RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO MATEMÁTICO SUMÁRIO MATEMÁTICA: Conjuntos numéricos: racionais e reais - operações, propriedades, problemas envolvendo as quatro operações nas formas fracionária e decimal....................03 Conjuntos numéricos complexos.....................................................................................24 Números e grandezas proporcionais..............................................................................29 Razão e proporção.........................................................................................................29 Divisão proporcional.......................................................................................................33 Regra de três (simples e composta)...............................................................................37 Porcentagem...................................................................................................................42 Juros simples e compostos.............................................................................................45 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO: Estrutura lógica de relações arbitrárias entre pessoas, lugares, objetos ou eventos fictícios - Dedução de novas informações das relações fornecidas e avaliação das condições usadas para estabelecer a estrutura daquelas relações...................... 55 Compreensão e análise da lógica de uma situação, utilizando as funções intelectuais: Raciocínio verbal............................................................................................................62 Raciocínio matemático...................................................................................................64 Raciocínio sequencial...................................................................................................67 Orientação espacial e temporal..................................................................................70 Formação de conceitos ...............................................................................................72 Discriminação de elementos...........................................................................................73 TESTE............................................................................................................................................... 74 GABARITO.................................................................................................................................... 81 2 A sua alternativa certa em concurso público. RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO MATEMÁTICO MATEMÁTICA RACIONAIS E REAIS - OPERAÇÕES, PROPRIEDADES, PROBLEMAS ENVOLVENDO AS QUATRO OPERAÇÕES NAS FORMAS FRACIONÁRIA E DECIMAL Um número racional é o que pode ser escrito na forma m n onde m e n são números inteiros, sendo que n deve ser não nulo, isto é, n deve ser diferente de zero. Frequentemente usamos m/n para significar a divisão de m por n. Quando não existe possibilidade de divisão, simplesmente usamos uma letra como q para entender que este número é um número racional. Como podemos observar, números racionais podem ser obtidos através da razão (em Latim: ratio=razão=divisão=quociente) entre dois números inteiros, razão pela qual, o conjunto de todos os números racionais é denotado por Q. Assim, é comum encontrarmos na literatura a notação: Q = {m/n : m e n em Z, n diferente de zero} Quando há interesse, indicamos Q + para entender o conjunto dos números racionais positivos e Q_ o conjunto dos números racionais negativos. O número zero é também um número racional. No nosso link Frações já detalhamos o estudo de frações e como todo número racional pode ser posto na forma de uma fração, então todas as propriedades válidas para frações são também válidas para números racionais. Para simplificar a escrita, muitas vezes usaremos a palavra racionais para nos referirmos aos números racionais. Dízima periódica Uma dízima periódica é um número real da forma: m,npppp... onde m, n e p são números inteiros, sendo que o número p se repete indefinidamente, razão pela qual usamos os três pontos: ... após o mesmo. A parte que se repete é denominada período. Em alguns livros é comum o uso de uma barra sobre o período ou uma barra debaixo do período ou o período dentro de parênteses, mas, para nossa facilidade de escrita na montagem desta Página, usaremos o período sublinhado. Exemplos: Dízimas periódicas 1. 0,3333333... = 0,3 2. 1,6666666... = 1,6 3. 12,121212... = 12,12 4. 0,9999999... = 0,9 5. 7,1333333... = 7,13 Uma dízima periódica é simples se a parte decimal é formada apenas pelo período. Alguns exemplos são: 1. 0,333333... = 0,(3) = 0,3 2. 3,636363... = 3,(63) = 3,63 Uma dízima periódica é composta se possui uma parte que não se repete entre a parte inteira e o período. Por exemplo: 1. 0,83333333... = 0,83 2. 0,72535353... = 0,7253 Uma dízima periódica é uma soma infinita de números decimais. Alguns exemplos: 1. 0,3333...= 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 +... 2. 0,8333...= 0,8 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + ... 3. 4,7855...= 4,78 + 0,005 + 0,0005 + ... A conexão entre números racionais e números reais Um fato importante que relaciona os números racionais com os números reais é que todo número real que pode ser escrito como uma dízima periódica é um número racional. Isto significa que podemos transformar uma dízima periódica em uma fração. O processo para realizar esta tarefa será mostrado na sequência com alguns exemplos numéricos. Para pessoas interessadas num estudo mais aprofundado sobre a justificativa para o que fazemos na sequência, deve-se aprofundar o estudo de séries geométricas no âmbito do Ensino Médio ou mesmo estudar números racionais do ponto de vista do Cálculo Diferencial e Integral ou da Análise na Reta no âmbito do Ensino Superior. A geratriz de uma dízima periódica Dada uma dízima periódica, qual será a fração que dá origem a esta dízima? Esta fração é de fato um número racional denominado a geratriz da dízima periódica. Para obter a geratriz de uma dízima periódica devemos trabalhar com o número dado pensado como uma soma infinita de números decimais. Para mostrar como funciona o método, utilizaremos diversos exemplos numéricos. 1. Seja S a dízima periódica 0,3333333..., isto é, S=0,3. Observe que o período tem apenas 1 algarismo. Iremos escrever este número como uma soma de infinitos números decimais da forma: S = 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + 0,00003 +... Multiplicando esta soma "infinita" por 101=10 (o período tem 1 algarismo), obteremos: 10 S = 3 + 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 +... Observe que são iguais as duas últimas expressões que aparecem em cor vermelha! Subtraindo membro a membro a penúltima expressão da última, obtemos: 10 S - S = 3 donde segue que CONJUNTOS NUMÉRICOS: A sua alternativa certa em concurso público. 3 .71 .99999.31.1) .7000 ..1) = 0. Decomporemos este número como uma soma de infinitos números decimais da forma: U = 7 + 0.008 + 0.000031 +..004004 + 0. Existem infinitos números reais que não são dízimas periódicas e dois números irracionais muito importantes. U=7...313131.08 + 0. T=7.(R-7.31 + 0.. = 7. Pi = 3. Observe que são iguais as duas últimas expressões que aparecem em cor vermelha! Subtraia membro a membro a penúltima expressão da última para obter: 1000(U-7) . você saberia mostrar que: 0.1 = 0..0031 + 0. Manipule a soma "infinita" como se fosse um número comum e passe a parte que não se repete para o primeiro membro para obter: U-7 = 0. = 0..R + 7. Um terceiro tipo de dízima periódica é T=7. Multiplique agora a soma "infinita" por 10³=1000 (o período tem 3 algarismos). Multiplicando esta soma "infinita" por 10²=100 (o período tem 2 algarismos). Multiplique agora a soma "infinita" por 10 1=10 (o período tem 1 algarismo)...18 90 4.. Exemplo: O número real abaixo é um número irracional.004004004 +.004...0031 + 0.9 = 1 2.. Observe que o período tem agora 2 algarismos. isto é. Manipule a soma "infinita" como se fosse um número comum e passe a parte que não se repete para o primeiro membro para obter: R-7..1) = 0.004004004 +..08 + 0.004 999 S= Números irracionais Um número real é dito um número irracional se ele não pode ser escrito na forma de uma fração ou nem mesmo pode ser escrito na forma de uma dízima periódica.. Observe que o número de zeros após o algarismo 1 aumenta a cada passo.8 Assim: 10R .718281828459045.0008 +. isto é.. assim: 100 T = 31 + T de onde segue que 99 T = 31 e simplificando. embora pareça uma dízima periódica: x=0...1 = 0...1 + 0. multiplicamos toda a expressão por 10 e simplificamos para obter: 90 R = 647 Obtemos então: 647 T= = 7. obteremos: 100 T = 31 + 0. isto é. = 0..004 + 0. sendo que os dois primeiros são iguais a zero e apenas o terceiro é não nulo.004004004 +.0008 +...31 99 3. são: e = 2.31 + 0. = 0. Observe que o período tem 3 algarismos..08 + 0. = 7.(U-7) = 4 Assim: 1000U ..008 + 0....004004 + 0.008 + 0. Observe que são iguais as duas últimas expressões que aparecem em cor vermelha.10100100010000100000. Vamos tomar agora a dízima periódica T=0.8 + 0.004004 + 0. temos que 31 T= = 0. Iremos escrever este número como uma soma de infinitos números decimais da forma: T =0... Um quarto tipo de dízima periódica é T=7.004004004. obtemos: 1 = 0....0008 +.000031 +. .. para obter: 1000(U-7) = 4 + 0..004 + 0.004 + 0.18.141592653589793238462643.. para obter: 10(R-7.3 3 Exercício : Usando o mesmo argumento que antes.33333..1888..RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO MATEMÁTICO 9S=3 Simplificando.004004. Observe que são iguais as duas últimas expressões que aparecem em cor vermelha! Subtraia membro a membro a penúltima expressão da última para obter: 10(R-7.. T=0.8 Para evitar os números decimais. Escreveremos este número como uma soma de infinitos números decimais da forma: R = 7. Observe que existe um número com 1 algarismo após a vírgula enquanto que o período tem também 1 algarismo.1888.31313131. 4 A sua alternativa certa em concurso público..U + 7 = 4 Obtemos então 999 U = 6997 que pode ser escrita na forma: 6997 T= = 7. definimos o produto de dois números racionais a/b e c/d. volumes. existe -q em Q. A Multiplicação (produto) de números racionais Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito na forma de uma fração. Do ponto de vista geométrico. que adicionado a todo q em Q. possui um elemento denominado simétrico ou oposto -q e ele é caracterizado pelo fato geométrico que tanto q como -q estão à mesma distância da origem do conjunto Q que é 0. proporciona o próprio q. razão pela qual indicamos com uma seta para a direita.RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO MATEMÁTICO que são utilizados nas mais diversas aplicações práticas como: cálculos de áreas. c em Q: a+(b+c)=(a+b)+c Comutativa: Para todos a. tal que q + (-q) = 0 Subtração de números racionais: A subtração de dois números racionais p e q é a própria operação de adição do número p com o oposto de q.q = p + (-q) Na verdade. O resultado numérico é um número irracional e pode ser obtido através da relação de Pitágoras. da mesma forma que a soma de frações. a soma de dois números racionais ainda é um número racional. (b) O oposto de 5 é -5. que é denotado pelo uso de duas barras verticais | |. Para indicar que r é menor do que s.. Associativa: Para todos a. Para realizar a multiplicação de números racionais. Módulo de um número racional O módulo ou valor absoluto de um número racional q é maior valor entre o número q e seu elemento oposto -q. através de: a c ac × = b d bd O produto dos números racionais a e b também pode ser indicado por a × b. Como exemplo. A soma (adição) de números racionais Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito na forma de uma fração. previsão populacional. definimos a adição entre os números racionais a/b e c/d. da mesma forma que o produto de frações. por: |q| = max{-q. axb. dizemos que o número r é maior do que s. o que nos permite pensar em outras possibilidades. através de: a c ad+bc + = b d bd Propriedades da adição de números racionais Fecho: O conjunto Q é fechado para a operação de adição. a. ordem e simetria dos racionais Podemos representar geometricamente o conjunto Q dos números racionais através de uma reta numerada. Dizemos que um número racional r é menor do que outro número racional s se a diferença r-s é positiva. o módulo de um número racional q é a distância comum do ponto q até a origem (zero) que é a mesma distância do ponto -q à origem. denotada aqui por R[2] para simplificar as notações estranhas. um número que está à esquerda é menor do que um número que está à direita na reta numerada. Exercício: Determinar a medida da diagonal de um quadrado cujo lado mede 1 metro. isto é: p . temos que: (a) O oposto de 3/4 é -3/4. |2/7|=2/7 e |-6/7|=6/7. isto é. isto é: q+0=q Elemento oposto: Para todo q em Q. devemos obedecer à mesma regra de sinais que vale em toda a Matemática: (+1) × (+1) = (+1) A sua alternativa certa em concurso público. A distância do ponto real q ao espelho é a mesma que a distância do ponto virtual -q ao espelho.b ou ainda ab sem nenhum sinal entre as letras. b em Q: a+b=b+a Elemento neutro: Existe 0 em Q. Todo número racional q exceto o zero. na reta numérica racional.q} Exemplos : |0|=0. etc. Consideramos o número 0 como a origem e o número 1 em algum lugar e tomamos a unidade de medida como a distância entre 0 e 1 e por os números racionais da seguinte maneira: Ao observar a reta numerada notamos que a ordem que os números racionais obedecem é crescente da esquerda para a direita. O resultado é a raiz quadrada de 2. Esta consideração é adotada por convenção.. Representação. o simétrico funciona como a imagem virtual de algo colocado na frente de um espelho que está localizado na origem. Do ponto de vista geométrico. 5 . centros de gravidade. esta é uma operação desnecessária no conjunto dos números racionais. b. Quando esta diferença r-s é negativa. escrevemos: r<s Do ponto de vista geométrico. c em Q: a×(b×c)=(a×b)×c Comutativa: Para todos a.RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO MATEMÁTICO (+1) × (-1) = (-1) (-1) × (+1) = (-1) (-1) × (-1) = (+1) Podemos assim concluir que o produto de dois números com o mesmo sinal é positivo. mas o produto de dois números com sinais diferentes é negativo. O número n é o índice da raiz enquanto que o número q é o radicando (que fica sob o estranho sinal de radical). . simplesmente indicarei a raiz quadrada (de ordem 2) de um número racional q por R[q]. isto é.. a divisão é um produto de um número racional pelo inverso do outro. isto é: q×1=q Elemento inverso: Para todo q=a/b em Q. isto é: p ÷ q = p × q-1 Provavelmente você já deve ter sido questionado: Porque a divisão de uma fração da forma a/b por outra da forma c/d é realizada como o produto da primeira pelo inverso da segunda? A divisão de números racionais esclarece a questão: a c a d ad ÷ = × = b d b c bc Na verdade. b. o produto de dois números racionais ainda é um número racional. (q aparece n vezes) Exemplos: (a) (2/5)³ =(2/5) (2/5)×(2/5) = 8/125 (b) (-1/2)³=(-1/2)×(-1/2)×(-1/2) = -1/8 (c) (-5)² =(-5)×(-5) = 25 (d) (+5)² =(+5)×(+5) = 25 Observação: Se o expoente é n=2. Exemplos: (a) R³[125] = 5 pois 5³=125. × q. (b) R³[-125] = -5 pois (-5)³=-125. qn = q × q × q × q × . r²=q. Associativa : Para todos a. c em Q: a×(b+c)=(a×b)+(a×c) Potenciação de números racionais A potência qn do número racional q é um produto de n fatores iguais. A existência de um número cujo quadrado seja igual a um número negativo só será estudada mais tarde no contexto dos Números Complexos.. Raízes de números racionais A raiz n-ésima (raiz de ordem n) de um número racional q é a operação que resulta em um outro número racional r que elevado à potência n fornece o número q. tal que q × q-1 = 1 Esta última propriedade pode ser escrita como: a b × =1 b a Divisão de números racionais : A divisão de dois números racionais p e q é a própria operação de multiplicação do número p pelo inverso de q. Não tem sentido R[-1] no conjunto dos números racionais. assim esta operação é também desnecessária no conjunto dos números racionais. Leia a observação seguinte para entender as razões pelas quais evito usar o símbolo de radical neste trabalho. a potência q² pode ser lida como: q elevado ao quadrado e se o expoente é n=3. Isto é proveniente do fato que área do quadrado pode ser obtida por A=q² onde q é a medida do lado do quadrado e o volume do cubo pode ser obtido por V=q³ onde q é a medida da aresta do cubo. proporciona o próprio q. Assim: r = Rn[q] equivale a q = rn Por deficiência da linguagem HTML. isto é. O certo é: 6 A sua alternativa certa em concurso público. a potência q³ pode ser lida como: q elevado ao cubo. (d) R[144] não é igual a -12 embora (-12)²=144. Propriedades da multiplicação de números racionais Fecho: O conjunto Q é fechado para a multiplicação. denotarei aqui a raiz n-ésima de q por Rn[q]. existe q-1=b/a em Q. Erro comum : Frequentemente lemos em materiais didáticos e até mesmo ocorre em algumas aulas o aparecimento de: R[9] = ±3 mas isto está errado. q diferente de zero. Propriedade distributiva (mista) Distributiva : Para todos a. que multiplicado por todo q em Q. Quando n=2. que ainda não implementou sinais matemáticos. b. A raiz quadrada (raiz de ordem 2) de um número racional q é a operação que resulta em um outro número racional r não negativo que elevado ao quadrado seja igual ao número q. b em Q: a×b=b×a Elemento neutro : Existe 1 em Q. (c) R[144] = 12 pois 12²=144. Observação: Não existe a raiz quadrada de um número racional negativo no conjunto dos números racionais. O número q é denominado a base e o número n é o expoente. separados por uma linha horizontal ou traço de fração. } Logo. pois quem ficaria com a parte maior? Ou quem ficaria com a parte menor? É lógico que alguém sairia no prejuízo. uma pizza. } Numeral: Relativo a número ou indicativo de número. cada um daria metade do chocolate para a amiga. sendo que foi sombreada uma dessas partes. o número inteiro que é escrito sobre o traço de fração e Denominador indica em quantas partes dividimos o inteiro. 1/2. Observação: Obedecendo à regra dos sinais para a multiplicação de números racionais. Você concorda com esta divisão? Por quê? Como você poderia resolver esta situação para que todos comessem partes iguais? O que você acha desta frase: Quem parte e reparte e não fica com a melhor parte. Exemplo: Consideremos a fração 1/4. Aqui não restringimos os nossos cálculos são válidos para números positivos.. A raiz cúbica (de ordem 3) de um número racional q é a operação que resulta na obtenção de um um outro número racional que elevado ao cubo seja igual ao número q. 1/4. ou é bobo ou não tem arte.... A fração pode ser visualizada através da figura anexada. 1. onde d é o denominador que é menor do que 10 é feita como: A sua alternativa certa em concurso público.. às vezes usaremos a barra / ou mesmo o sinal ÷. pois 3³ = 27. ao tentar partir algo em pedaços. Numerador Denominador onde Numerador indica quantas partes são tomadas do inteiro. concluímos que: (1) Se o índice n da raiz for par. para entender a divisão de dois números. pois 2³ = 8. que pode ser escrita como: 1 4 Em linguagem matemática.. onde esta letra Q significa quociente ou divisão de dois números inteiros naturais. Logo isso daria uma grande confusão.... Pensemos neste exemplo: Dois irmãos foram juntos comprar chocolate. razão pela qual. sendo que este número inteiro deve necessariamente ser diferente de zero. Elementos gerais para a construção de frações Para representar os elementos que não são tomados como partes inteiras de alguma coisa. 1/4 1/4 1/4 1/4 A unidade foi dividida em quatro partes iguais.... O conjunto dos números naturais. 3.. não existe raiz de número racional negativo. (c) R³[27] = 3. aqui representados por Q +. Iam começar a comer quando chegou uma de suas melhores amigas e vieram as perguntas: Quem daria um pedaço para a amiga? Qual deveria ser o tamanho do pedaço? Eles discutiram e chegaram à seguinte conclusão: Para que nenhum dos dois comesse menos.RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO MATEMÁTICO R[9] = +3 Não existe um número racional não negativo que multiplicado por ele mesmo resulte em um número negativo. algumas vezes inclui o zero e outras vezes não.. Número: Palavra ou símbolo que expressa quantidade. utilizamos o objeto matemático denominado fração.2. 6.. .. isto é. constituem os números racionais não-negativos. as fracões podem ser escritas tanto como no exemplo acima ou mesmo como 1/4. Observação: A linguagem HTML (para construir páginas da Web) não proporciona ainda um método simples para a implementar a barra de fração. Leitura de frações (a) O numerador é 1 e o denominador é um inteiro 1<d<10 A leitura de uma fração da forma 1/d.. é possível extrair a raiz de qualquer número racional. Nesse momento o conjunto N será representado por: N = { 1. Q+ = { 0.. (d) R³[-27]= -3. 2. pois (-2)³ = -8. nós a cortamos em partes que não são do mesmo tamanho. considerada mais comum. Eles compraram duas barras de chocolate iguais.. todos os números naturais representam partes inteiras. como por exemplo.. Definição de fração Os numerais que representam números racionais não-negativos são chamados frações e os números inteiros utilizados na fração são chamados numerador e denominador. Os números que não representam partes inteiras. 7. pois (-3)³ = -27. 5.. tendo em vista que zero foi um número criado para dar significado nulo a algo. negativos ou o próprio zero. (b) R³[-8] = -2. 7 . Exemplos: (a) R³[8] = 2. uma para cada um. (2) Se o índice n da raiz for ímpar. mas que são partes de inteiros. Às vezes. 4. o denominador e acrescentamos a palavra avos . designa cada uma das partes iguais em que foi dividida a unidade e se cujo denominador é maior do que dez. assim as frações 0/3. lemos: Fração Leitura Leitura Comum 1/10 um dez avos um décimo 1/20 um vinte avos um vigésimo 1/30 um trinta avos um trigésimo 1/40 um quarenta avos um quadragésimo 1/50 um cinqüenta avos um qüinquagésimo 1/60 um sessenta avos um sexagésimo 1/70 um setenta avos um septuagésimo 1/80 um oitenta avos um octogésimo 1/90 um noventa avos um nonagésimo 1/100 um cem avos um centésimo 1/1000 um mil avos um milésimo 1/10000 um dez mil avos um décimo milésimo 1/100000 um cem mil avos um centésimo milésimo 1/1000000 um milhão avos um milionésimo Observação: A fração 1/3597 pode ser lida como: um. isto é. lemos: 1. representa mais do que um inteiro dividido em partes iguais é chamada fração imprópria. A fração cujo numerador é maior do que o denominador. o zero é múltiplo de todo número inteiro. Fração Leitura 1/11 um onze avos 1/12 um doze avos 1/13 um treze avos 1/14 um quatorze avos 1/15 um quinze avos 1/16 um dezesseis avos 1/17 um dezessete avos 1/18 um dezoito avos 1/19 um dezenove avos (c) O numerador é 1 e o denominador é um múltiplo de 10 Se o denominador for múltiplo de 10. . pois representam o número inteiro zero. pois representa um número inteiro. 1/4 1/4 1/4 1/4 A fração cujo numerador é menor que o denominador. é chamada fração própria. três mil quinhentos e noventa e sete avos. Tipos de frações A representação gráfica mostra a fração 3/4 que é uma fração cujo numerador é um número natural menor do que o denominador. Avos é um substantivo masculino usado na leitura das frações. 3/3 2/3 5/3=1+2/3 1/3 1/3 1/3 + 1/3 = 1 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 Fração aparente: é aquela cujo numerador é um múltiplo do denominador e aparenta ser uma fração mas não é. Como um caso particular. Se multiplicarmos os termos (numerador e denominador) de uma fração sucessivamente pelos números naturais. 0/15 são aparentes. 8 A sua alternativa certa em concurso público.RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO MATEMÁTICO Fração 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 1/8 1/9 Leitura um meio um terço um quarto um quinto um sexto um sétimo um oitavo um nono (b) O numerador é 1 e o denominador é um inteiro d>10 Quando a fração for da forma 1/d. a parte é tomada dentro do inteiro. isto é. teremos um conjunto infinito de frações que constitui um conjunto que é conhecido como a classe de equivalência da fração dada. 0/8. Frações Equivalentes: São as que representam a mesma parte do inteiro. com d maior do que 10. Reduzindo ambas as frações ao mesmo denominador comum 15. Na seqüência. Esta fração será denominada um número racional . 9 . como: C(1/3) = { 1/3.. dividimos os termos das frações por 2. temos que MMC(3. simplesmente poderemos tomar a fração mais simples deste conjunto que será a representante desta classe.RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO MATEMÁTICO 1/2 1/2 1/2 1/4 1/4 2/4 1/4 1/4 1/6 1/6 3/6 1/6 1/6 1/6 1/6 4/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 Propriedades fundamentais (1) Se multiplicarmos os termos (numerador e denominador) de uma fração por um mesmo número natural. uma fração para a qual o Máximo Divisor Comum entre o Numerador e o Denominador seja 1. aplica-se a regra de dividir o denominador comum pelo denominador de cada fração e na seqüência multiplica-se esse respectivo número pelo numerador. isto é. Ao invés de trabalhar com todos os elementos deste conjunto infinito. Observação: Outra maneira de divisão das frações é obter o Máximo Divisor Comum entre o Numerador e o Denominador e simplificar a fração diretamente por esse valor. O objetivo de simplificar uma fração é torná-la uma fração irredutível. 2/6. Aplicando a propriedade fundamental. . podemos realizar uma operação de decomposição desta fração em uma parte inteira e uma parte fracionária e o resultado é denominado número misto. Como os denominadores são 3 e 5. 5/15. para que a mesma se torne mais fácil de ser manipulada. 2 e 3. Como MDC(54. Exemplo: Simplificaremos a fração 54/72. divide-se o denominador comum pelo denominador de cada fração e multiplica-se o resultado obtido pelo respectivo numerador. obteremos uma fração equivalente à fração dada: 1 1×2 2 = = 2 2×2 4 (2) Se é possível dividir os termos (numerador e denominador) de uma fração por um mesmo número natural. A divisão sucessiva corresponde a dividir os dois termos da fração por um mesmo número (fator comum ) até que ela se torne irredutível. então 54:18=3 e 72:18=4. podemos escrever o conjunto das frações equivalentes a 1/3. o Numerador e o Denominador devem ser primos entre si. 3/9. ou seja. obteremos: 2 = 2×5 ? 3×3 = 3 A sua alternativa certa em concurso público. Essa simplificação pode ser feita através dos processos de divisão sucessiva e pela fatoração. Exemplo: Vamos comparar as frações 2/3 e 3/5.72)=18. 36 36÷2 18 18÷2 9 9÷3 3 = = = = = = 60 60÷2 30 30÷2 15 15÷3 5 Respectivamente. Transformação de uma fração imprópria em um número misto 17 16+1 16 1 1 1 = = + = 4+ =4 4 4 4 4 4 4 Transformação de um número misto em uma fração imprópria 1 1 16 1 17 4 = 4+ = + = 4 4 4 4 4 Simplificação de Frações Simplificar frações é o mesmo que escrevê-la em uma forma mais simples. } Número Misto Quando o numerador de uma fração é maior que o denominador. 2 3 ? 3 5 Multiplicando os termos da primeira fração por 5 e multiplicando os termos da segunda fração por 3. logo: 54 54÷18 3 = = 72 72÷18 4 Comparação de duas frações (1) Por redução ao mesmo denominador Se duas frações possuem denominadores iguais. Por exemplo: 3 4 < 5 5 (2) Tanto os numeradores como os denominadores das duas frações são diferentes Devemos reduzir ambas as frações a um denominador comum e o processo depende do cálculo do Mínimo Múltiplo Comum entre os dois denominadores e este será o denominador comum às duas frações..5)=15. 6/18. obteremos uma fração equivalente à fração dada: 12 12÷2 6 6÷2 3 = = = = 16 16÷2 8 8÷2 4 A fração como uma classe de equivalência A classe de equivalência de uma fração é o conjunto de todas as frações equivalentes à fração dada. a maior fração é a que possui maior numerador. 4/12. usando o Máximo Divisor Comum. PROPRIEDADES. há um tratamento mais geral que o deste caso particular. Axiomas são propriedades aceitas como verdadeiras. Quantas partes da fração 4/6 estão ocupadas pela fração 3/6? No desenho. O desenho abaixo mostra as frações 1/2 e 2/3. Como temos 3 partes em amarelo na primeira fração e 4 partes em amarelo na segunda fração. será maior a fração cujo denominador for menor. denotada por: 1 2 D= ÷ 2 3 Um modo fácil para explicar esta divisão é tomar as duas frações com o mesmo denominador e realizar a divisão do primeiro numerador pelo segundo numerador. a multiplicação do número a/b pelo inverso de c/d. os numeradores das frações estão em cor amarela. através de suas respectivas frações equivalentes: 3/6 e 4/6. a divisão corresponde à fração 3/4. EXPRESSÕES E PROBLEMAS A construção dos números reais Em uma teoria axiomática temos: Termos indefinidos Relações indefinidas Axiomas relacionando termos indefinidos e relações indefinidas Definições Teoremas baseados em axiomas e definições Os termos e as relações indefinidas também são denominados conceitos primitivos. Exemplo: Uma representação gráfica para a desigualdade 3 3 > 4 8 pode ser dada geometricamente por: 3/4=6/8 3/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 3×5 5×3 5 Observe que a área amarelada é maior na primeira figura. A teoria dos conjuntos tem dois axiomas fundamentais (que não são os únicos): Axioma da Extensão: Dois conjuntos A e B são iguais se. A divisão de um número real a/b pelo número real c/d é. Conjunto e elemento de um conjunto são termos indefinidos. 3 estão ocupadas.d ÷ = × = b d b c b. assim: a c a d a. e somente se. Divisão de frações Consideremos inicialmente uma divisão D de duas frações. cada elemento de A pertence a B e cada elemento de B pertence a A. por definição. 10 A sua alternativa certa em concurso público. 3/6 4/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 Realizar a divisão entre dois números fracionários ou não A e B. logo: 2 10 9 3 = ? = 3 15 15 5 e podemos garantir que 2 10 9 3 = > = 3 15 15 5 (3) As frações possuem um mesmo numerador Se os numeradores de duas frações forem iguais. ou seja. . em cada 4 partes amarelas.c OPERAÇÕES. isto é: 1 2 3 4 D= ÷ = ÷ 2 3 6 6 pois 1/2 é equivalente a 3/6 e 2/3 é equivalente a 4/6. Um elemento pertence a um conjunto é uma relação não definida. Acontece que o inverso de c/d é a fração d/c. Este argumento justifica a divisão de duas frações pela multiplicação da primeira fração pelo inverso da segunda fração e observamos que de fato isto funciona neste caso: 1 2 3 6 18 3 D= ÷ = × = = 2 3 6 4 24 4 Na verdade. sem questionamento e sem demonstração. é o mesmo que procurar saber quantas partes de B estão ocupadas por A. Exemplo: Um exemplo simples de teoria axiomática é a teoria dos conjuntos.RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO MATEMÁTICO 3 Temos então os mesmos denominadores. tem-se: x+y=y+x A3) Elemento neutro: Existe 0 em R (denominado "zero")..y) x. tal que: x + (-x) = 0 M1) Associatividade: Quaisquer que sejam x. B e C são conjuntos quaisquer.y) x+y e multiplicação: . podemos definir novos objetos. tal que para todo x em R: x+0=x A4) Simétrico: Todo elemento x de R possui um simétrico -x em R (também denominado oposto). z Os axiomas A4 e M4 permitem definir.x M3) Elemento neutro: Existe 1 em R (denominado "um"). geralmente tão mal compreendido. P(a) é verdadeiro } Com os elementos disponíveis.y) x÷y = x . como a: teoria dos conjuntos. teoria dos números reais. denominamos de axiomas de corpo. Do ponto de vista axiomático não sabemos o que é um número real. o século XIX foi caracterizado por grandes controvérsias na Matemática e pela falta de uma fundamentação precisa de conceitos e teorias. consideremos no conjunto dos números naturais a seguinte proposição: P(x): x+4=1 Se considerarmos o universo de trabalho como o conjunto dos números naturais. Se estivermos adotando o método axiomático. tem-se: x. tem-se: x . y e z em R. mas daqueles que decorrem propriedades importantes e que são usadas no dia-a-dia no âmbito do Ensino Fundamental e Médio (antigos primeiro e segundo graus). y-1 onde R* = R-{0}. A partir daí. tem-se: (x + y) + z = x + (y + z) A2) Comutatividade: Quaisquer que sejam x e y em R. :RxR R (x. y e z em R. como por exemplo.y que satisfazem aos seguintes axiomas: Axiomas da Adição e da Multiplicação A1) Associatividade: Quaisquer que sejam x e y em R. 11 . pode ser escrito: A B = { x : x pertence a A ou x pertence a B } Agora. mas quais propriedades o conjunto dos números reais satisfaz . (y + z) = x . Ao primeiro conjunto de axiomas que caracterizam R. tem-se: (x . podemos voltar ao estudo dos números reais. com base na definição anterior e no axioma da extensão podemos enunciar a propriedade associativa para a reunião: Teorema: Se A. tal que para todo x de R. y + x .y) x+y e divisão de números reais: ÷ :RxR* R (x. então: (A B) C=A (B C) Observamos que uma das conseqüências do axioma da especificação é a existência do conjunto vazio. A sua alternativa certa em concurso público.RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO MATEMÁTICO Axioma da Especificação: Se P(x) é uma proposição qualquer e A é um conjunto qualquer.y=y. a reunião de dois conjuntos: A reunião dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem a A ou a B. e foi na construção destes tipos de teorias que se consolidou o método axiomático. z = x . isto é: B = {x pertence a N: P(x) é verdadeiro } = { } = Ø Observação: Historicamente. z) M2) Comutatividade: Quaisquer que sejam x e y em R. Não vamos fazer aqui um estudo completo de todos. então estas propriedades não serão demonstradas mas serão admitidas como verdadeiras pois são axiomas. (y . teoria dos números complexos. então existe um único conjunto B tal que: B = {a: a pertence a A. Por exemplo. possui um inverso x-1 em R tal que x . o que em símbolos matemáticos. caracterizado por alguns axiomas. Isto significa que R é um conjunto não vazio onde se pode definir duas operações fechadas.x=x M4) Inverso multiplicativo: Todo x diferente de zero em R. x-1 = 1 Axioma da Distributividade Quaisquer que sejam x. teoria das funções. O conjunto dos números reais é um conjunto não vazio. respectivamente. o conjunto B acima definido será vazio. vale: 1.. denominadas adição: + :RxR R (x. y) . as operações de subtração: + :RxR R (x. Esperamos ter conseguido elucidar o que é o método axiomático.. 