1Direitos autorais Copyright© by Anderson Dias Gonçalves Todos os direitos reservados e protegidos pela Lei 9.610 de 19/02/1988. Nenhuma parte deste livro, sem autorização prévia por escrito do autor, poderá ser reproduzida ou transmitida sejam quais forem os meios empregados: eletrônicos, mecânicos, fotográficos, gravação ou quaisquer outros. Prof. Ms. Anderson Dias Gonçalves Educador Financeiro DSOP, sócio-diretor da empresa Treinart Educacional, com graduação em Matemática, pós-graduação em Matemática e Estatística, Mestre em Matemática e Estatística, MBA em Gestão Financeira Empresarial. Ministra palestras e cursos sobre Educação Financeira. Atua como professor de Matemática há mais de 15 anos, leciona a disciplina de Matemática Financeira e Gestão Estratégica de Custos no curso de pós-graduação em Gestão Financeira e Controladoria, leciona em cursos de graduação as disciplinas de Matemática Financeira, Cálculo Diferencial e Integral, Equações Diferenciais e Ordinárias, Estatística e disciplinas afins. Consultor em Avaliação Institucional e Clima Organizacional para empresas e instituições de ensino. Coordenador do curso de pós-graduação da Faculdade Senac – Minas em Gestão Financeira e Controladoria. Editor do blog sobre Educação Financeira – Clínica do Dinheiro (www.clinicadodinheiro.com.br) Contato:
[email protected] facebook.com/andersonmatematico Site: www.treinarteducacional.com.br Copyright© Anderson Dias Gonçalves 2013. Prof. Ms. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 2 Sumário CAPÍTULO 1 – Fundamentos da Matemática Financeira ........................................................................ 6 Introdução ........................................................................................................................................................ 6 1.1 O valor do dinheiro no tempo ................................................................................................................. 6 1.2 Fluxo de Caixa - Conceitos e Convenções Básicas ........................................................................... 7 1.3 Regime de capitalização simples .......................................................................................................... 8 1.3.1 Derivações da fórmula de juros simples ......................................................................................... 10 1.3.2 Desconto “Por Dentro”, ou Racional ................................................................................................ 11 1.3.3 Desconto “Por Fora” ou Comercial .................................................................................................. 12 Exercícios propostos .................................................................................................................................... 13 CAPÍTULO 2 - Juros Compostos ............................................................................................................... 16 Introdução ...................................................................................................................................................... 16 2.1 Juros compostos .................................................................................................................................... 16 2.1.1 Dedução da Expressão Genérica. ................................................................................................... 16 2.1.2 Definições de variáveis: ..................................................................................................................... 17 2.2 Utilização da calculadora HP 12C para cálculos financeiros .......................................................... 18 2.2.1 Zerando os registros financeiros da HP 12C ................................................................................. 18 2.2.2 Fluxo de caixa - conceitos e convenções básicas......................................................................... 18 2.2.3 Principais elementos de um fluxo de caixa ..................................................................................... 19 2.2.4 Cálculos para períodos fracionários ................................................................................................ 24 2.3 Valor Presente (Atual) e Valor Futuro (Nominal) .............................................................................. 25 Exercícios propostos .................................................................................................................................... 27 2.4 Descontos compostos ........................................................................................................................... 28 2.4.1 Desconto Racional.............................................................................................................................. 28 2.4.2 Desconto Comercial ........................................................................................................................... 29 2.5 Equivalências de capitais...................................................................................................................... 30 Exercícios complementares ........................................................................................................................ 31 CAPÍTULO 3 – Taxas de juros ................................................................................................................... 33 Introdução ...................................................................................................................................................... 33 3.1 Taxa efetiva ............................................................................................................................................. 33 3.2 Taxas Proporcionais – Juros Simples................................................................................................. 33 3.3 Taxas Equivalentes – Juros Compostos ............................................................................................ 34 3.4 Taxa Nominal .......................................................................................................................................... 38 3.5 Taxa Média de Juros ............................................................................................................................. 40 3.6 Taxa real de juros .................................................................................................................................. 41 3.7 Outras taxas do mercado financeiro ................................................................................................... 42 Exercícios Propostos.................................................................................................................................... 42 Prof. Ms. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 3 CAPÍTULO 4 – Séries de Pagamentos ..................................................................................................... 44 Introdução ...................................................................................................................................................... 44 4.1 Renda....................................................................................................................................................... 44 4.2 Classificação de rendas ........................................................................................................................ 