FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVASMODALIDAD A DISTANCIA Matemática Financiera II 1. ELEMENTOS ESTRUCTURALES: 1.1. CARÁTULA 1.2. INTRODUCCIÓN 1.2.1. CARACTERIZACIÓN DE LA ASIGNATURA 1.2.2. IMPORTANCIA DE LA ASIGNATURA 1.2.3. RELACIÓN CON OTRAS ASIGNATURAS 1.3. PROGRAMACIÓN GENERAL DE LA ASIGNATURA 1.4. PROGRAMACIÓN DE UNIDADES 1.5. BIBLIOGRAFÍA Y NETGRAFÍA 1.6. ÍNDICE DE CONTENIDOS 1.7. EVALUACIÓN DEL APRENDIZAJE DEL PRIMER HEMISEMESTRE 1. TAREA 1 2. TAREA 2 3. TAREA 3 1.8. EVALUACIÓN DEL APRENDIZAJE DEL SEGUNDO HEMISEMESTRE 4. TAREA 4 5. TAREA 5 Matemática Financiera II FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS MODALIDAD A DISTANCIA Regresar UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS MODALIDAD DE ESTUDIOS A DISTANCIA Carrera Administración de Empresas Eje Profesional Asignatura MATEMÁTICA FINANCIERA II Número de créditos 4 Curso AE-4 Semestre Septiembre 2015- Febrero 2016 Autor: Ing. Flavio Parra T. Matemática Financiera II FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS MODALIDAD A DISTANCIA 1.2 INTRODUCCIÓN Regresar CARACTERIZACIÓN DE LA MATERIA En este segundo curso de Matemáticas Financieras se trata temas referentes a:Tasas equivalentes, anualidades, amortizaciones, fondos de valor futuro, documentos financieros, bonos, tasas de interés internacionales, tasa real, análisis de conveniencia de invertir a través de indicadores como VAN, TIR, Payback, Relación Costo Beneficio, que son necesarios en las actividades financieras especialmente en el largo plazo, para financiar compras de bienes inmuebles y muebles, financiamiento, negociación con documentos, y aseguramiento de todos los bienes; que tienen aplicación en la formación del administrador profesional. la formación en la especialidad profesional de Administración – Contabilidad.Matemática Financiera II FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS MODALIDAD A DISTANCIA IMPORTANCIA DE LA ASIGNATURA Regresar Dentro del mundo de los negocios. la materia Matemática Financiera es de importancia pues le permitirá al estudiante. el futuro profesional se enfrentará en muchas ocasiones a tomar decisiones que involucran la inversión adecuada de los recursos con que cuenta o a la disponibilidad de los mismos por lo tanto es necesario que tenga los conocimientos que involucran a la Matemática Financiera En el caso que nos ocupa. herramientas y destrezas para la toma de decisiones. por lo que se requiere poseer sólidos conocimientos financieros que permitan aprovechar las oportunidades que se presentan en el mercado y tomar las medidas precautelatorias cuando estas puedan afectar las finanzas de la empresa. pues las negociaciones y transacciones financieras y afectaciones. donde la economía se ha globalizado y que gracias al apoyo de la cibernética se ha dado una verdadera revolución. En el mundo actual. para ver si es rentable o no una inversión. tenga las técnicas. deberá revisar documentos y emitir una opinión profesional decisiva y definitoria sobre estudios y proyectos o informes realizados. se hacen en tiempo real. en el momento que desempeñe un cargo en los niveles de apoyo o de dirección en una empresa sea pública o privada. entonces. . que necesariamente contendrán cálculos matemáticos y sobre todo financieros. es básica para la comprensión y asimilación de los contenidos de materias tales como: Contabilidad. entre otras. Evaluación Proyectos. Administración Financiera.FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS MODALIDAD A DISTANCIA Matemática Financiera II RELACIÓN CON OTRAS ASIGNATURAS Regresar La asignatura es secuencia de Matemática Financiera I. Seguros. . Administración Tributaria. jubilación. Conceptualiza.Matemática Financiera II FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS MODALIDAD A DISTANCIA 1. continúa con el aprendizaje y manejo de las técnicas y herramientas financieras. . Conceptualiza y aplica la amortización de deudas por los métodos americano. alemán y francés (gradual). Nº UNIDADES DE COMPETENCIA Aplica la capitalización de los intereses y la transformación de tasas. Conoce. la construcción de tablas. Competencia: pequeñas medianas y grandes empresas así como en instituciones financieras y el manejo de las finanzas personales de manera que los recursos económicos sean invertidos productivamente. aprende y se adiestra en el manejo de los Bonos y otros 4 documentos de renta fija y de renta variable. clasifica y aplica el cálculo de anualidades o rentas y 1 sus variables y su integración en casos. orientándolas a la aplicación profesional bien sea en el micro. 2 de educación y otros. los fondos de valor futuro y su aplicación en fondos de cesantía.3 PROGRAMACIÓN GENERAL DE LA ASIGNATURA Regresar Asignatura: MATEMÁTICA FINANCIERA II El estudiante de Matemática Financiera II. Conoce y utiliza los mecanismos de evaluación de proyectos basados 3 en el valor del dinero en el tiempo. sin descuidar el aspecto humano. 4.5. Revisión.Matemática Financiera II FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS MODALIDAD A DISTANCIA 6. concepto. 2.2. lecturas. PROGRAMACIÓN DE UNIDADES Unidad No. observaciones y estímulos a los aportes realizados en los foros. el estudiante debe integrar los conocimientos adquiridos en la actividad de aprendizaje. conocimiento que se refleja en el trabajo (2/3) que debe presentar en el primer hemisemestre para lo cual puede realizar: Estudio individual de los temas Búsqueda y análisis de información El alumno para su aprendizaje debe utilizar la guía de estudio. 2. la bibliografía complementaria...Anualidades o Rentas.7. llamadas. otros Evaluación presencial (12 puntos) .Gradientes ESTRATEGIAS DIDACTICAS RECURSOS DE APRENDIZAJE A través de la presentación de casos resueltos.1. elementos.Anualidades Diferidas. clasificación 2. el texto base. 2..Aplicación de interés compuesto tasas equivalentes efectivas y nominales 2...Caso General de Anualidades.Cálculo del tiempo y de la tasa de interés de una anualidad.. tiza líquida. 2.10.9. 2. EVALUACION Formativa: Respuestas a las preguntas realizadas en el aula virtual. chats y preguntas y respuestas del aula virtual Sumativa: Ponderación objetiva del trabajo (6 puntos) Participación en el foro (2 puntos) Participación en las diferentes actividades: Chat.6.. observaciones y recomendaciones en relación a los trabajos consignados Resumen.El Valor Actual de una anualidad.Cálculo de la renta en función del monto y en función del valor actual.1: ANUALIDADES O RENTAS COMPETENCIAS CONTENIDOS Conoce y utiliza los mecanismos de cálculo que facilitan la forma de acumular capitales o de amortizar endeudamientos mediante cuotas periódicas.3. la plataforma tecnológica Pizarra. 2.. visitas a instituciones financieras y comerciales. los apéndices que constan en la guía.Anualidades anticipadas. 2..8. Identifica los tipos de anualidades Calcula el monto y el valor actual de una anualidad Calcula la renta en función del monto y del valor actual Conoce las formas de cálculo de las variables: periodos de pago de la renta y tasas (Interpolación) Aplica las anualidades o rentas a la realidad financiera con casos prácticos 2.El Monto de una anualidad. mediante el análisis y aplicación en los ejercicios propuestos que debe resolver.. visitas a instituciones financieras y comerciales.6.Comparación entre amortización y fondo de amortización..9. Construye las tablas de amortización gradual. lecturas. A través de la presentación de casos resueltos. así como la formación de fondos de valor futuro..Depósitos a un fondo de amortización..Concepto de Amortización.. número de depósitos y tasa de interés. la bibliografía complementaria.10.4.Cálculo de la renta o pago periódico. 3. el texto base. 3.. chats y preguntas y respuestas del aula virtual Sumativa: Ponderación objetiva del trabajo (6 puntos) Participación en el foro (2 puntos) Participación en las diferentes actividades: Chat. Revisión. El alumno para su aprendizaje debe utilizar la guía de estudio.3.Tasa de interés en una amortización. otros Evaluación presencial (12 puntos) 8 . 3. individuales y virtuales.Los derechos del acreedor y los derechos del deudor 3. 3.Número de pagos de una amortización. Reconstruye las tablas de amortización gradual.. observaciones y estímulos a los aportes realizados en los foros. total acumulado..2AMORTIZACIONES Y FONDOS DE VALOR FUTURO COMPETENCIAS CONTENIDOS ESTRATEGIAS DIDACTICAS RECURSOS DE APRENDIZAJE Conoce y utiliza el proceso de amortización gradual. observaciones y recomendaciones en relación a los trabajos consignados Resumen..5. EVALUACION Formativa: Respuestas a las preguntas realizadas en el aula virtual..8. Construye las tablas de valor futuro o de fondos de amortización.Tablas de amortización. el estudiante debe integrar los conocimientos adquiridos en la actividad de aprendizaje. fórmula de cálculo 3.El saldo insoluto. saldo insoluto. los apéndices que constan en la guía.1. 3. Calcula los reajustes en las tablas por variación en la tasa de interés en los endeudamientos. 3. la plataforma tecnológica Pizarra. 3. 3.7. conocimiento que se refleja en el trabajo (3/3) que debe presentar en el primer hemisemestre para lo cual puede realizar: Estudio individual de los temas Búsqueda y análisis de información Tutorías grupales.. tiza líquida. mediante el análisis y aplicación en los ejercicios propuestos que debe resolver.Casos de amortización. Reconstruye las tablas de valor futuro o de fondos de amortización.2.Matemática Financiera II FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS MODALIDAD A DISTANCIA Unidad No. llamadas. La Tasa Interna de Retorno (TIR) 4. y la relación IR Beneficio / Costo 4. Adicionalmente el Paybackdescontado.Payback.. los apéndices que constan en la guía. lecturas. VAN.1. Utilización de Excel para los cálculos EVALUACION Formativa: Respuestas a las preguntas realizadas en el aula virtual. individuales y virtuales.3:TASAS INTERNACIONALES. la plataforma tecnológica Pizarra.6.La tasa de interés real. observaciones y recomendaciones en relación a los trabajos consignados Resumen. observaciones y estímulos a los aportes realizados en los foros.. llamadas.4. otros Evaluación presencial (12 puntos) 9 . 4.3.Combinación de Tasas (TMAR) 4.. PAYBACK.BENEFICIO COMPETENCIAS CONTENIDOS Conoce y utiliza los mecanismos de evaluación de proyectos basados en el valor del dinero en el tiempo VAN – TIR para determinar la conveniencia o no de invertir en ellos.2. 4. conocimiento que se refleja en el trabajo (1/2) que debe presentar en el segundo hemisemestre para lo cual puede realizar: Estudio individual de los temas Búsqueda y análisis de información Tutorías grupales. Revisión. tiza líquida. IR. mediante el análisis y aplicación en los ejercicios propuestos que debe resolver... fórmula de cálculo. IR.Las tasas internacionales.El Valor Actual Neto ( VAN) 4. TIR. COSTO . la bibliografía complementaria. el estudiante debe integrar los conocimientos adquiridos en la actividad de aprendizaje. Relación Costo Beneficio ESTRATEGIAS DIDACTICAS RECURSOS DE APRENDIZAJE A través de la presentación de casos resueltos.5. chats y preguntas y respuestas del aula virtual Sumativa: Ponderación objetiva del trabajo (6 puntos) Participación en el foro (2 puntos) Participación en las diferentes actividades: Chat. visitas a instituciones financieras y comerciales..Matemática Financiera II FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS MODALIDAD A DISTANCIA Unidad No. TASA REAL. El alumno para su aprendizaje debe utilizar la guía de estudio. el texto base. la plataforma tecnológica Pizarra. de renta fija y de renta variable. con premio. mediante el análisis y aplicación en los ejercicios propuestos que debe resolver. 5. chats y preguntas y respuestas del aula virtual Sumativa: Ponderación objetiva del trabajo (6 puntos) Participación en el foro (2 puntos) Participación en las diferentes actividades: Chat. tiza líquida. individuales y virtuales. El alumno para su aprendizaje debe utilizar la guía de estudio. el precio y rendimiento de los mismos. conocimiento que se refleja en el trabajo (2/2) que debe presentar en el segundo hemisemestre para lo cual puede realizar: Estudio individual de los temas Búsqueda y análisis de información Tutorías grupales. elementos 5. Revisión. ESTRATEGIAS DIDACTICAS RECURSOS DE APRENDIZAJE A través de la presentación de casos resueltos. lecturas.4:BONOS Y DOCUMENTOS FINANCIEROS COMPETENCIAS CONTENIDOS Conoce.4 Precio de un bono comprado entre fechas de pago de cupones. 5.1 Concepto y clasificación de los documentos financieros. otros Evaluación presencial (12 puntos) 10 . aprende y maneja los Bonos y otros documentos financieros. Utilización de Excel para los cálculos EVALUACION Formativa: Respuestas a las preguntas realizadas en el aula virtual. los apéndices que constan en la guía. el texto base. observaciones y estímulos a los aportes realizados en los foros. la bibliografía complementaria. observaciones y recomendaciones en relación a los trabajos consignados Resumen.2 Los bonos concepto. llamadas.3 Fórmulas para calcular el precio y el rendimiento. visitas a instituciones financieras y comerciales. a la par o con castigo.Matemática Financiera II FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS MODALIDAD A DISTANCIA Unidad No. el estudiante debe integrar los conocimientos adquiridos en la actividad de aprendizaje. 5. es ) Anualidades o rentas conceptos y aplicaciones. McGraw Hill. Valor Actual Neto VAN. inflación.com. VIDAURI. Registro Oficial 199 de 28 de mayo de 1993. Cuarta edición 2006. Registro Oficial de mayo de 1992. Relación Costo Beneficio.youtube.aulafacil.matematicas-financieras.gestiopolis. www. 3.com.Matemática Financiera II FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS MODALIDAD A DISTANCIA 1. http://www. www. Cuarta edición 2008.net . Armando.calameo. Matemáticas Financieras.fin. DÍAZ MATA. 7. Matemáticas Financieras.http://www.com/ Interés compuesto. Guía del Inversionista Bursátil.com Tasas activas. www. Interpolación Lineal. Tercera edición 2010.com . Frank Jr. NETGRAFÍA Matemáticas Financierashttp://www. McGraw-Hill. Tasa Interna de Retorno TIR. Ley del Mercado de Valores. Alfredo.youtube. MORA ZAMBRANO. 6. Matemáticas Financieras. http://www. (Incluye un CD).com/watch?v=rxGJaLsRfEc Transformación de tasas de interés. Payback.5 BIBLIOGRAFÍA Y NETGRAFÍA Regresar BIBLIOGRAFIA BASICA Matemáticas Financieras.htth?v=9DwiF8Q02EIp://www. 2.monografias.com ). McGraw-Hill. Grupo Alfaomega. Bolsa de Valores de Quito. Apéndices (incluidos al final de esta guía) de autoría de: KOLB ALVARADO AlfredoDietter (e-mail: adieterkolb@hotmail. 5.bce.enciclopediafinanciera. PARRA TERÁN Flavio Florencio (
[email protected]/ Anualidades. Hector. pasivas referenciales. Matemáticas Financieras Teoría y 500 problemas resueltos.com/read/000663385dd9956f48f77 Temas financieros varios. riesgo país. Bonos BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTARIA 1. Cuarta edición 2005 PORTUS- GOVINDEN-LINCOYÁN 4. 2003 AYRES. Tasa real. Ley de Régimen Monetario y Banco del Estado. Cegage.com/watc Temas relacionados a la materia: www.http://www.eumed. 67 Auto evaluación ------------------------------------------------------------------------------------------------------------.18 Explicaciones y ejemplos: -----------------------------------------------------------------------------------------------.13 INTRODUCCIÓN GENERAL DE LA PRIMERA PARTE --------------------------------------------------------.45 Introducción General de la segunda parte --------------------------------------------------------------------------.27 Respuestas Ejercicios Bloque I ----------------------------------------------------------------------------------------.26 Trabajo para entregar y calificar 1de 2.16 UNIDAD I --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------.18 TÍTULO: Anualidades o Rentas ----------------------------------------------------------------------------------------.66 Consultas en el texto -----------------------------------------------------------------------------------------------------. Valor Actual Neto VAN.TABLA DE CONTENIDO INTRODUCCIÓN GENERAL DE LA MATERIA -------------------------------------------------------------------. ------------------------------------------------------------------------------.52 Consultas en el texto -----------------------------------------------------------------------------------------------------. Relación IR Beneficio/Costo y la Tasa Real-----------------------------------------------------------------------------------------.49 UNIDAD III ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------.57 Respuestas Ejercicios Unidad III --------------------------------------------------------------------------------------. -----------------.128 BONOS ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------.102 ANUALIDADES CON GRADIENTE ARITMETICO Y GEOMETRICO --------------------------------------.56 Consolidación --------------------------------------------------------------------------------------------------------------. -----------------------------------------------------------------------------. Payback.61 UNIDAD IV ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------.25 Ejercicios --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------.102 GRADIENTE GEOMETRICO EXPONENCIAL --------------------------------------------------------------------.68 Respuestas Ejercicios Bloque IV --------------------------------------------------------------------------------------.31 UNIDADII --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------.116 Entidad ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------.55 Auto evaluación ------------------------------------------------------------------------------------------------------------.51 TÍTULO: TMAR.68 Consolidación --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.42 Respuestas Ejercicios Unidad II ---------------------------------------------------------------------------------------.40 Ejercicios --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------.113 MÉTODOS PARA EVALUAR PROYECTOS DE INVERSIÓN Y TOMAR LA DECISIÓN.55 Ejercicios --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------.35 Consultas en el texto -----------------------------------------------------------------------------------------------------.40 Auto evaluación ------------------------------------------------------------------------------------------------------------.34 TÍTULO: Amortizaciones y fondos de amortización ---------------------------------------------------------------. la Tasa Interna de Retorno TIR.107 APÉNDICE 4 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------.41 Trabajo para entregar y calificar 2 de 2.34 Explicaciones y ejemplos: -----------------------------------------------------------------------------------------------.102 GRADIENTE ARITMETICO O LINEAL -----------------------------------------------------------------------------.70 APÉNDICESAPÉNDICE 1 ------------------------------------------------------------------------------------------------------72 ANUALIDADES o RENTAS ---------------------------------------------------------------------------------------------------73 APÉNDICE 2 -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------95 INTERPOLACIÓN LINEAL ----------------------------------------------------------------------------------------------------95 APENDICE 3 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.25 Consolidación --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.51 Explicaciones y ejemplos: -----------------------------------------------------------------------------------------------.64 TÍTULO: Documentos Financieros y Bonos ------------------------------------------------------------------------.64 Explicaciones y ejemplos: -----------------------------------------------------------------------------------------------.128 12 .113 TMAR = Tasa de Inflación + Premio al Riesgo --------------------------------------------------------------------.41 Consolidación --------------------------------------------------------------------------------------------------------------.67 Ejercicios --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------.20 Consultas en el texto -----------------------------------------------------------------------------------------------------.118 APÉNDICE 5 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------.25 Auto evaluación ------------------------------------------------------------------------------------------------------------.56 Trabajo para entregar y calificar 1 de 2. -----------------------------------------------------------------------------. legislación financiera y bancaria y otras. continúa con el aprendizaje y manejo delas técnicas y herramientas financieras. por lo que se requiere poseer sólidos conocimientos financieros que permitan aprovechar las oportunidades que se presentan en el mercado y tomar las medidas precautelatorias cuando estas puedan afectar las finanzas de la empresa. la asignatura de matemática financiera le permitirá. que son necesarios en las actividades financieras especialmente en el largo plazo. administración. que tienen aplicación en la formación del administrador profesional. análisis de conveniencia de invertir a través de indicadores como VAN. orientándolas a la aplicación profesional bien sea en las micro. Payback. bonos. deberá revisar documentos y emitir una opinión profesional decisiva y definitoria sobre estudios y proyectos o informes realizados. En el mundo actual. tasas de interés internacionales. para ver si es rentable o no una inversión. fondos de valor futuro. tenga las herramientas para la toma de decisiones. y aseguramiento de todos los bienes. para financiar compras de bienes inmuebles y muebles. Estadística. documentos financieros. que necesariamente contendrán cálculos matemáticos y sobre todo financieros. Producción. financiamiento. pues las negociaciones y transacciones financieras y afectaciones. se enfrentará muchas ocasiones a tomar decisiones que involucran la inversión adecuada de los recursos con que cuenta o a la disponibilidad de los mismos por lo tanto es necesario que tenga los conocimientos que involucran a la Matemática Financiera En el caso que nos ocupa. que en el momento que desempeñe en una empresa un cargo en los niveles de apoyo o de dirección. Proyectos. se hacen en tiempo real. sin descuidar el aspecto humano. La materia tiene relación con otras tales como: Contabilidad en todos sus niveles. donde la economía se ha globalizado y que gracias al apoyo de la cibernética se ha dado una verdadera revolución. pequeñas medianas y grandes empresas así como en instituciones financieras y el manejo de las finanzas personales de manera que los recursos económicos sean invertidos productivamente. 13 . su formación en la especialidad profesional de Administración. negociación con documentos. IMPORTANCIA DE LA MATERIA ¿Para qué sirve esta asignatura? Dentro del mundo de los negocios.INTRODUCCIÓN GENERAL DE LA MATERIA En este segundo curso de Matemáticas Financieras se trata temas referentes a: anualidades. amortizaciones. tasa real. Matemática en todos sus niveles. entonces. Seguros. Administración Financiera. Relación Costo Beneficio. TIR. COMPETENCIA DE LA ASIGNATURA El estudiante de Matemática Financiera II. MACRO CONTENIDOS DE LA MATERIA Anualidades o Rentas Amortizaciones y Fondos de Amortización Aplicación de flujos descontados y tasas Bonos y documentos financieros MÉTODOS DE APRENDIZAJE SUGERIDOS Obligatoria lectura comprensiva Elaboración de resúmenes Ejemplificación Resolución de ejercicios ESTRUCTURA DE LA GUÌA La guía le proporcionará una información secuencial de los pasos a seguir en su estudio. autoevaluaciones y ejercicios. Es importante que lea detenidamente las indicaciones impartidas para que pueda conseguir el objetivo propuesto en cada uno de los bloques. la misma está conformada por dos partes. 14 . sobre la base de sus resultados. explicaciones conceptuales. en la utilización de sus procedimientos y. y la segunda parte lo que corresponde para el segundo trabajo. La primera parte trata los temas que deben verse para la presentación del primer trabajo a entregar. Se ha programado en la materia para desarrollarla en una forma sistematizada y ordenada. tomen decisiones que conlleven a soluciones de diversa naturaleza. de modo que puedas adquirir el conocimiento de manera paulatina. es usado por los estudiosos y hombres de ciencia para. lógico y sistemático. que contienen: las competencias. contienen dos bloques cada una. que es gradual en el avance. aplicando el método científico. Las dos partes en que se ha dividido esta guía. ejemplos. Armando. McGraw-Hill.Interpolación Lineal .ec www. ALVAREZ. Alfredo. Guía del Inversionista Bursátil.gestiopolis. Bolsa de Valores de Quito. Alfred Dieter y PARRA TERÁN. McGraw-Hill. .abanfin. Frank Jr. Quinta edición 2002. Grupo Alfa & Omega.net 15 . Registro Oficial 199 de 28 de mayo de 1993.fin. Flavio Florencio . Matemáticas Financieras.Bonos BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA Matemáticas Financieras. Tasa real.monografias. Thomson Learning.TEXTOS BIBLIOGRAFÍA BÁSICA Matemáticas Financieras. Ley General de Instituciones del Sistema Financiero. Matemáticas Financieras. HERNÁNDEZ HERNÁNDEZ. Tercera edición 2007. Registro Oficial de mayo de 1992.gov. MORA ZAMBRANO. Payback. Suplemento. PORTUS-GOVINDEN-LINCOYÁN Matemáticas Financieras.fin.eumed. Matemáticas Financieras Teoría y 500 problemas resueltos. Tasa Interna de Retorno TIR.bnf. Tercera edición 1999. DÍAZ MATA.ec www. .Valor Actual Neto VAN. Segunda edición 1999. (Incluye un CD). Registro Oficial 439. McGraw Hill.superban. SITIOS DE INTERES EN LA WEB www.com www.aulafacil.com www. Alberto . Ley de Régimen Monetario y Banco del Estado. Relación Costo Beneficio. Apéndices (incluidos al final de esta guía) de autoría de: KOLB ALVARADO. Abraham.Anualidades con gradiente aritmético y geométrico. Ley del Mercado de Valores.bce.com www. 2003 AYRES. de 12 de mayo de 1994.com www. McGraw-Hill.ec www.Anualidades o rentas conceptos y aplicaciones . AMORTIZACIONES Y FONDOS DE AMORTIZACION Métodos de estudio sugeridos (específicos) Obligatoria lectura comprensiva Elaboración de resúmenes Ejemplificación Resolución de ejercicios Duración del estudio.. las tablas de amortización y de fondo de amortización y la reconstrucción de las mismas. - Podrá estructurar las tablas de amortización de préstamos o de fondos de amortización. su clasificación y aplicaciones. será capaz de: - Aplicar los diferentes tipos de anualidades y aprovecharlas para la obtención de recursos financieros que permitan solventar las necesidades de efectivo. constitución de fondos para reposición de activos o para la obtención de rentas futuras. Importancia de la primera parte Estos dos bloques que conforman la primera parte de la asignatura Matemáticas Financiera II. son parte fundamental para introducirte en el mundo de las finanzas para la negociación de créditos en las mejores condiciones.Introducción General de la primera parte El primer bloque trata sobre anualidades su clasificación y aplicaciones en las finanzas. además de la reconstrucción de tablas cuando ha ocurrido un cambio de las condiciones iniciales del préstamo sea por pago del capital o reajuste periódico de tasas. tiene un apéndice relacionado a las anualidades. El segundo bloque presenta la elaboración de las tablas de amortización y de fondos de amortización su aplicación a créditos y fondos. Objetivos de la primera parte Al finalizar la primera parte. Contenidos de la primera parte Bloque 1.. Como apoyo en su aprendizaje al final de la guía. 16 . Bloque 1: Bloque 2: 4 semanas de 16 horas. 