MAtemática Volume 5

Exercícios de progressões geométricasM ódulo 22 Matemática I Exercícios de Fixação 01. Determine o erro E, cometido ao se considerar a soma de todos os termos da progressão geométrica  1, 1 , 1 ,...  como a soma, apenas,  2 4  dos 100 primeiros termos. 02. São dadas duas progressões: uma aritmética (P.A.) e outra geométrica (P.G.). Sabe-se que: – – – – a razão da P.G. é 2; em ambas o primeiro termo é igual a 1; a soma dos termos da P.A. é igual à soma dos termos da P.G.; ambas têm 4 termos. (C) é impossível que a, f e n estejam simultaneamente em progressão aritmética e geométrica. (D) é possível que a, f e n estejam simultaneamente em progressão aritmética e geométrica. (E) é possível que a, f e n estejam em progressão aritmética, mas é impossível que estejam em progressão geométrica. 02. Uma bola de borracha cai de uma altura de 30 m. Após o choque com o solo, a bola sobe a uma altura igual a 1 da altura anterior. Se 3 deixarmos a bola subir e descer sem interrupção, qual será a distância total percorrida por ela? (A) 1 9. . (D) 6 6 03. As reservas conhecidas de gás natural compreendiam 5 · 1013 m3, ao final de 2001. Em 2002, o consumo mundial foi de 1,0 · 1012 m3, com um aumento anual de 10%. Admitindo-se que a taxa de crescimento permaneça constante, pode-se dizer que as reservas conhecidas se esgotarão no ano: (Dados: log 3 = 0,5 ; log 2 = 0,3 ; log 33 = 1,54.) (B) 5 11 . . (E) 6 6 (A) 2019. (B) 2020. (C) 7 . 6 Pode-se afirmar que a razão da P.A. é: 03. Os termos gerais de duas sequências são dados, respectivamente, por: = xn 1 = e yn 2n 1 , n ∈ N*. Considere a sequência de termo xn geral an = ( x n − x n +1) · y n , n ∈ N* e calcule a razão da progressão 2 geométrica {a1, a2, ..., an, ...}. 04. O lado de um triângulo equilátero mede 3 m. Unindo-se os pontos médios de seus lados, obtém-se um novo triângulo equilátero. Unindo-se os pontos médios do novo triângulo, obtém-se outro triângulo eqüilátero, e assim sucessivamente. Determine a soma dos perímetros de todos os triângulos construídos. 05. Numa PG de razão positiva, o primeiro termo é igual ao dobro da razão, e a soma dos dois primeiros é 24. Nessa progressão, a razão é: (A) 1. (B) 2. (C) 3. (D) 4. (E) 5. Exercícios Contextualizados 01. Um senhor tem a anos de idade, seu filho tem f anos de idade e seu neto, n. Sobre esses valores, podemos afirmar que: (A) é impossível que a, f e n estejam em progressão aritmética. (B) é impossível que a, f e n estejam em progressão geométrica. (C) 2021. (D) 2022. 04. Uma pessoa fez um regime alimentar durante n semanas. Na primeira semana, emagreceu 5 kg e, em cada semana posterior, emagreceu 40% do emagrecimento da semana anterior. Sabendo-se que, no período das n semanas, a pessoa perdeu 8,248 kg, determine n e assinale a alternativa correta: (A) 5. (B) 6. (C) 7. (D) 8. 05. Um carro, cujo preço à vista é R$ 24.000,00, pode ser adquirido dando-se uma entrada e o restante em 5 parcelas que se encontram em progressão geométrica. Um cliente que optou por esse plano, ao pagar a entrada, foi informado que a segunda parcela seria de R$ 4.000,00 e a quarta parcela de R$ 1.000,00. Quanto esse cliente pagou de entrada na aquisição desse carro? 06. Em um recipiente com a forma de um paralelepípedo retângulo com 40 cm de comprimento, 25 cm de largura e 20 cm de altura, foram depositadas, em etapas, pequenas esferas, cada uma com volume igual a 0,5 cm3. Na primeira etapa, depositou-se uma esfera; na segunda, duas; na terceira, quatro, e assim sucessivamente, dobrando-se o número de esferas a cada etapa. Admita que, quando o recipiente está cheio, o espaço vazio entre as esferas é desprezível. Considerando 210 = 1.000, o menor número de etapas necessárias para que o volume total de esferas seja maior do que o volume do recipiente é: (A) 15. (B) 16. (C) 17. (D) 18. 07. A população humana de um conglomerado urbano é de 10 milhões de habitantes e a de ratos é de 200 milhões. Admitindo-se que ambas as populações cresçam em progressão geométrica, de modo que a 3a Série / Pré-vestibular 341 Matemática I – Módulo 22 humana dobre a cada 20 anos e a de ratos dobre a cada ano, dentro de 10 anos quantos ratos haverá por habitante? 08. Para construir uma curva “floco de neve”, divide-se um segmento de reta (figura 1) em três partes iguais. Em seguida, o segmento central sofre uma rotação de 60°, e acrescenta-se um novo segmento de mesmo comprimento dos demais, como o que aparece tracejado na figura 2. Nas etapas seguintes, o mesmo procedimento é aplicado a cada segmento da linha poligonal, como está ilustrado nas figuras 3 e 4. Supondo-se que as condições de reprodução continuem válidas nas horas que se seguem, após 4 horas do início do experimento, a população de bactérias será de: (A) 51.200. (B) 102.400. (C) 409.600. (D) 819.200. (E) 1.638.400. Exercícios de Aprofundamento Fig. 1 01. Considere uma sequência de triângulos retângulos cuja lei de formação é dada por: Fig. 2 60° Fig. 3 ak +1 = 2 ak 3 bk +1 = 4 bk 5 em que ak e bk, para k ≥ 1, são os comprimentos dos catetos do k-ésimo triângulo retângulo. Se a1 = 30 cm e b1 = 42 cm, determine o valor da soma das áreas de todos os triângulos quando k → ∞. Dado: Soma dos termos de uma P.G. com infinitos termos: S = Fig. 4 Se o segmento inicial mede 1 cm, o comprimento da curva obtida na sexta figura é igual a: 5 6!  4 . cm. (C)   3  cm  4 !3 !    (A)  6 5!  4  cm. (D)  3  cm.  4 !3 !    (B)  a1 . 1− q 02. Seja x0, x1, ..., xn, ... uma sequência infinita de números reais. Sabendo que x0 = 10 e que os logaritmos decimais a0 = log x0, a1 = 1 2 log x1, ..., an = log xn, ... formam uma P.G. de razão , calcule o valor do limite do produto Pn = x0 · x1 · x2 · ... xn quando n tende a infinito. 03. No plano car tesiano, os comprimentos dos segmentos consecutivos da poligonal, que começa na origem 0 e termina em B (ver figura a seguir), formam uma progressão geométrica de razão p, com 0 < p < 1. Dois segmentos consecutivos são sempre perpendiculares. Então, se OA = 1, a abscissa x do ponto B = (x, y) vale: y 09. Um soldado fez n séries de flexões de braço, cada uma delas com 20 repetições. No entanto, como consequência das alterações da contração muscular devidas ao acúmulo de ácido lático, o tempo de duração de cada série, a partir da segunda, foi sempre 28% maior do que o tempo gasto para fazer a série imediatamente anterior. A primeira série foi realizada em 25 segundos e a última em 1 minuto e 40 segundos. Considerando log 2 = 0,3, a soma do número de repetições realizadas nas n séries é igual a: (A) 100. (B) 120. (C) 140. (D) 160. 10. Um biólogo está analisando a reprodução de uma população de bactérias, que se iniciou com 100 indivíduos. Admite-se que a taxa de mortalidade das bactérias é nula. Os resultados obtidos, na primeira hora, são: Tempo decorrido (min) 0 20 40 60 342 Vol. 5 Número de bactérias 100 200 400 800 B A 0 x 16 12 1− p (A) 1 − p 4 . (D) . 2 1− p 1+ p (B) 1 − p12 1− p20 . . (E) 2 1+ p 1 − p4 (C) 1 − p16 . 1 − p2 04. Três progressões geométricas têm mesma razão q e primeiros termos diferentes: a, b, c. A soma dos n primeiros termos da primeira é igual à soma dos 2n primeiros termos da segunda e igual à soma dos 3n primeiros termos da terceira. Determine a relação que liga as razões b/a e c/a, em função somente de a, b e c. Porcentagem M ódulo 23 Matemática I 1. Porcentagem – definição A porcentagem é uma razão de denominador 100. x% = x 100 A porcentagem pode ainda ser representada na forma de uma razão ou decimal. 2 5 40 100 Ex.:= = 40%. Obs.: I. Um inteiro equivale a 100%. II. Quando se retira x% de determinado número, restam (100 – x)% do número. III. Para se encontrar um percentual de determinado número basta multiplicá-lo pela razão cujo numerador é o percentual e o denominador é 100. Ex. 1: Calcule 30% de 270. 270 ⋅ 30 = 81 ou 270 · 0,3 = 81 100 Resp.: 81 Ex. 2: Em uma festa havia 30 pessoas. Foram embora 20% das pessoas. Quantas ainda ficaram na festa? 30 ⋅ (100 − 20)% = 30 ⋅ 80% = 30 ⋅ Resp.: 24 pessoas 80 = 24 ou 30 · 0,8 = 24 100 2. Variação percentual É a razão entre a variação de um determinado valor e o valor inicial expresso em porcentagem. ∆% = valor final − valor inicial ⋅ 100% valor inicial ou valor final = valor inicial · (100 + D)% ©iStock.com/photo<Nenhum dado do vínculo> Você sabe o que é o Black Friday? O Black Friday é uma data muito famosa nos Estados Unidos, acontecendo sempre na quarta sexta-feira de novembro, um dia após o feriado nacional de Ações de Graças. Ele marca o início das vendas de Natal e Ano Novo, e por isso todas as lojas oferecem durante 24 horas descontos exorbitantes para seus produtos. No Brasil, o primeiro Black Friday ocorreu em 2010, mas vem se mostrando muitas vezes uma armadilha. Muitas vezes os preços são aumentados na semana anterior, de forma que descontos altos de 50%, 60% apenas mantêm o preço original. É o chamado “tudo pela metade do dobro”. Nesse módulo, vamos aprender a manusear porcentagens e saber quando há de fato economia de dinheiro em suas compras. Na primeira fórmula, pode-se notar que a variação percentual será positiva quando o valor aumenta e negativa quando ele diminui. Ex. 1: Um produto que custava R$ 80,00, após um aumento de preços, passou a custar R$ 100,00. Qual foi o aumento percentual desse produto? Solução: 100 − 80 20 ⋅ 100% = ⋅ 100% = 25% . 80 80 Ex. 2: Um produto, após um aumento de 20%, passou a custar R$ 100,00. Qual era o preço original do produto? 1a Solução: 100 − Vi ⋅ 100% = 20% ⇔ Vi 500 − 5Vi = Vi ⇔ 6Vi = 500 Vi = 83, 33 2a Solução: Vi · (1,2) = 100 ⇔ Vi = 83,33 Ex. 3: Um carro zero fazia 18 km por litro. Após 3 anos de uso esse valor diminuiu 40%. O dono do carro, então, fez uma revisão no motor do veículo e o valor voltou a aumentar 40%. Quantos km por litro o carro passou a fazer? (A) 18. (B) 16,25. (C) 16. (D) 15,12. (E) 15. Resposta: Letra D Diminuição de 40%: 18 · (1 – 0,4) = 18 · 0,6 = 10,8 Aumento de 40%: 10,8 · (1 + 0,4) = 10,8 · 1,4 = 15,12 3a Série / Pré-vestibular 343 : 01.2) ⇔ C = 120.3 = 104.89 = R$ 88.1 · V ⇔ 0. 6: Uma mercadoria sofreu um aumento de 20% e posteriormente um desconto de 20%. Trata-se de um conhecimento básico para que todos possam avaliar suas operações financeiras.8) = 0. Por quanto deve ser vendida para que haja um lucro de 10% sobre o preço de custo? Solução: V = C + 10% · C = 1.2) · (0. Aumentos e descontos Solução: 80 · (1 + x) = 110 ⇔ x = 0.00. Seja um preço Pi que foi aumentado x%.00 = R$ 100.5%.96Pi Desconto: Pf – Pi = 0. Qual o percentual de aumento? O domínio da porcentagem é essencial para qualquer cidadão. Solução: 80. mas podem também ser calculados sobre o preço de venda.00 = R$ 56. Por quanto deve ser vendida para que haja um lucro de 10% sobre o preço de venda? Solução: V = C + 10% · V = C + 0.00 = R$ 88. 1: Um produto custava R$ 80.1 · 80.04Pi = Desconto de 4%. 03. sobretudo no que diz respeito ao consumo.00.00.21Pi Aumento: Pf – Pi = 1.00 passou a custar R$ 110.00 com um lucro de 20% sobre o preço de custo.9 · V = C ⇔ 0. Vendas com lucro: o preço de venda é obtido pelo preço de custo mais o lucro.21Pi = 21%.00. 5 Solução: 80 · (1 – x) = 70 ⇔ x = 0.125 = 12. Ex. V=C+L Vendas com prejuízo: o preço de venda é obtido pelo preço de custo menos o prejuízo V=C–P O lucro ou o prejuízo são comumente calculados com base no preço de custo. Uma mercadoria foi vendida por R$180. Qual o aumento resultante? Solução: Pf = Pi · (1 + 0.Matemática I – Módulo 23 3.21Pi – Pi = 0.89.00 foi vendido.5%.00.00 ⇔ V = 88. 3: Um produto que custava R$ 80. 2: Um produto que custava R$ 80.00 / 1. .1)2 = 1.96Pi – Pi = – 0. Qual o preço de custo da calça? Solução: V = C + i% · C ⇔ V = C · (1 + i%) 120.00 foi vendido com um desconto de 30%.2 = 100. por R$ 70.00.7= 56. Ex.00 = C · (1 + 0.1) · 180.00 ⇔ C = 198. Uma mercadoria custou R$ 80. com um prejuízo de 10% sobre o preço de venda. Qual o percentual do desconto? Ex. Observe o quadro a seguir. Qual o resultado final? Solução: Pf = Pi · (1.1 · C = 1. Uma mercadoria custou R$ 80. Uma calça foi vendida por R$ 120. Vamos ver alguns exemplos de operações sobre mercadorias: Operações sobre mercadorias São operações que envolvem a compra e venda de mercadorias e o lucro ou prejuízo nessas operações.00 · 0.00. 5: Uma mercadoria sofreu dois aumentos sucessivos de 10%.1) = (1. Ex.00 = R$ 14.00 · 1. independentemente de sua formação ou profissão.00 = R$ 198.00. Qual o preço de custo dessa mercadoria? Solução: V = C – i% · V ⇔ C = (1 + i%) · V = (1 + 0.00.00.00 = 88. 04. o novo preço é: Pf = Pi + Pi · x% = Pi · (1 + x%) Seja um preço Pi que sofreu um desconto de x%.9 · V = 80. Qual o novo preço? Ex.375 = 37. 344 Exemplo 4: Um produto que custava R$ 80. o novo preço é Pf = Pi – Pi · x% = Pi · (1 – x%) Ex. com desconto.00 e sofreu um aumento de 30%. Qual o preço de venda? Solução: 80. 02. Cálculo sobre o preço de custo Cálculo sobre o preço de venda Lucro V = C + i% · C V = C +i% · V Prejuízo V = C – i% · C V = C – i% · V Vol.1) · (1 + 0. 2C 2C 5 5C (1 + 25%) = ⋅ = . basta considerar que ele é o valor futuro do valor atual C – C/3 = 2C/3 após um período a uma taxa de 25%. x e y decrescem de 25%. 3 x 4 3 = y ' 75 = %y y 4 2 3 3  27 2 27 z ' = x '⋅ y '2 = x ⋅  y  = xy = z 4 4  64 64 27 37 z '− z = z−z=− z 64 64 = x ' 75 = %x Logo. Se resolvermos vender o carro ainda no início do parcelamento. sendo a primeira delas paga no ato da compra. (D) 4. (FUVEST) Uma empresa vende uma mercadoria e vai receberá o pagamento em duas prestações: a primeira no ato da venda e a segunda trinta dias após. que o primeiro pagamento seja de C/3 reais e que a inflação nesses 30 dias seja de 25%. Para que as prestações sejam constantes. (D) 5C/12. Uma forma didática de entender um financiamento com parcelas constantes é a utilização do Diagrama de Fluxo de Caixa (DFC). 69 Soma das prestações a valor presente: 2. VP2 · 1. (FGV) Um aparelho de TV é vendido por R$ 1. 3 ) 2 = P 1. é possível que o saldo devedor seja maior do que o valor atualizado do bem.00. aproximadamente: (A) R$ 827. Supondo que o preço à vista da mercadoria seja C reais. Assim os bancos diminuem o seu risco.3 = P ⇒ VP2 = P 1. 3 P + P 3.25 R$ 2. 02. (C) R$ 867. z decresce 37/64 do seu valor. caso o financiamento seja em muitas parcelas.000. A situação do problema pode ser representada pelo diagrama abaixo: P C I = 25% ⇒ x 1. teríamos que pagar para devolver o carro. (E) C/6.00. e as setas para cima. (B) 5.a. 69 P + 1. Solução: Letra B. (D) R$ 887.000. (A) decresce 50%. As setas para baixo significam entrada “no caixa”. cada prestação fixa será de R$ 847.000 = P + x P P 1.7%. A taxa mensal de juros simples do financiamento é aproximadamente igual a: (A) 8. 3 1. sem acréscimo. o valor de cada prestação é. (A) 5C/4.00. 3 3 4 6 03. (E) n. Se o vendedor cobra juros de 30% ao mês sobre o saldo devedor.00. Solução: Letra C. então z: (D) decresce 27/64 do seu valor. 3a Série / Pré-vestibular 345 . 99 P + = = 1.000. 69 1. (B) 5C/6. calcule o valor que deve ser cobrado no segundo pagamento da venda a compensar exatamente a inflação do período.Porcentagem Exercícios Resolvidos Quando compramos um automóvel parcelado geralmente adotamos o regime de pagamento em prestações constantes. (B) R$ 847.000.00 em dois pagamentos iguais. Solução: Letra B. a amortização (real abatimento da dívida) é crescente. Se o pagamento for feito à vista. Solução: Letra A.3)2 = P ⇒ VP3 = x= P (1. Seja o DFC (Diagrama de Fluxo de Caixa) dos pagamentos: P P 01. (C) 7.00 ou em três prestações mensais iguais. Um bom exemplo desse caso é a questão da UFRJ abaixo: Uma geladeira pode ser comprada à vista por R$2. Isso significa que nas primeiras parcelas pagamos mais juros do que nas últimas.00. 69 1. 69 P = 847 Logo.7%.00 C/3 Valor presente da 2a prestação: Para obter o valor x. as saídas (os pagamentos). 3 Valor presente da 3a prestação: VP3 · (1.00.r. sendo o 1o como entrada e o 2o um mês após a compra.00. (C) decresce 37/64 do seu valor. ou seja. (B) decresce 75%. Se na fórmula z = xy2. há um desconto de 4% sobre o preço de R$ 1.7%. (C) 2C/3.7%. (E) R$ 907. dependendo do caso. aproximadamente. Na 1a aplicação.000 20.600 rendimento global = 21.5.7%. (D) 17. em dois pagamentos de R$ 25. 02.00 na caderneta de poupança) para que sua taxa global fosse de 6% ao ano? Solução: a. 346 Vol. Como a primeira prestação de R$ 375.000 + x 05. 03.25%.000 b. (C) 20%. ou duas prestações de R$ 375.000 + x ) = 6% ⇒ x = 10.00 (D) R$ 15. as mulheres têm. a perda da massa óssea ocorra de forma linear.00. Um vidro de perfume é vendido à vista por R$ 48. (E) 30%. pois 245 · (1 + x) = 375 ⇒ x = 0. 90% e 70% da massa óssea que tinham aos 30 anos. (D) 21%. conforme mostra o gráfico abaixo.360. a caderneta de poupança rendeu 8% e o fundo de ações. (C) 8.Matemática I – Módulo 23 Preço à vista = 1.7%.00 – R$ 375. A taxa mensal de juros do financiamento é aproximadamente igual a: (A) 6. de: (A) 6. é igual a: (A) 14. aproximadamente: (A) 7%.00 04. As promoções do tipo “Leve 5 e Pague 4”. Para que a compra em duas vezes seja vantajosa.000. 5 (D) 25%. Oliveira no período? b. Após 30 dias será paga uma parcela de R$ 375. o primeiro no ato da compra e o outro um mês depois. (B) 18. (C) 22.00).000/2 = 500 restante da dívida = 960 – 500 = 460 taxa mensal de juros = 500 − 460 ≅ 8. Apliquei meu capital da seguinte maneira: 30% em caderneta de poupança.00 (R$ 620. (E) 12%.00.5. 7% 460 04. a. (E) 10.600 montante fundo de ações: 30.00 (E) R$ 16. mais do que: (A) 53%.7%. Quanto ele deveria ter aplicado no fundo de ações (mantida a aplicação de R$ 20. Oliveira aplicou R$ 20. devemos encontrar um investimento que renda.00 num fundo de ações por 1 ano. Se o valor atual de um carro é de R$ 30.000 · 1. apenas 2%.000. (C) 35%. logo o aumento percentual sobre o saldo é de 53%. na 2a. quanto ele valerá daqui a 3 anos? (A) R$ 14.04) = 960 1° pagamento = 1.000. (UFRRJ) Um armário custa à vista R$ 620. O percentual de massa óssea que as mulheres já perderam aos 76 anos.02 = 30. (C) 8. Admita que. O valor de um automóvel diminui 20% a cada ano. (B) 10%.00 cada um. 05.000 · 1.000. então x é igual a: (A) 7.00 ou a prazo. (E) 33%. Nesse período.000. lucrei 20%. 4% 50. quando feitas de modo que o cliente ganhe de fato um produto. Uma inflação mensal de 2% acumula durante 4 meses uma inflação de. Exercícios Contextualizados 01. (D) 26.600 − 50.600 + x ⋅ 1. (FGV) O Sr. lucrei 30% e na 3a perdi 25%.000 = 4. sobre cada unidade vendida.00.00 numa caderneta de poupança e R$ 30.360. montante caderneta: 20. em relação à massa aos 30 anos.000 · (1 – 0. .600 + 30.00 (C) R$ 15. (C) 15. Se o resultado final corresponde a um lucro de x% sobre o capital aplicado. 30 40 50 A taxa de perda óssea é maior entre as mulheres 60 70 80 Idade Aos 60 e aos 80 anos.00 (B) R$ 14. em 30 dias. respectivamente. (D) 10%. Qual a taxa de rendimento global do Sr. dão um desconto. 02 − ( 20. uma no ato da compra e outra após 30 dias. x = valor aplicado no fundo de ações rendimento global = 21.25%. (B) 10.000. Solução: Letra A. (D) 9.7%. 40% em letras de câmbio e o restante em ações. (B) 9%. o saldo devedor será de R$ 245.53 = 53/100 = 53% homens mulheres Porcentagem de massa óssea 100 90 80 70 Exercícios de Fixação 01. (B) 45%. a partir dos 50 anos.00.7%.000.08 = 21. (B) 7.00 é no ato da compra. cujo valor é igual a: 4 12 18 Idade O aumento percentual da média de beijos/dia na faixa etária apresentada no gráfico é de: (A) 30%.00. para uma encomenda urgente. que tem peso de 30%. (A) 7. Se o preço de compra for de R$ 40. (B) 80%. o IGP-M é o índice para a correção de contratos de aluguel e o indexador de algumas tarifas. (D) 210%. qual a margem de contribuição. (C) 2.15%. a. 04. Se cada par for vendido por R$ 60. (B) 3. e do Índice Nacional de Custo de Construção (INCC).03%.66%. do Índice de Preços ao Consumidor (IPC-M). Uma bióloga conduziu uma série de experimentos demonstrando que a cana-de-açúcar mantida em um ambiente com o dobro da concentração atual de CO2 realiza 30% mais de fotossíntese e produz 30% mais de açúcar do que a que cresce sob a concentração normal de CO2.000 litros de suco de laranja com (uma proporção de) 20% de água. são: (A) 2. INCC INCC Mês/ano Índice do mês (em %) Mês/ano Índice do mês (em %) Mar/2010 0. (B) 2.42 Jan/2010 0. O Sr. como energia elétrica. As quantidades de concentrado de suco de laranja e de água que devem ser adicionadas aos 7. 10. (D) 160%. teve a ideia de fazer uma pesquisa nas escolas onde leciona. Ele é calculado a partir do Índice de Preços por Atacado (IPA-M).65%. é possível determinar o maior IGP-M mensal desse primeiro trimestre. saíram plantas também mais altas e mais encorpadas.000 litros de suco de laranja com (uma proporção de) 25% de água e vendido 3.800 litros de concentrado de suco de laranja e 200 litros de água. (E) 0. necessita produzir. Macedo possui uma loja de sapatos. 07. Tendo produzido 10.600 litros de concentrado de suco de laranja e 400 litros de água. R$ 60.700 litros de concentrado de suco de laranja e 300 litros de água.00 e o de venda. Nas condições apresentadas. (D) 2. (D) 1.750 litros de concentrado de suco de laranja e 250 litros de água. para se obterem os 10.650 litros de concentrado de suco de laranja e 350 litros de água. representando 10%. a porcentagem da área cultivada hoje deveria ser. (C) 2.00 Média de beijos/dia 16 Mês/ano Índice do mês (em %) Mar/2010 1.35 Fev/2010 0.88 Jan/2010 0. 06. O IGP-M é um índice da Fundação Getúlio Vargas. expressa como porcentagem do preço de compra? 03. Os resultados são analisados de acordo com o quadro a seguir. Um professor estava assistindo ao programa Zorra Total e ao ouvir a frase “VOU BEIJAR MUUUUIIIITO”.52 Jan/2010 1.45 Mar/2010 0. (E) 2.Porcentagem 02. Os resultados indicam que se pode obter a mesma produtividade de cana em uma menor área cultivada. (C) 140%.000 litros de suco restantes. (E) 200%. Cada par é comprado por um certo valor e é vendido com uma margem de contribuição (diferença entre o preço de venda e de compra) igual a 30% do preço de venda.83 Fev/2010 0. obtido por meio da variação dos preços de alguns setores da economia. com 40% mais de biomassa. Um laboratório realiza exames em que é possível observar a taxa de glicose de uma pessoa. do dia vinte e um do mês anterior ao dia vinte do mês de referência.00. qual o preço de compra? b. (C) 120%.00%. Atualmente. 05.000 litros.07 Fev/2010 1. que tem peso de 60% do índice. em que se utiliza o dobro da concentração de CO2 no cultivo para dobrar a produção da biomassa da cana-de-açúcar. relacionando idade dos alunos com média de beijos/dia.51 A partir das informações. na forma do gráfico abaixo. Das câmaras que mantinham esse ar rico em gás carbônico. Hipoglicemia Taxa de glicose menor ou igual a 70 mg/dL Normal Taxa de glicose maior que 70 mg/dL e menor ou igual a 100 mg/dL Pré-diabetes Taxa de glicose maior que 100 mg/dL e menor ou igual a 125 mg/dL Diabetes melito Taxa de glicose maior que 125 mg/dL e menor ou igual a 250 mg/dL Hiperglicemia Taxa de glicose maior que 250 mg/dL 3a Série / Pré-vestibular 347 . O professor apresentou aos seus alunos os dados obtidos na pesquisa. aproximadamente: (A) 80%. no quadro da Talia. Uma fábrica produz suco de laranja diluindo concentrado de suco de laranja em água. (E) 300%.000 litros encomendados. (B) 100%. em 10%. (D) 16. que consiste na evaporação da água existente em um conjunto ou bloco cerâmico quando submetido a determinada temperatura elevada. (B) R$ 4.Matemática I – Módulo 23 Um paciente fez um exame de glicose nesse laboratório e comprovou que estava com hiperglicemia. (C) R$ 5.80. No primeiro mês. (D) Diabetes melito. (C) 15. (B) 20%. nas edições da OBMEP de 2005 a 2009: (A) 14. ela perdeu 30% do total do investimento e.org. 5 (D) 19.2%. (C) Pré-diabetes. (E) R$ 17. esses lados foram reduzidos em 20%. quando moldada em argila. A quantia inicial que essa pessoa aplicou em ações corresponde ao valor de: (A) R$ 4. O quadro indica o percentual de medalhistas de ouro. 01. possuía uma base retangular.22. A cerâmica constitui-se em um ar tefato bastante presente na história da humanidade. no segundo mês.00 gerado pela aplicação. 10. Os objetos restantes foram vendidos com um lucro de seis reais por unidade. Exercícios de Aprofundamento (D) R$ 13. por região. Em relação às edições de 2005 e 2009 da OBMEP. A par ticipação dos estudantes na Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas (OBMEP) aumenta a cada ano.100.obmep.4%.00 à vista. (E) Hiperglicemia. (C) 18. Seu médico prescreveu um tratamento em duas etapas. recuperou 20% do que havia perdido. Essa elevação de temperatura.00.222. Depois desses dois meses. Ele contribuiu para um bazar de caridade. Após o cozimento. Qual o valor das parcelas? 02. Ao calcular sua taxa de glicose após as duas reduções. Suponha que uma peça.