Matematica Ime

6HUJLR/LPD1HWWR IV O NS TR MO DE AT $0DWHPiWLFDQR 9HVWLEXODUGR,0( (GLWRUD9HVWVHOOHU Fortaleza - CE 1ª edição - 2011 IV O eSURLELGDDUHSURGXomRSDUFLDORXWRWDOSRU TXDLVTXHUPHLRVVHPDXWRUL]DomRSUpYLDGR DXWRU2VWUDQVJUHVVRUHVVHUmRSXQLGRVQRV WHUPRVGDOHL'HQXQFLHSOiJLRFySLDLOHJDLV SLUDWDULDSHODLQWHUQHWVLWHVSDUDGRZQORDG SLUDWDFRPXQLGDGHVSLUDWDVQDLQWHUQHW DQRQLPDPHQWHDWUDYpVGRFRUUHLRHOHWURQLFR GRDXWRU AT [email protected] 7RGRVRVGLUHLWRVGHVWDHGLomRUHVHUYDGRVD 6HUJLR/LPD1HWWR NS TR (GLWRUUHVSRQViYHO6HUJLR/LPD1HWWR (GLWRUDomR5HQDWR%ULWR%DVWRV1HWR &DSD5DIDHO3DUHQWH ),&+$&$7$/2*5È),&$(GLWRUD9HVWVHOOHU DE MO (VWDREUDSRGHVHUDGTXLULGDGLUHWDPHQWHQD (',725$9(676(//(5 DWUDYpVGHVXDSiJLQDHOHWU{QLFDwww.vestseller.com.br 1P1HWWR6HUJLR/LPD $0DWHPiWLFDQR9HVWLEXODUGR,0(6HUJLR/LPD 1HWWR)RUWDOH]D9HVWVHOOHUS Y ,(QXQFLDGRV,,6ROXo}HV3URSRVWDV &'' IV O AT )Ï72&Ï3,$ MO NS TR DE e SURLELGD D UHSURGXomR SDUFLDO RX WRWDO SRU TXDLVTXHU PHLRV VHP DXWRUL]DomR SUpYLD GR DXWRU RV WUDQVJUHVVRUHV VHUmR SXQLGRV FRP EDVH QR DUWLJR GD OHL 'HQXQFLH R SOiJLR RX FySLDV LOHJDLV DQRQLPDPHQWHDWUDYpVGRFRUUHLRHOHWU{QLFRGRDXWRU VHUJLROQ#OSVXIUMEU AT NS TR MO DE IV O . . . . . . . .1 Prova de Matemática I. . . . . . .2 Vestibular 2009/2010 . . I. . . I. .10 Vestibular 2001/2002 . . . . . . . . . . . . . .1.2 Prova Discursiva . . . . . . . . . . . . . I. . . .3 Vestibular 2008/2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 Prova de Matemática DE I xi xiii AT Prefácio IV O Índice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I. . . . . . . . . . I. . . . . . . . . . . . .4 Vestibular 2007/2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I. I. . . . . . .3. . . . . . . . .1 Prova Objetiva . . .4. . .7 Vestibular 2004/2005 . . . . . I. . . . . . . . . . . .2 Prova Discursiva . . . . . . . .9. . . . .4. . . . I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I. . .5. . . . . . . . . . . I. . . . . . . . . . .1 Prova de Matemática I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 Prova Discursiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 Prova Objetiva . . I. . . . . . .2. . . . I. . . . . . . . . . . . . I. . . . . .9 Vestibular 2002/2003 . . .2 Prova Discursiva .1 Prova Objetiva . . . . . . . . .6 Vestibular 2005/2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5. . . . . . . . . . . . . . . I. . .1. . I. . 1 3 3 6 7 7 11 13 13 16 19 19 22 24 24 27 28 28 30 30 33 33 34 34 36 36 . . . . .1 Prova de Matemática I. .6. . . . . . . .10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7. I. . . . . . . . . . . . . . I. . . .1 Prova de Matemática I. . . . . . . . . . . . . . . . .2 Prova Discursiva .1 Vestibular 2010/2011 . .1 Prova Objetiva . . . . . . . . I. . . . I. . . . . . .5 Vestibular 2006/2007 . . . . . . . . .2. . .8 Vestibular 2003/2004 . . .Acerca das Origens do IME Apresentação MO NS TR Enunciados I. . . . .1 Prova Objetiva . . . . . . . . .8. . . . . .3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xv . . . . . . . . IV O . . . . . . . . . . . .29. . . . . . . . . .31. . . .2 Prova de Geometria I. . . . . . . . . . . . .40 Vestibular 1971/1972 . . . I.2 Prova de Geometria I. . . . I. . . . . . . . . . . I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 Prova de Álgebra .35. . .37 Vestibular 1974/19975 . .2 Prova de Geometria I. . . . . . . . . . . . . . .39. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I. . . . . . .41. . . . . . . . . . . . . . . . . .1 Prova de Álgebra . . . . . . . . . . . . . . . . .2 Prova de Geometria I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I. . . . . . . . .1 Prova de Álgebra . . . . . . . . .31 Vestibular 1980/1981 .38. . . . . . . . I. . . . . . . . . . I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 Prova de Geometria I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 Prova de Álgebra . . . . . . .2 Prova de Geometria I. . . . .33. . . .34. . . . . . . . . . . . . . . . . .40. . . . . I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . NS TR MO DE . . . .1 Prova de Álgebra . . . . . . I. . . . .3 Prova de Desenho . . . . . . . . .1 Prova de Álgebra . . . . . . . . . . . . . . .41. . . . . . .29 Vestibular 1982/1983 . I.29. . .34 Vestibular 1977/1978 . . . . . .33 Vestibular 1978/1979 .1 Prova de Álgebra . . . . . . . . . . .30. . . . . . . . I. . . I. . . . . . . I. . .30 Vestibular 1981/1982 . . . . . . . . . . . 86 89 89 91 93 93 95 97 97 99 101 101 103 105 105 106 108 108 111 112 112 114 116 116 118 120 120 123 123 126 128 128 131 133 133 137 139 145 145 152 156 161 161 . I. . . . . .2 Prova de Geometria I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35. . .1 Prova de Álgebra . .1 Prova de Álgebra . . . . . . . .1 Prova de Geometria I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37. . . . . . . . . . . . I. . . . . .38. . . . . I. I. . . . .1 Prova de Álgebra . . . . . .28. . . . .41 Vestibular 1970/1971 . . . . . . . . . . . . .39 Vestibular 1972/1973 . . . . . .31. .2 Prova de Geometria I. . .30. . . . . . .36. .32.32 Vestibular 1979/1980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I. . .1 Prova de Álgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.36.2 Prova de Geometria I. I. . . . .42 Vestibular 1969/1970 . . . . . . . . . . . . . . .1 Prova de Álgebra . . . . . . . . . . . . . . . .2 Prova de Geometria I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34.41. I.39. . .40. . . . . . . . . . . . . . I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42. . . . . . . . . .1 Prova de Álgebra . . . . . . . . . . . . . . I. . . . . . . .2 Prova de Geometria I. . . . . . . . . . . . . . . .33. . . . . . . . . . . . AT I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I. . . . I. . .2 Prova de Geometria I.3 Prova de Desenho . . . . . . . . . . . . . . . . . . I. .32. .36 Vestibular 1975/1976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35 Vestibular 1976/1977 . . . .2 Prova de Geometria I.40. . . . . .38 Vestibular 1973/1974 . . . . . . . . . . I. . . . . .49. Vestibular 1967/1968 . . . . . . . . . . . I. .45. . . . . . .51. . .1 Prova de Álgebra . . . . . . .3 Prova de Desenho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47. . . . . . . I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47.50.2 Prova de Geometria . . . . . .43. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.3 Prova de Desenho . . . . . . . . . . . .46 . . . . . . . . . . . . . I. . .49. . . I. . . . . . . . . Vestibular 1966/1967 . . . . . . . . .45. . . . . . . . . . . . . . . . . .4 Prova de Desenho . . . . .50. I. . I. . . . . . .51. . . .48. . . . . I. . . . . . . . . . . . I. . . . . . . .2 Prova de Geometria . . . . . . .44 DE I. . . . . . . . . .2 Prova de Geometria . . . .47. . . . . . . . . . . . . . . .2 Prova de Geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46. . . . Vestibular 1968/1969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 Prova de Geometria . . . . Vestibular 1963/1964 . . I. . . . .42. . . . . . .52. . . . . . . . . . .50. . . AT I. . I. . . . NS TR I. . . . . . . . . . . . . . .47 I. . . . . .1 Prova de Álgebra . . . . .2 Prova de Cálculo . .45. . . . . . . . . . . . . .1 Prova de Álgebra . . . . . . . .1 Prova de Álgebra . . . . . . . . . . . . . . I. . . . . . . . I. . .3 Prova de Desenho . .43. . . . . . . . I. . . . . . . . . . . Vestibular 1959/1960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 Prova de Álgebra . . . . .2 Prova de Geometria . . . . . . . . I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV O . . . . . . . . . . .46. . . . I. . . . . . . . . I. . . . . . . . . I. . . . . . . . .I. . . . . . . .51 I. . I. . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 Prova de Descritiva . . . 168 171 176 176 179 180 185 185 188 190 194 194 197 200 202 202 205 207 211 211 214 216 217 220 220 221 222 222 222 224 226 227 227 228 229 231 232 233 233 234 235 235 237 .1 Prova de Álgebra . . . . . . . . . . . I. . . . . . . . . .42. . . . . . .43 I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 Prova de Álgebra . . . . . . . . . . . . I. . . . . . . .52 . . . . I. . . . . . . . .45 MO I. .50.44. . . . . . . . .2 Prova de Geometria . . . . . . . . . . .48. . . I. . . .52. . . . . . . . . . . . . .47. . . . . .49. . . . .43. . . . . . . .48 I. . . . . . . .49 I. .2 Prova de Geometria .3 Prova de Geometria . . . . . .46. I. . . . . . . . . . . . .3 Prova de Trigonometria I. . . . . . . . . . . . .1 Prova de Álgebra . . . . . .1 Prova de Álgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . .44. I. . . Vestibular 1957/1958 . . . . . . . .48. