Matematica i - Mecanica

MAT. CESAR VALDI VI A G. Pág.1 I ngeneni er i a Mecani c a MATEMÁTI CA I GEOMETRÍA ANALÍTICA: ECUACIÓN DE LA RECTA Y CÓNICAS La necesidad de fijar la posición de cada punto mediante unos números a los cuales se les llamo coordenadas del punto, da origen al nacimiento de la geometría analítica, gracias a la obra de dos grandes hombres de ciencia: René Descartes y Pierre de Fermat , quienes dieron a la geometría euclidiana un tratamiento algebraico y sistemático. SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES Llamado también Sistema Cartesiano. Es la reunión de dos rectas dirigidas perpendiculares y donde cada recta representa al conjunto de los números reales. I II IV III cuadrante cuadrante cuadrante cuadrante ( ) , + - ( ) , + + ( ) , - + ( ) , - - X ' X Y ' Y DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS X Y ( ) 1 1 1 ; P x y ( ) 2 2 2 ; P x y 2 x 1 x 2 y 1 y d La distancia entre dos puntos ( ) 1 1 1 ; P x y y ( ) 2 2 2 ; P x y puede encontrarse usando la formula ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 d x x y y = ÷ + ÷ Taller aplicativo: Hallar la distancia entre los siguientes puntos y representarlos gráficamente: 1. A(2,3) y B(3,2) 2. C(-2,6) y D(4,8) 3. M(-7,-5) y N(3,3) 4. V(4,3) y K(4,-5) 5. K(2,3) y P(3,2) 6. L(6,3) y P(-3,5) 7. A(-5,-5) y B(3,3) 8. Y(-2,-3) y T(8,4) 9. A(1,3) y B(-1,-2) MAT. CESAR VALDI VI A G. Pág. 2 I ngeneni er i a Mecani c a MATEMÁTI CA I PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO DE RECTA Si el punto A es ( ) 1 1 ; x y y el punto B es ( ) 2 2 ; x y las coordenadas de( ) ; x y punto medio de M del segmento de recta AB puede calcularse mediante la siguiente formula 1 2 2 x x x + = 1 2 2 y y y + = ( ) , M x y X Y ( ) 1 1 ; A x y ( ) 2 2 ; B x y d d Taller aplicativo: Hallar el punto medio entre los siguientes puntos y representarlos gráficamente: 1. A(6,3) y B(7,9) 2. C(-2,6) y D(4,8) 3. M(-7,-11) y N(3,3) 4. V(4,13) y K(4,-5) 5. K(12,2) y P(6,12) 6. L(11,3) y P(-3,5) 7. H(-5,-5) y G(3,3) 8. Y(-2,-3) y T(8,5) 9. F(1,2) y E(-1,-2) DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA DETERMINADA ( ) 2 x x - X Y 1 x 2 x θ ( ) 2 y y - θθ ( ) 1 x x - ( ) 1 y y - A P B 2 y 1 y y x Consideremos los puntos ( ) 1 1 ; A x y y ( ) 2 2 ; B x y . Sea ( ) ; P x y un punto que divida al segmento AB de tal forma que AP r PB = , donde r es la razón . Entonces las coordenadas del punto P en función a los puntos dados es 1 2 1 2 ; 1 1 x rx y ry r r + + | | | + + \ . Taller aplicativo: calcular el punto entre los siguientes puntos y representarlos gráficamente: 1. A(6,3) y B(2,8) si la razón es 2/3 2. C(-2,6) y D(-4,5) si la razón es 4/5 3. M(-7,-11) y N(4,4) si la razón es 1/7 4. V(4,13) y K(4,-12) si la razón es 2/3 5. K(12,2) y P(6,12) si están en proporción de 5 a 8 6. L(11,3) y P(-3,8) si la razón es 8/3 7. H(-5,-5) y G(3,6) si están en proporción de 5 a 7 8. Y(-2,-4) y T(8,5) si la razón es 7/9 9. F(1,5) y E(-1,-2) si están en proporción de 2 a 5 MAT. CESAR VALDI VI A G. Pág. 3 I ngeneni er i a Mecani c a MATEMÁTI CA I PENDIENTE DE UNA RECTA Es la tangente del ángulo de inclinación formado por la recta y el eje '' '' x , se mide en sentido antihorario a partir del eje '' '' x 2 1 2 1 y y m tg x x u ÷ = = ÷ ( ) 2 1 x x - X Y ( ) 1 1 1 ; P x y ( ) 2 2 2 ; P x y θ ( ) 2 1 y y - θ Taller aplicativo: calcular en cada caso la pendiente y representarlos gráficamente: 1. A(-1,2) y B(2,6) 2. Si el ángulo mide 45º 3. C(-2,6) y D(-2,5) 4. Si el ángulo mide 30º 5. M(-4,-11) y N(4,4) 6. Si el ángulo mide 37º 7. V(4,13) y K(6,-12) 8. Si el ángulo mide 60º 9. K(2,2) y P(6,12) 10. Si el ángulo mide 53º 11. L(1,3) y P(-3,8) 12. Si el ángulo mide 18º 13. H(-5,-5) y G(-3,6) 14. Y(-2,-4) y T(8,5) 15. F(1,5) y E(-1,-2) RECTA PARALELAS Y PERPENDICULARES - Dos rectas son paralelas si su pendiente son iguales 1 2 1 2 // l l m m · = - Dos rectas son perpendiculares, si la pendiente de una de ellas es igual al reciproco de la pendiente de la otra pero con signo contrario 1 2 1 2 1 l l m m ± · = ÷ Taller aplicativo: Verificar en cada caso si las rectas son paralelas o perpendiculares: 1. La recta L1: A(-1,2) y B(3,6) y la recta L2 cuyo ángulo mide 45º. 2. La recta L1:C(1,6) y D(-1,5) y la recta L2 cuyo ángulo mide 30º 3. La recta L1: M(-4,-11) y N(4,4) y la recta L2 cuyo ángulo mide 37º 4. La recta L1: V( 2 ,0) y K(0,- 3 ) y la recta L2 cuyo ángulo mide 60º MAT. CESAR VALDI VI A G. Pág. 4 I ngeneni er i a Mecani c a MATEMÁTI CA I ÁREA DE LA REGIÓN DE UN POLIGONO EN FUNCIÓN DE SUS VÉRTICES Dado un polígono cuyos vértices son ( ) 1 1 1 ; P x y , ( ) 2 2 2 ; P x y , …….. , ( ) ; n n n P x y entonces su área se determina así productos 2 x 1 x 2 y 1 y 1 y 1 x productos Suma A Suma B 1 2 poligono A A B = ÷ Taller aplicativo: Calcular el área de la figura formada por los puntos y representarlos gráficamente: 1. A(6,3) ; B(7,9); F(-2,3) ; P(3,9); 2. C(-2,6) ;A(9,3) y D(4,8) 3. M(-2,-2) ;A(2,2) ; B(2,-2) N(-2,2) 4. V(1,0) ;A(0,-1) K(4,-5) 5. K(1,2) ;A(6,3) ; B(7,6); P(6,2) 6. A(1,3) ; B(1,9);L(11,3) ;P(-3,3) 7. H(-5,-5) ; T(2,3) ;A(4,3) ; B(7,9) G(3,-3) 8. A(-4,3) ;Y(-2,-3) ;T(-2,5) 9. P(-3,3) ;F(-1,2) y E(-1,4 ECUACIÓN DE LA RECTA ECUACIÓN DE LA RECTA CONOCIDOS UN PUNTO Y LA PENDIENTE Sea 2 1 2 1 y y m x x ÷ = ÷ la pendiente y ( ) 1 1 1 ; P x y un punto conocido entonces la ecuación de la recta tiene la forma ( ) 1 1 y y m x x ÷ = ÷ ECUACIÓN DE LA RECTA CONOCIENDO DOS PUNTOS DE ELLA Sean los puntos conocidos ( ) 1 1 1 ; P x y , ( ) 2 2 2 ; P x y entonces la ecuación de la recta tiene la forma ( ) 2 1 1 1 2 1 y y y y x x x x ÷ ÷ = ÷ ÷ ECUACIÓN DE LA RECTA CONOCIENDO SU PENDIENTE Y ORDENADA DE ORIGEN Sea ( ) 1 1 y y x x m ÷ = ÷ y ( ) 0;b un punto conocido entonces la ecuación de la recta tiene la forma y mx b = + ECUACIÓN DE LA RECTA CONOCIENDO SUS INTERSECCIONES CON LOS EJES X e Y Sean los puntos conocidos ( ) ; 0 a , ( ) 0;b entonces la ecuación de la recta tiene la forma 1 x y a b + = y su pendiente seria b m a ÷ = ECUACIÓN DE LA GENERAL DE LA RECTA Si ella se puede expresar de la forma siguiente 0 Ax By C + + = MAT. CESAR VALDI VI A G. Pág. 5 I ngeneni er i a Mecani c a MATEMÁTI CA I DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA La expresión para calcular la distancia '' '' d entre un punto ( ) 0 0 0 ; P x y y una recta de la ecuación 0 Ax By C + + = es 0 0 2 2 Ax By C d A B + + = + X Y ( ) 0 0 ; P x y Ejemplos explicativos: 1) Halla La ecuación de la recta que pasa por el punto N(1,5) y tiene pendiente 2. Sol. 2X-Y + 3 = 0 2) Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto P(-6,3)y que tiene ángulo inclinación de 45º Sol. X – Y + 3 = 0 3) Halla la ecuación de la recta cuya pendiente es -3 y su intersección con el eje Y es -2 . Sol. 3X + Y + 2 = 0 4) Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos R(4,2) y T(-5,7). Sol. 5X + 9Y -38 = 0 5) Una recta pasa por dos puntos C(-3 ,-1) y D( 2 ,-6) ; Halla su ecuación en la forma simétrica. Sol. 1 4 4 x y + = ÷ ÷ 6) Una recta pasa por el punto V(7,8) y es paralela a la recta que pasa por los puntos M(-2,2) y N(3,-4). Halla su ecuación. Sol. 6X + 5Y -82 = 0 7) Halla la ecuación de recta de pendiente -4 y que pasa por el punto de las rectas 2X +Y -8 = 0 y 3X -2Y +9 = 0 Sol. 4X + Y – 10 = 0 MAT. CESAR VALDI VI A G. Pág. 6 I ngeneni er i a Mecani c a MATEMÁTI CA I Trabajo grupal: 1) Halla la ecuación de la recta que pasa por punto de intersección de las rectas ; 3X +Y = 4 y X – 3Y = -17 , tiene pendiente 2/3. Sol. 4X – 6Y + 35 = 0 2) Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto A(3,3) y por el punto de intersección de las rectas 5X = 2Y + 11 y 3X +2Y +3 = 0 Sol. 3X – Y – 6 = 0 3) Halla el área del triángulo formado por los ejes coordenados y la recta cuya ecuación es 5X +4Y +20 = 0 . Sol. A = 10 u2 4) Halla la ecuación de la recta determinando los coeficientes de la forma general que pasa por el punto T(-2,4) y tiene una pendiente igual a -3. Sol. 3X + Y + 2 = 0 5) Halla la ecuación de la recta determinando los coeficientes de la forma general , si los puntos de intersección con los ejes son A(3,0) y B(0,-5), Sol. 5X – 3Y – 15 = 0 6) Halla la ecuación de la recta, determinando los coeficientes de la forma general que es perpendicular a la recta 3X-4Y +11 = 0 y pasa por el punto (-1,-3) Sol. 4X + 3Y + 10 = 0 7) Halla el valor de K para que la recta KX +(K- 1)Y -18 = 0 sea paralela a la recta 4X+3Y+7 = 0 . Sol. K = 4 8) La recta L pasa por las intersecciones de las rectas 2X-Y-2 = 0 y X + Y = 0 ademas por la intersección de las rectas 2X + Y + 1 = 0 y X - 4Y – 13 = 0. Halla la ecuación de la recta. Sol. 7X – 2Y – 13 = 0 9) Halla la ecuación de la recta que pasa por la intersección de las rectas , 12X + 6Y + 30 = 0 y 20X –15Y –25 = 0 y que es paralela a la recta 2X – Y = 6 Sol. 2X – Y -1 = 0 MAT. CESAR VALDI VI A G. Pág. 7 I ngeneni er i a Mecani c a MATEMÁTI CA I 10) Halla la ecuación de la recta que pasa por la intersección de las rectas , 9X + 7Y +4 = 0 y 11X – 13Y + 48 = 0 y que es perpendicular a la recta 3X + 2Y + 3 = 0 Sol. 2X – 3Y + 10 = 0 11) Halla la pendiente y la ordenada b en el origen de la recta 2Y + 3X = 7 Sol. m = -3/2 , b = 7/2. 12) Halla la ecuación de la mediatriz del segmento cuyos puntos extremos son : (7,4) y ( 1- ,-2). Sol. 4X + 3Y - 15 = 0 13) Halla las ecuaciones de las rectas paralelas a la recta 8X -15Y +34 = 0 que distan 3 unidades del punto. Sol. 8x-15y+112 =0 ,8x-15y +10 = 0 14) Halla el valor del parámetro K de forma que: a) 3KX + 5Y +K -2 = 0 pase por el punto (-1,4) Sol. K = 9 b) 4X- KY -7 = 0, tenga pendiente 3 Sol. K = 4/3 c) KX – Y= 3K -6 , tenga de abscisa en el origen 5. Sol. K = -3 15) Halla la ecuación de recta de pendiente -3/4 que formen con los ejes coordenados un triángulo cuya área sea 24 u2. Sol. 3X+4Y ± 24 = 0 MAT. CESAR VALDI VI A G. Pág. 8 I ngeneni er i a Mecani c a MATEMÁTI CA I CÓNICAS Se denomina conica o sección de conica al conjunto de puntos que forman la intersección de un plano con un cono de revolución de dos ramas. CIRCUNFERENCIA Es el lugar geométrico de todos los puntos contenidos en un mismo plano tal que cualquier punto de la circunferencia Equidista de un punto fijo llamado centro una distancia conocida como “RADIO”. Por definición: r PC d = Forma Centro: Centro: (h ; k) Radio: r 2 ) k y ( 2 ) h X ( r ÷ + ÷ = ¬ 2 ) h y ( 2 ) h X ( 2 r ÷ + ÷ = ¬ P(X,y) C(h,K) K h MAT. CESAR VALDI VI A G. Pág. 9 I ngeneni er i a Mecani c a MATEMÁTI CA I Ejem: I) 16 2 ) 1 y ( 2 ) 2 X ( : 1 C = ÷ + ÷ Centro: (2,1) Radio: 4 II) 4 2 ) 1 y ( 2 ) 3 X ( : 2 C = + + + Centro: (-3,-1) Radio: 2 MAT. CESAR VALDI VI A G. Pág. 10 I ngeneni er i a Mecani c a MATEMÁTI CA I III) 2 2 3 : 9 C x y + = Centro: (0,0)¬ Centro de Posición Radio: 3 Canónica Iv) 2 2 4 6 0 x y x y + ÷ ÷ = ¬ Centro: (2,3) 13 2 ) 3 y ( 2 ) 2 X ( = ÷ + ÷ Radio = 13 EJEMPLOS EXPLICATIVOS 1. Hallar el punto de intersección de las rectas: 1 2 L : 2x - y 3 0 L : x -3y 1 0 + = . + = 2. Hallar la pendiente de una recta que pasa por los puntos “A” y “B”: A (2n ; n + 1) ; B (4n ; 3n+ 1) 3. Hallar el valor de “K” para que la ecuación: 0 K y 10 X 8 2 y 2 X = + + ÷ + Represente una circunferencia de radio 4 4. El punto medio de una cuerda de la circunferencia: x 2 + y 2 – 8x + 12 = 0 es (5 ; -1) Hallar la ecuación de la recta que contiene a dicha cuerda. 