4 semanas de 16 horas.ANUALIDADES O RENTAS Bloque 2. Este apéndice reforzará de manera más explícita los conocimientos adquiridos en el texto guía. A través de tutorías vía telefónica. le sugerimos que utilice la bibliografía recomendada. el porqué de la secuencia metodológica de la materia. Se efectúa sobre aspectos puntuales y concretos.Planificar un horario adecuado a sus actividades diarias. Internet. adelante! 17 . procurando entender el porqué de los aspectos matemáticos utilizados. La auto evaluación será permanente durante el desempeño de esta guía Vinculación con conocimientos anteriores Tener conocimiento de las cuatro operaciones fundamentales: Elementos de álgebra.Defina en un lugar apropiado de estudio. En suma. Lea reflexivamente el contenido de la guía. Interés Simple y Compuesto Por eso. Para el mejor aprovechamiento de su aprendizaje. Recuerde qué es la tutoría? No es esperar la resolución de las tareas a ti asignadas. su uso. comprendió. No prosiga en un nuevo tema sino Revise detenidamente los ejercicios resueltos que trae el texto. por lo que requieres explicación aclaratoria por parte de tu PROFESOR – TUTOR. Cumpla con tus trabajos a conciencia individualmente o en grupo de estudio. le sugiero seguir las siguientes orientaciones: . pero recuerde que no implica que los trabajos sean iguales. que tú ya has intentado resolver. o asistiendo al ISED. Solucione tus inquietudes acudiendo a los tutores de la asignatura.Orientaciones específicas. considerando el horario que has destinado para esta actividad. No tema. -Le recomendamos dedicar1 hora para estudio teórico y 3 horas parael desarrollo de ejercicios prácticos en la semana. pedir te señale el rumbo correcto en la resolución de la guía. Es recibir orientaciones. te generan dudas y. que podrá contar con nuestra ayuda. Tasas de interés y su equivalencia. . la tutoría es “facilitar el camino para un estudio exitoso”. en la guía de estudios. que a tu criterio están confusos. consejos adicionales. 4. concepto. 1. 1. clasificación 1.. Identifica los tipos de anualidades Calcula el monto y el valor actual de una anualidad Calcula la renta en función del monto y del valor actual Conoce las formas de cálculo de las variables: periodos de pago de la renta y tasas (Interpolación) Aplica las anualidades o rentas a la realidad financiera con casos prácticos CONTENIDOS 1..9...Anualidades anticipadas.Caso General de Anualidades. 18 .Anualidades Diferidas.. Todos los pagos son de igual valor.El Monto de una anualidad.7..Cálculo de la renta en función del monto y en función del valor actual.Anualidades o Rentas.2. elementos.ANUALIDADES O RENTAS 1.10.El Valor Actual de una anualidad..8. 1.. 1...UNIDAD I TÍTULO: Anualidades o Rentas COMPETENCIAS Conoce y utiliza los mecanismos de cálculo que facilitan la forma de acumular capitales o de amortizar endeudamientos mediante cuotas periódicas.5. que cumplen con las siguientes propiedades: 1.1.6.Cálculo del tiempo y de la tasa de interés de una anualidad. 2.3. 1.Anualidades con gradiente geométrico TIEMPOS Para alcanzar la comprensión de este bloque temático necesitas de cuatro semanas de estudio.. CONCEPTOS PRINCIPALES Anualidad: Una anualidad o renta es una serie de pagos periódicos.Anualidades con gradiente aritmético 1. 1. 1. Los pagos se efectúan a iguales intervalos o periodos de tiempo. Tasa de interés (i): Porcentaje de interés que se fija para el pago de las rentas. trimestrales.1. Todos los pagos son llevados al principio (Valor Actual = C o A) o al final (Monto = S) de la serie a la misma tasa de interés.Anualidades Simples: Cuando el periodo de capitalización de la tasa de interés coincide con el periodo de pago de la renta.1. el cual puede estar expresado como una tasa nominal o como tasa efectiva.-Anualidades Generales: Cuando el periodo de capitalización de la tasa de interés no coincide con el periodo de pago de la renta.1. Debido a la forma de pago pueden ser Vencidas (Ordinarias). 4..2. etc.3.. Plazo de una Anualidad (n): Es el tiempo que media entre el inicio del primer periodo y el final del último periodo. Ejemplo: Una serie de pagos mensuales con una tasa efectiva trimestral.1..1. Anticipadas o Diferidas. 1. un seguro de vida. etc.Contingentes o Eventuales: La serie de pagos no tienen definida la fecha de inicio del primer pago o la del último pues está sujeta a la ocurrencia de un evento que se sabe que sucederá pero que se desconoce cuándo. 2. Clasificación de las anualidades: 1. pero para el cálculo debe expresarse conforme el periodo de pago de la renta. La denominación de anualidad se mantiene pese a que el periodo de pago no sea anual.Vencidas (Ordinaria) 1. o una serie de pagos semestrales con una tasa que se capitaliza trimestralmente.Diferidas 1.. El número de pagos es igual al número de periodos.. Periodo o Intervalo de renta: Es el tiempo que transcurre entre los pagos periódicos continuos.3. Igualmente pueden ser Vencidas (Ordinarias). Ejemplos: Un seguro contra incendios.2. Pudiendo ser quincenales. mensuales. 19 . Términos relacionados: Renta (R): Es el pago periódico. 1.. Anticipadas o Diferidas. 5.Anticipadas 1..Ciertas: La serie de pagos tienen definida la fecha en la que se efectuará cada uno de ellos. Despeja de la fórmula básica. Explicaciones y ejemplos: PASOS PARA RESOLVER PROBLEMAS APLICADOS 1. la variable desconocida si es necesario y reemplaza con los datos conocidos en el paso 4. que hace referencia a que los flujos de caja pueden incrementar o disminuir.Anualidades con gradiente. determine. Si el problema se enuncia por escrito. ¡SIGA INTENTANDO! 20 . 3. un gráfico. Realice un dibujo. Las frases que contienen palabras como: “qué. “NO SE OLVIDE DE EMITIR TU CRITERIO FINANCIERO”. junto con la cantidad desconocida que debe encontrar. La cantidad de periodos deben ser iguales a la cantidad de flujos de caja. Los flujos de caja deben ser periódicos Los flujos de caja deben tener un valor un valor presente y futuro equivalente. 8. piensa en los datos que le dan. 6. o cuando”. deben cumplir lassiguientes condiciones: Los flujos de caja deben tener una ley de formación. nos indican la cantidad desconocida. refiriéndolas al enunciado original del problema. con relación al flujo de caja anterior. Estas relaciones se pueden describir por medio de una ecuación “FÓRMULAS O ECUACIONES DE VALOR”. ¡Este es uno de los pasos cruciales en la solución!. o un esquema con las anotaciones apropiadas “RECTA TIEMPO VALOR” 4. en una cantidad constante o en un porcentaje. junto con las relaciones que contienen la cantidad desconocida. se trata de una anualidad que en teoría tiene infinito número de pagos este tipo de anualidad se presenta cuando se coloca un capital y únicamente se retiran intereses periódicamente. encuentre. léelo cuidadosamente tantas veces como sea necesario. 4. Para que una serie de flujos de caja se consideren un gradiente. No se desanime si no puede resolver un problema dado. cuánto.-Perpetuidades: Son una variación de las anualidades ciertas.3.. 5. Verifique las soluciones obtenidas en el paso anterior. Haz una lista de los datos conocidos. Se denomina gradiente a una serie de flujos de caja (ingresos o desembolsos)periódicos que poseen una ley de formación. Efectúe los cálculos. 7. 2. Se requiere esfuerzo y mucha práctica para adquirir habilidad para resolver problemas aplicados. a que tiempo. Denote la cantidad desconocida mediante una letra. 792.17 Ejercicio No.857. 2 Werner Kolb recibe un préstamo de $ 23. tendrá que los analizar y posteriormente resolver usted solo sin mirar la solución dada. (18 años) para hacerle la entrega del monto acumulado..02 X = S1 (1 + i)132 + S2 X = 76.67(1 + 0.02)132 − 1 S2 = R S2 = 300 = 189.252.45 i 0.. comprometiéndose a pagar cuotas mensuales a una tasa de interés del 15% anual capitalizable mensualmente.A continuación le presento algunos ejemplos sobre anualidades e índico el procedimiento para resolver.45 = 1´230. Durante los primeros siete años la cuenta pagó el 28% anual convertible mensualmente.c.c.02)132 + 189. con los ejercicios que se proponen al final del presente bloque. esto asegurará que ha aprendido..33% mensual 12 (1 + i)n − 1 (1 + 0.m que de acuerdo a la clasificación viene a ser una ACGVA y la segunda que tiene una tasa de interés del 2% mensual y es ACSVA. Entonces podrás seguir ejercitándose. para este ejemplo tenemos dos clases de anualidades diferenciadas por la tasa de interés. Ejercicio No.252. ¿Cuánto es el monto acumulado que recibe? R=300/mes j=28%a. y en los siguientes once años el 2% mensual.0233 (1 + i)n − 1 (1 + 0. 21 . y lo continúa haciendo hasta cuando cumpla la mayoría de edad. 0 1 2 3 84 216 Recuerde la definición de anualidad. Para la primera tenemos una tasa de interés del 28% a.0233)84 − 1 S1 = 300 = 76. el primer depósito lo efectúa al cumplir un mes de nacido su hijo.000 a 5 años plazo para la adquisición de un automóvil.. i= j m S1 = R i= 28% = 2. 1 Mercedes Lozada hace depósitos mensuales de $ 300.792. Calcular el valor de la cuota a pagar y el total de intereses.67 i 0.m i=2% mensual . 22 . 𝟐𝟓% 𝐦𝐞𝐧𝐬𝐮𝐚𝐥 𝟏𝟐 𝟏 − (𝟏 + 𝐢)−𝐧 𝐢 𝟐𝟑.... 0 1 2 3 59 60 A Clasificación de la anualidad: ACGVI 1 − (1 + 𝑖)−𝑛 𝐴=𝑅 𝑖 1 − (1 + 0. 𝟏𝟕 − 𝟐𝟑. 4 A qué tasa nominal convertible semestralmente se acumula $600.. 𝟏𝟕 𝐈= 𝐧∗𝐑−𝐀 𝐈 = 𝟔𝟎 ∗ 𝟓𝟒𝟕.000 luego de 15 depósitos semestrales de $12.015 𝐴 = 9. Calcular el valor del préstamo que el banco le concedería si le cobra una tasa del 18% anual capitalizable mensualmente? R=250/mes j=18%a..m . 𝟎𝟎𝟎 = 𝟗.m .000.015)−60 𝐴 = 250 0. 𝟏𝟎 Ejercicio No.c.000 Clasificación de la anualidad: ACGVI 𝐢= 𝐣 𝐦 𝐀=𝐑 𝐢= 𝟏𝟓% = 𝟏. 𝟎𝟏𝟐𝟓 𝐑 = 𝟓𝟒𝟕.845... 𝟎𝟎𝟎 = 𝐑 𝟏 − (𝟏 + 𝟎. 𝟖𝟑𝟎.c. 𝟎𝟏𝟐𝟓)−𝟔𝟎 𝟎. 0 1 2 3 59 60 23.07 Ejercicio No.R=mes j=15%a.. 3 Walter Gaibor recibe un préstamo al Bancario a 5 años plazo e indica que su capacidad de pago es de $250 mensuales. R=12.02 0. 0.000/semestre 0 1 2 3 i=? 4 14 15 600.1 0. Entre 15%(47. 77 le daría algo como 41.66 . ¿Cuál es el valor de los depósitos anticipados que debe realizar? 23 . 0.01 0. utilizando el Excel para encontrar valores más cercanos para realizar la interpolación.58 𝑖 = 0.…continúe con el proceso.000 (1 + 𝑖)15 − 1 𝑖 (1 + 𝑖)15 − 1 𝑖 El objetivo es encontrar la tasa i de acuerdo al apéndice 2 “Interpolación lineal” La pregunta? qué valor se da a i.58 . 5 Astrid Solano debe cancelar una deuda de $50.66 La diferencia entre el 1% y 2%.05 0. utilice la fórmula de interpolación lineal. Ejercicio No.1559 𝑖 = 15. crece pero un valor pequeño.000 𝑆=𝑅 50 = (1 + 𝑖)𝑛 − 1 𝑖 600.15 0.59% 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 𝑗 = 𝑖𝑥𝑚 𝑗 = 15.5% bimestral.16 16.66 − 47.293 21. así como al 10%.59%𝑥2 = 31.15)(51.097 17. 𝑐.579 31. 𝑠 El presente cálculo se lo puede realizar con mayor exactitud.000 = 12. Al ser arbitrario.58) 51.15 + 0. Puntos: (47.58) y 16%(51.772 47.15 (50 − 47.16) 𝑦 = 𝑦1 + 𝑦2 − 𝑦1 (𝑥 − 𝑥1 ) 𝑥2 − 𝑥1 𝑦 = 𝑖 = 0. la cuenta paga el 4. Entre el 5% y 10% la diferencia es prácticamente de 10.58 51. i VR 0. iniciemos con un valor del 1%.56) está el valor buscado (50).18% 𝑎.16 − 0. podría subir al 15% que sumado al 31. así mismo arbitrariamente vaya al 5%.000 en dos años para lo cual abre una cuenta de inversión en donde decide hacer doce depósitos bimestrales. 6 Si se compra de contado una cocina se debe pagar $ 800. 1 0 2 3 11 12 50.08 𝑏𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 Ejercicio No. La tasa de interés es del 3..5% bimestral 4 8 A $800 Clasificación de la anualidad: ACGVD 𝑃𝐴𝐺𝑂𝑆 = 𝐷𝐸𝑈𝐷𝐴𝑆 800 = 𝐴(1 + 𝑖) −2 𝑅𝑒𝑐𝑢𝑒𝑟𝑑𝑒: 𝐴 = 𝑅 1 − (1 + 𝑖)−𝑛 𝑖 1 − (1 + 0.R=bimestral i=4.83 𝑏𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠 24 .000 = 𝑅 [ − 1] 0. ¿Cuál es el valor de los pagos? FF 0 R=bimestral 1 2 3 i=3. Se puede adquirir mediante 6 pagos bimestrales.045) 0.094.045 𝑅 = $3.08 𝑏𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 (1+𝑖)𝑛 −1 𝑖 ] (1 + 𝑖) (1 + 0.035)−6 (1 + 0. el primero de los cuales debe ser realizado 6 meses después de la adquisición.000 = 𝑅 [ ] (1 + 0.094.5% bimestral ….035 𝑅 = $160.045)12 − 1 50.035)−2 800 = 𝑅 0.5% bimestral.045)12+1 − 1 50.000 𝑆 = 𝑅[ (1 + 𝑖)𝑛+1 − 1 − 1] 𝑖 (1 + 0.045 NOTA: Puede utilizar la formula: 𝑆 = 𝑅 [ 𝑅 = $3. 500 si el interés es de 5% trimestral. La tercera oferta era $10.KADA Electronics S. bien. Si no te evalúas al menos de “Bien”. misma que se encuentra de venta. Determine el número de pagos que se debe realizar. Si te sientes bien o excelente. ofrece una cámara de video.Consultas en el texto Para su mejor comprensión estudie en el texto guía el capítulo 6 páginas 165 a la 185.Calcule el monto y el valor actual de un conjunto de 24 depósitos bimestrales de $4.200 cada fin de mes durante 30 meses.74 cada uno. Considerando una tasa de interés del 0. ADELANTE Y FELICIDADES. adicionalmente estudie el apéndice de Anualidades que se encuentra en esta guía.000 de contado.50 o en pagos mensuales anticipados de $18.000 al contado y $10.. Utilice el método de tasa equivalente. debes volver atrás o elaborar un plan remedial para superar las deficiencias.. tú lo puedes hazlo con entusiasmo. b) VERDADERO O FALSO Marque con una X si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas AFIRMACIÓN Una anualidad es una serie de pagos periódicos iguales Cuando el periodo de pago coincide con el periodo de capitalización de la tasa de interés se trata de una anualidad caso general V X Se dice que una anualidad es diferida cuando tiene periodos de gracia Una anualidad es vencida cuando se paga al inicio de cada periodo Cuando el número de periodos de pago tiende al infinito se trata de una perpetuidad o anualidad perpetua La tasa de interés en las anualidades puede estar expresada como tasa nominal o tasa efectiva. La Primera consistía en $350. La segunda consistía en $100. 3.498 al mes durante tres años. si se carga un interés del 24.6% mensual..A. 25 . Ejercicios a) Resuelva los siguientes ejercicios: 1. La tasa efectiva es siempre mayor que la tasa nominal X F X X X X X Auto evaluación Hasta el momento cómo te evalúas: Excelente.Marcelo Páez recibió tres ofertas por su casa ubicada en el Condado. sin enganche.6% anual capitalizable mensualmente. regular o mal. al contado en $478. ¿cuál de estas oferta le conviene aceptar? 2. seguro que éste será de gran apoyo en su aprendizaje. 26 . Conceptos y Aplicaciones”. estudie el apéndice “Anualidades o Rentas.Consolidación A fin de que tenga una mejor compresión de lo visto en este bloque referente a anualidades. el mismo que se encuentra al final de la guía. Carlos Terán en el momento que nació su hija.000 y se estima que se agotará en 10 años. Una mina en explotación tiene una producción anual de $6’500. La CFN.20% a.000. 4.50% semestral Transforme a tasa nominal Transforme a tasa efectiva a.5% a. 7. en un fondo para sustitución de equipos.c.t. depositó $200 en una cuenta de ahorros que abona el 9% anual.A.b 8.b a.c. a principio de cada año. a. que paga el 4. y su valor de salvamento se estima en el 15%.5% a.fin. Un equipo industrial cuyo valor de contado es de $19.c.000 semestrales durante 10 años..c. tienen una vida útil de 6 años. Baje de la web del Banco Central del Ecuador www. Determine el valor de la cuota mensual.c.t 4. si el rendimiento del dinero es del 12% anual. El costo los equipos es de $300. 5. c. a una tasa efectiva del 10% anual.500 de cuota inicial y 15 cuotas mensuales. 6. Transforme las tasas indicadas No. dicha cantidad la deposita cada cumpleaños. Determine el valor del préstamo si la tasa activa es del 6% a.50% cuatrimestral 5. Determine la suma que debe depositar KWAP S. a. “Antes de realizar los trabajos propuestos en la guía.Trabajo para entregar y calificar 1de 2.” 1. 27 .500 se vende dando $3.ec las “Tasas Efectivas Referenciales” que se encuentren vigentes a la fecha en que usted realiza su trabajo.bce.b. usted debe haber revisado los Apéndices 1 y 2 que se encuentran al final de la guía. a) Hallar el valor presente de la producción..b.c.. Calcular la suma que tendrá a disposición de ella a los 18 años.t. El trabajo debe ser realizado a mano.c. 3. Tasas Vencidas 9.s.c. Al cumplir 12 años. (adjunte el impreso) 2. aumento sus depósitos a $500. d. b. debiéndose pagar la primera cuota dentro de 4 años. Tasa a. para incentivar el desarrollo de la ganadería lechera. semestral cuatrimestral mensual bimestral NOTA: En los siguientes ejercicios realice la gráfica tiempo-valor correspondiente y reconozca el tipo de anualidad de que se trata conforme el cuadro sinóptico de clasificación de las anualidades. otorga un préstamo a ser pagado bajo las siguientes condiciones: $8. Estrella omitiera pagar los 20 primeros pagos y quisiera liquidar el total de la deuda al vencimiento del mes 21.000 en el Banco del Pacifico. en el momento de la adquisición de los yacimientos. si la tasa efectiva es del 6% anual.000. 14. los depósitos generarán un interés del 4.c. Se estima que los yacimientos en explotación rendirán una ganancia anual de $3. si la tasa de interés es del 24% a.00. ¿Cuánto tendría que pagar?. 10. si el banco abona el 6% convertible mensualmente? 9. Los ex alumnos de la MAD promoción 2014.m: a) ¿Cuál sería el precio de contado de la casa? b) Si el Sr.000 luego de 15 depósitos semestrales de $10.000 y el mantenimiento se estima en $5. El Vinicio Estrella compró una casa por la cual dio de enganche $ 20. Hallar el valor del fondo. Se supone que la tasa comercial es del 8% a.000 por instalación.000.000 más $5. a él o a sus herederos. mediante depósitos mensuales de $250. con la tasa efectiva del 6% anual. los estudios de ingeniería muestran que los trabajos preparatorios y vías de acceso demoraran 7 años.c. 12. a) Encuentre el valor futuro de la renta que espera obtenerse.. y que los yacimientos se agotarán después de 15 años continuos de explotación. 8. Encontrar el valor presente. Roberto crea un fondo. si estas representan el 30% de la producción. a) Hallar el valor de la donación. una renta de $4. La Junta Parroquial de San Peregrino para mantener en buen estado las carreteras vecinales.500. decide establecer un fondo a fin de proveer las reparaciones futuras.000 y 84 pagos mensuales de $550. que se estiman en $300. Determine: a) El valor que tendrá el fondo dentro de 8 años b) El total de los depósitos a lo largo de los 8 años c) El interés total que se devengo 15. A qué tasa nominal convertible semestralmente se acumula $500.000. con la intención de que dentro de 18 años se pague.c. b) Encuentre el valor de utilidad que espera obtener.000 anuales. 13.5% a. ¿Durante cuántos años se pagará esta renta.b) Se estima que al agotarse la mina habrá activos recuperables por el valor de $1’500. a principio de cada mes. Estrella omitiera pagar los 15 primeros pagos. 11.000. Manuel Collaguazo deposita $100. c) ¿Cuánto tendría que pagar al vencimiento del mes 16? d) Si el Sr. Minera del EXPLORAT adquiere unos yacimientos de mineral.000 cada 5 años. mismo que tendrá una vida útil de 20 años su costo será $ 30. deciden donar a la institución un laboratorio y los fondos para su mantenimiento futuro. Si el costo inicial de $80.t. Por esta razón los miembros del 28 .b. incluidas las utilidades. El Comité Pro-Mejoras de Las Colinas del Sur prevé sustituir un equipo de bombeo de agua para riego. 000 al final de cada mes. ¿Cuál es el valor efectivo de los 10 años de renta al 10. y continuo haciendo depósitos similares cada año. el ultimo al cumplir 60 años.500. Determine la cuota a cancelar. Constructora PROINMOBILIAR: solicita un préstamo bancario para un proyecto inmobiliario a 4 años plazo. cuál es la cuota mensual de cada socio?. 19. Aarón tiene una deuda de $25. El estudio es presentado en una institución financiera que cobra como intereses el 9% ¿Cuál será el valor del crédito otorgado por el banco con esas condiciones? 22.500 cada uno. De acuerdo a estudios de mercado realizados. y finalmente 4 abonos quincenales vencidos de $7.000. 26 y 42 respectivamente. María López decide comprar una casa. $25. Al cumplir 45 años Roberto deposito $1. (a) ¿Cuántos de dichos retiros podrá hacer? (b) ¿Con que retiro final.5% a..500 en un fondo que paga el 6%. Para seguridad del crédito el banco le entregara $250. a) Establezca el valor de cada depósito que permita el reemplazo e instalación del equipo de bombeo. a) Calcule el valor de las cuotas R1 y R2.000. hecho un año después del último retiro completo.Comité han decidido crear un fondo mediante pagos mensuales a una tasa del 9% a.6% convertible mensualmente? 18. En lugar de estar pagando $350 de renta al principio de cada mes. se agotara el fondo? 21. ¿Cuánto se tiene que depositar cada cuatrimestre para tener el dinero para reponer la máquina al final de su vida útil? 20. FRANCELANA realiza el estudio de un proyecto en que puede pagar 40 cuotas bimestrales de $4. Ambas empresas convienen en que el pago se realice de la manera siguiente: Tres pagos bimestrales de $ 10.500 y dos cuotas extraordinarias de $15.c. Rafael desea hacer retiros anuales de $3. La Cadena Hotelera Paraiso contrata hoy servicios de limpieza por un año a la compañía Mantenimiento y Limpieza. 17. Suponga que la tasa de interés es del 15% anual capitalizable mensualmente. 29 .000 y se decide hacer un fondo para cubrir el costo.000 después de 14 meses.c. 4 pagos mensuales de $10.000 en los meses 18.c.000 y $30.s. se espera que la máquina cueste alrededor de $ 1´150. A continuación acorta el periodo de pago en 1 año y renegocia el préstamo. la cual.b. 16. Al finalizar el primer año hace un pago adicional de $2.m. b) Si el Comité está conformado por 150 socios. en ese momento tendrá un valor de mercado de $ 150. b) Determine la cantidad de intereses que ahorra con el refinanciamiento. pagando cuotas bimestrales durante los 2 primeros años y en tiempo restante cuotas mensuales del mismo valor a una tasa de interés del 12%. Una empresa necesitará reponer una máquina dentro de 6 años. por los próximos 10 años. sin modificar la tasa de interés. A partir de los 63 años. Si se puede obtener una tasa de interés del 14% a.000 ahora y $350.000 al final de cada uno de los primeros tres bimestres.000.000 a cancelarse mediante pagos mensuales durante 5 años con una tasa del 16. pero el primer pago por valor de $ 2.8% cada mes. 25. que aumentan cada mes en $ 2. . Calcular el valor de un préstamo que se está cancelando en 24 pagos mensuales que aumentan cada mes en $ 100.a)Cuánto se pagaría al comenzar el año. se le plantea el siguiente plan: 25% de cuota inicial. 24 cuotas que aumentan cada mes en el 2. b)Cuánto se pagaría si se hicieran 2 pagos iguales.000 se realizó 12 meses después de la fecha de la negociación. 23. La Cooperativa de Ahorro Amaguaña. uno al comenzar el plazo de un año y otro a los 6 meses.000 se cancela con 20 cuotas mensuales que disminuyen en 1. 27.000 sin pagos durante 6 meses.5% mensual. a) Determine la tasa efectiva anual que se cobra en este préstamo 24. calcule el saldo después de cancelada la novena cuota. y la tasa de interés es del 2. Durante los primeros 12 meses se cobró una tasa de interés del 2. le ofrecen un préstamo de $10. Si la tasa de interés es del 2% mensual. y después $600 mensuales durante 1 año. El valor de un automóvil se cancela en 20 cuotas mensuales. si la tasa de financiación es del 3% mensual. y $500 mensuales durante el año siguiente.0% mensual. y el valor de la primera es de $ 600.5% mensual.000. y un abono extraordinario en el mes 16 por valor de $ 10. hallar el valor del automóvil. Una persona desea comprar un apartamento que tiene un valor de $ 85. si en lugar de estos 11 abonos se hiciera un solo pago. calcular el valor de la primera cuota. Un préstamo de $ 30. 26.000.0% mensual. 30 . La tasa de financiación es del 2. 000 de contado.006 Precio de contado = $ 338. Considerando una tasa de interés del 0.000 Oferta 2. al contado en $478.276.. Oferta 1.6% anual capitalizable mensualmente. tenemos que la oferta 2 es la que más le conviene.498 al mes durante tres años. Precio de contado = 10. 2.200 cada fin de mes durante 30 meses. La tercera oferta era $10. La segunda consistía en $100. misma que se encuentra de venta. esto es el pago inicial si lo hubiese más el valor actual de la anualidad. Solución: Se trata de una anualidad anticipada 31 .50 o en pagos mensuales anticipados de $18. sin enganche. ofrece una cámara de video. si se carga un interés del 24.71 Oferta 3.000 al contado y $10.006 Precio de contado = $379.Respuestas Ejercicios Bloque I a) Resuelva los siguientes ejercicios 1.000 + 10.28 Sobre la base de estos valores.006)-36 0. Determine el número de pagos que se debe realizar.498 1-(1+0.006)-30 0. La Primera consistía en $350. es necesario determinar el valor de contado equivalente de cada una.KADA Electronics S.200 1-(1+0. Precio de contado = 100. ¿cuál de estas oferta le conviene aceptar? Solución: Para poder comparar las tres ofertas.988.Marcelo Páez recibió tres ofertas por su casa ubicada en el Condado.. Precio de contado = $350.A.74 cada uno.6% mensual. entonces establezco la ecuación de valor: 478..0205)-35 0.0205)-35+1) + X (1+0.74)) log(1+0.74 al principio de cada mes y un último pago menor al inicio del mes 36 o 34 pagos iguales y un último pago mayor. Utilice el método de tasa equivalente.50x0.500 i = 5% trimestral n = 24 depósitos bimestrales Solución: Se trata de una anualidad caso general por lo que se debe transformar la tasa trimestral a bimestral (1+0.Calcule el monto y el valor actual de un conjunto de 24 depósitos bimestrales de $4500 si el interés es de 5% trimestral. en la práctica el resultado se debe ajustar a un número entero.033062 32 .0205 n =? Se debe despejar n de la fórmula de valor actual de una anualidad anticipada.44 es el valor del último pago a realizar.68 0. y se obtiene: n = 1 . R = $4.A = 478.50 R = 18.033062)24 – 1 = $161.033062 bimestral M = 4.448 meses en teoría.500 (1.log(1+i –(Ai/R)) log(1+i) n = 1 – log(1+0. (1+0.05)4/6 – 1 = i2 .50 = 18.246/12 = 0. Se tienen dos posibilidades: 35 pagos iguales de 18.0205/18.0205-(478.05)4 = (1+i2)6 . 