MATEMÁTICA FUNDAMENTALAULA 03: SISTEMA DECIMAL E ALGORITMO TÓPICO 01: SISTEMA DECIMAL E CONTAGEM A relação NÚMERO – NUMERAL - REGISTRO, não deixa transparecer de imediato uma série de convenções estabelecidas historicamente e que devem ser obedecidas quando pretendemos expressar o número imaginado sem deixar dúvidas. É sobre essas regras (algoritmos) que faremos comentários. Fazer com que o aluno entenda aquilo que está resumido num algoritmo é a primeira grande dificuldade no ensino da Matemática nos primeiros anos da escola. Desejamos contar um conjunto A com um número grande de elementos. Por motivos até biológicos, o impulso inicial é agrupar os elementos do conjunto em subconjuntos de dez elementos. Um processo de contagem seria o seguinte. Começaríamos a formar grupos de dez elementos. Algumas vezes pode ocorrer que reste alguns elementos e não podemos formar um grupo de dez com os mesmos. A seguir, agrupamos os grupos em caixas contendo dez grupos de dez. Novamente, algumas caixas podem não conter dez grupo de dez. O diagrama abaixo transmite de forma precisa a cardinalidade (A). A questão é: como guardar ou transmitir essa informação de modo sucinto? O sistema de numeração decimal é uma técnica de registrar o número de elementos de um conjunto finito. Apresentemos sua descrição. Utiliza-se um alfabeto com apenas dez símbolos chamados algarismos ou dígitos. A saber, δ ={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} (δ é a letra grega minúscula delta). Cada um dos algarismo representa um número natural entre zero e nove chamado de valor absoluto do dígito. Cada palavra escrita com algarismos representa uma soma de múltiplos de potências de 10 onde o coeficiente de 10m é o cardinal que ocupa a (M + 1)-ésima casa decimal. Para esclarecer melhor a relação entre a potência e o coeficiente deixemos alguns exemplos. OBSERVAÇÃO O registro de um cardinal feito como no lado esquerdo das igualdades acima é chamado de NOTAÇÃO DECIMAL e o do lado direito de NOTAÇÃO EXPANDIDA Voltemos ao início da seção. Ao contarmos o conjunto A procedemos do seguinte modo. Decompomos o conjunto em três subconjuntos disjuntos A = CDU com as seguintes propriedades. PROPRIEDADE 1 O subconjunto C corresponde às duas caixas onde cada caixa tinha dez grupos de dez elementos. Logo, das propriedades operatórias temos: (C) = 2 . 102 = 200. PROPRIEDADE 2 O subconjunto D, corresponde à sete grupos de dez elementos: (D) = 7 . 101 = 70. PROPRIEDADE 3 O subconjunto U corresponde aos seis restantes. Então: (D) = 6 . 100 = 6 PROPRIEDADE 4 Como os subconjuntos são disjuntos seguem as igualdades Reciprocamente, quando registramos 475, o sistema decimal nos induz a pensar que um conjunto A contendo quatrocentos e setenta e cinco elementos foi separado em três subconjuntos disjuntos, A = C D U, onde as cardinalidades de cada parcela da união são: η(C) = 4 . 102; η(D) = 7 . 10; η(U) = 5 Adiante, iremos explorar essa relação entre o registro de um número e uma decomposição de um conjunto para explicar como surgem as contas de somar, subtrair, multiplicar e dividir. Efetuemos uma soma utilizando a notação expandida para, posteriormente, entendermos como surge o algoritmo da adição. Calculemos 25 + 133. Escrevendo os dois números na notação expandida decimal e somando temos, pelas propriedades operatórias, É claro, é impraticável somar utilizando esse processo. Na próxima seção apresentaremos um