UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP1 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Prefacio: L a asignatura de Matemática Financiera, es de naturaleza teórica práctica que permite resolver problemas basados en operaciones de inversión y de financiamiento. La importancia de la matemática financiera radica en su aplicación a las operaciones bancarias y bursátiles, en temas económicos y en muchas áreas de las finanzas, ya que le permiten al administrador financiero tomar decisiones de forma rápida y acertada. Asimismo, es la base de casi todo análisis de proyectos de inversión, ya que siempre es necesario considerar el efecto del interés que opera en las cantidades de efectivo con el paso del tiempo. La matemática financiera se relaciona con otras áreas como la contabilidad, ya que se apoya en la información generada en registros contables, en la economía y las ciencias políticas y por esta razón sirven para realizar análisis y resolución de problemas que tienen que ver con la sociedad y la vida cotidiana en el área de los negocios. Comprende cuatro Unidades de Aprendizaje: Unidad I: La Tasa de Interés en el Mercado Nacional. Unidad II: Interés Simple e Interés Compuesto. Unidad III: Anualidades. Unidad IV: Amortización y Depreciación. 2 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Estructura de los Contenidos La Tasa de Interés en el Mercado Nacional Interés Simple e Interés Compuesto Tasa de Interés Utilizado en el Sistema Financiero Nacional Interés Simple y sus Factores Tasa de Interés Equivalente – Vencidas – Adelantadas Tasa de Interés Simple (Clasificación) Tasa de Interés Moratorio – Legal TAMN – TAMEX – TIPMIN – TIPMEX Anualidades Amortización y Depreciación Anualidades de Inversión Amortización de una Deuda Monto de una Anualidad Vencida Interés Compuesto Valor Actual de una Anualidad Ordinaria Fórmula del Interés Compuesto Anualidades Anticipadas Fondos de Amortización Depreciación – Método línea Recta Método de Unidades de Producción – Método Tasa Fija La competencia que el estudiante debe lograr al final de la asignatura es: “Conocer las principales funciones del sistema financiero peruano en el desarrollo de las operaciones y actividades financieras en relación a los intereses de capitales y afines”. 3 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Índice del Contenido I. PREFACIO II. DESARROLLO DE LOS CONTENIDOS UNIDAD DE APRENDIZAJE 1: LA TASA DE INTERES EN EL MERCADO NACIONAL 1. Introducción a. Presentación y contextualización b. Competencia (logro) c. Capacidades d. Actitudes e. Ideas básicas y contenido 2. Desarrollo de los temas a. Tema 01: Tasa de Interés utilizadas en el Sistema Financiero nacional. b. Tema 02: Tasa de Interés Equivalente – Vencidas – Adelantadas c. Tema 03: Tasa de Interés Moratorio – Legal d. Tema 04: TAMN – TAMEX – TIPMIN – TIPMEX 3. Lecturas recomendadas 4. Actividades 5. Autoevaluación 6. Resumen UNIDAD DE APRENDIZAJE 2: INTERÉS SIMPLE E INTERÉS COMPUESTO 1. Introducción a. Presentación y contextualización b. Competencia (logro) c. Capacidades d. Actitudes e. Ideas básicas y contenido 2. Desarrollo de los temas a. Tema 01: Interés Simple y sus Factores b. Tema 02: Tasa de Interés Simple ( Clasificación) c. Tema 03: Interés Compuesto d. Tema 04: Fórmula del Interés Compuesto 3. Lecturas recomendadas 4. Actividades 5. Autoevaluación 6. Resumen UNIDAD DE APRENDIZAJE 3: ANUALIDADES 1. Introducción a. Presentación y contextualización b. Competencia (logro) c. Capacidades d. Actitudes e. Ideas básicas y contenido 2. Desarrollo de los temas a. Tema 01: Anualidades de Inversión b. Tema 02: Monto de una Anualidad Vencida c. Tema 03: Valor Actual de una Anualidad Ordinaria d. Tema 04: Anualidades Anticipadas 3. Lecturas recomendadas 4. Actividades 5. Autoevaluación 6. Resumen UNIDAD DE APRENDIZAJE 4: AMORTIZACIÓN Y DEPRECIACIÓN 1. Introducción a. Presentación y contextualización b. Competencia c. Capacidades d. Actitudes e. Ideas básicas y contenido 2. Desarrollo de los temas a. Tema 01: Amortización de una Deuda b. Tema 02: Fondos de Amortización c. Tema 03: Depreciación – Método línea Recta d. Tema 04: Método de Unidades de Producción – Método Tasa Fija 3. Lecturas recomendadas 4. Actividades 5. Autoevaluación 6. Resumen III. GLOSARIO IV. FUENTES DE INFORMACIÓN V. SOLUCIONARIO 02 03 - 126 04-35 06 06 06 06 06 06 07-30 07 13 19 24 31 32 33 35 36-70 37 37 37 37 37 37 38-66 38 46 55 61 67 67 68 70 71-97 72 72 72 72 72 72 73-93 73 79 83 88 94 94 95 97 98-122 99 99 99 99 99 99 100-118 100 105 109 114 119 119 120 122 123 125 126 4 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP 5 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Introducción a) Presentación y contextualización Los temas que se tratan en la presente unidad temática, tienen por finalidad que el estudiante tome conocimiento sobre los procedimientos y formulas de tasa de interés para solucionar problemas relacionados con el interés, principal y tiempo, considerando la variación de tasas que se aplican en el mercado comercial y bursátil. b) Competencia Conoce las generalidades de las tasas de interés sus fórmulas y aplicación práctica objetivamente. c) Capacidades 1. Conoce las principales operaciones del sistema financiero nacional y las tasas de interés utilizadas. 2. Analiza las principales tasas de interés equivalente vencidas y adelantadas. 3. Explica los procedimientos técnicos y legales en función a las de interés moratoria. 4. Explica las generalidades y aplicaciones de las TAMN – TAMEX – TIPMIN – TIPMEX d) Actitudes Promueve la adecuada aplicación de las tasas de intereses comprendidas en el sistema financiero nacional. Incentiva el análisis de casos prácticos relacionados a los distintos tipos de intereses. e) Presentación de Ideas básicas y contenido esenciales de la Unidad: La Unidad de Aprendizaje 01: La Tasa de Interés en el Mercado Nacional, comprende el desarrollo de los siguientes temas: TEMA 01: Tasa de interés utilizado en el sistema financiero nacional TEMA 02: Tasa de Interés Equivalente – Vencidas – Adelantadas TEMA 03: Tasa de Interés Moratorio – Legal TEMA 04: TAMN – TAMEX – TIPMIN – TIPMEX 6 Tasa de Interés Utilizado en el Sistema Financiero Nacional UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP TEMA 1 Competencia: Conocer las principales operaciones del sistema financiero nacional y las tasas de interés utilizadas. 7 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Desarrollo de los Temas Tema 01: Tasa de Interés Utilizado en el Sistema Financiero Nacional Existe una terminología muy variada para designar las diversas tasas de interés vigentes en el sistema financiero, muchas de ellas representando el mismo concepto a pesar de tener diferentes denominaciones. Trataremos de agrupar. Clasificar y definir esas tasas, en función de algún elemento común que las una. 8 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Tasa activa: Son operaciones activas todas aquellas formas técnicas mediante las cuales los bancos utilizan o aplican los fondos recolectados y cuyos montos quedan expresados en los distintos rubros del activo de sus balances: fondos disponibles, colocaciones, inversiones, otras cuentas del activo. Se puede decir también que son operaciones activas todas aquellas formas técnicas por las cuales los bancos mantienen disponible, colocan o invierten los fondos provenientes de sus operaciones pasivas. La tasa activa, expresada generalmente en términos efectivos, se aplica a las colocaciones efectuadas por los bancos e instituciones financieras a sus clientes por créditos de corto mediano y largo plazo. Balance Bancario 9 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP PRODUCTOS ACTIVOS PRODUCTOS PASIVOS Paga un interés Cobra un interés Tasa pasiva: Son operaciones pasivas todas aquellas formas técnicas u operaciones mediante las cuales las Instituciones del Sistema Financiero captan fondos directamente de los depositantes o indirectamente a través de otras instituciones de crédito (redescuentos). La tasa pasiva corresponde básicamente a las captaciones que se efectúan del público a través de cuentas corrientes, depósitos a plazo, depósitos de ahorro, emisión de bonos y de certificados. Las tasas pasivas aplicadas por las Instituciones del Sistema Financiero a los usuarios finales se expresan generalmente en términos nominales y con una frecuencia de capitalización determinada; por ejemplo, los ahorros capitalizan mensualmente, mientras los depósitos a plazo capitalizan diariamente. 10 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP *Créditos Hipotecarios *Créditos de consumo *Créditos a Microempresas ACTIVAS *Tarjeta de crédito *descuento de letras *Pagares *Prestamos *Leasing OPERACIONES *Depósitos a plazo PASIVAS *CTS *Cuentas de ahorro *Cuentas corrientes Tasa nominal y tasa proporcional: Se dice que una tasa es nominal cuando: a) Se aplica directamente a operaciones de interés simple. b) Es susceptible de proporcionalizarse (dividirse o multiplicarse) j/m veces en un año, para ser expresada en otra unidad de tiempo equivalente, en el interés simple; o como unidad de medida para ser capitalizada n veces en operaciones a interés compuesto. Donde m es el número de capitalizaciones en el año de la tasa nominal anual. La proporcionalidad de la tasa nominal anual j puede efectuarse directamente a través de una regla de tres simple considerando el año bancario de 360 días. Por ejemplo: ¿Cuál será la tasa proporcional diaria y mensual correspondiente a una tasa nominal anual del 24%? La tasa diaria será 0,066% = (24% / 360) La tasa mensual será 2% = 30 (24% / 360). 11 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Tasa efectiva: La tasa efectiva i es el verdadero rendimiento que produce un capital inicial en una operación financiera y, para un plazo mayor a un periodo de capitalización, puede obtenerse a partir de una tasa nominal anual j capitalizable m veces en el año con la siguiente fórmula: En la fórmula anterior, la relación j/m (que es la tasa efectiva del período) y n deben estar referidas al mismo período de tiempo; por lo tanto, el plazo de i está dado por n. Si m y n se refieren sólo a un período, entonces la tasa nominal y la tasa efectiva producen el mismo rendimiento. Por ejemplo: El monto simple de un capital de SI. 1000 colocado a una tasa nominal anual del 24% y el monto compuesto del mismo capital a una tasa efectiva anual del 24% arrojan un monto de S/ 1240: La tasa efectiva i y la misma nominal j para diferentes unidades de tiempo pueden abreviarse del siguiente modo: Por ejemplo: Calcule la TES para un depósito de ahorro que gana una TNA del 24% abonándose mensualmente los intereses en la libreta de ahorros 12 Tasa de Interés Equivalente – Vencidas – Adelantadas UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP TEMA 2 Competencia: Analizar las principales tasas de interés equivalente vencidas y adelantadas. 13 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Tema 02: Tasa de Interés Equivalente– Vencidas -Adelantadas Dos ó más tasas efectivas correspondientes a diferentes unidades de tiempo son equivalentes cuando producen la misma tasa efectiva para un mismo horizonte temporal. Por ejemplo, las siguientes tasas: TEM = 1.530947% y TET = 4,6635139% son equivalentes, porque ambas producen una TEA del 20%. Una tasa de interés i es equivalente a otra j' si sus respectivas capitalizaciones realizadas durante un mismo horizonte temporal H producen el mismo resultado. Tasa equivalente partiendo de una tasa efectiva dada. La tasa equivalente o efectiva periódica i' se obtiene de la relación de equivalencia de la fórmula: y puede ser calculada cuando se tiene como dato la tasa efectiva i. Si designamos a j/m = i' como la tasa equivalente, entonces podemos despejar la incógnita i': En este caso: i' = Tasa equivalente o efectiva periódica a calcular i = Tasa efectiva del horizonte temporal proporcionada como dato f = Número de días del periodo de tiempo correspondiente a la tasa equivalente que se desea calcular. H = Número de días correspondientes al periodo de tiempo de la tasa efectiva i proporcionada como dato. A una TEA le corresponde un H de 360; a una TEM le corresponde un H de 30, etc. Similar procedimiento se sigue con una TES, TET etc. 14 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Como n = H/f, entonces la fórmula anterior queda expresada: En la ecuación anterior, f se expresa en el período de tiempo correspondiente a la incógnita (tasa equivalente), y H se expresa en el período de tiempo de la tasa efectiva proporcionada como dato. Ambas variables deben referirse a una misma unidad de tiempo (días, meses, trimestres, etc). Gráficamente puede observarse que f depende de i' y H depende de i. 1. Ejemplo: ¿A qué TEO debe colocarse un capital para obtener al fin de un trimestre igual monto que si se hubiese colocado a una TEM deI4%? 