3.0205 Despejo X X = $8.000. Tomando la primera opción tenemos que calcular el valor del pago que amortiza toda la deuda.74 1+ (1-(1+0. i2 = 0.0205) n = 35.74 i = 0. (1.500 1. La tasa efectiva es siempre mayor que la tasa nominal V X F X X X X X X 33 .033062)-24 = $73.95 0.033062 b) VERDADERO O FALSO AFIRMACIÓN Una anualidad es una serie de pagos periódicos iguales Cuando el periodo de pago coincide con el periodo de capitalización de la tasa de interés se trata de una anualidad caso general Se dice que una anualidad es diferida cuando tiene periodos de gracia Una anualidad es vencida cuando se paga al inicio de cada periodo Cuando el número de periodos de pago tiende al infinito se trata de una perpetuidad o anualidad perpetua La tasa de interés en las anualidades puede estar expresada como tasa nominal o tasa efectiva.755.A = 4. ..9..Concepto de Amortización. Reconstruye las tablas de valor futuro o de fondos de amortización.7. 2. 2.Número de pagos de una amortización. 2. saldo Insoluto. número de depósitos y tasa de interés.10.Los derechos del acreedor y los derechos del deudor 2.. Construye las tablas de amortización gradual... CONTENIDOS 2.3.2.Tasa de interés en una amortización. total acumulado.Cálculo de la renta o pago periódico.Casos de amortización. Capital o Saldo Insoluto: (Derecho del Acreedor): 34 .. 2. 2..AMORTIZACIONES Y FONDOS DE AMORTIZACIÓN 2. fórmula de cálculo 2..UNIDADII TÍTULO: Amortizaciones y fondos de amortización COMPETENCIAS Conoce y utiliza el proceso de amortización gradual.1.8.Depósitos a un fondo de amortización.El saldo insoluto.Comparación entre amortización y fondo de amortización TIEMPOS Para alcanzar la comprensión de este bloque temático necesitas de cuatro semanas de estudio. CONCEPTOS PRINCIPALES Amortización: Se utiliza el término amortizar para indicar el proceso por el cual se va cancelando una deuda y sus respectivos intereses por medio de pagos periódicos. Reconstruye las tablas de amortización gradual. Calcula los reajustes en las tablas por variación en la tasa de interés en los endeudamientos.6... 2. 2. Construye las tablas de valor futuro o de fondos de amortización.Tablas de amortización. así como la formación de fondos de valor futuro.4.5. Fondo de amortización o de valor futuro: Es la cantidad que se va acumulando mediante pagos periódicos los cuales devengan un interés de manera que luego de transcurrir un determinado número de periodos se alcanza una cantidad prefijada. Calcular la cuota trimestral y elaborar la tabla de amortización. 0 1 2 3 11 12 30. Capital Pagado: (Derecho del Deudor=Parte amortizada) Es la parte de la deuda que a la fecha está cubierta. Explicaciones y ejemplos: A continuación encontrará ejemplos que te permitirán comprender de mejor manera como se construyen y reconstruyen las tablas de amortización y de fondos de valor futuro. que tiene que pagar mediante cuotas trimestrales. 𝟎𝟒𝟑𝟕𝟓)−𝟏𝟐 𝟑𝟎. 𝟎𝟒𝟑𝟕𝟓 35 .c.Es la parte de la deuda que a la fecha no esta cubierta. 𝟎𝟎𝟎 = 𝑹 𝟎.000 Clasificación de la anualidad: ACGVI 𝒊= 𝒋 𝒎 𝒊= 𝟏 − (𝟏 + 𝒊)−𝒏 𝑨=𝑹 𝒊 𝟏𝟕.5%a. Amortización Gradual: (Método Francés de amortización) En este método la cuota o pago es fijo durante los periodos de pago. 𝟑𝟕𝟓% 𝒕𝒓𝒊𝒎𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂𝒍 𝟒 𝟏 − (𝟏 + 𝟎.t …….000 a tres años plazo con una tasa de interés del 17. tendrá que los analizar y posteriormente resolverlos usted solo sin mirar la solución dada. R=trimestral j=17. esto asegura que ha aprendido. con los ejercicios que se proponen al final del presente bloque.A. 1 Sinka S.. Entonces podrá seguir ejercitándose.5 % anual capitalizable trimestralmente. o el valor presente de los pagos que faltan por hacerse. obtiene un préstamo de $ 30. Ejercicio No. para esto. 𝟓% = 𝟒. 00 1.221.01 26.92 9.266.85 2.336.58 30.02 9.94 19.09 14.50 3.99 3.916.31 2.526.50 3.50 3. 𝟓𝟎 𝒕𝒓𝒊𝒎𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂𝒍 columna N Período 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Total b c bn=bn-1-e n-1 bxi Cap.19 393.06 2.51 1.129.389.00 Otra forma en la que se presenta la tabla de amortización.𝑹 = $𝟑.000.266.50 3.02 514.37 740.655.636.58 0.78 6.50 1.50 28.94 2.56 514.389.266.000.96 629.266.129.71 393.266.50 3.65 947.039.266.127.94 2.03 e R-c Capital Pagado 1.09 629.96 11.72 2.266.954.78 268.266.266.526.954.000.312.872.044.01 1.00 2.198.50 3.45 19.49 2.40 3.72 2. 2 Ramiro compra una refrigerador cuyo precio de lista es de $520 con una cuota de entrada del 25% y el saldo a 24 meses plazo.752.129. Insol Int.266.006.50 3.50 3.50 3.655.046.266.49 2.044.50 3.31 2.41 2.128.00 1.266.50 3.128.877.78 23.40 3.006.51 2. Venc Inicio Período Fin Período 30.913.266.50 3.51 23.00 26.45 845.58 Saldo Insoluto 30.92 Capital 1.420.88 16.752.039.137.50 3.198.00 2.998.753.266.266.03 d R=c+e Cuota pago 3.79 1.046.50 3.266.99 16.000.50 3.50 3.266. calcular el saldo de la deuda luego de haber pagado 20 cuotas y los derechos del acreedor y los derechos del deudor en dicha fecha.99 268.58 136.00 28.227.636.221.50 Intereses 1.85 2.129.50 3.19 9.99 740.50 3..266. 𝟐𝟔𝟔.266. 36 .336.51 2.266.312.319. cuya utilización es más común Periodo Renta 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.000.41 2.00 Ejercicio No.71 6.50 39.4% anual capitalizable mensualmente.72 2.56 11.10 3.78 1.319.37 14. que tiene que pagarse en cuotas mensuales con una tasa de interés del 16.137.753.79 21.420.50 3.266.88 845.266.72 2.10 136.872.06 2.127.998.877.94 947.266.266.65 21.50 3.50 3.50 3.227. .025)−𝑛 2. 𝟎𝟏𝟑𝟕)−𝟐𝟒 𝟎. 𝟏𝟕 𝟎. 𝟏𝟐 𝑫𝑬𝑹𝑬𝑪𝑯𝑶𝑺 𝑫𝑬𝑳 𝑫𝑬𝑼𝑫𝑶𝑹 + 𝟕𝟒. 𝟏𝟐 = 𝟑𝟗𝟎 𝑫𝑫 = 𝟑𝟏𝟓.m …….. n-1 n $2. 0 1 3 2 ….000 Clasificación de la anualidad: ACGVI 𝑨=𝑹 𝟏 − (𝟏 + 𝒊)−𝒏 𝒊 1 − (1 + 0.c..m …….025 37 .. 𝟒% = 𝟏.R=mensual j=16. 3 ¿Cuántos pagos mensuales de $125 son necesarios para cancelar una deuda de $ 2. 𝟎𝟏𝟑𝟕 𝑹 = $𝟏𝟗. 19 20 23 24 390 Clasificación de la anualidad: ACGVI 𝒊= 𝒋 𝒎 𝑨=𝑹 𝒊= 𝟏𝟔. 𝟎𝟏𝟑𝟕 𝑫𝑨 = 𝟕𝟒.000 = 125 0. 𝟎𝟏𝟑𝟕)−𝟒 𝑫𝑨 = 𝟏𝟗.c. 𝟖𝟖 Ejercicio No. 𝟑𝟕% 𝒎𝒆𝒏𝒔𝒖𝒂𝒍 𝟏𝟐 𝟏 − (𝟏 + 𝒊)−𝒏 𝒊 𝟑𝟗𝟎 = 𝑹 𝟏 − (𝟏 + 𝟎. 0 1 2 3 ….4%a. 𝟏𝟕 𝒎𝒆𝒏𝒔𝒖𝒂𝒍 𝑫𝑬𝑹𝑬𝑪𝑯𝑶𝑺 𝑫𝑬𝑳 𝑫𝑬𝑼𝑫𝑶𝑹 + 𝑫𝑬𝑹𝑬𝑪𝑯𝑶𝑺 𝑫𝑬𝑳 𝑨𝑪𝑹𝑬𝑬𝑫𝑶𝑹 = 𝑫𝑬𝑼𝑫𝑨 𝑶𝑹𝑰𝑮𝑰𝑵𝑨𝑳 𝟏 − (𝟏 + 𝟎.000 si la tasa de interés es del 30% anual convertible mensualmente? ¿Cuál es el valor del último pago (en los dos casos)? R=$125 mes j=30%a. 025)20 − 1 +𝑥 0..60 = −1.m.60 −𝑛 = −20.69 Sería necesario realizar 19 pagos de $ 125 y un pago final mayor FF R=$125 mes j=30%a.025) = $86.025 𝑥 = 204.025)19 − 1 = 125 +𝑥 0.025) = $209.25 Ejercicio No.025 𝑥 = 84.. Hacer 20 pagos de $ 125 y un pago final menor.c. 4 Audrey para adquirir su vivienda recibe del Banco de Aarón un préstamo hipotecario de $50. −𝑛 = 𝑙𝑜𝑔0.025−𝑛 = 𝑙𝑜𝑔0. 2000(1 + 0.025 𝑛 = 20.025) (1 + 0.c.−0.000 2000(1 + 𝑖)19 = 𝑆19 + 𝑥 19 2000(1 + 0.m …….60 −𝑛 𝑙𝑜𝑔1.60 log 1.025−𝑛 log 1. 38 . 0 1 2 R20 ….5% a. 3 19 20 S+x $2.025)20 = 125 (1 + 0. a ser cancelado mediante pagos mensuales a una tasa del 17.025 = log 0.69 1. Se desea conocer el valor de la cuota mensual y reconstruya la tabla para los últimos 5 periodos.000 a 15 años plazo.15 𝑅21 = 84.15 2.05(1 + 0.05 𝑅20 = 204.15(1 + 0. ..c.R=mensual j=17.000 t = 10 años n = 10x12 = 120 j = 14% a. c.64 177 787.01458 𝐴175 = 787.01458)−180 0.29 176 787.29 33. calcular el valor del depósito mensual y reconstruir la tabla de valor futuro o de fondos de amortización para los últimos 6 períodos.294.29 743. 5 Kompsys Cía. desea acumular un fondo para reposición de activos por un valor de $ 120.17% mensual R =? mensual Reconstruir la tabla de valor futuro de fondos de amortización para los últimos 6 períodos 39 .769.80 179 787.540. 𝟒𝟓𝟖% 𝒎𝒆𝒏𝒔𝒖𝒂𝒍 𝟏𝟐 𝑨=𝑹 𝟏 − (𝟏 + 𝒊)−𝒏 𝒊 50.01458)−𝑛 𝐴175 = 3. m = i = 1.83 1.29 44.63 178 787.29 22.29 54.98 0.31 775.29 1 − (1 + 0.000 = 𝑅 1 − (1 + 0.32 3.29 11. 3 2 179 180 $50.037.46 764.5%a.46 753.29 𝑅 = 787. Ltda.01458 Interés Amortización Saldo insoluto Período R 175 787.96 0.000 durante 10 años en una institución financiera que le reconoce una tasa de interés del 14% anual capitalizable mensualmente.97 732.m …….00 3769.00 2. 𝟓% = 𝟏.83 775.96 Ejercicio No. 0 1 ….000 Clasificación de la anualidad: ACGVI 𝒊= 𝟏𝟕.98 180 787. Fondo reposición de activos $ 120. 08 1. VERDADERO O FALSO Marque con una X si las siguientes afirmaciones son verdadera o falsa El término amortización es sinónimo de fondo de amortización.000 .0117 SI = 120.Una deuda de $20.781.462.000 debe amortizarse con 12 pagos mensuales vencidos.0117 ( 1 + 0. Ejercicios 1. a la tasa del 8% efectiva anual.22 118 462.Una propiedad se vende en $300..751.000 x 0.R = S (i) .20 1. Hallar los derechos del vendedor y del comprador. 115 462.08 1.95 Período Depósito Acum.34 116 462. y elaborar la tabla de amortización para los dos primeros meses.17 118.0117 )114 .Se crea un fondo para reposición de un vehículo. al efectuarse el quinto pago.1 0. depositando $5.08 ( 1 + 0. 3.Valor Acumulado M = 114 SI = 120. Int.332.08 116.000.16 1. $100. Total Fondo Fondo Acum.00 1.47 120 462.30 119 462.000 semestrales.00 Consultas en el texto Para incrementar tus conocimientos y que tengas una mejor comprensión sobre este tema investiga en tu texto guía el capítulo 7 páginas 193 a la 208.844.98 117 462.08 Saldo Insoluto = Monto .530.. En la amortización la cuota o renta está compuesta por el aporte al capital y los intereses generados V F X X 40 .000 al contado y el saldo en 8 cuotas iguales semestrales con interés del 10% convertible semestralmente.64 112.109. adicionalmente revisa el apéndice de Anualidades que se encuentra al final de esta guía. Hallar el valor acumulado en 5 años y construya la tabla del fondo.155. Hallar el valor de estos.24 114.56 1. 2.823.248.319.000 .382.278.340.988.740.08 1.361.08 1.054 = 10.748.09 1. Resuelve los siguientes ejercicios: 1.08 1298.08 1.42 1.. 2.760. la cuenta paga el 6% anual capitalizable semestralmente.802.0117)120 –1 R = 462.50 120.000. pagaderos así.28 110. (1 + i ) n -1 R = 120. buena. debes volver atrás y revisar los conocimientos o elaborar un plan remedial para superar las deficiencias. SIGUE ADELANTE Y FELICIDADES. Consolidación A fin de que tenga una mejor compresión de lo visto en este bloque referente a Tablas de amortización y de fondos de amortización.Si bien la cuota es constante el valor correspondiente al capital aumenta mientras que los intereses disminuyen conforme transcurren los periodos. hazlo con entusiasmo. 41 . los cuales ganan intereses hasta alcanzar una cantidad dada en un determinado tiempo 3. X X X X CASAMIENTOS Una con líneas las siguientes definiciones con los conceptos correspondientes. te he preparado en el apéndice “Anualidades o Rentas. Un fondo de amortización se consigue al realizar pagos periódicos. el momento que se evalúe llegó. Si te sientes bien o excelente. el mismo que te será de gran apoyo en el aprendizaje. Conceptos y Aplicaciones”. TÚ LO PUEDES. una explicación respecto a este tema. regular o mal. Si no te sientes satisfecho con la evaluación. ¿Cuál fue tu calificación? Excelente. En las primeras cuotas se paga más capital que intereses El capital insoluto luego del pago de una cuota es igual al saldo insoluto. DEFINICIONES Derecho del deudor Derecho del acreedor Valor acumulado CONCEPTOS Saldo insoluto Monto de las cuotas aportadas Capital amortizado Auto evaluación Hemos terminado de ver la amortización de deudas por el método gradual y la constitución de fondos de valor futuro. compra maquinaria con valor de $ 1. Una propiedad se vende en $450. pagaderos así.b.m. al efectuarse el décimo pago. Realice lo siguiente: a) Determine el valor de la cuota. b) Elabore las tablas de amortización (3) por el 1. la cual debe pagarla en 4 años mediante cuotas semestrales. a una tasa de interés del 12. Marco tiene una deuda de $25.50 cada fin de mes a partir de febrero/2012. Elabore la tabla de amortización de los primeros tres periodos y el último. 7. Mayra Corella desea ahorrar $25. Fernanda ha programado salir de vacaciones a Holanda en el mes de septiembre.000. a) De cuánto es cada una de las reservas bimestrales.5% anual. b) Elabore la tabla del fondo para los últimos 3 depósitos. Hallar los derechos del vendedor y del comprador. Método Francés “Amortización Gradual”. b) Cuál es el porcentaje de los derechos transferidos al deudor en ese momento. 6. c) Determine las ventajas y desventajas de cada método.c.A. $50. Método Alemán. 8.s. 2.80% a. para lo cual ha venido ahorrando $230. c) Cuál es el saldo insoluto luego de efectuar el pago número 24 y con cuánto se cancela el crédito automotriz al hacer el pago número 24. que liquidará con un pago único a los 3 años.000 para dar de enganche para adquirir su nuevo vehículo. (nominal bimestral). 1.c.m. y cuál será el valor del depósito final menor? Determine: a) El número de pagos iguales necesarios b) El valor del último pago 2. en una entidad que paga el 9. Si ahorra $450 mensuales en una cuenta de ahorros que paga el 12% a. b) Haga la tabla del fondo en sus primeros tres renglones y el último.c. Determine: a) El valor que tiene una vez realizado el depósito de agosto. de un crédito automotriz que se cancela con 36 mensualidades de $ 800. La Urbanizadora Castro-Parra S. la tasa a la que obtuvo el préstamo fue 12.800.2% a. En los siguientes ejercicios aplique el Método de Amortización Gradual 3. Método Americano.c. 42 . a) Cuál es el saldo insoluto luego de hacer el pago número 16.Trabajo para entregar y calificar 2 de 2.5 millones mediante un crédito bancario a una tasa de interés del 15% simple anual. semestral. Simultáneamente constituye un fondo con reservas bimestrales que ganan una tasa del 10% a. ¿Cuántos depósitos se necesitarán.000 al contado y el saldo en 20 cuotas iguales trimestrales con interés del 8% convertible semestralmente. d) Determine el valor de los intereses pagados entre el pago 15 y 24. Una deuda de $45.9.000 al 16.000.8%. 12.000. tiene una deuda de $10.c. El banco considera como capacidad de pago el 30% de los ingresos familiares que son $2. los 2 primeros de $5..m 11. Carlos Clavijo solicita un préstamo de $2. 13.m. b) El número de cuotas mensuales para cancelar el préstamo considerando la tasa original c) Determine el valor de la renta si la tasa se reajusto al 16.000 mensuales. Calcule la fecha y la cantidad del depósito final reducido. determine el valor de K y construya la tabla de amortización una vez realizado el pago K. Luego del pago 20. María López tiene un préstamo de $26. El contrato estipula una penalización en caso de pago anticipado.c. Daniel.0%. Omar Cifuentes.m. Calcule el valor del séptimo pago para saldar completamente la deuda si la operación se pactó al 20%a. (Compare las dos rentas). durante 2 años.c.c..5% a.500 con AGKL Bank.2% a.0%. Silvana ahorró $5. contrata un préstamo hipotecario con el Banco del Pichincha.64% anual amortizable mediante pagos semestrales iguales durante los siguientes 3 años.193% sobre el valor del préstamo.c. 4. igual a tres meses de pago.5% a. y se reajusta cada semestre a la tasa vigente a esa fecha. c) Determine el valor de los intereses cancelados entre los pagos 3 y 7. a) Determine el valor de la cuota trimestral. Ramiro Martínez crea un fondo de $10. a) Calcule el valor del pago redondeando al dólar superior. 3. 14. 43 . Realice una tabla de fondo de amortización para determinar el acumulado en el año. El préstamo debe ser cancelado en 4 años al 14% a.m.23. la tasa de interés al rato de suscribir el contrato es del 15. b) Calcule el valor del último pago. María concluye que su banco le prestaría el dinero al 13. el rendimiento para cada trimestre fue del 3.000 se va amortizar mediante 7 pagos mensuales vencidos.000 más la comisión del 9.m. c) Construya la tabla de amortización. Determine: a) El valor del pago mensual en las condiciones iniciales.. al 2% mensual. Si la tasa de interés del fondo es del 1% mensual hasta el 1ro de junio del 2008 y después baja al 10. 15.m. Compruebe el resultado obtenido analíticamente. el sexto de $9. los 3 siguientes $10. b) El saldo insoluto en el periodo K es $1.c.500 mensuales durante un año. por el valor de $45. Determine si le conviene o no refinanciar la deuda. 3.500. para adquirir su vivienda avaluada en $96.2% a. 10.000 mediante depósitos de $150 mensuales comenzando el 1ro de octubre del 2005.118.000 a pagar en pagos trimestrales.5%.000. d) Construya la tabla del 7 al 12 periodo de pago. con depósitos anuales de $300.? b) Construya la tabla para los depósitos K-1.t.000 en 4 años.16.161. La Constructora PLS Ingenieros desea renovar un equipo para lo que acumula en un fondo $2´500. 17. 44 . a) Cuánto tendrá en los depósitos K-1 y K+1. mediante depósitos trimestrales en una financiera que paga el 10% a. c) Construya la tabla una vez efectuado el sexto depósito. b) Calcule el saldo por depositar una vez efectuado el depósito 10. Jenny Alemán ha conformado un fondo de amortización que paga el 3% anual.. a) Calcule la cuota trimestral. Si el fondo tiene $9. K y K+1.c.03 luego de realizar el K-ésimo depósito. 982.57 1.26 1.000 1 1.92 10.145.27 15.704.37 7 1.49 2 1.629.737.10 1.853.608.19 65.19 128.639.0064 R = 1.30 6 1.91 1.19 97.19 118.43 *10-3 20.000 = R 1 .33 1.30 11.192.618.08 3.88 1.772.000 debe amortizarse con 12 pagos mensuales vencidos.19 43.737.693.143.737.737. y elaborar la tabla de amortización para los dos primeros meses.650.737.36 4 1.726.737.60 5 1.40 9 1.0064)-12 0.19 107.19 Tabla de amortización del préstamo Periodo Cuota Interés Amortización Saldo 0 1.08 12 1.671.10 1.19 76.737.26 8 1.85 16.63 3 1.838.08 0 45 .19 33.19 86.19 11.737.737. i2 = 6.737.21 10 1.737.14 1.61 8.737.19 22..726.75 13. Hallar el valor de estos.18 5.19 54.520.715.(1 + 0.43 1.391.737.08)1/12 = (1+ i2)12/12 .19 0 0 20.50 18.82 1.68 1.Una deuda de $20. Solución: (1+0. a la tasa del 8% efectiva anual.99 1.441.36 6.737.660.04 1.13 11 1.503.Respuestas Ejercicios Unidad II a) Resuelve los siguientes ejercicios 1. m=2 i = 0.Una propiedad se vende en $300.269.730.2.03 semestral M = 5.39 0.03)10 -1 = 57. Solución: 300.31 -170.05)5 = 255.17 Derecho del Comprador + 84.Se crea un fondo para reposición de un vehículo. Hallar el valor acumulado en 5 años y construya la tabla del fondo.36 (1 + 0..000 semestrales.000.31 Derecho del Vendedor 255.05 R = 30. depositando $5.05 M = 170.987. Solución: j = 0.(1 + 0.000 = 200. Hallar los derechos del vendedor y del comprador.13 MIC = 200.06/2 = 0.36 M = 30. pagaderos así.17 = 300. $100.000 (1 + 0.000 valor financiado 200.c.944.269.s.000 = R 1 .000 al contado y el saldo en 8 cuotas iguales semestrales con interés del 10% convertible semestralmente.987.000 (1 + 0.03 46 .000 Derecho del Comprador = 215. la cuenta paga el 6% anual capitalizable semestralmente.944.05)-8 0. al efectuarse el quinto pago.06 a..05)5 .13 = 84.256.000 – 100.319.83 3.1 0.256. 63 20.54 26.000 463.36 6.54 5.000 627. Un fondo de amortización se consigue al realizar pagos periódicos.85 6.461.304.319.000 304.627.796.000 1.342.5 4 5.68 9 5.53 10 5.333.63 5.454.67 6 5.795.37 32.000 1.000 970.918.5 5.970.000 2 5.463. los cuales ganan intereses hasta alcanzar una cantidad dada en un determinado tiempo V F X X X X X X 47 .312.000 0 5. En las primeras cuotas se paga más capital que intereses El capital insoluto luego del pago de una cuota es igual al saldo insoluto.545.000 150 5.85 50.5 15.523.150 3 5.37 5.04 7 5.149.149.86 6.000 1.36 44. En la amortización la cuota o renta esta compuesta por el aporte al capital y los intereses generados Si bien la cuota es constante el valor correspondiente al capital aumenta mientras que los intereses disminuyen conforme transcurren los periodos.26 38.26 5.86 57.523.Tabla del fondo de amortización Periodo Cuota Interés Valor Fondo agregado al acumulado fondo 0 0 0 0 0 1 5.31 8 5.13 5 5.150 10.000 796.000 5.333.39 b)VERDADERO OFALSO Marque con una X si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas AFIRMACIÓN El término amortización es sinónimo de fondo de amortización. DEFINICIONES Derecho del deudor Derecho del acreedor Valor acumulado CONCEPTOS Saldo insoluto Monto de las cuotas aportadas Capital amortizado 48 .c) CASAMIENTOS Una con líneas las siguientes definiciones con los conceptos correspondientes. en el segundo tema veremos cómo se puede financiar a través de la emisión de obligaciones de renta fija o variable.VALOR ACTUAL NETO VAN. LA TASA INTERNA DE RETORNO TIR. El cuarto bloque presenta el tema Documentos Financieros y Bonos. TIR. en estos apéndices encontrarás los conocimientos necesarios respecto a los temas antes mencionados de manera más explícita y sistemática. Para ayudarte en tu aprendizaje al final de la guía.. invertir en bonos y como negociarlos. estarás en capacidad de: - Utilizar el VAN. tienes dos apéndices. Adicionalmente la tasa real te permitirá conocer la medida en que la inflación afecta a la tasa efectiva que se obtiene en una inversión. la misma que puede hacerse en el mercado bursátil o extrabursátil. la Tasa Interna de Retorno TIR. que son una forma de obligación y que pueden ser de renta fija o variable. el primero de ellos es de gran utilidad para el análisis factibilidad financiera de proyectos de inversión. Importancia de la segunda parte Los dos bloques que conforman la segunda parte de la guía de Matemáticas Financiera II. RELACIÓN IR BENEFICIO/COSTO Y LA TASA REAL Bloque4. Contenidos de la segunda parte Bloque3. el primero de ellos se relaciona al Valor Actual Neto VAN. y que constituye un instrumento de crédito.DOCUMENTOS FINANCIEROS BONOS 49 . - Financiar proyectos a través de la emisión de obligaciones. Bonos y su negociación posterior. Relación Costo/Beneficio como herramientas para evaluar la conveniencia o no de incursionar en un proyecto. Payback. y el segundo se refiere a Bonos. Payback. la Tasa Interna de Retorno TIR y el cálculo de la Tasa Real. Relación Costo/Beneficio y la Tasa Real..Introducción General de la segunda parte La segunda parte está conformada por dos bloques a saber: El tercer bloque trata sobre la utilización que se da al descuento de los flujos netos de efectivo futuros de un proyecto de inversión. para evaluar la conveniencia o no de hacer la inversión a través del Valor Actual Neto conocido como VAN ó VPN. el que sea más beneficioso a los intereses de los inversionistas. Objetivos de la segunda parte Una vez que concluyas el estudio de la segunda parte. o elegir entre varios. No prosigas en un tema nuevo sino Revisa detenidamente los ejercicios resueltos que trae el texto. Continúa planificando tus actividades diarias de manera que aproveches al máximo el tiempo que asignes al estudio. Para esta materia te recomendamos dedicar1 hora para estudio teórico y 3 horas. Orientaciones específicas. 4 semanas de 16 horas. comprendiste el anterior. Soluciona tus inquietudes acudiendo a los tutores de la asignatura. para el desarrollo de ejercicios prácticos en la semana. procurando entender el porqué de los aspectos matemáticos utilizados. su uso. el por qué de la secuencia metodológica de la materia . Mínimo cuatro horas semanales.Métodos de estudio sugeridos (específicos) Obligatoria lectura comprensiva Elaboración de resúmenes Ejemplificación Resolución de ejercicios Duración del estudio. Lee reflexivamente el contenido de la guía. La auto evaluación será permanente durante el desempeño de esta guía 50 . considerando el horario que has destinado para esta actividad y el horario de los tutores de la materia. Bloque 3: Bloque 4: 4 semanas de 16 horas. Cumple con tus trabajos a conciencia individualmente o en grupo de estudio. pero recuerda que no implica que los trabajos sean iguales. Payback.1.Cálculo del VAN 3. Valor Actual Neto VAN.5.3. sumarlas todas y restar la inversión inicial en tiempo cero.Cálculo del TIR 3. Relación IR Beneficio/Costo y la Tasa Real COMPETENCIAS Conoce y utiliza los mecanismos de evaluación de proyectos basados en el valor del dinero en el tiempo VAN – TIR para determinar la conveniencia o no de invertir en ellos. LA TASA INTERNA DE RETORNO TIR Y LA TASA REAL 3.Cálculo de la relación IR Beneficio/Costo 3. la Tasa Interna de Retorno TIR.Cálculo de la tasa real TIEMPOS Para alcanzar la comprensión de este bloque temático necesitas de dos semanas de estudio. CONCEPTOS PRINCIPALES Valor Actual Neto (VAN): También es conocido como valor presente neto (VPN)... y la relación IR Beneficio / Costo CONTENIDOS 3. Adicionalmente el Payback-descontado..VALOR ACTUAL NETO VAN.UNIDAD III TÍTULO: TMAR. Criterio de aceptación VAN: Cuando VAN > 0.4.Cálculo del Payback 3... El VAN consiste en descontar o trasladar al presente todos los flujos futuros del proyecto a una tasa de descuento igual al costo de oportunidad. el proyecto es atractivo Cuando VAN = 0. el proyecto es indiferente Cuando VAN < 0..2. el proyecto es inconveniente 51 . La TIR es una característica propia del proyecto. esto asegurará que ha aprendido. tendrás que analizarlos y posteriormente resolverlos tú solo sin mirar la solución dada. para esto. si el rendimiento de la inversión es mayor al mínimo utilizado como aceptable la inversión es económicamente rentable. Si r: > 0 es positiva entonces se gana = 0 se mantiene el poder adquisitivo < 0 es negativa entonces pierde Explicaciones y ejemplos: A continuación encontrará ejemplos que te permitirán comprender de mejor manera los temas tratados en este bloque. en el que la recuperación es más rápida. totalmente independiente de la situación del inversionista. Criterio de aceptación TIR: Si la TIR es mayor que el costo del capital o de oportunidad. 