Matemática UnB

Provas UnB 2011 - 2013Matemática www.tenhoprovaamanha.com.br !!!"#$%&'()'*++,+%&+"-',".) 1 MATEMÁTICA- Números complexos e Polinômios. A imagem representada acima foi gerada por um caleidoscópio, artefato formado por pedaços de vidro de diversas cores e colocados entre dois ou três espelhos planos. Esses pedaços de vidro colorido formam desenhos extremamente belos, que se modificam, simetricamente, a mais leve oscilação do caleidoscópio. Esse artefato, cuja simetria e chamada oitavada, ao ser rotacionado de !/4 radianos, fornece a mesma imagem anteriormente apresentada. Na figura, estão traçados eixos cartesianos ortogonais xOy; cada ponto (x, y) do plano esta identificado com um numero complexo z = x + iy, em que i e a unidade imaginaria (i 2 = -1), e os pontos z1, z2, ..., z8 correspondem as raízes da função polinomial p(z) = z 8 - 1. 1. (UnB-1º2013) Entre as raízes da função p, estão (cos(3!/2), sen(3!/2)) e . 2. (UnB-1º2013) O gráfico da função real g(x) = x 8 - 1, em que x é um número real, intercepta os eixos coordenados exatamente duas vezes. 3. (UnB-1º2013) Duas raízes da função p pertencem ao gráfico da reta 2y = x + 1. 4. (UnB-1º2013) O número é imaginário puro. 5. (UnB-1º2013) Se cada número complexo na figura fosse multiplicado por z2, a imagem resultante seria a mesma. 6. (UnB-1º2013) Todas as raízes zi, 1 " i " 8 podem ser escritas na forma zi = #n, em que # e uma dessas raízes e n = 1, 2, ..., 8. 7. (UnB-1º2013) Quaisquer três raízes da função p são vértices de um triangulo isósceles. 8. (UnB-1º2013) A expressão |z6 + z7| 2 -|z6 - z8| e igual a a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. Para identificar as regiões afetadas por um tsunami, estudiosos utilizaram um plano complexo traçado em um mapa, a partir da cidade de Tóquio, local onde foi colocada a origem do sistema de coordenadas cartesianas ortogonais xOy, conforme ilustrado acima. Nesse plano, cada ponto (x, y) é identificado com um número complexo z = x + i y, em que i é a unidade complexa imaginária, ou seja, i 2 = -1, e as distâncias são medidas em centímetros. O ponto T = (10, 12) representa, nesse sistema, a origem do tremor que gerou o tsunami, que afetou principalmente as cidades de Sendai, localizada em S = (3, 10), e de Kenennuma, localizada em K = (4, 14). Provas UnB 2011 - 2013 Matemática www.tenhoprovaamanha.com.br !!!"#$%&'()'*++,+%&+"-',".) 2 Tendo como referência as informações acima, julgue os itens. 9. (UnB-2º2012) Para localizar o ponto S no plano complexo representado no mapa acima, é suficiente multiplicar o número complexo corresponde a T pela unidade imaginária i. 10. (UnB-2º2012) Existe um número complexo z = # (cos 60º + i sen 60º), em que # é uma constante real positiva, que pertence ao segmento de reta de extremidades T e S. A figura acima ilustra um triângulo equilátero ABC inscrito em uma circunferência de raio 2 centrada na origem de um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais xOy, em que um ponto (x, y) é identificado com o número complexo z = x + iy. Esse triângulo foi obtido a partir da representação plana de uma molécula de amônia (NH3), na qual os três átomos de hidrogênio estão posicionados nos seus vértices e o átomo de nitrogênio encontra-se na origem. Com base nessas informações e considerando o centímetro como a unidade de medida de comprimento, em ambos os eixos, julgue os itens. 11. (UnB-1º2012) Se z1 corresponde ao ponto C e se z2 corresponde ao ponto B, então GABARITO 1. C 2. E 3. E 4. C 5. C 6. C 7. E 8. B 9. E 10. C 11. C MATEMÁTICA- Polinômios. Um apicultor, ao perceber o desaparecimento de abelhas de uma colmeia, resolveu contar a quantidade de abelhas restantes para estimar a taxa correspondente ao sumiço dos insetos. Utilizando técnicas adequadas, ele conseguiu atrair as abelhas restantes da colmeia para o interior de uma caixa cercada por uma tela. O apicultor observou que as abelhas entravam na caixa de modo bastante peculiar, seguindo um padrão: primeiro, entrava uma; depois, mais três de uma única vez; logo em seguida, mais cinco ao mesmo tempo; imediatamente após, entravam sete, e, assim, sucessivamente. Para obter controle sobre o processo, ele anotou a quantidade de abelhas que entravam e verificou que nenhuma abelha saiu da caixa enquanto ele fazia a contagem. Ao final, contou 400 abelhas dentro da caixa. Com base nessa situação hipotética, julgue o item. 1. (UnB-2º2012) Em algum momento, a quantidade total de abelhas na caixa foi exatamente igual a uma das raízes do polinômio p(x) = x$ - 7x - 6. A figura acima ilustra um triângulo equilátero ABC inscrito em uma circunferência de raio 2 centrada na origem de um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais xOy, em que um ponto (x, y) Provas UnB 2011 - 2013 Matemática www.tenhoprovaamanha.com.br !!!"#$%&'()'*++,+%&+"-',".) S é identificado com o número complexo z = x + iy. Esse triângulo foi obtido a partir da representação plana de uma molécula de amônia (NH3), na qual os três átomos de hidrogênio estão posicionados nos seus vértices e o átomo de nitrogênio encontra-se na origem. Com base nessas informações e considerando o centímetro como a unidade de medida de comprimento, em ambos os eixos, julgue os itens. 2. (UnB-1º2012) Os vértices A, B e C correspondem às raízes complexas do polinômio f(z) = z 3 – 8. Aidan Dwyer, um jovem norte-americano de 13 anos de idade, após ter analisado o papel das folhas das plantas como coletores solares naturais para o processo de fotossíntese, desenvolveu uma inovadora maneira de dispor painéis solares de modo a otimizar a coleta de energia luminosa. Durante uma caminhada, ao observar as árvores, ele percebeu que as folhas ao longo de um ramo e os galhos em torno do caule apresentavam um padrão de crescimento espiralado ascendente que obedecia à sequência de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,... , que é determinada pela seguinte fórmula de recorrência: F1 = 1, F2 = 1 e, para n % 3, Fn = Fn-1 + Fn-2. Essa distribuição das folhas, além de dar equilíbrio ao caule, propicia-lhe melhor aproveitamento de sua exposição ao Sol, à chuva e ao ar. Em 1874, o matemático inglês Wiesner concluiu que, para que as folhas em um caule de uma árvore ficassem melhor expostas à luz do Sol, o ângulo & entre as folhas deveria ser aproximadamente igual a , que é conhecido como ângulo áureo, em que . A figura acima ilustra o trabalho de Aidan. Após medir as posições dos galhos em várias árvores, ele realizou, no quintal de sua casa, experimentos com pequenos coletores solares posicionados em uma armação metálica que imitava a configuração natural das folhas. Ele montou, ainda, uma quantidade igual de sensores e os dispôs em um painel, como é feito nos coletores comerciais. Com equipamentos simples, traçou gráficos comparativos da captação solar e observou que sua árvore solar captava 20% mais energia que o painel plano comum. 0 ulobo, 2u¡8¡2u11 (com auaptações). 3. (UnB-1º2012) Se ' e ( são as raízes positiva e negativa, respectivamente, do polinômio f(x) = x 2 - x - 1, então ' 3 – ( 3 = )5 F3. No século XIX, cientistas observaram que o comportamento e a descrição do átomo de Dalton não se enquadravam no sistema newtoniano de princípios físicos e não explicavam o comportamento elétrico da matéria. Uma das linhas de investigação consistiu em aplicar descargas elétricas em um tubo que continha gás em pequena quantidade e em observar as emissões eletromagnéticas irradiadas, capazes de produzir fluorescência na incidência em certos materiais. Descobriu-se, depois, que a frequência das emissões chamadas de raios X era proporcional ao número atômico (Z) do átomo emissor, segundo a equação de Moseley, f = (2,47* 10 15 ) * (Z + 1) 2 , em que f representa a, frequência de emissão relativa às transições eletrônicas ocorridas na camada eletrônica K desse átomo, em Hertz. A figura a seguir mostra o espectro de emissão de raios X proveniente do bombardeamento de um feixe de elétrons em determinado alvo metálico. Provas UnB 2011 - 2013 Matemática www.tenhoprovaamanha.com.br !!!"#$%&'()'*++,+%&+"-',".) 4 4. (UnB-2º2011) A equação I(,) = 1 tem, pelo menos, quatro raízes reais. GABARITO 1. E 2. C S. C 4. C MATEMÁTICA- Geometria espacial. Considere que, pelo movimento de rotação, durante sua formação, a placa de lixo gigante tenha o formato de um cone reto, de altura H e raio da base R, como ilustra a figura a seguir, na qual a superfície do sétimo continente corresponde à base do cone, a qual está virada para cima. 1. (UnB-1º2013) Se a base do cone permanecer horizontal e os seus 10 m mais profundos representarem 1% do seu volume total, então a altura H será maior que 50 m. 2. (UnB-1º2013) Sabendo-se que a área da superfície do sétimo continente e de 3,4 * 10 6 km 2 e tomando 3,14 como valor aproximado de !, conclui-se que o raio R da base do cone é maior que 1.000 km. Na situação ilustrada acima, uma criança faz quicar uma bola iluminada por uma fonte de luz pontual, que, posicionada no ponto P, projeta a sombra da bola no chão. Considere que a bola e uma esfera, o chão e um plano horizontal e, portanto, a sombra da bola é uma região delimitada por uma elipse. A respeito das propriedades físicas e geométricas envolvidas nesse fenômeno, julgue o item: 3. (UnB-1º2013) Se a fonte de luz e o centro da bola pertencerem a mesma reta vertical ao chão e estiverem, respectivamente, a 3 m e 1,5 m do chão, então a sombra formada no chão terá área igual a 4!R 2 , em que R e o raio da bola. 4. (UnB-1º2013) Considere que a fonte de luz e o centro da bola pertençam à mesma reta vertical ao chão (plano). Considere, ainda, que o cone com vértice na fonte de luz e Provas UnB 2011 - 2013 Matemática www.tenhoprovaamanha.com.br !!!"