Matemática Volume 2

Função afimM ódulo 6 Matemática I ©iStockphoto.com/stevecoleimages Você saberia dizer o que há de comum entre os valores gastos ao se realizar uma festa e na compra de um automóvel financiado? Um jeito bastante comum de se organizar festas consiste em alugar um espaço e contratar um buffet, que normalmente cobra um certo valor por convidado para fornecer a comida e a bebida da festa. Significa que, se o organizador quiser saber quanto vai gastar com a festa, basta multiplicar o valor por pessoa cobrado pelo buffet pelo número de convidados, e somar o resultado obtido com o valor do aluguel do espaço. ©iStockphoto.com/Ridofranz De forma semelhante, ao financiar um automóvel, é comum o comprador dar um certo valor como entrada e depois dividir o saldo devedor em um certo número de parcelas fixas (iguais). Assim, para saber quanto já foi gasto em um dado momento, basta o comprador multiplicar o valor da parcela pelo número de parcelas pagas e somar o resultado obtido com o valor da entrada. As situações descritas acima podem ser modeladas matematicamente por meio de funções afins, que constituem a mais simples e ao mesmo tempo uma das mais importantes classes de funções estudadas no ensino médio. Também conhecidas como funções do 1º grau, as funções afins serão apresentadas em detalhes neste módulo. 1. Função identidade 2. Função linear É uma função real (f: R → R) que, a cada elemento x real, associa o próprio x, ou seja f (x) = x, para todo x real. O gráfico da função identidade é a bissetriz dos quadrantes ímpares (1o e 3o). É uma função real f: R → R, que a cada elemento x real associa o elemento ax com a ≠ 0, ou seja, f (x) = a · x, a ≠ 0. O gráfico da função linear é uma reta que passa pela origem e sua imagem é o conjunto dos números reais: Im = R. y y (1,2) 2 (2,2) (1,1) (0,0) x (–1,–1) (0,0) (–2,–2) 1 Função identidade x Função linear 3a Série / Pré-vestibular 357 Matemática I – Módulo 6 A função f(x) = ax, com a > 0 e definida de R+ em R+ é uma restrição da função linear que representa uma proporcionalidade. Sendo f(x1) = y1 e f(x2) = y2, pode-se escrever y1 y 2 = = a x1 x 2 3.3 Raiz ou zero da função afim O gráfico intercepta o eixo dos x em um único ponto que é a b raiz da equação f(x) = 0 dada por x = − . a 3.4 Gráficos da função afim A relação acima é chamada de proporção, as grandezas x e y são ditas diretamente proporcionais e o coeficiente a é chamado fator de proporcionalidade. Importante: a raiz no gráfico é o ponto em x onde a função corta o eixo OX. Abaixo são mostrados gráficos da função afim para coeficiente angular negativo e positivo. y Um exemplo comum da aplicação da função linear é a massa de um corpo que é proporcional ao seu volume e a relação entre eles é o fator de proporcionalidade chamado massa específica (ou densidade). y = ax + b a>0 b 3. Função afim É uma função f: R → R, definida por: f (x) = ax + b Onde a e b são constantes reais e a ≠0. –b / a x Função afim crescente A função identidade (a = 1 e b = 0) e a função linear (b = 0) são casos particulares da função afim. A função afim é uma função polinomial do 1o grau, seu gráfico é uma reta não paralela a nenhum dos eixos coordenados e sua imagem é o conjunto dos números reais: Im = R. Estudaremos as funções polinomiais mais adiante. y 1  2 1  Dy 2 θ Dx 3.1 Coeficiente angular O coeficiente a é chamado coeficiente angular e representa a taxa de variação média da função ∆y que é igual à tangente do ângulo ∆x de inclinação da reta. Sendo θ o ângulo de inclinação da reta, tem-se: θ tgθ = ∆y =a ∆x x1 Coeficiente angular = ∆y coeficiente angular a>0 θ é agudo função crescente a<0 θ é obtuso função decrescente x2 ∆x y b y = ax + b a<0 3.2 Coeficiente linear O coeficiente b é chamado coeficiente linear e é o ponto onde a reta cruza o eixo Oy, ou seja, a reta passa no ponto (0, b). θ –b / a Função afim decrescente 358 Vol. 2 x x Função afim Para a < 0, a função afim é positiva antes da raiz e negativa depois. y θ Dx y Caso a < 0 Dy θ x Coeficiente angular = – ∆y ∆x Quando usamos funções de primeiro grau para descrever fenômenos, devemos tomar a precaução de observar a faixa de linearidade. Muitas vezes, devemos restringir o domínio para assegurar que uma função de 1o grau descreve o fenômeno com precisão. Na dilatometria, sabemos que um aumento de 10°C para 20°C na temperatura de uma barra de um dado material causa um aumento de x% no seu comprimento. Esse x depende do material, é o que chamamos de coeficiente de dilatação linear. Será que um aumento de 50°C para 60°C também causa um aumento de x% no comprimento? As equações da dilatometria assumem que sim e, portanto, são válidas para determinados intervalos de temperatura. Mas, fisicamente as duas situações não representam exatamente a mesma coisa. No estudo da corrente elétrica que atravessa uma resistência, diz-se que um determinado resistor é ôhmico se, ao dobrarmos a tensão entre seus terminais, dobrar também a corrente elétrica que o atravessa. Acontece que à medida que esta corrente aumenta, aumenta também a temperatura, por efeito Joule, o que faz com que varie o comprimento, a área (por dilatação) e até as propriedades do material que dificultam a passagem da corrente (resistividade). Assim, se considerarmos grandes faixas de tensão perceberemos que a maioria dos resistores seria não ôhmico. 4. Sinais da função afim y b (x < - ) a y<0 y>0 - b a b (x < - ) a - b a y<0 x Sinais da função afim 5. Posições relativas entre retas A análise dos coeficientes angulares das retas permite identificar sua posição relativa e também discutir sistemas de equações do primeiro grau a duas variáveis. Assim, sejam a reta r dada pela equação y = ax + b e a reta s dada pela equação y = a’x + b’, a relação entre seus gráficos é mostrada abaixo:  r1: y = ax + b  r : y = a'x + b' 2 a = a’ e b ≠ b’ retas paralelas sistema impossível a = a’ e b = b’ retas coincidentes sistema possível indeterminado a ≠ a’ retas concorrentes sistema possível determinado Quando a · a’ = –1, as duas retas, além de concorrentes, são perpendiculares. 6. Equação do 1o grau Para a > 0, a função afim é negativa antes da raiz e positiva depois. Caso a > 0 b (x > − ) a y>0 x b (x > − ) a As equações do 1o grau com uma incógnita podem sempre ser expressas, após a redução dos termos semelhantes, da seguinte forma: ax + b = 0, com a ≠ 0, onde x é a incógnita, a e b são constantes denominadas coeficientes e b é chamado termo independente. Em geral uma equação do 1o grau possui apenas uma raiz, mas ela pode também ser impossível ou indeterminada. 6.1 Resolução de equações Resolver uma equação é achar o seu conjunto solução. Para isso serão apresentadas algumas propriedades úteis. Sinais da função afim 3a Série / Pré-vestibular 359 2 Discussão da equação do 1o grau Equação possível determinada: a solução leva a uma única raiz. 2 Ex. temos S = {∅}. dos denominadores: (x +1) · (x –1) Multiplicando ambos os membros pelo M.: Resolva x + 1 1. Logo. Ex. Ex.C.: Resolver 2x –1 = 4 –x em N. A simplificação dos termos semelhantes resulta em 0 = 0. Ex. Cada sorvete custa pra ele R$ 0.: Resolva 3x –2 = x +4 Solução: 3x –2 = x +4 ⇔ 2x = 6 ⇔ x = 3 Equação possível indeterminada: é na verdade uma identidade. Muitas equações fracionárias (aquelas que possuem variável no denominador) podem resultar na resolução de uma equação do 1o grau. Nas equações com coeficientes fracionários deve-se primeiro eliminar os denominadores.1 6.Matemática I – Módulo 6 1.M. a + b = c ⇔ a = c – b 2. Nas equações com sinais de reunião (p. O aluguel do carrinho custa R$ 200. Ex. A equação possui infinitas raízes. só são válidas as raízes que pertençam ao domínio.x x 2 .M.00. Quantos sorvetes ele precisa vender para ter um negócio rentável? (1 – 0. 4. Solução: 2x –1 = 4 –x ⇔ 3x = 5 ⇔ x = 5/3 Como 5/3 ∉ N.b≠0 3..5) · x = 200 0.50 e ele os vende por R$ 1. Nada mais é que uma equação de primeiro grau nos casos mais simples (quase sempre). Em algumas questões se define o domínio ou conjunto universo para a solução da equação. Nesse caso. deve-se verificar se a raiz obtida não anula nenhum dos denominadores. a solução da equação é   3a + 2    a ≠ 1: S =    a −1   a = 1: S = ∅  . após a eliminação dos denominadores. Descobrir o break-even de um determinado produto por exemplo. = c ⇔ a = c· b b Observações: 1.M.C. onde a é um número não nulo. 1 1 2x + = Ex. A equação não possui raízes. a solução é ∅. multiplicando ambos os membros pelo M. parênteses e colchetes) deve-se primeiramente efetuar as operações necessárias para remover os sinais de reunião começando pelos mais internos.00.5 x – 200 = 0 ⇒ x = 400 O sorveteiro precisa vender 400 sorvetes! 360 Vol.: Resolva a equação 2x +1 = 3 +4x – 2 – 2x Solução: 2x +1 = 3 +4x – 2 – 2x ⇔ 2x + 1 = 2x +1 ⇔ 0 = 0 Equação impossível: a simplificação dos termos semelhantes resulta em 0 = a. 3. entre eles. tem-se: Ex.: Resolva 2x + 1 = 4 + 4x –2 –2x x –1 –(x +1) = 2x ⇔ x –1 –x –1 = 2x ⇔ 2x = –2 ⇔ x = –1. a – b = c ⇔ a = c + b c a= .: Você quer saber quantos sorvetes o sorveteiro precisa vender para que ele tenha lucro e não prejuízo.: Resolver a equação ax – x = 3a +2 Solução: ax – x = 3a +2 ⇔ x (a – 1) = 3a + 2 Nesse caso temos duas possibilidades: primeiro a –1 ≠ 0 e depois a –1 = 0 1o caso: a – 1 ⇔ 0 3a + 2 x= a −1 2o caso: a – 1 = 0 ⇔ a = 1 0 · x = 3 · 1 +2 ⇔ 0 = 5 → IMPOSSÍVEL Portanto. 2. Solução: M. a· b = c b a 4. ex. Solução: 2x + 1 = 4 + 4x –2 –2x ⇔ 2x +1 = 2x + 2 ⇔ 1 = 2 ⇒ ÍMPOSSÍVEL Mas as raízes não podem ser 1 e nem –1.C. Nesse caso. 500 l Então y = = 2. Solução: 4x + 5 ≤ 2x + 9 ⇔ x ≤ 2 Agora notar que I.500 litros.0). S = {x ∈  | x ≤ 2} = {1. Por isso.  II. Distância (km) 180 30 0. Novamente serão apresentadas algumas propriedades úteis. podemos usar que y = ax + b. Logo. (C) 6h30min.2: Resolver x + 3 > 3x + 9. Ex. temos a = 1/3. verifica-se que o carro que partiu primeiro foi alcançado pelo outro ao ter percorrido. S = {x ∈ R / x < – 3} Ex. (D) 7h30min. Usando ainda que (3.1) pertence à reta. S = {x ∈ R / x > 3} Ex. Solução: Letra D. 5 = 1 x → x = 7.5 Tempo (h) Analisando o gráfico. S = {x ∈  | x ≤ 2} II. O gráfico abaixo apresenta as distâncias percorridas pelos carros. Como o gráfico é uma reta. (B) 6h50min. Usando o fato de que passa na origem (0.1: Resolver 5x + 3 > 3x + 9. a· b > c ⇔   a < c ·b < 0  b 4. Qual o tempo necessário para que o reservatório fique completamente cheio? (A) 7h. Solução: x + 3 > 3x + 9 ⇔ x – 3x > 9 – 3 ⇔ –2x > 6 ⇔ x < 6/(– 2) ⇔ x < – 3. uma torneira é aberta. mas também podem possuir um número finito ou nenhuma solução. Inequação do 1o grau É a inequação que possui apenas uma variável ou incógnita e que é do 1o grau.5 m3: 2.5 2. 1 7. temos que b = 0. Resolver 4 x + 5 ≤ 2 x + 9 em: I. Solução: 5x + 3 > 3x + 9 ⇔ 5x – 3x > 9 – 3 ⇔ 2x > 6 ⇔ x > 6/2 ⇔ x > 3. muitas vezes não é possível simplificar valores nos dois lados de uma desigualdade. quantos quilômetros? 3a Série / Pré-vestibular 361 . 02.1 Resolução de inequações Resolver uma inequação é achar o seu conjunto solução. (E) 7h50min. a – b > c ⇔ a > c + b c   a > b · b > 0 3. 1.  a > c· b· b > 0 a >c⇔  b  a < c· b· b·< 0 Nas propriedades 3 e 4 acima é importante notar que ocorre inversão do sinal de desigualdade quando multiplicamos ou dividimos por um número negativo.3: Notar que o conjunto solução depende de qual conjunto você estará adotando. Logo. em função do tempo. as inequações possuem um número ilimitado de soluções quando resolvidas no conjunto dos reais. exatamente. .: 3x + 1 < 2x – 5 Exercícios Resolvidos 01. a+ b > c ⇔ a > c – b 2. 1 x 3 Queremos achar o tempo (x) para que o volume (y) seja 2. 2} 3 t (h) Para encher este reservatório de água com 2.Função afim 7. O volume de água de um reservatório aumenta em função do tempo. deslocando-se pela mesma estrada. 5 3 Poderíamos também resolver usando semelhança de triângulos. de acordo com o gráfico abaixo: V (m3) Em geral. Dois carros partem de uma mesma cidade. Ex. encontrando h = cm . 04.000 t + 10 10t + 100 < 120t − 1. Como o gráfico acima passa pelos pontos (5.Matemática I – Módulo 6 Solução: O carro que partiu primeiro segue a sua trajetória segundo a função y = 60x enquanto o segundo carro tem sua trajetória descrita pela função y = 90x – 45.100 110t > 1. 2 15 12 1 5 b. 1 A equação será y = x + 5 .000 −110t < −1. 5 5 17 1 d. 5 3 3 17 1 c. substituindo esses valores na função. O gráfico esboçado representa o peso médio. Determine a expressão da função cujo gráfico é esse segmento de reta calcule o peso médio do animal com 6 meses de vida. Solução: São dados os pontos (0. ou seja.5h e y = 90 km. em quilogramas. 10 < 120t − 1. 5) e (10.000 ⇒ 10(t + 10) < 120t − 1.000 ≤ 70(t + 10) 120t − 1. Para achar a altura no 12° dia 5 12 basta fazer t = 12. Quando o animal tiver 6 meses de vida. Para t ≥ 10 meses a expressão da função que representa o 120t − 1. Para 0 ≤ t ≤ 10. 2 a. h(t) = t + 1 e h = cm . 10 < 120t − 1. de um animal de determinada espécie em função do tempo de vida t. quilogramas. h(t) = t −5 12 e h = cm . respectivamente: 1 12 a. a função é h(t) = t + 1 .2) e (10. em meses. e a partir de uma certa altura. a = 10 − 0 10 2 ∆x Como a reta corta o eixo das ordenadas no ponto (0.000 ≤ 70 t + 10 Para resolver esta inequação dupla. seu peso médio será dado por 1 y = · 6 + 5 = 8kg 2 b. segue a função do gráfico abaixo. o gráfico é um segmento de reta. A resposta será dada por 10 < t ≤ 34 h (cm) peso médio (kg) 3 2 10 1 5 0 0 10 tempo (meses) a.000 ≤ 70 t + 10 120t − 1.100 t > 10 362 Vol.000 ≤ 70 t + 700 50t ≤ 1.000 peso médio do animal. h(t) = t − 5 e h = cm . portanto.3). y = ax + b. 5 2 e. 10). ficamos com o sistema: 5 a + b = 2  10 a + b = 3 1 eb=1 5 1 Portanto. 2 5 10 t (dias) Mantidas tais condições. h(t) = t − e h = cm . O crescimento de um vegetal. 5) o coeficiente linear é b = 5.700 t ≤ 34 03. b. h(t) = t − 5 e h = cm . sob certas condições. 15 Resolvendo achamos a = . Agora basta resolver o sistema: y = 60x y = 90x – 45 Resolvendo acharemos x = 1. pode-se afirmar que a função que representa o crescimento do vegetal e sua altura no 12o dia são. t = 6. é P(t) = t + 10 Determine o intervalo de tempo t para o qual 10 < P(t) ≤ 70. onde x é o tempo em horas e y é a distância em km. O coeficiente angular é dado por ∆y 10 − 5 5 1 = = . dividiremos o problema em duas partes: 1. 2. 120t − 1. 5 15 Solução: O gráfico de uma reta é descrito por uma função do 1o grau. por 6 pontos de uma mesma reta. o equivalente a: (A) R$ 4. Marque a alternativa correta em relação ao gráfico: (A) (B) valor total da compra (R$) 150 50 5 20 30 quantidade de unidades compradas Quem comprar 20 unidades dessa mercadoria.666.600.0) 04. (C) 25.20. 03. Determine o horário em que a temperatura atingiu 0°C. Qual é o número mínimo de unidades. (B) 24. a partir do qual a firma começa a ter lucro? (A) 1. (C) 3.. (4. Determine o tempo em que a temperatura permaneceu positiva.800. c.000. (B) 2. (D) R$ 6. pagará por unidade.500. (C) R$ 5.00 por unidade. Os pontos (2. 02. k/2) estão sobre uma reta. Para custear seus estudos.000. 3a Série / Pré-vestibular 363 . (D) 4. será igual a: (A) 29. Determine o tempo em que a temperatura permaneceu negativa. cujo serviço de digitação custou R$ 39. O(s) valor(es) de k é(são): (A) 12 (B) –12 (C) ±12 03. há uma despesa fixa de R$ 4. A promoção de uma mercadoria em um supermercado está representada. y 10 (C) (D) 3 0 –5 05. –3). (E) 5.00. na promoção.. O preço a ser pago pela digitação de um texto inclui uma parcela fixa e outra parcela que depende do número de páginas digitadas. uma firma gasta R$ 1. b. Determine a função f(x) = ax + b. A função (D) 12 ou 6 (E) 6 ou 6.00 e cada página digitada custar R$ 1. (D) 20.Função afim Exercícios de Fixação Exercícios Contextualizados 01. um estudante oferece serviços de digitação de textos.00. 01. Dada a função y = –3x + 5. então a quantidade de páginas digitadas de um texto. no gráfico abaixo. Se a parcela fixa for de R$ 4.00. sabendo-se que f(2) = 5 e f(3) = –10. Além disso. em reais. Para produzir um objeto.20 por unidade. y = x + 1 representa em  ×  uma reta: 2 (A) paralela à reta de equação y = x+3 (B) concorrente à reta de equação y = 2x +5 (C) igual à reta de equação y = x +2 (D) que intercepta o eixo das ordenadas no ponto (0. O preço de venda é de R$ 2.60.50. (E) 22. independente da quantidade produzida. (B) R$ 5.000. O esboço de gráfico abaixo mostra a temperatura de uma região de 3h da madrugada até às 9h da manhã do mesmo dia.1) (E) que intercepta o eixo das abscissas no ponto (–1. 9 x a. 3) e (5. 02.50. 08.00. (B) 35. A empresa ALFA cobra R$ 35. (C) R$ 43. Indicando por y o seu salário semanal e por z o seu salário mensal. 1) e forme com os eixos coordenados um triângulo de área igual a 6. Uma empresa B tem hoje um saldo devedor de R$ 300.000. qual a fórmula matemática que expressa o seu salário mensal z em função do valor x da hora-aula? –10° Fahrenheit 0° 68° grau Fahrenheit 212° 32° o 100° grau Celsius (A) –17. 112°C. (E) 1 .00 e uma outra empresa C tem hoje um saldo devedor de R$ 250.000. Calcule a e b positivos na equação da reta ax + by = 6 de modo que ela passe pelo ponto (3. (D) R$ 43. em cada corrida.8°C. 50°F. calcule f(f(2)). 100°C.7°C. Em um dia de verão.066.00 por dia de aluguel.00. Uma outra locadora B cobra. o par (x. seu valor daqui a 6 anos e 4 meses será aproximadamente: (A) R$ 43. 14°F.000.000. pelo mesmo modelo de carro. Seja n o número de dias que um cliente pretende alugar este carro: a. Para que valores de n é preferível a empresa A? b. (D) 1 . Uma locadora A de automóveis cobra R$90. 03.00 e estima-se que daqui a 4 anos seu valor seja R$ 42.00 por mês e o de C diminui R$ 2.00 mais R$80.00. pode-se completar adequadamente a tabela a seguir com os seguintes valores aproximados ou exatos. Exercícios de Aprofundamento 01.40] (imagem do intervalo [30. Admitindo-se que o valor do imóvel seja função do 1o grau do tempo (medido em anos e com valor zero na data de hoje).40]). o preço a ser pago não ultrapasse R$ 120.50 por dia extra.500. em uma corrida. Após n dias o valor cobrado pela empresa BETA passa a ser maior do que o cobrado pela empresa ALFA. Uma professora de ensino médio recebe x reais por hora-aula na escola pública em que trabalha. (E) z = 100x. 10. (E) 50. O valor de n é: 364 (D) 45. (A) 25. (B) –32°C. 5 9 a. 168°C. O saldo devedor de B diminui R$ 6. Se x e y representam a mesma temperatura. 125 02. 2 (A) z = 5x. Calcule f(100) b. (C) 5. Celsius 07.Matemática I – Módulo 6 04. 90 °F.20 mais R$ 0. e sabendo que existe uma relação linear entre as duas escalas de temperaturas.y) pertence a relação {( x . A empresa BETA cobra R$ 15. Vol.00.166. escreva a expressão que relaciona P com x. A partir de quantos meses (contados de hoje) o saldo devedor de B ficará menor que o de C? 09. o valor fixo de R$ 3.00 fixos pelos primeiros 30 dias de uso e R$ 1. As empresas ALFA e BETA alugam televisores do mesmo tipo.00 pelos primeiros 20 dias de uso e R$ 1. Esta professora ministra 20 (vinte) horas-aula por semana e seu salário mensal é calculado sobre 5 (cinco) semanas. Determine o número máximo de quilômetros rodados para que.00. Seja x uma temperatura medida em graus Celsius e y uma temperatura medida em graus Farenheit. (B) R$ 43.366.00 por mês. Qual deveria ser o valor fixo cobrado pela locadora B.00. (E) R$ 43. (B) z = 5x + 20. Sabendo-se que f(x) é uma função linear e que f(–1) = 5. 42 °F. Um motorista de táxi cobra.00. Indicando por x o número de quilômetros rodados e por P o preço a pagar pela corrida.80 por quilômetro rodado.466. y ) ∈ R 2 : x y − 32 = }.00 por dia extra. b. (C) z = 20x + 5. (A) 50. Utilizando o fato de a água congelar a 0° Celsius ou 32° Fahrenheit e ferver a 100º Celsius ou 212° Fahrenheit. (D) –18. 20°C. a. conforme o gráfico abaixo. 05. . os termômetros variaram de 30°C a 40°C (temperatura mínima e máxima).000. Um terreno vale hoje R$ 40.00 por dia de aluguel de um certo carro. (C) 40.266. 25 (B) 25.00. um valor fixo de R$210. (D) z = 25x. (C) 32°C. Calcule f[30. para que B fosse preferível para n > 27 dias? 06. (B) I e IV. uma altura igual a: q f p 0 x Com relação a f(x) pode-se afirmar que: I. Um botânico mede o crescimento de uma planta. (D) III e IV. III. o navio Virgínia II sofreu uma fissura no casco. em centímetros. (C) 25 dias. O gráfico abaixo descreve o crescimento populacional de certo vilarejo desde 1910 até 1990. b. em minutos. Sendo A a área ocupada pela mancha após 5 minutos do início do vazamento. Considere que a mancha provocada pelo vazamento tenha a forma de um disco circular de raio R e que o raio cresce em função do tempo t. (B) 150. todos os dias. Com base nessas informações. A declividade da reta é dada por p. Em um acidente no litoral brasileiro. (C) 15. II. Estão corretas as afirmativas: (A) I e II. 05. a planta terá. 720 m3 de água. colocados por ele. (D) 28 dias. diariamente.Exercícios de função afim M ódulo 7 Matemática I Baseado nos dados do gráfico.000 m3 em: a. (D) 30. 04. qual é a massa (em gramas) de 30 cm3 de álcool. o reservatório perde. no trigésimo dia. calcule A . Apresentamos a seguir o gráfico do volume do álcool em função de sua massa. em um gráfico.0) 2 40 massa (g) 10 30 50 70 90 3a Série / Pré-vestibular 365 . 