INSTITUTO SUPERIOR TECNOLÓGICO“DAVID AUSUBEL” DIRECCION ACADEMICA ADMINISTRACION DE EMPRESAS MENCION: CONTABILIDAD Y AUDITORIA MODALIDAD SEMIPRESENCIAL GUIA DIDÁCTICA MATEMATICA FINANCIERA I EN ESTE TEXTO GUIA SE ENCUENTRA DESARROLLADOS LOS TEMAS QUE CORRESPONDEN A ESTE MÓDULO, Y LAS TAREAS QUE USTED DEBERÁ DESARROLLAR EN EL AULA COMO EXPLICACION O CON LOS ESTUDIANTES COMO PRACTICA DE LOS CONTENIDOS. 1. EL TUTOR TIENE LA OBLIGACION DE EXPLICAR PASO A PASO TODOS LOS TEMAS QUE SE ENCUENTRAN EN EL MODULO. 2. ESTUDIANTE TIENE LAS OPORTUNIDADES QUE SEAN NECESARIAS PARA ACLARAR LOS TEMAS QUE NO COMPRENDA MEDIANTE LA EXPLICACIÓN DEL TUTOR YA SEA DE MANERA PRESENCIAL O MEDIANTE EL CORREO ELECTRONICO. 3. LAS TAREAS SERAN ENVIADAS POR EL TUTOR, DE ACUERDO A LOS TEMAS EXPLICADOS Y BAJO SU MEJOR CRITERIO. 4. ES OBLIGACION DEL ESTUDIANTE ASISTIR A CADA UNA DE LAS TUTORÍAS PRESENCIALES PROGRAMADAS EN EL CALENDARIO DE ACTIVIDADES. 5. TODO TRABAJO DEL ESTUDIANTE SERÁ EVALUADO CUANTITATIVAMENTE. 6. AL FINAL EL TUTOR EVALUARA EL MÓDULO EN SU TOTALIDAD. 7. DE REQUERIR CUALQUIER INFORMACION DIRIGIRSE AL CORREO DE LA DIRECCION ACADEMICA Y SERA ATENDIDO DE INMEDIATO. GRACIAS. CONTENIDO: Introducción y definiciones.1. Interés en el valor de un bien adquirido. Pago periódico. interés simple y compuesto). UNIDAD I (breve recuento progresiones. Anualidades ciertas ordinarias.1. Compra a premio o descuento. Extinción de deudas consolidadas. 2.1. Cálculo de los valores de las amortizaciones.1. 2. 2.1. 1.1. Formulas de anualidades. 2. 3.1.1.2. 1. Tabla del fondo de amortización.1.1. 1.3. 3. Precios del bono en una fecha de pago de intereses.6. 3.1.1. 1. 3.2.3. 3.4. 2.5. 2.7.4. Fondos de amortización. tasa de interés. UNIDAD II 2. OBJETIVOS GENERALES: . AMORTIZACION Y FONDOS DE AMORTIZACION.1.1.1.1. ANUALIDADES. 1. BONOS. plazo.3.1.5. 2. El precio cotizado de un bono.4. 2. 1.1. Sistema de amortización. UNIDAD III 3.1. Introducción y definiciones.2.1.1. Monto y valor presente de una anualidad. Elaboración tabla de amortización.1.1. Mostrar al estudiante la importancia del sentido común en la solución de problemas en los cuales se utiliza la matemática financiera. Abordar los principales sistemas de bonos y los métodos para calcular su precio. 2. cotizaciones y rendimientos. el interés compuesto. y suministrarles las herramientas para que manejen estos factores y los apliquen en la solución de problemas frecuentes en el campo financiero.1. definir y clasificar bonos 5. Elaborar tablas de amortización y fondos de amortización 4. Aprender a reconocer. Enseñar al estudiante los factores que entran en juego en el cálculo: del interés simple. las anualidades y los bonos. OBJETIVOS ESPECÍFICOS: 1. INTRODUCCIÓN: . Resolver problemas sobre anualidades ordinarias o vencidas 3. Reconocer las diferentes anualidades 2. el descuento simple. con la ingeniería. con la economía. presupuestos. Se relaciona multidisciplinariamente. la tasa y el tiempo para obtener un rendimiento o interés. transportes terrestres y marítimos. Las matemáticas financieras auxilian a esta disciplina en la toma de decisiones en cuento a inversiones. combinando el capital. que permiten tomar la decisión mas acertada en el momento de realizar una inversión.La Matemática Financiera es una derivación de la matemática aplicada que estudia el valor del dinero en el tiempo. 1. la propiedad de los bienes. las matemáticas financieras son de aplicación eminentemente práctica. disciplina que trabaja con activos financieros o títulos valores e incluyen bonos. su estudio esta íntimamente ligado a la resolución de problemas y ejercicios muy semejantes a los de la vida cotidiana. por cuanto suministra en momentos precisos o determinados. UNIDAD I ANUALIDADES CIERTAS ORDINARIAS . por cuanto las leyes regulan las ventas. Llamada también análisis de inversiones. garantías y embarque de mercancías. a través de métodos de evaluación que permiten tomar decisiones de inversión. seguros. préstamos a interés. en el cual influye de una manera directa la determinación del costo y depreciación de los equipos industriales de producción. por cuanto brinda la posibilidad de determinar los mercados en los cuales. que controla costos de producción en el proceso fabril. con la