UNEMAT – Universidade do Estado de Mato Grosso Matemática Aplicada Prof.Eugênio Carlos Stieler http://paginas.terra.com.br/educacao/stieler “Estudar sem raciocinar é trabalho perdido” REPRESENTAÇÁO GRÁFICA DE FUNÇÃO A representação gráfica de uma função f com domínio D, o conjunto dos pontos (x, y) do plano, tais que: x ∈ D e y = f(x) Uma representação aproximada de f pode ser obtida, calculando-se alguns valores y=f(x) para valores convenientes de x. Representar graficamente a função dada por y = 1 ,x >0 x 1 Como x> 0, vamos tabelar alguns valores para x e y = x EXERCÍCIOS PROPOSTOS Construir uma representação gráfica aproximada das funções: 1 x se x < 0 1. y = 2x+3 4. y = e x 2 se x ≥ 0 - 1 se x ≤ 0 2. y = 20 - 4x, x ∈ [0,5] 5. y = x se 0 < x ≤ 2 2 se x > 2 3. y = 10 , x ∈ [- 1,3] 2x + 5 ln x se 0 < x ≤ 1 6. y = x + 1 se x > 1 ` Pág.1 Representação Gráfica de Função UNEMAT – Universidade do Estado de Mato Grosso Matemática Aplicada Prof. Eugênio Carlos Stieler http://paginas.terra.com.br/educacao/stieler “Estudar sem raciocinar é trabalho perdido” FUNÇÕES USUAIS 1. Função constante, y = k Seja k um número real qualquer. A função f definida em R e tal que y =f(x) = k, recebe o nome de função constante. A representação gráfica da função constante é uma reta paralela ao eixo OX pelo ponto y = k. Exemplo: y = 5 2. Função linear, y = Ax É a função f dada por y = Ax, com x ∈ R e A um número real qualquer não nulo. A representação gráfica de uma função linear é uma reta que contém a origem (0, 0) do sistema de eixos. Necessitamos, portanto, de apenas mais um ponto para construir a reta. Exemplo: y = 3x 3. Função linear afim, y= Ax+ B É a função f dada por y= Ax+ B, com x ∈ R e A e B números reais não nulos. A representação gráfica da função linear afim é uma reta pelo ponto (x = 0, y = B). Representação Gráfica de Função ` Pág.2 UNEMAT – Universidade do Estado de Mato Grosso Matemática Aplicada Prof. Eugênio Carlos Stieler http://paginas.terra.com.br/educacao/stieler “Estudar sem raciocinar é trabalho perdido” Necessitamos de mais um ponto para a construção da reta. Exemplo: y = 2x+3 4. Significado dos parâmetros A e B a) Sejam P1 = (x1, y1) e P2 = (x2, y2) dois pontos do gráfico de uma função linear afim y = Ax + B. Para x = x1 => y1 = Ax1 + B x = x2 =>y2 = Ax2 + B ∆y y 2 − y 1 = , mede a variação proporcional ∆y de y em relação a uma ∆x x 2 − x 1 variável ∆x em x. Mas, O quociente ∆y y 2 − y 1 Ax 2 + B − Ax 1 − B A(x 2 − x 1 ) = = = =A ∆x x 2 − x 1 x 2 − x1 x 2 − x1 Portanto, A é a variação proporcional de y em relação á uma variação ocorrida em x. Em particular, se x2 - x1 = 1, então y2 - y1=A, isto é, A é a variação em y para cada aumento unitário em x, e por isso é chamado coeficiente angular da reta. b) Quando x = 0 y = A.0+B = B, isto é, B identifica o ponto de intersecção da reta com o eixo OY. Exemplo: y = 5x+2 Coeficiente angular: A = 5 Um aumento unitário em x acarreta um aumento de 5 unidades em y. Coeficiente linear: B = 2 A reta intercepta o eixo OY na altura y = 2. Representação Gráfica de Função ` Pág.3 UNEMAT – Universidade do Estado de Mato Grosso Matemática Aplicada Prof. Eugênio Carlos Stieler http://paginas.terra.com.br/educacao/stieler “Estudar sem raciocinar é trabalho perdido” Restrição das funções constante, linear e linear afim a subconjuntos da reta Embora o domínio dessas funções seja o conjunto dos números reais, designaremos pelos mesmos nomes as restrições destas funções a subconjuntos de números reais. Exemplo: y = 4, 0≤ x ≤ 3 y = 2x, 1 ≤ x ≤ 5 y = - 4x+12, 0 ≤ x ≤ 3 Função constante no intervalo [0, 3] Função linear no intervalo [1, 5] Função linear afim no intervalo [0, 3] Obs.: a)Um hábito difundido entre autores e professores é dar o nome de função linear a toda função cuja representação gráfica seja uma reta. Não fazem, portanto, a distinção entre as funções constante, linear e linear afim. Adotaremos também este procedimento a partir de agora, e só faremos a distinção quando for necessário para a clareza do texto e no caso de algumas aplicações. b) Afirmamos sem nenhum constrangimento que a representação gráfica de uma função linear (constante, linear ou linear afim) é uma reta. Esta afirmação pode