15 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Ejemplo: Calcule la TEM a partir de una TEA del 24 %. Tasa vencida: La tasa vencida i es el porcentaje a ser aplicado a un capital inicial, el cual se hace efectivo al vencimiento del plazo de la operación pactada (cálculo racional). Todas las fórmulas matemático - financieras, se basan en tasas vencidas Tasa adelantada: La tasa adelantada d, nos permite conocer el precio que habrá de pagarse por percepción de una deuda antes de su vencimiento. La tasa adelantada determina en cuanto disminuye el valor nominal de un título valor, tomando en consideración el tiempo por transcurrir entre la fecha que se anticipa el pago y la fecha de su vencimiento. Matemáticamente es aquella que multiplicada por el capital final S, lo disminuye, para encontrar el capital inicial P. Tasa adelantada equivalente a una tasa vencida: Para encontrar una tasa adelantada "d" equivalente a una tasa vencida proporcionada como " i " dato, podemos relacionar las fórmulas abajo indicadas, estableciendo una ecuación de equivalencia y despejar la tasa "d" del siguiente modo: 16 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Estableciendo una ecuación de equivalencia con los factores simples de actualización Elevando ambos miembros de la igualdad a la 1 /n Ejemplo: En una operación de descuento bancario a 90 días se requiere ganar una tasa trimestral vencida del 4.5% ¿Que tasa adelantada equivalente debe aplicarse para los 90 días? 17 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Tasa vencida (i) equivalente a una tasa adelantada (d ): Si conocemos la tasa d entonces podemos calcular su equivalente i, realizando la siguiente operación. Ejemplo: Una tasa adelantada del 12%, ¿A que tasa efectiva de interés es equivalente? 18 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Tasa de Interés Moratorio – Legal TEMA 3 Competencia: Explicar los procedimientos técnicos y legales en función a las de interés moratoria. 19 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Tema 03: Tasa de Interés Moratorio-Legal Una tasa de interés moratorio constituye la indemnización por incumplimiento del deudor en el reembolso del capital y del interés compensatorio en las fechas convenidas. El interés moratorio se calculará solamente sobre el monto de la deuda correspondiente al capital, adicional mente a la tasa de interés convenci9nal compensatorio o a la tasa de interés legal, cuando se haya pactado. El deudor incurre en mora a partir del día siguiente de la fecha de vencimiento de una cuota si ésta no fuese cancelada. La tasa de interés moratoria es fijada por el BCRP en términos efectivos mensuales y está normada por los siguientes artículos del Código Civil: Tasa de interés total en mora (ITM) Una deuda en mora, de acuerdo a ley, está afecta a una tasa efectiva de interés compensatorio y paralelamente a una tasa efectiva de interés moratorio. El cálculo del interés total de una deuda en mora se obtiene con la siguiente fórmula: 20 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Ejemplo: El 18 de marzo la empresa Master.com. Obtuvo del Banco Latino un préstamo de SI. 20000 para amortizarlo en 10 cuotas uniformes de SI. 2590.09 pagaderas cada 30 días a una TEM del 5%. Si Master.com no pudo pagar sus tres primeras cuotas y el 30 de junio cancela su deuda vencida, ¿Cuál es el pago total que debe efectuar? La tasa de interés de mora equivale al 15% de la TEM. Efectúe la liquidación considerando separadamente el importe de cuotas vencidas, el interés compensatorio y el interés moratorio. Ejemplo: El 21 de enero la Universidad José Carlos Mariategui descontó un pagare de SI. 50000 con vencimiento dentro de 30 días a una TEM del 4%. Si el documento se cancela el 26 de febrero, ¿cual es el importe de la deuda, considerando que la tasa de mora es el 15% de la tasa compensatoria. Efectué la liquidación al 26 de febrero considerando gastos de portes de SI. 5.00 21 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Ejemplo: Calcule el interés total en mora generado por una deuda de SI. 1000 vencida hace 18 días. La TEM compensatoria es 5% y la TEM moratoria es 0.75% Solución: Tasas explícita e implícita: La tasa explícita es una tasa anunciada en las operaciones mercantiles y financieras. La tasa implícita o tasa de retorno no figura expresamente en la operación financiera o mercantil, pero está oculta en el costo total cuando se compara un precio de contado con un precio de crédito generalmente más elevado. De acuerdo al tipo de información disponible la tasa implícita se calcula con las diversas fórmulas de tasas de interés, o con el principio de equivalencia financiera 22 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Tasa de interés legal: De acuerdo al arto 1244 del Código Civil, la tasa de interés legal es fijada por el BCRP. Cuando deba pagarse interés, sin haberse fijado la tasa, el deudor debe abonar el interés legal. A partir del 16 de septiembre de 1992 la tasa de interés legal efectiva para las diferentes operaciones son las siguientes: Moneda nacional: a. Operaciones no sujetas al sistema de reajuste de deudas: 2 veces la TIPMN. b. TIPMN es la tasa promedio ponderado de las tasas pagadas sobre los depósitos moneda nacional, incluidos aquellos a la vista, por los bancos y financieras. c. Operaciones sujetas al sistema de reajuste de deudas: la tasa efectiva será calculada de forma tal que el costo efectivo de estas operaciones, incluido el reajuste, sea equivalente a la tasa señalada en el punto (a). d. Depósitos en consignación en el Banco de la Nación: 2 veces la TIPMN. La tasa interés legal en moneda nacional está expresada en términos efectivos mensuales y será publicada diariamente por la SBS en el diario oficial El Peruano. Moneda extranjera: a. Dólares de los Estados Unidos de América: 1.2 veces la TIPMEX. La TIPMEX es la tasa promedio ponderado de las tasas pagadas sobre los depósitos en moneda extranjera, incluidos aquellos a la vista, por los bancos y financieras. Para el cálculo del interés legal de las monedas extranjeras distintas al dólar de los Estados Unidos de América se hará la conversión a esa moneda y se aplicará 1,2 veces la TIPMEX. b. Depósitos en consignación en el Banco de la Nación: 1,2 veces la TIPMEX. La tasa interés legal en moneda extranjera está expresada en términos efectivos anuales será publicada diariamente por la SBS en el diario oficial El Peruano. Para el cálculo de los intereses legales se aplicarán los factores acumulados correspondí-ente al período computable, establecido por la SBS. 23 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP TAMN – TAMEX – TIPMIN – TIPMEX TEMA 4 Competencia: Explicar las generalidades y aplicaciones de las TAMN – TAMEX – TIPMIN – TIPMEX. 24 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Tema 04: TAMN – TAMEX - TIPMIN TIPMEX A partir del 11 de marzo de 1991 el BCRP utiliza la siguiente terminología para las operaciones activas y pasivas que efectúan las entidades del sistema financiero nacional: Las tasas activas se expresan en términos efectivos y las tasas pasivas en términos nominales con una frecuencia de capitalización determinada, de acuerdo con el tipo de operación realizada. Los ahorros se capitalizan mensualmente y los depósitos a plazo capitalizan diariamente. Tasa efectiva en soles de depósitos en moneda extranjera (dólares): La rentabilidad o pérdida (rentabilidad negativa), originados por los depósitos de moneda extranjera en el sistema financiero, específicamente el dólar norteamericano, está en función de la tasa de interés que se perciba por la colocación de los dólares y la devaluación o revaluación del sol en relación a esa moneda. La rentabilidad total implica el siguiente circuito: Capital inicial en moneda nacional. Conversión de la moneda nacional en moneda extranjera a través de su compra al tipo de cambio de venta de los bancos. Depósito del capital inicial en moneda extranjera en una entidad financiera, ganando una tasa de interés. Percepción de los intereses en moneda extranjera. Retiro de la institución financiera del monto en moneda extranjera y su conversión a moneda nacional, vendiéndola al tipo de cambio de compra de los bancos. 25 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Comparación del capital inicial y final en moneda nacional durante el período que ha durado la transacción, para obtener el interés y la tasa de interés percibidos. El cálculo de la tasa efectiva TE en moneda nacional de un depósito en moneda extranjera, incluye la tasa efectiva ganada en moneda extranjera y la tasa de devaluación de la moneda nacional (la devaluación es una tasa efectiva), y se efectúa con la siguiente fórmula: Si el tipo de cambio disminuye en la fecha de venta de la moneda extranjera, con relación a la cotización en que se compró dicha moneda, las transacciones pueden originar pérdida en moneda nacional. Ejemplo: El 3 de enero la compañía Nuevo Mundo invirtió SI. 5000 comprando dólares norteamericanos a un tipo de cambio de SI. 3.37 importe que depositó en el Banco Nacional ganando una TEA del 6%. El 22 de enero cuando el tipo de cambio era de SI. 3.40 canceló su cuenta, cuál fue: a) la tasa de rentabilidad del período y b) la tasa de rentabilidad proyectada del mes c) compruebe la tasa de rentabilidad. Solución: a) Tasa de rentabilidad del período (19 días) b) Tasa de rentabilidad mensual c) Comprobación de la tasa de rentabilidad del período (19 días 26 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Ejemplo: El 22 de Enero una persona invirtió SI. 10000 comprando dólares americanos a un tipo de cambio de S/. 3.40. El importe fue depositado en el banco Nacional ganando una TEA del 6%. El 23 de febrero, por necesidades de liquidez debe cancelar su cuenta y vender su moneda extranjera al tipo de cambio de S/. 3.37 vigente en esa fecha. a. ¿Cuál fue la tasa de rentabilidad del periodo?, b. ¿Cuál fue la tasa de rentabilidad proyectada del mes?, y c. Compruebe la tasa de rentabilidad obtenida. Solución: a. Tasa de rentabilidad del periodo (32 días) b. Tasa de rentabilidad mensual. c. Comprobación de la tasa de rentabilidad del periodo (32 días). 27 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP La persona, el 23 de febrero, ha perdido S/. 36.76 equivalente al 0.3676 % del capital en moneda nacional que dispuso el 22 de enero (10000 x 0.003676454 = 36.76454). Tasa de inflación: La tasa de inflación (f) es una tasa efectiva, indicadora del crecimiento sostenido de los precios de los bienes y servicios de la economía, en un periodo de tiempo determinado, calculada por el Instituto Nacional de Estadística e Informática (INEI) sobre la base de una canasta básica de consumo familiar, tomada en una fecha cuya estructura de costos en la actualidad está referida a un año base. La tasa de inflación es medida relacionando dos índices de Precios al Consumidor (IPC), calculados con la formula, en la cual el numerador corresponde al índice de la fecha evaluada y el denominador al índice de la fecha tomada como base. Calculo de la tasa acumulada de inflación cuando se conocen las variaciones mensuales: La tasa de inflación es una tasa compuesta: por lo tanto sus cálculos se efectúan aplicando las formulas de la tasa efectiva en la cual se reemplaza la tasa de interés (i) por la tasa de inflación (f). 28 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Calculo de la tasa de inflación cuando se conocen los números índices: Para calcular la tasa de inflación aplicando los IPC publicados mensualmente por el INEI.se relaciona el lPC actual (IPCn) el cual incluye el incremento de precios hasta el último día del mes y se publica el primer dic. útil del mes siguiente, con el lPC en la base (IPCo). Tasa discreta y continua: La tasa discreta supone períodos de capitalización cada cierto período de tiempo, tal como ocurre en el sistema financiero, donde el período más pequeño de capitalización es un día, aplicable a los depósitos a plazo, mientras la tasa continua supone una capitalización instantánea. Los procesos de capitalización continua o instantánea, utilizados en ingeniería económica, no son aplicables en el campo financiero. De todos modos las diferencias entre una capitalización diaria con una horaria, o instantánea es casi imperceptible. El presente texto sólo utiliza tasas y flujos de caja discretos. Tasas explícita e implícita: La tasa explícita es una tasa anunciada en las operaciones mercantiles y financieras. La tasa implícita o tasa de retorno no figura expresamente en la operación financiera o mercantil, pero está oculta en el costo total cuando se compara un precio de contado con un precio de crédito generalmente más elevado. De acuerdo al tipo de información disponible la tasa implícita se calcula con las diversas fórmulas de tasas de interés, o con el principio de equivalencia financiera 29 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Tasa de interés legal: De acuerdo al arto 1244 del Código Civil, la tasa de interés legal es fijada por el BCRP. Cuando deba pagarse interés, sin haberse fijado la tasa, el deudor debe abonar el interés legal. A partir del 16 de septiembre de 1992 la tasa de interés legal efectiva para las diferentes operaciones son las siguientes: Moneda nacional: a. Operaciones no sujetas al sistema de reajuste de deudas: 2 veces la TIPMN. TIPMN es la tasa promedio ponderado de las tasas pagadas sobre los depósitos moneda nacional, incluidos aquellos a la vista, por los bancos y financieras b. Operaciones sujetas al sistema de reajuste de deudas: la tasa efectiva será calculada de forma tal que el costo efectivo de estas operaciones, incluido el reajuste, sea equivalente a la tasa señalada en el punto (a). c. Depósitos en consignación en el Banco de la Nación: 2 veces la TIPMN. La tasa interés legal en moneda nacional está expresada en términos efectivos mensuales y será publicada diariamente por la SBS en el diario oficial El Peruano. Moneda extranjera: a) Dólares de los Estados Unidos de América: 1.2 veces la TIPMEX. La TIPMEX es la tasa promedio ponderado de las tasas pagadas sobre los depósitos en moneda extranjera, incluidos aquellos a la vista, por los bancos y financieras. Para el cálculo del interés