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I. . . . . . . .1 Prova de Álgebra . . .2 Prova de Cálculo . . . .3 Prova de Desenho . . . . . . . . . . I.2 Prova de Geometria . . . .2 Prova de Geometria . . . . . . . .3 Prova de Desenho . . .3 Prova de Trigonometria Vestibular 1960/1961 . . . . I.4 Prova de Desenho . . . . . . . . Vestibular 1964/1965 . . . . .50. . . Vestibular 1958/1959 . . . . I. . . . . . . Vestibular 1965/1966 . . . I.44. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50 I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I. . . .1 Prova de Álgebra . 238 238 240 241 242 244 244 245 246 246 247 248 248 250 250 252 255 257 259 259 262 263 263 264 265 265 267 269 269 270 273 273 274 276 276 278 278 278 279 281 281 282 282 . . I. . .57. . .60. . . . I. I. . . . . . . . .2 Prova de Geometria I. . . . . . . .56. . . . .61. I. . . .56. . . . . .1 Prova de Álgebra . . . . . . I. . . . . . . . . . . . . . . . I.2 Prova de Cálculo . . . . . . . . .3 Prova de Geometria I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .64. . . . . . . . . .53. I. . . . . . . . . . . . . . . . .53. . . . . . . . . . . I. . .64. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 Prova de Álgebra .61. . . . . . . . . . . . . . . . I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I. . . . . I.4 Prova de Desenho . . . . . . I. . . . . . I. . . . . . . . . . . . . . . . . .55. . . . . NS TR MO DE . . . . . . . . . . . . . .60 Vestibular 1949/1950 . . . . . . .1 Prova de Álgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I. . .59 Vestibular 1950/1951 . . . . . . . . . I.64 Vestibular 1945/1946 . I. . . . . . . . I. . . . .55. .58. . . . .1 Prova de Álgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I. . . . . . . . . .2 Prova de Geometria I. .3 Prova de Geometria I. . . .59. . . . . . . . . .63 Vestibular 1946/1947 .2 Prova de Geometria I. . . . I. . . . . . . . . . . . . . I. . . . . . . . . . . . . . I. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .55. . .2 Prova de Geometria I. .61 Vestibular 1948/1949 . . .59. .62. . . . . I. . . . . . .56. . . . . . . . . . .56. . . . . . . . . .53. . . .3 Prova de Geometria I. . . . . . . . . . . . . . . .2 Prova de Geometria I.53 Vestibular 1956/1957 . . . . . . . . . .56 Vestibular 1953/1954 . . . . . . . . . I. . . . . . . . . . . . . . . . .53. . . . . . . . . .65 Vestibular 1944/1945 . . . . . . . . . . . . .54. . . . . . . . . . . . . . .57.62. . . . . . . . . . . . . .1 Prova de Álgebra . . . . . . . . . . . . . .63. . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 Prova de Cálculo . . . . . . . . . . . . . I. . . .54 Vestibular 1955/1956 . . .58 Vestibular 1951/1952 . . . . I. . . . . .2 Prova de Geometria I. . . . .2 Prova de Geometria I. . . .1 Prova de Álgebra . . . . . . .55 Vestibular 1954/1955 . . . . . . . . . . . .2 Prova de Geometria I. . . . . . . . . I.1 Prova de Álgebra . . . . . . . . . . . . .2 Prova de Cálculo . . . . .58. . . . . . . I. . . . . . . . . . . . . . . . . . I. . . . . . . .2 Prova de Geometria I. . . . .4 Prova de Desenho . . . . . . . . . . .4 Prova de Desenho . . . AT I. . . . . . . . . . . . . . . . IV O . . . . . .57 Vestibular 1952/1953 . . . . . . . . .1 Prova de Álgebra . . . . . . . . . . . . . . .63. . . . . . . . . . . .1 Prova de Álgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62 Vestibular 1947/1948 . . .55. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54. . .1 Prova de Álgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I. . .1 Prova de Álgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .60. . . . . . . . . . . . 6 Vestibular 2006/2007 . . . . .4 Vestibular 2007/2008 . .1 Prova de Matemática II.18 Vestibular 1994/1995 . . . . . II. . . . . . . . . . . . II. . . . . . . . . . . . . II. . . . . . . II. .4. . . . . . . .2 Vestibular 2009/2010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 Prova Objetiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 Prova de Matemática II. . . . .5 Vestibular 2006/2007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3. . . . . . . .1 Prova Objetiva . . . . . . . . . . . . . . . .15 Vestibular 1997/1998 . . .4. . . . .1 Prova de Matemática II. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 Prova de Geometria . . II. . . . . . . . . NS TR II Soluções Propostas II.1 Prova de Matemática II. . . . .17 Vestibular 1995/1996 . .2 Prova Discursiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 Prova Discursiva . . II. . . .I. . . .2 Prova Discursiva .3 Vestibular 2008/2009 . . . . .8. . . . . . . .15. . . . . . . . . . . . . .6. . . . . . . . . . . II. II.1 Prova Objetiva . . . .10 Vestibular 2002/2003 .1 Prova Objetiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 Vestibular 2005/2006 . . . . . . . . . . . II. . . . . . . . . . . . . .65. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 Prova de Matemática II. . . . . . . . . . . . . . . . . .10. . . . . . 282 I. . . . . . . . . .9. . . . . . . . . . . . . . AT .16 Vestibular 1996/1997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . MO DE . . . . . . . .3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 Prova de Matemática II. . . . . . . II.14. . . . .13 Vestibular 1999/2000 . . .11 Vestibular 2001/2002 . . . . . . II. . . .1 Prova de Matemática II. . . . . . . . . . . . . . II. . . . .65. II. . . . . .16. . . .13. . . . . . . . . . . . . . . IV O . . . . . . II. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7. . . . . .12 Vestibular 2000/2001 . . . . . . .1 Prova de Matemática II. . .2. . 285 287 287 294 299 299 305 314 314 320 329 329 334 340 340 344 344 349 349 356 356 366 366 373 373 380 380 387 387 393 393 401 401 406 406 412 412 418 418 424 . . . . .1 Prova de Álgebra . . . . . . . . . . . . . . . II. . II. . . .17. . . . . . . . . . II. . . . . . . .1. . . . . . . . . . . . . . . II. . . . . . . . . . . . . . . . . .1 Prova de Matemática II. . . . . . .2 Prova Discursiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12. . . . . . . .1. . . . . . .1 Prova de Matemática II. . . . . .1 Prova de Matemática II. .1 Vestibular 2010/2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 Prova Objetiva . . . . .1 Prova de Matemática II. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14 Vestibular 1998/1999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II. . . . . . . II. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II. . . . . .9 Vestibular 2003/2004 . . . . . . .8 Vestibular 2004/2005 . . . . . . . . . . II. . . . . . . . . . . . . .2. . . . . . 283 . .5.11. . II. . . . . . . . . . . II. . . . . . . II. . . . . . . . . . . . . . II. . . .19. . . . .26. . . . . . . . . . . . . . . . . II. . . . . . . .32. . . . . . . . . . . . . . . .28. . . . . . . . . . . . 424 430 430 438 438 442 442 448 448 455 462 462 468 476 476 482 490 490 496 505 505 511 521 521 526 535 535 540 555 555 560 576 576 581 595 595 599 608 608 616 627 627 632 . . .19 Vestibular 1993/1994 . . . . .23. . . . . .1 Prova de Álgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II. . . . . . . . . . . . . . II. . . .2 Prova de Geometria . . . . II. . . . . . . . . . II. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 Prova de Álgebra . II. . . .25 Vestibular 1987/1988 . . . . II. . . . . .2 Prova de Geometria . . . . . . . . . . . . . II. . II. . . . . . .31. . .30. . . . . . . . . . . . II. . . . . . . .24 Vestibular 1988/1989 .33. . .28 Vestibular 1984/1985 . . . . II. . . .1 Prova de Matemática II. . . . . II. . . II. . . . . . . . . . . . . . . . II. . . . . . . . II. .27 Vestibular 1985/1986 .1 Prova de Álgebra . . . . . . . . . .2 Prova de Geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II. . . . . . . .1 Prova de Matemática II. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29 Vestibular 1983/1984 . . II. . . . . .26 Vestibular 1986/1987 .27. . .1 Prova de Matemática II. . . . .25. . . . . . . . . . .2 Prova de Geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . II.33. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . II. . . . . II. . .2 Prova de Geometria . . . .33 Vestibular 1979/1980 . . II. . . . . . . . . . . . . . . . .2 Prova de Geometria . . .32 Vestibular 1980/1981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22. . . . II. . . .1 Prova de Álgebra . . . . . . . . . . . . .31. . . . .1 Prova de Álgebra . . . . . . . . . . .29. . .31 Vestibular 1981/1982 . . . .2 Prova de Geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25. .28. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II. . . . . . .2 Prova de Geometria . . . . . . . . . .1 Prova de Álgebra . . . II. . . . II. . II. . . . . . . . II. . . . . . . . . . . . . II. . . . .27. . . . . . . . . . . . . .30. . . . . . . . . . . .1 Prova de Álgebra . . . . . . . . . . . . . . .20.18. . . .24. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32. . . . . .2 Prova de Geometria . . . . . . . .1 Prova de Matemática II. . . . . . . .26. . . . . .1 Prova de Álgebra . . . . . . II. .21 Vestibular 1991/1992 . . . . . . . . . . II. . . . . . . . . . . . . . . .22 Vestibular 1990/1991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23 Vestibular 1989/1990 . . . . .20 Vestibular 1992/1993 . . . . . . . . . . . . . . . . . .23. . . . . . . .2 Prova de Geometria . . . . . . II. .22. . . .29. . . II. . .30 Vestibular 1982/1983 . . . . . . . . . . . . . . . II. . . .2 Prova de Geometria . .1 Prova de Álgebra . . . . . . . . . . . . . DE MO NS TR AT IV O II. . . . . . . . . . . . . . . . . .1 Prova de Álgebra . . . II. . . . . . II. . . . . . .24.1 Prova de Álgebra . . . . II. .1 Prova de Álgebra . . . . . . . . . . . . .21. . . . . .2 Prova de Geometria . . . . . . . . . . . .36. . . . .37 Vestibular 1975/1976 . . . . . . . II. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.36. . . . . .34. . . . . . . II. . . . . .1 Prova de Álgebra . . . . . . . . . . . . .36 Vestibular 1976/1977 .37. . . . . . . . . . II.35 Vestibular 1977/1978 . . . . .1 Prova de Álgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34 Vestibular 1978/1979 . . . . . . . . . . . . . . . . . II. . . . . . . . . . . . . .2 Prova de Geometria . . . . . . . . .2 Prova de Geometria II. 640 640 645 653 653 660 670 670 675 683 683 689 . . . . . . .2 Prova de Geometria II. . . . . . . . . .37. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV O . . . . . . . . . . . . . . . . NS TR MO DE . . . . . . . . . . II.35. . . . .. . . .1 Prova de Álgebra . . . . AT II. . . . . . .35.2 Prova de Geometria II. II. . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 Prova de Álgebra . II. . .34. • Por lei de 4 de novembro de 1959. [3] P.Acerca das Origens do IME DE MO NS TR AT IV O Algumas pessoas podem questionar o fato deste livro incluir provas de até 1944/1945. 2005. apontam suas origens para o ano de 1930 e justificam o conteúdo anterior a 1959 no presente material. o ano formal de fundação do IME é efetivamente o de 1959. 1985. oficialmente considerados pelo próprio IME. que atuou em paralelo com a Escola Técnica do Exército. Isto causou um interstício na formação de engenheiros militares no Brasil ao longo de todo este período. 1986. Pardal. Odebrecht. Brasil. [2] P. O primeiro comandante desta instituição. Podemos citar ainda dois outros indícios da importância desta data para o IME: (a) a referência [5]. quando o IME só teria sido fundado em 1959. Rio de Janeiro.). T. editada em 1960 pelo próprio IME. C. fiz uma breve pesquisa acerca das origens do ensino de engenharia no Brasil e descobri uma literatura muito interessante e apaixonada [1]–[5]. Para justificar o conteúdo aqui apresentado. 1958. Bibliografia: [1] A. o IME celebra seu aniversário baseado na data de início de operação da Escola de Engenharia Militar. Um Breve Histórico do IME. contendo as soluções das provas de Matemática de seu vestibular no período de 1945 a 1960. foi criado o Instituto Militar de Tecnologia. 1972: Início do Ensino da Engenharia Civil e da Escola de Engenharia da UFRJ. Porém. O Ensino Militar no Brasil (colônia). Uma sinopse destas fontes nos leva ao seguinte desenvolvimento histórico: • Em 1919. Rio de Janeiro. IME. Em 1949. por influência americana. [5] Resolução das Questões do Concurso de Admissão ao Instituto Militar de Engenharia (Antiga Es. Rio de Janeiro. surgiu o Instituto Militar de Engenharia. de Lucena. Pardal. . sendo a primeira turma de alunos apresentada em 21 de agosto de 1930. da fusão da Escola Técnica do Exército e do Instituto Militar de Tecnologia. Rio de Janeiro. • A partir de 1o de janeiro de 1934. Rio de Janeiro. Escola de Engenharia da UFRJ. em 11 de agosto de 1930. a Escola de Engenharia Militar passou a se chamar Escola Técnica do Exército. E. Biblioteca do Exército. o que só foi efetivamente consolidado após novo decreto de 31 de dezembro de 1928. [4] L. Pirassinunga. 1960. IME. Estes aspectos adicionais. (b) a celebração de 50 anos de existência do IME nas capas das provas de seu vestibular de 1980/1981. só assumiu o comando em 11 de agosto de 1930. 140 Anos de Doutorado e 75 de Livre-Docência no Ensino de Engenharia no Brasil. o General-de-Brigada José Victoriano Aranha da Silva. segundo [4]. Assim. um regulamento militar estabeleceu a criação da Escola de Engenharia Militar. AT NS TR MO DE IV O . Observei um grande interesse da comunidade pelos problemas do vestibular do IME. A primeira versão. Paulo S. Cap.Prefácio DE MO NS TR AT IV O A origem deste livro remonta a 1984/1985. da Silva. Armando Staib (AMANRJ). Apolinário Jr. Marcelo Leão e José A. Diniz. Lima. não posso deixar de agradecer aos meus pais e ídolos. o professor Eduardo Wagner. Petrenko (IME-RJ). uma oportunidade aos amantes da Matemática de exercitar este interesse com problemas de excelente grau de dificuldade. que transforma sonhos em realidade. Biscainho. me ensinaram tudo que sei. e os professores da COPPE/Escola Politécnica da UFRJ. moderada pelo professor Nicolau C. Alessandro J. a Onan Neves. B.. para citar algumas pessoas fundamentais para a existência deste livro: o pesquisador e amigo Dr. P. Claudio Gustavo G. claro. Ten.br) . Saldanha. ainda. R. principalmente os mais antigos. S. Sergio e Maria Christina. particularmente. até mesmo histórica. como seria de se esperar. Dutra. à minha esposa. Eu. Hélios Malebranche (AMAN-RJ) e Cap. Isabela. Dutra. Paulo Abreu. disponibilizando-as para todos os interessados da lista. Em 2004. Cel. amadores e estudantes na solução de problemas de Matemática. pelo envio de diversos enunciados de provas. R. vejo este livro como uma homenagem a todos os professores do IME que participaram da elaboração das provas aqui contidas e a todos os alunos (aprovados ou não. sem querer culpá-los por nada. e por isto aqui também me incluo!) que prestaram ou prestarão o vestibular desta mesma instituição. de Campos e Luiz W. Sergio Lima Netto (sergioln@lps. 57 das quais com soluções propostas. sempre. me deparei com a lista de discussão da Olimpíada Brasileira de Matemática. que acreditaram na importância. de abril/2004. Francisco Claudio Gomes. L. e à toda minha família – sem vocês. Cunha (IME-RJ). S. também. quando fiz o vestibular do IME sem a devida preparação e fui reprovado. Guimarães. organizando um material com as provas que tinha.ufrj. que. do material aqui incluído. Em especial. Devo sinceros agradecimentos a todos que colaboraram com a organização deste material. continha uns poucos enunciados. Caio S. que me faz seguir sonhando. quem não existiria seria eu. quase um co-autor. Acima de tudo. e mesmo assim a resposta inicial foi bastante positiva. Novas versões vieram em seguida. Este livro é. em que algumas pessoas que sempre admirei colabora(va)m com curiosos. Em um dado momento. o material adquiriu vida própria e passei a receber significativas contribuições de diversos colaboradores. Peço licença ao leitor. corrigindo e complementando as anteriores. Marcello L. Alessandro J. Foi neste contexto que resolvi dar minha contribuição. os professores do IME. propiciando a versão atual com 134 provas. Eduardo A. AT NS TR MO DE IV O . e que há muito desejavam vê-las reunidas em uma única publicação. geram uma grande expectativa não apenas aos candidatos aos cursos de graduação do IME. desejo que se transformou em realidade com este livro. considerado um dos processos seletivos mais difíceis do país (se não o mais difícil). no vestibular do IME. Suas provas de matemática. há muitos anos. Naturalmente. mas também a muitos amantes da matemática que anseiam por novos problemas desafiadores. que não poupou esforços em obter esta singular coletânea de questões e apresentar propostas de solução. Parabéns ao professor Sergio e à Editora VestSeller