>. mas também pode ser adquirido em 3 parcelas iguais (entrada + 30 dias + 60 dias) com uma taxa de juros simples de 10% ao mês. . Em relação à área original. Região 2005 2006 2007 2008 2009 Norte 2% 2% 1% 2% 1% Nordeste 18% 19% 21% 15% 19% Centro-Oeste 5% 6% 7% 8% 9% Sudeste 55% 61% 58% 66% 60% Sul 21% 12% 13% 9% 11% Disponível em: <www. qual o percentual médio de medalhistas de ouro da região Nordeste? Rascunho 348 Vol.523.0%. Uma pessoa aplicou certa quantia em ações. Sua taxa de glicose era de 300 mg/dL. (B) 18.800. (E) 18. (E) 96%. cujos lados mediam 30 cm e 15 cm. 2010 (adaptado).0%. o menor valor possível para k é: (A) 11. (B) 12. Se o seu lucro total foi de setenta e dois reais. Na primeira etapa ele conseguiu reduzir sua taxa em 30% e na segunda etapa. a área da base dessa peça.br. (D) 64%. Um produto custa R$ 300. (E) 21. após o cozimento. Acesso em: abr.000. que ocorre durante o processo de cozimento. 08.300. resolveu tirar o montante de R$ 3. 09.6%. causa uma redução de até 20% nas dimensões lineares de uma peça. ficou reduzida em : (A) 4%.00. sendo t um número inteiro positivo. (C) 36%. o paciente verificou que estava na seguinte categoria: (A) Hipoglicemia (B) Normal. Uma de suas várias propriedades é a retração (contração). Um comerciante comprou k objetos idênticos por t reais. vendendo dois objetos pela metade do preço de custo.00. (D) 35%. (E) 22.75% 3. 1986. Sabendo que os revendedores obtêm lucro de 100%. (B) 28. de modo a não ter prejuízo? (A) 10%. 03.95% 14.. o curso funciona à noite e. sobre o preço da tabela. (B) 35. A cidade de Guarulhos (SP) tem o 8o PIB municipal do Brasil. Quando acionado o motor. (D) 24. A e B. 05.84%. O motor só entra em funcionamento se o reservatório A estiver repleto. Crescimento – Indústria 65% 60% 55% 50% 45% 40% 35% 30% 25% 20% 15% 10% 5% 60. Para os adultos. ele prepara a tabela de preços de venda acrescentando 80% ao preço de custo. 02. em média. determine o percentual de acréscimo do preço final em relação ao preço da fábrica. para não ter prejuízo. Se o salário é corrigido em um aumento de 25% e o aluguel com aumento de 35%. 15% trabalham na fábrica. (E) 26%.08%. Os funcionários adultos que estão sendo alfabetizados são. conforme o gráfico.08%.. O reservatório A tem formato de um paralelepípedo retângulo de dimensões 80 cm. o preço de venda de seus produtos deve ser no mínimo 44% superior ao preço de custo. 04. Qual é o maior desconto que ele pode conceder ao cliente. (C) 200%. (E) 100%. (C) 20%. Se a forma do reservatório B é a de um cubo. (B) 36%. e os preços subiram 30%. (C) 33. "Os proprietários de uma fábrica em Recife mantêm um curso de alfabetização para adultos. indique a medida de sua aresta. (E) 43. 50 cm e 10 cm. Um trabalhador gasta com o aluguel da sua casa 25% do seu salário. por um defeito de vazamento. além do maior aeroporto da América do Sul. Um negociante comprou 250 máquinas fotográficas. Qual o lucro médio? (A) 50%. (E) 10. (D) 25. (E) 36%. mais tarde. (D) 150%.Exercícios de porcentagem M ódulo 24 Matemática I Exercícios de Fixação 01. possui a economia que mais cresce em indústrias. de quanto aumentou o seu poder de compra? (A) 20%. Um lojista sabe que.57% 0% Brasil São Paulo (Estado) São Paulo (Capital) Guaraulhos 3a Série / Pré-vestibular 349 . 03. Porém.75%. (B) 21%. obtendo lucro de 50%. (C) 99. Um motor está acoplado a dois reservatórios. (C) 30%. O restante é considerado como combustível injetado em excesso e é recolhido no reservatório B. 04. (B) 15%. porque sabe que o cliente gosta de obter desconto no momento da compra. aproximadamente: (A) 64. então o novo aluguel passará a consumir do novo salário: (A) 26. Duas escolas construídas pela empresa atendem a 230 alunos em três turnos.33. (C) 23%. (B) 250%.14%. O preço de um produto sofreu uma redução de 10%.%. Exercícios Contextualizados 01. (D) 25%. um novo aumento de 20%. (A) 300%. ele sofreu um aumento de 20% e. (E) 24%. Algum tempo depois. Um atacadista compra de uma fábrica um produto e o repassa a revendedores. que assim fica totalmente cheio. (B) 27%." Jornal do Brasil. (C) 26. qual o percentual de desconto a ser aplicado sobre este último preço? (A) 30%. Vendeu 200 com lucro de 20% e as 50 restantes com lucro de 40%. Dos adultos. Se o seu salário subiu 56%.75%.36%. 78% do combustível é queimado e 2% perdido. (D) 25%. 02.52% 30. 21 dez. 28% dos estudantes o frequentam. Se o comerciante deseja retornar ao preço inicial. Em proporção. (D) 4. Se 4% desses eleitores tivessem mudado o voto. o comerciante dá um desconto de 20%. efetivamente quanto por cento paguei a mais que no mês passado? (A) 13%. Uma empresa vende uma mercadoria e vai receber o pagamento em duas prestações: a primeira.2 m2. porém todos os alunos que pagassem até o dia 5 ganhariam um desconto de 10%.00 em três pagamentos: R$400. (D) 4.00 um mês depois e R$400.76. (B) 3. Quantos metros quadrados restarão para utilização convencional? (A) 16. (C) 20%.78 m2. (C) 2. calcule o valor que deve ser cobrado no segundo pagamento da venda.789.9 m vai ser adaptado para permitir construções de gráficos. Uma empresa possui uma matriz.200. no ato da venda e a segunda. (C) 21. (B) 37%. (E) C/6. Supondo que a inflação tenha estabilizado em 20% ao mês. Uma misteriosa doença matou muitos peixes amarelos. 40.95. 09. inicialmente. Supondo que o preço à vista da mercadoria seja C reais.5%. qual a diferença entre o maior e o menor centro em crescimento no polo das indústrias? (A) 75. e que. o quadro negro que mede 6 m por 0.Matemática I – Módulo 24 Analisando os dados percentuais do gráfico.000 desses ingressos não seriam mais postos à venda. Se paguei no dia 3.02 m2.5%. Em um aquário há peixes amarelos e vermelhos: 90% são amarelos e 10% são vermelhos. (E) 23.000 ingressos. (D) 45. o partido derrotado teria 50% dos votos mais um. sendo que 25% dos empregados da matriz M e 45% dos empregados da filial A se associaram ao clube. 05. e duas filiais. (B) 18. Quantos votos teve o partido vencedor? (A) 22. (D) 20. dado pelo comerciante após ter alterado o preço das mercadorias. (E) 30. verificou-se que no aquário 75% dos peixes vivos eram amarelos. trinta dias após. Determine o percentual de ingressos destinados a torcedores não filiados às torcidas após o cancelamento dos 3. Posteriormente. dos empregados da empresa trabalham na matriz M e 25% dos empregados trabalham na filial A.7 m2. (C) 2C/3. Um eletrodoméstico está à venda por R$1. 02. Para pagamento à vista. (D) 67%. ofereceu um desconto especial de 20% aos clientes que pagassem à vista. 5 10. De todos os empregados dessa empresa. cancelando-se então 1. (E) 1. por motivos de segurança. (B) 5C/6. que o primeiro pagamento seja de C/3 reais e que a inflação nesses 30 dias seja de 25%. o comprador ganha essa correção mensal. a compensar exatamente a inflação do período. 07. (A) 5C/4.62 m2.00 à vista. A e B. (C) 30%.000 eleitores compareceram às seções eleitorais. 10% seriam vendidos para a torcida organizada do time rival e os restantes seriam vendidos para espectadores não filiados às torcidas. 03. .299. O percentual dos empregados da filial B que se associaram ao clube é de: (A) 17. (E) 84%. R$400.07. 350 Vol.000 ingressos em três grupos da seguinte forma: 30% seriam vendidos para a torcida organizada local.28. 40% optaram por associarem-se a um clube classista. (C) 50%.00 dois meses depois. A mensalidade da minha escola sofreu um aumento de 30% este mês. Para lotar o estádio na final do campeonato planejou-se. os organizadores resolveram que 3. 08. (E) 120%. distribuir os 23. Em certa comunidade. 1 3 (E) 612 % . mas nenhum vermelho. (B) 17%. Um comerciante imaginou a seguinte estratégia: após aumentar em 20% os preços de suas mercadorias para atrair fregueses. Depois que a doença foi controlada. Em uma sala de aula. mantendo o dinheiro no banco.169.301. M. (D) 117%. (D) 5C/12. 45%.000 ingressos destinados a cada um dos três grupos. (C) 56. (B) 64. verifique qual dos dois planos é mais vantajoso – à vista ou a prazo – e explique por quê. Determine de quanto foi o desconto. que porcentagem dos peixes amarelos morreu? (A) 15%. em percentagem.599. Exercícios de Aprofundamento 01. 06. onde apenas dois partidos disputam a Prefeitura. Essa adaptação cobrirá 30% de sua área. 3 (D) 58 % . (B) 21. Aproximadamente.09. J= C·i ·n 100 Juros simples. M=C+J i · n  M = C1 + 100   em que: VF – Valor futuro (mesmo que o montante). vê-se claramente que no regime de capitalização a juros simples o montante cresce segundo uma progressão aritmética. Nos juros simples. Isso ocorre porque os juros de empréstimo dos bancos são sempre maiores do que os juros pelos quais eles tomam emprestado.com/Kritchanut Você sabia que é possível emprestar dinheiro ao banco? No Brasil. vamos aprender como funcionam os juros e como essa movimentação do banco de emprestar dinheiro emprestado de outro lugar é tão lucrativa. se i for anual. você deve saber que muitas famílias tomam empréstimos para pagar suas contas. lembrando que acrescentar x% equivale a multiplicar por (1 + x/100). n deverá ser o número de meses. em que a remuneração é calculada somente sobre o capital inicial C. a partir do segundo. Podemos utilizar o modelo aprendido nos módulos de porcentagem. n é o número de períodos. quando a cada período. porcentagem e P. Nesse módulo. No regime de capitalização composta. ficando muitas vezes endividadas. Chamados de CDBs (certificados de depósito bancário). Assim. N – número de período (meses. em que: C é o capital inicial aplicado (principal). n deve ser expresso na mesma unidade a que estiver referenciada a taxa de juros i. o que nem todos sabem é que é possível virar o jogo: você empresta seu dinheiro ao banco e ele passa a dever a você. 3a Série / Pré-vestibular 351 . o que pode ser confirmado pela característica da expressão acima. Chama-se montante (M) o valor resgatado ao final da aplicação do capital C. Com isto. Juros compostos A maioria das operações financeiras não trabalha com sistema de capitalização simples.Juros M ódulo 25 Matemática I ©iStockphoto. 1. anos. Porém. se a taxa de juros for ao ano. os juros gerados em cada período são incorporados ao capital (capitalizados) para o cálculo dos juros no período seguinte. se i estiver ao mês. se a taxa de juros for ao mês. bimestres.A. em n períodos acrescenta-se nx%. n deve ser o número de anos. Juros simples Juros simples é a remuneração recebida pela aplicação de um capital C a uma taxa de juros i% durante um certo número de períodos n. Na fórmula apresentada. Juros compostos é a remuneração que o capital C recebe após n períodos de aplicação. se i for bimestral. mas sim com capitalização composta. que é uma função do 1o grau em n. Desta forma pode-se fazer: VF = VP · (1 + ni/100). i é a taxa percentual de juros. esses empréstimos de pessoas ao banco têm como grande diferença o fato de dificilmente haver calote. 2. VP – Valor presente (mesmo que capital). os juros são calculados sobre o montante do capital no período anterior. No entanto. J são os juros recebidos. deve-se multiplicar por (1 + nx/100). Logo. e assim sucessivamente). Se R$ 3.000.m. 12 M = C · (1 + i% · t) M = 2. que estabelece que uma quantia hoje igual a C0 transformar-se-á. a uma quantia F = A(1 + i%)n. n • Para obter o valor atual. após n períodos de tempo. Uma pessoa aplicou R$ 1.600. Com isto.604.382. ou seja.00 = 3. 24% a.280.00 · (1 + 0.02 · 7) = 2. basta multiplicar o atual por (1 + i%) .000.00 por um ano e meio à taxa de juros compostos de 6% ao bimestre.40 após um semestre? 05. se i for anual. Solução: J = C · i · t/100 = 3. normalmente é usado o ano comercial de 360 dias.m. = 24% = a.232. J=M–C Obs.00 foi aplicado por 7 meses a uma taxa anual de juros simples de 24%.000.00 à taxa de juros compostos de 6% ao mês durante 5 meses? Solução: R$ 13.00 M = C + J = 3.000. em que: VF – valor futuro. 352 Vol.: Para o cálculo de juros.000.00 a mais de montante.604.00 · (1 + 0.08)4 = 10. Qual o montante da aplicação? 03.000. teria recebido R$ 305. multiplicaremos por (1 + x/100)n. bimestres. no qual os meses são sempre considerados com 30 dias. uma quantia de valor atual A equivalerá no futuro. Os juros J podem ser obtidos subtraindo do montante M (ou valor futuro VF) o capital inicial C (ou valor presente VP).25 04. Calcular o montante da aplicação de R$ 10. Se tivesse aplicado a juros compostos nas mesmas condições. N – número de período (meses. Qual o montante produzido por R$ 10. Qual o montante dessa aplicação? 04.25 M = C · (1 + i%)n M = 10.000.14 = 2. Uma pessoa aplicou seu capital a juros simples durante 90 dias à taxa de 5% a. basta dividir o futuro por (1 + i%)n.Matemática I – Módulo 25 Exercícios Resolvidos M = C · (1 + i%)n em que M é o montante. É importante interpretar o significado da expressão anterior. o que pode ser confirmado pela característica da expressão acima. Qual o montante dessa aplicação? Solução: Como o tempo está em meses e a taxa de juros ao ano. vê-se claramente que no regime de capitalização a juros compostos o montante cresce segundo uma progressão geométrica. Assim.000. VP – valor presente. 5 .m.000. Solução: R$ 13.000. e assim sucessivamente). 01. anos. O salário líquido do Sr.00 foi aplicado por 20 dias a juros simples a 9% ao mês. podemos concluir o seguinte: • Para obter o valor futuro. Determine o capital inicial aplicado.06)5 = 10. deve-se transformar um dos dois para a unidade do outro. que é uma função do exponencial em n. Um capital de R$ 2. depois de n períodos de tempo.00 · 1.a.065 = 13.084 = 13. 2% a. 02. Um capital de R$ 5.G.00 à taxa composta de 8% ao trimestre durante 1 ano. se i for bimestral.00 · 4 · 5/100 = 600. Ernesto é R$ 3.000.00 03.00 · (1 + 0.000.000.00 · 1. lembrando que acrescentar x% equivale a multiplicar por (1 + x/100). Isto é. Se fizermos isto sucessivamente n vezes. Pode-se utilizar o modelo aprendido nos módulos de porcentagem. Juros compostos – porcentagem e P. O fator (1 + i%)n é chamado fator de capitalização. em uma quantia M = C0 · (1 + i%)n.000.382.00 · 1. Qual o capital que aplicado a juros compostos de 2% ao mês gera um montante de 225.00 02. Todo mês ele poupa 10% de seu salário líquido e aplica essa poupança num fundo que rende juros compostos à taxa de 2% ao mês. Desta forma pode-se fazer: VF = VP · (1 + i/100)n.00 foram aplicados por 5 meses à taxa de juros simples de 4% ao mês.88 n = 1 ano = 4 trimestres M = C · (1 + i%)n M = 10.00 por mês. determine os juros recebidos e o montante.88 Exercícios de Fixação 01. o valor resgatado ao final do período.00 + 600. se i estiver ao mês.000. o capital acumulado após 2 anos.8%. pois a sua rentabilidade anual é maior que as rentabilidades anuais dos investimentos B e C. Um capital de R$ 30. de 5% ao mês. 05.00. daí a um mês. Qual o valor de C? 08.) Exercícios Contextualizados 01.000.000. B ou C.00. ainda. Se ele decidisse aplicar o mesmo capital durante o mesmo tempo.000. o número inteiro mínimo de anos necessários para que o capital acumulado seja maior que o dobro do capital inicial. a primeira a ser paga um mês após a tomada do empréstimo. observou-se que os lucros obtidos em ambas as aplicações foram iguais. Assim. no dia que fez o 2o depósito? b. Arthur deseja comprar um terreno de Cléber. encontre: a. (D) R$ 10. resgatando os valores à medida que as prestações da opção escolhida fossem vencendo.00. calcule o valor da quantia a ser paga ao final do segundo mês.   Após avaliar a situação do ponto de vista financeiro e das condições apresentadas. com rentabilidades líquidas garantidas pelo período de um ano. • Investimento B: 36% ao ano.Juros a. Um empresário tomou emprestada uma certa quantia.00. b.000. dali a um ano. pagando R$ 39. (B) 9. com rentabilidade de 10% ao semestre.00 é aplicado a uma taxa anual de 8%. no dia do último depósito? (Indique apenas o resultado.000. para esses investimentos. 3a Série / Pré-vestibular 353 . pois sua rentabilidade de 36% é maior que as rentabilidades de 3% do investimento A e de 18% do investimento C. dando uma entrada de R$ 30.000. Esse empréstimo deveria ser liquidado em duas parcelas mensais fixas de R$ 11. incidem sobre o valor do período anterior.426 Para escolher o investimento com a maior rentabilidade anual.00. (Se necessário. (E) 5. Arthur concluiu que era mais vantajoso financeiramente escolher a opção: (A) 1. e mais uma prestação de R$ 26.000. Considere que uma pessoa decida investir uma determinada quantia e que lhe sejam apresentadas três possibilidades de investimento. ele pagaria apenas R$ 8. gerando um montante de R$ 13.00 e. (B) R$ 4.000. com juros capitalizados anualmente. a juros de 5% ao mês. a juros de 8% ao ano.000. (E) escolher o investimento C. (C) 8.00.2%. (C) R$ 6.000.00 e o restante em 1 ano da data da compra.289. O quadro fornece algumas aproximações para a análise das rentabilidades: n 1. mas avalia se não seria melhor aplicar o dinheiro do valor à vista (ou até um valor menor) em um investimento.000. a taxa anual do investimento seria de: (A) 9%. metade do seu capital. Qual a taxa de juros mensais cobrada efetivamente pelo vendedor? 02. por um ano.194 9 1. e o restante a 10%. que lhe oferece as seguintes possibilidades de pagamento: • Opção 1: Pagar à vista.00.00 para dali a 12 meses da data da compra. à mesma taxa da aplicação anterior. Entretanto.00. 03. (D) 4.477. Um investidor aplica.) 07. (B) escolher os investimentos A ou C. “sem juros”. o empresário fez o seguinte acordo com o credor: naquele dia.000.305 12 1. Um capital de R$ 12. não é preciso fazer os cálculos. por sua vez.00. gerando um montante de R$ 10. • Opção 5: pagar a prazo.000. • Opção 2: Pagar a prazo. • Opção 4: Pagar a prazo dando uma entrada de R$ 15.000. para dali a 6 meses e outra de R$ 18. Quantos depósitos deverá fazer para ter um saldo de R$ 7. o valor de R$ 60.03n 3 1. Qual seu saldo no fundo.00. (E) 8. • Investimento C: 18% ao semestre. (D) 9. use log10 2 = 0. esse montante.00. foi também aplicado a juros simples. em um único investimento.750.00. a outra aplicação. visando obter igual rendimento.00 para dali a 6 meses.093 6 1. Considerando que não foram feitas novas aplicações ou retiradas. As rentabilidades. (C) escolher o investimento A. Um artigo pode ser comprado à vista com 10% de desconto ou em duas vezes iguais. • Opção 3: Pagar a prazo. a diferença dos capitais aplicados foi de: (A) R$ 8.000. no dia do vencimento da primeira parcela. Os juros cobrados seriam.025.00.000. (B) 2.301 e log103 = 0. sendo a primeira prestação no ato e a segunda em 30 dias. mais uma prestação de R$ 20. 04.00. dando uma entrada de R$ 20.00 foi dividido em duas aplicações: a primeira pagou uma taxa de 8% de juros anuais.000. (C) 3. pois sua rentabilidade de 39% ao ano é maior que a rentabilidade de 36% ao ano dos investimentos A e B. pagou uma taxa de 12% de juros anuais. (D) escolher o investimento B. 06.5%. pois suas rentabilidades anuais são iguais a 39%. durante 15 meses.5%. Um capital C foi aplicado a juros simples durante 10 meses. Arthur tem o dinheiro para pagar à vista. de risco. conforme descritas: • Investimento A: 3% ao mês. pois as suas rentabilidades anuais são iguais a 36%. por R$ 55. Assim. essa pessoa deverá: (A) escolher qualquer um dos investimentos A. Ao término de um ano. a quinta parte a 9% ao ano. liquidaria o empréstimo. liquidou todo o seu débito. a uma taxa de juros de 2. e que mantendo o dinheiro no banco o comprador ganha essa correção mensal. há uma despesa fixa de R$ 4. Supondo que a inflação tenha se estabilizado em 20% ao mês.00 em três pagamentos: R$ 400.00 do empréstimo e.000. . Mário tomou um empréstimo de R$ 8.250. independentemente da quantidade produzida.00.00 à vista. Um carro novo é vendido à vista por R$ 28. 5 (D) R$ 5. (C) 67%.00 um mês depois e R$ 400.000.00. Além disso.00 dois meses depois.00. Ele pode ser adquirido por financiamento com uma entrada de 20% e 48 parcelas fixas mensais e iguais. (B) 15%.00. o lucro atual da empresa é de R$ 16.00 a unidade. Para produzir um objeto.00. (E) 75%. (D) 45%.00 por unidade. Calcule o valor das prestações mensais.00. 02. 10. Com o intuito de enfrentar a concorrência. R$ 400. Para continuar auferindo o mesmo lucro.015.200.022348 ≅ 2. (C) R$ 4. o comerciante dá um desconto de 20%.011. (E) R$ 5. a empresa decide reduzir em 25% o preço unitário de venda dos objetos.00. (B) R$ 3.025.000.00.820. Exercícios de Aprofundamento 01. Um eletrodoméstico está à venda por R$ 1. Mário pagou R$ 5.23% ao mês.011. um mês após esse pagamento. usando 1.Matemática I – Módulo 25 09. o aumento percentual na quantidade vendida deverá ser de: (A) 100%. verifique qual dos dois planos é mais vantajoso – à vista ou a prazo – e explique por quê.00 a juros de 5% ao mês. O valor do último pagamento foi de: (A) R$ 3. Para pagamento à vista. Rascunho 354 Vol. uma empresa gasta R$ 12. Vendendo os objetos produzidos a R$ 20. Dois meses depois.88 e considerando que não há outras taxas.000. mas não é.000. Mês FC 1 2 3 4 5 6 –20. é o dinheiro que teoricamente “vai para o bolso dos sócios”. Fábio recebeu um empréstimo bancário de R$ 10.000 10.00.000. Determine o prazo da aplicação.000. o valor presente desse fluxo de caixa futuro vale R$16. sendo cobrados juros compostos à taxa de 20% ao ano. (D) 21%. que o primeiro pagamento seja de C/3 reais e que a inflação nesses 3a Série / Pré-vestibular 355 . naturalmente. Veja que cada termo da soma é simplesmente a expressão para valor presente que aprendemos ao estudar os juros compostos: Vp = VF (1 + i )n Exercícios de Fixação 01. Supondo que o preço à vista da mercadoria seja C reais. pois acham que.00.000 10. como os seguintes fluxos de caixa: O projeto teve um investimento inicial de R$ 20. Sabendo que o valor da 1a parcela foi R$ 4. Como interpretar: Esse resultado significa que. O dinheiro no futuro vale menos justamente por não termos certeza de que vamos recebê-lo.00 e depois gerou R$ 10. em 30 dias.000 10. valeria “comprar” esse negócio ou projeto por qualquer valor abaixo do VPL. a incerteza do amanhã. qual será o valor de cada prestação mensal? O fluxo de caixa é o lucro do empreendimento após o pagamento de impostos. por exemplo.00. Portanto. Um aparelho DVD Player custa. devemos encontrar um investimento que renda. o cálculo do VPL (também conhecido como valor líquido atual) é feito em análises de retorno de projetos ou valoração de empresas (valuation). ou seja.000 10.00. estamos somando o valor presente dos fluxos de caixa esperados ao longo dos anos.00 de lucro nos cinco meses seguintes.000.279. 05. considerando i = 10%. uma no ato da compra e outra após 30 dias. O capital de R$ 500. neste caso. (B) R$ 9.000 10. rendeu R$ 180. )3 (11 . pois.. R$ 250. sem nenhuma utilização.000.00. Um armário custa à vista R$ 620. (E) R$ 9.200. (D) R$ 9. (11 . Uma empresa vende uma mercadoria e vai receber o pagamento em duas prestações: a primeira no ato da venda e a segunda trinta dias após. e não valeria em qualquer valor acima. )2 (11 . Qual a taxa mensal? 02.00. Se pago sem entrada em 6 prestações mensais a uma taxa de juros de 3% a. esse cálculo faz esse ajuste. mais do que: (A) 53%. 04..00 aplicados por 6 meses a uma taxa de juros simples de 3% a. O dinheiro que vamos receber no futuro não vale a mesma coisa que o dinheiro no tempo presente.800. descontando as devidas taxas do fluxo de caixa futuro.m. Pode parecer um pouco abstrato.m.00. para ser pago em duas parcelas anuais.000 10. ou duas prestações de R$ 375. a serem pagas respectivamente no final do primeiro ano e do segundo ano.000 10.00 (total de receitas menos o investimento).. precisará ser aplicada a qual taxa mensal? Exercícios Contextualizados 01. A aplicação de R$ 3. É a taxa que teríamos se o dinheiro ficasse parado. (B) 45%.00. )5 VPL = 16.279.Exercícios de juros M ódulo 26 Matemática I Valor Presente Líquido (VPL) O Valor Presente Líquido (VPL) é uma fórmula matemática utilizada para calcular o valor presente de uma série de pagamentos futuros descontando um taxa de custo de capital estipulada.00. Para calcular o VPL. VPL = FC1 + FC2 FC3 FC4 + + + .00. para produzir o mesmo montante na modalidade de juros composto em uma aplicação com a mesma duração.000.000 10.000 Quando usar: Normalmente.. como esse empreendimento rende aparentemente R$30.000. Vejamos um exemplo: Vamos calcular o VPL de um projeto (logo faremos a soma de uma PG finita). Para que a compra em duas vezes seja vantajosa.000 + 10.88. 03. Normalmente a inflação anual ou a taxa SELIC.00 a juros simples de taxa mensal igual a 6% gerou montante igual a R$ 3.000 10.400. As taxas i que consideramos para calcular o valor presente de cada FC é o que chamamos de custo de oportunidade.00.00.00. aplicado durante um ano e meio. R$ 10. )4 (11 . dívidas e investimentos. embora exista um ganho financeiro de R$30. valeria a pena investir R$20. (1 + i )1 (1 + i )2 (1 + i )3 Na realidade.00. 88.420.600. Isso acontece pela mesma maneira que existe o próprio juros. faremos: VPL = − 20. (C) R$ 9.000.00. podemos concluir que o valor da 2a foi de: (A) R$ 8. Sendo assim. (C) 35%.000. É aqui que muitas vezes pessoas que não sabem manipular as PGs e os juros compostos fazem péssimos negócios.000. (E) 33%. Ele existe.000 + + + + 11 . à vista. a juros simples. 