sociología. con la contabilidad. un negocio o empresa. los instrumentos financieros. Por ello. en el mundo de los negocios. donde existen empresas e instituciones en manos de los gobiernos. información razonada. administración de inversiones o ingeniería económica. con el derecho. ajustes económicos y negociaciones que beneficien a toda la población. de las operaciones realizadas por un ente privado o publico. con la informática. por cuanto las ciencias políticas estudian y resuelven problemas económicos que tienen que ver con la sociedad. con la ciencia política. la matemática financiera trabaja con inversiones y proporciona a la sociología las herramientas necesarias para que las empresas produzcan más y mejores beneficios económicos que permitan una mejor calidad de vida de la sociedad y con las finanzas. en base a registros técnicos. hipotecas. corretaje. los contratos de compra venta. que permite optimizar procedimientos manuales relacionados con movimientos económicos. inversiones y negociaciones. la forma en que se pueden adquirir. que forman parte de los elementos fundamentales de las matemáticas financieras. podrían obtener mayores beneficios económicos. acciones y prestamos otorgados por instituciones financieras. Consideremos una anualidad ordinaria de $ l000 anuales. al 5%. que el primer pago se hace al final del primer intervalo de pago. dividendos trimestrales sobre acciones. El tiempo transcurrido entre cada pago sucesivo de la anualidad se conoce como intervalo de pago. ya que los pagos periódicos de primas en el seguro de vida terminan al ocurrir la muerte del asegurado. Una anualidad cierta es una anualidad en la cual los pagos principian y terminar en fechas fijas. El tiempo contado desde el principio del primer intervalo de pago hasta el final del último intervalo de pago se conoce como plazo de la anualidad. MONTO Y VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD. En este capitulo todas las anualidades serán anualidades ciertas ordinarias. pagos semestrales de intereses sobre bonos. La suma de todos los pagos hechos en un año reconoce como renta anual. Ejemplos de anualidades son abonos semanales. esto es. es decir. . Una anualidad contingente es aquella en la cual el plazo depende de algún suceso cuya realización no puede fijarse.UNA ANUALIDAD es una serie de pagos iguales efectuados a intervalos iguales de tiempo. una renta anual de $2000 pagaderos trimestralmente significa el pago de $500 cada 3 meses. pagos de renta mensuales. anualidades en las cuales el intervalo de pago y el periodo de interés coinciden. Sin embargo. consideraremos únicamente el cano simple. Una anualidad cierta ordinaria es aquella en la cual los pagos son efectuados al final de cada intervalo de pago. el segundo al final del segundo intervalo de pago y. así sucesivamente. en consecuencia. primas anuales en pólizas de seguros de vida. etc. éstos forman una anualidad contingente. Una serie predeterminada de pagos periódicos forman una anualidad cierta. durante 4 años. 05) -1 + 1000(1.95 Es conveniente que el estudiante represente cada anualidad en una línea de tiempo tomando como unidad de medida periodo de interés.1025 + 1. el tercero 1 año y el cuanto coincide con el término del plazo. deben mostrarse.05) -4 A = $3545. cada uno descontado al principio del plazo. S = 1000 + 1000(1. FORMULAS DE ANUALIDADES.05 + 1. A = 1000(1.05) 2 + 1000(1. por tanto. en la escala) y algunos de los períodos de interés.05) + 1000 O.12 El valor presente (A) de una anualidad es la suma de los valores presentes de los distintos pagos.05) -2 + 1000(1. el segundo pago 2 años.05) -3 + 1000(1.05) 3 S = 1000(1 + 1. Puesto que el primer pago gana intereses 3 años.1000 0 1 1000 1000 2 3 A 1000 4 periodos de interés S El monto (S) de la anualidad es la suma de los montos compuestos de los distintos pagos.05) 3 + 1000(1. No es necesario marcar todos Los períodos de interés.157625) S = 1000(4.310125) S = $4310. tenemos que: S = 1000(1. sin embargo. el principio del plazo (representado por O en la escala). invirtiendo el orden.05) 2 + 1000(1. . el término del plazo (n. cada uno acumulado hasta el término del plazo. i = la tata de interés por período de interés. Sean R = el pago periódico de una anualidad.05) + 1000(1. (a) $2. S = 2. 