exame (tantas quantas a tabela disponibilizou): . O João só passa no exame se responder bem a pelo menos 3 questões.192 2 Questão 2 5 0. Estiver entre 0.167 admitimos que se escolhe a resposta 1. O exame é constituído por 5 questões e cada questão é de resposta múltipla. pois dividimos o intervalo (0. Admitindo que o exame tem 5 questões e que as respostas certas são os números 2.667 e 0. respectivamnete. apresenta-se ao exame e responde a todas as questões ao acaso.833 e 1 admitimos que se escolhe a resposta 6. Estiver entre 0.333 e 0. das quais só uma é correcta. 4.833 admitimos que se escolhe a resposta 5. sendo essa probabilidade igual a 1/6. Estiver entre 0. das quais só uma é a correcta.167 e 0. vamos proceder do seguinte modo: Consideram-se números decimais de 3 dígitos e se um desses números For menor que 0.667 admitimos que se escolhe a resposta 4. cada número tem igual probabilidade de sair. 964 0. como se comprova pelo facto da frequência relativa do acontecimento “3 ou mais respostas certas” não ter estabilizado.544 0.167 0.287 0.919 0.471 0.527 0.500 0.188 0.655 0.333 0.481 0.756 0.795 0.264 0.021 0. Caso contrário atribuir o valor 0.453 0.675 0.509 0.360 0.071 0.448 0. Para obter a estimativa pretendida.963 0.167.997 0.940 0.076 0. Uma resolução alternativa à resolução anterior.043 0.904 0.940 0. Na turma.848 0.168 0.687 0.468 0. Tarefa proposta – Pequena sondagem sobre o tipo sanguíneo.org/maxcontent-documento-231.077 0.489 0.720 0.118 0.042.001 0.167 0.807 0.888 0. O número de simulações realizadas anteriormente não é suficiente. Repetir o passo anterior 5 vezes. considerar a resposta a uma questão como certa e atribuir o valor 1. para simular a realização de um exame.943 0.831 0.html e revista ABO nº 29 de Janeiro/ Março de 2007).362 0.200 0.048 0.735 0. poderá ser a seguinte: Utilizar a função RAND() do Excel.940 0.786 0.053 0.050 0.580 0.365 0.Organização e tratamento de dados 286 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 0. o professor pediu a um grupo de alunos que investigassem junto de 10 colegas.074 0.600 0. contabilizando o número de 1’s (respostas certas) obtidos (as). Repetir o procedimento anterior até que a frequência relativa do acontecimento “3 ou mais respostas certas” estabilize.943 0.592 0. para gerar números pseudo-aleatórios entre 0 e 1.640 0.013 0. escolhidos ao acaso. pelo que uma estimativa para a probabilidade do João passar é 0.155 0.858 0.045 0.239 0.395 0.123 0.487 0.100 0.154 0.063 0. sem utilizar a tabela de dígitos aleatórios.274 0.425 0.602 0.294 0.277 0.348 0. 1.676 0.191 0.042 d) Das 24 simulações do exame. De acordo com informação disponível na página do Instituto Português do Sangue (http://www.771 0.863 0.059 0.250 0.531 0.056 0.912 0.979 2 2 3 3 2 3 5 2 4 4 3 6 4 4 1 4 5 3 6 5 4 2 1 3 5 2 1 3 4 4 6 4 6 1 2 5 1 5 3 2 5 3 1 5 2 6 6 1 2 4 4 4 2 6 2 4 1 2 6 1 2 6 3 6 2 1 5 2 3 5 1 4 6 3 3 3 6 3 1 6 5 4 5 6 2 3 2 1 5 4 1 1 4 3 5 5 6 6 4 1 5 4 5 6 3 5 6 1 1 6 4 3 2 1 1 3 5 2 6 6 6 3 3 6 Nº respostas certas 3 2 1 0 1 1 0 2 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 2 0 0 Freq.487 0.827 0.607 0.690 0.532 0.192 0.083 0.297 0.000 0.541 0.593 0.300 0.833 0. rel.546 0. o João só passaria em uma delas.065 0.257 0.147 0. o grupo de alunos decidiu utilizar a seguinte metodologia: .143 0.297 0.775 0.056 0.356 0.139 0.841 0.927 0.117 0.503 0.113 0.285 0.373 0.111 0.585 0.067 0. 42% da população tem grupo sanguíneo de tipo O.091 0.276 0.395 0. qual o seu grupo sanguíneo e que calculassem uma estimativa para a probabilidade de todos terem o grupo sanguíneo de tipo O.020 0.993 0.125 0.185 0.009 0.789 0.570 0. ou da máquina de calcular.241 0. de 3 ou mais respostas certas. Se o número obtido for inferior a 0.675 0.405 0.001 0.909 0.425 0.885 0.089 0.475 0.709 0.617 0.379 0.222 0.824 0.ipsangue.882 0. 4º passo – Repetiram o processo anterior várias vezes para simular as respostas de 10 colegas e calcularam a frequência relativa do número de 1’s da coluna auxiliar. Assim. que dá uma estimativa da probabilidade pretendida. em 10 colunas do Excel. . significa que todos os 10 alunos têm grupo O. é a utilização da máquina de calcular. 2º passo – Repetiram o processo anterior 10 vezes. pode-se mostrar que a probabilidade de 10 indivíduos. Nas tarefas do capítulo seguinte consideramos 2 tarefas em que ela é utilizada. é 0. simulou a resposta de cada aluno à questão “O teu grupo sanguíneo é de tipo O?”. A simulação das 10 respostas foi repetida 1000 vezes e em nenhuma das vezes se verificou 1 em todas as respostas. escolhido ao acaso. Uma alternativa à utilização da folha de Excel. considera-se a resposta Sim e representa-se por um 1. 3º passo – Consideraram uma coluna auxiliar onde em cada célula colocaram o produto das 10 células da mesma linha.Organização e tratamento de dados 287 1º passo – Utilizando a função RAND() do Excel. caso contrário representa-se por um 0. escolhidos ao acaso.42. terem todos sangue de tipo O. Nota – Assumindo que a probabilidade de um indivíduo. uma estimativa para a probabilidade pretendida é 0. Se este produto for igual a 1.00017. para simular a pergunta a 10 colegas. da seguinte forma: Se o valor de RAND()<0.42. ter sangue de tipo O é 0. Organização e tratamento de dados 288 . .Tarefas Apresentam-se a seguir alguns exemplos de tarefas para a sala de aula. Organização e tratamento de dados 290 . Os animais selvagens Na folha seguinte estão alguns animais selvagens. com os nomes dos outros animais. para construir um gráfico com os dados obtidos no esquema de contagem