0 = x Somando -x a ambos os membros da igualdade.x + (-1).x. (-1)x é o simétrico de x. Por outro lado. para todo x em R. S.y = (-1). obtemos: [-(-x) + (-x)] + x = -(-x) + 0 ou seja: 0 + x = -(-x) ou ainda.y) = -(x. SBM. não pode ser aplicado em qualquer nível e seria um absurdo tentar explicar a regra dos sinais para alunos do ensino Fundamental da forma acima exposta.y = x.(-1) = -(-1) = 1 onde a última igualdade segue pelo 1o passo. -(-x)=x.y = [(-1). ou seja: (-1). temos que (-1). isto é.x = 1.(1+0) = x. como: -5(2-2) = 0 novamente temos que: -5.y) e (-x). Regra dos Sinais Um desafio para o professor do curso Fundamental é ensinar e tentar justificar a intrigante regra dos sinais. x = -(-x) Passo 2: x. Elon no mesmo livro acima citado e que tomamos a liberdade de reproduzir.0 = x.(-2) = -10 Em seguida.x].0 = 0.(-1). são passíveis de demonstração.(-1). Coleção do Professor de Matemática. o professor Elon Lages Lima dedica um capítulo à questão quando cita e comenta algumas sugestões encaminhadas à excelente Revista do Professor de Matemática. em particular. x=-1.x = -x Tomando. Passo 4: Quaisquer que sejam x e y pertencentes a R.(-2) = 0 ou seja 10 + 5. para explicar e justificar a regra acima citada. "Como: 5. De fato: -x + x = x + (-x) = 0 Somando -(-x) a ambos os membros da igualdade e usando o axioma A1.2 + (-5)(-2) = 0 ou seja -10 + (-5)(-2) = 0 logo 12 A sua alternativa certa em concurso público.(-y) = (-1). tem-se: (-x). Vamos conhecer a demonstração através de quatro passos: Passo 1: O simétrico de -x é x.x = [1 + (-1)].(-y) = x. mas justificar porque (-1) . como aquela velha história de que: O inimigo do meu inimigo é meu amigo No livro "Meu Professor de Matemática e outras histórias". Fred Gusmão dos Santos.y Mostramos estes detalhes para deixar claro que a regra dos sinais é uma conseqüência dos axiomas de corpo e que algumas propriedades.y = -(x. Rio de Janeiro.1 + x.y = (-1). é conhecida como a regra dos sinais. comentada pelo Prof.(x. (-1) = (+1) é complicado e o pior ainda: algumas justificativas bastante usadas são logicamente falsas. para todo x em R. A regra dos sinais é uma conseqüência dos axiomas de corpo. 1991.1 = x Assim: x + x.0 = 0 Passo 3: (-1). Vejamos agora a sugestão do Prof. Com efeito.x.y) (-x). o chamado rigor matemático. a melhor sugestão foi a que mais se aproximou da demonstração algébrica da regra. Em Matemática (e também na vida) todo o cuidado é pouco com as chamadas coisas evidentes.0 = x.y = 1. Para algumas regras existem justificativas que chamaríamos de naturais. . Na opinião do Prof. e em especial do axioma da distributividade. x. para todo x em R.x = 0 Logo.y De fato: (-x). Realmente: x + (-1).x = 0. Elon.x.(-2) = 0 logo 5.(2-2) = 0 pela lei distributiva vem que: 5. x + x. de Mogi das Cruzes.2 + 5.P. obtemos.RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO MATEMÁTICO Uma conseqüência muito importante dos axiomas dos números reais.x = -x. por mais evidentes que possam parecer como as expressas nos passos 1 e 2. . pois para n=1.. Princípio da Indução Finita (PIF) Se X é um subconjunto do conjunto dos números naturais N. também conhecidas como inequações. Demonstração: Dado x real diferente de zero. P2: Dado x em P. O fato de R ser um corpo ordenado dá sentido às desigualdades. o que equivalente a mostrar que (n+1) está em X. diferente de zero. Se x está em P. é que o conjunto N dos números naturais.. obtemos: A sua alternativa certa em concurso público..x pertence a P e pela regra dos sinais. num certo sentido.(-2) = 10 " Alguém poderia questionar. x+1 está em R. Quando introduzimos o conjunto dos números reais pelo método construtivo.2. é o "menor" subconjunto indutivo de R que possui a propriedade muito importante conhecida como o Princípio da Indução Finita. a igualdade P(1) se reduz a: 1 = 1... Números Naturais Pela propriedade acima e com o uso do axioma P1. existe um conjunto P contido no conjunto R. para todo n em N. o princípio da indução finita é conhecido como o Terceiro axioma de Peano. X coincide com o próprio N. vale a igualdade: P(n): (1+2+3+. isto é.RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO MATEMÁTICO (-5). temos que x está em P ou -x está em P. temos o resultado desejado...(-x) = x. 1997.. é usual iniciar pela construção axiomática dos números naturais. ocorre exatamente uma das três alternativas: x=0 ou x está em P ou -x está em P.x está em P. o que é uma conseqüência óbvia do que apresentamos até aqui. então: (-x).. 1 pertence a X. através dos axiomas introduzidos anteriormente...3. isto é: Ind1: 1 pertence a R.. Aplicação do PIF: Provaremos que a soma dos n primeiros números naturais pode ser escrita como o semiproduto de n por n+1. Para que o interessado possa esclarecer a maioria dos detalhes concernentes ao número zero (0) e conhecer uma enorme gama de detalhes acerca dos algarismos e números. 1 = 1 está em P 1 + 1 = 2 está em P 2 + 1 = 3 está em P .+n) = n(n+1)/2 Demonstração: Seja X o subconjunto dos números naturais tal que P(n) seja válida. para todo n>1 Então. que é válida a propriedade P(n): 1 + 2 + 3 + .n. tem-se que x²=x.. Se n pertence ao conjunto X. Observação importante: O número 0 não foi incluído no conjunto dos números naturais. Vejamos: 1 . tal que: 1 pertence ao conjunto X. convivemos de modo bastante natural com muitos números positivos como os números naturais mas o interessante é que somente uma caracterização formal dos mesmos. podemos construir o conjunto dos números naturais como um subconjunto dos números reais positivos. pelo axioma P1: x. pois este número foi criado artificialmente para dar significado ao conceito de nulidade (falta de um elemento) quando da criação do sistema posicional pelos hindús e este conjunto dos números naturais recebe este nome exatamente porque está relacionado com as idéias de contagem de coisas naturais como 1. Se indicarmos com -P={-x: x está em P} poderemos escrever: R=P (-P) {0} Os elementos do conjunto -P são denominados números negativos. + n = n(n+1)/2 Mostraremos que também vale a propriedade P(n+1). se um exemplo numérico elucida tudo ? Que resposta você daria ? O Corpo ordenado dos números reais Um segundo conjunto de axiomas caracteriza o conjunto R dos números reais como um conjunto ordenado.. por que tanto esforço para fazer a demonstração algébrica.x está em P Se -x está em P... No cotidiano.. sugiro a leitura do livro de Georges Ifrah: "História Universal dos Algarismos". Livraria Nova Fronteira. denominado conjunto de elementos positivos de R.4.. Neste caso.. Dizer que R é um corpo ordenado é equivalente a garantir que.. com algumas características indutivas. isto é. 3.(1+1)/2 Suponhamos que n pertença a X (Hipótese de Indução). O conjunto dos números reais é indutivo. Algo não óbvio e que não será feito aqui. (n) + 1 = (n+1) está em P Assim N={1.. Desenvolvendo o membro da esquerda de P(n+1). é que permite extrair as suas propriedades. Este fato tem conseqüências importantes com as quais o professor do Fundamental se depara a todo momento.. Uma propriedade bem conhecida dos números reais e de muitas conseqüências é a que garante que o quadrado de todo número real não nulo é positivo: Propriedade: Para todo x real. 13 . então (n+1) pertence ao conjunto X.. com as seguintes condições (axiomas) satisfeitas: P1: A soma e o produto de números positivos são positivos.} É claro que N está contido em P e P está contido em R. 2. Ind2: Para todo x em R. O que importa é que ele é válido e de grande utilidade.. Tomos I e II (A inteligência dos homens contada pelos Números e pelo Cálculo!).. . .. Exercício: Mostrar que são verdadeiras as seguintes proposições: P(n): 1+3+5+7+. Potência é o resultado desta operação 23 = lê-se. 5 = 25 . P(n) é válida para todo n em N. 1 = (a 0) a Distributiva da multiplicação em relação à adição: a . Exemplo: ( 2 )3 . Representa-se por R.c POTENCIAÇÃO Observe o seguinte produto de fatores iguais. Propriedades da Adição e da Multiplicação com Números Reais Para quaisquer números reais a. b) . Vejamos: 5 .+n)+(n+1) = (n+1)(n+2)/2 e esta igualdade corresponde exatamente a P(n+1) e dessa forma X é o próprio conjunto N. (b .a=a (a . a a.+n4=n(n+1)(6n3+9n²+n-1)/30 A união dos números racionais e irracionais chama-se CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS . Exemplos : a) .2 é um número racional.+n²=n(n+1)(2n+1)/6 P(n): 13+23+33+.n. Exemplo: (34)2 = 36 7 )3 = (0. 3 b) 5 é um número irracional. Base informa o fator a ser repetido. Assim...b + a. subtração.. an = a m+n. ( RADICIAÇÃO 14 A sua alternativa certa em concurso público. bm. b e c são válidas as seguintes propriedades: PROPRIEDADES Fechamento Comutativa Elemento Neutro Associativa Elemento Oposto Elemento Inverso ADIÇÃO (a + b ) IR a + b =b+a a=0=0+a=a (a + b) + c = a + (b + c) a + (.b) IR a..+n3=n²(n+1)²/4 P(n): 14+24+.+n + n+1 = (1+2+3+.1= 1. com n > 1. Para potências que têm por base um número real e como expoente um número racional relativo.b = b . c) ∈ a . 2 3 onde o número 3 representa quantas vezes o fator 2 esta sendo multiplicado por ele mesmo. 2 x 2 x 2 este produto pode ser escrito da seguinte forma. ou seja. Exemplo: (0. d) (am)n = am... se a e n forem dois números naturais quaisquer. ≠ 23 expoente base Expoente informa quantas vezes o fator vai ser multiplicado por ele mesmo.RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO MATEMÁTICO 1+2+3+.+n) + (n+1) = n(n+1)/2 + (n+1) = (n+1)(n/2 + 1) = (n+1)(n+2)/2 Mostramos assim que: (1+2+3+.. R = Q ∪ I Conjunto dos números reais: R = { x. temos: A potência an é um produto de n fatores iguais a a. b)m = am . são válidas as seguintes propriedades: a) am . (b + c) = a. multiplicação e divisão (sendo o divisor 0) sempre são possíveis em R. dois elevado a 3ª potência ou dois elevado ao cubo. 5 = 125 Este produto será indicado com 53.. A potenciação nada mais é do que uma multiplicação.2 .a) = 0 ∈ MULTIPLICAÇÃO (a . 5 .+(2n-1)=n² P(n): 1²+2²+3²+. c = a ..2) 3 . ( 2 )4 = ( 2 )7 b) am : an = am-n. . x é racional ou x é irracional}. OPERAÇÕES: As operações: adição. É também um número real. que se lê cinco elevado à terceira ou terceira potência de cinco. É também um número real. Exemplo ( 7 )5 : ( 7 )2 = ( 7 )3 7 )3 c) (a . A indicação completa da operação potenciação é feita da seguinte maneira: 53 = 125 De modo geral.... Como exemplos de números irracionais.. porque (-2) 3 = (-2) x (-2) x (-2) = -8 4º caso: a < 0 e n é par. provém da palavra alemã "Zahl" que significa número ou algarismo.1.-2.. No Ensino Fundamental.. 3 8 = lemos raiz cúbica de 8..RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO MATEMÁTICO Radiciação é o ato de extrair a raiz de um número.81 = não existe. Usamos a barra / para entender o sinal de divisão ÷. obtemos o conjunto dos números inteiros Z = {. porque não existe um número que elevado ao quadrado seja igual a – 81...3...0. Exemplos de números racionais: 2/5. raiz quinta e etc.... raiz cúbica.} = -N {0} N Observação: A letra Z utilizada para representar o conjunto dos números inteiros.33333. então.. lembrando que temos raiz quadrada.. = 1.. a criança começa tomando contato com os números naturais. A sua alternativa certa em concurso público. Vamos calcular a Temos que 3 −8 onde n = 3 (ímpar) e a = (número negativo) −8 = . 7.. .. 125 onde n = 3 (ímpar) e a = 125 (número positivo) 125 3 = 5.-3. os números racionais e também os números irracionais. em seguida com os números racionais. Números Irracionais O conjunto I dos números Irracionais é o conjunto dos números reais que não são racionais: I=R-Q Embora os números racionais e os irracionais sejam apresentados como conceitos simples.2. Vamos calcular a 49 onde n = 2 (par) e a = 49 (número positivo) Temos que (-7)2 = 49 e (+7) 2 = 49.4. b pertence a Z. sempre nos apresentaram números especiais como: = 1. que afirma que todo número real diferente de zero.. 15 .. 8/2. às vezes não é fácil verificar se um determinado número real x é racional ou irracional.10100100010000.. PROBLEMAS Exemplo: 4 = lemos. e = 2. Vamos calcular a Temos que 3 3 49 – 7. Números Inteiros Já vimos que o conjunto N dos naturais é um subconjunto do conjunto dos números reais positivos. 1º caso: a > 0 e n é par. Observamos que a escola de Pitágoras (580-500 a. Se o índice é um número maior que 1 (n > 1).-1.414. possui um inverso multiplicativo. o local do índice fica vazio ou seja fica entendido que ali está o número 2). apresentando um conjunto de axiomas que os caracterizam e verificamos que este conjunto deve conter os números naturais. não escrevemos este valor.. b 0} Observação: A palavra racional vem do Latim ratio=razão também entendida em Matemática como divisão. Levando em consideração a definição dos números positivos P e dos números negativos -P. 5.. 0. depois com os números inteiros. 6/1.. 3/4. raiz quadrada de 4. se for igual a 3 (raiz cúbica "este valor deve aparecer no índice"). então 49 = +7 Devemos lembrar que o resultado de uma operação deve ser único.732. é uma outra história muito mal contada.10101010... 1/3.2. mas provar que estes números são irracionais. Vamos calcular a – 81 onde n = 2 (par) e a = 81 (número negativo) Temos . Números Racionais Tomando o axioma M4.14159265.. Pi = 3. a 2º caso: a > 0 e n é ímpar.-4. etc.71828. que é um outro subconjunto muito importante do conjunto dos números reais: Q = {a/b: a pertence a Z. se este for igual a dois (raiz quadrada.. raiz quarta.. a = 0. temos o conjunto dos números racionais.. porque 53 = 5 x 5 x 5 = 125 3º caso: a < 0 e n é ímpar. os números inteiros..C) já sabia que não existia um número racional x com a propriedade que: x² = 2 Observação: Lembramos que estamos introduzindo os números reais diretamente.. se -x está em P ou x=0 (x é não positivo) C2) Dados x em R e y em R. de uma forma acabada. a=R[2] e b=R[2] pertencem a I mas a-b=0 não está em I. se x-y>0 (x é maior do que y) x<y. e.. foi o grande elemento motivador para o estudo destes números e também de equações algébricas. Dado histórico: No Curso Médio estuda-se o conjunto dos números complexos. Um grande equívoco é pensar que as teorias destes conjuntos tenha sido feita. a=R[2] e b=-R[2] pertencem a I mas a+b=0 não está em I. . c0 os seus coeficientes.b) = {x em R: a<x<b} (a. é uma expressão matemática da forma: p n(x) = cn xn + cn-1 xn-1 + . a=R[2] e b=R[2] pertencem a I mas a×b=2 não está em I. [a. a=R[2] e b=R[2] pertencem a I mas a/b=1 não está em I.. + c2 x² + c1 x1 + c0 onde cn é diferente de zero.. c1. A raiz de uma equação na variável x é um número que substituído por x. subtração. + c2 x² + c1 x1 + co = 0 e esta equação somente tiver como coeficientes números inteiros e possuir uma raiz racional.y pertence a Q x/y pertence a Q se y é diferente de zero O conjunto dos números irracionais não é fechado para as operações de adição. pondo-se um círculo vazio onde não vale a igualdade e um círculo preenchido onde vale a igualdade. se a equação possuir o coeficiente igual a 1 para o termo de mais alto grau. que no século XVI. escrevemos: x>y. Convenções com desigualdades C1) Dado x em R. multiplicação e divisão.b] = {x em R: a<x<b} Geometricamente. na variável x é uma expressão matemática da forma: cn xn + cn-1 xn-1 + . então.. se x está em P (x é positivo) x<0. se esta equação tem uma raiz racional irredutível da forma a/b (aquela cuja fração não pode ser simplificada mais). [a. nesta mesma ordem que estamos apresentando. Como um caso particular do item anterior. 16 A sua alternativa certa em concurso público. os matemáticos já lidavam com números complexos. Se a equação cn xn + cn-1 xn-1 + . podemos construir um conjunto enorme de números irracionais.. se x-y<0 (x é menor do que y) x>y. então a será um divisor de co e b será um divisor de cn. (a. + c2 x² + c1 x1 + c0 = 0 tem como coeficientes somente números inteiros.. para todo x em Q e y em Q: x+y pertence a Q x-y pertence a Q x. usaremos R[2] para representar a raiz quadrada de 2. então esta raiz deverá ser um número inteiro que divide co. Retornemos ao conjunto dos números positivos para estabelecer duas convenções muito importantes.b] = {x em R: a<x<b}.. c2. Se a é um número irracional e r é um número racional.. Na sequência. cn-1 . que é mais amplo que todos os conjuntos tratados até aqui. + c2 x² + c1 x1 + c0 = 0 sendo cn diferente de 0. subtração.b) = {x em R: a<x<b}. xn + cn-1 xn-1 + .. se -x está em P (x é negativo) x>0. isto é: -a também está em I a-1 também está em I a+r pertence a I a-r pertence a I a. pois podemos apresentar exemplos de números irracionais para os quais estas operações não são fechadas em I. satisfaz à equação dada. Uma equação polinomial de grau n natural. Observação: Com os oito itens apresentados acima. podemos visualizar os quatro tipos de intervalos com extremidades finitas.RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO MATEMÁTICO Detalhes sobre os números racionais e números irracionais O conjunto dos números racionais é fechado para as operações de adição. Mas foi somente no final do século XIX que a teoria de cada um destes conjuntos ficou consolidada.. isto é.. isto é: 1 . multiplicação e divisão (exceto por zero). se x está em P ou x=0 (x é não negativo) x<0. É importante mencionar.r pertence a I a/r pertence a I Um polinômio de grau n natural. escrevemos: x>0. . se x-y<0 (x é menor ou igual a y) Intervalos reais Intervalos finitos: Com estas últimas convenções podemos definir os conceitos de intervalo e da importante função modular. os números abaixo são irracionais. se x-y>0 (x é maior ou igual a y) x<y. O método de Tartaglia (publicado no livro Ars Magna como sendo de Cardano) para a resolução de equações do terceiro grau. A última propriedade é muitas vezes motivo de tropeços para muitos alunos e professores. O conceito de módulo de um número real desempenha um papel de fundamental importância na Análise Matemática e são valiosas algumas relações de igualdade e desigualdade onde aparecem os módulos. faremos a sua demonstração.+ ) = {x em R: x>a} (.z < y.z As duas últimas propriedades expressam o fato que a relação de ordem < considerada é compatível com a estrutura de corpo de R.|y| -|x| < x < |x| |x+y| < |x| + |y| |x-y| < |x| + |y| Observação: |x+y| nem sempre é igual a |x|+|y|. é definido como sendo o maior valor entre x e -x. tem-se: x. Se x=y em R e z=0. tem-se: x+z < y+z Monotonicidade da multiplicação: Se x < y então. isto é: |x|=máximo{x. ocorre exatamente uma das duas alternativas seguintes: x < y ou x > y Monotonicidade da adição: Se x < y então. 17 . ) como o conjunto de todos os números reais maiores do que a.a) = {x em R: x<a} e também os intervalos: [a.RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO MATEMÁTICO Intervalos infinitos: Definiremos o intervalo (a.+7)=|(-3)-(7)|=|-10|=10.x=0 A sua alternativa certa em concurso público.z mas se z<0.z > y. a relação é verdadeira. por: ou ainda por: Exemplos: |+5|=5. Módulo de um número real O módulo (valor absoluto) de um número real x. define-se a distância entre x e y como: d(x. isto é: (a. Distância entre números reais O conceito de módulo de um número real permite introduzir o conceito de distância entre dois números reais e caracterizar o conceito de proximidade entre dois números reais. Dados x e y em R. |0|=0 e |-6|=6.+ ) = {x em R: x>a} (- .+ ). então x < y implica: x. tem-se que: |+x| = |-x| |x-y| = |y-x| |x. Teorema: Quaisquer que sejam x e y em R.a] = {x em R: x<a} e uma notação comum é R=(. então: x=y Transitiva: Se x < y e y < z.y| = |x|. para todo z>0. Com as desigualdades podemos construir a relação de ordem total sobre R: x < y se y-x > 0 com as seguintes propriedades: Reflexiva: Para todo x em R: x<x Anti-simétrica: Se x < y e y < x. em especial na resolução de desigualdades e pela sua importância.-x} ou usando a raiz quadrada. então: x<z Dicotomia: Dados x em R e y em R. para todo z em R. pois 0.y) = |x-y| Exemplo: d(-3. teremos: y-x pertence a P e z pertence a P Pela propriedade P1.z-x.RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO MATEMÁTICO logo. . Por R ser completo um fato importantíssimo é o seguinte: Dado um número real não negativo a. Definição de Raiz Quadrada Existe um terceiro axioma que caracteriza o conjunto dos números reais como um corpo ordenado completo.z Conjunto Solução para uma Proposição É o conjunto de todos os valores que satisfazem à proposição dada. temos: (y-x). Deste axioma é possível obter as propriedades mais importantes do Cálculo e na verdade.4 = 0 O conjunto solução no conjunto R dos números reais tem dois elementos e é dado por: S = {-2. existe um único número real não negativo x tal que x² = a Por definição. se este fato não fosse verdadeiro. no conjunto dos números reais. define-se a raiz quadrada de a. isto é. o enunciado deste axioma exige tantos requisitos que ele só pode (e deve) ser trabalhado com cuidado em um curso mais avançado de Cálculo Diferencial e Integral ou Análise Matemática. dependendo de sua grandeza em relação à unidade. obter o conjunto de todos os números reais que satisfazem à desigualdade dada e indicar o resultado na forma de um intervalo real ou através da reunião ou interseção de intervalos reais. Esta representação é uma linha reta onde se identifica um ponto. pouco restaria dos conhecidos Teoremas do Cálculo Diferencial e Integral. x. podemos somar -15 em todos os termos das desigualdades. obtemos finalmente -3/5 < x < 2 logo o Conjunto Solução será: S=(-3/5. com o número um 1 e a partir daí indicam-se os outros valores numéricos. obtemos x > -3 Assim. dado a>0.z está em P e pela propriedades distributiva: y. Exemplo: Consideremos P(x): x² . com o número zero 0 e outro ponto. Portanto: e é errado afirmar que 18 A sua alternativa certa em concurso público.z é um elemento de P ou seja: x. o conceito de raiz quadrada. Mostraremos aqui algumas conseqüências deste axioma. para todo z em R.z=y. este número real não negativo é a raiz quadrada de a e dessa forma. denominado origem. somamos o número -15 a ambos os termos da desigualdade: 5x + 15 -15 > 0 -15 para obter 5x > -15 Dividindo ambos os termos por 5. dado por: S={2} Dada uma desigualdade. fato conhecido por representação gráfica da reta real. é importante obter o conjunto solução S que satisfaz esta desigualdade. ) = {x em R: -3 < x} Exemplo 2: Para resolver a(s) desigualdade(s) 12<5x+15<25. Exemplo 1: Para resolver a desigualdade real 5x+15>0.z < y. Infelizmente. obtemos -3 < 5x < 10 Dividindo todos os termos das desigualdades por 5: -3/5 < 5x/5 < 10/5 Simplificando. permitem identificar o conjunto dos números reais com os pontos de uma reta. como: sendo x>0 e x²=a. sendo que este conjunto depende do universo que estivermos trabalhando.2] = {x em R: -3/5 < x < 2} Representação gráfica da reta A relação de ordem total x<y se y-x>0 que existe em R e o fato de R ser completo. o Conjunto Solução será: S=(-3. como por exemplo. para obter 12-15 < 5x+15-15 < 25-15 Simplificando. tomado por unidade.z Se considerarmos x < y e z>0. 2} mas o conjunto solução no conjunto N dos números naturais é um conjunto unitário. 1/4. porém que as mesmas não eram conhecidas. É provável que o uso do número 60 pelos babilônios se deve ao fato que é um número menor do que 100 com maior quantidade de divisores inteiros. deve ser necessariamente um número inteiro ou um número irracional.27 100 100 100 100 A fração 8/10 pode ser escrita na forma 0. como: 5/6=1/2+1/3.27 = 1. Tais frações eram denominadas frações egípcias e ainda hoje têm muitas aplicações práticas. como: 127 = 1. provenientes de frações decimais. O homem introduziu o uso de frações quando começou a medir e representar medidas. 3/100. através do uso da raiz quadrada. NÚMEROS DECIMAIS Elementos históricos sobre os números Decimais Hoje em dia é comum o uso de frações. 437 = 4. recebia um traço no numerador indicando o número de zeros existentes no denominador. Por exemplo. Stevin (engenheiro e matemático holandês).. muitas notações foram usadas para representar frações. Outras frações foram descobertas pelos mesmos egípcios as quais eram expressas em termos de frações egípcias. Este tipo é denominado fração decimal. Por muito tempo os números decimais foram empregados apenas para cálculos astronômicos em virtude da precisão proporcionada. isto é. Com o passar dos tempos. observar a localização da vírgula que separa a parte inteira da parte decimal. Provavelmente os romanos usavam o número 12 por ser um número que embora pequeno.8. a fração 1/2 equivale à fração 5/10 que equivale ao número decimal 0. Os romanos. Um número decimal pode ser colocado na forma genérica: Centenas Dezenas Unidades . pode ser escrito na forma: A sua alternativa certa em concurso público. Você conseguiria fazer isto? O conceito de raiz quadrada leva-nos sem problemas às funções reais. 1/5. 23/100. 1/3. são: 1/10. Frações e Números Decimais Dentre todas as frações. 1/1000. Leitura de números decimais Para ler números decimais é necessário primeiramente.37 100 Este método foi aprimorado e em 1617 Napier propôs o uso de um ponto ou de uma vírgula para separar a parte inteira da parte decimal. podemos redefinir então o módulo de um número real de uma terceira forma. Observação: Todo número b que pode posto na forma em que a e n números naturais. 1/103 Toda fração decimal pode ser representada por um número decimal. A atual maneira de representação data do século XVI. por sua vez.. é a seguinte: Dado um número real x qualquer. possui um número expressivo de divisores inteiros. definidas sobre o conjunto [0. em 1585 ensinou um método para efetuar todas as operações por meio de inteiros.RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO MATEMÁTICO Uma conseqüência desta definição e da definição de módulo de um número real. Décimos Centésimos Milésimos Por exemplo. Os babilônios usavam em geral frações com denominador 60. Os números decimais têm origem nas frações decimais. Os números decimais simplificaram muito os cálculos e passaram a ser usados com mais ênfase após a criação do sistema métrico decimal. Esta notação subentende que a fração 127/100 pode ser decomposta na seguinte forma: 127 100+27 100 27 = = + = 1+0. o número 130. separados por uma vírgula. A fração 127/100 pode ser escrita na forma mais simples.5. Houve tempo. onde 0 é a parte inteira e 8 é a parte decimal. no qual escrevia os números naturais ordenados em cima de cada algarismo do numerador indicando a posição ocupada pela vírgula no numeral decimal. como: se e somente se b > 0 e bn = a. Os egípcios usavam apenas frações que possuiam o número 1 dividido por um número inteiro. Aqui observamos que este número decimal é menor do que 1 porque o numerador é menor do que o denominador da fração. A notação abaixo foi introduzida por Stevin e adaptada por John Napier. ) por: e De forma análoga podemos definir a raiz n-ésima de um número real não negativo a. sem o uso de frações. 19 . existe um tipo especial cujo denominador é uma potência de 10.824.. grande matemático escocês.27 100 onde 1 representa a parte inteira e 27 representa a parte decimal. um número que tem uma parte inteira e uma parte decimal. usavam constantemente frações com denominador 12. como por exemplo: 1/2. Exemplos de frações decimais. 4 3 7 1000 A representação dos algarismos decimais. 1437 123 = 1. a parte decimal (décimos...475 (c) 247. etc) de forma que décimos sob décimos. etc). 31 Em geral.75 (b) 247. três. centésimos sob 20 A sua alternativa certa em concurso público.005 Transformando números decimais em frações decimais Também é possível transformar um número decimal em uma fração decimal. . .000200 (c) 3.41 = 241/100 (d) 7.723 = 2. II.345 = 7345/1000 Propriedades dos números decimais Zeros após o último algarismo significativo: Um número decimal não se altera quando se acrescenta ou se retira um ou mais zeros à direita do último algarismo não nulo de sua parte decimal. IV.824 Seis décimos Trinta e sete centésimos Cento e oitenta e nove milésimos Três inteiros e sete décimos Treze inteiros e quarenta e cinco centésimos Cento e trinta inteiros e oitocentos e vinte e quatro milésimos 3 dezenas 0 unidades . duas. Esta fração é lida "um décimo". de forma que: I.00020 = 1.50 = 0.4 . transforma-se uma fração decimal em um número decimal fazendo com que o numerador da fração tenha o mesmo número de casas decimais que o número de zeros do denominador. 8 décimos 2 centésimos 4 milésimos Transformando frações decimais em números decimais Podemos escrever a fração decimal 1/10 como: 0. o algarismo das centenas deverá estar em baixo do algarismo das centenas do outro número. 100. dezenas. etc).4 x 1000 = 7400 Divisão por uma potência de 10: Para dividir um número decimal por 10. por 1000.RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO MATEMÁTICO 1 Centena Exemplos: 0.05 = 5/100 (c) 2. por 100. III. 1 Uma outra situação nos mostra que a fração decimal 231/100 pode ser escrita como 2. duas. 1000.1415926535 = 3. casas decimais. temos: (a) 0.723 (b) Escrever os numerais observando as colunas da parte inteira (unidades.189 3. o algarismo das dezenas de um número deverá estar em baixo do algarismo das dezenas do outro número.723 = 2. Por exemplo: (a) 247.4 + 1. etc.6 0. Na verdade.5 = 0. que se lê da seguinte maneira: "dois inteiros e trinta e um centésimos".723 (b) 2. centésimos. e V. Por exemplo: (a) 130/100 = 1. basta deslocar a vírgula para a esquerda uma. Para isto.141592653500000000 Multiplicação por uma potência de 10: Para multiplicar um número decimal por 10.5000 (b) 1.31.400 . Como exemplo.30 (b) 987/1000 = 0. Novamente observamos que a vírgula separa a parte inteira da parte fracionária: parte inteira parte fracionária 2 .37 0. realiza-se a divisão do numerador pelo denominador. a vírgula deverá estar debaixo da outra vírgula.7 13.45 130.1. Por exemplo: (a) 2. toma-se como numerador o número decimal sem a vírgula e como denominador a unidade (1) seguida de tantos zeros quantas forem as casas decimais do número dado.5 ÷ 1000 = 0. centenas.4 x 100 = 740 (c) 7. o algarismo das unidades de um número deverá estar embaixo do algarismo das unidades do outro número.400 + 1.5 ÷ 100 = 2.5 = 5/10 (b) 0. ou três casas decimais. basta deslocar a vírgula para a direita uma.4 x 10 = 74 (b) 7.987 (c) 5/1000 = 0.500 = 0.1.1. milésimos.5 ÷ 10 = 24. Por exemplo: (a) 0.0002 = 1.2475 Operações com números decimais Adição e Subtração: Para efetuar a adição ou a subtração de números decimais temos que seguir alguns passos: (a) Igualar a quantidade de casas decimais dos números decimais a serem somados ou subtraídos acrescentando zeros à direita de suas partes decimais. Por exemplo: (a) 7. Notamos que a vírgula separa a parte inteira da parte fracionária: parte inteira parte fracionária 0 . para obter 350 décimos.723 .. Isto pode ser justificado pelo fato que se multiplicarmos o dividendo por 100. razão pela qual colocamos um zero (0) à direita do número 4.35÷7= = = = = = 0. 100.4=? Aqui. concluindo que 0. Divisão de números naturais com quociente decimal: A divisão de 10 por 16 não fornecerá um inteiro no quociente.4 4×10 4 Um outro exemplo: 0. Dois exemplos: 2.4 = = = =9 0. Isto justifica a presença do algarismo 0 seguido de uma vírgula no quociente. (2) Realizamos a divisão de 100 por 16.05 7 7×100 700 700÷7 100 Neste caso.25 x + 3. 10 16 ? (1) Multiplicando o dividendo por 10.5 = × = = = 7. Neste caso. Assim a divisão de 35 por 700 será transformada numa divisão de 3500 por 700. o dividendo tem duas casas decimais e o divisor é um inteiro. Assim tanto o dividendo como o divisor serão números inteiros. logo multiplicamos ambos por 10 para que o quociente não se altere. iniciamos o quociente com dois zeros.400 + 1.6÷0. até que o novo dividendo fique maior do que o divisor. logo multiplicamos ambos por 100 para que o quociente não se altere. Sabendo-se que cada alqueire paulista mede 24. Transforma-se o dividendo. Assim tanto o dividendo como o divisor serão inteiros. milésimos sob milésimos.6 A sua alternativa certa em concurso público.6 36×10 36 3. Por exemplo: 225 35 225×35 7875 2. Como acrescentamos dois zeros ao dividendo. 21 . dividendo resto 3500 0 700 divisor 0. Por exemplo: 3.35/7=35/700=0.RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO MATEMÁTICO centésimos.05 quociente 2 casas decimais multiplicando 1 casa decimal multiplicador Realiza-se a divisão de 3500 por 700 para obter 5. 100 16 0. Por exemplo: 2. 100 ou 1000. qual será a área que cada um receberá? Divisão com o dividendo menor do que o divisor: Vamos considerar a divisão de 35 (dividendo) por 700 (divisor)..723 ------- ------- (c) Realizar a adição ou a subtração. 3. multiplicando-se por 10. . Exercício: Uma pessoa de bom coração doou 35 alqueires paulistas de terra para 700 pessoas. o quociente não se alterará. para que a divisão se torne possível. se multiplicarmos tanto o dividendo como o divisor de uma divisão por 10. dizemos que "cortamos" a vírgula. o quociente da divisão não será um inteiro.35 0.. o quociente ficará dividido por 100. Utilizando essas informações poderemos efetuar divisões entre números decimais como se fossem divisões de números inteiros. Na prática. colocando-se uma vírgula após o primeiro zero.875 100 10 100×10 1000 Podemos também multiplicar os números decimais como se fossem inteiros e dar ao produto tantas casas quantas forem as casas do multiplicando somadas às do multiplicador. 100 -96 4 (3) O resto 4 corresponde a 4 décimos = 40 centésimos.25×3. O resultado será 6 e o resto será 4. etc. há a necessidade de multiplicar por 100. dividendo e divisor têm apenas uma casa decimal. .05. Multiplicação de números decimais: Podemos multiplicar dois números decimais transformando cada um dos números decimais em frações decimais e realizar a multiplicação de numerador por numerador e denominador por denominador.5 1125 675 7875 7.6÷0. assim para dividir o número 10 por 16.35×100 35 35÷7 5 0.200 metros quadrados.1.400 2.875 3 casas decimais Produto Divisão de números decimais: Como visto anteriormente. Como 10 < 16. montamos uma tabela semelhante à divisão de dois números inteiros. 3500 centésimos... o quociente ficará dividido por 10. 16 0. 