0067)-40 ] =7. Formulas de Anualidades S= R [ (1 + i )n -1] =(MONTO) Valor futuro i A = R [1 – (1+ i )-n ] =Valor presente i Calcular el valor futuro y el valor presente de las siguientes anualidades ciertas ordinarias.04 (b) $4. S = 4.073 A = 4.0067 A = 200[1 – (1+ 0. 0067)40 -1] =9. A = el valor presente de La anualidad.001. 04)-17 ] = 24. S = el mosto de la anualidad. capitalizable semestralmente.500 un mes después de pagada la última mensualidad.395.35 valor futuro 0.04 47.50 valor futuro 0.n = el número de intervalos de pago = el número de períodos de interés. S = 200[(1 + 0.000 por mensualidades vencidas durante 2 años y 6 meses y un último pago de $2. 04)17 -1] = 0. utilizar el 9% con capitalización mensual. 073)-6] = 18.000 anuales durante 6 años al 7.000[1 – (1+ 0.073 (c) $200 mensuales durante 3 años 4 meses.000[(1 + 0.890.000 de contado.000 semestrales durante 8 ½ años al 8%.000[1 – (1+ 0.331.3%. al 8% con capitalización mensual. Para el cálculo. $1.81 valor presente 0.07 valor futuro A = 2. 073)6 -1] = 28.133.34 valor presente 0.000[(1 + 0.0067 Calcular el valor de contado de una propiedad vendida en las siguientes condiciones: $20. capitalizable anualmente.830.85 valor presente 0. . 600 mensuales durante 2 años 6 meses con un último pago de $2.01 A = 1.33 0.600[1 – (1+ 0.500. .01)-31=1.500(1+0.000 = 57.08 0.09 26.292.000 de cuota inicial.01 2. $1.0075 A = 1.758.12/12=0.292.44 + 14.775.44 41.128. si el rendimiento del dinero es del 8%. 01)-30] =41.0075 2. Hallar el valor presente de la producción.17 Respuesta.836.775.983.09 + 20.500(1+0.836.000 = 48.78 Respuesta Una mina en explotación tiene una producción anual de $8’000.000 y se estima que se agotará en 10 años.000[1 – (1+ 0.08 + 1.09/12 =0. 0075)-30] =26.983. si se carga el 12% con capitalización mensual? i =0.i =0.0075)-31=1. ¿Cuál es el valor de contado de un equipo comprado con el siguiente plan: $14.33 + 1. 000.420.08 En el ejercicio anterior Se estima que al agotarse la mina habrá activos recuperables por el valor de $1’500. Calcular la suma que tendrá a disposición de ella a los 18 años.680.000[1 – (1+ 0. aumento sus consignaciones a $3.680. 08)-10] =53.25 =13. Al cumplir 12 años. Encontrar el valor presente.500.A = 8.8 694.19 respuesta.651.000(1 + 0.162. dicha cantidad la consigna cada cumpleaños.162.953. 1. si estas representan el 25% de la producción.000.23 + 13420.500 en una cuenta que abona el 8%.000. 0.03 Respuesta En el momento de nacer su hija. incluidas las utilidades. .19 * 0.790.08)-10 = 694.790. un señor depositó $1.651. 23 53.114.80 = 14. $13.98.005 tasa mensual S = 100[(1 + 0.08 24. Hallar el monto y el valor presente de las siguientes anualidades ordinarias.768.06 /12 =0.02 42.80 .22. (a) $400 anuales durante 12 años al 2 ½% (b) $150 mensuales durante 6 años 3 meses al 6% convertible mensualmente.500 [(1 + 0.02 = 75.537.08 1. (c) $500 trimestrales durante 8 años 9 meses al 6% convertible trimestralmente.500(1 + 0.000[(1 + 0. $9362.04.23 0. (a) $5518. capitalizable mensualmente.768.41 0. 005)240 -1] =46. 08)7 -1] =26.41 + 5994.08)7 =42.23(1 + 0.791. Calcular su saldo en la cuenta. $4103.791.08)18= 5994.09 Respuesta.16 S = 3.16 + 26.10 (b) $130608.968.S = 1. 0.005 • Problemas propuestos 1.796.553.05 (c) $22.968. Resp. 08)11 -1] =24.204.60 Respuesta Una persona deposita $100 al final de cada mes en una cuenta que abona el 6% de interés. al cabo de 20 años. 0. $1221. ¿Qué pago único inmediato es equivalente a 15 pagos trimestrales de $100 cada uno. Hallar el importe de sus ahorros después de 10 años. Suponiendo interés calculados al 6% convertible mensualmente? 