[email protected] Guião Revisões: Funções –ESA-IPVC GUIÃO REVISÕES Funções Conceito de função Quatro amigos decidiram apostar no totoloto, tendo cada um deles preenchido o seu boletim da seguinte forma: Boletim do Hugo Jogos 1 2 3 4 5 Equipa A – Equipa B Equipa C – Equipa D Equipa E – Equipa F Equipa G – Equipa H Equipa I – Equipa J Boletim do João Jogos 1 2 3 4 5 Equipa A – Equipa B Equipa C – Equipa D Equipa E – Equipa F Equipa G – Equipa H Equipa I – Equipa J Apostas X X 2 1 X X 2 1 1 X 2 X 1 X X 2 1 X 2 X Apostas X X 2 1 X X 2 1 1 X X X 2 X 1 X 2 1 2 X X X Boletim da Ana Jogos 1 2 3 4 5 Equipa A – Equipa B Equipa C – Equipa D Equipa E – Equipa F Equipa G – Equipa H Equipa I – Equipa J Boletim da Marta Jogos 1 2 3 4 5 Equipa A – Equipa B Equipa C – Equipa D Equipa E – Equipa F Equipa G – Equipa H Equipa I – Equipa J Apostas X X 2 1 X X 2 1 1 X 2 X 1 X 2 X 1 X 2 X Apostas X X 2 1 X X 2 1 1 X 2 X 1 X X 2 1 X 2 Os boletins de totobola estabelecem uma relação entre dois conjuntos: o conjunto dos jogos e o conjunto das apostas. Quais destas correspondências são funções? Recorde que Uma função é uma correspondência entre dois conjuntos A B Tal que: Todos os elementos do primeiro conjunto estão envolvidos na correspondência. Cada elemento do primeiro conjunto tem um e um só correspondente no segundo conjunto. Página 1 de 23 [email protected] Guião Revisões: Funções –ESA-IPVC Representemos cada Boletim através de um Diagrama de Venn: Boletim do Hugo 1 2 3 4 5 Jogo Boletim do Ana 1 2 3 4 5 Jogo Boletim do João 1 2 3 4 5 Jogo Boletim do Marta 1 2 3 4 5 Jogo 1 X 2 Aposta 1 X 2 Aposta 1 X 2 Aposta 1 X 2 Aposta Todos os elementos do primeiro conjunto estão envolvidos na correspondência. Todos os elementos do primeiro conjunto estão envolvidos na correspondência. Cada elemento do primeiro conjunto tem um e um só correspondente no segundo conjunto. Existem elementos do primeiro conjunto com vários correspondentes no segundo conjunto Nem todos os elementos do primeiro conjunto estão envolvidos na correspondência porque um dos elementos do primeiro conjunto não tem correspondência no segundo conjunto. Cada elemento do primeiro conjunto tem um e um só correspondente no segundo conjunto. Cada correspondência é uma FUNÇÃO – boletim válido. As correspondências NÃO são FUNÇÕES – boletim não válido. Atenção Todo o processo que faz corresponder a cada elemento de um conjunto A um e um só elemento do conjunto B é uma correspondência que se chama aplicação ou função de A em B. Representando a função por , podemos escrever: Não confunda f com f (x)! designa uma função com o seu domínio, o seu conjunto de chegada e a indicação do processo para encontrar a imagem de cada elemento do domínio. representa a imagem do objecto do domínio, pela função . f:A x B f x y O conjunto A – conjunto de partida – é o domínio da função. Representa-se por . O conjunto B designa-se por conjunto de chegada. Os elementos do domínio designam-se por objectos e os respectivos elementos do conjunto B designam-se por imagens. é a variável independente e é a variável dependente. O contradomínio é o conjunto das imagens. Representa-se por . . Página 2 de 23 justificando. . Teste os seus conhecimentos 1) Considere as seguintes correspondências de A para B: A f B garagem A Março g B 31 a) Diga. g) Os objectos cuja imagem é X são . se são funções.M@t. e . 