7 < 5.RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO MATEMÁTICO 100 -96 40 (4) Dividimos 40 por 16 para obter o quociente 2 e o novo resto será 8. podemos realizar a multiplicação cruzada para obter: 100X=12000. .00 a mesma proporção que R$40. embora não seja um inteiro. assim X=120 Logo.00 é o mesmo que determinar um valor X que represente em R$300. Para isso.47=8. para significar que se a sala tivesse 100 alunos então 30 desses alunos seriam meninas. Trinta por cento é o mesmo que 30 = 30% 100 (2) Calcular 40% de R$300.00 é igual a R$120. 100 -96 40 -32 80 -80 0 A divisão 10/16 é igual a 0.47 pois 8.3 = 4. pois 4 é maior do que 2. (3) Li 45% de um livro que tem 200 páginas. Por exemplo: (a) 4. pode-se comparar o número de meninas com o número total de alunos da sala.625 16 0. teremos dois números com a mesma parte inteira mas com partes decimais diferentes. O o quociente é um número decimal exato. usando para isto uma fração de denominador 100. Números com partes inteiras diferentes: O maior número é aquele que tem a parte inteira maior.00 em R$100. Comparação de números decimais A comparação de números decimais pode ser feita analisando-se as partes inteiras e decimais desses números. onde uma das razões da proporção é uma fração cujo denominador é 100.76. (c) 4. • O índice de reajuste salarial de março é de 0. razão pela qual inserimos um 0 à direita do número 8. ainda faltam 200-90=110 páginas. Porcentagem Ao abrir um jornal. Após esta operação. são: (a) 12.1 > 2. é comum depararmos com expressões do tipo: • A inflação do mês foi de 4% (lê-se quatro por cento) • Desconto de 10% (dez por cento) nas compras à vista.3 pois 4=4 e 3=3. Basta comparar estas partes decimais para constatar qual é o maior deles.4=12. pois 3 é menor do que 5. faremos uso dos sinais: > (que se lê: maior). logo X=90. Como eu já li 90 páginas.470 e 032 < 470. (b) 8. Números com partes inteiras iguais: Igualamos o número de casas decimais acrescentando zeros tantos quantos forem necessários.4 > 12. (b) 3.032 < 8. Alguns exemplos.625. pois os agrupamentos são feitos de 10 em 10 unidades. Toda razão a/b na qual b=100 chama-se porcentagem. < (que se lê: menor) ou = (que se lê: igual). Exemplos: (1) Se há 30% de meninas em uma sala de alunos.00.62 16 0.40 e 40 > 31.6 22 A sua alternativa certa em concurso público. ligar uma televisão.00.6% (seis décimos por cento) A porcentagem é um modo de comparar números usando a proporção direta. 100 -96 40 -32 8 (5) O resto 8 corresponde a 8 centésimos = 80 milésimos. 40% de R$300.31 pois 12.4. 16 0. olhar vitrines. NOÇÕES DE ORDEM O sistema de numeração que normalmente utilizamos é o sistema de numeração decimal. Isto pode ser resumido na proporção: 40 X = 100 300 Como o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. Dividimos 80 por 16 para obter o quociente 5 e o resto igual a 0. Quantas páginas ainda faltam para ler? 45 X = 100 200 o que implica que 100X=9000. 3. um fator fundamental é o conjunto universo que representa o contexto onde poderemos encontrar as soluções. • 30 423 048: Trinta milhões. observe o quadro a seguir: A partir daí fica mais fácil a leitura dos números: • 2 351: dois mil trezentos e cinquenta e um. Por exemplo. o conjunto solução será o conjunto vazio. Com os algarismos formamos numerais (Numeral é o nome dado a qualquer representação de um número). isto é: S=Ø={} De forma análoga. Os grupos de 1. 2. 10. 1. terá uma única solução dada por x=-7/2. assim. 23 grupos de 10 bolinhas 3 x 10 30 mais + + 5 bolinhas 5 5 A Partir do agrupamento de 10 em 10 surgiu a primeira definição: o grupo de dez unidades recebe o nome de dezena. quatrocentos e vinte e três mil e quarenta e oito. 2 698 Classe dos milhares Classe das unidades 2 → Ordem das unidades de milhar 6 → Ordem das centenas 9 → Ordem das dezenas 8 → Ordem das unidades Toda classe tem a ordem da centena (c).RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO MATEMÁTICO Os símbolos matemáticos utilizados para representar um número no sistema decimal são chamados de algarismos: 0. • 246 102 025: Duzentos e quarenta e seis milhões cento e dois mil e vinte e cinco. o conjunto solução será: S = { 7/2 } mas. ao tentar obter o conjunto solução para a equação x2+1=0 sobre o conjunto dos números reais. que são utilizados para contar unidades. 352 cdu • O número 2 698 possui duas classes e quatro ordens. 6. 7. 8. 4. agrupando-as de 10 em 10: Igual a 35 bolinhas. 5. CONJUNTOS NUMÉRICOS COMPLEXOS Introdução aos números complexos Na resolução de uma equação algébrica. obteremos como resposta o conjunto vazio. 100 elementos são chamados de ordens. dezena (d) e unidade (u). Exemplos: • O número 352 possui 3 ordens e uma classe. isto é: S=Ø={} A sua alternativa certa em concurso público. se estivermos procurando por um número inteiro como resposta. dezenas e centenas. a equação 2x+7=0. Assim cada grupo de 10 dezenas forma uma centena. 9. se estivermos trabalhando no conjunto dos números racionais. Veja um exemplo de como contar o conjunto de bolinhas a seguir. Esses algarismos são chamados de indo-arábico porque tiveram origem nos trabalhos iniciados pelos hindus e pelos árabes. 23 . Cada ordem forma um novo grupo denominado classe. Exemplos: Se z=2+3i e w=4-6i. fornecem o resultado 1. 2 ou Pela tabela acima podemos observar que as potência de i cujos expoentes são múltiplos de 4. Definição de número complexo Número complexo é todo número que pode ser escrito na forma z=a+bi onde a e b são números reais e i é a unidade imaginária. Se z=2+3i e w=4-6i. 1.w=(2+3i). agindo sobre eles da seguinte forma: z+w = (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i z. escrevendo z = w se. O número real a é a parte real do número complexo z e o número real b é a parte imaginária do número complexo z. denotadas por: a = Re(z) e b = Im(z) Exemplos de tais números são apresentados na tabela.(4-6i)=-4+0i. logo toda potência de i pode ter o expoente decomposto em um múltiplo de 4 mais um resto que poderá 24 A sua alternativa certa em concurso público.(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i Observação: Tais operações lembram as operações com expressões polinomiais. definimos a igualdade entre z e w. pois a adição é realizada de uma forma semelhante. então z+w=(2+3i)+(4-6i)=6-3i. Conjugado de um número complexo: O número complexo conjugado de z=a+bi é o número complexo denotado por z*=a-bi. fornecem o resultado 1. Como todo número real x pode ser escrito como um número complexo da forma z=x+yi. então z. temos uma sequência de valores muito simples para as potências de i: Potência i2 i3 i4 i5 i6 i7 i8 i9 Valor -1 -i 1 i -1 -i 1 i Pela tabela acima podemos observar que as potência de i cujos expoentes são múltiplos de 4. faz com que uma série de situações tanto na Matemática como na vida. Oposto de um número complexo: O oposto do número complexo z=a+bi é o número complexo denotado por -z=(a+bi). Elementos complexos especiais Igualdade de números complexos: Dados os números complexos z=a+bi e w=c+di. mas se seguirmos o desenvolvimento da equação pelos métodos comuns. deveremos ter que c=2 e y=3. Isto parece não ter significado prático e foi por esta razão que este número foi chamado imaginário.RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO MATEMÁTICO o que significa que não existe um número real que elevado ao quadrado seja igual a -1. é realizada através de um algoritmo que aparece na forma: a+bx c+dx X _________________ ac + bcx adx + bdx² ______________________ ac + (bc+ad)x + bdx² de forma que devemos substituir x2 por -1.(c+dx). logo toda potência de i pode ter o expoente decomposto em um múltiplo de 4 mais um resto que poderá ser 0. Operações básicas com números complexos Dados os números complexos z=a+bi e w=c+di. Potências e curiosidade sobre a unidade imaginária Potências de i: Ao tomar i=R[-1]. isto é: -z = Oposto(a+bi) = (-a) + (-b)i O oposto de z=-2+3i é o número complexo -z=2-3i. isto é: z* = conjugado(a+bi) = a + (-b)i O conjugado de z=2-3i é o número complexo z*=2+3i. podemos definir duas operações fundamentais. e somente se. onde y=0 então assumiremos que o conjunto dos números reais está contido no conjunto dos números complexos. mas o simples fato de substituir R[-1] pela letra i (unidade imaginária) e realizar operações como se estes números fossem polinômios. a = c e b = d Para que os números complexos z=2+yi e w=c+3i sejam iguais. obteremos: x = R[-1] = onde R[-1] é a raiz quadrada do número real -1. isto é: (a+bx)+(c+dx)=(a+c)+(b+d)x e a multiplicação (a+bx). . Número complexo Parte real Parte imaginária 2+3i 2 3 2-3i 2 -3 2 2 0 3i 0 3 -3 i 0 -3 0 0 0 Observação: O conjunto de todos os números complexos é denotado pela letra C e o conjunto dos números reais pela letra R. adição e produto.w = (a+bi). tenham sentido prático de grande utilidade e isto nos leva à teoria dos números complexos. Divisão de números complexos: A divisão entre os números complexos z=a+bi e w=c+di (w não nulo) é definida como o número complexo obtido pelo produto entre z e w-1. que forma um ângulo reto (90 graus) com o número complexo z=a+bi dado. O inverso de um número complexo Dado o número complexo z=a+bi. 402 4033 Exercício: Calcular os valores dos números complexos : i .z. basta multiplicar o numerador e o denominador da fração z/w pelo conjugado de w: Representação geométrica de um número complexo Um número complexo da forma z=a+bi. simplificar os números complexos pela redução dos termos semelhantes. isto é: z/w=z. tal que z . o inverso do número complexo z=a+bi é: Obtenção do inverso de um número complexo: Para obter o inverso de um número complexo. isto é: z-w=z+(-w). Continue multiplicando os resultados obtidos por i até ficar cansado ou então use a inteligência para descobrir algum fato geométrico significativo neste contexto. o inverso de z=5+12i.i o que nos leva a um sistema com duas equações e duas incógnitas: au-bv=1 bu+av=0 Este sistema pode ser resolvido pela regra de Cramér e possui uma única solução (pois a ou b são diferentes de zero). não nulo (a ou b deve ser diferente de zero) definimos o inverso de z como o número z-1=u+iv.(u+iv) = (au-bv)+(av+bu)i = 1 = 1+0.(-1) = -1 Curiosidade geométrica sobre i: Ao pensar um número complexo z=a+bi como um vetor z=(a. i e i1998. multiplicar por i para obter z1=i. faça um desenho no plano cartesiano contendo os resultados das multiplicações.i = 1. Exemplo: Para dividir o número complexo z=2+3i por w=5+12i. isto é: (a+bi). fornecendo: u = a/(a2+b2) v = -b/(a2+b2) assim. 25 . A sua alternativa certa em concurso público.RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO MATEMÁTICO ser 0. Após constatar que você é inteligente. depois multiplicar o resultado z1 por i para obter z2=i. Exercício: Tomar um número complexo z. Exemplo: A diferença entre os complexos z=2+3i e w=5+12i é z-w=(2+3i)+(-5-12i)=(2-5)+(3-12)i=-3-9i. deve-se: Escrever o inverso desejado na forma de uma fração Multiplicar o numerador e o denominador da fração pelo conjugado de z Lembrar que i2 = -1. resulta em um outro número complexo w=-b+ai. Dessa forma podemos calcular rapidamente qualquer potência de i. pode ser representado do ponto de vista geométrico no plano cartesiano.b) no plano cartesiano. 402 400 2 Como exemplo: i =i . a multiplicação de um número complexo z=a+bi pela unidade imaginária i.w-1. 1.z1. como um ponto (par ordenado) tomando-se a abscissa deste ponto como a parte real do número complexo a no eixo OX e a ordenada como a parte imaginária do número complexo z no eixo OY. z-1 = 1 O produto de z pelo seu inverso z-1 deve ser igual a 1.0) do sistema. para obter Diferença e divisão de números complexos Diferença de números complexos: A diferença entre os números complexos z=a+bi e w=c+di é o número complexo obtido pela soma entre z e -w. sendo que o número complexo 0=0+0i é representado pela própria origem (0. por exemplo. apenas conhecendo o resto da divisão do expoente por 4. 2 ou 3. Por exemplo. tan(ø)=b/a Por experiência. . resolver uma equação algébrica do 4o. Para elevar este número à potência 16. mas aqui denotada por r. O passo seguinte é obter um outro número complexo z(1) cujo módulo seja a raiz quarta de r e cujo argumento seja t/4. necessitamos saber o seu módulo r e o seu argumento t. então r 2=a2+b2 e a medida da hipotenusa será por definição. denotado por |z|.sen(m) sen(n) sen(m+n) = sen(m) cos(n) + sen(n) cos(m) Potência de um número complexo na forma polar Seguindo o produto acima. sen(ø)/r. para extrair a raiz quarta do número -16. Antes de apresentar o nosso processo para a obtenção da raiz quarta de um número complexo w. dado pelo angulo entre o eixo OX e o número complexo w. o que significa. isto é: Argumento de um número complexo: O ângulo ø formado entre o segmento OZ e o eixo OX. Desse modo. poderemos obter a potência de ordem k de um número complexo. cujo módulo é a raiz quadrada de 2 e o argumento é /4 (45 graus). Multiplicação de complexos na forma polar: Consideremos os números complexos: z = r (cos m + i sen m) w = s (cos n + i sen n) onde. o cateto horizontal tem comprimento igual à parte real a do número complexo e o cateto vertical corresponde à parte imaginária b do número complexo z. respectivamente. observamos que é melhor usar o cosseno ou o seno do ângulo para definir bem o argumento. é denominado o argumento do número complexo z. se z=a+bi é um número complexo. o que significa poder escrever o número complexo na forma polar: w = r (cos t + i sen t) O primeiro passo é realizar um desenho mostrando este número complexo w em um círculo de raio r e observar o argumento t. grau. uma vez que a tangente apresenta alguns problemas. z(1) = r1/4 [cos(t/4)+isen(t/4)] As outras raízes serão: z(2) = i z(1) z(3) = i z(2) z(4) = i z(3) Todas aparecem no gráfico. Pelas definições da trigonometria circular temos as três relações: cos(ø)=a/r. o módulo do número complexo z. w = r s [cos (m+n) + i sen (m+n)] Este fato é garantido pelas relações: cos(m+n) = cos(m) cos(n) . basta escrever: z16 = 28[cos(720o)+isen(720o)]=256 Raiz quarta de um número complexo Um ponto fundamental que valoriza a existência dos números complexos é a possibilidade de extrair a raiz de ordem 4 de um número complexo. mesmo que ele seja um número real negativo. mas observamos que este processo para obter as quatro raízes do número complexo w ficou mais fácil pois temos a propriedade geométrica que o número complexo i multiplicado por outro número 26 A sua alternativa certa em concurso público.RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO MATEMÁTICO Módulo e argumento de um número complexo Módulo de um número complexo: No gráfico anterior observamos que existe um triângulo retângulo cuja medida da hipotenusa é a distância da origem 0 ao número complexo z. Este número complexo é a primeira das quatro raizes complexas procuradas. podemos escrever: z = a+bi = r cos(ø) + r i sen(ø) = r (cos ø + i sen ø) e esta última é a forma polar do número complexo z. normalmente denotada pela letra grega ro nos livros. Como z = r [cos(m) + i sen(m)] então zk = rk [cos(km) + i sen(km)] Exemplo: Consideremos o número complexo z=1+i. devemos obter as quatro raízes da equação algébrica x4+16=0. r e s são os módulos e m e n são os argumentos destes números complexos z e w. Realizamos o produto entre estes números da forma usual e reescrevemos o produto na forma: z . Forma polar e sua multiplicação Forma polar de um número complexo: Das duas primeiras relações trigonométricas apresentadas anteriormente. o resultado será um outro número complexo rodado de t radianos em relação ao número complexo z.t = cos(t) + i sen(t) que é verdadeira para todo argumento real e a constante e tem o valor aproximado 2. Da mesma forma que antes.. Para facilitar a escrita usamos frequentemente: exp(i t) = cos(t) + i sen(t) Observação: A partir da relação de Euler. 27 .5o) = R[2](1+i) onde R[2] é a raiz quadrada de 2. através de qualquer uma das formas: e2i /8 = 2(cos 45o + i sen 45o) = R[2](1+i)/2=0. Exemplo: Para obter a primeira raiz da equação x8=-64. no sentido anti-horário. é possível construir uma relação notável envolvendo os mais importantes sinais e constantes da Matemática: Voltemos agora à exp(it). Por exemplo. aparecerá um quadrado rodado de t/4 radianos em relação ao eixo OX. para obter: w = r eit Para extrair a raiz n-ésima. Obtemos as outras raízes pela multiplicação do número complexo abaixo. observamos a posição do número complexo w=-64+0i. Se os quatro números complexos forem ligados.RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO MATEMÁTICO complexo.5o+i sen 22.707(1+i) Assim: z(2) = z(1) R[2](1+i)/2 z(3) = z(2) R[2](1+i)/2 z(4) = z(3) R[2](1+i)/2 z(5) = z(4) R[2](1+i)/2 z(6) = z(5) R[2](1+i)/2 A sua alternativa certa em concurso público.71828. podemos escrever o número complexo w=r(cos t + i sen t) e usar a relação de Euler. deve-se construir a primeira raiz que é dada pelo número complexo z(1) = r1/n eit/n Todas as outras n-1 raízes serão obtidas pela multiplicação recursiva dada por: z(k) = z(k-1) e2i /n onde k varia de 2 até n. então z(1) pode ser escrita na forma polar: z(1) = 2 ei /8 = 2(cos 22. roda este último de 90 graus e outro fato interessante é que todas as quatro raízes de w estão localizadas sobre a mesma circunferência e os ângulos formados entre duas raízes consecutivas é de 90 graus.. obteremos um número complexo z(1) que forma com z um ângulo /8=22. Iremos agora resolver a equação xn=w. Aqui.5graus. constatando que o seu módulo é igual a 64 e o argumento é igual a radianos (=180 graus). a raiz oitava de 64 é igual a 2 e o argumento da primeira raiz é /8. onde n é um número natural e w é um número complexo dado. Raiz n-ésima de um número complexo Existe uma importantíssima relação atribuída a Euler: ei. se multiplicarmos o número complexo z por exp(i /8)=cos( /8)+i sen( /8). Se multiplicarmos o número e it por um número complexo z. Número complexo como matriz Existe um estudo sobre números complexos. resultando em processos que transformam as características geométricas dos números complexos em algo simples.00. etc.RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO MATEMÁTICO z(7) = z(6) R[2](1+i)/2 z(8) = z(7) R[2](1+i)/2 Exercício: Construa no sistema cartesiano os 8 números complexos e ligue todas as raízes consecutivas para obter um octógono regular rodado de 22. para cada 6 litros de suco puro coloca-se 16 litros de água. podem ser obtidas através de matrizes. Grandeza Diretamente Proporcional É definido como Grandeza Diretamente Proporcional as grandezas que são diretamente proporcionais quando a variação de uma implica na variação ou mudança da outra.5 graus em relação ao eixo OX. NÚMEROS E GRANDEZAS PROPORCIONAIS Grandeza É todo valor que. mesma direção e sentido. calculando o preço unitário de R$ 0.5 6 A razão também pode ser expressa na forma de divisão entre duas grandezas de algum sistema de medidas. o total de 10 metros em 10 segundos. A relação entre a quantidade de litros de suco concentrado e de água é um número real expresso como uma fração ou razão (que não tem unidade). Em nosso dia-a-dia quase tudo se associa a duas ou mais grandezas. para preparar uma bebida na forma de suco. Exemplo: Velocidade e tempo. no qual um número complexo z=a+bi pode ser tratado como uma matriz quadrada 2x2 da forma: e todas as propriedades dos números complexos. RAZÕES E PROPORÇÕES RAZÃO A palavra razão vem do latim ratio e significa a divisão ou o quociente entre dois números A e B. peso. estamos lidando diretamente com grandezas que estão relacionadas entre si. para cada 3 litros de suco puro coloca-se 8 litros de água. Tente comparar este método com outros que você conhece e realize exercícios para observar como aconteceu o aprendizado. dependendo da condição apresentada. Por exemplo.5 pois: 3 = 0. Grandeza Inversamente Proporcional Duas grandezas são inversamente proporcionais quando a variação de uma implica necessariamente na variação da outra.10. na mesma proporção. Exemplo: Se uma pessoa compra 10 borrachas ao custo de R$ 1. perfazendo o total de 11 litros de suco pronto. na mesma proporção. então se ela comprar 20 borrachas o custo total será de R$ 2. Se este mesmo carro aumentar para 200 km/h gastará apenas 05 segundos para percorrer os mesmos 10 metros. . Assim também a quantidade de trabalho a ser realizado em um determinado tempo depende do número de operários empregados e trabalhando diretamente na obra a ser concluída o que se deseja concluir. porém. espaço. normalmente adicionamos A litros de suco concentrado com B litros de água. Um carro percorre a uma velocidade de 100 Km/h. A relação de dependência entre duas grandezas. Exemplo: 01 Kg de carne custa “Y”. Na Situação2. em sentido e direção contrários. Por exemplo: quando falamos em: velocidade. Exemplo: Em uma partida de basquete um jogador faz 20 arremessos e acerta 10.00. quando há a variação de um. ao ser relacionado a um outro de tal forma. tempo. se a pessoa comprar 02 Kgs de carne então ela pagará “02 y”. como conseqüência o outro varia também. pode ser classificada como Diretamente proporcional ou Inversamente proporcional. Líquido Situação 1 Situação 2 Situação 3 Situação 4 Suco puro 3 6 8 30 Água 8 16 32 80 Suco pronto 11 22 40 110 Na Situação1. Exemplo: Uma moto percorre um determinado espaço físico em um tempo maior ou menor dependendo da velocidade que ela poder chegar ou imprimir em seu percurso realizado. denotada por: A B Exemplo: A razão entre 12 e 3 é 4 porque: 12 =4 3 e a razão entre 3 e 6 é 0. perfazendo o total de 24 litros de suco pronto.. 28 A sua alternativa certa em concurso público. é a razão: A = A/B B Exemplo: Tomemos a situação apresentada na tabela abaixo. o italiano Niccola Fontana. o que significa que o jogador acertou 1 para cada dois arremessos. No século XV. ou seja. diz-se que as razões são iguais e se indica 6 = 9 8 12 Então: “Duas razões são iguais quando as frações que as representam são equivalentes”. o que também pode ser pensado como o acerto de 0. • RAZÕES IGUAIS Tomando-se as razões 6 e 9 ..5 para cada arremesso. as frações que representam são equivalentes. veremos que: 8 12 6 x 12 = 9 x 8 antecedente conseqüente antecedente conseqüente de uma de outra de uma de outra Logo: “Nas razões iguais. 8 12 8 4 12 4 isto é. 10 : 20 = 1 : 2 = 0. verificamos que 6 = 3 e 9 = 3. cujas medidas são dadas. 5 = 1) 5 4 Das duas razões nessas condições são chamadas inversas. o matemático árabe Al-Kassadi empregou o símbolo ". é uma igualdade entre duas razões. Solução: Deve-se montar a proporção da seguinte forma: x 4 = 3 6 Para obter X=2.537. 5 4 Vemos também que o produto das duas é igual a 1 ( 4 .” PROPORÇÃO Proporção é a igualdade entre duas razões. por 2cm e 4cm. 3 → antecedente 2 → conseqüente •RAZÕES INVERSAS Considerando as razões 4 e 5 vemos que o antecedente de uma é o conseqüente da outra e vice-versa. respectivamente. dividindo o número de arremessos que ele acertou pelo total de arremessos. escreveu uma proporção na forma 6:3::8:4.. isto é: A·D=B·C Exemplo: A fração 3/4 está em proporção com 6/8." para indicar as proporções e em 1.RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO MATEMÁTICO Podemos avaliar o aproveitamento desse jogador. Propriedade fundamental das proporções Numa proporção: A C = B D os números A e D são denominados extremos enquanto os números B e C são os meios e vale a propriedade: o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. Observação: A razão de antecedente 0 não possui inversa. 6 = 9 . Neste caso. 29 .” Assim a razão entre os números 3 e 2 é 3 que se lê: razão de três para dois . Razões e Proporções de Segmentos Consideremos dois segmentos AB e CD. A proporção entre A/B e C/D é a igualdade: A C = B D Notas históricas: A palavra proporção vem do latim proportione e significa uma relação entre as partes de uma grandeza. A sua alternativa certa em concurso público.5 “Razão entre dois números racionais (o segundo diferente do primeiro) é o quociente do primeiro pelo segundo. No exemplo dado. Regiomontanus foi um dos matemáticos italianos que mais divulgou o emprego das proporções durante o período do Renascimento. 2 O primeiro número é chamado ANTECEDENTE e o segundo CONSEQÜENTE. conhecido por Tartaglia. pois: 3 6 = 4 8 Exercício: Determinar o valor de X para que a razão X/3 esteja em proporção com 4/6. os produtos do antecedente de uma pelo conseqüente de outra são iguais. m(AB) 2 = m(CD) 4 Podemos também afirmar que AB está para CD na razão de 1 para 2 ou que CD está para AB na razão de 2 para 1. estabelecemos uma razão entre as suas medidas. Exemplo: Nos triângulos observamos que os ângulos correspondentes possuem a mesma medida. As figuras geométricas são semelhantes quando existe uma igualdade entre as razões dos segmentos que ocupam as correspondentes posições relativas nas figuras. ou seja. escala = comprimento no desenho / comprimento real 30 A sua alternativa certa em concurso público.RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO MATEMÁTICO A________B. B~S. conhecidas simplesmente como escala. ou seja. ou seja. Exemplo: Sejam os triângulos ABC e RST. A figura final e a figura original são chamadas figuras semelhantes. C ______________ D Comparando os segmentos AB e CD. para cada hora percorrida o carro se deslocou 164 Km. escala. Velocidade Média: A "velocidade média". Observamos que os ângulos correspondentes possuem as mesmas medidas. A~R. . Qual foi a velocidade média do veículo nesse percurso? A partir dos dados do problema. Isto significa que existe uma proporção constante entre elas sem ocorrência de deformação. B=S e C=T e os lados correspondentes são proporcionais. Aplicações práticas das razões Existem algumas razões especiais muito utilizadas em nosso cotidiano. entre as quais: velocidade média. teremos: vmédia = 328 Km / 2h = 164 Km/h o que significa que a velocidade média do veículo durante a corrida foi de 164 Km/h. AB/RS = BC/ST = CA/TR = 2 Assim. C~T e os lados correspondentes são proporcionais. em geral. minutos ou segundos). A=R. Chamamos de escala de um desenho à razão entre o comprimento considerado no desenho e o comprimento real correspondente.5)=2 Afirmamos que os polígonos (triângulos) ABC e RST são semelhantes e indicamos isto por : ABC ~ DEF Figuras Semelhantes Duas figuras são semelhantes quando elas têm a mesma forma com medidas correspondentes congruentes. é uma grandeza obtida pela razão entre uma distância percorrida (expressa em quilômetros ou metros) e um tempo por ele gasto (expresso em horas. densidade demográfica e densidade de um corpo. ambos medidos na mesma unidade. denotadas aqui por. AB/RS=5/(2. O mapa verde é uma ampliação do mapa amarelo ou o mapa amarelo é uma redução do mapa verde. Os dois mapas possuem a mesma forma mas têm tamanhos diferentes. Polígonos Semelhantes Dois polígonos são semelhantes se têm ângulos correspondentes congruentes e os lados correspondentes proporcionais. vmédia = distância percorrida / tempo gasto Exemplo: Suponhamos que um carro de Fórmula MAT percorreu 328Km em 2h. Escala: Uma das aplicações da razão entre duas grandezas se encontra na escala de redução ou escala de ampliação. quando uma é uma ampliação ou redução da outra.5)=2 BC/ST=4/2=2 AC/RT=3/(1. os triângulos ABC e DEF são semelhantes e indicamos por: ABC ~ DEF Exemplo: O mapa do Brasil está em duas escalas diferentes. 43cm. Curiosidade: Devido à existência de densidades diferentes.14159265358979323846264338327950. observa-se que sobra mais espaço vazio para ser ocupado pelo time que tem um jogador expulso.RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO MATEMÁTICO Usamos escala quando queremos representar um esboço gráfico de objetos como móveis.75 kg/dm³ então para cada dm³ há uma massa de 8. Ela expressa a razão entre o numero de habitantes e a área ocupada em uma certa região...000. Uma bolinha de isopor flutuará na água enquanto que uma de chumbo.000. Exemplo: Se uma estátua de bronze possui uma densidade volumétrica de 8.000 Km² densidade demográfica = 60 habitantes/ Km 2 Isto significa que para cada 1 Km 2existem aproximadamente 60 habitantes. temos uma razão notável: C / D = Pi = 3. Densidade de um Corpo: Densidade de um corpo é mais uma aplicação de razão entre duas grandezas. significando que C = Pi . o estado tem uma população aproximada de 12.8 2. Algumas substâncias e suas densidades estão na tabela abaixo: Substância madeira gasolina álcool alumínio ferro mercúrio Densidade [g/cm³] 0. Assim: dens. O nome desta razão é Pi e seu valor é aproximadamente: Pi = 3. alguns afundam e outros flutuam. Exemplo: Um estado brasileiro ocupa a área de 200. ou seja. Densidade Demográfica: O cálculo da densidade demográfica.7 7. também chamada de população relativa de uma região é considerada uma aplicação de razão entre duas grandezas. 31 . a densidade (volumétrica) de um corpo é a razão entre a massa desse corpo.1415926535 Exemplo: Se C é o comprimento da circunferência e D a medida do diâmetro da circunferência.8 13. Isso ocorre porque a densidade do chumbo é maior que a densidade do isopor. pois as dimensões do barco vermelho são 2 vezes maiores do que as dimensões do barco azul. É a igualdade entre 2 razões. A sua alternativa certa em concurso público.000 habitantes/200.000 habitantes.6 Pi: Uma razão muito famosa: Os egípcios trabalhavam muito com certas razões e descobriram a razão entre o comprimento de uma circunferência e seu diâmetro. etc. de mesmo volume afundará. o que significa 6 jogadores em cada lado da quadra. fachadas de prédios. Neste caso. Exemplo: Observemos as figuras dos barcos: Base menor barco azul/Base menor barco vermelho = 2/4 Base maior barco azul/Base maior barco vermelho = 4/8 Altura do barco azul/Altura do barco vermelho = 3/6 O barco vermelho é uma ampliação do barco azul. medido em m³. dm³ ou qualquer outra unidade de volume. ocorre a expulsão de 1 jogador de um time. os lados correspondentes foram reduzidos à metade na mesma proporção.75 kg. Este é um fato fundamental pois esta razão é a mesma para toda circunferência. De acordo com o censo realizado. mapas.demográfica=12.7 0. observamos que ao colocarmos corpos diferentes em um recipiente com água. Exemplo: Em um jogo de vôlei há 6 jogadores para cada time. D Exemplo: Se a medida do raio de uma circunferência tem 1.5cm então o perímetro da circunferência é igual a 9. plantas de uma casa ou de uma cidade. Se. sendo que não pode haver substituição.5 0. medida em Kg ou gramas e o seu volume. afirmamos que a densidade demográfica é menor na quadra que tem um jogador expulso e maior na outra quadra.000 Km². por algum motivo. Assim. maquetes. Direta . (3º) 2. (2º) 6.RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO MATEMÁTICO 3 = 6 ( lê-se 3 está para 2 assim como 6 está para 4) 2 4 O primeiro número (3) e o último número (4) são os EXTREMOS e o segundo número (2) e o terceiro número (6) são os MEIOS. mantêm-se uma razão que não tem variação. assim como o número proporcional está para a parte que a representa. considerando o exemplo acima temos: • Produto dos Extremos: 3 . 4 = 12 EXEMPLO: • Produtos dos Meios: 2 . divididos por quocientes previamente determinados.Direta e Inversa ao mesmo tempo. 6 = 12 EXEMPLOS: 1. cuja solução sugue no cálculo abaixo: a/4 = b/2 à a + b = a + b/4+2 à 60/6 = 10 Então: a=40 e b= 20.Inversa . cuja solução segue de: a/2 = b/3 à a + b = a+b/2+3 à 120/5 = 24 Então: a=48 e b= 72. Divisão em partes diretamente proporcionais O total dos números a ser dividido está para a soma dos proporcionais. formam uma proporção 5 7 R. Calcule x nas proporções: a) x = 6 5 10 Solução: Aplicando a propriedade fundamental das proporções. então esses quatro números formam uma proporção. onde o produto do primeiro pelo quarto é igual ao produto do segundo pelo terceiro. A divisão proporcional pode ser: . 3ª e 4ª). será montado o sistema de modo que a + b = 60. então esses números formam uma proporção que pode ser escrita de oito formas diferentes (transformadas): 1ª) 3 = 2 6 4 2ª) 3 = 6 (permutando-se os meios) 2 4 3ª) 4 = 2 (permutando-se os extremos) 6 3 4ª) 4 = 6 (permutando-se os meios e os extremos ) 2 3 5ª) 6 3 6ª) 2 3 7ª) 6 4 8ª) 2 4 = = = = 4 2 4 6 3 2 3 6 invertendo-se as razões das proporções 1ª. PROPRIEDADES E TRANSFORMAÇÕES Em toda proporção o produto dos extremos é igual ao produto dos meios. 2ª. DIVISÃO PROPORCIONAL Podemos definir uma DIVISÃO PROPORCIONAL . temos: 10x = 30 PROPRIEDADE RECÍPROCA Se tivermos quatro números diferentes de zero. Assim. Exemplos de fixação de definição: 32 A sua alternativa certa em concurso público. montaremos o sistema de modo que a+b=120. EXEMPLO: Considerando os números (1º) 3. 3 . 7 = 21 e 5 . Dividir o número 60 em duas partes a e b diretamente proporcionais a 4 e 2. Desta forma. 2. Exemplos para fixação de definição Para decompor o número 120 em duas partes a e b diretamente proporcionais a 2 e 3. (4º) 4 Como 3 .: Não. como uma forma de divisão no qual determinam-se valores que. As proporções 3 e 4 . 4 = 20 2. . pois. 4 = 6 . é necessário montar uma proporção para cada uma delas. 2 à x = 40 1 2 20 = y --> y .4) = 12 1/2. 1 = 20 . temos que determinar as frações equivalentes. em partes diretamente proporcional a 4. 33 . temos: x/2 = y/4 = z/6 x + y + z = 240 x/2 = y/4 = z/6 (aplica-se a propriedade das proporções) x + y + z = 240 = 20 2 + 4 + 6 = 12 = 1 Para determinar as partes.00 proporcionalmente as idades de seus filhos: 2.00 tendo o resultado geral o capital de R$ 12.000. 4 à x = 96 1 4 24 = y --> y . Como os números quocientes são predeterminados são em frações. assim: x + y + z = 240 Pela definição dada. 1 = 20 . 1 = 24 . 4/12.m. 1 = 24 . 6 anos.000.RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO MATEMÁTICO a) Uma pessoa divide o valor de R$ 12. de cada filho respectivamente às idades é: R$ 2.00. 1 = 24 . 24 = x --> x . 20 = x --> x . 5 e 6. 4 à y = 80 1 4 20 = z --> z . Qual o valor que cada um receberá? Resolução: 2 + 4 + 6 = 12 12 : 12. com a proporção encontrada.000 X 12 6 : : 12.000 X O valor total. Resolução: Chamaremos das incógnitas “x”. assim: x + y + z = 360 Pela definição dada.00+R$ 6. 3/12 Montando os cálculos: x + y + z = 169 A sua alternativa certa em concurso público. 1/4 Resolução: Vale observar que agora estamos tratando de números fracionários. 6 à z = 144 1 6 Checando os resultados: x + y + z = 360 96 + 120 + 144 = 360 d) Dividir o número 169 em partes diretamente proporcionais a 1/2. 