Description
Libro para el docenteMatemática en 7.° 1.°secundaria primaria CABA ________________ Claudia Broitman Horacio Itzcovich María Mónica Becerril Betina Duarte Patricia García Verónica Grimaldi Héctor Ponce © Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723 Matemática en 7.° primaria CABA 1.° secundaria Libro para el docente Matemática en 7.º CABA/ 1.º ES. Libro para el docente es una obra colectiva, creada, diseñada y realizada en el Departamento Editorial de Ediciones Santillana, bajo la dirección de Graciela Pérez de Lois, por el siguiente equipo: Coordinación general: Claudia Broitman. Coordinación didáctica: Claudia Broitman y Horacio Itzcovich. Autoría: María Mónica Becerril, Betina Duarte, Patricia García, Verónica Grimaldi y Héctor Ponce. Lectura crítica: Andrea Novembre. Edición: Juan Sosa. Jefa de edición: María Laura Latorre. Gerencia de Gestión Editorial: Mónica Pavicich. © Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723 La realización artística y gráfica de esta edición ha sido efectuada por el siguiente equipo: Jefa de arte: Claudia Fano Diseño de tapa y diagramación: Alejandro Pescatore Corrección: Paula Smulevich Ilustración: Leonardo Arias, Lancman Ink Ilustraciones matemáticas: Manuel Lois Documentación fotográfica: Leticia Gómez Castro, Teresa Pascual y Nicolas Verdura Preimpresión: Marcelo Fernández, Gustavo Ramírez y Maximiliano Rodríguez Gerencia de producción: Gregorio Branca La presente publicación se ajusta a la cartografía oficial establecida por el Poder Ejecutivo Nacional de la República Argentina a través del IGN Ley –22.963– y fue aprobada por el expediente GG11 2149/5 del 15 de agosto de 2011. Este libro no puede ser reproducido total ni parcialmente en ninguna forma, ni por ningún medio o procedimiento, sea reprográfico, fotocopia, microfilmación, mimeógrafo o cualquier otro sistema mecánico, fotoquímico, electrónico, informático, magnético, electroóptico, etcétera. Cualquier reproducción sin permiso de la editorial viola derechos reservados, es ilegal y constituye un delito. © 2012, EDICIONES SANTILLANA S.A. Av. L. N. Alem 720 (C1001AAP), Ciudad Autónoma de Buenos Aires, Argentina. ISBN: 978-950-46-2432-5 Queda hecho el depósito que dispone la Ley 11.723. Matemática en 7.º primaria CABA/ 1.º secundaria. Libro para el docente / María Mónica Becerril ... [et.al.] ; coordinado por Claudia Broitman y Horacio Itzcovich. - 10a ed. - Buenos Aires : Santillana, 2011. 192 p. ; 28x22 cm. ISBN 978-950-46-2432-5 1. Guía Docente. 2. Matemática. I. Becerril, María Mónica II. Broitman, Claudia, coord. III. Itzcovich, Horacio, coord. CDD 371.1 Impreso en Argentina. Printed in Argentina. Primera edición: octubre de 2011. Este libro se terminó de imprimir en el mes de octubre de 2011 en FP Compañia Impresora, Beruti 1560, Florida, Buenos Aires, República Argentina. . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . XXII 2. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . ... . VI Secuenciación de los problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. .. . . . . .. . . .. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. . .. . . . . . . . . . . . . XXV Capítulo 3: Figuras geométricas . . . .. . . . . . . .. . . . . .. . . . . . .... . . .. . . . . XI Hacia la generalización . . . X Los modos de representación . . . . . . . . . . .. ... . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XXVI Capítulo 6: Fracciones y decimales . . . . .. . .. . . . . . .. . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .°/1.. . .. XV Formas de organización y gestión de la clase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prohibida su fotocopia. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . XXVIII Bibliografía recomendada . . . . . .. .. . .. . . . . .. . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . .. un desafío crucial .. . . . . . . . . . .. . . . ..° .. . . . . . . . . . . . .. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XV El uso de recursos tecnológicos . . . . . . . . . . . . XXVI Capítulo 5: Fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . XXVII Capítulo 8: Proporcionalidad . . .. . . . . .. . . . .. . .. .. . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . .. . . . . . . . . Enfoque didáctico de Matemática en 7. . .. . . . El tratamiento de los contenidos en Matemática en 7. . . .. . . ... .. . . . . . . . . . . . . . . . XXVII Capítulo 9: Cuerpos geométricos . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . .Índice Índice de contenidos . . . . . . . .. . . . ... . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . XIII El uso de las letras . ... . . . . . . . . .º . . . . . . . . . . . . IV 1. . . . . . .. .. . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . XXIX III . . XXVIII Capítulo 10: Estadística . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . XIII © Santillana S.. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X La validación. . . . . . . . . . . XVIII Roles del docente . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .. . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . XXV Capítulo 2: Números naturales . . .. .. . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .A. . . . . . . . . . . . . . . XXV Capítulo 4: Operaciones con números naturales II . . . ... .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . .. . .. . . . . .. . . . . . . . . .. . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . .. . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. . . . . . . . . .. .. . . .. . .. . . . ... . . .. . . . . . . . . . . . . . .. .. . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .º/1.. . . . . . . .. . . . . . . . . IX La exploración como parte del trabajo matemático . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . Ley 11. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. .. . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . XXIV Capítulo 1: Operaciones con números naturales I . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . .. . . . . . .. . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . XXVII Capítulo 7: Área y perímetro de figuras . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . .723 Relaciones entre conceptos que aparentan ser independientes. . . . . . . . . .