método mais eficiente. Nos livros textos para o Ensino Fundamental, vários diagramas são utilizados para descrever o sistema numérico decimal. Todos eles apresentam agrupamentos dos elementos de um conjunto para fazer a contagem e transcreve o resultado da contagem no sistema decimal. Vejamos um exemplo que descreve pictoricamente o raciocínio empregado na contagem. EXERCITANDO 1 Transforme para a notação expandida, some e transcreva o resultado para a notação decimal. a) 72 + 38 b) 43 + 68 FÓRUM Discuta, no Fórum da Aula 3, com os colegas ou com o professor tutor, as dúvidas sobre os exercícios ou sobre a matéria da Aula 3. Lembre que sua participação no Fórum vale presença e nota de avaliação. FONTES DAS IMAGENS 1. http://www.denso-wave.com/en/ Responsável: Profº. Jose Valter Lopes Nunes Universidade Federal do Ceará - Instituto UFC Virtual MATEMÁTICA FUNDAMENTAL AULA 03: SISTEMA DECIMAL E ALGORITMO TÓPICO 02: O ALGORITMO DA ADIÇÃO O sistema decimal oferece outras vantagens além da simplicidade de escrita. Uma delas é a facilidade de criar algoritmos para operações algébricas. Devemos examinar nessa seção como surge o primeiro algoritmo que aprendemos, a conta de somar, Para efetuarmos a conta acima, somente precisamos conhecer a tabuada da soma que nos fornece a adição de poucos números, a saber, soma de números de 0 a 9. Em termos de conjuntos a adição responde à pergunta: se (A)=475 e (B)=48, qual a cardinalidade de A B, sabendo-se que A B = ? Façamos a decomposição de cada cardinal seguindo as regras do Sistema decimal e as propriedades das operações com cardinais já aprendidas no tópico anterior, OLHANDO DE PERTO A operação foi efetuada somando separadamente unidades, dezenas, e centenas apenas com o auxílio da tabuada e as propriedades distributiva, comutativa e associativa. Entretanto a resposta não pode ser transposta para o sistema decimal, pois na unidade surgiu 13 que não é um número escrito com um dígito. O mesmo ocorreu com a casa das dezenas, 11.10 . Se fizéssemos a transposição para o sistema decimal obteríamos algo totalmente esdrúxulo, "411113" , certamente um registro errado, se considerado como sendo a soma 475 + 48. REGRAS DO SISTEMA DECIMAL Como na casa das unidades só deve ter um dígito e as regras do Sistema decimal nos diz que 13 = 1.10 +3, surge o famoso vai um, neste caso, vai um para a casa da dezena, 475+48= 4.100 + 12.10 +3. Novamente, vai um para a casa das centenas, pois, 12.10= 1.100 + 2.10 475+48 = 5.100 +2.10 +3 Finalizando, temos 475+48 = 5.100 +2.10 +3 = 523 Um algoritmo para a operação de soma reproduz sinteticamente todas essas operações de forma eficiente. Se, por um lado, o processo de somar utilizando a notação expandida é impraticável, por outro lado, ele nos dá todas as informações necessárias para construirmos o algoritmo da soma. Examinemos, agora, as seguintes contas de somar (três algoritmos diferentes), O algoritmo à esquerda está reproduzindo a conta feita no início da solução anterior de forma sintética, O algoritmo do centro é semelhante ao anterior, apenas omitimos os zeros para facilitar a escrita. Uma simplificação maior do algoritmo está apresentada à direita com mais economia de espaço, mas, essencialmente, é igual. Em lugar de escrever 13 como o total da soma das unidades, escrevemos apenas a unidade 3 e acrescentamos 10 unidades na soma indicando esse fato pelo vai um. O mesmo ocorre com a soma das