4 e 6. temos: x/4 = y/5 = z/6 x + y + z = 360 x/4 = y/5 = z/6 (aplica-se a propriedade das proporções) x + y + z = 360 = 24 4 + 5 + 6 = 15 = 1 Para determinar as partes. assim: m. b) Dividir o número 240.000. 6 à x = 120 1 6 Checando os resultados: x + y + z = 240 40 + 80 + 120 = 240 c) Dividir o número 360.000 2 : X 12 4 : : 12. 4. em partes diretamente proporcional a 2. é necessário montar uma proporção para cada uma delas. 5 à y = 120 1 5 24 = z --> z . Resolução: Chamaremos das incógnitas “x”.000. com a proporção encontrada. 1/3.3. então. “y” e “z” as partes que serão determinadas. 1 = 20 .000.00 + R$ 4.c (2. 1/4 à 6/12. 1/3. “y” e “z” as partes que serão determinadas. RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO MATEMÁTICO x/1/2 = y/1/3 = z/1/4 Com o mmc das frações: x + y + z = 169 x/6 = y/4 = z/3 x + y + z = 169 6 + 4 + 3 = 13 Logo: 13/1 é a razão equivalente Calculando as partes separadamente: 13/1 = x/6 x . 13 z = 39 Checando os cálculos temos: 78 + 52 + 39 = 169 78/6 = 13 52/4 = 13 39/3 = 13 TERCEIRA E QUARTA PROPORCIONAIS . • o 3 é a terceira proporcional entre os números 15 e 75. B) A QUARTA PROPORCIONAL É UM MEIO Veja: 7 = 35 x 30 Aplicaremos a propriedade fundamental: 35. 9 e 15 formamos uma proporção. 1 = 4 . .PROPORÇÃO CONTÍNUA Quando uma proporção tem meios ou os extremos iguais ele é contínua. 12 4 x = 15 Logo: O produto dos meios dividido pelo extremo conhecido é igual a um extremo desconhecido. então o 3 é a quarta proporcional. . 13 y = 52 13/1 = z/3 Z . 30 35 x = 6 Logo: O produto dos extremos dividimos por meio conhecido é igual a um meio desconhecido.x = 5 . 5. 30 x = 7 .Cálculo da Quarta Proporcional A) A QUARTA PROPORCIONAL É UM EXTREMO Veja 4 = 12 5 x Aplicamos a propriedade fundamental das proporções. 3 = 9 5 15 . Exemplo: 9 6 e 8 4 6 4 16 8 . 1 = 3 .QUARTA PROPORCIONAL Quarta proporcional é quando um número forma com outros três uma proporção. Logo: O número que forma com dois outro uma proporção contínua é a terceira proporcional 34 A sua alternativa certa em concurso público. 12 x = 5 . Exemplo: 3 15 15 15 • o 75 é a terceira proporcional entre os números 3 e 15.TERCEIRA PROPORCIONAL É um dos termos desiguais de uma proporção contínua. 1 = 6 .x = 7 . 13 x = 78 13/1 = y/4 Y . 4. Exemplo: Com os números 3. 00 e assim por diante.600 tijolos 4 horas ------.00 R$ 10.60 km II 2 horas ----------. 1 = 60 . temos: 10 = 1 20 2 I E II R$ 5. 35 . com 90 km/h de velocidade média.00 = 2 20 R$ 10. 1º .00 R$ 15. Então: 1 hora --------.00 pela compra.00 III 30 m R$ 15. O ônibus leva uma hora no percurso.00 20 = 2 30 3 II E III R$ 10. com 30 km/h de velocidade. Em uma hora. Um automóvel se desloca numa estrada.200 tijolos 3 horas ------. percorre 60 km. Em cinco horas.00 2 20 R$ 10.00 As grandezas comprimento da peça de arme e preço da peça são diretamente proporcionais. aumentando-se a primeira grandeza (arame). percorre 120 km. aumentando-se uma delas.800 tijolos GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS Suponhamos que três veículos estejam percorrendo 90km numa determinada estrada.00 = 1 10 R$ 5. conservando-se a ordem de uma das razões e invertendo-se a outra.120 km III 5 horas ----------. Se comprasse 20m.00 3 I E II 10 30 R$ R$ 5.00 10 = 1 30 3 R$ 5. percorre 300 km ou: I 1 hora ------------. Em duas horas. pagaria a importância de R$15. Esquematizando as compras: Comprimento do arame Preço do arame I 10 m R$ 5. com velocidade média constante de 60 km/h. 3º . 2º . O caminhão leva duas horas no percurso.Um ônibus. Portanto: Duas grandezas são diretamente proporcionais quando. Então: O ciclista leva três horas no percurso.00. Comparando-se temos: Velocidade Tempo I 30 km/h 3 horas II 45 km/h 2 horas III 90 km/h 1 hora Vemos que I. se comprasse 30m. ou: I e II) 30 = 2 ou 45 = 3 45 3 30 2 I e III) 30 = 1 ou 90 = 3 90 3 30 1 II e III) 45 = 1 ou 90 = 2 90 2 45 1 Duas grandezas são inversamente proporcionais quando. A sua alternativa certa em concurso público.RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO MATEMÁTICO GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS Marcos foi comprar 10m de arame e pagou R$5. a segunda (preço) aumenta na mesma razão da primeira.00 II 20 m R$ 10.Um ciclista. a outra aumenta na mesma razão da primeira. pagaria R$10.00 3 30 R$ 15.00 15. a outra diminui na mesma razão da primeira. II e III formam proporções. A divisão proporcional é representada por um conjunto de números proporcionais e grandezas proporcionais. 2 = 120 2 120 5 300 5 300 Um pedreiro assenta 200 tijolos por hora. Comparando-se.00 Vemos que. com 45 km/h de velocidade média. aumentando-se uma delas.00 = 1 R$ 15.Um caminhão.300 km Donde: 1 = 60 . percorre um trajeto em 4h. Vemos que “tempo” e “máquinas” são GIP e “tempo” e “peças” são GDP.200. 2) Um carro. utilizaremos a "regra de três simples direta" e caso elas sejam inversamente proporcionais. quatro máquinas trabalhando 8 dias produzem 600 peças.: 24 dias. isoladamente. Veja mais sobre isto em proporção. Se uma diminui. ¾ 10 = 6 . Concluímos assim. 1 .00? Este é o típico caso da utilização de uma "regra de três simples direta". Observe que neste caso. tem por base a "propriedade fundamental das proporções". Assim temos: Simples: DIRETA: envolve duas grandezas diretamente proporcionais (GDP). a outra também aumenta. e direta. que as grandezas S e D são diretamente proporcionais. 1 x d . 10 = 6 . pois as grandezas são diretamente proporcionais. também teremos o respectivo salário diminuído. Quantos dias de 6 horas levaria para fazer 2000m de outra fazenda que apresenta uma dificuldade igual aos ¾ da primeira? 10d . a pessoa terá que trabalhar por 20 dias.2000m . 4 → x = 20 x 8 2000 ¾ x 8 2000 3 Resp.6h . 4) Um operário levou 10 dias de 8 horas para fazer 1000m de fazenda.: $960.: 20 dias. Como você pode notar.: 5 horas. Logo: 80 = x → x = 80 . Quantos dias esta pessoa precisará trabalhar para ter direito a receber R$ 1. pois ao diminuirmos o número de dias trabalhados. REGRA INVERSA: envolve duas grandezas DE inversamente proporcionais TRÊS (GIP). De acordo com a orientação das setas. a resolução de um problema de regra de três.dif. Nos problemas onde temos três ou mais grandezas.00 por 30 dias trabalhados.200. um mesmo problema pode envolver tanto grandezas diretamente proporcionais. A resolução de problemas que envolvem grandezas proporcionais pode ser realizada através de uma regra prática denominada "regra de três". Se tivermos duas grandezas diretamente proporcionais. porque quando uma grandeza aumenta. Simples por envolver apenas duas grandezas proporcionais. obviamente o número de dias de trabalho também será.RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO MATEMÁTICO (SIMPLES E COMPOSTA) A regra de três é usada para resolver problemas que envolvam grandezas proporcionais.1000m .00. Como o salário vai ser reduzido. Se ao invés de dois. utilizaremos a "regra de três simples inversa". Chamemos de S a grandeza que representa o salário e de D a grandeza que representa o número de dias de trabalho e vejamos a representação abaixo: As setas apontam na mesma direção. 600 → x = 24 x 4 900 Resp. ou seja. com cada uma das outras. temos: 8 = 2 . em quantas horas tal muro poderia ser construído? REGRA DE TRÊS 36 A sua alternativa certa em concurso público. fossem três pedreiros. Quanto pagaria por 8m desse tecido? 5m 600 8m x Temos aqui duas GDP (veja o sentido das setas). Em quanto tempo esse mesmo trajeto seria percorrido se a velocidade do carro fosse de 64km/h? ↓80km/h 4h↑ 64km/h x Agora temos duas GIP (veja o sentido das setas). com a velocidade de 80km/h. Percebemos isto. Em quantos dias duas máquinas produziriam 900 peças? Relacionamos a grandeza que contém a incógnita. Logo: 5 = 600 → x = 8.800. Regra de Três Simples Direta Uma pessoa recebe R$ 1.600 = 960 8 x 5 Resp. 4 = 5 64 4 64 Resp.dif. o mesmo ocorre com a outra. Composta: envolve mais de duas grandezas Exemplos: 1) Paguei $600 por 5m de um tecido. . Regra de Três Simples Inversa Dois pedreiros trabalhando juntos conseguem construir um certo muro em 6 horas de trabalho. 1000 . quanto grandezas inversamente proporcionais. 1000 . utilizamos a "regra de três composta". 3) Numa indústria. podemos então montar a proporção: Concluímos que para ter o direito a receber os R$ 1.8h . Assim. mas a tarefa continua a mesma. logo a seta de T terá orientação oposta a da seta de H. Como mais pessoas irão consumir mais litros. Vamos chamar de P a grandeza que representa a quantidade de pedreiros e de H a grandeza que representa o número de horas de trabalho para a construção do muro. Então agora podemos montar a proporção segundo a "propriedade fundamental das proporções": Portanto com três pedreiros serão necessárias apenas 4 horas de trabalho. mas não em outra posição. não está posicionada nem à direita. Sabemos que em um mês são consumidos 4000 litros. ou para a esquerda. A representação para analisarmos o problema é a seguinte: Observe que na montagem a grandeza H. pois é ela que está sendo procurada. para baixo: Se houvesse alguma seta com orientação oposta à seta de L. isto é. Para padronizar. Sabemos que ao diminuirmos a capacidade do tanque. A posição da sua seta pode ser arbitrada tanto para cima. Você já sabe que a posição da sua seta pode ser arbitrada tanto para cima. deve estar posicionada à direita. ou seja. no entanto para que isto seja possível. Vamos escolher esta última: Agora ficou melhor. T: A quantidade de torneiras. determinar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais entre si. nem à esquerda do diagrama. A título de curiosidade. logo a seta de M terá a mesma orientação da seta de H que é para baixo: Vamos agora determinar se T e H são diretamente ou inversamente proporcionais. Sabemos que se aumentarmos a quantidade de torneiras. Para encher um tanque com 400 metros cúbicos de capacidade. o tempo necessário para a construção do muro será menor. determinar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais entre si. Como você pode perceber. ou seja. ou outras no caso de se tratar de uma regra de três composta. A outra grandeza. L: A quantidade de litros de água. então em sendo assim. iremos novamente utilizar a "propriedade fundamental das proporções". é que deve mudar. A grandeza de referência é a grandeza H. as duas grandezas são diretamente proporcionais. Quantas horas seriam necessárias para enchê-lo com 6 torneiras. basta-nos montarmos a proporção e resolvê-la: Portanto as duas pessoas irão consumir 96 mil litros de água em um ano. T: O período de tempo envolvido. que é a grandeza que estamos procurando ( a grandeza que contém o termo x). então as grandezas são diretamente proporcionais. 96000 litros equivalem a 96 metros cúbicos. Obviamente se aumentarmos o tempo de consumo. ou seja. vamos escolher a seta da grandeza de referência sempre para baixo: Vamos determinar se H e M são diretamente proporcionais ou não. a grandeza L. ou em outras palavras. vamos então identificar a orientação das setas. logo a seta de P terá a mesma orientação da seta de L. Quantos litros de água duas pessoas irão consumir em um ano? Primeiramente para facilitar a explicação. A grandeza de referência é a grandeza L. então as grandezas são diretamente proporcionais. quanto para baixo. se o tanque tivesse apenas 300 metros cúbicos de capacidade? Primeiro vamos atribuir uma letra a cada grandeza: M: A capacidade em metros cúbicos do tanque. que é a grandeza que estamos procurando ( a grandeza que contém o termo x). pois a mão de obra aumenta. pois irá dificultar em muito a resolução do problema. os termos desta grandeza deveriam ser invertidos. 37 . também para baixo: Finalmente falta-nos determinar se L e T são diretamente ou inversamente proporcionais. para que os dois períodos de tempo fiquem na mesma unidade de medida: A ordem de colocação das grandezas na representação acima. mas no lugar de um ano. ou à esquerda se desejássemos. Sabemos que uma pessoa consome 4000 litros. Como não é o caso. por isso as duas grandezas são inversamente proporcionais. a grandeza que contém o termo x é tomada como referência e não é alterada. Para a resolução do problema. iremos utilizar doze meses. a outra diminui e vice-versa. logo a seta de T terá a mesma orientação da seta de L. Sejam elas: P: O número de pessoas. Montemos a representação para analisarmos o problema. Como a seta referente à grandeza H (a grandeza referente ao x) está para cima. devemos primeiro deixar as duas setas com a mesma orientação. também iremos diminuir o tempo necessário para enchê-lo. quando uma grandeza aumenta. pois quanto uma aumenta a outra diminui: A sua alternativa certa em concurso público. como colocamos.RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO MATEMÁTICO Você pode facilmente compreender que aumentando o número de pedreiros. automaticamente iremos diminuir o tempo necessário para encher o tanque. por isto devemos passá-la para a extremidade direita. duas torneiras levaram 4 horas para enchê-lo. iremos atribuir uma letra a cada grandeza. será para cima. Isto é uma má ideia. ou em outras palavras. Vejamos então a representação abaixo: Neste caso as setas apontam na direção oposta. pois as grandezas são inversamente proporcionais. H: A duração de cada operação em horas. Vamos escolher para baixo: Agora vamos determinar se L e P são diretamente proporcionais ou não. tanto faz. também aumentaremos o consumo em litros. A partir daí podemos então identificar a orientação das setas. é a mesma que a do enunciado do problema. O motivo disto é deixar a razão com o termo x isolada. iremos inverter os termos da outra razão para que a sua seta também fique para cima: Perceba que sempre que tenhamos que realizar alguma mudança na orientação das setas. Percebemos então que este problema trata grandezas inversamente proporcionais. Regra de Três Composta Uma pessoa consome 4000 litros de água por mês. quanto para baixo. 3) Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120. podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais .5 horas ou 2 horas e 30 minutos.00. Quanto ela pagaria se comprasse 5 camisetas do mesmo tipo e preço? Solução: montando a tabela: Camisetas Preço (R$) 3 120 5 x 38 A sua alternativa certa em concurso público. colocamos uma outra seta no sentido contrário (para cima) na 1ª coluna. faz um determinado percurso em 3 horas. portanto.aumenta). Observe que: Aumentando a velocidade. Montando a proporção e resolvendo a equação temos: Logo. a energia produzida será de 500 watts por hora. qual será a energia produzida? Solução: montando a tabela: Área (m 2) Energia (Wh) 1. Assim sendo. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso. uma lancha com motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. colocamos uma outra seta no mesmo sentido (para baixo) na 1ª coluna. agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência. 2) Um trem.2 400 1. devemos então inverter tanto a seta.5 x Identificação do tipo de relação: Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). 3º) Montar a proporção e resolver a equação. .RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO MATEMÁTICO Podemos perceber que a seta da grandeza T possui orientação oposta à da grandeza H. Aumentando-se essa área para 1.5m 2. a energia solar aumenta . Teremos então: Por fim montemos a proporção e vamos resolvê-la seguindo a "propriedade fundamental das proporções" Portanto com 6 torneiras poderíamos encher 300 metros cúbicos em apenas uma hora. determinar um valor a partir dos três já conhecidos. Passos utilizados numa regra de três simples: 1º) Construir uma tabela. 2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais. o tempo desse percurso seria de 2. 1) Como as palavras correspondem (aumentando . quanto os seus elementos. Como as palavras são contrárias (aumentando . REGRA DE TRÊS SIMPLES Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos. se a velocidade utilizada fosse de 480km/h? Solução: montando a tabela: Velocidade (Km/h) Tempo (h) 400 3 480 x Identificação do tipo de relação: Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). o tempo do percurso diminui . Assim sendo.diminui). Observe que: Aumentando a área de absorção. Exemplos: 1) Com uma área de absorção de raios solares de 1. Montando a proporção e resolvendo a equação temos : Logo.2m 2. podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais . deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h. Exemplos: 1) Em 8 horas. podemos diminuir o número de caminhões. direta ou inversamente proporcionais. o preço aumenta . o prazo para término aumenta . Aumentando o volume de areia. A seguir. podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais . as grandezas de espécies diferentes que se correspondem: Horas Caminhões Volume 8 20 160 5 x 125 Identificação dos tipos de relação: Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). realizou determinada obra em 20 dias.aumenta). devemos aumentar o número de caminhões. Portanto a relação é diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna ). Quantos carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias? Solução: montando a tabela: Homens Carrinhos Dias 8 20 5 A sua alternativa certa em concurso público. podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais . Montando a proporção e resolvendo a equação temos: Logo. Se o número de horas de serviço for reduzido para 5 horas. Observe que: Aumentando o número de horas de trabalho. Como as palavras são contrárias (diminuindo .RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO MATEMÁTICO Observe que: Aumentando o número de camisetas. Portanto a relação é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna ). serão necessários 25 caminhões . em que prazo essa equipe fará o mesmo trabalho? Solução: montando a tabela: Horas por dia Prazo para término (dias) 8 20 5 x Observe que: Diminuindo o número de horas trabalhadas por dia. a Bianca pagaria R$200. Como as palavras correspondem (aumentando . 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. trabalhando 8 horas por dia. 39 . Em 5 horas.00 pelas 5 camisetas.aumenta). devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x. em cada linha. 20 caminhões descarregam 160m 3 de areia. quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m 3? Solução: montando a tabela. Montando a proporção e resolvendo a equação temos : Logo. 2) Numa fábrica de brinquedos. colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e. Montando a proporção e resolvendo a equação temos : REGRA DE TRÊS COMPOSTA A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas. 4) Uma equipe de operários. Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas. serão montados 32 carrinhos. como mostra a figura abaixo: Montando a proporção e resolvendo a equação temos: Logo. Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões. • Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Grêmio. Quantos metros de tecido. Alguns exemplos: • A gasolina teve um aumento de 15% • Significa que em cada R$100 houve um acréscimo de R$15. a produção de carrinhos aumenta . 3) Vinte operários. Alguns exemplos: Podemos representar uma razão centesimal de outras formas: 40 A sua alternativa certa em concurso público. seriam produzidos em 25 minutos? Resposta: 2025 metros. Quantas horas levarão 10 torneiras para encher 2 piscinas? Resposta: 6 horas. trabalhando 9 horas por dia. 3) Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2m de altura. • Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$10. PORCENTAGEM É frequente o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções em preços.6 toneladas de carvão. Razão centesimal Toda a razão que tem para consequente o número 100 denomina-se razão centesimal . 3. Portanto a relação também é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão). a produção de carrinhos aumenta .00 • Dos jogadores que jogam no Grêmio. a uma velocidade média de 60 km/h? Resposta: 10 horas por dia. Depois colocam-se flechas concordantes para as grandezas diretamente proporcionais com a incógnita e discordantes para as inversamente proporcionais . com 1 metro e 20 centímetros de largura. 90% são craques. em quantos dias conseguirão extrair 5. trabalhando 8 horas por dia. gastam 18 dias para construir um muro de 300m. sempre tomando por base 100 unidades. Se for aumentada para 20 homens. números ou quantidades. 5) Com uma certa quantidade de fio. Pratique tentando fazer esses exercícios: 1) Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. viajando 8 horas por dia. 2) Uma equipe composta de 15 homens extrai.RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO MATEMÁTICO 4 x 16 Observe que: Aumentando o número de homens. Trabalhando 3 pedreiros e aumentando a altura para 4m. para construir um muro de 225m? Resposta: 15 dias. 4) Um caminhoneiro entrega uma carga em um mês. . Quanto tempo levará uma turma de 16 operários.6 toneladas de carvão? Resposta: 35 dias. Montando a proporção e resolvendo a equação temos: Logo. para completar o muro serão necessários 12 dias. a uma velocidade média de 50 km/h. Portanto a relação é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão).00 • O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias. 90 são craques. Aumentando o número de dias. Quantas horas por dia ele deveria viajar para entregar essa carga em 20 dias. uma fábrica produz 5400m de tecido com 90cm de largura em 50 minutos. qual será o tempo necessário para completar esse muro? Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x. em 30 dias. EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES Agora chegou a sua vez de tentar. transformando em gols 8% dessas faltas.66 A sua alternativa certa em concurso público.75 34% 0. Exemplos: • Calcular 10% de 300. EXERCÍCIOS: 1) Um jogador de futebol. qual a taxa percentual de lucro obtida? Montamos uma equação. Se o acréscimo for de 20%. podemos calcular o novo valor apenas multiplicando esse valor por 1. que representa a porcentagem procurada. que é o fator de multiplicação.00 iniciais com a porcentagem que aumentou em relação a esses R$250.00. multiplicamos por 1. Quantos gols de falta esse jogador fez? Portanto o jogador fez 6 gols de falta. 41 . Se.taxa de desconto (na forma decimal) Veja a tabela abaixo: Desconto Fator de Multiplicação 10% 0.10.00. 50kg é o valor correspondente à porcentagem procurada. Considere o seguinte problema: João vendeu 50% dos seus 50 cavalos. e assim por diante. Portanto.20.10 = R$ 11. 2) Se eu comprei uma ação de um clube por R$250. Portanto. Logo.15 20% 1. • Calcular 25% de 200kg.00 temos: 10 * 1. onde somando os R$250. ao longo de um campeonato.RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO MATEMÁTICO As expressões 7%. ele vendeu 25 cavalos. cobrou 75 faltas.00.00 e a revendi por R$300. Logo.00 No caso de haver um decréscimo.10 15% 1. Quantos cavalos ele vendeu? Para solucionar esse problema devemos aplicar a taxa percentual (50%) sobre o total de cavalos. resulte nos R$300. a taxa percentual de lucro foi de 20%.47 67% 1. 16% e 125% são chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais.67 Exemplo: Aumentando 10% no valor de R$10.90 25% 0. há um acréscimo de 10% a um determinado valor. chegamos a seguinte definição: Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor. por exemplo. Veja a tabela abaixo: Acréscimo ou Lucro Fator de Multiplicação 10% 1.20 47% 1. Uma dica importante: o FATOR DE MULTIPLICAÇÃO . o fator de multiplicação será: Fator de Multiplicação = 1 . X/100 = 340 3X = 340 – 300 X = 40/3 X = 13. na soma. fez 250 pontos. 75 são dedicados ao trabalho ou a empresa.00 de compra = R$ 84. a taxa de lucro obtida com esta operação de revenda foi de 13. ou o cálculo baseado em 100 unidades.00 teve um acréscimo de R$ 25. Quantas cestas de 02 pontos o jogador fez do total de 250 pontos. Para que se possam fazer cálculos com porcentagem (%). qual a taxa percentual de lucro ? Neste caso é procurado um valor de porcentagem no qual são somados os R$ 300.00. do total de 250 pontos o jogador fez 25 pontos de 02 pontos.00 * Exemplos para fixação de definição 1) Um jogador de basquete.00 . assim como o valor 100 está para a quantia a ser encontrada. 2) Um celular foi comprado por R$ 300. * Noção da porcentagem em números Exemplos: a) 60 de 150 dias de trabalho = 90 dias 100 O número 90 dias de trabalho representa : PORCENTAGEM b) 70 de R$ 120. é baseado no número 100. Exemplificando: Efetua-se o resgate de um cheque pré-datado no valor de R$ 150. por meio de uma proporção simples. Alguns exemplos: .00 e revendido posteriormente por R$ 340. 75% são dedicados.00 . . 3) O capital informado tem sempre por igualdade ao 100.00 2) O número que se efetua o cálculo de porcentagem é representado por 100.10 Exemplo: Descontando 10% no valor de R$10. já ensinados em tutoriais anteriores. Significa que de cada 100 funcionários.40 90% 0.33% 42 A sua alternativa certa em concurso público. Exemplificando: Efetue o cálculo 10% de 50 100% : 50 10% :X X=5 Obs. temos que fixar o seguinte: 1) A taxa está para porcentagem (acréscimo.00 PORCENTAGEM pode ser definida como a centésima parte de uma grandeza. ao longo do campeonato. Nos dois exemplos dados foram usados o sistema de cálculo de regra de três. deste total 10% foram de cestas de 02 pontos. O cálculo de tantos por cento de uma expressão matemática ou de um problema a ser resolvido é indicado pelo símbolo (%). Também pode-se fixar a taxa de porcentagem como o numerador de uma fração que tem como denominador o número 100.O Leite teve um aumento de 25% Quer dizer que de cada R$ 100.90 = R$ 9. como informado.00 representa : PORCENTAGEM * O que é taxa de porcentagem É definido como taxa de porcentagem o valor obtido aplicando uma determinada taxa a um certo valor. 10% de 250 = 10 X 250 = 2500 = 25 100 100 Portanto.00 100% : X X = R$ 30.00 temos: 10 * 0.00.00 e obtem-se um desconto de 20% 100% : R$ 150.00 100 O valor de R$ 84.333 (dízima periódica) Assim. sobre o valor total de R$ 100.00 20% : X X = R$ 30. e pode ser feito.RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO MATEMÁTICO 60% 0. Exemplificando: Um título tem desconto 10%.Dos funcionários que trabalham na empresa.O cliente teve um desconto de 15% na compra de uma calça jeans Quer dizer que em cada R$ 100.00 a loja deu um desconto de R$ 15. É visto com frequência as pessoas ou o próprio mercado usar expressões de acréscimo ou redução nos preços de produtos ou serviços. * Como calcular porcentagem Todo o cálculo de porcentagem. Qual o valor do título? 30% : R$ 100. desconto.00 iniciais com a porcentagem aumentada e que tenha como resultado o valor de R$ 340.00 300 + 300. etc). 250 0.20.00 e que pretende ter com esta um lucro de 17%? Solução: 100% : 555 17 X X = 555x17 /100 = 9435/100 X = 94. caso tenha faltado a 30% (por cento) das aulas ? Solução: 100% : 30 30% :X X = 30. no caso de cálculo com porcentagem.80.30 / 100 = 900 / 100 = 9 X=9 Assim. Veja: Tenho um produto X. O capital principal que é o valor do cheque é : R$ 15. Observe esta pequena tabela: Exemplo: Aumente 17% sobre o valor de um produto de R$ 20. temos R$ 58. 3) Um imposto foi criado com alíquota de 2% sobre cada transação financeira efetuada pelos consumidores.93 = R$ 53.98 = R$ 14.40 E assim sucessivamente.00 * 0.RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO MATEMÁTICO * Fator Multiplicante Há uma dica importante a ser seguida. Então basta multiplicar o valor do mesmo pelo número 1.94 E assim sucessivamente. Observe esta pequena tabela: Exemplo: Desconto de 7% sobre o valor de um produto de R$ 58. use diretamente o sistema de tabela com fator multiplicador.250. o total de faltas que o aluno poderá ter são 9 faltas . 43 . receberá líquido quanto? 100% : 15. Se uma pessoa for descontar um cheque no valor de R$ 15. ter um fator multiplicante quando se tem acréscimo a um certo valor. devido ao prazo de pagamento.00 + R$ 94.00. pode-se ter este fator de multiplicação. 1) Qual valor de uma mercadoria que custou R$ 555.00 * 0.7% : X Neste caso.00.250.00.00 A sua alternativa certa em concurso público. No caso se houver acréscimo no valor.30. e este terá um acréscimo de 30% sobre o preço normal.35 Preço Final: R$ 649. temos R$ 20.17 = R$ 23. Da mesma forma como é possível. Qual o número máximo de faltas que este aluno pode ter sabendo que ele será reprovado. é possível montar uma tabela conforme o caso. também no decréscimo ou desconto. faz-se a seguinte operação: 1 – taxa de desconto (isto na forma decimal) Veja: Tenho um produto Y. Então basta multiplicar o valor do mesmo pelo número 0. multiplicando o valor do produto/serviço pelo fator de multiplicação.35 Obs. em um passo-a-passo prático para que se possa acompanhar a solução de problemas envolvendo porcentagem e também para que se tenha uma melhor fixação sobre o conteúdo.00 * 1. Caso o mesmo produto ao invés de 30% tenha 20% de acréscimo então o fator multiplicante é 1. e este terá um desconto de 30% sobre o preço normal. Este cálculo poderia ser resolvido também pelo fator multiplicador: R$ 555.35 2) Um aluno teve 30 aulas de uma determinada matéria.17 = R$ 649.00 * 1.945.35 Temos o valor da mercadoria: R$ 555. Neste caso. Caso o mesmo produto ao invés de 30% tenha 20% de acréscimo então o fator multiplicante é 0.70. * Exercícios resolvidos de porcentagem Os exercícios propostos estão resolvidos. é possível fazer isto diretamente através de uma operação simples. é possível montar uma tabela conforme o caso. t. motivo pelo qual ao se aceitar determinado projeto perde-se oportunidades de ganhos em outros.m.945.250.00 = R$ 15.i a. OPORTUNIDADE .15 a.86.m.00 Obs. Exemplos 10% a.diminuição do poder aquisitivo da moeda exige que o investimento produza retorno maior que o capital investido.RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO MATEMÁTICO Assim.a = (R$150. aí é CONVENÇÕES só pegarmos 7 partes que teremos 14 km. e é preciso que o primeiro ofereça retorno satisfatório.500.543. a.a. Sendo que os 2% do valor total representam a quantia de R$ 305.23 Juro ordinário : J = Cit = 1. pois é fundamental conhecer “decoradamente” estas posições. COMERCIAL E EXATO Juro Ordinário é a aplicação da famosa " regra dos banqueiros ".00 anuais. i = Taxa Agora só falta o tempo. = ao ano Assim.00/R$1. Esse valor é um percentual do dinheiro emprestado. à taxa de 20% a.n. = ao mês Chama-se taxa de juros a razão entre os juros J que serão cobrados no fim do a. Os quadros dos cálculos foram colocados em cada operação repetidamente. RISCO . Juro Exato como o nome diz. em cada mês. etc. DÁ-SE O NOME DE JURO REAL À DIFERENÇA ENTRE O JURO LÍQUIDO RECEBIDO E A DESVALORIZAÇÃO POR EFEITO DA INFLAÇÃO ATUANDO SOBRE O CAPITAL DURANTE O MESMO ESPAÇO DE TEMPO.1 ou 10/100 ou 10% JURO ORDINÁRIO.). . Somando os valores: R$ 14.30 a. = ao dia período e o capital C inicialmente empregado.s. J = Juros Assim. i= J C JUROS SIMPLES E COMPOSTOS EXEMPLO dívida R$ 1. 30 ou 31 dias).a. Juro Comercial utilizamos o ano de 360 dias e o mês de 30 dias.02 Juro comercial: J = Cit = 1237.00. significa que o juro é 27% do capital. Para o cálculo do juro simples é necessário ter noção de porcentagem. Assim.002 a 1º de setembro de 2. se eu empresto $2.002.a.00. por período. DÁ-SE O NOME DE JURO LÍQUIDO AO JURO RECEBIDO APÓS OS IMPOSTOS. PROPORCIONAL E EQUIVALENTE a) TAXA PORCENTUAL (ou percentual) (r): indica os juros pagos por cada 100 unidades de capital (100 u.m. 0.237.m. significa que o juro é 0. em cada mês.0 As taxas podem ser mensais. utilizamos para o seu cálculo o tempo exato ano de 365 ou 366 dias e mês de 28.existe sempre a possibilidade do investimento não corresponder às expectativas. Exemplos 0. trimestrais. temos a famosa fórmula J = C i t a. JUROS SIMPLES DÁ-SE O NOME JURO AO PRÊMIO QUE RECEBEMOS POR TER INVESTIDO OS NOSSOS CAPITAIS. semestrais. que nada mais é do que a quantidade de vezes que eu t = Tempo ou período tenho direito de receber os juros. UTILIDADE . Percentual Assim vejamos.22 e peço 2% ao mês. 29 . Para o tomador o juro é o custo do capital obtido por empréstimo. basta dividirmos os 200 km em 100 partes. . JURO SIMPLES É o valor referente ao ganho que o investidor tem por ter emprestado o seu dinheiro.237. significa que o juro é 0.00 durante o período de 1º de julho de 2. o valor líquido do cheque após descontado a alíquota será de R$ 14. em cada trimestre 120% a. CÁLCULOS Calcular os juros de um empréstimo de R$1. de propósito. o que só é atraente quando o capital recebe remuneração adequada. FATORES QUE DETERMINAM A EXISTÊNCIA DOS JUROS • • • • INFLAÇÃO .30 do Capital.60 TAXA PERCENTUAL E UNITÁRIA: NOMINAL. o que é 7% (7 por cento ou 7 ÷ 100 ) de 200 quilômetros? é simples.) por período. juros anuais R$ 150.00 x [20 ÷ (100x360)] x 60 = 41.945.86 [2.investir significa deixar de consumir hoje para consumir amanhã. em cada ano. Para o investidor o juro é a remuneração do investimento.500.15 do Capital.543.00 x [20 ÷ (100x365)] x 62 = 42. em cada semestre.00 + R$ 305. b) TAXA UNITÁRIA (i): indica os juros pagos por cada uma unidade de capital (1 u. significa que o juro é 10% do capital. significa que o juro é 120% do capital.237. Feito o cálculo temos 100 partes com 2 km cada.os recursos disponíveis para investir são limitados. eu terei um juro de C = Capital ou Principal $50. 27% a. para que haja uma fixação. taxa de juros.d. DÁ-SE O NOME DE JURO BRUTO AO JURO RECEBIDO ANTES DOS IMPOSTOS. 