5. Señale la ecuación de la recta que pasa por el punto (2 ; 1) y es paralelo a la recta 2X + 3y = 6. TRABAJO GRUPAL 1) Calcular la distancia del punto (3 ; 1) a la recta 2X + 3y – 6 = 0 2) Hallar la ecuación de la Circunferencia que es Tangente al eje “X” en (4 ; 0) y pasa por (7 ; 1): 3) ¿Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por (0 ; 2) y es tangente en el origen a la recta: 2X +y = 0? 4) ¿Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por (0 ; 2) y es tangente en el origen a la recta: 2X +y = 0? 5) Calcular la distancia del punto (1 ; -1) a la recta: 3X – y + 5 = 0 6) Si los puntos (-2 ;3) ; (1 , 6) y (4 ; n) pertenecen a una recta. Hallar “n”. 7) Dada la ecuación de la recta: L: (K + 2) X - 4y + 7 = 0 ,paralela al eje “X”. Calcular “K” 8) Halle la ecuación de la circunferencia concéntrica a aquella que pasa por (1;1) , (0 ; 0) y (-3 ; 5) y que además sea Tangente a la recta: X + y – 7 = 0 9) Sea: 1 2 L : 3x 4y 3 0 L :12x 16y 24 0 + + = . + + = , 1 2 L // L ; ¿Calcular la distancia entre dichas rectas? 10) Dadas las rectas: 1 2 L : 2x 5y 3 0 L :5x by 2 0 + ÷ = . ÷ + = . Si: 2 L // 1 L ; Calcular “b” 11) Si los vértices de un triángulo son A (1, 1); B (5 , -1); C (7 , 7); halle la ecuación de la recta que contiene a la mediana relativa al lado AC. MAT. CESAR VALDI VI A G. Pág. 11 I ngeneni er i a Mecani c a MATEMÁTI CA I 12) Halle la ecuación de la recta que pasando por A (3;2) sea perpendicular a: (L = 3X – 2y + 7 = 0). 13) ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia cuyo centro es C (-1; 2) y cuyo radio mide 3? PARÁBOLA Es el lugar geométrico de todos los puntos contenidos en un mismo plano tal que cualquier punto perteneciente a la parábola equidista de un punto fijo llamado foco y una recta fija conocida como recta directriz. X LD F y P(x,y) LF P P B A V “Grafica de la parabola” Elementos: LD: Recta directriz LF: Eje Focal V: Vértice VF = VLD = P F: Foco AB: Lado Recto = 4p Casos: a) y X F py 4 x 2 = b) F y V X py 4 X 2 ÷ = c) px 4 y 2 = d) px 4 y 2 ÷ = X y V F X y V F MAT. CESAR VALDI VI A G. Pág. 12 I ngeneni er i a Mecani c a MATEMÁTI CA I ELIPSE Es el lugar geométrico de todos los puntos contenidos en un mismo plano tal que las sumas de las distancias de cualquier punto de la elipse a 2 puntos fijos es constante e igual a “2a” ; los puntos fijos se denominan focos. (2a): Es constante. X B C C y F 1 B 2 P 2 1 1 F 2 a a V V b Q a = b + c 2 2 2 Donde: a) + = 1 2 pF pF d d 2a (Constante) b) | | 2 F ; 1 F cos Fo : 2 F ; 1 F ÷ c) Distancia focal = 2C d) | | 1 2 1 2 V ; V : Vertice V ; V eje mayor ÷ = e) Eje mayor = 2a d) 2 2b AB Lado Recto a = = e) Q = Centro f) | | 1 2 B ; B eje menor 2b = = Casos Generales de la Elipse: I) Elipse Horizontal: X B y F 1 B 2 2 1 1 F 2 a V V b C a 1 2 b 2 y 2 a 2 X = + Si el centro fuera (h ; k) Entonces: 1 2 b 2 ) k y ( 2 a ) h X ( = ÷ + ÷ Il) Elipse Vertical: x B y F 1 B 2 2 1 1 F 2 V V 1 2 a 2 y 2 b 2 X = + Cuando el centro fuera (h ; k) 1 2 a 2 ) k y ( 2 b ) h X ( = ÷ + ÷ Recuerda: Que cuando debajo de X 2 ó (x – h) 2 el # es mayor que el que esta debajo de y 2 ó (y – k) 2 entonces la Elipse es horizontal; si es mayor es vertical. MAT. CESAR VALDI VI A G. Pág. 13 I ngeneni er i a Mecani c a MATEMÁTI CA I Ejem: - 2 2 x y 1 Elipse Horizontal 9 4 + = ¬ . - 2 2 x y 1 Elipse Vertical 4 16 + = ¬ Además: a c e DAD EXCENTRICI = = MAT. CESAR VALDI VI A G. Pág. 14 I ngeneni er i a Mecani c a MATEMÁTI CA I EJEMPLOS EXPLICATIVOS 1) Una parábola tiene su foco en (7 ;2) y su directriz en la recta (X = 5).la parábola corta al eje “X” en un punto cuya abscisa es: 2) Halle la ecuación de la Parábola que tiene el vértice en (-2;1) y cuyos extremos del lado recto son (0;0) y (-4;0). 3) Dada la elipse: 36 y 4 X 9 2 2 = + . Se traza una recta Tangente a ella;; en el punto de abscisa -1. Calcular el área del triángulo que forma con los ejes Cartesianos; dicha recta Tangente. 4) Hallar la ecuación de la Parábola cuyo vértice es el origen ; es simétrica respecto al eje “y” y pasa por el punto (4 ;-8): 5) Se plantea hacer un arco parabólico; con eje vertical y cuyos puntos de apoyo están separados por una distancia de 30m. Si el foco de la parábola debe estar a 8m de altura. ¿Cuál es la altura que debe tener el arco?. TRABAJO GRUPAL 1) Hallar el valor de “K” de modo que las Coordenadas del foco de la parábola: 0 16 y 4 KX 4 y 2 = ÷ ÷ + ; sumen seis unidades. 2)¿Halle la excentricidad de una elipse; si su eje mayor se ve desde un extremo del eje menor; bajo el mismo ángulo con que se ve el eje menor desde uno de los focos? 3) Hallar el valor de “K” de modo que la recta: 2X -3y + K = 0 ; Sea Tangente a la parábola: 0 3 y 4 X 4 y 2 = ÷ + ÷ 4) Una parábola tiene su foco en (7; 2) y su directriz en la recta x = 5. La parábola corta al eje “x” en un punto cuya abscisa es: 5) Calcular el área del triángulo cuyos vértices son los puntos de intersección de la parábola: ) X 6 X y ( 2 ÷ = con las bisectrices de los cuadrantes. 6) Dada la elipse: 1 4 y 9 X 2 2 = + ; Su eje mayor mide: 7) Dada la elipse: 2 2 X y 2 2 3 + = ; Su eje menor mide 8) Dada la elipse: 2 2 X y 1 3 4 + = ; Su distancia focal es: 9) Dada la elipse: 1 25 y 9 X 2 2 = + ;Su excentricidad es: 10) Dada la elipse: | | . | \ | = + 1 2 y 3 X 2 2 ; Su eje focal es paralelo al eje: MAT. CESAR VALDI VI A G. Pág. 15 I ngeneni er i a Mecani c a MATEMÁTI CA I 11) Halle la ecuación de la parábola; si su directriz es L: y = X y su foco es F (3 ; 1): 12) El corte transversal de una copa; es una parábola; notándose que a 2 cm. del fondo de la copa; el ancho es de 8cm. ¿Cuál será el ancho de 4cm. del fondo de la copa? 13) Si una elipse está en posición canónica; su eje focal es paralelo al eje ”X”; y sus ejes mayor y menor miden: HIPÉRBOLA Es el lugar geométrico de todos los puntos contenidos en un mismo plano tal que el valor Absoluto de la diferencia de las distancias de un punto cualquiera de la hipérbola a 2 puntos fijos llamados focos es una constante e igual a 2a. A) | | ) transverso eje ( a 2 2 V ; 1 V = B) | | ) focal cia tan dis ( c 2 2 F ; 1 F = C) | | ) conjugado eje ( b 2 2 B ; 1 B = Caso I: 1 2 b 2 y 2 a 2 X = ÷ Fórmula General Caso II: 1 2 b 2 X 2 a 2 y = ÷ Fórmula General EJEMPLOS EXPLICATIVOS 1. Señale la ecuación de la hipérbola con focos ); 0 ; 2 ( F y ) 0 ; 2 ( F 2 1 ÷ sabiendo además que su eje transverso mide 2. 2. Señale la ecuación de la hipérbola concentro en C (3;1); un foco en F1(3;4) y el vértice correspondiente a dicho foco en V1(3;2) 3. Hallar la ecuación del lugar geométrico de todos los puntos cuya diferencia de distancias, en valor absoluto, a los puntos ); 3 ; 0 ( F y ) 3 ; 0 ( F 2 1 ÷ sea siempre igual a 4 (cuatro). 4. Dada la ecuación de la hipérbola: 2 2 9x 36x 4y 16y 0 ÷ + ÷ = . Hallar las coordenadas del centro. MAT. CESAR VALDI VI A G. Pág. 16 I ngeneni er i a Mecani c a MATEMÁTI CA I 5. Dada la ecuación de la hipérbola: 2 2 (x 3) (y 3) 1 25 16 + ÷ ÷ = Hallar las coordenadas del centro: 6. Del problema anterior, hallar las coordenadas de los focos. 7. Del problema 5, hallar las coordenadas de los vértices. 8. Del problema 5, hallar la excentricidad TRABAJO GRUPAL 1. Dada la ecuación de la hipérbola: 0 1444 y 144 y 36 x 200 x 25 2 2 = ÷ ÷ ÷ ÷ Hallar las coordenadas del centro. 2. Del problema anterior, hallar las coordenadas de los focos. 3. Del problema 9, hallar las coordenadas de los vértices. 4. Del problema 9, hallar la excentricidad de dicha hipérbola. * Hallar la ecuación de la hipérbola cuyos focos están situados en el eje de ordenadas y son simétricos respecto al origen de coordenadas. Sabiendo que: 5. Sus ejes transverso y conjugado miden 12 y 36 respectivamente 6. La distancia entre sus focos es 10 y la excentricidad es 5/3. 7. Su eje transverso mide 10 y su excentricidad es 13/5. 8. Hallar la excentricidad de la siguiente hipérbola: 0 12 y 2 x 4 y x 2 2 = + + + ÷ 9. Hallar la excentricidad de 2 2 x 2x y 3 0 ÷ ÷ + = 10. Hallar las asíntotas de la siguiente hipérbola: 1 4 y ) 2 x ( 2 2 = ÷ ÷ 11. Hallar la ecuación de la hipérbola concentro en (-3;1); un vértice en (1;-1)y el foco correspondiente en (2;-1) 12. Halle la excentricidad de una hipérbola equilátera. MAT. CESAR VALDI VI A G. Pág. 17 I ngeneni er i a Mecani c a MATEMÁTI CA I ALGEBRA LINEAL: MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MATRIZ: Una matriz es un arreglo rectangular de números reales ordenados en filas y columnas. | | | | | | | | \ . 11 12 13 1n 21 22 23 2n 31 32 33 3n m1 m2 m3 mn m×n a a a a a a a a a a a a A= a a a a Notación: Las matrices se denotan con letras mayúsculas, tal como A. B .C, D , ........... etc. En forma abreviada una matriz se denota por: ; 1, 2, 3,.......... 1, 2, 3,.......... ij mxn A a i m j n ( = = ¸ ¸ = Orden de una matriz El orden de una matriz está dado por el producto indicado m x n , donde “m” indica el número de filas y “n” el número de columnas. Ejemplos: 3 x 2 8 5 2 6 2 5 A ( ¸ ( ¸ = Es una matriz de orden 2x3 ; 3 x 3 1 5 4 0 1 8 6 4 4 B ( ( ( ¸ ( ¸ = Es una matriz de orden 3x3 Tipos de matrices - Matriz Rectangular. La matriz de orden m x n , con m n = ,recibe el nombre de matriz rectangular. Ejemplo: 3 x 2 8 0 2 1 3 1 A ( ¸ ( ¸ ÷ = F i l a s Columnas ........ MAT. CESAR VALDI VI A G. Pág. 18 I ngeneni er i a Mecani c a MATEMÁTI CA I - Matriz Fila . La matriz de orden 1x n , se denomina matriz fila o vector fila . Por ejemplo.: A = ( 2 1 5 6 ) , es una matriz fila de orden 1 x 4. - Matriz Columna. La matriz de m filas y una columna recibe el nombre de matriz columna de orden m x 1. Ejemplo. ( ( ( ( ( ¸ ( ¸ ÷ = 1 0 1 2 A es una matriz columna de orden 4 x 1 - Matriz Cuadrada. Una matriz es cuadrada si el número de filas es igual al número de columnas (m =n ) Ejemplo. 3 x 3 4 0 2 5 2 3 1 3 1 A ( ( ( ¸ ( ¸ ÷ ÷ = - Diagonal principal: Está formada por todos los elementos de igual subíndice de la matriz A. 4 a ; 2 a ; 1 a 33 22 11 = = = - Traza de una matriz: Se define como la suma de los elementos de la diagonal principal. Esto es : ( ) 11 22 33 1 n ii nn i traz A a a a a a = = = + + + + ¿ Traza ( A ) = 1 + 2 + 4 Propiedades de la traza Si A y B son matrices cuadradas del mismo orden y ì escalar entonces se tiene: - ) B ( Traz ) A ( Traz ) B A ( Traz + = + - ) B ( Traz ) A ( Traz ) B A ( Traz ÷ = ÷ - ) A ( Traz ) A ( Traz ì = ì - ) A B ( Traz ) AB ( Traz = MAT. CESAR VALDI VI A G. Pág. 19 I ngeneni er i a Mecani c a MATEMÁTI CA I MATRICES CUADRADAS ESPECIALES 1. Matriz Triangular Superior. Si los elementos ubicados por debajo de la diagonal principal son ceros, decimos que, A es una matriz triangular superior, esto es: 0 a j i = ; ¬ i j > A = ( ( ( ¸ ( ¸ 7 0 0 2 4 0 1 3 5 2. Matriz Triangular Inferior. Si los elementos ubicados sobre la diagonal principal son ceros, decimos que, A es una matriz triangular inferior, esto es: 0 a j i = ; ¬ i j < A = ( ( ( ¸ ( ¸ ÷ 1 7 1 0 5 2 0 0 3 3. Matriz Diagonal. Es aquella matriz cuadrada donde al menos un elemento de la diagonal principal no es cero y los demás son todos ceros , es decir : 0 ij a = . ¬ i j = M = | | | . | \ | 17 0 0 0 5 0 0 0 1 ; ( ¸ ( ¸ 0 0 0 2 4. Matriz Escalar. Es una matriz diagonal donde todos los elementos de la diagonal principal; son iguales a un número diferente de cero ; es decir : k a ij = , ¬ j i = ; k : escalar. | | | . | \ | = k 0 0 0 k 0 0 0 k R ; ( ¸ ( ¸ 2 0 0 2 5. Matriz Identidad. Es toda matriz escalar cuyos elementos de la diagonal principal es igual a 1. 