#$%&'()'*++,+%&+"-',".) S cuja base corresponde à região da sombra da bola no chão seja um cone circular equilátero de geratriz igual a 12!" cm. Nessa situação, em que a bola esta inscrita no cone, o volume da bola e inferior a 280! cm 3 . Considere que o planeta Marte seja representado por uma esfera perfeita de raio R, conforme ilustra a figura acima. As circunferências ' e ( correspondem a um meridiano fixado e ao equador do planeta, respectivamente. Elas são circunferências máximas, porque têm o mesmo raio R da esfera que as contém. A circunferência (representa um paralelo, com latitude de 45º ao norte. Os pontos F, E e D estão alinhados e identificam o centro e os polos sul e norte do planeta, respectivamente. Sabendo que a menor distância entre dois pontos sobre a superfície da esfera é obtida ao longo de um dos arcos de circunferência máxima que ligam esses pontos, julgue os itens seguintes. 5. (UnB-2º2012) Considere que uma distância d seja percorrida por uma sonda que se desloca de um ponto do paralelo - até um ponto do equador, (, segundo uma trajetória que minimiza o comprimento entre esses dois pontos. Nesse caso, existem números dmín e dmáx tais que dmín " d " dmáx e dmín + dmáx = BR. 6. (UnB-2º2012) Uma sonda percorreria toda a circunferência - na metade do tempo que levaria para percorrer (, porque o comprimento do equador é duas vezes maior que o comprimento da circunferência -. 7. (UnB-2º2012) Uma circunferência sobre a superfície do planeta é máxima se, e somente se, o plano que a contém intercepta o centro do planeta. 8. (UnB-2º2012) Para que uma sonda se desloque entre dois pontos com latitude igual a 45º ao norte, percorrendo a menor distância possível sobre a superfície do planeta, ela deve descrever uma trajetória sobre a circunferência -. 9. (UnB-2º2012) Para que uma sonda percorra, sobre a superfície do planeta, a menor distância entre os polos norte e sul, é necessário que ela se desloque sobre o meridiano '. Figura I Figura II Um cabo flexível e homogêneo suspenso entre dois pontos, como as linhas telefônicas entre dois postes, forma uma curva denominada catenária, devido à ação exclusiva da força peso. A Provas UnB 2011 - 2013 Matemática www.tenhoprovaamanha.com.br !!!"#$%&'()'*++,+%&+"-',".) 6 figura I ilustra essa curva, em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais xOy, em que o ponto mais baixo da curva está sobre o eixo Oy. Nesse sistema, a catenária é o gráfico da função em que a e b são constantes reais positivas e e é a base do logaritmo natural. A figura II mostra o sólido denominado catenóide, que pode ser obtido girando-se em torno do eixo Ox a região do plano xOy compreendida entre as retas x = -c e x = c, acima do eixo Ox e abaixo da catenária, representada na figura I. Esse sólido também pode ser obtido mergulhando-se, em uma solução de água e sabão, uma argola de arame e retirando-a em seguida. 10. (UnB-1º2012) Se duas bolhas de sabão, esféricas, têm raios tais que o raio da bolha menor seja igual a um terço do raio da maior, então o volume da bolha maior é igual a nove vezes o volume da menor. 11. (UnB-1º2012) Considere que a figura abaixo ilustre um catenóide obtido pela rotação da catenária definida por y = f(x) = #! [ e x + e -x ] em torno do eixo Ox, para 0 " x " ln2. Se V1 e V2 são, respectivamente, os volumes dos cilindros inscrito e circunscrito a esse catenóide, no intervalo em questão, e se 3,14 e 0,69 são valores aproximados para ! e ln 2 , respectivamente, então o valor numérico de V2 - V1 é inferior a 1,3. A história da roda pode ser muito curta ou abranger milhares de anos — a depender da região ou parte do globo em que é referida. A roda transmite para o eixo de rotação, de maneira amplificada, qualquer força aplicada tangencialmente em sua borda, modificando a transmissão tanto da velocidade quanto da distância que foram aplicadas. Similarmente, a roda transmite para a borda, de maneira reduzida, qualquer força aplicada no seu eixo de rotação, amplificando a transmissão tanto da velocidade quanto da distância que foram aplicadas. O fator importante para se determinar a transmissão de força, velocidade e distância é a relação entre o diâmetro da borda da roda e o diâmetro do eixo. A roda representa, também, o princípio básico de todos os dispositivos mecânicos. Inteinet: <www.caiioantigo.com> e <www.wikipeuia.oig> (com auaptações). Considere que as rodas dentadas que formam a engrenagem ilustrada na figura acima estejam colocadas em eixos, que a roda A tenha 44 dentes tanto na parte externa quanto na parte interna, que as rodas B e C tenham 22 dentes cada uma e que o número de dentes de cada uma das rodas D, E e F seja igual a 11. A partir dessas informações, julgue o item: 12. (UnB-2º2011) Se as rodas A e B tiverem a mesma espessura e forem transportadas, separadamente, em caixas cilíndricas que comportem o menor volume possível, então o volume da caixa em que será transportada a roda A deverá ser o dobro do Provas UnB 2011 - 2013 Matemática www.tenhoprovaamanha.com.br !!!"#$%&'()'*++,+%&+"-',".) 7 volume da caixa em que será transportada a roda B. A palavra cerâmica tem origem na palavra grega keramos, que significa oleiro ou olaria. Keramos, por sua vez, deriva do sânscrito e quer dizer “queimar”. Assim, os antigos gregos aplicavam esse termo quando mencionavam um material queimado ou barro (argila) queimado, provavelmente referindo-se aos primeiros objetos cerâmicos (jarros, pratos, tijolos) feitos de barro, que necessitam de calor para obtenção de uma forma moldada permanente, exemplificada no vaso homogêneo ilustrado na figura abaixo. A argila, ou barro, corresponde a partículas do solo terrestre com diâmetros menores que 0,005 mm. Essas partículas se caracterizam pela presença de minerais argilosos misturados com quantidades variadas de resíduos orgânicos ou de detritos inorgânicos, sobretudo de quartzo (óxido de silício, SiO2). Internet: <www.moderna.com.br> e <www.artesanatosbrasileiros.com.br> (com adaptações). Considere que a figura ilustra um vaso na forma de um tronco de cone circular reto, em que a espessura das paredes é igual a 2 cm (inclusive a do fundo), o diâmetro externo da base maior é igual a 32 cm, o diâmetro externo da base menor, igual a 20 cm e a altura externa do tronco de cone, igual a 12 cm. Tomando 3,14 como valor aproximado para ! e 2,236 como valor aproximado para !$, e, com base nas informações acima, julgue os itens. 13. (UnB-2º2011) A capacidade de armazenamento de água do vaso mostrado na figura é superior a 4 litros. 14. (UnB-2º2011) Considerando-se que a densidade volumétrica do vaso seja de 2g/cm 3 e que ele tenha sido fabricado com partículas esféricas do solo terrestre com diâmetros inferiores a 0,005 mm, então um pedaço desse vaso com massa igual a 1 grama deve ter sido originado de uma porção de argila com mais de 7 bilhões dessas partículas. 15. (UnB-2º2011) Considerando que 42% da superfície lateral externa do vaso esteja coberta pelas figuras pintadas e que não inclua, naturalmente, a superfície do fundo do vaso, calcule, em cm 2 , o valor da área coberta pelas figuras. Para a marcação no Caderno de Respostas, despreze, caso exista, a parte fracionária do resultado final obtido, após efetuados todos os cálculos solicitados. GABARITO 1. E 2. C 3. E 4. E 5. C 6. E 7. C 8. E 9. E 10. E 11. C 12. E 13. E 14. C 15. 460 MATEMÁTICA- Geometria analítica Provas UnB 2011 - 2013 Matemática www.tenhoprovaamanha.com.br !!!"#$%&'()'*++,+%&+"-',".) 8 Na situação ilustrada acima, uma criança faz quicar uma bola iluminada por uma fonte de luz pontual, que, posicionada no ponto P, projeta a sombra da bola no chão. Considere que a bola e uma esfera, o chão e um plano horizontal e, portanto, a sombra da bola é uma região delimitada por uma elipse. A respeito das propriedades físicas e geométricas envolvidas nesse fenômeno, julgue os itens: 1. (UnB-1º2013) A figura a seguir ilustra um experimento realizado por um estudante, para observar aspectos da geometria envolvidos na sombra formada no chão quando uma fonte de luz pontual ilumina uma bola. Em uma sala vazia, ele posicionou a bola de modo que o centro dela ficasse na mesma linha horizontal da fonte. A sombra formada ficou bastante grande e não coube no piso da sala, atingindo a quina entre o chão e a parede. A partir da figura mostrada, concluiu-se que a curva que delimita a região sombreada no piso da sala constitui um segmento de reta e um arco de a) circunferência. b) elipse. c) parábola. d) hipérbole. Os planetas não são perfeitamente esféricos. Devido ao movimento de rotação e a outras particularidades, suas formas se assemelham a uma esfera achatada ou a uma elipse, que gira em torno do seu eixo maior. Para a avaliação desse efeito, pode-se utilizar o equipamento esquematizado nas figuras I e II, acima, no qual duas esferas idênticas, de raio r = 0,05 m e de massa M = 1,0 kg, são colocadas livres para deslizar ao longo de duas hastes X, que têm massas desprezíveis. Todo o sistema pode girar em torno do eixo L, a uma velocidade angular !. Presa no eixo L e em contato com as esferas, existe uma fina borracha, que, quando não deformada (Figura I), forma uma circunferência de raio a = b = 0,25 m. Quando o eixo L gira (Figura II), a borracha é empurrada pelas esferas — formando uma elipse (a’ > b) — e resiste à deformação, segundo a lei de Hooke, em que a constante elástica da borracha — k — é igual a 10 N/m. 2. (UnB-2º2012) Se o eixo L do equipamento descrito estivesse inclinado segundo um ângulo menor que 60º com relação à vertical, ainda assim seria formada uma elipse para qualquer valor de ., mas o centro dessa elipse não estaria mais sobre o eixo L. 3. (UnB-2º2012) Sabendo-se que a excentricidade de uma elipse é dada por , em que 2a’ é o comprimento do seu eixo maior e 2b é o comprimento do eixo menor, calcule, em rad/s, o módulo da velocidade angular do eixo L de modo que a elipse tenha excentricidade igual a 0,08. Provas UnB 2011 - 2013 Matemática www.tenhoprovaamanha.com.br !!!"