52 . de su tasa de interés de oportunidad. Tasa Real: Se da al relacionar mediante la fórmula de Fisher. aceptase la inversión. Payback ó Periodo de Recuperación: Es el tiempo en el que se recupera el dinero invertido en un proyecto. Las tasas de interés real influyen significativamente en las economías de mercado. la tasa efectiva anual con la tasa de inflación. en el ahorro. Entonces podrá seguir ejercitándote. es decir. es decir. con los ejercicios que se proponen al final del presente bloque. Criterio de aceptación del Payback: Se considera mejor proyecto.Tasa Interna de Retorno (TIR): Es la tasa de descuento que hace que la suma de los valores presentes de los flujos netos efectivo de un proyecto sea igual a la inversión inicial óla tasa que origina un VAN igual a cero. en los endeudamientos. y en las decisiones de inversión para poder calcular su verdadera rentabilidad una vez que se ha quitado el efecto de la inflación. 000. en el año cero. Procedo a buscar esos valores haciendo VANr%. Si se considera el costo del capital r = 10% y una inversión inicial de $600.Depreciación = Utilidad (sin Impuestos) FLUJO NETO DE CAJA 0 600 1 2 3 4 5 6 - - - - - - - 500 350 100 50 500 350 100 50 500 350 100 50 500 350 100 50 500 350 100 50 500 350 100 50 600 150 150 150 150 150 150 Valores expresados en miles de UD$ VANr% = -II + Σ FNEj (1+r)j donde j va de 1 a n VANr% = -600 + 150 + 150 + 150 + 150 (1+r)1 (1+r)2 (1+r)3 (1+r)4 (1+r)5 (1+r)6 + 150 + 150 . entonces: 53 . utilizo inicialmente el costo de oportunidad. teniendo como partida el valor de r =10%. . VAN10%= 53.Costo de Op. y que este valor es el de referencia para interpolar por lo que requiero adicionalmente dos valores de VAN uno + y otro – 2. La TIR genera un valor de VAN = 0. Que un valor actual es inversamente proporcional a la tasa es decir que si sube la tasa baja el VAN y viceversa. 1 Una empresa estima los siguientes flujos de caja durante 6 años de un proyecto X. subo la tasa para acercarme a cero haciendo varias iteraciones. AÑO Inversión Inicial Ventas .29 y aplicando el numeral 2.29 VAN10% > 0 entonces es conveniente efectuar la inversión en el proyecto A continuación pasamos al análisis de la TIR para lo cual aplicamos Interpolación (Vea Apéndice Interpolación Lineal) Conociendo que para interpolar: 1. calcular el VAN al 10% y la tasa interna de retorno. r 0.Ejercicio No. Se calcula el VAN10% .10 VANr% 53. 01 = 0. Aplico la fórmula de la TIR.99 (1+r)6 68.33 (1+r)4 88.90 93.97 +FNE3 = 150 = 106. Detalle de los cálculos del VAN Con r = 12% VANr VAN1 Con r = 14% VAN2 -II = -600 +FNE1 = VAN10% -600 -600 150 = 133.12 + (0. obtengo los VAN + y – cercanos a cero.72 – (-16.71) TIR = 0.12 + 16.67 .r VAN r% 0.14 +FNE6 = 150 = 75.58 (1+r)2 115.29 = VANr = Ejercicio No.72 0.13 TIR = 13% Que.80 102.14 – 0.11 (1+r)5 77.71 Así.72 16.29 0.42 123.36 +FNE2 = 150 = 119.10 53.58 136.12) 16.93 (1+r)1 131. indica que la inversión podrá ser ventajosa ya que el costo del capital es 10%.12 + 0.70 +FNE4 = 150 = 95. 2 -600 Con r = 10% + 16. podría seguir intentando acercarme más al valor de cero y obtener mayor precisión en el cálculo.72 54 .16.34 84. r1 = 12% y r2 = 14% TIR = r1 + (r2 – r1) VAN1 VAN 1 – VAN 2 TIR = 0.78 (1+r)3 101.45 +FNE5 = 150 = 85.71 53.25 112. de acuerdo con las condiciones del problema.14 -16. que se encuentra al final de esta guía. en términos financieros.20 r = 100 (.000 Depreciación anual = 20000. Pérdida de $ 4.166.000 Ingreso anual promedio = 30000.67. Consultas en el texto Tú puedes encontrar información respecto a este tema en el texto guía capítulo 8 páginas 238 a la 240.1667% da una tasa negativa (pérdida) I = 100.166.000. Tasa Interna de Retorno (TIR).67 Respuesta.15 – 0.Kompsys S.000 -4.Calcular la tasa de interés real que se cobra en un país cuya tasa de interés efectiva es 15% y la tasa de inflación o variación porcentual del índice de precios al consumidor es 20% ¿Cuánto gana o pierde una empresa que invierte $ 100. si se espera recuperar la operación en 5 años si se considera como costo de capital del 7%.A..041667) = . proporciona los siguientes datos para analizar si su inversión es rentable: Inversión = $ 100000. para invertir.. y con mayor profundidad se tratar en el apéndice de Valor Actual Neto (VAN). Solución: r = 100 i–d 1+ d = 100 0.000 Calcule su valor actual neto y la TIR.20 1 + 0. 2.$ 4.4.000 en 1 año?.Un grupo de inversionistas desea conocer la factibilidad de incursionar en un proyecto industrial para lo cual dispone de $2600.000 Costo anual de operación = 5000. Ejercicios a) Resuelve los siguientes ejercicios: 1. los flujos del proyecto estimados para los próximos 5 años serán: b) VERDADERO O FALSO Marque con una X si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas AFIRMACIÓN V F 55 .1667 100 = . Tasa Real.0. TÚ LO PUEDES. debes volver atrás y revisar los conocimientos o elaborar un plan remedial para superar las deficiencias.El VAN es igual al valor presente neto. he preparado en el apéndice “Valor Actual Neto (VAN). Un VAN negativo indica que la inversión es ventajosa realizarla. 56 . hazlo con entusiasmo. Consolidación A fin de que tengas una mejor compresión de lo visto en este bloque. DEFINICIONES VAN > 0 Tasa real ( . SIGUE ADELANTE FELICITACIONES. La fórmula de Fisher es usada para el cálculo de la tasa real X X X X X X c) CASAMIENTOS Una con líneas las siguientes definiciones con los conceptos correspondientes. La TIR es igual para todos los proyectos. La TIR se considera como la tasa máxima a la que se debe aceptar un préstamo.) TIR < Costo de oportunidad CONCEPTOS Conviene el proyecto No conviene el proyecto Se pierde Auto evaluación Terminaste el tercer bloque de la guía. Si el VAN = 0 cuando se toma como r la tasa de inflación quiere decir que se mantiene el poder adquisitivo al invertir en el negocio. Tasa Interna de Retorno (TIR). ¿Estas satisfecho con lo que haz aprendido aquí o todavía tienes dificultades? Si no te sientes satisfecho con tu evaluación. Tasa Real”. donde explico a mayor detalle este tema. el mismo que te será de gran apoyo en el aprendizaje. Si te sientes bien o excelente. para emprender un proyecto requiere una inversión inicial de $900.VAN. Con estos datos calcule la TMAR para una inversión en el país.Proyectos convencionales. Baje de la página del Banco Central del Ecuador www.Índice de inflación anual .bce. TIR. está analizando un proyecto de inversión para lo que requiere financiar $150.000. HIDROPA S.000 52.000 Total 900. Payback Contable y Payback Descontado -Relación IR Beneficio/Costo 2.TMAR .98% y la tasa de riesgo país se encuentra en 8.gov.36% 10. 3. . Antes de realizar los trabajos propuestos en la guía.A. la inflación anual y el riesgo país adjunte al trabajo. está interesado en invertir en algunos proyectos en un país donde la inflación anual es de 3. Calculo de la TMAR a. usted debe haber revisado los Apéndices 2 y 3 que se encuentran al final de la guía. Banco Bolivariano 300.000 41.Costo de capital Simple y Mixto .60% 9.000 Tasa 10% 11% 12.000 Cooperativa Sta. a) Indique los conceptos: .000. María 250.Costo de oportunidad . La Corporación WapKolb. Inversiones del Pacifico. los cuales pueden ser financiados así: Fuente Cantidad US$.000 150.Proyectos mutuamente excluyentes .5% 12% Determine el costo del capital? 4.29%. Determine la TMAR b.000 Otros 100.ec .80% 57 .Tasa real . 1.000 Accionistas 250.Trabajo para entregar y calificar 1 de 2. mismo que está compuesto de la siguiente manera: Entidad Accionistas Financiera A Financiera B Total Monto 57.000 Tasa 9. con los siguientes flujos de efectivo al final de cada año.000 a. Cuál proyecto se escogería si: a.200 1. Calcule la TMAR (Costo de capital mixto) b.000 3 $60. si se espera recuperar la operación en 5 años y se considera como costo de oportunidad el 9. Calcule VAN. ha realizado una inversión por el valor de $ 2’600. Calcule el PAYBACK descontado. Calcule el VAN.000 $30.000 $40. Calcule su valor actual neto y la TIR. 5.300 58 .000. TIR. b. Debe aceptar el proyecto? c. Calcule el TIR.000 $40.200 1. Proporciona los siguientes datos para analizar si su inversión es rentable: Inversión = Ingreso anual promedio = Costo anual de operación = Depreciación anual = $110. Debe aceptar el proyecto? e.m.000 $ 22. Considere una tasa de impuestos del 22%. PAYBACK. Argus Cía.c.000 $150. ¿Qué proyecto es el conveniente? Año Proyecto A Proyecto B 1 $80. IR b. calcule su valor actual neto y la TIR con los flujos después de impuestos manteniendo el mismo costo de oportunidad 7. La tasa es del 8% anual.600 de US$) 1 500 2 3 4 5 6 600 1. Año Flujo de efectivo (en miles de $) 0 -150 1 70 2 110 3 110 4 40 5 20 a.000 1. Ltda.000 $ 7. Ltda. A y B.000.000 $32. Debe aceptar el proyecto? d. PETROLEOS Y SERVICIOS Cía. A un inversionista se le presentan dos proyectos alternativos.El proyecto tiene el siguiente patrón de flujos de efectivo esperados.57% a.000 4 $35.000 2 $70. Cada proyecto requiere una inversión de $200. los flujos netos de caja generados son: Año 0 Flujo neto de caja (en miles -2. Calcule el IR e interprete.000 6. 000 20. Cuánto gana o pierde? 12.400 y 10. los flujos del proyecto estimados para los próximos 5 años serán: Año 0 Flujo neto de caja (en miles de -2.200. Ramiro Cepeda ha invertido USD. 6. Calcular el VAN y la TIR si el costo del dinero se estima en el 12% anual.a. Marina Delgado.m.200: si el país donde vive tiene una inflación del 8% determine la tasa efectiva anual que le ofrecieron.200 dólares.000. explique brevemente el porqué de cada uno de ellos. Alfred al invertir $15.00. c. aplique los métodos del VAN y el TIR en su análisis.000 8. Un inversionista desea incursionar en un proyecto en el cual debe invertir USD. Calcule el Payback descontado en ambos casos 8. 130.000 52.000 de contado.c. b.800. 8.000 20.000 60. Calcular el valor actual neto (VAN) y la tasa interna de retorno (TIR) e indicar si la inversión es rentable. Determine el Payback Descontado c. Considere el costo de oportunidad del 5% semestral y los impuestos son del 22%.000 8.000.3%. Cuál es su IR? 10.000 20. Año 1 Ventas 2 3 4 5 50.000 20.000 8. por la que pagó $ 95.000 US$) 1 600 2 3 4 5 850 1100 1. Durante este tiempo arrendó su casa. Si se invirtió USD. considerando que el costo de oportunidad del dinero es del 7% semestral. 13. además presenta el siguiente flujo de fondos para los próximos 5 años.2% a. Además. 8. se presentan cambios o no. 5 años atrás adquirió una casa. por el valor de $ 105. obtuvo un ganancia real de $1. 7. b. los arriendos anuales ahorrados fueron: 4. al final del quinto año vende su casa. Cuánto gana o pierde? 11.000 a.200 1.000 55. 10. Determine la tasa efectiva que se gana en un país donde la inflación es del 9% anual si la tasa real es -3%.400.000.400 59 . Inversiones del Pacifico desea conocer la factibilidad de incursionar en un proyecto industrial para lo cual dispone de $ 2’000. 9. Determine si les conviene o no invertir.000 Costo de operación Depreciación anual 8.000 para invertir.000 20. Cuál es la tasa real que gana si la inflación promedio anual es 6.200 a una tasa del 15. Cuál es la rentabilidad lograda por la Marina en la adquisición de la vivienda?. en los nuevos resultados.000 58.000 8.000. cuánto gana o pierde? 60 . Conviene o no.Se considera que la inflación promedio en el país será del 9% a. que realicen la inversión? b. Cuál es la tasa de rentabilidad real que gana la inversión. Respuestas Ejercicios Unidad III a) Resuelve los siguientes ejercicios: 1.- Kompsys S.A. proporciona los siguientes datos para analizar si su inversión es rentable: Inversión = $ 100,000,000 Ingreso anual promedio = 30,000,000 Costo anual de operación = 5,000,000 Depreciación anual = 20,000,000 Calcule su valor actual neto y la TIR, si se espera recuperar la operación en 5 años si se considera como costo de capital del 7%. AÑO INVERSIÓN INICIAL 0 1 2 3 4 5 100,000,000 INGRESO ANUAL 30,000,000 30,000,000 30,000,000 30,000,000 30,000,000 COSTO ANUAL OPERACIÓN 5,000,000 5,000,000 5,000,000 5,000,000 5,000,000 DEPRECIACIÓN 20,000,000 20,000,000 20,000,000 20,000,000 20,000,000 5,000,000 5,000,000 5,000,000 5,000,000 5,000,000 25,000,000 25,000,000 25,000,000 25,000,000 25,000,000 UTILIDAD SIN IMPUESTOS FLUJO NETO DE CAJA 100,000,000 FORMULA PARA EL CALCULO DEL VAN VAN = - II + FNE 1 + FNE 2 + FNE 3+.......... + (1+r)1 (1+r)2 (1+r)3 FNE n (1+r)n Primeramente se procede a calcular el FNE para obtener el VAN. CALCULO DEL VAN, (VAN1 Y VAN2 PARA EL CALCULO DE LA TIR) i = 7% VAN7% = 2504.935,90 = VAN1 Como él VAN7% = 2504.935,90 > 0 es atractiva la inversión. Para calcular TIR i = 9.0% = r1 VAN9% = -2758.718,42 i = 8.0% = r2 VAN8% = -182.249,07 = VAN2 TIR = r1 +(r2 - r1) VAN 1 VAN1 - VAN2 . 61 TIR = 0.07 +(0.08 - 0.07) 2504.935,90 . = 2504.935,90 + 182.249,07 TIR = 7,93% La inversión es rentable ya que el costo de oportunidad del dinero de 7% es <la TIR de 7,93%. 2.- Un grupo de inversionistas desea conocer la factibilidad de incursionar en un proyecto industrial para lo cual dispone de $2,600,000, para invertir, los flujos del proyecto estimados para los próximos 5 años serán: AÑO 1 AÑO 2 400 750 AÑO 3 1.100 AÑO 4 1.200 AÑO 5 1.400 Valores en miles Se considera que la inflación del país será del 18%. ¿Conviene o no, que realicen la inversión? ¿Cuál es la tasa de rentabilidad real que gana la inversión, cuánto gana o pierde? VAN r=i 0 1 2 3 4 5 - 2.600 FNE= 400 . ( 1 + i)1 FNE= 750 . ( 1 + i)2 FNE= 1.100 . ( 1 + i)3 FNE= 1.200 . ( 1 + i)4 FNE= 1.400 . ( 1 + i)5 VAN i = 18% VAN18% = 178.015 = VAN1 Como él VAN18% = 178.015 > 0 es atractiva la inversión. Para calcular TIR i = 20,0% = r1 VAN20% = 32,073 i = 21,0% = r2 VAN21% = -36,671 = VAN2 TIR = r1 +(r2 - r1) VAN 1 . VAN1 - VAN2 Calculo la TIR TIR = 0,20 + (0,21 - 0,20) 32,073 . = 0,20467 32,073 - (- 36,671) 62 TIR = 20,467% Es rentable la inversión ya que la TIR> que la tasa de inflación del 18% lo que permite mantener el poder adquisitivo de la moneda. Rentabilidad Real: Tr = (0,20467 – 0,18)/(1+0,18) = 0,0209 La tasa real de rentabilidad es el 2,09% gana. b) VERDADERO O FALSO Marque con una X si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas AFIRMACIÓN El VAN es igual al valor presente neto. Un VAN negativo indica que la inversión es ventajosa realizarla. Si el VAN = 0 cuando se toma como r la tasa de inflación quiere decir que se mantiene el poder adquisitivo al invertir en el negocio. La TIR es igual para todos los proyectos. La TIR se considera como la tasa máxima a la que se debe aceptar un préstamo. La fórmula de Fisher es usada para el cálculo de la tasa real V F X X X X X X c) CASAMIENTOS Una con líneas las siguientes definiciones con los conceptos correspondientes. DEFINICIONES VAN > 0 Tasa real ( - ) TIR < Costo de oportunidad CONCEPTOS Conviene el proyecto No conviene el proyecto Se pierde 63 el valor de redención se expresa como un porcentaje del valor nominal omitiéndose la palabra por ciento. emitido por un gobierno o entidad particular. CONTENIDOS 4.. CONCEPTOS PRINCIPALES Bono: Es una obligación o documento de crédito. en particular bonos y su negociación.. a un plazo perfectamente determinado.UNIDAD IV TÍTULO: Documentos Financieros y Bonos COMPETENCIAS Conoce y utiliza el financiamiento de proyectos a través de la emisión de obligaciones. Valor nominal: Es el que se hace referencia a su denominación el principal o capital que se señala en el bono es el valor nominal.BONOS 4. Valor de redención: Es el valor que recibe el tenedor del bono. por lo general el valor de redención es igual al valor nominal.Cálculo del rendimiento de inversión en bonos TIEMPOS Para alcanzar la comprensión de este bloque temático necesita de cuatro semanas de estudio. De otra forma.Cálculo del precio de un bono entre fechas de pago de cupón 4.Definiciones 4.2. Calcula el precio y rendimiento de estos valores.5.Cálculo del precio de un bono 4.. a cualquier plazo y circunstancia..1.. en este caso se dice que el bono es redimible a la par.4.Cálculo del precio de un bono en fecha de pago de cupón 4.. que devenga intereses pagaderos en períodos regulares..6. 64 .Cálculo del interés redituable 4.3. (6) confiabilidad en las garantías del emisor. Tasa interna de retorno (TIR o rentabilidad): Para el cálculo de la tasa interna de retorno del dinero invertido en bonos. 2. (5) las condiciones económicas imperantes. Largo plazo: maduración de doce años en adelante. (3) tiempo que debe transcurrir hasta el vencimiento. (2) tasa de interés local para las inversiones. (4) precio de redención. a la persona registrada como tenedor del bono. Corto plazo: maduración hasta los cinco años. 65 . Plazo intermedio: maduración desde los cinco años hasta los doce años. este valor depende básicamente de los siguientes factores: (1) tasa de interés e intervalo de los cupones. Un bono comprado con descuento irá aumentando gradualmente su valor. éstos cupones están impresos en serie y ligados a la misma obligación y cada uno tiene impresa su fecha de pago. tanto en el principal como en los intereses. 3. Yield: La tasa yield es la tasa de retorno que se obtiene del bono basado en el precio que se pago y el pago de intereses que se reciben.según el precio de venta sea igual. los cupones no son necesarios ya que los intereses se pagan directamente. hasta igualar el valor de redención en la fecha de vencimiento y esto agrega un beneficio al valor de los cupones. o con descuento (castigo).Cupón: En la mayoría de bonos. En caso de que los bonos se compren con premio se produce una disminución paulatina del precio de compra que debe restarse del valor de los cupones. Los bonos pueden venderse a la par. Los rangos de maduración a menudo son descritos de la siguiente manera: 1. con premio. Hay básicamente dos tipos de yield para los bonos: yield ordinario y yield de maduración. en el caso de bonos registrados. La maduración de los bonos maneja un rango entre un día a treinta años. Precio de los bonos: El precio de los bonos en el mercado de valores se fija por acuerdo entre el comprador y el vendedor. los pagos de interés se los hace contra la presentación de cupones. el inversionista debe tener en cuenta tanto el valor de los cupones como el valor de redención del bono. mayor o menor al valor nominal. a fin de calcular el rendimiento. Tanto los cupones como el bono mismo son pagarés negociables. Maduración: La maduración de un bono se refiere a la fecha en la cual el capital o principal será pagado. 000.04 – 1.5 %. 2 Un bono de $1.000 + (1. el cual vence dentro de 10 años con intereses pagaderos cada trimestre. tendrá que analizarlos y posteriormente resolverlos sin mirar la solución dada. Ejercicio No. 0.05/2.000 ( 0. n = 3 (2) = 6 P = 1.0175 – 1050 . para obtener una TIR del 6%. Entonces podrá seguir ejercitándote. esto asegurará que ha aprendido. Solución: A = 5.06 ) 4 = $ 75 En consecuencia.000 . 3. r = 0.08/2. para lo que. Reemplazo en la fórmula P = 1050 + (1000 .035/2.17 66 .03) 1 – (1+0. 3 Un bono de $1. Solución: F = 1000.35 Ejercicio No.025) 1 – (1+0. Solución: C = 1. 0. Ejercicio No. n = 40.000 al 6 %. 0.06/2.Explicaciones y ejemplos: A continuación se presenta ejemplos que te permiten comprender de mejor manera los temas tratados en este bloque.025)-40 0. F = 1. Elabore la tabla de inversión del bono. es adquirido por un inversionista. es redimible a 105 el primero de febrero del 2005.000.054.025 P = 830. redimible a la par dentro de tres años.000 al 8% convertible semestralmente. FA (febrero-agosto).03)-6 0. usted recibirá intereses de $ 75 cada trimestre adicionales a la suma global de $ 5. que reditúe 5% anual convertible semestralmente. i = 0. 1 Determine cuál será el monto de interés que recibirá por período si compra un bono de $5. con los ejercicios que se proponen al final del presente bloque. r = 0.000. i = 0.000 . 0.03 P = $1.000 al término de 10 años. Hallar el precio de compra el 1 de febrero de 1985. C = 1050. 17 1. El valor del cupón es igual al valor de los intereses que se pagan periódicamente. el número de cupones y el valor de cada cupón de un bono de $ 100. Consultas en el texto Tú puedes encontrar información respecto a este tema en el texto guía capítulo 8 páginas 228 a la 234.71 Intereses sobre la inversión 31. el bono fue comprado con premio y.15 9.054.57 30.37 8.0 40. 2.045.0 Variaciones del valor en libros Valor en libros al final del periodo 1. es necesario amortizar la diferencia.037.80 1.0 40.14 1.29 185.17 En este caso. 15% (1 de marzo–1 de septiembre =MS ) suscrito el 20 de marzo del 2002.045.80 1.019. Calcular el precio del bono a la fecha de negociación.88 9. b) VERDADERO O FALSO Marque con una X si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas AFIRMACIÓN El bono es una obligación que tiene una entidad para el poseedor de este.83 Intereses del bono 40. redimible a la par el 15 de octubre del año 2007. que se encuentra al final de esta guía. Se dice que un bono es a la par cuando F = C Un bono negociado a la 105 quiere decir que fue negociado con premio.009.8% anual capitalizable semestralmente.14 1.009.Un bono de $15.85 30. puesto que su valor de redención es menor que el de compra.63 31. Ejercicios a) Resuelve los siguientes ejercicios: 1.019.43 9.037.-Calcule el Valor de Redención. V F X X X X 67 .71 1.29 1.000.Periodo 1 2 3 4 5 6 Totales Valor en libros al inicio del periodo 1. En caso de que el bono se adquiera con descuento. es negociado el 15 de abril del año 2000 a una tasa del 7.37 31.29 1.000 al 10% Abril-Octubre (A. redimible a la par el 20 de marzo del 2009.63 8.028.0 40. y con mayor profundidad se trata en el apéndice de Bonos.12 30.17 1.17 1. el inversionista registra una utilidad mayor que los intereses pagados por el bono.O).71 54..028. cantidad igual al aumento de valor que en cada periodo registra el bono.000.00 8.0 40.0 240.0 40. Cuando P>C Cuando P<C Valor proporcional del cupón cuando se negocia un bono entre fechas de pago de cupón.c) CASAMIENTOS Una con líneas las siguientes definiciones con los conceptos correspondientes. TÚ PUEDES. Si te sientes bien o excelente. DEFINICIONES Interés redituable Negociación con Castigo Bono Sucio Negociación con Premio CONCEPTOS Precio del bono entre fecha de pago de cupón sin considerar el interés redituable. 68 . ¿Piensas que con los conocimientos adquiridos estas preparado para resolver con solvencia problemas o tienes dificultades? Si tu evaluación. Consolidación Con el fin de ayudarle a que tenga una mejor compresión de los temas que se tratan en este bloque. SIGUE ADELANTE FELICITACIONES. Este será de gran apoyo en el aprendizaje. Auto evaluación Culminaste el estudio del cuarto bloque de la guía. he preparado en el apéndice “Bonos”. debes volver atrás y revisar los conocimientos o elabora un plan remedial para superar las deficiencias. hazlo con entusiasmo. no es satisfactoria y todavía tienes dificultades. 3. b) 8. Calcule el precio que pagaría por el bono un inversionista el 27 de julio del 2. Calcule el precio de compra.00 es redimible al 115%. si el rendimiento deseado es el 6% a. es redimible el 1 de octubre de 2015.005. Un bono de $1. y determine el tipo de negociación. 3.00% mensual.000. redimible a la par en 10 años. un bono de valor nominal de $1.b.Trabajo para entregar y calificar 2 de 2. si el rendimiento deseado es el 8% a. redimible a la par el 15 de Octubre del año 2007. redimible a la par el 1 de julio del 2015. paga cupones semestrales al 10.J). suscrito el 20 de enero del 2005. 9. Un bono de $500 que paga el 5% semestral. Calcule el precio de compra.S). Calcule el precio de compra para que rinda el 5% trimestral. Antes de realizar los trabajos propuestos en la guía. El bono fue adquirido el 1 de junio del 2012.c. si el rendimiento esperado es de 2. redimible a la par el 1 de diciembre del 2015. redimible a la par el 20 de septiembre del año 2007.O). y determine el tipo de negociación. 9% EJ. Un bono de $500 al 8% marzo-septiembre (M. para obtener una rentabilidad del 4. y elabore la tabla que muestre el valor en libros del bono. usted debe haber revisado el Apéndice 4 que se encuentran al final de la guía. se puede negociar el 15 de junio del 2000 a las siguientes tasas de: a) 7% anual capitalizable semestralmente. Calcule el valor de redención. a. Calcular el precio de compra el 1 de abril de 2009. y cuya compra se lleva a cabo el 20 de octubre de 2009 con cotización de 96%? 69 .5% anual capitalizable semestralmente. El 30 de junio del 2010. 7. y elabore la tabla que muestre el valor en libros del bono.000. paga cupones semestrales al 9%.000 al 10% Abril-Octubre (A. el número de cupones y el valor de cada cupón de un bono de $1.s.000. b. 1.5%.c. es negociado el 15 de Abril del año 2000 a una tasa del 7.8% anual capitalizable semestralmente. 12% (20 Enero – 20 Julio = E. Calcule la TIR de un bono de $900.s. Calcular el precio del bono a la fecha de negociación..c. 8. Un bono de $ 15. Un bono de $100 al 90%. 4. devengando intereses de 12% pagaderos a fin de cada mes. redimible a la par el 20 de enero del 2012. 2.50% a. es negociado el 15 de abril del año 2000 a una tasa del 7. 15% (1 de marzo–1 de septiembre =MS ) suscrito el 20 de marzo del 2002.Calcule el Valor de Redención.000.10/2 =0.1965) = 15. F = 15.039 = 15.000 x 0.000 + [(750) – (585)](11.).000Valor de Nominal C = 100.500 m 2 El valor de cada cupón es de $7.078/2=0..Respuestas Ejercicios Bloque IV a) Resuelve los siguientes ejercicios: 1.( 1 + 0. = 100.05 tasa de interés por periodo de pago del cupón i = 0.000 precio nominal r = 0. Calcular el precio del bono a la fecha de negociación.000 Valor de Redención (es a la par) Valor de redención x 100 Valor nominal 100. P = C + ( Fr . redimible a la par el 15 de octubre del año 2007. redimible a la par el 20 de marzo del 2009.039 ).000 Número de cupones De marzo del 2002 a marzo del 2009 hay 7 años x 2 semestres = 14 semestres o cupones.( 15.039)) 1 .000 x 100 = 100 se dice que es redimible a la par al 100 100.05 ) .15 0.000 al 10% Abril-Octubre (A.n i P = 15. F = 100.( 1 + i ). Valor del cupón: I = Fr .O.000 (0.15) = 7.Un bono de $15. el número de cupones y el valor de cada cupón de un bono de $ 100..000 x 0.500 semestral.000 + (( 15.039 tasa de interés sobre la inversión por periodo de cupón (TIR.000 + (165)(8. 2.Ci ) 1 . rentabilidad) C = 15.80792) 70 .000 precio de redención a la par o al 100 n = 7 (2) = 14 semestres más 1 semestre = 15 P = Precio de compra para obtener un rendimiento.8% anual capitalizable semestralmente. 847.31 = 16.43.= 15.31 El bono a la fecha de su negociación es de $ 16.847. 