dezenas. Calculemos 3759+527+430. Utilizemos os dois algoritmos descritos acima. EXERCITANDO 2 Determine os dígitos x, y e z, sabendo-se que FONTES DAS IMAGENS 1. http://www.denso-wave.com/en/ Responsável: Profº. Jose Valter Lopes Nunes Universidade Federal do Ceará - Instituto UFC Virtual MATEMÁTICA FUNDAMENTAL AULA 03: SISTEMA DECIMAL E ALGORITMO TÓPICO 03: O ALGORITMO DA SUBTRAÇÃO VERSÃO TEXTUAL A subtração de naturais corresponde a retirar de um conjunto uma quantidade determinada de elementos. É assim que a operação de subtração é introduzida no Ensino Fundamental. Por isso, nesse nível, só faz sentido considerar a subtração de um natural maior por um menor. Vejamos um exemplo simples que ilustra como surge o algoritmo da subtração: EXEMPLO 3.3.1: De um conjunto A com 38 elementos retirarmos 15 elementos. Quanto resta? Em outras palavras, qual a diferença 38 − 15? SOLUÇÃO Solução Como η(A) = 38, podemos decompor o conjunto em uma união disjunta A = D ∪ U , onde η(D) = 30 e η(U) = 8. Se queremos retirar 15 elementos de A, retiramos 10 de D e 5 de U, sobrando 20 no primeiro e 3 no segundo. Logo, Coloquemos algebricamente essa mesma ideia, Vejamos como fica o algoritmo da subtração que na é uma síntese desse processo. O algoritmo que registra essa situação é bem simples, na verdade é o tomando emprestado ou o vem um para a posição da casa das unidades, PROBLEMA 1 PROBLEMA 3.3.2 : Calcule a diferença 379 − 237. Solução Repetindo o mesmo raciocínio anterior temos, A situação para a criança pode ser um pouco mais complicada, como nos exemplos a seguir. Como você utilizaria conjuntos para explicar as operações realizadas nas operações pedidas? PROBLEMA 2 PROBLEMA 3.3.3: De um conjunto A com 35 elementos retiramos 18 elementos. Quantos restam? Nesse caso não podemos repetir exatamente a construção anterior. Se não, vejamos. Primeiro, decompomos o conjunto em dois conjuntos disjuntos, A = D ∪ U, onde η(B) = 30 e η(U) = 5. Como 18 = 10 + 8 não podemos retirar 8 elementos do conjunto U pois esse só tem 5 elementos. A solução é decompor o conjunto A em dois conjuntos disjuntos, A = X ∪ Y, onde η(X) = 20 e η(Y) = 15. Aqui, está a ideia do tomar emprestado, transferindo 10 elementos do conjunto D para o conjunto U. Queremos registrar essas ideias num algoritmo. Antes apresentemos a solução algébrica, onde, por problema de espaço, o símbolo 15 está significando 15 . PROBLEMA 3 PROBLEMA 3.3.4: Calcule a subtração 662 − 478. Observe que a unidade não pode ser subtraída nem a dezena. No algoritmo de subtração podemos tomar emprestado duas vezes. Os significados dos símbolos são 12 = 12 e, respeitando a regra posicional no Sistema decimal, 1 50 = 150. PROBLEMA 4 PROBLEMA 3.3.5: Calcule a subtração 602 − 478. Nesse caso o algoritmo também funciona desde que utilizemos mais de um vem um. Veja a solução. Outro algoritmo. Nesses últimos exemplos, podemos não assinalar na conta o vem um e substituí-lo por outro processo semelhante. A seguir apresentaremos o algoritmo normalmente ensinado nas escolas. Aqui faremos o registro gráfico de todas as passagens do processo. EXEMPLO 3.3.6: Calcule a subtração 692 − 478. A ideia é somar potências de 10 a ambas parcelas da subtração e não transferi-la com o vem um. Sejamos claro. Observe que 12 = 12 , portanto aumentamos em 10 unidades o número 662, ele não veio da casa da dezena. Para não alterar a subtração devemos somar 10 unidades ao natural 