MATEMÁTICA-UNSA (NXPowerLite)

________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________1 TEMA 1 POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN 1I.- Potenciación: Es la operación que consiste en repetir un número llamado base tantas veces como indica otro número llamado exponente, al resultado de esta operación se le llama potencia. a = base n = exponente a n = p p= potencia 2.- Leyes de Exponentes a n .a m =a n+m n m n m a a a − · (a.b) n =a n .b n n n n b a b a · , _ ¸ ¸ n n a a 1 · − n n a b b a , _ ¸ ¸ · , _ ¸ ¸ − (a n ) m =a nm , ) , ) αβ β α · 1 ] 1 ¸ mn n m a a 3.- Radicación: La raíz n-ésima de un número a (no negativo cunado n es par), llamada radicando; es otra expresión talque esta raíz elevada a n, nos da el radicando a, es decir: n n b a b a · ↔ · También se tiene que: n m n m a a · β α β α · n n a a EJERCICIOS NIVEL I 1.- Efectuar: 1 9 2 4 1 2 4 1 1 2 8 16 − − − 1 ] 1 ¸ ⋅ 1 ] 1 ¸ · − − − − − − E A) 1 B) 2 C) 3 D)4 E) 5 2.- La simplificación de: 2 3 4 5 6 648 3240 375 200 405 . . . E · A) 5 B) 3 C) 1 D)1/2 E)1/4 3.- Al Simplificar: , ) 5 0 3 2 3 3 1 9 2 2 0 2 2 1 , , E − − − − 1 1 ] 1 ¸ , _ ¸ ¸ + + , _ ¸ ¸ · Se obtiene: A) B) C) D) E) 4.- Determinar el valor de: 3 1 1 1 2 2 8 3 3 2 5 5 1 − − − − 1 1 ] 1 ¸ , _ ¸ ¸ − + 1 1 ] 1 ¸ , _ ¸ ¸ + , _ ¸ ¸ · E A) 1 B) 2 C)5 D)4 E) 3 5.- Simplificar 5 5 5 5 5 2 5 2 5 2 5 2 a ... a . a . a a ... a . a . a 50 veces 20 veces A) 1 B) a -30 C) a 30 D) a E) 3 a NIVEL II 1.- Simplificar: , ) 1 2 8 1 2 2 2 1 2 256 − − , _ ¸ ¸ 1 ] 1 ¸ A) 2 B) 1 C)8 D) 2 E) 4 w w w . L I B R O S P D F 1 . b l o g s p o t . c o m ________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________ 2 2.- Simplificar: c c c b b b a a a − − − + + + + + + + + 5 1 5 1 3 1 3 1 2 1 2 1 A) 3 B) 7 C)10 D)20 E) -2 3.- Al simplificar: n n n n n n n n n n c b a b c c a b a E − − − + + + + · A) a+b+c B) abc C)a-b-c D) abc 1 E) 1 4.- Si x,y∈Ζ + tal que y-x≥2 , hallar el valor mas simple de: x y y x x y x y x y y x x y y x x y y x E − + + + + · 2 2 A) y x B) 2 y x C)x y D) x y E) y x 5.- Reducir: 4 3 2 1 4 3 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 − − − − + + + + + + + + + + · a a a a a a a a P A) 1 B) 2 C)16 D)32 E) 64 6.- Si: x x =2, hallar el valor de: x x x . x A + + · 1 1 2 A) 16 B) 32 C)64 D)128 E) 256 7.-Si el exponente final de x es 15 en: a a a a a a a a x . x . x x . x . x 1 1 ] 1 ¸ + + + 3 2 3 2 1 3 2 Hallar a A) 8 B) 5 C)3 D)3 E) 1 8.- Reducir: n x n x x n x x x x + + + + 2 Para: a x n x · A) ax B) x a C)a x D)x 3 E) a -x 9.- Al Simplificar: , ) , ) , ) , ) 1 2 1 3 2 1 4 28 4 2 10 2 5 2 3 2 − − − + + + 1 ] 1 ¸ + + + + · x x x x x x E Se obtiene: A) 2 x+6 B) 2 x- 5 C)2 D)4 E) 8 10.- La Simplificación de: 0 1 1 1 1 2 1 1 1 2 > ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ; ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ' ¹ − 1 1 1 1 1 1 ] 1 ¸ , _ ¸ ¸ + + − − − + a ; a . a a a a a a a a a a a a a es: A) a B) a 2 C)1 D)2 E) 3 NIVEL III: 1.-Simplificar: ab bc ac a b b c c a P x x x − − − · ) )2 ) ) )1 a b a b c c a A x B x C x D x E + − − 2.- Racionalizar el denominador: 3 3 1 4 2 1 E · + + 3 3 3 3 3 ) 3 ) 4 ) 2 ) 2 1 ) 3 1 A B C D E − + w w w . L I B R O S P D F 1 . b l o g s p o t . c o m ________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________ 3 3.-Al simplificar: b x 3x - y b 2x x + 4y b 3x x + 3y 6 6 3 12 19 12 9 12 3 6 6 ) 19 ) ) ) ) x x x x y x y x y A b b B b C b D b b E b b + + 4.-Si x y = 2, hallar el valor de , ) , ) , ) 2 2 3 4 − − · y y x x E y y x y A) 1 B) -1 C)-2 D)2 E) 0 5.-Hallar el valor de a 2 +b 2 en: 4/ 3 3 b a a b a b a b a b − · A) 1 B) 5 C)10 D)13 E) 9 NIVEL I 1 - A 2 - A 3 - C 4 - B 5 - C NIVEL II 1 - E 2 - C 3 - B 4 - D 5 - D 6 - E 7 - B 8 - A 9 - B 10 - B NIVEL III 1 - E 2 - D 3 - D 4 - C 5 - C TEMA 2 ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO Una ecuación es una relación de igualdad que se establece entre dos expresiones matemáticas de por lo menos una variable. Las ecuaciones pueden ser: x 3 + 3x 2 – 7 = 0 ecuación polinomial Ecuaciones 0 2 1 · − + x x y ecuación fraccionaria Algebraicas 0 3 · − − z x ecuación irracional 2 2x – 4x + 1 = 0 ecuación exponencial Ecuaciones log x – x 3 = 0 ecuación logarítmica Trascendentes sen x – 8 = 0 ecuación trigonométrica Clasificación de las ecuaciones según su solución A) Ecuación compatible.- Es aquella que tiene al menos un elemento en su conjunto solución. B) Ecuación compatible determinada.- Es aquella que tiene un número limitado de elementos en su conjunto solución. Ejemplo: x - 3 = 0 c.s. = { 3 } C) Ecuación compatible indeterminada.- Es aquella que tiene un número ilimitado de elementos en su conjunto solución, es decir su solución son todos los números reales. Ejemplo: ( x – 3 ) = x – 3 x = x 0x = 0 c.s. = R D) Ecuación incompatible.- Es aquella que no tiene ningún elemento en su conjunto solución, es decir su solución es el vacío. Ejemplo: x – 4 = x + 5 0x = 9 c.s. = φ donde φ denota el conjunto vacio. w w w . L I B R O S P D F 1 . b l o g s p o t . c o m ________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________ 4 PROBLEMAS 1. Una fracción irreducible tiene la siguiente propiedad, al sumar cinco unidades a su numerador y 9 unidades al denominador, la fracción no cambia de valor. La suma de sus términos es: a) 10 b) 14 c) 18 d) 28 e) 36 2. A una pollada asisten 399 personas entre hombres, mujeres y niños. Si el número de hombres es el quíntuplo del número de mujeres y éste el triple de los niños. Hallar el número de hombres. a) 367 b) 234 c) 315 d) 400 e) 600 3. A cierto número par se le suma los dos números pares que le preceden y los dos números impares que le siguen obteniéndose en total 968 unidades. La suma de los dígitos que forman el número par mencionado es: a) 14 b) 16 c) 20 d) 12 e) 18 4. La suma de 4 números diferentes es 24, la suma de los 2 mayores es el doble de la suma de los 2 menores, la suma del menor con el mayor es igual a la suma de los otros 2 números. Halle la suma de las diferencias del mayor con el menor y de los intermedios mayor con menor. (suponer que m es el número mayor) a) 32 b) 8 c) 4 d) 4m – 32 e) 32 – 4m 5. Dos números suman 2320. Si uno de ellos le transfiere 240 unidades al otro, ambos quedan con igual cantidad. El menor número es igual a: a) 202 b) 840 c) 1320 d) 920 e) 1400 6. Se tiene tres menores números naturales consecutivos de tres cifras, cuya suma es un cuadrado perfecto. La menor cifra del mayor de estos tres números es: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 7. Cuál es el número impar tal que agregado a los cuatro impares que le siguen, dé un total de 905? a) 175 b) 183 c) 191 d) 177 e) 181 8. Hallar un número cuyo quíntuplo aumentado en su triple del quíntuplo da 500. a) 30 b) 36 c) 25 d) 45 e) 50 9. La señora Maritza, tuvo a los 24 años dos hijos mellizos. Hoy las edades de los tres suman 57 años. ¿Qué edad tienen los mellizos? a) 9 b) 11 c) 33 d) 13 e) n.a. 10. La suma de dos números es 74, su cociente es 9, dando de residuo 4. ¿Cuál es la diferencia de estos números? a) 40 b) 60 c) 50 d) 20 e) 30 11. ¿Qué cantidad de arroz de 6 soles el kilo debe mezclarse con arroz de 10 soles el kilo para obtener 120 kilos de mezcla, de manera que, vendidos a 7 soles el kilo, no se produzca pérdida ni ganancia? a) 100 y 20 b) 80 y 40 c) 70 y 50 d) 90 y 30 e) 60 y 60 12. Preguntando a Esteban por su edad, responde: si el doble de mi edad se quitan 17 años, se tendría lo que me falta para tener 100 años. ¿Qué edad tiene Esteban? a) 51 años b) 37 años c) 39 años d) 43 años e) 63 años 13. Percy nació cuando Maritza tenía 18 años. Si actualmente la suma de sus edades 64 años. ¿Cuántos años tiene maritza? a) 31 b) 41 c) 27 d) 39 e) 26 14. El doble de un número sumado con el triple de otro da como resultado 8, y el quíntuplo del segundo es igual al triple del primero aumentado en 7. Dar la suma de ambos números. a) 1 b) 2 c) 4 d) 3 e) 5 15. Dos obreros trabajan juntos ganando semanalmente uno de ellos s/. 20 más que el otro. Después de igual número de semanas reciben s/. 2400 y s/. 2100 respectivamente ¿Cuánto gana semanalmente cada uno de los obreros? a) 110 y 130 b) 220 y 240 c) 160 y 180 d) 100 y 120 e)140 y 160 16. Si tú piensas en un número, cuya mitad es igual a cuatro unidades más que una tercera parte del número que tienes en mente. ¿Qué número es? a) 6 b) 12 c) 24 d) 36 e) 48 17. Vendí la octava parte de mis naranjas, después la sexta parte y finalmente la quinta parte de lo que tenía. Al contarlas me quedan la mitad, menos una de las que traje. ¿Cuántas eran? a) 140 b) 102 c) 130 d) 120 e) 150 18. La suma de las edades de Alan y Jorge es 65 años, y dentro de 10 años, la edad de Jorge será los 5/12 de la de Alan. ¿cuál es la edad de Alan? a) 60 años b) 50 años c) 35 años d) 25 años e) 15 años 19. El total recaudado por concepto de 900 boletos de rifa fue de 950 soles, si los estudiantes pagaron s/. 0.75 por cada boleto y las demás persona pagaron s/. 1.25 por cada boleto. ¿Cuántos boletos de estos últimos se vendieron? a) 350 b) 380 c) 550 d) 500 e) 450 w w w . L I B R O S P D F 1 . b l o g s p o t . c o m ________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________ 5 20. Un café que se vende a s/. 6 el kilo, se mezcla con café que se vende a s/. 5 el kilo, para producir 20 kilos de una mezcla que se venderá a s/. 5.40 el kilo ¿Cuántos kilos se utilizará de cada clase? a) 6 y 14 b)8 y12 c) 7 y 13 d) 9 y 11 e) 4 y 16 21. Calcule la solución de la ecuación a) 30 b) 5 c) 20 d) 13 e) 10 2. INECUACIONES DE PRIMER GRADO 2.1.Intervalos Sean dos números reales a y b tales que a<b, se denomina intervalo de extremos a y b a los siguientes subconjuntos en R A) Intervalo cerrado: [a,b] = {x ∈ R / a _ x _ b} B) Intervalo abierto: ]a,b[ = {x ∈ R / a < x < b} C) Intervalo semiabierto: ]a,b] = {x ∈ R / a < x _ b} [a,b[ = {x ∈ R / a _ x < b} D) Intervalos infinitos: [a,+·[ = {x ∈ R / x _ a} ]a,+·[ = {x ∈ R / x > a} ]-·,b] = {x ∈ R / x _ a} ]-·,b[ = {x ∈ R / x < b} 2.2.Conjuntos acotados A) Cota superior Un número real k es una cota superior de un subconjunto no vacío S de R sí y sólo sí: x _ k ; ∀x∈S B) Cota inferior Un número real k es una cota inferior de s si y sólo si x _ k ; ∀x∈S C) Supremo Un número real c se llama supremo de un subconjunto no vacío S de R, y se escribe c = sup S si: • c es cota superior de S (x _ c, ∀x∈S) • c es la menor cota superior de S, es decir: Si ∀k∈R / x _ k, ∀ x∈ S, entonces k _ c Por lo tanto, c no necesariamente pertenece a S D) Ínfimo Un número real d se llama ínfimo de un subconjunto no vacío S de R, y se escribe c = inf S si: • d es cota inferior de S (x < d, ∀x∈ S) • d es la mayor de las cotas inferiores de S, es decir: Si ∀ k∈R / x < k, ∀ x∈ S, entonces k > d Por lo tanto, d no necesariamente pertenece a S E) Máximo Si c es supremo de S y c∈S, entonces c es máximo de S (c = máx S) F) Mínimo Si d es ínfimo de S y d ∈ S, entonces d es mínimo de S (d = min S) Ejemplo: dado el conjunto S = ]2, 5] el sup S =5, además 5∈ S, entonces el máx S = 5. el ínf S = 2, pero 2∉ S, entonces S no tiene mínimo. Problemas 1. Se sabe que el número de conejos que cría Juan es tal que el triple disminuido en 5, es mayor que 33, y el cuádruple aumentado en 9 es menor que 65. Calcule el número de conejos a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15 a x b a x b a x b a x b a x a x b x a x Cotas inferiores Cotas superiores S 3 4 8 4 10 2 7 3 2 11 1 + + − · − x w w w . L I B R O S P D F 1 . b l o g s p o t . c o m ________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________ 6 2. La diferencia entre las edades de Jorge y Raúl es mayor que 4, pero menor que 7. Si Raúl tiene 36 años. Determinar el producto de los dígitos de la edad de Jorge. a) 0 b) 12 c) 18 d) 41 e) 42 3. Para la confección de un determinado número de problemas, se duplicó este número y se eliminaron 40 que eran muy fáciles, quedando menos de 60. Si se hubiera triplicado el número original y aumentado 20, habrían más de 164. ¿Cuál es la suma de los dígitos de la cantidad de problemas que había inicialmente? a) 5 b) 13 c) 12 d) 11 e) 6 4. Un kilo de naranjas contiene entre 50 y 100 unidades de vitamina. Si cada kilogramo cuesta entre 1.5 y 2.4 soles. ¿Cuánto será lo máximo a gastar por consumir 400 unidades de vitamina? a) 9.6 soles b) 12 soles c) 19.2 soles d) 20.2 soles e) 24 soles 5. El número de libros que tiene Miguel en su biblioteca es tal que si le disminuimos 20 y luego lo dividimos por 4, resulta mayor que 8, en cambio, si le agregamos 5 y luego lo dividimos por 6, resulta menor que 10. Si luego adquiere 2 colecciones de 6 libros cada una ¿Cuántos libros tendría Miguel luego de la compra? a) 24 b) 25 c) 52 d) 55 e) 66 6. Un bisabuelo aficionado a la matemática, nota que el número de nietos que tiene es igual al triple del número de hijos menos cinco, y el número de bisnietos es igual al doble del número de nietos, aumentado en 3. Se da cuenta también que el exceso del número de nietos sobre el número de hijos es mayor que 6 y el exceso del número de bisnietos sobre el número de nietos es menor que 17. Calcular el número de bisnietos que tiene a) 6 b) 13 c) 23 d) 30 e) 36 7. Max tiene cierta cantidad de caramelos, se come 5 y le restan más de la tercera parte, luego se compra 10 más con lo que tendría menos de 14 caramelos. Indicar cuántos tenía inicialmente a) 0 b) 12 c) 18 d) 41 e) 42 3. VALOR ABSOLUTO El valor absoluto de un número real a denotado por |a| se define como: ¹ ' ¹ < − ≥ · 0 0 a si , a a si , a a Geométricamente |a| es la distancia entre el punto donde se encuentra a y el cero. Propiedades 1. |a| _ 0, ∀ a∈R ∧ |a|= 0 ⇔a = 0 2. |a| =|-a| 3. |a.b| = |a|.|b| 4. |a+b|_ |a|·|b| (desigualdad triangular) 5. 6. |a| 2 = a 2 7. -|a| _ a _ |a| Propiedades adicionales 8. |a|= b ↔ b _ 0 ∧ (a = b v a = -b) 9. |a|÷|b| ↔ a = b ∨ a = -b 10. Si b >0 entonces: • |a|< b ↔-b < a < b • |a| b ↔-b a b 11. |a| > b ↔a > b ∨ a < -b |a| b ↔a b ∨ a -b Ejercicios 1. Resolver |7x|= 4 – x a) x=4 b) x=1/2 c) x=-1/2 x=2/3 d) x=-2/3 x=1/2 e) x=-2/3 x=4 2. Resolver |2x +2|= 6x – 18 a) x=2 x=5 b) x=3 c) x=-2 x=3 d) x=5 e) x=2 3. Resolver |x 2 + 2|= 2x + 1 a) x=-1/2 o x=2 b) x=-1/3 o x=1 c) x=-1/2 o x=1 d) x=1 e) x=-1/2 4. Resolver x 2 -2|x | – 3 = 0 a) x=-1, x=3 b) x=3 c) x=1, x=-3 d) x=-3, x=3 e) x=-1, x=1 5. Resolver |x - 2| = |3 - 2x | a) x=1 x=5/3 b) x=-5/3 x=-1 c) x=-5/3 x=1 d) x=5/3 e) x=1 6. Hallar el conjunto solución de: |x - 3|= x – 3 a) x=0 x=3 b) x∈R c) x_3 d) x=3 e) x∈φ 7. Se cumple que: |x - 2|< 5, y se tiene |x + 1|<a y |x - 9|< b, ¿cuál es el menor elemento de {a,b} ? a) 1 b) 2 c) 5 d) 8 e) 12 2 a a · w w w . L I B R O S P D F 1 . b l o g s p o t . c o m ________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________ 7 8. ¿Cuál es la suma de los elementos que satisfacen la ecuación: ( 1-|x - 3| ) ( 2|x - 3| – x ) = 0 a) -14 b) -12 c) 10 d) 12 e)14 9. Hallar el mínimo del conjunto solución de: |2x + 7|= x + 5 a) x=2/3 b) x=2 c) x=-5 d) x=-2 e) x=-2/3 10. Hallar el valor de la expresión [ ¦ 1 0 1 1 4 , x si x x x ∈ − − + a) -1/4 ,1 b) -1/4 c) 1 d) 5 e) 1, 5 11. Resolver |2x - 5|< 3 a) ]-4,4[ b) ]-4,1/2[ c) ]-1/2,1[ d) ]1,4[ e) ]-4,-1[ 12. Resolver |9 - x 2 | < 3 a)[ 6 6, − ] b) ] 12 , ∞ − ] c) [ ∞ − , 6 [ d) [ 6 6, − ] ∪ ] ∞ , 12 [ e) ] 12 − ∞ − , ] ∪ [ 6 6, − ] ∪ [ ∞ , 12 [ 13. Resolver |1/x – 2|< 11 a) ]-1/3,1/9[ b) ]-1/9,1/3[ c) [-1/9,1/3] d) ]-×,-1/9[ v ]1/3,×[ e) ]-×,-1/9] v [1/3,×[ 14. Resolver 3 6 5 2 < − − x x a) ]23/5,13[ b) ]-×,23/5[ u ]13,×[ c) ]23/5,6[ u ]6,13[ d) ]23/5,6[ e) ]6,13[ 15. Resolver |x - 3| 2 - 3|x - 3| - 18 > 0 a) φ b) R c) ]-3,9[ d) ]-×,-3[ u ]9,×[ e) ]-3, ×[ 16. Resolver |2x 2 – 3x – 9| < 2|x 2 – 2x -3| a) ]-5,20[ b) ]-×,-5/4[ c) ]-1/4,×[ d) ]-×,1/4[ e) ]1/4,×[ TEMA 3 SISTEMAS DE ECUACIONES Dado el sistema 2 2 2 1 1 1 c y b x a c y b x a · + · + El sistema es: Compatible Determinado Si: 0 1 2 2 1 ≠ − b a b a Compatible indeterminado Si: 2 1 2 1 2 1 c c b b a a · · Incompatible Si: 2 1 2 1 2 1 c c b b a a ≠ · Ejercicios y problemas 01. Calcular 2x+y del sistema: 14 2 3 6 1 4 2 · − − · + + y x y x y x a) 2 3 b) 7 c) -4 d) 1 e) 0 02. Calcular “x.y” del sistema: 7 2 11 2 3 · + · + y x y x a) 6 b) 8 c) 16 d) 12 e) 21 w w w . L I B R O S P D F 1 . b l o g s p o t . c o m ________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________ 8 03. Calcular “x” en el sistema: 2 5 6 14 3 4 1 1 1 1 · + · − − − − − y x y x a) 0,25 b) -0,25 c)0,5 d)-0,5 e) 0,125 04. Calcular “x+2y+z” del sistema: 1 3 14 2 6 1 3 2 · − + − · − − · + + z y x z y x z y x a) 1 b) 0 c) -1 d) 2 e) 5 05. Calcular el valor de “k” si el sistema adjunto presenta infinitas soluciones: , ) 3 4 5 , 7 6 1 2 · + · + − y x ky x k a) 8 b) 6 c) -8 d) -2 e) 2 06. Calcular el valor de “x-y+z-w” del sistema: 4 1 1 5 · + + · + + − · + + · + + w z y w z x w y x z y x a) -1 b) -2 c) -3 d) 5 e) 3 07. Del siguiente sistema, calcular y x ab ay bx b a by ax 2 2 2 · + + · + a) a b) b c) ab d) a+b e) a/b 08. Calcular “ab” sabiendo que los sistemas son equivalentes 2 4 7 3 · + · + by x ay x ∧ 7 4 8 3 · + · + y bx y ax a) 2 b) 6 c)-2 d) -6 e) 12 09. Evaluar “n” si el sistema es inconsistente , ) , ) n y x n y n x · + + · − + 6 6 12 1 3 a) 1 b) 3 c) -1 d) -3 e) 5 10. ¿Para qué valor del parámetro “k” el sistema: Será compatible determinado , ) , ) 1 1 2 6 2 · + + · + + y k x k y x k a) R b) R - {1} c) R - {1;-2} d) R - {2;-5} e) 1 11. Calcular “m” si el sistema es incompatible 3 2 3 1 + · − · + m my mx my x a) 1 b) -1 c) -3 d) 0 e) 2 12. Resolver el sistema: , ) , ) , ) , ) 2 2 2 2 4 b a y b a x b a ab y b a x b a − · + + − · − − + Y calcular el valor de “x+y” a) a b) b c) ab d) a-b e) 2ª 13. Calcular “x” del sistema: b b y x y x a a y x y x − + · − − + + − + · + − + + 1 1 1 1 1 1 1 1 a) 1 1 − + ab b b) 1 1 − + ab a c) 1 1 + − ab a d) 1 1 + − ab b e) 2 14. Dado el sistema de ecuaciones 0 , 1 10 10 3 , 1 · − · − y x y x Encontrar el valor de “x+y” a) 8,5 b) 7,6 c) 8,4 d) 5,6 e) 6,5 15. Dado el siguiente sistema 81 9 25 3 3 5 · − · − y x y x Encontrar “x+y” a) 20 b) 24 c) 26 d) 25 e) 23 16. Resolver 8 10 9 4 1 2 2 2 · + + · + + + + + z y x z y x ∧ {x,y,z}⊂ R + Encontrar “x.y.z” a) 120/13 b) 128/9 c) 64/3 d) 32/9 e) 100/13 17. Resolver el sistema y encontrar la suma de todos los valores de x; y; z 5 11 7 · + + · + + · + + z y yz z x xz y x xy a) 6 b)-6 c) 8 d) 4 e) -8 w w w . L I B R O S P D F 1 . b l o g s p o t . c o m ________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________ 9 18. Resolver el sistema y dar el valor de “y” 6 10 5 2 3 7 6 5 3 2 · + · + y x y x a) 2 b) 5 c) 6 d) 2 3 e) 30 19. Determinar el valor de “a” para los cuales el sistema tiene solución única a z y x a z y x z y x − · + − + · + + · + + 3 2 2 14 3 2 a) 1 y 17 b) -17 c) R d) R – {-17} e) R – {17} 20. Si el sistema admite sólo dos soluciones diferentes. Calcular “abc” c xy y b x a · · + 1 2 2 2 2 a) ± 1 b) ±2 c) ± ½ d) ± ½ e) ±3 21. Para qué valores de “m” el sistema de ecuaciones tiene soluciones positivas 13 5 3 7 2 · + · + y x m y x a) m ≤ 3 26 < 5 91 b) 3 26 < 5 91 ≤ m c) 5 91 3 26 ≤ ≤ m d) 3 26 < m < 5 91 22. Al resolver el sistema , ) , ) , ) , ) i iz iy x i z y i x i iz y i x i − · + + · − + − − · + − − + 1 2 3 2 1 1 3 2 1 1 a) 1 b) -1 c) 2 d) -2 e) 0 El valor de |z| 23. Resolver el siguiente sistema: El valor de “z” es: , ) , ) , ) z x xz yz z y y x xy 5 3 6 7 7 8 15 2 7 15 11 − · − · − − − · a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 24. Si x; y; z ∈ Z + , determina el número de soluciones del sistema 4 6 · − + · + + z y x z y x a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 25. Para qué valores del parámetro “k” el sistema: Tiene infinitas soluciones. , ) , ) , ) 72 30 17 12 3 1 + · + + + · + + + k y x k k y k x k a) 3 b) 3 y 7 c) 1 d) 2 y -1 e) 4 y 1 26. Determina “x” en el sistema: a y x z a z x y a z y x 6 2 4 2 2 2 · + − · − − · − − a) 3 11a b) 3 16a c) 3 25a d) 3 31a e) 3 41a 27. Determine el valor de “k” para que el sistema tenga infinitas soluciones: 0 3 0 0 3 5 2 · + + · + − · + − z ky x z y x z y x a) -8 b) 7 c) 2 d) 3 e) 1 CLAVE: Sistemas de Ecuaciones 01. E 02. D 03. C 04. B 05. A 06. E 07. E 08. D 09. B 10. D 11. D 12. E 13. B 14. A 15. D 16. B 17. B 18. E 19. D 20. C 21. D 22. A 23. C 24. C 25. A 26. B 27. D TEMA 4 ECUACIONES E INECUACIONES CUADRÁTICAS En numerosos problemas, como la resolución de triángulos rectángulos o el estudio de movimientos físicos con aceleración, aparecen términos desconocidos elevados al cuadrado. Tales problemas se resuelven por medio de ecuaciones de segundo grado, también llamadas cuadráticas. 4.1. Ecuaciones cuadráticas Se llama ecuación cuadrática, o de segundo grado, con una incógnita a toda aquella que tiene la forma general reducida ax 2 + bx + c = 0, siendo a = 0. En general: a, b, c ∈ R . Si todos los coeficientes de la ecuación son distintos de cero, se dice que es completa. w w w . L I B R O S P D F 1 . b l o g s p o t . c o m ________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________ 10 Si el coeficiente lineal o el término constante son nulos, la ecuación es incompleta. 4.2 Resolución y discusión de ecuaciones cuadráticas: Pueden darse varios casos: • Si la ecuación es incompleta sin coeficiente lineal ni término independiente (ax 2 = 0), la solución es x = 0 (doble). • Cuando es incompleta sin coeficiente lineal (ax 2 + c = 0), las raíces son: a c − t • Cuando es incompleta sin término independiente (ax 2 + bx = 0), tiene dos raíces: a b x x − · ∨ · 2 1 0 • Una ecuación completa tiene dos raíces, dadas por la fórmula: a ac b b x 2 4 2 − t − · El valor ∆=b 2 - 4ac se llama discriminante, y de su estudio se deduce que • Si ∆>0 , la ecuación tiene dos raíces reales distintas; • Si ∆=0 , existe una única solución doble dada por x = -b/2a, • Si ∆<0 es menor que cero, las son complejas. 4.3 Relación entre las raíces y los coeficientes: • La suma de las raíces de la ecuación es igual al coeficiente lineal cambiado de signo dividido por el coeficiente principal: x1 + x2 = -b/a. • El producto de las raíces es igual al término independiente dividido por el coeficiente principal: x1 . x2 = c/a. • Si se conocen la suma: s = x1 + x2 y el producto: p = x1 . x2 de las raíces de la ecuación, se tiene que: x 2 - sx + p = 0. • Conociendo la diferencia d = x1 - x2 y el producto p = x1 . x2 de las raíces, se deduce que: 0 4 2 2 · + + t p x d p x • Sabiendo el valor de las raíces x1 y x2, la ecuación se puede expresar como un producto de binomios: (x - x1) (x - x2) = 0 (ecuación factorial). 4.4 Ecuaciones bicuadradas Estas ecuaciones tienen como forma general: ax 4 + bx 2 + c = 0 Al ser de orden 4, las ecuaciones bicuadradas tienen cuatro raíces o soluciones. Se resuelve sustituyendo y = x 2 , y se obtiene ay 2 + by + c = 0. • Se obtienen las raíces y1 e y2 de esta ecuación de segundo grado. • Se calculan las cuatro raíces de x como 1 2 , 1 y x t · ; 2 4 , 3 y x t · Según los valores obtenidos para y1 e y2 en la resolución de la ecuación de segundo grado intermedia, pueden darse varios casos: • Si y1 > 0 e y2 > 0, la ecuación bicuadrada tiene cuatro soluciones reales. • Cuando y1 > 0 e y2 < 0, o bien y1 < 0 e y2 > 0, la ecuación bicuadrada tiene dos soluciones reales y dos complejas. • Si y 1 < 0 e y 2 < 0, la ecuación bicuadrada no tiene soluciones reales (sus cuatro soluciones pertenecen al conjunto de los números complejos). 