81π Exercícios Contextualizados 03.000 m3 de água e. Se x > p. IV. receberá 25 m3 de água por hora. O reservatório de água que abastece certa cidade está com 6. está representado o gráfico da função f(x). 10 8 6 4 (0. durante os próximos 40 dias. atingindo um dos tanques que continha óleo cru. Durante esse período. altura (em cm) (A) 20 dias. Ligando os pontos. (C) II e III. A função f(x) é crescente. a população é dada em milhares de habitantes. resulta a figura abaixo. (E) 6. (A) 5. 0 5 10 y tempo (em dias) Se mantida sempre essa relação entre tempo e altura. a uma temperatura fixa de 0°C volume (cm3) 50 (40. (B) 24 dias. No eixo das ordenadas. A lei da função apresentada no gráfico. é correto afirmar que o volume de água do reservatório se reduzirá a 3. q representa o termo independente da função f(x). 2 1 02. então f(x) <0 . (E) 30 dias. Na figura.50) 01. obedecendo à relação R(t) = 16t +1. determine: Exercícios de Fixação 01. 4 (A) f (x) = 5 x + 28 . por exemplo. vendidas na barraca do Sr. a empresa tem um custo fixo anual de R$ 96. estavam marcados os números 36. (B) 100. a outra parcela é variável. respectivamente. o movimento diminuiu e o preço do quilograma de batatas também diminuiu. o custo variável por camisa é R$ 40. corresponde a gastos com aluguel. teria sido arrecadado um valor V na venda de 80 kg. salários. o contribuinte está isento do imposto. Determine a partir de quantos minutos.Matemática I – Módulo 7 a. Uma fábrica produz óleo de soja. (D) R$ 6. em relação ao lucro de 2009. O valor mais próximo de x é: (A) 120. A moeda de um país é o “liberal”. arrecadado com essa venda.. em quilogramas. ambos em função do número de litros comercializados. Em 2009. 38.400. a reta r1 representa o custo de produção e a reta r2 descreve o faturamento da empresa. e 1. Devido ao aluguel e a outras despesas fixas que não dependem da quantidade produzida. de modo que toda a produção é comercializada.000. Observe que a partir de 1960 o crescimento da população em cada década tem se mantido constante. b. manutenção de equipamentos. II. independente do volume produzido. Determine em que década o vilarejo terá 20.000 l no eixo das abscissas. 2 (C) f (x) = 05. 04. Se o preço não diminuísse. (E) R$ 24.000. (C) R$ 3. y representa o valor. em reais. que o vendedor determinava o número do calçado do cliente medindo seu pé com uma régua na qual.15 vezes R. Determine. (D) 60. paga-se uma assinatura de R$ 50..000.00 a unidade. 03. Uma parcela fixa. Uma operadora de celular oferece dois planos no sistema póspago. paga-se um valor fixo de R$ 40. O custo de produção é composto de duas parcelas. Suponha que essa taxa se mantenha inalterada no futuro. R > $24.00 para até 50 minutos em ligações locais e. Se R ≤ $24. Além do custo fixo. Para dobrar o lucro em 2010. em reais.000. calculada da seguinte maneira: I. chamados custos variáveis. 37. (C) 80. b. 4 5 x − 28 (B) f (x) = .50. A escala é tal que uma unidade representa R$ 1. (E) 40. Determine a função (f(x)) que nos dá a numeração do calçado em função do tamanho do pé em centímetros (x).000 habitantes. 2 5 x − 28 (D) f (x) = . No gráfico abaixo. a. 06.600. o custo de cada minuto em ligações locais é de R$ 1. . dependente da quantidade de óleo fabricado. 5 x + 28 . (e esses números estavam igualmente espaçados). . Determine o percentual de V que corresponde à perda causada pela redução do preço. x representa a quantidade de batatas. tais como matéria-prima. 07. e que seus números são 32 e 42. b. Sabe-se que Augusto e Bárbara têm pés medindo 20 e 28 cm. etc. A partir das 12 horas.200. Calcule a redução percentual do preço do quilograma de batatas a partir das 12 horas.25. em ligações locais. Uma pequena empresa fabrica camisas de um único modelo e as vende por R$ 80. Calcule o valor da conta em cada plano para um consumo mensal de 30 minutos em ligações locais. Determine o valor fixo P: (A) R$ 1.00 e cada minuto em ligações locais custa R$ 0.00 no eixo das ordenadas. 02. o custo correspondente à parcela fixa. b. indicado por $. 2 60 80 x a. a partir de 50 minutos. sob encomenda.00. a quantidade vendida em 2010 terá de ser x% maior que a de 2009. 366 Vol. a empresa lucrou R$ 60. No gráfico abaixo. Determine o volume mínimo de óleo a ser produzido para que a empresa não tenha prejuízo. obtendo-se I.000. em uma sapataria.000 habitantes. (B) R$ 2. em vez de centímetros. em um dia de feira. e do valor obtido subtrai-se um valor fixo P. João observou. calcula-se 0. Custódio.00.00. respectivamente. No plano B.000. Determine em que década a população atingiu a marca de 5. a empresa tem que arcar com custos que dependem da quantidade produzida. No plano A. o plano B deixa de ser mais vantajoso do que o plano A.000. y 90 72 r2 90 0 r1 40 10 80 a. O imposto de renda I é uma função contínua da renda R. Seja f uma função real de variável real que satisfaz a condição  2002  f ( x ) + 2f   = 3 x . Em que ano.000 f 810 y R$ 510. possam ser aproximados mediante funções polinomiais do 1o grau. na região Nordeste? Dê a resposta aproximando o número de anos.00 0 400 300 Cesta básica 100 1 2 3 4 5 no de bolsas confeccionadas 100 Com base nos dados acima. (C) Pelo menos 1 bolsa. (D) 4. y (reais) 2. é correto afirmar que Luiza obtém lucro se. o salário mínimo tem crescido mais rapidamente que o valor da cesta básica.00 R$154. a partir de 2005. (A) No mínimo 2 bolsas. b.Exercícios de função afim 08. (B) 2. ƒ(x) = ax + b. a. 02. contribuindo para o aumento do poder aquisitivo da população. as evoluções anuais dos valores do salário mínimo e dos preços da cesta básica. na Região Nordeste. para x > 0. 09. Dada a função f: Z → Z (Z é o conjunto dos números inteiros) x − 1.00 200 0 c x Suponha que. No gráfico abaixo. aproximadamente. na Região Nordeste. (E) 0. Determine o valor de f(2). Determine as funções que expressam os crescimentos anuais dos valores do salário mínimo e dos preços da cesta básica. um salário mínimo poderá adquirir cerca de três cestas básicas. a partir de 2005. em que x representa o número de anos transcorridos após 2005. se x é par número de soluções da equação f(2x) = f(x) é igual a: (A) 1. (B) Exatamente 3 bolsas. Exercícios de Aprofundamento 01. (D) No mínimo 4 bolsas.00 500 10 Salário mínimo R$300. se x é ímpar definida por f ( x ) =  podemos afirmar que o  x + 1. O gráfico abaixo ilustra o crescimento do salário mínimo e do valor da cesta básica na Região Nordeste. vender: R$ 184. Nos últimos anos. Luiza possui uma pequena confecção artesanal de bolsas. (C) 3.  x  Anotações ____________________________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________ 3a Série / Pré-vestibular 367 . a reta c representa o custo total mensal com a confecção de x bolsas e a reta f representa o faturamento mensal de Luiza com a confecção de x bolsas. ao inteiro mais próximo. após 2005. e somente se. 1 Estudo do gráfico O gráfico da função do 2o grau é uma parábola cujo eixo de simetria é perpendicular ao eixo das abscissas Ox. A parábola representativa da função quadrática ƒ(x) = ax2 + bx + c terá concavidade voltada para cima quando a > 0 e concavidade voltada para baixo quando a < 0.com/rocketegg Imagine que dois automóveis. a. Isso significa que um corpo que viaja 3 vezes mais rápido bate 32 = 9 vezes mais forte. úteis na modelagem matemática de diversas situações cotidianas. 368 Vol. b. 1. um viajando a 40 km/h e o outro a 120 km/h. 1. 2 . não? Neste módulo estudaremos em detalhe as chamadas funções quadráticas. dá vontade de pensar que o impacto deste veículo vai ser três vezes mais forte. c ∈  e a ≠ 0. Função quadrática y Chama-se função do 2o grau ou quadrática toda função polinomial ƒ:  →  definida por ƒ(x) = ax2 + bx + c. Como um dos veículos está andando três vezes mais rápido que o outro.Função quadrática M ódulo 8 Matemática I Você sabia que o dano causado pelo impacto da batida de um automóvel não é proporcional à sua velocidade? ©iStockphoto. como a vista acima. O coeficiente do termo do 2o grau. c). mais “fechada” será a parábola. colidem cada um contra um poste. também afeta a forma da parábola. x a<0 concavidade para baixo O ponto em que a parábola corta o eixo das ordenadas é o ponto (0. Ec = mv temos que a energia é diretamente 2 proporcional ao quadrado da velocidade do corpo. quanto maior o módulo de a. Impressionante. em que a energia cinética de um corpo varia quadraticamente com a sua velocidade. y a>0 concavidade para cima x y = x^2 y = 2*x^2 y = (1/2)*x^2 Diferentes valores de a. com a. Assim. certo? Errado! Como a energia cinética de um corpo é dada pela 2 fórmula. v P1 P2 x ∆>0 e a<0 II. Raízes (ou zeros) da função quadrática A equação do 2o grau x v Valores de x reais para os quais ƒ(x) = 0.Função quadrática y A parábola é obtida cortando-se um cone por um plano paralelo à geratriz (a geratriz é a reta oblíqua ao eixo. Por isso.1 Análise do sinal do discriminante I. ∆=0 e a<0 2.2 = y −b ± ∆ 2a v x na qual ∆ = b2 − 4 ac é chamado discriminante do trinômio do 2o grau. o cone é um sólido de revolução. a equação terá duas raízes reais e distintas. y Cone e parábola (geogebra). que ao se rotacionar forma o cone). ∆=0 e a>0 2. a equação não terá raízes reais. Se ∆ < 0. Se ∆ = 0. y eixo de simetria ∆>0 e a>0 P1 P2 v x ∆<0 e a>0 v x 3a Série / Pré-vestibular 369 . utiliza-se a fórmula de Bhaskara: x1. obtendo-se assim a equação do 2o grau: ax2 + bx + c = 0 Para resolver a equação acima. y III. a equação terá duas raízes reais e iguais. Se ∆ > 0. as raízes de uma equação do 2o grau da forma ax2 +bx +c = 0. Raízes positivas S>0eP>0 Raízes negativas S<0eP>0 Raízes de sinais contrários P<0 .Matemática I – Módulo 8 Dividindo ambos os membros por a. como vimos acima. em que a ≠ 0. do produto e da diferença entre as raízes sem que seja necessário resolver a equação. b Soma das raízes: s = − a c Produto das raízes: p = a ∆ Diferença das raízes: | x 2 − x 1 | = | a| x12 + x 22 = x12 + 2 x1 x 2 + x 22 − 2 x1 x 2 = ( x1 + x 2 ) − 2 x1 x 2 2 x12 + x 22 = s2 − 2 P Soma dos inversos das raízes 1 1 x1 + x 2 S 1 1 S + = = ⇒ + = x1 x 2 x1 − x 2 P x1 x 2 P 2. a equação possuirá duas raízes reais distintas. 3. temos: Para entendermos a resolução de inequações do 2o grau. Obs. a expressão se igualará a zero. Estudos dos sinais Soma dos quadrados das raízes 370 Substituindo –b/a pela soma das raízes e c/a pelo seu produto. É interessante notar também que. são: y = a[x2 –(x1 +x2) · x +(x1 · x2)] −b − ∆ −b + ∆ x1 = e x2 = 2a 2a Efetuando a fatoração encontramos: A partir dessas expressões. possui raízes cuja soma é S = –b/a e o produto é P = c/a.2 Obtenção da equação a partir de suas raízes A equação do 2o grau da forma ax2 +bx +c = 0. vem: x2 – Sx + P = 0 2. em que a ≠ 0. Vamos realizar essa análise para D > 0.1 Análise dos sinais das raízes A análise de sinal da soma e do produto das raízes da equação do 2o grau possibilita identificar o seu sinal. a equação pode ser escrita: y v x ∆<0 e a<0 x2 + b c x + =0 a a Substituindo as expressões da soma e do produto. na forma fatorada. 2 y = a · (x – x1) · (x – x2) Isso significa que é possível fatorar um trinômio do 2o grau conhecendo-se as suas raízes. Chamamos a forma y = ax2 +bx +c de trinômio do 2o grau com a ≠ 0 e ∆ ≥ 0. precisamos estudar primeiro a análise dos sinais das raízes e da função.3 Forma fatorada Obs. não será possível fatorá-lo em um produto de fatores reais do 1o grau. vamos obter expressões para o cálculo da soma.: Se o trinômio não possuir raízes reais. pode-se escrever: b c  y = a ⋅  x2 + x +  a a  Relações entre coeficientes e raízes Como visto acima. Vol.: Sempre que os coeficientes a e c possuírem sinais contrários. cujas raízes são x1 e x2 (que podem ser iguais). caso no qual a equação possui duas raízes reais distintas. se substituirmos x por uma das raízes. Colocando-a em evidência. 3. a função será positiva fora das raízes e nula nas raízes.24 ≥ 0. f(x) < 0 x2 f(x) < 0 f(x) > 0 f(x) > 0 f(x) > 0 x f(x) < 0 x x2 Esse estudo de sinais serve de referência para a resolução das inequações do 2o grau. +∞[v Isso também pode ser observado com o auxílio dos diagramas abaixo: f(x) = x2 + 5x – 24 f(x) < 0 f(x) > 0 x x 3 –8 Isso está representado nas figuras a seguir: Se D < 0 x –8 Sinais de f(x) + 0 3 – 0 + x 3 –8 f(x) ≥ 0 3a Série / Pré-vestibular 371 . logo. Solução: Raízes reais distintas ⇒ D > 0 Raízes positivas ⇒ S > 0 e P > 0 f(x) > 0 f(x) > 0 x x1 – x2 Se D > 0 1 D = (2m + 1)2 -4 · (m . temos 0 < m < 1 que é a resposta do problema. D = 52 .1) · m > 0 ⇒ 8m + 1 > 0 ⇒ m > − 8 S=− P= x f(x) < 0 f(x) < 0 b −( 2 m + 1) 1 = >0 ⇒ − < m<1 a m −1 2 x1 x1 c m = >0 ⇒0<m<1 a m −1 Fazendo a interseção dos três intervalos obtidos. 1: Resolva a inequação x2 + 5x .Função quadrática Se D = 0 Ex.: x1 – x2 Determinar os valores de m na equação do 2o grau (m . Inequações do 2o grau Após o entendimento da análise de sinais.4 · 1 · (-24) = 121 > 0 −5 + 11 −5 − 11 =3 = −8 e x 2 = 2 2 Como a = 1 > 0. S = ]-∞. D<0 D=0 D>0 f(x) tem sempre o sinal de a f(x) é nulo em x = –b/2a e tem o sinal de a nos outros valores reais de x f(x) tem o sinal de a fora das raízes e sinal contrário ao de a entre as raízes x1 = Sinal do trinômio: y = ax2 +bx +c de raízes x1 e x2 D<0 D=0 a<0 ∀x∈ y<0 a>0 ∀x∈ y>0 a<0 ∀x∈ y≤0 a>0 ∀x∈ y≥0 x < x1 ou x2 < x y<0 x 1 < x < x2 y>0 x < x1 ou x2 < x y>0 x 1 < x < x2 y<0 a<0 D>0 a>0 Solução: Basta considerar a função f(x) = x2 + 5x -24. 4. a parábola tem concavidade voltada para cima. Ex.2 Sinal do trinômio do 2o grau A análise dos gráficos acima permite realizar o estudo de sinal do trinômio. -8] ∪ [3. O primeiro passo é determinar as suas raízes.1)x2 + (2m + 1)x + m = 0 para que as raízes reais sejam distintas e positivas. vejamos alguns exemplos de resolução de inequações quadráticas. 3. As raízes do trinômio são 1 e 3. a < 0. Nesses casos é necessário efetuar algumas transformações na inequação antes de efetuar o seu estudo de sinal. -x2 + 4x -3 ≤ 0 para x ≤ 1 ou x ≥ 3. 5]. 5: Resolva a inequação: x2 + x + 1 < 0. Como a = 1 > 0. montar um quadro de estudo de sinais: + R1 = R2 –6 Logo. Resolver D = 0: O trinômio possui raiz dupla igual a -6. Logo. a solução será S = (-∞. As inequações quociente são inequações da forma g( x ) A sua resolução é feita montando-se um quadro de estudo de sinais de f(x) e g(x) e verificando o sinal do quociente 3 f( x ) em g( x ) cada intervalo e também para a condição de existência g(x) ≠ 0.2) · (1 .Matemática I – Módulo 8 Ex. . ou seja. 372 Vol. selecionar os valores para os quais o quociente assume valores positivos ou nulos. S =  . 4: Resolva a inequação: x2 +12x +36 > 0. e somente se. S = {x ∈  | x ≤ 1 ou x ≥ 3} Ex. +∞). Método do quadro de sinais Solução: As raízes do trinômio são -1 e 2.2 < 0. A sua resolução baseia-se no estudo dos sinais de f(x) e g(x). D < 0.1 Inequações: produto e quociente As inequações produto são inequações da forma f(x) × g(x) > 0. Entretanto. x2 +12x +36 > 0 se. S=∅ 4.x . 2[ Ex. 2 x<–2 –2 –2 < x < 5 5 x>5 5–x + + + 0 – x+2 – 0 + + + (5 – x) · (x + 2) – ∃ + 0 – + Devemos. As inequações tratadas até aqui envolvem sempre a comparação de expressões com zero. S = ]-1. seu estudo de sinal é: Vamos.x) ≤ 0 Vamos inicialmente montar um quadro de estudo de sinais: + R1 – –1 R2 + Logo. a solução será S = (-2. Como a = 1 . Como a = -1.: Resolver (x . o que pode ser feito facilitado montando-se um quadro. novamente. 1] ∪ [2. seu estudo de sinal é: Ex.x) assume valores negativos ou nulos.2 < 0 para -1 < x < 2. não há valor de x tal que x2 + x + 1 < 0. 3: Resolva a inequação: -x2 + 4x . Assim. nem sempre as inequações são apresentadas assim.2)·(1 . então. ou seja. 2: Resolva a inequação: x2 . x -x . f( x ) > 0.{-6} Ex.3 ≤ 0. x ≠ -6. logo o trinômio não possui raízes reais (e possui sempre o sinal de a = 1 > 0.: 5− x ≥0 x+2 Ex. Logo. Assim. a > 0. Lembrando que não são admitidos valores nulos no denominador. seu estudo de sinal é: R1 + 1 R2 – x=1 1<x<2 x=2 x>2 x–2 – – – 0 + 1–x + 0 – – – (x – 2) · (1 – x) – 0 + 0 – 2 2 – x<1 Devemos então selecionar os valores para os quais o produto (x . S = ]-2. vamos colocar as duas expressões no lado esquerdo e operá-las. Lembrando que não são admitidos valores nulos no denominador. inicialmente.C.M. pois ele influencia o sinal do quociente. -1[ ∪ ]-1/11. S = [-1.2) > 0 ⇒ x < 1 ou x > 2 S = {x ∈ R | x < 1 ou x > 2} Ex.Função quadrática Vamos. 2[ 3a Série / Pré-vestibular 373 .: 1 ≤2 Resolver x+2 1 1 1− 2x − 2 −2 x − 1 ≤2⇒ −2≤0⇒ ≤0⇒ ≤0 x +1 x +1 x +1 x +1 Essa última inequação pode ser resolvida usando as técnicas expostas anteriormente. ( x + 1) ( x + 2) 5 7 (1 − x ) ( 2 − x ) 3 Ex. como pôde ser notado no exemplo acima. Para que a mesma seja negativa. simplificar as potências. bastando realizar o estudo de sinal dos fatores menores e depois operar os seus sinais em cada intervalo. IMPORTANTE: Diferentemente do que acontece nas equações. +∞) Ex. Algumas inequações podem associar diversos fatores. devemos fatorar o denominador do lado direito. x3 + x2 -4x . bastando reter a solução x = -2. x +2 x +1 x+2 x +1 < ⇒ − <0 x −1 x −2 x −1 x −2 −3 ( x + 2)( x − 2) − ( x + 1) ( x − 1) <0⇒ <0 ( x − 1)(x − 2) ( x − 1)(x − 2) x< –1 –1 –1 < x < – 1/2 –1/2 x > –1/2 –2x – 1 + + + 0 – x +1 – 0 + + + (–2x – 1) · (x + 1) – ∃ + 0 – Devemos. 1: Resolver ( x + 1) ( x + 2) 5 7 (1 − x ) ( 2 − x ) 3 x +1 1–x 2–x ( x + 1) (1 − x ) ( 2 − x ) – (x . lembrando que no caso da potência para o fator pode ser desprezado. Essas inequações podem ser resolvidas da mesma forma que os casos simples já analisados. agora. a solução será S = (-∞. 3: Resolver 4 ≥0⇒ ( x + 1) ≥ 0 (1 − x ) ( 2 − x ) –1 –1 < x < 1 0 + + + + + 1 1<x<2 + + 0 – + + 2 x>2 + + – – 0 – 0 ∃ ∃ + – + 3 14 − 3 x 1 + < 3 x + 1 x2 − 4 x + x2 − 4x − 4 Inicialmente. -1[ ∪ [-1/2. basta que o denominador seja positivo. 4 Vamos.1)(x . 2: Resolver Inicialmente. então. passar todas as frações para o lado esquerdo e operá-las. +∞). então. x +2 x +1 < x −1 x −2 Vamos montar o quadro de estudo de sinal: x<–2 –2 –2<x<–1 –1 –1<x<–1/11 –1/11 –1/11<x<2 2 x>2 11x + 1 – – – – – 0 + + + x+1 – – – 0 + + + + + x+2 – 0 + + + + + + + x–2 – – – – – – – 0 + Q + ∃ – ∃ + 0 – ∃ + Vamos selecionar os valores negativos. Ex. selecionar os valores maiores ou iguais a zero.4 = (x + 1)(x +2)(x -2) Devemos. na resolução de inequações o denominador deve ser mantido após os cálculo do M. 3 14 − 3 x 1 − <0⇒ + x + 1 ( x + 2)( x − 2) ( x + 1)( x + 2)( x − 2) 11x + 1 <0 ( x + 1)( x + 2)( x − 2) ≥0 Agora deve ser montado o quadro de estudo de sinais: x<–1 – + + O numerador dessa fração é sempre negativo. 1[ ∪ ]2. selecionar os valores para os quais o quociente assume valores negativos ou nulos. Assim. tornando o sinal mais forte e pronto para ser decodificado. logo c < 0. c < 0 O ponto no qual a parábola intercepta o eixo das ordenadas é (0. logo a > 0. pois no gráfico há uma raiz positiva e uma negativa. e. d.2 + 3 = -3 Pelo Teorema de Bolzano existe pelo menos uma raiz entre 0 e 2. Vejamos algumas aplicações: → Antena parabólica É uma antena refletora utilizada para recepção de ondas de rádio ou televisão emitidas por um satélite. a + b + c < 0 ƒ(1) = a + b + c que no gráfico possui imagem negativa. os raios luminosos provenientes da lâmpada incidem num espelho parabólico e são refletidos paralelamente ao eixo de simetria. neste faróis. b < 0 A soma das raízes é –b/a. ac < 0 Pode-se verificar que ac < 0 associando os resultados de b) e c) ou considerando que o produto das raízes é dado por c/a que é negativo. A figura mostra o gráfico da função f(x) = ax2 +bx +c (a ≠ 0) f(x) Se um polinômio P(x) apresenta valores P(a) e P(b) tais que P(a) × P(b) < 0. logo ∆ > 0. b2 – 4ac = ∆ > 0 No gráfico. Como a > 0. Exemplo: P(x) = x3 .3 × 22 . b2 – 4ac a c ac b a+b+c Solução: a. c. b. A razão de seu formato parabólico deve-se a uma importante propriedade destas superfícies: toda onda que incide sobre ela converge para um único ponto (chamado foco). b. No gráfico esse ponto está na parte negativa do eixo Oy. f. como pode-se ver no gráfico abaixo: 5 x y 2 x 0 –2 0 –1 1 2 3 4 –2 A função quadrática possui muitas aplicações práticas. No gráfico pode-se observar que a soma das raízes é positiva. Recebe esse nome pois sua forma é obtida através da rotação de uma parábola em torno de seu eixo. f. .3x2 .x + 3 P(0) = 3 e P(2) = 23 .Matemática I – Módulo 8 Exercícios Resolvidos Teorema de Bolzano 01. 2 Analisando o gráfico. utilizando--se sobretudo da forma do seu gráfico: a parábola. pode-se observar que o trinômio do 2o grau possui duas raízes reais distintas. determine os sinais de: a. c. então a equação admite um número ímpar (pelo menos uma) de raízes reais entre a e b. a > 0 A parábola possui concavidade voltada para cima. → Faróis parabólicos Muito utilizados em veículos atualmente. De fato isto ocorre. e. d. 374 Vol. c). devemos ter b < 0. 