44 A sua alternativa certa em concurso público.22 x ( 2 ÷ 100 ) ] = 50.00 x [20 ÷ (100x360) x 62 = 42. Juro exato: J = Cit = 1.00) = 0. J = cin Obs: nesta fórmula. i12 = 2.a. →n parcelas Logo.t. A taxa diz-se nominal quando o período da taxa não coincide com o período de capitalização.52 2 i f = 1 + ) −1 = 0. calcule a taxa efetiva em função da taxa nominal e do período de capitalização.m.06 do Capital. onde C é um capital qualquer. JUROS E TAXAS Simbologia: C = capital inicial aplicado i = taxa (unitária) de juros n = nº total de períodos (prazo) J = total de juros em n aplicados.d. .00 1 + 2 ) 3 = 3.76% a.m. Para estes valores de k. * Quando i é a taxa anual (i = ia). c) Qual a taxa semestral equivalente a 10% a. por convenção.5876 2 i f = 58.00 para ser devolvido em um ano e meio.800..5% a. 12 1200 40 40 k = 12 logo. + Ci = Cin. Nesses casos. Exemplo: . ou 1 x 100 = 2. a fórmula acima desdobra-se em ia = 2i2 = 3i3 = 4i4 = 6i6 = 12i12 = 360i360 Exemplos: a) Qual a taxa mensal equivalente a 30% a. k Esta á a fórmula das taxas equivalentes em Juros Simples. k → i = ik . em todos os períodos. a taxa por período de capitalização é proporcional à taxa nominal. os valores mais usuais de k são: k = 2 → i2 = taxa semestral k = 3 → i3 = taxa quadrimestral k = 4 → i4 = taxa trimestral k = 6 → i6 = taxa bimestral k = 12 → i12 = taxa mensal k = 360 → i360 = diária. Para que i e ik sejam taxas equivalentes deve-se ter: C. com capitalização semestral. originando um juro igual a Ci.t.68 o. Seja: i = taxa no período inteiro k = nº de subperíodos ik = taxa em cada um dos k subperíodos. i4 = 9% a.? 30 ia = 30% a. o. No mesmo exemplo.. → i12 = 100 = 30 = 1 a. a taxa incide sempre sobre o Capital aplicado (C). produzem juros iguais.a.m. Sabendo-se que a financiadora cobra taxa nominal composta de 52% a. No regime de Juros Simples. a taxa (i) e o prazo (n) devem usar a mesma unidade de tempo. o total de juros no final de n períodos é: J = Ci + Ci . Calcule o montante a ser devolvido quando da liquidação da dívida. a Taxas equivalentes: são taxas que aplicadas ao mesmo capital. i4 = ia → ia = i4 x 4 = 9 x 4 = 36 a.t.a. k=4 4 100 100 Logo. significa que o juro é 0.Uma pessoa conseguiu um empréstimo de Cr$ 1. k ou ik = i . ik.t.RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO MATEMÁTICO 0.600. i f = 1+i / k onde if = ( ) k −1 taxa efetiva i = taxa nominal k = período de capitalização. b) Calcule a taxa anual equivalente a 9% a. i4 = 36% a.52 Cn = 1800 . durante o mesmo tempo.1 = C. 45 . em cada dia.? i2 = ? A sua alternativa certa em concurso público.i.5% a.m. Assim.06 a. .000 x 30 + 3. EXEMPLO: $ 166..500 x 39 + 4. à mesma taxa.000 x 5 + 30.000 n = 7. i 2 = 6 .32 x (1 ÷ 100) x (2x12) = 39.521 + 15. tomados os capitais respectivos para pesos. 3 46 A sua alternativa certa em concurso público. 33. C1 = C2 = . 6% e 3.000 x 9 + 15. Representado por i a taxa média.32 aplicado durante 2 anos a uma taxa de 1% a..000 55. durante 3 meses. Cmimn o que resulta: se.560 + 7.521 e $15..m.9168.24 → i = 0. reduz-se a: Na fórmula (3) concluímos: a) a taxa média é independente do prazo comum.. = Cm..RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO MATEMÁTICO i12 = 10% a.. $ 4. a taxa é a média aritmética simples das taxas dadas.s.m. im respectivamente.44 = i = 0. respectivamente.686 33.605 i = 528 + 451. 100 100 Assim..686 b) “B” aplicou três capitais de $40. Qual a taxa média do investimento? i = 0.a. Para que essa pessoa receba a mesma importância em juros.. tomados os capitais respectivos para pesos. PRAZO.560 x 0.06 + 15.53% a. 12% a.. Denomina-se prazo médio o tempo durante o qual deve ser colocada a soma desses capitais. Exemplos: a) “A” investiu os capitais de $10.18 = 1.m. em particular. capitais colocados à mesma taxa i. temos. de acordo com a definição acima: (C1 + C2 + Cm) in = C1in1 + C2in2 + . temos. de acordo com a definição acima: (C1 + C2 + .nm respectivamente.= Cm.525.m..m. é equivalente e é proporcional a 1% a. Na fórmula (2). .000 durante 30 dias. ou seja 12% a. e $3.05 3 i = 0. à determinada taxa. vem que i2 = 6i12. de modo que o juro por ele produzido seja igual à soma dos juros produzidos pelos m capitais dados.. No juro simples ser equivalente é ser proporcional .a. considerando as demais variáveis constantes. a fórmula (1) torna-se. para que o juro por ela produzido fosse igual à soma dos juros daqueles capitais nos prazos dados? n = 10.500 + 4. C2.07 + 0. C1 = C2 = . + Cminm o que resulta: Se. 10 = 60 a. Na fórmula (1) concluímos que: a) o prazo médio é independente da taxa comum.08 ou 8% a. ou seja.000 foram colocados à mesma taxa durante 9.000 $15.000 foram aplicados à mesma taxa durante 5.m.m.000 n = 90. e 5% a.7 e 9 meses respectivamente..000 + 75..000 x 51 = 39 dias 2.560. Cm. i2 = 60% a.000 em três empresas diferentes às taxas de 7% a.000 + 30..000 + 3. n2. em particular..5% respectivamente. $7. b) a taxa média é a aritmética ponderada das taxas. à mesma taxa.. Cm. Na fórmula (4)..0453 ou 4. Qual a taxa média do investimento? i = 10. $166.+ Cm) in = C1i1n + C2i2n +.26 + 546.000 x 8 10. TAXA E CAPITAL MÉDIOS Prazo Médio Sejam C1. à mesma taxa para que o juro por ela produzido fosse igual à soma dos juros daqueles capitais nos prazos dados? n = 5 + 7 + 9 = n = 21 → n = 7 meses 3 3 Sejam C1. 5 e 8 meses respectivamente..m. C2.605 x 0. De 2i2 = 12i12. i2.605 durante um mês as taxas de 5%.. j = cit j = 166.000 = 405. o prazo médio é a média aritmética simples dos prazos dados: Exemplos: a) Os capitais $ 10. Durante quanto tempo deveria ser empregada a soma desses capitais.36 meses (ou aproximadamente 221 dias) b) Uma pessoa aplicou.05 + 7.12 + 0.500 durante 39 dias. Neste caso o valor nominal é também o valor efetivo.9168.521 x 0. às taxas i1.000 c) Três capitais de $20.32 x (12 ÷ 100) x 2 = 39..000 + 15. Representando por n o prazo médio.000 + 240.32 aplicado durante 2 anos a uma taxa de 12% a. b) o prazo médio é a média aritmética ponderada dos prazos...035 = 10. $ 2.000 durante 51 dias. calculados à mesma taxa a soma desses valores deverá ser aplicada durante: n = 2. j = cit j = 166. a fórmula (3).. capitais colocados durante o mesmo prazo n.. Denomina-se taxa média a taxa a que deve ser colocada a soma desses Taxa Média capitais durante o mesmo prazo.000 e $30.s. durante n1.000 55.. de modo que o juro por ela produzido seja igual à soma dos juros produzidos pelos m capitais dados. Durante quanto tempo deverá ser empregada a soma desses capitais. 000 = 29. emitido exclusivamente por uma instituição financeira.000 + 120. Neste caso.000 durante um mesmo prazo de 8 meses.. Capital Médio Denomina-se Capital Médio.000 + 42.. durante os prazos n1. A duplicata é um título emitido por uma pessoa jurídica contra seu cliente (pessoa física ou jurídica). Corresponde o valor ao receber (ou pagar) em uma determinada data compreendida entre o início e a data de vencimento da operação. in1 + C2in2 + . segundo um contrato.nm. Se uma pessoa deve uma quantia em dinheiro numa data futura. o capital médio é a média aritmética simples dos capitais dados. obtido de comum acordo.00 Resposta: M = 1. (MONTANTE = CAPITAL + JURO) M = C + J = C + Cit colocando em evidência.. n1 = n2 = . a uma mesma taxa de 5%. Com relação aos títulos de crédito. O desconto é uma das mais comuns aplicações da regra de juro. definido pela diferença entre as duas quantidades. C = $ 29. M Cn = 1000. o devedor também conhecido como Valor pode resgatá-lo antecipadamente. porém.000 = 590. Ou seja.a. obtendo com isso um abatimento Atual e M (montante) como denominado desconto.000 x 6 + 30.333. A nota promissória é um comprovante da aplicação de um capital com vencimento predeterminado. no final de 8 meses. recebe o nome de desconto.000. assim como a nota promissória.. A sua alternativa certa em concurso público. Em ambos os casos há um benefício. • que o credor necessite do seu dinheiro antes da data predeterminada. é normal que entregue ao credor um título de crédito . = nm a fórmula (5) torna-se Na fórmula (5) concluímos que: a) o capital médio independe da taxa comum b) o capital médio é a média aritmética ponderada dos capitais tomados os prazos respectivos para pesos. + n3) = C1 .000 + 30. É um título muito usado entre pessoas físicas ou entre pessoa física e instituição financeira.000. $ 20. porém.33 3 3 MONTANTE É a soma do capital aplicado com os juros auferidos naquela aplicação.30 8 12 ) = 1200.. correspondente ao juro do capital que adianta. Lembrete: C (capital) é Todo título de crédito tem uma data de vencimento. DESCONTO COMERCIAL E RACIONAL Desconto é o abatimento que é dado quando uma dívida é paga antes do vencimento. +Cminm o que resulta: Se. é um título ao portador.000. 6 e 9 meses respectivamente.. a duplicata e a letra de câmbio.000 = $ 33. ele paga uma quantia menor que a fixada no título de crédito. Neste caso.000 x 5 + 20.. o total que se paga no final do empréstimo. ele pode vender o título de crédito a um terceiro e é justo que este último obtenha um lucro.000 + 270. temos. durante 5. o capital que aplicado à mesma taxa i. Valor Nominal..500 20 20 Logo. durante os m prazos. capitais colocados à mesma taxa i.00 a 30% a.. Esse benefício. Qual é o capital médio do investimento? C = 18.001 + 0. é um comprovante de uma aplicação de capital com vencimento predeterminado. assim. 47 .200. Exemplos: a) “A” aplicou os capitais de $ 40.000 x 9 5+6+9 C = 200.. pode ocorrer: • que o devedor efetue o pagamento antes do dia predeterminado. A letra de câmbio . temos a fórmula M = C ( 1 + it ) Exemplo: Calcular o montante de uma aplicação de Cr$ 1. no intervalo de tempo que falta para o devedor liquidar o pagamento. que é o comprovante dessa dívida. $ 30. C2.000 e $ 30. ele se beneficia com um abatimento correspondente ao juro que seria gerado por esse dinheiro durante o intervalo de tempo que falta para o vencimento. Representando por C o capital médio. Os títulos de crédito mais utilizados em operações financeiras são a nota promissória.. Cm.000..000 = 100.000 e $42. de acordo com a definição: Ci(n1 + n2 + . n2. em particular. produza juros em montante igual à soma dos juros produzidos pelos m capitais dados.RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO MATEMÁTICO Sejam C1. Qual o capital que produz o mesmo juros que a soma dos juros produzidos pelos capitais dados? C = 40. respectivamente.500 b) “B” aplicou os capitais de $ 18. para o qual ela vendeu mercadorias a prazo ou prestou serviços a serem pagos no futuro. Na fórmula (6).00 VALOR ATUAL C (capital) é também conhecido como Valor Atual. O desconto pode ser feito considerando-se como capital o valor nominal ou valor atual. Am são. usa-se a fórmula AR = N ou Ac = N(1 . • valor nominal N (ou valor futuro ou valor de face ou valor de resgate) é o valor indicado no título (importância a ser paga no dia do vencimento). determine: a) o valor do desconto comercial b) o valor atual comercial Resp: R$ 1. incluindo o primeiro e não o último.00 e R$ 58. O título único será equivalente ao conjunto de títulos.1% ao mês. • DESCONTO d é a quantia a ser abatida do valor nominal.072. Sejam d’ o desconto racional e A’ o valor atual racional. bancário ou por fora o equivalente ao juro simples produzido pelo valor nominal do título no período de tempo correspondente e à taxa fixada. • valor atual A é o líquido pago (ou recebido) antes do vencimento: A = N . isto é : d = N .. .in) EXERCÍCIOS 1.dnm) b) A data na qual calculamos os valores atuais é dita data focal ou data de referência. Calcule o tempo de antecipação. se e somente se A = A1 + A2 + . A2. e o ato de efetuá-las é chamado descontar um título... são equivalentes numa certa data.dn2) + . Sejam d o valor de desconto comercial. sabendo que a taxa de desconto comercial foi de 4% ao mês. Faltando 45 dias para o vencimento do título. Um título de R$ 60. Suponhamos que.. No primeiro caso. 1 + dn 1 + dn1 1 + dn2 1 + dnm Se o desconto é comercial simples. por um título único. A equivalência de capitais. . nessa data. + Nm . respectivamente. para calcular os valores atuais de todos os títulos.000..110.890.dn) = N1(1 ..00 2.00. é muito usada na substituição de um conjunto de m títulos. A é o valor atual do título único e A1. Uma duplicata de R$ 6. 1 + dn Se o desconto é racional simples.n O valor atual comercial é dado por: A = N . n o tempo que falta para o vencimento e i a taxa de desconto . teremos uma equação tipo N = N1 + N2 + .00 foi resgatada antes de seu vencimento por R$ 6. isto é. A o valor atual comercial. desconto racional . ou então. a diferença entre o valor nominal e o valor atual.dn) . quando os seus valores atuais (calculados à mesma taxa). Resp: 3 meses Chamamos de desconto racional ou por dentro o equivalente ao juro produzido pelo valor atual do título numa taxa fixada e durante o tempo correspondente. são iguais.A. + Nm(1 .900. os valores atuais dos m títulos dados. então1 d’ = A . no segundo. Além disso: • dia do vencimento é o dia fixado no título para pagamento (ou recebimento) da aplicação.. + Am (Equação do valor atual) NOTAS: a) Conforme o desconto seja Racional ou Comercial Simples.RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO MATEMÁTICO As operações anteriormente citadas são denominadas operações de desconto.d = N (1 . N o valor nominal do título. Chamamos de desconto comercial . 'n = N Nin d N in = A’= N -= d’ = 1 +in 1 +in 1 + in 1 + in EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS Dois capitais exigíveis em datas diferentes. incluindo o último e não o primeiro.i. a equação do valor atual terá a forma n(1 . equivalente ao conjunto dado. na data zero. id . deve-se subentender “desconto comercial” 48 A sua alternativa certa em concurso público.00 vai ser descontado à taxa de 2. respectivamente.dn1) + N2(1 .d • tempo ou prazo é o número de dias compreendido entre o dia em que se negocia o título e o de seu vencimento. então: d=N. na data 0 (zero). é denominado desconto comercial . 1 Sempre que o desconto não for explicitado.. 0.820 = 18. 180% ao semestre. 35% ao ano. m. para 40 dias e $4.1 NOMINAL TAXA NOMINAL . 400% ao ano.000 (1 . para 30 dias. Sendo i a taxa de juro relativa a um período e i k a taxa proporcional que queremos determinar. temos J = 20. reduzidos à mesma unidade.000.00 No segundo caso. e 12% a. EQUIVALENTES Duas taxas são equivalentes quando.12 x 2 = 4. Qual é. Não é. Quando trabalhamos com taxas efetivas. com capitalização anual.000.99 JUROS COMPOSTOS Taxa proporcional. m. com capitalização semestral.t. utilizada diretamente nos cálculos. Considere o desconto comercial e a taxa de 9% a.08% ao dia.RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO MATEMÁTICO Exemplo: Calcular o valor de uma letra única com vencimento para 40 dias. Na taxa nominal emprega-se uma unidade de tempo que não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. ao ganho/custo financeiro do negócio.i) . porém.d.000 Resp.é aquela consignada nos contratos relativos a operações financeiras . durante o mesmo período.940 + 3. temos: i12 = 30/12 = 2.00 Como os juros são iguais. Como se obtém a TAXA EFETIVA ? O seu valor pode ser determinado através da equivalência: o principal P aplicado à taxa iE durante um ano deve produzir mesmo montante que quando aplicado à taxa i durante m períodos: P( 1 + iE) = P( 1 + i) m Portanto. EXEMPLO : Calcular o juro produzido pelo capital de R$ 20. de $8.99N = 17. Assim.5% a . 40) + 4. com capitalização mensal.09 .940 0.000. É também conhecida como taxa contratada ou taxa oferecida .5 isto é 2.800. efetiva e nominal Proporcionais Duas taxas são proporcionais quando os seus valores formam uma proporção com os tempos a elas referidos.09 a. com capitalização semestral.04 x 6 = 4.0. temos J = 20.000 0. A taxa nominal é muito utilizada no mercado. equivalente.00 • à taxa de 4% ao mês. Resp: 2. A = N(1 .: $18.4% a . produzem o mesmo juro.000 para 60 dias. d = 0. m. por exemplo. durante 2 trimestres RESOLUÇÃO No primeiro caso. quando da formalização dos negócios. 40% ao mês. podemos dizer que 4% a . que deverá substituir três outras. relativa à fração 1/k do período. EXERCÍCIO Calcule a taxa mensal proporcional a 0. 16% ao ano.09 . 30) + 6. iE = (1 + i)m .dn) 360 Como A = A1 + a2 + A3.09 .09 .000(1 . por não corresponder. 60) 360 360 360 360 N(0.1 = FAC (m.0. temos: ik = i k ik 1 1 =k = i 1 k ∴ EXEMPLO: Calcule a taxa mensal proporcional a 30% ao ano RESOLUÇÃO Lembrando que 1 ano = 12 meses. A sua alternativa certa em concurso público. $6.000. são taxas equivalentes EFETIVA Nesta taxa a unidade de referência de tempo é a mesma unidade de tempo dos períodos de capitalização. 49 . de fato.00 x 0.0.000.800. a taxa efetivamente utilizada? É a taxa efetiva. por exemplo. durante 6 meses • à taxa de 12% ao trimestre.99) = 7. omitimos o seu período de capitalização. Assim.000(1 ..940 + 5. com capitalização mensal.00 x 0. aplicadas a um mesmo capital. teremos: N(1 . 40) = 8. então. A taxa nominal é quase sempre fornecida em termos anuais.820 N = 17.a. 62 Dívida no 5º mês Dívida no 11º mês R$ 1. É que esses financiamentos são calculados no regime de juros compostos (juro sobre juro).010. com capitalização diária. mas incidirá sobre o saldo do mês anterior (já somado ao juro do mês anterior).00 + 1% = R$ 1.000.000 / $100. capitalizados mensalmente.126. em 12 meses.10 + 1% = R$ 1. Diferença prática entre a taxa nominal e a efetiva: TAXA NOMINAL TAXA EFETIVA 12% ao ano.68% de juros. pelo valor monetário de $150. será cobrado 1% de juro. pode ser calculada pela expressão: Taxa nominal = Juros pagos / Valor nominal do empréstimo Assim.RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO MATEMÁTICO 36% ao mês. o seu período não coincide com o período da capitalização.30 + 1% = R$ 1. A taxa nominal de juros relativa a uma operação financeira. e assim por diante.60 R$ 1. Se a taxa efetivamente cobrada tivesse sido de 12%.5876 2 i f = 58. o.68 o. Assim.52 R$ 1. capitalizados mensalmente.061. Uma pessoa conseguiu um empréstimo de Cr$ 1. capitalizados diariamente (dias úteis) 4. com capitalização semestral.52 + 1% = R$ 1.01 + 1% = R$ 1.800.120.000 – $100.104. 24% ao ano.082.030. se um empréstimo de $100.061. . TAXA NOMINAL versus TAXA EFETIVA A palavra nominal no mundo financeiro diz respeito ao valor monetário ou à taxa de juro escrita em um título de crédito ou em um contrato qualquer.600.00.82.60 + 1% = R$ 1. o juro também será de 1%. capitalizados mensalmente 12.020. capitalizados mensalmente 9.000 + 1% = R$ 1. a dívida final seria de R$ 1.000. pagou 12. capitalizados mensalmente.093.52 2 i f = 1 + ) −1 = 0. no fim do prazo R$ 1.000. basta fazer o cálculo: quem pegou um financiamento de R$ 1.00. A taxa nominal é quase sempre fornecida em termos anuais e os períodos de capitalização podem ser semestrais trimestrais ou mensais. capitalizados mensalmente 6.115.52 Cn = 1800 .00. a Quem pega um financiamento de 1 ano. Calcule o montante a ser devolvido quando da liquidação da dívida.68 + 1% = R$ 1. Acompanhe o exemplo: Financiamento de R$ 1.85 Dívida no 3º mês: Dívida no 9º mês R$ 1. estará pagando juros efetivos de 12.2727% ao trimestre 4% ao mês. Exemplos de taxas nominais: 12% ao ano.104. 50 A sua alternativa certa em concurso público. No segundo. 4% ao mês.85 + 1% = R$ 1.6162% ao semestre 9% ao trimestre.68 Dívida no 4º mês: Dívida no 10º mês R$ 1.010.000 = $50.126.a.072.30 R$ 1.62 + 1% = R$ 1.093.13 Dívida no 2º mês: Dívida no 8º mês R$ 1.061. .67 Dívida no 6º mês Dívida no 12º mês R$ 1.115.00 Taxa nominal = i n = $50.0773% ao mês Veja a diferença conceitual de cada uma das taxas: Taxa efetiva – É aquela em que a unidade de referência de seu tempo coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização.67 + 1% = R$ 1.6825% por um motivo simples: no primeiro mês. Sabendo-se que a financiadora cobra taxa nominal composta de 52% a.1678% ao ano 12% ao semestre.76% a.6825% ao ano 6% ao ano.051.082. deve ser quitado ao final de um ano. calcule a taxa efetiva em função da taxa nominal e do período de capitalização. com taxa nominal de 12% ao ano. é a taxa efetivamente incidente sobre o capital.00 para ser devolvido em um ano e meio.00 R$ 1. capitalizados mensalmente 12. capitalizada mensalmente.020.10 R$ 1. por exemplo. a taxa de juros nominal será dada por: Juros pagos = Jp = $150. são taxas efetivas: 3% ao mês. com taxa nominal de 12% ao ano capitalizada mensalmente.040. A taxa efetiva é taxa obtida da taxa Nominal de forma proporcional.051. No mesmo exemplo.00 1 + 2 ) 3 = 3.030.000 = 0.82 Agora.52 + 1% = R$ 1. e assim sucessivamente.50 = 50% A taxa Nominal é a taxa anunciada. Taxa nominal – É aquela em que a unidade de referência de seu tempo não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização.000 e desembolsou. capitalizados mensalmente.040.000.01 R$ 1. A taxa mensal será de 1%: Dívida no 1º mês: Dívida no 7º mês R$ 1. e não 12% como informado. por exemplo: 2 meses e 5 dias ou 258 anos e 2 meses. onde t' é a parte inteira e t'' é a fração. como vamos ver. cuja envolvente é uma função exponencial.00 = 35% Rentabilidade Real: (1 + i) = (1 + i r)(1 + I) ⇒ ir = (1 + i ) 1.600 ( 1. pois tanto se aplica ao crescimento dum capital como de qualquer outra grandeza que cresça em progressão aritmética.35 -1 = .RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO MATEMÁTICO REAL E APARENTE A taxa aparente (chamada nominal nas transações financeiras e comerciais) é aquela que vigora nas operações correntes. calcular a rentabilidade aparente e real da operação. MONTANTE M=C+J TEMPO 1 2 3 MONTANTE C (1+i) C (1+i) (1+i) C (1+i) (1+i) (1+i) FÓRMULA C (1+i) C (1+i)² C (1+i)³ Assim. no quadro a seguir: Período Capital no início de Juro no fim de Montante no fim de cada período cada período cada período 1 C Ci C+ Ci = C (1+i) 2 C(1+i) C(1+i)i C(1+i)+C(1+i)i=[C1+i)](1+i)=C(1+i) 2 2 2 3 C(1+i) C (1+i) i C(1+i) 3 -----------------------------------------------------------------------------n C (1+i) n-1 C (1+i) n-1 i C (1+i) n Ao fator (1+ i)n dá-se o nome de fator de capitalização composta. EXPONENCIAL: A diferença da linear é que se utiliza a seguinte fórmula: M = C ( 1 + i ) t' + t'' Obs: O termo exponencial refere-se ao fator ( 1 + i ) t' + t'' que é uma função exponencial.96 Os juros compostos crescem segundo uma função. a taxa de juros é 10% a.30 ou detalhadamente ir = Rendimento real/Aplicação atualizada = (Montante .131. Aqui.600.200.600 ( 1. A importância da matemática de juros compostos é enorme.600 [1 + (10 ÷ 100)] 5 x [ 1 + (10 ÷ 100) x (6 ÷ 12)] M = 35.6105) x ( 1. 51 .. M = C ( 1 + i ) t No montante composto em função dos juros serem capitalizados ("juro sobre juro" ). assim o valor do juro é crescente.00 teve um rendimento de $35.00/$100.600 [ 1 + ( 10 ÷ 100 ) ] 5 + ( 6 ÷ 12 ) M = 35. *Considerando os mesmos dados do problema anterior teremos: M = 35. Se a inflação do período for de 30%. Resolução P = 100.6891 ) = R$60.a. ou melhor. As taxas reais diferenciam-se das taxas aparentes pela depuração desta dos efeitos da alta geral de preços.85% 1+ I ) 1. LINEAR Para resolvermos esse tipo de problema usa-se a fórmula M = C ( 1 + i ) t' x ( 1 + i t'').. e o capital é R$35.85% CONVENÇÃO LINEAR E EXPONENCIAL As convenções são utilizadas quando é pedido no problema a resolução através de uma das convenções e é dado o tempo fracionado. <<quase exponencial>> . Vamos exemplificar: Se o tempo dado é 5 anos e 6 meses.P(1 + I)]/P(1 + I) = 3. EXEMPLO Uma aplicação de $100.. enquanto que no juro simples o valor do juro é constante. No regime de capitalização composta os juros auferidos em um período se incorporam ao capital (se A sua alternativa certa em concurso público. usaremos a expressão “taxa aparente” para diferenciá-la da taxa nominal (taxa com mais de uma capitalização por período referencial).Aplicação atualizada) / Aplicação atualizada = [(P + rendimento) .00.00.49. As taxas aparente e real relacionam-se da seguinte forma: (1 + i) = (1 + ir) (1 + I) onde: i = taxa aparente ir = taxa real I = taxa de inflação A taxa real é o rendimento ou custo de uma operação (segundo seja de aplicação ou captação) calculado após serem expurgados os efeitos inflacionários.05) = R$60.00 I = 30% Rendimento = 35% ir = ? i=? Rentabilidade aparente: i = Rendimento aparente/Aplicação = $35. Obs: O termo linear refere-se ao fator ( 1 + it'') que nada mais é do que uma função linear ou de 1º grau. então: M= 35. o juro incide sobre o capital já corrigido.1 = 3. 80. 1 = 10 C1 = 100 + 10 = 110 J1 = 100 x 0. mas agora os cálculos são feitos periodicamente.m. Calcular o prazo em que vigorou a taxa de 3% ao mês. Vamos fazer um paralelo entre juros simples e compostos para uma aplicação de Cr$ 100. 4 meses e 10 dias. Duas aplicações.16.m.10 C3 = 121 + 12. sabendo que em 7 meses os juros totalizaram R$ 27.040.500..10 ( veja: J = Cn − C0 Cn = 350.8% a. Calcular cada uma dessas aplicações.000. concluir que: Cn = Co (1 + i )n Os juros auferidos nessa aplicação são obtidos pela diferença entre o montante e o valor aplicado. Resp:. Calcular o seu capital. valor presente ou valor líquido de um título descontado antes do seu vencimento.000. 1 = 11 C2 = 110 + 11 = 121 J 2 = 121x 0.Calcular o montante e os juros auferidos em uma aplicação de Cr$ 350.00 de juros.4 meses 9. renderam.m. Calcular os juros e o montante de uma aplicação de R$ 200. 000.10% a. 57 ( ) 18 = 595. 851. 3.00 8. Resp:. 52 A sua alternativa certa em concurso público. Decorrido um certo tempo.00 1 +0. 1 = 10 C1 = 100 + 10 = 110 J1 = 110 x 0.00 4. para que se tenha ao final de 1 ano. JUROS SIMPLES JUROS COMPOSTOS Em juros compostos verificamos que: C1 = Co 1 +i ) veja: 110 = 100 (1 + 0.4 meses. em 10 anos.040.m. sabendo que os juros da primeira excederam os da segunda em R$ 1. Resp:.4% ao mês? Resp:.00 a 4. Decorridos 2 anos.m. 3 meses e 12 dias em: a) anos b) meses c) dias Resp:. Resp:.10) C3 = C2 1 +i veja: C3 ( C2 =100 1 +0. Resp: R$ 1. em 1 ano e 3 meses. C = C ( 1 + i ) 2. em juros compostos.3 J = 595. através de um processo de indução elementar. ou seja: Exemplo: . Calcular os juros de um investimento de R$ 2.00 a 42% a.a.10) J 0 = 100 x 0. VALOR ATUAL O valor atual é o valor de resgate. recebe um total de R$ 313. Um investidor aplicou R$ 120.28 anos.00.R$ 300.000. Qual a taxa anual proporcional a 1. os juros são calculados tomando-se como base o saldo credor do período anterior.00 a 10% a. C = C ( 1 + i ) 2 ) ( )2 )2 C3 = 121 (1+0. 832 dias 2.00 10. 27.10 ( 1 + i ) . pelo prazo de 2 anos.m.800.5% a. e o restante a 24% ao semestre. 00 = 245.000.851.6 ao mês. Calcular a taxa mensal dessa rentabilidade.000.. 4 meses e 6 dias uma renda de R$ 97. A que taxa devemos investir para que.a.RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO MATEMÁTICO capitalizam).6% a.00 rendeu em 1 ano.00 e R$ 463. 3 meses e 15 dias.00 7.00? Resp:. R$ 99. O cálculo do montante obedece ao mesmo processo de juros simples.10) = 133. 5 meses e 3 dias a importância de R$2. à taxa de 3% ao mês.800. .87% em 39 dias.R$ 200. 3 meses e 12 dias.00 e 90.70.00.8% ao mês e a outra a 3. a taxa foi diminuída para 3% ao mês.851.872. pelo prazo de 1 ano. 1 = 12 . 10 = 133.00 6. Um investidor aplica 2/5 de seu capital a 3.000. 10 ( = C ( 1 +i ) 1 ou ainda: C2 = C 1 +i veja: ( veja: 121 = 110 (1 + 0.200..8% a.10 ou ainda: C3 = C0 1 +i Então sendo C1 = C0 2 0 3 0 podemos. passando a participar da geração de juros no período seguinte. Um investimento de R$ 2.000.57 Cn = Co 1 +i SIMULADO 1. )3 =100( 1 +0.00.2.500. durante três meses.000. 5. Que quantia deve-se investir à taxa de 3% a. o montante seja o dobro da aplicação inicial? Resp:.00 de juros.10 ) 3 =133. ou seja. Transformar 2 anos.R$ 263.000.225.a .000. 1 = 10 C2 = 110 + 10 = 120 J 2 = 100 x 0. É dado por: ( )n Resposta: 4. 57 − 350. 1 = 10 C3 = 120 + 10 = 130 C2 J 0 = 100 x 0. Resp:. uma à taxa de 4.00 durante um ano e meio à taxa de 3% a. 41%a. Dc = M .504. As empresas.400.10 x 100 = 140 133. a render juros. 53 .40 [1 . Qual é o valor do título que. capitalizável trimestralmente.1 = 146. como também o é em desconto racional simples.504.400.248685 = 4.00? SOLUÇÃO A’= 12. os juros são incorporados ao capital e passam.a. por sua vez.504. O uso de juros simples não se justifica em estudos econômicos.RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO MATEMÁTICO A’ = N/(1 + i) n DESCONTO RACIONAL C (capital) é também conhecido como Valor Atual e M (montante) como Valor Nominal.00 empregados a 10% ao ano. nas demais situações.504.10 x 100 = 120 110 + 0.40 d’= ? i = 46. divergindo apenas por agora considerarmos uma capitalização. denominado principal pode crescer devido aos juros segundo duas modalidades: • • JUROS SIMPLES: só o principal rende juros.40 [1 . Juros Simples Juros Compostos Principal 100. n = 3 trimestres Do exercício anterior temos que a taxa efetiva é de 10% a.40 .00 N’= ? i = 10% a. JUROS COMPOSTOS: após cada período. Pela fórmula temos: d’= N’[1 .A’ d ' = N [1 - 1 ] (1 +i ) n EXERCÍCIOS 1. costumam reinvestir as quantias geradas pelos fluxos de fundo: • juros. ou seja.415 a. capitalizável mensalmente.t.m.m. no caso de empréstimos.(1 + 0.10 x 100 = 130 121 + 0. A característica particular dos problemas de engenharia econômica decorre do fato de as alternativas de investimento envolverem entradas e saídas de caixas diferentes.1] O valor do desconto é calculado sobre o valor atual .504. A sua alternativa certa em concurso público.00 100.10 x 100 = 110 100 + 0. os casos em que não há reinvestimento podem ser tratados como reinvestimento à taxa nula e analisados pelos mesmos princípios. a uma taxa de 10% a. Na prática emprega-se o JURO COMPOSTO.40 EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS O capital inicialmente empregado. usarmos potenciação como em capitalização composta. • lucros e depreciações.40. (1 + 0.. n = 3 meses N’= A’ (1 +i)n = 12. denominado período de capitalização.a.751315]= 16. em instantes de tempo diferentes.C => Dc = C [( 1+i) t .40 2.1) 3 = 12.00 após 1 ano 100 + 0. EXEMPLO Considere R$100. A metodologia da análise de investimento baseia-se em juros compostos para estabelecer padrões de comparação. 1. II.400 . descontado 3 meses antes de seu vencimento. descontado 9 meses antes do seu vencimento à taxa efetiva de desconto racional composto de 46.41 OBSERVAÇÕES I.1+0. O período de tempo considerado é. SOLUÇÃO N’= R$16.10 x 133.400 .1) -3] = 16.. órgãos governamentais e investidores particulares.C = C ( 1+i ) t .504.0. 0. Determinar o valor do desconto racional composto de um título de R$ 16. ao longo da vida do investimento. então.(1 + i) -n] = 16.10 x 100 =100 após 2 anos 110 + 0.10 x 110 = 121 após 3 anos 120 + 0.331000 = 16.. O valor nominal é o valor que consta no título e é dado por: N’= A’(1 + i) n O desconto racional é a diferença entre o valor nominal e o valor atual de um título que foi saldado antes do seu vencimento d’ = N’ . determinou um valor de resgate de R$ 12.1 após 4 anos 130 + 0.104.10 x 121 = 133. ainda.O raciocínio para o desconhecido. Existe nas pessoas uma lógica natural ou empírica. s.maior ou material Raciocinar. um certo homem.menor ou formal conhecidas conclui uma outra. sentença ou asserção é qualquer conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um pensamento completo. r. por exemplo. é universal. procede da experiência. aquela que ensina o reto raciocinar. etc.idéia de mesa . ou a linguagem do juízo. É o conjunto de palavras que expressam uma idéia. * É costume representar as proposições pelas letras minúsculas p. Valores Lógicos das Proposições. idéia de mesa .TERMO A idéia é universal . Pedro é bom aluno. t. Ex. É uma ciência porque fundamenta-se nos princípios. Ver figura. Ex. Sentenças Abertas 54 A sua alternativa certa em concurso público. É o que chamamos de conceito. Lógica é uma arte. LUGARES. Exemplo: Carlos é aluno do Colégio Julio de Castilhos. apenas é HOMEM e a idéia de homem. que. estas idéias são concretizadas em TERMOS que vão expressar com palavras as idéias.coisa. Todos nós sabemos que idéia é aquela imagem interna que temos das coisas. como todas as outras ciências. é passar do conhecido c) Objeto material . é a ciência-arte de usar a razão de uma maneira certa em direção à verdade.A dedução silogística e) Temas fundamentais IDÉIA . .: objeto mesa .RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO MATEMÁTICO ESTRUTURA LÓGICA DE RELAÇÕES ARBITRÁRIAS ENTRE PESSOAS. nem baixo. serve para todos os homens. d) Objeto formal . em negativos e afirmativos. A lua é quadrada. Os juízos classificam-se em: a) Conforme a forma. G A M Proposição. com o qual formalizamos a conclusão. mas a todos os homens. O juízo para existir necessita de três elementos: um sujeito. Por exemplo: mesa .DEDUÇÃO DE NOVAS INFORMAÇÕES DAS RELAÇÕES FORNECIDAS E AVALIAÇÃO DAS CONDIÇÕES USADAS PARA ESTABELECER A ESTRUTURA DAQUELAS RELAÇÕES O termo lógica vem de uma palavra grega que significa RACIOCÍNIO. OBJETOS OU EVENTOS FICTÍCIOS . nem louro. Portanto. b) Conforme a matéria em analíticos e sintéticos. Porém esta lógica natural não exclui a necessidade de uma lógica científica. Esta se baseia no bom sendo que é intuitivo. A formalização introduz uma distorção. quando pensamos na palavra homem não é de homem determinado. Valdomiro é o goleador do campeonato. nem moreno. levadas as sensações ao intelecto. A neve é branca.é a expressão verbal.é a expressão verbal da idéia. TERMO . uma afirmação ou negação. JUÍZO .é o ato pelo qual o espírito afirma alguma coisa de outra coisa. PROPOSIÇÃO . RAZÃO. que é o conjunto de regras e leis.representação intelectual do objeto mesa. Não é João. pois o termo “um” na conclusão do argumento pode significar “exatamente um”. um atributo. vai além dele ao notar sua insuficiência. q. lá temos a imagem intelectual que é a idéia da coisa. As sensações nos mostram as coisas. . pode-se dizer idéia ou conceito. Maria não é bonita.é a operação pela qual o b) Divisão espírito. de duas ou mais relações . nem Pedro. significa (no sentido lógico) “pelo menos um”. é a representação intelectual que nos permite raciocinar sobre as coisas. Pelos sentidos captamos o particular e o universal só existe nas idéias. João é inteligente. A lógica científica parte do bom senso. nem alto. Matemática é uma ciência. e. mas. enquanto o termo ‘algum’. reunidas nos dão um método para chegarmos ao conhecimento ou juízo verdadeiro.é a simples representação intelectual de um objeto.: à cadeira é de madeira. → PROPOSIÇÕES QUANTIFICADAS Todo G é A Algum A é M ∴ Algum G é M. PROPOSIÇÕES PROPOSIÇÃO : sentenças declarativas afirmativas (expressão de uma linguagem) da qual tenha sentido afirmar que seja verdadeira ou que seja falsa. a) Fundamentação e Conceito RACIOCÍNIO . pois a (João é homem) é verdadeiro. entretanto. Caso 3 . Agora se a proposição fosse "Todo homem foi a Lua". Ou seja. é falsa pois mesmo que a (João é homem) seja verdadeira. e c (O homem é um mamífero) é verdadeiro. Caso 4 . Ora.Proposições simples absolutas categóricas intemporais : São aquelas que independem do contexto e do tempo para que sejam verdadeiras. No entanto. e d (O homem foi a Lua) é verdadeiro.Proposições simples relativas intemporais: São aquelas que podem ser verdadeiras em um contexto e falsas em outro contexto independente do tempo . Tal fato chamaremos de absoluto categórico intemporal. se como no caso anterior.Proposições simples temporais: São proposições verdadeiras em relação ao que pode ser conhecido sobre algo agora. e de uma contingência não se pode afirmar verdade ou falsidade. há um outro questionamento sobre tal proposição. Ora. se e somente se. O problema deste tipo de proposição. Temos agora a seguinte proposição para todo x e todo y: xΘy = yΘx A proposição b acima apresenta a comutatividade de uma operação binária indeterminada Θ. c: O homem é um mamífero. 