71 .453. Se trata de una negociación con premio.00 + 1.000. APÉNDICES 72 . Esto se debe a que en el gráfico. Aspectos preliminares: GRAFICAS TIEMPO – VALOR Recuerde: ”Un gráfico habla más que mil palabras”. nominales. tales como valores monetarios ($ óu.A. a la cual confluyen los montos o valores actuales en el grafico tiempo valor de una ecuación de valor donde ΣPagos = ΣDeudas. Entendiéndose como: Valor presente. y el tiempo (t). tiempo (años. esto será de gran ayuda para la solución de los problemas.m. por lo general el valor monetario es el capital y debe calcular el monto Si el ejercicio da el valor monetario ($). 73 . se puede visualizar y ubicarse de mejor manera en el tiempo en el que deben realizarse cobros o pagos o cualquier operación financiera y colocar todas las variables que intervienen. es la fecha que se toma como referencia. lea detenidamente el enunciado del ejercicio para que en el gráfico ubique todas las variables e incógnitas que tiene y sea un modelo representativo del ejercicio.B. Capital) Fecha focal FF. y el tiempo (t). al valor calculado en una fecha posterior a la de haberse establecido la operación financiera. Monto (Valor Futuro) Valor Actual (Valor presente.). la tasa de interés (%). periódicas). por lo general el valor monetario es el monto que se obtendrá al transcurrir el tiempo en cuestión. Notas claves: Cuando en un ejercicio se da el valor monetario ($). Alfred Dieter Kolb Alvarado M. Cuando se negocia una deuda antes del vencimiento. indicar si son operaciones a valor presente o a valor futuro. periodos de tiempo entre fechas. meses. tasas de interés (% efectivas. Valor futuro.APÉNDICE 1 ANUALIDADES o RENTAS Conceptos y aplicaciones Ing.). semestres. etc. Siempre. al valor en una fecha anterior a la de vencimiento o redención incluido el valor del capital inicial y como. días. primero calcule el monto al vencimiento y luego encuentre el valor actual a la fecha que se indique. conocidas también como de colocación de sus recursos.O. presentándose como: 74 .R. Tasa Nominal (j) Esta tasa es considerada como una tasa contractual pues es la que generalmente aparece en los contratos. Estas son presentadas semanalmente.m. Tasa Referenciales Son las tasas que da Banco Central y que sirven de referencia para que las entidades financieras fijen sus tasas activas y pasivas en sus operaciones.R Tasa Activa Es la tasa que las entidades financieras cobran en sus actividades crediticias.I. Tasa Pasiva Es la tasa que las entidades pagan a los depositarios o inversionistas que colocan sus recursos en dichas entidades.B.) R 0 12 Valor Actual R n Tiempo FF(Fecha Focal) (Nº Periodos o cuotas por pagar o depositar) Tasas de interés Dentro del campo financiero algunas de las tasas que son de uso común se puede mencionar las siguientes: Tasa Activa Tasa Efectiva y efectiva periódica Tasa Pasiva Tasa Flat Tasa Referencial Tasa Nominal TASAS INTERNACIONALES Tasa Libor Tasa Prime Tasa E.Valor de Contado EntradaTasa1 % Capital Valor Futuro Monto Tasa2 % ($ óu. Expresa la forma en que se va ha capitalizar los intereses (interés compuesto).U. 12/360. dando como resultado: i = 0. xx% Anual capitalizable(periodo de tiempo de capitalización) xx% Anual compuesto(periodo de tiempo de capitalización) Periodo de tiempo de capitalización = Fracción del año También se puede decir.24/12. i = 0. dependiendo del periodo de tiempo que se considere para su capitalización.0% mensual En interés simple.c.s.xx% Anual convertible(periodo de tiempo de capitalización) = a. Frecuencia de conversión (m). (anual capitalizable semestralmente) j1 = 10% a.c. Fórmula para transformación de tasas: Para pasar de una tasa nominal con una frecuencia de conversión a otra con diferente frecuencia de conversión aplicamos la fórmula: (1+ j1/m1)m1 = (1+j2/m2)m2 Ejemplo: Se desea conocer la tasa equivalente a. se presta a 180 días a una tasa: a) 12% anual.s. cuyo valor se calcularía aplicando la fórmula i = j/m.000. m1 = 2 (capitalizaciones al año) j2 = ? a.m 75 .0278% diario. que la tasa nominal es la que presenta de manera anual la tasa que efectivamente (tasa efectiva periódica) se gana o paga en el periodo de capitalización multiplicada por su frecuencia de conversión. entonces m = 12 capitalizaciones mensuales en el año. De donde se podría encontrar la tasa efectiva periódica.m (anual capitalizable mensualmente) de una tasa del 10% a.02 i = 2.c.c. la tasa de interés con la que se trabaja se considera como nominal sin que esto signifique que se den capitalizaciones. podría considerarse el tiempo como un semestre y utilizar la tasa del 5% semestral o calcular la tasa diaria i = 0.”periodo de tiempo”. Ejemplo: j = 24% anual capitalizable mensualmente. que para el caso del ejemplo sería la tasa mensual (i) que se esta ganando o pagando.. tenemos que calcular la tasa diaria i = 0. i = 0.c. como ejemplo podemos decir si un capital de $1.00033 diario o 0. i =0.Es el número de veces que los intereses se convierten en capital en el año.033% diarios b) 5% semestral.05/180. así tendríamos que si la capitalización es mensual m sería igual a 12. s (anual capitalizable j= 10%a.m2 = 12 (capitalizaciones al año) Entonces aplico la fórmula y despejo j2 : (1+ j1/m1)m1 = (1+j2/m2)m2 (1+ 0.c.5% trimestral j= ? a.05)1/6-1) (12) = j2 j2 = 9. de una tasa del 10% a. Ejemplo: Encontrar la tasa nominal a.c.10/2)1/6 = (1+j2/12) ((1. Bonos) Fórmulas para transformación de tasas: Como se vio anteriormente si se tiene la tasa nominal a un periodo de capitalizaciónpara pasar a la tasa efectiva periódica del periodo de tiempo en el que se capitaliza se utiliza la fórmula: i = j/m Ejemplo: Se desea conocer la tasa semestral semestralmente). equivalente a la tasa efectiva periódica del 2.t.s. TIR. Anualidades. (Esta tasa es la que se usa en las fórmulas de Interés Compuesto.c. m= 2 (capitalizaciones al año) i= ? semestral Entonces aplico la fórmula i = j/m i = 0.t.m Tasa Efectiva y Efectiva Periódica (i) Es la tasa que realmente se esta ganando o pagando durante un determinado periodo de tiempo. m= 4 (capitalizaciones al año) 76 .10/2)2 = (1+j2/12)12 (1+ 0. Cuando se considera que el periodo de tiempo es un año se denomina tasa anual o tasa efectiva anual.c. de lo contrario si el periodo es menor a un año se considera como una tasa efectiva periódica.c.80% a.10/2 = 5% semestral Si tuviese la tasa efectiva periódica y desea conocer la tasa nominal del mismo periodo de tiempo indicada en la tasa efectiva únicamente despejo j de la fórmula anteriormente vista. Al necesitar una tasa efectiva periódica en base a otra tasa efectiva periódica incluida la tasa efectiva anual: (1+i1)p1 = (1+i2)p2 Dónde: i1 = i2 = Tasa efec. 77 . periódica 1 Tasa efec. j= ? a. p2 = periodo 2 para conocer los valores de p1 y p2 se toma en consideración el periodo mayor que para el ejemplo es semestre. p1 = periodo1 ? mensual .c. p1 = periodo1 .025 (4) = 10% a. p2 = periodo 2 Ejemplo: Se desea saber cuál es la tasa equivalente mensual de una tasa del 5% semestral Dónde: i1 = i2 = 5% semestral .1025) = (1+j/2)2 ((1. m= 2 (capitalizaciones al año) i= 10.s.1025)1/2 -1) (2)= j j = 10.5% trimestral Entonces aplico la fórmula i = j/m j= 0.0% a.s.25% efectiva anual Entonces aplico la fórmula y despejo i: (1+i) = (1+j/m)m (1+0.s (anual capitalizable semestralmente) de una tasa del 10.c.c. Para pasar de tasa efectiva anual a tasa nominal o a la inversa: (1+i) = (1+j/m)m Ejemplo: Se desea conocer la tasa equivalente a.25% efectiva anual. y para calcular p1 decimos cuantos semestres hay en un semestre entonces p1 =1 igual hacemos para p2 cuantos meses hay en un semestre y obtenemos que p2 = 6.t.c.i= 2. periódica 2 . finalmente aplico la fórmula y despejo i2. m.s.05)1 = (1+ i2)6 i2 = (1+0.c.s.2% mensual a tasa nominal a.012)6-1 i = j/m m=2 i2 = 7.(1+i1)p1 = (1+i2)p2 (1+0.012)6-1) (2) = j2 j2 = 14.c.4% a.c.82% mensual *** (Tenga en cuenta que siempre la tasa efectiva es mayor que la tasa nominal.c. p1 = 6 ? semestral .144/12)12 = (1+j2/2)2 (1+ 0.) Un caso en el que se tienen que utilizar dos fórmulas y que puede darse solución por dos métodos es: Ejemplo: Transforme 1. p2 = 1 (1+0.m.2 mensual j = 12 (0.0742) = 0.012) = 0.84% a.05)1/6-1 i2 = 0.144 =14. 78 .s.42% semestral i= 7.c.c.012)6 = (1+ i2)1 i2 = (1+0. i = j/m m = 12 i= 1.c.s. pues en esta se consideran los valores capitalizados. i1 = i2 = 1. (1+ j1/m1)m1 = (1+j2/m2)m2 (1+ 0.84% a. Método 2:Tranforme a tasa a. Método 1:Tranforme a tasa semestral. luego a tasa nominal a.42% semestral j = 2 (0.2% mensual . luego a tasa nominal a.144/12)6 = (1+j2/2) ((1.1483 =14.s. iaX A= X (1-ia) (1) A F=X La tasa anticipada se presenta como un descuento al monto del flujo presente.Encuentre la tasa efectiva periódica vencida equivalente a una tasa del 4% anual anticipada. y por lo tanto no aparece al final. i = 4.Tasas efectivas Vencidas y Tasas efectivas Anticipadas Cuando hablamos de interés por anticipado. ia /(1-ia) = i Ejemplos: 1.17% annual vencida 2. (2) (1-ia) = 1/ (1+i). como sigue: (1+i) = 1/ (1-ia).0417. el monto de los intereses se paga o se capitaliza al inicio del periodo.04/(1-0. como sigue: A = X.Encuentre la tasa efectiva anticipada equivalente a una tasa efectiva anual vencida del 9%. (1+i-1)/(1+i) = ia: i/(1+i) = ia Se considera: i ia = = Tasa de interés efectiva periódica vencida Tasa de interés efectiva periódica anticipada Partiendo de la ecuación (2) también podemos despejar la tasa vencida en función de la anticipada.04) = 0. 79 . 1/ (1-ia)-1 = i. 1-1/ (1+i) = ia.. i = ? anual ia= 4% annual i = 0. Con el fin de encontrar su equivalencia con el interés vencido se emplea una ecuación de valor entre el flujo presente y el flujo futuro para un periodo.. (1-1+ ia)/ (1-ia) = i. Por otro lado aplicando el principio de equivalencia tenemos que: F = A(1+i) considerando que F = X Reemplazando con (1) tenemos X = X(1-ia)(1+i) y simplificando tenemos: 1 = (1-ia)(1+i). Para efectuar transformaciones más complejas usted puede utilizar el Esquema para transformación de tasas de interés efectivas y nominales (vencidas y anticipadas).c.t. En resumen llegamos a tener el siguiente esquema o metodologíaque nos ayuda a visualizar los diferentes caminos para efectuar las transformaciones aplicando los conceptos vistos anteriormente 80 ..ia= ? anual i = 9%anual i = 0.s.. manteniéndose m como frecuencia de conversión y la condición de que sea la tasa sea del mismo periodo de capitalización.c.09) = 0. ia= 1% trimestral anticipada.26% anual anticipada Tasas efectivas Anticipadas y Tasas Nominales Anticipadas Similar a lo visto ya con las tasas vencidas efectivas y nominales.09/(1+0. i = 8. ia = ja/m Ejemplos: 1.046.023 x 2 = 0.s. anticipada. anticipada equivalente a una tasa efectiva periódica 2. ia= 2.s.04/4 = 0. ja = 4% a. m=4 ia= ? trimestral ia= 0.c. anticipada.Encuentre la tasa nominal a. ja = 4.c.c.t.01. para la transformación tenemos la formula i = j/m.Encuentre la tasa efectiva periódica equivalente a una tasa del 4% a.6% a.3% semestral anticipada.3% semestral ja = ? a. donde en este caso i se convierte en iay j en ja. m=2 ja = 0..0826. 2. Es el costo del dinero en el mercado interbancario europeo a un plazo determinado.5%. no se aplica el principio de equivalencia financiera. es decir. con una media aproximada del 1. Todos los pagos son de igual valor.R. el costo al que los bancos y cajas se prestan mutuamente. E. La cuota uniforme (R) en un sistema de préstamo flat se calcula dividiendo el valor de préstamo y los intereses simples calculados para todo el horizonte de tiempo. R = P(1+fn) n por ejemplo una tasa flat del 2%. Por lo general.U. Tanto la tasa LIBOR como la Prime son utilizadas para préstamos internacionales sea para el Estado o para empresas privadas que necesitan financiar programas de desarrollo e inversiones. origina una tasa i = 3. Tasa de interés base promedio para la Unión Europea y Japón. Anualidades Definición: Una anualidad o renta es una serie de pagos periódicos.337% que es el verdadero costo sobre los saldos deudores del préstamo. entre el número de cuotas.Tasa Flat (f) Es muy utilizada en el sistema comercial. por lo tanto la tasa que se presenta como costo financiero del crédito no es el verdadero costo del financiamiento. que financian ventas a plazos. las tasas de los créditos en eurodólares están entre el 0. Tasa Prime Tasa preferencial de colocación en el mercado de Estados Unidos (Nueva York). que cumplen con las siguientes propiedades: 1. A esta tasa los bancos del mercado de eurodivisas se prestan dinero entre sí.I. En términos generales. Tasa Libor (London Interbank Offered Rate) Tasa de interés interbancaria de colocación del Mercado de Londres. debido a que los intereses no son a rebatir (sobre los saldos insolutos).B. Cabe señalar que esta tasa generalmente se utiliza para plazos inferiores a u n año. 81 .O. la tasa que cobran los bancos a sus mejores clientes. 2.R. el costo del crédito en euros se establece con un margen por arriba de la LIBOR.5% y 3% sobre LIBOR. Los pagos se efectúan a iguales intervalos o periodos de tiempo. es decir. 3.. Debido a la forma de pago pueden ser Vencidas (Ordinarias). Anticipadas o Diferidas.1.. pero para el cálculo debe expresarse conforme el periodo de pago de la renta (tasa efectiva periódica). Ejemplo: Una serie de pagos mensuales con una tasa efectiva trimestral.. 82 . 1.Anualidades Simples: Cuando el periodo de capitalización de la tasa de interés coincide con el periodo de pago de la renta.1.2. Estudiando las anualidades con mayor detalle cada una de ellas.Diferidas: Debe pasar el periodo de gracia para comenzar a pagar la deuda más los intereses acumulados en el periodo de gracia. La denominación de anualidad se mantiene pese a que el periodo de pago no sea anual. Tasa de interés (i): Porcentaje de interés que se fija para el pago de las rentas. Términos relacionados: Renta (R): Es el pago periódico.2.. el cual puede estar expresado como una tasa nominal o como tasa efectiva. trimestrales. 5. un seguro de vida. Los pagos pueden ser vencido o anticipados.. 3. Ejemplos: Un seguro contra incendios. El número de pagos es igual al número de periodos.Perpetuidades: Son una variación de las anualidades ciertas. 1. Igualmente pueden ser Vencidas (Ordinarias).Anualidades Generales: Cuando el periodo de capitalización de la tasa de interés no coincide con el periodo de pago de la renta. etc. se trata de una anualidad que en teoría tiene infinito número de pagos este tipo de anualidad se presenta cuando se coloca un capital y únicamente se retiran intereses periódicamente.Ciertas: La serie de pagos tienen definida la fecha en la que se efectuará cada uno de ellos.. Pudiendo ser quincenales.. Plazo de una Anualidad (n): Es el tiempo que media entre el inicio del primer periodo y el final del último periodo. Periodo o Intervalo de renta: Es el tiempo que transcurre entre los pagos periódicos continuos.. 1. etc. 1. revisaremos las gráficas que las representan y ejemplos de problemas.1.Anticipadas: Los pagos se realizan al inicio de cada periodo de pago. Todos los pagos son llevados al principio (Valor Actual = C o A) o al final (Monto = S) de la serie a la misma tasa de interés. 1. Anticipadas o Diferidas.1. 2. 4.Vencidas (Ordinaria): Los pagos se realizan al final de cada periodo de pago.3.Contingentes o Eventuales: La serie de pagos no tienen definida la fecha de inicio del primer pago o la del último pues está sujeta a la ocurrencia de un evento que se sabe que sucederá pero que se desconoce cuándo. mensuales.1. Clasificación de las anualidades: 1. o una serie de pagos semestrales con una tasa que se capitaliza trimestralmente.. i)=S n¬i = ((1 + i)n -1)/i el valor de S tablas 𝑺=𝑹 (𝟏+𝒊)𝒏 −𝟏 𝒊 n¬ipuede encontrar en Monto anualidad vencida 83 . hasta que se llegue al pago que está en n el cual no se traslada por estar en la fecha focal. Para plantear la ecuación de valor. pero. c = 1. El pago que está en el punto 1 se traslada por n-1 periodos. El monto se representa por el símbolo S n¬i en el cual la: S = Monto. n¬ = Número de pagos. Por ejemplo el pago mensual del arriendo de una casa. ya que primero se realiza el trabajo y luego se realiza el pago. i = Tasa de interés (periódica) Otra simbología muy utilizada es (F/A. Se representa así: 0 R RR 1 2 3=n Anticipadas: Los pagos son efectuados al inicio de cada periodo. por n-2 periodos y así sucesivamente. Vencidas (Ordinaria): Los pagos son efectuados al vencerse o final de cada periodo. n. en cada caso. el que está en 2. entonces se tiene: (F/A. se aplica la fórmula: M IC= c (1+i)n(monto a interés compuesto= MICo simplemente M) A cada pago. n. i) que significa valor futuro dada una anualidad de n periodos a la tasa i . Por ejemplo el pago de salarios a los empleados. ya que primero se paga y luego se habita en el inmueble. Se representa así: R RR 0 1 2 3=n Cálculo de una anualidad vencida y una anualidad anticipada Una anualidad tiene dos valores: Monto (S): Todos los pagos son traslados al final de la serie de pagos. Ejemplo: 1. Un documento estipula pagos trimestrales de $80.000 durante seis años. Determinar A y S suponiendo un interés del 32% a.c.t.. SOLUCIÓN: El número de pagos es n= 4 X 6= 24, R= $80.000 a) i = 32%/4 = 8% efectivo trimestral A = R(1 - (1 + i )-n)/i A= 80.000* (1 -(1 +0,08 )-24) /0,08 A= 842.301 b) S = R((1 + i )n -1)/i S= 80.000* ((1 +0,08 )24 -1)/ 0,08 S= 5.341.181 Ejemplo 2. Una deuda de $50.000 se va a cancelar mediante doce pagos uniformes de $R c/u. Con una tasa del 2% efectivo para el periodo, hallar el valor de la cuota situando a) la fecha focal hoy y b) la fecha focal en doce meses. SOLUCIÓN: a) A = R(1 - (1 + i )-n)/i R= 4727,98 50.000= R (1 - (1 + 0,02 )-12)/0,02 b) 50.000 (1,02)12 = R((1 + 0,02 )12 -1)/0,02 R= 4.727,98 Anualidades anticipadas: Las anualidades anticipadas se representan por la ecuación: ¨S n¬i= S n¬i (1 + i ) Para el monto S = R((((1 + i )n+1 -1)/i)-1) Monto anualidadanticipada ä n¬i = a n¬i (1 + i ) Para valor presente A = C = R(1+(1 - (1 + i )-n+1)/i) Valor actualanualidadanticipada Ejemplo 3. 84 Una persona arrienda una casa en $50.000 pagaderos por mes anticipado. Sí tan pronto como recibe el arriendo lo invierte en un fondo que le paga el 2% efectivo mensual. ¿Cuál será el monto de sus ahorros al final del año? SOLUCIÓN: S = R((((1 + i )n+1 -1)/i)-1) S = 50.000((((1 + 0,02 )12+1 -1)/0,02)-1) S = 684.016,58 Diferidas: Una anualidad diferida es aquella en que para iniciar la serie de pagos debe transcurrir un cierto número de periodos donde se gana intereses y no se paga capital para acumularse y convertirse en el valor a pagar a través de la anualidad; este periodo se denomina “periodo de gracia”. Una anualidad diferida es aquella en que el primer pago se efectúa después de transcurrido el periodo de gracia. La parte de los pagos puede ser realizada a través de pagos vencidos o anticipados. Se representa así: Cálculo de una anualidad diferida Ejemplo 1. Una deuda de $800.000 se va a cancelar mediante 20 pagos trimestrales de $R cada uno. Si el primer pago se efectúa exactamente al año de haberse prestado el dinero, calcular R con una tasa del 36% a.c.t. SOLUCIÓN **NOTA: En anualidades diferidas decir el primer pago se realiza al año, es equivalente a decir que tiene 3 trimestres de periodo de gracia. F n1= 3 FF n = 20 MIC3 = A20 85 En la fecha focal, el monto a interés compuesto MIC3 de VP durante n1 trimestres es igual al valor actual de la anualidad vencida de 20 pagos trimestrales A20. Tenemos que el primer pago se lo hace en el periodo 4 que corresponde al final del primer año. La anualidad debe comenzar en el punto 3 y terminar en el punto 23. Además, si se toma como fecha focal, la fecha en que termina el periodo de gracia tenemos que en ese punto el valor adeudado en el tiempo 0 a ganado intereses a interés compuesto durante el periodo de gracias n1, y su monto es igual al valor actual de los n pagos de la anualidad La ecuación de valor será: VP (1+i)n1 = An Valor presente anualidad diferida Donde: n1= periodo de gracia; An= Valor actual de los n pagos sean anticipados o vencidos. 800.000(1,09)3 = R ((1 - (1+0,09)-20)/0,09) R = $113.492,69 2. Anualidades Generales: Cuando el periodo de capitalización de la tasa de interés no coincide con el periodo de pago de la renta. Ejemplo: Una serie de pagos mensuales con una tasa efectiva trimestral, o una serie de pagos semestrales con una tasa que se capitaliza trimestralmente. La solución para estos casos es pasar a una anualidad simple para lo cual bien se transforma la tasa al periodo de tiempo de pago de la renta (método más utilizado), o se calcula la renta equivalente para el periodo de la tasa. Estas anualidades a su vez pueden ser con pagos vencidos, anticipados o diferidos. Cálculo de una anualidad general Este tipo de anualidades puede ser tratado como una anualidad simple, para lo cual debemos hacer que los periodos de pago coincidan con los periodos de capitalización de la tasa, existen dos formas como se puede efectuar: 1.- Consiste en calcular pagos equivalentes, que deben efectuarse conforme el periodo de capitalización de la tasa de interés. Para esto se debe calcular el valor de los pagos que deben efectuarse al final de cada periodo de capitalización que sea equivalente al valor del pago único que se hace al final del periodo de pago. 2.- Consiste en encontrar la tasa equivalente, para que coincida el periodo de pago con el de capitalización de la tasa. Ejemplo 1. Hallar el monto (S) de 30 pagos trimestrales de $25.000 cada uno considerando una tasa del 24% a.c.m. SOLUCIÓN Método 1.- Reemplazar el pago vencido trimestral, por un pago vencido mensual 86 entonces S S = 8.1208% trimestral Encontramos el monto S = 25. pues los pagos son mensuales de $R a la tasa a. un seguro de vida.000 25.018.t. 87 .000 ((1+0.Contingentes o Eventuales: La serie de pagos no tienen definida la fecha de inicio del primer pago o la del último pues está sujeta a la ocurrencia de un evento que se sabe que sucederá pero que se desconoce cuándo. (1+0.990.02)12 = (1 + i)4 i = 6.60 Método 2. i = 24%/12 = 2% mensual SR = 25.60 B.018..m.02)3 -1)/0.990. etc.168.02 S = 2.02 R = 8.87 ((1+0.m. Ejemplos: Un seguro contra incendios. Anticipadas o Diferidas.c.c.168..061208)30 -1)/0.87 mensual El número de pagos mensuales n = 3 x 30 = 90. Entonces tenemos una anualidad. Igualmente pueden ser Vencidas (Ordinarias).c.061208 S = 2. equivalente a 24% a.- Se busca la tasa a.000 = R ((1+0.02)90 -1)/0. . 1/(1+i) = 0 A = R (1. 88 .36 Cálculo de la tasa de interés de la anualidad En el cálculo de la tasa se utiliza interpolación lineal.75% mensual A = R/i A = 10. Tablas de Amortización y Fondos de Amortización AMORTIZAR: Se utiliza el término amortizar para indicar el proceso por el cual se va cancelando una deuda y sus respectivos intereses por medio de pagos periódicos denominados (abonos = cuotas). por esta razón se profundiza este tema en el Apéndice 2 INTERPOLACIÓN LINEAL donde se expone un ejercicio y las notas claves referentes a este tema son de suma importancia para el proceso del cálculo.000/0.000 mensuales. solo existe valor presente que viene a ser finito. El capital que se debe una vez efectuado un pago se conoce como saldo insoluto y representa a los derechos del acreedor y se trata del valor del capital que no se ha cancelado a ese período. A = 363.(1 + i )-n)/i A = Limn-> R (1. suponiendo que la tasa de interés es del 33% a.c. A = R/i Ejemplo 1.0275.Perpetuidades: Son una variación de las anualidades ciertas.0)/i).1/(1+i))/i). A = C = R(1 . Cálculo de una perpetuidad Obviamente. partiendo de la fórmula del valor presente de la anualidad ordinaria llevamos al límite cuando n -> . Hallar el valor presente de una renta perpetua de $10.636. SOLUCIÓN i = 33%/12= 2. se trata de una anualidad que en teoría tiene infinito número de pagos este tipo de anualidad se presenta cuando se coloca un capital y únicamente se retiran intereses periódicamente. porque el valor final será infinito.m.C. 48 4. 89 .00 100.00 para cancelarlo mediante cuotas mensuales a una tasa del 3% mensual.00 100.00 109.00 100.La diferencia entre la deuda original y el saldo insoluto corresponde a los derechos adquiridos por el deudor.30 86.68 886.00 300. está compuesta por dos partes.00 100.00 20.00 663. Ejemplo: Werner toma un préstamo de $ 800.-En este sistema. el valor total de la cuota disminuye con el tiempo. denominada amortización que es el aporte al capital que se adeuda haciendo que éste disminuya con cada pago.00 0 Amortización (Método Americano). Ejemplo: Paulette recibe un préstamo de $ 600.00 para cancelarlo mediante cuotas mensuales a una tasa del 3% mensual.68 147. sin embargo trataremos los que son de uso más comunes: Amortización Gradual (Método Francés). Período 0 1 2 3 4 5 6 Total Cuota 147.-Se caracteriza por tener las primeras n-1 cuotas de amortización de capital nulas (0).-En este sistema el valor de las cuotas o abonos permanece constante.07 Intereses 24.53 8.00 600.68 147. Existen varios métodos para amortizar una deuda.21 135.00 100.00 500. Calcular el valor de la cuota y construir la tabla de amortización por el método de amortización gradual. lo que da lugar a que cada pago sea menor que el anterior.00 Saldo Insoluto 800. Las cuotas de interés son constantes e iguales a la tasa por el valor del préstamo.00 63.29 16.00 676.15 139.68 147. pero los intereses se reduce a medida que la amortización de capital se incrementa.00 112. Cada abono que se realiza para liquidar la deuda.00 Saldo Insoluto 600. es decir es mayor que la del pago anterior .39 131. que es la parte que se ha amortizado o pagado y que ya es propiedad del deudor.00 115.00 103. el componente de amortización del capital permanece constante pero el interés va disminuyendo.93 417.38 800.57 143.38 0 Amortización Constante (Método Alemán).68 127.00 100. La primera para cubrir los intereses generados en el período. esta incluye el valor original del préstamo más los intereses del período. Calcular el valor de la cuota y construir la tabla de amortización por el método de amortización constante Período Cuota Intereses Capital 0 1 2 3 4 5 6 Total 118.72 282.32 548.68 147.00 6.00 100.00 15. La desventaja es que la última cuota es muy alta.00 9.20 143.47 12.68 147.00 106.00 3.00 200.07 Capital 123.00 400. y la segunda.00 12.00 18. Tiene la desventaja de generar más intereses que los otros sistemas. Calcular el valor de la cuota y construir la tabla de amortización por el método de amortización americano.