gráfica. quantos os alunos que preferiram esse animal e) O professor chama a atenção para o facto de o gráfico obtido indicar com maior clareza a informação sobre os animais selvagens preferidos pelos alunos da turma. Se houver mais de 8 alunos a preferirem algum animal. os alunos respondem a algumas questões: a) Quantos alunos estavam na turma quando se fez esta actividade? b) Qual o animal preferido pelos alunos da turma? Quantos alunos o preferem? c) Qual o animal que os alunos da turma gostam menos? Quantos alunos o preferiram? d) Numa folha de papel quadriculado. qual o seu animal preferido (só pode ser um). terão também de acrescentar mais alguns números no eixo vertical. O professor faz com que a folha percorra a turma e cada aluno regista com um traço. f) O professor pode pedir para os alunos fazerem outras investigações deste género relativamente a outros assuntos de interesse O animal selvagem preferido . Sobre cada nome de animal preenchem tantas quadrículas. Depois da folha completa. O professor dá indicações no sentido de: Completarem o eixo horizontal. de modo a obter um esquema de contagem gráfica (tally chart).Organização e tratamento de dados 291 Tarefa . onde se indica o animal preferido. cada aluno desenha a figura seguinte. Organização e tratamento de dados 292 Animais selvagens Total . Mês Janeiro Fevereiro Março Abril Maio Junho Julho Agosto Setembro Outubro Novembro Dezembro Depois de recolher a folha pede aos alunos para responderem a algumas questões: Quantos alunos colocaram um x na folha? Quantos alunos estão na sala de aula? Houve algum aluno que não colocou um x na folha? Será que esse aluno não se lembra em que mês faz anos? Qual o mês em que mais alunos fazem anos? Qual o mês em que menos alunos fazem anos? Outra forma de recolher a informação anterior é utilizando uma folha quadriculada e construir um gráfico de pontos: . onde pede a cada aluno que coloque um x à frente do mês em que faz anos.Organização e tratamento de dados 293 Tarefa – O mês do nosso aniversário O professor faz passar uma folha A4 com o esquema que se apresenta a seguir. Organização e tratamento de dados 294 . Organização e tratamento de dados 295 Tarefa – Qual o tipo de gelado preferido? Na turma. Para responder à questão anterior. quando responderam a esta questão? Estavam mais rapazes. Pretendiam ainda averiguar se o gosto das meninas seria idêntico ao dos rapazes. já que os rapazes registaram as suas preferências do lado esquerdo. ou mais raparigas? Qual o gelado preferido das raparigas? O gelado preferido dos rapazes é o mesmo que o das raparigas? Algum rapaz prefere gelado de nata? . Algumas questões que podem ser respondidas a partir do esquema anterior: Quantos alunos estavam na turma. o professor escreveu no quadro os quatro tipos de gelados preferidos pelos alunos e pediu a cada aluno que apontasse qual o gelado preferido: Rapazes |||||| Chocolate ||| Baunilha ||||||||||| Morango Nata |||| |||||| || Raparigas ||||||||||| No esquema anterior podem-se distinguir os gelados preferidos dos rapazes e das raparigas. decidiram recolher informação sobre o tipo de gelado preferido. enquanto que as raparigas o fizeram do lado direito. Organização e tratamento de dados 296 . fiambre.Organização e tratamento de dados 297 Tarefa – O nosso tipo de sandes favorita para o lanche O professor e os alunos decidiram fazer um pequeno trabalho de investigação sobre o tipo de sandes que os alunos da turma preferem para o lanche. queijo. mista. doce. queijo. doce. chegaram à conclusão que os alunos gostavam de sandes de queijo. Ainda sugeriram fazer uma representação gráfica muito simples. queijo Depois de todos terem escrito o nome da sandes preferida. mista. fiambre. mista. mistas e de doce. Seria necessário organizar os dados para saberem qual a sandes preferida. fiambre. que fazia sobressair melhor que uma tabela. mista. onde colocavam o nome de todas as sandes e à frente de cada nome. fiambre. em que era muito difícil concluir alguma coisa com a informação recolhida desta forma. queijo. a informação recolhida: . fiambre. fiambre. Depois de alguma troca de impressões. doce. mista. o número de alunos que a preferiam: Tipo de sandes Queijo Fiambre Mista Doce Número de alunos 7 10 6 3 Depois da tabela construída foi fácil concluir que a sandes preferida era a de fiambre e que aquela que os alunos gostavam menos era a de doce. fiambre. obtiveram uma confusão de nomes. A maneira mais simples seria construírem uma tabela (de frequências). de fiambre. mista. fiambre. fiambre. Mas qual seria a preferida? Cada aluno foi ao quadro escrever o nome da sandes preferida e o resultado foi o seguinte: queijo. o gráfico de barras. fiambre. queijo. queijo. Organização e tratamento de dados 298 . recolheu alguma informação junto dos alunos de uma escola que apresentou no seguinte pictograma onde representa 4 carros Cor Preta Rapaz Rapariga Encarnada Prateada Responde às seguintes questões: Quantos rapazes preferem a cor preta? Qual a cor preferida das raparigas? É a mesma que a dos rapazes? Quantas raparigas manifestaram a sua opinião? E quantos rapazes? . Assim.Organização e tratamento de dados 299 Tarefa – Qual a cor de carros preferida pelos alunos da nossa escola? Um comerciante de automóveis decidiu investigar quais as cores de carros preferidas pelos futuros compradores de carros. Organização e tratamento de dados 300 . tendo em conta os objectivos pretendidos. Para exemplificar apresentamos o registo da temperatura na cidade de Lisboa durante 10 dias seguidos: Dia 27-Mai 28-Mai 29-Mai 30-Mai 31-Mai 01-Jun 02-Jun 03-Jun 04-Jun 05-Jun Temp. entre as datas consideradas: . Porto. da Internet. Poderão escolher algumas cidades do Norte. já não será necessário recolher informação sobre o dia em que as temperaturas foram recolhidas. Centro e Sul do país. terá de se recolher a informação sobre o dia e sobre a temperatura máxima e mínima desse dia. Lisboa e Faro e ainda a cidade onde vivem ou a mais perto da região em que vivem. cada grupo recolhe a informação. onde registamos a evolução das temperaturas máxima e mínima. se se pretender estudar a evolução da temperatura durante esses 30 dias. Se se pretender unicamente calcular algumas estatísticas sobre as temperaturas. Mínima (ºC) 17 17 18 16 14 14 14 14 14 15 A partir dos dados anteriores constrói-se um gráfico de linhas. A planificação da recolha de dados deve ser feita com algum cuidado. etc. Por exemplo. pelo que temos uma informação mais rica se se registar também o dia. Os alunos são divididos em grupos e cada grupo tem como objectivo estudar a temperatura numa dada região.. A professora deve alertar para o facto de que este tipo de informação que se recolhe ao longo do tempo pode ser objecto de uma representação em gráfico de linha. Cada dia e durante 30 dias seguidos.Organização e tratamento de dados 301 Tarefa – A temperatura que faz em algumas localidades A professora propôs aos alunos da turma fazerem um trabalho de investigação sobre o tempo que faz. através dos meios de comunicação social. como por exemplo. Máxima(ºC) 29 31 32 29 23 22 22 22 24 25 Temp. sobre a temperatura máxima e mínima que fará nesse dia. Organização e tratamento de dados 302 A partir do gráfico anterior podemos responder facilmente a algumas questões tais como: Em que dia é que se verificou a temperatura máxima mais alta? Nesse dia a temperatura mínima também foi a mais alta? Qual o dia. em que a temperatura mínima foi mais baixa? Houve maior variação entre as temperaturas máximas ou entre as temperaturas mínimas? Outras questões que podem ter interesse é averiguar a temperatura média. etc. tanto entre as máximas como as mínimas. a que damos o nome de amplitude térmica. ou dias. Vamos exemplificar com os dados anteriores: . Será também interessante comparar as temperaturas de várias cidades. o dia em foi maior a diferença entre a temperatura máxima e a temperatura mínima. Uma representação que também pode ser utilizada para comparar as temperaturas máximas com as mínimas ou as temperaturas entre cidades. é o diagrama de extremos e quartis. Para isso é necessário calcular a mediana e os quartis. . Esta representação é adequada para comparar vários conjuntos de dados.5 18 16. as temperaturas máximas são sensivelmente superiores às temperaturas mínimas.25 22 24.75 A partir do diagrama de extremos e quartis anteriores apercebemo-nos que os dados apresentam um enviesamento para a direita. pelo que seria interessante os vários grupos juntarem os dados observados referentes às várias cidades e compararem-nos através de um gráfico deste tipo. Como seria de esperar. que têm a particularidade de o mínimo e o 1º quartil coincidirem. nomeadamente os dados referentes às temperaturas mínimas.5 32 29 Mínimas 14 14 14.Organização e tratamento de dados 303 1º quartil Mínimo Mediana Máximo 3º quartil Máximas 22. que estão à sua frente ou seja assim que as 15 quadrículas correspondentes a algum carro estiverem preenchidas. deve o professor juntamente com os alunos avaliar a representação que está a ser obtida e quais os carros que têm mais cruzes à frente. sobre as probabilidades do resultado da soma das pintas dos dados ser 2. por exemplo o Dado 1. a partir de um modelo proposto para a experiência aleatória que consiste em lançar 2 dados e verificar a soma das pintas das faces viradas para cima. em que na coluna do lado esquerdo se assinalam as pintas de um dos dados. Deve chamar a atenção para o facto de. e na primeira linha se assinalam as pintas do outro dado. para simular esta deslocação pode-se marcar uma cruz na quadrícula respectiva. experimentalmente. Além desta avaliação experimental. 4. 5. …. 7. de acordo com as seguintes regras: Lançam-se dois dados equilibrados e somam-se as pintas das faces que ficam viradas para cima. 3. 10. mas do resultado do lançamento de dois dados. que vão participar numa corrida. as probabilidades do resultado da soma das pintas dos dados ser 2. constrói-se uma tabela de dupla entrada. a tabela obtida permitir estimar. 9. com os carros numerados de 2 a 12. 3. Algumas questões que o professor discutirá com os alunos.Organização e tratamento de dados 304 Tarefa – A corrida de automóveis Este jogo vai ser jogado por 11 corredores. escolhidos de entre os alunos da turma. As células do interior da tabela serão preenchidas com o resultado da soma dos algarismos que estiverem na mesma linha e na mesma coluna onde estão registadas o número de pintas: . O jogo termina assim que algum dos carros percorrer as 15 quadrículas. O vencedor da corrida não depende da velocidade do carro. antes de começar a corrida: Porque é que os carros só estão numerados de 2 a 12? Porque é que não aparece o número 1? Quais são as expectativas para o(s) número(s) do(s) carro(s) vencedor(es)? Porquê? À medida que a tabela com os carros for sendo preenchida com cruzes. 8. Faz-se andar de uma quadrícula o carro cujo número é o resultado da soma anterior. depois de um número razoável de lançamento dos dados. o professor orienta os alunos no sentido de obter teoricamente essas probabilidades. 