1 2 3 A h B 1 4 9 16 A j B 1 3 5 2 3 8 Página 3 de 23 . o contradomínio e o conjunto de chegada. e . Carro Comboio Barco Maio estação 30 Junho 29 Julho porto b) Das que são funções indique o domínio.b Guião Revisões: Funções –ESA-IPVC Considerando a função do boletim da Ana: a) Quais são os objectos? b) Quais são as imagens? c) Indique o domínio da função? d) Indique o conjunto de chegada? e) Indique o contradomínio da função? f) Qual é a imagem do objecto 1? g) Quais os objectos cuja imagem é X? Boletim do Ana 1 2 3 4 5 Jogo 1 X 2 Aposta a) Os objectos são b) As imagens são e X. c) O domínio da função é d) O conjunto de chegada é e) O contradomínio da função é f) A imagem do objecto 1 é 1. . O contradomínio da função é b) A função não é injectiva porque.M@t. A função não é bijectiva porque não é injectiva. ALUGA-SE BICICLETAS DEPÓSITO … € 3 € 9 POR DIA Como só dispõe de 50€. quantos dias pode alugar a bicicleta? Página 4 de 23 . por exemplo. Função Bijectiva Uma função f diz-se bijectiva se é injectiva e sobrejectiva.b Guião Revisões: Funções –ESA-IPVC Classificação de funções Relembre Função Sobrejectiva Uma função f diz-se sobrejectiva se o seu contradomínio coincide com o seu conjunto de chegada. Modos de definir uma função Imagine que vai de férias e encontra o seguinte anúncio. A função é sobrejectiva porque o contradomínio é igual ao conjunto de chegada. Função Injectiva Uma função f diz-se injectiva se quaisquer dois elementos diferentes do seu domínio têm imagens diferentes. 3 e 5 têm a mesma imagem. Boletim do Hugo Considerando a função do boletim do Hugo: a) Qual o domínio e o contradomínio da função? 1 2 3 4 5 Jogo 1 X 2 Aposta b) A função é injectiva? E sobrejectiva? E bijectiva? a) O domínio da função é . M@t. Representando a função por meio de uma tabela. Existem algumas formas de representar a função. Representando a função por meio de um diagrama de Venn. a função representa-se As expressões analíticas permitem determinar facilmente os valores de C a partir dos valores de N. 1 2 3 4 5 N. . e são depende do número de dias de aluguer chama-se variável independente. Assim.º de dias 12 21 30 39 48 Custo Note que os número de dias só variam de 1 a 5. Como o custo dependente e a corresponde um único custo .b Guião Revisões: Funções –ESA-IPVC A cada número de dias de aluguer varáveis. diz-se que é a variável é função de . Assim. visto que só dispõe de 50€. obtém-se: Número de dias de aluguer Custo (em euros) 1 12 2 21 3 30 4 39 5 48 Representando a função por meio de uma expressão analítica. Para 6 dias teria de pagar 57€. o que não seria possível. Página 5 de 23 . A expressão da seguinte forma: é a expressão analítica da função. Teste os seus conhecimentos 2) Para cada uma das funções seguintes. Como para representar um ponto no referencial cartesiano usamos o sistema de coordenadas o valor dos objectos é representado no eixo dos e o das respectivas imagens no eixo dos . . b) Calcule e . Por este motivo é vulgar a identificação . indique se é injectiva e/ou sobrejectiva e/ou bijectiva: -4 g -7 -5 5 9 -2 -1 2 f -2 -1 2 4 3) A função está definida pelo seguinte gráfico y 3 2 1 x -1 -1 1 2 3 4 -2 a) Defina f por meio de uma tabela. c) Indique o objecto cuja imagem é 3.b Guião Revisões: Funções –ESA-IPVC Representando a função por meio de um gráfico. Página 6 de 23 . obtemos: C 48 42 39 36 30 24 21 18 12 6 1 2 3 4 5 N Nota: O gráfico de f identifica-se com o conjunto de pares ordenados .M@t. Posição a cada instante 700 600 500 400 300 200 100 0 0 20 40 60 80 100 120 140 Tempo (em segundos) a) Qual a variável independente? E a variável dependente? b) Nos primeiros 40 segundos quantos metros percorreu o automóvel? c) Durante o passeio. c) Calcule e . quanto tempo? d) Indique o instante em que o automobilista iniciou o regresso. e) Em que momento o automóvel se encontra a 500m do ponto de partida? No momento 77s em que posição estava o automóvel? f) Qual o domínio e o contradomínio da função? Página 7 de 23 . e) Indique o domínio de cada função.M@t. O seguinte gráfico representa o movimento de um automóvel ao longo de um trajecto de 700m. d) Indique o conjunto de chegada de f e de g. o automóvel alguma vez esteve