MAtemática Volume 3

Função exponencialM ódulo 11 Matemática I © iStock.com / A_nik Será que é possível descobrir o número de pessoas que sabem de um boato? Anteriormente, vimos como é possível determinar a velocidade máxima com que um boato se espalha. Agora, estamos interessados em entender quantas pessoas sabem do boato em determinado instante. Imagine a seguinte situação: em uma conversa entre 5 amigos, alguém inventou uma fofoca e os demais acreditaram. Suponha então que a partir disso, a cada hora cada um contou a fofoca para outra pessoa, e assim por diante. Desta forma podemos analisar como a notícia se dissipa: Início (t = 0): 5 pessoas 1a rodada de fofocas (t = 1): 5 · 2 2a rodada de fofocas (t = 2): 5 · 2 · 2 = 5 · 22 3a rodada de fofocas (t = 3): 5 · 2 · 2 · 2 = 5 · 23 Após n rodadas (t = n): f(n) = 5 · 2n Assim poderemos prever quantas pessoas tomarão conhecimento da fofoca em um dia, em uma semana, e assim por diante. Neste módulo, estudaremos o conceito de função exponencial, que nada mais é a função utilizada para solucionar o problema do boato, acima representado. 1. Conceito 3. Gráfico Seja a ∈ , tal que 0 < a ≠ 1, a função exponencial de base a é a função f:   tal que f(x) = ax. O gráfico da função exponencial f(x) = ax, com 0 < a ≠ 1, tem as seguintes características: Ex.: f(x) = 3x, f(x) = (1/2)x e f(x) = ( 5) x 2. Propriedades I. Como f(0) = a0 = 1, o par ordenado (0, 1) pertence ao gráfico da função exponencial. II. Quando 0 < a < 1, a função f(x) = ax é decrescente. 0 < a < 1: x1 < x2  f(x1) > f(x2) Já quando a > 1, a função f(x) = ax é crescente. a > 1: x1 < x2  f(x1) < f(x2) • • • • está todo acima do eixo Ox; corta o eixo Oy no ponto de ordenada 1; é crescente para a > 1 e decrescente para 0 < a < 1. o eixo x é assíntota do gráfico. É interessante observar que o crescimento exponencial (a > 1) supera o de qualquer polinômio. Os gráficos da função exponencial estão exemplificados a seguir: 3.1 Função crescente (a > 1) y Essa propriedade tem aplicação na resolução das inequações exponenciais. III. A função f(x) = ax, com 0 < a ≠ 1 é injetora. 6 4 f(x1) = f(x2) ⇔ x1 = x2 Essa propriedade respalda a solução das equações exponenciais. IV. A função f(x) = ax, com 0 < a ≠ 1 é ilimitada superiormente e a sua imagem é o conjunto dos números reais positivos (*+). f(x) = ax (a > 1) 2 –3 –2 –1 0 x 0 1 2 3 Figura 1 – Função exponencial crescente 3a Série / Pré-vestibular 441 Matemática I – Módulo 11 3.2 Função decrescente (0 < a < 1) (4) (5) (6) y f(x) = a (0< a < 1) 6 4 4 2 x 2 –3 –3 –1 –2 0 1 3 2 x  1 exponenciais f(x) = ax, com a > 1, e g ( x ) =   , em que  a 1 < 1, é que eles são simétricos em consequentemente 0 < a relação ao eixo y, pois f(– x) = g(x). Isso está exemplificado abaixo para f(x) = 2x e g(x) = (1/2)x. y y= 2x 6 4 2 –1 0 x 0 1 2 3 Figura 3 – Interseção 3.4 Mudança na base Os gráficos seguintes retratam as mudanças nos gráficos quando varia-se o parâmetro a (base). y (3) 6 (2) 0 x 0 1 2 Figura 4 – Diferentes bases (4) y = (1/2)x (2) y = (1/3)x (3) y = (1/4)x 442 Vol. 3 2 3 Sendo 0 < a ≠ 1, então ax = an ⇔ x = n. Se ax = an, então a – an = 0; ax · (1 – an – x) = 0. Então: ax = 0 → impossível, pois a ≠ 0 ou 1 – an – x = 0 ↔ x = n. x 4.1 1o tipo O método básico para a resolução de equações exponenciais é reduzir ambos os membros a uma base comum. I. 3x = 243 ⇔ 3x = 35 ⇔ x = 5 5 1 x ⇔ ( 23 ) x = 2−5 ⇔ 23 x = 2−5 ⇔ 3x = –5 ⇔ x = II. 8 = 3 32 x 2 x 2 8 x 4 3 4 3 III. ( 3 ) = 9 ⇔ 3 = 3 ⇔ = ⇔ x = 4 3 3 IV. 23x – 1 · 42x + 3 = 83 – x ⇔ 23x – 1 · (2)2x + 3 = (23)3 – x ⇔ 23x – 1 · 24x + 6 = 29 – 3x ⇔ 27x + 5 = 29 – 3x ⇔ 7x + 5 = 9 - 3x ⇔ 10x = 4 ⇔ x = 0,4 4.2 2o tipo No exemplo a seguir é necessário observar que, para todo a ≠ 0, tem-se a0 = 1. Ex.: 2 2 5 2x + 3x – 2 = 1 ⇔ 5 2x + 3x – 2 = 5 0 ⇔ 2x 2 + 3x – 2 = 0 1 ⇔ x = -2 ou x = 2 4.3 3o tipo 4.4 4o tipo 2 –1 1 5x – 2 – 5x + 5x + 1 = 505 ⇔ 5x – 2 – 52 · 5x – 2 + 53 · 5x – 2 = 505 ⇔ 5x – 2 · (1 – 52 + 53) = 505 ⇔ 101 · 5x – 2 = 505 ⇔ 5x – 2 = 51 ⇔ x-2=1⇔x=3 (1) 4 –2 x 0 Em casos como o seguinte, deve-se colocar em evidência a base (no caso do exemplo, o 5) elevado ao menor expoente. (1) y = 2x (2) y = 3x (3) y = 4x –3 0 4. Equação exponencial – resoluções Uma característica peculiar dos gráficos das funções –2 –1 Figura 5 – Diferentes bases 3.3 Simetria de gráficos y= (1/2)x –2 x 0 Figura 2 – Função exponencial decrescente –3 y 6 3 No próximo caso deve-se fazer a substituição y = ax, em que a seja a base mais comum que aparece na questão (no caso y = 2x) e reduzir a equação a uma equação de 2o grau. 4x + 4 = 5 · 2x ⇔ (2x)2 – 5 · 2x + 4 = 0 y = 2x  y2 – 5y + 4 = 0 ⇔ y = 1 ou y = 4 2x = 1 ⇔ 2x = 20 ⇔ x = 0 2x = 4 ⇔ 2x = 22 ⇔ x = 2 Função exponencial 4.5 5o tipo 4.6 6o tipo Agora a base também é uma variável. A base da função exponencial deve ser maior que 0 e diferente de 1. Neste caso, podemos apelar para a injetividade da exponencial e igualar os expoentes. Entretanto, é preciso considerar a possibilidade de a base ser 0 ou 1, que devem ser analisados em separado. 2 xx – 5x + 6 = 1 I. x = 0  06 = 1 (falso) II. x = 1  12 = 1 (verdadeiro) 2 III. 0 < x  1: xx – 5x + 6 = x0 ⇔ x2 – 5x + 6 = 0 ⇔ x = 2 ou x = 3 S = {1, 2, 3} Este é um caso especial, em que há várias bases diferentes, mas pode-se reduzir a uma base comum. x x 4 x + 6 x = 2 · 9 x (÷9 x )   4  +  6  − 2 = 0  9 9 2x 2x     2 2  x = 0 + − 2 = 0 3 3     A função exponencial na Biologia e na Economia Q Como vimos, a função exponencial expressa um crescimento ou um decrescimento característico de alguns fenômenos da natureza, bem como o funcionamento dos juros compostos, importantes na matemática financeira. Vamos explorar um pouco algumas dessas aplicações. 2048 • Geralmente, o crescimento de determinados seres vivos microscópicos, como as bactérias, acontece exponencialmente. Dessa forma, é comum o uso de funções exponenciais relacionado a problemas dessa natureza. 512 a t Ex.1: (UNIFESP) Sob certas condições, o número de bactérias B de uma cultura, em função do tempo t, medido em horas, é dado por B(t) = 2t/12. Isso significa que 5 dias após a hora zero o número de bactérias é: Solução: 5 dias após o início da hora zero representam um total de 5 ⋅ 24 = 120 horas. Assim, B(120) = 2120/12 = 210 = 1024. Logo, o número de bactérias 5 dias após a hora zero será de 1024. • A decomposição ou desintegração de determinadas substâncias também acontece segundo um padrão exponencial. A chamada meia vida de uma substância é o tempo necessário para que ela reduza a sua massa pela metade. Eis aqui outro caso de aplicação das funções exponenciais. Ex.2: (VUNESP) Certa substância se decompõe aproximadamente segundo a lei Q(t) = k ⋅ 2–0,5t, em que K é uma constante, t indica o tempo em minutos e Q(t) indica a quantidade da substância, em gramas, no instante t. Considerando os dados desse processo de decomposição mostrados no gráfico, determine os valores de K e de a. Solução: A função exponencial passa pelos pontos (a, 512) e (0, 2048). Substituindo esses pontos na função, temos: Q(0) = k · 2-0,5x0 = 2048 => k = 2048 = 211 Q(a) = k · 2-0,5.a = 512 = 29 211 · 2-0,5.a = 29 => 2 11 – 0,5.a = 29 11 – 0,5 · a = 9 => a = 4 • O sistema de juros compostos também funciona de forma exponencial. Ex.3: O montante M é a quantia a ser recebida após a aplicação de um capital, C, a uma taxa, i, durante certo tempo, t. No regime de juros compostos, esse montante é calculado pela relação M = C.(1 + i)t. Considere um capital de R$ 10.000 aplicado a uma taxa de 12% ao ano durante 4 anos. Qual seria o montante ao final dessa aplicação? Solução: Como foi dito, o montante, no regime de juros compostos, é dado por M = C.(1 + i)t. Assim, nesse exemplo, temos: M = 10000 · (1 + 0,12)4 => M = 15.735,20. Logo, serão resgatados, após a aplicação, R$ 15.735,20. 3a Série / Pré-vestibular 443 Inequações exponenciais A resolução de inequações exponenciais é baseada na monotonicidade da função exponencial. A função A curva que representa a queda do carbono 14 é uma função exponencial. chama-se de meia-vida do carbono 14. e invertê-lo quando a base estiver entre 0 e 1.2:   ≤ ⇔   ≤   ⇔  3  ≤  3  ⇔ x ≥ -3 27 5 5 3 5 5 x–2 x+1 x+1 x–3 3(x – 2)(x + 1) Ex. os seres param de “reciclar” o carbono e a quantidade de carbono 14 em relação ao 12 começa a decair. conforme a tabela: Ex. e é invertida para bases entre 0 e 1. que consiste em manter o sinal da desigualdade entre os expoentes quando a base for maior que 1. Meia-vida A porcentagem da massa de carbono 14 em relação à massa do carbono 12 é constante em plantas e animais vivos.2 2 4 6 8 10 . cujo gráfico é: 1 No próximo exemplo. 3 0. 1] ∪ [2. ele possui uma massa atômica 14 com dois nêutrons a mais que o carbono não radioativo (estável) de massa 12. Assim.500.1: 3x > 243 ⇔ 3x > 35 ⇔ x > 5 x x 3 x −3 3 125 3 5 Ex. Ex.8 0.000. A meia-vida é diferente para cada elemento radioativo.568 anos Plutônio 23. a relação entre os expoentes é a mesma que entre as exponenciais para bases maiores que 1.103 anos Urânio 238 4. 2 Ex. Os dois casos estão apresentados abaixo: a > 1: ax > an ⇔ x > n 0 < a < 1: ax > an ⇔ x < n As expressões acima refletem o fato de a exponencial ser crescente para bases maiores que 1 e decrescente para bases entre 0 e 1. 0 < x < 1  x2 -5x + 7 ≥ 1 ⇔ x2 -5x +6 ≥ 0 ⇔ x ≤ 2 ou x ≥ 3  S1 = ]0. A resolução das inequações a seguir é feita reduzindo ambos os membros a uma base comum e aplicando a propriedade acima. x = 1  13 ≤ 1 (verdadeiro) III.4: 32x + 1 – 9x – 32x – 1 – 9x – 1 ≤ 42 ⇔ 32x + 1 – 32x – 32x – 1 – 32x – 2 ≤ 42 ⇔ 33 ⋅ 32x – 2 – 32 · 32x – 2 – 3 · 32x – 2 – 32x – 2 ≤ 42 ⇔ 32x – 2 · (33 – 32 – 3 – 1) ≤ 42 ⇔ 14 ⋅ 32x – 2 ≤ 42 ⇔ 32x –2 ≤ 3 ⇔ 2x – 2 ≤ 1 ⇔ x ≤ 3/2 No exemplo a seguir. a base também é uma variável.000 anos Existe uma maneira de detectar a quantidade de carbono 14 em um fóssil e. determinar o tempo que se passou desde sua morte.3: (27 ) ≥ (9 ) ⇔ 3 ≥ 32(x + 1)(x – 3) ⇔ 3(x . x > 1  x2 -5x + 7 ≤ 1 ⇔ x2 -5x +6 ≤ 0 ⇔ 2 ≤ x ≤ 3  S1 = [2. sendo preciso analisar em separado os casos de base 0 e 1. pois ele é absorvido constantemente. I.2) 2 (x + 1) ≥ 2(x +1)(x -3) ⇔ x + x ≥ 0 ⇔ x ≤ -1 ou x ≥ 0 No próximo caso. xx – 5x + 7 ≤ x.Matemática I – Módulo 11 5.5: 32x – 3x + 1 > 3x – 3 ⇔ 32x – 3 ⋅ 3x > 3x – 3 ⇔ 32x – 4 ⋅ 3x + 3 > 0 y = 3x  y2 – 4y + 3 > 0 ⇔ y < 1 ou y > 3 3x < 1 ⇔ x < 0 3x > 3 ⇔ x > 1 S = {x ∈  | x < 0 ou x > 1} Substância Meia-vida Xenônio 133 5 dias Bário 140 13 dias Chumbo 210 22 anos Estrôncio 90 25 anos Carbono 14 5. Quando esta relação for de 50% da original. o tempo será de 5. 3] 444 Vol.6: Resolva em +. Como o nome sugere. Quando morrem. x = 0  07 ≤ 0 (verdadeiro) II. Caso esse resultado seja de 50%. O resultado da desintegração do nêutron do carbono 14 origina a formação do nitrogênio 14. a partir do resultado.6 0. 3] S = [0. deve-se substituir y = 3x e reduzir a inequação a uma inequação de 2o grau.568 anos. 1[ IV. Existe um isótopo radioativo do carbono chamado 14. deve-se evidenciar o 3 elevado ao menor expoente.4 0. Ex. 68 desintegrações. que posteriormente recebeu o Prêmio Nobel de Química de 1959. (B) gráfico 1 e gráfico 2. utilizando uma função f(d). e a população da cidade B cresce linearmente.2d = -2 ⇔ d = 10 02. Dos esboços de gráficos abaixo. Uma quantidade de madeira viva equivalente produziu 6. f(d) = 100 . (D) 20. o carvão de um telhado de madeira produziu uma média de 4. (C) gráfico 3 e gráfico 1. y = 0.13 –2 –1 x 1 Solução: Letra A. por grama. (UERJ) Uma empresa acompanha a produção diária de um funcionário recém-admitido. 3a Série / Pré-vestibular 445 . (UFJF) A população da cidade A cresce 3% ao ano e a população da cidade B aumenta 3. respectivamente. Supondo que o carvão foi formado durante o reinado de Hamurábi. 5568 anos). Utilizando f(d) = 100 .100 · e-0. então e-0. 0. Madeira viva. a partir da data de sua admissão.13 No gráfico dado.693147x Com y em fração de decaimento e x em meias-vidas. no caso do carbono 14 cada meia-vida é igual a 5568. faça uma estimativa da época em que ele reinou na Babilônia. (E) gráfico 3 e gráfico 4.2d e o gráfico acima. que representa a função y = ex. uma cidade da Babilônia. Solução: Letra B.97 desintegrações por minuto.5.0. A função que representa a população da cidade A é f(n) = p0 × (1. temos 0. produziu 6. Estime a idade do carvão e. então. a população da cidade A cresce exponencialmente.68 desintegrações. quando d for igual a: (A) 5. produziram uma média de 0. Esse sistema de datação foi primeiramente utilizado pelo americano Willard F. na França. • Em 1950. são: População População Tempo Tempo Exercícios Resolvidos 01. em uma amostra equivalente. Os dois problemas abaixo são ilustrações reais desse método: • O carvão das famosas cavernas Lascaux.2d = 87 ⇔ e-0. cujo valor corresponde ao número mínimo de peças que a empresa espera que ele produza em cada dia (d).72 Gráfico 3 Tempo Gráfico 4 (A) gráfico 2 e gráfico 1.03)n. no gráfico. em que p0 é a população inicial da cidade A.13 = e-2. a provável data das famosas pinturas da caverna. (D) gráfico 2 e gráfico 4.2 ⋅ d = e-2 ⇔ .37 0.09 desintegrações por minuto. a empresa pode prever que o funcionário alcançará a produção de 87 peças nem um mesmo dia.Função exponencial E a função é: y = e–0. Logo.2 ⋅ d = 0. para x = 1 (ou seja. (C) 15. Note que.100 ⋅ e-0. Libby. em que q0 é a população inicial da cidade B. y=e Gráfico 1 População Gráfico 2 População x Tempo 2. o que aparece no gráfico 2. o que aparece no gráfico 1. por grama de material.000 habitantes por ano. (B) 10. aqueles que melhor representam a população da cidade A em função do tempo e a população da cidade B em função do tempo. Considere o gráfico auxiliar abaixo. A função que representa a população da cidade B é g(n) = q0 + 3000 × n. nas escavações em Nippon. 1.5 1 –3 –2 0 –1 0 1 3 2 x –0.5 x 0 –3 –1 –2 0 1 2 3 y (B) Com base no gráfico anterior.5 y x 0 0 0. (B) primo. 3 .Matemática I – Módulo 11 03.4 = 3x ⇔ x2 -3x -4 = 0 ⇔ x = -1 ou x = 4 O menor número real que é solução da equação é m = . podemos traçar o gráfico de x  1 h( x ) =   .5 1. x2 − 2 446 Vol. m = −1 = i . Então. (D) irracional.5 –1 –0. logo. x  1 O gráfico de g( x ) =   é: 2 y 0. 2 1 –1. a que melhor corresponde ao gráfico da função f(x) = 1 – 2–|x| é: (A) y Solução: Letra C. −x  1  2 x2 – 2 · 5–2 = (5–3)–x ⇔ 5x – 4 = 53x ⇔ 5 ÷ 25 =   ⇔5 125   x2 .5 1 2 2. que não é real. (FUVEST) Das alternativas abaixo. m é um número: ÷ 25 =    125  (A) par.5 1 y (C) –3 1 –3 –2 –1 0 0 1 2 3 x –2 0 –1  1 O gráfico de f ( x ) = 1−   2 x 0 1 2 3 1 2 3 x y y (D) 1 1 0 –3 –3 –2 –1 0 –2 –1 0 x x 0 1 2 3 04. (FATEC) Seja m o menor número real que é solução da equação (E) −x  1  . (C) não real. (E) divisível por 3. y 5x 1 0 –3 –2 –1 x 0 1 2 3 2 −2 Solução: Letra C. Em um meio de cultura especial. em horas. 04. 04. 1) · t. (B) superior a 15 minutos e inferior a 30 minutos.001 · (10 então x12 + x22 é: (A) 5. Sem cometer o mesmo erro que José. ). levando-o a essa conclusão absurda. e k e c são constantes a serem determinadas. Pelos programas de controle de tuberculose. b. 03.1 2. Em um período prolongado de seca. inteiro e positivo. por Q(t) = k × 5kt. T é medida na escala Celsius. 03. (E) 10.2 2.0 10. Esse fenômeno pode ser representado por uma função exponencial do tipo f(x) = a · bx. 960%  1 2   01. para que o risco de infecção se torne igual a 0. Se x1 e x2 são as raízes da equação 2 · 5 = 0. a. e k uma constante. (B) 22. em que Ro é o risco de infecção no início da contagem do tempo t e k é o coeficiente de declínio. (C) superior a 30 minutos e inferior a 60 minutos. em minuto. k = 10%. é dada pela função Q definida.5% 0 7 4 x (anos) Determine a taxa de inflação desse país no quarto ano de declínio. (C) x = 0. (A) 12. Assinale a opção que indica quantos bilhões de bactérias estão presentes nesse meio de cultura no oitavo minuto. em anos. sendo t o tempo. Segundo a lei do resfriamento de Newton. (E) 1. isto é. em bilhões. (B) 7. que decresce em função do tempo t. Considere uma xícara contendo café. Se x é um número real tal que 2–x · 4x < 8x + 1. Calcule a temperatura do café 50 minutos após a xícara ter sido colocada na sala.3 2. a temperatura do café passa a ser de 40°C. o tempo máximo de que os cientistas dispõem para utilizar este material antes que ele se volatilize totalmente é: (A) inferior a 15 minutos. (D) 9. Assim sendo. y = f(x) 7.4 2. Vinte minutos depois. (D) x < 3/2. é de: (A) 21.Função exponencial Exercícios de Fixação Exercícios Contextualizados x2 x2 01.5. José apresentou o seguinte raciocínio: 2 3  1  1 1 1 > tem-se   >   e conclui-se que 2 > 3. no quarto minuto. de acordo com a fórmula m = – 32t – 3t + 1 + 108. então: (A) – 2 < x < 2. colocada em uma sala de temperatura 20°C.0 11. com a implantação de um programa nessa cidade. (D) superior a 60 minutos e inferior a 90 minutos. cuja contagem inicia-se com o cálculo de Q(0). para t ≥ 0. 02.000.5 O tempo. 3a Série / Pré-vestibular 447 . Suponha que. igual a 25 Q(0). a quantidade de bactérias.2% . (C) 312. determine o menor número m. (B) 25. (D) 34.2 9. Use a tabela abaixo para os cálculos necessários: m+1 . (C) 23. sendo q0 a quantidade inicial de água no reservatório e q(t) a quantidade de água no reservatório após t meses. em anos. Ao resolver uma questão. a temperatura T de um corpo colocado num ambiente cuja temperatura T0 obedece à seguinte relação: T = T0 + k · e–c · t. 02. inicialmente a 100°C. do seguinte modo: R = Ro × e-kt . (B) x = 1. O risco de infecção atual em Salvador foi estimado em 2%. a partir do instante em que o corpo foi colocado no ambiente. conforme o gráfico abaixo. em gramas. 05. fosse obtida uma redução no risco de 10% ao ano. Em quantos meses a quantidade de água no reservatório se reduzirá à metade do que era no início? (A) 5. torna-se. (D) 24. (E) superior a 90 minutos e inferior a 120 minutos. Nesta relação. A quantidade de bactérias. a variação da quantidade de água de certo reservatório é dada pela função q(t) = q0 · 2(–0. (C) 8.5. (B) 10. (D) 625.2 x 2. A inflação anual de um país decresceu no período de sete anos. 3–x 2 (C) 13. t é o tempo medido em horas. Em um laboratório é realizada uma experiência com um material volátil.0 12. (E) x > – 3/2. sabe-se que o risco de infecção R depende do tempo t. cuja velocidade de volatilização é medida pela sua massa.” 4 8 2 2 Identifique o erro que José cometeu em seu raciocínio. que satisfaz à inequação “Como 4/m  1 >  4 ex 8. na qual a variável t é dada em anos e a e b são constantes. após t meses do início das atividades na empresa. um novo vendedor. 4 272λ − 27λ + 27−1 > 0 . tal que: V(t) = B · ek · t. graficamente. 9 x y = y x 03. c. relacionando a produção dos operários com sua experiência: Experiência (meses) 0 6 Produção (unidades por hora) 200 350 O gerente acredita que a produção Q se relaciona à experiência t. B e k constantes obtidas experimentalmente.  y = ax 50 448 Exercícios de Aprofundamento t . Certa mercadoria foi promovida por uma substancial campanha de propaganda e. o volume diário de vendas era 8.72.. V(t) 50 10 3 20 1 Vol. Mostre que. Calcule o número de eleitores dos candidatos A e B em 1o de janeiro de 2000. A(t) = 2 · 105(1. 10 dias após encerrar a promoção. Considere as estimativas corretas e que t = 0 refere-se ao dia 1o de janeiro de 2000. sendo B o número de unidades vendidas em determinado dia. Uma empresa estima que após completar o programa de treinamento básico. quantos meses de experiência serão necessários para que os operários possam produzir 425 unidades por hora? b. as vendas diárias decresceram a uma taxa proporcional às vendas diárias. 9 4 y = 272 x − 27 x + 27−1 . Qual o tempo mínimo para que a população se reduza a 1/8 da população inicial? c. pede-se: Determine as constantes A. 3 01.72 e k um número real. b. Suponha que o número de indivíduos de determinada população seja dado pela função: F(t) = a · 2–bt. com A. a razão entre os números de eleitores de A e B era maior que 1. Sabe-se que. sendo e = 2.. e = 2. Qual o volume diário de vendas 30 dias após o encerramento da promoção? 07. e represente.4)t a. pouco antes de encerrar a promoção. O gerente de produção de uma indústria construiu a tabela abaixo. a.000 unidades. será capaz de vender V(t) reais em mercadorias por hora de trabalho. positivo. Em um município. a função. qual será a máxima produção possível dos operários dessa empresa? 02. Resolva o sistema  em que a ≠ 1 e a > 0. sabendo que o gráfico da função V está representado abaixo. em anos.000 unidades. em 1o de outubro de 2000. b. após t dias.Matemática I – Módulo 11 05. Determine em quantos meses os candidatos terão o mesmo número de eleitores. Determine os valores de l que satisfaçam à inequação. V(t) a quantidade de vendas por dia. de acordo com as seguintes funções: 08. Sendo V(t) = A – B · 3–k · t. Considerando que as projeções do gerente de produção dessa indústria estejam corretas. Encontre as constantes a e b de modo que a população inicial (t = 0) seja igual a 1024 indivíduos e a população após 10 anos seja a metade da população inicial.6)t B(t) = 4 · 105(0.40]. a. constatou-se que o número de eleitores dos candidatos A e B variava em função do tempo t. sem experiência anterior em vendas. a quantidade diária de vendas era 10. Esboce o gráfico da função F(t) para t ∈[0. e k um número real. após uma pesquisa de opinião. Imediatamente após. através da função Q(t) = 500 – A · e–k · t. 06. B e k. Desse modo. (D) 16.00. pode-se afirmar que a soma das abcissas dos pontos em que o gráfico de f corta o eixo x é: (A) 0.000. em que V0 é o valor inicial e V(t) é o valor após t anos de uso. para pertencer ao grupo dos 600 indivíduos mais ricos dessa sociedade é preciso ter no mínimo uma renda anual de: 2. 3a Série / Pré-vestibular 449 . utilizando uma função f(d). O processo de resfriamento de um determinado corpo é descrito por: T(t) = TA + a · 3b · t. (C) e. Um empregado está executando a sua tarefa com mais eficiência a cada dia. a empresa pode prever que o funcionário alcançará a produção de 87 peças em um mesmo dia. Richter.00. Considere o gráfico auxiliar abaixo. 0. Um termômetro no corpo indicou que ele atingiu 0°C após 90 minutos e chegou a –16°C após 270 minutos. em que T(t) é a temperatura do corpo. Dada a função f: R → R. (A) 10. em graus Celsius. Se. quando d for igual a: (A) 5.00. E. julgue como (V) verdadeiro ou (F) falso cada item a seguir. b. de acordo com a expressão E = E0 · 10 3M 2 em que E0 é uma constante. A fórmula N = 6 · 108 · V– 3/2 relaciona.1. Nessa escala. (E) 51%.5 · t) seja o número de unidades fabricadas por dia por esse empregado. Suponha que N = 640 · (1 – 2– 0. 04. Uma empresa acompanha a produção diária de um funcionário recém-admitido. (D) R$ 10. (B) R$ 100. (C) 49%.72 –2 02. definida por f(x) = e4x – e2x – e2(x + 1) + e2. para t = t1 . em joules (J). então t1 é igual a: (D) 1 + e. dado em minutos. y2) 01. em relação ao valor inicial. 04. (C) tem uma solução com x e y inteiros.000. y1) e (x2. A magnitude M de um terremoto é medida pela escala Richter. (C) 14. TA é a temperatura ambiente. 05. a partir da data de sua admissão. (D) 20. 3 02. (D) 50%. em 1934.1)x . O valor de revenda de um carro é dado por V(t) = V0 · (0. 