3. …. ou 12. 11. 12) Para obter as probabilidades dos acontecimentos elementares constituídos pelos resultados anteriores. ou 12. 6. Esse carro será o vencedor. com a seguinte particularidade. O espaço de resultados associado a esta experiência aleatória é constituído pelos seguintes resultados: S = (2. 6). 5).Organização e tratamento de dados 305 Da tabela anterior verifica-se que quando se lançam os dois dados existem 36 pares. 6). assim como só o par (6. que fazem com que a soma das pintas varie entre 2 e 12. pois pode ser obtido por obtido pelos pares (1. 1) dá o resultado 2. (3. (5. Só o par (1. Tendo em consideração a regra de Laplace. 4). (2. igualmente possíveis. dadas respectivamente pelos pares (1. vem o seguinte modelo de probabilidade para o resultado da soma das pintas das faces dos dois dados: Resultado Probabilidade 2 1/36 3 2/36 4 3/36 5 4/36 6 5/36 7 6/36 8 1/36 9 2/36 10 3/36 11 4/36 12 5/36 Os alunos são incentivados a comparar as frequências relativas obtidas experimentalmente. (6. 2). 2) e (6. 3). Para obter o resultado 3 ou 11 existem 2 possibilidades. . com as probabilidades teóricas dadas pelo modelo anterior. 1) e (5. 6) dá o resultado 12.1). 5). (4. (2. Verifica-se também que o resultado 7 é o que se obtém mais vezes. Organização e tratamento de dados 306 Qual o carro vencedor da corrida? 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 . Organização e tratamento de dados 307 Tarefa – A cor dos olhos1 Com esta tarefa pretende-se desenvolver as propriedades do gráfico circular2. Os dados resultantes da observação da variável Cor dos olhos numa amostra de alunos. 2 1 . 3. Representa graficamente os dados no seguinte gráfico circular e pinta com lápis de cor as zonas referentes a cada categoria. a tabela de frequências é agora a seguinte: Cor dos olhos Nº de alunos Pretos 24 Castanhos 18 Azuis 7 Verdes 3 O ângulo do sector circular correspondente à categoria olhos Pretos.pt Esta actividade é especialmente adequada para ser resolvida no Excel. já organizados. são apresentados. Qual o aspecto do gráfico circular que representa estes novos dados? Justifica a tua resposta. 4. Supõe que duplicavas o número de alunos em cada categoria da variável Cor de olhos. isto é.alea. o número de alunos com olhos Azuis é 2. 5. A quantos alunos foi observada a cor dos olhos? 2. que representa a distribuição da Cor dos olhos de outros 40 alunos: Completa a legenda anterior. o número de alunos com olhos Verdes é o triplo do de olhos Azuis. Activalea 13 – www. qualquer alteração processada na tabela de frequências. também duplicava? Justifica a resposta. sabendo que: a moda é a cor Castanha. pois permite visualizar imediatamente no gráfico circular. Supõe que o professor te apresentava o seguinte gráfico circular. Supõe que duplicavas o número de alunos que tem olhos pretos. na seguinte tabela de frequências: Cor dos olhos Nº de alunos Pretos 12 Castanhos 18 Azuis 7 Verdes 3 1. Organização e tratamento de dados 308 . quantas medalhas ganhou cada um dos países medalhados? c) Nestes jogos os países que mais se distinguiram foram os EUA com 102 medalhas. a Rússia com 92. foram distribuídas 929 medalhas. cada um. a China com 63 e a Alemanha e Austrália com 49 medalhas. 2 de prata e 1 de bronze. uma boa medida de localização do centro da distribuição dos dados? e) A variável Número de medalhas ganhas por cada país medalhado é discreta ou contínua? f) A seguir apresentamos a tabela de frequências do conjunto de dados em estudo: Tabela 1 Nº de medalhas 1 2 3 4 5 6 7 8 10 12 15 16 17 Nº de países 10 7 7 5 9 5 4 4 3 2 1 1 1 Nº de medalhas 19 22 23 27 30 32 33 37 49 63 92 102 Nº de países 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 g) Com os dados da Tabela 1. achas que a média é.Organização e tratamento de dados 309 Tarefa – Os jogos olímpicos de Atenas. Nestes jogos Portugal ganhou 3 medalhas. em 2004 Esta tarefa tem como objectivo desenvolver a capacidade de resumir a informação contida em dados com distribuição enviesada Nos jogos olímpicos de 2004. neste caso. quantas medalhas ganhou cada um dos 69 países referidos na alínea anterior? d) De acordo com as respostas que deste às alíneas anteriores. realizados em Atenas. alguém construiu a seguinte representação gráfica: .olympic. pelos 74 países medalhados.org/uk/games) b) Em média. a) Sabes quem ganhou as 3 medalhas de Portugal e em que modalidades? (Se não souberes pesquisa em http://www. i) Quantas medalhas ganharam ao todo estes 5 países? Quantas medalhas ganharam os 69 países restantes? ii) Em média. justificase aqui a construção de um histograma. apesar desta representação ser mais adequada para dados de tipo contínuo. como temos muitos dados e o número de valores distintos é razoavelmente grande. No entanto. existem outras representações que podem ser utilizadas. Procede a um agrupamento dos dados de acordo com as seguintes classes e completa a tabela de frequências: . que pretende representar a distribuição do Número de medalhas ganhas por cada país medalhado está correcta? Porquê? h) Outra representação gráfica para os dados é a seguinte: Que nome se dá à representação anterior? A distribuição dos dados é simétrica ou enviesada? i) Tendo em conta a representação anterior e sem fazeres quaisquer cálculos. como por exemplo o caule e folhas. qual a relação de grandeza que esperas que haja entre a média e a mediana? Serão aproximadamente iguais ou não? Neste caso qual é a medida que tu esperas que seja maior? j) Embora a representação mais comum para os dados discretos seja o diagrama de barras.Organização e tratamento de dados 310 Achas que o gráfico anterior. o diagrama de extremos e quartis e até o histograma. 