parado? Se sim. b) Defina f por meio de uma tabela.b Guião Revisões: Funções –ESA-IPVC 4) Identifique nas seguintes situações as que representam funções: y y x x 5) Considere as funções: a) Defina g por meio de um diagrama. f) Indique o contradomínio de cada função. muita informação pode ser obtida. Representação gráfica Através da representação gráfica. o número de litros de gasolina no depósito é dado pelo seguinte gráfico. b) O automóvel percorreu 600 metros nos primeiros 40s. c) Sim. b) Quantos litros de gasolina havia no depósito do carro no início da viagem? c) Quantos litros de gasolina se gastaram por cada 100 km de viagem? d) Quantos litros de gasolina se gastaram nos 400 km de viagem? Página 8 de 23 . Teste os seus conhecimentos 6) Ao longo de uma viagem de carro. e) Nos momentos 30 e 85 o automóvel estava a 500m do ponto de partida. Não se esqueça que o domínio é visto no eixo dos . no eixo do tempo.M@t.) d) Aos 80 segundos iniciou a viagem de regresso. neste caso.b Guião Revisões: Funções –ESA-IPVC a) A variável independente é o tempo e a variável dependente é a posição a cada instante. e o contradomínio no eixo dos . esteve parado durante 40s (dos 40 aos 80 s. f) . No momento 77 o automóvel estava a 600m do ponto de partida. Gasolina no depósito ( litros) y 25 15 x Km a) O gráfico representa uma função? Justifique. M@t. construiu-se o seguinte gráfico: Altura (cm) 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 Idade (anos) a) O gráfico representa uma função? Justifique.b Guião Revisões: Funções –ESA-IPVC 7) Feito um estudo sobre uma determinada população. Conceito e classificação de função Modos de definir uma função Representação gráfica Função real de variável real Zeros de uma função Estudo de funções elementares: afins. analisou-se a evolução da altura de acordo com a idade e. Até agora…. racionais e irracionais. quadráticas. b) Qual foi a altura máxima atingida pela pessoa e em que altura da sua vida? c) A partir de que idade a altura começou a decrescer? d) Indique a altura da pessoa quando nasceu. Página 9 de 23 . . Página 10 de 23 . b) Determine analiticamente os zeros da função. de domínio analítica. a) A função e .b Guião Revisões: Funções –ESA-IPVC Chama-se função real de variável real a uma função cujos domínio e contradomínio são conjuntos de números reais. ou seja. Zeros de uma função Considere a função f. definida pelo gráfico que se segue e a sua expressão y y = f(x) -3 -1 2 x a) Determine graficamente os zeros da função. e . Os zeros de uma função correspondem graficamente aos pontos de intersecção com o eixo dos . Tal significa que e . são zeros da função . intersecta o eixo dos nos pontos . Recorde que Zero de uma função é todo o objecto que tem imagem nula.M@t. Logo. A situação pode ser descrita pela função . o seu automóvel movia-se à velocidade constante de 10 km/h. uma vez que .M@t. Num dos dias em que o José ia para o trabalho. que o preço do gasóleo se manteve constante durante as seis semanas. Só as soluções pertencentes ao são zeros da função. 20km.21 1 2 3 4 5 6 Semanas O que pode concluir acerca do preço do gasóleo? Concluímos assim. ao fim de duas horas. Funções Afins O José todas as semanas enche o depósito do seu carro com gasóleo. devido a uma avaria. Página 11 de 23 . Para calcular os zeros de uma função analiticamente basta resolver a equação . e assim sucessivamente. O preço de um litro de gasóleo durante seis semanas consecutivas pode ser representado pelo gráfico seguinte: Custo(€) 1. ao fim de uma hora teria andado 10 km.b Guião Revisões: Funções –ESA-IPVC b) Os zeros da função são: e 2. Assim. no mínimo.b Guião Revisões: Funções –ESA-IPVC Podemos representar a viagem efectuada. Quando o José foi levar o automóvel ao mecânico. O custo de uma viagem