#$%&'()'*++,+%&+"-',".) 9 Multiplique o resultado por 10. Para a marcação no Caderno de Respostas, despreze, caso exista, a parte fracionária do resultado final obtido, após ter efetuado todos os cálculos solicitados. Considere que o robô Opportunity tenha explorado várias crateras e, com base nos dados coletados, tenha sido possível mapear uma parte da superfície de Marte. Considere, ainda, que, para facilitar a localização de elementos relevantes da superfície desse planeta, tenha sido introduzido, em determinada região mapeada, um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais xOy, com as distâncias medidas em metros. Considere, também, que, nesse sistema de coordenadas, duas das crateras exploradas tenham sido identificadas pelas curvas expressas pelas equações e (x - 5)/ + y/ = 1, em que a primeira tem formato elíptico, com focos F1 e F2, e a segunda, formato circular, com centro C. Considere, por fim, que o robô tenha também identificado cristais de gelo nos pontos P = (0, -3), Q = (2, 5), R = (5, 0) e S = (3, -4). Com base nessas informações, julgue os itens. 4. (UnB-2º2012) Se outro robô explorador percorresse a trajetória definida pela curva 2y/ = 2x -7, então ele não entraria em nenhuma das duas crateras identificadas pelo robô Opportunity. 5. (UnB-2º2012) Se X e Y são pontos pertencentes à elipse referida no texto, com abscissas não nulas e de sinais contrários, então o perímetro do quadrilátero XF1YF2 é igual a 20 m. 6. (UnB-2º2012) Conclui-se das informações que, ao percorrer, em linha reta, a distância entre o ponto P e o ponto C e, em seguida, entre os pontos C e Q, o robô Opportunity se deslocou por segmentos de reta perpendiculares. 7. (UnB-2º2012) As curvas que representam as duas crateras mencionadas são tangentes entre si. 8. (UnB-2º2012) Infere-se que o robô Opportunity identificou cristais de gelo em um dos focos da cratera elíptica. 9. (UnB-2º2012) Há pelo menos um ponto com presença de cristais de gelo que não se encontra no interior de nenhuma das duas crateras mencionadas no texto. 10. (UnB-2º2012) Os pontos P, Q, R e S são vértices de um paralelogramo. 11. (UnB-2º2012) A respeito dos lugares geométricos que descrevem as duas crateras referidas no texto, é correto afirmar que a) o raio da cratera com formato circular é igual a 5 m. b) existe uma reta de equação y = mx + h, com m > 0, que tangencia as referidas crateras. c) o triângulo com vértices nos pontos F1, C e F2 é equilátero. d) não foram encontrados cristais de gelo dentro da cratera circular. Para identificar as regiões afetadas por um tsunami, estudiosos utilizaram um plano complexo traçado em um mapa, a partir da cidade de Tóquio, local onde foi colocada a origem do sistema de coordenadas cartesianas ortogonais xOy, conforme ilustrado acima. Nesse plano, cada ponto (x, y) é identificado com um número complexo z = x + i y, em que i é a unidade complexa imaginária, ou seja, Provas UnB 2011 - 2013 Matemática www.tenhoprovaamanha.com.br !!!"#$%&'()'*++,+%&+"-',".) 1u i 2 = -1, e as distâncias são medidas em centímetros. O ponto T = (10, 12) representa, nesse sistema, a origem do tremor que gerou o tsunami, que afetou principalmente as cidades de Sendai, localizada em S = (3, 10), e de Kenennuma, localizada em K = (4, 14). Tendo como referência as informações acima, julgue os itens. 12. (UnB-2º2012) No plano xOy, a área do triângulo com vértices nos pontos correspondentes a Tóquio, a Sendai e à origem do tremor que gerou o tsunami é inferior a 54 cm 2 . 13. (UnB-2º2012) Um tsunami com origem em T e com frente de onda circular atingiria a cidade de Kenennuma antes de chegar a Sendai. 14. (UnB-2º2012) Considere que a região afetada pelo tsunami seja descrita, em função do tempo t, pela equação complexa |z - 10 – 12 i| = t, em que 0 < t < 7 min. Com base nessa hipótese, conclui-se que a) a região afetada tem formato circular. b) a frente de onda do tsunami é uma hipérbole. c) o tsunami chegou a Kenennuma em menos de 5 minutos. d) a onda, no intervalo de tempo especificado, desloca-se com movimento acelerado. A figura acima ilustra um triângulo equilátero ABC inscrito em uma circunferência de raio 2 centrada na origem de um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais xOy, em que um ponto (x, y) é identificado com o número complexo z = x + iy. Esse triângulo foi obtido a partir da representação plana de uma molécula de amônia (NH3), na qual os três átomos de hidrogênio estão posicionados nos seus vértices e o átomo de nitrogênio encontra-se na origem. Com base nessas informações e considerando o centímetro como a unidade de medida de comprimento, em ambos os eixos, julgue os itens. 15. (UnB-1º2012) A área do triângulo ABC é inferior a 5 cm 2 . 16. (UnB-1º2012) A figura acima ilustra, em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais xOy, uma circunferência de raio 2 centrada na origem. Os pontos E e F são definidos pela interseção das retas tangentes à referida circunferência partindo do ponto D = (6, 0). Com base nesses dados e considerando o centímetro como a unidade de medida de comprimento, em ambos os eixos, e ' como a medida do ângulo DÔE, assinale a opção correta a) A distância entre os pontos D e E é inferior a 5 cm. b) ' < 60°. c) Os números complexos correspondentes aos pontos E e F não são conjugados. d) A distância entre os pontos E e F é superior a 3,5 cm. Provas UnB 2011 - 2013 Matemática www.tenhoprovaamanha.com.br !!!"#$%&'()'*++,+%&+"-',".) 11 Figura I Figura II Um cabo flexível e homogêneo suspenso entre dois pontos, como as linhas telefônicas entre dois postes, forma uma curva denominada catenária, devido à ação exclusiva da força peso. A figura I ilustra essa curva, em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais xOy, em que o ponto mais baixo da curva está sobre o eixo Oy. Nesse sistema, a catenária é o gráfico da função em que a e b são constantes reais positivas e e é a base do logaritmo natural. A figura II mostra o sólido denominado catenóide, que pode ser obtido girando-se em torno do eixo Ox a região do plano xOy compreendida entre as retas x = -c e x = c, acima do eixo Ox e abaixo da catenária, representada na figura I. Esse sólido também pode ser obtido mergulhando-se, em uma solução de água e sabão, uma argola de arame e retirando-a em seguida. 17. (UnB-1º2012) Considere, no sistema cartesiano xOy, os pontos P = (x, y), em que x = x(t) = ! [e bt + e -bt ], y = y(x) = ! [e bt – e -bt ], t é um número real qualquer e a e b são números reais positivos. Nesse caso, à medida que t varia, P percorre a parte da hipérbole x 2 – y 2 = a2 que se encontra no 1.º e 4.º quadrantes. O vento solar é uma emissão contínua, em todas as direções, de partículas carregadas que têm origem na coroa solar. As partículas emitidas podem ser elétrons, prótons ou neutrinos. A velocidade dessas partículas varia entre 400 km/s e 800 km/s. Essa emissão contínua gera uma distribuição de íons, prótons e elétrons em todo o espaço do sistema solar. Esse plasma de partículas carregadas é comumente denominado mar de prótons, ou mar de elétrons. Ao se aproximarem da Terra, esses íons sofrem alterações em suas trajetórias devido à presença do campo magnético terrestre. Na região do espaço que circunda a Terra, a densidade desse plasma é de aproximadamente 10 partículas por centímetro cúbico. O bombardeamento da atmosfera terrestre pelo vento solar tem efeitos profundos, uma vez que as partículas e a radiação solar interagem com os gases presentes na atmosfera, tais como H2, N2, O2, CO2, CO, NO2, N2O, SO2. 18. (UnB-1º2012) A elipse definida pela equação 16x 2 + 25y 2 = 400 pode ser representada, no plano complexo, pelo conjunto dos pontos z = (x, y) tais que |z – 3| + |z + 3| = 10. Provas UnB 2011 - 2013 Matemática www.tenhoprovaamanha.com.br !!!"#$%&'()'*++,+%&+"-',".) 12 19. (UnB-1º2012) A figura acima ilustra a situação em que um cometa (C) percorre uma órbita elíptica de centro na origem de um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais xOy. Nessa órbita elíptica, o Sol (S) aparece em um dos focos. Considere que a elipse seja representada pela equação , em que a > b > 0, e tenha excentricidade igual a 0,96. Nesse caso, se a distância mínima desse cometa ao Sol for igual a 0,58 UA (unidade astronômica), em que 1 UA = 150 * 10 6 km é a distância média da Terra ao Sol, então a distância máxima do cometa ao Sol, em milhões de km, será a) inferior a 3.700. b) superior a 3.700 e inferior a 4.000. c) superior a 4.000 e inferior a 4.300. d) superior a 4.300. GABARITO 1. D 2. E 3. 