Matemática Financeira e Engenharia Econômica.pdf

March 31, 2018 | Author: Rafael Soares de Lemos | Category: Interest, Discounting, Investing, Decision Making, Currency


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ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILAENGENHARIA ECONÔMICA Antonio Victorino Avila Engº Civil, MSc Cursos de Engenharia Florianópolis-SC 2010-7  ∴ MatemFinanceira~AULAS~abril2010 1-167 ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA Original: INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE INVESTIMENTOS Engº Civil Antonio Victorino Avila, MSc. Florianópolis - SC 1ª versão, 1983 – ELETROSUL. Versão 5.2, julho de 2.010. Nº páginas: 165. Copyright do autor ENGENHARIA ECONÔMICA O objetivo deste opúsculo é disponibilizar ao aluno dos cursos de engenharia uma expressão documental coerente com o conteúdo a ser ministrado de modo que o mesmo possa acompanhar as discussões realizadas em sala de aula. Visando o bom aproveitamento das aulas é imprescindível que o aluno disponha da ultima versão atualizada do opúsculo. Isto porque, comentários sobre o conteúdo teórico, demonstrações matemáticas e os exercícios a serem resolvidos estão nela contidos. Recomenda-se consultar a bibliografia apresentada, pois o conteúdo exposto não esgota o assunto. Antonio Victorino Avila MatemFinanceira~AULAS~abril2010 2-167 ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA 3. Séries de Capitais ÍNDICE 1. Introdução 3.1 – Série Uniforme Postecipada. 6 1.1 – Remuneração dos Fatores de Produção. 6 1.2 – Premissas. 6 1.3 - Nomenclatura das taxas de juros. 9 2. Matemática Financeira 11 2.1 – Conceituações de Juros 11 2.2 – Juros Simples 11 2.2.1 – Definição 2.2.2 - Equações. 2.2.3 - Operações de desconto. 2.2.4 - Relações entre Descontos e Taxas 2.2.5 – Tempo Exato e Comercial 2.2.6 – Exercícios Resolvidos 2.2.7 – Exercícios propostos 2.3 – Juros Compostos. 2.3.1 - Definição. 2.3.2 - Fórmulas Básicas: 2.3.3 – Valor Presente e Valor Futuro 2.3.4 - Exemplos 2.3.5 – Correlação Entre Taxas de Juros Compostos. 2.3.6 - Cuidados a observar. 2.3.7 - Exercícios. 2.4 - Relação entre as taxas nominal e real. 11 12 13 15 16 17 18 20 20 20 21 23 23 25 26 26 2.4.1 – Efeito da Inflação 2.4.2 – Relação entre taxas. 2.4.3 – Inflação e Índices. 26 28 29 2.5 – Inflação Acumulada. 31 2.5.1 – Fórmulas Básicas. 2.5.2 – Atualização de valores monetários. 2.6 – Exercícios. MatemFinanceira~AULAS~abril2010 41 31 32 36 41 3.1.1 - Valor Presente ou Valor Atual da Série Postecipada. 3.1.2 - Valor Futuro da Série Postecipada. 3.1.3 - Exemplo. 3.1.3 - Comparando Juros Simples e Compostos. 3.2 - Anuidade perpétua. 42 43 45 45 46 3.2.1 – Conceituação. 3.2.2 – Exemplo. 46 47 3.3 – Série Uniforme Antecipada. 47 3.3.1 – Valor Presente da Série Antecipada 3.3.2 – Valor Futuro da Série Antecipada. 3.3.3 – Exemplos. 48 49 50 3.4 – Série Diferida. 51 3.4.1 – Metodologia 3.4.2 - Exemplo 52 52 3.5 - Exercícios. 53 4. Amortizações de Dívidas 57 4.1 – Tipos de Sistemas. 57 4.2 - Sistemas de Amortização Constante - SAC 58 4.2.1 – A metodologia 4.2.2 - Exemplo 58 59 4.3 - Sistemas de prestação constante 4.3.1 - Metodologia 4.3.2 - Exemplo 59 59 60 4.4 - O sistema americano. 61 4.4.1 - Metodologia. 4.4.2 - Exemplo. 61 62 4.5 – O sistema de amortização variável. 4.5.1 – Metodologia. 4.5.2 – Comentários 4.5.3 - Exemplo 62 62 63 63 4.6 – O sistema alemão. 63 4.6.1 – Característica 63 3-167 107 5.4 .1 .8.1 – O Sistema 4. 96 6.3 – Metodologia do VPL 96 97 101 103 6.2.3 – Diagrama de valor presente 6.2 – Análise de Viabilidade 79 5.2 – Disponibilidade de Recursos.1 – Procedimentos 4. 5.2 – Domínio viável de produção.3 – Valor Presente. 107 8. 80 5.3. 95 6.4 – Exemplo de Aplicação 82 82 84 84 85 86 86 ENGENHARIA ECONÔMICA 5.1 .1 – Conceituação.2 – Caso de Rigidez das Alternativas 6. 4.6.3 – Caso de Outras Oportunidades.Exercícios Propostos 5.O processo de decisão 92 93 6.7.3 – Exemplo 4. 91 MatemFinanceira~AULAS~abril2010 8. 79 5.3.Definição de Viabilidade.2 . 5.1 – Valor de um Ativo.2 – Metodologia 4.2 – Relação entre Amortizações. 6.Metodologia.Exemplo.3 – Determinação da Prestação. 79 5.3 – Fluxo de Caixa 82 5.2.2 – O Método do valor presente.6.5.8 – Correção do saldo devedor. 72 79 5.6 – Classificação dos Investimentos.4 . 107 5. –Engenharia Econômica.2 .4 – A Taxa de Mínima Atratividade – TMA. 69 4. 5.Decisão 6. 6.5 .5 – Exercícios 88 8.Equalização de tempos de projetos.5 .6.Comentários 64 64 65 66 67 67 67 68 69 4.3 – Metodologia.7.5.1 – Procedimentos 8.2 – A metodologia.Análise de Sensibilidade .1 – Coerência de resultados.Diagrama de Fluxo de Caixa – DFC.2.7.Decisão 107 5.8. 4.3 – Diagrama de Valor Presente 5. 4. Método da Recuperação de Capital 107 7.9 – Exercícios.1 – Pela Variação dos Fluxos de Caixa. 87 8. 4.5.7 – O sistema de amortização crescente .ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 4.1 – Conceituação 5. 107 6.6.7 .Caso de Reinvestimento.2 . 6. 4.6. Taxa Interna de Retorno 107 4-167 .2.2 – Calculo do Valor Presente Líquido.2 .1 – Incremento de Riqueza.3 .6.1 – Re-investimento em ativos semelhantes 6. 5. Método do Valor Presente.3.6.4 .3.5. 5. 6.3.5 – Exemplo.3.1 – Exercícios Resolvidos 5.2 – Exemplo 107 107 9.3 – Aplicação ao Sistema SAC 69 70 70 4.3.1 – Introdução 107 8. 95 6.1 – Conceituação.6 – Exercícios.Risco.8.7.6. 107 107 107 107 7.Aplicação 105 6. 5.5.2. 107 88 90 8.3.SACRE 4. 91 5.4 – Equivalência Financeira. 103 104 105 6.2 .Introdução 107 7.3.2. Valor Uniforme Equivalente 107 8.2 – Premissas. 107 A. 107 9.3 – Aplicação da metodologia 9.1 .1 – Definição 107 11.4. 107 107 9.5 . 9.Definições 107 9. 107 107 11.3. 9.2 .2 .4.4 – Utilização recomendada.2 – Exemplo 11.Caso de títulos mobiliários 9.Compra a vista 11.4.Caso de Prestações Constantes.5 .4 .3 – Metodologia.5.1 – Função Polinomial 9.2 .6. Métodos Algébricos.1 – Decisão.3 – Caso de investimentos produtivos 9.4 – Caso de Prestações Decrescentes.5 . MatemFinanceira~AULAS~abril2010 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 107 107 10. 107 9.Existência de múltiplas TIR 107 9. 107 107 107 107 107 107 9.2 – Tipos de comissionamentos 107 11.1 – Caso: Análise de Fluxo de Caixa.Caso de Prestações Crescentes. 11.3 – Caso: Viabilidade de troca de lâmpadas 107 A.3 .Exercícios. 107 10.3 – Discutindo a TIR e a TMA 107 A. 107 10. 9.Compra a prazo 11.Caso: Métodos de amortização.Processo da Bisseção.Aluguel sem devolução do bem 11.2 .6.1 – Fórmulas de Karpin 107 10.3.Decisão 107 9.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA 9. 107 10.Leasing-back.3.Exercícios 107 107 107 107 107 107 5-167 107 .Aluguel com devolução do bem 11. – Comissionamento de Ativos.7 – Exercícios.1 – Conceituação.2 .6 .5.3 . 107 A.1 . 11. 107 107 10.5. 107 11.4 – Caso: Aquisição de impressora.3.2 .Caso de financiamentos.4 .5 – Calculo da TIR.3. os juros.1. a riqueza dos proprietários. os juros. sempre.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 1. esta remuneração recebe denominação distinta. aos preceitos da Matemática Financeira e da Engenharia Econômica. 2ª Premissa – MOMENTO DA DECISÃO. ou seja. requer remuneração e. tanto pode se relacionar a um empréstimo tomado por pessoa física ou jurídica.1 – Remuneração dos Fatores de Produção. se apóiam nas seguintes premissas: 1ª Premissa – MAXIMIZAÇÃO DA RIQUEZA. corretamente. O objetivo de utilizar a engenharia econômica e a matemática financeira é amparar um processo de decisão capaz de eleger a alternativa de investimentos que maximize o lucro. como ao financiamento tomado na aquisição de bens ou a remuneração do capital de sócios. a decisão presente em continuá-lo ou de alterar a sua aplicação ou objetivo deve basear-se em perspectivas futuras e não em resultados passados. A matemática financeira e a engenharia econômica. Nesta obra será discutida a remuneração do capital empregado. ENGENHARIA ECONÔMICA O objetivo maior deste opúsculo. capital. é dispor ao interessado de um conjunto de metodologias que permitam a realização de um coerente processo de decisão quanto à escolha de investimentos produtivos ou a aplicação de capital que atenda. conforme o caso. MatemFinanceira~AULAS~abril2010 Assim. 6-167 . terra. empresas. como instrumentos de apoio à tomada de decisão. ou a capacidade técnica. então. A demanda por fatores necessários à produção de bens e serviços tais como: mão de obra.2 – Premissas. segundo o expresso na Fig. As decisões sempre devem enfocar o quanto uma ação efetuada no presente resultará em termos de aumento de riqueza no futuro. 1.1. ao ser analisado um empreendimento já em curso. Introdução 1. E. 000. Para que um ativo mantenha o seu valor aquisitivo e. deve ser correlacionada à data da tomada de decisão. HOJE.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA Só se decide sobre ações relativas ao futuro. uma soma de dinheiro na data de HOJE. Em relação ao futuro só temos expectativas. há que se considerar a variação do valor aquisitivo da moeda no tempo para que haja consistência quando se compara valores monetários. os critérios de decisão de investimentos devem reconhecer o valor do dinheiro no tempo e. há que ser aplicado com um retorno equivalente à taxa de oportunidade definida pela empresa ou adotada pelo investidor. 7-167 . é possível adquirir uma quantidade de bens diferente daquela possível de adquirir em outra data. mesmo de modo intuitivo que. a perda do poder aquisitivo do dinheiro com o passar do tempo. no tempo.00 e havendo a oportunidade de aplicá-la a taxa de juros i=14. ao final de um ano a importância inicial montará em D$229. investimentos realizados ou impostos devidos.00 R$ Mês ATENÇÃO! COERÊNCIA! SOMENTE SE SOMAM OU SE SUBTRAEM VALORES MONETÁRIOS CORRELACIONADOS À MESMA DATA. seja de adição de valores. Sob essa consideração. R$1.500.50 % ao ano. Sob tal premissa. na data de hoje. com uma quantidade de moedas.000. A 2ª Premissa estabelece que o momento da decisão seja sempre a data em que a mesma foi tomada. 1. De modo que as decisões são sempre formadas sobre expectativas. e é de entendimento geral. ENGENHARIA ECONÔMICA Financeiramente falando. e sob determinadas condições. pode ser monetariamente equivalente a outra soma diferente. não perca valor.2 – Equivalência de valores O valor de R$ 229. como corolário dessa premissa. quais sejam. nas condições relatadas é financeiramente equivalente ao valor inicialmente aplicado. Isto porque. MatemFinanceira~AULAS~abril2010 1 2 3 4 5 Fig. 3ª Premissa . Como se decide sob expectativas futuras. O passado já ocorreu e sobre ele nada há que decidir. Como exemplo. conseqüentemente. dispondo da mesma quantidade de moeda. entradas de caixa ou a diminuição de valores. a exemplo de custos incorridos. seja um investidor dispondo de uma soma de capital equivalente a D$ 200.000.00. toda a operação efetuada com valores monetários.00.00 ≡ 5 × 385.VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO. o que contraria a 1ª Premissa. Da definição acima. Esta 8-167 . uma má decisão redundar em bom resultado. Ou seja: 1. a um custo de oportunidade de 8. ou seja. decorre que o custo de oportunidade corresponde à maior taxa de desconto a ser adotada quando se compara a rentabilidade de um dado projeto com a rentabilidade da melhor alternativa já disponível. no momento de sua realização. (Sotto Costa & Attie. Porém. cujo preço de aquisição é de R$ 1. taxa de oportunidade. 4ª Premissa – CUSTO DE oPORTUNIDADE.00 R$ ≡ 5 × 385. Esta é a sua taxa de oportunidade e ela não aceita em aplicar recursos á uma taxa inferior a ela. se conseguir remunerar a uma taxa mais elevada. 1984). uma boa decisão pode redundar num mau resultado. pois esta é a melhor aplicação disponível para seus ativos. taxa de retorno. nem sempre. um investidor que passa a ter a oportunidade de aplicar os seus recursos a X%.00 R$.94% ao período. dificilmente se torna verdadeira. considerando o conhecimento disponível sobre qualquer ação em julgamento. o montante das cinco prestações. A literatura existente trata o custo de oportunidade sob diversas denominações. Havendo alteração do cenário previsto ou ocorrendo azar. Dentro dessa premissa. mensais e consecutivas no valor de R$ 385. e os vinha MatemFinanceira~AULAS~abril2010 ENGENHARIA ECONÔMICA fazendo a taxa y% < X%. será a adotada como nomenclatura nesta obra. TMA. mantida a mesma classe de risco. pois. é equivalente ao valor do financiamento. É um fato a ser considerado.1. 5ª Premissa – DECISÃO & RESULTADO. O conceito de considerar ou definir a remuneração do capital a ser investido como um custo de oportunidade parte do entendimento de que ao ser aplicado um capital numa alternativa qualquer. esta passará a ser a sua nova taxa de oportunidade. Como exemplo.00 a ser quitado em cinco prestações iguais. taxa de atratividade. tal como 18% ao ano. A recíproca. É importante observar a diferença entre boas decisões e bons resultados. seja uma empresa que remunera seus ativos à taxa de 15% ao ano. são diretamente proporcionais. Ver Fig.00. considerando projetos situados na mesma classe de risco. Sob o conceito de equivalência financeira do valor da moeda no tempo. O custo de oportunidade corresponde à melhor remuneração a ser obtida por um fator de produção que seria obtida por ele caso fosse aplicado em outra alternativa de investimento.500. a empresa estaria perdendo a oportunidade de aplicá-lo em alternativas mais rentáveis a ocorrerem no futuro.1 – Equivalência de valores. Qualquer aplicação efetuada a taxa inferior que a de oportunidade reduz a realização ou a perspectiva de manter seus ganhos num determinado patamar de lucratividade.500.TMA. Uma boa decisão é a melhor possível. sua taxa de oportunidade passa a ser X%. porém. tais como: taxa de rentabilidade. taxa de desconto ou taxa de mínima atratividade .ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA Outro exemplo seja o caso do financiamento de um televisor. Esta última. então. Logo. comissões.Nomenclatura das taxas de juros. Recomenda-se a realização de auditorias pós . A taxa efetiva. Visando o entendimento das nomenclaturas utilizadas. não está embutido o efeito da inflação. Pode ser definida. incidentes sobre a operação de empréstimo. Moeda de poder aquisitivo constante é aquela cujo poder de compra se mantém no tempo. Da definição. visando à fidedignidade dos resultados. Pode-se entender que a taxa bruta pode corresponder à taxa efetiva. ao custo do dinheiro empregado ou tomado emprestado. Pode ser considerada como sendo a taxa nominal quando expressamente estabelecida em contrato.3 . São dados perfeitamente controláveis e dependentes da acuidade do decisor. e) Taxa Bruta e Taxa Líquida – são aquelas referentes à remuneração bruta ou líquida da inversão. são apresentadas as seguintes definições: a) Taxa Real – é a que indica a remuneração do capital desejada por seu proprietário. O mercado de capitais e o comércio utilizam uma nomenclatura variada para definir as taxas de juros praticadas. É a taxa empregada para a atualização e pagamento de valores monetários. antes ou depois da consideração dos impostos. medido em moeda de poder aquisitivo constante.“. É um processo que educa os responsáveis por decisões possibilitando avaliar o desempenho da organização. com certeza ele dará errado. nesta taxa. à taxa real quando o contrato estabelece a taxa de juros e. incentivos fiscais. etc. 9-167 . Normalmente ela é a base para o cálculo do juro a ser pago em uma operação. A ocorrência de uma boa decisão esta vinculada a disponibilidade de dados e informações confiáveis e que as alternativas reflitam as condições de mercado da época em que foram desenvolvidas. iEFETIVA = CustodoCapital Σ{Juros + Enc arg os} = Valor Re cebido ValorFinanciado d) Taxa Declarada – é aquela declarada ou registrada nominalmente nos contratos. Cabe ao analista.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA assertiva contraria a lei de Murphi que diz: “existindo a probabilidade de algum fenômeno dar errado. MatemFinanceira~AULAS~abril2010 ENGENHARIA ECONÔMICA b) Taxa Nominal – é expressa em termos de valores de moeda corrente.. Também pode ser denominada de taxa efetiva. muitas vezes utilizando denominação diferente para a mesma taxa. Ou. corresponde à razão entre o custo do capital tomado e o valor efetivamente recebido. exatamente. 1. Esta taxa engloba a taxa real e a inflação prevista. trata do efeito da inflação.. respectivamente. noutra cláusula. c) Taxa Efetiva – É a que corresponde.decisão visando analisar o processo decisório passado e aperfeiçoar a qualidade das decisões futuras. elaborar um processo com a melhor qualidade possível. também como aquela que incide sobre o capital efetivamente exposto ao risco. g) Juros Postecipados – os juros são ditos postecipados quando pagos na data de vencimento da operação financeira que lhe deu origem. Escreva as formulas disponíveis. e para efeitos didáticos. este procedimento facilita a adequada solução dos problemas de engenharia econômica! MatemFinanceira~AULAS~abril2010 10-167 . Recomendação! Em estudos financeiros: 1º. Neste caso a situação é mais favorável ao fornecedor do recurso. Desenhe SEMPRE o diagrama dos fluxos de caixa. Visualize a solução dos problemas. serão utilizadas como nomenclatura apenas as duas primeiras. f) Juros Descontados . situação em que os juros são mais favoráveis ao tomador do recurso. 3º. a taxa efetiva é superior à taxa expressa ou pactuada.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA No transcorrer deste livro. Neste caso. ou seja. a taxa nominal e a taxa real. compatibilizando as fórmulas com os fluxos de caixa! Atendendo à recomendação. os juros efetivamente pagos e pactuados são equivalentes. Considerando que os juros efetivamente pagos são calculados sobre o capital efetivamente recebido. 2º.os juros são ditos descontados quanto pagos no ato da operação financeira que lhes deu origem. É comum em operações financeiras existirem taxas de abertura de crédito quando se toma uma importância em bancos ou financeiras. Observando esse princípio.1 – Conceituações de Juros Em todos esses casos.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA 2. 2. Ou. sob quaisquer dos dois sistemas de juros acima mencionados. MatemFinanceira~AULAS~abril2010 S=P+J 1 2 3 n-1 n P Fig. haver o pagamento de uma entrada no caso de financiamento de bens de consumo. isto é. ainda. os juros. 2. é possível verificar quando a taxa de juros pactuada e a efetivamente praticada são idênticas ou distintas. 11-167 . os juros serem pagos antecipadamente ao haver uma operação de desconte de título de crédito. No caso dos juros se referirem a uma operação financeira. $ É importante ter em mente. que diferem conforme a incidência dos juros sobre o capital:  Juros Simples. Juro. sempre. o princípio a ser estabelecido é que a remuneração do capital tomado emprestado. Matemática Financeira    A taxa de juros referente ao período da operação. também denominado de interesse. O período de capitalização ou contabilização dos juros. alguns parâmetros devem ser estabelecidos ao ser pactuada a operação: 2.2 – Juros Simples 2. que a taxa de juros efetivamente paga é aquela que incide sobre o capital efetivamente recebido ou disponível para o próprio manuseio. A remuneração de um capital pode ser efetuada sob dois sistemas.2.dinheiro O sistema de juros simples é caracterizado por serem os juros gerados durante o período pactuado para a operação financeira computados na data do vencimento desta operação.1 – Diagrama tempo . As datas de pagamento ou vencimento dos juros. Ou.1 – Definição O sistema de remuneração de capital sob o sistema de juros simples ocorre quando somente o principal rende juros durante o tempo em que foi pactuado o financiamento. serão sempre calculados sobre a importância efetivamente recebida. é definido como a remuneração efetuada tanto a um dinheiro tomado emprestado como ao capital empregado em atividade produtiva.  Juros Compostos. Definindo como P.2. a proporcionalidade entre estas duas taxas é expressa por: nT iT = nf if 12-167 . pela taxa pactuada e pelo número de períodos. 2.2 . as taxas de juros conexas aos períodos considerados. Assim.Equações. Assim: J=P×i No caso do capital for aplicado por “n” períodos. a Taxa de juros expressa em porcentagem.2. obtém-se a expressão canônica do montante de um capital P corrigido a juros simples durante n períodos: Sn = P (1 + n×i) 2. i. Então: J=Pin O montante “S” a ser restituído ao aplicador no final do período pactuado é constituído pela soma dos juros rendidos no período.2. o Montante final de aplicação. o Principal ou o Capital inicialmente aplicado. o montante dos juros a serem pagos é diretamente proporcional a esse numero de períodos. respectivamente. o número de períodos básicos correspondentes ao tempo total da aplicação. o montante de juros a serem pagos na data de quitação da operação financeira é igual ao produto do principal tomado. ocorre a devolução do capital tomado emprestado acrescidos dos juros pactuados. adotando como nT um dado período e nf uma fração deste período. ocorre relação direta entre essas duas taxas de juros. Partindo da definição de juros simples. S.2. Matematicamente: MatemFinanceira~AULAS~abril2010 ENGENHARIA ECONÔMICA Sn = P + J ∴ S=P+Pin Demonstrando: S1 = P + P× i = P (1+i) S2 = P + P× i + P× i = P (1+ i×2) S3 = P + P× i + P× i + P×i = P (1+ i×3) ………………………………………………………… Sn = P + P×i + P×i + P×i +…+ P×i = P (1+ n × i) Generalizando para n períodos. iT e if . acrescidos do capital aplicado. n. nesta data de vencimento.1 – Montante dos Juros Pagos. representando a soma (P+J). em que J é o montante dos juros a serem pagos. e. O montante de juros gerados após um único período de aplicação de um capital proporcionalmente equivalente à taxa de juros pactuada. Um dos questionamentos decorrentes da utilização de juros é definir a proporcionalidade entre a taxa de juros correspondente a um período maior e àquela correspondente a frações inteiras desse mesmo período.2 – Equivalência entre Taxas de Juros. E.2. 2.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA E. No caso dos juros simples. pode ser considerado como sendo o valor futuro do título. Ele somente poderá ser utilizado quando se adota a matemática dos juros simples. e empréstimos ou vendas garantidos por notas promissórias.  Dr = valor do desconto racional.3. a quantia a ser paga ao portador. Como será visto no item 2. saber qual o montante do desconto.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA Atenção quanto à utilização do modelo acima.2. O comprador do título.2. Neste caso. Essas operações servem como fonte de financiamento de curto prazo e são lastreadas em cheques “pré-datados” descontados por empresas de factoring.3. este deverá ser quitado pelo valor de face.3 . àquele que vende o título. o valor de face. na data de MatemFinanceira~AULAS~abril2010 ENGENHARIA ECONÔMICA vencimento do título. Isto porque.Operações de desconto. deverá ser inferior ao valor nominal ou valor de face. É conceitualmente errado utilizar este modelo quando se opera sob a égide dos juros compostos. duplicatas e letras de câmbio negociadas antes da data do efetivo pagamento. ou deságio. F.  t = número de períodos que antecedem a data de vencimento.1 – Tipos de desconto. o adquire por um valor inferior àquele discriminado na face do documento. quando negociado antes da data do vencimento. O valor de face corresponde ao montante expresso no anverso do título. Desconto Bancário ou por Fora. 2. Adotando como nomenclatura:  F = Valor de Face. então.  i = taxa de juros praticados ou pactuados. àquele que está negociando o título.  P = Importância a ser paga ao vendedor do título. importância escrita na face do título e a ser honrada pelo emitente na data do respectivo vencimento. de forma a remunerá-lo durante o período compreendido da data de sua negociação até a data do vencimento. a ser efetuado sobre o valor de face e qual o montante do capital que ira receber pela venda do título.  Dc = valor do desconto comercial. Dois são os procedimentos realizados pelo mercado para calcular o valor do deságio e denominados de: • • Desconto Racional ou por Dentro. O desconto ou deságio pode ser expresso em termos de porcentagem ou em valor monetário a ser descontado do valor de face do título negociado.3. 2. quando este é negociado antes da data do vencimento ou na data de 13-167 . Uma operação financeira corriqueira no mercado é a denominada de desconto ou deságio e efetuada em transações de títulos de crédito. a ser quitado pelo emissor ou o avalista na data aprazada e também expressa no título. Os descontos ocorrem quando títulos são negociados em data anterior ao do efetivo vencimento e correspondem aos juros pagos pelo serviço havido entre a data do desconto e a do efetivo pagamento. Interessa então. isto é. ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA sua emissão. Isto porque, um título só terá o valor expresso em sua face quando na data de seu vencimento, isto é, em um momento futuro determinado por esta data. I - Desconto Racional ou por Dentro. O desconto racional considera o valor da moeda no tempo. Então, o valor nominal do título na data do efetivo pagamento expresso na face do mesmo é financeiramente equivalente ao valor do mesmo na data em que foi negociado. O valor do desconto e do montante a receber é calculado a partir do valor de face na data do vencimento, atendendo os procedimentos estabelecidos pela matemática financeira. Assim sendo, esses procedimentos são idênticos àqueles utilizados na matemática dos juros simples. Porém, deve ser registrado que, muitas empresas, vêm combinando procedimentos estabelecidos pela matemática dos juros compostos com os de juros simples. No caso de ocorrer essa superposição de procedimentos, ou seja, quando os juros são referidos à um período maior, a taxa básica de juros, efetivamente utilizada em períodos menores, é calculada segundo a matemática dos juros compostos. Obtida essa taxa básica, os procedimentos seguem àqueles estabelecidos para os juros simples, segundo o expresso a seguir. Definindo o desconto racional, este corresponde ao montante dos juros expresso em valor monetário, descontado do valor de face de um título dada a negociação do mesmo anteriormente à data de vencimento. MatemFinanceira~AULAS~abril2010 ENGENHARIA ECONÔMICA Matematicamente, o desconto racional é definido por: Dr = F – P Da matemática dos juros simples pode-se correlacionar o valor de face, F, ao valor a ser recebido, P, considerando ser o primeiro o montante disponível no final do período de aplicação e o segundo o principal aplicado. Logo: F = P (1 + ir t) Substituindo “P” na equação acima, obtém-se o montante do desconto racional. Dr = F − F (1 + it ) Dr = ∴ Fit 1 + it II - Desconto Bancário, Comercial ou Por Fora. A priori, é importante ressaltar que o desconto “por fora” é baseado numa convenção mais simples, não se caracterizando por uma cobrança equivalente de juros. Mas, como a simples aplicação direta de uma taxa de desconto. Por definição: Dc = F iC t Neste caso, o montante do desconto é obtido ao se minorar do valor de face, F, o valor a ser recebido, P. Logo: Dc = F – P 14-167 ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA Ao se igualar as duas expressões acima, obtém-se o valor de face: F iC t = F – P ∴ F= P = F (1 – iC t ) ∴ P (1 − ic t ) 2.2.3.2 – Exercícios. a) A importância de R$ 29.345,00 foi recebida após a operação de desconto de uma nota promissória, vincenda em 120 dias. Tendo sido pactuada um taxa de desconto em 42% ao ano, solicitam-se, para os dois tipos de desconto, as seguintes informações: o valor de face do título; e o montante do desconto. (R: R$ 34.122,09/ R$ 33.453,30). NOTA PROMISSÓRIA R$ 12.500,00 Nº 07/09* Vencimento: 25 de abril de 2.012. Ao(s) vinte e cinco dias do mês de abril de dois mil e dez, PAGAREI por esta única via de NOTA PROMISSÓRIA a Antonio de Souza und Silva, CPF nº 111.222.333-44, ou a sua ordem, a importância supra de doze mil e quinhentos reais, em moeda corrente do País. Pagarei em: Florianópolis-SC. Emitente: Jose João Pedro CPF nº. 555.666.777-88. Rua Elfo dos Santos nº. 100. Florianópolis – SC. .................................. assinatura 2.2.4 - Relações entre Descontos e Taxas b) Um Banco pratica operações de desconto de títulos cambiais à taxa de 4,5% ao mês. Solicitam-se as seguintes informações visando comparar o resultado do desconto racional com o bancário: • • O deságio relativo à operação de desconto de uma duplicata cujo valor de face é de R$ 12.500,00, vincenda em 90 dias; O montante a ser recebido pelo interessado na operação de desconto; 2.2.4.1 - Relações entre Descontos. Neste item é analisada a correlação existente entre o montante do desconto por dentro e o montante do desconto por fora, considerando que as taxas pactuadas nos dois casos sejam idênticas, isto é ir = iC . Sendo iguais as taxas nominais pactuadas, a taxa real praticada no processo de desconto por dentro, ou racional, é inferior àquela praticada no desconto por fora, ou bancário. Tal assertiva pode ser demonstrada igualando as expressões dos descontos: MatemFinanceira~AULAS~abril2010 15-167 ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA Dr = ENGENHARIA ECONÔMICA Fit 1 + it E sendo, por convenção: Dc = F i t, Então: Dr = A equivalência entre estas taxas é demonstrada ao se igualar os dois valores a serem recebidos depois de realizadas as respectivas operações de desconto. a) Dc (1 + it ) P = F – Dr ∴ P = F ÷ (1 + ir t) b) 2.2.4.2 - Taxas Equivalentes. DC ≡ DR Data de Negociação Como o valor a ser recebido, P, por definição é igual para ambos os casos, podem ser igualadas as expressões acima. F ÷ (1 + ir t) = F (1 – IC t) ∴ F Data de Vencimento Fig.2.2 – Equivalência entre descontos Por definição, diz-se que duas taxas de desconto são equivalentes entre si quando, dado o mesmo valor de face, resultar num mesmo valor a ser recebido, P, considerando terem sido praticados sistemas de desconto distintos. MatemFinanceira~AULAS~abril2010 Considerando o desconto comercial tem-se: P = F – DC ∴ P = F (1 – IC t) Um dos questionamentos efetuados no mercado financeiro é quanto à correlação entre as taxas praticadas no desconto comercial e no racional. P Considerando o desconto racional tem-se: ( 1 - IC t ) = (1 – IC t) (1 + ir t) = 1 ∴ 1 (1 + i r t) 2.2.5 – Tempo Exato e Comercial Dada uma mesma taxa de juros e um mesmo principal, o rendimento ou montante dos juros apurado em tempo comercial será ligeiramente superior àquele apurado em tempo real ou exato. Essa diferença é devido à diferença do número de dias estabelecida para cada tipo de exercício. Assim, o ano comercial, segundo convenção aceita pelo comercio, estabelece que o mesmo tenha 360 dias. O tempo exato segue o ano calendário com 365 dias. 16-167 00 × 0.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA Deste modo.649. para o tempo comercial e o tempo exato: IComercial = P × t × i 360 e IExato = P × t × i 365 Efetuando a relação entre as duas expressões.930.a.? S = P (1 + i n) S = 11.930.549.930.55) ∴ VF1 = R$ 2º .649.00 + (R$ 345. Nesta condição deseja-se saber: O valor de cada prestação.930.035 × 3) VF3 = R$ 4. pactuado a juros simples a taxa de 2.930.00 × 0.60 DC = S × i × n DC = 14. é função direta do número de dias em que os mesmos foram definidos. consecutivas.00 + (R$ 517. Qual o montante a ser recebido se na data da venda a taxa de juros praticada pelo mercado for de 2.00 + (R$ 4.60 – R$ 2.930.029 × (14-8) DC = R$ 2. pelo prazo de 14 meses.00 + (R$ 4. • • • Entrada = R$ 3. durante um intervalo de tempo t tem-se.480.m.03 VR = R$12. e o montante a ser desembolsado.035 × 1) VF1 = R$ 4.Calculo do valor da 2ª prestação: VF2 = R2 + (R2 × i × n) VF2 = R$ 4.57 a) Um veículo está sendo ofertado em duas condições: a vista por R$ 23.00 (1 + 0.930. fica demonstrado que a proporcionalidade existente entre o rendimento havido durante ano comercial e rendimento havido durante ano exato.00 Financiamento de cada parcela: R = R$ 4.65) ∴ VF3 = R$ 4º . corrigidas por juros simples à taxa de 42% a.m.Calculo do valor da 3ª prestação: VF3 = R3 + (R3 × i × n) VF3 = R$ 4. respectivamente. sendo 15% de entrada e o saldo dividido em quatro parcelas mensais.00 + (R$ 4.0139 IExato 360 ∴ IComercial = 1.930.2.m. Ou. Então: IComercial 365 = = 1.00 × 0.00 Taxa mensal de juros: i=42÷12= 3. 1º .00 × 0.930.00 + (R$ 690.Calculo do valor da 1ª prestação: VF1 =R1 + (R1 × i × n) VF1 = R$ 4. resolveu vender o título.200.5% a. a prazo.930.2% a.6 – Exercícios Resolvidos a) Você aplicou a importância de R$ 11.649.022 × 14) S = R$ 14.200.20) ∴ VF4=R$ 17-167 .Calculo do valor o da 4ª prestação: VF4 = R4 + (R4 × i × n) VF4 = R$ 4.0139 IExato 2.9% a.549.00.200. o rendimento i devido a uma aplicação P. Transcorridos oito meses desta operação.10) ∴ VF2 = R$ 3º .60 × 0.00 + (R$ 4.930.00 + (R$ 172.035 × 2) VF2 = R$ 4.00 na aquisição de um título.03 VR = S – DC MatemFinanceira~AULAS~abril2010 VR = 14.100.035 × 4) VF4 = R$ 4.930.930. pactuado a juros simples. Caso seja descontada nesta data e se a taxa de desconto comercial for de 26.Preço de compra = PC. no Banco da Esquina. O desconto praticado foi o comercial.191.900. 4º item – Taxa real ou efetiva Adotando a matemática dos juros simples e considerando que os juros são calculados sobre o valor efetivamente recebido: f) Você deve a um banco a importância de R$ 1.a.2% a.). VR = F – DC VR = 8.309.6% a.764.4% a.182 = 7i i = 0.500.00.a.00 é tomado a 15% ao mês.191.00 = PC (1 + 0.00 VR = R$ 7. Qual é o valor de face da duplicata descontada? (R: 48.Desconto Comercial.336 × 1) PC = R$ 6.7 – Exercícios propostos.00. o valor do desconto seria reduzido em R$ 1. 2. 3ºitem .000.164.309.Calculo do valor do montante: VFM = VF1 +VF2 +VF3 +VF4 ∴ VFM = R$ c) Uma duplicata cujo valor de face monta a R$ 8.026 → i = 2.00 R$).5% ao ano gerará em sete meses um montante de trezentos mil reais? d) A que taxa de remuneração um capital aplicado sob juros simples triplicará no prazo de três anos? (R: 66.2.m e/ou 31. adotando a matemática dos juros simples.  A taxa efetiva de juros no período referente à operação do desconto.400. solicita-se determinar:  O desconto comercial  O valor recebido  Por quanto a duplicata foi negociada.00 × (0.00.500. Como sabe que não poderá quitar a importância na data aprazada.500.a.a.00 2º item – Valor Recebido. Quanto pagará na ocasião do resgate se quitar o mesmo em cinco ou em dezessete meses? c) Qual o capital que a juros simples de 14. o montante a ser recebido após 4 meses quando um empréstimo de D$1.6% a.27 e) Uma empresa descontou uma duplicata.500. que montou a R$ 10. DC = P × i × n DC = 8. propõe que o pagará no prazo de 90 dias após o vencimento MatemFinanceira~AULAS~abril2010 18-167 . a vencer em 30 dias. se na data desta operação o juro comercial vigente era de 33.362.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 5º .00 foi emitida há 5 meses passados e tem data de vencimento estipulada para daqui a 7 meses.00 = 7. F = PC (1 + i × n) 8. à taxa de 84% ao ano.182 = 1 + 7i 0.67% a.00 ENGENHARIA ECONÔMICA F = VR (1 + i × n) 8. b) Um comerciante obtém um empréstimo de um milhão de dólares a juros de 33% ao ano.00 (1 + i × 7) 1. garantida por uma nota promissória. Se a operação fosse de desconto racional.264÷12) × 7 DC = R$ 1.00 – 1. 1º item .500. a) Calcular. Sabe-se que a diferença entre o valor do desconto comercial e o desconto racional é de R$ 76. Considerando que.00 pergunta-se qual o valor de face do título. dispõe da importância de R$ 20 mil e o Tesouro Nacional esta remunerando as aplicações em 14% ao ano.5% ao mês. os juros na operação de um “papagaio”.00 mil vincenda em noventa dias.0% sobre o valor do título? (R: 23. embutidos no valor financiado. Decida em qual banco deverá ser efetuada uma operação de desconto sabendo que: MatemFinanceira~AULAS~abril2010 ENGENHARIA ECONÔMICA . g) O Bank of Squire pratica o desconto por fora à taxa de 3. pergunta-se: em quanto tempo poderá dispor do montante previsto? 19-167 . Admitindo que a taxa de desconto comercial praticada seja de 72% ao ano.55% sobre o valor do título e uma taxa de administração de R$77. sessenta dias antes do vencimento. h) Um banco pratica o desconto racional à taxa de 4. k) Você dispõe de uma duplicata cujo valor de face monta a R$ 200 mil. qual seria o valor de face? m) Você necessita hoje da importância de R$ 50 mil e foi ao seu banco efetuar um empréstimo.00).00. n) Você resolveu quitar uma dívida.50% ao mês e o valor de face da nota monta a R$ 17. Pergunta-se qual a taxa de juros efetiva incidente sobre esta operação. Informe qual será a efetiva taxa de juros incidente sobre esta operação.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA previsto.90% ao mês. No caso de ser adotado o desconto racional. Sendo uma operação de desconto lastreada numa nota promissória cujo valor de face monta a R$ 30 mil. pactuado a uma taxa de 12.46% ao semestre). ao efetuar a operação. Montando o valor do desconto em R$ 3. sabendo que o banco ainda cobra uma taxa de abertura de crédito de 1.35% ao mês. neste momento. Qual será o valor a ser pago se os juros pactuados foram de 2.923. antecipadamente e por fora. vincenda em noventa dias e pactuada à taxa de 7% ao mês.45% ao mês. 00. . lastreada em nota promissória.08. com prazo de vencimento estabelecido para seis meses. j) O Bank of Squire desconta.317.00. qual será o valor de um novo título a ser assinado? (R$ 2.700.000. Além disto. Ao efetuar o desconto de uma duplicata cujo valor de face monta a R$ 32. O banco calcula o valor de face deste título adotando o desconto comercial à taxa de 4. cobra uma taxa de abertura de crédito de 0. Ao aceitar um título cujo valor de face é de R$ 41.0% ao ano. l) Você efetuou uma operação de desconto comercial para um título vencível em 60 dias à tava de 42% ao ano. (R: R$ 50 milhões).o Banco B – procede ao desconto comercial à taxa de 7.o Banco A – pratica o desconto racional à taxa de 8. pergunta-se qual será a taxa efetivamente paga por esta operação. quanto o banco pagará pelo título? Qual será a taxa total de juros correspondente.00? o) Sua empresa previu a necessidade de aquisição de um equipamento no valor de R4 50 mil e o deseja adquirir com recursos próprios. O empréstimo é lastreado numa nota promissória vencível em 120 dias. cobra uma taxa de administração no valor de R$ 155. vencível em 60 dias.750. i) Determinar o valor de um título a ser resgatado no prazo de 120 dias antes de seu vencimento.00% ao mês. ..Fórmulas Básicas: A principal indagação.... será adotada a seguinte nomenclatura: n.. 22.. fato que contribui para aumentar os lucros esperados.. especialmente quanto ao estabelecido no Decreto nº.2 .... passando a gerar juros no período seguinte.... é caracterizado pela incorporação ao capital dos juros gerados num período. No Brasil..... 2. também denominado de regime de capitalização. após certo número de períodos de tempo e conhecidos os juros pactuados.... nesse sistema de capitalização..... 121 do STF: “É vedada a capitalização de juros. Então.......... i = Taxa de juros pactuados. 2........ 2......3. a remuneração de empréstimos e a cobrança de juros compostos nas relações comerciais é terminantemente vedada pela legislação vigente..1 ..... Visando calcular o montante a ser percebido.. representando o número de períodos de capitalização pactuados... comumente denominado de capitalizados.. pois parte-se do princípio que investidores e empresas reaplicam os lucros e os saldos de fluxos de caixa gerados a cada período.. porém. além disto...Definição.. Sn = Montante a ser recebido após “n” períodos de capitalização. é quanto ao montante a ser recebido pela aplicação de um MatemFinanceira~AULAS~abril2010 P S1 0 1 S2 S3 2 3 n Fig. ENGENHARIA ECONÔMICA capital..3.. ainda que expressamente convencionada”. capitalizados.... Estudos de análise de viabilidade de investimentos são lastreados na matemática dos juros compostos.. ou seja. os juros passam a incidir dobre o novo montante..3 – Diagrama de Juros Compostos S1 = P + (P × i) = P (1 + i) S2 = S1 + (S1 × i) = S1 (1 + i) = P (1 + i) (1 + i) = P (1 + i)² S3 = S2 + (S2 × i) = S2 (1 + i) = P (1 + i)² (1 + i) = P (1 + i)³ S4 = S3 + (S3 × i) = S3 (1 + i) = P (1 + i)3 (1 + i) = P (1 + i)4 . O montante após o primeiro período é calculado de forma idêntica ao dos juros simples..3 – Juros Compostos..... torna-se inconsistente a adoção da matemática dos juros simples em estudos de viabilidade e.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 2. O regime de juros composto.... Sn = Sn-1 + ( Sn-1 × i ) = Sn-1 ( 1 + i ) = P ( 1 + i )n-1 ( 1 + i ) 20-167 . A partir desse primeiro período...... J = Montante dos juros a serem pagos....... P = Capital inicialmente aplicado ou principal. vem de encontro ao estabelecido na primeira premissa que estabelece a maximização do lucro dos proprietários.... orientação corroborada na Súmula nº.626/33 que proíbe a capitalização composta de juros. matematicamente se tem: Sn Pelo acima exposto. Deste modo. após certo número de períodos e aplicado a taxa de juros i%.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA Generalizando para n períodos. conhecidos o valor inicial aplicado.. A assertiva acima ocorre dado o entendimento que investidores e empresas reaplicam os capitais disponíveis. o período de capitalização e os juros pactuados: n Sn = P (1 + i) O total dos juros gerados. depois de efetuada a diferença entre o montante a ser percebido e o capital inicialmente aplicado.3 – Valor Presente e Valor Futuro. ela se ampara no princípio da equivalência de capital e operar dois conceitos largamente utilizados nos estudos financeiros. MatemFinanceira~AULAS~abril2010 21-167 .. quais sejam. gerará uma soma financeiramente equivalente ou seu valor futuro: S=VF n¬i%. 