6. M invierte $250 al final de cada 6 meses.03 5.10 7. haciéndose el primero al final de tres meses? Resp.33. Resp.965. Encontrar s valor actual suponiendo intereses al 5% Resp.50 al final de cada semestre por concepto de la prima de una póliza dotal. $13.15 8.00 10. se estima que un terreno boscoso producirá $15. la cual le pagara $1. convertible semestralmente.000 al término de 20 años. ¿Cuál será el importe del fondo. $13.000 anuales por su explotación en los próximos 10 años y entonces la tierra podrá venderse en $10. ¿Qué cantidad debió ser depositada el 1 de junio de 1950 en un fondo que produjo el 5% convertible semestralmente con el fin de poderse hacer retiros semestrales de $600 cada uno. ¿Cuánto tendrá que pagar en efectivo si el saldo restante lo liquidara mediante el pago de $125 al final de cada mes durante 18 meses. $121. (c) $4034. a partir del 1 de diciembre de 1950 y terminando el 1 de diciembre de 1967? Resp. en un fondo que paga el 3 ¾%.33.329. B ahorra $600 cada año y los invierte al 3% c0nvertible semestralmente. ¿Qué cantidad tendría si en lugar depositara cada pago en una cuenta de ahorros que le produjera el 3% convertible semestralmente? Resp. (a) precisamente después del 12 deposito? (b) antes del 12 deposito? (c) Precisamente antes del 15 deposito? Resp. al comprar M un coche nuevo de $3750. suponiendo intereses al 5. M esta pagando $22. ¿Que es mas conveniente.000. (a) $3. $4203.2. le reciben su coche usado en $1250. Hallar el valor efectivo equivalente a una anualidad de $100 al final de cada 3 meses durante 15 años. (b) $3079. comprar un automóvil en $2750 de contado o pagar $500 iniciales y $200 al final de cada mes por los próximos 12 meses. suponiendo un interés de 5% convertible trimestralmente. Resp.874. cargándole intereses al 6% convertible mensualmente? .85 9.2% convertible trimestralmente. $1354.20 3.46 4.887. AMORTIZACION.Resp. .40 2. $353. UNIDAD II AMORTIZACION Y FONDOS DE AMORTIZACION. Se dice que un documento que cauca intereses esta amortizado cuando todas las obligaciones contraídas (tanto capital como intereses) son liquidadas mediante una serie de pagos iguales. 025 = 5000 y R = 5000 1 = $907. sin embargo. La parte de la deuda no cubierta en una fecha dada se conoce como saldo insoluto o capital Insoluto en la fecha. mediante una serie de n pagos de R cada uno. Hallar el pago. 0 5000 R R R R R R 1 2 3 4 5 6 periodos de Interés. la cantidad disponible para disminuir la deuda aumenta con el trascurso del tiempo. la diferencia se utiliza para disminuir la deuda. El capital insoluto al inicio del plazo es la deuda original. Construir una tabla de amortización para la deuda del ejemplo 1. El capital insoluto justamente después de que se ha efectuado un pago es el valor presente de todos los pagos que aun faltan por hacerse. Cada pago R se aplica primer lugar para el pago del interés vencido en la fecha del pago. Ejemplo 2. debido ala practica de redondear al centavo más Próximo.75 a 6/. Los 6 pagos R constituyen una anualidad cuyo valor presente es $500. (a) Periodo Capital Insoluto al principio (b) Interés vencido al final del (c) (d) Pago Capital pagado al final del . puede variar ligeramente de O. Una deuda de $5000 con intereses al 5% convertible semestralmente se va a amortizar mediante pagos semestrales iguales R en los próximos 3 años. TABLA DE AMORTIZACION. tal como en el ejemplo 1.025 Amorticemos una deuda A amparada con un documento que causa intereses.Ejemplo 1. Por tanto: R a 6/. El capital insoluto al final del plazo es O en teoría. Para efectos contables es conveniente preparar una tabla que muestre la distribución de cada pago de La amortización espato a los intereses que cubre y a la reducción de a deuda. En consecuencia. el primero con vencimiento al termino de 6 meses. 14 907. Con el objeto de poder hacer el último pago. de tal forma que justamente después del último depósito.93 y así sucesivamente.1 2 3 4 5 6 TOTALES del periodo 5.74 22.61 885.75 907. Al termino de este periodo. .61 $ 446.37 64.93 2.38 842.749.00 105. El pago semestral (c) es $907.75. En el método de fondo de amortización para liquidar una deuda. Es de su ponerse que el fondo gana intereses.000.81 43.75 se utilizan para el pago del capital (d).592.000.50 $ 5.01 La tabla se llena por reglones como sigue: el capital insoluto (a) al principio del primer periodo es la deuda original de $5000.32 822. el tondo importa el valor de la deuda original. De los cuales se utilizan $125 para el pago del interés vencido y $907.75.60 período 125. El interés vencido (b) al final de ese mismo periodo es 5000(0.75 – 802.414.49 $ 5.43.25. Al principio del segundo periodo el capital insoluto (a) es 5000 – 782.75 907.75 802.32 = $3414. Del campo (c) de $907.55 1. el acreedor recibe el interés pactado en su vencimiento y el valor nominal de la deuda al término del plazo.75 907.217.01 885.446. pero no necesariamente a la misma tasa que carga el acreedor.00 4.025) = $105.75 907. FONDOS DE AMORTIZACION.43 85.25 3. Quedan 907.25(0.75 período 782.94 864.75 = $4217. el interés vencido (b) es 4217.75 – 125 = $782. el deudor crea un fondo por separado en el cual hace depósitos periódicos iguales durante el plazo.025) = $125.75 907. 