001 4. C 5. C 6. C 7. E 8. E 9. C 10. E 11. B 12. C 13. C 14. A 15. E 16. D 17. C 18. C 19. C MATEMÁTICA- Geometria plana Aidan Dwyer, um jovem norte-americano de 13 anos de idade, após ter analisado o papel das folhas das plantas como coletores solares naturais para o processo de fotossíntese, desenvolveu uma inovadora maneira de dispor painéis solares de modo a otimizar a coleta de energia luminosa. Durante uma caminhada, ao observar as árvores, ele percebeu que as folhas ao longo de um ramo e os galhos em torno do caule apresentavam um padrão de crescimento espiralado ascendente que obedecia à sequência de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,... , que é determinada pela seguinte fórmula de recorrência: F1 = 1, F2 = 1 e, para n % 3, Fn = Fn-1 + Fn-2. Essa distribuição das folhas, além de dar equilíbrio ao caule, propicia-lhe melhor aproveitamento de sua exposição ao Sol, à chuva e ao ar. Em 1874, o matemático inglês Wiesner concluiu que, para que as folhas em um caule de uma árvore ficassem melhor expostas à luz do Sol, o ângulo 2 entre as folhas deveria ser aproximadamente igual a , que é conhecido como ângulo áureo, em que . Provas UnB 2011 - 2013 Matemática www.tenhoprovaamanha.com.br !!!"#$%&'()'*++,+%&+"-',".) 1S A figura acima ilustra o trabalho de Aidan. Após medir as posições dos galhos em várias árvores, ele realizou, no quintal de sua casa, experimentos com pequenos coletores solares posicionados em uma armação metálica que imitava a configuração natural das folhas. Ele montou, ainda, uma quantidade igual de sensores e os dispôs em um painel, como é feito nos coletores comerciais. Com equipamentos simples, traçou gráficos comparativos da captação solar e observou que sua árvore solar captava 20% mais energia que o painel plano comum. 0 ulobo, 2u¡8¡2u11 (com auaptações). 1. (UnB-1º2012) É correto afirmar que 2. (UnB-1º2012) A partir das informações apresentadas, é correto afirmar que " -1 = " -1. O vento solar é uma emissão contínua, em todas as direções, de partículas carregadas que têm origem na coroa solar. As partículas emitidas podem ser elétrons, prótons ou neutrinos. A velocidade dessas partículas varia entre 400 km/s e 800 km/s. Essa emissão contínua gera uma distribuição de íons, prótons e elétrons em todo o espaço do sistema solar. Esse plasma de partículas carregadas é comumente denominado mar de prótons, ou mar de elétrons. Ao se aproximarem da Terra, esses íons sofrem alterações em suas trajetórias devido à presença do campo magnético terrestre. Na região do espaço que circunda a Terra, a densidade desse plasma é de aproximadamente 10 partículas por centímetro cúbico. O bombardeamento da atmosfera terrestre pelo vento solar tem efeitos profundos, uma vez que as partículas e a radiação solar interagem com os gases presentes na atmosfera, tais como H2, N2, O2, CO2, CO, NO2, N2O, SO2. 3. (UnB-1º2012) Se o fluxo de prótons por segundo nas imediações da Terra for de 7 prótons por centímetro quadrado na direção radial ao Sol, então o Sol estará emitindo mais de 10 30 prótons por segundo. O eclipse anelar ocorre quando a distância relativa entre Sol, Lua e Terra favorece a ocorrência de uma região de penumbra (P), em forma de anel, ao redor de uma região de sombra (S), como representado na figura abaixo. • distância do centro da Lua à superfície da Terra = 3,84 X 10 5 km; • distância do centro do Sol à superfície da Terra = 1,54 X 10 8 km; • H = raio do Sol = 0,7 x 10 6 km; • raio da Lua = 1.750 km. Considerando, por simplicidade, a superfície da Terra como plana e assumindo 3,14 como valor aproximado para !, calcule, em 10 6 km 2 , a área do anel de penumbra do eclipse anelar. Para a marcação no Caderno de Respostas, despreze, caso exista, a parte fracionária do resultado final obtido, após efetuados todos os cálculos solicitados. GABARITO 1. C Provas UnB 2011 - 2013 Matemática www.tenhoprovaamanha.com.br !!!"#$%&'()'*++,+%&+"-',".) 14 2. C S. E 4. uS8 MATEMÁTICA- Funções. Considere que, pelo movimento de rotação, durante sua formação, a placa de lixo gigante tenha o formato de um cone reto, de altura H e raio da base R, como ilustra a figura a seguir, na qual a superfície do sétimo continente corresponde à base do cone, a qual esta virada para cima. 1. (UnB-1º2013) Suponha que, com o tempo, mais lixo se acumule no sétimo continente, que o formato do lixo se mantenha o de um cone reto, com altura H constante e que, devido a isso, o raio da base e o volume do cone sejam funções crescentes do tempo, t > 0. Nessa situação, se o raio é a) uma função logarítmica do tempo, então o volume e uma função exponencial do tempo. b) uma função afim do tempo, então o volume também é. c) uma função exponencial do tempo, então o volume também é. d) uma função quadrática do tempo, então o volume e uma função afim do tempo. A figura acima ilustra um brinquedo de base arredondada denominado joão-bobo. Por mais que o inclinem, ele tende a retornar a sua posição de equilíbrio, permanecendo de pé. Considere que um joão-bobo, ao ser inclinado, execute movimentos oscilatórios de pequenas amplitudes. Considere, ainda, que, para descrever o deslocamento horizontal, em centímetros, da cabeça do joão-bobo durante os movimentos oscilatórios, foram propostos dois modelos distintos, conforme expressões a seguir, em que f e g expressam o deslocamento horizontal do ponto A posicionado no topo da cabeça do brinquedo e o tempo t $ 0 e medido em segundos. Considere, por fim, que, no que se refere a esses modelos, o ponto A realize movimento apenas no plano e que o brinquedo esta na posição de equilíbrio quando a posição escalar horizontal do ponto A é nula. Primeiro modelo: f(t) = 20cos[!(t + 1)] cm Segundo modelo: g(t) = 20 2-t cos[!(t + 1)] cm 2. (UnB-1º2013) Se, para algum instante t0, tem-se f(t0) = g(t0), então o joão-bobo estará na posição de equilíbrio em tal instante. 3. (UnB-1º2013) Em t = log2(40) s, a amplitude de movimento instantâneo do joão-bobo, de acordo com o segundo modelo, e igual a um décimo da amplitude de acordo com o primeiro modelo. 4. (UnB-1º2013) Considere que a altura do joão-bobo seja 20 cm e ele esteja com sua base apoiada em uma superfície plana, então, para algum tempo t0 no primeiro modelo, o joão-bobo ficará deitado (na posição horizontal) na superfície plana em que se encontrar. 5. (UnB-1º2013) De acordo com o primeiro modelo, um movimento completo de ida e volta do joão-bobo ocorre em 2 s. 6. (UnB-1º2013) Ambos os modelos descrevem funções periódicas. 7. (UnB-1º2013) Nos dois modelos, são iguais os instantes da posição de equilíbrio. Provas UnB 2011 - 2013 Matemática www.tenhoprovaamanha.com.br !!!"#$%&'()'*++,+%&+"-',".) 1S 8. (UnB-1º2013) Assinale a opção que apresenta corretamente a peça de dominó em que os pontos marcados em suas metades correspondem aos valores das expressões logarítmicas inseridas na peça de dominó representada acima. Suponha que o robô Opportunity tenha coletado, na superfície de Marte, uma amostra radioativa cuja massa, M(t), em gramas, pode ser representada em função do tempo t % 0, em anos, pela expressão M(t) = M0.e -kt , em que k é uma constante positiva que depende do material da amostra, e M0 é sua massa inicial. Considerando essas informações, julgue os itens. 9. (UnB-2º2012) Se a amostra for avaliada em instantes ti, i = 1, 2, 3..., tais que ti é o i- ésimo termo de uma progressão geométrica, então a sequência das massas M(ti) será uma progressão aritmética. 10. (UnB-2º2012) A imagem da função dada por M(t), para t % 0, é o conjunto de todos os números reais positivos. 11. (UnB-2º2012) Se 0 < k < 1, então a função M(t) é crescente. 12. (UnB-2º2012) Se k = ln 1,2 e M0 = 4 g, então, depois de 4 anos, a massa da amostra será inferior a 2 g. 13. (UnB-2º2012) A meia-vida da amostra radioativa coletada a) é diretamente proporcional a M0. b) é inversamente proporcional a k. c) ocorre no intervalo de 20 a 100 anos. d) é crescente com relação ao tempo t. Em região próxima ao equador de Marte, a temperatura média é a mais alta desse planeta. Por alguns dias, o robô Opportunity registrou a temperatura nessa área e, com base nas medidas feitas, foi possível estabelecer um modelo simplificado da temperatura, T(t), em graus Celsius, em função do tempo t, em horas, dado pela expressão a seguir, em que o instante t = 0 marca o nascer de um novo dia em Marte. Com base nas informações apresentadas e considerando que o período da função acima corresponde à duração de um dia completo no Planeta Vermelho, julgue os itens. 14. (UnB-2º2012) Segundo o modelo apresentado, a temperatura em Marte não atinge valores superiores a 0 ºC. 15. (UnB-2º2012) Para qualquer instante t0 positivo, T(t0) … T(0). 16. (UnB-2º2012) Se t1 e t2 são dois instantes no intervalo em que o robô Opportunity realizou medições, tais que , então, em algum momento entre esses dois instantes, o robô registrou uma temperatura máxima ou uma temperatura mínima. 