0 .. a matemática dos juros compostos é adotada nos estudos financeiros... (ver Fig.2.4 – Equivalência ... o valor presente – VP e o valor futuro – VF equivalente a um dado montante e vice versa. Períodos n J= P(1+i) -P 2. títulos de capitalização. Assim sendo. n Fig..3. é obtido aritmeticamente. denomina-se VPn¬i% de VALOR PRESENTE do montante de VFn¬i%. etc.. Resumindo: Fórmula do Montante: sendo o entendimento ser esta a matemática mais adequada para analisar investimentos. investimentos em ações. Sn = P ( 1 + i )n J = Sn – P Fórmula dos Juros: VP=P S = VF Taxa i% ou. Como comentado.. então.4 – Equivalência: Valor Futuro). VP n¬i%. a exemplo da determinação do valor de ativos produtivos.. considerando o conceito de equivalência de capital pode-se escrever: VPn¬i% ≡ VF n¬i%. por sua vez.. obtém-se a equação canônica do montante a ser recebido.. P=VPn¬i%. Então: J = Sn – P Para tanto..2. De modo análogo..Valor Futuro Financeiramente... VFn¬i% é denominado de VALOR FUTURO do capital aplicado. dado nesta data um principal expresso pelo seu valor presente.. também denominado de Principal. ou seja. quando pactuado à taxa de desconto.. é equivalente a esta importância quando descontada durante certo período de tempo n a taxa de juros pactuada. denominado de VALOR PRESENTE.1. é utilizada em operações financeiras de título de capitalização. nesta data.5 – Equivalência .3.. cuja representação pode ser efetuada sob as seguintes nomenclaturas: n VF = VP (1 + i) = VP s n¬i% = VP s in 2. n A expressão (1+i) é denominada de Fator de Capitalização ou Fator de Valor Futuro de um Principal. ENGENHARIA ECONÔMICA Partindo da fórmula do montante dos juros compostos.. quando descontado à taxa de juros i%... cuja representação pode ser efetuada sob as seguintes nomenclaturas: 22-167 ... durante certo período. equivalente a um dado montante futuro. VF.Valor Futuro .3.. n Fig. comercialmente denominada de capitalização. Em operação inversa. A expressão do montante dos juros compostos capitalizados define o VALOR FUTURO a ser recebido pela aplicação de um capital. de atualização monetária de capital. a expressão da equivalência de uma importância no presente.3. i%. A expressão 1/(1+i)n é denominada de Fator de Desconto ou Fator de Valor Presente de um capital.. Por definição.Valor Presente – VP. obtém-se o VALOR PRESENTE... Taxa i% S ≡ VF P≡VP períodos n Sendo: Sn = P (1 + i) .3. P. VF. MatemFinanceira~AULAS~abril2010 . i%. após “n” períodos de rendimento. o VALOR PRESENTE – VP. correspondente a uma determinada importância futura.. aplicada durante um período n.2 . então: 0 n VF ≡ VP (1 + i) Essa operação...ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 2. i%.Valor Presente n Sabendo-se que VF ≡ VP (1 + i) .. VP.. conhecido seu montante numa data futura é dada por: VP ≡ VF 1 (1 + i) n Essa operação também é denominada de desconto de um capital a valor presente e realizada quando se deseja conhecer o valor atual relativo a um capital no futuro. é equivalente a esta importância quando capitalizada a taxa de juros pactuada. o valor futuro – VF correspondente a uma determinada importância P..VF.2.. n. 675.Exemplos.000.000 x 1. as taxas de juros conexas aos períodos considerados.4 .932.70 3. a situação do saldo devedor no final de cada período.43 257.13 3.6663 ⇒ da Tabela Financeira P = s 67 = 4. No caso de juros compostos.00R$ n (1 + i) (1.07 )6 b) No caso inverso.00 R$ Ou utilizando diretamente o fator de valor presente: 1 1 P = S× = 4502.00 234.210.502.26 275. um dos questionamentos sobre juros compostos é quanto a proporcionalidade existente entre a taxa de juros correspondente a um período maior com àquela referente a frações inteiras deste mesmo período. a) Seja definir o valor atual de um capital aplicado por seis meses a juros de 7% ao mês. não há relação direta entre essas duas taxas de juros.19 R$ O quadro a seguir mostra a evolução do montante.000.000. S = 3.3.00 3.000. E como iT e iF . 23-167 .00 - Juros – 7% --210. duas taxas de juros são ditas equivalentes quando. sujeitas a diferentes períodos de capitalização.000.19 × = 3. sendo s 67 = 1.00. ou seja. respectivamente.502.07)6=4.5 – Correlação Entre Taxas de Juros Compostos.19 R$ Ou então: MatemFinanceira~AULAS~abril2010 n ENGENHARIA ECONÔMICA S = P (1+i) = 3. Por definição.000×(1.5007 ⇒ da Tabela Financeira.54 Montante – R$ --3. gerou o montante de R$ 4. Identicamente ao sistema de juros simples.19 x 0.207. Adotando como nomenclatura: nT para o período total do financiamento ou empréstimo e nF uma fração inteira deste mesmo período. produzem iguais montantes de juros depois de aplicadas a um mesmo volume de capital.39 4.19? 1 = S v in P = S× n (1 + i) Utilizando tabela financeira: s 67 = 0.70 240.65 4.00 3. Período 0 1 2 3 4 5 6 Principal – R$ 3.502.502.502.3.434. seja um capital no valor de R$ 3.6663 = 3.5007 = 4.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 1 VP = VF × = VF × ( v ni ) = VF × v n ¬ i n (1 + i) 2. qual será o montante a ser recebido após seis meses quando aplicado a taxa de juros de 7% ao mês? S = Psnj ∴ S = Ps76 E.19 2.26 294. ∴ ( 1 + iT ) = ( 1 + iF)F Da expressão acima surgem duas situações: a) Conhecida a taxa de juros relativa ao período fracionário. calculada utilizando a equação de equivalência de juros compostos......... Exemplificando: Seja calcular a taxa de juros trimestral............ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA Demonstra-se a proporcionalidade entre estas duas taxas ao serem igualados os montantes devidos pelo tomador na data pactuada para a quitação do contrato... Matematicamente: iTRI = 4 1 + i ANO − 1 = 0... a taxa a ser considerada no pagamento dos juros é de 5. obtém-se a equação de equivalência de juros compostos fazendo: MatemFinanceira~AULAS~abril2010 Esta operação de calcular a taxa menor correlacionada a uma taxa maior é denominada de “pro rata tempore”. Então: iT = ( 1 + iF)F – 1 b) Conhecida a taxa de juros relativa a um período maior. e sendo iF uma fração de iT . 24-167 . conforme a definição de taxas equivalentes. pois os dois montantes referem-se à mesma operação financeira..2. a ser pago pela utilização do mesmo capital P contratado por um número de períodos nF .. deseja-se conhecer a taxa de juros correlata ao período total..6 – Equivalência .. Então: iT 0 P (1 + iT ) = P ( 1 + iF )F n iF = F 1 + iT − 1 Fig..... fração de nT e remunerado à taxa iF é : SF = P (1+ iF )F Como ST = SF... a ser pago pela utilização de um capital P contratado por um período nT e remunerado à taxa iT é: ST = P (1+ iT ) Por sua vez.Taxas de Juros O montante.. calculada “pro rata tempore”. o montante SF.... ST.7371% ao trimestre..057371 Como um ano dispõe de quatro trimestres... Ou seja: ST = SF P ST = SF S1 iF 1 . incidente sobre uma aplicação financeira quando pactuada uma taxa de juros de 25% ao ano. deseja-se conhecer a taxa de juros correlata a uma fração inteira do mesmo. Expressão comumente adotada em contratos de financiamento ou aplicação de capital. 3º Efetuar.Cuidados a observar. 4º. não se justifica a utilização de juros simples em estudos econômicos. claramente. fazse necessária a verificação de qual a efetiva taxa de juros praticada e que correspondente ao período básico de capitalização. É comum não ser a taxa de referência expressa em contrato a taxa de capitalização efetivamente empregada no cálculo dos juros. um diagrama de fluxo de caixa visando visualizar. o Tesouro Nacional creditará.tesourodireto. 5º Distinguir quando os juros são descontados e quando são postecipados. o valor aplicado acrescido dos encargos pactuados. Realize sua aplicação. 3º.3. costumam reinvestir quantias geradas. Na data aprazada. 7º. O Tesouro Nacional lhe enviará um email informando da aplicação realizada. o Tesouro Nacional efetuará o débito em sua conta corrente da importância aplicada. 4º Quando se trata da capitalização de aplicações.. Solicite ao gerente do banco cadastrar sua conta junto ao Tesouro Nacional. O Tesouro Nacional lhe enviará uma senha que o habilitará a efetuar a aplicação desejada.6 . os procedimentos a serem observados. sempre. 25-167 . através do site: www. Abra uma conta corrente em qualquer banco. MatemFinanceira~AULAS~abril2010 1º. etc. 2º.br 5º. diretamente. Simultaneamente ao procedimento anterior. a matemática utilizada é a dos juros compostos.gov. diretamente em sua conta corrente.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA 2. fato que inviabiliza a confiabilidade nos resultados encontrados: APLICAÇÕES EM TÍTULOS DO TESOURO NACIONAL Procedimentos: 1º Considerando que empresas. Nos estudos de viabilidade há que se observar alguns cuidados necessários a evitar a incidência em algum erro conceitual. 6º. 2º Ao ser utilizada a matemática dos juros compostos. investidores. Exercícios. c) Um terreno foi vendido e faltam pagar duas parcelas de R$ 90 mil. g) Um comerciante obtém um empréstimo de um milhão de dólares a juros de 33% ao ano. iguais e consecutivas.00 % ao ano.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 2. porém cobrados antecipadamente.4. Isto porque. vencíveis em 90 e 120 dias. Estas parcelas deverão ser corrigidas à taxa de 152. Quanto pagará na ocasião do resgate se quitar o mesmo em cinco ou em dezessete meses? Compare os dados obtidos com exercício similar efetuado a juros simples. Realizou um empréstimo para aplicação em capital de giro junto ao banco TDS a ser quitado em noventa dias.55% ao mês? ( ≈ 52 meses). A inflação corresponde a uma taxa de juros que mede a desvalorização da moeda a cada período de tempo. Em quanto tempo os lucros gerados serão equivalentes ao capital aplicado pelos acionistas? ( 2 anos e 8 meses). e qual a taxa efetiva da mesma.4 . MatemFinanceira~AULAS~abril2010 2. A importância da operação montou a R$ 750 mil pactuados a taxa de 1.3.5% ao mês (juros compostos). pergunta-se qual deverá ser taxa de juros mensais. qual a taxa média mensal? (3. ∆Φ ) 26-167 . Pergunta-se qual o valor de quitação de cada prestação na data aprazada? i) O banco TDS apresenta uma lucratividade de 30% ao ano.7 . a taxa nominal será determinada fazendo incidir sobre a taxa real de juros pactuada a variação percentual da inflação ocorrida no período. Assim sendo. qual a sua rentabilidade anual? (36. a taxa de inflação determinará o valor da taxa nominal de juros a ser utilizada no calculo do montante final. especialmente quanto a definição da taxa de juros adotada no pagamento de prestações ou na quitação de empréstimos.1 – Efeito da Inflação. iN = f (iR . 2. quando capitalizados à taxa de 1. a) Sendo o rendimento de uma caderneta de poupança 8% ao trimestre. Considerando que ele será quitado em prestações mensais. d) Um contrato foi pactuado à taxa de 83.Relação entre as taxas nominal e real. pactuado a juros compostos. A inflação é um fato de capital importância a ser considerado nos estudos financeiros. ENGENHARIA ECONÔMICA h) A empresa Alfa de Engenharia Ltda. efetiva. e) Em quantos meses será possível triplicar uma aplicação financeira quando pactuada à taxa de juros de 2. b) Considerando ser a taxa de inflação anual de 54%.66% am).7337% ao ano. a ser utilizada no cálculo das prestações. também denominada de taxa efetiva. f) Em quantos meses se pode levar uma aplicação no valor de R$ 45 mil ao montante de R$ 100 mil. Neste contexto solicita-se: o montante dos juros a serem pagos no final da operação.37% capitalizados mensalmente? (≈ 47 meses).05% aa). a relação entre a taxa nominal de juros.500.2.00 Definindo então estas três taxas que estabelecem o valor das prestações ou a remuneração de um capital aplicado: 0 1 a) A taxa real é definida como sendo a efetiva remuneração desejada por um investidor e é definida em termos de moeda de poder aquisitivo constante.4. 2. 500 − 1 . pela seguinte expressão: Ocorrendo Inflação Φ = 40% (1 + iN) = (1 + iR) (1 + Φ) P = $ 1.00. Matematicamente: iN = iN = M−P P ∴ iN = M −1 P 1 . ela mede o incremento da moeda em termos de valor corrente e expresso em percentual.00 % . Constatou-se. 000 II . matematicamente.Cálculo da Taxa Real: 27-167 ∴ iN = 50.000.Calculo da Taxa Nominal: A taxa nominal é definida ao se efetuar a razão entre os juros pagos e o montante do principal sobre o qual renderam esses juros. Ela é expressa em termos de moeda de valor corrente e. neste período a ocorrência de uma taxa de inflação de 40%? MatemFinanceira~AULAS~abril2010 M1 = R$ 1. Conceitualmente.071 Fig. equivale à taxa real acrescida da taxa de inflação ocorrida durante o período do empréstimo. a taxa real e a inflação é dada. sendo expressa em porcentagem.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA Como será demonstrado no item 2.7 – Efeito da inflação I .00 e que após um determinado período tenha gerado o montante de R$ 1. matematicamente. 500 = −1 1 . A taxa nominal será de 50% no período. Uma expedita diferenciação entre estas duas taxas é efetuada no seguinte exemplo: Seja verificar qual a taxa real e a taxa nominal de juros ocorrida. b) A taxa nominal é aquela empregada no calculo das prestações e pagamentos.000. c) A inflação corresponde à perda do valor aquisitivo da moeda no tempo.500 M0 = R$ 1. Nesta taxa não esta considerada a incidência de inflação no período do empréstimo. 000 1 . considerando o financiamento relativo à uma importância P=R$ 1. 000 1 . 071. ou seja. R$ 1. tem-se: M1 = (1 + Φ) M0 ∴ M0 = M1 ÷ (1 + Φ) ∴ M0 = 1500 . a taxa real e a taxa nominal de juros. porém em moeda de poder aquisitivo constante. Partindo do item anterior (Ver Fig. M1 ≡ M0. descontado o efeito da inflação.2 – Relação entre taxas. A taxa real de juros.43 R$ 1.43 é equivalente à R$1. 07143 = 1 . iR = taxa real de juros.3 – Efeito da inflação). Adotando como nomenclatura: iN = taxa nominal de juros. dada à inflação ocorrida em certo período. isto é. = 1. Φ = taxa de inflação no período.4 Assim sendo. M1 = montante a ser pago havendo a incidência da inflação. iR. a taxa nominal foi calculada em 50% e a taxa real em 7. MatemFinanceira~AULAS~abril2010 ENGENHARIA ECONÔMICA 2. (1 + iN) = (1 + iR) (1 + Φ) Finalizando. iR = 1 . P = Principal ou capital tomado emprestado. é muito superior à taxa real. Ao entender a correlação existente entre a taxa real e a taxa nominal de juros pode o tomador de recurso financeiro. evitar o comprometimento de sua capacidade de pagamento se o valor de sua renda evoluir na mesma proporção da inflação. a taxa real é equivalente à taxa nominal. Pelo exposto é possível verificar que. 43 − 1 . 000 1 . em face da inflação ocorrida no período 0→1. pode-se afirmar que: M0 = P (1 + iR) e que M1 = (1 + Φ) M0 Pode-se afirmar também.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA Por definição. iN. 000 − 1 ∴ iR= 7.500 quando este valor é deflacionando à uma taxa de 40%. a taxa nominal. M0 =montante a ser pago sem considerar a incidência da inflação. 000 1 .1430% Analisando os resultados obtidos. A seguir é demonstrada a relação entre a taxa nominal e a taxa real de juros.4. é medida pela razão entre o acréscimo de dinheiro e o valor aplicado. considerando ser um período único e a incidência de uma taxa nominal neste período que: M1 = P (1 + iN) Substituindo na expressão acima a variável M1 em função da sua expressão por M0: (1 +Φ) M0 = P (1 + iN) ∴ (1 +Φ) P (1 + iR) = P (1 + iN) Simplificando a variável P em ambos os lados da igualdade chega-se a expressão que relaciona a taxa nominal de juros com a taxa real e a da inflação. então. Considerando ter a taxa de inflação comportamento equivalente a uma taxa de juros.10%. pode-se determinar a inflação num dado período. 071 .071. a partir de um 28-167 . E. medida a partir de uma determinada data. medido em R$/metro quadrado. que mede o custo para sustentar uma família. definida como data base. Como exemplo destes índices tem-se: o CUB. que mede o custo unitário básico para a construção civil. tendo sido pactuado que renderia juros de 2% ao mês acrescido da correção monetária no período. medida por R$/kg.2.7 – Inflação e índices 2. seja calcular a taxa de juros a corrigir o valor de um título vencido há trinta dias.3 – Inflação e Índices. similarmente. Os índices inflacionários representam a evolução do custo de uma mercadoria. I0 In →Φ→ 0 Data base n Data n Fig. definida em 1. como os citados. medido em R$/cesta de custo incorrido.02) (1 + 0.53% ENGENHARIA ECONÔMICA Adotando como nomenclatura: Io para representar o índice da inflação no período definido como data base e. ou a evolução do custo do aço. pode-se escrever que. In representar o índice de inflação medido em uma data futura qualquer “n”. A seguir será discutida a metodologia do calculo da inflação passada. (1 + iN) = (1 + iR) (1 + Φ) (1 + iN) = (1 + 0. Ao substituir o valor do I incremento pelos índices que lhe deram origem tem-se: 29-167 . representando por Φ a taxa de inflação ocorrida no período compreendido entre a data base e a data n.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA montante conhecido e do valor investido ou principal.015) ∴ iN = 3. através das seguintes expressões: M M1 1 + iR = 0 e 1 + iN = P P M1 1+ Φ = M0 Como exemplo de aplicação. de um serviço por unidade de medida. MatemFinanceira~AULAS~abril2010 A taxa de inflação ocorrida num dado período pode ser facilmente definida através da utilização de índices inflacionários.4.5% neste último mês. P ∆I considerando índices: Φ = . partindo do conhecimento de índices inflacionários. o INPC. ∆P Φ= ou. que expressam a evolução da perda do valor aquisitivo da moeda. Como a inflação entre dois períodos de tempo equivale ao incremento percentual da evolução do preço no período. todos esses índices definidos para determinado período ou mês. portanto. faz-se um alerta quanto a cuidados a serem observados ao serem utilizadas a taxa nominal e a taxa real de juros. dispondo de distinta metodologia em sua determinação. do custo da construção civil. Neste caso. Neste caso. Dinheiro em moeda constante → i real. o organismo responsável por acompanhar e divulgar índices oficiais de inflação é o IBGE – Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística.debit. no tempo. todos destinados a medir a inflação incidente sobre o consumo das famílias brasileiras ou do comércio em atacado. Finalizando. A taxa nominal de juros é utilizada quando existe a ocorrência de inflação. Ou.4 – Tipos de Índices Diversos são os tipos de índices inflacionários utilizados no País. No âmbito da construção civil. elaborado e publicado mensalmente pelo Sinduscon – Sindicato da Indústria da Construção Civil de cada região. Esses índices podem ser destinados a medir a inflação de um modo geral. deste assunto tais como: a revista Conjuntura Econômica. ou de qualquer outro segmento industrial. o mais festejado é o CUB – Custo Unitário Básico da Construção. parte-se do princípio da ocorrência de perda de valor aquisitivo da moeda. Existem publicações que tratam. parte-se do princípio que a moeda em utilização dispõe de poder aquisitivo constante. sob pena de cometer erro conceitual grave: 30-167 . o CUB. a exemplo de custo materiais elétricos. do alumínio e do aço. medir de modo mais específico. e a revista SUMA Econômica. Cada um deles visando atender a um fim específico e. o IPCA – Índice Nacional de Preços ao MatemFinanceira~AULAS~abril2010 ENGENHARIA ECONÔMICA Consumidor Ampliado. Dinheiro em moeda inflacionada → i nominal. lojas e andares abertos. a exemplo do INPC e do IPCA.br No Brasil. especificamente. Ou sites da internet a exemplo de http://www. cujo objeto é medir a inflação ocorrida tanto em edificações residenciais. como em galpões. ambas mensalmente publicam uma coleção desses índices.4. 2. tais como o INPC – Índice Nacional de Preços ao Consumidor.com. publicação da Fundação Getúlio Vargas – FGV. serviços de transporte. o IGP – Índice Geral de Preços.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA Φ= In − Io Io In ∴ Φ = −1 Io Memorize! A taxa real de juros é utilizada quando não é considerada a ocorrência de inflação. O IBGE produz índices que medem a inflação ocorrida em diversos segmentos sociais do Brasil bem como os preços por atacado. sendo os índices adotados oficialmente pelo governo e pelos tribunais. .. no tempo......5... pode ser expressa sob a seguinte notação. Pn = preço no tempo n. mesmo tendo ocorrido..... a cada período intermediário. Neste caso..5 – Inflação Acumulada. Φo1 = taxa da inflação existente entre o tempo 0-1........ Φo2 = taxa da inflação existente entre o tempo 0-2........ A inflação acumulada deve ser calculada da forma idêntica à taxa de juros compostos......2..... Inflação acumulada é aquela ocorrida em determinado espaço de tempo.. parte-se do princípio da perda de valor aquisitivo da moeda. parte-se do princípio que a moeda em utilização dispõe de poder aquisitivo constante.. A taxa nominal de juros é utilizada quando existe a ocorrência de inflação. Então.. um valor diferente dos outros. denominada zero......... e uma data qualquer n. P1 = preço no tempo 1.. A definição da taxa de inflação ocorrida entre dois períodos consecutivos pode ser considerada identicamente como o caso de calculo de juros simples incorridos entre dois períodos consecutivos. para definir a inflação para diversos períodos tem-se: P1 = Po + Po Φo1 = Po (1+ Φo1 ) P2 = Po ( 1 + Φo1 ) ( 1 + Φ12 ) = Po ( 1+ Φo2 ) P3 = Po ( 1 + Φo1 ) ( 1 + Φ12 ) ( 1 +Φ23 ) = Po ( 1+Φo3 ) . Po P1 Io1 P2 I12 Pn I2n 2. Pn = Po (1 + Φo1) (1 + Φ12) (1 + Φ23) … (1+Φ (n-1)n) 0 1 2 Fig..... Como já comentado... Adotando como nomenclatura:       Po = preço no tempo 0.... Neste caso.. em que Φ representa a taxa de inflação medida entre uma data base...... a inflação corresponde a uma taxa de juros que mede a desvalorização da moeda a cada período de tempo.. Então: 31-167 ......ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA A taxa real de juros é utilizada quando não é considerada a ocorrência de inflação.8 – Inflação por período....... P2 = preço no tempo 2... MatemFinanceira~AULAS~abril2010 n ∴ Pn = Po ( 1+Φ0n ) A expressão acima que permite atualizar monetariamente Pn..... 2.1 – Fórmulas Básicas. é função de dois fatores: a remuneração real e periódica do capital.. são conhecidos.. Basicamente.Atualização adotando juros simples. é possível calcular a taxa de inflação. In. Isto porque..9 – Atualização de Valores 2. A correção monetária. A atualização do valor de Po. Pn. como será analisado abaixo.2. é efetuada partindo da expressão {(1 + iN) = (1 + iR ) ( 1 + Φ )} .. Φ . P0. n Fig. P0 Pn iR iNT Como exemplo. a taxa de juros adotada na atualização de valores monetários é a taxa nominal. a taxa nominal. E esta. Φ.. n Φ = 0 In 864 .e a correção monetária do período. e um período qualquer denominado de n... ocorrida entre um período inicial. Pn. generalizada para n períodos. como anteriormente visto.68 −1 = − 1 ⇒ Φ = 0 . ou seja. pois mensalmente determinados e publicados. ou seja.43 0 1 2 . . (1 + iN) = (1 + iR ) ( 1 + Φ ) Operacionalmente. denominado zero.49 % Io 860 .5. sendo considerada nos dois casos da mesma maneira. havida entre os meses de junho de 2005 e março de 2006. iR .ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA n Pn = P o × (1 + Φ ) 0 Considerando que os índices inflacionários.. é função da taxa real – iR 32-167 . Como já visto a inflação ocorrida entre dois períodos quaisquer é dada por: n Φ = 0 In −1 Io ENGENHARIA ECONÔMICA A taxa nominal de juros. Pn = P0 × (1 + iNT) MatemFinanceira~AULAS~abril2010 I.2 – Atualização de valores monetários. a remuneração do capital pode ser efetuada adotando a matemática dos juros simples ou a dos juros compostos. medida em CUB. um valor corrigido. multiplicado pela taxa nominal de juros relativa a todo o período da atualização pactuado. é equivalente ao valor inicial. seja calcular a inflação acumulada da construção civil. atualização monetária do valor é realizada segundo o índice pactuado em contrato. 12 2.93 10. utilizando à mesma fórmula da correção da inflação. considerando a incidência da inflação no período e da taxa de remuneração do capital.4. . (1 + iNT). (% 12 Mês) Janeiro R$ 737. chega-se à expressão que permite a atualização de um valor monetário em se adotando a matemática dos juros simples. Então.Atualização adotando juros compostos.17 Abril R$ 747. chega-se à: n Pn = P 0 (1 + Φ ) × (1 + i R ) n 0 Voltando agora para o caso da relação das taxas de juros.58 0.98 1.30 0.22 Maio R$ 755.81 0.36 33-167 .19 9. conforme discutido no item 2. calculando a atualização monetária em função da taxa nominal de juros a ser aplicada para o número total de períodos n.64 0.16 0. 0 Pn = P0 × (1 + n × iR ) Substituindo a expressão representativa da taxa nominal de juros. define-se a expressão que permite a atualização de um valor monetário em se adotando a matemática dos juros compostos.17 Julho R$ 779.89 7.66 10. n (1 + i NT ) = (1 + Φ ) × (1 + i R ) n 0 n Ano 2004 P n = P 0 (1 + Φ ) × (1 + n × i R ) 0 II.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA pactuada.30 Fevereiro R$ 737. e da inflação no período.16 11. pelas expressões do produto da taxa real de juros para cada período e da correção monetária.52 10.29 8. Adotando procedimento idêntico ao anterior. porém abrangendo todos os n períodos.41 2.57 5.03 0. (Média em R$) (% Mês) (% Ano) Var. tem-se: Pn = P0 × (1 + iNT) Sabendo-se que a expressão da correção monetária de um valor é dada por: ENGENHARIA ECONÔMICA E.58 1.08 Junho R$ 775.74 0.82 0.57 5. n Sabendo-se que: P n = P 0 (1 + i R ) MatemFinanceira~AULAS~abril2010 CUB Médio – Sinduscon – Florianópolis Valor do CUB Variação Var. têm-se o caso geral da taxa nominal de juros a corrigir um pagamento único durante n períodos.2 e sabendo que: n Pn = P0 × (1 + Φ ) Pn = P0 × (1+ iNT) E que a expressão do montante dos juros simples pode ser expressa sob a seguinte forma: Substituindo a expressão de Pn na expressão anterior.70 Março R$ 743. 60 Novembro R$ 895.47 0.92 Agosto R$ 859.62 Fevereiro R$ 818.97 Junho R$ 888.80 11.79 2.08 5.56 0.73 -0.34 0.49 Maio R$ 828.68 -0.72 Janeiro R$ 862.54 -0.43 Julho R$ 894.85 0.99 Fevereiro R$ 865.01 Agosto R$ 894.25 3.55 10.04 10.840 Outubro R$ 863.06 5.33 4.3 6.11 10.93 9.38 4.96 10.23 0.85 8.71 4.86 5.48 0.926 Dezembro R$ 858.18 4.89 Outubro R$ 895.37 0.242 4.03 9.94 1.11 5.67 -0.26 Junho R$ 860.417 .32 Ano 2005 CUB Médio – Sinduscon – Florianópolis Valor do CUB Variação % Var.86 -0.27 -0.49 5.23 -0.73 5.75 0.80 0.26 0.52 0.65 2.32 0.05 8.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA Agosto R$ 795.55 8.74 0.95 Setembro R$ 896.87 0.56 Maio R$ 863.14 0.28 Julho R$ 861.780 Novembro R$ 861.39 -0.72 Março R$ 821.91 3.06 8.417 MatemFinanceira~AULAS~abril2010 34-167 3.66 10.004 4.2 10.89 4.868 3.50 -0.39 0.48 1.26 Abril R$ 824.91 0.52 3.55 0.04 10. Média em R$ Mês (% Ano) 11.21 Novembro R$ 815.47 11.322 3.40 -0.36 7.52 Março R$ 864.71 Dezembro R$ 887.65 8.27 -0.12 0.25 Abril R$ 861.490 3.60 4.63 -0.30 Dezembro R$ 819.120 4.61 Setembro R$ 800.70 4.11 0.32 Variação (% 12 Mês) Ano 2006 CUB Médio – Sinduscon – Florianópolis Valor do CUB Variação % Variação % (Média em $) no Mês no Ano Variação % 12 Mês) Janeiro R$ 816.84 Outubro R$ 807.360 3.81 -0.103 Setembro R$ 863.39 10.230 4.040 4.48 5.46 3.30 0.18 5. 8059 1.3198 1.6324 35.7856 1.003.9869 24.5055 153.6161 390.0363 90.3209 3.8513 1984 1985 1.6789 1.9419 54.6468 1.1677 8.498.6564 1.6525 2.4648 7.3633 14.8613 2.7725 1.1645 4.9380 2.5896 1.9775 7.1140 283.0669 25.5297 1.4113 1.833.2924 1990 166.0598 1.9974 2.5194 64.1530 287.9560 2.5720 2.7104 1.4103 51.7418 2.7974 1.9306 2.3678 1.548.6429 1.732.1277 2.9886 1.7739 6.4541 2.9433 2.7426 2.0352 2007 Fonte:IBGE MatemFinanceira~AULAS~abril2010 Jun Jul Ago Set Out Nov Dez 134.6997 72.9799 8.3463 91.8610 52.6035 1.9868 3.3129 139.4193 4.6805 0.9360 2.3245 189.7193 769.6056 2.0603 3.741.6575 1.2672 119.5525 1.1050 1.136.9514 1.8884 305.5949 1.0252 224.9035 1.0014 3.8389 614.8138 2.7315 119.7414 608.5977 1.1737 1.3027 169.5236 1.6589 1.0857 2.7917 0.Os valores indicados referem-se ao dia 1° de cada mês Jan Fev Mar Abr Mai 100.4344 3.7252 2.5944 335.6462 1.0526 8.8593 2.2308 81.397.720.9730 1.4234 9.5868 1.0573 2.4784 1.1534 2.5701 1.3831 8.5086 2.4422 1.8385 0.1729 1994 1.5820 2.2649 8.5812 1.5907 1.2347 1995 1.0571 1.5542 28.0917 29.7865 1.5511 2.0901 1.5953 1.2412 9.6910 126.7100 113.7654 2.5856 236.9160 2.1815 391.5276 2.7394 162.0645 878.4343 1.2634 2.9386 2.9767 803.1599 253.7805 240.960.203.9684 3.5790 60.5023 0.6740 2.6068 1.9006 185.8531 1.5456 2.3884 1.6292 1.9038 1.1707 2.924.0787 434.8853 157.1208 68.1436 17.6272 2.00 106.2231 2.0793 2.5878 28.736.8779 2.7998 1.2062 31.5916 2.6589 21.2937 1.9657 1.2047 1.2843 733.2011 201.135.0431 3.9745 15.1887 2.7196 123.5221 2003 2.2800 218.4981 1.0633 5.373.7326 1.0273 3.932.2984 2.0161 2.0623 3.7070 2.9533 319.3333 1.7298 2.8005 1.9081 2.4421 1.1377 1.8175 19.8188 1986 5.3532 3.8798 1.044.6874 2.2817 175.9127 1.8625 16.4474 2.1148 2.6372 1.5083 0.7393 1.8466 1983 556.6375 2.8310 1.8667 960.4319 1.00 em Janeiro/1982 .2881 1.8942 1.414.4188 2.8754 144.6263 270.3489 1.3055 1.9287 2001 2.138.9706 668.2106 269.1570 1.2350 1.0202 241.541.8641 1.6468 1991 955.8611 1.8222 502.0747 1.6699 478.834.5400 1.0429 165.2543 104.5891 1.4536 1982 200.507.4506 1988 0.201.5471 2.312.0406 1.9253 4.5161 1.938.3605 2.1522 2.9060 1989 9.6571 63.3105 104.6968 608.258.1855 1.5603 6.0803 35-167 .7206 2.8507 12.4463 1.6443 1.822.9227 2.7231 1.1133 436.0668 39.5795 1997 1.184.8409 1.8570 2.2984 74.5716 513.0740 40.709.6446 1998 1.6399 1.264.6411 1.9033 7.9397 1.5595 1.048.8561 2.347.5466 2.0525 3.6855 4.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA INPC – Índice Nacional de Preços a Consumidor < VALOR BASE = 100.5007 302.8014 2000 1.6471 2.8394 2005 2.420.0986 2.4597 1996 1.7092 1.8423 873.1060 309.476.1129 2002 2.8570 2.3910 6.7854 7.8934 2.9050 2.9392 2.8901 1992 1993 11.5239 1.7812 2.6543 1.5454 7.7491 88.8695 1.0421 2.636.5349 1.6443 434.6634 2004 2.1081 1987 45.7560 1.7004 1.255.1386 355.4877 2.2607 1.0140 3.7965 1.5840 127.9248 7.7934 2.5216 31.7084 1999 1.9342 2006 2.039.791.949.3679 1.7386 4.2884 10.6205 1.3653 376. Os juros pactuados eram de 10. sabendo-se que deverá ser corrigido pela variação mensal do CUB.590. Seja adotando o calculo por juros simples ou compostos.22% ao mês.2005. o aplicador descobriu que no período da aplicação ocorreu uma inflação média mensal de 3. O contrato foi firmado em 10/maio/2005 e o serviço em questão concluso em 10/outubro/2005.6 – Exercícios.2006 pelo valor de R$8.500. sabendo que deverá ser corrigido pelo INPC.425. vencido em 30.350.36 e R$ 15. deseja-se saber: O valor montante a ser recebido no final do período. acrescido dos juros de 1.01.500 mil foi capitalizada pelo prazo de quatorze meses.2005.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 2.00. Considerando que o valor do título foi atualizado monetariamente pelo INPC. Pergunta-se: você concorda com o valor cobrado e qual seria a sua proposta. h) Você recebeu uma carta de cobrança relativa a uma compra efetuada a vinte e dois meses e não quitada. e) A importância de R$ 2. tendo sido pactuada uma taxa real de juros capitalizada a taxa de 0. calcule a taxa de juros adotada para remunerar o capital.397. visando quitar a dívida nesta data? 36-167 . Efetuar o solicitado utilizando a matemática dos juros simples e a dos juros compostos. foi quitado em 30. E.06. a) Um dos serviços componentes de um contrato de empreitada foi orçado em R$ 15. pré-fixada em 45% ao ano. A taxa nominal de aplicação para o período completo? g) Uma dívida no valor de R$ 28 mil foi paga com atraso de 14 meses. dado seus conhecimentos sobre cobrança e a incidência de juros.00 venceu em 01 março de 2005 e não foi quitado na data aprazada.86. Após receber a importância devida. Calcular o montante necessário para quitar o título em 28 de fevereiro de 2006. Pede-se calcular o preço a ser pago pelo serviço.2 % ao mês (compostos). f) Um capital no montante de D$ 77. 48%.15) b) Um título no montante de R$ 7.800.96.50% ao mês.12. ( R$ 15.00.00. MatemFinanceira~AULAS~abril2010 ENGENHARIA ECONÔMICA já que foi pactuada a correção pelo índice do INPC e os juros em 2.200.00.000.639.00 foi aplicado por dois anos.601.04. Considerando que no primeiro ano da aplicação a inflação medida foi de 34% e.2005 pelo valor de R$ 7. Pergunta-se qual o ganho de capital no período. tendo sido pactuada uma taxa de juros bruta. d) Um título no montante de R$5. O valor cobrado montava a R$ 2. Caso haja divergência calcule a taxa de juros aplicada.00. Verifique se a atualização dos valores esta correta. Calcule a diferença entre os juros pagos quando quitada sob a matemática dos juros simples e a do composto. vencido em 31.5% ao mês. foi quitado em 30. sendo que o total da nota fiscal de origem da dívida somava a R$ 1. no segundo. a) Um título cujo valor de face monta a R$ 12.700.5% ao mês. 58% ao ano.01.01. capitalizados mensalmente. calculada “pro rata tempore”. a juros de 7.O montante a ser recebido por uma aplicação de R$ 700.3% a cada período. o banco utilizou juros compostos. à vista.000.00 % ao ano e capitalizados trimestralmente.000..ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA i) A importância de R$ 53 mil foi aplicada pelo prazo de setenta e sete dias. ( Utilize o INPC-IBGE).VP e o Valor Futuro .  O crescimento nominal e real da economia entre 1996 e 2. considerando operações de desconto de títulos pactuadas em noventa dias. pergunta-se se a taxa de 52% pode ser denominada de taxa nominal. informe:  O crescimento nominal e real da economia ocorrido na década encerrada em 2005. Responder o mesmo questionamento caso ocorrer uma inflação de 2.PIB R$(milhões) 1 937 000 1 769 202 1 556 182 1 346 028 1 198 736 1 101 255 973 846 914 188 870 743 778 887 646 192 37-167 .00. MatemFinanceira~AULAS~abril2010 ENGENHARIA ECONÔMICA o) Uma aplicação financeira foi pactuada para um período de nove meses. à taxa de 25.00.5% ao ano e acrescido de correção monetária. . acrescida da inflação. por um prazo de três anos.a. qual dos índices você escolheria caso fosse o aplicador do recurso: o INPC ou o IGP-M? q) Considerando a informação abaixo.5% ao ano.5%.00. tendo ocorrido uma inflação de 35% no período da aplicação? n) Considerando a questão anterior. Calcular o Valor Presente . Sendo sua a decisão. pergunta-se qual o montante a ser pago. a uma taxa de juros de 27. l) Uma imobiliária vende um terreno em duas prestações de R$ 150. ao ser adotada uma taxa de desconto de 3% ao período.000.1998. Considerando serem os juros arbitrados em 83. Ano 2005 2004 2003 2002 2001 2000 1999 1998 1997 1996 1995 Produto Interno Bruto . pelo terreno? m) Qual a taxa de juros real pactuada sobre uma aplicação financeira de 24 meses cuja taxa efetiva foi pactuada em 52% a. Explique cada um dos conceitos. contratada em 31.000.VF após onze períodos da data em consideração.O valor percentual da inflação acumulada entre 01. qual será a importância a ser recebida no final do período pactuado? p) Solicita-se calcular: . Sendo aplicados $ 75.00 vencíveis em 180 e 270 dias da data do negócio.01. quando se sabe que um banco pratica uma taxa real de 2. k) Você sabe que após 4 períodos vai necessitar da importância de R$ 7.1995 e 31. Qual o montante a ser recebido no final do período quando os juros pactuados foram o composto? j) Defina qual o valor da taxa de desconto comercial é equivalente à da taxa de desconto racional. calculada pelo INPC. E. efetiva ou bruta.1995. no valor de R$ 27.00.08.5% ao mês. (Ver. Considerando que a aplicação em títulos do Tesouro Nacional remunera o investidor a taxa de 15.987. y) Um contrato de empreitada no montante de R$ 333.00 foi aplicado em 31/12/1994. A política de gestão da caixinha é a seguinte: Quando ela toma capital emprestado.33 % ao mês? s) Elaborar um único gráfico mostrando a taxa de crescimento nominal e a taxa real do lucro de uma empresa.000.53 em juros. pergunta-se: Se José da Silva emprestar à caixinha a importância de R$ 40. mensal.00 mil. a seguir.000. utilizando como índice de correção monetária o Índice Nacional de Preços ao Consumidor do IBGE: Ano Lucro 10³ R$ 1996 1997 1998 1999 2000 2001 650 760 790 850 880 920 t) A caixinha dos funcionários do Braspel. Assim. Pergunta-se qual a taxa mensal de juros praticada.2006 e capitalizado durante sete meses. empresta e aplica dinheiro. tendo rendido a importância de R$ 1. se é vantajoso aplicar no STS. Neste caso. o empréstimo tem como garantia um cheque pré-datado. pelo prazo de 12 meses. definir a taxa de juros efetivamente paga. o banco Fastmoney Ltda. para qualquer tipo de operação financeira. se é uma operação de risco. capitalizado por cinco anos e atualizado monetariamente pelo INPC. E. lhe propôs uma aplicação em título de capitalização de R$ 800.00 foi aplicado em 01. x) O Banco STS S/A.00. exatamente.00. Assim. não foi quitada. MatemFinanceira~AULAS~abril2010 u) O capital de R$ 5. conforme abaixo. os juros são cobrados antecipadamente.03. vincenda em 90 dias. a importância de R$ 40. 38-167 .2004.080.000.2005. Quando empresta aos associados. praticando sempre a taxa de 8% ao período. deseja-se saber qual a taxa de juros embutida na proposta do STS.50 % ao ano acrescido da correção monetária prevista para 5% no próximo exercício.077. de juros incidente nesta operação financeira. O contrato previa o pagamento e a correção das etapas durante a construção segundo a variação mensal do CUB. criada para atender rapidamente necessidades financeiras de seus associados. a ser descontado no dia do pagamento.000. qual será o montante do cheque (pré-datado) a ser preenchido como garantia do empréstimo? Na hipótese anterior. w) O montante de R$ 7. Sabe-se que o banco Brother Inc.02. ou melhor. A última etapa executada e conclusa em 30. e.98 % ao mês. pratica uma taxa de juros simples de 5. Pergunta-se qual a taxa real. o citado título).00 quanto a ele será devolvido no final de um mês? Se José desejar retirar da caixinha.65.00 mil foi firmado em 01. O valor resgatado foi de R$ 14. findo os quais lhe devolverá R$ 1. v) Defina em qual instituição financeira deverá ser descontada uma duplicata emitida pela empresa Rota Norte. paga os juros no vencimento. uma taxa de juros compostos de 4.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA r) Qual o tempo necessário para triplicar um capital quando este for capitalizado à taxa de 1. sabendo que o índice adotado para a correção da divida é o INPC. sabendo que a taxa de juros pactuada é de 3% ao mês.000.52% ao ano. pergunta-se qual seria o valor a ser pago visando a sua quitação sessenta dias antes de seu vencimento.2% ao mês. sendo a primeira delas quitada na data da assinatura do contrato. Efetuar o solicitado utilizando a matemática dos juros simples e a dos juros compostos. iguais e consecutivas.00.00.2005. z) Uma duplicata relativa à venda de material de construção foi emitida com pagamento para 30/06/2006. MatemFinanceira~AULAS~abril2010 39-167 . Montando o valor de face em R$ 22. solicitando pagá-la em parcelas mensais de R$ 1.25.09. az) Uma empresa negociou uma dívida de R$ 10 mil junto a um banco.597. Sabendo-se que a taxa de juros cobrada em empréstimos deste tipo é de 32.5% ao mês (juros compostos) e o principal sendo corrigido pela projeção da variação mensal do CUB. acrescido dos juros de 1.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA Solicita-se seja calculado o valor do montante necessário para quitar o título em 30.800. No seu valor de face já estava embutida uma remuneração do capital de 1. pergunta-se: quantas parcelas serão necessárias para quitar o débito? bz) Uma empresa negociou a aquisição de um equipamento no valor de R$ 22. Calcular o valor efetivo de cada uma das parcelas. financiada pelo fabricante e dividido em seis parcelas mensais. ........... Assinatura do Emitente Valor – R$ 100......... 20.... Nome do Sacado: Ipsis Literis Editora Ltda.. VALOR por extenso ......10........213/0001-02 Insc. Endereço: Rua das Maitacas nº 666.. FATURA .........000.... Data do aceite MatemFinanceira~AULAS~abril2010 Rua Don João VI nº 1808 – cj... ............................ VENCIMENTO DUPLICATA Para uso da Instituição Valor – R$ Nº de Ordem Financeira.....888. Desconto de: Até Condições Especiais: a vista desconto de 5%.313-03 (vinte mil reais)......Est..777/0001-23 Insc.........325 Data de emissão: 20 de julho de 2006........... 007 CGC/MF nº 99.............433 – C/E Nota(s) Fiscal(is) nº 2........................00 Número 1......ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA ROTA NORTE Engenharia e Construções Ltda..... Assinatura do Sacado 40-167 ..............329...................... Estadual – Isento Bairro do Bonaparte – Rio de Janeiro – RJ ....................................... Município: Rotunda Ária Estado: ST CEP: 11............... ou a sua ordem.2006 20.................00 1..................... nº 31.... Reconheço(cemos) a exatidão desta Duplicata de Venda Mercantil.... em pagamento parcelado na importância acima que pagarei (emos) à Rota Norte Engenharia e Construções Ltda............................. na praça e vencimento indicados....322/ 2323/2......321...000................111-999 Praça de Pagamento: CGC ou CPF: 123.......... quando ocorre uma sucessão de pagamentos iguais.4. Comparação dos resultados econômicos de operações financeiras ou análise de decisão entre investimentos que rendam dividendos periódicos. Série Uniforme Postecipada.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 3. assim sucessivamente. será demonstrado como calcular o Valor Presente. 3. 3. Formação de fundos de capitalização. VF(SP). ocorrendo o primeiro pagamento no primeiro período e. Diversos tipos de séries de pagamentos podem ser adotados nos empréstimos ou financiamentos. MatemFinanceira~AULAS~abril2010 ENGENHARIA ECONÔMICA As variáveis a serem consideradas no estudo de séries são: a taxa de juros pactuada. conhecida a prestação R(SP). a exemplo de depósitos programados em títulos de capitalização ou a formação de capital visando à aquisição futura de bens. Valor Presente S = Valor Futuro R = Prestação 0 1 R 2 3 4 n Tomando como exemplo de uma série uniforme postecipada o desenho acima. primordialmente quanto à análise de: i. até que o ultimo pagamento seja realizado no período n.1. Uma série uniforme de pagamentos é dita postecipada. Amortização de dívidas. 3. neste capítulo serão estudadas aquelas mais comumente utilizadas no comercio e no mercado de capitais brasileiro. a série de pagamentos iguais a “R” é iniciada após a pactuação do principal “P”. Nos itens a seguir. Futuro de uma série uniforme postecipada. sendo o primeiro pagamento realizado concomitantemente com o PRIMEIRO PERÍODO POSTERIOR à data da operação financeira que lhes deu origem. e o Valor. Série Uniforme Infinita. como 41-167 . Séries de Capitais Por definição uma série de capitais é caracterizada como sendo uma seqüência de pagamentos periódicos. 