2 O único gráfico que satisfaz essa condição é a opção A para a qual p > 0. III.1) para eliminar o denominador de forma incorreta. II. a interseção do gráfico da função quadrática com o eixo das ordenadas. Apresente a solução correta. Na primeira passagem o aluno multiplica ambos os lados por (x . um aluno apresentou a 01. Ao resolver a inequação x −1 seguinte solução: 2x + 3 > 5(x – 1) 2x + 3 > 5x – 5 2x – 5x > –5 – 3 –3x > – 8 3x < 8 8 x< 3 8 Conjunto solução: S =  x ∈ | x <  3  A solução do aluno está errada. (C) 8.5 unidades de área. (C) 8. (A) y 0 (D) y x 0 x Solução: a. 2x + 3 − 5x + 5 2x + 3 2x + 3 >0 −5 >0 ⇔ >5 ⇔ x −1 x −1 x −1 ⇔ (B) y (E) y 0 (C) y 0 x Solução: y = p · (x2 +x – 1) −1 ± 5 Raízes: x = . p ∈ R*. (D) 9. Além disso. (x – 5)4 ⋅ (2x – 7)3 ≤ 0 ⇔ x = 5 ou 2x . b. pois no caso de (x . a origem dos eixos cartesianos.Função quadrática 02. Assinale a opção que corresponde ao esboço que pode representar o gráfico da parábola de equação y = px2 + px – p. A soma dos x ∈  tal que. Solução: Letra B. 0). 3) e C(1. 3. a. Explique por que a solução está errada. (B) 11. x<1 1 1< x <8/3 8/3 x >8/3 –3x +8 + + + 0 – x –1 – 0 + + + (–3x+8)×(x–1) – ∃ + 0 – x x 0 −3 x + 8 >0 x −1 Selecionando os valores positivos: S = ]1. 0). 3a Série / Pré-vestibular 375 . ele elimina o denominador sem considerar que x deve ser diferente de 1. 0).5 unidades de área.1) negativo seria necessário inver ter o sinal da desigualdade. b.5 unidades de área. uma negativa e uma positiva.5 unidades de área. 2x + 3 > 5 . (x – 5)4 ⋅ (2x – 7)3 ≤ 0 é igual a: (A) 6. 8/3[ 02. o ponto D(–5. Calculando-se a área do triângulo cujos vértices são: I. 2. B(–1. (E) 10.obtém-se: (A) 6.5 ⇒ S = {0. 1. (D) 9. 5} ⇒ soma = 11 Exercícios de Fixação 01. (B) 7.5 unidades de área. Sabe-se que o gráfico de uma função quadrática passa pelos pontos A(–2.7 ≤ 0 ⇔ x = 5 ou x ≤ 3. (C) 40. Então. (B) –4. Em uma partida de futebol. (D) 50. (D) se a > 0. y y = f(x) 03. Assim sendo. Seja f(x) = ax2 +bx + c uma função real com duas raízes reais e distintas. o número y. O ponto A situa-se no eixo das ordenadas e o segmento AB é paralelo ao eixo das abscissas. como mostra a figura. Observe esta figura: y A b . que está a uma distância horizontal de 40 km de A. sua sombra se encontrava a 16 metros da linha do gol. (C) 11. em que y = –x 2 +6x –1. . então as raízes são menores que 1. (E) 60.30 m de altura interna. (D) .. (B) se a > 0. O gráfico do trinômio do 2o grau y = ax2 –10x + c é o que está representado na figura a seguir: y Na figura. no instante em que os raios solares incidiam perpendicularmente sobre o gramado. (C) Y B 2. de 2. então as raízes são maiores que 1.. (D) 15. A bola descreveu uma parábola e quando começou a cair da altura máxima de 9 metros. Após o chute de Chorão. o maior e o menor valor que f assume. 3. deve-se tomar k igual a: Xv 8 Yv 05. 2 16 m X .Matemática I – Módulo 8 02. (E) 17. A sombra da bola descreveu uma reta que cruzou a linha do gol. (A) 20. o jogador Chorão chutou a bola em direção ao gol. 2. (C) se a < 0. a a 01. Seja a função f: [2. é correto afirmar que: (A) se a > 0. 02. utiliza-se um outro míssil que se movimenta numa trajetória descrita. A representação gráfica do lance em um plano cartesiano está sugerida na figura abaixo: 06. 2 x) = g( B x A Desejando-se destruí-lo num ponto B. é correto afirmar que o comprimento do segmento AB é: (A) c.. então x = 1 está entre as raízes.8] definida por f(x) = x2 – 9x + 18. (B) 30. respectivamente. a Exercícios Contextualizados Pode-se concluir que a + c é igual a: (A) –9. é um número per tencente ao conjunto  = {1.30 m 9m x 376 Vol. 0 5 (B) - x –9 b c . para que ocorra a destruição no ponto determinado. então x = 1 está entre as raízes. Calcule a média aritmética entre f(u) e f(v).}? y 04. em que x é dado em km. tendo como trajetória o gráfico da função f(x) = – x2 + 70x. os pontos A e B estão sobre o gráfico da função de 2° grau y = ax2 + bx + c. segundo o gráfico da função g(x) = kx. Um míssil foi lançado acidentalmente do ponto A. 4. Sabendo-se que f(1) > 0. Para quantos números reais x. Considere os números u e v tais que f(u) e f(v) são. nenhum jogador conseguiu tocar na bola em movimento. (C) dentro do gol. cujo custo de fabricação é dado pela equação de uma reta crescente. a função lucro da empresa pode ser expressa como: (A) L(x) (B) L(x) (C) L(x) (D) L(x) (E) L(x) = = = = = –2x 2 + 228x – 448. Em um campeonato de foguetes de propulsão à água. o número de peças que torna o lucro nulo. b. O volume de água na piscina. a. Nessas condições. em minutos. (B) atrás do gol. c. decorrido desde o instante em que o forno é ligado. em graus Celsius.00 e a função venda de cada unidade x é dada por –2x2 + 229. para 0 ≤ t< 100 T(t)= 5  2 t 2 − 16 t + 320. na qual 7 7 os valores de x e y são dados em metros. (C) 128. (B) 108.96 08. A parábola abaixo representa o lucro mensal L (em reais) obtido em função do número de peças vendidas de um certo produto. seguiram uma trajetória parabólica e caíram no mesmo lugar. em muitas situações. 3a Série / Pré-vestibular 377 .84 –2x 2 +227. Com isto caiu em 12% o custo da produção de cada unidade produzida. e t é o tempo. igual a: (A) 100.Função quadrática A equação da parábola era do tipo: X2 Y =− +C 36 O ponto onde a bola tocou pela primeira vez foi: (A) na baliza. para garantir a qualidade do produto final e a economia no processo.76x – 441. o tempo de elevação dessa temperatura deve ser controlado. leva 20 horas para ser esvaziada. organizado por uma determinada escola. a despesa fixa é de R$ 7.75x – 441.84 –2x 2 + 229. Se não tivermos nenhum produto produzido. y 03. Determine a distância do centro do cesta ao eixo y. (D) antes da linha do gol. Oscar acerta o arremesso e o centro da bola passa pelo centro da cesta. (D) 130. em minutos. Calcule as constantes a e b. é dado pela função V(t) = a · (b – t)2 para 0 ≤ t ≤ 20 e V(t) = 0 para t ≥ 20. a empresa fez algumas demissões. Uma peça deve ser colocada nesse forno quando a temperatura for 48°C e retirada quando a temperatura for 200°C. para t ≥ 100  125 5 em que T é o valor da temperatura atingida pelo forno. o forno é programado para elevar a temperatura ao longo do tempo de acordo com a função 7  t + 20. 30]. t horas após o início do processo de esvaziamento. L (reais) 800 100 300 x (n de peças) o –1000 Determine: a. (E) 150. O tempo de permanência dessa peça no forno é. o número de peças que devem ser vendidas para que o lucro seja de R$ 350. 04. b. Em uma indústria de cerâmica. o(s) valor(es) de x que torna(m) o lucro negativo. 05.76x – 448. Uma piscina. 4 2 8 A trajetória do segundo colocado seguiu a lei y = − 25 x + 5 x sendo x e y medidos em metros. que está a 3 m de altura. é necessário o uso de fornos capazes de produzir elevadas temperaturas e.84. Oscar arremessa uma bola de basquete cujo centro segue uma 1 8 trajetória plana vertical de equação y = − x 2 + x + 2 . Tendo em vista uma crise financeira. x 07. Nos processos industriais. Se o primeiro colocado atingiu um metro a mais de altura. como na indústria de cerâmica. com inclinação dois e variável x. encontre a lei que exprime a sua trajetória. A empresa SWK produz um determinado produto x. Faça o gráfico da função V(t) para t ∈ [0. cuja capacidade é de 120 m3.76x – 448.00 –2x 2 + 227.84 –2x 2 + 228x – 441. 06. os foguetes que se classificaram em primeiro e segundo lugares partiram do mesmo ponto. 200 litros. (E) y < 0. x < x4. (B) 2. 378 2 ( ) As raízes da equação x 2 − 4 x − 2 = 0 são raízes da equação inicial. Por exemplo. (C) V – V – F. Um posto de combustível vende 10.48. para todo x real. em centímetros. x1 < x < x3. Suponha que x1 e x2 sejam as raízes reais da função y = ax 2 + bx + c e x 1 < x 2 . podemos afirmar que: + 50x – x 2 + 50x + x 2 – 50x – x 2 + 50x – x 2 – 50x + x 2 10. em centímetros.000 15. (B) V – F – V.Matemática I – Módulo 8 09. ( ) Todas as raízes da equação inicial são reais. do desconto dado no preço de cada litro. para todo x real. 02. b e c números reais dados com a < 0. foram vendidos 10. (C) y > 0. A parte interior de uma taça foi gerada pela rotação de uma parábola em torno de um eixo z. para todo x real. (E) 6. em R$. (C) 4. para cada centavo de desconto que concedia por litro.000 Exercícios de Aprofundamento 01. representa o vértice da parábola. 2 ( ) Agora marque a alternativa que apresenta a sequência obtida: (A) F – F – F. é: (D) 5.000 litros de álcool por dia a R$ 1. a altura do líquido contido na taça. (D) V – V – V.000 10. Nessas condições.000 15. em que c é a medida 2 da altura do líquido contido na taça.50 cada litro. Eixo de rotação (z) (A) y < 0. na figura. e V o valor. em centavos. ) − 3x − 2 − 3 x2 − 3x − 2 − 2 − x = 0 . Seu proprietário percebeu que. é dada pela lei f ( x ) = x − 6 x + C . arrecadado por dia com a venda do álcool. b −( 2 b + b2 − 4 ac ) e x4 = 2a 4a Sejam x3 = − Sobre o sinal de y. Considerando x o valor. para todo x real. localizado sobre o eixo x.000 15. conforme mostra a figura a seguir. para todo x real. no dia em que o preço do álcool foi R$ 1. (B) y < 0. ( ) O produto das raízes da equação inicial é 8. C (A) 1. eram vendidos 100 litros a mais por dia. x4 < x < x2. Sabe-se que o ponto V. no plano cartesiano da 3 2 figura. x1 < x < x4. então a expressão que relaciona V e x é (A) V (B) V (C) V (D) V (E) V = = = = = 10. x < x3. Sejam a. Julgue as afirmativas a seguir em relação à equação (x y (cm) 2 x (cm) V A função real que expressa a parábola. Vol. (D) y > 0. que contam para outros.Problemas de máximos e mínimos M ódulo 9 Matemática I Você sabia que. Um modelo possível para estudar a velocidade com que a notícia se espalha consiste em supor que essa velocidade é diretamente proporcional à quantidade de pessoas que já sabem do boato (quanto mais pessoas souberem da notícia. que contam para outros. Sendo assim. e a outra metade ainda não.com/skynesher Imagine que você decide espalhar pela sua escola o boato de que a direção decidiu aumentar em uma semana o período de férias do meio do ano. o momento em que o boato se propaga com máxima rapidez é quando metade dos alunos já sabem do boato. Para encontrar o valor do xv. yV) =  . porque há poucas pessoas que ainda precisam ser atingidas). o ponto médio das raízes determinará o domínio do vértice. mais pessoas vão espalhá-la) e também diretamente proporcional à quantidade de pessoas que ainda não sabem (pense que quando quase todo mundo já souber da notícia. é possível determinar a velocidade com que um determinado boato se espalha? ©iStockphoto. 2  b  b y v = axv2 + bxv + c = a  −  + b. Vértice da parábola: máximo e mínimo Portanto. ao qual chamaremos de x do vértice. De posse desses conhecimentos pode-se deduzir que. + ∞   4a  −∆   a < 0 ⇒ Im =  −∞.   2a 4 a  1. o boato se propaga pouco. ou simplesmente yv  − b −∆  V(xV. e assim o boato vai se propagando. basta calcular o ponto médio das raízes x +x xv = 1 2 = 2 (−b + ∆ ) (−b − ∆ ) + 2a 2a 2 −b 2a Fazendo f(x v) encontraremos a ordenada do vér tice que O que resulta em xv = chamaremos de y do vértice. usando um pouco de matemática. as coordenadas do vértice são: A parábola é uma curva simétrica em torno do eixo que contém seu vértice. 4a   3a Série / Pré-vestibular 379 .1 Máximos e mínimos ⇒ Se a > 0 → gráfico tem ponto de mínimo −b 2a  − b  −∆ =f =  2a  4 a Valor que torna mínimo: xmin = Valor mínimo: ymin ⇒ Se a < 0 → gráfico tem ponto de máximo −b 2a  − b  −∆ =f =  2a  4 a Valor que torna máximo: xmax = Valor máximo: ymax Isso permite identificar a imagem da função quadrática. 1. ou ponto que torna a função máxima ou mínima. Então você conta a falsa notícia para alguns amigos. ou simplesmente xv. ou valor máximo (ou mínimo) da função. Neste módulo serão apresentados os conceitos de vértice da parábola e de máximo e mínimo da função quadrática.  −  + c  2a   2a  O que resulta em yv = − ∆ 4a  −∆  a > 0 ⇒ Im =  . no problema mencionado acima. pedra. A = 2g sen2q for máximo. 2v o2 . Solução: Lembremos que o xv é dado por –b/2a. quando todos já sabem do boato.–1). Como a parábola é côncava para cima. pois a > 0. Este será máximo quando o dobro de xv. o conjunto imagem. Repare que. tem-se V = 0. x.v o2 . Para encontrar o xv basta encontrar –b/2a. a curva descrita pelo objeto é aproximadamente uma parábola. tiro de canhão) visanda alcançar a maior distância possível tanto na horizontal como na vertical.1 . a trajetória é parabólica. Dada a função f(x) = x2 – 4x + 3. Exercícios Resolvidos Lançamentos de projéteis Ao lançar um objeto no espaço (dardo. o que ocorrerá para 2q = 90°. ele também não se propaga. Como a abscissa xv do vértice desta parábola é dada pela média aritmética entre as raízes. tem-se também que . De forma análoga. Adotando a origem dos eixos no ponto de lançamento. temos 0+ P P = xv = 2 2 A conta acima indica que a velocidade de propagação do boato é máxima quando uma metade das pessoas já sabe do boato e a outra metade ainda não. o alcance será o sen2θ . que é – 1. Sob estas circunstâncias o ângulo de maior alcance horizontal é de 45 graus. calcule: a. a velocidade V de propagação do boato seria dada por uma equação do tipo V(x) = k . 2 − b −( −4) = =2 2a 2 . o valor de máximo ou mínimo. quando x = 0. 01. o vértice. onde x representa o número de pessoas que já sabem do boato e é uma constante positiva de proporcionalidade.v o2 − tgθ → xv = g g −2. se ninguém sabe do boato. se considerarmos que a resistência do ar não existe ou é pequena. que é uma função do 2o grau em x. logo. x 2 + tgθ . b.cos2 θ sen2θ . O gráfico da função acima é uma parábola com concavidade para baixo e raízes 0 e P. yv = f (xv) = 22 – 4 · 2 + 3 = –1 Logo. x . o vértice é V = (2. encontramos a equação da trajetória: y=− g . ou seja.v o2 2g Como o xv é o ponto médio entre as raízes. obtêm-se as seguintes equações x(t) = vo cosq · t y(t) = vo senq · t – (1/2) · g · t2 x( t ) Eliminando-se o termo t (substituindo t = na v o cosθ expressão de y(t). (P – x). porque não tem mais ninguém para atingir. Sendo assim. ⇒ q = 45°.cosθ . Considere que P seja o público-alvo do boato que se deseja espalhar (no texto motivador. então ele não se propaga. terá um valor mínimo. 45o Figura 1 – Lançamento horizontal 380 Vol. 2 2v o . o que é possível devido ao princípio da independência dos movimentos de Galileu.cos2 θ Por isso. P seria o total de alunos da sua escola). e decompondo os movimentos nos eixos x e y. para descobrir o yv basta calcular f(xv).∞). neste caso teremos: xv = E. econtrando-se xv = xv = senθ . O conjunto imagem é (–1. Então. ou seja.Matemática I – Módulo 9 O texto motivador aborda o fato de que um modelo possível para o estudo da velocidade de propagação de um boato consiste em pensar que tal velocidade é diretamente proporcional à quantidade de pessoas que já sabem do boato e também diretamente proporcional à quantidade de pessoas que ainda não sabem. c. quando x = P. 000. Em geral. B(-1. uma bola de futebol descreveu uma trajetória parabólica. (C) 8.5 unidades de área.000. x A B x a. Após uma cobrança de falta. (D) 9. da bola variava de acordo com o tempo t.5 unidades de área.000. 0). b. Na figura abaixo temos um quadrado de lado 8 cm. em que k é uma constante positiva característica do boato.000 pessoas. Um boato tem um público-alvo e alastra-se com determinada rapidez. 0). consequentemente de área 7. conforme mostra a figura. x (D) 6 cm.a. (B) 7. Considerando que a bola foi chutada do solo no instante t = 0 segundo e que a altura máxima atingida por ela foi de 4 m após 2 segundos do chute. II. P o público-alvo e x o número de pessoas que conhecem o boato. 02.5 unidades de área. 3).5 cm. Sabe-se que o gráfico de uma função quadrática passa pelos pontos A(-2.000.5 cm. em segundos. (E) 6.5 unidades de área. a função corta o eixo das ordenadas no ponto (0. Calculando-se a área do triângulo cujos vértices são: I. essa rapidez é diretamente proporcional ao número de pessoas desse público que conhecem o boato e diretamente proporcional também ao número de pessoas que não o conhecem. 3) e C(1. 3). 04. f(-1) = 3. Considerando o modelo anteriormente descrito. após o chute. em metros. Os três pontos indicados formam um triângulo retângulo de catetos 3 e 5. O gráfico da função também passa pelo ponto (-1. 0).5 u. se o público-alvo é de 44. (E) 44.000. 3a Série / Pré-vestibular 381 . Deseja-se recortar em cada quina da folha quatro quadrados iguais.5 unidades de área. Observou-se que a altura h. (C) 33. tem-se: R(x) = k ⋅ x ⋅ (P – x). (E) 10. ou seja. 0) e C(1. III. obtém-se: (A) 6. medindo 20 cm de largura por 24 cm de comprimento. sendo R a rapidez de propagação.5 cm. Determine: x D C Solução: Como o gráfico da função passa por A(-2. o ponto D(-5. Em outras palavras.Problemas de máximos e mínimos 02. então -2 e 1 são raízes da função que pode ser expressa como f(x) = a(x – 1)(x + 2). (B) 22. (B) 5 cm. a área sombreada. então a máxima rapidez de propagação ocorrerá quando o boato for conhecido por um número de pessoas igual a: (A) 11. Dispõe-se de uma folha de papel retangular. (C) 5. (D) 38. 0). a interseção do gráfico da função quadrática com o eixo das ordenadas. a origem dos eixos cartesianos. Exercícios de Fixação 01. a área máxima. Quanto deve medir o lado de cada quadrado para que a área da região colorida seja máxima? x x x x x x x (A) 4. qual a lei matemática que define esta função? (A) h(t) = – t2 + 4t (B) h(t) = – t2 –4t (C) h(t) = – 4t2 + 2t (D) h(t) = – 2t2 + 4t (E) h(t) = – 2t2 –4t 03. f(–1) = a(–1 – 1)(–1 + 2) = 3 ⇔ a = − 3 2 3 3 3 f ( x ) = − ⋅ ( x − 1) ( x + 2 ) = − x 2 − x + 3 2 2 2 Logo. (E) 144. Qual a alternativa que indica a altura máxima atingida por ele? (A) 2 m. (D) 1. (E) 1. sua altura em metros. onde t é a idade da árvore em 4+t anos e H. A representação cartesiana da função y = ax2 + bx + c é a parábola abaixo. O vendedor prevê um aumento de 30 unidades nas vendas para cada redução de R$ 5. (B) 136. Imaginemos que um destes fogos. D > 0 e c > 0 (D) a < 0. Para cercar os outros três lados. esta função é: (A) y = –t2 + 8t 1 (D) y = − t 2 + 2t 4 3 (B) y = − t 2 + 3t 8 1 16 (E) y = − t 2 + t 4 3 3 2 (C) y = − t + 6t 4 382 Vol. Sabendo que uma função quadrática expressa a altura y da bola em função do tempo t de percursso. (C) 0. a queima de fogos realizada pelo Sindicato dos Estivadores é uma das emocionantes homenagens prestadas à Nossa Senhora de Nazaré.00 no preço. (D) 106. 07.Matemática I – Módulo 9 05.se um muro preexistente no terreno. Esta atingiu altura máxima de 12 metros e voltou ao solo 8 segundos após o chute. Que preço de venda maximizará o lucro? 05. D > 0 e c > 0 (C) a < 0. (C) 154. 2 . Nessas condições. (D) 18 m.00 um vendedor estima vender 180 unidades de uma mercadoria que tem um custo de R$ 40.25. Para os outros lados iremos usar 400 metros de tela de arame.00.5. o batimento cardíaco máximo atingido será: (A) 90. (A) 1. lançado do solo. Um curral retangular será construído aproveitando. (D) 3. variou de acordo com o tempo t. (B) 5 m. conforme a lei h(t) = 10t – 5t2. em metros. por medida de economia. este tipo de árvore jamais ultrapassará a altura de: 03. Sabe-se que o beijo pode fazer você viajar sem sair do lugar e aumentar o seu batimento cardíaco. pode-se afirmar que: y O x (A) a < 0. (B) 0. Ao valor de R$ 100. (E) 20 m. relacionando idade dos alunos com média de beijos/dia. 02. Um menino chutou uma bola. D < 0 e c > 0 (B) a > 0. D < 0 e c < 0 Exercícios Contextualizados 01. (B) 15 m. 04. (C) 10 m. teve a ideia de fazer uma pesquisa nas escolas onde leciona. (C) 2.5. apresentou problemas e descreveu uma trajetória tal que a sua altura h. Tendo em vista esse gráfico. Para que a área do curral seja a maior possível.5. em segundos. (C) 16 m. (D) 15 m. Um botânico acompanhou o desenvolvimento de um tipo de árvore secular da Amazônia e relacionou o seu crescimento através 80 da expressão H( t ) = 20 − .50. de modo a produzir uma área máxima. Se considerarmos que a relação intensidade do beijo (i) e batimento cardíaco (B) pode ser representada pela função B(i) = –i2 + 16i + 90.00. Então o quociente de um lado pelo outro é: (A) 12 m. 06. no quadro da Talia. (B) 0. serão utilizados 600 metros de tela de arame. (E) 50 m. No Círio.75. (E) 1. Uma parede de tijolos será usada como um dos lados de um curral retangular.25. Um professor estava assistindo ao programa Zorra Total e ao ouvir a frase “VOU BEIJAR MUUUUIIIITO”. a razão entre as suas menor e maior dimensões será: (A) 0. (C) y = x2 – 10x + 25. que ocorre acima do ponto médio da base. (C) 4. y g(x) f(x) h(x) 2 x 2 0 j(x) (1) y = x2 + 2 (2) y = (x .5 m para passagem de pedestre. soltou uma bomba que caiu em queda livre formando uma trajetória parabólica. 5 → h(x) (D) 1 → g(x). 3 → j(x) 02. Se a bomba caiu 5 m distante do alvo. (B) y = x2 – 25. 4 → h(x). Sejam as funções f e g definidas em  por f(x) = x2 +ax e g(x) = -(x2 +bx) em que a e b são números reais. Rascunho 3a Série / Pré-vestibular 383 . (D) 6. (E) y = –10x2 + 50x – 60. Um avião sobrevoou um campo onde havia um alvo desenhado. (E) 8. Calcule a altura máxima que um veículo pode ter para que sua passagem pelo túnel seja permitida. As autoridades só permitem que um veículo passe por esse túnel caso tenha uma altura de. Considere que estas funções são tais que: f g valor mínimo ponto de mínimo valor máximo –1 <0 9/4 ponto de máximo >0 Então a soma dos valores de x para os quais (f o g)(x) = 0 é igual a: (A) 0.x2 (A) y = –x2 + 25. qual a função que descreve a trajetória da bomba? Exercícios de Aprofundamento 01. 