12 CAPÍTULO 1 FUNDAMENTACIÓN BÁSICA PARA LA MATEMÁTICA FINANCIERA JUSTIFICACIÓN En la actualidad el mundo de los negocios, ya sean personales o empresariales, se mueve con la aplicación de la matemática financiera. El dominio de este conocimiento le permitirá actuar eficiente y eficazmente en el manejo del efectivo y de los pasivos de su empresa o entidad para la cual labora y cooperar como persona en el desarrollo social y económico de su entorno inmediato, ciudad y región. Como estudiante, ahora que tomaste la decisión de iniciar el estudio de la matemática financiera, empezaremos por conocer las herramientas que le facilitarán el trabajo en la solución de los problemas a los cuales debe dar respuesta en la vida como asistente financiero o como empresario. En el estudio de este mundo interesante y útil de la matemática financiera, también recordaremos los conceptos de aritmética y álgebra para que pueda comprender rápidamente el proceso de desarrollo de las ecuaciones que nos permitan llegar a los resultados esperados. 3 I OBJETIVO GENERAL Apropiarme y dominar los conceptos de fundamentación de la matemática financiera y de las herramientas que me posibilitarán un desempeño eficiente y eficaz en la búsqueda de alternativas de soluciones como respuesta a problemas financieros. Fundamentar los estudiantes que ingresan al curso de matemática financiera, para hacer la materia de fácil comprensión. MIS OBJETIVOS Dominar el manejo de la calculadora financiera como herramienta indispensable en la solución de problemas financieros. Desarrollar competencias en el manejo del Excel para dar solución a problemas financieros y reconocer su importancia en el desarrollo empresarial. Desplegar habilidades para el uso eficaz de las tablas financieras. Revisar y dominar los fundamentos matemáticos necesarios para el aprendizaje de la matemática financiera. CONDUCTA DE ENTRADA ¿Conozco el manejo de una calculadora Financiera? ¿He utilizado el Excel como herramienta financiera? ¿Qué es un logaritmo? ¿Para qué se utiliza el logaritmo? ¿Qué aplicación tiene el logaritmo en la matemática financiera? ¿Qué es una ecuación de primer grado? ¿Cómo se despeja la incógnita en una ecuación? ¿Tengo un orden para la solución de ejercicios en las matemáticas? ¿Conozco cómo se determina el precio de venta de un producto? ¿Cómo se realizan los descuentos? 4 1.1 USO DE LA CALCULADORA La calculadora es junto al computador, herramienta fundamental tanto en las actividades académicas como laborales, dado que permite el desarrollo de ejercicios complejos de forma rápida y exacta. La calculadora financiera es muy utilizada en el medio empresarial y el mundo bancario y bursátil, para este texto se utilizó la Hewlett - Packard 19B II, y la Casio FC 200. En este capítulo no se busca mostrar el manual de las calculadoras sino explicar los puntos básicos para el uso de éstas en los temas fundamentales de la matemática financiera. Se recomienda en el momento de comprar su calculadora, estudiar detenidamente su manual. Antes de explicar los aspectos más importantes en el uso de la calculadora, es significativo que el estudiante entienda que esta herramienta no reemplaza el proceso de entendimiento para resolver los diferentes cuestionamientos financieros y mucho menos la interpretación de los resultados. En este primer capítulo se hace una explicación general sobre el uso de la calculadora y en los siguientes capítulos se presenta la aplicación de ésta en cada uno de los temas tratados. HEWLETT -PACKARD 19 B II MODO PARA INICIAR LAS OPERACIONES. El modo en el que debe estar la calculadora para el inicio de operaciones, es el algebraico, el procedimiento para llegar allí es el siguiente: Encienda la calculadora ON Digite la tecla naranja Pulse la tecla DISP Aparece en el menú varias opciones entre ellas digite OTROS En el siguiente menú digite ALG Digite EXIT Se encuentra listo para iniciar a efectuar las operaciones. 5 MENÚ PRINCIPAL Para el inicio de las operaciones, la calculadora deberá estar en el menú principal (MAIN). Para llegar al menú principal se pulsa la tecla EXIT, las veces que se requieran. O digitando la tecla naranja y EXIT, o sea con MAIN, para hacerlo directamente. ORDEN DE LAS OPERACIONES. Al efectuar las operaciones se requiere claridad en cuanto al orden establecido, con el propósito de asegurar la calidad del resultado. Las operaciones que se realizan en primera instancia son las que están ubicadas dentro de un paréntesis. El segundo paso es el de las multiplicaciones y divisiones. El tercero y último son las sumas y restas. OPERACIONES BÁSICAS Es importante señalar las operaciones fundamentales que se realizan en los problemas de matemática financiera, ellos son: Potencias, raíces, porcentajes y memorias. POTENCIAS Y RAÍCES. Para elevar a una potencia se maneja la tecla [^], la cual se encuentra como segunda función de la tecla [x]. La tecla de cambio está ubicada en el teclado de la pantalla en la segunda fila, su color es el naranja. En el manual está señalada con el número cinco (5).Para digitar la potencia se presiona la tecla de cambio y luego la tecla x, la cual tiene como función secundaria en potencia. EJEMPLO 1.1: Se desea lograr el resultado de 3 5, se procede de la siguiente manera: 3 Tecla de Cambio ^x 5 = 243 Para el cálculo de raíces se utilizan las teclas [^] y [1/x] (segunda función de la tecla [ ]). Por ejemplo, para obtener el resultado de la raíz cuadrada de 16, se sigue la siguiente secuencia de tecleo: 16 Tecla de cambio ^x Tecla de cambio 1/𝑥 ÷ 2=4 6 000 CAMBIO DE SIGNO La tecla [+/-] es para el cambio de signo. el cual se encuentra ubicado como función secundaria de %.000=. ¿Cuánto debe pagar inicialmente en la universidad si para financiar el semestre debe abonar el 30%. se observan los siguientes elementos: 7 .500. también admite introducir números negativos directamente. el valor del semestre es de $600. EJEMPLO 1. LOGARITMOS Para calcular el logaritmo de un número se requiere entrar al menú MATH.000. 1.000 PORCENTAJES La tecla % se requiere para obtener el porcentaje de un valor dado.2: Se quiere conocer el valor de la cuota inicial de un electrodoméstico cuyo valor total es de $1. se entrega financiado.EJERCICIOS DE PRÁCTICA Determine el resultado de 43 Calcule la raíz cúbica de 125 ¿Cuál es el resultado de 54 ? Obtenga la raíz quinta de 4. Una vez en el menú MATH. para esto solo se digita la tecla precedida por el correspondiente valor.000 * 30 % = 450.000 EJERCICIOS DE PRÁCTICA Determine el valor de la cuota inicial de un vehículo. la cuota inicial es del 30% del valor total. se emplea para cambiar el signo del número exhibido en pantalla.500.000 y para financiarlo se requiere pagar el 20% de cuota inicial. cuyo precio es de $40. 698970004.30103 El Log de 2 es 0. se utiliza la tecla marcada como 10^x. Establezca el antilogaritmo natural de 0. Los elementos que se utilizan son tres: LOG: Logaritmo en base diez (10) 10 ^x: Antilogaritmo LN: Logaritmo Natural.69897 Tecla de cambio % LOGS 0.69314718.RDN PI LOGS TRIG CONV PROB Para efectuar una operación con cualquiera de estos elementos se digitan las teclas que están debajo de cada uno de ellos.69897 es 5 NOTA: Para el LN es el mismo procedimiento sólo se modifica el elemento.30103 EJEMPLO 1. 8 . Tecla de cambio % LOGS 2 LOG = 0.3: Calcular el Log de 2. ANTILOGARITMO Para el cálculo del antilogaritmo. observándose el menú de las funciones exponenciales y logarítmicas.4: Calcular el antilogaritmo de 0. y antilogaritmo natural ex. Para el caso del logaritmo se digita la tecla que está debajo de LOGS.69897 10 x = 5 El antilogaritmo de 0. EJEMPLO 1. EJERCICIOS DE PRÁCTICA Obtenga el Log de 25 Calcule el LN de 30 Determine el antilogaritmo de 0. Allí se muestra un tablero de opciones primarias. se puede borrar una memoria almacenando en ella un 0. El número se muestra en la pantalla y continúa almacenado en la memoria. se sigue el siguiente procedimiento: 1. Calendario y Cálculos con fechas. MENÚ FINANCIERO Para la solución de ejercicios ya aplicados a la matemática financiera con la calculadora HP. Los elementos de este menú son: FIN: Menú Financiero COM: Menú Comercial SUMA: Menú Estadístico CALEN: Reloj. resulta innecesario borrar las memorias ya que un número nuevo reemplaza al número almacenado anteriormente. RESOL: Programación de la calculadora TEXTO: Agenda 2. bancario y bursátil. se teclea [STO] [DEL]. 9 . para borrar todas las memorias simultáneamente. se oprime la tecla [RCL] seguida del dígito en donde se encuentre el número que deseamos recobrar. las cuales pueden ser utilizadas para acumular números. Por lo general. numeradas del 0 al 9. Para guardar el número que se muestra en pantalla en una memoria. El menú FIN (Finanzas) es el más utilizado dentro del campo financiero. se oprime la tecla [STO] seguida de un número entre 0 y 9. Ubíquese en el menú MAIN (principal). para rescatar un número almacenado en una memoria. Este menú contiene los siguientes submenús: VDT: Valor del Dinero en el Tiempo CONVI: Conversión de Tasas de Interés. Digite la tecla que se encuentra debajo del elemento FIN. el utilizar las memorias permite minimizar la probabilidad de error y la optimización del tiempo. Esta calculadora posee 10 memorias disponibles. Sin embargo.MEMORIA Todas las calculadoras tienen por lo menos un registro de memoria. de acuerdo con la siguiente convención de signos: dinero recibido se ingresa o se presenta en pantalla como un valor positivo. A: Determina el capital o valor presente.: Se estima el valor futuro OTRO: Pasa al submenú secundario. Al utilizar el menú VDT es necesario que las cantidades monetarias sean ingresadas con el signo adecuado. 10 . Para regresar al menú primario se oprime la tecla [EXIT]. El menú VDT se utiliza para llevar a cabo cálculos de interés compuesto y de anualidades. la calculadora podría mostrar el mensaje: “no hay solución”. F. Presione la tecla que se encuentra debajo del elemento VDT. el cual se utiliza cuando la anualidad es anticipada. que son los siguientes: N: Allí se almacena o calcula el número total de períodos de capitalización (o de pagos. que se utiliza para modificar las condiciones de pago y para presentar el menú de amortización. V. en porcentaje. AMRT: Muestra el menú para la amortización de una deuda a interés compuesto.F.(menos). V. INIC: Determina el modo inicial. El menú se divide en dos partes: primario y secundario. en una anualidad). mientras que el dinero cancelado se ingresa o se presenta en pantalla como un valor negativo. Allí se muestra los siguientes elementos: P/AÑO: Almacena el número de períodos de capitalización por año. CAJ: Manejo de fluidos de efectivo BONO: Cálculos con Bonos DEPRC: Cálculos de Depreciación 3. importante la relación con la tasa de interés. el cual se utiliza cuando la anualidad es vencida. %IA: Almacena o calcula la tasa de interés anual. N puede expresarse en cualquier período de tiempo. PAGO: Calcula la cantidad de cada pago periódico (anualidad). Si los valores no se ingresan de manera adecuada atendiendo a su signo. El menú primario contiene 6 elementos. + (más) o . FINAL: Fija el modo final. CASIO FC 200 MODO PARA INICIAR LAS OPERACIONES Esta calculadora es un poco más sencilla que la HP. INGRESO DE CARACTERES ALFABÉTICOS ALPHA Para ingresar los caracteres de color rojo o las memorias se digita la tecla ALPHA. SELECCIÓN DEL TIPO DE INTERÉS Para indicar el tipo de interés que se va a trabajar. 11 . MENÚ FINANCIERO Para efectuar las operaciones financieras se digita la tecla MODE y el número 4. Al realizar los diferentes cálculos se deben borrar las memorias financieras. Para trabajar con el interés compuesto debe aparecer en la pantalla la letra C. vamos a señalar algunas teclas claves para el estudiante de la matemática financiera. pero para nuestro texto es de gran utilidad. se digita la tecla MODE y el número cero (0). SELECCIÓN DE FUNCIONES TECLA DE CAMBIO SHIFT Esta tecla se digita para activar las funciones de color naranja ubicadas arriba de la tecla. Como la idea del texto no es reemplazar el manual de la calculadora sino destacar algunos comandos. Las operaciones se inician cuando el interruptor que se encuentra a la izquierda se deslice hacia arriba y quede en ON. Cuando se encuentra en el menú financiero en la pantalla se muestra FIN. y la calculadora va cambiando el modo. además de ser más económica y estar al alcance de la mayoría de estudiantes. Al digitarla aparece en la pantalla la letra S. se digita SHIFT AC EXE AC. A . Para un mejor estudio vaya a la página 133 y 134 del manual de su calculadora.ALPHA .ALPHA.EXE. El procedimiento para guardar en la memoria el valor $1000 en la casilla A es el siguiente: 1000 . Para guardar en la memoria se digita STO ALPHA la letra de la casilla que se selecciona (Ejemplo A) y EXE. Si se procede a recuperar la información guardada anteriormente el proceso es: RCL . 12 .EXE.A .STO . La calculadora Fc 200 cuenta con veintiséis memorias y están identificadas con las letras de A a Z de color rojo. ALMACENAMIENTO Para guardar información en la memoria la FC 200 cuenta con un gran número de celdas. se identifican porque se les asignó las letras del alfabeto. MEMORIA El manejo de las memorias es fundamental para ganar tiempo en las operaciones y minimizar el riesgo de equivocarse. Es importante conocer el procedimiento de almacenamiento en la memoria.FUNCIONES Las funciones son las siguientes: PRN INT COMP n CFj Nj NPV IRR i% PV PMT FV Su forma de trabajar se explica en las páginas 121 a 123 del manual de su calculadora. donde además aprenderá a efectuar operaciones con los resultados guardados en las memorias. CONSULTA Para consultar la memoria y recuperar la información guardada se digita RCL después ALPHA y la letra donde se guardó la información. como la forma de conocer la información guardada. es necesario solicitar todas las demás variables. Nota: Para cancelar la acción después de pulsar 2nd. memoria almacenada o cualquier operación en curso o condición de error sin resolver. la función principal de la tecla ON/OFF es apagar y encender la calculadora. Se mantendrán todos los valores y parámetros de las hojas de trabajo. el indicador 2nd aparece en la esquina superior izquierda de la pantalla). Por ejemplo. formatos de número. Por ejemplo. Si ha utilizado la tecla ON/OFF para apagar la calculadora. a las que se accede en el modo de calculadora estándar. para asignar valores a las variables de amortización deberá pulsar primero 2nd [AMORT] para acceder a la hoja de trabajo Amortización. USO DE HOJAS DE TRABAJO: HERRAMIENTAS PARA SOLUCIONES FINANCIERAS La calculadora contiene hojas de trabajo que llevan integradas las fórmulas con las que podrá resolver problemas concretos. al pulsar 2nd [OUIT] se sale de la hoja de trabajo seleccionada y la calculadora regresa al modo estándar. 13 . Solo tendrá que aplicar los parámetros o asignar los valores conocidos a las variables de la hoja de trabajo. El cambio de los valores permite formular preguntas hipotéticas de tipo qué ocurre si y comparar los resultados. Por ejemplo. Excepto para las variables de TVM. al encenderla estará exactamente igual que cuando la dejó. Para seleccionar una función secundaria pulse 2nd y la tecla correspondiente. Si la calculadora se ha apagado por la acción de Automatic Power Down™ (APD TM). ésta volverá al modo de calculadora estándar mostrando un valor de cero. sin que se hayan perdido ninguno de los parámetros de visualización. La mayoría de las teclas incluyen una función secundaria impresa por encima de la tecla. fechas. y calcular luego el valor desconocido. separadores y métodos de cálculo anteriores.ENCENDIDO DE LA CALCULADORA Pulse ON/OFF. pulse 2nd de nuevo. (Cuando se pulsa 2nd. unidades de ángulo. SELECCIÓN DE FUNCIONES SECUNDARIAS La función principal de una tecla es la que aparece sobre la propia tecla. Nota: Si se produce una condición de error.) Pulsación de 2nd [RESET] ENTER 1. (Consulte «Borrado de entradas y memorias de la calculadora» en la página 8. lo que confirma que se ha reiniciado la calculadora. sin tener que utilizar constantemente la calculadora para revisar las operaciones efectuadas y el papel para apuntar los resultados. Aparecen los indicadores R5T ? Y ENTER.)Por ejemplo.00. 2. ésta retiene todos los datos de la hoja de trabajo. las 10 memorias. Aparecen R5T y 0. pulse 2nd [QUIT). Pulse 2nd [RESET). Se recupera el funcionamiento del modo de calculadora estándar. por lo que el reinicio de la misma deberá utilizarse con cuidado para evitar la pérdida accidental de datos. La calculadora dispone de métodos alternativos que permiten borrar datos selectiva mente. puede reiniciar la calculadora después de utilizarla por primera vez. pulse CE/C para borrar la pantalla antes de intentar reiniciar la calculadora.00. al iniciar un nuevo cálculo o cuando surja algún problema de funcionamiento y no consiga resolverlo con ninguna de las otras posibles soluciones. 1. se han requerido instrumentos mucho más rápidos que permitan la toma de decisiones en períodos breves. los cálculos no finalizados y todos los datos de las hojas de trabajo. y mecanismos que permita realizar comparaciones y elegir la mejor alternativa. Aparece el valor 0. Nota: Para cancelar el reinicio. Se recuperan los valores de configuración predeterminados.Cada hoja de trabajo es independiente de las demás: las operaciones realizadas en una hoja de trabajo no afectan a las variables de las otras. REINICIO DE LA CALCULADORA Cuando se reinicia la calculadora: Se borran la pantalla.2. (Consulte «Si surge alguna dificultad» en la página 111. Al salir de una hoja de trabajo o apagar la calculadora. 14 . GENERALIDADES DEL EXCEL En la medida que se aumentan los negocios en el mundo. Pulse ENTER. dada su aplicación para el administrador financiero. DISEÑO DE PAGINA. Para el desarrollo del texto se va a utilizar el EXCEL. en celdas o memorias y luego poder efectuar operaciones con ellos. DATOS. CARACTERÍSTICAS La estructura principal que utiliza este tipo de software para almacenar y organizar la información es un área de trabajo en forma de matriz. estructurada por un determinado número de filas y columnas. hoja de cálculo por excelencia en estos momentos. 15 . Para el caso de la matemática financiera es una herramienta fundamental. INSERTAR. REVISAR Y VISTA. Una vez se ingresa a la opción de funciones. en el desarrollo de este texto se utilizarán fundamentalmente tres: FINANCIERAS. De esta forma las hojas de cálculo se han convertido en el instrumento perfecto para el desarrollo financiero de las empresas. FÓRMULAS. la hoja electrónica te muestra las diversas alternativas que se tienen para trabajar. Los comandos principales que constituyen el menú principal son: INICIO.De allí partió la idea de crear un programa que permitiese anotar datos como en las hojas de papel. LÓGICAS MATEMÁTICAS Y TRIGONOMÉTRICAS. Las funciones que más se utilizan se encuentran en el comando FÓRMULA. denominadas hoja de cálculo. dado que su avance es tal que se permite hacer simulaciones que son fundamentales en la solución de problemas. cuando las cuotas son pagos iguales. TIR: Se halla la tasa de rentabilidad del flujo de caja de un proyecto. TASA: Con este comando se calcula el interés a partir del valor de las cuotas y el valor futuro o presente. 16 . EFECTIVO: Calcula la tasa efectiva a partir de la nominal. dado que allí ya están programados y organizados los procedimientos matemáticos. NPER: Permite conocer el número de períodos que se requieren para pagar la totalidad de una obligación. PAGO: Esta función permite calcular el valor de una anualidad cuando se conoce el valor presente o el valor futuro. NOMINAL: Devuelve la tasa de interés anual nominal si se conoce la tasa efectiva.FUNCIONES FINANCIERAS En este comando se encuentran las diferentes funciones utilizadas en las finanzas. VF: Determina el valor futuro a partir del valor presente o las anualidades. VA: Conocemos el valor presente de unos pagos futuros. Las operaciones de más uso son las siguientes: INT. VNA: Calcula el valor presente de un flujo de caja donde se tienen ingresos y egresos. La hoja está organizada de la siguiente forma: 17 . Cada hoja muestra el resultado para determinada tasa de interés y seis columnas. dado que ante la modificación de cualquiera de ellas. MENÚ DE FUNCIONES LÓGICAS SI: Se asigna un valor si cumple determinado criterio.3 LAS TABLAS FINANCIERAS Buscando optimizar el tiempo en el desarrollo de los ejercicios. SUMAR. sino se le asigna otro valor. PRODUCTO: Multiplica una serie de números. POTENCIA: Permite obtener el resultado de elevar un número a una potencia. SUMA: Suma una serie de números ubicados en un rango. se utiliza en las condiciones de pago para las tablas de amortización. porque es allí donde se encuentra la ventaja de la hoja electrónica. RAÍZ: Se obtiene la raíz cuadrada de un número. cada columna es el resultado de la deducción de una incógnita conociendo las demás variables.SI: Sólo suma los números que cumplen determinada condición. Es importante en el manejo del Excel.FUNCIONES MATEMÁTICAS Y TRIGONOMÉTRICAS De igual forma en el menú funciones también se encuentran las matemáticas y trigonométricas. inmediatamente afecta el resultado sin volver a realizar las operaciones. 1. Las funciones que se muestran son las que se requieren: LN: Calcula el logaritmo natural de un número. donde se desarrollan temas como los logaritmos. se editaron tablas que contienen el valor de un factor. VF y ANUALIDADES. y las lógicas que se utilizan en el tema de amortizaciones y organización de los flujos de caja. que no es más que el resultado de las diferentes fórmulas como VP. enlazar todas las variables. para diferentes períodos y tasas de interés. LOG: Devuelve el logaritmo de un número en la base que se le indique. LOG10: Determina el logaritmo en base diez de un número. A/F: Con el valor futuro calcular el valor de la anualidad. 18 .9426 0. el estudiante requiere recordar los conocimientos básicos de las matemáticas básicas. Los temas que se estudiarán son los siguientes: Logaritmos Sucesiones y Progresiones. este repaso va a permitir el fortalecimiento de los conceptos para facilitar el desarrollo de la materia.49261 2. F/A: Con una anualidad calcular el valor futuro.4926 F/P: Con el valor presente calcular el valor futuro.9426 0.4 FUNDAMENTACIÓN DE MATEMÁTICA BÁSICA Para comprender la matemática financiera.0300 0. A/P: Con un valor presente calcular el valor de la anualidad. ¿Cuál es el factor para calcular una anualidad si se tiene un valor presente. Ecuaciones.0000 1. P/F: Con el valor futuro calcular el valor presente.09709 2 1. A/G: Cálculo de la anualidad con el factor de un gradiente aritmético. con N = 6 y una tasa del 2%? 1.52261 1.0300 0.9135 0.0609 0. P/G: Cálculo del valor presente con el factor de un gradiente aritmético. EJERCICIOS DE PRÁCTICA Determine el factor para determinar el valor presente con un futuro para N = 5 y una tasa de interés del 3%.9709 1.0300 .0000 1.TASA 3% N PAGOS UNICOS ANUALIDADES A/P GRADIENTES F/P P/F A/F F/A P/A P/G A/G 1 1. P/A: Con el valor de la anualidad calcular el valor presente. Aun cuando hoy existen las calculadoras y los computadores. la tecnología. y otras. Son una herramienta muy útil que permite abreviar diversas operaciones aritméticas. 102 = 100 Loga b = c ¿A cuánto debo potenciar a “a” para que sea igual a “b”? ac = b Se debe potenciar C. los logaritmos tienen amplia aplicación en muchas áreas de la ciencia. En un principio fueron utilizados para la realización de cálculos aritméticos complejos principalmente en astronomía. Radicación Exponenciación Pasos para solución de problemas en las matemáticas. ab = c Base = a Exponente = b Número = c EJEMPLO 1. las finanzas.5: Log 10 100 = 2 10? = 100 ¿A cuánto se debe potenciar 10 para que sea igual a 100? La respuesta es 2. DEFINICIÓN: El logaritmo de un número es el exponente al cual se debe elevar un número llamado BASE para obtener el número requerido. Luego. los cuales facilitan los cálculos. 19 . LOGARITMOS Atención: ¿para qué sirven los logaritmos?. Loga B Log 6/5= Log 6 . es decir Loga A/B = Loga A . es decir: Loga a = 1 porque a1 = a 4.Si lo comprende. Estimar el Log 4*6. puede continuar. El logaritmo de uno. Propiedades de los Logaritmos Como el logaritmo es un exponente tiene las mismas propiedades de los exponentes. es decir Loga AB = loga A + loga B Log (6) (5)= Log 6 + Log 5 5. El logaritmo de un número positivo elevado a un exponente es igual al exponente multiplicado por el logaritmo del número. Determinar el Log de 4/3. 3. es decir: Loga N no existe para todo N menor o igual a cero 2. 1. Cualquier número positivo diferente de 1 puede ser usado como base de un sistema de logaritmos. es decir Loga 1 = 0 Se sabe que todo número elevado a la potencia cero es igual a uno en el conjunto de los números reales.Log 5 6. El logaritmo del número a en la base a es igual a 1. luego el número de 20 . BASES DE LOS LOGARITMOS El logaritmo de un número depende de la base que se utilice. El logaritmo de los números negativos y de cero no existe en el conjunto de los números reales. es decir: Loga An = n loga A EJERCICIOS DE PRÁCTICA Calcular el Log de 45. El logaritmo del producto de dos números positivos es igual a la suma de los logaritmos de dichos números. El logaritmo del cociente de dos números positivos es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador. es igual a cero. Al trabajar con logaritmos decimales es costumbre omitir el subíndice 10.06)N = log 1.5 Se saca el logaritmo a ambos lados de la ecuación y se simplifica: Log (1. Al igual que para el cálculo del logaritmo decimal.718281828459. se escribe como log10 A. De esta forma. Sin embargo. EJEMPLO 1.. Emplea como base un número irracional representado por la letra “e” cuyo valor aproximado es 2. El logaritmo decimal de un número positivo A. log10 A es igual a log A. tendríamos: 100*(1.sistemas de logaritmos es infinito. se acostumbra escribir ln A en lugar de loge A. APLICACIONES DE LOS LOGARITMOS EN LA MATEMÁTICA FINANCIERA.5 21 . para obtener un valor futuro. Este caso se presenta en el cálculo del tiempo (n). Sistema de logaritmos decimales Este sistema es también llamado sistema de logaritmos comunes.6: Se realiza una inversión de $100 a una tasa del 6% bimestral.. Se teclea el número y en seguida se oprime la tecla ln o se digita la tecla ln y en seguida se escribe el número. según el tipo de calculadora que se tenga. el logaritmo natural se puede obtener mediante el uso de tablas o de calculadora. ¿en cuánto tiempo se tendrá un valor de $150? Utilizando la fórmula de valor presente.06)N = 150 simplificando tenemos que (1.. los sistemas de logaritmos más utilizados son el sistema de logaritmos decimales que emplea el número 10 como base y el sistema de logaritmos naturales llamado también neperianos. Sistema de logaritmos naturales También llamado sistema de logaritmos neperianos.06) = log 1.5 N * log (1.06)N = 1. Una de las aplicaciones más importantes de los logaritmos en las finanzas es la solución de ecuaciones en que la incógnita aparece como un exponente. Se denomina “logaritmo de A en base “e” o “logaritmo natural o neperiano de A”. Si para el ejemplo se requiere el Logaritmo Natural. EJERCICIOS DE PRÁCTICA ¿Cuánto tiempo se requiere para tener el doble del capital actual si mensualmente tiene una rentabilidad del 5%?. Determinar el Log de 4.000 si hoy se tienen $800. y al digitar nuevamente EXIT. el elemento marcado será LN.000 y mensualmente tiene una rentabilidad del 2%. NOTA: Esta aplicación se entenderá mejor cuando el estudiante conozca la fórmula de valor presente y valor futuro.𝑁 = 𝑙𝑜𝑔 1.5 y a continuación se digita la tecla que se encuentra debajo del elemento LN.96 Respuesta: Para alcanzar la inversión del valor de $150 debemos dejar los recursos 6. se digita el número y seguidamente la tecla ubicada debajo del elemento LOG así: 1. Determine el número de meses que se requiere esperar para alcanzar $ 1. Estimar el Log 8*6.5.5 LOG = 0.96 bimestres.176091259 Al digitar la tecla EXIT retorna al menú MATH.5 𝑙𝑜𝑔 1. EJERCICIOS DE PRÁCTICA Calcular el Ln de 65.06 N = 6. Para el ejercicio se digita el 1. del menú MATH. se retorna al menú principal MAIN.000. USO DE LA CALCULADORA HP Para el ejemplo que se está trabajando. el logaritmo de 1. 22 . PROGRESIONES DEFINICIÓN: Una progresión es una sucesión de números relacionados de tal forma que cada número es igual al anterior sumado o multiplicado por un valor constante. Existen dos clases de progresiones.. PROGRESIÓN ARITMÉTICA Se define como progresión aritmética a la sucesión cuya diferencia entre cualquier término y el anterior es la misma a lo largo de toda la sucesión. el segundo 6. En la segunda parte del ejemplo. el tercero 12. el segundo 5... 24... Cada término se obtiene sumando 3 al término anterior.. Esta diferencia se denomina diferencia común (DC). 48 En la primera parte del ejemplo. NOTA: Si el cálculo fuese el Logaritmo Natural se seleccionaría LN.. Cada término se obtiene duplicando el anterior.. 23 . . Ejemplo: 2. La expresión queda así: A+(A+DC) + (A+2DC) + (A+3DC) + (A+4DC) +. 11.+ (A+(N-1) DC). 6.. el primer término es 2.. 14 o 3. 8. SUCESIONES Y PROGRESIONES SUCESIONES Una sucesión es una lista ordenada de números...CÁLCULO DEL LOG EN EXCEL Se va a calcular el Log de 1. el primer término es 3.5 Se ingresa por funciones (fx) La categoría de la función es matemáticas y trigonométricas Se busca el nombre de la función.... 12.. para el ejercicio se tomó el LOG 10 Una vez definida la función se señala el valor que se va a calcular.... el tercero 8 . 5... aritméticas y geométricas. N: Número de términos. A: 2 DC: 3 N: 20 UT = 2+ (20 . en la fórmula del UT. La fórmula para calcular el último término es la siguiente: UT= A + (N-1)*DC El valor de la sumatoria de la serie se determina mediante la siguiente fórmula: Sumatoria Serie (SS) = 𝑁∗(𝐴+𝑈𝑇) 2 EJEMPLO 1.1) * 3 UT = 59 Sumatoria Serie (SS) = 20∗(2+59) 2 Sumatoria Serie = 610. El total de términos es de 20. Calcular el UT y la Sumatoria de la serie..7: EJEMPLO DE APLICACIÓN: Se tiene la siguiente serie: 2. 24 . 8.Dónde: A: Primer término. NOTA: Si se desea conocer un determinado término de la serie...20. DC: Diferencia común. por ejemplo el término 15 del ejercicio anterior.. 5. se reemplaza el UT.. UT: Último término.... por el quince (15). 11. 17. 14. 60 de interés Para el cuarto mes sería $10 de capital y $1... 11. 23. 54. 11. 18. los términos sucesivos de la progresión geométrica (PG) son: 25 ..20. 31...... 2x33.. 14.N La serie tiene 15 términos...10. Si A es el primer término y r es la razón. el segundo pago sería de $11..20. más el interés.19.20 (20 centavos) EJERCICIOS DE PRÁCTICA Calcular el último término de la siguiente serie: 4. 2x32..Aplicación en las finanzas: EJEMPLO 1.80 por lo tanto... es decir. El cliente está de acuerdo en pagar $10 a capital cada mes.20 de interés Los pagos sucesivos serían: 12. 27. 19. 162 2.. PROGRESIONES GEOMÉTRICAS E INTERÉS COMPUESTO Una progresión es geométrica (PG) cuando en una sucesión de términos..80. 15.8: Se efectúa un crédito de $100 con un interés del 2% mensual. El total del pago es de $12 y se adeuda $90 al banco. $1.40. Determinar la Sumatoria de la siguiente serie: 3. Para el segundo mes se paga $10 de capital más los intereses sobre $90. 9. 11. Ejemplo: 2. 35... 11.60. Al finalizar el primer mes paga $10 más $2 de interés...80. 6.40 de interés Para el quinto mes sería $10 de capital y $1. 11.. 7. 2x31. La diferencia común es 0.. cada término es igual al anterior multiplicado por una constante denominada RAZÓN. Para el tercer mes sería $10 de capital y $1... 2 x34 La RAZÓN es 3. 10: APLICADO A LAS FINANZAS: Se depositan $100 en una entidad financiera que paga 1% mensual. r = 2. La sumatoria de la serie se calcula así: Sumatoria serie (SS) = (2∗1. 8.A. ¿Cuánto dinero se tendrá al finalizar un año? Los intereses se capitalizan cada mes. Esto permite concluir que el último término o término n-ésimo se obtiene de la siguiente forma: UT = a*rn-1 Para calcular la sumatoria de la serie.9: Se tiene la siguiente serie: 2. se aplica la siguiente fórmula: Sumatoria Serie (SS) = r∗UT – A r−1 EJEMPLO 1. 4. UT= UT = 2* 29 UT = 1024 El último término de la serie es 1024. EJEMPLO 1. A = 2. si la serie tiene 10 términos. Ar. N = 10. Al finalizar el primer mes se tendría 26 . Ar3 En esta PG se observa que la potencia de r en cualquier término es menor en uno al número de términos (N). y la sumatoria de la serie. Ar2.046. 32. 16.046 La sumatoria de la serie es de 2. calcule el último término.024)−2) 2−1 SS = 2. ......... GRADOS DE UNA ECUACIÓN El grado de una ecuación está determinado por el mayor exponente de la incógnita en la ecuación...01)1. Calcule la sumatoria de la siguiente serie...01) = 101 El valor de la inversión para el segundo mes sería: 101 + 1% de 101 101 (1..01) esto es equivalente a 100(1.. y sólo es verdadera para determinados valores de las incógnitas.... 100(1.+ X + 15=0 En la matemática financiera.01)2.01)2 De igual forma el valor de la inversión para el tercer mes sería: 100(1..01)3. EJERCICIOS DE PRÁCTICA Determine el décimo término de la siguiente progresión: 2.01)3 La sucesión sería 100. 6. 16. cuando se hace referencia a una incógnita se precisa que sólo se desconoce una variable. En una ecuación de primer grado el mayor exponente de X es 1. Ejemplo: 2X+8= 20 En una ecuación de segundo grado el mayor exponente de X es 2...... ECUACIONES Una ecuación es una igualdad en la que existen una o varias cantidades desconocidas denominadas incógnitas. 8... 27 .. 32.. Ejemplo: X2. 54. la cual está compuesta por 8 términos: 4..100 + 100(0... 100(1.. 100(1... el uso de las ecuaciones se limita a ecuaciones de primer grado con una incógnita.. Demostrando la aplicabilidad de la progresión geométrica para el cálculo de resultados donde se trabaja con el interés compuesto. 18.. 000/(1.7X = 490.280. más los 500.7 X = 700.11 EJERCICIOS DE PRÁCTICA Determine el valor de X de la siguiente ecuación: 10x – 5 = 4x + 20 Despeje el valor de X: 6𝑥 2 + 8𝑥 = 120 4 28 .000 a 30 días (1 mes).000 / 1. trayéndolos a valor presente.000. o sea. SOLUCIÓN: X-0.07 X = 490.11: Determinar el precio de contado de un artículo que se financió de la siguiente forma cuota inicial.280. y éste se da cuando existe claridad en la ubicación de la incógnita. La ecuación se plantea para el momento 0.196.3X= 500. con un interés del 2% mensual. porque es allí donde se quiere conocer el valor de contado.3X+500.11 RTA: El valor de contado del artículo es de $700.02) ANÁLISIS El precio de contado es igual al 30% de ese valor.El éxito de un estudiante de matemática financiera radica en el buen planteamiento de la ecuación. pero trayéndolos al momento cero.07 /0.196. 30% del valor de contado y $500.02 0. Valor de Contado = X X = 0. EJEMPLO 1. Ejemplo: La raíz de 16(dieciséis). EJEMPLO 1. los dos valores se eliminan. 08 ((1 + i) 3) 1/3 = (1. 08 (1+ i )3 = 1+0. porque cuando el exponente del radicando es igual al índice de la raíz.02598 RTA: El valor de i = 2. EJERCICIO DE APLICACIÓN: La operación que regularmente se utiliza es la de supresión del índice y del exponente. es aquel número que elevado a una potencia da como resultado el valor inicial.08)1/3 (1+ i) = 1.12: (1+ i )3 -1=0. su raíz cuadrada es 4(cuatro). con el propósito de eliminar el exponente 3.025985 i = 1. se obtiene la cifra inicial de 16. 025985-1 i =0. EJERCICIOS DE PRÁCTICA Determinar el valor del interés despejando la siguiente ecuación: (1+ i)4 -1 = 16% Calcular la tasa de interés de: (1+ i)3 -1= 10% 29 .RADICACIÓN La raíz de un valor x. El concepto de radicación se aplica en la matemática financiera para el despeje de la tasa de interés cuando se conoce los valores presente y futuro y el número de períodos. porque al elevar 4 al cuadrado.5985%. Para despejar i se elevan las dos partes en (1/3) o expresado de otra forma se saca raíz cúbica a ambos lados. 30 .EXPONENCIACIÓN Un exponente se puede definir como el producto de un número real que se multiplica por sí mismo un determinado número de veces.15: 54 / 52 = 54 . EJEMPLO 1. EJEMPLO 1.13 X * X = X2 X * X * X = X3 La X se denomina base y el número al cual se encuentra elevado se denomina exponente. EJEMPLO 1. su resultado es 1.16: (54)2 = 54 * 2 EL EXPONENTE CERO Cualquier base cuyo exponente sea igual a CERO. EJEMPLO 1. Leyes Exponenciales: PRODUCTO DE DOS EXPONENTES CON LA MISMA BASE: El producto de dos exponentes con la misma base es equivalente a elevar la base a la suma de los exponentes. se eleva la base al producto de sus exponentes.2 EXPONENTE DE UN EXPONENTE Al elevar un exponente a otro exponente.14: 54 * 52 = 54+2 COCIENTE DE DOS EXPONENTES CON LA MISMA BASE El cociente de dos exponentes con la misma base es similar a elevar la base por la diferencia del exponente del numerador menos el denominador. El exponente indica el número de veces que la base se toma como factor. 5. 31 .EJEMPLO 1.17: 50 = 1 EXPONENTE NEGATIVO Cuando la base tiene un exponente negativo éste es igual a 1 sobre esta misma base con exponente positivo. en especial a la financiera. 6. si la realidad te presenta esta situación. le sugiero a un estudiante interesado en resolver todo ejercicio que se le presente son los siguientes: 1. EJEMPLO 1. Piense que la matemática es muy fácil. es tratar de sugerir unos pasos estándar que se apliquen en la solución de cualquier problema matemático. es lógica. Los diez pasos que. que tú eres bueno para las matemáticas. y exacta. 3. ¿Cuál sería la forma de darle solución? 4. aquí se utiliza el diagrama del flujo de caja. El diagrama del flujo de caja le orienta cuando ingresa dinero y en qué momento efectúa erogaciones. Plantee el camino para encontrar la respuesta. con mucho respeto.18 5-4 = 1 / 54 EJERCICIOS DE PRÁCTICA Determine el resultado del producto de las siguientes potencias: X3 * X4 Calcule el resultado de la siguiente expresión: (52)3 + 44 Determinar el resultante de: (6 * 5)2 LOS DIEZ PASOS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS EN LA MATEMÁTICA FINANCIERA La razón de existir este texto es la búsqueda de la forma para que el estudiante le encuentre gusto a las matemáticas. Trate de aplicarlo a la cotidianidad de su vida. Tenga claridad en la pregunta del ejercicio. 2. de igual manera el período en el cual está ubicada la incógnita. Lea cuidadosamente el problema sin dejar escapar detalle alguno. 8.000.000.000. Si se expresa el 20%. Para financiar un electrodoméstico se requiere pagar el 20% de cuota inicial. esto quiere decir veinte unidades por cada 100. EJEMPLO 1. se representa de otras formas como: 20/100. Esto significa que mensualmente por cada $100 que a usted le presten.000=. cual será la cantidad de dinero a desembolsar. 0.20. Interprete el resultado para saber dar respuesta a la pregunta. si la tasa cobrada es 2% mensual. EJERCICIOS DE PRÁCTICA Determine el interés por un crédito de $1.5 FUNDAMENTACIÓN COMERCIAL PORCENTAJE Como porcentaje se define la proporcionalidad que se establece con relación a cada cien unidades. si el artículo tiene un valor de $6. Plantee la ecuación que le va a permitir efectuar las operaciones requeridas en el desarrollo del ejercicio. Evalúe las operaciones efectuadas. Revise si la repuesta está dentro de la lógica. 10. DESCUENTO COMERCIAL El descuento comercial se define como una rebaja sobre el precio de lista de un artículo o mercancía y se expresa como un por ciento del precio fijado. 9. Los descuentos en el comercio se dan por las siguientes razones: POR VOLUMEN 32 . o digitó mal la calculadora o el computador.7.19: La tasa de interés mensual es el 3%. 1. Se describe con el signo %. debe pagar $3. quizás se haya equivocado en alguna. 000 VALOR FINAL DE LA FACTURA $8. PAGO DE CONTADO.20: Un almacén mayorista.000. pagó de contado determine el valor de la factura. EJEMPLO 1.550. y por pago de contado de un 4%.000 Aquí se observa que al efectuarse dos o más descuentos comerciales.000 Descuento por volumen (10%) Valor descuento 10.000 x 5% = 450.000. se debe conocer el costo y el margen de utilidad.000 Descuento pago de contado (5%) Valor descuento 9. éstos deben ser sucesivos. le concede un descuento del 10%. VALOR INICIAL DE LA FACTURA $10.000 VALOR FACTURA $9.000.000. Si ABC. la cual tiene un valor de $30. O ANTES DEL VENCIMIENTO. por volumen tiene un descuento del 15%. La fórmula es la siguiente: PRECIO DE VENTA = COSTO DE VENTA + UTILIDAD BRUTA 33 .000.000.000 x 10%= 1. EJERCICIOS DE PRÁCTICA Determine el pago final de una factura.000. vende mercancía a la empresa ABC por un valor de $10.000.000. y si la empresa ABC paga de contado le da un descuento del 5%. DETERMINACIÓN DEL PRECIO DE VENTA Para determinar el precio de venta de un artículo. dado su volumen de compra. e.000 PV = 5.857 El precio al que se espera vender el artículo es de $7. Se reemplaza en la fórmula: PV = 5. En una operación matemática de exponenciales.000. En una ecuación de primer grado cuál es el mayor exponente de X. 3 * PV 0. el costo unitario es de $400. Comente cuál es el proceso para trabajar las funciones financieras en Excel.000. 7 PV =5.000 + 0. cuál es el procedimiento para realizar la siguiente operación: (65)4. b. c. ¿Entiendo la diferencia entre una progresión aritmética y una progresión geométrica? d.000.21: EJERCICIO DE APLICACIÓN Cuál es el precio de venta de un artículo cuyo costo es de $5.857. EJEMPLO 1. EJERCICIO DE PRÁCTICA Usted inicia un negocio de ventas de empanadas. Si el costo de fabricar una carrocería es de $12. Cómo debo operar la calculadora financiera para obtener el 37.000 / 0.000.000. si se espera alcanzar un margen de utilidad del 50% determine el precio de venta de cada empanada.000.000. determine el precio de venta de cada carrocería.7 PV =7.142.8% de 4’850. 34 .000= y el margen de utilidad que se espera obtener es del 30%.142. y el margen de utilidad esperado es el 15%.La utilidad bruta se determina como el margen de utilidad multiplicado por el precio de venta. AUTOEVALUACIÓN a. allí? g. INSTRUMENTO FINANCIERO: Documento que representa una deuda. ECUACIÓN: Es una igualdad de valores. 35 .f. COMERCIALIZACIÓN: Proceso mediante el cual los productos se trasladan de los productores a los consumidores. INSOLVENCIA: Incapacidad para pagar las deudas en la fecha fijada. que relacionan dos o más variables. INVERSIÓN: Asignación de recursos económicos en determinado negocio cuyo propósito es el de obtener ganancias en un período de tiempo. ¿Cómo se determina el descuento comercial? ¿Tienen las grandes empresas ventajas sobre las pequeñas. ¿Conociendo el margen de utilidad es suficiente para determinar el precio de venta de un artículo? GLOSARIO AHORRO: Parte del ingreso que una persona o ente jurídico no gasta en consumo. INVERSIONISTA: Persona que emplea sus recursos económicos para adquirir activos productivos o títulos valores en el mercado financiero y bursátil. FINANZAS: Rama de la administración de empresas que se preocupa por el flujo de fondos que requiere la empresa para su funcionamiento y la generación de utilidades. ÍNDICE: Indicador que tiene por objeto medir las variaciones de un fenómeno económico. INGRESO: Remuneración percibida por un trabajador por los servicios prestados durante un período de tiempo. sino lo pospone para algún momento futuro. y que permite conocer los valores numéricos asignados a las letras. COMERCIO EXTERIOR: Intercambio de productos y servicios entre países. MARGEN DE INTERMEDIACIÓN FINANCIERA: Es la diferencia entre las tasas de interés de colocación y de captación. FACTURA COMERCIAL: Documento en el que se fija el valor de la mercancía vendida. DESCUENTO: Disminución del valor nominal de un título valor por pago anticipado. INSTITUCIÓN FINANCIERA: Empresa cuya actividad es la intermediación financiera. MARGEN DE UTILIDAD: Es el margen que desea obtener quien vende un producto. N: Número de términos. PRÉSTAMO: Contrato mediante el cual una persona denominada prestamista entrega un bien que le pertenece a otra persona llamada prestatario. Factores para aplicar con las tablas financieras. UT= A + (N-1)*DC Cálculo del último término en una progresión aritmética. donde: A: Primer término. el cual se determina restando al precio de venta el costo medio. con el propósito que éste lo disfrute. pague un interés y se comprometa a devolverlo en un determinado período de tiempo. A/P: Con el valor presente calcular el valor de la anualidad. DC: Diferencia común. F/A: Con una anualidad calcular el valor futuro. 36 . A/G: Cálculo de la anualidad con el gradiente aritmético. A/F: Con el valor futuro calcular el valor de la anualidad. PRECIO: Cantidad de dinero que se paga por la adquisición de una mercancía o servicio. P/G: Cálculo del valor presente con el gradiente aritmético. y su resultado se divide por el precio. UT: Último término. P/F: Con el valor futuro calcular el valor presente. FÓRMULAS F/P: Con el valor presente calcular el valor futuro. Sumatoria Serie (SS) = 𝑁∗(𝐴+𝑈𝑇) 2 Cálculo del valor de la sumatoria de la serie de una progresión aritmética. P/A: Con el valor de la anualidad calcular el valor presente. PRECIO DE VENTA = COSTO DE VENTA + UTILIDAD BRUTA Determinación del precio de venta 37 . Sumatoria Serie (SS) = r∗UT – A r−1 Cálculo del valor de la sumatoria de la serie de una progresión geométrica.UT = a*rn-1 Cálculo del último término en una progresión geométrica. CAPÍTULO 2 INTERÉS JUSTIFICACIÓN El concepto interés es la base donde se fundamenta la matemática financiera. Así mismo. 38 . o la compensación que se da a la persona que deja utilizarlo en el presente en aras de que otro lo haga. cuantifica el valor del dinero en el tiempo. En este capítulo se conocerán las diferentes formas como las entidades financieras cobran y pagan por captar el dinero de los ahorradores y a su vez como lo prestan a los inversionistas. En otras palabras. para que de esta forma tenga argumentos en el proceso de seleccionar alternativas de inversión. el estudiante o la persona común y corriente aprenderá a calcular el verdadera rentabilidad o costo de su dinero. es la forma como el inversionista conoce el valor que debe pagar como usuario del dinero. y el manejo financiero será parte de su éxito. para liquidar el valor del descuento. Aprender a calcular una tasa efectiva. el concepto valor del dinero en el tiempo. Entender y manejar con habilidad las tasas de interés. ¿Cuándo una empresa ofrece descuentos por diferentes conceptos. Responda estas preguntas y reflexione sobre sus respuestas y sobre sus fortalezas y debilidades en este tema. ¿Puede representar el proceso de llegar al menú financiero de la calculadora Hewlett Packard? ¡Por favor hágalo! 3. ¿Podría describir la diferencia existente entre el uso de la calculadora financiera. 1. a partir de efectivas.MIS OBJETIVOS Como estudiante debo: Comprender y manejar. Distinguir tasa nominal y tasa efectiva. Diferenciar interés simple e interés compuesto y saber con claridad cuándo es preciso utilizarlos. como parte de mi profesión. se utiliza la misma base? 39 . ¿Cuál sería el proceso utilizado en Excel para trabajar las funciones financieras? 