4.5. Ecuaciones irracionales Forma general: d c bx n ax · + + Para resolver estas ecuaciones, se elevan los dos miembros de la ecuación a la potencia que resulte conveniente según el índice del radical. El procedimiento general de resolución de las mismas consiste en: - Aislar en uno de los miembros el término que tiene la raíz cuadrada. - Elevar al cuadrado ambos miembros para eliminar la raíz. Después de simplificar la ecuación resultante, se obtiene una ecuación de segundo grado con una incógnita. - Se procede a resolver esta ecuación de segundo grado, con arreglo a los métodos habituales. - Al haberse elevado la ecuación al cuadrado, se ha introducido una solución «falsa». Las dos raíces obtenidas de la ecuación de segundo grado se han de comprobar en la ecuación irracional original; se descubrirá entonces que sólo una de ellas cumple la igualdad de la ecuación. Ésta será su única solución. Algunas ecuaciones que no son necesariamente cuadráticas, pueden resolverse por los métodos de factorización o por la fórmula cuadrática, si primero se realiza una sustitución apropiada. Como por ejemplo: x 4 + 5x 2 – 84 = 0 Haciendo: x 2 = z, de donde: x 4 = z 2 Reemplazando: z 2 + 5z – 84 = 0 (z + 12)(z – 7) = 0 z + 12 = 0 ∨ z – 7 = 0 z = - 12 ∨ z = 7 x 2 = - 12 ∨ x 2 = 7 w w w . L I B R O S P D F 1 . b l o g s p o t . c o m ________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________ 11 4.6 Ecuaciones Incompletas: Son de la forma ax 2 + bx = 0 ∨ ax 2 + c = 0 Para resolver este tipo de ecuación se procede de la siguiente forma: En: ax 2 + bx = 0 En: ax 2 + c = 0 ¹ ¹ ¹ ' ¹ − · · a b x x 2 1 0 ¹ ' ¹ − t a c ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE COOPERATIVO Y AUTÓNOMO NIVEL I 01. Hallar la ecuación de segundo grado de coeficiente principal 1 y de raíces “m” y “n” si se sabe que: I. x 2 + (m – 1)x + m – 2 = 0 tiene una sola solución real. II. x 2 – (n + 1)x + 2n = 0 tiene una raíz igual a 3. A. x 2 + 9x + 18 = 0 B. x 2 – 6x + 18 = 0 C. x 2 – 9x – 18 = 0 D. x 2 – 9x + 18 = 0 E. x 2 – 6x – 18 = 0 02. Hallar los valores de “k” para que las raíces de la ecuación: kx 2 + x + kx + 2 = 0 sean reales e iguales. Señalar la suma de sus valores. A. 4 B. 5 C. 6 D. – 2 E. 8 03. Las raíces de la ecuación: x 2 – 4x + 2 = 0, son “a” y “b”. El valor de: a 2 + b 2 es: A. Un número irracional B. Es un número racional menor que 1. C. Es un número imaginario D. Es un entero positivo E. Es un número complejo 04. La suma de dos números es dos y su producto – 4. Hallar la suma de sus recíprocos. A. ½ B. – ¼ C. ¼ D. –½ E. 1/5 05. Un postulante y sus amigos compran cierto número de lapiceros por 144 soles. Si cada lapicero hubiera costado 2 soles menos, comprarían uno más. El número de amigos de postulante es: A. 12 B. 16 C. 18 D. 7 E. 8 06. Al resolver un problema que se reduce a una ecuación de segundo grado, un estudiante comete un error en el término constante de la ecuación y obtiene como raíces 8 y 2. Otro estudiante comete un error en el coeficiente del término de primer grado y obtiene como raíces – 9 y – 1. La diferencia entre la suma y el producto de las raíces de la ecuación correcta es: A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5 NIVEL II 01. Sabiendo que “m” y “n” son las raíces de la ecuación: x 2 – 8x + C = 0. Calcular el valor de: 16 2 2 2 C n m + + A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5 02. De las siguientes ecuaciones: x 2 + x + k = 0 …………. ( 1 ) x 2 – 5x + k = 0 ………… ( 2 ) Se sabe que una de las raíces de (2) es el triple de una raíz de la ecuación (1). El valor de k es: A. 4 B. – 4 C. 6 D. – 6 E. t 5 03. La menor raíz de la ecuación: 11 1 · + + x x es: A. 6 B. 8 C. 11 D. 15 E. 2 04. Determinar el valor de “m” para que las raíces de la ecuación sean opuestas: 8mx 2 + 7(m – 1)x + 1 = 0. A. 1 B. 2 C. – 2 D. – 1 E. 3 05. Las raíces de la ecuación: 3x 2 + 2x + 2 = kx + k son recíprocas. Cuál es el valor de la constante “k”? A. 1 B. – 2 C. 2 D. 0 E. – 1 06. Determinar los valores que debe tener “k” en la ecuación: 9x 2 + k = 0, para que las soluciones sean números reales. A. [0;+∞[ B. [9; +∞ [ C. [3; +∞ [ D. ]- ∞;0] E. ]- ∞;3] 07. Calcular el valor de “k” en la ecuación: x 2 + (2k + 5)x + k = 0. Si una raíz excede a la otra en tres unidades. A. 2 B. 1 C. -1 D. – 2 E. 3 w w w . L I B R O S P D F 1 . b l o g s p o t . c o m ________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________ 12 08. Sea la ecuación cuadrática: ax 2 + bx + c = 0 y sus raíces r 1 ; r 2 . Se puede afirmar: I. Si r 1 + r 2 r 1 .r 2 ÷ b + c = 0 II. Si r 1 es opuesta de r 2 ÷ b = 0 III. Si r 1 = 2r 2 ÷2b 2 = 9ac A. Las tres afirmaciones son verdaderas B. I y II son verdaderas C. I y III son verdaderas D. II y III son verdaderas E. Sólo II es verdadera 09. Se sabe que 2 + 3 es una raíz de una ecuación cuadrática. Determinar dicha ecuación. A. x 2 – 4x + 1 = 0 B. x 2 + 4x + 1 = 0 C. x 2 – 4x – 1 = 0 D. x 2 – 4x + 2 = 0 E. x 2 + 4x – 3 = 0 10. Un granjero amarra su vaca en la esquina de su casa. El observa que si la cuerda fuera alargada en 10m, ella podría abarcar cuatro veces el área original. Entonces la longitud original de la cuerda es: A. 10/2 m B. 5m C. 15m D. 20m E. 10m INECUACIÓN A partir de un rectángulo de cartón de 40 cm de ancho y 60 de largo deseamos formar una caja recortando cuatro cuadrados, uno en cada vértice, para su doblado posterior. ¿Qué valores podemos dar al lado de los cuatro cuadrados para que el volumen de la caja sea al menos de 5 litros? Efectuando un análisis algebraico del tema: Llamamos “x” al lado del cuadrado, con lo que los lados de la base de la caja medirán respectivamente 60 – 2x y 40 – 2x. La altura de la caja equivale al lado x. Así ya tenemos el volumen: (60-2x)(40-2x)x. Convertimos los litros a cm 3 : 5000 cm 3 . Llegamos así a la inecuación que resuelve el problema: (60-2x)(40-2x)x>5000 Por tanto, el problema se resuelve estudiando esta inecuación. Problema: Un grupo de alumnos y alumnas del Ceprunsa piensa que igual que el fútbol, nació el fútbol sala, podrían inventar un rugby sala e instalarlo en el gimnasio. Han logrado que les cedan 32 metros de perfiles metálicos para construir dos porterías en forma de hache. Desean un área total entre los perfiles de al menos 20 metros cuadrados. ¿Entre qué límites pueden elegir su altura y anchura? La alumna más lista del grupo ha realizado el esquema y el planteo, y ha ofrecido esto a los demás: Llamó “b" a la altura y “a" a la base. Como disponemos de 16 metros de perfil por portería, se cumplirá que: a+2b = 16 de donde: a = 16-2b y el área del hueco de la hache: A = ab = b(16-2b) Si llamamos “x” a la variable “b”, podremos escribir la inecuación: x(16 - 2x) ≥ 20; o bien: x(16 – 2x) – 20 ≥ 0 Importante: I. Si a > b > 0 ÷ 0 > > n n b a ; N n b a n n ∈ > > ; 0 II. Si a < b < 0 ÷ 1) 0 2 2 > > n n b a 2) 0 1 2 1 2 < < + + b n b a ; n ∈N III. Si a < 0 ∧ b > 0, además: } ; { 0 2 2 2 b a Máx x b x a < ≤ → < < IV. Propiedad del trinomio positivo: Sea P(x) = ax 2 + bx + c ; P(x) > 0 ÷ a > 0 ∧ ∆ < 0 Ejemplos: 1. Cuál es el conjunto solución de: 3x 2 + 7x – 6 > 0 Primero hallamos su discriminante: ∆ = 7 2 – 4(3)(-6) = 121 Como ∆> 0, la inecuación tiene dos raíces (puntos críticos) y además es factorizable: (3x – 2)(x + 3) = 0 a b w w w . L I B R O S P D F 1 . b l o g s p o t . c o m ________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________ 13 De donde los puntos críticos son: 2/3 y – 3 Ubicándolos en la recta real de los números: + - + -3 2/3 Rpta.: ]-, 3[ ∪]2/3; +[ 2. Resolver: 2x 2 – 4x + 13 ≥0 ∆ = 4 2 – 4(2)(13) = - 88 Como: ∆ < 0, entonces 2x 2 – 4x + 13 es siempre mayor que cero para todo x, luego la solución es todos los reales. Rpta.: R 3. Resolver: 1 1 > x Restando a ambos miembros 1: 0 1 1 > − x 0 1 < − x x Puntos críticos: x = 1 x = 0 + - + 0 1 Rpta.: ]0; 1[ 4. Resolver: 1 3 + < + x x - Determinamos el dominio: x + 3 0, entonces: x - 3 3 1 + > + x x , ) 2 2 3 ) 1 ( + > + x x x 2 + x – 2 > 0 - Calculamos los puntos críticos: x 1 = - 2 ; x 2 = 1 - Verificamos si las raíces verifican la inecuación irracional: Para x = - 2 : - 2 + 1 - 3 2 + − = - 2 no es raíz de la inecuación. Para x = 1 : 1 + 1 - 3 1+ = 0 si es raíz de la inecuación - Determinamos el signo de la inecuación irracional: Para: x ∈ [-3; 1[ es ( - ) Para x ∈ ]1 ; +[ es ( + ) Solución: x ∈ (1; +×) EJERCICIOS Y PROBLEMAS Nivel I. 01. Si: 2x – 1 ∈ [4; 11]. Hallar el menor valor que satisface a: M x x ≤ + + 1 3 A. 9/7 B. 5/7 C. 11/7 D. 10/7 E. 12/7 02. Hallar la suma de los valores enteros que NO satisfacen a la inecuación: x 2 – x – 20 > 0 A. 6 B. 5 C. 4 D. 7 E. 8 03. Determinar el complemento del conjunto solución de la inecuación: 4x 2 - 28x + 49 > 0 A. R B. R -{7/2} C. {7/2} D. Ø E. R + 04. Hallar el conjunto solución de la inecuación: x 2 – 4/3 x + 4/9 < 0 A. R B. Ø C. {2/3} D. 0 E. Ø’ 05. Hallar la unión de los conjuntos solución de las inecuaciones: 4x 2 – 13x + 3 > 0 2x 2 – x + 5 < 0 A. R B. Ø C. R + D. R - E. R + 0 06. Un agricultor quiere levantar una cerca rectangular junto a un río. Va ha usar 120m de material. Cuál es el área más grande que puede cercar? Tener en cuenta que no habrá cerca en el lado del río. A. 2400m 2 B. 3600m 2 C. 1400 m 2 D. 1800m 2 E. 1600m 2 07. Determinar la suma de los enteros que simultáneamente cumplen las inecuaciones: 7 4 7 5 6 + > + x x y x x x − > + 2 2 2 2 75 3 A. 30 B. 39 C. 42 D. 49 . 60 08. Qué valores de x mayores que 1/3 satisfacen la inecuación: ? 1 3 2 1 1 − < + x x A. ]-×; -1[∪]1/3; 3[ B. ]1/3; 3[ C. ]-1; 3] D. [-1; 1/3] E. ]-×; +×[ w w w . L I B R O S P D F 1 . b l o g s p o t . c o m ________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________ 14 09. A un estudiante le dan a vender cierta cantidad de pollitos. Después de vender 35, le quedan todavía un poco más de la mitad. Luego le devuelven 3 y vende enseguida 18, con lo que restan aún algo menos de 22. Cuántos pollitos le dieron a vender? A. 60 B. 70 C. 71 D. 73 E. 72 10. Resolver: x > -×; x > 5 ; x < × ; 9 , 0 ) > x ; 9 , 9 ) < x A. Incompatible B. - × < x < +× C. 5 < x < 10 D. 5 < x < +× E. 10 < x < + × Nivel II 01. Si a y b son dos números positivos donde a > b, identificar dónde está el error en la siguiente secuencia: a.b > b 2 …………………. (1) ab – a 2 > b 2 – a 2 ………………. (2) a(b – a) > (a + b) (b – a) …………… (3) a > a + b ………………….. (4) 0 > b …………………….. (5) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5 02. Resolver: 15x 2 – 29x – 14 > 0 A. x> 7/3 B. x <7/3 C. x >-2/5 D. x <-2/5 E. R -[-2/5;7/3] 03. Resolver: 0 1 2 > + − x x A. 1<x<2 B. -×<x<1 ∧ 2<x<+× C. x >1 D. x <2 E. x >0 04. Cuántas soluciones enteras y positivas tiene la inecuación: 27 4 3 26 − > − x x A. 26 B. 27 C. 28 D. 29 E. 30 05. El cuadrado de la edad de Mary Isabel es 3 mayor que 165. En cambio el doble de su edad más 3 da un número menor que 30. Cuántos años tiene Mary Isabel? A. 20 B. 18 C. 15 D. 13 E. 11 06. Un carpintero hizo un cierto número de carpetas. Vende 49 y le quedan por vender más de la mitad. Hace después 9 carpetas y vende 20, quedándole menos de 41 carpetas que vender. Cuántas carpetas ha hecho sabiendo que inicialmente fabricó un número par de carpetas. A. 107 B. 102 C. 100 D. 109 E. 103 07. Si: - 1 < b < a < 0, donde “a” y “b” son números reales. De las siguientes proposiciones: I. a 2 > b 2 II. a 2 > b 3 III. a 3 < b 3 Son ciertas: A. I y II B. II y III C. I y III D. I, II y III E. sólo II 08. Resolver la desigualdad: x 4 + 96x – 144 < 6x 3 + 7x 2 A. -4 < x < 3 B. – 4 < x < 4 ; x ≠ 3 C. 3 < x < 4 D. – 3 < x < 3 E. – 3 < x < 4 09. Hallar el menor valor natural de x que satisface a: 1 2 5 3 2 − − ≤ + x x x A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5 10. Hallar el conjunto donde debe estar “m” para que el conjunto solución de: (2m + 1)x 2 – 3mx + (2m + 1) < 0 Sea ]-×; +×[ A. R B. ]-2; +×[ C. ]-×; -1/2[ D. ]-×; -2[ E. R - CLAVE Nivel I: 01 – C 02 – B 03 – C 04 – B 05 – A 06 – B 07 – B 08 – B 09 – C 10 – C Nivel II: 01 – D 02 – E 03 – B 04 – A 05 – D 06 – D 07 – E 08 – B 09 – B 10 – D w w w . L I B R O S P D F 1 . b l o g s p o t . c o m ________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________ 15 TEMA 5 FUNCIONES Intuitivamente la palabra función se refiere a una asignación o correspondencia de un conjunto a otro. Por ejemplo: Considera un conjunto de estudiantes y un conjunto de edades, en que a cada estudiante le corresponde un número que es su edad en años. Estudiante Edad Esteban 19 Kevin 18 Isabel 21 María 18 Pablo 20 En la tabla se observa que a cada estudiante le corresponde una edad. A ese tipo de asociación se le llama función. Definición: Para dos conjuntos X e Y una función o aplicación es una correspondencia matemática denotada Y X f → : que asigna a cada x de X, un único f(x) de Y . En el ejemplo anterior el dominio es {Esteban, Kevin, Isabel, María, Pablo} y el recorrido es {18,19, 20, 21}. La función se puede ilustrar mediante un diagrama usando flechas para indicar la forma en que se asocian los elementos de los dos conjuntos. Dibuja ese diagrama en el espacio provisto. Nota: Si x es un elemento en el dominio de la función, entonces el elemento en el recorrido que f asocia con x se denota simbólicamente f(x), y se llama la imagen de x bajo la función f. En el ejemplo anterior f(Kevin) = 18, f(Isabel) = 21. También se conoce la imagen como el valor de la función f en x. También “x” es la variable independiente, “y” es llamado variable dependiente. Nota El dominio de una función puede estar limitado por: 1.- Por el propio significado y naturaleza del problema que representa. Ejemplos A. En la función f ( x) =x 2 , el dominio lo forman los números reales. B. La función definida por f ( x) =x+1, tiene como dominio e imagen todos los números reales R C. Con la sucesión de números reales (a n )= (-n 2 +18) (es una función: f(n)=-n 2 +18) pasa algo parecido pues en principio no tenemos inconveniente en calcular la imagen de cualquier número real. No obstante, la propia definición de sucesión nos hace considerar que solo son posibles las imágenes de números naturales. 2.- Por la expresión algebraica que define el criterio. A la hora de estudiar la expresión que representa una función tendrás que tener en cuenta tres aspectos fundamentales: 1 El radicando de una raíz de índice par debe ser positivo. 2 Si se trata de una división, el divisor debe ser distinto de cero. 3 La función logaritmo solo admite valores mayores estrictos que cero. Ejemplos Calcula el dominio de definición de las siguientes funciones: 1) 2 2 1 ) ( x x f · . En este caso, al no aparecer cocientes ni raíces ni logaritmos en los que intervenga la variable x, podemos calcular la imagen a cualquier número real. Por tanto Dom(f ) = R 2) 1 ) ( − · x x f Como el radicando de una raíz de índice par debe ser positivo, debemos exigir: x – 1 _ 0 ÷ x _ 1÷Dom ( f ) = [1;+×) 3) 1 4 5 ) ( + − · x x x f Ahora tendremos que los puntos que no pertenecen al dominio son los que anulan al denominador. Veamos cuales son: x + 1=0 luego x = - 1. Por tanto el dominio de f serán todos los números reales menos el -1: Dom(f )= R - {-1} 4) 2 1 ) ( x x f − · Tengo que exigir de nuevo: 1 – x 2 _ 0 ÷ 1 _ x 2 -1x1, luego Dom( f )=[ - 1; 1] w w w . L I B R O S P D F 1 . b l o g s p o t . c o m ________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________ 16 Ejercicios Calcula la imagen de los números 0, 1, 2, y 10 en las siguientes funciones: , ) , ) , ) , ) , ) x x f . n n f sucesión La . x x x m . x x g . x x f . − · + · − − · − · · 4 5 3 4 4 1 3 3 1 2 1 2 2 2 2 5.1 Definición La gráfica de la función f es el lugar geométrico de los puntos del plano cuyas coordenadas satisfacen la ecuación y=f(x) Operaciones con funciones: Sean la funciones f 1 y f 2 , se define: Suma de funciones: (f 1 +f 2 )(x)= f 1 (x)+f 2 (x) Dom(f 1 +f 2 )= Dom(f 1 ) ∩ Dom(f 2 ) Diferencia de funciones: (f 1 -f 2 )(x)= f 1 (x)-f 2 (x) Dom(f 1 -f 2 )= Dom(f 1 ) ∩ Dom(f 2 ) Producto de Funciones: (f 1 .f 2 )(x)= f 1 (x).f 2 (x) Dom(f 1 .f 2 )= Dom(f 1 ) ∩ Dom(f 2 ) Cociente de Funciones: , ) , ) , ) x f x f x f f 2 1 2 1 · , _ ¸ ¸ Dom(f 1 /f 2 )= Dom(f 1 )∩Dom(f 2 )-{x / f 2 (x)= 0} Ejemplos Calcula la función suma de las siguientes funciones con sus dominios respectivos: 1.- f 1 ( x) =x 2 +1 y f 2 ( x) =-2x 2 +4 y s =(f 1 +f 2 )(x)=x 2 +1-2x 2 +4=-x 2 +5. Además, Dom(f 1 +f 2 )= Dom(f 1 ) ∩ Dom(f 2 )= R 2.- , ) x x x f 1 1 + · y , ) 1 1 2 − + − · x x x f Entonces , ), ) x x x x x x f f 1 1 1 1 2 1 · − + − + + · + Además, Dom(f 1 +f 2 )= Dom(f 1 ) ∩ Dom(f 2 )= R - {0;1} 3.- Dadas las funciones f 1 (x)=x+1 y f 2 (x)=x+2 calcula (f 1 .f 2 )(x) así como (f 1 /f 2 ) (x) con sus dominios respectivos. , ), ) , ), ) , ) 2 1 2 3 2 1 2 1 2 2 1 + + · , _ ¸ ¸ + + · + + · ⋅ x x x f f x x x x x f f Su dominio Dom(f 1 / f 2 )= Dom(f 1 ) ∩ Dom(f 2 )= R - {-2} puesto que el -2 anulará el denominador de la función cociente. 4.- Sean f(x) = 2x – 1 ; g(x) = x + 3; hallar (f + g)(x) y (f / g)(x) (f + g)(x) = 3x + 2 ; Dom(f + g) = R , ) 3 1 2 + − · , _ ¸ ¸ x x x g f ; Dom (f / g) = R – {-3} Observa que en la función cociente también hemos quitado del dominio el punto -3 puesto que la función se anula para dicho punto. 5.2 Función compuesta. Definición Dadas dos funciones y=f(x), z=g(y), se llama función compuesta (g o f ) a la función ( gof ) ( x) =g(f (x) ) Observando este esquema observamos que para que exista la función compuesta es necesario que el recorrido de la función f quede totalmente incluido en el dominio de la función g. Nota Si no se verificara esta condición podríamos construir una función compuesta realizando una restricción en los puntos donde no existen problemas. En este caso, el dominio de definición de la nueva función sería: Dom (g o f) = {x ∈Dom(f) / f(x) ∈Dom(g)} Ejemplos 1.- Estudiar la existencia de la función compuesta de las siguientes funciones y en caso afirmativo calcularla: f(x)=x+1 g(x)=x 2 +1 En este caso el dominio de la función g es todo R . Cuando esto ocurra, la función compuesta existe y el dominio de la misma coincidirá con el dominio de f. Por tanto, en este caso la función compuesta existe y Dom(gof) = Dom(f) = R Además ( gof )( x) =g( f ( x) ) =(f ( x) ) 2 +1=( x+1) 2 +1= x 2 +2x+1+1= x 2 +2x+2 w w w . L I B R O S P D F 1 . b l o g s p o t . c o m ________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________ 17 2.- Estudiar la existencia de gof en el caso: 1 1 ) ( − + · x x x f y 2 ) ( x x g · En este caso, Dom(g) = R luego el la función gof existe siendo además Dom(g o f ) = Dom(f ) = (-×, -1] ∪(1;+×) 1 1 1 1 )) ( ( )) ( ( ) ( 2 − + · , _ ¸ ¸ − + · · · x x x x x f x f g f g o 3.- Dadas las funciones: 2 1 ) ( + − · x x x f y 3 1 ) ( + · x x g estudiar la existencia de gof y de f o g a) Para g o f Dom(g) = R - {0}. Por tanto, si existe algún punto del dominio de f tal que f(x)=0 entonces no existirá g o f. Veámoslo: 1 0 1 0 2 1 0 ) ( · ↔ · − ↔ · + − ↔ · x x x x x f Por tanto, como existe un punto verificando eso, la función gof no existe en este caso. No obstante construyamos una restricción. Para ello bastará con quitar al dominio de f los puntos que verifican que f(x)=0. Dom(f ) = R - {-2} y Dom(gof ) = R - {-2,1} b) Para f o g Dom(f ) = R - {-2}. Por tanto habrá que comprobar si existe algún punto tal que g(x)=-2: 5 1 5 1 2 3 1 2 ) ( − · ↔ − · ↔ − · + ↔ − · x x x x g Como existe un punto en esas condiciones, no existe fog. No obstante construyamos una restricción. Para ello bastará con quitar al dominio de g los puntos que verifican que g(x) = -2. Dom(g) = R - {0} y Dom(gof ) = R - {-1/5,0} 4.- Sean: f:R ÷R / f(x) = x 2 y g: R ÷R / g(x)=x+2, Para gof Img (f )⊂Dom(g)÷(gof)(x)=g[f (x)] (gof)(x)=g[f(x)]=g(x 2 )=x 2 +2 Para fog Img (g)⊂Dom(f )÷(fog)(x)=f [g(x)] (fog)(x)=f[g(x)]=f(x+2)=(x+2) 2 5.3 Definición Se llama función identidad a la función que le hace corresponder a cada número real el propio número. Se representa por I(x). 5.4 Definición Una función f se dice inyectiva o función uno a uno, si verifica que dos puntos distintos no pueden tener la misma imagen. De otra forma: f es inyectiva ÷ ( ∀x 1 , x 2 talque f(x 1 )=f(x 2 )÷x 1 =x 2 ) 5.5 Definición Una función f: A÷ B se llama sobreyectiva si todo elemento “y” de B es imagen de algún elemento “x” del dominio, es decir: R B A y x f A x B y ⊂ · ∈ ∃ ∈ ∀ , ; ) ( / , Por ejemplo, f: R ÷R / f (x)=x 2 no es inyectiva ni sobreyectiva. h : R ÷R , h(x)= x 3 es inyectiva y sobreyectiva. f : [0;+∞) ÷ R talque : f(x) = x 2 es inyectiva. Definición Sea f:A÷B una función inyectiva, entonces existe la función inversa de f denotada por f - 1 , donde f - 1 : B÷A definida por : f - 1 ( y)=x si y sólo si f ( x)=y Ejemplos 1.- Calcular, si es posible la función inversa de En primer lugar debemos estudiar si la función en cuestión es inyectiva o no: 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 1 3 3 2 2 2 2 ) 1 )( 2 ( ) 1 )( 2 ( 1 2 1 2 ) ( ) ( x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f x f · → · → − − + · − − + → → + − · + − → + − · + − → · Con esto queda probado que la función f es inyectiva y por tanto existe f -1 . Calculémosla: , ) , ) 1 2 1 2 2 1 1 2 1 − − − · ⇒ − − − · ⇒ − · + ⇒ + − · − x x x f y y x x x y x x y 1 2 ) ( + − · x x x f w w w . L I B R O S P D F 1 . b l o g s p o t . c o m ________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________ 18 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -9 -8 -7-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 - 11 -10 - 9 - 8 - 7 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 -3 -2 - 1 0 1 2 3 5.6 FUNCIONES ELEMENTALES 5.6.1.LA FUNCIÓN LINEAL Tiene por ecuación: y=ax, con “a” se llama pendiente y, cuanto mayor sea mayor es la inclinación de la recta que la representa. 5.6.1.1 Características: -Su dominio es Dom(y)= R -Es una función impar (simétrica con relación al origen de coordenadas). Corta al eje X y al eje Y sólo en el punto (0, 0). -Crece si a>0 y decrece si a<0. -Su gráfica es una recta que pasa por el origen de coordenadas EJEMPLO La gráfica de y=-2x es: 5.6.2 LA FUNCIÓN AFÍN Su ecuación es: y=mx+b “m” es la pendiente. “b” es la ordenada al origen y representa la distancia desde el punto donde la gráfica corta el eje Y hasta el origen de coordenadas. Características: -Su dominio es Dom(y)= R -Es continua. -Corta el eje Y en (0, b) y al eje X en (-b/m, 0). EJEMPLO La gráfica de: y=4x-2 es: 5.6.3. LA FUNCIÓN CUADRÁTICA Tiene por ecuación general: f (x)= ax 2 +bx+c con a=0 y su gráfica es una parábola. Características: Vértice situado en , _ ¸ ¸ , _ ¸ ¸ − − a b f , a b 2 2 . -El domino es Dom(y)= R -Es continua. Corta al eje Y en (0, c). -Si a>0, la parábola se abre hacia arriba y si a<0, la parábola se abre hacia abajo EJEMPLO En la función: y=x 2 -4x+3 Como a=1>0, entonces la parábola se abre hacia arriba y la abscisa del vértice es (-(-4)/2(1))=2 y f(2)=-1 así el vértice es el punto (2,-1), y su gráfica es: 5.6.3 LA FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD INVERSA Su ecuación es: k 0; Su gráfica es una hipérbola que tiene como asíntotas a los ejes coordenados. Características -El dominio es: Dom(y)= R -{0} -La función presenta una discontinuidad de salto infinito en x = 0. -No corta a los ejes de coordenados. -Es una función impar y simétrica con relación al origen de coordenadas. EJEMPLO La tabla de valores de la función x y 8 − · es: Y su gráfica es: x y 8 -1 4 -2 2 -4 1 -8 -1 8 -2 4 -4 2 -8 1 x k y · -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -3 -2 -1 0 1 2 3 w w w . L I B R O S P D F 1 . b l o g s p o t . c o m ________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________ 19 5.6.7.APLICACIÓN DE LAS FUNCIONES A LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Ejemplo 1: Encontrar la ecuación de la función afín que pasa por los puntos cuyas coordenadas son (-1, 3) y (4, 7). Sabemos que una función afín es de la forma: y=mx+n Sustituyendo x e y por los valores de las coordenadas de los dos puntos dados se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones: ¹ ; ¹ · + · + − 7 4 3 n m n m Restando miembro a miembro nos da: 5 4 4 5 · → − · − m m Y, sustituyendo en la 1ª: 5 19 3 5 4 · → · + − n n Y la función pedida es: 5 19 5 4 + · x y Ejemplo 2: La compañía telefónica nos cobra mensualmente, 4 por alquiler de la línea y 40 céntimos de euro por cada minuto hablado. Escribe la ecuación de la función que nos da el gasto en relación de los minutos hablados.