3.2. o número de períodos da operação. mediante o pagamento de prestações iguais e consecutivas. o número de períodos e a taxa de juros pactuada. facilitando o cálculo das variáveis desejadas através da adoção de modelos matemáticos. iii. Serie Uniforme Antecipada. VP(SP). R.3.1 – Série Uniforme Postecipada. também. ii. E. tais como operações de crédito e compras a prazo. o valor presente. o valor futuro dos pagamentos realizados e o valor da prestação. Série Diferida. a saber: 3. consecutivos e que apresentem alguma lei de formação. efetuados em intervalos regulares e constantes. O estudo contido neste capítulo permite efetuar diversas operações com juros e pagamentos realizados corriqueiramente no comércio. Pn = Rn ( 1 + i ) -n Ao ser somado os Pk para k = 1.. pode ser caracterizada como -1 uma progressão geométrica cuja razão é q = (1 + i) e o -1 primeiro termo a = (1 + i) .. fica definida a expressão do Valor Presente de uma série uniforme de pagamentos “R”. se dispõe de uma série uniforme de pagamentos. chega-se a: S(PG) = . + (1+ i)-n } MatemFinanceira~AULAS~abril2010 -n A série representativa do segundo termo da expressão acima. com k variando de 1 a n.. fato corriqueiro em empréstimos e vendas a prazo. 3. o valor presente da série de pagamentos.. relacionando o valor presente para cada “Pk”.. Por motivo de facilidade de notação. Pk como sendo o valor presente associado a um pagamento singular qualquer Rk. Então: VP = P1+ P2 + P3 +····· + Pn Sabendo que o valor presente de cada pagamento singular é dado pela expressão: Pk = Rk (1+ i)-k e... e considerando que. na série acima.. Adotando como nomenclatura...ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA determinar a prestação quando conhecidas as demais variáveis.. é obtido ao se efetuar o somatório dos valores presentes de cada pagamento singular.. iguais. expressão esta i × (1 + i)n denominada de fator de valor presente..1...... 3. -1 -2 VP = R (1 + i ) + R (1+ i ) + . temse: P1 = R1 ( 1 + i ) -1 P2 = R2 ( 1 + i ) -2 -3 P3 = R3 ( 1 + i ) . Substituindo a expressão da soma da progressão geométrica decrescente.. após 1− q serem substituídos seus termos pelos respectivos valores (1 + i)n − 1 financeiros.1 . Matematicamente... no caso do primeiro pagamento ocorrer um período após o início da operação financeira que lhe deu origem:  (1 + i)n − 1 VP(sp) = R(sp) ×    i × (1 + i)n  O termo entre colchetes expressa um fator que define o valor atual da série postecipada quando o valor da prestação é a unidade... têm-se que: R1 = R2 = .n. S (PG). por definição.. 2... colocada entre chaves.Valor Presente ou Valor Atual da Série Postecipada. VP.... = R n = R. + R (1+ i ) VP = R {(1 + i)-1 + (1+ i)-2 + . periódicos e consecutivos... obtém-se a expressão geral da soma de uma série de pagamentos iguais e consecutivos. este fator de é grafado sob a seguinte notação:  (1 + i) n − 1    ≡ FVPn ¬ i ≡ a n ¬ i  i × (1 + i) n  42-167 . Considerando que a soma de uma progressão geométrica a(1 − qn ) decrescente é dada pela expressão S(PG) = ..... ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA Então. financeiramente considerados na data do ultimo período da série.2 . a taxa de juros. e o prazo de pagamento. ao se deseja conhecer o valor da prestação a ser paga. corresponde ao montante do capital disponível na data do último pagamento da série. o valor presente de uma série postecipada pode ser expresso como: VP(SP) = R × FVP n¬i = R(SP) × a n¬ i Tanto FVPn¬i como a n¬i são denominados de FATOR DE VALOR PRESENTE ou FATOR DE VALOR ATUAL de uma série de pagamentos.Valor Futuro da Série Postecipada. a fórmula acima é utilizada sob a seguinte forma:  i × (1 + i)n  R(sp) = VP(sp) ×    (1 + i)n − 1 Escrevendo. 43-167 . MEMORIZE! O VALOR PRESENTE DA SÉRIE POSTECIPADA OCORRE NO PERÍODO IMEDIATAMENTE ANTERIOR AO DO PRIMEIRO PAGAMENTO. 3. quando conhecida a prestação a ser praga. Ver tabelas do Anexo-I. o valor de um bem na data de hoje. o fator de valor presente permite determinar o montante do valor presente de uma série postecipada. iguais e consecutivos. capitalizado financeiramente à taxa pactuada. De modo inverso. Ver Tabelas do Anexo-I. por facilidade de notação:  i × (1 + i)n  −1   ≡ FRCn¬i ≡ an¬i n  (1 + i) − 1 R(SP) = VP(SP) × FRCn¬i MatemFinanceira~AULAS~abril2010 ∴ 1 correspondem à notação As expressões FRCn¬i e an−¬i resumida da expressão entre colchetes acima e são denominadas de FATOR DE RECUPERAÇÃO DE CAPITAL a taxa de juros i para n períodos. Noutras palavras. dada a notação. o número de períodos envolvidos e a taxa de juros pactuada.1. considerando como razão da progressão geométrica o fator q = (1+ i). O valor futuro de uma série de capitais postecipada corresponde ao valor do somatório de todos os valores integrantes da série. Obtém-se o Valor Futuro equivalente a uma série postecipada de modo similar ao utilizado para o cálculo do Valor Presente. A expressão da soma de uma progressão geométrica qn − 1 em que n representa o crescente é dada por: S(PG) = q −1 número de termos da progressão. Assim sendo. ou seja. quando conhecidos o capital a ser financiado. o valor futuro da mesma é definido coincidentemente com a data do último pagamento.   i   ≡ FFCn¬i n  (1 + i) − 1 Assim sendo. de uma série de pagamentos iguais e consecutivos. também. em decorrência o valor da prestação é dado por: Valor da Prestação:   i R(sp) = S(sp) ×    (1 + i)n − 1 Identicamente ao caso do Valor Presente. “i”. podem ser expressos sob a seguinte notação: S(SP) = R(SP) × FVFn¬i e. Assim:  (1 + i)n − 1 S(sp) = R(sp) ×   i   Valor Futuro: E. respectivamente. esses fatores podem ser escritos sob forma resumida. chega-se a expressão do Valor Futuro. qual será o montante “S” a ser disponível em data futura. quando conhecidos: o valor das prestações. permite definir qual o valor das prestações. encontrados em tabelas financeiras. vice versa. Finalizando. as expressões entre colchetes são denominadas. 44-167 . Analogamente. Identicamente ao anteriormente comentado. R(SP) = S(SP) × FFCn¬i O Fator de Valor Futuro. no final de determinado período se obtenha o montante “S”.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA Ao se proceder as devidas substituições e de modo idêntico ao caso do valor presente. quais sejam:  (1 + i)n − 1   ≡ FVFn¬i i   e. FFCn¬i. estes dois fatores podem ser calculados e. iguais e consecutivas. alerta-se que neste caso de série postecipada de pagamentos. MEMORIZE! O VALOR FUTURO DE UMA SÉRIE POSTECIPADA OCORRE COINCIDENTEMENTE COM A DATA DE SEU ULTIMO PAGAMENTO. VF(SP). de Fator de Valor Futuro e Fator de Formação de Capital de uma série postecipada. o Fator de Formação de Capital. FVFn¬i. A cultura das áreas econômica e do comércio de capitais adota a denominação de taxa de capitalização para a taxa de juros “i” quando se deseja conhecer o valor disponível após certo número de períodos de aplicação. permite estabelecer. Ver Anexo-I. a expressão do valor futuro de uma série postecipada quando conhecida a prestação e. a serem capitalizadas para que. por unidade de capital. a expressão da prestação quando conhecido o valor futuro de MatemFinanceira~AULAS~abril2010 uma série postecipada. Por motivo de facilidade de notação. o período de capitalização e a taxa pactuada de juros. ..000 3..Exemplo..888..... será quitado em doze parcelas ..02 ) 6  R (sp) = VP (sp) ×  = 2500 ×    n n  (1 + i) − 1   (1 + 0.1.. 3..31R$ 1.52 R$/mês R (SP)= 2...12 mês 15. seja o caso de uma loja de varejo que vende um equipamento..000.Comparando Juros Simples e Compostos. R$  i × (1 + i) n   0..02 ) − 1  1. o valor a ser financiado monta a R$ 45 mil e o valor da prestação será calculado considerando que os pagamentos se comportam como uma série uniforme postecipada.. mensais e consecutivas no valor de R$ 1.00 × 0..00. Seja o caso do financiamento de um automóvel novo no valor de R$ 60 mil.1...07 × (1 + 0. mensais e consecutivas. sabendo que a loja remunera seus ativos à taxa de 2% ao mês? Neste caso.. Deseja-se saber o valor do mesmo quando financiado em seis prestações iguais. O financiamento do saldo foi pactuado para ser quitado em 12 parcelas.. por R$ 2....00 × 0.000..000. no valor de R$ 45. a juros de 7% ao mês. a vista.3 .......... R$ 15..52R$ (1 + 0.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA a) Série Uniforme – Juros Compostos. corrigidas até a data do efetivo pagamento à taxa de juros pactuada: 45-167 . Para tanto será comparado se o financiamento deverá ser efetuado em parcelas iguais.00...3 .888... Pretende-se analisar qual a forma de pagamento permite uma maior economia para o comprador..00. Neste caso o valor financiado. com o primeiro pagamento ocorrendo trinta dias após a data do financiamento.. o que caracteriza juros compostos...500.00. Como exemplo... com cada parcela sendo atualizada pela matemática dos juros simples.500... MatemFinanceira~AULAS~abril2010  i × (1 + i ) n  R (k) = VP (k) ×  ∴ n  (1 + i ) − 1  Rk = 15.250.02 × (1 + 0.07)12 b) Pagamento por juros simples. Ou por pagamentos crescentes.07)12 = 1.. mensais e consecutivas.. usado.... Foi dado como entrada um veículo de mesma marca.1785 = 446.... 250..250.250.. periódicos e consecutivos.425.662.300.52 = R$ 22.250.250.. é definida como a seqüência de pagamentos “R”. pelo qual é considerada infinita...125.. Uma série nestas condições é. também denominada série infinita ou perpetuidade de uma série postecipada..825.00 11ªParcela: 1... iguais.00 3ªParcela: 1.24 Neste caso. MatemFinanceira~AULAS~abril2010 46-167       .00 9ªParcela: 1.. apenas a diferença dos desembolsos efetuados..00 x (1+2 x 0..687.2. tem-se: VP(SP) = R(SP) × FVPn¬i Quando n → ∞ .24.888.512.07) = 2.50 2ªParcela: 1. ENGENHARIA ECONÔMICA 3..07) = 1.Anuidade perpétua. simplesmente.00 R$  Comparativo: ∆ =Juros compostos . periódicos e consecutivos.825. Partindo da expressão do valor presente de uma série postecipada formada por pagamentos iguais.250.00 c) Análise econômica..07) = 1.037. Total dos desembolsos:  Juros compostos = 12 ×1. Anuidade perpétua..250.00 x (1+12 x 0.2 .212..00 5ªParcela: 1....50 10ªParcela: 1.250.07) = 2.R$ 21.24 .07) = 1.50 12ªParcela: 1.862.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 1ªParcela: 1.07) = 1.07) = 1.07) = 1.00 x (1+7 x 0.00 7ªParcela: 1.337.50 4ªParcela: 1..07) = 2. A comparação dos valores obtidos por análise econômica mede. Como exemplo de perpetuidade.950.00 x (1+5 x 0...21.1 – Conceituação.Juros simples ∆ = R$ 22. contendo um número muito grande de termos.250.250..662... fica demonstrada uma economia de R$ 837.00 x (1+9 x 0.50 8ªParcela: 1. matematicamente.250.00 x (1+11 x 0.07) = 1. tem-se: VP(si) = R(sp) × Lim FVPn¬i n→∞ Como:  (1 + i)n 1 −  n n  (1 + i) − 1 (1 + i) (1 + i)n  Lim FVPn¬i = Lim = Lim  n → ∞ i × (1 + 1)n n→ ∞  (1 + i)n n→∞   i ×  (1 + i)n  ∴ 3.00 x (1+1 x 0.. prestação da casa própria ou remuneração dos fundos de pensão..825.24  Juros Simples = Σ parcelas pagas = 21.00 x (1+3 x 0..00 x (1+4 x 0...00 Valor total: .07) = 2.00 x (1+8 x 0.. pode-se citar o caso das aposentadorias.00 ∆ = R$ 837.250.00 x (1+6 x 0....07) = 1..600. considerada como infinita porque a influência dos últimos termos da série no montante do valor presente passa a ser nulo ou irrisório.50 6ªParcela: 1..775. caso os pagamentos fossem realizados adotando a matemática dos juros simples.00 x (1+10 x 0. as ultimas prestações tem reduzida influência no montante do mesmo. em termos de valor aquisitivo medido no momento atual.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 1− Lim n→ ∞ ENGENHARIA ECONÔMICA 1 (1 + i)n 1 − 0 1 = = i i i i(ano) = 8% aa → i(mês) = 0. menor é o número de períodos necessários a caracterizar a série como perpetuidade. assim sendo. cujo primeiro pagamento ocorra na data da operação financeira que lhe deu origem. • O montante de R$11. é possível verificar que o número de períodos a partir dos quais uma série postecipada pode ser considerada como infinita e isto. 15 anos depois. quanto maior a taxa de juros. periódicas e consecutivas: Dos dados obtidos fazem-se os seguintes comentários: • VP (si) = R (si) i Analisando as tabelas financeiras do Anexo-I. Considerando que o banco remunera este tipo de investimento à taxa de 8% ao ano. Uma Série Uniforme Antecipada é definida como sendo a sucessão de pagamentos iguais. pois o horizonte das prestações atinge 180 meses e. R.2 – Exemplo. e conforme a taxa de desconto praticada produz um valor presente insignificante ou próximo de zero. Além disto. P(si) = Assim. capitalizados mensalmente.94 corresponde ao valor. fica demonstrada a expressão de uma Perpetuidade ou Série Perpétua.249. determine o montante disponível na data formatura.249.2. qualquer prestação muito distante da data de início. é função direta da taxa de juros praticada. da poupança em termos de moeda de poder aquisitivo constante. o que permite calcular o Valor Presente. Deste modo. também.0066667 VF(SA) R 1 R(SA) 2 3 4 47-167 5 n . VP(SA) 3. já que desconsiderada a inflação no período. de uma série infinita de prestações iguais. VP(SI). não influindo significativamente no aumento do montante do valor presente da série.m. Ao completar 10 anos. 3. justifica-se o calculo do valor presente utilizando o conceito de perpetuidade.66667% a.94R$ i 0.3 – Série Uniforme Antecipada. Isto porque. MatemFinanceira~AULAS~abril2010 R(si) 75 = = 11. efetuada em intervalos regulares e constantes. seu avo lhe abriu uma caderneta de poupança programada e passou a depositar a importância de R$ 75 por mês de então até a data de sua formatura. . verifica-se ser este um somatório e que pode ser associado a uma progressão geométrica decrescente.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA Como exemplo de aplicação deste tipo de série. VF(SA). tem-se o valor presente da série. também denominado de capitalização. VP(SA). um período após o pagamento da última importância. sendo que a primeira parcela é quitada no momento da compra. neste tipo de série de pagamentos iguais.... pode-se escrever o valor presente da série de pagamentos postecipada como: VP(SA) = VP1+ VP2+ VP3 + VP4 + ··· + VPn Escrevendo cada termo da expressão acima em função de suas variáveis tem-se: VP1 = R VP2 = R (1 + i) -1 VP3 = R (1 + i) –2 VP4 = R (1 + i) –3 . cujo primeiro termo corresponde ao 1 n valor 1.. MatemFinanceira~AULAS~abril2010 ENGENHARIA ECONÔMICA Efetuando o valor presente de cada um dos pagamentos singulares. o segundo ( 1 + i ) .. e o Valor Futuro. a ser quitado em parcelas iguais e sucessivas iguais a “R”. ocorre um período após o pagamento da ultima prestação. -n VPn = R (1 + i) Substituindo o valor presente de cada pagamento individual em função do pagamento a ser realizado.. Tomando como expressão gráfica de uma Série Uniforme Antecipada o desenho acima...... “R”. tem-se os casos de: I. Ressalta-se que o primeiro pagamento da série ocorre coincidentemente com a data do pactuado.. o primeiro pagamento ocorre na data da operação financeira que lhe deu origem.. e. VF(SA). VP(sa): VP(SA) = R + R (1 + i) -1 + R (1 + i ) -2 + R ( 1 + i ) –3 + …+ R ( 1 + i ) -n VP(SA) = R { 1 + ( 1 + i ) -1 + (1+i) -2 + (1+i) –3 + …+ ( 1 + i ) –n } Analisando o termo entre colchetes. Como definido anteriormente. que valor futuro desta série. o ultimo termo ( 1 + i ) – sendo a -1 razão de decrescimento igual a (1 + i) . quando é pactuado que uma determinada importância “R” será recolhida em períodos pré-determinados. II... 3. da série antecipada de pagamentos. E.. a partir do momento de pactuação da operação financeira e cujo montante “VF” será devolvido ao aplicador findo o período programado..1 – Valor Presente da Série Antecipada. fica caracterizado que..3. Aquisição de um bem no valor “VP”. A seguir é demonstrado como calcular o Valor Presente..... VPK.. periódicos e consecutivos. a soma de uma progressão geométrica decrescente é dada pela expressão 48-167 . Aplicação em depósito programado.. cuja soma já é conhecida.3. de uma série de pagamentos antecipada é definido no primeiro período subseqüente ao do último pagamento.2 – Valor Futuro da Série Antecipada. parte-se da expressão acima. substituindo pelos respectivos 1− q (1 + i)n − 1 valores financeiros. S. MatemFinanceira~AULAS~abril2010 Isto porque. então. o Valor Futuro da Série Antecipada – VF é definido ao se levar o valor de “S” para o período t(n). VP(SA) de uma série de pagamentos antecipados: S(PG) = VP(sa) = R(sa) × ENGENHARIA ECONÔMICA Para tanto determina-se. o valor futuro. Então:  i × (1 + i)n−1   R(sa)= VP(sa)×   (1 + i)n − 1    Matematicamente. na série acima. de modo mais expedito. VP(SA). A determinação do Valor Futuro da série antecipada poderá ser efetuada. inicialmente. fica definida a expressão do Valor Presente. R(SA). Então: VF(sa) = S × (1 + i) 3. o valor futuro da série postecipada. S VF (1 + i)n − 1 i × (1 + i)n−1 0 1 2 3 n-2 n-1 n Ao se desejar conhecer o valor da prestação ou pagamento. obtém-se o valor de cada termo da série no momento seguinte ao de sua realização. chega-se a: S(PG) = i × (1 + i)n −1 Substituindo a expressão da soma da progressão geométrica. Estabelecido o valor de “S” para o tempo t(n-1). o Valor Futuro da Série Postecipada . a se comportar como uma Série Postecipada. pelo fator de valor futuro de um pagamento único.“S”. partindo da expressão do Valor Futuro de uma série postecipada. multiplicado por (1+i) cada termo de uma Série Antecipada. S(PG).  ( 1 + i ) n − 1  S (sa) = R (sa) ×   ∴ i   49-167 . passando. é obtido ao se multiplicar o valor futuro da série antecipada. conhecido o montante do Valor Presente. Por definição.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA n a(1 − q ) em que. VF(SA). pois ele é medido um período após a conclusão do período de pagamentos. O ultimo momento da série ocorre um período após o ultimo pagamento. Como exemplo deste caso.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA  (1 + i)n − 1  VF(sa) = R(sa) ×  × (1 + i) i   No caso inverso. DEFINIDO UM PERÍODO APÓS A DATA DE SEU ULTIMO PAGAMENTO. A cooperativa oferece uma remuneração de 1.0125 = 324 . o montante no final do período. ou seja. a) Você é um profissional liberal e associado a uma cooperativa de crédito.00 por mês.0125 ) − 1} × (1. O primeiro pagamento da série ocorre no momento em que é pactuado o contrato de aplicação. na data de hoje. O valor da prestação contratada foi de D$ 700. o valor da sua prestação. qual a importância a ser investida visando adquirir um computador cujo preço é de R$ 5 mil no prazo de quatorze meses? i R = VF × {( 1 + i ) n − 1} × (1 + i ) Recomenda-se cuidado na aplicação dessas fórmulas que envolvam o valor futuro da série antecipada. MatemFinanceira~AULAS~abril2010 50-167 .3. é dado por: R(sa) = VF(sa)× i {(1 + i)n − 1} × (1 + i) ENGENHARIA ECONÔMICA 3.97 R $ {(1. R = 5000 × c) Calcular o montante de capital propiciado pela aquisição de um título de capitalização pactuado à taxa de 2% ao mês e contratado por um período de dois anos. já que este último pagamento deverá gerar juros por ainda mais um período.0125 ) 14 A valores da data de fechamento da operação. Pergunta-se. E.3 – Exemplos. seja a aplicação em caderneta de poupança programada ou em título de capitalização.25% ao mês para aplicação em investimentos programados em títulos de capitalização. ao ser conhecido o Valor Futuro de uma série antecipada. R(SA). nas seguintes situações: • • MEMORIZE! O VALOR FUTURO DE UMA SÉRIE UNIFORME ANTECIPADA É 0. valor futuro.4 – Série Diferida....02 × (1.. n . ou seja. 23 24 a) Valor Presente: VP = R × FVP (24.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA $ Valor Presente ENGENHARIA ECONÔMICA VF No fluxo de caixa representativo da operação. b) Valor Futuro: VF = R × FVF (24. A última prestação ocorre um mês antes do final do período. 02 ) 24 − 1 VF = 700 ×  × ( 1. 02 0 . no 23º mês. corresponderá à importância de D$ 13. 21 D $  Deste modo. O processo de calcular seja o valor presente.504. a aplicação mensal de D$ 700. 2%) VP = R × VP = 700 × (1 + i)n − 1 i × (1 + i)n −1 (1.00 mês 0 .2%)  (1.721. Qualquer tipo de série pode ser considerada diferida. pois a primeira delas ocorre na data de fechamento da operação financeira. MatemFinanceira~AULAS~abril2010 1º passo 2º passo  (1 + i ) n − 1  VF = R ×  × (1 + i )  i   VP(0) 0 VP(k) 1 2 ..504.. Uma série de pagamentos é dita diferida quando a primeira prestação ocorrer após o primeiro período.. 02   )  = 21 .54 na data da aplicação e de D$ 21. seja ela uma série uniforme.. diferir significa adiar a data do primeiro pagamento. k R k+1 k+2 51-167 . em termos financeiros..54D$ 3.21 no final do período.......00 pactuada por um prazo de 24 meses à taxa de 2% ao mês. como a prestação de uma operação financeira em que o primeiro pagamento é diferido. é um processo comum no comércio varejista. R= D$ 700. uma série gradiente ou mesmo uma seqüência qualquer de pagamentos já que. 721 .. ficam caracterizadas 24 prestações.02)24 − 1 0.02 + i)23 = 13.... i) È importante ressaltar que o momento k corresponde ao “momento zero” da série uniforme.07 )³ ∴ R = 72.000 = R × 5. é efetuada em dois passos: 1º passo . 2º passo – disponível o valor presente da série postecipada.00 Ao se substituir a expressão de VP(k) acima.4. VP(SD ) = R (1 + i) k × FVP ( n . como anteriormente demonstrado. Neste caso.12 D$/mês 52-167 . A determinação do Valor Presente de uma série diferida. calcula-se o Valor Presente desejado. vencendo a primeira delas cento e vinte dias após o fechamento do negócio. VP(k).ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 3. sendo seu momento inicial referido ao mês 3. na expressão de VP(SD).1 – Metodologia. VP(SD). ou seja. R 1 2 3 4 5 6 7 Mês 8 9 10 VP(k) = R × FVP (n-k. o momento inicial da série corresponde a um momento anterior ao do início de pagamentos.8163 (1 + 0.calcula-se o valor presente da série postecipada. VP(SD).Exemplo a) Calcular o valor da prestação relativa à venda de um equipamento cujo preço monta a D$ 300 mil.966. Isto feito verifica-se que a série de pagamentos inicia no mês 4. sabendo-se que o Valor Presente de uma série uniforme postecipada composta por (n-k) pagamentos iguais e consecutivos de valor R é dada por: ENGENHARIA ECONÔMICA 3. o período que precede o momento em que se iniciam os pagamentos.000. mensais e consecutivas. isto é. a valor presente no momento zero. i%) 300. chega-se a expressão geral do valor presente de uma série postecipada diferida. O primeiro passo é elaborar o diagrama de fluxo de caixa do empreendimento. leva-se o valor de VP(k). MatemFinanceira~AULAS~abril2010 VP(0) = R × FVP(n − k. VP(k).000 = R × FVP ( 7.3893 × 1 = R × 5.3893 × 0. Para tanto. VP(SD). A empresa adota uma TMA de 7% ao mês. VP(k ) VP(SD ) = (1 + i)k Por sua vez.7 %) × 1 (1 + i)k 300.4.2 . negociado em sete prestações iguais. i%) × 1 (1 − i) k 300.k. 6014 = 3 . b.95 cada.00 por mês.O gerente da empresa Quick-Delivery Lted. a) . A Sónobarato Varejão Ltda.Exercícios.00. Os lotes vêm sendo vendidos.4. vencendo a primeira em trinta dias. • Financiamento em cinco parcelas iguais. vencendo a primeira em trinta dias da operação. com a primeira parcela vincenda em 90 dias após a venda.00. Sendo o preço de aquisição dos televisores D$ 63.000.02 ) 2 × FVP ( 6. vende um automóvel. propôs ao “Controler” da mesma os seguintes planos de pagamento visando à venda de lotes de televisores Telecor. Dez pagamentos mensais e consecutivos no montante de D$10.5 . mensais e consecutivas.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA b) A empresa Mercado Fácil oferta computadores a serem pagos em seis prestações iguais. a vista. com o primeiro pagamento ocorrendo após 120 dias contados da data da compra. 2%) 588.A empresa Seminovos Veículos Ltda. O custo de capital praticado pelo Varejão é de 15% ao ano e adota um mark-up de 33%. Esta empresa oferece cada lote de aparelhos nas seguintes condições: • A vista com 20% de desconto.099.000.000.899. por R$ 110.99. Dez pagamentos.777. Sendo você o diretor financeiro do Varejão pergunta-se: qual dos planos oferecido pela Quick-Delivery Lted será o escolhido? 53-167 .00 × 5. • Financiamento sem entrada. sem entrada. Sabe-se que um lote contém 230 televisores e o preço de cada aparelho é de R$ 569.3. Qual o valor a ser pago a vista sabendo que a empresa pratica juros de 2% ao mês em seus financiamentos? VP (SD ) = VP ( SD ) = VP(SD) = R (1 + i) k × FVP ( n . empresa do ramo de atacado.k.165. todos iguais e no valor de D$ 9. Considere: 1º) plano com entrada no valor de R$ 10 mil. À vista com 20% de desconto. i) 588 .00 por mês. mensais e consecutivas de R$ 179. iguais e consecutivos no valor de D$10. b.5% ao período. vencendo a primeira em trinta dias da operação. pago em quatro prestações iguais. b) . conforme abaixo.99. por D$110.0404 3. sem entrada. sendo a primeira delas vincenda em noventa dias.00 qual será a decisão do Controler? Considerar uma taxa de desconto de 2. dado o lançamento de novos produtos no mercado.1. b. 3º) plano com o valor da entrada igual ao valor das dez prestações mensais.2. Entrada e mais dez pagamentos mensais e consecutivos. prevê colocar no mercado sessenta unidades por mês. atualmente. 2º) plano sem entrada.00 por mês.00 (1 + 0.00. b. c) A empresa “Só no Barato Varejão Ltda. mensais e consecutivas no valor de R$ 588. Qual será o valor da prestação considerando um plano de pagamento para ser quitado em 10 meses a juros de 7% ao mês? As prestações deverão ser iguais.74R $ 1.” analisa a aquisição de um lote de televisores junto à Quick-Delivery Lted. mensais e consecutivas no valor de R$ 95. porém apresentando MatemFinanceira~AULAS~abril2010 ENGENHARIA ECONÔMICA crescente dificuldade de comercialização. disporá de recursos próprios para adquirir um equipamento cujo valor de mercado monta a US$ 26.8242% ao ano.20% ao mês e após dez meses.?  Com parte à vista e 60% do total no prazo de trinta dias. considerando as abaixo enumeradas. Verifique qual das duas situações lhe é mais interessante. utilizando uma poupança mensal. cujo prazo é idêntico à anterior.796.5% ao mês.000.175. Os juros foram pactuados em 3. Ou. f) Um fornecedor de computadores pessoais oferece o modelo BO-800.00 cada. mensais e consecutivos de D$ 3.Você vende um imóvel por D$ 36. no valor de R$ 150.000.  Em 12 pagamentos. Verifique se isto é verdade. As outras quatro parcelas. é anunciado para ser pago em dez prestações iguais. 2ª) ou.00. iguais e consecutivas.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA d) . a vista.00 aplicados à taxa de oportunidade de 1.00. e) Calcular o preço a vista de um produto. iguais e consecutivas. com juros pactuados à taxa de 26.00. para receber nas condições abaixo. com a primeira quitada na data da operação.5% ao mês.000. dos juros pagos quando da quitação de uma dívida no montante de R$ 28 mil. para clientes institucionais.000. Qual seria o valor a vista da cada proposta. porém sob a égide dos juros simples.500. vencível a primeira em sessenta dias.3% ao mês e adquirir o veiculo após dispor do capital necessário? i) Verifique se sua empresa.00. e sabendo que você pratica um custo de capital é de 15% a. com taxa de oportunidade de 1. • A mesma situação anterior.00. k) Analise a diferença.00. por US$ 1. sendo uma entrada e mais 20 pagamentos mensais e consecutivos. quitada no ato da compra.500. a prazo.  O 1º pagamento em 6 meses (50%) e o final em um ano. iguais. sabendo-se que o mesmo é ofertado para pagamento em 5 parcelas. Quanto deverá ser o valor da aplicação mensal. A primeira equivalente a 30% do valor a vista. vencíveis em 30/60/90/1200 dias. uma taxa de juros de 3% ao mês para contratos de capitalização programados.00? j) Um veículo cujo valor de venda monta a R$ 24. negociado nas seguintes 54-167 . mensal e total.00 R$. Qual será a sua opção de negócio. entre as seguintes situações: 1ª) Adquirir o veículo por financiamento através do pagamento de 14 prestações mensais.a. Considerar um custo de capital de 2% ao mês. efetuando uma poupança mensal de US$ 2. para que sua empresa disponha da importância citada no momento desejado? MatemFinanceira~AULAS~abril2010 ENGENHARIA ECONÔMICA h) Você deseja adquirir um veículo cujo preço é de R$ 36.00. em pagamentos iguais de US$ 80. O anunciante proclama que os juros cobrados são de 1.00.  Considere as opções acima quando ocorrer uma inflação de 20. l) Considerando os coeficientes definidos no exercício anterior. nas seguintes condições: • Pagamento em seis prestações iguais. O banco onde operam oferece.  Em 8 pagamentos iguais.22% ao ano. no prazo de 15 meses. para ser aplicada num novo projeto de investimento. g) Sua empresa necessita da importância de $ 175. mensais e consecutivas. mensais e consecutivas no valor de 2. mensais e consecutivos de D$ 4. A taxa de juros a ser estabelecida é a sua taxa de oportunidade.650.000. sem correção monetária. pergunta-se qual será o valor da prestação de um veículo cujo preço de tabela monta a R$ 36 mil. 75% 5 90 dias 2. 55-167 . Tipo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Plano de Financiamento Prestação = k × valor financiado Numero Data da 1ª Juros Prestações Prestação Ao Mês 3 30 dias 1. Finan. Considerando que as prestações deverão ser definidas com a incidência de diversas taxas de juros que variam segundo a característica de cada tipo de financiamento. • A empresa pratica um mark-up de 35%. É política da empresa disponibilizar aos clientes vários planos de financiamento. mensais e consecutivas. E.50% 7 60 dias 1. ocorre uma previsão de renda anual superior em $ 6.00% 7 30 dias 1. durante os vinte anos subseqüentes o mercado vem apresentado um salário superior em $12. deseja estabelecer coeficientes multiplicadores para facilitar o calculo das prestações de seus produtos. Durante os dez anos subseqüentes.1% ao mês. em promover a venda de seus produtos de modo financiado e desestimular as vendas à vista. recolhidos ao fisco no mês da operação financeira.75% 7 90 dias 2. 1. dado o ganho de experiência. também. em comparação com os que não têm titulação. visando orientar seus vendedores. que os benefícios de uma formação superior se farão sentir durante quarenta anos de vida profissional e que. • Sobre o preço de vendas a empresa recolhe um tributo na ordem de 17% do valor agregado.00% MatemFinanceira~AULAS~abril2010 Coeficiente Multiplicador n) Analise o interesse da empresa varejista. solicita-se estabelecer os multiplicadores dado as condições abaixo.000 a preços da época da formatura. definida no exercício anterior. Há o entendimento.000/ano superior. sabendo-se que: • A empresa não oferece descontos para vendas a vista. o) Uma vantagem da obtenção de um diploma de curso superior é a perspectiva de melhores ganhos futuros. em média.00% 5 30 dias 1. mensais e consecutivas. o mercado vem praticando um salário de $3. • Sobre os ganhos de financiamento não incide o tributo acima. todos apresentando prestações em parcelas iguais. Existe a estima que a graduação em uma faculdade tenha um custo equivalente de $28. os clientes poderão optar pelo número de prestações e por várias datas de início dos pagamentos. • Aplicações realizadas no mercado financeiro rendem. Admitindo que estas estimativas estejam corretas.50% 3 60 dias 1. em comparação com outros profissionais não titulados. vincendo a primeira em sessenta dias? m) Uma empresa varejista. segundo o plano de financiamento exposto no quadro abaixo.50% 5 60 dias 1.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA condições: uma entrada equivalente a 30% do valor do bem e o saldo quitado em cinco prestações iguais.000 a de profissionais não graduados. Além disto. durante os dez primeiros anos após a conclusão do curso.000 acima daquele pago a pessoas não graduadas.75% 3 90 dias 2. 71 cada. q) Um título com valor de face de R$ 290. MatemFinanceira~AULAS~abril2010 56-167 . no valor de R$ 5. sendo que a primeira foi quitada na data do fechamento do negócio. Deseja-se saber qual a taxa efetivamente paga.00.066.5% ao mês.91. Se fosse pactuado a juros simples.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA qual será a taxa interna de retorno prevista como resultado do investimento em curso superior? p) Um veículo no valor de R$ 28 mil foi financiado em seis prestações iguais. deseja-se saber qual o valor da prestação a ser cobrada. bem como a taxa real de juros já que o mesmo foi corrigido pelo INPC. A taxa de juros pactuada para o financiamento foi de 3. mensais e consecutivas. vencido em 31 de março de 2004 foi pago com 27 meses de atraso. O valor pago montou a R$ 1.254. gerando um novo saldo devedor para o período subseqüente. Nestes casos. Deste modo. a Existem diversas metodologias para a quitação dos empréstimos de longo prazo. sendo operacionalizados por instituições ou bancos de investimentos. o procedimento para amortização do saldo devedor é definido por lei e deve ser efetuado em conformidade com o art. são calculados período a período sobre o saldo devedor apresentado no período imediatamente anterior ao daquele em que se vai efetuar o pagamento de uma prestação qualquer. A forma de pagamento de dívidas ou empréstimos é função do prazo. 4. o capital tomado rende juros durante todo o prazo pactuado. Amortizações de Dívidas PRESTAÇÃO = AMORTIZAÇÃO + JUROS DO PERÍODO 4. por sua vez. Nos empréstimos de longo prazo. diferentemente do curto prazo. Assim. alínea “c”. 6º. Dentro deste contexto. que incluam amortização e juros. Esses empréstimos são. podem ser citados: compras a prazo realizadas no mercado varejista de bens de consumo duráveis e os empréstimos em conta corrente realizados pelos bancos comerciais. elas são distintas segundo a MatemFinanceira~AULAS~abril2010 57-167 . antes do reajustamento. o novo saldo devedor somente deverá ser corrigido depois de amortizada parte da dívida existente naquele período. E. No Brasil. os juros incidem somente sobre o saldo devedor e uma parte de principal é devolvida a cada período. quando adotados os sistemas de juros simples e compostos. da Lei nº. A amortização corresponde à devolução do principal ou do capital tomado emprestado a cada período o que permite reduzir o montante devido. a amortização efetuada em determinado período abate parte do saldo devedor existente. Como exemplos desses empréstimos.” Os empréstimos de longo prazo são aqueles realizados com prazos superiores a dois ou três anos. 4. Sob a ótica do prazo. podem ser classificados em: de curto. médio ou de longo prazo. do montante e dos juros pactuado. adotados para o financiamento de bens de capital utilizados por empresas e da casa própria. de igual valor.380/64.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA prestação nos empréstimos de longo prazo é composta de duas partes: os juros e a amortização. seja amortizado em prestações mensais sucessivas. Os empréstimos de curto e médio prazo geralmente saldados num prazo de até três anos são calculados conforme anteriormente discutido. sendo as importâncias envolvidas mais vultosas do que as consideradas nos empréstimos anteriores. Os juros. geralmente. ou do preço a ser pago. que diz: “c) ao menos parte do financiamento. Após esta operação é que será efetuada a correção do saldo devedor.1 – Tipos de Sistemas. SAC Ocorrendo a hipótese de não haver pagamento de juros durante o prazo de carência. as prestações são decrescentes e a amortização proporcional ao número de períodos pactuados para a devolução do principal ou do saldo devedor. em que não ocorre o pagamento de amortizações. MatemFinanceira~AULAS~abril2010 4.2. ou não. Nesse caso.PRICE Sistema americano Sistema de amortização variável Sistema de amortização crescente – SACRE/CEF. ENGENHARIA ECONÔMICA Finalizando. ou não. No fluxo de caixa da empresa seu valor é reduzido pela influência dos tributos que incidem sobre a renda. os juros podem ser pagos. A prestação. sob a égide da matemática dos juros simples. No sistema de amortização constante. o saldo a cada período fica acrescido dos juros vencidos e que são incorporados ao montante do financiamento. Conforme o contrato pactuado entre as partes. os juros são calculados. O sistema SAC permite o estabelecimento de prazo de carência. 4.Sistemas de Amortização Constante . durante o prazo de carência. eles são incorporados ao principal. período a período. 58-167 .1 – A metodologia a= SaldoDeved or PeríododeA mortização Definida a amortização. A seguir são apresentadas quatro das metodologias mais utilizadas: • • • • • Sistema de amortização constante . serem pagos durante o prazo de carência. Os juros são contabilmente lançados como conta de despesa. os juros poderão. integrando as contas de resultado do exercício. um fator a não ser menosprezado em financiamentos é quanto a consideração de impostos. ou períodos. sobre o saldo devedor existente no início do período.2 . A amortização é lançada no balanço patrimonial como conta integrante do ativo imobilizado. Neste caso. taxas e comissões. finalmente. Sobre esse montante é que serão calculadas as prestações e as amortizações. Eles reduzem o valor real disponível pela empresa e podem alterar a atratividade de algum financiamento ou projeto de investimento. registrando o aumento de patrimônio da empresa.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA forma de calcular os juros ou a amortização. aplicados sobre operações financeiras e que alteram a taxa real a ser paga pelo tomador do empréstimo. No caso de avaliação do fluxo de caixa da empresa é considerada por seu valor integral. etc.SAC Sistema de prestação constante . A individualização do valor da amortização e dos juros que compõem cada prestação é importante para a escrituração contábil e da definição do fluxo de caixa líquido de cada exercício. Por prazo de carência é entendido como o período. é obtida somando o valor dos juros à amortização anteriormente calculada.. 1 .000. Calcula-se o valor dos juros sobre o saldo devedor.00 50.2.000.000.000. MatemFinanceira~AULAS~abril2010 Ano 0 1 2 3 4 5 6 Tot.2 . Saque Saldo 100.500.000.000.00 7.000. Calcula-se o valor da amortização.3 .00 30.00 cujo prazo da operação foi estabelecido em seis anos.00 32.00 10. segue a seguinte metodologia: 1º.00 25. 6º.00 100. foram pactuados juros de 10% ao ano e um prazo de carência de trinta e seis meses em que os juros incorridos deverão ser pagos durante este prazo. Seja calcular a prestação relativa a um empréstimo no montante de D$100.000. E. A prestação do período é definida somando-se o valor da amortização ao valor dos juros calculados. é sobre esse novo saldo devedor que a amortização deverá ser calculada.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA Quando ocorre a dispensa do recolhimento de juros durante a carência eles são incorporados ao principal gerando um novo saldo devedor.00 10.00 25.000.000.00 = 25 .00 D $ / ano 4 4.000.00 100. Para tanto.00 45. Repete-se sucessivamente esta operação até ser definido o valor da ultima prestação. Em caso de carência. a= SaldoDeved or PeríododeA mortização 3º.000.000.00 25.000 .Sistemas de prestação constante 4.00 - amortizaçã o = Amortizaç Juros 10% 10.000.00 25.00 100.00 145.00 100. 4.00 100 .00 25.500.500.000. então. Calcula-se o novo saldo devedor diminuindo-se do saldo havido no início do período o valor da amortização.000.00 10.00 2.00 5. os juros poderão ser ou não incorporados ao principal.00 35.000.000.Metodologia 59-167 .00 75.000 .000.00 Prestação 10.Exemplo. 2º.000. Define-se o montante a ser financiado.000.00 27.000. Prestação 5º.3. Juros Amortização 1 n Períodos O calculo da prestação. 4º.500.000. Como o valor da prestação é definido a priori. período a período. havendo ou não ocorrência de saldo residual. da mesma forma que no processo anterior. . . os juros são definidos. . Calcula-se o saldo devedor para o próximo período: Sn+1 = Sn – An 6º. 2º. . Calcula-se o valor dos juros sobre o saldo devedor. a dívida é quitada concomitantemente com o pagamento da última prestação. é possível ocorrer saldo devedor no final do contrato. E a amortização de cada período é obtida diminuindo do valor da prestação o montante dos juros calculados. o resultado obtido já engloba o valor dos juros e da amortização.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA O sistema de prestação constante. Porém. os juros poderão ou não ser incorporados ao principal. E. tem-se: R(SP) = S(SP) x FRC n¬i Tendo sido pactuado prazo de carência. então. 4. Prestação As prestações são consideradas como uma série uniforme de pagamentos postecipados. sendo o valor da prestação definido segundo a metodologia da série de pagamentos postecipada. Adotando como nomenclatura: R(SP) = saldo devedor e R(SP) a prestação. Define-se o montante a ser financiado. Calcula-se o valor da prestação. Pelas próprias características do processo de cálculo. em número e valor. Seja calcular o valor da prestação.3. . como foram estabelecidas.2 . Amortização = Prestação – Juros 5º. . Repete-se a metodologia até se obter os valores da amortização e dos juros relativos à ultima prestação. . . . O valor da amortização é definido ao se diminuir do valor da prestação o valor dos juros do período. considerado-a como uma série postecipada. Neste caso. os juros poderão ser pagos durante este prazo ou então incorporados ao principal. sobre o saldo devedor. n períodos A metodologia de calculo utilizada para definir prestação e os seus parâmetros de amortização e juros é a seguinte: 1º. No sistema em pauta. 3º. (Juros)n = i × (Saldo Devedor)n-1 4º. as prestações devidas. também denominado de Sistema Francês tem como característica principal a constância do valor das prestações.Exemplo. o valor da amortização é crescente e o valor dos juros decrescente. dos juros e da amortização referentes a um empréstimo no montante de 60-167 . Em caso de carência. MatemFinanceira~AULAS~abril2010 juros amortização 0 . b) O pagamento das prestações comumente pactuado em base mensal.Metodologia.74 4.3.72 19. via de regra. O Sistema Americano é caracterizado por não ocorrer amortização durante o prazo do contrato.379.75 26.00 83.45 23.25 65. aumenta o risco do tomador em conseguir quitar a mesma. como os organismos internacionais de crédito.602.819.75 26.4.000.58 0.75 Amortização R$ 16.801. O valor da prestação é dado por: R = S × FRC(5¬10%).00 8.398.75 26. 