3 I = ( ( ( ¸ ( ¸ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ; 2 I = ( ¸ ( ¸ 1 0 0 1 6. Matriz Nula: Es la matriz cuyos elementos son ceros, esto es: j , i 0 a j i ¬ = S = ( ( ( ¸ ( ¸ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 MAT. CESAR VALDI VI A G. Pág. 20 I ngeneni er i a Mecani c a MATEMÁTI CA I 7. Transpuesta de una Matriz ( T A ). Es la matriz que se obtiene, al intercambiar filas por columnas. Sea : Q = 3 x 2 2 4 3 3 5 8 | | . | \ | ¬ 2 x 3 T 2 3 4 5 3 8 Q | | | . | \ | = Propiedades: Sea A y B matrices conformables en la adición y multiplicación ,entonces se tiene. - T T T B A ) B A ( + = + - T T T B A ) B A ( ÷ = ÷ - A ) A ( T T = - T T KA ) A k ( = , k : escalar - T T T A B ) AB ( = - n T n I ) I ( = 8. Matriz Simétrica. Una matriz A es simétrica si y solo si es igual a su transpuesta t A A = A = | | | . | \ | 6 17 11 17 4 5 11 5 2 ¬ t A = | | | . | \ | 6 17 11 17 4 5 11 5 2 Luego A es simétrica 9. Matriz Antisimétrica. Una matriz A es Antisimétrica si y solo si t A A ÷ = Ejemplo: A = | | | . | \ | ÷ ÷ ÷ 0 16 9 16 0 4 9 4 0 ¬ t A = | | | . | \ | ÷ ÷ ÷ 0 16 9 16 0 4 9 4 0 Como t A A = ÷ , entonces A es una matriz antisimétrica Se dice que dos matrices A y B son iguales cuando son del mismo orden y sus elementos correspondientes son iguales Dadas las matrices 7 3 1 0 2 0 1 x y x y z x y x x + ÷ ÷ ( ( = ( ( ÷ ¸ ¸ ¸ ¸ se tiene que: 7 y x = + 3 y x = ÷ 1 z ÷ = , de donde se deduce que: x = 5 , y = 2 , z = -1 MAT. CESAR VALDI VI A G. Pág. 21 I ngeneni er i a Mecani c a MATEMÁTI CA I OPERACIONES CON MATRICES 1. ADICIÓN DE MATRICES: Sean las matrices ( ) ij mxn A a = ; ( ) ij mxn B b = Definimos a la matriz suma de A y B como : A + B = ( ) i j i j mxn a b + Dadas las matrices:A =, 3 x 2 2 4 3 3 5 8 | | . | \ | B = 3 x 2 0 4 6 2 5 1 | | . | \ | ¬ = + B A | | . | \ | + + + + + + 0 2 4 4 6 3 2 3 5 5 1 8 = 3 x 2 2 8 9 5 10 9 | | . | \ | Propiedades de la adición de matrices Dadas las matrices A, B y C, del mismo orden, entonces se cumple : - A + B = B + A Conmutativa - (A + B) + C = A + (B + C) Asociativa - A , A 0 0 A A ¬ + = + = Elemento Neutro - 0 ) A ( A , A = ÷ + ¬ Elemento inverso Aditivo . 2.DIFERENCIA DE MATRICES Dados dos matrices A y B del mismo orden m x n, la diferencia entre A y B Es otra matriz C del mismo orden tal que C = ( ) i j i j mxn a b ÷ Dadas las matrices 10 8 A 0 2 ( = ( ¸ ¸ , 11 5 B 12 2 ( = ( ÷ ¸ ¸ 10 11 8 5 1 3 A B 0 ( 12) 2 2 12 0 ÷ ÷ ÷ ( ( ÷ = = ( ( ÷ ÷ ÷ ¸ ¸ ¸ ¸ 3. MULTIPLICACIÓN DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ Dada una matriz A y un escalar ì, el producto deì por A se define por : . ( ) ij ij mxn mxn .A a ( a ) ì = ì = ì , Cada componente de “A”“se multiplica por el escalar ì . Si ì = 5 y A = ( ( ( ¸ ( ¸ ÷ 5 1 2 4 3 2 , Hallar ì A. ¬ 5 | | | . | \ | ÷ = | | | | . | \ | ÷ = | | | . | \ | ÷ 25 5 10 20 15 10 5 . 5 ) 1 . ( 5 2 . 5 4 . 5 3 . 5 2 . 5 5 1 2 4 3 2 MAT. CESAR VALDI VI A G. Pág. 22 I ngeneni er i a Mecani c a MATEMÁTI CA I Propiedades del producto de un escalar por una matriz Dadas las matrices A y B de orden m x n y escalares , K ì e , entonces tiene : - ( ) ) B A ( B A ì + ì = + ì Distributiva respecto a la adición de matrices - kA A A ) k ( + ì = + ì , Distributiva respecto a la suma de escalares - ) A ( k ) k ( A A ) k ( ì = ì = ì Asociativa escalar - 1.A = A Elemento Neutro MULTIPLICACIÓN DE MATRICES - Multiplicación de Matrices: Dadas la matrices ij mxp A (a ) = y ij pxn B (b ) = Definimos la matriz ij mxn A.B (c ) = . Donde el elemento i j c se calcula multiplicando la i-ésima fila de A por la j-ésima columna de B. ¿ = + = + + = n 1 p j p p i j p p i j 2 2 i j 1 1 i ij b a b a . . . . . b a b a c i = 1,2,3,4,......m, j = 1,2,3,,4,......n Ejemplo : Sean las matrices 3 x 2 1 0 1 3 2 1 A | | . | \ | ÷ = y = 2 x 3 2 1 1 2 0 1 B | | | . | \ | ÷ = ¬ A. B = 2 x 2 22 1 2 2 1 1 1 c c c c | | . | \ | Donde : 1 1 c = 1(1) + 2( 2) +3( -1) = 2 12 c = 1(0) + 2 ( 1) + 3 ( 2) = 8 1 2 c = -1( 1) + 0( 2) + 1(-1) = -2 22 c = -1( 0) + 0( 1) + 1( 2) = 2 Luego 2x2 2 8 A.B 2 2 | | = | ÷ \ . Nota: Para multiplicar dos matrices se debe tener en cuenta que el número de columnas de la primera matriz debe ser igual al número de filas de la segunda matriz. Multiplicación de una Matriz fila por una Matriz columna. A = ( ) n 3 2 1 a a a a  ; B = | | | | | | | . | \ | n 3 2 1 b b b b  Definimos : ) b a ....... b a b a b a ( B . A n n 3 3 2 2 1 1 + + + + = MAT. CESAR VALDI VI A G. Pág. 23 I ngeneni er i a Mecani c a MATEMÁTI CA I Ejemplo : Sean las matrices: 4 x 1 ) 2 1 0 1 ( A ÷ = y B = 1 x 4 6 0 2 1 | | | | | . | \ | ÷ luego 11 ) 6 ( 2 ) 0 ( ) 1 ( ) 2 ( 0 ) 1 ( 1 B . A ÷ = ÷ + ÷ + + = Propiedades de la multiplicación de matrices Si A , B y C son matrices conformables respecto de la suma y producto , entonces se tiene: - C ) B A ( ) C . B ( A = - C A B . A ) C B ( A + = + - C B AC C ) B A ( + = + - A B AB = - 0 B 0 A que implica no 0 B . A = v = = - A. A = 2 A - C B que implica no , C A AB = = - A . I = I A - A . A n = A 1+n y A m . A n = A m+n DETERMINANTE: El determinante de una matriz es la función que aplicada a una matriz cuadrada de orden “n” la transforma en un número real, esto es : R M : det n x n ÷ luego A A det A = ÷ DETERMINANTE DE UNA MATRIZ DE 2° ORDEN Sea | | . | \ | = 22 1 2 2 1 1 1 a a a a A ¬ 12 21 22 11 22 21 12 11 a . a a . a a a a a A ÷ = = Ejemplo : Si A = | | . | \ | ÷ ÷ 320 130 205 120 ¬ A = 120 ( - 320 ) - 130 (- 205 ) = - 11750 DETERMINANTE DE UNA MATRIZ DE 3° ORDEN Sea ( ) 3 x 3 ij a A = 3 x 3 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a A | | | . | \ | = Reglas prácticas para su cálculo MAT. CESAR VALDI VI A G. Pág. 24 I ngeneni er i a Mecani c a MATEMÁTI CA I - Regla de Sarrus | A | = 23 22 21 13 12 11 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a a a a a a a A = a 11 a 22 a 33 + a 21 a 32 a 13 + a 31 a 12 a 23 - a 31 a 22 a 13 – a 11 a 32 a 23 - a 21 a 12 a 33 Ejemplo : Sea A = | | | . | \ | ÷ ÷ 5 1 2 4 0 1 3 2 1 . A = 1 (0) (5) + 2 (4) (-2) +(-1)(1) ( 3) – ( -2 ) ( 0) ( 3)-( -1 ) ( 2) ( 5) - (1) (1) ( 4) = -13 - De la estrella A = * * * * * * * * * + * * * * * * * * * ( i ) ( ii ) i) El producto de sus valores salen con sus mismos signos ii) El producto de sus valores se le cambian de signos . El determinante resulta la suma de sus valores. - Regla de Laplace (Menores Complementarios) Para calcular el determinante de un matriz de orden 3 usando este método se procede de la siguiente manera: a) Se elige una fila o columna y se le antepone signos de acuerdo al siguiente esquema: + ÷ + ÷ + ÷ + ÷ + b) Se toma cada elemento de la fila o columna elegida y se multiplica por su menor complementario. c) El determinante es la suma algebraica de los resultados obtenidos en el paso b. MAT. CESAR VALDI VI A G. Pág. 25 I ngeneni er i a Mecani c a MATEMÁTI CA I Ejemplo: Calcular el determinante de ( ( ( ¸ ( ¸ = 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a A Solución: Eligiendo la primera fila, se tiene que: A = a 11 33 32 23 22 a a a a - a 12 33 31 23 21 a a a a + a 13 32 31 22 21 a a a a PROPIEDADES 1. Si se intercambian dos filas (ó columnas), entonces el determinante cambia de signo. 2. Si los elementos de dos filas (ó columnas), son proporcionales, entonces el determinante es cero. 3. Si todos los elementos de una fila (ó columna) son ceros, entonces el determinante es cero. 4. Si todos los elementos de una fila (o columna) se multiplican por un escalar k = 0, entonces el determinante queda multiplicado por el escalar. 5. Si a todos los elementos de una fila (o columna) se le suma el múltiplo de otra fila (o columna), entonces el determinante no altera. 6. EL determinante de una matriz triangular es el producto de los elementos de la diagonal principal. 7. A . B B . A B . A = = 8. A A t = 9. n n A A = 10. Sea A una matriz de orden n ; se cumple escalar ; A A n ì ì = ì Matriz singular Una matriz es singular si su determinante es cero Si su determinante es diferente de cero entonces es no Singular. Ejemplo : Sea la matriz 1 2 A 6 12 | | = | \ . , Calculando su determinante: A 12 12 0 = ÷ = Entonces A es singular . Ejemplo : Si 1 3 A 1 2 | | = | ÷ \ . , Como su determinante es: 5 3 2 A = + = Entonces A es no singular MAT. CESAR VALDI VI A G. Pág. 26 I ngeneni er i a Mecani c a MATEMÁTI CA I MATRIZ INVERSA Sea A una matriz cuadrada no singular, si existe una única matriz B cuadrada del mismo orden, tal que A. B =B .A = I . Entonces definimos a B como matriz inversa de A y lo denotamos por 1 A ÷ Teorema: Una matriz cuadrada posee inversa si y sólo si es no singular . 0 A A 1 = · - ÷ Teorema: Sea A una matriz invertible, entonces la matriz inversa está dada por : A ) A ( Adjunta A 1 = ÷ - Calculo de la matriz inversa de orden 2 Sea la matriz 11 12 21 22 a a A a a | | = | \ . ; A 0 = Adjunta ( A ) = | | . | \ | ÷ ÷ 11 1 2 2 1 22 a a a a ¬ A a a a a A 11 21 12 22 1 | | . | \ | ÷ ÷ = ÷ Ejemplo: Hallar la inversa de la matriz | | . | \ | ÷ ÷ = 9 3 10 5 A Solución. Ajunta (A) = | | . | \ | ÷ ÷ ÷ ÷ 5 ) 3 ( ) 10 ( 9 ., A = -15 ¬ 15 5 3 10 9 A 1 ÷ | | . | \ | ÷ ÷ = ÷ = 9 10 3 2 15 15 5 3 3 5 1 1 15 15 5 3 ÷ ÷ | | | | | | ÷ ÷ = | | | | ÷ ÷ | | ÷ ÷ \ . \ . | | | | . | \ | ÷ ÷ = ÷ 3 1 5 1 3 2 5 3 A 1 Propiedades de la inversa de una matriz Sean A y B matrices cuadradas no singulares y ì un escalar distinto de cero, entonces se tiene: - 1 1 A A ÷ ÷ = - 1 1 1 A . B ) B . A ( ÷ ÷ ÷ = - I A . A A . A 1 1 = = ÷ ÷ - 1 1 1 A . ) A . ( ÷ ÷ ÷ ì = ì - ( 1 A ÷ ) 1 ÷ = A - A matriz la de orden : n , A ) A ( Adj 1 n÷ = MAT. CESAR VALDI VI A G. Pág. 27 I ngeneni er i a Mecani c a MATEMÁTI CA I EJEMPLOS EXPLICATIVOS 1. Sumar: 11 13 22 a a a + + en 2 3 / 2 x ij ij A a K a i j ( = e = ÷ ¸ ¸ . 2. Si 2 1 5 2 2 5 , , 3 2 1 2 4 1 x y y x A B C y x ÷ ÷ ÷ ÷ ( ( ( = = = ( ( ( ÷ + ÷ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ y A=B, hallar A+C. 3. Dado 8 1 2 3 1 2 , , 3 4 1 2 4 3 A B C ÷ ÷ ( ( ( = = = ( ( ( ÷ ÷ ÷ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ , hallar ( ) ( ) 3 2 2 2 X A X B C A ( + = + ÷ + ¸ ¸ . 4. Calcular el producto 4 3 2 3 1 3 1 5 3 1 0 1 ÷ ( ( ( ( ( ( ÷ ÷ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ . 5. Para 1 1 2 1 ÷ ( = ( ¸ ¸ A , hallar 2 5 + A I TRABAJO GRUPAL 1. Sumar: 11 21 31 b b b + + en 3 3 / min( , ) x ij ij B b K b i j ( = e = ¸ ¸ . a) 2 b) 3 c) 7 d) -1 e) N.E. 2. Sumar: 11 21 24 c c c + + en 2 4 2 / x ij ij C c K c i j ( = e = + ¸ ¸ . a) 31 b) 21 c) 11 d) 12 e) N.E. 3. Si 2 2 / 2 ( 1) x i j ij ij A a K a ( = e = ÷ ÷ ¸ ¸ , 1 3 3 x y B x y ÷ ( = ( ÷ ¸ ¸ y A=B, hallar x e y. a) 3, 1 b) -2, 3 c) 1, -1 d) 1,-2 e) N.E. 4. Si 2 1 5 2 2 5 , , 3 2 1 2 4 1 x y y x A B C y x ÷ ÷ ÷ ÷ ( ( ( = = = ( ( ( ÷ + ÷ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ y A=B, hallar A+C. a) 5 3 9 1 ( ( ¸ ¸ b) 5 3 2 1 ( ( ÷ ¸ ¸ c) 5 3 3 1 ÷ ( ( ¸ ¸ d) 4 3 3 1 ( ( ¸ ¸ e) N.E. 5. Si 2 2 5 11 2 5 , , 3 2 1 9 8 7 A B C ÷ ÷ ( ( ( = = = ( ( ( ÷ ÷ ÷ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ , hallar 2 3 A B C ÷ + . a) 11 9 12 1 ( ( ¸ ¸ b) 14 9 25 5 ÷ ÷ ( ( ÷ ¸ ¸ c) 14 5 3 9 ÷ ( ( ¸ ¸ d) 14 9 5 1 ÷ ( ( ÷ ¸ ¸ e) N.E. MAT. CESAR VALDI VI A G. Pág. 28 I ngeneni er i a Mecani c a MATEMÁTI CA I 6. Si 1 2 2 9 1 3 , , 4 2 1 10 9 7 A B C ÷ ÷ ( ( ( = = = ( ( ( ÷ ÷ ÷ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ , hallar 5 3 2 A B C ÷ + . a) 3 31 3 6 ÷ ÷ ( ( ¸ ¸ b) 3 21 35 6 ÷ ÷ ( ( ¸ ¸ c) 3 31 35 6 ÷ ÷ ( ( ¸ ¸ d) 9 31 35 6 ÷ ( ( ¸ ¸ e) N.E. 7. Si 3 2 4 11 5 3 , , 8 0 2 11 2 13 A B C ÷ ( ( ( = = = ( ( ( ÷ ÷ ÷ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ , hallar 2 8 4 A B C + ÷ . a) 18 72 8 6 ( ( ÷ ÷ ¸ ¸ b) 18 72 9 36 ( ( ÷ ÷ ¸ ¸ c) 19 72 8 36 ( ( ÷ ÷ ¸ ¸ d) 18 72 8 36 ( ( ÷ ÷ ¸ ¸ e) N.E. 8. Si 2 2 4 2 3 2 , , 3 3 4 1 0 x y x y A B C x y ÷ + ÷ ( ( ( = = = ( ( ( ÷ ÷ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ y A=B, hallar A+3C. a) 2 2 1 4 ÷ ( ( ¸ ¸ b) 4 3 2 4 ÷ ( ( ¸ ¸ c) 7 0 0 4 ÷ ( ( ¸ ¸ d) 4 0 0 4 ( ( ¸ ¸ e) N.E. 10. Dado 8 1 2 3 1 2 , , 3 4 1 2 4 3 A B C ÷ ÷ ( ( ( = = = ( ( ( ÷ ÷ ÷ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ , hallar ( ) ( ) 3 2 2 2 X A X B C A ( + = + ÷ + ¸ ¸ . a) 0 7 2 9 ÷ ( ( ¸ ¸ b) 12 17 27 9 ÷ ÷ ( ( ¸ ¸ c) 12 17 27 8 ÷ ÷ ( ( ¸ ¸ d) 2 17 27 8 ÷ ( ( ¸ ¸ e) N.E. 11. Si 3 1 2 6 7 5 6 3 7 7 1 4 , 8 4 2 , 12 5 6 8 3 6 1 9 1 1 14 10 A B C ÷ ÷ ÷ ( ( ( ( ( ( = ÷ = ÷ = ÷ ( ( ( ( ( ( ÷ ÷ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ hallar X en ( ) 2 2 3 2( 2 ) X C X C A B X ÷ = ÷ ÷ + ÷ . a) 4 8 1 6 1 6 5 0 4 ÷ ( ( ÷ ( ( ¸ ¸ b) 4 7 1 6 1 6 5 1 4 ÷ ( ( ÷ ( ( ¸ ¸ c) 4 7 1 6 1 6 9 0 4 ÷ ( ( ÷ ( ( ¸ ¸ d) 4 7 1 2 1 6 5 0 4 ÷ ( ( ( ( ¸ ¸ e) N.E 12. Dado 3 5 2 7 11 1 , , 2 1 4 1 10 5 A B C ÷ ( ( ( = = = ( ( ( ÷ ÷ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ , hallar ( ) ( ) 2 2 3 2 2 X B A X B C ( ÷ = + ÷ + ¸ ¸ . a) 9 10 1 4 ÷ ( ( ÷ ¸ ¸ b) 9 10 7 4 ( ( ÷ ¸ ¸ c) 9 3 7 4 ÷ ( ( ÷ ¸ ¸ d) 9 10 7 4 ÷ ( ( ÷ ¸ ¸ e) N.E. 13. Dado 2 3 1 2 3 , 1 2 4 1 2 A B ÷ ( ( = = ( ( ¸ ¸ ¸ ¸ , hallar AB. a) 14 1 12 9 0 7 ÷ ( ( ¸ ¸ b) 4 1 12 9 0 7 ÷ ( ( ¸ ¸ c) 14 1 12 9 1 7 ÷ ( ( ÷ ¸ ¸ d) 9 1 12 3 9 7 ÷ ( ( ¸ ¸ e) N.E. MAT. CESAR VALDI VI A G. Pág. 29 I ngeneni er i a Mecani c a MATEMÁTI CA I 14. Dadas 6 5 2 1 3 , 1 2 3 2 2 A B ÷ ( ( = = ( ( ¸ ¸ ¸ ¸ hallar AB. a) 27 4 28 8 8 7 ( ( ¸ ¸ b) 11 1 12 9 1 7 ÷ ( ( ¸ ¸ c) 27 4 28 8 3 7 ( ( ¸ ¸ d) 17 4 28 8 2 7 ( ( ¸ ¸ e) N.E. 15. Dadas 1 3 3 9 4 1 5 4 3 , 6 12 , 2 1 1 1 0 0 15 A B C ÷ ÷ ( ( ÷ ( ( ( = = = ( ( ( ¸ ¸ ( ( ¸ ¸ ¸ ¸ hallar 1 2 3 A B C | | ÷ | \ . . a) 6 12 6 3 6 30 8 7 5 ÷ ( ( ÷ ( ( ÷ ¸ ¸ b) 6 1 6 24 6 30 2 7 5 ÷ ( ( ÷ ( ( ÷ ÷ ¸ ¸ c) 9 12 6 24 6 30 2 7 5 ÷ ( ( ÷ ( ( ÷ ÷ ¸ ¸ d) 6 12 6 28 4 32 2 7 5 ÷ ( ( ÷ ( ( ÷ ÷ ¸ ¸ e) N.E. 16. Dadas 1 3 4 8 2 1 4 1 2 , 2 2 , 1 1 1 1 0 0 10 A B C ÷ ÷ ( ( ÷ ( ( ( = = = ( ( ( ¸ ¸ ( ( ¸ ¸ ¸ ¸ hallar 1 2 2 A B C | | ÷ | \ . . a) 2 11 6 4 1 6 1 7 3 ÷ ( ( ( ( ÷ ÷ ¸ ¸ b) 2 14 6 4 1 6 1 7 3 ÷ ( ( ( ( ÷ ÷ ¸ ¸ c) 2 14 6 8 1 6 1 7 3 ÷ ( ( ( ( ÷ ÷ ¸ ¸ d) 2 14 6 4 1 6 1 9 3 ÷ ( ( ( ( ÷ ¸ ¸ e) N.E. 17. Calcular el producto 4 3 28 93 7 3 7 5 38 126 2 1 ÷ ( ( ( ( ( ( ÷ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ . a) 6 0 0 4 ÷ ( ( ¸ ¸ b) 2 0 2 4 ( ( ¸ ¸ c) 2 0 0 3 ( ( ¸ ¸ d) 2 8 0 4 ( ( ¸ ¸ e) N.E. 18. Calcular el producto 2 3 8 2 1 2 7 5 1 2 3 1 ÷ ( ( ( ( ( ( ÷ ÷ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ . a) 1 28 63 94 ÷ ( ( ÷ ÷ ¸ ¸ b) 7 28 63 94 ÷ ÷ ( ( ÷ ÷ ¸ ¸ c) 7 28 63 4 ÷ ÷ ( ( ÷ ÷ ¸ ¸ d) 9 28 63 94 ÷ ( ( ÷ ÷ ¸ ¸ e) N.E. 19. Hallar a, b, c y de en el producto 1 0 2 0 0 0 1 1 1 0 6 6 1 4 9 2 0 1 0 0 1 9 8 4 0 0 1 0 a b c d ( ( ( ( ( = ( ( ( ¸ ¸ ¸ ¸ ( ¸ ¸ . a) 1, 6, 0, -2 b) 1, -6, 1, -2 c) 1, 3, 0, -2 d) 1, -6, 9, -2 e) N.E. 20. Si 2 1 5 0 1 1 1 1 0 3 2 1 1 a b c ÷ ( ( ( ( ÷ = ( ( ( ÷ ÷ ¸ ¸ ¸ ¸ ( ¸ ¸ hallar el valor de a+b+c. a) -1 b) 1 c) 2 d) -2 e) N.E. MAT. CESAR VALDI VI A G. Pág. 30 I ngeneni er i a Mecani c a MATEMÁTI CA I SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Es un conjunto de ecuaciones de primer grado que deben verificarse para los mismos valores de las incógnitas. Métodos de Solución : 1.Por Reducción Consiste en buscar que la variable a eliminar, tenga el mismo coeficiente en el sistema para lo cual se multiplica cada ecuación por el coeficiente que tenga la otra. Sumando o restando las ecuaciones. Ejemplo : 2x + y = 16 ............ (α) 3x – 2y = 10 ............ (β) Solución: Multiplicando la ecuación (α) por 2, tenemos : 4x + 2y = 32 3x – 2y = 10 sumando 7x = 42 x = 6 ¬ y = 4 2. Por Sustitución Se despeja el valor de una variable en cualquiera de las ecuaciones del sistema, reemplazándolo luego en la otra ecuación, quedando así en función de una sola variable. Ejemplo : 4x – 2y = 4 ........... (α) x – y = -1 ........... (β) Solución: Despejando “x” en la ecuación (β) ¬ x = y – 1 ........... (Φ) (Φ) en (α) : 4(y – 1) – 2y = 4 4y – 4 – 2y = 4 y = 4 Reemp. el valor de y en (Φ) se obtiene: x = 3 3. Por Igualación o Comparación De las ecuaciones del sistema se despeja el valor de una misma variable las cuales se igualan, obteniéndose una ecuación con una incógnita. Ejemplo : 5x – 4y = 28 ............. (α) 2x + 3y = 48 ............. (β) MAT. CESAR VALDI VI A G. Pág. 31 I ngeneni er i a Mecani c a MATEMÁTI CA I Solución: Despejando “x” en ambas ecuaciones : de (α) x = 5 28 y 4 + de (β) x = 2 y 3 48 ÷ Igualando : 2 y 3 48 5 28 y 4 ÷ = + 8y + 56 = 240 – 25 y ¬ y = 8 ; x = 12 4. Método de los determinantes (CRAMER) Permite resolver un sistema de ecuaciones haciendo uso de los determinantes. Así se tiene que al resolver el sistema: p ny mx c by ax = + = + , se obtiene que: Determinante del sistema n m b a s = A b . m n . a b . p n . c n m b a n p b c s x x ÷ ÷ = = A A = b . m n . a c . m p . a n m b a p m c a s y y ÷ ÷ = = A A = Ejemplo: Resolver: 1 z y x z 2 y y 2 z x = + + = = + Solución: Ordenando 1 z y x 0 z 2 y 0 z y 2 x = + + = ÷ = + ÷ Calculamos el determinante del sistema: 6 1 1 1 2 1 0 1 2 1 s = ÷ ÷ = A Para calcular x A reemplazamos la primera columna por los términos independientes, esto es 3 1 1 1 2 1 0 1 2 0 x = ÷ ÷ = A Luego : 6 3 s x x = A A = , 2 1 x = ¬ MAT. CESAR VALDI VI A G. Pág. 32 I ngeneni er i a Mecani c a MATEMÁTI CA I De la misma manera obtenemos los valores de las demás variables 3 1 6 1 1 1 2 0 0 1 0 1 s y y = ÷ = A A = ; 6 1 6 1 1 1 0 1 0 0 2 1 s z z = ÷ = A A = Las soluciones del sistema son: x = 1/2; y = 1/3 ; z = 1/6 ANÁLISIS DE LAS SOLUCIONES DE UN SISTEMA DE ECUACIONES 1. Si 0 y 0 x 0 s = A = A = A El sistema será incompatible o absurdo, no tiene solución 2. Si 0 y x s = A = A = A El sistema será compatible indeterminado, tiene un número infinito de soluciones 3. Si 0 y ; 0 x ; 0 s = A = A = A El sistema será compatible determinado, tiene solución única. Ejemplo: Para que valor de “b” el sistema (1 2b)x 5y 7 (2 b)x 4y 8 + + = ¦ ´ + + = ¹ es incompatible Solución: Para que el sistema sea incompatible, el determinante del sistema debe ser igual a cero (AS = 0) 0 ) b 2 ( 5 ) b 2 1 ( 4 4 b 2 5 b 2 1 s = + ÷ + = + + = A ¬ 2 b = , Además 0 y 0 x = A . = A Con b = 2 el sistema es incompatible, es decir, no tiene solución. MAT. CESAR VALDI VI A G. Pág. 33 I ngeneni er i a Mecani c a MATEMÁTI CA I 5. Método de Gauss. El método de Gauss es otro de los métodos que se utiliza para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Consiste en sustituir el sistema por otro equivalente, llegando, después de sucesivas transformaciones, a un sistema escalonado, es decir, que tiene nulos todos los coeficientes debajo de la diagonal del sistema. Para conseguir esta transformación, podemos realizar tres operaciones fundamentales: 1ª Intercambio de ecuaciones (el primer coeficiente de la 1ª ecuación ha de ser distinto de cero y, a ser posible, que valga 1) 2ª Multiplicación de una ecuación por un número distinto de cero. 3º Sumar a una ecuación otra multiplicada por un número. EJEMPLOS EXPLICATIVOS I.- Consideremos el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas: ¦ ) ¦ ` ¹ = + ÷ = + ÷ ÷ = ÷ ÷ 16 3 5 4 4 3 2 1 2 z y x z y x z y x Escribiendo la matriz asociada y realizando transformaciones resulta: | | | . | \ | 16 3 1 - 5 4 4 3 - 2 1 - 2 - 1 - 1 ~ | | | . | \ | 21 13 4 0 6 8 1 - 0 1 2 - 1 - 1 ~ | | | . | \ | 45 45 0 0 6 8 1 - 0 1 - 2 - 1 - 1 Se ha obtenido un sistema escalonado, que es: ¦ ) ¦ ` ¹ = = + ÷ ÷ = ÷ ÷ 45 45 6 8 1 2 z z y z y x La 3ª ecuación es 45z = 45 y de ella resulta z = 1 La 2ª ecuación es – y + 8z = 6 por lo que – y +8.1 = 6, es decir, y =2 Finalmente la 1ª ecuación es x – y – 2z = -1 y teniendo en cuenta los valores de y y de z obtenidos sale x = 3. MAT. CESAR VALDI VI A G. Pág. 34 I ngeneni er i a Mecani c a MATEMÁTI CA I II.- Veamos ahora el caso de un sistema incompatible: ¦ ) ¦ ` ¹ = + ÷ = + ÷ = + ÷ 3 9 6 2 4 6 3 2 z y x z y x z y x A fin de tener un 1 en la parte superior izquierda de la matriz podemos intercambiar ecuaciones y resulta: | | | . | \ | 9 6 2 - 4 6 3 1 - 2 3 1 1 - 1 ~ | | | . | \ | 3 - 2 2 0 0 1 1 0 3 1 1 - 1 ~ | | | . | \ | 3 - 0 0 0 0 1 1 0 3 1 1 - 1 De la 3ª fila de la matriz resulta 0z = -3, es decir, 0 = -3 lo que es absurdo. Por tanto, el sistema no tiene solución. III.- Veamos finalmente un sistema con infinitas soluciones: ¦ ) ¦ ` ¹ = + ÷ = ÷ ÷ = + ÷ 10 2 2 3 6 2 4 3 z y x z y x z y x | | | . | \ | 10 2 2 - 3 6 1 - 1 - 2 4 3 1 - 1 ~ | | | . | \ | 2 - 7 - 1 0 2 - 7 - 1 0 4 3 1 - 1 ~ | | | . | \ | 0 0 0 0 2 - 7 - 1 0 4 3 1 - 1 Como el número de ecuaciones del sistema equivalente obtenido es menor que el número de incógnitas, se trata de un sistema compatible indeterminado. Para resolverlo escribimos la 2ª ecuación: y – 72z = -2 , es decir, y = -2 + 7z (valor de y). Sustituyendo dicho valor en la 1ª ecuación: x – (-2 +7z) +3z = 4, es decir, x = 2 + 4z. Haciendo z = λ, las soluciones del sistema son: R ; 7 2 4 2 e = + ÷ = + = ì ì ì ì z y x MAT. CESAR VALDI VI A G. Pág. 35 I ngeneni er i a Mecani c a MATEMÁTI CA I EJEMPLOS EXPLICATIVOS 1) Dado el siguiente sistema de ecuaciones: ¦ ¹ ¦ ´ ¦ = + ÷ = + ÷ = + + 11 2 5 2 2 6 z y x z y x z y x b) Calcula el determinante de la matriz. c) Sin resolver el sistema, razonar si tendrá solución única. 2) Un grupo de personas se reúne para ir de excursión, juntándose un total de 20 entre hombres, mujeres y niños. Contando hombres y mujeres juntos, su número resulta ser el triple del número de niños. Además, si hubiera acudido una mujer más, su número igualaría al de hombres. Averiguar cuántos hombres, mujeres y niños han ido de excursión. 3) Una ebanistería ha fabricado tres tipos de muebles: banquetas, sillas y mesas. Para la fabricación de estos muebles, necesitó utilizar determinadas unidades de maderas de pino, haya y castaño, tal y como se indica en la siguiente tabla: Pino Haya Castaño Banqueta 1 1 2 Silla 1 1 3 Mesa 1 2 5 La ebanistería tenía en existencia 400 unidades de madera de pino, 600 unidades de haya y 1500 unidades de castaño; si utilizó todas sus existencias, ¿cuántas banquetas, sillas y mesas fabricó? 4) Cierto estudiante obtuvo, en un control que constaba de 3 preguntas, una calificación de 8 puntos. En la segunda pregunta sacó dos puntos más que en la primera y un punto menos que en la tercera. Determinar la puntuación obtenida en cada una de las preguntas. 5) Dado el siguiente sistema de ecuaciones: x y z 5 x 2y 2z 4 2x y z 10 + ÷ = ¦ ¦ ÷ + = ´ ¦ ÷ + = ¹ a) Calcula el determinante de la matriz. MAT. CESAR VALDI VI A G. Pág. 36 I ngeneni er i a Mecani c a MATEMÁTI CA I TRABAJO GRUPAL 1. Un ama de casa adquirió en el mercado modelo ciertas cantidades de papas, manzanas y naranjas a un precio de 100, 120 y 150 soles/kg., respectivamente. El importe total de la compra fueron 1.160 soles. El peso total de la misma, 9 kg. Además, compró 1 kg. mas de naranjas que de manzanas. Determinar la cantidad comprada de cada producto. 