4. con la finalidad de realizar bien los cálculos financieros que estén bajo mi responsabilidad. Comprender la importancia de calcular tasas nominales. ¿Puede hablar sobre el uso de los logaritmos en la matemática financiera? ¿Tienen alguna importancia? ¿Cómo se usan? 5. Así conocerá sus deficiencias y podrá superarlas antes de empezar a estudiar esta nueva unidad. el Excel y las tablas financieras? ¡Inténtelo! 2. CONDUCTA DE ENTRADA Amigo estudiante la evaluación de entrada le permitirá saber si cuenta con los conocimientos y conceptos necesarios para continuar su estudio en finanzas. Haga más fuertes sus conocimientos y supere sus deficiencias de una vez. partiendo de una nominal. el concepto más importante que debe tener claro el estudiante tanto como el profesional en finanzas es la incidencia del tiempo en el valor del dinero. resulta que el primer valor equivale a 3.2 millones hoy y el segundo equivale a 3. en segunda instancia. pero se podría haber elegido cualquier otro instante (dentro de 1 año. porque éste va perdiendo valor como consecuencia de la inflación. ya que. veremos que es preferible elegir la segunda opción.216 millones. o nunca regrese. se preferirá aquél que sea más cercano al día de hoy. un ingreso por asumir el riesgo de prestarlo y la utilidad de quien pospone su uso para cederle su derecho a otro. Se han calculado los valores equivalentes en el momento actual. Así. otro.1 VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO Al ingresar ya en el campo financiero. si cuento con el dinero hoy.). No es lo mismo disponer de un millón de pesos hoy que dentro de un año. EJEMPLO 2. y para ello se utilizan las fórmulas de matemática financiera. Por lo tanto. se prefiere el de mayor valor pero comparado en un mismo momento. Ante dos capitales de distinta cuantía en momentos diferentes. un millón de pesos en el momento actual será equivalente a un millón de pesos más una cifra adicional dentro de un año. y en tercera instancia. por ejemplo. dentro de 4 años. y aprovechar una oportunidad de negocio. Hay dos conceptos básicos: Ante dos capitales de igual cuantía en momentos diferentes. porque al prestar el dinero se está asumiendo el riesgo de que no sea devuelto en la fecha fijada. si aplicando las fórmulas de matemática financiera con determinada tasa de interés (25% anual). 40 .2. hay que hallar el equivalente de los mismos en igual momento. Para poder comparar dos capitales en distintos instantes. lo puede usar en el momento. y el resultado habría sido el mismo. Esta cantidad adicional es la que compensa la pérdida de valor que sufre el dinero durante ese período.1: ¿Cuál opción es preferible: disponer de cuatro millones de pesos dentro de un año o de ocho millones dentro de cuatro años? Para contestar a esta pregunta hay que calcular equivalentes de ambos importes en un mismo instante. 2. sino que se deben hallar sus equivalentes en un mismo instante (el momento actual. entendida como el costo del dinero en el tiempo. es una ley que se utiliza exclusivamente en el corto plazo (períodos menores de 1 año).2: Si se va pagar 1 millón de pesos dentro de 6 meses y 2 millones dentro de 9 meses. 9 meses. EL INTERÉS SIMPLE: Es una fórmula financiera que permite calcular el equivalente de un capital en un tiempo futuro cuando no se capitalizan los intereses.Las fórmulas que permiten calcular el equivalente de un capital en un momento posterior. Estas leyes financieras. si se podrá efectuar la suma. EJEMPLO 2.. Es quizás la variable que más incide en la toma de decisiones cuando se trata del manejo de las finanzas.) Y entonces. Para tener claridad sobre estas situaciones. La fórmula que sirve para determinar los intereses que genera un capital (valor presente) es la siguiente: I=P*i *n 41 . Cuando usted acude a una entidad financiera debe tener en cuenta diferentes aspectos para saber en definitiva cuál es el costo del crédito que va a solicitar o cuánto es lo que en realidad va a ganar por dejar su dinero allí.2 LA TASA DE INTERÉS La tasa de interés. se van a recordar conceptos como: Interés Simple. Interés Compuesto. no se pueden sumar directamente. dentro de 6 meses. Tasa de Interés Efectiva. también se puede definir como el ingreso que debe recibir su dueño por no hacer uso de él hoy.. o el precio que debe pagar alguien por tener acceso al dinero hoy. se llaman leyes de capitalización. Tasa de Interés Nominal. permiten sumar o restar capitales en distintos momentos. y el valor a pagar una vez finalizado el período. la base de liquidación sigue siendo el capital inicial. No capitaliza sobre los intereses no pagados. Una vez que se ha calculado el importe de los intereses se determina el valor futuro. el plazo debe ir en años. V.000.000x (1+(0.F = 5’750. “P” Es el capital inicial (en el momento n = 0). I = 5’000.000= Nota: Es importante tener en cuenta que: el interés y el plazo deben referirse a la misma medida de tiempo (si el interés es anual. el valor presente. el plazo irá en meses. El valor de los intereses es igual en todos los períodos. “i” Es la tasa de Interés que se aplica. es decir. si el interés es mensual. (Ver tabla pág.) 42 . Para el ejemplo se tendría: V. F (Sustituyendo “I” por su equivalente) (Sacando factor común “P”) “Es el capital final con un interés simple”.000 pesos El valor de los intereses es de $750. F = P + (P * i * n) V.“I” Son los intereses que se generan. F = P * (1 + (i * n)) V.F = 5’000.15x1)) V.50) EJEMPLO 2. “n” Es el tiempo que dura la inversión. puesto que los intereses no se capitalizan.15 * 1 I = 750. F = P + I V.000 * 0. CARACTERÍSTICAS: El capital inicial permanece constante durante el período de la operación financiera.3: Determinar los intereses que generan cinco millones de pesos a una tasa del 15% anual en un plazo de un año. ¿Cuánto dinero deberá desembolsar al finalizar el período?.000 * ((1+0.000. si el interés es simple.4: Continuando con el ejemplo 2. La fórmula de capitalización compuesta que permite calcular los intereses es la siguiente: I = P * ((1 + i)n .58 El total del interés es de $803. con una tasa del 3% mensual? INTERÉS COMPUESTO: El interés compuesto es aquel que permite calcular el equivalente de un capital en un futuro pero a diferencia del interés simple. intentemos desarrollar el siguiente ejercicio. “n” es el tiempo que dura la inversión EJEMPLO 2.58. 0125)12 -1) I = 803. el valor de los intereses con interés compuesto sería el siguiente: I = 5. a un interés simple del 2% mensual.58 El valor futuro que tendría el inversionista sería de $5.772. los intereses pasan a ser parte del capital.803.3. 43 .EJERCICIOS DE PRÁCTICA Ahora. se considera que los intereses que va generando el capital inicial. ¿Puede dar respuesta al siguiente ejercicio? desarrollémoslo: ¿Cuál es el valor mensual que usted debe cancelar si le otorgan un préstamo de $500.000= por un trimestre. mientras que en el compuesto.772. radica en que en el interés simple sólo genera interés el capital inicial.1) “I” Son los intereses que se generan “P” es el capital inicial (en el momento n = 0) “i” es la tasa de interés del período de capitalización.000= por 6 meses. para estar seguros de la comprensión del tema: Si a usted le prestan $1. La diferencia entre el interés simple y el interés compuesto. van formando nuevo capital.000.772. para comprender de mejor manera las diferencias. ¿Cuánto dinero deberá pagar al finalizar el período? 44 . Si a usted le prestan $1. mientras que en el simple permanece constante.NOTA: Obsérvese que el interés que se aplicó fue el mensual. EJERCICIOS DE PRÁCTICA Ahora intentemos desarrollar los mismos ejercicios elaborados con el interés simple. donde se muestra que el interés compuesto es el de mayor costo. En el cuadro siguiente se va a mostrar el ejercicio realizado con las fórmulas. mientras que en el compuesto va aumentando a medida que se capitalizan los intereses. De igual forma el capital adeudado es igual. a un interés compuesto del 2% mensual. LIQUIDACIÓN COMPARATIVA EN EXCEL DEL INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTO.000= por 6 meses. El supuesto del ejercicio es que los créditos se realizan con la condición de que todo se paga al finalizar el año. pero aplicando el interés compuesto.000. En este cuadro es importante observar cómo en el interés compuesto periódicamente aumenta el valor de los intereses. porque el período de capitalización es el mes. pero mediante la liquidación periódica en la hoja electrónica. El resultado obtenido es equivalente a lo mostrado mediante las fórmulas. 45 .000= por un trimestre.3 TASA DE INTERÉS NOMINAL (IN): Es la que se declara en las operaciones financieras. no real. nuevamente con el segundo ejercicio: Cuál es el valor mensual de interés que usted causa mensualmente. Período de capitalización: mes vencido. Anticipada: Cuando el interés se cobra o paga al iniciarse cada uno de los períodos de capitalización. CLASIFICACIÓN DE LA TASA NOMINAL La tasa de interés nominal se clasifica en vencida y anticipada. Nominal. el interés a cobrar es el compuesto. es decir.Intentemos. con una tasa del 3% mensual y el compromiso es de pagar la totalidad de dinero al finalizar el período? 2. Tasa Nominal: 24% Período de la tasa nominal: año. significa aparente. corresponde al tiempo en el cual se considera la ganancia de interés del capital. EJEMPLOS DE TASA NOMINALE: Vencida 24% anual mes vencido. equivale a la tasa de interés del período (Ip) por el número de períodos. ¿Qué es el período de capitalización? El período de capitalización. Anticipada 30% anual trimestre anticipado. por lo tanto se debe convertir a efectiva. si le otorgan un préstamo de $500. Siempre al enunciarla se le adiciona el período de capitalización. Vencida: Cuando el interés se cobra o paga al vencerse cada uno de los períodos de capitalización. Como la tasa nominal está expresada en vencida y anticipada. va acompañado del período de capitalización. 30% anual trimestre vencido 12% semestral mes anticipado 2. Se divide el interés nominal en el valor de n. y es el ip 46 . las siguientes son las fórmulas para hacer el cálculo del interés efectivo.ip)-n -1 Antes de explicar el procedimiento de cómo se determina el interés efectivo. número de veces que está el período de capitalización en el período del interés nominal. Se toma la tasa nominal Se determina n. para el ejemplo era mes vencido y trimestre anticipado.Tasa Nominal: 30%. PROCESO PARA CALCULAR EL ip. es importante recordar cómo se determina el interés del período de capitalización (ip).4 TASA DE INTERÉS EFECTIVA: Es aquella que indica cuál es el verdadero costo de un crédito o la verdadera rentabilidad de una inversión. Período de la tasa nominal: Año Período de capitalización: Trimestre anticipado Nota: Se sabe que es una tasa nominal porque cuando hace referencia al tiempo. el período de la tasa nominal y el período de capitalización. Fórmulas: Interés Vencido: Ie = (1+ ip)n -1 Interés Anticipado: Ie = (1 . EJERCICIOS DE PRÁCTICA Para una mejor comprensión los invito a indicar cuál es la tasa nominal. PASOS: Se determina el período de capitalización (MES) 47 .5: 24% anual mes vencido Determine el interés efectivo del semestre. Ejemplo: 18% anual.anticipado Nota: La tasa efectiva no hace referencia al período de capitalización. Cálculo del Interés Efectivo a partir de una tasa de Interés Nominal Vencida. 36% Anual trimestre vencido. el interés del período de capitalización. 9% Trimestral mes vencido. EJEMPLO 2. 15% Semestral mes vencido.Cuando se dice ip se hace referencia al interés del período de capitalización.66% mensual 16% Semestral trimestre vencido Nominal 8% trimestral 24% Anual Efectivo 24% anual 4% Bimestral Efectivo 4% bimestral 18% Semestral mes vencido Nominal 3% mensual 15% Semestral bimestre vencido Nominal 5% bimestral 24% Anual bimestre anticipado Nominal 4% bimes. 𝑖𝑝 = 𝐼𝑛 𝑛 Cálculo de la tasa de interés de los períodos de capitalización. INTERÉS TIPO Ip 32% Anual mes vencido Nominal 2. EJERCICIOS DE PRÁCTICA Para una mejor comprensión los invito a indicar de la tasa nominal. n = 6 Porque en un semestre hay 6 meses.Se establece el período de la tasa nominal (AÑO) Se calcula el número de veces (n) que está el período de capitalización en el período de la tasa nominal. Interés Efectivo Semestral Ie = (1+0.1 Ie = 0.02)3 . número de veces que está el período de capitalización en el período de cálculo del interés efectivo (6).12616 Ie = 12. (12) Se divide la tasa nominal en n y se calcula el ip ip = 24%/12 ip =2% El interés del mes es del 2%.1208 % Trimestral EJEMPLO 2.1 48 . Ie = (1 + 0. Se señala el período de cálculo del interés efectivo (n).1 Ie = (1. calcular: Tasa Efectiva Semestre ip = 18%/6 = 3% mensual n = 3 En un semestre hay 6 meses. Interés efectivo trimestral ip = 24%/12 = 2% mensual n= 3 En un trimestre hay 3 meses. Se aplica la fórmula.616 % Semestral Ahora determine el interés efectivo del trimestre.1 Ie = 6.02)6 . Ie = (1 + 0.03)6 .6: Con una tasa nominal del 18% semestral mes vencido.24%/12)6 . 06)1 .03)2 .1 Ie = 19.27% trimestral Tasa Efectiva Bimestral ip = 18%/6 = 3% mensual n = 3 En un bimestre hay 2 meses. Ie = (1 + 0.09% bimestral EJEMPLO 2.1 Ie = 6.40 % semestral Tasa Efectiva Trimestral ip = 18%/6 = 3% mensual n = 3 En un trimestre hay 3 meses. Ie = (1 + 0.1 Ie = 6% bimestral Tasa efectiva anual ip = 36%/6 = 6% bimestral 49 .06)3 . Ie = (1 +0.Ie = 19.03)3 . Ie = (1 + 0.1% semestral Tasa efectiva bimestral ip = 36%/6 = 6% bimestral n = 1 En un bimestre hay 1 bimestre. calcular: Tasa efectiva semestral El período de capitalización es el BIMESTRE ip = 36%/6 = 6% Bimestral n = 3 En un semestre hay 3 bimestres.7: Con una tasa del 36% anual bimestre vencido.1 Ie = 9. 9: Conociendo la tasa nominal del 16% semestral bimestre anticipado. establezca el interés efectivo semestral. 50 . EJEMPLO 2. 15% semestral trimestre vencido. Cálculo del Interés Efectivo a partir de una tasa de Interés Nominal Anticipado.000. Fórmula: Ie = (1 . Ie = (1 + 0. determine el interés efectivo del año.43% anual El interés efectivo del año es el 27.02)-12 .06)6 -1 Ie = 41. ip = 24%/12 = 2% mes anticipado n = 12 En un año hay 12 meses.ip)-n -1 Su cálculo es de la misma forma que el interés vencido. Existe interés anticipado cuando se paga el interés del primer período de capitalización una vez que se efectúa el préstamo.2743 Ie = 27. en el momento que le hacen el desembolso el usuario del crédito debe pagar de interés el 2%. Por ejemplo si se efectúa un préstamo de $1.8: Con una tasa nominal del 24% anual mes anticipado. EJEMPLO 2.1 Ie = 0.000=. calcular las tasas efectivas anuales y semestrales de las tasas nominales que se muestran a continuación: 36% anual bimestre vencido. sólo se diferencia en la fórmula.8 % anual EJERCICIOS DE PRÁCTICA Evaluémonos antes de seguir con el siguiente tema.43% anual. es decir $20. Ie = (1 . 9% trimestral mes vencido.0.000= al 24% anual mes anticipado. y así sucesivamente el interés se va pagando al principio del mes.n = 6 En un año hay 6 bimestres. 1774 Ie = 17.1 Ie = 0.74%. 51 . EJEMPLO 2.04)-1 .11: Conociendo la tasa nominal del 4% bimestre anticipado. EJEMPLO 2.Ip = 16%/3 = 5.0.3958 Ia = 39.3% bimestre anticipado. n = 4 En un año hay 4 trimestres. Ie = (1 .08)-4 -1 Ia = 0.0416 Ib = 4. ip = 16%/2 = 8% trimestre anticipado.58% anual El interés efectivo del año es del 39.74% semestral El interés efectivo del semestre es del 17.0. establezca el interés efectivo del bimestre.0.1 Ib = 0.053)-3 . ip = 4%/1 = 4% bimestre anticipado. Ib = (1 .10: Conociendo la tasa nominal del 16% semestral trimestre anticipado establezca el interés efectivo anual. Ia = (1 .58%. n = 1 En un bimestre hay 1 bimestre. EJERCICIOS DE PRÁCTICA Al haber realizado varios ejercicios vamos a verificar que ya se ha adquirido agilidad en el desarrollo de éstos.1774 .1 Ie = 1. n = 3 En un semestre hay 3 bimestres.16 bimestral efectivo El interés efectivo del bimestre es del 4.16%. ip = (1 + Ie)(1/n) .12: Conociendo que la tasa efectiva es el 19. Establece el número de veces que está el período de capitalización en el período del interés efectivo. Con esta fórmula se determina el interés del período de capitalización.1 EJEMPLO 2.5 TASAS EQUIVALENTES. imes = (1 + Isemestre)(1/6) . 9% trimestral mes anticipado. (6). para el caso de las tasas. Se denomina equivalente al término que significa igual.1 52 . Se reemplaza en la fórmula y se determina el ip.Calcular el interés efectivo semestral y anual de las siguientes tasas nominales: 36% anual semestre anticipado 4% bimestral mes anticipado.4% semestral. Cálculo del Interés Nominal Vencido partiendo de una Tasa Efectiva. 2. Se va a calcular la tasa semestral mes vencido. 18% semestral trimestre anticipado. es decir su resultado es el mismo. es que a pesar de que se enuncien dos tasas de forma diferente el costo efectivo es igual. el punto clave también es la determinación del ip. A pesar que el procedimiento es en sentido inverso al cálculo de la tasa efectiva a partir de la nominal. Pasos: Se determina el período de capitalización de la tasa nominal (MES). 3% x 6 = 18% semestral mes vencido EJEMPLOS 2. Establece el número de veces que está el período de capitalización en el período del interés efectivo. PERÍODO DE CAPITALIZACIÓN: Trimestre vencido 53 . En el año hay seis bimestres.i mes = (1 + 0. Se reemplaza en la fórmula y se determina el ip ibimestre = (1 + Iaño)(1/6) .1 i bimestre = 0. (6).1 i mes = 0.194)(1/6) . determine la nominal semestral trimestre vencido.8519% anual. Tasa Nominal = 6% x 6 = 36% anual bimestre vencido EJEMPLOS 2. 06 6% = bimestral n = 6. En un año hay 6 bimestres.03 Una vez calculado el ip se multiplica por el número de veces que está el período de capitalización en el período de la tasa de interés nominal (n) 3% = mensual n = 6 En un semestre hay 6 meses. establezca la tasa nominal anual bimestre vencido. 418519)(1/6) .1581% anual.1 i bimestre = (1 + 0.14: Con un interés efectivo del 41. PASOS: Se determina el período de capitalización (BIMESTRE).13: Conociendo la tasa efectiva del 41. 1 i mes = (1 + 0.025 2.4888% anual. En un año hay 12 meses. calcular nominal anual mes vencido. 36% anual.5% = mensual n = 12. Se reemplaza en la fórmula y se determina el ip imes = (1 + Iaño)(1/12) . determine la tasa nominal anual mes vencido.1 i trimestre = 0.15: Con un interés efectivo del 34.n = En el año hay 4 trimestres Se reemplaza en la fórmula y se determina el ip itrimestre = (1 + Iaño)(1/4) .5% x 12 = 30% anual mes vencido EJERCICIOS DE PRÁCTICA Ahora partiendo de las tasas efectivas. 09 9% = trimestral n = 2. calculemos tasas nominales cuando el interés es vencido. En un semestre hay 2 trimestres. 9% trimestral.344888)(1/12) . 15% Semestral. Tasa Nominal = 9% x 2 = 18% semestral trimestre vencido EJEMPLO 2. 2.1 i mes = 0. PERÍODO DE CAPITALIZACIÓN: Mes vencido n = En el año hay 12 meses. 411581)(1/4) . calcular nominal semestral mes vencido. calcular nominal semestral bimestre vencido.1 i trimestre = (1 + 0. 54 . Cálculo del interés efectivo de un período mayor.089 %. 55 .42576 El interés efectivo anual corresponde al 42. establezca el interés efectivo del bimestre.194052) 2 -1 Ie (año)=1. y el n.42576 . se asemeja a la tasa del interés efectivo del período menor. Para este tipo de cálculo se emplean las dos fórmulas enunciadas anteriormente.576%.4052%.4052%. Cálculo del Interés Efectivo de un período menor. Fórmula aplicada: Ie = (1 + ip)n .1 Ie (año)= (1 +0. Fórmula aplicada: ip = (1 + Ie)1/n Si el interés del semestre es 19.Calcular el Interés Efectivo de un período a partir de otro Interés Efectivo.1 Ie (año)=0. 3. corresponde al número de veces que está el período menor en el período mayor. 060899) . lo importante es tener claridad si el período de la tasa que se va a calcular es mayor o menor al período de la tasa dada. establezca el interés efectivo anual. EJEMPLO 2.1 NOTA: El ip. a. conociendo el Interés Efectivo de un período mayor. 060899 El interés del bimestre es del 6. con el interés efectivo de un período menor. el Ie se interpreta como el interés efectivo del período mayor. 194052) -1 ibim = (1. (1/3) ibim = (1+0.1 ibim =0. Ie (año) = (1 + isem)2 .16: Si el interés del semestre es 19. Cálculo del Interés Efectivo para un período partiendo del Interés Nominal anticipado de ese mismo período. sosteniendo que no hay aumento de tasa. 4% bimestral. cuál sería la tasa equivalente. calcular el interés semestral.EJERCICIOS DE PRÁCTICA Ahora vamos a tener presente el procedimiento para calcular la equivalencia entre tasas efectivas. calcular el interés mensual.17: Si un prestamista que ofrece dinero al 3% mensual. EJEMPLO 2. 9% trimestral. La fórmula para efectuar este cálculo es: 𝐼𝑎 = 𝐼𝑒 (1 + 𝐼𝑒) Ia = Interés anticipado.9126 %. 18% semestral.029126) Ie mes = 3% 56 .03 / (1 + 0.03) Ia mes= 2. pero desea que se le paguen los intereses anticipadamente. Ia mes = 0.9126% mes anticipado.029126 / (1 – 0. Cálculo del Interés Anticipado para un período a partir del Interés Efectivo de ese mismo período. 36% anual. calcular el interés semestral. Ie mes = 0. 𝐼𝑒 = 𝐼𝑎 (1 − 𝐼𝑎) Esta fórmula se sustenta con el ejercicio anterior pero partiendo del interés del 2. calcular el interés mensual. la fórmula es la siguiente: ip = 1 . el punto clave es la determinación del ip. Calcular el interés efectivo del bimestre. PERÍODO DE CAPITALIZACIÓN: Bimestre anticipado n = En el año hay 6 bimestres ip = 1 .(1 + 0. 57 . PASOS: Se determina el período de capitalización (MES). Determine la tasa anticipada del mes si se va a pagar una efectiva del mes del 4%. EJEMPLO 2. Establece el número de veces que está el período de capitalización en el período del interés efectivo.EJERCICIOS DE PRÁCTICA Repasemos este concepto con un ejercicio.(1 + Ie)-(1/n) Con esta fórmula se determina el interés del período de capitalización. que determina la tasa nominal. (6).052% anual. Calcular el Interés Nominal Anticipado a partir de una Tasa Efectiva. si se tiene un interés del 3% bimestral anticipado.20052)-(1/6) 3% = Bimestral anticipado n = 6. De igual manera al vencido. Se reemplaza en la fórmula y se determina el ip Una vez calculado el ip se multiplica por el número de veces que está el período de capitalización en el período de la tasa de interés nominal (n). establezca la tasa nominal anual bimestre anticipado. En un año hay 6 bimestres.18: Con la tasa efectiva del 20. 6384526% trimestral. Tasa nominal = 1.4345212% anual.(1 + 0. EJEMPLO 2.Tasa nominal = 3% x 6 = 18% anual bimestre anticipado.(1 + 0. calcular su equivalencia con una tasa nominal semestral mes anticipado. 58 .20: Con la tasa efectiva del 4. realizo los siguientes ejercicios: Si se cobra por un préstamo una tasa efectiva del 42% Anual. En un año hay 12 meses.5% = mensual anticipado n =12. PERÍODO DE CAPITALIZACIÓN: Mes anticipado n = En el año hay 12 meses ip = 1 . En un año hay 6 bimestres. establezca la tasa nominal anual mes anticipado. Al tener una tasa efectiva del 8% trimestral.27435212)-(1/12) 2% = mensual anticipado n =12.5% x 12 = 18% anual mes anticipado.19: Con la tasa efectiva del 27. Tasa nominal = 2% x 12 = 24% anual mes anticipado EJEMPLO 2. PERÍODO DE CAPITALIZACIÓN: mes anticipado n = En el trimestre hay 3 meses ip = 1 . establezca la tasa nominal anual mes anticipado.046384526)-(1/3) 1. se quiere conocer su expresión nominal anual capitalizada trimestralmente de forma anticipada. EJERCICIOS DE PRÁCTICA Para revisar este tema. 0.21: Si se tiene una tasa del 24% anual trimestre anticipado. Tasa efectiva del año: Ie año = (1 . determine la equivalencia en nominal anual mes vencido. I Año mes vencido = 0. EJEMPLO 2.020839 3.Calcular el Interés Nominal Vencido partiendo de un Interés Nominal Anticipado.082% 2. Se halla la nueva tasa nominal Desarrollo del ejercicio: 1. determine la equivalencia en nominal anual semestre anticipado. con el propósito de facilitar el aprendizaje.22: Si se tiene una tasa del 24% anual mes vencido. EJEMPLO 2. Se calcula el interés del período de capitalización de la tasa nominal a encontrar.020839*12 I Año mes vencido = 25% nominal anual mes vencido. I mes = (1+0.1 Ie año = 28. Los pasos que se deben seguir para efectuar este cálculo son iguales al procedimiento anterior.06)-4 . Para desarrollar este ejercicio existen varias formas. Calcular el Interés Nominal Anticipado a partir de un Interés Nominal Vencido. Cálculo de la tasa nominal.280821431)(1/12) I mes = 0. se utilizará el siguiente procedimiento: Se determina la tasa efectiva del año. 59 . Interés del periodo Como el período de capitalización de la tasa nominal a calcular es el mes vencido se determina el interés del mes. CAJA BONO DEPR EFECT CONT %NOM %EFE P 60 . determine su equivalencia. 2% 3. FIN Financiero VDT CONVI F. Paso Cálculo de la tasa nominal. Efectúe la conversión de una tasa del 24% semestral mes vencido a una tasa nominal anual semestre anticipado. USO DE LAS CALCULADORAS H.824% 2.P.1 Ie año = 26.2%*2= 22. Interés nominal anual semestre anticipado 11. y se quiere pagar anual trimestre vencido. 19BII Mediante el siguiente procedimiento el estudiante puede hacer los cálculos en la conversión de tasas. con la fórmula antes expuesta. ip = 1 .02)12 .4% anual semestre anticipado. Paso Como el período de capitalización de la tasa nominal a calcular es el semestre anticipado se determina el interés del semestre anticipado.(1 + Ie)-(1/n) i semestre: 1. 2682)-(1/2) i semestre: 11.1. Paso Ie año = (1 + 0.(1+0. EJERCICIOS DE PRÁCTICA Con los siguientes ejercicios se hace un repaso completo del tema de conversión de tasas: Si se tiene un crédito con una tasa del 18% anual mes anticipado. que indica NOMINAL y EFF.23: Volviendo al ejercicio inicial. INTERÉS VENCIDO EJEMPLO 2. EFECTIVA. Para trabajar la segunda función se digita SHIFT.P. TASA NOMINAL A EFECTIVA. Como ya se enunció los fundamentos teóricos en el capítulo uno y el diagrama anterior. TASA EFECTIVA A NOMINAL EJEMPLO 2.8519% anual. establezca la tasa nominal anual bimestre vencido.24: Con la tasa efectiva del 41. si la tasa nominal es del 24% anual mes vencido. el procedimiento es el siguiente: H. se va a calcular el interés efectivo del año.CASIO FC 200 El proceso de conversión de tasas equivalentes se realiza digitando en el teclado las funciones APR.8241% anual. 61 . 19 B II FIN CONVI EFECT CLEAR DATA INPUT 24 %NOM 12 P %EFE CASIO FC 200 MODE 4 SHIFT AC EXE AC 12 SHIFT EFF 24 EXE TEXAS BA II ICONV NOM 24 ENTER ↓↓ 12 ENTER ↓↓ CPT 2ND La respuesta que se obtiene es 26. H.02/1-0.P.24/12)*100 IP=2% MA IPV= (IPA/(1-IP))/100 IPV=(0. para el ejercicio es bimestre vencido.8519 %EFE 6P %NOM CASIO FC 200 MODE 4 SHIFT AC EXE AC 6 SHIFT APR 41. determine el interés efectivo del año. por lo tanto para trabajar con tasas anticipadas este sería el procedimiento. IP=J/N IP= (0. EJEMPLO 2. 19 B II FIN CONVI EFECT CLEAR DATA INPUT 41. 19 B II FIN CONVI EFECT CLEAR DATA INPUT 24 %NOM 12+/.P %EFE CASIO FC 200 MODE 4 SHIFT AC EXE AC (-)12 SHIFT EFF 24 EXE La respuesta que se obtiene es 27.8519 EXE 2ND TEXAS BA II ICONV ↓ ↓ 41. solo trabaja de vencido a vencido y de año a año.8519 ENTER ↓ 6 ENTER ↓ CPT El resultado obtenido es el 36% anual al cual se le debe adicionar el período de capitalización.H.P.02)*100 62 .25: Con una tasa nominal del 24% anual mes anticipado. INTERÉS ANTICIPADO La única diferencia radica en que al incluir el período se registra con el signo negativo. La respuesta es 36% anual bimestre vencido.43452% anual NOTA: La hoja de cálculo de la calculadora Texas BA II. IPV= 2.5567) SE DIVIDE EN 6 Y este valor se remplaza en la fórmula para convertirlo anticipado.P %NOM CASIO FC 200 MODE 4 SHIFT AC EXE AC (-)6 SHIFT APR 20.05205 %EFE 6+/.P. 63 . H.05205 ENTER C/Y 6 ENTER NOM CPT EL RESULTDO (18.26: Con la tasa efectiva del 20. 19 B II FIN CONVI EFECT CLEAR DATA INPUT 20.05205 EXE El resultado obtenido es el 18% anual bimestre anticipado.04*12 ENTER C/Y : 12 ENTER EFE CPT EJEMPLO 2. IPA=IPV/(1-IPV)*100 El resultado se multiplica por 6 que es la capitalización. establezca la tasa nominal anual bimestre anticipado.04% MES VENCIDO PROCEDIMIENTO CON LA CALCULADORA 2ND 2 NOM: 2.05205% anual. PROCEDIMIENTO TEXAS BA II 2ND 2 EFE: 20. 27: Cálculo de una tasa nominal a una efectiva. 64 .CÁLCULO EN EXCEL INTERÉS VENCIDO DE INTERÉS NOMINAL A EFECTIVO El procedimiento es el siguiente: Fórmulas Insertar Función Categoría . se va a calcular el interés efectivo del año. es decir con el 24% anual mes vencido. EJEMPLO 2. se realizará el mismo ejercicio anterior. Efectivo En este cuadro se digita en el primer renglón el valor de la tasa nominal y en el segundo el número de períodos de la tasa nominal.Financieras Int. El ejercicio es el mismo que se efectuó con la calculadora 65 .824% anual. EJEMPLO 2.28: Calcular el interés nominal. DE INTERÉS EFECTIVO A NOMINAL VENCIDO El procedimiento es el siguiente: Fórmulas Insertar Función Financieras Tasa Nominal En este cuadro se digita en el primer renglón el valor de la tasa efectiva y en el segundo el número de períodos de la tasa nominal. a partir del 41.El interés efectivo es del 26.8519% efectiva a nominal anual bimestre vencido. sin embargo se puede realizar mediante la función de V.El resultado obtenido es el 36% anual Bimestre vencido.F. El procedimiento es el que se muestra a continuación: 66 . INTERÉS ANTICIPADO DE INTERÉS NOMINAL A EFECTIVO En Excel no existe una función directa que efectúe esta conversión. En Va se digita -1. Para este caso en TIPO se omite Una vez incluida la fórmula se debe restar por 1. FÓRMULAS INSERATAR FUNCIÓN FINANCIERAS VF En el primer renglón se incluye la tasa de interés.29: Calcular la tasa efectiva anual si se tiene el 24% anual mes anticipado. es importante hacer énfasis en que la tasa que se incluye es la del período de capitalización con signo negativo. En Pago se digita cero. EJEMPLO 2. 67 . En el segundo renglón se digita el número de períodos con signo negativo. DE EFECTIVO A NOMINAL ANTICIPADO Para calcular la tasa nominal anticipada mediante el uso del EXCEL. 68 . después simplemente se multiplica la tasa periódica por el número de períodos que tiene la tasa nominal. nos permite calcular inicialmente la tasa PERIÓDICA. 30: Teniendo una tasa efectiva del 27. ya con este resultado se multiplica por 6 y se obtiene 24% anual bimestre anticipado.EJEMPLO 2. dado que se debe multiplicar por -1.75% anual calcular la nominal anual bimestre anticipada. El resultado obtenido es el 4%. 69 . ahora se procede a sumar. Determine el costo efectivo de un crédito si se financia al D.T. Para aplicar los dos conceptos explicados anteriormente.F + 5% anual mes vencido.D.F es del 8% anual. EJEMPLO 2.T.31: Con interés nominal vencido.T.T a 90 días.T. 1er. 70 .08)1/12 -1 i. PASO Se procede a calcular la tasa nominal del crédito.T. PASO Se calcula la tasa nominal anual del D. Como el D.6 TASAS COMBINADAS La tasa combinada es una tasa efectiva equivalente al producto de la combinación de dos tasas nominales o efectivas.T.T.F ya está expresado en el mismo período de tiempo. i. Interés anual mes vencido = 0. los siguientes ejemplos se harán con cada uno de los tipos de interés. es un indicador que permite conocer el interés promedio ponderado de captación de los intermediarios financieros.720836% anual mes vencido.6434 % * 12 7. haciendo referencia al interés vencido y anticipado.F expresada en el período de capitalización del interés que se le agrega al D. Mes = (1.2. INTERÉS EFECTIVO CON EL D. basados en los C.F El D.6434% Tasa nominal = Interés período capitalización* número de períodos de capitalización del período de la tasa nominal. 2do. El D.F (Depósito a Término Fijo). En este capítulo se explicarán cuando se utiliza el DTF y la UVR.F. El Banco de la Republica lo expresa en trimestre anticipado. Mes = 0. NOTA: Es importante conocer la forma como cada banco expresa el DTF y los puntos que se le adicionan. si como interés efectivo o como nominal. F + 5% anual trimestre anticipado.0.T.993607102 i mes = 0.F.4893 % anual.PASO Se calcula la tasa nominal anual del D.08 = (1-imes)-12 (1.08)(-1/12) = [(1-imes)-12](-1/12) (1.i mes i mes = 1. El D. 1.6392898% 71 .08 = (1-imes)-12-1 1. Determine el costo efectivo de un crédito si se financia al D. Es importante recordar la fórmula del cálculo del interés efectivo.0106)12 -1 Interés efectivo del año = 12.06%. Ie = (1 . EJEMPLO 2.720836% anual mes vencido.F expresada en el período de capitalización del interés que se le agrega al D. se determina el interés del mes.720836 / 12 i mes = 1. i mes = 12.ip)-n -1 0.F es del 8% anual. Como el período de capitalización es mensual. Interés efectivo del año = (1+0.Costo del crédito = 7.T. Conocido el interés del mes se procede a calcular el interés efectivo del año. 3 PASO Se determina la tasa efectiva del año. cuando la tasa nominal es anticipada.T.32: Con interés nominal anticipado. Costo del crédito = 12.T.08)(-1/12) = (1-imes) 0.720836% anual mes vencido + 5% anual mes vencido.993607102 = 1. A más 6 puntos.6714776% anual mes anticipado.F ya está expresado en el mismo período de tiempo. ahora se procede a sumar. PASO Se determina la tasa efectiva del año.33: Cuando la DTF está expresada en nominal trimestre anticipado. Como el D. 2. La DTF es el 8% trimestre anticipado. i mes = 12.T.585827 % anual. 3. Interés efectivo del año=(1-0. Conocido el interés del mes se procede a calcular el interés efectivo del año. se determina el interés del mes.055956468%. Costo del crédito = 12.6714776% anual mes anticipado. 72 . respecto de una vencida.6714776 / 12 i mes = 1. Calcule la tasa efectiva anual que le renta a un ahorrador si la entidad financiera le ofrece el DTF T. Costo del crédito = 7.6392898% x 12 7.01055956468)-12 Interés efectivo del año = 13. NOTA: Se confirma que la tasa efectiva es mayor cuando se tiene una nominal anticipada. PASO Se procede a calcular la tasa nominal del crédito. Interés anual mes anticipado = 0.6714776% anual mes anticipado + 5% anual mes anticipado.Tasa nominal = Interés período capitalización* número de períodos de capitalización del período de la tasa nominal. EJEMPLO 2. Como el período de capitalización es mensual. 065) Interés efectivo año: 19. La UVR está fijada en el 12% efectivo anual. simplemente se realiza el siguiente proceso: Interés efectivo año: (1+ 0. PROCEDIMIENTO Como las tasas de interés se fijan como efectivas.12) x (1+0. El valor de la tasa del DTF es el 12% anual.5% trimestre anticipado. si está fijada a la unidad de valor real más el 6. y en UVR. Se calcula el interés periódico: 14% / 4 = 3.34: Calcule la tasa de interés que cobra una entidad financiera. Algunas entidades financieras. Cuál es el costo de un crédito si la entidad financiera fija una tasa del DTF más 4% anual mes anticipado. Determine el interés efectivo anual si se cobra una tasa del DTF más el 6% anual mes vencido.28% EJERCICIOS DE PRÁCTICA Para finalizar este capítulo revisemos con unos ejercicios el tema de las tasas efectivas cuando se expresa con el DTF.PROCEDIMIENTO Como la DTF es una tasa nominal entonces se suman los puntos DTF + 6 puntos Þ 8% + 6% 14% anual trimestre anticipado.035)-4 .1 TASA EFECTIVA ANUAL: 15. reconocen el interés tomando como referencia la UVR y adicionando algunos puntos.31% anual. 73 . EJEMPLO 2.5%. La tasa del DTF es del 10% anual. La tasa efectiva anual sería: (1 – 0. Interés Efectivo Cuando Se Combina la Tasa con la Uvr. 74 .0125 − log(1+0. las siguientes son las fórmulas para despejar el valor de n.5) n = log(1−0. log(1+0.15 / 12 = 0. Es importante recordar que las fórmulas son diferentes cuando la tasa es vencida o anticipada. Tasa nominal vencida: n= log(1+𝐼𝑒) log(1+𝑖𝑝) Tasa nominal anticipada: n= −log(1+𝐼𝑒) log(1−𝑖𝑝) EJEMPLO 2. que para este ejercicio es el mes anticipado.62 meses EJEMPLO 2. cuanto tiempo debe ahorrar si mensualmente le liquidan los intereses al 2. 2.23 meses. cuánto tiempo debe ahorrar si le liquidan los intereses al 15% anual mes anticipado. Imes anticipado =0.0125) = 32.36: Si usted como ahorrador desea alcanzar una tasa efectiva del 50%. La UVR es del 18% efectivo anual. Se determina el interés periódico.5%.35: Si usted desea alcanzar una tasa efectiva del 40%.4) n = log(1+0. se requiere esperar un determinado tiempo. Determine el costo de un crédito que está fijado de la siguiente manera: UVR más el 3% anual.7 CÁLCULO DEL TIEMPO PARA ALCANZAR UNA TASA EFECTIVA Al conocerse el interés periódico y se desea alcanzar una tasa efectiva.025) n = 13. cuánto tiempo debo esperar para alcanzar una tasa efectiva del 60%.0. el resultado obtenido. 75 . 44% anual. cuánto es el tiempo de espera. 08 x (1 . una entidad financiera le reconoce por un CDT el 8% anual y le descuenta sobre los rendimientos el 7%.EJERCICIOS DE PRÁCTICA Ahora practiquemos cómo se determina el tiempo de espera para alcanzar determinada tasa efectiva. para obtener un rendimiento efectivo del 40%.2% mes vencido. RN: 0. determine cuál es su rentabilidad neta. Jesús en esta misma entidad financiera compró un CDT.37: Si a usted como ahorrador. y también le descuentan el 7% de sus rendimientos como impuestos.ti) ti: tasa impositiva EJEMPLO 2. Fórmula: RN: Ie x (1 .8 RENTABILIDAD NETA Es el resultado de deducir de la renta efectiva. la tasa impositiva. la cual le da un rendimiento del 9% anual y le descuentan como impuesto el 7% sobre sus rendimientos. 07) RN: 7. Si al prestar un dinero me pagan al 1. EJERCICIOS DE PRÁCTICA Ahora usted calcule la rentabilidad neta de dos inversionistas: Pedro abrió una cuenta de ahorros. por el cual recibía un rendimiento anual del 8%. contémosle a Pedro. Si la tasa de liquidación es el 1% mes anticipado. 2. cuéntele cuál es la rentabilidad neta de dicho título. EJERCICIOS DE PRÁCTICA Con base en los ejercicios anteriores explique a los inversionistas la rentabilidad real obtenida en la entidad financiera.06 1+0. ¿Se ha preguntado qué tan hábil es frente a la solución de problemas? ¡Hágalo ahora y póngase a prueba! Desarrollemos estos ejercicios cuidadosamente y practiquemos nuestros conocimientos con dedicación y esmero. Fórmula: RR = 𝑅𝑁−𝐼𝑛𝑓𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 1+𝐼𝑛𝑓𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 EJEMPLO 2.01358 es decir el 1. contribuirán al éxito de mis desempeños como profesional en el manejo de las finanzas.0744 −0. 76 .06 RR = 0. Recuerde la experiencia y la habilidad que desarrollemos a través del estudio de estas matemáticas. 18% anual mes vencido. Calcular el interés efectivo anual de las siguientes tasas nominales: a.2.9 RENTABILIDAD REAL Es la capacidad de compra que obtiene el inversionista después de descontar la inflación de la rentabilidad neta.358% anual fue el rendimiento real de su CDT.38: Si usted quiere conocer cuál fue la rentabilidad real del CDT del ejemplo anterior. el colaborará en sus respuestas. dado que la inflación fue del 5% anual. después de consultar conoció que la inflación fue del 6% anual. EJERCICIOS: Estos ejercicios nos permitirán desarrollar la habilidad necesaria en este tema. 1. Si tiene complicaciones. debe conocer la inflación de dicho período. RR = 0. ahora se procederá a conocer su rentabilidad real. no se preocupe aquí está su libro. 86 % ABV.b. Anual semestre vencido.12% d. Trimestral mes anticipado. 77 . Anual mes anticipado. c. 6. Anual mes vencido. calcular la tasa nominal de: a. c. Con una tasa nominal del 18% anual trimestre vencido. Semestral mes vencido. 94%. 15% Anual trimestre anticipado. c. 24% anual semestre vencido. R: a. 17. 17. c. d. c. c. Anual semestre anticipado. Anual bimestre vencido b. 12% Anual bimestre anticipado. b. b. Anual mes vencido. Con una tasa efectiva del 25% anual. 19. Calcular el interés efectivo del semestre de las siguientes tasas nominales: a. 22.13% 2. c. d. b. b. R: a. 18. b. d. calcular la tasa nominal de: a.05% 4. 15% Anual trimestre vencido b. Semestral mes anticipado. 11.19. c.44% d. b. c. d.7.64%.1%. 12% Anual bimestre vencido. Anual mes anticipado. calcular la tasa nominal de: a. 25. 24% anual semestre anticipado. 7. 11.4% d.56%. 22. R: a. 29. Con una tasa nominal del 12% semestral mes anticipado. 88%.85% 5. 6.52%.26% d. 16. Anual bimestre anticipado.24% 3.35% ABA. 18% anual mes anticipado. R: a. Trimestral mes vencido. d. La UVR es del 15% anual. 6.T. Semestre b.54%.66%. 24.F más 6% A. d. R: 14. 3.T.53% 7.T. R: a. 24 % AMA. 26. B. A. establezca la tasa efectiva del: a. Trimestre c. 1.49%. Calcular la tasa efectiva anual de un crédito cuya condición de financiación es el D.98% d. 12. Trimestre R: a. 23. Bimestre. determine la tasa efectiva del: a.F más 6% A. Determine la tasa mensual de un crédito cuyo costo está fijado por la UVR más 6%. c. b. 6. c.06% 8.V.08% d. b.53%. 1.66% mensual 78 . Calcular la tasa efectiva anual de un crédito cuya condición de financiación es el D.48% AMV.F es igual al 11% anual R: 18. c. El D.52% ATA 6.49% anual 9. Mes R: a.T. Mes d. Anual trimestre anticipado. El D. Con una tasa efectiva del 20% anual. R: 1. 6% TMA d. Con una tasa efectiva del 4% bimestral. c.12% TMV e.e. b. 9.02% anual 10.F es igual al 8% anual. Año.T. 4. Semestre b. 25% anual y el 12% de impuesto. 12. 24% 2. 3. 13. 36% anual mes vencido 2. 3% mes vencido 4. 5.2 meses 2. 22% anual 4.2 % mes anticipado 3. R: 1. 2. 36% anual y el 10% de impuesto. año 2. 34. Trimestre. Con un interés del 3% mensual calcular: 1. 4. 14. Si usted paga un interés del 18% semestral. si sus rendimientos anuales y la tasa impositiva son los siguientes: 1. 8. Nominal anual mes anticipado 3. bimestre 4.5% mes vencido 2. 11. Nominal trimestral mes anticipado. 2. 15. 35% anual y el 15% de impuesto 3. 2.4% anual 79 . determine la tasa de: 1. Nominal semestral bimestre vencido 4. 29. R: 1.86 meses 4.11. 8. 16. si presta dinero a? 1.95% anual mes anticipado.67% 4. Determine la rentabilidad neta de cada inversionista.75% anual 3. R: 1.39.73% trimestral mes anticipado.79% 3. 2.62% 12. 18.76 meses 3. 32.74% anual 2.8% mes anticipado. R: 1.34 meses 14. 18% anual y el 7% de impuesto 2. mes 3. ¿Cuánto tiempo debe esperar un prestamista para alcanzar una tasa efectiva del 42%.27% semestral bimestre vencido 4. Nominal anual mes vencido 2. DTF: El D. ¿Cuál es la rentabilidad real de los anteriores inversionistas si la tasa de inflación anual es del 8%? R: 1. FIDUCIA: Procedimiento mediante el cual. 12.D.96% anual 4.15.13% anual 3.F (Depósito a Término Fijo). 80 .T. basados en los C. es un indicador que permite conocer el interés promedio ponderado de captación de los intermediarios financieros. tiene como consecuencia la pérdida del poder adquisitivo del dinero.59% anual AUTOEVALUACIÓN ¿Que entiendo por tasa de interés? ¿Las tasas de interés inciden en el rendimiento de mis negocios? ¿Qué diferencia en pago de intereses habría si me prestan $100. CAPITALIZAR: Cuando los intereses pasan a hacer parte del capital.T a 90 días. 8.000= al 3% mensual entre interés simple e interés compuesto? ¿Cuál es la diferencia entre una tasa nominal y una efectiva? ¿Cuándo la tasa nominal y la tasa efectiva son iguales? ¿Por qué se dice que una tasa del 2% mes anticipado es más costosa que el 2% mes vencido? ¿Qué son tasas equivalentes? ¿Por qué algunas entidades financieras fijan el interés con base en el DTF? ¿Por qué la inflación incide en la rentabilidad real de un inversionista? GLOSARIO ANATOCISMO: Capitalización de intereses que a su vez son generadores de intereses. DEVALUACIÓN: Pérdida de valor del dinero de un país frente a una moneda extranjera.09% anual 2. 22. una persona transfiere sus bienes a otra para que ésta los administre. CDT: Certificado de Depósito a Término. INFLACIÓN: Aumento sostenido del nivel general de precios. título valor cuyo vencimiento es superior a 30 días. y sobre éstos se cobra intereses. 20. LIQUIDACIÓN DE INTERESES: Momento en el cual se debe pagar el valor de los intereses. con la tasa de inflación. TASA ACTIVA: Se denomina así a la tasa de colocación. su valor se obtiene al multiplicar el capital por la tasa de interés del período de capitalización. la UVR más 2 puntos o la DTF más 6 puntos. TASA DE CAPTACIÓN: Es el interés que las entidades financieras pagan al ahorrador o inversionista. TASA COMBINADA: Se define así al documento o título valor que tiene dos parámetros para conocer el interés efectivo. el Spread se expresa como trimestre anticipado. PERÍODO DE CAPITALIZACIÓN: Es el período que enuncia la tasa nominal en el que se liquidan los intereses. regularmente es el año. pero desde el punto de vista financiero. TASA EFECTIVA: Es la tasa que se cobra para un determinado período. pero si la principal viene como efectiva el Spread también se utilizará como efectivo. ejemplo. y éstos pasan a hacer parte del capital. INTERÉS VARIABLE: Interés fijado de acuerdo con un tipo de referencia. TASA EQUIVALENTE: Son aquellas tasas que se encuentran expresadas bajo condiciones diferentes. INTERÉS DE MORA: Intereses que se cobran adicionalmente a los fijados inicialmente para compensar el no cumplimiento de los pagos en forma oportuna. TASA DE COLOCACIÓN: Tasa a la cual las entidades financieras prestan el dinero a sus clientes. 81 .INTERÉS: Precio que se paga a un tercero por hacer uso de su dinero. TASA NOMINAL: Tasa que se da para un período pero dentro de él existen períodos inferiores de capitalización. Si la tasa principal se da como trimestre anticipado. INTERMEDIARIO FINANCIERO: Ente jurídico que su objeto es el de captar recursos financieros de los ahorradores para prestarlos a los inversionistas. por ejemplo. TASA ANTICIPADA: Hace referencia cuando el interés se cobra al inicio del período de capitalización. tienen el mismo efecto. SPREAD: Puntos adicionales cobrados por las entidades financieras sobre las tasas principales. FÓRMULAS: Cálculo de una tasa efectiva cuando se tiene una nominal vencida Ie = (1+ ip)n -1 Cálculo de una tasa efectiva cuando se tiene una nominal anticipada Ie = (1 . Ip = In / n Cálculo del interés anticipado a partir de una tasa efectiva para el mismo período. ip = 1 . nominalmente se expresa en término de trimestre anticipado. Ie = Ia / (1 – Ia) Cálculo del interés periódico anticipado a partir de una efectiva.(1 + Ie)-(1/n) Cálculo del tiempo para alcanzar una tasa efectiva a partir de una nominal vencida. 82 . Ia = Ie / (1 + Ie) Cálculo del interés efectivo a partir de una tasa nominal anticipada para el mismo período. TCC: Tasa promedio ponderada de captación de recursos obtenidos por las corporaciones financieras de CDT a 90 días. ip = (1 + Ie)(1/n)-1 Cálculo del interés periódico a partir de una tasa nominal.ip)-n -1 Cálculo del interés periódico vencido a partir de una efectiva.TASA PASIVA: Tasa de interés que se reconoce por la captación de recursos en una cuenta de ahorros o en un CDT. RN: Ie x (1 . RR = 𝑅𝑁−𝐼𝑛𝑓𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 1+𝐼𝑛𝑓𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 83 .n= log(1+𝐼𝑒) log(1+𝑖𝑝) Cálculo del tiempo para alcanzar una tasa efectiva a partir de una nominal anticipada. n= −log(1+𝐼𝑒 ) log(1−𝑖𝑝) Cálculo de la rentabilidad neta al tener en cuenta la tasa de impuesto.ti) Cálculo de la rentabilidad real. MI OBJETIVO GENERAL Como estudiante aprenderé a utilizar los flujos de caja y desarrollaré competencias para calcular el valor presente. tal conocimiento les posibilita mantener la estabilidad económica de la empresa. Los inversionistas y empresarios deben saber muy bien la importancia de la liquidez en los negocios y el manejo del flujo (las entradas y salidas) del dinero. el valor futuro. Así mismo. la tasa de interés y el número de períodos. y para diseñar estrategias que eviten o minimicen la probabilidad de una situación de iliquidez que pueda afectar el buen funcionamiento de la empresa. y mantener la estabilidad financiera empresarial.CAPÍTULO 3 FLUJO DE CAJA. los inversionistas y empresarios deben poseer habilidades matemáticas y desarrollar fuertes competencias para la identificación de situaciones o momentos económicos difíciles. es preciso descubrir cómo se integra en las transacciones financieras. en una transacción financiera que involucre estos conceptos. Es importante reconocer que el flujo de caja permite prever y visualizar el comportamiento financiero de los negocios y su control posibilita la toma de decisiones para dinamizar o regular su comportamiento. 