5 → g(x) (C) 2 → f(x). Analise os gráfico abaixo e faça a associação mais adequada. com 10 m de largura na base e altura máxima de 6 m.2)2 (3) y = .Problemas de máximos e mínimos 08. (B) 2. A seção transversal de um túnel tem a forma de um arco de parábola. 3 → j(x). no máximo. 4 → j(x) (B) 3 → j(x). (D) y = –x2 + 10x – 25. 30 cm a menos que a altura mínima do túnel sobre as pistas para veículos. Quando estava exatamente 25 m acima do alvo. De cada lado são reservados 1. 2 → h(x). (4) y = x2 – 2 (5) y = (x + 2)2 (A) 1 → g(x). 09. 3 → f(x). e o restante é dividido em duas pistas para veículos. 2) × (x . em centímetros. Constatou-se que a lei de sobrevivência do lote de frangos era dada pela relação v(t) = a ⋅ t2 + b. o número inteiro n (tamanho do calçado) em função do comprimento c. (D) 1.4. Sabendo-se que o último frango morreu quando t = 12 meses após o início da experiência. 2 (B) x < . o valor fixo de R$ 3. (D) 24. tem-se n = [x]. O número real x satisfaz para x: (A) – 1 < x < 5 . Resolva.25 e n = [18.80 por quilômetro rodado.1 ou x > (C) x > 5 .Exercícios de função quadrática M ódulo 10 Matemática I Exercícios de Fixação 01. 05. (D) mais de 18 e menos de 20 árvores. o número mínimo de caixas que devem ser compradas é: Vol. Como resultado de uma pesquisa sobre a relação entre o comprimento do pé de uma pessoa.2}. Com a intenção de vender cada árvore ao preço de R$ 25. essa pessoa calça 38 ou mais. Resolva a inequação (x2 – x – 6) ⋅ (x – 1) < 0. determine o número do calçado correspondente a um pé cujo comprimento é 22 cm. Se c > 24 cm. que são vendidos em caixas com 36 unidades. . Exercícios Contextualizados 01. Um laboratório testou a ação de uma droga em uma amostra de 720 frangos. 2 5 2 (D) x < -1 03. Por exemplo.80 m.00. (C) 12. . do pé. (B) 100. (C) mais de 15 e menos de 18 árvores. em uma corrida. (B) 3. de 10% dos ladrilhos. se o comprimento do pé de uma pessoa é c = 24 cm. 4x − 3 >2. que pode ter o pé de uma pessoa que calça 38. x +2 x +4 04. (C) 2. 384 02. e o número (tamanho) do calçado brasileiro. (E) mais de 20 árvores. em cm. 04. então x = 18. Seja p :  →  dada por p(x) = (x . Carla obteve uma fórmula que dá. Nas feiras de artesanato de Belém do Pará. se c = 9 cm. (E) 22. em que v(t) é o número de elementos vivos no tempo t (meses). (E) 300. em média. Um motorista de táxi cobra. de lado 10 cm. em cada corrida. a quantidade de frangos que ainda estavam vivos no 10o mês era: (A) 80.1) × (x . Determine o número máximo de quilômetros rodados para que. (C) 120. 03. x +1 Assinale a alternativa em que estão incluídas todas as possibilidades 02. Pela fórmula. O número de soluções inteiras e não nulas da equação 2 2 n 2 n 2  n − 2  <  n  + 2 é:     (A) 16.25] = 19. no período natalino. Indicando por x o número de quilômetros rodados e por P o preço a pagar pela corrida. quantas deverá vender para obter lucro? (A) mais de 8 e menos de 12 árvores. (E) 0. Para que valores de x se tem p(x) ≥ 0? 05. é comum. Um artesão paraense resolveu incrementar sua produção. investindo R$ 300. por quebra durante a colocação. Uma parede.00 na compra de matéria-prima para confeccioná-las ao preço de custo de R$ 10. deve ser revestida por ladrilhos quadrados. (D) 220. Com base nessa fórmula: a. a venda de árvores de Natal feitas com raiz de patchouli. medindo 2. b. Determine o maior comprimento possível. em que x = 5/4 ⋅ c + 7 e [x] indica o menor inteiro maior ou igual a x.00 a unidade. então ela calça 37. 2 a.00. (B) 18.80 m por 1. b. a inequação x −4 x −2 < . escreva a expressão que relaciona P com x. (B) mais de 12 e menos de 15 árvores.3). em cm. o preço a ser pago não ultrapasse R$ 120. em  .{ . (A) 4. Considerando que há uma perda.20 mais R$ 0. Exercícios de função quadrática 06. O lucro máximo que essa empresa pode ter é de R$ 156. em minutos. (C) 5. III. no qual T é dado em graus Celsius e t. em segundos. considerando o período entre 3 e 5 minutos após o desligamento do forno. A luz emitida pelo foguete é útil apenas a partir de 14 m acima do nível do mar. Para o reflorestamento de uma área.000. conforme a figura. b e c números reais e que a < b < c. 2 < x < a. (E) 29. estão representadas as funções reais f(x) = x3 e g(x) = ax2 +bx +c. no qual o foguete emite luz útil é igual a: (A) 3. em metros. os lados de um terreno. Em uma operação de salvamento marítimo.000.t2 . Quanto maior for a venda mensal.00 y f g –6 x 0 Quais sentenças são falsas e quais são verdadeiras? 09. x > – a. x1 e x2. (D) 6. (E) a > 2.000 − 15t2.00 por aula dada. Em qual dos casos vale a desigualdade x 2 − ax − 2 a2 <0? x − ( a + 2) x + 2 a 2 (A) a < 0. No gráfico abaixo.00 mais R$ 20. (C) 31. 1 1 1 + + =0 x -a x -b x -c 3a Série / Pré-vestibular 385 . é descrita por h = 10 + 5t . (C) a > 2.00. varia com o tempo t.00. 07. 190 m 81 m 81 m Rio A quantidade mínima de rolos que deve ser comprada para cercar esse terreno é: (A) 6. A temperatura T de um forno. Considere que a altura h. após ser desligado. após seu lançamento. Considere a. de acordo com a expressão T = 1. no mínimo. a empresa terá um lucro superior a R$ 175. (B) a = 0. Certo professor tem a opção de escolher entre duas formas de receber seu salário: Opção A: um fixo de R$ 300.000. (D) 32. alcançada por este foguete. Obtenha a taxa de variação média de T. II O lucro obtido com a venda de 10 toneladas é de R$ 150. em que t é o tempo. Se a venda mensal for maior que 20 toneladas.00 por aula dada. (D) a > 2. x < 2a.00 (um mil reais). 03. 02. (D) 11. (B) 30. em que t é a quantidade de toneladas vendidas mensalmente e L (lucro) é dado na proporção de 1 (um) por R$ 1. x > 2a. Quantas aulas mensais. –a < x < 2. 08. com tela. o professor deve ministrar para que a opção B seja mais vantajosa? (A) 20. em segundos. a. maior será o lucro. determine o conjunto solução da inequação f(x) ≥ g(x). Prove que a equação abaixo possui exatamente duas raízes. em relação ao nível do mar. exceto o lado margeado pelo rio. IV. (B) 7. até atingir a temperatura ambiente.250. Sabendo que f(3) = g(3). foi lançado um foguete sinalizador que permaneceu aceso durante toda sua trajetória. O intervalo de tempo. podemos dizer: I. sem remuneração fixa. Uma empresa apresenta o lucro mensal de acordo com a equação L = − t2 + 25t. Cada rolo de tela que será comprado para confecção da cerca contem 48 metros de comprimento. (B) 4. ou Opção B: R$ 30. Exercícios de Aprofundamento 01. que satisfazem a condição: a < x1 < b < x2 < c. 10. Verifique o valor do tempo em que a temperatura atinge 50% de seu valor inicial. porém é o mesmo lucro obtido com a venda de 15 toneladas. (E) 12. deve-se cercar totalmente. Então. (C) 8. b. 2 .Matemática I – Módulo 10 Rascunho 386 Vol. sem precisar subir nela. x y A A’ r B B’ s C C’ t D D’ u Sendo. e ocorre quando a Lua fica posicionada entre a Terra e o Sol de modo a encobri-lo.. para que se entenda. Suas deduções basearam-se em hipóteses fundamentais da matemática. Ouvira dizer até que Tales era capaz de uma incrível façanha: podia calcular a altura de uma construção. a explicação desse fenômeno.com/Chrystal Henkaline ©iStockphoto. formando dois triângulos semelhantes. O eclipse é chamado de total. é fundamental que se conheça o conceito de semelhança de triângulos. parcial ou anular nos casos em que a Lua cobre totalmente o Sol. Supondo que se esteja em um ponto da Terra de onde se observa um eclipse solar total. do ponto de vista matemático. tangenciam também o Sol. Chamado para determinar a altura de uma grande pirâmide do Egito. dependendo do ponto da superfície terrestre de onde se esteja observando. r  s  t  u e x e y (retas transversais) Temos: AB A' B ' = BC B'C' = CD C'D' = AB + BC + CD A' B ' + B ' C ' + C ' D ' =K Por volta do ano 600 a. Portanto. parcialmente ou apenas o seu centro.Semelhança de triângulo M ódulo 6 Matemática II ©iStockphoto. segmentos proporcionais. Teorema de Tales Quando um feixe de retas paralelas é interceptado por duas transversais. mesmo hoje o conceito sendo demonstrado de forma diferente daquela época. por maior que fosse. deixando visível um anel de luz.com/angelinast ©iStockphoto. nas transversais. assunto que estudaremos neste módulo. o sábio grego Tales de Mileto fez uma viagem ao Egito.C. ele integrou a Matemática à lógica. 1. por isso ele é reconhecido também como o criador da Geometria Dedutiva. Onde K é a razão entre dois segmentos correspondentes. os segmentos de reta que partem desse ponto e tangenciam a Lua. O faraó já conhecia sua fama de grande matemático. a pirâmide de Quéops. 3a Série / Pré-vestibular 387 .com/Lucky-Photos Você sabe qual é a conexão entre semelhança de triângulos e eclipses solares? Eclipse solar é um raro fenômeno de alinhamento entre astros. o feixe determina. que parte de um dos vértices de um triângulo. B =N eC = P 1o ) A = M 2o ) a b c a+b+c = = = =K m n p m+n+ p Onde K é denominado Razão de Semelhança entre os triângulos ABC e MNP.com/Foxie_aka_Ashes Matemática II – Módulo 6 2.©istockphoto. em que apenas a altura H da pirâmide é desconhecida. a+b H Veja na figura abaixo: v b Tales baseou-se em uma ideia. AC AB sendo: BS − SC = BC vara a Temos: a a n p C N m P O ∆ABC ~ ∆MNP. nessa ordem. divide o lado oposto em segmentos (aditivos) proporcionais aos outros dois lados. A M b c B H 388 SC . . medianas. Vol.” A Temos: a a BS CS = ou BS = AB AB AC SC AC sendo: BS + CS = BC B C S Esfinge e pirâmide Como Tales procedeu: Situando-se a uma distância conhecida a da pirâmide. congruentes e seus lados homólogos (correspondentes) são proporcionais. Semelhança de triângulos Dois triângulos são semelhantes (mesma forma) se. 3. Ela é constante para dois quaisquer comprimentos correspondentes: altura. Teorema da bissetriz externa “A bissetriz externa. se: . Teorema da bissetriz interna “A bissetriz interna. bissetrizes. que par te de um dos vér tices de um triângulo. seus ângulos são. respectivamente. Tales contava com um dia ensolarado. Assim. divide o lado oposto em segmentos (subtrativos) proporcionais aos outros dois lados. o matemático grego pôde estabelecer a relação: b v = . conhecida ainda hoje como Teorema de Tales. 2 = BS S C 4. fincou no chão uma vara de altura v. extensão da sombra projetada pela vara. etc.” A a raio s do sol B caminho percorrido sombra projetada por Tales pela pirâmide Desse modo. calculou b. e somente se. Nessa equação. A B A’ C B’ O que é o número de ouro? O número de ouro. aparece a definição conhecida como razão áurea. proporcionais. ∆ = 5 e ϕ = 1± 5 2 O valor negativo. C’   A = A ' Se  ⇒ ∆ABC ~ ∆ A'B'C'  = B'  B 2o Caso: dois triângulos são semelhantes quando possuem um ângulo congruente entre dois lados. a outra −1 raiz é −ϕ pois −ϕ −1 ⋅ ϕ = − 1. é um número irracional. Denominamos razão áurea a razão em que um ponto P divide internamente um segmento AB . respectivamente. 1+ 5 2 AB = PA ⋅ ϕ 3a Série / Pré-vestibular 389 . É um dos números mais misteriosos que surgem em uma infinidade de elementos da natureza sob a forma de uma razão. ou seja. A ϕ= A’ 1+ 5 ≅ 1. também chamado de razão áurea. = ≅ 0. a Podemos calcular = ϕ ∴ a = ϕ b b Basta substituir os valores acima na proporção: a a+b a a b 1 = ⇔ = + ⇔ ϕ = 1+ ⇔ ϕ 2 − ϕ − 1= 0 ϕ b a b b a 3o Caso: dois triângulos são semelhantes quando possuem três lados. B C B’ C’  AB BC AC Se  = = = K ⇒ ∆ABC ~ ∆A ' B ' C '  A ' B ' B ' C ' A' C ' −ϕ −1 = 1+ 5 1 5 −1 . respectivamente. Em um dos livros da obra de Euclides. intitulada Os Elementos. de modo que: A A’ PA PB B C B’ C’  = B' B  Se  AB BC ⇒ ∆ABC ~ ∆A ' B ' C ' =   A' B ' B ' C ' = AB PA A P B Digamos que PA = a e PB = b. obviamente. congruentes. 618034 2 Como o produto das raízes dessa equação é (–1).Semelhança de triângulos 4. não convém. 618034 ϕ 2 2 O segmento PA é o segmento áureo de AB e ϕ = é o número de ouro.1 Casos de semelhança 1o Caso: dois triângulos são semelhantes quando possuem dois ângulos. então AB = a + b. Portanto. respectivamente. a > b . proporcionais. Matemática II – Módulo 6 Exercícios de Fixação O homem, durante anos, procurou a beleza perfeita, a proporção ideal e através da razão áurea criou o retângulo de ouro. Esse elemento influenciou a arte, a arquitetura, a música, etc. 01. O ponto P é interior a um segmento de reta, cuja medida é x = 2 m, e o divide em dois segmentos cujas medidas são y e z e satisfazem a relação y2 = xz. A razão x/y (denominada de número de ouro ou razão áurea) é igual a: −1 + 3 (A) 1 + 3 . (C) . 2 2 (B) 1+ 5 −1 + 5 . (D) . 2 2 02. Nesta figura, o quadrado ABCD está inscrito no triângulo AMN, cujos lados AM e AN medem, respectivamente, m e n: M Sua construção pode ser iniciada a partir de um quadrado de lado unitário. Passo a passo: - Dividimos o lado AB do quadrado ao meio no ponto E; - Rotacionamos o seguimento EC com o auxílio de um compasso e determinamos, assim, o ponto F na reta suporte de AB . - A partir do ponto F, definimos o Retângulo de Ouro AFGD. No ∆EBC, temos: 2 5 1 5 1+ 5 2  1 X 2 =   + (1) ⇒ x = , logo: AF = ϕ = + = 2 2 2 2 2 C 1 N Então, o lado do quadrado mede: (A) ( mn ) ( m + n) G (m 2 ( m + n) . . (C) 4 + n2  ( mn )  ) . (D)  . 2 8 03. Na figura adiante, as distâncias dos pontos A e B à reta r valem 2 e 4. As projeções ortogonais de A e B sobre essa reta são os pontos C e D. Se a medida de CD é 9, a que distância de C deverá estar o ponto E, do segmento CD , para que CÊA = DÊB? 1 x D A (B) D C B B A E 1 2 B 1 2 A F C x (A) 3. (B) 4. (C) 5. (D) 6. (E) 7. 390 Vol. 2 4 2 E D Semelhança de triângulos 04. Observe os dois triângulos representados na figura a seguir, onde os ângulos assinalados são congruentes. O perímetro do menor triângulo é: 05. O gráfico a seguir mostra a atividade de café, em milhões de toneladas, em certo município do estado do Paraná. 14 2 4 4 5 5 1990 1996 anos (A) 3. (D) 15 . 2 De acordo com o gráfico, é correto afirmar que, em 1994, a produção de café nesse município foi, em milhões de toneladas de: (B) 15 . 4 (E) 15. (A) 9,5. (B) 9. (C) 10,5. (D) 11. (E) 12,5. Texto para a próxima questão: Suzana quer construir uma piscina de forma triangular em sua casa de campo, conforme a figura abaixo (ilustrativa). (A) 10,00 m. (B) 13,33 m. (C) 16,67 m. (D) 20,00 m. (E) 23,33 m. Ela deseja que: – as medidas s e t sejam diferentes; – a área da piscina seja 50 m2; – a borda de medida s seja revestida com um material que custa 48 reais o metro linear; – a borda de medida t seja revestida com um material que custa 75 reais o metro linear. 02. Para melhorar a qualidade do solo, aumentando a produtividade do milho e da soja, em uma fazenda é feito o rodízio entre essas culturas e a área destinada ao pasto. Com essa finalidade, a área produtiva da fazenda foi dividida em três partes conforme a figura. (C) 5. Exercícios Contextualizados H pasto soja milho G D C B A F E Considere que: – os pontos A, B, C e D estão alinhados; – os pontos H, G, F e E estão alinhados; – os segmentos AH, BG, CF e DE são, dois a dois, paralelos entre si; – AB = 500 m, BC = 600 m, CD = 700 m e HE = 1980 m. t S 01. Ao conversar com o arquiteto, porém, Suzana foi informada de que já foi construída uma saída de água que fica a uma distância de 3 m da borda de medida t e a 7 m da borda de medida s. Para que a terceira borda da piscina passe por esse ponto, t deve ser aproximadamente igual a: Nessas condições, a medida do segmento GF é, em metros: (A) 665. (B) 660. (C) 655. (D) 650. (E) 645. 3a Série / Pré-vestibular 391 Matemática II – Módulo 6 03. Duas cidades X e Y são interligadas pela rodovia R101, que é retilínea e apresenta 300 km de extensão. A 160 km de X, à beira da R101, fica a cidade Z, por onde passa a rodovia R102, também retilínea e perpendicular à R101. Está sendo construída uma nova rodovia retilínea, a R103, que ligará X à capital do estado. A nova rodovia interceptará a R102 no ponto P, distante 120 km da cidade Z. R103 Y 06. A fotografia mostra uma turista aparentemente beijando a esfinge de Gizé, no Egito. A figura a seguir mostra como, na verdade, foram posicionadas a câmera fotográfica, a turista e a esfinge. posição da esfinge posição da turista d’ posição da câmera Z R102 a P x O governo está planejando, após a conclusão da obra, construir uma estrada ligando a cidade Y até a R103. A menor extensão, em quilômetros, que esta ligação poderá ter é: (A) 250. (B) 240. (C) 225. (D) 200. (E) 180. 04. Um telhado inclinado reto foi construído sobre três suportes verticais de aço, colocados nos pontos A, B e C, como mostra a figura ao lado. Os suportes nas extremidades A e C medem, respectivamente, 4 metros e 6 metros de altura. da medida do queixo da esfinge até o alto da sua cabeça. Considere que essas medidas, na realidade, são representadas por d e d’, respectivamente, que a distância da esfinge à lente da câmera fotográfica, localizada no plano horizontal do queixo da turista e da esfinge, é representada por b, e que a distância da turista à mesma lente, por a. A razão entre b e a será dada por: b d' b 2d ' (A) = (D) = a c a 3c b 2d ' (B) b = 2d (E) = a 3c a c (C) 6m 12m A 8m B C b 3d ' = a 2c 07. Uma folha de papel quadrada, ABCD, que mede 12 cm de lado, é dobrada na reta r, como mostrado nesta figura: (D) 5,2 metros. (E) 5,5 metros. N E 05. A figura representa um perfil de um reservatório d’água com lado AB paralelo a CD. x–2 D r C B x a b B A D A A altura do suporte em B é, então, de: (A) 4,2 metros. (B) 4,5 metros. (C) 5 metros. b Medindo-se com uma régua diretamente na fotografia, verifica-se 2 que a medida do queixo até o alto da cabeça da turista é igual a 3 R101 4m d M C Feita essa dobra, o ponto D sobrepõe-se ao ponto N, e o ponto A, ao ponto médio M, do lado BC. Se a é o menor primo e b é 50% maior que a, então, o valor de x é: É correto afirmar que, nessas condições, o segmento CE mede: (A) 4. (B) 6. (A) 7,2 cm. (B) 7,5 cm. 392 (C) 8. (D) 10. Vol. 2 (C) 8,0 cm. (D) 9,0 cm. como mostra a figura adiante. a S. o quociente QR é igual a: AR (A) 0.C. Determine a menor distância (d) que o carro pode ficar do ônibus de modo que o motorista possa enxergar o semáforo inteiro. O circuito triangular de uma corrida está esquematizado na figura a seguir: P Rua PQ T Av. respectivamente. (C) 20.4. finalmente. 2 (B) x + x – 1. Assim. sucessivamente. Na figura. por R.3. Partindo de S. Os moradores se reuniram e decidiram escorar os muros utilizando duas barras metálicas. (E) 15. o que significa dizer que EE’H’H é um quadrado e que os retângulos EFGH e E’FGH’ são semelhantes. Q. (C) 14. Assinale a opção que indica o perímetro do circuito.Semelhança de triângulos 08. a que altura do nível do chão as duas barras se interceptam? 9m 3m 3a Série / Pré-vestibular 393 . Atrás do ônibus para um carro.5 m. 10. (D) 22. 5m 1m 5m d 12 m (A) 13. (E) 0.0 m. cujo motorista tem os olhos a 1 m do chão e a 2 m da parte frontal do carro. (C) x2 – x – 1. R Q B Sendo AQ e BP bissetrizes interiores do triângulo ABC. retornando. (B) 14.35. T. (C) 0. (D) 0. (B) 0.5 km. conforme indica a figura a seguir.5 m. cada corredor deve percorrer o circuito passando. AB = 15 cm e BC = 14 cm. P. (B) 19.5. Veja a figura a seguir.45. um arquiteto grego que viveu no século quinto a. podemos afirmar que a razão da medida da base do Parthenon pela medida da sua altura é uma raiz do polinômio: (A) x2 + x + 1. dois muros paralelos em uma rua de uma cidade ficaram ligeiramente abalados. 01. Em uma rua. (D) x2 – x + 1. Phidias.0 m. construiu o Par thenon com medidas que obedeceram à proporção áurea. (A) 4. ABC é um triângulo com AC = 20 cm. As ruas TP e SQ são paralelas.5 m. um ônibus com 12 m de comprimento e 3 m de altura está parado a 5 m de distância da base de um semáforo. Exercícios de Aprofundamento 2m (D) 15. QR = 4 km R 02.5 km (E) 24. ou seja.0 km.5 km. Após um tremor de terra. o lado maior do primeiro retângulo está para o lado maior do segundo retângulo assim como o lado menor do primeiro retângulo está para o lado menor do segundo retângulo. A C P 09. Sabendo que os muros têm alturas de 9 m e 3 m.0 km. QR Rua SQ Rua TP Rua TS Q S Rua TS = 3 km Rua SQ = 3 km Rua PQ = 2 km Av.. o qual está a 5 m do chão. e que sua distância interocular é de 60 mm. (C) 4 m. diâmetro. Além disso. . Isto fez com que aparecesse a imagem de um homem com 3 m de altura. usada nas salas de cinema 3D. o projetor foi colocado a 12 m de distância da tela. a distância da tela em que ele verá a imagem virtual. localizado em X. raio.3 m. (E) 16 m. circunferências. (B) 3. a percepção de profundidade é possível devido a nossa visão binocular.7 m. o cérebro forma um “mapa” dessas diferenças. funciona com o uso de óculos polarizadores que filtram a imagem projetada na tela. apenas por seu olho esquerdo. tornando possível estimar a distância dos objetos em relação a nós.15 m 110 m Vol. A mais comum delas. de forma que as linhas de visão de cada um dos olhos se interseccionem em um ponto X. e o ponto B.6 m. trapézios. trapézio maior 11 m trapézio menor 9. podem ser observadas figuras geométricas. permitindo que cada olho receba somente a imagem correspondente. hexágonos e retângulos. há simetrias nas figuras geométricas. representando o que se observaria em uma situação real. triângulos isósceles. Texto para a próxima questão: Observando-se o campo de futebol da imagem 1. é aproximadamente: 75 m 16. resultado da junção em seu cérebro dos pontos A e B. 2 A triângulo equilátero 40. O observador verá apenas um único ponto. e sobre a tela são projetados dois pontos. Diversas tecnologias existem atualmente para conseguir isso. (D) 9 m. Ao interpretar essas imagens ao mesmo tempo. a uma distância de 30 cm um do outro. diagonais e arcos. 