legal de las monedas extranjeras distintas al dólar de los Estados Unidos de América se hará la conversión a esa moneda y se aplicará 1,2 veces la TIPMEX. b) Depósitos en consignación en el Banco de la Nación: 1,2 veces la TIPMEX. La tasa interés legal en moneda extranjera está expresada en términos efectivos anuales será publicada diariamente por la SBS en el diario oficial El Peruano. Para el cálculo de los intereses legales se aplicarán los factores acumulados correspondientes al período computable, establecido por la SBS. 30 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Lecturas Recomendadas TASAS EXISTENTES EN EL SISTEMA FINANCIERO http://www.bcrp.gob.pe/docs/ProyeccionInstitucional/Seminarios/2006/Evento-200604.pdf TASAS UTILIZADAS EN EL SISTEMA FINANCIERO NACIONAL http://www.ujcm.edu.pe/bv/links/cur_contabilidad/MatemaFinanciera-5.pdf Actividades y Ejercicios 1. Ingresa al link "Tasas" lee atentamente las indicaciones, desarróllalo y envíalo por el mismo medio. Calcular la tasa proporcional: a. Trimestral, a partir de una tasa nominal anual del 24% b. Trimestral, a partir de una tasa nominal semestral del 12% c. Mensual, a partir de una tasa nominal trimestral del 12% d. De 18 días, a partir de una tasa nominal anual del 18% e. De 88 días, a partir de una tasa nominal trimestral del 6% f. Anual, a partir de una tasa nominal mensual del 2% g. De 46 días, a partir de una tasa nominal bimestral del 6% h. De 128 días, a partir de una tasa nominal mensual del 2% 31 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP 2. Ingresa al link "TNA" lee atentamente las indicaciones, desarróllalo y envíalo por el mismo medio. Tomando como base una TNA del 18% con capitalización: anual, semestral, cuatrimestral, trimestral, bimestral, mensual, quincenal y diaria. Calcule sus respectivas tasas: 32 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Autoevaluación 1) Son operaciones mediante las cuales los bancos utilizan o aplican los fondos recolectados y cuyos montos quedan expresados en los distintos rubros de sus balances: fondos disponibles, colocaciones, inversiones, otras cuentas. a. Tasa de interés pasiva. b. Tasa de interés nominal. c. Tasa de interés efectiva. d. Tasa de interés activas. e. Tasa de interés implícita. 2) Son operaciones pasivas todas aquellas formas técnicas u operaciones mediante las cuales las Instituciones del Sistema Financiero captan fondos directamente de los depositantes o indirectamente a través de otras instituciones de crédito (redescuentos). a. Tasa de interés pasiva. b. Tasa de interés nominal. c. Tasa de interés efectiva. d. Tasa de interés activas. e. Tasa de interés implícita. 3) Se dice que una tasa es nominal cuando: a. Se aplica a un plazo mayor a un periodo de capitalización. b. Se aplica al conocer el precio que habrá de pagarse. c. Se aplica directamente a operaciones de interés simple. d. Se aplica a la indemnización por incumplimiento. e. Se aplica a los precios de los bienes y servicios de la economía. 4) La tasa efectiva i es el verdadero rendimiento que produce un capital inicial en una operación financiera y, para un plazo mayor a un periodo de capitalización, puede obtenerse a partir de una tasa nominal anual j capitalizable m veces en el año. a. Tasa de interés nominal. b. Tasa de interés efectiva. c. Tasa de interés activas. d. Tasa de interés implícita. e. Tasa de interés pasiva. 5) No figura expresamente en la operación financiera o mercantil, pero está oculta en el costo total cuando se compara un precio de contado con un precio de crédito generalmente más elevado. a. Tasa anual o tasa implícita. b. Tasa mensual o tasa fija. c. Tasa anual o tasa nominal. d. tasa nominal o tasa de retorno. e. tasa implícita o tasa de retorno. 33 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP 6) La tasa vencida i es el porcentaje a ser aplicado a un capital inicial, el cual se hace efectivo al vencimiento del plazo de la operación pactada (cálculo racional). a. Tasa de interés vencida. b. Tasa de interés efectiva. c. Tasa de interés activa. d. Tasa de interés implícita. e. Tasa de interés explicita. 7) Nos permite conocer el precio que habrá de pagarse por percepción de una deuda antes de su vencimiento. a. Tasa de interés inflación. b. Tasa de interés efectiva. c. Tasa de interés adelantada. d. Tasa de interés moratoria. e. Tasa de interés implícita. 8) Constituye la indemnización por incumplimiento del deudor en el reembolso del capital y del interés compensatorio en las fechas convenidas. a. Tasa de interés efectiva. b. Tasa de interés fija. c. Tasa de interés explícita. d. Tasa de interés moratorio. e. Tasa de interés implícita. 9) Es una tasa efectiva, indicadora del crecimiento sostenido de los precios de los bienes y servicios de la economía, en un periodo de tiempo determinado, calculada por el Instituto Nacional de Estadística e Informática (INEI). a. Tasa de interés inflación. b. Tasa de interés efectiva. c. Tasa de interés moratoria. d. Tasa de interés implícita. e. Tasa de interés complementaria. 10) Figura expresamente en la operación financiera o mercantil, pero está oculta en el costo total cuando se compara un precio de contado con un precio de crédito generalmente más elevado. a. Tasa de interés efectiva. b. Tasa de interés activas. c. Tasa de interés implícita. d. Tasa de interés explicita. e. Tasa de interés complementaria. 34 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Resumen UNIDAD DE APRENDIZAJE I: Son operaciones activas todas aquellas formas técnicas mediante las cuales los bancos utilizan o aplican los fondos recolectados y cuyos montos quedan expresados en los distintos rubros de los activos de sus balances: fondos disponibles, colocaciones, inversiones, otras cuentas. Son operaciones pasivas mediante las cuales las Instituciones financieras captan fondos directamente de los depositantes o indirectamente a través de otras instituciones de crédito. Aplica directamente a operaciones de interés simple. Es susceptible de proporcionalizarse m veces en un año, para ser expresada en otra unidad de tiempo equivalente en el interés simple. La tasa efectiva es el verdadero rendimiento que produce un capital inicial en una operación financiera y para un plazo mayor a un periodo de capitalización, puede obtenerse de una tasa nominal anual. La tasa equivalente dos o más tasas son efectivas correspondientes a diferentes unidades de tiempo son equivalentes cuando producen la misma tasa efectiva para un mismo horizonte temporal. Tasa Adelantada nos permite conocer el precio que habrá de pagarse por percepción de una deuda antes de su vencimiento, además determina en cuanto disminuye el valor nominal de un título valor, tomando en consideración el tiempo en transcurrir entre la fecha que se anticipa el pago y la fecha de vencimiento. El monto del tributo no pagado dentro de los plazos indicados, devengará un interés equivalente a la Tasa de Interés Moratorio (TIM), la cual no podrá exceder del veinte por ciento (20%) por encima de la tasa activa del mercado promedio mensual en moneda nacional (TAMN) que publique la Superintendencia de Banca y Seguros el último día hábil del mes anterior. Tratándose de deudas en moneda extranjera, la TIM no podrá exceder a un plazo del veinte por ciento (20%) por encima de la tasa activa anual para las operaciones en moneda extranjera (TAMEX) que publique la Superintendencia de Banca y Seguros el último día hábil del mes anterior. . Las tasas activas reportadas son aquéllas que cobran los bancos por las modalidades de financiamiento conocidas como sobregiros, descuentos y préstamos (a diversos plazos). La Tasa Activa Promedio en Moneda Nacional (TAMN) y la Tasa Activa Promedio en Moneda Extranjera (TAMEX) son tasas promedio de un conjunto de operaciones de crédito que tienen saldo vigente a la fecha. Estas tasas resultan de agregar operaciones pactadas con clientes de distinto riesgo crediticio y que han sido desembolsadas en distintas fechas. Las tasas pasivas representan las tasas que reciben los depositantes por sus cuentas corrientes, cuentas de ahorro y depósitos a plazo fijo. Al igual que las tasas activas, existen las tasas de interés promedio TIPMN y TIPMEX, en las que se promedian las tasas de diversas operaciones pasivas con saldos vigentes. 35 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP 36 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Introducción a) Presentación y contextualización Los temas que se tratan en la presente Unidad Temática, tienen por finalidad que el estudiante tome conocimiento para realizar cálculos rápidos y precisos en las operaciones de interés simple e interés compuesto, identificando las tasas de interés que se aplican en el sistema interbancario y sistema financiero peruano. b) Competencia Reconoce las operaciones y formulas correspondientes a cada interés simple e interés compuesto. c) Capacidades 1. Conoce las generalidades y factores que comprende el interés simple. 2. Reconoce y aplica fórmulas en la resolución de problemas de interés simple 3. Explica los procedimientos técnicos en cada operación de interés compuesto. 4. Describe las principales fórmulas del interés compuesto. d) Actitudes Muestra interés por el análisis de los tipos de intereses que genera un capital. Promueve la adecuada aplicación de las fórmulas sobre los casos de interés que corresponda. e) Presentación de Ideas básicas y contenido esenciales de la Unidad: La Unidad de Aprendizaje 02: Interés Simple e Interés Compuesto, comprende el desarrollo de los siguientes temas: TEMA 01: Interés Simple y sus Factores TEMA 02: Tasa de Interés Simple (Clasificación) TEMA 03: Interés Compuesto TEMA 04: Fórmula del Interés Compuesto 37 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Interés Simple y sus Factores TEMA 1 Competencia: Conocer las generalidades y factores que comprende el interés simple. 38 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Desarrollo de los Temas Tema 01: Interés Simple y sus Factores INTERES SIMPLE Concepto: El interés es la cantidad que debe pagar una persona por el uso del dinero tomado en préstamo. La cantidad del interés depende de las variables siguientes: Capital: cantidad que se da en préstamo. Plazo: tiempo durante el cual se presta el capital. Tasa de interés. Fórmula general del interés: El interés es el producto que resulta de multiplicar el capital por la tasa; y multiplicándolo por la(s) unidad(es) de tiempo obtenemos el interés total que corresponde a dicha(s) unidad(es). Para designar los diversos elementos del interés, se emplean las literales siguientes: I = Interés C = Capital, principal, valor actual o valor presente i = Tasa de interés por unidad de tiempo t = Tiempo o plazo Al aplicar la definición anterior, tenemos la fórmula siguiente: I = C.i.t…………………… (1) NOTA: para aplicar la fórmula y resolver el problema, los datos de tiempo (t) y tasa de interés (i) deben referirse a una misma unidad de tiempo. 39 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Ejemplos: Si la tasa es anual y el tiempo 5 años, t = 5. Si la tasa es anual y el tiempo 7 meses, sustituimos t por 7/12. Si la tasa es mensual y el tiempo 2 años, consideramos t por 24 meses. En el mismo caso, si la tasa es trimestral y el tiempo 3 años, convertiremos los años a trimestres: t = 12. En conclusión, siempre convertiremos las unidades de tiempo a las unidades a que hace referencia la tasa. A continuación, se analiza la fórmula general del interés en una serie de problemas de cálculo del interés (I), capital (C), tasa de interés (i) y tiempo (t). (Es importante que realices tus propios cálculos para que compruebes cómo se llegó a los resultados). Cálculo del interés (i): Ejercicio 1: ¿Qué interés (I) produce un capital (C) de $ 40,000.00 en 1 año 7 meses y 21 días (t), al 24% anual (i)? 40 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP De la fórmula de interés: I = C.i.t……………. (1) Se extraen las que sirvan para calcular el capital (C), tasa de interés (1) y tiempo (t), despejando cada una de esas variables de la fórmula de interés (/): Monto, capital, tasa de interés y tiempo. Cálculo del capital (c): Ejercicio 2. ¿Qué capital (C), con tasa de interés del 12% anual (i), produce intereses de $15,000.00 (/) en 10 meses (t)? 41 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Cálculo de la tasa de interés (i): Ejercicio 3: ¿Cuál es la tasa de interés (i) a la que ha estado invertido un capital de $110,000.00 (C) que durante dos años y 5 meses (t) produjo $39,875.00 de interés (I)? Si el interés es de 1.25% cada mes, corresponde a 1.25 x 12 = 15% anual. NOTA: si la tasa de interés es la incógnita, la unidad de tiempo será la que se maneje en la variable tiempo. Cálculo del tiempo (t): Ejercicio 4: ¿Qué tiempo (t) habrá estado invertido un capital de $85,000.00 (C) que produjo un interés de $35,700.00 (I) a una tasa anual de 21 % (i)? NOTA: cuando se pide la tasa de interés en años, automáticamente, la tasa saldrá anualizada. Es decir, toma la unidad de tiempo que maneja la tasa de interés. 