44 4.3 Pagamentos ou recebimentos iguais .................................................................................................. 45 4.2 - Cálculos com séries uniformes na HP 12C ..................................................................................... 46 4.3 - Cálculos com séries uniformes no Excel ......................................................................................... 47 Exercícios propostos .................................................................................................................................... 51 4.4 Rendas perpétuas .................................................................................................................................. 52 Exercícios propostos .................................................................................................................................... 53 CAPÍTULO 5 - Valor Presente Líquido e Taxa Interna de Retorno ...................................................... 55 Introdução ...................................................................................................................................................... 55 5.1 – Séries com prestações diferentes .................................................................................................... 55 5.2 – Representação de fluxo de caixa não homogêneo ....................................................................... 55 5.3 – Valor Presente Líquido ...................................................................................................................... 55 5.4 – Valor Presente Líquido – EXCEL ..................................................................................................... 56 5.5 Taxa Interna de Retorno – TIR ............................................................................................................ 62 Exercícios propostos .................................................................................................................................... 65 CAPÍTULO 6 - Sistemas de Amortização ................................................................................................. 67 Introdução ...................................................................................................................................................... 67 6.1 – Sistemas e metodologias de cálculos de juros e amortizações .................................................. 67 6.2 – Sistema Francês – Tabela Price ...................................................................................................... 68 6.3 – Sistema SAC ....................................................................................................................................... 70 6.4 – Sistema Americano ............................................................................................................................ 71 Exercícios propostos .................................................................................................................................... 72 Exercícios complementares ........................................................................................................................ 74 CAPÍTULO 7 – Conhecendo a HP 12 C ................................................................................................... 76 Introdução ...................................................................................................................................................... 76 7.1 Testando a calculadora ......................................................................................................................... 76 7.2 Separadores de dígitos ......................................................................................................................... 76 7.3 O teclado ................................................................................................................................................. 76 7.4 Controlando o número de casas decimais ......................................................................................... 76 7.5 Números negativos ................................................................................................................................ 77 7.6 Clear (apagar) ......................................................................................................................................... 77 7.7 As teclas “RPN” e “ALG” ....................................................................................................................... 77 7.8 A pilha operacional ................................................................................................................................ 77 7.8.1 Analisando a PILHA em cálculos aritméticos ................................................................................. 78 Prof. Ms. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 4 ........... 85 Prof............ 83 Exercícios propostos ................................................................................1 Formato data ........... 78 7...............9 Cálculos aritméticos ................................................................................1 Armazenamento e recuperação de números ........11 Funções de porcentagem ...........................................7......................................... Ms.........................................10 Memória .............12..................... 79 7........................................................ 84 Respostas .......................3 Número de dias entre datas...................................................................12 Funções calendário ......................12......................3 Aritmética com registros de armazenamento...................................................... 82 7...................................................................10.......................................................................... 80 7.................................................. 83 7........10...................................................................................................................... 79 7.....10....................................................................registro de armazenamento ............2 Zerando os registros de armazenamento .................. 82 7........... 84 Bibliografia .................................... 80 7................ 79 7............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 5 ........................2 Datas futuras ou passadas ............................12.............................. convenções e simbologias adotadas nas suas representações. Essa compensação é medida através das taxas de juros (simples ou compostos) que é utilizada pelo mercado financeiro. Associado a uma operação de investimento. 1. quer em função de sua desvalorização em relação à inflação. São apresentados os conceitos de fluxo de caixa. a posse deles. De outro modo. um investimento com menor risco possível (otimizado) e melhor rentabilidade. Esses conceitos. quer em função dos riscos corridos e das possibilidades de perda.1 O valor do dinheiro no tempo Um velho ditado popular. na verdade estamos concedendo crédito. “é melhor um pássaro na mão do que dois voando”. O dinheiro no tempo relaciona-se com a ideia de que. Utilidade: o investimento implica em deixar e consumir algo hoje pra consumir no futuro. podem buscar soluções que apresentam menores riscos e mais rentabilidade. sempre haverá risco de não receber os valores programados em decorrência de fatos imprevistos. Essa colocação nos dá o principal conceito estudos em finanças: o valor do dinheiro no tempo. o que somente será atraente se existir alguma compensação. As compensações refletem o custo implícito ou explícito da transação financeira. Prof. em que existe um sacrifício financeiro presente em prol da obtenção de benefícios futuros compensadores. Transações financeiras envolvem duas variáveis-chaves: dinheiro e tempo. o valor do dinheiro muda. Ou seja. quer em função de ter-se oportunidade de aplicá-lo. aparentemente simples. Como o presente é certo e o futuro duvidoso. Ms. permite aproveitar oportunidades mais rentáveis que possam aparecer. Essa é a combinação perfeita. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 6 . ao longo do tempo. Quando uma empresa ou uma pessoa possui reservas financeiras no presente. antes o pouco certo agora do que o muito duvidoso depois. Quando se fala em “análise de crédito”. mas na verdade o que está sendo analisado é o risco que envolver a operação de crédito. deve sempre existir alguma compensação para incertezas futuras. Oportunidade: se os recursos monetários são limitados. o valor do dinheiro no tempo resulta de alguns componentes básicos: Risco: sempre existe a possibilidade de os planos não ocorrerem conforme planejado.CAPÍTULO 1 – Fundamentos da Matemática Financeira Introdução Este capítulo introduz conceitos básicos e os principais fundamentos que norteiam o estudo da Matemática Financeira. no presente. têm vários detalhes importantes que facilitam o entendimento do dinheiro ao longo do tempo. O valor do dinheiro no tempo e a existência dos juros são elementos interligados e indispensáveis ao desenvolvimento do estudo de Matemática Financeira. O fluxo de caixa serve para demonstrar graficamente as transações financeiras em um período.Conceitos e Convenções Básicas Ao avanço das tecnologias disponíveis para a realização dos cálculos financeiros tem tornado gradualmente mais simples as operações algébricas e as operações do dinheiro no tempo. Operações algébricas apenas podem ser feitas com valores na mesma data. Prof. Ms. O tempo é representado por uma linha horizontal dividida pelo número de períodos relevantes para a análise. A elaboração do fluxo de caixa é indispensável na análise de rentabilidade e custos de operações financeiras. Embora facilitem os cálculos. Calculadoras e planilhas eletrônicas tem sido utilizadas para descomplicar as operações algébricas. por setas verticais apontadas para baixo. Definição: Denomina-se fluxo de caixa a movimentação de recursos financeiros (entradas e saídas de caixa) ao longo de um período. As entradas ou recebimentos são representadas por setas verticais apontadas para cima. projetos e planejamento pessoal. Para facilitar a representação das operações financeiras e a identificação das variáveis relevantes. alguns princípios básicos sempre devem ser levados em consideração: 1. Valores somente podem ser comparados se estiverem na mesma data 2. e no estudo de viabilidade econômica de projetos e investimentos.2 Fluxo de Caixa . Na análise de operações financeiras. ou simplesmente fluxo de caixa. não possuem a principal característica de tomada de decisão de transferir ou não os recursos financeiros ao longo do tempo. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 7 . 1. Esse conjunto de entradas e saídas de dinheiro (caixa) ao longo do tempo pode ter fluxos em empresas. como mostra a figura abaixo. A representação do fluxo de caixa é feita por meio de tabelas e quadros ou diagramas. costuma-se empregar o diagrama de fluxo de caixa. e as saídas ou pagamentos. investimentos. não rede juros. daqui a seis meses. rende juros. para calculá-los.m. Calculando 12% de R$2.00.000. Nesse regime não se somam os juros do período ao capital para o cálculo de novos juros nos períodos seguintes. Isso porque.3 Regime de capitalização simples Podemos definir como regime de capitalização os métodos pelo quais os capitais são remunerados. Apesar de existirem fórmulas para o cálculo de juros simples. as planilhas eletrônicas exigem um bom relacionamento com as fórmulas.Exemplo 1 Em empréstimo contraído no valor de $1. (juros simples).000.000. no valor de $120. Por exemplo. Os regimes de capitalização normalmente utilizados na matemática financeira SIMPLES e COMPOSTOS. Os cálculos poderiam ficar um pouco mais complicados se estivéssemos trabalhando com unidades diferentes para prazos e taxas. somam-se os juros do período ao capital para cálculo de novos juros nos períodos seguintes. enquanto que os juros compostos são calculados com potenciação. Juros são capitalizados e passam a render juros. ou linear e exponencial. que será quitado mediante o pagamento de $1. Prof. muitos preferem trabalhar com fórmulas matemáticas. os juros e a taxa. após 4 meses renderá 4x3%=12%. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 8 .00.200. uma aplicação de R$ 2. pode ser vista a seguir: 1. em consequência disso. apenas o capital inicial.00.00 que será resgatada em três parcelas iguais mensais.00. Juros não são capitalizados e. pode ser visto na seguinte figura. também chamado de principal. muitos preferem utilizar o conceito de porcentagem e o da lógica. Os juros simples apresentam uma grande vantagem operacional sobre os juros compostos. se tivermos o principal.00. Ms. No regime de juros compostos. Além disso.00. Exemplo 2 Uma aplicação no valor de $300. Por esse motivo. em nossas contas aparecerão também uma divisão se quisermos descobrir a prazo necessário para aplicação. precisamos fazer apenas duas multiplicações. respectivamente. Inversamente. que rende 3% a. teremos R$ 240. No regime de juros simples. 00 2 1. com uma taxa de juros de 8% ao ano.00 1.00 0. pelo prazo de quatro anos.00 1.i Onde: J =juros simples PV =Valor presente n = número de períodos de capitalização i =taxa de juros O montante ou valor futuro no regime de capitalização simples pode ser representado por: FV PV J FV PV PV . Saldo no início do Pagamento do Saldo final do ano Ano Juros no ano ano ano após o pagamento 1 1.i) Onde: Prof.00 4 1.160.00 1.00 1. Exemplo 3 Considere o caso de um investidor que aplicou $1.080.000.00 8%x1.000.000. Determinar o valor do saldo credor desse investidor no Banco Delta no final de cada um dos quatros anos da operação.00 a juros simples de 8% a. específicas para cada situação. mas isso não o obrigará a resolver a maior parte dos exercícios através delas. os juros capitalizados por n períodos no regime de capitalização simples podem ser representados por: J = PV.00=80. Nesse contexto buscaremos encorajar você a criar suas próprias fórmulas.a.00 0.080.00=80.n.00 8%x1. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 9 .00 3 1.240.00 0.000.00=80.n.00 8%x1. Crescimento de $1.160.00 Saldo($)1400 1320 1240 1160 Juros simples(Linear) 1080 1000 0 1 2 3 4 Anos Assim genericamente.000.00 8%x1.320.i (colocando PV em evidência no segundo membro) FV PV (1 n.00=80.240.000.000. no regime de juros simples.00 no Banco Delta. Ms.00 0. Ms.00.01 Exemplo 5 O valor de $2000.1 Derivações da fórmula de juros simples Da fórmula original de capitalização simples do valor futuro poderiam ser derivadas as seguintes fórmulas que permitem encontrar o valor presente e a taxa de juros. FV PV (cálculo do valor presente) 1 n. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 10 .00 foi aplicado por cinco anos.00 após 5 meses.FV = Montante ou valor futuro PV =Valor presente J =Juros n =número de períodos de capitalização i =taxa de juros 1. calcule a taxa de juros mensal aplicada durante a operação.i 1 5. permitindo a obtenção de $4000. Pede-se obter o valor do capital inicial da operação.m.3. Aplicando a fórmula para cálculo da taxa de juros temos: FV 4000 1 1 i PV 2000 0. 