2. En una confitería envasan los bombones en cajas de 250 gr., 500 gr. Y 1 kg. Cierto día se envasaron 60 cajas en total, habiendo 5 cajas más de tamaño pequeño (250 gr.) que de tamaño mediano (500 gr.). Sabiendo que el precio del kg. de bombones es 4.000 soles. y que el importe total de los bombones envasados asciende a 125.000 soles: Determinar cuántas cajas se han envasado de cada tipo. 3. Se considera el sistema: ¦ ¹ ¦ ´ ¦ = + ÷ ÷ = ÷ + = + ÷ 5 9 3 33 5 9 z y x z y x z y x 4. El precio de entrada al concierto de GIANMARCO 200 soles. para los niños, 500 para los adultos y 250 para los jubilados. En una jornada concreta,el concierto fue asistido por 200 personas en total, igualando el número de aistentes adultos al de niños y jubilados juntos. La recaudación de dicho día ascendió a 73.500 soles. Averiguar cuántos niños, adultos y jubilados asitieron al concierto ese día. 5. En un jardín hay 22 árboles entre naranjos, limoneros y membrillos. El doble del número de limoneros más el triple del número de membrillos, es igual al doble del número de naranjos. a) Plantea un sistema para determinar cuántos árboles de cada tipo hay. ¿Es posible resolverlo? b) Si, además, sabemos que el número de naranjos es el doble del de limoneros, ¿cuántos árboles hay de cada tipo? 6. Resuelve por el método de reducción: 4x y 3t 2 2x 2y t 3 3x 3y 2t 1 ÷ + = ¹ ¦ ÷ + = ` ¦ ÷ + = ) MAT. CESAR VALDI VI A G. Pág. 37 I ngeneni er i a Mecani c a MATEMÁTI CA I FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL Y MODELAMIENTO Al estudiar diversos fenómenos de la naturaleza y resolver problemas técnicos y por consiguiente matemáticos, surge la necesidad de examinar la variación de una magnitud en dependencia de la otra magnitud, es por ello que el concepto de función es una herramienta fundamental para poder describir muchos fenómenos del mundo real en términos matemáticos. Antes de pasar a definir una función, haremos una breve introducción FUNCIONES DEFINICIÓN (Función). Dados dos conjuntos no vacíos A y B y una relación B A f × c , entonces se dice que f es una función de A en B , si y solo si, para cada A x e , existe un único elemento B y e talque f y x e ) ; ( . O lo que es lo mismo: ) ( / ! , x f y B y A x = e - e ¬ Ejemplo: 1.-Sean { } 6 , 4 , 2 = A ; { } 9 , 7 , 5 , 2 = B Son relaciones de A en B: - ( ) ( ) ( ) { } B A R × c = 9 , 6 ; 7 , 2 ; 2 , 2 1 - ( ) ( ) ( ) { } B A R × c = 2 , 6 , 2 , 4 ; 2 , 2 2 - ( ) ( ) ( ) { } B A R × c = 2 ; 6 , 5 ; 4 ; 7 ; 2 3 Determinemos cuales de ellas son funciones, utilizando el método gráfico: A 1 R B A 2 R B A 3 R B .2 .2 .2 .2 2 .2 . .7 . 4 .4 .5 .6 .9 .6 .6 .7 Luego que tenemos las gráficas de las relaciones anteriores, analicemos cuales de ellas son funciones utilizando la definición. - La relación 1 R no es función, puesto que se observa que el elemento 2 del dominio, se relaciona con los elementos 2 y 7 del rango, lo cual contradice la definición. - La relación 2 R es función, ya que a cada elemento del dominio le corresponde un único elemento en el rango. - La relación 3 R es función, pues también cumple con la definición. MAT. CESAR VALDI VI A G. Pág. 38 I ngeneni er i a Mecani c a MATEMÁTI CA I FUNCION REAL DE VARIABLE REAL DEFINICIÓN. Una función real de variable real es una regla de correspondencia que asocia a cada número real x de un conjunto IR D c un único número real ) (x f llamado imagen de x bajo f . Una función se denota como: ) ( : x f x IR IR D f ÷ ÷ c OBSERVACIONES: Al número real x del dominio de la función se le llama variable independiente, mientras que a la imagen correspondiente ) (x f y = se le llama variable dependiente. Ejemplos: 1. 1 5 3 2 + ÷ = x x y 6. 4 12 ) ( 2 ÷ ÷ = x x x f 2. 15 4 + = x y 7. 7 5 2 2 3 ÷ + = x x y 3. 2 3 ÷ = x y 8. 5 ) ( 2 ÷ = x x f 4. ¹ ´ ¦ > ÷ < ÷ = 1 , 1 7 1 , 2 ) ( x x x x x f 9. ¹ ´ ¦ > s + = 5 , 5 , 1 ) ( 2 x x x x x f 5. 2 ) 3 ( ) ( ÷ = x x f 10. t = ) (x f DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCION: - El dominio de una función es el conjunto denotado por: { } definido bien está ) ( / x f IR x D f e = - Al conjunto formado por las imágenes ) (x f de las x del dominio se le llama rango de la función: { } f f D x x f y IR y R e = e = ), ( / ¿CÓMO OBTENER EL DOMINIO DE UNA FUNCIÓN? Dada la función IR IR D f f ÷ c : , recordemos que el dominio de una función son aquellos valores que toma la variable independiente, en este caso x , para los cuales la expresión ) (x f y = exista OBSERVACIONES: (1) Si ) (x f es un polinomio, el dominio de la función será todos los reales, es decir: IR D f = . (2) Si ) (x f es un cociente, éste no existe si el denominador se hace cero, por lo que se deben eliminar del dominio aquellos valores en donde esto sucede . (3) Si ) (x f es una raíz cuadrada, éste existirá, si y sólo si, el radicando es mayor o igual que cero. (4) Si ) (x f es un logaritmo natural, éste existirá, si su argumento es mayor que cero. (5) Si ) (x f es una función definida por partes, el dominio de la función será la unión de todos los subdominios. MAT. CESAR VALDI VI A G. Pág. 39 I ngeneni er i a Mecani c a MATEMÁTI CA I Ejemplos: Hallar el dominio de las siguientes funciones: 1. 2 6 + = x y 2. 1 14 8 2 ) ( 2 3 + ÷ ÷ = x x x x f 3. 4 5 ) ( 2 + + = x x x f 4. ¹ ´ ¦ > s + = 1 , 1 , 1 ) ( 3 x x x x x f 5. 5 8 3 ) ( ÷ ÷ = x x x f 6. 2 3 5 2 ) ( 2 + ÷ ÷ = x x x x f 8. ¹ ´ ¦ > + < ÷ = 3 , 3 1 , 2 ) ( x x x x x f 9. 4 ) ( ÷ = x x f ¿CÓMO OBTENER EL RANGO DE UNA FUNCIÓN? Para obtener el rango de la función, despejamos la variable independiente “ x ” en función de “ y ”, luego analizamos los valores que pueda tomar “ y ” de tal forma que “ x ” exista, o en su defecto tener en cuenta las observaciones anteriores utilizadas para hallar el dominio de una función. Ejemplos: Hallar el rango de las siguientes funciones: 1. 3 ) ( + = x x f 2. 1 ) ( 2 ÷ = x x f 3. 4 ) ( ÷ = x x f 4. 7 1 ) ( ÷ = x x f 5. 2 ) ( + = x x f 6. 1 ) ( + = x x x f 7. 1 2 2 ) ( 2 2 + + = x x x f 9. 1 2 ÷ = x y VALOR NUMERICO DE UNA FUNCION Para determinar el valor numérico de una función ) (x f y = remplazamos el valor de la variable independiente x en la regla de correspondencia. Ejemplo: I.- Calcular el valor numérico de las siguientes funciones, para los valores de x dados: 1. 8 4 5 ) ( 2 3 ÷ + ÷ = x x x x f , 1 ÷ = x 2. 1 2 ) ( + ÷ + = x x x f , 2 = x 3. x x sen x f cos 2 ) ( + = , 3 t = x 4. 8 5 ) ( 4 3 + ÷ + = x x e x f x , 0 = x 5. 7 ) ( = x f , 1 ÷ = x En este caso el valor 1 ÷ = x no existe como número real, por lo cual no se puede hallar su valor numérico. MAT. CESAR VALDI VI A G. Pág. 40 I ngeneni er i a Mecani c a MATEMÁTI CA I II.- Dada la función: x x x f 1 ) ( + = , determinamos los valores numéricos de: a. ) (h f c. ) 1 ( x f b. ) ( h x f + d. ) ( h x f ÷ PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LAS FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL (Criterio de la Recta Vertical) La función f es una función real de variable real, si y sólo si, toda recta vertical (paralela al eje “y”) corta a la gráfica de la función f a lo más en un punto. Ejemplos: y y x x y y De las seis figuras que se muestran, (a) y (b) no son funciones, mientras que (c), (d), (e), (f) si lo son. y x y x (a) (b) (c) (d) (e) (f) MAT. CESAR VALDI VI A G. Pág. 41 I ngeneni er i a Mecani c a MATEMÁTI CA I FUNCIONES ESPECIALES 1. Función Constante. Definida por: te cons c D x c x f x IR IR f f tan , , ) ( : = e ¬ = ÷ ÷ En este caso: IR D f = y } {c R f = Su gráfica es: y c c x f = ) ( x 2. Función Identidad. Definida por: R x x x f x IR IR f e ¬ = ÷ ÷ , ) ( : En este caso: IR D f = y IR R f = Su gráfica es: Y y=x X 3. Función Lineal. Definida por: constantes : , , , ) ( : b a IR x b ax x f x R R f e ¬ + = ÷ ÷ En este caso: IR D f = y IR R f = Su gráfica es: y y=f(x) x a b ÷ MAT. CESAR VALDI VI A G. Pág. 42 I ngeneni er i a Mecani c a MATEMÁTI CA I 4. Función Valor Absoluto. Definida por: IR x x x f x R R f e ¬ = ÷ ÷ , ) ( : donde ¹ ´ ¦ < ÷ > = 0 , 0 , x x x x x En este caso: IR D f = y | · + = = + , 0 IR R f Su gráfica es: Y x y = X 5. Función Raíz Cuadrada. Definida por: , ) ( : x x f x IR IR f = ÷ ÷ En este caso: | · + = = + , 0 IR D f y | · + = = + , 0 IR R f Su gráfica es: y x y = x 6. Función Máximo Entero. Definida por: | |, ) ( : x x f x IR IR f = ÷ ÷ donde | | 1 + < s · = n x n n x En este caso: IR D f = y Z R f = Su gráfica es: | | x y = Y x -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 X MAT. CESAR VALDI VI A G. Pág. 43 I ngeneni er i a Mecani c a MATEMÁTI CA I 7. Función Signo. Definida por: ), ( ) ( : x sig x f x IR IR f = ÷ ÷ donde ¦ ¹ ¦ ´ ¦ < ÷ = > = 0 , 1 0 , 0 0 , 1 ) ( x si x si x si x sig En este caso: | · + = = + , 0 IR D f y | · + = = + , 0 IR R f Su gráfica es: Y 1 º ) (x sig y = X º-1 8. Función Cuadrática. Definida por: , ) ( : 2 c bx ax x f x IR IR f + + = ÷ ÷ donde IR c b a e , , y 0 = a En este caso: IR D f = y ¸ · + ÷ = , 4 2 a b c R f , si 0 > a ó ( ¸ ( ÷ · ÷ = a b c R f 4 , 2 , si 0 < a Su gráfica es: y y k 0 > a 0 < a k h x h x donde a b c k a b h 4 , 2 2 ÷ = . ÷ = MAT. CESAR VALDI VI A G. Pág. 44 I ngeneni er i a Mecani c a MATEMÁTI CA I 9. Función Cúbica. Definida por: , ) ( : 3 x x f x IR IR f = ÷ ÷ En donde: IR D f = y IR R f = Su gráfica es: y 3 x y = x TECNICAS DE GRAFICACION Si tenemos una función ) (x f y = , cuya gráfica es conocida, en base a ésta podemos construir la gráfica de otra función en forma rápida y sencilla usando los siguientes criterios: 1 ero Si se tiene la gráfica de ) (x f y = , entonces la gráfica de la función k x f x F + = ) ( ) ( , se obtiene desplazando verticalmente la gráfica de ) (x f y = , en k unidades; hacia arriba si 0 > k ó hacia abajo si 0 < k . 0 , ) ( > + = k k x f y y f (x) = y f (x) k, k 0 = + < y x MAT. CESAR VALDI VI A G. Pág. 45 I ngeneni er i a Mecani c a MATEMÁTI CA I 2 do Si se tiene la gráfica de ) (x f y = , entonces la gráfica de la función ) ( ) ( h x f x F ÷ = , se obtiene desplazando horizontalmente la gráfica de ) (x f y = , en h unidades; hacia la derecha si 0 > h ó hacia la izquierda si 0 < h . TRABAJO GRUPAL: 1. 1 ) ( ÷ = x x f 2. 2 3x y = 3. ( ) 1 2 2 + ÷ = x y 4. 3 1 + + = x y 5. 2 1 ÷ + = x y 6. 1 ) ( ÷ = x x f 7 2 3x y = 8. ( ) 8 2 2 + + = x y 9. 3 1 + ÷ = x y 10. 2 1 ÷ ÷ = x y y f (x h), h 0 = ÷ > y f (x h), h 0 = ÷ < y f (x) = Y MAT. CESAR VALDI VI A G. Pág. 46 I ngeneni er i a Mecani c a MATEMÁTI CA I LÍMITES Y CONTINUIDAD LÍMITES El concepto de límite es un hecho fundamental en la matemática moderna y es la base sobre la que se sustentan otras ideas como la derivada. Durante el siglo XVII, los matemáticos dedicados al estudio de las derivadas e integrales se vieron obligados a trabajar con procesos infinitos que no entendían bien. Estos problemas tardarían dos siglos en ser resueltas. INTRODUCCION A LOS LÍMITES - Recordemos que dada una función y = f (x) , para cada valor de “x” existe su respectiva imagen f (x) llamada también “valor de la función f en x”. Veamos * Siendo: y = f(x) Para x = x 1 su imagen es f (x1) x = x 2 su imagen es f (x2) x = x 3 su imagen es f (x3) Gráficamente: ) x ( ) x ( ) x ( 1 2 3 f f f ) x ( f y = 3 2 1 x x x x y * Siendo: f (x) = x + 2 , x e |0 ; +·) Para x = 1 su imagen es f (1) = 3 x = 2 su imagen es f (2) = 4 x = 3 su imagen es f (3) = 5 Gráficamente x y ) 1 ( ) 2 ( ) 3 ( f 3 f 4 f 5 = = = 2 x f ) x ( + = 0 1 2 3 A continuación consideremos un valor particular del dominio, por ejemplo x = a (x = 2). Cogiendo otros valores distintos de “a” (distintos de 2), pero cercamos al el, intentaremos una aproximación a “a” (aproximación a 2): MAT. CESAR VALDI VI A G. Pág. 47 I ngeneni er i a Mecani c a MATEMÁTI CA I ) x ( f y = y ) x ( ' 1 f ) x ( ' 2 f ) x ( 1 f ) x ( 2 f a L x 1 x 2 x 2 x 1 x 3 Debemos observar que cuando x se va aproximando a “a” (tanto por la izquierda como por la derecha), las respectivas imágenes se van aproximando a “L” (tanto por abajo como por arriba). x y 2 x f ) x ( + = 0 1 1,5 2 2,5 3 5 4,5 4 3,5 3 En este caso observamos que