61-167 .578.898.379.O sistema americano.O Sistema Price. tanto o sistema financeiro brasileiro.362. o principal é quitado juntamente com a quitação da ultima prestação.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA D$100.2637975 = 26. com juros pactuados em 10% ao ano. 4. 4.379.000.3 .03 23. obtida a partir da taxa nominal. O sistema Price é uma variante do Sistema Francês largamente utilizado no comércio e definido com as seguintes características: a) Taxa de juros contratada em termos nominais.000.00 Prestação R$ 26.000. anuais e consecutivos.75 R$ Per 0 1 2 3 4 5 Σ Saldo R$ 100.620. não adotam esse sistema. Nestas condições. com os juros do período acrescido ao principal.75 18. Logo: R = 100.03 6.53 45.25 4.017.00 × 0. Ressalta-se que.379. É importante notar que as prestações correspondem à uma série de pagamentos postecipada sendo eles iguais.$ Principal Juros 1 n Como o método prevê o pagamento da ultima prestação em valor muito elevado.00 Juros I=10% 10.898.783.560.58 100.379. fato que inibe sua adoção por parte de tomadores de crédito e por organismos financiadores.75 131.4 .00 a ser quitado em cinco anos.379. MatemFinanceira~AULAS~abril2010 Prestação.000.16 31.50 21.981.75 26.30 2.379. c) A taxa de cálculo utilizada é proporcional ao período da prestação. em que não ocorre prazo de carência. normalmente referidas ao período de um ano.1 .981. 2º O valor da amortização é estabelecido. podem ou não ser incorporados ao saldo devedor.00 28. O objetivo maior desse sistema é adequar a capacidade de pagamento do tomador ao fluxo de caixa a ser gerado pelo projeto. este é um sistema extremamente flexível. em havendo prazo de carência.000.00 4.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA 4. Per. pactuado por um prazo de quatro anos.1 – Metodologia.4.00 7. segundo a capacidade de pagamento do tomador.00 100. 3º Calcula-se o valor dos juros sobre o saldo devedor. Os juros são calculados sobre o saldo devedor. (Juros)n = iEFT × (Saldo Devedor)n-1 4º Define-se o valor da prestação para o período: Pn = An + Jn 5º Calcula-se o saldo devedor para o próximo período: Sn+1 = Sn – An 6º Repete-se o processo até se chegar ao valor da ultima prestação. E. tanto as amortizações como as prestações podem variar a cada período.00 100.000. 62-167 .000.000. Nestas condições.000. pois não existe definição de lei de formação na definição das prestações ou da amortização. As prestações metodologia: são determinadas segundo a 1º Define-se o montante a ser financiado.00 7.00 - Amortização 100. 4.00 100.000. seja um empréstimo no montante de R$ 100 mil. O Sistema de Amortização Variável é um sistema que difere dos anteriores. visando o manter superavitário em todos os períodos.00 100. a juros de 7. para cada período.000.00 7.000. visando à estabilidade financeira da empresa.00 7.5.000.00 107. 0 1 2 3 4 Total Saldo Devedor 100. cujo objetivo é manter a capacidade de pagamento do tomador do recurso adequada às condições do fluxo de caixa.Exemplo. Prestação Como exemplo de aplicação do método americano. MatemFinanceira~AULAS~abril2010 Juros Amortização Períodos 1 n Pelo exposto.000.2 .000.000.000.00 7.000.00% ao ano.000.000.00 Prestação 7.00 Juros 7% 7.5 – O sistema de amortização variável.00 128. 500.2 – Comentários. sendo utilizado em financiamentos nacionais ou internacionais.3 .00 6.00 100. ela é denominada de SELIC.000.00 17.00 5.00 10.000.00 5.00 24.00 12. Ressalta-se que este valor é definido administrativamente segundo a necessidade em manter positivo o fluxo de caixa da empresa.1 – Característica. Seja definir as prestações. A prestação.750. sendo dois de carência e havendo o pagamento dos juros relativos a este prazo.000.500.000. 63-167 .00 4. nesta data.5. iEFT = iReal+iBasica A taxa básica de juros varia de país para país sendo determinada periodicamente pelos respectivos bancos centrais.000.00.000. é pactuada uma taxa de juros real acrescida de uma taxa básica de juros que pode ser variável a cada período. Nesses casos.000. ENGENHARIA ECONÔMICA pactuada em 10% ao período sendo as amortizações variáveis segundo proposta do tomador.000.00 22. Qualquer instituição financeira que pactuasse. contratado por prazo de dez anos.00 15. um empréstimo à taxa real de 12.000.00 7.00 40.00 9. por sua vez.00 Juros 10% 10.000.000.00 100.000.00 67.000.00 55. Per 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tot Saldo 100. Como exemplos.5.00 90.00 9.000.00 77. No Brasil. A taxa de juros foi MatemFinanceira~AULAS~abril2010 Prestação 10.00 95.000.500.000.00 - Amortização 5.500.50% ao ano.00 85.000. fato que altera o valor previsto para a prestação.500.00 4.000. Como será visto no exemplo a seguir.500. na data em que foi escrita esta obra.00 14.6 – O sistema alemão.00 20.00 16. a taxa SELIC estabelecida pelo Banco Central estava no patamar de 14.00 19.00 7.000.000.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 4. iEFT.500.000. 4. período a período.000.00 20.000. Porém a taxa de juros efetiva. adotada no calculo dos juros pode ser variável a cada período.00 100.000.750.00 O primeiro passo necessário ao estabelecimento do valor da prestação é estabelecer.00 10.00 5.6.000. o valor da amortização.00 20.75% ao ano. nos Estados Unidos de Prime Rate e na Inglaterra de Libor. estaria praticando uma taxa efetiva de 22. corresponde à soma dos valores acima: Pn = An + Jn 4.000. os juros e a amortização de um empréstimo no montante de D$100.250.00 8.00 15. o sistema de amortização variável utiliza a matemática dos juros simples.750.000.25% ao ano.00 2. no Brasil.000.500.00 14.500.000.Exemplo.00 20. O valor dos juros é calculado sobre o saldo devedor existente no início de cada período. respectivamente. A equivalência financeira ocorrerá a uma taxa de desconto maior do que a pactuada.a3 .an-1 .6. P o valor da prestação.an) × i ∴ an-1 = an .4. M  M = a1 + a2+ a3 + ····· + an-1 + an  P0 = J0  P1 = P2 = P3 = ····· = Pn-1 = Pn Relacionando as prestações em função de suas variáveis e sabendo que cada prestação corresponde à soma dos juros e da amortização. ii) as demais prestações são iguais para todos os períodos. os juros e a amortização correspondente a cada período. iii) ao ser paga a ultima prestação ocorre.an) × i = an Como as prestações são todas iguais. representando.··· .····· .2 – Relação entre Amortizações. ocorrendo o primeiro pagamento dos juros no momento em que ocorre a operação financeira.····· .an × i ∴ an-1 = an × (1.6. E. a devolução do resíduo do saldo devedor.····· . 4.a1 . Adotando como nomenclatura: M correspondendo ao capital inicial ou montante emprestado. tem-se: P = amortização + Juros 1 J0=p 2 3 ······ n-1 a1 n Pn = an J1 As características deste sistema são três: i) o pagamento dos juros vencíveis no período é antecipado.a3 .a3 .an-1 ) × i = = an + (M .an-1 ) × i Pn = an + (M – a1 – a2 – a3 . J e a. dado suas características.3 – Determinação da Prestação.a2 . dada uma taxa pactuada. 64-167 .i) ∴ a a n = n−1 (1 − i) 4.a2.6. pode-se escrever: Pn-1 = Pn então.a n-1 . pode-se escrever as três principais características do Sistema Alemão: MatemFinanceira~AULAS~abril2010 P0= M × i P1 = a1 + (M – a1 )× i P2 = a2 + (M – a1 -+ a2) × i P3 = a3 + (M – a1 – a2 .a1 . assunto a ser discutido no item 4. apenas. an-1 + (M .ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA O sistema alemão. não apresenta equivalência financeira entre o montante emprestado e as respectivas contraprestações. por definição.a3) × i ······························································ Pn-1 = an-1 + (M – a1 – a2. porém esse resíduo tem o mesmo valor das demais prestações pactuadas. é dada por: a(1 − qn ) S(PG) = 1− q Substituindo na expressão acima os valores da progressão geométrica. neste sistema. Assim a expressão acima pode ser escrita da seguinte forma: 1 2 3 M = p + an × (n-1) + an × (n-1) + an × (n-1) + ···················· + n-2 n-1 an × (n-1) + an × (n-1) MatemFinanceira~AULAS~abril2010 4. para a definição da taxa real de juros.6. recomenda-se utilizar a fórmula de Karpin.4 – Equivalência Financeira. o método de Newton Raphson ou da bisseção. Da expressão acima. “q” a razão e “n” o número de termos da série. a última amortização apresenta o mesmo valor da ultima prestação.i) 3 Como os termos da amortização estão em progressão geométrica. métodos a serem discutidos em capítulos posteriores. verifica-se que os valores das amortizações estão em progressão geométrica cuja razão é {(n-1)-1}. pode-se escrever a seguinte série: an = an a n-1 = a n × (1 . o valor financiado M. 65-167 . de modo matemático: M = a1 + a2 + a3 + ····· + a n-1 + an ∴ 1 M= an + an × (n-1) + an × (n-1)2 + an × (n-1)3 + ····· + an × (nn-2 n-1 1) + an × (n-1) Por característica e definição do sistema alemão.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA A determinação do valor da prestação no Sistema Alemão é efetuada a partir da série de amortizações. ou seja. A definição da taxa real ou efetiva de juros. Para tanto.i) n-1 M× i 1 − (1 − i)n Sabendo-se que o montante do financiamento corresponde à soma das amortizações pode-se escrever. corresponde à soma de uma progressão geométrica cujo primeiro termo é p e a razão (n-1). p = an. o sistema alemão não apresenta uma equivalência financeira quando se compara o valor do empréstimo com a soma das prestações pactuadas à taxa estabelecida. é efetuada de modo mais complexo. Como já comentado anteriormente. Escrevendo a progressão em ordem decrescente dos termos visando facilitar a demonstração e os exprimindo em função do último termo. obtém-se a expressão que define o valor da prestação no Sistema Alemão: ··········· p= a 2 = a n × (1 .i)n-2 a1 = a n × (1 .i) 2 a n-3 = a n × (1 . Sabendo que a expressão da soma de progressão geométrica decrescente em que “a” corresponde ao primeiro termo.i)1 a n-2 = a n × (1 . 363.82 - Juros 5% 5.574.05 ) 7 M-Mi 1 2 3 ··· n-1 n p A taxa real ou efetiva de juros pode ser equiparada à Taxa Interna de Retorno do financiamento.74 0.616.98 1.574.00 87.82 14.05) = 15.574.816.574. Então: M .500. Fazendo incidir a taxa pactuada sobre o saldo devedor ou diminuindo do valor da prestação o valor da amortização.54 3.80 1 − (1 − 0.82 100.574.390.80 - 66-167 .574.74 61.00 4.000.958.000. Os procedimentos de cálculo devem ser realizados na seguinte ordem: a) Calculo da Prestação: p= MatemFinanceira~AULAS~abril2010 M×i 1 − (1 − i)n b) Calculo das Amortizações: Sabe-se que a ultima amortização corresponde à ultima prestação.574.749.490.46 47. sete anos de duração.26 13.82 16.80 16.574.76 15.80 16.00 12.00 74.Mi = p × FRC (n¬ iREAL%) ∴ (1-i ) × M = p × FRC (n¬ iREAL%) 4.80 16.04 828.000.06 R$ c) Cálculo dos Juros: Os juros podem ser calculados de dois modos.80 16.64 32.210. taxa de juros pactuada.000.6.074.279.80 16.574.88 16.5 – Exemplo.825.574.000 × 0. financeiramente. já que o soma das prestações equivale.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA ∴ 100 .746.06 16.184.52 2.320.80 16.00 - Amortização Prestação 12. sem carência.574. Seja determinar o valor das prestações de um empréstimo pactuado sob as seguintes condições: montante contratado de R$ 100 mil.00 5. Então: a7 = p7 a a n = n −1 (1 − i) ∴ an-1 = an × (1-i) ∴ a6 = a7 (1-0. ao valor do montante recebido e corresponde a uma série de pagamentos postecipada.00 16.05 p= = 16. 5% por período.28 14.746.990. Período Saldo 0 1 2 3 4 5 6 7 Total 100.80 3. Porém. a amortização pode variar e mesmo diminuir.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA Atenção! Visando corresponder à soma das amortizações. Finalizando. a critério da CEF. porém fugindo do escopo deste curso a sua análise. MatemFinanceira~AULAS~abril2010 67-167 . reduzir o risco de perdas para a CEF. por sua vez. O CES é um parâmetro referente ao Coeficiente de Equivalência Salarial. o saldo devedor é atualizado anualmente pelo valor da TR. 4. exatamente.1 – O Sistema O SACRE. ou sistema de amortização crescente. que abrange morte e invalidez e são dois parâmetros a serem considerados no calculo da prestação.7. Pelas regras da CEF atualmente em vigor.SACRE. partir do terceiro ano.2 – A metodologia. o sistema utilizado é o de amortização constante. PM = (EM × CES) + Seguro Uma característica do sistema é ter a prestação mensal calculada em função do montante financiado e o seguro sobre o valor de avaliação do imóvel. para calcular o saldo devedor a cada período em que ocorre o reajuste da prestação. Nos dois primeiros anos do financiamento e pode a.02 no valor da amortização da ultima prestação. ser feito trimestralmente. O seguro. O valor da prestação no sistema SACRE é definido pela soma de duas variáveis básicas. ENGENHARIA ECONÔMICA Tanto o CES como o seguro possui uma metodologia própria para sua definição.EM e o seguro.7. considerando a variação da TR. periodicamente atualizado pela CEF. ao montante tomado. atendendo ao seguinte modelo: 4. é um sistema de financiamento criado pela Caixa Econômica Federal visando calcular a prestação dos empréstimos de aquisição da casa própria. 4. taxa referencial de juros utilizada no reajuste da poupança.Define-se o Encargo Mensal – EM EM = juros + amortização 1 P EM = (P × i) +   = P × (i + ) n n Em que P corresponde ao saldo devedor e n o número de meses pactuados para amortizar o financiamento. quais sejam: o encargo mensal . é dividido em seguro do imóvel e seguro pessoal. quando o valor desta for baixo. foi efetuado um ajuste de R$ 0.7 – O sistema de amortização crescente . O objetivo do sistema é permitir a amortização de parcela expressiva do empréstimo no menor tempo possível e. As prestações são determinadas adotando a seguinte metodologia: 1º . caso ocorra uma inadimplência do mutuário. Define-se o valor da prestação mensal. fato a ser considerado quando da quitação das mesmas.Atualização monetária do financiamento. dos quais R$ 300 mil serão financiados pela CEF. Seja calcular a prestação mensal relativa ao financiamento de um imóvel avaliado em de R$ 500 mil. O seguro. estas taxas de seguro são denominadas.m. 68-167 . 5º .14429%.000 (0. Os juros foram pactuados em 1. DIF = valor da avaliação × taxa de risco × CES MIP = valor da avaliação × taxa de risco × CES A definição de cada taxa de risco deverá ser efetuada após consulta à CEF. de: DIF. e o financiamento previsto para ser quitado em 60 meses. ou seja. a taxa do risco a incidir sobre o financiamento é composta pela soma de duas variáveis: uma destinada a cobrir danos físicos ao imóvel e a outra para cobrir o risco de morte ou de invalidez do tomador. Assim sendo. e MIP destinada a cobrir casos de morte ou de invalidez do usuário. a idade do tomador e o prazo de quitação. Ressalta-se que estas taxas variam segundo a categoria em que for classificado o imóvel. É possível que tenha sito pactuado que para o calculo de cada prestação o valor financiado deva ser atualizado monetariamente.Calcula-se o valor do seguro. Como exemplo de taxas e considerando financiamentos realizados após 1994. respectivamente. ENGENHARIA ECONÔMICA 4º .Define-se o parâmetro CES. por sua vez.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 2º . a) Calculo do encargo mensal – EM.500.015 + 1/60) EM = 9. Para tanto é leva do em consideração o valor da avaliação do imóvel.12.02402 % e para a MIP é de 0. O CES é fixado por circular da CEF.Calcula-se o novo saldo devedor. SD n+1 = SDn – Amortização do período 4.7. EM = 300. visando cobrir danos físicos ao imóvel. a expressão da Prestação Mensal é dada por: PM = (EM × CES) + Seguro 3º .3 – Exemplo.5% a. na Categoria de Risco 6 a taxa definida para a DIF é 0.Calcula-se a amortização. MatemFinanceira~AULAS~abril2010 A= P × CES n 7º . Como já definido.00 R$. Para o exercício de 2006 foi estipulado em 1. são calculadas em função do valor do imóvel. 6º . da taxa de risco e do CES. Seguro = DIF + MIP As taxas de seguro. ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA b) Calculo dos seguros DIF = 500.000 × 0,02402% × 1,12 = 134,51 MIP = 500.000 × 0,14429% × 1,12 = 808, 02 Total do seguro = 942,53. No final de cada ano, a Caixa levanta o saldo devedor e aplica a correção pela variação do índice de reajuste dos depósitos na caderneta de poupança da pessoa física (atualmente, a TR) acrescida as taxas de juros de 8%, 10,5% ou 12%, de acordo com a modalidade de financiamento obtida. c) Calculo do valor da prestação. PM = (EM×CES)+ Seguro. PM = (9.500,00 × 1,12) + (134,51+ 808,02) PM = 10.640,00 + 942,53 = 11.582,53 R$ Na Caixa, o prazo máximo de financiamento pelo Sacre é de 20 anos, só podendo ser comprometida 30% da renda familiar, no máximo. No final do contrato, pelo sistema, não há os desagradáveis resíduos a serem pagos pelo comprador. 4.7.4 - Comentários O exercício deste item 4.6 consta do sitio da internet http://www.meusite.pro.br. Amortização pelo Sacre traz vantagens ao mutuário. Em 25.08.2006. O cálculo da prestação de um imóvel financiado é definido pelo sistema de amortização escolhido no ato da compra. Das três opções oferecidas no mercado — Sistema de Amortização Crescente (Sacre), Sistema Francês de Amortização (Tabela Price) e Sistema de Amortização Constante (SAC) —, o Sacre tem se revelado o mais vantajoso para o mutuário. Embora comece com prestações mensais mais altas, se comparado à Tabela Price, o Sacre permite maior amortização imediata do valor emprestado, porque reduz simultaneamente a parcela de juros sobre o saldo devedor do financiamento. SD n+1 = SDn – Amortização do período Pelo sistema, as prestações mensais mantêm-se próximas da estabilidade. No decorrer do financiamento, seus valores tendem a decrescer. Muito utilizado pela Caixa Econômica Federal, o Sacre tem recálculo das prestações corrigido anualmente pelo banco, nos dois primeiros anos do contrato, podendo ocorrer trimestralmente a partir do terceiro ano. MatemFinanceira~AULAS~abril2010 4.8 – Correção do saldo devedor. 4.8.1 – Procedimentos. Com o objetivo de repor o valor aquisitivo da moeda corroída pelo efeito da inflação, efetua-se a correção do saldo devedor existente, segundo a periodicidade pactuada. Essa correção é efetuada segundo algum índice de previamente escolhido e atendendo a procedimentos legalmente aceitos. No Brasil, dada a jurisprudência vigente, a correção do saldo devedor é efetuada depois de quitada a prestação do período e efetuada a amortização do saldo devedor. Consequentemente, o saldo devedor a render juros no período seguinte, SDn, é definido atualizando monetariamente 69-167 ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA o saldo devedor do período anterior, SCn-1,apos ser abatido o valor de amortização do saldo devido nesse período anterior. SDn = (SCn-1 – amortizaçãon-1) × (1+Φ) 4.8.2 – Metodologia. Seja definir o valor da prestação, dos juros e da amortização referentes a cada período de um empréstimo a ser quitado em cinco prestações anuais. Foram pactuadas as seguintes condições: • • • A taxa de juros estabelecida em 10% ao ano; O sistema de pagamentos ocorrerá por amortização constante, SAC; O saldo devedor corrigido pela variação anual do INPC. Adotando como nomenclatura: SDn representando o saldo devedor num período qualquer n; SCn-1 exprimindo o saldo devedor no período anterior ja corrigido segundo o índice pactuado; a, sendo o valor da amortização; n, o número de períodos a amortizar, Jn correspondente ao montante dos juros devidos no período n; e In o índice pactuado relativo ao período n, qualquer. Os procedimentos necessários à determinação das prestações são os seguintes: 1º) Calcula-se o valor da amortização para o primeiro período: SCn −1 an = per.amortizar MatemFinanceira~AULAS~abril2010 ENGENHARIA ECONÔMICA 2º) Calcula-se o montante dos juros do primeiro período relativo ao capital tomado: Jn = i × SCn-1 3º) Define-se o valor da prestação: Pn = an + Jn 4º) Calcula-se o novo saldo devedor: SDn = SCn-1 - a 5º) Atualiza-se o índice de correção e define-se o fator de correção do saldo devedor. 6º) Corrige-se o saldo devedor: SCn = SDn × In In −1 7º) Repete-se o procedimento até ser obtida a ultima prestação. Os juros e a amortizações de qualquer período subseqüente são calculados tendo por base o saldo devedor corrigido. 4.8.3 – Aplicação ao Sistema SAC. Como aplicação, seja calcular as prestações de um financiamento de um equipamento no valor de R$ 250 mil, a ser quitado em cinco anos, com juros pactuados a 10% ao período, sob o sistema da amortização constante. O saldo devedor deverá ser corrigido segundo a variação anual do INPC ocorrida no período. 70-167 ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA primeiras prestações. Solicita-se que o interessado realize os cálculos das prestações faltantes. INPC Período 0 1 2 3 4 5 Exercício 01.01.2001 01.01.2002 01.01.2003 01.01.2004 01.01.2005 01.01.2006 Índice 1,8798 2,0573 2,3605 2,6056 2,7654 2,9050 Fator de Correção 1,094. 425 1,147. 378 1,103. 834 1,061. 329 1,050. 481 Calculo do Saldo Corrigido Saldo Períodos Fator de Amortização Devedor a amortizar Correção 250.000,00 200.000,00 5 50.000,00 1,094425 164.163,75 4 54.721,25 1,147378 125.571,91 3 62.785,96 1,103834 69.305,27 2 69.305,28 1.061329 72.803,87 1 72.803,87 1,050481 Per 0 1 2 3 4 5 Saldo Amortizado 250.000,00 200.000,00 164.163,75 125.571,92 Determinação das Prestações Saldo AmortiJuros Corrigido zação 10% 218.885,00 50.000,00 25.000,00 188.357,88 54.721,25 21.888,50 138.610,55 62.785,96 18.835,79 Saldo Corrigido 218.885,00 188.357,87 138.610,54 72.803,87 --- Prestação 75.000,00 76.609,75 Por facilidade de entendimento dos procedimentos efetuados na determinação das prestações expostos da tabela acima demonstra-se, a seguir, os cálculos das três MatemFinanceira~AULAS~abril2010 1ª Prestação: Na primeira prestação, tanto os juros como a amortização são calculados sobre o capital inicial tomado, ou seja, R$ 250 mil. Não incide correção sobre este valor. Valor da 1ª prestação: P1 = a1 + J1 P1 = 50.000+25.000 = 75.000,00 R$ Amortização: SC0 250.000,00 a1 = = = 50.000,00R$ per.amortizar 5 Montante dos Juros: J1 = 250.000,00 × 0,10 = 25.000,00R$. Saldo Devedor: SD1 = SD0 – a1 SD1 = 250.000,00 – 50.000,00 = 200.000,00 R$ Saldo Corrigido: I 2,0573 SC1 = SD1 × 1 = 200.000 × = 218.885,00R$ I0 1,8798 2ª Prestação: Valor da 2ª prestação: P2 = a2 + J2 P2 = 54.721,25 + 21.888,50 = 76.609,75 R$ Amortização: 71-167 bem como o montante do valor das prestações.163.88 R$ 3ª Prestação.a.50R$.885.75 × 1.835. b) Comparar o montante dos juros pagos.00 × 0. juros e principal. Saldo Devedor: SD3 = SD2 – a3 SD3 = 188. e carência de dois anos.88 – 62. no Sistema Francês quando os juros pactuados são de 8% ao ano? (Estabeleça a data da operação financeira). 834 = 138. 72-167 .96 + 18. a juros de 9% a.amortizar 4 Montante dos Juros: J2 = SD1 × i J2 = 218.357.885. a) Seja um empréstimo de 1 milhão de reais a ser quitado em sete anos. Durante o prazo de carência.888.103. Qual será a composição da prestação anual.721.25 = 164. • O sistema de prestações constantes.721. Valor da 3ª prestação: P3 = a3 + J3 P3 = 62.amortizar 3 Montante dos Juros: J3 = SD2 × i J3 = 188. c) Uma construtora contraiu junto ao BNH um empréstimo de 200 mil CUB a ser pago em 10 prestações anuais e consecutivas.571. face os sistemas especificados para o calculo de cada financiamento considerado no exercício “a”.79 = 76.96R$ per.55R$ 4. O saldo devedor deverá ser atualizado anualmente.571.609.785. Calcular as prestações e os juros a serem pagos pelo credor considerando: • O sistema de amortização constante.357. também não ocorrerá o recolhimento dos juros devidos.00 – 54.357.96 = 125.10 = 21. d) Partindo dos dados especificados no exercício “b”.785.147378 = 188.25R$ per.885.92 R$ MatemFinanceira~AULAS~abril2010 ENGENHARIA ECONÔMICA Saldo Corrigido: I SC3 = SD2 × 3 I2 SD3 = 125.10 = 18. com pagamentos anuais.785.88 a3 = = = 62.75 R$ Saldo Corrigido: I SC2 = SD1 × 2 I1 SD2 = 164.88 × 0.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA a2 = SC1 218.610.9 – Exercícios. pede-se calcular as prestações devidas.00 = = 54.92 × 1. segundo a taxa anual de inflação abaixo. Saldo Devedor: SD2 = SD1 – a2 SD2 = 218.835.75 R$ Amortização: SD2 188.79 R$.357.163. Valor financiado pela CEF: R$ 40.00.000. Para tanto.25% ao mês.50 3º 6. Para ambos os casos definir: o valor da prestação mensal e os juros.00.Valor pago com recursos próprios: R$ 42. Sabe-se que a TMA da empresa é de 14% ao ano.2.2º quadrimestre 500.0 % ao ano. Tabela . caso venha ocorrer o desequilíbrio econômico-financeiro deste contrato. O caso em questão refere-se a um contrato de compra e venda de bem imóvel e mútuo com alienação fiduciária em garantia. financeiras – IOF. recalcular as prestações adotando o sistema de prestação constante.1º quadrimestre 3. 2ª – Utilizando financiamento de um banco de investimentos. . .000. h) Uma empresa em fase de expansão obtém um financiamento no montante de R$ 4.Encargo Inicial – prestação (a + j) = R$ 566. e) Considerando a aplicação efetuada no item 4.Valor da garantia fiduciária: R$ 82. Valor tomado. no dia correspondente ao da assinatura desde contrato. através de uma poupança programada com juros pactuados de 1.I Critério de liberação das parcelas Valor em R$ 1ª parcela .ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA Período Inflação % 1º 3.000.5% no ato de liberação junto com sobre o valor total do financiamento.6825% .Vencimento: 09/07/2001 .Taxa Anual Efetiva de Juros (%): 12.02 MatemFinanceira~AULAS~abril2010 .36 + 566.00 2ª parcela .00 3ª parcela .36 .80 4º 8.7. que pratica o sistema Price a taxa de 22.000. valor dos juros e da 73-167 .7.300.20 e) Sua empresa deseja substituir um equipamento cujo valor de mercado é de R$ 125 mil.0000% . . considerando o caso de prestação constante.2.66 . Condições do contrato: .66 = R$ 606. sem carência.70 g) Efetuar a aplicação do item 4. estuda duas hipóteses: 1ª – Efetuar a aquisição utilizando recursos próprios.10 ENGENHARIA ECONÔMICA 6º 12.000.Taxa Anual Nominal de Juros (%): 12. do empréstimo. tais valores poderão ser recalculados trimestralmente.Atualização dos Encargos: nos dois primeiros anos as prestações de amortizações + juros + prêmios de seguros. 000. O custo efetivo.000. .00 Tabela . os juros incorridos e a amortização a ser efetuada.Valor do bem financiado: R$ 82. no prazo de 18 meses. Efetue o diagrama de fluxo de caixa do financiamento.Total a pagar = 39.00. serão recalculados a cada 12 meses.8 milhões a ser liberado em três parcelas quadrimestrais. a 1ª parcela. f) Verifique se o calculo da prestação esta correto. levando em conta a data inicial do contrato (08/08/2001 a 08/08/2002 e 08/08/2003).II Condições pactuadas Encargos Taxa nominal de juros 9% ao ano Período de capitalização Quadrimestral Comissão de abertura de crédito 0.Sistema de Amortização: SACRE. Imposto sobre operações 1% sobre o total geral. -Prazo Amortização: 240 Meses .00. mensal.Seguros = R$ 39.00 2º 4.assinatura 1. 7º 15. A partir do 3º ano.000. Solicita-se: • • • As planilhas que demonstrem o valor de cada prestação. segundo o pactuado nos itens I e II. financiáveis em dez anos.50 5º 10. 1% sobre o total geral. paga junto com a prestação. • O sistema de pagamentos ocorrerá por prestação constante. Taxa de administração Imposto sobre operações financeiras – IOF. 0. Cláusulas pactuadas item Taxa nominal de juros Período de capitalização Comissão de abertura de crédito sobre o valor total do financiamento. a ser quitado em cinco prestações anuais. Carência Quatro (4) quadrimestres. Foram pactuadas as seguintes condições: • A taxa de juros estabelecida em 10% ao ano. Valor financiado junto com as prestações Carência Juros durante a carência Condições Contratuais 9 % ao ano Semestral.25% do saldo devedor. dos juros e da amortização referentes a cada período de um empréstimo no montante de R$ 300 mil.5% do valor do contrato cobrado no ato de adjudicação do contrato de financiamento.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA comissão de abertura de crédito. • O saldo devedor corrigido pela variação anual do INPC. Juros durante a carência Serão pagos Prazo do financiamento 5 anos Sistema de amortização SAC Período de amortização Quadrimestral Prazo do financiamento Sistema de amortização Período de amortização Saldo devedor ENGENHARIA ECONÔMICA 5 anos Prestação constante Semestral O saldo devedor é reajustado semestralmente pela variação do INPC. g) Seja definir o valor da prestação. h) Uma empresa visando implantar um novo projeto de produção obteve um financiamento no montante de R$ 750 mil. Dois semestres. Serão pagos MatemFinanceira~AULAS~abril2010 74-167 . bem como o valor das prestações. Valor tomado. valor dos juros e da comissão de abertura de crédito. da amortização e dos juros incorridos. Solicita-se a elaboração do diagrama de fluxo de caixa associado ao empreendimento. 0. 00 SAC com carência Saldo Amortizado Amortização MatemFinanceira~AULAS~abril2010 Juros – 10% Prestação NÃO Juros – 10% Prestação 75-167 .Financiamento sem carência com juros de 10% quitados a cada período.000. Per.Financiamento com carência de três anos e Juros quitados durante a carência. 1. . I – Sistema de Amortização Constante – SAC.000. 0 1 2 3 4 5 6 7 Total Saldo 250.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA h) Calcular o valor das prestações dos financiamentos abaixo qualificados. Per. Operação de sete anos. 0 1 2 3 4 5 6 7 Total Saldo 250. . Operação de sete anos.00 SAC sem carência Saldo Amortizado Amortização 2. Calcular a amortização para o 1º período sobre o saldo financiado..Calcular a prestação: P = A + J.. Prestações anuais..000.Para o 2º período calcular o valor da amortização sobre o saldo corrigido do 1º período. – Financiamento com três anos de carência. Per. Prestação corrigida pela variação anual do INPC..Definir o valor dos juros.. 2º .Calcular o saldo amortizado. 1/00 1/01 1/02 1/03 1/04 1/05 1/06 1/07 Total Saldo Amortizado AS Índice de Inflação 250.000. Repetir o processo anterior. 1º .. 3º . . 4º . Operação pactuada em janeiro de 2...Definir o saldo corrigido ao aplicar o fator de correção monetária sobre o saldo amortizado.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA 3. 5º . Juros de 10% ao ano não quitados durante a carência.00 SAC com correção monetária e carência Índice de Saldo Corrigido Correção AMORTIZAÇÃO SC = AS x IC IC = ÍN ÷ I0 - - - Juros . MatemFinanceira~AULAS~abril2010 76-167 ..10% aa Prestação P=A+J - - Metodologia: 1º Passo: 2º Passo: 1º .... Obs: a amortização do período subseqüente é sempre calculada sobre o saldo corrigido. Operação de sete anos.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA II – Método da Prestação Constante – Francês. Per.000. Saldo 0 1 2 3 4 5 6 7 Total 250.Financiamento com carência de três anos. .000.00 NÃO Sistema Francês com carência Saldo Amortizado Prestação Juros – 10% MatemFinanceira~AULAS~abril2010 Amortização Amortização 77-167 .00 Sistema Francês sem carência Saldo Amortizado Prestação Juros – 10% 2. Saldo 0 1 2 3 4 5 6 7 Total 250. Per. Juros quitados durante a carência. 1 . Operação de sete anos.Financiamento sem carência com juros de 10% quitados a cada período. .ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA 3. Obs: a prestação do período subseqüente é sempre calculada sobre o saldo corrigido do período anterior. MatemFinanceira~AULAS~abril2010 78-167 .00 com três anos de carência.Para o 2º período calcular o valor da prestação sobre o saldo corrigido do 1º período. 1º . As prestações deverão ser corrigidas pela variação anual do INPC..Calcular a amortização: A = P ... .Calcular o saldo amortizado.. Juros de 10% ao ano....Definir o valor dos juros.. pactuados para não serem quitados durante o prazo de carência. 2º ..10% AA J Amortização A=P-J - - Metodologia: 1º Passo: 2º Passo: 1º . com base em prestações anuais.000. – Financiamento de R$ 250. Operação pactuada em janeiro de 2. Repetir o processo anterior.00 Índice de Inflação Prestação constante com atualização monetária Índice de Saldo Corrigido PRESTAÇÃO Correção SC = AS x IC P IC = IN ÷ I0 - - - Juros .J 4º .Calcular a prestação para o 1º período sobre o saldo financiado.000.Definir o saldo corrigido ao aplicar o fator de correção monetária sobre o saldo amortizado. Per. 5º .000.. 3º .. 1/00 1/01 1/02 1/03 1/04 1/05 1/06 1/07 Total Saldo Amortizado SA 250. a engenharia econômica corresponde à área do conhecimento cujo objeto é a decisão sobre alternativas financeiras de investimentos. As técnicas da Engenharia Econômica baseiam-se na ciência denominada Matemática Financeira que. MatemFinanceira~AULAS~abril2010 ENGENHARIA ECONÔMICA Cabe ao analista de investimentos propor. com já visto. desenvolver e hierarquizar o conjunto de alternativas de investimentos disponíveis. Qual o tempo de retorno do capital inicialmente aplicado. deste modo.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 5. ou do decisor. 5.1 – Conceituação. Por definição. –Engenharia Econômica.Definição de Viabilidade. Para que qualquer alternativa seja considerada num processo de decisão há que se estudar a sua viabilidade e. 5. a quem caberá a palavra final sobre aquela a ser eleita e a melhor oportunidade em deflagrar esse processo.2. Estudar a viabilidade de um projeto significa quantificar suas premissas.2 – Análise de Viabilidade 5. 79-167 . Qual a taxa de rentabilidade de uma aplicação financeira. Qual a taxa de rentabilidade adotada em proposta de investimento. 3. A T E N Ç Ã O Dada a assertiva acima. descreve as relações da equivalência de capital sob a ótica do binômio TEMPO E DINHEIRO. construir a projeção dos fluxos de caixa e verificar se o projeto propicia um aumento de riqueza. deve ter em mente que a decisão de eleger qualquer delas é prerrogativa do empresário. responder aos seguintes questionamentos: 1. Como premissa para a tomada de decisão é que este processo só ocorrerá havendo a existência de alternativas de investimentos possíveis de serem comparadas. Não havendo alternativas não haverá decisão a tomar. 5. 2. Qual o incremento de riqueza que uma alternativa propiciará se implementada. Qual a máxima taxa de desconto possível de ser adotada e o projeto permanecer viável. toda a metodologia de análise de investimentos se apóia no sistema de juros compostos quando trata do estabelecimento de padrões de comparação de capital ou na decisão quanto à escolha da melhor das alternativas propostas de projetos de investimentos.1 . 4. Porém. pois ocorre um comportamento distinto no fluxo nos dois tipos de investimento durante a vida do empreendimento. salários e encargos sociais necessários para os primeiros períodos de operação do projeto.2. geralmente. Preço de Venda do Produto. administração do projeto. produtos em elaboração e produtos acabados. estoques de matérias primas. esse tipo de capital é apropriado em contas do ativo circulante. compreende. ENGENHARIA ECONÔMICA Contabilmente. No caso do capital de giro. equipamentos. recomenda-se avaliar a oscilação do mesmo para cada nível de produção. etc. O capital de giro é representado pelos recursos necessários à operação quotidiana do projeto. II) As projeções operacionais. 5. etc. despesas de engenharia. montagens. A demanda do produto corresponde à previsão da quantidade do mesmo a ser vendida a cada período de tempo. são as seguintes: I) O orçamento de investimento.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 5.Orçamento de Investimento 5. é crescente até alcançar a quantidade máxima de produção instalada e.2. Ela. 80-167 . esta quantidade varia com o tempo. ai considerando o capital próprio e o de terceiros. custos administrativos. IV) O custo de capital. Exige cuidado a definição do aporte de capital de investimentos. V) As fontes de recursos disponíveis.2 – Projeções Operacionais O orçamento de investimentos considera dois tipos de capitais: o investimento em Capital Fixo ou Imobilizado e o investimento Capital de Giro. comumente. III) O horizonte do prazo do investimento ou tempo de vida do projeto.2 – Premissas. As projeções operacionais de um projeto investimento são constituídas pelas estimativas de: O investimento em capital fixo ou imobilizado engloba todo aquele investimento que não entrará no “giro” dos negócios tais como: terrenos.2. despesas financeiras durante a construção. em geral: necessidades mínimas de caixa.2.2.1 . As premissas que permitem analisar a viabilidade de um projeto. decrescente quando o produto fica tecnologicamente ultrapassado ou prescindível pelos consumidores. MatemFinanceira~AULAS~abril2010 • • • de Demanda do Produto. Normalmente. Contabilmente. esse capital é apropriado no item Ativo Imobilizado. Custos de Produção a cada nível de demanda. obras civis. pois ocorrerá uma exigência distinta no nível de produção considerado. financiamento de vendas. tempo de vida ou tempo de operação de um projeto corresponde ao espaço de tempo que se pretende operar um empreendimento ou o tempo que o leva a obsolescência. Não convém aplicar hoje em ações o dinheiro que será usado para pagar a prestação da casa própria amanhã. ao final do mesmo. é taxa de remuneração desejada pelos proprietários pela remuneração do capital próprio aplicado. para o desconto de seus projetos. quando se compra ações. o ideal é que o investidor participe neste mercado com uma estratégia de ganhar dinheiro no longo prazo. Esta taxa.2. é aquela da aplicação de capital por uma empresa ou um seus recursos. É melhor esperar um momento adequado. para tanto. ao termino da vida do projeto. Isto porque. horizonte de investimento. Finalizando. É interessante notar que. os custos variáveis oscilam com a quantidade produzida.2. Pode receber. 5. Conceitualmente. taxa de oportunidade. Sendo a menor taxa eleita capitalista quando da aplicação de por sua vez. E. estabelecida para a remuneração próprio. Assim. MatemFinanceira~AULAS~abril2010 ENGENHARIA ECONÔMICA Esta é uma recomendação natural para investimentos de maior risco. as denominações de: taxa de mínima atratividade. Teoricamente. matematicamente. os analistas recomendam ter um horizonte de longo prazo. havendo Investimento Fixo e/ou Capital de Giro residual.3 – Horizonte do Investimento. regra geral. Também não se deve comprar um imóvel sabendo que será necessário vendê-lo em seis meses. custo de oportunidade. a Taxa de Juros difere da Taxa de Oportunidade.4 – O Custo de Capital O custo de Capital é definido como a taxa “ï” a ser adotada nos estudos financeiros da empresa. o tratamento a ser dado a estes dois tipos de taxas venha a ser idêntico. mesmo que. Por definição. taxa de desconto da empresa. como uma entrada de caixa. por exemplo. eles devem ser incorporados ao fluxo de caixa. há de se observar e analisar qual a quantidade ótima de produção que permite realizar o lucro máximo. observar quais as quantidades de produção que permitem economia de escala e a quantidade ou ponto ótimo de produção a partir do qual se entra num processo de deseconomia de escala. é importante analisar o custo de produção a ser incorrido a cada nível de demanda. Considerando que. impondo o próprio preço ao mercado. denominada de taxa de rentabilidade. em especial. também. mas também pode não ser.2. A Taxa de Oportunidade.2. a taxa de juros é aquela considerada quando se paga pela utilização de um capital de terceiros. o horizonte de investimento de qualquer ativo financeiro ou de um ativo real depende do tempo estabelecido para obter um melhor retorno. Embora as ações possam ser vendidas a qualquer momento. ao serem 81-167 . ii) ou. 5. que pode ser de seis meses.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA O preço de vendas pode ser estimado de dois modos: i) acompanhando o preço praticado pelas empresas líderes de mercado. Consideram-se fontes de recursos os fornecedores dos capitais necessários à implantação de um projeto e. fica determinada a linha dos tempos e. Utilização do capital próprio ou de terceiros.2 .1 – Diagrama de Fluxo de Caixa. são: • • Capital Próprio.Diagrama de Fluxo de Caixa – DFC. Capital de Terceiros. 82-167 . como uma série de pagamentos e recebimentos de dinheiro. Pagamentos ou saídas de dinheiro representadas por setas voltadas para baixo. em ordenadas.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA consideradas alternativas que apresentem a mesma taxa de risco.2. receitas ou entradas de dinheiro são representadas por setas voltadas para cima.1 – Conceituação. Horizonte do projeto. em abscissas. 5. 5. o valor monetário de cada fluxo de caixa singular. Valor residual dos ativos imobilizados a serem alienados. Conceitua-se fluxo de caixa. distribuídos no tempo. O custo de capital de terceiros corresponde à remuneração dos capitais constituídos por empréstimos ou financiamentos de longo prazo. Ver Fig.3 – Fluxo de Caixa. A análise da viabilidade financeira de investimentos é realizada através do estudo do fluxo de caixa projetado associado a cada uma das alternativas desenvolvidas. O custo do capital próprio corresponde à remuneração desejada pelo proprietário da empresa ou pelo acionista pela utilização do capital empregado em qualquer projeto capital empregado.3. Taxa de mínima atratividade ou de retorno do capital. Alíquotas dos tributos incidentes sobre o lucro e o faturamento.5 – Fontes de Recursos.3. 5. sinal (+). MatemFinanceira~AULAS~abril2010 ENGENHARIA ECONÔMICA O processo de análise financeira e a elaboração do fluxo de caixa projetado podem ser realizados disponíveis as seguintes informações: • • • • • • • • Avaliação da variação da demanda do produto durante o horizonte de projeto. Neste diagrama.2. sinal (-). Custos de Produção a cada nível de demanda. Preço de Venda do Produto. 5. O “diagrama de fluxo de caixa” é um instrumento que permite visualizar clara e concisamente uma série de fluxos de caixa. 5. Graficamente ele é representado em um gráfico cartesiano onde. basicamente. então. juros e amortizações.2.Lançar como investimento.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA O diagrama de fluxo de caixa. Todo fluxo de caixa é lançado no diagrama no momento final do período em que tenha ocorrido. iii .1 – Diagrama de Fluxo de Caixa Recomenda-se.5. v . k. • • deve Seta voltada para cima representando um fluxo de caixa superavitário ou positivo.A entrada de capital de dívidas. não há a consideração de risco ou incerteza. apenas os capitais demandados pelo projeto.3. Seta voltada para baixo representando um fluxo de caixa negativo ou deficitário.1 – Premissas e Convenções. elaborar o diagrama de fluxo de caixa dos projetos em análise visando facilitar o acompanhamento e entendimento do comportamento do fluxo associado a cada alternativa em análise e realizar um adequado tratamento matemático ao processo de calculo. genérico. vii .O reinvestimento de fundos gerados pelos projetos. Tendo por nomenclatura: A correta montagem dos diagramas de fluxo de caixa – DCF exigem o cumprimento das seguintes premissas: a) Receitas. Rec. iv . i . MatemFinanceira~AULAS~abril2010 83-167 .2 – Calculo do Fluxo de Caixa. 