29 1 n.0. 0167 1. 67% n 60 Prof. a uma taxa de 1% a. Sabendo que e regime de capitalização era o simples.i FV 1 i (cálculo da taxa de juros) PV n FV 1 n (cálculo do número de períodos capitalizados) PV i Exemplo 4 Uma aplicação feita no regime de juros simples rendeu um montante igual a $750. Aplicando a fórmula para cálculo do valor presente temos: FV 750 PV 714. a taxa de juros sempre incide sobre o valor aplicado inicialmente.m.Exemplo 6 A quantia de $1340. ele pode ser obtido pela diferença entre o valor futuro (FV).n. as operações de desconto por dentro.3. e o valor presente (PV). ou racional. desta forma.00 foi obtida como montante de uma aplicação de $680. Calcule o tempo dessa operação. expresso em $. representam a aplicação direta da fórmula de capitalização de juros simples. pode ser obtida a partir de: FV PV (1 n.2 Desconto “Por Dentro”. Assim. A taxa de juros i . corresponde aos juros acumulados no tempo. no regime de capitalização simples. ou principal. Nesse regime. temos: FV 1 i 1 PV n O valor do desconto. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 11 . Ms.i) Isolando algebricamente a taxa de juros i . temos: Dd FV PV ou Dd PV . ou Racional No regime de capitalização simples. genericamente.i Prof. ou. Aplicando a fórmula para cálculo do número de períodos temos: FV 1340 1 1 n PV 680 81 i 0. 012 1. ou montante.2% a. também denominada taxa de rentabilidade. ainda taxa de desconto “por dentro”.00 feita à taxa de 1. ou comercial.m.id ) Exemplo 8 Sabe-se que o valor líquido resultante do desconto de uma duplicata três meses antes do prazo a uma taxa de desconto comercial igual 5%a. ou comercial. existe majoração dos valores. A taxa de juros incide sobre o valor futuro ou nominal da operação. o desconto por fora.3 Desconto “Por Fora” ou Comercial As operações de desconto por fora.n.00840336 0. Sabendo-se que o desconto sofrido foi igual a $480.3.Exemplo 7 Uma nota promissória com valor nominal igual a $7.i Ou isolando a taxa de juros temos: Dd i n( FV Dd ) 1. ou comercial é aquele valor que se obtém pelo cálculo dos juros simples sobre o valor nominal do compromisso que será saldado n períodos antes de seu vencimento acrescido de uma taxa prefixada cobrada sobre o valo nominal. Com a incidência do cálculo do desconto ou juros sobre o valor futuro.00 e com vencimento programado para daqui a oito meses e meio foi descontada hoje no banco.i 7200 480 7200 0. Sabemos que: Prof. Ou seja.00. é dado por: D f FV . o valor do desconto por fora.000. Ms.00. resultante do desconto sobre o montante FV .84% 1 8.id O valor presente PV . pode ser encontrado por: PV FV (1 n. a incidência da taxa de desconto por fora ou comercial se dá sobre o valor futuro da operação. desconto bancário. Assim. ou ainda. De modo geral. foi igual a $51. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 12 .5.200. Encontre o valor nominal do papel. consistem em uma forma diferenciada da aplicação de juros simples. Dd FV PV FV Dd FV 1 n. encontre a taxa mensal efetiva da operação. consequência do desconto de um título no valor nominal de $12.04 4% a.000.200.00 (1 3.04 Exercícios propostos Prof. Ms.000. Encontre a taxa de desconto mensal utilizada nessa operação.00.00.m.00 foi descontado dois meses antes de seu vencimento.id ) (isolando n ) PV 1 n FV id 10560 1 n 12000 3 meses 0.05) Exemplo 9 Um título com valor nominal igual a $90.200.560. Encontre o tempo de duração dessa operação em meses. Sabemos que o se o desconto foi de $7. O desconto aplicado foi de $7.id ) (isolando a taxa de desconto) PV 1 id FV n 82800 1 id 90000 0.0.000. 2 Exemplo 10 Aplicação de uma taxa de desconto igual a 4% ao mês resultou na obtenção de um valor líquido igual a $10.00.id ) (isolando FV ) PV FV (1 n.000 FV $60. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 13 .00.id ) 51. logo: PV FV (1 n. PV FV (1 n. o valor liquido a receber é igual a $82800.PV FV (1 n.00. d) a taxa média mensal. Dessa forma. e o cliente deve pagar os $15. c) o prazo do segundo empréstimo. Sabe-se que o valor pago de juros.000. também a juros simples. juros simples. determinar: a) a taxa mensal de juros simples das duas instituições. b) a taxa de desconto anual ("por fora") que corresponde à rentabilidade do item a. juros simples.00 ao longo de todo o prazo do empréstimo.000. que pode ser liquidado no final de cada mês.108.2% ao mês (desconto "por dentro"). O primeiro título tem um valor de $10. 2-Um banco comercial empresta $15. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 14 . pelo prazo de três meses. o banco exige um saldo médio de $1.00.300.80. Decorridos alguns meses. 6) Um consumidor financiou um eletrodoméstico em 24 pagamentos de R$28. o valor líquido liberado pelo banco é de $14. 4-Uma empresa obtém num banco comercial um empréstimo de $10. no mesmo banco. com uma taxa de 1% ao mês.00 no final do 3°. Além disso. 5-Um investidor deposita uma determinada importância numa instituição financeira.00 a um cliente. b) o valor do depósito inicial na primeira instituição.000. houve um atraso de 11 dias para o pagamento.00 por R$277. cobrados antecipadamente. juros simples.00 para receber um montante de $1. por quantos dias essa prestação ficou em atraso? Prof. foi de R$1.60. No final de quatro meses.000. a juros simples. Ms.00 e vencimento no prazo de 180 dias.00 no prazo de 36 meses.00. Logo na primeira prestação. com uma taxa de 1. considerando os dois empréstimos em conjunto.480.1-Um investidor aplicou um principal de $1. mês. b) o valor do pagamento final para liquidar o segundo empréstimo. essa empresa resolve liquidar esse empréstimo com recursos obtidos. por um prazo de cinco meses.08.00. vencendo a primeira parcela daqui a 30 dias.500.56. paga pela empresa. Determinar a taxa de rentabilidade mensal do banco nessa operação.000. No final desse período. Sabendo-se que as duas instituições operam com juros simples e remuneram seus depósitos com a mesma taxa. verifica que o montante acumulado até aquela data totaliza $10. Decorridos três meses. O segundo título tem um valor de $10.550. Determinar o valor a ser creditado pelo banco na conta dessa empresa. no regime de juros simples: a) a rentabilidade trimestral do investidor. por meio de um novo empréstimo. a juros simples. Esse mesmo valor é então depositado em outra instituição financeira. 3-Uma empresa deseja descontar títulos num banco comercial que opera com uma taxa de desconto comercial de 1% ao mês.42 (parcelas fixas).00 e vencimento no prazo de 90 dias. Determinar. o montante acumulado na segunda instituição é igual a $11. ao encerrar sua conta.000. pelo desconto desses títulos.” efetuou um pagamento de uma prestação de R$250. com uma taxa de 1% ao mês. Qual a taxa mensal de juros praticada pelo estabelecimento comercial? 7) A cliente da loja “Tudo Pode Ltda. Sabendo-se que a taxa de juros praticada pela loja foi de 5% ao mês. Determinar: a) o valor do segundo empréstimo suficiente para liquidar o primeiro. a empresa decide liquidar o segundo empréstimo e verifica que o total de juros acumulados nos dois empréstimos é de $981. 00 em determinado papel. calcule.000. o valor de resgate desta operação.00 9) R$46.97% ao mês 7) 65 dias 8) R$166.2 % ao mês .360.109.25 10) R$18.5 % ao trimestre . b) PV1 = $10.600. no regime de capitalização simples.00 6) 14. calcule o montante a ser pago no final deste período. d) i médio = 1. 