17. (UnB-2º2012) Caso os registros fossem realizados nas calotas polares de Marte, um modelo coerente para a temperatura, em graus Celsius, seria dado, em função do tempo t, pela expressão 18. (UnB-2º2012) De acordo com o modelo, a duração de um dia em Marte é 40 minutos superior à de um dia na Terra. Provas UnB 2011 - 2013 Matemática www.tenhoprovaamanha.com.br !!!"#$%&'()'*++,+%&+"-',".) 16 19. (UnB-2º2012) A respeito dos registros realizados pelo robô Opportunity em Marte, é correto afirmar que a) a temperatura máxima é atingida duas vezes a cada dia. b) a temperatura média diária é igual a 50 ºC. c) a diferença entre a maior temperatura e a menor temperatura registradas é igual a 80 ºC. d) a temperatura não atinge seu valor máximo no instante t = 12 h. Figura I Figura II Um cabo flexível e homogêneo suspenso entre dois pontos, como as linhas telefônicas entre dois postes, forma uma curva denominada catenária, devido à ação exclusiva da força peso. A figura I ilustra essa curva, em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais xOy, em que o ponto mais baixo da curva está sobre o eixo Oy. Nesse sistema, a catenária é o gráfico da função em que a e b são constantes reais positivas e e é a base do logaritmo natural. A figura II mostra o sólido denominado catenóide, que pode ser obtido girando-se em torno do eixo Ox a região do plano xOy compreendida entre as retas x = -c e x = c, acima do eixo Ox e abaixo da catenária, representada na figura I. Esse sólido também pode ser obtido mergulhando-se, em uma solução de água e sabão, uma argola de arame e retirando-a em seguida. 20. (UnB-1º2012) Se F(t) = 0 (e t – e -t ) e G(t) = ln (t + )t 2 +1), então F(G(t)) = t, para todo número real t. 21. (UnB-1º2012) O gráfico da função f, que é uma função par, passa pelo ponto (0, a/2). O circuito elétrico ilustrado acima permite modelar a descarga elétrica produzida por um peixe elétrico. Esse circuito é formado por uma fem 1, um capacitor de capacitância C e uma resistência interna r. A parte externa é representada pelo capacitor ligado a um resistor de resistência R, o qual representa um objeto que eventualmente sofre uma descarga do peixe elétrico. Quando a chave A é fechada, o capacitor carrega-se, se estiver descarregado. Nesse caso, a carga q armazenada no capacitor em função do tempo é dada por O capacitor, quando está completamente carregado, com a chave A aberta e a chave B fechada, descarrega-se. Nesse caso, a carga q armazenada no capacitor, em função do tempo, é expressa por Provas UnB 2011 - 2013 Matemática www.tenhoprovaamanha.com.br !!!"#$%&'()'*++,+%&+"-',".) 17 22. (UnB-1º2012) Considere que a fem do circuito em questão seja dada pela função V = V(t) = 'sen(t + -, 0 " t " 8, cujo gráfico é ilustrado acima. Nesse caso, o valor de ' * ( * - é igual a a) !/2. b) ! c) 3!/2 d) 2! O corpo humano utiliza a energia extraída dos alimentos, para manter o funcionamento dos seus órgãos, realizar seus processos bioquímicos, manter a temperatura do corpo e, ainda, realizar trabalhos externos, tais como andar, correr e pular. A equação da conservação da energia no corpo humano é escrita como 2E = 2Q - 2W, em que 2E é a variação de energia interna ou, nesse contexto, da energia armazenada no corpo; 2Q é a quantidade de calor trocada com o ambiente e 2W é o trabalho realizado pelo corpo. Quando em repouso, sem realizar trabalho externo, uma pessoa consome, em média, uma taxa de energia entre 100 W e 120 W. A taxa mínima de consumo, denominada taxa de metabolismo basal, indica a quantidade de energia necessária para a realização de tarefas imprescindíveis, tais como respiração e bombeamento de sangue através do sistema circulatório. A energia utilizada pelo corpo é obtida a partir de reações de oxidação, como a da glicose, apresentada a seguir. C6H12O6(s) + 6O2(g) 3 6H2O(l) + 6CO2 oxidação (g) + 686 kcal Nessa reação química, são liberadas 686 kcal por mol de glicose. A quantidade exata de energia liberada por litro de oxigênio consumido depende da dieta adotada. Em uma dieta típica, a energia liberada por litro de O2 consumido é de 4,9 kcal. A eficiência 0 com que um corpo realiza o trabalho externo 2Wext é definida por , em que 2E é a energia consumida durante a realização desse trabalho. 2Wext pode ser diretamente medido, ao passo que 2E é medido com base na quantidade de oxigênio consumido pelo corpo durante a realização do trabalho. A esse respeito, considere • aceleração da gravidade: g = 10 m/s/; • constante universal dos gases: R = 8,31 J/mol K; • temperatura Kelvin: K = C + 273, em que C é a temperatura em graus Celsius; • valor da caloria: 1 cal = 4,19 J. Tendo como referência o texto acima; considerando que uma pessoa em repouso produz exatamente o que consome de energia; assumindo as condições normais de pressão e temperatura (CNPT); desprezando as perdas de energia por reações de oxidação inacabadas e considerando, ainda, que todos os gases envolvidos são ideais, julgue os itens: 23. (UnB-1º2012) Considere que um atleta com M kg de massa, partindo do repouso, comece a correr com aceleração constante de a m/s2; que, enquanto corre, o atleta sofre a ação de uma força de resistência constante igual a R newtons; que toda a energia do atleta resulta da oxidação de gordura, a qual é representada pela expressão a seguir, em que E é a energia, em joules, liberada por mol de gordura. C3H5O3(OC4H7)3 + 18,5 O2 3 15 CO2 + 13 H2O + E Supondo-se que a eficiência do atleta seja 4, então a expressão matemática que representa a quantidade de moles N de gás carbônico produzido pelo atleta até o tempo t, em segundos, transcorrido desde o momento em que ele iniciou a corrida, é . Provas UnB 2011 - 2013 Matemática www.tenhoprovaamanha.com.br !!!"#$%&'()'*++,+%&+"-',".) 18 Inteinet: <http:¡¡violaoeguitaiiaon-line.blogspot.com>. Em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais xOy, na situação da figura acima, a expressão fornece a altura y = f(x), em metros, da ponta da flecha em função da abscissa x, em metros. Considere que, em cada instante t % 0, em segundos, as coordenadas (x, f (x)) da trajetória descrita pela ponta de flecha podem ser dadas, em função de t, por (x(t), f (x(t))), com x(t) = 10 – 20t. Desse modo, o movimento da ponta da flecha se decompõe na horizontal como x(t) = 10 – 20t e, na vertical, como y(t) = f (x(t)). Com base nessas informações, e considerando que uma maçã esteja localizada no ponto P de coordenadas (0, 5), julgue os itens. 24. (UnB-2º2011) De acordo com a função x(t) = 10 - 20t, a ponta da flecha interceptará o eixo Oy quando t = 0,5 s. 25. (UnB-2º2011) A ponta da flecha atingirá a altura máxima em quatro décimos de segundo após o lançamento. 26. (UnB-2º2011) A expressão g(t) = 2 + 20t – 25t 2 permite determinar a altura ponta da flecha em função do tempo t. 27. (UnB-2º2011) Caso o soldado efetuasse o lançamento nas mesmas condições representadas na figura — mesma força e mesmo ângulo de inclinação —, mas afastando-se da origem dois metros para a direita do ponto onde se encontra, a flecha atingiria a maçã. 28. (UnB-2º2011) Suponha que o soldado tenha utilizado uma arma de fogo de modo que a trajetória do projétil seja linear e que, estando a ponta do cano da arma à distância de 10 metros do suporte que sustenta a maçã e a uma altura de 1 a 2 metros do solo, o projétil tenha atingido a maçã. Nessa situação, conclui-se que o ângulo entre a trajetória do projétil e a flecha exibida na figura, no instante t = 0, é inferior a !/12 radianos. 29. (UnB-2º2011) Considere que, em vez da flecha, o soldado estivesse utilizando uma arma de fogo com o cano apontado na mesma direção e sentido da flecha e que a trajetória do projétil fosse linear. Nessa situação, a distância, em metros, do ponto P à trajetória descrita pelo projétil seria igual a No século XIX, cientistas observaram que o comportamento e a descrição do átomo de Dalton não se enquadravam no sistema newtoniano de princípios físicos e não explicavam o comportamento elétrico da matéria. Uma das linhas de investigação consistiu em aplicar descargas elétricas em um tubo que continha gás em pequena quantidade e em observar as emissões eletromagnéticas irradiadas, capazes de produzir fluorescência na incidência em certos materiais. Descobriu-se, depois, que a frequência das emissões chamadas de raios X era proporcional ao número atômico (Z) do átomo emissor, segundo a equação de Moseley, f = (2 47* 10 15 ) * (Z + 1) 2 , em que f representa a, frequência de emissão relativa às transições eletrônicas ocorridas na camada eletrônica K desse átomo, em Hertz. A figura a seguir mostra o espectro de emissão de raios X proveniente do bombardeamento de um feixe de elétrons em determinado alvo metálico. Provas UnB 2011 - 2013 Matemática www.tenhoprovaamanha.com.br !!!"#$%&'()'*++,+%&+"-',".) 