92.32 658.08 36.81 610.62 $ 4.92 592.92 592.92(0.82 55. Al final del tercer periodo.00 8.92 592.73(0.92.743.57 3054.81.98 Al final del primer periodo se efectúa un deposito (b) de $592.04 4341.015) = $8.73.05 TOTALES $ 256.92 592.92 + $601.89.92 1194.98 (d) Importe del fondo al final del período 592.999.73 1805.36 $ 4. el .13 592.92 y constituye el incremento al fondo (c) como el importe del fondo (d) al final del primer periodo.92 592. el deposito (b) es $592.87 1268.93 4999.92 = $601.74 648. el deposito (B) ES $592.00 629.92 y el incremento en el fondo (c) es $8. Al final del segundo periodo el aumento por intereses (a) es 592.92 592. El crecimiento del fondo del fondo de amortización del ejemplo 7 se muestra en la siguiente tabla: Periodo (a) Aumento de interés (b) Deposito (c) Incremento al fondo 1 2 3 4 5 6 7 8 0.38 45. el aumento por interés (a) es $1194.30 638.015) = $17.40 65.84 620.92 592.89 17. y el importe del fondo (d) es $592.89 + $592.81 = $1194.92 592.92 601.57 2425.92 27.TABLA DEL FONDO DE AMORTIZACION. 152.09090) = $1152. El 4to pago reduce la deuda en 3032.045 =$13.17 Capital pagado al final del período 792. 2. y así sucesivamente.808.24(0. PROBLEMAS RESUELTOS 1.00 84. el primero con vencimiento en un año.600 Pago El capital insoluto requerido puede encontrarse sin que sea necesario determinar primero el pago final (parcial). el primero con vencimiento al termino de 6 meses. Hallar.23 865.000 para renovar su tienda.03) 3 – 900 8/3/. De la línea de tiempo: 3600 0 P 1 900 2 3 900 900 4 5 periodos de interés Tenemos que el capital insoluto P justamente después del tercer pago es: P = 3600(1.57.045) = $599. Hallar en forma independiente el capital insoluto justamente después del tercer pago.84.60 (c) (d) 900.045 =$5678.77 34.44 286.incremento en el fondo (c) es 17.01 .895.57 Periodo 1 2 3 4 5 TOTALES (b) Interés vencido al final del período 108.01 = $2433.17 $ 3.73 + 610. junto con un pago parcial final si fuera necesario.24 1.03 = 3600 y a n/.600. (a) el costo anual de la deuda.01.00 900.19 a/2/.01 286. Una deuda de $3600 con intereses al 6% convertible semestralmente se va a amortizar mediante pagos semestrales de $900 cada uno.84 = $1805. mediante pagos anuales iguales por los próximos 8 años.045 (b) El capital insoluto justamente después del 6to pago es 3032. El interés vencido cuando sea hecho el 4to pago es 13.03 = 3600(1. Construir una tabla.92 + 592.24 59. (b) el capital insoluto justamente después del 6to pago.311.00 2. 900 a/n/. (a) El pago anual es R = 1 = $3032.092727) – 900(3.24. Acuerda amortizar su deuda.56 8.00 295.00 900.00 815. y (c) en cuanto se reduce la deuda con el 4to pago.00 1.76 840.28 (c) El capital insoluto justamente después del 3er pago es 3032.992.57 $ 295.19 a/5/.00 900.311. Un comerciante pide un préstamo de $20.19 A8/.19 – 599.16 $ 3.18.03 = 4 (a) Capital Insoluto al principio del periodo 3. y el importe del fondo (d) es ahora 1194.92 = $610. capital e intereses al 4 ½%. 00 1.200.00 160.000 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 (c) No.00 7. Una deuda de $500.00 5. Construir una tabla.00 .000.00 54.00 2.086.900.590.622.700.00 3.00 211.00 10.000 de la suma disponible se han utilizado para redimir 10 de los bonos de $1000 y 50 de los bonos de $500.00 55.204.246.300. será amortizada en los próximos 5 años mediante pagos semestrales lo mas iguales posible.654. de bonos Redimidos $ 500 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 56.00 108. $35. (a) Capital Insoluto (b) Interés vencido 500.000. 