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. . . . . . . . . . . . VI El papel que podrían jugar los problemas . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Orden y jerarquía de las operaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54-55 Cálculos mentales de multiplicaciones y divisiones . . . . . . . . 20-21 Revisión del concepto de fracción. . . . . . . . . . Composición y descomposición de números en potencias de 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38-39 Exploración de algunas características de polígonos a partir de copias y construcciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cálculos de potencias y raíces . . . . . . . . . . . . . . . 70-71 Comparación de fracciones. . Operaciones con números naturales II Problemas de multiplicación de diversos sentidos: organizaciones rectangulares. . . . . . . . . . . . . . . 40-41 Ángulos interiores y ángulos centrales de polígonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Análisis del resto . . . . . . . . . Búsqueda de fracciones entre dos dadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-7 Interpretación y producción de expresiones aritméticas en la resolución de problemas de varios pasos . . . . . organizaciones rectangulares y series proporcionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Índice de contenidos Capítulo 1. . . . . . . . . . . . 72 Fracciones. . . . . . . . . . . . . . 28 Capítulo 3. . . . . . . . 80 © Santillana S. 66-67 Análisis del valor posicional. . . . 34-35 Análisis de algunas propiedades de lados y ángulos de triángulos. . . . . . . . . . . . . . 76-77 Resolución de problemas que involucran división entre fracciones. . . . . . . partición. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Sistema de numeración sexagesimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Densidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Capítulo 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . análisis del resto. . . . . . . Ley 11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22-24 Relaciones entre el entero y las partes. . . . . . series proporcionales y combinatoria . . . . . . . . . . razones y proporciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . y entre las partes entre sí. . Fracciones en la recta numérica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Figuras geométricas Análisis de algunas propiedades de figuras a partir de actividades de construcción. 58 . . . . 26-27 Notación científica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propiedad triangular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36-37 Mediatriz de un segmento . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-11 Criterios de divisibilidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Fracciones y porcentajes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fracciones Lectura. . . . Operaciones con números naturales I Capítulo 4. . . . Problemas de variaciones y permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74-75 Resolución de problemas que involucran multiplicación entre fracciones . . . . . . 42-43 Suma de ángulos interiores de polígonos convexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-15 Problemas que involucran el uso de potencias y raíces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 IV Fracciones y división entera en problemas de reparto . . . . . . . . . 8-9 Propiedades de la multiplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Partes y enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prohibida su fotocopia. . . . . . . . . . . . Fracción de una colección . . . . . . . . . escritura y orden de números naturales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60-61 Cálculos mentales de multiplicaciones y divisiones . . . . . . 48-49 Problemas de división de diversos sentidos: reparto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50-51 Propiedades de la división . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .723 Lectura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52-53 Múltiplos y divisores . . . . . . . . . . . . 12-13 Estudio de la relación D = c × d + r (0 ) r < d) . . . . . . . . . . . . . . .A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32-33 Análisis de las condiciones de existencia de triángulos dados sus lados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78-79 Fracciones y probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Números naturales Capítulo 5. 25 Estudio de la relación a × b = c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Diferentes estrategias de comparación de fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Situaciones de conteo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . escritura y orden de números naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . Suma de ángulos interiores de triángulos . . . . . . . . . . 56-57 Problemas de división. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Proporcionalidad Propiedades de la proporcionalidad directa con números naturales y racionales . . . . . . . . . 122-123 Alcances y límites del modelo proporcional . . . 156 Cálculo de áreas de polígonos regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150-151 Unidades de medida de superficie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 Variación del área de triángulos y cuadriláteros en función de la alteración de algunos de sus elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126-128 V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 Cálculo de perímetros de figuras circulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 Cálculo de áreas de figuras circulares . . . . . . . . Equivalencias entre centímetros cúbicos y metros cúbicos. . . . . . . . . . . . . . . Independencia entre sus variaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124-125 Relaciones de proporcionalidad inversa . . . . . . . . . . . Valor posicional . . . . . . . . . . . . . . . 102-103 Relaciones entre diferentes representaciones de datos . . . . . . . Cuerpos geométricos Fracciones decimales y expresiones decimales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Interpretación y producción de gráficos circulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .723 Problemas que involucran división entre números decimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106-107 Promedio y moda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84-85 Análisis de desarrollos planos de cuerpos geométricos . . . . . 