80[ [80. organizarem os dados na forma de um histograma ou de um diagrama de extremos e quartis. 10[ [10. não se deve ir calculá-la a partir dos dados agrupados. 60[ [60. O que concluis? (Não te esqueças que. quando temos os dados originais. em grande parte. da pessoa que o está a construir. pois o aspecto resultante depende do número de classes e da amplitude de classe que se considera. l) A partir da Tabela 2 consegues dizer.relativa Freq. 70[ [70. sem fazeres quaisquer cálculos. escolhias necessariamente as classes que te foram apresentadas? 3) Se pedisses a duas pessoas diferentes para. 40[ [40. qual o intervalo onde estão a mediana e os 1º e 3º quartis? Justifica a tua resposta. efectivamente.acumulada k) Constrói o histograma para os dados em estudo e interpreta o gráfico obtido. 20[ [20. a partir da Tabela 1. qual das duas representações vinha necessariamente igual? Da alínea anterior podes concluir que a construção do histograma depende. e precisamos de conhecer a média.rel. Compara o valor obtido com o que obtiveste na alínea b). Esta particularidade faz com que o histograma não seja aquilo a que se chama uma figura resistente. m) Utilizando ainda a Tabela 2 calcula um valor aproximado para a média do Número de medalhas ganhas por cada país medalhado. 50[ [50. 30[ [30. pois o erro cometido pode ser razoável. 1) Qual das duas representações foi mais simples de construir? 2) Se te pedissem para organizar os dados originais em classes. . n) Constrói o diagrama de extremos e quartis e interpreta a representação obtida. 90[ [90. 110[ Total Tabela 2 Freq.Organização e tratamento de dados 311 Classes [0. o) Nas alíneas k) e n) construíste duas representações para os mesmos dados e obtiveste representações que te dão o mesmo tipo de informação sobre a estrutura subjacente aos dados. como verificaste neste exemplo).absoluta Freq. 100[ [100. Organização e tratamento de dados 312 . _____________________________________ c. está de acordo com os valores que obtiveste nesta questão? h) Preenche o seguinte diagrama de Venn e responde às questões seguintes: O que significam e quanto valem (em números inteiros) os espaços representados pelas letras (Toma como exemplo a letra a): a . Com a informação anterior completa o seguinte diagrama de Carroll: Faz a cama Rapariga Rapaz Não faz a cama Depois de completares a tabela anterior. seria mais provável que fosse rapaz ou rapariga? Justifica a tua resposta. 425 responderam afirmativamente à mesma questão. _____________________________________ d. para colocares os totais: Faz a cama Rapariga Rapaz Totais Não faz a cama Totais Responde às seguintes questões: a) Quantos alunos participaram no inquérito? b) Quantos alunos fazem a cama? c) Quantos alunos não fazem a cama? d) Quantos rapazes não fazem a cama? e) Quantas raparigas não fazem a cama? f) Quem é que tu pensas que faz a cama com mais frequência? Os rapazes ou as raparigas? g) Calcula a percentagem de raparigas e de rapazes que fazem a cama quando se levantam. junta mais uma linha e uma coluna. seria mais provável que fosse rapaz ou rapariga? 3) Se escolhesses um aluno ao acaso. seria mais provável que fosse um dos que faz a cama ou dos que não faz a cama? 4) Se escolhesses um aluno de entre os que faz a cama.-.Número de raparigas que não faz a cama =74 b. _____________________________________ 1) Quantos alunos têm o hábito de fazer a cama? 2) Se escolhesses um aluno ao acaso (de entre os inquiridos). .-. 490 de 564 raparigas interrogadas. Qual a percentagem mais elevada? A resposta que deste à questão anterior. Dos 476 rapazes interrogados.-.Organização e tratamento de dados 313 Tarefa – Fazes a cama quando te levantas? Esta tarefa tem como objectivo desenvolver a compreensão da utilização do diagrama de Venn e de Carroll para resumir a informação e a utilização destas representações para facilitar o cálculo de probabilidades Num inquérito a alunos de uma escola secundária. responderam que sim à pergunta “Fazes a cama quando te levantas?”. Organização e tratamento de dados 314 . esteve na presidência cada um dos presidentes. Qual ou quais os presidentes que estiveram mais tempo na presidência? 2. A tabela anterior mostra os sucessivos Presidentes da República de Portugal. responde às seguintes questões: 2.2 meses (6 dias é 0.Manuel de Arriaga 1. 3 4 Activalea 21 – www.alea. Interpreta a representação obtida.Gomes da Costa 1926/1926 .3.Organização e tratamento de dados 315 Tarefa – Quanto tempo governaram os presidentes da república portugueses?3 Esta tarefa tem como objectivo interpretar o diagrama de extremos e quartis – forma. desde a implantação da República.pt/presidentes.Óscar Carmona 1926/1926 .pt http://www.2.Cavaco Silva 1996/2006 . em meses.Costa Gomes 1974/1974 . Sabes em que data foi implantada a República? Até essa data. Constrói um diagrama de extremos e quartis para os tempos em que os presidentes estiveram na presidência da república. Por exemplo.museu. Consultando a fonte de informação indicada na introdução. qual o regime que vigorava em Portugal? 