¿Cuánto habrá que pagar si hemos hablado 2 horas? ¿Cuántos minutos hemos hablado si hemos pagado 35? La ecuación de la función es: y=0,4x+4 Si hacemos x=120 minutos. y=0,4*120+4=52 Si hemos pagado 35, habremos hablado: 35=0,4x+4 x=77,5 Es decir, 1 hora, 17 minutos y 30 segundos. Ejemplo 3: ¿Cuál es la ecuación de la parábola que pasa por los puntos (0, 4), (2, 0) y (-2, 0)? La ecuación general será: y=ax 2 +bx+c Para cada uno de los puntos dados obtenemos c=4 4a+2b+c=0 4a-2b+c=0 Estas dos últimas forman un sistema de ecuaciones (una vez sustituido el valor de c dado por la 1ª) que resuelto da: 0 1 8 8 4 2 4 4 2 4 · ∧ − · → − · → ¹ ; ¹ − · − − · + b a a b a b a Y la ecuación es: y = -x 2 +4 Ejercicios y problemas 01. Hallar el complemento del dominio de la función: 1 1 ) ( 2 − · x x f A. {1; -1} B. ]1; - 1[ C. [-1; 1] D. R – {1; -1} 02. Hallar la suma de los elementos del complemento del dominio de la función: ) 4 ( 2 ) ( 2 3 − · x x x f A. 2 B. 1 C. -2 D. 0 E. – 1 03. Determinar la suma de los números enteros que pertenecen al complemento del dominio de la función: 4 ) ( 2 − · x x f A. -2 B. 4 C. – 1 D. 0 E. -4 04. Sea F una función constante, tal que: 5 3 ) 2 ( ) 1 ( ) 1 ( · − + + − n F n F n F Calcular: F(n 2 – 1) + F(n 3 – 1) A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 E. 12 05. Sean “g” y “h” dos funciones definidas en Q por: g(x) = ax – 1 ; h(x) = 3x + b tales que: g(1) = h(-1) ; g(-1) = h(1) Entonces: g(2) + h(3) es igual a: A. – 2 B. – 1 C. 0 D. 1 E. 2 06. Encontrar la suma de los elementos del rango de F/G, sabiendo que: F = {(3; 4), (2; 9), (-3; 0), (1; 6)} G = {(0; 7), (-3; 1), (2; -3), (3; -2)} A. -5 B. 0 C. – 105 D. 15 E. – 15 w w w . L I B R O S P D F 1 . b l o g s p o t . c o m ________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________ 20 07. Para: x x h − · 1 ) ( y 4 ) ( 2 + − · x x g Hallar gοh. Señale su dominio. A. ]-3; 1[ B. [-2; 1] C. ]-3; 1] D. [-3; 1] E. ]-×; 1] 08. Marcar verdadero (V) o falso (F) sustentando sus afirmaciones: ( ) {(x;y)∈R 2 / y = x 2 – 3x + 5 } es inyectiva ( ) {(x;y) ∈R 2 / } no es inyectiva ( ) {(x;y) ∈R 2 / y = 1998 – x 3 – 5x} es inyectiva A. VFV B. VVV C. FFV D. FFF E. FVV 09. Cuáles de las siguientes funciones son suryectivas? I. f(x) = 3x + 6 II. III. h(x) = 3x 2 + 4 A. I y III B. II y III C. I y II D. I E. Todas 10. La siguiente función: h(x) = x 3 + 2 es: A. sólo inyectiva B. sólo suryectiva C. biyectiva D. inyectiva y antisimétrica E. Ninguna 11. Señala el vértice de la función: A. (0;4) B. (0;1/4) C. (4;0) D. (0,0) E. (-1/4, 0) 12. Se cerca una finca rectangular de área A con 42 m de alambrada, sin que sobre ni falte nada. a Expresa el área de la finca en función de uno de sus lados b Representa gráficamente la expresión anterior. c ¿Cuál es el dominio de definición? d ¿Para qué valor de los lados obtenemos la finca de área máxima? Un lado del área máxima es: A. 12,5m B. 10,5m C. 8,5m D. 14,5 E. 6,5m 13. Un cañón situado en el punto (0;3) dispara una bala con una trayectoria: y 2 = x – 3. Si un avión viaja por la recta y = 4 y la bala lo destruye. Hallar el punto sobre el que fue el impacto. A. (20; 6) B. (12; 8) C. (16; 5) D. (19; 4) E. (18; 6) 14. Una liebre coja describe la trayectoria y = x 2 , un perro que recorre la recta: y = x la distingue y la logra capturar. Hallar el punto donde la captura, si sus coordenadas son positivas. A. (2; 3) B. (2; 6) C. (1; 1) D. (3; 3) E. (2; 2) 15. Hallar el área del triángulo que forma la gráfica de f(x) = 6 y A. 25u 2 B. 16u 2 C. 64u 2 D. 49u 2 E. 36u 2 CLAVE 01 – A 02 – D 03 – D 04 – D 05 – D 06 – A 07 – B 08 – D 09 – C 10 – C 11 – C 12 – B 13 – D 14 – C 15 – E Ejercicios complementarios: 01. Calcular el dominio de las funciones: a) f(x) = x 2 – 7x + 12 b) 02. Calcular el dominio de las funciones racionales: a) b) c) d) 03. Calcular el dominio de las funciones radicales: a) b) c) d) e) 04. Calcular las funciones inversas de: a) b) c) 05. Dadas las funciones: Calcular: g o f , f o g y h o f o g 1 2 5 6 − − · x x y 5 4 ) ( − · x x g 4 2 4 1 2 + − · x x y 1 ) ( − · x x g 5 3 2 ) ( 2 − · x x f 2 3 2 ) ( 2 + − · x x x f 1 3 2 ) ( 2 2 − − · x x x f 1 3 2 ) ( 2 2 + − · x x x f 1 2 3 2 ) ( 2 2 + + − · x x x x f 2 ) ( − · x x f 8 6 ) ( 2 + − · x x x f 4 4 ) ( 2 + + · x x x f 5 2 ) ( − − · x x x f 2 5 ) ( − − · x x x f 1 2 ) ( + · x x f 2 ) ( x x f · 4 3 2 ) ( − · x x f 1 2 1 ) ( − · x x f 1 2 1 2 ) ( + − · x x x g x x h 1 ) ( · w w w . L I B R O S P D F 1 . b l o g s p o t . c o m ________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________ 21 TEMA 6 FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA 6.1. Función Exponencial.- Una función exponencial de base a es aquella cuya regla de correspondencia es x a x f · ) ( ; con a real positivo y . 1 ≠ a Donde el R f Dom · ) ( , [. , 0 ] ) ( +∞ · f Rang y=a x 0<a<1 X (0,1) y=a x 1<a X (0,1) Y Y 6.1.1 Ecuaciones e Inecuaciones Exponenciales a. Si ) ( ) ( x g x f b b · ⇔ ). ( ) ( x g x f · b. Si a a x g x f ) ( ) ( · ⇔ ). ( ) ( x g x f · c. Si ) ( ) ( ) ( ) ( x g x f b b x g x f < ↔ < cuando . 1 > b d. Si ) ( ) ( ) ( ) ( x g x f b b x g x f > ↔ > cuando . 1 > b e. Si ) ( ) ( ) ( ) ( x g x f b b x g x f > ↔ < cuando . 1 0 < < b f. Si ) ( ) ( ) ( ) ( x g x f b b x g x f < ↔ > cuando . 1 0 < < b 6.2. Función Logarítmica.- Si 0 > b y 1 ≠ b entonces la función x log ) x ( f b · se llama función logaritmo de base b cuyo [ , 0 ] ) ( +∞ · f Dom , . ) ( R f Rang · 6.2.1 Ecuaciones de Logaritmos: N x log b · ⇔ N b x · para . 1 0 ≠ < b a. x b x b · log b. 0 1 log · b c. 1 log · b b d. y x xy b b b log log log + · e. y x y x b b b log log log − · f. x n x b n b log log · g. x n x b n b log 1 log · h. x n m x b m b n log log · i. x b b x 1 1 log log · j. b a x a x b log log log · k. y x · sí y solamente sí y x b b log log · l. y x b b x y log log · m. 1 log . log · b x x b de aquí b x x b log 1 log · n. w w z y x z y x log log . log . log · o. x x b b log colog − · p. x b b x anti · log 6.2.2 Inecuaciones de Logaritmos Siendo 1 0 < < b y x y x b b < → > log log y x y x b b > → < log log Siendo 1 > b y x y x b b > → > log log y x y x b b < → < log log w w w . L I B R O S P D F 1 . b l o g s p o t . c o m ________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________ 22 6.3. Consecuencias Función Exponencial base (e) y=e x X (0,1) Y , ) , ) [ ¦ +∞ · · ; f Rang R f Dom 0 Función logaritmo de base 10 y=log x X (1,0) Y , ) [ ¦ , ) R f Rang ; f Dom · +∞ · 0 Observación. Se cumple que: x x e ln log · NIVEL I 1.- La suma de las soluciones de la ecuación: ) 1 3 ( log 1 ) 12 9 ( log 6 2 6 − + · + + x x x ; es: a) 9 b) 18 c) -3 d) -9 e) 3 2.- Se define la operación ∆ del modo siguiente: ¹ ' ¹ < > · ∆ b a si a b a si b b a b a ; colog ; log Hallar 2 3 3 2 ∆ ∆ · x a) -1 b) 1 c) -2 d) 2 e) 0 3.- Calcular )] 625 (log antilog [ colog 1 5 4 2 − · R a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 12 4.- Hallar el valor de x en: n x x n n · − + − log 10 ) 1 log( ) 1 2 log( a) -3/2, 3 b) 3 c) n, -3 d) n, 1 e) -3/2 5.- En la figura se muestra la función exponencial x a x f · ) ( . Calcular ) 1 ( ) 3 ( f f + a) 128 b) 260 c) 512 d) 520 e) 4096 6.- Determine si las siguientes proposiciones son verdaderas (V) o falsas (F) en: I. Si 1 · x ⇒ 0 | 2 1 | ln · − x II. Si 2 · x ⇒ 0 ) 2 3 ln( · − x III. Si x a x f · ) ( ⇒ ) ( ) ( ) ( y f x f y x f · + IV. El rango de la función x y 5 log · es [ , 0 ] ∞ V. Si 1 3 log 2 log 2 log + + · x ⇒ 3 · x a) FFFVF b) FFFVV c) VFVVF d) VVVFF e) VFVFF 7.- Relacione las funciones A, B, C y D dadas en el gráfico con las funciones I, II, III y IV I , ) ( x a x f · 2 > a II , ) ( x a x f · 2 1 < < a III , ) ( x a x f · 1 5 . 0 < < a IV , ) ( x a x f · 5 . 0 0 < < a a) I-C, II-D, III-A y IV-B b) I-D, II-C, III-B y IV-A c) I-D, II-C, III-A y IV-B d) I-C, II-D, III-B y IV-A e) I-A, II-B, III-C y IV-D w w w . L I B R O S P D F 1 . b l o g s p o t . c o m ________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________ 23 8.- Indique la secuencia de verdad (V) o falsedad (F) de los siguientes problemas. I. Si 6 log 3 · a entonces 3 log · a a II. La solución de la inecuación 1 ) 2 4 ( log ) 1 3 ( log 2 2 < − − − a a es: +∞ , 2 1 III. La solución de la inecuación a a a 3 / 1 3 / 1 3 / 1 log ) 1 2 ( log ) 1 ( log < − + + es: +∞ , 2 1 IV. La relación entre a y b de la ecuación 3 1 log 3n b · n a es: 0 · + b a a) VVVF b) VVFF c) FFFF d) FVFV e) VFVF 9.- Hallar el valor de ‘x’ en: 180 9 3 1 · + + x x a) 4 log 1 3 + b) 4 log c) 4 log 1 + d) 4 log 3 e) 5 log 1 3 + 10. Siendo 30 20 3 2 × · N ¿Cuántas cifras enteras tiene N ? Si 3010 . 0 2 log · y 4771 . 0 3 log · a) 20 b) 19 c) 21 d) 30 e) 15 NIVEL II 1.- Si x; y y z son números positivos tales que , log 2 3 R x · L y · 2 3 log y D z · 2 3 log entonces el valor de: 10 9 . log 40 z y x es: a) D L R − − b) D L R + + c) D L R + + − d) ) ( 2 D L R − − e) ) ( 2 D L R + + 2.- Si k k x k 1 + · calcular 99 3 2 1 log ... log log log x x x x b b b b + + + + donde 7 / 4 10 · b a) 3 b) 2 c) 3.5 d) 4 e) 2.5 3.- Determinar x de tal manera que los números ; log x ); 1 2 log( − x ) 1 2 log( + x están en progresión aritmética. a) 1/45 b) 45 c) 1/30 d) 1/15 e) 2/45 4.- Resolver 56 4 2 | 1 | | 1 | ≤ + − + + x x a) ] 4 ; 2 [ b) ] 2 ; 4 [− c) ] 4 ; 2 [− d) ] 3 ; 2 [− e) ] 3 ; 0 [ 5.- A propósito de las funciones logarítmicas, cuáles de las siguientes propo- siciones son verdaderas y cuales son falsas. I. La función x x f 2 log ) ( · es decreciente en el intervalo > < 5 , 1 II. El dominio de la función ) 2 log( ) ( x x f − · es ] 1 , −∞ < III. Si ) 5 ln( ) ( + · x x f entonces 5 ) ( · − x e x f IV. El rango de 4 log 2 / 1 · y es {-2} V. x x f c log ) ( · es una función logarítmica, si + ∈R x y si c es un número real positivo diferente de 1. La secuencia correcta es: a) VVFFF b) VFFFV c) VFVFV d) FVFVV e) FFVVV 6.- Hallar el conjunto solución de: ) 1 2 ( log 1 ) 5 4 ( log 1 3 1 3 + + < + − − x x . a) φ b) {1,2} c) R d) <1,2> e) {1} w w w . L I B R O S P D F 1 . b l o g s p o t . c o m ________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________ 24 7.- La inversa de la función: ), 1 ( log ) ( 2 2 + + · x x x f es: a) ¦ [ 1 2 2 1 ) ( 1 − · − x x f b) ¦ [ x x x f − − − · 2 2 2 1 ) ( 1 c) ¦ [ x x x f − − + · 2 2 2 1 ) ( 1 d) ¦ [ x x x f − − + · 2 2 2 1 ) ( 2 1 e) ¦ [ 1 2 2 1 ) ( 2 1 − · − x x f 8.- Determine el dominio de la función inversa 3 4 4 + · x x y . a) ] 1 , 0 [ − R b) > < − 1 , 0 R c) ] 1 , 0 [ d) > < 1 , 0 e) R 9.- Hallar la suma de los valores enteros del dominio de la función , _ ¸ ¸ − − · x x y 1 2 3 log 2 / 1 . a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 10.- Hallar el dominio de la función compuesta ) ( g f o donde: x e x f · ) ( Definido para 0 ≤ x ) 3 2 ln( ) ( 2 − + · x x x g a) + R b) > +∞ < ∪ > − −∞ < , 1 3 , c) > +∞ < ∪ − + − ∪ > − −∞ < , 1 ] 1 , 1 5 [ 3 , d) ] 1 5 , 1 [ − e) > − − − < 1 5 , 1 5 Clave de respuestas N-I 1-a 2-a 3-c 4-b 5-d 6-e 7-a 8-a 9-c 10-e N-II 1-a 2-c 3-a 4-b 5-e 6-d 7-b 8-d 9-c 10-d TEMA 7 FUNCIÓN POLINÓMICA Una función polinómica tiene la forma: 0 ; ) ( 0 1 2 2 1 1 ≠ + + + + + + · − − n n n n n n n a a x a x a x a x a x a x f L y diremos que tiene grado “n”, o sea el mayor exponente al cual se halle elevada x. El dominio de todas estas funciones polinómicas es el conj unto de los números reales. Son funciones continuas, tienen tantas raíces como indica su grado. En ocasiones una misma raíz se repite (orden de multiplicidad). La función será llamada incompleta si alguno de los a i es igual a cero. 7.1 Componentes de un polinomio: Se llama término a cada uno de los distintos grupos que componen un polinomio y que vienen precedidos por un signo + ó -. Se llama grado de un término al exponente con el que figura la indeterminada en ese término (Factor numérico del mismo). Se llama término constante al coeficiente numérico que no contiene variable, solamente posee coeficiente. En toda expresión algebraica encontraremos grados relativos (están en relación a cada una de las letras de la expresión algebraica) y un grado absoluto (referido a toda la expresión). Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que aparecen entre las letras son el producto y la potencia de exponente natural. 7.2 Grado Relativo de un monomio: El grado relativo de un monomio no es otra cosa que el exponente que afecta a cada letra. (La parte numérica no tiene ninguna importancia). 8x 3 y 5 GR(x) = 3 (el Grado Relativo con respecto a la letra “x” es 3) GR(y) = 5 (el Grado Relativo con respecto a la letra “y” es 5) 7.3 Grado Absoluto de un monomio: El grado absoluto de monomio es la suma de los exponentes de todas y cada una de las letras. 8x 3 y 5 w w w . L I B R O S P D F 1 . b l o g s p o t . c o m ________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________ 25 GA = 3 +5 = 8 (el Grado Absoluto es 8) Un polinomio es una expresión algebraica que se obtiene al expresar cualquier suma de monomios no semejantes. 7.4 Grado de un polinomio: Es el grado del término de mayor grado. • El término de primer grado se llama término lineal. • El término de grado cero se denomina término independiente. 7.5 Grado Relativo de un polinomio: El grado relativo de un polinomio es el exponente que afecta a cada letra teniendo en cuenta que tendremos tantos grados relativos como letras tenga la expresión algebraica. El grado relativo de un polinomio esta representado por el mayor exponente de dicha letra o variable. Ejemplo: - 9 x 4 y 3 + 14 x 6 y 5 • GR(x) = 6 (Grado relativo con respecto a la letra “x” es 6) • GR(y) = 5 (Grado relativo con respecto a la letra “y” es 5) • Los grados relativos no son necesariamente del mismo término. 7.6 Grado Absoluto de un polinomio: El grado absoluto de un polinomio es la suma de los exponentes de todas y cada una de las letras pero teniendo en cuenta que sólo se tomara el valor mayor de los resultados que obtengas. (Se trabaja independientemente cada uno de los términos y se suma los exponentes). 9 x 4 y 3 + 14 x 6 y 5 Primer término= 4+3 sumados dan 7. Segundo término= 6+5 sumados dan 11. GA = 6 (el Grado Absoluto es 6) 7.7 Grado de las operaciones algebraicas: El grado de una operación algebraica se determina después de realizar operaciones indicadas: • Grado de un producto: Se suman los grados de los factores. • Grado de un cociente: Se resta el grado del dividendo menos el grado del divisor. • Grado de una potencia: Está dada por el grado de la base multiplicado por la potencia. • Grado de una raíz: Está dado por la división del grado del radicando entre el índice de la raíz. 7.8 Polinomios especiales: 7.8.1.- Polinomios homogéneos: Son aquellos cuyos términos monomios tienen igual grado. (Al restarlos obtenemos un polinomio nulo). Grado absoluto = Grado de homogeneidad 7.8.2.- Polinomio Heterogéneo: Son aquellos cuyos términos monomios tiene diferente grado.(Al sumarlos obtenemos un polinomio nulo). 7.8.3.- Polinomios Completos: Un polinomio completo con respecto a una letra es cuando contiene todos los exponentes consecutivos desde el más alto, al más bajo. Un polinomio es completo si aparecen en todas potencias menores de la variable, a partir de la mayor de ellas. (En caso de ser necesario se completa agregándole con coeficiente nulo los términos faltantes. 7.8.4.- Polinomios Ordenados: Cuando los monomios que lo componen están escritos en forma creciente o decreciente según sus grados. Es aquel que con respecto a la letra llamada ordenatriz, los exponentes van de menor a mayor o viceversa. 7.8.5.- Polinomio Mónico: Si su coeficiente principal es 1. (El coeficiente de su mayor término es 1) 7.8.6.- Polinomios Idénticos: Dos polinomios son idénticos si tienen el mismo grado y los términos de igual exponente en x tienen los mismos coeficientes. 7.8.7.- Polinomio idénticamente nulo: Cuando todos sus coeficientes son nulos. P(x) es equivalente a "0" 7.9 FUNCIONES POLINÓMICAS DE GRADO MAYOR QUE 2. La gráfica de una función polinómica de primer grado es una línea recta y la de una función polinómica de segundo grado es una parábola vertical. Indudablemente, un elemento clave en el dibujo de la gráfica de una función polinómica lo constituye la obtención de los interceptos con los ejes; en particular, los interceptos con el eje X. Para obtener éstos últimos debemos resolver la ecuación polinómica correspondiente, recurriendo a los métodos: teorema del factor y la división sintética. Por ejemplo: • La función f(x) = x 3 + 6x 2 + 10x + 8 = (x + 4)(x 2 + 2x + 2) tiene un intercepto con el eje X en x = - 4 y un intercepto con el eje Y en (0, 8) • La función f(x) = 2x 4 – x 3 – 19x 2 + 9x + 9 = (x + 3)(2x + 1)(x – 1)(x – 3) f(x) = 2x 4 – x 3 – 19x 2 + 9x + 9 = (x + 3)(2x + 1)(x – 1)(x – 3) tiene cuatro interceptos con el eje X: en x = -3, x = - ½, x = 1 y x = 3, y un intercepto con el eje Y: (0; 9) • La función f(x) = 4x 6 – 24x 5 + 45x 4 – 13x 3 – 42x 2 + 36x – 8 f(x) = (x + 1)(2x – 1) 2 (x – 2) 3 tiene tres interceptos con el eje X en x = -1, x = ½ y x = 2, y un intercepto con el eje Y en (0; -8) • La función f(x) = 3x 5 – 19x 4 + 16x 3 + 70x 2 – 100x + 48 f(x) = (x + 2)(x – 3)(x – 4)(3x 2 – 4x + 2) tiene tres interceptos con el eje X en x = -2, x = 3 y x = 4, y tiene un intercepto con el eje Y en (0; 48) w w w . L I B R O S P D F 1 . b l o g s p o t . c o m ________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________ 26 OPERACIONES CON POLINOMIOS 1) Efectuar la siguiente multiplicación: (3x 3 – 5x 2 + 6x – 8) (4x 2 – 5) Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo polinomio. = 12x 5 – 15x 3 – 20x 4 + 25x 2 + 24x 3 – 30x – 32x 2 + 40 Se suman los monomios del mismo grado: 12x 5 - 20x 4 + 9x 3 – 7x 2 – 30x + 40 Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican. 2) Resolver la división de polinomios: P(x) = x 5 + 2x 3 x - 8 Q(x) = x 2 2 x + 1 P(x) : Q(x) A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo colocamos ceros en los lugares que correspondan. 1 2 8 0 2 0 2 2 3 4 5 + − − − + + + x x x x x x x A la derecha situamos el divisor dentro de una caja. Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. x 5 : x 2 = x 3 Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos del polinomio dividendo: 8 0 2 2 1 2 8 0 2 0 2 3 4 3 3 4 5 2 2 3 4 5 − − + + − + − + − − − + + + x x x x x x x x x x x x x x x Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo. 2x 4 : x 2 = 2 x 2 8 2 5 2 4 2 8 0 2 2 2 1 2 8 0 2 0 2 3 2 3 4 2 3 4 2 3 3 4 5 2 2 3 4 5 − − − − + − − − + + + − + − + − − − + + + x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Procedemos igual que antes. 5x 3 : x 2 = 5 x 8 6 8 5 10 5 8 2 5 2 4 2 8 0 2 5 2 2 1 2 8 0 2 0 2 2 3 2 3 2 3 4 2 3 4 2 3 3 4 5 2 2 3 4 5 − − − + − − − − − + − − − + + + + − + − + − − − + + + x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Volvemos a hacer las mismas operaciones. 8x 2 : x 2 = 8 16 10 8 16 8 8 6 8 5 10 5 8 2 5 2 4 2 8 0 2 8 5 2 2 1 2 8 0 2 0 2 2 2 3 2 3 2 3 4 2 3 4 2 3 3 4 5 2 2 3 4 5 − − + − − − − + − − − − − + − − − + + + + + − + − + − − − + + + x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Así, 10x 16 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y por tanto no se puede continuar dividiendo. El cociente de la división es x 3 +2x 2 +5x+8. w w w . L I B R O S P D F 1 . b l o g s p o t . c o m ________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________ 27 Ejercicios resueltos: 1. Sea el binomio: E(x,y) = ax a+2 y 3 + 2x 5 y 3 – 3x b-5 y 2 + bx 3 y 2 Calcular: a . b Resolución: Por ser un binomio: ax a+2 y 3 ; 2x 5 y 3 son semejantes - 3x b-5 y 2 ; bx 3 y 2 son semejantes Luego: a + 2 = 5 b – 5 = 3 a = 3 b = 8 Entonces: a.b = (3)(8) = 24 2. Si: = x 2001 – 4x 1999 + 3x – 1 Calcular: P(3) Resolución: 3 1 1 · − + x x de donde: x = 2 Luego: P(3) = 2 2001 – 2 2 .2 1999 + 3(2) – 1 = 5 3. Si: f(x) = 3x + 2 ∧ P(x) = 2 f(x) + x + 1 Calcular: H = f(4) + P(1) Resolución: f(4) = 3(4) + 2 = 14 P(1) = 2 f(1) + 1 + 1 = 2[3(1) + 2] + 2 = 12 Entonces: H = 14 + 12 = 26 4. Dado el polinomio: P(x) = 4x 5 – 6x 4 + 12x 2 – 18. Determinar el coeficiente de x 5 de otro polinomio que al restar de P(x) resulte – 2x 5 . Resolución: El polinomio sustraendo será de la forma: S(x) = ax 5 – 6x 4 + 12x 2 – 18 De donde: P(x) – S(x) = (4 – a)x 5 4 – a = - 2 - a = - 6 a = 6 PRODUCTOS NOTABLES: Producto algebraico que responden a una regla cuya aplicación simplifica la obtención del resultado. Los productos notables más importantes son: Binomio de Suma al Cuadrado ( a + b ) 2 = a 2 + 2ab + b 2 Binomio Diferencia al Cuadrado ( a - b ) 2 = a 2 - 2ab + b 2 Diferencia de Cuadrados ( a + b )( a - b ) = a 2 - b 2 Binomio Suma al Cubo ( a+b ) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 ab 2 + b 3 = a 3 + b 3 + 3 ab (a +b) Binomio Diferencia al Cubo ( a - b ) 3 = a 3 -b 3 -3ab(a-b) Suma de dos Cubos a 3 + b 3 = (a + b )( a 2 – ab + b 2 ) Diferencia de Cubos a 3 - b 3 = ( a - b ) ( a 2 + ab + b 2 ) Trinomio Suma al Cuadrado ó Cuadrado de un Trinomio (a+b +c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 +2ab+2bc+ 2ac = a 2 + b 2 +c 2 +2 ( ab+bc+ ac) Trinomio Suma al Cubo (a+b+c) 3 =a 3 +b 3 +c 3 +3(a+b)(b+c)(a+c) Identidades de Legendre ( a+b) 2 +(a – b) 2 = 2a 2 +2b 2 = 2(a 2 + b 2 ) ( a + b) 2 - ( a – b) 2 = 4 ab Producto de dos binomios que tienen un término común ( x + a)(x + b) = x 2 + ( a + b) x + ab COCIENTES NOTABLES Caso I : 1 2 3 2 1 ........ − − − − + + + + · − − n n n n n n b b a b a a b a b a para todo “n” par o impar. Caso II: 1 2 3 2 1 ........ − − − − + − + − · + + n n n n n n b b a b a a b a b a únicamente si “n “ es impar Caso III: 1 2 3 2 1 ........ − − − − − − + − · + − n n n n n n b b a b a a b a b a únicamente si “n” es par , _ ¸ ¸ − + 1 1 x x P w w w . L I B R O S P D F 1 . b l o g s p o t . c o m ________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________ 28 Ejemplos: 1. 6 5 1 4 2 3 3 2 4 5 6 7 7 y y x y x y x y x y x x y x y x + − + − + − · + + 2. 4 3 2 2 3 4 5 5 4 0 3 1 2 2 1 3 0 4 5 5 81 54 36 24 16 243 32 ) 3 ( ) 2 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 3 ( ) 2 ( 243 32 y xy y x y x x y x y x y x y x y x y x y x y x y x + − + − · + + + − + − · + + 3. 4 3 2 2 3 4 5 5 y xy y x y x x y x y x + + + + · − − 4. 6 5 4 2 3 3 2 4 5 6 5 7 6 0 5 1 4 2 3 3 2 4 1 5 0 6 5 7 2 4 8 16 32 64 2 128 ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( 2 128 m xm m x m x m x m x x m x m x m x m x m x m x m x m x m x m x m x + + + + + + · − − + + + + + + · − − PROPIEDADES DE LOS COCIENTES NOTABLES Para hallar los términos de un cociente notable: y x y x n n t t 1° El exponente del 1° término irá disminuyendo de uno en uno a partir de (n-1) hasta cero inclusive, mientras que el exponente del 2°término irá aumentando de uno en uno a partir de cero hasta (n-1) inclusive. 2°El desarrollo tiene “n” términos. 3°En los cocientes notables que tengan por denominador expresiones de la forma “x-y” los signos de los términos del desarrollo serán positivos. 4°En los cocientes notables que tengan por denominador expresiones de la forma “x+y” los signos del desarrollo serán alternadamente positivos y negativos. 5° Cualquier término del desarrollo de un cociente notable se puede encontrar usando la fórmula: T k = t x n-k y k-1 -En donde: “k” es el lugar del término que se pide, “x”, representa el 1° término del denominador del cociente notable, “y” representa el 2°término del denominador del cociente notable y “n” es el exponente común al cual están elevados cada uno de los términos del denominador del cociente y que aparece en el numerador. 