140-141 Variación del volumen de prismas en función de la alteración de sus aristas . . . . . . . . . . . Prohibida su fotocopia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116-117 Porcentaje como relación de proporcionalidad. . . . . . . . . . . . . . . . . 138-139 Unidades de medida de volumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152-154 Cálculo de áreas de triángulos y rectángulos . . 86 Cálculo de volúmenes utilizando unidades no convencionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104-105 Promedio. . . . . Ley 11. . . . . . . . . 136-137 Diferentes escrituras de un número racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94-96 Variación del volumen de cuerpos en función de la alteración de sus aristas y de su área total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148-149 Interpretación y organización de información . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90-91 © Santillana S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Capítulo 8. . . . 118-119 Escalas como relaciones de proporcionalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Problemas que involucran la multiplicación y la división de números decimales por 10 y por 100 . . . . . . . . 100-101 Interpretación de información organizada. . . . . . . . . . . . . . . 142-143 Orden en el conjunto de los números racionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132-133 Expresiones fraccionarias y decimales en la recta numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . Área y perímetro de figuras Capítulo 10. . . . . . . . . . . . . . . . . 109 Iniciación al uso del programa GeoGebra . . . . . . . . . Relación con el litro . . . . . . . . .Capítulo 6. . . . 87 Cálculo del volumen de prismas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 Variación del área de cuadriláteros en función de la alteración de algunos de sus elementos. Densidad . . . . . . . . . . . . . . . . 155 Cálculo de áreas de cuadriláteros . . . . . . . . . Estadística Medición y comparación de áreas y perímetros. . . . . . . . . . . . . . . . . 120-121 Interpretación y producción de gráficos cartesianos . . . . . . . . 144 Capítulo 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134-135 Diferentes escrituras fraccionarias o decimales para representar una misma cantidad . . . . . . . . . . . . . 89 Problemas que involucran multiplicación entre números decimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Equivalencias . . . . . . . . . . . . . . 92-93 Cálculo de volúmenes de cuerpos geométricos . . . . . . . Fracciones y decimales Capítulo 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . un punto de partida para instalar recursos más avanzados: VI © Santillana S. ¿Qué entendemos por problema? Para que los alumnos puedan ir construyendo una idea acerca del trabajo matemático y del sentido de los conocimientos que se intenta transmitir.º La intención de este apartado es hacer explícitas algunas ideas sobre la enseñanza de la Matemática que fundamentan las decisiones adoptadas para la elaboración de este libro. Como producto de un espacio de trabajo colectivo en el que se analicen recursos diferentes.1.723 El papel que podrían jugar los problemas . Prohibida su fotocopia. tres para cada uno sobran. Analicemos por ejemplo esta situación: Inicialmente algunos alumnos podrán pensar cuántos dar a cada uno repartiendo los enteros (“dos para cada uno sobran.A. pero a la vez debe permitirles imaginar y desplegar formas de resolución o exploración. otros reconocerán directamente la división y harán la cuenta y hasta tal vez algún alumno dibuje los 19 alfajores. es el desafío que propone la situación el que genera la posibilidad de producir algo nuevo. precisan enfrentarse a situaciones que les presenten cierto grado de dificultad. La complejidad de los problemas ha de ser tal que los conocimientos de los alumnos no sean suficientes para tratarlos “con comodidad”. podrán reconocer que al repartir 3 entre 4 se obtienen ¾. por el contrario. Este proceso exige elaboraciones y reelaboraciones sucesivas que pueden propiciarse desde la enseñanza apuntando a un acercamiento progresivo desde los conocimientos de los alumnos hacia los saberes propios de la Matemática. otros directamente podrán ensayar con multiplicaciones 4 × 1 = 4. Nuevamente habrá diversidad de estrategias. Enfoque didáctico de Matemática en 7. El docente podrá generar una discusión respecto de “dónde dice” ¾ en esta cuenta de dividir: 19 4 3 4 El problema siguiente será. de una respuesta. Se parte de la idea de que es necesario que los alumnos se enfrenten a nuevas y variadas situaciones que promuevan procesos constructivos a partir de la exigencia de poner en juego conocimientos que pudieran estar disponibles. entonces. que “salgan bien” desde el primer intento. En todos estos procedimientos los alumnos deberán enfrentarse luego a cómo repartir los 3 alfajores que sobran. en las que los conocimientos que disponen no resulten suficientes para dar cuenta de una resolución. Los problemas constituyen la base del trabajo matemático. 5 para cada uno no me alcanza”). como se indicó anteriormente. 4 × 2 = 8 hasta llegar a 4 × 4 = 16 y determinar que sobran 3. Algunos dibujarán los alfajores sobrantes y los partirán en medios o cuartos para repartirlos. Es esperable que las estrategias utilizadas inicialmente no sean “expertas” ni muy económicas. No se espera. 4 para cada uno sobran. Ley 11. pero constituirán el punto de partida para la producción de nuevos conocimientos. permiten proponer nuevos desafíos y durante cierto tiempo se constituyen en objeto de estudio.º/ 1. otras prácticas también pueden constituir problemas. por ejemplo: explorar diferentes maneras de resolver un mismo cálculo interpretar procedimientos diferentes a los propios determinar la validez de ciertas afirmaciones VII . Además de los “enunciados con preguntas”. Ley 11. Estos nuevos recursos empezarán a descontextualizarse de los problemas que los hicieron surgir y serán identificados como nuevos conocimientos a seguir utilizando.A.723 Se espera entonces que en los siguientes problemas los alumnos hayan ya establecido –a partir de las intervenciones del docente– la relación entre las fracciones como resultado de un reparto y la división. Prohibida su fotocopia.