9) Um agente de mercado aplicou R$45.6923 % ao ano 2) i = 1. Ms.8) Uma empresa toma empréstimo de R$150. Sabendo que a amortização será feita seis meses após a contratação do empréstimo.00 à taxa de 1.00 (juros) Prof.00 4) a) PV2 = $10. b) d = 7. Admita que um mês possua 30 dias corridos.000. 10) Determinar o valor do montante acumulado no fim de quatro semestres e os juros recebidos a partir de um capital de R$15.1494 % ao mês 3) PV = $19.100.8% ao mês no regime de capitalização simples. pelo prazo de 51 dias.45% ao mês. Respostas 1) a) i = 2.981. Considerando que a taxa de juro foi de 1.00.00 (montante) e R$3.000.000. pelo regime de capitalização simples. com uma taxa de 1% ao mês.600.00 . c) n2 = 6 meses .200.60 . Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 15 .0907 % ao mês 5) a) i = 1. b) FV2 = $10. 1 Dedução da Expressão Genérica. devem ser somados ao capital e. de uma forma resumida. e como ele acontece no regime de juros compostos é chamado de capitalização composta.00 $ 256.00 período é igual a 1 (um) mês.00 $ 126. consequentemente. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 16 . ou.” Albert Einstein Introdução No mundo real. regime de juros compostos.81 equivalentes aos juros 0.49 compostos.m. 0. Valor Futuro (montante) Período (meses) Simples Composto Observe que quando o 0 $ 100.00 $ 100. por exemplo: Certificados de Depósitos Bancários (CDB) Fundos de Investimento Caderneta de Poupança Financiamentos Crediários Leasing 2.1 Juros compostos No regime de juros compostos ou capitalização composta. os juros simples são 0. os juros de cada período incidirão sobre o montante do final do período anterior. Ms. fluxo de caixa e sua simbologia. Uma operação de empréstimo de $100. a maior parte das operações que envolvem o valor do dinheiro no tempo costuma calcular juros incidentes sobre montantes obtidos em períodos imediatamente anteriores. os juros de cada período.00 por três meses. As soluções serão apresentadas utilizando a calculadora HP 12C e Excel. 2..00 $ 409.1 $ 106.5 $ 130. pode ser vista na tabela abaixo. cálculo do Valor Atual (presente) e Valor Futuro (montante) e suas aplicações.Juros Compostos “Os juros compostos são a mais poderosa invenção humana. a uma taxa de 60% a. a maioria das operações de mercado financeiro é calculada a juros compostos.00 2 $ 220.8 $ 148. quando não são pagos no final do período. A forma de capitalização em situações em que ocorrem incidências de “juros sobre juros” recebe o nome de regime de capitalização composta. mediante ao emprego de juros simples e compostos.00 $ 160.Capitalização simples e composta.00 $ 145.00 $ 104.65 1 $ 160. Assim. Tabela .1. também passam a render juros (“daí vem o nome usado popularmente juros sobre juros”) A esse processo dá-se o nome de capitalização de juros. a composição dos valores futuros (montantes).CAPÍTULO 2 . O objetivo deste capítulo é desenvolver as fórmulas básicas de juros compostos. No Brasil.60 Prof.00 3 $ 280. Genericamente. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 17 . Ms. calculado mediante ao emprego de juros simples. a fórmula de capitalização de juros compostos pode ser deduzida da seguinte maneira: Suponha que um capital PV seja aplicado a uma taxa de juros i durante certo período de tempo. Daí segue-se que: Prof. FVn FVn1 (1 i) PV (1 i) n O montante no fim de n períodos. valor de resgate. n Nper Período. montante. os montantes constituídos no fim de cada um dos n períodos em que o capital ficar aplicado serão. anual. valor inicial. rentabilidade. meses. vejamos: HP 12C Excel Descrição PV VP Valor Presente. o valor futuro. FV VF Valor Futuro. semestres. i Taxa Taxa de juros. Veja a figura abaixo. Para períodos menores do que 1.2 Definições de variáveis: Definimos algumas variáveis para facilitar a utilização e adaptações aos recursos da calculadora HP12C e no Excel.1. bimestres trimestres. medido em dias. capital. respectivamente: FV1 PV (1 i) FV2 FV1 (1 i) PV (1 i) 2 FV3 FV2 (1 i) PV (1 i) 3 . . . etc. O valor futuro calculado no regime de capitalização composta supera aquele obtido no regime de capitalização simples para os períodos posteriores à unidade. é maior. chamado de FV é dado: FV PV (1 i) n O capital também pode ser determinado a partir do montante. 2. 1 Zerando os registros financeiros da HP 12C Toda função financeira utiliza os números armazenados em algum dos registros financeiros. Antes de começar um novo cálculo financeiro. [PMT] ou [FV]. [i]. 2 – Para exibir um número armazenado em um registro financeiro. aperte [RCL] (Recall) seguida pela tecla correspondente. digite o número e aperte a tecla correspondente [n].2. Observações: 1 . 2.2 Utilização da calculadora HP 12C para cálculos financeiros A calculadora HP 12C além de possuir os registros de armazenamento de dados. Registros financeiros.2 Fluxo de caixa . [PV]. [PMT] e [FV]. Esse fator que só depende de n e i. é recomendável apertar [f] CLEAR [FIN] para zerar todos os registros financeiros. [i]. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 18 . Essas teclas são responsáveis pelos cálculos financeiros e armazenagem do resultado no registro correspondente.Para armazenar um número em um registro financeiro. E os juros podem ser calculados pela diferença: J FV PV 2. tem cinco registros especiais para cálculos financeiros. determina FV. 2. FV PV (1 i ) n ou: PV FV (1 i) n A expressão (1 i) n é comumente chamada de fator (ou fator de multiplicação) de PV para FV. o que significa que é o fator que.2. Esses registros são denominados por [n]. [PV]. são encontrados em tabelas financeiras para cada valor de n e i. Ms. multiplicado por PV.conceitos e convenções básicas Prof. .66 de cm projetos e investimentos. podendo tomar os valores 0.. meses ou dias. de investimentos. 2. trimestres.. Ms. podemos encontrar as funções financeiras da seguinte maneira: Prof.. o simplesmente fluxo de caixa. A elaboração do fluxo de caixa é indispensável na análise de rentabilidade e custos de operações financeiras. valor do capital inicial (principal) PV aplicado.10 Valor presente (Present Value).. Representa na escala horizontal do tempo. Denomina-se diagrama de fluxo de caixa. 3. ou seja. os valores monetários colocados nas datas futuras. isto é.3. O número de períodos de capitalização de juros. No Excel. semestre. nos pontos correspondentes a n = 1. expressa em porcentagem. 2.. valor do montante acumulado no final de n períodos de capitalização. o valor de cada uma das prestações iguais que ocorre no final dos períodos 1..3 Principais elementos de um fluxo de caixa A calculadora HP-12C adota as seguintes convenções e simbologia para definir os elementos de fluxo de caixa. Por exemplo: i=10% ao ano = 10% a.87 caixa de empresas. o valor monetário colocado na data inicial. (-)Pagamento (-) Pagamento (+)Recebimento (+)Recebimento 0 1 2 3 . n Assim por exemplo. Taxa de juros por período de capitalização. no ponto correspondente a n = 0. se os períodos correspondem a meses temos: n = 0 indica a data de hoje.= 0. ou seja. Podemos ter fluxos de cm 2. 1. semestres.2.. Representam na escala FV horizontal do tempo. Representa na escala horizontal do PMT tempo. e sempre mencionando a unidade de tempo considerada (ano. o conjunto de entradas e saídas de dinheiro (caixa) ao longo do tempo. A representação do fluxo de caixa é feita por meio de tabelas e quadros ou diagramas. I trimestre. Valor futuro (Future Value). 