03.000. é: (A) 24%.00. Determine o valor de t para o qual a temperatura do corpo no 2 congelador é apenas   °C superior à temperatura ambiente. (D) tem uma solução com x e y racionais não inteiros.000.1)2x + 3 > (0. a. o número N de indivíduos que possuem renda anual superior ao valor V. criada por Charles F. (B) 10.000.00. (B) 1. (E) R$ 100. A alternativa que mais se aproxima do percentual de desvalorização desse carro. Nessas condições. no instante t. y = ex (A) R$ 10. após 3 anos exatos de uso. após t dias do início do processo de fabricação. (0. e a e b são constantes.000. (B) tem uma solução tal que x = y. Encontre os valores numéricos das constantes a e b.000. O referido corpo foi colocado em um congelador com temperatura de –18°C. que representa a função y = ex. se e somente se: (A) x < 4 (B) – 4 < x < 4 (C) x > – 4 (D) x > 4 (E) x < – 4 03. (E) tem duas soluções diferentes (x1.Exercícios de função exponencial M ódulo 12 Matemática I Exercícios de Fixação Exercícios Contextualizados 3 x + y = 81 01. cujo valor corresponde ao número mínimo de peças que a empresa espera que ele produza em cada dia (d). em reais.000. (C) R$ 1. (B) 47%.13 –1 1 x Utilizando f(d) = 100 – 100 · e– 0.8)t. (B) 12. N = 635. (C) 15. (E) 1 + e2.2d e o gráfico acima. O sistema de equações  x − y : 81 = 3 (A) não tem solução. pode-se afirmar que. a magnitude de um terremoto está relacionada com a energia liberada por ele. suposta constante.37 0. em uma dada sociedade. Com base nessas informações. 5. (E) 0. (E) 60% menor que V.000. ( ) O número de frangos infectados somente no terceiro dia é inferior a 1. de 20%. 450 (D) 8. ( ) Considerando que uma tonelada de dinamite (TNT) libere 5 E0 · 109/2 J durante uma explosão.8 )3.000 ratos. (B) 2. No lugar antes ocupado pela água vão ficando lacunas e.25t. Se em 2014 havia 112. Vol. o conjunto tende a retrair-se. 06.000 E0 J. contado em anos. Se no período que vai da infância até a maioridade de um indivíduo sua massa é multiplicada por 8. a população t anos após. 50 vezes maior que a liberada por um terremoto de magnitude 4. (B) 36% menor que V. de forma cúbica de aresta a. aproximadamente. (E) 64. . a população de certa região do país vem decrescendo em relação ao tempo t.2% menor que V. segundo a relação P(t) = P(0) · 2– 0. Uma outra expressão 02. Sabe-se que y = 2 2(1+ 4sen x ) para y é: (A) 2. sendo o tempo t medido em anos. a Alometria estuda a relação entre medidas de diferentes partes do corpo humano. uma vez que o volume do cubo é diretamente proporcional ao comprimento de seu lado. pelo menos. Em uma cidade. Dentre outros objetos de pesquisa. toda a população de frangos da granja será infectada. porque cada lado diminui 20%. em que ano o número de ratos será igual ao de pessoas? Exercícios de Aprofundamento 01. (D) 12. por quanto será multiplicada a área da superfície corporal? (A) 3 16 . (E) 2– 2cos2x. 10. O conjunto solução da inequação 22x + 2 – 0. (A) 6. a área A da superfície corporal de uma pessoa relaciona-se com a sua massa m pela fórmula A = k · m2/3. (B) 4. (D) 5½. que consiste na evaporação da água existente em um conjunto ou bloco cerâmico submetido a uma determinada temperatura elevada: em seu lugar aparecem “espaços vazios” que tendem a se aproximar. então um terremoto de magnitude 8 libera mais energia que uma explosão de 8 milhões de toneladas de TNT. 08. consequentemente. Por exemplo.Matemática I – Módulo 12 ( ) Se a energia liberada por um terremoto for de 1. Assinale a opção correspondente ao valor da soma das raízes 3 1 2 da equação y 2 + 5y + 2 y + 8 = 0: (A) 5. ∀ x ∈ . o volume V de uma travessa de argila.000 frangos em uma granja pode ser descrita pela equação P( t ) = 11480 .75 · 2x + 2 < 1 é: (A) {x ∈ |x > 0} (B) Ø 1 (C) {x ∈ | − < x < 1} 4 (D) {x ∈ |x < 0} (E) nenhuma das anteriores. em dimensões lineares. Segundo dados de uma pesquisa. (B) 8. Com base nessas informações. porque cada lado diminui para 80% do comprimento original. 07.200. (C) 21. (E) 15. 3 09. ( ) Caso a doença não seja controlada. então a magnitude desse terremoto será igual a 5 na escala Richter. (D) 51. Levando em consideração o processo de cozimento e a contração sofrida.2)a]2 (C) 48. Sendo P(0) uma constante que representa a população inicial dessa região e P(t).8% menor que V. A disseminação de uma doença infecciosa em uma determinada população de 30. em que t é o número de dias decorridos 1 + 34 − t desde a detecção da doença. Determine quantos anos se passarão até que essa população fique reduzida à quarta parte da que era inicialmente. Considere que no processo de cozimento a cerâmica de argila sofra uma contração. porque o volume diminui de a3 para (0. (D) 2– cos2x. porque a área da base diminui de a2 para [(1 − 0. (C) 2– 2sen2x. (C) 24 . A cerâmica possui a propriedade da contração. a população de pessoas é dada por P(t) = P02t e a população de ratos é dada por R(t) = R04t. diminui para um valor que é: (A) 20% menor que V. 03. (B) 2– sen2x. julgue como (V) verdadeiro ou (F) falso cada item a seguir. ( ) A quantidade de frangos infectados no momento em que a doença foi detectada é superior a 150. (C) 10. segundo a Alometria. 2 + 2cos 2 x .000 pessoas e 7. em que k é uma constante positiva. que é definido como o momento do aparecimento dos primeiros casos (t = 0) e P(t) é a quantidade total de frangos infectados após t dias. ( ) A energia liberada por um terremoto de magnitude 5 é. e sua base é 10.1 Condição de existência O logaritmo de b na base a somente é definido quando: a > 0 e a ≠ 1  b > 0 Ex: Para que valores de x está definido? logaritmando: 3 – x > 0 ⇔ x < 3 base: x +1 > 0 ⇔ x > –1 x +1 ≠ 1 ⇔ x ≠ 0 1. quando a base é omitida. aloga b = b II. n ≥ 2. b. Essa escala é utilizada para mensurar a intensidade de um terremoto. loga (b · c) = loga b + loga c  b II. define-se logaritmo de b na base a como o expoente x que satisfaz ax = b. pois 102 = 100 log3 1 1 = −4. a é a base e x é o logaritmo.: log10 2 + log10 5 = log10 10 = 1  12  log2 12 − log2 3 = log2   = log2 4 = 2  3  O logaritmo está definido para x ∈ ]–1. loga b = loga c ⇔ b = c III. pois 23 = 8 log 100 = 2. b. os logaritmos são ditos decimais. 3a Série / Pré-vestibular 451 .: log2 8 = 3. pois 3−4 = 81 81 −2  1 log 1 25 = 2. quando o assunto é a intensidade de um abalo sísmico ou terremoto. c ∈ +* e a ≠ 1 e k ∈ . pois   = 25 5 5 1 = log49 7 1 = . logab = x ⇔ ax = b em que b é chamado logaritmando. pois 49 2 7 2 1. c ∈ +*e a ≠ 1 e α. loga a= 1 V. 1. log( aβ ) ( bα ) = α · log a b β Exs. loga a = k k Exs. Então: I. Definições e propriedades Sendo a e b números reais positivos e a ≠ 1. Então: I. Convenciona-se que. Ex. loga (bα) = α · loga b 1 IV. a quantidade de energia liberada durante o abalo sísmico decorrente da movimentação das placas tectônicas.2 Consequências imediatas Sejam a.: log2 1=0 log 7 7 = 1 log3 3− 5 =− 5 2log2 27 = 27 1. log a   = log a b − loga c c III.Logaritmos M ódulo 13 Matemática I Você já se perguntou como é possível medir a intensidade de um terremoto? Provavelmente. log( aβ ) b = · log a b β V. 3[ – {0}. loga 1= 0 IV. Vamos estudar nesse módulo os logaritmos. O aparelho capaz de medir tais amplitudes é denominado sismógrafo. isto é. β ∈  e n ∈ .3 Propriedades Sejam a. Essa escala varia de 0 a 9 graus e a magnitude (em graus) é o logaritmo da medida das amplitudes das ondas produzidas pela liberação de energia durante o terremoto. você já ouviu falar na Escala Richter. b. Localização Data Leitura na Escala Richter Chile 1960 8.7182. Richter. · logy z = loga z Demonstração log b log c log d log z log z · · . loga b · logb c · logc d · . 3 A tabela abaixo fornece a intensidade de alguns importantes terremotos acontecidos neste planeta e as suas respectivas intensidades. log b = x ⇔ 10x = b. log n a b = log 1 b = n · log a b an A escala Richter 1. Isso permite concluir que log b somente tem como resultado um número inteiro.4 Alasca 1964 8. = = log a z log a log b log c log y log a 452 Vol. Nesse caso. logc a · loga b = logc b Demonstração log a log b log b · = = logc b log c log a log c III. nessa escala. b.9 São Francisco 1989 7. são aqueles de base a = 10. se b for uma potência de 10. demonstre que: I.4 Mudança de base Sendo a. baseia a medida da magnitude de um terremoto numa escala logarítmica de base 10. Utilizando a fórmula. 1 · log3 2 3 = log27 2 log = 2 ( 33 ) = log81 32 log = ( 25 ) ( 34 ) 5 log3 2 4 3. log = b log = a a b 1 · log a b n IV. chamada assim em homenagem ao sismólogo americano Charles F.3 Cidade do México 1985 8...Matemática I – Módulo 13 2.9 (maior valor registrado em um terremoto). Este logaritmo é muito importante. Logaritmos neperianos Os logaritmos neperianos ou logaritmos naturais são os que têm como base o número irracional e ≅ 2. temos: log a b = Ex. podemos verificar qual a energia liberada no terremoto do Chile de 1960: .7 Irã 1990 7. em que E é a energia libertada no terremoto em quilowatt-hora e E0 = 7 × 10–3 kWh.. log a   = log a b−1 = − log a b  b II. Logaritmos decimais 5 = log7 32 log = 5 · log7 2 7 (2 ) Os logaritmos decimais.7182..: log a b = Utilizando a propriedade da mudança de base. também conhecidos como logaritmos de Briggs. c ∈ +* e a. pois o número irracional e ≅ 2. A intensidade M de um terremoto. 1 I. logc a log2 8 3 3 = = log2 14 log2 2+log2 7 1+log2 7 2 5 ⇔ log b a = 5 2 log2 7 · log7 4 = log2 4 = 2 Exs.: log14 8 = logc b . log 1  b = log a−1 b = − log a b ln b = loge b Da definição temos que ln e = 1.1 A escala Richter.    a 1 n n III.  E 2 log10    E0  M= 3 A fórmula de M apresentada acima é empírica. é um número que varia de zero até 8. aparece diversas vezes na matemática superior e em fenômenos físicos. medidas de acordo com a escala Richter. c ≠ 1. loga b = 1 log b a Demonstração log = a b 1 1 log b = = log a log a log b a log b II.1 Armênia 1989 6...5 Peru 1970 7. Dada a igualdade y = logx (x2 – 4). = p log = log 3 4 e r = log 1 2 . (D) p < r < q. É correto 07.. a ≠ 1.2 → E = 7 × 10−3 × 1012. determine o produto a · b · c. Nessas condições. (C) q < r < p. 3a Série / Pré-vestibular 453 . + log é igual a: 3 4 5 20 (A) – log 20. nesta ordem.· log10 9 é: (A) 0. (B) –1. seria capaz de alimentar 15. 3 4 19 2 04. como a.000 cidades de 300. b > 0 e b a ≠ 1. (D) 1. Solução: Letra D.48. por exemplo. q 3 afirmar que: (A) p < q < r. (B) r < q < p. 68 × 109 KWh Uma cidade com 300. (C) log 2. b e q números reais positivos. b4 = a2 e. 4 = 3  2   → log  E  = 25. Se n = 82 · log2 15 – log2 45. estão em progressão aritmética. Considere a. Considere 3 2. (B) log10 2. b e x tais que a ≠ 1 e b ≠ 1. (E) r < p < q. Solução: Letra E. encontre o valor de logc b.88.Logaritmos  E 2 log  −3  7 × 10 8. Os números a. log b e log c. b > 0. 06. (D) 53.6 → −3   7 × 10  E = 4. o valor de log 15 é: (A) 0.3 e log 3 = 0. Calcule log a · b a x .18. (D) log4 3. log 2 x 2 + 1 = 1 ⇒ 2 x 2 + 1 = 10 ⇒ 2 x 2 = 9 ( ⇒x= ) 3 2 ou x = − 3 2 02. (UFF) Considere log b Solução: 1 1 log b = x ⇔ = b x ⇔ a = b x a a 2 −2 log b2 = log b− x b2 = · log b b = −x x 04. Sabendo que log b = 2. 02. Se a energia de um terremoto pudesse ser de alguma forma transformada em energia elétrica. b e c são tais que seus logaritmos decimais log a. Então o valor de n é: (A) 52. (E) 1. + log10 (0.98. 48 + 1− 0. O valor da expressão log3 2 · log4 3 ·.  10  log 15 = log(3 · 5) = log 3 + log 5 = log 3 + log   =  2 = log 3 + log 10 − log 2 = 0. (UFF) São dados os números reais positivos a. Solução: loga x = 2 ⇔ x = a2 logb x = 4 ⇔ x = 4 Então. 03.. (PUC-RJ) Os valores de x tais que o logaritmo de 2x2 + 1 na base 10 é igual a 1 são: 3 . 2  −3   7 × 10  2  E  = 1025. (D) 1. (B) 0. o terremoto chileno de 1960.. 1 (B) 2 (D) e− 1 2 3 (C) 3 e – 3. (C) 25. 08.. (E) 1.78.000 habitantes utiliza cerca de 3 × 105 kWh de energia elétrica por dia. A soma log + log + log + . Sabendo-se que c é o produto de quatro termos consecutivos de uma PG cujo primeiro termo é a e cuja razão é q.000 habitantes em um dia! Exercícios Resolvidos 01. 3 = 118 . temos a = b2 e b = a½. 05.1)+log10 (0. (FGV) Consideremos os seguintes dados: log 2 = 0. (C) 0. (A) 1 e –1. 03. tais que loga b = 4 e loga q = 2. Calcule o valor do número natural n que satisfaz a equação log10 (0. = log a · b a x log = a2 log 1 a 2 a· a 2· a 3 2 a2 = 2 4 · log a a = 3 3 1 = x . sendo a > 0. Calcule o valor de loga b2. Exercícios de Fixação 01. (C) log4 3.1)n = –15. determine os valores reais que x pode assumir para que y seja um número real.08. (B) 83. e− 2 2 (E) 1 e – 2.. Sabe-se que loga x = 2 e logb x = 4.. (E) 2.1)2 + . ) 02. (D) M e N são números inteiros positivos. (D) 3998. Se Q(20) = 400 g e Qo = 500 g. Sendo m a magnitude aparente e M a magnitude absoluta de uma estrela. em 2 2 que ln expressa o logaritmo na base neperiana e (e ≅ 2. (C) 2001. (B) M e N têm sinais contrários. a expressão de t em função de Q. pela fórmula M = m + 5 log3(3d–0. (C) M é o inverso de N. Em 1990. Sabendo que log M + log N = 0. O número de algarismos escritos é igual a (utilize log 2 = 0. Ao fazer o cálculo você verá que esse valor é um número que não depende de n.Matemática I – Módulo 13 09. coberta pela vegetação n anos mais tarde. Uma brincadeira muito comum entre os jovens Klingons. 100 (B) 1 . y M N P Q x Sejam M. em que d é a distância da estrela em parsecs. Sabe-se que pH = – log[H+] em que [H+] é a concentração de íons. dada em mol por litro. a área coberta pela planta era de 160 m2. 454 Dois klingons decidiram encontrar o número de algarismos ao escreverem os números 21999 e 51999 lado a lado. (D) 100. ( 10.560 m2 fosse coberta. b. e – λ uma constante. Determine qual é o tempo necessário para que um capital empregado à taxa de 2% ao mês dobre de valor. ele mistura x litros da solução de pH = 1 com y litros da solução de pH = 3. usando log1016 = 1. N os pontos de interseção dos dois gráficos e P.68.3010): Vol. Q suas respectivas projeções sobre o eixo x.3 determine: a. naturais do planeta Kronos (Qo’noS em sua língua). (C) 10. 04. 09. Exercícios Contextualizados 01. 05. Um químico deseja produzir uma solução com pH = 2 a partir de duas soluções: uma com pH = 1 e outra com pH = 3. Já a magnitude absoluta da estrela é a magnitude aparente que a estrela teria se fosse observada a uma distância padrão de 10 parsecs (1 parsec é aproximadamente 3 · 1013 km).3010 e log 1. Calcule o valor da expressão log n log n n n ) n . A figura a seguir mostra os gráficos das funções f e g. Determine a distâcia. (E) M e N não existem. determine o valor de k. definidas x x no intervalo ]0. e a partir de então o aumento anual da área coberta pela vegetação foi de 60%. Sendo x e y número reais e y ≠ 0. expresse o logaritmo de 3x na base 2y em função de x.48).2 e magnitude absoluta – 0. a relação entre m e M é dada. o tempo necessário para que o capacitor recarregue 90% da carga máxima. Considerando λ = ½ e ln 10 = 2. (E) 3999. aproximadamente. Determine a área do trapézio MNQP. 10 (A) 1999.7). a área. a bateria começa imediatamente a recarregar o capacitor que armazena uma quantidade de carga elétrica (medida em Coulomb) dada por Q = Q( t ) = Qo · (1− e − λt ) sendo: – Q(t) a carga elétrica armazenada até o instante t. Um determinado lago foi tomado por uma vegetação. 03. medido em segundo. Para tanto. n ≥ 2. 4] por: f ( x ) = − n x e g( x ) = − ( n x )2 .2 quantos anos se passaram até que uma área de 2. A estrela Rigel tem aproximadamente magnitude aparente 0. 07. pode-se afirmar que: (A) M e N são nulos. A desintegração de certo material radioativo é dada por Q(t) = Qo · 10–kt. Considerando-se x essas informações. em m2.02 = 0. As magnitudes aparente e absoluta de uma estrela são muito úteis para se determinar sua distância ao planeta Terra. consiste em encontrar o número de algarismos de grandes números. 06. (B) 2000.0086. Determine: a. . de Rigel ao planeta Terra. b. em quilômetros. O brilho de uma estrela percebido pelo olho humano na Terra é chamado de magnitude aparente da estrela. é correto afirmar que é: y (A) 1 . y e log2 3. em que n é um número inteiro. 3 08. (Use log 2 = 0. Após acionado o “flash” de uma câmera fotográfica. – Qo a carga máxima. em que: Meia-vida ou período de semidesintegração de um isótopo radioativo é o tempo necessário para que sua massa se reduza à metade. loge x Em um laboratório. d. (D) (5/2)3/2.00 x (A) 40. 5]. • C é a massa inicial. (D) 57. (B) 42.2. Seja (a.em que 2<x<3. (C) 4 ≤ M ≤ 5. 03.96 – 0. 04.  1 da inequação log 1 log a   a  a Então. (E) [1 . (D) ]1 . (C) (5/2)2. (D) { x ∈ R / 1/2 ≤ x <1}. sendo  o conjunto dos números reais.3) Determine f(log2 3) – g(2). a: 0. (B) { x ∈ R / 1 ≤ x ≤ 3}.043 2. c. Se a soma de seus termos é igual a 13a + 12 e x é um número real positivo diferente de 1 tal que 1 1 1 1 1 5 + + + + = . funções tais que: I. 4[. 4].693 0. • k é uma constante associada ao isótopo radioativo. 48 e log 2 ≅ 0. Utilize a definição e o gráfico abaixo para responder à questão abaixo A meia-vida de um isótopo radioativo pode ser calculada utilizando-se equações do tipo A = C · ekt. Sobre a expressão M = 1 1 + . existem 60 mg de 226Ra. e) uma progressão geométrica de razão a.a. +∝[. a (A) [4 . com a > 0 e a ≠ 1. É dado um número real a. f é uma função par e g é uma função ímpar. (C) { x ∈ R / 0 < x ≤ 1/2}. (E) 7 ≤ M ≤ 10. (E) (2/5)2. • A é a massa existente em t anos. então x é igual a: log a x log b x logc x logd x loge x 2 (A) 33. Sejam f:  →  e g:  → . (B) 2 < M < 4.d. (E) n. (C) 50. 3a Série / Pré-vestibular 455 .qual das log2 x log5 x afirmações abaixo está correta?(log 3 ≅ 0.2. S é o intervalo: x −7 ≤ log 1 ( x − 1). da quantidade original desse isótopo. 02. com a > 1. (B) 23. (B) [4 . Daqui a 100 anos restará.6. S é o conjunto solução (A) 1 ≤ M ≤ 2. b. 05. O conjunto dos números reais que verificam a inequação 3 · log x + log (2x + 3)3 ≤ 3 · log 2 é dado por: (A) { x ∈ R / x > 0}. (D) 5 < M < 7.6. II. (C) ]1 . cujo período de semidesintegração é de 1600 anos. 7[. o correspondente. em mg. Exercícios de Aprofundamento 01.Logaritmos 10. f(x) + g(x) = 2x. Essa propriedade tem aplicação na resolução das inequações logarítmicas. Vol. 3 está todo à direita do eixo Oy. a função logarítmica de base a é a função de +* em . os números positivos menores que 1 têm logaritmo positivo e os números maiores que 1 têm logaritmos negativos. 456 • • • • 3 y = ax y=x 2 y = log a(x) 1 –3 –2 –1 1 –1 –2 2 3 . Como f(1) = loga 1 = 0. log0. é metabolizada e eliminada a uma taxa proporcional à quantidade presente no corpo.: log5 2 > 0. Claro que as equações logarítmicas não servem apenas para calcular o tempo que um medicamento fica no corpo. tem as seguintes características: Ex. Suponha uma superdose de um medicamento cujo princípio ativo é de 500 mg. mas esse exemplo nos mostra que mesmo os cálculos que aparentemente não nos serviam para nada podem ser aplicados em situações do dia a dia.Função logarítmica M ódulo 14 Matemática I © iStockphoto. com 0 < a ≠ 1 é injetora. Já para bases entre 0 e 1. f(x1) = f(x2) ⇔ x1 = x2 Essa propriedade respalda a solução das equações logarítmicas. assunto deste módulo. ao passar pelo fígado e pelos rins.: f(x) = log10 x e f(100) = log10 100 = 2 1. é crescente para a > 1 e decrescente para 0 < a < 1. Os gráficos da função logarítmica estão exemplificados abaixo: 1. 0 < a < 1: a > 1: Ex. corta o eixo Ox no ponto de abscissa 1. A função f(x) = loga x. Usando a função logarítimica. a função f(x) = loga x é crescente.com / lovleah Por que é crucial tomar remédios sempre na hora certa? Quando um paciente ingere um medicamento. III. Já quando a > 1. a droga entra na corrente sanguínea e. a função f(x) = loga x é decrescente.1 Propriedades I.5 2 < 0 e log0.5 0. o eixo Oy é assíntota do gráfico. os números positivos menores que 1 têm logaritmos negativos e os números maiores que 1 têm logaritmos positivos. a ≠ 1. log5 0. obter o tempo necessário para que a quantidade dessa droga presente no corpo do paciente seja menor que 100 mg. para bases maiores que 1.2 Gráfico Seja a ∈ +*. Função logarítmica 1. Quando 0 < a < 1. II.5 < 0. é possível.25 > 0.2. o par ordenado (1.1 1o caso: a > 1 x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2) x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2) Como consequência. 1. O gráfico da função logarítmica f(x) = loga x. definida por: f(x) = loga x O domínio da função logaritmo é +* e a imagem é . por exemplo. com 0 < a ≠ 1. 0) pertence ao gráfico da função exponencial. 2.1 água da torneira 5.2 Equações com logaritmo de mesma base em ambos os membros Podem ser resolvidas utilizando a injetividade da função logarítmica.1 sumo de tomate 4. log4 (x2 – 4x + 3) = 1 ⇔ x2 – 4x + 3 = 4 2 2 ⇔ x2 – 4x +1 = 0 ⇔ x = 2 + 3 ou x = 2 – S = {2+ 3. 4} V. deve-se garantir a condição de existência dos logaritmandos e da base quando essa depender de x. Um pH abaixo de 7 indica acidez e.: 1 I. 7} y=x 2 1 –3 –2 –1 0 1 2 1 III. Observando a tabela abaixo. o pH de soluções é uma medida da sua acidez ou alcalinidade.3) 2. Equações logarítmicas Serão apresentados dois casos principais de equações logarítmicas. deve-se garantir a condição de existência para a base. 4} 2. (log2x)2 – log2 x – 2 = 0 y = log2 x ⇒ y2 – y – 2 = 0 ⇔ y = – 1 ou y = 2 log2 x = – 1 ⇒ x = 2 – 1 = 1/2 log2 x = 2 ⇒ x = 22 = 4 S = {1/2. 0 < a ≠ 1 e b ∈  : loga f(x) = b ⇒ f(x) = a b É importante observar que caso a dependa de x. log 1 [log3(log4x)]=0 log3(log4x) =   =1 2 3 –1 –2 2 ⇔ log4 x = 31 = 3 ⇔ x = 43 = 64 S = {64} IV. Ex.Função logarítmica 1. a uma escala logarítmica de base decimal na qual a variação de uma unidade de pH representa um aumento de 10 vezes na acidez ou alcalinidade da substância. também. A maioria dos alimentos que consumimos tendem a ser mais ácidos que básicos (alcalinos).8 leite 6.2 2o caso: 0 < a < 1 y = ax II.2. log(x + 5)(3x2 – 5x – 8) = log(x+5)(2x2 – 3x) ⇔ 3x2 – 5x – 8 = 2x2 – 3x ⇔ x2 – 2x – 8 = 0 ⇔ x = – 2 ou x = 4 y = log a(x) –3 A função logarítmica de base a e a função exponencial de mesma base a são inversas uma da outra. acima de 7. log2 (5x2 – 14x + 1) = log2 (4x2 – 4x – 20) ⇔ 5x2 – 14x + 1 = log2 (4x2 – 4x – 20) ⇔ x2 –10x + 21 = 0 ⇔ x = 3 ou x = 7 3 Testando as raízes: 5 · 32 – 14 · 3 + 1 = 4 > 0 e 5 · 72 –14 · 7 +1 = = 148 > 0 S = {3. 2 – 3 }   Em Química. nem alcalina). Testando as raízes: 2 · (– 2)2 – 3 · (– 2) = 14 > 0 e 2 · 42 – 3 · 4 = 20 > 0 0 < – 2 + 5 = 3 ≠ 1 e 0 < 4 +5 ≠ 1 S = {– 2. Substância pH sumo de limão 2. aproximadamente. Um valor de pH igual a 7 indica que a solução é neutra (nem ácida. quantas vezes o sumo de limão é mais ácido do que o leite.1 Equações com logaritmo em um dos membros O pH de soluções Podem ser resolvidas utilizando a definição de logaritmo.6 3 3a Série / Pré-vestibular 457 . calcule. alcalinidade. A medida do pH obedece. f(x) = y = loga x ⇔ f–1(y) = ay = x Nos gráficos podemos notar que a função exponencial e a função logarítmica são simétricas em relação à reta y = x (β1. 0 < a ≠ 1 : loga f(x) = loga g(x) ⇒ f(x) = g(x) > 0 Nesse caso. (B) 1.3 (4x – 3) < log0. 4. que satisfaz à equação logx(2x) · log2 x = 3 – log2 x é igual a: (A) 3 2 .48. – 7[∪]3. as inequações podem ser resolvidas pela aplicação de logaritmos considerando que a função logarítmica é crescente quando a base é maior que 1 e decrescente quando a base está entre 0 e 1. (D) 7. 78 89 = = = .Matemática I – Módulo 14 3. considerando que k = logaak e os casos em que a função é crescente ou decrescente. log (x2 – x – 2) > log (x – 4) x2 – x – 2 > x – 4 ⇔ x2 – 2x + 2 > 0 ⇒ ∆ < 0 x – 4 > 0 ⇒ x > 4 S = ]4. I. (FATEC) A soma dos valores reais de x que satisfazem a equação 3 · log2 x = log2 x é: 8 (A) 0. log2 9 − 2 3 x II. + ∞) Exercícios Resolvidos Caso seja conveniente pode ser adotada outra base para o logaritmo em vez da base a. (C) 41.54.  f ( x ) > g( x ) > 0 se a >1 loga f ( x ) > loga g( x ) ⇔  0 < f ( x ) < g( x ) se 0 < a <11 Ex. positivo e diferente de 1. (C) 3. 30 0. Solução: Letra E.67.: I. (E) 4 3 2 .  1  ≤ 5 ⇔ x ≥ log 1 5 ⇔ x ≥ − log3 5 3 3 III. (C) 2 3 2 .2 Inequações com logaritmo de mesma base em ambos os membros Podem ser resolvidas considerando os casos em que a função logarítmica é crescente ou decrescente. (FGV) Adotando-se os valores log 2 = 0.35 ⇔ 4x – 3 > 5 ⇔ x > 2 ⇒ S = ]2. (B) 2. Solução: Letra C.28.5– 4 ⇔ x2 + 4x – 21 > 0 ⇔ x < –7 ou x > 3 S = (– ∞. 70 35 02. 2] 458 Vol. 3 (D) 2.  10   = log (2 · 3 · 10)  2 5x = 60 ⇔ log 5x = log 60 ⇔ x · log  ⇔ x (1 – log 2) = log 2 + log 3 + 1 ⇔ x= log 2 + log 3 + 1 0. log x ( 2 x ) ⋅ log2 x = 3 − log2 x 1 ⇔ (log x 2 + log x x ) ⋅ log2 x = 3 − log2 x 2 1 ⇔ 1 + log2 x = 3 − log2 x 2 4 4 ⇔ log2 x = ⇔ x = 2 3 = 2 3 2 3 03. a raiz da equação 5x = 60 vale aproximadamente: Ex. (E) 9.1 Inequações com logaritmo em um dos membros Podem ser resolvidas.5(x2 + 4x – 5) < – 4 x2 + 4 – 5 > 0.15. – 2[∪]1. +∞) III. se a > 1 ax > b ⇔   x < log a b. (B) 2. (UFCE) O número real x. log0. 