2. simetria e variabilidade Para responder à questão em estudo.Sidónio Pais 1915/1917 .1.Bernardino Machado 1915/1915 .presidencia. o presidente Teófilo Braga esteve desde 29 de Maio a 5 de Outubro de 1915. ou seja 4.Mendes Cabeçadas 1925/1926 .Américo Tomás 1951/1958 . A partir dos dados obtidos. Parte dessa informação é apresentada a seguir: Presidentes 2006/ … .Bernardino Machado 1923/1925 -Teixeira Gomes 1919/1923 .António José de Almeida 1918/1919 .Craveiro Lopes 1926/1951 .php .Mário Soares 1976/1986 .Ramalho Eanes 1974/1976 .Teófilo Braga 1911/1915 .2 (=6/30) meses). recolheu-se a informação necessária na página oficial da Presidência da República Portuguesa4. Consegues detectar algum período bastante conturbado da vida política portuguesa? Justifica a tua resposta.Jorge Sampaio 1986/1996 . 2.4.António de Spínola 1958/1974 . o que perfaz 4 meses e 6 dias.Canto e Castro 1917/1918 . Qual ou quais os presidentes que estiveram menos tempo na presidência? 2. investiga quanto tempo. Organização e tratamento de dados 316 . Questão 1. _____.Organização e tratamento de dados 317 Tarefa – O lançamento da roleta para ajudar a compreender a aleatoriedade e a variabilidade5 Esta tarefa tem como objectivo compreender a variabilidade e a aleatoriedade Apresenta-se a seguir um exemplo de um teste de avaliação que o professor pode aplicar na aula aos seus alunos para averiguar a compreensão de alguns conceitos básicos associados à probabilidade e à estatística. Supõe que cada aluno da turma rodou a roleta 50 vezes e que os resultados do número de vezes que a seta apontou a zona sombreada se registaram no seguinte gráfico: 5 Adaptado de Thinking and Reasoning with Data and Chance. NCTM. 64 . _____. esperas obter o mesmo valor que indicaste na questão anterior. pag. Se rodares a roleta uma vez. Se rodares a roleta 50 vezes. se os obtivesses como resultado de rodares a roleta 50 vezes? Questão 7. Quais os valores que te surpreenderiam. _____. qual a probabilidade de a seta cair na zona sombreada? Questão 4. _____ Questão 8. Supõe que rodas a roleta 50 vezes e registas o número de vezes que a seta aponta a zona sombreada e que procedes da forma anterior 6 vezes. Se rodares de novo a roleta 50 vezes. a) O que entendes por variabilidade? b) Utiliza a palavra variabilidade numa frase c) Dá um exemplo de algo que varie Questão 2. para o número de vezes que esperas que a seta caia na zona sombreada? Questão 6. Aponta os valores que descrevam os resultados que poderias obter _____. a) O que entendes por aleatório? b) Dá um exemplo de algo que aconteça de forma aleatória O professor leva para a sala de aula uma roleta como a que se apresenta na figura Questão 3. 2006. _____. quantas vezes esperas que a seta caia na zona sombreada? Porquê? Questão 5. Desconfia-se que terá havido “batota” e algum(a) da(s) turma(s) em vez de realizarem a experiência. Imagina que outras três turmas apresentaram gráficos semelhantes ao anterior. inventaram os resultados.Organização e tratamento de dados 318 a) b) c) d) e) Quantos alunos estavam na turma? Qual foi o menor valor obtido? Qual foi o maior valor obtido? Qual é a amplitude dos valores obtidos? Qual é a moda dos valores obtidos? Questão 9. em que era pressuposto estarem representados os resultados da experiência de rodar várias vezes a roleta 50 vezes. Alguns dos resultados não resultaram da realização da experiência? Porquê? x xxx xxxxx xxxxxxx xxxxxxxxxxx 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 Turma A Turma B x xx 0 5 x x x 10 15 x x x x x x 20 25 30 x x 35 x x x x x x x 40 x x x 45 x 50 Turma C x x xx xx xx x xx xx xx x xxxxxxxxx x x 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 . Depois de ouvir as opiniões dos alunos mas antes de as discutir. há sete que fazem o jogador B ganhar e só quatro que o fazem perder. 11 Depois de cada aluno receber um dado. Terminado o jogo. 10. escolhendo entre si qual deles é o jogador A e qual é o B. o jogador A marcou pontos no 2º. cada vez que carregarmos em ENTER aparecem dois números correspondentes aos dois dados. cada grupo de alunos faz um jogo. Para isso. acrescentamos mais uma vírgula e o número 2. Total 274 223 6 Graça Martins et al (1999). 3º e 6º lançamentos. Jogador A Jogador B 20 14 19 20 20 16 .Um jogo com dois dados6. Neste exemplo. 3. Agora. Um pouco apressadamente 7 concluem que a probabilidade de ganhar seria .. 7 ou 8. Como queremos o resultado de dois dados. Esta tarefa tem como objectivo comparar a probabilidade teórica e a probabilidade experimental de um acontecimento. 9. JOGO DOS DOIS DADOS – Dois jogadores. Na TI-83 carregamos na tecla MATH e em PRB escolhemos 5:randInt(. cada grupo vai ao quadro registar o seu resultado numa tabela com o seguinte aspecto. pode-se usar a calculadora gráfica para simular o lançamento dos dados. separados por vírgulas.44 . . os limites entre os quais queremos que a máquina escolha números inteiros ao acaso: 1 e 6. – O jogador B marca um ponto se a soma for 2.Organização e tratamento de dados 319 Tarefa . vemos se foi o jogador A ou o jogador B a ganhar.. das onze somas possíveis. – Ganha quem primeiro obtiver 20 pontos. 6. propor que eles façam alguns jogos. p. 11 ou 12. Depois escrevemos. Uma boa actividade introdutória ao estudo das probabilidades é apresentar este jogo aos alunos e perguntar-lhes se lhes parece que algum dos jogadores está em vantagem.. cada jogador lança um dado e somam-se os pontos dos dois dados. devem organizar-se em grupos de dois. Somando os dois números. – O jogador A marca um ponto se a soma for 5. – Em cada jogada. Uma boa parte dos alunos prefere ser o jogador B porque.. Se o professor não dispuser de dados suficientes. 4. (2. (3. O jogador A ganha se sair 6.2) ….5). (4. (4. 4. (4. Então. (6..4). (6. 