19 30. (UnB-2º2011) A partir da equação de Moseley, deduz-se que a frequência de emissão de raios X relativa às transições eletrônicas para a camada eletrônica K é uma função cuja imagem é sempre um inteiro positivo. A história da roda pode ser muito curta ou abranger milhares de anos — a depender da região ou parte do globo em que é referida. A roda transmite para o eixo de rotação, de maneira amplificada, qualquer força aplicada tangencialmente em sua borda, modificando a transmissão tanto da velocidade quanto da distância que foram aplicadas. Similarmente, a roda transmite para a borda, de maneira reduzida, qualquer força aplicada no seu eixo de rotação, amplificando a transmissão tanto da velocidade quanto da distância que foram aplicadas. O fator importante para se determinar a transmissão de força, velocidade e distância é a relação entre o diâmetro da borda da roda e o diâmetro do eixo. A roda representa, também, o princípio básico de todos os dispositivos mecânicos. Inteinet: <www.caiioantigo.com> e <www.wikipeuia.oig> (com auaptações). Considere que as rodas dentadas que formam a engrenagem ilustrada na figura acima estejam colocadas em eixos, que a roda A tenha 44 dentes tanto na parte externa quanto na parte interna, que as rodas B e C tenham 22 dentes cada uma e que o número de dentes de cada uma das rodas D, E e F seja igual a 11. A partir dessas informações, julgue os itens: 31. (UnB-2º2011) Suponha que, enquanto a roda E gira x radianos, a roda A gira uma quantidade, em radianos, representada por uma função dada por y = f(x). Nesse caso, f é uma função linear, cujo gráfico, no primeiro quadrante do plano de coordenadas cartesianas xOy, fica abaixo do gráfico de g(x) = x. GABARITO 1. C 2. E 3. E 4. C 5. C 6. E 7. C 8. A 9. E 10. E 11. E 12. C 13. B 14. E 15. E 16. C 17. E 18. C Provas UnB 2011 - 2013 Matemática www.tenhoprovaamanha.com.br !!!"#$%&'()'*++,+%&+"-',".) 2u 19. D 20. C 21. E 22. D 23. C 24. C 25. C 26. C 27. C 28. E 29. D 30. E 31. C MATEMÁTICA- Estatística O vento solar é uma emissão contínua, em todas as direções, de partículas carregadas que têm origem na coroa solar. As partículas emitidas podem ser elétrons, prótons ou neutrinos. A velocidade dessas partículas varia entre 400 km/s e 800 km/s. Essa emissão contínua gera uma distribuição de íons, prótons e elétrons em todo o espaço do sistema solar. Esse plasma de partículas carregadas é comumente denominado mar de prótons, ou mar de elétrons. Ao se aproximarem da Terra, esses íons sofrem alterações em suas trajetórias devido à presença do campo magnético terrestre. Na região do espaço que circunda a Terra, a densidade desse plasma é de aproximadamente 10 partículas por centímetro cúbico. O bombardeamento da atmosfera terrestre pelo vento solar tem efeitos profundos, uma vez que as partículas e a radiação solar interagem com os gases presentes na atmosfera, tais como H2, N2, O2, CO2, CO, NO2, N2O, SO2. 1. (UnB-1º2012) O desvio padrão da sequência numérica formada pelas distâncias médias de Vênus, Terra e Marte ao Sol é superior a 50 x 10 6 . Considerando a figura acima, que ilustra o mecanismo de funcionamento de um coração, julgue o item: 2. (UnB-1º2012) Se ' e ( representam, respectivamente, a média e a mediana de todos os valores percentuais incluídos na figura, então |' - (| > 3%. GABARITO 1. E 2. E MATEMÁTICA- Sequências numéricas A figura acima ilustra a situação denominada “efeito dominó”, na qual são enfileiradas várias peças de domino apoiadas no chão sobre sua menor base. Ao se derrubar a primeira peça, todas as demais caem sequencialmente, uma após a outra. Suponha que, em um arranjo hipotético, uma Provas UnB 2011 - 2013 Matemática www.tenhoprovaamanha.com.br !!!"#$%&'()'*++,+%&+"-',".) 21 infinidade de peças de domino tenha sido corretamente emparelhada em uma única fileira e que a cada uma delas tenha sido atribuído um número inteiro positivo, de acordo com a ordem em que elas caiam. Assim, por exemplo, a peça de número 13 e a décima terceira a cair. Nesse arranjo, a primeira peça é amarela, as peças correspondentes a números primos são vermelhas e as demais são pretas. É relevante saber que o jogo de dominó duplo-6 é constituído de peças na forma de retângulo. Uma linha divide ao meio cada retângulo, e cada metade do retângulo é marcada com um a seis pontos (indicando valores numéricos) ou nenhum ponto (zero). Considere que a notação i-j — 0 " i, j % 6 — significa que uma metade do retângulo e marcada com i pontos, e a outra, com j pontos. Nessa notação, as pecas do dominó são: 0-0; 0-1; 0-2; ...; 0-6; 1-1; 1-2; ...; 1-6; 2-2; 2-3; etc. Abaixo estão ilustradas algumas pecas desse jogo. 1. (UnB-1º2013) Há exatamente um par de peças vermelhas consecutivas. 2. (UnB-1º2013) Sempre que cair uma peça de número múltiplo de 700, necessariamente, antes dela, caíram mais de 250 peças cujo número correspondente e múltiplo de 3. 3. (UnB-1º2013) Considere que sejam usados 100 jogos de dominó duplo-6 para montar o “efeito dominó”. Nesse caso, o número total de peças usadas nessa brincadeira será superior a 2.700. 4. (UnB-1º2013) A indução matemática e frequentemente utilizada em demonstrações. Segundo esse método, para verificar se determinada propriedade vale para cada inteiro positivo, deve-se mostrar duas coisas: • a propriedade vale para o numero 1; • se a propriedade vale para algum inteiro positivo n, então vale para n + 1. Tendo como referencia essas informações, redija um texto, na modalidade padrão da língua portuguesa, estabelecendo, da forma mais completa possível, uma analogia entre a demonstração por indução e a hipotética brincadeira das infinitas peças de dominó descrita. Um apicultor, ao perceber o desaparecimento de abelhas de uma colmeia, resolveu contar a quantidade de abelhas restantes para estimar a taxa correspondente ao sumiço dos insetos. Utilizando técnicas adequadas, ele conseguiu atrair as abelhas restantes da colmeia para o interior de uma caixa cercada por uma tela. O apicultor observou que as abelhas entravam na caixa de modo bastante peculiar, seguindo um padrão: primeiro, entrava uma; depois, mais três de uma única vez; logo em seguida, mais cinco ao mesmo tempo; imediatamente após, entravam sete, e, assim, sucessivamente. Para obter controle sobre o processo, ele anotou a quantidade de abelhas que entravam e verificou que nenhuma abelha saiu da caixa enquanto ele fazia a contagem. Ao final, contou 400 abelhas dentro da caixa. Com base nessa situação hipotética, julgue os itens. 5. (UnB-2º2012) Em algum momento, a quantidade total de abelhas dentro da caixa foi igual a 40. 6. (UnB-2º2012) Em algum momento, a quantidade de abelhas que entraram simultaneamente na caixa correspondeu a um número não primo. 7. (UnB-2º2012) Com base no fato de que a quantidade total de abelhas presentes na caixa aumentou de acordo com um padrão matemático, identifique esse padrão e redija um texto na modalidade padrão da língua Provas UnB 2011 - 2013 Matemática www.tenhoprovaamanha.com.br !!!"#$%&'()'*++,+%&+"-',".) 22 portuguesa, explicando o raciocínio desenvolvido para chegar a essa conclusão. Uma equipe de pesquisa de mercado conduziu, durante vários meses, um levantamento para determinar a preferência dos consumidores em relação a duas marcas de detergentes, marca 1 e marca 2. Verificou-se, inicialmente, que, entre 200 pessoas pesquisadas, 120 usavam a marca 1 e 80, a marca 2. Com base no levantamento inicial, a equipe compilou a seguinte estatística: a) 70% dos usuários da marca 1, em qualquer mês, continuaram a utilizá-la no mês seguinte, e 30% mudaram para a marca 2; b) 80% dos usuários da marca 2, em qualquer mês, continuaram a utilizá-la no mês seguinte, e 20% mudaram para a marca 1. Esses resultados podem ser expressos pela matriz P = (pij) = , em que pij, 1 " i, j " 2, representa a probabilidade do consumidor da marca j consumir a marca i após um mês, supondo-se que tais probabilidades sejam mantidas constantes de um mês para o outro. Dessa forma, obtém-se a fórmula de recorrência Xk+1 = P.Xk, k % 0, em que representa a distribuição, no mercado, ao final do mês k, dos usuários de cada detergente pesquisados; ak e bk representam os percentuais de usuários das marcas 1 e 2, respectivamente, no referido período. 8. (UnB-1º2012) A sequência b1 – b0, b2 – b1, b3 – b2 representa uma progressão geométrica decrescente de razão 0,5. 9. (UnB-1º2012) Se Xk = é tal que Xk+1 = Xk, para algum k % 0, então ' = 0,4 e ( = 0,6. Considerando a figura acima, que ilustra o mecanismo de funcionamento de um coração, julgue o item: 10. (UnB-1º2012) Considere os valores percentuais incluídos na figura que são termos de uma progressão aritmética em que o primeiro termo é igual a 4% e a razão é igual a 6%. Nesse caso, é igual a 1 a soma desses valores. GABARITO 1. C 2. E 3. C 4. TIPO D 5. E 6. C 7. TIPO D 8. C 9. C 10. C MATEMÁTICA- Conjuntos. O Google, mecanismo de buscas na Internet, indexa trilhões de páginas web, de modo que os usuários podem pesquisar as informações de que necessitarem usando palavras-chave e operadores. O funcionamento do Google é embasado em algoritmos matemáticos, que analisam a relevância de um sítio pelo número de páginas e pela importância dessas páginas. Provas UnB 2011 - 2013 Matemática www.tenhoprovaamanha.com.br !!!"#$%&'()'*++,+%&+"-',".) 2S O nome Google é derivado de googol, número definido por 10^100, ou seja, o número 1 seguido de 100 zeros. A partir do googol, define-se o googolplex, correspondente a 10 googol , ou seja, o número 1 seguido de 10 100 zeros. De acordo com dados do Google, o sítio mais acessado atualmente é o Facebook, a maior rede social da Internet. De agosto de 2010 a agosto de 2011, o número de usuários dessa rede social passou de 598 milhões para 753 milhões. A previsão de receita do Facebook para 2011 é de 4,27 bilhões de dólares, um crescimento de 115% em relação a 2010. 1. (UnB-1º2012) A soma dos divisores naturais de é um número primo. 