42 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Monto de un capital utilizando interés simple: Se conoce por monto a la suma del capital (C) más el interés (l). (También se le denomina valor futuro, valor acumulado o valor nominal). Si designamos como M a dicha suma, tenemos Y si la fórmula del interés (I): La sustituimos en la fórmula del monto (M) arriba anotada, tenemos que: Cálculo del monto (M): Ejercicio 5: Si usamos los datos del ejercicio 1, y sabiendo de antemano que el monto (M) relativo es $55,760.00, comprobamos nuestra nueva fórmula En función de la fórmula del monto, puede ser necesario calcular el capital, el tiempo o la tasa; en tal caso, se procederá a despejar la incógnita de la fórmula básica. Así, para buscar el capital (C), tenemos: 43 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Para encontrar el tiempo, tenemos: Por último, para encontrar la tasa de interés, aplicamos la fórmula siguiente: A continuación mediante ejercicios se analizan las fórmulas anteriores. (Conviene que realices los cálculos, para que comprendas cómo se resolvieron cada una de las literales). Cálculo del capital (C) utilizando monto (M): Ejercicio 6: ¿Cuál es el capital (C) que produjo un monto (M) de $135,000.00, a una tasa (i) de 14% anual durante nueve meses? NOTA: si en el enunciado no se especifica la unidad de tiempo a la que se establece la tasa de interés, se sobreentiende que es anual. Cálculo del tiempo (t) utilizando monto (M): Ejercicio 7: ¿Durante qué tiempo (t) un capital (C) de $122,171.94, impuesto a 14% anual (i), se convierte en un valor futuro (M) de $135,000.00? NOTA: observa que, como el tiempo resultó en fracción de año, se utiliza una regla de tres para obtener la unidad de tiempo preferida, que en este ejercicio es: 44 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Cálculo de la tasa de interés (/) utilizando monto (M): Ejercicio 8: ¿A qué tasa de interés (i) habrá estado impuesto un capital (C) de $122,171.94, que en 9 meses (t) produjo un monto (M) de $135,000? 45 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Tasa de Interés Simple (Clasificación) TEMA 2 Competencia: Reconocer y aplicar fórmulas en la resolución de problemas de interés simple 46 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Tema 02: Tasa de Interés Simple (Clasificación) INTERÉS SIMPLE Ocurre cuando los intereses que debe pagar el acreedor por cada lapso convenido no se incorporan al capital. Es simple porque el capital que lo produce siempre es el mismo. Interés compuesto: Se da cuando el deudor no paga los intereses a su vencimiento. De este modo, se cuenta en realidad con un capital al acumularse los intereses al capital, éstos producen un nuevo y mayor capital sobre el cual se acumularán los intereses por el siguiente periodo. Y aunque siempre hay una misma tasa, el capital se va incrementando sucesivamente junto con los intereses. Dicho de otro modo, el interés produce a su vez más intereses. Descuento bancario o simple: El descuento es la disminución que se hace a una cantidad que se paga antes de su vencimiento. Es decir, es el cobro hecho con anticipación a una cantidad con vencimiento futuro; esto significa que la persona que compra el derecho de cobrar esa cantidad futura efectúa un préstamo por el cual exige un interés, ya que debe transcurrir el tiempo anticipado para recuperar su inversión. A ese interés se le llama descuento: cuando el inversionista (quien compra el documento que ampara la cantidad futura) adquiere en una cantidad menor un valor nominal que vence en el futuro. Asimismo a una cantidad que tiene un vencimiento en un plazo futuro le corresponde un valor actual. 47 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP A la diferencia entre ambos se le llama descuento: Para calcular el descuento aplicando el interés simple, se utilizan dos procedimientos: descuento comercial y descuento real o justo. Sus elementos se designan mediante las literales siguientes: DESCUENTO COMERCIAL: Se calcula sobre el valor nominal. Consiste en calcular el interés entre el vencimiento de la deuda y la fecha del descuento a cierta tasa sobre el valor nominal. Fórmula. Si el descuento comercial es el interés del valor nominal, sustituimos en la fórmula del interés simple (I = Cit) los valores correspondientes, considerando que el interés se calcula sobre el valor nominal (M) y no sobre el valor actual (C): En función de la fórmula del descuento comercial (Dc), puede ser necesario calcular el valor nominal (M), tiempo (t) y tasa de descuento (d = i), en cuyo caso se procederá a despejar la incógnita de la fórmula básica. Así, para buscar el valor nominal (M), tenemos: 48 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Y para encontrar el tiempo (t), tenemos: Por último, para encontrar la tasa de descuento (d = i), tenemos: Para obtener el valor actual o valor descontado (C), se encuentra la diferencia entre el monto o valor nominal (M) menos el descuento (DC): Descuento real o justo Es la diferencia entre el valor nominal y el actual. Fórmula El descuento real o justo puede considerarse como la diferencia entre el valor nominal (M) y su valor actual: Podemos escribir la fórmula del descuento real así: Ejercicio 9: Se tiene un documento con valor nominal de $50,000.00 (M) y una tasa de descuento del 2.5% mensual (d = i): M = $50,000.00 d = i = 4% = 0.04 mensual Además, se cuenta con los datos de la tabla siguiente: 49 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP La tabla anterior nos revela la diferencia entre los descuentos. El descuento comercial es el interés del valor nominal (M), ya que calcula el descuento no sobre el capital invertido, sino sobre la suma de éste más los intereses; de lo que resulta que el descuento se calcula a una tasa mayor que la del problema, pues al disminuir al valor nominal el descuento, se obtendrá una cantidad menor al valor actual. Por tanto, el descuento se rige a una tasa mayor de la que se da en el problema. La siguiente fórmula es aplicable en ambos tipos de descuento: Y despejando las demás variables, tenemos: A continuación, se analizan y comparan las fórmulas de descuento comercial (Dc) con las de descuento real o justo (Dr), mediante los ejercicios siguientes. (No olvides hacer también los cálculos para que sepas cómo fueron resueltas cada una de las literales). Cálculo del valor descontado (C). 50 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Ejercicio 10: ¿Cuál es el valor descontado (C) de un documento con valor nominal de $50,000.00 (M) y una tasa de descuento del 2.5% mensual (d = 1), si se descuentan 6 meses (t) antes de su vencimiento? Con descuento comercial (Dc): Si D = $7,500.00, obtenido de la tabla arriba indicada en el mes 6, tenemos: O si se utiliza la fórmula: Con descuento real o justo (Dr), tenemos: Si D = $6,521.74, obtenido de la tabla indicada en el mes 6, entonces: O bien, si se aplica la fórmula: 51 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Cálculo del tiempo (t): Ejercicio 11: Indica con qué tiempo (t) de anticipación se descontó un documento cuyo valor nominal es $50,000.00 (M). Se recibió un valor descontado (C) de $42,500.00, con descuento comercial; y $43,478.60, con descuento real o justo. Y la tasa de descuento es de 2.5% mensual (d = 1). De acuerdo con el descuento comercial (Dc), tenemos: De acuerdo con el descuento real o justo (Dr), tenemos: 52 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Cálculo de la tasa de descuento (d = i): Ejercicio 12: ¿A qué tasa descuento (d) se aplicó un documento con valor nominal de $50,000.00 (M), si se descontó faltando 6 meses (t) para su vencimiento y por el cual se obtuvo un valor descontado (C) de $42,500.00, con descuento comercial; y $43,478.60, con descuento real o justo? Según el descuento comercial (Dc): Según el descuento real o justo (Dr): 53 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Cálculo del valor nominal (M): Ejercicio 13: Calcula el valor nominal (M) de un documento que se descontó 6 meses (t) antes de su vencimiento. Se aplicó una tasa de descuento del 2.5% (d = 1) y se obtuvo un valor descontado (C) de $42,500.00, con descuento comercial; y de $43,478.60, con descuento real o justo. Según el descuento comercial (Oc): Si aplicamos la fórmula: Según el descuento real o justo (Dr): 54 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Interés Compuesto TEMA 3 Competencia: Explicar los procedimientos técnicos en cada operación de interés compuesto. 55 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Tema 03: Interés Compuesto El interés compuesto tiene lugar cuando el deudor no paga al concluir cada periodo que sirve como base para su determinación- los intereses correspondientes. Así, provoca que los mismos intereses se conviertan en un capital adicional, que a su vez producirá intereses (es decir, los intereses se capitalizan para producir más intereses). Cuando el tiempo de la operación es superior al periodo al que se refiere la tasa, los intereses se capitalizan: nos encontramos ante un problema de interés compuesto y no de interés simple. En la práctica, en las operaciones a corto plazo, aun cuando los periodos a que se refiere la tasa sean menores al tiempo de la operación y se acuerde que los intereses sean pagaderos hasta el fin del plazo total, sin consecuencias de capitalizaciones, la inversión se hace a interés simple. Por eso, es importante determinar los plazos en que van a vencer los intereses, para que se puedan especificar las capitalizaciones, y, .en consecuencia, establecer el procedimiento para calcular los intereses (simple o compuesto). NOTA: cuando no se indican los plazos en que se deben llevar a cabo las capitalizaciones, se da por hecho que se efectuarán de acuerdo con los periodos a los que se refiere la tasa. En caso de que la tasa no especifique su vencimiento, se entenderá que ésta es anual, y las capitalizaciones, anuales. 56 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Monto, capital, tasa de interés y tiempo: Para calcular el monto de un capital a interés compuesto, se determina el interés simple sobre un capital sucesivamente mayor, como resultado que en cada periodo los intereses se van sumando al capital inicial. Por ejemplo, el caso de un préstamo de $10,000.00, a 18% anual en 6 años; para confrontar el funcionamiento respecto del interés simple, se comparan ambos tipos de interés en la siguiente tabla: Como se puede ver, el monto a interés compuesto es mayor por la capitalización de los intereses en cada uno de los plazos establecidos de antemano. Si se sigue este procedimiento, podemos encontrar el monto a interés compuesto; sin embargo, cuando el tiempo de operación es demasiado largo, esta misma solución puede tener errores. Tenemos la fórmula que nos da el monto de un capital a interés compuesto en "n" periodos: NOTA: para estudiar el interés compuesto, se utilizan las mismas literales del interés simple. Pero cabe hacer algunas observaciones importantes: En este caso, el tiempo se mide por periodos de capitalización (número de veces que los intereses se convierten o suman al capital en todo el plazo que dura la operación), cambiando la literal (t) por la variable (n). Se debe tomar en cuenta, nuevamente, que tanto la variable tiempo -que de aquí en adelante se le puede llamar periodo de capitalización (n)- como la de tasa de interés (i) se manejen en la misma unidad de tiempo. En la tasa de interés pueden aparecer las palabras convertible, compuesto, nominal o capitalizable, que se toman como sinónimos e indican el número de veces que se capitalizarán los intereses en un año (frecuencia de conversión). 57 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Ejemplo: El 18% convertible mensualmente indica que el 18% que está en forma anual debe ser convertido a forma mensual. Esto se realiza dividiendo el porcentaje entre 12 (número de meses del año): 0.18/12. Si es capitalizable trimestralmente, el resultado es 0.18/4, etcétera. Para la solución del problema debemos sujetamos a la unidad de tiempo (frecuencia de conversión) que se mencione en la tasa de interés. Si aplicamos la fórmula 20 a los datos del problema que resolvimos aritméticamente, tenemos: Ejercicio 15: ¿Cuál es el monto (M) de un capital de $10,000.00 (C), impuesto a interés compuesto a la tasa del 18% anual (i) en 6 años? El resultado anterior es el mismo que obtuvimos aritméticamente en la tabla anterior. (Observa que la tasa no fue convertida en una unidad de tiempo menor, ya que no se indicaba en ella). Desde este momento, siempre que se mencione la palabra interés, deberá entenderse que se hace referencia al interés compuesto. Ejercicio 16: ¿Cuál es el monto (M) de un capital (C) de $85,000.00, impuesto a un interés compuesto a la tasa del 22% (i) durante 12 años (n)? 58 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Ejercicio para tomar en consideración: Calcule, por los métodos matemático y comercial, el monto compuesto que acumulará un capital de $ 1.500.000 durante 6 años y 9 meses al 16% anual capitalizable semestralmente. Analice los resultados. Método matemático 0,16 M 1.500.000 * 1 2 13, 5 M 1.500.000 * (1,08) 13, 5 M 4.239.473,82 MÉTODO COMERCIAL 0,16 M 1.500.000 * 1 12 81 M 1.500.000 * (1,01333333) 81 M 4.385608,90 Se puede evidenciar que los montos son diferentes debido al tiempo que se toman en ambos casos. Debido a que el método comercial se basa en los 360 días y el método matemático en los 365 días. Ejercicio para tomar en consideración: Calcule el monto a interés compuesto y a interés simple de un capital de $1000.000 colocado durante 10 años a una tasa de interés del 12% anual. Analice los resultados. Interés simple: ? = ?(? + ? ∗ ?) M = 1.000.000(1 + 0.12 ∗ 10) M = 2`200.000 Interés compuesto: ? = ?(? + ?)? M = 1´000.000 (1 M = 3´105.848,21 + 0.12)10 59 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Interpretación: Interés Simple I=M−C I = 2´200.000 − 1´000.000 I = 1´200.000 Interés Compuesto ?=?