84 . VALOR PRESENTE Y VALOR FUTURO JUSTIFICACIÓN Una vez comprendido el concepto de interés. el valor futuro. Diagramar un flujo de caja que permita identificar los problemas encontrados. ¿Podrías aclarar por qué se dice que la tasa nominal no muestra el verdadero interés que se paga por el préstamo de un dinero? 5. Comprender y aplicar con habilidad los conceptos de valor presente y futuro. en la solución de los ejercicios propuestos. 1. Resolver hábilmente las ecuaciones para despejar las incógnitas que se presentan en el campo de los negocios. CONDUCTA DE ENTRADA Identifiquemos nuestras deficiencias y superémoslas con un pequeño repaso antes de empezar a estudiar el nuevo capítulo. Con un ejemplo explique la diferencia entre interés simple y compuesto 3. ¿Cuál interés es más costoso el anticipado o el vencido? ¿Por qué? Sustente su posición con un ejemplo. Responda estas preguntas y reflexionemos sobre lo aprendido Fortalezca sus conocimientos y supere sus deficiencias ahora. con base en el desarrollo de ejercicios modelos.MIS OBJETIVOS ESPECÍFICOS En el estudio de esta unidad debo desarrollar competencias para: Entender la importancia y manejar con habilidad el flujo de caja. ¿Cuál de las siguientes tasas es mayor: 24% anual mes vencido 24% anual trimestre vencido? ¿Por qué? 85 . El uso adecuado de las fórmulas para despejar el valor presente. ¿Cuál es tu opinión? ¿Por qué el préstamo del dinero debe generar un ingreso? 2. 4. el número de períodos y la tasa de interés. Así disfrutará del dominio del conocimiento en este campo. por ejemplo. Con el objeto de visualizar dichas operaciones. LÍNEA DE TIEMPO: Corresponde a una recta dividida en intervalos. cuando se vende a crédito un activo. por ejemplo. o una no entrada de dinero. CARACTERÍSTICAS: Cuando se inicia la línea del tiempo se denota como período cero. los ingresos y egresos de dinero se representan en una recta denominada línea de tiempo. un crédito. ingresos y pagos de dinero que realiza un inversionista a lo largo del tiempo. Este diagrama es una representación gráfica que permite visualizar el problema y plantear su solución.1: 2'000. Las flechas verticales hacia abajo indican salida de efectivo de caja o de la billetera de la persona. allí se ubican barras verticales que indican los ingresos y las salidas de dinero. es fundamental para interpretar la información dada y definir claramente la incógnita.000 (ingresos) 0 Tiempo 1 2 3 4 5 6 1'000. es una salida para con quien hizo la transacción. por ejemplo. De igual manera es importante saber de quién es el flujo de caja que se gráfica. En términos sencillos. FLUJO DE CAJA Se denomina flujo de caja. cuando se compra a crédito un activo. a las operaciones financieras. es el comportamiento que tiene una transacción financiera en el tiempo que dura. EJEMPLO 3. porque lo que es una entrada de dinero para el inversionista. o en un no desembolso de dinero.3.000 (egresos) 86 . Las flechas verticales hacia arriba indican entrada de efectivo a caja o a la billetera de la persona.1. que representan el tiempo que dura la transacción financiera y los períodos en que se efectúan los pagos. EJEMPLO 3.000 ANÁLISIS DEL EJERCICIO Como el ahorrador saca $500. es un egreso.3: Con el mismo ejercicio anterior grafique el flujo de caja para la entidad financiera. hoy deposita en una entidad financiera $500.000 de su billetera y los consigna en la entidad financiera.000. FLUJO DE CAJA DE LA ENTIDAD FINANCIERA 500.000 y en seis meses retira 550. A los seis meses retira de la entidad financiera los $550. construya el flujo de caja suyo.000 ANÁLISIS DEL EJERCICIO Como el ahorrador saca $500.000. como ahorrador. por ende. A los seis meses la entidad financiera saca de su caja los $550.000 0 1 2 3 4 5 6 500. para el ahorrador es un ingreso. para el ahorrador en un egreso. 87 .000.000 0 1 2 3 4 5 6 550.En el período 1 salió de caja $1’000.000 de su billetera para consignarlos en la entidad financiera.000.2: Usted. que entran a su billetera. en el período 2 ingresaron a caja $2’000. EJEMPLO 3.000. FLUJO DE CAJA DEL AHORRADOR 550. para ésta es un ingreso porque entra a su caja. EJEMPLO 3. ANÁLISIS DEL EJERCICIO En este ejercicio se sabe que en dos años se debe pagar $3.000. Fórmula: 𝑉𝑃 = 𝑉𝐹 (1+𝐼)𝑛 VP: Valor o cantidad de dinero en un tiempo presente o cero VF: Valor o cantidad de dinero en un tiempo futuro i : Tasa de interés o tasa de retorno del período.4: Usted debe cancelar dentro de dos años la suma de $3. y que la tasa de interés de financiación fue del 2% mes. por lo tanto.000. si el interés cobrado es del 2% mensual. se tiene que determinar cuál fue el valor prestado inicialmente.000. equivale a otra cantidad futura ubicada en un período posterior. determine el valor inicial del crédito. n : Número de períodos de interés.000=.3.2 VALOR PRESENTE Y VALOR FUTURO VALOR PRESENTE (VP): Indica una cantidad de dinero que se invierte o se recibe en préstamo en el momento actual. PREGUNTA Se debe determinar el VP UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA 88 . APLICACIÓN MEDIANTE CALCULADORA HEWLECT PACKARD Mediante el siguiente procedimiento el estudiante puede hacer el cálculo del valor presente (VP). La expresión que se encuentra entre corchetes corresponde al factor de valor presente de pago único denominado también factor (P/F.000. Al multiplicar este factor por los $3. a una tasa de interés i después de n períodos de tiempo.865.000 i = 2% mes n = 24 meses REEMPLAZO EN LA FÓRMULA VP = 3. en la columna (P/F). Este factor determina el valor presente P de una cantidad futura dada F.46= APLICACIÓN MEDIANTE LAS TABLAS FINANCIERAS Cálculo del valor presente cuando se tiene un valor futuro. 89 .164. i%. ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN VF = 3.46 RESPUESTA El valor inicial del crédito fue de $1.000= el resultado es de $1.02)24 VP = 1.000.865. Para el ejemplo se busca en la tabla donde la tasa es el 2%.865. Al final se presenta la tabla financiera mediante la cual se puede calcular este factor.000 / (1 + 0. n).621721. y en la fila donde n es 24.163. allí se encuentra el factor 0.000.164.La incógnita está ubicada en el período cero (0). 865. b.VF 2% IA 24 N VA CASIO FC 200 MODE 4 SHIFT AC EXE AC 24 n 2% i -3000000 FV COMP PV EXE TEXAS BA II 3000000 +/. para el cálculo de la variable desconocida. para ingresar los datos no se requiere un orden específico. Cuando se trae a valor presente más de un dato a. Cuando se tiene un solo dato para llevarlo a valor presente. COMP n i% PV PMT FV El procedimiento y orden es el siguiente: H. 19 B II FIN VDT CLEAR DATA 3000000 +/.164. se digita la tecla COMP y la incógnita. CAJA BONO DEPR Valor dinero en el tiempo N %IA VA PAGO VF OTRO Menú Ingreso de Datos CASIO FC 200 Los siguientes son los comandos principales de esta calculadora.P.46 APLICACIÓN EN EXCEL El cálculo mediante la hoja electrónica se realiza mediante dos formas: a.INDICADOR FIN Financiero VDT CONVI F. FÓRMULAS INSERTAR FUNCIÓN 90 . Para un solo dato.FV 2 I/Y 24 N CPT PV El resultado es de $1. 5: Cuánto debe pagar una persona hoy si quiere adelantar el pago de una deuda de $500. FINANCIERA VA(Devuelve el valor presente de una inversión) EJEMPLO 3. Si el interés es vencido se deja en blanco. 91 . si fuese anticipado se señalaría 1.000= que se vence dentro de 2 meses y la cual tiene un costo de financiación del 2% mensual. PROCEDIMIENTO FÓRMULAS INSERTAR FUNCIÓN FINANCIERA VA(Devuelve el Valor presente de una inversión) Tasa 2% Nper 2 Pago Vf 500.000 Tipo NOTA: En la casilla Tipo. 584.5% 92 . FÓRMULAS INSERTAR FUNCIÓN FINANCIERA VNA(Devuelve el valor presente de una inversión. $500.6: Qué pago único hoy es equivalente a efectuar los siguientes pagos.39 b. si la tasa de interés que se cobra es del 2. Cuando se trae a valor presente más de un dato.000.584. 400. PROCEDIMIENTO FÓRMULAS INSERTAR FUNCIÓN FINANCIERAS VA(Devuelve el valor presente de una inversión) Tasa 2. a partir de una tasa de descuento y una serie de pagos futuros) EJEMPLO 3.Resultado: $480.5% mes. o se tienen valores positivos y negativos.000= en 5 meses.39 Al efectuarse el pago hoy deberá cancelar $480.000= en 3 meses. y $1.000 en 1 mes. teniendo en cuenta que en los períodos que no efectúa pagos. se escribe cero.Valor 1 500000 Valor 2 0 Valor 3 400000 Valor 4 0 Valor 5 1000. 93 . se puede en la casilla correspondiente al valor 1. cubrir todo el rango.000 Nota: si no se quiere escribir dato por dato. Resultado: $1.743.099 Si se desea efectuar el pago de la deuda hoy, deberá cancelar $1.743.098,43. EJERCICIOS DE PRÁCTICA Los invito a realizar los siguientes ejercicios para el cálculo del valor presente de las diferentes formas expuestas anteriormente. Determine el valor con el que su padre le abrió una cuenta de ahorros hace seis meses, si hace tres meses retiró $200.000 y hoy $350.000, si todavía tiene un saldo de $150.000, la entidad financiera le abona un interés del 15% anual. Cuál sería el valor de compra de contado de un computador si de cuota inicial se pagó $300.000 y al mes se abonó $500.000, a los dos meses $700.000 quedando una deuda en ese momento de $1.000.000, si el interés de financiación es el 2,2% mensual. VALOR FUTURO (VF): Muestra el valor que va a obtener una inversión actual en un período futuro, con un determinado rendimiento. Fórmula: VF = VP * (1 + i)n VP: Valor presente de una inversión. i : Tasa de interés del período. 94 n: Número de períodos. EJEMPLO 3.7: Un inversionista deposita hoy la suma de $ 500.000 en una entidad financiera que paga un interés en los CDT del 24% anual con capitalización mensual. Hallar la cantidad total acumulada dentro de 5 años en la cuenta. VF=? i = 2% mes n = 60 $500.000 ANÁLISIS DEL EJERCICIO En este ejercicio el inversionista quiere saber cuánto puede retirar en cinco (5) años, si la entidad financiera le reconoce un interés mensual del 2%. PREGUNTA Se debe determinar el VF UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA La incógnita está ubicada en el mes sesenta (60). ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN VP: 500.000 i : 2% mes n: 60 meses. REEMPLAZO EN LA FÓRMULA VF = VP * (1 + i )n VF = 500000 * (1 + 0.02)60 VF = 1.640.515,39 95 RESPUESTA La persona que deposita hoy $500.000 en una entidad financiera que paga el 2% mensual de interés, dentro de 5 años tendrá la suma de $1.640.515,39. APLICACIÓN MEDIANTE LAS TABLAS De la fórmula 𝑉𝐹 VP = (1+𝑖)𝑛 → 𝐹 P =(1+𝑖)𝑛 se deduce que F= P (1 + 𝑖)𝑛 El factor (1+ i)n se denomina factor de cantidad compuesta de pago único. Se hace referencia a éste como el factor (F/P, i%, n). Este factor de conversión es el que, cuando se multiplica por P, se obtiene la cantidad futura F de una inversión inicial P, a la tasa de interés i, después de n períodos de tiempo. Se procede a buscar en las tablas donde la tasa es el 2%, la columna F/P, y n es igual a 60. El factor de conversión es 3,281031. El resultado se obtiene de multiplicar: $500.000 x 3,281031, cuyo valor es: $1.640.515,5. APLICACIÓN MEDIANTE LA CALCULADORA El procedimiento y orden es el siguiente: H.P. 19 B II FIN VDT CLEAR DATA 500000 +/- VA 2% IA 60 N VF CASIO FC 200 MODE 4 SHIFT AC EXE AC 60 n 2% i -500000 PV COMP FV EXE TEXAS BA II 500000 +/- PV 2 I/Y 60 N CPT FV Para obtener el mismo resultado de $1.640.515,39. APLICACIÓN EN EXCEL El cálculo mediante la hoja electrónica es el siguiente: FÓRMULAS 96 INSERTAR FUNCIÓN FINANCIERAS VF(Devuelve el valor futuro de una inversión) Tasa 2% Nper 60 Pago Vp 500000 Tipo 97 R: $1.640.515,39 Al observar el resultado, lo muestra negativo, porque el valor presente se digitó positivo. NOTA: Cuando se tienen varios datos, por Excel los llevas a valor presente y después con el procedimiento enunciado anteriormente, se lleva a valor futuro. EJERCICIOS DE PRÁCTICA Después de haber estudiado el tema, vamos a evaluar los conocimientos adquiridos. Cuánto deberá pagar el usuario de un crédito hoy, si desea cancelar el saldo de una deuda, cuyo desembolso fue hace dieciocho meses por un valor de $5.000.000, a los seis meses abonó $2.000.000, y a los quince meses $2.000.000, el interés de financiación es del 2,3% mensual. Se están recogiendo fondos para una obra social, calcule los recursos disponibles a la fecha, si se han consignado y retirado las siguientes sumas: Hace diez meses, se recaudó $2.200.000, hace tres se recibió una donación por $1.500.000, y hoy $3.200.000, el mes pasado se requirió gastar $400.000. Los dineros se consignaron en una cuenta de ahorros que rentan el 1,2% mes. 98 3.3 CÁLCULO DE LA TASA DE INTERÉS. Este tema es de gran importancia porque en muchas ocasiones un inversionista después de haber efectuado algún negocio, conociendo los ingresos y pagos efectuados, quiere conocer cuál fue su rentabilidad, y ésta se conoce despejando i. Para determinar la tasa de interés, se debe recordar lo escrito en la aplicación de la radicación, donde se saca raíz a ambos lados para despejar el valor de i. La fórmula queda así: 1 i ( ) = (𝑣.ƒ) 𝑛 𝑣.𝑝 1 EJEMPLO 3.8: Calcular la tasa interés ganada por un inversionista, que consignó en una entidad financiera $800.000= y al cabo de 6 meses su saldo es de $1.000.000= ANÁLISIS DEL EJERCICIO En este ejercicio el inversionista quiere conocer la tasa de interés mensual que le reconoció la entidad financiera. PREGUNTA Se debe determinar i. UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA La incógnita no está ubicada en un período determinado, sino durante todo el tiempo que duró el dinero en la entidad financiera. ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN VP: 800.000. VF: 1.000.000 i: 99 789%.ƒ) 𝑛 𝑣. 19 B II FIN VDT CLEAR DATA 800000 +/.n : 6 meses.PV 1000000 FV 6N CPT I/Y La rentabilidad obtenida es del 3.789% mes.VA 6N %IA CASIO FC 200 MODE 4 SHIFT AC EXE AC 6n -800000 PV 1000000 FV COMP i% EXE TEXAS BA II 800000 +/.P. PROCEDIMIENTO Se reemplaza en la fórmula REEMPLAZO EN LA FÓRMULA 1 i ( ) = (𝑣.000 1 1 1 i= 3. RESPUESTA El interés mensual que reconoció la entidad financiera al inversionista fue del 3.𝑝 i ( ) = (1.000.000) 6 800.789% mensual. APLICACIÓN MEDIANTE LA CALCULADORA El procedimiento y orden a seguir es el siguiente: H. APLICACIÓN EN EXCEL El cálculo mediante la hoja electrónica es el siguiente: FÓRMULAS INSERTAR FUNCIÓN FINANCIERAS TASA (Devuelve la tasa de un crédito o la rentabilidad de una inversión) 100 . esto es porque se toma los $800.000= como una salida de dinero.Es importante resaltar que en este caso no existen anualidades en la casilla de pago se debe escribir CERO. Igualmente se puede observar que el valor presente se digitó negativo. 101 .789% mensual. Se puede observar que el resultado obtenido es el 3. 000. es indiferente si se aplica el logaritmo en base cero.000.000 2% Mensual n=? $500.000. Usted requirió de un crédito de $15. ésta quedaría así: n= 𝐿𝑛 [ 𝑉𝐹 ] 𝑉𝑃 𝐿𝑛(1+𝑖) NOTA: Para la fórmula se utilizó el logaritmo natural.660. se hace referencia al cálculo del número de períodos. cuál es su costo si le debe devolver al prestamista $17.000. 1.4.000 (valor futuro). y hoy las vendió en $12.9.000.000.000. 3.000 en tres meses. Para este caso se requiere el uso del logaritmo. y la entidad financiera reconoce un interés del 2% mensual.= Solución: 102 . Si se despeja n de la fórmula.000.000.000.EJERCICIOS DE PRÁCTICA Al igual que las prácticas anteriores utilicemos las diferentes herramientas para el desarrollo de los siguientes ejercicios: Determine la rentabilidad mensual alcanzada por un inversionista que hace seis meses compró un paquete de acciones es $10. si hoy cuenta con $500. Cuánto tiempo debe esperar una persona que desea obtener $ 1. CÁLCULO DEL NÚMERO DE PERÍODOS Cuando se habla de determinar n. recibiendo adicionalmente $250.000 como dividendos. EJEMPLO 3. ANÁLISIS DEL EJERCICIO En este ejercicio el inversionista quiere conocer el tiempo que debe esperar para tener en su cuenta de ahorros la suma de $1.000.000. PREGUNTA Se debe determinar n. UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA La incógnita está ubicada al finalizar el flujo de caja. ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN VP: 500.000. VF: 1.000.000 i : 2% mes n: REEMPLAZO EN LA FÓRMULA n= n= 𝐿𝑛[ 𝑉𝐹 ] 𝑉𝑃 𝐿𝑛(1+𝑖) 𝐿𝑛 [ 1.000.000 ] 500.000 𝐿𝑛(1+0,02) 0,69314718 n= 0,019802627 n = 35 meses. RESPUESTA Se requiere de 35 meses para que al invertir $500.000=, al 2% mensual se retire $1.000.000= APLICACIÓN CON LA CALCULADORA El procedimiento y orden a seguir es el siguiente: 103 H.P. 19 B II FIN VDT CLEAR DATA 500000 +/- VA 1000000 VF 2% IA N CASIO FC 200 MODE 4 SHIFT AC EXE AC 2% i -500000 PV 1000000 FV COMP n EXE TEXAS BA II 500000 +/- PV 1000000 FV 2 I/Y CPT N El resultado obtenido es 35 meses. APLICACIÓN EN EXCEL Ahora se va a realizar el mismo ejercicio en Excel, con la función NPER. El cálculo mediante la hoja electrónica es el siguiente: FÓRMULAS INSERTAR FUNCIÓN FINANCIERAS NPER 104 El inversionista debe esperar 35 meses. EJEMPLOS VARIOS DE PRÁCTICA EJEMPLO 3.10. Dentro de cuánto tiempo se tendrá en una cuenta de ahorros un saldo de $2.000.000= sabiendo que hoy se hace un depósito de $ 1.000.000 y luego retiros así: $ 300.000 en el mes 7 $ 200.000 en el mes 11. Tasa de interés 2% mensual. FLUJO DE CAJA $2.000.000,= $300.000,= 0 1 2 3 4 5 6 $200.000,= 7 8 9 10 11 12 n=? $1.000.000,= ANÁLISIS DEL EJERCICIO En este ejercicio el inversionista quiere conocer el tiempo que debe esperar para tener en su cuenta de ahorros la suma de $2.000.000, a pesar de que ha tenido que efectuar retiros de su cuenta de ahorro. 105 PREGUNTA Se debe determinar n. UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA La incógnita está ubicada al finalizar el flujo de caja. ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN VP0: 1.000.000. RETIRO7 : 300.000 RETIRO11 : 200.000 VF: 2.000.000 i : 2% mes n: PROCEDIMIENTO Para determinar n, se debe definir dónde va a quedar el valor presente como punto de referencia. En este caso se estableció el mes cero. El tiempo se trabaja en meses. PASOS Se calcula el valor presente de los retiros en el período cero. VP = 400.000/ (1.02)7+ 200.000/(1.02)11 VP= 348.224, 07+160.852, 6 VP= 509.076,67 Este valor se resta al consignado en el período cero, o sea a $1.000.000= El valor presente para calcular n, sería: $1.000.000-509.076,67. Valor presente = 490.923,32 Reemplazo en la fórmula n= 𝐿𝑛[ 2.000.000 ] 490.923,32 𝐿𝑛(1+0,02) 1,404614511 n= 0,019802627 = 70,93 meses 106 RESPUESTA Se tendrá en la cuenta los $2.000.000= pasados 70,93 meses a partir de la consignación inicial de $1.000.000= EJEMPLO 3.11. Se prestan hoy $4.000.000 los cuales se van a cancelar en tres pagos a 6, 10, 15 meses; cada uno de los pagos, equivale al 75% del pago anterior. Hallar los pagos. i = 2% mensual $4.000.000,= 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x 9 10 11 12 0,75 x 13 14 15 0,75(0,75 x) Solución: ANÁLISIS DEL EJERCICIO En este ejercicio el inversionista quiere conocer el valor de las cuotas de amortización del crédito. PREGUNTA Se debe determinar el valor de X. UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA La incógnita está ubicada en el período seis (6). ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN VP = 4.000.000 i = 2% mes n = El período está determinado por cada uno de los meses en que se efectúa la amortización, de acuerdo al valor de la amortización quedaría así: X = 6 mes 0,75 X = 10 mes 0,75 (0,75X) = 15 mes X =? 107 PROCEDIMIENTO Se plantea la ecuación; el monto del préstamo es igual a los pagos traídos a valor presente en el momento cero descontados por el interés del 2% mensual. Es importante que se tenga claro que la única incógnita es X, todo se relaciona con el resultado de X. 4.000.000 = X + 0.75 X + 0.5625 X (1.02)6 (1.02)10 (1.02)15 4.000.000 = 0.887971382X + 0.615261224X + 0.417945785X 4.000.000 = 1.921178391X 4.000.000 =X 1.921178391 X = 2.082.055,48 1er pago 0,75 * (2.082.055,48) = 1.561.541,6 2do pago 0,75 * (1.561.541,6) = 1.171.156,2 3er pago RESPUESTA El préstamo de $4.000.000, se va a pagar de la siguiente forma: 2.082.055,48 en el mes seis (6), 1.561.541,6 en el mes diez (10) y 1.171.156,2 en el mes quince (15). EJEMPLO 3.12. Un inversionista abre hoy una cuenta de ahorros con $ 2.000.000; dentro de 6 meses deposita su prima de navidad cuya cuantía es de $1.000.000= y en el mes 18 retira $1.500.000=. Hallar el valor del saldo al finalizar el mes 24, si se paga un interés del 2% mensual durante el primer año y el 2,5% mensual en el segundo año. 1.500.000 0 2.000.000 6 1.000.000 2% 12 18 21 24 2,5% 108 000 VP6(consignación) = 1.000 i = 2% mes VF24 =? PROCEDIMIENTO: Aspectos para tener en cuenta: Cambio en la tasa de interés en el mes doce. El saldo se determina restando el retiro a las consignaciones en el mes 24.000.000. PASOS Se llevan los abonos al mes doce. REEMPLAZO EN LA FÓRMULA VF = VP * (1 + i)n 109 . se debe tener en cuenta que la entidad financiera cobró dos tasas de interés diferentes.000 VP18(Retiro) = 1. se lleva al mes 24. siempre se tiene que llegar al período donde hay cambio de tasa. después de hacer una serie de consignaciones y retiros. ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN VP0(consignación) = 2. PREGUNTA Se debe determinar el VF.000.ANÁLISIS DEL EJERCICIO En este ejercicio el inversionista quiere conocer el saldo en su cuenta de ahorros al finalizar el año dos. El retiro del mes 18 se lleva al mes 24. cuando en la línea de tiempo existen dos o más tasas. UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA La incógnita está ubicada en el mes veinticuatro (24). Una vez se tiene el total acumulado en el mes doce. una vez se tenga un valor. porque allí hay cambio de tasa. con la tasa correspondiente al otro período. se calcula el valor futuro o presente. 311.186.739. $ 800.68 . Hallar el valor de contado sabiendo que la financiación contempla una tasa del 2.F 24 Retiros 4.02) 12 + 1.311.851.000.000 * (1+0.12 3.5% mes.662.F 24 Consignaciones.000 12 1.000.646 VF24 = 3.68 VALOR FUTURO DE LOS RETIROS VF24 = 1.56 EJEMPLO 3.000.56 RESPUESTA En el mes 24 hay disponibles para retirar $3.851.000. Solución: x 2.925.000= De cuota inicial.025)12 = 4.000= en el mes 6 y $1.540. así como el interés de financiación.V.500.13 Se compra un computador y se propone pagarlo de la siguiente forma: $ 600.925.540.662. 110 .12 SALDO V.5 mes 0 600.000= en el mes 12.1.000 3% mes 6 800.025)6 = 1.000 * (1 + 0.646 * (1 + 0.02)6= 3.VALOR FUTURO DE LAS CONSIGNACIONES VF12 = 2.000 ANÁLISIS DEL EJERCICIO En este ejercicio el vendedor del computador quiere conocer el precio de venta del equipo. para los 1 os 6 meses y del 3% mes de ahí en adelante.186. dado que está conociendo el valor y fecha de los pagos que propone el comprador.739.000 * (1 + 0. 000= se lleva al período cero con la tasa de descuento del 2. Estos dos resultados se suman al valor de la cuota inicial y se determina el importe de contado del computador.000 1.000. PASOS: El abono de $800.000.02)6 ∗ (1 + 0. Planteamiento de la ecuación: La ecuación quedaría planteada de la siguiente forma: 𝑥= 600.000. ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN VP0(cuota inicial) = 600.000 VP12(segunda cuota) = 1. UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA La incógnita está ubicada en el momento cero (0). 111 .5%.000) = 12 VPTOTAL =? PROCEDIMIENTO: En el período de análisis se encuentran dos tasas de interés.000 + 800.000 VF6(primer cuota) = 800.000 ( ) + (1 + 0. El abono de $1.PREGUNTA Se debe determinar el VP.5% mes i(6-12) = 3% mes N(800.5%.02)6 (1 + 0.000= se lleva al período seis con la tasa del 3% y luego al momento cero con la tasa del 2.03)6 La X es el valor de contado del computador.000) = 6 N(1.000.000 i(0-6) = 2. 1+ 743. que paga un interés del 1.000 + 710.000 = 710.000 36 48 60 72 84 1/2 Saldo ANÁLISIS DEL EJERCICIO En este ejercicio usted debe hacer un seguimiento al saldo del dinero para determinar el valor de las consignaciones y retiros.039= EJEMPLO 3.5% mensual. En tres años retira la cuarta parte del saldo en el momento. 1/4 Saldo x 0 12 24 $1. UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA 112 .000 ( (1+0. al año le consignan $500.377. dos años más tarde le realizan un depósito igual a la mitad del saldo existente y dos años después usted retira todo el dinero.054.054.10 (1 + 0. Hallar los valores depositados y retirados cada vez.La ecuación se explica de la siguiente forma: El precio de contado es igual a la cuota inicial más las dos cuotas financiadas. para calcular el monto a retirar o consignar.662 VP0 = 2. traídas a valor presente.000 en una cuenta de ahorros.039 RESPUESTA El precio de contado del computador es de $2.000.02)6 VP0 = 1.03)6 ) = 743. PREGUNTA Se debe estimar VF en cada momento que preguntan el saldo.14 Sus padres le depositan $ 1. VP0 = 800.377.02)6 ∗(1+0.000=.000. en el período cero.662 VP0 = 600.000. 359.890.8.6 dando un total de $3.015)24= 2.5% mes VF36 = ? VF60 =? VF84 =? PROCEDIMIENTO Para hacer el planteamiento de la ecuación. Se lleva el último saldo al mes 84.719.972. 3.918. está en el mes 84.015)24=5. Queda un saldo en el mes 36 de $1. Allí el saldo existente se le debe calcular la mitad.21x (1.359. hecho que permite confundirse.918.000 i = 1. se explicarán los pasos: Mire dónde está la incógnita. El saldo que queda está ubicado en el mes 36.73 el valor del primer retiro. sesenta y ochenta y cuatro. Al resultado le calcula la cuarta parte y se la resta.898. Para determinar el nuevo saldo en el mes 60.19 A $ 2.000. La cuarta parte es la primera respuesta.6. ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN VP0(consignación inicial) = 1. en este momento usted está en cero. se requiere de un proceso que toma muchos números.015) 36+500. Lleva las dos primeras consignaciones al mes 36 y las suma.6 113 .719.19 se le calcula la mitad (1/2). es el primer retiro. para calcular el último retiro.423.817.La incógnita está ubicada en el mes treinta y seis.078. dando un valor de $1.299. ¼ x 2.719. para un mejor entendimiento.598.598. o sea debe calcular un valor futuro.21.94= 605. Este es el valor de la consignación.299. es la primera consignación.015)24) = $ 2. se lleva a un futuro al mes 60.8 x (1.19 y $1.078.94 valor futuro en el mes 36 de las consignaciones.000x(1.598.000 VP12(segunda consignación) = 500.314.890.572.423. El valor de la consignación se le suma al saldo y este total se lleva al mes 84. Este saldo se lleva al mes 60: $1.000 x (1.898. sumo las dos cifras $ 2.817. PASOS: (1000. si la entidad paga un interés del 12% semestral.6. la segunda en el mes 5 por $800.572.000=.039.000=.299.377.436. R: La entidad financiera paga una rentabilidad del 1. si se compromete a efectuar las siguientes consignaciones.204.000.201. La entidad financiera paga un interés del 6% trimestral.000=.972. Cuánto tendrá usted ahorrado al finalizar el año. R: Al finalizar el año Usted tiene ahorrado $3.3= cuál es la tasa de rentabilidad que paga la entidad financiera. R: Para contar con $2.000. hoy $500.000.000= en el mes 6. y $600.6 EJERCICIOS 1. R: Pedro para poder retirar en el mes doce $3. debe consignar en el mes nueve $1. el saldo en 3 cuotas. consigna $400.200.000.572.000 debe esperar 13 bimestres.000.000=.000= en el mes 10. cuánto debe consignar en el mes 9.000. si deposita en una entidad financiera $1. Determine el importe de contado de un electrodoméstico cuyo sistema de financiación es el siguiente: Cuota inicial: 30% del precio de contado. Si su padre le consigna en su cuenta de ahorros. RESPUESTA El proceso de retiros y consignaciones que se debían calcular fue el siguiente: En el mes treinta y seis se retira: $605.66 3.69 2. $1.El último valor a retirar es de $5.359.000=. si aspira a que en el mes doce pueda retirar del banco.502. y esta reconoce un interés de 4% bimestral. la suma de $3. R: El importe de contado del electrodoméstico es de $3.000=.6 Y. en el mes ochenta y cuatro se retira $5.73 En el mes sesenta se consigna: $1.000.000=.000= y en 6 meses averigua el saldo.140. 4. en el mes 3. 5. Cuánto tiempo debe esperar usted para contar con $2.5% mes.000= y la última en el mes 6 por $1. El interés de financiación es el 24% anual. hoy la suma de $400.000=.96 114 .314. $2. la primera en el mes 3 con un valor de $600. Pedro consignó en su cuenta de ahorros hoy.314.000. y tiene en su cuenta $437. si en el mes 18.000.6.500.000= el cual puede hacer efectivo dentro de 3 meses.000=. R: El saldo en la cuenta después de seis meses es de $549. R: Jaime consignó hace seis meses $5.000=. Cuál es el saldo que tiene en su cuenta de ahorro si hace 6 meses consignó $500.000.952 11. en el mes 2. Al comprar una motocicleta por $6. usted ahorró hace dos meses $400.000. se le presenta un imprevisto para lo cual debe retirar $3. 115 . la rentabilidad del ahorrador es del 22% anual bimestre vencido. Un ahorrador consigna $500. Determine el valor consignado por Jaime hace 6 meses.5% bimestral. en el mes 8. R: El faltante para cancelar los $12. cuánto será el faltante en el momento de tomar las vacaciones.000 en el mes de diciembre es de $430.000= usted debe determinar el valor de la cuota inicial.000= y en el mes 3.000=.056. su rentabilidad es del 8% trimestral.000=. determine si Alfredo puede adquirir este vehículo si el precio se lo sostienen por un tiempo de 9 meses y la rentabilidad de su dinero es del 3.400. R: Debe pagar de cuota inicial $1. Alfredo proyecta comprar un vehículo cuyo importe es de $30. durante los 4 primeros meses el interés ganado fue del 3% bimestral.23 el día de la matrícula.087. a partir de allí. cuenta con $700.000. la primera en el mes 1 por $2. la rentabilidad de su dinero es del 6% trimestral.87 9. R: Su padre debe colaborarle con $423.000=. consigna hoy (Período cero) ese valor.76 8. para lo cual presupuesta un valor de $12.000. si le aceptan pagar el saldo en 3 cuotas.205.6 12. si el interés de financiación es del 9% trimestral.725.000. 10.000.000.000=.305.000= y hoy puede asignar para este mismo propósito $600.000=. 7. Usted planea ir de vacaciones al final de año (Diciembre). si debe cancelar el valor del semestre dentro de 3 meses por $1. $1. si la rentabilidad es el 11% semestral. R: Su dinero no le alcanza para comprar el vehículo dado que sólo dispone de $28.736.000=. durante los primeros seis meses. la tasa varió al 22% anual trimestre vencido.000=. si este dinero le alcanzó para retirar $2.000= y un título valor por $15. En cuánto le colaborará su Papá para completar el monto de la matrícula universitaria.27 por la compra a crédito de la motocicleta.500. determine el interés en este último período.000. para su adquisición él cuenta hoy con $10.320.000=.000=. $1.359.100.000= hace 3 meses y hoy retiró el saldo por $3. 000.000 con vencimiento en tres meses. va a sustituir estos compromisos por un solo pago en el mes nueve (9).000.63 17. y como respaldo firmó dos pagarés el primero por $2.615. la tasa es del 18% semestral. y el 30% anual mes vencido a partir de allí. y el saldo en el mes 6 por un valor al 30% del valor de contado.86 15. Calcular el precio de contado de un TV. con una tasa de interés del 9% trimestral.55 116 . R: El precio de contado del televisor es de $1. Pedro consigna hoy $300. un cuota en el mes 3 por $500.000.21 16.000=. 3% bimestral.64 y en B $1.000=. el primero por $1. dado que su valor a precios de hoy es de $1. R: El valor que usted debe pagar en el mes nueve es de $6. hace seis meses le había efectuado otra consignación. si en la entidad financiera A gana un interés del 5% bimestral y en la entidad financiera B el interés es del 8.000.962.385. R: La segunda deuda es mayor.095.213.000= en los meses 3. determine el valor de ésta. R: Pedro debe consignar en el mes diez $291. R: En A tiene un valor de $1. determine la consignación que realizó en el mes 10 para cumplir su meta.296. Usted tiene un saldo en la cuenta de $3. en los primeros 6 meses. 14. hasta el mes 12. El interés de financiación fue del 15% semestral bimestre vencido.200.511.000.000= en el mes 8. determine el valor del saldo después de un año en cada una de ellas.032. R: Su hermano le consignó hace seis meses $1. en el mes 6 ahorra $400.000.000.858.000=. $1. si el interés de la entidad financiera es el 1% mensual. Usted tiene una deuda. si las tasas de interés fueron del 15% semestral.7 18. Dos pagos.000= dentro de 15 meses.492. Si usted consigna en dos cuentas de ahorro diferentes.429. determine el valor por el cual firma el pagaré. Determine cuál de las siguientes deudas presenta un mayor valor en el momento cero: Tres pagos iguales de $500.000=.89. si la tasa de interés es del 8% trimestral. cuya cuota inicial es de $300. y un segundo por $5.340. su hermano le había consignado hace un año $1.000.000= en el mes 4 y $500.5% trimestral.000 en cada una.764.6 y 9. su propósito es completar el valor de $1.R: La rentabilidad en el último año fue del 20.000. con vencimiento en un año.02% 13. 000 y $2.2% durante el segundo semestre. en los meses nueve y doce.269. por un solo pago dentro de un año.417. para volver a tener el millón de pesos debe esperar 20.000.318. El interés de la entidad financiera es del 9% semestral. Pedro abrió una cuenta de ahorros hace tres meses con $1. $2. R: El valor de apertura de la cuenta fue de $4. y tuvo el siguiente movimiento: Consignaciones de $500. y hoy debe retirar $300.245.18.731.7% mensual de ahí en adelante. R: Al modificarse la tasa de interés el valor de apertura de la cuenta fue de $4.105.2% durante el segundo semestre su hermano le consignó $1. Con base en el ejercicio dieciocho estime el valor consignado en el mes seis pero la tasa que reconoce la entidad financiera fue del 1% mensual para el primer semestre y del 1.72. R: Al tener una rentabilidad del 1.000 para dentro de seis meses. Con el mismo ejercicio anterior.000.000. 20.000 dentro de un mes.742.000. 22.000.000.000 al final del año es porque su hermano le consignó en el mes seis $2. Determine el valor de apertura de una cuenta de ahorros que a los quince meses presenta un saldo de $4. determine el valor de la consignación en el mes seis.000. que los depositará en la cuenta de ahorros. cuánto tiempo debe esperar para volver a tener el millón de pesos si la entidad financiera le reconoce un interés del 1. y retiros por $1.000.000 y $3.2% mes. 24. Si la entidad financiera del ejercicio anterior hubiese reconocido un interés del 9% semestral para el primer semestre y el 1.000 para hoy. 25. Su acreedor le acepta la propuesta con la siguiente condición: Las tres obligaciones 117 .000= en los meses tres y diez respectivamente. determine el valor de apertura de la cuenta.19.000.000.000.500. Usted propone sustituir tres obligaciones de $1.000. Con base en el ejercicio anterior despeje n. si hace un mes debió retirar $100.2 21. R: Recibiendo los $150.000 en el mes diez y contar con un saldo de $3.000. pero usted retiró en el mes diez. pero Pedro recibe dentro un mes $150. R: Para volver a tener el millón de pesos debe esperar 38 meses a partir de hoy. R: Al haber retirado $500.000.66 23.182. $500.000 para dentro de tres meses y $1.000.45 meses a partir de hoy. si su tasa de oportunidad es del 9% trimestral.000.5% mensual. ¿Cuál es la tasa mensual de rentabilidad de esta persona? R: La rentabilidad mensual del inversionista es del 4. cuál fue su rendimiento mensual? R: La rentabilidad durante los 8 meses fue del 1.198 % mes. lo vende en $65. en el mes 9 retiro 60 pesos.000 de contado.000.¿Cuál opción escoge? R: Le vende el carro a Enrique.000.34 28. R: La cuenta tiene un saldo después de 10 meses de $1.66%.000.000 a los 3 meses.000. con este dinero compra una casa y al mes la vende en $72. Determine en qué momento dispongo de 3 veces el valor de la 118 . con este dinero adquiere un apartamento con el cual tuvo inconvenientes en su venta y a los seis meses de haberlo comprado sólo lo pudo vender en $55. compra un vehículo y a los dos meses lo vende en $56.1% trimestral.433. Como usted acepta el nuevo interés determine el valor del pago único. 30.000.iniciales tenían un interés del 1.000.000.000 cada uno.000. Determine el saldo en la cuenta si la abrió hace diez meses con $1. Su jefe le ofrece $5.000 en el momento y un cheque por $23.000 a 90 días. Un comerciante cuenta con $50. ¿hizo un buen o mal negocio? R: La rentabilidad en este negocio sólo fue del 1.048. Su equivalencia en valor presente ($26. durante el primer trimestre el banco reconoció como interés el 3% trimestral y a partir de ese momento su tasa fue del 3.000. Al ofrecer su automóvil se reciben varias ofertas de las cuales usted va a optar por la mejor: Pedro le ofrece $25.000.000. Un inversionista en finca raíz.000.000. 31. compra un apartamento en $60. pasado un año usted no consiguió el dinero de la construcción por lo tanto toma la decisión de venderlo en $12. Usted compra un lote de terreno en $10.000.000.53% mes. el primer cheque lo cobra en el momento y los otros a 30 y 60 días. R: El pago que debe realizar dentro de un año es de $5.000. el interés de la refinanciación es del 2% mensual. Enrique le da tres cheques por $9.000.106.651.5) 27. si en sus actividades comerciales normalmente se gana el 3% mensual.242.715.1 26. o sea que no hizo un buen negocio respecto de los que usualmente realiza.000. 29.000.000 con el propósito de construir su vivienda. Abro una cuenta con 100 pesos al finalizar en el mes 6 consigno 80 pesos. R: 3. ¿Por qué? Explique la manera como se determina el tiempo requerido para alcanzar un valor futuro conociendo el valor presente y la tasa de interés. Cuál es el proceso para calcular el rendimiento de una inversión. aplicando determinada tasa de interés. el primero cuya tasa de descuento es el 2% mes o un segundo con una tasa del 3% mes.68 32. DEUDA: Es una obligación. hasta el mes 10 la tasa del interés es el 2% mensual. de aceptación generalizada.consignación inicial si hasta el mes 10 es del 2% mensual y de ahí en adelante es de 3% mensual. FLUJO DE CAJA: Procedimiento que muestran los ingresos y egresos de efectivo en un período de tiempo. si se requiere calcular un menor valor presente. Se abre una cuenta con 300 pesos. DINERO: Instrumento de cambio. en el mes 6 retiro la mitad. ¿Por qué? ¿En qué difiere un valor presente de un valor futuro? Al traer a valor presente un determinado valor futuro.44% AUTOEVALUACIÓN ¿Por qué se dice que el diagrama del flujo de caja representa el planteamiento del problema? ¿Es importante la dirección de las flechas? Teniendo dos valores futuros iguales. cuál de estos tiene un menor valor presente. si en el mes 30 vuelvo a disponer del capital inicial cuál fue la tasa de rentabilidad en el mes 10 al 30. 119 . normalmente de tipo económico de una persona natural o jurídica con otra. GLOSARIO DESCUENTO: Procedimiento de calcular el valor presente de uno o más pagos futuros. venta y el tiempo que tuvo el activo. conociendo el valor de compra. en el mes 9 retiro 50 pesos. se debe aumentar o disminuir la tasa de descuento. R: 17. 𝑖 = ( 𝑣. en los flujos de caja normalmente se denomina valor inicial o valor presente. PERÍODO: Es el tiempo que transcurre entre un pago y otro. 𝑉𝑃 = 𝑉𝐹 (1 + 𝑖)𝑛 Cálculo de la tasa de interés cuando se tiene un valor presente y un valor futuro. en algunas ocasiones resultantes de un acumulado o suma en una fecha posterior. 120 . 𝑝 1 (𝑛) Cálculo del tiempo cuando se tiene un valor presente y un valor futuro. PRECIO DE COMPRA: Es la cantidad de dinero que se paga por la adquisición de un bien. VALOR ACTUAL: Valor de un bien en el momento.INVERSIÓN: Es el esfuerzo de posponer el consumo para un período futuro con el propósito de recibir un mayor valor. VALOR FINAL: También se denomina valor futuro. 𝑛 = 𝑉𝐹 𝐿𝑛 (𝑉𝑃 ) 𝐿𝑛 (1 + 𝑖) NOTA: Es indiferente el tipo de logaritmo. TASA DE OPORTUNIDAD: Es la tasa de rentabilidad que un inversionista sacrifica con el objetivo de realizar un proyecto. ƒ ) 𝑣. SUSTITUIR: Reemplazar TASA DE DESCUENTO: Tasa de interés mediante la cual se determina el valor presente de una cifra futura. VF = VP * (1+ i)n Cálculo del valor presente cuando se tiene un valor futuro. PUNTO DE EQUILIBRIO: Cuando los ingresos son iguales a los egresos. puede ser el logaritmo natural o el base cero. FÓRMULAS: Cálculo del valor futuro cuando se tiene un valor presente. las personas requieren con cierta frecuencia utilizar créditos o financiamiento en la compra de bienes para el hogar. de manera que me permita demostrarlo y aplicarlo o en otros casos revisarlo e interpretarlo. Estos pagos de las cuotas del préstamo tienen la característica de ser iguales para todos los períodos de tiempo ya sean meses o años. cuando no contamos con los recursos suficientes para adquirir los bienes o servicios de contado.CAPÍTULO 4 ANUALIDADES JUSTIFICACIÓN En el desarrollo de la vida. MI OBJETIVO GENERAL Debo comprender los procedimientos utilizados por las entidades financieras para calcular o encontrar el valor equivalente en una serie uniforme periódica a un valor presente o futuro. Por los motivos expuestos es preciso que estudiemos este capítulo donde podremos entender el procedimiento utilizado en las entidades financieras para determinar el valor de las cuotas de los pagos que se deberán hacer para cancelar un préstamo que nos ha sido otorgado para satisfacer nuestras necesidades. una cirugía o la matrícula de estudios. 121 . MIS OBJETIVOS ESPECÍFICOS Debo desarrollar fuertes competencias para: Apropiarme con claridad la noción de anualidad Adquirir el dominio sobre los conceptos de clasificación de las anualidades. Comprender el cálculo de las anualidades con un valor presente o un valor futuro. o en la actividad productiva o comercial que desarrollan como medio económico de subsistencia o para el financiamiento de un servicio que le posibilitará su existencia o una mejor calidad de vida ya sea un viaje. calculadoras Hewlett Packard. Desarrollar destreza y habilidad en el uso de las fórmulas. 1. En qué entidad alcanzará un mayor valor sus ahorros. 2. CONDUCTA DE ENTRADA Antes de iniciar mi proceso de aprendizaje debo conocer como están mis conocimientos y qué me obligo a reforzar para abordar este nuevo e importante tema de las finanzas. Comprender el concepto de anualidad diferida y perpetua. proyectando gastos fijos periódicos. pero que en la entidad A alcanzó un mayor valor que B. la que paga el 2% mes anticipado o el 2% mes vencido ¿por qué? 4. mostrando como un ingreso el VP y como egreso el VF. Identificar mis deficiencias me dará la oportunidad de superarlas con un pequeño repaso. 3. Si fortalezco mis conocimientos y elimino mis deficiencias. Cuál será el interés pagado a un inversionista si en dos años duplicó el valor invertido inicialmente. Saber el tiempo que requiere un ahorrador para alcanzar determinada suma de dinero en un tiempo futuro. podré disfrutar del dominio de la teoría en este campo. Conocer el tiempo que se demora en gastar una persona unos recursos (ahorros). En cuánto tiempo se triplica una cantidad de dinero si la entidad financiera reconoce el 30% anual. Calcular con precisión el interés que gana un ahorrador o que se cobra en una financiación. tablas financieras. 122 . Puedo diagramar un flujo de caja y señale la ubicación del VP y el VF. Que variable es la que pudo haber afectado el ahorro de una misma cantidad de dinero en dos entidades diferentes. Responderé estas preguntas y reflexionaré sobre lo aprendido. Determinar el valor presente y futuro a partir de la anualidad. Casio Fc 200 y la hoja electrónica EXCEL para los cálculos del valor equivalente en una serie uniforme periódica a un valor presente o futuro. 5. si el tiempo fue el mismo. Anualidad Diferida: Se denomina así. semestrales.1 SERIES UNIFORMES O ANUALIDADES Anualidad: Se entiende por anualidad a un método utilizado por las personas ya sea para ahorrar o retirar una cantidad igual de dinero durante un determinado tiempo. CARACTERÍSTICAS: Para que una serie de pagos se considere anualidad cumple con las siguientes condiciones: Los pagos son iguales. La anualidad se divide en vencida. diferida y perpetua de acuerdo en el momento en que se efectúe el pago. anticipada. mensuales. Los períodos pueden ser diarios. Ejemplo: Salario de un trabajador. Anualidades Anticipadas: Se dice que hay anualidad anticipada cuando se efectúan los pagos al principio del período. bimestrales. En el período se cobra igual tasa de interés. El concepto anualidad indica que los pagos son periódicos y no cada año. En el flujo de caja se muestra como una serie de entradas o salidas de dinero iguales y periódicos. Anualidades Vencidas: Las anualidades vencidas son aquellas en las que el pago se hace al final del período. entre otros. El número de pagos es igual al número de períodos. quincenales. Anualidad Perpetua: Se denomina anualidad perpetua. el ejemplo típico es el pago de arrendamiento.4. El período de los pagos son iguales. al flujo de caja que por la característica del proyecto no existe un último pago. CLASIFICACIÓN DE LAS ANUALIDADES. trimestrales. 123 . aquella anualidad en la que el primer pago se efectúa algunos períodos después de haber concretado o proyectado iniciar la transacción financiera. En los casos de la vida real ejemplos de valor presente de una anualidad.2. traídos a un período antes del primer ingreso o pago. A: Es el valor de cada cuota.000= por cuota. con un interés del 2%. EJEMPLO 4.4.1: Cuál es el precio de contado de un electrodoméstico si financiado a 6 meses en cuotas iguales. la tasa de interés debe ser bimestral. a la sumatoria de los valores que la conforman. VP 1 2 3 4 5 6 0 A FÓRMULA: La fórmula para calcular el valor presente es la siguiente: (1 + 𝑖)𝑛 − 1 𝑉𝑃 = [ ] 𝑖(1 + 𝑖)𝑛 VP: En las anualidades el VP puede ser el precio de un bien que se va a financiar. ANUALIDADES VENCIDAS: VALOR PRESENTE Se denomina valor presente de una anualidad. si los períodos son bimestrales. i: Es la tasa de interés de financiación. o el precio de contado de un bien. se paga $250. es el monto solicitado o entregado de un crédito.000= 124 . VP 6 $250. se puede definir como la cantidad de dinero que se va a diferir en pagos iguales. su ubicación es un período antes de la primera cuota. n: Es el número de cuotas que conforman la serie. por ejemplo. debe ser congruente con el período de las anualidades. teniendo en cuenta que la tasa de interés es del 2. simplemente se reemplaza en la fórmula y se despeja el valor presente. ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN A= 250. y se reemplaza cada una de las variables: (1+0.V.400.7 RESPUESTA El precio de contado del electrodoméstico es de $1.357.ANÁLISIS DEL EJERCICIO Se quiere determinar el precio de compra del electrodoméstico si se tuviesen los recursos para pagarlo de contado.000 [0. dado que se conoce el número y valor de las cuotas.02)6−1 𝑉𝑃 = 250.02(1+0.000 n= 6 i=2% VP =? PROCEDIMIENTO En este ejercicio.357. que usted compra si el plazo de financiación es de 12 meses y su capacidad de pago es de $200.4% mes y el plazo es de dieciocho meses.000 mensuales.000 de cuota inicial 125 .7. EJERCICIOS DE PRÁCTICA Determine el valor del crédito que le pueden aprobar si usted le comentó al asesor comercial que su capacidad de pago es de $350.02)6] = 1. PREGUNTA Se va a calcular un VP UBICACIÓN INCÓGNITA La incógnita se encuentra ubicada en el período cero (0). REEMPLAZO EN LA FÓRMULA Se aplica la fórmula. así como la tasa de financiación. De cuánto debe ser el precio de un T.400. 000. El interés es del 2 % mensual.000 2 3 4 5 6 A=Incógnita ANÁLISIS DEL EJERCICIO Se quiere determinar el valor a pagar por cada una de las seis cuotas para cancelar el electrodoméstico. CÁLCULO DE LA ANUALIDAD CON EL VALOR PRESENTE El cálculo de la anualidad cuando se tiene un valor presente es de gran utilidad en el campo financiero.000.000. su precio de contado es de $1. dado que se utiliza en determinar las cuotas de financiación de créditos ya sea de dinero.000 1 200.5% mensual.y mensual de $60. también es muy utilizado por los fondos de pensiones porque de acuerdo al valor aportado durante la vida laboral.000. de vivienda o de electrodomésticos principalmente. El proveedor cobra una tasa de financiación del 2. 1. cuyo precio de contado es de $1. con un interés del 2% mensual.2: Calcule el valor de las cuotas si se financia un electrodoméstico a seis meses.000= y se paga de cuota inicial $200. y de cuota inicial se paga el 20%.000. FÓRMULA: 𝐴 = 𝑉𝑃 (1 + 𝑖)𝑛 − 1 [ ] 𝑖 ∗ (1 + 𝑖)𝑛 EJEMPLO 4. 126 . la persona podrá gozar de cierto nivel de jubilación mensual.000. 02)6 𝐴= ( 800.PREGUNTA Se va a calcular A UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA La incógnita se encuentra ubicada en los períodos uno al seis. Al valor del electrodoméstico se le resta el pago de la cuota inicial.000.000.000 C.000= Una vez se tiene el VP se procede a reemplazar en la fórmula. ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN VP= 1. Al $1. PASOS: Para determinar la cuantía de las cuotas se calcula el saldo a financiar. la cuota inicial y se reemplaza en la fórmula para calcular A. REEMPLAZO EN LA FÓRMULA 𝐴 = 800.820.000 ) 5.60143 A = $ 142.02 ∗ (1 + 0.64 127 .000= se le resta los $200.I = 200.02)6 − 1 [ ] 0.000 (1 + 0. se descuenta al valor de contado.820.000 n= 6 i= 2 % A =? PROCEDIMIENTO En este ejercicio.64 El valor de la cuota es de $142. 820.178526 A = $142. plazo 24 meses y va a efectuar un abono extraordinario en el mes doce por $1. y la fila donde esta N = 6 El factor es 5. Los factores y su uso para encontrar el VP y la A. se deben buscar los factores. i%. Al final del libro se presentan estas tablas. i%. se busca el factor que se encuentra en la tabla donde el interés es del 2 %. la tasa de interés es del 2% mes. que permitan calcular el VP cuando se tienen las anualidades o las anualidades cuando se conoce el VP. y en la fila donde N = 6 El factor es 0.5% mes. Usted compra a crédito una motocicleta cuyo precio de contado es de $5.000. n). las condiciones en la financiación fueron: el 20% como cuota inicial. Reemplazando las dos fórmulas anteriores. se busca en la columna A/P. EJEMPLOS: Se efectuarán los mismos ejemplos realizados con las fórmulas: Para el primer ejemplo.000*0. VP = 250.000 para cubrir en cinco meses. se busca la columna.000* 5.000. teniendo un valor presente. cuando se hace uso de las tablas. VP = $1. FORMA DE CÁLCULO MEDIANTE EL USO DE LAS TABLAS.000. P/A.357. que haciendo una mejor explicación. el factor se encuentra en la misma tabla donde el interés es del 2%.601431.601431.400. Y (A/P.7 Para el segundo ejemplo. se dice que teniendo una anualidad se va a calcular un VP.178526 A = 800.000. el costo del semestre en la universidad. Determine el valor de cada cuota si el interés de financiación es del 2. n) que se ilustra indicando que se va a calcular la A. Las denominaciones establecidas para estos dos factores son (P/A.EJERCICIOS DE PRÁCTICA Cuál es el valor que usted debe pagar mensualmente si le aprueban un crédito por $600.8 128 . presione FIN y después VDT. + (más) o .400.P.19 BII Para resolver problemas de anualidades vencidas utilizando la calculadora HP. Los pasos para desarrollar los ejemplos 4.P. mientras que el dinero pagado se ingresa o se presenta en pantalla como un valor negativo. El menú VDT (Valor del Dinero en el Tiempo) se utiliza para resolver problemas de interés compuesto y anualidades.PMT 250000 +/. 19 B II CASIO FC 200 TEXAS BA II FIN MODE 4 6N VDT SHIFT AC EXE AC 2 I/Y CLEAR DATA -250000 PMT 250000 +/. cuando se conoce que son anticipadas.72 129 .(menos). de acuerdo con la siguiente convención de signos: dinero recibido se ingresa o se presenta en pantalla como un valor positivo.357. En el menú primario aparece el elemento PAGO.2 son los siguientes: CÁLCULO DEL VALOR PRESENTE H. Este almacena o calcula la anualidad o pago periódico. se utiliza el menú BGN el cual se activa como segunda función de MODE. Recuerde que al utilizar el menú VDT es necesario que las cantidades monetarias sean ingresadas con el signo adecuado.1 y 4. para lo cual se digita SHIFT MODE.APLICACIÓN CON LA CALCULADORA H. se deben seguir los siguientes pasos: Si está situado en el menú principal (MAIN). Es importante conocer si se está trabajando con anualidades vencidas o anticipadas. En el menú secundario se muestra el elemento FINAL.PAGO 2 i% CPT PV 2% IA 6n 6N COMP PV EXE VA El valor del electrodoméstico es de $1. CASIO FC 200 Para efectuar cálculos con anualidades en la Casio Fc 200 se requiere de la tecla PMT. el cual se utiliza para el cálculo de anualidades vencidas u ordinarias. solamente se le va a modificar el interés.5% Nper 6 Pago 250.CÁLCULO DE LA ANUALIDAD Para calcular el valor de la cuota del ejercicio modelo.P. 19 B II FIN VDT CLEAR DATA 800000 +/.VA 2% IA 6N PAGO CASIO FC 200 MODE 4 SHIFT AC EXE AC -800000 PMT 2 i% 6n COMP PMT EXE TEXAS BA II 6N 800000 +/. VALOR PRESENTE Los pasos en la hoja de cálculo son: FÓRMULAS INSERTAR FUNCIÓN FINANCIERAS VA(Devuelve el valor presente de una inversión) Tasa 2.64 APLICACIÓN EN EXCEL.820.000 Vf Tipo 130 . H. Para el desarrollo del ejercicio con Excel se le modificó la tasa al 2.PV 2 I/Y CPT PMT El Valor de la cuota es de $142.5% Mes. 031.031.34 CÁLCULO DE LA ANUALIDAD Los pasos a seguir en la hoja de cálculo es el siguiente: FÓRMULAS 131 .377.34 El precio de contado del electrodoméstico es de $1.Resultado: $1.377. número de Períodos y el valor actual (presente). INSERTAR FUNCIÓN FINANCIERAS PAGO Una vez en la función Pago se digita: Tasa de interés. 132 . llevados a una fecha posterior o a la fecha del último pago o retiro.000= 133 .97 VALOR FUTURO El valor futuro de una anualidad es la sumatoria de la serie de pagos o retiros uniformes. FLUJO DE CAJA V.0% mensual. A: Es el valor de cada cuota i: La tasa de interés de la serie.F 0 1 2 3 4 5 6 $120. EJEMPLO 4. n: Número de cuotas que conforman la serie. Al igual que en el caso anterior es utilizado por los fondos de pensiones para determinar el nivel de ahorro durante la vida laboral.3: Durante 6 meses se hacen depósitos por mes vencido de $ 120.El valor de la cuota con un interés del 2.5% mensual es de $145.239. en una institución de ahorro que paga un interés del 3. recordemos que se debe expresar de acuerdo al período.000 cada uno. Calcular la suma total acumulada al final del período. VF 0 1 2 3 4 5 6 FÓRMULA: (1 + 𝑖)𝑛 − 1 𝑉𝐹 = 𝐴 [ ] 𝑖 VF: Es la sumatoria de los pagos que conforman la serie llevados al momento del último pago. 468410. REEMPLAZO EN LA FÓRMULA (1 + 0.ANÁLISIS DEL EJERCICIO Se quiere determinar el total ahorrado en los seis meses con los intereses que ganaba este dinero.000* 6.468410= $776.03 VF = $776. El factor es 6.18 CÁLCULO CON LAS TABLAS FINANCIERAS Al igual que los casos anteriores. simplemente se reemplaza en la fórmula y se despeja el valor futuro.209. PREGUNTA Se va a calcular un VF UBICACIÓN INCÓGNITA La incógnita se encuentra ubicada en el mes seis (6). ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN n (meses) = 6 A = 120. Ejemplo: Para dar respuesta al ejemplo modelo.18 RESPUESTA El valor acumulado al final del 6 mes es de $776. en la columna de F/A. el factor se busca en la terminología (F/A. teniendo el monto de la anualidad se va a calcular el valor futuro.000 i mes = 3% VF =? PROCEDIMIENTO En este ejercicio.209.03)6 − 1 ] 𝑉𝐹 = 120. N). y en el renglón donde N= 6. se busca en la tabla donde el interés es del 3%.000 [ 0.209.2 134 . Se multiplica $ 120. i. 5 i% CPT FV 2.5%. 135 .5% IA 6n 6N COMP FV EXE VF El valor obtenido es de $766.5 I/Y 120000 +/. siendo para este caso. VF. APLICACIÓN EN EXCEL.528. Aquí se aplica el mismo procedimiento anterior pero se modifica la última función.PAGO 2. 19 B II CASIO FC 200 TEXAS BA II FIN MODE 4 6N VDT SHIFT AC EXE AC 120000 +/.4 es importante recordar que la tasa de interés es diferente.P.APLICACIÓN CON LA CALCULADORA Para la aplicación en la calculadora y en Excel se realiza el mismo ejercicio pero con la tasa del 2. H.PMT CLEAR DATA -120000 PMT 2. El procedimiento es muy similar solamente cambia en el último factor. y a partir de allí han transcurrido seis meses en los que retira mensualmente $400. su salario es de $1. CÁLCULO DE LA ANUALIDAD CON EL VALOR FUTURO Conociendo el valor futuro y queriendo determinar el monto del pago. Se aplica cuando teniendo un saldo se quiere determinar el valor ahorrado periódicamente. Determine el saldo de una cuenta de ahorro si usted durante los seis meses que estuvo laborando ahorró $600.000. si consigna periódicamente el 20% de su salario.528. se busca la anualidad. EJERCICIOS DE PRÁCTICA Cuál es el saldo que usted tiene en una cuenta de ahorros después de seis meses. se modifica la incógnita. FÓRMULA: 136 .La respuesta es la misma que se obtuvo con la calculadora financiera.000.4 es el saldo acumulado al final del sexto mes. o cuando se proyecta tener una suma en determinado tiempo cuál debe ser el ahorro periódico. $766.1% mes.000 mensuales.000 y la entidad financiera reconoce una tasa de interés del 2% mes. El interés que reconoce la institución financiera es del 1. FLUJO DE CAJA 900. se busca determinar el valor consignado en cada período porque se conoce el total ahorrado en los cuatro meses. UBICACIÓN INCÓGNITA Las consignaciones se hicieron en los períodos uno al cuatro.000 i (MES) = 1% n=4 A =? PROCEDIMIENTO El único procedimiento es reemplazar en la fórmula 𝐴 = 900.4: Su hermano ahorró una determinada cantidad igual de dinero mensualmente durante 4 meses en una entidad financiera que reconocía el 1% mensual. 98 RESPUESTA: Su hermano ha consignado mensualmente $221.000= cuánto es el valor de lo consignado en cada período.𝐴 = 𝑉𝐹 ∗ 𝑖 (1 + 𝑖)𝑛 − 1 EJEMPLO 4. si al finalizar el 4 mes su saldo es de $900. ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN: VF = $900.652.01 (1+0.98 137 .001)4 − 1 =>$221.000∗0.000 0 1 2 3 4 ANÁLISIS DEL EJERCICIO En este ejercicio.652. PREGUNTA La anualidad. Para obtener el resultado se procede a multiplicar el valor futuro por el factor.652. la fila correspondiente a N = 4.5 i% 4n COMP PMT EXE TEXAS BA II 900000 +/. entonces para buscar el factor se debe buscar la siguiente nomenclatura (A/F. Se busca en la tabla donde el interés es del 1%. N).9. obteniéndose 0. APLICACIÓN CON LA CALCULADORA FINANCIERA Recordemos que el ejercicio modelo se modifica en la tasa de interés para comparar sólo dos formas y mirar cómo se modifica la respuesta al cambiar la tasa. A = 900.000 * 0.246281 => $221. i %.APLICACIÓN CON LAS TABLAS FINANCIERAS Como la incógnita es A. la columna donde se encuentra (A/F).246281.652. 19 B II FIN VDT CLEAR DATA 900000 VF 1.P. Conociendo el valor futuro se requiere calcular A.5% IA 4N PAGO CASIO FC 200 MODE 4 SHIFT AC EXE AC 900000 FV 1.5 I/Y 4N CPT PMT El valor consignado mensualmente es de $220. El proceso es el siguiente: H.000= APLICACIÓN EN EXCEL Se utiliza la función PAGO.FV 1. 138 .9 Se obtuvo el mismo resultado de $221. 5% mensual.Al ser la tasa del 1. 139 . Cuánto debe ahorrar mensualmente si dentro de seis meses debe efectuar dicho pago.000= EJERCICIOS DE PRÁCTICA Si su padre requiere para pagar el semestre $700. su hermano ha consignado periódicamente $220.000. La entidad financiera le paga un interés del 15% anual mes vencido. con un interés del 2.000. sólo se procede a calcular el VP de las cuotas que faltan por cancelar. se la financiaron de la siguiente forma: 20% de cuota inicial y el saldo a 36 cuotas. Ella quiere que usted le ayude a calcular el valor de la deuda después de un año de pago cumplido.5% 140 .5% mensual. Para calcular el saldo. Un empleado cobra sus comisiones de venta semestralmente. ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN: VP = $4.000.000. pero antes se debe calcular la cuantía de las cuotas. EJEMPLO 4.5: Su mejor amiga adquirió una motocicleta cuyo precio de contado hace un año era de $5.000 12 24 36 1.000. se busca determinar el valor del saldo después de haber pagado doce cuotas del monto del crédito. FLUJO DE CAJA 5. descontadas por la misma tasa de interés. de ahí la necesidad de conocer en un momento dado el valor del saldo de la deuda.000. PREGUNTA Se busca determinar la anualidad y el saldo faltando dos años para finalizar el pago del crédito.000 ANÁLISIS DEL EJERCICIO En este ejercicio.000 determine el valor de las comisiones mensuales si la empresa reconoce un interés del 15% semestral.000. CÁLCULO DEL SALDO La anualidad ha sido el procedimiento de financiación con un alto índice de utilización. si al finalizar el primer semestre recibió $2.000 i (MES) = 2. UBICACIÓN INCÓGNITA Inicialmente es el valor de la cuota y después en el período doce. 3 [ (1+0. sería la siguiente: 141 .27.806.036.983. VP=169.025)24 −1 ] 0. CON UN VALOR PRESENTE La fórmula para el cálculo de n. o el número de cuotas en que se financia determinado crédito.3 Conociendo el monto de la cuota se procede a calcular el valor presente.000. CÁLCULO DEL NÚMERO DE CUOTAS Cuando se va a estimar el número de cuotas se hace referencia al número de consignaciones iguales realizadas para alcanzar determinado saldo.000 (1 + 0.n = 36 A =? SALDO12=? PROCEDIMIENTO El procedimiento inicial es reemplazar en la fórmula para calcular la anualidad cuando se conoce el valor presente.025(1+0.3 La cuota mensual que está pagando su amiga es de $169. Se reemplaza en la fórmula: 𝐴= 4.025 ∗ (1 + 0.806. Se reemplaza en la fórmula del cálculo del VP cuando se conoce la anualidad.806.025)36 − 1 [ ] 0.025)36 A = $169.27 El valor de la deuda faltando dos años para terminar de pagar el crédito es de $3.025)24 VP = $3.983. teniendo en cuenta que faltan por cancelar veinticuatro cuotas.036. 500.500.6: Determine el número de cuotas en que se financió un televisor cuyo valor de contado es de $2.000 0 1 2 3 n 250.000 142 . FLUJO DE CAJA $2.000 ANÁLISIS DEL EJERCICIO En este ejercicio se conoce el valor de contado del electrodoméstico y la cuantía de las cuotas mensuales. EJEMPLO 4.000 y el interés de financiación es del 3% mensual. PREGUNTA La incógnita es n UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA La incógnita está ubicada al final del flujo de caja.000 A = 250.500. lo importante es emplear el mismo logaritmo en el numerador como en el denominador. se requiere saber el tiempo de financiación.000= y no exigen cuota inicial. el monto de la cuota mensual es de $250. ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN VP = 2.1 𝑣𝑝 ∗ 𝑖 ] 1− 𝑎 𝐿𝑂𝐺 (1 + 𝑖) 𝐿𝑂𝐺 [ 𝑛= Es indiferente el tipo de logaritmo a utilizar. REEMPLAZO EN LA FÓRMULA 𝐿𝑂𝐺 [ 𝑛= 1 ] 2.PAGO N CASIO FC 200 MODE 4 SHIFT AC EXE AC 2500000 PV 3 i% -250000 PMT COMP n TEXAS BA II 2500000 PV 250000 +/.15490196 0. APLICACIÓN CON LA CALCULADORA FINANCIERA El proceso es el siguiente: H.000 ∗ 0.428571429 𝐿𝑂𝐺 1. 19 B II FIN VDT CLEAR DATA 2500000 VA 3% IA 250000 +/.03 1− 250.03 𝑛= 0.012837224 N = 12 RESPUESTA El período de financiación del televisor es de 12 meses. dado que no es muy práctico.500. NOTA: No se va a explicar con las tablas.000 𝐿𝑂𝐺 (1 + 0. porque se debe dar el factor para buscar n.03) 𝑛= 𝐿𝑂𝐺 1.i = 3% n=? PROCEDIMIENTO Para estos ejercicios el único procedimiento es reemplazar en la fórmula.PMT 3 I/Y CPT N La respuesta es al igual que en la fórmula 12 meses.P. 143 . es importante que cualquiera de las variables ya sea el valor presente o la cuota debe digitarse con signo negativo. se deja en blanco la de valor futuro.APLICACIÓN EN EXCEL Como la función a determinar es n. para el ejemplo se señalará la cuota. Tasa. Se asignan los diferentes valores. en Excel se conoce como NPER. 144 . para cada una de las variables. Va. Pago. FLUJO DE CAJA 6. y mensualmente puede ahorrar $600.000=. CON UN VALOR FUTURO Al igual que para el valor presente.El tiempo de financiación es de 12 meses. si el interés es del 2% mensual. Con fórmula: 𝑛= 𝑉𝐹 ∗ 𝑖 + 1] 𝐴 𝐿𝑂𝐺 (1 + 𝑖) 𝐿𝑂𝐺 [ EJEMPLO 4.000 145 .000. con la fórmula de valor futuro y anualidad.000 0 1 2 3 4 n 600. se despeja el valor de n.000.000. para este propósito en cuánto tiempo puede adquirirla.7: Si usted desea comprar una motocicleta cuyo valor durante este año es de $6. 2 𝐿𝑂𝐺 1. 146 .000 ∗ 0.000 i(mes) = 2% n(mes) = ? REEMPLAZO EN LA FÓRMULA 6.ANÁLISIS DEL EJERCICIO En este ejercicio se busca calcular en cuanto tiempo la persona puede reunir los recursos necesarios para adquirir la motocicleta.000.02 𝑛= 0.000 A = 600.000 𝑛= 𝐿𝑂𝐺 (1 + 0.2 meses.02 𝐿𝑂𝐺 ( + 1) 600.02) 𝑛= 𝐿𝑂𝐺 1. ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN: VF = 6.079181246 0.2 meses RESPUESTA Se demoraría en tener el dinero requerido para comprar la motocicleta 9.000. PREGUNTA La incógnita es n UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA La incógnita está ubicada al final del flujo de caja.00860017176 n = 9. 19 B II FIN VDT CLEAR DATA 6000000 VF 2% IA 600000 +/.2 meses. APLICACIÓN EN EXCEL Al igual que en el ejercicio anterior. y la cuota se digita con valor negativo.P. la función que permite conocer el número de períodos en la hoja electrónica es NPER.APLICACIÓN CON LA CALCULADORA FINANCIERA H. 147 . pero aquí se le asigna la cifra al valor futuro y no al valor actual.PAGO N CASIO FC 200 MODE 4 SHIFT AC EXE AC 6000000 FV 3 i% -600000 PMT COMP n TEXAS BA II 6000000 FV 600000 +/. pero ahora el valor dado es la cuota y el valor futuro.PMT 2 I/Y CPT N La incógnita sigue siendo N. Al valor actual se le digita cero. El número de períodos esperado es 9. 000.000.000. CÁLCULO DE LA TASA DE INTERÉS Para evaluar las opciones de financiación el factor determinante es la tasa de interés de las diferentes opciones.000. ¿Usted puede comprar el computador este año? Una entidad de servicio público financia una factura debido a que el suscriptor ante el alto consumo registrado en un período y su situación de iliquidez requiere de financiación.2% mes.El resultado obtenido es: para comprar la motocicleta debe esperar 9. y puede ahorrar $200. y se lo sostienen hasta el 31 de diciembre. Dado que el valor del recibo es de $5. en esta parte se aprenderá a conocer la tasa de interés cuando se conocen el monto de las cuotas. la tasa de financiación es del 30% anual mes vencido. si el dinero le renta el 1.000.000. Usted cuenta al iniciar el año con $1.500.000 cada mes.000 mensuales y como cuota inicial puede pagar $1.000. 148 .2 meses. EJERCICIOS DE PRÁCTICA Su proyecto para este año es comprar un computador portátil cuyo valor es de $3. en cuánto tiempo le deben diferir la deuda si la capacidad de pago máxima es de $500. el período de financiación y el valor presente o futuro. el número de cuotas financiadas y su cuantía.000. dado que se conoce el valor de contado del computador. Las variables serían las siguientes: FLUJO DE CAJA $2.850.000 A = $ 355. dado que es complejo despejar la variable i. calcular el interés de financiación.CUANDO SE TIENE UN VALOR PRESENTE Para estimar la tasa de interés mediante la fórmula no existe una forma directa.850 n(mes) = 6 i(mes) = ? REEMPLAZO EN LA FÓRMULA: La fórmula quedaría así: 149 .850 ANÁLISIS DEL EJERCICIO Se busca determinar el interés de financiación.8: Se financia un computador. por lo tanto se acude al método de interpolación.000= en 6 cuotas mensuales de $355.000= 0 1 2 3 4 5 6 355.000.000. ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN VP = $2. UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA Por ser el interés la incógnita está en el total del flujo de caja. cuyo valor de contado es de $2. el cual se explicará con el ejemplo modelo: EJEMPLO 4. PREGUNTA La incógnita es i. 86 Con el 2%.993.000=.000.86 )= ( ) 0.000. dado que a menor tasa de descuento el valor presente es mayor.000.86 Se procede a interpolar.000.006.993.850 ∗ ( ) 𝑖(1 + 𝑖)6 PROCEDIMIENTO: Se empiezan a probar diversas tasas hasta encontrar que el resultado de la fórmula con el valor asignado a i.792.269.8% y el 2% mensual. esto quiere decir que la tasa esperada está entre el 1. se debe bajar la tasa de interés para que suba. tanto los del interés como el valor absoluto: 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑀𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟é𝑠 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑀𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝐴𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜𝑠 (𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟é𝑠) = (𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑀𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝐴𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜𝑠) Aquí no se trabaja con porcentaje sino con decimales: ( 0.8% 2.269.006.18 − 2.000=.000 150 .000 = 355.993. multiplicado con $355.02 − 𝑋 1.993.02 − 0. su resultado este por encima de los $2.000 1.000= Cómo encontrar la tasa que permita el resultado exacto requiere de bastante tiempo.8% El resultado obtenido es $2.000. se obtiene un valor presente menor a $2. La forma más fácil de recordar siempre el método de interpolación es relacionar los rangos de ambos lados.18 X% 2.018 1.792.(1 + 𝑖)6 − 1 2.000= y otra que igualmente estando cerca su resultado este por debajo de los $2.000.000. para que mediante la interpolación se encuentre el valor exacto. Se va a iniciar la prueba con el 2%. y con el 1.792. entonces se busca una tasa que estando cerca.269.18 − 2.8% un valor superior.006.850 dé los $2.000.18 Como el resultado obtenido es inferior a $2. El resultado es de $1.269. Se va a experimentar con el 1. se plantea de la siguiente forma: 2% 1.000. Para realizar el cálculo con la calculadora financiera el proceso es muchísimo más ágil.002 = 2*(0.68 )= ( = 2 − 6.001 = 0.X 0.X) Pasa el dos como denominador de 0.001 X = 0.02. 19 B II FIN VDT CLEAR DATA 2000000 VP 355850 +/. el pago y el valor actual.( 0.019 RESPUESTA La tasa de financiación del computador es del 1. APLICACIÓN CON LA CALCULADORA FINANCIERA. 151 . sólo se le incluyen las variables de la siguiente forma: H.02 . = 0.9% mensual. uno de estos dos últimas cifras debe ir con signo negativo.730.001= 0.02−𝑋 0. en Excel se trabaja con la función TASA.002.02-0.9% mensual.82 ) Pasa el denominador (0.002 0.02 -X Se pasa X a sumar X + 0.523.PAGO 6N % IA CASIO FC 200 MODE 4 SHIFT AC EXE AC 6000000 PV -355850 PMT 6n COMP i% EXE TEXAS BA II 2000000 PV 355850 +/. Una vez en la función tasa se procede a incluir el número de períodos.P. APLICACIÓN EN EXCEL La incógnita es el interés.002 0.02−𝑋 − 13.02 Se despeja X X = 0.02-X) a multiplicar a 2 Queda así: 0.PMT 6N CPT I/Y El resultado obtenido debe ser el 1. Para calcular el interés cuando se conoce el monto de las cuotas y el valor futuro. (1+𝑖 )𝑛 −1 𝑉𝐹 = 𝐴 [ 𝑖 ] 152 . CUANDO SE TIENE UN VALOR FUTURO.Se confirma el resultado dado del 1.9% mes. se utiliza un procedimiento similar. simplemente se cambia la fórmula. 000 0 1 2 3 4 5 6 321. y a los seis meses puedo retirar de la cuenta $2.000 A = 321. dado que se conoce el valor ahorrado.000= 153 . está en el total del flujo de caja.000. PREGUNTA La incógnita es i.000.046 ANÁLISIS DEL EJERCICIO Se busca determinar el interés de financiación.046 ∗ [ 𝑖 PROCEDIMIENTO: Se empieza a probar diversas tasas para buscar que el resultado de la fórmula con el valor asignado a i. FLUJO DE CAJA 2.046 mensualmente.EJEMPLO 4. cuál es el valor de la tasa de interés que me reconoce la entidad financiera. UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA Por ser el interés la incógnita.046 de los $2.046 n=6 i=? SE REEMPLAZA EN LA FÓRMULA: (1 + 𝑖 )6 − 1 ] 2.000.000. ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN VF = 2.9: Si deposito $321. multiplicado con $321. el número de consignaciones y su cuantía.000 = 321.000.000. 197. se debe bajar la tasa de interés para que disminuya.02-X) a multiplicar a 1.02−𝑋 = 1.8 Con el 2%.000.197−2. entonces se busca una tasa que su resultado esté por encima de los $2.000. Como encontrar la tasa que permita el resultado exacto requiere de bastante tiempo.989 como denominador 154 .000.025.025.01 50.197 0. Recordando el método de interpolación.025. Como el resultado obtenido es superior a $2.01 0. para que mediante la interpolación se encuentre el valor exacto.01 ) 0.8 Se procede a interpolar.975.000. esto quiere decir que la tasa esperada está entre el 1 % y el 2% mensual.975. Se va a iniciar la prueba con el 2%.989 Quedando así: 0.000.079. y con el 1 % un monto inferior.989*(0.197 X% 2.975.197−1.000=.000 ) 0.02 − 𝑋 25.01 = 1.02−0. dado que a menor tasa de descuento el valor futuro es inferior.079.000= y otra que igualmente su resultado esté por debajo de los $2. relacionando los rangos de ambos lados.025.8 = ( 2.000=.117. Se va a experimentar con el 1 % El resultado obtenido es $1.02.000.000 1% 1.079.989 Pasa el denominador (0.X) Pasa el 1.000.2 = 0. tanto los del interés como el valor absoluto: 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑀𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟é𝑠 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑀𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝐴𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜𝑠 (𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟é𝑠) = (𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑀𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝐴𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜𝑠) Aquí no se trabaja con porcentaje sino con decimales: ( 0. se plantea de la siguiente forma: 2% 2.02−𝑋 2. El resultado es de $2. se obtiene un valor futuro mayor a $2. 02 .P.005 X = 0.X 0.01 1. APLICACIÓN CON LA CALCULADORA FINANCIERA.02 Se despeja X X = 0. 155 .5% mensual.02-0.005 = 0.005= 0. Para realizar el cálculo con la calculadora financiera el proceso se le incluyen las variables de la siguiente forma: H.989 = 0.5% mensual APLICACIÓN EN EXCEL La función que se va a utilizar es la función TASA.PMT 6N CPT I/Y El resultado obtenido debe ser el 1. 19 B II FIN VDT CLEAR DATA 2000000 VF 321046 +/.02 -X Se pasa X a sumar X + 0.PAGO 6N % IA CASIO FC 200 MODE 4 SHIFT AC EXE AC 2000000 PV -321046 PMT 6n COMP i% EXE TEXAS BA II 2000000 PV 321046 +/.0.015 La tasa de interés que paga la entidad financiera es del 1. 5% mensual.000. determine el interés cobrado si cada cuota equivale a $184.000. 156 . EJERCICIOS DE PRÁCTICA La matrícula en la universidad tiene un valor de $1.5.000. determine la rentabilidad de su ahorro si puede lograr el propósito consignando $673.194 mensualmente.597.El interés de financiación es del 1. Usted piensa salir de vacaciones al finalizar el año. durante todo el período.000. este viaje tiene un costo de $10. y se la financian en seis cuotas. 4.3.10: Determine el valor de un fondo cuyo propósito es el de pagar el arriendo mensual de un local por 4 meses. VP 0 1 2 3 4 5 6 A La fórmula quedaría de la siguiente forma: (1 + 𝑖)𝑛 − 1 ] 𝑃 = 𝐴(1 + 𝑖) [ 𝑖(1 + 𝑖)𝑛 EJEMPLO 4.000 ANÁLISIS DEL EJERCICIO Se busca determinar el valor que se debe disponer para cubrir los cuatro meses de arriendo. FLUJO DE CAJA VP 0 1 2 3 4 200. En el gráfico del flujo de caja la diferencia radica en el momento del pago.000. ANUALIDADES ANTICIPADAS VALOR PRESENTE La fórmula para calcular el valor presente de una anualidad anticipada es igual a la vencida pero multiplicándola por (1+ i). las cuotas son anticipadas y el interés es del 2% mensual. cuyo costo mensual es de $200. PREGUNTA 157 . 19 B II Para el cálculo del valor presente el proceso es similar. CASIO FC 200 Recordemos que para las anualidades anticipadas.02) [0.02(1+0.65 RESPUESTA Para cubrir el canon de arrendamiento en los 4 meses.000 n=4 i=2% VP = PROCEDIMIENTO Se reemplaza en la fórmula. REEMPLAZO EN LA FÓRMULA: (1+0.P. El resultado obtenido es el mismo expuesto anteriormente $776.776. ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN A = 200.776.La incógnita es el VP UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA Está ubicada en el período cero (0). sólo se agrega después del comando CLEAR DATA. se debe digitar el comando BGN la cual aparece como segunda función del comando MODE. el fondo debe tener $776.02)4] P = 776.65 158 . el comando 1 PGOS/AÑO: MODO INIC. En la pantalla debe aparecer la palabra BGN.000(1 + 0.02)4−1 𝑃 = 200.776.65 APLICACIÓN CON LA CALCULADORA H. por esto sólo se mostrará el segundo cuadro donde se le asigna 1 a la función tipo. Se confirma el valor del fondo de $776. 𝑨= 𝑽𝑷 (𝟏 + 𝒊)𝒏 − 𝟏 (𝟏 + 𝒊) [ ] 𝒊(𝟏 + 𝒊)𝒏 EJEMPLO 4. se financia en 6 cuotas mensuales a una tasa del 2.APLICACIÓN EN EXCEL El comando para utilizar es el mismo VA. cuyo precio es de $600.5% mensual.000. las cuotas son anticipadas. se despeja en la fórmula indicada para el cálculo del valor presente. determine el valor de las cuotas. el valor de A.11: Se compra un electrodoméstico. 159 .777 CÁLCULO DE LA ANUALIDAD CONOCIENDO EL VALOR PRESENTE. Para calcular la cuantía de la cuota. 025) [ ] 0. ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN VP = 600.025(1 + 0.000 n=6 i = 2.000 0 1 2 3 4 5 6 A=? ANÁLISIS DEL EJERCICIO Se busca determinar el valor de las cuotas.000 (1 + 0. APLICACIÓN CON LA CALCULADORA FINANCIERA El procedimiento es el siguiente: 160 . PREGUNTA La incógnita es A UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA Está ubicada en el período de la transacción.273. dado que se conoce el precio de contado del electrodoméstico.$600.5% A= ? PROCEDIMIENTO Se reemplaza en la fórmula REEMPLAZO EN LA FÓRMULA: A= 600.025)6 RESPUESTA: El valor de cada una de las cuotas para adquirir el electrodoméstico es de $106.025)6 − 1 (1 + 0. el tiempo de financiación y la tasa de interés. MODO INIC 600000 VA 2.273 EJERCICIOS DE PRÁCTICA Se toma en arriendo un local comercial.000.5 I/Y CPT PMT 2nd BGN 2nd SET 2nd QUIT CPT PMT El resultado es de $106. Usted arrienda un apartamento y estos ingresos los dedica para la financiación del estudio de su hijo. la tasa de interés del 2% mes. la única diferencia cuando la anualidad es vencida.000. por esto sólo se presenta el segundo cuadro. está en la función tipo.5i% 6n COMP PV EXE TEXAS BA II 600000 +/. dado la imposibilidad de conseguir codeudores se tomó la decisión de cancelar un semestre por anticipado.H.5%IA 6N PAGO CASIO FC 200 MODE 4 SHIFT AC EXE AC En pantalla BGN 600000 PV 2. durante el primer 161 .PV 6N 2.P. determine el canon del arriendo mensual si el valor del pago por el semestre fue de $6.273. APLICACIÓN EN EXCEL Aquí se trabaja con la función pago. 19 B II FIN VDT CLEAR DATA 1 PGOS/AÑO. si el apartamento lleva arrendado 18 meses. El resultado obtenido al igual que con los otros métodos el valor es de $106. 2% mes. 0 1 2 3 En este flujo de caja el valor de n es 3. por ser anualidad anticipada. a pesar de que el último pago se ubica en el período 2. PREGUNTA La incógnita es VF. ¿De cuánto dinero puede disponer? 0 1 2 3 4 5 6 400. cuánto tiene ahorrado a la fecha.000 mensuales. porque esté en el flujo de caja ya no está sobre la última anualidad sino un período después. dado que se conoce el valor consignado mensualmente y el número de cuotas.000 ANÁLISIS DEL EJERCICIO Se busca determinar el monto ahorrado en el mes seis (6).5% mensual. e igualmente en la fórmula se le adiciona a la fórmula de anualidad vencida la multiplicación por (1+ i). VALOR FUTURO DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADA. El valor futuro de una anualidad anticipada difiere con el de la vencida. 162 .año el canon de arrendamiento era de $350. FÓRMULA (𝟏 + 𝒊)𝒏 − 𝟏 ] (𝟏 + 𝒊) 𝑭 = 𝑨[ 𝒊 EJEMPLO 4.000 y a partir del año aumentó en el 6%. y consigna su ingreso en una cuenta de ahorros en una entidad financiera que le paga un interés del 1. si la entidad financiera reconoce el 2. si su propósito es ahorrar para disfrutar de unas vacaciones dentro de 6 meses.12 : Usted arrienda su apartamento en $400. pero el valor futuro de esta anualidad está en el período 3. P.67 APLICACIÓN CON LA CALCULADORA FINANCIERA El procedimiento es el siguiente: H.197.529. ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN Se le asignan los valores a las variables: A = 400.5% VF =? PROCEDIMIENTO Se reemplaza en la fórmula de VF.5i% 4n COMP PV EXE TEXAS BA II 400000 +/. MODO INIC 400000 +/.PMT 6N 1.67 RESPUESTA Para disfrutar de sus vacaciones usted puede disponer de $2.000 n=6 i = 1.529.529.015)6 − 1 ] ∗ (1 + 0.67 APLICACIÓN EN EXCEL La función que se utiliza es la de VF 163 .197.UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA Por ser el VF la incógnita está en el mes seis (6).PAGO 1.5%IA 4N VF CASIO FC 200 MODE 4 SHIFT AC EXE AC En pantalla BGN -400000 PMT 1. 19 B II FIN VDT CLEAR DATA 1 PGOS/AÑO.015) F = 400.5 I/Y CPT FV 2nd BGN 2nd SET 2nd QUIT CPT FV El resultado es de $2.000 ∗ [ 0.197.015 VF = 2. REEMPLAZO EN LA FÓRMULA (1 + 0. 197.000.67 CÁLCULO DE LA ANUALIDAD CUANDO SE CONOCE EL VALOR FUTURO Para el cálculo de la anualidad sólo se realiza el despeje de la fórmula y el procedimiento es el siguiente: 𝑨= 𝑽𝑭 (𝟏 + 𝒊)𝒏 − 𝟏 (𝟏 + 𝒊) [ ] 𝒊 EJEMPLO 4.529. si al finalizar el año disponía de $8. determine la cuantía que recibía mensualmente por el arriendo si el interés era del 9% trimestral mes vencido.000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 164 .13: Se arrendó un apartamento por un año. el dueño del apartamento ahorraba mensualmente el valor del arriendo. 8.000.000.Se confirma el resultado de $2. 000. se tengan $8.ANÁLISIS DEL EJERCICIO Se busca determinar el valor consignado mensualmente para que en el mes doce (12). UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA La incógnita es el valor de cada una de las consignaciones.03)12 − 1 (1 + 0. ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN Se le asignan los valores a las variables: A =? n = 12 i = 3% VF = 8.000.000.278 RESPUESTA El valor del arriendo mensual es de $547.000 (1 + 0.000 PROCEDIMIENTO Se reemplaza en la fórmula de cálculo de la anualidad anticipada si se conoce el valor futuro. PREGUNTA La incógnita es A.03 A = 547.000.03) [ ] 0. 165 .278. CÁLCULO DEL SALDO El cálculo del saldo no es más que determinar el valor presente de las cuotas que faltan por pagar. REEMPLAZO EN LA FÓRMULA A= 8. PREGUNTA La incógnita es n UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA Está ubicada en el final del flujo de caja.14: Un crédito de $3. al igual que con las vencidas. $3.DETERMINACIÓN DEL VALOR DE n Cuando se va a estimar el número de cuotas. basados en la fórmula de cálculo de valor presente cuando la anualidad es anticipada. se hace referencia al número de consignaciones iguales realizadas para alcanzar determinado saldo. dado que se conoce el monto del préstamo. o el número de cuotas en que se financia el crédito.000. el valor de cada cuota y la tasa de interés.498 ANÁLISIS DEL EJERCICIO Se busca determinar el número de cuotas del crédito.000 166 . si el interés es del 2%. sería la siguiente: Se despeja el valor de n.000.498. 𝟏 ] 𝒑∗𝒊 𝟏− 𝒂(𝟏 + 𝒊) 𝒍𝒐𝒈(𝟏 + 𝒊) 𝒍𝒐𝒈 [ 𝒏= EJEMPLO 4.000 se financia con cuotas anticipadas de $401. TENIENDO UN VALOR PRESENTE La fórmula para el cálculo de n. cuál es el número de cuotas que se deben cancelar.000 0 1 2 3 4 N 401.000. ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN VP = 3. P.A = 401.PMT 2 I/Y CPT N 2nd BGN 2nd SET 2nd QUIT CPT N El resultado obtenido es de 8 cuotas.02 RESPUESTA El crédito se financió a 8 meses. se le asigna el valor de 1.02) 𝐿𝑂𝐺 1.02) 𝑙𝑜𝑔(1 + 0. 19 B II FIN VDT CLEAR DATA 1 PGOS/AÑO. APLICACIÓN EN EXCEL La función utilizada es NPER.498 i = 2% n=? PROCEDIMIENTO Se reemplaza en la fórmula 𝑙𝑜𝑔 [ 𝑛= 𝑛= 1 ] 3. MODO INIC 3000000 VA 2%IA 401498 +/-PAGO N CASIO FC 200 MODE 4 SHIFT AC EXE AC En pantalla BGN -3000000 PV 2i% -401498 PMT COMP n EXE TEXAS BA II 3000000 PV 401498 +/. la diferencia fundamental está en el submenú tipo.498(1 + 0. 167 .171660087 𝐿𝑂𝐺 1. por ser anualidades anticipadas.02 1− 401.000 ∗ 0.000. APLICACIÓN CON LA CALCULADORA El procedimiento es el siguiente: H. si su pago fue de $2.000 y la mensualidad de $300.000.000. el interés es del 9% trimestral.El tiempo de financiación es de 8 meses. dada su imposibilidad de viajar permanentemente toma la decisión de abonar anticipadamente la pensión a la institución.000. si la matrícula tiene un valor de $400.000. EJERCICIOS DE PRÁCTICA Un inversionista del sector inmobiliario dedica el 30% de sus ingresos para la construcción de un nuevo edificio. Un padre de familia decide enviar a estudiar a su hijo a otra ciudad. cuánto tiempo requiere para la terminación de este si el proyecto tiene un valor de $300. para cuánto tiempo le alcanza.000.000 y a su vez el recibe mensualmente $80. La rentabilidad de su dinero es del 30% anual. TENIENDO UN VALOR FUTURO CÁLCULO DEL NÚMERO DE PERÍODOS La fórmula para despejar el valor de n es la siguiente: 𝑉𝐹 ∗ 𝑖 +1] 𝐴(1 + 𝑖) 𝐿𝑂𝐺 (1 + 𝑖) 𝐿𝑂𝐺 [ 𝑛= 168 .000. dado que se conoce el valor que se quiere ahorrar.000 ∗ 0.5% 0 1 2 3 4 n 250.006466 n = 17.000.15: Cuantas consignaciones mensuales anticipadas de $250. la cuantía de cada consignación y la tasa de interés que reconoce la entidad financiera.39 consignaciones.11245971 ==> 17. RESPUESTA 169 .000 VF = 5.000 ANÁLISIS DEL EJERCICIO Se busca determinar el número de cuotas del crédito. PREGUNTA La incógnita es n UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA Está ubicada en el final del flujo de caja. si la entidad financiera me reconoce un interés mensual del 1.000. ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN A = 250.EJEMPLO 4.015) 𝐿𝑂𝐺 (1 + 0.000= debo efectuar a partir de hoy para poder reunir $5.000.000(1 + 0.000 i = 1.000.015) 0.5% n =? PROCEDIMIENTO Se reemplaza en la fórmula 𝐿𝑂𝐺 [ 𝑛= 𝑛= 5.015 +1] 250.39 0. APLICACIÓN CON LA CALCULADORA El procedimiento es el siguiente: H.PAGO 5000000 FV 1.5i% -250000 PMT COMP n EXE TEXAS BA II 250000 +/.5%IA 250000 +/-PAGO N CASIO FC 200 MODE 4 SHIFT AC EXE AC En pantalla BGN -5000000 FV 1.000=. MODO INIC 5000000 VF 1.39 consignaciones de $250. para poder reunir los $5. El número de consignaciones que debo realizar es de 17.39 170 .P.000.000.Debería efectuar 17. 19 B II FIN VDT CLEAR DATA 1 PGOS/AÑO.5 I/Y CPT N 2nd BGN 2nd SET 2nd QUIT CPT N APLICACIÓN EN EXCEL En Excel se aplica la función NPER. PREGUNTA La incógnita es i. $5. y luego la interpolación.000 A = 664.690 ANÁLISIS DEL EJERCICIO Se busca determinar el interés de financiación. dado que se conoce el monto del crédito. UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA Por ser el interés la incógnita está en el total del flujo de caja. el número de cuotas a pagar y su valor.000.690.690 n=8 i =? Se reemplaza en la fórmula: (1 + 𝑖)𝑛 − 1 ] 𝑉𝑃 = 𝐴(1 + 𝑖) [ 𝑖(1 + 𝑖)𝑛 171 .000.000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 664.000 a 8 meses con cuotas mensuales anticipadas de $664. Con el siguiente ejemplo se explica la manera: EJEMPLO 4. ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN VP = 5.16: Determinar el interés de financiación de un crédito de $5.CÁLCULO DE LA TASA DE INTERES Para determinar la tasa de interés se utiliza el procedimiento de prueba y error.000. 5% y el 2% mensual.456.02 − 0.557.015 4.050.02 − 𝑋 4. por debajo de los $5.000.966.456.690(1 + 𝑖) [ (1+𝑖)8 −1 𝑖(1+𝑖)8 ] PROCEDIMIENTO: Se empiezan a probar diversas tasas buscando que el resultado de la fórmula con el valor asignado a i.050.09 = 2.000 = 664. dado que a menor tasa de descuento el valor presente es mayor.5% El resultado obtenido es $5.899.02−𝑋 0. entonces se busca una tasa que estando cerca. su resultado esté por encima de los $5.000=. La forma más fácil de recordar siempre el método de interpolación es relacionar los rangos de ambos lados.74 X% 5.5% una cifra superior.74 − 5.000= y otra que también cerca.02 − 𝑋 −33.557.690 de los $5.09 ]=[ ] 0.000.000.05 0.000.83 Con el 2%.557.5 Quedando así: 0. se obtiene un valor presente menor a $5.000.000. se debe bajar la tasa de interés para que suba.005 = 2. esto quiere decir que la tasa esperada está entre el 1.74 − 5.557. Se va a experimentar con el 1.000.000 1.966.83 ]=[ ] 0.02-X) a multiplicar a 2.966. multiplicado con $664.443. para que mediante la interpolación se encuentre el valor exacto. y con el 1. El resultado es de $4.74 Como el resultado obtenido es inferior a $5. se plantea de la siguiente forma: 2% 4.000=. Se va a iniciar la prueba con el 2%. tanto los del interés como el valor absoluto: [ 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜𝑀𝑎𝑦𝑜𝑟𝑑𝑒𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑒𝑠 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜𝑀𝑎𝑦𝑜𝑟𝑑𝑒𝑙𝑜𝑠𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠𝐴𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜𝑠 ]=[ ] 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜𝑀𝑒𝑛𝑜𝑟𝑑𝑒𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑒𝑠 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜𝑀𝑒𝑛𝑜𝑟𝑑𝑒𝑙𝑜𝑠𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠𝐴𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜𝑠 [ 0.005 −83.000.5% 5.000.456.000 [ 0.5 Pasa el denominador (0.83 Se procede a interpolar.5.966.050.X) 172 .02.000= Como encontrar la tasa que permita el resultado exacto requiere de bastante tiempo.508*(0. 02-0.P.02 Se despeja X X = 0.02 .02 -X Se pasa X a sumar X + 0.798% mensual.001993= 0.001993 X = 0. 19 B II FIN VDT CLEAR DATA 1 PGOS/AÑO.002 = 0.01798 La tasa de financiación del computador es del 1. 173 .05 2.Pasa el 2.X 0. APLICACIÓN CON LA CALCULADORA FINANCIERA El procedimiento es el siguiente: H.508 = 0.PMT 8N CPT I/Y 2nd BGN 2nd SET 2nd QUIT CPT I/Y La tasa de financiación es 1. APLICACIÓN EN EXCEL.5 como denominador de 0. 0.798% mes.005. MODO INIC 5000000 VA 8N 664690 +/-PAGO %IA CASIO FC 200 MODE 4 SHIFT AC EXE AC En pantalla BGN 5000000 FV 8n -664690 PMT COMP i% EXE TEXAS BA II 5000000 PV 664690 +/. 17: Determine la tasa de interés mensual que paga una entidad financiera si al consignar mensualmente el canon del arriendo de su apartamento de $502. PREGUNTA La incógnita es i.000. ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN 174 .300. el número de cuotas consignadas y su valor. dado que se conoce el saldo de lo ahorrado crédito.7989% mes EJEMPLO 4.La tasa de interés es de 1. 0 1 2 3 4 5 6 502.268=. si al finalizar el 6 mes. el saldo es de $3. UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA Por ser el interés la incógnita está en el total del flujo de caja.268 ANÁLISIS DEL EJERCICIO Se busca determinar el interés de financiación. 346. El resultado obtenido es de $3. se explora con el 3%. se plantea de la siguiente forma: 2. Se va a iniciar la prueba con el 2%.300.341.300.734. El resultado es de $3.64.5 % El resultado obtenido es $3. se obtiene un valor futuro menor a $3.000.268 dé los $3.55 Con el 2.000=. Se va a experimentar con el 2. dado que a mayor tasa de descuento el valor futuro es superior.000 3% 3.64 X% 3.300.268 n=6 i= REEMPLAZO EN LA FÓRMULA: (1 + 𝑖 )𝑛 − 1 [ ] (1 + 𝑖) 𝑉𝑃 = 𝐴 𝑖 (1 + 𝑖 )6 − 1 ] (1 + 𝑖) 3.000. y con el 3 % un valor superior.300.000=.268 [ 𝑖 PROCEDIMIENTO: Se empieza a probar diversas tasas para buscar que el resultado de la fórmula con el valor asignado a i.346.5%.000= Como encontrar la tasa que permita el resultado exacto requiere de bastante tiempo.000 A = 502. multiplicado con $502.55 Se procede a interpolar.000= y otra que igualmente esté cerca por debajo de los $3.5% 3. Como el resultado obtenido es inferior a $3. entonces se busca una tasa que esté cerca.300.341. para que mediante la interpolación se encuentre el valor exacto.231.564.VF = 3.300. se debe subir la tasa de interés para que suba el valor futuro. por encima de los $3.288.5 % y el 3% mensual.000 = 502.300.288. esto quiere decir que la tasa esperada está entre el 2. 175 .300.64 Como el resultado sigue siendo inferior a 3.300.564. 00098961332 = 0.36 0.025 Se despeja X X = 0.03 3.X) Pasa el 5.0.025 − 𝑋 −11.052478453 = 0. MODO INIC 3300000 VA 6N 502268 +/-PAGO %IA CASIO FC 200 MODE 4 SHIFT AC EXE AC En pantalla BGN 3300000 PV 6n -502268 PMT COMP i% EXE TEXAS BA II 3300000 FV 502268 +/. 19 B II FIN VDT CLEAR DATA 1 PGOS/AÑO.025-X) a multiplicar a 5.052478453 Pasa el denominador (0.346.025 − 𝑋 3.025 − 0. APLICACIÓN CON LA CALCULADORA FINANCIERA.005 5.000 −0. 176 .59% mes.55 ]=[ ] 0.025−𝑋 = 5.025+0. se relacionan los rangos de ambos lados.5986% mensual.005 0. −0.288.X -0.052478453 como denominador de -0.025 -X Se pasa X a sumar X .288. tanto los del interés como el valor absoluto: [ 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜𝑀𝑎𝑦𝑜𝑟𝑑𝑒𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑒𝑠 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜𝑀𝑎𝑦𝑜𝑟𝑑𝑒𝑙𝑜𝑠𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠𝐴𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜𝑠 ]=[ ] 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜𝑀𝑒𝑛𝑜𝑟𝑑𝑒𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑒𝑠 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜𝑀𝑒𝑛𝑜𝑟𝑑𝑒𝑙𝑜𝑠𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠𝐴𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜𝑠 Aquí no se trabaja con porcentaje sino con decimales: [ 0.025.564.Con el método de interpolación.025986 La tasa de interés que paga la entidad financiera es del 2.005.005 −57.00098961332 = 0.005 = 5.776.64 − 3.300.052478453 Quedan así: -0.P.00098961332 X = 0.564.435.052478453 *(0.PMT 6N CPT I/Y 2nd BGN 2nd SET 2nd QUIT CPT I/Y La tasa de financiación es 2.64 − 3.91 = 0. El procedimiento es el siguiente: H.341.025 . Usted como rector de un colegio organiza un portafolio de inversión con el propósito de comprar un vehículo para el transporte escolar con el dinero que ahorra mensualmente por este mismo concepto. Se calcula con la función TASA El resultado se aproxima a 2.000. Si durante diez meses.000.000 y logró su propósito a pesar de que el costo del vehículo fue de $60.500.6% mensual. EJERCICIOS DE PRÁCTICA Determine la tasa de interés que gana una institución educativa durante todo el período académico en una entidad financiera. periódicamente aumentó su inversión en $5.000.000.000. si consigna sus excedentes mensuales de las pensiones por un valor de $5. 177 .APLICACIÓN EN EXCEL.000 mensuales y al final de año cuenta en su saldo con $72. determine el rendimiento de su dinero. la tasa de interés reconocida por la entidad financiera. la anualidad diferida tiene como característica que la serie uniforme comienza unos períodos después de concretarse la transacción. 