cuando x se va aproximando a 2 (tanto por la izquierda como por la derecha), las respectivas imágenes se van aproximando a 4 (tanto por abajo como por arriba). Para una mayor comprobación, en el caso de f (x) = x + 2, intentemos la aproximación a x = 2, con valores mucho mas cercanos a el. 001 , 4 0001 , 4 00001 , 4 4 99999 , 3 9999 , 3 999 , 3 2 x f 001 , 2 0001 , 2 00001 , 2 2 99999 , 1 9999 , 1 999 , 1 x ) x ( + = Esto lo podemos resumir diciendo: Cuando x ÷ 2 (se lee: “x tiende a 2”) Se tiene que f (x) ÷ 4 (se lee: “f (x) tiende a 4”) Asimismo, se sintetiza con la siguiente notación: 4 f ) x ( 2 x lim = ÷ Se lee: “Límite de f (x) cuando x tiende a 2 es igual a 4” MAT. CESAR VALDI VI A G. Pág. 48 I ngeneni er i a Mecani c a MATEMÁTI CA I Ahora, veamos otro ejemplo para comprender mejor el concepto de límite. Consideremos una función real de variable real: 1 x ; 1 x 1 x f 2 ) x ( = ÷ ÷ = ¿Qué sucede si x toma valores muy cercanos a 1? Para ello, si multiplicamos la expresión inicial, obteniéndose en forma equivalente: f (x) = x + 1 ; x = 1 Dándole un enfoque geométrico: x y 2 x 1 ) x ( f (Valores por la izquierda) (Valores por la derecha) Se observa que a medida que x se acerca a 1, y asea por la izquierda o por la derecha, entonces f (x) se acerca a 2; es decir, si x tiende a 1, entonces f (x) tiende a 2. Para obtener el valor limite 2, se ha reemplazado en la expresión f (x) = x + 1, el valor de 1 para x, así. 1 x 1 x 2 1 ) 1 ( f ) 1 x ( l i m f l i m ) 1 ( ) x ( ÷ ÷ = + = = + = Simbolizando: 1 x 2 f l i m ) x ( ÷ = O en forma equivalente: 1 x 2 ) 1 x ( l i m ÷ = + IDEA DE LÍMITE Siendo y = f (x) una función, diremos que si x ÷ a implica f (x) ÷ L. Entonces: x y ) x ( f y = 0 a L NOTA: Debemos tener en cuanta que “a” no necesariamente pertenece al Dominio de f. a x L f l i m ) x ( ÷ = MAT. CESAR VALDI VI A G. Pág. 49 I ngeneni er i a Mecani c a MATEMÁTI CA I Ejemplo: f (x) = x 2 3 x f l i m ) x ( ÷ = 3 x 9 ) x ( l i m 2 ÷ = Toda aproximación de x a 3 conduce a que f(x) se aproxime a 9 Ejemplo 2: 3 x x 3 x g 2 3 ) x ( ÷ ÷ = , 3 x g l i m ) x ( ÷ = 3 x l i m ÷ 9 3 x x 3 x 2 3 = | | . | \ | ÷ ÷ Toda aproximación de x a 3 conduce a que g (x) se aproxime a 9. DEFINICION DE LÍMITE El número L se llama límite de la función real de una variable real f, en el punto X 0 (x 0 no pertenece necesariamente al dominio de f), si para cada c > 0, es posible hallar un valor positivo o (delta) que depende de c (épsilon), tal que: c < ÷ ¬ o < ÷ < . e ¬ | L f | | x x | 0 Domf x ) x ( 0 Se dice que L es el límite de f (x) , cuando x tiende a x 0 y se escribe como: L f l i m ) x ( x x 0 = ÷ Interpretación Geométrica: x y L + e L L - e ) x ( f f ) x ( 0 o + ) x ( 0 o ÷ 0 x x TEOREMA DE UNICIDAD DEL LÍMITE Sea una función real de una variable real y x 0 no pertenece a Domf. 2 1 2 ) x ( x x 1 ) x ( x x L L L f l i m L f l i m 0 0 = ¬ = . = ÷ ÷ x y 0 2 ) x ( x f = 9 3 x y 0 9 3 2 2 3 ) x ( x 3 x x x g = ÷ ÷ = MAT. CESAR VALDI VI A G. Pág. 50 I ngeneni er i a Mecani c a MATEMÁTI CA I LIMITES LATERALES:Consideremos la siguiente función: x y L2 L1 ) x ( f y = Podemos notar que: * Cuando nos aproximamos a “a” por la izquierda, el límite es L 1 . * Cuando nos aproximamos a “a” por la derecha, el límite es L 2 . Limite por la derecha Se dice que L es el límite lateral de f (x) cuando x tiende hacia “a” por la derecha y se denota por: ) a x ( 2 1 2 ) x ( a x ) x ( a x L L L f l i m f l i m > ÷ ÷ = ¬ = = + Geométricamente: x y ) x ( f L x a Ejemplo: Calcular: x | x | 0 x l i m + ÷ Solución: Si x ÷ 0 + ¬ x > 0 Como x > 0 ¬ |x| = x Reemplazando: 1 0 x 1 l i m x x 0 x l i m x | x | 0 x l i m + + + ÷ = ÷ = ÷ Limite por la izquierda Se dice que M es el límite lateral de f(x) cuando x tiende hacia “a” por la izquierda y se denota por: ) a x ( ) x ( a x ) x ( a x M f l i m f l i m < ÷ ÷ = = ÷ MAT. CESAR VALDI VI A G. Pág. 51 I ngeneni er i a Mecani c a MATEMÁTI CA I Geométricamente: x y ) x ( f M x a TEOREMA: El limite de f existe y es único, cuando x tiende al valor de a“, si y solo si existen los limites laterales y además son iguales: ) x ( a x ) x ( a x ) x ( a x f lim L f lim L f lim + ÷ ÷ ÷ ÷ = = · = Ejemplo: Calcular: x | x | 0 x l i m ÷ Solución: Ya vimos que: 1 x | x | 0 x l i m = ÷ + Además: 1 x | x | 0 x l i m ÷ = ÷ ÷ Es decir: = ÷ + x | x | 0 x l i m x | x | 0 x l i m ÷ ÷ ¬ - ÷ + x | x | 0 x l i m TEOREMAS SOBRE LÍMITES: Sean f y g funciones tales que: L f l i m ) x ( a x = ÷ y M g l i m ) x ( a x = ÷ Entonces: 1) C C l i m a x = ÷ , constante 2) | | cL f l i m C cf l i m ) x ( a x ) x ( a x = ( ¸ ( ¸ = ÷ ÷ 3) a x l i m a x = ÷ 4) | | M L g lim f lim g f lim ) x ( a x ) x ( a x ) x ( ) x ( a x ± = ± = ± ÷ ÷ ÷ 5) | | M L g lim f lim g f lim ) x ( a x ) x ( a x ) x ( ) x ( a x · = · = · ÷ ÷ ÷ 6) a x 0 M Si , M 1 g l i m 1 g 1 l i m ) x ( ) x ( a x ÷ = = = ÷ 7) 0 M Si , M L g l i m f l i m g f l i m ) x ( a x ) x ( a x ) x ( ) x ( a x = = = ÷ ÷ ÷ 8) | | n n ) x ( a x n ) x ( a x L f l i m f l i m = = ÷ ÷ 9) n n ) x ( a x n ) x ( a x L f l i m f l i m = = ÷ ÷ ; donde: L > 0 ÷ n e Z + L < 0 ÷ n es IMPAR x y 1 -1 x | x | f ) x ( = MAT. CESAR VALDI VI A G. Pág. 52 I ngeneni er i a Mecani c a MATEMÁTI CA I Ejemplo 1: Encuentre el valor de: 4 3 x x 2 l i m ÷ Solución: 4 3 x x 2 l i m ÷ = 4 3 x x 2 l i m 2 ÷ …. ……. (Por el Teorema 2) = 4 3 x ) x l i m ( 2 ÷ …. ……. (Por el Teorema 7) = 2(3) 4 ……………… (Por el Teorema 3) 4 3 x x 2 l i m ÷ = 162 Ejemplo 2:Encuentre el valor de: x 9 x l i m 2 4 x + ÷ Solución: x 9 x l i m 2 4 x + ÷ = 4 9 x l i m x l i m 9 x l i m 2 4 x 4 x 2 4 x + = + ÷ ÷ ÷ = 9 l i m x l i m 4 1 4 x 2 4 x ÷ ÷ + = 5 4 FORMAS DETERMINADAS E INDETERMINADAS - Formas Determinadas Cuando su calculo puede ser posible directa (reemplace directo) o indirectamente (mediante transformaciones); entre ellos tenemos, (consideremos: a = constante no nula) · = = · = · · = = · = = = - = · = ÷ · ÷ · ÷ ÷ · ÷ · ÷ ÷ ÷ y x l i m 0 y x l i m a a x l i m 0 a 0 x a l i m 0 a 0 0 a x l i m 0 a x a l i m 0 y x y 0 x x x 0 x 0 x - Formas Indeterminadas Se dice de aquellas expresiones que para un valor de su(s) variable(s) adoptan cualquier valor, o en todo caso no es posible hacer su cálculo. Entre las cuales tenemos: 0 0 ; 1 ; ; 0 ; ; 0 0 · · ÷ · · · · · Estudio de las formas indeterminadas de la forma: 0 0 Si la fracción: ) x ( ) x ( g f para x = a, toma la forma 0 0 , es preciso transformarla para “levantar la indeterminación”; es decir, simplificar al factor que hace indeterminada a la expresión. En este caso habría que encontrar el factor (x – a). - Para ello se utilizan criterios de factorización o racionalización, según se requiere el ocaso, para encontrar al factor (x – a) que es el que hace indeterminada la expresión. (no esta definida o no existe) También: MAT. CESAR VALDI VI A G. Pág. 53 I ngeneni er i a Mecani c a MATEMÁTI CA I - Seguidamente se simplifica el factor (x – a). - Se evalúa la expresión resultante para x = a. Si persiste la forma 0 0 , se repten los procedimientos anteriores hasta lograr una forma determinada. Ejemplo 1: Calcular L = | | . | \ | + ÷ ÷ 2 4 2 3 0 x x 8 x 3 x 2 x l i m Solución: Sustituyendo x por 0 se obtiene 0 0 0 0 0 0 = + ÷ ; y se tiene una indeterminación. Analizando la expresión podemos factorizar x 2 en el numerador y denominador. 8 x 3 2 x l i m ) 8 x 3 ( x ) 2 x ( x l i m L 2 0 x 2 2 2 0 x + ÷ = + ÷ ÷ = ÷ ÷ ; evaluando para x = 0 4 1 8 0 2 0 L ÷ = + ÷ = Ejemplo 2: Hallar 1 x 1 x l i m L 0 x ÷ ÷ = ÷ Solución: Sustituyendo x por 1 obtenemos ; 0 0 1 1 1 1 = ÷ ÷ y se tiene una indeterminación. Transformando el denominador: ; 1 x 1 l i m ) 1 x )( 1 x ( 1 x l i m L 1 x 1 x + = + ÷ ÷ = ÷ ÷ evaluando para x = 1 2 1 1 x 1 L = + EJEMPLOS TRABAJO GRUPAL 01) ) 6 x 5 ( l i m 2 x ÷ ÷ 02) | | . | \ | + ÷ ÷ 3 x 9 x l i m 2 3 x 03) ( ) 1 x x l i m 2 1 x + + ÷ ÷ 04) | | . | \ | ÷ ÷ ÷ 1 x 1 x l i m 3 1 x 05) | | . | \ | ÷ + ÷ ÷ 2 5 x x 25 5 x l i m 06) | | . | \ | ÷ ÷ ÷ ÷ 4 x 2 x x l i m 4 x 07) | | . | \ | ÷ ÷ ÷ 1 x 1 x l i m 4 3 1 x 01) | | . | \ | + ÷ + ÷ + ÷ ÷ x 4 5 1 x 2 3 x 2 l i m 1 x 02) | | . | \ | ÷ ÷ ÷ 1 x 1 x l i m 4 1 x 03) | | | . | \ | ÷ ÷ ÷ 1 x 1 x l i m 4 1 x 04) 1 x 1 x l i m 2 3 1 x ÷ ÷ ÷ 05) 1 x 1 x l i m 3 1 x ÷ ÷ ÷ 06) 1 x 2 1 x l i m 4 0 x ÷ + ÷ 07) 1 x 1 x l i m 3 0 x ÷ + ÷ 08) 12 x 7 x 3 x 2 x l i m 2 2 3 x + + ÷ + ÷ ÷ 09) 25 x 5 x l i m 25 x ÷ ÷ ÷ 10) 4 x 8 x l i m 2 3 2 x ÷ ÷ ÷ ÷ 11) 25 x 10 x 7 x l i m 2 2 1 x ÷ + ÷ ÷ ÷ 12) 2 2 2 2 a x a x a 2 ax x l i m ÷ + ÷ ÷ ÷ 13) 3 x 4 x 2 x 3 x l i m 3 3 a x + ÷ + ÷ ÷ ÷ MAT. CESAR VALDI VI A G. Pág. 54 I ngeneni er i a Mecani c a MATEMÁTI CA I CONTINUIDAD FUNCIÓN CONTINUA EN UN PUNTO Y EN UN INTERVALO La idea de función continua es, como ya sabemos, la de aquella cuya gráfica puede ser construida con un solo trazo. Al trabajar con la expresión analítica de la función, veremos que el concepto de límite es fundamental para el estudio de la continuidad, de tal modo que estableceremos un criterio, basado en el límite, para determinar cuando una función es o no continua. Ejemplo. Observa las gráficas de distintas funciones: Esta función tiene por expresión analítica: ¦ ¹ ¦ ´ ¦ > ÷ s s ÷ < = 5 11 2 5 0 4 0 4 ) ( x si x x si x x si x f Observa su trazo continuo en todo 9 Esta otra función tiene por expresión analítica: ¦ ¹ ¦ ´ ¦ > < + = 1 2 1 3 ) ( x si x x si x x f Observa su trazo continuo en su dominio ) , 3 [ +· ÷ = D En estos dos primeros casos las funciones dadas son ambas de trazo continuo, pero hay otros casos en los que las funciones tienen una gráfica que no puede ser dibujada con un único trazo. Veamos distintos casos: MAT. CESAR VALDI VI A G. Pág. 55 I ngeneni er i a Mecani c a MATEMÁTI CA I Esta función tiene por expresión analítica: ¦ ¹ ¦ ´ ¦ > + < s < = 3 2 3 0 2 0 ) ( 2 x si x x si x x si x x f Observa su trazo no continuo en el valor de x=3 En los demás puntos de su dominio su trazo es continuo Observa las gráficas de distintas funciones que no tienen un único trazo y por tanto no son continuas: Veamos pues ahora cual es la formalización matemática del concepto de continuidad. DEFINICIÓN: Diremos que una función de expresión analítica ) (x f y = es continua en un “punto” de su dominio a x = si se verifican estas condiciones: ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ = ÷ ÷ ) ( ) ( ) ) ( ) ) ( ) a f x f c x f Existe b a f Existe a lím lím a x a x Observación 1: la palabra existe de la condición a) quiere decir que el resultado sea un número real Observación 2: la condición c) basta para definir la continuidad en un punto de la función dada pues si esta condición c) se verifica, necesariamente se han de dar a) y b). Observación 3: cuando una función no es continua en un punto se dice discontinua MAT. CESAR VALDI VI A G. Pág. 56 I ngeneni er i a Mecani c a MATEMÁTI CA I Diremos que una función ) (x f y = es continua en un intervalo abierto ( ) b a, si es continua en todos y cada uno de los puntos de dicho intervalo. Diremos que una función ) (x f y = es continua por la derecha en un punto de su dominio a x = si se cumple ) ( ) ( a f x f lím a x = + ÷ Diremos que una función ) (x f y = es continua por la izquierda en un punto de su dominio a x = si se cumple ) ( ) ( a f x f lím a x = ÷ ÷ Diremos que una función ) (x f y = es continua en un intervalo cerrado | | b a, si: 1. ) (x f y = es continua en el intervalo abierto ( ) b a, 2. ) (x f y = es continua por la derecha en a x = 3. ) (x f y = es continua por la izquierda en b x = Es conveniente señalar aquí que todas las funciones definidas por expresiones analíticas elementales (lineales, cuadráticas, de proporcionalidad inversa, radicales, logarítmicas, exponenciales, trigonométricas) son todas continuas en los puntos en los que están definidas (o sea, en su dominio). PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS. Sean ) (x f y ) (x g dos funciones continuas en a x = se tiene entonces que: 1. ) ( ) ( x g x f ± es continua en a x = 2. ) ( ). ( x g x f es continua en a x = 3. ) ( ) ( x g x f es continua en a x = 4. ) ( ) ( x g x f es continua en a x = ( suponiendo 0 ) ( > a f ) 1. Evitable.