−? I = 3´105.848,21 − 1´000.000 I = 2´105.848,21 Los resultados que se obtuvo al realizar la operación es que el monto al ser calculado en forma simple y compuesta nos arroja diferentes resultados, esto se debe a la siguiente razón: El interés simple es el que se obtiene cuando los intereses producidos, durante todo el tiempo que dure esta inversión se deben únicamente al capital inicial, mientras que en el interés compuesto es el que se obtiene cuando el capital se le suma periódicamente los intereses producidos, así al final de cada período el capital que se tiene es el capital anterior más los intereses producidos por ese capital durante dicho período, es decir se cobra interés sobre interés. 60 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Fórmula del Interés Compuesto TEMA 4 Competencia: Describir las principales fórmulas del interés compuesto. 61 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Tema 04: Formula del Interés Compuesto Cuando se necesite conocer el interés, basta con calcular el monto y de éste deducir el capital. Sin embargo, vamos a deducir la fórmula que nos proporcione directamente el interés: Con base en lo anterior, al sustituir por M su valor, tenemos: Teniendo como factor común a C: Ejercicio 17: Apliquemos la fórmula anterior: ¿cuál es el interés (I) de un capital (C) de $85,000.00, impuesto a un interés compuesto a la tasa del 22% (i), durante 12 años (n)? Tenemos: Cálculo del capital en función de la fórmula del monto: Nos basamos en la fórmula del monto al interés compuesto: Luego, despejamos la variable C 62 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Ejercicio 18: ¿Cuál es el capital (C) de un valor acumulado de $924,138.13 (M), invertido durante 12 años (n) al 22% anual (i)? Ejercicio 19: ¿Qué capital (C) produce un monto de $379,899.89 (M) a los 6 años (n), si la tasa es del 3.5% trimestral (i)? Cálculo del tiempo en función de la fórmula del monto: Despejemos n de la fórmula del monto: Ejercicio 20: ¿Dentro de cuánto tiempo (n), un capital de $25,600.00 (C) a la tasa del 2.5% trimestral (i) valdrá $31,970.89 (M)? 63 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Ejercicio 21: ¿Dentro de cuánto tiempo (n) una persona que invirtió $115,000.00 (C) obtendrá $139,179.87, como monto (M) a la tasa (i) del 1.75% bimestral? Ejercicio 22: Un capital de $18,000.00 (C) ha estado invertido durante 3 años (n), luego de los cuales dio un monto de $26,000.00 (M), ¿a qué tasa (i) se celebró la operación? Ejercicio 23: Con un capital de $9,500.00 (C) se formó un monto de $13,290.00 (M) a los 2 años (n), ¿a qué tasa (i) se hizo la inversión? 64 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Cálculo del capital en función del interés: Despejamos C: Ejercicio 24: ¿Qué capital (C) producirá un interés compuesto de $139,940.56 (I) a los 4 años (n) y a la tasa del 2% bimestral (i)? Cálculo del tiempo en función de la fórmula del interés: De la fórmula del interés (/): Por tanto: 65 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Ejercicio 25: ¿En cuánto tiempo (n) un capital de $78,000.00 (C) produce intereses de $26,901.33, con una tasa de interés del 2.5% trimestral (i)? Cálculo de la tasa en función de la fórmula de interés: Ejercicio 26: ¿A qué tasa de interés cuatrimestral se invirtió (i) un capital de $97,000.00 (C), que produjo intereses de $41,298.81 (I) en un lapso de cuatro años (n)? 66 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Lecturas Recomendadas SUPERINTENDENCIA DE BANCA Y SEGUROS: CURSO DE FINANZAS http://www.sbs.gob.pe/repositorioaps/0/0/jer/pres_doc_basilea/Presentaci on002/INTERES_COMPUESTO_TASAS%20DE%20INTERES.pdf MATEMÁTICA FINANCIERA http://www.slideshare.net/mzapanabeltran/matematica-financiera Actividades y Ejercicios 1. Ingresa al link "Interés Compuesto" lee atentamente las indicaciones, desarróllalo y envíalo por el mismo medio. Desarrolle los siguientes ejercicios a. ¿Cuál es el monto de un capital de S/85,000.00 a interés compuesto a la tasa del 16% anual en 12 años? b. ¿Cuál es el monto de un capital de S/25,000.00 a interés compuesto a la tasa del 18% anual en 48 meses? c. ¿Cuál es el monto de un capital de S/50,000.00 a interés compuesto a la tasa del 22% anual en 3 años? d. ¿Cuál es el monto de un capital de S/130,000.00 a interés compuesto a la tasa del 12% anual en 6 años? e. ¿Cuál es el monto de un capital de S/12,000.00 a interés compuesto a la tasa del 15% anual en 36 meses? 67 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Autoevaluación 1) Es la cantidad que debe pagar una persona por el uso del dinero tomado en préstamo. a. Monto. b. Dinero. c. Deudor. d. Interés. e. Acreedor. 2) Comprende la suma del capital (c) más el interés (l): a. b. c. d. e. Interés. Pago. Tiempo. Período. Monto. 3) Es simple porque el capital que lo produce siempre es el mismo: a. Interés compuesto. b. Interés simple. c. Interés mixto. d. Interés bancario. e. Interés comercial. 4) Es el descuento, es la disminución que se hace a una cantidad que se paga antes de su vencimiento. a. Interés compuesto. b. Descuento comercial. c. Interés bancario. d. Descuento bancario o simple. e. Descuento real. 5) Se calcula sobre el valor nominal y consiste en calcular el interés entre el vencimiento de la deuda y la fecha del descuento a cierta tasa sobre el valor nominal: a. Interés compuesto. b. Descuento comercial. c. Interés bancario. d. Descuento real. e. Interés comercial. 68 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP 6) Es la diferencia entre el valor nominal y el actual: a. Interés compuesto. b. Descuento simple. c. Interés bancario. d. Descuento real. e. Interés comercial. 7) Para calcular el___________a interés compuesto, se determina el interés simple sobre un capital sucesivamente mayor, como resultado que en cada periodo los intereses se van sumando al capital inicial. a. Interés de un capital. b. Pago de un capital. c. Tiempo de un capital. d. Período de un capital. e. Monto de un capital. 8) Tiene lugar cuando el deudor no paga al concluir cada periodo que sirve como base para su determinación- los intereses correspondientes. a. Interés compuesto. b. Pago compuesto. c. Tiempo compuesto. d. Período compuesto. e. Monto compuesto. 9) Se puede considerar como la diferencia entre el valor nominal (M) y su valor actual. a. El interés real o justo. b. El descuento real o justo. c. El tiempo real o justo. d. El monto real o justo. e. El capital real o justo. 10) A ese interés se le llama_______: Es cuando el inversionista (quien compra el documento que ampara la cantidad futura) adquiere en una cantidad menor un valor nominal que vence en el futuro. a. Descuento. b. Justo. c. Real. d. Moratorio. e. Compuesto. 69 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Resumen UNIDAD DE APRENDIZAJE ii: El interés simple, es pagado sobre el capital primitivo que permanece invariable. En consecuencia, el interés obtenido en cada intervalo unitario de tiempo es el mismo. Es decir, la retribución económica causada y pagada no es reinvertida, por cuanto, el monto del interés es calculado sobre la misma base. Interés simple, es también la ganancia sólo del Capital (principal, stock inicial de efectivo) a la tasa de interés por unidad de tiempo, durante todo el período de transacción comercial. La fórmula de la capitalización simple permite calcular el equivalente de un capital en un momento posterior. Generalmente, el interés simple es utilizado en el corto plazo (períodos menores de 1 año). Al calcularse el interés simple sobre el importe inicial es indiferente la frecuencia en la que éstos son cobrados o pagados. El interés simple, NO capitaliza. El interés es Simple porque el capital que lo produce es el mismo. Descuento bancario o simple. El descuento es la disminución que se hace a una cantidad que se paga antes de su vencimiento. Es decir, es el cobro hecho con anticipación a una cantidad con vencimiento futuro; esto significa que la persona que compra el derecho de cobrar esa cantidad futura efectúa un préstamo por el cual exige un interés, ya que debe transcurrir el tiempo anticipado para recuperar su inversión. A ese interés se le llama descuento: cuando el inversionista (quien compra el documento que ampara la cantidad (futura) adquiere en una cantidad menor un valor nominal que vence en el futuro. Asimismo a una cantidad que tiene un vencimiento en un plazo futuro le corresponde un valor actual. A la diferencia entre ambos se le llama descuento. Interés compuesto, se da cuando el deudor no paga los intereses a su vencimiento. De este modo, se cuenta - en realidad- con un capital: al acumularse los intereses al capital, éstos producen un nuevo y mayor capital sobre el cual se acumularán los intereses por el siguiente periodo. Y aunque siempre hay una misma tasa, el capital se va incrementando sucesivamente junto con los intereses. Dicho de otro modo, el interés produce a su vez más intereses. La fórmula de cálculo de interés compuesto es muy importante si va a realizar una inversión o una compra para la que requiera acudir a un crédito o un préstamo. El interés es fundamental para poder anticiparse a un escenario futuro e incierto. Si nos centramos en el interés que con el que se gravan los préstamos y créditos, el interés es un ítem incluido en la devolución del dinero prestado, por lo que identificarlo, saber calcularlo y tenerlo presente, marca la diferencia entre un buen o mal historial de crédito. Y si hablamos de inversiones y planes de ahorros, el interés o la rentabilidad nos permitirán analizar las plusvalías que obtendremos por nuestros ahorros. Todas las operaciones financieras se realizan en base al interés compuesto, esto es así para poder capitalizar intereses, concepto que hace referencia a aquellos intereses que, si bien se liquidan, no se pagan y pasan a formar parte del capital con lo que en los periodos siguientes generan nuevos intereses. 70 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP 71 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Introducción a) Presentación y contextualización Los temas que se tratan en la presente Unidad Temática, tienen por finalidad que el estudiante pueda realizar, interpretar y analizar cálculos referentes a anualidades financieras, empleando adecuadamente la información que se proporciona como base en el proceso continuo de toma de decisiones relacionadas. b) Competencia Desarrolla habilidades para la adecuada aplicación de las herramientas financieras y obtención de los intereses anuales de los recursos invertidos. c) Capacidades 1. Conoce las principales generalidades sobre las anualidades de inversión. 2. Reconoce casos prácticos y los montos correspondientes en relación de una anualidad vencida. 3. Describe los principales valores actuales de una anualidad ordinaria. 4. Explica los procedimientos técnicos para resolver ejercicios sobre anualidades anticipadas. d) Actitudes Muestra perseverancia ante los distintos casos de intereses anuales. Promueve la aplicación adecuada de las fórmulas correspondientes a las anualidades. e) Presentación de Ideas básicas y contenido esenciales de la Unidad: La Unidad de Aprendizaje 03: Anualidades, comprende el desarrollo de los siguientes temas: TEMA 01: Anualidades de Inversión TEMA 02: Monto de una Anualidad Vencida TEMA 03: Valor Actual de una Anualidad Ordinaria TEMA 04: Anualidades Anticipadas 72 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Anualidades de TEMA 1 Inversión Competencia: Conocer las principales generalidades sobre las anualidades de inversión. 73 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Desarrollo de los Temas Tema 01: Anualidades de Inversión Anualidad: Es el conjunto de pagos realizados a intervalos iguales de tiempo; es decir, todo pago con un importe constante, hecho en intervalos regulares, aun por periodos menores a un año. Intervalo o periodo de pago. Tiempo que transcurre entre un pago y otro. Plazo de una anualidad. Tiempo que pasa entre el inicio del primer periodo de pago y el final del último. Renta (R). Pago periódico. 74 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Clasificación de las anualidades Por su tiempo a.Ciertas. Aquellas cuya percepción o pago se estipula en términos precisos; sus fechas son fijas y se establecen de antemano. b.Contingentes o eventuales. Aquellas donde el principio de la percepción o fin de la serie de pagos, es impreciso y depende de un acontecimiento fortuito. En otras palabras, la fecha del primer pago o del último, o ambas; no se acuerdan de antemano. Por el vencimiento de sus pagos a. Vencidas u ordinarias. Aquellas en que cada uno de los pagos se hace al final de cada periodo durante el tiempo total del plazo del problema. b. Anticipadas. Aquellas que se pagan al principio de cada periodo, durante el tiempo de percepción. Por su iniciación a. Inmediatas. Las encontramos cuando la realización de los cobros o pagos se hace en el periodo inmediatamente siguiente a la formalización del acuerdo. b. Diferidas. Aquellas en donde el principio de la serie de pagos se difiere; es decir, cuando la primera anualidad vence después del transcurso de uno o varios periodos, lo que hace que ese lapso sea mayor al intervalo que separa a cada anualidad. 