02. 5%. Caso o pagamento seja feito à vista.0%. (B) C/6.00 num fundo de ações por 1 ano.500. sendo o 1o como entrada e o 2o um mês após a compra. • a 2a parcela.00) para pagar. em relação aos preços do dia 4 de dezembro. em duas prestações mensais iguais de R$ 390.930. no ato da compra.00 e restariam R$ 1.00 para pagamento à vista. aproximadamente: (A) R$ 827. Qual a taxa de rendimento global do Sr.930. é de R$ 1.00 – R$ 3. Um ventilador é vendido por R$ 5. a primeira parcela de R$ 3.00 em dois pagamentos iguais. sem acréscimo. a segunda parcela de R$3. (B) 50%.00.5% em relação aos preços reajustados 356 Vol. 08.00. os R$ 1. teria que quitar.000.7%. qual o valor da parcela final. Se um comprador que dispusesse dos R$ 5. no período? b.00 numa caderneta de poupança e R$ 30. Suponha que os R$ 1.00. (E) 120%.0%.00. Exercícios de Aprofundamento 01.000.980. Determine o valor de x. pagando uma parcela de R$ 1. com uma entrada. Nestas condições. Para realizar tal empreendimento. ou a prazo. sofreram uma variação percentual de: (A) 16. uma loja aumenta os preços de seus produtos em 60%. (D) 25%.000. Nesse período.. pode ser abatido em 36 prestações mensais e sucessivas. cada uma das quais constituídas de duas parcelas: • a 1a parcela. 06.00.890. Um aparelho de TV é vendido por R$ 1. (B) 15%. à vista. 02. dita amortização. (C) R$ 867. ambos calculados sobre o preço x.025. (E) 105%. é decrescente segundo uma P.00 restantes venham a ser aplicados no mercado financeiro até o dia do pagamento da segunda parcela de R$ 3.00 no ato da compra e R$ 3. 03. em cada ano. O Sr. Qual o valor à vista do aparelho de som? b. (E) 30%. Oliveira.960.00. (B) R$ 847. O Magazine Lucia e a rede Corcovado de hipermercados vendem uma determinada marca de aparelho de som do tipo Home Cinema pelo mesmo preço à vista. Corcovado oferece ao consumidor um desconto de 20%. o correspondente ao preço x (em reais) de fabricação.890. (D) 80%.7%. A indústria produzirá no primeiro ano de funcionamento 10. A loja Goiás paga. Na liquidação do Ano Novo. haverá um aumento de 20% na produção em relação ao ano anterior.5%.000. há um desconto de 4% sobre o preço de R$ 1. Nesse caso. (E) C/6.00 depois de 2 meses. (D) 44.000.930. Se o pagamento for feito à vista. 1 mês após a compra e o saldo em 2 meses após a compra. 07. com planos de pagamentos distintos. correspondente aos juros. (D) 4. Oliveira aplicou R$ 20. (C) 100%.A. (B) 5. 09. (C) 55%. Calcule quantas unidades a indústria produzirá no ano em que terminar de pagar o empréstimo. para saldar a dívida. o mínimo de: (A) 34. os sócios fizeram um empréstimo no valor de R$ 54. Após esta liquidação. Vende esse produto ao consumidor por R$ 54. (B) 50.000.00. (C) 20%.960.00 e o último R$ 200.00 à vista ou duas fixas de R$ 3. (B) 29. a.7%.960.00.00. Calcule o valor a ser pago pelos sócios da empresa na décima quinta prestação. calcule o valor que deve ser cobrado no segundo pagamento da venda a compensar exatamente a inflação do período. Comprando a prazo no Magazine Lucia. a caderneta de poupança rendeu 8% e o fundo de ações apenas 2%.00. de acordo com o plano da financeira. da qual o 1o termo é R$ 800. 10. (D) 80%. (D) 5C/12.Matemática I – Módulo 26 30 dias seja de 25%. (E) R$ 907.00. pela aquisição de certo produto. (A) 5C/4. a.0%.960. No dia 5 de dezembro. a. A taxa mensal de juros simples do financiamento é aproximadamente igual a: (A) 8. b.00. (D) R$ 887. vencível 2 meses após a compra? . 30 dias depois.890.00 com lucro de 25%. podemos constatar que os preços dos produtos. mais 5% de imposto e 3% de frete. A rede Corcovado de hipermercados promove a venda de uma máquina fotográfica digital pela seguinte oferta: Leve agora e pague daqui a 3 meses. sendo a primeira paga no ato da compra. (C) 2C/3. aproximadamente. (C) 32.00 (R$ 5. pagando no final do 3o mês após a compra.00 na caderneta de poupança) para que sua taxa global fosse de 6% ao ano? 04.000. ambas as lojas cobram a taxa de juros compostos de 10% ao mês. Se um consumidor comprar o aparelho de som a prazo na rede Corcovado.00. 05. 5 em 5 de dezembro.00. que. os mesmos produtos sofrem um desconto de 27. (C) 7. optasse pela forma de pagamento em duas vezes. Na venda a prazo. um consumidor deve pagar R$ 2. Uma geladeira pode ser comprada à vista por R$ 2. Caso um consumidor prefira aproveitar a oferta. a taxa mensal de juros embutida na venda a prazo é igual a: (A) 10%.000 unidades e.00 teriam de render.5%.960. a taxa anual de juros simples que estará sendo aplicada no financiamento é de: (A) 20%. Quanto ele deveria ter aplicado no fundo de ações (mantida a aplicação de R$ 20. por apenas R$ 702. o valor de cada prestação é. Se o vendedor cobra juros de 30% ao mês sobre o saldo devedor. enquanto que na rede Corcovado ele pode levar o aparelho sem desembolsar dinheiro algum.7%.000. sendo a primeira delas paga no ato da compra.00 por prestação e. Uma loja de eletrodomésticos anuncia a seguinte promoção: Televisor 29”.00 ou em três prestações mensais iguais. usamos tijolos vazados para vedação.Prismas e pirâmides M ódulo 22 Matemática II 1. vamos aprender como achar o volume de tais prismas e de pirâmides de maneira bem prática. Ex. EE '). BB '.com/David Romero Corral Você sabe por que usamos tijolos furados? Nas construções de hoje em dia. • arestas da base: são os lados dos polígonos que formam as bases. Nomeia-se um prisma de acordo com o polígono que ele possui nas bases. • Prisma regular: é o prisma reto que possui nas bases polígonos regulares. Nomenclatura 1. Nesse módulo. • Prisma oblíquo: as arestas laterais são oblíquas aos planos das bases. C’ • Prisma reto: as arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases. e por razões bem simples: uma delas é que os furos permitem a passagem de ar. A outra. • diagonal: são segmentos cujas extremidades são vértices que não pertencem a uma mesma face do prisma. o tipo de prisma que forma os buracos do tijolo. Ex. contribuindo para o isolamento térmico da casa ou construção.: B’ hexágono regular t h D C E α A B prisma reto prisma oblíquo prisma regular hexagonal 3. • altura: é a distância entre as bases. DD '. Definição de prisma 2. CC '. denomina-se prisma um polígono formado pela reunião de todos os segmentos paralelos a t que possuem um dos extremos em um ponto qualquer do polígono ABCDE e o outro extremo em β. D’ E’ β S A’ ©IStockphoto. atenuando assim o desgaste das estruturas (vigas. precisamos do volume dos paralelepípedos. também muito importante. Para saber em quanto o peso realmente é reduzido na construção. • aresta lateral: são os segmentos paralelos e de mesmo comprimento que fazem as ligações entre as bases ( AA '. Classificação de um prisma Sendo α e b dois planos paralelos. é a diminuição significativa do peso da construção.: prisma pentagonal 3a Série / Pré-vestibular 357 . colunas).1 Elementos • Bases: são os polígonos congruentes que estão situados nos planos α e β. então. Formam-se. 5 -se. de queijo e de salame respectivamente. AT = AL + 2 · AB V(P) = 4 · 5 · 3 = 60u Então. De forma intuitiva. AL = 2pBase · h a=5 Percebe-se que no interior do sólido P(prisma) cabem 4 camadas de (5 x 3) blocos idênticos de 1u de volume. é necessário comparar o sólido P com uma unidade de volume. fatias muito finas de ambos. Para tal. supondo que elas tenham a mesma área. O resultado dessa comparação define quantas vezes o sólido P contém a unidade de volume. é possível supor que ambos os sólidos têm o mesmo volume (são formados por igual número de fatias de mesma área).Matemática II – Módulo 22 4. paralelo ao plano α. se todo plano β. podemos distinguir dois tipos de superfícies: as laterais e as bases. estabelecendo o volume de P. 2pBASE Sólido P AB Planificação h h AL c=4 AB b=3 • Área lateral: é a soma das áreas dos paralelogramos que formam as fases laterais do prisma. ou seja: • Área base: área de um dos polígonos da base. Observe: Unidade de volume 1 1 seção seção transversal seção reta 1 5. Seções 6. Esta suposição é baseada no Princípio de Cavalieri (1598-1647). os sólidos têm volumes iguais: . generalizando: VPrisma = AB · h Pode-se afirmar que um pedaço de queijo e um pedaço de salame de formas diferentes possuem a seguinte situação: Mesma Área Pega-se um pedaço de queijo e um pedaço de salame e cortam- 358 Vol. duas pilhas. intercepta os sólidos e determina seções de mesma área. Áreas 1 Em um prisma. pode-se considerar o volume de um sólido como sendo a quantidade de espaço que o sólido ocupa. em igual número. seção reta. • Área total: é a soma da área lateral com as áreas das bases. Volume Um plano que intercepte todas as arestas de um prisma determina nele uma região chamada seção do prisma. se for perpendicular às arestas laterais. que generaliza o conceito de volume para diversos sólidos: Dado dois sólidos e um plano α. Uma seção paralela aos planos das bases é denominada seção transversal e. Assim. pode-se concluir que o volume de um sólido imerso é igual ao volume do líquido deslocado.2 Cubo É um paralelepípedo retângulo cujas faces são quadrados. tem-se: d 2 = a2 + c2 ⇒ d = a2 + c2 .) em uma de suas descobertas e significa “encontrar”. Destacando o ∆ABD: Disponível em: <http://atomosybits. D2 = b2 + d2 = b2 + a2 + c2 D 2 = a 2 + b 2 + c2 ⇒ D = a 2 + b 2 + c 2 em que D é a diagonal do paralelepípedo. o nível da água se eleva. Estudo dos paralelepípedos retângulos Todo prisma cujas bases são paralelogramos.com. O volume desse objeto pode ser determinado medindo-se quanto a água subiu. 2014.Prismas e pirâmides 1 2 A2 A1 β Se α II β e A1 = A2. Área total: A+ = 6 · a2 Volume: V = a · a · a ⇒ V = a3 Diagonal Destacando o ∆A’ B’ D’: D2 = ( a)2 + ( a 2 )2 ⇒ D = a 3 7. Arquimedes. Os paralelepípedos principais são: paralelepípedo retângulo e o cubo. 7. B’ C’ B C A’ b Você já ouviu a exclamação eureka? D’ c A D a Área total: AT = 2 (ab + bc + ac) Volume: V = a · b · c Diagonal: Destacando a face AA’ D’ D.1 Paralelepípedo retângulo É o prisma reto que possui nas bases retângulos. é denominado paralelepípedo. então V1 = V2. B’ C’ B c a a D A’ D’ a a 2 A a Portanto. Se o sólido 1 é um paralelepípedo retângulo. em que d é a diagonal da face. então: V2 = ABase · h Assim.C. Esta famosa exclamação foi dita pelo matemático grego Arquimedes de Saracusa (287-212 a. quando estava em uma banheira. Acesso em 1 abr. observou o seguinte: mergulhando em um recipiente com água um objeto qualquer. o volume de todo prisma e de todo cilindro é o produto da área da base pela medida de sua altura: V = ABase · h α 7. D 3a Série / Pré-vestibular 359 . 5 A2 +  b  = L2 2 H +R =L 2 2 2 R O a b 2 . para calcular o volume de troncos de outras naturezas. B. altura h.1 Relações entre os elementos de uma pirâmide regular h E V Imagine uma pirâmide regular. D. Apótema da base (a) Segmento que une o centro da base ao ponto médio de uma das arestas da base. Base: é o polígono que pertence ao plano α. tem-se: Altura: é a distância do vértice ao plano da base. Tronco de prisma Quando um prisma é seccionado por um plano não paralelo às bases o qual corta todas as arestas laterais.. Pirâmide regular a. aresta da base b. 360 Vol. possuir na base um polígono regular e a projeção ortogonal do vértice coincidir com o centro da base. apótema da pirâmide A e raio do polígono da base R. apótema da base a. contido em um plano α. 10. Nomenclatura Nomeia-se uma pirâmide de acordo com o polígono que ela possui na base. c   Portanto..1 Volume de um tronco de prisma triangular Utilizando um tronco com uma base perpendicular às arestas laterais e com uma seção reta de área A. denomina-se pirâmide o conjunto de todos os segmentos (VP) .. Definição de pirâmide Dados um polígono convexo A. forma-se um sólido denominado tronco de prisma. Aresta da base: são os lados do polígono que forma a base. Ex. em que P ∈ ABCD.Matemática II – Módulo 22 8.. C. Aresta lateral: são os lados dos triângulos que formam as faces laterais. 11.. V D α C R A apótema da pirâmide Elementos: Apótema da pirâmide (A) O ponto médio Segmento que une o vértice M da pirâmide ao ponto médio de apótema da base uma das arestas da base. 9. 8. Pelo Teorema de Pitágoras: B H2 + a2 = A2 H L L A 2 Elementos: Vértice: é o ponto que está fora do plano da base. c → Arestas laterais do tronco A → Área da seção reta do prisma a+ b+ V = A· 3  Uma pirâmide é regular se. deve-se dividi-los em troncos de prismas triangulares.: V V c b a C D A B Pirâmide quadrangular 4 faces laterais Total: 5 faces A E F A D C B Pirâmide hexagonal 6 faces laterais Total: 7 faces 11.. b. de aresta lateral L. e um ponto V fora de α. e somente se. podemos distinguir dois tipos de superfícies: as laterais e a base. Então: V1 = V2 = V3 = VPIRÂMIDE. percebe-se que é possível decompor um prisma triangular em três pirâmides triangulares equivalentes (de mesmo volume). determina-se outra pirâmide. B C A 1 2 D E F F D 12. Durante a etapa de projeto Disponível em: <www. da grande pirâmide. a 12 km do Cairo. Área total: é a soma da área lateral com a área da base. C B B A H a B C 14. 3 do prisma: VPRISMA = V1 + V2 + V3 → 3 VPIRÂMIDE → VPIRÂMIDE = Pelo princípio de Cavalieri. como 2 = p( semiperímetro )  2  Logo: AL = p. Áreas Numa pirâmide. AT = AL + AB H h C’ A’ B’ β Obs.: No caso de uma pirâmide regular de aresta da base igual a b e apótema da pirâmide igual a A.h → VPIRÂMIDE = B 3 3 F E D Disponível em: <www.projetoockham. AL = A1 + A2 + A3 + .b  b. Nos dias atuais. como é conhecida desde a época dos gregos.Prismas e pirâmides 13. Observando as figuras abaixo. A Grande Pirâmide é uma pirâmide regular. porém. sabe-se que duas pirâmides de mesma altura e com as áreas das bases iguais têm o mesmo volume.A. Logo. C A α B 3a Série / Pré-vestibular 361 . Assim. devido à erosão sua altura mede cerca de 137m. A  AL = n   ..org>. Logo: VPIRÂMIDE = VPRISMA A . o volume de cada pirâmide corresponde à terça parte do volume VPRISMA .6 m). menor e semelhante à primeira. teve a preocupação de transformá-la em um instrumento de ressurreição. pois os egípcios acreditavam que a vida verdadeira começava após a morte. Foi construída durante o período antigo e tinha o intuito de abrigar a tumba do faraó. está à margem esquerda do Rio Nilo. Suas dimensões são gigantescas (base = 230 m e altura = 146. pode-se generalizar o raciocínio acima para o cálculo de uma pirâmide de base qualquer.. Área da base(AB): é a do polígono da base. Pirâmides semelhantes Planificação A 3 Superfície lateral base Ao seccionar uma pirâmide por um plano paralelo ao plano de sua base. Hemiunu. Volume Você sabia que a grande pirâmide de Gizé é a única das sete maravilhas do Mundo Antigo que ainda existe em nossos dias? A pirâmide de Quéops.culturabrasil. a área de ocupação corresponde a oito campos de futebol e a altura a um prédio de 40 andares. cuja base é um quadrado cuidadosamente implantado sobre os quatro pontos cardeais.org>. principal arquiteto da pirâmide. tem-se: n. de modo que: V Área lateral: é a soma das áreas dos triângulos que formam as faces laterais da pirâmide. que é chamado tronco de pirâmide.k 1 VolumeABC ⋅ ÁreaABC ⋅h 3 VolumeA' B'C' = k3 VolumeABC Estudo do tetraedro regular Uma pirâmide triangular com todas as arestas congruentes é denominada tetraedro regular. conclui-se que: – a área lateral é a soma das áreas de todas suas faces laterais. 1 . 3  2   3  No ∆VGC . o volume desse prisma. B C D E F I G 362 C a Cálculo da área total 2 2 (A) 18. e outro. (B) 8. ou seja. VA' VB' h = =…= = k VA VB H – A seção obtida e a base sejam polígonos semelhantes. nessa ordem. 3 2 a 3 a 3 Logo: CG = ⋅  =  . 2 da altura do ∆ABC (G é baricentro). (C) 6. Logo:  a2 3  AT = 4 ⋅  ⇒ At = a2 3  4    02. a a Vol. é a diferença entre as áreas laterais da pirâmide maior e a menor. é igual a: O tetraedro regular apresenta quatro triângulos equiláteros congruentes nas faces. pode-se definir as seguintes relações: Relação de área Lembrando que a razão entre as áreas de duas figuras semelhantes é igual ao quadrado da razão de semelhança. então a razão entre o volume e a área total desse cubo é: A (A) 10. Um prisma reto de base triangular tem área de uma face lateral igual a 20 cm2. Tronco de pirâmide de bases paralelas Quando se secciona uma pirâmide por um plano paralelo ao plano de sua base(veja ilustração item 14). Suas faces são quatros triângulos equiláteros. (B) 36. Logo. surgem dois sólidos: uma pirâmide menor de vér tice V e altura h. (D) 4. em cm3. tem-se: ÁreaA' B'C' = k2 ÁreaABC Relação de volume 15. (E) 60. tem-se: Altura 2 2 VC = VG + CG M G B a 3 a 6 ⇒ h = a2 = h 2 +   3  3   Exercícios de Fixação 01. – a área total é a soma de sua área lateral com as áreas de suas bases. ÁreaA' B'C' ⋅h VolumeA' B'C' 3 = = k 2 . VTRONCO = VGRANDE – VPEQUENA Cálculo do volume a2 3 a 6 ⋅ 3 AB ⋅ h 3 ⇒ V = a 2 V = ⇒ V = 4 3 3 12 V Dado um tetraedro regular de aresta a. 5 H . (E) 2. (C) 48. Se no cubo da figura FI = 4 6 . a altura (h) e o volume (V). – o volume é a diferença entre os volumes das pirâmides. VG = h e CG é a A Aplicando o Teorema de Pitágoras no referido triângulo. Analisando-o.Matemática II – Módulo 22 – As arestas laterais e a altura sejam divididas na mesma razão. vejamos como obter a área total (At). Se o plano que contém essa face dista 6 cm da aresta oposta a ela. ( ) A distância entre B e D mede 6 3 cm. 04. construídas em uma avenida de Madri. analise as proposições a seguir. o número de tijolos inteiros que podem ser fabricados é. (D) 1090. Uma indústria de cerâmica localizada no município de São Miguel do Guamá. Em um tetraedro regular de lado a.Prismas e pirâmides 03. aproximadamente: ( ) A distância entre E e F mede 2 6 cm. é correto afirmar que a área lateral e o volume do octaedro medem. conforme a figura abaixo. fabrica tijolos de argila (barro) destinados à construção civil. cada uma. Nesta figura estão representados dois poliedros de Platão: o cubo ABCDEFGH e o octaedro MNOPQR. na Espanha. B. e F é o pé da perpendicular a BD traçada a partir de E. ( ) O seno do ângulo FDE é 19 cm 3 . E é o centro da face contendo C e D. (E) 1280.8 cm 14 cm ( ) A distância entre A e B mede 6 2 cm. Então. 02. a distância entre os pontos médios de duas arestas não adjacentes é igual a a 2 (A) a 3 (D) 2 a 2 (B) a 2 (E) 4 (C) a 3 2 05. E H R F (A) 740. A.org>.wikimedia. C e D são os vértices indicados do cubo. C E D Exercícios Contextualizados 01. ( ) Os triângulos CDB e FDE são semelhantes. uma altura de 114 m (a altura é indicada na figura como o segmento AB). 0. A ilustração a seguir é de um cubo com aresta medindo 6 cm. no estado do Pará. F B A Com base nas informações acima. A inclinação das torres é de 15° com a vertical e elas têm. Estas torres são um bom exemplo de um prisma oblíquo de base quadrada e uma delas pode ser observada na imagem: A G Q P N O D C M A B Cada aresta do cubo mede 6 cm e os vértices do octaedro são os pontos centrais das faces do cubo. (C) 1020. Os tijolos de 6 furos possuem medidas externas: 9 ·14 · 19 centímetros e espessura uniforme de 8 milímetros. 3 9 cm Utilizando 1 metro cúbico de argila. As torres Puerta de Europa são duas torres inclinadas uma contra a outra. 3a Série / Pré-vestibular 363 . respectivamente: (A) 72 3 cm2 e 54 cm3 (D) 18 2 cm2 e 36 cm3 (B) 36 3 cm2 e 18 cm3 (E) 36 2 cm2 e 18 cm3 (C) 36 3 cm e 36 cm 2 3 B Disponível em: <commons. (B) 960. E-E e M-R. é igual a: (A) 72(3 + 3 ). E-R e M-N. (E) 20x – 9x2 + x3. em dm3. (B) B-N. (D) 80x + 18x2 + x3.26 como valor aproximado para tangente de 15° e duas casas decimais nas operações. E-M e B-R. (E) E-N. como se observa nas imagens: V (D) B-E. de cada canto da chapa. representada na figura abaixo. As faces laterais do por ta-joias são quadrados de lado medindo 6 cm e a altura da tampa também vale 6 cm. (C) 108( 2 + 5 ). 5 B . (C) E-M. conforme sugere a figura a seguir: O volume. (C) 6 . a seguir. (D) 8 . B-N e E-R. 07. (B) 3 4 . Um quadrado ABCD de centro O está situado sobre um plano α. (B) entre 100 m2 e 300 m2. em cm2. 2 03. cortando-se. um quadrado de lado x decímetros e. Se o volume do pacote maior é o dobro do volume do menor. (C) entre 300 m2 e 500 m2.Matemática II – Módulo 22 Utilizando 0. conforme ilustra a imagem: D V O A B Admita a rotação de centro O do segmento OV em um plano perpendicular ao plano a. a professora propôs que os alunos construíssem um cubo a partir da planificação em uma folha de papel. 05. dobrando-se para cima as partes retangulares. A área da parte revestida. apoiou-se sobre a mesa a face com a letra M. descobre-se que a área da base desse prédio ocupa na avenida um espaço: (A) menor que 100 m . Esse plano contém o segmento OV. Uma empresa fabrica porta-joias com a forma de prisma hexagonal regular. 06. (C) 80x – 18x2 + x3. com uma tampa no formato de pirâmide regular. (D) entre 500 m2 e 700 m2. sendo necessário determinar a área total revestida para calcular o custo de fabricação do produto. (E) 54( 4 + 7 ). As figuras a seguir mostram dois pacotes de café em pó que têm a forma de paralelepípedos retângulos semelhantes: c D c O A B V D c O A 364 Vol. 04. As faces paralelas deste cubo são representadas pelos pares de letras E N E M B R (A) E-N. a razão entre a medida da área total do maior pacote e a do menor é igual a: (A) 3 3 . Uma caixa sem tampa é construída a partir de uma chapa retangular de metal. A parte externa das faces laterais do portajoias e de sua tampa são revestidas com um adesivo especial. com 8 dm de largura por 10 dm de comprimento. (B) 36(6 + 5 ). (D) 27(8 + 7 ). da caixa assim obtida é: (A) 80x – 36x2 + 4x3. Em uma aula de matemática. (E) maior que 700 m2. perpendicular a BC. B-M e E-R. como mostrado na figura. Após a construção do cubo. (B) 80x + 36x2 + 4x3. em reais. 2012. assinale a alternativa que apresenta o valor mais próximo. sendo 0 < x ≤ . em função do ângulo x. Suponha que alguns reparos devem ser efetuados na pirâmide. C. deslocando-se pela aresta que contém esses dois pontos.000. 3 Disponível em: <viagenslacoste. localizado em Paris. de aresta 20 cm que será entregue aos vencedores. Esse peso de papel será recoberto com placas de platina.000.000. – o volume da pirâmide ABCDV. do custo desse recobrimento: Considere 3 = 1. em radianos. na França. pela aresta que contém esses dois pontos. 2) ir de B até C. (C) 16. Para a premiação dos melhores administradores de uma galeria comercial. – x corresponde ao ângulo formado pelo segmento OV e o plano α. uma pessoa fará o seguinte deslocamento: 1) partir do ponto A e ir até o ponto B. (D) 14. construída no final da década de 1980. 4) deslocar-se de D até B.000. é: 09. em metros cúbicos.com>. é igual a y. em m3. um designer projetou um peso de papel com a forma de um tetraedro regular reto. pelo caminho de menor comprimento. Para isso. (B) 18. nas faces laterais e com uma placa de prata na base. uma pirâmide reta de base quadrada que a ilustra. y (A) 1 Figura 1 B 3 0 π 2 x C y D A (B) 1 Figura 2 3 (C) 1 Considere os pontos A. Se o preço da platina é de 30 reais por centímetro quadrado. na Figura 2. π 2 – a rotação do segmento OV é de x radianos. é um dos museus mais visitados do mundo. na Figura 1. (B) (C) (D) (E) 3a Série / Pré-vestibular 365 . deslocando-se pela aresta AB. (A) 24.Prismas e pirâmides Considere as seguintes informações: – o lado do quadrado ABCD e o segmento OV medem 1 metro. uma foto da Pirâmide de Vidro do Louvre e. D como na Figura 2. Acesso em: 29 fev. B. Uma de suas atrações é a Pirâmide de Vidro. 3) ir de C até D.blogspot. 0 π 2 x y 0 π 2 x y A projeção do trajeto da pessoa no plano da base da pirâmide é mais bem representada por: (A) (D) 1 3 π 2 x 08. e o da prata é de 50 reais por centímetro quadrado. 7. O Museu do Louvre. O gráfico que melhor representa o volume y da pirâmide. A seguir tem-se. BF. G H (A) 100. mas a área da base de uma delas é o dobro da área da base da outra. Rascunho 366 Vol. Calcule o volume do poliedro ABCDFGH. Se a pirâmide mais alta tem 100 m de altura. Determine o quociente entre o perímetro da face de maior área e o perímetro da face de menor área. No poliedro ABCDEFGH. Calcule a distância entre os pontos A e G. em metros. (E) 160. Sabe-se ainda que= AE 1. ambos na forma de pirâmides quadrangulares regulares. . CG e DH são perpendiculares ao plano que contém a face retangular ABCD conforme indica a figura. b. as arestas AE. F Exercícios Contextualizados 01. As duas pirâmides têm o mesmo volume. (C) 130.= AB DH = 4 e 2= AD 2= BF CG = 6 . Dois faraós do antigo Egito mandaram construir seus túmulos. é igual a: 02. considerando q = 2 e a área total do paralelepípedo igual a 252 m2. Numa piscina em formato de paralelepípedo.Matemática II – Módulo 22 10. Calcule o volume dessa piscina. a. (D) 150. 