© Santillana S. 723 anticipar si será posible realizar una determinada construcción bajo ciertas condiciones . determinar una medida sin medir copiar una figura analizar la cantidad de soluciones que podría admitir un problema interpretar o producir demostraciones de ciertas propiedades VIII © Santillana S. Prohibida su fotocopia. Ley 11.A. Para sostener estas ideas sobre los problemas y su secuenciación es necesario aceptar y prever cierta provisoriedad y largo plazo en los procesos de construcción de conceptos matemáticos en la escuela. es necesario que los alumnos se enfrenten a problemas novedosos que amplíen los sentidos del conocimiento que se está tratando. ampliarlos y sistematizarlos a lo largo de varias oportunidades.723 establecer relaciones entre conceptos establecer condiciones o un dominio de validez Secuenciación de los problemas Para promover avances sobre el dominio de un concepto por parte de los alumnos. permite volver sobre las relaciones que se identificaron o establecieron en clases o problemas anteriores. luego de cierto trabajo sostenido en torno a varios problemas similares. Además de volver sobre una misma clase de situaciones con nuevas herramientas. IX . modificarlos. y habilita a abandonar ensayos erróneos e intentar nuevas aproximaciones. Ley 11.A. Por ello. Aquellas cuestiones que en algún momento se resuelven con estrategias menos avanzadas. Es así como se incorporan progresivamente ciertas variaciones que agregan nuevos desafíos. Un trabajo sistemático que incluya clases próximas entre sí en torno a ciertas cuestiones vinculadas promueve la reflexión y la reorganización de estrategias de resolución. un recorrido posible es la resolución de una colección de situaciones similares. las diferentes propuestas de este libro se organizan en secuencias que apuntan a promover avances. interpretar expresiones sencillas que involucran letras establecer relaciones entre cálculos © Santillana S. podrán resolverse con recursos más adaptados. Se busca que los alumnos puedan poner en juego sus conocimientos como punto de partida –aun cuando sean erróneos o no convencionales– y a la vez ponerlos a prueba. Prohibida su fotocopia. Hay un interjuego en la clase entre fases que invitan a explorar.A. discutir a partir de los errores producidos. El docente podría alentar a sus alumnos a elaborar representaciones propias. hay otras marcas del trabajo matemático que se han considerado en este libro. de manera de sistematizar la búsqueda. En cambio. identificar en qué consisten los errores que impiden arribar a la solución. etc. la combinación de cálculos parciales. los alumnos podrán abordar la resolución del problema por medio de estrategias variadas que van desde el dibujo. Los modos de representación Durante la exploración de un problema nuevo es esperable que los alumnos apelen a dibujos.. Prohibida su fotocopia. cálculos. formas de representación o nuevas relaciones. probar. Con frecuencia. Estas formas de representación son un punto de partida para iniciar el trabajo. ensayar. organizar los nuevos conocimientos elaborados y hasta presentar vocabulario. en la resolución de diferentes tipos de problemas y la reflexión sobre los recursos elaborados. como ya se indicó. podría proponer un análisis de esas formas de representación y la discusión X © Santillana S. aun cuando sean poco adaptadas a la situación que se trata de resolver. representaciones gráficas o simbólicas. en la resolución de un problema.. Para posibilitar tanto la exploración como la sistematización por parte de los alumnos es central el doble rol del docente: por un lado alienta el momento de búsqueda por medio de diversas estrategias. y por otro propone analizar los ensayos realizados. etc. etc. y otras en las que el trabajo reflexivo se dirige a reordenar la búsqueda. buscar cierta información que puede estar involucrada en el trabajo que se propone y no fue considerada. en la página siguiente ya se propone explícitamente abordar la relación entre esta clase de situaciones y la multiplicación de fracciones. Ahora bien. Ley 11. un primer intento no siempre conduce a “buen puerto”. diagramas. sistematizar los recursos que aparecieron. Es necesario realizar varios ensayos.Si bien una de las características del trabajo matemático reside. Se trata de un juego entre la anticipación de los recorridos de resolución y los efectos de las decisiones que se han ido tomando. asimismo. la búsqueda de fracciones equivalentes con denominador común. Veamos un ejemplo sobre cómo en este libro algunos problemas iniciales alientan a este proceso exploratorio y por medio de otros se busca sistematizar el trabajo realizado: En la situación anterior.723 La exploración como parte del trabajo matemático . a sistematizar. La validación. su validez. Ley 11.A. por sus XI . si resulta conveniente o necesario. Avanzar sobre las formas de representación es parte de lo que se espera promover en el proceso de estudio de un concepto. paulatinamente. En este sentido. El docente puede ofrecer. otras formas de representación para incorporarlas progresivamente. su pertinencia. Prohibida su fotocopia.sobre su fertilidad.723 Y otro en el que se presentan formas de representación usadas en la matemática: En algunas oportunidades se propone comparar diferentes formas de representar relaciones entre variables. puedan “hacerse cargo”. Se trata de establecer relaciones entre las formas de representación que elaboran los alumnos y las elaboradas por la matemática. Veamos un ejemplo en el que se alienta al uso de maneras de representación: © Santillana S. se apunta a generar en la clase un tipo de trabajo matemático en el que los alumnos. que son también propias de la matemática. un desafío crucial Parte de lo que se pretende que asuman los alumnos como actividad matemática se asocia a determinar la validez de lo que se produce. A veces se pone en el centro del trabajo del alumno la elaboración de argumentos o fundamentos apoyados en conocimientos matemáticos que permitan establecer la validez de los resultados alcanzados. En ciertas situaciones.