por disponibilizarem aos amantes da matemática esta valiosa publicação! DE Rio de janeiro. e as diversas etapas que compõem as Olimpíadas de Matemática. DSc Chefe da Subdivisão de Concursos do IME . e que encontram anualmente. da UFRJ. do ITA. por exemplo.Apresentação MO NS TR AT IV O O Vestibular do IME é. tais questões se tornam fonte primária de consulta aos que se candidatam aos próximos vestibulares do IME. 11 de abril de 2011 Marcelo Rodrigues Leão Silva Engenheiro Militar. a uma escola de nível superior na área de ciências exatas. Elaborados exclusivamente por uma banca de professores do próprio IME. esta publicação passa a ser referência obrigatória aos alunos e professores envolvidos na preparação aos eventos desafiadores que são os vestibulares do IME. questões com enunciados que incorporam tais características. escolhido por estrito critério de merecimento e capacidade intelectual. esses enunciados permitem o ingresso no IME de um seleto grupo de estudantes. Desta forma. fruto de um incansável e persistente trabalho de pesquisa do professor Sergio Lima Netto. AT NS TR MO DE IV O . .IV O AT NS TR MO DE Aos meus exercícios mais desafiadores: Bruno. Renata e Manuela. AT NS TR MO DE IV O . (*3): As provas de Geometria e Trigonometria foram realizadas separadamente. . (*2): As provas de Desenho Técnico e Geometria Descritiva foram realizadas separadamente.Parte I Enunciados Desenho Descritiva MO IV O X X XX² AT X NS TR Geometria Trigonometria X X X X X X X X X X X X X X X X X XX³ XX³ X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X DE 1944 / 1945 1945 / 1946 1946 / 1947 1947 / 1948 1948 / 1949 1949 / 1950 1950 / 1951 1951 / 1952 1952 / 1953 1953 / 1954 1954 / 1955 1955 / 1956 1956 / 1957 1957 / 1958 1958 / 1959 1959 / 1960 1960 / 1961 1961 / 1962 1962 / 1963 1963 / 1964 1964 / 1965 1965 / 1966 1966 / 1967 1967 / 1968 1968 / 1969 1969 / 1970 1970 / 1971 1971 / 1972 1972 / 1973 1973 / 1974 1974 / 1975 1975 / 1976 1976 / 1977 1977 / 1978 1978 / 1979 1979 / 1980 1980 / 1981 1981 / 1982 1982 / 1983 1983 / 1984 1984 / 1985 1985 / 1986 1986 / 1987 1987 / 1988 1988 / 1989 1989 / 1990 1990 / 1991 Álgebra Cálculo X X X X X X X X X XX¹ XX¹ X XX¹ X X XX¹ XX¹ X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X 1991 / 1992 1992 / 1993 1993 / 1994 1994 / 1995 1995 / 1996 1996 / 1997 1997 / 1998 1998 / 1999 1999 / 2000 2000 / 2001 2001 / 2002 2002 / 2003 2003 / 2004 2004 / 2005 2005 / 2006 Matemática X X X X X X X X X X X X X X X Objetiva X X X X X Discursiva X X X X X 2006 / 2007 2007 / 2008 2008 / 2009 2009 / 2010 2010 / 2011 (*1): As provas de Álgebra e Cálculo foram realizadas separadamente. AT NS TR MO DE IV O . .25]: Sejam x1 . em cm2 .rn (E) x1 . A soma das áreas hachuradas. é: NS TR AT A B C (A) 6 (B) 8 (C) 10 (D) 12 (E) 14 2a Questão [Valor 0. .1 Prova Objetiva IV O 1a Questão [Valor 0. Os diâmetros dos três semicírculos.. O primeiro termo e a razão desta progressão são os números reais x1 e r. .1. O determinante x1 x1 x1 · · · x1 x1 x2 x2 · · · x2 x1 x2 x3 · · · x3 é : . .25]: Seja o triângulo retângulo ABC com os catetos medindo 3 cm e 4 cm. respectivamente. traçados na figura abaixo. xn os n primeiros termos de uma progressão aritmética. . x1 x2 x3 · · · xn (A) xn1 ..25]: A base de uma pirâmide é um retângulo de área S..r (C) xn1 . coincidem com os lados do triângulo ABC. . . .. O volume da pirâmide é: (B) √ S S 6 (C) √ 2S S 3 (D) √ 2S S 5 (E) 2S 2 3 4a Questão [Valor 0.1 Vestibular 2010/2011 I. As outras duas faces formam ângulos de 30o e 60o com a base.. .1. .rn−1 .rn−1 (D) x1 . .I. Sabe-se que duas de suas faces laterais são perpendiculares ao plano da base. .rn (B) xn1 . VESTIBULAR 2010/2011 3 I. .25]: O valor de x que satisfaz a equação sen(arccotg (1+x)) = cos(arctg (x)) : (B) 1 2 1 4 (D) − 21 MO (A) 3 2 (C) (E) − 23 (A) √ S S 3 DE 3a Questão [Valor 0. com coeficiente angular a2 . a2 ) e retas diretrizes (A) 70 (B) 35 (C) 1 (D) 1 35 (E) AT 6a Questão [Valor 0. onde x é um número real maior do que 1.00 é: 4π 6π 8a Questão [Valor 0. passa pelo ponto (0. Ele começa seu trabalho sem qualquer dinheiro para troco. é: 1 70 1 8 (B) 1 5 (C) 1 4 (D) 1 3 (E) 1 2 MO (A) NS TR 7a Questão [Valor 0. Supondo uma arrumação aleatória para a fila formada pelas oito pessoas e que cada uma comprará exatamente um saco de pipoca.4 PARTE I.25]: Sejam x e y números reais. ENUNCIADOS 5a Questão [Valor 0. −1).5 (C) 0 (D) 0.25]: O valor de y real positivo na equação (5y)logx 5 − (7y)logx 7 = 0. passa pelo ponto (0.00 por saco de pipoca. das quais quatro têm uma moeda de R$ 1. Assinale a alternativa correta: √ (A) Todo x e y satisfaz |x| + |y| ≤ 2 |x2 + y 2 | (B) Existe x e y que não satisfaz |x y| ≤ ||x| + |y|| √+ (C) Todo x e y satisfaz |x| + |y| ≤ 2 |x2 | + |y 2 | (D) Todo x e y satisfaz |x − y| ≤ |x + y| √ (E) Não existe x e y que não satisfaz |x|+|y| ≤ 3|x2 + y 2 | .00 e quatro uma nota de R$ 2. 0) e retas diretrizes y = ± (B) circunferência de centro (a1 .00. O lugar geométrico percorrido pelo ponto de interseção das duas retas é uma: (A) hipérbole de centro (0. Sabe-se que a21 + a22 = 2. Uma outra reta. a2 ) e raio a21 + a22 √ (C) hipérbole de centro (0.5 DE (A) −1 1 2 é: (E) 1 9a Questão [Valor 0.25]: O pipoqueiro cobra o valor de R$ 1. 1).25]: Uma reta. 0) e retas diretrizes x = ± (E) elipse de centro (a1 . com coeficiente angular a1 . a probabilidade de que o pipoqueiro tenha troco para as quatro pessoas que pagarão com a nota de R$ 2. Existem oito pessoas na fila do pipoqueiro.25]: O valor de cos 2π 7 + cos 7 + cos 7 + (B) −0. 0) e retas diretrizes x = ± 2 2 √ 2 2 √ 2 2√ y = ± 22 IV O (D) elipse de centro (0. 212 (E) 62. Se A ⊆ B e B ∈ C então A ⊆ C. III. onde n ∈ N∗ .25]: Seja p(x) uma função polinomial satisfazendo a relação p(x)p x1 = p(x) + p x1 . o valor de p(4) é: (B) 30 (C) 45 (D) 55 (E) 65 NS TR (A) 10 12a Questão [Valor 0. considere as seguintes afirmativas relacionadas aos conjuntos A.287 DE MO 13a Questão [Valor 0. Sabendo que p(3) = 28.25]: Em relação à teoria dos conjuntos.200 (D) 58. respectivamente: (A) 1 e 2 (B) 2 e 3 (C) 3 e 2 (D) 2 e 2 (E) 3 e 1 . Se Sn é a soma dos n primeiros termos desta progressão. Estão corretas: IV O nenhuma das alternativas somente a alternativa I somente as alternativas I e II somente as alternativas II e III todas as alternativas AT (A) (B) (C) (D) (E) 11a Questão [Valor 0.25]: Uma progressão aritmética {an }. Se A ∈ B e B ⊆ C então A ∈ C.I. VESTIBULAR 2010/2011 5 10a Questão [Valor 0.112 14a Questão [Valor presentado abaixo: ⎛ 1 3 0 2 ⎜ 0 2 0 3 ⎜ ⎜ 1 5 0 0 ⎜ ⎜ 3 1 2 0 ⎜ ⎝ 4 0 0 0 2 0 0 1 (C) 44. B e C: I. tem a1 > 0 e 3a8 = 5a13 . II. Se A ⊆ B e B ∈ C então A ∈ C.25]: Considere o sistema de equações lineares re1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 ⎞ ⎛ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟×⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ a b c d e f ⎞ ⎛ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ 13 11 7 9 8 13 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ Os valores de a e d são.822 0.25]: Um trem conduzindo 4 homens e 6 mulheres passa por seis estações. o valor de n para que Sn seja máxima é: (A) 10 (B) 11 (C) 19 (D) 20 (E) 21 (A) 1.1. Sabe-se que cada um destes passageiros irá embarcar em qualquer uma das seis estações e que não existe distinção dentre os passageiros de mesmo sexo. O número de possibilidades distintas de desembarque destes passageiros é: (B) 14. 4.4.I.25]: De quantas maneiras n bolas idênticas podem ser distribuídas em três cestos de cores verde.4 Vestibular 2007/2008 I. VESTIBULAR 2007/2008 19 I.1 Prova Objetiva IV O 1a Questão [Valor 0. amarelo e azul? . As pirâmides obtidas são agrupadas formando um octaedro cuja área da superfície externa é igual a: (B) √ 3 (C) 1 (D) 2 √ (E) 2 2 3a Questão [Valor 0.25]: Um plano corta um cubo com aresta de comprimento 1 passando pelo ponto médio de três arestas concorrentes no vértice A e formando uma pirâmide.25]: Na figura seguinte ABCD é um quadrado de lado 1 e BCE é um triângulo equilátero. n n! n+2 (C) (D) (n − 3)! (E) 3n (A) (B) 2 3 3! A √ (A) 3 2 DE MO NS TR AT 2a Questão [Valor 0. Este processo é repetido para todos os vértices. O valor de tg α2 é igual a: . conforme a figura a seguir. 