75 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Por sus intereses a. Simples. Aquellas en las que el periodo de pago coincide con el de capitalización de los intereses. b. Generales. Aquellas en que no coinciden periodo de capitalización y de pago. Considerando que las anualidades pueden ser simples o generales, éstas, a su vez, pueden clasificarse en ciertas y eventuales. Vencidas Vencidas y diferidas Anticipadas y diferidas Las anualidades eventuales o contingentes contienen los mismos grupos que las anualidades ciertas. Finalmente, para estudiar las anualidades, y tomando en cuenta su clasificación, en cada caso, se deberán resolver los problemas siguientes: a. Determinar el monto (M) o valor actual (C) de una serie de anualidades. b. Establecer el valor de la anualidad (renta = R) en la etapa del monto o del valor actual. c. Precisar la tasa (i) en función del monto o del valor actual. d. Determinar el tiempo (n) en los problemas de monto y de valor actual (más el tiempo diferido, cuando se trate de esta clase de anualidades). Es muy importante señalar que -lo mismo que en el interés compuesto, en donde las variables n (números de pagos) e i (tasa de interés), se expresan en la misma medida de tiempo en las anualidades se agrega una variable, la renta (R), que debe estar en la misma medida de tiempo. 76 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Anualidades vencidas Monto de una anualidad ordinaria El monto de las anualidades ordinarias o vencidas es la suma de los montos de todas y cada una de las rentas que se realizan hasta el momento de hacer la última. de las mismas. Ejercicio: Una persona decide depositar $5,000.00 al fin de cada mes, en una institución financiera que le abonará intereses del 12% convertible mensualmente: el 1 % mensual, durante 6 meses. Se pide calcular y conocer el monto que se llegue a acumular al final del plazo indicado. 77 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Ahora bien, si el monto total es igual a la suma de los montos de cada anualidad, llegaremos al mismo resultado: 78 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Monto de una TEMA 2 Anualidad Vencida Competencia: Reconocer casos prácticos y los montos correspondientes en relación de una anualidad vencida. 79 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Tema 02: Monto de una Anualidad Vencida Cuando el tiempo no es de consideración, el cálculo del monto puede hacerse conforme a cualquiera de los procedimientos descritos. Pero cuando no hay esa condición (o bien, cuando se quiere calcular la renta, tasa o tiempo; o en su caso, resolver el problema con mayor facilidad y rapidez), es necesario deducir y utilizar la fórmula del monto. Y si aplicamos la fórmula anterior a los datos del problema anterior, tenemos: Cálculo de la renta Si partimos de la fórmula del monto de una anualidad ordinaria: Ejercicio: ¿Cuál es la renta mensual que se requiere para obtener $30,760.08 durante 6 meses si se invierte con el 12% capitalizable mensualmente? Seguimos con los datos de nuestro ejemplo: 80 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Cálculo del tiempo plazo: Nuevamente, partimos de la fórmula del monto de anualidades ordinarias: Y queda: Apliquemos la fórmula anterior en el ejercicio siguiente: Ejercicio: ¿Cuántos pagos deben realizarse para llegar a acumular $30,760.08 si se depositan $5,000.00 mensuales, con una tasa de interés del 12% compuesto mensual? Ejercicio: El papá de un niño de 10 años empieza a ahorrar para que su hijo pueda estudiar una carrera universitaria. Planea depositar $500 en W1a cuenta de ahorros al final de cada mes durante los próximos 8 años. Si la tasa de interés es del 27% ¿cuál será el monto de la cuenta al cabo de 8 años?, ¿cuánto se percibe por concepto de intereses? R = 500, i = 0.27/12, n = (8 años) (12 meses / año) = 96 meses En 8 años el papá deposita un total de ($500 por mes) (96meses)=$48,000. Los intereses ganados en el período serán: 165,911.17 – 48,000 = $117,911.17 81 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Ejercicio: Se desea formar un monto de $17,450.26 mediante depósitos cada dos meses vencidos de $430.23 cada uno. Calcular cuántos depósitos se deben hacer si ganan intereses del 18.3% capitalizable cada bimestre. M = 17,450.26 R = 430.23 i = 0.183 / 6 Desde el punto de vista teórico deberán transcurrir 26.79977199 bimestres, pero en la realidad esto no es posible debido a que las capitalizaciones y los depósitos se realizan al final de cada bimestre. Cuando un número de pagos no es un número entero, se pueden llevar a cabo diferentes formas de ajustes. 82 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Valor Actual de una TEMA 3 Anualidad Ordinaria Competencia: Describir los principales valores actuales de una anualidad ordinaria. 83 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Tema 03: Valor Actual de una Anualidad Ordinaria Cuando la época del cálculo coincide con la iniciación de la serie de pagos o rentas, el valor equivalente de la serie es actual. El lapso que transcurre entre la fecha de la entrega del valor actual y el vencimiento de la primera anualidad será igual a cada periodo que separa a las demás rentas. El valor presente o actual de las anualidades ordinarias se puede presentar en alguna de estas dos modalidades: a. Como el descuento de una serie de anualidades, que vencen escalonadamente y están separadas por intervalos iguales de tiempo. b. Como la determinación de un capital que, invertido a interés, proporciona una serie de rentas futuras. Ejercicio: Se tienen seis pagarés, con vencimientos escalonados en forma cuatrimestral, cada uno de $25,000.00, y se quieren liquidar, el día de hoy, siendo una tasa del 6% cuatrimestral. Determinemos el valor actual o presente de cada documento: 84 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Ahora bien, ¿qué cantidad habrá que invertir al 6% cuatrimestral, para tener derecho a recibir seis rentas de $25,000.00 cada una? Conforme a la resolución anterior, se sabe que el valor actual es de $122,933.10. Comprobemos si con el importe de seis pagos de $25,000.00 cada uno el deudor salda su cuenta. 85 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP *Por el redondeo de cifras: Dado lo anterior, se debe encontrar el valor actual de cada pago para determinar el valor presente total de la serie de rentas. Podemos decir que el valor actual es igual a la suma de los valores actuales de cada renta. En este caso se utiliza la formula siguiente: Si sustituimos en la fórmula los datos de nuestro problema tenemos: Cálculo de la renta: Utilizamos la siguiente fórmula Ejercicio: ¿Qué cantidad se debe pagar cada cuatro meses (R) para liquidar una deuda de $122,933.10 (C) en 6 pagos (n), si se utiliza una tasa del 24% convertible cuatrimestralmente (i)? 86 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Calculo del tiempo: Utilizamos la siguiente fórmula: A continuación, apliquemos la fórmula del tiempo (n) a partir del valor actual (C). Ejercicio: ¿En cuántos pagos (n) se liquidará una deuda de $122,933.10 (C) con pagos cuatrimestrales de $25,000.00 (R), si se impone una tasa de interés del 24% capitalizable cuatrimestralmente? 87 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Anualidades Anticipadas TEMA 4 Competencia: Explicar los procedimientos técnicos para resolver ejercicios sobre anualidades anticipadas. 88 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Tema 04: Anualidades Anticipadas A diferencia de las anualidades vencidas que se pagan al final de cada período, las anticipadas se cubren al comienzo de cada período. En las anualidades ordinarias, la primera anualidad se paga al final del período mientras que en las anticipadas se realiza al comenzar el mismo. Por eso, el pago de la última renta ordinaria coincide con la terminación del plazo de tiempo estipulado en la operación, esto hace que no produzca intereses y que su inversión se haga solamente como complemento del monto de las rentas, En tanto, en las anualidades anticipadas, la última renta se paga al principio del último período. Sí produce intereses. Calculo del monto: La fórmula del monto de las anualidades anticipadas es: 89 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Ejercicio: Si se hacen depósitos trimestrales anticipados (n) de $25,000.00 cada uno (R), con una tasa del 20% capitalizable trimestralmente (i), ¿cuál es el monto (M)? 90 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Calculo de la renta: De la fórmula del monto de las anualidades anticipadas: Podremos determinar la fórmula para el cálculo de la renta: 91 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Ejercicio: Se hacen 6 depósitos trimestrales anticipados (n) con una tasa del 20% capitalizable trimestralmente (i), ¿Cuál será el monto de cada una de las rentas (R) si el monto total a obtener es $178,550.21 (M)? Cálculo del tiempo: De la fórmula del monto de las anualidades anticipadas despejamos n: 92 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Ejercicio: ¿Cuántos depósitos trimestrales anticipados (n) de $25,000.00 (R), con una tasa del 20% capitalizable trimestralmente (i) se deben hacer para obtener un monto de $178,550.21? (M)? Reemplazando: 93 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Lecturas Recomendadas ANUALIDADES http://es.bbt.com/bbtdotcom/investing/investment-options/annuities.page ANUALIDADES ORDINARIAS Y ANTICIPADAS. CONCEPTOS Y APLICACIONES http://www.gestiopolis.com/canales/financiera/articulos/no%2010/anualidades.ht m Actividades y Ejercicios 1. En un documento en Word elabore una comparación descriptiva entre anualidad anticipada y anualidad ordinaria. Envíalo a través de "Tipos de Anualidades". 2. En un documento en Word presente 2 casos prácticos desarrollados sobre anualidad vencida. Envíalo a través de "Anualidad Vencida". 94 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Autoevaluación 1) Aquellas anualidades que se pagan al principio de cada periodo, durante el tiempo de percepción. a. b. c. d. e. Anualidades anticipadas. Anualidades ordinarias. Anualidades vencidas. Anualidades Inmediatas. Anualidades contingentes. 2) Es el conjunto de pagos realizados a intervalos iguales de tiempo; es decir, todo pago con un importe constante, hecho en intervalos regulares, aun por periodos menores a un año. a. b. c. d. e. Ecuaciones. Pagos. Amortización. Anualidad. Depreciación. 3) Son aquellas cuya percepción o pago se estipula en términos precisos; sus fechas son fijas y se establecen de antemano. a. b. c. d. e. Anualidades ordinarias. Anualidades vencidas. Anualidades ciertas. Anualidades Inmediatas. Anualidades contingentes. 4) Son aquellas en que cada uno de los pagos se hace al final de cada periodo durante el tiempo total del plazo del problema. a. b. c. d. e. Anualidades extraordinarias. Anualidades vencidas. Anualidades Inmediatas. Anualidades contingentes. Anualidades generales. 5) El monto de las anualidades ordinarias o vencidas es la suma de los montos de todas y cada una de las rentas que se realizan hasta el momento de hacer la última de las mismas. a. b. c. d. e. El monto de las anualidades Inmediatas. El monto de las anualidades extraordinarias. El monto de las anualidades generales. El monto de las anualidades ordinarias o vencidas. El monto de las anualidades contingentes. 95 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP 6) El valor presente o actual de las anualidades ordinarias se puede presentar como: a. El descuento de una serie de anualidades que vencen escalonadamente. b. El descuento de una serie de intereses que vencen escalonadamente. c. El principio de la percepción. d. La cuota de una serie de intereses que vencen escalonadamente. e. El pago de una serie de intereses que vencen escalonadamente. 7) La primera anualidad se paga al final del período mientras que en las anticipadas se realiza al comenzar el mismo: a. Anualidades extraordinarias. b. Anualidades Inmediatas. c. Anualidades contingentes. d. Anualidades ordinarias. e. Anualidades generales. 8) Cuando la época del cálculo coincide con la_________o rentas, el valor equivalente de la serie es actual. a. Iniciación de la serie de registros. b. Iniciación de la serie de estados. c. Iniciación de la serie de propuestas. d. Iniciación de la serie de pagos. e. Iniciación de la serie de períodos. 9) Aquellas donde el principio de la percepción o fin de la serie de pagos, es impreciso y depende de un acontecimiento fortuito. a. Anualidades extraordinarias. b. Anualidades contingentes. c. Anualidades Inmediatas. d. Anualidades contingentes. e. Anualidades generales. 10) En las__________ la última renta se paga al principio del último período sí produce intereses. a. Anualidades anticipadas. b. Anualidades Inmediatas. c. Anualidades contingentes. d. Anualidades generales. e. Anualidades atrasadas. 