© Santillana S. se propone corroborar algún resultado apelando a la calculadora. Prohibida su fotocopia. encontramos otras buenas razones para iniciar a los alumnos en procesos de validación por sus propios medios: fomentar una progresiva autonomía intelectual. Este aspecto es quizás el más complejo de tratar en el desarrollo de las clases.723 propios medios. Se trata entonces de proponer desafíos que demanden la elaboración de nuevos modos de “estar seguro” sin necesidad de apelar a recursos empíricos.A. de la validez de los resultados que encuentran y de las relaciones que establecen. Además de las razones más ligadas a las prácticas matemáticas. Se trata de instalar como parte del trabajo del alumno la responsabilidad de verificar si lo realizado es correcto o no. mediante diferentes recursos. Ley 11. En un principio es un objetivo que puedan despegarse de la mirada del docente en cuanto a si “está bien” o “está mal” lo producido. XII . avanzando en un terreno más deductivo asociado a la demostración. se busca que los alumnos puedan involucrarse en la determinación de los alcances de los recursos y los resultados que se van obteniendo. de propiedades que responden a preguntas como las siguientes: ¿pasará siempre?. El uso de las letras Al tratar el problema de la generalización. Es decir. Por ejemplo: El trabajo vinculado a la generalización precisará ir creciendo hacia formas cada vez más elaboradas de fundamentar. sino de iniciar a los alumnos en la interpretación y el uso de expresiones que incluyen letras. Por ejemplo. por sus propios medios. Se tratará entonces de promover la reflexión hacia el carácter más general de ciertas ideas que han circulado.A. hasta llegar en algunas situaciones a establecer reglas válidas para cualquier caso.723 Simultáneamente a la adquisición de conocimientos que les permitan dar cuenta de la validez o no. de cálculos. ¿esto sucederá con todos los cuadrados?. al inicio pueden determinar la validez de una afirmación o de un cálculo específico en función de un problema o un contexto particular. así como de empezar a hacer jugar su potencia. Ley 11. ¿habrá algún caso en que no se cumpla?. ni de resolver ecuaciones. Prohibida su fotocopia. en el tratamiento de los números: XIII . En algunas oportunidades se proponen problemas para analizar y resolver de manera colectiva. etc. Por ejemplo: En ocasiones se presentan problemas que demandan que los alumnos establezcan niveles de generalidad. en los que se propicia el uso de las letras para identificar un dominio de validez. Por ejemplo aquellos en los que es necesario dar cuenta de los alcances o los dominios de validez de recursos de resolución. las letras comienzan a jugar un papel preponderante en el trabajo matemático para dar cuenta de relaciones que se verifican en cierto dominio.Hacia la generalización © Santillana S. No se trata de forzar la aparición y el tratamiento de las expresiones algebraicas. ¿servirá para todos los números?. de los resultados obtenidos. 723 En ocasiones las letras permiten analizar cómo pueden variar los resultados que se obtienen al usar una fórmula.A. Posteriormente a la resolución de situaciones que involucran tratar con dos magnitudes susceptibles de sufrir variaciones. se invita a analizar la relación entre ellas mediante cálculos. se trata de los primeros pasos en ese sentido. cuando se modifica alguno de sus componentes: También se recurre a las letras. Lógicamente. tablas o gráficos. XIV . para dar cuenta de una relación que se establece entre dos variables.En otras oportunidades se recurre al uso de las letras para dar cuenta de una propiedad general: A veces las letras permiten explorar propiedades que relacionan ciertas características del sistema de numeración con las propiedades de las operaciones: © Santillana S. ya que el trabajo vinculado a esta práctica matemática se desarrolla principalmente y de manera más sistemática en los años siguientes de la escuela media. en algunas oportunidades. Prohibida su fotocopia. aquel que implica dar cuenta de una generalidad en este tipo de relaciones. Se propone que los alumnos avancen en un nuevo tipo de trabajo. Ley 11. que circularon y que los alumnos tienen en cierta forma disponibles. bajo ciertas condiciones. Prohibida su fotocopia.A.723 Se trata de ir configurando una imagen del trabajo que permita que los alumnos identifiquen por qué todo ese andamiaje forma parte de una misma disciplina. se propone usarla como medio de verificación de resultados obtenidos mediante otros recursos. aparentemente. no tienen relación entre sí. en otras servirán para reconocer “puentes” entre conceptos. las situaciones que apelan al uso de letras se proponen siempre para resolverlas grupalmente como una actividad exploratoria. En algunas oportunidades. o la forma de relacionarlos no es evidente “a los ojos” de los alumnos.En este libro. se proponen diferentes momentos de trabajo en los que algunos conocimientos que ya fueron abordados. Por ejemplo: El uso de recursos tecnológicos En varios capítulos de este libro se propone que los alumnos apelen a recursos tecnológicos que permiten también. No se espera aún que los alumnos adquieran un dominio sobre su uso. e incluso podrán permitir la aparición de otros modos de representación. como ya se mencionó. Relaciones entre conceptos que aparentan ser independientes Otro tipo de tarea que se propone en este libro –y que forma parte de la actividad matemática que se intenta propiciar –involucra la posibilidad de establecer relaciones entre conceptos que. Por un lado se propicia el uso de la calculadora para diferentes tipos de tareas. © Santillana S. En algunas oportunidades serán el motor de una explicación. Con la intención de explicitar esas relaciones. Ley 11. que se enfrenten a desafíos en el mismo marco de trabajo que se enunció en páginas anteriores. puedan comenzar a funcionar simultáneamente para tratar nuevos problemas. en ocasiones serán herramientas para pensar recorridos de solución. XV . se apela a la computadora intentando preservar el mismo espíritu de trabajo que se viene proponiendo en estas páginas. .723 En algunas situaciones se recurre a la calculadora para indagar acerca de las características del sistema de numeración. Prohibida su fotocopia. Ley 11.A. XVI © Santillana S. Se ofrecen dos páginas (las 159 y 160) para que los alumnos ensayen y aprendan sobre su funcionamiento. Uno de los programas que se utiliza es GeoGebra (de circulación libre).En otras ocasiones se recurre a la calculadora para explorar propiedades de las operaciones. Por otro lado. analizar y debatir acerca de propiedades de las figuras a partir de problemas que involucran construcciones.723 En este libro se recurre a este programa fundamentalmente para explorar. Ley 11. no solo en la organización y la presentación de información sino también en el cálculo de algunos porcentajes y ciertas medidas estadísticas. La validez de esas construcciones establecidas por el modo en que fue concebido el programa (es decir. Por ejemplo: XVII . una construcción se considerará correcta si al mover cualquiera de sus elementos sigue preservando las propiedades de lo que se dibujó) exige el despliegue de numerosas acciones que obligan a recurrir a las propiedades para lograr las construcciones.© Santillana S. Prohibida su fotocopia. que habilita una nueva mirada sobre el trabajo con gráficos estadísticos.A. Veamos un ejemplo: En otras oportunidades se recurre al programa Excel. Se trata de que los alumnos se inicien en el uso de este programa y en algunas de sus potencialidades. en parejas y colectivo. las páginas 17 y 18.A. Prohibida su fotocopia. Entre las diversas modalidades se incluyen: individual. Por ejemplo: También hay propuestas de trabajo individual en las páginas que llevan por título Una colección de problemas para estudiar que se encuentran al finalizar cada capítulo. Por ejemplo. Están previstas para los tiempos individuales de estudio.723 Se necesitan diversas modalidades de organización de la clase en función de las variadas formas que puede adquirir el trabajo matemático. Son espacios necesarios para que cada alumno. o bien de volver a enfrentarse a las propias dificultades que pudieron haber estado presentes a lo largo del capítulo. En todos los capítulos hay gran cantidad de problemas que se proponen para una exploración individual. Estos primeros acercamientos a la resolución serán puntos de partida para que el docente pueda organizar el análisis colectivo posterior. en un tiempo personal. XVIII .Formas de organización y gestión de la clase © Santillana S. Ley 11. repaso para prepararse para una evaluación escrita. trabajo práctico para entregar. en el capítulo 1. del nivel de conocimientos que el problema involucra y del tipo de interacciones que se pretende promover. de sistematización. Estos problemas podrían considerarse “tarea para el hogar”. etc. pueda enfrentarse al o a los problemas desde los conocimientos que tiene disponibles. Ley 11. Prohibida su fotocopia.XIX © Santillana S.723 .A. 723 . Prohibida su fotocopia.A.XX © Santillana S. Ley 11. Veamos un ejemplo: © Santillana S.En otras oportunidades se sugiere abordar algunos problemas en parejas cuando se espera que las interacciones entre los alumnos sean fecundas para la circulación y la explicitación de conocimientos. Por ejemplo: En otros casos se pretende generar un mayor nivel de sistematización de conocimientos que han circulado. Estas actividades aparecen bajo el título de Una vuelta de tuerca entre todos. A veces la tarea que se propone involucra una complejidad mayor. como cuando la propuesta es más compleja y es posible que en el intercambio se acerquen a una estrategia o respuesta más elaborada.723 Hay momentos en los que se propicia un trabajo colectivo. Prohibida su fotocopia. que en forma individual tal vez no podrían abordar. por ejemplo: XXI . Esta modalidad se adopta tanto cuando la actividad adquiere un tinte más exploratorio y no se espera que puedan resolver de manera autónoma la situación.A. Ley 11. Ley 11. aporta información cuando se requiere para que los alumnos puedan retornar al problema. u ofrece algún recurso para que ciertos alumnos puedan empezar a enfrentarse al problema propuesto. Esta información aparece encabezada bajo el título Machete: Roles del docente Para que sea posible instalar el trabajo matemático se precisa que el docente despliegue “prácticas” diferentes según los momentos de la clase y del desarrollo del contenido en cuestión. En otras instancias les propone que expliciten los conocimientos y procedimientos utilizados. Puede registrar en el pizarrón aquello que es nuevo para que pueda XXII .Otros momentos colectivos buscan instalar un proceso de generalización. además. por ejemplo: © Santillana S. En muchos momentos de la clase alienta a sus alumnos a que resuelvan los problemas con sus propios recursos. El docente es quien. A veces genera espacios de análisis de procedimientos y soluciones erróneas (aunque sean solo de algunos alumnos) para promover avances para todos. Prohibida su fotocopia.A.723 También se prevén como instancias colectivas los momentos para establecer cierto vocabulario. En ciertas oportunidades organiza los debates a propósito de los conocimientos en juego y promueve la difusión de esos conocimientos (aunque sean producidos solamente por algunos). o bien somete a discusión una nueva estrategia que no se utilizó para resolver un problema. para definir propiedades o presentar algunas explicaciones. 723 reutilizarse y también es responsable de evocar lo realizado en clases anteriores para establecer la continuidad entre lo hecho y lo que está por realizarse. Este material se presenta como texto comentado en cada página del libro del docente. reutilizar o ampliar lo aprendido.© Santillana S. Ley 11. Prohibida su fotocopia.A. Es también función del docente presentar conjuntos de problemas que permitan sistematizar. En este libro se presentan algunas orientaciones al docente para contribuir a prever los diferentes roles en torno a cada uno de los contenidos abordados en los capítulos. 190 XXIII . El tratamiento de los contenidos en Matemática en 7. XXIV . Ley 11. Cada uno se inicia con una portada que presenta alguna historia.723 Este libro está organizado en diez capítulos.2. Prohibida su fotocopia. Esta portada puede leerse en grupo junto con la viñeta humorística que se presenta asociada al texto.º/ 1.A. Por ejemplo: A continuación se presentan aquellos aspectos centrales que se ponen en juego en cada capítulo. un comentario o una anécdota relacionados con alguno de los conceptos que forman parte del capítulo.