“MATEMATICA FINANCIERA”SESIÒN II Prof. CPC Eduardo Espinoza Tello ANUALIDADES SIMPLES, VENCIDAS Y FACTORES FINANCIEROS El dinero proporciona algo de felicidad. Pero a partir de cierto momento Solo proporciona algo más de dinero Neil Simon Objetivos Al finalizar el estudio de este capitulo el alumno podrá: Identificar, definir y explicar los diferentes tipos de anualidades. Identificar situaciones en donde se apliquen las anualidades. Plantear y resolver problemas de anualidades vencidas, anticipadas y diferidas Introducción Una anualidad se define como una serie de pagos generalmente iguales realizados en intervalos de tiempo iguales. El termino anualidad parece implicar que los pagos se efectúan cada año, sin embargo, esto no es necesariamente así, ya que los pagos pueden ser mensual, quincenales, CTC. Son ejemplos de anualidad el cobro quincenal del sueldo, el pago mensual de la renta de la casa, los abonos mensuales para pagar una computadora comprada a crédito, el pago anula de la prima de seguro de vida, los dividendos semestrales sobre acciones, ctc. El concepto de anualidad es de gran importancia en matemática financiera ya que es muy frecuente que las transacciones comerciales impliquen una serie de pagos hechos en intervalos iguales de tiempo. abono u otros. pago periódico. semestral o mensual. Los términos de renta. pueden utilizarse en lugar de anualidad. El tiempo transcurrido entre dos pagos sucesivos se llama periodo de pago o periodo de renta. Al tiempo que transcurre entre el inicio del primer periodo de pago y el final del último se llama plazo de anualidad. El periodo de pago puede ser anual. . en vez de pago único realizado al final del plazo. entre otros. Solución La anualidad. el periodo de pago y el plazo de la anualidad. Identifique la anualidad. renta o abono es de $485 El periodo de pago es un mes. Ejemplo Una persona compra un televisor pagando 12 anualidades de $485 cada una. y El plazo de la anualidad es un año . Existen cuatro formas de clasificar las anualidades: Utilizando el tiempo como criterio de clasificación. pueden ser: Una anualidad cierta. se establecen de antemano las fechas de iniciación y termino del crédito. es aquella en la cual los pagos comienzan y terminan en fechas perfectamente definidas. es aquella en la cual la fecha del primer pago. Una anualidad contingente. Por ejemplo. Se sabe que los pagos deben efectuarse al morir el asegurado. pero ¿Cuándo va a morir? . pero no se sabe cuando. la fecha del ultimo pago o ambas dependen de algún suceso que se sabe ocurrirá. al comprar un televisor a crédito en una tienda comercial. Por ejemplo el contrato de un seguro de vida establece que la suma asegurada se entregue al beneficiario del seguro en 12 pagos mensuales iguales. llamadas también anualidades ordinarias. cuando se realizan depósitos quincenales en una cuenta de ahorros cuyos intereses se capitalizan cada mes. Por ejemplo. Una anualidad general. realizar depósitos mensuales e una cuenta de ahorros que paga intereses capitalizables cada mes. son aquellas cuyos pagos se realizan al principio de cada periodo de pago. pueden ser: Las anualidades vencidas. es aquella cuyo periodo de pago coincide con el periodo de capitalización de los intereses. Utilizando los pagos o abonos como criterio de clasificación. es aquella cuyo periodo de pago no coincide con el periodo de capitalización de intereses. Utilizando los intereses como criterio de clasificación. . En cambio las anualidades anticipadas. Por ejemplo. pueden ser: Una anualidad simple. son aquellas cuyos pagos se realizan al final de cada periodo de pago. se compra. es decir. los pagos se realizan desde el primer periodo de pago. Por ejemplo. Por ultimo. la cual se pagara mediante 12 abonos mensuales y el primer pago se llevara a cabo después de 3 meses. a crédito. . es aquella en la cual los pagos se aplazan por un cierto número de periodos. una bicicleta estacionaria. es aquella en la que no existe aplazamiento alguno de los pagos. Una anualidad diferida. pueden ser: La anualidad inmediata. hoy. si se utiliza el momento de iniciación de la anualidad como criterio de clasificación. ANUALIDADES VENCIDAS Formula Donde: F =A (1 + i )^n – 1 i F = Valor futuro A = Anualidad . 