478, isto fica indicado por 47+18 = 478 + 10 = 488 . Utilize o mesmo processo acima para a operação a seguir. PROBLEMA 3.3.7: Calcule a subtração 332 − 278. Repitamos o processo. FONTES DAS IMAGENS 1. http://www.denso-wave.com/en/ Responsável: Profº. Jose Valter Lopes Nunes Universidade Federal do Ceará - Instituto UFC Virtual MATEMÁTICA FUNDAMENTAL AULA 03: SISTEMA DECIMAL E ALGORITMO TÓPICO 04: O ALGORITMO DA MULTIPLICAÇÃO VERSÃO TEXTUAL O algoritmo da multiplicação utiliza o algoritmo da soma. Nessa altura, o estudante do Ensino Fundamental deve conhecer a tabuada de multiplicação. Vejamos como surge o algoritmo de multiplicação. ALGORITMO DA MULTIPLICAÇÃO Efetue a multiplicação 3.49 SOLUÇÃO: Examinemos as seguintes contas de multiplicar com as propriedades que já conhecemos, depois construimos o algoritmo correspondente, Novamente, a resposta não permite transcrevermos o numeral na notação decimal pois a casa correspondente à unidade não tem um dígito nem o numeral que acompanha 10 é escrito com um algarismo. Devemos aplicar a ideia do vai um, Utilizando o algoritmo, a economia de papel e de esforço é enorme, além de evitar possíveis erros. Acompanhemos a reordenação das operações observando a utilização do algoritmo da soma no estágio final da multiplicação, Primeiro, multiplicamos 3.9, depois, multiplicamos 3.40 , como feito por extenso, anteriormente. Efetue a multiplicação 13.29. EXERCITANDO 3 Se X tem 12 dígitos e Y tem 5 dígitos então: ◾ 1. X.Y tem no máximo ........dígitos; ◾ 2. X.Y tem no mínimo ........dígitos; FONTES DAS IMAGENS 1. http://www.denso-wave.com/en/ Responsável: Profº. Jose Valter Lopes Nunes Universidade Federal do Ceará - Instituto UFC Virtual MATEMÁTICA FUNDAMENTAL AULA 03: SISTEMA DECIMAL E ALGORITMO TÓPICO 05: O ALGORITMO DA DIVISÃO Dado um conjunto A contendo P elementos. Quantos subconjuntos disjuntos com Q > 0 elementos pode ser formado usando todos os elementos de A? É dessa forma que a operação de divisão é introduzida em linguagem de conjuntos no Ensino Fundamental. O algoritmo para efetuarmos uma divisão é o mais complexo, pois envolve todas as operações anteriores, entretanto, é fácil explicá-lo utilizando conjuntos. A divisão de 12 por 4 responde à seguinte pergunta: quantos subconjuntos disjuntos de 4 elementos estão contidos num conjunto de 12 elementos? A divisão 12 : 4 = 3 pode ser obtida como no gráfico abaixo, pois conseguimos empilhar o conjunto contendo 12 elementos em 3 fileiras de 4 elementos, onde cada fileira horizontal representa um conjunto. Nem sempre a resposta é exata. De um conjunto A contendo 13 elementos podemos formar 3 subconjuntos disjuntos com 4 elementos cada e restar ainda 1 elemento. Pela nossa definição 4 não divide 13. ALGORITMO DA DIVISÃO Quantos conjuntos de 8 elementos cabe num conjunto A com (A) = 296? Em outras palavras, divida 296 por 8, ou com a nossa notação, calcule 296:8. Para compreender o algoritmo, fazemos a seguinte pergunta. Podemos formar 20 conjuntos com 8 elementos de A? A resposta é sim! pois 20 . 8 = 160 e o conjunto A tem mais elementos que isso. Então formamos os 20 conjuntos com 8 elementos cada e o restante fica sendo 296 - 8 . 20 = 136. Registremos essas informações no gráfico abaixo, Portanto, o conjunto que restou de A tem cardinalidade 136. Continuando. Do conjunto que restou, podemos formar 10 conjuntos com 8 elementos cada? A resposta é sim! pois 10 . 