- Cuando existe el ) (x f lím a x÷ pero no coincide con el valor de ) (a f ,por una de estas dos razones, son distintos los valores o no existe ) (a f Ejemplo.- (En este caso el punto es: 1 = a ) El valor de la función en el punto es: 4 ) 1 ( = f El valor del límite en ese punto es: x 1 f (x) 2 lím ÷ = MAT. CESAR VALDI VI A G. Pág. 57 I ngeneni er i a Mecani c a MATEMÁTI CA I En este caso son distintos los valores. (En este caso el punto es: 2 = a ) El valor de la función en el punto ) 2 ( f No existe El valor del límite en ese punto es 3 ) ( 2 = ÷ x f lím x En este caso no existe ) 2 ( f 2. De Salto.- Cuando existe el límite por la derecha y por la izquierda (siendo ambos finitos) pero no coinciden. Ejemplo.- 6 ) ( 3 = ÷ ÷ x f lím x y 5 ) ( 3 = + ÷ x f lím x En este caso los límites laterales no coinciden siendo ambos finitos. 1 6 5 ) ( ) ( = ÷ = ÷ = ÷ + ÷ ÷ x f x f Salto lím lím a x a x 3. Asintótica.-Alguno de los límites laterales(o ambos) no es finito. Ejemplo.- Para esta función los límites laterales en 1 = x son ambos no finitos, de hecho: +· = ÷ ÷ ) ( 1 x f lím x ÷· = + ÷ ) ( 1 x f lím x 4. Esencial.- Cuando no existe alguno (o ambos) de los límites laterales Ejemplo.- Observa la gráfica de la siguiente función: ¦ ¹ ¦ ´ ¦ > < | . | \ | = 0 ) sin( 0 1 sin ) ( x si x x si x x f ) ( 0 x f lím x ÷ ÷ No hay; 0 ) ( 0 = + ÷ x f lím x MAT. CESAR VALDI VI A G. Pág. 58 I ngeneni er i a Mecani c a MATEMÁTI CA I -2 -1 1 2 x y MAT. CESAR VALDI VI A G. Pág. 59 I ngeneni er i a Mecani c a MATEMÁTI CA I DERIVADAS DE FUNCIONES Interpretación Geométrica de la Derivada: Consideremos la curva ) ( : x f y C = y un punto fijo 0 0 ( , ) ( , ( )) P x y P a f a = de dicha curva, sea S L la recta secante que pasa por 0 0 ( , ) P x y y por ( , ) Q x y C e . La pendiente de la recta secante que pasa por los puntos 0 P y Q es: 0 0 0 0 0 ( ) ( ) tan , S f x f x y y mL x x x x x x o ÷ ÷ = = = = ÷ ÷ Si ( , ) Q x y se acerca a ) , ( 0 0 0 y x P resulta que x se acerca a 0 x , luego 0 x x h ÷ = se acerca a 0, con lo cuál se está haciendo uso del límite. Por lo tanto cuando ) , ( y x M se acerca a ) , ( 0 0 0 y x P la recta S L se transforma en T L , lo cual indica que el ángulo o tiende a convertirse en | y: ( ) ( ) tan f a h f a h o + ÷ = se convertirá en 0 ( ) ( ) tan lim '( ) h f a h f a f a h | ÷ + ÷ = = Luego la derivada de f en ) , ( 0 0 0 y x P es 0 '( ) '( ) f x f a = y representa la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto ) , ( 0 0 0 y x P . S L MAT. CESAR VALDI VI A G. Pág. 60 I ngeneni er i a Mecani c a MATEMÁTI CA I Definición: (Derivada de una Función) Sea R R f ÷ : , si f D a e , la derivada de f con respecto al punto “ a ” está definido por: h a f h a f a f h ) ( ) ( lim ) ( ' 0 ÷ + = ÷ Lo que es equivalente a: a x a f x f a f a x ÷ ÷ = ÷ ) ( ) ( lim ) ( ' Notación: dx dy y x f f D dx df x f x = = = = = ' ) ( ) ( '  Ejemplos explicativos: Usando la definición, hallar la derivada de las siguientes funciones: a) x x f 3 ) ( = b) 5 ) ( ÷ = x f c) x x f = ) ( Ejemplos para el aula: Hallar la derivada de: a) 2 ) ( x x f = b) b ax x f + = ) ( c) k x f = ) ( c) x x x f ÷ = 2 ) ( Derivadas Laterales Definición.- (Derivada por la Izquierda) Sea R R f ÷ : una función y f D a e , f es derivable por la izquierda, si existe el siguiente límite: h a f h a f a f h ) ( ) ( lim ) ( ' 0 ÷ + = ÷ ÷ ÷ ó a x a f x f a f a x ÷ ÷ = ÷ ÷ ÷ ) ( ) ( lim ) ( ' Definición.- (Derivada por la Derecha) Sea R R f ÷ : una función y f D a e , f es derivable por la derecha, si existe el siguiente límite: h a f h a f a f h ) ( ) ( lim ) ( ' 0 ÷ + = + ÷ + ó a x a f x f a f a x ÷ ÷ = + ÷ + ) ( ) ( lim ) ( ' Ejemplos explicativos: MAT. CESAR VALDI VI A G. Pág. 61 I ngeneni er i a Mecani c a MATEMÁTI CA I Calcular las derivadas laterales de la funciones en los puntos dados: 1) x x f = ) ( , en 0 = a 2) ¹ ´ ¦ < > = 0 , 1 0 , ) ( x x x x f , en 0 = a 3) ¹ ´ ¦ > ÷ s = 1 , 1 2 1 , ) ( 2 x x x x x f , en 1 = a 4) ¹ ´ ¦ < > = 0 , 1 0 , ) ( x x x x f , en 0 = a Ejemplos para el aula: Hallar la derivada de: 1) ¹ ´ ¦ > s = 0 , 0 , ) ( 2 x x x x x f , en 0 = a 2) ¹ ´ ¦ > ÷ s ÷ = 2 , 11 8 2 , 3 2 ) ( 2 x x x x x f , en 2 = a 3) ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ > ÷ < s ÷ ÷ < < ÷ ÷ + ÷ ÷ s ÷ ÷ ÷ = 5 , 8 5 3 8 6 3 3 , 8 12 6 3 , 134 6 ) ( 2 2 3 2 x x x x x x x x x x x x x f , en 5 , 3 , 3 = = ÷ = a a a REGLAS DE DERIVACIÓN 1. 0 ) ( = k dx d , k: constante 13.- tgx x x dx d . sec ) (sec = 2. 1 ) ( = x dx d 14.- ctgx x x dx d . csc ) (csc ÷ = 3. 1 ) ( ÷ = n n nx x dx d 15.- 2 1 1 ) ( x arcsenx dx d ÷ = 4. | | ) ( ) ( x f dx d k x kf dx d = 16.- 2 1 1 ) (arccos x x dx d ÷ ÷ = 5. | | ) ( ) ( ) ( ) ( x g dx d x f dx d x g x f dx d ± = ± 17.- 2 1 1 ) ( x arctgx dx d + = 6. | | ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). ( x g dx d x f x f dx d x g x g x f dx d + = 18.- 2 1 1 ) ( x arcctgx dx d + ÷ = 7. 2 )] ( [ ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( x g x g dx d x f x f dx d x g x g x f dx d ÷ = ( ¸ ( ¸ 19.- 1 1 ) sec ( 2 ÷ = x x arc dx d 8. x x e e dx d = ) ( 20.- 1 1 ) csc ( 2 ÷ ÷ = x x arc dx d 9. a a a dx d x x ln ) ( = 21.- x tgx dx d 2 sec ) ( = 10. x x dx d 1 ) (ln = 22.- x ctgx dx d 2 csc ) ( ÷ = 11. x senx dx d cos ) ( = 23.- senx x dx d ÷ = ) (cos MAT. CESAR VALDI VI A G. Pág. 62 I ngeneni er i a Mecani c a MATEMÁTI CA I Ejemplos explicativos: Utilizando las propiedades de las derivadas, hallar la derivada de: 1) 1 3 5 ) ( 3 4 5 + ÷ + = x x x x f 2) x x x f ÷ + = 2 3 ) ( , 3) 4 3 ) ( x x f = 4) ) 1 5 )( 3 ( ) ( 2 ÷ + + = x x x x f 5) x x x f + = 3 ) ( 6) x x x x x x f + + + + = 3 4 2 3 7 2 ) ( Ejemplos para el aula: Utilizando correctamente las reglas de derivación, derivar: 1) 3 5 ) ( 2 4 ÷ + = x x x f , 9.- x x xsenx x f cos ) 2 ( 2 ) ( 2 ÷ ÷ = 2) x x x x x f 4 5 2 3 cos 3 ) ( 2 3 + ÷ + = 10.- 2 2 6 ) ( b a b ax x f + + = 3) 2 2 1 1 ) ( x x x f + ÷ = 11.- 5 ln ) ( 3 2 2 + = x x x f 4) senx e x f x = ) ( 12.- 3 ln ) ( 3 3 x x x x f ÷ = 5) 2 ln ) ( 2 ÷ + = x x x f 13.- x x x x x f ln ln 2 1 ) ( ÷ + = 6) 3 2 3 2 1 ) ( x x x x f + + = 14.- 5 5 3 2 ) ( 2 + ÷ + = x x x x f 7) x x x x f tan 2 ) ( 5 2 ÷ + = 15.- x x x f 1 1 2 2 ) ( ÷ ÷ = 8) 1 ) ( 2 ÷ ÷ = x x senx x f DERIVADA DE LA FUNCIÓN COMPUESTA (Regla de la Cadena) Sea: R A f ÷ : y R B g ÷ : dos funciones, tal que B R f c ; si f es derivable en f D x e y g es derivable en g D x f y e = ) ( , entonces f g  es derivable en x , y además: ) ( ' )). ( ( ' ) ( )' ( x f x f g x f g =  MAT. CESAR VALDI VI A G. Pág. 63 MATEMÁTI CA I I ngeneni er i a Mecani c a Ejemplos explicativos: Usando la definición, hallar la derivada de las siguientes funciones: 1) 6 2 ) 2 5 ( ) ( ÷ = x x f 6) ) 1 3 cos( ) ( ÷ = x x f 2) 20 1 8 5 ) ( | . | \ | ÷ + = x x x f 7) ) 3 5 9 7 ( ) ( 2 3 + ÷ ÷ = x x x sen x f 3) 6 3 8 ) ( 2 3 + ÷ + = x x x x f 8) ) 10 ln( ) ( + = senx x f 4) x x e y + = 2 9) ) 1 2 ( ) ( 2 ÷ = x sen x f 5) 2 2 4 ) ( x x x f ÷ = 10) 2 5 ) ln( ) 2 3 ( ) ( 2 2 2 ÷ + + ÷ + = x x x x x sen x f Ejemplos para el aula:Hallar la derivada de: 1) ) 3 cos( ) ( 2 1 3 ÷ + = ÷ x e x f x 11) ) cos tan( ) ( x senx x f + = 2) 2 2 x a x y ÷ = 12) ) ( ) ( 2 x e x sen x f + = 3) ) 2 5 ( 2 ) ( + ÷ = x x e x f 13) 1 8 ) 8 4 3 ( 2 ÷ + + = x x x y 4) 2 3 cos 3 x x x senx y ÷ + = 14) ) 2 ( + = x arcsen y 5) 2 2 3 ) 6 ( 12 5 ) ( + + = x x x f 15) ) 1 ( 2 3 ÷ = x e y x 6) ) 1 ln( 2 ÷ + = x x y 16) senx senx y ÷ + = 1 1 ln 7) ) ln(ln ln 2 x x y ÷ = 17) )) 2 (cos( x sen sen y = 8) )) arctan(ln( b ax y + = 18) 3 2 2 2 cos ) 2 ( xsenx x x y + ÷ = 9) x x x x y 4 2 3 tan tan 6 1 tan tan + ÷ ÷ = 19) 9 5 3 2 2 ) ln cos( + ÷ + ÷ = x x e x senx y 10) )) 3 8 (cos( 2 5 + ÷ = x x sen y 20) ) cos( ) (cos 2 2 x sen x sen y = DERIVADA DE FUNCIONES IMPLICITAS Definición (Función Implícita): Cuando una función se escribe en la forma 0 ) , ( = y x f , se dice que y es una función implícita de x . Ejemplos:,,1) 0 1= ÷ + +y x e xy 2) 5 ln 2 2 = + + y x y 3) x seny y xy x = + ÷ + 6 2 Para derivar este tipo de funciones, derivamos la ecuación dada cos respecto a x , teniendo en cuenta que y es una función de x , luego despejamos ' y . Ejemplos explicativos:Calcular la derivada de las siguientes funciones implícitas: 5) 0 1 3 2 = + ÷ + + y x y xy 6) x y seny = + 7) 0 cos 1 2 = + ÷ + y xy e x 8) xy y x 8 3 3 = + 9) 0 ) tan( 2 2 2 2 = + + + y x e e y x MAT. CESAR VALDI VI A G. Pág. 64 MATEMÁTI CA I I ngeneni er i a Mecani c a Ejemplos para el aula:Hallar la derivada de: 1) 0 1 2 2 = ÷ ÷ + y x xy 6) k y x y = + ln 2) 0 2 = + + x e yx x 7) y x y x y + ÷ = 3 3) 0 2 cos cos = + ÷ y y xseny 8) 0 ) cos( = ÷ ÷ y x ysenx 4) 0 1 3 2 cos 3 2 = + ÷ ÷ + y x x y seny x 9) 2 2 4 4 y x y x = + 5) y x e y + = 10) 6 4 2 2 2 4 2 2 4 = + ÷ y x y x y x DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR Hallar derivadas de orden superior, consiste en hallar no solo ' y , sino además v y y y ' , ' ' ' , ' ' , etc. Ejemplos explicativos: Hallar las siguientes derivadas: 1) 1 3 4 2 ) ( 3 4 5 + ÷ + = x x x x f , hallar y’’’ 2) x x x x x y + + + + = 3 4 2 3 7 2 , hallar y’’ 3) , 1 2 ÷ = x e y , hallar v y' 4) x senx y cos + = , hallar v y 5) , 1 3 10 ln ) ( 2 + ÷ + = x x x x f hallar ' ' ' y Ejemplos para el aula: Utilizando correctamente las reglas de derivación, derivar: 1) , 3 5 ) ( 2 4 ÷ + = x x x f ' ' ' y 2) ) (iv x v xe y = 3) , 3 2 5 x x y + = v y' 4) ' ' ' 2 y x sen y = 5) , 5 4 ÷ = x e y v y 6) ) ( , ln v y x x y = 7) ) ' ' (' , 1 1 y x y ÷ = 8) ) ( 2 3 , 2 3 4 iv y x x x y + ÷ + = 9) ) ( 2 , 4 2 5 iv y x x y ÷ ÷ = 10) ' ' , y senx e y x = 11) ) 3 cos( ) ( 2 1 3 ÷ + = ÷ x e x f x ' ' ' y 12) ) cos tan( ) ( x senx x f + = V y 13) 2 2 x y a x = ÷ '' y 14) ) ( ) ( 2 x e x sen x f + = IV y 15) ) 2 5 ( 2 ) ( + ÷ = x x e x f ' ' ' y 16) 1 8 ) 8 4 3 ( 2 ÷ + + = x x x y '' y MAT. CESAR VALDI VI A G. Pág. 65 MATEMÁTI CA I I ngeneni er i a Mecani c a MONOTONIA Definición: Sea R R f ÷ : , se dice que f es creciente en f D I c , si I x x e ¬ 2 , 1 , se cumple: ) ( ) ( 2 1 2 1 x f x f x x < ¬ < y ) ( 2 x f ) ( 1 x f 1 x 2 x x Definición: Sea R R f ÷ : , f es decreciente en f D I c , si I x x e ¬ 2 , 1 , se cumple: ) ( ) ( 1 2 2 1 x f x f x x < ¬ < y ) ( 1 x f ) ( 2 x f 1 x 2 x Definición: Una función f se llama Monótona sobre f D I c , si f es cualquiera de los dos tipos antes mencionados, es decir si es creciente o decreciente. Definición: Sea R R f ÷ : y f D c e , c es punto crítico de f , si 0 ) ( ' = c f ó ) ( ' c f no existe. Teorema.