02. circunferência da área central B x (A) 6. a projeção resultou na imagem de um homem com apenas 2 m de altura. 3 jogadores de meio de campo e 3 atacantes) é um esquema muito ofensivo que os treinadores usam quando estão em desvantagem no placar ou precisam reverter algum resultado desfavorável. entre outros. conforme imagem 2. (C) 36 m. Em uma projeção de filme.3 m 11 m 394 Sabendo que a reta imaginária que passa por seus olhos é paralela àquela que passa pelos pontos A e B e estas distam 20 m entre si. A e B. Nessa nova sala. (D) 16. grande área imagem 1 triângulo isósceles imagem 2 triângulo equilátero Também se observam figuras geométricas nos diferentes esquemas táticos adotados pelos times. Os filtros polarizadores dos óculos fazem com que o ponto A seja visto apenas por seu olho direito. Assim. como: triângulos equiláteros. Quando olhamos para um ambiente qualquer. No esquema tático 4-3-3. segmentos de retas. A estereoscopia (popularmente conhecida como “imagem 3D”) é uma técnica que consiste em exibir imagens distintas para cada olho do observador. formada no ponto X. O esquema tático 4-3-3 (4 zagueiros. Em uma sala menor. identificam-se vários elementos geométricos: ângulos. cada um dos nossos olhos registra uma imagem de um ângulo ligeiramente diferente. Esse esquema foi muito utilizado no passado. a distância do projetor em relação à tela era de: (A) 18 m. (B) 8 m. Por estarem separados em média 65 mm em adultos. pontos.5 m Um observador está em uma sala de cinema 3D usando óculos polarizadores. quando a prioridade era jogar um futebol bonito chamado futebol-arte. com A à esquerda de B. o cérebro pode ser “enganado” a interpretar os objetos representados como se estivessem flutuando diante da tela ou atrás dela.Semelhança de triângulo – Exercícios M ódulo 7 Matemática II Exercícios de Fixação 01. conforme a figura. Certa vez. Tales. (B) 92. o segmento AB é paralelo ao segmento DF. Para calcular a altura da pirâmide. e J representam jogadores. y B A distância. conforme figura.8 metros.50. Artur fez um canteiro triangular composto por folhagens e flores onde as divisões são todas paralelas à base AB do triângulo ABC. Tales fincou verticalmente no solo uma estaca que ficou com altura de 1 metro acima do solo.. sem interferências de outros jogadores. e este para o jogador da posição D. I J A O C D E B H F G imagem 3 • • • • • • Na imagem 3. (B) 3. (D) 5. C. 03. (C) 148.2 metros. na sua parte mais elevada. Leia o texto a seguir. raios de sol estaca sombra da estaca • o segmento AB é perpendicular à reta CE.16 metro. (D) 925. B. em metros. temos que: o triângulo ABC é equilátero e o vér tice C per tence à circunferência. 30 04. 05. 2 (D) 1136 3 . em metros: (A) 284 3 . respectivamente. é válido afirmar que a altura da pirâmide. cuja base é um quadrado de 230 metros de lado. ao caminhar sobre a rampa.480. 30 (E) 953 3 .2 metros e alcançou uma altura de 0. 255 metros e 2.Semelhança de triângulos – Exercícios A imagem 3 apresenta o diagrama de um esquema 4-3-3. em metros. Um paciente. (E) 7. As medidas dos comprimentos da sombra da pirâmide e da sombra da estaca são. E e F pertencem ao lado do retângulo que representa a grande área. percebe que se deslocou 3.C. o segmento AB tangencia a circunferência. (C) 5.. então a medida do menor percurso que a bola pode fazer é. O jardineiro do Sr. visitou o Egito em viagem de negócios. uma altura de 2. o ponto E é o ponto médio do segmento DF. Nessa ocasião. ele assombrou o faraó e toda a corte egípcia. o ponto O é o centro da circunferência. que o paciente ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa é: (A) 1. Admitindo que os jogadores mantenham as posições do esquema tático 4-3-3 (imagem 3) e que o jogador da posição B chute a bola para o jogador da posição C. . foi também um próspero comerciante. estaca fincada verticalmente no solo comprimento da sombra da estaca A 35 cm x 20 cm 25 cm 40 cm 3a Série / Pré-vestibular 395 . vara de medir raios de sol altura da pirâmide metade da medida da base comprimento da sombra da pirâmide Com base nas informações do texto e das figuras.80. é: (A) 14.04 metros. 06.6 metros.0 metros.4 metros. 10 (C) 77 3 . os pontos D.. medindo a sombra da pirâmide de Quéops. A rampa de um hospital tem.5 metros. o grande matemático do século VI a. em que os pontos A. 5 (B) 433 3 . (E) 1. (B) 12 m. (B) 4. aproveitando a correnteza de um rio que passa próximo às suas instalações. (A) 160. as medidas x e y dos canteiros de flores são. Observando a figura e admitindo que as linhas retas r. respectivamente. (C) 50 cm e 30 cm. (B) 180. Um arquiteto projetou uma pequena ponte sobre um lago circular. 396 r 16 m 24 m barreira Q P Vol. O comprimento da parte do para-raios que o observador não consegue avistar é: rio (A) 16 m. e a frente do quarteirão I para a rua B mede 40 m a mais do que a frente do quarteirão II para a mesma rua.Matemática II – Módulo 7 Sendo assim. está instalado um para-raios. 250 m e 200 m. Uma alternativa encontrada por uma fábrica foi a de construir uma pequena hidrelétrica. pode-se afirmar que a barreira mede: 48 m M r 30 m s 56 m 2m t A distância do chão aos olhos do observador é 1. 2 D . pode-se afirmar que a medida. da frente do menor dos dois quarteirões para a rua B é: 10. (D) 220. A crise energética tem levado as médias e grandes empresas a buscarem alternativas na geração de energia elétrica para a manutenção do maquinário. 07. (C) 200. 08. (B) 38 m. (D) 8. (E) 240. (C) 8 m. 09. s e t sejam paralelas. No ponto Q sobre a reta r – que passa pelo centro da base do prédio e é perpendicular ao seguimento MN – está um observador que avista somente uma parte do para-raios. (E) 40 cm e 20 cm.6 m. (E) 20.8 m e o segmento PQ = 61. (E) 53 m. Sendo assim. (D) 48 m. (C) 12. (A) 33 m. as frentes para a rua A dos quarteirões I e II medem. Um prédio com a forma de um paralelepípedo retângulo tem 48 m de altura. em metros. (C) 43 m. O diâmetro (em metros) do lago mede: AC = 8 m BD = 12 m B Rua A I A II Rua B C (A) 22. respectivamente: (A) 30 cm e 50 cm. (D) 6 m. No centro da cobertura desse prédio e perpendicularmente a essa cobertura. (B) 28 cm e 56 cm. Sua projeção vertical coincide com um diâmetro cujos extremos distam 8 m e 12 m de um caminho reto tangente ao lago. (D) 56 cm e 28 cm. (E) 3 m. No desenho a seguir. um garoto fixa verticalmente no chão uma vareta de 14. AB = 8. Na figura a seguir. Junto à árvore. até o ponto P. bem abaixo do gavião. usando uma régua. AC = 6 e o lado BC foi prolongado.20 m A B 8 O comprimento do segmento PC é: B S P 0. um gavião casaca-de-couro. Os lados do triângulo valem AB = 6 cm. (D) 10. BC = 7. se ele voa verticalmente de A para B? (A) 7.80 m Q 13. no chão. semelhante ao triângulo PCA. Bem no topo de uma árvore de 10. na mesma reta vertical em relação ao chão. descobre que a sombra da vareta mede 36 centímetros de comprimento. coloca-se uma bola branca na posição B e uma bola vermelha na posição V. em cada colisão da bola branca com uma das bordas da mesa. os ângulos de incidência e de reflexão são iguais. Assumindo que. conforme o esquema a seguir. No triângulo ABC. o círculo de raio 1 cm rola da posição I para a posição F. (B) 8. Determine a distância percorrida pelo centro do círculo. observa atentamente um pequeno roedor que subiu na mesma árvore e parou preocupado no ponto B. (C) 9. AC = 8 cm e BC = 10 cm. A B 3a Série / Pré-vestibular 397 . Em uma mesa de bilhar.40 m x C V 7 6 1. a que distância x do vértice Q deve-se jogar a bola branca? 12.4 centímetros de comprimento e.2 metros de altura. que não se havia movido de susto. no ponto A da figura. 0. sempre tangenciando o cateto AC do triângulo retângulo ABC.Semelhança de triângulos – Exercícios 11.90 cm Deve-se jogar a bola branca de modo que ela siga a trajetória indicada na figura e atinja a bola vermelha. Calcule e responda: Quantos metros o gavião teve de voar para capturar o roedor. a sombra do gavião percorrer 16 metros em linha reta e ficar sobre a sombra do roedor. B I A F C Na posição I o círculo também tangencia AB e na posição F ele é tangente a BC. 14. P R 0. (E) 11. formando-se o triângulo PAB. como mostra a figura. Exatamente nesse instante ele vê. na cidade de Dubai. ∆ACH ~ ∆ABC ⇒ = ⇒ b = a⋅ m a b c n ∆AHB ~ ∆ABC ⇒ = ⇒ c2 = a ⋅ n a c b. com um pouco de conhecimento de matemática. serão apresentados os conceitos básicos da trigonometria. é capaz de chegar a este resultado? Embora seja muito difícil medir a altura de um prédio desta magnitude diretamente. como o apresentado no texto. torna-se simples quando se dispõe das ferramentas adequadas. Daí. c. Relações métricas no triângulo retângulo d. De posse dessas medidas auxiliares e utilizando o conceito de tangente. ∆ACH ~ ∆ABC ⇒ h b = ⇒ a ⋅ h = b ⋅ c c a 2. podemos concluir que: É o segmento que une os “pés” das perpendiculares traçadas dos extremos do segmento à reta. em vez de medi-la. Projeção ortogonal de um segmento sobre uma reta Observamos que os triângulos ABC. há outras medidas auxiliares que podem ser obtidas de forma bastante simples. e você verá como um problema aparentemente complexo. como a distância de um observador externo à base do prédio e o ângulo segundo o qual este observador enxerga a construção. e possui impressionantes 830 metros de altura! Você sabia que qualquer estudante de ensino médio. B A b m 2 a. ABH e AHC são semelhantes. 2 n a B Elementos: a – hipotenusa b. pode-se calcular a altura do prédio.Relações métricas no triângulo retângulo M ódulo 8 Matemática II Você sabe quanto mede o edifício mais alto do mundo? ©iStockphoto.com/VPMadhu O arranha-céu Burj Khalifa foi inaugurado em 2010.: a = m + n  b2 = a ⋅ m  2 c = a ⋅ n b2 + c2 = a( m + n ) ⇒ a2 = b2 + c2 a . Neste módulo. Teorema de Pitágoras r A’ B’ A b C 398 m c h H Vol. c – catetos h – altura m. ∆ACH ~ ∆AHB ⇒ h m = ⇒ h2 = m ⋅ n n h A ' B ' – Projeção do segmento AB sobre a reta r. 1. n – projeção dos catetos sobre a hipotenusa Obs. Aplicações do Teorema de Pitágoras l x+R x–R Aplicando Pitágoras.1 Diagonal do quadrado l l d 2 = l2 + l2 d l d 2 = 2l 2 4R 5R d = 2l 2 ⇒ d = l 2 l 3R 3a Série / Pré-vestibular 399 . Os Babilônios possuíam tabletes de barro. observou os conhecimentos matemáticos de cada localidade. Simplesmente empregavam para resolver problemas práticos. temos: (x + R)2 = x2 + (x – R)2 ⇒ x = 4R Logo. nasceu na Ilha de Samos (559 a.2 Altura do triângulo equilátero O matemático grego. Os egípcios utilizavam uma corda com 13 nós igualmente espaçados e com ela faziam um ângulo reto. Pitágoras. l2 4 l 2 = h2 + O Teorema de Pitágoras l h l 4 h 2 = 3l 2 h2 = 3l 2 4 h= 3l 2 l 3 ⇒h= 4 2 l 4. Observou também que os egípcios e os babilônios já conheciam métodos de traçar ângulos retos. Durante suas viagens. 4R e 5R).1 Triângulos esquadros Com ângulos de 30° e 60°. Com ângulos de 45°.C. 3. Durante boa parte de sua vida viajou bastante. isto é. possivelmente. 30° l 3 2 45° l l 2 45° 60° l l 2 Plimpton 322 4. até na Índia.).480 a. Esteve no Egito e na Babilônia e. com a razão R > 0 e x + R sendo a hipotenusa. x e x + R os lados de um ∆ retângulo. os lados medem (3R. x 3.C. que continham ternos Pitagóricos. Triângulos especiais 4.Relações métricas no triângulo retângulo 3. lados de um triângulo retângulo. A grande contribuição de Pitágoras e da Escola Pitagórica fundada por ele foi a de provar esse teorema.2 Triângulos com os lados em progressão aritmética Sejam: x – R. a princípio não se preocupavam com a prova dessas relações. você encontra a relação de valores de seno. 8. Escolha dois números inteiros positivos m e n com m > n e considere: A secante de um ângulo agudo é a razão entre a hipotenusa e o cateto adjacente ao ângulo. c) = 1.D. o terno (a. ^ cotg B = c b cotg ^ C= b c 30° 45° 60° sen 1 2 2 2 3 2 cos 3 2 2 2 1 2 tg 3 3 1 3 a Vol.c) é um terno pitagórico. 4. 39). kb. 36. 12. 13). 4 e 5. Ângulos notáveis 5. (15.b. 5. assim. Não primitivos: A O cosseno de um ângulo agudo é a razão entre o cateto adjacente ao ângulo e à hipotenusa.b.Matemática II – Módulo 8 Como descobrir triângulos retângulos cujos lados tenham medidas inteiras? Nós sabemos que um triângulo com os lados medindo 3. M.b. Ex: (3. podemos utilizar a Fórmula de Platão. 10). Relações trigonométricas no triângulo retângulo c ^ cos B = A cossecante de um ângulo agudo é a razão entre a hipotenusa e o cateto oposto ao ângulo. C . (ka. 2 cos ^ C= Na tabela abaixo. Para encontrarmos os ternos Pitagóricos. a = m2 + n2 Observe que (a. b e c) com a > b e a > c e que atendam ao Teorema de Pitágoras (a2 = b2 + c2). para qualquer escolha de números inteiros m e n. é um triângulo retângulo. 5). 12 e 13. cosseno e tangente. b = m2 – n2. b. sen ^ B= b a sen ^ C= c a A tangente de um ângulo agudo é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente ao ângulo. temos as seguintes relações: 400 b a ^ cossec B = a b cossec ^ C= a c A cotangente de um ângulo agudo é a razão entre o cateto adjacente e o cateto oposto ao ângulo. que é um conjunto de números inteiros positivos (a. em todo triângulo retângulo. (a. Esse terno é chamado de Terno Pitagórico. ^ tg B = II. Tais medidas aparecem com muita frequência. mas existem outros triângulos retângulos cujos lados são números inteiros positivos. a c a ^ sec C = b sec ^ B= Recordamos que. dos ângulos chamados: ângulos notáveis. kc) com k inteiro maior que 1. (a. 24 e 25. Primitivos: os três números são primos entre si. pois: b + c2 = (m2 – n2)2 + (2mn)2 = m4 + n4 + 2m2 n2 = (m2 + n2)2 = a2 2 E. (5. Estes conjuntos de números podem ser: I.c) é pitagórico. B b c a 6. c = 2mn. b c c tg ^ C= b Ex: (6.c) O seno de um ângulo agudo é a razão entre o cateto oposto ao ângulo e à hipotenusa.C. 7. Triângulo equilátero Sendo A o apótema do polígono e L o lado do polígono. temos: 7. A3 = R O Triângulo equilátero 2R L3 = 2 R 3 60° R 30° R O R R 60° 2 30° M R 3 2 R 2 l3 = R 3 a3 = 3 Quadrado O R Quadrado 45° 2 A 4= R L4 = 2R R 45° R O R 2 45° R 2 45° M R 2 2 R 2 2 l4 = R 2 a4 = Hexágono regular O Hexágono regular 2R 3 30° 3 R A6 = R L6 = 2R 3 3 60° O R 3 30° R 2 60° M R 2 R 3 2 l6 = R a6 = R 3 3 3a Série / Pré-vestibular 401 .Relações métricas no triângulo retângulo 7. temos: Apótema = distância do centro do polígono regular a qualquer um dos lados. podemos deduzir claramente as relações métricas nos polígonos regulares abaixo.2 Polígonos circunscritos Aplicando as propriedades dos triângulos esquadros. Relações métricas nos principais polígonos regulares 7.1 Polígonos inscritos Sendo a o apótema do polígono e l o lado do polígono. Ele quer determinar a largura do rio que corta a região e por isso adotou os seguintes procedimentos: marcou dois pontos. fixou um aparelho de medir ângulo (teodolito) de tal modo que o ângulo no ponto B seja reto. R = 12 cm.5.707. As medidas dos lados de um triângulo retângulo formam uma P. percorrendo o trajeto PFGHQ. 02. é igual a: (A) 8. 4 4 uma medida de 9 (C) . em cm. (B) 4 3 . sen 60° = 0. (B) O cosseno do menor ângulo agudo é 0. (C) 12 metros. (E) 4. Na figura a seguir.5 metros. (E) O menor ângulo agudo desse triângulo mede 30°. e obteve B O segmento BP mede. BC 01. (B) 10 metros. marcou um ponto C distante 9 metros de B.A. 2 (D) 3 metros. a distância entre a bicicleta e o hidrante passou a ser: (D) 0. (A) 0. (E) . (D) . (C) (C) 16. Qual a distância total percorrida pelo feixe luminoso no trajeto PFGHQ? . (D) 16 2 . o valor de tg x é: 402 π ^ rad para o ângulo AC B. é igual a: (A) 2 3 . (E) 16 metros.5. 03. 04. (C) 0. o polígono ABPQ é um retângulo e os ângulos de incidência e reflexão são congruentes. 2 (B) 3 3 metros. (B) 0. Um tenente do Exército está fazendo um levantamento topográfico da região onde será realizado um exercício de campo. um feixe laser emitido no ponto P reflete internamente três vezes e chega ao ponto Q. 9 3 metros. (D) O maior ângulo agudo desse triângulo mede 60°. cujas medidas dos catetos são 10 cm e 10 3 . 2 4 (B) 7 5 . (B) 8 2 . (C) O seno do menor ângulo agudo é 0. O1 (A) 9 3 metros. Uma bicicleta saiu de um ponto em que estava a 8 metros a leste de um hidrante. No retângulo ABCD de lado segmento AP é perpendicular à diagonal BD. considere que o comprimento do segmento PB é de 6 cm.707. Vol. 3 C t (A) 8 metros.) (A) O seno do menor ângulo agudo é 0. C P Exercícios Contextualizados A 01. Se x é a medida do menor ângulo interno desse triângulo. (C) 8 3 . em cm. Considere um triângulo retângulo. o 05. em cm: 9 3 (A) . Assinale a alternativa errada: (Dados: sen 30° = 0.866. andou 6 metros na direção norte e parou.Matemática II – Módulo 8 Exercícios de Fixação = AB 3= cm.75. o do lado AB é de 3 cm. Em um aparelho experimental.45.6.8. cos 45° = 0. a = 30°) A medida do segmento AB. (D) 12 3 . R O2 A a B (Dados: BC = 4 3 cm.5. (D) 14 metros.866. (E) 0. As circunferências da figura abaixo são tangentes entre si e tangentes à reta t nos pontos A e B. 03. A (uma árvore que ele observou na outra margem) e B (uma estaca que ele fincou no chão na margem onde ele se encontra). Um triângulo isósceles inscrito em um círculo de raio igual a 8 cm possui um lado que mede 16 cm. Assim. 4 Qual foi a largura do rio que ele encontrou? 02. como se indica em cada ponto da reflexão interna. A medida dos outros dois lados do triângulo. D 7 cm. A escadaria a seguir tem oito batentes no primeiro lance e seis no segundo lance de escada. (D) 1. (D) 30°. consiste em uma estrutura composta por dois triângulos isósceles congruentes. ferramenta utilizada para levantar carros. 3a Série / Pré-vestibular 403 .x 2 (C) 16 . 30 5 cm (A) 75°. (B) 15 cm. (E) 15°. MN = x dm. de modo que o comprimento da base MN possa ser alterado pelo acionamento desse parafuso. e por um parafuso acionado por uma manivela. N B 04. AMN e BMN. qual o maior ângulo. Um modelo de macaco. (B) 60°. (C) 45°. Q y M (C) 16 cm.4 x 2 D (B) 64 . de y em função de x corresponde a: (A) 16 . no formato de hemisfério. em relação à horizontal. O valor. 15 (C) 29 .Relações métricas no triângulo retângulo B H P G 05. Um recipiente. Considere as seguintes medidas: AM = AN = BM = BN = 4 dm. 10 (B) 14 . Observe a figura: A A F (A) 12 cm. em que ele pode ser inclinado até que o líquido alcance a borda. antes de começar a derramar? B 20 cm A Sabendo que cada batente tem 20 cm de altura e 30 cm de comprimento (profundidade). a tangente do ângulo CÂD mede: (A) 9 .2 x 2 2 E C 06. (D) 18 cm. contém um líquido que tem profundidade máxima de 5 cm. AB = y dm. em decímetros. Sabendo que a medida do diâmetro do recipiente é de 20 cm.4 x 2 2 (D) 64 . Matemática II – Módulo 8 07. veem. conforme indicado na figura a seguir. em metros. 1o Tracejou na metade da folha e marcou o ponto M. Abílio (A) e Gioconda (G) estão sobre uma superfície plana de uma mesma praia e. (C) 9. 09. (C) 120 ( 3 + 1). Renan usou uma folha retangular de dimensões 30 cm por 21 cm e dobrou conforme o procedimento abaixo descrito. A M B (A) 60 ( 3 + 1). sob respectivos ângulos de 30° e 45°. (D) 180 ( 3 – 1). conforme mostra figura abaixo. A M B h 21 cm 45° 30° D C 30 cm 3o Em seguida. (B) 6 2 . (E) 4. A M F E 404 Vol. O. ponto mais alto de um poste. no chão. (C) 5 e 6. conforme é representado na planificação abaixo. de onde vê a coruja. P A 30° 45° G 240 m Considerando desprezíveis as medidas das alturas de Abílio e Gioconda e sabendo que. pode-se afirmar então que a medida do deslocamento AB do rato. B G D E D M G P O Q R E N F A B P O rato se desloca em linha reta até o ponto B. é igual a: (A) 6. (C) 3. em relação ao solo. agora sob um ângulo de 45° com o chão e a uma distância BR de medida 6 2 metros. (E) 180 ( 3 + 1).8. em um dado instante. 08. no solo. (D) 9 2 . Q. a base do fundo da caçamba distará 1. é um número entre: (A) 3 e 4. localizado em sua par te traseira inferior. Uma coruja está pousada em R. (D) 6 e 7. Com base nessas informações. R 2o D o b r o u a f o l h a movendo os pontos A e B para o ponto E. a distância entre A e G era de 240 m. R na figura resultante. Brincando de dobraduras. a uma altura h do ponto P. (B) 120 ( 3 – 1). P. isto é. dobrou a folha movendo os pontos C e D para F e G. Segundo esses procedimentos. Ela é vista por um rato no ponto A. é: (A) 4. em centímetros.8) A altura. B e P alinhados e desprezando-se a espessura do poste. atingida pelo ponto P.4. estando os pontos A.8. (D) 4. um pássaro (P) voando. (B) 4 e 5. quando os segmentos de retas r e s coincidirem. quando o ângulo de giro a for máximo. Quando na posição horizontal.0. (B) 5. em metros. .0. então a quantos metros de altura o pássaro distava da superfície da praia? (Dado: cos a = 0.2 m do solo. sob um ângulo de 30°. 