3. com a taxa de juros i.a. n meses Eixo Horizontal: Tempo(períodos) 2. isto é. ou a data do início do 1º mês. e no estudo de viabilidade econômica 3. mês ou dia). 2. como mostra a figura abaixo. expressos em anos. Valor de cada prestação da Série Uniforme (Periódic PayMenT) que ocorre no final de cada período (Série Postecipada). de projetos. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 19 . testes. n = 1 indica a data do final do 1º mês e assim por diante. de operações financeiras. etc. Ms. pagamento no início do período = 1 (END). 78 5 5 100. 78 FV 480 480 480(1. apresentaremos as funções de capitalização composta. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 20 . pagamento no final do período =0 (BEGIN) Exemplo 1 Você realizou um depósito em uma conta poupança no dia 18 de janeiro de 2012 no valor de R$ 480. Considerando uma taxa de rentabilidade líquida (livre de qualquer tipo de imposto) de 0.78% ao mês. Para inserir uma fórmula clique em fx e selecione a categoria Financeira.00. 78 FV 480 1 100 100 0. 039613) FV 499. Taxa: é a taxa de juros no período(i) Nper: número de período (n) Pgto: Valor de cada prestação da Série Uniforme (PMT) Vp: Valor presente Tipo: é o valor que representa o vencimento do pagamento. Nesse capítulo. 0078) 5 100 100 FV 480(1. qual o valor acumulado no dia 18 de junho de 2012? Solução algébrica: FV PV (1 i) n 5 0. 01 Utilizando a HP 12C temos: Prof. 00.00 Registra o período 10 [i] 10.78 Registra os juros referentes a cada mês.00 Registra o valor presente [FV] 1771.78 [i] 0. Observe que a célula B2. usando a sintaxe com os comandos Nper.56 Retorna o montante acumulado. no regime de juros compostos. onde foi colocado o VP deve ser formatada como valor negativo. 480 [CHS] [PV] -480.00 Registra o valor depositado no dia 18 de janeiro de 2005 0 [PMT] 0 Indica que não houve nenhum pagamento seriado uniforme nesse período.00 Registra a taxa de juros 1000 [CHS] [PV] -1000.Teclas (modo RPN) Visor [f] CLEAR [FIN] Limpa os registros financeiros 5 [n] 5 Registra o tempo que o dinheiro ficou depositado 0. Ms. devido o fluxo de caixa do exercício. Adicione os valores correspondentes clicando nas células com os valores iniciais do exercício.01 Calcula o montante no dia 18 de junho de 2005. a partir de um investimento inicial (principal) de $1. Vamos optar pelo menu suspenso. Observe que o resultado já se encontra no canto inferior esquerdo do menu suspenso (R$ 499. [FV] 499.01). com uma taxa efetiva de 10% ao ano. Utilizando o Excel temos: Prof. clique em Ok para que o resultado do VF seja inserido na planilha. Exemplo 2 Determinar o valor acumulado no final de seis anos. FV.Taxa ou o menu suspenso através do atalho fx . Utilizando o Excel podemos resolver de duas maneiras. Vp. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 21 . Teclas (modo RPN) Visor [f] CLEAR [FIN] Limpa os registros financeiros [g] [BEGIN] Coloca a HP no modo antecipado 6 [n] 6.000. como mostra a figura abaixo. no regime de juros compostos. Teclas (modo RPN) Visor [f] CLEAR [FIN] Limpa os registros financeiros 12 [n] 12.45 Retorna o valor presente.00 Registra o período 1 [i] 1. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 22 .000.00 Registra o valor futuro [i] 1.00 Registra o período 1000 [CHS] [PV] -1.00 no final de 12 meses.Exemplo 3 Determinar o valor do investimento inicial (principal) que deve ser realizado no regime de juros compostos.00 Registra a taxa de juros 1000[FV] 1000.00 produz um valor acumulado de $1. com uma taxa efetiva de 1% ao mês.40743 Retorna a taxa de juros Prof. Determinar a taxa de rentabilidade mensal desse investimento.000. Ms.150. no final de 10 meses.00 Registra o valor futuro [PV] -887.000.00 Registra o valor presente 1150[FV] 1. Exemplo 4 Um investimento inicial (principal) de $1. Teclas (modo RPN) Visor [f] CLEAR [FIN] Limpa os registros financeiros 10 [n] 10.150.00. para produzir um montante acumulado de $1. 00 e que o prazo da operação é de cinco anos.000.Exemplo 5 Determinar o número de meses necessários para fazer um capital dobrar de valor.000.00 Registra o valor presente [PMT] -316. no regime de juros compostos. Ms.00 Retorna o tempo Exemplo 6 Determinar o valor das prestações mensais iguais e consecutivas de um financiamento realizado com a taxa efetiva de 2.40 Registra a taxa de juros 10.000[PV] 10.00 Registra o valor presente 200[FV] 200.4% ao mês.00 Registra a taxa de juros 100 [CHS] [PV] -100. Suponha um capital de $100. sabendo-se que o valor do principal é $10.20 Retorna o valor das prestações Prof. com a taxa de 6% ao ano. Teclas (modo RPN) Visor [f] CLEAR [FIN] Limpa os registros financeiros 60 [n] 60. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 23 .4 [i] 2. no regime de juros compostos.00 Registra o valor futuro [n] 12.00 (poderia ser qualquer valor) logo: Teclas (modo RPN) Visor [f] CLEAR [FIN] Limpa os registros financeiros 6 [i] 12.00 Registra o período 2. 5 [n] 3. PV . 1000 [CHS] [PV] -1000. Esse período.m. os juros podem acumular antes do início do primeiro período de pagamento regular. PMT e FV podem ser executados com juros simples os compostos acumulados durante o período fracionário. a) Qual o montante usando juros compostos para o período fracionário? b) Qual o montante usando juros simples para o período fracionário? Resolução da parte (a) na HP 12C: Teclas (modo RPN) Visor [f] CLEAR [FIN] Zerar os registros financeiros [STO] [EEX] Habilita o indicador C no mostrador para que os juros compostos sejam usados para o período fracionário.5 meses.00 foi aplicado a juros compostos. onde os juros começam a acumular antes do primeiro pagamento. muitas vezes.4 Cálculos para períodos fracionários Os exemplos apresentados até agora. Os cálculos de i . foram transações financeiras em que os juros começam a acumular no início do período de pagamento regular. PMT e FV para transações com um período fracionário. Caso já esteja habilitado. Pressionado novamente [STO] [EEX] o indicador C é desligado e os cálculos são executados com juros simples para o período fracionário.5 Registra o tempo [FV] 1309. Para especificar os juros compostos. durante 3.2. Exemplo 7 Um capital de $1000. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 24 . os juros simples são calculados.00 Registra o valor presente 8 [i] 8 Registra a taxa 3. Com esse valor de “n” calculadora entra no modo de período fracionário. Se o indicador de estados C no mostrador não estiver ligado.13 Retorna o valor futuro usando juros compostos para o período fracionário Prof. PV . não há necessidade de habilitá-lo. à taxa de 8% a. ligue o mostrador C pressionando as teclas [STO] [EEX]. Você pode calcular i . não sendo um período igual aos períodos regulares é denominado de “período fracionário”.2. simplesmente entrado com um “n” não inteiro. Porém.. Ms. A parte inteira de “n” especifica o número de períodos inteiros de pagamento e a parte fracionária especifica o tamanho do período fracionário como uma fração do período inteiro. desta forma como já vimos anteriormente. vamos calcular separado os juros simples para o período fracionário.10 Retorna o valor futuro usando juros compostos para o período fracionário Observe que o montante obtido pelos juros simples aplicados no período fracionário é maior do que aplicando juros compostos ao período fracionário.310.5 [n] 3.5 Registra o tempo [FV] 1310.3 Valor Presente (Atual) e Valor Futuro (Nominal) Estes conceitos são análogos aos vistos em juros simples.00 Registra o valor presente 8 [i] 8 Registra a taxa 3. como mostra na célula E1. vá para o próximo passo. Resolução da parte (b) na HP 12C: Teclas (modo RPN) Visor [f] CLEAR [FIN] Zerar os registros financeiros [STO] [EEX] Desabilite o indicador C no mostrador para que os juros simples sejam usados para o período fracionário. Ms. Caso já esteja desabilitado. Resolução no Excel: O Excel não possui uma função que calcula de forma direta as duas formas de capitalização em períodos fracionários. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 25 . na célula H2 está o valor do capital adicionado com os juros simples do período de 0. temos que: FV PV (1 i) n Prof.5 meses. Valor presente (PV) numa data anterior ao vencimento é o valor que. Valor futuro (FV) de um valor presente (PV) é o valor na data de seu vencimento. produz um montante igual ao valor futuro.10. Para resolvermos esse problema. 2. Note que o montante produzido pelos juros simples é sempre maior quando o período é inferior a 1. aplicado a juros compostos a partir desta data até a data do vencimento. Chamamos de 0 a data focal (data de hoje) e sendo a data de vencimento igual a n . 1000 [CHS] [PV] -1000. na célula H1 usamos a função VF para encontrarmos o valor de –R$1. Qual seu valor atual hoje considerando uma taxa de juros de 1.00 vencível daqui a três meses. 10.5 Registra a taxa de juros.5% a.Exemplo 8 Uma pessoa tem uma dívida de $10. 1. [PV] 9563. Ms.000. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 26 .17 Valor atual a ser depositado.m? Teclas (modo RPN) Visor [f] CLEAR [FIN] Limpa os registros financeiros 3 [n] 3 Registra o tempo que o dinheiro ficará depositado.5 [i] 1.000 Registra o valor futuro a ser resgatado. Prof.000 [CHS] [FV] 10. 0 [PMT] 0 Indica que não há pagamento ao longo do período. 000. $80.17 7 – a) $74.$12. no regime de juros compostos.9489% 4 .73 5 . no regime de juros compostos. de forma a garantir uma retirada de $10.00 daqui a 3 meses. Uma pessoa tem as seguintes dívidas para pagar: $60. para pagar essas duas dívidas? 10. Considerando uma taxa de juros de 1.710.00.00 vence daqui a 5 meses.m..00 no prazo de um ano.39 c) $77. Determinar o número de meses necessários para se fazer um capital triplicar de valor.80 b) $76.Exercícios propostos Considerar em todos os problemas o ano comercial com meses de 30 dias. 2.2% ao mês.000.5% ao mês.$12.959. Um investidor deseja fazer uma aplicação financeira a juros compostos de 1.00 para receber $11.996.m. com uma taxa de 1% ao mês.000.000.36 3 . com uma taxa de 12% ao semestre.959. no regime de juros compostos. num prazo de dois anos. 4.000.5% a.314.00 daqui a 2 meses.00. Um investidor aplicou $ 10.00 vence daqui a 2 meses e outra de $60. Uma dívida de $80. Determinar o montante acumulado em oito trimestres a partir de um principal aplicado de $10.00.00 no final do 12º mês.$197. $70.110<n<111 meses 6 .m.00 daqui a 4 meses. no regime de juros compostos.540.87 8 .000. b) daqui a 2 meses.200. para fazer frente a um compromisso de $27. 8. Determinar o menor valor que deve ser investido para permitir a retirada desses valores nos meses indicados.32 Prof. e c) 2 meses antes do vencimento. Uma dívida de $50. a partir de um principal de $10. no regime de juros compostos. Quanto deverá aplicar hoje a juros compostos e à taxa de 2% a. Quanto devo aplicar hoje a juros compostos e à taxa de 1. Quanto devo aplicar hoje a juros compostos e à taxa de 1. para sanar todas essas dívidas? Respostas 1 .207. Determinar a taxa de rentabilidade mensal investidor. 7. com uma taxa de 1. a contar da data de aplicação.3% a.87 9 .8% a. com uma taxa de 1.000.m.$104.000.000.873.115.$26.%13. 1.00 vence daqui a 4 meses.2% ao mês.07 10 . 3.08 2 .00 no final do 6º mês e outra de $20.000.000.00 daqui a 2 meses? 9. Determinar o montante acumulado em seis trimestres.395. 6.000. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 27 .$25. 5. Ms.0. Determinar o principal que deve ser investido para produzir um montante de $20.000. obtenha seu valor atual nas seguintes datas: a) hoje. m. calculados período a período.. Determinar o valor do desconto por dentro. para produzir um montante acumulado de $1. com uma taxa efetiva de 1% a. O valor do desconto “por dentro” Dd ou racional. expresso em $. O racional é utilizado por equivalência de capitais com juros compostos e o comercial é utilizado em uma técnica de depreciação. ou racional) é usualmente denominada taxa de desconto e é muito utilizada pelo mercado financeiro. No sistema de capitalização composta também podem ser definidos os dois tipos de descontos que já foram discutidos no capítulo anterior.55 Retorna o valor do desconto racional Prof.4 Descontos compostos Da mesma forma que os juros compostos podem se considerados como uma sucessão de juros simples calculados período por período. desconto racional(por dentro) e desconto comercial(por fora).2. Na prática desconto compostos tem pouca aplicação. Pela expressão genérica de juros compostos podemos chegar a seguinte relação: FV PV 1 i n Que fornece o valor principal PV a partir de FV . os descontos compostos também podem ser considerados como uma sucessão de descontos. é obtido pela seguinte relação: Dd FV PV Exemplo 9 Determinar o valor de investimento inicial que deve ser realizado no regime de juros compostos. isto é. Ms. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 28 .4. Teclas (modo RPN) Visor [f] CLEAR [FIN] Limpa os registros financeiros 12 [n] Registra o período 1 [i] Registra a taxa de juros 1000 [CHS] [FV] Registra o valor futuro [PV] 887.45 Retorna o valor presente do investimento 1000[x><y][-] 112.00 no final de 12 meses. e função dos parâmetros n e i .000. 2.1 Desconto Racional A taxa de desconto i (por dentro. expresso em $. 55 2.2% ao mês. é obtido pela seguinte relação: D f FV PV Exemplo 10 Um título com valor de $10.45.56 Observação: O Excel não possui uma sintaxe direta para resolver desconto comercial.012) 2 $9761. Como o desconto em reais é dado por R$1. expresso em $. PV FV (1 i) n PV 10000(1 0. expresso em $.44 D f FV PV D f 10000 9761.Observe que o valor presente o investimento é de –R$887. Prof. Ms. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 29 . O valor do desconto “por fora” D f ou comercial .000.00.44 $238.000.2 Desconto Comercial O desconto comercial (“por fora”) é calculado sobre o valor futuro da operação. e função dos parâmetros n e i . é descontado no regime de juros compostos.4. para essa solução. PV FV (1 i) n Que fornece o valor principal PV a partir de FV . devemos programar a fórmula algébrica diretamente no exercício. com 60 dias para seu vencimento.45 = R$ 112. com uma taxa de desconto “por fora” igual a 1. Determinar o valor presente desse título e o valor do desconto composto.00 – R$887. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 30 . Ms. em qualquer data.000. no valor de $2.17 Retorna o valor presente 500 [+] 1461.25 Retorna o valor do terceiro pagamento Observação: O valor a ser financiado no 3º pagamento (E2) foi calculado subtraindo o valor da entrada de R$ 500. qual valor é equivalente a $1.83 Registra o valor presente referente ao 3º pagamento 4 [n] 4 Registra o no período. devemos calcular a diferença do valor presente financiado.17 Valor pago a vista 2000[x><y] [-] 538. Sabendo que a loja costuma cobrar uma taxa de juros igual a 2% ao mês.00 e outra prestação com vencimento em 120 dias. e em idênticas condições.00. No regime de juros compostos consideraremos sempre a forma de desconto racional. Prof.000. produzem valores iguais. uma prestação com vencimento em 60 dias no valor de $1.5 Equivalências de capitais No regime de juros compostos. 