5.2. R$ F2 F3 F4 F5 F6 Fn 1 2 3 4 5 6 n tempo ii . Considerando que um fluxo registra o somatório líquido do resultado das saídas e entradas de caixa que ocorrem em um período.O montante de capital próprio empregado no projeto e o pagamento de dividendos. expressa graficamente o resultado ou saldo das movimentações de caixa havidas em determinado período.O fluxo de caixa de um período equivale à soma algébrica das entradas e saídas de caixa que ocorrem durante o mesmo. A representação gráfica dos fluxos de caixa atender às seguintes convenções: • F1 F0 Fig.Decisões financeiras realizadas antes do início anterior do projeto em análise. não vinculados ao projeto. vi .3.A priori. especialmente ao iniciante no assunto. que correspondem ao faturamento ou ganhos a serem auferidos pelo projeto. 5. a realização de um grau de investimento superior ao somatório do lucro. para isto ocorrer. da análise da expressão do fluxo de caixa. melhoram a disponibilidade de caixa. que expressa o montante do valor das desmobilizações ocorridas no final do projeto devido à venda dos bens imobilizados. pode ocorrer a existência de lucro em um determinado período e o fluxo de caixa ser negativo. é equivalente à quantidade de riqueza que ele poderá gerar. dependendo do volume monetário aplicado em investimentos. d) Deduções são os incentivos fiscais que podem ser considerados como despesas e que permitem reduzir o lucro antes da provisão para o imposto de renda e da contribuição social sobre o lucro líquido. especialmente. Fk. custos de produção ou tributos pagos. O valor do fluxo de caixa em dado período k é dado pelo modelo: Fk =Σ Rec(k) . VR. considerando o valor da moeda no tempo. das deduções e do valor residual havidos no período.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA b) Despesas. Decorre dessa definição que o VALOR PRESENTE LÍQUIDO de um ativo. ou de qualquer projeto de investimento. Basta. Então: Fk = Lucro – Inv + Ded + VR Do acima exposto e. equipamentos ou veículos e em capital de giro. como sendo o VALOR de um ativo ao valor presente líquido dos fluxos de caixa que ele for capaz de gerar. mesmo tendo sido apurado lucro no exercício. financeiramente. 5. A constatação da assertiva acima pode ser efetuada pela análise da expressão abaixo. O lucro representa o resultado da dedução das despesas indiretas. correspondendo ao somatório das inversões realizadas em ativo imobilizado. ii) Pode ocorrer fluxo de caixa negativo. sejam eles imóveis. correspondendo ao somatório dos custos diretos. MatemFinanceira~AULAS~abril2010 ENGENHARIA ECONÔMICA Portanto. do valor das receitas havidas. Especialmente o montante da depreciação dos ativos imobilizados ocorrida no período. pode-se deduzir: i) as deduções que reduzem o imposto a pagar e o valor residual.Σ Desp(k) – Inv(k) + Ded(k) + VR(k) Alerta-se ao leitor que o conceito de fluxo de caixa transcende ao conceito de lucro. dos custos indiretos e dos tributos incidentes diretamente sobre o faturamento. Define-se.3 – Valor Presente. 5. Lucro = Σ Receitas – Σ Despesas. 84-167 . c) Investimentos. ao se substituir na expressão geral do fluxo de caixa os somatórios das receitas e despesas pela expressão do lucro.3. e) Valor residual. no período.1 – Valor de um Ativo. VP(p) = ∆ RIQUEZA A metodologia leva esta denominação de valor presente líquido.1. 5. então. o valor presente líquido associado a um projeto p corresponde ao somatório dos fluxos de caixa individuais. De modo sintético. ao ser analisado qualquer projeto de investimento ou um conjunto de MatemFinanceira~AULAS~abril2010 85-167 . No caso de se dispor de múltiplos fluxos de caixa.3 – Valor Presente e Valor Futuro. “n”. conforme Fig.3. b) Valor Presente de Múltiplos Fluxos de Caixa. fato que permite medir o incremento de riqueza por ele propiciado e expresso em valor monetário.5. VF.5. o valor presente VP de um único fluxo de caixa. corresponde ao fluxo de caixa inicial no momento zero e Fk o fluxo de caixa previsto para ocorrer no período k: VP ( p ) = Fo + n 1 (1 + i) n período n ∑ k = 1 (1 Fk + i) k Ou. VP ≡ VF E. $ VF ENGENHARIA ECONÔMICA Como já visto no item 2.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA expressa em valores monetários e medida na data de sua análise. ou incremento. de riqueza propiciada pela implantação de um projeto de investimento. a uma única saída ou entrada de caixa. representa o número de períodos em que ocorrerá a entrada de caixa e “i”. é dado pelo modelo abaixo.3. é a metodologia proposta para medir o acréscimo.2 – Calculo do Valor Presente Líquido. F0. em que VP e VF correspondem. O Valor Presente Líquido. pois considera todas as entradas e saídas de caixa associadas ao projeto. em que. a taxa de desconto ou TMA. a) Valor Presente de Fluxo de Caixa Único. respectivamente. pactuada. pode ser expresso pela seguinte expressão matemática canônica. de forma extensiva: VP Fig.2 – Valor Presente Fluxo Único VP ( p ) = Fo + F1 F2 F3 Fn + + +L + 1 2 3 (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) n Alerta-se para se ter o cuidado de. 08 .00 1. como exemplo de obtenção de um diagrama de valor presente. Como será visto no Capítulo-6. conforme será visto em capítulo posterior. ENGENHARIA ECONÔMICA O exemplo da Fig.200.5. 9% e 12%. 6%. obtém-se o valor presente líquido associado a cada uma das taxas.850. disponíveis os diagramas de valor presente das alternativas vinculadas a um projeto. 3%.120. o valor presente do fluxo de caixa descontado à taxa de “i%” ao período.00 520.00 680. Tal procedimento evita surpresas no processo de tomada de decisão. conforme disposto na tabela abaixo. no eixo das abscissa as taxas de desconto ou TMA e. torna-se mais fácil e definir adequadamente qual delas propicia o maior incremento de riqueza.00 Valores Presentes em R$ i = 3% i =6% i =9% 754.3. mostra o diagrama de um fluxo de caixa descontado a taxas de desconto que variam entre 4 a 20% e onde é evidenciado o Valor Presente vinculado à taxa de desconto de 4% ao período. 5.00 . Este diagrama exprime.25 12% -21. Per.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA alternativas de investimentos.67 86-167 194.3 – Diagrama de Valor Presente. elaborar o diagrama de valor presente de cada um deles.00 320. 5. no intuito de visualizar o comportamento de cada fluxo de caixa singular.00 450. em ordenadas.3.0 %.00 570. um projeto representado pelo seu fluxo de caixa: 850 450 520 570 630 680 320 VP = −1200 − + + + + + + 1 2 3 4 5 6 (1 + i) (1 + i) (1 + i) (1 + i) (1 + i) (1 + i) (1 + i) 7 Resolvendo o polinômio acima para cada uma das seguintes taxas de desconto: 0.00 630.3.1.36 449. Um importante instrumento utilizado para a análise co comportamento de qualquer fluxo de caixa é o Diagrama de Valor Presente. 0 1 2 3 4 5 6 7 ∑ MatemFinanceira~AULAS~abril2010 i = 0% . Seja.4 – Exemplo de Aplicação. 00 449.i% Fig. ou seja. Com estes dados pode-se traçar o diagrama de valor presente expresso na Fig.00 0 3 6 9 12 Taxa de Desconto . 5. o projeto torna-se inviável.00 194.120. Analisando o diagrama do valor presente. -200. A Taxa de Mínima Atratividade.36 600. VP(p) associado às diversas alternativas do projeto.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA Solicita-se ao interessado preencher os dados faltantes na tabela abaixo.00 1.4 .08 0.5. TMA.00 Para investidores que praticam uma Taxa de Mínima Atratividade superior a 11.00 -400.200. i.Diagrama de Valor Presente 5. já que o valor presente passa a apresentar valores negativos.25 -21. pode-se constatar que o projeto em questão passa a ser viável para investidores que praticam taxa de desconto. ENGENHARIA ECONÔMICA 1.00 800.67 400.6%. VP ( p ) = Fo + MatemFinanceira~AULAS~abril2010 n ∑ Fk k = 1 (1 + i) k 87-167 . ao se calcular o valor presente líquido.00 754.00 1.4 – A Taxa de Mínima Atratividade – TMA.00 200. uma TMA abaixo dos 11.000. Assim. corresponde à menor rentabilidade desejada para a remuneração de um projeto.4. ela é utilizada como taxa de desconto. o que permite estabelecer o valor presente do projeto para as TMA’s especificadas.6%. havendo diversas alternativas de investimentos propostas para a aplicação de um mesmo capital. a seu talante.6. a saber: capital próprio. A TMA poderá ser estabelecida sob a ótica do investidor ou da empresa.1 – Exercícios Resolvidos. 2001). o ELP. (GITMAN. 5. capital de terceiros e financiamentos de curto e longo prazos. Matematicamente e partindo dos balanços da empresa pode-se definir a TMA como: MatemFinanceira~AULAS~abril2010 Lucro PL + ELP R$ 490. a alternativa que apresentar o maior incremente de riqueza será considerada como a mais interessante. Obtidos os valores presentes de cada alternativa. a) Se investidor: Neste caso. R$ 580 b) Se empresa: No caso de empresas. ENGENHARIA ECONÔMICA TMA ≡ i = Em que PL corresponde ao patrimônio líquido. O custo médio ponderado de capital expressa o custo dos capitais mobilizados para financiar a empresa. Isto porque.00/período 0 1 2 3 4 5 6 7 8 1º . a TMA corresponde à remuneração desejada pelos acionistas.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA Como já comentado.5 – Exercícios. VP = 580 × 1 1 + 490 × × FVP6 ¬10% 2 (1 + i) (1 + i)3 ∴ 88-167 9 períodos . o exigível de longo prazo e o Lucro expressos nos balanços de cada exercício. as mesmas podem ser hierarquizadas segundo o aumento de riqueza quer propiciam. e corresponde ao representada custo médio ponderado do capital da empresa. Basicamente. noutras palavras. a remuneração desejada pra o capital a ser investido. remunerados segundo parâmetros diferentes. o investidor singular determina. 5. A Taxa de Desconto é de 10% por período. representado pelo seu Diagrama de Fluxo de Caixa. deverá ser adotada a mesma TMA ≡ i para o calculo do valor presente líquido de cada uma delas. a) Valor Presente: Calcular o Valor Presente e o Valor Futuro do projeto abaixo. não há sentido financeiro comparar valores presentes associados à alternativas de investimentos descontados à taxas distintas ou.Calculo do Valor Presente. mostra a composição de quatro fluxos de caixa projetados. o gestor dispõe de informações para avaliar os saldos disponíveis de caixa e.5. iii) Estabelecer a época e a oportunidade de implantar novos projetos ou aplicação de capital em havendo previsão de expressivo saldo de caixa.5. A definição do fluxo de caixa é um processo de previsão dos recebimentos e pagamentos futuros. b) Exemplo de Previsão de Fluxo de Caixa.Σ Desp f(q) – Invest. coincidentemente com o ultimo período do fluxo de caixa.77 $ É importante lembrar. ii) Verificar a necessidade de investimento em capital de giro quando a projeção do fluxo de caixa do projeto prever a ocorrência de saldo negativo.8264 + 490 × 0.7156 = 4. etc.5 – Previsão de Fluxo de Caixa 1 28 29 89-167 .10) 7 + 490 × FVF (6. ter condições para: i) Analisar a viabilidade de projetos.9847 + 490 × 7. 10% ) ∴ VF = 580 × 1. tributos a serem pagos.66 $ 2º .010. MatemFinanceira~AULAS~abril2010 ENGENHARIA ECONÔMICA iv) Conhecer o saldo final de caixa ao fim de cada período ao se somar o saldo de caixa existente em período anterior.7513 × 4.Calculo do Valor Futuro. investimentos a serem realizados.931.010 R$ mil Ago R$ mil Set R$ mil Out R$ mil Nov Recebimentos Vendas a vista Contas a Receber Outros 191 42 149 0 307 48 179 80 283 58 215 10 355 65 275 5 Despesas Fornecedores Honorários Salários Aluguel Impostos 203 77 50 29 25 22 226 89 60 30 25 22 245 106 60 32 25 22 260 118 60 35 25 22 Investimentos Equipamentos Capital de Giro 97 67 30 32 32 0 94 94 0 94 94 0 Fluxo Caixa Líquido -109 49 -57 Saldo Caixa Anterior 145 36 85 Saldo Final de Caixa 36 85 28 Fig.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA VP = 580 × 0. Disponível a previsão dos fluxos de caixa.082. VF = 580 (1+ 0. O calculo do fluxo de caixa é realizado utilizando o seguinte modelo: Fk =Σ Rec f(q) . deste modo.5. + Valor Residual Fluxo de Caixa Exercício 2. que o Valor Futuro é dado no 9º período. a cada período vindouro. O exemplo da Fig. na tabela denominados de Fluxo de Caixa Líquido. relativos aos meses de agosto a novembro de 2.3553 = 2. 00 63. Recebimentos diversos/mês 6. − A previsão de vendas evoluirá segundo as estimativas expressas no Quadro 2.000.Exercícios Propostos. Investimento. c) Calcular o valor presente de um projeto cujas características operacionais estão relacionadas a seguir.00 7. despesa ou investimento.00 1.00 Venda de produtos/mês 33.250. a) Calcular o valor presente e o valor futuro do projeto representado pelo diagrama dos fluxos de caixa.000.500.00 12.00 5.555.900.500.000.000.00 7.mês Material de consumo . item Investimentos capital de giro Salários diretores/mês Salário pessoal da produção/mês Salário pessoal administrativo/mês Previdência Social/mês Material de consumo/mês Matérias primas p/ 4 meses. Individualizar o que é receita. cujos dados estão relacionados no quadro abaixo.00 Aquisição de Máquina 3.mês Matérias primas .00 900.900.150.00 8.000.000.00 Aluguel de Terreno/mês 4.400.00 6.00 Quadro 1 – Informações Contábeis Investimento inicial Salários diretores/ mês Salário pessoal da produção/mês Salário pessoal administrativo/mês Previdência Social .900. 90-167 Valor R$ mil 240.00 48% .mês Venda de produtos c/ capacidade total – mês Valor residual do item 1. Adotar a taxa de 10% ao mês como custo de oportunidade.00 Investimentos em imobilizado podem ser vendidos por 25% do valor de aquisição findo o prazo do projeto. Sabe-se que: − O tempo de vida do projeto foi estimado em sete anos.00 3.00 18. b) Determinar o valor presente de um projeto com horizonte de quatro anos.00 8.2 .900. − Os dados relacionados no Quadro 1 mostram o percentual de utilização da capacidade instalada em cada ano.00 3.00 Venda de equipamento 3.500. − A taxa de mínima atratividade adotada é de 15% ao ano.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA 5.500.6.000. MatemFinanceira~AULAS~abril2010 Valor R$ mil 3. 00 0.4 – Tipificação dos Fluxos de Caixa. Solicita-se.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA Quadro 2 . o projeto parece viável por se mostra positivo em R$ 765. O investimento simples ou empréstimo é caracterizado por apresentar uma única variação de sinal em seu fluxo de caixa. simplesmente.00. um movimento negativo. 5.00 605.00 680. (-) 940. bem como traçar o diagrama de valor presente. a) Investimento Simples ou Empréstimo. verifica-se que o projeto é financeiramente inviável pois seu valor presente líquido é de (-) 940.000. também.00 × 1 (1 + i)n Valor Presente $ 5.00 (+)765.00 -1. definir o fator de valor presente associado e o valor presente associado a cada fluxo de caixa.00 510. Além disto. Assim sendo deseja-se saber se a implantação deste projeto é viável para a empresa.5.6. a soma dos fluxos de caixa projetados.l 40% 50% 60% 70% 100% d) Uma empresa remunera seus ativos a uma TMA de 12% ao período.1 – Pela Variação dos Fluxos de Caixa. Investimento Convencional. ou seja. o primeiro fluxo de caixa deve ser caracterizado por uma saída de caixa.6 – Classificação dos Investimentos. 91-167 . Período. Os investimentos podem ser classificados segundo a variação dos fluxos de caixa ou conforme a disponibilidade dos recursos para investimentos.400.37 R$. Fluxo de Caixa $ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ∑ -1.00 790.00 550.00 -420. Segundo a variação do sinal dos fluxos de caixa os investimentos podem ser divididos em: • • • Investimento Simples ou Empréstimo.00 450. Investimento Não Convencional. MatemFinanceira~AULAS~abril2010 Ao ser descontado o fluxo de caixa de cada período a TMA de 12%. Ver o projeto nº S1 da Fig. seguido por uma série de fluxos de caixa positivos.Previsão Anual de Faturamento sobre a Capacidade Instalada Total Ano 1 2 3 4 5a7 Percent. esta analisando um projeto de investimento representado pelo respectivo fluxo de caixa projetado.37 Havendo. +F9. MatemFinanceira~AULAS~abril2010 5.F11.F2. tais como: aquisição de um bem de consumo durável a exemplo de eletrodoméstico e automóvel financiado pelo comércio varejista. a exemplo do anterior. b) Investimento Convencional O investimento não convencional distingue-se dos anteriores por apresentar mais de uma variação de sinal em seu diagrama de fluxo de caixa. .5.4 – Tipificação dos Fluxos de Caixa. também. . quando o faturamento acontecerá após o período de implantação do mesmo. + F12} F5 + + F6 + + F7 + + F8 + + F9 + + F10 + + F11 + + F12 + Verificando os exemplos dados na Fig. . os fluxos de caixa iniciais podem ser tanto positivos como negativos. +F3. Investimento Não Convencional F0 F1 F2 F3 F4 F5 N1 + + N2 + + + N3 + + + - F6 + - F7 + - F8 + + - F9 + + + F10 + - F11 + + F12 + + É uma situação muito comum de ocorrer na indústria da construção civil.6. O investimento convencional é definido como todo aquele em que ocorre. períodos de entrada de caixa (+). o que ocorre em projetos de hidrelétricas. inicialmente. +F4. empréstimos pessoais realizados por bancos comerciais. sejam terrenos ou apartamentos.4 – Tipificação dos Fluxos de Caixa. + F8. siderúrgicos ou usinas beneficiadoras de leite.F6. . o que exige cuidado quanto à decisão e escolha de investimentos neste setor. que apresenta cinco variações de sinal no fluxo de caixa.5. Como exemplo de investimento convencional tem-se a implantação de algum complexo fabril. Ver os projetos nºs C1 e C2 da Fig.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA Este caso é o que comumente ocorre em operações de crédito pessoal ou empréstimos à pessoa física. Fato que propicia a existência de fluxos de caixa negativos entremeados por positivos. ocorre apenas uma variação de sinal no fluxo de caixa. .6 – Tipificação dos Fluxos de Caixa Neste tipo de investimento.5.F10. +F7. segundo a restrição de capital o que permite analisar a 92-167 . Os investimentos podem ser classificados.2 – Disponibilidade de Recursos. -F1. {-FO. Investimento Simples ou Empréstimo Nº F0 F1 F2 F3 F4 F5 F6 S1 + + + + + + F7 + F8 + F9 Investimento Convencional F0 F1 F2 F3 F4 C1 + C2 + + + F10 F11 F12 c) Investimento Não Convencional Como exemplo de investimento não convencional temse o projeto nº N1 disposto na Fig. apenas fluxos de saídas de caixa (-) e.F5. a seguir.5. quando ocorrem investimentos pré e durante a fase de construção entremeados pela venda de unidades. Fig.4. Isto quer dizer que são comparados. portanto. quando MatemFinanceira~AULAS~abril2010 ENGENHARIA ECONÔMICA for tecnicamente impossível implantar um deles em havendo a decisão de executar o outro. É preciso manter a visão clara e não entrar em comparações irrelevantes e que perturbem um processo decisório. projetos mutuamente exclusivos. Investimentos Mutuamente Exclusivos.O processo de decisão. Diz-se que uma proposta de investimentos é economicamente dependente de outra quando os fluxos de caixa esperados da primeira proposta podem sofrer influência com a aceitação da segunda. que as receitas líquidas esperadas do primeiro não são afetadas pela aceitação ou rejeição do segundo investimento. 5.7 . Decisões separáveis devem ser tomadas separadamente. Dois investimentos são considerados independentes quando é tecnicamente viável realizar um deles. Não há por que considerar num processo de decisão projetos definidos como independentes com aqueles mutuamente exclusivos. o objetivo é definir o projeto vencedor.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA viabilidade de sua realização. a) Investimentos Dependentes. Inexistindo alternativas. b) Investimentos Independentes. E. não há necessidade em compará-los. verificar se ambos promovem o aumento de riqueza dos proprietários. apenas. simplesmente. Os métodos discutidos neste livro permitem amparar a tomada de decisão financeira ao estabelecer parâmetros 93-167 . c) Investimentos Mutuamente Exclusivos Dois investimentos são ditos mutuamente exclusivos quando as receitas oriundas do primeiro cessarem. havendo a aceitação do segundo. apenas as diferenças existentes entre elas é que são relevantes para análise. Como as alternativas competem entre si. Investimentos Dependentes. Ou. Havendo disponibilidade financeira para a execução simultânea de dois projetos distintos. seja ou não aceito o segundo. Ao ser considerada a competição de alternativas. uma serve de referência para a outra no processo de seleção. aquele que mais aumenta a riqueza dos proprietários. Mas. não há decisão a tomar. categorias: • • • São classificados em três Investimentos Independentes. Quando se comparam alternativas de investimentos. completamente. não há opção de escolha e. Todas as decisões sobre análise de investimentos ou propostas de projetos de investimentos são tomadas a partir do desenvolvimento de propostas de alternativas de investimentos. Retorno do Capital ou Pay-Back. Custo Anual Equivalente ou Equivalente. conjuntamente.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA capazes de permitir a comparação e hierarquização das alternativas de investimento segundo o incremento de riqueza proporcionado por cada uma das alternativas ou a rentabilidade das mesmas. isoladamente. procedimento que vem a enriquecer a qualidade de sua analise. recomenda-se ao analista que elabore a hierarquização das alternativas considerando. vários dos métodos apresentados e não se limitar a simples adoção de apenas um deles. não satisfaça as exigências de um bom processo decisório. Beneficio Anual É muito possível que a adoção de um único método. São eles: • • • • Valor Presente Líquido. MatemFinanceira~AULAS~abril2010 94-167 . Taxa Interna de Retorno. Visando melhor amparar o processo decisório. Ao se comparar alternativas de investimentos. enfim. sejam eles institucionais ou pessoas físicas. a decisão sobre projetos de investimento deve ser realizada comparando alternativas que possuam certa semelhança. política governamental. o comportamento do mercado de cada uma delas. Comentando estes procedimentos: Assim sendo. taxas distintas para cada projeto. cultura da mão de obra. tipo de gestão. ou seja. a primeira.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 6. A coerência dos resultados inicia-se ao se eleger para comparação projetos cujo risco seja equivalente.1 – Coerência de resultados. adotam a TMA – taxa de mínima atratividade ou a TIR – taxa interna de retorno como parâmetro de decisão e de desconto dos fluxos de caixa. 6. seja o caso de duas alternativas. Logo. Facilmente se depreende que os riscos associados a cada uma das alternativas acima citadas tais como: local do empreendimento. Como exemplo.Brasil. há que haver a compatibilidade temporal entre elas. 95-167 . 1º . uma malharia situada no pólo têxtil de Santa Catarina .A mesma taxa de desconto. 3º . os resultados obtidos devem ser compatíveis financeiramente. uma mina de ouro na Tanzânia. Comparar projetos com idêntica vida útil. estes projetos são incomparáveis. Adotar a mesma taxa de desconto. Distinguir projetos de longa duração. Seria ilógico adotar múltiplas taxas de retorno.Projetos na mesma classe de risco. A TMA geralmente adotada em processos de decisão relativos a investimentos produtivos e a TIR quando da aplicação em investimentos financeiros ou em aplicações bursáteis (1). um projeto que tenha duração t igual a n anos com outro que disponha de t=k anos de duração. Método do Valor Presente. ou seja. a legislação trabalhista de cada país. simplesmente. Para tanto. são muito distintos. Investidores. quando comparam projetos dentro de uma mesma classe de risco adotam a mesma taxa de desconto como referencia. Comparar projetos na mesma classe de risco. MatemFinanceira~AULAS~abril2010 (1) Bursátil.Projetos com idêntica vida útil. os seguintes procedimentos devem ser observados: • • • • 2º . sendo k≠n. ENGENHARIA ECONÔMICA Assim sendo. Não há sentido financeiro comparar. projetos com idêntica vida útil. Ao se proceder a comparação de alternativas com distintas durações. pois não tem sentido comparar alternativas muito distintas. relativo a bolsas de valores ou de mercadorias. a segunda. 4º . Carece de sentido utilizar os procedimentos relatados no item 6.3 serão discutidos diversos procedimentos capazes de compatibilizar os horizontes de alternativas de projetos que apresentem distintas vidas úteis.1 – Incremento de Riqueza. é entendido como sendo o final do horizonte de planejamento. 6. pois cada alternativa deve ser expressa em termos de todas as receitas. antecipadamente.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA A assertiva acima é amparada numa premissa da análise de investimento e no procedimento de reinvestimento de recursos livres comumente adotados por investidores. (Soto Costa & Attie. Investidores. permitindo uma análise sobre o incremento de riqueza produzido. Assim sendo. medido na data em que foi realizada a análise ou avaliação de um projeto.2. se torna inverossímil qualquer previsão quanto à reaplicação de recursos financeiros e continuidade de projetos sobre qualquer alternativa que será finalizada num tempo longínquo. Nesta situação. Ressalva-se que a análise desta situação foge ao escopo deste curso. No item 6. de serem elaboradas considerações e definidas premissas sobre outras oportunidades futuras de investimentos. O método do valor presente. maior do que 15 ou 20 anos de duração. Utiliza-se. o surgimento de novas tecnologias. pois estes artifícios são adotados para projetos com menor horizonte de vida útil. fica muito difícil. MatemFinanceira~AULAS~abril2010 ENGENHARIA ECONÔMICA Justifica-se esta falta de sentido. considera o valor da moeda no tempo. a denominação de valor presente líquido. devem ter seus tempos de duração considerados de modo adequado. a premissa em questão recomenda eleger a alternativa que propicie a maximização da riqueza dos proprietários em longo prazo. Projetos com previsão de vida útil demasiadamente longa. só se pode comparar projetos que apresentem a mesma vida útil. de todas as entradas e saídas de caixa.Distinguir projetos de longa duração. 96-167 . pois o tempo de exploração se mostra suficientemente longo. os interesses dos proprietários ou o comportamento da economia a ocorrer em futuro muito distante Assim sendo. ou seja. E.3. investimentos e benefícios fiscais e tributos nela incidentes. nesta situação de alternativas com distinta duração. 6.2 – O Método do valor presente. no presente. também. a exemplo de plantas de fabricas de cimento ou de usinas elétricas e mesmo parte de seus equipamentos como geradores e rotores. ao disporem de recursos livres oriundos do término de outros investimentos. O longo prazo. pela qual recomendamos consultar a bibliografia complementar. via de regra. os reinvestem em outras alternativas disponíveis ou em alternativas semelhantes. horizonte este definido pelo projeto de maior duração. também denominado de valor presente líquido. dada a impossibilidade de prever. custos. 1984). Enfim. o método do valor presente é compatível com a 1ª e a 2ª das premissas adotadas em investimentos de alternativas de projetos e expostas no Capitulo 1.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA O processo. e. nova linha de produção. o valor presente líquido de um projeto de investimento qualquer p. A TMA. n n=1 (1 + TMA ) Em que: F0 representa o fluxo de caixa no momento em que é efetuada a decisão ou o fluxo de caixa inicial. O método favorece a decisão quanto à hierarquização de alternativas disponíveis para investimento de capital. o valor presente líquido do projeto. depois de calculado o VP(p) – Valor Presente Líquido utilizando o modelo acima podem ocorrer três situações: • 6. campanha publicitária. O investimento é remunerado à taxa tradicionalmente obtida. MatemFinanceira~AULAS~abril2010 Fn • • VP(P)=0. especialmente recomendado para a decisão sobre investimentos produtivos. VP(P)<0. ENGENHARIA ECONÔMICA Matematicamente. este é o caso de projeto inviável. mostra que o projeto reduz o ganho tradicionalmente desejado.2 . neste caso ocorre o que se denomina de indiferença de projeto. como o próprio nome diz. este é o caso de projeto viável. VP(P)>0. Nesta situação. o método é recomendado para ser utilizada em qualquer tipo de decisão financeira. qualquer. então. a exemplo de: implantação de unidade fabril completa. VP(p) corresponde ao valor atual ou valor presente líquido associado ao projeto p. por sua vez. quando descontados a uma taxa de desconto i. não causando aumento na riqueza do proprietário. é dado por: k VP(p) = F0 + ∑ VP(p) = ∆ RIQUEZA Dado a conceituação acima. parâmetro que exprime o incremento de riqueza propiciado a esta alternativa.2. corresponde àquela taxa que oferece a melhor remuneração a ser obtida por um fator de produção. Por definição. Estabelecidos os fluxos de caixa. Fn um fluxo de caixa genérico a ocorrer num momento n. E. n o número de períodos integrantes do projeto ou horizonte de projeto.Decisão. especialmente naquelas cujo objeto seja a implantação de ativos produtivos. corresponde à soma algébrica dos valores presentes associados aos fluxos de caixa integrantes do projeto. visa determinar o valor presente líquido associado a uma alternativa de projeto de investimento. 97-167 . a TMA a taxa de desconto adotada pelo investidor como a rentabilidade desejada. quando o projeto descontado à TMA apresenta um VP negativo. o que o torna este método extremamente atrativo como instrumento de decisão. sendo i ≡ TMA. o horizonte do projeto e definida a TMA pelo proprietário. O projeto aumenta a riqueza do proprietário em valor superior à remuneração tradicionalmente obtida. etc. incorporação de edificações. Ver Fig. a remuneração oferecida pelo projeto é equivalente a que vem obtendo tradicionalmente para a remuneração de seus ativos. que disponha. 2º) o projeto foi descontado à maior taxa de remuneração que ele possa oferecer. ∑ (1 + TMA )n n=1 Nesta condição.6..1.1 – Valor Presente Líquido O conceito de se adotar o método do valor presente líquido como medida do incremento de riqueza... é igual à TMA.. Fn. o valor presente do retorno esperado é equivalente ao valor do capital investido. apenas. 98-167 . P...6.. taxa esta denominada de TIR e que.... há que ocorrer: VP(P) = −F0 + k F n = 0. F0. pode ser facilmente entendido ao se analisar um projeto de investimento qualquer.. ou taxa de mínima atratividade é mantida sem haver acréscimo de riqueza além do habitualmente obtido. a que trata da maximização da riqueza.. Esta situação configura um caso de indiferença financeira.. TMA% F Comentando as três situações possíveis de ocorrer: I . e de uma única entrada de caixa projetada. pois. Assunto a ser discutido no capítulo 9. No caso de haver a análise de um conjunto de alternativas mutuamente exclusivas. Esse critério de decisão é coerente com o exposto na 1ª Premissa da matemática financeira... Para que o valor presente líquido de um investimento seja zero..ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA caixa inicial. Critérios de Decisão VP(p) > 0 → Projeto Viável VP(P) = 0 → Projeto é Indiferente VP(p) < 0 → Projeto Inviável. Depreendem-se da assertiva acima dois fatos: períodos F0 0 .Quando VP(P)=0. neste caso... o critério de decisão deverá eleger a alternativa que apresentar o MAIOR valor presente líquido. n Fig. de um fluxo de saída de MatemFinanceira~AULAS~abril2010 1º) a margem de retorno estabelecida. sob a ótica do investidor. 00=VP Seja. não é o caso de abandonar pura e simplesmente a alternativa. obtém-se um valor presente de R$ 150. F0 e Fn.Quando VP(P)>0. no valor da TMA de 18%. cujo valor é zero. então. sob a ótica do aplicador que deseja uma remuneração de 18% sobre o capital investido.2 – Caso da Indiferença de Decisão. quando ocorre o caso de VP(P)=0.16 (1. ou seja.16 a 18%.16.16 150. ele não aumenta a riqueza do investidor já que remunera o capital investido exatamente na porcentagem que o investidor vem obtendo tradicionalmente pela aplicação de seus recursos.6. projeto pode não propiciar um incremento de riqueza.2 – Caso da Indiferença de Decisão de Somado este valor ao investimento inicial o resultado corresponde ao valor presente líquido do investimento efetuado. Considerando o modelo de calculo do Valor Presente: 99-167 . simplesmente corrige o capital inicial a uma taxa igual a da TMA habitualmente praticada. Finalizando. a TMA.00 e que analisa os seus investimentos adotando uma TMA de 18% ao período. o investimento não propiciou um aumento de riqueza maior do que o tradicionalmente obtido pelo aplicador Ver Fig.16.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA Visando um melhor entendimento dos conceitos efetuados e uma análise do resultado obtido.00. TMA Fn (1 + TMA )n = −150. 6. 343.00 + 343. Porém. Ao ser aplicado este capital em um determinado investimento produtivo pelo prazo de cinco períodos. como se pode constatar. II .18)5 =0 Aparentemente.00 FIg. VP(P) = F0 + 1 O investimento em pauta. Quando o valor presente líquido de uma alternativa de investimento for zero. uma empresa ou investidor que dispõe da importância de R$ 150. é previsto um retorno de R$ 343. o projeto é rentável já que apresenta um retorno bem superior ao investimento inicial de R$ 343. Descontado este fluxo de caixa de R$343. MatemFinanceira~AULAS~abril2010 2 3 4 5 -150. pois ela pode ser a única oportunidade dentro da margem de risco desejada. atribuindo valores aos dois fluxos de caixa. Assim sendo. a seguir é efetuado um exemplo numérico do caso em questão. mas remunera os ativos investidos à taxa habitualmente praticada. Matematicamente. pois propicia um incremento de riqueza em valor superior aquele que vem MatemFinanceira~AULAS~abril2010 k F n . Para que ocorra VP(P)<0. O valor presente líquido do projeto é calculado em R$ 22.Quando VP(P)<0. o calculo do valor presente líquido do fluxo de caixa é dado por: n=1 1 ENGENHARIA ECONÔMICA VP(P ) = F0 + Fn 395. Logo. ∑ (1 + TMA )n Financeiramente. deve-se ter: Fig. fica caracterizado que o projeto produz um incremento de riqueza em proporção superior ao habitualmente obtido. deve ser considerado como viável.66=VP 2 3 4 sendo tradicionalmente obtido. 5 F0= -150. Ver Fig. 395.3 – Caso da Aceitabilidade do Projeto. 6. deve-se ter: F0 < k F n . Configura-se o caso de rejeição do projeto. Quando descontado este valor à taxa de 18% ao ano obtêm-se um valor presente de R$172. significa que o valor presente do retorno previsto. o valor presente líquido do fluxo de caixa projetado descontado à TMA é inferior ao valor do investimento inicial.00 = −150. é uma situação que caracteriza a aceitabilidade do projeto sendo o mesmo considerado viável.6. Noutros termos.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA k Fn VP(p) = F0 + n n=1 (1 + TMA ) ∑ Para que ocorra VP(P)>0.00 III .00 + = +22. seja um projeto que oferece uma projeção de retorno após cinco períodos no montante de R$ 395. descontado à TMA.66.66. o retorno 100-167 . é financeiramente superior ao valor do capital investido.3 – Caso da Aceitabilidade do Projeto F0 > Nestas condições.66R$ n (1 + TMA ) (1. Exemplificando numericamente. o projeto é rentável e aumenta a riqueza em valor superior ao da simples correção do capital investido tendo como taxa de rentabilidade a TMA.18)5 Como pode se constatar. pois ele não remunera o investimento inicial.00 172. Assim sendo. ∑ (1 + TMA )n n=1 Nesta situação.00. 18)5 = −10. após cinco períodos. a curva do polinômio associado ao fluxo de caixa quanto se determina em abscissas 101-167 .00 Fig.13R$ Mesmo sendo previsto um retorno superior ao investimento inicial. Os resultados obtidos podem ser facilmente visualizados e entendidos. 5 períodos -150. no valor de R$ 320. ele deverá ser considerado inviável.6. Ele exprime. 18%.2. Ver Fig. em diagrama cartesiano. torna-se o método do valor presente um forte instrumento para amparar a tomada decisão. do ponto de vista financeiro. Fn (1 + TMA )n = −150.87.00 + 320. o ganho de capital é superior ao investimento inicial.00 139.00 (1. Porém.1 – Traçado do Diagrama. nos três casos analisados. 320. simplesmente. é inferior ao do investimento inicial.5. ou seja. quando se tem projetos que apresentem uma seqüência de fluxos de caixa. Os exemplos acima discutidos consideraram o caso de um projeto isolado. negativo. 6. o valor presente deste fluxo de caixa é de R$ 139. Calculado o valor presente líquido do projeto. obtém-se um valor de investimento R$ (-) 10. Retomando o exemplo anterior e considerando uma projeção de retorno. É interessante notar que. ou seja. 6.6. os resultados obtidos são de fácil interpretação e levam em consideração a dimensão financeira do investimento ao invés de.00.2.87=VP 1 2 3 4 Generalizando o caso analisado. sendo o valor presente líquido associado ao fluxo de caixa projetado de um investimento um valor menor do que zero. Isto porque. remunera o investimento efetuado.3 – Diagrama de valor presente. especialmente em projetos não convencionais.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA previsto do investimento. segundo a remuneração desejada de 18% ao período pode ser ou não interessante ao aplicador realizar este investimento de capital. ocorre uma perda financeira. quando o retorno for descontado à taxa de mínima atratividade. Logo.13.3. pois ela não MatemFinanceira~AULAS~abril2010 O diagrama de valor presente é um forte instrumento para amparar a análise de decisão de um projeto conforme modelo da Fig.4 – Caso da rejeição do projeto caixa: Efetuando o calculo do valor presente líquido do fluxo de VP(P ) = F0 + 6. um ganho econômico.4 – Caso da rejeição do projeto. 31 0. a taxa de desconto equivalente à TIR e o campo de viabilidade do projeto. 350. VP≥0 Calculando o valor presente para a função VP(A). 300} (1 + i) n O diagrama da Fig. fato importante.00 (-) 39. conforme abaixo.2 – Exemplo de Procedimento.2.Valor Presente Este ponto define a TIR. A função valor presente líquido deste fluxo de caixa. pois há casos em que o fluxo de caixa apresenta mais do que uma TIR.5 é obtido ao descontar o fluxo de caixa a varias taxas “i”.02 32.5. expressa em forma polinomial. Seja determinar o diagrama de valor presente representativo de um dado fluxo de caixa. o comportamento do fluxo de caixa. Fn FC(A) = { -1. 400. obtêm-se os valores presentes expressos no quadro abaixo: item 5 10 15 20 TMA Fig.31  TIR 12 Valor Presente Líquido ($) 300. o valor da TIR. a maior taxa de remuneração de um projeto viável. definido pelo seu conjunto de fluxos de caixa projetados. Escrevendo a expressão do valor presente liquido sob forma polinomial tem-se: VP (P ) = F0 + F1 (1 + i)1 + F2 (1 + i) 2 + F3 (1 + i) 3 +L+ Com o diagrama traçado pode-se verificar.3. 6. Fato este em que a análise do valor presente associado a uma determinada TMA deve ser analisada com cuidado.200.Modelo de Diagrama MatemFinanceira~AULAS~abril2010 450 400 350 300 + + + 2 3 (1 + i) (1 + i) (1 + i) (1 + i)4 i 1 2 3 4 5 6 Taxa de Desconto i(%) 0 3 6 9 10.00 200. é dada por: VP( A ) = −1200 + $ . 450.78 112.6.56 102-167 . seja o caso de um projeto A. O diagrama permite visualizar o comportamento do fluxo de caixa. considerando uma série de taxas de desconto préestabelecidas. claramente.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA as taxas de desconto e em ordenadas o valor presente associado à cada taxa de desconto.6. i 6. MatemFinanceira~AULAS~abril2010 103-167 .No ponto em que a curva cortar o eixo das abscissas.O processo deve ser interrompido ao ser obtido um valor presente menor do que zero. 0 -100 6.03) (1.Análise de Sensibilidade . de modo a resultar em uma curva a mais contínua e representativa possível da função polinomial desejada. o domínio do valor presente em expressão monetária. o valor presente do fluxo de caixa descontado à taxa i=3% é dado por: VP( A ) = −1200 + 450 400 350 300 + + + = 200. a alternativa deve ser descartada. 200 100 5º .3.03) (1. E.03)4 Lançando o par i(%)×VP($). em que no eixo das abscissas tem-se o domínio das taxas de desconto.3 – Metodologia do VPL. Fig. 2º . Caso este valor seja igual ou menor do que zero. 1 2 3 4 300 200.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA O diagrama de valor presente desta função VP(A) é efetuado ao se traçar um gráfico elaborado em coordenadas cartesianas. ou de oportunidade.6. Ela não apresenta ganho financeiro nem econômico. no das ordenadas. 400 Valor Presente .6.$ A metodologia proposta para a elaboração de um diagrama de valor presente é a seguinte: 1º . Este procedimento corresponde a desconsiderar o valor da moeda no tempo.6 .6 Esta é a maior taxa de desconto. fica definida a taxa interna de retorno – TIR. No exemplo.78$ 2 3 (1.Risco.8 112 32. que um projeto pode apresentar enquanto viável.3 . pois não apresenta rentabilidade para qualquer taxa de desconto.Diagrama de Valor Presente 300 4º .03) (1.Repete-se o processo definido no item 2º tantas vezes quanto o for necessário. 3º .31 Diagrama de Valor Presente 5 6 0 -39. dispostos na tabela. Taxa de Desconto .Calcula-se o valor presente à taxa i=0.Arbitra-se uma taxa de desconto e desconta-se fluxo de caixa à taxa arbitrada.2. chega-se à curva conforme exposto na Fig.6. em diagrama cartesiano. pode-se estabelecer o campo de domínio financeiro do projeto. cujo valor presente líquido do fluxo de caixa ao ser descontado pela TMA seja zero.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 6. 104-167 . ENGENHARIA ECONÔMICA Assim. Ver Fig. A análise de sensibilidade é uma técnica que possibilita verificar o domínio da viabilidade financeira de um projeto e. Quantidade Provável VP Corte p/ TMA Quantidade Máxima A técnica recomenda que se efetue o calculo do valor presente para cada situação limite. qMIN. considera-se a produção sendo realizada sob capacidade máxima. Para tanto. A terceira alternativa. 