96 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Resumen UNIDAD DE APRENDIZAJE III: Una anualidad es un contrato entre usted y una compañía. El contrato requiere que usted ahorre e invierta dinero en la anualidad ahora o en forma regular hasta que alcance la edad para jubilarse. Luego la compañía de seguros le hará pagos regulares de por vida, o durante un período especificado, cuando y si usted decide "comprar una anualidad" o iniciar el retiro de su dinero en pagos regulares a través del tiempo. Puede comenzar a "comprar una anualidad" o retirar dinero de su inversión de inmediato o en un período posterior. Si no retira los ingresos de inmediato, su inversión en la anualidad crecerá con impuestos diferidos, lo que significa que no tendrá que pagar impuestos a las rentas sobre el dinero que gana su inversión. También podrá retirar una suma fija de dinero después de un período de años si ha optado por no comprar una anualidad, según los términos del contrato. En general se denomina anualidad a un conjunto de pagos iguales realizados a intervalos iguales de tiempo. Se conserva el nombre de anualidad por estar ya muy arraigado en el tema, aunque no siempre se refieran a periodos anuales de pago. Anualidad vencida. También se le conoce como anualidad ordinaria y, como su primer nombre lo indica, se trata de casos en los que los pagos se efectúan a su vencimiento, es decir, al final de cada periodo. Anualidad ordinaria o vencida: Es aquella en la cual los pagos se hacen al final de cada periodo, por ejemplo el pago de salarios a los empleados, ya que primero se realiza el trabajo y luego se realiza el pago. Una anualidad es una serie de pagos que cumple con las siguientes condiciones: 1. Todos los pagos son de igual valor.2. Todos los pagos se hacen a iguales intervalos de tiempo.3. a todos los pagos se les aplica la misma tasa de interés.4. El número de pagos es igual al número de periodos. Una anualidad anticipada es aquella en la cual los pagos se llevan a cabo al inicio del periodo de renta. Son ejemplos de anualidades anticipadas los pagos anuales (primas) de un seguro de vida, la renta de una casa u oficina; algunos planes de crédito estipulan que los pagos deben realizarse al comienzo de los periodos convenidos, etcétera. Decimos que una anualidad es simple cuando el periodo de capitalización coincide con el periodo de pago, razón por la cual no es necesario especificar explícitamente el periodo de capitalización en un problema dado. La anualidad es cierta cuando los pagos comienzan y terminan en fechas determinadas. 97 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP 98 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Introducción a) Presentación y contextualización Los temas que se tratan en la presente Unidad Temática, tienen por finalidad que el estudiante pueda manejar los principales sistema de amortización de deudas y los principales métodos de depreciación de activos fijos de la empresa, con la Identificación, gráfica y relación de las variables que se aplican en problemas de sistemas de amortización de la deuda y poder resolver operaciones que identifica los diferentes métodos de depreciación. b) Competencia Aplica las estrategias adecuadas sobre los sistemas de amortización de deudas y los métodos de depreciación de activos fijos de la empresa. c) Capacidades 1. Conoce el proceso adecuado de amortización de una deuda. 2. Reconoce la importancia de los fondos de amortización. 3. Describe los procesos de depreciación y el método de línea recta. 4. Explica los principales métodos de unidades de producción y el método tasa fija. d) Actitudes Valora la importancia de la capitalización y anualidades de un capital en el tiempo. Respeta a los demás y es flexible frente a los problemas a resolver. e) Presentación de Ideas básicas y contenido esenciales de la Unidad: La Unidad de Aprendizaje 04: Amortización y Depreciación, comprende el desarrollo de los siguientes temas: TEMA 01: Amortización de una Deuda TEMA 02: Fondos de Amortización TEMA 03: Depreciación – Método línea Recta TEMA 04: Método de Unidades de Producción – Método Tasa Fija 99 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Amortización de una TEMA 1 Deuda Competencia: Conocer el proceso adecuado de amortización de una deuda. 100 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Desarrollo de los Temas Tema 01: Amortización de una Deuda Amortización es el método por el cual se va liquidando en pagos parciales. El importe de cada pago sirve para solventar los intereses de la deuda, y el sobrante se abona al capital que se debe en ese período. Para encontrar cada una de las variables o incógnitas, se utiliza la fórmula del valor actual de los diversos tipos de anualidades. Generalmente, se calcula con base en el valor actual de las anualidades ordinarias; por eso, la fórmula para calcular los diferentes datos es: En la amortización se demuestra que: El capital va disminuyendo conforme se van dando los pagos, hasta su liquidación total. Al ir reduciéndose el capital, los intereses también van descendiendo. La amortización del capital va aumentando conforme pasan los periodos, al ir disminuyendo -en la misma proporción- los intereses. Si se quieren conocer las amortizaciones de los diferentes periodos, basta multiplicar la primera amortización por la razón: (1 + i) n donde n es el número de periodos que faltan para llegar a la amortización del periodo correspondiente. La suma de las amortizaciones será igual al valor actual o capital inicial del préstamo. Tablas de Amortización: Para su mayor comprensión, las amortizaciones pueden representarse en una matriz donde: 101 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Las columnas representan lo siguiente: a. La primera muestra los periodos (n). b. La segunda da el importe de la renta o pago (R). c. La tercera indica los intereses (I), y resulta de multiplicar el saldo insoluto (SI) anterior por la tasa de interés del periodo (i). d. La cuarta señala la amortización (A) del periodo, y resulta de restar al pago del periodo (R) los intereses .del mismo (I). e. La quinta revela la amortización acumulada (AA), consecuencia de la suma de la amortización acumulada (AA) del periodo anterior más la amortización (A) del periodo en estudio. f. La sexta expresa el saldo insoluto de la deuda,- que se obtiene al hacer alguno de estos procedimientos: Restar al capital inicial (C) la amortización acumulada (AA) hasta ese periodo. Restar el saldo insoluto del periodo anterior (SI) la amortización del periodo (A). Los renglones representan las operaciones de cada uno de los periodos. Ilustremos lo anterior en el ejercicio siguiente: Ejercicio: Se obtiene un préstamo por $120,000.00 (C), los cuales se van a liquidar a través de 6 pagos trimestrales iguales (n), con una tasa de interés del 20% convertible trimestralmente (i), ¿De cuánto será cada pago? 102 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Reemplazando: En la tabla, se expresa: El capital o saldo insoluto (SI) va disminuyendo, al igual que los intereses (/). La amortización (A) va aumentando conforme pasan los periodos, y aumenta en la misma cantidad en que disminuyen los intereses (/). Si multiplicamos, por ejemplo, la primera amortización por (1.05)3, obtendremos la cuarta amortización sin necesidad de conocer la del tercer periodo: 17642.10 (1.05)3 = 20,422.94 103 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Lo que concuerda con lo dicho en los incisos, ya que del primer al cuarto periodo hay 3 periodos, número exponente (n) de la razón (1 + i). La suma de las amortizaciones (A), o amortización acumulada (AA), nos da el total del capital original. Para obtener el saldo insoluto (S/) de cierto periodo, basta aplicar la fórmula del capital de anualidades ordinarias: En donde n son los periodos de pago que faltan por efectuar. Por ejemplo: si quisiéramos obtener el saldo insoluto al realizar el cuarto pago, lo haríamos así: Como se esperan consumar dos periodos más, n sería igual a dos: NOTA: la diferencia con $43,960.33 de la tabla se explica por el redondeo que se hizo en la misma. Además, si se quisiera conocer -sin necesidad de ubicar los periodos anteriores- la amortización acumulada de cierto periodo, basta con restar del capital inicial el saldo insoluto del periodo de que se trate. Por ejemplo, para obtener la amortización acumulada del periodo de pago número cuatro, debemos restar a nuestro capital inicial (C) -$120,000.00- el saldo insoluto de ese periodo, $43,960.36; entonces, la amortización acumulada será de $76,039.64. 104 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Fondos de TEMA 2 Amortización Competencia: Reconocer la importancia de los fondos de amortización. 105 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Tema 02: Fondos de Amortización Es el método por el cual se provee el monto, por medio de una serie de rentas o pagos, para liquidar una deuda. Asimismo funciona para ahorrar o recuperar el valor histórico de un activo. Esto se realiza invirtiendo una serie de pagos iguales, en periodos iguales, durante el lapso de vida útil del bien, con la finalidad de acumular un monto disponible en efectivo para volver a comprar el sustitutivo del activo al término de su uso. Esta práctica es muy práctica financieramente, aun cuando, al llegar al fin de su vida útil, la cantidad acumulada no llegue a cubrir el costo del bien. En este rubro, se utilizan las fórmulas del monto o valor futuro de las diferentes anualidades, generalmente, la del monto de anualidades ordinarias: Tablas de fondos de amortización: En este método se utiliza, al igual que en la amortización, una matriz, en donde: Las columnas se conforman así: a. La primera expresa los periodos (n). b. La segunda, los pagos o rentas (R). c. La tercera, los intereses (I) del periodo, y resulta de multiplicar el saldo final (M) del periodo anterior por la tasa de interés (i). d. La cuarta, la cantidad que se acumula al fondo (CA), y se calcula sumando la renta (R) más los intereses (I) del periodo. e. La quinta, el saldo final (M), resultado de la suma del saldo final (M) del periodo anterior más la cantidad que se acumula (CA) al fondo del periodo. 106 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Ejercicio: ¿Cuál será el depósito anual para acumular, al cabo de 6 años, un monto de $240,000.00, si dichas rentas obtienen un rendimiento de 8% anual? (Los 240,000.00 representan el valor de un activo adquirido hoy, que se pretende reemplazar al final de su vida útil, que es de 6 años). 107 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Si analizamos la tabla, observamos lo siguiente: Las rentas sirven para aumentar la inversión que al finalizar los periodos de pago se utiliza para liquidar la deuda, o sustituir el activo al expirar su vida útil. Los intereses se agregan a la inversión. Si se quiere encontrar el saldo al final de cierto periodo de pago, se calcula con la fórmula del monto de las anualidades ordinarias, tomando en cuenta, en n, los depósitos o rentas que se han efectuado hasta ese momento. Por ejemplo, el saldo final al cuarto periodo es: NOTA: la diferencia con $147,420.57 de la tabla se explica por el redondeo que se hizo en la misma. 108 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Depreciación – Método línea Recta TEMA 3 Competencia: Describir los procesos de depreciación y el método de línea recta. 109 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Tema 03: Depreciación - Método Línea Recta Depreciación: Es la pérdida o disminución del valor de un bien, debido a su uso y disfrute u obsolescencia. En el manejo de la depreciación, se deben considerar los siguientes términos con sus respectivas notaciones: C = Costo o valor original. Es el costo del activo en el momento de su compra o adquisición. n = Vida útil. Es la diferencia -en tiempo, servicio o unidades producidas- entre la compra y el retiro de uso del activo. En consecuencia, se mide en años, horas de servicio o unidades producidas. S = Valor de salvamento, desecho o rescate. Es el valor del activo al final de su vida útil. Puede ser: a. Nulo. Cuando el bien no sirve para nada al final de su vida. b. Positivo. Cuando el activo se puede vender en un precio supuesto al final de su vida útil. c. Negativo. Cuando se requiere de un gasto adicional para su remoción o desmantelamiento. Vt = Valor en libros. Son el valor contable y el que tiene, después de depreciarse, el activo al final de t año. Resulta de la diferencia del valor original menos la depreciación acumulada. (Este valor será igual al valor de salvamento al finalizar la vida útil del activo). B = Base de depreciación o depreciación total. Es la cantidad por la que se va a depreciar el activo. Resulta de restar al costo original su valor de salvamento, por lo que B= C- S. Da = Depreciación acumulada. Es la depreciación de t año más la de los anteriores. (La depreciación acumulada al final de la vida útil será igual a la base de depreciación). Dt = Cargo por depreciación. Son los cargos periódicos, o las cantidades que se retienen de las utilidades para poder reemplazar un activo al finalizar su vida útil. d = Tasa de depreciación. Es el porcentaje fijo que se carga del valor en libros (Vt) para obtener la depreciación (Dt). (Se utiliza en algunos de los métodos). 110 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP En resumen, la nomenclatura a utilizar es: Enunciado: Para identificar los métodos de depreciación, supongamos que una empresa adquiere cierta maquinaria con un costo original de $210,000.00 y un valor de salvamento de $30,000.00, el cual se recuperará al final de la vida útil del activo, 6 años. La maquinaria producirá un total de 120,000 unidades, distribuidas a lo largo de su vida útil de la siguiente manera: 111 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Método de línea recta: Método Lineal: En este método se supone que la depreciación anual va a ser en todos y cada uno de los años. 112 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Para hallar cargo de depreciación: El valor en libros en el año 4 es de $90,000.00 Tabla de depreciación: 113 Método de Unidades de Producción – Método Tasa Fija UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP TEMA 4 Competencia: Explicar los principales métodos de unidades de producción y el método tasa fija. 114 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Tema 04: Método de Unidades de Producción – Tasa Fija MÉTODO DE UNIDADES DE PRODUCCIÓN O DE HORAS DE SERVICIO. La depreciación anual (Dt) estará en función de las unidades producidas o de las horas del servicio del bien o activo. En este método, la variable n representa al número de unidades producidas u horas de servicio. La base de depreciación se distribuye entre las unidades de producción u horas de servicio totales. Y para determinar la depreciación anual (Dt), el resultado de la operación anterior se multiplica por las unidades de producción u horas de servicio (n) del año respectivo. (Este método también se puede utilizar para calcular la depreciación por kilómetro recorrido en los vehículos). Fórmulas: Para hallar la depreciación anual Para hallar la depreciación acumulada Para hallar el valor en libros Ejercicio: Apliquemos los datos del Enunciado descrito 115 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Utilizamos las siguientes formulas Entonces, la depreciación en el año 4 será de $22,500.00 Para hallar la depreciación acumulada Entonces, la depreciación acumulada hasta el año 4 será de $142,500.00 Para hallar el valor el libros Tabla de depreciación Método de Porcentaje Fijo (Constante) o de Tasa Fija: Al finalizar cada año, el activo se deprecia en el mismo porcentaje (dt). El porcentaje va a ser el mismo en todos los años, pero la depreciación irá disminuyendo conforme pasan los años: no es igual para todos los períodos. 