13041.1000 al final de cada mes en un banco que paga intereses de 1.015 (1 + 0. Ejercicios 1.5% mensual capitalizable cada mes ¿Cuál será el monto al finalizar un año? A = 1000 i = 1.015 F = S/.015 por mes n = 12 meses F = 1000 0.21 .195618171 – 1 0.Suponga que se depositan S/.5% mensual = 0.015)^12 – 1 F = 1000 1.. El papá de un niño de 10 años empieza a ahorrar para que su hijo pueda estudiar una carrera universitaria.0075)^96 – 1 0. Si la tasa de interés es de 9% a.1 0.¿De cuanto serán los intereses? a.33 ..2000 i = 9% anual = 0.0075 F = 2000 2. 2.¿Cuál será el monto de la cuenta al cabo de 8 años? b.048921228 . el interés ganado será: i = 279712.75% mensual n = 8 años x 12 meses/año = 96 meses F = 2000 (1 + 0.33 b.2000 en una cuenta de ahorro al final de cada mes durante los próximos 8 años.87712.A = S/..33 – 192000 = S/.0075 F = S/. Planea depositar S/..279712.192000 Por tanto.En años 8 papá deposita un total de S/..2000 por mes en 96 meses = S/. Ejercicios propuestos: 1.Con referencia al ejercicio anterior suponga que el depósito de S/..2000 mensuales se efectúa únicamente por 5 años y el resto del tiempo se deposita S/.3000 mensuales . .72 cada uno.1183. Donde P es el valor presente de los pagos. Se desea obtener el valor presente de los pagos. Ejemplo. VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD Se define como la suma de valores presentes de todos los pagos. suponga que una persona va a liquidar una deuda mediante 4 pagos mensuales de S/. que incluyen intereses a 3% mensual con capitalización cada mes. 72 (1. S/.03)^-2 + 1183.72 cada uno.03)^-4 P= S/.03)^-1 + 1183.4400 es el capital pedido en préstamo por el deudor.03^2 1.72 + 1183.72 (1. Si la fecha focal se localiza en el momento actual.03 1.72 + 1183.03^4 La expresión anterior se puede escribir como: P = 1183.4400 S/.72 1.1183. . entonces se puede formar la siguiente ecuación de valor: P = 1183.72 (1.4400 es el valor actual de 4 pagos mensuales de S/.72 + 1183.03)^-3 + 1183.72 (1.03^3 1. 03)^4 – 1 0. El valor presente de una anualidad admite dos interpretaciones. Suponga que en lugar de pagar una deuda de S/.24 F = 1183. . calculando el valor presente del monto de la anualidad.03 F = S/.4952.72 cada mes durante 4 meses: F = 4400 ( 1+ 0-03)^4 = S/. el valor presente se interpreta la siguiente forma: S/.4400 depositados a 3% mensual capitalizable cada mes producirán un monto exactamente igual que el obtenido al depositar S/.1183.4952.4400 se deposita este dinero en una cuenta que paga 3% mensual capitalizable cada mes.24 Lo anterior indica que el valor presente de una anualidad se puede obtener mediante la formula de interés compuesto.72 (1 + 0. 4400 a 3% mensual capitalizable cada mes.72 cada mes. si una persona invierte en este momento S/. . durante 4 meses. Esto es. La segunda interpretación de valor presente de una anualidad es el siguiente: El valor presente es la cantidad que se debe invertir en este momento para efectuar cierto número de retiros en el futuro.1183. al final de los cuales la cuenta estará en ceros. entonces podrá retirar S/. (1 + i )^ .n i La ecuación es la formula para obtener el valor presente o valor actual de una anualidad vencida. Formula: P=A 1.VALOR ACTUAL DE UNA ANUALIDAD VENCIDA Considere una anualidad vencida en donde A es el pago o deposito hecho al final de cada uno de n periodos. . 5% trimestral n = 4 años = 4 trimestres / año = 16 trimestres P = 5000 P = 5000 P = S/..035)^.16 0.¿Cuál es el valor presente de S/.5000 depositados en una cuenta al final de cada trimestre durante 4 años.58 1.035 1 – 0. Ejemplos 1.