500 bonos de $500 y 1500 bonos de $100 que pagan intereses de 4% convertible semestralmente.300.00 1.00 454.160.234. En la tabla a continuación. cada uno seria de: R= 1 A10/.622.00 55.634.500 556.660.663.700.500.638.00 360.090.00 55.000 distribuida en 100 bonos de $1000.00 55.704.26 No hay ninguna estipulación sobre la distribución de la suma disponible en cualquier periodo entre las tres denominaciones.00 55.000.238.00 55.00 55.00 55.154.500.00 9.00 100 500 Periodo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Totales (d) Pago semestral $ 100 107 116 125 135 144 154 164 175 185 195 55.646.00 6.00 262.00 8.00 $ 1.2 = $55.00 311.700.00 4.210.3.710.00 55.686.00 407. Si los pagos semestrales fueran iguales. (a) el capital insoluto justamente después del 12 pago.13 4. . durante un periodo de 5 años. Hallar el pago trimestral que debe hacer M para amortizar una deuda de $5000 con intereses al 4% convertible trimestralmente. (b) $6295.83. (b) Una deuda de $6000 con intereses al 6% convertible semestralmente. (b) el capital insoluto justamente antes del 15 pago. mediante 6 pagos semestrales iguales. (c) $69.64. (c) la distribución del 20 pago respecto al pago de interés y a la reducción del capital. Resp. (b) Hallar el capital insoluto justamente después del tercer pago periódico. en bonos de $1000 que devengan intereses al 3%.PROBLEMAS PROPUESTOS. (c) $56. Resp. Hallar el pago anual necesario para amortizar una de $5000 con intereses al 41/2%. Hallar. $326.000 con intereses al 31/2%. en 12 años. (a) $6794.000 con intereses al 6% convertible trimestralmente esta siendo amortizada mediante pagos trimestrales iguales durante los próximos 8 años. (a) Hallar el pago periódico necesario. Construir una tabla de para la amortización de: (a) una deuda de $4000 con intereses al 4%.96. mediante 5 pagos anuales iguales. Resp. Una persona obtiene un préstamo de $10.96 5.77. (c) Que parte del ultimo pago se aplica al pago de intereses? Resp. (b) $4718.28 3. la deuda será liquidada mediante un pago de $2.000. $152. $548. seguido de 6 pagos anuales iguales.33 2. (a) $1684.500 al termino de 4 años. 6. procurando que el costo anual sea lo más igual posible.36. en 10 años. Una deuda de $10. Construir una tabla para el pago de una deuda de $200. 1. . y 1º octubre de cada año.. 1º de abril. Por ejemplo. La fecha de redención. Casi invariablemente es un múltiplo de $100. hasta la fecha de redención. La descripción completa de un bono comprende: Su denominación o valor nominal. b) 57 pagos semestrales de $25 cada uno. No recibirá el pago de interés vencido en la fecha de la compra. a) $1000 el 1º de julio de 1988. La tasa de interés. un bono de $1000 redimible en $1050 se expresa como “un bono de $1000 redimible a 105”. EJEMPLO 2 Un inversionista que compro el 1 º de enero de 1960 un bono de $1000. abreviando sería el “6%. Normalmente se redime un bono en una fecha de pago de intereses. 6% pagadero el 1º de febrero y el 1º de agosto. el primero con vencimiento el 1º de julio de 1960. b) Pagos trimestrales de $500(0. desde su emisión hasta el 1º de octubre de 1990 inclusive: PRECIO DEL BONO EN UNA FECHA DE PAGO DE INTERES. Ejemplo 1 Un bono de $500. el valor de redención se expresa como un porcentaje de valor nominal. 1º de julio. Por ejemplo. en una fecha dada llamada fecha de redención. Cuando el valor de redención y el valor nominal son idénticos se dice que el bono es redimible a la par. . omitiéndose la palabra “por ciento”. por ejemplo el 1º de octubre de 1985. redimible el 1º de octubre de 1990 a 102. adquiere el derecho de recibir ciertos pagos futuros. UNIDAD III BONOS UN BONO. FA”.Si un inversionista compra un bono en una fecha de pago de intereses. EJ.02) = $510 el 1º de octubre de 1990. De otra forma. b) Pagos periódicos llamados pagos de intereses.3. 4% EAJO. El valor de redención.Es una promesa escrita de pago a) Una suma fija llamada valor de redención. 5%. redimible a la par el 1º de julio de 1988 recibirá. estipula: a) El pago de $500(1.01) = $5 los días de 1 º de enero. MS. Si desea obtener una tasa mayor... debe comprar el bono a un precio más bajo que el valor nominal. P = + (V. si está dispuesto a ganar una tasa menor. i la tasa del inversionista por período y n el número de períodos de interés desde la fecha de compra (suponiendo que coincide con una fecha de pago de intereses) hasta la fecha de redención. Se dice que un bono es comprado a descuento si su precio de compra P es menor que su valor de redención V.Se dice que un bono es comprado a premio si su precio de compra P es mayor que su valor de redención V.. EJEMPLO 4 . El comprador recibirá: a) $1000 el 1º de septiembre de 1997 b) 71 pagos semestrales de $20 cada uno. El precio de compra P está dado por: P = V (1 + i)-n + Fr a/n/i Está formula requiere el uso de dos tablas. Hallar el precio de compra P. es comprado el 1º de marzo de 1962 con el propósito de ganar el 5% convertible semestralmente. 