8 ou 9? Como o espaço de resultados S associado a esta experiência é constituído por S = {(1. (3. Conclui-se então que o jogo é favorável ao jogador A.1. apesar de só lhe servirem quatro 20 ou 55. as frequências relativas das jogadas vitoriosas para cada jogador são: 274 223 ≈ 0. resultados. todos eles igualmente possíveis. 5.…. 36 Esta actividade pode ser formalmente apresentada da seguinte forma: Considere a experiência aleatória que consiste em lançar dois dados e em verificar a soma das pintas das faces que ficam viradas para cima. Além disso.5).1).6). (4. O jogador B ganha saindo 2. dado azul e dado vermelho – e façam uma tabela de duas entradas com todos os casos possíveis.1). Dado Vermelho 1 2 3 4 2 3 4 5 3 4 5 6 4 5 6 7 5 6 7 8 6 7 8 9 7 8 9 10 1 Dado 2 3 azul 4 5 6 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 Vê-se então que há 36 casos elementares possíveis e organiza-se um quadro com o número de casos favoráveis para cada resultado. Houve 274 + 223 = 497 jogadas. (1. a probabilidade de ganhar é ou 44. é constituído pelos resultados D = {(1. Por outro lado.2).1). (2.4).449 fA = 497 497 Em seguida.6)}. ir indicando pistas: Será a soma “2” tão fácil de acontecer como a “7”? Só sai “2” se em ambos os dados sair 1. (5.551 fB = ≈ 0. Qual a probabilidade de se obter um 6.…. (5. (3. 20 . Os casos favoráveis a A são 5+6+5+4 = 20.2). que faz com que a soma das pintas seja a pretendida.6). 11 ou 12..6). vemos que A fez 274 pontos e B fez 223. (5. (2.4).6).6).6). (2. (4..5).3)}. (3. (3. (6.2). (4. (6. (2. 7. (2. (5.6).3). 7. (6. Resultado 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Casos favoráveis 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 Agora já podemos ver se algum jogador tem vantagem. 10.2).1). (1. sair 3 num dado e 4 no outro é diferente de sair 4 no primeiro e 3 no segundo. (5. o professor pode propor aos alunos que procurem mostrar que realmente o jogador A está em vantagem. 3.2). ….2). (4.4%. Pedir em seguida aos alunos que identifiquem os dados – por exemplo. (5. (6.5).1). Isto faz-nos suspeitar que A está em vantagem.6).3). a soma dos pontos de todos os jogos. o jogador A ganhará a maior parte dos jogos. A probabilidade de ele ganhar uma jogada é 36 16 Para o jogador B. 8 ou 9. Se necessário. o acontecimento D.4).6%. (1. pelo que a probabilidade pretendida é 36 . é também maior para A..2). Os casos favoráveis a B são 1+2+3+4+3+2+1 = 16.1). (3. enquanto que “7” é possível de várias maneiras: 1+6 ou 2+5 ou 3+4 ou . No exemplo que aqui apresentamos.2). (6. (3.Organização e tratamento de dados 320 Normalmente.…. se os dados forem equilibrados.1).3). Qual é a probabilidade de ganhar? Há vários processos de descobrir esta probabilidade. pedindo para ela gerar um conjunto de três números aleatórios entre 1 e 6. Com a instrução sum(. Cada um destes números corresponde a um dado. Ao fim de muitas experiências (que podem ir sendo feitas simultaneamente por várias pessoas diferentes). calcula-se a frequência relativa dos resultados maiores que 13.Organização e tratamento de dados 321 Tarefa – Qual a probabilidade de obter uma soma superior a 13. Se o número de experiências for suficientemente grande. y LIST ë 7 Graça Martins et al (1999). outros teóricos.48 . lançam-se três dados normais e ganha-se quando a soma das pintas é maior que 13. inclusive. Num certo jogo. podemos fazer uma simulação com a calculadora. Cada vez que carregarmos em ENTER aparece-nos um conjunto de três números que temos de somar para ver se o resultado é maior que 13. lançam-se muitas vezes e de cada vez regista-se o resultado da soma. ç Podemos evitar o trabalho de somar os três números. 2º Processo – Simulação com a calculadora Em vez de usar os dados. difícil ou mesmo impossível. uns experimentais. p. Vamos ver aqui vários desses processos e no fim determinaremos o valor exacto 1º Processo – Experimentação directa Pegam-se em três dados. esta frequência é uma boa estimativa da probabilidade. quando se lançam 3 dados?7 Esta tarefa tem como objectivo comparar a probabilidade teórica com a probabilidade experimental de um acontecimento. Quando o cálculo teórico é muito trabalhoso. recorre-se aos métodos experimentais para obter um valor aproximado. a máquina efectua imediatamente a soma dos três números da lista. embora assim deixemos de saber que números saíram efectivamente nos dados. Organização e tratamento de dados 322 Cada vez que carregamos em ENTER obtemos um número entre 3 e 18. 3º Processo – Programa de simulação com a calculadora É possível usar um programa muito simples que faça todo o trabalho anterior por nós. indicamos quantas experiências queremos fazer e passado uns momentos a máquina indica-nos o número de experiências e a frequência relativa de resultados maiores que 13 Começámos com 100 experiências e a frequência é de 0. É de esperar que a probabilidade de ganhar neste jogo seja um valor bastante próximo deste. Para isso temos de calcular o número de casos possíveis quando se lançam três dados e o de casos favoráveis. Acrescentamos mais 900 experiências. 