03 . Ocorre que há algumas divergências em tais concepções.1983).A proposição B é verdadeira. No entanto. Mas em proposições simples as coisas não são tão fáceis também pois tais podem ser: 01 .Aspectos teóricos I) concepção absoluta categórica intemporal de verdade. e este mamífero foi de fato até a Lua. por tal motivo surge aqui a concepção de Alfred Tarski (1902 . Temos as seguintes proposições compostas: A:a e b à Caso 1 B:a e c à Caso 2 C:a e d à Caso 3 D:c e d à Caso 4 Caso 1 . a mesma for verdadeira. Mas mesmo com tais considerações é importante lembrar que há autores que acreditam que a lógica proposicional pode permitir que se use operadores lógicos em proposições que não têm um significado comum.A proposição D é verdadeira. isso ocorre pois ao dizer que João satisfaz propriedades que o colocam no conjunto categórico homem. considere o fato abaixo: Dadas as proposições: a: João é homem. Como vimos ao lidar com proposições compostas temos que considerar: A . e é falsidade se a proposição for falsa. Para Tarski uma proposição só pode ser verdadeira. Exemplos: A sua alternativa certa em concurso público. Há relação entre as proposições simples a e b ? Certamente não há uma relação. Ambos aspectos trabalham simultaneamente ao se raciocinar. pois na proposição a ao se dizer que "João é homem" se afirma que João pertence ao conjunto categórico que conhecemos como homem. torna-se uma proposição contingente.x = x (independe de contexto) 02 . Para outros autores o contexto interpretativo é fundamental na atribuição acerca da verdade proposicional. temos que b (a neve é negra) é falsa. não são relativas ao contexto. São proposições usuais nas ciências naturais e humanas. a mesma pode induzir a pré-conceitos que podem afastar da verdade ao invés de aproximar da mesma. e se homem satisfaz propriedades que o colocam no conjunto categórico mamífero. é que ao ser mal utilizada. tal proposição não é verdadeira em outras estruturas matemáticas como os grupos comutativos. b: A neve é negra. não se pode esquecer que tal fato só é possível mediante a concepção sobre níveis quantificacionais.Aspectos sintático-semantícos I) a estrutura conectiva. as proposições simples são verdadeiras. Mas ao se considerar a relação existente entre os conjuntos categóricos (quantificacional). mas é tão evidente a relação que somos induzidos para tal conclusão. Também se deve considerar que a proposição B induz o nosso raciocínio à uma conclusão que seria: João é um Mamífero. daí temos que a proposição C. Ocorre que tal afirmação a proposição B não fez.RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO MATEMÁTICO O valor lógico de uma proposição é verdade se a proposição for verdadeira. temos que o homem é um mamífero. Caso 2 . Por exemplo. Exemplo: 1. considerar-se apenas as proposições simples (pois c e d são verdadeiras). claro que quando falamos de homem aqui estamos falando da espécie humana. B . d: O homem foi até a Lua. Ocorre que o fato não pode ser comprovado apenas com estes dados. a proposição D seria falsa mediante a concepção tarskiana. mas dependendo do "jogo" podemos adotar um ou outro aspecto como critério para resolver problemas práticos. Também quando consideramos a relação quantificacional D é verdadeiro pois. pois existem concepções divergentes sobre o que pode ou não ser uma verdade. Exemplo: Considere que o símbolo Θ represente operação de grupo. temos por implicação que João é também um mamífero. e de fato. João é um indivíduo que pertence ao conjunto categórico homem. que mesmo sendo representado por alguns indivíduos esteve na Lua. Como vimos acima não é tão simples dizer se uma proposição é verdadeira. mas o tempo subordina o contexto em que tal proposição pode ou não ser verdadeira. mas podem ocorrer em outras áreas. II) a estrutura quantificacional. temos que a proposição poderá induzir uma conclusão que consiste em afirmar que "João foi a Lua". e este conjunto apresenta certas condições mínimas que são satisfeitas pelo indivíduo João. ao induzir nosso raciocínio à uma conclusão. 55 . II) concepção relativa categórica temporal de verdade.A proposição composta A (João é homem e a neve é negra).A proposição C pode ser verdadeira se considerarmos apenas que as proposições simples a (João é homem) é verdadeiro. Tabela verdade da "negação" : ~p é verdadeira (falsa) se e somente se p é falsa (verdadeira). Para determinar o valor (verdade ou falsidade) das proposições compostas (moleculares).Uma proposição não pode ser simultaneamente verdadeira e falsa (princípio de não contradição) . para todos os valores de “x”. isto é.Proposição simples contingente futura: É aquela da qual não se pode afirmar ser verdadeira ou falsa.RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO MATEMÁTICO a: Não há vida inteligente em outros planetas. no entanto.5x + 6 = 0 s: x2 . Logo uma proposição operacional só pode ser verdadeira ou falsa (princípio do terceiro excluído).αn. Neste aspecto.. portanto ψ (n > 1) Número de Linhas da Tabela Verdade A lógica clássica é governada por três princípios (entre outros) que podem ser formulados como segue: PRINCÍPIO DA IDENTIDADE Todo objeto é idêntico a si mesmo. c: Existem infinitos pares de primos gêmeos. Mas poderíamos dizer que: b: Há vida inteligente em outros planetas.. daí dizer que a lógica clássica é bivalente. PRINCÍPIO DA NÃO CONTRADIÇÃO Uma preposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. os disjuntos são falsos. surgem as primeiras definições: Definição 1 ... a proposição b é falsa pois é necessário que existam fatos que mostrem o contrário. dizem-se as premissas do argumento e a última proposição ψ é a conclusão do argumento apresentado. A proposição a é verdadeira até que se prove o contrário. tal que dada uma proposição α temos que: α1. Falsa para qualquer outro valor de “x” q: Verdadeira para x = 2. No entanto.αn.4 = (x-2) (x+2) t: x2 = 9 e x3 = 8 É óbvio que sem fixarmos o valor de “x” não podemos saber se as proposições acima são V ou F. e somente.. p q p∧q V V V V F F F V F F F F 3. 04 . p ~p V F F V 2. Admitimos que a proposição c tem um valor lógico determinado no momento presente. Falsa. segundo o critério tarskiano de verdade. Com base nesses princípios as proposições simples são ou verdadeiras ou falsas . Quando lemos a construção simbólica é costume inserir locuções como "logo".αn.. "portanto" e "por conseguinte" entre as premissas e a conclusão lendo como: α1. caso não se saiba o valor lógico de uma proposição a mesma torna-se inoperante por ser contingente. Tabela verdade da "conjunção" : a conjunção é verdadeira se e somente os conjuntos são verdadeiros. mas não é possível dizer que sempre será assim...2 = 0 r: x2 . Falsa para nenhum valor de “x” t: Verdadeira para nenhum valor de “x”. Tabela verdade da "disjunção" : a disjunção é falsa se. Falsa para qualquer outro valor de “x” s: Verdadeira para qualquer valor de “x”. Falsa para qualquer outro valor de “x” r: Verdadeira para x = 2 ou x = 3. EXEMPLIFICANDO: É comum em matemática escrevermos expressões tais como: p: x + 1 = 3 q: x . Nas proposições acima temos: p: Verdadeira para x = 2. veja que a lógica proposicional na concepção tarskiana é extremamente rigorosa.. não há uma terceira possibilidade. . ψ (n > 1) Ou seja As n primeiras proposições α1. Diante das proposições simples e compostas apresentadas. Definição 2 . PRINCÍPIO DA TERCEIRA EXCLUÍDA Uma proposição é verdadeira (V) ou falsa (F).. Exemplo: d: Qualquer dia vou ser famoso. Definição 3 -Um argumento é uma seqüência finita de proposições .sendo mutuamente exclusivos os dois casos.Toda proposição admite apenas valor lógico verdadeiro ou falso. os fatos passados e atuais nos mostram que até o momento tal proposição é verdadeira. conhecidos os valores das proposições simples (atômicas) que as compõem usaremos tabelas-verdade : 1. p q p∨q V V V V F V F V V 56 A sua alternativa certa em concurso público... e até nossos dias existem projeções matemáticas que nos permitem vislumbrar tais possibilidades. Segue-se que o número de linhas da tabela verdade é 2n. Exemplificando: p: Carlos é bom aluno e (p Λ q) q: Pelé é craque. QUE O LÓGICO SIMBOLIZA POR ~. se e somente se Conectivos são palavras usadas para. p q ((p ∨ q) ∧ ∼ (p ∧ q)) V V VFFV V F VVVF F V VVVF F F FFVF CONECTIVOS não. Assim. etc. Tabela verdade da "implicação": a implicação é falsa se. para duas proposições são 22 = 4 linhas. Exemplo: a tabela . Tabela verdade da "bi-implicação": a bi-implicação é verdadeira se. partindo de certas proposições simples. para 3 proposições são 23 = 8. se. que se excluem. Os principais conetivos... → A DISJUNÇÃO “OU” Em lugar do lingüístico “OU” o lógico usa a notação proveniente da primeira letra da palavra latina VEL que significa “OU”. também chamados partículas lógicas são: → A NEGAÇÃO: NÃO. e somente se.então. formar outras. Exemplificando: NÃO p: Vou tirar 8 em Matemática (~p) → A CONJUNÇÃO “E” – SÍMBOLO LÓGICO Λ A conjunção “e” que o lógico substitui pelo símbolo Λ. e somente se seus componentes são ou ambos verdadeiros ou ambos falsos p q p↔q V V V V F F F V F F F V Exemplo: Construir a tabela verdade da fórmula : ((p ∨ q) → ~p) → (q ∧ p) p q ((p ∨ q) → ~p) → (q ∧ p) V V V F F V V V F V F F V F F V V V V F F F F F V V F F Cada proposição simples (atômica) tem dois valores V ou F. Para n atômicas distintas. p q p→q V V V V F F F V V F F V 5. e. há tantas possibilidades quantos são os arranjos com repetição de 2 (V e F) elementos n a n.verdade da fórmula ((p ∧ q) → r) terá 8 linhas como segue : p q r ((p ∧ q) → r ) V V V VV V V F VF V F V FV V F F FV F V V FV F V F FV F F V FV F F F FV NOTA: "OU EXCLUSIVO" É importante observar que "ou" pode ter dois sentidos na linguagem habitual: inclusivo (disjunção) ∨ ("vel") e exclusivo ∨ ( "aut") onde p ∨q significa ((p ∨ q) ∧∼ (p ∧ q)). ou.RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO MATEMÁTICO F F F 4. A sua alternativa certa em concurso público. 57 . o antecedente é verdadeiro e o conseqüente é falso. Exemplo : p ∧ ∼ p p ∼p p∧∼ p 1 V F F 2 F V F Contradição: é uma proposição composta que é sempre falsa. Observação: a e b são proposições simples. Exemplo : p → q 58 A sua alternativa certa em concurso público. SÍMBOLO LÓGICO V OU: p: 5 é ímpar ou (p V q) 2: 7 é par → A CONDICIONAL: “SE.. Observação: Uma proposição composta pode ser formada por outras proposições compostas. B: a e c . C: A ou B . Tais proposições são representados por letras maiúsculas. Exemplo : p ∨∼ p p ∼p p∨∼ p 1 V F V 2 F V V Tautologia: proposição composta que é sempre verdade. Contingência CONTINGENTE ou INDETERMINADA: Fórmula que possui valores V e F em sua tabela verdade.10 > 6 e João é bom. Exemplos: a: 10 > 6 b: João é bom. Tais proposições serão indicadas por letras minúsculas. → A DISJUNÇÃO EXCLUSIVA (OU. OU). Proposições Compostas São aquelas formada por duas ou mais proposições relacionadas por meio de operadores lógicos (conectivos). TAUTOLOGIA TAUTOLOGIA ou FÓRMULA LÓGICAMENTE VÁLIDA : Fórmula que possui apenas valor V em sua tabela verdade. Contradição CONTRA-TAUTOLOGIA ou FÓRMULA LÓGICAMENTE FALSA : Fórmula que possui apenas valor F em sua tabela verdade.10 > 6 e Maria é feliz. ENTÃO” O lógico usa para a condicional o símbolo: → Exemplificando: SE p: João é professor (p → q) ENTÃO q: Mário é pintor → A BICONDICIONAL: “SE E SOMENTE SE” SIMBOLIZA-SE POR ↔ Exemplificando: p: Matemática entra no vestibular SE E SOMENTE SE q: A Física for menos importante (p ↔ q) Proposições Simples São aquelas que não contém outra proposição como parte integrante de si mesmas. Exemplos: Dadas as proposições simples: a: 10 > 6 b: João é bom c: Maria é feliz Temos que: A: a e b . ....RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO MATEMÁTICO Exemplificando: p: Vai chover amanhã (p V q) ou q: O Grêmio é campeão.10 > 6 e João é bom ou 10 > 6 e Maria é feliz. a relação de implicação lógica entre elas é denotada por (p ^ q) ⇒ ( p v q). Se o conseqüente é verdadeiro não importa se o antecedente é falso ou verdadeiro (p → q) p é F e q é V. √ (p) = F √ (q) = F √ (p → q) = V ou 9 + 7 = 15 ⇒ Eu sou o professor. Verificar se: p ⇒ (p v q) p q pvq p → (p v q) V V V V V F V V F V V V F F F V Verdadeira. (→) representa uma operação lógica entre proposições. 3) Propriedade transitiva: Se p ⇒ q e q ⇒ r então p ⇒ r. portanto p ⇒ (p → q) não implica. resultando uma nova proposição. A sua alternativa certa em concurso público. V ou F. através do conectivo ( →). 2) Propriedade reflexiva: p ⇒ p. Implicações Lógicas: Implicação entre Proposições Distinção entre a condicional ( →) e a implicação (⇒). (⇒) indica apenas uma relação lógica entre duas proposições dadas. √ = valor lógico. Relações entre Implicações 1ª) Implicações recíprocas: (p ⇒ q) e (q ⇒ p) Não são logicamente equivalentes. Exemplo: Operando a proposição p com a proposição q. Propriedade das Implicações Lógicas 1) A condição necessária e suficiente para que uma implicação (p ⇒ q) seja verdade é que a condicional (p → q) seja uma Tautologia.RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO MATEMÁTICO p q p→q 1 V V V 2 V F F 3 F V V 4 F F V Contingência: é uma proposição composta que pode ser verdadeira e pode ser falsa. Dadas a proposições (p ^ q) e (p v q). p q p→q p → (p → q) V V V V V F F F F V V V F F V V Não é Tautológica. então ~ q ⇒ ~ p (contrapositiva) ~ p ⇒ ~ q (recíproca da contrapositiva) ~ (~ q) ⇒ ~ (~ p) (contrapositiva da inversa) q⇒p p: π > 3 q: sen π/2 = 1 √ (p) = V √ (q) = V √ (p → q) = V ou π > 3 ⇒ sen π/2 = 1 p: 9 + 7 = 15 q: Eu sou o professor. resultará a proposição P: p → q. Observação: Se p ⇒ q. 59 . Exemplo: Verificar se: p ⇒ (p → q) Devemos verificar se p → (p → q) é uma Tautologia ou não. resultando em uma nova proposição. p (x) = 2x + 3 = x + 5 q (x) = 7x .. Uma proposição p é equivalente a proposição q quando em suas tabelas verdade não ocorre VF e nem FV. Equivalências Lógicas: Equivalência entre Proposições Distinção entre: ( ↔) e (⇔). Verificamos que os valores lógicos são os mesmos. (↔) Bicondicional: o símbolo (↔) representa uma operação entre proposições. (⇔) Equivalência: o símbolo (⇔) indica uma relação entre duas proposições dadas. Sentença: 2 + 3 = 5 (fechada) x + y = 8 (aberta) Equivalência entre Sentenças Abertas Uma sentença aberta é equivalente a outra sentença aberta quando o conjunto verdade da primeira é igual ao conjunto verdade da segunda.3 = 5x + 1 x=2 2x = 4 V1 = {2} x=2 V2 = {2} Conclusão: A equivalência é verdadeira. então → se e somente se ↔ tal que | implica ⇒ equivalente ⇔ existe ∃ existe um e somente um ∃| qualquer que seja ∀ 60 A sua alternativa certa em concurso público.3 = 5x + 1) p (x) = 2x + 3 = x + 5 q (x) = 7x . Símbolos utilizados na Lógica Matemática não ∼ e ∧ ou ∨ se . Podemos verificar que a bicondicional entre (p → q) e (~ p v q) é uma Tautologia. Expressão: 2 + 3 ⇒ x + y Conjunto universo (busca de valores para testar na equação). então Q ⇔ R Simétrica: se P ⇔ P então Q ⇔ R Um conceito importante associado a uma fórmula proposicional é o de literal. 2ª) Implicações Inversas: ( p ⇒ q) e (~ p ⇒ ~ q) Não são logicamente equivalentes. Equivalências entre proposições. .RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO MATEMÁTICO Uma pode ser verdadeira sem que a outra seja. Exemplo: Verificar se: (p → q) ⇔ ~ p v q p q ~p ~pvq p→q (p → q) (↔) ~ p v q V V V F V V V F F F F V F V V V V V F F V V V V Comparando as colunas 1 e 2 verificamos que não ocorre VF e FV numa mesma linha. Se V1 = V2. 3ª) Implicações Contrapositivas: (p ⇒ q) e (~ q ⇒ ~ p) São logicamente equivalentes. P ⇔ Q. Seja p (x) = 0 com conjunto verdade V1 e q (x) = 0 com conjunto verdade V2. então p (x) = 0 ⇔ q (x) = 0 Exemplo: Julgue a sentença: (υ = ℜ) (2x + 3 = x + 5) ⇔ (7x . Propriedade das Equivalências Lógicas As propriedades da Equivalência Lógica são: Reflexiva: P1 ∧ P1 ∧ Transitiva: se P ⇔ P e .3 = 5x + 1 .. a avaliação deve ser vista como um processo relevante para obtenção de informações sobre as capacidades cognitivas dos indivíduos testados. lato sensu. sobretudo em situações clínicas e jurídicas. Mesmo o bebê tem muita coisa para contar aos pais. principalmente se estão ocupados em algum afazer ou entretenimento doméstico. entendendo e estimulando os recursos mentais utilizados pela criança para alcançar resultados construtivos. ignorar o que seu filho tenta dizer-lhes. cada fase do crescimento infantil terá técnicas próprias para este tipo de estimulação mas o princípio será sempre o mesmo. Um dos piores defeitos que os pais podem ter é o hábito de. que têm necessidades e dificuldades específicas de comunicação. com referência ao raciocínio. porém não pode ser tida como algo “milagroso” e ausente de erros e vieses. pode-se afirmar que a avaliação das capacidades cognitivas permanece ainda hoje um dos domínios mais significativos de aplicação da psicologia. do riso etc. das reações emocionais e motoras. A dialética infantil avança gradativamente e é através da avaliação correta dos recursos lingüísticos estruturados que se podem obter os melhores resultados em termos de estímulo ao desenvolvimento. Definição e caracterização do raciocínio Almeida (1988 a) caracteriza a investigação e a prática psicológica da perspectiva psicometrista. devemos nos reportar ao final do século XIX citando as necessidades de caráter tecnológico. Ninguém conversa com o bebê da mesma maneira que conversaria com uma criança maior ou com um adulto. sobretudo. devemos incentivar o diálogo (dialética). prestar atenção e dispor de tempo e paciência para apreender o que o petiz pretende comunicar. Apesar disso. Tal postulado fundamenta a existência de diferenças individuais permanentes quanto às capacidades intelectuais. 1994). Os instrumentos destinados a avaliação psicológica. Andriola (1995 a. ao contrário do raciocínio não-verbal. Como ressaltam Wigdor e Garner (1982). seleção profissional objetivando identificar os sujeitos com maior adequação às exigências da função e identificação do estado de demência ou deterioração intelectual dos indivíduos. descreverei a metodologia. Nada mais justo. apesar de não dominar a estrutura lingüística. do que buscar nesse ramo do saber algumas técnicas para estimular o desenvolvimento dos processos mentais na infância. Assim. enfocando a influência hereditária. às vezes.RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO MATEMÁTICO COMPREENSÃO E ANÁLISE DA LÓGICA DE UMA SITUAÇÃO. O raciocínio verbal é o recurso mais empregado para a resolução de problemas concretos e para a tomada de decisões na vida. é mais fácil conversar com adultos do que com lactentes. não é negada a influência das aprendizagens ou experiências sociais sobre a utilização do raciocínio. as exigências em termos profissionais colocadas pela industrialização progressiva das sociedades ocidentais. é sobre a estrutura montada pelo raciocínio verbal que os mecanismos inconscientes trabalham para atingir a sua meta. Apesar de muitas vezes a resposta final para o problema ter origem no raciocínio não-verbal. O interesse e desenvolvimento dos testes para avaliação do raciocínio têm que ser enquadrados em um contexto sócio-cultural específico. Se partirmos do simples para o complexo. e às necessidades educacionais ligadas a melhoria do rendimento escolar dos alunos. Durante o desenvolvimento neuropsicomotor. A atenção prestada pela criança é o modo como sabemos que as informações estão sendo processadas. devemos considerar que o bebê também se comunica não-verbalmente através do choro. associados às necessidades de identificação de crianças com baixo potencial cognitivo ou menor desenvolvimento intelectual. mais do que simplesmente escutar. É necessário ter sensibilidade. ainda hoje. Não usarei o termo dialética apenas no sentido filosófico mas também no de arte do diálogo. segundo três aspectos fundamentais. permanecem. com certeza chegaremos ao ponto de entendimento de cada criança em particular.o psicólogo. os interesses e a personalidade dos adolescentes e jovens. permitindo assim predizer a margem de sucesso esperado para cada indivíduo. A avaliação das capacidades cognitivas tem a sua história ligada às necessidades sociais de explicação do comportamento humano. refletindo a organização do pensamento. A sua alternativa certa em concurso público. O segundo aspecto é resultante do postulado que afirma que a estabilidade das características dos indivíduos permaneceriam estáveis ao longo de sua existência. procura elementos estritamente lógicos e interligados racionalmente para montar o esqueleto da situação. elaboração de perfis profissionais considerando as aptidões. 61 . Cada técnica deve ser adaptada para o grau de capacitação de cada bebê. Filosofia é o estudo que visa a ampliar a compreensão da realidade. O primeiro refere-se à possibilidade de estabelecimento de uma relação entre o desempenho dos sujeitos no teste e a sua realização escolar. os chamados testes. 1994). a massificação do ensino e. visando a definir as questões cuja resolução se faz necessária. com conotação mais ampla. Embasado nas limitações dos instrumentos e dos profissionais que os utilizam. b) acrescenta ainda o problema da formação profissional inadequada na área psicométrica daquele que irá lidar com esses instrumentos de avaliação psicológica . Pode parecer estranho falar-se em diálogo envolvendo o recém-nascido. A lógica é a parte da filosofia que estuda os processos intelectuais. as necessidades de avaliação psicológica na seleção de recrutas norte-americanos para a 1ª guerra mundial (Almeida. designadamente após os primeiros anos de maior desenvolvimento psicofisiológico. mas. o objetivo e a importância da dialética em cada fase da estruturação cerebral da criança. apesar de reconhecerem as limitações dos instrumentos. A arte do diálogo com bebês não é tão simples. além de proporcionar ao indivíduo a possibilidade de uma decisão pessoal sobre o seu futuro escolar e profissional. Este. portanto. tendo em vista a sua orientação vocacional (Andriola. Para facilitar o meu trabalho. UTILIZANDO AS FUNÇÕES INTELECTUAIS: RACIOCÍNIO VERBAL · Raciocínio Verbal: É a aptidão para compreender e usar os conceitos verbais em toda a sua profundidade e extensão. o rápido aumento demográfico. O estímulo ao desenvolvimento dos processos verbais é realizado através do método dialético. Escutar a criança é essencial e. sistematicamente. eles devem ser referidos à medida que vão sendo usados ou após os alunos terem já utilizado os vários métodos em pequenas demonstrações informais (mesmo para confirmar as suas resoluções de problemas). Defende-se que os conceitos fundamentais e as suas propriedades básicas sejam motivados intuitivamente. forçando-o a uma utilização mais freqüente da mesma que poderá resultar num maior aprimoramento. Como se pode ver pelo corpo do programa. utilizar os componentes relacionais nos procedimentos anteriores. se verdadeiras. chama-se a atenção para alguns assuntos que. em suas mais diferentes formas de conteúdos (verbal. numérico. axiomática das probabilidades. e avaliar a adequação da resposta elaborada considerando mais a especificidade da situação que a “opinião pessoal” sobre a mesma. propriedades dos módulos. propriedades das funções. A escrita simbólica das proposições matemáticas há de aparecer. não se pretende que a matemática ou matemáticas sejam introduzidas axiomaticamente. condensação e economia. Almeida (1988 b) propõe que o raciocínio pode ser caracterizado pela aptidão do sujeito em identificar os elementos de um problema. No presente caso. permite ao estudante ter noção de como está a sua capacidade para lidar com símbolos verbais. e indivíduos cujos escores situam-se simetricamente acima e abaixo de tal valor médio. Todas as noções de lógica e teoria de conjuntos devem ser introduzidas à medida que vão sendo precisas ou recorrendo a exemplos concretos de matéria usada: resolução de equações e inequações. mas defende-se que os alunos possam trabalhá-los até chegarem a formulações matemáticas precisas. o principal objetivo será a investigação da validade de ARGUMENTOS: conjunto de enunciados dos quais um é a CONCLUSÃO e os demais PREMISSAS. semi-dedutiva em que se procuram explorar intuições espaciais e habilidades dedutivas. conceitualizar ou compreender a sua formulação. os alunos devem realizar exercícios metodológicos de descoberta de justificações (que não são mais do que novos problemas. avaliar as diferentes formas alternativas elaboradas para resolvê-lo. conceber formas alternativas de resolvê-lo. está associada ao fato de terem. se confunda o grau de precisão de um conceito matemático com qualquer grau de "simbolização". de submeterem-se a uma prova para avaliar o raciocínio verbal: a redação. alguns autores chegam mesmo a propor um Programa de Treinamento Cognitivo para os estudantes que se mostram com baixa capacidade de raciocínio. clareza de exposição. que é o que afinal está em causa. há maior número de indivíduos cujos resultados situam-se em torno da média da população. semi-intuitiva. simbologia lógica e matemática. Tal lei permite a generalização dos resultados obtidos com a amostra para a população da qual é originária. mas estas não podem confundir-se com demonstrações formalizadas (no sentido de deduções formais em teorias formais). deve aparecer individualizada como exemplo particular do raciocínio dedutivo (quer para provar propriedades de sucessões. Os argumentos estão tradicionalmente divididos em DEDUTIVOS e INDUTIVOS. RACIOCÍNIO MATEMÁTICO · Raciocínio Matemático: É a facilidade para perceber o raciocínio utilizado em operações que envolvam números. no caso específico de estudantes do 2º grau que objetivam cursar a universidade. sempre que possível. desde muito cedo. Na aprendizagem da matemática elementar dos ensinos básico e secundário são absolutamente necessárias as demonstrações matemáticas. aleatoriamente escolhidas. não constituindo em si mesmos conteúdos do programa. mas pretende-se que os estudantes fiquem com a idéia de que as teorias matemáticas são estruturadas dedutivamente. deve ser acompanhado do hábito de argumentar oralmente ou por escrito e. Muitos pequenos exemplos ligados ao trabalho com I|d|ba 2()R e suas propriedades podem servir como exemplos de esclarecimento de alguma operação lógica. Neste capítulo. bem como não podem passar sem um mínimo de linguagem simbólica. retirar conclusões lógicas da informação fornecida e processada. . 62 A sua alternativa certa em concurso público. obrigatoriamente. Um conceito matemático pode estar completa e rigorosamente compreendido expresso em língua natural ou em linguagem matemática ordinária que é uma mistura de linguagem natural. ARGUMENTO DEDUTIVO: é válido quando suas premissas. A aprendizagem matemática dos alunos passa por fases intuitivas e informais. a avaliação do raciocínio verbal através do Teste RV. Como o raciocínio pode ser usado em problemas com conteúdos diferenciados. a pesquisa objetivou avaliar a capacidade de raciocinar utilizando símbolos verbais numa amostra de estudantes do 2º grau de escolas públicas e particulares de Fortaleza. A relevância da avaliação dessa capacidade. mas. O hábito de pensar corretamente. se possível naturalmente. Aliás. quer para provar propriedades combinatórias Neste roteiro. os teóricos psicometristas acreditam na existência de um fator geral de raciocínio (expresso pela capacidade de estabelecer e aplicar relações entre elementos) e em aptidões primárias ou específicas (expressas pelas diferenças de contexto ou conteúdo dos elementos).RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO MATEMÁTICO O terceiro aspecto refere-se à distribuição dos escores obtidos pelos sujeitos nos testes seguirem as leis da curva normal. espacial. ou seja. pode-se afirmar que o raciocínio verbal é a capacidade cognitiva utilizada na resolução de problemas cujo conteúdo seja composto por símbolos verbais. Dentro do contexto teórico até aqui apresentado. utilizar os procedimentos anteriores independente do conteúdo e da forma da situação. mas todo o estudo da Geometria Analítica se baseia numa geometria sintética euclideana. Não estão sugeridos explicitamente no corpo do programa. por vezes dentro de outros problemas cuja resolução carece de ser comprovada). Sendo uma prova obrigatória e de caráter eliminatório. mesmo estas não podem deixar de ser rigorosas ou desprovidas de demonstrações corretas. para efeitos de precisão. Pode-se então depreender que o raciocínio é um mecanismo cognitivo que é utilizado para solucionar problemas (simples ou complexos). em algum momento. sempre que for garantida a representatividade populacional. A indução matemática. são alguma da essência de muitos passos da aprendizagem de diversos assuntos e constituem elementos que ajudam os estudantes a compreender demonstrações e a racionalizar os desenvolvimentos desta ou daquela teoria. a conclusão é também verdadeira. sem que. No que diz respeito aos métodos de demonstração. como método de demonstração. abstrato e mecânico) através de seus componentes relacionais (de descoberta e de aplicação). e 2. LÓGICAS COMPLEMENTARES DA CLÁSSICA: Complementam de algum modo a lógica clássica estendendo o seu domínio. Premissa : "É comum após a chuva ficar nublado. Se A e B são fórmulas então (A ∨ B) . paraconsistentes (derrogam o princípio da contradição)." Conclusão: "Ficará nublado. formuladas em uma linguagem estruturada. ∧ . A neve é branca. CONCEITO DE PROPOSIÇÃO PROPOSIÇÃO : sentenças declarativas afirmativas (expressão de uma linguagem) da qual tenha sentido afirmar que seja verdadeira ou que seja falsa. Exemplos: A lua é quadrada : p A neve é branca : q CONECTIVOS LÓGICOS : As fórmulas atômicas podem ser combinadas entre si e..RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO MATEMÁTICO Premissa : "Todo homem é mortal.. parênteses que servem para denotar o "alcance" dos conectivos. (A ∧ B) . ARGUMENTO INDUTIVO: a verdade das premissas não basta para assegurar a verdade da conclusão. Não serão objeto de estudo as sentenças interrogativas ou exclamativas.. não-reflexivas (derrogam o princípio da identidade). ↔ .r. Hoje as especialidades se multiplicam e as pesquisas em Lógica englobam muitas áreas do conhecimento. para representar tais combinações usaremos os conectivos lógicos: ∧: e ..s. Os parênteses serão usados segundo a seguinte ordem dos conectivos: ∼. → : se. ∨ . Três Princípios (entre outros) regem a Lógica Clássica: da IDENTIDADE. : ((∼ p) ↔q)) • DEFINIÇÃO DE FÓRMULA : 1." Conclusão : "João é mortal. As premissas e a conclusão de um argumento. É o que chamamos hoje de CÁLCULO DE PREDICADOS DE 1a ORDEM com ou sem igualdade e de alguns de seus subsistemas. ∨: ou . (A → B) . A lua é quadrada. →. Exemplos: lógicas modal . epistêmica . etc. polivalentes. : ((p ∧ q) → ∼ p) • A lua não é quadrada se e somente se a neve é branca. Tais técnicas de análise serão tratadas no decorrer deste roteiro. LÓGICAS NÃO ." Não trataremos do estudo desses argumentos neste roteiro. 3. A sua alternativa certa em concurso público. : p ∧ q (p e q são chamados conjunctos) • A lua é quadrada ou a neve é branca. UMA CLASSIFICAÇÃO DA LÓGICA Alguns autores dividem o estudo da Lógica em: LÓGICA INDUTIVA: útil no estudo da teoria da probabilidade (não será abordada neste roteiro). Exemplos: • Se a lua é quadrada e a neve é branca então a lua não é quadrada. Matemática é uma ciência.Considerada como o núcleo da lógica dedutiva. 