-En éste método cada abono y su correspondiente porción amortizada crece con el tiempo y esto lo hace atractivo para el deudor.00 900. y hacerlo en forma aritmética o geométrica.00 Saldo Insoluto 900.00 27.00 27.00 27.Ejemplo: Aarón recibe un préstamo de $ 900. Los abonos pueden variar uno por uno o en grupos. 90 .00 900.00 27. dando lugar a que la deuda crezca en vez de reducirse.00 900. Capital Pagado: (Derecho del Deudor = Parte amortizada) Es la parte de la deuda que a la fecha esta cubierta.A n-k DerechosAcreedor = A n-k Intereses pagados entre dos periodos de pago: Si se desea conocer el valor de los intereses pagados entre dos periodos se deben restar los derechos del acreedor de los dos periodos y restarlo del producto de la renta por el número de cuotas que están entre los dos periodos.00 27.00 0 0 0 0 0 900.00 1062.00 para cancelarlo mediante cuotas mensuales a una tasa del 3% mensual. ya que los primeros pagos pueden ser tan pequeños que ni siquiera cubra los intereses del período.00 27.00 27.00 900.00 900.00 27. Derechos Deudor + Derechos Acreedor = Deuda Original es igual a Lo amortizado + Saldo Insoluto = Deuda Original es igual a Capital Amortizado + Saldo Insoluto = Deuda Original Capital Amortizado + A n-k = Deuda Original Donde: n = Número de pagos totales k = Número de pagos efectuados Capital Amortizado = Deuda original . Cálculo de los derechos del deudor y del acreedor Capital o Saldo Insoluto: (Derecho del Acreedor): Es la parte de la deuda que a la fecha no esta cubierta.00 27. o el valor presente de los pagos que faltan por hacerse.00 27.00 900. Período Cuota Intereses Capital 0 1 2 3 4 5 6 Total 27.00 0 Método con Renta Variable .00 927.00 162. Puede darse que el capital o depósito inicial para constituir el fondo sea mayor que los posteriores y también puede darse que existan varias disposiciones creando un flujo de caja de entradas y salidas de capital.04 = 15.000.-Cuando se desea acumular una cierta cantidad de dinero. Generalmente se crean fondos para reposición de activos. Ej: Si deseo cancelar en el periodo 9 sería: 306..En la práctica las columnas de Intereses Acumulados y Capital Amortizado no se presentan en la tabla de amortización pero para fines didácticos se las ha incluido para ver lo que se refieren los Derechos del Deudor.Aplicando estos conceptos a la reconstrucción de tablas podemos encontrar el Saldo Insoluto luego de haber realizado el 6to.30 = 635.67 Fondo de amortización o de valor futuro: Fondo de Amortización.63 + 15.0 15.Sk 91 .364.309. 2.003. a la renta del periodo en cuestión se debe sumar el saldo insoluto correspondiente. jubilación..70 DERECHOS DEL DEUDOR = CAPITAL ACUMULADO (Ver tabla Periodo 6 tabla de amortización gradual) NOTA: 1. mediante pagos periódicos los cuales ganan intereses para alcanzar un monto previamente establecido.30 SALDO INSOLUTO = DERECHOS DEL ACREEDOR (Ver tabla Periodo 6) DEUDA ORIGINAL . Pago A 84-6 = R*(1-(1+i)-(n-k))/i A78 = 15. El valor acumulado en un fondo es igual al monto de la anualidad de los k depósitos realizadosSk(monto de una anualidad) El valor que falta para alcanzar la suma deseada en el fondo(SI).364.DERECHOS DEL ACREEDOR = DERECHOS DEL DEUDOR 16.Si se desea cancelar toda la deuda en un determinado periodo. una vez que se han realizado k depósitos SI = Suma deseada . 55 Capital 0 102.c.01 15124.37 14.93 120. Calcule el valor de la primera renta.29 181.66 417.63 306.50 1486.20 14879.00 30% de los ingresos familiares 330.73 1298.59 655.c. recibe un préstamo hipotecario de $16.96 1371.70 186.30 $ 306.66% a.37 322.63 206.897.m.63 306.37 322.00 a 7 años plazo del Banco de Aarón a una tasa del 16.65 108.m.85 123.70 15364. Saldo Insoluto 0 16. Problema de creación de un Fondo de Amortización 92 .37 103. Acum.80 1245.63 306.77 187.77 105.63 306.63 Interéses 0 220 218.3750% 1.04 14754. i= 84 322.90 635.25 212.72 214.63 15245.59 La columna de capital se obtiene restando de la renta el valor de los intereses generados por el saldo insoluto del periodo anterior. Construya la tabla de los 12 primeros periodos.37 322.2217% Tabla Periodo 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Renta 0 322.c.60 118.99 996.000.37 15.37 322.99 15582.37 306. Sus ingresos familiares mensuales son $1.63 306.22 2040. entonces calcule la nueva renta.37 875.76 871.59 217.41 14628.00 16. Aplicación de Derechos del Deudor y Derechos de Acreedor Datos Ingreso Familiar Promedio = Capacidad de pago = Pago posible = Deuda A = Tasa j = Periodos de pago = Renta 1 = Reajuste: Nueva tasa j = Saldo Insoluto al 6to pago = Renta 2 = 1.17 215.78 180.34 15688. reajustable semestralmente.85 126.20 106.25 184.10 15473.48 1085.m.78 183.100.38 121. Amort. la se reajusta al 14.86 311.29 2402.m.01 526.14 1120.44 1857. 0 220 438.34 124.30 754. 15364.26 Int.14 15793.66% a.100.11 109.000.00 102.5% a.c.51 2222.00 16.50% a.37 322.Problema de Tabla deAmortización Gradual con reajuste de tasa de interés a los 6 meses Dieter. el Banco considera como capacidad de pago el 30% de los ingresos.000.20 1672.63 i= 1.86 15003.00.37 Cap. 43 10 300 20.57 160.76 47.09 7 300 13. Renta R = Tasa j = 300 9.09 311. ….95 Es el valor acumulado en el fondo en el periodo 8 Si deseo reconstruir la tabla a partir del periodo 8 debería calcular S 7 = 2147.00% a.25 3 300 4..48 2. desea saber cuánto recibirá su hijo al cumplir los 18 años.75% mensual 18 años 216 pagos Tabla Periodo Renta Intereses Int.70 3.80 13. ….42 1. Val.. al Fondo - - - - 0 Fondo Acum. Acum.426..85 93 .42 34.El padre de Aarón Kolb al mes nacer su hijo comienza a depositar $300 mensuales en un fondo que genera un interés del 9% a.58 323. 0 1 300 0 0 300 300 2 300 2.10 1.10 22.58 12 300 25.30 320.87 103.463.80 1.11 2.27 3.57 5 300 9.c.834.76 2.30 11 300 23.67 6 300 11.752.52 6.782. Por ejemplo : El valor en el fondo al periodo 8 k= S8= 8 300*((1+ 0.48 82.0075)8 .57 306.77 4 300 6.147..1) / 0.70 152.522.28 325.0075 = 2.c.1.93 1.m. 159.95 316...409.95 9 300 18.463.25 302.m.25 2.95 2463.67 309.43 318.77 304.52 906.85 8 300 16.213. ….28 13 …. i= Tiempo = n= 0. 215 300 216 300 ….195.57 1495..85 313.11 63.25 602.27 126.103. ….905.87 3.50 Para calcular el valor acumulado en el fondo a cualquier periodo se saca el monto de la anualidad que se tiene una vez efectuado el pago del periodo en cuestión. 147.11 2.27 - 323.48 - 318.87 3. el valor de n que viene a ser el número del periodos aportados al fondo.00 20. para lo que debe determinar en la fórmula del monto de la anualidad.27 3.426.85 NOTA: En la práctica las columnas de Intereses Acumulados no se presentan en la tabla del fondo pero para fines didácticos se ha incluido.30 11 300.00 23.87 - 320.. El valor que va al fondo está constituido por la renta más los intereses que genera el fondo que se encuentra acumulado en el periodo anterior. Acum.463.tasa i = Periodo 0.58 2.95 9 300.11 - 316.48 2.00 18. De esta manera también podría reconstruir la tabla del fondo si se le da el valor acumulado en el periodo k esto es Sk.782. 94 . al Fondo Fondo Acum.43 10 300. 7 - - - - 8 300. Val.103.00 16.75% Renta Intereses Int. Alfred DieterKolb Alvarado M. Y1) X1 X P2(X2.APÉNDICE 2 Ing. Entre los posibles métodos de interpolación podríamos considerar * Lineal * Exponencial * Logarítmico No obstante. y tender con los valores Y1 y Y2 acercarse lo más posible a X con los valores de X1 y X2) 95 .Y) P1(X1. Interpolación lineal Supongamos que queremos estimar el valor Y asociado al punto X. misma recta que contiene al punto P cuya coordenada en Y es requerida.B. debido a su sencillez y a que está comúnmente aceptado únicamente se expondrá el método de interpolación lineal. Según el método de interpelación lineal (ver figura) se supone que la función se comporta como una línea recta entre los puntos P1 y P2 ( intervalo [x1. Valor Y es desconocido P(X. sino que la información está distribuida de forma discreta (esto es en puntos concretos) se hace necesario emplear métodos de interpolación que permitan obtener una aproximación en cualquier punto del dominio. x2]) .Y2) X2 (Tal que: X1<X < X2.A. pues el valor X es el que tomamos de referencia para determinarlo. INTERPOLACIÓN LINEAL Aplicaciones INTRODUCCIÓN: Cuando no se dispone de una función que permita calcular directamente el valor de una variable dependiente llamemos Y en función de otra independiente llamemos X. Y2) P1(X1. Y1).Y) P2(X2. P(X. lo más cercanos posible al valor de X. tiene una pendiente m1y si un tercer punto P pertenece a la misma recta esta tendrá una pendiente m2. 96 .Sean dos puntos P1(X1. Teniendo en cuenta que la propiedad de la línea recta que dice: “Si una recta pasa por dos puntos P1 y P2. la interpolación lineal consiste en hallar una estimación del valor Y. para un valor X“valor de referencia”. P2(X2. donde se da m1 = m2” . este método se utiliza cuando se requiere calcular la tasa de interés en anualidades y en el cálculo de la TIR y la rentabilidad en bonos. tal que X1 < X < X2. Y1) m1 X1 = m2 X X2 m1 = Y – Y 1 X .X1 En la práctica financiera. Y2). la expresión matemática de dicha igualdad permitirá calcular el valor de Y.X1obtengo que: Y= Y1+(X – X1) Y2 – Y1 X2 .X1 m2 = Y 2 – Y 1 De donde al igualar m1 a m2y despejando el valor de Y X2 . i 97 . incluso usted puede poner un valor cualquiera. es decir al subir la tasa (i) sube el Monto y al bajar (i) baja el Monto. ij = yj Recuerde: Al trabajar con la fórmula de valor actual en Anualidades. . TirBUSCADO) = P(0. la tasa (i) es directamente proporcional al Monto. Elija una tasa de interés de partida. A=R 1-(1+i)-n A/R = X = valor de referencia .y1).y2) y P(x. 2. TirBUSCADO) En el cálculo de la tasa de rentabilidad en bonos: Es aplicable la interpolación y se considera la fórmula del precio del bono PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO: 1. Aplique el valor de la tasa elegida en la función. b) Al trabajar con la fórmula de Monto “M”. P2(x2. P2(x2. c) Al tabular los valores “ij y f(i)j”. sea igual a 0 (CERO).y) = P(valor de referencia. Los puntos elegidos como más cercanos serán: P1(x1. b) Al tabular los valores “ij y f(i)j”.y1).y) = P(valor de referencia. Por lo tanto el valor de referencia x será igual a 0 (CERO). esta puede ser la tasa referencial del BCE para operaciones activas. es decir al bajar la tasa (i) sube el valor actual y al subir (i) baja el Valor Actual. o de alguna otra inversión. para aplicar la fórmula de la interpolación considere: ij = yj f(i)j = xjdonde j = 1…2. iBUSCADO) En el cálculo de la TIR: a) Por concepto la Tir = Tasa Interna de Retorno. es la tasa que hace que el VAN = Valor actual neto. para aplicar la fórmula de la interpolación considere: ij = yj f(i)j = xjdonde j = 1…2.y2) y P(x. . Entonces los puntos elegidos como más cercanos serán: P1(x1. f(i)j = xj donde j = 1…n.Notas Claves: En anualidades: a) Al trabajar con la fórmula de Valor Actual “A ó C”.1 S/R = X = valor de referencia . la tasa (i) es inversamente proporcional al Valor Actual. i 1-(1+i) -n = f(i) i Al trabajar con la fórmula de monto o valor futuro en Anualidades S = R (1+i) n . X=0 = Valor de referencia. VAN o P (Precio en bonos a la tasa i) tienen una relación inversamente proporcional. Y1) X1 X X2 4. y si tiene que aumentarla hágalo al doble. es decir: -Si sube el valor actual baja la tasa i -Si baja el valor actual sube la tasa i Los Valores futuros Monto S o M mantienen una relación directamente proporcional a la tasa i. Compare el valor obtenido del cálculo con el valor X de referencia. Este paso lo repite hasta encontrar el otro extremo del intervalo. -Si sube el valor futuro sube i -Si baja el valor futuro baja i 98 . Dependiendo de que si la función f(i)j . Recuerde: Los Valores Actuales sea A o C. En caso de Bonos el precio cotizado es el Valor de referencia = X 3.Y2) P1(X1.Y=?) P2(X2. de esta manera es posible que encuentre el otro extremo del intervalo X1 X2.(Ubique el valor en la gráfica en este momento usted ha encontrado bien sea X1 ó X2 y tendrá que decidir si aumenta o disminuye la tasa dependiendo de la fórmula aplicada conforme el paso siguiente) P(X. si tiene que reducir la tasa hágalo a la mitad. es decir van el mismo sentido. valor actual.se despejo de una fórmula del monto. VAN* o precio en bonos* (* se tratan de valores actuales y tienen la relación inversamente proporcional con la tasa a la que se evalúa) aplique las notas claves según sea el caso para acercarse más al valor de referencia X.(1+i)n -1 = f(i) i Para el cálculo de la TIR aplique el concepto de TIR “Tasa que genera un VAN=0 (cero). Este paso se lo repite hasta que el valor mayor y el menor a X prácticamente igual al de X.000 n = 15 depósitos semestrales Reemplazandocon valores: R = 12.156 + (50 . crea un fondo de $600. Con las coordenadas de los puntos más cercanos a los que se considera como P1 . encontrando Xcalculado.1)/ i M = 600.c.1)/ i 50 = ((1+i)15.000 = 12.156)/(50. se puede partir de una tasa que se de el enunciado del problema o de un valor de i (arbitrario) que se tome como partida.000.157 “X2” : f( i2) = 50.9850) (0.49.000 = ((1+i)15.0. el valor resultante se aplica en f(i)j y se obtiene un valor más cercano a X.000/12. (VEA TABLA DE VALORES) Se toma los dos datos de ij “Y1 y Y2” y f( ij) “X1 y X2” que corresponden a los valores más cercanos a 50. por lo tanto se aplica el método de interpolación lineal: Se da valores a i en f(i). esto se lo hace sumando las dos tasas que dieron los valores cercanos a X y dividiendo para 2. En este caso no se tiene la posibilidad de calcular directamente la tasa i.Y1 X2 – X1 Reemplazo con los valores Y = 0.9850) Entonces 99 .9850 P2 “Y2” : i2 = 0. P2 y P se los aplica en la fórmula de interpolación. Ejemplo Anualidades: Aarón Kolb.3982 – 49. M = R ((1+i)n. se procede a afinar el cálculo. Una vez que se tiene el valor mayor y el menor a X.1)/ i j = ? (a.1)/ i = Xcalculado entonces 50 es el valor de referencia “X” y se debe encontrar eli “Y” que genere 50.X1) Y2 .5. en el caso del ejemplo: P “Y” : i=? “X” : = 50 P1 “Y1” : i1 = 0.s.1)/ i f(i) = ((1+i)15. el mismo se constituirá a través de 15 cuotas semestrales de $12.000 600. Determine latasa nominal anual convertible semestralmente. 6.000 ((1+i)15.000.3982 Aplico la fórmula de interpolación: Donde i = Y (Obteniéndose la tasa efectiva periódica) Y = Y1 + (X.) 600.157 .156 “X1” : f( i1) = 49. 772 2 0.9850 5 0. Debe aceptar el proyecto? a.s. Debe aceptar el proyecto? b.15-0.21 VAN10% = 24.10=0.156 49.21% a. Un truco para hacer más rápido es sacar la diferencia entre las dos tasas.157 50.15 47. y no crear falsas expectativas. Para este caso 0. entonces conviene realizar la inversión b) TIR Interpolo: Utilizando la fórmula de VANr.660 4 0. Al momento tengo un valor X1 = 31. por lo tanto se dará valores a i dentro de este rango para afinar el cálculo.A. 100 . 0.604% semestral. Año Flujo de efectivo (en miles de $) 0 -100 1 25 2 50 3 50 4 25 5 10 a.35 mayor al de referencia.035 1 0.156036302 semestral = 15.08 + 6.772 menor y un X2 = 72.156036302 (2) = 0.15.312072604 en forma de porcentaje 31. (Tasaefectiva periódica) Entonces la tasa nominal anual convertible semestralmente (a. entonces sumo las dos tasas y divido para dos.) será : j = 0.580 3 0.16 pues estamos bastante cerca de 50. consiguiendo un mejor valor de i y nos acercamos más a 50.15 dando 0. dividir para 3 y el resultado se suma o se resta a la tasa que este dando el valor más cercano. bajando así la tasa para que baje f(i).73 + 41.05.0167 y sumo a la tasa de 0.10 31. dependiendo si tengo que subir o bajar la tasa. esto lo hacemos para tener una mayor precisión en el cálculo de i. Tenemos un valor de f(i) menor bastante más cercano a 50 Tenemos un valor de f(i) mayor bastante más cercano a 50 0.3982 6 -VAN: KLWD está TIR S.0167 Se realiza el afinamiento entre 0.20 y 0.15 y 0.05/3=0. analizando un proyecto de inversión con un costo de capital del 10% y el siguiente patrón de flujos de efectivo esperados.32 + 37. Calcule el VAN.20 72.. Calcule el TIR. entonces aplico la nota clave respecto al monto dividiendo la tasa para 2.c.c.s. TABLA DE VALORES Yj = ij Ejemplo Xcalculado=f(ij) Iteración Observación Es un valor cercano a 50 pero no lo más cercano menor o mayor que es lo que se desea encontrar Como estamos utilizando la fórmula del Monto y el valor encontrado anteriormente fue superior al valor de referencia = 50. VAN VANr = -100 + 25 + 50 + 50 + 25 + 10 .90 VAN10%> 0. (1+r) (1+r)2 (1+r)3 (1+r)4 (1+r)5 VAN10% = -100 + 22.16 51..i = 0. voy dando valores a r que me acerquen lo más posible a 0 por el lado negativo y por el positivo (cero por el concepto de TIR). También observamos que el valor de i para que f(i) sea igual a 50 esta entre 0.57 + 17. 2028 (0.28% TIR >Cc .20) -1.566 P2(0.20 0.r 0.20 .566+1. y) y = y1 + (x – x1) y2 – y1 x2 – x1 y = 0.446 .566 .28% > 10% Conviene la inversión.90 0. 20.446) TIR = 20.446) (0.10 0.21) P (0 .21 + (0 + 1. 0.446 P1(-1.21) = 0. 101 .0.21 VANr 24. 0. Cuando los flujos de caja crecen en una cantidad fija periódicamente. que básicamente la única condición que cambia entre las anualidades y las anualidades con gradientes aritméticas y geométricas es que el valor de los flujos de caja varía y las demás condiciones no se modifican. En el caso en que los flujos de caja aumenten en cada período en un porcentaje y se realizan al final de cada período se tiene un gradiente geométrico creciente vencido. se tiene un gradiente geométrico creciente anticipado. como también aquellas que aumentan o disminuyen en un valor porcentual. diferidas y generales que se trataron anteriormente son los mismos y se manejaran en idéntica forma. Los flujos de caja deben ser periódicos Los flujos de caja deben tener un valor un valor presente y futuro equivalente. en una cantidad constante o en un porcentaje. en la cual cada flujo es igual al anterior incrementado o disminuido en una cantidad constante y se simboliza con la letra G y se le denomina variación constante.APENDICE 3 Preparado por Ing. y si los flujos ocurren al inicio de cada período. se presenta un gradiente lineal creciente vencido. los conceptos de anualidades vencidas. con relación al flujo de caja anterior. que hace referencia a que los flujos de caja pueden incrementar o disminuir. deben cumplir las siguientes condiciones: Los flujos de caja deben tener una ley de formación. por lo cual. Flavio Parra T. sí los flujos de caja se pagan al final de cada periodo. si los flujos se presentan en períodos posteriores a la fecha de realizada la operación financiera. Valor presente(A) y futuro(S) de un gradiente aritmético o lineal creciente 102 . se presenta un gradiente lineal creciente diferido. Para que una serie de flujos de caja se consideren un gradiente. anticipadas. ANUALIDADES CON GRADIENTE ARITMETICO Y GEOMETRICO Analicemos una serie de flujos de caja (ingresos o desembolsos) que crecen o decrecen en un valor uniforme o constante. se genera el gradiente aritmético creciente. se genera el gradiente aritmético decreciente. Si los flujos de caja ocurren al comienzo de cada período se está frente a un gradiente lineal creciente anticipado. Es conveniente afirmar. Lo anterior ocurre con el gradiente geométrico decreciente. DEFINICION Se denomina gradiente a una serie de flujos de caja (ingresos o desembolsos) periódicos que poseen una ley de formación. Las combinaciones anteriores también se presentan para el gradiente lineal decreciente. Se tendrá un gradiente geométrico creciente diferido. Cuando la variación constante es negativa. Si el primer flujo se posterga en el tiempo. Cuando la variación constante es positiva. La cantidad de periodos deben ser iguales a la cantidad de flujos de caja. GRADIENTE ARITMETICO O LINEAL Es la serie de flujos de caja periódicos. .Es la cantidad.Valor presente. R+(n-1)G R+3G R+2G R R+G R+(n-2)G Valor futuro. 𝑣𝑒𝑛𝑐𝑖𝑑𝑎 𝑜 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑖𝑑𝑎 𝑖 = 𝑡𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟é𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑛 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜𝑠 𝐺 = 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚é𝑡𝑖𝑐𝑜 (𝑙𝑒𝑦 𝑑𝑒 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛). 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑜 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝐴𝑈 = 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑢𝑛𝑖𝑓𝑜𝑟𝑚𝑒 𝐴𝐺 = 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑐𝑜𝑛 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑆𝑈 = 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑓𝑢𝑡𝑢𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑢𝑛𝑖𝑓𝑜𝑟𝑚𝑒 𝑆𝐺 = 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑓𝑢𝑡𝑢𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑐𝑜𝑛 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 Recuerde la serie de pagos o flujos de caja responden a las series o progresiones aritméticas.. que resulta de sumar los valores futuros de una serie de flujos de caja que aumenta cada período en una cantidad constante denominada gradiente (G).Es la cantidad. el valor de cualquier cuota puede ser calculado con la fórmula para cualquier termino. 0 1 2 3 4 n-1 n Para calcular el valor presente y futuro de una anualidad con gradiente aritmético utilizamos las formulas. 𝑅𝑛 = 𝑅 + (𝑛 − 1)𝐺 103 . que resulta de sumar los valores presente de una serie de flujos de caja que aumenta cada período en una cantidad constante denominada gradiente (G). 1 − (1 + 𝑖)−𝑛 𝐺 1 − (1 + 𝑖)−𝑛 𝑛 𝐴 = 𝑅[ ]± [ − ] = 𝐴𝑈 ± 𝐴𝐺 (1 + 𝑖)𝑛 𝑖 𝑖 𝑖 𝑆 = 𝑅[ (1 + 𝑖)𝑛 − 1 𝐺 (1 + 𝑖)𝑛 − 1 ] ± [ − 𝑛] = 𝑆𝑈 ± 𝑆𝐺 𝑖 𝑖 𝑖 𝑅 = 𝑐𝑢𝑜𝑡𝑎 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑎𝑛𝑡𝑖𝑐𝑖𝑝𝑎𝑑𝑎. 015)−120 10 1 − (1 + 0. Calcular el valor de un préstamo que se está cancelando en 12 pagos mensuales que aumentan cada mes en $ 100.483. R=1.22 + 238. i=2% R=600 G=2 1 0 𝐴 = 600 [ 17 3 2 18 1 − (1 + 0. y el valor de la primera es de $ 600.5% mensual.02)−18 2 1 − (1 + 0.02)−18 18 ]+ [ − ] (1 + 0.270 + (60 − 1)(−10) = 680 Ejemplo 4.Ejemplo 1: El valor de un automóvil se cancela en 18 cuotas mensuales.995.02 𝐴 = 8.92 = 9. hallar el valor del automóvil.02 0.000 se realizó 9 meses después de la fecha de la negociación. Si la tasa de financiación que se cobra es del 1.597.02)18 0.885.270 i=1.015 0. que aumentan cada mes en $ 2.270 [ ]− [ − ] (1 + 0.14 Ejemplo 2: Una vivienda se está cancelando con 120 cuotas mensuales que decrecen en $ 10 cada mes.015)−120 120 𝐴 = 1.015 0. Durante los primeros 9 meses se cobró una tasa de interés del 1.11 = 46.93 𝑅60 = 1.234. 104 . y la tasa de interés es del 2% mensual. siendo la primera cuota $ 1.015)120 0.5% mensual. calcular el valor de la vivienda y el valor de la cuota 60.270.02 0.5% G=10 0 1 2 3 119 120 1 − (1 + 0.04 − 23.015 𝐴 = 70. pero el primer pago por valor de $ 3. Si la tasa de interés es del 2% mensual. 699.8% R=2000 0 1 G=50 2 n-1 n 60000 1 − (1 + 𝑖)−𝑛 𝐺 1 − (1 + 𝑖)−𝑛 𝑛 𝐴 = 𝑅[ ]± [ − ] (1 + 𝑖)𝑛 𝑖 𝑖 𝑖 1 − (1 + 0.02 0.00 1 − (1 + 0.028 0.028 Para encontrar n utilizamos interpolación lineal. se cancela el valor de una obligación de $ 60.8% mensual y la primera cuota es de $ 2000?¿Cuál será el valor de la cuota 20? i=2.000.02)−12 100 1 − (1 + 0.02) (1 + 0.268.02)11 0.039.77 = 38.02) = 38.02)−12 12 𝐴 = [3.02 0.00 𝑋 = 38.015)−9 Calculo de A por los dos métodos: 1 − (1 + 0.567.000 i=1.12](1.02 + 5.02 0.02)−11 100 1 − (1 + 0. 105 .02 0.000 + 30.028)−𝑛 50 1 − (1 + 0.015)−9 = 33.039(1 + 0.02)−11 11 𝐴 = 3000 + 3.02 𝐴 = 3.000 = 2000 [ ]+ [ − ] (1 + 0.23 + 4. si la tasa de interés es del 2.61 Ejemplo 5: ¿Con cuántos pagos mensuales que aumentan en $ 50 cada mes.02 𝐴 = [31.339.000 [ ]+ [ − ]] (1 + 0.100 [ ]+ [ − ] (1 + 0.i=2% R=3.02)12 0.028 0.5% 0 2 1 7 8 9 G=100 10 18 19 20 A X 𝑋 = 𝐴(1 + 0.028)−𝑛 𝑛 60.039.028)𝑛 0.726. 642.34 57162.04 0. Si el valor del primer depósito es de $ 1.38 54248.01 (59997. si se devenga un interés del 2. 106 .37 61385.88 59997. que aumentan cada semestre en $ 130.46 𝑆 = 107.04)24 − 1 130 (1 + 0.950 Ejemplo 6: En una institución financiera que reconoce una tasa de interés del 4% semestral.04 0. j=4% R=1500 0 1 G=130 2 22 23 24 S 𝑆 = 𝑅[ (1 + 𝑖)𝑛 − 1 𝐺 (1 + 𝑖)𝑛 − 1 ] ± [ − 𝑛] 𝑖 𝑖 𝑖 𝑆 = 1500 [ (1 + 0.37 Ejemplo 7: Una persona realiza depósitos en una institución bancaria que disminuyen en $ 15 cada mes.37) 61385. se hacen depósitos semestrales.018.01 − 59997. calcular el valor acumulado al final del año doce. durante 12 años.500.5% mensual.n (y) 30 31 32 33 34 35 36 VR (x) 52761.36) 𝑦 = 𝑦1 + 𝑦2 − 𝑦1 (𝑥 − 𝑥1 ) 𝑥2 − 𝑥1 𝑦 = 35 + 36 − 35 (60000 − 59997.04 𝑆 = 58.623.55 58589.37 𝑦 = 𝑛 = 35.002 𝑛 = 35 𝐶𝑢𝑜𝑡𝑎 20: 𝑅20 = 2000 + (20 − 1)(50) = 2. si el depósito del primer mes es $ 600.91 + 49.35)(61385.01. ¿cuál será el valor que se tendrá acumulado al cabo de 24 meses.04)24 − 1 ]+ [ − 24] 0.37.28 55715. 025 0.025 0. equivalente a una serie de flujos de caja periódicos que aumenta cada uno.42 − 5.009.025)24 − 1 15 (1 + 0. en un porcentaje fijo (j). con respecto al anterior.R=600 i=2. en un porcentaje fijo (j)..es el valor que se ubica en el presente.. 1 2 3 n-1 n S 107 .5% G=15 1 0 2 22 23 24 S (1 + 𝑖)𝑛 − 1 𝐺 (1 + 𝑖)𝑛 − 1 𝑆 = 𝑅[ ] ± [ − 𝑛] 𝑖 𝑖 𝑖 (1 + 0.42 = 14. con respecto al anterior. A R(1+j) R(1+j)2 0 R R(1+j)n-2 R(1+j)n-1 VALOR FUTURO. equivalente a una serie de flujos de caja periódicos que aumenta cada uno.400 GRADIENTE GEOMETRICO EXPONENCIAL Un gradiente geométrico es una serie de flujos de caja periódicos tales que cada uno es igual al anterior disminuido o incrementado en un porcentaje fijo (j). VALOR PRESENTE Y VALOR FUTURO DE UN GRADIENTE GEOMETRICO CRECIENTE VALOR PRESENTE.025 𝑆 = 19.409.es el valor que se ubica en el futuro.025)24 − 1 𝑆 = 600 [ ]− [ − 24] 0. 1+𝑗 𝑛 𝐴= 𝑅[ 1−( 1+𝑖 ) 𝑖−𝑗 ] 𝑠𝑖𝑖 = 𝑗 (1 + 𝑖)𝑛 − (1 + 𝑗)𝑛 𝑆 = 𝑅[ ] 𝑖−𝑗 𝐴= 𝑠𝑖𝑖 = 𝑗 𝑛𝑅 1+𝑖 𝑆 = 𝑛𝑅(1 + 𝑖)𝑛−1 𝑅𝑛= 𝑅(1 + 𝑗)𝑛−1 3 R(1-j)n-1 2 R(1-j)n-2 1 R(1-j)2 R(1-j) 0 R VALOR PRESENTE Y VALOR FUTURO DE UN GRADIENTE GEOMETRICO DECRECIENTE n-1 n S A 1−𝑗 𝑛 𝐴= 𝑅[ 𝑆= 𝑅[ 1 − ( 1+𝑖 ) 𝑖+𝑗 ] 𝑠𝑖𝑖 = 𝑗 (1 + 𝑖)𝑛 − (1 − 𝑗)𝑛 ] 𝑖+𝑗 𝐴= 𝑠𝑖𝑖 = 𝑗 𝑛𝑅 1+𝑖 𝑆 = 𝑛𝑅(1 + 𝑖)𝑛−1 𝑅𝑛= 𝑅(1 − 𝑗)𝑛−1 𝐴 = 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑔𝑒𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑜. 𝑆 = 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑓𝑢𝑡𝑢𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑔𝑒𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑜. 𝑖 = 𝑡𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟é𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜 𝑗 = 𝑝𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑗𝑒 𝑓𝑖𝑗𝑜 (𝑗)𝑞𝑢𝑒 𝑎𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑜 𝑑𝑖𝑠𝑚𝑖𝑛𝑢𝑦𝑒 EJEMPLO 1: Una obligación se está cancelando en 24 cuotas mensuales que aumentan un 10% cada mes. Si el valor de la primera cuota es $ 10.000 y se cobra una tasa de interés del 3% mensual, calcular: a) El valor de la obligación, b) El valor de la cuota 16. 