3º.3. o gráfico de valor presente para cada uma das alternativas. Elaborando. num mesmo diagrama cartesiano. ou seja. o recomendável é adotar a quantidade de produção média historicamente utilizada pela indústria onde a empresa esta inserida.7 – Campo de Domínio Financeiro Como segunda alternativa. + Valor Residual Partindo do princípio que cada nível de produção possa ser definido como uma alternativa. Produção realizada sob quantidade mínima viável.6. a quantidade mais provável de ocorrer. MatemFinanceira~AULAS~abril2010 Fig. Matematicamente: VP f(qMIN) = 0. VP(p) = Fo + F1 F2 F3 Fn + + + L + (1 + i)1 (1 + i)2 (1 + i)3 (1 + i)n Quantidade Mínima i1 TIRMIN i3 i4 i5 i Fk =Σ Rec f(q) . deve corresponder àquela capacidade. Produção sob a quantidade mais provável. consequentemente. Produção sob capacidade máxima.1 – Conceituação. relativa à quantidade mínima de produção. 6. pode ocorrer três situações: 1º. deve-se definir a máxima e a mínima capacidade ou quantidade de produção dentro da qual um projeto possa ser financeiramente viável. como primeira alternativa. 2º. em função da quantidade a ser produzida. Neste caso.7.Σ Desp f(q) – Invest. a priori. realizar uma análise do risco de sua implantação. adotase como quantidade máxima de produção a capacidade que corresponda à capacidade instalada do projeto ou a máxima produção possível de ser efetuada com o mesmo. A particularidade desta última alternativa é que a sua TIR corresponde à TMA da empresa. O primeiro passo do processo é dispor do diagrama de valor presente de uma alternativa de investimento considerando diversas quantidades a serem produzidas.8 – Limites de viabilidade para determinada TMA. é zero.6. deve-se efetuar um corte no campo de viabilidade de um projeto na altura da TMA desejada. mostrado na Fig. quantidade esta em que o projeto oferece o maior valor presente líquido. apresentará um valor presente líquido maior do que zero. Como segundo passo. o valor do fluxo da caixa relativo à alternativa que adote a quantidade mínima de produção e que viabilize financeiramente o projeto. O objetivo deste item é mostrar um procedimento derivado do método do valor presente líquido que permite mostrar o domínio das quantidades de produção financeiramente viáveis. 6. tem-se: TIR≡TMA. 6. MatemFinanceira~AULAS~abril2010 O equipamento em questão produz perfis com 6. correspondente à capacidade instalada. em ordenadas. E.7. com os dados obtidos traçar um gráfico “quantidade versus valor presente”. quando descontado à TMA da empresa.00 metros de comprimento sendo a capacidade instalada de produção prevista para 45 mil metros mensais. caso em que a TMA=TIR.3. Logo. qMAX . quando estabelecida uma TMA.8.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA Noutras palavras.8. 105-167 . as quantidades a serem produzidas e em abscissas. estabelecida uma TMA.6. este é o domínio viável de produção. E. em coordenadas cartesianas. Ver Fig.8. 6. 6. b) O limite superior corresponde à quantidade máxima de produção. c) Se o projeto operar a uma capacidade de produção entre a máxima e a mínima. qMIN qprov qMAX qK Fig. qMIN. traçar a curva que contemple o domínio das quantidades viáveis de produção. Para tanto. VP f(qK) Da análise da curva obtida depreende-se: a) O limite inferior da curva indica o limite de viabilidade corresponde à quantidade mínima viável de produção. No citado gráfico da Fig. nesta situação. 6.4 – Aplicação. o valor presente líquido de cada alternativa desenvolvida. conforme exposta na Fig. Uma empresa está estudando a aquisição de um sistema destinado à confecção de perfis moldáveis. descontada à TMA previamente estabelecida. devem ser lançadas.2 – Domínio viável de produção. Um levantamento efetuado no segmento de mercado em pauta indicou que as empresas vêm operando.100. Assim.14% ) − 1. MatemFinanceira~AULAS~abril2010 260 . em média.600.00 por unidade. ENGENHARIA ECONÔMICA Informações oriundas da contabilidade da empresa indicam que ela vem remunerando os seus ativos à taxa de 14% a. d) A elaboração de um diagrama lucro/produção. com 83% da capacidade instalada. e produção mais provável.000 ⋅ FVP (10. o projeto será analisado sob três níveis possíveis de produção: produção mínima ou viável. a variável respectiva.00% ao ano A vida média do equipamento em análise é de 10 anos e. quando descontado à TMA da empresa.000.000. Nesta situação. é aquele que zera a função valor presente líquido a ele associado.100 .a.00 83.00 R$ 125. − 2.1 milhão por ano. a) Produção viável: A quantidade mínima de produção que permita tornar viável o projeto. Como informação orçamentária.14 )10 q = 35.00 10 R$ 260. O custo direto de produção orçado em R$ 80. poderá ser vendida a 10% do seu valor de aquisição. E. o VP f(qMIN) = 0. para que a aquisição seja viável. em metros.14% ) + (1 + 0.000. que o preço de comercialização do produto é de R$ 125.000 14.600. Porém. existe campo da expansão dado a inexistência de produção similar na região.00% 45. E. denominou-se de q.000 + (125 q − 80 q ) ⋅ FVP (10.222 peças O comprimento total dos tubos a serem produzidos é dado por: L = 6 × q = 211. estima-se que ocorrerá um incremento no custo administrativo e de vendas da empresa na ordem de R$ 1. c) O maior e o mais provável acréscimo de riqueza propiciado pelo projeto. o investimento em ativos imobilizados no valor de R$ 2.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA Dados disponíveis: Item Preço do sistema Vida útil (anos) Valor residual Comprimento da peça (m) Custo operacional (anual) Insumos (unidade) Preço de venda (unidade) Produção média Capacidade Máxima (unidades) Custo de oportunidade Valor R$ 2.00 R$ 80.000 106-167 =0 .332 metros/ano. vencido este período.000. produção máxima. Dado o exposto solicita-se: a) A quantidade anual de produção. e) A confecção de um diagrama que mostre o campo de viabilidade do projeto.600 .00 6 R$ 1.00 por unidade produzida. Considerando que se deseja conhecer a quantidade a ser produzida. b) O fluxo de caixa propiciado pelo projeto.00. 14 % ) − 1 .36 R$ b) Fluxo de Caixa do Projeto: d) Mais provável acréscimo de riqueza: Esta situação ocorre em sendo possível produzir uma quantidade equivalente à capacidade esperada de produção durante o tempo de vida do projeto.9. VPMP = −2. o exposto no desenho da Fig.6.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA VPMAX = 2.14 )10 VPMP = 499. 83% da capacidade instalada.000 + (125 − 80 ) ⋅ 45 . Ou seja.000 ⋅ 0.100 . se obtêm variação dos valores presentes das possíveis viáveis de produção.83 ⋅ FVP (10.55 R$ e) Campo de Viabilidade do Projeto.000 × 0. mostra campo de viabilidade do projeto.295. 107-167 e mínima e.600 .14 % ) + MatemFinanceira~AULAS~abril2010 260 . quando ocorre a utilização da capacidade instalada durante toda a vida do projeto.040.600 . VPMAX = − 2 . 6.000 ⋅ FVP (10.14 )10 O diagrama de valor presente a seguir.10 uma reta perpendicular à taxa de 14%.6. Fig.10.392.000 ⋅ FVP (10. A expressão abaixo exprime. Fig.83 = 37. e a capacidade máxima.9 – Fluxo de Caixa do Sistema de Perfis c) Máximo acréscimo de riqueza: A máxima produção de riqueza ocorre sendo possível produzir uma quantidade igual à capacidade instalada.14 % ) + 260 . Quantidade Esperada = 45. a capacidade mais provável. durante todo o tempo de vida do projeto. traçando o campo de quantidades .350. com o desenvolvimento de cada alternativa de produção: em capacidade mínima de produção.6.000 (1 + 0.000 ⋅ FVP (10.14 % ) − 1.000 + (125 − 80 ) ⋅ 45 .000 (1 + 0. algebricamente. quando a maior taxa de retorno corresponde à TMA. Considerando as curvas de máxima quantidade de produção mostradas na Fig. 100 . 6.000. relaciona as quantidades de produção viáveis e os respectivos valores presentes líquidos considerando uma mesma TMA.11 .000.10.000. Méd Q.00 R$ 5.0 0 % 2.500 1. 0% R$ 1.222.0 0 21 % .000.295.000.000 9 .00 45.000 MatemFinanceira~AULAS~abril2010 Valor Presente-R$10³ R$ 0.222 37.350.0 0 24 % .000 500.0 0 18 % .000.44 unidades e um limite superior qMAX = 45.000.44 37.000.00 0 12 % .392.00 R$ 3.000.11.00 6 .00 1.000.000.0 -R$ 2. Mín R$ 6.Quantidade de Produção x Valor Presente Lucro VPL – R$ 0.00 Fig.00 35. Implantado o projeto e as quantidades produzidas e vendidas oscilando entre o valor mínimo e máximo citados.0 0 30 % . Ele exprime todo o conjunto de quantidades variando de um limite qMIN= 35.000. R$ 4.040.0 0 27 % .00 499. a empresa tem garantida a ocorrência de um positivo incremento de riqueza.00 2.222.6. 0.00 ENGENHARIA ECONÔMICA O diagrama da Fig. Campo de Viabilidade Q. Máx Q.10 – Campo de Viabilidade do Projeto f) Diagrama Lucro Produção Dados de Produção Produção – em peças 35.000.55 2.0 0 15 % .00% ao ano.000. derivado do diagrama da Fig.0 3 .000.0 0% -R$ 1.000 Fig.36 108-167 .000 unidades se mostram viáveis considerando a TMA de 14.00 R$ 2.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA .000.6.350 45. 6.500. A metodologia a ser utilizada no caso de re-investimento em ativos semelhantes será discutida no Capítulo 8 – Valor Uniforme Equivalente.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 6. 6...... z-1 ..12. muitos distantes da data atual..5.. ou seja. Neste caso ocorre o pressuposto da continuidade de vida ou produção do ativo em análise.2 – Caso de Rigidez das Alternativas..5 . .. para se comparar alternativas de investimentos com vidas úteis distintas. Projeto A FA(0) FA(1) FA(2) 1 2 FA(3) FA(n) O objetivo do artifício é suprir a lacuna de informações existentes quanto a possíveis fluxos de caixa entre os finais das alternativas. .12 – Alternativas com vidas úteis distintas. sendo distintas as premissas propostas para igualar os tempos de projeto: • • • Caso de re-investimento em ativos semelhantes. a firma reinvestira em outro ativo com características semelhantes à do ativo desmobilizado. O horizonte de planejamento será. Caso de outras oportunidades futuras.. findo o período de vida do ativo.. três situações podem ocorrer.Equalização de tempos de projetos. Isto é. É considerado haver rigidez na continuidade de alternativas de investimentos quando não há previsão de 109-167 .. de modo lógico. que mostra um método de fácil MatemFinanceira~AULAS~abril2010 0 3 .. . 6..1 – Re-investimento em ativos semelhantes. . Como já comentado. há que se adotar artifício que iguale os horizontes de projeto de todas as alternativas.. 6. 3 n Projeto B FB(0) FB(1) FB(2) 1 2 FB(3) FB(n) FB(z) 6. ENGENHARIA ECONÔMICA aplicação quando a equalização dos horizonte dos projetos se mostram muito grantes. Ver Fig.5. o mínimo múltiplo comum das vidas das alternativas em comparação.. 0 . Caso de rigidez das alternativas. Ao serem analisados investimentos mutuamente exclusivos.. então. z Fig. variando j de 1 até “n” e sendo “i” a taxa de retorno adotada para o projeto. equivalente ao Valor Futuro dos lucros do projeto de menor duração no momento “n”. pois não há sentido ou possibilidade técnica em continuar a exploração do ativo. a equalização dos tempos de vida das alternativas em análise é feita considerando que. Pt. o valor do fluxo de caixa atribuído ao projeto de menor duração no momento “t”. O diagrama exposto na Fig.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA manutenção na continuidade de um projeto ou na impossibilidade de manutenção em operação do ativo em análise. não cabe a utilização do método do Benefício Anual Equivalente.13 – Rigidez de Alternativas Então: Alerta-se que. neste caso. momento este coincidente com o término do projeto de maior duração. Como o princípio a ser mantido é o de aumento de riqueza do proprietário. quando esgotada a jazida os respectivos equipamentos de exploração ficam impossibilitados de serem removidos ou reaproveitados. momento em que ocorre o fim de utilização deste projeto. 6. VF equivale à reaplicação dos lucros obtidos com o projeto. E. o processo de decisão deve ser efetuado através do método do valor presente. E. n-2 n-1 n P(n-2) P(n-1) Pn n-2 n-1 t-1 t Pt n t Período a Considerar VF Fig6. Nesta situação. pois o mesmo MatemFinanceira~AULAS~abril2010 110-167 . ENGENHARIA ECONÔMICA j VF = Pj (1+i ) . a firma reinvestirá os lucros oriundos do projeto que apresentar a menor duração.13. Os exemplos clássicos desta situação são os investimentos em minas ou em poços de petróleo. mostra um modelo de diagrama de fluxo de caixa recomendado para o caso em análise. utilizando o artifício proposto. Pt = (1+ i) (t-n) Nestes casos duração de projetos com prazos rigidamente determinados. Estes lucros serão aplicados em ativos que rendam tanto quanto o valor da moeda no tempo até alcançar o período do projeto de maior duração. ao fim da vida útil de cada ativo. fazendo alguns melhoramentos no prédio poderá alugar por R$ 31. finda a vida do ativo ou o interesse em sua exploração. Neste caso.000 R$ 330.6 – Exercícios. Um orçamento de reforma apresentou um valor de R$ 600 mil. pergunta-se: seria financeiramente interessante a execução dos melhoramentos? MatemFinanceira~AULAS~abril2010 111-167 .00 R$ 250. para maior sofisticação e confiabilidade do processo decisório.m.. a firma tem interesse de considerar outras oportunidades de investimento disponíveis no futuro. 6. R$ 380. tais como a mudança de sistema de produção. o lançamento de novos produtos ou mesmo a mudança de ramo.000. Esta recomendação visa alertar quanto à possibilidade do processo de decisão transcender a área da Análise de Investimentos e haver necessidade ou possibilidade. a) Considerando as seguintes propostas de investimentos: Qual a mais interessante? Adotar uma taxa de Descontos de 7% ao período. fato que é obstado pela própria caracterização dos projetos em pauta.000. recomendase criatividade e lógica ao utilizar a metodologia disponível. do uso de algum processo de otimização.00 Proposta B Assim sendo.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA pressupõe a repetição dos projetos. 1 2 3 4 Período R$ 1.00. Porém.200 b) José da Silva pensa alugar uma loja por R$ 24.00 mensais.00 1 2 3 4 R$ 1.00 Ao analista de investimentos. ENGENHARIA ECONÔMICA 6. nestes casos. recomendamos consultar a bibliografia que trata especificamente do assunto.2% a. Sendo sua taxa de atratividade mínima de 1. Proposta A R$ 500. pois foge ao escopo deste curso.3 – Caso de Outras Oportunidades.5. a melhor. os custos de operação nas novas condições e a construção de instalações de apoio e oficinas necessárias.60 14.10 mil. há previsão de utilizá-lo por cinco anos.m. a) Uma empresa tomou emprestada uma importância no montante de R$ 30. também por 45 dias.30 70.00 C 48. .: Calcule em período anual). do horizonte de projeto e do custo de oportunidade.5% ao mês por 45 dias. Sendo a TMA praticada pela empresa estabelecida em 15% ao ano. novo.00 por 60 dias.20 41. Deseja-se saber: Qual o fluxo de caixa (montar) desta operação? Qual o montante total destas duas últimas aplicações ao o final deste 2 período? O equipamento em questão..000. à taxa de 12% ao mês.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA c) Você atua profissionalmente numa firma de assessoria e consultoria técnico-financeira e lhe coube analisar a aquisição de um mesmo equipamento para dois clientes distintos. É procedimento de empresas que atuam no ramo.00 D 64. (obs. Investimento R$ A 18.00 8.00 4.00 d) Explique porque é desnecessário levar em consideração o efeito inflacionário na análise do valor presente de um ativo produtivo. Analise e comente o resultado do processo de aquisição para os seguintes casos: . MatemFinanceira~AULAS~abril2010 112-167 .70 27. Além disso. substituir o equipamento antigo e o utilizar como entrada para a aquisição de outro mais moderno. foi previsto um horizonte de 10 anos de utilização para as alternativas e os valores residuais dos investimentos realizados estão apresentados na tabela abaixo. definir qual das alternativas é. cujo custo de capital é de 7% ao ano. Sabe-se que equipamentos com cinco anos de uso custam o equivalente a 15% de um novo. Para tanto. ENGENHARIA ECONÔMICA Ao receber o montante deste primeiro período aplicou 30% à taxa de 13.Cliente A. f) Você é o diretor de uma construtora que atua a nível regional e esta analisando a realocação do escritório central da empresa. cujos custos envolvem o preço de terrenos. foram desenvolvidas alternativas situadas em quatro cidades distintas. dado o incremento de sua carteira de serviços. • • Dada à evolução contínua da tecnologia. de modo a manter o processo financeiramente viável.Cliente B. cujo custo de capital é de 16% ao ano. O restante aplicou à taxa de 14% a. financeiramente.00 B 34.00 5 Valores em R$ 10 mil Cidade Redução Anual Valor Residual de Custos R$ 3. custa 250 mil reais e tem condições de oferecer receitas líquidas mensais na ordem de R$ 5. pois os custos operacionais estão crescendo muito.00 9. conhecida a projeção dos fluxos de caixa futuros. 000. MatemFinanceira~AULAS~abril2010  Verificar se praticada a taxa de desconto 14. dispõem-se das seguintes informações: • • • • Custo de capital da empresa: 15% ao ano.000. .000. deseja saber qual das alternativas é a melhor! Investimento Equipamentos Custo Operacional Anual Custo de Manutenção Anual Valor Residual do Projeto Vida Estimada em anos Processo Alfa R$ 50.00 160.95.00 Situação Investimento inicial Investimento no 1º período Fluxo de caixa líquido idem idem idem idem i) Deseja-se saber qual o mínimo valor residual de um equipamento usado. o processo comercial seja viável.00 140.00 10 h) Dado o fluxo de caixa representativo de um projeto. se praticada a taxa de desconto de 12% o projeto pode ser viável.00 80. 113-167 . . Receitas anuais líquidas: 7.00 1. Devido à idade dos equipamentos. j) Você como diretor técnico de uma empresa de engenharia deve decidir entre dois diâmetros de uma adutora necessária à implantação de uma pública.00 2.000. dois novos processos de fabricação foram considerados e que propiciam níveis de faturamento semelhantes.300. apresentam paralisações constantes e uma crescente evolução dos custos com manutenção. Preço do equipamento novo: 30.00 25.Decidir qual a alternativa a ser selecionada.O calculo do Valor Presente (VP) de cada alternativa. Para tanto.00 13. para que possa ser dado como entrada na aquisição de um similar. Essa unidade vem apresentando uma queda de produtividade. Fluxo de caixa Fo F1 F2 F3 F4 F5 F6 Valor R$ .O monte o fluxo de caixa dos empreendimentos. solicita-se: .255. Para tanto. porém novo e que.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA Solicita-se efetuar o processo de decisão utilizando o método do Valor Presente.00 120.6439%.00 16. o projeto pode ser aprovado. g) O executivo chefe de uma empresa distribuidora de concreto usinado esta analisando a modernização de uma das suas unidades. Sendo a taxa de oportunidade praticada pela empresa de 15% ao ano. Com base nos dados apresentados no quadro a seguir.00 mil reais.000.00 10 Processo Beta R$ 30.800. financeiramente.00 .00 18.000.00 100.00 mil reais. solicitase:  Demonstrar que. Vida útil do equipamento: 5 anos. 000.o menor faturamento mensal possível.00 1% do Custo Inicial 10% do Custo Inicial 2% do Custo Inicial 10% do Custo Inicial no ano 5 25% do Custo Inicial 25% do Custo Inicial 2% do Custo Inicial nos anos 5. exigindo investimentos estimados em $ 10.000 durante 10 anos. a 18% do valor de um novo. de modo a tornar o projeto viável. após pesquisa de mercado. 10 e 15 16% do Custo Inicial 18% do Custo Inicial 10 15 12. telefonia. constantes e consecutivas. Os engenheiros responsáveis pelo propuseram à gerência duas soluções alternativas. O BDE. equipamento com capacidade de atender a convergência digital dos diversos tipos de mídia. prestações anuais.00 m. l) Numa análise realizada em determinada empresa. verifique: 1º . R$3.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA DISCRIMINAÇÃO Custo Inicial (CI) Custo manutenção anual (de 0 a 5 anos) Custo de manutenção anual (de 5 a 15 anos) Custo de revisão e manutenção periódica Receita (de 0 a 5 anos) Receita (de 5 a 15 anos) Período de cálculo (anos) Taxa de Mínima Atratividade (TMA) ENGENHARIA ECONÔMICA ADUTORA ∅ = 1. Assim sendo. prazo de pagamento de seis anos sendo dois de carência. previu que um produto com as características do TI-struvspro teria uma vida comercial de sete anos.00 7% do Custo Inicial ADUTORA ∅ = 1. A aquisição dos equipamentos de produção requer investimentos iniciais no montante de R$ 1.20 m. banco de investimentos. foram detectados custos operacionais excessivamente elevados numa linha de produção. 2º . Como a empresa estava com os seus recursos empenhados noutros investimentos e não teria capacidade financeira para investir neste novo produto. isto é. propôs as seguintes condições de financiamento: aporte do capital necessário à produção no fechamento do contrato a ser realizado na data de fechamento do contrato. sem nenhum valor residual. A empresa dispõe de instalações físicas para instalação dos equipamentos. O diretor prevê receitas mensais na ordem de R$ 36 mil e despesas operacionais de R$ 25 mil por mês. Equipamentos do gênero podem ser vendidos. conseguiu suporte de um banco de investimentos.0% k) O diretor da MiksCorp. etc.000.000. • • • • • • Condições: A Mikscorp pratica um custo de capital de 15% ao ano. Dado o comportamento desse mercado.000.a viabilidade do projeto dada as condições abaixo. R$5. MatemFinanceira~AULAS~abril2010 114-167 problema . empresa atuante na industria da telecomunicações e informática.200 mil. GPS. A primeira consistindo numa reforma geral da linha.000. em decorrência da utilização de equipamentos velhos e obsoletos. cujo resultado será uma redução anual de custos igual a $ 2. no final da vida útil. após os quais os equipamentos seriam sucatados. tratamento de dados. concluiu haver demanda para absorver o lançamento de um novo produto denominado TI-struvspro.0% 12. pagas anualmente a juros de 8% ao ano. n) Analise a viabilidade de investir em escritórios comerciais tendo por objetivo a cobrança de alugueis.000.00 48.000.00 Ano 5 1. . qual das alternativas deve ser preferida pela gerência? (Contribuição Dr. . Empresa PrimeTop Nortecon Belafonte Padrão Alto Médio Baixo Área Sala m² 65. .000 para substituir os equipamentos existentes. definindo os fluxos de caixa em períodos mensais. Esta alternativa deverá proporcionar ganhos de $ 4.705 após dez anos.00 Valores em R$ 10³ Sabe-se que: .00 270.300.61 679.00 Ano 2 900. expostas no quadro abaixo.As empresas construtoras praticam um preço de vendas na ordem de 2.00 Ano 4 1.000. Engº Oscar Ciro Lopes). apresentando ainda um valor residual de $ 10.90 36. MatemFinanceira~AULAS~abril2010 ENGENHARIA ECONÔMICA Pede-se: .A previsão dos fluxos de caixa líquido.00 Ano 1 860. m) Uma empresa mineradora recebeu duas propostas visando à aquisição de dois equipamentos de escavação necessários à exploração uma jazida mineral até a levar a exaustão. a taxa básica de juros estabelecida pelo BCB esta.Vencida a vida útil dos equipamentos. e assim. Por sua análise concluiu que as ações de seis firmas são as melhores entre as muitas que examinou.O custo de oportunidade determinado corresponde a 1.25% e há o entendimento no mercado que é adequada a remuneração de 12% ao ano para imóveis alugados. anuais. ele deseja determinar a firma em que aplicará 115-167 .00 2.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA A segunda proposição foi a aquisição de uma nova linha de produção no valor de $ 35.95 Custo CUB/m² 959.100.500.Uma decisão quanto ao melhor projeto.590.000. Essas seis firmas representam praticamente o mesmo risco.Como informação adicional.200. o) Um investidor estudou detidamente várias companhias e suas ações ordinárias. 1714917 % ao mês.00 2.00 Ano 3 950. eles serão repostos.Qual sua recomendação quanto ao melhor projeto sendo os fluxos de caixa definidos em períodos anuais.88 Aluguel mensal R$ 490.00 2. cujo valor líquido de revenda foi estimado a $ 5.00 -6.00 350.82 604. na data da pesquisa.00 .100. de cada alternativa esta relacionada no quadro de previsão. Previsão dos Fluxos de Caixa Equipamento Opção A Opção B Investimento Inicial -4. . Sabendo-se que a empresa pratica uma TMA de 15% ao ano.700 por ano.00 2. Após levantamentos efetuados no mercado imobiliário dispõem-se das seguintes informações: .2 CUB/m².00 Ano 6 1.Foram coletadas informações de três conceituadas empresas que atuam no mercado de construção e vendas de imóveis. definida em 14. MatemFinanceira~AULAS~abril2010 116-167 .Taxa de juros de 14% ao ano.00 Preço estimado ao final dos 4 anos (em Reais) 32 45 42 40 60 p) Uma firma está estudando três alternativas mutuamente exclusivas como parte de um programa de melhoramentos na produção. Roberto após consulta ao banco.75 45. portanto. para adquirir a residência que hoje possui. Sendo a taxa de mínima atratividade definida em 14% ao ano. que o montante final dos depósitos correspondeu a 40% do valor da casa tendo sido necessário.Taxa de juros de 16 % ao ano.25 4. Após o pagamento da terceira prestação. capitalizados trimestralmente.000 1.000 1. ao final da vida útil.00 2. Ele disse que. qual será a alternativa que Você recomendará? (Contribuição Dr.em anos A 10. está pensando renegociar o saldo devedor nos seguintes termos: .Pagamento em 10prestações mensais iguais. na compra da residência. Dr). Disse. A dívida foi contraída nas seguintes condições: . Depósitos realizados nas seguintes datas: Data dos depósitos 01/set/2000 01/dez/2000 01/mar/2001 Valor (em R$) 6. cada alternativa poderá ser reposta por outra que apresenta custos e benefícios idênticos.000 1. também.000 Dado a poupança realizada deram entrada. é zero em qualquer uma das alternativas. Ao final da vida útil. em 01/set/2001. e exige uma taxa mínima de atratividade de 10% a.$ Benefício anual uniforme . . Projeto Custo instalado . foi necessário contrair uma dívida. financiar o restante. Para tanto sabe-se que: O valor residual.946 20 Para tanto. ao longo de um ano.48 52. fizera três depósitos trimestrais numa conta de poupança de um banco que remunerava os seus depósitos a uma taxa nominal de 12 % ao ano com capitalização trimestral. no dia 01/jun/2001.a.500 14.500 9.625 10 B 15. capitalizados semestralmente. Ele planeja conservar as ações durante quatro anos.53 33.O saldo devedor pago em 20 Prestações mensais iguais.$ Vida útil . Que ações o investidor deve preferir (usar como método de decisão o VPL)? (Contribuição Engº Oscar Ciro Lopes. lhe informou que.650 15 C 20.55 Dividendo anual por ação (em Reais) 1. Ações ordinárias Petrocisa Bragantin Cauai Enervale Rechtam Preço por Ações (em Reais) 23.00 30. . Oscar Ciro Lopes).50 0. com o objetivo de dar entrada na compra do imóvel.00 3. r) Um cliente solicitou sua ajuda para assessorá-lo na aquisição de um imóvel.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA seu dinheiro. 000. informe: • Caso seja contratado o empréstimo. espera que o novo produto tenha conquistado uma parcela de mercado que apresente uma renda de $120. lhe informou que o BNDES esta financiando equipamentos de forma vantajosa. Ele previu que. Além disso.. adotando o Sistema de Amortização Constante e pactuada uma taxa de juro de 25% ao ano. a época do lançamento do novo produto a empresa poderá incorrer em custos com pesquisa e desenvolvimento equivalentes a US $280.00.000 acima dos concorrentes. durante os dez primeiros meses após o lançamento. está negociando com um banco um empréstimo cujo objeto é o desenvolvimento de um novo produto. E. prevê uma renda mensal superior em $60. poderá ter uma renda superior em $30. Durante os dez meses subseqüentes. É entendimento da WPP Ltda. a WPP Ltda. que o desenvolvimento do novo produto abre a perspectiva de ocorrer maiores ganhos futuros. o Diretor Presidente de sua empresa lhe comunicou ser interessante analisar a implantação de uma nova fabrica para a produção de peças protendidas para estruturas de pontes. O banco propôs um financiamento a ser amortizado em parcelas semestrais ao longo de cinco anos.000/mês em comparação com os dos concorrentes. Sua assessoria lhe forneceu as seguintes informações: 117-167 . sabendo que você está no último ano de engenharia e conhecendo a sua grande habilidade para equacionar este tipo de problemas (montar o fluxo de caixa). deseja saber qual a quantidade mensal mínima de produção para que o empreendimento seja considerado viável.000. MatemFinanceira~AULAS~abril2010 ENGENHARIA ECONÔMICA Entende.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA Seu amigo. ou seja. fez as seguintes perguntas: • • • • Qual a taxa efetiva anual que o banco pagou para os seus depósitos e quais as taxas efetivamente cobradas no financiamento? Qual o valor da dívida contraída.00 e supõe que este deverá ser o valor a ser contratado. Para tanto. qual o valor da primeira prestação? • Qual o valor da sexta prestação e qual o saldo devedor imediatamente após o pagamento desta sexta prestação? • Qual será a taxa interna de retorno prevista para o projeto? t) Elabore o estudo de viabilidade para o seguinte projeto: Sendo VOCE diretor técnico de uma empresa de construção civil. que os benefícios oriundos do lançamento do produto se farão sentir durante quarenta meses e que o produto. estejam corretas. a WPP Ltda. Admitindo que as estimativas da WPP Ltda. em comparação com os produtos similares dos seus concorrentes. durante os vinte meses restantes. o valor financiado? Qual o valor do saldo devedor renegociado? Qual o valor das prestações da dívida original e da dívida renegociada? s) O gerente de uma empresa produtora de tecidos de decoração e papeis de parede. também. 1 – Matérias Primas 2.2 .000.00/ mês 3.3 .2 – Terrenos situados na área industrial.6 – Depreciação dos Equipamentos 3.500. vem sofrendo uma valorização real de 5% ao ano.00 240.00 120.3 – A perda de valor de edificações industriais do gênero da projetada para ser implantada acusa um valor de 70% em dez anos. onde esta localizado o MatemFinanceira~AULAS~abril2010 118-167 .4 – Propostas das empresas fornecedoras de equipamentos daqueles em estudo informam que seu valor comercial decresce a taxa de 7. R$ 3.1714917 % am 10 anos 6.1 – É pensamento estratégico do grupo vender as instalações após a vida do produto e não reinvestir em reformas ou up-grades industriais.5 – Evolução do mercado: A previsão é que esse mercado cresça à taxa de 30% ao ano.3 – Preço de venda mínimo/médio 3.500.5% ao ano.50 % 4) Informações Estratégicas & Comerciais 4. Financiamento em seis anos com dois de carência.950.3 – Vendas – Adm.2 – Tempo de vida do produto 3.00 % 20 anos 5 anos 10. Central – Custos Indiretos 2. 4. Prestações constantes.Equipamentos R$ 100.1 .4 – Impostos sobre a Renda 3.Terrenos 1.00/ unidade Dados 1. 4.7 – Impostos incidentes sobre o faturamento próprio da empresa. 4.00 75.4 .00/ mês 23. 4.000.800.Embalagens 3) Informações Gerenciais 3.5 .000.00 ENGENHARIA ECONÔMICA Condições Juros de 8% ao ano.380.2 – Mão de Obra Direta 2.5 – Depreciação da Edificação 3.00 R$/unidade 15.Estoques 1.1 – Taxa Mínima de Atratividade 3.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 1) Investimento em Imobilizado 1.Edificações 1.00/ unidade 10.000. 2) Custos Operacionais 2.00/ mês 90.4 – Eletricidade 2. Noutras palavras. Método da Recuperação de Capital Isto porque. as alternativas de investimento deverão ser hierarquizadas iniciando por aquela que apresentar o menor tempo de recuperação do capital investido. Pelo exposto. subsidiariamente ao método do valor presente líquido. exigindo um adequado nível de controle visando a efetiva realização do planejamento inicial. é de fácil entendimento que. 7. também. servir como critério de desempate quando se efetua a hierarquização de alternativas e se utiliza o Método do Valor Presente Líquido. maior será o grau de maturação do empreendimento e.1 . Sem esse cuidado. a fim de dispô-lo para aplicação em futuras oportunidades de investimento. em duas alternativas apresentando o mesmo Valor Presente Líquido. deve estar implícito que os fluxos de caixa estejam referenciados a uma moeda de poder aquisitivo constante. quanto maior for o tempo de retorno do capital investido. o capital inicialmente imobilizado estará disponível para outras aplicações futuras.2 . O método também é conhecido como Método de Recuperação da Capacidade de Investimento ou sob a terminologia inglesa.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA 7. pay-back.Metodologia. O tempo de retorno indicara o grau de imobilização de um capital. sendo que a alternativa a ser eleita será aquela que apresentar o menor tempo de retorno. a partir da soma acumulada dos fluxos de caixa. aumentará o risco associado ao projeto. Esta situação confere ao MRC a atratividade de ser utilizado como critério de hierarquização e desempate entre alternativas. além de propiciar o mesmo retorno. em conseqüência. A metodologia adotada consiste em verificar o tempo de retorno do capital inicialmente investido em cada alternativa disponível. crescerá a incerteza associada à realização esperada dos fluxos de caixa futuros. O método do Período de Recuperação de Capital. Deste modo.Introdução. MatemFinanceira~AULAS~abril2010 O MRC pode. A intenção em adotar este método como parâmetro de decisão é eleger a alternativa de investimento que propicie o retorno do capital investido no menor prazo possível. é utilizado quando se deseja decidir a hierarquização de alternativas usando como parâmetro de decisão o menor tempo de retorno do capital investido. aquela que propiciar um retorno mais rápido do capital investido deverá ser a escolhida. o menor grau de imobilização do capital. Ao ser efetuada uma análise de hierarquização de alternativas através do MRC. o resultado obtido poderá ser de parca utilidade. E. 7. Justifica a adoção do método o entendimento dos investidores que. MRC. A metodologia proposta será exposta ao se analisar o exemplo de dois projetos representados pelos valores 119-167 . MatemFinanceira~AULAS~abril2010 120-167 .00 80.00 +56.00 -220.00.00 -40. em assim sendo.00 +30.00 150. Alerta-se que alguns autores efetuam o somatório dos fluxos de caixa desconsiderando o valor da moeda no tempo. O ultimo fluxo acumulado indica o valor presente líquido dos dois projetos que monta a $220. Adotando como critério de decisão o MRC.00.00 70. ambos descontados à mesma TMA. também.00 Tab. visando à facilidade de entendimento do leitor. em ambos os projetos há a previsão ocorrer o investimento de idêntica quantia. No exercício da Tab.7.00 -160.00 220.00 +30. e apresentam o mesmo valor.00 ⇐ +40.00 +45. ENGENHARIA ECONÔMICA Período ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Projeto A Projeto B Valor Valor Fluxo Fluxo Presente Presente Acumulado Acumulado Fluxo de Fluxo de $ $ Caixa Caixa -180.00 -40. nas colunas discriminadas como Valor Presente dos Fluxos de Caixa. bem como os dois projetos oferecem o mesmo VPL.00 170.00 -35.00 50.00 VPL(A) 220.00 ⇐ +84. o projeto a ser escolhido deverá ser o “A”.00 VPL(B) 220. fica demonstrado que o método do MRC adotado em complementação ao do VPL permite atender à exigibilidade do retorno do capital inicial.00 -180.1.00 -180.A.00 +40. dado apresentar um retorno de do capital inicialmente investido durante o 5º período.00 -119.00 +84.00 0.00 149.presentes de seus fluxos de caixa segundo o quadro a seguir. As colunas denominadas “Fluxo Acumulado”.00 +60. em comparação com o projeto “B” cujo retorno acontecerá no 7º período.00 +40.00 210. Sendo realizado o Projeto .00 80.00 200.1 – Recuperação de Capital Pelo exposto.00 -220. No caso em pauta.00 +20.00 -175.00 109.00 -180. maior risco em sua realização.00 -120.00 49.7. reduz-se a influência dos fluxos de caixa futuros que possam apresentar valores sensivelmente superiores aos iniciais e.00 +80.00 +21.00 +20. Este autor. o valor aposto já expressa o valor presente de cada fluxo de caixa relativo ao período especificado. indicam o somatório acumulado dos dados indicados nas colunas “Valor Presente – Fluxo de Caixa”. R$ 220. o investidor disporá do capital investido dois períodos antes do que se adotar o Projeto – B. porém.00 -80. entende que deva ser considerado o valor da moeda no tempo pois.00 190.00 20.00 -190. ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 8. Valor Uniforme Equivalente 8.1 – Introdução. A aplicação do método do valor uniforme equivalente é mais recomendada quando se decide sobre aquisição de equipamentos cuja reposição deva ser efetuada periodicamente. Assim, o MVU é adequado para amparar decisões quanto à aquisição, seja por compra ou aluguel (leasing), de equipamentos que executem idêntico trabalho. O método permite, também, estabelecer o tempo ótimo de manter comissionado um equipamento. Neste caso cada período de tempo analisado corresponde a uma alternativa de investimento distinta. Em ambos os casos acima comentados, seja em aquisição ou definição de tempo, o objetivo do processo é definir qual alternativa apresenta o maior benefício ou o menor custo equivalente no período. Como exemplo de equipamentos a serem periodicamente repostos cita-se: veículos integrantes de frota de serviços; equipamentos de terraplenagem; maquinas de solda; equipamentos de inserção automática; moldes para injeção, etc. É comum o processo ser expresso sob duas denominações distintas, adotadas quando se analisa custos ou faturamento. MatemFinanceira~AULAS~abril2010 ENGENHARIA ECONÔMICA No caso da análise envolver, predominantemente, custos, a metodologia é denominada de Custo Anual Equivalente - CAE. Caso se analise, predominantemente, faturamentos ou o resultado do processo for expresso em termos de lucro, o método leva a denominação de Benefício Anual Equivalente - BAE. Sob qualquer das denominações acima citadas, o processo de decisão segue a mesma metodologia. Adotando como nomenclatura:              BAE(p) = Benefício Anual Equivalente associado a um projeto qualquer P; CAE(p) = Custo Anual Equivalente associado a um projeto qualquer P; VUE(p) = valor uniforme equivalente da série, seja ela expressa em termos de BAE ou de CAE. F0 = fluxo de caixa inicial. Sn ou S1 = serie de pagamentos iguais; VP(p) = valor presente do projeto. Pn; P2 ou P3 = fluxos de caixa referentes a pagamento único; VP(p) = somatório dos valores presentes dos fluxos de caixa associados ao projeto P, ou seja, o seu valor presente líquido; Σ Rec (p)K = somatório das receitas associadas ao projeto p no período k; Σ Desp (p)K = somatório das despesas associadas ao projeto p no período k; Fk = fluxo de caixa associado ao projeto p no período k. I(p)K = investimentos associados ao projeto p, realizados no período k; VR = valor residual associado ao projeto p, normalmente considerado no ultimo período de vida do projeto. 121-167 ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA Basicamente, a metodologia equivalente segue três etapas: do ENGENHARIA ECONÔMICA valor uniforme 1ª – Estabelece-se o fluxo de caixa de cada alternativa disponível; 2ª – Calcula-se o valor presente das alternativas; 3ª – Calcula-se a série uniforme equivalente relativa ao valor presente de cada alternativa. Ver Fig. 8.1 Alerta-se que a unidade da série representativa do valor uniforme equivalente associado ao projeto p, VUE(p), é dada em unidade monetária por período. E, que ela expressa em termos monetários, o custo médio incorrido ou o benefício médio propiciado por cada alternativa na unidade de tempo, considerando a vida estimada da alternativa. Como equação dimensional tem-se: [VUE(p)] = [R$] [período] Assim sendo, a unidade do VUE é dada em R$/mês, R$/ano, etc. No caso de se efetuar uma análise de custos, a melhor alternativa será aquela que apresentar o MENOR CUSTO PERIÓDICO EQUIVALENTE. A literatura que versa sobre o assunto, comumente, denomina o processo de custo anual equivalente – CAE. No caso de estar em análise, predominantemente, a comparação de lucro ou faturamento propiciado pelas alternativas de investimento, a melhor alternativa será aquela que apresentar o MAIOR BENEFÍCIO PERIÓDICO EQUIVALENTE. De modo idêntico ao efetuado no comentário anterior, a literatura que versa sobre o assunto, denomina, comumente, o processo de benefício anual equivalente – BAE. A confiabilidade do processo com a conseqüente coerência de resultados será tanto maior quanto melhor for a apuração das receitas, despesas, investimentos, tributos e valores residuais associados a cada alternativa. O modelo matemático básico para a definição do valor uniforme equivalente, seja ele expresso em termos de BAE ou de CAE, associado a um projeto P, qualquer, é dado por: VUE (p ) = VP (p ) × i × (1 + i) n (1 + i)n − 1 8.2 - Decisão Dado um conjunto de alternativas em análise, a hierarquização das mesmas ocorrerá quando comparados o valor da economia ou do retorno das respectivas séries equivalentes. MatemFinanceira~AULAS~abril2010 Considerando a existência de duas alternativas de investimentos, X1 e X2, e estando em julgamento Benefícios Anuais Equivalentes, sendo o BAE(X1) > BAE(X2), então será escolhida como a melhor a alternativa X1, desde que reconhecida a repetitividade do projeto. 122-167 ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA No caso de estar em pauta uma análise de custos, sendo o CAE (X1) > CAE (X2), então será considerada como alternativa mais interessante a X2, dado que os custos praticados são menores que a de X1, desde que reconhecida a repetitividade do projeto. ENGENHARIA ECONÔMICA Fig. 8.1, composto por uma série de pagamentos, iguais, periódicos e consecutivos, S1, e, também, outros dois fluxos representados por pagamentos únicos, P2 e P3. ΣFC(P) P3 S1 P2 8.3 – Metodologia. A metodologia para determinar o valor da série uniforme equivalente, tanto em termos de BAE como de CAE, segue os seguintes procedimentos: 1º Passo: Elaborar o conjunto de fluxos de caixa do projeto; 1 3º Passo: Calcular ao valor da série periódica equivalente. VUE(p) = VP(p) × FRC(n¬i%) Ou, em termos de variáveis características da série: VUE ( p ) = VP ( p ) × i × (1 + i ) n 4 1 período 6 Fig. 8.1 – Metodologia da serie uniforme equivalente Neste caso a série anual equivalente será expressa em termos de BAE, pois dispõe, predominantemente, de entradas de caixa. 1º Passo – Levar todos os fluxos de caixa a valor presente; VP(p) = −FO + S1 × FVP(3; i%) + MatemFinanceira~AULAS~abril2010 6 Beneficio Anual Equivalente (1 + i ) n − 1 Como exemplo de aplicação, seja o projeto representado pelo seu fluxo de caixa, conforme expresso na 5 Valor Presente≡ ΣFC(P) 2º Passo: Calcular o respectivo valor presente líquido; F1 F2 F3 Fn + + +L+ 1 2 3 (1 + i) (1 + i) (1 + i) (1 + i)n 3 F0 Fk =Σ Rec (p)K - Σ Desp (p)K – I (p)K + VR(k) VP(p) = Fo + 2 P2 (1 + i)4 123-167 + P3 (1 + i)6 t 000.00 4 anos PROCESSO B 130. Considerando o custo de capital da firma de 7% a.00 50. 