48 + 1 1. log0. Inequações logarítmicas Serão apresentados dois casos principais de inequações logarítmicas. + ∞) IV. Inequações exponenciais Da mesma forma que as equações exponenciais. log2(x2 + x – 2) ≤ 2 x2 +x – 2 ≤ 22 ⇔ x2 +x – 6 ≤ 0 ⇔ – 3 ≤ x ≤ 2 x2 +x – 2 > 0 ⇔ x < – 2 ou x > 1 S = [– 3. se a > 1 ax < b ⇔   x > log a b. 1− log 2 1− 0.  x > log a b. 3 · log2 x = log2 x ⇔ (log8x)2= 1 log2 x ⇔ (log8 x)2 = log2 x 8 3 ⇔ (log8 x)2 = log8 x ⇒ log8 x = 0 ⇔ x = 1 ⇒ log8 x = 1 ⇔ x = 81 = 8 Soma das raízes = 1 + 8 = 9.30 e log 3 = 0. 23 x + 2 > 9 ⇔ 3 x + 2 > log2 9 ⇔ x > Solução: Letra D. (E) 2. 2x – 2 > 32 x – 1 ⇔ x – 2 > (2x – 1) log23 ⇔ x(1 – 2log23) > 2 – log23 ⇔ x < Note que 1 – 2log23 < 0 2 − log2 3 1− 2 log2 3 4.  f ( x ) > a se a > 1 log a f ( x ) > k ⇔  k 0 < f ( x ) < a se 0 < a <1 0 < f ( x ) < a k se a > 1 log a f ( x ) < k ⇔   f ( x ) > ak se 0 < a <1 k 4.: (A) 2. 30 + 0. se 0 < a < 1  x < log a b. . se 0 < a < 1 II. 01. (D) 4. Ao fim de quanto tempo a experiência terminará? 03. – 2}. (E) 2 + 4 3 . aparece no visor o logaritmo decimal do número que estava antes no visor.. (D) {x ∈  | x > 0}. 2}. + log x18 = 342. Qual a população de cada uma das cidades nos instantes t = 1 e t = 7? b. O conjunto de todos os valores reais de x que satisfazem à equação 2 log10 x = 1+ log10  x + 11  é: 10  (A) {– 1. 02. (C) 89. (D) {11}. em que a variável t representa o tempo em anos. b. 06. (B) {0}. a.296. Em uma experiência para se obter cloreto de sódio (sal de cozinha). A experiência termina quando toda a água se evaporar. Determine o valor mínimo desse instante t e especifique a cidade cuja população é maior a partir desse instante. Sabendo que havia inicialmente 1 litro de água no recipiente. Exercícios Contextualizados Solução: Letra D. 0}. então o valor de x é: (D) 4 + 2 3 . de um objeto situado a x metros de uma lâmpada. 02. Digita-se inicialmente o número 88888888 (oito oitos). são dadas em milhares de habitantes pelas funções A(t)=log8(1 + t)6 e B(t)=log2(4t + 4). 3 3 (A) {x ∈  | x ≥ 1/3} (B) {x ∈  | x > 0}. 04. (C) {10}. 05. (D) 8. (E) {0. Determine o valor de x na equação: log x + log x2 + log x3 + . (C) {x ∈  | x > 1}. (C) 6. (E) 10. Se log2(log3 log4 x) = log3(log4 log2 y) = log4(log2 log3 z) = 0. a população de uma das cidades é sempre maior que a da outra. O conjunto solução da inequação log 1 [log 1 x ] ≥ 0 é: (D) 111. 3a Série / Pré-vestibular 459 . (C) 2 + 2 3 . então x + y + z é: (A) 50. (C) {1}. (B) 4. (B) 58. Considerando que um objeto recebe 15 luxes. 6}. 11}. (B) 4 – 3 . sabendo que um objeto a 1 metro de distância da lâmpada recebe 60 luxes e que um objeto a 2 metros de distância recebe 30 luxes. determine a constante k. Calcule os valores numéricos das constantes a e b. (E) ∅. a. ( ) ( )  7      Exercícios de Fixação 01. O conjunto de todos os números reais x para os quais log x2 < 0 1− x é: (A) {x ∈  | x > 0 e x ≠ 1}. A e B. colocou-se em um recipiente uma certa quantidade de água do mar e expôs-se o recipiente a uma fonte de calor para que a água evapore lentamente. (B) {5.  3   ( ) ( ) sendo log2 ( N ) o logaritmo do número N na base 2 é: (A) ∅. calcule a distância entre a lâmpada e esse objeto. (C) {x ∈  | 0 < x ≤ 1/3} (D) {x ∈  | 1/3 ≤ x < 1}. em luxes. Se x é um número real. (E) {x ∈  | x < – 1 ou x > 1}. com  t + 1 k uma constante positiva e t em horas. a quantidade de água existente no  10 k  recipiente (em litros) é dada pela expressão Q( t ) = log10   . x > 2 e log2(x – 2) – log4 x = 1.  03. 01.. As populações de duas cidades. Pressionando a tecla Log de uma calculadora. (FGV) O conjunto solução da equação   7  x ·  log2 7 x + log2    + log2 21x = 0 . (E) 1. Em cada instante t.   7  x ·  log2 7 x + log2    + log2 21x = 0  3     ⇔ x ·  log2 ( 7 x ) + log2   + log2 21 = 0 3 ⇔ x = 0 ou 7   log2  7 x · · 21 = 0 ⇔ 7 x + 2 = 1 ⇔ x + 2 = 0 ⇔ x = − 2 3   S = {– 2. b. A função L(x) = a · ebx fornece o nível de iluminação. (A) 4 – 2 3 . 04. (B) {x ∈  | 0 < x < 1}.Função logarítmica 04. Quantas vezes a tecla Log precisa ser pressionada para que apareça a mensagem de erro? (A) 2. (D) {0. Após certo instante t. a. interessado em estudar uma determinada espécie de cobras. em kWh. (D) 1. (C) III. Com esses dados. Qual o tempo necessário. O conjunto dos números reais que verificam a inequação 3 · log x + log (2x + 3)3 ≤ 3 · log 2 é dado por: log L 460 Vol. em que E é a energia instantânea liberada Eo 3 cuja duração foi de 8 segundos. ou seja M = a · L3. a energia liberada. suas massas M. e Eo = 10– 3.) (A) 0.434. Um determinado terremoto.791. pelo terremoto. (E) 100. verificou que. é calculada pela expressão M(t) = A · (2. (B) 0. (E) 4 · 103. 07. (B) {x ∈ : 1 ≤ x ≤ 3}. III log M E 2 é definida por I = log . (E) n. Em setembro de 1987. em uma determinada escala.d. A intensidade (I) de um terremoto. A meia-vida do césio-137 é de 30 anos e a quantidade restante de massa de um material radioativo. eram proporcionais ao cubo de seus comprimentos L. A meia-vida de um material radioativo é o tempo necessário para que a massa desse material se reduza à metade. (D) 2. (D) 54.778 e ln 6 = 1. após t anos. No instante 4 em que a intensidade do terremoto era máxima. para que uma quantidade de massa de césio-137 se reduza a 10% da quantidade inicial? (A) 27. Observe os gráficos abaixo. Um pesquisador.7)kt. . (B) II. Na calculadora obtiveram-se os seguintes resultados: log 6 = 0. com aproximação de três casas decimais.a. sem ajuda da calculadora. (C) 0.778.778.791. t em segundos e I em kWh. log L Aquele que melhor representa log M em função de log L é o indicado pelo número: (A) I. (C) 50. em que a é uma constante positiva. (B) 36. 06. 3 (A) {x ∈ : x > 0}. era de: log L IV log M (A) 5 · 102. é verdade que log e.791. Considere 0. variou em função do tempo conforme a equação I( t ) = − t2 + 2t . (C) 2 · 103. removida de um aparelho de radioterapia abandonado. Goiânia foi palco do maior acidente radioativo ocorrido no Brasil.3 como aproximação para log 2. em que A é a massa inicial e K é uma constante negativa. (C) {x ∈ : 0 < x ≤ 1/2}. quando uma amostra de césio137.Matemática I – Módulo 14 05. Exercícios de Aprofundamento 01.5 · 102. em kWh. foi manipulada inadvertidamente por parte da população. (D) {x ∈ : 1/2 ≤ x <1}. em metros. (D) IV. (B) 103. log M I log L log M II 08. numa amostra de trezentas cobras. (E) 1. em gramas. em anos. é: (Notação: log 6 = log106 e In6 = loge6. Função logarítmica Rascunho 3a Série / Pré-vestibular 461 . em centímetro.48.30. Encontre o domínio de cada uma das seguintes funções: a. Os valores numéricos das constantes a e b. log2 x − log x 8 − 2 ≥ 0 04.25. f(x) = log3 (x2 + x – 12) b. (E) 77 anos. no decorrer do tempo. de um objeto situado a x metros de uma lâmpada. 3 02. Fontes de energia nuclear perdem potência gradualmente.025. (E) 2. são respectivamente: (A) – ℓn2 e 120. e I0 é a intensidade da luz na superfície.013. Considerando que um objeto recebe 15 luxes. x ∈ R e g(x) > 0 03. de radioisótopos de um veículo espacial.Exercícios de logaritmos M ódulo 15 Matemática I Exercícios de Fixação 01. f(x) = log(2x – 3) (– x2 + 2x + 3) 02.5 metros. 05. Sabe-se que log 3 = 0. (E) – ℓn3 e 120. (B) 3.64. (D) 1. aproximadamente. (D) 67 anos. A energia nuclear. (C) 0. considerando log 2 = 0. Determine as funções inversas das seguintes funções: a.693) (A) 336. em luxes. quantos dias são necessários. (B) 35. 04. (B) 4 metros. (A) 37.4. (E) 2.25. (D) 5 metros. (D) 342.125. aproximadamente: (A) 37 anos. log 1 x + log 1 ( x − 1) > log 1 ( x + 3) 3 3 3 b.5 metros.0. Isto pode ser descrito pela função exponencial P = P0 ⋅ e − t 250 . em watts. (E) 346. (E) primo. t é o intervalo de tempo. (C) 4. a intensidade da luz é reduzida em 20%. (E) 3. em metros. então m é um número: (A) múltiplo de 10. (B) divisível por 3. (B) 47 anos. Se log (5x) – 4 · log 5 = – 3.2t permite o cálculo do número de bactérias existentes em uma cultura ao completar t horas do início de sua observação (t = 0).477 e que log 103 = 2. na qual P é a potência instantânea. Após quantas horas da primeira observação haverá 250. derivada de isótopos radiativos. Se m é a solução real da equação log (x + 2) – log (x – 2) – – log (3x + 2) = log 3. (E) 25. sabendo que um objeto a 1 m de distância da lâmpada recebe 60 luxes e que um objeto a 2 m recebe 30 luxes. f(x) = log2 (x – 2). (B) ℓn2 e – 120. Exercícios Contextualizados 01.8) 40 na qual I é a intensidade da luz a uma profundidade h.8. pode ser usada em veículos espaciais para fornecer potência. (D) ℓn3 e 112.2.000 bactérias nessa cultura? Dados: log 2 = 0. log 3 = 0. (C) maior que 12. 05. de acordo h com a equação I = I0 · (0. (C) 57 anos. A expressão N(t) = 1500 · 20. a cada 40 cm de profundidade. x > 2 e f(x) ∈ R b. Um nadador verificou ao mergulhar nesse lago que a intensidade da luz em um ponto P é de 32% daquela observada na superfície. (B) 0. (B) 338. Nessas condições.” 462 Vol.3. (D) 27. (C) ℓn3 e 98. equivale a: (A) 0. em dias. 03. para que a potência de um veículo espacial se reduza à quarta parte da potência inicial? (Dado:ln2 = 0. (C) 340. a par tir de t0 = 0 e e é a base do sistema neperiano de logaritmos. (D) 1. 06. Admita que em um determinado lago. (C) 30. Resolver em R as seguintes inequações: a. O tempo no qual triplicará uma população que cresce 3% ao ano é de. . então a distância entre a lâmpada e esse objeto é de: (A) 3 metros.5. (C) 2. g(x) = ex – 1. então x é igual a: (A) 0. (D) menor que 5. A profundidade do ponto P. P0 é a potência inicial do veículo. Considere a seguinte informação para resolver as questões 02 e 03: “A função L(x) = a ⋅ ebx fornece o nível de iluminação. 1− x 1+ x 3x + 2y . e que cada gota tem volume de 0. (E) 1− x (C) 2 x + y .25 no sistema de base 15. (B) I = 10 2 (E) I = I0 · 102N N (C) I = I0 ⋅ 10 10 Exercícios de Aprofundamento 01. (E) 2. (B) 100 vezes. (D) ln2. (D) . (E) 200 vezes. Determine quantas vezes a intensidade de um som com nível de ruído de N1 = 80 db é maior que a intensidade de um outro som com nível de ruído N2 = 60 db: (A) 80 vezes. sendo que N = 10 log   . O valor de log 2 + log 4 + log 8 é igual log 6 + log 9 a: p+ q (A) 3 p . ax+1 = bx+1 em que a e b são números reais positivos. Se log 2 = x e log 3 = y. Considere a equação em x. (C) 120 vezes. em que I0 = 10–12 watt/cm2 é a intensidade mínima percebida pelo ouvido humano. 08 e 09: A intensidade  de um som é medida em watt/cm2. (E) p + 3q 2p 3p (C) . 2q q + 2p 6p + q . então log518 vale: (A) x + 2y x + 2y . Seja log 2 = p e log 3 = q. 02. é dada por: (A) I = I0 · 10N N N (D) I = I0 ⋅ 10 2 09. (D) 150 vezes. Sabendo que a intensidade máxima de um som suportada pelo ouvido humano é 100 watt/cm2. (C) 1.3 ml. em função de a e b. (B) – 1. (E) 148 db. tais que ln b = 2ln a > 0. (B) 6 p . Rascunho 3a Série / Pré-vestibular 463 . A soma das soluções da equação é: (A) 0. Sabendo que esse número x é solução da equação log4x = log23. (D) 500 ml. (B) x + y . (B) 135 db. 07. Um paciente de um hospital está recebendo soro por via intravenosa. 1+ x 1− x 04. A expressão para a intensidade I em função do nível de ruído N. Considere log 2 = a e log 3 = b. O equipamento foi regulado para gotejar x gotas a cada 30 segundos. (D) 146 db. (C) 140 db. p+ q 03. O nível N de ruído desse  I   I0  som é medido em decibéis (db). (C) 724 ml. o logaritmo do número 5 11. (D) . Encontre. (E) 324 ml. pode-se afirmar que o volume de soro que este paciente recebe em 1 hora é de: (A) 800 ml. 08.Exercícios de logaritmos Considere o texto seguinte para responder às questões 07. 10. (B) 750 ml. determine o nível de ruído máximo dentre os sons audíveis pelo ser humano: (A) 120 db. isolando a variável P na relação fornecida acima.77. ( ) 2 −3 (D) log3 x + 36 + y . um economista estimou que a quantidade vendida desse produto em um mês (Q). No entanto.50. depende do seu preço (P). do INPA. (B) 0. é aproximadamente: (A) 51. então: O valor de x é igual a: 3 (A) 0. o economista obteve: Q −1 Q −1 .47 0. o pesquisador Philip M. Com base nestes dados.2 x y III. log  + 2 +  = 0. Sejam x. = f ( x ) log3 ( x + 2 ) . (A) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras. em reais. de acordo com a relação Q = 1 + 4 · (0. log( y − x ) = 5 2 e log( = x y= ) 2. (B) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras. (C) 0. sugere como modelo matemático para o cálculo da área de desmatamento a função D= ( t ) D(0) ⋅ e k ⋅t .913 04.6 x   0. em milhares de unidades.47 0. quadrada e de ordem três. (A) = a a (B) = 02. Admitindo que tal modelo seja representativo da realidade. o número de anos necessários para que a área de desmatamento da Amazônia dobre seu valor. (E) 11. escrever o preço P em função da quantidade Q.77   Considere que cada elemento aij dessa matriz é o valor do logaritmo 05. Dessa forma. em Economia.8  (E) P = . durante um ano.608 y x  464 Vol. Fearnside. (D) Somente a afirmativa I é verdadeira. nesse tipo de relação. I. Considere log x = . (D) a = 3 b + 4 + 2. ( 03. log y = . Analisando o comportamento das vendas de determinado produto em diferentes cidades. 4 8  Q − 1 Q  0. Observe a matriz A. D(0) a área de desmatamento no instante inicial t = 0. (B) P = log0.854.6 x 0.Revisão M ódulo 16 Matemática I Assinale a alternativa correta: Exercícios de Fixação 01.6% e usando a aproximação n 2 ≅ 0. O conjunto dos valores de x ∈  para que log(1− 2 x ) 2 − x − x 2 exista como número real é: ) (A) { x ∈  | x < − 2 ou x > 1} 1 (B)  x ∈  |− 2 < x <  2  1   | x < − 2 ou x >  (C)  x ∈ 2  (D) { x ∈  |− 2 < x < 1} 1   | x <  (E)  x ∈ 2  13 5 1.  8  4  (A) P = log0. é mais usual. (E) Todas as afirmativas são verdadeiras.87. y ∈ .8 P 0. A expressão 2log9 x + log3 6 − 6log9 y pode ser simplificada para: 36 x 2 (A) log9 3 . 3 3 3 (C) a = 3 b + 2 − 2. No artigo “Desmatamento na Amazônia Brasileira: com que intensidade vem ocorrendo?”.69. (D) 151. y  2x  + 6 . Exercícios Contextualizados 01. (B) log3  6 y    ( )) ( (C) log9 2 x + 6 1− y .3 0. com x > 1 e y > 1. que a taxa média anual de desmatamento (k) da Amazônia seja 0.8 (C) = Q −1 .8 . (D) P = 0. analise as proposições. (B) 115. em que D( t ) representa a área de desmatamento no instante t.8  − 1 . (C) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras. Se f ( a) = 1 f ( b). log ( y 2 − x 2 ) = 0.6    A =  0. b + 1. b + 3.70.  0. sendo t medido em anos desde o instante inicial.5 ⋅ log0. 4 . (E) log3 (1+ 6 xy ) . Considere a função f : ]− 2. 02. 51 xy = 10 10 II. (D) 0. a partir de um instante inicial prefixado. (C) 15. + ∞ [ →  definida por decimal de (i+ j).5 ⋅ 0. e k a taxa média anual de desmatamento da região.8)2P. Revisão 03.1 km/h no pico da manhã e de 18. (D) maionese/molho de salada. A relação empírica de Bouguer-Lambert nos diz que um feixe vertical de luz. os anos aproximados em que as velocidades médias nos picos da manhã e da tarde chegarão à metade daquelas observadas em 2012 serão. respectivamente: (A) 2028 e 2019 (B) 2068 e 2040. pode-se afirmar que. O que era impressão virou estatística: a cidade de São Paulo está cada dia mais lenta. a amostra corresponde a: profundidade 0 m 4m 5m 6m a. A acidez de vários alimentos e bebidas comuns é surpreendentemente alta. de acordo com a tabela ilustrativa.2 Vinagre 2. (C) maçã. determine o valor do parâmetro µ.4 – 3. 64. (A) suco de limão/lima. em molL– 1. com x sendo um inteiro positivo. por exemplo. que concluiu um estudo anual sobre o trânsito paulistano.8 – 4. O esmalte dos dentes dissolve-se prontamente em contato com substâncias cujo pH (medida da acidez) seja menor do que 5.3 – 4.005 molL– 1 e considerando que colog 2 = – 0.02% por pH = colog H+  = − log H+  . (E) chá preto.3. Em Química. Uma vez dissolvido.5 km/h no pico da tarde. e as partes mais moles e internas do dente logo apodrecem. BREWER. que depende da pureza da água e do comprimento de onda do feixe.69. o pH é definido 2m 6. ln 5  1. Utilizando a relação de Bouguer-Lambert no estudo da intensidade luminosa na água do mar razoavelmente limpa (dados da figura). Sabendo-se que uma amostra de certo alimento apresentou concentração de íons de hidrogênio igual a 0. 2013. Comida/bebida Suco de limão/lima 1.39% ≈ 0. com e sendo o número de Euler. (B) café preto.69.0 Chá preto 4. Uma piora de 5% e 10% em relação a 2008. o esmalte não é reposto.4 Café preto 2.7 Maionese/molho de salada 3.25% 3m ≈ 1. µ um parâmetro denominado de coeficiente de absorção.0 – 4.10% ≈ 0. ln 3 ≈ 1. Luz incidente l0 Nível do mar PH 2. p.10. (D) 2025 e 2018.5. A acidez dos alimentos é determinada pela concentração de íons de hidrogênio H+  . Os dados de 2012 apontam que a velocidade média nos principais corredores viários da cidade foi de 22.56% ≈ 0.61 e ln 19 ≈ 2. que por sua vez é denotada por x e expressa em metro. terá sua intensidade I de luz reduzida com a profundidade de −µx x metros determinada pela fórmula I = I0 e .4 Refrigerantes de cola 04. Quem mostra é a própria CET (Companhia de Engenharia de Tráfego).9 – 3. que é denotada por I. como indica a figura.0 Maçã 2. b. determine I em função de x. Utilizando as informações da figura e denotando por l0 a constante que representa a intensidade luminosa na água razoavelmente limpa ao nível do mar. as substâncias listadas a seguir. 3a Série / Pré-vestibular 465 .5 Uva 3.2 1m 100% porcentagem da 25% intensidade inicial 05.8 – 2. (E) 2057 e 2029.4 – 3. podem causar danos aos seus dentes com contato prolongado.8 – 4. quando penetra na água com intensidade de luz l0. (C) 2022 e 2017.7 – 4.5 Tomate 3. A intensidade luminosa na água do mar razoavelmente limpa. decresce exponencialmente com o aumento da profundidade.7 Suco de laranja 2. Texto para a próxima questão: Danos de alimentos ácidos Caso a velocidade média do trânsito nos principais corredores viários paulistanos continue decaindo nos mesmos percentuais pelos próximos anos e sabendo que ln 2 ≈ 0.94. Adote nos cálculos finais ln2 = 0. respectivamente. (B) do elemento mais eletronegativo. 01. pode-se expressar o valor movimentado V (em bilhões de dólares).4. o resultado final será um dígito. (B) 10.Matemática I – Módulo 16 06. (E) do elemento menos eletronegativo. Considere D o menor número de dias de suspensão do abastecimento de água.3 e log 1. Para combater um incêndio numa floresta. Exercícios de Aprofundamento (D) 2025.775 bilhões de dólares.05 = 0. (B) 2002. pode ser calculado por meio da seguinte equação: T(x) = T0 ⋅ (0. o valor de D é igual a: (C) 34.000 metros e 10 segundos.1x (C) 15 . Em 1997 iniciou-se a ocupação de uma fazenda improdutiva no interior do país. (C) 2020. (B) 32. acionando a tecla log. 07. 10.05 ) com t = 1 cor respondendo a 2011. atingindo o nível de toxidez T0. elevar a soma ao elemento cujo número atômico seja um número primo par e.000 metros e 10 segundos. o Ecoturismo cresce a uma taxa de 5% ao ano. Um lago usado para abastecer uma cidade foi contaminado após um acidente industrial. (E) 1. Em que ano o valor movimentado será igual a 13. o Ecoturismo foi responsável pela movimentação de 6. (C) do elemento de menor número atômico. em 2011. correspondente a dez vezes o nível inicial. – O nível de toxidez T(x).5)0. x − x  4  .775 (1. (D) 36. (D) de um halogênio.000 metros e 10 segundos. Estima-se que a população dessa cidade tenha crescido segundo a função P =+ 0. Leia as informações a seguir. 3 1/2 8 n+ 2 é igual a: 17 8 . (D) 2007. (A) 30. dando origem a uma pequena cidade. em seguida. após x dias do acidente. (E) 2026. um professor cobriu as teclas numéricas de uma calculadora com os símbolos dos elementos químicos de número atômico correspondente. No Brasil. Considerando 2 ≅ 1. 15 09. conforme a expressão M = 1. 08. log 1/2 n 32 02. por V = 6. A massa M do bloco (em quilogramas) varia. cuja tecla corresponde ao símbolo: (A) de um gás nobre. cada bloco se distancia da altitude em que foi solto pelo avião de acordo com a lei d = 10t 2 . (E) 2004.000 – 250log d.000 metros e 32 segundos.55 bilhões de dólares? Dados: log 2 = 0. (D) 2. A soma 4 ∑ log 1 (A) – A vazão natural do lago permite que 50% de seu volume sejam renovados a cada dez dias.02. em função do tempo t −1 t(em anos). (C) 2011. calcular o logaritmo do resultado. Sendo log 2 = 0. Se o bloco deve chegar ao chão totalmente derretido. a altitude mínima em que o avião deve soltá-lo e o tempo de queda nesse caso devem ser: (A) 10. 16 466 Vol. Supondo que o percentual de crescimento incida sobre a movimentação do ano anterior. Nessa calculadora.000 metros e 32 segundos. a 2012 e assim por diante. como mostra a figura a seguir. (D) 18 9 14 . em função dessa distância de queda d (em metros). Ao cair. . necessário para que a toxidez retorne ao nível inicial. Para estimular um estudante a se familiarizar com os números atômicos de alguns elementos químicos. em que t é o tempo em segundos. (B) 2016. em que P é a população no ano x. (C) 1. D e t e r m i n e o m a i o r d o m í n i o D ⊂  d a f u n ç ã o xcosx −1 f : D → . (B) (E) 1. podemos concluir que a população dessa cidade atingiu a marca dos 3600 habitantes em meados do ano: (A) 2005. em milhares de habitantes. um avião a sobrevoa acima da fumaça e solta blocos de gelo de uma tonelada.1 log 2 ( x − 1996 ) .3. Segundo a Organização Mundial do Turismo (OMT).f ( x ) = log 4sen p  . se o estudante adicionar o elemento de menor número atômico com o de maior eletronegatividade. (A) 2015. t = 2. se estiverem muito próximos. senÂ = senD 2R senÂ De modo análogo. o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados. temos: c–x B H c x  cos Â = ⇒ x = b ⋅ cos Â ( I)  b  b2 = x 2 + h 2 ⇒ h 2 = b2 − x 2  No ∆CBH. AC = b e BC = a. Para garantir que não haja colisões.com/Deejpilot Como você conseguiria descobrir a distância entre dois aviões a partir de uma torre de controle? Na aviação moderna. é comum termos diversos aviões entrando e saindo de um aeroporto em um mesmo dia. temos: (II) a2 = h2 + (c – x)2 ⇒ a2 = h2 + c2 – 2xc + x2 Substituindo (I) em (II): a2 = b2 – x2 + c2 – 2 · b · c · cosÂ + x2 Logo: a2 = b2 + c2 – 2bc · cosÂ De modo análogo. 1. A informação importante. correm o risco de colidir!). AC = b e BC = — — a. temos:  = a ⇒ a = 2 R. Como CÂB = CDB. CH = h a altura relativa ao lado AB e o ângulo CÂB. é a distância entre esses dois aviões (pois.” “Em qualquer triângulo. Consideremos um triângulo ABC inscrito em uma circunferência — — — de centro O e raio igual a R. porém. construímos o ∆ retângulo CBD. C A D c b 0 a b h 2 x A R C a B — Traçando o diâmetro CD e ligando D ao vértice B. sendo AB = c. A constante de proporcionalidade é igual ao diâmetro da circunferência circunscrita ao triângulo. Avião 2 é relativamente simples calcular a distância entre ela e um determinado avião (basta medir o tempo necessário Avião 1 para que um sinal enviado seja refletido no avião e retorne) e também é simples calcular o ângulo entre dois aviões. existem torres de controle que auxiliam no pouso e na decolagem de cada um desses aviões. aprenderemos – por meio da chamada lei dos cossenos – a calcular Torre o lado de um triângulo a partir dos outros dois lados e do ângulo entre eles. podemos provar que b c = 2= Re 2 R. x Neste módulo. Logo: = =  sen C senÂ sen B No ∆ACH. menos duas vezes o produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo por eles formado.Lei dos senos e lei dos cossenos M ódulo 11 Matemática II ©iStockphoto. podemos provar que: ^ ^ b2 = a2 + c2 – 2ac · cosB e c2 = a2 + b2 – 2ab · cosC 3a Série / Pré-vestibular 467 .” — — — Consideremos o triângulo ABC de lados AB = c. sen C sen B a b c = 2R . De dentro da torre de controle. Lei dos senos 2. Lei dos cossenos “Os lados de um triângulo são proporcionais aos senos dos ângulos opostos. resolvendo portanto a questão da torre de controle. Na prática Situação problema: Qual a medida do fio para ligar os dois postes? Aplicação do método da triangulação Modelo matemático A 120 m O 120° 120º 42 m 42 m Aplicando a lei dos cossenos: Se a2 = b2 + c2 – 2 · b ∙ c ∙ cosÂ. considerando a > b. falam do cálculo do módulo do vetor resultante. e os lados opostos. um instrumento utilizado por topógrafos que mede ângulos. necessitamos. a2 = b2 + c2 – 2 ∙ b ∙ c ∙ cos Â.Matemática II – Módulo 11 Alguns professores de Física. por meio das medidas dos lados. determinar os valores de senos e cossenos de alguns ângulos obtusos. Sabendo que num paralelogramo os ângulos consecutivos são suplementares. paralelos e iguais. Seno e cosseno de ângulos obtusos Neste módulo. aplicase o método da triangulação. então: ^ ^ R2 = a2 + c2 – 2ab · (– cosθ) ⇒ R2 = a2 + c2 + 2ab ∙ cosθ 3. Natureza dos triângulos (síntese de Clairaut) Tem como finalidade classificar um triângulo quanto aos ângulos. Observando a lei dos cossenos. É comum. recorrermos ao teodolito. ora pelas grandes distâncias ora simplesmente por uma questão geográfica ou topográfica.: R a sen150°= sen30° = ⇒ Regra do paralelogramo 1 2 cos120°= − cos60° = − b em que: ^ θ = ângulo entre os dois vetores. quando estão ensinando vetores e. observamos que: R 180 – θ a b Aplicando o conceito matemático da lei dos cossenos. temos: — AB2 = 422 + 1202 – 2 ∙ 42 ∙ 120 ∙ cos120° — AB ≅ 146 m. concluímos que:  Â < 90°⇔ a2 < b2 + c2 ⇔ ∆ ABC é acutângulo. especificamente.  