178 . FLUJO DE CAJA: VP 0 1 2 3 4 5 6 7 8 A ANÁLISIS DEL EJERCICIO Se busca determinar el importe de contado de la lavadora.4.4 ANUALIDAD DIFERIDA: VALOR PRESENTE Como se había enunciado en la definición. el interés de financiación es del 2% mensual. se aplica inicialmente la fórmula del valor presente de una anualidad y luego se lleva al momento de la transacción con la fórmula de valor futuro a presente. para el cálculo del valor presente.000 mensuales. PREGUNTA La incógnita es el VP UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA Está ubicada en el período cero (0). pero el vendedor acepta que la primera cuota se pague en el tercer mes. con el sistema de financiación y el momento del pago de la primera cuota. GRÁFICO: VP 0 1 2 3 4 5 6 A EJEMPLO 4. por lo tanto.18: Determine el precio de contado de una lavadora que se financia en seis cuotas de $300. 000 [ ] 0.26 (1.000.02)2 VP0 = 1.615.ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN A = 300.15. se aplica la fórmula normal de una anualidad para calcular el valor futuro. El interés que gana periódicamente es del 1. Este el número de cuotas en que se financió la lavadora.680.615. FLUJO DE CAJA: 179 . EJEMPLO 4.26 VP0 = Con el valor presente en el período 2 se pasa al período cero (0).02)6 − 1 𝑉𝑃2 = 300.02(1 + 0.176.p= 2. Este es el número de meses transcurridos entre el momento que se realiza la transacción y el inicio del pago de la primera cuota.429. VALOR FUTURO: Para el cálculo del valor futuro. 1.02)6 VP2 = 1.2% mensual.000 n anualidad = 6 .429.15 RESPUESTA El valor de contado de la lavadora es de $1.19: Determine la cuantía ahorrada por un trabajador que logró un contrato de prestación de servicios durante 8 meses. n v.680.176. i=2% VP = REEMPLAZO EN LA FÓRMULA: (1 + 𝑖)𝑛 − 1 ] 𝑉𝑃 = 𝐴 [ 𝑖(1 + 𝑖)𝑛 (1 + 0. dado sus deudas sólo comenzó a consignar en la cuenta a partir del mes cuatro la suma de $600. PREGUNTA La incógnita es el VF UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA Está ubicada en el período ocho (8).869. conociendo la cuantía consignada mensualmente.072. i = 1.000 VF8 = 3.2 [ (1+0.012)5−1 0.2 180 . Este el número de cuotas que consigna.012 ] RESPUESTA: El trabajador con esta orden de prestación de servicio durante ocho meses pudo ahorrar para el tiempo que va a estar desempleado $3.869.000 ANÁLISIS DEL EJERCICIO Se busca determinar el valor ahorrado en el mes ocho. ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN A = 600.072.000 n anualidad = 5 .VP 0 1 2 3 4 5 6 7 VF 8 600.2 % VF = PROCEDIMIENTO Se calcula el valor futuro en el período ocho REEMPLAZO EN LA FÓRMULA: 𝑉𝐹 = 𝐴 [ (1 + 𝑖)𝑛 − 1 ] 𝑖 VF8 = 600. 000. se determina mediante la siguiente fórmula: 181 . El interés de financiación es del 2% mes. 4. y solicita que el saldo se lo difieran en nueve cuotas pero la primera a partir del mes tres. se ajustan a obras de infraestructura. Su representación gráfica es como sigue: P 0 1 2 N 3 A Para el estudio de la anualidad perpetua también debe clasificarse en vencida y anticipada.200. ANUALIDAD PERPETUA VENCIDA VALOR PRESENTE Para calcular el valor presente de una anualidad perpetua vencida.000.000. paga como cuota inicial el 30%. ANUALIDAD PERPETUA Se llama perpetua a una anualidad cuyo pago se inicia en una fecha fija y continúa para siempre.EJERCICIOS DE PRÁCTICA Una vivienda de interés social tiene un costo de $20. Determine el valor de cada cuota. Para este tipo de anualidad no existe el valor futuro y solo existe el valor presente. tales como carreteras. determine el valor de las cuotas de financiación para un crédito a 36 meses si el comprador de lo único que dispone en el momento es de $1. entre otras. En la práctica las situaciones que se ajustan a anualidades perpetuas. el beneficiario solicita que se le empiecen a cobrar las cuotas a partir del mes cuatro.5. Usted va a realizar un curso de inglés cuyo precio es de $3.000. Al considerar el caso de una anualidad perpetua cuyos pagos tienen un valor $A y una tasa de interés i % por período. no existe un pago último. es decir.000. como interés de financiación le cobran el 2. puentes.000 de ahorro programado y del subsidio que da el gobierno por un valor de $7.000.2% mes. 000 ANÁLISIS DEL EJERCICIO Conociendo los recursos que periódicamente se requieren indefinidamente.000.000.000 500.000 anuales.000. se busca el valor del fondo que gane los intereses suficientes para que éste se sostenga.000.000 i (año) = 20% VP = PROCEDIMIENTO: Se reemplaza en la fórmula VP = 100.000. UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA La incógnita está ubicada en el período cero (0).000 0. de cuánto debe ser el valor de un fondo para cubrir el mantenimiento si el interés que reconoce la entidad financiera es del 20% anual.20: Para el mantenimiento de una carretera se requiere de 100.2 RESPUESTA 182 .𝑃= 𝐴 𝑖 EJEMPLO 4. PREGUNTA La incógnita es el VP. FLUJO DE CAJA VP 0 1 2 3 N 4 100. ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN A = 100. 000. para que al desembolsar $100. PREGUNTA La incógnita es A. UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA La incógnita está ubicada en todo el flujo de caja. ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN VP = 100.000. ANUALIDAD Para el cálculo de la anualidad.000 anuales tenga vida a perpetuidad.000= para que se jubile.000 0 1 2 3 N 4 A ANÁLISIS DEL EJERCICIO Conociendo el valor inicial del fondo.000.000 i (mes) = 1.000. se despeja de la fórmula enunciada anteriormente.000. A = VP * i EJEMPLO 4.2% A= PROCEDIMIENTO: Se reemplaza en la fórmula REEMPLAZO EN LA FÓRMULA 183 . 100. se busca el valor que se debe gastar mensualmente para que el fondo se mantenga.21: Usted le regaló a su padre $100.000.El fondo debe abrirse con $500. de cuánto puede disponer su padre mensualmente para mantener sus recursos si la entidad financiera le reconoce el 1.2% mensual. sin tener que trabajar más. 000 mensuales.22: Un inmueble requiere para su mantenimiento $400.200. 0 1 2 3 N 4 400. quedando de la siguiente forma: 𝑃 = 𝐴 + 𝐴 𝑖 EJEMPLO 4. cuánto deberá tener un fondo para cubrir este gasto si se deben hacer los trabajos al iniciar el mes.000= mensuales para no afectar el fondo. PREGUNTA La incógnita es el VP. el interés es del 1.000 ANÁLISIS DEL EJERCICIO Conociendo el valor del gasto mensual. ANUALIDAD PERPETUA ANTICIPADA VALOR PRESENTE Cuando la anualidad perpetua es anticipada.000 * 0.200. UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA La incógnita está ubicada en el período cero (0).5% mensual.012 A = 1.000 RESPUESTA Su padre puede gastar $1. ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN A = 400.000 i (mes) = 1.5% VP = REEMPLAZO EN LA FÓRMULA: 184 . se busca el valor del fondo que gane los intereses suficientes para que se sostenga.000.A = 100. a la fórmula de vencida se le suma una anualidad. P = 400.066.000.015 P = 27.23: Determine el valor que mensualmente debe recibir un asilo a partir de este momento.066. el interés reconocido es del 1. se despeja A.666.000 185 .2% mensual. PREGUNTA La incógnita es A. y la condición con la fiduciaria es que este fondo debe permanecer a perpetuidad. UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA La incógnita está ubicada en todo el flujo de caja. se busca el valor que debe recibirse mensualmente para que el fondo se mantenga a perpetuidad. 0 1 2 3 4 N 5 A ANÁLISIS DEL EJERCICIO Conociendo la cifra inicial de la donación al asilo.67 El pago que me debe realizar el día de hoy por arrendar el inmueble a perpetuidad debe ser de $27.000. de la siguiente forma: 𝐴= 𝑃 1 [1 + ] 𝑖 EJEMPLO 4. ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN VP = 50. ANUALIDAD Para determinar el valor de la anualidad.67.000 + 400.666. dado que ha recibido una donación de $50.000 0.000. 000 a perpetuidad cual debe ser el valor a donar si el rendimiento de los dineros es del 1.i (mes) = 1. la tasa de interés. cuando varían las tasas de interés en el flujo de caja. es fundamental que el estudiante tenga claro donde termina una tasa de interés y a partir de que momento se 186 . si el donante desea que mensualmente esta institución reciba $100. En esta parte del capítulo.2% A =? REEMPLAZO EN LA FÓRMULA 𝐴= 50. entre estas. para que con sus rendimientos se efectúe el mantenimiento. Los cultivadores en una región agrícola se comprometen con el estado a costear el mantenimiento de una represa que les permita irrigar sus cultivos.6.885.37.1% mes. durante el tiempo que se realiza una transacción financiera. Los beneficiados del proyecto son 50 cultivadores y cada uno de ellos se comprometió a aportar por una vez a este fondo $3.000. FLUJO DE CAJA CON VARIAS TASAS DE INTERÉS En diversas situaciones.000 1 [1 + ] 0. 4.885.000.000.012 A = 592. vamos a aprender a calcular el valor presente o futuro o las anualidades. Determine el valor anual que se tendría si la rentabilidad que ganan estos dineros es del 18% anual. EJERCICIOS DE PRÁCTICA Un magnate antes de morir quiere dejar unos recursos para una fundación que se encarga de desarrollar programas para los niños afectados por la violencia en el mundo. si este les aporta el 50% del valor de la construcción.37 Al asilo la fiduciaria le debe entregar mensualmente $592.000. las variables económicas se van modificando. Como un principio para facilitar la comprensión en los ejercicios. PREGUNTA La incógnita es A.5% I mes (6-12) = 2 % n ( meses) = 12 187 .000 2.inicia la otra.000 I mes (0-6) = 2. se busca la cuantía de la cuota. EJEMPLO 4.000 5 6 7 8 9 10 11 12 A ANÁLISIS DEL EJERCICIO Con el precio de contado que se debe pagar por los equipos.24: Un reloj tiene un precio de $ 1. 1.5% mensual.000 y el distribuidor lo vende financiado con el siguiente plan: cuota inicial del 30% del valor de contado y el saldo a 12 cuotas mensuales iguales. el valor de la cuota inicial. durante los seis primeros meses y del 2% mensual de allí en adelante.000 CI = 450. Hallar el valor de las cuotas. necesariamente tiene que calcularse ya sea un valor presente o futuro.500. UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA Por ser A la incógnita. el número de cuotas a financiar y las tasas de interés del período. VP = 1.500. en este punto donde se modifica. Si la tasa de interés es del 2.500. esta está ubicada en cada uno de los períodos.5% 0 1 2 3 2% 4 450. ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN Se le da valor a las variables. 025) (1 + 0. entonces se va a calcular A. (1 + 0.5%.000 = 450. luego se lleva a cero con la tasa del 2.000 + A * 5. para definir cuál fórmula utilizar.500. se llevan a cero con el interés del 2.000 = 450. NOTA: Como existen dos tasas de interés.La incógnita es A. PROCEDIMIENTO: PLANTEAMIENTO DE LA ECUACIÓN Precio del reloj = Cuota inicial + valor presente de las doce cuotas. se debe realizar lo siguiente: PASOS: Las cuotas del rango de los períodos 0-6. se tiene valor presente. con la fórmula de valor presente y anualidad.025)6 [ ] + 0.85 188 . se toma el resultado como un futuro y se lleva a un presente.85 RESPUESTA El valor pagado mensualmente es de $101.830096302 Se va a despejar la fórmula 1.33822166 A = 101.025)6 Se resuelven las fórmulas.02)6 − 1 (1 −1 0.000 10.508125361+ A * 4. se analiza qué datos se tienen.500.000-450.000 = A * 10.500.02(1 + 0.564. se llevan primero a valor presente al mes 6 con la tasa del 2%. queda así: 1. para llevar a valor presente.564.025(1 − 0.5% Las cuotas del rango de los meses 6-12.000 + 𝐴 [ ]+𝐴 6 0.33822166 𝐴= 1.02)6 1.050. en este caso. 40 X 9 12 15 18 5.000 ANÁLISIS DEL EJERCICIO Conociendo el valor trimestral que se debe pagar por los equipos.000. X 0 3 6 0. en el momento El cuenta con $400. Determinar el precio de contado si se sabe que en la financiación se pactó un interés del 3% mensual. y usted se compromete a regalarle $100. La universidad está promocionando una especialización en el área administrativa.000 mensuales en una entidad financiera que le reconoce el 15% anual y su padre le deposita $2 por cada peso que usted ahorre en otro banco que paga un interés del 12% anual ¿Podrá usted completar el valor de la matrícula? EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPÍTULO EJEMPLO 4.000 y el plazo para registrarse es de seis meses. PREGUNTA 189 . y el porcentaje de cuota inicial.000 mensuales por un año.000.000.000= cada uno.2% mes.EJERCICIOS DE PRÁCTICA: Su hijo le solicita que le colabore en su propósito de reunir fondos para comprar un computador. usted empezó a ahorrar $200. se busca el precio de contado. el valor de la matrícula es de $4.000.25: Una empresa debe comprar nuevos equipos para modernizar su maquinaria y las condiciones son: Cuota inicial del 40% del precio de contado y el resto en seis pagos trimestrales de $5. determine la cantidad de que dispone el joven al final del año si durante los seis primeros meses de su ahorro su dinero rentaba al 1% mensual y los siguientes seis al 1. 092727)6 − 1 ] 0.000=) traído a valor presente al mes cero. Resolviendo la segunda parte de la ecuación se tiene: El valor presente en el período cero de la financiación es de $22.000 i (Trim) = 9.000 [ (1 + 0.395. 𝑋 = 0.La incógnita es VP.03)3 .000.395.000.092727)6 El valor de X (valor de contado) es igual a la cuota inicial (40% del valor de contado) más el valor financiado (6 cuotas de $10. quedando la ecuación así: X = 0.1 9.248.2727 trimestral.4X + 22.4𝑋 + 5. El precio de contado = cuota inicial + anualidades traídas a valor presente.000.2727 %.248. UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA La incógnita está ubicada en el período cero (0). Interés trimestre = (1. n (Trim) = 6 VP = X PROCEDIMIENTO PLANTEAMIENTO DE LA ECUACIÓN Como la incógnita está en el VP.4𝑋 + 𝐴 [ (1 + 𝑖)𝑛 − 1 ] 𝑖(1 + 𝑖)𝑛 𝑋 = 0. entonces la ecuación se plantearía de la siguiente manera.42. ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN Como los períodos son trimestrales y el interés es mensual éste se debe pasar a trimestral.42 para calcular el valor de contado se despeja el valor de X 190 . este es el punto de referencia.092727(1 + 0. Entonces: A = 5. 6 Se hace la operación. el procedimiento es dividir el 24% entre 12 meses. en una entidad que paga un interés del 24% anual capitalizado mensualmente.42 𝑋= 22.000 durante el primer semestre. 24/12 = 2% mensual Se asignan valores a las variables: 191 .42 0. resultado $37.395.000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 50. UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA Por ser VF la incógnita. se pasa a mensual.6X = 22.080.000 ANÁLISIS DEL EJERCICIO Conociendo el monto ahorrado mensualmente en los seis primeros meses.248. Hallar el saldo en la cuenta de ahorros al finalizar el año. a partir del segundo semestre empieza a retirar $ 30. Saldo 30. ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN Dado que la tasa está dada como anual nominal mes vencida.26: Usted ahorra mensualmente $ 50.4X = 22. la tasa de interés del período.42 0.000 por mes vencido. PREGUNTA La incógnita es VF.0.395. el valor de los retiros mensuales en los seis meses siguientes.659 EJEMPLO 4.X .248.080.659 RESPUESTA El importe de contado de los nuevos equipos es de $37. está ubicada en el mes doce (12). dando como resultado el 2%.248.395. se busca la cuantía del saldo al finalizar el año. PLANTEAMIENTO DE LA ECUACIÓN SALDOMES 12 = CONSIGNADOLLEVADO AL MES DOCE .38 El valor de lo consignado en el mes doce es de $355.RETIRADOLLEVADO AL MES DOCE SALDOMES 12 = 50.243.02 ] 189. esto indica que se utilizara la fórmula de anualidades y valor futuro.F = PROCEDIMIENTO Como la pregunta es el saldo en el mes doce.02)6 −1 0.198.000 V.243.i (mes) = 2% n (meses) = 12 A ingresos (0-6) = 50. VF12 = 30.000 [ (1+0.000 [ (1+0.198.406* (1. SALDO = 355.02)6 −1 0. 75 RESPUESTA 192 . los retiros.000 [ (1+0.02)6 – 30.02 ] *(1.189.63 El monto de los retiros en el mes doce es de $189.02 ] PASOS Se lleva el valor de las consignaciones al mes seis. VF6 = 50.02)6 355.38.406 El saldo de las consignaciones en el mes seis es de 315. 954. la incógnita es un valor futuro.02 ] 315.243.38 .02)6 −1 0.198. entonces se lleva al mes doce. para conocer el saldo solo se requiere restar al valor de lo consignado. VF12 = 315. con la fórmula de VF y VP. ahora se lleva al mes doce el valor de los retiros.02)6 −1 0.000 A egresos (6-12) = 30.63 SALDO = 165.406.63.000 [ (1+0. 000. si la tasa de interés que se cobra por la financiación es de 30 % anual. ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN Al analizar el ejercicio se observa que los períodos son trimestrales.954. IETRIMESTRE = (1+0. pero la primera cuota la paga en el mes seis. el número de pagos trimestrales.000 0 1 Trimestres 2 3 9.000 4 5 6 7 8 9 A ANÁLISIS DEL EJERCICIO Conocido el precio del automóvil.000 ITRIMESTRE = 6.27: Un automóvil tiene un precio de contado de $30. y la tasa de interés del período. VP = 30.75 EJEMPLO 4.000.Al finalizar el año. se busca el valor de las cuotas.779% n=8 193 . hay que calcular la efectiva trimestral.3)1/4 . está ubicada en cada uno de los trimestres.000.000.779% Se asignan los valores a las variables. UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA Por ser A la incógnita. PREGUNTA La incógnita es A. el valor de la cuota inicial. 30. Hallar el monto de las cuotas. como la tasa dada es una efectiva anual. usted puede disponer en la cuenta de ahorros de $165.000. por lo tanto el interés debe ser trimestral.000 puede adquirirse con una cuota inicial del 30% del valor de contado y el resto financiado en 8 cuotas trimestrales iguales.1 IETRIMESTRE = 6.000 CI = 9. 22.28: Un electrodoméstico tiene un precio de contado de $ 1. teniendo en cuenta que el valor presente de una anualidad está ubicado un período antes de la primera anualidad.06779)8 (1+0.000. y se tiene como valor presente el importe del automóvil.000 + A [ (1+0.200. dado que la primera cuota se paga en el 2 trimestre.000 * (1.130.000 y puede adquirirse financiado con el siguiente plan: Cuota inicial: $ 350.723. se utiliza la fórmula de anualidad y valor presente.423.000.022778377 A = 3.423. PROCEDIMIENTO PLANTEAMIENTO DE LA ECUACIÓN Valor del automóvil = cuota inicial + cuotas llevadas al período cero. se debe llevar al período cero.130.A= Como la incógnita es A.06779)8 0. el valor presente de las cuotas. doce cuotas mensuales iguales. 52 EJEMPLO 4.000 Se lleva al primer trimestre. 30.000.000 = 9.06779) Una vez se establece el valor financiado.590 = A ( (1.423.52 RESPUESTA El valor de cada cuota es de $3.000.723.06779)8 ) 22. Hallar el valor de las cuotas.006779 (1+0. si el interés de financiación es el 2.06779)8 ] PASOS Se determina el saldo que se va a financiar.000 en los meses tres y seis. 194 .06779)8 −1 0. V/R FINANCIAR = 21.000.590 se procede a calcular el valor de la cuota. y 2 abonos extraordinarios de $200.06779(1. el cual es de $21. o sea 22.590 = A * 6.2% mensual. y el número de cuotas.000 CI = 350.022)3 -1 6. UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA Por ser A la incógnita. como punto de referencia está el valor de contado del electrodoméstico. la tasa de interés del período.$1. se busca la cuantía de las doce cuotas ordinarias. el monto de los abonos extraordinarios. Valor de cada una de las cuotas ordinarias. al que se le tiene que descontar el pago de la cuota inicial y los abonos extraordinarios llevados al período cero.000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 350.2% A= PROCEDIMIENTO La incógnita es A.7462 % 195 . el valor de la cuota inicial. Los abonos extraordinarios se pueden llevar a VP en el momento cero como anualidad. dado que estos abonos se hacen en dos trimestres.000 I mes = 2.000 MES5 = 200.000 ABONOS EXTRAORDINARIOS MES3 = 200.000 A 200. se calcula la tasa de interés trimestral.000 ANÁLISIS DEL EJERCICIO Conocido el precio del electrodoméstico. está ubicada en cada uno de los doce meses.200. PREGUNTA La incógnita es A. ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN Se asignan los valores a las variables: VP = 1.200. I trimestre = (1. 022)12−1 ( 0.022)12 ) PASOS Se resta la cuota inicial al precio del electrodoméstico.06746) ) ( 2 +𝐴 (1+0.61 Conocido el valor a financiar.000 + A ( (1+0. EJEMPLO 4.000 .629.61 = A (1+0.38 El valor presente de los abonos extraordinarios es de $362.022)12 0. en una cuenta de ahorros que paga un interés del 1.000 ( (1+0.000 = 350000 + 200.06746)2 ) VP abonos ext = 362. para definir el saldo a financiar.4466 A = 46.000.629.06746(1. 487. se le debe restar los abonos extraordinarios en el momento cero.56 RESPUESTA El valor a pagar mensualmente en la financiación del electrodoméstico es de $46.38 El valor presente de los abonos extraordinarios se le descuenta a los 850.000.56. VP abonos ext = 200.120.022)12 ) 487.879.879.06746)2 −1 0.022(1.120.06746)2 −1 0. para saber el monto inicial a financiar. dando como resultado 850.120.022(1.29 Usted consigue un contrato de un año y se propone ahorrar mensualmente $600.000 al mes.879. ahora se determina la cuantía de la anualidad.61 = A x 10.8% mensual.000 Para determinar el valor de la cuota. si usted demora 6 196 . a los 850.06746(1.PLANTEAMIENTO DE LA ECUACIÓN Valor del electrodoméstico = Cuota inicial + VP0 de los abonos extraordinarios + VP0 de las doce cuotas.38 VALOR A FINANCIAR = 487. 1. VALOR A FINANCIAR = 850.362.200. 018 )=𝐴 ( (1+0. PROCEDIMIENTO PLANTEAMIENTO DE LA ECUACIÓN VF12 de los 600.meses en volver a conseguir trabajo. ¿cuánto puede ser su gasto mensual.018)2 −1 600. para calcular la cuantía de las cuotas. y allí se toma este valor como un presente. PREGUNTA La incógnita es A. ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN Se asigna valor a las variables: AAHORRO = 600. para que le alcance lo ahorrado? A 0 6 12 13 14 15 16 17 18 600. para poderlos cubrir con lo ahorrado durante el año. el tiempo que efectuó las consignaciones y la tasa de interés del período. se busca el valor que puede gastar la persona cada mes para cubrir los seis meses sin recibir ingresos.000 ahorrados mensualmente = VP12 de los gastos durante los 6 meses (1+0.018)6 −1 0.018)6 ) PASOS Se lleva a valor futuro en 12 las cuotas ahorradas 197 .000 ANÁLISIS DEL EJERCICIO Conocido el valor del ahorro mensual.000 I MES = 1. Se debe llevar al mes 12 lo ahorrado. está ubicada en cada uno de los meses del trece al dieciocho.018(1+0.000 ( 0. UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA Para este ejercicio la incógnita A.8% AGASTO = La incógnita está en el gasto mensual que debe realizar en los seis meses. 000 ( 0.018 ) VF12 = 7. se propone refinanciarlo en 12 cuotas mensuales iguales.30: Ante el vencimiento de una obligación dentro de 30 días de $20.8% mes 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 198 . Este crédito tenía un interés del 34. disponibles para gastarlos en los seis meses que no tiene acceso al mercado laboral.000= y la incapacidad para pagarlos.000.957. el banco le aprueba pero el interés varía al 2.24 mensualmente.351 = A (1+0.(1+0.000.018)12 −1 VF12 = 600.49% anual.018)6 −1 0. Se solicita refinanciar el crédito que además tiene otro cumplimiento en el mes seis por 15.018(1+0.019.957.018)6 ) 7.49% Anual 0 1 2 3 4 6 5 $15.351 = A* 5.411.639434775 A = 1. ( 7.000.351 El total ahorrado es de $7.000.8% mensual.019. VENCIMIENTO ACTUAL i=34. EJEMPLO 4.000 $20.957.24 RESPUESTA Usted durante los seis meses que no tiene trabajo puede gastar $1.000 PROPUESTA DE REFINANCIACIÓN i=2. determine el valor de las cuotas.000.411. Ahora se procede a calcular el valor del gasto mensual.957.351. 025) (1.446. está ubicada en cada uno de los meses en el flujo de caja de la refinanciación.07389772 A = 3. es importante recordar que la tasa de interés es mayor.028)12 −1 0. PREGUNTA La incógnita es A.863.648.025)6 VP = 32.220.446.36 RESPUESTA El valor de cada cuota que debe pagar por la refinanciación es de $3.028)12 ) 32.000 )+( ) (1. UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA Para este ejercicio la incógnita A. el primer paso es calcular el valor presente de la deuda actual. para calcular la cuantía de las cuotas de la refinanciación.11 Conociendo el monto de la deuda. es decir.000. 𝑉𝑃 = ( 20.648. PROCEDIMIENTO Para determinar la cuantía de las nuevas cuotas. VALOR DEUDA = VALOR PRESENTE DE LOS CUMPLIMIENTOS Como la tasa está efectiva anual. traer a valor presente los cumplimientos del mes uno y seis.000.648. 32.5% Ahora se procede a calcular el VP para conocer el total de la deuda.863.000 15.ANÁLISIS DEL EJERCICIO Conociendo el valor y el momento de los pagos del compromiso inicial.11= A * 10. se procede a calcular el valor de las cuotas. se pasa a mensual imes = (1+0.446.3449)1/12 -1 imes = 2.36 199 . se debe totalizar la deuda.028(1.11 = A ( 1.220. 000 i1 AÑO = 1. para esa fecha usted aspira a tener ahorrados 12. se calcula el valor de las cuotas mensuales.5% mes i2 AÑO = 1. se utiliza la fórmula de VF y anualidades.8%. y las tasas que paga en cada uno de los años. o sea que para este caso se calcula el valor futuro de la anualidad del período donde está la primer tasa.EJEMPLO 4.31: Su hijo comenzará estudios universitarios dentro de tres años.5% 24 1.000. y de allí al mes 36 con la tasa del 2%. Como varían las tasas de interés. pero el punto de referencia es el saldo al finalizar el tercer año. en el momento que cambian se toma como un puerto donde debes llegar para tomar el otro camino.000=.000. 12.5% mensual durante el primer año. UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA Para este ejercicio la incógnita A. ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN Se asigna valor a las variables VF = 12. con este propósito se quiere averiguar cuánto deberá ahorrar mensualmente durante los tres años en una cooperativa que paga un interés del 1. está ubicada en cada uno de los meses del flujo de caja.8% 36 2% ANÁLISIS DEL EJERCICIO Conociendo la cifra a la que se quiere llegar dentro de tres años. 200 . 1.000.000 12 1.8% mensual en el segundo y 2% mensual en el tercer año. a partir de allí se toma como un presente se lleva al mes 24 con la tasa del 1. PREGUNTA La incógnita es A.8% mes i3 AÑO = 2% mes n total = 36 PROCEDIMIENTO Como el interrogante está en el valor de las cuotas. la primera anualidad.48770599 + A* 16.015)12−1 𝐴( 0.000.595.018)12 (1 + 0.41208973. 201 . las cuotas del tercer año. Se busca el factor para las cuotas correspondientes al segundo año.81974196.000 A = 236.71953768 = 12. Se determina el factor para las cuotas del tercer año.81974196 + A * 13. Se suman los tres factores.02)12 + 𝐴 ( ) (1 + 0.018)12 − 1 ) (1 + 0.02)12 −1 𝐴( 0. o sea que el valor de las cuotas del primer año se deben multiplicar por esta cifra para llegar al mes 36.02)12 + El primer factor es 20.015 ) (1 + 0.018 ) (1 + 0.000= debe consignar mensualmente $236.000. (1+0. con el cual se lleva a futuro en el período 36.000 0.000.018)12 (1 + 0. el monto de las cuotas del segundo año.PLANTEAMIENTO DE LA ECUACIÓN Valor Futuro del Ahorro mensual = Saldo disponible en el mes 36 𝐴( (1 + 0.000.018)12−1 0. (1+0.02)12 − 1 ) = 12.015)12 − 1 (1 + 0.02)12 0.595.02 ) El factor es 13.015 0.48770599. para determinar el valor de A A* 20.02)12 El segundo factor es 16.21 RESPUESTA Para que usted pueda reunir los $12. 𝐴( (1+0.018 + 𝐴( (1 + 0.02 PASOS El primer paso es calcular el factor que permite llevar al mes 12.41208973 = 12.000 A * 50.21. se multiplica por el factor obtenido para saber su valor futuro en el mes 36. 5% mensual. el saldo a sesenta meses con cuotas mensuales iguales y un interés del 2. y el valor de las cuotas (A).32: Pedro Pérez compra un microbús. es financiado de la siguiente forma: Cuota inicial 30% del valor de contado.5% X 10 0. UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA Para este ejercicio la incógnita A. Pero se tiene la información necesaria para calcular en primera instancia el valor de las cuotas y después el importe del vehículo.30X 20 30 $30. Su valor en sí (X).000 ANÁLISIS DEL EJERCICIO Este ejercicio busca determinar el precio del microbús.EJEMPLO 4. 202 . la del pago mensual A. ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN Se asigna valores a las variables: i mes = 2.5% mes. Determine el precio de contado del microbús. PREGUNTA Este ejercicio presenta dos incógnitas. Después de 30 meses de estar pagando las cuotas.000. con el interés del 2.000 (a esa fecha). está ubicada en cada uno de los meses del flujo de caja. y el VP de todo el flujo. decide pagar el saldo de la deuda que era de $ 30.5% N financiación = 60 X = Valor microbús A = Valor cuotas PROCEDIMIENTO Este ejercicio es bien interesante porque tenemos dos incógnitas para calcular el importe del microbús. y el VP en el momento cero.000. i=2. conociendo el porcentaje de cuota inicial y el valor presente de treinta cuotas iguales de financiación. PLANTEAMIENTO DE LA ECUACIÓN Precio del vehículo = Cuota inicial + 30 cuotas canceladas llevadas a valor presente + 30.000.000 llevados a valor presente en el período cero. (1 + 0,025)30 − 1 30.000.000 𝑋 = 0,3𝑋 + 𝐴 [ ]+ 30 0,025(1 + 0,025) (1,025)30 PASOS Antes de reemplazar en la ecuación, se debe calcular el valor de A. Este se puede estimar, dado que se sabe que faltaban 30 cuotas y que el valor presente es de 30.000.000, entonces se procede a despejar A. (1 + 0,025)30 − 1 ] 30.000.000 = 𝐴 [ 0,025(1 + 0,025)30 30.000.000 = A * 20,93029259 A = 1.433.329,22 La cuantía de las cuotas es de 1.433.329,22, esta cifra permite calcular el valor presente de las cuotas pagadas hasta el momento, si se verifica que se está en la mitad del período de financiación, entonces el valor presente de la cuotas pagadas en el momento cero, es equivalente a 30.000.000, por lo tanto no hay necesidad de efectuar la operación, si no fuese así, simplemente se calcula el valor presente de las cuotas pagadas con la cuota, de $1.433.329,22 Se reemplaza en la ecuación X = 0,3X+ 30.000.000 + 30.000.000 (1,025)30 X - 0,3X = 44.302.280,56 X = 63.288.972,22 RESPUESTA El valor del microbús es de $63.288.972,22. 203 EJEMPLO 4.33: Usted planea realizar unas vacaciones en el exterior, va a ahorrar durante dos años. Mensualmente apropia $ 200.000; cada semestre de sus primas efectúa un ahorro adicional de $ 500.000. Determinar el valor disponible en el momento que desea tomar las vacaciones, si el interés que renta su dinero es del 1,5% mensual. FLUJO DE CAJA 0 6 12 18 24 200.000 500.000 ANÁLISIS DEL EJERCICIO Este ejercicio busca determinar el valor ahorrado durante dos años, habiendo efectuado consignaciones periódicas mensuales y extraordinarias semestrales, y conociendo la tasa de interés. PREGUNTA La incógnita es el VF. UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA El VF se debe calcular en el mes veinticuatro (24). ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN Se asigna valor a las variables: A mes = 200.000 A semestre = 500.000 n mes = 24 n semestre = 4 i mes = 1,5% i semestre = 9,3443% VF = 204 COMENTARIO El valor a calcular es el total ahorrado dentro de 2 años, por lo tanto la incógnita es el VF, existen dos anualidades, la mensual de $200.000 y la semestral de $500.000, por esto se calculó el interés del semestre. PROCEDIMIENTO PLANTEAMIENTO DE LA ECUACIÓN 𝑉𝐹= 200.000 [ (1 + 0,015)24 − 1 (1 + 0,093443)4 − 1 ] + 500.000 [ ] 0,015 0,093443 PASOS Se calcula el valor futuro de las anualidades VF = 5.726.704,16 + 2.298.201 Se suman las dos cantidades y se determina el total ahorrado. VF = 8.024.905,19 RESPUESTA El total ahorrado es de $8.024.905,19. 4.7 EJERCICIOS Estos ejercicios permitirán desarrollar las competencias necesarias para mi desempeño eficiente y eficaz. RECUERDE: La experiencia y la habilidad que desarrolle a través del estudio de las matemáticas financieras, contribuirán al éxito de mis desempeños como profesional en el manejo de las finanzas. ¿Se ha preguntado qué tan hábil es frente a la solución de problemas? Hágalo ahora y póngase aprueba, ¡desarrolle estos ejercicios cuidadosamente! Si tiene complicaciones, no se preocupe, aquí está su texto, él colaborará en sus respuestas. 1. Determine el precio de contado de una motocicleta que se financia de la siguiente forma: 205 Cuota inicial 30% del valor de contado, el saldo en12 cuotas mensuales de $400.000= cada una, el interés de financiación 20% anual. R: La motocicleta tiene un precio de contado de $6.168.636,25 2. Cuánto tendrá un ahorrador dentro de un año, si hoy consigna en una entidad financiera $500.000=, y mensualmente deposita $200.000=, el interés es del 3% bimestral. R: El ahorrador tendrá dentro de un año $3.203.651,93 3. Determine el valor de la consignación inicial de un ahorrador, si durante los primeros seis meses depositó en su cuenta de ahorros $300.000= mensuales y en los seis meses siguientes retiró $400.000= y su saldo en el mes doce es de $2.000.000=. La rentabilidad es del 24% anual bimestre vencido. R: La consignación inicial que hizo el ahorrador fue de $1.892.266,654. 4. Pedro deposita cierta cantidad de dinero, con el objeto de que estos recursos le puedan alcanzar para la vejez de su padre, las expectativas de vida del Padre de Pedro son 12 años, y sus gastos mensuales son de $600.000=, el interés de la entidad financiera son del 30% anual, determine la cantidad depositada inicialmente. R: Pedro debe depositar $25.978.786,86 para que su padre tenga durante doce años ingresos por $600.000. 5. Juan compró un taxi, mensualmente el carro le producía $900.000, y los gastos de mantenimiento y combustible son de $500.000=, determine la cantidad de dinero que dispone Juan al finalizar el semestre, si vende el carro en $27.000.000= y el interés es del 4% bimestral. R: Juan dispone de $29.522.007,94 después de vender el taxi. 6. Usted trabaja en una empresa durante 3 años, mensualmente ahorra el 10% de su sueldo, el primer año recibe mensualmente $800.000= y anualmente aumentó en el 12%.Cuánto tendrá ahorrado al finalizar el período si la rentabilidad de su ahorro es el 9% trimestral. R: Al finalizar los tres años usted tiene ahorrado $5.454.826,859 7. Un empleado consigna mensualmente el 20% de sus ingresos, siendo estos de $1.000.000=, labora durante un año y al momento de liquidar el contrato recibe una bonificación de $700.000=, durante cuánto tiempo le alcanzarán los ahorros si sus gastos mensuales son de $400.000=, el interés es 18% semestral mes vencido. R: Le alcanza al empleado a cubrir sus gastos por 10,43 meses 206 8. Si usted es un comerciante en finca raíz y compró un apartamento en $60.000.000=, y se demoró en venderlo 6 meses, los costos de servicios y administración son de $300.000=, lo vendió en 62.000.000=, perdió o ganó en el negocio y cuánto si el interés es del 1,8% mensual. R: En este negocio perdió $6.661.663,99, dado que para alcanzar la rentabilidad del 1,8% mensual debía haber vendido en $68.661.663,99. 9. Al cotizar las vacaciones de fin de año, estas tienen un valor de $6.000.000=, si ahorro mensualmente $400.000= y en el mes 6 y 12 ahorro adicionalmente $500.000= ¿Puedo disfrutar de ellas? ¿Cuánto sería el excedente para gastos varios, si el dinero me renta el 1,5% mes? R: Si puede disfrutar de sus vacaciones y tiene un excedente para gastos varios de $263.206,2. 10. Se va a sustituir una deuda cuyo convenio fue el siguiente: $500.000= dentro de 2 meses, $1.000.000= en el mes 6 y $1.500.000= en el mes 9, por 12 cuotas iguales a partir del próximo mes, el interés es del 18% semestral, defina el valor de las cuotas. R: El valor de cada cuota es de $247.212 11. Se compró un apartamento, la cuota inicial fue el 40% del valor de contado, el saldo se financió a 60 meses, si el valor de la cuota es de $480.000 mensuales, y el interés de financiación es del 1.8% mensual, determine el valor del apartamento. R: El valor del apartamento es de $29.205.643,3 12. Determine el valor de un crédito de fomento, cuyas condiciones fueron las siguientes: Período de gracia 6 meses (sin pago de intereses) plazo 36 meses, interés 1,5% mensual, Valor de la cuota trimestral $750.000=. R: El valor del crédito fue de $5.914.793,98 13. Calcular el valor de la cuota trimestral para un crédito de $12.000.000=a 60 meses si el interés de financiación es del 20% anual para los primeros 2 años, y el 12% semestral de ahí en adelante. R: $965.500,27 14. Si me financian un televisor cuyo valor de contado es de $2.000.000= a 24 meses, con cuotas de $109.000= mensuales, debo conocer el interés de financiación. R: 2,27% mensual es el interés de financiación del televisor. 15. Se compró un reloj que tiene un precio de contado de $1.200.000= y puede adquirirse financiado con el siguiente plan: Cuota inicial 30%, doce cuotas mensuales iguales, la primer cuota debe pagarse dentro de tres meses, y un último pago dentro de 18 meses 207 de $300.000=. Determine el valor de las cuotas si el interés es del 3,5% mensual en el primer año, y el 42% anual mes vencido en el siguiente período. R: El valor de cada cuota es de $75.215,46 16. Usted firmó dos pagarés, uno por $3.000.000= para dentro de seis meses y otro por $2.000.000= para dentro de un año, el interés de cada pagaré es del 28% anual. El banco le da la alternativa de pagar esta deuda en 24 cuotas mensuales, para el primer año la tasa es del 2,5% mensual y para el segundo es del 36% anual mes vencido. ¿Cuál es el valor de las cuotas? R: El valor de las cuotas es de $238.638,71 17. Una deuda de $10.000.000= de hoy debe financiarse a tres años con cuotas mensuales iguales y un interés del 24% anual capitalizado trimestralmente, durante el primer año, y del 36% anual mes vencido, durante los dos años siguientes. La primer cuota la paga en el mes seis. (29 cuotas) R: $518.233,9 18. Que cantidades iguales en los años uno, dos y tres, son equivalentes a una serie de pagos uniformes de $450.000= mensuales durante 24 meses, si el primero se realiza en el mes tres, el interés es del 9% semestral mes vencido. R: Los pagos que se deben realizar anualmente son de $4.125.011,68 19. Determine el valor ahorrado al finalizar un año, si consignaba $300.000 que recibía del arriendo de un apartamento, y pagó de impuesto al finalizar el mes de junio $400.000, el interés es del 1.3% mensual. R: El valor ahorrado al finalizar el año es de $3.436.655,39 20. Usted ahorra mensualmente $350.000, si al final del año, el saldo en su cuenta es de $4.000.000, usted efectúo un retiro o una consignación adicional en el mes de junio, dado que la entidad financiera reconoce un interés del 1.2% mes. R: Efectuó un retiro en el mes de Junio por $488.593,2 21. Si un padre de familia que lleva su hijo a otra ciudad para que realice sus estudios universitarios y decide pagar anticipadamente el canon del arriendo del semestre, determine el monto del pago si el alquiler de la habitación es de $250.000, y el mes se paga anticipadamente. La tasa de descuento es del 18% semestral. R: El padre de familia cancela anticipadamente $1.401.594,12 por los seis meses de arriendo. 208 357. R: Su hermano tendría que hacer un pequeño esfuerzo adicional porque con este plan requeriría 12. Con el ejercicio anterior si no puede adquirir el bien con esas condiciones.196. Su hermano piensa comprar un electrodoméstico cuyo valor de contado es de $6. si al finalizar el año el saldo es de $5.000.750. R: En este momento sólo tiene $15. Un ahorrador tiene como disciplina consignar mensualmente $200.63 24.000.000.877.000 mensuales y espera tener un saldo ahorrado durante el año de $1. y usted tiene esta disciplina desde hace quince meses.5% mes.000. R: El ahorrador efectúa depósitos trimestrales de $493.971. podrá adquirir el bien si el tiempo máximo de financiación son 12 meses y el interés es del 2.09 27.22. determine el porcentaje de sus ingresos que deberá consignar en la entidad financiera mensualmente. R: No podría adquirir el electrodoméstico.000. Su dinero renta una tasa del 15% anual. podrá comprarlo dentro de un año si el precio del carro se incrementa un 5% y su sueldo en un 10%?.000 y sólo puede disponer del 20% de sus ingresos para abonar a la deuda. cuánto tiempo requeriría para poder cumplir con la totalidad del pago.8 pero el carro ya tiene un valor de $36.91 esto quiere decir que su faltante es de $19. cuando le llega el recibo de descuentos y observa que este fue de $300.000.954% de sus ingresos 23. determine el valor ahorrado trimestralmente. Con base en el ejercicio anterior. en seis meses y un año puede hacer abonos extraordinarios de $900.000.000. R: No alcanza a comprarlo dado que sus ahorros llegan a $35.000 y trimestralmente hace depósitos adicionales iguales. le solicita a usted que vaya a reclamar a la entidad financiera y allí 209 . hoy tiene disponible $2. 26. R: Deberá ahorrar el 10. cuánto dinero le hace falta para comprar el carro de sus sueños si este tiene un precio de $35.000. la tasa de interés de financiación es del 2.200.000.5% mes. 25.028. Su padre compra con su tarjeta de Crédito los regalos de navidad por una cuantía de $2. si el ingreso mensual de el es de $1.200.686.642.000. Usted ahorra mensualmente el 30% de sus ingresos. Si usted gana 700. si el interés que gana es el 1.000. 28. si se le reconoce un interés del 8% trimestral.000. si sus ingresos mensuales son de $3.000.53 meses para pagar la totalidad de la deuda.5% mensual.000 y autoriza que le descuenten en 12 cuotas.000 en el mes. 975. usaron la tarjeta para otro servicio.2% y 2.000.000 cada una. Un comprador de lotería se ha ganado el premio mayor por un valor de $200. 18% y 16% anual respectivamente para cada año.367.000. si toma la decisión de pagar dos créditos que estaba pagando. realiza un aporte cuyo beneficiario recibirá a perpetuidad $300. La fundación del grupo económico más grande de Colombia. determine el dinero que le queda disponible. 210 . el saldo al finalizar un año en la cuenta es de $15.500. R: En tres años usted a ahorrado $11.25% mes respectivamente.37 29.180. en el segundo el saldo era de 15 cuotas de $1. Usted ingresó al sistema de ventas piramidales y mensualmente le ingresan $200. En el primer crédito le faltaban 6 cuotas de $2.000. Determine el dinero disponible al finalizar un año si usted invirtió sus recursos en dos fondos de inversión.000. es decir en total usted ha ahorrado $19.283.le informan que el mismo dia de las compras de navidad.524.000 cada una. ¿Cuál será el monto total de los recursos disponibles si los fondos han tenido una rentabilidad del 1.000. En un segundo fondo invierte mensualmente a partir del primer mes $500. determine el canon mensual en que estaban arrendados los apartamentos si la entidad financiera renta un interés del 15% anual.000 al iniciar el período y la misma suma en los meses tres.000 mensuales por la administración.000 mensuales.500.000. determine el valor del servicio.024. R: En el primer fondo tiene disponible $12. R: El servicio que se pagó con la tarjeta tuvo un valor de $1. es decir que le queda disponible $170. cual será el valor ahorrado en tres años.430. si la rentabilidad de su dinero fue del 15%.902. en el primero consignó $3. R: El valor que se recibe por el arriendo de los tres apartamentos es de $1.7.000.516 30.296.077. los intereses que debía pagar eran del 2.936.3% respectivamente. el valor de los arriendos debía consignarlos en una cuenta de ahorros una vez descontado $100. determine el valor de la donación si el dinero renta un interés del 12% anual mes vencido. (Recordemos que en los arriendos el pago es anticipado).23 33.3 32.097.000.329. de igual forma semestralmente recibe una bonificación de $300.994.36 mientras que en el segundo cuenta con $6. seis y nueve.71. R: El pago de los créditos le equivale a $29.175 31.1% y 1. Sus padres se fueron para el exterior y dejaron un administrador para que arrendara tres apartamentos. Determine en cuanto tiempo pago la motocicleta. ¿Cual sería su valor? R: El valor del que dispondría mensualmente es de $6.328.000 se financia a 36 meses con una tasa de 2 % mensual.000. paga el 20% de cuota inicial.000. si el interés es del 9% trimestral mes vencido. Se compra una motocicleta en $ 10. A partir de esta reflexión observe sus progresos y planee cómo superar sus debilidades. confrontándolos con sus respuestas en la solución de los ejercicios realizados. R: Las últimas seis cuotas tienen un valor de $284. el saldo en doce cuotas.R: La donación fue de $30. las seis primeras tienen un valor de $500.849. La fundación de investigación de la vacuna contra el SIDA ha recibido tres donaciones de diferentes artistas como apoyo para alcanzar la cura contra esta enfermedad. si. AUTOEVALUACIÓN Reflexione sobre lo aprendido y compare con los conocimientos expuestos en este capítulo.000 para que su duración sea a perpetuidad. R: el valor de la cuota es $ 392. 37. ¿Cuándo se determina el valor presente de una anualidad su cálculo se realiza en el momento del primer pago? 211 .526 y duraría 54 meses en pagar la motocicleta.000. El concepto de anualidad significa que los pagos o ingresos se efectúan anualmente. determine el valor de las siguientes seis cuotas iguales con las que termina de cancelar el bien. Un electrodoméstico tiene un importe de contado de $5.215.000. no y ¿por qué? Si los períodos de las anualidades son trimestrales en qué período se debe expresar la tasa de interés. si el aporte fue de $500.17 35.650. Si la fundación le solicita a la entidad financiera el pago anticipado.944. Determine el valor de la cuota Si trascurrido un año requiere refinanciar la deuda y esta es aprobada con la siguiente condición: solo puede cancelar periódicamente el 60% de la cuota que pagaba pero el interés de financiación sube al 2.2.000.092 36.000.000 34. con cuántos recursos cuenta mensualmente si rentan anualmente el 18% R: La fundación dispone mensualmente para sus gastos con esta donación de $6. PERÍODO DE GRACIA CON CUOTA REDUCIDA: Período en el cual sólo se pagan intereses y no se amortiza capital. DEVENGAR: Derecho que se adquiere que permite obtener una retribución por un servicio o el haber otorgado un crédito. con el compromiso de restituirlo en un futuro pagando una compensación (interés) por el uso del dinero. CRÉDITO: Obtención de recursos o bienes sin desembolsar inmediatamente la totalidad de su valor. ANUALIDAD INFINITA: Cuando los pagos uniformes tienen una duración indefinida. PERÍODO DE GRACIA MUERTO: Período donde hay ningún pago de intereses. ANUALIDAD VENCIDA: Cuando los pagos o ingresos se suceden al final de cada período. GLOSARIO ANUALIDAD: Conjunto de ingresos o pagos que se realizan en intervalos iguales de tiempo. RIESGO DE TASA DE INTERÉS: Es la posibilidad de que los cambios en la tasa de interés afecten su estabilidad financiera. 212 . pero éstos se capitalizan. ANUALIDAD DIFERIDA: Cuando el primer pago se efectúa después de transcurrido determinado número de períodos. En que momento se halla el valor futuro de una anualidad ¿este se calcula un período antes de la última anualidad? ¿Cuál es la diferencia entre la anualidad diferida y la perpetua? Para estimar los recursos para financiar el mantenimiento de una vía que tipo de anualidad se utiliza. ANUALIDAD ANTICIPADA: Cuando los pagos se realizan al principio de cada período. CUOTA INICIAL: Es el pago que se realiza en el momento de la compra de un activo cuando éste se adquiere financiado. PERÍODO DE GRACIA: Cuando la amortización de una deuda no se inicia desde el primer período. 𝐴 = 𝑉𝑃 (1 + 𝑖)𝑛 − 1 [ ] 𝑖 ∗ (1 + 𝑖)𝑛 Cálculo del valor futuro cuando se tiene una anualidad vencida. (1 + 𝑖)𝑛 − 1 ] 𝑃 = 𝐴(1 + 𝑖) [ 𝑖(1 + 𝑖)𝑛 Cálculo del valor presente cuando la anualidad es perpetua. (1 + 𝑖)𝑛 − 1 ] 𝑉𝐹 = 𝐴 [ 𝑖 Cálculo de la anualidad vencida cuando se tiene un valor futuro. (1 + 𝑖)𝑛 − 1 ] 𝑉𝑃 = [ 𝑖(1 + 𝑖)𝑛 Cálculo de la anualidad vencida conociendo el valor presente. 213 .FÓRMULAS: Cálculo del valor presente conociendo la anualidad vencida. 