2. (UnB-1º2012) Considere que, em uma pesquisa acerca das redes sociais I, II e III da Internet, realizada com 300 estudantes de uma escola, constatou-se que 86 eram usuários da rede social I; 180, da rede social II; 192, da III; 144, da II e da III; 40, da I, mas não da II; 31 eram usuários da I, mas não da III; e 27 eram usuários da I e da II, mas não da III. Escolhendo um desses estudantes ao acaso, a probabilidade de ele não ser usuário de nenhuma dessas redes ou de ser usuário de apenas uma delas é a) inferior a 15%. b) superior a 15% e inferior a 30%. c) superior a 30% e inferior a 45%. d) superior a 45%. A tabela acima mostra a relação quantidade de pacientes por milhão de habitantes que se submeteram, no ano de 2000, a transplantes de rim, fígado ou coração nos Estados Unidos da América (EUA), na Europa e na América Latina. Os dados da tabela estão reescritos, a seguir, em forma de matriz. 3. (UnB-2º2011) Suponha que, em 2010, a população da América Latina era de 760 x 10 6 habitantes e que a proporção de transplantes dos órgãos mencionados tenha-se mantido igual à de 2000. Suponha, ainda, que 9.111 pacientes se submeteram a transplante apenas de rim; 447, apenas a transplante de fígado; 250, apenas a transplante de coração; 16 a transplantes dos 3 órgãos. Nessa situação, é correto inferir que 696 pacientes se submeteram a transplantes apenas de rim e de fígado. GABARITO 1. E 2. C S. C MATEMÁTICA- Básica, Porcentagem Pouco se fala sobre o sétimo continente, uma gigantesca placa de lixo plástico que flutua no Oceano Pacifico, entre o litoral da Califórnia e do Havaí. Essa ilha de lixo, que mais parece uma enorme sopa de detritos plásticos flutuantes, e seis vezes maior que a Franca e tem cerca de 30 metros de espessura. Dados indicam que esse sétimo continente mede em torno de 3,4 milhões de quilômetros quadrados e pesa aproximadamente 3,5 milhões de toneladas, das quais cerca de 90% estão ate dez centímetros abaixo da superfície. Essa ilha decorre de um redemoinho gigante que resulta da forca da corrente do Pacifico Norte e que gira no sentido horário, juntamente com os ventos fortes que estejam na área. Essa forca centrípeta leva, gradualmente, todo o lixo para o centro. Cerca Provas UnB 2011 - 2013 Matemática www.tenhoprovaamanha.com.br !!!"#$%&'()'*++,+%&+"-',".) 24 de 80% dos resíduos dessa ilha provem de terra firme e, transportados pelos rios e pelo vento, chegam aos mares. Acredita-se que, na área do continente lixo, existam ate seis quilogramas de lixo plástico para cada quilograma de plâncton. Alguns animais, como tartarugas, baleias, focas e pássaros, morrem ao ingerir partículas de plástico, por confundi-las com alimentos. Outros animais acumulam toxinas, o que prejudica toda a cadeia alimentar. Calcula-se que um navio com capacidade para retirar os resíduos do sétimo continente levaria 27 anos para limpar toda a superfície da água. Inteinet: <veja.abiil.com.bi> (com auaptações). 1. (UnB-1º2013) A quantidade de plástico, em massa, na área continente lixo e seis vezes maior que a dos organismos cujos movimentos próprios são insuficientes para vencer as correntes existentes na massa de água onde vivem. 2. (UnB-1º2013) A partir das informações do texto, conclui-se que um navio com capacidade para retirar os resíduos das águas entre o litoral da Califórnia e o do Havaí eliminaria mais de 350 toneladas de lixo por dia. A figura acima ilustra o destino da radiação solar incidente sobre a atmosfera e a superfície terrestre. Uma alternativa para se melhorar o aproveitamento dessa energia é a utilização dos painéis de energia solar, os quais podem ser de dois tipos: térmicos ou voltaicos. Os térmicos transformam a radiação do Sol diretamente em energia térmica para o aquecimento de águas ou outros fins, e os voltaicos convertem a energia solar diretamente em corrente elétrica. 3. (UnB-1º2012) A razão entre a radiação solar refletida e a incidente é inferior a 2/7. 4. (UnB-1º2012) Parte dos 51% da energia absorvida pela superfície da Terra permanece retida na forma de biomassa. Na figura acima, são apresentadas duas curvas que relacionam o grau de seletividade de medicamentos com o distúrbio cardiovascular e o distúrbio gastrintestinal. Considere que, na figura, os medicamentos numerados de I a IV são indicados para o tratamento de inflamação na cavidade oral. Provas UnB 2011 - 2013 Matemática www.tenhoprovaamanha.com.br !!!"#$%&'()'*++,+%&+"-',".) 2S 5. (UnB-1º2012) Considerando-se que y representa distúrbio cardiovascular, que x representa a concentração da enzima COX- 1 no sangue e que essas grandezas sejam inversamente proporcionais, é correto afirmar que a relação entre x e y pode ser expressa por uma função do tipo , em que a, b, c e d são constantes reais com c 5 0 e ad - bc 5 0. O Google, mecanismo de buscas na Internet, indexa trilhões de páginas web, de modo que os usuários podem pesquisar as informações de que necessitarem usando palavras-chave e operadores. O funcionamento do Google é embasado em algoritmos matemáticos, que analisam a relevância de um sítio pelo número de páginas e pela importância dessas páginas. O nome Google é derivado de googol, número definido por 10^100, ou seja, o número 1 seguido de 100 zeros. A partir do googol, define-se o googolplex, correspondente a 10 googol , ou seja, o número 1 seguido de 10 100 zeros. De acordo com dados do Google, o sítio mais acessado atualmente é o Facebook, a maior rede social da Internet. De agosto de 2010 a agosto de 2011, o número de usuários dessa rede social passou de 598 milhões para 753 milhões. A previsão de receita do Facebook para 2011 é de 4,27 bilhões de dólares, um crescimento de 115% em relação a 2010. 6. (UnB-1º2012) De agosto de 2010 a agosto de 2011, a taxa de crescimento da quantidade de usuários do Facebook foi inferior a 25%. A tabela acima mostra a relação quantidade de pacientes por milhão de habitantes que se submeteram, no ano de 2000, a transplantes de rim, fígado ou coração nos Estados Unidos da América (EUA), na Europa e na América Latina. Os dados da tabela estão reescritos, a seguir, em forma de matriz. 7. (UnB-2º2011) Suponha que a taxa anual de crescimento populacional dos EUA entre 2000 e 2010 tenha sido constante e igual a 0,97%, que a população dos EUA era de 310 * 10 6 habitantes em 2010 e que as proporções de transplantes por milhão de habitantes especificadas na tabela tenham- se mantido para os EUA em 2010. Nessa situação, assumindo-se 1,101 como valor aproximado para 1,0097 10 , é correto afirmar que, em 2010, foram realizados menos de 2.500 transplantes de coração nos EUA. 8. (UnB-2º2011) Se, em 2000, a taxa de transplante de rim por milhão de habitantes na América Latina tivesse sido 300% maior que a estabelecida na tabela, então essa taxa se igualaria à dos EUA naquele ano. Conta-se que, na lápide de Diofante de Alexandria, um dos principais inspiradores de Pierre de Fermat, havia a seguinte inscrição: Deus lhe concedeu a graça de ser um menino pela sexta parte de sua vida. Depois, por um doze avos, ele cobriu seu rosto com a barba. Em seguida, após a sétima parte, iluminou-se a luz do casamento e, 5 anos depois, Ele concedeu-lhe um filho. Ah! Criança tardia e má, depois de viver metade da vida de seu pai, o destino frio o levou. Após consolar sua mágoa em sua ciência dos números, por quatro anos, Diofante terminou sua vida. Simon Singh. 0 último teoiema ue Feimat (com auaptações). Provas UnB 2011 - 2013 Matemática www.tenhoprovaamanha.com.br !!!"#$%&'()'*++,+%&+"-',".) 26 9. (UnB-2º2011) Diofante morreu aos a) 64 anos de idade. b) 74 anos de idade. c) 84 anos de idade. d) 94 anos de idade. GABARITO 1. C 2. C 3. E 4. C 5. E 6. C 7. C 8. C MATEMÁTICA- Análise combinatória Nos períodos em que ocorrem interferências eletromagnéticas causadas por tempestades solares, a comunicação entre os robôs em Marte e os centros de comunicação espacial na Terra fica mais difícil. Assim, um sinal de rádio que seja lançado, em um desses períodos, de um laboratório na Terra até um de dois satélites — Y e Z — disponíveis, e seja redirecionado para o Planeta Vermelho, apresenta 85% de chance de ser corretamente recebido pelo satélite Y, e 75% de ser corretamente recebido em Marte, a partir desse satélite. Caso o sinal fosse enviado para o satélite Z, a chance de ele não ser completamente decifrado seria de 10%, e de 20% a de não ser perfeitamente recebido em Marte, após a transmissão feita a partir desse satélite. 1. (UnB-2º2012) O número de maneiras distintas de escolher os satélites disponíveis para enviar cinco mensagens a Marte é superior a 30. A figura acima ilustra um triângulo equilátero ABC inscrito em uma circunferência de raio 2 centrada na origem de um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais xOy, em que um ponto (x, y) é identificado com o número complexo z = x + iy. Esse triângulo foi obtido a partir da representação plana de uma molécula de amônia (NH3), na qual os três átomos de hidrogênio estão posicionados nos seus vértices e o átomo de nitrogênio encontra-se na origem. Com base nessas informações e considerando o centímetro como a unidade de medida de comprimento, em ambos os eixos, julgue o item. 2. (UnB-1º2012) Considerando-se 10 pontos distintos sobre a circunferência em questão, com vértices nesses pontos, a quantidade de triângulos que é possível formar é superior à de heptágonos convexos. Produtos de limpeza, como sabão, detergente, desentupidor de pia e alvejante, geralmente utilizados em residências, apresentam, na sua composição, compostos como hidróxido de sódio (NaOH) e hipoclorito de sódio (NaClO). A esse respeito, julgue o item. 3. (UnB-1º2012) O número de maneiras distintas de escolher 5 tipos de sabão em pó entre 8 opções disponíveis na prateleira de um supermercado é igual a 2 3 * 3 2 * 11. O Google, mecanismo de buscas na Internet, indexa trilhões de páginas web, de modo que os usuários podem pesquisar as informações de que necessitarem usando palavras-chave e operadores. O funcionamento do Google é embasado em algoritmos matemáticos, que analisam a relevância de um sítio pelo número de páginas e pela importância dessas páginas. Provas UnB 2011 - 2013 Matemática www.tenhoprovaamanha.com.br !!!"