a2 > b2 + c2 ⇔ ∆ ABC é obtusângulo. Como esse conteúdo ainda não foi abordado. há situações do tipo: – sen 90° =1 – cos 90° = 0 – senos dos ângulos obtusos são iguais aos senos dos suplementos desses ângulos: ^ sen(180° – ^ α ) = senα – o cosseno dos ângulos obtusos é simétrico ao cosseno dos suplementos desses ângulos: ^ cos(180° – ^ α ) = – cosα Ex. aprenderemos momentaneamente a lidar com eles na prática. B ? . é necessário saber que: 468 Vol. 3 1 2 Como calcular o comprimento necessário de um fio? Em algumas situações. quando não é possível medir a distância entre os dois pontos. R = vetor resultante. temos: R2 = a2 + b2 – 2ab · cos(180° – ^ θ) ^ Como cos(180° – ^ θ) = – cosθ .  se  Â = 90°⇔ a2 = b2 + c2 ⇔ ∆ ABC é retângulo. mencionam a seguinte fórmula: ^ R2 = a2 + c2 + 2ab · cosθ O que observamos é que. A princípio. então. quando ocorre uma situação de soma vetorial do ponto de vista físico. e às relações determinadas pela trigonometria. a > c e Â o maior ângulo do triângulo.  Â > 90°⇔ 4. em alguns momentos. (E) 15 3 cm. (C) 3 3 cm.  = 45º. (B) 80 ⋅ 5 + 2 ⋅ 3 . (D) 90°. o qual informava que as distâncias aproximadas em linha reta entre os pontos que representam as cidades de São Paulo e Campinas e entre os pontos que representam as cidades de São Paulo e Guaratinguetá eram. 10 (A) 6 cm. Em um triângulo com lados de comprimentos a. (C) 80 ⋅ 6 . é próxima de: (A) 80 ⋅ 2 + 5 ⋅ 3 . A 3 B 60º C 4 04. 12 e 13. (B) 3 cm. 06. (E) 10 10 (C) 4 − 3 3 . Em um triângulo ABC. respectivamente. Em um triângulo ABC. Calcule a medida da menor das diagonais desse paralelogramo: Exercícios de Fixação 01. Reconheça a natureza de um triângulo: a. cujos lados medem 5. tem-se (a + b + c)(a + b – c) = 3ab. Guaratinguetá e Campinas formavam um triângulo retângulo.Relações trigonométricas em um triângulo qualquer 05. Observe a figura a seguir. (B) 45°. Campinas e Sorocaba formavam um triângulo equilátero. em km. b. A medida do ângulo oposto ao lado de comprimento c é: A 6 45º 60º B C — — ^ 03. c. que as distâncias em linha reta entre os pontos que representam as cidades de São Paulo. (E) 80 ⋅ 7 ⋅ 3 . (C) 60°. AB = 6 . 3a Série / Pré-vestibular 469 . (D) 10 10 4 3+3. c. cada ângulo agudo mede 30° e os lados que formam esses ângulos medem 3 3 cm e 5 cm. 12 e 13. AB = 3. Um professor de geografia forneceu a seus alunos um mapa do estado de São Paulo. cujos lados medem 6. os alunos determinaram que a distância em linha reta entre os pontos que representam as cidades de Guaratinguetá e Sorocaba. ABC — Calcule a medida do lado AC. 8 30º 6 O seno do ângulo indicado por α na figura vale: 4+3 3 . na qual estão indicadas as medidas dos lados do triângulo maior e alguns dos ângulos. Exercícios Contextualizados 01. (D) 7 cm. conforme mostra o mapa. cujos lados medem 6. (A) 4 3 − 3 .  = 60° e ACB 02. (E) 120°. 10 e 12. b. Ache a — medida do lado AC. 80 km e 160 km. então. Com essas informações. 10 α (A) 30°. Um dos alunos observou. BC = 4 e AB C = 60°. (B) 4 − 3 . Um outro aluno notou que as distâncias em linha reta entre os pontos que representam as cidades de São Paulo. Num paralelogramo. (D) 80 ⋅ 5 + 3 ⋅ 2 . seguido de tsunami. e vê. ela anda. A altura h do mastro da bandeira. com o epicentro no Oceano Pacífico. em km/h. o Japão foi sacudido por terremoto com intensidade de 8. Uma pessoa se encontra no ponto A de uma planície. o ângulo Â mede 45° e o ângulo C mede 75°. como mostra a figura: B h A 30° 30° 8( 2 + 3 ).4 ≅ 215.Matemática II – Módulo 11 02. com que a 1a onda do tsunami atingiu a cidade de Sendai foi de: (A) 10.0 12. às margens de um rio. (D) 25. é: (D) 250. (B) 4 6. (D) 3 2 6. (C) 100. A distância do ponto B ao ponto C é de 8 km. 13 mar.9 na Escala Richter. 03. em metros. Uma maneira de estimar quanto do Delta do Jacuí está sob influência do meio urbano é dada pela distância do ponto A ao ponto C.934. 50 m para a direita do ponto em que se encontrava e marca o ponto C. 04. representado na figura abaixo pelo ponto D. visto sob ângulos de 40° do acampamento B e de 60° do acampamento A.100. Nele se encontra o parque estadual Delta do Jacuí. importante parque de preservação ambiental. em km. Observe que o ponto D é o pé do mastro e que os ângulos ^ ^ BÂC e BC D valem 30° e ACB vale 105°.5.5 2. em linha reta. No dia 11 de março de 2011. (B) 50.0 2. é: (A) 12. 3 30° 40° m C . Com o objetivo de determinar a altura h do mastro. (E) 3 (C) 8 2 + 3 . (A) 8 6 . D D 105° A 60° 50 m 160 C B 470 Vol.0. situado na região metropolitana de Porto Alegre. e que 28 · 32 · 93. em que α é o ângulo Epicentro-Tóquio-Sendai. (E) 35. o topo do mastro de uma bandeira. 2011 (adaptado). (B) 25. Um grupo de escoteiros pretende escalar uma montanha até o topo. O Estado de São Paulo. foi atingida pela primeira onda do tsunami após 13 minutos. do outro lado do rio. (C) 25. Com base nos dados fornecidos e sabendo que cosα ≅ 0. Essa distância. A figura a seguir apresenta o delta do rio Jacuí. ponto B. (E) 600. A cidade de Sendai. 05. a 360 km de Tóquio. Sua proximidade com a região metropolitana torna-o suscetível aos impactos ambientais causados pela atividade humana. a velocidade média.0. a 320 km a nordeste de Tóquio. • à medida que o disco gira. (D) 706 m. o topógrafo observou que os ângulos BC A e CÂB mediam. localizados nas margens opostas do rio. A e B. conforme a figura a seguir. 1 polegada e 4 polegadas. (B) 702 m. 07. (B) 180 2. pode ser obtida pela seguinte equação: 3a Série / Pré-vestibular 471 . do ponto A ao ponto B é de: 200 m 50° A B A N P (A) 200 2. (C) 150 2 . (D) 320. Usando um teodolito (instrumento de precisão para medir ângulos horizontais e ângulos verticais. distante 200 m do ponto A e na mesma margem do rio onde se encontra o ponto A. (B) 234. ligando o terminal de transportes coletivos ao pico de um morro. aproximadamente: (Dado: sen 20° = 0. (E) 708 m. rio 06. conforme ilustrado na figura a seguir. é de. então a distância entre B e D. uma ponte que deve ser reta e ligar dois pontos. Para explorar o potencial turístico de uma cidade. o pistão move-se verticalmente para cima ou para baixo. Para a construção do teleférico. 30° e 105°. sem parada intermediária. muito empregado em ^ trabalhos topográficos). Observe abaixo a ilustração de um pistão e seu esquema no plano. por meio da haste BC. BC = 200 m. A prefeitura de certa cidade vai construir. respectivamente. (D) 100 2 . Para medir a distância entre esses pontos. e o ponto de chegada localizado no pico do morro (ponto C). O pistão é ligado. em polegadas. (E) 50 2 . (C) 704 m. variando a distância AC e o ângulo BÂC. sobre um rio que corta essa cidade. C. ^ Supondo que AB = 300 3 m.Relações trigonométricas em um triângulo qualquer Considerando que o percurso de 160 m entre A e B é realizado segundo um ângulo de 30° em relação à base da montanha. é correto afirmar que a distância. conhecida por suas belas paisagens montanhosas. (C) 260. Considere que: • o raio AB e a haste BC medem. o governo pretende construir um teleférico. • o ponto de partida ficar localizado no ponto A e o de chegada localizado no ponto C. a distância entre A e C. 08. um topógrafo localizou um terceiro ponto. em metros. a um disco que gira em torno do centro A.34. é correto afirmar que a distância entre os pontos A e C é de: (A) 700 m. BÂP = 20° e CBN = 50°. respectivamente. Se a medida do ângulo BÂC é dada por x radianos. há duas possibilidades: • o ponto de partida ficar localizado no terminal de transportes coletivos (ponto A). C 3m 300 20° B 30° C Com base nessas informações.) 105° (A) 190. com uma parada intermediária (ponto B). em m. 0 m (PM = QN =2. (E) 5. 2 2 2 θ (B) H = d cosθ senθ. 02. POA = 30°. 4 A distância (h) da bola (representada pelo ponto R) até o chão (h = RT) é: Vol. A e B colineares.7 m. A figura abaixo representa uma seção plana que inclui o satélite. Um satélite orbita a 6. calcule AB em hectômetros.0 m. (E) H = d sen   sec θ. a uma distância d um do outro.0 m). o sinal do satélite pode ser captado. sendo O. a altura H do prédio é dada pela expressão: (A) 2. saindo do ponto A.400 km. 01. Dois observadores. P Nos pontos M e N da figura. Determine a distância d entre o ponto C e o satélite.4 θ d d (A) H =   sen   cos θ. constrói-se um objeto que tem a forma de uma pirâmide. avistam um mesmo ponto no topo de um prédio de altura H. Se OPA = 30°. A figura a seguir esquematiza uma situação obtida por meio 30° de um sistema de captação e Q 30° h tratamento de imagens. Exercícios de Aprofundamento (D) y = cos( x ) + 16 − sen2 ( x ) .5 m) e que cosα = ( 3 ) . estão localizados dois jogadores que N T α olham para a bola com um ângulo de visada de 30° em relação ao M solo. Nos pontos desse arco. A figura 1 representa uma chapa de metal com a forma de um triângulo retângulo isósceles em que AB = BC = CD = 2 m. (C) y = sen( x ) + 16 − cos2 ( x ). Na ilustração a seguir.Matemática II – Módulo 11 (A) y = 4 + sen(x). Dobrando-a nas linhas BE e CE. d Terra Suponha que o ponto C da figura seja tal que cos(θ) = 3/4. que a distância entre os jogadores é igual a 1. (C) 3. o centro da Terra e o arco de circunferência AB. H θ A C d A θ m 0k 0 R 10.5 m. (B) 3. Para calcular a distância AB.400 km 09. .5 m (MN = 1.400 km da superfície da Terra.2 m. situados na margem oposta do rio.5 m. 2 472 C θ B ^ Sabendo que o angulo AB C também mede θ e desconsiderando a altura dos observadores. (D) H =   tg θ sec θ. são medidos a distância e os ângulos a partir de dois pontos O e P. APB = 45° e OP = (3 + 3 ) km. durante uma partida de vôlei. (B) y = 4 + cos(x). 2 d (C) H =   tg θ sen θ. sob um mesmo ângulo θ com a horizontal. Sabe-se que a distância dos olhos (pontos P e Q) de cada jogador até o solo é igual a 2. O A B P 03. a casa situada no ponto B deve ser ligada com um cabo subterrâneo de energia elétrica. Considere que o raio da Terra também mede 6. como mostra a figura a seguir. (D) 4. Satélite 6. situados nos pontos A e B. 3 B 6. calcule o cosseno do ângulo formado pela aresta AE e o plano ABC. que valor ele encontrou para a distância entre as árvores. nos pontos A e B. 4 ? Rascunho 3a Série / Pré-vestibular 473 . se usou a aproximação 6 = 2. E 04. Para calcular a distância entre duas árvores situadas nas margens opostas de um rio. cerca de 15° e 120°. do qual ainda pode ver as árvores.Relações trigonométricas em um triângulo qualquer Desprezando a espessura da chapa. respectivamente. até o ponto C e depois caminha em linha reta até o ponto D. um observador que se encontra junto a A afasta-se 20 m da margem. a 40 m de C. B A B C D D E B A=D C A Tendo verificado que os ângulos DCB e BDC medem. na direção da reta AB. Exercícios de leis dos senos e leis dos cossenos M ódulo 12 Matemática II 05. Os lados de um losango medem 4 e um dos seus ângulos 30°. A medida da diagonal menor do losango é: Exercícios de Fixação 01. A base de um triângulo isósceles mede 3 3 cm e o ângulo oposto à base mede 120°. A medida dos lados congruentes desse triângulo, em centímetros, é: (A) 2 2 − 3 . (B) 2 + 3 . (A) 3. (D) 1+ 3. (B) 2. (E) 2 − 3. (C) 4 2 − 3 . (D) 2 2 + 3 . (C) 3. (E) 4 2 + 3 . cm, BC 13 cm que AC 4= 02. Considerando que ABC é um triângulo tal = 4= cm, BC 13 cm e Â = 60°, calcule os possíveis valores para a Exercícios medida do lado AB. 03. Na figura, ABCDEF é um hexágono regular de lado 1 dm, e Q é o centro da circunferência inscrita a ele. B C F ˆ 01. Na figura, AEFG é um quadrado, e BD divide o ângulo ABC ao meio. A E D G F Q A D C E (A) 4 + 2 . (D) 4 + 5 . (B) 3 − 1. (B) 4 + 3 . (C) 6. (E) 2 (2 + 2) . 04. Na figura abaixo, ABC e BDE são triângulos isósceles semelhantes de bases 2a e a, respectivamente, e o ângulo ˆ = 30°. Portanto, o comprimento do segmento CE é: CAB C E B 5 . 3 (C) a 7 . 3 (B) a 8 . 3 (D) a 2 . (A) a 474 B 3 −1 . 2 (A) 2a 30° Sendo CD = 2 3 cm, o lado do quadrado AEFG, em centímetros, mede: O perímetro do polígono AQCEF, em dm, é igual a: A Contextualizados a D (C) 6 ( 3 − 1) . 5 (D) 4 ( 3 − 1) . 3 (E) 3 ( 3 − 1) . 2 02. Uma praça circular de raio R foi construída a partir da planta a seguir: C A 60° B Vol. 3 Exercícios de leis dos senos e leis dos cossenos Os segmentos AB, BC e CA simbolizam ciclovias construídas no interior da praça, sendo que AB = 80 m. De acordo com a planta e as informações dadas, é correto afirmar que a medida de R é igual a: (A) 160 3 m. 3 (B) 80 3 m . 3 (C) 16 3 m . 3 (D) 8 3 m . 3 (E) 3 m . 3 Ponto Distância Ângulo A 2m 60° B 2m 30° C 1m 30° O triângulo com vértices nos pontos A, B e C é: 03. Em um triângulo, as medidas dos lados, em cm, são números inteiros consecutivos e o ângulo maior é igual ao dobro do ângulo 3 menor. Se o cosseno do ângulo menor vale , assinale o que for 4 correto: (01) O perímetro do triângulo é igual a 15 cm. (02) A altura relativa ao lado maior é igual a 3 7 (04) O seno do ângulo maior vale . 8 (08) A área do triângulo vale 15 7 cm2 . 4 (16) O triângulo é obtusângulo. pulso luminoso (infravermelho). O pulso de ultrassom é usado para calcular a distância da ponta da caneta até o sensor, enquanto o pulso de infravermelho indica ao sistema o ângulo entre a base da tela e o segmento de reta que une o sensor à ponta da caneta. Considere um quadro interativo de 3 metros de largura por 2 metros de altura, representado no primeiro quadrante de um plano cartesiano, com o sensor instalado na origem. Um usuário aciona a caneta em três pontos distintos da tela, gerando as leituras de distância e de ângulo apresentadas na tabela: 17 cm. 4 04. Dois navios deixam um porto ao mesmo tempo. O primeiro viaja a uma velocidade de 16 km/h em um curso de 45° em relação ao norte, no sentido horário. O segundo viaja a uma velocidade 6 km/h em um curso de 105° em relação ao norte, também no sentido horário. Após uma hora de viagem, a que distância se encontrarão separados os navios, supondo que eles tenham mantido o mesmo curso e velocidade desde que deixaram o porto? (A) 10 km. (B) 14 km. (C) 15 km. (D) 17 km. (E) 22 km. 05. Quadros interativos são dispositivos de interface humana que permitem ao usuário interagir com as imagens projetadas sobre uma tela grande, geradas por um computador. O uso desses quadros é cada vez mais comum em instituições de ensino, substituindo o quadro para giz ou o quadro branco. Uma das tecnologias que possibilita essa interação funciona a partir de um sensor instalado em um dos cantos da tela onde a imagem é projetada, e de uma caneta eletrônica especial que, ao ser acionada, emite dois sinais simultâneos: um pulso sonoro (ultrassom) e um (A) escaleno. (B) equilátero. (C) isósceles de base BC. (D) isósceles de base AB. (E) retângulo em A. 06. Assinale a(s) proposição(ões) correta(s): (01) A equação sen 2x+cos x = 0 admite 4 soluções no intervalo [0,3p]. (02) Um antigo mapa escondido embaixo de uma rocha continha as seguintes instruções para se encontrar uma panela de moedas de ouro enterrada pelos tropeiros naquela região: a partir da rocha ande 4 km, em linha reta, no sentido leste-oeste. Depois disso, gire 60° para norte e caminhe, em linha reta, 3 km. A menor distância entre o local onde está enterrada a panela de moedas de ouro e a rocha onde estava escondido o mapa é de aproximadamente 6 km. (04) O valor numérico de y na expressão tg240º + cos330º y= é 3. sen870º − sec11p 3  3p  (08) Se sec x =− 5 e x ∈  p,  , então tgx+cotgx é igual a . 2 2   (16) A figura a seguir mostra parte do gráfico de uma função periódica f, de IR em IR, de período 2. y 2 0 -2 0 1 2 4 5 6 8 10 x -2 3a Série / Pré-vestibular 475 Matemática II – Módulo 12 07. Uma bola branca está posicionada no ponto Q de uma mesa de bilhar retangular, e uma bola vermelha, no ponto P, conforme a figura abaixo. P A reta determinada por P e Q intersecta o lado L da mesa no ponto R. Além disso, Q é o ponto médio do segmento PR, e o ângulo agudo formado por PR e L mede 60°. A bola branca atinge a vermelha, após ser refletida pelo lado L. Sua trajetória, a partir de Q, forma um ângulo agudo θ com o segmento PR e o mesmo ângulo agudo α com o lado L antes e depois da reflexão. Determine a tangente de α e o seno de θ. Q 08. Num triângulo AOB o ângulo AÔB mede 135° e os lados AB e OB medem 2 cm e 2 − 3cm , respectivamente. A circunferência de centro em O e raio igual a medida de OB intercepta AB no ponto C (≠ B). R L a. Mostre que OÂB mede 15°. b. Calcule o comprimento de AC . Rascunho 476 Vol. 3 1. Dizemos que 15° é o arco metade de 30°. para resolver o problema. tem-se que: cos(α + β) = sen(90° – (α + β)) = sen((90° – α) – β) = sen(90° – α) ⋅ cosβ – cos(90° – α) ⋅ senβ Lembrando que sen (90° – a) = cos a e que cos (90° – a) = sen a. temos que: tg ( − b ) = − tgb . fazendo uso da trigonometria. Conceito de transformações trigonométricas A finalidade deste módulo é a obtenção de fórmulas que nos possibilitem. vê ao longe uma montanha segundo um ângulo de 15° (ângulo no plano vertical formado por um ponto no topo da montanha. tg ( α − b )= tg( α + ( − b))= − tgα ⋅ tg( − b) 1 Sendo a função tangente uma função ímpar. em uma planície. tangentes e afins de outros ângulos. munido de um teodolito. somos capazes de calcular distâncias. conhecidos alguns ângulos notáveis. tg(α + β) = cos( α + b) cos α ⋅ cos b − sen α ⋅ sen b Dividindo numerador e denominador por cosα ⋅ cosβ. Logo: tg ( α − b ) = tgα − tgb 1+ tgα ⋅ tgb 3a Série / Pré-vestibular 477 . temos que: sen( − b) = − senb e cos( − b= ) cos b . Mãos à obra! 2. ele passa a vê-la segundo um ângulo de 30°. sen( α + b= ) AP AQ '+ Q ' P BQ Q ' P BQ OQ Q ' P PQ = = + = ⋅ + ⋅ OP OP OP OP OQ OP PQ OP Logo: sen ( α + b= ) senα ⋅ cos b + senb ⋅ cos α )) senα. pois a tangente de 30° já conhecemos. Porém. comprimentos e alturas. e ao longo deste módulo desenvolveremos as ferramentas necessárias para resolver esse tipo de problema. Qual é a altura da montanha?” O teodolito é um aparelho de fácil confecção e manuseio. o observador e o plano horizontal). através das relações para o cálculo da soma e da subtração de dois arcos. cossenos. Após caminhar uma distância de 20 m em direção à montanha. utilizado desde a civilização egípcia para medir ângulos. concluímos que: cos ( α + b= ) cos α ⋅ cos b − senα ⋅ senb IV. para o cálculo do arco duplo e para o cálculo do arco metade. precisaremos do valor da tangente do ângulo de 15°. conforme o problema proposto acima. seremos capazes de determinar senos. temos que: I. Dessa forma.cos( −b) + sen( −b).cos α II. sen ( α − b= ) sen( α + ( −b= Lembrando que a função seno é uma função ímpar e a função cosseno é uma função par. cossenos e tangentes de vários outros ângulos.cos α III.cos b − senb. A partir do ciclo trigonométrico. temos tgα + tgb a expressão simplificada: tg ( α + b ) = 1− tgα ⋅ tgb tgα + tg( − b) VI.Círculo trigonométrico e transformações trigonométricas M ódulo 13 Matemática II Como calcular a altura de uma montanha? Considere o seguinte problema: “Um observador. Logo: sen ( α − b= ) senα. obter senos. Dessa forma. Fórmulas de soma e de subtração de dois arcos Seja a construção abaixo feita com auxílio do plano cartesiano: P Q’ Q b a O A B Com efeito. Portanto: cos(α – β) = cosα ⋅ cos(– β) – senα · sen(– β) Logo: cos ( α − b= ) cos α ⋅ cos b + senα ⋅ senb sen( α + b) sen α ⋅ cos b + sen b ⋅ cos α = V. deduzimos que: I. + cos2 de = 1:um seno2 movimento cos x 2 2 pêndulo. Ao simplificar. etc. cos A – sen A . Um movimento harmônico simples é um movimento oscilatório em que a aceleração e a força resultante são proporcionais e contrárias ao deslocamento. a força resultante é descrita por F= – Kx. sen A Logo: cos = 2 A cos2 A − sen2 A O movimento harmônico simples e a trigonometria Em Física. 3 ) sen A ⋅ cosA ⋅ cos A + sen A ⋅ cos2 A − sen2 A = ) = A 3sen A − 4 sen3 A . como x x o movimento da Terra em torno do Sol. um movimento é chamado harmônico quando puder ser descrito por funções horárias harmônicas. em que K uma constante característica e x o deslocamento em relação à posição de equilíbrio. cos2 x0 r= A +A III. Sabendo que:  = cos 2 A c os2 A − sen2 A  Temos que: sen3= A sen ( 2 A + A= A 2 ) sen 2 A ⋅ cos A + sen A ⋅ cos 2= ( 2 ( 2 2 ⋅ sen A ⋅ cos A + sen A ⋅ 1− 2sen A 3. Seja tg = x 2 cos 2 II. chama-se força restauradora e obedece à Lei de Hooke. é possível obter a fórmula do arco triplo do cosseno. o movimento de uma massa presa à extremidade de uma mola. Dessa forma. Várias situações podem ser descritas através desse modelo. III. w a velocidade angular. sen 2 A = sen(A + A) = senA · cos A + sen A · cos A Logo: sen 2 A = 2 ⋅ sen A ⋅ cos A 478 Vol. Segundo a Lei de Hooke. Fórmulas de arcos duplos Conhecidas as fórmulas da soma/subtração de dois arcos. Fórmulas de arcos metades Fazendo 2 A = x na fórmula do cos 2 A acima deduzida e utilizando a relação fundamental:  2 cos x = 1− 2sen 2 x 2 x 2 x 2 x sen + cos = 1: cos x = cos − sen ⇒  2 2 2 2 cos x 2cos2 x − =  2 x  cos x = 1− 2sen2 (i)  x x  2 = cos2 − sen2 ⇒  x 2 2 cos x 2cos2 − 1 (ii) =  2 Com efeito: I. Arcos triplos Foram demonstradas acima as relações para obtenção de arcos duplos quando conhecidos os senos e cossenos dos arcos dados inicialmente. Dessa forma: 2 ⋅ sen A ⋅ cos A sen 2 A = . o movimento de uma lâmina vibrante. Mas esse raciocínio pode ser estendido para obtenção de relações de arcos triplos. funções redutíveis a funções senoidais. tg2A = tg(A + A) = tg A + tg A 1− tg A ⋅ tg A t t=0 wt + ∅ –A Logo: tan E sua função horária pode ser obtida da seguinte forma: x 1− cos x = ± 2 1+ cos x A ϕ x x x A x = A cos ϕ Como: ϕ = ϕ0 + ωt x = A cos (ωt + ϕ0) cos ϕ = Sendo uma função trigonométrica do tipo “ cos ( α + b ) ” em que A é a elongação máxima. Você seria capaz de deduzi-la sozinho? E seria possível obter sen 4 A ? Ou sen5 A ? Como? .Matemática II – Módulo 13 II. t o tempo e ϕ0 a fase inicial. é possível analisá-lo como uma projeção de um movimento circular uniforme sobre um eixo. sen2 x 1− cos x x 1− cos x = → Logo: sen = ± 2 2 2 2 x 1+ cos x x 1+ cos x = →Logo: cos = ± 2 2 2 2 x sen x 2 e as duas fórmulas de arcos metades acima. ou seja. obtemos: sen3 Através de um raciocínio semelhante. Assim: x ∅ Logo: tg 2 A = 2 ⋅ tg A 1− tg2 A 4. cos 2 A = cos(A + A) = cos A . Para que este movimento seja mais bem estudado. (B) 2. ambos com origem em (1. O valor de tg ( α + b ) é: y (01) cos 2 x = sen x P 3 (02) cotg x ⋅ cos x = 6 3 (04) tg x = 3 3 (08) cossec x = 2 3 (16) sen 2 x = 2 02. Os pontos P e Q representados no círculo trigonométrico abaixo correspondem às extremidades de dois arcos. Sabendo que = sen x 2 2 (D) 1 . 