de táxi é representado pelo seguinte gráfico: Custo (€) km a) Quanto custa. a função por gráfico a semi-recta que Tempo (h) terá representa o percurso. . quanto vai pagar pela viagem? a) Por observação do gráfico. um euro. teve de ir para casa de táxi. no contexto do problema. No contexto do problema uma vez que não faz sentido considerar valores negativos para os Página 12 de 23 .M@t. pelo seguinte gráfico: Distância Percorrida(km) Traduzindo o gráfico por uma expressão analítica. no mínimo uma viagem de táxi? b) Se o José morar a 3km de casa. b) Se o João morar a 3km de casa paga 7€ pela viagem. faz sentido uma vez que não considerar valores negativos para o tempo. A situação por ser descrita pela expressão consideramos quilómetros. tem-se onde. verifica-se que uma viagem de táxi custa. M@t. .b Guião Revisões: Funções –ESA-IPVC Toda função do tipo . obtemos: Concluímos que a expressão analítica de f é . ou seja. . . Dado o gráfico de uma função afim. Recorde que Dados dois pontos e . é o declive da recta e é a ordenada na origem. logo trata-se de uma função linear. A estas funções chamam-se funções afins. como podemos determinar a sua expressão analítica? Considere o seguinte gráfico e determine a sua expressão analítica. y x Conhecemos dois pontos que constituem o gráfico. Observação: Se Se então então . Sabemos que a equação da recta é do tipo Primeiro vamos determinar o declive da recta. e pelas coordenadas de um dos pontos. logo trata-se de uma função constante. considerando. basta substituir exemplo. que é polinómio de grau 1. Página 13 de 23 . por exemplo. tem por gráfico uma recta. por Para saber . e . o declive da recta que passa em A e em B é dado por Logo. temos . complete: 9) Observe o gráfico: Distância percorrida (km) 25 20 15 10 5 0 5 10 15 20 Horas a) A que horas partiu cada um dos veículos? b) Depois de quantas horas o carro alcançou a bicicleta? c) Se o objectivo dos condutores é chegar à mesma cidade. Página 14 de 23 .b Guião Revisões: Funções –ESA-IPVC Teste os seus conhecimentos 8) Uma marca de automóveis pretende. mostrar qual o consumo de gasolina de um novo modelo lançado no mercado. qual é o primeiro a chegar à cidade? d) Escreva a expressão analítica da função cujo gráfico é: d1) a recta associada ao percurso da mota. com o gráfico seguinte. quantos quilómetros se podem percorrer? Quantos litros de gasolina são necessários para percorrer 300 km? Sendo o número de quilómetros percorridos e a quantidade de gasolina consumida.5 50 100 Espaço percorrido (km) Observe e responda: a) b) c) d) Esta correspondência é uma função linear? Com 18 litros de gasolina. que distava 25 km do ponto de partida.M@t. d2) a recta associada ao percurso do ciclista. ) l Terminal de bomba de gasolina Gasolina consumida ( 4. com . A distância. chama-se função quadrática. b) Qual o domínio da função no contexto do problema? c) A que distância se encontra o carro do espectador quando este o vê pela primeira vez? d) Ao fim de quanto tempo se atinge a menor distância entre o carro e o espectador? Qual é essa distância? Relembre que A toda a função.M@t. A certa altura vê um carro. que é a) Recorrendo ao “winplot” pode construir o gráfico da função.b Guião Revisões: Funções –ESA-IPVC Funções quadráticas Num grande prémio de Fórmula 1. no contexto do problema. um espectador encontra-se num local em que consegue visualizar um determinado troço do percurso. a concavidade é voltada para baixo. real de variável real. Distância (m) Tempo (s) Página 15 de 23 . com em segundos. A sua representação gráfica é uma parábola em que: — se — se a concavidade é voltada para cima. no contexto do problema. do tipo polinómio de grau 2. em metros. deste ao espectador é dada por . a) Construa o gráfico da função. . d) Para saber qual