6°Para que una expresión de la forma: q n p m y x y x t t Sea desarrollado como cociente notable debe cumplirse que : m/n = p/q FACTORIZACIÓN CASOS: I. Factor común monomio: Factorizar: 8x 2 y 3 - 10ax 3 , y 4 + 6bx 4 y 5 FCM : 2x 2 y 3 Entonces: 2x 2 y 3 (4 – 5axy + 3bx 2 y 2 ) II. Factor común polinomio: Descomponer: 3x(x – y + 2z) – x + y – 2z Agrupando convenientemente: 3x(x – y + 2z) – (x – y + 2z) FCP: (x – y + 2z) ÷(x – y + 2z) (3x – 1) III. Por identidades: Descomponer en factores: 1)16x 4 y 6 – 81a 6 z 4 (4x 2 y 3 ) 2 – (9a 3 z 2 ) 2 (4x 2 y 3 + 9a 3 z 2 )( 4x 2 y 3 - 9a 3 z 2 ) 2) 4x 2 – 12xy + 9y 2 (2x) 2 – 2(2x)(3y) + (3y) 2 (2x – 3y) 2 3) x 2 – 5x + 6 = (x – 3)(x – 2) 4) x 2 – 8x – 345 = (x – 23)(x + 15) 5) 2x 3 - x 2 y 2 + 2 xy - y 3 = ( x 2 + y )( 2x - y 2 ) w w w . L I B R O S P D F 1 . b l o g s p o t . c o m ________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________ 29 6) 15x 4 – 2x 2 y – 77 y 2 3x 2 - 7y 5x 2 11y (3x 2 – 7y)(5x 2 + 11y) 7) 27x 3 – 108x 3 y + 144 xy 2 – 64y 3 (3x) 3 – 3(3x) 2 (4y) + 3(3x)(4y) 2 – (4y) 3 (3x – 4y) 3 IV. Por agrupación de términos: Descomponer: 1) x 3 – 2x 2 – x + 2 (x 3 – 2x 2 ) – (x – 2) x 2 (x – 2) – ( x – 2) (x – 2) (x 2 – 1) (x – 2) (x + 1)( x – 1) 2) x 2 + 2xy + y 2 – 3x – 3y – 4 (x 2 + 2xy + y 2 ) – (3x + 3y) – 4 (x + y) 2 – 3 (x + y) – 4 (x + y – 4) ( x + 1) V. Por evaluación( Rufini): x 3 – x 2 – 41x + 105 0 7 1 35 5 5 0 35 2 1 105 6 3 3 105 41 1 1 − − − − Rp.: (x – 3)(x – 5)(x + 7) VI. Doble aspa: 4x 2 + 4 xy - 15 y 2 - 8 x + 76 y - 96 2x - 3y 8 2x 5y - 12 Rpta.: (2x – 3y + 8)(2x + 5y – 12) VII. Doble aspa especial: 3x 4 - 8x 3 + 3x 2 + 22x - 24 x 2 4 = 12 x 2 3x 2 - 6 = - 6x 2 6x 2 Falta: 3x 2 – 6x 2 = - 3x 2 = - 3x ( x) Entonces: x 2 - 3x 4 3x 2 x - 6 - 8x 3 22x Rp.: (x 2 – 3x + 4)(3x 2 + x – 6) RAÍCES DE UNA ECUACIÓN POLINÓMICA Dado P(x) un polinomio real de grado “n”, se denomina ecuación polinómica de grado “n” con coeficientes reales de la forma: P(x) = 0 a n x n + a n-1 x n-1 + ... + a 1 x + a 0 =0; a n /0 Ejemplo: 3x 5 – 8x 4 + 6x 2 – x + 1 = 0 Si para x = a, P(a) = 0 “a” es una raíz de la ecuación. Ejemplo: 2x 3 – 5x 2 – 28x + 15 = 0 Para : x = - 3 2(-3) 3 – 5(-3) 2 – 28(-3) + 15 = 0 Entonces – 3 es una raíz de la ecuación. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ALGEBRA Toda ecuación polinómica de grado n ≥1, con coeficientes reales, tiene “n” raíces reales o complejas. w w w . L I B R O S P D F 1 . b l o g s p o t . c o m ________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________ 30 Ejemplo: Resolver: x 3 – 2x 2 + 4x – 8 = 0 (x – 2)(x 2 + 4) = 0 x – 2 = 0 ∨ x 2 + 4 = 0 x = 2 ∨ x = 4 − t x = t 2i Conjunto Solución = {2; 2i; – 2i} TEOREMA DEL RESIDUO Sea la división: a x x P + ) ( ; el resto es: R(x) = P(– a) Ejemplo: Hallar el resto de: (3x 4 – 2x 3 – 9x 2 + 8x – 12) : (x – 2) Resto: P(2) = 3(2) 4 – 2(2) 3 – 9(2) 2 + 8(2) – 12 R(x) = 0 Cuando el resto es cero, entonces (x + a) es un factor de P(x). En este caso (x – 2) es factor del polinomio P(x) RAÍCES REALES Aplicando la regla de Ruffini se determina un número real “a”. Ejemplo: Resolver: x 4 + x 3 – 8x 2 – 2x + 12 = 0 Divisores de 12 : { t 1; t 2; t 3; t 4; t 6; t 12} posibles raíces racionales De los cuales 2, –3 son raíces racionales y 2 t son raíces irracionales RAÍCES RACIONALES Si la ecuación P(x) = 0, posee coeficientes racionales, eliminando denominadores se puede obtener coeficientes enteros. Resolver: 12x 5 – 26x 4 + 6x 3 + 13x 2 – 3x – 2 = 0 P(1) = 0 entonces una raíz de la ecuación es : 1 De igual manera: P(-1/2) = 0; P(2/3) = 0 Por lo tanto: (x – 1)(x + ½) (x – 2/3)(12x 2 – 12x – 6) = 0 Resolviendo: 12x 2 – 12x – 6 = 0 2x 2 – 2x – 1 = 0 4 13 2 t · x ¹ ; ¹ ¹ ' ¹ − + − · 4 13 2 ; 4 13 2 ; 3 2 ; 2 1 ; 1 Solucion Cojunto NÚMEROS COMPLEJOS z = {(a;b)/ a ∈R ∧ b∈R} Donde: a = parte real de z b = parte imaginaria de z Re(z) = a Im(z) = b FORMAS DE REPRESENTAR UN NÚMERO COMPLEJO - Forma binómico: z = a + bi - Forma polar o trigonométrica: z = r(cos θ+ i senθ) = r cis θ - Forma exponencial: z = re iθ , a b b a r · + · θ tan 2 2 En estas formas: i = 1 − Potencias de i : i 1 = i i 2 = - 1 i 3 = - i i 4 = 1 En general: i m4 = 1 i m4+k = i k Ejemplos: i 279 = i m4+3 = i 3 = - i i 1862 = i m4+2 = i 2 = - 1 También: i + i 2 + i 3 + . . . . + i m4 = 0 OPERACIONES EN C Dados los complejos: z 1 = a + bi y z 2 = c + di Suma: (a + c) + (b + d)i Resta: (a – c) + (b – d)i Multiplicación: (ac – bd) + (ad + bc)i División: i d c ad bc d c bd ac , _ ¸ ¸ + − + , _ ¸ ¸ + + 2 2 2 2 Potenciación: (a + bi) n se multiplica a + bi “n” veces Raíz cuadrada: ¦ [ 2 / 2 / cos θ θ isen r bi a + t · + TEOREMA DE MOIVRE Si: z = r (cosθ + i sen θ) Entonces: z n = r n (cos nθ + i sen nθ), donde n ∈N w w w . L I B R O S P D F 1 . b l o g s p o t . c o m ________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________ 31 INVERSO DE UN NÚMERO COMPLEJO z -1 Si z = a + bi, (z ≠ 0), entonces: , _ ¸ ¸ + − + · − 2 2 2 2 1 b a b i b a a z EJERCICIOS Y PROBLEMAS NIVEL I: 01. Hallar la suma de las raíces de la ecuación: x 2 + 1 = 0 A. 1 B. 0 C. 2 D. -1 E. –2 02. Sean: z 1 = cis 60º y z 2 = cis 30º Hallar: z 1 .z 2 A. 1 B. 0 C. -1 D. i E. –i 03. Hallar el resultado de: 180 ) 4 1 )( 3 2 ( i i i − + A. (10;-5) B. (14; -2) C. (10;-2) D. (14; -5) E. (12; -5) 04. Hallar el valor de x, para que la suma de los números complejos: z 1 = x + 5i; z 2 = - 5 + 7i sea imaginario puro. A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 E. 6 05. Hallar el valor de “m”, para que al dividir z 1 = 3 + im entre z 2 = - 2 + i de cómo resultado un número imaginario puro. A. 5 B. -4 C. 6 D. 3 E. -5 06. Después de efectuar la operación: i i i 3 5 ) 2 )( 4 7 ( + − − La parte real del resultado es: A. 5/34 B. 105/34 C. 14/5 D. -12/5 E. 0 07. Respecto al resultado de la operación: i i i 3 7 ) 2 ( ) 5 4 ( 2 + − Señalar cuáles afirmaciones son verdaderas(V) o falsas(F). I. La parte real es mayor que la parte imaginaria II. Re(z) + Im(z) = 138/58 III. El Re(z) es negativo y el Im(z) es positivo. A. VVV B. VFV C. VVF D. FFV E. FFF 08. Determinar el valor de x para que el producto: (x + 3i) ( 2 - i) Sea un número real. A. 2 2 B. 2 C. 3 2 D. - 2 E. 2 09. La diferencia de dos números complejos es – 4 – 6i. La parte imaginaria de uno de ellos es – 2 y el producto de ellos es imaginario puro. Uno de dichos números complejos es: A. (2+ 5 )- 8i B. (-2 - 2 5 )- 8i C. (2+2 5 ) + 6i D. (3 + 5 ) – 8i E. (4 + 5 ) – 4i 10. Hallar la raíz cuadrada de: z = 5 – 12 i A. t (3 – 2i) B. t (3 + 2i) C. t (4 – 3i) D. t (4 + 3i) E. t (13 – 8i) 11. Si la siguiente división: 1 2 3 25 16 6 2 2 3 4 + + + + + + x x B Ax x x x es exacta, hallar el valor de: A + B A. 14 B. 20 C. 19 D. 9 E. 5 12. Si la siguiente división: 3 2 4 8 2 3 2 3 5 + + + + + + x x p nx mx x x Tiene como residuo: 5x 2 – 3x + 7. Cuáles de las siguientes proposiciones es V y cuáles F? I. m + n > p II. m = 20 y n + p = 7 III. m + 4n + p = 0 A. VVV B. FFV C. FVF D. FVV E. VVF 13. Señalar uno de los factores primos de: P(x,y,z) = x 3 y 3 + x 6 y 3 + x 5 y 3 – x 3 z 3 – x 6 z 3 – x 5 z 3 A. y+z B. x 2 C. yz+y 2 +z 2 D. x 2 +x+1 E. x-y 14. Señalar cuáles proposiciones son verdaderas (V) y cuáles son falsas (F) respecto al siguientes polinomio: P(x,y) = x 5 y – 3x 4 y – 10x 3 y + 24x 2 y I. El número de sus factores primos es 4 II. El número de sus divisores es 47 III. Uno de sus factores es (x – 4) A. VVF B. VVV C. FFV D. FVV E. FVF w w w . L I B R O S P D F 1 . b l o g s p o t . c o m ________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________ 32 15. Descomponer: P(x) = 6x 4 – x 3 – 19x 2 + 19x – 5 La suma de los coeficientes de uno de sus factores es: A. 2 B. 1 C. – 3 D. – 1 E. 3 16. Luego de factorizar: P(x,y) = x(x – 2y) 3 + y(2x – y) Indica el número de factores primos: A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5 17. Hallar el valor de: x – y si se sabe que: x + y = 5 5 xy = 25 Además: x < y A. 5 B. 5 C. -5 D. - 5 E. 25 18. Considerando: x + y = 8 x 2 + y 2 = 60 Calcular: x y y x E 2 2 + · A. 232 B. 234 C. 236 D. 238 E. 240 19. Hallar el valor de: x y y x E 2 2 − · Si: x – y = 8 ; xy = 4 A. 148 B. 152 C. 148 D. 182 E. 158 20. Dado el cociente: 2 2 50 50 y x y x − − Hallar: T 10 . T 13 A. x 23 y 32 B. x 41 y 51 C. x 54 y 42 D. x 40 y 26 E. x 50 y 48 CLAVE: 01 – B 02 – D 03 – D 04 – D 05 – C 06 – A 07 - C 08 – C 09 – B 10 – A 11 – C 12 – B 13 – C 14 – D 15 – A 16 – C 17 – A 18 – A 19 – B 20 – C NIVEL II 01. Respecto a la división: 1 1 9 7 2 2 5 12 16 19 + − + − + + x x x x x x Cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas (V) y cuáles son falsas (F). I. La división es exacta II. El residuo es x – 2 III. La suma de coeficientes del residuo es 3 A. VVV B. FFF C. FFV D. FVF E. FVV 02. Cuál es el residuo de la división: 2 2 ) 3 )( 2 )( 1 ( ) 1 ( 2 2 500 + − − − − + + − x x x x x x x x A. 2x – 13 B. – 2x + 13 C. 3x + 15 D. – 4x – 12 E. 0 03. Un factor primo de: P(x) = x 5 – x 4 + 2x 2 – 2x + 1 A. x 2 + x – 1 B. x 2 + x + 1 C. x 2 – x + 1 D. x 3 – x – 1 E. x 3 + x + 1 04. El siguiente desarrollo: x 135 – x 130 + x 125 - . . . . – x 10 + x 5 – 1 corresponde al cociente notable: A. 1 1 5 140 − − x x B. 1 1 5 135 + + x x C. 1 1 5 140 − + x x D. 1 1 5 140 + + x x E. 1 1 5 140 + − x x 05. Respecto al siguiente cociente notable: 7 3 2 119 y y x y y x n m + + Determinar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones: I. El cociente posee 17 términos II. m + n = 85 III. El término central es: - x 16 y 80 A. FFF B. VVV C. VVF D. FFV E. VFF 06. Si: 2 · + a b b a Calcular: Q = (a + 2b) 5 + (2a + b) 5 – 2(4b – a) 5 A. a 2 b B. ab 2 C. ab D. 0 E. – 1 w w w . L I B R O S P D F 1 . b l o g s p o t . c o m ________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________ 33 07. Reducir: x x x x x 1 ) 1 16 )( 1 4 )( 1 2 )( 1 2 ( + + + − + A. 256 B. 128 C. 64 D. 512 E. 254 08. Reducir: 4 17 18 13 15 ) 1 ( ) 2 1 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 1 ( i i i i i E + − − + − − + · A. 3+2i B. 3-2i C. 4+5i D. 5+2i E. 0 09. El siguiente polinomio: P(x) = x 5 – 3x 4 – 6x 3 + 10x 2 + 21x + 9 Presenta: A. 5 raíces diferentes B. 2 raíces de multiplicidad 2 C. 1 raíz de multiplicidad 2 y otra de multiplicidad 3 D. 1 raíz de multiplicidad 4 E. 1 raíz de multiplicidad 5 10. Sabiendo que: mx + my + nx – ny – 15x – 7y = 0 Determinar el valor de (m – 2n) 2 A. 3 B. 4 C. 5 D. 9 E. 11 11. Los ceros de una expresión polinómica son 1 de multiplicidad 2 y – 2 de multiplicidad 1. Hallar el coeficiente del término de grado 2. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 4 12. Resolver: x x x 36 9 1 4 1 3 2 1 − − · − A. 1 B. 0 C. 2 D. 3 E. No existe 13. Resolver: 9x 4 – 1 = 0 Una de sus raíces es: A. 2 3 B. 3 3 − C. 3 i D. 3 − i E. 3 14. Una de las raíces de la ecuación: 8x 6 + 7x 3 – 1 = 0 es : A. -1/2 B. 4 3 C. 4 3 − i D. 2 3 E. 2 3 i 15. Resolver: 6x 5 – 29x 4 + 27x 3 + 27x 2 – 29x + 6 = 0 Cuál no es una raíz de dicha ecuación? A. 2 B. -1 C. ¼ D. 3 E. ½ 16. Las edades de dos personas están en la relación m:1. Dentro de cuántos años la relación será p:1, siendo “b” la edad actual del menor? A. 1 + − p p bm B. 1 − + p p bm C. 1 + + p p bm D. 1 ) ( − − p p m b E. 1 ) ( − + p p m b 17. Se tienen dos recipientes de 20 y 30 litros de capacidad conteniendo vino de distintas calidades. Al intercambiar un cierto volumen igual para ambos, las calidades se igualan. Hallar dicho volumen. A. 10 lit B. 11 lit C. 12 lit D. 13 lit E. 14 lit 18. Cuando dos bombas actúan a la vez tardan en agotar un pozo 15 horas. Si actuara sólo la menor tardaría en agotarlo 16 horas más que la otra. Cuánto tardará ésta? A. 20H B. 21H C. 22H D. 23H E. 24H 19. Un agricultor compró 30 cabras a $70 cada uno. Le robaron unas cuantas y vendió las restantes con un aumento de tantas veces 28 dólares como cabras le robaron. Si no perdió ni ganó. Cuántas cabras le robaron? A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 E. 8 20. El cociente de dos números complejos es imaginario puro. Su suma es 5 y el módulo del dividendo es el doble que el del divisor. Uno de dichos complejos es: A. 4 + i B. 2 + i C. 4 – i D. 2 – i E. 4 + 2i CLAVE: 01 – E 02 – B 03 – C 04 – E 05 – C 06 – D 07 – A 08 – B 09 – C 10 – D 11 – A 12 - E 13 – B 14 – A 15 – C 16 – D 17 – C 18 – E 19 – B 20 – E w w w . L I B R O S P D F 1 . b l o g s p o t . c o m ________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________ 34 TEMA 8 MATRICES 81. Conceptos generales sobre matrices Una matriz es un conjunto de números o expresiones numéricas que se ordenan como una tabla de filas y columnas. Cada una de las intersecciones de filas o columnas se denomina elemento de la matriz. Por convenio, las matrices se representan así: A = (a ij ) mn El primer número(m) nos indica el número de filas que tiene la matriz. El segundo(n) indica la cantidad de columnas que tiene la matriz. Ejemplo: Esta matriz es de orden 3×4 Una matriz formada por “m” filas y “n” columnas se dice que tiene orden o dimensión m x n. 8.2. Clases de matrices Si la matriz tiene m filas y n columnas, (m ≠ n) la matriz se llama rectangular. Cuando el número de filas y el de columnas coinciden, la matriz es cuadrada, con dimensión n x n y se le considera matriz de orden n; en este caso, los elementos de la matriz de subíndices a11, a22, a33, ..., ann ocupan la llamada diagonal principal de la matriz. Esta diagonal adquiere importancia en la resolución de determinantes. La traza de una matriz es la suma de todos los elementos de la diagonal principal de la matriz. Una matriz cuadrada se denomina triangular cuando todos los elementos situados por encima o por debajo de la diagonal principal son nulos. Matriz columna: Matriz mx1 (matriz que solo tiene una columna). 1 1 1 1 ] 1 ¸ · 41 31 21 11 a a a a A Matriz fila: Matriz 1xn (matriz que solo tiene una fila). ¦ [ 14 13 12 11 a a a a A · 8.2.1Matriz nula: Matriz mxn con todos sus elementos iguales a cero . Se denota por O mxn ; en ocasiones se abrevia a O cuando se sobreentiende el tamaño o no es necesario especificarlo. 8.2.2 Matriz diagonal: Una matriz cuadrada se llama diagonal si son cero los elementos que no pertenecen a su diagonal principal. 1 1 1 ] 1 ¸ · 33 22 11 0 0 0 0 0 0 a a a A 8.2.3 Matriz identidad: Una matriz cuadrada se llama matriz identidad si es diagonal y los elementos de su diagonal principal valen la unidad. Se usará la notación I n , donde n es el orden de la matriz. A veces se utiliza la notación abreviada I cuando el orden se sobrentiende o no es necesario especificarlo. 1 1 1 ] 1 ¸ · 1 0 0 0 1 0 0 0 1 I 8.2.4 Matriz transpuesta: Sea A una matriz de orden mxn. Llamaremos matriz transpuesta o traspuesta de A, A t , a la matriz de orden nxm cuyos elementos son los de A intercambiando filas por columnas: ji t ij a a · . Una matriz A es simetrica si A t =A y es antisimetrica si A t =-A. 1 1 1 1 ] 1 ¸ · mn m m m n n a a a a a a a a a a a a A L M O M M M L L 3 2 1 2 23 22 21 1 13 12 11 1 1 1 ] 1 ¸ 8 2 3 6 9 7 4 5 1 2 2 1 w w w . L I B R O S P D F 1 . b l o g s p o t . c o m ________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________ 35 Pongamos un ejemplo: 1 ] 1 ¸ − − · → 1 1 1 ] 1 ¸ − − · 5 9 6 8 2 4 5 8 9 2 6 4 t A A 8.2.5.Matrices iguales: Dos matrices A = (a ij ) m×n y B = (b ij ) p×q son iguales, sí y solo sí, tienen el mismo orden y en las mismas posiciones, elementos iguales, es decir : m=p, n=q; y a ij = b ij ∀i, ∀j 8.3. Suma de matrices: Si A = (a i j ) mxn y B = (b i j ) mxn entonces su suma es A + B = (a i j + b i j ) mxn . La suma de dos matrices de igual orden o dimensión se obtiene una nueva matriz cuyos elementos se calculan como la suma de los elementos de la misma fila y columna de las dos matrices, que actúan como sumandos. Propiedades de la suma de matrices: 1). Propiedad Expresión simbólica y significado 2) Conmutativa A + B = B + A 3) Asociativa A + (B + C) = (A + B) + C 4) Elemento neutro A + O = O + A = A 5) Elemento simétrico A + (- A) = ( - A) + A = O Siendo: O matriz nula, es la matriz que tiene todos sus elementos iguales a cero. (- A) es la matriz opuesta de la matriz A. 8.4. Producto y potencias de matrices En el álgebra de matrices, se definen: • Si kA = k(aij)mn, debes multiplicar cada elemento de la matriz por el escalar que es un número constante. Ejemplo: 1 ] 1 ¸ · 1 ] 1 ¸ · 8 6 10 2 4 3 5 1 2 2A Propiedades: R ∈ ∀ 1 , ,ϖ ϕ , n m M A × ∈ ∀ se tiene que 1) A A ) ( ) ( ϕϖ ϖ ϕ · 2) Distributiva I: B A B A ϕ ϕ ϕ + · + ) ( 3) Distributiva II: ( B A A ϖ ϕ ϖ ϕ + · + ) 4) Elemento neutro de escalares: 1×A = A 8. 5. El producto de dos matrices sólo es posible cuando tienen los órdenes «encadenados »; es decir, una matriz A = (a ij ) de orden m x n sólo puede multiplicarse por otra B = (b ij ) si la dimensión de ésta es n x p, de manera que la matriz producto resultante tiene un orden igual a m x p. Esto quiere decir, que sólo pueden multiplicarse dos matrices que tienen el número de columnas de la primera matriz igual al número de filas de la segunda matriz. La matriz resultante C = (c ij ) se calcula de forma que cada uno de sus términos c ij es igual a la suma ordenada de los productos de los elementos de la fila i de A por los de la columna j de B: primer elemento de la fija i de A por primer elemento de la columna j de B; más el segundo de la fila i por el segundo de la columna j, etc. Ejemplo: 1 ] 1 ¸ · 1 ] 1 ¸ + + + + + + + + + + + + · 1 1 1 ] 1 ¸ × 1 ] 1 ¸ 138 126 114 39 36 33 70 44 24 65 40 21 60 36 18 28 11 0 26 10 0 24 9 0 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 Como ampliación del concepto de producto, puede definirse la potencia enésima de una matriz como el producto de ésta por sí misma n veces. Para que una matriz pueda multiplicarse por sí misma tiene que ser cuadrada. Es decir: 4 4 3 4 4 2 1 veces n n A A A A A . .......... . . · 8.6. Determinantes y matrices El determinante de una matriz cuadrada A, es el valor de la suma de determinados productos que se realizan con los elementos que componen la matriz. Se denota por el símbolo |A| o det (A). Determinantes de orden 2 Sea: 1 ] 1 ¸ · 22 21 12 11 a a a a A ÷det(A) = |A| = a 11 .a 22 – a 12 . a 21 w w w . L I B R O S P D F 1 . b l o g s p o t . c o m ________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________ 36 Regla de Sarrus Para calcular el determinante de una matriz de orden 3, se recurre al uso de la llamada regla de Sarrus. Este determinante se obtiene de la suma de seis términos: Tres positivos, formados por los siguientes productos de tres factores: los tres elementos de la diagonal principal y los elementos de las dos líneas paralelas a esta diagonal, multiplicados por el vértice opuesto. Otros tres negativos, también constituidos por productos de tres factores: los tres elementos de la diagonal secundaria y los de las líneas paralelas a ella, multiplicados por el vértice opuesto. Es decir, dada una matriz A: Si 33 32 31 23 22 21 13 12 11 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a A a a a a a a a a a A · → 1 1 1 ] 1 ¸ · Entonces el desarrollo de su determinante, según la regla de Sarrus, vendría dado por: det(A)= a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 21 a 32 a 13 - a 13 a 22 a 31 - a 21 a 12 a 33 - a 32 a 23 a 11 8.7. Menores complementarios Dada una matriz cuadrada de orden n, se denomina menor complementario a cada una de las matrices de orden (n - 1) que se obtienen al suprimir la fila y la columna donde se encuentra un elemento (a ij ) de la matriz original. Por ejemplo, para la matriz cuadrada de orden 3 pueden definirse, entre otros, los dos siguientes menores complementarios: 8.8. Adjunto y matriz adjunta Para una matriz cuadrada A de orden n se llama adjunto A ij del elemento a ij al determinante del menor complementario de dicho elemento multiplicado por (-1) elevado a i más j, es decir: A ij = (- 1) i+j . o ij Dada una matriz cuadrada A, se define su matriz adjunta, que se denota Adj(A), como aquella en la que los elementos de A están reemplazados por sus adjuntos respectivos: 1 1 1 1 ] 1 ¸ · → 1 1 1 1 ] 1 ¸ · nn n n n n n nn n n n n n A A A A A A A A A A A A A Adj a a a a a a a a a a a a A L M O M M M L L L M O M M M L L 3 2 1 2 23 22 21 1 13 12 11 3 2 1 2 23 22 21 1 13 12 11 ) ( 8.9. Desarrollo de un determinante El valor de un determinante puede obtenerse a partir de los adjuntos de los elementos de su matriz correspondiente. Así: 1 1 1 1 ] 1 ¸ · mn m m m n n a a a a a a a a a a a a A L M O M M M L L 3 2 1 2 23 22 21 1 13 12 11 n n A a A a A a A a A 1 1 13 13 12 12 11 11 ... + + + + · En este caso, el determinante se ha desarrollado por la primera fila. En general, un determinante puede desarrollarse por filas o por columnas. En el manejo de determinantes se pueden establecer algunas propiedades que facilitan las operaciones de cálculo. Tales propiedades son: • 1. Una matriz cuadrada con una fila o una columna en la que todos los elementos son nulos tiene un determinante igual a cero. • 2. El determinante de una matriz con dos filas o dos columnas iguales es cero. • 3. Cuando dos filas o dos columnas de una matriz son proporcionales entre sí (una se puede obtener multiplicando la otra por un factor), su determinante es cero. • 4. Al intercambiar dos filas o dos columnas de una matriz, su deter- minante cambia de signo. • 5. Al multiplicar todos los elementos de una fila o una columna de una matriz por un número, el determinante de la matriz resultante es igual al de la original multiplicado por ese mismo número. • 6. El determinante de una matriz triangular o una matriz diagonal es igual al producto de los elementos de su diagonal principal. w w w . L I B R O S P D F 1 . b l o g s p o t . c o m ________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________ 37 • 7. Cuando a una fila (o columna) de una matriz se le suma o resta una combinación lineal de otras filas (o columnas), el valor de su determinante no se altera. Matriz Inversa (A -1 ) Para la matriz cuadrada A de orden n, se dice que existe una matriz inversa A -1 también cuadrada de orden n, cuando el producto de ambas es igual a la matriz identidad: A × A -1 = A -1 × A = I. Toda matriz que tiene inversa se dice inversible o no singular, mientras que cuando carece de inversa se denomina matriz singular. Teorema. Sea la matriz: 1 ] 1 ¸ · 22 21 12 11 a a a a A Si el determinante de A no es cero, entonces la matriz inversa de A es: 1 ] 1 ¸ − − · − 11 21 12 22 1 1 a a a a A A Ejemplo: Encontrar 1 − A 1 ] 1 ¸ · 4 1 5 3 A Primero: encuentro el determinante de A: , ), ) , ), ) , ) , ) 7 5 12 1 5 4 3 · − · − · A Segundo: calculo la adj A : Cofactores de A 1 ] 1 ¸ · 4 1 5 3 A 4 11 · A 1 12 − · A 5 21 − · A 3 22 · A Tercero: con las respuestas formo la matriz B y luego obtengo T B que es la adjA . 