4%.. se desarrollan las siguientes dos fórmulas.. En el siguiente diagrama vemos que: 1000 20 20 20 20 20 20 69 70 . redimible a la par el 1º de septiembre de 1997. Sea r la tasa de interés por período de interés del bono. En el problema 3. El premio es P – V. el inversionista ganará precisamente la tasa de interés estipulada en el bono. 0 3/62 1 9/62 2 3/68 3 9/68 71 9/71 P = 1000(1. estará dispuesto a pagar un precio arriba del valor nominal.. Su aplicación es opcional.173223) + 20(33.025 = 1000(0. El descuento es V – P.) (1+i)-n P = V + (Fr – Vi) a/n/i Y Ambas tienen la ventaja de requerir el uso de una sola tabla. COMPRA A PREMIO O DESCUENTO. siendo el 1º de septiembre de 1962.Si un bono redimible a la par es comprado en una fecha de pago de intereses a su valor nominal.0711) = $834. EJEMPLO 3 Un bono de $1000.025) -71 + 20 a/ 71/.64 FORMULAS: Sea F el valor nominal y V el valor de redención de un bono. 80 Totales El valor en libros al principio de cualquier período es simplemente el precio al cual el bono debe ser comprado para que produzca el rendimiento deseado por el inversionista. .20.28.20 + 8. El nuevo valor en libros del bono es 954.20 962.83 (0.88 = $971. El cambio de valor en libros durante la vida del bono se muestra con claridad construyendo una tabla de inversión.88 29.03) = $28.28 – 1000 = $147.63 28. Al final del segundo período de interés.88.64 = $165.63 8. Puede ser calculado en forma independiente.86 990.83. por lo cual puede decir el inversionista que tiene $8.oo 45.oo 28.oo 20.15 9.oo 20.71 20. El bono del problema 1 fue comprado a premio de (1147.oo 8.63.83 + 8.20(0. Puesto que el bono del ejemplo 5 fue comprado con descuento. El valor en libros de un bono en la fecha de su compra (suponiendo que coincide con una fecha de pago de intereses) es el precio de compra.20 1o de julio de 1964 el valor en libros del bono es $954.oo 20. mientras que el pago por intereses del bono es $20. EJEMPLO 5 Un bono de $1000.71 145. que lo que tenia al principio del período.36. 4% EJ. redimible a la par el 1 o de enero de 1967 es comprado el 1o de julio de 1964.88 9.43 29.03 = $954. Véase el problema 5 para la tabla de inversión de un bono comprado a premio.71 980.63 – 20 = $8.15 29. el pago de intereses del bono es $20. es costumbre utilizar el término acumulando del descuento para llevar el valor en libros hasta el valor de redención. El PERÍODO VALOR EN LIBROS AL PRINCIPIO DEL PERÍODO INTERESES VENCIDOS SOBRE EL VALOR EN LIBROS PAGO DE INTERESES DEL BONO CAMBIO DEL VALOR EN LIBROS 1 2 3 4 5 6 954. invertidos en el bono.03) -5 + 20 a/ 5/. Construir una tabla de inversión. Al termino del primer periodo de interés vencido sobre el valor en libros es $954. Por tanto 28.oo 20.83 971. El precio de compra del bono es: P = V (1 + i)-n + Fr a/n/i P = 1000(1.El bono del ejemplo 3 fue comprado con descuento de 1000 – 834. varias veces.63 del interés vencido no se cobra. para que redime el 6% convertible semestralmente. El valor en libros de un bono en cualquier fecha es la suma invertida en el bono en dicha fecha.43 9. el interés vencido es 962.03) = $28.80 100. Y el nuevo valor en libros es 962.63 = $962.71 y así sucesivamente. como un método de comprobación de la tabla.63 más. el valor en libros en la fecha de redención es el valor de redención.29 1000. Más importante es el problema de determinar la tasa de interés que obtendrá el comprador.50 del 1 o de marzo de 1962 al 14 de junio de 1962 son 105 días. EJ. PROBLEMAS RESUELTOS 1. Será el precio de compra únicamente se ha sido cotizado en una fecha de pago de intereses.40 + 10.025)-54 + 30 a/54/. Hallar el precio de compra P. es comprado el 1o de julio de 1961.. el interés redituable es (17.El problema tratado anteriormente es hallar el precio que el comprador debe pagar por un bono dado... 5%. 0 1 2 3 5 6 periodos .. 6%.. para ganar el 5% convertible semestralmente. es comprado el 1o de marzo de 1962. 