108 i=2% R=10.000 0 j=10% 2 1 3 23 24 A 1+𝑗 𝑛 𝐴= 𝑅[ 1 − ( 1+𝑖 ) 𝑖−𝑗 ] 1+0.10 24 𝐴= 10.000 [ 1 − (1+0.03) 0.03 − 0.10 ] = 549.345,11 𝑅𝑛= 𝑅(1 + 𝑗)𝑛−1 𝑅16 = 10.000(1 + 0.10)16−1 = 41.772,48 EJEMPLO 2: Una persona desea comprar un apartamento que tiene un valor de $ 65.000, se le plantea el siguiente plan: 20% de cuota inicial, 24 cuotas que aumentan cada mes en el 1,5% mensual, y un abono extraordinario en el mes 18 por valor de $ 5.000, si la tasa de financiación es del 2,8 mensual, calcular el valor de la primera cuota. 5.000 i=2.8% R j=1.5% 0 A 1 2 3 17 18 23 24 65.000 -13.000 52.000 52.000 = 𝐴 + 5000(1 + 𝑖)−18 1+0.015 24 52.000 = 𝑅 [ 1 − (1+0.028) 0.028 − 0.015 ] + 5000(1 + 0.028)−18 52.000 = 20.25𝑅 + 3.041,54 𝑅= 2.147,70 109 EJEMPLO 3: Calcular el valor futuro equivalente a 18 pagos que aumentan cada mes en el 2% si se cobra una tasa del 3% mensual, siendo el primer pago de $ 2.500 i=3% R=2.500 j=2% 0 2 1 𝑆= 𝑅[ 3 17 16 18 (1 + 𝑖)𝑛 − (1 + 𝑗)𝑛 ] 𝑖−𝑗 (1 + 0.03)18 − (1 + 0.02)18 𝑆 = 2.500 [ ] = 68.546,70 0.03 − 0.02 EJEMPLO 4: Financiar una vivienda que tiene un valor de $ 70.000 a una tasa de interés del 2,5% mensual, por medio de 120 cuotas que crecen cada mes en el1,5%. Calcule el saldo después de cancelada la cuota 60. i=2.5% R j=1.5% 0 2 1 3 59 60 61 119 120 S60 70.000 1+𝑗 𝑛 𝐴= 𝑅[ 1 − ( 1+𝑖 ) 𝑖−𝑗 ] 1+0.015 120 70.000 = 𝑅 [ 1−( ) 1+0.025 0.025 − 0.015 ] 𝑅= 1.012,09 Saldo después de cancelada la cuota 60. Método 1. (1 + 𝑖)𝑛 − (1 + 𝑗)𝑛 𝑆 = 𝑅[ ] 𝑖−𝑗 110 09(1 + 0. R=6.09 [ ] = 198.025 − 0.49 = 109.472. 𝑅𝑛 = 𝑅(1 − 𝑗)𝑛−1 𝑅12 = 6.(1 + 0.012.025) 0. La tasa de Interés es del 18% a.015 60 𝐴 = 2.025)60 − 198.09 ) 0.5% 0 2 1 3 16 17 18 A 𝑖= 𝑗 18% = = 9% 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 𝑚 2 1−𝑗 𝑛 𝐴 = 𝑅[ 1−( 1+𝑖 𝑖+𝑗 ) ] 1−0.76 1+𝑗 𝑛 𝐴 = 𝑅[ 1 − ( 1+𝑖 ) 𝑖−𝑗 ] 1+0.015 ] = 109.472.025 𝑛 𝐴 = 6.925. 𝑅𝑛 = 𝑅(1 + 𝑗)𝑛−1 𝑅61 = 1.500 i=9% j=2.s.022.500(1 − 0.09 + 0. Determine la cuota 12.025 ] = 48.76 [ 1 − (1+0. siendo el primer pago de $ 6.79 Método 2.015)60 𝑆60 = 1.025 − 0.5%.025)12−1 = 4.99 111 .015)61−1 = 2.962.79 EJEMPLO 5: Calcular el valor presente de 18 pagos semestrales que disminuyen cada semestre en el 2.500 [ 1 − ( 1+0.962.022.012.015 𝑆𝑎𝑙𝑑𝑜 = 70.025)60 − (1 + 0.c.000(1 + 0.919.500.49 0.10 Cuota 12. R i=2% j=1.018 𝑆𝑎𝑙𝑑𝑜 = 43.02)9 − 1.750. (1 + 0.8% cada mes.8% 0 1 2 3 8 9 10 14 15 20.437.02 ) 20.EJEMPLO 6: Un préstamo de $ 20.000 1−𝑗 𝑛 𝐴 = 𝑅[ 1 − ( 1+𝑖 ) 𝑖+𝑗 ] 1−0. La tasa de financiación es del 2% mensual.000 = 𝑅 [ ] 0.000(1 + 0.000 se cancela con 15 cuotas mensuales que disminuyen en 1.02)9 − (1 − 0.018)9 𝑆𝑎𝑙𝑑𝑜 = 20.02 + 0.86 − 15.504.54 112 .02 + 0.018 15 1 − ( 1+0.38 Saldo después de la cuota 9.750.933. calcule el saldo después de cancelada la novena cuota.018 𝑅 = 1.32 = 27.38 [ ] 0. Ejemplo de ello tenemos en un seguro de por vida para jubilación en donde la aseguradora recibe una cierto valor. o tasa que iguala la inversión inicial con la suma de los flujos netos actualizados. Puede generar decisiones contrarias del TIR y VAN. MÉTODOS PARA EVALUAR PROYECTOS DE INVERSIÓN Y TOMAR LA DECISIÓN. estos pueden originar que la decisión aplicando los criterios de aceptación de los métodos mencionados anteriormente no coincida. por un lado tenemos los métodos contables que no consideran el valor del dinero en el tiempo y por otro los que si lo toman en cuenta entre ellos tenemos el Valor Actual Neto VAN. Proyecto No Convencional. el proyecto es conveniente cuando el período de recupero 113 .La selección de emprender un proyecto de un grupo no requiere ni excluye que se seleccione cualquier otro u otros e inclusive todos. Tasa Interna de Retorno TIR.A. Proyectos Mutuamente Excluyentes. dado que agrega capital a la empresa. Los criterios para evaluar proyectos de inversión brevemente se refieren a: Valor presente neto:Es la suma de los flujos netos de caja actualizados. Período de recuperación o Payback:Es el tiempo necesario para recuperar la inversión inicial. Ejemplo de esto es la compra de una acción o bono. el proyecto es rentable cuando la TIR es mayor que la tasa de costo de capital. El proyecto de inversión.-Cuando la secuencia de los flujos de efectivo es diferente al del proyecto convencional. estos pueden crear conflicto en los criterios de decisión del VAN y TIR.La selección de un proyecto está condicionada a la elección de uno o más del resto del grupo. dado que la empresa ganará más ejecutando el proyecto. por lo que se deja de lado los otros proyectos. En estos proyectos se aceptan cuando la TIR es menor que el costo de capital. se decide por el que genere un mayor rendimiento.-Es el que comienza con un flujo de efectivo negativo que representa la inversión inicial y posteriormente siguen una serie de flujos positivos hasta el final de la vida útil. Tasa interna de rentabilidad:Es la tasa que hace que el valor presente neto sea igual a cero. Alfred Dieter Kolb Alvarado M. Así se puede mencionar los siguientes tipos de proyectos: Proyecto Convencional. menos la inversión inicial.-Cuando de un conjunto de proyectos se elige un proyecto que compite por los limitados recursos que tiene una empresa. Proyectos Contingentes. Periodo de Recuperación Descontado. Los criterios de aceptación TIR y VAN coinciden. que efectuando otro tipo de inversión. Según este criterio. Proyectos Independientes. Introducción: Existen métodos para evaluar la conveniencia o no de un proyecto de inversión. se acepta cuando el valor presente neto es positivo.. Dependiendo de la clase de proyectos. para luego desembolsar una anualidad durante la vida del jubilado..B. según este criterio.APÉNDICE 4 Ing. Según la TIR. pues parte del rendimiento es consumido por la inflación. Para dar inicio a este estudio es importante tener el conocimiento de lo que es la combinación de tasas. y en las decisiones de inversión para poder calcular su rentabilidad. tanto en el ahorro como en los endeudamientos.es menor que el horizonte económico de la inversión.Payback contable:Donde se consideran únicamente los flujos netos de cada periodo. entonces se convierte en una tasa aparente.PaybackDiscountó Periodo de Recuperación Descontado:Este método.. llegando a obtener la siguiente fórmula para encontrar la tasa de interés real. dado que se recupera la inversión inicial antes de finalizado el plazo total. no expresa el verdadero rendimiento de una operación financiera. El economista Irving Fisher. ie = i1+ i2 + i1 i2 TASA DE INTERES REAL Cuando existe inflación. r = Tasa efectiva .Si un capital P está expuesto a una tasa i1 y simultáneamente a una tasa i2 tenemos que esto equivaldría a tener a P con una tasa ie equivalente. para determinar el tiempo que se tomará para recuperar el dinero invertido. 2. ie = (1+i1) (1+i2) – 1. por esta razón su uso más generalizado.estudió la relación entre la tasa efectiva aparente (i). La tasa real es la que expresa el poder adquisitivo de la tasa de interés..Tasa de inflación x 100 1 + Tasa de inflación 114 . Existen dos métodos: 1. las tasas de interés real influyen significativamente en las economías de mercado. como sigue: P (1+ie) = P (1+i1) (1+i2) Simplificando.. Por lo expuesto anteriormente. para el cálculo del tiempo que se requiere para recuperar el dinero invertido utiliza los flujos descontados. concepto que nos ayudará a explicar lo que es la Tasa Real y posteriormente el cálculo de la TMAR Combinación de Tasas. la tasa de inflación (d) y la tasa real (r). El inconveniente de este método es el que no toma en cuenta el valor del dinero en el tiempo. ie = 1+i1+ i2 + i1 i2 –1. basado en la combinación de tasas. por lo que es preferible optar por el siguiente método. (1+ie) = (1+i1) (1+i2). la tasa efectiva. Si no se obtiene cuando menos esa tasa de rendimiento.20 r = 100 (.0.666.20 100 1 + 0. La Ganancia Real o Pérdida Real está expresada por la multiplicación de la tasa real por la cantidad invertida C. Por lo tanto.666.67.166. esta tasa de referencia es la base de comparación en las evaluaciones económicas que haga. Cuando la tasa real es negativa r <0 indica que se produce una pérdida.r Ejemplo: Calcular la tasa de interés real que se cobra en un país cuya tasa de interés efectiva es 15% y la tasa de inflación o variación porcentual del índice de precios al consumidor es 20% ¿ Cuánto gana o pierde una empresa que invierte $ 100.i–d r= Fórmula de Irving Fisher 100 (Nota: i.1667% GR = 100.4. 115 . Todo inversionista. para que no haya un subsidio en el consumo de bienes o servicios y no aumente el déficit del propio gobierno. en términos financieros. en el caso del gobierno si bien no espera lucrar .166.1667 100 = .000 en 1 año?. sea este una persona natural o jurídica o el estado. GR = C.$ 4.15 – 0. Pérdida de $ 4. cualquier inversionista deberá tener una tasa de referencia sobre la cual basarse para hacer sus inversiones. Solución: r= i–d 1+ d 100= 0. r esta expresada en % al multiplicar por 100) 1+ d Cuando la tasa real es positiva r >0 indica que se produce una ganancia.67 Respuesta.000 -4. al menos espera salir a mano en sus beneficios respecto de sus inversiones. TASA MÍNIMA ACEPTABLE DE RENDIMIENTO (TMAR) A esta tasa también se la conoce como TREMA (Tasa de REntabilidad Mínima Aceptable).041667) = .000. d expresadas en forma decimal. se rechazará la inversión. tiene en mente obtener un beneficio al colocar su dinero.000. El riesgo-país se mide en "puntos básicos" o "basicpoints". pero como elinversionista quiere que su dinero crezca más allá del índice inflacionario. 116 .ec. que en nuestro caso consideraremos al porcentaje de riesgo país. ya que si se gana un rendimiento igual a la inflación el dinero no crece.31% en el país y. que el riesgo-país de Ecuadoral 11 de marzo de 2010 se ubique en 821 puntos básicos. crecer en términos reales significa ganar un rendimiento superior a la inflación.Para establecer esa tasa debe considerarse que todo inversionista espera que su dinero crezca en términos reales. Como en todos los países hay inflación. f = Tasa riesgo país.bce. debe ser 8.21 puntos porcentuales más alto que el rendimiento de los títulos de Estados Unidos. aunque su valor sea pequeño. Entonces. tabla que se presenta a continuación. significa que en promedio el rendimiento para el inversor que adquiere hoy títulos ecuatorianos.gov. que es el premio al riesgo. siendo 100 puntos básicos equivalentes a 1% de rentabilidad. sino mantiene su poder adquisitivo. se puede tomar como referencia el índice inflacionario. hay otrofactor que influye en la TMAR. Tanto los valores de la inflación como la de riesgo país a una determinada fecha en el Ecuador la podemos encontrar en la página del Banco Central del Ecuador www. Por ejemplo. Siendo así tenemos que: Si la inflación anual se ubica en el 4. La fórmula para el cálculo es la siguiente: TMAR = Tasa de Inflación + Premio al Riesgo Y nuevamente aplicando la combinación de tasas tenemos: TMAR = i + f + if Donde: i= Tasa de inflación. 0821 TMAR = 0.0601 PESO COLOMBIANO(por USD) EURO (en USD) YEN (por USD) LIBRA (en USD) FRANCO SUIZO (en USD) Fuente: Bloomberg Principales Indicadores 0.) TASA DE INTERES PASIVA (referencial) (mar.98 % VARIACIÓN DE PIB 2009 PIB 2009 (previsto) (millones) 51.899.9% 50.00 79.5 3.000 USD/MT INDICE RIESGO PAIS (11-mar.874.) 3.BCE.57 1.5080 1.3703 90.) CANASTA VITAL (feb.0821 + 0.618.) SALARIO UNIFICADO CANASTA BASICA (feb.0431 .87% 14.31% 240. significa que a mayor riesgo.840 USD 1. 0.7% POBLACION (miles) TASA DE DESEMPLEO (dic. Como el premio es por arriesgar.SBS.668 USD 0.44 PIB per Capita INFLACION MENSUAL (feb.) INFLACION ANUAL (feb.34% 4.3000 1.09) OCUPADOS PLENOS (dic.09) RILD (miles de millones) (26-feb. 117 .5% 38.00 535.Bloomberg TMAR = i + f + if TMAR = 0.138.105.12 -6. que se deja de percibir o que se sacrifica al invertir en otra opción o proyecto.34 821. se merece mayor ganancia.) BARRIL PETROLEO (WTI) ORO (100 oz) PRECIO CACAO (USD/MT) Fuente: INEC.87% El premio al riesgo significa el verdadero crecimiento de dinero y se le llama así porque el inversionista siempre arriesga su dinero y por arriesgarlo merece una ganancia adicional sobre la inflación.0431 + 0. 2.1287 TMAR = 12.) 9.7400 1.388. TMAR como Costo de Oportunidad y como Costo de Capital Costo de Oportunidad: Se refiere al costo (%).21% 4.Economía Internacional Actualizado: Marzo-15-2010 09:00 Indice Dow Jones: 10.09) TASA DE SUBEMPLEO (dic.640.48 383.700 USD/t oz.3 7.) TASA DE INTERES ACTIVA (referencial) (mar. Ejemplo: Kolb A. El resto se financiara con préstamos a dos Instituciones financieras. El costo del capital se utiliza primordialmente. cuando esa entidad pide un préstamo a cualquier institución financiera para constituir o completar el capital necesario para la empresa. Cuando se presenta este caso se le llama Costo de Capital Simple.250 milles.A. Sin embargo. sea esta una persona natural o jurídica. ¿cuál es el costo de capital o TMAR mixta para esta empresa? Solución. aportará $250 millones a un Interés de 27.25 0.56 0. la deuda. nombre derivado del hecho que estácompuesto por el costo financiero de sus fuentes de financiamiento a largo plazo. Los accionistas aportan sólo cuentan con $700 miles. Suma Aportación 700 300 250 Porcentaje de Aportación 0. requiere $1.0 Rendimiento pedido 0. el capital preferente y el capital común. la Cooperativa Pauletty S.A. Cuando una sola entidad. El Banco de Aarón aportará $300 miles por los que cobrará un interés del 25% anual. El VAN consiste en descontar o trasladar al presente todos los flujos futuros del proyecto a una 118 .275 = = = = Promedio ponderado 0. seguramente la institución financiera no pedirá el mismo rendimiento al dinero aportado.24 0.168 0. La TMAR mixta se calcula como un promedio ponderado de todos los aportes de capital de la empresa. por lo que dicho costo se enfoca hacia el empleo en los presupuestos de capital.060 0.30 0. Si la TMAR de los accionistas es de 30%. la TIR donde se considera a la TMAR.250 1. para tomar decisiones de inversión a largo plazo.5% anual. que el rendimiento pedido a la aportación de propietarios de la empresa. VALOR ACTUAL NETO (VAN) También es conocida como valor presente neto (VPN) de un proyecto de inversión y no es otra cosa que su valor medido en dinero de hoy. Entonces ya es momento de poder en base a la TMAR calcular el VAN.Costo de Capital:LaTMAR también se le llama Costo de Capital. Mientras que. Entidad Accionistas Banco de Aarón Cooperativa Pauletty S. Cuando se da el caso de que la constitución de capital de una empresa fue financiada en parte. o en otras palabras.G. es la única aportadora de capital para una empresa el costo de capital equivale al rendimiento que pide esa entidad por invertir o arriesgar su dinero.055 0.3%.20 1. El cálculo de este costo se presenta en el siguiente ejemplo.283 La TMAR mixta de esta empresa es 28. se habla de un costo de capital mixto. el equivalente en unidades monetarias actuales de todos los ingresos y egresos presentes y futuros que constituyen el proyecto. este podría quedar de la siguiente manera: Tómese para el estudio un horizonte de tiempo de por ejemplo cinco años. pero cuando se quiere pasar cantidades futuras al presente. lo cual dará por resultado que el VAN sea mayor que cero. sumarlas todas y restarlas a la inversión inicial en tiempo cero. dinero del presente al futuro. Cuando se hacen cálculos de pasar. El cálculo del VAN para el período de cinco años es: VAN = . llamada así porque descuenta el valor del dinero en el futuro a su equivalente en el presente. en forma equivalente. Trácese una línea horizontal y divídase ésta en cinco partes iguales. Proyecto 0 -II 1 FNE1 2 FNE2 3 FNE3 4 FNE4 5 FNE5 + Vs Tiempo Valores $. se usa una “tasa de descuento”. A la extrema izquierda colóquese el momento en que se origina el proyecto o tiempo cero. y a los flujos traídos al tiempo cero se les llama flujos descontados. Es claro que para aceptar un proyecto las ganancias deberán ser mayores que los desembolsos. como en este caso. Sumar los flujos descontados en el presente y restar la inversión inicial equivale a comparar todas las ganancias esperadas contra todos los desembolsos necesarios para producir esas ganancias. o la inflación promedio pronosticada). La definición ya tiene sentido.tasa de descuento que puede ser(el costo del capital o financiero. se utiliza una “i” de interés o de crecimiento del dinero. En éste caso el único desembolso es la inversión inicial en el tiempo cero. y los desembolsos o flujos negativos con una flecha hacia bajo de la recta del proyecto. las ganancias de la empresa solo servirían para mantener el valor adquisitivo real que la empresa tenía en el año cero. aunque podría darse el caso en que determinado año hubiera una pérdida (en vez de ganancia). Ahora será explicada más claramente esta definición. en términos de su valor equivalente en este momento o tiempo cero. que representan cada uno de los años.---------------------1 2 3 4 (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) 5 Donde: II = Inversion Inicial FNE = Flujo de efectivo Vs = Valor de salvamento o rescate al final de la vida del proyecto i= Tasa efectiva 119 . Represéntense los flujos positivos o ganancias actuales del proyecto (empresa) con una flecha hacia arriba. siempre y cuando de reinviertan todas las ganancias.I I + FNE1 + FNE2 + FNE3 + FNE4 + FNE5 + Vs ----------------------. el costo de oportunidad. Si para calcular el VAN se utiliza la tasa inflacionaria promedio pronosticada para los próximos cinco años. y entonces aparecería en el diagrama de flujo una flecha hacia abajo. si se quiere representar los flujos netos de efectivo por medio de un diagrama. que quiere ampliar operaciones. 120 . como así también sus vencimientos. El VAN depende del horizonte económico de la inversión.Para tomar la decisión de emprender el proyecto con base en los resultados del VAN. por lo tanto el proyecto es indiferente. el proyecto es atractivo. ya que depende de la inversión inicial. el proyecto es inconveniente. VAN > 0 indica que el rendimiento del dinero invertido en el proyecto es mayor que la tasa de interés i. Cuando VAN = 0. Si el proyecto se lleva a cabo. por lo tanto el proyecto es aceptable). Cuando VAN < 0. VAN = 0 indica que el rendimiento del dinero invertido en el proyecto es exactamente igual a la tasa de interés i. por lo tanto si se deben comparar proyectos con distinta inversión inicial se debe relativizar el VAN. Si i es la tasa de interés utilizada en el cálculo del VAN (cuando el proyecto se financia con una participación relevante de créditos bancarios). al corresponder a distintas épocas se los debe homogeneizar. trayéndolos a un mismo momento del tiempo. se debe relativar el VAN a fin de obtenerlo para cada año. Desventajas: 1. ( no aumentará ni disminuirá el capital de la empresa. Para una empresa en marcha. Si la tasa de interés (costo de oportunidad o costo del capital) empleada en el cálculo del VAN (cuando el proyecto tiene una participación mayoritaria de recursos propios y por tanto i interpreta el promedio de rendimiento que arroja el tipo de negocios en el que el inversionista espera participar. por lo tanto es inaceptable). es procedente acoger los lineamientos siguientes. es porque se han priorizado otros aspectos). VAN < 0 indica que el rendimiento del dinero invertido en el proyecto es menor que la tasa de interés i. Ventajas del VAN: Analiza todos los flujos netos de caja. a fin de obtenerlo por cada unidad de capital invertido 3. El VAN mide la rentabilidad en valor absoluto. La dificultad para determinar la tasa del costo de capital 2. i debe consultar como mínimo el rendimiento actual sobre la inversión): Cuando VAN > 0. por lo tanto si se deben comparar proyectos con distinta duración. el proyecto es indiferente. tiene opciones. (disminuirá el capital de la empresa. (aumentará el capital de la empresa. La TIR es una característica propia del proyecto. TIR = Cc: Se cubre exactamente el capital invertido. de su tasa de interés de TMAR (costo de oportunidad Co o del costo de capital Cc representada pori. TASA INTERNA DE RETORNO (TIR) La TIR corresponde a la tasa de interés generada por los capitales que permanecen invertidos en el proyecto y puede considerarse como la tasa que origina un valor presente neto igual a cero. Ventajas: 121 .4. por lo tanto el proyecto es rentable. por lo tanto el proyecto es indiferente. En el gráfico se observa que el VAN es una función decreciente convexa que corta al eje x (o de las ordenadas) en el punto donde su costo es igual a la tasa de rentabilidad TIR. totalmente independiente de la situación del inversionista. en cuyo caso representa la tasa que iguala los valores presentes de los flujos netos de ingresos y egresos. TIR <Cc: El rendimiento no alcanza a cubrir el costo del capital invertido. La inversión aporta dinero para solventar el proyecto y además suministra al empresario una utilidad. y que los flujos netos de caja negativos son financiados con la misma tasa. La mayor dificultad es el supuesto de que los flujos netos de caja positivos son reinvertidos a la tasa de costo de capital. por lo tanto el proyecto es rentable. es decir. Adicionalmente la grafica muestraun resumen para la toma de decisiones en el VAN o (VPN) y la TIR: Figura: Toma de Decisiones con el VAN (VPN) y la TIR El criterio para aceptación utilizando la TIR es: TIR >Cc: El rendimiento supera al costo de capital invertido. entonces TMAR = i). por lo tanto el proyecto no es rentable. 1. Desventajas: La inconsistencia de la tasa: cuando los FNC son todos positivos.73 Esto quiere decir que el proyecto genera $1.05)-1+20.05)-2+20.000 = 1.589. O sea que la TIR es inconsistente.53/50. 𝑇𝐼𝑅 = 𝑟1 + 𝑟2 − 𝑟1 𝑉𝐴𝑁1 𝑉𝐴𝑁1 − 𝑉𝐴𝑁2 Índice de rentabilidad IR Se refiere al cociente entre el valor de los flujos de fondos actualizados y la inversión inicial efectuada. Esta es una medida relativa. Para el cálculo de la TIR se utiliza la interpolación tomando como punto de referencia inicial el costo del capital para posteriormente ir analizando cómo se comporta el VAN al subir puntos a ésta tasa o bajar a la misma. Considera todos los flujos netos de caja. La TIR mide la rentabilidad en términos relativos. las inversiones se denominan simples y existe una única TIR. que indica cuanto genera el proyecto por unidad monetaria invertida.589.05)-5 20. 2. Ejemplo: Dieter tiene un proyecto que demanda una inversión de $50. Cuando se analizan varios proyectos se decide por el que de un valor mayor en el IR. 122 .73 por cada unidad monetaria invertida.000(1+0.000(1+0. ha estimado que los flujos netos de cajas para los próximos 5 años son $20. por unidad de capital invertido y por unidad de tiempo.000.000(1+0. al corresponder a distintas épocas se deben medir en un mismo momento del tiempo.000(1+0. así como su oportunidad. es decir mide la repercusión económica del proyecto a través de la rentabilidad.53 IR = 86. las inversiones se denominan "no simples" y puede existir más de una TIR. siendo el uno positivo y el otro VAN negativo.05)- VA = $86.05)-3+20. considera que su costo de capital es del 5% anual.000 cada año. Con esto lo que se quiere es tener dos tasas que generen VANs lo más cercanos a cero. Si existen algunos flujos negativos. VA = 4 +20.000(1+0. una exigencia es que los proyectos sean evaluados con esta razón. Calculamos los ingresos y egresos esperados: 1.000.000 La inversión en el periodo cero es: $25.000 Entonces la relación B/C = 28. la misma generará ahorros en combustible a los vehículos por $1.300. B/C = 1 Los ingresos son iguales a los egresos. B/C = (Valor Actual Ingresos) / (Valor Actual Egresos) Los valores que puede tomar esta relación tienen un significado: B/C > 1 Significa que los ingresos son mayores que los egresos.000 anuales. Sin embargo los agricultores estiman niveles de pérdidas en la producción proyectada de $1.500.25 = $28.200. Además en el campo de los negocios se usa para ver la factibilidad de los proyectos en base la relación de los beneficios y los costos asociados al proyecto. los gobiernos provinciales o locales para lo cual generalmente utiliza una tasa más baja denominada “Tasa Social”.000+7.000 anuales.000. las inversiones en proyectos de desarrollo económico de las comunidades.000 = 7.15 Como la relación Beneficio – Costo es mayor que 1.300. 123 . Ejemplo: 1) Para comunicar dos poblaciones. significa que los ingresos netos son superiores a los egresos netos.000. y consecuentemente el proyecto es aconsejable.000.000 / 25. La relación beneficio / costo es un indicador que mide el grado de desarrollo y bienestar que un proyecto puede generar a una comunidad. Si el resultado es mayor que 1. entonces el proyecto es indiferente B/C < 1 El proyecto no es aconsejable. La relación Beneficio/Costo se obtiene al dividir el valor actual de la corriente de beneficios para el valor actual de la corriente de costos.500.000-1.000. Cuando los proyectos reciben financiamiento de entidades crediticias internacionales. el proyecto es aconsejable.000 Utilizando la fórmula de una perpetuidad actualizamos el valor al periodo cero: A = 7. se ha previsto la construcción de una carretera alterna por un costo de $25.Relación Beneficio-Costo (B/C) Es un método complementario. por otra parte aumentará el turismo a esa región estimando el aumento de utilidades en los hoteles.800.200. utilizado para evaluar.000. los beneficios (ingresos) son mayores a los sacrificios (egresos) y. que realiza el gobierno central. restaurantes y otros en $7. En otras palabras.000. Determine si es factible el proyecto.000 al año.000/0.000 = 1. Considerando una tasa del 25%. 