1 ] 1 ¸ − − · 3 5 1 4 B adjA B T · 1 ] 1 ¸ − − · 3 1 5 4 Cuarto: aplico el teorema 1 ] 1 ¸ − − · − 22 12 21 11 1 1 A A A A A A 1 1 1 ] 1 ¸ − − · 1 ] 1 ¸ − − · − 7 3 7 1 7 5 7 4 3 1 5 4 7 1 1 A Comprobamos la respuesta: A A I AA 1 2 1 − − · · Regla de Cramer Un sistema de ecuaciones lineales se dice de Cramer cuando cumple las siguientes condiciones: • Es un sistema cuadrado, con igual número de ecuaciones que de incógnitas. • El determinante de la matriz de los coeficientes asociada es distinto de cero. En consecuencia, un sistema de Cramer es siempre compatible determinado (tiene una solución única). Para calcular la incógnita xi del sistema de ecuaciones lineales, se sustituye la columna i de la matriz de coeficientes por los términos independientes, se obtiene el determinante de la matriz resultante y se divide este valor por el del determinante de la matriz de los coeficientes. Por tanto, la solución de un sistema de Cramer se obtiene hallando cada incógnita xi según la fórmula: C C x i i · Siendo Ci la matriz resultante de sustituir la columna de la matriz de los coeficientes correspondiente a la incógnita por la de los términos independientes. w w w . L I B R O S P D F 1 . b l o g s p o t . c o m ________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________ 38 Sea el sistema de ecuaciones: ¹ ¹ ¹ ; ¹ · − + · + + − · − + 1 2 0 2 2 1 z y x z y x z y x 1 1 1 ] 1 ¸ − · 1 1 1 ] 1 ¸ 1 1 1 ] 1 ¸ − − 1 0 1 1 1 2 2 2 1 1 2 1 z y x Hallamos los determinantes de: 4 1 1 2 2 2 1 1 2 1 · − − · ∆ 4 1 1 2 0 2 1 1 2 1 ; 8 1 1 2 2 0 1 1 1 1 ; 8 1 1 1 2 2 0 1 2 1 · − · ∆ − · − − − · ∆ · − − − · ∆ z y x ; z z ; y y ; x x 1 2 2 · ∆ ∆ · − · ∆ ∆ · · ∆ ∆ · Luego la solución del sistema es x = 2; y = -2 y z = 1 Resolución de un sistema por eliminación gaussiana El procedimiento más utilizado para resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante matrices es el llamado método de eliminación gaussiana, que consta de los siguientes pasos: - Se forma la matriz ampliada del sistema incorporando a la de los coeficientes, por la derecha, una nueva columna con los elementos de la matriz de los términos independientes. - Se aplican operaciones elementales sobre las filas de esta matriz ampliada, hasta lograr que por debajo de la diagonal principal de la matriz todos los términos sean nulos. - Se obtiene entonces un sistema equivalente de ecuaciones de resolución inmediata. Este método permite también realizar una rápida discusión del sistema. Si la última fila de la matriz resultante de la transformación de la ampliada produce una ecuación del tipo 0x + 0y + cz = k, con c ≠ 0, el sistema es compatible determinado (tiene una solución única). Cuando esta última fila corresponde a una ecuación del tipo 0x + 0y + 0z = k, k ≠ 0 el sistema es incompatible (carece de solución). Si esta última fila se traduce en una ecuación del tipo 0x + 0y + 0z = 0, el sistema será compatible indeterminado (con infinitas soluciones). Ejemplo: Sea el sistema: ¹ ¹ ¹ ; ¹ · + + − · + + · + − 3 4 2 4 2 2 z y x z y x z y x Matriz amplificada: 1 1 1 ] 1 ¸ − − 3 1 4 1 2 1 1 1 4 2 1 2 M M M A la fila f3 se le suma la fila f2 y a esta segunda multiplicada por 2, se le resta la primera: 1 1 1 ] 1 ¸ − 5 2 5 0 0 0 3 0 4 2 1 2 M M M Luego, a f3 ×3 se le resta f2 ×5: 1 1 1 ] 1 ¸ − 15 6 0 0 0 0 3 0 4 2 1 2 M M M Finalmente: 6z = 15 z = 5/2 ; y = 0 ; x = - ½ w w w . L I B R O S P D F 1 . b l o g s p o t . c o m ________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________ 39 EJERCICIOS Y PROBLEMAS Nivel I: 01. Sean A y B dos matrices definidas por: Entonces el valor de: 1 2 − + − − · B A B B A E A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 E. 60 02. Si A es una matriz antisimétrica definida así: 1 1 1 ] 1 ¸ − − + − · 2 4 4 1 c e b a c d b a A Determinar el valor de: T = a + b + c+ d + e A. -1 B. 1 C. 2 D. 3 E. 4 03. Sabiendo que el siguiente sistema no tiene solución: ¹ ' ¹ · + + · + + 8 4 ) 2 ( 7 5 ) 1 2 ( y x k y x k ¿ Cuál es el valor de k? A. -2 B. -1 C. 0 D. 1 E. 2 04. Hallar la traza de la siguiente matriz simétrica: 1 1 1 ] 1 ¸ + + + · z z y x z y y x x A 3 7 3 2 3 2 5 10 2 A. 10 B. 8 C. 11 D. 6 E. 0 05. Calcular la matriz inversa de: Señala el elemento a33 de la matriz inversa: A. 2/7 B. 5/7 C. 1/7 D. 0 E. ½ 06. Dadas las matrices Hallar la traza de A.B A. 0 B. 1 C. -1 D. 2 E. -2 07. Resolver la ecuación: x x x x 7 1 2 1 1 4 2 1 3 0 1 − · − − + − Señala uno de los valores de x. A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 E. 9 08. Sea la ecuación matricial: 2A = AX + B Donde: 1 ] 1 ¸ − − · 1 ] 1 ¸ − · 1 3 2 1 1 1 0 1 B y A Hallar la traza de la matriz X. A. 1 B. 0 C. 2 D. 3 E. 4 09. Sean 1 1 1 ] 1 ¸ − − − · 1 1 1 ] 1 ¸ − − · 1 1 1 ] 1 ¸ − − · 5 2 1 2 1 0 1 0 2 9 0 0 6 5 0 2 1 3 1 0 5 3 2 1 1 4 2 C y B , A Cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas (V) y cuáles son falsas (F) I. Las tres matrices rectangulares son de orden 3. II. El elemento a22 de – A – B + C es: - 4 III. El elemento a32 de 3A + C/2 es: - 1 A. VVF B. FFV C. FVV D. VVV E. FFF 10. Si: 1 ] 1 ¸ · 1 0 0 1 A se cumple: I. A 2 = A 70 II. A 4 ≠ A 8 III. A 3 = A 2 + A A. VFF B. VVF C. VFV D. FFV E. FVV 1 ] 1 ¸ − · 2 4 1 3 A 1 ] 1 ¸ − · 1 1 2 0 B 1 1 1 ] 1 ¸ − − − − − · 1 3 1 1 2 2 3 1 1 P 1 ] 1 ¸ − · 1 1 1 ] 1 ¸ − − · 3 1 2 1 8 4 1 0 2 1 1 2 B y A w w w . L I B R O S P D F 1 . b l o g s p o t . c o m ________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________ 40 NIVEL II 01. Sabiendo que: 1 ] 1 ¸ − · 1 ] 1 ¸ + + · 1 ] 1 ¸ · d a C y d c b a B , d c b a A 2 1 6 3 4 Con los que se cumple: 3A – B = C. Calcular el valor de: d c b a Q . . . ! 4 · A. – 1 B. 1 C. 2 D. – 2 E. 3 02. Se tienen las matrices: 1 ] 1 ¸ · 1 ] 1 ¸ − · y z x B y y x A 4 1 1 Donde x, y, z no son todos cero. Si AB es la matriz cero, entonces los valores de x, y, z son respectivamente: A. 0; 1; 0 B. 1; 1; 4 C. -1; 1; 4 D. 1; -1; 0 E. 1; -1; -4 03. Sea la matriz: A=(aij)3×2 definida por: ¹ ¹ ¹ ' ¹ > + · < − · j i si j i j i si j i j i si j i a ij ; , . : , Determinar la traza de: (A.A T ) A. 56 B. 48 C. 60 D. 68 E. 52 04. Si A y B son dos matrices definidas por: ¹ ' ¹ ≠ − · + · · × j i j i j i j i a a A ij ij ; ; / ) ( 3 3 ¹ ¹ ¹ ' ¹ · + < ∀ · · ∀ · · × 0 , 1 , 0 / ) ( 3 3 ji ij ij ij ij ij b b j i b j i b b b B Hallar: det (A + B) A. 48 B. 52 C. 42 D. 58 E. 60 05. Sea: 1 ] 1 ¸ − · 1 1 0 1 A Calcular: A n ; n∈ N A. 1 ] 1 ¸ 1 0 0 1 B. 1 ] 1 ¸ n n 0 0 C. 1 ] 1 ¸ − n n 0 0 D. 1 ] 1 ¸ − 1 0 1 n 06. Dadas las matrices: 1 ] 1 ¸ · 3 0 2 5 A y B = A n Determinar: G = traz(B) – b12 A. 2.5 n B. 2 n+1 C. 2 n D. 5 n + 3 n E. 2.3 n 07. La siguiente matriz es simétrica: 1 1 1 ] 1 ¸ + + + · c c b a c b b a a A 3 20 3 2 3 2 2 7 5 Determinar su traza. A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 E. 18 08. Expresar la matriz A como la suma de una matriz simétrica y otra antisimétrica. Hallar la traza del producto de las dos matrices. 1 ] 1 ¸ · 4 2 3 1 A A. 0 B. – 1 C. -1/2 D. – ¼ E. – 2 09. Dadas las matrices: 1 ] 1 ¸ − · 1 ] 1 ¸ − − · 1 4 1 1 1 2 1 1 B y A Indicar si son verdaderas (V) o falsas(F) las siguientes igualdades: VIII. A.B = B.A IX. (A + B) 2 = A 2 + B 2 X. 2A – 3B = 0 A. VVV B. VVF C. FVF D. FFF E. VFV 09. Sabiendo que: 1 1 1 ] 1 ¸ · 0 1 1 1 0 1 1 1 0 A Hallar: A 2 – A – 2I (I es la matriz identidad) A. I B. A C. 0 D. 1 E. imposible w w w . L I B R O S P D F 1 . b l o g s p o t . c o m ________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________ 41 CLAVE: Nivel I : 01 – E 02 – A 03 – E 04 – C 05 – 0 06 – C 07 - D 08 – C 09 - C 10 - A Nivel II: 01 – B 02 – C 03 – D 04 – B 05 - D 06 – D 07 – C 08 – A 09 – D 10 – C TEMA 9 SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS 9.1. SUCESIONES Son sucesiones reales: a) ,... n ,..., , , 1 4 1 3 1 2 1 1, la ley característica se enunciaría así: es una sucesión formada por los números inversos de los números naturales. b) ,... n ,..., , , , 4 3 2 1 aquí la ley sería: raíces cuadradas de los números naturales c) ,... 1 ,... 5 4 , 4 3 , 3 2 , 2 1 + n n la ley sería: una sucesión formada por fracciones cuyo numerador es la serie de los números naturales y el denominador es igual al numerador más una unidad. Conocida la ley de formación, se puede determinar cualquier término de la sucesión en función del lugar que ocupe. Una sucesión, cuando tiene un número determinado de términos, como por ejemplo la sucesión: 3 2 5 1 8 6 3 2 1 , , , , , formada por estos seis números, no necesariamente tiene que tener una ley de formación ya que todos sus términos están perfectamente definidos al conocerlos todos. 9.2. TÉRMINO GENERAL DE UNA SUCESIÓN En las sucesiones, los términos 1 , , 1 + n n n n representan de forma simbólica a la ley de formación de cada sucesión, se representan por a n y se llaman término general de la sucesión. A partir del término general puede calcularse cualquier término dando valores a “n”. El valor de n corresponde con el lugar que ocupa el término en la sucesión. Por ejemplo: Determinar los tres primeros términos y el que ocupa el lugar 10, en una sucesión cuyo término general es: 1 2 + · n n a n Para n = 1, 2 1 1 1 1 2 1 · + · a Para n = 2, 3 4 1 2 2 2 2 · + · a Para n = 3 4 9 1 3 3 2 3 · + · a Para n = 10 11 100 1 10 10 2 10 · + · a Suele presentar más dificultades el determinar el término general, conocidos algunos de los términos de una sucesión, ya que no hay una regla para hacerlo. Ejercicios: 1. Escribir los seis primeros términos de las sucesiones cuyos términos generales son: 2 1 + + · n n a n 2 1 2 1 3 2 n n a n a n n a n n n − · + · − · 2. Escribir el término general de las siguientes sucesiones, indicando las que son crecientes o decrecientes. a) ,... 15 17 ... 5 7 , 3 5 , 1 3 b) ,... 17 16 , 10 9 , 5 4 , 2 1 w w w . L I B R O S P D F 1 . b l o g s p o t . c o m ________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________ 42 c) ,... 5 4 , 4 3 , 3 2 , 2 1 d) ,... 8 6 , 6 5 , 1 , 2 3 e) 0, ,... 17 15 , 10 8 , 5 3 9.3. CLASES DE SUCESIONES La sucesión 1, 4, 7, 10, 13, 16 que tiene solamente estos seis términos es una sucesión limitada. La sucesión 1, 4, 7, 10, 13, 16, ...3n − 2 ... es ilimitada ya que puede tener todos los términos que se quieran sacar. Las dos sucesiones anteriores son estrictamente crecientes ya que se cumple que cada término es mayor que el anterior. La sucesión que define al número real 3 o sea 1; 1,7; 1,73; 1,732; 17320; 1,73205... es creciente pero no estrictamente creciente ya que los términos 1,732 y 1,7320 son iguales, por lo que no cumple que cada término sea mayor que el anterior. La sucesión ;... 1 ... ; 16 1 ; 9 1 ; 4 1 ; 1 2 n es estrictamente decreciente ya que cada término es menor que el anterior. 9.4. SERIE Es la suma de los términos de una sucesión. Existen series aritméticas, geométricas y otras series especiales. SUMATORIA: Una sumatoria nos permite representar sumas muy grandes, de n sumandos o incluso sumas infinitas y se expresa con la letra griega sigma ( Σ ) . Una sumatoria se define como: n n m m n m i m i x x x x x x + + + + + · − + + · ∑ 1 2 1 L La variable i es el índice de suma al que se le asigna un valor inicial llamado límite inferior, m. La variable i recorrerá los valores enteros hasta alcanzar el límite superior, n. Necesariamente ha de cumplirse: m ≤ n Algunas sumatorias , ) ∑ · + · + + + + · n i n n n i 1 2 1 3 2 1 L , ), ) ∑ · + + · + + + + · n i n n n n i 1 2 2 2 2 2 6 1 2 1 3 2 1 L , ) 2 1 3 3 3 3 3 2 1 3 2 1 , _ ¸ ¸ + · + + + + · ∑ · n n n i n i L na a a a a a n i veces n ∑ · · + + + + · 1 4 4 3 4 4 2 1 L ∑ · − − − · + + + + · n j n n j a a a a a a 0 1 2 1 1 1 L ∑ · + − − · + + + + + · n k n n k a a a a a a a a a 1 1 4 3 2 1 L ∑ ∑ · · · + + + + · n k n k k a na a a a ak 1 1 3 2 L ∑ ∑ ∑ · · · · + · n i n i n i i i i 1 1 0 0 9.5. PROGRESIÓN ARITMÉTICA Es una sucesión de números, tales que cada término se forma sumando algebraicamente una cantidad constante al término anterior. Esta cantidad constante se llama razón (d) y puede tener cualquier valor menos cero. Cuando la razón es positiva la PA es creciente y cuando la razón es negativa la progresión es decreciente. w w w . L I B R O S P D F 1 . b l o g s p o t . c o m ________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________ 43 El término enésimo de una PA se determina con la fórmula: a n = a 1 + (n – 1)d En general cualquier término a partir de un término a k se determina así: a n = a k + (n – k)d 9.5.1. SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA La suma de los términos de una progresión aritmética se calcula por la fórmula: 2 ) ( 1 n a a S n + · Donde a 1 representa al primer término, a n al último y n al número de términos. Ejemplo: a) Hallar la suma de los 10 primeros términos de la progresión. 1, 3, 5, 7, ... a 1 = 1, el término a n será el término 10 que se calculará por la fórmula del término general, a n = a 1 + (n − 1).d, o sea a 10 = 1 + 9.2 = 19. La suma quedará: 100 10 2 19 1 · × + · S b) Calcular la suma de los 8 primeros múltiplos de 5 a 1 = 5, a 8 = 40; 180 8 2 40 5 · × + · S 9.5.2. SUMA DE LOS TÉRMINOS EQUIDISTANTES DE LOS EXTREMOS DE UNA PA En la progresión 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, se puede comprobar que las sumas de los términos equidistantes de los extremos son iguales a la suma de los extremos: 2 + 16 = 18 es la suma de los términos extremos 4 + 14 = 18 6 + 12 = 18 8 + 10 = 18 Esta propiedad, como es fácil de comprobar la cumplen todas las progresiones aritméticas. 9.5.3. INTERPOLAR TÉRMINOS ARITMÉTICOS Interpolar “m” términos aritméticos entre dos números dados, a 1 y a n , consiste en formar una progresión aritmética de m + 2 términos, en la que los números a 1 y a n sean el primer y último término. Se determina la razón: 1 1 + − · m a a d n ó , )d n a a n 1 1 − + · Por ejemplo: - Intercalar 5 términos aritméticos entre el 2 y el 14. Se calcula la razón utilizando la fórmula del término general. , )d n a a n 1 1 − + · , teniendo en cuenta que 14 será el término enésimo, 2 el primer término y que la progresión tiene 7 términos, ya que a los dos dados hay que añadirle los cinco que se quieren interpolar. Sustituyendo en la fórmula: 14 = 2 + (7 – 1).d ; 12 = 6d ; d = 2. Si la diferencia es 2, los términos serán: 2, 4, 6, 8, 10, 12 y 14. 9.6. PROGRESIÓN GEOMÉTRICA Son sucesiones de números tales que cada término se forma multiplicando por una cantidad constante al término anterior. Esta cantidad constante se llama razón (r). 9.6.1. TÉRMINO GENERAL DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA Con la fórmula del término general de una progresión geométrica: 1 1 − × · n n r a a se pueden resolver distintos tipos de ejercicios; por ejemplo: 1. Calcular cualquier término, conocido el primer término y la razón. En la siguiente progresión geométrica, calcular la razón y los términos 10 y 20. 2, 4, 8, 16, .... La razón se calcula dividiendo dos términos consecutivos r = 2 Los términos 10 y 20 aplicando la fórmula del término general: 1048576 2 2 1024 2 2 20 19 20 10 9 10 · · · · a ; . a a ; . a w w w . L I B R O S P D F 1 . b l o g s p o t . c o m ________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________ 44 2. Calcular la razón y el término general, conocidos dos términos no consecutivos. Calcular la razón y el término general de una progresión geométrica cuyo término tercero es 12 y el término 5 es 48. Se aplica la fórmula del término general para los dos términos dados: 12 = a 1 .r 2 48 = a 1 .r 4 se resuelve el sistema, dividiendo la segunda ecuación entre la primera o despejando a 1 en la primera ecuación y sustituyendo en la segunda. Dividiendo queda: 4 = r 2 ; r = 2 Para determinar el término general, se calcula previamente a1 en cualquiera de las dos ecuaciones anteriores: 12 = a 1 .2 2 ; a 1 = 3 El término general será: a n = 3.2 n-1 9. 6.2. SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA 1. PROGRESIÓN LIMITADA Si la progresión tiene un número limitado de términos la suma se calcula por la fórmula 1 1 − − × · r a r a S n . Si en esta fórmula primera sustituimos a n por su equivalente a 1 . r n - 1 . Quedará: , ) 1 1 1 − − · r r a S n Por ejemplo: - Calcular la suma de los 10 primeros términos de la progresión geométrica 3, 6, 12,... Para aplicar la primera fórmula haría falta calcular previamente el término 10, en cambio con la segunda no haría falta este cálculo. Teniendo en cuenta que de la progresión se saca que la razón es 2, aplicando la segunda fórmula quedará: , ) 3069 1 2 1 2 3 10 · − − · S Calcular la suma de los seis primeros términos de una progresión sabiendo que el sexto término es 8 1 y la razón 2 1 . Para aplica la primera fórmula hace falta calcular primero el primer término. 5 1 1 1 2 1 8 1 , _ ¸ ¸ · · − . a ; .r a a n n ; 32 1 8 1 1 . a · ; 4 1 · a Aplicando la primera fórmula: 8 63 1 2 1 4 2 1 8 1 · − − , _ ¸ ¸ × · S 2. PROGRESIÓN ILIMITADA La suma de los términos tiende hacia un valor al que se acerca más cuanto más términos se tomen. Por ejemplo la progresión 1, ... , 8 1 , 4 1 , 2 1 Si sumamos cuatro términos su suma sería 875 1 8 15 . · Si sumamos 10 términos 1 2 1 1 2 1 1 10 − 1 1 ] 1 ¸ − , _ ¸ ¸ · S al aplicar la primera fórmula S =1,998 Si se suman 20 términos, aplicando la misma fórmula, la suma sería 99999 1 1 2 1 1 2 1 1 20 . S · − 1 1 ] 1 ¸ − , _ ¸ ¸ · Si seguimos aumentando el número de términos la suma será 1,99999999... acercándose cada vez más a dos. Si se halla la suma de los infinitos términos de la progresión aplicando la fórmula: r a S − · 1 1 quedará 2 2 1 1 1 · − · S que es número al que tiende la suma al hacer que sus términos crezcan indefinidamente 9.6.3. PRODUCTO DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA 1. Calcular el producto de n términos de una progresión geométrica, conocido el primer término y la razón. w w w . L I B R O S P D F 1 . b l o g s p o t . c o m ________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________ 45 , ) n n a a P × · 1 Ejemplo: Calcular el producto de los 10 primeros términos de la progresión geométrica 2, 6, 18... Para aplicar la fórmula , ) n n a a P × · 1 hay que calcular a n por la fórmula del término general: 1 1 − · n n r . a a , a n = 2.3 9 ; a n = 39366 , ) 5 10 78732 39366 2 · × · P 2. Calcular el primer término de una progresión geométrica, conocido el producto de n términos y el término enésimo. Ejemplo: Sabiendo que el producto de los 4 primeros términos es 5184 y que el cuarto término es 24, calcular el primer término Se aplica la fórmula del producto: , ) 3 9 576 5184 24 5184 24 5184 2 2 1 2 2 1 4 1 · · × · × · × · a ; a ; a ; a ; a 9.6.4. PRODUCTO DE TÉRMINOS EQUIDISTANTES DE LOS EXTREMOS En al progresión geométrica 3, 9, 27, 81, 243, 729 se comprueba que el producto de los extremos es igual al producto de los términos equidistante de los mismos: Producto de los extremos 3 x 729 = 2187 Productos de términos equidistantes: 9 x 243 = 2187 27 x 27 x 81 = 2187. 9.6. 5. INTERPOLACIÓN DE TÉRMINOS GEOMÉTRICOS Interpolar 4 términos geométricos entre 18 y 4374. Se aplica la fórmula del término general teniendo en cuenta que a 1 = 18, a n = 4374 y que el número de términos es 6, ya que a los cuatro que hay que intercalar se añaden el primero y el último. 4374 = 18.r 5 ; 243 = r 5 , 3 5 = r 5 ; r = 3, Luego la progresión quedará: 18, 54, 162, 486, 1458, 4374 Directamente podemos hallar la razón con la ecuación: 1 1 + · m n a a r 9.7Factorial de un número natural Es el producto de los “n” factores consecutivos desde “n” hasta 1. El f act or i al de un númer o se denota por n!. n! = n×(n-1)×(n-1)×...×3×2×1 0! = 1 TEOREMA DEL BINOMIO Sean a y b números reales y además n y k números enteros, tal que 0 ≤ k ≤ n , entonces: , ) k k n n k n b a k n b a − · ∑ , _ ¸ ¸ · + 0 O también: , ) n n n n n k k k n n b n n .... b a n b a n a n b a k n b a , _ ¸ ¸ + + , _ ¸ ¸ + , _ ¸ ¸ + , _ ¸ ¸ · , _ ¸ ¸ · + − − · − ∑ 2 2 1 0 2 1 0 Donde: , )! k n ! k ! n k n − · , _ ¸ ¸ Ejemplo: , ) 4 3 2 2 3 4 4 4 4 3 3 4 2 2 4 1 1 4 0 4 4 0 4 4 4 6 4 4 4 3 4 2 4 1 4 0 4 4 b ab b a b a a b a b a b a b a b a b a k b a k k k + + + + · , _ ¸ ¸ + , _ ¸ ¸ + , _ ¸ ¸ + , _ ¸ ¸ + , _ ¸ ¸ · , _ ¸ ¸ · + − − − − · − ∑ 9. 8.1. TÉRMINO EMÉSIMO Se determina el término n- ésimo haciendo k = m – 1 Ejemplo: Determine el quinto término en el desarrollo de ( x + 2 ) 6 . Respuesta: , ) k k k a k x 2 6 2 6 6 0 6 − · ∑ , _ ¸ ¸ · + Quinto término → m = 5 → k = 4 → 2 2 4 4 6 240 2 4 6 16 2 4 6 x x ! ! ! x · × × · , _ ¸ ¸ − Rp.: El quinto término es 240 x 2 . w w w . L I B R O S P D F 1 . b l o g s p o t . c o m ________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________ 46 9.8.2. TÉRMINO CENTRAL Para n par Cuando n es par, se determina el término central haciendo: 2 n k · Ejemplo: Determine el término central en el desarrollo de ( p + q ) 8 . Respuesta: , ) k k k q p k q p − · ∑ , _ ¸ ¸ · + 8 8 0 8 8 4 4 4 4 4 4 8 70 4 4 8 4 8 4 2 8 q p q p ! ! ! q p k · × · , _ ¸ ¸ → · · − Rp.: El término central es 70 p 4 q 4 . Para n impar Cuando n es impar, se determinan los términos centrales haciendo: 2 1 y 2 1 + · − · n k n k Ejemplo: Determine los términos centrales en el desarrollo de ( a – b ) 7 . Respuesta: , ) , ) , ) ∑ ∑ · − · − , _ ¸ ¸ − · − , _ ¸ ¸ · − 7 0 7 7 0 7 7 7 1 7 k k k k k k k b a k b a k b a , ) 3 4 3 4 3 3 7 3 35 4 3 7 3 7 1 3 2 1 7 b a b a ! ! ! b a k − · × − · , _ ¸ ¸ − → · − · − , ) 4 3 4 3 4 4 7 4 35 3 4 7 4 7 1 4 2 1 7 b a b a ! ! ! b a k · × − · , _ ¸ ¸ − → · + · − Rp.: Los términos centrales son – 35 a 4 b 3 y 35 a 3 b 4 . 9.8.3. COEFICIENTE DE UNA POTENCIA Ejemplo: Calcule el coeficiente de x 5 en el desarrollo de ( 3 x 2 + 2 x ) 4 . Respuesta: , ) , ) , ) ∑ ∑ · − − · − , _ ¸ ¸ × × · , _ ¸ ¸ · + 4 0 8 4 4 0 4 2 4 2 4 2 3 2 3 4 2 3 k k k k k k k x k x x k x x 5 3 8 3 3 4 96 3 4 2 3 3 5 8 x x k k · , _ ¸ ¸ × × → · → · − − − Rp.: El coeficiente de x 5 es 96 . 9.8.4. TÉRMINO INDEPENDIENTE Ejemplo: Determine el término independiente de x en el desarrollo de: 6 2 3 , _ ¸ ¸ + x x Respuesta: , ) ∑ ∑ · − · − , _ ¸ ¸ · , _ ¸ ¸ , _ ¸ ¸ · , _ ¸ ¸ + 6 0 3 12 6 0 6 2 6 2 6 3 3 6 3 k k k k k k x k x x k x x 1215 4 6 3 4 0 3 12 4 3 12 4 · , _ ¸ ¸ → · → · − × − x k k Rp.: El término independiente de x es 1215 . Desarrollar: (a + b) 6 (a + b) 6 = a 6 + 6 a 5 b + 15 a 4 b 2 + 20 a 3 b 3 + 15 a 2 b 4 Ejercicios y Problemas. 01. Hallar el término central de: 60 3 2 2 , _ ¸ ¸ − x x A. 40 30 60 x , _ ¸ ¸ B. 30 29 60 x , _ ¸ ¸ C. 29 31 60 x , _ ¸ ¸ D. 30 31 60 x , _ ¸ ¸ E. 29 29 60 x , _ ¸ ¸ w w w . L I B R O S P D F 1 . b l o g s p o t . c o m ________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________ 47 02. Calcular sin desarrollar, el término que ocupara el lugar 220 en el desarrollo: (a 3 + b) 400 A. 215 453 235 200 b a , _ ¸ ¸ B. 215 543 219 400 b a , _ ¸ ¸ C. 236 458 321 400 b a , _ ¸ ¸ D. 235 524 247 368 b a , _ ¸ ¸ E. No es posible 03. Cuál es el término independiente en el desarrollo: 9 2 3 5 2 1 , _ ¸ ¸ + x x A. 785/184 B. 875/144 C. 785/144 D. 875/184 E. 1 04. Determinar el lugar del término que contiene x 5 en el desarrollo de: 11 , _ ¸ ¸ + x y x A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5 05. Halla el cociente que resulta de dividir el término noveno por el sexto del desarrollo de 14 2 1 , _ ¸ ¸ −a 06. Hallar el término medio en el desarrollo de , ) 6 3 3 y x − 07. Una persona comunica un secreto a otras 3. Diez minutos después cada una de ellas lo ha comunicado a otras 3 y cada una de estas a otras 3 nuevas en los diez minutos siguientes, y así sucesivamente. ¿Cuántas personas conocen el secreto después de dos horas? Rp.: 1794323 08. Según una leyenda india, el inventor del aj edrez solicitó como recompensa por el invento que se pusiera 1 grano de trigo en la primera casilla del tablero, 2 en la segunda, 4 en la tercera, y así sucesivamente; en cada una el doble que en la anterior. El rey aceptó pero su sorpresa fue grande cuando vio no sólo que no cabían los granos en las casillas sino que no había suficiente trigo en todo el reino para cumplir el compromiso. Suponiendo que 10 granos de trigo pesan aproximadamente 1 g.¿podrías averiguar cuántos Kg. de trigo solicitó el inventor? Señala la suma de las cifras que forman la parte entera. A. 85 B. 72 C. 81 D. 74 E. 92 09. Consideremos la siguiente situación: 2 ciclistas se preparan para una competencia: Pablo comienza con 1000 metros, y todos los días agrega 1000 metros más, en tanto que Emilio empieza con 200 metros y cada día duplica lo hecho el día anterior. Cuántos metros recorre cada uno el décimo día? Emilio recorrió en metros: A. 10000 B. 108000 C. 102400 D. 110000 E. 100600 10. Calcular el tercero y quinto términos de una PA creciente, sabiendo que se cumple: a 3 .a 5 = 96 y a 3 + a 5 = 20. Señala la suma de ambos términos. A. 18 B. 23 C. 36 D. 16 E. 20 11. Se tienen cuatro números en PG, que cumplen las siguientes condiciones: a 1 + a 2 = 6 y a 3 + a 4 = 24. Hallar la suma del segundo y cuarto números. A. 40 B. 50 C. 60 D. 70 E. 30 12. En una PA se conocen a 5 = 28 y a 11 = 52. Calcular a 8 . A. 20 B. 30 C. 40 D. 50 E. 60 13. La suma de los quince primeros términos de una PA es 75 y el último es 40/3. Calcular la razón. A. 20/21 B. 25/21 C. 23/20 D. 23/21 E. 23/18 14. La suma de tres números en PA es 27 y su producto es 504. El mayor es: A. 15 B. 13 C. 11 D. 14 E. 16 15. La suma de tres números en PA es 48, la de sus cuadrados es 800. La diferencia del mayor y el menor es: A. 8 B. 4 C. 12 D. 6 E. 10 16. Calcular el último término de una PG de 4 términos, cuyo primer término es igual a 100 y el producto es 10000. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5 17. Calcular el producto de los términos de una PG, cuya suma y primer término valen respectivamente 35 y 5 y la razón es 2. A. 100 B. 200 C. 1000 D. 5000 E. 400 18. Tres números están en PG conociendo que su suma es igual a 35 y la suma de sus cuadrados es igual a 525. Hallar el mayor. A. 30 B. 35 C. 15 D. 12 E. 20 19. Se da un cuadrado de lado 10, uniendo los puntos medios de sus lados obtenemos un segundo cuadrado, uniendo los puntos medios de los lados de este cuadrado obtenemos un tercer cuadrado y así sucesivamente. Hállese la suma de las áreas de todos los cuadrados, si se supone que el proceso anterior se repite 5 veces. A. 190.52 B. 196,875 C. 201,186 D. 189,256 E. Imposible w w w . L I B R O S P D F 1 . b l o g s p o t . c o m ________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________ 48 20. Un cuerpo cae libremente en el vacío y recorre en el primer segundo 4,9 m y en cada segundo siguiente 9,8m más. Qué distancia recorre el cuerpo al cabo de 10s? A. 360m B. 590m C. 460m D. 490 m E. 440 m CLAVE: 01- A 02 – B 03 – B 04 – D 08 – D 09 – C 10 – E 11 – C 12 – C 13 – B 14 – D 15 – A 16 – A 17 – C 18 – E 19 – B 20 – D Gauss, de niño, hace un descubrimiento. Gauss provenía de una familia muy modesta. Su padre fue jardinero y pintor de brocha gorda. Las dotes matemáticas del joven Gauss se manifestaron muy pronto. Se cuenta de él que un día, a la edad de nueve años, cuando llegó a la clase de aritmética de la escuela primaria, el profesor les pidió a él y a sus compañeros que sumasen todos los números del 1 al 100. Gauss se paró a pensar, y en lugar de sumar todos, uno por uno, resolvió el problema en pocos segundos de la manera siguiente: 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100 = (1 + 100) + (2 + 99) + ... + (50 + 51) = 50 · 101 = 5050 es decir, descubrió el principio de la fórmula de la suma de los términos de una progresión aritmética. A consecuencia de estos éxitos sus maestros se interesaron por él. Gauss estudió matemáticas y llegó a ser catedrático de matemáticas de Kazán, catedrático de astronomía y director del Observatorio Astronómico de Gotinga. TEMA 10 TRIÁNGULO Es un polígono de tres lados, es decir, una porción de plano limitada por tres segmentos unidos, dos a dos, por sus extremos. Los tres segmentos que limitan el triángulo se denominan lados, y los extremos de los lados, vértices. En un triángulo se consideran dos tipos de ángulos: interior (formado por dos lados) y exterior (formado por un lado y la prolongación de otro). 10.1 Propiedades (Teoremas) • En todo triángulo, la suma de los ángulos interiores es igual a dos rectos. • En todo triángulo, un ángulo exterior es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes. • En todo triángulo, a mayor lado se opone mayor ángulo. • Si un triángulo tiene dos lados iguales, sus ángulos opuestos son también iguales. • En todo triángulo, un lado es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia. 10.2 Clasificación de los triángulos Por sus lados: Equiláteros: Sus tres lados iguales. Isósceles: dos lados iguales y uno desigual. Escaleno: tres lados desiguales. Por sus ángulos: Rectángulos: un ángulo recto. Acutángulo: tres ángulos agudos. Obtusángulo: Un ángulo obtuso. 10.3 ELEMENTOS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO Toda recta que une un vértice del triángulo con cualquier punto de su lado opuesto o su prolongación, se denomina CEVIANA. Bisectriz es la semirrecta que divide a un ángulo en dos partes iguales. Incentro es el punto de intersección de las tres bisectrices de un triángulo. Es el centro de la circunferencia inscrita. Mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al mismo en su punto medio. Circuncentro es el punto de intersección de las tres mediatrices de un triángulo. Es el centro de la circunferencia circunscrita. w w w . L I B R O S P D F 1 . b l o g s p o t . c o m ________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________ 49 Altura es el segmento perpendicular comprendido entre un vértice y el lado opuesto. Ortocentro es el punto de intersección de las tres alturas de un triángulo. Mediana es el segmento comprendido entre un vértice y el punto medio del lado opuesto. Baricentro es el punto de intersección de las tres medianas de un triángulo. Recta de Euler En cualquier triángulo, el circuncentro, ortocentro y baricentro están contenidos en una misma recta, llamada recta de Euler. Un lado es menor que la suma de los otros dos. a < b + c, b < a + c, c < a + b Propiedades adicionales: y x z x+y=180º+z a b y x x+y=a+b x+y=a+b b y a x x 2 90 y º x + · y y x 2 y x · x y 2 90 y º x − · x y x+y=180º Si BD es bisectriz x z y D B 2 z y x − · 10.4 CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS Si dos figuras geométricas tienen la misma forma pero no el mismo tamaño, en otros, puede ser que sean de igual forma y tamaño. Al comparar dos figuras, si observamos que tienen la misma forma y la misma medida, decimos que las figuras son congruentes. El símbolo que se emplea para denotar la congruencia es: ≅ Para comparar dos triángulos y determinar si existe congruencia entre ellos, existen tres criterios, que se describen y ejemplifican a continuación. Primer criterio: lado, lado, lado (LLL) Dos triángulos son congruentes si los tres lados de uno de ellos son congruentes a los lados del otro triángulo. Segundo criterio: lado, ángulo, lado (LAL) Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados y el ángulo comprendido respectivamente congruente. Tercer criterio: Ángulo, lado, ángulo (ALA) Dos triángulos son congruentes si dos ángulos y el lado comprendido entre ellos, de uno de los triángulos, son congruentes con dos de los ángulos y el lado comprendido entre ellos del otro triángulo. Con base en el conocimiento de los criterios de congruencia se puede demostrar con facilidad si de dos triángulos son congruentes. PROPIEDAD DE LA BISECTRIZ.- todo punto de la bisectriz de un ángulo equidista de los lados del ángulo. . α α A B P PROPIEDAD DE LA MEDIATRIZ. Todo punto de la mediatriz de un segmento, equidista de los extremos del segmento. P A B MEDIATRIZ w w w . L I B R O S P D F 1 . b l o g s p o t . c o m ________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________ 50 TEOREMA DE LA BASE MEDIA el segmento de recta que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo al tercer lado y mide la mitad de su longitud. A C B M N a 2a PROPIEDAD DEL TRIÁNGULO RECTÁNGULO La mediana relativa a la hipotenusa mide la mitad de la hipotenusa. B A C M 2 AC BM · PROPIEDAD DEL TRIÁNGULO ISÓSCELES En un triángulo isósceles la altura relativa a la base también es bisectriz y mediana A B M C Triángulos Notables 53º 5k 4k 3k 2k k k 37º 30º 60º 3 k k 2 k 45º 45º 10.6 POLÍGONOS Las formas que ves en un tablero de ajedrez, un diamante de béisbol y una señal de alto son figuras planas. Los polígonos son figuras planas y cerradas limitadas por segmentos. Si el polígono es regular, todos sus lados tienen la misma longitud y todos sus ángulos la misma medida. 10.5 DIAGONALES: Para cualquier polígono convexo de n lados, la fórmula para hallar la cantidad de diagonales que posee es: , ) 2 3 − n n Ejemplo: Determinar la cantidad de diagonales que posee un polígono de 28 lados. En este caso n = 28, luego: 350 2 25 28 2 3 28 28 · × · − ) ( Un polígono de 28 lados posee 350 diagonales. ÁNGULOS INTERNOS: Sólo para polígonos regulares, la fórmula para hallar la medida de cada ángulo interno es: n ) n ( º i ´ 2 180 − · Suma de ángulos internos: Para cualquier polígono la suma de sus ángulos internos es: Si = 180(n – 2) NOTA: La fórmula anteriormente entregada no necesita la hipótesis de polígono regular. En los polígonos regulares: 1) Ángulo interior: n n i ) 2 ( º 180 − · 2) Ángulo exterior: n e º 360 · 3) Ángulo central: n º a c 360 · PROBLEMAS Nivel I 1. En un triángulo isósceles BC AB : ABC ≅ y en BC se ubica el punto D tal que: DC AC ≅ . Calcular el menor valor entero que puede tomar la medida del ángulo A. A. 46º B. 31º C. 59º D. 61º E. 76º 2. En la figura: y+z=130º calcular el valor de " "x . A. 15º B. 20º C. 25º D. 30º E. 35º n y z x m n m w w w . L I B R O S P D F 1 . b l o g s p o t . c o m ________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________ 51 3. Si: 0 41 · + β α y ___ ___ BC AB ≅ . Calcular θ . A. 15º B. 22,5º C. 23º D. 24,5º E. 49º 4. Jaimito tiene un jardín de forma triangular. En un punto O situado en el interior del jardín, tiene un rosal. La suma de las dos distancias desde el rosal a cada vértice es 54m. ¿Cuál es el perímetro de dicho jardín? A. 107m B. 110m C. 122m D. 125m E. 200m 5. En la figura: ___ ___ BC AB ≅ y ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ BI HI GH FG EF DE AD AC ≅ ≅ ≅ ≅ ≅ ≅ ≅ . Calcular el ángulo " "x . A. 10º B. 12º C. 14º D. 16º E. 18º 6. En un triángulo ABC, donde dos de sus lados miden 6,2 y 12,2m. Hallar la diferencia entre el máximo y mínimo valor entero que puede tener el tercer lado. A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 E. 14 7. En la figura: __ ___ 2 P C AB · y O B 26 · ∧ Determinar el valor de “x” A. 10º B. 12º C. 14º D. 8º E. 16º 8. En la figura, calcular ___ BD si 8 ___ ___ · · BC AB A. 4 B. 6 C. 8 D. 5 E. 10 9. En la figura: ___ ___ ___ ___ ; EC BD DC AB · · ; m m ABD · 0 24 · ACB Calcular el valor de “x” A. 16º B. 18º C. 20º D. 24º E. 32º 10. En la figura: ___ ___ ___ ___ , DC AE EC AB · · · ABE º ECD 20 · . Calcular " "x A. 15º B. 10º C. 20º D. 25º E. 35º θ ∝ β A E C D B A B D C E F G H I x A B P C α 70º 40º 60º D C B A E A B C D x º α α A C D E B α w w w . L I B R O S P D F 1 . b l o g s p o t . c o m ________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________ 52 11. En un paralelogramo ABCD se trazó la bisectriz interior de B que corta a ___ AD en E. Calcular el segmento que une los puntos medios de ___ BD y ___ CE sabiendo que: . 4 ___ · AB A. 2 B.3 C.6 D.4 E.1 12. En un trapezoide ABCD las bisectrices interiores de los ángulos A y B se cortan en P. Si m 0 30 · APB y m : 20 0 · D calcular la . C m ∧ A. 20º B. 30º C. 40º D. 50º E. 25º 13. En un trapecio ) // ( ___ AD BC ABCD se tiene: 10 , 8 , 6 ___ ___ ___ · · · CD BC AB y 18 ___ · AD . Las bisectrices interiores de ∧ A y ∧ B se intersecan en M y las bisectrices interiores de ∧ C y ∧ Dse cortan en N Calcular ___ MN . A. 3 B.4 C. 5 D. 6 E. 7 Nivel II 1. En la figura, BE es bisectriz de ∧ B. ___ BH es altura, 0 ___ ___ 14 , · α · BE AE . Hallar B. A. 76º B. 74º C. 72º D. 66º E. 58º 2. En el interior de un triángulo rectángulo isósceles ABC, recto en B , se toma un punto D, de modo que: AD AB · y º 30 · ∠BAD m . ¿Cuánto mide el ángulo DCA? A. 15º B. 30º C. 5º D. 20º E. 40º 3. En un triángulo , ABC m 0 30 · A , 0 15 · ∠ ∧ C m ; si se traza la mediana ___ BD . Hallar la medida del ángulo DBC A. 15º B. 20º C. 25º D. 30º E. 22º 30 4. En la figura : ___ ___ MC AM · . Hallar φ A. 20º B. 10º C. 30º D. 45º E. 15º 5. Si un trapecio ) CD // AB ( ABCD la suma de las bases es cm 48 , M es punto medio de N AC, ___ punto medio de . ___ BD Hallar el segmento que une los puntos medios de . ___ ___ BM y AN A. 10 B. 11 C. 12 D. 9 E. 13 6. Por un vértice de un cuadrado ABCD pasa la recta L que hace un ángulo agudo con el lado ___ AB sin cortar el cuadrado. Si la proyección de la diagonal ___ BD sobre la recta mide m 8 . Calcular la distancia del punto de intersección de las diagonales del cuadrado a la recta. A. 2 B. 3 C.4 D. 5 E. 6 7. En un trapecio rectángulo ABCD recto en A y D, la base menor ___ AB es m 4 , la mediana ME del trapecio mide m 6 . Se toma sobre AD un punto P tal que PC PB · y su 0 90 · BPC . Hallar MP . A. 2 B. 4 C. 5 D. 3 E. 6 8. A la figura BC AB · CD AE · , si · BED BDE. Hallar " " x A. 20º B. 22.5º C. 30º D. 36.5º E. 40º E A B C H α θ M A B H φ φ C φ φ φ E D A B C α 3 α 2 w w w . L I B R O S P D F 1 . b l o g s p o t . c o m ________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________ 53 Ejercicios de Polígonos 1. En un polígono regular se cumple que la suma de medidas de los ángulos interiores es 6 veces la medida de un ángulo interior. ¿Cuántos lados tiene dicho polígono? A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 E. 9 2. Cuál es la longitud del apotema de un hexágono regular de perímetro 60 m. A. 6 3 B. 7 3 C. 5 3 D. 4 3 E. 3 3 3. Calcular el número de lados de un polígono regular donde la medida de un ángulo interior es (p+15) veces la medida del ángulo exterior, y el número de diagonales es 135p. A. 56 B. 62 C. 64 D. 36 E. 48 4. Un polígono regular tiene 4 lados menos que otro y la diferencia de las medidas de los ángulos centrales de 45º. Cuántos lados tiene dicho polígono? A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 E. 8 5. En un polígono regular, al disminuir en 10º la medida de un ángulo interior, resulta otro polígono regular cuyo número de lados es 2/3 del número de lados del polígono original. Calcular el número de lados de dicho polígono. A. 16 B. 18 C. 20 D. 22 E. 24 6. Si los ángulos externos e internos de un polígono regular se encuentran en la relación de 2 a 7. Cómo se llama el polígono? A. pentágono B. hexágono C. nonágono D. heptágono E. dodecágono 7. Se tiene un polígono regular cuyo semiperímetro es “p” y en el cual el número que expresa su perímetro es el mismo que el que se expresa su número de diagonales. Además su ángulo interior es “p” veces su ángulo exterior. Cuánto mide el lado del polígono regular? A. ½ B. ¼ C. 1 D. 1/3 E. 1/5 8. Calcular la medida del ángulo exterior de un polígono regular, sabiendo que a partir de sus cuatro primeros vértices se puede trazar 25 diagonales. A. 10 B. 20 C. 45 D. 36 E. 30 9. En un polígono regular, la medida de un ángulo interior es igual a cinco veces la medida de un ángulo central. Calcular el número de diagonales trazadas desde los tres primeros vértices. A. 32 B. 44 C. 26 D. 29 E. 28 10. Las medidas de los ángulos interiores de dos polígonos regulares difieren en 10º y uno de ellos tiene 6 lados menos que el otro. Hallar el mayor número de lados. A. 16 B. 19 C. 17 D. 18 E. 20 11. Cuántas diagonales en total tiene aquel polígono regular convexo en el cual el cuadrado de su ángulo central es igual a 15 veces la medida de su ángulo interior. A. 14 B. 20 C. 27 D. 35 E. 17 12. Desde ) 4 ( − n vértices consecutivos de un polígono convexo, se trazan ) 3 4 ( + n diagonales. Hallar el número de ángulos rectos a que equivalen la suma de las medidas de los ángulos interiores de dicho polígono. A. 4 B. 10 C. 16 D. 20 E. 18 13. ¿Cuántos lados tiene un polígono cuya suma de las medidas de sus ángulos internos y externos es 3960? A. 21 B. 20 C. 22 D. 18 E. 16 14. ¿Cuál es el polígono regular en el cual, al aumentar en 1 el número de sus lados, su ángulo central disminuye en 12? A. Cuadrado B. Pentágono C. Hexágono D. Heptágono E. Octágono CLAVE: 01 – B 02 – C 03 – E 04 – B 05 – B 06 – C 07 – A 08 – D 09 – C 10 – B w w w . L I B R O S P D F 1 . b l o g s p o t . c o m ________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________ 54 TEMA 11 SEMEJANZA Y PROPORCIONALIDAD 11.1.Teorema de Thales: Si dos rectas cualesquiera se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra. Si: 3 2 1 L // L // L , se cumplen las siguientes proporciones n m b a · , n b m a · y n n m b b a + · + Corolario: Si una recta es paralela a un lado del triángulo e interseca a los otros dos, determinan en ellos, segmentos proporcionales. Si MN //AC entonces n b m a · 11.2 Teorema de la bisectriz interior y exterior: Teorema: La bisectriz de un ángulo de un Triángulo divide al lado opuesto en dos segmentos proporcionales a los lados que forman ese ángulo. Es decir, en el triángulo ABC : a c n m · Teorema: La bisectriz de un ángulo exterior del triángulo divide exteriormente el lado opuesto en dos segmentos, cuyas medidas son proporcionales a las de los lados del correspondiente ángulo interior del triángulo. a c q p · Semejanza de Triángulos: En geometría, existen casos en los que se presentan ciertas similitudes entre figuras; aquí los conceptos de congruencia o semejanza se establecen cuando las figuras son de la misma forma y tienen igual o diferente tamaño. En la congruencia, los lados y los ángulos tienen la misma medida y, en la semejanza, las dos figuras tienen la misma forma, aunque no tengan necesariamente la misma medida o tamaño; sus ángulos correspondientes u homólogos deben ser congruentes y los segmentos correspondientes o lados homólogos deben guardar entre sí una relación proporcional. ¿Cuándo se puede afirmar que dos triángulos son semejantes? Para contestar esta pregunta es necesario que se cumplan las condiciones que se analizarán a continuación: Obsérvense los siguientes triángulos: ¿serán semejantes? Si se toma con un transportador la medida del ángulo M, se puede ver que es congruente con el ángulo P; de la misma forma, el ángulo N es igual a Q, y R a O, por lo que se puede establecer que: <M = <P = 60°; <N = <Q = 40°; <O = R = 80° a b n m L 1 L 2 L 3 b N M C A B n m a A B C n m c a θ θ A B D q p c a θ C θ N p n o 40mm Q P R O M p q r 60º 54mm 30mm 27mm 20mm 60mm 40º 80º w w w . L I B R O S P D F 1 . b l o g s p o t . c o m ________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________ 55 Por otra parte, las medidas en milímetros de los lados opuestos a estos ángulos tienen una razón o constante de semejanza, esto es, el cociente de los lados opuestos a ángulos iguales es constante. 5 , 0 60 30 · · m p 5 , 0 54 27 · · n q 5 , 0 40 20 · · o r Para comprobar que los ángulos M, N y O del MNO son, respectivamente, congruentes a los ángulos P, Q y R del PQR, se puede calcar el PQR, recortar y sobreponer, uno a uno, los ángulos de los dos triángulos. Gracias a los datos obtenidos puede afirmarse que los triángulos MNO y PQR son semejantes. El símbolo ~ indica semejanza entre dos figuras, por lo que se pueden representar como: ∆PQR ~ ∆MNO Para determinar la semejanza entre dos triángulos existen tres criterios que son los siguientes: Primer Criterio: Ángulo – Ángulo (AA): Dos triángulos son semejantes si tienen dos de sus ángulos respectivamente iguales. Segundo Criterio: Lado - Ángulo- Lado ( LAL): Dos triángulos son semejantes si dos de sus lados son proporcionales respectivamente y congruente el ángulo que forman. Tercer Criterio: Lado - Lado - Lado (LLL): Dos triángulos son semejantes si sus tres lados son respectivamente proporcionales. PROBLEMAS: 1. En la figura AE // CB. Determinar la medida de DB si AD = 20 cm, AC = 6 cm. y ED = 18 cm. A) 9 cm B) 11 cm C) 12,6 cm D) 54 cm E) 15 2. En la figura, DE // AB, entonces I) CD AC AB DE · II) EC BC DE AB · III) CD DE AC AB · A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo II y III E) I, II y III 3. En la figura, ST//QR, si SQ = x + 1, QP = x + 2, TR = x + 5, RP = x + 6. La expresión que permite determinar x es: A) 6 5 2 1 + + · + + x x x x B) 1 5 6 2 + + · + + x x x x C) 6 11 2 3 2 2 + + · + + x x x x D) 11 2 5 1 3 2 + + · + + x x x x E) 11 2 3 2 + · + x x 4. ABMN trapecio. NC = 8 cm, MC = 12 cm, BC = 15 cm. El segmento AC mide: A) 22,5 cm B) 11 cm C) 10 cm D) 6,4 cm E) 20 cm 5. ABCD es paralelogramo, DE = 15, EF = 4, FB = 55. Determinar CF. A. 44/3 B. 12/11 C. 825/4 D. 20 E. 18 S T R Q P w w w . L I B R O S P D F 1 . b l o g s p o t . c o m ________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________ 56 6. En la figura, MN//PQ, entonces: I) OP MO PQ MN · II) OQ ON OP OM · III) MN•NO = QO 2 IV) PQ 2 = QP•MN A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo II y III D) Sólo II y IV E) Sólo I y II 7. ¿Cuál(es) de las siguientes relaciones se verifica(n) en la figura, siendo DE//CF y CE//BF? I) CE AC BF AB · II) EF BC AE AB · III) AF AE AC AB · A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) I, II y III 8. El ∆ABC de la figura es equilátero de lado a. Si DE // AB y CD: DA = 2:3, entonces la medida de DE en función del lado a es: A) a 5 2 B) a 5 3 C) a 5 4 D) 2 a E) a 3 3 2 9. En la figura, ¿cuál debe ser el valor de x para que L 1 // L 2 ? A) 3 B) 4 C) 4,5 D) –4 E) -4,5 10. En el triángulo ABC de la figura, AB // DE . Si CD = 20, DA = 5, CB = 30 y AB = 45, entonces el perímetro del trapecio ABED es A) 65 B) 80 C) 86 D) 90 E) 92 11. De acuerdo a los datos proporcionados en la figura adjunta, la recta CD es: a) Altura b) Bisectriz c) Simetral d) Transversal de gravedad e) Mediana 12. En el triángulo ABC de la figura, AB // DE y 3 1 · DA CD . Se afirma que: 4 1 3 1 · · · AB DE ) III EB CE ) II CE CD ) I De estas afirmaciones es(son) verdaderas: A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) I y II E) II y III w w w . L I B R O S P D F 1 . b l o g s p o t . c o m ________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________ 57 13. Se tiene un trapecio escaleno en donde la base mayor es tres veces la base menor, la altura mide 6m. Hallar la distancia del punto de corte de las diagonales a la base menor. A. 1 B. 1,5 C. 2 D. 2,5 E. 3 14. Se tiene un triángulo escaleno ABC en donde se conoce que AC=10cm y la altura BH=8cm. Encontrar el lado del cuadrado inscrito en el triángulo conociendo que uno de sus lados se encuentra sobre AC. A. 2,8 B. 3,6 C. 4,4, D. 5 E. 3 15. Las bases de un trapecio miden 4m y 12m y los lados no paralelos 4m y 5m. Hallar el perímetro del triángulo menor que se forma al prolongar los lados no paralelos. A. 8,5m B. 13m C. 7m D. 10m E. 12m 16. El área de un trapecio es 24m 2 y sus bases miden 5m y 7m respectivamente. Hallar la distancia del punto de intersección de las diagonales a la base mayor. A. 5/3 B. 7/3 C. 8/3 D. 11/3 E. 10/3 17. En la figura: AC=8m, BC=12m, DE//AB. Área del triángulo DCE = área trapecio ADEB. Hallar CE. A. 6 4 B. 2 6 C. 12 D. 10 E. 8 18. En la figura: ángulos B y D son 90º, EC=5, ED=4, AD=10. Hallar BE. A. 2,5 B. 2,8 C. 4,5 D. 3,2 CLAVE: 1 - C 2 – C 3 – A 4 – A 5 – D 6 - B 7 – A 8 – A 9 - B 10 - D 11 - B 12 - E 13 – B 14 – C 15 – A 16 – B 17 – B 18 – B TEMA 12 RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 h c a b . n c b . m a h . b c . a n . m h c a b · + · · · · + · 12.1 RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULO ACUTÁNGULO Y OBTUSÁNGULO Teorema de Euclides Si 90º<β<180º bm c b a 2 2 2 2 − + · Teorema de Heron , ), ), ) c p b p a p p b h c b a p b − − − · + + · 2 2 w w w . L I B R O S P D F 1 . b l o g s p o t . c o m ________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________ 58 Teorema de Stewart Teorema de Mediana m c n a bmn b x 2 2 2 + · + 2 2 2 2 2 2 c a b x + · + Ejercicios y problemas 01. Los lados de un triángulo miden 2 ; 6 y 8 . Calcular la proyección del menor lado sobre el mayor lado. a) 2 b) 3 2 c) 2 2 d) 2 3 e) 2 3 02. En un triángulo ABC encontrar la m<A si entre las longitudes de sus lados se cumple: bc c b a − + · 2 2 2 a) 30 b) 60 c) 74 d) 16 e) 37 03. En un romboide ABCD dos lados consecutivos miden 3 y 5. Determinar el ángulo mayor que se opone a una de las diagonales que mide 7 a) 120° b) 135° c) 105° d) 165° e) 150° 04. Si los lados de un triángulo miden 2, 3 y 4. ¿Qué clase de triángulo es? a) Acutángulo b) Rectángulo c) Obtusángulo d) Falta información 05. En un triángulo ABC, 10 ; 8 · · BC AB y 12 · AC . Se traza la ceviana BR, tal que 3 · RC . Calcular la longitud de BR a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 5 06. Los lados de un triángulo son: 17 · AB ; 13 · AC y 24 · BC . Si los punto M y N dividen al lado BC en tres longitudes iguales. Calcular 2 2 AN AM − a) 36 b) 38 c) 40 d) 42 e) 44 07. En el triángulo ABC , ) BC AB · , Sobre AC se ubica el punto D. Encontrar DC AD. si 7 · AB y 5 · BD a) 2 b) 12 c) 8 d) 16 e) 24 08. Los lados de un triángulo miden 2k; 3k y 4k. determinar “k” si la altura relativa al lado intermedio mide 15 a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 e) 2 09. En un triángulo ABC, obtuso en A, encontrar la medida del ángulo “A”, si entre las longitudes de sus lados se cumple: , ) 2 2 2 4 4 4 2 c b a c b a + · + + a) 120 b)135 c) 105 d) 165 e) 150 10. En un cuadrilátero ABCD de diagonales perpendiculares tenemos que: 2 · AB ; 3 · BC y 5 2 · CD . Calcular AD a) 2 3 b) 15 c) 6 d) 2 3 e) 30 11. En un triángulo ABC, la circunferencia inscrita tiene centro O. F es un punto de AC , tal que 2 B m FOC m ∠ · ∠ . Si 20 · AF y 16 · AO . Hallar la longitud del radio de dicha circunferencia. a) 9,2 b) 9,4 c) 9,6 d) 10,2 e) 11,4 12. En una circunferencia de centro Q, se trazan los radios QA y QB perpendiculares entre sí. Hallar la distancia de P a QA si QB = 10 cm y cm PB 8 · a) 6 b) 6,8 c) 6,4 d) 6,2 e) 6,6 13. En un triángulo ABC; 7 · AB ; 31 · BC y 54 · AC . Hallar la longitud de la altura BH . a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 e) 7 14. Calcular la altura de un trapecio isósceles, sabiendo que la longitud de sus lados no paralelos es 34 m y cuyas bases miden 8 m y 40 m respectivamente. a) 28m b) 32m c) 40m d) 30m e) faltan datos w w w . L I B R O S P D F 1 . b l o g s p o t . c o m ________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________ 59 15. En un triángulo rectángulo ABC, trazamos BR , ) AC R ∈ , de modo que BR AB · . Hallar AB , si 2 36 . cm AR AC · a) cm 2 5 b) 9cm c) cm 2 3 d) cm 2 7 e) 11cm. 16. En un triángulo rectángulo ABC, se trazan AC BH ⊥ , AB HE ⊥ y BC HF ⊥ . Si m AE 1 · y m FC 8 · . Calcular BH a) m 5 b) m 5 5 c) m 5 2 d) m 5 3 e) m 2 17. Calcular el perímetro de un triángulo rectángulo, sabiendo que sus lados son números enteros, en cm. y que uno de sus catetos mide 11cm. a) 120cm. b) 122cm. c) 142cm. d) 152cm e) 132cm. 18. Hallar “x” en: “o” es centro a) 8 115 b) 8 125 c) 4 115 d) 8 95 e) 4 95 19. Hallar x BD · , si 18 · AC y ABCD es un romboide a) 2 5 b) 5 5 c) 23 2 d) 13 3 e) 2 20. Hallar “x” en: a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 e) 7 01. C 02. B 03. A 04. C 05. C 06. C 07. E 08. E 09. B 10. B 11. C 12. B 13. B 14. D 15. C 16. C 17. E 18. B 19. C 20. E TEMA 13 13.1 REGIONES POLIGONALES. ÁREAS Triángulo h b 2 h . b A · Trapecio b B h A h b B A 2 + · Cuadrado a a a S S=a 2 Paralelogramo h b S S=b.h Rectángulo b a S S=a.b Polígono Regular a p: semiperímetro p . a A · Rombo D d A 2 d . D A · Relación entre áreas de triángulos semejantes β β α α a'' h' c' b' h c a b S S' 2 2 2 2 2 2 2 2 ' h h ' c c ' b b ' a a ' S S · · · · w w w . L I B R O S P D F 1 . b l o g s p o t . c o m ________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________ 60 Área del Círculo y Longitud de su Circunferencia r S S=πr2 LC = 2πr Área de un Sector Circular y Longitud de Arco r S L º r L º r S 360 2 360 2 πα · πα · Area de la corona Circular R r A=π(R 2 -r 2 ) Área del Segmento Circular r S 2 360 2 2 α − πα · sen r º r S EJERCICIOS Y PROBLEMAS 01. Cada lado de un rectángulo se divide en tres segmentos de la misma longitud; los puntos obtenidos se unen definiendo un punto en el centro, como se indica en la figura. ¿Cuánto es el cociente del área de la parte blanca entre el área de la parte gris? A. 1 B. ½ C.. 1/3 D. ¼ E. 2/3 02. Al aumentar en la misma proporción la longitud de los lados de un cuadrado, su área aumenta en un 69 %. ¿Qué porcentaje aumentaron sus lados? A. 20% B. 30% C. 34,5% D. 8,3 % E. 69% 03. ¿Qué proporción guardan las áreas de las dos regiones grises marcadas en el rectángulo PQRS, si M es un punto cualquiera de la diagonal? P M S R Q A. La de arriba es más grande B. La de abajo es más grande C. Son iguales D. Sólo son iguales si M es punto medio E. No hay suficientes datos 04. Un triángulo rectángulo tiene hipotenusa 6 y perímetro 14, ¿cuál es su área? A. 3 B. 7 C. 10 D. 14 E. 28 05. En la figura, cada lado del cuadrado mide 1. ¿Cuál es el área de la región sombreada? D C B A A. π /2 B. π /4 C. ½ D. 1 - π /4 E. 1 - π /2 06. ¿Cuánto mide el área de la parte sombreada? 