5 C E D A B a. b. num mesmo terreno plano. com os centros de suas bases distando 120 m. (B) 120. então a distância entre os vértices das duas pirâmides. as medidas das arestas estão em progressão geométrica de razão q > 1. Se duplicarmos a medida da aresta da base de uma pirâmide quadrangular regular e reduzirmos sua altura à metade. (C) 48. (B) é exatamente 1600 mm. A partir de quatro dos vértices de um cubo de aresta 6. (E) 216. cada uma tendo três arestas de medida 3. Figura 2 01. a seguir. (C) 208. A figura mostra um paralelepípedo reto-retângulo ABCDEFGH com base quadrada ABCD de aresta a e altura 2a em centímetros. o volume desta pirâmide: (A) será reduzido à quarta parte. foram recor tadas pirâmides triângulares congruentes. O volume do sólido obtido é: (A) 198. (D) 212. A superfície total do tetraedro regular representado na figura abaixo é 9 3 . que preenchem completamente o paralelepípedo retângulo da figura. (B) será reduzido à metade. 6 (B) 6 a . 6 Q P R S 05. (B) 204. construído com madeira maciça. é: 8 20 36 (A) 64. 5 3 6 (D) a. está com 80% de sua capacidade máxima ocupada. Exercícios Contextualizados (D) 125. H G E F (A) 4. em centímetros. O perímetro do quadrilátero é: 5 a. 3 5 (C) a. 03.Exercícios de prismas e pirâmides (I) M ódulo 23 Matemática II Exercícios de Fixação 01. do vértice A à diagonal BH vale: (A) 04. (D) será duplicado. 6 3 3 Figura 1 02. é correto afirmar que a altura da água que há neste reservatório: (A) é exatamente 15 dm. O sólido obtido após a retirada das pirâmides está representado na figura 2. (B) 90. (E) 100. conforme representado na figura 1. 5 3 30 (E) a. Um reservatório d’água na forma de um paralelepípedo reto de base quadrada e cuja altura é metade do lado da base. Com base nesses dados. (C) 6. Se fosse preciso acabar de encher este reservatório seriam necessários 500 baldes iguais cheios d’água com capacidade de 12. 3a Série / Pré-vestibular 367 . (B) 4 2 . (D) 5 3 . como indica a figura.5 m de atingir seu máximo. (D) está a 0. 2a D C a A a B A distância. Os vértices do quadrilátero PQRS são os pontos médios de arestas do tetraedro.800 mL cada. (E) aumentará quatro vezes. O número mínimo de cubos de mesmo volume e dimensões inteiras. (C) não passa de 145 cm. (E) 6 3 . (C) permanecerá inalterado. – 1/3 do seu volume (Vp) seja ocupado por um ingrediente B. ainda. fazendo a água transbordar. 2 (D) (B) 8( a + b) cubos. qual o volume da peça? (A) 640 3 cm3 . Uma metalúrgica produz uma peça cujas medidas são especificadas na figura a seguir: 2( a + b) (C) cubos. a. (D) 1.400 cm3? (A) O nível subiria 0. C e D b. B . 368 Vol. gasto somente com o papelão é aproximadamente igual a: (A) 0. (D) 320 3 cm3 . 5 A peça é um prisma reto com uma cavidade central e com base compreendida entre dois hexágonos regulares. considere: da base superior mede 120°. fazendo a água transbordar. (C) 1. Considerando que os eixos da peça e da cavidade coincidem. conforme a figura.85. 27( a + b) cubos. Suponha que o conteúdo de uma dessas embalagens em formato de um paralelepípedo reto de medidas inteiras “a”. como mostrado na figura: cm 05.2 cm de altura. (B) O nível subiria 1 cm. (B) 1280 3 cm3 .2 cm. o valor. representada na figura abaixo. tem a forma de um prisma pentagonal reto de altura igual a 5 cm. Nestas condições e considerando que c = a + b então o número de cubos de aresta x0 = 1 3 5 ab contendo um ingrediente D que ainda 3 cabem dentro do volume Vp é: (A) 3( a + b) cubos.00 por m2 e que 3 = 1. que o papelão do qual é feita a embalagem custa R$ 10.Matemática II – Módulo 23 02. (B) 0.50. fazendo a água ficar com 20. 10 cm 03. Dados estatísticos mostram que o desemprego e a violência produzida pela desigualdade social levam milhares de pessoas ao furto de alimentos dentro de supermercados. (C) O nível subiria 2 cm. Para que isso ocorra. necessitam passar por um processo de resfriamento. fazendo a água ficar com 21 cm de altura. Considere. fazendo a água ficar com 22 cm de altura. 8 Em relação ao prisma. os produtos embalados industrialmente em caixas de papelão são os alvos mais diretos para a prática desses delitos. (E) O nível subiria 20 cm. uma fábrica utiliza um tanque de resfriamento. Alguns objetos.73. – Metade do volume restante (VR) seja ocupado por um ingrediente C. A embalagem de papelão de determinado chocolate. (C) 2560 3 cm3. “b” e “c”. cada um dos ângulos A. durante a sua fabricação.50. BC e CD medem 10 cm cada. (D) O nível subiria 8 cm. 27 (E) (a + b) cubos. seja constituído do seguinte modo: 04. as arestas AB. em reais. (E) 1920 3 cm3. Em geral. conforme ilustra a figura abaixo. D C B b a A c – 1/4 do seu volume (Vp) seja ocupado por um ingrediente A.95. Na confecção de uma dessas embalagens. . 3 5 cm 4 cm 12 3 E eixo comum 25 cm 30 cm 40 cm O que aconteceria com o nível da água se colocássemos no tanque um objeto cujo volume fosse de 2. A figura abaixo representa o brinquedo Piramix. (D) 32 moldes. for retirada uma pirâmide regular cuja aresta é 1 3 da aresta do brinquedo. Um telhado tem a forma da superfície lateral de uma pirâmide regular. cada uma. Essas velas são formadas por 4 blocos de mesma altura – 3 troncos de pirâmide de bases paralelas e 1 pirâmide na parte superior –. (C) 110. de cada cabo será igual a: (A) (B) 288 313 (C) 328 (D) 400 (E) 09. torre central base da plataforma Se o dono da fábrica resolver diversificar o modelo. é correto afirmar que.Exercícios de prismas e pirâmides. As telhas para cobrir esse telhado são vendidas em lotes que cobrem 1 m2. como sugere a ilustração. O lado da base mede 8 m e a altura da pirâmide 3 m. Supondo que possa haver 10 lotes de telhas desperdiçadas (quebras e emendas). Em uma indústria de velas. a parafina é derramada em moldes em formato de pirâmides de base quadrada. (D) 216 cm3. (E) 130. 505 07. 9 (C) 7 . 08. (B) 100. (E) 540 cm3. cujo lado mede a. 2 Considerando-se essas informações. (C) 24 moldes. 9 3a Série / Pré-vestibular 369 . Ele tem a forma de um tetraedro regular. 24 m e 6 2 m e o lado da base da plataforma mede 19 2 m.(I) 06. sendo que a base superior de cada bloco é igual à base inferior do bloco sobreposto. de base quadrada. 9 (B) 5 . com cada face dividida em 9 triângulos equiláteros congruentes. o número mínimo de lotes de telhas a ser comprado é: (D) 120. Se. a partir de cada vértice. Devido aos fortes ventos. 9 (D) 8 . com a parafina armazenada em apenas uma dessas caixas. então a medida. colocando cabos de aço para melhor afixar a torre central. (A) 90. a . (B) 189 cm3. (C) 192 cm3. quanto ele passará a gastar com parafina para fabricar uma vela? (A) 156 cm3. espaçados de 1 cm entre eles. que tem 1. Se a altura e a aresta da base da torre central medem. mas mantendo o mesmo molde. em metros. unindo-os. conforme a figura abaixo. (B) 8 moldes. retirando a pirâmide da parte superior. restará um novo sólido. A razão entre as superfícies totais desse sólido e do Piramix equivale a: (A) 4 . cuja altura e aresta da base medem. enche-se um total de: (A) 6 moldes. respectivamente. com uma haste de 10. ferro passando pelo centro de cada bloco. uma empresa exploradora de petróleo resolveu reforçar a segurança de suas plataformas marítimas.5 cm de aresta na base. Uma fábrica produz velas de parafina em forma de pirâmide quadrangular regular com 19 cm de altura e 6 cm de aresta da base. Considere que os cabos ficarão perfeitamente esticados e terão uma extremidade no ponto médio das arestas laterais da torre central (pirâmide quadrangular regular) e a outra no vértice da base da plataforma (que é um quadrado de lados paralelos aos lados da base da torre central e centro coincidente com o centro da base da pirâmide). Depois de derretida. a parafina é armazenada em caixas cúbicas. Observe a figura abaixo: Rascunho 370 Vol. Para isso. originalmente em forma de um cubo. V B Considere os seguintes dados: – os vértices A e V pertencem a duas faces laterais do prisma. – BD = BE = BC = 1 m. Um joalheiro produzirá um ornamento para um pingente a partir de uma pedra preciosa. o número de faces do poliedro que constitui o ornamento. calcule: a. ele retirará de cada vértice do cubo um tetraedro cujos vértices são o vértice do cubo e os pontos médios das arestas que concorrem nesse vértice. um tetraedro regular VABC. D G E 02. Determine o volume inicial da pedra. 5 C A Considerando-se as condições apresentadas. . a fração do volume do cubo original que constitui cada tetraedro retirado. de uma pedra com a forma inicial de um prisma triangular reto de base EBD. Os tetraedros serão descartados.Matemática II – Módulo 23 F Exercícios de Aprofundamento 01. Um artesão retirou. b. Se o volume deste tronco é 35 cm3. O volume deste sólido é: 5 4 3 Figura I 20 cm 6 cm 5 5 40 cm 5 10 cm 4 3 5 Figura II x cm 20 cm 10 cm (A) 12 cm. em graus. (E) 100 3 . é formada por dois cubos. Virando-o. como mostra a figura II. construída com hastes de plástico. (B) 5 cm 3 (C) 20 cm 3 (D) 20 cm (E) 30 cm 3a Série / Pré-vestibular 371 . (E) 6 3 cm . (D) 90°. Observe o bloco retangular da figura I. A figura espacial representada abaixo. (B) 11 cm. (C) 10 cm. de vidro totalmente fechado com água dentro. (C) 50 3 . 04. podemos afirmar que o valor de x é: 03. (B) 3 2 cm . H E G F 05. 02. Considere o cubo de aresta a representado a seguir: C D A 4 3 40 cm (A) 20 3 . (C) 2 3 cm . Se as arestas dos cubos maior e menor medem. a medida de cada uma das arestas que ligam os dois cubos é: (A) 6 2 cm . respectivamente. B (D) 4 3 cm . então a altura da pirâmide que deu origem ao tronco é: A medida. cujas bases são quadrados com lados medindo 4 cm e 1 cm. 8 cm e 4 cm. A figura a seguir representa a planificação de um sólido. do ângulo AFC é: (A) 5 cm (A) 30°.Exercícios de prismas e pirâmides (II) M ódulo 24 Matemática II Exercícios de Fixação 01. Considere um tronco de pirâmide regular. (C) 60°. (B) 45°. Cada vértice do cubo maior é unido a um vértice correspondente do cubo menor por uma aresta e todas as arestas desse tipo têm a mesma medida. (B) 75. (D) 5 cm. (D) 100. (E) 6 cm. Assim. (E) 21.2125%. 0. (C) 2. (C) 60°. A fim de instalar um telão para a transmissão dos jogos de futebol da Copa do Mundo.125%.25%. (C) 12 viagens. (D) 24 viagens.425%. . A B (D) A B O Estado de S. Suponha que esse caminhão foi contratado para transportar 240 caixas na forma de cubo com 1 m de aresta cada uma e que essas caixas podem ser empilhadas para o transporte.90 m de comprimento. por sua vez. Um copo de base quadrada está com 80% de sua capacidade com água.7) (A) 0.Matemática II – Módulo 24 Exercícios Contextualizados 01. sem que a água se derrame é: 10 cm 10 cm B α (A) 4 cm A (A) 45°. o ponto em que chega o sinal da TV a cabo fica situado em A. (D) 4. (B) 30°.80 m de largura e 0. Considere um caminhão que tenha uma carroceria na forma de um paralelepípedo retângulo. Suponha que o bolo mostrado na tira a seguir apoie-se sobre um suporte circular feito de chocolate que. a parte dura que o Cebolinha mordeu diz respeito apenas a um pedaço do tampo da mesa. 372 Vol. (B) 11 viagens. 13 jan.25%. 2. A figura seguinte ilustra um salão de um clube onde estão destacados os pontos A e B. B Qual é o número mínimo de viagens necessárias para realizar esse transporte? (A) 10 viagens. (E) 27 viagens. cujas dimensões internas são 5. O maior ângulo possível que esse copo pode ser inclinado. (B) 0. A Nesse salão.1 m de comprimento. encontra-se sobre uma mesa de madeira de tampo retangular. (D) 15°. 5 Se o pedaço de madeira na fatia tem a forma de um prisma regular triangular. o volume de madeira do pedaço equivale a que porcentagem do volume do tampo da mesa? (Use 3 = 1. 2001. Paulo. (E) A 02. O menor comprimento que esse cabo deverá ter para ligar os pontos A e B poderá ser obtido por meio da seguinte representação no plano: 03. esse sinal deverá ser levado até o ponto B por meio de um cabeamento que seguirá na parte interna da parede e do teto. B (B) A B (C) 4 cm 04. cuja aresta da base mede 6 cm. cujas dimensões são 0.02 m de espessura.1 m de largura e 2.1 m de altura. 24 cm. Se a = 4b e p é o volume total da pirâmide ABCDI. 05. I 06. Prevenindo-se contra o período anual de seca. como mostra a foto. na pirâmide. é colocada num cubo de 10 cm de aresta. (C) 6 m. a é o lado da base maior.72 cm. C (A) V = 3 15 p (D) V= p 4 64 (B) V = 3 63 p (E) V= p 16 64 (C) V = 15 p 16 20 cm a. para que. cuja altura mede 10 cm e cuja base é dada conforme descrição a seguir: de um retângulo de dimensões 20 cm por 10 cm. (B) 2. então a altura atingida pela água no cubo é de: (A) 2. 08. Os vértices desse poliedro são os centros das faces do prisma.auctionserver. a quantidade média mensal de chuva na região. As ilustrações a seguir apresentam as dimensões da casa. E H b F G b D A a 10 cm B 10 cm 5 (um quinto) quando passa do estado líquido para o estado sólido. O metrônomo mecânico consiste num pêndulo oscilante. O metrônomo é um relógio que mede o tempo musical (andamento).24 cm. conforme representado na figura. deu origem a um sólido de 12 faces triangulares congruentes. depois de recolhida. (D) 4.84 cm. (mm) 300 pm 4m 10 m 2m reservatório 2m×4m×pm 200 100 Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago Set Out Nov Dez 8m (Disponível em: <oportunityleiloes. a profundidade (P) do reservatório deverá medir (A) 4 m.) Sabendo que 100 milímetros de chuva equivalem ao acúmulo de 100 litros de água em uma superfície plana horizontal de um metro quadrado.Exercícios de prismas e pirâmides (II). (C) 3. Calcule a razão entre os volumes do sólido e do prisma.net>. após ser cortado e polido. com a base fixada em uma caixa com a forma aproximada de um tronco de pirâmide. e a forma do reservatório a ser construído. ao longo de um período anual chuvoso. Um técnico agrícola utiliza um pluviômetro na forma de pirâmide quadrangular. que acumule toda a água proveniente da chuva que cair no telhado de sua casa. Um cristal com a forma de um prisma hexagonal regular. então: (D) 7 m. em milímetros. para verificar o índice pluviométrico de uma certa região. 3a Série / Pré-vestibular 373 . extrai-se em cada um dos quatro vértices um triângulo retângulo isósceles de catetos de medida 1 cm. ao congelar. b é o lado da base menor e V é o volume do tronco de pirâmide ABCDEFGH. o sorvete não transborde? 07. (B) 5 m. b. nessa embalagem. Uma empresa de sorvete utiliza como embalagem um prisma reto. a água atinge uma altura de 8 cm e forma uma pequena pirâmide de 10 cm de apótema lateral. qual deve ser o volume máximo ocupado por esse sorvete no estado líquido. (E) 6. Sabendo que o volume ocupado por esse sorvete aumenta em 1 a 09. Calcule o volume da embalagem. (E) 8 m. A água.84 cm. um agricultor pretende construir um reservatório fechado. Na representação a seguir. Se. O argumento a seguir que justifica a conclusão do artesão é: (A) Uma pirâmide de base quadrada tem 4 arestas laterais e a interseção de um plano com a pirâmide intercepta suas arestas laterais. ele concluiu que uma delas poderia ter uma das faces pentagonal. 02. (E) O número de lados de qualquer polígono obtido interceptando-se uma pirâmide por um plano é igual ao número de arestas laterais da pirâmide. (B) Uma pirâmide de base quadrada tem 4 faces triangulares e. distante 2 m dela. Rascunho 374 Vol. (C) Uma pirâmide de base quadrada tem 5 faces e a interseção de uma face com um plano é um segmento de reta. Assim. Calcule o volume do tronco de pirâmide obtido pela secção para o caso em que a aresta da base da pirâmide maior mede 3 m. 5 Exercícios de Aprofundamento 01. o polígono obtido nessa interseção tem 5 lados. obtida pela secção. divide cada face em um triângulo e um trapézio. um dos polígonos tem 4 lados. se o plano interceptar todas as faces. é igual à metade da área total da pirâmide original. Como a pirâmide tem 5 faces. (D) O número de lados de qualquer polígono obtido como interseção de uma pirâmide com um plano é igual ao número de faces da pirâmide. . Assim.Matemática II – Módulo 24 10. como ilustra a figura a seguir: D C B Determine a medida da aresta desse cubo em função de a. o polígono tem 4 lados. Após fazer um estudo das diferentes peças que poderia obter. a. b. Como a pirâmide tem 4 arestas laterais. Calcule a altura da pirâmide original. Logo. Uma pirâmide de base quadrada é seccionada por um plano paralelo à sua base. Considere o cubo de volume máximo contido em ABCD tal que um de seus vértices seja o ponto A. quando um plano intercepta essa pirâmide. ABD e ACD são triângulos retângulos cujos catetos medem a. Um artesão construiu peças de artesanato interceptando uma pirâmide de base quadrada com um plano. esses pontos formam um polígono de 4 lados. o polígono tem 5 lados. A área total da pirâmide menor. A pirâmide ABCD é tal que as faces ABC. 2 Cilindro reto As geratrizes são perpendiculares aos planos das bases. pelo seu lado BC. cone e esfera M ódulo 25 Matemática II 1. Definição de cilindro ©IStockphoto. Neste módulo.com/DNY59 Você sabe como comparar o volume de dois copos? Quando precisamos escolher apenas por impressões visuais em que copo cabe mais líquido dentro.Cilindro. como dizemos na matemática. 2.: Todas as seções transversais de um cilindro são congruentes. Classificação 3. os copos. denominamos cilindro um sólido formado pela reunião de todos os segmentos paralelos a r que possuem um dos extremos em um ponto qualquer do círculo C e o outro extremo em b. h α g=h Ex. pois um copo baixinho de grande diâmetro pode armazenar muito mais conteúdo que um copo convencional. geralmente. Altura: É a distância entre as bases. já que. para facilitar o ato de beber. S O’ r β C’ A’ O cilindro reto é também chamado de cilindro de revolução. por ser gerado pela rotação completa de um retângulo por um de seus lados.1 Cilindro oblíquo 3..: R O rC A rotação do retângulo ABCD. A reunião de todas as geratrizes constitui a superfície lateral do cilindro. Obs. Sendo α e b dois planos paralelos. g 3a Série / Pré-vestibular 375 . B É a região determinada pela interseção do cilindro com o plano paralelo às bases. possuem formato arredondado nas bordas. vamos aprender a calcular o volume exato dos mais variados tipos de copos ou. é possível que nossa intuição falhe. A B g=h D D C C O segmento BC contém o centro das bases e é o eixo do cilindro.1 Seção transversal As geratrizes são oblíquas aos planos das bases. Geratriz: É o segmento paralelo a r que possui as extremidades nas circunferências das bases. Seções 2. 2. gera o seguinte cilindro: A r A Elementos: Base: São os círculos congruentes que estão situados nos planos a e b. de corpos arredondados em geral. são obtidos sólidos equivalentes.: Dado um motor com 4 cilindros. AT = AL + 2AB = 2pRh  AT = 2pR(h+R) 5. podemos distinguir dois tipos de superfícies: a lateral e as bases. 1. que se um cilindro possui a mesma área da base e a mesma altura de um prisma. Em um cilindro. cada um com 399. logo: Vtronco = pr2 · d Alateral do tronco = 2pr · d .14 d = diâmetro do cilindro C = curso do pistão no interior do cilindro 376 Vol. Cada explosão aciona um mecanismo que impulsiona o giro do motor. Ex. por exemplo.600 c. AB = pR2 Área total: É a soma da área lateral com as áreas das bases. aproximadamente 1. nada mais são que as referências indicativas de que temos um motor de 1. 5  d  = n ⋅π ⋅  4   o Sabe-se. que os números que acompanham o nome dos carros. é possível obter um cilindro reto de mesmo volume e de mesma área lateral com raio r e altura d.2 Seção meridiana 4. definimos como cilindrada o volume interno de todos os cilindros do motor.8 ou 2.6 L. Seção meridiana AL = 2pR · h Área da base: É a área do círculo de raio R. de Vcilindro = Vprisma: Vcilindro =ABh Vcilindro = pR2 · h Tronco de cilindro Tronco de cilindro é o sólido limitado por uma superfície cilíndrica e duas seções não paralelas.Matemática II – Módulo 25 3. r r d 2 d r Podemos observar que a medida d é a base média entre a geratriz máxima e a geratriz mínima.8 L ou 2 L. então.0. Portanto. Entendemos.5 cm3 = 1.c.6. Portanto.598 cm3 Logo. podemos calcular a cilindrada aplicando: Vcilindrada Em que: no = número de cilindros do motor π = 3. Volume Você sabe como é indicada a cilindrada de um motor? Os motores a álcool ou a gasolina funcionam devido às explosões da mistura ar-combustível que ocorrem no interior dos cilindros. Base r r h Planificação Superfície lateral h 2π r Base r Área lateral: É a área do retângulo de dimensões 2pR e h que forma a superfície lateral. Portanto.6 litros ou 1. 1. 1. temos: 4 · 399. Áreas do cilindro circular reto É a região determinada pela interseção do cilindro com um plano que contém o eixo. Dado um tronco de cilindro circular de raio r e sendo d a distância entre os centros das seções (eixo).5 cm3. pelo Princípio de Cavalieri. Cilindro, cone e esfera 6. Cilindro equilátero 8. Classificação Todo cilindro cuja seção meridiana é um quadrado (altura igual ao diâmetro da base) é denominado cilindro equilátero. Observando a inclinação do eixo de rotação do cone VO em relação ao plano da base, um cone pode ser classificado como cone oblíquo ou cone reto. ( ) Cone oblíquo – VO é oblíqua ao plano da base. V h = 2r 2r 2r h AL = 2pR · 2R  AL = 4pr2 O AT = AL + 2AB = 4pr2 + 2pr2  AT= 6pR2 Cone reto – VO é perpendicular ao plano da base. Logo: VO = h. V = AB · h= pR2 · 2R  V = 2pR3 q V 7. Definição de cone Dados um círculo C, contido num plano a, e um ponto V (vértice) fora de a, chamamos de cone circular o conjunto de todos os segmentos VP, P ∈ C. G A O g h V h r O q R V a Elementos: Base: é o circulo contido no plano a. Vértice: é o ponto V. Geratriz: é o segmento com uma extremidade no ponto V e a outra num ponto da circunferência. A reunião de todas as geratrizes constitui a superfície lateral do cone. Raio da base: R. Eixo de rotação: é a reta determinada pelo centro do círculo e pelo vértice do cone VO . Altura: é a distância do vértice (V) ao plano (a) da base. ( ) g h O r r Sendo h a altura, g a geratriz e r o raio da base, num cone reto vale a seguinte relação: g2 = h2 + r2 Obs.: O cone reto é também denominado cone de revolução, pois pode ser gerado pela rotação completa de um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos. 3a Série / Pré-vestibular 377 Matemática II – Módulo 25 Eclipse: o sumiço dos astros Um dos fenômenos que mais amedrontavam os povos antigos era o desaparecimento momentâneo da Lua e do Sol. Hoje, sabemos que os eclipses se explicam pelo princípio da propagação retilínea da luz. Sol Terra penumbra projetada Eclipse da Lua cone da sombra Como a Terra é um corpo opaco, enquanto os raios do Sol iluminam uma região, a outra fica totalmente escura. Ali, onde é noite, se forma o chamado cone de sombra. Quando a Lua passa pelo cone, ela “desaparece” totalmente. Eclipse do Sol penumbra projetada Sol Terra Quando a Lua se desloca entre a Terra e o Sol, este fica “escondido” para um observador que esteja no cone de sombra da Lua. O eclipse pode ser total, parcial ou, ainda, anular. cone da sombra 9. Seções 9.1 Seção transversal 9.2 Seção meridiana É a região determinada pela interseção do cone com o plano paralelo à base. É a região determinada pela interseção do cone com um plano que contém o eixo de rotação. V O B A A seção meridiana é um triângulo. Cone original A seção transversal é um círculo. 378 Vol. 5 Obs.: No cone reto, a seção meridiana é um triângulo isósceles, cuja base é o diâmetro da base do cone e os lados congruentes são duas geratrizes. Cilindro, cone e esfera 10. Áreas de um cone reto Área lateral = p · R · 2R ⇒ AL = 2p · R2 Em um cone, podemos distinguir dois tipos de superfícies: lateral e base. V V Volume = AB ⋅ h π ⋅ R2 ⋅ R 3 π ⋅ R3 ⋅ 3 ⇒ ⇒V = 3 3 3 13. Cones semelhantes Planificação g Área total = AL + AB ⇒ 2p · R2 + p · R2 ⇒ AT = 3p · R2 g Ao seccionar um cone por um plano paralelo ao plano de sua base, determina-se outro cone, menor e semelhante ao primeiro, de modo que: h R b Área lateral: é a área de um setor circular cujo raio é g (geratriz) e cujo comprimento do arco é 2pR (perímetro da base). Então: Comprimento do arco C’ H Área do setor 2pg → pg2 2pR → AL B Logo: AL = p · R · g C Área da base: é a área do círculo de raio R. • as geratrizes e a altura sejam divididas na mesma razão: AB = p · R2 g′ h = = k g H Área total: é a soma da área lateral com a área da base. AT = AL + AB = p · R · g + p · R2 ⇒ AT = p · R(g + R) • a seção obtida e a base sejam figuras semelhantes. 11. Volume Sabemos, pelo Princípio de Cavalieri, que se um cone possui a mesma área da base e a mesma altura de uma pirâmide, temos sólidos equivalentes. Portanto, A ⋅h Vcone = Vpirâmide = B 3 Vcone = Área C′ = k 2 Área C 12. Cone equilátero Todo cone cuja seção meridiana é um triângulo equilátero (geratriz igual ao diâmetro da base) é denominado cone equilátero. triângulo equilátero 2r 2r 2r r r Relação de área Lembrando que a razão entre as áreas de duas figuras semelhantes é igual ao quadrado da razão de semelhança, temos: π ⋅ R2 ⋅ h 3 g = 2r Logo, podemos definir as seguintes relações: Relação de volume 1 ⋅ Área C′ ⋅ h VolumeC′ 3 = = k2 ⋅ k 1 Volume C ⋅ Área C ⋅ H 3 Volume C′ = k 3 Volume C seção meridiana cone equilátero 3a Série / Pré-vestibular 379 Seção plana Quando seccionamos um cone por um plano paralelo ao plano da base (veja ilustração do item 13). Portanto. concluímos que a planificação da superfície lateral de um cone equilátero é um semicírculo. 