𝑉𝐹 ∗ 𝑖 𝐿𝑂𝐺 [ 𝐴 + 1] 𝑛= 𝐿𝑂𝐺 (1 + 𝑖) Cálculo del valor presente cuando la anualidad es anticipada. 𝐴 = 𝑉𝐹 ∗ 𝑖 (1 + 𝑖)𝑛 − 1 Determina el número de períodos cuando se conoce un valor presente y la anualidad vencida. 1 𝑣𝑝 ∗ 𝑖 ] 1− 𝑎 𝐿𝑂𝐺 (1 + 𝑖) 𝐿𝑂𝐺 [ 𝑛= Determina el número de períodos cuando se conoce un valor futuro y la anualidad vencida. 𝑃= 𝐴 𝑖 Cálculo del valor presente cuando la anualidad es perpetua y anticipada. 𝑃 =𝐴+ 𝐴 𝑖 214 . es muy importante explorar un nuevo sistema mediante el cual el valor de las cuotas va aumentando o disminuyendo por un valor o porcentaje uniforme.CAPÍTULO 5 GRADIENTES JUSTIFICACIÓN Al observar la realidad que vivimos día a día. Considerando como supuesto que los ingresos van aumentando por lo menos en el índice inflacionario. son fundamentales para el crecimiento de un país. 215 . MI OBJETIVO GENERAL Dominar la aplicación de los métodos y factores que inciden en los sistemas de financiación por cuotas que varían uniformemente. aplicándolo especialmente en la financiación de vivienda. los créditos personales para la adquisición de bienes y servicios con fines que van desde la simple subsistencia de las personas hasta la compra de materias primas para la producción de bienes y servicios como actividad económica de los individuos y de las empresas. Esta situación de la dinámica económica nos ha permitido considerar el pago de la deuda mediante cuotas iguales. Este procedimiento matemático busca facilitar el pago del crédito por parte de los usuarios. Después de aprender y experimentar con el método para calcular el pago de los créditos mediante cuotas iguales. se ha considerado tener en cuenta este indicador en las transacciones financieras. Resolvamos estos problemas y reflexionemos sobre los procedimientos y respuestas. la evaluación de entrada le permitirá autoevaluar los conocimientos y conceptos que ya posees para continuar su estudio en finanzas. Entre más ejercicios resuelvas más desarrollará su inteligencia. para un plazo de financiación de seis meses y con un interés del 2. y comprobemos de paso nuestra potencialidad para apropiar conocimientos.5% mes. Al identificar sus deficiencias podrá superarlas para poder iniciar el estudio de esta unidad. 1. 4.MIS OBJETIVOS ESPECÍFICOS Con el estudio y aprendizaje de los gradientes debo desarrollar competencias que posibiliten mi desempeño futuro en el campo financiero. Describir la diferencia existente entre una anualidad diferida y una perpetua. Dominar el cálculo del valor o porcentaje que varía periódicamente la cuota de pago de un préstamo. mostrar: el valor presente como un ingreso y la anualidad y el valor futuro como egresos. Después desarrollemos un plan de acción para mejorar el aprendizaje de las finanzas.000. y desarrollemos competencias para resolver problemas y tomar decisiones en el campo de las finanzas. Calcular el valor de la cuota de pago de un crédito de $1. Probemos nuestra propia capacidad. Establecer el valor de la primera cuota en una serie variable uniforme. La inteligencia se mide por la capacidad para resolver problemas. la anualidad y el valor futuro. Diagramar un flujo de caja y señalar la ubicación del valor presente. ¿QUÉ TAL LOS RESULTADOS DE LA EVALUACIÓN? 216 . para: Determinar el valor presente y futuro de una serie que crece o decrece uniformemente. 2.000. Definir en qué transacciones financieras se aplican las anualidades y cuáles son sus características. 3. Presentar las diferencias entre la ubicación del cálculo del valor presente y futuro de una anualidad respecto de la serie uniforme. 5. CONDUCTA DE ENTRADA Recordemos. ya sea un ingreso o un desembolso. ¿PARA QUÉ SIRVEN LOS GRADIENTES? Los gradientes son modelos matemáticos que se utilizan para liquidar créditos de amortización que permita al prestatario iniciar con cuotas bajas y que vayan creciendo de acuerdo con el aumento de los ingresos. CONFORMACIÓN DEL GRADIENTE Para que un flujo de caja se pueda definir como un gradiente.1 GRADIENTES Se denomina gradiente a una sucesión de valores. 217 . el gradiente se clasifica en ascendente y descendente. 5. De igual forma se utilizan para calcular en un período determinado los gastos de operación de una empresa o el mantenimiento de su maquinaria. ya sea en un valor absoluto o en un porcentaje. El aumento o disminución es constante y su valor se denomina G. que crecen o decrecen de manera uniforme. TIPOS DE GRADIENTES Existen dos tipos de gradientes: EL GRADIENTE ARITMÉTICO y el GRADIENTE GEOMÉTRICO. Por la tendencia en la variación. Los valores aumentan o disminuyen una cantidad igual de manera uniforme. los cuales varían periódicamente en cantidades o porcentajes iguales. debe presentar las siguientes condiciones: Los pagos o ingresos deben realizarse con la misma periodicidad.2 GRADIENTE ARITMÉTICO: En este tipo de gradiente. 5.3 GRADIENTE ARITMÉTICO ASCENDENTE Se denomina así porque periódicamente los ingresos o egresos aumentan.Ahora que se siente seguro podemos iniciar este nuevo e interesante tema. y se pueda calcular su valor presente o futuro. 5. El primer dato de la serie se denomina cantidad base y se representa con la letra A. VALOR PRESENTE Como valor presente se puede definir.1: Determine el valor presente de un flujo de caja que en el primer período consigna $200. La fórmula para calcular el valor presente de un gradiente es la siguiente: VP=A+ Definición de variables: VP = Valor Presente A = Cantidad Base n = Número de períodos i = Tasa de interés del Período g = Valor constante de aumento o disminución del flujo de caja. EJEMPLO 5. así como la tasa de financiación. la equivalencia de la sumatoria de una serie que aumenta uniformemente en un valor determinado y descontado con una tasa de interés hasta el momento actual. ANÁLISIS DEL EJERCICIO Se quiere determinar el valor presente equivalente. el interés es del 1.96% mensual. ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN Los datos son los siguientes: A = $200 218 . y que mensualmente aumenta sus ahorros en $100 durante tres meses más. dado que se conoce el número y valor de las cuotas. PREGUNTA Se va a calcular un VP UBICACIÓN INCÓGNITA La incógnita se encuentra ubicada en el período cero (0). 2855395 + 562. su principal aplicación está en el mercado bursátil.000. ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN 219 . para determinar el costo de capital de una inversión en acciones. PREGUNTA Se va a calcular un VP UBICACIÓN INCÓGNITA La incógnita se encuentra ubicada en el período cero (0).000 y aumentarlos anualmente en $100.753017 RESPUESTA: El valor presente equivalente al ahorro realizado en 4 meses es de $1324. La fórmula para calcular el valor presente de un gradiente aritmético infinito es la siguiente: VP = EJEMPLO 5.96% mensual. ANÁLISIS DEL EJERCICIO Se quiere determinar el valor presente de una serie infinita. REEMPLAZO EN LA FÓRMULA VP = 200 VP = 762.2: Determine el valor que se debe invertir en un proyecto que se propone generar ingresos en el primer año $1. la tasa de rendimiento es del 15% anual.g = 100 n =4 meses i = 1.75 VALOR PRESENTE DE UN GRADIENTE ARITMÉTICO INFINITO El gradiente aritmético infinito tiene sentido cuando se calcula el VP. PROCEDIMIENTO En este ejercicio sólo se procede a reemplazar en la fórmula.467477551020 VP = 1324.000. 111.000 i = 15% anual. EJEMPLO 5.000. REEMPLAZO EN LA FÓRMULA VP = VP = 11.000 g = 100. GRADIENTE ASCENDENTE PREGUNTA Se va a calcular un VP UBICACIÓN INCÓGNITA La incógnita se encuentra ubicada en el período cero (0).111. La forma de un gradiente aritmético está dada por las dos partes siguientes: Cantidad base.11 El valor que se debe invertir en el proyecto es de $11.11 FORMA DE CÁLCULO MEDIANTE EL USO DE LAS TABLAS.Los datos son los siguientes: A = $1.3: Se va a calcular el valor presente de los anteriores gradientes con un interés del 2% mes. NOTA: Las tablas tienen la limitante de que el valor del interés debe estar contemplado en la tabla de factores.111. se configura como una anualidad y está determinada por el valor que da inicio a la serie y termina cuando se llega a la n donde finaliza. Cantidad Gradiente: Es la cantidad que va aumentando o disminuyendo en la serie uniforme. Para explicar el uso de las tablas en el cálculo del valor presente de un gradiente. ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN 220 . es preciso entender como está estructurado un gradiente aritmético. PROCEDIMIENTO En este ejercicio sólo se procede a reemplazar en la fórmula.111. La variación es la cantidad Gradiente. 4)+100(P/G. ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN Los datos son los siguientes: A = $500 g = 100 i = 2% mes. pero haciendo uso de las tablas.4) V. 2%. P = 500* 3.27 GRADIENTE DESCENDENTE PREGUNTA Se va a calcular un VP UBICACIÓN INCÓGNITA La incógnita se encuentra ubicada en el período cero (0). 4) V. 2%. n=4 PROCEDIMIENTO En este ejercicio se procede a reemplazar en la fórmula.8077 + 100* 5. P = 1342. 4) .100* 5. 2%. n=4 PROCEDIMIENTO En este ejercicio se procede a reemplazar en la fórmula. V.100(P/G. 12 221 . P = 500 (P/A. 8077 .Los datos son los siguientes: A = $200 g = 100 i = 2% mes. 2%. P = 1323. V. P = 200* 3.6173 V. P = 200 (P/A. 6173 V. pero haciendo uso de las tablas. CONSTRUCCIÓN DE LA FÓRMULA Para ingresar la fórmula la calculadora muestra en la pantalla el mensaje VERIFICANDO FÓRMULA.. La fórmula del gradiente aritmético ascendente se construye en la calculadora de la siguiente manera: GRARITAS: PGA : A x ((1+ i)^n . 222 . Si la FÓRMULA presenta algún error y no se puede interpretar muestra la frase FÓRMULA INCORRECTA. para esta fórmula quedaría así: PGA A I N G Se digita primero el valor de cada variable y después la letra correspondiente. cuando se corrige una fórmula regularmente se debe insertar algún signo o letra. indica el trabajo que realiza. EDTAR Esta opción se utiliza para cuando se va a realizar alguna modificación a la fórmula. para crear el espacio se utiliza la tecla INS. y el cursor se ubica donde factiblemente está el error.P Las calculadoras no traen la función que desarrolle un ejercicio de gradiente de forma directa. permite que se construya la fórmula.APLICACIÓN CON LA CALCULADORA H. una vez allí se construye la fórmula y se le da un nombre seguido por dos puntos. digita INPUT para que se ubique en la memoria del RESOL..P. los pasos que se deben seguir son los siguientes: Si está situado en el menú principal (MAIN). presione RESOL.1)/(i x (1 + i)^n)+ (G/i) x (((1+i)^n-1)/(i x (1+i)^n)n/(1+i)^n) Se Digita INPUT En el menú quedan las siguientes opciones: CALC EDTAR ELIM CALC Con la opción CALC se muestran las opciones de las variables para asignar valores.. para hacerlo la H. APLICACIÓN AL GRADIENTE ASCENDENTE DEL EJEMPLO 5. como vamos a hallar el valor presente este espacio queda vacio y continuamos el proceso de la siguiente manera: Pulse 500 ENTER Como este valor es para un solo periodo F01 queda como el predeterminado 1.ELIM Se utiliza para la eliminación de la fórmula. para evitar que quede como texto y que sea susceptible de ser modificada.13. La pantalla muestra 1342.12 APLICACIÓN CON LA CALCULADORA TEXAS INSTRUMENTS BA II PLUS PROFESSIONAL Al igual que la HP la BA II no trae la función que desarrolle un ejercicio de gradiente de forma directa. como lo muestra la siguiente figura: NOTA: Es importante dejar el valor de cada variable en una casilla única. por esto se hace el cálculo de cada uno de los factores. para hacerlo seleccionamos la hoja de trabajo Flujo de caja con la opción CF. pulse de nuevo 400 ENTER 300 ENTER 200 ENTER. Para acceder a la variable de la tasa de interés pulse NPV e ingrese el valor del interés que para el caso es 2 ENTER APLICACIÓN CPT. la pantalla nos muestra CFo=. EN EXCEL El Excel no tiene dentro de sus funciones un formato directo para el cálculo del gradiente aritmético. De igual manera se debe tener cuidado en la organización de los paréntesis. 223 .2 RESOL Se ubica GRARITAS CALC 500 A 2% I 4N 100 G PGA La Pantalla muestra PGA = 1342. Se aportó recursos a un fondo por $60.2: Cuánto se tendrá disponible para ir a vacaciones al finalizar el mes seis si se inicia ahorrar este mes $100. si la tasa de interés de rentabilidad del fondo es del 20% anual. NOTA: Se trabajará en miles (000). cada año la asistencia debe aumentar en $300.000. PREGUNTA Se va a calcular un VF UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA 224 . La fórmula para calcular el valor futuro de un gradiente aritmético ascendente es: F=A + EJEMPLO 5. EJERCICIOS DE PRÁCTICA Veamos si el tema quedó entendido: Cuál es el valor de contado de un vehículo que lo compró financiado a 36 meses. determine el valor para el primer año. y se aumenta $50.Este mismo procedimiento se utiliza para el cálculo del VP de un gradiente aritmético descendente o el VF. la tasa de interés es del 30% anual.000.000. pagó de cuota inicial $5.000. en una fecha posterior.000.000 y a partir de allí cada cuota debe aumentar $40. proveniente de una serie de consignaciones en forma de gradiente aritmético. VALOR FUTURO El valor futuro es la sumatoria de una serie que uniformemente va aumentado una determinada cantidad. por la primer cuota debe consignar $200.000 mensuales. En el Capítulo siete aprenderemos la ventaja de trabajar con el EXCEL. su propósito es asistir a un orfanato por tiempo indefinido.5% mensual. ANÁLISIS DEL EJERCICIO Se quiere determinar el valor futuro. haciendo uso de las herramientas TABLA y BUSCAR OBJETIVO. El interés es del 1.000.000. 2 es un ahorro permanente. se hace un poco largo realizarlo uno por uno. por esto el cálculo se realizaría de la siguiente forma: FÓRMULA Valor(n)= A + g x (n-1) EJEMPLO 5. determine el valor que consigna en el mes quince (15).388. si en el primer caso no se habla de 4 períodos.1697633 F = 1. 225 . $1.388.124. pero en aras de aprovechar el tiempo. DETERMINACIÓN DEL VALOR DEL GRADIENTE EN UN PERÍODO n. sino se quiere conocer el valor del egreso en el mes quince. se debe utilizar una fórmula para mayor rapidez. Se tiene ahorrado al finalizar el mes seis (6).229550929 + 3333. Determinar los valores en un gradiente aritmético es muy fácil. ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN A = 100 g = 50 n =6 meses i = 1.229550929 F = 622.124 Respuesta: Recordemos que se trabaja en miles.5 % mes PROCEDIMIENTO En este ejercicio sólo se requiere reemplazar en la fórmula de VF cuando se tiene un gradiente aritmético: REEMPLAZO EN LA FÓRMULA F=100+ F = 100 x 6.9550929 + 765.La incógnita se encuentra ubicada en el período seis (6). Por ejemplo.33 x 0.5: Si el caso del ejemplo 5. cuando se tienen períodos largos. en forma de gradiente aritmético descendente.600 5. VP = A- EJEMPLO 5. ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN A = 500 g = 50 n =4 meses i = 2 % mes PROCEDIMIENTO 226 .000 y disminuye cada mes en $50. VALOR PRESENTE Cuando el gradiente aritmético es descendente. Se trabaja en miles (000). ANÁLISIS DEL EJERCICIO Se quiere determinar el valor presente. UBICACIÓN INCÓGNITA La incógnita se encuentra ubicada en el período cero (0). la primera de $500. que es la cuantía equivalente a los futuros compromisos de pago. pasa a restar. la fórmula se modifica en su parte central donde en vez de sumar su segunda parte.4 GRADIENTE ARITMÉTICO DESCENDENTE Se denomina así porque periódicamente los ingresos o egresos disminuyen.000.6: Cuánto dinero debo tener hoy para pagar una deuda cuya forma de pago es la siguiente: 4 cuotas mensuales. si el interés es del 2% mensual.Valor (15)=200+100 * (15-1) Valor (15)=1. PREGUNTA Se va a calcular un VP. en una fecha posterior.000=.867485 VP = 1622. La fórmula para calcular el valor futuro del gradiente descendente es la siguiente: VF = A - EJEMPLO 5. PREGUNTA Se va a calcular un VP. que es el monto equivalente a los futuros pagos.807728699 . REEMPLAZO EN LA FÓRMULA VP = 500 - VP = 500 x 3. El interés es del 3% mes.622.7: Determine el total gastado al final de 6 meses en el mantenimiento de una vía si el primer mes requirió $5. El dinero requerido para pagar la deuda es de $1.2500 x 0. 227 . GRÁFICO: Miles (000) de $ ANÁLISIS DEL EJERCICIO Se quiere determinar el valor presente.000. mensualmente se le invertía $500.112346994 VP = 1903.86435 .280.996 Respuesta: Como se trabajó en miles.000 menos.Se reemplaza en la fórmula de cálculo de VP cuando el flujo de caja conforma un gradiente aritmético descendente. los cuales tienen forma de gradiente aritmético descendente. UBICACIÓN INCÓGNITA La incógnita se encuentra ubicada en el período cero (0).996 VALOR FUTURO Consiste en calcular la cuantía equivalente de una serie de pagos periódicos que disminuyen en una cantidad constante. 666. Valor(24)= 5.218 Respuesta: El dinero gastado en el mantenimiento de la vía alcanza al final del mes seis a $24.468409884 .000 y disminuye periódicamente $50.ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN A = 5.7.000 - VF = 5.50 x (24-1) Valor(24)= 3.8: Si se tiene un flujo de caja cuyo primer dato es $5.66 x 0. determine el valor del período 24.000 g = 500 n =6 meses i = 3 % mes PROCEDIMIENTO Se reemplaza en la fórmula de VP.342. cuando se tiene un gradiente aritmético descendente.7: 228 .049 . REEMPLAZO EN LA FÓRMULA VF = 5. DETERMINACIÓN DEL VALOR DEL GRADIENTE EN UN PERÍODO n.8314 VF = 24.16.468409884 VF = 32. EJEMPLO 5.g x (n-1) EJEMPLO 5.850.000 x 6.218.850 El valor en el período 24 es de $3.535.535.806. Para la determinación del valor en un gradiente aritmético descendente para un determinado período la FÓRMULA es la siguiente: Valor(n)= A .000 . 000 x 14. pero mensualmente aumenta en $2000=.Usted ahorrará $ 10.192 VF = 141.000 mensuales durante doce meses. Organización de la Información: A = 10.053. se calcula el total ahorrado.32 229 .920 + 146.133. Pregunta: Valor ahorrado Ubicación Incógnita: Mes catorce (14). es que debe calcular un valor Futuro.000 + VF = 10.66 x 2. en una corporación que le paga el 18% semestral mes vencido. Su primer ahorro lo hará dentro de tres meses. Se reemplaza en la fórmula: VF = 10. Además se debe tener en cuenta que comienza a efectuar las consignaciones en el mes 3.192 + 66. ¿Cuánto tendrá ahorrado después de efectuar su última consignación? 18/6 = 3% mensual FLUJO DE CAJA (miles (000)) ANÁLISIS DEL EJERCICIO El planteamiento que realiza quien debe calcular el total ahorrado dentro de catorce meses.666.32 VF = 288.000 n =14 meses i = 3 % mes VF = ? PROCEDIMIENTO: Con la fórmula de VF de un gradiente aritmético ascendente.000 g = 2. 053.4% semestral. i = 19.000 g = 4.000 hasta el mes catorce. A = 4. La tasa de interés es de 19. La tasa de interés dada fue una efectiva semestral. Ubicación Incógnita: Mes cero (0) y mes quince (15).194)1/6 . gradiente aritmético ascendente.000 n =5 meses 230 . Organización de la Información: Gradiente aritmético ascendente.1 = 3 % i = 3% mensual FLUJO DE CAJA ANÁLISIS DEL EJERCICIO En este ejercicio se tienen 3 tipos de flujos de caja. A = 20.4% semestral i mes = (1 + 0. y los períodos son mensuales. anualidades y gradiente aritmético descendente. a partir de allí consigna la misma suma hasta el mes diez.000 y aumenta en $4.10: Usted hace el siguiente ahorro: dentro de dos meses consigna $4. Pregunta: Equivalencia del valor ahorrado en el momento cero y en el período quince.32 EJEMPLO 5.Respuesta: El saldo que tiene el ahorrador en el mes 14 es de $288. y el valor que tiene ahorrado al mes quince.000 n =4 meses i = 3 % mes VP =? Anualidad.000 cada mes hasta el mes seis. de ahí en adelante disminuye $4. Calcular el valor presente hoy. Con la fórmula de VP de un gradiente aritmético ascendente. con la fórmula de VP.333. por lo tanto se debe llevar a cero (0).000 x 3. el valor presente se calcula en el mes uno (1). y se determina el VP total. V P1 = 4.753.39 + 21.717098403 + 133.163150211 VP1 = 14. A = 16. la anualidad y el gradiente aritmético descendente.868.000 n =4 meses i = 3 % mes VP =? PROCEDIMIENTO: El flujo de caja para efectos del desarrollo del ejercicio se puede dividir en tres partes: El gradiente aritmético ascendente. Para calcular el monto ahorrado en el mes quince. se calcula la equivalencia del monto ahorrado del gradiente aritmético ascendente. con la fórmula de futuro a presente.000 + VP1 = 4. 33 x 0. con la fórmula de VP de una anualidad y de allí se lleva a cero (0).i = 3 % mes VP =? Gradiente aritmético descendente. se lleva el VP total al mes quince (15). GRADIENTE ARITMÉTICO ASCENDENTE Se determina el valor presente en el período uno (1). Se suman los tres VP obtenidos. con la fórmula de futuro a presente. Como el primer pago lo efectuó en el mes 2.000 g = 4. de allí se lleva a cero (0) con la fórmula de futuro a presente. El gradiente aritmético descendente se lleva a VP al mes diez (10). Se reemplaza en la fórmula: 1.36 231 . La anualidad se lleva a VP al mes cinco (5). 21.21 El valor presente en el período diez (10) es de $37.9 GRADIENTE ARITMÉTICO DESCENDENTE Se lleva a valor presente en el período diez (10).000 VP5 = 91. VP10 = 16.9 El valor en el período cero de las anualidades es de $79.14 Ahora se debe llevar a cero (0).21.555 El valor presente en el momento cero del gradiente aritmético ascendente es $35.067.473. ahora se lleva al período cero (0). ahora se debe llevar a cero (0).36 VP10 = 37.163150211 VP10 = 59. 232 .38 El valor en el período cero es de $28.333.57 . CÁLCULO DEL VALOR PRESENTE DE LO AHORRADO EN EL PERÍODO CERO.717098403 .133.067. VP0 = VP0 = 79.009.720. 2. VP0 = VP0 = 28.000 x 3.621.009.594. V P5 = 20.000 - VP10 =16.33 x 0.VP1 = 36.555.75 Como está en el período uno (1). VP0 = VP0 = 35. ANUALIDAD Se calcula el VP en el período cinco.720.753.38. Pregunta: Valor consignado en el primer mes.632.9 + 28.000.000 233 .632.000 n =6 meses i = 2. VPTOTAL = 35.000.067.Para dar respuesta al primer interrogante.44.216.11: ¿Cuál fue la cuantía de apertura de una cuenta. simplemente se llevan los 142. VF15 = 142. EJEMPLO 5. Organización de la información: A= g = 200.03)15 VF15 = 222. es de $142.28 x (1. es decir el valor de A.632. se suman los tres valores presentes calculados anteriormente. el monto equivalente de lo ahorrado en el período cero (0).28 Respuesta: El equivalente al valor ahorrado en el período cero (0). Ubicación incógnita: Mes uno (1). El interés es del 2.555 + 79. la cual se realizó al finalizar el primer mes si al terminar el semestre se tiene un saldo en la cuenta de ahorro de $10. FLUJO DE CAJA ANÁLISIS DEL EJERCICIO En este ejercicio se busca calcular el valor de la primera consignación. y periódicamente aumentaba los depósitos en $200.216. Mediante el despeje de A en la fórmula de gradiente aritmético ascendente.38 VPTOTAL = 142.5 % mes VF = 10.28 a un futuro en el período quince (15).28 SALDO DE LO AHORRADO EN EL MES QUINCE Para determinar la cifra ahorrada en el mes quince.44 Respuesta: El saldo en la cuenta de ahorros en el mes quince es de $222.632.5% mes.009.000.000=. 898. Se reemplaza en la fórmula: 10.000 cada mes.000.893.000.000. El método es idéntico para el gradiente aritmético ascendente como para el descendente.000 mes.000 = A + 10. tenga en cuenta la FÓRMULA respectiva. la entidad donde deja el dinero le reconoce un interés del 14% anual. si estos recursos rentan al 3% mensual. 5.000.636.000. EJERCICIOS DE PRÁCTICA: Usted espera reunir $10.000 x 0.PROCEDIMIENTO: En este ejercicio se reemplaza en la fórmula de VF para un gradiente aritmético ascendente y se despeja A. Su padre le pide que le calcule la cuantía con el que debe abrir una cuenta de ahorros con la cual usted debe asumir los gastos durante el semestre de universidad. ¿cuál es el dato a entregarle?.43.101.387736728 + 8.079.387736728 10.5 CÁLCULO DEL SALDO DE UN GRADIENTE ARITMÉTICO El cálculo del saldo se utiliza para conocer el monto de la deuda después de haber efectuado determinada cantidad de pagos. determine cuánto dinero le hizo falta en la fecha prevista o por el contrario cuánto es el valor adicional.387736728 A + 3.000 y se asume que éstos le aumentan en $30. el procedimiento es muy sencillo.82 =A A = 1.000. tenga cuidado porque Él no le volverá a consignar ningún valor. El le fija el gasto del primer mes en $300. y espera disponer de $500.32 Respuesta: El valor de la primera consignación fue de $469. 234 . en el momento cuenta con $2.000 para el próximo año (dentro de 12 meses).000 en el primer mes y aumentar esta cifra en $200.000 = A x 6. con el propósito de regalarle un viaje a sus padres en su aniversario de bodas.000. simplemente traer a valor presente las cuotas por pagar.000 = 6. PREGUNTA Se va a calcular un VP. 4 cuotas mensuales. de las tres cuotas que quedan por pagar. determine el saldo una vez se ha pagado la primer cuota.056916269 VP = 1297.883883273 . si el interés es del 2% mensual.000.EJEMPLO 5.12: Con el ejercicio anterior.456 235 . ANÁLISIS DEL EJERCICIO Se quiere determinar el valor presente. A = 450 g = 50 n =3 meses i = 2 % mes PROCEDIMIENTO Se reemplaza en la fórmula de cálculo de VP cuando el flujo de caja conforma un gradiente aritmético descendente. UBICACIÓN INCÓGNITA La incógnita se encuentra ubicada en el período uno (1). ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN El valor de A es la cifra del siguiente pago que se debía realizar si se cumple con el flujo de caja proyectado inicialmente. Se trabaja en miles (000).2906725 VP = 1155.747473 .000 y disminuye cada mes en $50. REEMPLAZO EN LA FÓRMULA VP = 450 VP = 450 * 2.142.2500 * 0. la primera de $500. 155. En el siguiente flujo se muestra un gradiente cuyo primer pago es de $100. 5.7 GRADIENTE GEOMÉTRICO ASCENDENTE Como se enunció anteriormente el gradiente es ascendente cuando en una serie de pagos o ingresos éstos van aumentando en un mismo porcentaje.6. hasta el mes cinco. GRADIENTE GEOMÉTRICO Se considera gradiente geométrico a una serie de ingresos o pagos periódicos en la cual cada uno es igual al del período inmediatamente anterior incrementado en un mismo porcentaje. FLUJO DE CAJA Los valores serían los siguientes: VALOR PRESENTE La fórmula para determinar el valor presente del gradiente geométrico ascendente es la siguiente: VP = Definición de Variables: VP = Valor Presente A = Cantidad Base n = Número de períodos 236 . y aumenta el 2% mensual.Respuesta: Como se trabajó en miles. El saldo de la deuda una vez pagada la primera cuota es de $1. dando origen al gradiente geométrico ascendente o descendente.456 5. La variación porcentual de cada pago puede aumentar o disminuir. Organización de la Información: A = 100 j = 2% n =5 meses i = 3 % mes PROCEDIMIENTO Se debe reemplazar en la fórmula de determinar el VP cuando se tiene un gradiente geométrico ascendente.1. si el interés es del 3% mensual. Pregunta: Valor presente.i = Tasa de interés del Período j = Porcentaje de aumento o disminución del gradiente. ANÁLISIS DEL EJERCICIO En este ejercicio se busca calcular el valor presente de una serie de pagos que periódicamente aumentan un porcentaje. Se Reemplaza en la fórmula: VP = VP = 10. Ubicación Incógnita: Mes cero (0). EJEMPLO 5.000 x 0. APLICACIÓN CON LA CALCULADORA H.0476102 VP = 476.13: Determine el valor presente del flujo de caja cuyo primer pago es $100 y aumenta el 2% mes hasta el período cinco (5).1 RESPUESTA El valor presente es de $476.P CONSTRUCCIÓN DE LA FÓRMULA 237 . La fórmula del gradiente geométrico ascendente se construye en la calculadora de la siguiente manera: GRAGEAS: PGGA : A /(i .04 • 106.j) x (1-((1+i)/(1+j))^n) Se Digita INPUT En el menú quedan las siguientes opciones: CALC EDTAR ELIM APLICACIÓN AL EJEMPLO 5.243216 CONTRUCCION DE LA FORMULA CF 100 ENTER 102 ENTER 104. el valor de los desembolsos seria: • 100 • 102 • 104.04 ENTER 238 .1208 • 108.10 RESOL Se ubica GRAGEAS CALC 100 A 3% I 2% J 5N PGGA La Pantalla muestra PGA = $476.1 APLICACIÓN CON LA CALCULADORA BA II PLUS PROFESSIONAL Tomando como base que los pagos aumentan en un 2% mensual. El resultado obtenido comprueba el realizado manualmente.000 el primer mes y a partir de allí aumentaron mensualmente en el 2%.10 APLICACIÓN EN EXCEL Al igual como se había explicado para el gradiente aritmético. Excel no presenta una función directa.106.243216 ENTER NPV 3 ENTER CPT La pantalla muestra NPV= 476. La tasa de interés de la entidad financiera es del 2% mensual. la fórmula es la siguiente: VP = EJEMPLO 5. el comportamiento de los retiros fue el siguiente: $100. Organización de la Información: A = 100. Para este caso se subdividió en dos elementos con el propósito de que se disminuya la probabilidad de equivocarse. ANÁLISIS DEL EJERCICIO En este ejercicio se busca calcular el valor presente de una serie de pagos que periódicamente aumentan un porcentaje del 2%. Pregunta: Valor Presente.000 239 . Ubicación Incógnita: Mes cero (0).1208 ENTER 108. quien tiene facilidad la puede calcular completa. VALOR PRESENTE CUANDO I = J Cuando en un gradiente geométrico ascendente la tasa de interés es igual al porcentaje de aumento del gradiente.14 Cuál fue la cantidad de dinero que le consignó su padre si usted pudo efectuar retiros durante 6 meses. por lo tanto se construye la fórmula. 000 y va aumentando mensualmente sus ahorros en un 6%.15: Determinar la cantidad ahorrada por un grupo de estudiantes que desean realizar una excursión al finalizar el mes seis. Pregunta: Valor Futuro. Organización de la Información: A = 100.j = 2% n =6 meses i = 2 % mes PROCEDIMIENTO Se debe reemplazar en la fórmula de determinar el VP cuando se tiene un gradiente geométrico ascendente.235. pero que la tasa de interés es el mismo valor que aumentaron los retiros. Se reemplaza en la fórmula: VP = VP = 588.235. Ubicación Incógnita: Mes seis (6).29 VALOR FUTURO Para calcular el valor futuro de un gradiente ascendente se utiliza la siguiente fórmula: VF = EJEMPLO 5. si en el primer mes ahorran $100.29 RESPUESTA Su padre le consignó para los gastos del semestre $588. el interés es del 2% mes. ANÁLISIS DEL EJERCICIO En este ejercicio se busca calcular el valor Futuro de una serie de consignaciones que periódicamente aumentan un porcentaje del 6%.000 j = 6% 240 . 891.891.16: Determine el valor Futuro del siguiente flujo de caja. Organización de la Información: A = 100 j = 2% n =6 meses i = 2 % mes PROCEDIMIENTO 241 . cuando el interés es del 2% mes.73. VALOR FUTURO CUANDO I = J Cuando i = j. Se reemplaza en la fórmula: VF = VF = 730.73 RESPUESTA Los estudiantes tienen disponible para la excursión $730. ANÁLISIS DEL EJERCICIO En este ejercicio se busca calcular el valor futuro de una serie de pagos que periódicamente aumentan un porcentaje del 2%.n =6 meses i = 2 % mes PROCEDIMIENTO Se debe reemplazar en la fórmula de determinar el VF cuando se tiene un gradiente geométrico ascendente. la fórmula para calcular el valor futuro del gradiente ascendente es: VF = n A ( 1+ i )n-1 EJEMPLO 5. Ubicación Incógnita: Mes seis (6). Pregunta: Valor Futuro. 17: Para un gradiente cuyo primer pago es de $100. DETERMINACIÓN DEL VALOR DEL GRADIENTE EN UN PERÍODO n.24 RESPUESTA El valor del pago en el mes 19 es de $170.Se debe reemplazar en la fórmula de determinar el VF cuando se tiene un gradiente geométrico ascendente. y aumenta mensualmente el 3%.03 ) 19-1 Valor(19)= 170.21.21 RESPUESTA El valor futuro es de $541. Para la estimación del valor de un pago en un determinado período en un gradiente geométrico ascendente se requiere de la FÓRMULA siguiente: FÓRMULA Valor(n)= A x ( 1 + j )n-1 EJEMPLO 5. determine el valor del pago en el mes diecinueve (19).02 )5-1 VF = 541. Organización de la Información: A = 100 j = 3% n =19 meses Reemplazo en la fórmula: Valor(19)= 100 x ( 1 + 0. Se reemplaza en la fórmula: VF = 5 x 100 ( 1 + 0.24 242 . pero que la tasa de interés es el mismo valor que aumentaron las consignaciones. 000 j = 5% n =5 meses i = 2 % mes PROCEDIMIENTO 243 . Pregunta: Valor presente.18: Determine el valor presente de un flujo de caja cuyo primer pago es de $100 y va disminuyendo cada pago en el 5% mes.5. Los valores de cada pago serían los siguientes: ANÁLISIS DEL EJERCICIO En este ejercicio se busca calcular el valor presente de una serie de pagos que periódicamente disminuyen un porcentaje del 5%. Ubicación Incógnita: Mes cero (0). hasta el mes cinco. la tasa de interés es del 2% mes.8 GRADIENTE GEOMÉTRICO DESCENDENTE Se presenta el gradiente geométrico cuando en una serie de ingresos o pagos periódicos. DIAGRAMA DEL FLUJO DE CAJA VALOR PRESENTE La fórmula de valor presente es la siguiente: VP = EJEMPLO 5. Organización de la información: A = 100. cada valor disminuye en un mismo porcentaje respecto del inmediatamente anterior. Se debe reemplazar en la fórmula de determinar el VP cuando se tiene un gradiente geométrico descendente.143972635 VP = 205.000 y mensualmente disminuye el valor consignado en un 4%.67 El valor presente es de $205. Organización de la Información: A = 100.428.000 j = 4% n =5 meses i = 1 % mes FLUJO DE CAJA En Miles (000) ANÁLISIS DEL EJERCICIO En este ejercicio se busca calcular el valor futuro de una serie de consignaciones que periódicamente disminuyen un porcentaje del 1%. Se reemplaza en la fórmula: VP = VP = 1. VALOR PRESENTE CUANDO I = J Para este tipo de gradiente no existe fórmula especial cuando i = j VALOR FUTURO La fórmula para determinar el valor futuro es la siguiente: VF = EJEMPLO 5.57 x 0.19: Hallar el saldo en una cuenta de ahorros en el mes cinco (5).67. si en el primer mes se consigna $100. La tasa de interés que paga la entidad financiera es del 1% mes. 244 . j )n-1 EJEMPLO 5.000 j = 5% n =5 meses i = 2 % mes PROCEDIMIENTO Se debe reemplazar en la fórmula de determinar el VF cuando se tiene un gradiente geométrico descendente.Pregunta: Valor Futuro.274 VALOR FUTURO CUANDO I = J Cuando i = j. Organización de la información: A = 100.274 Respuesta El dinero ahorrado en el mes cinco (5). Ubicación Incógnita: Mes cero (0). Organización de la Información: A = 100 245 .20: Para un gradiente cuyo primer pago es de $100. la fórmula para calcular el valor futuro del gradiente descendente es igual a cuando las tasas son diferentes. y disminuye mensualmente el 3%. Se reemplaza en la fórmula: VF = VF = 471. determine el valor del pago en el mes quince (15). DETERMINACIÓN DEL VALOR DEL GRADIENTE EN UN PERÍODO n Para hallar el valor de un pago en un determinado período de un gradiente geométrico descendente se requiere de la fórmula siguiente: Valor(n)= A x ( 1 . alcanza un valor de $471. 000. Organización de la Información: VP = 3. y el saldo en el mes dos Ubicación Incógnita: El valor de la primera cuota en el mes uno (1).0. Es decir que el saldo de un gradiente geométrico.03)15-1 Valor (15)= 65. si se comprometió a pagarlo en seis meses y aumentar su abono periódico en el 5% determine el valor del primer pago.j = 3% n =15 meses Reemplazo en la fórmula: Valor (15)= 100 x (1 .21 Su hermano obtuvo un crédito por $3. sólo se debe tener cuidado en aplicar la fórmula correcta. EJEMPLO 5. y posteriormente se estima el saldo una vez haya abonado dos cuotas.28 5.9 CÁLCULO DEL SALDO DE UN GRADIENTE GEOMÉTRICO El procedimiento para calcular el saldo en un flujo de caja cuyo comportamiento se configura con el gradiente geométrico es exactamente igual al del gradiente aritmético. y el saldo una vez pagada la segunda cuota.000.000. La tasa de interés de la entidad financiera es del 2% mensual.000 246 . Pregunta: Valor de A. no es más que estimar el VP de las cuotas que faltan por cancelar. y el saldo después de haber abonado dos cuotas.28 El valor del pago en el mes 15 es de $65. FLUJO DE CAJA ANÁLISIS DEL EJERCICIO En este ejercicio se busca calcular el primer pago de una serie de pagos que periódicamente aumentan un porcentaje del 5%. El gradiente escalonado se subdivide en: Gradiente Lineal Escalonado Cuando los pagos aumentan una cantidad fija en cada período.767. 5. Se reemplaza en la fórmula: 3.55 El primer pago es de $473.140. calculando el VP.000.706 El saldo de la deuda una vez pagada la segunda cuota es de $2.55.55 * (1.72 Ahora se estima el saldo. el gradiente geométrico escalonado. En este texto se va a explicar el de más uso.706. VP = VP = $2.000 = A = 473. Cuota del mes tres = 473.767.A= j = 5% n =6 meses i = 2 % mes PROCEDIMIENTO Se debe reemplazar en la fórmula de determinar el VP cuando se tiene un gradiente geométrico ascendente.05) 2 Cuota del mes tres = $522. Se determina el valor del pago que debía hacerse en el mes tres.328. 247 .140.10 GRADIENTE ESCALONADO: Se denomina gradiente escalonado a una serie de ingresos o pagos que permanecen constantes durante un período de tiempo (normalmente un año).767. Gradiente Geométrico Escalonado Cuando los pagos aumentan una tasa fija en cada período. y aumenta para el siguiente período en un valor o en un porcentaje. reemplazando en la fórmula del gradiente geométrico. el plazo es de 15 años y el interés.22: Usted y su esposa planean comprar vivienda.000. para determinar el valor de las cuotas mensuales. j=Porcentaje de aumento para el siguiente período EJEMPLO 5.000 como cuota inicial. Se caracteriza por tener dos períodos en la conformación de la fórmula. n= número de períodos (regularmente meses) dentro del período mayor (año). les gusta un apartamento cuyo costo es de $120. el sistema de financiación es el gradiente geométrico escalonado. El diagrama en el flujo de caja es el siguiente: FÓRMULA: VP = A VP = Valor presente A = Valor de la cuota durante el primer período.8% mes. y disponen de $30. Usted debe calcularles el valor de la cuota para el primer año. FLUJO DE CAJA: i=1.8% mes.000. Un Período mayor (tiempo que comercialmente es un año) y un período menor que usualmente es el mes.000.VALOR PRESENTE DE UN GRADIENTE GEOMÉTRICO ESCALONADO: Este tipo de gradiente es de los más utilizados en la financiación de vivienda. N= número de períodos del período mayor. i= tasa de interés del período menor Ie= Tasa de interés efectiva equivalente a la tasa periódica. 1. y anualmente la cuota aumentará en un 10%. ANÁLISIS DEL EJERCICIO 248 . Reemplazo en la fórmula: 90.87 = A DETERMINACIÓN DEL SALDO EN UN GRADIENTE GEOMÉTRICO ESCALONADO: Para conocer el saldo de la deuda en un momento determinado. y con una tasa de interés del 1. cuando se financia por el sistema de gradiente geométrico escalonado el procedimiento a seguir es el siguiente: Se toma el valor de la cuota (Subcuota) del primer período Conociendo la cantidad que aumenta anualmente se determina el valor de la cuota al iniciar el período donde está ubicado el momento en el cual se desea conocer el saldo. Organización de la Información: VP = 90. Del plazo del período mayor.000 A= j = 10% n =12 meses N = 15 años.En este ejercicio se busca conocer el valor de la cuota a pagar durante el primer año.000.000 = A 90. por el crédito de $90.26225175*5. se ubica el número del período (Subperíodo) en el cual se desea conocer el saldo.000 = A * 13.000= a quince años. 249 . Se determina el saldo al iniciar el período del momento a encontrar. Pregunta: Valor de la cuota en el primer año.8 % PROCEDIMIENTO Para determinar el valor de A. (12 cuotas del primer año).000. se reemplaza en la fórmula de VP de un gradiente geométrico escalonado.8% mes. i = 1.985.000.131.99493164 1.000. Ubicación Incógnita: La anualidad del primer año. o el valor presente de las cuotas que faltarían por pagar al iniciar el período donde está ubicada la incognita. Mes veintiséis.131.000. y usted debe determinar el monto a pagar. EJEMPLO 5.131.985.000= a quince años. En estos momentos se encuentran en la cuota veintiséis. ANÁLISIS DEL EJERCICIO En este ejercicio se busca conocer el valor del saldo por el crédito de $90. FLUJO DE CAJA: i=1. por el sistema de gradiente geométrico escalonado.000. Se calcula el valor futuro de los pagos realizados durante el período de la fecha del saldo. i = 1.000. una vez cancelada la cuota veintiséis (26).23: Sus padres al recibir una herencia toman la decisión de cancelar la totalidad de la deuda del apartamento para el cual le habían financiado $90. al saldo del inicio de período.369.000. Ubicación Incógnita: Tercer Período.702. Organización de la Información: VP = 90.8% mes. Pregunta: Valor del saldo en el mes veintiséis (26).985.87 La cuota para el tercer período es de $1.000 A = 1.8 % PROCEDIMIENTO La cuota durante el primer período es 1.87 j = 10% n =12 meses N = 3 años.9 250 . Se descuenta el valor de los pagos realizados durante el último período. 702.369.369. el sentido de su elaboración es comprobar que el saldo en el mes 26 es igual al mostrado por la fórmula.9 Una vez determinado el saldo en el mes 24 se proyecta al mes 26. se reemplaza en la fórmula de VP de un gradiente geométrico escalonado.102.042. la suma a cancelar es de $103.7 Se calcula en el mes 26 el valor de los pagos realizados en este período. 251 .2 RESPUESTA: Como sus padres desean pagar la totalidad de la deuda en el mes veintiséis.702.729.102.702.764.369. con la fórmula de VF cuando se tiene una anualidad.729.452 Se descuenta el valor proyectado del saldo al mes 26.9 * 13. y las cuotas pagadas mensualmente presentan un valor inferior.982.988. Para determinar el valor de saldo al cancelar la cuota 24.52 Saldo en el mes 26 = 103.9 Reemplazo en la fórmula: Saldo al finalizar el Segundo año: 1. APLICACIÓN Y COMPROBACIÓN CON EL EXCEL MEDIANTE UNA TABLA DE AMORTIZACIÓN. 102. porque solo los intereses de la deuda de $90.9 * Saldo al finalizar el segundo año = 1.042. el valor proyectado al mes 26 de los pagos realizados en el tercer período.702. $1. Saldo en el mes 26= 106. tomando como A.988. con la fórmula de valor futuro.66948245 Saldo al finalizar el segundo año es de $102.2. Ahora se muestra la Tabla de amortización del crédito.964.000.000 mes.000.369.9* $2.26225175*5.018)2 = 106.764. Valor Pago realizado en el tercer período en el mes veintiséis (26): 1.982.060.9 * (1. son de $1.964.7 .060.2 NOTA: El saldo de la deuda aumentó.620. 000. N= número de períodos del período mayor. n= número de períodos (regularmente meses) dentro del período mayor (año). para esto mensualmente cada uno deposita en el fondo de empleados $500.25: Los trabajadores de una empresa proyectan hacer un viaje al extranjero en dos años.Ahora se muestra la Tabla de amortización del crédito. el sentido de su elaboración es comprobar que el saldo en el mes 26 es igual al mostrado por la fórmula. i= tasa de interés del período menor Ie= Tasa de interés efectiva equivalente a la tasa periódica. si el fondo les reconoce un interés del 1% mensual. El diagrama en el flujo de caja es el siguiente: 252 . de cuánto dispondrá cada funcionario para su viaje. El diagrama en el flujo de caja es el siguiente: FÓRMULA: VF = A VF = Valor futuro. A = Valor de la cuota durante el primer período. TABLA DE AMORTIZACIÓN VALOR FUTURO DE UN GRADIENTE GEOMÉTRICO ESCALONADO: El valor futuro de un gradiente geométrico escalonado es el resultante de ahorrar o pagar un valor uniforme durante un determinado período y luego incrementado en un porcentaje para el período siguiente. si para el año siguiente se incrementa el aporte en el 10%. j=Porcentaje de aumento para el siguiente período EJEMPLO 5. si él estima que su salario aumentará el 6% anual y el dinero ahorrado renta a una tasa del 253 . el porcentaje de aumento en la cuota para el segundo.120.000 j = 10% n =12 meses N = 2 años.58 RESPUESTA: Cada funcionario tendría disponible para viajar al final de los dos años $14. Pregunta: Valor Ahorrado al finalizar el segundo año. i = 1. de los cuales el 20% los asigna a este propósito.000 mensuales. Reemplazo en la fórmula: VF = 500.ANÁLISIS DEL EJERCICIO En este ejercicio se busca conocer el monto disponible por cada empleado para el viaje al finalizar el segundo año. Ubicación Incógnita: El VF en el mes veinticuatro (24). en estos momentos el joven apenas va ingresar a sexto.000 * VF = $14.000. y la tasa de interés que reconoce el fondo. Los ingresos del padre son de $2.58. EJERCICIOS DE PRÁCTICA Un padre de familia crea un fondo para pagar la universidad de su hijo.857.0 % PROCEDIMIENTO Para determinar el valor futuro. conocido el valor aportado mensualmente durante el primer año. se reemplaza en la fórmula de VF de un gradiente geométrico escalonado.857. Organización de la Información: VF = A = 500.120. 11 EJEMPLOS VARIOS DE PROFUNDIZACIÓN EJEMPLO 5.000 Gradiente Geométrico ascendente. mediante el cálculo del valor presente. 20% anual. Pregunta: Valor de contado de la motocicleta. y un último pago en el mes nueve (9) por $1. 1. Diagrama del Flujo de Caja: ANÁLISIS DEL EJERCICIO En este ejercicio se busca conocer el precio de la motocicleta.000 de cuota inicial.500. y anualmente se aumenta la cuota en el 12%.25: Determinar el valor de contado de una motocicleta que se financió de la siguiente forma: 1. 8% n =6 meses Valor futuro en el mes nueve (9) = 1.000 PROCEDIMIENTO: 254 .8% mes.000= Interés. seis cuotas mensuales a partir del primer mes. Ubicación Incógnita: Mes cero (0). cuál será el valor del fondo cuando el estudiante termine su bachillerato.000.15% anual.500. A = 500.000. Cuál debe ser el pago que debe hacerse en el primer año si se proyecta pagar en 3 años una máquina cuyo precio de compra fue de $6. así: 500.000 j = 3% i = 1.000 la primera y aumentando periódicamente el 3%. Interés de financiación.000. 