63 . permitem que o argumento possa ter uma análise lógica apropriada para a verificação de sua validade. ↔ : se e somente se . São fórmulas apenas as obtidas por 1.então . : ∼p • SÍMBOLOS AUXILIARES : ( ) . . CÁLCULO PROPOSICIONAL Como primeira e indispensável parte da Lógica Matemática temos o CÁLCULO PROPOSICIONAL ou CÁLCULO SENTENCIAL ou ainda CÁLCULO DAS SENTENÇAS. para indicar as proposições (fórmulas atômicas) ." Premissa : "Está chovendo. e LÓGICA DEDUTIVA: que pode ser dividida em : LÓGICA CLÁSSICA. OS SÍMBOLOS DA LINGUAGEM DO CÁLCULO PROPOSICIONAL VARIÁVEIS PROPOSICIONAIS: letras latinas minúsculas p. da CONTRADIÇÃO e do TERCEIRO EXCLUÍDO os quais serão abordados mais adiante. : p ↔ q • A lua não é quadrada..." Premissa : "João é homem. fuzzy-logic. ∼: não Exemplos: • A lua é quadrada e a neve é branca. Toda fórmula atômica é uma fórmula." Esses argumentos serão objeto de estudo neste roteiro. : p ∨ q ( p e q são chamados disjunctos) • Se a lua é quadrada então a neve é branca. etc... 2. probabilísticas. : p → q ( p é o antecedente e q o conseqüente) • A lua é quadrada se e somente se a neve é branca.CLÁSSICAS: Assim caracterizadas por derrogarem algum ou alguns dos princípios da lógica clássica. não-aléticas (derrogam o terceiro excluído e o da contradição).q. deôntica. Exemplos: paracompletas e intuicionistas (derrogam o princípio do terceiro excluído). (A ↔ B) e (∼ A) também são fórmulas. os disjunctos são falsos. p V F ~p F V 2.Tabela verdade da "negação" : ~p é verdadeira (falsa) se e somente se p é falsa (verdadeira). uma delas é falsa. p V V F F q V F V F p∨q V V V F 4. Para determinar o valor (verdade ou falsidade) das proposições compostas (moleculares). daí dizer que a lógica clássica é bivalente. Tabela verdade da "conjunção" : a conjunção é verdadeira se e somente os conjunctos são verdadeiros. Tabela verdade da "bi-implicação": a bi-implicação é verdadeira se. o antecedente é verdadeiro e o conseqüente é falso. e somente. Com base nesses princípios as proposições simples são ou verdadeiras ou falsas . Tabela verdade da "disjunção" : a disjunção é falsa se. . p V V F F q V F V F p→q V F V V 5. e somente se seus componentes são ou ambos verdadeiros ou ambos falsos p V q V p↔q V 64 A sua alternativa certa em concurso público. Tabela verdade da "implicação": a implicação é falsa se. e somente se. • Princípio da Contradição: Dadas duas proposições contraditórias (uma é negação da outra).RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO MATEMÁTICO Com o mesmo conectivo adotaremos a convenção pela direita . uma delas é verdadeira. Exemplo: a fórmula p ∨ q ∧ ∼ r → p → ∼ q deve ser entendida como (((p ∨ q) ∧ (∼ r)) → ( p → (∼ q))) AS TABELAS VERDADE A lógica clássica é governada por três princípios (entre outros) que podem ser formulados como segue: • Princípio da Identidade: Todo objeto é idêntico a si mesmo. conhecidos os valores das proposições simples (atômicas) que as compõem usaremos tabelas-verdade : 1.sendo mutuamente exclusivos os dois casos. p V V F F q V F V F p∧q V F F F 3. • Princípio do Terceiro Excluído: Dadas duas proposições contraditórias. RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO MATEMÁTICO V F F F V F F F V Exemplo: Construir a tabela verdade da fórmula : ((p ∨ q) → ~p) → (q ∧ p) p V V F F q V F V F ((p ∨ q) → ~p) → (q ∧ p) V V V F F F V V F F V V V V F F V F F F •NÚMERO DE LINHAS DE UMA TABELA-VERDADE: Cada proposição simples (atômica) tem dois valores V ou F, que se excluem. Para n atômicas distintas, há tantas possibilidades quantos são os arranjos com repetição de 2 (V e F) elementos n a n. Segue-se que o número de linhas da tabela verdade é 2 n. Assim, para duas proposições são 2 2 = 4 linhas; para 3 proposições são 23 = 8; etc. Exemplo: a tabela - verdade da fórmula ((p ∧ q) → r) terá 8 linhas como segue : p V V V V F F F F q V V F F V V F F r V F V F V F V F ((p ∧ q) → r ) V V F F F F F F V F V V V V V V NOTA: "OU EXCLUSIVO" É importante observar que "ou" pode ter dois sentidos na linguagem habitual: inclusivo (disjunção) ∨ ("vel") e exclusivo ∨ ( "aut") onde p ∨q significa ((p ∨ q) ∧∼ (p ∧ q)). p V V F F q V F V F ((p ∨ q) ∧ ∼ (p ∧ q)) V V V F F F V V V V FV V F F F RACIOCÍNIO SEQUENCIAL Bloqueios do pensamento lógico O Voo 173 da United Airlines partiu como de costume, de New York, no dia 18 de Dezembro de 1978, chegou a Portland mas, após mais de uma hora dando várias voltas de sobrevôo da pista, não fez a manobra de aterragem e foi esmagar-se no solo, por falta de combustível. O conteúdo das caixas negras, com a gravação das conversas dos pilotos permite classificar este caso como exemplar do ponto de vista nas reações humanas: estes homens retardaram a manobra de aterragem por não terem recebido a informação de que o trem de aterrissagem tinha saído e estava em posição! A cadeia de operações normal indica que só se faz a manobra de aterrissagem após a recepção da informação de que o trem de aterrissagem está em correta posição. Assim, estes pilotos, na ausência de resposta a uma etapa intermédia não ousaram ultrapassá-la, embora fosse indispensável fazê-lo (com ou sem o trem de aterrissagem em boa posição não poderiam continuar no ar!). A sua alternativa certa em concurso público. 65 RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO MATEMÁTICO E afinal, neste caso, veio a verificar-se que o trem de aterrissagem estava bem posicionado e apenas o indicador interno se tinha avariado... Este drama adveio de um bloqueio na capacidade decisória, em conseqüência de um raciocínio seqüencial mas não conseqüencial. Pensamento heurístico Provavelmente, se fez os testes propostos nas cinco mistificações e errou, já verificou a sua tendência para dar uma resposta rápida mas incorreta, em situações lógicas complexas. É o seu pensamento heurístico que atua, nestas circunstâncias! O nosso cérebro está programado para reagir usando primeiro o raciocínio heurístico. O raciocínio heurístico atua perante um problema complexo reduzindo a sua complexidade e trabalhando apenas sobre um sub-conjunto da informação disponível. A facilidade de obter uma resposta é maximizada e, não sendo sempre esta a melhor resposta, é satisfatória na maior parte dos casos. Esta orientação de pensamento não é, no entanto, inevitável em todas as situações. Os estudos recentes de uma equipe de psicólogos das Universidades de Caen e Paris 5, dirigida por Olivier Houdé permitem concluir que o treino permite evitar a resposta heurística (inibindo a ativação das zonas cerebrais de resposta heurística) e desbloquear o raciocínio lógico (ativando as zonas cerebrais que lhe correspondem). Certa vez, perguntaram a um grande físico prêmio Nobel, enquanto discutia o Princípio da Incerteza de Heisemberg, qual seria o conceito complementar à clareza... Depois de uma breve reflexão, respondeu que seria a precisão! Sua explicação final foi que, para sermos claros, devemos ser simples, em geral, sacrificando a precisão... Para sermos precisos, devemos ser detalhados, extensos ou complexos, ocasionalmente confusos e, portanto, podemos perder a clareza. Esse breve episódio foi mencionado aqui para delimitar uma transição essencial, que se iniciou no século passado, em direção ao nascimento de uma nova mentalidade na civilização ocidental: a mudança de paradigma do pensamento linear e mecanicista para o pensamento não linear, holístico ou sistêmico. Evidentemente, mais de um século está sendo necessário para que, a partir do berço do conhecimento, o ambiente acadêmico e científico, lentamente tais ideais se materializem em tecnologia e cheguem ao mercado na forma de novos padrões de comportamentos, procedimentos, técnicas e equipamentos acessíveis ao grande público (este ainda num lento processo de conscientização), dado às vagarosas mudanças de hábitos de raciocínio e pensamento. As sementes dessas transformações já existiam no passado, no pensamento filosófico, já na Grécia antiga, na cultura oriental (especialmente a chinesa) ou mesmo na compreensão de algumas culturas conhecidas como indígenas, entretanto pertenciam às elites intelectuais de suas comunidades. Assim sendo, esse artigo tem a finalidade de contribuir para a difusão de tais ideais que, certamente, serão patrimônio da mentalidade universal em breve. Isso, entretanto, não significa que devamos abandonar ou desvalorizar a lógica linear simples, muito pelo contrário, o paradigma cartesiano (simplificadamente, concebido a partir de uma simplificação da realidade, quando se admitia que toda a realidade poderia ser compreendida através da mecânica newtoniana, isto é, representada por equações matemáticas) nos permitiu chegar aonde chegamos! E somente por ter sido explorado em todas as suas dimensões e limites é que revelou suas deficiências (podia equacionar apenas uma pequena parte da compreensão da realidade) e despertou-nos para a necessidade de termos um modelo mais abrangente. Dessa forma, para prosseguirmos com nossas idéias, gostaria de lembrar três ou quatro questões já apresentadas em outros artigos, porém de fundamental importância para a argumentação que sustenta essa reflexão. Certa vez, durante uma palestra, uma senhora perguntou-me o que eu a aconselhava que fizesse com seu filho de nove anos de idade destruidor de brinquedos! Contou ainda que já tentara diversas vezes faze-lo compreender que deveria cuidar de seus brinquedos e conserva-los. Ultimamente, lhe dizia que não lhe daria mais brinquedos enquanto ele não aprendesse a conserva-los. Porém, quando o via à frente da televisão sem brinquedos para brincar, não resistia e comprava-lhe outro novo. E assim estava estabelecida a rotina da qual reclamava. Bem, a exposição um tanto longa dera-me tempo para elaborar a resposta e, quando por fim, fez a pergunta, respondi que tinha pelo menos três respostas diferentes! A primeira delas era a mais importante de todas para o seu filho. Disse a ela que eu também fora uma criança que destruía brinquedos! E, mais tarde, quando adulto, descobri que isso era apenas o primeiro degrau de uma jornada na qual conquistei uma valiosa habilidade de manipular o mundo das coisas materiais! Quebrar brinquedos foi apenas a primeira manifestação desse interesse em explorar o universo das coisas... Passada essa fase, essa curiosidade me levou a desenvolver a habilidade manual e intelectual de consertar e construir coisas: em madeira, metal, eletricidade, hidráulica ou mecânica simples, e até mesmo eletrônica! E tais competências permanecem ainda muito valiosas para mim no presente! Então ela sorriu... Disse-lhe assim, que havia ainda duas respostas... A segunda era a mais importante para mim, enquanto educador. Contei-lhe que sua atitude incoerente certamente estaria contribuindo para que aquela criança começasse a mentir, fizesse chantagem e tentasse manipula-la! Pois, ao descumprir suas promessas de não lhe dar mais brinquedos, já que seriam quebrados, essa criança estava descobrindo que os adultos não dizem o que fazem, nem fazem o que dizem! A semente da incongruência já estava plantada... Nesse momento percebi que ela estava bastante desconfortável e incomodada à frente de uma platéia de aproximadamente cem pessoas... Por fim, disse-lhe que ainda havia a terceira resposta, a mais importante de todas para ela, enquanto mãe: sugeri que não deveria acreditar em nada do que eu dissera, pois eu era apenas um educador que não tinha filhos! E todos nós sabemos que muitas teorias, na prática, podem ser bastante diferentes! Então percebi que ela se descontraiu e relaxou. Esse episódio ilustra com elegância, em minha opinião evidentemente, alguns fatos concorrentes para a grande mudança de paradigma do pensamento linear para o pensamento sistêmico ou holístico: primeiramente, as perguntas não possuem apenas uma resposta! Podem ter, e de fato, geralmente possuem várias respostas, mesmo que, contraditórias (caso queira aprofundar essa questão, leia o artigo "Perfeitamente Imperfeito" publicado nessa 66 A sua alternativa certa em concurso público. RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO MATEMÁTICO 'newsletter'). Essas são as verdades profundas, isto é, embora discordantes, cada uma das três respostas continha uma verdade parcial. Isso contrapõe a concepção de que a negação de uma verdade deva ser uma mentira. Se eu disser que sou uma pessoa alegre, pouco comunicativa e inteligente, necessariamente não significa que eu nunca esteja muito triste, seja profissionalmente palestrante ou não faça burrices e asneiras homéricas! Verdades Profundas são aquelas cuja negação também é verdadeira! Creio que era sobre isso que aquele cientista desejava falar quando escolheu a clareza como antagônica ou complementar à precisão, sendo que os verdadeiros antônimos para os conceitos anteriores deveriam ser, respectivamente, escuridão ou obscuridade e imprecisão. Ele possivelmente desejava contextualizar sua resposta ao seu universo de experiência, evidenciando ainda o quanto tinha sido influenciado pelas pesquisas e descobertas da física quântica, em sua época. Um modelo científico incompatível com a lógica simples, dado que nas pesquisas desse campo do conhecimento, a Realidade é muito sensível à presença e à intenção do observador (cientista), não possuindo um comportamento previsível, isto é, uma única verdade! Por outro lado, se eu afirmar que sou magro, alto e loiro, isso significa que, quando eu disser o contrário, estarei mentindo. Essas são as verdades simples: aquelas cuja negação é falsa - são exclusivas de outras possibilidades. Essa história ainda mostra que a realidade e a causalidade podem ser compreendidas (para facilitar o entendimento) como estruturadas em 'camadas', em níveis paralelos e coexistentes, como se possuíssem dimensões de significado que se interpenetram no mesmo tempo e espaço. Uma conclusão simples disso é que quando alguém lhe disser que um determinado fato aconteceu porque..., você pode admitir que tal afirmação seja pura fantasia, pois a Realidade é condicionada por incontáveis fatores, causas e variáveis! Atualmente até os computadores estão sendo projetados e imaginados para 'pensar' de uma forma não linear, sendo que essas pesquisas de vanguarda são possíveis pelo fato dos seres humanos que os concebem possuírem a habilidade de pensar sistemicamente ou, como gosto de definir, pensar de forma mosaica ou circular. Se você observar bem, as analogias e relações que estabeleço em meu discurso e nos artigos possuem um pouco dessa estrutura - faz parte da metodologia adequada para estabelecer novas conexões mentais e conduzir o ouvinte ou leitor ao "insight". Tal abordagem também é uma poderosa estratégia muito utilizada nos 'koans' budistas (histórias ou proposições paradoxais) ou anedotas Sufis responsáveis pela ruptura com condicionamentos mentais nessas práticas filosóficas. Gosto muito do seguinte exemplo: se eu disser que eu sou mentiroso, o que eu estou dizendo? Absolutamente nada! Pois posso ter mentido ao afirmar que mentia, então estaria dizendo a verdade... Esses colapsos da lógica simples estimulam o indivíduo a perceber além das palavras e a transcender a realidade objetiva simples, despertando a habilidade de pensar em múltiplos níveis e de forma não linear. A tensão mental e emocional transforma-se no combustível ou trampolim que impulsionam a consciência a um salto de nível de compreensão (um curioso estado alterado de consciência - transe), ocasionalmente experimentado quando despertamos para o humor contido em alguma piada: 'quando cai a ficha' - o "insight"! Creio que os orientais possuam uma facilidade adicional para treinar o pensamento não linear, como a própria cultura deles já foi capaz de mostrar, especialmente porque a própria linguagem deles (ideogrâmica) não é seqüencial como as dos ocidentais. A escrita ideogrâmica é simultaneamente processada pelos dois hemisférios cerebrais (levando-se em conta esse modelo de compreensão das funções cerebrais cognitivas), sendo que o hemisfério cerebral direito é admitido como sítio das habilidades de síntese, criatividade, capacidade de visualização e a sensibilidade poética e artística, entre outras. A escrita linear e fonética como conhecemos no ocidente, contudo, admite-se ser especialmente processada no hemisfério cerebral esquerdo (de acordo com os mesmos modelos conceituais do funcionamento cerebral). Esse hemisfério é tido como responsável pelas competências de análise, pensamento lógico e racional, raciocínio seqüencial e dedutivo. Longe de acreditar que algum desses estilos de processamento cerebral seja melhor que o outro, creio que possuí-los ambos ativados em funcionamento coordenado e podermos usufruir a conjugação de suas qualidades de acordo com as necessidades é a melhor das alternativas. Assim sendo, gostaria de prosseguir nessa reflexão com três idéias ainda importantes. A primeira delas diz respeito a uma importante descoberta científica, em parte, relacionada com nosso artigo e diretamente com o aumento de capacidade cerebral. A grande descoberta é que o cérebro humano, muito diferente do que se acreditava no passado, cresce ao longo de toda a vida, desde que devidamente estimulado! Existe em nosso cérebro uma camada de células nervosas (astrócitos) em estado semiadormecido ou "germinal" que, ativados por determinados hormônios, se transformam em neurônios e estabelecem novas conexões nervosas (axônios)! Aquela antiga história que diziam que os nossos neurônios possuem quantidade definida e decrescente ao longo da vida, já faz parte da história da ciência! Além disso, em nossa medula óssea existem as chamadas células tronco (células jovens) cuja grande versatilidade permite que se transformem ou adquiram as qualidades de qualquer outra célula específica de nosso organismo como se fossem "curingas". Bem, descobriram ainda que existem três categorias de estímulos que promovem a liberação daqueles hormônios responsáveis pelo desenvolvimento e aumento dos neurônios e, portanto, de nossa capacidade de estabelecer novos 'arquivos de memórias' e, por fim, um aumento de nossa capacidade de aprendizado e armazenagem de conhecimentos. São eles: a curiosidade, os estímulos do ambiente e o movimento corporal! Tudo aquilo que nos maravilha, nos excita ou nos surpreende, nos desperta o interesse e a curiosidade de um modo geral, libera em nosso sangue tais hormônios que ativam neurônios em estado potencial. E você bem conhece quais são as sensações e sentimentos correspondentes a esse estado interior! Todas aquelas situações de vida que nos fazem mudar de idéia, de sentimento, de atitude ou de hábito, também promovem o aumento de massa de nosso cérebro. E, finalmente, todos aqueles novos movimentos, padrões de equilíbrio, coordenações motoras de gestos e movimentos ou percepções corporais e sensações, também, da mesma forma, produzem as mesmas substâncias responsáveis pelo nascimento de novos neurônios e aumento de capacidade mental correspondente! A sua alternativa certa em concurso público. 67 somente serão impelidos às mudanças criadas no mundo por necessidade.. situações e ambientes permanentemente! Pessoas com essas características ou temperamento constituem apenas cinco por cento da população e. a partir dessa pequena mudança. quero agora apresentar um caso que considero bastante curioso que tive oportunidade de acompanhar. É ter noção de longe. o quadro clínico piorava progressivamente! Quando esse conhecido contou-me o problema e o quanto interferia na vida da família. pelo menos a título de curiosidade. Evidentemente. perto. É sobre um conhecido.. encontrei-me novamente com ele dois ou três meses depois e ele me contou que em menos de três semanas os sintomas de sua esposa tinham desaparecido. de uma forma diversa. Bem. Desde o nascimento.. regula a proprioceptividade inconsciente. de caminhar e de deitar e dormir confortavelmente. baixo. mesmo levando em conta que os tratamentos médicos convencionais tivessem falhado.. um objeto em relação a outro. o indivíduo começa a se relacionar com o espaço. esse mecanismo pode auxiliar: acrescentar a eles um comportamento estranho ao automatismo. Esse drama já a tinha levado a se consultar com vários médicos e especialistas diferentes ao longo de seis meses. chefe de família com dois filhos adolescentes. essa não é uma fórmula simples. Bem. O sistema cerebeloso tem como função o movimento reflexo. Mágica? Não. mas ao seguirem-no. vício ou condicionamento. Reflita sobre o fenômeno da Internet ou o advento do computador pessoal para comprovar esse fenômeno. de seus próprios limites e incapacidades!) e a construção do conhecimento . esse último exemplo é importante para enfatizar que uma compreensão sistêmica pode indicar soluções aparentemente ilógicas.. Diferente de mudar de local na cama. Isso se estabelece em função de estímulos exteroceptivos.meu objetivo era obter dele uma atitude adequada e prepara-lo para aceitar algo que não compreendesse. mais flexibilidade e maior disponibilidade para lidar com as novidades do mundo. pois o sintoma chamado de inflamação e dor na perna não era de fato o problema do casal. um poderoso artifício de mudança de condicionamentos quando adequadamente utilizado! Enfim. permanecendo na vanguarda de sua época. sem nenhum outro tratamento além de seguir o meu conselho! Ela estava curada. certa vez ela desenvolveu uma inflamação crônica na cabeça do fêmur de uma das pernas que a estava impossibilitando de ter uma vida normal. resolvi ajudar embora não seja médico ou curandeiro! Primeiramente. de costas para ela! Na época não havia interesse em explicar-lhes as razões de meu conselho um tanto estranho. certamente não havia uma solução única. mantendo os mecanismos de feedback. à frente ou atrás. quem sabe. mas sim. isto é. Infelizmente não creio que minha solução fosse definitiva. curto. exceto se. sugeri a ele exercitar falar duas vezes a palavra 'né' de cada vez no lugar de se esforçar por elimina-lo! Essa abordagem chama-se prescrição do sintoma. enquanto o feminino normalmente está entre trinta e quarenta anos). os seus limites (isto é. muito bonita e ele. mas não custaria nada tentar. isto é. Pedi então. O espaço é o primeiro lugar ocupado pelo corpo e no qual se desenvolvem os movimentos corporais. Caso contrário. Sua função também é regular a harmonia e o equilíbrio interno do movimento.RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO MATEMÁTICO Portanto. quando os vinte por cento iniciais já tiverem construído um mundo novo. conquistando sua confiança para aceitar a minha proposta. Perdi o contato com eles quando se mudaram de cidade. É saber localizar o que está à direita ou à esquerda. mais velho e muito estressado. já estava numa fase de vida freqüentemente de menor interesse sexual (admite-se que o ápice do interesse sexual masculino esteja entre os vinte e trinta anos.. Os oitenta por cento restantes são aqueles com temperamento conservador e acomodado. àqueles vindos do meio onde a criança está inserida. longo. porém. alto. as pessoas e o seu próprio corpo em um determinado espaço. mantendo sua função de permanecer como um mecanismo de controle daquelas tensões e comportamentos familiares. E estes movimentos corporais têm origem em diversos aspectos. será um bom exemplo de uma abordagem sistêmica e estratégica do comportamento humano. normalmente. Recentemente aconselhei um jovem instrutor que desejava se livrar do vício de finalizar suas frases com a palavra 'né?'. entre eles os sociais e os neurológicos. Este espaço vivido com limites suaves é objeto de uma experiência emocional intensa. efetuado as verdadeiras mudanças que essa família necessitava. aqui vão algumas dicas: busque novas habilidades (as mais diversas). lembre-se sempre que esta pessoa está falando de sua ignorância. são responsáveis pelo desenvolvimento do conhecimento e pelas transformações da humanidade. esse casal tivesse aprendido algo de realmente novo e. contei-lhe algumas histórias sobre a evolução da ciência. intenções e ações. que permitem os reajustamentos permanentes do movimento. sendo que me dissera anteriormente que ele dormia do lado esquerdo da cama virado para o mesmo lado. A criança passa por diversas fases na exploração e 68 A sua alternativa certa em concurso público. acima ou abaixo de si. tal sintoma (a inflamação na cabeça do fêmur) certamente se deslocaria para outro lugar. sendo que sua esposa tinha aproximadamente dez anos a menos. que a realidade é estruturada simultaneamente em diferentes níveis de motivações. Outros quinze por cento correspondem àqueles que se movem em direção ao novo apenas quando os líderes de sua época já garantiram a segurança das novidades. Além disso. ou ainda. aprendizados. Levando-se tudo isso em conta. enquanto não compreendermos a multidimensionalidade da experiência humana. que experimentasse. puderam colher os resultados de sua tentativa e atestar a verdade parcial de minha hipótese. assim não pude acompanhar os resultados num período maior. ou seja. pelo contrário. outros procedimentos em um processo psicoterapêutico poderiam ter promovido a cura. quando alguém lhe diz que não é possível. se você estiver em busca de melhores competências de aprendizagem. sua solução inconsciente para equacionar aquele momento de vida! ORIENTAÇÃO ESPACIAL E TEMPORAL Entende-se por Orientação Espacial a capacidade que o indivíduo tem de situar-se e orientar-se . em relação aos objetos. . quando desejamos promover alguma alteração em algum mau hábito. com aproximadamente quarenta e cinco anos na época (início da década de 90). uma compreensão um pouco mais completa da dinâmica do comportamento humano! Minha hipótese original era que sua esposa era uma mulher mais jovem. que são de grande importância. e nenhum resultado ou melhora diagnosticado. a minha sugestão aparentemente bastante obtusa: sugeri que trocasse de lugar com sua esposa na cama em que dormiam! Ele achou muito estranho. os apresentados pela leitura e escrita. pois a exploração do meio determina a necessidade de comunicação do eu e os objetos. nasce à atividade mental. de computadores e brinquedos eletrônicos. Mas percebe-se que ela não é suficiente. logo terão significado e serão verbalizadas. a imagem corporal que formamos na nossa mente através de todos os processos sensoriais. rir. trouxe também o sedentarismo. Os profissionais de Educação Física podem contribuir com sua experiência e olhar cuidadoso às crianças. A inteligência corporal bastaria. rolar. solto. parece que tudo acontece de repente. Estes conceitos e contrastes espaciais. em relação à compreensão e internalização da Orientação Espacial. como: dentro. Com a necessidade de se locomover. Para o ser humano. objeto. um conteúdo de todas às áreas. com a curiosidade de sua descoberta. diferenciada da forma sensório-motora. que se processam a partir da construção do esquema corporal. A maioria das crianças desta geração aprecia jogos de videogame. ela começa a manipular objetos e neste momento a mão tem um papel fundamental na comunicação com o meio exterior. “Com o aparecimento da fala fecha o ciclo do desenvolvimento elementar do ser humano.. Àquele corpinho aberto. reflete todos os conflitos emocionais relacionados com a nossa cultura e auto-orientação. do virtual. No recém-nascido o movimento e a ocupação do espaço se dão pelo processo bem rudimentar. ou mudar de direção para apanhar outro que está às suas costas. entre outras. Importante que a criança vivencie o engatinhar. passam a ser vivenciadas com o corpo de maneira espontânea na sua exploração do meio. acima. e que é capaz de conhecer as coisas que pega. mas que é específico da Educação Física. A linguagem aparece como forma social de conhecimento e pré-conhecimento. ao lado.. abaixo. Com a fala multiplica-se as possibilidades de interação com o meio. do espaço e do tempo e por isso essencial também para as aprendizagens da leitura e da escrita. espaço e causalidade através da ação corporal. os movimentos vão se tornando mais coordenados e precisos. No momento de contração do músculo. depois de estruturar toda uma realidade de tempo. fazendo suas próprias tentativas. A criança vai progredindo e ampliando sua noção espacial. ao qual o sujeito se valerá cada vez que necessitar resolver problemas como. abaixo. está aprendendo a se prender.. A noção espacial se estrutura e se orienta através de atividades de exploração e imitação. jogos e brinquedos e a noção de espaço vai se confirmando apoiada numa noção de corpo e a evolução da motricidade corresponde a um fim cognitivo. modifica-se o funcionamento e o seu registro mental. As noções espaciais já vivenciadas com o corpo. Com essa evolução a criança passa a exercitar mais os toques e as descobertas. no domínio das relações espaciais. que é o andar. em que a estrutura espacial e temporal do corpo garante ao indivíduo a noção de passado e futuro imediato que caracteriza o fenômeno de adaptação ao mundo exterior”. vivenciados corporalmente e verbalizados pela criança antes. ele inicia tudo através da ação mental. E as experiências vividas incorporam na criança os dados necessários à percepção do tempo e do espaço.. fora. no jogo. A mão informa que aquilo que é natural e espontâneo na criança não é aceito. A criança vai construindo o real com base na exteriorização dos movimentos de seu corpo. É como se falasse que esse movimento é negativo. E a verbalização decorrente do aparecimento da fala passa a estruturar o corpo no espaço. das relações representadas. porém. Acontece que muita coisa se modifica até que adquira estruturas cognitivas que tenha complexidade suficiente para apreender e reproduzir as linguagens codificadas da sociedade. deitar. objetos. Como afirma Freire “quando no apartamento. pelas quais chora e ri. Com o crescimento físico e o desenvolvimento maturacional. no início do processo de alfabetização. quando começa a fazer contas. permanecendo onde é colocado. quase num passe de mágica. andar. acompanhado pelo crescente desenvolvimento tecnológico. chorar. passando do engatinhar para a posição bipedal. Estamos na era do digital. sentar. a mãe grita: “Não pegue.. avançando cada vez mais na exploração do meio. no faz-de-conta . 69 . Ao transpor um obstáculo encontrado. ao nível de relação de corpo com o mundo. adquirindo assim melhor orientação espacial. não basta fazer. as noções de orientação espacial que vão se organizando como expressões de inteligência. é preciso compreender (fazer em pensamento). estes contrastes vão se internalizando. O espaço e tempo vividos. onde a criança encontra o significado das coisas e dos objetos. pronto para receber todo tipo de estimulação. tocando objetos. bater. e assim por diante. num estalo. expressa seu gesto mais espontâneo com a elevação do pé.. vai se interiorizado e constituindo referências para a aprendizagem posterior no plano psicomotor e cognitivo. encontrando objetos e entrando dentro. atrás. colocando um dentro do outro. colocando um sobre o outro. o raciocínio-matemático. O desenvolvimento das cidades. etc. “A maturidade cerebral é associada ao desenvolvimento corporal. Através da mão a criança passa a explorar o meio circundante e essas experiências táteis são extremamente significativas. vai quebrar!”. trouxe comodidade e conforto. passa a dimensionar algumas noções de espaço. e a função simbólica que se tem para toda a vida. Percebe-se a importância das crianças vivenciarem e experimentarem com seu corpo diferentes espaços físicos. por exemplo. As noções de contraste de acima e abaixo. determinando assim uma evolução da noção espacial” NEGRINE 1986. pois fortalecerá seus músculos. sobre as quais rola. O andar mantém correspondência muito próxima com o desenvolvimento da linguagem. Inicia-se neste instante. etc. Quando uma criança começa a ler e escrever correntemente.Vai se estruturando um corpo que é capaz de pegar. O corpo aparece como a síntese do EU. (as crianças) movimentam mais os dedos num videojogo e num sintonizador de televisão do que o A sua alternativa certa em concurso público. entre.54. Verifica-se o quanto é importante vivenciar o corpo desde o nascimento e relacionar as diferentes partes do corpo: adiante. Portanto. acima. Nesta fase o brinquedo simbólico é tão rico para o desenvolvimento da criança que uma análise superficial nem de longe chega a apreender todas as suas possibilidades. e os outros. que não deve ser executado. E essa construção se encontra na atividade lúdica. A compreensão do mundo limitado à ação corporal já não é tão importante para o indivíduo. Ao abaixar-se para pegar um objeto embaixo de uma cadeira.RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO MATEMÁTICO entendimento do espaço. mas principalmente no período pré-escolar. Toda experiência corporal auxilia na definição das noções espaciais. Essas noções são fundamentais para a estruturação do corpo. se contrair. p. E no momento que a criança inicia esta fase. É então que a orientação espacial experimenta uma evolução acelerada”. este projeto tem como objetivo investigar as relações existentes entre o desenvolvimento psicomotor e a aprendizagem da escrita em alunos da fase final do processo de alfabetização – terceira série do ensino fundamental. 1964. Nesse período. lateralização. 1992 e 1995) estudou crianças normais com dificuldades de aprendizagem. Segundo o PISA Programa de Avaliação Internacional de Alunos (INEP. investigou a discrepância da idade motora e da idade cronológica em crianças com fracasso escolar. ao realizar um trabalho de 70 A sua alternativa certa em concurso público.RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO MATEMÁTICO corpo como um todo e quando na favela. demonstrando as múltiplas relações existentes entre os domínios do comportamento cognitivo e do comportamento motor de crianças com dificuldade de aprendizagem. XX. lateralidade. orientação espacial e temporal em comparação com o desempenho dos alunos na linguagem escrita. Byl. colar. tensões musculares desnecessárias.o trabalho precoce. de habilidades psicomotoras que precisam ser adequadamente abordadas no processo escolar.demonstram que em 2001. 1985. Kohen-Raz. resultando em um número grande de crianças que enfrentam dificuldades nesse processo. bolinha de gude. a partir de um enfoque interdisciplinar. Mais de um século mais tarde. rigidez e má postura . Gallahue. os estudantes brasileiros situaram-se em 37ª posição na prova de leitura. Nesse período. Os estudos que relacionam o desenvolvimento psicomotor e as dificuldades de aprendizagem são de longa data e deixam clara a relevância desse aspecto na aprendizagem da escrita. o tema das dificuldades de aprendizagem passou a constituir um campo específico de conhecimento. 59% dos alunos da 4ª série do ensino fundamental não desenvolveram competências elementares de leitura e escrita. Atualmente. Há quinze anos trabalhando a dança em diferentes idades pude perceber o quanto a falta de atividade física tem provocado dificuldades cada vez maiores na realização de movimentos simples. deus-e início a ampliação da capacidade de diagnóstico e intervenção escolar nos problemas de aprendizagem. tornando-se mais evidentes no ambiente escolar. Os alunos nem sempre conseguem adquirir facilmente o domínio da linguagem escrita. à frente apenas de quatro nações entre as 41 avaliadas. não brincam. Em 2003. 2004).um verdadeiro “desequilíbrio motor" nas crianças. nesse momento. em 1982. e persistir durante os anos seguintes. Nos anos 80. Guilmain em 1971. Porém. o excesso de inatividade e a realização de atividades inadequadas. Estudos como o realizado por Cunha (1990). As dificuldades de aprendizagem se consolidam ao longo da infância. soltar pipa ou subir em árvores proporcionavam as bases psicomotoras do desenvolvimento infantil. Neste artigo serão abordados somente os dados referentes ao desenvolvimento da habilidade de coordenação e equilíbrio. quando então. e Swanson. estruturação espaço-temporal e praxia global e fina. principalmente nas relações encontradas entre os problemas de leitura e escrita e as variáveis de equilíbrio estático. Esses estudos foram retomados por Ajuriaguerra e sua equipe em diferentes obras (1960. 1989. ou seja. 1990 apud Fonseca. o número de alunos que apresentam baixo rendimento escolar é cada vez maior. têm levado as crianças a um déficit de seu desenvolvimento psicomotor. Estas brincadeiras permitiam-lhes aprender com facilidade as atividades de recortar. Byl e Rosenthal. Deste total. pesquisou o atraso psicomotor na criança com dificuldades escolares. 1995) estudaram as praxias finas utilizadas na escrita. 