é menor distância entre o carro e o espectador basta calcular as coordenadas do vértice da parábola. este está a uma distância de 155 metros. A parábola tem um eixo de simetria que passa pelo vértice da parábola. . Ao fim de 3 segundos atinge-se a menor distância entre o carro e o espectador. os intervalos onde é positiva e negativa e a monotonia: a) b) Página 16 de 23 . os zeros. para cada uma delas. o eixo de simetria passa pelos pontos cuja abcissa é a média destes valores. . pois não faz sentido c) O espectador vê o carro pela primeira vez em determinar a imagem de 0. ou seja. o contradomínio. Essa distância é de 20 metros. por exemplo 155 para ser mais fácil de resolver.b Guião Revisões: Funções –ESA-IPVC b) O domínio da função no contexto do problema é considerar o tempo negativo. Logo. Para saber a ordenada do vértice determina-se a imagem de 3 As coordenadas do vértice são: . Para saber a distância temos que Assim. Existem dois objectos cuja imagem é 155: 0 e 6. Comecemos por igualar a função a um valor qualquer do contradomínio. quando o espectador vê o carro pela primeira vez.M@t. indique o domínio. a concavidade. Recorrendo ao “winplot” faça a representação gráfica das seguintes funções quadráticas e. . existem dois objectos (1 e -2) que têm imagem 0. É positiva em É decrescente em É crescente em . Página 17 de 23 . Como o eixo de simetria da parábola passa pelo vértice e. Zeros: 0 Concavidade voltada para cima. .b Guião Revisões: Funções –ESA-IPVC a) y f(x) Recorde Graficamente uma função é positiva se está acima do eixo dos e é negativa quando está abaixo do mesmo eixo. E é negativa em qualquer que seja se . -2 x Para saber o contradomínio da função precisamos de saber as coordenadas do vértice da parábola. É positiva em É negativa em É decrescente em É crescente em . o eixo de simetria é mesma imagem. uma função f é positiva em se qualquer que seja . Assim a abcissa do vértice é imagem de . . . .M@t. Analiticamente. x b) y Zeros: 1. que é a média dos dos objectos que têm a . Para saber a ordenada basta calcular a As coordenadas do vértice são Concavidade voltada para baixo. A população de insectos. a) Qual a área de pele atingida durante a infecção? b) Em que dia se iniciou o tratamento com o antibiótico? c) A infecção afectou uma área de 16 mm2? Se sim. foi detectada num doente uma infecção cutânea. os zeros. Sabe-se que a área infectada começou a diminuir quando foi administrado um antibiótico.M@t. que evoluiu de acordo com o seguinte modelo matemático: . a concavidade.b Guião Revisões: Funções –ESA-IPVC Teste os seus conhecimentos 10) Recorrendo ao “winplot” faça a representação gráfica das seguintes funções quadráticas e. os intervalos onde é positiva e negativa e a monotonia: a) c) b) d) 11) No dia 20 de Abril. para cada uma delas. passados 5 anos? d) Passados quantos anos a população atinge 1000 insectos? Página 18 de 23 . era dada por: a) Qual é o domínio da função no contexto do problema? b) Quantos insectos foram transportados? c) Qual é a população. sendo a área de pele infectada (em mm2) e t o tempo (em dias) contado a partir do momento em que foi detectada. os cientistas fizeram transportar alguns dos insectos para uma área protegida. t meses depois de ser deslocada. passado quantos dias? Comente os resultados obtidos? e) Ao fim de quanto tempo a infecção se extinguiu? Funções racionais Uma espécie rara de insectos gigantes foi descoberta numa floresta da Amazónia. o contradomínio. indique o domínio. Para proteger esta espécie. R: Foram transportados 25 insectos. ou seja. R: Passados 10 anos e 10 meses a população atinge 1000 insectos. . b) Para sabermos os insectos que foram transportados temos de calcular a população no inicio da contagem do tempo. a população é de 596 