3a Série / Pré-vestibular 479 . que satisfaz a igualdade sen(2 y ) = k cotg(y). 4 ab 2 2 a (E) − b . para os quais a expressão sen θ cos θ é definida. (C) 40 m. é correto afirmar que ela está sempre + csc θ sec θ igual a: 04.Círculo trigonométrico e transformações trigonométricas Exercícios de Fixação a 01. Um caminhão sobe uma ladeira com inclinação de 15°. 2  p  16) sen  2 x +  = cos 2x  2 02. 2  3p  08) Se x ∈  . 4 ab (A) 01) cos 247° = sen 337° 02) A igualdade abaixo é uma identidade trigonométrica: sen a ⋅ tg a ⋅ cossec a = tg2 a . será de. (E) 67 m. (D) 52 m. cos a ⋅ cot g a ⋅ sec a 1 04) Se cos x > . depois de percorridos 100 m da ladeira. (D) cos θ.0).73.5. (A) 3 + 3 . (D) 2 − 3 . Se cos x – sen x = 1 − 2 (A) 0. 2p  . 2 2 (A) 7 m. então cos x − sen x > 0 . denominados respectivamente α e b. (C) 0. (B) 26 m. (D) 0. 3 3– 3 . a ≠ 0 e b ≠ 0. (E) 1. A diferença entre a altura final e a altura inicial de um ponto determinado do caminhão.25. 2 ab 2 2 (C) a − b . 4 x Exercícios Contextualizados 1 valor para cossec 2 x − tg x é: 2 (A) 1 Q 1 . (E) −1+ 3 . assinale o que for correto: e sec x = a+2 05. (A) 1. então sec x < 2 . (C) sen θ. Considerando os valores de θ. Assinale o que for correto: 2 ab . ab 2 2 (D) a + b . 8 1 (B) . ab a+ b (B) . um possível a + b2 2 a− b . 2 1 (C) . Sendo x um arco do 1o quadrante e sabendo que sen x = a+1 a+1 . então o valor da constante k. medidos no sentido positivo. 16 (E) 1.125. 03. então sen (2x) é igual a: 2 03. (B) 3 (C) 2 + 3 . aproximadamente:  θ  1− cos θ Dados: 3 ≅ 1. sen2   = . é: 1 . Se a é o menor valor que satisfaz a inequação 1− 8 x ≤ 3 e sen( y ) = a. (B) 0.75. 01. (E) cotg ( 2 x ) + 3cossec ( 2 x ) . (B) cotg ( 2 x ) + 3sec ( 2 x ) . É correto afirmar que a expressão cos x − sen x + 3 tg 2 x 2 é igual a: 1− ( sen ( x ) − cos ( x ) ) (A) 3 tg ( 2x ) . nas quais log x representa o logaritmo decimal de x. (B) 3. O valor da  1  x  expressão f ( x ) ⋅ f ( y ) −  g   − g ( x ⋅ y )  é: 2  y  (A) 4. 3 Exercício de Aprofundamento 01. . (E) 0. Sejam f ( x ) = sen(log x ) e g( x ) = cos(log x ) duas funções reais. (D) tg ( 2 x ) + 3sec ( 2 x ) .Matemática II – Módulo 13 2 2 ( ) ( ) ( ) 04. (D) 1. Rascunho 480 Vol. (C) 2. (C) tg ( 2 x ) + 3cossec ( 2 x ) . 2 1 (E) y = . 6 2   p  p  ( ) sen  + x=  cos  − x  . valem. então. 3 1 (C) y = . 03. para x real e x ≠ ( ) 2 sen 2x ( ) 2cos2 x + cos ( 2x ) = 3 + 4 cos2 x. (D) 3. (D) I – II – IV. l. respectivamente. A expressão cotg(2 x ) + cossec(2 x ) pode ser escrita como: (A) cos( x ) + sen( x ) cos( x )sen( x ) (B) tg( x ) (C) cotg( x ) 2 cos2 (2 x ) + sen(2 x ) (D)  sen(4 x ) 2 cos(2 x ) + sen2 (2 x ) (E)  sen(4 x ) Exercícios Contextualizados (E) cos[( a + b) ⋅ ( a − b)] 15 1. então. e a sequência (c. com k inteiro. 4 . o período e o lV. são progressões aritméticas formadas por números reais. Analise a veracidade das afirmações seguintes sobre identidades trigonométricas. Determine a p razão r de S2. a. a nova sequência que se forma tem soma dos três termos igual a zero. Somando 1 ao segundo termo e 5 ao terceiro termo de S1. 4  4  Todas as afirmações corretas estão em: (A) I – II – III. Dado y = cos  2arcsen  . 3 (D) y = 06. a. para todo x real. 3 1 (B) . Aplicando a função trigonométrica seno aos três termos de S2. Sendo cossec x = 1. Se sen x + sen y =e cos x + cos y = 3 sec ( x – y ) é igual a: 1 (A) . A soma dos valores máximo e mínimo da função 1 7 f ( x ) = 1+ cos2 x é . analise as proposições abaixo. A expressão cos( a2 − 2 b2 ) ⋅ cos( b2 ) − sen( a2 − 2 b2 ) ⋅ sen( b2 ) é igual a: (A) cos( a2 + b2 ) (B) sen( b2 ) (C) cos( a2 ) (D) sen[( a + b) ⋅ ( a − b)] kp 2 . b. para quaisquer x e y ( ) sen ( x + y ) + sen ( x − y ) = reais. 7 . ( ) tg x + cotg x = . (C) I – III – IV. A sequência (12. A expressão senx = 2 m – 3 tem solução se m pertencer ao  3 intervalo  1. temos que:  3 (A) y = 3 . para todo x real. para todo x real. Sendo f ( x ) = 6  p e domínio da função f. 2cos x cos y. denominada S2. para o caso em que < r < p. 02. 01.  .  2 II. 01. 3 3 III. Calcule a razão dessa PG. 2 3a Série / Pré-vestibular 481 . a nova sequência de três números reais passa a ser uma progressão geométrica crescente. 2  05. denominada S1. (B) II – III – IV. cotg x vale 3 p  1+ tg  2 x +  . 2 p kp    x ∈ | x ≠ + . d. e). então. k ∈ .Exercícios de círculo trigonométrico e transformações trigonométricas M ódulo 14 Matemática II Exercícios de Fixação 04. ( ) sen4 x – cos4 x = sen2 x – cos2 x. b). 2 (C) 2. Sobre funções trigonométricas. com x pertencente ao 2o quadrante. 9 (B) y = 3 . e termo do meio diferente de zero. (E) 4.333. Seja α a medida  com 0 < α < p . 2 04. respectivamente. adaptada de um quadro de Kandisnky.  2 2 06. O valor numérico de sena. (B) . (E) 12 (D) . 01) O valor mínimo da função f(x) = 2 + 5 sen 4x é –3. 2 08) Se A = sen 430º e B = sen 700º . 2p e [– 4. medindo 20 cm. (E) 12 24 p 3 . 2 (C) 6 . aos eixos x. Dados um triângulo isósceles de lados congruentes. o ângulo ABC  em radianos. 3p 04) Se cotg (a) · sec (a) > 0 e sen (a). Optou inicialmente pela música. cos (a) < 0 então p < a < . 0 ≤ x ≤ p . 3 maximizam a soma sen(x) + sen(y). 3 2p .Matemática II – Módulo 14 02. O perímetro desse triângulo. (D) . 8 2 p. 4 1 p. (B) 0. os vértices de um tetraedro OABC são tais que O = (0. então x é igual a: 02. A figura a seguir. (C) 5 (B) (A) 2 2 (C) sen α cos α .4].0) e A. (B) 3 3p . então A < B. assinale o que for correto. y e z. o que refletiu em seu trabalho como pintor.  . (C) 1. 0 ≤ x ≤ y. conferindo-lhe noções essenciais de harmonia. 2  o valor de tg  arccos  é: 5  (A) − 21 . respectivamente. b. apresenta um triângulo ABC retângulo em A. O pioneiro do abstracionismo nas artes plásticas. Em relação a um sistema de coordenadas cartesianas. Com base nas assertivas abaixo. é correto afirmar que a expressão log[(f(x) + g(x))2 – f(2x)] é igual a: (A) f(x) · g(x). 25 2 21 (C) − . 2 3 . Sabendo-se que a diferença entre os ângulos x e y é 60°. o valor de sen x + sen y é: (A) 1 . Exercícios de Aprofundamento 01. a altura relativa ao  mede 135° e M é o ponto médio lado AB mede 1 cm. tal que 4 sen= α 3cos α. (D) log(f(x) + 2) +log(g(x) + 2).  p p 16) Para todo x ∈  − . 5 1 p. Se os números reais x e y. com x + y = (A) 5p . é igual a: de AB. (D) 21 . Num triângulo ABC o lado AB mede 2 cm. 2 então o volume do tetraedro OABC é igual a: (C) cos 2α cos 2α . 5 3 .0. 3 6 (E) . 3 (D) (A) (B) 1 p. nasceu em Moscou. 2 03. (E) 21 . e o ângulo α formado por esses dois lados. 3 3 p. é inversível. Se f e g são as funções definidas por f(x) = senx e g(x) = cosx. 05. Considerando a função f ( x ) = cos x . 24 12 sen 4α sen 4α . Wassily Kandisnky. 18 482 Vol. 07. Então. 3 (D) (E) 4p . em 1866. 02) O período e o conjunto-imagem da função f: R → R definida por f(x) = 4 sen x · cos x são. a medida de BÂC + BMC. o valor de (tg2 x + 1) · (sen2 x –1) é –1. Se AB = 1 e= do ângulo OBA OC cos 2α . determine: a. 5 25 4 (B) − . B e C pertencem. 8 7p . o gráfico de f ( x ) = sen ( x ): y 1 – 3p/2 – 2p –p – p/2 –1 Temos que: I. matematicamente. ou seja.: (a) sen ( 3p= ) sen ( p + 2p=) sen ( p=) 0  p  3p   3p  (b) cos = −  cos  −= 2p  cos =  0  2  2   2  –1 Observamos que a função seno é uma função periódica. Atualmente há uma gama de aparelhos que nos permite escutar nossa música favorita ao andarmos ou inclusive ao praticarmos atividades físicas. Denomina-se função seno a função circular f : R → R que associa a cada número real x outro número real dado por f ( x ) = sen ( x ) . a função cosseno e a função tangente. em meio a uma floresta ou até mesmo numa praia. Imagem: Im ( f ) = [ −1. é uma função em que. Portanto. Ex. Domínio: D ( f ) = R II. ou seja. Fazendo a associação do ciclo trigonométrico ao plano cartesiano: y 1 M y’ 3p sen (x) x 2 A p x p 2p x x’ 0 eixo dos senos eixo das tangentes P 1 a 2 eixo dos cossenos O ciclo trigonométrico compreende ângulos dentro do intervalo [0. graças ao entendimento das funções circulares. Neste módulo estudaremos apenas as principais funções trigonométricas. os valores dos senos se repetem periodicamente. assunto deste módulo. somos capazes de captar. somos capazes de recriar o som nos mais diversos aparelhos eletrônicos. Mas como isso é possível? O que é. para obtermos as imagens de ângulo fora deste intervalo. seus sons característicos. o som? O som é uma onda que possui uma frequência característica e que pode ser descrito. Funções circulares 1. para cada determinado intervalo de seu domínio. 2p[ .1. devemos utilizar a sua primeira determinação positiva. Com efeito. matematicamente. a cada volta completa do ciclo trigonométrico.Funções trigonométricas M ódulo 15 Matemática II Como descrever matematicamente o som? Amplitude Alta frequência Amplitude Baixa frequência Tempo Tempo Ao andarmos na rua. suas imagens se repetem. como uma função senoidal. Ou seja. 1] III. Período: T = 2p 0 p/2 p 2p 3p/2 x 2p rad período 3a Série / Pré-vestibular 483 . a função seno. 1. de cada local distinto. Dessa forma. Quase todos nós gostamos de algum estilo musical e apreciamos escutar boa música. Função seno Uma função circular é uma função que associa a cada número real um ponto do ciclo trigonométrico. 2 Função cosseno 1.: A origem da palavra “cosseno” vem de “complemento do seno”. não podemos calcular cos ( x ) as tangentes dos ângulos em que cos ( x ) = 0. As principais características do som são seu timbre. É importante observar que. Imagem: Im ( f ) = [ −1. 3 A 2p y 1 – 3p/2 –p Obs. Essa onda mecânica é entendida. Com efeito. ao lado estão as funções senoidais associadas aos respectivos instr umentos musicais. pois 30° + 60° = 90°. Com efeito: 484 N p – p/2 0 –1 p/2 2p rad período Temos que: p   I. 3p/2 x . Com efeito.3 Função tangente Denomina-se função cosseno a função circular f: R → R que associa a cada número real x outro número real dado por f ( x ) = cos ( x ). k ∈ Z  . Imagem: Im ( f ) = R III. Período: T = 2p p 3p/2 x p 2 0 p 3p 2p 2 x A função tangente também é uma função periódica. são Ex. Período: T = p O aparelho capaz de “ler e descrever” matematicamente o som é chamado osciloscópio. sua amplitude e sua frequência. A cada volta completa do ciclo trigonométrico. O osciloscópio e as ondas sonoras Como foi falado no início do módulo. Com efeito: p   D =  x ∈ R / x ≠ + k p. Vol.Matemática II – Módulo 15 1. Domínio: D ( f ) = R II. diferentemente das funções anteriores. pois a cada seno de um ângulo. Lembrando que tg ( x ) = . A nível de curiosidade. como uma soma de funções periódicas (gerando uma função de natureza senoidal). o gráfico de f ( x ) = cos ( x ) : y – 3p/2 – p – p/2 a 0 1 2p Fazendo a associação do ciclo trigonométrico ao plano cartesiano: t y M T 0 p/2 –1 Temos que: I. 2   x A 0 cos (x) p 2 0 x p 3p 2 2p x –1 Também notamos que a função cosseno é uma função periódica. Domínio: D ( f ) =  x ∈ R / x ≠ + k p. o cosseno de seu complemento é igual. os valores dos cossenos se repetem periodicamente. O som pode ser entendido como uma perturbação que se propaga num meio com propriedades elásticas na forma de uma onda. nem todos os números reais pertencem ao domínio da função sen ( x ) tangente. o gráfico de f ( x ) = tg ( x ) : 2p rad período sen = ( x ) cos ( 90° − x ) . matematicamente. k ∈ Z  2   II. Ele descreve cada onda sonora por meio das funções senoidais de acordo com as suas características. daí o seu prefixo cos. Fazendo a associação do ciclo trigonométrico ao plano cartesiano: y 1 M A função tangente é uma função circular f : D → R que associa a cada número real x ∈ D outro número real dado por f ( x ) = tg ( x ) . 1 = ° cos60 = ° . 1] III. ou seja. sendo o seu período de p rad .: sen30 2 ângulos complementares. as ondas sonoras podem ser descritas por meio de funções senoidais. (B) somente –1. Secante: sec ( x ) = cos ( x ) 1 II. (D) –1 ou 1. por meio de raciocínios semelhantes. Se g ( x ) = 0 e b = 2 x 4 6 3p . cossec ( x ) e cotg ( x ) . A função seno. ou seja. a pergunta: Qual o arco cujo seno vale 1 1 ? Uma possível resposta seria 30°. Cossecante: cossec ( x ) = sen ( x ) cos ( x ) 1 III. a chamada função arco-seno. e no 2o a sua inversa. (E) 1 ou 0. Cotangente: cotg = ( x ) = sen ( x ) tg ( x ) A função arco-seno Podemos construir. conforme foi falado. y 1 Função secante 3 y –6 –4 –2 2 1 0 –1 – x 2 4 p 2 p 2 6 x –1 –2 y –3 p 2 • f ( x ) = cossec ( x ) Função cossecante –1 3 y –6 –4 –2 1 2 1 0 –1 – 2 x 4 6 x p 2 No 1o gráfico temos a função seno. Seja. associa a cada ângulo x o valor de seu seno. como determinar o ângulo? Essa pergunta dá origem à função inversa da função seno. 2 Função cotangente 6 3 y –6 –4 –2 2 Exercícios de Fixação 1 0 –1 –2 –3 01. a função arco-seno. Seja g ( x= ) x 2 + x cos b + senb. 3a Série / Pré-vestibular 485 . então x vale: 2 (A) somente 1. Com efeito: f ( x ) = sen ( x ) → f −1 ( x ) = arcsen ( x ). (C) –1 ou 0. por exemplo.Funções trigonométricas 2. Outras funções circulares Lembrando das definições de: 1 I. Agora vamos imaginar o problema inverso: conhecido o seno do ângulo. Dessa –2 –3 • f ( x ) = cotg ( x ) 2 2 forma: arcsen  1 = 30°= p . pois sen ( 30° ) = . sen ( x ) . as funções circulares associadas a sec ( x ) . Seus gráficos são: • f ( x ) = sec ( x ) As funções trigonométricas descritas neste módulo também possuem suas respectivas funções inversas. Assinale a alternativa correta: Exercícios Contextualizados (A) sen (1000°) < 0.   7p  −4cos  − x  + 2cos x . conclui-se que. – 30° 14 13 12 Lat. com as maiores variações entre os solstícios. ocorrem em função da duração do período claro do dia em horas (d) em relação aos meses (m). (B) sen (1000°) > 0. que é muito útil quando se estudam 4 Vol. à equação d= 12 + 2 ⋅ cos ( ωm + p ) . que representa desiguais durações nos (B) equação am + bd + c = equinócios e nos solstícios.5 ⋅ sen ( ωm + p 2 ) . (C) − 2 . à equação d= 12 + 2 ⋅ cos ( ωm + p 2 ) . para latitudes diferentes de 0°. e à equação d= 12 + 6. (E) sen (1000°) = – cos (1000°). o valor de f  −  é: 04. e à equação d= 12 + 6.5 ⋅ cos ( ωm + p ) . Diante do exposto. as funções das durações do período claro do dia na figura. Analise o gráfico apresentado a seguir. 0. – 30° e – 60°. com as menores variações entre os equinócios. Considerando a revolução da Terra em torno do Sol como um movimento circular uniforme.br>. aproximadamente. que representa iguais durações nos (A) equação d − 12 = equinócios e nos solstícios. . 01. à: 2 . A razão entre o maior e o menor número inteiro que pertencem ao  conjunto imagem da função trigonométrica y =−4 + 2cos  x −  (A) 2. a duração do período claro do dia é variável para as diferentes latitudes. –2 p t tem o br o ou tu no bro ve m de bro ze m br o 10 se 5 –1 jul jun jan ei fev ro er eir o m ar ço ab ril m aio 1 0 Duração em horas x função y= A + B sen   . 0° 5 11 10 4 9 3 8 7 2 6 5 15 20 25 x (A) 6. como. à frequência angular ( ω) e à fase inicial em 21 de março. (D) sen (1000°) = – sen (1000°).ufrgs. A figura a seguir representa um esboço do gráfico de uma 17 16 fenômenos periódicos. à curvatura da superfície de nosso planeta e à inclinação do eixo de rotação terrestre. o movimento de uma mola vibrante. Então. 2014 (adaptado). 3 2p  é: 3  0. por exemplo. à equação d= 12 + 2 ⋅ sen ( ωm + p 2 ) . Acesso em 28 fev. 1 2 (D) − . (D) 18. com as maiores variações entre os equinócios.Matemática II – Módulo 15 02. (C) 12. (B) 10. e à equação d= 12 + 6. (B) 2. Sendo f ( x ) = 2   4  (A) 2 . 3 (C) – 3. – 60° 03. 2 (E) ho Disponível em: <astroif. (B) 1 . (D) – 1. as durações do período claro do dia ao longo dos meses correspondem. que representa iguais durações nos (C) equação d − 12 = equinócios e nos solstícios. o produto das constantes A e B é: y 15 Lat. 486 ho os ag Devido à revolução da Terra em torno do Sol. (C) sen (1000°) = cos (1000°).5 ⋅ cos ( ωm + p 2 ) . respectivamente. 05. equivalem a movimentos harmônicos simples (MHS). Duração do período claro do dia ao longo do ano 21 de março 21 de junho 21 de setembro 21 de dezembro 19 18 Lat. em relação às latitudes 0°. Estes MHS. 0. (E) 50. a temperatura (em °C) no instante t. e à equação d= 12 + 6.  2p( t − 105)  .5 ⋅ sen ( ωm + p 2 ) . (B) 12h. 03. (C) 12h. (C) o período de seca corresponde a 4 meses do ano. 364   decorridos desde o início do ano. π]. à equação d= 12 + 2 ⋅ cos ( ωm + p ) . a temperatura média máxima nesse lugar. no mês de: (A) julho. Com o objetivo de auxiliar os maricultores a aumentar a produção de ostras e mexilhões. Ela cresce no período chuvoso e decresce no período de estiagem. Para isso.Funções trigonométricas (D) equação d = sen m . (D) 6h. em intervalos de 1 hora. As medições iniciaram às 5 horas da manhã do primeiro dia (t = 0) e os dados foram  pt p representados pela função periódica T ( t ) = 24 + 3cos  +  . É correto afirmar que: (A) o período chuvoso corresponde a dois trimestres do ano. em dias    t − 2   = P( t ) 103  cos   p  + 5  em que o tempo t é medido em   6     meses. a. que representa iguais durações nos equinócios e nos solstícios. que representa desiguais durações nos equinócios e nos solstícios. o valor da temperatura máxima e o horário em que ocorreu essa temperatura no primeiro dia de observação valem. O período da função. Rascunho 3a Série / Pré-vestibular 487 .000 animais. e à equação d= 12 + 6. em  6 3 que t indica o tempo (em horas) decorrido após o início da medição (A) 6h. (E) a população atinge seu mínimo em t = 4 com 6. 27°C e 10h. em determinado lugar. (E) equação d = a ⋅ ( −c b ) . efetuou medições durante três dias consecutivos. A população de peixes em uma lagoa varia conforme o regime de chuvas da região. em função do tempo t. O gráfico de f pode interceptar a reta de equação y = 8/5? Explique sua resposta. possa ser expressa. respectivamente: 02. (B) setembro. um engenheiro de aquicultura fez um estudo sobre a temperatura da água na região do sul da ilha. e T(t). Esta população é descrita pela expressão 04. Suponha que. com as maiores variações entre os solstícios. Resolva a equação f(x) = 0 no intervalo [0.5 ⋅ sen ( ωm + p 2 ) . por T ( t=) 14 + 12 sen  Segundo esse modelo matemático. 27°C e 15h. b. (D) a população média anual é de 6. (D) dezembro. ocorre. 25. em Florianópolis. 25. Considere a função: f(x) = senx · cosx + (1/2)(senx – sen5x). com as menores variações entre os equinócios. (E) março.5°C e 15h. em °C.5°C e 10h. (C) junho. Exercícios de Aprofundamento 01. à equação d= 12 + 2 ⋅ sen ( ωm + p 2 ) .000 animais. (B) a população atinge seu máximo em t = 6. a temperatura média diária T. (C) 7. (B) 6. as funções seno e cosseno são definidas para todos os números reais. p  04. se x ≥ 0 Exercícios Contextualizados 01. 2 2p (B) (E) 2. 3 (C) 5p . 3 (C) 10. (C) sen(2. y 1 −2p −p 0 p 2 3p 2 5p 2 x –1 A expressão algébrica de f(x) é x admite no conjunto 10 dos números reais? Abaixo.000°) = cos(2. se x ≥ 0 − cos x . (B) sen(2.000°). Em relação às imagens dessas funções. (E) 9. se x < 0 (A) f ( x ) =   cos x .000°). O período da função definida por f(x) = sen 3 x −  é 2  p (A) . (D) p. se x < 0 (B) f ( x ) =   sen x .Funções trigonométricas: exercícios M ódulo 16 Matemática II Exercícios de Fixação 01. estão esboçados os gráficos de sen x e x/10.000°) = – cos(2. é correto afirmar: (C) cos( 5 ) > 0 (D) cos( 5 ) > sen(8) (A) sen(7) > 0 (B) sen(8) < 0 06. A função real f(x) está representada no gráfico abaixo. como ilustra a figura. O maior valor que o número real senx 2− 3 20 (A) . (A) 5. (E) 20 . . se x < 0 (C) f ( x ) =   sen x . Quantas soluções a equação sen x =  – sen x . Assinale a alternativa correta: (A) cos(2. 3 7 (B) . No ciclo trigonométrico. 7 05.000°) = – sen(2. 10 pode assumir é: 02. (D) sen(2. se x ≥ 0  sen x . (D) 8. O pistão de um motor se movimenta para cima e para baixo dentro de um cilindro. se x < 0 (E) f ( x ) =  cos x.000°). se x ≥ 0 − sen x. (D) 6. 6 488 Vol. 03. se x ≥ 0  cos x . (E) sen(2. se x < 0 (D) f ( x ) =   cos x . 3 .000°) < 0.000°) > 0. (C) 747.6 − 1. sendo que x é o dia do mês (considerando em centímetros. poderia ser modelada de acordo com a função: p  A(= t ) 1.25. 6  p  (C) 40 + 20 cos  t  . Seja f uma função que tem como domínio o conjunto dos números reais e é dada por f(x) = a · sen(ω · x + b). 04. favorecendo o surgimento de doenças respiratórias.4 sen  t  6  Nessa função. os poluentes emitidos em excesso pelos veículos causam graves problemas a toda população. em um espaço de tempo não muito grande.5] . (C) 0. (B) 0. 6  06. concluiu que a altura A das marés. aquela que melhor representa a variação da intensidade sonora com o tempo I(t) é: p (A) 50 − 10 cos  t  . com a. ao mês de fevereiro e assim por diante. (E) 10. 6  p  (B) 30 + 10 cos  t  . funcionando durante um minuto? 02. medido em centímetros. (E) o estoque em um determinado dia do mês é exatamente metade do estoque do dia anterior. A figura abaixo ilustra o gráfico de f. indica a posição. A soma do número de pessoas com doenças respiratórias registrado nos meses de janeiro. e s.125. 6  (D) 60 − 20 cos  p t  .25. 05. a poluição demora mais para se dissipar na atmosfera. em segundos.05  Nos termos apresentados. Quantos ciclos completos esse pistão realiza.  . (B) 720. restrito  p 5p  ao intervalo fechado  − . (E) 936. Entre as funções a seguir. Indique a2 + ω2 + 3 b p . em cm. sendo t a variável tempo em segundos. 07. maio e julho é igual a (A) 693. (C) no dia 15 de cada mês. A função f tem período π e seu  6 6 conjunto imagem é o intervalo fechado [ −5. metade do estoque do mês foi vendido. corda vibrante seja dado pela equação s ( t ) = 4 em que t é o tempo. x = 2. a altura h(t) do pistão. (B) a loja vende metade do seu estoque até o dia 10 de cada mês. 03. com x = 1 correspondendo ao mês de janeiro. ω e b constantes reais. após iniciado o movimento. Um determinado inseto no período de reprodução emite sons cuja intensidade sonora oscila entre o valor mínimo de 20 decibéis até o máximo de 40 decibéis. o afastamento da partícula da posição de repouso? (A) 0. possa ser descrita pela expressão: 30      2pt  o mês comercial de 30 dias) e f(x) é o estoque ao final do dia x. (D) ao fim do mês. A função que aproxima o estoque de violas da loja ao longo do mês é (A) ao final do mês.12]. qual é. a loja ainda não vendeu todo o estoque de violas. a partir da meia-noite de certo dia. em horas. = h ( t ) 4 sen   + 4. Determine a altura máxima que o pistão atinge. conclui-se que a função A. Suponha que a função p  N(x) = 180 − 54 cos  ( x − 1)  6  represente o número de pessoas com doenças respiratórias registrado num Centro de Saúde. Em muitas cidades. Meio segundo após iniciado o movimento da corda. dada em metros. em segundos. ao estudar a influência da variação da altura das marés na vida de várias espécies em certo manguezal. Uma loja do ramo de som vende instrumentos musicais e renova todo mês seu estoque de violas em 60 unidades. Nesse contexto. metade do estoque ainda não foi vendido. a variável t representa o tempo decorrido. 5 − p 6 5p 6 x –5 Determine as constantes a e ω e o menor valor positivo de b. (D) 10. b. março. Um especialista. está representada pelo gráfico: 3a Série / Pré-vestibular 489 . Durante o inverno. no intervalo [0. é correto afirmar que a. Suponha que o deslocamento de uma partícula sobre uma 1 10 + sen (10pt ) .   px   = f ( x ) 30  cos   + 1 . (D) 774.  0.Funções trigonométricas: exercícios Suponha que em um instante t. então 5 49 1− 2sec x tg x = . 2  1+ sen2 x . 01) cos4 x − sen4 x − 2cos2 x + 1 = 3 02) Se x é um arco do terceiro quadrante e cos x = − . 3 0. 9 p  04) cos ( p + x ) + sen  + x  = 0.2 0 (D) 3 A (m) 3 1. qualquer que seja x real.Matemática II – Módulo 16 (A) Exercícios de Aprofundamento A (m) 01. (D) 40° ≤ α < 50° . em que 08) O domínio da função f. Podemos afirmar que: 3 1. 2 2   53p  16) sec   > 1. p] / x ≠ − e x ≠  .2 0 (C) 3 6 9 12 t (h) 6 9 12 t (h) 6 9 12 t (h) 6 9 12 t (h) A (m) 3 1.  11  .6 0.2 0 490 (A) 10° ≤ α < 20° . Um triângulo isósceles tem os lados congruentes com medida igual a 5. 