6 3 3 A. 9 B. 2 / 3 C. 18 D. 12 E. 6/ 3 w w w . L I B R O S P D F 1 . b l o g s p o t . c o m ________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________ 61 07. En el triángulo ABC, AB = 1, BC = 2 y el ángulo ABC es de 72 o . Se rota el triángulo ABC en el sentido de las manecillas del reloj fijando el vértice B, obteniéndose el triángulo A'BC'. Si A,B,C' son colineales y el arco AA' es el descrito por A durante la rotación, ¿cuánto vale el área sombreada? B C' A' D C A A. π/6 B. π-3/2 C. π/10 D. 1 - π/2 E. 3π/8 08. Hallar el área sombreada si el radio de los círculos iguales es: R A. 3R 2 (4 - π) B. 3πR 2 – 5R 2 C. 8πR 2 – 3R 2 D. 10R 2 - 7πR 2 E. 6πR 2 09. Cuál es el área sombreada si los círculos iguales tienen radio: 4 cm 10. Hallar el área sombreado si el cuadrado tiene lado igual 4 m. 2(π- 3) A. 4(π - 2) B. 4(3π -1) C. 8(π -2) D. 4π 11. Cuál es la relación entre la parte sombreada y la no sombreada? A. 2/15 B. 1/16 C. 3/16 D. 1/12 E. 1/18 12. El área de un rectángulo es 1230 m 2 . Si el largo aumenta en 9m y el ancho en 20m resulta un cuadrado. Calcular el perímetro del rectángulo original. A. 140 m B. 142 m C. 150 m D. 152 m E. 160 m 13. Un triángulo equilátero y un hexágono regular tienen el mismo perímetro. Si la suma de sus áreas es 100 m 2 . Cuál es su diferencia? A. 20 m 2 B. 40 m 2 C. 30 m 2 D. 10 m 2 E. 50 m 2 En el cuadrado ABCD, determinar la relación p/q. A. 2 B. 1/3 C. ½ D. 2/3 E. 3/2 14. Sobre una recta se toman los puntos A, B y C de modo que AB=4m y BC=3m . A un mismo lado de la recta se construyen los triángulos equiláteros AEB y BDC. Hallar el área del cuadrilátero AEDC en m 2 . A. 14 3 B. 14 6 C. 21 3 D. 27 6 E. 9,25 3 15. En un trapecio ABCD, AB//CD, AB>CD. Las áreas de los triángulos AOB y COD son de 25m 2 y 12m 2 . Hallar el área del trapecio. (O es punto de corte de las diagonales). A., 60m 2 B. 71,6m 2 C. 78m 2 D. 72,5m 2 E. 66,2 m 2 16. Dado un segmento de recta AB=a, determinar sobre ella un punto M de modo que la suma de las áreas de los triángulos equiláteros de lados MA y MB sea mínima. A. MA=a/2 B. MA=a/3 C. MA=a/4 D. MB=a/3 E. MB=a/4 A. 3π R 2 B. 4π R 2 C. 2π R 2 D. πR 2 E. 5π R 2 w w w . L I B R O S P D F 1 . b l o g s p o t . c o m ________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________ 62 17. Hallar el área máxima que puede tener un rectángulo inscrito en un triángulo ABC, AC=b y su altura BH=h. Uno de los lados del rectángulo está sobre AC. A. bh/3 B. bh/4 C. bh/5 D. Bh/8 E. Bh/6 18. Un triángulo y un trapecio tienen áreas y alturas iguales. Si la base del triángulo mide 18 cm, hallar la mediana del trapecio. A. 36cm B. 18cm C. 9cm D. 30cm E. 26cm CLAVE 01- B 02 – B 03 – C 04 – B 05 – C 06 – A 07 – C 08 – A 09 – D 10 – B 11 – B 12 – A 13 – E 14 – E 15 – B 16 – A 17 – B 18 – C TEMA 14 GEOMETRIA ANALITICA EN EL PLANO 14.1 Distancia entre dos Puntos, Punto Medio de un Segmento , ) , ) , ) 2 0 1 2 0 1 1 0 y y x x P , P d − + − · , _ ¸ ¸ + + · 2 2 0 1 0 1 y y ; x x M 14.2 la recta Es el lugar geométrico de todos los puntos del plano dispuestos en una misma dirección. Al ángulo “α” se le llama ángulo de inclinación de la recta. Se define la pendiente de la recta no vertical como la tangente de su ángulo de inclinación Pendiente de la recta L: m(L)=tanα Ecuaciones de la Recta: Si tiene pendiente m y pasa por P0(x0;y0) , ) , ) 0 0 x x m y y : L − · − Si se conocen dos puntos P1(x1;y1) y P2(x2;y2) , ) , ) 1 1 2 1 2 1 x x x x y y y y : L − − − · − Ec. General de la recta 0 ; ; 0 : ≠ − · · + + A A B m C By Ax L , Ec. de una Recta Vertical que pasa por P(h,k) L: x-h=0. Recuerda que: • Si L1//L2 ÷m(L1) = m(L2) • Si L1⊥L2 ÷m(L1).m(L2)= -1 • Distancia del punto P(x 0 ,y 0 ) a la recta L: Ax+By+C=0 , ) 2 2 0 0 B A C By Ax L ; P D + + + · 14.3 Circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. Al segmento que une el centro de la circunferencia con un punto de ella, se le llama radio (r). Ecuaciones de la circunferencia: Ec. Canónica : x 2 +y 2 =r 2 Ec. Ordinaria : (x-h) 2 +(y-k) 2 =r 2 Ec. General : x 2 +y 2 +Dx+Ey+F = 0 Dada la ecuación x 2 +y 2 +Dx+Ey+F = 0; se considera que : 0 1 0 1 x x y y m − − · w w w . L I B R O S P D F 1 . b l o g s p o t . c o m ________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________ 63 • Si 0 4 2 > − + F E D 2 representa una circunferencia de radio F D r 4 E 2 1 2 2 − + · y centro en , _ ¸ ¸ − − 2 2 E ; D . • Si 0 4 2 · − + F E D 2 . Representa solo al punto , _ ¸ ¸ − − 2 2 E ; D . • Si 0 4 2 < − + F E D 2 , no representa ningún conjunto en el plano. 14.4 Parábola Una parábola es el conjunto de todos los puntos en un plano equidistantes de un punto fijo y una recta fija; el punto fijo se llama foco y la recta fija directriz 14.4.1 Ecuaciones de la parábola Para Parábolas que tienen eje paralelo al eje Y Ec. Canónica : x 2 =4py Ec. Ordinaria : (x-h) 2 =4p(y-k) Ec. General : Ax 2 +Bx+Cy+D=0 Para Parábolas que tienen eje paralelo al eje X Ec. Canónica : y 2 =4px Ec. Ordinaria : (y-h) 2 =4p(x-k) Ec. General : Ax+By 2 +Cy+D=0 14.5 Elipse: La elipse es el lugar geométrico de un punto que se mueve de modo que la suma de sus distancias a dos puntos fijos (focos) es constante igual a “2a” 14.5.1.Elementos de la Elipse: F; F’ : focos FF’ : 2c V; V’ : vértices VV’ : eje mayor = 2a xx’ : e j e f o c a l C : centro. yy’ : eje normal AA’ : eje menor= 2b DD’ : cuerda L : directriz Si una cuerda pasa por cualquiera de los dos focos, se le llama cuerda focal. Si la cuerda focal es perpendicular al eje focal la cuerda se llama lado recto. Longitud del lado recto se calcula como a b 2 2 Se cumple la relación pitagórica a 2 = b 2 + c 2 . La excentricidad está dada por: 1 < · a c e w w w . L I B R O S P D F 1 . b l o g s p o t . c o m ________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________ 64 14.5.2 Ecuaciones de la Elipse Para Elipses que tienen su eje focal paralelo al eje X Ec. Canónica: 1 2 2 2 2 · + b y a x Ec. Ordinaria: , ) , ) 1 2 2 2 2 · − + − b k y a h x E. General: Ax 2 +By 2 +Cy+Dx+F=0 (A.B>0) Para Elipses que tienen su eje focal paralelo al eje Y Ec. Canónica: 1 2 2 2 2 · + b x a y Ec. Ordinaria: , ) , ) 1 2 2 2 2 · − + − b h x a k y E. General: Ax 2 +By 2 +Cy+Dx+F=0 14.6 Hipérbola: Es el lugar geométrico de un punto (P) que se mueve en un plano de tal manera que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos (F1 y F2) llamados focos, es siempre igual a una constante positiva (2a). 14.6.1 Elementos de la Hipérbola F 2 F 1 B2 B 1 C V 1 V 2 L F R L A 1 L D L N L D L A2 E E’ 1 2 L V1V2 (2a) :Eje transverso F1F2 (2c) :Segmento focal LD1 y LD2 :Directriz LF :Eje focal LN :Eje normal LA1 y LA2 :Asíntotas C :Centro V1 y V2 :Vértices F1 y F2 :Focos LR :Lado recto EE’ :Cuerda focal B1B2 (2b) :Eje conjugado 14.6.2 Ecuaciones de la Hipérbola Para Hipérbolas que tienen su eje focal paralelo al eje X Ec. Canónica: 1 2 2 2 2 · − b y a x Ec. Ordinaria: , ) , ) 1 2 2 2 2 · − − − b k y a h x E. General: Ax 2 +By 2 +Cy+Dx+F=0 (A.B<0) Se cumple que: • c 2 =a 2 +b 2 • Excentricidad: 1 > · a c e • Longitud del lado Recto a b LR 2 2 · w w w . L I B R O S P D F 1 . b l o g s p o t . c o m ________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________ 65 PROBLEMAS 1. Uno de los extremos de un segmento de longitud de 5 cm es el punto A(-3;-2) si la abscisa del otro extremo es -6. Halla su ordenada a) 2 b) -6 c) a y b d) -2 e) 6 2. Los vértices de un triángulo rectángulo son los puntos A (1;-2), B(4;-2) y C(4;2) Determina las longitudes de los catetos, la longitud de la hipotenusa y el área del triángulo. Da como respuesta la suma de estas cantidades a) 16 b) 18 c) 20 d) 22 e) 24 3. Los puntos M( 1/3;4) y P(8/3;5) son los puntos de trisección del segmento AB, halla la longitud del segmento AB a) 6 b) 7 c) 8 d) 57 e) 58 4. Dadas las rectas : L1 que pasa por los puntos (-2;3), (1;5) L2 : 2ax –(a+3)y = 5 si L1 es perpendicular a L2, halle (a+1) a) -9/7 b) -2/7 c) 4/ 7 d) -3/7 e) 2/7 5. Una recta pasa por los puntos A(1;2) y B(-3;8). halla la ordenada del punto sobre la recta que tiene como abscisa 5 a) 2 b) 3 c) -4 d) -3 e) 5 6. Dada la ecuación de la recta L: 2x-y-2=0, halla la ecuación de la recta L1 que pasa por el punto (8;4) y es perpendicular a L a) x+2y-16=0 b) 2x-5y-16=0 c) x-2y+8=0 d) 2x+4y+16=0 e) x+2y+16=0 7. Halla la ecuación de la recta que pasa por el origen de coordenadas y forma un ángulo en posición normal de 3a/4 rad a) y=x b) y=-x c) y=2x d) y=-2x e) y=2 8. La ecuación de la parábola cuyo vértice está en (5;-2) y su foco está en (5;-4) es: a) x 2 -10x+8y+41=0 b) x 2 +10x-8y+41=0 c) x 2 -10x+8y-41=0 d) x 2 +10x+8y+41=0 e) x 2 -10x-8y-41=0 9. La ecuación de la parábola con eje paralelo al eje X, que pasa por los puntos (3/4;9), (-5/4;1), (0;11) es: a) y 2 +16x-14y+33=0 b) y 2 +16x+14y+33=0 c) y 2 +16x-14y-33=0 d) y 2 -16x-14y-33=0 e) y 2 +10x-14y+33=0 10. Un espejo parabólico tiene una profundidad de 12 cm en el centro y un diámetro en la parte superior de 32 cm. La distancia del vértice al foco es: a) 16 b) 12 c) 15 d) 16/3 e) 24 11. Halla la ecuación de la parábola con vértice de abscisa positiva y que pasa por los puntos A(7;8) y B(7;-12). Además tiene como directriz la recta x+3=0 a) (y+2) 2 =20 (x-2) b) (y-1) 2 =20 (x+2) c) (y-2) 2 =8 (x+2) d) (y+2) 2 =20 (x+2) e) (y-1) 2 =20 (x-2) 12. Halla la ecuación de la parábola cuyo foco está sobre la recta L 1 : 2x+y-1=0, su vértice pertenece a la recta L 2 : x-y+3=0 y su directriz es la recta L 3 : x+4=0 a) (y+1) 2 =4(x-2) b) (y+1) 2 =8(x+2) c) (y-1) 2 =8(x+2) d) (y+1) 2 =4(x+2) e) (y-1) 2 =8(x-2) 13. El foco de una parábola es el punto A(4,0) y un punto sobre la parábola es el punto P(2;2) entonces, la distancia del punto P a la recta directriz de la parábola es: a) 2 b) \3 c) 2\2 d) 2\3 e) \2 14. El término independiente de la ecuación general de la circunferencia de centro (2;5) y radio 6 es: a) 25 b) 36 c) 7 d) -7 e) -10 15. Se tiene una circunferencia que pasa por los puntos a(-5;1) b(-2;4) y c(1;1), Halla las coordenadas del centro a) (2;1) b) (-2;1) c) (1;2) d) (-1;2) e) (-2;-1) 16. La ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos a(4;6), b( -2;-2) y c(-4;2) es: a) x 2 +y 2 -2x-4y-10=0 b) 3x 2 +3y 2 -2x-4y-20=0 c) x 2 +y 2 -4x-4y-2=0 d) x 2 +y 2 -2x-4y-20=0 e) x 2 +y 2 -2x-4y+20=0 w w w . L I B R O S P D F 1 . b l o g s p o t . c o m ________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________ 66 17. Hallar el centro y el radio de la circunferencia cuya ecuación está dada por: x 2 +y 2 -2x+y-1=0 a) c(1;1/2) r=3/2 b) c(1;-1/2) r=3/2 c) c(1;-1) r=3/2 d) c(1;-1) r=3 e) c(1;-3/2) r=2 18. Para qué valores de m y k la ecuación: mx 2 +y 2 +4x-6y+k=0 representa una circunferencia? a) m=1 k<13 b) m=1 k=13 c) m=2 k>11 d) m=2 k>13 e) m=2 k<13 19. Encuentre una ecuación para la elipse con centro en (2; -3) un foco en (3;-3) y un vértice en (5;-3). a) 1 8 3 9 2 2 2 · + + − ) y ( ) x ( b) 1 8 3 9 2 2 2 · − + − ) y ( ) x ( c) 1 9 3 8 2 2 2 · + + − ) y ( ) x ( d) 1 5 3 9 2 2 2 · − + + ) y ( ) x ( e) 1 2 3 3 2 2 2 · + + − ) y ( ) x ( 20. El área del rectángulo cuyos vértices son los extremos de los lados rectos de la elipse 1 25 4 9 3 2 2 · + + − ) y ( ) x ( es: a) 25 b) 18/5 c) 24/5 d) 144/5 e) 8/5 21. La ecuación de la hipérbola de focos (0;-5) y (0;+5) y asíntotas 3x +2y = 0 es: a) 5x 2 +117y 2 =900 b) 20y 2 +45x 2 =900 c) 52y 2 -117x 2 =900 d) 20y 2 -45x 2 =600 e) 5y 2 -117x 2 =900 22. Encontrar la ecuación de la hipérbola cuyos focos son f2(5;0) y f1(-5;0) tal que la diferencia de las distancias de los puntos de ella a los focos sea 8. a) 9x 2 -16y 2 =144 b) 9x 2 -16y 2 =72 c) 16x 2 -9y 2 =144 d) 9x 2 -25y 2 =100 e) 9x 2 -81y 2 =144 23. Dados V(-3;4) y la directriz y = 2, calcular la ecuación de la parábola. A) x 2 + 6x – 8y + 31 = 0 B) x 2 + 6x – 8y + 41 = 0 C) x 2 + 6x – 8y + 51 = 0 D) x 2 + 6x – 8y + 61 = 0 E) x 2 + 6x – 8y + 71 = 0 24. Hallar la ecuación de la parábola Siendo el foco F (5;0) el LR = 12 sabiendo que el eje coincide con el eje X’X. A) y 2 =12x + 24 ; y 2 = –12x – 24 B) y 2 =12x – 24 ; y 2 = –12x + 24 C) y 2 =12x – 24 ; y 2 = –12x – 24 D) y 2 =12x + 24 ; y 2 = –12x + 24 E) y 2 =12x – 14 ; y 2 = –12x – 14 25. Hallar la ecuación de la parábola sabiendo que el lado recto es 4 y que pasa por Q(–1; –2); siendo su eje paralelo a XX’. Además su vértice esta sobre la recta x = 3. A) y 2 + 4y + 4x – 8 = 0 D) y 2 – 4y + 4x + 8 = 0 B) y 2 + 4y + 4x + 8 = 0 E) y 2 – 4y – 4x – 8 = 0 C) y 2 – 4y + 4x – 8 = 0 26. El LR de una parábola es 1; el eje es paralelo a XX’. La parábola pasa por P(- 6;4) y Q(9;1). Deducir su ecuación. A) (y – 6) 2 = (x + 7) D) (y + 5) 2 = (x - 7) B) (y – 5) 2 = (x - 7) E) (y – 5) 2 = (x + 7) C) (y + 5) 2 = (x + 7) 27. Hallar las ecuaciones de la asíntotas de la siguiente hipérbola. 180 45 4 2 2 · − y x 28. Hallar los focos de la hipérbola: 784 16 49 2 2 · − x y 29. Hallar la excentricidad de hipérbola. 25 2 2 · − y x 30. Hallar la ecuación de la hipérbola que satisfaga la condición siguiente: Eje normal 24, focos ) 13 ; 0 ( t 31. Hallar la ecuación de la hipérbola que satisface la condición siguiente: Centro (0; 0) un foco (8; 0), un vertiente (6; 0) w w w . L I B R O S P D F 1 . b l o g s p o t . c o m ________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________ 67 TEMA 15 SUPERFICIE PRISMÁTICA 15.1 POLIEDRO REGULAR: Un Poliedro Regular es aquel cuyas caras son polígonos regulares iguales y en cada uno de sus vértices concurre el mismo número de caras. Existen 5 tipos de poliedros regulares: Polígono utilizado Vértices de Orden C Nº de caras A Nº de aristas V Nº de vértices Nombre del poliedro TRIÁNGULO 3 4 6 4 TETRAEDRO CUADRADO 3 6 12 8 HEXAEDRO o CUBO PENTÁGONO 3 12 30 20 DODECAEDRO TRIÁNGULO 4 8 12 6 OCTAEDRO TRIÁNGULO 5 20 30 12 ICOSAEDRO Fórmula de EULER En todo poliedro convexo, la suma de los vértices más las caras es igual a las aristas más 2 V + C = A + 2 15.2 PRISMA REGULAR: Un prisma es una figura geométrica formada por varios paralelogramos iguales llamados caras laterales, y dos polígonos iguales y paralelos llamados bases. Los prismas se denominan según sean sus bases: - Prisma triangular (sus bases son triángulos) - Prisma cuadrangular (sus bases son cuadrados) - Prisma pentagonal (sus bases son pentágonos) 15.3 PARALELEPÍPEDO RECTANGULAR (Ortoedro o rectoedro): Área lateral = 2ac + 2bc Área total = 2ac + 2bc + 2ab Volumen = a · b · c Diagonal: D 2 = a 2 + b 2 + c 2 15.4 HEXAEDRO (cubo) x: l ado del cubo D: di agonal del cubo 3 x D · S t o t a l =6x 2 V=x 3 15.5 El PRISMA RECTO REGULAR: Área lateral = Producto del perímetro de la base por la altura. A L = P . h Área Total = Área lateral más el área de las dos bases. A T = A L + 2. A Base Volumen = Área de la base por su altura V = A Base · h D a b c x D w w w . L I B R O S P D F 1 . b l o g s p o t . c o m ________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________ 68 Ejercicios y problemas 01. Calcular el volumen de un prisma recto que tiene por bases cuadrados. Si la altura mide 6 y el desarrollo de la superficie lateral es un rectángulo cuya diagonal mide 10. A. 12 B. 24 C. 40 D. 48 E. 36 02. Cuál es el área total de un hexaedro regular, si la distancia de un vértice al centro de una cara opuesta es “d”. A. d 2 B. 2d 2 C. 3d 2 D. 4d 2 E. 5d 2 03. Una de las aristas de un paralelepípedo mide 5 y las otras dos se encuentran en la relación de 1 a 2. Si el volumen es 10. Hallar el área total del paralelepípedo. A. 28 B. 30 C. 32 D. 34 E. 36 04. Hallar el área lateral de un prisma regular recto hexagonal, de altura 6 3 m y el radio de la base 4m. A. 120 3 m 2 B. 100 2 m 2 C. 144 3 m 2 D. 180 3 m 2 05. Hallar el volumen de un prisma recto de base triangular rectangular cuyos catetos miden 15 y 20 m respectivamente. Su altura es 50m. A. 7500m 3 B. 750m 3 C. 1500m 3 D. 15000m 3 E. 150m 3 06. Las caras de un paralelepípedo rectángulo tienen áreas de 6, 8 y 12. Calcular su volumen. A. 16 B. 18 C. 24 D. 28 E. 32 07. La suma de las diagonales de todas las caras de un cubo es 12. Calcular el área total del cubo. A. 3 B. 6 C. 12 D. 18 E. 24 08. La distancia de una de las diagonales de un hexaedro regular a una de sus aristas no contiguas es 2 2 m. Hallar el volumen del cubo. A. 8m 3 B. 27m 3 C. 64m 3 D. 125m 3 E. 32m 3 09. Una chimenea de 3m de altura tiene la forma de un prisma hexagonal regular. Determinar su espesor si el volumen de fábrica es igual al volumen interior. El lado del hexágono interior es 2 m. A. 0,62m B. 0,48m C. 0,38m D. 0,70m E. 0,51m 10. Se forma un cubo soldando 12 pedazos de alambre de 3cm de longitud cada uno. Si una mosca parte de uno de sus vértices y sigue caminando a lo largo de los lados, entonces la distancia máxima que puede recorrer antes de que vuelva a un vértice por segunda vez, sin recorrer un lado dos veces será: A. 24cm B. 12cm C. 30cm D. 21cm E. 18cm 11. De una lámina rectangular de 10 cm de lado y 14cm de largo, se construye una caja abierta, cortando un cuadrado de “x” cm de lado en cada esquina. El volumen resultante de la caja es: A. 140x – 48x 2 + 4x 3 B. 140x + 48x 2 + 4x 2 C. 140x + 24x 2 + x 3 C. 140x – 24x 2 + x 3 D. 140x + 12x 2 + 4x 3 12. Se tiene un rectoedro regular (cubo) de arista 5m. Hallar la menor distancia para ir de un vértice al vértice opuesto, recorriendo la superficie cúbica. A. 11,18m B. 8,66m C. 12,07m D. 15m E. 14,14m 13. En un prisma regular la diagonal mayor, que mide 4, forma un ángulo de 60º con la arista lateral del prisma. Calcular el volumen del prisma. A. 6 3 B. 9 3 C. 12 3 D. 18 E. 16 3 14. En una batea de 10 pies de largo y de sección trapecial isósceles, de altura 2 pies y base superior 3 pies, se vierte agua a razón constante. Cuando el volumen de agua es 45/2 pies 3 , a qué altura de la base se encuentra el agua? A. 1 B. ½ C. ¼ D. 2/3 E. 3/2 15. Hallar el volumen de un prisma recto de 10cm de altura, de base cuadrilátero inscriptible. Una de las diagonales del cuadrilátero lo divide en triángulo equilátero de 8cm de lado y en un triángulo isósceles. A. 480 3 cm 3 B. 420 3 cm 3 C. 460 3 cm 3 D. 440 3 cm 3 E. 3 3 640 cm 3 CLAVE: 01 – B 02 – D 03 – D 04 – C 05 – A 06 – C 07 – B 08 – C 09 – E 10 – D 11 – A 12 – A 13 – B 14 – A 15 – E w w w . L I B R O S P D F 1 . b l o g s p o t . c o m ________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________ 69 TEMA 16 SUPERFICIE PIRÁMIDAL PIRÁMIDE RECTO Es un poliedro que tiene por base una región poligonal, las caras laterales son triángulos con un vértice común llamado vértice de la pirámide. h Ap ap h : altura de la pirámide Ap: Apotema de la pirámide ap: Apotema de la base 16.1. CLASIFICACIÓN a. Por el número de lados de la base pueden ser: pirámide triangular, pirámide cuadrangular, pirámide pentagonal, etc. b. Por su forma pueden ser: Ø Regular: cuando la base es un polígono regular y la altura cae en el centro Ø Irregular Ø Convexa: cuando la base es un polígono convexo Ø Cóncava. 16.2. Áreas y Volumen a. Área Lateral § laterales caras de áreas de Suma · L A § P L A p A × · 2 1 ; Si la pirámide es regular, donde: p es el perímetro de la base b. Área Total § B L T A A A + · donde: Base la de área A B : c. Volumen § h A V B . 3 1 · Ejercicios y Problemas NIVEL I 1.- En la figura. Si ; ABCD EB ⊥ 3 · EB y 4 · AB donde : ABCD cuadrado. Hallar el volumen de la pirámide. a) 10 3 u b) 16 3 u c) 20 3 u d) 40 3 u e) 48 3 u 2.- Calcular el valor de x en la siguiente pirámide regular, si el volumen es 3 48cm a) cm 2 b) cm 3 2 c) cm 3 2 2 d) cm 3 2 4 e) cm 8 3.- Calcular la apotema de una pirámide pentagonal regular cuya área lateral es 2 315 cm y la arista básica mide . 6cm a) cm 15 b) cm 18 c) cm 20 d) cm 21 e) cm 30 4.- La base de una pirámide regular es un hexágono de área 3 6 2 cm . Las aristas laterales forman ángulos de 45° con la base. Hallar el volumen del sólido. a) 3 4 3 cm d) 3 6 3 cm b) 3 3 cm e) 3 3cm c) 3 3 3 cm w w w . L I B R O S P D F 1 . b l o g s p o t . c o m ________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________ 70 5.- Calcular el volumen de una pirámide cuadrangular regular cuya arista básica mide 6cm, siendo su área lateral el quíntuplo del área de la base. a) 3 6 24 cm b) 3 6 36 cm c) 3 6 54 cm d) 3 6 72 cm e) 3 6 96 cm 6.- la base de una pirámide es un cuadrado y una arista lateral le es perpendicular. Si dos de las otras aristas laterales tienen longitudes de 10 y 136 cm. Hallar el volumen del sólido. a) 3 48cm b) 3 64cm c) 3 96cm d) 3 112 cm e) 3 128cm 7.- El área total de una pirámide regular pentagonal es de 2 45u y su área lateral . 25 2 u Calcular la relación entre las longitudes de apotemas, de la base de la pirámide y de la pirámide misma. a) 5/4 b) 4/5 c) 1/2 d) 1/5 e) 2 8.- Calcular el volumen de un octaedro regular, cuya diagonal mide “ 4 ” unidades a) 33 . 5 b) 66 . 10 c) 33 . 21 d) 00 . 