ser esclarecida a partir do fato de que para cada aumento ∆x em x ternos uma variação ∆y = A . ∆x em y, isto é, a variação proporcional, ∆y = A é constante. ∆x Dessa forma, se (x1, y1) e (x2, y2) são dois pontos da representação gráfica de função linear e r a reta pelos dois pontos, podemos mostrar, a partir da semelhança de triângulos, que todo ponto do gráfico da função tem sua representação na reta e viceversa. Representação Gráfica de Função ` Pág.4 UNEMAT – Universidade do Estado de Mato Grosso Matemática Aplicada Prof. Eugênio Carlos Stieler http://paginas.terra.com.br/educacao/stieler “Estudar sem raciocinar é trabalho perdido” EXERCÍCIOS 1. Equação da reta por dois pontos. Calcular a equação de uma reta y = Ax + B, que contém os pontos P1 = (1, 3) e P2=(3, 7) Solução: Os valores A e B da equação podem ser calculados a partir do sistema de equações montado pela substituição dos valores de x e y dos pontos P1 e P2 na equação y = Ax + B. P1=(x1=1, y1=3) => 3 = A+B P2=(x2=3, y2=7) => 7 = 3A+B multiplicando a 1ª equação por (-1) e somando com a segunda, temos: -3 = -A - B + 7 = 3A + B 4 = 2A + 0 => A = 2 Substituindo A = 2 na 1ª equação temos: 3 = 2 + B => B = 1 A equação procurada é y = 2x + 1 2. Equação da reta por um ponto, conhecida sua inclinação. Calcular a equação da reta que contém o ponto P= (3, 8) e tem inclinação A=-2. Solução: A equação da reta y = Ax + B, com A = -2, resulta: y = -2x+B Substituindo os valores de x e y do ponto P: P = (x = 3, y = 8) => 8 = -2.3 + B ou B=14 A equação procurada é y = -2x + 14 Representação Gráfica de Função ` Pág.5 UNEMAT – Universidade do Estado de Mato Grosso Matemática Aplicada Prof. Eugênio Carlos Stieler http://paginas.terra.com.br/educacao/stieler “Estudar sem raciocinar é trabalho perdido” 3. Equação da reta que aproxima um conjunto de pontos do plano (critério dos mínimos quadrados). Construir a equação y = Ax + B de uma reta que aproxima um conjunto de pontos: P1= (1, 5), P2= (2, 10), P3= (4, 12), P4= (5, 17). A equação de uma reta que aproxima um conjunto de pontos pelo critério dos mínimos quadrados, como mostraremos, é dada por: y = Ax + B com: ∑ xy - nx y A = ∑ x 2 − n( x) 2 e B = y − Ax ∑ xy = soma dos produtos xy n = número de pontos observados onde: ∑ x = soma dos quadrados dos valores de x ∑ x e y = ∑ y = média aritmética x= 2 n n Os cálculos podem ser organizados em uma tabela. x 1 2 4 5 12 y 5 10 12 17 44 x.y 5 20 48 85 158 x2 1 4 16 25 46 n=4 x= y= ∑ x = 12 = 3 n 4 ∑ y = 44 = 11 n 4 Soma A= 158 − 4.3.11 26 = = 2,6 46 − 4.(3) 2 10 B = 11 − 2,6.3 = 3,2 Representação Gráfica de Função A equação procurada é y = 2,6x + 3,2 ` Pág.6 UNEMAT – Universidade do Estado de Mato Grosso Matemática Aplicada Prof. Eugênio Carlos Stieler http://paginas.terra.com.br/educacao/stieler “Estudar sem raciocinar é trabalho perdido” EXERCÍCIOS 1. Representar graficamente as retas dadas por: a) y = 2x - 4, x ∈ [O, 5] b) y = 6, -2 ≤ x ≤ 3 c) y = 10 - 2x, x ∈ [0, 5] d) y = 6,20x, x ≥ 0 2. Representar num mesmo sistema de coordenadas às retas: a) y = 2x+5, x ≥ 0 y = 3x, x ≥ 0 b) y = 100 - 0,5x, 0 ≤ x ≤ 200 y = 2x - 50, x ≥ 25 c) y =5, x ≥ 0 y =4x, x ≥ 0 d) y = 12 - O,2x, 0 ≤ x ≤ 60 y = 0,6x - 3, x ≥ 5 3.Calcular o ponto de intersecção das retas de cada um das questões do problema anterior e comparar o resultado em cada caso com o valor aproximado dado pelo seu gráfico. 4. Escrever a equação da reta que aproxima o conjunto de pontos dados, usando o critério dos mínimos quadrados. a) b) c) d) P1=(0, 0); P2=(2, 5); P3=(3, 8); P4=(4, 9) P1=(-1, 0); P2=(0, 2); P3=(1, 3); P4=(2, 6); P5=(3, 5) P1=(0, 20); P2 = (2, 12); P3 = (4, 7); P4 = (6, 3); P5 = (8, 0,5) P1=(1, 20); P2=(5, 40); P3 = (10,70); P4 = (15, 90) 5. Construa a representação gráfica de cada um dos pontos dos itens do problema 4. 6. Trace agora a reta que na sua opinião melhor ajusta o conjunto de pontos de cada item do problema 4. 7. Comparando a reta de regressão (problema 4) com a reta que você traçou em cada item, você está convencido de que a reta de regressão apresenta melhor ajuste que a reta que você traçou? 8. Comparando os 4 ¡tens do problema 4, qual deles apresenta melhor ajuste, ma sua opinião? Representação Gráfica de Função ` Pág.7