(1 + 0. si la tasa de interés es de 14% capitalizable en forma trimestral? A = 5000 i = 14% anual = 14/4 = 3.60470.035 .576705911 0. El valor actual de la anualidad es S/.58 a una tasa de interés de 14% capitalizable cada trimestre. igual al que se obtendrá depositando S/. al final de cuatro años.5000 cada trimestre durante 4 años. en ambos casos. . Entonces se pueden retirar S/.60470. La otra interpretación es la siguiente: si se depositan S/.5000 cada trimestre durante 4 años.60470. se tendrá un monto. siendo la tasa de interés de 14% capitalizable cada trimestre.58 Esto significa que al depositar esta cantidad de dinero en este momento. 01)^ .Raquel desea jubilarse en este año y cree que una mensualidad de S/.01 P = S/.240 0.10000 durante los siguientes 20 años será suficiente para vivir bien..908194.16 . 2. sabiendo que este le paga 12% anual capitalizable cada mes? A = 10000 i = 12% anual = 1% mensual n = 240 meses P = 10000 1 – (1 + 0. ¿Cuánto dinero debe tener en su fondo de retiro para poder retirar la cantidad deseada. un total de S/.16 = S/. Interés compuesto ganado = 2 400 000 – 908194.908194.1 491 805.84 . es decir.16 depositados a 12% capitalizable cada mes producirán 240 pagos mensuales de S/. S/. La diferencia entre el valor actual y la cantidad total recibida es el interés compuesto ganado.2 400 000.10000 cada uno. 3650 cada uno.Un distribuidor de automóviles ofreció a un cliente un coche nuevo mediante un pago inicial de S/.5% mensual capitalizable mensualmente.. Jiménez? .El Sr. Ejercicios propuestos: 1. Jiménez desea vender su casa ubicada en la ciudad de los Ángeles. Si se carga una tasa de interés de 2.. encuentre el valor de contado del automóvil. 2.6% mensual convertible cada mes ¿Cuál de estas ofertas es la mas ventajosa para el Sr. California y recibe las tres ofertas siguientes: 1º oferta: 350000 dólares de contado 2º oferta: 100000 dólares de contado y 10200 dólares al mes durante 30 meses 3º oferta: 11000 dólares al mes durante 3 años ¿Tomando como base una tasa de interés de 0.28000 y 30 pagos mensuales de S/. 100000.1239.¿Cuántos depósitos mensuales de S/..¿Cuanto se tiene que depositar cada quincena en una inversión que gana el 8. sino recibir un ingreso mensual fijo durante los próximos 12 años.. Aguilar es la beneficiaria de un seguro de vida por S/.55% capitalizable quincenalmente para tener S/. Si el dinero se encuentra invertido a 18% anula capitalizable cada mes.. si se ganan intereses mensuales de 1.66 cada uno se deben hacer para acumular un total de S/.La Sra.650000. 3.200000 al final de 5 años? 4. ¿Qué cantidad mensual recibirá la señora Aguilar? 5. Ella escogió no recibir todo el dinero en una sola exhibición.83% mensual capitalizable cada mes? . durante 5 años.100 cada uno...1100 trimestralmente.Se efectúan 10 depósitos semestrales en una cuenta de ahorros del Banco Hipotecario por S/.Durante 20 años un ejecutivo de una empresa industrial ha depositado la suma de S/. a la tasa nominal del 10% nominal anual ¿Cuál es el monto al final del quinto año? 7. a la tasa del 9% de intereses nominal anual ¿Cuál es el monto acumulado a la fecha? . 6. 8.900 por trimestre vencido y se deposite en una cuenta de ahorros que pague el 8% nominal anual ¿Hallar el monto a 05 años del contrato de alquiler.Por la venta de una casa valorizada en $40000 se tienen las siguientes ofertas: a. con la condición que pague S/.Una persona alquilo su departamento a 5 años. tasa de interés 12% nominal anual.) $10000 al contado y el saldo en 6 pagos trimestrales de $5500 cada uno b. 9..) 20 pagos mensuales de $2200 cada uno efectuando el primer pago de inmediato. ¿Qué oferta conviene? .. Zeta debía S/. tuvo retrasos durante 1998. si el pago no se recibe al vencimiento. se emite una nota de cargo por intereses. debido a la recesion. uno de los mayores clientes de la empresa. No se cargan intereses por treinta días. Constructora Zeta.100 millones por concepto de notas de crédito. A enero de 1999.100000 millones se retuvieran hasta el 31/12/2000.vende ha treinta días después de haber recibido la mercadería. pero que los S/. Sin embargo. Incluso S/.A. La empresa solicito que se mantenga los treinta días en las compras. CASO: ACEROS Compañía de Aceros S.50000 millones adicionales por cobrar fueron convertidos en notas de cargo al 01/07/00 . . Una tasa de 16% capitalizado