5 1300000 982986. Ejemplo Completo VAN.735 1500000 745765. a la utilidad gravable.661 1300000 424972.349 1300000 854771.51 1. Se calcula el valor actual neto para cada tasa.Depreciación = Utilidad (sin Impuestos) FLUJO NETO DE CAJA (UTILIDAD + DEPRECIACION) 0 600 1 2 3 4 5 6 - - - - - - - 500 350 100 50 500 350 100 50 500 350 100 50 500 350 100 50 500 350 100 50 500 350 100 50 600 150 150 150 150 150 150 Valores expresados en miles de dólares *** Si se requiere.059 1300000 321340. Si se considera el costo del capital i = 10% y una inversión inicial de $ 600.102 1000000 571753. que se calcule con los flujos después de impuestos.136 1000000 247184.118 5018768. (Valores expresados en miles de USD.767 1000000 657516.412 1500000 426393. el proyecto generará riqueza a la comunidad.394 1300000 562025.217 1500000 1304347.67 1.618 1300000 369541. entonces estoy en capacidad de aplicar la fórmula de la TIR. inicialmente utilizo el costo de oportunidad.63 7528152.78 1000000 756143.Costo de Op. y considero como referencia para incrementar la tasa o bajarla de manera de conseguir dos valores de i que generen un VAN positivo y otro negativo lo más cercano 0.94 6524399.103 1300000 646329.774 1500000 490352.232 1500000 986274.596 1500000 648491.706 1500000 370777.868 1300000 743279. pues genera $1. que es la característica de la TIR. 2)En el siguiente ejemplo se tienen tres proyectos mismos que demandan una inversión inicial y generaran los flujos como se muestran a continuación: Año (j) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 VA B/C Tasa: Flujo Proyecto A Flujo Proyecto B Flujo Proyecto C Proyecto A VA Proyecto B VA Proyecto C VA -3000000 -5000000 -4000000 1000000 869565.04 1500000 563905. 124 . IR: Una empresa estima los siguientes flujos de caja durante 6 años de un proyecto X.667 1500000 1134215.) AÑO Inversión Inicial Ventas . en el caso del ejemplo es el proyecto A con una relación B/C = 1. calcular el VAN y la tasa interna de retorno TIR.000.67. reste el valor causado por los impuestos y sume la depreciación.756 1000000 432327.56 1300000 488718.63 15% En este caso la interpretación es la del IR y se decide por el proyecto que da un mayor valor.152 1000000 326901.67 por cada dólar invertido. PAYBACK.875 1000000 375937.219 1000000 497176.en consecuencia. Si el proyecto genera riqueza con seguridad traerá consigo un beneficio social.21 1.246 1500000 857629. .306 1000000 284262. TIR. en el año cero.83 1300000 1130434. VANi= -600 VAN10% -600 150/(1+r)1 150/(1+r)2 150/(1+r)3 150/(1+r)4 150/(1+r)5 150/(1+r)6 136.36 123.67 VAN10% 53.12 XJ = f(iJ) = VANiJ 53.02% Que. seguimos el procedimiento de Interpolación lineal visto en el Apédice 2. (16.29.0. indica que la inversión podrá ser ventajosa ya que el costo del capital es 10%.15 + (0.14 84.15) . **NOTA: Los flujos descontados a la tasa de costo de oportunidad o costo de capital posteriormente servirán para el cálculo del payback descontado y la relación IR.29 Al calcular el VAN al costo de capital del 10% se obtiene un valor de 53. TIR = 13.33.20 0.72.70 102.0.33) TIR = 13. teniendo en cuenta que por el concepto de TIR.45 93.29 -101.Y) Como se halló un valor positivo y otro negativo.02% También puede aplicarse la formula TIR = r1 + (r2 – r1) VAN1 VAN 1 – VAN 2 TIR = 0.97 112.72 P1(-32. J 1 2 3 4 YJ = iJ 0. de acuerdo con las condiciones del problema.12-0. Para calcular la TIR.15 0.15) P2(16.33) (32. esto significa que la tasa interna de retorno se encuentra entre los límites: Aplico la formula: y = y1 + (x – x1) y2 – y1 x2 – x1 y = 0.33) (0.72+32. el cual es mayor que cero que de acuerdo al criterio de aceptación nos indica que conviene invertir en el proyecto.15 + (0+32. Para el cálculo del Payback en sus dos modalidades tenemos: Inversión Inicial = 600 125 .12) P (0.33 16.15) (16.33) .72+32.17 -32.10 0.12-0. el valor de referencia será igual a cero 0. Calculando se tendría: (136.14=568.38 12 meses x x = 4.45 meses Por lo tanto el Periodo de Recuperación Descontado es de 5 años 4.14 84. miden aspectos diferentes de la rentabilidad de una inversión.45 93. saco la diferencia para llegar a los 600 que da -31.97 112. por regla de tres simple determinar el tiempo que toma para alcanzar la suma invertida.09 La interpretación es por cada dólar invertido el proyecto genera 1.45+93. sumo los flujos descontados a partir del año 1y divido para la inversión inicial. Para Payback Descontado.70 102. Ambos tienen en cuenta el valor del dinero en el tiempo. Año Flujo 1 2 3 4 5 6 136.45 meses Finalmente para calcular el IR. debo sumar los flujos descontados y el último.45 93.67 Descontado En el caso del Payback Contable alcanzo el valor invertido a los 4 años esto es (150 x 4 = 600).14 84.36 123.67 en 31.70 102.67 Descontado IR = 653.36+123.70+ 102.97+112.29/600 = 1. Semejanzas y diferencias entre el VAN y la TIR Si bien ambos utilizan el mismo flujo de efectivo para determinar el resultado.62.97 112.09 dólares.38 y establezco la regla de tres 84.36 123. 126 .Año 1 Flujo Neto Flujo 2 3 4 5 6 150 150 150 150 150 150 136. La TIR es una incógnita del proyecto. se utiliza el costo de oportunidad del inversor que es un dato externo. 127 . Las decisiones en los criterios de evaluación VAN y TIR coinciden cuando es un proyecto convencional o simple. y luego se presentan una serie de flujos de efectivo siempre positivos hasta el final de la vida del proyecto. mientras la TIR mide la rentabilidad en términos relativos (el porcentaje de rendimiento periódico que se obtiene por unidad monetaria invertida. El VAN es una medida de rentabilidad en términos absolutos. El VAN supone la reinversión de los fondos al mismo costo de oportunidad. que emerge de las condiciones propias de este. mientras que la TIR supone implícitamente la reinversión de fondos a la misma TIR. Mientras que en el cálculo del VAN. es decir cuando comienza con un flujote efectivo negativo que representa el desembolso de la inversión inicial. que devenga intereses pagaderos en períodos regulares. Es una obligación o documento de crédito. la tasa de interés de los bonos recibe el nombre de cupón. Los bonos que pueden transferirse libremente y 128 . no es posible obtener el dinero necesario en préstamo proveniente de una sola compañía. Por otra parte. BONOS Introducción: En el campo de los grandes capitales requeridos para financiar las instalaciones industriales modernas o las grandes obras productivas que emprenden corporaciones o los gobiernos. con el objeto de incentivar las exportaciones no tradicionales. con interés pagado entre el momento en que el dinero se prestó y el momento en que es reembolsado. el prestatario recibe dinero ahora a cambio de una promesa de pagar después. Un bono es un documento a largo plazo emitido por una corporación o entidad gubernamental con el fin de financiar proyectos importantes. DEFINICIONES: BONO: 1. En esencia. Para agilizar estas inversiones se ha creado una forma de obligación que constituye un instrumento de crédito llamado bono. Estos documentos hacen más atractivas las inversiones. puesto que ofrecen mejor rentabilidad que las tradicionales cuentas de ahorro.APÉNDICE 5 Ing. En los últimos años. como cédulas y certificados a término fijo. algunos gobiernos en vías de desarrollo han creado diversos tipos de certificados y bonos que tienden a aumentar la utilidad percibida por los exportadores. Las leyes de cada país regulan las relaciones entre entidades emisoras y las personas propietarias o tenedoras de los bonos. a un plazo perfectamente determinado.A. la banca nacional y las corporaciones financieras han creado y puesto en circulación varias clases de obligaciones comerciales. por lo que es necesario recurrir a las inversiones de varias personas. emitido por un gobierno o entidad particular. la banca privada. 2. Con frecuencias.B. Alfred DieterKolb Alvarado M. cambiar de dueño por la simple venta se denominan bonos no registrados y se emiten al portador. se utiliza para calcular el monto del interés del bono. PAGO DE INTERESES: En la mayoría de bonos. de la siguiente manera: A = F (valor nominal ). VALOR NOMINAL: Es aquel valor que se encuentra escrito o impreso en el bono al momento de la emisión.) 129 . El valor nominal representa la suma global que será pagada al tenedor del bono a la fecha de vencimiento. éstos se venden con frecuencia con descuentos mayores del 75% de su valor nominal. los pagos de interés se los hace contra la presentación de cupones. 1. Tanto los cupones como el bono mismo son pagarés negociables. 500. tanto en el principal como en los intereses. En caso que los bonos sean registrados.000 y 50. a la persona registrada como tenedor del bono. pero solamente el valor nominal. r’ ( tasa nominal de interés del bono ) m (Número de períodos de pago al año. El monto del interés I pagado por período con anterioridad a la fecha de vencimiento del bono se determina multiplicando el valor nominal del bono por su tasa de interés por período. los cupones no son necesarios ya que los intereses se pagan directamente. de modo que su producto hasta el vencimiento sea suficiente para traer a los inversionistas. no el precio de compra.000.000. 10. Bono cupón cero no paga intereses periódicos. solo pueden transferirse mediante endoso y con consentimiento del emisor. en el caso de bonos registrados. hace referencia a su denominación el principal o capital que se señala en el bono es el valor nominal. un bono se compra con descuento (menor que el valor nominal) o con una prima (mayor que el valor nominal). Debido a ello. Con frecuencia. éstos cupones están impresos en serie y ligados a la misma obligación y cada uno tiene impresa su fecha de pago. en general una denominación par que empieza en $100 y más utilizados son de $100. de manera que la tasa del cupón es cero. 000 al término de 10 años. o con descuento (castigo).000 al 6 %. 3.000 redimible en $ 1. este valor depende básicamente de los siguientes factores: (1) tasa de interés e intervalo de los cupones. Un bono de $ 1. Normalmente se redime un bono en una fecha de pago de intereses. con premio. por lo general el valor de redención es igual al valor nominal. se deja al prestatario la opción de reintegrar el valor. El reintegro del principal se efectúa en una fecha de vencimiento estipulada pero. Corto plazo: maduración hasta los cinco años. Por ejemplo. Plazo intermedio: maduración desde los cinco años hasta los doce años.000 ( 0. (6) confiabilidad en las garantías del emisor. mayor o menor al 130 . Solución: A = 5. 2. (3) tiempo que debe transcurrir hasta el vencimiento. usted recibirá intereses de $ 75 cada trimestre adicionales a la suma global de $ 5.050 se expresa como “un bono de $1.06 ) = $ 75 4 En consecuencia. (5) las condiciones económicas imperantes. La maduración de los bonos maneja un rango entre un día a treinta años. (4) precio de redención. en algunos casos. antes del vencimiento. De otra forma. el cual vence dentro de 10 años con intereses pagaderos cada trimestre. MADURACIÓN: La maduración de un bono se refiere a la fecha en la cual el capital o principal será pagado. Largo plazo: maduración de doce años en adelante. VALOR DE REDENCIÓN: Es el valor que recibe el tenedor del bono. (2) tasa de interés local para las inversiones. Los rangos de maduración a menudo son descritos de la siguiente manera: 1.Ejemplo: Determine cuál será el monto de interés que recibirá por período si compra un bono de $5. Los bonos pueden venderse a la par. según el precio de venta sea igual. en este caso se dice que el bono es redimible a la par. PRECIO DE LOS BONOS: El precio de los bonos en el mercado de valores se fija por acuerdo entre el comprador y el vendedor.000 redimible a 105”. el valor de redención se expresa como un porcentaje del valor nominal omitiéndose la palabra por ciento. es el retorno total que se obtiene por tener el bono hasta su maduración.valor nominal. hasta igualar el valor de redención en la fecha de vencimiento y esto agrega un beneficio al valor de los cupones. el inversionista debe tener en cuenta tanto el valor de los cupones como el valor de redención del bono. Permite comparar bonos con diferentes cupones y maduraciones e iguala todos los intereses que se reciben desde la compra más las ganancias o pérdidas. que es más significativo. el yield ordinario será de 8 % ( $ 80 / $ 1. veamos otro ejemplo. PRECIO DEL BONO A UNA FECHA DE PAGO DE INTERESES O CUPÓN: Si un inversionista compra un bono en una fecha de pago de intereses adquiere el derecho a recibir el pago futuro de los intereses en cada período de pago y el valor de redención del bono. o sea: Valor presente de los bonos = valor presente de los intereses + valor actual del principal Nomenclatura: C= P= precio de redención del bono precio de compra para obtener un rendimiento i. Si por ejemplo compró un bono en $ 1. TASA INTERNA DE RETORNO ( TIR O RENTABILIDAD ): Para el cálculo de la tasa interna de retorno del dinero invertido en bonos. No recibirá el pago de interés vencido en la fecha de compra.000 y los intereses son del 8 % ($ 80).89 % ($ 80/$900). El valor actual del bono debe ser equivalente a la suma de los valores actuales de los derechos o flujos que compra. si compró un bono a $ 900 y la tasa de interés es del 8 % ( $ 80) entonces el yield ordinario será de 8. YIELD: La tasa yield es la tasa de retorno que se obtiene del bono basado en el precio que se pago y el pago de intereses que se reciben.000). El yield de la maduración. En caso de que los bonos se compren con premio se produce una disminución paulatina del precio de compra que debe restarse del valor de los cupones. Un bono comprado con descuento irá aumentando gradualmente su valor. en la fecha de vencimiento. 131 . El yield ordinario es el retorno anual del dinero pagado por el bono y se obtiene de dividir el pago de los intereses del bono y su precio de compra. Hay básicamente dos tipos de yield para los bonos: yield ordinario y yield de maduración. a fin de calcular el rendimiento. que reditúe 5% anual convertible semestralmente. Se designa A al valor de los intereses que paga el bono en cada fecha de pago (cupón) A = Fr. 132 . en la fecha de vencimiento.25% mensual.35 VALOR EN LIBROS DE UN BONO Es denominado también valor contable o estimado del bono.5 %.000.05/2. La tasa se la inversión es 1. 1 – (1+i)-n + C (1+i)-n i Finalmente luego de algunos reemplazos y transformaciones la fórmula queda: P = C + (Fr-Ci) . El valor en libros de los bonos comprados con premio o con descuento varía su valor hasta igualar al de redención. Los pagos A forman una anualidad vencida y su valor presente P al sumar al valor anterior el valor presente de C a la tasa i%. El cambio de valor durante la vida del bono se observa con claridad al construir una tabla de inversión. Reemplazo en la fórmula P = 1050 + (1000 .025)-40 0. Representa la cantidad invertida en el bono en cualquier fecha o momento.000 al 12% redimible a la par en 6 meses. con el transcurso del tiempo.035/2. hasta la fecha de vencimiento tasa de interés sobre la inversión por período de cupón (rentabilidad o tasa interna de retorno TIR).025) 1 – (1+0.025 P = 830. 3. elabore la tabla que permita observar el valor en libros del bono.0175 – 1050 . 0.F= r = n= i= valor nominal ( o la par del bono ) tasa de interés por período de pago del cupón número de períodos de intereses (o número de cupones). 1 – (1+i)-n i Ejemplo: Un bono de $1. FA (febrero-agosto). se tiene: P = A . Los. r = 0. es redimible a 105 el primero de febrero del 2005. n = 40. Ejemplo: Un bono de $10. i = 0. Hallar el precio de compra el 1 de febrero de 1985. F = 1000. desde la fecha de compra hasta la fecha de redención. 0. C = 1050. 000.04 – 1. Ejemplo: Un bono de $1.79 24.01 mensual.879.000.903.0125 P = $9.31 Totales Intereses sobre la inversión (2) Intereses del bono 123.00 100. i = 0.49 23.856.000.950.12/12 = 0.01 – 10.F = 10.926.03 P = $1.49 123. (2) Se obtiene al multiplicar el valor en libros al inicio del periodo por la tasa de inversión (i) periódica.92 9. i = 0.79 124.65 100.00 100.000 .000.09 24. C = 10.0125)-6 0. C = 1.903.00 100.09 124. r = 0.856. (4) Es la suma del valor en libros al inicio del periodo más la variación del valor en libros.000 .35 9.975.39 24.39 124.35 Periodo 1 2 3 4 5 6 Valor en libros al inicio del periodo (1) 9. 0.054.03) 1 – (1+0.83 9. es adquirido por un inversionista.55 9. 0.975.0125) 1 – (1+0. Si el bono es comprado con descuento es positivo.00 100.879.04 9.65 Valor en libros al final del periodo (4) 9.000 + (10.20 23.926.17 133 . es el precio de compra.69 743. redimible a la par dentro de tres años. n = 3 (2) = 6 P = 1.06/2.000 . 0.00 Variación del valor en libros (3) 23. para obtener una TIR del 6%.000 .08/2. F = 1.92 9.950.03)-6 0. 0. y a partir del segundo periodo es el valor en libros al final del periodo anterior.31 10.83 9. r = 0.04 9.0125 mensual. Elabore la tabla de inversión del bono. mientras que si es comprado con premio es negativo.000.00 100. (3) Resulta al restar los intereses del bono de los intereses sobre la inversión.000 + (1. n = 6 meses P=? P = 10.55 9.000 al 8% convertible semestralmente.20 123.69 143.00 Claves: (1) En el primer mes o periodo.00 600. En caso de que el bono se adquiera con descuento.019. en cada país usan valores distintos para referirse al precio con interés y al precio efectivo. se utiliza la expresión “precio con interés”.019. Los corredores de bolsa.028.57 30.0 40.045.80 1.88 -9.000.43 -9.Periodo 1 2 3 4 5 6 Valor en libros al inicio del periodo 1.009.0 40.83 Intereses del bono 40. el precio comprende el valor principal del bono. Para designar el precio de un bono. con relación al periodo de pago de cupones.15 -9. cantidad igual al aumento de valor que en cada periodo registra el bono.054.17 1. el bono fue comprado con premio y.14 1.14 1.29 185. PRECIO DEL BONO COMPRADO ENTRE FECHA DE PAGO DE INTERESES O CUPÓN Cuando se compra un bono entre dos fechas de cupones. el inversionista registra una utilidad mayor que los intereses pagados por el bono.00 En este caso. cantidad que corresponde al valor presente de su precio de redención.0 40.63 31.37 31.85 30.037.045.63 -8.0 40.0 Variación del valor en libros -8. La diferencia P – P0 es una variación que es proporcional al tiempo transcurrido. y sea P el precio del bono.80 1. después de transcurrida la fracción de tiempo k. más el valor de los cupones no vencidos. Cálculo del precio con interés: Fije en un diagrama los valores P0 y P1 en dos fechas sucesivas de pago de intereses.028. es necesario amortizar la diferencia.17 Valor en libros al final del periodo 1.29 1.71 -54.71 Totales Intereses sobre la inversión 31.037.0 240. sin el valor acumulado del cupón.29 1.009.12 30. se dice precio efectivo o precio flat. en cuanto al cupón del periodo en que se haga la transacción.0 40.71 1.17 1. además del ajuste acordado entre el comprador y el vendedor. puesto que su valor de redención es menor que el de compra. ya que este pertenece en parte al comprador y en parte al vendedor. O sea : P – P0 = P1 – P0 134 .17 1. en tanto que para expresar el precio incluido el valor acumulado del cupón.37 -8. 66 – 96. al sustituir los valores.30) = $96. P = P0 + k (P1 – P0) Ejemplo: Un bono de $100. en la fecha siguiente.k 1 de donde.30 P0 Precio en 1 de noviembre = $96. Al plantear una ecuación de equivalencia para la fecha de transacción. se tiene: P = 96. P el precio en la fecha y P1 el precio del bono. Pe = P0 (1 + i)k Para el valor de la fracción de k. sean i la tasa de interés sobre la inversión y k la fracción de periodo medida a partir de la fecha 0.30 + 91 (96. se tiene que P es el valor futuro acumulado de P0 . inmediatamente anterior la fecha de transacción. se acostumbra usar el año de 360 días. con fechas de cupón 1 de mayo y 1 de noviembre (MN). si en el mismo año se tiene: Precio en 1 de mayo = $96.46 180 0 P0 k P 1 P1 Cálculo del precio efectivo por el método exacto o de interés compuesto: En el diagrama anterior. con meses de 30 días c/u. P0 es el precio del bono en la fecha de cupón. Ejemplo: 135 . Calcular el precio con interés.66 P1 k = días transcurridos entre el 1 de mayo y el 2 de agosto son 91 días (si considera meses de 30 días) de donde k = 91/180. se negocia el 2 de agosto. redimible a la par el 1 de septiembre del 2021. i = 4% Para el cálculo del número de cupones Bono MS (Marzo –Septiembre) entonces se paga cada semestre Redime el 1 de Septiembre Entonces: MS de marzo a septiembre pasa un semestre S Por lo tanto hay que sumar un semestre al número de años por el número de cupones al año.04)7/12 = 801.04) 1 – (1+0. Pe = 783.04.000(0. k = 105/180 = 7/12.04 P0 = 783.83 Para Pe = P0 (1+i)k . inmediatamente antes de la fecha de compra venta. si se desea una TIR del 8%. se realiza el siguiente procedimiento: a) Se halla el valor del bono en la última fecha de pago de intereses. P0 = 1. se tiene i = 0.97 Cálculo aproximado del precio efectivo a de interés simple: En la práctica y que es de uso más frecuente este método. C = 1. F = 1. a un interés del 6% convertible semestralmente. 136 . Para calcular el valor del bono en esas fechas.000 MS.03) – 1. si se redime en marzo no se debe sumar el semestre adicional.83 (1 + 0. convertible semestralmente.000.000.000(0.Hallar el precio el 15 de mayo de 1996 de un bono de $1.000 + (1.04)-51 0. 2021-1996 = 25 x 2 + 1 = 51 n = 51 La fecha de pago inmediatamente anterior a la venta 1 de marzo de 1996 lo que da 75 días hasta la fecha de negociación y los intereses que puede cobrar el comprador son por 180 – 75 = 105 días. r =3%. 89 El precio del bono es $796.89. y si aplicamos al ejercicio anterior tendríamos: P = P0 (1+i)k . P0 = 783.89 – 12. k = 75/180 = 5/12.04(7/12)) = 802. se considera el número de días comprendido entre la fecha de negociación y la futura fecha de pago de intereses.83 (1 + (5/12)0. Pe = 801. se lo llama”bono sucio”.89 k = 75/180 Intereses o cupón = 1. INTERÉS REDITUABLE DE UN BONO IR Es la parte fraccionaria del pago de intereses en una fecha diferente a la de pago del cupón.000 (0.04)7/12 = 801.83.83 (1 + 0. Con Interés Compuesto. se tienei = 0. En el ejemplo anterior: Con Interés Simple.06/2) = 30 137 . Se obtiene dividiendo el número de días contados desde la última fecha de pago de un cupón hasta la fecha de compra. P0 = 783.04.04) = 796. Pe = 796. Pe = 783. El interés redituable se utiliza para obtener el denominado “bono limpio”.06/2) = 30 IR = Cupón x k = 30 (75/180) = 12.83 (1+0.b) Se calcula el monto a interés simple del valor encontrado en a) considerando el tiempo exacto transcurrido entre la última fecha de pago de intereses y la de negociación 75 días en el caso del ejemplo anterior. se tiene i = 0.97 k = 105/180 Intereses o cupón = 1.5 = 784.39 y es el valor en libros al 15 de mayo. NOTA: como procedimiento alternativo. k = 105/180 = 7/12.83. P = 783.000 (0.97 Pe = P0 (1+ki) Pe = 783. entre el número de días del periodo de capitalización de intereses y multiplicando por los intereses del periodo completo.5 Precio del bono limpio = 796.04.12 “Al aplicar interés simple a las fracciones de periodos se obtiene valores más altos” Pe = P0 (1+ki). Kic = T2/PPC.47 y es el valor en libros al 15 de mayo. Kis = T1/PPC. Kisa = T2/PPC Gráfico de un Cupón: T1 FPC1 FN T2 FPC2 Método Interés Simple Método Interés Compuesto Método Interés Simple Alternativo P o= C + (Fr-Ci) .IR = Cupón x k = 30 (105/180) = 17.IR PBL= Pe – IR PBL= Pe .IR En los tres métodos determinar el tipo de negociación. 138 . r = tasa de interés del cupón FPC1 Y FPC2 = Fechas de pago de cupón FN= Fecha de negociación PPC = Periodo de pago de cupón = Tiempo entre fechas de pago de cupón = T1 + T2 T1 = Número de días entre FPC1y FN T2 = Número de días entre FPC2y FN K = Factor de proporcionalidad de pago de cupón. RESUMEN DE FÓRMULAS PARA CALCULAR EL PRECIO CUANDO SE REALIZA UNA NEGOCIACIÓN ENTRE FECHA DE PAGO DE CUPONES. 1 – (1+i)-n i P o= C + (Fr-Ci) . 1 – (1+i)-n i Kis = T1/PPC Kic = T2/PPC Kisa = T2/PPC Cálculo del precio del bono sucio Cálculo del precio del bono sucio Cálculo del precio del bono sucio Pe = Po(1+i Kis) Pe = Po(1+i)Kic Pe = Po(1+i Kisa) Cálculo del Interés Redituable Cálculo del Interés Redituable Cálculo del Interés Redituable IR = F r Kis IR = F r Kic IR = F r Kisa Cálculo del precio del bono Cálculo del precio del bono Cálculo del precio del bono limpio limpio limpio PBL= Pe . F = Valor Nominal.5 Precio del bono limpio = 801. es muy poca la diferencia existente. n = Número de cupones.5 = 784. 1 – (1+i)-n i P o= C + (Fr-Ci) . Prácticamente por los dos métodos el valor del bono limpio es el mismo.97 – 17. RENDIMIENTO DE LAS INVERSIONES EN BONOS Calcular el rendimiento TIR que obtendrán al comprar bonos en el mercado de valores.5% y 5. (Revise Apéndice 2. es un problema común que se presenta a los inversionistas par determinar su capital. suponiendo que 100 es el valor a la par.5% para que la cantidad entre paréntesis resulte negativa.000 al 18%. n = 5(4) = 20 trimestres P = C + (Fr-Ci) .1% trimestral tenemos: 139 . i) 1 – (1 + i)-20 i Mediante la aplicación de las tasas 5. un bono redimible a la par y cotizado a 94 significa que se ofrece por $940” P = 920. Después de calcular primero una tasa aproximada. Fr = 1. en nuestro caso veremos únicamente: Cálculo de la TIR por el método de interpolación: Este método requiere hallar dos tasas de interés. “Los precios de los bonos en el mercado de valores se cotizan tomando como base 100. *(Se aplica la propiedad del valor actual respecto a la tasa i) Aplicando el método de interpolación ya visto en el Apéndice 2 tenemos: X = 920 que es el valor de referencia f(i) = 1000 + (45 – 1000 . 1 – (1+i)-n i 920 = 1000 + (45 – 1000 . Este problema no puede resolverse por métodos directos por lo que hay varios métodos que dan soluciones bastante aproximadas. Si hubiese sido a la par 4. que correspondan a un precio menor y uno mayor que el precio de compra. Se supone en fecha de cupón. redimibles a la par dentro de 5 años si se cotizan a 92.18/4) = 45. con cupones trimestrales. Así. Interpolación lineal) Ejemplo: Hallar la TIR de un bono de $1.5%. para posteriormente interpolar entre estos dos precios. se procede a determinar los precios de compra para una tasa inferior y otra superior. i) 1 – (1 + i)-20 i (a) CLAVE: La tasa i debe ser mayor que 4.000. F = C = 1.000(0. 1% Se interpola entre estos dos valores: 925.051 880.X1) Y = 0. 0.0515168 trimestral= 5.86.051568) 4 .86 .86 45.880.0.86 si i = 5.055).28 % Nota: “Aquí se presenta el método de interpolación a través de proporciones Aplicando las tasas 5.055 920.36 X = 0.004 5. 0. P2(925.004(5.051) y P(920. 0.051 – 0.00 X 45.86 0.50 0.5% P = 925.051 925.051 .50 si i = 5.0515168 trimestral = 5.50) (0.0515168 45.36 0.1= 1. Y) y aplico la formula de interpolación lineal Y = Y1 + (X – X1) (Y2 – Y1)/(X2 .1% trimestral en (a) tenemos: P = 880.051 – X = 0. 140 .86 si i = 5.X 5. más fina será la aproximación.36 es a .86 – 880.86 0.P = 880.0.5% y 5.055)/(925.50.86) = .5% P = 925.152% trimestral Cuanto más cercanas sean las tasas entre las cuales se interpola.055 + (920 .50) Y = 0.1% Por lo tanto tenemos P1(880.2228 -1 Tasa efectiva anual = 22.152% trimestral (1+i) = (1+j/m)m (1.051-X 0.50 si i = 5.004 es a = 0.