10. Ela pode girar. pode-se afirmar que a medida do segmento MR . A caçamba de um caminhão basculante tem 3 m de comprimento de seu ponto mais frontal P até seu eixo de rotação e 1 m de altura entre os pontos P e Q. no máximo. respectivamente. a graus em torno de seu eixo de rotação. 2 C C 4o Marcou os pontos N. naquele instante. mediu a distância entre B e C. que representa um quadrado ABCD. Gustavo está no ponto A de uma floresta e precisa ir para o ponto B. então. calcule a largura do rio. O rio está representado pela reta r na figura abaixo. ele identificou dois pontos. A. Porém. mostrado a seguir. antes. Calcule a menor distância que Gustavo pode percorrer. O topógrafo.Relações métricas no triângulo retângulo Exercícios de Aprofundamento 01.) 02. B e C. obtendo 20 metros. 03. precisa ir até o rio para beber água. a 300 m e 600 m do rio. Rascunho 3a Série / Pré-vestibular 405 . D M C A N B O jogo consiste em montar. de papel. O retângulo PQRS. Usando como referência uma árvore. que está na margem oposta. no qual M e N são os pontos médios de dois de seus lados. tais que os ângulos A^ BC e A^ CB medem 135° e 30°. ele está com muita sede e. P S Q R r B Calcule a razão A PS PQ . Esse quadrado foi dividido em quatro partes para formar um jogo. A distância entre os pontos A e B é de 500 m. resolve o problema proposto no jogo. (Dado: 3 ≈ 1. com todas essas partes. respectivamente.7. Considerando-se o exposto. na margem na qual se encontra. Um topógrafo deseja calcular a largura de um rio em um trecho onde suas margens são paralelas e retilíneas. Sabe-se que o ponto A e o ponto B estão. respectivamente. Observe a figura a seguir. um retângulo cuja base seja maior que a altura. (D) 30° ou 60°. 5 2 (B) . A 60° B α C 60° D E F Se na figura. o retângulo ABCD tem lados que medem 6 e 9. Na figura abaixo. AD = 3 2 e CF = 14 6. BP 2 = 9. Exercícios Contextualizados 01.5° ou 67. 406 Quem viaja no bondinho do Pão de Açúcar. respectivamente. (B) 20° ou 70°. O perímetro deste triângulo. 3 (E) 8 . com ângulo reto em B. sendo que BP é a altura de ABC com relação  é: ao vértice B. é: 03. e o segundo parte do morro da Urca até o Pão de Açúcar. a medida do ângulo ACB (A) 15° ou 75°.5°. percorre dois trechos: o primeiro vai da Praia Vermelha até o morro da Urca (segmento PU da figura a seguir). Em um triângulo retângulo ABC. então a medida de AB é: 6 (A) 8 6 (B) 10 6 α D C 9 (C) 12 6 (D) 28 (E) 14 5 Se a área do paralelogramo sombreado é 6. AC2 = 48.Relações métricas no triângulo retângulo – Exercícios (parte 1) M ódulo 9 Matemática II Exercícios de Fixação 01. (C)22. 5 4 (D) . Calcule o valor da altura desse triângulo em relação à hipotenusa. em cm. 3 9 podemos afirmar que o ângulo b formado pelos segmentos PU e PM indicados na figura: Vol. Os lados iguais de um triângulo isósceles têm comprimento 3 cm e os ângulos congruentes medem 30°. Nessas condições. o cosseno de α é: 3 (A) . 4 05. (A) 2 3 + 3 A B (B) 2 3 + 2 (C) 8 3 (E) 3 3 02. Sabendo que o segmento PM e a altura do morro da Urca 4 5 equivalem a e a da altura do Pão de Açúcar. Considere um triângulo retângulo em que um dos catetos mede 6 e a projeção do outro sobre a hipotenusa mede 5. (E) 45°. 9 3 (C) . 04. 2 . conforme ilustração abaixo.445 (D) 3. 3a Série / Pré-vestibular 407 . Com base nesses dados e mantendo a mesma trajetória. para que a estação de bombeamento fique a uma mesma distância dos dois reservatórios de água das vilas. a escada passou a fazer um ângulo de 45° com o piso horizontal. de forma que o topo da escada ficou a uma altura de 4 m.375 0. metros.407 0. Duas vilas da zona rural de um município localizam-se na mesma margem de um trecho retilíneo de um rio. e as distâncias desses reservatórios ao rio. Refeito do susto. (B) está entre 22° e 23°.875 m. respectivamente. de modo que fosse possível ver o mesmo ponto P da praia.000 m. onde deverá ser construída a estação de bombeamento. no entanto.913 0. (B) 1000 3 m. 3 (C) 2000 m.775 m.934 0. após deslizar. está mostrado na figura a seguir. Um desenho do projeto. ao chegar ao ponto B. sob um ângulo visual 2α. (E) 2000 3 m. a distância entre os pontos A e S deverá ser de: U (A) 3.391 0.925 m.825 m.404 23° 0. Mantendo o barco no mesmo sentido. solicitando a construção de uma estação de bombeamento de água para sanar esses problemas. A distância entre a parede da casa e o muro equivale a: ANTES parede • Os pontos R1 e R2. Roberto encostou uma escada na parede de sua casa. representando os reservatórios de água de cada vila. (D) é maior que 24°. a base da escada escorregou por 1 m. localizado na margem do rio.384 22° 0.921 0. (C) está entre 23° e 24°.927 0. 03.Relações métricas no triângulo retângulo – Exercícios (parte 1) Com base nesses dados.424 24° 0. Para trocar uma lâmpada. Para determinar a distância de um barco até a praia. proposto pela prefeitura para a construção da estação. 02. entre os pontos A e B. a rio parede muro 2a Trajetória do barco B Suponha que o navegante tenha medido o ângulo α = 30º e. mediu o ângulo visual α fazendo mira em um ponto fixo P da praia. Roberto reparou que. Enquanto Roberto subia os degraus. localizados na margem do rio. 3 (D) 2000 m. A figura ilustra essa situação: P A 1 km A S B 4 km R1 45° + 1 metros. a menor distância do barco até o ponto fixo P será: 4 km R2 (A) 1000 m. estão destacados: DEPOIS (A) 4 (B) 3 (C) 4 (D) 3 3 2 3 2 muro 04. −1 metros. ele seguiu até um ponto B. (C) 3. (E) 3. tocando o muro paralelo à parede.975 m. Pão de Açúcar Morro da Urca b P Praia Vermelha M Ângulo Seno Cosseno Tangente 21° 0. • Os pontos A e B. verificou que o barco havia percorrido a distância AB = 2. Devido a problemas de abastecimento de água. • O ponto S. No projeto. um navegante utilizou o seguinte procedimento: a partir de um ponto A. mais próximos dos reservatórios R1 e R2. −2 metros. (B) 3.358 0. os moradores fizeram várias reivindicações à prefeitura. escada escada (A) está entre 21° e 22°. . Cada tronco é um cilindro reto. numerosos lugares de peregrinação xintoístas e budistas abrigam tabuletas matemáticas chamadas de Sangaku. o Sr. A ecotelha é uma telha ondulada produzida com material reciclável. Uma folha de papel retangular foi dobrada como mostra a figura abaixo.arq..Matemática II – Módulo 9 05. (D) 0.. No Japão.. (B) 25 cm2. F A E Adaptado de: <www.7. em metros.84 m. (E) . A figura a seguir. como tubos de pasta de dentes.5 m. tem área igual a: Considerando que as ecotelhas serão colocadas de modo a revestir o retângulo BCDE.br>. Após retirar as telhas velhas. João planejou a colocação das novas telhas. cujo raio da base mede 0. além de ter custo acessível e substituir. 6 cm (A) 24 cm2. Entre outras características. o perigoso cimento-amianto. D B O C Sabendo que seus diâmetros satisfazem as relações AB e DF = EC. que é a parte visível do verso da folha.8 4m h B 0.ufsc. que eram oferecidos aos deuses. sem ultrapassar as suas bordas. 408 Vol.7333. 2 . quase sempre geométricos. permite o isolamento térmico. a altura h. o Sr. 1+   4  3   (C) (1+ 7 ) . pode-se concluir que DF/OB é igual a: AO = OB = 2 (A) 0. optou por uma ecotelha. 08. tg 16° = 0.29.96. 4 cm 07. e sabendo que as dimensões da telha são 2. O Sr. Um lenhador empilhou três troncos de madeira em um caminhão de largura 2. a região sombreada. (E) 50. BC é paralelo a DE . onde estão registrados belos problemas. (C) 0. (D) . (A) AE é perpendicular a AB. D 06.5 m. não absorve umidade... é composta por cinco círculos que se tangenciam. ela apresenta elevada resistência à ação dos raios ultravioleta e infravermelhos. (B) 20.5 BE é paralelo a CD. que é uma variante de um exemplar de Sangaku.) (D) 40. (C) 30. Pesquisando nas lojas de material de construção. 4 a medida do segmento AB é 3. (D) 35 cm2. cos 16° = 0. (E) 0. (B) 0. De acordo com as medidas fornecidas.666.20 m C 3.20 m · 0. (A) 10. e como não havia necessidade de alterar a estrutura do telhado. 2009. conforme a figura a seguir.  E é 16°. AE é perpendicular ao plano ABC do teto. Acesso em: 2 set.28. em centímetros: (Dados: sen 16° = 0. João calculou que a medida do transpasse das telhas é. a medida do ângulo ABE (1+ 7 )  7 . é: E A 2. Logo. João precisa trocar as telhas da sua casa. (E) 36 cm2. A figura apresenta as características da estrutura do telhado e como as telhas serão dispostas. com vantagens.92 m transpasse • • • • • • 2.92 m. (C) 28 cm2.6555. 1+   3  2   (B)  7 (1+ 7 ) .65. os lados BC. Qual relação entre R e L o auxiliar técnico deverá apresentar de modo que a exigência de segurança seja cumprida? M T N Determine o raio do círculo C. G B E C Conhecidos a e b. (A) R ≥ L/ 2 . Exercícios de Aprofundamento 3 4 2 1 5 8 01.8 = 21.Relações métricas no triângulo retângulo – Exercícios (parte 1) 09. (B) R ≥ 2L/p. d3. é correto afirmar que a distância d3. respectivamente. No triângulo ABC a seguir. como na figura a seguir. 2 2 (D) d3. 2 2 10. Para que se providencie o equipamento adequado. é usual que estátuas sejam expostas sobre plataformas giratórias. (C) R ≥ L/ π. o auxiliar técnico do evento deve estimar a medida R do raio adequado para a plataforma em termos da medida L do lado da base da estátua. iguais a: (A) d3. (D) R ≥ L/2. determine o valor de c em função de a e b. A 7 D 6 Supondo que. d3. AC e AB medem. d5.8 = 3 + 2 3 .8 = .8 (entre as torres 5 e 8) são.5 = 3.8 = 4.8 = 4 + . d3. Rascunho 3a Série / Pré-vestibular 409 . (B) d3. d5.5 = . congruentes.5 = 3.5 = 3. Uma medida de segurança é que a base da escultura esteja integralmente apoiada sobre a plataforma. Veja a figura a seguir. o triângulo AEC é equilátero e ABCD é um quadrado de lado 2 cm. (E) d3. b e c. Considere C o círculo que contém os vértices P e Q do quadrado e o ponto médio do lado MN (ponto T).8 (entre as torres 3 e 8). d3.8 = 5. No estudo da distribuição de torres em uma rede de telefonia celular.5 = 9 3 3 . nessa figura.8 = 4 . d5. a distância d3. em km.8 = 4.8 = 2 3 . é comum se encontrar um modelo no qual as torres de transmissão estão localizadas nos centros de hexágonos regulares. 03.5 (entre as torres 3 e 5) e a distância d5. d5. Em exposições de artes plásticas. Seja MNPQ um quadrado de lado igual a 2 cm. o raio de cada círculo seja igual a 1 km. a. d5. As medianas AE e BD relativas aos lados BC e AC interceptam-se ortogonalmente no ponto G. (E) R ≥ L/(2 2 ). Na figura. no caso de uma base quadrada que será fixada sobre uma plataforma circular.8 = 2 3 . justapostos e inscritos em círculos. C Q P 3 3 3 3 (C) d3. 02. respectivamente. d3. E A D B C Calcule a distância BE. 20 m da obra e obteve um ângulo de 60°. marcou um ponto C distante 9 metros de B. em metros. Sabendo-se que a altura do teodolito corresponde a 130 cm. Uma rampa faz um ângulo de 30° com o plano horizontal. em metros. os pontos médios dos lados de um quadrado de lado 60 cm. Luís Alves e Guiomar observaram um monumento de arquitetura asiática. por segmentos de retas. a altura do monumento. Uma formiga sai do ponto A e segue por uma trilha. Uma pessoa que subiu 20 metros dessa rampa se encontra a altura de ___ do solo. fixou um aparelho de medir ângulo (teodolito) de tal modo que o ângulo no ponto B seja reto e obteve ˆ . (D) 3. Ao ligar. (C) 8 metros. conforme mostra a figura: 410 Vol. obtém-se um quadrilátero. 02. Guiomar. 2 130 cm 9 3 metros 2 (D) 3 metros (E) 4. como mostra a figura. (C) 5. (D) 9 metros. 1.5 metros (C) . uma medida de –rad para o ângulo ACB Qual foi a largura do rio que ele encontrou? (B) 3 + 3 3.10.34. (B) 6.Relações métricas no triângulo retângulo – Exercícios (parte 2) M ódulo 10 Matemática II Exercícios de Fixação 01. interessada em aplicar seus conhecimentos matemáticos. (C) 5 + 2 3. (C) 90 2. (E) 2. Ele quer determinar a largura do rio que corta a região e por isso adotou os seguintes procedimentos: marcou dois pontos. Um tenente do Exército está fazendo um levantamento topográfico da região onde será realizado um exercício de campo. A (uma árvore que ele observou na outra margem) e B (uma estaca que ele fincou no chão na margem onde ele se encontra). (B) 7 metros. colocou um teodolito distante 1. 60° 3m 1m 2 3m B A distância. representada pela linha contínua.20 m (B) 60 2. (B) 3 3 metros 03. percorrida pela formiga é: (A) 1+ 2 3. 04. (A) 9 3 metros (D) 7 + 3 3. até chegar ao ponto B.86. Em uma de suas viagens para o exterior. A (A) 6. em centímetros: 60° (A) 30 2. 2m (A) 6 metros. 05. (E) 10 metros. (E) 150 2.50.24. é aproximadamente (D) 120 2. cujo perímetro é. enquanto o pulso de infravermelho indica ao sistema o ângulo entre a base da tela e o segmento de reta que une o sensor à ponta da caneta. sendo que uma delas está perpendicular às cordas. se todas as cordas são equidistantes. (B) 1. O pulso de ultrassom é usado para calcular a distância da ponta da caneta até o sensor. O comprimento da maior corda é de 50 cm. a distância entre duas cordas seguidas. (B) 5. representado no primeiro quadrante de um plano cartesiano. Ao decolar.8 sec (15°) km. quando encostada ao edifício de um dos lados da rua. (D) 10. do alto de uma torre ou montanha de altura conhecida. (E) 3. em centímetros. Uma das tecnologias que possibilita essa interação funciona a partir de um sensor instalado em um dos cantos da tela onde a imagem é projetada. em metros. Considere um quadro interativo de 3 metros de largura por 2 metros de altura. os matemáticos da antiguidade observavam. O uso desses quadros é cada vez mais comum em instituições de ensino. fora de escala. (C) 2. 04. considerada esférica. Um instrumento musical é formado por 6 cordas paralelas de comprimentos diferentes as quais estão fixadas em duas hastes retas.8 km da cabeceira da pista existe um morro íngreme.5. a partir da sua base. (A) 1. (B) 3. Em uma das primeiras tentativas de determinar a medida do raio da Terra. substituindo o quadro para giz ou o quadro branco.8 km Podemos concluir que o avião ultrapassa o morro a uma altura. com o sensor instalado na origem.8 cos (15°) km. (A) 5 2 . A 3.Relações métricas no triângulo retângulo – Exercícios (parte 2) Exercícios Contextualizados 01.8 tan (15°) km. é: 03. apoiada no mesmo ponto do chão. ao ser acionada. e o da menor é de 30 cm. geradas por um computador.8 sen (15°) km. (C) 10 3 . o raio terrestre em função do ângulo a é dado por: h R O Terra (A) R = 1 − sen α sen ( α h ) R= (D) h sen α 1 − sen α (B) R = h sen α 1 + sen α (E) R= 1 − sen α h sen α h sen α (C) R = sen α − 1 (C) 3. Aeroporto 15º 3. emite dois sinais simultâneos: um pulso sonoro (ultrassom) e um pulso luminoso (infravermelho). (D) 3.5. 02. Sabendo que a haste não perpendicular às cordas possui 25 cm de comprimento da primeira à última corda. conforme mostra a figura. de: (A) 3. A figura abaixo ilustra a decolagem. Uma escada com metros de comprimento forma um ângulo de 30° com a horizontal. e um ângulo de 45° se for encostada ao prédio do outro lado da rua. Um usuário aciona a caneta em três pontos distintos da tela. (D) 2. Quadros interativos são dispositivos de interface humana que permitem ao usuário interagir com as imagens projetadas sobre uma tela grande. assinale a alternativa que contém a altura da escada. gerando as leituras de distância e de ângulo apresentadas na tabela: Ponto Distância Ângulo A 2m 60° B 2m 30° C 1m 30° 3a Série / Pré-vestibular 411 . tangente à Terra. 05. o ângulo sob o qual se avistava o horizonte. Segundo esse raciocínio. Sabendo que a distância entre os prédios é igual a ( 5 3 + 5 2 ) metros de largura. um avião deixa o solo com um ângulo constante de 15°. e de uma caneta eletrônica especial que. 5 metros. conforme representa a figura a seguir. D L L L L L Um atacante chuta a bola da marca do pênalti e ela. nos quais os parafusos são representados por círculos brancos.425. (C) 21 + 1341 . aproximadamente igual a: (A) 12.0 m de ripas. do momento do chute até o choque. • Largura do gol: 8 metros. Nessa situação. 5 km para o leste e 7 km para o norte. por sua vez. Uma pessoa caminhou 5 km para o norte. a bola terá percorrido. 06. (A) escaleno. (E) 20. Uma passarela construída em uma BR no Pará tem um vão livre de comprimento 4 L. em metros.: (A) 57. (B) 111. Um carpinteiro foi contratado para construir uma cerca formada por ripas de madeira. (D) 18. choca-se contra a junção da trave esquerda com o travessão (ponto T). • Altura do gol: 2.403. Esta coluna. 2 (A) 1. que são perpendiculares ao plano do campo. (E) 30 + 2 13 + 97 .5 m Supondo L = 9 m e D = 12 m. e a uma distância L da passarela. uma distância. seguindo uma trajetória reta.5 m de ripas. (C) 20 km. (E) retângulo em A. . em metros. Vol. (D) 30 + 6 13 + 3 97 . é presa por um cabo de aço preso a um ponto na mesma altura da passarela. A figura mostra parte de um campo de futebol. 09. B e C é: • Distância da marca do pênalti até a linha do gol: 11 metros.5 m de ripas. (D) 712. (B) 1. (D) 27 km. novamente. além das medidas a seguir.Matemática II – Módulo 10 O triângulo com vértices nos pontos A. (B) 13 km. 08. que foram aproximadas para facilitar as contas. (B) equilátero. (C) isósceles de base BC. A sustentação da passarela é feita a partir de 3 cabos de aço presos em uma coluna à esquerda a uma altura D da passarela. (C) 16.0 m de ripas. T Considere que a marca do pênalti equidista das duas traves do gol. As figuras abaixo apresentam uma vista parcial da cerca. (D) isósceles de base AB. bem como os detalhes das ligações entre as ripas. (C) 2. o comprimento total dos quatro cabos de aço utilizados é. Note que cada ripa está presa à cerca por dois parafusos em cada extremidade. (B) 14. A que distância ela está do seu ponto de partida? P 412 2m (A) 5 km.201. Para construir uma cerca com 300 m de comprimento. em que estão representados um dos gols e a marca do pênalti (ponto P). são necessários: 07. 1. O ponto R pertence aos segmentos AC e BD e. então a distância. 5 (C) (E) b/7. ABCD é um retângulo cujos lados medem b e 2b. em metros. 4 7 (D) . Sejam XY um segmento de reta cujo comprimento é 4 m e Z um ponto da mediatriz do segmento XY cuja distância ao segmento XY é 6 m. 3 b3 5 (D) . 3 2b 5 . 5 (B) 02. Nessa figura. expresso em função de b. 4 (E) 9/7. b A M S B R 2b P D C O segmento MP. de P ao segmento XY é igual a 8 (A) . b 5 . é b 5 (A) . 3 7 (B) .Relações métricas no triângulo retângulo – Exercícios (parte 2) Exercícios de Aprofundamento 01. Y e Z. ARDS é um quadrilátero em que M é ponto médio do segmento RS. 3 9 (C) . Rascunho 3a Série / Pré-vestibular 413 . Se P é um ponto equidistante de X. 2 .Matemática II – Módulo 10 414 Vol. 1. os votos brancos e nulos dados nessa etapa da eleição representarem (A) menos de 70% do total dos votos.: I. No Brasil.7 for maior que o preço do álcool. O ganhador é aquele que conquistar mais da metade dos votos válidos. y) = xy . na qual vale a relação MA(x. por meio de alguns símbolos: > (maior). e somente se. como x+y MA(x. 5 = 2 I. Ex. o 2o turno das eleições presidenciais é disputado por apenas dois candidatos. uma vez que x² – 2x + 1=(x – 1)2 2. y) = e MG(x. definimos a média aritmética e geométrica de x e y. (E) mais de 40% do total dos votos. y) ≥ x+y MG(x. 2 Ex. x > 1. x² – 2x + 1 ≥ 0. II. então vale a pena utilizar o álcool. 10 = 3. Desigualdade (ou inequações) do primeiro grau Uma inequação do primeiro grau é uma desigualdade que envolve uma (ou mais) expressões do primeiro grau. De acordo com esse critério. ≥ (maior ou igual) e ≤ (menor ou igual). Neste módulo estudaremos desigualdades matemáticas. é possível mostrar que a pergunta do início do texto pode ser facilmente respondida. < (menor). respectivamente. mais de 50% do total de votos excluindo-se votos brancos e nulos. um candidato ganhará o 2o turno de uma eleição presidencial obtendo somente 30% do total de votos se. 3a Série / Pré-vestibular 415 .1 II. e veremos como resolvê-las formalmente. Desigualdade das médias Dados dois números reais positivos x e y. prevenindo o estudante com relação aos principais erros cometidos. Para resolvermos basta isolarmos a incógnita em um dos membros da desigualdade. (B) mais de 70% do total dos votos. A mais famosa desigualdade 2 é a desigualdade das médias. para todos os valores reais de x. Ex.: I. representa todos os números reais maiores que 1. deve-se preferir a gasolina. ou seja. (D) menos de 40% do total dos votos. ≥ xy . Se o preço da gasolina multiplicado por 0. 7. (C) 50% do total dos votos. Com base nessa informação. Caso contrário. 2x + 1 > –x + 3 → 2x + x > 3 – 1 → 3x > 2 → 3 x > 2 II. –x + 3 ≤ 3x – 1 → 3 + 1 ≤ 4x → 4 ≤ 4x → 1 ≤ x → x ≥ 1 Exercícios Resolvidos 01. Desigualdades Uma desigualdade (ou inequação) é uma comparação entre duas expressões. y).com/skodonnell Você sabe como o motorista de um carro flex pode decidir se é mais econômico abastecer com álcool ou gasolina? Sabe-se que um carro percorre aproximadamente a mesma distância com 60 litros de álcool ou 42 litros de gasolina.