22. apesar de ainda mostrarem grande defasagem entre série. equilibração. 1982. 2003b). pesquisas com adultos portadores de lesões cerebrais mostraram que este tipo de patologia influencia a expressão de idéias e sentimentos por meio da fala. intensamente estudado e capaz de produzir um impacto particularmente grande no campo da educação especial. pintar. enquanto Vayer. 1989. bem como a sua composição. 1984) sobre desordens neuropsicomotoras da criança com inadaptação escolar. Em razão do fracasso crônico do sistema educacional brasileiro em relação à linguagem e as indicações da literatura especializada. provocados pela forma de vida das cidades. Segundo Scoz (1994). 1989. os “problemas” dos alunos foram interpretados a partir de uma dimensão neurológica. A busca pela explicação e a compreensão dos processos que envolvem as dificuldades de aprendizagem na escrita são recentes. noção de corpo. Os resultados do SAEB – Sistema de Avaliação da Educação Básica . outros autores (Ayres. Wallon realizou estudos em vários períodos (1925. Os problemas de escrita parecem se manifestar principalmente durante o período de alfabetização.2% não estavam alfabetizados. amarelinha. . Psicomotricidade e Aprendizagem Escolar Os estudos sobre dificuldades de aprendizagem tiveram seu início no séc. 1987. Oliveira (1992). que implica a imitação de movimentos em direção e esses movimentos dependem do desenvolvimento das noções espaciais e temporais. os resultados apontaram melhorias. embora por razões diferentes . A pesquisa visa contribuir para um melhor entendimento das relações existentes entre psicomotricidade e rendimento escolar. estruturação espacial e planificação motora. onde o processo de ensino é institucionalizado. Mais tarde. 1958 e 1963) sobre a síndrome psicomotora em crianças turbulentas. apesar dos progressos na identificação e intervenção nas dificuldades de aprendizagem. precisamente na segunda metade do séc. XIX com a identificação de problemas relacionados à área da linguagem. mas não afetam a inteligência dos indivíduos. o próprio Fonseca (1984. Nessas condições. visto que as brincadeiras de escondeesconde. 1979 e 1981. a escrita se desenrola em um campo motor. ler e escrever aos sete anos de idade. As pesquisas das décadas de 60 e 70 fixaram-se nos aspectos cognitivos das dificuldades escolares. atestam que crianças com maior nível de desenvolvimento psicomotor apresentam melhores resultados na aprendizagem da leitura e da escrita. mesmo as crianças desfavorecidas têm seu desenvolvimento psicomotor prejudicado. Bundy. Conforme os autores. tendo como base uma bateria de testes psicomotores que identificou sinais disfuncionais em aspectos importantes como a tonicidade. Décadas atrás talvez fosse desnecessário preocupar-se em aliar o desenvolvimento psicomotor às aprendizagens escolares. ingressavam na escola. 1932. trabalham para sobreviver”. Somente a partir da década de 70 e começo dos anos 80 as pesquisas buscaram explicar os processos cognitivos e motores envolvidos nessa atividade. idade cronológica e desempenho escolar dos alunos (INEP. objetos de cozinha etc. Mur. abstrair determinados traços. um deles é o processo de formação de conceitos que tem início na infância e amadurece e se configura somente na puberdade. Esse jogo possibilita também a observação de algumas características de personalidade. onde o indivíduo precisará sair do plano concreto. semicirculares (2). Isso possibilita que o sujeito veja se acertou ou errou e refaça a classificação baseada em outros atributos. respectivamente.RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO MATEMÁTICO reeducação psicomotora com crianças que apresentavam dificuldades de aprendizagem. que exige abstração. Segundo Vygotsky. é uma etapa mais difícil de ser alcançada em função de não poderem contar com a linguagem que é o instrumento do pensamento conceitual. o mediador é a palavra. o surdo pode desenvolver o pensamento conceitual através de tarefas que estimulem essa forma de PENSAMENTO/ LINGUAGEM/ LÍNGUA e para isso faz-se necessário o desenvolvimento de materiais e técnicas que possam auxiliar essa estimulação para a aquisição de conceituação abstrata. a criança começa a se orientar por semelhanças concretas visíveis e formar grupos de acordo com suas conexões perceptivas. azul ( 4 peças). Para Mendes e Fonseca (1987). Após o sujeito agrupar a peça que serviu de referência. circulares (5). ele pode durante o jogo não se fixar em nenhum conceito . embora não possa ser considerada a causa principal das dificuldades na escrita. Material O jogo é composto por 22 peças de madeira de cinco cores diferentes: amarelo (5peças). Assim a criança nesse estágio é capaz de agrupar os animais em um grupo e as plantas em outro. poderá colocar juntos objetos que não possuem relação entre si como por exemplo animais e objetos de cozinha. 71 . No entanto. visível e imediato e procurar fazer relações mais abstratas. Num estágio mais evoluído dessa mesma fase. uma segunda fase é o Pensamento por Complexos onde o agrupamento não é formado por um pensamento lógico abstrato e sim por ligações concretas entre seus componentes que podem ser os mais diferentes possíveis. A sua alternativa certa em concurso público. triangulares (5). Avaliação da estimulação da formação de conceitos Este material de formação de conceitos foi projetado como um jogo que exige a resolução de um problema que é apresentado ao sujeito. Assim. ao longo do desenvolvimento cognitivo a formação de conceitos passa por três fases básicas: a primeira delas é o Sincretismo onde a criança não forma classes entre os diferentes atributos dos objetos. Nele os resultados obtidos são semelhantes aos obtidos no pensamento conceitual. A formação de conceitos envolve todas as funções mentais superiores e é um processo mediado por signos. Estas peças possuem quatro combinações de medidas: altas. Lag. em geral. quando solicitada a formar grupos com diferentes objetos (plantas. A tarefa exige que o sujeito consiga agrupar os objetos de acordo com os atributos que são semelhantes. No entanto. animais. a área psicomotora pode constituir-se um fator que agrava ou até mesmo impede sua aprendizagem.ou pode reter os conceitos formados. e o educador solicita que ele descubra quais são as quatro classes distintas que existem nessas 22 peças.o que denotaria uma fluidez do pensamento . Durante a infância a criança adquire capacidades de conceituação que constituem o início desse processo. branco (4 peças). terá dificuldades em constituir essa ferramenta do pensamento que exige uma maior capacidade de abstração. Assim a criança pode. Esse estágio é denominado de Pseudoconceito. verde (4 peças). daquilo que lhe é mais palpável. ou por características complementares entre si. agrupar por qualquer relação percebida entre os objetos.). isso porque a resolução de problemas é um dos fatores-chave importantes para no surgimento do pensamento conceitual. isolamento de elementos e o exame dos elementos abstratos separados da experiência concreta. Seu uso diminui gradualmente e começam a formar-se os verdadeiros conceitos. se é ansioso e inseguro ou se apresenta equilíbrio entre o pensar indutivo e dedutivo. uma criança que se encontra nesse período. Essas peças integram quatro grupos diferentes. As pessoas que possuem uma dificuldade na recepção e/ou compreensão das palavras que são processos mediadores principais da formação de conceitos. largas e estreitas. Além dessas características do pensamento que se refletem no comportamento. sem pleno domínio de uma Língua convencional. FORMAÇÃO DE CONCEITOS O desenvolvimento cognitivo do indivíduo se desenvolve ao longo da vida através de diferentes fases que envolvem diversos processos mentais. roxo (5 peças). no que se refere à formação de conceitos. denominados. Bik. hexagonais (2). Isto é. baixas. É no jogar que se pode observar a forma como o sujeito reage diante do êxito ou do fracasso. Grupo 1 (LAG): 5 peças altas e largas Gripo 2 (MUR): 5 peças altas e estreitas Grupo 3 (BIK): 6 peças baixas e largas Grupo 4 (CEV): 6 peças baixas e estreitas Esse material é apresentado ao sujeito. o processo mental pelo qual são obtidos não é o mesmo que ocorre no pensamento conceitual. alcançaram a fase mais elevada do pensamento por complexos que são os pseudoconceitos. Na base de cada peça há uma palavra escrita que servirá como mediação para o sujeito. ela é o meio para centrar ativamente a atenção. Os adolescentes não abandonam completamente as formas de pensamento mais primitivas (sincréticas e por complexos). esta será virada juntamente com uma outra que pertença ao mesmo grupo. sintetizá-los e simbolizá-los por meio de algum signo. trapezoidais (4). ela apenas os agrupa de forma desorganizada formando amontoados. estes constituem o meio para sua aquisição. Nessa fase a criança agrupará ao acaso ou por contiguidade no tempo ou no espaço. E seis formas: quadrados (4). sem se apegar a eles nas sucessivas tentativas o que denotaria flexibilidade e persistência do pensamento na busca da solução do problema. tendências depressivas. como no caso do surdo sem domínio de uma Língua convencional. e Cev. por exemplo. a formação de conceitos. Uma peça é mostrada com a palavra e esta servirá de referência em suas tentativas de solução. mostrou que após esta atividade a maioria delas obteve melhoria em seu desempenho escolar. esse jogo possibilita ainda observar se o sujeito possui um pensamento compulsivo. Algumas experiências sugerem que os surdos. Porém. Dominada a leitura. . tendo em vista a natureza do processo de ler. IDEOGRÁFICO OU DE PALAVRAS-TIPO. . CONTO OU HISTORIETA . em 1768. TESTE Use a descrição abaixo para resolver os exercícios 1 e 2.Ponto de partida: é a frase. . então mentirei de novo amanhã 72 A sua alternativa certa em concurso público. do todo para as partes. A Raposa e o Lobo Mau eram duas estranhas criaturas que freqüentavam a floresta. acontece a decomposição do texto em frases. em que o processo de leitura se faz do todo para as partes. fonemas e sílabas. Qual era o dia da semana ? 2. . mais interessante e significativo. ���Utilizam o raciocínio dedutivo: do complexo para o simples. . em sílabas e finalmente em letras ou sons. uma outra palavra-chave. A Raposa mentia às segundas. IDEOVISUAL. Os MÉTODOS ANALÍTICOS subdividem-se em: PALAVRAÇÃO .Lógica: inicia-se com a palavra-chave e chega-se às sílabas.Ponto de partida: é a palavra. . .Lógica: as sentenças são as partes de um todo maior. que é um processo analíticosintético. etc. teçam comentários e fixem a ordem em que acontecem os fatos. DISCRIMINAÇÃO DE ELEMENTOS Surgem em oposição teórica aos métodos sintéticos ��� Partem das unidades maiores (palavra. e falava a verdade nos outros dias da semana. mas falava a verdade nos outros dias da semana. . fonema. Inicialmente. perdeu a noção dos dias da semana.Criado pela Educadora Margarida Mc Closkey no século XX. depois em palavras.) e apresenta a palavra ligada ao desenho. Em seguida. em 1936. frase. Chapeuzinho Vermelho ao entrar na floresta. depois. sílaba) através da decomposição.Lógica: parte da frase ou sentença para chegar as palavras.É uma decorrência natural do método da sentenciação. fonemas e letras que a constituem. entre eles a resolução de um problema que exige raciocínio lógico. ���Lógica: ensina-se a ler e a escrever a partir da apresentação de unidades maiores. Em seguida. gradativamente. apresenta-se ao alfabetizando uma lista de palavra na qual ele/ela terá que reconhecer a palavra-chave.Eu menti ontem . A criança só estará lendo quando for capaz de discriminar os elementos de uma palavra. Em que dias da semana é possível a Raposa fazer cada uma das seguintes afirmações: A) Eu menti ontem e eu mentirei amanhã B) Eu menti ontem ou eu mentirei amanhã C) Se menti ontem.Eu mentirei daqui a 3 dias. O/a professor/a conta uma história e faz com eles/as escute-a. ���Têm como base o processo de analise. em uma progressão que pretende ir do mais complexo para o mais simples. que será comparada à primeira. Ela fez as seguintes afirmações: . partes de uma história completa que os/as alfabetizandos/as irão memorizar. lê o texto e os/as alfabetizando/as repetem. A seguir. do todo para as partes. apresentam-se.RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO MATEMÁTICO A utilização desse material com surdos pode facilitar o processo de aquisição do pensamento conceitual através da associação de diferentes fatores. Numa ocasião Chapeuzinho Vermelho encontrou a Raposa sozinha. O Lobo Mau mentia às quintas. sextas e sábados. Este processo evoluiu para a palavração e palavras progressivas. identificando-os e utilizando-os na composição de novos vocábulos. verso. . terças e quartas-feiras. faz-se o reconhecimento das frases dentro e fora de ordem. história.Criado por Decroly. texto) para as unidades menores (letra.Liderado por Randovilliers. o processo de classificação num nível mais abstrato (conceito) e a mediação feita por um signo (palavra). possibilitando que o sujeito passe de uma forma de pensamento mais absoluto para uma forma de pensamento mais relativo e complexo. SENTENCIAÇÃO . inicia-se a análise das palavras. 1.Lógica: parte de uma motivação (desenho. posteriormente.Ponto de partida: é a história. Qual é a metade do dobro do dobro da metade de 2 ? (a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) 4 (e) 8 8.Cinzas de charuto . um é contador. .Indivíduo M: só fuma cigarro com filtro. Assinale a opção correta: 5?5?5?5 (a) +=– (b) ++= (c) =++ (d) x÷= (e) –x= 6. um é estatístico. mas não gosta de trabalhar com o contador. dos quais se sabia o seguinte: . onde cada um exerce uma função diferente: um é Economista.Indivíduo O: não fuma. Sérgio. um é administrador.Roberto. . Sherlock concluirá que o par de meliantes é: (a) MeQ (b) NeP (c) MeO (d) PeQ (e) MeP 4. não mastiga goma. Carlos. Se: Filho é igual a A Pai é igual a B Mãe é igual a C Avô é igual a D Tio é igual a E Qual é o A do B da C do A ? (a) A (b) B (c) C (d) D (e) E A sua alternativa certa em concurso público. um é advogado. Pode-se afirmar que Sérgio é o: ( a ) Economista ( b ) Estatístico ( c ) Administrador ( d ) Advogado ( e ) Contador 5. 3. mastiga goma. que julgou serem dois.Indivíduo P: só fuma charuto. 73 .Um pedaço de goma de mascar . não mastiga goma.Um fio de cabelo moreno As suspeitas recaíram sobre cinco antigos empregados. (FGV) Na residência assaltada. . não mastiga goma. cabelo moreno. careca. . . cabelo moreno. pelas marcas de sapatos deixadas no carpete: . Joselias e Sérgio.RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO MATEMÁTICO D) Menti ontem se e somente mentirei amanhã.O Administrador gosta de trabalhar com Carlos.Indivíduo N: só fuma cigarro sem filtro e charuto. Que número fica diretamente acima de 119 na seguinte disposição de números? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 – – – – – – ( a ) 98 ( b ) 99 ( c ) 100 ( d ) 101 ( e ) 102 7.Um toco de cigarro . mastiga goma. Joselias e Auro estão trabalhando em um projeto.Indivíduo Q: só fuma cigarro com filtro. Carlos e Joselias vivem criticando o advogado. Roberto. Sherlock encontrou os seguintes vestígios deixados pelos assaltantes. é ruivo. Carlos e o estatístico não são Paulistas. o contador joga futebol com Auro. cabelo louro.No fim de semana. . . .Roberto. No dia do resultado do concurso de Bolsa de Estudo do Cursinho. A soma de suas idades é o número daquela casa ali em frente”. A que está sentada no meio diz: “Eu sou procuraram tratamento e assim não estão incluídos Janete”. ( d ) Pedro. marcando 10h. A que e) o grupo de pessoas selecionado nas pesquisas não está sentada à esquerda. Janete e Tânia Sistema Solar. conversaram sobre seus filhos. hábitos mesmo após a terapia. Maria: O Pedro foi o primeiro. pressupõe qual dos seguintes? carrilhão – havia parado. Débora. Débora. . Certo dia. Joãozinho e Sônia. 42 quanto ela deixou de corrigir o muitos tiveram sucesso em conseguir uma perda problema no painel de controle? substancial de peso. a resposta a qual das concluíram que tais hábitos não são tratáveis e que o seguintes questões é a mais relevante para ajudar a sucesso em quebrá-los é raro. Chegando em sua c) Se a condição física apropriada existir. Maria. ( c ) 12h 15. Foi então até a fazenda vizinha b) A Vida não pode existir em outros planetas em descobrir a hora certa. a) O acidente foi sério? Se todas as sentenças acima estão corretas. A Sônia em quinto lugar. capazes de manter vida. à esquerda diz: “Tânia é quem está sentada no d) aqueles que tiveram sucesso em curar-se não meio”. cada um. Tânia. qual a d) Mais do que um dos outros sóis na galáxia é hora do seu retorno a sua casa? acompanhado por um planeta do tipo da Terra. Sônia e Joãozinho. Pedro. Débora. muitos dos quais podem estar ( e ) Tânia. A pensou um pouco e respondeu: “Tem razão. Maria. Sabendo A que B gostava de problemas de aritmética. Isto porque a Via Láctea contém 100 ( d ) Angélica . quando B perguntou a idade das mesmas. respondeu da seguinte forma: O produto das idades das minhas filhas é 36. Ana percebeu que o Terra. em sua fazenda. sobre tais problemas. a seguir: Joãozinho: A Maria ficou em segundo lugar. fazer uma declaração verdadeira e outra falsa. único relógio da casa – um enorme relógio de O argumento acima. milhões de pessoas deixaram de fumar e Industrial N. Depois de algum tempo B retrucou: “Mas isto não é suficiente para que eu possa resolver o problema”. Há apenas uma resposta segurança. fala a verdade. e estes sucessos foram registrados nas pesquisas. conseqüência inevitável. ( b ) Maria. A empresa não deveria ser responsabilizada por não ( d ) 12h10min ter corrigido um problema no painel de controle que ( e ) 12h15min causou o acidente. Dois amigos. Como as pesquisas determinar se a empresa violou ou não a Norma mostram. a que está sentada à direita nos dados dos terapeutas. Janete às vezes fala a verdade. e a Norma Industrial N. estão b) é mais fácil parar de fumar que parar de comer em sentadas lado a lado em um teatro. Três amigas. Esqueci-me de dizer que a mais velha toca piano”.RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO MATEMÁTICO 9. as empresas recebem centenas de relatórios mais adequada. Janete e Angélica. Joãozinho e Sônia. Pedro. Pergunta-se: qual a idade das filhas de A? 10. Deu-lhe corda e. achando a) Criaturas vivas em outros planetas provavelmente que era aproximadamente 10h. Pedro: Fiquei em terceiro lugar. Angélica e Tânia Planeta Terra está em um planeta além de nosso ( c ) Angélica . Maria. Joãozinho e Sônia. Partindo desta perspectiva. Tânia e Janete bilhões de outros sóis. 42 exige 13. Embora o problema tenha sido mencionado antes no relatório de inspeção de Responda às questões. uma b) O problema no painel de controle era de um tipo explicação que resolve a aparente contradição é que é conhecido para indicar que um acidente é fornecida pela hipótese de que: provável? a) tem havido alguns sucessos em terapias. Angélica e Janete acompanhados por planetas simillares o bastante à 12. Débora. Eu em quarto lugar. Sônia e Joãozinho. a Maria foi a terceira. respectivamente: ( a ) Janete. 74 A sua alternativa certa em concurso público. Débora: A Maria foi a primeira e eu o segundo. diz: “Angélica é quem está sentada no meio”. Terapeutas descobriram que o tratamento das ações sobre estes problemas somente quando um pessoas que buscam ajuda porque não conseguem acidente pode ser antevisto. Débora. e c) é fácil quebrar hábitos de fumar e comer em Angélica nunca fala a verdade. Então resolveram. ( c ) Pedro. Com base nesses dados. A que está sentada excesso através de exercícios físicos. Se Ana foi e voltou com a mesma velocidade. colocou os ponteiros têm a mesma aparencia daquelas na Terra. B resolveu o problema. Pedro. A maior chance para a existência de vida fora do ( b ) Janete. a vida é uma fazenda verificou que o relógio marcava 10h30min. Sônia: Eu fui o segundo lugar. Tânia sempre excesso. parar de fumar ou comer em excesso raramente tem Se a segunda sentença no parágrafo acima é sucesso. os terapeutas factualmente correta. A e B. de lá partiu às 11h30min. ( e ) Maria. Então. ( a ) 11h40min e) É provável que a vida em outro planeta exiga ( b ) 11h50min condições similares àquelas da Terra. 11. Tânia e Angélica 14. Eu fiquei em quinto lugar. Maria e Sônia). Débora. podemos afirmar que a classificação do 1º ao 5º lugar foi: ( a ) Pedro. os cinco primeiros classificados foram entrevistados (Joãozinho. a que está sentada no incluem aqueles que não conseguiram quebrar seus meio e a que está sentada à direita são. Lá chegou às 11h20min e nosso Sistema Solar. A dizia a B que tinha 3 filhas. Finalmente. Davi. 20. enfraqueceria a conclusão acima? a) Apenas fumantes na faixa dos 50 desenvolvem a doença. Escolha a resposta mais adequada: Que número completa a seqüência 1. Carlos. um defeito na retina que pode levar à cegueira. As questões 23 a 25 são baseadas no texto a seguir: Seis corredores diferentes – Adão. c) As afirmações (1) e (2) juntas são suficientes para responder à questão. e) A posteridade usualmente lembra de lendas melhor que se lembra dos eventos históricos reais nos quais são baseadas. c) Eu sou a tia favorita de meu sobrinho. Adão. Qual das seguintes é uma ordem possível de corredores no final da corrida. Carlos. Escolha a resposta mais adequada: O macaco está para a selva como o camelo para _____? a) Areia b) Deserto c) Água d) Terra e) Todas anteriores estão certas f) Todas anteriores estão erradas 19. Davi. a empresa realizou uma verificação de segurança em todos painéis de controle? d) O inpestor de segurança mencionou mais de um problema no mesmo relatório? e) Durante quanto tempo o painel de controle foi utilizado antes que o problema fosse descoberto? 16. EUA. com idade entre 50 e 59 anos. Benedito. A diferença entre a idade de André e o dobro da idade de Joana é de 10 anos. Francisco. As atividades de Riothamus. Qual das seguintes sentenças contém o raciocínio mais similar ao apresentado no exemplo acima? a) Pessoas pobres pagam poucos impostos. _____? 18. 17. Adão não terminou em último. Riothamus deve ser o personagem histórico para a lenda do Rei Arthur. Adão. se verdadeira. Benedito 24. independente do fato de serem fumantes ou não. combinam quase exatamente com aquelas atribuídas ao Rei Arthur. e) Os resultados não são conclusivos porque o número de pessoas avaliadas é modesto em relação ao número de fumantes. b) A afirmação (2) sozinha é suficiente para responder à questão. 22. Riothamus. em 1980. O argumento acima requer pelo menos uma premissa adicional. Não houve empates. Essa conclusão foi tirada pelos médicos a partir de um estudo realizado com 31.853 mulheres. Por isso. b) Nem todos os fumantes da cidade americana de Boston desenvolvem a doença. mas a afirmação (2) sozinha não é. Esta mulher é pobre. c) Os companheiros de Riothamus são os autores das lendas originais sobre o Rei Arthur. e nenhum sobrinho iria mentir para sua tia favorita. um limão é uma fruta. Carlos. e) A questão não pode ser respondida só com as informações recebidas. Escolha a resposta mais adequada: O mico-leão está desaparecendo. Francisco. esta mulher paga menos impostos. Carlos b) Benedito. Este animal é um mico-leão. Por isso. Edgar. 7.__? a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12 21. 23. Qual afirmação que. Qual a idade de André? a) A afirmação (1) sozinha é suficiente para responder à questão. 2. por isso as baleias devem ser protegidas. Os médicos de um hospital de Boston. 2. Edgar. d) As pessoas que não fumam muito não desenvolvem a doença. foi traído por um dos seus companheiros. este animal está desaparecendo. Davi. Escolha a resposta mais adequada: Considerando que: 1. b) As histórias contadas sobre o Rei Arthur não são estritamente fictícias mas são baseadas em pessoas históricas e eventos históricos. Adão. afirmaram que os fumantes têm duas vezes e meia mais chances de desenvolver a degeneração muscular. todas espécies em perigo devem ser protegidas. Benedito. c) As mulheres estão mais sujeitas a desenvolver a doença. sozinhas. Davi. Francisco. mas nenhuma das duas afirmações sozinha é suficiente. Qual das seguintes poderia ser esta premissa requerida? a) Historiadores modernos têm documentado atividades de Riothamus melhor que aquelas de qualquer outro rei do século V. b) Uma laranja é uma fruta. e eu sei que isso deve ser verdade dado que meu sobrinho me disse isto. g. Escolha a resposta mais adequada: Fumantes inveterados correm mais risco de desenvolver no olho uma doença que não tem cura e pode causar cegueira. Se Adão terminar em quinto. Edgar terminou em terceiro. Adão c) Davi. Carlos. d. Edgar. d) Tanto a afirmação (1) como a afirmação (2). e apenas aquelas de Riothamus. 5. d) Lendas sobre o século V usualmente embelezam e romanceiam as condições reais de vida dos nobres do século V. Edgar. mas a afirmação (1) sozinha não é. Edgar. Benedito e) Carlos. André terá o dobro da idade de Joana. por isso. Francisco d) Francisco. qual das seguintes tem de ser verdadeira? a) Francisco deve terminar em primeiro ou último b) Carlos deve terminar em segundo ou quarto c) Davi deve terminar em primeiro ou segundo d) Benedito deve terminar em primeiro ou terceiro e) Edgar dever terminar em último A sua alternativa certa em concurso público. lutou bravamente contra Goths mas foi derrotado e desapareceu misteriosamente. 3. Benedito. são suficientes para responder à questão. Edgar e Francisco – competem em uma corrida. 75 . c. do primeiro para o último? a) Adão. Daqui a 10 anos. uma laranja é como um limão.RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO MATEMÁTICO c) Desde o acidente. por isso. As seguintes sentenças são todas verdadeiras sobre o resultado da corrida: Benedito terminou imediatamente antes ou depois de Davi. d) As baleias são uma espécie em perigo. Qual a próxima letra da seqüência: b. um rei do Britânicos no século V. Davi. Note que se a avenida tivesse 80 metros. (C) 78. O mapa a seguir representa quatro países A. apenas. por exemplo. Num parque. depois de percorrerem a seguinte distância. ao mesmo tempo. Em cada lado. 30. (D) 8. o jogador Severino Mágico fez cinco cestas e marcou 13 pontos. (D) 10. Carlos por C. Antônio vai dar voltas pelo caminho A. O projeto prevê que. (D) 80. 76 A sua alternativa certa em concurso público. apenas. dois ou três pontos. cada cesta pode valer um. há cinco caminhos “circulares” que saem de um certo recanto O e voltam ao mesmo recanto. ou dar uma bola para cada pessoa. B tem 1. (D) 1 ou 2 ou 3. (C) 6. Os cinco chegarão de novo no ponto O.5 km. O número total de postes que serão instalados é então igual a: (A) 41. Num jogo de basquete. Todos vão sair de O no mesmo instante e caminhar com a mesma velocidade. (E) 11. (B) 14.2 km. B. 28. em quilômetros: (A) 3. (B) 42. (C) 6. Bernardo por B. . (E) 1 ou 2 apenas. 29.640 metros de extensão. (B) 4. haverá um poste a cada 40 metros. O número de maneiras de se distribuir duas bolas para quatro pessoas é: (A) 16. qual das c) Carlos termina em segundo seguintes tem de ser falsa? d) Francisco termina em segundo a) Adão termina em primeiro e) Carlos termina em último b) Adão termina em quinto Questões concursos 2004 . D tem 2 km e E tem 3 km. seriam necessários seis postes. Numa certa partida. (B) 0 ou 1 ou 2. (E) 84. Há três modos de distribuir duas bolas para duas pessoas: dar as duas para a primeira pessoa. C tem 1. em cada lado da avenida. Um novo projeto de iluminação será implantado numa avenida reta de 1. o primeiro poste será instalado exatamente no início da avenida. O número de cestas de 2 pontos feitas por Severino pode então ser igual a: (A) 0 ou 1. (E) 8. Se Edgar terminar antes de Benedito. (C) 0 ou 2. Daniel por D e Edson pelo caminho E. (B) 3. (C) 12.RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO MATEMÁTICO 25. como mostra a figura a seguir: O caminho A tem 1km de extensão.gabaritados 26. O número de modos distintos de pintar o mapa é igual a: (A) 1. C e D: Tenho três cores à disposição e quero pintar o mapa de modo que países vizinhos sejam pintados com cores diferentes. 27. dar as duas para a segunda. 35. O número de homens não casados nessa cidade é de: (A) 126. sexta. em 50% nascem um menino e uma menina e nos demais 30% nascem duas meninas. as meninas representam a seguinte porcentagem: (A) 45%. (E) 236. (D) 60%. 580 habitantes da aldeia são do sexo feminino. escrevo então AAXO. quarta. (B) 50%. portanto. III – todo funcionário que não é casado não tem casa própria. escreverá a seguinte quantidade de algarismos: (A) 260. ABCDEFGHIJLMNOPQRSTUVXZ O código é circular. Por exemplo. Recebi a seguinte mensagem: VPEH BJS? A mensagem decodificada é: (A) VOCE FOI? (B) VOTA BEM? (C) VOCE VEM? (D) VOTA MAL? (E) VOCE VAI? 33. sexta ou sábado. 300 dos quais são casados. II – existe pelo menos um funcionário que não é casado. (C) 2. (C) 55%. (E) 20. 3. nem todo funcionário tem casa própria e todo funcionário que tem casa própria é casado. Rosa escreveu. a) Segunda ou quarta-feira b) Quinta ou domingo c) Quarta. (C) 242.000 habitantes. 34. Assinale a opção que indica o número de afirmativas verdadeiras: (A) 0. a segunda é a letra seguinte à correta no alfabeto. Em nosso código secreto. 1. (E) 65%. Nesse caso. 31. V – existem funcionários que não têm casa própria. Segunda-feira 2. as mensagens são enviadas do seguinte modo: a primeira letra a aparecer é a letra correta. (B) 252. 77 . (B) 180. depois do Z vem o A de novo. 32. Se. os números inteiros de 1 a 11: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Rosa escreveu. Uma certa aldeia tem 1. (B) 1. treze algarismos. compostos por um homem e uma mulher. letra D GABARITO A sua alternativa certa em concurso público. Nessa cidade só há casais tradicionais. ou seja. então concluímos que: I – existem funcionários que não são casados. letra D 4. entre os gêmeos dessa população. numa folha de papel. em 20% dos nascimentos de gêmeos nascem dois meninos.RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO MATEMÁTICO (D) 12. (D) 270. (D) 240. Numa população. a terceira é a que se posiciona duas casas adiante da correta e assim por diante. IV – todo funcionário que não tem casa própria não é casado. sábado ou domingo d) Segunda. (D) 3. Se Rosa escrever os números inteiros de 1 a 120. (E) 4. (C) 213. se quero escrever AZUL. (E) 300. numa empresa. qual das seguintes tem de ser verdadeira? Se Adão é quinto. em 1980. 22. Francisco. logo a linha que possui o número 119 termina com o número 121. Adão. 2 10. B 16. Esta mulher é pobre. então a resposta certa é: B . letra C 11._10_ . 7. 20.soma três III) números primos – resposta 11 B. e 5. 11 21. As questões 23 a 25 são baseadas no texto a seguir: Seis corredores diferentes – Adão. Escolha a resposta mais adequada: Que número completa a seqüência 1. Davi.7. enfraqueceria a conclusão acima? A única afirmação que descaracteriza nexo causal é: C As mulheres estão mais sujeitas a desenvolver a doença._9_ . letra D 6. Este animal é um mico-leão.2. Por isso. Edgar.soma de dois em dois II) 1. Qual das seguintes é uma ordem possível de corredores no final da corrida.3 – soma de um em um. logo o número 119 possui o número 99 acima. B 17. Escolha a resposta mais adequada: O macaco está para a selva como o camelo para _____? O macaco vive na selva. um defeito na retina que pode levar à cegueira.853 mulheres.Basta observar que o último número de cada linha é sempre um quadrado perfeito. A diferença entre a idade de André e o dobro da idade de Joana é de 10 anos. letra A 13. letra B 8. Se Adão terminar em quinto. Edgar terminou em terceiro. LETRA p 18. 7. se verdadeira. este animal está desaparecendo. Benedito. por isso. letra B 12. letra E – Qual é o filho do pai da mãe do filho ? É o tio 9. Escolha a resposta mais adequada: O mico-leão está desaparecendo. 3. . Idades: 2. Edgar e Francisco – competem em uma corrida. afirmaram que os fumantes têm duas vezes e meia mais chances de desenvolver a degeneração muscular. 7. Carlos. 9.5 – soma dois.soma um. Adão não terminou em último. independente do fato de serem fumantes ou não. Benedito não vem imediatamente antes ou Na A sentença correta é: E Carlos. EUA. D 14. Qual afirmação que. Qual das seguintes sentenças contém o raciocínio mais similar ao apresentado no exemplo acima? A única sentença cuja lógica é a mesma é: A Pessoas pobres pagam poucos impostos. 09 C. com idade entre 50 e 59 anos. o anterior 120 possui 100 acima. esta mulher paga menos impostos. letra B .Deserto 19. do primeiro para o último? Na sentença A. E 15. a selva é o habitat do macaco.RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO MATEMÁTICO 5.__? A três possibilidades lógicas: I) 1. 10 D. As seguintes sentenças são todas verdadeiras sobre o resultado da corrida: Benedito terminou imediatamente antes ou depois de Davi. Escolha a resposta mais adequada: Fumantes inveterados correm mais risco de desenvolver no olho uma doença que não tem cura e pode causar cegueira. 23. Davi. as configurações possíveis são GABARITO COMENTADO 78 A sua alternativa certa em concurso público. Edgar não é terceiro Na sentença B. Qual a idade de André? As sentenças 1 e 2 conduzem à mesma coisa: 1: A+10 = 2(J+10) = 2J + 20 A = 2J + 10 2: A = 2J + 10 Portanto: E A questão não pode ser respondida só com as informações recebidas. Escolha a resposta mais adequada: Considerando que: 1. . Essa conclusão foi tirada pelos médicos a partir de um estudo realizado com 31.2. 2. 3. 5. Daqui a 10 anos. Não houve empates. Os médicos de um hospital de Boston. Benedito 24. 2. André terá o dobro da idade de Joana. Adão está em último Nas sentenças C e D. D 30. se alguém terminar em quinto que não Davi ou Benedito. Resulta que a única sentença possível é: C Davi deve terminar em primeiro ou segundo 25. C 27. qual das seguintes tem de ser falsa? As configurações possíveis são 1 2 3 4 5 Edgar Benedito Davi Edgar Davi Benedito 1 2 6 6 Benedito Davi Portanto. C 31. 79 .RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO MATEMÁTICO 3 4 5 Edgar Adão Benedito nem Davi podem ser 4º. B A sua alternativa certa em concurso público. A resposta certa (falsa) é: B Adão termina em quinto 26. ou 6º. C 34. C 28. E 29. C 33. não se atende às regras. Se Edgar terminar antes de Benedito. C 35. D 32.