3 Vol. (B) 20° ≤ α < 30° .6 0.6 0.6 0. (C) 30° ≤ α < 40° . Dê a soma das alternativas corretas: 3 1. (E) 50° ≤ α < 60° . definida por f ( x ) = tg ( p + x ) p p  −p ≤ x ≤ p é  x ∈ [ −p. qualquer que seja x real.2 0 (E) 3 A (m) 3 1. Seja α medida do ângulo da base para a qual a área do referido triângulo é máxima.2 0 (B) 3 6 9 12 t (h) A (m) 02.6 0. ©iStockphoto. muitos problemas são modelados matematicamente por sistemas de equações lineares. pois esses x − y = 2 O sistema  valores satisfazem ambas as equações. Um sistema de equações é um conjunto de duas ou mais equações. daí. obtendo x + 3 y = 16 + . Um blend de café é uma composição de grãos diferentes (ex. 2. substituindo a 1a linha pelo resultado 3 x − 3 y = −12 4x = 4 ⇔ x=1 obtido. 3a Série / Pré-vestibular 491 . y=5      x=1 . Trocar a posição relativa de duas equações do sistema. Geralmente. b. estudaremos como solucionar sistemas de equações lineares. de forma que x = 7.: 20% grão conilon e 80% grão arábica). trocar uma equação pela soma. Essas operações elementares são: I. a técnica de solução de sistemas lineares é útil sempre que queremos descobrir algumas quantidades (variáveis) a partir de relações conhecidas entre elas (equações). eliminamos o coeficiente de y.1 Resolução de um sistema 2 × 2 Ex. trocar uma equação dada por um de seus múltiplos (uma equação obtida a partir da multiplicação de ambos os membros da equação dada por um número real não nulo). 2.com/tomch A qualidade do café depende de uma medida denominada blend. Neste módulo. Para encontrar relações entre um blend específico e os tipos e quantidade de grãos que o compõem. Resolução de um sistema linear Vejamos mais alguns exemplos: Resolver um sistema significa encontrar os valores das variáveis que satisfazem todas as equações ao mesmo tempo. um processo no qual fazemos operações entre as equações para isolar as variáveis. teremos que      x = 1. satisfazem todas as equações. utiliza-se a teoria de sistemas lineares. ao substituírem a variável.:  x + y = 12 possui solução x = 7 e y = 5. uma de cada vez. Operações entre equações de um sistema que não mudam a sua solução são denominadas operações elementares. e sua solução é formada por números que. Sistemas de equações lineares Desde a antiguidade. basta 2x = 14      x + 3y = 16 x–y=–4 Solução: Quando multiplicamos a 2a linha por 3 e somamos com a 1a (L1 → L1 + 3 · L2). a solução do sistema é: x = 7 e y = 5. da própria equação com um múltiplo de outra. II.com/Vadim Volodin ©iStock. importantes até mesmo na produção de um bom café. que podem ser misturados para se obterem diferentes níveis de aroma e qualidade na xícara. membro a membro. III.  Para determinar os valores de x e y. podemos substituir a 2a equação pela soma das duas (L2 → L1 + L2). Logo. Ex. obtendo assim      x + y = 12. A principal técnica para resolver sistemas chama-se escalonamento. Para determinar y.:  x + y = 12 x − y = 2 a.Modelagem matemática: sistemas lineares M ódulo 11 Matemática III Como a matemática pode te ajudar a tomar o café perfeito? 1. que nos dá como resposta x–y=–4 substituir o valor de x na 1a equação: 7 + y = 12 ⇔ y = 5. Se um sistema linear admite mais de uma solução. o balanceamento de equações se dá de acordo com a lei da conservação da massa de Lavoisier. Ex. sistema possível e indeterminado (SPI) ou sistema impossível (SI). Logo. Portanto. temos a solução x = 1. 3. em todos os casos.0).:      x + 2y = 5 2x – 4y = 10 Esse sistema apresenta mais de uma solução. 492 Vol.  2x + 8y – 3z= 5  3x + y + z = 2  Balanceamento de equações Na química.2). em que x moléculas de açúcar reagem for mando y moléculas de gás carbônico e z moléculas de etanol.   – 8y + 7z= – 7      Ex. Observe que.  2x + y + 2z = 6   3x – y + z = 8 Inicialmente. uma molécula de açucar se transforma em 2 moléculas de gás carbônico e 2 de etanol. substituindo nas demais equações. Observe a equação química que representa a fermentação do açúcar. ou seja. formando novas moléculas.  6x = 12y + z  Resolvendo o sistema. obtemos 2 x + y + 2 z = 6 + . obtendo 1 + (– 2) – z = – 4 ⇔ z = 3.  x = 1 Substituindo o valor de x em L2.1). 4 x + 3 y = −2 x + y − z = −4 Fazendo L3 → L3 + L1. ou seja. (3. em uma reação química as moléculas se transformam por uma recombinação de átomos. Por se recombinarem. a quantidade de “átomos” antes (no reagente) é igual à quantidade de “átomos” depois (no produto). 4x = 4 x + y – z = – 4  Daí temos o sistema  4x + 3y = – 2 . (1. obtemos y = – 2. x C6H12O6 → y CO2 + z C2H5OH Uma das formas de equilibrar a equação é igualar. 3 x+y=5 x – 2y = 2 Esse sistema apresenta uma única solução. a quantidade de átomos de cada elemento  6x = y + 2z  químico. ao substituir o y = 1 valor encontrado de y. a ideia é multiplicar a 2a equação por uma constante de forma que a soma das duas equações resulte no cancelamento de uma das variáveis. x = 4 e y=1.1 Sistema possível e determinado (SPD) É todo sistema linear que apresenta uma única solução. então ele admite infinitas soluções. Para determinarmos z. y = 0 e x = 1. em seus dois membros. 2x + 2y − 2z = −8 Fazendo (L2 → L2 + 2 · L1). obtemos como menor solução inteira x = 1. temos o sistema  x + 3y – 2z = 3   2y + z = – 1 .Matemática III – Módulo 11      3x + 4y = 16 2x – 5y = 3 Solução: Multiplicando a 1a linha por 2 e a 2a linha por (– 3). basta substituir x e y em L 1 . e. pois a 2a equação é um múltiplo da 1a: (5. Esse processo dá origem ao sistema  12x = 6y . y = – 2 e z = 3. 3. quando somamos as novas equações. Classificação de um sistema linear Um sistema linear é classificado de acordo com o número de soluções que ele admite: sistema possível e determinado (SPD). que é o par (4. podemos eliminar a incógnita z utilizando a 1a linha como base.com/cb34inc c. y = 2 e z = 2.:  x + 3y – 2z = 3  Fazendo agora L3 → L3 + 4L2:  2y + z = – 1 . eliminamos o coeficiente de x.2 Sistema possível e indeterminado (SPI) É todo sistema linear que apresenta mais de uma solução.   13z = – 13 Concluímos então que z = – 1 e. ©iSotck.: x + y – z = – 4  a. o objetivo é fazer operações elementares para cancelar uma das variáveis.  x + 3y – 2z = 3  b. etc. . 6 x + 8 y = 32 + − 6 x + 15 y = − 9 23 y = 23 ⇔ y = 1   Temos então o sistema equivalente  2x – 5y = 3. Fazendo L2 → L2 – 2L1 e L3 → L3 – 3L1. obtemos 3 x − y + z = 8 + e concluímos que x = 1. 2. temos 2x – 5 · 1 = 3 ⇔ x = 4. 3.2 Resolução de um sistema 3 × 3 Assim como no caso anterior. Ex.1). Discussão de sistemas de duas equações e duas variáveis Seja o sistema de equações a seguir: y      6 5 ax + by = c Ax + By = C Ao observar os coeficientes das incógnitas. No sistema I temos duas retas concorrentes (que se encontram no ponto (4. as retas são paralelas e distintas. ou seja. –1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x 4. esse é um sistema possível e determinado(SPD).2) x      2x + 6y = 7 . podemos concluir que: 4 3 a b ≠ A B sistema possível e determinado uma única solução retas concorrentes a b c = = A B C sistema possível e indeterminado infinitas soluções retas coincidentes a b c = ≠ A B C sistema impossível nenhuma solução retas paralelas e distintas 2 1 0 –1 0 1 2 3 4 5 6 x 7 No sistema II.      Ex.1). sabemos que cada equação nesses sistemas representa uma reta no plano cartesiano. pois não existem dois números cuja soma seja ao mesmo tempo 5 e 7. as retas são coincidentes.: 4 I. 3a Série / Pré-vestibular 493 . 7 3. ou seja. tratando-se de um sistema possível e indeterminado (SPI).3 Sistema impossível (SI) No sistema III. Analise o sistema 3 Solução: Relacionando os coeficientes das equações. y 6 5 Ex. – 3x – 9y = – 10 2 6 7 = ≠ − 3 − 9 − 10 Logo.: y x+y=5 x–y=7 8 Esse sistema é impossível.4 Interpretação geométrica de um sistema linear com duas incógnitas 5 6 4 3 Considere os sistemas descritos anteriormente: I:      x+y=5 x – 2y = 2 II:      x + 2y = 5 2x – 4y = 10 III:      2 1 x+y=5 x–y=7 Recordando a geometria analítica. não possuem nenhum ponto comum. todos os pontos satisfazem as duas equações.Modelagem matemática: sistemas lineares 3. o sistema é impossível (SI). Logo. Então temos infinitas soluções. que é a única solução do sistema). É todo sistema linear que não admite solução. temos: 2 1 0 –1 0 –1 1 2 3 4 5 6 (7. o sistema é impossível. Portanto. temos o sistema  x – y = 5  x + z = 14  somando L1 e L2. y = 75. uma pessoa verificou o valor por unidade de CD’s de diferentes gêneros musicais (samba e forró) nas lojas A e B. Portanto. (E) 10. ela gastaria R$ 138.  2. (D) 5. respectivamente:  03.70 · x + 1. nos vértices e nos pontos médios dos lados.80 o litro. Em uma fazenda há 1.00 Loja B R$ 17. Mas. (E) 960 e 320. estão representados alguns valores. conforme indicado na tabela abaixo: Samba Forró Loja A R$ 18. 10 15 De acordo com o enunciado. gastaria R$ 131. temos 2 −1 ⇔ k ≠ 1. ≠ k −2 2 −1 5 b.50 · y = 1. Exercícios Resolvidos Solução: Quantidade de litros de gasolina: x. temos 1. Concluímos que há na mistura 75 L de álcool. Relacionando os coeficientes das equações.5 L2. 3 . e a quantidade de ovinos corresponde à terça parte da quantidade de bovinos. Quantidade de litros de álcool: y.00 R$ 21. produziram-se 100 litros de um combustível que custa R$ 1. (B) 854 e 426. Quantos litros de álcool há na mistura? 5 Solução:  2 . Assim. 494  x + y = 19  e. segue que x – y · z = 12 – 7 · 2 = – 2. x y z Assim. Precisamos resolver o sistema   x + y = 100  Fazendo L1 – 1.70 o litro. é possível e indeterminado se. obtemos x = 12 e em seguida z = 2. y = 7. (B) – 1. fazendo L2 → L3 – L2. (D) a = – 2. 02.50 o litro.00. em x e y. nem todos conhecidos. Então a soma x + y é igual a: (A) 8. Preço do combustível: 2.00.2x = 30 ⇔ x = 25 e. b. (B) a ≠ 2. Solução: a. ou seja. segue que:  x + y + 5 = 24  x + y = 19   . Total de litros: x + y = 100. a quantidade exata de bovinos e ovinos que há nessa fazenda é de. (C) 900 e 300. O sistema  ax + 4y = a . y + z + 15 = 24  y + z = 9  x + z + 10 = 24  x + z = 14   Exercícios de Fixação 01. (D) 320 e 960. portanto.50 · y = 180 . 01. Vol. possível e indeterminado. o valor numérico da expressão x – y – z é: (A) – 2. 02. (E) 4. Sabe-se que a soma dos valores correspondentes a cada lado do triângulo é sempre 24.  x + ay = – 2 e somente se: (A) a ≠ – 2. Determine os valores de k para que o sistema   – 2x + k · y = – 5  seja: a. na loja A.280 animais entre bovinos e ovinos. se comprasse as mesmas quantidades de CD’s x e y na loja B. (B) 7. possível e determinado. A figura abaixo é formada por um dispositivo de forma triangular em que. Nessas condições. Em um shopping center. (D) 5. (C) 6. (C) 2.00 R$ 20. (E) a = 2. − 2 = k = − 5 ⇔ k = 1 . (A) 426 e 854. que custa R$ 1.70 · x + 1. e gasolina.00 Se essa pessoa decidisse comprar x unidades de CD’s do gênero samba e y unidades do gênero forró.80 · 100 = 180. que custa R$ 2.Matemática III – Módulo 11  2x – y = 5 II. (C) a = ± 2. Misturando álcool. (D) 85 e 80. totalizando R$ 3. de uma calça e de uma camisa. (E) infinitas soluções. 06. Por exemplo. em reais.00. Ricardo comprou 1 calça e 2 camisas e pagou R$ 240. (E) 135. A ilustração abaixo mostra seis cartões numerados organizados em três linhas.00. e as camisas também. Um pouco mais tarde. distribuídas entre as de 5. (D) três soluções. (B) 8. sendo o preço de uma calça diferente do de uma camisa.      2x + 3y = 22 5x – 7y = – 3  x + 2y + z = 20  b. (C) duas soluções. respectivamente? (A) 70 e 95. O número n de pessoas presentes inicialmente na festa era igual a: (A) 100. (D) 10. Em cada linha. que afirma: “em cada nó. 3a Série / Pré-vestibular 495 . todas as calças têm o mesmo preço. 05. Para a realização de um baile. medidos em litros por minuto. 03. totalizando uma arrecadação de R$ 8. Y e Z. chamados de ramos. (C) 115. os cartões 1 e Z estão imediatamente abaixo do cartão X.00 Após a realização do baile. 10 e 25 centavos. 05. (B) 105. B e C. 55 homens se retiraram e restaram. (B) uma solução. Resolva os sistemas abaixo: a.25. a seguir.00 CAVALHEIROS R$ 20. está registrado um número exatamente igual à diferença positiva dos números registrados nos dois cartões que estão imediatamente abaixo dele. (E) 90 e 75.00.450. foi veiculada a seguinte propaganda: Sexta-feira – 8 de setembro às 22 horas DAMAS R$ 15.Modelagem matemática: sistemas lineares 04. (C) 80 e 85. quantas moedas de 25 centavos há nessa bolsa? (A) 6. convidados na razão de 3 mulheres para cada homem. constatou-se que 480 pessoas pagaram ingressos. Calcule o número de damas e de cavalheiros que pagaram ingresso nesse baile. 02. Em uma festa com n pessoas. Em uma loja. (D) 130. através de parte de uma rede de encanamento em que os nós estão representados pelos pontos A. o fluxo de entrada é igual ao fluxo de saída. Sabendo que a quantidade de moedas de 5 centavos é a mesma das moedas de 10 centavos. os números estão dispostos em ordem crescente. O sistema de equações   5x + 4y + 2 = 0   3x – 4y – 18= 0  possui: (A) nenhuma solução. (B) 75 e 90. 04. 31 mulheres se retiraram e restaram convidados na razão de 2 homens para cada mulher.  4x + 2y + 3z = 42  2x + 4z + z = 32  Exercícios Contextualizados 01. Uma rede consiste em um número finito de nós conectados por segmentos orientados. Qual o preço. (C) 9. Uma bolsa contém 20 moedas. Roberto comprou 2 calças e 3 camisas e pagou R$ 405. Em cada cartão. 4 X 1 Y Z 15 Determine os valores de X. (E) 12. O estudo do fluxo através de uma rede baseia-se no chamado “princípio da conservação de fluxo”.” A figura descreve fluxos não negativos. em um dado instante. da esquerda para a direita. y e z. 02. 4 lírios e 1 rosa. 3 . (C) 10 reais. (D) Apenas I é falsa. Um arranjo com 4 margaridas. (D) 15 reais. 2 lírios e 1 rosa. 1 lírio e 1 rosa? (A) 5 reais. O sistema   2x   4x  +y=5 é impossível. 2 lírios e 3 rosas custa 42 reais. é possível montar arranjos diferentes com rosas. I. um arranjo simples com 1 margarida. se o arranjo tiver 1 margarida. Em uma floricultura. + 2y = 10 Marque a alternativa correta: (A) Apenas I é verdadeira. No entanto. nessa floricultura. (B) Apenas II é verdadeira. ele custará 20 reais. lírios e margaridas.Matemática III – Módulo 11 y Rascunho B 20 x 2x A z C 2y 4 Aplicando-se o princípio da conservação do fluxo. O sistema  2x – 3y + z = – 5 é possível e determinado. (E) 24 reais.  x + 2y – 2z = 7  III. é possível  x + z = 20  . obter-se um sistema de equações lineares S:  2x + y = 20  – 2x + 2y + z = 4  no qual cada equação representa a conservação do fluxo em um nó. Determine os valores de x. (E) Apenas III é falsa. custará 32 reais. x + y – z = 4  II. 496 Vol. Quanto custará. (B) 8 reais. O sistema  x + y = 5   2x – y = 1  é possível e indeterminado. (C) Apenas III é verdadeira. Analise as afirmativas abaixo. se tiver 2 margaridas. Exercícios de Aprofundamento 01. devemos definir as variáveis.000 1.60. Na figura abaixo está sinalizado o valor do kWh em uma conta de luz no Rio de Janeiro.000 por casal para um pacote transporte + hospedagem. Lúcia comeu dois sanduíches e tomou um suco e gastou R$ 10. neste caso. Para resolver um problema de modelagem matemática. concluímos que o valor gasto com o banho mensalmente é R$ 0.5 e D=30.37 · 57 = R$ 21. devem-se traduzir as informações numéricas do problema em equações matemáticas. a variável que queremos encontrar é o custo mensal x. 60 .60 1 sanduíche e 1 suco: x + y = 6. podemos equacionar a situação proposta: 2 sanduíches e 1 suco: 2x + y = 10. Neste módulo. Em seguida. de acordo com a ANEEL. o gasto mensal de energia. H é o número de horas por dia que o aparelho funciona e D é o número de dias de funcionamento do aparelho por mês. 2 x + y = 10.com/dulezidar 1. qual o preço de um sanduíche? Ao iniciarmos uma modelagem. e R$ 700 para uma pessoa solteira neste mesmo pacote. 3a Série / Pré-vestibular 497 . O último passo é resolver o sistema formado por estas equações. em que desejamos identificar uma determinada quantidade a partir de um conjunto de informações dadas. o primeiro passo é interpretar o problema para identificar as quantidades que se deseja encontrar (denominadas variáveis). pode ser calculado pela fórmula G= Ex.20 que é o preço do sanduíche. o gasto é calculado por: G= P ⋅ H ⋅ D 3.5 hora por dia em 30 dias. H=0. Ler a pergunta e ver o que é pedido pode ajudar na escolha das variáveis.800 W. para que o processo seja internalizado.Modelagem matemática: técnicas de modelagem M ódulo 12 Matemática III A teoria de modelagem matemática é simples. logo. Quanto o chuveiro consome em 1 mês? Neste caso. usando a teoria do módulo anterior.37. Quanto custa tomar um banho quente? © iStockphoto. deve-se definir bem quais são as variáveis. A partir daí.800 ⋅ 0. imagine que uma agência de viagens cobre R$ 1. Uma dúvida comum. em quilowatt-hora. em que G é o gasto em quilowatt-hora (kWh). Consultando a sua conta de luz. Modelagem matemática ©iStockphoto/talitha Você já passou por situações em que precisou interpretar um problema real por meio de equações matemáticas? Por exemplo. mas é necessário bastante prática. é o valor individual que está sendo cobrado pelo transporte e pela hospedagem.: 01.800. obtemos x = 4.09. P⋅H⋅D . o preço de 1 sanduíche: x e o preço de 1 suco: y. Segundo as informações.40.000 Como o valor é aproximadamente R$ 0. Neste caso. O valor padrão da potência de um chuveiro elétrico é 3. 5 ⋅ 30 = = 57 kWh . por meio de exercícios. Se o preço de um sanduíche e um suco é R$6. temos que P = 3. Lembre que uma boa interpretação é indispensável e. 40 Temos então o seguinte sistema:  L1 – L2. Para um chuveiro elétrico típico. P é a 1. é fácil ver que esse custo x está diretamente associado com o consumo G. além disso. estudaremos situações como essa. que tomando  x + y = 6. do aparelho.com / jurisam Suponha que um chuveiro fique ligado 0. 1.000 potência do aparelho em watts (W).40 ©iStockphoto. (C) R$ 1.80. Nesse local e nesse dia. e ele respondeu: “O DVD foi R$ 20.00. como indicado na figura. O primeiro pagou R$ 5. (E) R$ 37. o número de veículos é 60. Um garoto foi a uma loja e comprou um CD. 3 .50. A partir daí. Uma loja de ferramentas apresentou os seguintes pacotes promocionais para chaves de fenda e de boca: Pacote 1 R$ 31. 498 Vol.00. (D) 34. 02. temos: do pacote 1: 3x + y = 31 (I) do pacote 2: 2x + 3y = 44 (II) Fazendo 3(I) – (II): 7x = 49 → x = 7 → y = 10. sendo que Ana comprou o dobro do número de barras de Beatriz. quantos veículos de cada tipo estão nesse estacionamento? 02. o número de barras de chocolate com que cada uma ficou é: (A) 18. Ana e Beatriz compraram barras de chocolate para fazer ovos de Páscoa. sem nenhuma superposição. (C) R$ 27. logo. um DVD e um Blu-ray.00.00.20. (B) R$ 22. Ana deu 27 barras para Beatriz. temos que Ana comprou 2x. Em um estacionamento. cada uma ficou com 54 + 27 = 81 barras de chocolate. O segundo pagou R$ 9. Logo.00 Pacote 2 R$ 44. 04. (B) R$ 1.75.00. Dois casais foram a um barzinho. o preço de uma chave de boca somado ao de uma chave de fenda. Uma embalagem comporta bolas de tênis. (D) R$ 32. temos 2x – 27 = x + 27. temos a seguinte equação: x + x – 20 + x + 9 = 100 3x = 100 + 11 x = 37 (C) 22. a calculadora efetua algumas operações e devolve na saída o número R.00. Exercícios de Fixação 01. Ao final. Coluna Linha 03. Para que ficassem com a mesma quantidade. digitando um número N de entrada no programa. Ana deu 27 barras para Beatriz. (D) R$ 1. a diferença entre o preço de uma porção de batas fritas e o preço de uma lata de refrigerante era de: (A) R$ 2. Logo. Desta forma. Solução: Letra A. Chamando de x o número de bolas em cada linha.00.00 mais caro que o DVD. o preço da promoção é R$ 17. Dessa maneira podemos determinar o valor de x: 2x – x = 27 + 27 ⇔ x = 54.00 mais caro que o CD. escreva uma expressão que represente o total de bolas na caixa. (B) 27. Adotando a variável x como o número de barras de chocolate de Beatriz. e o total da compra foi R$ 100. (A) 17.40 por 2 latas de refrigerante e uma porção de batatas fritas. dispostas em linhas e colunas. Solução: Letra E. (D) 81. entre motos e carros. (C) 54. Definindo as variáveis: x para o preço de cada chave de fenda e y para o preço de cada chave de boca. Solução: Letra D. Luiz Fernando elaborou um programa para sua calculadora científica. (B) 21. Ao chegar a sua casa. Sabendo que o número de carros é o dobro do número de motos. O valor pago pelo DVD foi: (A) R$ 17. perguntaram-lhe qual foi o preço de cada item. (E) R$ 1.00 Em cada coluna cabem quatro bolas a menos que em cada linha.00”. temos que o preço do CD será x – 20 e o preço do Blu-ray será x + 9.Matemática III – Módulo 12 Nessa promoção. é igual a: Exercícios Resolvidos 01. Escolhendo a variável como o preço do DVD: x.60 por 3 latas de refrigerante e 2 porções de batatas fritas. em reais. o Blu-ray foi R$ 9. e então ficaram com a mesma quantidade. 03. Com base nessas informações e sabendo que o custo total para o produtor transportar toda sua produção será de 700. 113 salgadinhos e 151 doces. o valor de saída R era igual ao dobro de N. Em um restaurante há 12 mesas. é correto afirmar que o custo. • quando se tenta retirar 1 copo. 2 refrigerantes. para servir aos convidados. estão ilustrados os comandos que Luiz colocou em seu programa: Subtrai 1 Eleva ao quadrado 03. e 25 km por via rodoviária. e exatamente 3 saem juntos. 3 . será usado em uma festa. • a razão entre o número de vezes em que foram retirados exatamente 2 copos juntos e o número de vezes em que foram (C) 40. todas ocupadas. 2 O número de vezes em que apenas um copo foi retirado do suporte é igual a: (A) 30. por apenas 2 pessoas. ao digitar de entrada certo número N. Para que não sobrem nem faltem refrigerantes. (E) 400. Algumas. Qual será o resultado de saída R quando Luiz Fernando digitar na entrada o número N = 6? b. (D) 350. 5 salgadinhos e 4 doces. a luz verde permanece acesa seja igual a • sempre se tenta retirar apenas 1 copo de cada vez desse suporte. depois de testar vários números. a cada criança. (C) 6. agora. (C) 300. Escreva a equação que descreve esta propriedade observada por Luiz Fernando. • quando se tenta retirar 1 copo. (D) 45.225 km. Servirá. (D) 3x – 2y + 15 = 0. sanduíches. em um total de 38 fregueses. e exatamente 2 saem juntos. Ao fazer um levantamento dos custos. Exercícios Contextualizados retirados exatamente 3 juntos foi de 01. (A) 4. em reais. em cada ciclo completo (verde–amarelo–vermelho). por 4 pessoas. (E) 3x – 2y + 10 = 0. 95 sanduíches. os tempos são ajustados de modo que. 200 km por via férrea. 04. 107 refrigerantes. • quando se tenta retirar 1 copo. Lúcia resolve organizar uma festa de aniversário para seu filho e encomenda. Um produtor de soja deseja transportar a produção da sua propriedade até um armazém distante 2. 3 refrigerantes. Luiz Fernando. A luz verde fica acesa. (B) 35. Um conjunto de 100 copos descartáveis. a luz amarela permaneça acesa por 5 segundos. por quilômetro percorrido. 1 deles é desperdiçado. Considere. no transporte marítimo é de: (A) 200. o número de pessoas que devem ser convidadas é: (A) 39. (B) 5x – 2y + 10 = 0. utilizando transporte ferroviário. (B) 40. Na aferição de um novo semáforo. (E) 43. 3 salgadinhos e 3 doces. (D) 42. observou que. e o tempo em que 2 do tempo em que a 3 luz vermelha fique acesa. 05. nunca saem 4 ou mais de 4 juntos. o produtor constatou que. em cada ciclo. Sabe-se que 2. • foram retirados todos os copos desse suporte. as seguintes informações: Soma 3 a. O número de mesas ocupadas por apenas 2 pessoas é: 02. 1 sanduíche e 4 doces. 3a Série / Pré-vestibular 499 . 2 sanduíches. (B) 5. (C) 41.Modelagem matemática: técnicas de modelagem No esquema abaixo. (B) 250. a cada homem. 3 sanduíches. dispostos em um suporte.000 km devem ser percorridos por via marítima.000 reais. salgadinhos e doces. 2 deles são desperdiçados. (C) 3x – 3y + 15 = 0. havendo desperdício de 35% deles. • a metade do custo utilizando transporte rodoviário. 