32 e) 00 . 64 9.- Un cubo y un tetraedro regular tienen igual volumen. Las aristas de estos sólidos tienen longitudes que son entre si como: a) 1 b) 2 c) 6 72 d) 6 36 e) 6 18 10.- Si se unen los baricentros de las caras de un octaedro regular de arista 6cm, se forma un sólido de volumen a) 16 3 cm b) 2 16 3 cm c) 3 16 3 cm d) 2 8 3 cm e) 3 8cm NIVEL II 1.- Calcular el volumen de la pirámide ABC Q − sabiendo que ° · ∠ · ∠ · ∠ 90 ACB m QCB m QCA m , además m AQ 15 · , m AB 106 · y m QB 13 · . a) 60 3 m b) 70 3 m c) 80 3 m d) 90 3 m e) 100 3 m 2.- ¿Cuál es el peso del sólido representado por la figura adjunta, el mismo está construido de un metal cuyo peso específico es de 3 / 7 cm gr . a) 4.9392N b) 0.1008N c) 3.9502N d) 5.1428N e) 0.9528N cm . 2 5 4 3.- Un plano pasa por las diagonales de 3 caras consecutivas de un cubo de arista L formándose un tetraedro. Hallar el volumen de dicho tetraedro. a) 3 3 L b) 2 6 3 L c) 2 3 3 L d) 3 6 3 L e) 6 3 L 4.- Calcular el área lateral de una pirámide regular cuya base es un cuadrado inscrito en una circunferencia de radio “ R ” y la altura de la pirámide es 2 2 R . a) 2 2R b) 2 3 2 R c) 2 3R d) 2 6 2 R e) 2 2 2 R w w w . L I B R O S P D F 1 . b l o g s p o t . c o m ________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________ 71 5.- En una pirámide regular cuadrangular, calcular la relación entre el volumen del sólido que se forma al unir los baricentros de las caras laterales con el vértice de la pirámide y el volumen de la pirámide original. a) 2/9 b) 3/8 c) 4/9 d) 4/27 e) 2/13 6.- Hallar el área lateral de una pirámide regular hexagonal en donde su base se encuentra circunscrita a una circunferencia de radio 3 y además la arista lateral hace con la base un ángulo de o 60 . a) 15 12 b) 15 5 . 13 c) 15 15 d) 15 16 e) 15 18 7.- El área lateral de una pirámide regular de apotema a es 40, si el ángulo formado entre la base y una cara lateral es o 60 . Hallar el volumen de la pirámide, si . 3 · a a) 8 b) 10 c) 12 d) 15 e) 20 8.- Cuatro esferas del mismo radio de longitud r están en un plano, de manera que están en contacto una con otra. Una quinta esfera del mismo radio se coloca sobre ellas en el centro, al unir sus centros de las esferas se forma un sólido. Hallar el volumen del sólido. a) 3 3 2 4 r b) 3 3 2 2 r c) 3 3 8 r d) 3 4r e) 3 8r 9.- Hallar el radio de la esfera circunscrita a un tetraedro regular de arista x . a) 6 3 x b) 12 6 x c) 4 6 x d) 12 3 x e) 6 6 x 10.- Hallar el radio de la esfera inscrita en una pirámide SABC donde el triedro S es trirrectángulo y , 4 · AS 2 · SB y . 3 · SC a) 13 61 12 + b) 13 61 9 + c) 12 21 3 + d) 6 61 12 + e) 13 51 12 + N-I 1-b 2-d 3-d 4-a 5-d 6-c 7-b 8-b 9-c 10-b N-II 1-d 2-a 3-e 4-e 5-d 6-e 7-b 8-a 9-c 10- TEMA 17 SUPERFICIES DE REVOLUCION 17.1Superficie cilíndrica – cilindro: Es aquella superficie generada por la rotación de un rectángulo sobre uno de sus lados Fórmulas: r: radio de la baseπ h: altura S l a t e r a l =2πrh S t o t a l =2πr( r+h) V=πr 2 h 17.2 Cono: Sólido generado por la rotación de un triangulo rectángulo sobre uno de sus catetos. Fórmulas: r: radio de la base h: altura; g:generatriz r 2 +h 2 =g 2 S l a t e r a l =πrg S t o t a l =πr( r+g) h r 3 1 V 2 π · Problemas NIVEL BÁSICO 1. Un cilindro tiene un radio de 10 2m. Determinar su área total y volumen, si su área lateral mide 1600m 2 3 3 3 2 3 2 3 )400(4 ) 8000 2 )200(4 ) 2 8000 2 )400(4 ) 4000 2 )800 8000 )4000 8000 A y m B m y m C y m D m y m E m y m π π π + + + h r r h g w w w . L I B R O S P D F 1 . b l o g s p o t . c o m ________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________ 72 2. Hallar el volumen de un cilindro cuya circunferencia mide 94,2m y un altura igual al doble del diámetro. 3,14 π · 3 3 3 3 3 )375000 )475000 )42390 )35347 )40373 A m B m C m D m E m 3. Si el área lateral de un cono es ¾ de su área total. ¿Cuál será la relación que existe entre la generatriz y el radio del cono? )1/ 3 )2/ 3 )4/ 3 )3/ 2 )3 A B C D E 4. El volumen de un cono circular recto es 324π cm 3 . Si el radio de la base mide 9 cm, la generatriz del cono mide: )12 )15 )9 )16 )36 A cm B cm C cm D cm E cm 5. ¿cuál es el volumen de una esfera en la que su circulo máximo tiene 36,86m 2 (π =22/7)? 3 3 3 3 3 ) 83,81 ) 80,88 ) 38,81 ) 30,89 ) 37,81 A m B m C m D m E m NIVEL INTERMEDIO 1. Encontrar el volumen de una esfera, si el área de la superficie de la esfera es igual al área de la superficie total de un cono de revolución de radio 4cm y altura 3cm. 3 3 3 3 3 )16 )24 )12 )36 )45 A cm B cm C cm D cm E cm π π π π π 2. Una esfera de volumen V es calentada hasta que su radio se encuentra en un décimo. El nuevo volumen de la esfera será. 3 )10 )1, 21 )1, 331 )1,1 )1, 030 A V B V C V D V E V − 3. El radio de la base de un cilindro recto circunscrito a una esfera es 3. hallar la diferencia de los volúmenes de los sólidos. )16 )18 )20 )22 )24 A B C D E π π π π π 4. La altura y el diámetro de la base de un cono recto mide 9 y 8 respectivamente. En el cono se inscriben un cilindro recto cuya área lateral es 10 π y del radio básico x. Hallar x, si x >1 )11/ 3 )7 / 3 )5/ 3 )10/ 3 )8/ 3 A B C D E 5. Un cilindro de 30cm de radio y 50cm de altura esta completamente lleno de agua, si dentro de él se introduce un trozo de madera labrado en forma de prisma de base cuadrada de 10cm de lado y cuya altura es 20cm. El agua se derrama. La camtidad de agua que queda en el recipiente es de: )100 )105 )75 )120 )139,37 A l B l C l D l E l 6. Calcular el volumen de un cilindro circular recto, suyo desarrollo de su superficie lateral es un cuadrado de lado “a” 3 2 3 3 3 3 ) / )2 / ) / ) / 4 ) A a B a C a D a E a π π π π 7. En un cono circular recto la suma de la generatriz con el radio de la base es 8. Si su altura es 4, calcular su volumen. )4 )6 )12 )36 ) A B C D E π π π π π 8. Un cono de revolución de vértice E, y volumen 54cm 3 , se traza un diámetro AC en el circulo de la base. Hallar el volumen del tronco de cono que se determina al trazar un plano paralelo a la base por el baricentro de la región triangular. 3 3 3 3 3 )19 )19 )36 )38 )36 A cm B cm C cm D cm E cm π 9. Un cono de revolución se llama equilátero si la generatriz mide igual que el diámetro de la base. Hallar el volumen de un cono equilátero, conociendo el radio r de la esfera inscrita en él. 3 3 3 3 3 )2 ) ) 3 )3 )9 A r B r C r D r E r π π π π π 10. Se funde una bala de plomo de radio 8cm para obtener luego bolitas del mismo material con un radio de 1cm cada una. ¿Cuántas bolitas, como máximo, se obtendrán? )8 )16 )64 )125 )27 A B C D E NIVEL AVANZADO 1. Un cono recto tiene por base un circulo de 8m 2 de área y una altura de 8m. Si a 2m del vértice se traza un plano paralelo a la base. ¿Cuál será el área de la sección? 2 2 2 2 2 )1 )0, 25 )0, 5 )1, 5 )1, 25 A m B m C m D m E m 2. Se inscribe una esfera en un cono cuya base mide 25 r m 2 y altura 12m. por los puntos de tangencia de la esfera y la superficie cónica se traza un plano paralelo a la base del cono. Hallar el área de la sección. 2 2 2 2 2 )1600 )169 )16/169 )169 )1600 /169 A m B m C m D m E m π π π w w w . L I B R O S P D F 1 . b l o g s p o t . c o m ________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________ 73 TEMA 18 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES 18.1 IDENTIDADES FUNDAMENTALES O BÁSICAS A) Identidades Recíprocas: ü Senx.Cscx = 1 ü Cosx.Secx = 1 ü Tgx.Ctgx = 1 B) Identidades por Cociente: ü Tgx = x senx cos ü Ctg = senx x cos C) Identidades Pitagóricas: ü Sen 2 x + Cos 2 x = 1 ü 1+Tg 2 x = Sec 2 ü 1+Ctg 2 = Csc 2 x D) Identidades Auxiliares: ü Sen 4 x + Cos 4 x = 1-2Sen 2 x.Cos 2 x ü Sen 4 x - Cos 4 x = Sen 2 x - Cos 2 x ü Tg 2 x – Sen 2 x = Tg 2 x.Sen 2 x ü Sen 6 x + Cos 6 x = 1-3Sen 2 x.Cos 2 x NIVEL I 1) Simplificar: ( 1+Tgx) 2 + (1-Tgx) 2 A) Secx B) Cscx C) Sec 2 x D) Csc 2 E) 2Sec 2 x 2) Simplificar: x Cosc x Sen 2 2 1 1 1 1 + + + A) Senx B) Csc 2 x C) 2 D) Cosx E) 1 3) Si: Senx + Cosx = 2 , evaluar: Sen 4 x+ Cos 4 x A)½ B)1 C)2 D)2/3 E)1/3 4) Eliminar β de las ecuaciones: Tg β + Sec β = 2b ∧ Sec β - Tg β = a A)1 B)2 C)3 D)5 E)6 5) Si: Tgx + Ctgx = a . Calcular: E = Tgx-Ctgx A) a 2 -4 B) 4 2 − a C) a 2 +4 D) 4 2 + a E) a w w w . L I B R O S P D F 1 . b l o g s p o t . c o m ________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________ 74 NIVEL II 1) Si: x está en el 2do cuadrante. Simplificar E = ) cos 1 )( 1 ( ) cos 1 )( 1 ( x senx x senx + + + + − A) senx B) senx C) 2 senx D) senx 2 E) x cos 3 2) Reducir: 4(Sen 6 x + Cos 6 x) – 3(Cos 4 x – Sen 4 x) 2 A) Senx B) 1 C) Cos 2 x D) Senx.Cosx E) 0 3) Simplificar: E = x x x x sen 2 2 2 2 sec 1 1 cos 1 1 csc 1 1 1 1 + + + + + + + A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 4) Si: Senx.Cosx = 0,48 Calcular: E = x sen x senx cos cos − + A) Senx B) Cosx C) 1 D) Cscx E) 7 5) Si: x qTan p x senx r + ≡ − + + 1 csc 1 1 1 Calcular: p-q+r A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) ½ 6) Si: Ctgθ + Cscθ = 3, hallar Senθ en función de Cosθ A) Cosθ B) ½ Cosθ C) Cosθ +1/2 D) 3Cosθ E) Cosθ +1/3 7) Reducir: ) 1 )( 1 (sec ) cos 1 ( 2 senx x x senx + − − − A) 2Senx B) 2Cosx C) 2Tgx D) 2Ctgx E) 2Secx 8) Si: Sen 2 x + Cos 4 x =n , hallar K=Sen 4 x + Cos 4 x A) 2n+1 B) 2n-1 C) n+1 D) n-1 E) 2n 9) Hallar “m” en la identidad: m m Senx Cscx x Sen x Csc − + · − − 1 1 ) ( 2 2 2 A) Sen 2 x B) Cos 2 x C) Tg 2 x D) Ctg 2 x E) Sec 2 x w w w . L I B R O S P D F 1 . b l o g s p o t . c o m ________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________ 75 18.2 IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS DE ÁNGULOS COMPUESTOS a) De ángulos compuestos: Sen (a+b)= sena . cosb + cosa . senb Sen (a-b) = sena . cosb – cosa . senb b a b a b a tan . tan 1 tan tan ) tan( − + · + b a b a b a tan . tan 1 tan tan ) tan( + − · − ctgb ctga ctgb ctga b a ctg . 1 ) ( − + · + b) Identidades con la mitad de un arco: 1 cos 2 2 x x sen − · t 1 cos cos 2 2 x x + · t 1 cos 2 1 cos x x tg x − · + 1 cos 2 1 cos x x ctg x + · − NOTA: El signo (+) ó (-) depende en que cuadrante se ubica el ángulo (x/2) y ademas depende de la R.T. que se le aplica. c) Identidades del ángulo doble: Sen2x = 2senx.cosx Cos 2x = cos 2 x – sen 2 x Tan2x = 2 2 1 tgx tg x − ctg2x = 2 1 2 ctg x ctgx − Ejercicios 1. Si senx + cosx = 2 8 , calcular: A= 16sen (x+45º) )2 / 3 )3 )2 )1 )1/ 2 A B C D E 2. Determinar S = 3 Sen15º + cos 15º )2 ) 2 )3 ) 3 )1 A B C D E 3. Si Senα = 0.8 ^ IQ α ∉ , calcular_ Sen( ; 0, 6 sen α β β + · ) ^ IQ β ∈ )3/ 5 ) 2 / 2 ) 3 / 2 )7 / 25 )1/ 2 A B C D E 4. Si x + y =π/6, Calcular_ T = (senx + cosy) 2 + (cosx+seny) 2 )1 )2 )3 )4 )5 A B C D E 5. Si tan(15+x)=3/5, determinar tan(60+x) )3/ 5 )5 )3 )4 )1/ 3 A B C D E 6. La suma de las tangentes de los ángulos es “S”y la diferencia es “D”, Calcular la tangente de la suma de dichos ángulos. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 4 ) ) ) ) ) 4 4 4 4 4 D S S S A B C D E S D S D S D S D S D − + − + − + − + + − 7. Si tan(37º + x ) = 4. Calcular ctgx ) )4 / 3 )3/ 4 )13/16 )16/13 A tgx B C D E 8. Si tan α=1/2, tanβ=3/4 y tanθ=1/3 9. Calcular: tan(α+β+θ) )0.5 )7 )1.5 )2 )3 A B C D E 10. Calcular cos6x de las condiciones: senx - sen 3 x = 2senθ cosx + cos 3 x = 2 cosθ )25/ 23 ) 23 / 27 ) 23/ 27 )27 / 25 ) 25/ 27 A B C D E − − w w w . L I B R O S P D F 1 . b l o g s p o t . c o m ________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________ 76 d) Identidades arco mitad 1. Si: 1 cos cos , cos 2 2 2 calcular θ θ θ − · t , si cosθ = -0.68 ) 0,1 ) 0, 2 ) 0, 3 ) 0, 4 ) 0, 5 A B C D E t t t t t 2. Calcular el valor de: 2 Sen7º 30’: ) 2 2 3 ) 2 2 3 ) 2 3 ) 2 3 ) 3 2 2 A B C D E − − − + − + − + 3. Si cos θ = cscx + ctgx, determinar: E = 2 2 csc / 2 2 sec / 2 sen x tgx θ θ + − + ) ) )2 ) csc )1 A Senx B Sec C D x E θ e) Identidades ángulo doble 1. Si sen 7 / 7, csc 2 Calcular α α · 7 6 6 7 7 3 7 6 ) ) ) ) ) 2 7 13 7 12 A B C D E 2. Si sen 2 x = 1/5. calcular 0.28sex4x-1 )5 ) 2 )3 ) 3 ) 5 A B C D E − − − 3. Si tgx = 5 . Calcular tg4x )2 5 ) 5 )3 5 )4 5 ) 3 5 A B C D E − 4. Si tgx = 6 . Calcular E = 2 cos 2 2 3 2 x sen x + ) 3 ) 2 ) 5 )2 3 )3 2 A B C D E TEMA 19 ECUACIONES TRIGONOMÉTRICA Valor Principal (VP) VP para a Senkx · ; 1 1 ≤ ≤ − a Resolución a Senkx · Si a es + ⇒ VP es el ángulo agudo , ) , ) VP n kx n . 1 180 − + ° · Si a es - ⇒ VP es el ángulo agudo negativo Ζ ∈ n Si a = 1⇒ VP = 90° Si a = -1 ⇒ VP = -90° Si a = 0 ⇒ VP = 0° VP para a Coskx · ; 1 1 ≤ ≤ − a Resolución a Coskx · Si a es + ⇒ VP es el ángulo agudo , ) VP n kx . 360 t ° · Si a es - ⇒ VP es el suplemento del ángulo agudo Ζ ∈ n Si a = 1⇒ VP = 0° Si a = -1 ⇒ VP = 180° Si a = 0 ⇒ VP = 90° VP para a Tgkx · Resolución a Tgkx · Si a es + ⇒ VP es el ángulo agudo , ) VP n kx . 180 + ° · Si a es - ⇒ VP es el ángulo agudo negativo Ζ ∈ n Si a = 0 ⇒ VP = 0° EJERCICIOS Y PROBLEMAS 01. Resuelve: 1 2 · senx ; si 0<x<π a) 3 2 ; 3 π π b) 4 3 ; 4 π π c) 5 4 ; 5 π π d) 6 5 ; 6 π π e) 8 7 : 8 π π 02. Resuelve: 3 cos 2 · x ; [ ¦ π 2 ; 0 ∈ x w w w . L I B R O S P D F 1 . b l o g s p o t . c o m ________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________ 77 a) 3 2 ; 3 π π b) 4 7 ; 4 π π c) 5 9 ; 5 π π d) 6 5 ; 6 π π e) 6 11 ; 6 π π 03. Resuelve: 0 3 · − tgx ; [ ¦ π ; 0 ∈ x a) 3 π b) 4 π c) 5 π d) 6 π e) 8 π 04. Resuelve: x sen x sen 3 2 · a) 2 π b) 3 π c) 4 π d) 5 π e) 6 π 05. Resuelve: x Cos x Cos 5 3 · a) 2 π b) 3 π c) 4 π d) 5 π e) 6 π 06. Resuelve: 0 3 4 2 · − x Cos ; si 0<x<2π a) 30; 150; 210; 330 b) 60; 120; 210; 330 c) 30; 45; 150; 135 d) 30; 150; 210; 240 e) 30; 60; 150; 120 07. Resuelve la ecuación en el intervalo: π 2 0 ≤ ≤ x ; 0 3 . 2 · − Tgx Tgx Senx a) π π π π 2 ; ; 3 2 ; 3 ; 0 b) π π π π ; 4 5 ; 4 ; 3 ; 0 c) 2 3 ; ; 6 ; 3 ; 0 π π π π d) π π π π ; 6 5 ; 6 ; 3 ; 0 e) π π π π 2 ; 6 5 ; ; 6 ; 0 08. Resuelve: , ) x Cos x Sen x Cos x Sen 4 4 6 6 2 + · + . Calcula la suma de soluciones [ ¦ π ; 0 ∈ ∀x a) ¬ b) 4¬ c) 6¬ d) 3¬ e) 2¬ 09. Resuelve: , ) Senx Senx Cosx + · + − 1 1 2 . Indica el número de soluciones comprendidas en el intervalo [ ¦ π 2 ; 0 a) 7 b) 6 c) 5 d) 4 e) 3 10. Resuelve: 3 6 3 4 2 2 · − x Cos x Cos a) 3 π n b) 3 2 π n c) 3 4 π n d) 3 5 π n e) π n 11. Resuelve el sistema: 2 1 2 3 · − · + Seny Senx Seny Senx a) 3 2 ; π π b) 4 3 ; 2 π π c) 5 ; 5 π π d) 6 ; 2 π π e) 8 : 8 π π 12. Resuelve el sistema: Hallar el valor de “y” 2 4 1 . 6 4 1 . · · Seny Senx Cosy Cosx a) 45 b) 16 c) 37 d) 30 e)15 13. Resuelve el sistema: Tgy Tgx y x 3 2 · · + π a) 3 ; π π b) 4 ; 2 π π c) 6 ; 3 π π d) 6 ; 2 π π e) 3 : 6 π π 14. Resolver el sistema: , _ ¸ ¸ − · · − 4 3 y x Tg Cosy Cosx y x π Hallar “x+y” a) 2 π b) 3 π c) 4 π d) 5 π e) 6 π w w w . L I B R O S P D F 1 . b l o g s p o t . c o m ________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________ 78 15. Calcular el valor de “x” en el II C que verifica la ecuación: , ) , ) 0 2 45 45 · − − + + Cotgx x Tg x Tg a) 120 b)135 c) 105 d) 165 e) 150 16. Resolviendo la ecuación: , ), ) 1 2 · + − + x Tg Senx Cosx Senx Cosx , para qué valores de “x” menores que 360°se encuentra: a) Una solución b) Dos soluciones c) Tres soluciones d) Que uno de los ángulos pertenece al I C e) Que hay dos arcos que pertenecen al IV C 17. Cuál es el menor ángulo positivo que satisface a la ecuación: 2 · − α α Cotg Tg a) 4 π b) 8 3π c) 4 3π d) 8 π e) 6 π 18. Sea la ecuación: 4 3 · + Tgx Tgx Un valor de “x” en el I C es: a) 23 b) 22 c) 22°33’ d) 45 e) 75 19. Calcular el valor del seno de un ángulo para el cual se verifica que su secante es igual a la suma de su seno y coseno a) 0 ; 2 3 b) 1 ; 2 1 c) 0 ; 2 2 d) 2 1 ; 2 1 − e) 0 ; 2 1 20. Hallar el menor ángulo agudo en el intervalo 1 ] 1 ¸ 3 11 ; 3 7 π π que verifique a la ecuación 0 3 2 2 · + Secx x Tg a) 3 10π b) 3 2π c) 3 4π d)0 e) 3 8π CLAVE 01. D 02. E 03. A 04. D 05. C 06. A 07. A 08. A 09. E. 10. A 11. D 12. D 13. C 14. A 15. E 16. C 17. B 18. D 19. C 20. E TEMA 20 RESOLUCIÓN DE TRÍANGULOS 20.1. Ángulos Verticales.- Los ángulos verticales son ángulos agudos contenidos en un plano vertical y formado por dos líneas imaginarias llamadas horizontal y visual. 20. 1.1 Línea Visual. Se llama línea de visión, a la recta imaginaria que une el ojo de un observador con el lugar observado. 20.1.2 Angulo de Elevación.- Es el ángulo formado por la línea visual y horizontal del observador; cuando el objeto está situado por encima de la línea horizontal. 20.1.3 Angulo de Depresión.- Es el ángulo formado por la línea horizontal y visual del observador; cuando el obj eto está situado debajo de la línea horizontal. w w w . L I B R O S P D F 1 . b l o g s p o t . c o m ________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________ 79 20.2. Ángulos Horizontales.- Los ángulos horizontales son ángulos agudos contenidos en un plano horizontal, se determinan tomando como punto de referencia los puntos cardinales norte (N), sur (S), este (E) y oeste (O). 20.3. Triángulos Oblicuángulos a, b y c son los lados del triangulo. A, B y C son los vértices del triángulo. 20.3.1 Ley de Senos: “ En todo triángulo las longitudes de los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos ” senC c senB b senA a · · 20.3.2 Ley de Cosenos.- Se cumple para todo triángulo agudo y obtuso. “Donde, el cuadrado de cualquier lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos, menos el doble de su producto por el coseno del ángulo comprendido entre ellos” A bc c b a cos . 2 2 2 2 − + · B ac c a b cos . 2 2 2 2 − + · C ab b a c cos . 2 2 2 2 − + · 3.3 Ley de las Tangentes. “Se cumple que la suma de dos lados es a su diferencia, como la tangente de la semisuma de los ángulos que se oponen a dichos lados es a la tangente de la semidiferencia de los mismos” , _ ¸ ¸ − , _ ¸ ¸ + · − + 2 2 B A tg B A tg b a b a , _ ¸ ¸ − , _ ¸ ¸ + · − + 2 2 C B tg C B tg c b c b , _ ¸ ¸ − , _ ¸ ¸ + · − + 2 2 A C tg A C tg a c a c Problemas NIVEL I 1.- Una persona observa en un mismo plano vertical dos ovnis volando a una misma altura con ángulos de elevación de o 53 y o 37 si la distancia entre los ovnis es de 70m ¿A qué altura están los ovnis? a) 30m b) 60m c) 90m d) 120m e) 150m 2.- Un trabajador parte de un punto F y recorre km 40 en la dirección O 53 N o luego recorre km 2 40 en la dirección O S , finalmente recorre km 60 hacia el este. ¿A qué distancia se encuentra el trabajador con respecto a F? a) 5m b) 10m c) 15m d) 20m e) 30m w w w . L I B R O S P D F 1 . b l o g s p o t . c o m ________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________ 80 3.- El sonar de un barco de salvamento localiza los restos de un naufragio en un ángulo de depresión de ° 15 . Un buzo es bajado 40 metros hasta el fondo del mar. ¿Cuánto necesita avanzar el buzo por el fondo para encontrar los restos del naufragio? a) ) 2 2 ( 40 + b) ) 3 2 ( 40 + c) ) 2 3 ( 40 + d) ) 2 4 ( 40 + e) ) 2 4 ( 40 − 4.- Desde el último piso de un edificio se observa un avión con un ángulo de elevación de 37°. Si la altura a la que vuela el avión es de 1000 metros y la altura del edificio es de 100 metros. Calcula la distancia del avión al último piso del edificio. a) 1500 m b) 1000 m c) 900 m d) 800 m e) 1200 m 5.- En un triangulo ABC se cumple que el segmento , 3 2 · AB 2 3 · BC y el ángulo A mide 60°. Calcular la medida del ángulo B. a) 15° b) 45° c) 60° d) 75° e) 135° 6.- Si el coseno del mayor ángulo agudo de un triángulo de lados enteros consecutivos es 1/5. Hallar el perímetro de dicho triángulo. a) 6 b) 12 c) 15 d) 18 e) 21 7.- En la siguiente figura adjunta calcular el valor aproximado de x : si 732 , 1 3 ≅ . a) 1.30 m b) 1.50 m c) 1.55 m d) 1.73 m e) 1.80 m 8.- Desde un punto de la tierra se divisa lo alto de un faro con un ángulo de elevación α . Si nos ubicamos a la mitad de la distancia que nos separa del faro, el ángulo de elevación es el complemento de α , calcular α cot a) 1 b) 3 c) 2 d) 3 e) 3 9.- Una torre de 15m de altura esta al borde de un acantilado; y desde un punto que esta en el suelo las elevaciones angulares para la parte superior e inferior de la torre son α y β respectivamente. Si 26 . 1 tan · α y 185 . 1 tan · β Calcular la altura del acantilado. a) 125m b) 248m c) 273m d) 284m e) 237m 10.- Uno de los lados de un triángulo es el doble del otro y el ángulo comprendido vale o 60 , Calcular el menor ángulo. a) 15° b) 30° c) 37° d) 45° e) 53° NIVEL II 1.- Una persona ubicada en la misma horizontal del pie de una torre, observa la parte superior de ésta con un ángulo de elevación de o 30 ¿Cuántos metros debe caminar hacia la torre para estar 120 metros de ella y divisar su cúspide con un ángulo de elevación igual al complemento del anterior? a) 360 m b) 240 m c) 60 m d) 180 m e) 210 m w w w . L I B R O S P D F 1 . b l o g s p o t . c o m ________________________________________________________________MATEMÁTICA_______________________________________________________________ 81 2.- Annie y Sashi están acampando en la Sierra Nevada. Caminan 8 km desde su campamento base, con un rumbo de 45°. Después del almuerzo, cambian de dirección con un rumbo de 143°y caminan otros 2 5 km. ¿Con qué rumbo deben caminar Sashi y Annie para regresar a su campamento base? a) 180° b) 217° c) 233° d) 270° e) 307° 3.- Se tiene dos postes de 7m y 1m de altura distanciadas 8m. Calcular el mínimo valor del ángulo de elevación con que una hormiguita observaría lo alto del poste menor, desde un punto ubicado entre los postes; sabiendo que el ángulo de elevación para el poste mayor, desde ese punto, es el complemento del que se pide calcular. a) ° 45 b) ° 37 c) ° 53 d) ° 8 e) ° 16 4.- Un avión vuela en línea recta y horizontal, en un cierto instante el piloto observa una base militar con un ángulo de depresión de o 37 . Luego de 3 minutos el piloto observa nuevamente la base militar esta vez con un ángulo de depresión de o 53 , si la velocidad del avión es de 14km/min. ¿A que altura esta volando el avión? a) 18km b) 36km c) 54km d) 63km e) 72km 5.- La estación de Zulú de los guardacostas se encuentra a 120 millas al oeste de la estación Rayos X. Un barco en el mar envía una llamada de auxilio la cual es recibida por ambas estaciones. La llamada a la estación Zulú indica que la posición del barco es o 37 al este del norte; la llamada a la estación Rayos X indica que la posición del barco es de o 30 al oeste del norte. Si un helicóptero que puede volar a 200 millas por hora sale desde la estación más cercana al barco, ¿Cuánto tiempo tardará en llegar a éste? a) 34.30 min. b) 57.17 min. c) 29.71 min. d) 49.71 min. e) 36.00 min. 6.- Un bote de motor sale de Naples, Florida Hacia Key West, a 150 millas de distancia. Lleva una velocidad constante de 15 millas por hora pero navega con fuertes corrientes y vientos cruzados. La tripulación descubre, después de 4 horas que el bote esta fuera del curso por 37°¿Cuánto tiempo se agrego al viaje debido a la desviación del curso? (suponga que la velocidad se mantiene en 15 millas por hora y 60 . 3 13 ≅ ) a) 7.20 horas b) 1.20 horas c) 2.80 horas d) 5.20 horas e) 4.20 horas 7.- Un alumno de 2m de estatura observa la parte más alta de una torre con un ángulo de elevación θ , luego se acerca 14m y se observa nuevamente al mismo punto con un ángulo de elevación que es el complemento de θ . Calcular la distancia que le falta recorrer para llegar a la torre si se cumple que: 0 ) 4 ( 3 ) 10 ( 7 · − ° − ° − θ θ Csc Sec . a) 6m b) 18m c) 24m d) 26m e) 30m 8.- En un triangulo ABC de segmentos BC a · , AC b · y . AB c · Se tiene la siguiente relación 1 10 2 2 2 · − + c b a . Calcular el valor de: C ab B ac A bc R cos . cos . cos . + + · a) 5 b) 7 c) 10 d) 15 e) 20 9.- En un triangulo de lados: , 2 2 6 + y . 3 3 + Calcular el complemento del suplemento de su ángulo mayor. a) 30° b) 60° c) 90° d) 120° e) 150° 10.- Los lados de un triángulo están representadas por tres números consecutivos. Si el ángulo mayor es el doble del menor. Hallar el perímetro de dicho triángulo a) 10 b) 12 c) 15 d) 18 e) 21 Clave de respuestas N-I 1-d 2-d 3-b 4-a 5-d 6-d 7-a 8-c 9-e 10-b N-II 1-d 2-b 3-d 4-e 5-a 6-b 7-b 8-a 9-a 10-c w w w . L I B R O S P D F 1 . b l o g s p o t . c o m