º © Santillana S. análisis del resto. el uso de diferentes instrumentos. A medida que avanza el capítulo se vuelve sobre los problemas de multiplicación y división aumentando el nivel de complejidad de las relaciones que se propone establecer. series proporcionales y combinatoria. incluyendo el análisis de escrituras más complejas de uso social (por ejemplo. 2. la escritura y el orden en este campo de números.723 Se optó por proponer una primera colección de problemas que ponen en juego operaciones conocidas por los alumnos a través de su recorrido escolar en años anteriores.A. organizaciones rectangulares y series proporcionales. se relaciona con algunas de las propiedades que caracterizan a las figuras. El capítulo termina con una nueva colección de problemas que propician el establecimiento de relaciones multiplicativas asociadas al cálculo mental. Se incluyen problemas multiplicativos de diversos sentidos: organizaciones rectangulares. Prohibida su fotocopia. de la posibilidad o no de obtener las figuras que se solicitan a partir de ciertos datos.Capítulo 1: Operaciones con números naturales I © Santillana S. A su vez. particiones. Posteriormente se presentan problemas relacionados con la construcción de la mediatriz y su relación con los triángulos. Las construcciones. Finalmente se proponen algunos problemas que invitan a reflexionar sobre el funcionamiento del sistema sexagesimal en el contexto del tiempo y de la medida de los ángulos. Los primeros problemas invitan a debatir sobre la lectura. ángulos. permiten vislumbrar algunas de sus propiedades. Una vez más las construcciones son un medio para explorar propiedades relativas a lados.4 millones). Se avanza luego hacia un análisis sistemático de las propiedades del sistema de numeración decimal posicional a partir de composiciones y descomposiciones aditivas y multiplicativas que hacen pie en el carácter decimal que compromete al sistema. determinar la cantidad de elementos de una colección en problemas que se vinculan con combinaciones ofrece una nueva oportunidad a los alumnos para resignificar estas operaciones. Capítulo 2: Números naturales Este capítulo se ocupa de profundizar el estudio sobre los números naturales. con nuevos problemas que pueden resolverse por medio de una división y que involucran repartos. Apelar a las propiedades de la circunferencia permitirá que los alumnos decidan acerca de la validez de la tarea realizada. usar regla no graduada exige el empleo del compás para conservar distancias. etcétera. inhibir el uso de la escuadra para construir ángulos rectos obliga a emplear el compás para su construcción. Se continúa. Se continúa el trabajo con el estudio de triángulos. con la misma finalidad. exigen tratar con las propiedades de las figuras que se pretende construir. alturas. así como a analizar las diferencias que se evidencian en relación con el sistema decimal posicional. Posteriormente se proponen actividades que invitan a reflexionar sobre el cálculo mental con multiplicaciones y divisiones. XXV . los dibujos (en tanto representaciones de las figuras) y las condiciones que se proponen para construirlos. entre ellos la computadora. Ley 11. alcanzando este estudio la noción de potencias en base 10 relacionadas con el valor posicional de las cifras. Por ejemplo. Capítulo 3: Figuras geométricas Este capítulo se inicia con una colección de problemas que demandan construir figuras con circunferencias usando regla y compás. Es decir. En este punto. bajo ciertas condiciones. sustentado en el cálculo mental. Este capítulo vuelve sobre las operaciones. Este recorrido permite profundizar el estudio de la multiplicación y la división desde una nueva perspectiva: el análisis de las variaciones que pueden sufrir los resultados de estas operaciones en la medida en que varíen algunos de los elementos que intervienen. Se continúa con la resolución de problemas que apelan a los múltiplos y divisores como punto de partida hacia el trabajo con la divisibilidad. De la misma manera se proponen problemas que permiten discutir sobre las propiedades que se verifican en la división de números naturales. apelando a la idea de equivalencia como a las relaciones entre las partes y el todo. Se inicia el recorrido con problemas que demandan varios cálculos para dar cuenta de respuestas. Nuevos problemas de reparto promueven un análisis de las relaciones entre la división y la noción de fracción. Estos conocimientos habilitan la presentación de nuevos problemas que motorizan el uso del cálculo mental. ya que no se la visualiza como un número sino como una relación.Por último se avanza en el estudio de propiedades de polígonos.723 Capítulo 4: Operaciones con números naturales II . Esta permite luego introducir la noción de porcentaje asociada a la idea de proporción. Posteriormente se plantea un nuevo sentido de la fracción: la proporción. Prohibida su fotocopia. El cálculo mental se transforma en una herramienta para reflexionar sobre estas operaciones.A. Con posterioridad se avanza en el estudio de las propiedades de la multiplicación. Se trata de que los alumnos reconozcan a la fracción también como un cociente entre números naturales. El trabajo con la cantidad de diagonales y la cantidad mínima de triángulos que lo pueden cubrir son los recursos que permitirán arribar a una fórmula para determinar el valor de la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono. Se profundiza el estudio de las fracciones a partir de situaciones que demandan compararlas. El capítulo continúa con el estudio de la multiplicación y la división entre fracciones en los contextos de la proporcionalidad y el área. La recta numérica resulta una herramienta valiosa para ese fin. abonando a una mejor comprensión del objeto fracción. La fracción como razón es una idea sumamente compleja. y que a su vez permiten revisar el concepto de fracción. Capítulo 5: Fracciones Este capítulo se inicia con problemas que ponen en juego la relación entre el entero y las partes. el análisis de algunos criterios y el uso de la composición y la descomposición multiplicativa de números para resolver cálculos. Ley 11. Estas estrategias permiten introducir nuevos desafíos relacionados con la posibilidad de encontrar fracciones entre otras fracciones