2 refrigerantes. durante x segundos e cada ciclo dura y segundos. o custo por quilômetro percorrido é: • 100 reais mais caro do que utilizando transporte marítimo. a cada mulher. Qual a expressão que representa a relação entre x e y? (A) 5x – 3y + 15 = 0. (D) 7. outras. Calcule a quantidade de dias desse período em que Lucas não acessou a internet e estudou. de 10 L e de 2 L. Sabendo que.00 02. Quando dois passageiros compar tilham a bagagem.00. finalmente. a quantidade de dias em que Lucas acessou a internet e estudou foi igual à soma da quantidade de dias em que ele não acessou a internet e estudou com a quantidade de dias em que ele não estudou. O valor que o senhor pagou correspondeu a 3.00. (C) 77. e a quantidade de embalagens de 2 L corresponde a n.00. em um período de 30 dias. (E) R$ 12. fez ao filho a seguinte proposta. que foi aceita por ele: a cada dia em que Lucas não acessasse a internet e estudasse em casa. 5 x + y = 0  500 01.00.00. 3 canetas.00.00 10 6.00. . A soma desses preços é: Vol. 5 cadernos e 3 lápis por R$ 66.00. 3 cadernos e 7 lápis por R$ 44. (B) R$ 18. Foram colocados em promoção caneta. Lucas estudará todos os dias. 2 canetas. Veja na tabela os preços da água por embalagem: Nessa compra. Para determinar o peso excedente das bagagens do casal (x) e do senhor que viajava sozinho (y). Sabendo que. 3 Volume da embalagem (L) Preço (R$) (A) 32. devido ao acordo. As três ofertas eram: I. (C) R$ 16. preocupada com o longo tempo que seu filho Lucas passava conectado à internet. tanto um casal como um senhor que viajava sozinho transportaram 60 kg de bagagem e foram obrigados a pagar pelo excesso de peso. ela lhe daria R$ 5. bem como o limite de peso que um passageiro pode transportar sem pagar qualquer taxa (z). o Sr. 4 cadernos e 10 lápis por R$ 62.5 vezes o valor pago pelo casal. um caderno e um lápis. pode-se resolver o seguinte sistema linear:  x + 2 z = 60  (A)  y + z = 60 3. Em um determinado voo. ele teve um saldo de R$ 305. Ricardo calculou os preços de uma caneta.Matemática III – Módulo 12 05.  x + 2 z = 60  (C)  y + z = 60 3. (B) 65. seus limites são considerados em conjunto. Nesse período. III.00. (D) 81.00. II. e. 5 x − y = 0  20 10. foram comprados 94 L de água.00.00. 5 canetas. Exercícios de Aprofundamento (D) R$ 14. em compensação. a cada dia em que ele acessasse a internet. a cada dia em que Lucas não estudasse. em outro período de 30 dias. Para comparar os preços unitários dessa papelaria com outras do comércio. Com a proximidade do final do ano. b. Dona Lúcia. uma papelaria quis antecipar as promoções de material didático para o ano letivo de 2015.00. 5 x − y = 0  (A) R$ 20. mas. com o custo total de R$ 65.  x + z = 60 (D)  y + 2 z = 60 3. O valor de n é um divisor de:  x + z = 60 (B)  y + 2 z = 60 3. o número de embalagens de 10 L corresponde ao dobro do número de embalagens de 20 L. ela lhe daria R$ 20. determine todos os possíveis valores que ele poderá ganhar nesse período.00 2 3. bem como com a sua pouca motivação para estudar em casa. cobrando uma taxa por quilograma de excesso de peso. caderno e lápis. Ao todo. Uma família comprou água mineral em embalagens de 20 L. 5 x + y = 0  06. estudasse. As companhias aéreas costumam estabelecer um limite de peso para a bagagem de cada passageiro. ele devolveria R$ 15. a. Uma família fez uma pesquisa de mercado. o seu saldo duplicará. b e c.00 a mais que Valentina. as quantidades de cada ingrediente por lata são: (A) 270 g de amendoim. 125 g de castanha de caju e 125 g de castanha-do-pará. é correto afirmar que: (A) Valentina tem R$ 6. Sabe-se que o quilo de amendoim custa R$ 5.947.00. a serem obtidos com a ingestão de dois complementos alimentares A e B.75. 07.00. R$ 16. a diferença entre o primeiro e o segundo é igual ao terceiro. (D) o saldo inicial da caderneta era R$ 1. mencionadas nos itens anteriores.288. se nessa data não foi feito qualquer saque de tal conta.588. Vitória e Júlia foram a uma lanchonete. O terceiro deles excede o segundo em 198.00. pelos três produtos foi de: (A) 3.25 mg de vitamina E. consumiram 16 reais.00. 04. Essa pessoa dispõe de exatamente R$ 47. respectivamente. Considere três números naturais a. (E) o saldo inicial da caderneta era R$ 1. Cada pacote desses complementos fornece. Samuel. • Júlia tomou 2 guaranás. comeu 2 esfirras e pagou 5 reais.00. (B) os três amigos. A loja B vendia a TV e o freezer por R$ 3. 1 mg e 0.00. 16 (C) 5.00. Uma empresa deve enlatar uma mistura de amendoim. 05. (D) 3.00. (B) 270 g de amendoim. Além disso.00. (C) R$ 660.787. (E) 3. O valor total pago.698. 06. (D) Júlia pagou 8 reais pelo que consumiu.00. – se apenas Valentina depositar nessa caderneta a metade da quantia que tem.00. (C) 43. (B) Vítor tem R$ 5.00. comeu 2 esfirras e pagou k reais. nessa ordem.797.00.5. comeu 1 esfirra e pagou 4 reais. sendo que cada pacote de A custa R$ 5. aplicar nessa caderneta.00. R$ 20.554. 02.807. (D) R$ 740.649. O valor da diferença entre o primeiro e o terceiro é tal que excede 90 em: (A) 23.767.777. castanha de caju e castanha-do-pará. em reais.498. Considerando-se que cada um dos três pagou o valor exato do que consumiu. (B) R$ 540. – se ambos depositarem ao mesmo tempo as respectivas frações das quantias que têm.00.5 g de castanha de caju e 57. (C) 3.Modelagem matemática: exercícios (I) M ódulo 13 Matemática III Exercícios de Fixação 01. o valor de seu salário foi de: (A) R$ 460.00 as horas extras.00. é correto afirmar que: (A) o guaraná custou o dobro da esfirra. Cada lata deve conter meio quilo da mistura e o custo total dos ingredientes de cada lata deve ser de R$ 5. um freezer e uma churrasqueira. numa mesma data. 4 (E) 8. considere as seguintes afirmações: – se apenas Vítor depositar nessa caderneta a quarta parte da quantia de que dispõe. • Vitória tomou 2 guaranás. A família acabou comprando a TV. para garantir os 5 mg de vitamina E ao custo fixado para o mesmo período.00. (B) 3 5 . Nesse caso.00 e de B custa R$ 4. Uma pessoa necessita de 5 mg de vitamina E por semana.00 semanais para gastar com os complementos. (C) Vítor tem R$ 260.00. A loja A vendia a churrasqueira e o freezer por R$ 1. Vítor e Valentina possuem uma caderneta de poupança conjunta. os preços de cada um dos produtos eram coincidentes entre si. Se ela recebeu um total de R$ 880.00 e a loja C vendia a churrasqueira e a TV por R$ 2. a quantidade de castanha de caju em cada lata deve ser igual a um terço da soma das outras duas.00.00. Em três das lojas pesquisadas. o salário de uma funcionária excedeu em R$ 600. (D) 53. (C) 250 g de amendoim.590. O número mínimo de pacotes do complemento alimentar A que essa pessoa deve ingerir semanalmente. Sabendo que cada um deles dispõe de certa quantia para. à procura de três produtos que desejava adquirir: uma TV.5 g de castanha-do-pará. A soma desses números é 888. 3a Série / Pré-vestibular 501 . 172. Nessas condições. mas nenhuma das lojas tinha os três produtos simultaneamente para a venda. o freezer e a churrasqueira nestas três lojas. (B) 33. o seu saldo triplicará. 3 (D) 6 . 125 g de castanha de caju e 105 de castanha-do-pará. 100 g de castanha de caju e 72 g de castanha-do-pará. o quilo de castanha de caju. (D) 228 g de amendoim. 03. juntos. Em um determinado mês. então.00 e o quilo de castanha-do-pará. (C) cada esfirra custou 2 reais. (B) 3. é de: (A) 3. o saldo será acrescido de R$ 4. nas lojas de eletrodomésticos. • Samuel tomou 1 guaraná. 40. (E) R$ 7. 502 Vol. (C) 1957.vc>. poderiam. economizar suas mesadas integralmente durante dois meses. A soma de minha idade com as de minhas duas filhas é 64. (E) 1983.00 R$ Nessa lanchonete.Matemática III – Módulo 13 Exercícios Contextualizados 01. (C)  03. Considere que x seja o número de ingressos vendidos para os adultos e y. O ingresso para adulto custava doze reais e o das crianças. é igual a 78 anos. Marcos e Luís decidiram juntar parte de suas mesadas para comprar um videogame portátil. os sucos têm um preço único. Resolva o sistema de equações obtido no item (a) e diga qual era o preço do videogame. Calcule os valores dos pesos x. (A) 1955. (C) R$ 6. O valor da despesa da mesa 3 é: (A) R$ 5.00 R$ 25.” Qual a idade de Júnior? (A) 2 anos. A soma da minha idade. Mesa 1 Mesa 2 Mesa 3 2 sucos 4 sucos 1 sucos 3 sanduíches 5 sanduíches 1 sanduíche R$ 14. As idades de Maria e Júnior somam 39 anos. assinale a alternativa que corresponde ao ano em que eu nasci. Qual a minha idade? 02. (B) 3 anos. 3 06. Sabendo que eu nasci em janeiro. era 83 anos.50. (C) 4 anos. o número de ingressos vendidos para as crianças. Em fevereiro de 2012.futuro. Represente a situação descrita no texto acima através de um sistema de equações. Eu tenho trinta anos a mais do que a filha mais velha. Perguntado sobre a idade de seu filho Júnior. Assinale a alternativa que expressa corretamente a equação que permite determinar o número de ingressos vendidos para crianças. Nessa sessão. José respondeu o seguinte: “Minha idade. levariam seis meses para juntar o dinheiro necessário para comprar o aparelho. como indicado abaixo. o número de ingressos vendidos para adultos foi o triplo do número de ingressos vendidos para crianças. menos dois anos. (D) R$ 7. x = 3y x = y + 3 (D)  12 x + 3 y = 663 12 x + 3 y = 663  (A)  x = 3y x = 3y (E)  x + y = 663 3 x + 12 y = 663  (B)  x = y + 3  x + y = 663 Disponível em: <www. com a idade do meu filho. (E) 10 anos. . Rasgou-se uma das fichas em que foram registrados o consumo e a despesa correspondentes de três mesas de uma lanchonete. e quando somada à idade de Maria.00 para cada um. três reais. economizando um quarto de suas mesadas. bem como para os adultos. (D) 5 anos. b. (D) 1982. eu terei o dobro da idade do meu filho. então. 04. Fizeram os cálculos e perceberam que. 05.00.00. comprar o aparelho e ainda sobrariam R$ 80. Agindo assim. quando somada à idade de Júnior. Marcos recebe R$ 50. (B) 1956.20. y e z para os quais as balanças estão equilibradas. 07. em fevereiro de 2011. Decidiram. e a diferença de idade entre as duas é de cinco anos. (B) R$ 6.00 a mais de mesada do que Luís. é igual a 47 anos. Um cinema recebeu seiscentos e sessenta e três reais pela venda de ingressos (entrada). durante uma única sessão. juntos. a. e os sanduíches também. (C) 4. Atualmente. (D) 46. Se retirarmos todas as flores de cor vermelha. (E) 48. Um buquê contém flores de diferentes tipos e cores. restarão 19 flores e. a soma das idades de Antônio e sua esposa é seis vezes a soma da idade de seus filhos. (B) 3. Tenho o dobro da idade que tu tinhas quando eu tinha a idade que tu tens. a soma das idades dos dois era dez vezes a soma das idades das crianças. (B) 42. 10. Sabendo que daqui a seis anos a soma das suas idades será três vezes a soma das idades de seus filhos. (C) 44. se retirarmos todas as rosas vermelhas. Determine o número de flores desse buquê e o número de rosas que não são vermelhas. restarão 17 flores. o número de crianças é: (A) 2. Quando tu tiveres a idade que eu tenho. teremos juntos 99 anos. 09. Minha idade é: (A) 40.Modelagem matemática: exercícios (I) 08. restarão 14 flores. Rascunho 3a Série / Pré-vestibular 503 . (D) 5. (E) 6. Há dois anos. restarão 26 flores. Se retirarmos todas as flores que não são vermelhas. Se retirarmos todas as rosas. (C) 18.00. podemos ainda resolver sistemas lineares utilizando programas de computação algébrica. Neste box. Quais foram os preços de compra? 10% 10% Após determinar a população brasileira em 2006 e em 2009. No total. à direita). opção Equações.00. (D) R$ 200. 3 (A) o número de brasileiros indigentes passou de 19.00. em 2009. em 2006. em 2006 e 2009.2 milhões de brasileiros saíram da condição de indigência. o total de brasileiros incluídos nas faixas de pobreza (E) de indigência passou de 36% para 28% da população. x + 2y + z = 0  2 x − y − z = 1 x − 2z = − 1  Ao acessar o comando linsolve no wxMaxima.00 e R$ 470.2 milhões de brasileiros deixaram a condição de pobreza. (B) 12. (B) R$ 270. para 13.00. resolvendo um sistema linear.00 e R$ 400. 7 5 2 (%o1) [x = . uma caixa para digitação de cada uma das equações e as incógnitas (abaixo. 2 * x – y – z = 1.3 milhões. cerca de 5. Maria comprou duas bicicletas por um total de R$ 670. em seguida. O gráfico a seguir mostra os percentuais da população brasileira enquadrados nessas duas categorias. Este software é gratuito e pode ser baixado no endereço http:// andrejv.00 e R$ 400.github. ela ganhou R$ 7. Recentemente. . (C) R$ 277. o sistema abrirá uma caixa para digitação do número de equações: O software retornará à solução: (%i1) linsolve ((x + 2 * y + z = = 0.00. x – 2 * z = = – 1. que pode ser acessado no menu superior do wxMaxima.y=– . 30% Pobreza Indigência 26% 21% 20% 7% 0% 504 2006 Vol. Observe que a faixa de pobreza inclui os indigentes. (x.00 e R$ 300. Resolver sistema linear. (E) R$ 377.Modelagem matemática: exercícios (II) M ódulo 14 Matemática III Após a modelagem matemática de determinada situação. O Maxima possui uma ferramenta para resolução de sistemas lineares por meio do comando linsolve.io/wxmaxima/.9 milhões de brasileiros eram indigentes em 2009. 8. 02.5 milhões de brasileiros eram indigentes em 2006. y. por exemplo.00 e R$ 293. Considere. (D) entre 2006 e 2009. Vendeu uma das bicicletas com lucro de 10% e a outra com prejuízo de 5%.00. um órgão governamental de pesquisa divulgou que. Nesse mesmo período. entre 2006 e 2009.z= 9 9 3 ] Exercícios de Fixação 01.0 milhões.00. ensinaremos os comandos para a solução de um sistema utilizando o software wxMaxima. z)). verifica-se que: 2009 (A) R$ 370. o sistema linear: Em seguida. A capacidade máxima de lotação do hotel é 166 pessoas.65. Quantos padeiros do tipo A. Dimensionado para o tráfego dentro dos limites legais de carga. Sabendo que o preço da lâmpada de 60 watts é R$ 0.50. (B) Diplopoda. (B) 36. Cada padeiro do tipo A produz. 30 baguetes e 100 pães de batata. todos eles íntegros e que somam. respectivamente. um caminhoneiro sabe que seu caminhão pode carregar. quantos tijolos. 19 g e 35 g de carboidratos.20. (D) 480 tijolos. então um quarto das bolas restantes é de bolas verdes. (D) 14. 30 pães franceses. Sobre essa coleção. Admita que 100 g de batata e 100 g de soja contêm. no total da coleção. Cada padeiro do tipo B produz. (E) 15. Considerando esse caminhão carregado com 900 telhas. p quartos triplos e q suítes para quatro pessoas. b. no máximo. Por outro lado. (E) 600 tijolos. 420 pães franceses. Um dos grandes problemas enfrentados nas rodovias brasileiras é o excesso de carga transportada pelos caminhões. diariamente. em gramas. é correto dizer que é composta por exemplares das classes Insecta e: (A) Arachnida. de batatas e soja. Considerando a necessidade diária de carboidratos desse adulto: a. (D) 12. 02. 04. (C) Chilopoda. Além disso. com maior número de exemplares da classe Arachnida. 40 lotam completamente todas as suítes. a centopeia e o piolho-de-cobra. que esse adulto irá consumir. 3a Série / Pré-vestibular 505 . (C) 400 tijolos. calcule a quantidade de soja. em gramas. o excesso de carga interfere na capacidade de frenagem e no funcionamento da suspensão do veículo. sendo que destas. 04. é correto afirmar que o número de lâmpadas compradas por Pedro foi: (A) 14. assim distribuídas: m quartos duplos. com igual número de exemplares de cada uma dessas classes. 03. Nestas condições. Se retirarmos nove bolas amarelas. com maior número de exemplares da classe Diplopoda. e o número de lâmpadas de 60 W é o dobro do número de lâmpadas de 100 W. diariamente. do tipo B e do tipo C são necessários para que em um dia a padaria produza. 100 baguetes e 20 pães de batata. (C) 41. plantando 35 kg por hectare. Ele calculou que se plantar 40 kg de sementes por hectare. Na coleção não há exemplares das classes às quais pertencem o caranguejo. 05. em vez de retirar uma bola verde. 90 pães franceses. e que x e y representam as quantidades diárias. (E) Chilopoda. que ele deverá ingerir num determinado dia em que tenha consumido 400 g de batata. o piso das estradas se deteriora com o peso excessivo dos caminhões. 113 pares de patas articuladas. 05. (D) 56. sobram 4 hectares das terras destinadas à plantação. da baguete e do pão de batata. Exercícios Contextualizados 01.Modelagem matemática: exercícios (II) 03. Ciente dessa responsabilidade e com base na experiência adquirida com pesagens. A diferença entre o número de quartos triplos e o número de quartos duplos é: (A) 8. Um agricultor dispõe de certa quantidade de sementes de um cereal e está planejando como distribuí-las na área a ser plantada. Para preencher sua necessidade diária de 300 g de carboidratos. (B) 11. (D) Arachnida.500 telhas ou 1. 70 baguetes e 20 pães de batata. Uma coleção de artrópodes é formada por 36 exemplares. Se retirarmos uma bola verde da urna. podem ser acrescentados à carga. exatamente. então um quinto das bolas restantes é de bolas verdes. Pedro pagou a quantia de R$ 11. Cada padeiro do tipo C produz. Essa padaria é bem conhecida na cidade pela qualidade do pão francês. (B) 10. Em uma urna há bolas verdes e bolas amarelas. de modo a não ultrapassar a carga máxima do caminhão? (A) 300 tijolos. 1. determine quantos hectares são destinados a essa plantação e de quantos quilogramas de sementes dispõe o agricultor. 770 baguetes e 360 pães de batata? Apresente os cálculos realizados na resolução desta questão. Uma padaria possui 3 tipos de padeiros. (B) 360 tijolos. toda a região destinada ao cultivo é ocupada e sobram 10 kg de sementes. causas frequentes de acidentes. (E) 61. um adulto ingere um tipo de alimentação mista que consiste em batatas e soja. classificados como A. Na compra de lâmpadas de 60 watts e de 100 watts para sua residência. estabeleça uma equação que relacione as variáveis x e y. com maior número de exemplares da classe Insecta. B e C. respectivamente. (C) 13. diariamente.o da lâmpada de 100 watts é de R$ 1.200 tijolos. O número total de bolas que há inicialmente na urna é: (A) 21. Um hotel possui exatamente 58 unidades de hospedagem. 30 pães franceses. (C) 12. com maior número de exemplares da classe Chilopoda. no máximo. João gastou R$ 8.00. e acrescentando 10 carteiras em cada uma delas. (E) 4. e Vera gastou R$ 22. 80 horas de estacionamento. faltariam 10. Um ourives cobrou R$ 150. (C) 2. uma delas fica com exatamente 20 carteiras vazias e. (C) 27. ao preço unitário de R$ 30. se comprasse três unidades de cada modelo. Sabe-se que ele retirou 14 cédulas e que a quantia retirada foi a mesma para cada tipo de cédula. Em cada uma das salas de aulas de uma escola existem 30 carteiras. (B) 380.000 reais. Distribuídos os alunos da escola nas salas. 10. (D) 28.00 para cunhar medalhas de ouro com 3 g cada uma. Um estacionamento cobra R$ 6. R$ 3. (E) R$ 240. com 5 g cada uma. Um negociante de carros dispõe de certa quantia. determine o número de medalhas de ouro confeccionadas. Rascunho 506 Vol.00 em 3 kg de café e (n + 1) kg de açúcar.00 e R$ 5. (C) R$ 180. Estabeleça a quantia que o negociante dispõe.00. no total. (E) 29.00. respectivamente.00. (D) n = 4.000 reais para comprar cinco unidades do modelo A e duas do modelo B. O número de alunos da escola é: (A) 370. (D) 410. (D) R$ 210. R$ 10.00 por hora adicional e tem uma despesa diária de R$ 320. com 7 g cada uma.00. todas ficam totalmente ocupadas. com massa total de 87 g. Por terem comprado café e açúcar no mesmo dia e no mesmo supermercado. Analisando as várias possibilidades de comprar. Nessas condições.00. (C) n = 3. e de bronze.00.00 e R$ 5. A e B. (E) 440. (A) n = 1. Fernando foi a um caixa eletrônico e fez um saque em cédulas de três tipos diferentes: R$ 20. Carlos e Vera pagaram o mesmo preço por quilograma de café e o mesmo preço por quilograma de açúcar. O número mínimo de usuários necessário para que o estacionamento obtenha lucro nesse dia é: 09. (A) 1. em reais. se comprasse oito unidades do modelo B. concluiu. para comprar dois modelos de carro. Considere-se um dia em que sejam cobradas.Matemática III – Módulo 14 06. de prata. (B) R$ 150. 08.00. (D) 3. . as demais salas. II. em relação a essa quantia.00 pela primeira hora de uso.00. 3 Exercícios de Aprofundamento 01. João.00 em 2 kg de café e n kg de açúcar. (B) 26. Sabendo que foram confeccionadas 15 medalhas. Utilizando 4 salas a menos. sobrariam 29. gastaria exatamente a quantia disponível. R$ 10. totalmente ocupadas.00 em 1 kg de café e 2 kg de açúcar. (E) n = 5. III. (B) n = 2. (C) 400. Carlos gastou R$ 15. (B) 5. A quantia sacada por Fernando foi: (A) R$ 120. que: I.00. conclui-se que: (A) 25. 07. Logo. é necessário estabelecer métodos de contagem que consigam resultados mais rápidos. o número de maneiras de se formar uma calça (isto é. para cada prato principal. sem. Princípio multiplicativo A Análise Combinatória tem por finalidade determinar o número de possibilidades de ocorrer um dado evento. para formar as opções de escolha.” Dessa maneira. azul  ou seja. sendo que. descrever cada uma das possibilidades. no exemplo 1. Cada calça pode ter uma das cores: preto. Observemos que. gelatina. Ex. uma vez tomada a decisão d1. M4. Obter esses métodos é o principal objetivo da Análise Combinatória. temos 4 grupos possíveis de 3 calças distintas. de tomar as decisões d1 e d2) é 3 × 4 = 12. d2 pode ser tomada de 3 maneiras. Uma loja de roupas femininas vende 4 modelos diferentes de calças jeans. É. M2. os números dos celulares do Rio e de São Paulo ganharam um nono dígito. logo: preto preto   M1 marrom . d2: escolha da cor. depois disso. assunto deste módulo. 02. Como d1 pode ser tomada de 3 maneiras e. d2: escolha da sobremesa. Quantas são as refeições (prato principal + sobremesa) que podem ser formadas? Solução: Observe o esquema abaixo: pudim pudim pudim gelatina gelatina gelatina    Churrasco  . hoje a nossa população ultrapassa a faixa dos 200 milhões de habitantes. d2 pode ser tomada de 4 maneiras. a quantidade de maneiras de se realizar certa experiência. para formar as refeições. há 3 × 4 = 12 modos de formar uma refeição. Feijoada  . sorvete e mousse. 1. em síntese. M3. e isso apenas 8 anos depois de terem criado o oitavo dígito. devemos tomar as decisões: d1: escolha do prato principal. de tomar as decisões d1 e d2) é 4 × 3 = 12. Como d1 pode ser tomada de 4 maneiras e. será possível a criação de até 900 milhões de números distintos. Solução: Tomemos os modelos M1.: 01. marrom ou azul. a decisão d2 puder ser tomada de y maneiras. depois disso. Salada  sorvete sorvete sorvete mousse mousse mousse Temos que. devemos tomar as decisões: d1: escolha do modelo da calça.Combinatória: princípios multiplicativo e aditivo M ódulo 15 Matemática III Você saberia dizer por que os celulares do RJ e SP possuem 9 dígitos? Recentemente. podemos criar apenas 90 milhões de números de telefones distintos. azul  preto  M4 marrom . em 2005. um estudo de regras de contagem. dispomos de 3 cores. Com o acréscimo do 9o dígito. M2 marrom . Quantas opções de escolha terá uma consumidora interessada em comprar uma calça jeans nessa loja? Assim: “Se uma decisão d1 pode ser tomada de x maneiras e se. há 4 maneiras de se formar uma refeição. Isso acontece porque. o número de maneiras de se formar uma refeição (isto é. necessariamente. com 8 dígitos. Um restaurante dispõe de uma oferta de 3 pratos principais – churrasco. então o número de maneiras de se tomarem as decisões d1 e d2 é x · y. Contar unidades uma a uma não é viável em muitas situações. Analogamente. Logo. azul azul   preto  M3 marrom. o total de calças é 4 × 3 = 12. para cada modelo. no exemplo 2. Por isso. 3a Série / Pré-vestibular 507 . feijoada e salada – e de 4 sobremesas – pudim. já que: • com um sinal.1: Uma pessoa deseja comprar um veículo de uma concessionária. o princípio será o multiplicativo. utilizando-se de sons curtos e longos. com p e q elementos. senha com duas letras: 52 × 52 = 52² (utilizou o princípio multiplicativo). temos 2 letras. esse princípio é combinado simultaneamente com o multiplicativo na resolução de questões. Samuel ainda utilizou arranjos de cinco sinais. para representar outros símbolos. Quantas escolhas possíveis a pessoa tem? Solução: Perceba que os conjuntos caminhões e automóveis são distintos. Princípio aditivo O princípio aditivo. Senha com uma letra: 52 (maiúscula e minúscula). conforme a tabela abaixo: Morse code (Alphabetical) Ex. que dá um total de 30 letras. Foi inventado pelo norte-americano Samuel Finley Breese Morse em 1844. Quantas senhas diferentes existem? J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Solução: Temos que separar o problema em três casos: I. temos 2 × 2 × 2 × 2 = 16 letras. temos 2 × 2 = 4 letras. III. O código Morse O código Morse é um sistema binário de representação à distância de números. • com dois sinais.364 senhas possíveis nesse sistema computacional. Pelo princípio aditivo. 