5 p2 meridiano . • O volume é a diferença entre os volumes dos cones. por meio das seguintes “regras de três”: q ____ 2pr 360° ____ 2pg ⇒ 360°⋅R θ = ⇒ θ = 180° 2R Portanto. Portanto. Tronco de cone de bases paralelas 16. • A área lateral é a diferença entre as áreas laterais do cone maior e o menor. 180° V g q g ou q ____ 2pr 2p ____ 2pg 2pr 2pg g V q = 360° · r g superfície lateral q = 2pr ⇒ g 2pr Ex. r a medida do raio da seção e d. temos: 15. podemos afirmar que toda seção plana de uma esfera é um círculo. dividimo-lo em dois sólidos: um cone menor de vértice V e altura h. nessa ordem. r R2 = d2 + r2 (Teorema de Pitágoras) 17. A esfera é o sólido gerado pela rotação completa de um semicírculo de centro O e raio r em torno da reta e (eixo) que contém o seu diâmetro. com d > 0. a distância do plano a ao centro O da esfera. Analisando o tronco. Portanto. A seção plana pelo centro da esfera determina o círculo máximo da esfera. Definição de esfera O plano secante O a Vtronco = Vgrande – Vpequeno e secção plana e p1 polo r O paralelo O Equador polo 380 Vol. Podemos determinar sua medida angular em graus. o ângulo central correspondente à superfície lateral denomina-se ângulo de abertura do cone.: Determine o ângulo de abertura de um cone equilátero: Ângulo ^ q→ 360° → base Comprimento do arco 2pR ⇒ 2πR θ = ⇒ θ g = 360° ⋅ R 360° 2πg r 2pg 14. observamos que: É a região determinada pela interseção de uma esfera com um plano perpendicular ao eixo. ou em radianos. temos: Como já sabemos. é o conjunto do espaço cuja distância ao centro é menor ou igual ao raio r. Elementos da esfera e r R d Sendo R a medida da esfera.Matemática II – Módulo 25 Ângulo de abertura Como g = 2R. • A área total é a soma de sua área lateral com as áreas de suas bases. e outro que é chamado de tronco de cone. a planificação da superfície lateral de um cone reto é um setor circular. Longitude A longitude é a distância ao meridiano de Greenwich medida ao longo do Equador. a longitude e a altitude. A2. e os vértices se encontram no centro da esfera. Volume da esfera 19.. Polos: são as interseções da superfície com o eixo. Área da superfície esférica Consideremos uma esfera de raio r e um cilindro equilátero também de raio r que possui no seu interior dois cones com bases nas bases do cilindro e com vértices no ponto médio do eixo do cilindro. Equador: é a interseção da superfície esférica com um plano perpendicular ao eixo. cone e esfera Eixo: é a reta que passa pelo centro da esfera. An. Logo.. Latitude A latitude é a distância ao Equador medida ao longo do meridiano de Greenwich. A altitude num ponto da Terra é a distância na vertical à superfície terrestre. cujas áreas são A1. Meridiano: é a circunferência de uma seção. igual ao raio da esfera. cujo plano passa pelo eixo. Essa distância mede-se em graus.Cilindro. a reunião de um número enorme de pirâmides congruentes cuja altura é.378 km. podendo variar entre 0° e 180° para leste ou para oeste. temos: 4 3 1 πR = R ⋅ A⇒ A = 4 πR 2 3 3 3a Série / Pré-vestibular 381 . 25° S Latitudes 18. . aproximadamente. podemos provar pelo Princípio de Cavalieri que: Imagine uma esfera como sendo. Meridiano de Greenwich ou de zero grau de longitude 40° W 20° E 20° W 0° 50° N Paralelos Equador A escala das longitudes é traçada sobre a linha do Equador 25° N Meridianos Equador 0° N Altitude Para medirmos a altura de um ponto sobre a Terra.. Essa distância mede-se em graus. definimos a Terra como sendo uma esfera de raio 6. no limite. podendo variar entre 0° e 90° para norte ou para sul. Paralelo: é a circunferência de uma seção paralela ao equador. O r O’ r a Vesfera = Vcilindro – Vdois cones Vesfera = pR2 · 2R – 2 · Vesfera = 4 3 πR 3 1 · pR2 · R 3 2r Digamos que a superfície esférica tenha ficado dividida em n polígonos. A3. Quando apoiados em um plano a. Coordenada de localização de um ponto na Terra A posição de um ponto sobre a Terra é referenciada em relação ao Equador e ao meridiano de Greenwich e traduz-se por três números: A latitude. o volume da esfera é dado por: 1 1 1 V = A1 ⋅ R + A2 ⋅ R + … + An ⋅ R 3 3 3 1 V = R ( A1 + A2 + … + An ) 3 A: superfície esférica 4 3 Como o volume da esfera é V = πR 3. R a a a r 2R a a 2 R r secção secção a r= 2 R= Esfera inscrita em um cubo V a Esfera circunscrita a um cubo V a 3 2 O M M O a 2 a 6 secção 6 Esfera inscrita em um octaedro regular r= 382 Vol.AF ⇒ 4 3 360° ---------. Volume da cunha É a superfície gerada pela rotação de um ângulo a de uma semicircunferência em torno de um eixo que contém seu diâmetro. πR 3α Vc = 270° Uma esfera está circunscrita a um poliedro se.1 Fuso esférico É um sólido gerado pela rotação de um ângulo a de um semicírculo de raio R em torno de um eixo que contém o seu diâmetro.2 Cunha esférica 20. tangencia todas as faces do poliedro. Área do fuso e e e e Cunha esférica Fuso esférico R R R R a a 2 360° ---------. e somente se. Nesse caso também se diz que o poliedro está circunscrito à esfera. Fuso e cunha 20.4 πR a ---------.Vc ⇒ Inscrição e circunscrição de uma esfera Esfera e poliedros Uma esfera está inscrita em um poliedro se. Nesse caso também se diz que o poliedro está inscrito na esfera.Matemática II – Módulo 25 20. todos os vértices do poliedro pertencem à superfície da esfera. e somente se. 5 A A a 3 2 r r a 3 2 R D a a 2R D B C B secção R= a 2 2 Esfera circunscrita a um octaedro regular C .π R 3 AF = πR 2α 90° a° ---------. representado num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais. V V h = 2r O’ r 2 Esfera circunscrita a um cilindro circular reto Esfera inscrita em um cilindro circular reto h R R r r O h O O O’ M h 2R O r r 2R – h g R h = = h−r r g−R O’ V’ r2 = h(2R – h) Esfera circunscrita a um cone circular reto Esfera inscrita em um cone circular reto Exercícios de Fixação 01 O retângulo ABCD seguinte. Nesse caso também se diz que o cone está inscrito na esfera. o vértice e todos os pontos da circunferência da base do cone pertencem à superfície da esfera. obtém-se um sólido de revolução cujo volume é: C eixo O volume desse cilindro é de: (A) 250 cm3. e somente se. B = (4. tangencia todas as geratrizes e as bases do cilindro (ou a base do cone). π 3a Série / Pré-vestibular 383 . y A B B A O D C (A) 24p. π (C) 625 cm3. 8). 0) e D = (2. cone e esfera Esferas e corpos redondos Uma esfera está inscrita em um cilindro (ou em um cone) se. (E) 96p. Nesse caso também se diz que o cilindro está inscrito na esfera. (C) 36p. Nesse caso também se diz que o cilindro (ou o cone) está circunscrito à esfera. as circunferências das bases do cilindro estão contidas na superfície da esfera. (D) 48p. e somente se. Uma esfera está circunscrita a um cilindro circular reto se. a área da base é igual à área de uma seção por um plano que contém o eixo do cilindro. π 500 (B) cm3. R 2r O r O’ r O h O’ r secção (2R) = (2r) + h 2 r O’ r secção plana V g–R g h–r R R h T r O 2 Uma esfera está circunscrita a um cone se.Cilindro. tal como a seção ABCD na figura a seguir. é tal que A = (2. (B) 32p. 8). D x Girando esse retângulo em torno do eixo das ordenadas. Em um cilindro de 5 cm de altura. π 125 (D) cm3. C = (4. 02. e somente se. 0). 4 = 1183 ) . de quanto o raio deve ser aumentado percentualmente: (Dado: 1. 4 02. B 6 (D) 72p. da área da base desse cone é: (A) 144p. C (A) 11.blogspot. José possui.0. Para satisfazer as condições dadas. fundo e com centro da base coincidindo com o centro do fundo da piscina. (C) 215. conforme a figura. conforme figura. E m u m p a r q u e aquático existe uma piscina infantil na forma de um cilindro circular Ilha de lazer reto. 06. uma fossa sanitária de forma cilíndrica. após a construção dessa ilha. quando planificada. . de 1 m de profundidade e volume igual a O R 12 m3. (D) 237. em centímetros quadrados. o raio máximo da ilha de lazer r. Supondo que José queira aumentar em 40% o volume de sua fossa. (C) 108p. gerando uma esfera de volume V. corretamente. 5 Disponível em: <veronicauerj.7. r Deseja-se construir uma ilha de lazer seca no interior dessa piscina. estará mais próximo de: (A) 1. Um círculo de raio R gira em torno de seu diâmetro. em metros. 04. então o volume dessa esfera é: (A) 36p cm3. com raio de 1 metro e profundidade de 3 metros. então o volume da esfera é aumentado em: (A) 100.5%. cuja base estará no Considere 3 como o valor aproximado para π. (E) 36p.8%. Na rotação do triângulo ABC da figura a seguir em torno da reta r. (D) 3.0%.0%. (E) 3.0%. (B) 256π cm3 . cuja base tem um raio R e centro O. (C) 2. torna-se um setor circular de 12 cm de raio com um ângulo central de 120 graus. 4 m3. No Paraná. Piscina também na forma de um cilindro circular reto. já que o índice de tratamento de esgoto é de apenas 53%. Seja S uma seção de uma esfera determinada pela interseção com um plano. (C) 36p. 05. (B) 72p. (E) 71. Acesso em: 28 mar. Dessa forma. no mínimo. assinale a alternativa que apresenta. o espaço destinado à água na piscina tenha um volume de. o sólido obtido tem volume: r Exercícios Contextualizados 01. Se S está a 3 cm do centro da esfera e tem área igual a 16p cm2. (D) 16p cm3. Observe a charge a seguir.2%. 3 384 Vol. A superfície lateral de um cone circular reto. (adaptado). (C) 18.6. (B) 144p. A medida. O raio da ilha de lazer será r. quase metade das residências no estado ainda joga esgoto em fossas.com>. o lado AB descreve um ângulo de 270°.Matemática II – Módulo 25 03. Deseja-se que. (B) 125. 2012.0%. 03. (B) 14.0%. em sua residência. Se o raio do círculo é aumentado em 50%. (D) 16p.8. 3 (C) 100p cm3. ou seja. S (D) 60. A (A) 48p. a situação do saneamento público é preocupante.3%.0. (B) 1. (E) 500π cm3 . é correto afirmar que. A empresa apresenta um orçamento discriminando o custo unitário e as dimensões. a economia da fábrica com o material utilizado será de: Use: 07. ao fazer as embalagens em formato de cilindro.00. em formato de um prisma reto. (B) 27. de: Use: p = 3. (A) 6. uma criança virou-o sobre uma superfície horizontal. Depois de encher de areia um molde cilíndrico. é correto afirmar que o valor. cuja base é um quadrado de lado 10 cm. Uma prefeitura possui modelos de lixeira de forma cilíndrica.40. 2m 4m 06.7 m acima do nível da carroceria do caminhão.) (A) 17.960.600. aproximadamente: (Dados: 3 ≅ 1. O modelo de cisterna pedido no processo tem a forma de um cilindro com uma cobertura em forma de cone. a ser gasto pela prefeitura na construção das 100 cisternas será. 77. (D) a capacidade de cada lixeira ficou 3 vezes maior. (D) 202. com a mesma forma e outras dimensões. (D) 13. cone e esfera Considerando que as toras de madeira no caminhão são cilindros circulares retos e idênticos. A empreiteira vencedora estipulou o preço de 40 reais por m2 construído. Para diminuir o desperdício de material. (B) o custo de cada lixeira ficou em R$27. 3 Considerando que a construção da base das cisternas deve estar incluída nos custos. (C) a área lateral mede 25p cm2. a areia escorreu. de baixo custo e não poluente. 08. Para fazer uma compra adicional. A prefeitura de certo município realizou um processo de licitação para a construção de 100 cisternas de placas de cimento para famílias da zona rural do município.6%. então a carga do caminhão corresponde a um volume de madeira. Esse sistema de armazenamento de água é muito simples. (B) 7.520. (E) 15. (B) a área da base mede 50p cm2. sem tampa. (C) 9. medindo 20 cm de altura. da altura do cilindro. tomando por base a área externa da cisterna. 05. pois: (A) o custo de cada lixeira ficou em R$21. (E) 213. 3a Série / Pré-vestibular 385 . quando planificado.4%. A prefeitura só vai adquirir as novas lixeiras se a capacidade de cada uma for no mínimo dez vezes maior que a do modelo atual e seu custo unitário não ultrapassar R$20. e que a altura da carga é de 2. 2R R A altura do cone formado pela areia era igual a: 3 4 1 (B) 2 2 (C) 3 1 (D) 3 (A) da altura do cilindro. conforme a figura abaixo. com raio medindo 10 cm e altura de 50 cm.2%. fornece um semicírculo com 10 cm de raio.1. haveria uma economia de material usado. pode-se dizer que: (A) o raio da base mede 10 cm. Após a retirada do molde. (E) 54. no máximo. em reais. em metros cúbicos de.60. da altura do cilindro. (C) 37.00.6. da altura do cilindro. com 10 m de comprimento. (C) o custo de cada lixeira ficou em R$32. 04. (C) 140. (E) capacidade de cada lixeira ficou 9 vezes maior.5.4. técnicos da fábrica avaliaram que.5 m π = 1.2.20 para cada 100 cm2. (D) 46. 2.) O orçamento dessa empresa é rejeitado pela prefeitura. (Adote p igual a 3. com o raio sendo o triplo do anterior e a altura aumentada em 10 cm. Uma fábrica produz embalagens metálicas fechadas.888. O custo de cada lixeira é proporcional à sua área total e o preço do material utilizado na sua fabricação é de R$0. 7 e p ≅ 3. Sobre o cone que representa o formato do chapeuzinho. se as embalagens fossem produzidas em formato de um cilindro fechado.3. (D) a geratriz mede 5 cm.5%. Um chapeuzinho distribuído em uma festa tem a forma de um cone circular reto e. Com base nessa avaliação. solicita à empresa fabricante um orçamento de novas lixeiras.5%. (E) o volume é 125 3π 3 cm . formando um cone cuja base tinha raio igual ao dobro do raio da base do cilindro.14 (A) 100.880. com a mesma altura e mesmo volume da embalagem em formato de prisma. (B) 125.Cilindro. (A) 43 π 2 42 π 2 cm . (B) 25. 76. os volumes dos sólidos obtidos são: (A) 20. O conjunto. 11. como mostra a figura 2. Para confeccionar um porta-joias a partir de um cubo maciço e homogêneo de madeira com 10 cm de aresta. (C) 8 cm. Suponha que sobre o vasilhame seja fixado um funil na forma de um cone circular reto de raio da base de 5 cm e altura de 6 cm. composta de 12 gomos exatamente iguais. (D) 35. (B) 43 π 2 cm . mas também em virtude da anatomia do assoalho pélvico).Matemática II – Módulo 25 09. (E) 40. Considere que uma laranja tem a forma de uma esfera de raio 4 cm. sendo H a distância da superfície do álcool até o fundo do vasilhame. de modo que seus centros ficassem localizados no cruzamento das diagonais da face de corte. um marceneiro dividiu o cubo ao meio. (B) 7 cm. igual a: eixo de rotação eixo de rotação eixo de rotação eixo de rotação Ao girar cada um dos triângulos. completamente cheia. 3 9 (C) 1 V e 4 V . 5 5 cm 30 cm e 5 cm 10 cm . Um aluno gira um retângulo em torno do eixo que contém um de seus lados e calcula o volume V do sólido obtido. 3 3 4 5 (D) 3 4 5 10. 12. é virado para baixo. (E) 43p cm2. 386 (D) 12 cm. A incontinência urinária. BREWER. apesar de poder afetar pessoas de qualquer idade. (E) 18 cm. em cm. conforme mostra a sequência de figuras. (C) 30. (D) cm . Sua bexiga é um saco muscular elástico que pode segurar até 500 mL de fluido. tende a ficar mais comum à medida que envelhecemos. (A) 1 V e 2 V. pode-se afirmar que o círculo máximo dessa esfera seria delimitado por uma circunferência de comprimento. 13. ele traça a diagonal do retângulo e o separa em dois triângulos. em torno do mesmo eixo de rotação. no entanto. 2 Volume do cone: Vcone = πr h 3 5 cm 10 10 cm 6 cm Fundo do vasilhame H cm 30 cm 6 cm 5 cm Figura 1 Figura 2 Considerando essas informações. conforme ilustra a figura 1. Depois. qual é o valor da distância H? (A) 5 cm. 6 6 (C) 42 π 2 cm . como mostra a figura. ela também é mais comum em mulheres que em homens (principalmente por causa do parto. Vol. Um vasilhame na forma de um cilindro circular reto de raio da base de 5 cm e altura de 30 cm está parcialmente ocupado por 625p cm3 de álcool. paralelamente às duas faces horizontais. A superfície total de cada gomo mede: (B) 1 V e 3 V . 9 1 5 V e V. Considerando que a bexiga. De cada paralelepípedo resultante extraiu uma semiesfera de 4 cm de raio. fosse uma esfera e que p = 3. 2013. p. onde estabelece o terceiro acampamento. 50[. determine a distância entre o terceiro acampamento e o Polo Norte. (D) [75. 25[. A fração do volume da Terra ocupada por essa camada está entre: 1 1 e . por minerais metálicos. (E) 5 4 1 1 (C) e . acredita-se que uma dessas camadas é formada. (E) 638. 100[. respectivamente. (C) 630. a superfície do caroço apresenta uma área de: (C) 169π cm2. 2. Um grupo de cientistas parte em expedição do Polo Norte e percorre 200 km em direção ao sul. P Uma formiga percorreu o caminho mais curto sobre a superfície S. e por duas partes. Após três dias. o grupo parte em viagem e percorre 200 km em direção ao norte.350 km Segundo modelos sísmicos. Supondo que a superfície da Terra seja perfeitamente esférica. encontra-se no intervalo: (A) [0. 4 2 1 2 e . 2 3 2 3 e . se preferir). a massa aproximada do porta-joias. 75[. predominantemente. 01. em gramas. em cm 3. Desprezando a espessura da casca e considerando que o raio da esfera referente à fruta inteira é de 12 cm. uma fluida e outra sólida.2 cm. Justifique sua resposta (faça um desenho. Após algum tempo. (C) [50. A 14.85 g/cm3 e admitindo p ≅ 3.Cilindro. (D) 8 5 1 1 (B) e . tal como mostra a figura seguinte. 3 4 15. onde instala o segundo acampamento para experimentos. o grupo percorre 200 km em direção ao leste. (D) 196π cm2. 125[. onde estabelece um primeiro acampamento para realizar experiências.8 cm e 7. Uma fruta em formato esférico com um caroço também esférico no centro apresenta 7/8 de seu volume ocupado pela polpa. 2 1 C 7 10 cm 6. A figura a seguir representa um modelo esquemático aproximado para a estrutura interna da Terra em camadas concêntricas. partindo do ponto P para chegar ao ponto Q. (B) [25. é: (D) 632. Exercícios de Aprofundamento Considerando p = 3. Após mergulhar um ovo em um copo de água de bases (inferior e superior) circulares de diâmetros 4. Considere a superfície cilíndrica S obtida a partir da superposição dos segmentos AB e DC do retângulo ABCD indicado a seguir. 3a Série / Pré-vestibular 387 . (B) 144π cm2. (E) [100. Determine o comprimento desse caminho. o volume aproximado do ovo. devido à altíssima pressão. um estudante registrou uma elevação no nível de água de 6 cm para 8 cm. em altas temperaturas. indicando as profundidades aproximadas das transições entre as camadas. 03. 220 km (A) 1 5 B 0 km 130 km D 1 Q 8 cm (A) 636. cone e esfera Sabendo que a densidade da madeira utilizada na confecção do porta-joias era de 0. da superfície ao centro.900 km (A) 121π cm2. 6 cm 02. (B) 634. em qualquer caso. (B) 30p. sua área lateral? (A) 20p. (D) Duplicar o raio e reduzir a altura à metade. (C) 32p. o valor mais próximo da capacidade do reservatório. 02. 3 (D) 50p. (D) 16p. (C) 40p. (E) 90. 03. 2 V . (B) 10. a base inferior do cubo de aresta a está inscrita na base superior do cilindro circular reto de altura a. do raio do cilindro original é: (A) 12. Duas esferas de raio r foram colocadas dentro de um cilindro circular reto com altura 4r. como na figura a seguir. em centímetros quadrados. é: (A) 50. (B) 60. Na figura a seguir. (B) (C) (D) O diâmetro da base e a altura do cilindro medem. (E) 8p. Considere um cilindro circular reto que tem 4 cm de altura. e o 4 3 volume de uma esfera de raio r é π r 3 . 2 3a 3 . cada um. (A) 1 1 . Qual das propostas a seguir pode ser utilizada para duplicar o volume de um cilindro modificando seu raio da base e sua altura? (A) Duplicar o raio e manter a altura. (E) 4. 05. 388 Vol. em centímetros. a razão entre o volume do cilindro não ocupado pelas esferas e o volume das esferas é: (A) 64p. 4 dm. (E) 60p. Se o comprimento da circunferência dessa base é 8p cm. A distância entre o vértice V do cubo e o centro da base inferior do cilindro é igual a: (A) 5 a 3 . (D) 80. em litros. conforme representado na figura a seguir. (E) . Dentre as opções a seguir. (B) 48p. 5 2 (B) 1 2 . Um reservatório tem forma de um cilindro circular reto com duas semiesferas acopladas em suas extremidades. (D) . é: Nessas condições. em centímetros cúbicos. Um cone circular reto tem altura de 8 cm e raio da base medindo 6 cm. A medida. 06. 2 3a 2 . (B) Aumentar a altura em 50% e manter o raio. raio da base r e espessura desprezível. 04. cilindros de volumes iguais. Aumentando-se indiferentemente o raio da base ou a altura desse cilindro em 12 cm. Qual é. (C) 8. (E) Duplicar a altura e reduzir o raio à metade. (C) 70. 5 (E) 2 5 a 2 . (D) 6. então o volume do cone. 2 a 3 . A altura de um cone circular reto mede o triplo da medida do raio da base. obtém-se.Exercícios de cilindro. (C) Aumentar o raio em 50% e manter a altura. Exercícios Contextualizados 01. cone e esfera (I) M ódulo 26 Matemática II Exercícios de Fixação 01. 4 3 (C) 1 . 5 toneladas. é feito de uma folha circular de raio 30 cm.5 t metros. (E) Todas as afirmativas são falsas. O número mínimo dos referidos cortes necessário para forrar 50 chapéus é igual a: (A) 3. (E) 72 cm. se no recipiente ela alcançou 200 mm de altura? II.5 m3. Para revestir externamente chapéus em forma de cone com 12 cm de altura e diâmetro da base medindo 10 cm. no formato de um cone circular reto. é: (A) 140p. é utilizada uma tinta cujo rendimento é de 200 gramas por m2.2 cm. (D) 20 m3. cone e esfera (I) 02.5 centímetro. é necessário aproximadamente 0. III. (E) 120p. sólidos de revolução resultam da rotação de figuras planas em torno de um eixo. cujas dimensões são 67 cm por 50 cm. constatou-se. em cm2. (A) 1.34p cm2 maior que a do círculo interno. (A) 12 m.2 toneladas. analise as proposições a seguir: I. Com base nessas informações. (D) 6 m. 09. Qual é a altura que a água havia alcançado no pluviômetro. (E) 22. 06. (C) 8 m. (B) 110p. cuja circunferência da base mede 24p cm. Uma indústria de tonéis produz 4. A espessura dessa moeda é igual a 1. Calculando a quantidade de tinta consumida a cada mês. é depois colocada em um recipiente também cilíndrico. 07. encontramos um valor próximo de: Observação: Utilize o valor da constante p = 3. (C) 17. (A) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras. O volume de metal necessário para cunhar a região situada entre os círculos concêntricos da moeda de R$1. (D) Todas as afirmativas são verdadeiras.6 cm. Moeda de R$0. (C) 3. Para pintar a superfície lateral desses cilindros. Assinale a alternativa correta: (D) 7. 3a Série / Pré-vestibular 389 . (C) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras. 08.50. 05. (B) 12 cm. A área da base do chapéu.800 kg. Considerando um lustre de formato cônico com altura e raio da base iguais a 0.00 e a de R$0. A figura ilustra duas moedas brasileiras. Girando-se as figuras a seguir em torno da haste indicada. a de R$1. (E) 5 m.069p cm3 de metal a mais que para cunhar uma moeda de R$0. A área entre os círculos concêntricos da moeda de R$1.00 é aproximadamente 0.500 kg.25 m H (distância) Moedas brasileiras Moeda de R$1.8 cm e o diâmetro do círculo menor é igual a 1. a distância do chão (H) a que se deve pendurá-lo para obter um lugar iluminado em forma de círculo com área de 25p m2 é de: 0. Após t horas do início de um vazamento de óleo de um barco em um oceano.8 cm. A espessura dessa moeda é igual a 3 mm. Admita que todo o tecido de cada corte poderá ser aproveitado. (B) 15 m3. (E) 2.00 – As faces da moeda são compostas por dois círculos concêntricos.000 unidades mensais. 03.Exercícios de cilindro.1725p cm3. (B) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras. durante uma chuva torrencial. recortando-se um setor circular de ângulo ^ a = 2p/3 radianos e juntando-se os lados.5 m3. (C) 1.50 descritas a seguir. a formação de uma mancha com a forma de um círculo cujo raio r varia com o tempo 30 0. (D) 6.5 m3.25 m.2 cm.00. (A) 1.50 – As faces da moeda são compostas por um círculo de diâmetro igual a 2. Assim como na relação entre o perfil de um corte de um torno e a peça torneada.14.900 kg. (B) 10 m. serão utilizados cortes retangulares de tecido.2 cm. (C) 5.5 mm . A água colhida por um pluviômetro cilíndrico de 40 cm de diâmetro. Um chapéu. Para cunhar uma moeda de R$1. podemos afirmar que o volume de óleo que vazou entre os instantes t = 4 horas e t = 9 horas foi de: (A) 12. (B) 4. Esses tonéis são cilindros equiláteros de 1 metro de altura. obtêm-se os sólidos de revolução que estão na coluna da direita. O diâmetro do círculo maior é igual a 2. ao redor da embarcação.00 é 0. (D) 100p. 04. Desprezando a área ocupada pelo barco na mancha circular. (B) 1. (C) 130p. A espessura da mancha ao t mediante a função r( t ) = π longo do círculo é de 0. (D) 2. o tempo necessário para que isso ocorra com o reservatório cônico será de: (A) 2 h. nesse dia. 3 12. (D) 1D. 4C.com/>. no alto da cidade. o prefeito da cidade resolveu montar um projeto para que. (D) 50 min. ficou determinado que a medida do raio da caixa-d’água deve ser de 4 metros. ou seja. um cilíndrico e outro cônico. Nesse dia. 2B. sobretudo aqueles caracterizados por tecnologias de ponta. de mesmo raio R. 5E. Com base nas informações anteriores. a prefeitura abastecesse todas as casas. (E) 1D. (B) 1B. 2C. cada uma delas com uma caixa-d’água. Assim. 