- Si f es continua en | | b a, y derivable en b a, , se cumple: i. Si ) ( , , 0 ) ( ' x f b a x x f ¬ e ¬ > es creciente en b a, ii. Si ) ( , , 0 ) ( ' x f b a x x f ¬ e ¬ < es decreciente en b a, MAT. CESAR VALDI VI A G. Pág. 66 MATEMÁTI CA I I ngeneni er i a Mecani c a Ejemplos explicativos: Hallar los intervalos de crecimiento de las siguientes funciones: 1) 2 3 3 ) ( x x x f ÷ = 2) 3 2 3 ) ( x x x f ÷ = 3) 4 2 2 1 ) ( 2 + ÷ = x x x f 4) 3 2 ) 1 ( ) ( x x x f ÷ = 5) 2 1 ) ( x x x f + = Ejemplos para el aula:Hallar los intervalos de crecimiento de las siguientes funciones: 1) 2 20 5 ) ( 3 5 ÷ ÷ ÷ = x x x x f 2) 9 6 ) ( 4 2 x x x f ÷ = 3) 1 24 2 8 ) ( 2 3 4 + ÷ ÷ + = x x x x x f 4) 1 ) 1 ( ) ( 3 2 + ÷ = x x f 5) 125 ) 5 ( ) ( 3 2 ÷ = x x f VALORES MAXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCION Definición f tiene un máximo absoluto en c x = , si ) ( ) ( c f x f < , f D x e ¬ . Definición f tiene un mínimo absoluto en c x = , si ) ( ) ( x f c f < , f D x e ¬ . Definición f tiene un máximo relativo c x = , si ) ( ) ( c f x f < , f D I x c e ¬ . Definición f tiene un mínimo relativo c x = , si ) ( ) ( x f c f < , f D I x c e ¬ . CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA PARA VALORES EXTREMOS Sea R R f ÷ : , continua en | | b a, y b a c , e un punto crítico y además ) ( ' x f está definido para todos los puntos de b a, , excepto posiblemente en c , entonces: i. Si )) ( , ( , , 0 ) ( ' , , 0 ) ( ' c f c b c x x f c a x x f ¬ ¦ ) ¦ ` ¹ e ¬ < e ¬ > es un punto máximo. ii. Si )) ( , ( , , 0 ) ( ' , , 0 ) ( ' c f c b c x x f c a x x f ¬ ¦ ) ¦ ` ¹ e ¬ > e ¬ < es un punto mínimo MAT. CESAR VALDI VI A G. Pág. 67 MATEMÁTI CA I I ngeneni er i a Mecani c a Ejemplos explicativos:Hallar los valores extremos de las siguientes funciones: 1) 2 3 3 ) ( x x x f ÷ = 2) 3 2 3 ) ( x x x f ÷ = 3) 4 2 2 1 ) ( 2 + ÷ = x x x f 4) 3 2 ) 1 ( ) ( x x x f ÷ = 5) 2 1 ) ( x x x f + = Ejemplos para el aula: Hallar los extremos de: 1) 2 20 5 ) ( 3 5 ÷ ÷ ÷ = x x x x f 2) 4 2 6 ) ( x x x f ÷ = 3) 1 24 2 8 ) ( 2 3 4 + ÷ ÷ + = x x x x x f 4) 1 ) 1 ( ) ( 3 2 + ÷ = x x f 5) 2 3 ) ( x x x f + = MAT. CESAR VALDI VI A G. Pág. 68 I ngeneni er i a Mecani c a MATEMÁTI CA I CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA Sea R R f ÷ : , supongamos que existe ' ' f y que c es un punto crítico, (i.e. 0 ) ( ' = c f ), entonces: i. Si , 0 ) ( ' ' > c f entonces )) ( , ( c f c es punto mínimo. ii. Si , 0 ) ( ' ' < c f entonces )) ( , ( c f c es punto máximo. Ejemplos explicativos: Utilizando el criterio de la segunda derivada, hallar los valore extremos de: 1) 2 3 3 ) ( x x x f ÷ = 2) 3 2 3 ) ( x x x f ÷ = 3) 4 2 2 1 ) ( 2 + ÷ = x x x f 4) 3 2 ) 1 ( ) ( x x x f ÷ = 5) 2 1 ) ( x x x f + = Ejemplos para el aula: Utilizando el criterio de la segunda derivada, hallar los valore extremos de: 1) 2 20 5 ) ( 3 5 ÷ ÷ ÷ = x x x x f 2) 9 6 ) ( 4 2 x x x f ÷ = 3) 1 24 2 8 ) ( 2 3 4 + ÷ ÷ + = x x x x x f 4) 1 ) 1 ( ) ( 3 2 + ÷ = x x f 5) 125 ) 5 ( ) ( 3 2 ÷ = x x f MAT. CESAR VALDI VI A G. Pág. 69 I ngeneni er i a Mecani c a MATEMÁTI CA I CONCAVIDAD Y PUNTOS DE INFLEXION Y ) (x f T X Y T ) (x f X Y T ) (x f X Criterios para Determinar los Puntos de Inflexión: 1º Halla los valores de x para los cuales 0 ) ( ' ' = x f ó ) ( ' ' x f no existe, éstos son los posibles puntos de inflexión. 2º Determinar el signo de ) ( ' ' x f para valores suficientemente próximos al posible punto de inflexión: i. Si hay cambio de signo, entonces )) ( , ( x f x es punto de inflexión ii. Si no hay cambio de signo, entonces )) ( , ( x f x no es punto de inflexión Cuando la recta tangente T está bajo la gráfica de la función, se dice que la función es cóncava hacia arriba Cuando la recta tangente T está sobre la gráfica de la función, se dice que la función es cóncava hacia abajo Cuando hay cambio de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo (o viceversa) el punto en el que esto sucede, se llama Punto de Inflexión P P P MAT. CESAR VALDI VI A G. Pág. 70 I ngeneni er i a Mecani c a MATEMÁTI CA I Teorema: Supongamos que f es derivable en b a, : i. Si ¬ e ¬ > b a x x f , , 0 ) ( ' ' la gráfica de f es cóncava hacia arriba ) (| ii. Si ¬ e ¬ < b a x x f , , 0 ) ( ' ' la gráfica de f es cóncava hacia abajo ) (+ Ejemplos explicativos: Hallar los puntos de inflexión, y los intervalos donde la función ex cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo, bosquejar su gráfica: 1) 2 3 3 ) ( x x x f ÷ = 2) 3 2 3 ) ( x x x f ÷ = 3) 4 2 2 1 ) ( 2 + ÷ = x x x f 4) 3 2 ) 1 ( ) ( x x x f ÷ = 5) 2 1 ) ( x x x f + = Ejemplos para el aula: Hallar los puntos de inflexión, y los intervalos donde la función ex cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo, bosquejar su gráfica: 1) 2 20 5 ) ( 3 5 ÷ ÷ ÷ = x x x x f 2) 9 6 ) ( 4 2 x x x f ÷ = 3) 1 24 2 8 ) ( 2 3 4 + ÷ ÷ + = x x x x x f HOJA DE PRÁCTICA 5 I.- Haciendo uso de la definición de derivada, hallar la derivada de: 1.- 5 2 3 ) ( 2 + ÷ = x x x f 6.- x x x f 4 ) ( 3 ÷ = 2.- 3 ) ( x x f = 7.- 2 1 ) ( + = x x f 3.- 2 ) ( + = x x f 8.- 1 5 ) ( 2 ÷ + = x x x f 4.- 2 9 ) ( x x f ÷ = 9.- x x f 3 1 ) ( = 5.- 2 3 3 2 ) ( ÷ + = x x x f 10.- 1 1 ) ( 2 2 + ÷ = x x x f II. Hallar las derivadas laterales, si existen, de las siguientes funciones: 1) ¹ ´ ¦ ÷ > ÷ ÷ ÷ s + = 4 , 6 4 , 2 ) ( x x x x x f , en 4 ÷ = a 2) ¦ ¹ ¦ ´ ¦ > ÷ < ÷ = 2 , 2 2 , 4 ) ( 2 x x x x x f , en 2 = a 3) ¦ ¹ ¦ ´ ¦ > ÷ < ÷ = 1 , ) 1 ( 1 , 1 ) ( 2 x x x x x f , en 1 = a MAT. CESAR VALDI VI A G. Pág. 71 I ngeneni er i a Mecani c a MATEMÁTI CA I 4) ¹ ´ ¦ ÷ > ÷ ÷ ÷ < = 1 , 2 1 1 , ) ( 2 x x x x x f , en 1 ÷ = a 5) ¦ ¹ ¦ ´ ¦ > + ÷ < ÷ = 2 , 2 4 2 , 2 ) ( 2 2 x x x x x x f , en 2 = a 6) ¦ ¹ ¦ ´ ¦ > ÷ s + + = 0 , 5 0 , 5 4 ) ( 2 2 x x x x x x f , en 0 = a III.- Hallar la derivada de las siguientes funciones: 1) x senx x senx x f cos cos ) ( + ÷ = 2) x x x x f ) 8 4 3 ( ) ( 2 + + = 3) x x senx x f cos ) ( + = 4) 2 3 ) ( 2 3 ÷ + = x x x x f 5) 1 tan ) ( 2 ÷ + = x x e x f x 6) 5 3 2 4 5 ) ( x x x x f + + = 7) 4 . cos 3 ) ( x x x f = 8) x xsenx x f cos 1 1 ) ( + + = 9) x x x x f sec ln 5 ) ( ÷ = 10) ) )( (ln ) ( 5 2 x x x e x x f x + + + = ÷ MAT. CESAR VALDI VI A G. Pág. 72 I ngeneni er i a Mecani c a MATEMÁTI CA I HOJA DE PRÁCTICA 6 I.- Derivar las siguientes funciones: 1.- 5 2 ) 5 3 ( + + = x x y 11.- ) 3 4 5 sec( 2 3 ÷ ÷ ÷ = x x x y 2.- x x x y 1 2 2 2 + ÷ = 12.- ) 7 2 arccos( 2 3 ÷ + ÷ = x x x y 3.- 7 6 ) 5 ( ). 5 ( ) ( + ÷ = x x x f 13.- 1 5 ) ( 2 ÷ + = x x x f 4.- 2 9 ) ( x x f ÷ = 14.- x e x x y 5 2 ) 2 ln( ÷ + = 5.- ) 1 ( 2 3 + + ÷ = x x x y 15.- ( ) senx e x x y 2 3 2 ÷ + = 6.- 2 3 2 3 ) 1 ( ) ( x x x f ÷ = 16.- 3 ) cos ln( 2 ÷ ÷ + = x x senx y 7.- ) ln ( x e ctg y x + = 17.- ) (ln x arcsen y = 8.- x sen x sen y 5 2 4 1 ) 5 ( 20 1 ÷ = 18.- 2 6 ) 2 cos 1 ( x x y ÷ = 9.- 3 3 3 1 1 x x y ÷ + = 19.- 4 3 3 1 2 1 | | . | \ | + ÷ = x x y 10.- | . | \ | + + = x b a x a b arcsen y cos cos 20. - | . | \ | ÷ = x x sen y ln 1 2 II. Derivar implícitamente las siguientes funciones: 1) 5 3 2 5 4 3 2 5 = ÷ + ÷ x y x y x y 9) 2 2 2 3 2 2 3 = + ÷ + y xy y x x 2) x y y y = + + 4 3 3 10) y x y y x ÷ = + 3 ) ( 3) y x xy = + 2 11) y x y arctan + = 4) ) tan( cos y x xy senxy + = + 12) a y xy a x = + ÷ 2 2 MAT. CESAR VALDI VI A G. Pág. 73 I ngeneni er i a Mecani c a MATEMÁTI CA I 5) y x y y x ÷ = + 3 ) ( 13) 4 4 3 3 ) ( ) ( y x y x y x + = ÷ + + 6) arcseny arcsenx y x ÷ = ÷ 14) 3 3 3 3 a y axy x = + + 7) y x xy x 2 2 3 = + 15) 3 3 2 2 ) ( ) ( y x y x y x + = ÷ + + 8) 3 7 3 2 2 3 = + x y y x III.- Hallar la derivada de las siguientes funciones: 1) ' ' 6 7 1 3 2 y x x x x y + ÷ + + = 2) ' ' ' , 2 3 1 2 y x x y + ÷ = 3) ' ' , 2 1 2 2 6 y x x x x y ÷ + ÷ + = 4) v y bx senax y ' , cos + = 5) ' ' ' , 3 5 3 y x e y x + = ÷ 6) ' ' 3 2 ) 3 ln( y x sen x y ÷ + = 7) ' ' ), 4 3 cos( ) 1 5 ( 2 y x x x sen y ÷ ÷ ÷ + = 8) v x y e y , 6 9 8 + = ÷ 9) v y b a x f ), ln( ) ( + = 10) ' ' , 2 1 y x y ÷ = HOJA DE PRÁCTICA 7 I.- Determinar los valores extremos de las siguientes funciones:: 1.- 2 9 3 2 3 + ÷ ÷ = x x x y 2.- 3 1 3 2 ) 3 ( + = x x y 3.- 2 2 ) 2 ( ) ( ÷ = x x x f 4.- 10 24 3 ) ( 2 3 ÷ ÷ + = x x x x f 5.- 2 4 2 ) ( 2 3 + ÷ + = x x x x f 6.- 1 ) ( 2 ÷ = x x x f 7.- 3 3 2 ) ( x x x f + ÷ = 8.- 2 1 ) ( x x x f ÷ = 9.- 4 23 2 ) ( 2 ÷ ÷ + = x x x x f 10.- 2 3 ) 1 ( ) 1 ( ) ( ÷ + = x x x f MAT. CESAR VALDI VI A G. Pág. 74 I ngeneni er i a Mecani c a MATEMÁTI CA I II. Bosquejar la gráfica de las siguientes funciones, determinando los intervalos de crecimiento, valores extremos, puntos de inflexión e intervalos de concavidad: 1) 1 3 3 ) ( 2 3 4 + + ÷ = x x x x f 11) 3 5 5 3 ) ( x x x f + = 2) 7 18 6 2 ) ( 2 3 + ÷ ÷ = x x x x f 12) 7 18 6 2 ) ( 2 3 + ÷ ÷ = x x x x f 3) 5 4 ) 2 ( 1 ) ( ÷ ÷ = x x f 13) 1 3 3 ) ( 2 3 4 + + ÷ = x x x x f 4) x x x f 2 3 ) ( 3 2 ÷ = 14) 8 4 ) ( 2 + = X x f 5) 2 3 3 ) ( x x x f ÷ = 15) 2 ) 8 )( 2 ( ) ( X x x x f ÷ ÷ = 6) 3 2 ) 4 ( ) ( + = x x x f 16) 3 4 ) 4 ( 2 1 ) ( ÷ + = x x x f 7) 4 6 4 3 ) ( 2 3 4 ÷ + + = x x x x f 17) 3 3 2 4 ) 5 ( ) ( ÷ = x x x f 8) 1 1 ) ( 2 + + + = x x x x f 18) 16 8 4 ) ( 2 2 + + ÷ = x x x x x f 9) 2 2 1 1 ) ( x x x x x f ÷ + + ÷ = 19) 3 ) ( ÷ = x x x f 10) 2 ) ( 2 2 + ÷ = x x x f 20) 2 2 ) 1 ( 1 ) ( ÷ + = x x x f MAT. CESAR VALDI VI A G. Pág. 75 I ngeneni er i a Mecani c a MATEMÁTI CA I PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE LA DERIVADA En la resolución de problemas en que se debe determinar el máximo o el mínimo de una cierta expresión, deben seguirse los siguientes pasos: - Determinar la magnitud que debe hacerse máxima o mínima, y asignarle una letra. - Hacer un dibujo cuando sea necesario. - Asignar una letra a las cantidades mencionadas en el problema y escribir una ecuación en la que se establezca lo que se debe hacer máximo o mínimo. - Establecer las condiciones auxiliares del problema y formar una ecuación (ecuación auxiliar) - Expresar la cantidad que debe maximizarse o minimizarse en términos de una sola variable utilizando para ello la ecuación auxiliar. Determinar el dominio de esta función. - Obtener la primera derivada de esta función para determinar los valores críticos. - Comprobar, utilizando el criterio de la primera derivada o el de la segunda derivada, si los valores críticos son máximos o mínimos. - Verificar que el valor obtenido cumple las condiciones dadas en el problema - Responder a la pregunta establecida en el enunciado del problema. - En algunos problemas hay que utilizar diversas figuras geométricas por lo que a continuación se especifican algunas de ellas junto con las respectivas fórmulas sobre áreas y volúmenes: 1. Un rectángulo tiene 120 m. de perímetro. Cuáles son las medidas de los lados del rectángulo que dan el área máxima? 2. Una ventana tiene forma de rectángulo, culminando en la parte superior con un triángulo equilátero. El perímetro de la ventana es de 3 metros. Cuál debe ser la longitud de la base del rectángulo para que la ventana tenga el área máxima? 3. Determinar las dimensiones del cono de mayor área lateral que puede inscribirse en un cono circular recto de radio 1cm y altura 3cm, como se muestra en la figura siguiente: 4. La cotización de las sesiones de una determinada sociedad, suponiendo que la Bolsa funciona todos los días de un mes de 30 días, responde a la siguiente ley: C = 0.01x 3 − 0.45x 2 + 2.43x + 300 a). Determinar las cotizaciones máximas y mínima, así como los días en que ocurrieron, en días distintos del primero y del último. b). Determinar los períodos de tiempo en el que las acciones subieron o bajaron. MAT. CESAR VALDI VI A G. Pág. 76 I ngeneni er i a Mecani c a MATEMÁTI CA I Supongamos que el rendimiento r en % de un alumno en un examen de una hora viene dado por: r = 300t (1−t). Donde 0 < t < 1 es el tiempo en horas. Se pide: 1. ¿En qué momentos aumenta o disminuye el rendimiento? 2. ¿En qué momentos el rendimiento es nulo? 3. ¿Cuando se obtiene el mayor rendimiento y cuál es? 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