#$%&'()'*++,+%&+"-',".) 27 O nome Google é derivado de googol, número definido por 10^100, ou seja, o número 1 seguido de 100 zeros. A partir do googol, define-se o googolplex, correspondente a 10 googol , ou seja, o número 1 seguido de 10 100 zeros. De acordo com dados do Google, o sítio mais acessado atualmente é o Facebook, a maior rede social da Internet. De agosto de 2010 a agosto de 2011, o número de usuários dessa rede social passou de 598 milhões para 753 milhões. A previsão de receita do Facebook para 2011 é de 4,27 bilhões de dólares, um crescimento de 115% em relação a 2010. 4. (UnB-1º2012) A quantidade de anagramas da palavra googolplex que começam por consoante é superior a 10 5 . Considere que a população de Paris era de 2,0 * 10 6 habitantes em 2000. Suponha que, naquele ano, foram realizados, ao todo, 54 transplantes de rim, 20 de fígado e 8 de coração. Suponha, ainda, que, dos pacientes dessa cidade que se submeteram a transplante de rim, fígado ou coração em 2000, 12 submeteram-se apenas a transplante de fígado e rim e, os demais, a transplante de um único órgão. Considere, também, que um arquivo de uma instituição de saúde contenha apenas os prontuários dos pacientes que se submeteram a esses procedimentos em 2000. Com base nessas informações, julgue os itens a seguir. 5. (UnB-2º2011) A quantidade de maneiras distintas de se escolherem 4 prontuários do arquivo de modo que, no máximo, dois deles sejam de pacientes que se submeteram a dois transplantes é inferior a 9 x 10 5 . GABARITO "# C $# % &# E '# ( )# ( MATEMÁTICA- Probabilidade. Na figura acima, estão representados pares de cromossomos homólogos de uma fêmea e de um macho de uma espécie animal imaginaria, que formam o casal Z, e, na tabela, estão indicados os significados dos símbolos usados na figura. 1. (UnB-1º2013) Suponha que o casal Z tenha uma ninhada de 15 filhotes. Suponha, ainda, que esses filhotes sejam separados em três grupos: I, II e III. Considere que o grupo I seja formado por quatro filhotes verdes e um roxo; o grupo II, por dois verdes e três laranjas; e o grupo III, por um verde, um laranja e três roxos. Considere, ainda, que se tenha retirado aleatoriamente um filhote desses grupos e que ele era verde. A probabilidade de o filhote ter sido retirado do grupo II e de Provas UnB 2011 - 2013 Matemática www.tenhoprovaamanha.com.br !!!"#$%&'()'*++,+%&+"-',".) 28 A figura acima ilustra a situação denominada “efeito dominó”, na qual são enfileiradas várias pecas de domino apoiadas no chão sobre sua menor base. Ao se derrubar a primeira peça, todas as demais caem sequencialmente, uma após a outra. Suponha que, em um arranjo hipotético, uma infinidade de pecas de domino tenha sido corretamente emparelhada em uma única fileira e que a cada uma delas tenha sido atribuído um numero inteiro positivo, de acordo com a ordem em que elas caiam. Assim, por exemplo, a peça de numero 13 e a décima terceira a cair. Nesse arranjo, a primeira peca e amarela, as pecas correspondentes a números primos são vermelhas e as demais são pretas. É relevante saber que o jogo de domino duplo-6 e constituído de pecas na forma de retângulo. Uma linha divide ao meio cada retângulo, e cada metade do retângulo e marcada com um a seis pontos (indicando valores numéricos) ou nenhum ponto (zero). Considere que a notação i-j — 0 " i, j % 6 — significa que uma metade do retângulo e marcada com i pontos, e a outra, com j pontos. Nessa notação, as pecas do dominó são: 0-0; 0-1; 0-2; ...; 0-6; 1-1; 1-2; ...; 1-6; 2-2; 2-3; etc. Abaixo estão ilustradas algumas pecas desse jogo. 2. (UnB-1º2013) Escolhendo-se aleatoriamente uma peca de um jogo de domino duplo-6, e superior a 0,15 a probabilidade de que essa peca seja uma em que a soma dos números de pontos marcados é igual a 6. Nos períodos em que ocorrem interferências eletromagnéticas causadas por tempestades solares, a comunicação entre os robôs em Marte e os centros de comunicação espacial na Terra fica mais difícil. Assim, um sinal de rádio que seja lançado, em um desses períodos, de um laboratório na Terra até um de dois satélites — Y e Z — disponíveis, e seja redirecionado para o Planeta Vermelho, apresenta 85% de chance de ser corretamente recebido pelo satélite Y, e 75% de ser corretamente recebido em Marte, a partir desse satélite. Caso o sinal fosse enviado para o satélite Z, a chance de ele não ser completamente decifrado seria de 10%, e de 20% a de não ser perfeitamente recebido em Marte, após a transmissão feita a partir desse satélite. 3. (UnB-2º2012) Supondo-se que, no envio de duas mensagens a Marte, seja utilizado o satélite Y, conclui-se que pelo menos uma dessas mensagens chegará corretamente ao seu destino final. 4. (UnB-2º2012) É superior a 70% a chance de uma mensagem do laboratório ser recebida corretamente em Marte por intermédio do satélite Z. 5. (UnB-2º2012) Considere que uma mensagem tenha sido enviada da Terra para Marte tanto pelo satélite Y quanto pelo satélite Z. A partir das informações apresentadas no texto, calcule a probabilidade de o sinal ser corretamente recebido pelo menos uma vez em Marte. Provas UnB 2011 - 2013 Matemática www.tenhoprovaamanha.com.br !!!"#$%&'()'*++,+%&+"-',".) 29 Multiplique o resultado encontrado por 1.000. Para a marcação no Caderno de Respostas, despreze, caso exista, a parte fracionária do resultado obtido, após ter efetuado todos os cálculos solicitados. Uma equipe de pesquisa de mercado conduziu, durante vários meses, um levantamento para determinar a preferência dos consumidores em relação a duas marcas de detergentes, marca 1 e marca 2. Verificou-se, inicialmente, que, entre 200 pessoas pesquisadas, 120 usavam a marca 1 e 80, a marca 2. Com base no levantamento inicial, a equipe compilou a seguinte estatística: a) 70% dos usuários da marca 1, em qualquer mês, continuaram a utilizá-la no mês seguinte, e 30% mudaram para a marca 2; b) 80% dos usuários da marca 2, em qualquer mês, continuaram a utilizá-la no mês seguinte, e 20% mudaram para a marca 1. Esses resultados podem ser expressos pela matriz P = (pij) = , em que pij, 1 " i, j " 2, representa a probabilidade do consumidor da marca j consumir a marca i após um mês, supondo-se que tais probabilidades sejam mantidas constantes de um mês para o outro. Dessa forma, obtém-se a fórmula de recorrência Xk+1 = P.Xk, k % 0, em que representa a distribuição, no mercado, ao final do mês k, dos usuários de cada detergente pesquisados; ak e bk representam os percentuais de usuários das marcas 1 e 2, respectivamente, no referido período. 6. (UnB-1º2012) A probabilidade de um consumidor do detergente da marca 1 comprar o da marca 2 ao final do 2.º mês é superior a 50%. Considere que a população de Paris era de 2,0 * 10 6 habitantes em 2000. Suponha que, naquele ano, foram realizados, ao todo, 54 transplantes de rim, 20 de fígado e 8 de coração. Suponha, ainda, que, dos pacientes dessa cidade que se submeteram a transplante de rim, fígado ou coração em 2000, 12 submeteram-se apenas a transplante de fígado e rim e, os demais, a transplante de um único órgão. Considere, também, que um arquivo de uma instituição de saúde contenha apenas os prontuários dos pacientes que se submeteram a esses procedimentos em 2000. Com base nessas informações, julgue os itens a seguir. 7. (UnB-2º2011) Se, no primeiro dia do ano de 2001, um repórter entrevistasse, ao acaso, um indivíduo em Paris, então a probabilidade de esse indivíduo ser um dos pacientes que se submeteram, no ano anterior, a transplante de algum dos três órgãos referidos é inferior a 4 x 10 -5 . 8. (UnB-2º2011) Suponha que dois prontuários sejam selecionados do arquivo de modo aleatório. Nesse caso, a probabilidade de pelo menos um desses prontuários se referir a paciente que se submeteu a transplante de coração é igual a 524/2415. 9. (UnB-2º2011) Suponha que um médico tenha retirado um prontuário do arquivo e constatado que esse prontuário era de um paciente que se submetera a transplante de fígado. Suponha, ainda, que o médico, sem ter devolvido o prontuário ao arquivo, tenha retirado, de forma aleatória, um segundo e um terceiro prontuários para analisar as informações ali contidas. Nesse caso, a probabilidade de os dois últimos prontuários serem de pacientes que se submeteram a transplante de coração é superior a 0,01. GABARITO 1. A 2. E 3. E 4. C 5. 898 Provas UnB 2011 - 2013 Matemática www.tenhoprovaamanha.com.br !!!"#$%&'()'*++,+%&+"-',".) Su 6. E 7. C 8. C 9. C