dadas. Comienza a ponerse en juego una primera aproximación a la idea de variable. El capítulo continúa con un trabajo asociado a las nociones de potencia y raíz para finalizar con una colección de problemas que demandan el uso de todas las operaciones con números naturales. Diferentes estrategias de comparación propician el establecimiento de nuevas relaciones entre partes y entre enteros y partes. A su vez se trata de poner en juego la interpretación y la producción de expresiones aritméticas en función del tipo de problemas de que se trate. XXVI © Santillana S. Por último se ofrecen problemas que permiten identificar a la fracción con el resultado de una probabilidad. Finalmente se proponen problemas que motorizan la búsqueda de perímetros y áreas de figuras circulares. Prohibida su fotocopia. El trabajo se continúa con el cálculo de áreas de polígonos regulares. Se avanza con el tratamiento de representaciones gráficas apelando a los ejes cartesianos. Ley 11. Se continúa el trabajo a partir de problemas que involucran la determinación de porcentajes. Se avanza intentando profundizar las equivalencias entre escrituras fraccionarias y escrituras decimales. Se busca que los alumnos identifiquen dos aspectos: la recta y el paso por el origen de coordenadas como aspectos característicos de las representaciones gráficas de la proporcionalidad directa. nuevamente pensando en los triángulos que permiten cubrirlos. Estos recursos sirven como sustento para resolver nuevos problemas que exigen multiplicaciones y divisiones entre expresiones decimales. Otros problemas propician el establecimiento de relaciones entre la variación de algunas de las medidas de una figura y la de su perímetro o su área. XXVII . Este trabajo se continúa con el establecimiento de las unidades convencionales para la medición de superficies y el tratamiento de las equivalencias entre ellas.723 Capítulo 7: Área y perímetro de figuras Este capítulo se inicia con una selección de problemas que demandan medir y comparar áreas y perímetros de figuras sencillas con la finalidad de identificar que la variación de una de esas magnitudes es independiente de la variación de la otra. Capítulo 8: Proporcionalidad Este capítulo comienza con problemas que permiten recuperar algunas de las propiedades que verifican las relaciones de proporcionalidad directa. Se particulariza este trabajo con rectángulos y triángulos para arribar a las fórmulas convencionales del cálculo de áreas y se extiende el estudio al cálculo de áreas de otros cuadriláteros apoyado en la posibilidad de descomponerlos en triángulos. Luego se aborda la multiplicación y la división entre expresiones decimales y potencias de diez o múltiplos de potencias de diez. A su vez se propicia el análisis de la variación del “número” con que se indica una medida en función de la unidad de medida que se selecciona. La recta numérica resulta un recurso pertinente para ese fin. La multiplicación y la división entre naturales y entre fracciones es uno de los recursos prioritarios. Se trata de identificar cuestiones asociadas una vez más al valor posicional de las cifras decimales. Por último se abordan problemas que involucran tratar con el orden en los decimales. recuperando algunas de las relaciones ya tratadas en el capítulo 5 así como representaciones gráficas circulares. La producción de estrategias para comparar expresiones decimales resulta un posible camino de entrada al reconocimiento de la densidad en el campo de los números racionales.A. Con posterioridad se proponen situaciones en las que se trata con escalas en tanto relaciones de proporcionalidad directa. © Santillana S.Capítulo 6: Fracciones y decimales Se inicia el capítulo con una colección de problemas que busca recuperar las relaciones entre escrituras fraccionarias y decimales a la luz del análisis del valor posicional. La dialéctica entre el dibujo y la fórmula permite edificar argumentos que sostengan los resultados que se anticipan para esas variaciones. tablas o gráficos estadísticos. . Luego se avanza hacia el establecimiento de unidades de medida y el cálculo del volumen de diferentes prismas y pirámides.723 Este capítulo se inicia con problemas vinculados a los desarrollos planos de algunos cuerpos como medio para estudiar sus propiedades. XXVIII © Santillana S. Capítulo 9: Cuerpos geométricos Capítulo 10: Estadística Este último capítulo se inicia con problemas que demandan interpretar la información organizada en cuadros.A. así como comparar volúmenes de cuerpos sin necesidad de apelar a unidades de medida convencionales. Se trata de identificar la pertinencia de recurrir a una u otra en función de lo que se busca establecer. Posteriormente se proponen problemas que demandan el establecimiento de algunas medidas de tendencia central: la media y la moda en términos de representantes de una colección de datos. Prohibida su fotocopia. el tratamiento de ciertas equivalencias entre unidades de medida y relaciones entre volumen y litro.Nuevos problemas ponen en el centro el debate acerca de la pertinencia o no de recurrir al modelo proporcional para resolver un problema. Los últimos problemas se presentan con la intención de analizar procesos que pueden modelizarse mediante la proporcionalidad inversa. Finalmente se proponen situaciones que permiten estudiar la variación del área total y del volumen de prismas en función de la variación de sus aristas. así como la pertinencia de recurrir a unas u otras en función de lo que se buscar responder o destacar. Se avanza luego en la comparación de estas diferentes maneras de organizar la información analizando ventajas y desventajas. sus propiedades. Nuevos problemas avanzan en el terreno de la estimación de volúmenes. para estudiar a su vez. Después se aborda la noción de volumen de los cuerpos a partir de “cubitos” que permiten “llenarlos”. Ley 11. Orientaciones Didácticas para la Enseñanza de la Multiplicación en los tres ciclos de la EGB. de Buenos Aires. Itzcovich y Quaranta. [Disponible en www.A. Julia. Publicación oficial del Comité Latinoamericano de Matemática Educativa. Tinta Fresca. 2007. área Matemática. Bosch M. Buenos Aires. Universidad de Barcelona. 2005. Estrategias de cálculo con números naturales.mx/relime. 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