508 Vol. Entretanto. temos 2 × 2 × 2 =8 letras. temos que o total dos casos é (repare que precisa ocorrer senha com uma letra ou duas ou três): 52 + 52² + 52³ = 143. também conhecido como princípio da adição. senha com três letras: 52 × 52 × 52 = 52³ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 Obs. A sigla SOS (Save our souls) seria uma forma mais rápida de pedir socorro do que a palavra help. que tem 25 automóveis e 12 caminhões. a pessoa tem 25 + 12 = 37 possibilidades de escolha. Ex. (Veja a tabela acima. Do velho código Morse nasceu essa escolha. Logo. Atenção! Deve-se tomar cuidado com essa dica. respectivamente. se for “ou”. os exemplos que contêm somente o princípio aditivo são mais fáceis de serem resolvidos.364 Existem 143. Porém. letras e sinais gráficos. então A ∪ B tem p + q elementos. pois a letra “s” e a letra “o” eram as de transmissão mais fácil. Dica do “e” / “ou” Existe um ”truque” para facilitar a utilização do princípio aditivo ou multiplicativo. II. basta pensar na conjunção utilizada na modelagem do problema.2: Uma senha de usuário de um sistema computacional pode ser formada por sequências de uma a três letras maiúsculas ou minúsculas. Se for utilizado “e”. além de pontos e traços para transmitir mensagens. Morse percebeu que o máximo de 4 sinais já era suficiente para a representação de todas as letras. pois alguns problemas podem induzir ao erro nesse procedimento.Matemática III – Módulo 15 2.: Em geral. o socorro propriamente dito. sendo que as repetições são permitidas. • com quatro sinais. 3 A B C D E F G H I Você sabia que o sinal de socorro SOS nasceu do código Morse? O SOS é uma convenção internacional para transmitir pedido de socorro de viajantes em dificuldades. • com três sinais. será aditivo. diz que A e B são dois conjuntos distintos (sem interseção). pois usavam apenas três pontos e três traços.) . cada caractere (letra. De quantos modos diferentes podem ser escolhidos um presidente e um secretário de um conselho que tem 12 membros? Solução: Devemos tomar as seguintes decisões: d1: escolha do presidente. Um experimento consiste em lançar um dado e uma moeda sobre uma mesa e retirar uma etiqueta de uma urna que contém 4 etiquetas de cores diferentes: azul. posso usar como transporte o trem. 2 modos de escolher a linha da volta de C para B e 1 modo de escolher a linha de volta de B para A. sabendo que os dois não podem ser moradores de um mesmo apartamento? 03. o total de maneiras de dispor os pontos é 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 64. identifica o apartamento A do piso térreo. coroa. Portanto.) é representado por uma célula retangular em que há de 1 a 6 pontos em alto-relevo. Em um prédio residencial. 4. face coroa na moeda e cor vermelha na etiqueta. Alfabeto Braille B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T V W X Y C De quantos modos diferentes. e três linhas ligam as cidades B e C. Quantas são as sequências possíveis de faces obtidas nesses lançamentos? A U B Z É possível determinar o número total de caracteres que podem ser representados no sistema braile? Sim.com/sqback Escrita Braille A O Sistema Braille. Um resultado desse experimento é. Exercícios Resolvidos 01. Para fazer uma viagem Rio-São Paulo-Rio. pelo princípio fundamental da contagem. Duas linhas de ônibus ligam as cidades A e B. Quantos são os possíveis resultados desse experimento? 3a Série / Pré-vestibular 509 . sinal de pontuação. B. etc. De quantos modos é possível escolher um síndico e um subsíndico de um prédio que contém 15 apartamentos. 2. face 5 no dado. O par (0. algarismo. há dois resultados possíveis: cara ou coroa. Logo. Como d1 pode ser tomada de 12 maneiras e. A). d2: escolha do secretário. 7 ou 8. De quantos modos posso escolher os transportes se não desejo usar na volta o mesmo meio de transporte usado na ida? 04. Contudo. um usuário pode escolher uma sequência dessas linhas. Logo. Assim. C ou D. conforme mostra o esquema: ©iStockphoto. Exercícios de Fixação 01. 5. 1. há 2 × 3 × 2 × 1 = 12 modos diferentes de um usuário ir e voltar de A para C sem usar uma mesma linha duas vezes. o total de caracteres é 64 – 1 = 63. Solução: Para cada lançamento. fazendo o trajeto de ida e volta de A para C e passando por B na ida e na volta de modo que não use a mesma linha que usou na ida? Solução: Há 2 modos de escolher a linha da ida de A para B. utilizado universalmente na leitura e na escrita por pessoas cegas. vermelho. amarelo e branco. a identificação dos apartamentos é feita por um par ordenado formado por um dos números 0. 03. por exemplo. há 2 × 2 × 2 × 2 = 16 sequências possíveis de faces obtidas nesses lançamentos. Uma moeda é lançada quatro vezes sucessivamente. reconhecendo-se o ano de 1825 como o marco dessa importante conquista para a educação e integração dos deficientes visuais na sociedade. temos que não existe caractere com todos os pontos não destacados. o par (1. um jovem cego. Observemos que cada um dos 6 pontos pode estar disposto apenas de 2 maneiras: destacado ou não destacado. B) identifica o apartamento B do primeiro andar. por exemplo. o terno 5. depois disso. Quantos apartamentos tem esse prédio se o total de unidades é igual ao total de possibilidades de identificação? 02. 3 modos de escolher a linha da ida de B para C. e uma das letras A. Na escrita braile. vermelho. isto é. foi inventado na França por Louis Braille. há 12 × 11 = 132 modos de se escolher um presidente e um secretário desse conselho. 6. d2 pode ser tomada de 11 maneiras. o ônibus ou o avião. distribuídos em 3 linhas e 2 colunas. então.Combinatória: princípios multiplicativo e aditivo 02. 3. como mostra a figura a seguir. b. e um mesmo aluno não pode ser sorteado mais de uma vez. solicitando. (C) 715. nos outros três. Na ilustração abaixo. as 52 cartas de um baralho estão agrupadas em linhas com 13 cartas de mesmo naipe e colunas com 4 cartas de mesmo valor. para acesso à conta corrente pela Internet. c. respectivamente. além dos algarismos de 0 a 9. 42613BC. 3. 4. permitindo agora o uso das 26 letras do alfabeto. e. os avisos do 1o. para cada um deles. 2o e 3o anos do Ensino Médio. Para isso. C e D. ele é declarado vencedor e a brincadeira é encerrada. A cada vez um aluno é sorteado e dá a sua resposta. d. O número total de conjuntos distintos de cinco cartas desse baralho que contêm uma quadra é igual a: (A) 624. O diretor sabe que algum aluno acertará a resposta porque há: . O coeficiente de melhora da alteração recomendada é: 6 (A) 626 (D) 62! – 10! (B) 62! 10! (E) 626 – 106 (C) 62! 4! 10! 56! 10 04. de cima para baixo. Todos os alunos decidiram participar. As respostas devem ser sempre distintas das anteriores. a criação de uma nova senha com seis dígitos. formada somente por algarismos de 0 a 9. Nesse novo sistema. Se a resposta do aluno estiver correta. Suponha que existem 5 objetos e 6 personagens numa casa de 9 cômodos. era proibido o uso de outros tipos de caracteres. Observe. Cada sequência foi formada por 4 algarismos distintos seguidos de duas letras distintas. Com relação aos números de cinco algarismos do sistema de numeração decimal. 3 02. cada letra maiúscula era considerada distinta de sua versão minúscula. A escola resolveu que retângulos adjacentes (vizinhos) fossem pintados. f. em um conjunto de cinco cartas. um dos personagens esconde um dos objetos em um dos cômodos da casa. B. serão colocados. disponibilizou cinco cores e solicitou aos servidores e alunos sugestões para a disposição das cores no quadro. 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 2 6 2 6 6 6 2 6 2 Denomina-se quadra a reunião de quatro cartas de mesmo valor. 5 e 6. um especialista em sistemas de segurança eletrônica recomendou à direção do banco recadastrar seus usuários. ou 5 algarismos distintos seguidos de 2 letras distintas. com cores diferentes. 2. 1462AB. e. um exemplo de quadra. (B) 676. O quadro de avisos de uma escola de Ensino Médio foi dividido em quatro partes. 510 Vol. No retângulo à esquerda. por exemplo. Além disso. Um fabricante de televisores identificou cada aparelho de determinado lote com uma sequência de algarismos e letras escolhidos entre 1. 03. quantos são? quantos são pares? quantos possuem os algarismos distintos? quantos são ímpares e possuem algarismos distintos? quantos são ímpares ou possuem algarismos distintos? quantos são pares e possuem os algarismos distintos? Exercícios Contextualizados 01. no quadro. pergunta-se: a. Determine o número máximo de sugestões diferentes que podem ser apresentadas pelos servidores e alunos. Que número máximo de aparelhos pode ter esse lote? 06. O diretor de uma escola convidou os 280 alunos de terceiro ano a participarem de uma brincadeira. A. Um banco solicitou aos seus clientes a criação de uma senha pessoal de seis dígitos. por exemplo. O objetivo da brincadeira é adivinhar qual objeto foi escondido por qual personagem e em qual cômodo da casa. Uma forma de avaliar uma alteração no sistema de senhas é a verificação do coeficiente de melhora. que é a razão do novo número de possibilidades de senhas em relação ao antigo.Matemática III – Módulo 15 05. (D) 720. Entretanto. são colocados os avisos da diretoria. (D) 21. quantas cores podem ser representadas pelo sistema proposto? (A) 14. De quantos modos eles podem sentar. O designer português Miguel Neiva criou um sistema de símbolos que permite que pessoas daltônicas identifiquem cores. 06. (E) existem exatamente (28 – 1)4 endereços diferentes no sistema IPv4. Cinco rapazes e cinco moças devem posar para fotografia ocupando cinco degraus de uma escadaria. (D) 16. (E) 270 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. (C) Exatamente 166. (E) 17. Com base nessas informações.21. 216 – 1]. O preto e o branco são identificados por pequenos quadrados: o que simboliza o preto é cheio. sendo 5 de frente e 5 de costas. 05.000. é um número inteiro no intervalo [0. o endereço IPv4 do servidor WEB da UFF é 200. 3 preferem sentar de costas e os demais não têm preferência. (B) 20 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.br. 3a Série / Pré-vestibular 511 . (C) 20. Os símbolos que representam preto e branco também podem ser associados aos símbolos que identificam cores. Ao escrevermos todos os números inteiros de 1 até 2. de for ma que em cada degrau fique um rapaz e uma moça. Além disso.222. ainda sem juros. a justaposição de dois desses símbolos permite identificar cores secundárias (como o verde. conclui-se que o valor de n é igual a: (A) 13. (B) existem exatamente 4 · (28 – 1) endereços diferentes no sistema IPv4. (B) 18. 2012. Cada campo. Caso se queira adquirir o produto. que é o amarelo combinado com o azul).20. (E) 23. (B) Um número inteiro entre 167 e 40.Combinatória: princípios multiplicativo e aditivo (A) 10 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.uol. Exercícios de Aprofundamento 01. 07. Nessa nova versão. o valor de cada parcela deve ser acrescido de R$ 60. sem juros.00. (adaptado) De acordo com o texto. respeitadas as preferências? (A) Um número inteiro maior que 40.000. (D) 260 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. Atualmente. (D) o número de endereços diferentes no sistema IPv6 é o dobro do número de endereços diferentes do sistema IPv4. Muitos consideram a Internet como um novo continente que transpassa fronteiras geográficas e conecta computadores dos diversos países do globo. amarelo e vermelho). (D) Um número inteiro menor que 100. cada endereço é constituído por quatro campos.00 ou de R$ 125. Disponível em: <www1. um sistema de endereçamento denominado IPv4 (Internet Protocol Version 4) é usado. quantas vezes escrevemos o algarismo zero? 02. significando se estas são claras ou escuras.com. (C) 15.0.folha. Por exemplo. Um vagão de metrô tem 10 bancos individuais.> Acesso em: 18 fev. enquanto o que simboliza o branco é vazio. 28 – 1]. (B) 14. (C) 119 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. O sistema consiste na utilização de símbolos que identificam as cores primárias (azul. Uma geladeira é vendida em n parcelas iguais. 4 preferem sentar de frente. respectivamente. pagando-se 3 ou 5 parcelas a menos. De 10 passageiros. De quantas maneiras distintas podemos arrumar este grupo? 03. cada endereço é constituído por oito campos e cada campo é um número inteiro no intervalo [0. Com base nessas informações.000. é correto afirmar que: (A) o número de endereços diferentes no sistema IPv6 é o quádruplo do número de endereços diferentes do sistema IPv4. Nesse sistema. por sua vez. para que as informações migrem de um computador para outro. separados por pontos. (E) Exatamente 40. (C) existem exatamente 232 endereços diferentes no sistema IPv4. Um novo sistema está sendo proposto: o IPv6. O máximo divisor comum entre esses números é: (A) 36 bolinhas. Cada quilograma da ração 1 custa R$ 13. Em virtude do disposto acima. Cada quilograma da ração 3 custa R$ 16. (B) o custo de um quilograma da Mistura 1 somado com o custo de um quilograma da Mistura 3 é R$ 25. em média. (A) 27.00. em uma unidade de saúde. 06. Determine quanto de cada tipo de granola ele deve produzir para utilizar exatamente o estoque disponível.00 e contém 600 gramas da Mistura 2 e 400 gramas da Mistura 3.00. mas. (E) 58.200. Considerando essa dieta. o número de pacientes com as doenças A. de cada ingrediente utilizado na preparação de 100 g de cada tipo de granola são dadas na tabela a seguir.00. No diagrama abaixo. os números dos círculos grandes são obtidos a partir de uma determinada regra. em gramas. proteínas e lipídios a ser ingerido diariamente deve ser de 117 gramas. O maior é igual à diferença entre o dobro do menor e 231. (C) carboidratos excede o de proteínas em 54 gramas. B e C. obtémse R$ 50. 02. foram realizadas 58 hospitalizações para tratar pacientes com as doenças A. (B) lipídios e carboidratos é de 101 gramas. respectivamente. quando colocou 5 bolinhas em 512 cada lata. ele dispõe de três tipos de mistura: Mistura 1. (D) proteínas e lipídios é de 45 gramas. Um fabricante de ração deseja fabricar três tipos de ração. (C) 81. Para isso. (D) 55 bolinhas. O custo total em medicamentos para esses pacientes foi de R$ 39. 200 gramas da Mistura 2 e 600 gramas da Mistura 3. 05. sobraram 2 bolinhas. b e c representam. Tipo de granola / ingredientes Cereais Frutas Castanhas Light 80 10 10 Simples 60 40 0 Especial 60 20 20 O fabricante dispõe de um estoque de 18 kg de cereais. (D) 36. A prescrição é que a quantidade de proteínas ingerida seja ¼ da quantidade de carboidratos e que a quantidade de lipídios equivalha a 30% da quantidade de carboidratos e proteínas.00. é correto afirmar que: (A) um quilograma da Mistura 1 custa R$ 30. para a doença B é R$800. Carlinhos possui certa quantidade de bolinhas de gude e algumas latinhas para guardá-las. Cada quilograma da ração 2 custa R$ 11. Um fabricante combina cereais. Observa-se também que o número de pacientes com a doença A é o triplo do número de pacientes com a doença C. 6 kg de frutas desidratadas e 2 kg de castanhas.00 e contém 200 gramas da Mistura 1 e 800 gramas da Mistura 3. 3 2 1 10 6 4 9 13 . As quantidades. (B) 42 bolinhas. (B) 33. um quilograma da Mistura 2 e um quilograma da Mistura 3. Sabe-se que. (C) 49 bolinhas. (D) 121.00.250. B e C.Revisão M ódulo 16 Matemática III Exercícios de Fixação 01. o total de carboidratos. o custo por paciente em medicamentos para a doença A é R$450. (E) um quilograma da Mistura 3 custa R$ 22. então o valor de a – b – c é igual a: (A) 14.00 e para a doença C é R$1. Podemos afirmar que todas as latas ficariam com o mesmo número de bolinhas se ele tivesse: Vol.00 e contém 200 gramas da Mistura 1.00. é incorreto afirmar que o consumo diário de: (A) carboidratos é superior ao consumo diário de proteínas. Se a. (D) somando-se os custos de um quilograma da Mistura 1. No quadro de alimentos que devem compor uma dieta alimentar específica. 03. frutas desidratadas e castanhas para produzir três tipos de granola. 3 04. (E) 63 bolinhas. Em um determinado mês. (C) 26. 07. Mistura 2 e Mistura 3. (B) 24. Ao colocar 4 bolinhas em cada lata.00. a última ficou com apenas 2 bolinhas.00. (C) um quilograma da Mistura 2 custa R$ 11. A soma de dois números naturais é 561. (E) 792. 024. (D) 30 comprimidos. d. R$ 2. de modo que esses números sejam inteiros positivos. Além disso. de modo que os legados de Baldo e Caldo dobrassem. Sabe-se que João utiliza comprimidos de 2 mg. teria arrecadado R$ 160. a diferença (em valor absoluto) entre o número de calças e o de camisas é: 06. determine a. Um pai deixou uma herança para seus filhos Aldo.00 (preço de venda) o de cada camisa. Pedro toma o triplo de comprimidos de Márcia e os três consomem 130 comprimidos.100.00 2 peras R$ 1.550. R$ 2. O preço de venda das peras e das maçãs está descrito na tabela a seguir: (C) 60 comprimidos. No início de dezembro de certo ano.00. e geral. Considerando que o preço do ingresso de arquibancada era R$ 20. os preços dos ingressos num estádio de futebol eram: arquibancada.410. (C) R$ 3. 07.715 pessoas. de modo que os legados de Aldo e Baldo dobrassem. (E) 890.00. calcule o valor total arrecadado com a venda de ingressos para esse jogo.800. II. (D) 2.50 2 das 5 peras. 03.800. b.450. de modo que os legados de Aldo e Caldo dobrassem. III.00. R$ 10. Desse total. Sabendo-se que os números dos círculos maiores do diagrama abaixo são obtidos pela mesma regra do diagrama anterior. (C) 400. Márcia e João sejam pacientes com faixas etárias bem distintas e que utilizam um mesmo hipertensivo em comprimidos. 20 a d 19 12 b c 11 Exercícios Contextualizados 01. b. Em um estádio. o público total que pagou ingresso foi de 5. Caldo fizesse o mesmo. determine quantos ingressos da arquibancada foram vendidos: (A) 1. depois disso. um cardiologista nota que os seus pacientes com hipertensão são cada vez mais jovens e fazem uso de medicamentos cada vez mais cedo.00. (C) 1.00. Em um jogo de futebol. uma determinada loja de depar tamentos. (B) R$ 6. quantas frutas o feirante vendeu? Se o feirante tivesse vendido somente metade das maçãs e (A) 200. Em um jogo de decisão de campeonato. c.400. Um feirante vendeu todo o seu estoque de maçãs e peras por R$ 350. Quanto pagará um cliente que comprar os três produtos anunciados? (A) R$ 2. Sabendo que todos os ingressos foram vendidos e que o número de ingressos da arquibancada equivale a 2/5 do número de ingressos da geral. A renda. propôs a seguinte ofer ta: a geladeira e a máquina de lavar custam juntas R$ 2.00.00.00. uma máquina de lavar e uma secadora. foi de R$ 48. Suponha que Pedro. R$ 30. 3a Série / Pré-vestibular 513 .200.Revisão a.00 o valor (preço de venda) de cada calça e R$ 50. finalmente. a máquina de lavar e a secadora. (D) 500.500.200. Aldo deveria dar uma parte do que recebera a Baldo e a Caldo.650. R$ 25.500. gerando uma receita de R$ 52. totalizando 780 miligramas da droga. uma loja tinha um estoque de calças e camisas no valor total de R$ 140. Como está se aproximando o término do desconto do IPI para a linha branca dos eletrodomésticos. 40% pagaram meia-entrada. (E) 1.00.266.00.824.00. 04. Sendo assim. são colocados à venda ingressos para arquibancada e cadeira. 02. Descreva a regra pela qual os números dos círculos grandes desse diagrama são obtidos.000.00. Baldo daria uma parte do que recebera a Aldo e a Caldo. com a venda desses dois tipos de ingressos. ingere: (A) 1. Ao longo do mês. (C) 1. sendo que 2/3 dos que compraram ingresso para arquibancada pagaram meia-entrada e 1/6 dos que compraram ingresso para cadeira pagou meia-entrada. 05. mas determinou a seguinte distribuição: I.000. (B) 20 comprimidos. Fruta Preço 3 maçãs R$ 2. sendo R$ 80. Márcia de 4 mg e Pedro de 10 mg. para vender uma geladeira. mensalmente.00 e o de cadeira.200. Com base nestas informações. (B) 964.00. foram vendidos 30% do número de calças em estoque e 40% do número de camisas em estoque.00. Por causa de hábitos alimentares inadequados. (A) 50 comprimidos.00. a geladeira e a secadora. (D) R$ 3. é correto afirmar que Márcia. mensalmente.00. (B) 1. (E) R$ 4. (B) 300. Baldo e Caldo. Com relação ao estoque inicial. 10. 1! = 1 2! = 2 × 1 3! = 3 × 2 × 1 4! = 4 × 3 × 2 × 1 Considere o astronômico resultado de 2013! Quanto vale a soma dos seus três últimos algarismos? (A) 0.. Inicialmente alugará.. Nestas condições.730 reais.770 reais. a editora pagou uma gratificação.950 reais. Paulo possui 709 livros e identificou cada um com um código formado por três letras do nosso alfabeto. (B) 6. ao vender todos estes animais. (C) 13. 5 de comédia e 3 de drama. (E) 21.Matemática III – Módulo 16 Cumpridas as. (C) 6. (D) BBG. Quando os devolve. Então. (C) BBC... gato e passarinho é. O salário de Ana é igual à soma dos salários de Beto e Carlos. sempre pega outros dois filmes e assim sucessivamente. 02. uma editora contratou três funcionários: Ana. o cliente alugará um filme de ação e um de drama. y e z reais. . então... R$ 2. ABA.515 reais. e a soma dos valores que os três receberam foi de R$ 5. Se o preço de venda de cada cão. Qual é a soma dos algarismos do número que representa o que fora o legado original de Aldo? (A) 5. Um cliente de uma videolocadora tem o hábito de alugar dois filmes por vez. (D) 20. determinações do pai..300. o pet shop terá arrecadado: (A) 4. AAB. AAZ. (E) 5. de valor igual ao salário de Beto. respectivamente.. A seguir.250 reais.. Ele soube que a videolocadora recebeu alguns lançamentos. ACA. o segundo com AAB. (D) 5.. totalizando 38 cabeças e 112 patas. Quando se esgotarem as possibilidades de comédia. temos o fatorial de alguns números. Assim.400. (B) BAU.. a cada um dos três. seguindo a “ordem alfabética” assim definida: AAA.. 90 e 55 reais. sendo 8 filmes de ação. estabeleceu uma estratégia para ver todos esses 16 lançamentos. ABB. 08. no total... gatos e passarinhos à venda. 500.00. (B) 3. (D) 8. Um pet shop tem cães. com salários x. (C) 7. o código associado ao último livro foi (A) BAG. em cada vez. o primeiro livro foi identificado com AAA.00. respectivamente. ABZ. Qual foi o valor da gratificação que receberam? 09. 3 De quantas formas distintas a estratégia desse cliente poderá ser posta em prática? (A) 20 × 8!+ (3!)2 (B) 8!× 5!× 3! (C) (D) (E) 8!× 5!× 3! 28 8!× 5!× 3! 22 16! 28 Exercícios de Aprofundamento 01. um filme de ação e um de comédia. (B) 6. Ana recebeu. Sabe-se que nenhum destes animais apresenta algum tipo de deficiência física e que a metade do número de passarinhos mais o número de cães supera em duas unidades o número de gatos. Para trabalhar na Feira Internacional do Livro. até que todos os lançamentos sejam vistos e sem que nenhum filme seja repetido. os filhos verificaram que cada um ficara com 160 mil reais. Assim. Beto e Carlos. No final da feira. considerando o alfabeto com 26 letras. Rascunho 514 Vol.

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