5. Organización de la Información: Cuota Inicial: 1.000. El precio de contado de la motocicleta, es la sumatoria del monto de la cuota inicial, el valor presente en cero (0) de las cuotas que conforman un gradiente geométrico, y el valor presente en cero (0) del pago en el mes nueve. PLANTEAMIENTO DE LA ECUACIÓN VP0 = 1.500.000 ++ VP0 = 1.500.000 + 3.035.177, 32 + 766.416,73 VP0 = 5.301.594,05 Respuesta: El precio de contado de la motocicleta es de $5.301.594,05 EJEMPLO 5.26: Determine el saldo que habrá en una cuenta de ahorros al finalizar el año, si se deposita $200.000 el primer mes, aumentando $50.000 mensuales hasta el mes seis, a partir de allí retira $250.000 y los retiros van disminuyendo el 3% mensual hasta el mes doce. El interés es del 2% mensual. ANÁLISIS DEL EJERCICIO En este ejercicio se busca calcular el saldo disponible en el mes doce, después de haber efectuado seis depósitos y seis retiros. Se debe llevar los depósitos y retiros a valor futuro. Los depósitos fueron realizados bajo la forma de un gradiente aritmético ascendente y los retiros de la forma gradiente geométrico descendente. Pregunta: Saldo disponible. Ubicación Incógnita: Mes doce (12). Organización de la Información: Gradiente Aritmético ascendente. A = 200.000 g = 50.000 n =6 meses i=2% Gradiente Geométrico descendente. A = 250.000 255 j = 3%. n =6 meses i=2% PROCEDIMIENTO: Se debe llevar lo ahorrado y retirado al mes doce. El flujo del ahorro tiene la forma de gradiente aritmético ascendente, se utiliza la fórmula de VF, para llevarlo al mes seis, de allí se toma como un presente y se lleva a futuro al mes doce (12). El flujo de los retiros tiene la forma de gradiente geométrico descendente, con la fórmula de VF se lleva al mes doce. Una vez se tiene lo ahorrado y retirado en el mes doce (12), se saca la diferencia, y se determina el valor del saldo. PLANTEAMIENTO DE LA ECUACIÓN Saldo12 = Ahorrado12 -Retirado12 VALOR DE LO AHORRADO EN EL MES DOCE Con la fórmula de valor futuro se lleva al mes seis. VF6 = 200.000 + VF6 = 200.000 x 6,308120963 + 2.500.000 x 0,308120963 VF6 = 1.261.624,19 + 770.302,4 VF6 = 2.031.926,59 Teniendo el valor en el mes seis (6), se lleva al mes doce VF12 = 2.031.926,59 x (1+0,02)6 VF12 = 2.288.279,37 El valor de lo ahorrado en el mes doce sería de $2.288.279,37 VALOR DE LO RETIRADO EN EL MES DOCE. 256 Para estimar el valor de los retiros en el mes doce se determina el VF del gradiente geométrico descendente. VF12 = VF12 = -25.000.000 x -0, 067889877 VF12 = 1.697.246,93 El valor de lo retirado en el mes doce equivale a $1.697.246,93 SALDO DISPONIBLE Para determinar el saldo disponible en el mes doce se resta al total ahorrado lo retirado en el mes doce. SALDO12 = 2.288.279,37 -1.697.246,93 SALDO12 = 591.032,44 Respuesta: El saldo disponible para retirar al finalizar el año es de $591.032,44 EJEMPLO 5.27: Usted se compromete a pagar una deuda de $9.000.000= en diez cuotas mensuales, si la primera cuota la paga al finalizar el primer mes y su valor es de $500.000, en qué tasa debe aumentar los pagos mensuales para cancelar el crédito, si la tasa de interés es del 2% mensual. FLUJO DE CAJA: ANÁLISIS DEL EJERCICIO En este ejercicio se busca conocer el porcentaje de aumento mensual en las cuotas para pagar el crédito de $9.000.000= en diez meses, si el primer pago fue de $500.000=.Se debe utilizar la fórmula de VP de un gradiente geométrico ascendente despejando el valor de j. Pregunta: Porcentaje de aumento de la cuota. Ubicación Incógnita: No tiene ubicación en un período dado por ser una tasa. Organización de la Información: 257 VP = 9.000.000 A = 500.000 j= n =10 meses i=2% PROCEDIMIENTO Para determinar el valor de j, se reemplaza en la fórmula de VP de un gradiente geométrico ascendente. Para esta ecuación no se puede realizar el despeje de j directamente, entonces se debe acudir al método de interpolación. Se busca una tasa (j) que su resultado sea mayor a 9.000.000 y a otra tasa que sea menor. Una vez conocidas las tasas, se procede a calcular la j que hace que el flujo de caja sea igual a 9.000.000. Reemplazo en la fórmula: 9.000.000 = Se inicia probando con una j del 15%. Con un j = 15% resulta un VP de $8.918.332,34 Como el resultado es inferior a $9.000.000 pero estando muy cerca se prueba con el 16% Con un j = 16% el VP es $9.353.261,66 Se procede a la interpolación: 8.918.332,3415% 9.000.000 j 9.353.261,6616% = = 0,187772118 * -0,01 = 0,15 - j j - 0,00187721189 = 0,15 j = 0,151877721 258 Respuesta: el aumento mensual en el valor de las cuotas debe ser del 15,187%. EJEMPLO 5.28: Usted abre una cuenta de ahorros con $500.000, en el mes 3 consigna $100.000 y a partir de allí aumenta en $20.000 las consignaciones hasta el mes seis cuando éstas disminuyen mensualmente el 3% hasta el mes nueve. Determine el valor de una serie de retiros mensuales iguales durante los meses diez, once, doce y trece si al finalizar el mes quince sólo se disponía de $600.000, el interés es del 30% anual. Nota: Para facilitar las operaciones se trabajará en miles de $. ANÁLISIS DEL EJERCICIO En este ejercicio se busca saber el valor de los retiros en los meses diez, once, doce y trece, después de efectuar una serie de consignaciones y de conocer el valor disponible en el mes quince. Para calcular la Anualidad se debe determinar un valor presente o futuro de la serie, el cual es el resultante de la suma de las consignaciones menos el saldo disponible, para el ejercicio se llevará todo al mes nueve. Aquí se aplican los conceptos de valor futuro, gradiente aritmético, gradiente geométrico y anualidades. Pregunta: Valor de los retiros. Ubicación Incógnita: los meses diez al trece. Organización de la información: Consignación inicial: $500 Gradiente Aritmético: Tipo: Ascendente A: $100 g:$20 V.F6: Gradiente Geométrico: Tipo: Descendente 259 j:3% A: El valor de A, se debe estimar basado en la consignación del período seis, el cual es de $160, dado que conocemos el gradiente aritmético, su cálculo se da dividiendo $160 entre 1.03, el cual da como resultado $155,3. V.F9: i: Como es una tasa efectiva del 30% anual, se calcula la tasa mensual, da como resultado el 2,21% mes. PROCEDIMIENTO El resultante de la suma de las consignaciones menos el saldo disponible para determinar el valor de A, se va a calcular en el mes nueve. Se lleva al mes nueve la cuantía de apertura de la cuenta. VF9: 500 x (1,0221)9 : 608,73 Los $500 de apertura de la cuenta equivalen a $608,73 en el mes nueve Se calcula el valor futuro del gradiente aritmético, y se lleva al mes nueve. F = 100 + x x (1,0221)3 F = (413,46 + 121,77) x 1,06779 F = 571,5 Las consignaciones de los meses tres al seis equivalen en el mes nueve a $571,5 Se calcula el valor futuro del gradiente geométrico. VF = VF = 462,3 Las consignaciones de los meses siete al nueve equivalen a $462,3 en el mes nueve. Se suma el equivalente al valor consignado en el mes nueve. El resultado es: 608,73+571,5+462,3 = 1642,53 Se procede al cálculo del equivalente al saldo disponible en el mes nueve. VP9: = 526,23 El equivalente al saldo disponible es de $526,23 en el mes nueve. 260 48. nos permitirá desarrollar las competencias necesarias para respaldar nuestro desempeño laboral futuro en el campo de las finanzas.116.600. Éxitos! 1. Determine el saldo para el mes 18 en una cuenta de ahorros. A == 294.000= el primer mes y aumenta en el 3% mensual. 3. y el interés es del 1. ¿Cuál será el valor de los ahorros en el mes 12 de un estudiante que consigna en una cooperativa $100. hasta el mes 10. a partir de allí retira mensualmente $400.6 RESPUESTA: El valor de cada retiro en los meses diez al trece es de $294. así: $500. ¿cuál es el valor ahorrado?¿su saldo es mayor que el del estudiante anterior? R: Este estudiante alcanza un nivel de ahorro inferior al primero. Cantidad para calcular los retiros de los meses diez al trece: 1642. y aumenta mensualmente sus ahorros en el 3%. $100.754. Un ahorrador efectuó una serie de consignaciones en el primer semestre del año. recordemos que se trabajó en miles. si aumenta el valor de la consignación en $20. Para calcular el valor de A se determina un VP en el mes nueve. restando del total de las consignaciones el monto del saldo disponible.000=. Resolvamos estos problemas cuidadosamente y utilicemos nuestros conocimientos adecuadamente.283. 261 . Si se presentan dificultades podemos recurrir al tema en el libro donde encontraremos las aclaraciones.23=1.5% mensual? R: El estudiante al finalizar el mes doce tiene en ahorros $2.692.53-526. con la fórmula de la anualidad conociendo el valor presente. Un Segundo estudiante tiene el mismo propósito que el anterior pero su plan es el siguiente.000 hoy. el interés es del 12% semestral mes vencido.000= hasta el mes 15.000= en el mes 1.3 Se determina A. puesto que sólo alcanza a reunir $1. EJERCICIOS La experiencia y la habilidad adquirida a través de la solución de problemas.403 2. si usted consigna $500. R: El saldo en la cuenta de ahorros en el mes dieciocho es de $5.533.000= en el primer mes se incrementó mensualmente este valor en $100.000= mensuales.86 4.256. 000=. los gastos de mantenimiento del vehículo y los personales alcanzan $1. y el saldo lo paga en 9 cuotas mensuales.343. R: El dueño del taxi al finalizar el tercer año.000.000. y paga de cuota inicial $1.787.000= y la entidad financiera reconoce un interés del 1. determine el valor de la primera cuota si el proveedor le acepta que mensualmente la cuota le aumente en el 5%.hasta el mes seis.000.000. aumentando mensualmente $10. 7. momento en el cual aumenta en el 10% y así permanece para el segundo año. El interés es del 8% trimestral. Si va a financiar un computador. a partir del mes de Julio retira $500. disminuye mensualmente sus retiros en $30.68. Un dueño de Taxi.087.8 8.899.8 9. para el tercero sus ingresos aumentan en el 12% hasta finalizar el período.000. R: El valor consignado para el primer mes es de $119.5 5. en el segundo semestre la producción disminuyó a 900 unidades por mes pero los precios tuvieron el mismo comportamiento.5 6. El interés que paga la entidad financiera es el 24% anual Semestre Vencido.5% mes.000.007. si mensualmente aumentaba su depósito en $50.226. aumentó los egresos en un 5% mes. si durante los 6 primeros meses su producción fue de 1000 unidades y su precio para el primer mes fue de $1000/unidad. cuyo importe de contado es de $5.en el primer mes. y aumentan mensualmente en el 1%. si en ese momento en la cuenta todavía hay un saldo de $5.2% mes.904. Cuantifique el valor de los ingresos de una empresa al terminar el año.000=. Si al finalizar el semestre de Universidad un estudiante tiene en su cuenta de ahorro. R: El valor de los ingresos de la empresa durante el primer año fue de $13. hasta el mes 12. La tasa de interés es del 2. Los ingresos duran constantes durante el primer año. si el interés es del 30% anual? R: El valor de apertura de la cuenta fue de $812. tiene ahorrado $21.000=. 262 . determine el valor consignado en el primer mes. a partir del mes siete retira 200.879. quiere determinar cuál es el valor de su ahorro en 3 años. $1.5% bimestral.500.000.000= por carrera. R: El saldo de la cuenta al finalizar el año es de $1. El interés de financiación es del 2.000. si proyecta realizar 500 carreras mensuales con un promedio de $3.000 y aumenta mensualmente sus depósitos en un 5% hasta el mes de junio. Determine el saldo en una cuenta de ahorro al finalizar el año si en el mes de enero deposita $500.000. ¿Cuál fue el valor de apertura de la cuenta en el momento cero. 000 para dentro de 6 meses pagar la matrícula de la universidad.000.000. Interés 30% anual. contrata personal temporal por $10.882.000. y a partir de allí las cuotas disminuyen 2% mensual hasta el mes doce (12). adicionalmente en el año dos (2) y cuatro (4). seis cuotas mensuales iguales de $300. Si usted desea cancelar la totalidad de una deuda hoy. el costo de ésta para el primer año es de $60. el valor a desembolsar es de $3.000. o por el contrario le hizo falta dinero. 15. R: Para cancelar la totalidad de la deuda hoy. La industria XYZ compra 10 toneladas mensuales de insumos importados.9 12. Juan debe efectuar un pago de $11. El interés es del 8% trimestral.990. el precio de la tonelada es US $300. en Septiembre consigna 263 .7 13. y tiene ingresos mensuales en el año de $2. Determine hoy el valor de los egresos por las importaciones del semestre en pesos si la tasa de cambio es de $2.000. Pedro quiere saber qué saldo tendrá al finalizar el mes de diciembre.000.000= el primer mes. si realiza las siguientes transacciones. si al inicio del año tiene en su cuenta de ahorros $600. con este dinero abre una cuenta de ahorros. hasta finalizar el mes de Junio.000 y aumenta anualmente en el 10%.5% mensual.000 cada año.894.000 en el mes. si los compromisos son los siguientes: hoy $500. determine el valor a desembolsar. 11. Pedro necesita reunir $3.700 por Dólar y la devaluación esta proyectada al 3% mensual. si éstos aumentan $50. R: El valor de los egresos por las importaciones al finalizar el semestre es de $54.534. si es así cuánto.647. su padre le regala el día de hoy $500.000.000= al finalizar el año.683.085.R: El valor de la primera cuota es de $412.000= y gastos de $1. en qué porcentaje debe aumentar sus depósitos mensuales para reunir la cifra requerida si la entidad bancaria le reconoce el 1% mensual.000.800.000 y aumenta sus depósitos en un 2%.000=.000. determine si pudo ahorrar la suma requerida. si al finalizar el mes deposita $300. Una empresa quiere determinar el valor presente de su nómina para el cuatrienio.5 14.7% mensualmente.7 10. R: El valor presente de la nómina para el cuatrienio es de $286. R: Juan puede efectuar el pago dado que el valor ahorrado para final de año fue de $11.000.976. R: Pedro debe aumentar sus depósitos en el 11. El interés es del 1. consigna al finalizar el mes de enero $800. la industria tiene un interés del 2% mensual . 308 16.000. 264 .6 17. 30% anual mes vencido.000=.183. disminuyendo el valor consignado en el 3% mensual hasta el mes seis. Durante el segundo semestre retiró mensualmente $900. El interés es del 15% semestral mes vencido.000 y adicionalmente en el mes nueve retiró $2. el 50% de las utilidades obtenidas en este tiempo era para comprar nueva maquinaria. Determine la suma disponible para cumplir este propósito.000. R: El valor que le consignaron en la cuenta hace un año fue de $3. R: El padre de familia debe aumentar el valor de las consignaciones en un 4. R: Pedro tendrá al finalizar el mes de diciembre ahorrado un valor de $4. R: El valor equivalente de las utilidades para los próximos tres años en el momento cero es de $15. El interés es del 4% bimestral.000=.000.000.07% mensualmente. disminuirán mensualmente en $30. Un empresario proyecta sus utilidades para los próximos tres años. Usted desea reunir $15. Determine la cuantía que le consignaron hace un año.000.456.000 mensuales. El empresario del ejercicio anterior.643.En el primer mes consignó $2.$1. Determine el valor presente del flujo de caja si el interés es del 8% trimestral.000. 20.000. y poder cumplir su sueño.702.768. si hoy tiene $1.000= y al finalizar el mes consigna $300. hoy tiene un saldo en la cuenta de $10.000.000 para dentro de quince (15) meses poder ir de vacaciones a disfrutar de las bellezas del territorio colombiano.000.000=.235.000. se fijó que una vez transcurridos los tres años. R: Usted debe aumentar mensualmente las consignaciones en $132. si usted al realizar las siguientes transacciones. 19.128.35. El interés. en que porcentaje le debe aumentar su envío mensual para que este dinero le pueda cubrir el período. en cuánto debe aumentar los depósitos mensualmente para alcanzar la cifra esperada. para el segundo año mensualmente se aumentarán en el 3% y para el tercer año por causas de la apertura económica.000. R: El dinero destinado para la compra de la maquinaria una vez transcurridos los seis años es de $19. El interés es del 15% semestral. supone que mensualmente en el primer año serán de $600. Un padre de familia tiene presupuestado para los gastos estudiantiles de su hijo al final del año en $12.4 18. y a partir de octubre retira $900.000= si para el primer mes le envía $700.000.500. 000 como egresos mensuales. valor con el cual abre un CDT que le renta el 18% anual. y si el comportamiento financiero fue el siguiente.000. determine el valor que cada uno recibirá: Ingresos para el primer año $5. determine el valor ahorrado en este período si el primer año ganaba $400.000.V tiene un valor de contado de $11.800. La tasa de financiación para el primer año es del 2.148. el primer mes 100.000 aumentando mensualmente $40.000.465.000 y el interés de financiación es del 30% anual. Cuánto es el valor de contado de un T. 23. al cumplirse el tiempo. 22.21.V si el proveedor lo entregó financiado a dos años. Un trabajador ahorra 1 mes de sueldo al año durante quince años.000= en cuotas mensuales que aumenten en el 4% cada mes.948.223. Resolver el problema anterior pero el aumento en las cuotas mensuales es del 5% y no de $40.000.5% mensual y para el segundo año el 3% mensual.000 mensuales y $3.842.48 meses 24. R: El valor ahorrado durante quince años es de $17.000. Determine el tiempo de financiación de un crédito de $2.000. 26. con las siguientes condiciones: cuota inicial 20% del valor de contado.000 dentro de tres años para efectuar un viaje al exterior abre una cuenta de ahorro al finalizar el mes con $100. R: La niña debe aumentar las consignaciones mensualmente en $22. R: El tiempo de financiación es de 9.000. Un grupo de amigos se reúnen para formar una empresa y se propusieron no distribuir utilidades antes de los 3 años. Una niña al cumplir sus 15 años recibe de regalo $2. como ella aspira a tener $25. 27.000 en cada período.3 25. 265 .000 y el incremento salarial durante los primeros 5 años fue del 15% y a partir de allí el 12%.131.324. R: Con las consignaciones adicionales.000 y a partir de esa fecha aumenta sus depósitos mensuales en el valor necesario para lograr la meta prevista. mientras que para los egresos fue del 10% y 9% respectivamente. la tasa de crecimiento anual de los ingresos para el segundo y tercer año fue del 15% y 20% respectivamente. R: El T. Determine el valor mensual de aumento. usted debe aumentar el ahorro en $117.672. la primera cuota es de $200. el interés que le reconocen en la cuenta de ahorros es del 14% anual. R: El valor del televisor es de $3. Resolver el problema anterior pero en los meses seis (6) y doce (12) consigna adicionalmente $500. La tasa de interés de la entidad financiera es del 1% mensual.7. 28. 266 .El interés del dinero se fijó en el 24% anual mes vencido.009.800.7. hace doce años.000.000 mensuales en el primer año. Usted tenía planeado realizar una especialización la cual comienza en quince meses y tiene un valor de $7. La pareja del ejercicio anterior al final de mucho esfuerzo logró comprar el apartamento y para su mayor comodidad compraron un automóvil. Sus padres todavía están preocupados por las cuotas mensuales que amortizan mensualmente al banco que les financió la vivienda.000.49%.299.604. se proponen tener su apartamento antes de contraer matrimonio. inician con $1. si adicionalmente realizan un portafolio de inversión con dichos recursos y éstos le generan un rendimiento del 40% anual. El apartamento tiene actualmente un costo de $50. el costo de ésta fue de $25. con la tasa de financiación del 1. en el momento cuenta con $1. el sistema de financiación seleccionado fue el gradiente geométrico escalonado. para el segundo año aumentan el valor en el 10%.000.695.434.5% mes y las cuotas aumentaban el 12% anual. Esto quiere decir que a cada socio le distribuyen $28.000. abonaron de cuota inicial el 10% de su valor y el saldo a 60 meses.000.6. como el apartamento para el segundo año tiene un precio de $55.000 y su importe aumentará en el 10% para el próximo año. 31.000. determine el valor de su regalo. R: El saldo de la deuda es de $27. y mensualmente pensabas ahorrar $300. usted como buen hijo les va a pagar el saldo de la deuda.201.000.751. si el interés fue del 30% anual. si el plazo del crédito era de quince años. esto quiere decir que pueden comprar el apartamento y toman la decisión de casarse.000. Se proyecta consignar mensualmente los siguientes valores.027. R: El valor de las cuotas mensuales durante el primer año es de $817. R: Al finalizar el tercer año el valor equivalente a las utilidades de la empresa corresponden a $84. el que sacaron a crédito.000.000. en qué porcentaje debe aumentar mensualmente sus aportes para alcanzar dicho propósito si el dinero le renta el 15% anual.950.000. R: Debe aumentar el ahorro mensualmente en el 2. aumentando las cuotas anualmente en el 12%. el valor del vehículo fue de $36.7 30. Una pareja de novios.000. ¿la pareja podrá comprar el apartamento y por ende tomar la decisión de casarse? R: Al finalizar el año dos la pareja ha ahorrado $ 63.5. 29. Usted debe determinar el valor de las cuotas para el primer año. A partir de allí consigna igual valor hasta el mes 9.958. Interés 1. Hoy tengo un ahorro de $500. A partir del mes 15 hasta el 24 vamos a gastar $400. Si con este dinero no alcanza a cumplir la meta el se comprometería a hacer 5 abonos trimestrales iguales (3.23 cada uno VERIFICACIÓN DE LA AUTOEVALUACIÓN Compare el conocimiento aprendido con lo expuesto en este módulo y confróntelo con las aplicaciones que desarrolló en la solución de los problemas. 9 y 12 se realizan pagos extraordinarios por $400.439303.000 hasta el mes 12. Necesitamos reunir $10. hoy dispongo de $500.67 34. la primera fue de $400.000 dentro de 15 meses. y observe sus progresos y sus debilidades.102. si la deuda inicial era de $3. el primero a partir del mes 3 por un valor de $1. En los trimestres 3.000 cada mes.5% mes. 9. A usted le tocó asumir la deuda de un compañero de estudio al cual le había hecho el favor de ser su codeudor. 12. 6.000 mes hasta el mes 5.000 que aumenta $20. Determine el valor de un bien que se compró financiado con las siguientes condiciones: el 10 % del valor de contado como cuota inicial.310.000 cada mes.667. determine cuánto le falta por descontar o si por el contrario ya canceló la totalidad.32. 35.000.000.465.000. 10 pagos mensuales.000. A partir de su observación realice un plan de estudio para superar sus debilidades. El interés era del 24% anual.000 mensuales. 15) determine su valor si el interés es 1.000. 6.000.29 33.5% mes R: Los abonos trimestrales serian de $1.000 disminuyendo $20. Interés 18% semestral.000 si mensualmente realizo consignaciones la primera por $100. AUTOEVALUACIÓN ¿Qué es un gradiente? 267 . Al siguiente mes disminuye sus consignaciones en $5. R: 10. R: En el momento le falta por cancelar $501.000. y le han descontado de su salario 6 cuotas. en el mes 1 consigno $ 100. R: -2.437. en cuanto debe aumentar si estas se realizan hasta el mes 12. y a partir de allí el valor descontado ha aumentado en el 5%. ¿Qué diferencia existe entre un gradiente aritmético y un gradiente geométrico? ¿Qué relación tienen los gradientes con el concepto de series y progresiones. la cual puede ser de comportamiento aritmético o geométrico. momento en el cual se incrementan y vuelven a quedar constantes durante un período igual al anterior. GRADIENTE: Serie de ingresos o pagos que varían con base en una ley de formación. SUBTASA: Tasa de interés entre los subperíodos en un gradiente escalonado. Que aplicación tienen los gradientes en el manejo financiero. en un gradiente aritmético ascendente. vistos en el capítulo uno? En los gradientes en que se diferencia el ascendente del descendente. MERCADO SECUNDARIO: Compra y venta de títulos ya emitidos. Valor(n)= A + g x (n-1) Determinación del valor del gradiente en un período n. En el gradiente geométrico ¿cómo se define la i y la j? En el procedimiento de CÁLCULO del VP o VF. 268 . MERCADO PRIMARIO: Colocación de títulos que salen por primera vez al mercado. FONDO DE AMORTIZACIÓN: Fondo de ahorros que se crea con el objetivo de cumplir con una obligación financiera en el futuro. FÓRMULAS: Cálculo del valor Presente de un gradiente aritmético ascendente. ¿qué diferencia existe entre las anualidades y los gradientes? ¿Qué utilidad tiene el gradiente geométrico escalonado? GLOSARIO ESCALONAMIENTO: Flujo de caja con pagos iguales durante cierto tiempo. SUBCUOTA: En un gradiente escalonado se denomina así a las cuotas SUBPERÍODO: Tiempo que transcurre entre las subcuotas en un gradiente escalonado. en un gradiente aritmético descendente. Valor(n)= A . Cálculo del VP de un gradiente geométrico ascendente. Valor(n)= A x ( 1 . en un gradiente geométrico descendente. Cálculo del VF de un gradiente geométrico descendente. cuando i = j Valor(n)= A x ( 1 + j )n-1 Determinación del valor del gradiente en un período n. Cálculo del valor futuro de un gradiente aritmético ascendente. cuando i = j Cálculo del VF de un gradiente geométrico ascendente. Cálculo del VP de un gradiente geométrico ascendente. Cálculo del valor futuro de un gradiente aritmético descendente. VF = n A ( 1+ i )n-1 Cálculo del VF de un gradiente geométrico ascendente. Cálculo del VP de un gradiente geométrico descendente. en un gradiente geométrico ascendente.g x (n-1) Determinación del valor del gradiente en un período n. 269 . Cálculo del valor presente para un gradiente geométrico escalonado.Cálculo del valor presente de un gradiente aritmético descendente.j )n-1 Determinación del valor del gradiente en un período n. las comisiones bancarias y los seguros. OBJETIVOS ESPECÍFICOS 270 . SISTEMA UVR Y LEASING JUSTIFICACIÓN El objetivo fundamental del sector financiero es la intermediación de recursos económicos o monetarios entre las personas que están en capacidad de ahorrar una parte de sus ingresos o empresas que disponen de excedentes operacionales y quienes requieren de estos recursos para consumo o para invertirlos en una actividad en el sector productivo. El profesional de las ciencias administrativas y contables debe desarrollar competencias para cuantificar los ingresos de un inversionista. Es importante tener en cuenta además de las tablas de amortización. su rentabilidad y para diseñar la amortización más favorable de un crédito.Cálculo del valor futuro para un gradiente geométrico escalonado. CAPÍTULO 6 AMORTIZACIÓN. acorde con las necesidades de financiación y capacidad de pago de la persona o entidad que lo requiere. OBJETIVO GENERAL Desarrollar competencias para liquidar y amortizar un crédito comercial de UVR y para asesorar o tomar decisiones sobre la conveniencia o no del sistema de financiación mediante el leasing. Calcular el valor de las cuotas cuando se compromete el deudor a realizar abonos extraordinarios. para los diferentes sistemas de financiación. con una serie de pagos parciales en determinados períodos de tiempo. 1.000 en veinticuatro meses. Sólo es útil el conocimiento que nos hace mejores. AMORTIZACIÓN DEFINICIÓN Es el proceso mediante el cual se salda o cancela una deuda y sus intereses. 3. Elaborar tablas de amortización. si aumenta las cuotas $100. 6.000. 271 . Sócrates. Calcular el valor de la primera cuota si se va a pagar un crédito de $3. 4. Realizar el mismo ejercicio pero al 1% mensualmente. para: Determinar el valor de los intereses y amortización a capital. Con los resultados de esta autoevaluación realizaré un plan de estudio para superar mis deficiencias y mejorar mi dominio de las finanzas. Conocer los diferentes sistemas de financiación de vivienda. Voy a resolver estas preguntas y problemas y después reflexionaré sobre los procedimientos y respuestas. sistema UVR y leasing y desarrollar competencias que posibiliten mi desempeño futuro en el campo financiero. el interés es del 9% trimestral.Adquirir y dominar los conocimientos sobre amortización.1. Graficar el comportamiento de la cuota y el saldo en los diferentes sistemas de crédito de vivienda. CONDUCTA DE ENTRADA La conducta de entrada me permite autoevaluar los conocimientos y conceptos que me apropié en los capítulos que antecedieron. Explique el funcionamiento de un sistema de financiación por medio del gradiente geométrico escalonado. identifica mis deficiencias para poder superarlas y así abordar el estudio de esta nueva unidad.000 mensuales. Diferencie un gradiente aritmético de un gradiente geométrico 2. 1: 272 . como en el área comercial. PRINCIPALES SISTEMAS DE AMORTIZACIÓN DE CRÉDITOS Los sistemas más utilizados tanto en el mercado bursátil. crecientes o decrecientes. ésta debe contemplar cuantía de la cuota. y en los sectores cooperativo y financiero son los siguientes: PAGO ÚNICO CUOTA FIJA CUOTA FIJA CON ABONOS EXTRAORDINARIOS CON PERÍODO DE GRACIA CON CUOTA FIJA AMORTIZANDO CAPITAL. debe determinarse si las cuotas son iguales. fechas de vencimiento. donde el emisor se compromete a pagar un cupón (interés) periódicamente y el capital es amortizado en el momento del vencimiento del título valor. DE PAGO ÚNICO Es un sistema donde el deudor se compromete a pagar intereses periódicos y el capital al final del tiempo fijado. EJEMPLO 6. amortización a capital y saldo. Es muy utilizado en la emisión de bonos.2 SISTEMAS DE AMORTIZACIÓN DE CRÉDITOS Un sistema de amortización de crédito se puede definir como las condiciones que debe seguir el deudor en la cancelación de una obligación.TABLA DE AMORTIZACIÓN La tabla de amortización es un formato mediante el cual se muestra el proceso de cancelación del crédito. valor de los intereses. Los aspectos básicos que se requieren en la liquidación de un crédito son los siguientes: VALOR DEL CRÉDITO. PLAZO. TASA Y FORMA DE PAGO. y si existen períodos de gracia. Cuando se hace referencia a la forma de pago. 6. para educación algunas entidades sólo prestan por 6 meses. Efectuar la tabla de amortización de esta financiación para un inversionista que compra un bono. DE CUOTA FIJA Para este tipo de crédito se aplica el concepto de anualidad visto anteriormente. En Excel. AMORTIZACIÓN Y SALDO. PROCEDIMIENTO Y ANÁLISIS: La cifra de $24. Para calcular la amortización a capital. PROCEDIMIENTO Y ANÁLISIS El valor de la cuota se determina mediante la fórmula de anualidad La tabla tiene cuatro columnas. pagada bimestralmente es el resultante de multiplicar el valor de cada bono por la tasa de interés bimestral. el plazo es de 36 meses. El saldo no tiene ninguna variación hasta el momento de vencimiento del bono. emite bonos por $600. La cuantía que debe pagar el comprador del vehículo durante 36 meses es de $784. 24 y hasta 36 meses. se utiliza la función PAGO para determinar el valor de la cuota. En el período cero (0). de consumo. En este tipo de liquidación el plazo varía de acuerdo al propósito del crédito.000. los intereses del período. y el interés es del 2% mensual. el saldo es el monto total del crédito. otras líneas son a 12. financiero. PERÍODO. Aquí se calcula el valor de la cuota. INTERÉS. con vencimiento a un año. 273 . se resta del monto de la cuota.000. la cual contempla intereses y amortización a capital. EJEMPLO 6.657. para los créditos de libre inversión. y paga intereses bimestrales a una tasa del 4%.Una compañía.000 c/u.05.000= . Los intereses son fijos durante todos los períodos.2: Liquidar un crédito de vehículo cuyo importe es de $20. Por ejemplo. o en el sector comercial. Se utiliza en el sector cooperativo. las cuotas periódicas son uniformes. con la diferencia que el deudor se compromete con la entidad financiera a amortizar cuotas extraordinarias en el mes 12 y 24 por un valor de $3. Situación que en un momento dado permita que el interesado pueda acceder al crédito y por ende al vehículo.82.676.230. la diferencia radica en que al realizarse abonos extraordinarios.000. se le resta a los $20. comprometer recursos que no le llegan periódicamente. PROCEDIMIENTO Y ANÁLISIS Se calcula el valor presente de los $3. CON PERÍODO DE GRACIA 274 . La columna de interés se determina multiplicando el saldo del período anterior por la tasa de interés. y restan al valor del crédito para efectos de la liquidación de la cuota.643. valor del crédito.000= cada una.000= que se abonan en el mes 12 y 24. EJEMPLO 6. teniendo presente adicionar la columna de los abonos extraordinarios. Una vez conocido el monto de la cuota se realiza la tabla de amortización. El monto que se amortiza es el resultante de restar al valor de la cuota los intereses causados para ese período. CUOTA FIJA CON ABONOS EXTRAORDINARIOS. La cifra obtenida de $4.000=.99.3: Para una mejor explicación se utilizará el mismo ejercicio anterior. El resultado de la resta es el que se utiliza para liquidar el valor de la cuota. pero que en un momento determinado puede contar con ellos. Este sistema al igual que el anterior.000. El saldo se actualiza restando al saldo anterior el valor a amortizar en el período presente. El resultado final es que valor de la cuota se disminuyó a $618.000. éstos se traen a valor presente. El propósito fundamental del deudor al requerir este sistema de liquidación es disminuir el valor de la cuota. PROCEDIMIENTO Y ANÁLISIS: Durante los primeros 6 meses. sólo se paga intereses. PERÍODO.4 Se realiza un crédito para financiar la cosecha a un agricultor.170. AMORTIZACIÓN Y SALDO. La amortización fija a capital es de $416. La amortización es el resultante de restar el valor de la cuota a los intereses. PROCEDIMIENTO Y ANÁLISIS: El valor que amortiza capital se determina dividiendo el monto del crédito en el números de cuotas a pagar.Es importante que se tenga claro que el período de gracia hace referencia al tiempo en que no se amortiza la deuda. un período antes de empezar a amortizar la deuda.5 Para efectos de comparación se utilizará el mismo ejemplo del caso anterior. El valor de la cuota de $661. Para liquidar el monto de la cuota. INTERÉS. Se elabora la tabla de amortización con cuatro columnas.9% mensual. la cuota total es variable y disminuye periódicamente. 275 .000. dado que 6 fueron de gracia. A partir del mes 7 se paga la cuota que se liquidó.67. el plazo es de 24 meses. se calcula dividiendo la cuantía del crédito en el plazo. teniendo como plazo 18 meses. El valor de amortización de capital. por un valor de $10.666. EJEMPLO 6. sólo se liquidan los intereses de $10. EJEMPLO 6.000=. el interés es del 1. AMORTIZACIÓN FIJA A CAPITAL Este tipo de liquidación es utilizado usualmente en los créditos de vivienda en pesos.74 se empieza a pagar a partir del mes séptimo.000=.000. el total del crédito se toma como un valor presente. con un período de gracia de 6 meses. Se elabora la Tabla de amortización. de acuerdo con la siguiente metodología: 276 . La vivienda es un punto fundamental en los programas de cualquier gobierno. Se construyen las cuatro columnas. El interés se calcula multiplicando el saldo del período anterior por la tasa. a la variación del índice de precios al consumidor. El sistema colombiano de ahorro y vivienda si bien es cierto opera dentro del marco de la libertad de empresa. ¿Cómo se determina el valor de la UVR? La UVR se fija diariamente durante el período de cálculo. al gremio de la construcción y a la población en general que tuvieron que observar como perdían sus viviendas por una mala planeación del sistema y de las políticas gubernamentales. el gobierno fija unos parámetros en determinados sectores fundamentales para el logro de las metas en su política económica y social. certificado por el DANE. en Colombia hubo necesidad de modificar el anterior sistema UPAC. ¿Qué es la UVR? La unidad de valor real. PERÍODO. IPC.R. es la unidad de cuenta que se utiliza en los créditos para la financiación de vivienda. Antes de explicar los sistemas de amortización se realizará una breve explicación sobre el funcionamiento de la UVR. ¿Quién determina el valor de la UVR? En virtud de la autonomía dada por la constitución política al Banco de la República. su valor en pesos se fija con base en la inflación. CRÉDITO CON EL SISTEMA U.V. AMORTI-ZACIÓN Y SALDO. El valor de la cuota es el resultante de sumar a la amortización de capital y los intereses. precisamente por llegar a una situación de encarecimiento de la vivienda por el aumento en las cuotas y la poca capacidad de pago por parte de los deudores. como instrumento para la financiación de vivienda en Colombia. por disposición de la Ley 546 de 1999. INTERÉS. Esta problemática afectó tanto al sector financiero. como del sector financiero. es la junta directiva de éste la competente para determinar el valor en pesos de la UVR. hasta el día 15 del mes siguiente inclusive. Es el valor en pesos de la UVR del día t del período de cálculo.3246 277 . Es la variación mensual del índice de precios al consumidor certificada por el DANE durante el mes calendario inmediatamente anterior al mes del inicio del período de cálculo. ¿Por qué los créditos de vivienda utilizan la UVR? Por expresa disposición de la ley de vivienda los créditos de vivienda deben ser denominados en esta unidad. UVR que son publicados mes a mes por el Banco de la República. Es el valor en pesos de la UVR el día 15 de cada mes. Es el número de días (calendario) comprendidos entre el inicio de un período de cálculo hasta el día de cálculo de la UVR. es decir se establece a cuántas unidades UVR equivalen los pesos otorgados en préstamo según la cotización del día. ¿Qué es la corrección monetaria? El término genérico hace referencia al proceso de ajustar o actualizar una obligación dineraria con el índice de inflación. t presenta valores entre 1 y 31 según el número de días (calendario) del período de cálculo respectivo. De esta forma.Períodos de cálculo: es el comprendido entre el día 16 de un mes inclusive. para evitar que su saldo crezca por encima de la inflación. Es el número de días calendario del respectivo período de cálculo. Ejemplo: Crédito aprobado: $ 100.000 Fecha de desembolso: Julio 9/2004 Valor de la UVR al 9 de Julio de 2004: $ 144. no obstante lo anterior. De la aplicación de la fórmula anterior resultan los valores en pesos para la unidad de valor real. la ley también permite que los créditos de vivienda sean denominados en pesos siempre que se cumplan ciertas condiciones. ¿Cuándo y cómo se determina la equivalencia en las UVR del dinero dado en préstamo? Al momento del desembolso del dinero objeto del crédito de vivienda se determina su equivalencia en UVR.000. ¿En qué se diferencia la UVR de la UPAC? Con el tiempo las normas que establecieron la metodología para la determinación de los valores en moneda legal de la UPAC permitieron que ésta reflejase los movimientos de la tasa de interés en la economía.882. transporte.Cantidad de unidades UVR al día 9 de Julio de 2004: 692. y otros. ¿Por qué un crédito en UVR cuando el sistema es de cuota baja. En un momento determinado. en esa misma proporción se reajusta las cuotas mensuales en pesos y el saldo del crédito también aumenta. *Fuente: Página súper bancaria. es mayor que el ajuste de la inflación. cultura.000. recreación.000 entre 144. IPC? El IPC (Índice de precios al consumidor) es calculado mensualmente por el DANE y se basa en la variación que sufren los precios de la “canasta familiar” compuesta por una serie de productos y servicios considerados como de primera necesidad para la población.3246. porque la disminución del saldo en UVR. educación. Es importante tener en cuenta que existen dos aspectos muy importantes en este tipo de liquidación: La tasa de interés y la tasa de inflación.3 SISTEMAS DE AMORTIZACIÓN DE CRÉDITO DE VIVIENDA EN UVR Existen cinco tipo de liquidaciones aprobados por la superintendencia bancaria.57 UVR. aproximadamente en el año 7. de estos tres se liquidan en UVR y dos en Pesos. mientras que la Ley 546 de 1999 establece claramente que la UVR se debe actualizar teniendo en cuenta única y exclusivamente la inflación. IPC. 6. 278 . salud. ¿Quién y cómo se establece el índice de precios al consumidor. vestuario. vivienda. el saldo en pesos comienza a disminuir. ellos son: alimentos. aumenta inicialmente su valor en pesos? Porque el valor de la UVR en pesos refleja el crecimiento de la inflación y por lo tanto. la cual se mide de acuerdo con la variación del índice de precios al consumidor. Este resultado se obtiene de dividir $ 100. se calcula como una anualidad. y la inflación se utiliza para proyectar el valor de la UVR. es el valor a pagar en UVR en el mes. La cuota es fija en UVR. CUOTA BAJA Este tipo de liquidación determina una cuota fija en UVR. y la tasa mensual de interés. CUOTA CONSTANTE EN PESOS. durante los ciento ochenta meses. y el interés mensual. explicarán los tres primeros sistemas dado que los dos últimos se explicaron anteriormente. teniendo como referencia el saldo inicial en UVR. con las siguiente información: El período Valor mensual de la UVR Saldo del crédito en UVR Valor de los intereses en UVR 279 . PASOS Se determina la información básica: Valor crédito Plazo (meses) Inflación proyectada Tasa de interés mes Valor de la UVR Se calcula el valor del crédito en UVR Con base en el valor del crédito en UVR. NOTA: Los siguientes ejemplos. se liquida la anualidad. los ciento ochenta meses.Con la tasa de interés se liquidan los intereses del saldo del crédito en UVR. siendo n. El resultado obtenido. Se organiza la tabla de amortización. Los sistemas son los siguientes: CUOTA BAJA CUOTA MEDIA CUOTA CÍCLICA POR PERÍODOS ANUALES AMORTIZACIÓN CONSTANTE A CAPITAL EN PESOS. multiplicando el valor fijo de la cuota mensual en UVR. comenzando por cero (0). Se proyecta el valor de la UVR para cada mes en el total de tiempo del crédito. EJEMPLO 6. el valor de la deuda por la tasa de interés mensual. se calcula en pesos ($).000= PLAZO (meses): 180 TEA: 13.000. Con el monto de la cuota en UVR. ahí se observa el comportamiento periódico de la deuda. si son quince años.Valor de la amortización en UVR Valor de la cuota en pesos ($). En la siguiente columna se liquida los intereses en UVR. por el valor de la UVR. CUOTA EN UVR 280 . muestra la liquidación de un crédito con cuota baja. Se organiza la columna del saldo del crédito en UVR. por el equivalente mensual de la UVR. con el valor inicial del crédito en el período cero. Es importante recalcar que esta tasa no tiene en cuenta la inflación. En la columna del valor de la amortización en UVR.91% INFLACIÓN ANUAL 6% CARACTERÍSTICAS DEL COMPORTAMIENTO DE LA CUOTA BAJA Y DEL SALDO Se va a explicar el comportamiento de la cuota en UVR y en pesos de la cuota baja. Valor del saldo del crédito en pesos ($). con base en la inflación estimada. y del saldo en pesos. Se ordena la columna de períodos. momento de desembolso hasta el mes 180. es donde se resta al total de la cuota en UVR el valor de los intereses en UVR. Resulta de multiplicar el saldo en UVR. La última columna es la del saldo en $.A partir del mes uno se determina así: Al saldo anterior se le resta la amortización. sus condiciones son: VALOR: $70. (0).6 El siguiente ejemplo. y para conocer el valor total de la cuota se suma la amortización al capital y el interés. La cuota de amortización en UVR. SALDO EN PESOS El saldo aumenta hasta el mes setenta y dos. se caracteriza por ser una cuota de intereses decrecientes y abono a capital creciente. para el caso del ejercicio se divide 488. El interés se calcula multiplicando la tasa por el saldo. CUOTA MEDIA En este tipo de liquidación. el deudor se compromete a efectuar amortizaciones en UVR mensualmente en valores iguales durante el plazo del crédito. se determina al dividir el valor del crédito en UVR entre el tiempo del crédito.56 en 180 meses. CUOTA EN PESOS El comportamiento de la cuota en pesos es creciente. El siguiente ejemplo se realiza con los mismos datos utilizados para el tipo de liquidación en cuota baja. a partir de allí comienza a disminuir. PASOS Se determina la información básica: Valor crédito Plazo (meses) Inflación proyectada Tasa de interés mes Valor de la UVR Se calcula el valor del crédito en UVR 281 . Separando el interés de la amortización.El valor de la cuota es constante en UVR. no teniendo en cuenta el seguro su aumento está dado de acuerdo a la inflación.657. la tendencia de la amortización es ascendente mientras que los intereses es descendente. si son quince años. con base en la inflación estimada. momento de desembolso. El valor obtenido. hasta el mes 180. Se organiza la columna del saldo del crédito en UVR. se calcula en pesos ($). comenzando por cero (0). En la columna del valor de la cuota en UVR. multiplicando el monto fijo de la cuota mensual en UVR. Monto del saldo del crédito en pesos ($). se liquida la cuota de amortización mensual en UVR.7 282 . El pago total de la cuota es el resultado de sumar el valor que amortiza capital y los intereses mensuales en UVR. por el valor mensual de la UVR. Resulta de multiplicar el saldo en UVR.A partir del mes uno se determina así: Al saldo anterior se le resta el valor fijo de amortización mensual. con las siguiente información: El período Valor de la UVR Saldo del crédito en UVR El valor de los intereses en UVR Total valor de la cuota en UVR Valor de la cuota en pesos ($). Con base en el valor del crédito en UVR. estando el total del crédito en el período cero. Se ordena la columna del períodos. La última columna es la del saldo en $. ahí se observa el comportamiento periódico de la deuda. el valor de la deuda por la tasa de interés mensual. EJEMPLO 6. Es importante recalcar que esta tasa no tiene en cuenta la inflación. es el monto que amortiza mensualmente al saldo de la deuda en UVR. Se organiza la Tabla de amortización. dividiendo el valor del crédito en UVR sobre el tiempo del crédito en meses. En la siguiente columna se liquida los intereses en UVR. Se proyecta el valor de la UVR para cada mes en el total de tiempo del crédito. por el valor de la UVR. (0). Teniendo El valor de la cuota en UVR. es donde se suma al monto fijo de la cuota de amortización de capital en UVR el valor de los intereses en UVR. CUOTA EN UVR Su tendencia es decreciente. a partir de allí comienza a disminuir. que se distribuye en cuotas mensuales en UVR. CUOTA CÍCLICA POR PERÍODOS ANUALES Este es un método combinado. Separando el interés de la amortización. donde se liquida una cuota anual fija en UVR. momento en el cual se aumenta nuevamente de tal forma que la primera cuota de cada año en UVR es igual a la primera cuota del año anterior.CARACTERÍSTICAS DEL COMPORTAMIENTO DE LA CUOTA MEDIA Y DEL SALDO Al igual que en la cuota baja. y del saldo en pesos. momento en el que empieza a disminuir. SALDO EN PESOS El saldo aumenta hasta el mes setenta y dos. pero éstas disminuyen mensualmente de acuerdo al índice de inflación durante el año. la tendencia de la amortización es ascendente mientras que los intereses es descendente. PASOS Se determina la información básica: Valor crédito Plazo Inflación proyectada Tasa de interés Valor de la UVR Se calcula el valor del crédito en UVR 283 . CUOTA EN PESOS El comportamiento de la cuota en pesos es creciente. se va a explicar el comportamiento de la cuota en UVR y en pesos de la cuota media. hasta el mes sesenta y siete. Se organiza la tabla de amortización. el valor de la deuda por la tasa de interés mensual. Valor del saldo del crédito en pesos ($). recordar que para este sistema se aplica el gradiente geométrico descendente. momento de desembolso. El valor de A mensualmente se va disminuyendo por el valor de la inflación del mes hasta terminar el año. o el valor a pagar cada año en UVR. primera cuota de cada año en UVR. Una vez se obtiene el valor a pagar en UVR al año. Se recuerda la fórmula de valor futuro de un gradiente geométrico descendente. con las siguiente información: El período Valor de la UVR Saldo del crédito en UVR El valor de los intereses en UVR Valor de la cuota en UVR Valor de la cuota en pesos ($). Con base en el valor del crédito en UVR. es el valor a pagar en UVR en el año. Se determina la primera cuota mensual. Se ordena la columna del período. En la siguiente columna se liquida los intereses en UVR. Una vez terminado el año. se inicia nuevamente el proceso. VF = Una vez calculado A. siendo n. los quince años. se liquida la anualidad. 284 . Se proyecta el valor de la UVR para cada mes en el total de tiempo del crédito. (0). la tasa efectiva Anual. comenzando por cero (0). El valor obtenido. Es importante recalcar que esta tasa no tiene en cuenta la inflación. la tasa de disminución es la inflación mensual. Se organiza la columna del saldo del crédito en UVR. hasta el mes 180. El VF es el valor de la anualidad calculado anteriormente.91%). durante los quince años. se procede a calcular el valor de las cuotas mensuales en UVR para cada uno de los meses del año. y el interés (13. si son quince años. durante los quince años. con base en la inflación estimada. A partir del mes uno se determina así: Al saldo anterior le suma los intereses y le resta la amortización. con el total del crédito en el períodos cero. por ser las cuotas anuales de UVR constantes. 