5 DE 6a Questão [Valor 0.Os dois primeiros termos são iguais à unidade.0 NS TR 4a Questão [Valor 0.0 (E) 11.0 (B) π (C) 10. T1 = T2 = 1 .20 PARTE I. ou seja. a partir do terceiro. (A) 0 (B) 6 (C) 14 (D) 29 (E) 41 .25]: Assinale a opção correspondente ao valor da soma das raízes da equação: y 3/2 + 5y + 2y 1/2 + 8 = 0 (D) 51/2 (E) 0. é igual à soma dos dois termos anteriores.1 (A) 5 (B) 2 (C) 21 MO 5a Questão [Valor 0.Cada termo.25]: Assinale a opção correspondente ao valor de μ que faz com que a equação (1 + μ)s3 + 6s2 + 5s + 1 = 0 possua raízes no eixo imaginário. ENUNCIADOS B A α IV O E C D 3 2 (B) 2 − 6 2 √ (C) 1 − 3 3 √ (D) 1 − 2 5 AT √ √ (A) 1 − (E) 1 − √ 3 5 (A) 1.25]: Uma série de Fibonacci é uma sequência de valores definida da seguinte maneira: .25]: Assinale a opção correspondente ao valor da soma das raízes reais da equação: log x log x log x log 6x log 3x cos x = 0 1 1 log2 x (D) 11. isto é: TN = TN −2 + TN −1 Se T18 = 2584 e T21 = 10946 então T22 é igual a: (A) 12225 (B) 13530 (C) 17711 (D) 20412 (E) 22121 7a Questão [Valor 0. j .j e ui. respectivamente. di. −4) AT 9a Questão [Valor 0. VESTIBULAR 2007/2008 21 8a Questão [Valor 0. assinale a opção correspondente ao vértice C.25]: Sejam L. 3) (D) (−4. para i = j e . para i ≥ j .j = i. 2π) tais que o lugar geométrico representado pela equação 3x2 + 4y 2 − 16y − 12x + tgα + 27 = 0 seja um único ponto.j = li. para i ≤ j ui. −8) (B) (0.25]: Assinale a opção correspondente ao número de possíveis valores de α ∈ [0.I. para i = j 0. Nenhum valor Apenas 1 valor 2 valores 4 valores Um número infinito de valores IV O (A) (B) (C) (D) (E) (A) (−2. i+j ⎩ 0.4.25]: Sendo o ponto A (8.j = . di.j i ⎩ 0.25]: Assinale a opção correspondente aos valores de K para os quais o sistema de equações dado por: x e + ey = ex+y x+y =K admite solução real. para i > j O valor do determinante de A = LDU é igual a: (B) 1 (C) n (D) n + 1 DE (A) 0 (E) n+1 n 11a Questão [Valor 0. para i < j ⎧ ⎨ 2i . (C) (4.j . 7) MO NS TR 10a Questão [Valor 0. −2) um vértice de um losango ABCD e 2x + y + 1 = 0 a reta que contém os vértices B e D. são dados por: ⎧ 2 i+1 ⎨ i . D e U matrizes quadradas de ordem n cujos elementos da i-ésima linha e j-ésima coluna li. (A) (B) (C) (D) (E) 0≤K≤2 0 ≤ K ≤ ln 2 K ≥ e−2 K > ln 4 0≤K≤1 . −8) (E) (−1. P (x) e Q(x) + 2 é divisível por x4 .0]: Uma sequência de quatro termos forma uma PG.2 (B) 7 NS TR 15a Questão [Valor 0. Uma terceira sequência é obtida somando-se . respectivamente. transforma-se a sequência original em uma PA. sabendo que CD = −DC. c d z w 4a Questão [Valor 1.0]: Determine o conjunto-solução da equação sen3 x + cos3 x = 1 − sen2 x. Se os valores da base e da altura de um triângulo são definidos por h(0. onde Q(x) é um polinômio do 6o grau. c e d. z e w) são função de quatro constantes a. e S = log2 a1 + log2 a2 + . Subtraindo-se 2 do primeiro termo e k do quarto termo. . 3a Questão [Valor 1. 1. 41 . . 5 e 7 como fatores primos é: (A) 11025 (B) 90300 (C) 470005 (D) 474075 (E) 475105 a [Valor 0. . 21 .25]: Seja ai um dos termos da progressão geométrica com oito elementos 2. Determine as relações entre a.25]: Sejam f (x) = (A) −7 (C) 11 (D) −11 (E) 1 Prova Discursiva MO I. .75). O valor de x6 + x16 é: (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5 AT IV O ex − e−x . o valor de f (1) será: b = −5 1a Questão [Valor 1. b. onde a b x y C= eD= .22 PARTE I.0]: Os elementos da matriz dos coeficientes de um sistema de quatro equações lineares e quatro incógnitas (x.5) e h(0. ENUNCIADOS 12a Questão [Valor 0. c e d para que o referido sistema admita uma solução não trivial. Se S e f (x) = |x + 2b| + |2x − b|. a área desse triângulo é igual a: √ √ √ (A) 2e (B) 27 (C) 221 (D) 10 (E) e 14a Questão [Valor 0. + log2 a8 . y.25]: 13 Seja x um número real ou complexo para o qual Questão x + x1 = 1. g(x) = ex e h(x) = ex + e−x g(f −1 (x)).0]: Encontre o polinômio P (x) tal que Q(x) + 1 = (x − 1)3 . . . b. cos2 x DE 2a Questão [Valor 1.4.25]: A soma dos números inteiros positivos de quatro algarismos que admitem 3. y) que pertençam à circunferência de equação x2 + y 2 − 6x − 6y + 14 = 0. é obtida a partir da terceira sequência.0]: Considere os números complexos Z1 = sen α + i cos α e Z2 = cos α − i sen α. se Z = Z1 Z2 . Mostre que. 1 + 2i + 3i2 + . onde α é um número real. de tal forma que cada carro da coluna da direita tenha ao seu lado. VESTIBULAR 2007/2008 23 os termos correspondentes da PG e da PA.4.I. + (n + 1)in IV O 6a Questão [Valor 1. subtraindo-se 2 do terceiro termo e sete do quarto. Determine os termos da PG original. Para a largada são formadas duas colunas de carros lado a lado. um carro de outra equipe. então −1 ≤ Re (Z) ≤ 1 e −1 ≤ Im (Z) ≤ 1. B B DE MO A NS TR 8a Questão [Valor 1. as partes real e imaginária de Z. com comprimento igual ao lado do quadrado. na coluna da esquerda.0]: Cinco equipes concorrem numa competição automobilística. Determine o raio do círculo base da calota em função do raio R da esfera. Determine o ângulo B AB sição em que arazão entre o comprimento do segmento B C e o lado do √ quadrado vale 3 − 6. Finalmente. respectivamente. conˆ correspondente à poforme indicado na figura. em que cada equipe possui dois carros. uma quarta sequência. 5a Questão [Valor 1. Determine o número de formações possíveis para a largada.0]: A área de uma calota esférica é o dobro da área do seu círculo base. .0]: Considere todos os pontos de coordenadas (x. descreve um arco de círculo. y Determine o maior valor possível de .0]: Determine a expressão da soma a seguir. uma nova PA. x . D C a 9 Questão [Valor 1. . onde n é um inteiro múltiplo de 4. 10a Questão [Valor 1. onde Re (Z) e Im (Z) indicam. AT 7a Questão [Valor 1.0]: Em um quadrado ABCD o segmento AB . 25]: Sejam z e w números complexos tais que: 2 w − z 2 = 4 + 12i z − w = 2 + 4i onde z e w representam. Repete-se esta divisão com os quadrados obtidos e assim sucessivamente por n vezes.25]: Um quadrado de lado igual a um metro é dividido em quatro quadrados idênticos.25]: Seja N um número inteiro de 5 algarismos. ENUNCIADOS I. A figura abaixo ilustra as quatro primeiras etapas desse processo. os números complexos conjugados de z e w.1 Vestibular 2006/2007 Prova Objetiva IV O 1a Questão [Valor 0. Quando n → ∞. o algarismo das centenas do número N é: (E) 8 (A) 4 (B) 6 DE 1m MO 3 Questão [Valor 0. Sabendo-se que P é o triplo de Q.5. O número P é construído agregando-se o algarismo 1 à direita de N e o número Q é construído agregando-se o algarismo 1 à esquerda de N . O valor de z + w é: (B) 2 + i (C) −1 + 2i (D) 2 − 2i (E) −2 + 2i AT (A) 1 − i (A) 0 (B) 2 (C) 4 a (D) 6 NS TR 2a Questão [Valor 0.24 PARTE I. respectivamente. a soma em metros dos perímetros dos quadrados hachurados em todas as etapas é: (C) 8 Primeira etapa Segunda etapa Terceira etapa Quarta etapa (D) 10 (E) 12 .5 I. é correto afirmar que: √ (A) |r1 + r2 | > √ 4 2 (B) |r1 + r2 | < 2 (C) |r1 | ≥ 2 e |r2 | ≥ 2 (D) |r1 | ≥ 3 e |r2 | ≤ 1 (E) |r1 | < 1 e |r2 | < 2 AT 5a Questão [Valor 0. a condição para que o sistema possua solução única é: (B) a = 2 (C) a = 8 (D) a = b1 +b2 −b3 NS TR (A) a = 0 (E) a = 2b1 −b2 +3b3 6a Questão [Valor 0. tal que: f (4) = 5 f (x + 4) = f (x). b2 e b3 valores reais quaisquer. sendo duas delas irmãos. com respectivamente dois.I. ˆ O valor do determinante de D é: pectivamente. três e quatro integrantes. Sabendo-se que os dois irmãos não podem ficar na mesma equipe.25]: Considere o sistema de equações dado por: ⎧ ⎨ x + y + 2z = b1 2x − y + 3z = b2 ⎩ 5x − y + az = b3 Sendo b1 . onde R é o conjunto dos números reais.25]: Um grupo de nove pessoas. Pˆ . VESTIBULAR 2006/2007 25 IV O 4a Questão [Valor 0.25]: Seja f : R → R. q e r são lados de um triângulo cujos ângulos opostos são.5. o número de equipes que podem ser organizadas é: (B) 455 (C) 480 (D) 910 (E) 960 8a Questão [Valor 0.25]: Se r1 e r2 são raízes reais distintas de x2 +px+8 = 0.f (4) (A) − 4 5 (B) − MO O valor de f (−4) é: 1 4 (C) − 1 5 (D) 1 5 (E) 4 5 (A) 288 DE 7a Questão [Valor 0. deverá formar três equipes. Q (A) −1 (B) 0 (C) 1 (D) π (E) p + q + r .25]: Seja a matriz D dada por: ⎡ ⎤ 1 1 1 ⎦ p q r D=⎣ ˆ sen(R) ˆ sen(Pˆ ) sen(Q) na qual p. resˆ e R. tal que P A = P B = k. o lugar geométrico de P é uma: (A) reta (B) circunferência (C) parábola (D) hipérbole (E) elipse 15a Questão [Valor 0. Sendo k um valor constante. respectivamente: (C) −1 e 2 (D) − 31 e 4 3 (E) 1 2 e 1 2 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4 DE (A) 0 MO 13a Questão [Valor 0.6989. e seja a função f : A → B tal que: É possível afirmar que f é uma função: (A) injetora (B) sobrejetora (C) bijetora IV O f (x. os valores de α e γ são. Sabendo que p(−1) = −1. 