Álgebra básica – Desigualdades M ódulo 6 Matemática III iStockphoto. isto é. 4 + 16 ≥ 4 · 16 = 8 2 5 + 10 ≥ 5 · 10 ≅ 7. (D) 3 horas. O tempo máximo de duração de uma festa para que a contratação de Daniel não fique mais cara que a de Carlos é: (A) 6 horas.3T > 0. Carlos trabalha como DJ e cobra uma taxa fixa de R$ 100. (D) infinita. se x > 1. substituindo x por qualquer número maior que 1 ou observando que: isso a pergunta é equivalente a “Quem é maior Sendo x > 1.00 por hora. Exercícios de Fixação 01. O conjunto B. (C) 20. Solução: Letra C. Se v denota o número de votos válidos e v– o número de votos brancos e nulos. (E) 0. mais R$ 35. A(x) = 500 + 40x B(x) = 400 + 50x B(x) ≤ A(x) 400 + 60x ≤ 500 + 40x 20x ≤ 100 x≤ 5 Quem é maior 1234 + 20132013 1235 + 20132013 ou ? 2013 1235 + 2013 1236 + 20132013 A ideia quando temos um números muito grande.00. (E) 7.5v– > 0. é: 02. O número de soluções inteiras da inequação x – 1 < 3x – 5 < 2x + 1 é: (A) 4. para que a contratação do conjunto B não fique mais cara que a do conjunto A. (D) 8.00 por hora. x Isso pode ser concluido. (B) 3. cobra uma taxa fixa de R$ 55. (E) 7.4T = 40%T.3T > 0. Seja T o total de votos. mais R$ 40. Considere estas desigualdades  −x + 6 ≤ 1  4 A quantidade de números inteiros x que satisfaz simultaneamente às duas desigualdades é: (A) 11.5v ⇔ 0. que são estritamente menores que racionais da forma 3 n + 15 7 . Se n é um número inteiro. (B) 25. Daniel. temos que 0. mais R$ 60.00 por hora. (E) 2 horas. O tempo máximo de duração de uma festa. pelo mesmo serviço. (C) 4 horas. (B) 10. (E) 27.00 por hora. então v = T – v–. (C) 6. x +1 x 5x 7x + 5  2 ≤ 3 03. 02. em horas. mais R$ 20. A soma de todos os números inteiros que satisfazem simultaneamente a inequação-produto (3x – 7) · (x + 4) < 0 e a 2x + 1 inequação-quociente > 0 é: 5− x (A) 3. é substituílo por uma letra. cobra uma taxa fixa de R$ 400. Como o vencedor é aquele que obtiver mais de 50% do total de votos excluindo-se os votos brancos e nulos.2T ⇔ –v > 0. (A) 21. x2 > x2 – 1 → x2 > (x + 1)(x – 1) → x x −1 > . 416 Vol. (D) 7. 2 . (C) 9. x = tempo da festa em horas. 04.00. vamos chamar 1235 + 20132013 = x.5(T – –v ) ⇔ 0. com x x -1 ou ?” x +1 x x Com essa simples substituição é fácil concluir que x +1 x -1 é sempre maior que . o conjunto A cobra uma taxa fixa de R$ 500.00. (D) 6. (C) 2. (C) 5. é: 13 (A) 3. (B) 4. (B) 5. (B) 5 horas. (E) 8. (D) 1. na mesma função. Exercícios Contextualizados 01.00. para animar uma festa. então a quantidade de números 2n .Matemática III – Módulo 6 Solução: Letra E. Para animar uma festa. Preencheu todas as folhas de um deles colando 15 cartões em cada folha. (C) 2. No outro álbum. em um total de 60 unidades.00 < T < R$ 26. (B) 5. que recuperam em um tempo relativamente curto o investimento feito com a conversão por meio da economia proporcionada pelo uso do gás natural. Considere o seguinte problema: “Em um cofre existem apenas moedas de 50 centavos e de 10 centavos. Exercícios de Aprofundamento 01. o preço de custo para produzi-la é obtido através da expressão 2p + 11. durante um curto período. (E) 4. (D) 8 meses. entretanto. (B) 1. se colasse 15 cartões por folha. Desse modo. nesse caso. (C) 6. (C) 465. essa possibilidade tem sido explorada.20. dieta alimentar que lhe garanta um mínimo diário de 7 miligramas de vitamina A e 60 microgramas de vitamina D. Um litro de gasolina permite percorrer cerca de 10 km e custa R$ 2. (D) 480. (C) x + 20y ≥ 7 e 3x + 15y ≥ 60. Atualmente. sobrariam alguns cartões. Por recomendação médica. Nas grandes cidades. (B) 4 meses. Se a quantia T(em reais) existente no cofre é tal que R$ 24. (E) 8. resolveu colá-los em folhas de papel para facilitar o manuseio. quantas são as moedas de 50 centavos?” O número de soluções que esse problema admite é: (A) 0. acomodada em pacotes. pelos táxis. principalmente. um taxista que percorra 6. (D) 7. O gás natural veicular (GNV) pode substituir a gasolina ou álcool nos veículos automotores. Para tal. (E) 495. (C) 6 meses. Consumindo x litros de iogurte e y pacotes de cereais diariamente. Cada litro do iogurte fornece 1 miligrama de vitamina A e 20 microgramas de vitamina D. Pensou em colocar 18 cartões por folha mas. (B) x + 3y ≤ 7 e 20x + 15y ≤ 60. (E) 10 meses. adquiriu dois álbuns com folhas de mesma dimensão e mesmo número de folhas. sobrariam exatamente 3 folhas vazias e uma única folha ficaria incompleta. Cada pacote de cereais fornece 3 miligramas de vitamina A e 15 microgramas de vitamina D. 03. ao adquirir o milésimo cartão. Já. uma pessoa deve fazer.Desigualdades 02.000 km por mês recupera o investimento da conversão em aproximadamente: (A) 2 meses. Teodoro coleciona cartões de telefone e. a pessoa terá certeza de estar cumprindo a dieta se: (A) x + 3y ≥ 7 e 20x + 15y ≥ 60. O preço de venda de uma mercadoria é obtido através da expressão 5p – 7. enquanto um metro cúbico de GNV permite percorrer cerca de 12 km e custa R$ 1. 04. (D) x + 20y ≤ 7 e 3x + 15y ≤ 60.00. Rascunho 3a Série / Pré-vestibular 417 . em que p é a quantidade de produtos vendidos. (D) 3. a conversão para gás natural do motor de um automóvel que utiliza a gasolina custa R$ 3. alimentando--se exclusivamente de um iogurte especial e de uma mistura de cereais. 05. A quantidade mínima de itens produzidos e vendidos para que não se tenha prejuízo é: (A) 4.00. O número de cartões que ele colou no primeiro álbum é: (A) 435. (B) 450.000. em que p é o número de unidades produzidas.10. (E) x + 15y ≥ 7 e 3x + 20y ≥ 60. • Por 2. 5. 8 não divide 3. pois o último algarismo é 0. quando o último algarismo for 0 ou 5. II. pois a soma dos algarismos de ordem impar (3 + 3 = 6) menos a soma dos algarismos de ordem par (4+2=6) é zero. quando a soma dos algarismos de ordens ímpares menos a soma dos algarismos de ordens pares for múltiplo de 11. IV. quando a soma dos algarismos for divisível por 9. que é múltiplo de 11. pois a soma dos algarismos.430. • Por 5. 11 não divide 3. 6 divide 312. Esse método de divisibilidade pode variar dependendo do banco.323. Nesse caso. 3+1+2=6. pois o último algarismo é 5. IX. pois tem um último algarismo ímpar. • Por 9.: XV.: 1 e n sempre são divisores de n. diz-se que y é um divisor de x. é impar. 9 divide 1. não é multiplo de 2. quando o último algarismo for par. centenas – terceira ordem. pois a soma dos algarismos de ordem ímpar ( 1 + 2 = 3) menos a soma dos algarismos de ordem par (8 + 3 = 11) é igual a (3 – 11 = –8). quando os três últimos algarismos formarem um número divisível por 8. XVIII. pois o último algarismo. Regras práticas de divisibilidade XIII. • Por 6. portanto. 2 divide 434. mas o princípio é o mesmo: dificultar a criação de contas de banco falsas.344. 4. pois o último algarismo é 7. pois a soma dos algarismos. 9 não divide 773. 1 + 0 + 7 = 8. I. Obs.Números inteiros – Divisibilidades M ódulo 7 Você sabe por que existe um dígito verificador na conta bancária? Vamos supor o seguinte número de conta fictício: 39710-2. pois 128 é múltiplo de 8. 5 divide 125. VII. . 11 divide 4. pois 44 é divisível por 4. e servem para verificar a validade de um valor numérico. XII. Sendo assim. Divisão exata Diz-se que um número x é múltiplo de y quando a divisão x y resulta em um número inteiro (esse valor é chamado de quociente da divisão). • Por 3. 10 divide 1. quando os dois últimos algarismos formarem um número divisível por 4. quando for por 2 e 3. XVI.: Um número é dividido em ordens (ordem das unidades – primeira ordem. 418 Vol. é divisível por 3. 3. é divisível por 3 e o último algarismo (2) é par. se somarmos cada algarismo da conta bancária (3 + 9 + 7 + 1 + 0 + 2) chegaremos a um total de 22 que é um número divisível por 11 (resto zero). XI. 5 não é um divisor de 12. • Por 8.202. Divisão com resto Quando a divisão não tem como resultado número inteiro. pois 06 não é divisível por 4. quando a soma dos algarismos for divisível por 3. V. pois a soma dos algarismos (7 + 7 + 3 = 17) não é um múltiplo de 9. Obs. pois a soma dos algarismos. 0 ≤ r < y. dezenas – segunda ordem. 2 • Por 11. VIII. é par. ou que x é divisível por y. 2. 8 divide 4. ©iStockphoto. têm como base o conceito de divisibilidade.: 12 é divisível por (= múltiplo de) 4. 3 divide 126. Ex. X. • Por 10. portanto. pois 202 não é múltiplo de 8. unidade de milhar – quarta ordem) XVII. evitando erros de digitação e fraudes. não é múltiplo de 11. e q o quociente.116. pois a soma dos algarismos (1 + 1 + 1 + 6 = 9) é um múltiplo de 9. III. não é divisível por 3. 6 não divide 417. Basta errar um dígito para que a soma total não seja mais um múltiplo de 11. 1.281. Ex.206. é tal que a soma dele com o restante dos números seja divisível por 11. Perceba que o último número. 1 + 2 + 6 = 9. 10 não divide 734. • Por 4. VI. pode-se sempre escrever x = qy + r. quando terminar em 0. 2 não divide 435. 4 divide 1. dígito de verificação. 5 não divide 327. pois o último algarismo não é 0. pois o último algarismo. pois a divisão 12 ÷ 4 = 3 é inteiro.com/svetikd Matemática III Os dígitos de verificação. XIV. 4 não divide 1. 3 não divide 107.128. assunto deste módulo. em que r representa o resto da divisão. o critério por 9. 3. para conferir 1. (E) 1. (C) em um sábado. (B) 15. Quando a soma das classes ímpares menos a soma das classes pares for divisível por 7. cairá: (A) em uma quinta-feira. Sabendo-se que o dividendo é 1. 9. classe das unidades. 02..Números inteiros – Divisibilidades 4. Determine o menor número inteiro positivo cujo produto por 9 seja da forma 111. podemos concluir que o 2012o algarismo é igual ao 2o. classe dos milhões. então o número original será.513. Como 2 · 4 = 8. a soma dos Quando observamos o número 11111 1. pode-se afirmar que esse divisor é: (A) 10.3 ? a 2 7 . Exercícios Resolvidos 01. (D) em um domingo. vemos que 1.. classe dos bilhões). b. 7 A sequência 285714 se repete infinitamente. Determine o resto obtido quando dividimos o número 102005 + 2 por: a. (C) 25. a . Três números naturais e múltiplos consecutivos de 5 são tais que o triplo do menor é igual ao dobro do maior. Qual é o 2012o algarismo após a vírgula da representação decimal 2 de ? 7 (A) 2.912 deixa resto 8. 01. identifica o resto na divisão. Os critérios por 2. portanto o resto do número original por 9 também é 1. c. 7 é divisível por 333. 05. Por exemplo. Solução: Letra B. Sabendo que a. a + 13 ? b. (C) 5.000 algarismos algarismos é 1000 e quando o dividimos por 9. excede o resto também em 5. 5x + 5 e 5x + 10.902. 11. Usando o critério de divisibilidade. Temos. (E) 40. É parecido com o de 11. pois a soma das classes ímpares 513 + 410 = 923 menos a soma das classes pares 333 + 576 = 909 é igual a 14.. Por exemplo. que é múltiplo de 7. Para encontrarmos o dígito desejado. por sua vez. 11111 . 3(5x) = 2(5x + 10) ∴ 15x = 10x + 20 5x = 20.912 olhamos para o resto de cada termo na divisão por 9. Três mil dias após essa data. Como encontrar o resto Alguns critérios de divisibilidade são úteis para encontrar o resto e não apenas para identificar se o número é divisível ou não. Se tivéssemos cometido erro em um dígito e encontrado 41. Dia 20 de julho de 2008 caiu em um domingo.576. Dentre esses números. 10 e 11 identificam o resto. e o maior deles é igual a 30. . depois de efetuar a conta. 9. 04. Por exemplo. 02.1. (E) em uma segunda-feira. (B) em uma sexta-feira. é 8.. 31 deixa resto 4 e 41. Como o resto é 2. verificar se os restos na divisão por 9 dos números satisfazem a mesma operação. 03.410. o cálculo passou na “prova dos 9”. 3a Série / Pré-vestibular 419 . Existe um critério de divisibilidade por 7 que é útil para números grandes. o resto é 1.. o divisor excede de 5 o quociente que. o cálculo não passaria na prova dos 9 pois teríamos a contradição 2 · 4 = 7. basta olharmos para o resto da divisão de 2012 por 6. 3. por exemplo. 4. que é a quantidade de dígitos que se repetem. Ao fazermos a conta: 2 = 0. (B) 8. Em uma divisão de números naturais. ou seja. 8. 7. 5. Exercícios de Fixação Você já escutou a expressão “prova dos 9”? Essa expressão representa uma técnica extremamente útil para a conferência de multiplicações.075. (Cada três ordens formam uma classe. (D) 35. o que podemos afirmar sobre o maior? Solução: Podemos chamar os números de 5x. classe das unidades de milhar. A ideia é. mas trocamos ordens pelas classes..352 · 31 = 41. calcule o quociente e o resto das divisões: q 7 ? 7 ? (D) 7.352 deixa resto 2.285714285714285714. (C) primo. portas e estudantes. Se A significa “aberta” e F “fechada”. o auditor deparou-se com a seguinte situação: Quantidade Mercadoria • Metros Cetim Preço unitário (R$) Total (R$) 21. – Tornar-se-á líder o aluno associado a n.136.00 Não era possível ver o número de metros vendidos. as portas de números 4.. mas sabia-se que era um número inteiro. abrindo-as. Depois continuar a contagem. – Pedir ao professor que escolhesse um número inteiro n maior ou igual a 2. (B) 3. cabendo a cada um a cota de R$ 300. O terceiro estudante tocará apenas nas portas de números 3 (fechando-a).. (E) 56. (B) F. (E) 33. (C) o líder será o aluno D. F e A. só apareciam os dois últimos dos três algarismos da parte inteira. (D) o líder será o aluno F. pois vai encontrá-las abertas. 6. (E) 9. identificado com A. 03.. Após a entrada desses amigos. (B) 2014. 3n. respectivamente. outros amigos entraram na sociedade. E. múltiplos de n) conforme estejam abertas ou fechadas. 2 para C e. Do primeiro ao quinquagésimo e em ordem crescente. F e A. (D) 46. a classe foi dividida em grupos de 7 participantes.133. A e A. (D) 8. econômicas e políticas que ultrapassam a opção do Parlamento.132. ocasionando uma redução na cota equivalente a dez vezes o número desses outros amigos. Com as informações acima. 02. assim por diante. o sinal de igual. F e F. numerados conforme a posição em sua fila. 05. No valor total. Cada vez que se repete a operação do 4o item. (C) 31. (D) A. (D) 32. nesta ordem: 1o 2o 3o 4o o valor da proposta de salário de Senador. declarada nessa nota foi: (A) 16. assim por diante. Considerando essa situação.00 para o país e um rendimento de R$ 14 mil para si mesmos.. ele propôs as seguintes etapas: – Identificar-se com a letra A e aos seus colegas com as letras B. a máquina subtrai do número que aparece no visor um salário mínimo. D. O número total de vezes que deve ser digitado o sinal de igual até se obter um número negativo pela primeira vez é igual a: (A) 29. o auditor concluiu que a quantidade de cetim.131 e menor ou igual a 2. (E) múltiplo de 7. o valor do salário mínimo. antes de efetuarem a compra. e um deles deveria ser o líder. Imagine uma fila de 50 portas fechadas e outra de 50 estudantes. 02. .. Ainda que a grande disparidade de renda no Brasil tenha razões históricas. Qual o algarismo das unidades do resultado de 32008 é: (A) 1. (C) 36. o estudante que ocupa a n-ésima posição na fila deverá fechar ou abrir as portas de números n. se n = 2. (C) 2016. (B) o aluno C jamais será líder. No entanto. 6 (abrindo-a). até chegar a ele mesmo. (C) F. O segundo estudante tocará apenas nas portas de números 2. Para realizar uma dinâmica em uma aula de Matemática. O valor da compra será dividido entre os sócios. Ao analisar as notas fiscais de uma firma. 2 04. . – Iniciar a contagem de 1 até n. o sinal de menos. Como o grupo de José teve dificuldade para fazer essa escolha. (E) 2020. . (B) divisor de 70. respectivamente: (A) F. não tocando nas demais. o próximo ano a começar também em uma segunda-feira será: (A) 2012. (C) 7. Assim. 2n. Um grupo de amigos resolveu abrir uma empresa e para isso comprou diversos movéis de madeira. após o quinquagésimo estudante ter realizado sua tarefa. recomeçando pelo B e. associando 1 para o aluno identificado com B. C.Matemática III – Módulo 7 Exercícios Contextualizados 01. é incorreto afirmar que: (A) o aluno A poderá ser o líder. F e G. em metros. fechando-as. (ou seja. (D) múltiplo de 9. o primeiro estudante tocará em todas. 420 Vol. até se chegar ao número n.00.00 •56. a quantidade total de sócios passou a ser um número: (A) divisor de 90. não deixa de ser agressiva a crueza com que senadores aprovam um salário mínimo de R$ 465. (B) 26. Digitando-se em uma máquina calculadora. 4. Sabendo que os anos bissextos são os múltiplos de 4 e que o primeiro dia de 2007 foi segunda-feira. como todas as portas estão inicialmente fechadas. 9 (fechando-a) e assim por diante. (E) A. A e F. (B) 30. (D) 2018. se n = 2. Exercícios de Aprofundamento 01. 17 e 39 ficarão. de modo que só o receptor consiga decodificá-la e entender o significado. o RSA. Números primos Um número é dito primo quando admite exatamente dois divisores positivos distintos. 3a Série / Pré-vestibular 421 . 23. Por outro lado. a mensagem não pudesse ser lida. “escrita”) é o estudo dos princípios e técnicas pelas quais a informação pode ser transformada da sua forma original para outra ilegível. 5. 1. Você sabe que sua chave privada é 7247. Neste módulo serão apresentados conceitos básicos sobre números primos. 3. por exemplo. 37.390. O número 12301866845301177551304949583849627207728535695953347921973224521517264005072636575187452021 99786469389956474942774063845925192557326303453731548268507917026122142913461670429214311602221 240479274737794080665351419597459856902143413. mas verificar se uma dada fatoração está certa é simples. mas de forma virtual. o que a torna difícil de ser lida por alguém não autorizado.. Ex. de forma que possa ser conhecida apenas por seu destinatário. e gráphein. certo? Esse número poderia ser a chave pública do seu email. Um número será primo se não tiver nenhum divisor de 2 até N .: 2. p é primo se p ≠ 1 e seus únicos divisores positivos são 1 e p) Obs. “escondido”. fazer transações comerciais via internet.247 · 9. – Como identificar se um número N é primo? Podemos utilizar os critérios de divisibilidade para verificar se os números pequenos (de 2 a 11) são divisores do número N. de emails a senhas de banco.com/maxkabakov Por meio da criptografia. utilizando. A principal técnica utilizada em criptografia se baseia no fato de que fatorar números grandes com poucos fatores primos é bem difícil (mesmo para um computador caso os números sejam muito grandes). Criptografia (Do Grego kryptós. Quase impossível de fazer no papel. 19. tente fatorar 71. basta escrever 7247 e 9851 (ou. para isso. Os números utilizados hoje como chave pública são bem maiores que o exemplificado acima. É como se o remetente escrevesse a mensagem e a colocasse dentro de uma caixa trancada com um cadeado cuja chave fosse possuída apenas pelo destinatário. um pouco de teoria matemática. na prática.390. uma pessoa pode codificar uma mensagem. 31. uma senha que corresponderá a esses números) e o computador fará uma conta rápida para verificar que 7. 17..197. conceitos estes intimamente relacionados a um dos mais conhecidos métodos de criptografia. uma pessoa que não conheça sua senha precisaria conseguir fatorar a chave pública para conseguir acessar seu email. Por exemplo. caso interceptada.: O número 1 não é primo. O menor primo positivo é 2. exigiu dois anos de trabalho de um grupo com 13 pesquisadores para ser fatorado. 11.197. 7. Agora.Números inteiros – Primos e MMC M ódulo 8 Matemática III Você já ouviu falar em criptografia? Sabia que é graças a esta ciência que podemos. ou então nos comunicar com nossos amigos sem que nossas mensagens sejam vistas por outras pessoas? ©iStockphoto. por exemplo. 41.851 = 71. Para o tipo de número usado pelos computadores modernos como chave pública. (ou seja. 29. para acessar o seu email seria preciso conhecer a chave privada (“senha”). que por definição seria um fator primo do número dado. Quando quiser acessar seu email. 13. É a ciência que permite o uso de informações sigilosas na internet. que todos podem visualizar. 43. por exemplo. 47. de modo que. . uma pessoa levaria milhares de anos para conseguir fatorar mesmo se usasse computadores superpotentes. A ideia da criptografia é fazer o mesmo. pelo menos.C.C. o 2o e 3o viajantes retornarão depois de um múltiplo de 48 e 72 dias. 2. 20. ou seja.. o que é um absurdo. se ele partiu hoje da cidade.M. pnan Ex. etc. 4. ele retornará depois de 30. 35). M. em seguida. tais que ab = N. 10).M.C. Solução: Os múltiplos positivos de 6 são 6.. M.D.. Logo.: Vamos calcular quantos divisores tem o número 252.c. Da mesma forma. em seguida. 90. acrescidos de uma unidade cada um. Então. basta pegar os maiores expoentes dos fatores comuns. Para que os três se encontrem na cidade no menor número de dias. basta pegar os menores expoentes dos fatores comuns. 5. 3.M.D. 20. Então.(30.. 12. 252 tem 18 divisores naturais e 36 divisores inteiros. 4.: 310 = 2 · 5 · 31 2646 = 2 · 33 · 72 Ex. basta multiplicarmos os expoentes obtidos na fatoração do número. 2. (a. pois estamos contando também os divisores negativos. Os de 10 são 10.d. (300. com todos os fatores primos comuns e não comuns.72) = 720. (E) 720. Portanto. Ex.C.. 30. compomos o M. a e b. etc. (C) 360. 422 Vol. um divisor menor que N .: Dois números. apenas com os fatores primos comuns tomados com o menor expoente. (B) 240. (6.. compomos o M. respectivamente. (D) 480.: M.: 300 = 22 · 3 · 52.. ao menos. 48 e 72 dias. Para calcularmos a quantidade de divisores positivos de um número. 