8 = 80 e o conjunto restante tem mais elementos, na verdade 136 elementos. Formemos esses 10 subconjuntos e o restante fica sendo 136 - 8 . 10 = 56. Registremos essa informação no gráfico abaixo. Mais uma pergunta. Dos 56 elementos restantes podemos formar 7 conjuntos de 8 elementos cada? A resposta é sim! pois 7 . 8 = 56 e o restante tem, precisamente, esse número de elementos. Ao formarmos esses 7 novos conjuntos de 8 elementos, o restante fica sendo um conjunto vazio, com zero elementos, 56 - 8 . 7 = 0. Registremos essas informações no gráfico. Finalmente, quantos conjuntos de 8 elementos cada formamos com os elementos de A? A resposta é 20 + 10 + 7 = 37. Em outras palavras 296 : 8 = 137. Registremos. A apresentação inicial do algoritmo da divisão no Ensino Fundamental deve evitar o um algoritmo mais complexo. É conveniente que seja apresentado nas etapas como a seguir, utilizando conjuntos. Em lugar da questão, divida 412 por 13, é mais fácil e claro fazer a pergunta: quantos conjuntos de 13 elementos cabe num conjunto A com 412 elementos? SOLUÇÃO Iremos direto ao algoritmo sem utilizar a linguagem de Teoria de Conjuntos. Deixaremos ao leitor essa leitura. Cabe 5? Sim! Registremos. Cabe 20? Sim! Registremos. > Cabe 6? Sim! Registremos. Cabe mais algum? Não. Registremos. Sendo assim, 412dividido por 13 são 31 com resto 9. Portanto, 412 não é divisível por 13. O algoritmo utilizado nas escolas é essencialmente o apresentado acima. A única diferença fica por conta da resposta ao cabe quantos. A escolha é sempre o maior múltiplo de 10 possível. Divida 873 por 31. Solução Cabe quantos? Para o algoritmo ser mais eficiente, devemos escolher o maior múltiplo de 10 possível. Nesse caso, cabe 20, Agora, devemos escolher a maior unidade possível para responder ao cabe quanto, Finalmente temos Ou mais sucintamente, Portanto, 873 dividido por 31 é igual a 28 com resto 5. Terminaremos este capítulo com o Teorema do resto. Como vimos a divisão de cardinais pode não ser exata, isto é, pode sobrar restos. TEOREMA DO RESTO Sejam P e Q dois números naturais com Q ≠ 0. Existem cardinais R e S com 0 ≤ R ≤ Q tais que P = S . Q + R. Os naturais citados no teorema recebem as seguintes denominações: P é chamado de dividendo; Q é chamado de divisor; S é o quociente; R é o resto da divisão. Quando o resto R é igual a zero dizemos que a divisão é exata Efetuando a divisão de 45 por 6 obtemos 7 com resto 3. Isso significa que vale a igualdade 45 = 7 . 6 + 3. Em linguagem de conjuntos podemos fazer a releitura desta última igualdade afirmando que ao dividirmos um conjunto com P = 45 elementos em subconjunto com Q = 6 elementos cada, obtemos S = 7 subconjuntos e ainda restam R = 3 elementos. EXERCITANDO 4 Examine criticamente os empilhamentos utilizando o Teorema do resto EXERCITANDO 5 Um aluno escreveu as seguintes contas de divisão. Estão corretas? EXERCITANDO 6 Numa pequena localidade de 2750 habitantes, de cada 25 pessoas 8 eram fumantes. Após uma campanha contra o tabagismo, de cada 11 fumantes, 3 deixaram de fumar. Quantas pessoas ainda permaneceram com o vício? ATIVIDADE DE PORTFÓLIO Resolva os exercitandos 2 e 4 e os exercicios (que estão no material de apoio): 2 do tópico 2 ; 3 do tópico 3; 2 do tópico 4; 6 do tópico 5 e poste no portfólio Aula 03. FONTES DAS IMAGENS 1. http://www.denso-wave.com/en/ Responsável: Profº. Jose Valter Lopes Nunes Universidade Federal do Ceará - Instituto UFC Virtual