285 .8 CARACTERÍSTICAS DEL COMPORTAMIENTO DE LA CUOTA DEL SISTEMA VARIACIÓN CÍCLICA ANUAL Y DEL SALDO. se calcula en pesos ($).4. SALDO El saldo aumenta en los primeros años de vigencia del crédito hasta el mes setenta y tres (73). hasta el mes doce (12). EJEMPLO 6. Una vez ordenado el primer año. la tendencia descendente de cada año se repite. LEASING DEFINICIÓN El leasing se puede definir como una transacción financiera en la cual una persona le alquila a otra un bien para que lo utilice libremente por un período de tiempo determinado. los demás se repiten. En la columna del valor de la cuota en UVR. de ahí el nombre de cíclico Teniendo el valor de la cuota en UVR. En el período 1 se ubica el valor de A y a partir de allí disminuye el valor de la inflación mensual. pero mensualmente dentro cada año la tendencia es levemente descendente. momento en el cual empieza a disminuir. CUOTA EN UVR Como se explicó anteriormente. mensual o trimestral). Para ello se firma un contrato a través del cual se adquiere el derecho a utilizar el bien a título de arrendamiento. ahí se observa el comportamiento periódico de la deuda. La última columna es la del saldo en $. 6. CUOTA EN PESOS La cuota aunque trata de ser ligeramente estable durante el año. por la cual. anualmente aumenta de acuerdo a la inflación. se conviene un canon (bien por pago anticipado o por pago vencido. es donde se organizan los resultados del gradiente geométrico descendente. 9 Efectuar la Tabla de amortización para el arrendamiento de un vehículo avaluado en $50. LEASING OPERATIVO: Se denomina así al leasing que no tiene opción de compra.000. pero podemos destacar tres clasificaciones.301.000. se fijó como valor residual el 20% del valor de contado. los equipos que su empresa necesita. tomando como valor presente el precio del activo descontado por el valor residual. 286 . El resultado para el ejemplo fue de $741. que normalmente se sitúa entre el uno y el diez por ciento del valor de adquisición del equipo. La empresa de LEASING adquiere del proveedor escogido por usted. al final el activo regresa a su dueño inicial. el leasing operativo. Al finalizar el plazo le permitirá adquirir el bien por un porcentaje de su valor inicial (opción de compra). CLASIFICACIÓN DEL LEASING Las exigencias del mercado han hecho que las entidades financieras desarrollen diferentes variantes de leasing. La firma se los entrega en arriendo durante un plazo convenido. se determinó un plazo de 120 meses y una tasa efectiva del 20. financiero y el lease back. la transacción incluye que de antemano se fije o no la opción de compra. LEASE BACK: Sistema mediante el cual el dueño de un activo que requiere recursos le traspasa la propiedad de un activo a la compañía de leasing.Finalmente.78. Este resultado se denomina cuota sin los intereses del valor residual. PROCESO Y FINANCIACIÓN MEDIANTE EL LEASING COMERCIAL Usted define la maquinaria que requiere para el desarrollo de su negocio y el proveedor. tiempo durante el cual usted pagará un canon de arriendo en forma periódica.5% PROCEDIMIENTO Y ANÁLISIS: Para el cálculo del valor de la cuota que el tomador del leasing debe pagar se requiere seguir el siguiente procedimiento: Se liquida la cuota como una anualidad. la que a su vez se lo alquila por un tiempo. previamente establecida en el contrato de arriendo EJEMPLO 6. LEASING FINANCIERO: Este sistema si da la opción de compra. VENTAJAS DEL LEASING Los arrendatarios. adquieran activos que generen de renta a través del Leasing Financiero. Al vencimiento del contrato el inmueble se devuelve a su propietario o se transfiere. para efectos de capacidad de crédito. - Inmuebles: 60 meses. que durante los años 2004 y 2005. Para el caso.000. 6. pueden registrar como gasto deducible la totalidad del canon de arrendamiento causado. ni el pasivo en la contabilidad. El valor resultante es $897.5 LEASING HABITACIONAL Es un contrato mediante el cual se adquiere la posesión de un inmueble con destino a vivienda. si se decide ejercer la opción de compra pactada y paga el valor restante.000. Algunas importaciones de maquinaria industrial y equipos no producidos en el país están excluidos de IVA y Aranceles. es decir los $10.37. Se elabora la Tabla de amortización. Las empresas mantienen su nivel de endeudamiento.613. 287 . Para adquirir el bien se debe pagar el valor residual.15. PERÍODO. sin importar el monto del patrimonio bruto. Es de gran importancia para las empresas con problemas de liquidez y para aquellas que requieren tecnología de punta. La cuota a pagar mensualmente es el resultante de la suma de la cuota después de descontarse el valor residual y los intereses de éste. cuando los contratos cumplan con los plazos mínimos establecidos: - Vehículos de uso productivo y equipos de cómputo: 24 meses. La amortización se presenta si el arrendatario toma la opción de comprar el activo pagando el valor residual.915. equipos. No se requiere registrar el activo. AMORTIZACIÓN Y SALDO. a cambio del pago de un canon mensual con opción de comprarlo o devolverlo una vez termine el plazo convenido. el resultado es de $156. Se liquida los intereses del valor residual. organizando cuatro columnas. INTERÉS. muebles y enseres: 36 meses. - Maquinaria. y el interés (0. siendo n. sin necesidad de cancelar la cuota inicial. por el contrario se cancela un valor al final. 288 . Con base en el valor del crédito en UVR. la cuota baja y media. se liquida la anualidad. para el ejemplo que se ha trabajado inicialmente. PASOS Se determina la información básica: Valor crédito en pesos y en UVR % del valor residual Valor residual en pesos y en UVR Plazo Inflación proyectada Tasa de interés Valor de la UVR Se calcula el valor de la cuota en UVR.Este sistema tiene como ventaja que el tomador del leasing vivirá en calidad de arrendatario. la tasa mensual. CUOTA BAJA Se va a efectuar la Tabla de amortización del sistema de adquisición de vivienda mediante el leasing habitacional. cuando se ejerza la opción de compra. al tiempo que abona una parte del precio de la misma con el pago de un canon mensual. Existen dos modalidades de financiación. Se organiza la tabla de amortización.949%). con las siguiente información: El período Valor de la UVR Saldo del crédito en UVR El valor de los intereses en UVR El valor que amortiza en UVR Valor de los intereses en pesos ($). ciento ochenta meses. Se organiza la columna del saldo del crédito en UVR. hasta el mes 180. momento de desembolso. con base en la inflación estimada. es importante recalcar que al finalizar el plazo del leasing.Valor de la cuota en pesos ($). el valor de la deuda por la tasa de interés mensual. es calculada multiplicando el monto de la cuota en UVR multiplicada por la UVR más el valor de los intereses del valor residual. CUOTA EN PESOS Va aumentando por el índice de Inflación.4 Características del Comportamiento de la Cuota del Sistema de Leasing dn Cuota Baja y del Saldo. EL SALDO El saldo tiene un comportamiento ascendente hasta el mes sesenta y seis donde comienza a disminuir.A partir del mes uno se determina así: Al saldo anterior le resta la amortización.768. estando el total del crédito en el período cero. por el valor de la UVR. Valor del saldo del crédito en pesos ($). El valor de la cuota en pesos. si se desea adquirir el bien se debe pagar el valor residual. si toma la opción de compra. El valor de amortización se da descontando al monto de la cuota. En la siguiente columna se liquida los intereses en UVR. multiplicando el valor residual en UVR. por la tasa de interés mensual. Es importante recalcar que esta tasa no tiene en cuenta la inflación. El interés del valor residual en pesos se determina. VALOR FINAL RESIDUAL EN $ 16.964. (0). Se proyecta el valor de la UVR para cada mes en el total de tiempo del crédito. los intereses. comenzando por cero (0). Se ordena la columna del período. CUOTA MEDIA 289 . El saldo en pesos esta dado por el saldo en UVR multiplicado por la UVR del período. si son quince años. dividiendo el valor del crédito en UVR sobre el tiempo del crédito en meses. momento de desembolso. con las siguiente información: El período Valor de la UVR Saldo del crédito en UVR El valor de los intereses en UVR El valor de la cuota en UVR Valor de los intereses del valor residual en pesos ($). se liquida la cuota de amortización mensual en UVR.Una vez estudiada la Tabla de amortización por el sistema de cuota baja. si son quince años. El monto obtenido. PASOS Se determina la información básica: Valor crédito en pesos y en UVR % del valor residual Valor residual en pesos y en UVR Plazo Inflación proyectada Tasa de interés Valor de la UVR Con base en el valor del crédito en UVR. si toma la opción de compra. comenzar por cero (0). 290 . El valor total de la cuota es el resultado de sumar el valor que amortiza capital y los intereses mensuales en UVR. Valor de la cuota en pesos ($). Se organiza la Tabla de amortización. Se proyecta el valor de la UVR para cada mes en el total de tiempo del crédito. con base en la inflación estimada. Se ordena la columna del período. hasta el mes 180. Valor del saldo del crédito en pesos ($). es el valor que amortiza mensualmente al saldo a la deuda en UVR. se va a realizar el mismo ejercicio para la cuota media. multiplicando el valor fijo de la cuota mensual en UVR. A partir del mes uno se determina así: Al saldo anterior se le resta el valor fijo de amortización mensual. por el valor mensual de la UVR.768. CUOTA EN PESOS Va aumentando hasta el mes cien (100) y a partir de allí comienza a disminuir. se calcula en pesos ($). con el total del crédito en el período cero. En la columna del valor de la cuota en UVR. Con el dato de la cuota en UVR. amortizando gradualmente su vivienda mientras paga un canon de arrendamiento. El interés del valor residual en pesos se determina. resultante de multiplicar el valor residual en UVR. VENTAJAS DEL LEASING HABITACIONAL El Leasing habitacional está diseñado para las familias que no tienen los recursos suficientes para una cuota inicial. por la tasa de interés mensual. el valor de la deuda por la tasa de interés mensual. VALOR FINAL RESIDUAL 16. 768.964 EN $ CARACTERÍSTICAS DEL COMPORTAMIENTO DE LA CUOTA DEL SISTEMA DE LEASING EN CUOTA MEDIA Y DEL SALDO. ahí se observa el comportamiento periódico de la deuda. por el valor de la UVR correspondiente al periodo. Es importante recalcar que esta tasa no tiene en cuenta la inflación. por el valor de la UVR. en cuyo caso la opción de adquisición no podrá 291 . Se organiza la columna del saldo del crédito en UVR. si se desea adquirir el bien se debe pagar el valor residual. multiplicando el valor residual en UVR. Resulta de multiplicar el saldo en UVR. (0). EL SALDO El saldo tiene un comportamiento descendente. es importante recalcar que al finalizar el plazo del leasing.964. En la siguiente columna se liquida los intereses en UVR. es donde se suma al valor fijo de la cuota de amortización de capital en UVR el valor de los intereses en UVR. La última columna es la del saldo en $. para este ejercicio sería $ 16. por la UVR del último mes. a las empresas de este país. Estos puntos se denominan SPREAD. ellos son: Tasa de interés del banco en el exterior Tasa de devaluación TASA DE INTERÉS EN MONEDA EXTRANJERA Las tasas sobre la cual se fijan los créditos en moneda extranjera son: La PRIME RATE y la LIBOR PRIME RATE Está fijada como el costo que cobra la banca en los EE. LIBOR Sigla de la London Inter Bank Offer Rate.6. AMORTIZACIÓN DE UN CRÉDITO EN MONEDA EXTRANJERA En el momento de pensar en la opción de financiarse en moneda extranjera. Es la tasa promedio ofrecida en el mercado interbancario de Londres. TASA DE DEVALUACIÓN Por devaluación se puede definir como la evolución de la tasa de cambio o paridad cambiaria de la moneda local frente a unas monedas fuertes. El comportamiento de la devaluación hace que el costo del crédito se haga barato o por el contrario bastante oneroso. se debe conocer varios factores que van a incidir en la ventaja o desventaja de haber tomado esta opción. TASA EFECTIVA DEL CRÉDITO EN MONEDA EXTRANJERA 292 .ser superior al 30 por ciento del valor comercial del bien en pesos o en unidad de valor real (UVR). Los intereses de los créditos se fijan con algunos puntos sobre la Prime. El SPREAD varía de acuerdo como esté calificado el riesgo que para la banca represente el país del usuario del crédito. Las personas asalariadas pueden optar por disminuir la base mensual de retención en la fuente por concepto de pago de intereses y corrección monetaria 6. Los usuarios del leasing pueden deducir la parte correspondiente a los intereses y/o corrección monetaria o costo financiero que haya pagado durante el respectivo año.UU. El banco extranjero cobra la tasa Prime más dos puntos y el pago en cuotas trimestrales iguales. I efectivo = (1.8% anual. si la tasa de interés es la Prime más dos puntos y la devaluación proyectada es del 10% anual.1 I efectivo = 0.1) .000. y el abono a capital se realiza en ocho cuotas iguales.08 x 1.188 RESPUESTA El interés efectivo del crédito en moneda extranjera es del 18. la tasa que cobra el banco extranjero es el 8% anual. ANÁLISIS DEL EJERCICIO Para calcular el costo del crédito se debe conocer la tasa Prime. Como períodos de gracia un año. y la devaluación esperada. EJEMPLO 6. ANÁLISIS DEL EJERCICIO Para efectuar la Tabla de amortización de un crédito en moneda extranjera se debe conocer la tasa de cambio.000. Es decir. el interés efectivo sería el siguiente. EJEMPLO 6.La tasa efectiva de un crédito en moneda extranjera es la resultante de multiplicar la tasa de interés cobrada por el Banco extranjero con la tasa de devaluación. Se consultó y la tasa Prime está en el 6% anual.10 Determinar el costo de un crédito en moneda extranjera. El plazo del crédito son tres años. para financiar un estudio de factibilidad para la construcción de una hidroeléctrica. se quiere analizar el costo de dicho financiamiento y como sería la tabla de amortización.11: Se requiere $500. porque en el momento del desembolso y de los pagos. la empresa beneficiaria requiere pesos para el caso colombiano para reunir los dólares u otra moneda para efectuar los abonos o pagos de las cuotas. Como la tasa de devaluación esperada es del 10%. PROCEDIMIENTO 293 . Se hace lo mismo con la tasa de interés. El interés es el resultante de multiplicar el saldo anterior por la tasa del crédito. EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN La realización de estos ejercicios permitirá desarrollar las competencias necesarias para respaldar nuestro desempeño laboral en el campo de las finanzas. La tasa de cambio se proyecta multiplicando la tasa de cambio del trimestre anterior por la devaluación proyectada del trimestre. TASA DE CAMBIO. AMORTIZACIÓN US$. ¡Adelante y muchos éxitos! 1. La amortización que se inicia a pagar a partir del segundo año. al saldo anterior se le resta el valor a amortizar en dólares. Conociendo la devaluación esperada. Se organiza la Tabla de amortización. Si tenemos complicaciones para resolver alguno de ellos. y que los pagos son trimestrales se calcula la tasa de devaluación trimestral.000 a 36 meses con un interés del 2. INTERÉS US$. métodos y procedimientos adecuados para dar las soluciones requeridas.2% mensual por el sistema de: PAGO ÚNICO CUOTA FIJA. resulta de dividir el total del crédito en ocho cuotas. Liquidar un crédito de $10. podemos recurrir al tema de este capítulo del libro donde encontramos los conocimientos. El total de pago en pesos es el resultado de multiplicar la tasa de cambio con la suma entre los intereses y la amortización en dólares. proponer soluciones alternativas y asesorar o tomar decisiones.000. El saldo empieza a disminuir a partir del segundo año. TOTAL PAGO EN $. SALDO EN US $.PASOS: Al conocer la tasa de cambio se calcula la necesidad de recursos en dólares. así como adquirir la experiencia y habilidad necesaria para identificar y formular problemas. Las columnas son las siguientes: PERÍODOS. Analicemos cuidadosamente estos problemas y de nuestros conocimientos con el uso adecuado démosle una solución adecuada y eficaz. 294 . La tasa de cambio es de $2.000. Liquidar un crédito de vivienda de $200. BONO: Título crediticio emitido por un gobierno o una empresa mediante el cual el emisor se compromete a pagar unos intereses (cupón) en unas fechas fijadas y a reembolsarlo en el momento de su vencimiento. Analice el ejercicio anterior pero con el leasing habitacional. con una tasa de interés efectiva anual del 20% y una inflación proyectada del 6% anual. La tasa Prime es del 5. El plazo es de 24 meses. Abono a capital: 8 cuotas semestrales iguales. 295 . con el sistema de cuota fija pero con abonos extraordinarios de $1.000. Determine el costo de un crédito de $800. dieciocho. El valor residual es del 10%. El mismo ejercicio anterior.000.000 en el mes seis. Realice la Tabla de amortización si deseo adquirir un camión por el sistema de leasing. El ejercicio número uno con un período de gracia de seis meses.000. GLOSARIO AMORTIZACIÓN: Pago de un crédito mediante el abono de cuotas en un período predefinido. 6. la tasa de interés del 25% anual. doce.3148.000. y se espera una devaluación anual del 10%. Suponga que el valor de la UVR inicial es de 150. 3. la tasa del banco extranjero es el Prime más tres puntos. CUOTA FIJA CON AMORTIZACIÓN DE CAPITAL 2. el valor del vehículo es de $220. Las condiciones son las siguientes: Plazo: 10 semestres Período de gracia: un año.000 en US $.000 y el valor residual es del 20%. 4. el cliente quiere analizar los siguientes sistemas de financiación: CUOTA BAJA CUOTA MEDIA CUOTA CÍCLICA POR PERÍODOS ANUALES 5.8% anual. se estudiará los sistemas de cuota baja y media. veinticuatro y treinta.600. 7. FECHA DE EMISIÓN: Fecha a partir del cual se crean los títulos y se colocan en el mercado.COSTO DE CAPITAL: Tasa de interés que paga un empresario para financiarse. DEVALUACIÓN: Pérdida de valor de la moneda nacional frente a la de otro país. FONDOS DE INVERSIÓN: Ente financiero que recibe dinero de pequeños inversionistas para invertirlos en un mercado más grande y brindarles una mejor rentabilidad y menor riesgo a sus inversores. TASA LIBOR: Tasa promedio ofrecida en el mercado interbancario de Londres. RIESGO DE LA TASA DE CAMBIO: Posibilidad de pérdida por variación inesperada en las tasas de cambio. TABLA DE AMORTIZACIÓN: Tabla en la que se describe la forma de cancelación de un crédito. TASA PRIME RATE: Tasa de interés para créditos corporativos calculado por el Banco de la reserva federal en los Estados Unidos. descomponiendo la suma que paga por intereses y la que se abona a capital. TASA DE DEVALUACIÓN: Indicador de la pérdida de valor de una moneda frente a una extranjera. 296 . COTIZACIÓN: Expresión de uso bursátil para señalar el valor de las acciones. . Acto de investigar el valor relativo de algunos servicios.. El Diccionario Económico Financiero de Puntos Suspensivos Editores Consultores define Evaluación Económica: Metodología que permite establecer el valor económico de una empresa. 1990.post la bondad de las inversiones financieras. Invertir presupone la compra de algo con la intención de guardarlo sólo mientras resulta beneficioso. de un factor productivo o de un proyecto de inversión. Ahora conceptualicemos “inversión”. Sin embargo. El Diccionario Económico Financiero de Puntos Suspensivos Editores Consultores la define: 297 . determinándose así su rentabilidad... o para venderlo en una fecha posterior para hacer una ganancia. el docente le explica su aplicabilidad en casi todas las decisiones que se toman en el actuar cotidiano. (.. define Evaluación de Proyectos: Técnica moderna que permite verificar excedente y ex . para abordar este tema será imprescindible conceptualizar los términos “Evaluación económica” e “Inversión” Ricardo Fernández autor del Dictionary of Modern Bussines de Limusa en 1992..) Permite calcular los beneficios y los costos de una inversión. organizaciones o mercancías. El Diccionario de Términos Financieros del autor Rafael Barandiarán de Editorial Trillas. define Evaluar: Determinar el valor de una cosa.CAPÍTULO 7 EVALUACIÓN DE INVERSIONES JUSTIFICACIÓN Cuando el estudiante cuestiona sobre el uso de estos conocimientos en su vida práctica. La Federación Latinoamericana de Bancos en su publicación Introducción a la Terminología Financiera del autor Robert Marcuse define la Inversión: Colocación de dinero con el propósito de obtener del mismo un rendimiento satisfactorio o una ganancia de capital. Determinar la tasa interna de retorno.” Robert Browning 298 . OBJETIVO GENERAL Dominar el conocimiento y uso de las técnicas para evaluar y seleccionar alternativas de inversión que posibiliten mi desempeño futuro como asesor en el campo financiero. para continuar mi estudio de finanzas.Es la aplicación de recursos económicos al objetivo de obtener ganancias en un determinado período. Dominar el método del costo anual uniforme equivalente. Comprender acertadamente el análisis de sensibilidad y sus ventajas en la toma de decisiones EVALUACIÓN DE ENTRADA Es importante tener en cuenta que la evaluación de entrada permite apreciar los conocimientos y conceptos aprendidos y los que ya poseo. Esta autoevaluación o reflexión deja identificar mis deficiencias para poder superarlas. Cálculo del valor presente neto en un flujo de caja. ese hombre vale algo. De la observación de este tema podemos concluir que el propósito de este capítulo es el de compartir las técnicas utilizadas para evaluar y seleccionar la mejor alternativa de inversión. “Cuando la lucha de un hombre comienza dentro de sí. OBJETIVOS ESPECÍFICOS La comprensión y aprehensión de los conocimientos sobre la evaluación y selección de alternativas de inversión me permitirán el desarrollo de habilidades y destrezas en la evaluación de inversiones posibilitándome ser más competitivo y eficaz en mis asesorías y decisiones financieras: Manejo adecuado del concepto de tasa de oportunidad. e invita a iniciar el estudio de esta unidad. ¿Qué ventajas tiene el uso del leasing? 5. el saldo de la deuda inicialmente aumenta y después comienza a disminuir? 4. 3. ¿cuál sería el valor a pagar por este mismo título? TASA DE OPORTUNIDAD PARA B: 25% anual.000= y su vencimiento es dentro de un año.000 299 .1.13.13 Para que el inversionista A.1. 2. Si existe un inversionista B. EJEMPLO 7.672. compraría el título en $819. ¿cuál debe ser el precio de compra si desea una rentabilidad del 22% anual? TASA DE OPORTUNIDAD PARA A: 22% Anual. el precio por el bien comprado es menor. con base en ella se toma la decisión de asignar determinada cantidad de dinero.672. ¿Por qué alguien que desee adquirir vivienda utilizaría el sistema de leasing habitacional y no los otros sistemas de financiación? 7. VALOR INVERTIDO POR B = = $800. Explique las ventajas de cada uno de ellos. Exponga detalladamente algunos métodos de sistemas de financiación comercial.000. VALOR INVERTIDO POR A = = 819. tenga una rentabilidad del 22%. Entre mayor sea la tasa que el inversionista desea ganar.1 Si un inversionista A desea comprar un título cuyo valor nominal es de $1. ¿Por qué en el sistema de la UVR. pero desea una rentabilidad del 25% anual. TASA DE OPORTUNIDAD La tasa de oportunidad es la mínima que el inversionista desea ganar en el proyecto a invertir. Si es negativo.000. puesto que su rentabilidad es superior a la tasa de oportunidad del inversionista.002. el inversionista tiene una rentabilidad superior al 3%.2: Se compra un taxi en $30. Si el resultante es CERO. 300 . EJEMPLO 7.VALOR PRESENTE NETO Es el resultado de calcular la diferencia del valor presente de los ingresos y egresos del flujo de caja del proyecto que se va a evaluar. La cifra estimada mide el proyecto en pesos de hoy. o en los que se encuentra invirtiendo en el momento.000.000= El inversionista B pagaría menos por el título dado que su tasa de descuento es mayor.873. indica que el proyecto es viable.000. DECISIÓN DE INVERSIÓN: Si el resultado es positivo o sea mayor que CERO.78 + 942. tenga una rentabilidad del 25%. el cual se espera que mensualmente deje libre de gastos $1.284.595.78 VPN = 1. Si la tasa de oportunidad del inversionista es el 3% mensual.2. indica que el proyecto es inviable.002. compraría el título en $800. puesto que el inversionista prefiere invertir en los negocios que le garantizan la actual tasa de oportunidad. frente a la tasa de oportunidad del inversionista.000.000 + 970.533.198.000 + + + VPN = -30.000. 7.78 Se realiza un buen negocio porque el VPN es mayor que CERO o sea. o sea.000=. quiere decir que es indiferente invertir en este proyecto. ¿qué tan buen negocio se realiza? VPN = -30.000 + 31.198.000= a los tres meses lo vende en $31.000.9 + 29.000. en el período cero.1 VPN = -30. menor que CERO.Para que el inversionista A. 812.5% mes.100. esto quiere decir que la rentabilidad del proyecto fue inferior al 2.000.703. dado que su valor presente neto es inferior a cero. CÁLCULO DEL VPN CON LA CALCULADORA FINANCIERA HP Para desarrollar el anterior ejercicio con la calculadora.000 +/.311.000 x + VPN = -5.000 INPUT INPUT CALC 2.3 Un estudiante compra una motocicleta en $5.703.000 + 550.000.INPUT 100.484.000= y a los seis meses la vende en el mismo valor que la compró.000 INPUT 5 INPUT 5. determine si fue un buen negocio.5 % I VAN VAN = -137.EJEMPLO 7.000.33 VPN = -137.000. Se va a utilizar la fórmula de anualidades.000 + 100. la tasa de oportunidad es del 2. si mensualmente le queda libre de gastos $100.000= para realizar mensajería.5% mensual. el procedimiento es el siguiente: FIN F: CAJA CLEAR DATA.13 CÁLCULO DEL VPN EN EXCEL Como se ha enunciado anteriormente se entra por el menú de funciones financieras. y se busca VNA. 301 . VPN = -5. SI 5.53 + 4.13 RESPUESTA: No fue un buen negocio para el estudiante. TIR Es la tasa de interés que hace que el valor presente de los ingresos sea igual al valor presente de los egresos. momento en el cual hace reposición de equipos y le reciben sus anteriores máquinas por el 30% del valor de compra. resultante de sumar la inversión inicial D5 y el valor presente del flujo de los períodos 1 al 6 (D15).3.000 y $2. EJERCICIOS DE PRÁCTICA Un grupo de estudiantes conforman una sociedad y crean un negocio de servicio de Internet. es la tasa de interés que devengan los dineros que permanecen invertidos en un proyecto.5% mes. TASA INTERNA DE RETORNO .000.703. la vida útil sin ocasionar mayores molestias es de tres años.000 respectivamente durante el primer año. mensualmente le ingresa por fotocopias $5.13. se le debe sumar al resultado obtenido el valor de la inversión. para el segundo año sus ingresos aumentaron el 15% y sus gastos el 12%. En este cuadro se observa el VPN de -$137.Es importante observar el rango que se toma para determinar el VPN. O.000.000.000. Su mejor amigo le consulta sobre la viabilidad del negocio de fotocopias que tiene en la universidad. 302 . para determinar el VPN. El valor del período cero (0) no hace parte de este rango.000. al finalizar el segundo año venden el negocio en $25.000.000. que el VPN sea igual a CERO (0). es decir. y sus ingresos y gastos mensuales fueron de 4. trimestralmente el mantenimiento de las máquinas tiene un costo de $300. para prestar un buen servicio invirtió en equipos $12. que en el cuadro se observa en la casilla B5. El resultado obtenido es el VP del flujo de caja del período uno (1) al seis (6). su inversión fue de $15.000 y de gastos $2.000.000.8% mes. asesore a su amigo sobre el negocio. 7.500.000.000. Si la tasa de rentabilidad esperada es del 3. determine si les fue bien en el proyecto dado que los socios esperaban una rentabilidad del 3. EJEMPLO 7.El cálculo de la tasa interna de retorno.000 5 3.000 El interrogante es la tasa interna de rentabilidad de la Inversión.000 3 3.4: Se invierte en un negocio $5.000.200. Si la TIR es menor que la tasa de oportunidad del inversionista.000 2 2.000=. se rechaza el proyecto. es indiferente la inversión en el proyecto.000. Si la TIR es igual a la tasa de oportunidad. Una vez se tienen los valores aproximados mediante el método de interpolación se calcula el resultado definitivo. presenta unos ingresos netos de la siguiente manera: Año 1 2.000.000 303 .000 4 3. buscando que las tasas estimadas totalicen los valores del flujo de caja por encima y por debajo de la inversión. VALOR DE LA INVERSIÓN 5.100. se acepta el proyecto.200. para efectuarlo manualmente es un poco dispendioso dado que se utiliza el método de prueba y error.000. DECISIÓN DE INVERSIÓN: Si la TIR es mayor que la tasa de oportunidad del inversionista. 100.000= 5.200/(1.764.000=2.000/(1+i)3+3.000/(1.761 INTERPOLACIÓN 5. se estimará el 42%.4)1+2.100/(1.764.046.000= 4.200/(1.200/(1. se debe buscar una tasa superior al 40%.000/(1+i) 1+2.761 42% PROCEDIMIENTO: Para no olvidar la forma de interpolar.000/(1+i) 4+3.200. lo importante es aplicar la relación existente entre los valores y los porcentajes.26 Como el resultado obtenido es mayor que 5. de la siguiente forma: = = = 304 . 5.000/(1+i)2+3. Como el resultado anterior dio una cifra cercana el aumento en la tasa debe ser pequeño.4)3+3.200.000=2.4)4+3.42)5 5.FLUJO DE CAJA 2.4)5 5. para que el valor presente del flujo de caja sea inferior a 5.100/(1.000/(1.000 X 4. Se inicia con una tasa del 40% 5.000/(1.000/(1.000.26 40% 5.4)2+3.000/( 1+i)5 MÉTODO DE PRUEBA Y ERROR Para mayor facilidad se va a trabajar en miles de $.000.42)2+3.42)4+3.046.000.42)1+2.42)3+3.000.200/(1. por las funciones financieras.164334509 x -2 = 40-x -0.000.100.000 INPUT INPUT 3.49604 Este es el resultado mostrado por la calculadora. 305 . se va a realizar el mismo ejercicio que se efectuó manualmente.000 INPUT INPUT 3.328 % Anual La tasa interna de retorno del proyecto es del 40.200.P Para calcular la TIR con la calculadora financiera se sigue el siguiente procedimiento: FIN F: CAJA CLEAR DATA. CÁLCULO DE LA TASA INTERNA DE RETORNO CON LA CALCULADORA H.200.000 INPUT INPUT 3.000 INPUT INPUT 2.000.328% anual. CÁLCULO DE LA TASA INTERNA DE RETORNO EN EXCEL Para el cálculo de la TIR en la hoja electrónica el procedimiento a seguir es muy similar a lo expuesto anteriormente.328669018= 40-x x = 40 + 0.INPUT 2.000 INPUT INPUT CALC % TIR %TIR = 40.328669018 x = 40. SI 5.0.000 +/.000. COSTO ANUAL UNIFORME EQUIVALENTE Es un método útil para evaluar proyectos que fundamentalmente constituyen fuente de egresos. resultado más exacto que el estimado con interpolación.000=.5 Un municipio desea evaluar la compra de una máquina para mantenimiento de sus vías. PROCEDIMIENTO El procedimiento es llevar a anualidad los valores presente y futuro del flujo de caja. 7. 306 .En este cuadro se señaló el rango donde se encuentran los valores y en estimar se le da cualquier cifra para que comience a buscar el resultado. presenta una vida útil de 6 años. se le presentan dos alternativas: La alternativa A es comprar un equipo cuyo valor es de $50.4. y el valor de salvamento es de $8.000.000=. Las fórmulas a utilizar serían las siguientes: A = V.000. el mantenimiento anual tiene un costo de $3.000. F x EJEMPLO 7. P x A = V. EJERCICIOS DE PRÁCTICA Calcule la TIR de los ejercicios de práctica del tema de VPN. con él se toman decisiones pues se selecciona la alternativa que representa un menor costo para la empresa. El resultado fue una TIR del 40.49% anual.000. El costo de mantenimiento anual es de $4.000 + 3.000.61 CAUE para la alternativa A es 16.85 + 3.000.378.8.230.000 . La operación matemática es: Alternativa A=50.552. y el valor de salvamento es de $5.418.580.46 La alternativa seleccionada debe ser la B.000 x Alternativa A = 13.000 .000 + 3.000.000.274.779.000.000 x Alternativa A = 16.000.000 .000.000.940.000 . por ejemplo.000.000=.000.000.682.98 CAUE para la alternativa A es 19. Alternativa A =50.000 307 .000.5.974. si la alternativa A fuese a 4 años y la B a 6 años. para el ejercicio sería doce (12).000 x Alternativa B = 13.000 .000.000.555.93 + 3. dado que el CAUE es menor. VIDA ÚTIL DIFERENTE Si los proyectos fuesen de diferente vida útil. el planteamiento sería el siguiente: Se determina el mínimo común múltiplo.49 CAUE para la alternativa B es 17.000 + 4.798.24 Alternativa B =40.000.108.147.000.444. con vida útil de 6 años.94 Alternativa B =40.000.422.710.000.La alternativa B es un equipo de $40.097.000 . la tasa de oportunidad es del 25% Anual.95 + 4.8. sin antes agregar la siguiente frase: Si se cumplen los parámetros establecidos en el flujo de caja para la evaluación.5. 7.000 . donde.2 La alternativa seleccionada debe ser la B. el costo variable de cada camisa es $20.5. se espera vender 4.000.665. EJEMPLO 7.08 + 4. dado que el CAUE es menor. La inversión requerida para el proyecto es de $60.V.000 camisas el primer año y aumentar las ventas en 10% anual.000.237. Este proyecto no es factible con los parámetros que inicialmente se trabajaron.88 CAUE para la alternativa B es 14. Ningún evaluador puede afirmar que X o Y proyecto es factible. el precio de las camisas es de $40. precisamente permite calcular los resultados obtenidos si se varían dos factores utilizados en la evaluación. presenta un resultado negativo. de acuerdo a lo alcanzado se da viabilidad o no a la ejecución del plan.000.000.000 x Alternativa B = 10. MODIFICACIÓN DE SUPUESTOS Se va a revisar el estudio.000 .903. dado que la TIR es sólo del 14%.000. el proyecto es o no factible.6: Se va a determinar la rentabilidad de un proyecto de una empresa de confección de camisas.645. y el VPN se estimó con una tasa de oportunidad del 20%.U inicial.000. La herramienta que presenta el Excel. momento en el que su valor de salvamento es de $15.000= y aumenta el precio 5% anual. modificando el C. ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Cuando se evalúa un proyecto de inversión se obtiene un resultado.+ 4.000= mensuales.000 y los costos fijos $5.000=. 308 .92. y el volumen de ventas con que arranca el proyecto.000 y la vida útil de la maquinaria es de 5 años.737. 5. USOS: Cálculo de todas las incógnitas que se trabajaron en el libro: VP. tasas de interés. y el C. Períodos. cuando en un ejercicio se presentan algunas de estas formas de flujos de efectivo. En este cuadro se observa los diferentes resultados de la TIR.Los C. 5800. y gradientes. Ejemplo: Si el costo variable unitario inicial es de $18. la casilla B4. TABLA DE DATOS se señalan las casillas donde están ubicadas las variables a cambiar.600. sin modificarse los demás supuestos la TIR sería el 29% anual. VF. $18.000. 5700.U iniciales para analizar serían: $15. 7. como el parámetro de evaluación es la TIR.V.000.000= y las ventas para el primer año son de 5. $19.500 unidades.000 y $20.7: 309 . $16.500.6.000. $17. CÁLCULO DEL VALOR DE UNA VARIABLE PARA UN RESULTADO DETERMINADO Al realizar operaciones con ecuaciones se vuelve un poco más complejo determinar el valor de una de variable específica para que se obtenga un resultado determinado. con el más (+). anualidades. luego se sombrea la Tabla. si varía el supuesto volumen inicial de camisas y costo variable unitario inicial. EJEMPLO 7. En el caso del volumen inicial de camisas. como se señala en el siguiente cuadro y se ingresa por DATOS. Excel presenta esta herramienta excelente para quien trabaja la matemática financiera la cual se denomina BUSCAR OBJETIVO.000. este resultado se lleva a la casilla donde se fija la fila y la columna de las variables a modificar (A29). 5900 y 6000 unidades anuales. El volumen de ventas iniciales 5. PROCEDIMIENTO Se construye la Tabla donde se va a efectuar la sensibilidad.000.U inicial la casilla B7.V. ANÀLISIS Y SI. NOTA: Para explicar la herramienta BUSCAR OBJETIVO. Matrícula = 1.000. después de obtener el resultado.000= Se procede a aplicar la función BUSCAR OBJETIVO de la siguiente manera: De la siguiente manera: DATOS.Determine el valor de la consignación hecho a un estudiante por su Padre quien vive en otra ciudad para que pague sus estudios si este requiere de 1. Consignación = ECUACIÓN: V/R CONSIGNACIÓN: Valor matrícula + Valor presente de los gastos mensuales.000 para la matrícula y 250. El interés es del 1. cuanto debe gastar mensualmente si el padre de familia sólo dispone de $2.000.000 mensuales para sus gastos de vivienda y alimentación.000= ANÁLISIS DEL EJERCICIO Se quiere determinar el valor de la consignación. Se procede a dar respuesta al segundo interrogante.000 VP. PREGUNTA Se va a calcular un VP UBICACIÓN INCÓGNITA La incógnita se encuentra ubicada en el período cero (0).000 n= 6 i = 1. ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN A = 250.1 % mes VP. conociendo el valor de la matrícula. el gasto mensual. ANÁLISIS Y SI. BUSCAR OBJETIVO 310 .000.000. el número de meses y la tasa de interés.1% mes. nos vamos a preguntar cuánto debía gastar mensualmente el estudiante si el padre de familia sólo tiene $2. 000.000. 311 .9.000.506. EJERCICIOS Estos ejercicios me permitirán desarrollar la habilidad u destreza necesaria en la evaluación de inversiones desde diferentes aspectos o puntos de vista. Determine el VPN del ejercicio anterior si la tasa de oportunidad del inversionista es del 20% anual y dé un concepto sobre la factibilidad del proyecto.31% mensual. 1.000. que tiene una vida útil de diez años.PROCEDIMIENTO: Se define la celda B7 porque es la limitante.000.000 durante 6 meses momento en el cual lo vende a un precio de $490.000. Determine la rentabilidad de un proyecto. 2. el primer año el proyecto genera $1.000. a partir del segundo año hasta el quinto periodo su rentabilidad anual es de $6. al finalizar el proyecto vende la maquinaria en $30. Con el valor $2. R: El proyecto presenta una rentabilidad del 12.46% anual.000? R: La rentabilidad alcanzada por el inversionista si vende el bono en $510. R: Con una tasa de oportunidad del 20% anual el proyecto muestra un valor presente de -16. El estudiante sólo puede gastar $173.955. 3. hecho que para el inversionista no sería factible realizarlo.000. Las modificaciones se podían haber realizado con el valor de la matrícula o con los períodos y tasas de interés.000. R: La rentabilidad alcanzada por el inversionista es del 1.000= Para cambiar la celda B4.68% mensual.000 y recibió intereses mensuales por $10. La experiencia y la habilidad que desarrolle a través de la solución de estos ejercicios y del estudio de la matemática financiera. y entre los años seis y 10 genera $12. ¿Qué rentabilidad hubiese tenido el inversionista anterior si logra vender el bono en $510. dado que el padre de familia sólo cuenta con $2.000.000.8.141.000 es del 2.000.000 anuales. Determine la rentabilidad de un inversionista que compró un bono en $500. La inversión inicial es de $50. contribuirán al éxito de mis desempeños en el manejo financiero. 4.000=. Para alcanzar su tasa de oportunidad.000. 10. a partir del segundo año hasta el quinto año generó $10. por el contrario. 9.200. cual fue su VPN. R: El VPN es de -5. Si la tasa de oportunidad del inversionista es del 30% anual. para el primer año y de $9. le entregaron dividendos así: el primer semestre $150 por acción y en el segundo semestre $180 por acción. el paquete de acciones fue vendido una vez recibidos los dividendos del segundo semestre y cada acción la vendió en $25.000. Si el empresario hubiese vendido la empresa en $100. Si el empresario tenía una tasa de oportunidad del 28% anual. determine su rentabilidad.000.000 tampoco alcanza su tasa de oportunidad. dado que la rentabilidad del proyecto llegaría al 25.000. R: El proyecto presenta una tasa de rentabilidad del 24. determine si realizó un buen negocio con esta acción.000 para los años dos al cinco? R: La tasa de rentabilidad pasaría a ser del 16. 7.5.57% anual.402.000. R: La rentabilidad del inversionista fue del 13. ¿cuál hubiese sido su rentabilidad? ¿Ésta es superior a su tasa de oportunidad? R: Si el empresario vende la empresa en $100.000.27% anual. 6.000.03% semestral la rentabilidad anual equivalente es del 27. durante el primer año no generó ingresos. R: No fue un buen negocio para el inversionista porque con una rentabilidad del 13. ¿En cuánto debiese haber vendido la empresa para haber alcanzado exactamente su tasa de oportunidad? R: El empresario deberá vender la empresa en $141.000.18% anual 8.000.7%. 12.000. Se organiza una empresa cuya inversión inicial fue de $30. ¿El proyecto pasaría a ser factible para el inversionista? R: No. se le invirtió $5. dado que la tasa de oportunidad del inversionista es del 20% anual.000.000 anuales y a partir del sexto año disminuye sus ingresos a $6. 11.000.114.000. 312 .03% semestral.961 dado que la tasa de rentabilidad es inferior a la tasa de oportunidad. el empresario la vende al finalizar el año 10 en $80.000.000 anuales.200= determine la rentabilidad del inversionista. ¿Qué cambios se produce en la tasa de rentabilidad si se produjo un error en la estimación del ingreso de tres millones de pesos para los primeros 5 años y la cifra real es de $4.000. Un inversionista compró un paquete de acciones de la empresa XYZ y cada acción tenía un valor de $20. 000.404. 16. y El espera ganar un interés del 24% anual. R: El inversionista debe comprar el bono en $890.000. la tasa de oportunidad es del 2% mensual.049 mientras que la opción B presenta un CAUE de $3. la primera tiene un valor de $8.58% semestral.359 mientras que B 1.000. su precio de venta en ese momento es de $4.000 durante el año y lo vendió en $1.227. si las dos máquinas para adquirir van a tener el mismo nivel de producción.000 y los gastos de mantenimiento son de $100.000.029.000.000 y obtuvo una rentabilidad del 42% anual? R: El inversionista compró el bono en $1.000. 14. R: La mejor alternativa es la B dado que A presenta un CAUE de $2. 17.000. sus costos de mantenimiento es de $200. 15.6.000. 313 . ¿Cuál hubiese sido la rentabilidad del inversionista si el precio de la acción hubiese caído a $19. La máquina B tiene un precio de $30.976. el bono se redime en cinco años.000. el costo de mantenimiento anual es de $600.000 mensuales.184.000.000.000. su vida útil es de 4 años y tiene un valor de salvamento de $10.900? R: La rentabilidad para el inversionista hubiese sido sólo del 0. ¿En cuánto compró un inversionista un bono si recibió intereses trimestrales por 90.368. R: Se decide por la opción A dado que ésta presenta un CAUE de $2.922. Determine la mejor alternativa por el método del CAUE si el empresario tiene una tasa de oportunidad del 2. tiene una vida útil optima de 2 años.000.000. La segunda opción tiene un precio de $12.000.000 y su vida útil óptima es de tres años. Utilice el método del CAUE para definir la mejor alternativa.000 y un costo anual de mantenimiento de $1.13.000. ambas tienen igual velocidad.050. La primera alternativa es comprar una máquina A cuyo costo es de $50.6. su vida útil también es de 4 años y su valor de salvamento es de $8.799. momento en el que se vende en $3.000 mensuales.5% mes. Determine el valor en que un inversionista debe comprar un bono cuyo valor es de $1. Determine la mejor alternativa de una empresa para mejorar su producción.010. Una papelería debe definir entre dos alternativas de fotocopiadoras.000.000 y reconoce un interés del 20% anual. 22. determine la rentabilidad del negocio. almuerzo y material de consulta. el del material de consulta $2. Determine la rentabilidad de un proyecto para dictar charlas de capacitación a trabajadores de las empresas de la ciudad durante un año. si al finalizar el segundo año de arrendado lo vende en $70.25% mes.18.050. R: El costo verdadero del crédito es del 2. su valor fue de $10.000=.96% trimestral. R: La rentabilidad se disminuye al 1.000 a seis meses. durante el primer mes pagó 150. Si en el momento de desembolsarle su dinero le descuenta $20. mientras que el apartamento le renta el 1.000 en los siguientes once meses.000.000 para el segundo año. Usted compra un apartamento en $60. El arriendo se paga mes anticipado. cobra interés mensual vencido del 2%. ¿hubiese hecho un mejor negocio? R: El CDT solo le reconoce el 1.000.22%.000 por persona. y se espera dictar 12 jornadas al mes.000 trimestrales en el año. lo arrendó en $400. la cual renta a una tasa del 14. Una entidad financiera le efectúa un préstamo de $500.25%.000. para el segundo año el canon de arrendamiento se aumentó en el 6%. Determine la rentabilidad del inversionista del ejercicio 17. 23. dispone de $10.000.000. tiene dos alternativas para prestar su dinero. en vez de la compra del apartamento. por papelería.000=. y el costo del almuerzo y refrigerios es de $10. Determine la rentabilidad del proyecto si el costo fijo salarial es de $3. 20. 314 .17% mensual.000. El cliente B le amortiza $3. R: La rentabilidad es del 1. si en los meses seis y dieciocho de haber comprado el apartamento pagó impuestos por $200.000 por el primer año y $250.¿ Cual es su mejor opción? R: Indudablemente la opción B.500 carpeta. dado que estuvo vacío.000.000.000 hora. Para esto se tomó arrendado un salón por todo el año cuyo valor se pagó anticipadamente para ser de uso exclusivo.73% mensual. determine el verdadero costo del crédito. 19. El portafolio consiste en 8 horas de conferencia. Usted es un prestamista.500. Y usted se compromete a amortizar el capital en el momento del vencimiento.000 por costos de servicio y administración. 2 refrigerios. A los conferencistas se les debe pagar a $50.000. 21.000 mensuales. el cliente A le reconoce el 30% anual y le entrega la totalidad del dinero al finalizar el período. Si el inversionista hubiese abierto un CDT que le reconocía el 15% anual. El valor de cada día de capacitación para 25 personas es de $1. 000 por hora. El indicador de factibilidad será la TIR. VALOR NOMINAL: Es el valor que se encuentra impreso en el título valor. Mes.000. GLOSARIO FLUJO DE CAJA LIBRE DEL INVERSIONISTA: Flujo de caja donde sólo se tiene en cuenta el capital aportado por el inversionista.704. TRM: Tasa representativa del mercado. 26.080. cuando ya ha cumplido su tiempo normal de uso. 10. se obtiene del promedio de la tasa de compra y venta de divisas del sistema financiero. $50. 14 y 16. PRECIO DE REGISTRO: Es el valor que tiene un documento según el sistema de información de la Bolsa de Valores. VALOR DE MADURACIÓN: Valor al vencimiento de los activos financieros. 25.000. VIDA ÚTIL: Tiempo que transcurre entre el momento que se empieza a utilizar un activo hasta cuando llega su valor residual.000 y $1.000 y $60. VALOR DE CESIÓN: Valor que el propietario de un título entrega a la Bolsa de Valores para su transacción. indicando que renta a una tasa superior que la tasa de oportunidad. $1.12. Determine el valor presente neto si la tasa de oportunidad es del 3% mensual R: El valor presente de la inversión es de $451.000.000 y el número de jornadas al mes: 8. $1. $55. TIR: Tasa a la cual el VPN es igual a cero. 24.000. $1.200. Realice el análisis de sensibilidad si varía los precios de las conferencias con valores de $1. VALOR DE SALVAMENTO: Valor en que puede ser vendido un activo. $45.000.150.000.000.000.000.R: La rentabilidad del proyecto es del 3.120. $1.75%. sin incluir las transacciones por ventanilla. 315 .050. Efectúe el análisis de sensibilidad del ejercicio anterior si se modifican los precios de las conferencias y el costo de hora del conferencista entre $40. $1.100. 2000. Quinta Edición. Matemática Financiera. Segunda edición. Matemáticas Financieras. Vidaurri Aguirre Héctor M. Fondo Educativo Panamericano. Matemáticas Financieras Básicas Aplicadas . 2003. Matemáticas Financieras Aplicadas. BLANK y Tarquín. BACA Currea Guillermo. Matemáticas Financieras. Tercera Edición. 316 . MEZA Orozco Jhonny de Jesús. Matemáticas Financieras. 2004.BIBLIOGRAFÍA ÁLVAREZ Alberto A. Primera edición. Ecoe Ediciones. 2003 GARCÍA Jaime A. 1994 JARAMILLO Vallejo Felipe. Finanzas Prácticas para Países en Desarrollo. 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Report "Matematica Financiera Teoria y Aplicación"