2D. 2 (C) 3πR 2 . conforme ilustra o esquema: 1 A 4 D A 2 B B 5 E C 3 A correspondência correta entre as figuras planas e os sólidos de revolução obtidos é: (A) 1A. A ideologia dominante também se manifesta por intermédio do acesso aos produtos do mercado. 390 Vol. 3A. Na fotografia abaixo. (C) 1 h. 4A. uma grande caixa-d’água no formato de um cilindro que consiga abastecer todas as 156 caixas-d’água da pequena cidade. semestralmente. 2E. (E) 30 min. (D) 25 m. um corte de água durante um dia. A cidade possui 156 casas. estão totalmente vazios e cada um será alimentado por uma torneira. No desenho a seguir.Matemática II – Módulo 26 Quando duas bolhas unidas possuem o mesmo tamanho. 4D. 10. – 62 são no formato de um cubo de aresta 10 dm. O “cubo magnético” é um brinquedo . 4 (D) 4 πR 2 . 4B. 3E. Acesso em: 15 ago. 4E.themarysue. 3B. – as restantes são no formato de um paralelepípedo de 10 dm × 20 dm × 50 dm. (A) 20 m. As caixas são de diferentes formas: – 33 delas são no formato de uma semiesfera de raio 2 m. a parede de contato entre elas é plana. 5A. Disponível em: <http://www. encher completamente todas as caixas-d’água da cidade. é feita uma manutenção na rede de água. 2014. 3D. Utilize p = 3. 5 (C) 28 m. 5C. O projeto consiste em construir. e cada morador aproveita para lavar sua caixa-d’água. observam-se duas bolhas de sabão unidas. Se o reservatório cilíndrico leva 2 horas e meia para ficar completamente cheio. (B) 22 m. 5C. ambas de mesma vazão. Considere duas bolhas de sabão esféricas. determine a altura h da caixa-d’água a ser construída pela prefeitura. utilizando caminhões-pipa. 5A. capaz de abastecer. (C) 1B. considerando que não haverá perda de água na transferência para o caminhão e para as caixas e que o cilindro construído ficará vazio após abastecer toda a cidade. (B) 1 h e 30 min. unidas de tal modo que a distância entre seus centros A e B é igual ao raio R. 11. Em uma pequena cidade do interior de Minas. 13. A parede de contato dessas bolhas é um círculo cuja área tem a seguinte medida: (A) π R2 . No projeto. 2 (B) 3πR 2 . é realizado. 3C. dois reservatórios de altura H e raio R. 2E. (B) 26. como mostra a figura a seguir. cone e esfera (I) constituído por 216 esferas iguais e imantadas. 2012. tem-se. José decidiu adotar medidas que auxiliam na preservação de recursos naturais. 2014. vazada por 12 partes iguais. Ao assistir a uma reportagem na TV sobre o impacto do crescimento demográfico nos recursos hídricos.Exercícios de cilindro. O globo da morte é uma atração muito usada em circos. para a construção do planetário da UFSM. o qual tem o formato de um cilindro circular reto. com aresta igual a 30 mm. qual a quantidade mínima de latas de tinta necessária para pintar toda a cobertura do planetário? (Use p = 3. percorrendo uma circunferência que passa pelos pontos A e B.) (A) 20. em cujo interior motoqueiros andam com suas motos. (D) . Acesso em: 29 fev. A Figura 2 Figura 1 Na figura 2. na figura 1. na figura 2.com. (D) 52. B Disponível em: <http://www. Acesso em: 15 ago.baixaki. Oscar Niemeyer foi um arquiteto brasileiro considerado um dos nomes mais influentes na arquitetura moderna internacional. Exercícios de Aprofundamento 01. 5 2 π (C) . as quais são aproximadas por semicírculos de raio 3 m. uma esfera que ilustra um globo da morte. a razão entre o volume total das esferas que constituem o “cubo magnético” e o volume da caixa que lhe serve de depósito é: (B) (E) (C) π π 6 3 π π (B) . (E) . o ponto A está no plano do chão no qual está colocado o globo da morte e o segmento AB passa pelo centro da esfera e é perpendicular ao plano do chão. 15. Sabendo que uma lata de tinta é suficiente para pintar 39 m2 de área. (E) 60. 3a Série / Pré-vestibular 391 .panoramio.com>. 4 (A) . Ele contribuiu. Ele construiu um reservatório para captação de água da chuva e também instalou um aquecedor solar em sua residência. 14. uma foto de um globo da morte e. Supondo que esse brinquedo possa ser colocado perfeitamente ajustado dentro de uma caixa.br>. também no formato de um cubo. com a doação de um croqui. o Sr. Suponha que há um foco de luz direcionado para o chão colocado no ponto B e que um motoqueiro faça um trajeto dentro da esfera. Disponível em: <www. Ele consiste em uma espécie de jaula em forma de uma superfície esférica feita de aço. (C) 40. um marco arquitetônico importante da cidade de Santa Maria. A seguir. A imagem do trajeto feito pelo motoqueiro no plano do chão é mais bem representada por: (A) (D) Suponha que a cobertura da construção seja uma semiesfera de 28 m de diâmetro. O sistema de aquecimento solar é composto de coletores solares (placas) e um reservatório térmico chamado boiler. respectivamente.5. Posteriormente. determine a distância de P ao centro O do círculo.Matemática II – Módulo 26 T BOILER (reservatório térmico) h B O coletores solares Por sua vez. tangentes ao círculo da base do cone nos pontos A e B. após a retirada das esferas. 02. foi escolhido e construído um reservatório para a captação de água da chuva na forma de um prisma reto cuja base é um quadrado. (D) 25. Duas esferas metálicas maciças de raios iguais a 8 cm e 5 cm são colocadas. a: (A) 10. b. (C) 14. a área lateral do prisma (reservatório) é igual ao dobro da área lateral do cilindro (boiler). Nesse recipiente despeja-se a menor quantidade possível de água para que as esferas fiquem totalmente submersas. simultaneamente. determine a área da sombra projetada pelo cone. no interior de um recipiente de vidro com forma cilíndrica e diâmetro da base medindo 18 cm.6.0. (B) 12. Sabe-se que: I. como ilustrado a seguir. Utilizando-o. corresponde. o lado da base do prisma (que corresponde ao reservatório) mede 2 metros e o raio da base do cilindro (que corresponde ao boiler) mede 1/2 metro. c. como mostra a figura. Um cone circular reto de raio r = 3 e altura h = 2 3 é iluminado pelo sol a um ângulo de 45°. A altura da água. em cm. II. estabeleça o valor da razão (volume do reservatório)/(volume do boiler). determine o ângulo AÔB. Com base nas considerações apresentadas. Com base nessas informações: a. Rascunho 392 Vol. redija um texto que relacione o volume do reservatório e o volume do boiler. .4. as esferas são retiradas do recipiente. 5 r C 45° P A A sombra projetada pelo cone é delimitada pelos segmentos PA e PB. 03. aproximadamente. sempre. 3. A probabilidade de ocorrer algum evento E é definida por: P(E) = n(E) n ( A) .com/Iakov Filimonov Você sabe quanto vale o seguro da sua vida? O seguro de vida. como morte. invalidez etc. Ao realizarmos um experimento aleatório. um valor chamado prêmio de seguro à seguradora. No entanto. 2. Em termos práticos. dois conjuntos traduzem nossa expectativa: um. Essa impossibilidade de prever o resultado se deve ao que chamamos de acaso. 5 ou 6. A empresa define o prêmio de seguro de um contrato após cuidadosa análise dos riscos envolvidos. pelos resultados que queremos ver acontecer. Em um contrato de seguro de vida. 2. 6}. Todo experimento cujo resultado depende exclusivamente do acaso. é chamado de experimento aleatório. Busca-se. o evento é um conjunto formado pelos resultados cuja ocorrência desejamos observar. 2. Caso ocorra um evento previsto no contrato. • a distribuição das cartas de um baralho. surgiu com as grandes navegações. respectivamente. onde n(E) e n(A) indicam o número de elementos de E e A. Espaço amostral e evento ©iStockhpoto. as seguintes definições: • Espaço amostral: Ao conjunto W formado por todos os resultados possíveis de um experimento aleatório damos o nome de espaço amostral. caso houvesse um fracasso no empreendimento (um naufrágio. Nesse módulo. 4. 3a Série / Pré-vestibular 393 . se em um jogo lançarmos um dado e nosso sucesso depender da obtenção de um número maior que 4. que pode ser em forma de renda estabelecida por um período de tempo. 6}. 5. por exemplo).Probabilidade: introdução M ódulo 22 Matemática III ©iStockphoto. e no conjunto {5. paga-se de tempos em tempos.com/Shenki 1.1 Definição de probabilidade Seja A um espaço amostral finito e não vazio e E um evento de A. não podemos garantir o resultado que irá ocorrer. nos fixamos no conjunto {1. um subconjunto do primeiro. formado por todos os resultados possíveis da experiência. invalidez e acidentes na população comparada à população total.: • Os lançamentos de dados ou moedas. assim. É claro que o segundo conjunto será. Ex. 3. por exemplo. tomam-se as frequências de eventos como morte. 2. Experimento aleatório Quando lançamos um dado e observamos o número obtido na face superior. então. vamos entender o princípio básico de probabilidades como essas e como se chegar a um valor que valha a pena para a seguradora assumir um risco. que descreve o que queremos que aconteça. Era inicialmente uma forma de os investidores das expedições marítimas recuperarem parte do dinheiro. da forma como o conhecemos hoje. Assim. formado pelos resultados que desejamos observar. Para esse fim. outro. • Evento: Damos o nome de evento a qualquer subconjunto do espaço amostral. com a finalidade de observar a ocorrência de determinado tipo de resultado. 4. compensar uma invalidez de um pai de família. que descreve tudo que pode acontecer. Adotamos. • sorteios em geral. o cliente então recebe um montante em dinheiro da empresa. sabemos que o resultado poderá ser 1. temos: 1o dado 2o dado x y ↓ ↓ 6 6 possibilidades: Ex. (1. 37 ©iStockhpoto. 6} ⇒ nW = 6.1 ≤ y ≤ 6}. nΩ 6 2 ©iStockhpoto. a probabilidade desse aluno ter exatamente 15 anos é: Número de alunos 60 de 6 a 8 anos de 9 a 11 anos 40 de 12 a 14 anos de 15 a 17 anos 20 0 394 Vol. n(E) 2 Exercícios Resolvidos 01. 6). qual a probabilidade de ocorrer soma 7? Solução: O resultado de um lançamento de dois dados é um par ordenado. pois o espaço amostral é E = {cara. (IFSP) O gráfico representa o número de alunos de uma escola distribuídos por idade. (3:4). P ( A) = nA 3 1 = = . 6)} ⇒ nE = 6. então 0 ≤ n(E) ≤ n(A). 3.com/ronstik b. Logo. Dividindo os três membros por n(A). nΩ 6 3 02. sendo P(E) = 0 quando E = ∅ e P(E) = 1 quando A = E. 5 Idade (anos) . O evento ocorrer número primo é representado pelo conjunto A = {2. No lançamento de dois dados diferentes. portanto. o espaço amostral do experimento pode ser assim descrito: W = {(x. Ex. (4. 2 n ( A) 1 P ( A) = = . 2: Roleta é o jogo de azar em que o número premiado é indicado pela parada de uma pequena bola em uma das 37 casas.Matemática III – Módulo 22 Em outras palavras. Logo. 2. Qual a probabilidade de. x ∈ . Dessa forma. y). (2. 6} ⇒ nB = 2. Se um aluno dessa escola é escolhido ao acaso. temos: n ( E ) n ( A) 0 ≤ ≤ . 5). O evento ocorrer número maior do que 4 é representado pelo conjunto B = {5.com/frankpeters é P ( B) = Logo. A probabilidade de ser premiado um número maior que 10 26 . numeradas de 0 até 36. 5} ⇒ nA = 3. 5. No lançamento de uma moeda. a probabilidade de obter a face cara é 1 . n ( A) n ( A) n ( A) 0 ≤ P(E) ≤ 1. P ( A) = nA 6 1 = = nB 36 6 03. coroa} e. obtermos: a. nW = 6 · 6 = 36. 3. 5). Para o cálculo de nW. no lançamento de um dado. número primo? b. a. (2. número maior do que 4? Solução: O espaço amostral do lançamento é: W = {1. Logo. 1: a. Observe ainda que como E ⊂ A. 4. y ∈  | 1 ≤ x ≤ 6. O evento ocorrer soma 7 é representado por: E = {(1. probabilidade é o quociente do número de “casos favoráveis” sobre o número de “casos possíveis”. P ( B ) = nB 2 1 = = . 3). Sabe-se que os alunos com exatamente 15 anos correspondem à quinta parte do grupo de idade a que pertencem. ou seja. (C) 52%. 02. Escolhendo ao acaso um habitante desse país. a probabilidade pedida é P ( F ∩ S ) = 260 = 0. 5 ( A) Portanto. 5 Probabilidade envolvendo áreas (B) 4 . então P ( A) = Ex. o número de mulheres é o quádruplo do número de homens. qual é a probabilidade de se obter uma lâmpada queimada? (A) 20%. (C) 10%. Entre os funcionários de uma empresa. um funcionário dessa empresa. Portanto. 22 milhões têm menos de 25 anos de idade e 18 milhões têm mais de 22 anos. onde o espaço amostral é uma região S e o evento se dá numa região A ⊂ S . dos 500 alunos de uma escola. 5 10 (C) 2 . (B) 30%. Escolhendo. 500 03. conforme mostra a ilustração: Solução: De acordo com o gráfico. (E) 56%. (D) 35%. 50 Para o cálculo de probabilidades. Retirando dessa caixa uma lâmpada ao acaso. área de S Um alvo de dardos é formado por três círculos concêntricos que definem as regiões I. Uma caixa contém 36 lâmpadas queimadas e 84 lâmpadas perfeitas. 180 45 04.Probabilidade: introdução (A) 2 . 290 já se vacinaram contra a febre amarela. II e III. qual é a probabilidade dele ter tomado as duas vacinas? região I região II região III Se o círculo maior possui raio 10 e o círculo menor raio 2. O número de alunos com exatamente 15 anos é 1 ⋅ 40 = 8. 52. Montando o diagrama de Venn. Escolhendo um desses alunos ao acaso. Uma pesquisa constatou que. 15 (C) 2 . temos: Febre Sarampo x 290 – x 01. 350 já se vacinaram contra sarampo e 120 não tomaram nenhuma dessas vacinas. (B) 50%. 45 área de A . π ⋅ 102 Exercícios de Fixação Solução: Chamemos de x o número de alunos que tomou as duas vacinas. qual é a probabilidade de ele ter mais de 22 anos e menos de 25 anos? 3a Série / Pré-vestibular 395 . a probabilidade pedida é dada por: P= 8 2 = . 9 9 (D) . 5 120 290 + 350 – x + 120 = 500 ⇔ x = 260. qual a probabilidade de ser uma mulher? 350 – x (A) 1 4 .: (E) 2 . 5 5 (B) 3 3 . (D) 54%. (D) . (E) . qual a probabilidade de acertar no círculo menor? Solução: P = (A) 48%. aleatoriamente. o número total de alunos dessa escola (espaço amostral) é: 30 + 60 + 50 + 40 = 180. Em um país de 30 milhões de habitantes. (E) 40%. π ⋅ 22 = 4% . Em seguida. Temperatura dos pescados nas peixarias 3 (C) 10 1 .0 12 04. no biênio 2004/2005. (B) 17 (D) 13. (B) 1/15. (D) 5 . nas rodovias federais. se for escolhido aleatoriamente. A e B. aleatoriamente. e sete. (A) 1 . (B) 25%.Matemática III – Módulo 22 1 4. 5 (C) 3 . Em uma classe do ensino médio. Com isso. 5 . uma bola da sua urna para a de Geraldo.br>. (E) 48%. A probabilidade dessas duas pessoas escolhidas pertencerem ao grupo das que pretendem fazer intercâmbio no Chile é: (A) 1/5. Cada urna contém uma bola de cada uma das seguintes cores: azul. (A) . (A) 1 . (E) 3/7. obteve este gráfico: Vol. Tânia e Geraldo têm. (D) 5 5 1 (B) 25%. 04. (C) 28%. 05. ao acaso. uma urna contendo cinco bolas. Ao final das transferências. (C) 1/45. na Espanha. três pessoas pretendem fazer intercâmbio no Chile.5 1 . (D) 3/10.9 6 2. durante os meses de janeiro. 14. cada um. Em uma turma de um curso de espanhol. 20 romances e 40 comédias.3 3 0 I II III IV V Associação Brasil de Defesa do Consumido (adaptado). Escolhendo um desses alunos ao acaso. 5 (E) 1. De acordo com os dados. a probabilidade de que as duas urnas tenham sua configuração inicial é: 2 6 1 . 48 romances e 32 comédias. qual é a probabilidade de que ele seja leitor de jornal e de revista? (A) 22%. 5 05. O ideal é que esses peixes sejam vendidos com temperaturas entre 2°C e 4°C. 3 5 (C) 1 . 17 (E) 12 . e os estrangeiros se distribuem em 50 policiais. °C 15 1 4 . Geraldo transfere. 3 (C) 2 . preta. aproximadamente. A cada 34 atropelamentos. 5 10. Exercícios Contextualizados 01. As bolas são distinguíveis umas das outras apenas por sua cor.2 9 (D) 31%. para investigação mais detalhada. O gráfico apresenta resultados de um estudo acerca da temperatura de peixes frescos vendidos em cinco peixarias. 17 396 8. Disponível em: <www. Calcule a probabilidade de o escolhido ser um filme policial ou um filme nacional. Tânia transfere. a probabilidade de ter sido um atropelamento sem morte é: (A) 2 . um dos atropelamentos ocorridos no biênio 2004/2005. Uma pessoa escolheu. 4 03. Uma das principais causas da degradação de peixes frescos é a contaminação por bactérias. (E) . um a cada duas horas. verde. Dentre essas dez pessoas. 3 (A) 02. ocorreram 10 mortes.ipea. branca e roxa. (B) 1 . os atropelamentos com morte ocuparam o segundo lugar no ranking de mortalidade por acidente. (D) 2 6 (B) 1 1 . Os filmes nacionais se distribuem em 10 policiais. Um colecionador possui em sua videoteca filmes nacionais e estrangeiros. Dados do Instituto de Pesquisas Econômicas Aplicadas (IPEA) revelaram que. uma bola da sua urna para a de Tânia. Uma loja acompanhou o número de compradores de dois produtos. . (E) . a probabilidade dela vender peixes frescos na condição ideal é igual a: 1. 2009. fevereiro e março de 2012. Selecionando-se aleatoriamente uma das cinco peixarias pesquisadas. (D) 5 5 (B) 2 . 5 3 . Acesso em: 6 jan. ao acaso. 48% leem revista e 10% não leem jornal nem revista. (E) 2 (C) . um desses filmes para assistir. precisamente 64% dos alunos leem jornal. Cerca de 4 mil atropelamentos/ano. foram escolhidas duas para uma entrevista que sorteará bolsas de estudo no exterior.gov. seguida pela cor preta. que deveriam ser inferiores a 31°C. que mostra a relação entre três redes sociais da internet e a quantidade de usuários. 25 Se o sorteio de um prêmio fosse realizado em junho de 2013 entre os usuários do Twitter na Argentina.06 14. . para uma das regiões: Rural.Número de compradores Probabilidade: introdução 90 80 70 60 50 40 30 20 10 10 . (B) 1 . segundo dados de junho de 2013. com 16% e a branca. (D) . (B) 1 . (D) 25 50 17 . Rafael mora no Centro de uma cidade e decidiu se mudar. Qual a probabilidade de que os dois sorteados tenham feito suas compras em fevereiro de 2012? 6 (A) 1 . Segundo uma pesquisa realizada no Brasil sobre a preferência de cor de carros. dentre todos os carros brasileiros de uma dessas quatro cores citadas. (C) 22 06. por recomendações médicas.slideshare. 5 07. Com base nessas informações. (E) 17 21 (C) 17 . Número de usuários de redes sociais em milhões de pessoas Argentina Brasil Chile 11. uma das outras regiões para morar. (D) 80 3 13 1 . 09. qual a probabilidade de que o sorteado seja brasileiro? 3a Série / Pré-vestibular 397 . a cor prata domina a frota de carros brasileiros. Observe a tabela a seguir. Tais temperaturas são apresentadas no gráfico: Perfil da ilha de calor urbana °F 92 91 90 89 88 87 86 85 °C 33 32 31 30 Rural Comercial CENTRO Residencial Residencial urbano suburbano Escolhendo. o jogador ganha 3 pontos a cada resposta correta e perde 5 pontos a cada resposta errada.5 6. Brasil e Chile. qual a probabilidade dele não ser cinza? (A) 4 37 . a probabilidade de que ela seja uma das que tiveram resposta incorreta é de: (A) 2 1. 7 (C) 10 .2 Windows Live profile 3. com 12%. (E) 4 12 60 A B 30 20 20 10 0 Janeiro Fevereiro Março A loja sorteará um brinde entre os compradores do produto A e outro brinde entre os compradores do produto B.75 24. 15 242 5 . Em certo jogo de perguntas e respostas. (A) 1 . .net>. depois a cinza.44 Facebook Disponível em: <www.4 12 1. tomando um carro ao acaso. aleatoriamente. representando 31%. (B) 4 . (D) 5 5 3. 3 3 (C) 2 . Paulo respondeu 30 perguntas e obteve um total de 50 pontos. (D) 5 6 (B) 1 1 . Residencial urbano ou Residencial suburbano. a probabilidade dele escolher uma região que seja adequada às recomendações médicas é: 3. com 25%. Selecionando-se aleatoriamente uma das perguntas feitas a Paulo. (A) 1 .7 Twitter 2. A principal recomendação médica foi com as temperaturas das “ilhas de calor” da região.6 1. (E) . Comercial. (E) . 3 08. 25 20 7 3 (B) . (E) 4 4 (C) 2 . Brasil ou Chile. que acessam essas redes na Argentina. em milhões de pessoas. porque acertou acertou 2 dos chutes. existem 12 vagas numeradas de 1 a 12. porém deve-se levar em conta quantos chutes a gol cada um teve oportunidade de executar. o piloto observou que exatamente 8 das 12 vagas estavam ocupadas. já que os dois jogam na mesma posição? A decisão parece simples. Considere uma população de igual número de homens e mulheres. isto é. 5 9 dos chutes. 1 5 (D) 21 21 1 1 (B) (E) 8 4 3 (C) 21 (A) 02. ele converteu 45 chutes em gol. 12 dos chutes. 55 . 55 55 (B) 2 6 . Grandes times nacionais e internacionais utilizam dados estatísticos para a definição do time que jogará em uma partida. 3 (C) O jogador I. 10 11 12 (A) 1 4 .Matemática III – Módulo 22 10. porque acertou II acertou 2 dos chutes. o jogador II acertou 50 gols. Indique a probabilidade de que seja mulher uma pessoa daltônica selecionada ao acaso nessa população. em que sejam daltônicos 5% dos homens e 0. porque acertou acertou 3 dos chutes. distintas da vaga 1 e da vaga 12.25% das mulheres. (D) . (E) . 3 dos chutes. Quem deve ser selecionado para estar no time no próximo jogo. Exercícios de Aprofundamento 01. Um piloto estacionou sua aeronave em uma vaga que não se encontrava nas extremidades. enquanto o jogador 25 2 3 ... nos últimos treinos. incluindo a vaga na qual sua aeronave estacionou. enquanto o jogador II 3 3 dos chutes. porque acertou II acertou 2 dos chutes. quem deveria ser escolhido? (A) O jogador I. conforme a figura. dos chutes a gol feito pelo jogador I. 3 (B) O jogador I. Se o jogador I chutou 60 bolas a gol e o jogador II chutou 75. 55 55 (C) 3 . Por exemplo. porque acertou acertou 2 dos chutes. enquanto o jogador II 4 4 dos chutes. 5 Rascunho 398 Vol. enquanto o jogador II 4 2 (D) O jogador I. Após estacionar. Determine a probabilidade de que ambas as vagas vizinhas à sua aeronave estejam vazias. enquanto o jogador 25 1 3 (E) O jogador I. Enquanto isso. Em um aeroporto. Na maior parte das vezes você terá não uma. em situações nas quais queremos calcular a probabilidade de pelo menos um dentre vários eventos acontecer. Portanto. 2.Probabilidade: união de eventos (ou) M ódulo 23 Matemática III 1. P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) . n (Ω) o u s e j a . E é denominado evento complementar de E em relação a A. tem-se: ∩ Se A e B são dois eventos quaisquer de um experimento aleatório de espaço amostral W. então n ( A ∪ B ) = n ( A) + n ( B ) − n ( A ∩ B ). diz-se que os eventos A e B são mutuamente exclusivos. Para participar de uma rodada. De modo mais simples. =∅ Obser ve que E E = Ω e que E ∩ E = ∅ . Dividindo os membros da igualdade por n(W). ou ainda P n ( A) n ( A) n(E) ( E ) + P ( E ) = 1 . fazemos uniões de eventos. mas duas pontas pra escolher onde pôr sua peça. tem-se: E () n ( E ) n ( E ) n ( A) + = . Probabilidade da união de eventos W ©iStockphoto. 3a Série / Pré-vestibular 399 . Dividindo a equação por n(A). Representaremos por E a negação do evento E. Probabilidade de não ocorrer um evento B A E n ( A ∪ B) n (Ω) = n ( A) n (Ω) + n ( B) n (Ω) − n ( A ∩ B) . Na matemática. n ( E ) + n E = n ( A) . pode-se () dizer que a probabilidade de não ocorrer A é P E = 1 − P ( E ) . vamos estudá-las com mais profundidade. e as chances de passar a vez logo no começo são bem menores. pode-se dizer que E e E são eventos complementares. você terá sete peças. Neste módulo. cada peça (ou pedra) possui dois números de 0 a 6. Quando A ∩ B = ∅ . você precisa ter alguma peça que se encaixe em algum dos dois extremos existentes na mesa.com/Photographer: Jacom Stephens Quais as chances de você passar a vez na primeira rodada de um jogo de dominó? No dominó. ou seja. Se for a primeira rodada. E = {x ∈ A |x é bola azul ou amarela}. 4 pelo menos duas pessoas que tenham o mesmo dia de aniversário é de 1 − 365 ⋅ 364 ⋅ .Matemática III – Módulo 23 Ex. consideremos o evento: E = {x ∈ A |x é bola vermelha} Negando o evento E. azuis e vermelhas. Se A é o espaço amostral desse experimento. ou seja. A tabela a seguir dá. ⋅ ( 366 − r ) 365 r . 3 1 Escolhe-se aleatoriamente uma bola de um conjunto contendo bolas amarelas.. qual é a probabilidade de haver pelo menos duas pessoas que façam aniversário no mesmo dia? 30 71% 40 89% Solução: Vamos determinar a probabilidade de que isso não aconteça. 5 365 ⋅ 364 ⋅ . é mais provável haver duas pessoas com o mesmo aniversário do que todas aniversariarem em dias diferentes.. r probabilidade 5 3% 10 12% 15 25% 20 41% 23 51% 25 57% Em um grupo de r pessoas. 1: bola vermelha}.. A probabilidade de o aluno acer tar será P ( E ) = () probabilidade de ele errar será P E = 3 . é muito provável que haja 2 alunos que fazem aniversário no mesmo dia do ano? Justificaremos resolvendo o problema abaixo. para alguns valores de r. ⋅ ( 366 − r ) 365 r . a probabilidade de haver coincidência de aniversários. e a de haver 1 . na sua sala de aula. tem-se E. Em um grupo de 23 pessoas. 2: Um aluno chuta uma questão de múltipla escolha que contém 4 opções de resposta. 