semestralmente puede ser utilizada Determine al 31/12/00 cual fue el saldo deudor (capital mas intereses) de las dos notas de cargo y programe la amortización.A. El interés cargado fue de 20% nominal anual capitalizable trimestralmente durante el año 1999 y al 16% nominal anual capitalizable semestralmente durante el año 2000 La posición financiera de Zeta mejoro y el Gerente financiero de Aceros S. vio conveniente efectuar un arreglo y retirar las notas de cargo. Ambas empresas están de acuerdo en consolidar las notas de cargo para ser canceladas en dos años. con pagos semestrales. comenzando el 1/07/01. . A la amortización y al pago de intereses se les conoce como cuadro o programa de amortización. El termino amortización proviene de la palabra francesa “amort” que tiene un significado relacionado con la muerte. al amortizar una deuda la estamos cancelando (matando). PRESTAMOS AMORTIZABLES EN CUOTAS AMORTIZACIONES Se entiende por amortización la devolución del préstamo recibido. * Amortización constante (pagos decrecientes) Préstamo (Principal) : 10000 Plazo: 5 años Tasa de interés : 12% anual TEA Amortización : 10000 / 5 = 2000 Año Saldo 1 10000 Interés Amortización 1200 2000 3200 2 8000 960 2000 2960 3 6000 720 2000 2720 4 4000 480 2000 2480 5 2000 240 2000 2240 Total pago . 10 .12)^-5 0. * Amortización con pagos iguales Préstamo : 10000 Plazo : 5 años Tasa de interés (TEA) : 12% anual TEA Formula R= ____M_____ 1 – (1 + i) ^n i R= 10000 1 .(1 + 0.12 __R = 2 774. Año 1 Saldo 10000 2 Interés 1200 Amortización 1574.10 .55 2774.22 2476.91 799.10 3 6662.99 2774.87 297.55 1974.37 562.10 4 4688.90 1011.49 2774.17 2774.11 1762.60 2211.10 5 2476.10 Total pago 2774.10 8425. 92 2343.71 2624.34 3 7907.34 5 2939. * Amortización con periodo de gracia normal Préstamo : 10000 Plazo: 5 años Tasa de interés : 12% anual TEA Periodo De gracia normal : un año Año Saldo Intereses Amortización Total pago 1 10000 1200 0 1200 2 10000 1200 2092.24 667.34 .66 948.63 3292.75 2939.34 4 5564.61 3292.42 3292.34 3292.61 352. 34 395.83 3687.79 3687.43 4 6231.43 3 8856.43 5 3292.43 1344 3687.08 3687.34 3292.43 .59 747.64 1062. * Amortización con periodo de gracia total Préstamo : 10000 Plazo: 5 años Tasa de interés : 12% anual TEA Periodo De gracia normal : un año Año Saldo Amortización Interés Cuota 1 10000 0 0 0 2 11200 2343.94 2939.57 2624. .25000 a una TEA del 24% con cuotas trimestrales durante 2 años. el Banco carga S/. Se pide: Calcular el valor de la cuota considerando las cargas de comisiones y portes.El Banco Surmed le ha otorgado un préstamo por S/. Elaborar el cuadro de amortización con cuotas iguales Calcular el cuadro de amortización con un periodo de gracia normal Calcular el nuevo cronograma de pago si después de pagar la segunda cuota. la TEA se incrementa a 26% . Ejercicios propuestos 1. Por conceptos de comisiones y portes.18 a cada cuota. que le proforma la compra del vehiculo modelo WX del año 2009. representante de ventas de Vehiculin. le ha informado que la empresa no otorga créditos en forma directa. desde que era estudiante universitario. pero si le podía ayudar con el tramite necesario para poder obtener el crédito promocional automotriz que esta publicitando y ofreciendo el Banco ABC . ha soñado con tener su propio auto. Julián. El actualmente se desempeña como ejecutivo de una empresa pesquera y le ha solicitado a Distribuidora Vehiculin. CASO: EL CARRITO DESEADO Devin. Se pide: ¿Cuál fue el cronograma de pagos por la operación al crédito? Preparar el cuadro de amortización con pago vencido .750. el saldo en 24 cuotas mensuales. Julián le entrego la pro forma de venta que además de las características del vehiculo.00 Crédito: Cuota inicial 20%. se sentó frente a su computadora y procedió a imprimir y entregar el cronograma de pagos. le solicito a Devin llenar los formatos de solicitud del Banco y fotocopias de varios documentos. a una tasa efectiva anual (TEA) de 14%. detallaba lo siguiente: Valor al contado: S/. Las cuotas son adelantadas.18. Pedro funcionario del Banco. Para procesar el crédito.