4.25]: Considere uma circunferência C fixa de raio R.4771 e log 5 = 0. (1.25]: O volume do octaedro cujos vértices são os pontos médios das arestas de um tetraedro regular de volume V é: √ √ V V 2 3 V (B) (C) (D) V (E) V (A) 2 4 8 2 2 (A) 2 e −1 (B) 3 e −2 NS TR 12a Questão [Valor 0. 2). conclui-se que o avô paterno nasceu no ano de: (A) 1892 (B) 1898 (C) 1900 (D) 1936 (E) 1942 . ENUNCIADOS 9a Questão [Valor 0. 3)} e B = {1. p(0) = 0 e p(1) = 1. log 3 = 0.25]: Seja p(x) = αx3 + βx2 + γx + δ um polinômio do terceiro grau cujas raízes são termos de uma progressão aritmética de razão 2.25]: Considere os conjuntos A = {(1.3010. y) = x + y (D) par (E) ímpar AT 11a Questão [Valor 0. traçam-se retas tangentes a C que se interceptam num ponto P . Sabe-se que as cinco raízes de p(x) são números inteiros positivos. Em consequência. 3). 5}. 2.26 PARTE I. (2.25]: Sabendo que log 2 = 0. tinha x anos no ano x2 ”. que nasceu trinta anos antes de mim.25]: Seja p(x) = x5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f um polinômio com coeficientes inteiros. 3. O número de coeficientes pares de p(x) é: 14a Questão [Valor 0. A partir de dois pontos A e B pertencentes a C. sendo quatro deles pares e um ímpar.25]: Um homem nascido no século XX diz a seguinte frase para o filho: “seu avô paterno. o menor número entre as alternativas abaixo é: (A) 430 (B) 924 (C) 2540 (D) 8120 (E) 62515 10a Questão [Valor 0. calcule o determinante da matriz An . 5a Questão [Valor 1. e seja S a sua correspondente área lateral. B(−2. 2 2 6a Questão [Valor 1. respectivamente. 3a Questão [Valor 1.0]: Considere o sistema de equações dado por 3 log3 α + log9 β = 10 log9 α − 2 log3 β = 10 onde α e β são números reais positivos. e seja t uma reta tangente comum a C e C ∗ nos pontos não coincidentes A e A∗ .2 27 Prova Discursiva 3 1 4 4 1a Questão [Valor 1.0]: Resolva a equação π π log(sen x+cos x) (1 + sen 2x) = 2. ˆ = RBS ˆ = 90o . para K ≥ 1.0]: O quadrilátero BRAS.0]: Sejam x1 e x2 as raízes da equação x2 +(m−15)x+ m = 0. 0).5. Determine S em função de r e r∗ . Se a1 = 30 cm e b1 = 42 cm. Determine o valor de P = αβ. determine o conjunto de valores possíveis para m. R(x1 . IV O 2a Questão [Valor 1.5. . DE MO 4a Questão [Valor 1. e seja P uma matriz inversível tal que B = P −1 AP . Sabendo que x1 e x2 são números inteiros. determine a equação algébrica do lugar geométrico descrito pelo ponto S ao se deslocar R sobre t. 7a Questão [Valor 1. x ∈ [− .0]: Considere as matrizes A = e B = 1 3 4 4 1 0 . Considere o sólido de revolução gerado a partir da rotação do segmento AA∗ em torno do eixo OO∗ . determine o valor da soma das áreas de todos os triângulos quando K → ∞. VESTIBULAR 2006/2007 I. y2 ) é construído tal que RAS Sabendo que o ponto R pertence à reta t de equação y = x + 1. são os comprimentos dos catetos do K-ésimo triângulo retângulo. ].I. y1 ) e S(x2 .0]: Sejam C e C ∗ dois círculos tangentes exteriores de raios r e r∗ e centros O e O∗ . de coordenadas A(1. Sendo n 0 12 um número natural. 0).0]: Considere uma sequência de triângulos retângulos cuja lei de formação é dada por 2 aK 3 4 = bK 5 aK+1 = bK+1 NS TR AT onde aK e bK . os valores de r e s que tornam esta sequência √ uma progressão aritmética.6. Determine.0]: Sejam a1 = 1−i.0]: Sejam a. Determine o valor numérico de . sabendo que r e s são números reais e i = −1. que c a b c 10a Questão [Valor 1. verificou-se que as mesmas se encontraram sobre o lado CD . Determine o número de sequências simétricas que podem ser formadas utilizando-se todas as m + n bolas. em função de n. f (2006) I. an = r+si e an+1 = (r−s)+(r+s)i (n > 1) termos de uma sequência. possui base média M N . ENUNCIADOS 8a Questão [Valor 1.1 Vestibular 2005/2006 MO I. calcule todas as raízes do polinômio.6 NS TR 2008 Prova de Matemática DE 1a Questão [Valor 1. onde N e R são. Obs: Uma sequência é dita simétrica quando ela possui a mesma ordem de cores ao ser percorrida da direita para a esquerda e da esquerda para a direita. 3a Questão [Valor 1.0]: Um trapézio ABCD.0]: Considere o polinômio p(x) = x5 − 3x4 − 3x3 + 27x2 − 44x + 30 Sabendo que o produto de duas de suas raízes complexas é igual a 3 − i e que as partes reais e imaginárias de todas as suas raízes complexas são inteiras e não-nulas. Sabendo b+c a+c a+b a+b = = . de base menor AB e base maior CD. Ao se traçar as retas AM e BN . na ordem M M N N . b e c números reais não nulos. Os pontos M e N dividem a base média em três segmentos iguais.0]: Considere o conjunto formado por m bolas pretas e n bolas brancas. respectivamente.28 PARTE I. 2a Questão [Valor 1. IV O 9a Questão [Valor 1. determine o valor numérico de . o conjunto dos números (n + 2) 1 naturais e o dos números reais.0]: Seja f : N → R uma função tal que n f (k) = k=0 AT (n + 1) . ... 0) e seja C uma circunferência de raio R tangente ao eixo das abscissas na origem. 2 −1 ⎦ ..0]: Seja Dn ⎡ 2 −1 0 0 ⎢ −1 2 −1 0 ⎢ ⎢ 0 −1 2 −1 An = ⎢ ⎢ . .0]: Os ângulos de um triângulo estão em progressão aritmética e um deles é solução da equação trigonométrica (sen x + cos x)(sen2 x − sen x cos x + cos2 x) = 1 MO Determine os valores destes ângulos (em radianos)..0]: Considere um tetraedro regular de arestas de comprimento a e uma esfera de raio R tangente a todas as arestas do tetraedro. 0 0 ⎥ ⎥ ... A reta r1 é tangente a C e contém o ponto A e a reta r2 também é tangente a C e contém o ponto B. 9a Questão [Valor 1.. NS TR AT 5a Questão [Valor 1. . 0 0 .. .. determine a equação do lugar geométrico descrito pelo ponto de interseção de r1 e r2 ao se variar R no intervalo (0. 0) e B(2. 8a Questão [Valor 1. −1 2 n×n IV O 4a Questão [Valor 1.. y)|x ∧ y ∈ Z} da equação (x + y)k = xy sabendo que k é um número primo. b) O volume da parte da esfera situada no interior do tetraedro. Sabendo que a origem não pertence às retas r1 e r2 . onde ⎤ . ..0]: Determine o conjunto solução S = {(x.. calcule: a) O volume total da esfera.. .0]: Considere os pontos A(−1.I. ⎥ ⎥ . VESTIBULAR 2005/2006 29 no ponto P . Calcule a área do trapézio M N CD em função da área de ABCD. . y. .0]: Determine os valores de x. z e r que satisfazem o sistema r = logy x Cr+y logy z = 4 + logx z y = logx z + logz z Cr+y p onde Cm representa a combinação de m elementos tomados p a p e logc B representa o logaritmo de B na base c. 6a Questão [Valor 1. ∞). 0 0 ⎥ ⎥ . = det(An ).... ... DE 7a Questão [Valor 1... n ≥ 1). ⎢ ⎣ 0 0 0 0 0 0 0 0 Determine Dn em função de n (n ∈ N.6. Em função de a.. . sabendo que [r] representa o maior inteiro menor ou igual ao número r. conforme ilustrado na figura.0]: Sejam as somas S0 e S1 definidas por S0 = Cn0 + Cn3 + Cn6 + Cn9 + . Calcule o número de senhas que deverão ser experimentadas pelo ladrão para que com certeza ele consiga entrar na casa. ENUNCIADOS 10a Questão [Valor 1.7 IV O Calcule os valores de S0 e S1 em função de n. Um ladrão observa de longe e percebe que: • A senha utilizada possui 4 dígitos. 2 demonstre que: f (x + y) + f (x − y) = 2f (x)f (y) DE MO 2a Questão [Valor 1. • O segundo e o terceito dígitos encontram-se na linha imediatamente superior. + Cn3[n/3] S1 = Cn1 + Cn4 + Cn7 + Cn10 + .0]: Dada a função f (x) = (156 x +156−x ) . .7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 Teclado numerico . + Cn3[(n−1)/3]+1 I. .1 Vestibular 2004/2005 AT I. • O primeiro e o último dígitos encontram-se numa mesma linha. n Obs: Utilize o desenvolvimento em binômio de Newton de (1 + cis 2π 3 ) . Prova de Matemática NS TR 1a Questão [Valor 1.30 PARTE I.0]: O sistema de segurança de uma casa utiliza um teclado numérico. . Parte II Soluções Propostas NS TR 1991 / 1992 1992 / 1993 1993 / 1994 1994 / 1995 1995 / 1996 1996 / 1997 1997 / 1998 1998 / 1999 1999 / 2000 2000 / 2001 2001 / 2002 2002 / 2003 2003 / 2004 2004 / 2005 2005 / 2006 MO DE Geometria X X X X X X X X X X X X X X X X IV O Álgebra X X X X X X X X X X X X X X X X AT 1975 / 1976 1976 / 1977 1977 / 1978 1978 / 1979 1979 / 1980 1980 / 1981 1981 / 1982 1982 / 1983 1983 / 1984 1984 / 1985 1985 / 1986 1986 / 1987 1987 / 1988 1988 / 1989 1989 / 1990 1990 / 1991 2006 / 2007 2007 / 2008 2008 / 2009 2009 / 2010 2010 / 2011 Matemática X X X X X X X X X X X X X X X Objetiva X X X X X Matemática X X X X X . AT NS TR MO DE IV O . 