25 25 25 25 1020 25 . MS.. un bono de $1000 cuyo precio cotizado es $975 estaría cotizado a 97 . En cierto sentido.50. 0 1 2 3 P = 1000(1.. Por ejemplo.. El precio cotizado generalmente no es el precio que paga el comprador. expresado como un porcentaje del valor nominal. El precio neto es 957. si ha sido cotizado ha 95 3/4. Hallar el precio neto al 14 de junio de 1962. Un bono de $1000. redimible a 102 el 1 o de septiembre de 1990.50) = $10. Los bonos son generalmente ofrecidos al “precio cotizado”. El precio de compra (más conocido como precio neto) es el precio cotizado más el interés redituable.... EJEMPLO 7 Un bono de $1000.. 3 MS se redimirá el 1o de marzo de 1975. 30 30 30 30 30 1000 30 53 54 . El precio cotizado es lo que previamente se ha designado como valor en libros. para ganar el 4% convertible semestralmente.21. Hallar el precio de compra P. redimible a la par el 1 o de julio de 1988. sin embargo el término por ciento se omite. Un bono de $1000. El precio cotizado es $957. el pago de interés es $17.28 2.EL PRECIO COTIZADO DE UN BONO.71 Puesto que el comprador paga el precio cotizado más el interés redituable. el problema es un tanto académico ya que no hay seguridad que un bono en particular pueda ser comprado al precio requerido..21 = $967. si compra un bono determinado a un precio dado y lo conserva hasta su redención..025 = $1147. el precio cotizado también se conoce como precio con interés.. con el objeto que gane la tasa de interés deseada. y así sucesivamente.83 = $1054.61 3.25) a/40/.17 mientras que el pago de intereses del bono es por $25.91 3. Tenemos que P = 1030(1.02) = $ 21.15 4.025 P = 1050 – 8.00 25.99 4. 3 %.00 25. que reditúe 5% convertible semestralmente.48 – 3.83 es para amortizar el capital.17 21. n = 40 (a) P = + (1 +i)-n P= + (1. r = 0. el interés vencido sobre dicho valor en libros.48(0.09 21.48 El valor en libros en la fecha de la compra es $1058.00 25.23 .3/62 9/62 3/90 9/90 interés P = 1020(1.103) = $830.75(25.86 20. Construir una tabla de inversión para un bono de $1000. FA. 35 4. al principio del segundo período.025)-40 P = 700 + 350(0.48 1054.02 = $1175.025.83 3.06 4.37243) = $830.00 CAMBIO DEL VALOR EN LIBROS 3.35 (b) P = V + (Fr – Vi) a/n/i P = 1050 + (17.02 = $ 1058.48. es redimible a 105 el 1o de febrero de 1985.00 25. La diferencia 25 – 21. a la tasa del inversionista es 1058. Al término del primer período. PERÍODO 1 2 3 4 5 6 VALOR EN LIBROS AL PRINCIPIO DEL PERÍODO 1058.0175. 5%.69 1038.02)-57 + 25 a/57/. para que reditúe 45 convertible semestralmente. comprando el 1o de febrero de 1967. F = 1000.65 1050. y (b) la fórmula (3). redimible el 1 o de agosto de 1970. el valor en libros del bono se reduce a 1058.65. V = 1050.77 PAGO DE INTERESES DEL BONO 25.74 1046.02)-7 + 25 a/7/.50 – 26.17 = $3. en consecuencia.76 1042. FA. i = 0.54 INTERESES VENCIDOS SOBRE EL VALOR EN LIBROS 21.01 20.84 20.Un bono de $1000.00 25. Hallar el precio de compra el 1o de febrero de 1965. (a) la fórmula (2). utilizando. 1. Graw Hill.31 1030.00 4. es costumbre hablar de amortizar el capital para llevar el valor en libros al valor de redención.998 .47. En cada uno de los casos siguientes. $1044.00 20.48 2.52 años a) $742. Bibliografía Alfredo Díaz Mata – Víctor Manuel Aguilera G. g) $948. Ejercicios Propuestos. hallar el precio del bono que reditúe la tasa deseada: Valor nominal redituabilidad redimible a pago de intereses a) $1000 la par en 25 años 4% semestral 6% semestral b) $500 la par en 15 años 4% semestral 5% semestral c) $1000 105 en 10 años 5% trimestral 3% trimestral d) $100 110 en 20 años 4% semestral 3% semestral e) $100 la par en 5 años 5% anual 4% anual f) la par en 3 años 6% semestral 5% semestral g) $1000 102 en 2 años 3% semestral 6% semestral h) $500 105 en 2 4% semestral 5% semestral $500 Resp. e) f) $513. Construir una tabla de inversión para cada uno de los del problema anterior. Segunda Edición. Editorial Mc.67. Matemáticas Financiera.32. PROBLEMAS PROPUESTOS 1.7 8 1034.69 Como el bono fue comprado a premio.31 25. b) $447.77. h) 510.71. c) $1209. d) $120.56. Cuarta Edición. Lincoyan Protus G. Frank Ayres. Jr. Editorial Mc Graw Hill. Matemáticas Financiera. 1. Editorial Mc Graw Hill. Ejercicios Propuestos. Cuarta Edición.997 . Matemáticas Financieras.