2 Exercícios Resolvidos 01. respectivamente. dias. portanto todo número composto deve ter. se ambos a e b forem maiores que N . (Após termos a fatoração. 18.D.1 Cálculo do M. dois divisores a e b entre 1 e N. 5.. tomados com o maior expoente. Ex. Sabemos que: 252 = 22 · 32 · 7 O número de divisores positivos será dado por: (2 + 1) · ( 2 + 1) · (1 + 1) = 18. 30. 10.C.: Calcule M. 24. então a > N e b > N o que implica ab > N. Ex. 4. 48 e 72 dias. .M. O número mínimo de dias transcorridos para que os três viajantes estejam juntos novamente na cidade A é: (A) 144. N = p1a1p2a2. o maior divisor que é comum a ambos os números é o 5.M.C. Teorema fundamental da aritmética Todo número natural n pode ser decomposto como um produto de números primos. m. pela decomposição em fatores primos Decompomos separadamente cada um dos números em fatores primos e. Solução: Os divisores de 20 são 1. Solução: Letra E.: Calcule o M. 315 = 32 · 5 · 7. Todo número composto (aquele que não é primo) tem que ter.M. entre dois números é o maior entre os divisores comuns a esses dois números..C. 60. são ditos primos entre si quando M..48.C.b) = 1.M. (300.C.) Para obtermos o número de divisores inteiros.D.Matemática III – Módulo 8 Vamos observar por que basta testar os divisores até N . devem transcorrer o mínimo múltiplo comum de 30. Logo. entre dois números é o menor entre os múltiplos positivos comuns a esses dois números. .D. basta duplicarmos o resultado anterior.5. O 1o viajante retorna a cada 30 dias. depois de um múltiplo de 30 dias. (20. Número de divisores positivos 5. (máximo divisor comum) O M.C.D. (Após termos a fatoração.) Obs. então o número de divisores positivos de N será: Decompomos separadamente os números em fatores primos e. Ex. o menor múltiplo comum aos dois é 30.315) = = 31 · 51 = 15 .300 (a + 1)(b + 1)(c + 1)(d + 1). Se N = 2a · 3b · 5c · 7d.C. M. e os de 35 são 1. 7. Três viajantes par tem no mesmo dia de uma cidade A.C.1 Cálculo do M. 35.315) = 22 · 32 · 52 · 7 = 6.C. Logo. (mínimo múltiplo comum) O M. Cada um desses três viajantes retorna à cidade A exatamente a cada 30. (E) 3 lotes. enquanto o outro permanece 10 segundos fechado e 30 segundos aberto. ou seja. (B) 41. 03. o valor mínimo de x. (C) 7 lotes. o número de divisores de n é: (A) 0. Considerando que esses lotes tenham lados com maior comprimento possível. foi dividido em lotes quadrados. O número mínimo de segundos necessários. (B) 3. conseguimos colocar 4 terrenos ao longo do comprimento e 3 ao longo da largura. 3a Série / Pré-vestibular 423 . Para que possamos dividir exatamente o terreno em quadrados. 02. podem ser divididos em grupos com 7. 04. em cada divisão. (B) 160. X e Y trabalham todos os dias. (C) 37. Como estamos interessados no maior comprimento. (C) 42.160. enquanto Y estará de folga na quarta-feira e. Um deles permanece 10 segundos fechado e 40 segundos aberto. para que os dois sinais voltem a fechar juntos outra vez é de: (A) 150. (C) 84.310. De acordo com suas escalas de trabalho. maior que uma hora. Contando-se os dias transcorridos a partir da segunda-feira da referida semana até o primeiro dia em que X e Y terão folga simultânea. (E) 8.d. No conjunto dos números naturais. 04. após. a partir daquele instante. (B) 50. o terreno foi dividido em 12 lotes. 05. o valor de x deverá ser igual a: (D) 1. (C) 190. que navegam em um navio com capacidade para 2. Certo dia. Sabe-se que o número 213 – 1 é primo. O número de divisores naturais do maior dos sete números citados é: (D) 75. a cada sete dias. às 13 horas e às 18 horas. é: (A) 72. Logo. 333. (C) 2. conclui-se que o terreno foi dividido em: (A) 21 lotes. (C) 2. 03. após. medindo 720 m de comprimento por 540 m de largura. (A) 4. (D) 200. 540) = 180. Se somarmos sete números inteiros pares positivos e consecutivos.c. 33 e 70 pessoas. o seu lado deve ser um divisor de 720 e ao mesmo tempo um divisor de 540. (E) 24. Seja n = 214 – 2 .(720. Para que o número n = 22 · 14x tenha 15 divisores. obteremos 770. (C) 10. (E) 0. (D) 96. (B) 17.750. Os participantes de um cruzeiro. (C) 2. Assim. (E) 250. (E) 44. em determinada semana. obtém-se um número igual a: (A) 40. de forma retangular. 01. tendo direito a uma folga semanal. X estará de folga na terça-feira e.420. Dois sinais luminosos fecham juntos num determinado instante. O maior divisor primo dos números 222. ninguém fique sem grupo.500. (D) 43. (B) 1. (A) 2. m. 444 e 555 é: (A) 11. (E) 2. sabe-se que. (A) 5. (D) 111. Um terreno plano. Exercícios de Fixação 01. (B) 12 lotes. queremos o máximo divisor comum entre esses números. Exercícios Contextualizados Solução: Letra B. (C) 64.500 passageiros.Números inteiros – Primos e MMC 02. de modo que. a cada seis dias. (B) 75. Sabendo-se que a igreja toca o sino de uma em uma hora e a sirene da fábrica toca a cada x minutos. então. 11. a sirene de uma fábrica e as badaladas do sino de uma igreja tocaram juntos às 8 horas. (D) 2. com dimensões iguais. (D) 4 lotes. (E) 222. (B) 8. O número de participantes desse cruzeiro é: (A) 6. (E) 100. (D) 12. 02. (B) 2. Qual dos cinco números relacionados abaixo não é um divisor de 1015? (D) 4. (C) 6. ao se caminhar no sentido trigonométrico. 06. Coincidiram novamente em: (A) outubro de 1984. A figura abaixo indica os pontos já marcados pelo agricultor e as distâncias. Considere uma sequência infinita de pontos P1. então x é um número divisível por: (A) 4. sendo o arco PnPn+1 igual a 14°.. depois. 2 (C) setembro de 1992. Encontra-se Pn + 1 a partir de Pn . 15 A 70 B 150 C 500 D (D) 7. B e C. (E) 9.. sobre uma circunferência. Três cidades brasileiras. Se x representa o número de vezes que a distância d foi obtida pelo agricultor. E Esse agricultor. e de 12 em 12 meses em C. Exercícios de Aprofundamento P3 P2 P4 P1 14° . marcou outros pontos entre os já existentes. em cm. (B) 5. entre eles. Para isso. começou a marcar os locais onde plantaria as sementes. P3. 01. P2. A.Matemática III – Módulo 8 05.. de modo que a distância d entre todos eles fosse a mesma e a maior possível. (B) setembro de 1983. Rascunho 424 Vol. Determine o menor valor de n > 1 tal que Pn coincide com P1. realizam grandes festas: de 5 em 5 meses em A. Um agricultor fará uma plantação de feijão em canteiro retilíneo. de 8 em 8 meses em B. Essas festas coincidiram em setembro de 1982. (D) algum mês de 1994. e.D. ou MDC.D.: Calculemos o M. Você saberia dizer qual é o menor número de blocos quadrados com os quais se consegue cobrir a parede da figura. ou ainda com 40 blocos quadrados com 60 cm de lado. por meio do qual a pergunta acima pode ser facilmente respondida. sem que haja sobras? 2. colocamos os restos obtidos sempre na linha superior e os quocientes nas linhas inferiores. procurado é 48. existem várias formas diferentes de revesti-la perfeitamente.D. dadas as dimensões de uma parede. Método das divisões sucessivas ou algoritmo de Euclides Outra forma de calcular o M. de dois números é seguir a sequência de passos: I. Determine o maior espaço possível entre as árvores? Calculando o M. divide-se o resto da primeira operação pelo resto da segunda operação. 3a Série / Pré-vestibular 425 .C. o resto obtido foi 0).C.C. divide-se o maior pelo menor. temos que o M.0m A parede da figura acima poderia ser revestida com 1. IV.D. Inicialmente.D. II. Um terreno retangular de 117 m por 221 m será cercado e serão plantadas árvores igualmente espaçadas em toda a volta desse cercado.Números inteiros – MDC M ódulo 9 Matemática II Você sabia que.440 blocos quadrados com 10 cm de lado.C. em seguida. Ex.C. O M.. o último número da tabela. depois. ou seja. 1 1 8 221 117 104 13 104 13 0 Observe o retângulo abaixo de lados 221 e 117 e em seguida divida-o com os maiores quadrados possíveis. (144.D. obtemos o resultado: 13 m. sem sobras? Neste módulo apresentaremos o conceito de máximo divisor comum. dos números será o último divisor.4m 6. o processo continua até que se obtenha resto zero. Como 96 é múltiplo de 48 (i. III.C. pelo método das divisões sucessivas. 1. 96) 1 2 144 96 48 48 0 No dispositivo visual acima. Um interpretação geométrica para o M. divide-se o menor pelo resto obtido na primeira operação. 400 400 400 − + = 97 anos 4 100 400 bissextos.867. temos Obtemos então a seguinte figura: 13 13 14.868. No nosso calendário os anos têm 365 dias com exceção dos anos bissextos que têm 366 dias. (B) 4. o lado do menor quadrado será o M. Admitindo-se que não haverá perda de material e que será utilizado o menor número de ladrilhos inteiros. Solução: Letra D.C. sempre resta um. (C) 245 ladrilhos. Exercícios Contextualizados 01. O número de participantes desse cruzeiro é: (A) 2. ou seja. (B) 10. dados dois números naturais a e b. (D) 2. A soma dos três algarismos do número total de DVD’s que ela possui é igual a: (A) 3. entre a e b. 7 117 104 117 104 117 221 O lado do menor quadrado é o M. com 8. e o número total de estacas preparadas foi: (A) 144. (D) 64. Um ano é bissexto quando é múltiplo de 4. Quantas semanas completas possuem 400 anos consecutivos? (A) 20. (D) 20. (D) 14. Um comerciante de materiais para cercas recebeu 12 troncos de madeira de seis metros de comprimento e outros 9 de oito metros. Como o problema pede o menor número de ladrilhos. (D) 64. Esse é o princípio das divisões sucessivas.500. a fim de que os restos sejam 15 e 23. 03.500 passageiros.D. 426 Vol. 02. 11.870.871 semanas. Tomemos o comprimento 875 cm e a largura 420 cm. . Disse-lhe ainda que os comprimentos deveriam ser os maiores possíveis. respectivamente. pode-se estimar que serão colocados: (A) 49 ladrilhos. Dois sinais luminosos acendem juntos em um determinado instante. todas de mesmo comprimento. 420) = 35 cm. O número de DVD’s que Marcela possui está compreendido entre 100 e 150. (875. enquanto o outro permanece aceso 1 minuto e apagado 20 segundos. que navegam em um navio com capacidade para 2. 02.310. de 15 em 15 ou de 20 em 20. mas não é múltiplo de 100. (C) 72. Exercícios Resolvidos 01.C. em cada divisão. 400 · 365 + 97 = 146.871. Cobrindo esse retângulo com os maiores quadrados possíveis.D.160.75 m de comprimento e 4.6097 = 20. (C) 2. (B) 2.097 dias. construímos um retângulo com essas dimensões. O piso retangular de uma sala. (C) 20. entre 221 e 117. (B) 75. (D) 8. (B) 20. Um deles permanece aceso 1 minuto e apagado 30 segundos. a quantidade de ladrilhos é 25 · 12 = 300. Os participantes de um cruzeiro. Logo. ninguém fique sem grupo. o lado desse quadrado será o M. Então. o que nos dá Em 400 anos consecutivos. (D) 300 ladrilhos. (B) 147 ladrilhos.869. deve ser coberto com ladrilhos quadrados. Determine o maior natural pelo qual se deve dividir 574 e 754. precisamos de ladrilhos quadrados de maior lado possível. para utilizá-las em uma cerca para área de pastagem.20 m de largura. visto através de uma imagem geométrica. A tarefa foi executada pelo funcionário. no 875 420 comprimento teremos ladrilhos e na largura teremos 35 35 ladrilhos. A partir desse instante qual o número mínimo de minutos necessários para que os dois sinais voltem a acender juntos outra vez? (A) 8. Agrupando-as de 12 em 12. podem ser divididos em grupos com 7.Matemática II – Módulo 9 Solução: Letra A. 2 Exercícios de Fixação 01. (E) 20. de modo que. a menos que também seja múltiplo de 400. (C) 6.420. Portanto. Ele determinou a um de seus funcionários que trabalha na preparação dos materiais que cortasse os troncos para fazer estacas. Assim. 04.D. 33 e 70 pessoas.C. que está no visor.185. resto 7 quando dividido por 8. Se essas laranjas fossem colocadas em sacos com 50 unidades cada um. O ciclo de atividade magnética do sol tem um período de 11 anos. (E) 31. (D) R$ 2. receberá 45 g. em quilogramas. (C) 7. Acesso em: 27 fev.500.00 e inferior a R$ 2. Uma confecção atacadista tem no seu estoque 864 bermudas e 756 calças. (B) 1. Miro ganhou um prêmio em dinheiro que é superior a R$ 2. (B) 6. sempre sobrarão 25 reais.500 unidades.. Assim sendo. 03. e a tecla V duplica o número que se encontra no visor. . iniciando-se por T. (E) R$ 2. Nesse caso. Desde então. em 1/x. o sol estará no ciclo de atividade magnética de número: (A) 32. ou de 40 em 40 reais. resto 1 quando dividido por 2? No ano de 2101. Sabendo que a massa dessa pessoa. <g1. Se o número 2 estiver no visor e forem digitadas. Qual o menor número que dá resto 9 quando dividido por 10. cada um com n1 bermudas e n2 calças. 2013 (adaptado). (E) 20. se perder 7 kg. ou ainda de 50 em 50 reais. (C) 33. ao receber o prêmio. é de 93.00.com>.000.globo. Campanha do governo de Dubai contra a obesidade oferece prêmio em ouro por quilogramas perdidos. Exercícios de Aprofundamento 01. Disponível em: <g1. determine o valor inteiro de sua massa. Deseja-se montar o maior número de pacotes nessas condições. e deseja vender toda essa mercadoria dividindo-a em pacotes.305.275. também sobrariam 12 laranjas. (B) R$ 2. sem sobrar nenhuma peça no estoque. sobrariam 12 laranjas e. alternadamente. no início da campanha. (B) 34. (D) 35.425.375. quantas laranjas sobrariam se elas fossem colocadas em sacos com 35 unidades cada um? (A) 4. a tecla T transforma o número x (não nulo). em um total de 2014 digitações. (D) 1 22014 06.0 kg. 3a Série / Pré-vestibular 427 . Acesso em: 18 ago.globo.00. (C) 2. se fossem colocadas em sacos com 36 unidades cada um. receberá 14 g. (D) 18. 02. (D) 2.com>. No sítio de Paulo.00. se perder 15 kg. o número de peças n (n = n1 + n2) em cada pacote deve ser igual a: (A) 9. as teclas T e V.00. Em uma calculadora. 04. . Se ele contá-lo de 30 em 30 reais. .Números inteiros – MDC 02.. O início do primeiro ciclo registrado se deu no começo de 1755 e se estendeu até o final de 1765. resto 8 quando dividido por 9. O valor do prêmio foi: (A) R$ 2. se uma pessoa perder 4 kg. 05.00. a colheita de laranjas ficou entre 500 e 1.00. todos os ciclos de atividade magnética do sol têm sido registrados. será obtido um número igual a: (A) 22014. (C) R$ 2. receberá 4 g de ouro. (C) 15. 2013. A campanha funciona premiando os participantes de acordo com a seguinte tabela: Massa perdida (kg) Ouro recebido (g/kg perdido) até 5 1 6 a 10 2 mais de 10 3 Assim. (B) 12. Considere um participante da campanha que receba 16 g de ouro pelo número inteiro de quilogramas perdidos. são divisíveis por 101. Se N for múltiplo de 10. Considere n ∈  e determine se a afirmativa é verdadeira ou falsa: ( ( ( ( ) 8 | 3 + 7 ) 8 | n2 – 1 ) 9 | 10n – 1 ) 3 | 10n – 7n 428 2n Vol. isto é. ago. k = 10a + b também é inteiro e N é múltiplo de 101. Ele é dado por 225 964 951 – 1. Então. pode-se escrever a equação 225 964 951 – 1 = 8k + r. ou seja. Para obtê-lo. determine o valor de X. então d = 0. Disponível em: Galileu. a quantidade de quartas e quintas-feiras excedeu em uma unidade a quantidade dos demais dias da semana. Exercícios Contextualizados 01. (B) 3. 02. 78342 · 34233 02. A seguir. indicado por X. . Em certo ano. em que há um dígito ilegível. onde k é um número inteiro não negativo. 1o de julho foi quarta-feira e 2 de julho. 19 de julho foi domingo. Exercícios de Fixação 01. números da forma abab (por exemplo. 169. é mostrado o código de identificação de certo produto. que N = 20q + 8. Nesse padrão. isto é. (B) 2. Como a e b são inteiros. 2 04. (E) 6. Como a quantidade de quartas e quintas-feiras excedeu em uma unidade a quantidade dos demais dias da semana. d = 10 – r. d. Qual é a soma dos restos das divisões desse número por 3 e por 5? (A) 2. durante o período de 1 de julho a 31 de dezembro. obtendo um número N. que é 3. Ao ser questionado sobre sua idade. quinta-feira. é utilizado para verificar a integridade dos outros. 2005. (C) 4. caso contrário. Teremos. Qual é o resto da divisão de N por 5? Solução: 3. Considerando o algoritmo de Euclides para a divisão por 8 desse número. Seja q o quociente da divisão de N por 20. 03. p. (E) 7. Em que dia da semana caiu o dia 19 de julho no referido ano? o Solução: Domingo. (D) 5.Números inteiros – Exercícios M ódulo 10 Matemática III Exercícios Resolvidos 01. abab = 101 · k. um professor de Matemática respondeu o seguinte: • O número que representa a minha idade é formado por dois algarismos distintos. temos 184 = 7 · 26 + 2 dias. 03.353). 789010X512406 Com base nessas informações. são 26 semanas completas + 2 dias. Como 20q é múltiplo de 5. (C) 5. Determinar o resto da divisão de 20142013 por 11. O maior número primo conhecido foi descoberto no ano passado por Martin Nowak. São Paulo. o resto r da divisão por 8 do maior primo conhecido é: (A) 0. então. os 12 primeiros dígitos identificam o país. em que r é o resto da divisão do número N por 10. Prove que todo número de quatro algarismos. basta somar os outros doze dígitos. 05. Um dos sistemas de identificação por leitura ótica de produtos industrializados adotados no Brasil é formado por uma sequência de 13 dígitos numéricos. 02. adicionar ao resultado o dobro da soma dos dígitos que aparecem na posição de ordem par (esquerda para direita). Portanto. Logo N = 101(10a + b). o número 5. O número N = abab pode ser escrito como 1000a + 100b + 10a + b = 1010a + 101b. enquanto o último dígito à direita. (D) 6. 43. quando dividido por 15 dá resto 7. n. 7834 · 3423 b. Um certo número inteiro positivo. a empresa e o produto. basta determinarmos o resto de 8 por 5. alternadamente iguais. Do dia 1o de julho até 31 de dezembro. Qual o resto da divisão dos produtos abaixo por 9? a. codificados na forma de barras e espaços de diversas espessuras (padrão EAN-13). O resto da divisão do inteiro N por 20 é 8. Solução: Queremos mostrar que abab é múltiplo de 101. (B) 3. (E) 7. T para em todos os andares. (D) 7. apresenta no visor o número R como sendo o número sorteado. Um professor propõe a um aluno uma tarefa de matemática composta das etapas descritas a seguir. 5a) Calcular o resto R da divisão do número N. com exceção do próprio térreo. 03. C para nos andares múltiplos de 5. Sabendo que o valor obtido na 3a etapa foi 204. • Ao dividir-se o algarismo que ocupa a posição das dezenas pelo algarismo que ocupa a posição das unidades. Um desses dispositivos conhecido como “dado eletrônico” é um circuito elétrico que. Exercícios de Aprofundamento 01. ( ) Não há neste prédio um andar em que parem todos os elevadores. A soma dos algarismos da idade do professor é: (A) 11. (C) 5. + 132006 + 132007. Tem-se a sequência correta em: (A) F – V – V (B) F – V – F (C) V – F – V (D) F – F – V 06. Determine quantos azulejos seu Almeida possuía. (B) 1. Todos estes elevadores partem do andar térreo e funcionam perfeitamente de acordo com sua programação. e o resto. a seguir. Mostre que 34n + 1 + 10 · 32n – 13 é múltiplo de 64. Ele. classificando cada uma em V (verdadeira) ou F (falsa). 2a) Misturar os quatro algarismos desse número formando um número N. c. 1a) Escrever o número de quatro algarismos da data de seu aniversário. cada uma contendo 11 azulejos. (E) 9. Sobraram 15 azulejos. Determine o resto da divisão de 3 · 9n + 13 por 8. obtido na 2a etapa. (B) 10. executa o seguinte procedimento: partindo de um número natural N. do número que representa minha idade. O professor consegue determinar o valor de R sem conhecer o valor de N. ( ) Existem. uma pessoa gerou um pulso correspondente ao número natural N formado por 2002 algarismos. Ao apertar o botão do “dado eletrônico”. 4 andares em que param 3 elevadores com exceção do próprio térreo. existem 4 elevadores que são programados para atender apenas determinados andares. resolveu guardar tudo em caixas menores. S para nos andares múltiplos de 7. o quociente é 2. (D) 4. 02. Assim. tantas vezes quantas forem necessárias. sem contar o térreo. determine R. Ele arrumou os azulejos em várias caixas. 3a Série / Pré-vestibular 429 . numerados de 1 a 90. 4a) Informar ao professor o valor obtido na 3a etapa. Determine o resto da divisão de 9n – 1 por 8.. neste prédio. cada uma contendo 17 azulejos. Analise as afirmativas abaixo. Assim. por 11. (D) 8. Ao efetuar a soma 131 + 132 + 133 + . 1. novos dispositivos eletrônicos vêm substituindo velhos tabuleiros ou mesa de jogos. (C) 9. todos iguais a 1. obtemos um número inteiro. Para todo n natural: a. b. 04. Seu Almeida possuía uma quantidade de azulejos maior do que 150 e menor do que 250.Números inteiros – Exercícios • Ao dividir-se o número que representa a minha idade pelo número formado pela inversão de seus algarismos. o quociente e o resto são iguais a 2. Qual é o algarismo das unidades desse número? (A) 1. 05.. Em um prédio de 90 andares. o elevador: • • • • O para nos andares múltiplos de 11. então. 3a) Subtrair 1001 do número N. ( ) No último andar para apenas 1 elevador. (C) 2. o número R que aparecerá no visor é: (A) 0. de modo que a ordem das unidades de milhar não seja ocupada por zero. transforma-o em um número natural R que corresponde ao resto da divisão de N por sete. (E) 5. até obter o primeiro valor menor do que 1001. Dessa vez. Com o desenvolvimento da tecnologia. ficaram sobrando 4 azulejos. dois referentes ao dia e dois referentes ao mês. de forma lógica. 2 .Matemática III – Módulo 10 Rascunho 430 Vol.

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