1.II. VESTIBULAR 2010/2011 287 II.25] (A) 6 S2 S3 B NS TR C AT S4 S1 Seja a notação indicada na figura acima. Logo. devemos ter 1 1 1 =√ ⇒ (1+x)2 = x2 ⇒ x = − 2 2 2 1+x 1+(1+x) . cos θ1 = (1 + x) sen θ1 ⇒ sen2 θ1 + (1 + x)2 sen2 θ1 = 1 1 ⇒ sen θ1 = 1 + (1 + x)2 e sen θ2 = x cos θ2 ⇒ x2 cos2 θ2 + cos2 θ2 = 1 1 ⇒ cos θ2 = √ 1 + x2 de modo que.1 Prova Objetiva A IV O 1a Questão [Valor: 0.25] (D) − 21 Sejam os ângulos θ1 e θ2 tais que cotg θ1 = (1 + x) e tg θ2 = x.AC πBC 2 πAC 2 + + − = 8 8 2 8 AB. Neste caso.1.1 Vestibular 2010/2011 II. pelo enunciado.AC = 2 = 6 cm2 DE 2a Questão [Valor 0. a área S desejada pode ser escrita como S = S1 + S2 MO = (S1 +S3 )+(S2 +S4 )+SΔABC −(S3 +S4 +SΔABC ) πAB 2 AB. . .. √ √ √ 1 S = 1 2 = 21 ⇒ 1 = 3S ⇒ h = 3S tg 30o = S 3 e então √ S S Sh = V = 3 3 4a Questão [Valor 0. . .288 PARTE II. SOLUÇÕES PROPOSTAS √ S S 3 x1 h x2 1 2 30o AT 60o IV O 3a Questão [Valor 0. . 3 = 3 − 2 e 2 = 2 − 1 . devemos determinar a altura h da pirâmide.25] (A) NS TR Para calcularmos o volume V desejado... . 0 0 0 ··· r ... Da figura acima. . tem-se h = x1 sen 30o ⇒ h = 1 tg 30o x1 cos 30o = 1 h = x2 sen 60o ⇒ h = 2 tg 60o x2 cos 60o = 2 DE MO de modo que √ √ 3 = 2 3 ⇒ 1 = 32 1 3 Com isto. . . . ..rn−1 Seja i a i-ésima linha da matriz de determinante desejado Δ. tem-se x1 x 1 x 1 · · · x 1 0 r r · · · r 0 r · · · r = x1 rn−1 Δ= 0 . .25] (E) x1 . Fazendo as transformações n = n − n−1 . II. VESTIBULAR 2010/2011 289 Logo. devemos ter 2 .1. 2 . y−1 y+1 + =2 x x AT ⇒ (y + 1)2 + (y − 1)2 = 2x2 ⇒ x2 − y 2 = 1 IV O 5a√Questão [Valor 0. a gurações favoráveis.11211222. 12121212. 11121222.4 probabilidade desejada é P = 14 8! 4! 4! = 1 14 = 70 5 .25] (D) 35 Tirando o logaritmo na base x da equação do enunciado. para um total de C4. 12112122. 12121122. 0) e retas diretrizes x = ± 22 A interseção das retas é a solução do sistema a1 = y+1 y = a1 x − 1 x ⇒ y = a2 x + 1 a2 = y−1 x que corresponde a uma hipérbole equilátera.11221212. 12112212.00 por ‘1’ e cada pessoa com R$ 2.11212212. tem-se logx 5 logx 5y = logx 7 logx 7y ⇒ logx 5 (logx 5 + logx y) = logx 7 (logx 7 + logx y) ⇒ log2x 5 + logx 5 logx y = log2x 7 + logx 7 logx y MO ⇒ (logx 5 − logx 7) logx y = log2x 7 − log2x 5 ⇒ logx y = −(logx 5 + logx 7) = − logx 35 = logx 1 35 DE 7a Questão [Valor 0. com centro na origem e diretrizes paralelas ao eixo y. é fácil listar todas as configurações favoráveis ao pipoqueiro (começando da condição mais amigável): 11112222. O que dá um total de 14 confi8 configurações possíveis.11221122. 11122122.25] (C) hipérbole de centro (0. NS TR 1 6a Questão [Valor 0. Logo.00 por ‘2’.11212122. 11122212.12111222.25] (B) 51 Representando cada pessoa com R$ 1. se . de modo que.25] (C) 0 2π O número w = ej 7 é uma das raízes da equação ciclotômica x6 +x5 +x4 + x3 +x2 +x+1 = 0. SOLUÇÕES PROPOSTAS 8a Questão [Valor 0.290 PARTE II. então. IV O w6 + w5 + w4 + w3 + w2 + w + 1 = 0 ⇒ .{x} denota a parte real de x. {w6 + w5 + w4 + w3 + w2 + w + 1} = 0 10π 8π 6π 4π 2π 12π +cos +cos +cos +cos +cos +1 = 0 ⇒ cos 7 7 7 7 7 7 4π 6π 6π 4π 2π 2π ⇒ cos +cos +cos +cos +cos +cos +1 = 0 7 7 7 7 . • Se A ⊆ B e B ∈ C. • x = −1 e y = 1 não satisfazem |x − y| √ ≤ |x + y|. de modo que A ⊆ B. {c}}. e observando que |a2 | = |a|2 . • Elevando ambos os lados (que são não negativos) ao quadrado. tem-se √ 2 |x2 | + |y 2 | MO ⇔ |x|2 + 2|x||y| + |y|2 ≤ 2|x2 | + 2|y 2 | ⇔ 0 ≤ |x|2 − 2|x||y| + |y|2 DE ⇔ 0 ≤ (|x| − |y|)2 que é sempre válida. . C = {{a. que é válida para todos x e y.25] (B) somente a alternativa I • Se A ∈ B e B ⊆ C. b}. não necessariamente A ∈ C nem A ⊆ C. de modo que A ∈ C. Um contra-exemplo para estas afirmações seria A = {a} e B = {a.25] (C) Todo x e y satisfaz |x| + |y| ≤ 2 |x2 | + |y 2 | √ 1 • x = y = 10 não satisfazem |x| + |y| ≤ 2 |x2 + y 2 |. |x| + |y| ≤ NS TR √ 9a Questão [Valor 0. 1 não satisfazem |x|+|y| ≤ 3|x2 + y 2 |.7 7 2π 4π 6π 1 ⇒ 2 cos + cos + cos + =0 7 7 7 2 AT De modo que a expressão do enunciado tem valor nulo. Se. de modo que B ∈ C. não temos A ∈ C nem A ⊆ C. então todo elemento de A está em C. b}. • x = y = 10 10a Questão [Valor 0. porém. • A relação |x+y| ≤ ||x| + |y|| é a “desigualdade triangular”. SOLUÇÕES PROPOSTAS 7a Questão [Valor 0. . Como os centros de cada face estão a 31 da altura total. então o lado do tetraedro interno é 13 do lado do tetraedro original.316 PARTE II. Assim.25] (C) 28 IV O NS TR AT O triângulo em destaque da figura acima é isósceles com base . = n 27 8a Questão [Valor 0. √ = 10 5 e Logo. 3 m 1 = ⇒ (m + n) = 28. ˆ cos A2 = 2 5 5 d d d1 = 2 sen A 2 = 20 ⇒ 1 2 = 400. ⎩ 25 50 ˆ = 50 A sen 2 Desta forma. ˆ 2 = 40 d2 = 2 cos A 2 . ˆ ˆ √ 5 sen A 2 = √ 5 .25] (D) 400 ˆ A d2 d1 90o − ˆ A 2 ˆ A 2 DE MO Das leis dos senos aplicadas ao triâgulos ABD e ACD. têm-se ⎧ = ⎨ ˆ = 25 ˆ 2 2 cos A sen 90o − A 2 2 ⇒ 2 + 2 = 1. MO A altura do triângulo equilátero ΔBCE é h = 23 . de forma que a altura √ √ = do triângulo equilátero ΔEA D é h = 1 − h = 2−2 3 .25] (B) 3 √ A base de cada pirâmide é um triângulo equilátero de lado = 22 e área √ √ √ 2 S = 4 3 = 83 . 3 Com isto. A α 2 E x AT E IV O B A NS TR D E C D √ √ 2 3−3 . a equação é dada por ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ (log3 x − log x) log 3x + (log x − log3 x) log 6x = 0 log x(log2 x − 1)(log 3x − log 6x) = 0 1 log x(log2 x − 1) log = 0 2 log x(log x − 1)(log x + 1) = 0 ⎧ ⎨ x=1 x = 10 ⎩ x = 0. a área da superfície do octaedro é S8 = 8S = 3. √ 3 a 3 Questão [Valor 0. Logo. e então A D = 2h 3 √ 3−1 4 DE A D x+1 x ⇒ x = = = A D 1 1 − A D de modo que √ 1 3− 3 α tg = 2 = 2 x+1 3 4a Questão [Valor 0.25] (C) 1 − 3 Seja a notação indicada na figura abaixo.1 . SOLUÇÕES PROPOSTAS √ 2a Questão [Valor 0.330 PARTE II.1 Como x > 0.25] (E) 11. 4.II. tem-se ⎧ ax + bz = −ax − cy ⎪ ⎪ ⎨ cx + dz = −az − cw ay + bw = −bx − dy ⎪ ⎪ ⎩ cy + dw = −bz − dw 2a ⎢ c ⎢ ⎣ b 0 c b 0 (a + d) (a + d) 0 c b ⎤⎡ 0 x ⎢ c ⎥ ⎥⎢ y b ⎦⎣ z 2d w ⎤ 0 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎥ ⎥=⎢ ⎦ ⎣ 0 ⎦ 0 ⎤ ⎡ IV O e então ⎡ NS TR AT Para haver solução não nula. VESTIBULAR 2007/2008 335 3a Questão [Valor 1.0]: Da relação CD = −DC. devemos ter que ⎧ ⎨ a = −d ou 4(a + d)2 (bc − ad) = 0 ⇒ ⎩ bc = ad . onde 0 (a + d) c 0 b D1 = 2a (a + d) c b 2d MO = 2a[2bc(a + d) − 2d(a + d)2 ] DE = 4a(a + d)[bc − d(a + d)] c (a + d) c 0 b D2 = −c b 0 b 2d = −c[b2 c − b2 c − 2bd(a + d)] = 2bcd(a + d) c 0 D3 = b b (a + d) 0 c c b 2d = b[2cd(a + d) + c2 b − c2 b] = 2bcd(a + d) Assim. devemos ter que 2a c b 0 c 0 (a + d) c =0 b (a + d) 0 b 0 c b 2d ou seja D1 + D2 + D3 = 0. têm-se 3+a=4+1+ IV O logy xy 3 = 4 + logx xy 3 ⇒ 3 ⇒ a a2 − 2a − 3 = (a + 1)(a − 3) = 0 ⇒ 1 ou x = y 3 y AT x= NS TR A opção xy = 1 inviabiliza a primeira equação do enunciado. pois y = 1 é base de logaritmo.7. usando a equação trigonométrica fundamental.0]: Desenvolvendo a equação do enunciado. x = y 3 e então z = y 6 . porém.II. .0]: Lembrando que Cr+y logy x = logx z+1 ⇒ logy z = 3+logy x ⇒ z = xy 3 logy z = 4+logx z Usando esta relação na segunda equação do enunciado. e definindo a = logy x. então 5a Questão [Valor 1. z = 64. é inviável. Logo. VESTIBULAR 2005/2006 351 y r = Cr+y . têm-se sen3 x + cos3 x = 1 ⇒ DE sen x(1 − cos2 x) = 1 − cos3 x ⇒ sen x(1 + cos x) = (1 + cos x + cos2 x) ⇒ sen x = 1 + cos x + cos2 x 1 + cos x Logo. de forma que ⎧ ⎨ r=1ey=2 (r + y)! y ou =3⇒ Cr+y = ⎩ r!y! r=2ey=1 A segunda opção. y = 2. MO x = 8. r = 1 6a Questão [Valor 1. Assim. 6 }. . 2 1 + cos x + cos2 x + cos2 x = 1 ⇒ 1 + cos x (2 cos4 x + 4 cos x + 3) cos2 x = 0 ⇒ √ −4 ∓ 16 − 24 cos x = 0 ou cos x = 4 Logo. 2π 6 . x = π 2 3π e os três ângulos são { π6 . têm-se a figura da direita.II. têm-se os dois outros subramos da hipérbole descrita acima.7. −∞) (1. têm-se ⎧ √ √ ⎨ h = a 3 a 6 2 2 2 ⇒h= h −r = √ ⎩ r = 1 h = a 3 3 3 6 Fazendo uma seção no tetraedro. e então R = 2r sen α = h−x a R 2 = x2 + r 2 de forma que (h − x)2 = x2 + r 2 ⇒ 3 2x2 + 2hx + 3r2 − h2 = 0 ⇒ √ 24x2 + 8ax 6 − 5a2 = 0 ⇒ √ √ √ a 6 −8a 6 ∓ 384a2 + 480a2 = (−2 ∓ 3) x= 48 12 . R . 0) IV O com 8a Questão [Valor 1. a h’ . ∞) (∞.0] NS TR h AT Para a outra circunferência C. VESTIBULAR 2005/2006 353 sln: Esta equação corresponde a dois sub-ramos da hipérbole de focos A e B e descrita por 1 y2 1 = (x − )2 − 2 8 4 ⎧ ⎧ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎨ √ − 2 R→ √ + ⇒ (x0 . y0 ) → ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎩ ∞ (0. r h R x d r MO 2r α DE Da figura à esquerda. 