116 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Formulas: Para hallar la tasa a la que se va a depreciar el activo Para hallar la el cargo por depreciación anual Para hallar valor en libros Para hallar el valor del salvamento Ejercicio: Apliquemos los datos descritos en el enunciado inicial Hallar la tasa a la que se va a depreciar el activo Hallar la valor en libros El valor en libros en le año cuatro será de $57,387.94 Para hallar la el cargo por depreciación anual La depreciación del año 5 es igual al valor en libros del año anterior por la tasa de depreciación; es decir, $15,895.31 117 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Tabla de depreciación 118 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Lecturas Recomendadas AMORTIZACIÓN Y FONDOS DE AMORTIZACIÓN http://brd.unid.edu.mx/recursos/%C3%81lgebra/Bloque%206/lecturas%20PDF/4.% 20Amortizaci%C3%B3n%20y%20fondos%20de%20amortizaci%C3%B3n.pdf VENTAJAS Y DESVENTAJAS DE LA DEPRECIACIÓN EN LÍNEA RECTA http://www.ehowenespanol.com/ventajas-desventajas-depreciacion-linea-rectainfo_432866/ Actividades y Ejercicios 1. Ingresa al link "Tabla de Depreciación" lee atentamente las indicaciones, desarróllalo y envíalo por el mismo medio. Se compra una máquina en $100,000 y se calcula que su vida útil será de 6 años. Si se calcula que tendrá un valor de desecho o salvamento de $10,000, encuentre la depreciación anual. Construya la tabla de depreciación de línea recta. 2. Ingresa al link "Porcentaje Fijo" lee atentamente las indicaciones, desarróllalo y envíalo por el mismo medio Un laboratorio de análisis clínico compró un aparato para realizar análisis de sangre. El costo fue de $60,000 y restará obsoleto en 5 años. Si el valor de desecho es de $5,500 y se aplica una tasa de depreciación de 38% anual, elabore la tabla de depreciación utilizando el método del porcentaje fijo. 119 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Autoevaluación 1) Es el método por el cual se va liquidando en pagos parciales: a. Depreciación. b. Porcentaje fijo. c. Amortización. d. Valor en libros. e. Amortización. 2) Es la diferencia en tiempo, servicio o unidades producidas- entre la compra y el retiro de uso del activo: a. Depreciación. b. Porcentaje fijo. c. Vida útil. d. Amortización. e. Capital. 3) Es el método por el cual se provee el monto, por medio de una serie de rentas o pagos, para liquidar una deuda: a. Amortización fija. b. Fondo de anualidad. c. Porcentaje fijo. d. Fondo de amortización. e. Valor en capital. 4) Es el valor del activo al final de su vida útil: a. Valor real, rescate o desecho. b. Valor de salvamento, desecho o rescate. c. Valor de producción, desecho o rescate. d. Valor de activo, desecho o rescate. e. Valor de depreciación, desecho o rescate. 5) Sirven para aumentar la inversión que al finalizar los periodos de pago se utiliza para liquidar la deuda, o sustituir el activo al expirar su vida útil. a. Anualidades. b. Acciones. c. Ventas. d. Rentas. e. Depreciación. 120 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP 6) Es la pérdida o disminución del valor de un bien, debido a su uso y disfrute u obsolescencia. a. Anualidades. b. Acciones. c. Ventas. d. Rentas. e. Depreciación. 7) En este método se supone que la depreciación anual va a ser en todos y cada uno de los años. a. Método lineal. b. Método estable. c. Método móvil. d. Método fijo. e. Método lineal. 8) Es el costo del activo en el momento de su compra o adquisición: a. Costo o valor original. b. Precio o valor original. c. Venta o valor original. d. Compra o valor original. e. Valor o valor original. 9) Son los cargos periódicos, o las cantidades que se retienen de las utilidades para poder reemplazar un activo al finalizar su vida útil. a. Cargo por adquisición. b. Cargo por depreciación. c. Cargo por inversión. d. Cargo por valor original. e. Cargo por amortización. 10) Al finalizar cada año, el activo se deprecia en el mismo porcentaje (dt). El porcentaje va a ser el mismo en todos los años, pero la depreciación irá disminuyendo conforme pasan los años es el método: a. b. c. d. e. Porcentaje a plazos. Porcentaje neutro. Porcentaje fijo. Porcentaje inicial. Porcentaje final. 121 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Resumen UNIDAD DE APRENDIZAJE IV: (Amortización de un pasivo) extinción de parte o la totalidad de una deuda por uno o varios pagos realizados por el deudor al acreedor. Cuando los pagos que se realizan superan a los acordados para el período hablamos de amortización anticipada (parcial o total), con lo que se reduce el montante de los posteriores pagos o bien se mantiene ese montante pero se reduce el número de cuotas a pagar, es decir, se reduce el tiempo de duración de la deuda. Término equivalente a depreciación, es decir, reducción gradual del valor de un activo como consecuencia del paso del tiempo. El reflejo de esta depreciación en los libros contables es lo que llamamos amortización contable. El fondo de amortización es el inverso del de amortización, ya que en el primero la deuda que se debe pagar es una cantidad en valor actual mientras que, en el caso de fondo se habla de una cantidad o deuda que se debe pagar en el futuro, para lo cual se acumulan los pagos periódicos con el objetivo de tener en esa fecha futura cantidad necesaria. La amortización se refiere a la extinción, mediante pagos periódicos, de una deuda actual. Los fondos de amortización son acumulación de pagos periódicos para liquidar una deuda futura. Los pagos que se hacen para amortizar una deuda se aplican a cubrir los intereses y a reducir el importe de la deuda. Para visualizar mejor este proceso conviene elaborar una tabla de amortización que muestre lo que sucede con los pagos, los intereses, las deudas, la amortización y el saldo. La depreciación es el mecanismo mediante el cual se reconoce el desgaste que sufre un bien por el uso que se haga de el. Cuando un activo es utilizado para generar ingresos, este sufre un desgaste normal durante su vida útil que el final lo lleva a ser inutilizable. La depreciación en línea recta es uno de los métodos de depreciación más utilizados, principalmente por su sencillez, por la facilidad de implementación. La depreciación en línea recta supone una depreciación constante, una alícuota periódica de depreciación invariable. En este método de depreciación se supone que el activo sufre un desgaste constante con el paso del tiempo, lo que no siempre se ajusta a la realidad, toda vez que hay activos que en la medida en que se desgastan, el nivel de desgaste se incrementa, es creciente. El proceso para aplicar el método de las Unidades de Producción es muy similar al método lineal, con una pequeña diferencia, el Importe Depreciable (Valor del Activo Fijo- Valor Residual) no se le divide para la vida útil estimada del Activo Fijo, sino para la Producción Esperada. Para determinar la depreciación por este método, se divide en primer lugar el valor del activo por el número de unidades que puede producir durante toda su vida útil. Luego, en cada periodo se multiplica el número de unidades producidas en el periodo por el costo de depreciación correspondiente a cada unidad. La depreciación según el método de tasa fija, consiste en calcular un porcentaje fijo de descuento de depreciación, el cual se va aplicando cada año al valor monetario residual del activo fijo, producto de descuentos anuales anteriores. 122 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Glosario ACTIVOS FINANCIEROS: Títulos que incorporan derechos sobre activos reales. ACTIVOS INTANGIBLES: Activos inmateriales, marcas, patentes. ACTIVOS REALES: Activos tangibles e intangibles utilizados en el desarrollo del negocio. ACTIVOS TANGIBLES: Activos físicos como edificios, maquinaria, mobiliario. AMORTIZACIÓN: Este término tiene dos acepciones: Devolución de un préstamo a plazos. Dotaciones realizadas para compensar la depreciación. BETA (ß): Medida del riesgo de mercado. BONO: Deuda no garantizada, con un vencimiento normalmente inferior a diez años. BONO DE CUPÓN CERO: Bono emitido al descuento que no paga intereses hasta el vencimiento. CAPITAL RIESGO: Capital para financiar una nueva empresa. CAPITAL SOCIAL: Valor nominal de las acciones de una sociedad. CARTERA EFICIENTE: Cartera que ofrece el menor riesgo en relación con su rentabilidad esperada y la mayor rentabilidad esperada con respecto a su nivel de riesgo. COSTE DE OPORTUNIDAD DEL CAPITAL: Rentabilidad esperada de la inversión financiera a la que se renuncia por invertir en un proyecto económico de riesgo similar. DIVIDENDO: Pago de una empresa a sus accionistas. DIVIDENDO EN ACCIONES: Dividendo repartido en forma de acciones en lugar de efectivo. EFECTOS A PAGAR: Cuentas a pagar. EMISIÓN CON COTIZACIÓN PREVIA: Emisión de un título para el que ya existe un mercado. EMISIÓN INFRAVALORADA: Emisión de títulos por debajo de su valor de mercado. EMISIÓN PENDULAR: Emisiones sucesivas bancarias para conseguir financiación mientras la empresa reemplaza el papel comercial estadounidense por papel eurocomercial. 123 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP FACTORING: Contrato por el que una institución financiera compra las cuentas a cobrar de una empresa y se encarga de cobrarlas. FACTORING AL VENCIMIENTO: Contrato de factoring que garantiza el cobro y el seguro de las cuentas a cobrar. FACTORING CLÁSICO: Contrato de factoring que proporciona el cobro, el seguro y la financiación de las cuentas a cobrar. GARANTÍA: Derecho de un prestamista sobre activos específicos. GARANTÍA PRENDATARIA: Activos aportados en garantía de un préstamo. HIPOTECA ABIERTA: Hipoteca contra la que se puede emitir deuda adicional. HIPOTECA CERRADA: Hipoteca contra la que no puede emitirse deuda adicional. INMUNIZACIÓN FINANCIERA: Formación de una cartera de títulos cuyo valor no se vea afectado por los cambios en los tipos de interés. INSCRIPCIÓN DE UN PLAN DE EMISIONES: Procedimiento que permite a las empresas presentar una memoria de inscripción que cubre emisiones diferentes del mismo título. MARGEN DE COBERTURA: Situación en la que el precio al contado de un activo es superior a su precio futuro. MARGEN DE MANTENIMIENTO: Margen mínimo que debe mantenerse en un contrato de futuros. MARGEN DE VARIACIÓN: Pérdidas o ganancias diarias en un contrato de futuros que se transfieren a la cuenta de márgenes del inversor. OBLIGACIÓN CONVERTIBLE: Obligación que puede ser convertida en otro título a opción del poseedor. OBLIGACIÓN EXTERIOR: Obligación emitida en el mercado de capitales interior de otro país. PAGARÉS DEL TESORO: Deuda al descuento con vencimiento inferior a un año, emitida regularmente por el gobierno. PAGO FINAL: Último pago de un préstamo reembolsado a plazos. PASIVO: Valor total de los recursos que financian los activos de la empresa. 124 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Fuentes de Información BIBLIOGRÁFICAS: GONZALES, Enrique. "Matemática Financiera". Universidad Nacional Mayor de San Marcos. Editorial Barza, 2010. NONA GARCÍA Gabriel. "Matemática Financiera". Edit. Emma Aiza Herrera. Mc. Graw- HiII lnteramericana S.A. 2011. SÁNCHEZ QUIROS, Ubaldo. "Matemática Financiera". Universidad Nacional Mayor de San Marcos. Edit. Mercurio, 2009. ALIAGA VELEZ, Carlos. Matemática financiera un enfoque practico. Edit. Prentice Hall 2002. Lima – Perú. 2010. SÁNCHEZ MENDOZA, Katherine. Manual de matemática financiera, Edit. ATLAS, 2009. ELECTRONICAS: Cómo calcular el importe de la amortización de la deuda en el Capítulo 13 http://www.ehowenespanol.com/calcular-importe-amortizacion-deuda-capitulo13-como_177557/ Depreciación en línea recta http://www.gerencie.com/depreciacion-en-linea-recta.html Glosario de deuda pública http://www.mef.gob.pe/index.php?option=com_glossary&letter=A&id=196&Itemid =100325 ¿Qué es interés simple y compuesto? http://www.coltefinanciera.com.co/tasas-y-tarifas/ique-es-interes-simple-ycompuesto 125 UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Solucionario UNIDAD DE APRENDIZAJE 1 1. D 2. A 3. C 4. B 5. E 6. A 7. C 8. D 9. A 10. C UNIDAD DE APRENDIZAJE 2: 1. D 2. E 3. B 4. D 5. B 6. D 7. E 8. A 9. B 10. A UNIDAD DE UNIDAD DE APRENDIZAJE 3: APRENDIZAJE 4: 1. A 1. E 2. D 2. C 3. C 3. D 4. B 4. B 5. D 5. D 6. A 6. E 7. D 7. E 8. D 8. A 9. B 9. B 10. A 10. C 126