2 Ex. . e a 4 O resultado é surpreendente.. com uma única correta. que será E = {x ∈ A |x não é ©iStockphoto.com/mediaphotos Você sabia que. A probabilidade de não haver pelo menos duas pessoas que façam 45 94% aniversário no mesmo dia é de 400 Vol. 20 20 d. Solução: b. para três faixas etárias: Idade em anos Probabilidade de morte De 20 a 29 0. Seja o evento D = {ocorre máquina manual usada}. O evento A = {ocorre máquinas novas} tem 75 casos favoráveis. disparam simultaneamente sobre um alvo.961 ≈ 92. determine a probabilidade de ele: a.015 De 30 a 39 0. d.985 probabilidade de a pessoa viver de 20 a 29 anos · 0. etc. em determinada região. vem: P( C ) = 1 = P( C) = 1 − 9 11 ⇒ P( C ) = . • A probabilidade de André acertar o alvo é de 80%. Assim.Probabilidade: união de eventos (ou) Exercícios Resolvidos 01. Esses indicadores auxiliam áreas dos setores público e privado. esses estudos apresentam dois indicadores importantes: a expectativa de vida e a probabilidade de morte. Como existem 45 máquinas que são elétricas e novas. o IBGE (Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística) faz projeções socioeconômicas sobre a população brasileira.021 De 40 a 49 0. 100 4 Expectativa de vida Periodicamente. As empresas que trabalham com seguro de vida.039 Com as probabilidades de mor te nessas faixas etárias consecutivas. 40 2 = . 100 10 Observando que o evento não ocorre máquina manual usada é o 1 9 ⇒ P( D ) = . podemos calcular a probabilidade de uma pessoa de 20 anos. por exemplo. A probabilidade de morte entre duas idades inteiras. Qual a probabilidade de André acertar e Bruno errar o alvo? d. precisam saber qual é a probabilidade de o segurado morrer durante o período de vigência do seguro. • A probabilidade de Bruno acertar o alvo é de 60%. x e x + n. temos ( A) isto é. é o quociente entre o número de óbitos ocorridos entre as pessoas dessas idades e o número de pessoas vivas na idade x. Qual a probabilidade de André errar o alvo? b. nA = 75. Para exemplificar. P= 45 9 = . Escolhendo um estojo ao acaso.7% probabilidade de a pessoa viver de 40 a 49 anos Exercícios de Fixação 01. Qual a probabilidade de Bruno errar o alvo? c. 100 5 10 1 = . isso exigirá maiores investimentos na área de saúde ao idoso. não conter uma máquina manual usada. O evento B = {ocorre máquina manual} tem 40 casos favoráveis. Qual a probabilidade de os dois errarem o alvo? 3a Série / Pré-vestibular 401 . A tabela a seguir dá o número de máquinas de calcular existentes em um escritório. vem: P( D ) = 1 − P( D) = 1 − 75 3 = . estar viva aos 49 anos do seguinte modo: P = 0. segundo suas características. Seja o evento C = {ocorre máquina elétrica nova}. Então. Elétricas Manuais Novas 45 30 Usadas 15 10 conter uma máquina nova. Obser vando que o evento não 100 20 = nc 45 = e P( C) ocorre máquina elétrica nova é o complementar de C. a. Temos nD = = = e P( D) 10 e nD 10 O espaço amostral dessa experiência é o conjunto W de todas as máquinas. André e Bruno. Então. P= ( B) c. isto é. 10 10 complementar de D. Entre outros resultados. não conter uma máquina elétrica nova.979 probabilidade de a pessoa viver de 30 a 39 anos · 0. c. consideremos a tabela abaixo. que mostra o estudo da probabilidade de morte. vemos na tabela que nW = 100. Todas as máquinas estão embaladas em estojos iguais. Pergunta-se: a. Dois atiradores. b. A expectativa de vida (ou esperança de vida ou vida média) é o número médio de anos que um indivíduo de idade x esperaria viver a partir dessa idade. em anos. moradora dessa região. Se a região apresenta alto índice de expectativa de vida. terá reflexos na previdência social. nB = 40. conter uma máquina manual. pelo menos.00 R$ 6. Se o valor do primeiro dado for estritamente menor que o do segundo dado. 1998. uma das partidas é igual a: (A) 1/36. (C) 0. 1 2 a probabilidade de que tenha mais de uma vaga de garagem é 2 . os vendedores analisaram o histórico desses clientes e montaram a tabela abaixo. 25 ago. ao acaso. fechará a meta do mês. a probabilidade de que o jogador A vença. Para estimular sua equipe comercial. ou mais. caso seja aceita pelo cliente. (B) 4 doses.000.922 pessoas em 71 402 Vol.00 A vida na rua como ela é Fred R$ 20.00 R$ 2. Cliente de Frequência com que fecha negócio Edu 3 a cada 5 propostas apresentadas Fred 3 a cada 10 propostas apresentadas Gil 3 a cada 4 propostas apresentadas 5 . O médico oferece tratamentos compostos por 3. 03. 12 Calcule a probabilidade de esse apartamento ser da Zona Sul ou ter mais de uma vaga de garagem. o jogador A vence. Nessas condições. numeradas de um a seis. 8 ou 10 doses do medicamento. do vencimento do prazo de validade é de 95% e 98%. 6. o valor que falta para cada um vender na última semana de um determinado mês para atingir a meta. 03. (D) 63/64. Admitindo eventos independentes. em seis partidas válidas.00 Gil R$ 15. (C) 1/64. dois produtos. Retiram-se duas bolas simultaneamente dessa urna. a probabilidade de pelo menos uma delas ser falsa é: (A) 4%. a probabilidade de que seja da Zona Sul e tenha mais de uma vaga de garagem é Cada vendedor tem uma última proposta pendente que.00 R$ 3. (D) 36%. (B) 7%.000. (E) 10%. a cada dose administrada há uma chance de 10% de que o paciente sofra algum dos efeitos colaterais observados no estudo. e 3 A probabilidade de que o apartamento escolhido seja da Zona Sul é . (B) 35/36. (C) 6 doses. a probabilidade de que um produto da marca A e um produto da marca B estejam a dez dias. 5 04. uma empresa define metas de negócios de acordo com a região que cada vendedor atende. Suponha haver uma probabilidade de 20% para uma caixa de Microvlar ser falsificada. (E) 1/6. (D) 1%. aleatoriamente. Na tabela estão apresentadas as metas mensais dos vendedores de três regiões e.000. Exercícios Contextualizados 01. e os dados são lançados novamente. (E) 13%. . respectivamente. Um cliente escolheu. (C) 20%. o lançamento é considerado inválido. 02. Um consumidor escolhe. Uma urna contém 4 bolas pretas e 6 bolas vermelhas. qual é o maior número admissível de doses para esse paciente? (A) 3 doses. Para estimar as chances de fechar esses negócios. 4. um apartamento para visitar dentre os apartamentos disponíveis para venda em uma imobiliária. O Dia.000. Vendedor Meta mensal Valor que falta para atingir a meta Edu R$ 12. Em caso de valores iguais. (D) 11%.01%. tendo sido ouvidas 31.001%. a probabilidade de que ambos os produtos escolhidos estejam a menos de dez dias do vencimento do prazo de validade é: (A) 0. Se um paciente considera aceitável um risco de até 35% de chances de que ocorra algum dos efeitos colaterais durante o tratamento.00 O Ministério do Desenvolvimento Social e Combate à Fome (MDS) realizou. Com duas caixas. de acordo com o risco que o paciente pretende assumir.Matemática III – Módulo 23 02.1%.000. vence o jogador B. (C) 9%. Com base nessas informações. um da marca A e outro da marca B. vômitos ou mesmo agravamento dos sintomas da doença. (B) 16%. 04. (B) 0. Qual a probabilidade de haver pelo menos uma bola preta? 05. Um médico está estudando um novo medicamento que combate um tipo de câncer em estágios avançados. (D) 8 doses. respectivamente. No entanto. (E) 10 doses. devido ao forte efeito dos seus componentes. Sempre que o primeiro dado lançado tiver um valor (face para cima) estritamente maior que o valor do segundo dado. Um dado jogo consiste no lançamento de dois dados não viciados de seis faces cada. em parceria com a ONU. Em um supermercado. tais como dores de cabeça. uma pesquisa nacional sobre a população que vive na rua. a probabilidade de que nenhum dos vendedores consiga fechar a meta é: (A) 5%.000. 25 eram defeituosos. a probabilidade de que ela não aplique em caderneta de poupança nem em fundos de investimento é: (A) 0. (E) 52%. (C) 20%. Sorteando uma pessoa desse grupo. são jogados simultaneamente. (C) regular.05. Nesse levantamento. (C) 0. concorrendo aos cursos de Matemática e de Computação.Probabilidade: união de eventos (ou) cidades brasileiras. em setembro.1% 58. p. No universo pesquisado. • 15% aplicam dinheiro em caderneta de poupança e fundos de investimento simultaneamente. cada uma numerada de 1 a 6. sabe-se que: • 50% aplicam dinheiro em caderneta de poupança.7% se diplomou. e o jogador A (que joga os dados) vence sempre que a soma das faces que caíram para cima for igual a 6. Masculino Feminino 2 100 (A) excelente. 4 (E) A probabilidade de o candidato sorteado ser da Computação ou do sexo feminino é de 3 . Em uma das salas do concurso de vestibular há 40 candidatos. assinale a alternativa correta: (A) A probabilidade de o candidato sorteado ser da Computação e do sexo feminino é de 2 . 38 dos parafusos produzidos 1.1% vivem de esmolas e que.0% Fundamental completo ou incompleto Nunca estudaram 15. Nos demais casos. Outros dados da pesquisa são apresentados nos quadros a seguir.65. 0. Uma fábrica de parafusos possui duas máquinas. A respeito de um grupo de 300 pessoas. Dos parafusos produzidos por essa máquina.35. 08. 7 mai. Por sua vez. 05.000 Por que vive na rua? Alcoolismo/Drogas Desemprego Problemas familiares Perda de moradia Decepção amorosa 06. distribuídos conforme o quadro abaixo: Matemática 15 10 Computação 10 5 Antes do início da prova. é correto afirmar que o jogo: 3a Série / Pré-vestibular 403 .000 1. (E) péssimo. então a probabilidade de que ela faça parte do conjunto interseção de P e Q é igual a: (A) 12%. considere que P seja o conjunto das pessoas que vivem na rua por motivos de alcoolismo/drogas e Q seja o conjunto daquelas cujo motivo para viverem na rua é a decepção amorosa. vence o jogador B. Em setembro. (D) 0. 4 (D) A probabilidade de o candidato sorteado ser da Matemática é de 5. (D) ruim. 21(adaptado). constatou-se que a maioria dessa população sabe ler e escrever (74%). 4 (C) A probabilidade de o candidato sorteado ser da Matemática ou do sexo feminino é de 3 . em que P indica a probabilidade de um parafuso escolhido ao acaso ser defeituoso. 8 (B) A probabilidade de o candidato sorteado ser da Matemática ou do sexo feminino é de 1 . pode ser classificado como: (D) 36%. Escolhendo-se ao acaso uma pessoa no grupo pesquisado e supondo-se que seja igual a 40% a probabilidade de que essa pessoa faça parte do conjunto P ou do conjunto Q.20. 8 Excelente 2 4 ≤P< 100 100 Bom 4 6 ≤P< 100 100 Regular 6 8 ≤P< 100 100 Ruim 8 ≤ P≤ 1 100 Péssimo O desempenho conjunto dessas máquinas. 2008. I e II. entre os moradores de rua que ingressaram no ensino superior. (B) bom. 07. Com base na distribuição do quadro acima. (E) 0. será sorteado um candidato para abrir o envelope lacrado.50. a máquina I produziu 54 do total de parafusos 100 produzidos pela fábrica. Considerando que um jogo de dois jogadores é considerado justo sempre que a chance dos dois jogadores de vencer for a mesma e injusto no caso contrário. dois dados não viciados de 6 faces. 0≤P< Escolaridade Superior completo ou incompleto 1. Em um jogo infantil. para a produção de certo tipo de parafuso. 7 ou 8. O desempenho conjunto das duas máquinas é classificado conforme o quadro abaixo. (B) 0. (B) 16%.4% Médio completo ou incompleto 7. que apenas 15. 36% 30% 30% 20% 16% no mesmo mês pela máquina II eram defeituosos.7% IstoÉ. tanto do sexo masculino quanto do sexo feminino. • 30% aplicam dinheiro em fundos de investimento. 8 B A 0. (E) E2E6. (B) não pode ser dito justo ou injusto. o jogador A vence apenas quando as faces somam 6. ou seja. 9. (D) . 2. existem bem mais somas favoráveis ao jogador B. 245 1. 3 3 4 (C) . pois o jogador A tem mais chances de vencê-lo que o jogador B. azul. sem reposição. De uma caixa contendo 50 bolas numeradas de 1 a 50 retiram-se duas bolas. há uma probabilidade de 30% de se pegar engarrafamento no deslocamento do ponto C ao o ponto B. (D) . e de 50%. A probabilidade de o número da primeira bola ser divisível por 4 e o número da segunda bola ser divisível por 5 é: (A) 12 59 . (D) é injusto.225 (B) 11 14 .Matemática III – Módulo 23 (A) é justo. 9 (A) C E1 E5 10. pois os jogadores A e B têm iguais chances de vencê-lo.6 0. 9 9 1 2 (B) . Assim. pois. C E3 0. 16 02. 09. percorrendo um trajeto com a menor probabilidade de engarrafamento possível. (B) E1E4. (D) E2E5. 5 2 . 5. (B) . quando se passa por E3. 7 ou 8. (E) . 4. Se os dois atiradores disparam simultaneamente. pois tudo dependerá da sorte dos jogadores.450 Rascunho 404 Vol. (C) é injusto. 3. então a probabilidade de o alvo ser atingido pelo menos uma vez é igual a: 23 1 (A) . 10.3 B A E6 D Figura I Exercícios de Aprofundamento 01. 5 . Dois atiradores acertam o alvo uma vez a cada três disparos. enquanto o jogador B vence quando as faces somam 2. O melhor trajeto para Paula é: (A) E1E3. A figura I abaixo mostra um esquema das principais vias que ligam a cidade A com a cidade B.4 0.7 D Figura II Paula deseja se deslocar da cidade A para a cidade B usando exatamente duas das vias indicadas. passando pela estrada E4. (E) . Cada número indicado na figura II representa a probabilidade de pegar um engarrafamento quando se passa na via indicada. (D) . Qual é a probabilidade de que ao menos dois quadrados que possuam um lado em comum sejam pintados da mesma cor? E2 0. (C) E2E4. Essas probabilidades são independentes umas das outras. (E) é justo. (E) 64 8 (C) 7 . amarelo ou vermelho. 545 245 (C) 59 . Cada um dos quatro quadrados menores da figura abaixo é pintado aleatoriamente de verde. 32 2 43 5 .5 E4 0. independentemente das probabilidades envolvidas. pois o jogador B tem mais chances de vencê-lo que o jogador A. 11 ou 12. Vejamos um exemplo: A tabela abaixo dá a distribuição dos alunos de uma turma. Sabendo que o aluno é do sexo masculino. Temos que P ( A) = e P ( B ) = . o aluno selecionado é do sexo masculino.Probabilidade: interseção de eventos (e) M ódulo 24 Matemática III 1. O objetivo é apostar e determinar em que número ou cor (vermelho ou preto) a bola cairá quando parar de dar voltas. 30 5 b. Assim. Qual a probabilidade de ele acertar a cor preta nas duas vezes? 17 e 37 18 3 = . 2 2 4 2 2 Ex. respectivamente. usamos o cálculo da interseção de eventos. a probabilidade pedida é P ( A ∩ B ) = 2 17 17  17  . Um apostador gira duas vezes a roleta. Nesse módulo. E e H os eventos. A probabilidade de acertar a cor preta na primeira rodada é a probabilidade de acertar a cor preta na segunda rodada é 17 . ⋅ = 37 37  37  37 2. uma em cada minuto. Logo. o número de maneiras de se gabaritar é o número de maneiras de marcar em todas as questões. Logo. Em outras palavras. Calcule a probabilidade de obtermos os dois resultados CARA. conseguimos uma boa maneira de determinar o quanto são as suas chances de ler esse texto até o final. Solução: Sejam os eventos: A = “CARA no 1o minuto” e B = “CARA no 2o 1 1 ©iStockphoto. 18 vermelhos e 1 verde. Sejam M. fazer todos os exercícios necessários e aprender de fato a matéria.comDragonImages Você sabia que numa prova de Verdadeiro ou Falso zerar é tão difícil quanto gabaritar? Por mais contrassenso que possa ser. por sexo e por carreira pretendida. 2: A roleta é composta de 37 números (de 0 a 36). pretende uma carreira de Exatas e pretende uma carreira de Humanas. a resposta contrária à do gabarito. qual a probabilidade dele pretender uma carreira de Humanas? 3a Série / Pré-vestibular 405 . 1 1 1 ©iStockphoto. Jogam-se duas moedas não viciadas. Responda: a. Devemos prestar muita atenção para que tomemos o espaço amostral corretamente. 1: a. dos quais 18 são do sexo masculino. Eventos independentes Solução: Dizemos que dois eventos A e B são independentes quando a probabilidade de ocorrer B não depende da ocorrência de A e vice-versa. Tudo ao mesmo tempo. é do sexo feminino. temos 17 pretas. ou seja. ao acaso. analisemos corretamente o número de casos possíveis. F. um aluno. Então P ( M ) = Com relação às cores. Mudança no espaço amostral Cer tos problemas nos fornecem informações que são extremamente relevantes para o cálculo da probabilidade de um evento. P ( A ∩ B ) = ⋅ = . tal afirmação sobre as probabilidades só serve porque cada questão só tem duas alternativas. Qual a probabilidade de o aluno ser do sexo masculino? Solução: Ao todo são 30 alunos. Ex. para determinar a chance de vários eventos ocorrerem ao mesmo tempo. Masculino Feminino Total Exatas 15 5 20 Humanas 3 7 10 Total 18 12 30 Escolhe-se. vamos aprender que. Assim. a probabilidade de ocorrer os dois eventos é P ( A ∩ B ) = P ( A) ⋅ P ( B ).com/denisvrublevski minuto”. qual a probabilidade de ser do sexo feminino? Solução: A informação “o aluno escolhido pretende a carreira de Exatas” nos dá que o espaço amostral deste problema é 20. Ex. Qual a probabilidade de ambas serem brancas? Solução: A probabilidade de retirarmos a primeira bola branca é 4 . Logo. o espaço amostral fica sendo de 9 bolas. calcular a probabilidade pedida. duas bolas. dado que A ocorreu. pois ocorre uma mudança no espaço amostral. e. 5 . Sejam A e B dois eventos de um experimento aleatório de espaço amostral E. dos quais 3 se interessam por humanas. na certeza que ocorreu o evento A. temos que a probabilidade será 3 = 1 . um a um. Vamos calcular a probabilidade de ocorrer B.. respectivamente. tomando-se o cuidado de considerar a ordem dos objetos nessas retiradas sucessivas. 18 6 4/10 6/9 6/10 4/9 c. das quais somente 3 são brancas e a probabilidade será P2 = 3 .ak elementos de um conjunto com n elementos. P1. Retiram-se. dada a ocorrência de A.: Voltando ao problema anterior. Eventos dependentes P1 = 3/9 15 3. temos que a probabilidade será 20 4 Dizemos que dois eventos A e B são dependentes quando. B2.. uma urna contém 4 bolas brancas e 6 bolas pretas. A probabilidade de se retirarem simultaneamente esses k elementos do conjunto é igual à probabilidade de retirá-los sucessivamente e sem reposição.: Uma urna contém 4 bolas brancas e 6 bolas pretas. sem reposição. P ( P1P2 ) = ⋅ = . em seguida.Matemática III – Módulo 24 Solução: A informação “o aluno é do sexo masculino” nos dá que o espaço amostral deste problema é 18. é muito útil a técnica do diagrama das árvores para probabilidades.. Probabilidade condicional Denomina-se probabilidade condicional. 10 9 90 4 6 6 4 48 . a probabilidade de ambas serem 9 4 3 2 brancas é P ( 2 brancas ) = P1 ⋅ P2 = ⋅ = . Observe agora que. B2 B1 Logo. P ( B1P2 ou P1B2 ) = ⋅ + ⋅ = 10 9 10 9 90 Propriedade das retiradas simultâneas Sejam a1 . Ex. Pergunta-se: a. temos a certeza de que a primeira foi branca. em que B1. 10 9 P2 B2 P1 3. a probabilidade de ocorrer B se altera. P ( B1B2 ) = ⋅ = . temos: 5/9 P2 4 3 12 a. Qual a probabilidade de ambas serem pretas? c. sem reposição. Qual a probabilidade de ambas serem brancas? b. Retiram-se. consiste em considerar todos os eventos que podem ocorrer. Logo. dos quais 5 são 5 1 = . c. a probabilidade de ocorrer B.. É sugerido que em todo problema que for pedida a probabilidade de retiradas simultâneas seja transformado em um problema equivalente de retiradas sucessivas e sem reposição. 10 9 90 6 5 30 b. Sabendo que o aluno escolhido pretende a carreira de Exatas.1 Diagrama de árvores Em diversos problemas. É representada pelo símbolo P(B|A). Tal diagrama. para retirarmos a segunda bola também 10 branca. Portanto. A B A∩B E 406 Vol. P2 são os eventos retiradas da primeira e segunda bolas brancas e pretas. duas bolas. Qual a probabilidade de retirarmos uma de cada cor? Solução: Montando o diagrama das árvores. do sexo feminino. errar todas as questões.  1 k A probabilidade destas questões estarem certas é   . P ( B A) = n ( A ∩ B) n ( A) .5 0. o entrevistador não saberá se ele é um usuário de drogas ou se apenas tem idade par. a probabilidade dele acertar é P ( E ) = . na cer teza de que A ocorre. 3 4 já a probabilidade de errar é P ( E ) = .5 Solução: Como ele chutou 5 e vai acertar exatamente 1. Infelizmente. A relação entre s e p pode ser determinada pela árvore abaixo. Logo. Para estimar a proporção p de usuários de drogas em certa comunidade. o experimento é repetido por um número fixo de tentativas. Assim. Se s é a probabilidade de um entrevistado responder “sim”. Logo. II. a probabilidade de errar 3 3 3 3 3 3 5 as 5 é P = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =   ≈ 23. Temos que: P ( B A) = P ( A ∩ B) P ( A) ⇔ P ( A ∩ B ) = P ( A) ⋅ P ( B A) 4. 4 as outras 3.5 2 certas. não sim correspondente é   . Dividindo o numerador e o n ( A ∩ B) n(E) denominador por n(E) . Ex. acertar exatamente 1 questão. acertar exatamente k questões.5 · 0.5 b. podemos escolher de C15 = 5 modos a questão certa. há somente dois resultados possíveis de interesse em cada tentativa.: Um aluno faz uma prova objetiva com 5 questões. P ( A) Probabilidade da interseção O conceito da probabilidade condicional nos dá sua mais importante aplicação no cálculo da probabilidade da interseção de dois (ou mais) eventos. responda à “sua idade é um número par?”. 37% 4 4 d. Já o número de casos favoráveis à ocorrência de B é n(A ∩ B). temos P ( B A) = e. A probabilidade desta questão estar certa é 1 . se o resultado for coroa. Logo. Determine a probabilidade de o aluno: a. 55% 4 4 c. s é facilmente estimado pela proporção de respostas “sim” obtidas nas entrevistas.Probabilidade: interseção de eventos (e) Observe que. caso o entrevistado diga sim. o aluno necessariamente erra e a probabilidade correspondente 3a Série / Pré-vestibular 407 . o aluno necessariamente erra e a probabilidade não s = P(sim) = 0. as outras 4 5 – k. portanto. podemos escolher de C52 = 10 modos as questões  1 1–p 0. existe uma mudança no espaço amostral. a probabilidade de acertar exatamente 4    1  3  4 1 será C51 ⋅   ⋅   ≈ 39. a probabilidade de um sucesso é a mesma em cada tentativa. n ( A) n(E) P ( A ∩ B) P ( B A) = . podemos escolher de CK5 modos as questões certas. pede-se ao entrevistado que. jogue uma moeda: se o resultado for cara. que passa a ser o próprio conjunto A. III.5. Solução: Das 5 questões.5p + 0. 73% 4 4 4 4 4 4   Algumas pesquisas estatísticas podem causar constrangimento aos entrevistados com perguntas do tipo “você usa drogas?” O entrevistador corre o risco de não obter respostas sinceras ou não obter respostas de espécie alguma. Por exemplo. sendo uma independente de todas as outras. cada uma com 4 opções de resposta. sim p cara 0. não havia estudado e chutou todas as questões. acertar exatamente 2 questões. Solução: Das 5 questões. a probabilidade de acertar exatamente 4 3 2  1  3  coroa 0. você pode estimar em 10% a proporção de usuários de drogas. Solução: 1 4 Ao chutar uma questão. 3 3 2 será C52 ⋅   ⋅   ≈ 26.5 ⇔ p = 2s – 0. longe das vistas do entrevistador. Experimento binomial Um experimento binomial é uma experiência probabilística que precisa preencher os seguintes requisitos: I. Os resultados podem ser classificados como sucesso ou um fracasso. Logo. as outras 4 o aluno necessariamente erra e a probabilidade 4 4 correspondente é  3  . A probabilidade destas questões estarem certas é   . se 30% dos entrevistados respondem “sim”. responda à “você usa drogas?” e. Logo a probabilidade de acertar exatamente k questões será  1  3  C5k ⋅   ⋅   4 4 5− k Binômio de Newton . qual a probabilidade de o primeiro estar enferrujado e o segundo não? Solução: Na primeira retirada. Logo. no qual nA 2 = 6. temos que a probabilidade do fracasso é p = 1 − p . O desenvolvimento de (x + a)n possui n + 1 termos. damos o nome de de distribuição n 1 2 1 3 3 1 4 6 4 1 Uma relação interessante: Relação de Stifel Somando dois elementos consecutivos de uma mesma linha obtemos o elemento situado abaixo da última parcela. ( p + p) . Se esse experimento é feito n vezes seguidas. utilizando o triângulo de Pascal. dois parafusos com reposição.   = p    p  p!( n − p ) ! Podemos dispor os números binomiais de acordo com o quadro abaixo. Retirando-se. ao acaso. Vol. A esse desenvolvimento. no qual nA = 4 . os coeficientes do desenvolvimento de (x + a)n são os elementos da linha n do Triângulo de Pascal. a probabilidade desse evento ocorrer é = p1 1 4 2. 4 deles enferrujados. temos novamente 10 parafusos. generalizando o desenvolvimento de (x + a)n. II. qual é a probabilidade de obtermos exatamente k sucessos? Quando ocorrem exatamente k sucessos. Ou seja. III. logo teremos que 1 – p é a probabilidade do fracasso.  n   n   n + 1 . a probabilidade de termos exatamente k sucessos é P(k) = Ckn · pk(1 – p) n – k. Numa caixa. = 10 5 Na segunda retirada. Distribuição binomial Consideremos agora um experimento com apenas dois resultados possíveis: sucesso e fracasso.   = Cn . temos:  n  n  n =   a0 ⋅ x n +   a1 ⋅ x n −1 +   a2 ⋅ x n − 2 +  0 1  2      n  n −1 1  n  n 0 + a ⋅ x +  a ⋅ x  n  n − 1 ( x + a) n  n p=0  p  n p n− p Ou ainda . qual é a probabilidade de obtermos exatamente k sucessos? Seguindo raciocínio análogo ao problema anterior. Observem que a disposição desses números possui a forma de um triângulo. Observe a sequência: (x + a)0 = 1 (x + a)1 = 1 · x + 1 · a (x + a)2 = 1 · x2 + 2 · x · a + 1 · a2 (x + a)3 = 1 · x3 + 3 · x2a + 3 · x · a2 +1 · a3 podemos notar que : I. como já vimos anteriormente. O evento dessa retirada é A2 = {parafuso não enferrujado}. Exercícios Resolvidos 01. dos n experimentos seguidos. =  +  p   p + 1  p + 1  n  p binomial das probabilidades. Portanto. 