aproximadamente. d) Para saber passados quantos meses a população atinge os 1000 insectos tem-se de resolver a equação . para . c) Passados 5 anos são meses R: Passados 5 anos.b Guião Revisões: Funções –ESA-IPVC a) O domínio da função é Na presença de uma fracção temos de garantir que o denominador é diferente de zero. Página 19 de 23 . A função é exemplo de uma função racional. no contexto do problema é . por isso o domínio da função. No contexto do problema não faz sentido que os meses sejam negativos. Recorde que: A x B x 0 A x 0 B x 0 uma vez que 130 meses correspondem a 10 anos e 10 meses.M@t. em metros. O domínio de uma função racional é dado por: . a) Com que altura a árvore foi plantada? b) Qual foi a variação da altura da árvore nos primeiros nove meses após ter sido plantada? c) Com a ajuda do programa “Winplot” faça um esboço do gráfico da função . chama-se função racional se pode ser representada pelo quociente entre dois polinómios. Teste os seus conhecimentos 12) Determine o domínio e os zeros das funções definidas por: a) . sendo o divisor um polinómio não nulo. é dada por . 13) Admita que uma determinada raça de cães tem um desenvolvimento que obedece ao seguinte modelo matemático: sendo o peso médio (em Kg) de um animal em função do tempo t (em meses) de vida desde o seu nascimento. real de variável real. a) Qual é o peso médio de um animal recém-nascido? b) Com que idade um cão desta raça atinge os 9 Kg? c) Até que idade o peso médio do animal não excede 5kg? 14) A altura. t anos após o momento em que foi plantada. d) Passado quanto tempo a árvore atinge uma altura de 4 metros? Página 20 de 23 .M@t. d) .b Guião Revisões: Funções –ESA-IPVC Uma função f. de uma árvore. b) . c) . e g. . indique Página 21 de 23 .M@t. No cálculo do domínio de uma função irracional do tipo necessário ter em atenção que: Se n é par. onde . b) Recorrendo ao programa “winplot”. b) Qual é a abcissa que tem imagem 0? c) A função é injectiva? Funções Irracionais Uma função f. o contradomínio e os zeros de cada uma. Verifique se são injectivas. Se n é ímpar. faça a representação gráfica das funções o domínio. real de variável real. não existe qualquer restrição. é .b Guião Revisões: Funções –ESA-IPVC 15) Considere o gráfico de uma função racional f: y x a) Indique o domínio e o contradomínio da função f. chama-se função irracional se a variável independente figura no radicando. é Considere as seguintes funções: e a) Determine o seu domínio. M@t. y Zeros: 0 x A função é injectiva. Lembre-se que: No cálculo do domínio de uma função irracional. se o índice for par.b Guião Revisões: Funções –ESA-IPVC a) Note que. por exemplo. As funções e são exemplos de funções irracionais. pois . o radicando não pode tomar valores negativos. índice radicando y b) Zeros: 0 x A função é injectiva. Página 22 de 23 . 2ª edição. Neves.Funções II. 1ª Parte .. L. Texto Editora.. C. A. [3] Costa.A. 2ª edição..b Guião Revisões: Funções –ESA-IPVC Teste os seus conhecimentos 16) Determine o domínio das seguintes funções: a) c) b) d) 17) A procura de um determinado modelo de relógio é dada.. L.. em centenas de unidades. Referências [1] Neves.M@t.. Matemática 8º ano. Resende.. Edições Asa.. Rodrigues.º . b) Determine o preço p para o qual a procura é de 12 centenas de unidades. Porto Editora.. Edições Asa. B. 2003. A. L.Funções I. 2003 [5] Guerreiro. Neves. em função do preço p. em dezenas de euros. M.A. E. 1ª edição. M. Resende. Neves.º .A. Moura. Matemática 10º ano. L. 2. Matemática A 11. A. [2] Guerreiro. Silva. Matemática A 10. Porto Editora 2004. 2005 Página 23 de 23 . L. M. por a) No contexto do problema determina o domínio da função. E... Espaço 10 .. Espaço 11 .. 2005 [4] Soveral.1ª edição.. [6] Costa. Rodrigues. B. vol.Guerreiro.. Porto Editora 2005.