0) (−∞. por simetria em y. temos que 1 r(q+1) r2 (q+1) r2 (q+1) r(q+1) S = S1 1+ + 2 + + + q q (r+1) q 2 (r+1) q(r+q) (r+q) q + 1 r(q + 1) r(q + 1) = S1 + + q q2 q (q + 1)(q + r + qr) = S1 q2 S1 = AT e então Sq 2 (q + 1)(q + r + qr) NS TR 7a Questão [Valor 1. tem-se que ⎧ ⎨ M F 2 = y 2 + (c + xo )2 o ⎩ M F 2 = y 2 + (c − x )2 o o O M x F 2 2 ⇒ (M F − M F ) = 4cxo Como (M F + M F ) = 2a. yo ) e P ≡ (xo . SOLUÇÕES PROPOSTAS 358 Juntando os dois sistemas de equações acima. Sejam ainda M ≡ (xo . tem-se então que o M F = a + cxao (M F − M F ) = 2cx a ⇒ (M F + M F ) = 2a M F = a − cxao . como S = (S1 + S2 + S3 + S4 + S5 + S6 ). DE y P F Pela figura acima. têm-se ⎧ ⎨S1 r(q+1) = S5 (r+q) = S6 (r+q) q r q ⎩S1 r(q+1) = S3 q(r+1) = S4 q(r+1) q r IV O Logo.PARTE II. 0). 0) e F ≡ (c. yo ).0]: Seja O o centro da elipse de distância focal 2c descrita pela equação MO y2 x2 − 2 =1 2 a b de modo que os focos possuem coordenadas F ≡ (−c. 9.II. Logo.0]: A área da base Sb é a área de seis triângulos equiláteros de lado a. o volume total da pirâmide é 2√ . VESTIBULAR 2003/2004 367 3a Questão [Valor 1. Para determinarmos o volume V1 do tetraedro A BC B . onde V é o vértice da pirâmide. de onde se têm que √ ⎧ ⎧ a 3 ⎪ √ ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ 2 x= ⎪ ⎪ ⎪ 2 ⎨ Sb = xy = a 3 ⎨ ⎪ 2 16 ⎩ y=a ⇒ ⎪ ⎪ 4 ⎩ h = h ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ y =h 4 a h de modo que 2√ . Estas são facilmente determinadas a partir das figuras acima. respectivamente. Seja ainda B a interseção do plano com a aresta BV . precisamos determinar a área Sb de sua base A BC e a altura h do ponto B . √ 6 a43 h a2 h 3 Sb h = = VT = 3 3 2 IV O V a 2 C´ C B E A´ A NS TR B D AT B´ a 2 C C´ a 3 y x A´ A F DE MO Sejam A e C os pontos médios dos segmentos AB e BC. √ a 3 h 16 4 a2 h 3 Sb h = = V1 = 3 3 192 Assim. a razão desejada dos volumes é dada por √ a2 h 3 1 V1 V1 = = 2 √ 192 2 √ = V2 VT − V1 95 a h 3 a h 3 − 2 192 . entre 200 e 500.PARTE II. tais que a1 = 204 n = 50 r=6: ⇒ S = 17550 an = 498 6 a1 = 210 n = 21 r = 14 : ⇒ S = 7350 an = 490 14 a1 = 210 n=7 r = 42 : ⇒ S6. onde I no caso é a matriz identidade de ordem 3. SOLUÇÕES PROPOSTAS 380 II.0]: Dada uma progressão aritmética de primeiro termo a1 .1 Vestibular 2001/2002 Prova de Matemática AT IV O 1a Questão [Valor 1.14 = 17550+7350−2×2352 = 20196 DE 2a Questão [Valor 1. Verificando ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ cos(nα) −sen(nα) 0 cos(nα) sen(nα) 0 Δ1 Δ2 0 RRT =⎣ sen(nα) cos(nα) 0 ⎦⎣−sen(nα) cos(nα) 0⎦=⎣ Δ2 Δ1 0 ⎦ 0 0 1 0 0 1 0 0 1 e ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ cos(nα) sen(nα) 0 cos(nα) −sen(nα) 0 Δ1 RT R=⎣−sen(nα) cos(nα) 0⎦⎣ sen(nα) cos(nα) 0 ⎦=⎣ Δ2 0 0 0 1 0 0 1 com Δ1 e Δ2 definidos por Δ1 = (cos2 (nα) + sen2 (nα)) = 1 Δ2 = (sen(nα) cos (nα) − cos (nα) sen (nα)) = 0 Δ2 Δ1 0 ⎤ 0 0 ⎦ 1 . os múltiplos de 6.0]: Pelo enunciado. R é ortogonal se RRT = RT R = I.14 = 2352 an = 462 MO Assim. 14 e mmc [6. último termo an e razão r. 14] = 42. respectivamente.11.11 II. a soma desejada é igual a S = S6 +S14 −2S6. de 14 e de (6 e 14) perfazem progressões aritméticas de razões 6. o número n de termos e a soma Sr dos termos são respectivamente iguais a ⎧ an − a1 ⎪ ⎨ n= +1 r ⎪ ⎩ Sr = (a1 + an )n 2 NS TR Com isto. com BY = N Y . X Y α αα B . de catetos 22 . M o 90 α N Aplicando o teorema das bissetrizes no triângulo ΔXZY . temos que bissetriz de Z XY √ NY NZ NY + NZ a √ = 2−1 = = = XY XZ XY + XZ a(1 + 2) . é fácil ver que Y D ⊥ XB. SOLUÇÕES PROPOSTAS 386 10a Questão [Valor 1. de forma que os triângulos ΔBM Y e ΔN M Y são retângulos e similares. quatro retângulos R.PARTE II. de lado . a área do octógono é dada por √ 2 √ √ 2 21 2 2 2 + 4 = 22 (1 + 2) S8 = + 4 2 2 2 MO e o comprimento da diagonal BF é tal que √ √ 2 2 2 BF = EF + BE = 2 + 2 (1 + 2)2 = 22 (2 + 2) DE Seja ainda a figura abaixo onde M e N são as interseções de XB com Y C e de XB com Y Z. de lados e 22 . respectivamente. como visto na figura abaixo. onde XN é ˆ . √ e quatro triângulos retângulos isósceles T . Por uma análise dos valores dos ângulos. R IV O T 2 2 AT Q NS TR Com isto.0]: Um octógono regular de lado pode ser decom√ posto em um quadrado Q. SOLUÇÕES PROPOSTAS 398 A H F E θ1 θ2 h B a1 IV O G C a2 A´ logo e assim NS TR AT ⎧ 2 2 2 ⎪ ⎨ a = BG + CG − 2BG CG cos θ 2 2 b2 = BG + 4CG + 4BG CG cos θ ⎪ 2 2 ⎩ 2 c = 4BG + CG + 4BG CG cos θ b2 +c2 −5a2 18BG CG ⇒ sen θ = sen (θ1 + θ2 ) = DE Ainda da figura ⎧ a1 ⎪ ⎪ sen θ1 = BG ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ h ⎪ ⎪ ⎨ cos θ1 = BG a2 ⎪ ⎪ ⎪ sen θ2 = ⎪ ⎪ CG ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ cos θ2 = h CG MO b2 +c2 −5a2 = 18BG CG cos θ ⇒ cos θ = ah BG CG de modo que tg θ = 18ah 12S sen θ = 2 = 2 cos θ b + c2 − 5a2 b + c2 − 5a2 .PARTE II. (π + α). para que o sistema não tenha solução.0]: A expressão S do enunciado pode ser re-escrita como ⎞ ⎛ cos2 θ 1 + 2 2 (1 + cos θ)(1 − cos θ) ⎜ sen2 θ ⎟ S= ⎠ ⎝ 2 2 (1 + sen θ)(1 − sen θ) sen2 θ 1+ cos2 θ 2 2 (sen θ + cos θ) (1 + cos2 θ)sen2 θ sen2 θ = 2 (cos θ + sen2 θ) (1 + sen2 θ) cos2 θ cos2 θ 2 1 + cos θ = 1 + sen2 θ 2 = 3 Logo sen2 θ = 54 2 2 3 + 3 cos θ = 2 + 2 sen θ ⇒ cos2 θ = 15 MO de forma que seja √ 2 5 α = arc sen 5 então as soluções são θ ∈ {α. devemos ter 2 α − 16 = 0 ⇒ α = −4 α − 4 = 0 . (2π − α)} DE 5a Questão [Valor 1. VESTIBULAR 1998/1999 403 NS TR AT IV O 4a Questão [Valor 1. têm-se ⎧ ⎨x+2y−3z = 4 (ii) ← (ii) − 3(i) ⇒ −7y+14z = −10 (iii) ← (iii) − 4(i) ⎩ −7y+(α2 −2)z = α−14 Fazendo agora a modificação ⎧ ⎨ x+2y−3z = 4 (iii) ← (iii) − (ii) ⇒ −7y+14z = −10 ⎩ 2 (α −16)z = α−4 Assim.0]: Modificando as equações do sistema. (π − α).14.II. os pontos A estão sobre a esfera de centro O e raio 2a. tem-se x = ∓6. ao círculo de raio h. a área SP desejada é dada por x=6 6 2 x3 x dx = 36 − SP = [6 − (−6)] × 3 − = 24 36 x=−6 −6 12 O AT 8a Questão [Valor 1. de forma que DE V A2 + A O2 = V O2 = 4a2 Logo. Assim. Assim.PARTE II. determina-se o ponto B sobre r tal que OB = h.5] 2a V A NS TR 45o h g r 2a MO h B A a) O ponto A é tal que V A ⊥ A O. que determina o ponto A sobre o círculo-base da superfície cônica (C). c) Da figura acima. tendo um comprimento igual a 4a2 − h2 . de forma que 2 d1 = 242 sen2 α+(−12+3)2 1 ⇒ sen α = ⇒ α = 30o 2 2 2 d2 = (−12−3) 2 IV O b) Com α = 30o . tem-se que OA2 = h2 + 2 = h2 + (4a2 − h2 ) = 4a2 que é constante. √ que passa por B. SOLUÇÕES PROPOSTAS 652 Pela definição de parábola. a distância d1 de P ao foco F é igual à distância d2 de P à geratriz y = 3. Logo. A partir de B. a reta é uma tangente. b) Seja h a distância entre os planos π e ρ. . o lugar geométrico de A é a circunferência de diâmetro V O = 2a. Com isto. a equação de (P ) torna-se y = − x12 . marca-se o círculo de raio = √ 4a2 − h2 . Com y = −3 nesta equação. 5] V h P B x IV O O r A C V t r x O AT B v A g P P d d C NS TR d B B C A t MO a) Seja P o ponto de V A tal que BP ⊥ V A e CP ⊥ V A. Das figuras acima. do triângulo ΔBP C. o comprimento das tangentes t = AB = AC.35. têm-se √ 2r x2 − r2 BC . o comprimento v = V A e a distância d = BP = CP . tem-se rx 4r2 (x2 − r2 ) (h2 + r2 )(x2 − r2 ) ⇒h= √ =2 2 x (h2 + x2 ) x2 − 2r2 √ dado que x > r 2 . definem-se o comprimento da geratriz do cone g = V B = V C. VESTIBULAR 1977/1978 667 7a Questão [Valor 1. x 2 − r 2 √ dv = gt ⇒ d = h2 + x2 b) Com BP ⊥ CP . têm-se g = h 2 + r 2 . do item anterior. Assim.x = rt ⇒ BC = 2 x √ √ h2 + r 2 . tem-se BC 2 = BP 2 + CP 2 = 2d2 Logo.II. v = h2 + x 2 DE Dos triângulos retângulos ΔOBA e ΔV CA. t = x2 − r 2 . Por tudo isto. gerando p p = (n − 1) das r retas. As n sim. há 8n quadrados de lado 1/3n após n rodadas. Assim. resta limn→∞ 98 = 0 unidade de área. todos os pontos iniciais coincidem com n × j do total de i interseções.0]: a) A cada rodada. Assim. Logo. b) A cada rodada. indicando que toda a área inicial será removida no processo. após infinitas rodadas. a n 2 T = i−n×j r p = −n 2 2 NS TR AT IV O retas. Cada ponto inicial se conecta com os demais (n − 1) pontos. o número de quadrados conservados se multiplica por 8.0]: Os n pontos geram r = r tas geram i = interseções. porém. Estas r re9 Questão [Valor 1. Precisamos. cada ponto inicial coincide com j = 2 interseções.PARTE II. a área preservada é 98 da área na rodada anterior. SOLUÇÕES PROPOSTAS 674 8a Questão [Valor 1. o total T de interseções distintas dos pontos iniciais é p(p − 1) r(r − 1) −n 2 2 n n −1 2 2 n(n − 1)(n − 2) − = 2 2 n(n−1) 2 DE MO = n(n−1) 2 −1 n(n − 1)(n − 2) 2 2 n(n − 1)(n2 − n − 2) − 4n(n − 1)(n − 2) = 8 n(n − 1)(n2 − 5n + 6) = 8 n(n − 1)(n − 2)(n − 3) = 8 = − . determinar quantas 2 destas interseções coincidem com os pontos originais.

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