0   0  1   1      0   1  2  2  2        0   1  2  3 3 3 3          0   1  2   3  4 4 4 4 4            0   1  2   3   4  () 1 1 1 1 1 . ocorrem também exatamente n – k fracassos. ou seja.  n  n p n! . Podemos desenvolver a expansão da potência de um binômio. Denotamos um número binomial por o termo de ordem p + 1 é: Tp +1 =   ⋅ a p ⋅ x n − p . Chamamos esse triângulo de Triângulo de Pascal. em que a probabilidade de obter esses sucessos é pk. como houve reposição. ( x + a ) = ∑   ⋅ a ⋅ x n Triângulo de Pascal Números Binomiais IV.Matemática III – Módulo 24 é 3 5− k 4   k . Se esse experimento é feito n vezes seguidas. = 10 5 . Observemos que a probabilidade de acertar 2 questões é maior que a de errar todas. 5. Logo. Já os n – k experimentos restantes serão fracassos e sua respectiva probabilidade será (1 – p)n – k . temos o evento A1 = {parafuso enferrujado}. a probabilidade de obtermos exatamente k sucessos é Cnk ⋅ pk p Cada número binomial   representa o elemento da linha n e  p coluna p. Sua probabilidade é p= 2 6 3 . Suponha p a probabilidade do sucesso. 5 n−k Observemos que este é o termo k + 1 do desenvolvimento do binômio  n 408 Atenção: Suponha p a probabilidade do sucesso. escolhemos k sucessos de Cnk modos. há 10 parafusos. O número binomial é outra maneira de escrevermos uma combinação simples. Escrevendo os termos do desenvolvimento na ordem acima. amarelo e vermelho em 1 minuto e 40 segundos. 2 bolas brancas. A probabilidade de que a bola seja vermelha é: 3 2 . nas outras 3. (D) 77%. pode-se admitir que a probabilidade de encontrá-lo com uma dessas cores é diretamente proporcional ao tempo em que cada uma delas fica acesa. 25 segundos são para a luz verde. um dos hóspedes desse hotel. Determine a probabilidade de se obter 3 ases. (D) . que as duas sejam mulheres? 03. Qual a probabilidade de: a. P = p1 ⋅ p2 = 2 ⋅ 3 = 6 . 2 9 02. Uma das duas urnas é escolhida ao acaso e dela é escolhida. (E) . Escolhendo-se. sem reposição.Probabilidade: interseção de eventos (e) A probabilidade de ocorrerem A1 e A2 é. uma bola. então. e. duas pessoas. (B) 1 . 3a Série / Pré-vestibular 409 . (B) 72%. Uma urna contém 2 bolas brancas. ao acaso. De um baralho de 52 cartas são retiradas. a probabilidade de se obter 3 ases é: P = p1 ⋅ p2 ⋅ p3 = 4 3 2 1 . A probabilidade de que o casal tenha exatamente 3 meninos. a probabilidade de que ele fale português é: (A) 65%. 02. Suponha que um motorista passa por um semáforo duas vezes ao dia. (C) 45%. ao acaso. f. sendo pelo menos uma preta. sendo que 70% deles são ingleses e os demais. ⋅ ⋅ = 52 51 50 5. 2 Logo. 3 bolas pretas e 5 bolas vermelhas. (A) 1 . amarela ou vermelha. (E) 16 (C) 1 . (E) 82%. A probabilidade de se obter um ás é p2 = 3 . 3 bolas. temos 2 ases em 50 cartas. (B) 50%. Em um determinado semáforo. 40 10 9 (C) . como não há reposição. Determine a probabilidade de retirarmos: a. a primeira ser mulher e a segunda ser homem? b. d. 20 (A) 05. 50 Logo. (E) 8 5 1 (C) . um veículo tem uma determinada probabilidade de encontrá-lo na luz verde. sendo a extração com reposição. Uma urna tem duas bolas vermelhas e três brancas. (E) 25%. A probabilidade de se obter um ás é p3 = 2 . Ao se aproximar do semáforo. sendo uma de cada cor. 01. qual a probabilidade de obtermos exatamente 7 caras? Solução: 7 Podemos escolher de C10 = 120 modos a obtenção de 7 caras. Desse tempo. o resultado é 2 3 necessariamente coroa e a probabilidade correspondente é  1  .525 03. outra urna tem uma bola vermelha e outra branca. sendo as duas primeiras pretas e a terceira vermelha. de maneira aleatória e independente uma da outra. 5 5 25 02. franceses. Jogando uma moeda não viciada 10 vezes. (C) 68%. (D) 25 3 1. 4 2 1 1. 5 segundos para a amarela e 70 segundos para a vermelha. escolhemos. De um grupo de 10 homens e 15 mulheres. (D) . Um casal planeja ter 4 crianças. 2 bolas brancas. 3 cartas. a probabilidade probabilidade de obtermos exatamente 7 caras 7  1  1 3 120 15 . Apenas 40% dos hóspedes de um hotel de São Paulo são estrangeiros. 1 1 . as luzes completam um ciclo de verde. Solução: Primeira retirada: Temos 4 ases em 52 cartas: a probabilidade de se obter um ás é p1 = 4 . temos 3 ases em 51 cartas. ao acaso. A probabilidade de um casal com 4 filhos ter 2 do sexo masculino e 2 do sexo feminino é: (A) 60%. b.5%. 8 5 17 3 (B) . 51 Terceira retirada: Supondo que as duas primeiras cartas obtidas foram ases. Qual é a probabilidade de o motorista encontrar esse semáforo com a luz verde acesa nas duas vezes em que passar? 1. (B) . dado que a primeira criança que nasceu é menina é: (D) 37. c. 3 bolas simultaneamente. 3 (A) 04. Se essa aproximação for de forma aleatória. como não há reposição. 52 Segunda retirada: Supondo que a primeira carta obtida foi um ás. sendo 2 pretas e 1 vermelha em qualquer ordem. Sabe-se que 25% dos franceses e 50% dos ingleses falam português. 3 bolas. Exercícios Contextualizados 7 A respectiva probabilidade é  1  . sendo a extração sem reposição. uma após a outra. 3 bolas. será C107 ⋅   ⋅   = =  2   2  1024 128 Exercícios de Fixação 01. Sabe-se que 5% das mulheres são fumantes. Novamente ao acaso. a doença é aproximadamente: (A) 11%.25. Em uma empresa. 04.Matemática III – Módulo 24 03. A probabilidade de que a chave C1 esteja aberta é de 60%. há dois porta-lápis: o porta-lápis A. (E) 20%.) vale V. Um funcionário retira um lápis qualquer. (E) 14 8 (C) 1 . (B) 15%. 60% dos funcionários são homens.p. Verificando-se as respostas de dois alunos quaisquer dessa turma. inglês e espanhol.57. Um exame de sangue detecta a doença (dá resultado positivo) em 95% das pessoas que a têm. Um grupo de pesquisadores estudou a relação entre a presença de um gene A em um indivíduo e a chance desse indivíduo desenvolver uma doença X. (B) 0. 410 (D) 40%. a probabilidade de que exatamente um tenha marcado a opção correta equivale a: (A) 0. (D) 0. (C) 0. é correto afirmar que a probabilidade deles chegarem à Cachoeira Pequena é: 3. (B) . 4 (A) 09. Os demais alunos marcaram uma das quatro opções.52. dos quais. qualquer um dos caminhos e seguiam adiante. . (B) 80%.foi realizada uma pesquisa sobre o conhecimento destes em duas línguas estrangeiras. com igual probabilidade. contém 10 lápis. . ao acaso. qual a probabilidade de que tal aluno fale espanhol? 1 5. (D) 30%. 88% da população não são portadores do gene A nem sofrem da doença X. (D) 66%.40. de fato. (C) 10%. Em uma escola. Um circuito é composto por uma bateria.48. que tem tratamento. (D) 7%. e o porta-lápis B. além de duas lâmpadas idênticas e duas chaves (interruptores). A probabilidade de que a chave C2 esteja aberta é de 40%. (A) 1 . dentre os quais 4 estão apontados. com 9 lápis. mas não apresenta cura. (E) 24%. (B) . (D) 0. (C) 5%. dentre os quais 3 estão apontados. se uma pessoa sofre da doença X. escolhida.64. (C) 2 4 5 2 . (C) 75%. fizer o exame e o resultado for positivo. seguindo a trilha indicada neste esquema: Cachoeira grande Cachoeira pequena Acampamento Em cada bifurcação encontrada na trilha. Nessa pesquisa. Uma doença D atinge 1% de certa população. 08. (B) 0. localizadas na região. (D) 2 6 5 5 . do porta-lápis A e o coloca no porta-lápis B. Em um escritório. constatou-se que 600 alunos falam inglês. 05. o exame detecta a doença erroneamente (dá resultado positivo) em 10% das pessoas que não a tem. 20% dos alunos de uma turma marcaram a opção correta de uma questão de múltipla escolha que possui quatro alternativas de resposta. (C) 52%. Qual a probabilidade de que pelo menos uma das duas lâmpadas esteja apagada? (A) 76%. Por outro lado.36. Então. (D) 6 3 06. Escolhendo-se um aluno dessa escola ao acaso e sabendo-se que ele não fala inglês. Vol. 10. Além disso. ao acaso. A probabilidade de que este último lápis retirado não tenha ponta é igual a: (A) 0. (E) 9%. cuja diferença de potencial elétrico (d.d. Os dados do estudo mostraram que 8% da população são portadores do gene A e 10% da população sofrem da doença X. (B) 13%. na população. ao acaso. De acordo com esses dados. (C) 0. a probabilidade de ser uma mulher é igual a: (A) 25%. (E) 60%. Dois jovens partiram do acampamento em que estavam em direção à Cachoeira Grande e à Cachoeira Pequena. Se uma pessoa. (B) 60%. 5 07. Em uma escola com 1. então a probabilidade de que seja portadora do gene A é igual a: (A) 90%. ele retira um lápis qualquer do porta-lápis B. a probabilidade de que ela tenha.200 alunos . eles escolhiam. Escolhendo-se ao acaso um dos fumantes dessa empresa. 500 falam espanhol e 300 não falam qualquer um desses idiomas.42. Todos os componentes do circuito estão em perfeito funcionamento. 10% são fumantes. por sua vez. é: 9 35 . após 9 lançamentos da moeda. (D) . 29 2 2 (C) . 26 29 9! 35 (B) 6 . A probabilidade deste menino estar a 5 m de distância de sua posição inicial. Ele andará 1 m para leste. determine a probabilidade de A haver escrito o sinal +. sabendo-se ter sido este o sinal ao término do experimento. na cidade do Rio de Janeiro. também opta por manter ou trocar o sinal do cartão. Rascunho 3a Série / Pré-vestibular 411 . passando em seguida a B. Sendo de 1/3 a probabilidade de A escrever o sinal + e de 2/3 as respectivas probabilidades de B e C trocarem o sinal recebido.Probabilidade: interseção de eventos (e) Exercícios de Aprofundamento 01. B e C. Um menino. 9! (A) 02. se o resultado for cara ou 1 m para oeste. lança uma moeda. (E) . Três pessoas. Este. se o resultado for coroa. que mantém ou troca o sinal marcado por A e repassa o cartão a C. aqui designadas por A. realizam o seguinte experimento: A recebe um cartão em branco e nele assinala o sinal + ou o sinal –. Na população de uma cidade. Em uma eleição para a prefeitura de uma cidade. Um país possui 1. (E) 37. Um casal decidiu que vai ter 3 filhos. 4 bolas de uma urna que contém 7 bolas brancas e 3 bolas pretas. com reposição. Qual a probabilidade de serem sacadas 2 bolas de cada cor? 04. é igual a: (A) (0. (B) P(A) = 0 e P(B) = 5/7. haja exatamente 3 eleitores favoráveis ao candidato A. (D) 190 · (0. qual a probabilidade de que. sem reposição. a probabilidade de que compareçam exatamente 20 passageiros no embarque desse voo. haja 5 que se beneficiem da promoção. 9)20. 1)2 · (0. (C) P(A) = – 0.000 de eleitores. Considerando que os comparecimentos de dois passageiros quaisquer sejam eventos independentes. b. (C) 5-4. (E) 153 · (0. 1)2 · (0. qual a probabilidade percentual de exatamente 3 delas terem sangue do tipo A? 03. 06. de modo que não precisará fazer um tratamento. 1)2 · (0. de acordo com a estimativa da empresa. A empresa responsável pelo voo estima que a probabilidade de qualquer um dos 22 passageiros não comparecer no momento do embarque seja de 10%. Sorteando-se 3 peças desse lote. de modo que precisará procurar uma clínica para fazer um tratamento. (C) 190 · (0. se a probabilidade fosse inferior a 50%. a.3 e P(B) = 1. 5 02. todos sejam favoráveis ao candidato A. Se 6 pessoas da cidade são escolhidas ao acaso. (B) 50%. Se uma pesquisa eleitoral for feita sorteando-se 10 pessoas (sorteio com reposição) entre os eleitores. (C) 72/95. 9) 22. 05. Qual a probabilidade de que todas caiam com a coroa para cima? b. Uma fatia de pão com manteiga pode cair no chão de duas maneiras apenas: • Com a manteiga para cima (evento A). Se retirarmos da produção. dentre 6 pessoas que estão fazendo compras no supermercado. (B) 70/95. (E) 76/95. iria procurar uma clínica para fazer um tratamento específico para garantir que teria os dois filhos homens. 9)18. 1)2 · (0.3. o casal concluiu que a probabilidade de ter exatamente 2 filhos homens é: (A) 66. A tabela a seguir mostra o resultado final da votação para a escolha do novo presidente. assim ele precisará procurar uma clínica para fazer um tratamento. Uma possível distribuição de probabilidade para esses eventos é: (A) P(A) = P(B) = 3/7. 412 Vol. 1)2 · (0. ao fazer compras em um supermercado. quando todos os eleitores votaram. Jogamos 5 moedas comuns (cara de um lado e coroa do outro). Sacam-se. a probabilidade de todos eles serem defeituosos é igual a: (A) 5-2. Um lote com 20 peças contém 2 defeituosas.Probabilidade: exercícios (I) M ódulo 25 Matemática III Exercícios de Fixação 01. 9)20.5%. se beneficie de uma promoção especial de sorvete. Em uma fábrica de parafusos.6. a probabilidade de que todas sejam não defeituosas é: (A) 68/95. Determine as probabilidades de que. (E) P(A) = 6/7 e P(B) = 0. divididos igualmente entre 10 estados. foram emitidos 22 bilhetes.4 e P(B) = 0. (C) 7. (B) 5-3. Contudo. Após os cálculos. aleatoriamente.5%. 9)18. Candidato Percentual dos eleitores X 52% Y 25% Z 20% Votos brancos e nulos 3% . a probabilidade de um parafuso ser perfeito é de 96%.000. Qual a probabilidade de que exatamente 3 moedas caiam com a coroa para cima? Exercícios Contextualizados 01.7%. (D) 25%. 04. (D) 5-5. nessa amostra: a. • Com a manteiga para baixo (evento B). 30% dos eleitores são favoráveis a um certo candidato A. de modo que não precisará fazer um tratamento. (D) 74/95. (E) 5-6. 05. AB ou O). 02. Para um voo realizado nesse país em uma aeronave de 20 lugares. 3 parafusos. (D) P(A) = 0. Há uma probabilidade de 30% de que uma pessoa. 50% das pessoas têm sangue do tipo A. 03. de modo que não precisará fazer um tratamento. e as demais sangue dos outros tipos (B. quer exatamente 2 filhos homens e decide que. (B) 231 · (0. Probabilidade: exercícios (I) Durante a votação. Fazendo alguma suposição adicional que julgar necessária.8)8 (ou seja. (B) p = 0. Cada resposta correta corresponde a 3 pontos ganhos.022 ∙ 0. 2%)2. 2) + 8 ⋅ (0. 2%).8)8 (ou seja. 64 (A) 3 .982. (D) 4 ∙ (0. a 1 ponto perdido.8%)2. (C) 6 ∙ (0.982. escolhidos aleatoriamente. pelo menos dois não serem curados? 10. 2)2 · (0.022 ∙ 0. Joga-se uma moeda não viciada. 2)2 · (0. Qual é a probabilidade de serem obtidas 5 caras antes de três coroas? Rascunho 3a Série / Pré-vestibular 413 . 2%)4. (B) 16 35 (C) .2%. para tentar prever o resultado da eleição. 02. A probabilidade de que o percentual de eleitores dessa amostra que votaram no candidato Z seja igual ao percentual de votos obtidos por esse candidato na eleição é aproximadamente igual a: a. (C) 45 · (0. Se uma loja acaba de vender 4 aparelhos desse modelo para um cliente. aproximadamente 68%). (B) (0. cada resultado é formado aleatoriamente por 3 símbolos dos 4 possíveis. Calcule a probabilidade de um aluno que tenha respondido aleatoriamente a todas as questões obter um total de pontos exatamente igual a 10. Uma prova é composta por 6 questões com 4 alternativas de resposta cada uma. aproximadamente 1%). (E) 6 ∙ (0.2)2 +(0.0004.8)8 (ou seja. 16 9 . Em uma máquina caça-níquel com 4 símbolos e 3 carretes. aproximadamente 60%). (B) 4 ∙ (0. qual é a probabilidade de esse cliente sair da loja com exatamente 2 aparelhos defeituosos? (A) 2 ∙ (0. uma pessoa entrevistou 10 eleitores. qual a probabilidade p de que ao montar 4 dessas máquinas ocorram erros em exatamente 2 das montagens? (A) p = 0. (A) (0.04.02. todos serem curados? b. (C) p = 0. 4 43 (E) . Uma certa doença pode ser curada através de procedimento cirúrgico em 80% dos casos. 2%)2 ∙ (99. (E) 2 ⋅ (0. como exibido na linha central da máquina de caça-níquel. das quais apenas uma delas é correta.982. (E) p = 24 ∙ 0. 2%) ∙ (99.022 ∙ 0.2)2 · (0. (D) p = 6 ∙ 0. Sabendo-se que no processo de montagem de um determinado tipo de máquina a probabilidade de ocorrência de algum erro é 0. 8) (ou seja.8%). qual é a probabilidade de se ganhar? 7 . (D) 90 · (0. aproximadamente 30%). Dentre os que têm essa doença. cada erro ou questão não respondida.8)8 (ou seja. responda qual a probabilidade de: Sabendo que se ganha quando se obtêm 3 símbolos diferentes ou 3 símbolos iguais. 64 (D) Exercícios de Aprofundamento 01. aproximadamente 20%). 09. O controle de qualidade de uma empresa fabricante de telefones celulares aponta que a probabilidade de um aparelho de determinado modelo apresentar defeito de fabricação é de 0. sorteamos 15 pacientes que serão submetidos à cirurgia. 10 07. 08. Oito atletas – entre os quais Lind e Bolt – disputaram uma prova de 100 metros rasos. 56 1 . 5 . A probabilidade de que o casal tenha exatamente 3 meninos. (D) . num total de 7 bolas idênticas. A máquina B produz as 3. Da produção total de um dia. (D) 12 habitantes. 7 28 (C) 3 . a probabilidade de que Lind fique mais bez colocado que Bolt e que ambos recebam medalhas é: 02. (D) 9/10.00. uma peça é escolhida ao acaso e. (C) 8 habitantes. exceto pelas cores. a. Vol. 5 1 (E) . A e B. 7 (E) 9 . 2 1 (B) . 5 414 6 .000 foram vacinados contra o vírus H1N1. produzem juntas 5. aproximadamente 10. Em uma gaveta. 3 02. Qual a probabilidade de que essa peça escolhida tenha sido produzida pela máquina A? (A) (A) 1 . das quais 2% são defeituosas. Uma loteria sorteia três números distintos entre doze números possíveis. (E) . A máquina A produz 2.000 peças. é: 1 1 . Apenas os três primeiros colocados recebem medalhas. examinando-a. Inicialmente. número muito menor do que as autoridades de saúde previam. O. Um experimento foi conduzido com o objetivo de avaliar o poder germinativo de duas culturas de cebola. não rasgados. A probabilidade de que a última bola retirada da caixa seja preta é: (A) 4 . Se a aposta em três números custa R$2. das quais 3% são defeituosas. Em um curso de computação. 04.Probabilidade: exercícios (II) M ódulo 26 Matemática III Exercícios de Fixação Exercícios Contextualizados 01. 01. é: (A) 50/90.000 habitantes. qual é a probabilidade de acerto? b. Duas máquinas. 7 (C) 4 . G. Para uma aposta em três números. Estatística para as ciências agrárias e biológicas (adaptado). (B) 8/90. o que acontecer primeiro. Germinação de sementes de duas culturas de cebola Culturas A B TOTAL Germinação Germinaram Não germinaram 392 8 381 19 773 27 TOTAL 400 400 800 BUSSAB. Em seguida. Em uma cidade de 250. o primeiro jogador vira duas cartas e tenta formar um par. mas os dois pés de um dos pares estão rasgados. Um casal planeja ter 4 crianças. Tirando-se da gaveta um pé de meia por vez. 2 4 1 1 . Uma caixa contém 5 bolas brancas e 2 pretas. a probabilidade de se retirarem dois pés de meia do mesmo par. conforme a tabela. MORETIN. Retira-se aleatoriamente dessa caixa. 4 1 . tenham sido retiradas. (B) . (E) 8 5 1 (C) . constatou-se que ela é defeituosa. uma das atividades consiste em criar um jogo da memória com as seis cartas mostradas a seguir. (C) 81/90. W.000 peças restantes. (D) 03. 56 8 1 (B) 1 . 10 03. e sem reposição. (E) 15 habitantes. 3 1 (C) . quanto deveria custar uma aposta em cinco números? 05. o programa embaralha as cartas e apresenta-as viradas para baixo. sendo a primeira criança a nascer uma menina. há cinco pares distintos de meias.000 peças em um dia. Considerando que todas as ordens de chegada sejam igualmente prováveis. Se tomarmos aleatoriamente 50 habitantes dessa cidade. (B) 6 habitantes. quantos deles se espera que tenham sido vacinados contra o vírus H1N1? (A) 2 habitantes. uma bola por vez até que todas as bolas brancas. ao acaso. ou todas as bolas pretas. 6 (A) (D) 04. L. A probabilidade de que o primeiro jogador forme um par em sua primeira tentativa é: 1 . (D) 7 (B) 5 . em que não há empates nem desistências. Em uma população de aves. 110 09. (B) 27 381 . quando não está doente. (D) 7 4 (B) . b.Probabilidade: exercícios (II) Desejando-se fazer uma avaliação do poder germinativo de uma das culturas de cebola. 18 . Um oráculo mente sempre às segundas. Imagine que vão ser depositadas. 81 10 (B) . 4 bolas idênticas no recipiente da figura I e 10 bolas idênticas no recipiente da figura II.3%. Quando uma ave está doente. (A) 25%. O esquema a seguir mostra o RNA mensageiro. se aparecerem duas caras.5%. 773 392 (E) . determine:  1 7 7 3 (A) 1 −   . a probabilidade de que pelo menos um esteja contaminado com o tipo DEN 3 equivale a: (A) 8 . 27 19 . Beatriz lavará a louça. (C) 30%. (D)   8   4 3a Série / Pré-vestibular 415 . 99 (D) 33. para decidir quem lavará a louça do jantar. terças e quartas-feiras. AUG. cada um deles contaminado com apenas um dos tipos de vírus. BBB. 4 1 a probabilidade de ser devorada por predadores é . CGG e CGU. Um pesquisador possui em seu laboratório um recipiente contendo 100 exemplares de Aedes aegypti.4%. (D) 3. O recipiente da figura II é constituído de 100 compartimentos do mesmo tipo. 800 (D) (A) 05. (B)  1  . CGA. a probabilidade 25 1 . AGG.4%. Portanto. B representa as bases C ou G. ao ser perguntado se “hoje é domingo”. adaptados em linha. (E) 50%. A probabilidade de que no primeiro recipiente as 4 bolas fiquem sem compartimentos vazios entre elas. a 40 de ser devorada por predadores é probabilidade de uma ave dessa população. e se aparecerem uma cara e uma coroa. a probabilidade de um animal estar doente é 1 . formado a partir da introdução dos códons de iniciação AUG e de terminação UAA nas extremidades do RNA original. 3   4 7 7  1 . dispostas ao acaso. A probabilidade de que a arginina apareça pelo menos uma vez na estrutura final desse peptídio é de: figura II Com a informação de que em cada compartimento cabe apenas uma bola. e. ao acaso. (C) 1−   . BBB. 10. (B) 2. lançando as duas moedas simultaneamente. BBB. (C) 4. BBB. UAA figura I 10 10 Sabe-se que: • os códons correspondentes ao aminoácido arginina são AGA. BBB.0%. A probabilidade de que João venha a ser sorteado para lavar a louça é de: 06. 100 (D) 21 . João lavará a louça. André.0%. O recipiente da figura I é constituído de 10 compartimentos idênticos. (E) 7 3 (C) . • o aminoácido metionina correspondente ao códon de iniciação AUG é removido do peptídio sintetizado pela tradução desse RNA mensageiro. escolhida aleatoriamente. mas fala sempre a verdade nos outros dias. Um RNA sintético foi formado apenas pelas bases citosina e guanina. ele respondeu “sim”. André lavará a louça. Beatriz e João resolveram usar duas moedas comuns. Sabendo-se que a amostra escolhida germinou.5%. A probabilidade de ele estar mentindo é: 3 . 4 (A) Quantidade de mosquitos DEN 1 30 DEN 2 60 DEN 3 10 Retirando-se simultaneamente e ao acaso dois mosquitos desse recipiente. 4 (C) 11 . BBB. 07. (E) 2. uma amostra foi retirada ao acaso. CGC. uma única vez. A probabilidade de que no segundo recipiente as 10 bolas fiquem alinhadas. não viciadas. ser devorada por predadores é de: 1 . num total de 21 bases. Se aparecerem duas coroas. a probabilidade de essa amostra pertencer à cultura A é de: a. BBB. de acordo com a seguinte tabela: 392 . Tipo 1 . 7 (A) 1. porém adaptados de modo a formar 10 linhas e 10 colunas. (C) 773 08. Num certo dia. Nesse esquema. (B) 27. abre o papel e coloca o número 1 nas duas extremidades da primeira dobra.25 uma carta de copas ou rei ____ 0. 3π (E) 2π . Calcule a probabilidade de a soma desses números ser par. A figura 2 a seguir ilustra as quatro etapas iniciais desse processo. J. um número em dois minutos seguidos é igual a: João girou a roleta duas vezes consecutivas e anotou os números indicados pela seta após cada parada.Matemática III – Módulo 26 11. ao acaso. (D) . apresente um defeito no 4o display: a cada minuto acendem. Depois de fazer diversas dobras. que após ser girada pode parar. O 1o e o 2o displays do relógio ilustrado na figura 1 indicam as horas.3 Calcule o valor de n. A probabilidade de esse ponto estar no interior do hexágono é: (A) 3 3 . ás. 5 Uma criança rasgou algumas cartas desse baralho. 416 Vol. π 3 3 (C) 2 3 . foram guardadas em uma caixa. alguns exemplos de formas que o 4o display pode apresentar com cinco filetes acesos. conforme ilustrado na figura 1. denominados copas.075 uma carta de copas __________ 0. Admita que um relógio. ao acaso. (fig. Sucessivamente. . A maioria dos relógios digitais é formada por um conjunto de quatro displays. as seguintes cartas: carta probabilidade um rei ______________________ 0. Os dados a seguir apresentam as probabilidades de se retirarem dessa caixa. Em seguida. dama e rei. a seguir. nos quais as cartas representadas pelas letras A. com treze cartas distintas de cada um deles. Os baralhos comuns são compostos de 52 cartas divididas em quatro naipes. espadas. dobra esse recorte ao meio várias vezes. 03. 2π (D) (B) 2 3 . no meio de cada um dos arcos formados pelas dobras anteriores. respectivamente. e o 3o e o 4o indicam os minutos. Para acender cada filete. 2) A probabilidade de esse display formar. 441 49 Exercícios de Aprofundamento 01. A figura correspondente à etapa 3 foi colada em uma roleta. Observe a figura que mostra um desses baralhos. e as n cartas restantes. Observe. não rasgadas. Uma seta indica o número correspondente a cada posição. João recorta um círculo de papel com 10 cm de raio. (A) 13 . ao acaso. 3 3 . Q e K são denominadas. π 02. 441 306 (B) 36 . e escolhe-se aleatoriamente um ponto no interior da circunferência. idêntico. Inscreve-se em uma circunferência de raio 4 cm um hexágono regular. 49 C) 135 . compostos por sete filetes luminosos. paus e ouros. pelo menos. em apenas oito posições distintas. é necessária uma corrente elétrica de 10 miliamperes. exatamente cinco filetes quaisquer. como ilustra a figura 3. valete. João escreve a soma dos números que estão nas extremidades de cada arco.

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