4º Processo – Cálculo teórico Os processos anteriores só nos dão valores aproximados da probabilidade pedida. podemos obter o valor exacto da probabilidade fazendo o cálculo teórico. para que o total passe a ser 1000. aparece um menu que permite continuar a simulação. É de referir que este programa faz cerca de 500 experiências num minuto.1651. Prolongámos a simulação até às 10000 experiências e a frequência foi de 0. valores esses tanto mais fiáveis quanto maior tiver sido o número de experiências feito. a frequência foi de 0.15. carregando em ENTER. Em anexo neste livro está o programa DADOS3 que faz precisamente isto. Então. Nesta simulação. faz-se CLEAR. que correspondem a somas maiores que 13. Para evitar enganos e maior facilidade da contagem. Na figura anterior temos os resultados de 10 experiências. Chamamos o programa. em que só uma vez a soma foi maior que 13. No entanto. Se houver um grupo de alunos a fazer isto simultaneamente. rapidamente se consegue um grande número de experiências. . Mas este número de experiências é demasiado pequeno para podermos ter confiança no resultado. obtêm-se mais cinco resultados. e assim sucessivamente.167. Depois de registar os resultados. é aconselhável fazer aparecer cinco resultados de cada vez. 5-4-6. Façamos um quadro para as várias somas maiores ou iguais a 14.Organização e tratamento de dados 323 Casos possíveis = 6 3 = 216 Antes de contabilizar os casos favoráveis. 4-6-5. 2) Dois iguais e um diferente (por exemplo 6-6-5) três maneiras: 6-6-5. 6-4-5. 6-5-6. Soma 18 17 16 15 14 Tipo Nº de casos -6-6 1 -6-5 3 -6-4 3 -5-5 3 3 -6-3 -5-4 6 -5-5 1 3 -6-2 -5-3 6 -4-4 3 -5-4 3 Total 35 6 6 6 6 6 6 5 6 6 6 5 Agora já podemos determinar a probabilidade: P(soma > 13) = 35 216 ≈ 0. convém contar o número de maneiras diferentes com que pode aparecer um conjunto de três números: 1) Números todos iguais (por exemplo 5-5-5) só há uma maneira: 5-5-5.162 . 3) Todos diferentes (por exemplo 6-5-4) seis maneiras: 6-5-4. 5-6-4. 4-5-6. 5-6-6. Organização e tratamento de dados 324 . Bibliografia . Organização e tratamento de dados 326 . McCabe. (1991). Viana. 123-165 Moore. (1995) – Introductory Statistics. R. Departamento do Ensino Secundário.Thinking and Reasoning with Data and Chance. Jenni Way. D. P. (1997) – Statistics – Concepts and Controversies. D. R. (2000) – Literacia Estatística. Freeman. Components.. E. Grouws (Ed. D. M. Mendenhall. M. Responsabilities. M. (2001). NCTM. W. vol. Gaise Report (2005) . Adhikari. Mann. (1996) – The Basic Practice of Statistics. E. (2002) -Components of Statistical Thinking and Implications for Instruction and Assessment. . P. J. International Statistical Review. Moore.Organização e tratamento de dados 327 Bibliografia Na preparação desta Brochura seguiu-se essencialmente a seguinte bibliografia: Burrill G. Inc.. (1999a) – Probabilidades e Combinatória..Guidelines for Assessment and Instruction in Statistics Education (GAISE) Report. Turkman.. (1997) . In D. (2004) – Intro Stats.. W.. (1994) – Introduction to Probability and Statistics.. 6. Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning.. New Pedagogy and New Content. 3. A. Volume 10. The Case of Statistics. M. Moore. D. Branco. R. Inc. J. Adult’s Statistical Literacy: Meanings. Pisani. Graça Martins. ed. (1999b) – Introdução às Probabilidades e à Estatística. P. Statistical Science. 240-268. Moore. Viana.. E. 21.. Revista da APM Graça Martins. Beaver. De Veaux. 65. P. P. I. Pearson Education. Number 3.. Freeman. Universidade Aberta. (1997) – Estatística. (1997). International Statistical Review. Ministério da Educação. (2002). Reston Chance B. . (1991). John Wiley & Sons. Freedman. G. 1-51. Research in Probability and Statistics: Reflections and Directions. John Wiley & Sons. 70. The Role of Statistics in School Mathematics Teaching Today. M. nº 1. Graça Martins. Monteiro. May 97. Freeman. August 2005 –American Statistical Association Gal. C. 2.Way in Reflections. (2006) . Ministério da Educação. J. Departamento do Ensino Secundário. Duxbury Press. A. Cerveira. Journal of Statistics Education.. D. A.. A. M. Monteiro. A. E. (1968) – An Introduction to Probability Theory and its Applications. C. A.Statistics.). e Velleman. W. Turkman. Avoiding Statistical Pitfalls. A Pre-k-12 curriculum framework. Graça Martins. Feller. 1. C. Chatfield. Norton & Company. W. (1996) – Introduction to the Practice of Statistics. R. Purves. Rasfeld. pt Instituto Nacional de Estatística .. 1.pt (Tem informação sobre Portugal. para todos os países do mundo) World in figures – http://. R.stat. (2006) . Amstat News 293..plymouth. E. Mathematics and Democracy: The case for Quantitative Literacy.ine. Edições Sílabo. 1996 Watson J. New York. 1998. (1995).alea. Sheaffer. Rossman. Steen. P. Prentice Hall.int/comm/eurostat/ (Tem informação relativa aos diversos países da Europa) World Health Organization – http://www. A. and Learning. tais como população e estatísticas vitais.Organização e tratamento de dados 328 International Journal for Mathematics Teaching http://www. 3-23. 63. A. ed (1997). et al (2004) – Activity-based statistics – student guide.int/research/en/ (Tem informação sobre temas ligados à saúde.. R. ao nível da freguesia) Eurostat – europa.uk/journal/default.www. L. L. Nov 2001. M.http://www. cultura. USA. Princeton. Key College Publishing. and al.htm. D. . Prepared by the National Council on Education and the Disciplines. Reis.who. CA. 3-4 Steen. Key College Publishing. Vere-Jones.Excursions in modern Mathematics. ed (2001). Tannenbaum. The Coming of Age of Statistical Education. L. F. religiões. (2001) – Quantitative Literacy and Statistics. Discovery with data. ICOTS-7 Páginas na Internet ALEA .. Lda.. Ferrão. (2001) – Workshop Statistics .cimt. and Chance B. etc.ac. – Sondagens. Why Numbers Count: Quantitative Literacy for Tomorrow America. relativa a todos os países do mundo) . P. Sheaffer.Issues for Statistical Literacy in the Middle School.fi/tup/maanum/index_en. The College Board. emprego. consumo. Vicente. A. Emeryville.html (Tem informação das mais diversas áreas. International Statistical Review.eu.