4º passo: calcula-se a série anual equivalente associada à soma dos valores presentes dos fluxos de caixa definidos no passo anterior. ENGENHARIA ECONÔMICA 1º passo: define-se o diagrama de fluxo de caixa de cada processo. 3º passo: calcula-se o valor presente de cada fluxo de caixa. postecipada. calcular os custos anuais equivalentes.00 R$ 50. elegerá o processo que apresentar o maior benefício anual equivalente.000. Para este processo o diagrama de fluxo de caixa foi montado lançando.000.Diagrama do Fluxo de Caixa do Processo A 124-167 . Uma empresa está estudando a produção de um novo produto com possibilidade de vir a ser industrializado através dois processos alternativos cujas características estão especificadas abaixo. VP(p) = Σ { .000 1 50. diretamente na escala de tempo.Exemplo.000.00 Variável Ver diagrama 6 anos Procedimentos para a resolução do problema: MatemFinanceira~AULAS~abril2010 50.000 2 50.000 3 50.000.F0 + VP(S1)+ VP(P2) + VP(P3)} 3º Passo – calcular o valor da serie uniforme equivalente. relativa ao valor presente calculado no passo anterior. já que estão em consideração entradas e saídas de caixa associadas a cada processo. -65000 item Investimento Inicial Valor Residual Retorno Anual Custo anual de Operação Vida útil: PROCESSO A R$ 65.00 Fixo R$ 30. Resolução do problema: I – Processo A a) Diagrama de Fluxo de Caixa do Processo A.a.000.000 –30.000 -30. Neste caso. BAE(p) = VP(p) × FRC(6¬i%) = M R$/período.000 4 Fig. 8.00 30..ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 2º Passo – efetuar o somatório dos valores presentes de todos os fluxos de caixa.4 .000 –30. dado o desgaste contínuo e o alto valor do custo de manutenção e operação. 5º passo: a decisão.2 . então. 2º passo: calcula-se a série uniforme equivalente ao fluxo de caixa inicial. Os equipamentos a serem utilizados são previstos para serem repostos periodicamente.000 –30.8.00 0. as entradas e saídas de caixa previstas. o resultado do processo se dará em termos de Benefício Anual Equivalente. -130.000 –23.000 -30. o que caracteriza uma série uniforme.4 ) CAE(A) = ( -65. pra a determinação do fluxo de caixa anual equivalente torna-se mais imediato calcular a série anual equivalente associada ao investimento inicial e somar esta. 50.000 50. Fig.000 -30. Ao se analisar o fluxo de caixa deste processo.188 0 50. a) Diagrama de Fluxo de Caixa do Processo B.000 –25.00 812. como os custos anuais variáveis e o valor residual. não há necessidade em calcular os valores presentes dos custos anuais ou das receitas.Oper. expressa em ternos de benefícios – BAE. será definido o seu custo anual equivalente. equivalente do Projeto A. Item Investimento Inicial Custo Operacional Receitas Benefício Anual Equivalente do Projeto A (+) . Neste caso. anual.188 R$/ano. b) Calculo do Benefício Anual Equivalente – BAE.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA Com os dados acima.000 4 5 30.2952 CAE(A) = -19.000 –26.000 -30.000 50. pode-se calcular a série uniforme.Série Anual Equivalente – BAE(A) MatemFinanceira~AULAS~abril2010 50.00 (-) 30. aos demais fluxos de caixa.000 6 Fig.000 -19.000 -19.000 -19.000 50.8. já que são uniformes. verificase que.Investimento Inicial: II .000 50.188 4 BAE em R$/ano (-) 19.000 -30. que foram previstos como variáveis e crescentes.000 –22.3 . tanto o investimento inicial. –21. pois já expressos em valores iguais.000. foram lançados diretamente no diagrama de fluxo de caixa.4 – Diagrama do Fluxo de Caixa do Processo B 125-167 . Como se pode verificar no diagrama de fluxo de caixa.188 3 Fig.188.188 1 2 50.000 50. o procedimento de calculo seguido foi o de exprimir. 5.8.00 R$/ano Os valores do fluxo de caixa relativos aos custos anuais de operação deste processo.000.00 (+) 50.Processo B Considerando que o investimento inicial corresponde à uma saída de caixa. CAE(A) = P× FRC ( 7%.000 0 1 2 3 50.000 –24.000 ) × 0.000 -19. em termos de série anual equivalente visando possibilitar a soma de todos os valores e definir o BAE do Processo B.000 C.7. diretamente. ( 19.6) = = .825 + 17.000 ( 0.000 ( 0.109.215 + 18.870 + 17.109..00 R$/ano.7130 ) -26.6) Pi = .000.00 R$/ano ENGENHARIA ECONÔMICA III – Análise de decisão: Pelo acima exposto. de caminhões para serviços de terraplenagem. ou parte dele.2098) Pi = (.00 (+) 50. etc.324 ) S = .775 +16.(130.274.00 (+) 3. é recomendado para decisão quando se analisa projetos repetitivos.635 R$/ano .000 ( 0.BAE relativo ao Processo A é de 812.00 R$/ano b4) Calculo do Benefício Anual Equivalente. O benefício anual equivalente do Processo B é obtido ao se proceder a soma dos valores das séries anuais equivalentes associadas a cada tipo de custo ou retorno anual equivalente (faturamento).001. findo seu período de vida previsto.1398 ) ∴ R = 4. No caso de se comparar projetos produtivos que apresentem períodos de vida distintos e que sejam não 126-167 .000 ( 0.635 FFC (7.635 (0.23. tipos de escoramento ou formas utilizadas em serviços de concretagem sejam em obras pré-fabricadas ou moldadas no local. análise do tipo de pneu a ser utilizado em um mesmo veículo.27. deverá ser reposto visando manter o processo em funcionamento.000 × 0.000 x FRC (7%.000 x ( 0. Este processo de série anual equivalente. Alerta-se.000 ( 0.8734 ) . neste ponto. a alternativa que apresentou o maior Benefício Anual Equivalente foi a Alternativa B.000 ( 0. seja em termos de BAE ou de CAE.2098) Po = .25. Assim.919. a mais interessante a ser adotada. como as alternativas apresentam períodos de vida distintos.00 R$/ano e ao Processo B de 3.00 (-) 23. Como exemplo de projeto repetitivo tem-se: aquisição de ônibus empregados por empresas concessionárias de serviços públicos.8163 ) -24.Valor Presente S= ∑ FCi × Vin S = -21.9346 ) . o Benefício Anual Equivalente .6 ) = 30.001. que.22.194 R$/ano b3) Custo Operacional: .00 (+) 4.7029 ) . Então: Item Investimento Inicial Valor Residual Custo Operacional Receitas Benefício Anual Equivalente MatemFinanceira~AULAS~abril2010 BAE em R$/ano (-) 27.274) R$/ano b2) Valor Residual: R = S x FFC ( 7.626 + 19.109. o investimento inicial.23.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA b) Cálculo do Custo Anual Equivalente do Projeto B: b1) Capital Inicial: Pi = 130.Série Uniforme Equivalente: Po = .6663 ) S = . Projeto repetitivo é definido como aquele que. há que se ter cuidado na comparação de alternativas.919.194. Logo. finda a vida útil do projeto original.2 – Exemplo. representados por seus fluxos MatemFinanceira~AULAS~abril2010 -60 . 8. distintos. O horizonte de planejamento previsto que permite a equalização dos tempos de vida dos ativos será equivalente ao mínimo múltiplo comum. 9. 8. ENGENHARIA ECONÔMICA de caixa é o mais lucrativo. Assim sendo. Período 0 Projeto “A” -20 Projeto “B” -60 Valores em 104 R$ 8. 8. Neste caso existe a pressuposição da continuidade de utilização do ativo ou a manutenção do bem em produção. O objetivo é definir qual destes dois projetos. das vidas úteis de cada alternativa disponível. Como o Projeto A apresenta quatro anos de vida útil e o Projeto B três anos. ocorrerá a imediata reaplicação do capital gerado pelo projeto em outro ativo com características semelhantes à do ativo desmobilizado. 25 40 50 1 -25 25 25 2 45 40 40 3 45 50 50 4 45 25 40 50 Para tanto. o Projeto A deverá ser repetido três vezes e o Projeto B quatro vezes para que os seus períodos de vida sejam equalizados.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA repetitivos.5. MMC.Caso de Reinvestimento. 127-167 . recomenda-se efetuar o processo de decisão atendendo as considerações realizadas no capítulo 5. Vide Fig. a compatibilidade dos tempos de vida útil é efetuada após a equalização dos tempos de vida dos projetos utilizando o mínimo múltiplo comum dos períodos em consideração.5 – Continuidade de Utilização de Ativo Havendo a pressuposição da continuidade de produção.5 . Esses processos são representados por seus fluxos de caixa e apresentam tempos de vida útil. sendo adotada uma TMA de 10% ao ano.7. Uma empresa esta analisando a eleição de dois processos produtivos que visam à produção de um mesmo bem. o mínimo múltiplo comum dos tempos é de doze anos. Um exemplo de procedimento para o caso em pauta é discutido na análise a seguir.60 -60 Fig.1 – Procedimentos.5. findo o período de vida de um ativo. que mostra a repetição dos fluxos de caixa dada a continuidade de utilização de um ativo. o que permitirá a escolha de qual dos dois é que mais aumenta a riqueza dos proprietários. Isto é.8.8.10) (1.10)4 4 7 Valores em 10 R$ 8 9 10 11 12 45 25 -25 45 45 45 25 40 -10 25 40 50 Fig. a obtenção do Benefício Anual Equivalente relativo a cada projeto segue os procedimentos: Realizada a equalização dos tempos.Determina-se o valor presente líquido do projeto original. Calculando o valor presente líquido de cada alternativa tem=se: VP (A) = 126. obtém-se os valores indicados no quadro abaixo que MatemFinanceira~AULAS~abril2010 128-167 .01 × FRC (4¬10%) = 18. Como o projeto A.BAE BAE (P) = VP(P) × FRC (n.A Fluxo de Caixa Final dos Projetos Tempo 0 1 2 3 4 5 6 Projeto -20 -25 45 45 25 -25 45 “A” Projeto -60 25 40 -10 25 40 -10 “B” VP( A ) = −20 − 25 45 45 45 + + + = 59.10) (1. pode-se calcular o valore presente líquido de ambos os projetos.6 – Procedimento para Repetição de Investimento . conseqüentemente. sem efetuar a repetição dos fluxos. Projeto A Fluxo 0 1 1ª Rep -20 -25 2ª Rep 3ª Rep Final -20 -25 2 45 3 45 4 5 45 -20 -25 6 7 45 45 45 45 25 45 45 -25 8 9 45 -20 -25 25 -25 Fig. Voltando ao exemplo acima.01R$ 2 3 (1. Repetindo o mesmo procedimento para o Projeto B.84 x 106 R$ e VP (B) = 91.84 x 106 R$ sendo.38 ×106 R$.62 R$/ano Repetindo o mesmo procedimento para o projeto B. 1º .6.6 mostra o procedimento de repetição relativo ao Projeto A. Somando os fluxos de caixa de cada repetição. Valores em 104 R$ 10 11 12 45 45 45 45 45 45 Um processo mais expedito do que a repetição dos fluxos de caixa visando amparar o processo de decisão é calcular os Benefícios Anuais Equivalentes de cada projeto. Ao ser calculado o BAE de um projeto tomando o seu fluxo de caixa original e o BAE deste mesmo projeto repetido.B 2º .8.Calcula-se o Benefício Anual Equivalente . Ressalta-se que o investimento inicial da 2ª repetição e subseqüentes. dispõem-se do fluxo de caixa final do projeto equalizado. i) BAE (A) = 59.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA O quadro da Fig. Exemplo na Fig. chega-se à solução abaixo que apresenta os fluxos de caixa dos projetos equalizados. apresenta um aumento de riqueza de R$ 126. superior ao incremento propiciado pelo projeto B. apenas comparar os BAE’s dos projetos originais. o valor a ser obtido em ambos os casos é o mesmo.10) (1.8. Este procedimento visa evitar a ocorrência de solução de continuidade no processo de produção. deve ocorrer durante o último período da repetição anterior.6 – Procedimento para Repetição de Investimento . é o recomendado a ser realizado. Projeto A B A B Período original de cada projeto VP(A) = 59. simplesmente.38 × 0. independentemente do número de períodos de repetição utilizados.41 R$/ano Uma alternativa pode apresentar um maior valor presente líquido em relação às outras e não. Partindo do caso geral tem-se: O leitor não pode generalizar o resultado obtido no exercício quando compara alternativas de investimentos.3155 = 18.84 × 0. às duas alternativas.84× FRC (12¬10%) = 18.38 R$.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA demonstra. seja ela calculada em termos de BAE ou de CAE. BAE (B) = 33. ao projeto inicial ou a um número qualquer de repetições. obter-se-á os seguintes valores presentes: VP(A) = 126.84 R$ e VP(B) = 91.38 R$ BAE(A) = 126.01 R$ VP(B) = 33. Neste exercício.62 R$/ano BAE(B) = 91. Ao se calcular o valor presente do projeto repetido considerando o horizonte de doze anos. será vista a situação de se considerar o horizonte de projeto de doze anos. aplicando o método. demonstraram a superioridade do projeto A sobre o projeto B. Ao se desejar saber qual o acréscimo 129-167 . MatemFinanceira~AULAS~abril2010 BAE (k) = VP(k) × FRC (n¬i%) BAE (k) = VP(k) × FRC (12¬10%) Projeto A B A B Mínimo Múltiplo Comum de 12 Anos VP(A) = 126.1468 = 18. necessariamente. Prazo este equivalente ao mínimo múltiplo comum do tempo de vida de cada uma das alternativas em consideração.84 R$ VP(B) = 91.62 R$/ano BAE(A) = 33.35× 0. a priori.35 × FRC (3¬10%) = 13.01 × 0. nada se pode inferir.35 R$ BAE(A) = 59.41 R$/ano Dos resultados encontrados fica a constatação que os diversos BAE associados a um mesmo projeto são sempre iguais. definindo a série equivalente pelo prazo de doze anos. situação que facilita o processo de tomada de decisão. Os resultados dependerão dos valores fluxos de caixa e da duração de cada projeto. Com o objetivo de demonstrar a obtenção de igual resultado no calculo do valor periódico equivalente. BAE (A) = 126. valor presente líquido e benefício anual equivalente. mesmo utilizando ao processo do Beneficio Anual Equivalente. a superioridade do projeto A sobre o projeto B.4021 = 13. Finalizando.41 R$/ano A seguir. calcula-se o Benefício Anual equivalente para cada alternativa. necessariamente. não se deve esquecer que o BAE indica o acréscimo de riqueza médio gerado por um projeto a cada período de sua vida útil. o maior valor periódico equivalente. coincidiu que os resultados obtidos segundo a aplicação dos dois métodos. Como regra geral.62 R$/ano BAE (B) = 91.38 × FRC (12¬10%) = 13. a obtenção de um maior presente líquido a um maior valor periódico equivalente.1468 = 13.41 R$/ano. vinculando. a.700.00 4.900.00 4.500.500.500.00 2 anos 16. para o tempo originalmente estabelecido.00 3. elabore uma curva tempo×custo para melhor visualizar os resultados obtidos.00 2..400.00 MatemFinanceira~AULAS~abril2010 130-167 .00 5 anos 12.00 3 anos 14. Tempo de uso Valor de Mercado US$ Manutenção Anual US$ 1 ano 18.000. Qual o tempo ótimo de manter comissionado um equipamento de terraplanagem cujo catálogo de especificação define sua vida útil em 7 (sete) anos e o valor de aquisição de uma unidade nova esta orçada US$ 20 mil? Os valores de mercado de equipamentos usados e os custos anuais de manutenção estão apresentados no quadro abaixo.00 2.00 2.000. 8.600.000. considerar o custo de capital da empresa estipulado em 15% a.000.6 – Exercício.00 6 anos 10. há que ser calculado o Valor Presente do mesmo.00 7 anos 8.00 3. Além do acima solicitado.300.000.00 4 anos 13.700.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA de riqueza propiciado pelo tempo em que o projeto será explorado. Como premissas do problema. A TIR pode ser definida sob duas óticas: a econômica e a matemática. a TIR ≡ I* corresponde às raízes do polinômio expresso pela função valor presente. Taxa esta que recebe. a TIR corresponde à maior taxa de rentabilidade oferecida por um projeto a partir da qual ele passa a ser antieconômico.9. taxa de oportunidade. Ver Fig. MatemFinanceira~AULAS~abril2010 1ª Premissa: Para haver a aceitabilidade de qualquer projeto singular. custo de oportunidade da empresa ou taxa de desconto do projeto. levando-se em consideração os momentos em que os mesmos efetivamente ocorrerem. o projeto é considerável como viável.1– Caracterização da TIR e da TMA. Taxa Interna de Retorno Matematicamente. também. a maior taxa de rentabilidade que um projeto pode apresentar supera a taxa de atratividade exigida pelo investidor. o processo de decisão adotando a TIR como parâmetro de decisão deve atender a duas premissas: i* =TIR i TMA Fig.$ 9.Decisão Valor Presente descontado pela TMA Quando se dispõe de várias alternativas de investimento em julgamento. VP( A ) = Fo + F1 F2 F3 Fn + + +L+ =0 2 3 (1 + i*) (1 + i*) (1 + i*) (1 + i*)n Noutras palavras. 9. comumente denominado de Taxa Interna de Retorno . Este método.1. 9.TIR exige a descrição de qualquer proposta de alternativa de investimento em termos do fluxo de caixa projetado. a TIR deverá superar a taxa de mínima atratividade. ocorrem três situações. as denominações de: custo de capital da empresa. onde sejam externados os custos e as receitas a ele associados. 131-167 . que zera a função valor presente líquido.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA Do ponto de vista econômico. a TMA. i*. Valor Presente .1 .Definições. 9.2 . Neste caso. Financeiramente falando. quais sejam: I) Quando a TMA apresentar valor inferior à TIR. a taxa interna de retorno é definida como aquela taxa. Ela pode ser estabelecida de dois modos: Por definição dos investidores para a remuneração de seus ativos.5. o valor presente das alternativas de investimento passa a ser negativo o que significa. corresponde à maior remuneração possível. que o valor da TIR é inferior à taxa de atratividade tradicionalmente adotada pelo investidor para remunerar os seus investimentos.9 . Porém. neste caso. aquela que apresentar a MAIOR TIR será definida como a melhor alternativa a ser eleita. consubstanciando o montante dos recursos que a empresa tomou visando o financiamento de suas operações. expressam conceitos distintos. III) No caso da TMA apresentar valor superior à considerável inviável. Ou. também. TIR. 2ª Premissa: no caso de haver a comparação entre diversas alternativas de investimento mutuamente exclusivas. PL corresponde ao patrimônio líqüido médio e ELP ao exigível de longo prazo. é equivalente à taxa de mínima atratividade do investidor. O projeto. oferecida por uma alternativa de investimentos. Ambos valores expressos passivo do balanço patrimonial da empresa. a partir do desempenho da empresa.3 – Discutindo a TIR e a TMA Alerta-se que. Neste caso é calculada do seguinte modo: TMA ≡ i = Lucro PL + ELP No modelo acima. já que: 1º) a TIR corresponde a maior remuneração possível para que um projeto seja viável. Ver Fig. 132-167 . ocorre uma situação dita de indiferença financeira.4 – Utilização recomendada. o projeto é Nesta situação. 9. Justifica-se a adoção das duas premissas como parâmetro de decisão. 2º) sendo a TIR superior à TMA. ao ser adotada esta taxa como parâmetro de decisão. A TIR. a maior taxa de remuneração que um projeto possa apresentar a TIR. nesta situação. o valor presente líquido de qualquer alternativa de projeto será superior a zero. por sua vez. financeiramente. A TMA corresponde à remuneração desejada em investimentos produtivos. pois ambas vem ao encontro do princípio do aumento da riqueza dos proprietários. a partir da qual passa a ser financeiramente inviável. continua sendo viável.Distinção entre a TIR e a TMA. DECISÃO TMA < TIR TMA = TIR TMA > TIR MatemFinanceira~AULAS~abril2010 → Projeto viável → Indiferente → Projeto inviável 9.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA II) Quando as duas taxas se equivalerem. a TIR e a TMA. • i* = valor da taxa interna de retorno. Neste caso. 133-167 . com k variando de um a n. Análise das taxas de juros praticadas no financiamento de bens. 9. Como exemplo de aplicação no mercado imobiliário. Definição da maior taxa de remuneração possível por projetos de investimentos produtivos. • VV = valor previsto para venda de uma ação.Caso de títulos mobiliários O método é adequado para ser utilizado pelo investidor no mercado mobiliário ao desejar conhecer a rentabilidade de sua aplicação financeira. Adotando como nomenclatura: • VC = valor de compra da ação. no caso da aplicação em títulos mobiliários. o preço e a rentabilidade da mesma e estabelecida ao ser MatemFinanceira~AULAS~abril2010 ENGENHARIA ECONÔMICA conhecida a política de dividendos. temse o caso da compra de ações.1 . Nos itens seguintes serão analisadas as condições de aplicação dos casos acima citados.5.4. • n = o número de períodos previstos para manter a ação em carteira. de bonificações regularmente pagas sobre o capital investido e do valor de vendas previsto. das bonificações e do valor de vendas previsto para ocorrer em determinado futuro. entende-se que o preço a ser pago pela ação seja equivalente ao somatório dos valores presentes dos dividendos. TIR. A TIR demonstra. Ao se efetuar a aplicação em ação de qualquer empresa. • Dk = valor do dividendo referente ao período k.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA O método da taxa interna de retorno é recomendado para ser utilizado quando se analisa:    Aplicações financeiras efetuadas nos mercados de títulos mobiliários ou bursátil. o valor da tir=i* é aquele que polinômio: resolve o  n B + Dk  VV VC − ∑ k + =0 k  n  k =1 (1 + i*)  (1 = i*) No item 5. O valor da ação é dado por:  n B + Dk  VV VC = ∑ k + k  n  k =1 (1 + i*)  (1 = i*) Por sua vez.4 serão apresentados alguns métodos de calculo da TIR. a remuneração a ser obtida pelo capital aplicado e a equivalência quanto aos retornos previstos. verifica-se ser a TIR um instrumento adequado para análise da rentabilidade de projetos quando utilizada pela ótica do investidor ou tomador de empréstimo. a equivalência entre o capital tomado e os pagamentos a serem efetuados. no caso de financiamento. E. Pelo exposto. • Bk = valor da bonificação referente ao período k. R$ Valor presente da série ≡ Valor financiado 1 . pode-se escrever a seguinte expressão matemática: Valor do Bem ≡ Σ das Prestações a Valor Presente {Valor do Bem} . ao se resolver a expressão acima tem-se o valor da TIR≡ i*.. em que os pagamentos sejam iguais... Neste segundo caso.....4.. 134-167 serão ....... exprime a taxa de juros efetivamente paga pelo tomador..3 – Caso de investimentos produtivos. a TIR corresponde à taxa de juros que faz a equivalência entre o valor do montante financiado e o valor das prestações pactuadas.. corresponde a uma série de pagamentos postecipada.9. como é conhecido o valor do bem.. Como exemplo cita-se o financiamento eletrodomésticos ou veículos vendidos a prestação.1 – Recomendações.... 9. em decorrência. Dado o entendimento acima..3....n tempo de Há o entendimento....Métodos Algébricos...... então...Caso de financiamentos. Para o tomador do recurso......2 – Equivalência de valores. conforme visto na figura 9...... Em operações de financiamento.... 9..{Σ das Prestações a Valor Presente} = zero Considerando que a série de pagamentos.2 .. No Capítulo 10 .4.... 9.. a financiar e pactuado o número de prestações.. A taxa interna de retorno. A taxa de juros. Fig...2.. correspondendo a uma série postecipada. periódicos e consecutivos..2. i * %) ou.. que valor presente das prestações corresponde ao valor do bem adquirido.... apresentados alguns métodos de calculo da TIR. então. é definida sob a ótica do tomador do recurso.. VB. 9.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA VB − VB × FVP(n...... financeiramente falando.. o método é recomendado para definir a taxa de juros efetivamente adotada em projetos de investimentos simples ou empréstimos. a expressão acima toma a seguinte forma: MatemFinanceira~AULAS~abril2010  (1 + i*) n − 1  VB − VB ×  =0 n   i * ×(1 + i*)  Prestações Fig.. Ver.4... ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA Quando se analisa um conjunto de alternativas de investimento em projetos produtivos, recomenda-se adotar o valor presente líquido como parâmetro de decisão, procedimento que garante o atendimento da premissa de maximização da riqueza. Tal recomendação visa resguardar a consistência do processo decisório, pois a assertiva que deva ser eleita a alternativa que apresentar a maior TIR pode não ser sempre verdadeira e levar à decisão contrária daquela recomendada pelo Método do Valor Presente Líquido. Isto porque a decisão quanto à escolha da melhor alternativa, dado um conjunto delas, visando a implantação de algum investimento produtivo é realizada com o objetivo de escolher a alternativa que propicie o maior incremento na riqueza do investidos ou proprietário. Ou seja, o maior valor presente líquido. Para tanto, o fluxo de caixa de cada alternativa em análise é descontado à taxa de mínima atratividade, a TMA. Ao serem traçados os diagramas de fluxos de caixa, das alternativas em análise, e analisando o que exprime a Fig. 9.3, é possível verificar que, para um conjunto de valores de taxas de desconto, a decisão de adotar a TIR como único parâmetro de decisão pode induzir a erro. Da figura tem-se que: ao se considerar um valor da TMA entre zero e a definida pela Intersecção de Fischer(2), o valor presente do projeto A supera o do projeto B. A partir da Intersecção de Fischer, o valor presente do projeto B é que 2 ( ) A intersecção de Fischer corresponde ao ponto de intersecção dos diagramas de valor presente de dois projetos de investimentos distintos. Neste ponto, para um mesmo valor de TMA, os projetos apresentam igual valor presente líquido. MatemFinanceira~AULAS~abril2010 ENGENHARIA ECONÔMICA supera o do projeto A. Nestas condições fica demonstrado que, para distintos valores da TMA, a decisão pelo método do valor presente pode diferir do método da TIR, sendo que este pode induzir o decisor a erro de julgamento. 9.4.3.1 – Exemplo. Sendo dados dois projetos de investimentos produtivos representados pelos respectivos diagramas de fluxo de caixa, conforme Fig.9.3. Utilizando, unicamente, a TIR como fator de decisão, pode o analista ser induzido a erro ao recomendar o projeto B como sendo mais rentável que o projeto A, sem efetuar uma análise mais acurada, ao verificar que a TIR(B) = 29% supera a TIR (A) = 22%. Há que se considerar que empresas, ao investir seus recursos em projetos produtivos, o fazem visando obter o maior incremento de capital e, para tanto, utilizam o método do valor presente líquido dos fluxos de caixa projetados para medir tal incremento. E, descontam os citados fluxos de caixa adotando a TMA como taxa de desconto. No caso em pauta, os fluxos de caixa descontados a uma TMA = 8%, apresentem os seguintes valores presentes: VP (A) = R$ 153,00 e VP(B) = R$ 110,00. Resultado que indica ser o projeto A superior ao projeto B. Logo, o projeto A deve ser o eleito para implantação, fato que contraria a decisão efetuada utilizando exclusivamente a TIR como parâmetro de decisão. Do desenho, verifica-se que os fluxos de caixa descontados a uma TMA = 15%, apresentem os seguintes valores presentes: VP (A) = R$ 37,00 e VP(B) = R$ 44,00. 135-167 ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA Esse resultado indica ser o projeto B superior ao projeto A, fato que coincide com a decisão quanto se tem a TIR como parâmetro de decisão. Analisando os dois diagramas expostos na Fig. 9.3, verificase que o projeto A é superior ao Projeto B a taxas de desconto inferiores àquela definida pela interseção de Fischer, isto é, de zero a 12%. Já o projeto B é superior ao projeto A para taxas situadas entre a interseção de Fischer, 12%, e a TIR (B), 29%. Pela análise acima efetuada, constata-se a possibilidade de ocorrer duas soluções tendo como ponto limite a taxa de desconto conexa à intersecção de Fischer. A análise em questão foi realizada ao se comparar dois diagramas de valor presente. Havendo um conjunto de alternativas de investimento em julgamento, pode ocorrer mais de duas soluções, fato que requer uma análise criteriosa do decisor. VP-$ Projeto A 110,00 44,00 37,00 i% 12 15 TIR A= 22% 9.5.1 – Função Polinomial. Como visto, matematicamente, a taxa interna de retorno é aquela taxa que iguala a zero a função valor presente líquido associado aos fluxos de caixa de um projeto. VP( A ) = Fo + Projeto B 8 9.5 – Calculo da TIR. Considerando que a função valor presente líquido pode ser representada por um polinômio de grau equivalente ao do número de períodos do fluxo de caixa, a TIR corresponde às raízes desta função polinomial. Intersecção de Fischer 153,00 Finalizando, cabe ao analista se precaver quando julga diversas alternativas possíveis destinadas à realização de um investimento produtivo e deseja adotar a TIR como parâmetro de decisão. Visando manter a consistência de sua análise, recomenda-se efetuar um desenho onde conste o diagrama de valor presente de cada alternativa disponível e, deste modo, se certificar do campo de domínio de cada uma delas. TIR B = 29% F1 F2 F3 Fn + + +L+ 2 3 (1 + i) (1 + i) (1 + i) (1 + i)n Da teoria dos polinômios, sabe-se que, um polinômio dispõe de tantas raízes quanto for o seu grau. Logo, um polinômio do n-ésimo grau dispõe de n raízes. Então, quando ocorrer o caso de i* = função polinomial passa a ser zero. Fig. 9.3 - Consistência TIR e VPL. MatemFinanceira~AULAS~abril2010 136-167 TIR, o valor da ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA E, sendo a TIR uma raiz da função polinomial que expressa o fluxo de caixa, pode-se igualar este polinômio a zero. Deste modo pode-se escrever: n ∑F k=0 VP ( A ) = Fo + 0 + FK (1 + i*) − k = 0 Sendo este primeiro valor positivo (+), arbitra-se um novo valor para a taxa de desconto, maior que o anterior, e calcula-se, novamente, o Valor Presente. F1 F2 F3 Fn + + +L+ =0 2 3 (1 + i*) (1 + i*) (1 + i*) (1 + i*) n Como exemplo de função polinomial associada à um fluxo de caixa, seja um projeto representado pelo seguinte conjunto de fluxos de caixa projetados: FC(A) = {-1.200; 450; 400; 350; 300} A função valor presente líquido é dada por: A solução deste tipo de polinômio pode ser efetuada por diversos métodos: o Processo da Bisseção, metodologia iterativa; pelas fórmulas de Karpin que permitem definir a TIR de modo algébrico, cujo resultado é obtido de modo aproximado, fórmulas essas recomendadas para serem utilizadas quando os fluxos de caixa apresentem uma lei de formação conforme modelo pré-determinado; o Método de Newton- Raphson e o método de Wild, ambos permitindo a obtenção da TIR de forma algébrica. 9.5.2 - Processo da Bisseção. MatemFinanceira~AULAS~abril2010 Tal operação deve ser repetida, iterativamente, até ser encontrado um valor presente negativo. Ao ser encontrada uma taxa i em que o Valor Presente seja menor que zero, volta-se ao procedimento inicial. Ou melhor, procura-se uma taxa “i” com valor menor que a ultima encontrada e cujo valor presente seja positivo. O processo em questão deve ser repetido até se obter um valor presente zero ou insignificante. 450 400 350 300 VP( A ) = −1200 + + + + 2 3 (1 + i) (1 + i) (1 + i) (1 + i)4 É o processo de mais fácil aplicação, inconveniente de ser muito trabalhoso, pois iterativo. O processo de tentativa e erro é iniciado ao ser arbitrado um valor qualquer para a taxa “ï” e, a seguir, calculado o Valor Presente do fluxo de caixa para essa taxa. com o Como recomendação para acelerar o processo de cálculo pode-se adotar o processo da bisseção. Justificam a assertiva duas situações: a primeira dado a corresponder à maior remuneração possível para que um de projeto seja viável; a segunda, pois sendo a TIR superior à TMA, o valor presente líquido da alternativa de projeto será superior a zero e, por conseguinte, ocorrerá o aumento da riqueza dos proprietários. TIR Em havendo a comparação entre dois ou mais investimentos, o que apresentar a mais alta TIR deverá ser considerado o economicamente mais interessante. Porém, como já comentado, para projetos de investimentos produtivos e que não integrem o mercado mobiliário, essa assertiva pode não ser sempre verdadeira. 137-167 graficamente. uma das raízes do polinômio. que seja elaborado um diagrama de valor presente para que. ou seja. A bibliografia. próximo a zero. porém. Calcular VP Tentar taxa maior VP > 0 VP<0 Comparar VP com zero utilizando Ressalta-se que os métodos apresentados permitem definir.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA Neste processo.Fluxograma para a determinação da TIR 138-167 . TIR. seja verificado se um apresenta mais de uma única TIR. ter-se-ão valores de “i” que propiciam valores presentes cada vez mais próximos de zero. inova = Arbitrar uma taxa im ( VP < 0) + in ( VP > 0) 2 Repetido o processo tantas vezes quantas forem necessárias. financeiramente. assim. indica o processo da tentativa bisseção para o cálculo da TIR. para cada nova taxa de desconto a ser utilizada dever-se-á adotar o resultado da média aritmética obtida entre as seguintes taxas: aquela ultima taxa cujo valor presente tenha sido negativo e aquela cujo ultimo valor presente tenha se apresentado como positivo.4 . calcular algebricamente a os métodos discutidos no Capítulo 10. comumente. apenas. MatemFinanceira~AULAS~abril2010 Tentar taxa menor VP = 0 FIM Fig. O processo de iteração como ser dado como concluído ao se obter uma taxa de desconto associada a um valor presente líquido irrisório ou. 9. É possível. Recomenda-se. uma das TIR associadas ao projeto de investimento. 50 e i5 =10. Calculado o valor presente obteve-se VP = +7. i4= 10. o menor valor presente positivo e o maior valor presente negativo. 5ª iteração – Considerando que na iteração anterior obteve-se um VP= .56R$. Logo: 10 + 10. 6ª iteração . Nesta iteração foi adotada uma taxa de desconto de i=12%. utilizando a metodologia da bisseção. o menor valor presente positivo e o maior valor presente negativo.25 = = 10.54 R$.50 + 10. a Fig. Nesta primeira iteração foi adotada uma taxa de desconto i=10%. Para tanto. Viabilidade – Inicia-se verificando a viabilidade do projeto para alguma taxa de desconto. Ver. Caso ocorra VP<0. Ou seja.3750 2 2 Calculado o valor presente.25. repete-se o procedimento efetuado. faz-se i=0. também.25 2 2 Calculado o valor presente.53R$.50 i +i i5 = 1 4 = = 10.54 R$. 3ª iteração – A próxima taxa de desconto adotada.4.9.A taxa de desconto a seguir adotada corresponde à média aritmética entre as duas ultimas taxas que apresentaram. Então: i6 = i4 + i5 10. respectivamente. o projeto é inviável para qualquer TMA e deve ser abandonado. 4ª iteração . o menor valor presente positivo e o maior valor presente negativo: MatemFinanceira~AULAS~abril2010 i1 + i2 10 + 12 = = 11 2 2 Calculado o valor presente. chega-se a: VP= -1.54. respectivamente.A taxa de desconto a ser adotada nesta iteração corresponde à média aritmética entre as duas ultimas taxas que apresentaram.3 – Aplicação da metodologia Seja determinar a presente: TIR associada à seguinte função de valor VP( A ) = −1200 + 450 400 350 300 + + + 2 3 (1 + i) (1 + i) (1 + i) (1 + i)4 O processo da bisseção é um procedimento iterativo e segue os procedimentos abaixo.41 R$. chega-se a: VP= +1.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA i3 = 9. corresponde ao resultado da média aritmética definida entre as taxas que apresentaram. chega-se a: VP= -16.4.47 R$. 1ª iteração – Arbitra-se uma taxa de desconto.5. Então: i +i 10 + 11 i4 = 1 3 = = 10. o projeto é viável e o processo pode prosseguir. respectivamente. chega-se a: VP= -4. arbitra-se uma taxa maior visando obter um VP<0. 2ª iteração – Como na iteração anterior obteve-se VP>0. 139-167 . Calculado o valor presente chegou-se a VP = -39.50 2 2 Calculado o valor presente. Sendo VP>0. ..1 – Conceituação.34053 .50+10... Valor Presente ..ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA Enésima iteração ..3750)/2 = 10..25) = 10. apresenta um número de raízes igual ao do grau do polinômio....00 (10+12)/2 = 11 (10+11)/2 = 10.25+10..28125 (10.50 (10+10.3110%. 9. existe um número de TAXAS INTERNAS DE RETORNO correspondente ao do grau do polinômio associado ao fluxo de caixa.3125+10. 0.3125)/2 = 10........0360 0. MatemFinanceira~AULAS~abril2010 i =TIR1 TMA2 i TMA1 i=TIR2 Fig...54 -0.. Assim...3750 (10.56 -16. Como o número de raízes é igual ao do grau do polinômio.00 12.. pode ocorrer a existência de diversas TIR... TIR → 10. Tal situação ocorre quando o projeto é do tipo de investimento convencional.25+10... sendo a maioria delas múltiplas ou não pertencentes ao conjunto dos números reais.54 1.53 -39..47 -1..6 .3110 VP – R$ +300.9.. nada se podendo afirmar a priori. a exemplo dos diagramas mostrados na Fig....50) = 10..3125 (10.... decrescente e convexa.6..... um projeto pode apresentar uma ou várias TIR segundo o comportamento do fluxo de caixa...... o que define o comportamento do fluxo de caixa é o número de variações de sinal que ele apresenta..25 (10.... Quando se utiliza a TIR como parâmetro de decisão. Deste modo. n Taxa de desconto – i% 0.$ Valor Presente descontado p/ TMA 9. Esta unicidade de TIR é garantida quando o polinômio representativo do projeto se apresenta como uma função contínua.00 +7.28125)/2=10. caso contrário poderá o analista incorrer em erro de avaliação.41 -4.Existência de múltiplas TIR. é recomendável a verificação de que ela seja ÚNICA. Justifica-se a assertiva acima já que a função valor presente associada a um fluxo de caixa pode ser representado por uma função polinomial do enésimo grau.........00 10...29688 . No caso de projetos tipo “não convencional”.5 – Existência de múltiplas TIR 140-167 . Porém..repetindo o procedimento exposto por n-vezes.1..00 9.... E.. iteração viável 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ...71730 0. chega-se ao valor da TIR = 10.... MatemFinanceira~AULAS~abril2010 ENGENHARIA ECONÔMICA Tomando como exemplo o diagrama da Fig.10. Ou. Ao apresentar diversas variações de sinal. para tanto.-F7. (De Faro. qualquer empresa que desconte seus investimentos à TMA’s situadas entre os valores da TIR-1 e da TIR-2.9. como visto. Esse procedimento evita incorrer em equivoco durante seu processo decisão. especialmente aqueles ligados à construção civil e à de mineração.-F6 .ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA { -F0.+ F4. -132}. novos investimentos. E. recomenda-se ao analista financeiro efetuar o diagrama de valor presente de modo a visualizar o comportamento da função. quando grandes investimentos são realizados e ocorrem períodos onde os fluxos de caixa são negativos. Pois. No diagrama da Fig. tem-se: a) Investimento do tipo convencional ou empréstimos apresenta apenas uma TIR. Deste modo o projeto pode dispor de um número de taxas internas de retorno igual ao número de variações de sinal. a assertiva acima quanto a existência de um conjunto de valores presentes negativo associados à taxas de desconto que se situam entre a TIR1 e a TIR2. graficamente. Esta situação não é corriqueira.5. 9. Ver diagrama da Fig.+F11. b) Investimento do tipo não convencional pode apresentar mais de uma variação de sinal no fluxo de caixa. 230.5.+F9 . 9. em projetos onde se prevê etapas sucessivas de aumento de produção que demandem. -F1.2 – Exemplo Como exemplo de fluxo de caixa que apresenta mais de uma TIR.5. pode-se verificar.+F12} Como exemplo deste tipo de fluxo de caixa pode-se ter um fluxo que apresente três variações de sinal como o conjunto apresentado acima. sendo viável o projeto.+F8 .6. seja o projeto de investimento que apresenta o seguinte fluxo de caixa: {-100. A expressão do valor presente líquido é dada por: 141-167 . o que leva à existência de apenas uma raiz real. Considerando que um projeto pode ser definido como convencional ou não convencional e esta definição é expressa pelo número de variações de sinal do fluxo de caixa.+F10. especialmente quando em análise de empreendimentos produtivos. + F3 .9.5. pode incorrer em erro se considerar apenas a taxa interna de retorno como parâmetro de decisão. contínua e convexa. ela poderá não ser única! Pelo exposto e quando houver o interesse em conhecer ou analisar um projeto do tipo não convencional adotando a TIR como parâmetro de decisão. -F5 . 1980). especialmente na fase de captação de recursos. caso que pode decorrer na existência de um diagrama de fluxo de caixa similar ao representado na Fig. O comportamento de sua função se apresenta de modo decrescente. mas pode ocorrer em empreendimentos produtivos. +F2. onde fica evidenciada a existência de múltiplas TIR. o valor presente da função fluxo de caixa pode ser negativo para algumas taxas de desconto. 90 TIR .40 5.678. P(A) = [-100. – Exemplo de projeto O diagrama de fluxo de caixa deste investimento. qual deles VOCE escolheria para ser implantado? Justifique a sua opinião! i Fig.199. Para tanto quatro alternativas de investimentos foram apresentadas.56 31.% 22.529.44 19.45. 0. 395} TIR 1 TIR 2 c) Dentre os cinco projetos de investimentos abaixo.20 6. cada uma delas? e) Você é um dos diretores de uma empresa quando. 20. 142-167 . 500.78 101. evidencia a existência das duas TIR. .07 19.675.00 132. 35. sabendo que a empresa pratica uma TMA=15% ao período.200. pois os recursos disponíveis são limitados. 16. 248. 450.6. 400. em reunião de diretoria. foi discutida a ampliação e implantação de mais uma linha de produção.00 4.9. 340. num processo de decisão ou de comparação de alternativas.7 – Exercícios. 55. 9. 45.99 132.6. Presente Líquido 10³ R$ 123. 55.44 Pay Back anos 7. 55. 365.10 6. Fig.456.9. 30. 155. o diagrama do valor presente dos dois projetos representados em um único diagrama cartesiano e. 45] MatemFinanceira~AULAS~abril2010 Projeto A1 B2 C3 D4 E5 V. 100] e P(B) = [-35. 300} FC(B) = {-350. 320. Sabe-se que apenas um dos projetos será escolhido.90 d) Qual a diferença conceitual entre TMA e TIR? Quando se deve utilizar.99 125. -480.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA VPL = −100 + ENGENHARIA ECONÔMICA 230 132 − (1 + i) (1 + i) 2 b) Calcular a taxa de juros embutida nos projetos de financiamento representados pelos seguintes conjuntos de fluxos de caixa: VPL . 45. aquele a ser recomendado para implantação. a) Comparando os projetos representados pelos conjuntos de fluxo de caixa solicita-se: os polinômios representativos dos mesmos. 350.$ FC(A) = {-1.00 29. 9432 34.0 30.807. Tal equipamento pode ser fornecido por três empresas. Para julgamento das propostas recebidas.Compra Vida Útil TIR BAE Manutenção Valor Presente unidade 5 10³ R$/un anos % 10³ R$/ano 10³ R$/ano 10³ R$/ano Prefax PCM-32 420 7. a ser suprido com aumento de capital da empresa realizado pelos sócios. detém a responsabilidade de analisar a aquisição de cinco equipamentos de compactação de solos. qual será a sua decisão! Equipamento Modelo Preço . esta sendo analisado sob duas condições: 1ª) o investimento dos ativos produtivos poderá ser realizado com a utilização de capital dos acionistas. VOCE dispõe das informações constantes do quadro abaixo. Justifique. Como condições de financiamento.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA O analista financeiro recomendou a adoção do projeto GAMA! Ele justificou seu ponto anexando o memorial de calculo da TIR dos projetos. detém a responsabilidade de analisar a aquisição de cinco equipamentos de compactação de solos.0 36. cujo resultado consta do quadro abaixo. a proposta do banco previa quitação em dez parcelas iguais. Você concorda com a opinião do analista? Justifique.22 de seus Complus CP-X5 495 9. 2ª) utilização de capital oriundo de um banco de investimentos.5% ao ano. O analista de investimentos elaborou os respectivos fluxos de caixa e os descontou à taxa de remuneração do financiamento. anuais e consecutivas definidas pelo sistema SAC.40 798 45 3. ou seja.7554 f) Um investimento produtivo cujo horizonte de projeto foi previsto para quinze anos. Projeto Alfa Beta Gama Delta Taxa Interna de Retorno 36. sabe também. que sua empresa pratica uma taxa de atratividade no valor de 15% aa. 8. como Diretor Técnico de uma empresa de engenharia que atua no setor de terraplenagem. Visando subsidiar o julgamento das propostas.39 á luz Empresa Terrapac TCON-K9 340 5. foi elaborado o quadro de informações abaixo. Tal equipamento pode ser fornecido por três empresas.0 27.99 844 76 3. E. conceitualmente e conhecimentos. como Diretor Técnico de uma empresa de engenharia que atua na área de terraplenagem. 143-167 . dois anos de carência e juros de 8.0298 35. MatemFinanceira~AULAS~abril2010 ENGENHARIA ECONÔMICA g) Você.68 844 64 2.829.5678 39.5% ao ano.511.72 h) Você. Pergunta-se: VOCE concorda com a adoção da taxa citada? Justifique a sua assertiva. 807.0 45.0 3. conceitualmente e á luz de seus conhecimentos.0 5.39 Empresa Terrapac TCON-K9 340.0 76.99 844.0 7.511.68 844.0 2. Você sabe que sua empresa adota uma TMA no valor de 17.0 30.22 Complus CP-X5 495.0 36.72 144-167 .0 9.0 64.40 798.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA Além disso. qual será a sua decisão! Especificações Equipamento Modelo Preço de Compra Vida Útil TIR BAE Manutenção Valor Presente unidades 5 10³ R$/un anos % 10³ R$/ano 10³ R$/ano 10³ R$/ano MatemFinanceira~AULAS~abril2010 Prefax PCM-32 420. Justifique.7% aa.829.0 3.0 27. como já comentado. As fórmulas de Karpin facilitam o calculo. Ressalta-se que projeto tipo empréstimo é definido como aquele em que ocorra apenas uma única saída de caixa seguida de tantas entradas de caixa quantos forem os períodos de pagamento. Não se pretende esgotar este assunto. Para projetos de investimento do tipo simples ou convencional. É oportuno ressaltar que o resultado obtido pela utilização da fórmula de Karpin é aproximado e. mas fornecer ao interessado uma metodologia capaz de solucionar a maioria dos problemas desta área de conhecimento. A operação do tipo empréstimo é definida como aquela em que ocorre uma única saída de caixa no momento em que MatemFinanceira~AULAS~abril2010 ENGENHARIA ECONÔMICA ocorre a operação financeira. Prestações decrescentes. 145-167 a serem . da Taxa Interna de Retorno de projetos de investimentos tipo empréstimo. Métodos Algébricos. Isto quer dizer que eventuais entradas ou sinal de negócio devam ser abatidos do montante do bem financiado. Neste capítulo são apresentados alguns métodos destinados a calcular algebricamente uma das possíveis TIR associadas a um dado fluxo de caixa. a TIR pode ser determinada utilizando uma metodologia denominada Fórmulas de Karpin. de modo expedito. os juros deverão ser calculados. Três serão apresentados:    os casos de prestações Prestações constantes. No caso das formulas de Karpin ocorre uma exigência complementar para que possam ser aplicadas é que os pagamentos apresentem uma lei determinada de formação. Os projetos de investimento do tipo não convencional. seguida por uma série de entradas de caixa. exclusivamente. cujo fluxo de caixa se comporta segundo determinada leis de formação. que os pagamentos atendam a uma lei de formação pré-definida. E. a TIR pode ser determinada utilizando os algoritmos de Wild ou de Newton-Raphson. Prestações crescentes. fica vedada sua aplicação para séries que apresentem pagamentos distintos. para que o resultado seja compatível com o real. que a primeira entrada ocorra no período imediatamente subseqüente ao da saída de caixa. sobre a importância a ser financiada.1 – Fórmulas de Karpin O calculo da TIR utilizando as fórmulas de Karpin. E. é recomendado para utilização em projetos de investimentos que atendam as seguintes condições: i) ii) Seja uma operação do tipo empréstimo.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 10. Logo. 10. por definição: Q1 = Q2 = Q3 = … = Qn = Q O processo de obtenção da TIR ocorre em duas etapas: 1º Etapa – Define-se uma constante denominada “a”: Q1 Q2 Q3 a= Qn 2º Etapa – Calcular-se a TIR: -S Fig.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA VP(P) = −S + 10.00. E. Q1 (1 + i)1 Q2 + (1 + i) 2 + Q3 (1 + i) 3 +L+ Qn (1 + i) n 10. a ser pago em dez prestações iguais. e destinado a definir a taxa de juros sob a ótica do tomador do recurso. quando os pagamentos realizados à prestação constante. em forma polinomial.10. Em que. Seja calcular a taxa de juros embutida no financiamento de um bem cujo preço ofertado é de R$ 1.Caso de Prestações Constantes.800..00.1 – Diagrama de prestação constante Disponível o valor da constante a. correspondendo a uma série postecipada. Q1.. a= nQ − S nQ 10 × 195 = −1= − 1 = 0.2 . Q3.. mensais e consecutivas no valor de R$ 195.2 – Aplicação. Qn } nQ − S S 2a × (3 + a) 2na + 3 × (n + 1) 10. n o numero de prestações.1 – O método.. considerando um projeto de financiamento representado por deu fluxo de caixa: Projeto: {-S. pode-se determinar a TIR. Q2.08333 S S 1800 Ou. Estabelecendo a seguinte nomenclatura: S correspondendo ao valor a ser financiado. utilizando o modelo abaixo. O modelo proposto é recomendado para utilização em projetos convencional tipo financiamento ou empréstimo com retornos constantes.2. TIR(P) ≅ Como exemplo deste tipo de aplicação seja o caso de aquisição de bens de consumo realizado no comércio varejista. e. Q representando a prestação.2. MatemFinanceira~AULAS~abril2010 146-167 . e sendo esse um dos termos de uma progressão MatemFinanceira~AULAS~abril2010 Neste caso. 10.4 – Caso de Prestações Decrescentes.....08333 × (3 + 0.. as prestações são crescentes e variam segundo uma taxa constante..Caso de Prestações Crescentes. da série crescente de prestações é dada por: Rj Rj = q × R j-1 ∴ q = Rj − 1 Rn 1ª Etapa – Define-se uma constante denominada de a: nR1 − qS nR1 a= = −1 qS qS 2º Etapa: Calcula-se a TIR: Disponível o valor do parâmetro a.. calcula-se a TIR utilizando o modelo. por definição.. ou seja........ O fluxo de caixa....  2a(3 + a)  TIR(P) ≅ q ×  + 1 − 1  2na + 3(n + 1)  R1 10..3. Neste caso...48% ao mês. a definição da taxa interna de retorno também é obtida em duas etapas: 10..2 – Diagrama de prestação em progressão geométrica Sendo Qj um termo qualquer do fluxo de caixa representado pelo diagrama de fluxo de caixa abaixo. a razão da progressão..3 .. -S Fig... porém....... para que o modelo possa ser aplicado.1 – O Método.n tempo 10.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA TIR(P) ≅ ENGENHARIA ECONÔMICA 2a(3 + a) 2 × 0.... De modo similar ao caso anterior.08333) = = 0..3..... as prestações são decrescentes e variam segundo um valor constante....10. então. Há.2 – Aplicação.. 0 1 .... R-$ geométrica.0148 2na + 3(n + 1) 2 × 10 × 0... pode ser considerado como uma série em progressão aritmética decrescente a um valor constante K...08333 + 3(10 + 1) TIR(P) = 1. O fluxo de caixa. verificar se a primeira prestação atende à seguinte condição: 147-167 .. então.. então.. se comporta como uma série em progressão geométrica que cresce à razão “q”. o modelo não pode ser aplicado..00 e as demais apresentando uma variação crescente segundo um coeficiente de 10% ao mês....000.00  Saldo: cinco prestações mensais... mensais e consecutivos.. ser calculada a Taxa Interna de Retorno utilizando a seguinte expressão: MatemFinanceira~AULAS~abril2010 R$ 73..00 R$ 58..3 – Diagrama de prestação em progressão aritmética Para que seja valida a aplicação do modelo......500. o primeiro termo da série de pagamentos..000.000. por R$ 480. sendo Qj um termo qualquer do fluxo de caixa representado pelo diagrama de fluxo de caixa abaixo. cabendo ao interessado utilizar outra metodologia para a definição da TIR.00 R$ 60.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA Q1 = ENGENHARIA ECONÔMICA S + (n × K ) n TIR ( P ) ≅ Então.00 R$ 65.00  Em trinta dias (1º pagamento): R$ 3.. com a primeira prestação no valor de R$ 45..  Em dez prestações decrescentes. então.000. a) Um equipamento é vendido..00 R$ 53.....000.  Preço do Veículo: R$ 28..118...00. a primeira prestação deve atender a condição definida: S Q1 = + (n × K ) n Atendida a condição estabelecida para a primeira prestação da série de pagamentos pode. pactuadas segundo a seqüência abaixo: Fig.5 .. por definição e sendo esse um dos termos de uma progressão aritmética..00 b) Calcular a TIR vinculada ao financiamento de um automóvel nas seguintes condições de pagamento e venda.00 mensais.. iguais e consecutivas no valor de R$ 5.Exercícios.500.00.. 10.. 148-167 .000. ou seja....10.00 R$ 50... ele é definido por: Qj = Q j-1 .. K = Q j-1 .000.000.  Em 10 pagamentos iguais...00 R$ 63.K e...00 R$ 68. então. mensais e consecutivas. à vista.. Calcular as taxas de juros cobradas sob as seguintes condições:  Financiamento realizado em 10 prestações iguais e consecutivas no valor de R$ 78....n tempo -S nK S Ressalta-se que.500..00 R$ 55.000.Qj Q-$ Q1 Qn 0 1 .987.500.500..00 R$ 70.00  Entrada: R$ 5.000. em a primeira prestação não atender a condição acima.. 90. Para o calculo do preço. k =ML + TR + DI.4% 149-167 . CD.999.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA c) Uma empresa varejista oferta uma geladeira gel-max em dez prestações iguais. pergunta-se: O montante do lucro realizado. no valor de R$ 599. e a empresa não pratica desconto algum sobre este valor. O preço a vista do produto é de R$ 5. vencendo a primeira delas 30 dias após a data de aquisição. A empresa fixa seu preço adotando o seguinte modelo matemático: • • P = CD( 1+k ) e. O custo do produto. você dispõem dados gerenciais abaixo. Taxa de financiamento a clientes Margem de lucro = ML Tributos = TR Despesas administrativas indiretas = DI MatemFinanceira~AULAS~abril2010 26.6750% ao ano 15% 22.00.50% 4. Assim sendo. mensais e consecutivas. 11. significa eleger um bem ou equipamento destinado a realizar uma determinada função ou serviço por um determinado período de tempo. Assim sendo. Considerando que as alternativas analisadas nos estudos de comissionamento. lhe aluga ou financia o mesmo. o leasing-back. da empresa. são destinadas a comparação de equipamentos que realizarão um mesmo serviço é comum analisar somente os custos a serem incorridos.2 – Tipos de comissionamentos. Este item trata do comissionamento de ativos e do leasing-back. ENGENHARIA ECONÔMICA • • • • • Compra a vista. comissionamento e alienação de ativos que transcende à análise técnica dos mesmos. Aluguel sem devolução. O valor residual. procedimento que facilita o processo de tomada de decisão. – Comissionamento de Ativos. é uma modalidade de financiamento de ativos. 11. Neste caso a empresa vende um ativo de sua propriedade para a financiadora que. devem ser definidas as seguintes variáveis: • • • • • • O valor do bem. nesses casos. ou seja. comumente. E. O comissionamento pode se realizar sob as seguintes alternativas: E. o valor presente líquido e os fluxos de caixa das alternativas são calculados segundo o modelo abaixo: MatemFinanceira~AULAS~abril2010 150-167 .3 – Metodologia. A vida útil do bem ou equipamento. O leasing-back. Comissionar. apenas.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA 11.VPL. O processo de decisão adotado para aplicação na escolha da melhor das alternativas acima elencadas é o método do valor presente líquido. 11. A taxa de juros do financiamento.A. o seu preço de aquisição. a partir da aquisição de um bem da empresa a ser financiada. Para tanto. A análise de investimentos permite incluir no processo de decisão da escolha de equipamentos a dimensão financeira. Dimensão esta que permite estabelecer uma política de aquisição. no contexto em discussão.1 – Definição. Compra a prazo ou financiamento.1 – Decisão. pode-se considerar. A T. ou leasing. 11.M. Aluguel com devolução. imediatamente. O valor do aluguel.3. os custos associados a cada alternativa. A decisão será efetuada segundo a alternativa que apresentar o melhor Valor Presente Líquido . Para tanto há que se considerar os tributos e taxas incidentes. como já comentado.11. 11.Compra a vista.3.3 . no calculo do valor presente de cada alternativa. custos e despesas necessárias à operação do mesmo.1 – Fluxo de Caixa de Compra Ao final da vida útil do projeto.3.Compra a prazo. o bem pode ser vendido e. como propriedade da empresa. Na compra a vista. taxas e a depreciação legal. a taxa de desconto i corresponde à TMA da empresa interessada. para efeitos legais. que melhora o fluxo de caixa. esta última. é definido pelo seguinte modelo: Fk = ΣReceitas – ΣDespesas – Investimentos + Deduções + VR ENGENHARIA ECONÔMICA operação do bem. deste modo. Além disso. Ou. Deduções/depreciação 1 Tributos – taxas. A compra a vista é recomendável quando a empresa dispõe de caixa suficiente para a aquisição do bem e não prejudicar o nível do capital de giro. fato que pode vir a beneficiar sensivelmente o projeto. o fluxo de caixa deve considerar o investimento inicial correspondendo ao valor do bem adquirido e todas as entradas e saídas de caixa propiciadas pela Na compra a prazo. ou financiamento. genérico. o tempo em que o mesmo estiver em comissionamento. ou seja. haver uma melhoria no ultimo fluxo de caixa.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA VP ( p ) = Fo + n ∑ Fk k = 1 (1 + i) k Em que o valor do fluxo de caixa – FK. A decisão da escolha da melhor alternativa. Nos itens a seguir serão discutidos os diagramas de fluxo de caixa típicos de cada uma das modalidades de comissionamento elencadas no item 11.manutenção n Meses/anos Valor do bem Fig.1. 11.Valor Presente Fk = Lucro – Investimentos + Deduções + valor residual Valor Residual Alerta-se que. MatemFinanceira~AULAS~abril2010 151-167 .2 .2. deve considerar a vida útil do bem. deverá ser realizada utilizando o método do Valor Presente Líquido. $ . Um exemplo de fluxo de caixa desta operação é exposto na Fig. o bem também é considerado.11. 2. o pagamento do bem ocorre na medida em que vai sendo realizado o fluxo de receitas da empresa. ai especificando o montante dos juros a serem pagos e o valor da amortização a cada período. Neste caso o bem é considerado como propriedade do locador e o custo do aluguel contabilmente tratado como despesa do exercício. os valores das amortizações considerados como investimento. o custo do aluguel ocorre durante toda a vida do projeto. 11.Aluguel com devolução do bem. operação comumente conhecida como leasing. neste caso de financiamento ou aluguel sem a devolução do bem no final do período contratual. ENGENHARIA ECONÔMICA A atratividade das alternativas de compra a prazo e. Prestação = Juros + Amortizações. os juros são considerados como despesas do exercício e susceptíveis à ação do imposto de renda. também. Além disso. de aluguel é a possível disponibilidade do bem sem ocorrer a necessidade de descapitalização. No caso de ocorrer aluguel com a devolução do bem no final do período de locação. Deve-se adicionar ao fluxo de caixa.3.11. conforme já comentado no capitulo amortização de dívidas.3.11. Contabilmente integram o ativo da empresa. E. os tributos e taxas incidentes.4 . Isto porque. o pagamento das prestações do financiamento deve ser decomposto na parcela dos juros e na de amortização.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA O fluxo de caixa associado a uma compra a aprazo deve levar em consideração: o valor da prestação. Neste caso. Ver modelo de fluxo de caixa na Fig. MatemFinanceira~AULAS~abril2010 152-167 . Ver modelo de fluxo de caixa de compra a prazo na Fig. No final do período o bem retorna à posse do locador. bem como a depreciação legal. também. o bem passa a integrar o patrimônio da empresa locatária avaliado pelo valor residual do mesmo. IOF.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA O valor do aluguel é definido por uma série uniforme postecipada. o cliente recompra o bem pelo valor residual garantido (VRG3).Aluguel sem devolução do bem.br/epd/emp/rei/bac/index. No caso de ocorrer aluguel sem a devolução do bem. 11. segundo condições contratualmente estabelecidas.5 . O leasing-back é uma operação de leasing financeiro em que o próprio cliente atua também como fornecedor.com.unibanco. o custo do aluguel ocorre durante toda a vida do projeto. mensais e consecutivas. 20. ENGENHARIA ECONÔMICA 11. em seguida.3. E. lhe arrenda o bem.asp. e depois o recompra.10. o leasing-back funciona como uma maneira simples e rápida de se obter capital de giro de longo prazo com garantia real e sem incidência de Imposto sobre Operações Financeiras.Leasing-back. porém. Neste caso pode haver uma operação de compra ou. Na prática. Ele vende um ativo de sua propriedade para a empresa arrendadora que. Após expirar o contrato de aluguel.4 . segundo o valor previsto para aquela época. o valor da mesma é considerado como despesa do exercício. O valor residual garantido corresponde a uma porcentagem do valor de aquisição. com prestações iguais. MatemFinanceira~AULAS~abril2010 (3) Fonte: http://www. Ver Fig. simplesmente. 11.4. 153-167 . Em decorrência deste fato. Ao fim do contrato. A empresa vende um bem do seu ativo imobilizado sem perder o uso do mesmo.2009. ao final do projeto. durante o período de locação. a doação do bem pela arrendadora à empresa financiada. há que se considerar o valor do mesmo como uma entrada de caixa. Taxas e imposto sobre propriedade de veículos montam a 3% ao ano sobre o valor do mesmo. E. Estude.5. montam a 24%. empresa coligada à concessionária de veículos. Tributos e taxas não estão inclusos neste valor. como saídas de caixa: os custos do aluguel/leasing. variando segundo o tempo de uso. por veículo. as possíveis despesas de manutenção. possibilita à empresa a realização de planejamento fiscal e tributário. O mesmo veículo com cinco anos de uso pode ser negociado a 20% do valor do novo. Ver Fig.00 mensais. pois deseja adquirir dez novas unidades. O Diretor dispõe de uma proposta de leasing no valor de R$ 1. ao custo de 1. sendo de: 4% do valor do veículo novo no primeiro ano. estão disponíveis as seguintes informações: • • • A MORSA adota uma TMA de 15% ao ano. A vantagem neste tipo de operação financeira é que ela possibilita o alongamento do perfil do endividamento de curto para longo prazo.335.00 mensais por veículo. A Fightwell. e crescendo 1% a cada período. 11.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA • O fluxo de caixa para análise desta operação deve considerar como entrada de caixa o valor de venda do bem no momento da operação. se propõe a financiar os veículos pelo prazo de 60 (sessenta) meses. • • • • 11. qual será a ação de comissionamento Para tanto. anualmente. Após o quinto ano é política da empresa alienar seus veículos. A empresa CV-leasing substitui os veículos a cada dois anos.888. 5% do valor do veículo novo no segundo ano.5 . • • A instrução normativa nº 162 da Receita Federal permite depreciar um automóvel em 5 (cinco) anos. Além disso. e o valor de recompra no final do período. analise e recomende financeiramente mais interessante possível. O preço de um veículo novo é de R$ 45. imposto de renda e contribuição social sobre o lucro líquido. pois o cliente utiliza-se das vantagens contábeis e fiscais do leasing financeiro para bens anteriormente incorporados ao seu ativo imobilizado. MatemFinanceira~AULAS~abril2010 154-167 . A soma das alíquotas dos tributos incidentes sobre o lucro. Uma análise dos custos anuais de manutenção de veículos da empresa mostra que evoluem.300.00.Exercícios a) O Diretor Financeiro da MORSA Construções & Engenharia esta estudando a substituição e padronização de sua frota de automóveis. SC. 1972. Rio de Janeiro. José M. SOTO COSTA. GITMAN.. 2ª Edição. MAYER. “Economia Para Campus. O problema do Capital de Giro na Análise de Viabilidade de Projetos. José A. Harold and SMIDT Seymour. 1996. Luiz F. Eduardo Vieira.. Princípios de Administração Financeira.. de -----------------------. RJ.. Editora Campus Ltda.. EPESP. 1984. Notas de Aula. MATHIAS. Antonio E.. “Formação da Taxa de Retorno em Empreendimentos de Base Imobiliária”. 1998.. – “Administração Financeira”. Simas P. Executivos”. SOTO COSTA.. Chapecó.. "Análise de Investimentos". João da Rocha... DEI / PUC – Rio. 1982. Gerenciamento na Construção Civil... DE FARO. ATTIE. Departamento de Engenharia Industrial. BT/PCC/218.. Rio de Janeiro. BIERMAN Jr.. Porto Alegre. 2006... Disciplina Modelos Aplicados à Análise de Investimentos. Introdução à Análise Investimentos.ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ABREU. 1975.. Shlomo. Rio de Janeiro. Rio de Janeiro. Clóvis – “Engenharia Econômica” Editora APEC. RODRIGUES. Christian. São Paulo.The Capital Budgeting Decision. Editora Bookman. Sérgio F. DEI / PUC.. MatemFinanceira~AULAS~abril2010 Editora 155-167 .. . Paulo H. Pontifícia Universidade Católica.. 1972. MacMillan. Curso de Engenharia de Produção.. RS. Paulo H. LIMA JUNIOR.979.. AVILA. Rio de Janeiro. – “Matemática Financeira”. 1977. 1980. CARVALHO.. Raymond R. Análise de Projetos de Investimentos. 1978.. Antonio Z. RJ. RJ. Fernando M. – “Análise e Administração Financeira”. IBMEC. Paulo F. Antonio V. 1980.... PINTO. GOMES. 1979. 1.. e JUNGLES... de & STEPHAN. Lawrence J.... Boletim Técnico da Escola Politécnica da USP.. – “Análise Financeira de Alternativas de Investimento”. ATLAS. SANVICENTE. Editora da Fundação Getúlio Vargas. RODRIGUES. Washington F. ATLAS. ATLAS. Editora Argos. ENGENHARIA ECONÔMICA MAITAL. 2001. ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA 1.1 – Caso: Análise de Fluxo de Caixa. Informar qual sua decisão. Calcular o Valor Presente e a Taxa Interna de Retorno. ANEXOS . as curvas representativas de cada projeto. Haverá desconto de dois (02) pontos por dia de atraso de entrega. por dois alunos. Efetuar relatório comparativo da analise dos resultados obtidos por cada método.1. abaixo. Qualidade e Apresentação do Trabalho. os projetos que lhes couber. Exatidão dos resultados. no início da 15ª aula. equivale ao número do EXERCÍCIO indicado na folha dos fluxos de caixa. preenchido no quadro acima.7. Esta folha de instrução será a CAPA DO TRABALHO. 4 pts.Trabalhos A.2. bem como o quadro correspondente a cada ponto calculado da curva.1. O trabalho será realizado em papel A4. Cada equipe será integrada.5. Para tanto pede-se: 1. 1.1. 4 pts.2. 156-167 . 2. Esta folha anexa não precisa ser devolvida. no máximo.Exercício Proposto: Comparar e analisar os projetos abaixo. os diagramas de valor presente de cada projeto. uma taxa de desconto para efetuar sua decisão. 3.3.2. O trabalho será entregue.5 Copiar do Quadro dos Fluxos de Caixa. 3. Calcular o Custo Anual Equivalente/Beneficio Anual Equivalente.3. anexa. Equipe n..º Aluno – Rubrica: Aluno – Rubrica: 1 .6. 2. 2. Apresentar num mesmo gráfico e em papel milimetrado – A4. antes de iniciar a apresentação da memória de cálculo. 2. 2. Apresentar num mesmo gráfico utilizando o EXCEL. 1.6.3.4. Adote. 3 – Julgamento: 3. Memória de cálculo. 2 pts.4. 2. impreterivelmente. 1. a seu critério. 1. MatemFinanceira~AULAS~abril2010 2 – Condições: 2. O Número da Equipe. bem como o quadro correspondente a cada ponto calculado da curva. Exercic Projeto 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B F0 F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10 F11 F12 F13 F14 -100 -100 -80 -155 -10 25 -80 -70 -20 -50 -60 -112 -19 -100 -45 -20 -20 -40 -100 -125 -445 -125 -145 -174 -96 -140 -72 -50 -50 -45 -56 -50 -285 -280 -20 0 -100 -90 -90 -320 -300 25 -45 -20 -65 -78 -63 -30 -80 -40 -50 -50 -240 -100 25 15 -100 -245 -174 -108 -140 -64 -124 -75 -60 -55 -56 -40 -35 -30 -30 -55 -30 -50 -100 25 -200 -200 45 -20 65 78 63 -45 -20 -20 0 -10 -80 -15 21 60 -30 -80 -90 -120 21 32 -25 -15 -40 -65 -45 -60 20 -30 -30 -30 25 -32 -50 -30 -100 -200 47 40 125 148 66 14 30 10 10 50 60 -15 50 60 33 -20 -14 66 21 8 25 15 20 20 -40 -70 20 40 10 0 33 15 55 90 80 -150 48 40 -46 58 67 16 40 30 10 50 70 70 50 -45 44 90 107 66 62 17 25 15 20 20 -35 -80 -30 40 20 20 44 30 55 90 90 50 -33 -12 -48 -57 -50 16 40 50 20 50 80 70 50 -40 60 120 136 66 -28 20 26 16 20 20 50 -80 -30 40 30 30 55 45 55 150 120 -45 -33 42 -15 -50 -20 20 50 50 20 50 70 90 50 60 55 100 120 77 -30 -15 25 25 30 25 60 70 30 -15 30 30 60 60 55 120 150 80 -30 -15 120 145 -50 30 80 80 50 30 190 90 50 80 -70 -100 100 100 100 -7 20 10 30 25 70 70 40 -15 30 30 65 75 75 120 320 80 80 60 130 150 120 40 80 80 50 20 180 120 63 119 -30 120 -136 90 112 125 -15 -15 30 40 80 75 40 60 40 30 80 90 175 190 320 200 88 70 155 180 125 50 50 80 50 20 170 120 75 165 80 120 -88 95 112 124 40 24 40 50 90 75 50 60 40 30 60 105 180 110 450 200 90 80 150 170 130 60 54 61 21 20 15 120 80 222 122 120 113 136 122 112 34 50 40 50 100 75 50 70 40 30 30 120 160 110 400 200 25 90 180 120 35 70 60 -20 25 30 60 100 84 333 50 80 124 192 140 122 75 45 20 20 100 90 60 70 40 30 -20 135 160 120 40 200 20 100 200 120 30 -45 80 -15 25 50 50 100 91 321 200 80 39 -24 123 123 124 77 10 15 90 90 60 80 20 20 -10 150 -20 100 -20 100 15 145 125 -30 30 30 20 10 -15 50 -77 80 98 55 200 60 63 245 112 125 123 75 5 10 80 100 65 80 -5 -5 4 -50 25 20 -15 -12 10 -10 15 -15 30 -20 -20 20 -10 -30 5 -20 -45 -30 200 50 -23 -10 -20 -40 -55 10 -10 -15 80 120 -50 20 -10 -10 MatemFinanceira~AULAS~abril2010 157-167 . 5 3.0 3.0 8.5 6. 5 – Definir a prestação mensalmente.5 3.5 2.5 6.0 2.0 6 9 12 11 12 12 10 12 11 15 8 10 8 15 9 6 MatemFinanceira~AULAS~abril2010 Juros Pagos na Carência Não Sim Não Sim Não Sim Não Sim Não Sim Não Sim Não Sim Não Sim Juros Mensais % 3.0 5.0 1.0 2.2 .5 2.debit.0 6. 2 – Entrega do trabalho – 15ª aula. 8 – Índices de correção monetária: FTTP://www.00 7.Caso: Métodos de amortização.5 7. 6 – Efetuar. 4 – Anexar esta folha ao trabalho.3 2.0 9. o calculo relativo às cinco primeiras prestações completas ( juros + amortizações) e monetariamente corrigidas. Aluno (forma): Rubrica: Aluno (forma): Rubrica: 1 – Calcular as prestações (juros + amortização) do financiamento indicado. eles são devidos.5 7.4 2.5 2.00 9. bem como a tabela de correção monetária.5 7.0 3.0 8.5 6. 7 – Mesmo quando os juros não são pagos durante a carência.0 Método Amortização Amortização constante Prestação constante Amortização constante Prestação constante Amortização constante Prestação constante Amortização constante Prestação constante Amortização constante Prestação constante Amortização constante Prestação constante Amortização constante Prestação constante Amortização constante Prestação constante Atualização Monetária Bimestral Trimestral Quadrimestral Anual Bimestral Trimestral Quadrimestral Anual Bimestral Trimestral Quadrimestral Anual Quadrimestral Trimestral Quadrimestral semestral 158-167 Inflação Mensal % INPC IPC-A IGPM INPC IPC-A IGPM INPC IPC-A IGPM INPC IPC-A IGPM INPC IPC-A IGPM INPC .0 2.br Equipe Montante R$ mil Prazo do Contrato Anos Carência Meses 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 135 155 180 5 anos 5. APENAS.A. 3 – Apresentar memória de calculo e a metodologia utilizada para o calculo das prestações.0 10.com.5 2.0 3. 3 – Do julgamento: • Qualidade e Apresentação do Trabalho: 2 pts. • Explicitar as premissas adotadas. . EQUIPE: Nome do Aluno Rubrica Nome do Aluno Elaborar um estudo de viabilidade técnico econômico cujo objetivo é a substituição de luminárias incandescentes por lâmpadas fluorescentes eletrônicas. Data de entrega do relatório: no início da 15ª aula. Obs: Para realizar suas recomendações ou conclusões há que definir: .3 – Caso: Viabilidade de troca de lâmpadas.Forma do relatório.Especificar as condições de utilização de cada equipamento Descrição (especificações técnicas) dos equipamentos analisados. • Objeto do Relatório. sem prejuízo para a qualidade de iluminação. penalidade de (02) dois pontos. no máximo.A. explicando o motivo da adoção do método eleito. o tempo em que os dos equipamentos se equivalem.Do Trabalho 2. • Exatidão dos resultados: 3 pts. 1.o tempo de utilização diária de cada equipamento. • Entendimento do processo: 4 pts.Ou. • Conclusão Efetuada. 2. A correção será efetuada se o aluno cumprir todos os requisitos solicitados. Cada dia de atraso. • Relatar e justificar o método de análise.1 . • Esta folha deverá ser entregue anexa ao relatório (1ª FOLHA): 1 pto. 2. • Memória de Cálculo. . 1 – Exigibilidades Acadêmicas: Cada equipe será composta por DOIS alunos.o tempo ideal de substituição dos investimentos em análise. MatemFinanceira~AULAS~abril2010 159-167 .3 .Objeto do trabalho 2 .2 .Apresentar em forma de relatório técnico. Equipe Situação Existente Categoria Consumidora A1 5 × 60 watts Residência Baixa Renda B2 7 × 60 + 1 100 watts Residência Baixa Renda C3 4 × 40 watts + 2 × 60 w Residência Baixa Renda D4 12 x 100 watts + 13× 60 W+ 25 W (3T) Residência Alta Renda E5 2 × 40W + 8 × 60 w + 3 × 100 w + 2× 100(N) Residência Alta Renda F6 4 × 60 W(N) + 5×100 W+ 4×200 W Residência Alta Renda G7 12×60 W+ 10 × 100 w + 3 × 100 w + 4× 250(N) Residência Alta Renda H8 15×40W+1 6 × 60 w + 6 × 100W (E1T) + 8 × 200W Residência Alta Renda I9 10 × 60 w (E) + 5 × 250 w+ 2× 100 W Comercial – 1 turno J10 20 × 100 w(E) + 4 x 60 w(N) Comercial – 2 turnos K11 50 × 100 w(E) + 30 × 200 w Comercial – 1 turno L12 15 × 100 W(E) + 25 × 200 W + 4× 100 W (N) Comercial – 2 turnos M13 45 × 100 w + 50 x 200 W+12 × 60 w (E2T) Comercial – 3 turnos N14 45 × 100 W (E) +10 × 60(N) Comercial – 1 turno O15 50 × 100 W + 25 × 200 W + 6 × 100 (E-1T) Comercial – 24 horas P16 40×100 W + 50× 200 W + 20 × 60 W Comercial – 1 turno Q17 100 × 60 W + 75× 100 W + 10 x100 W (N) Supermercado – 2 turnos R18 100 × 100 W + 70× 200 W + 25 x100W (E-2T) Supermercado 24 horas S19 180 × 200 W + 100 × 200 W + 85 x 100 W (E-1T) Industrial – 2 turnos T20 90 × 200 W + 30 × 100 W + 45 × 150 W (E-2T) Industrial – 3 turnos 3 – Nomenclatura. com duas horas de intervalo para refeição. as abreviaturas indicam: 3. 3. No quadro.1 (E1T) correspondem à iluminação dos escritórios utilizados durante 1ou 2 Turnos. baseando-se na sua observação do cotidiano de uma família.5 No caso de residências. com 44 horas semanais de jornada.3 Constitucionalmente. 3. a jornada é de 6 horas diárias. 3. 1 turno de trabalho corresponde a 8 horas p/ dia.2 (N) corresponde a equipamento de segurança utilizado exclusivamente durante a noite visando proteção noturna. 3. 12horas. MatemFinanceira~AULAS~abril2010 160-167 . T = turno de trabalho. arbitre o número de horas em que cada tipo de lâmpada ficará acesa.4 No caso de turno corrido. Cada dia de atraso. (4 pts) 5. financeiramente. penalidade de (02) dois pontos.5 .Explicitar as premissas adotadas. no máximo. 5.) 5.A. (1 pto. 2. Data de entrega do relatório: no início da 16ª aula. 5.4 -Memória de Cálculo. explicando o motivo da adoção do método eleito. a ser utilizada em empresa de consultoria onde você atua! 2 – Informações de Produção da Empresa.Conclusão Efetuada. (1pto) 5.2 – Estabelecer uma taxa de desconto.Definir o método de análise. MatemFinanceira~AULAS~abril2010 161-167 . ( 1 pto).3 . 7. Esta folha deverá ser entregue anexa ao relatório (1ª FOLHA) – (1pto).A apresentação será julgada como parte do valor do relatório de viabilidade. (2 pts).Objeto do trabalho Elaborar um estudo de viabilidade técnico econômico necessário a aquisição da impressora para computador mais econômica. Forma do relatório. Especificar as condições de utilização de cada equipamento. 3. 4. 8. 6. Apresentar em forma de relatório técnico. Nº cópias pretas por mês: Nº cópias coloridas por mês: 3. 5.Condições: 1.Objeto do Relatório. 8.2 . EQUIPE: Nome do Aluno Rubrica Nome do Aluno 1. Para realizar suas recomendações ou conclusões há que: 8.1 . Cada equipe será composta por dois alunos.4 – Caso: Aquisição de impressora.1 . A correção será efetuada se o aluno cumprir todos os requisitos solicitados. Marca Preço Impressora MatemFinanceira~AULAS~abril2010 Preço Cartucho Preto Cópias por cartucho preto Preço Cartucho Colorido Cópias por Colorido 162-167 Cópias impressora por . 34587 1.84056 24.52552 43.07456 0.00% Período Pagamento Único Valor Valor Presente Futuro n 1 (1 + i ) n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 48 54 60 72 84 100 0.80773 4.34837 12.29220 18.44401 0.78849 0.16872 13.12616 1.98039 0.22703 46.28103 4.04116 0.06040 4.30478 0.01260 0.76089 37.04997 0.35548 27.02877 0.01923 0.04082 0.53063 0.29737 25.10408 1.57534 11.29361 1.02000 0.12161 5.34323 0.08243 1.02169 0.01207 21.64684 0.04378 0.02578 0.28127 21.21899 1.08812 0.38654 0.88797 0.75463 10.52023 0.05783 0.10625 12.51003 0.87056 0.05121 38.05702 213.31948 1.34675 0.04829 0.29187 14.04169 0.17853 0.50003 0.03045 0.29724 2.03989 2.70689 1.03663 0.21216 0.41209 14.77584 1.03656 0.49859 24.90573 0.00633 0.96068 1.04261 0.01045 0.98406 40.92223 1.05287 0.06670 0.68643 0.30812 7.03030 33.71346 5.67297 0.67091 35.67846 16.12252 0.83828 34.08260 0.77303 0.84438 22.99448 51.99437 54.03260 0.05365 0.19509 1.57690 1.04699 0.03425 56.04040 1.06378 0.01851 0.16114 5.00468 0.11157 48.11494 58.02360 0.26824 1.00320 MatemFinanceira~AULAS~abril2010 163-167 .52346 20.02320 (1 + i ) n − 1 i FAC 1.63416 0.82035 0.45681 1.03597 0.03923 0.12230 2.94972 12.42186 32.70690 21.09133 0.01717 0.86661 312.98259 9.65978 0.02000 0.80426 0.72845 0.03467 0.01656 0.34432 37.78332 27.40198 62.99203 15.78685 10.60143 6.00000 2.43530 0.32548 8.44064 26.57437 0.05878 0.58297 9.58707 2.06116 0.16224 8.11133 0.05154 158.10218 0.51567 1.49505 0.48595 1.74301 0.24262 0.70016 0.46195 0.04360 0.24465 Série de Pagamentos Uniformes Postecipada Fator de Fator de Fator de Fator de Valor Atual Recuperação Acumulação Formação (1 + i ) n − 1 i (1 + i ) n FVP 0.11651 0.88388 3.03878 0.02082 0.02699 0.25220 2.23479 30.01542 0.67307 114.29898 28.04465 0.18949 0.17166 1.61002 64.24337 1.16474 2.79223 40.56808 42.04578 0.15853 0.10252 0.27733 7.23724 60.48061 0.54598 1.60953 0.02465 0.67312 32.15451 0.02970 0.08218 0.03851 0.24032 0.71416 0.99862 25.39646 22.48884 25.05122 0.12104 20.03782 0.37279 1.02261 0.02000 3.13803 (1 + i ) n 1.92385 0.02633 0.79949 28.26262 0.59758 0.01597 0.29342 18.43428 8.13451 0.84496 30.06121 1.02468 0.07783 0.94156 2.68033 15.55207 0.94232 0.49022 0.03287 0.00000 0.00877 0.40024 1.45289 0.06260 0.98039 1.58586 0.04670 0.06997 0.99989 2.42825 1.03122 0.97394 17.54125 0.20404 6.88454 1.93770 23.47119 0.23231 i (1 + i ) n − 1 FFC 1.60844 1.90259 27.04970 0.84926 13.74102 1.01782 0.03542 0.08069 2.37944 44.32675 0.63929 20.07365 0.41231 22.35143 17.83676 0.84759 1.2.09456 0.46833 23.05663 0.62172 0.86222 79.01121 17.56311 0.96117 0.09835 i (1 + i ) n (1 + i ) n − 1 FRC 1.06812 0.35352 95.14869 1.03717 0.47199 7.51505 0.13651 0.81136 1.04000 0.19216 0.98856 24.65805 18.91393 19.03380 49.02000 1.64061 1.20804 2.85349 0.91346 3.02829 0.57771 14.75788 0.05467 0.96945 26.67342 1. 95442 87.09145 0.17217 3.19866 0.69013 14.13896 7.15841 11.08685 0.13270 0.36770 0.00883 0.09368 0.30410 12.58693 11.95062 158.67605 13.80998 10.56077 0.53608 7.31595 238.08520 0.07889 0.01049 0.11530 21.24689 6.64549 18.92593 0.46933 1.24352 490.42742 63.58687 1.04652 0.00% Pagamento Único Período n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 48 49 54 60 72 84 100 Valor Presente 1 (1 + i ) n 0.34046 0.00080 0.07032 220.01145 0.48756 14.78140 8013.31570 4.14903 0.49432 FRC 1.10733 0.08962 0.03298 0.00356 0.08745 0.03683 0.48656 16.08012 0.01251 0.17046 0.00685 0.81815 10.00000 2.01803 0.25778 11.51817 2.27027 0.78104 304.52876 10.08356 0.05270 0.50611 5.45676 60.61677 27484.02963 0.48053 12.71382 1.32428 33.06266 10.05652 280.16640 1.13520 0.20637 5.31680 187.09938 0.99900 2.10413 0.00580 0.86767 11.51570 1.15892 2.63663 12.28321 123.15211 30.85137 9.62288 5.08127 0.79383 0.90378 8.43654 5.02303 0.37189 9.21455 0.21632 0.09498 0.10963 0.39711 0.96817 17.00329 0.00204 0.42888 0.33593 8.96594 113.49530 24.08189 0.21330 3174.74664 6.00419 0.87858 11.92461 11.01567 0.00811 0.25706 254.63017 0.16008 0.08031 0.00127 0.09049 0.09642 0.07305 0.18394 0.33164 2.01680 10.67478 10.02185 0.08811 0.25971 1.15770 0.08934 2199.00492 0.98251 642.31213 3.65457 11.08080 0.18914 12.24640 4.01983 0.92593 1.20074 10.71719 11.94122 259.82887 11.85734 0.10215 203.01642 0.14602 0.09202 0.09251 0.02670 0.76476 73.45098 12.00156 0.89330 66.37106 10.08004 FAC 1.11683 0.08454 0.00670 12.33883 103.43500 11.62711 9.08419 0.06903 0.21216 12.00534 0.12130 0.57710 3.08492 0.03946 0.12164 9.14008 0.00012 0.24424 8.08386 0.11408 1253.08000 1.96723 12.99271 4.08580 0.36049 1.51389 11.46248 25.80913 101.19207 0.97713 21.10185 0.04603 0.00000 0.05369 0.93516 11.00386 0.55948 8.13216 530.8.42594 3.66096 5.99602 4.13632 0.71962 2.93719 3.71008 7.11591 0.00630 0.12652 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401.57619 0.60608 7.01562 0.77248 35.11378 23.81740 9.90909 0.54470 45.45227 3.31863 0.02437 299.81640 9545.20994 148.00186 0.16987 3.42410 0.13513 0.10249 0.04306 0.02941 0.10745 0.10826 0.47901 9.00095 0.10226 0.05396 0.59256 487.11955 0.07628 0.02009 0.01017 0.94973 40.03147 0.21547 0.38428 24.10003 0.26333 0.17986 0.78518 54.00328 0.34706 109.10334 0.97498 31.03235 0.91818 13.72750 7.21763 0.42691 9.67651 9.94342 201.00003 0.03949 364.10001 (1 + i ) n − 1 i FAC 1.12961 0.59497 5.07364 0.01031 0.00745 0.36669 7.53117 21.10010 0.77154 8.40434 41.01955 0.47619 0.02430 0.40211 0.00826 0.00249 0.09994 134.01401 0.01257 0.55992 6.10550 0.04078 0.59382 2999.08391 0.02673 0.00104 0.11017 0.02209 0.13147 0.43589 13.12193 0.90909 1.44940 19.79750 4.89693 9.75696 9.06275 13780.96716 9.00395 37.00937 0.00407 0.81369 7.12466 0.62754 137796.09230 0.00550 0.00059 0.68301 0.63699 960.54767 28.21000 1.15396 0.54302 88.49506 6.83471 11.10186 0.75902 6.10095 0.11257 0.05210 0.82371 8.00450 0.10497 0.79079 4.10205 0.48685 3.61234 Período FVP 0.01746 0.16351 0.06275 0.26380 0.10104 0.07704 9.59374 2.19784 0.06304 0.31000 4.85312 3.77905 9.00916 0.00001 MatemFinanceira~AULAS~abril2010 165-167 .28966 0.17364 0.10369 0.13575 0.12782 0.11562 0.10000 0.06934 0.99667 9.48717 11.10510 7.14864 0.16275 0.35526 4.25154 245.19434 21.70592 9.10916 0.14676 0.03914 0.14027 8.73265 9.56447 0.00205 0.16095 9.10999 14.16380 0.00010 0.63093 164.00275 0.12340 i (1 + i ) n − 1 FFC 1.10303 0.10336 7.23722 9.94872 2.00608 0.00105 0.14078 0.73554 2.12681 330.91268 34.40275 79.84973 10.11591 6.10153 0.59917 51.10450 0.51316 0.00582 0.71948 3034.44778 442.08744 0.30657 9.64416 9.15909 57.00007 1.02155 8.62092 0.75131 0.00250 71.17234 1057.11168 0.98954 9.03575 0.82645 0.52638 9.00334 0.10244 30.86842 5.10673 0.00226 0.20541 0.86309 17.87195 304.49402 181.56943 9.17725 4.10059 0.00303 0.02782 0.33100 1.35049 0.93742 18.01130 0.14457 6.10541 0.93818 29980.25926 49.49733 98.22515 25.30211 0.79914 9.10608 0. 00000 Período MatemFinanceira~AULAS~abril2010 166-167 .25337 8.10585 3.50663 0.33393 169.74993 29.19437 6.12206 0.00960 0.59869 609.33268 271.12.12328 0.03735 3.81086 6.78432 7.05882 0.12846 0.58275 241.00130 0.00292 0.37401 190.25451 7471.12524 0.01610 13624.13557 66.12104 0.32405 8.27741 0.00206 0.46753 113527.12001 0.00052 0.07379 0.40493 1.12466 0.24323 0.12369 0.04689 0.52098 431.11159 8.12013 0.12414 0.00750 0.03738 0.01576 0.03767 454.18768 0.13313 28.56376 4.00104 0.11519 10.01794 0.04144 0.00590 0.00956 0.46944 7.15741 0.79719 0.11141 4.25440 1.00026 0.77933 6.21068 2.40388 0.00001 1.08122 93.00220 0.01510 0.12164 0.33272 8.00369 0.12260 0.02046 0.98442 8.18270 0.16144 0.76234 1.79962 59.33323 FRC 1.10367 0.69889 214.45235 0.97382 2.32197 0.02661 0.00846 0.20130 0.13081 0.77566 17.01348 0.05244 81.01075 0.02911 32.54772 FFC 1.36061 0.14682 0.00116 0.12116 0.16312 0.69874 92.05518 8.00184 0.06588 0.01691 0.32923 0.42355 6.13794 0.13004 0.15656 8.58980 2141.50258 104.57352 1.54874 20.08901 12.09912 0.59693 3497.35285 8.00260 0.04187 0.74971 63.33387 150.02682 0.00003 0.86604 7.20923 0.60289 118.32825 5.13576 0.62817 6.20462 0.36578 7.12026 0.08264 0.02376 0.28748 0.17698 0.29969 14.16842 0.69005 2.89286 0.01081 0.47855 3.12750 0.00524 0.08130 0.00232 0.00434 0.26573 FVP 0.01894 0.08499 8.09256 0.05698 0.68997 8.66350 484.89566 7.29261 304.98058 3781.39078 258.13224 0.19241 8.15568 0.00164 0.12665 0.29716 8.02121 0.75328 48.96764 5.59170 0.00665 0.05252 0.61276 9.17863 17.97399 7.00047 0.36349 4.14046 0.14339 0.00328 0.29079 83522.31501 8.22099 8.88367 55.03338 0.12292 0.12052 0.41635 0.71843 7.00388 0.00466 0.27971 42.14239 964.02181 8.01204 0.88387 26.13039 6.00146 0.47596 2.00857 0.01388 0.47170 0.23303 8.00000 2.42945 384.23184 74.22917 0.25668 0.88711 5.58173 42.09142 860.21709 116.04842 0.05097 104.13388 0.63552 0.26194 8.60478 4.35948 1911.37440 4.42322 696010.00029 0.47357 6.12323 0.11963 7.89286 1.10031 13.64465 7.29635 0.00000 0.12000 1.12000 FAC 1.14564 0.12184 0.15087 0.11611 0.00% Pagamento Único Valor Valor Presente Futuro Série de Pagamentos Uniformes Postecipada Fator de Fator de Fator de Fator de Valor Atual Recuperação Acumulação Formação n 1 (1 + i ) n (1 + i ) n (1 + i ) n − 1 i (1 + i ) n i (1 + i ) n (1 + i ) n − 1 (1 + i ) n − 1 i i (1 + i ) n − 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 48 49 54 60 72 84 100 0.56743 0.46312 543.01020 767.12590 0.30104 8.93770 6.77308 3.21912 0.72314 230.12047 0.13535 8.01224 0.12146 0.14252 52.24967 7.84772 342.94255 7.03568 0.33095 8.84314 7.71178 0.65458 24.12000 0.15524 133.17966 83.64111 29133.12232 0.20751 8.00006 19.24378 8.12000 3.00013 0.32488 23.00001 0.75054 897.17550 8.00111 0.55511 37.89598 4.03087 0.09153 47.12003 0.04007 21.95992 33.12956 0.80385 12.00007 0.40183 3.02980 0.65022 5.39260 37.43968 72.02339 0.00414 0.83053 684.06768 0.12130 0.56200 7.55235 15.64629 10. MatemFinanceira~AULAS~abril2010 167-167 .
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