120 dias [FV] -583. Exemplo 11 Gustavo deseja financiar um novo computador.17 (E1).000.00 daqui a 60 dias? Teclas (modo RPN) Visor [f] CLEAR [FIN] Limpa os registros financeiros 2 [n] Registra o período 2 [i] Registra a taxa de juros 1000 [CHS] [FV] Registra o valor futuro [PV] 961. calculados com essa taxa.83 Valor financiado para o terceiro pagamento [PV] 538.2.00.00 (B2) e do VP da 1ª prestação que foi de R$ 961. ou seja. pagando uma entrada de $500. qual o valor do terceiro pagamento? Solução: Primeiramente. dois (ou mais) conjuntos de capitais são equivalentes com uma mesma taxa dada se as somas dos valores dos capitais de cada um desses conjuntos. no regime de juros compostos. m.00 ao final de 21 dias. Na data em que é feito o empréstimo.000. A compra do terreno é uma boa opção de investimento? Por quê? 3) Uma pessoa tomou emprestados $10. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 31 . De quanto serão essas parcelas se a primeira vencer a 90 dias do empréstimo? 4) Uma empresa deseja liquidar uma nota promissória de $10.m de juros compostos? 10) O capital de $20.00 dois anos atrás. o devedor deseja liquidá-lo (na data em que deveria quitar o primeiro dos três) .5% ao mês. no ato da contratação. Sabe-se que Mariana espera remunerar seu investimento com uma taxa de juro mínima de 1. A empresa receberá o pagamento apenas daqui a três anos.8%a.00 para o término de um contrato de financiamento. será um bom negócio? Justifique.00 com cinco meses a decorrer até seu vencimento. o montante de $34. e assumindo os meses com 30 dias.00 aplicado no Banco do Futuro produziu. e ainda antecipar o pagamento de outra de $ 50. será um bom negócio? Justifique.400. para que esse pagamento seja limitado em $ 90. ficam retidos 5% do valor do empréstimo a título de seguro.02. obrigando-se a pagá-los em três parcelas mensais e iguais.000. juros compostos.000.000. Uma pessoa que toma o empréstimo para aplicar o capital emprestado à taxa de 4.2% ao mês.000. no final do 6º mês.000.00 vencida a três meses.00.00 que economizou e que pretende dispor por 3 anos. em vez disso. Qual a taxa efetiva mensal recebida pela empresa na operação da venda desse artigo? 2) Mariana não sabe onde investir os $180.00 cada um.00. Calcule o valor desses pagamentos usando a taxa de 3.000.000. 9) Faltando três pagamentos mensais de $50. Quanto deverá pagar se a taxa é de 3%a. respectivamente.5% ao mês. a contar com a assinatura do contrato. 8) Uma empresa tem dois pagamentos de $150.Exercícios complementares 1) A Corporação Paripiranga Ltda.00. Determinar o valor que deve ser abatido do principal desse empréstimo. pagar a dívida em três pagamentos iguais no fim de três. 5) Um banco de investimento que opera com juros compostos de 1% ao mês está negociando um empréstimo com uma empresa que pode liquidá-lo com um único pagamento de $106. com uma taxa de 1. assinou um contrato para a venda de um artigo por $92. 7) Uma financiadora empresta dinheiro a 3%ao mês. O corretor afirma que daqui a três anos esse terreno estará valendo no mínimo $230. b) Se o empréstimo for por 120 dias. Um corretor de imóveis lhe oferece a oportunidade de comprar um lote de terreno numa área que nos próximos três anos receberá benfeitorias que provocarão um aumento natural de valor. no regime de juros compostos. quatro e cinco meses. 6) Determinar o valor de uma aplicação financeira que produz um valor de resgate de $ 10. respectivamente.152. para efetuar no fim de dois e quatro meses.00. Ms. levando em consideração uma taxa de 1.4% ao mês. Sabe-se que o artigo custou á empresa um valor presente de $48.000.00.Determinar o valor do pagamento a ser feito de imediato pela empresa para liquidar essas duas notas promissórias.000. Qual a taxa mensal no regime de juros compostos capaz de fazer a metade desse capital produzir esse mesmo montante no fim de um ano? Prof.m. no fim de um ano.000. com juros compostos de 5% a. e para que a taxa de 1% ao mês seja mantida. Propõe.000. a) Se o empréstimo for por 60 dias. 896.431.000.39 5) $15. Ms.00 superior ao que Mariana desejaria pagar. 3) $4.5%a.m.64 9) $146.47 4) $57.m e pagará 5. pois receberá 4.m e pagará 4.7363%a.838. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 32 .m.m b)Será bom negócio.6%a.048. Não seria uma boa alternativa.469. 8) $103.5%a.3%a.824. como o preço do terreno é de $180.RESPOSTAS 1) 1. pois receberá 4.0902 2) Calculando o PV para o terreno temos PV=139.215.93 6) $9.32 7) a) Não será bom negócio.67. Prof.87 10) 10. 3% ao trimestre. diretamente ligado ao regime de juros simples. pode ser interpretada como sendo: a) uma taxa de 6% ao ano. no mercado financeiro. o conceito das principais terminologias existentes. 3% ao trimestre. 3.1 Taxa efetiva Taxa efetiva é a taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. nos problemas práticos. no regime de juros simples. b) um taxa de 6% ao semestre. A taxa efetiva é utilizada nas calculadoras financeiras e nas funções financeiras das planilhas eletrônicas. Ms. como por exemplo. 3. 6% ao semestre. O conceito de taxas proporcionais está. 10% ao ano. Um taxa de 6%. capitalizados semestralmente. o Excel. produzem um mesmo montante acumulado no final daquele prazo. Nesse caso. Entretanto. São exemplos de taxas efetivas: 2% ao mês. as taxas de juros e os períodos de capitalização nem sempre satisfazem essas condições. procuraremos abordar. ao serem aplicadas a um mesmo principal durante um mesmo prazo. capitalizados mensalmente. e nesse caso os períodos de capitalização (n) correspondem a anos.2 Taxas Proporcionais – Juros Simples Taxas proporcionais são taxas de juros fornecidas em unidades de tempo diferentes que. 10% ao ano. Quando utilizamos a HP-12C percebemos que ela está baseada na condição de que a unidade referencial de tempo da taxa de juros coincide com a unidade referencial de tempo dos períodos de capitalização. capitalizados trimestralmente. existe uma série de terminologias e conceitos sobre as taxas de juros que muitas vezes confundem os próprios profissionais das instituições especializadas. portanto. Neste capítulo.CAPÍTULO 3 – Taxas de juros Introdução Atualmente. de forma simples e clara. 6% ao semestre. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 33 . e é esclarecido pelos exemplos abaixo. capitalizados anualmente. e assim por diante. por exemplo. e nesse caso os períodos de capitalização (n) correspondem a semestres. costuma-se dizer: 2% ao mês. tendo em vista a coincidência nas unidades de medida dos tempos da taxa de juros e dos períodos de capitalização. Prof. s. Exemplo 2 Determinar os montantes acumulados no final de quatro anos.3 Taxas Equivalentes – Juros Compostos Taxas equivalentes são taxas de juros fornecidas em unidades de tempo diferentes que ao serem aplicadas a um mesmo principal durante um mesmo prazo produzem um mesmo montante acumulado no final daquele tempo. e que nos três casos o principal e o prazo foram os mesmos.i ) FV PV (1 n. com as seguintes taxas de juros: a) 12% ao ano b) 6% ao semestre c) 1% ao mês Solução: a) b) c) FV PV (1 n. Como o montante obtido no final de quatro anos foi sempre igual a R$ 148.0. 01) FV R$148. pois produzem o mesmo montante. são proporcionais. 00. As taxas proporcionais se baseiam em juros simples e as taxas equivalentes se baseiam em juros compostos. a partir de um principal de R$100. 00 FV R$148. a partir de um principal de R$100. 3. no regime de juros compostos. 00 FV R$148. Ms.m.Exemplo 1 Determinar os montantes acumulados no final de quatro anos. ao serem aplicadas sobre o mesmo principal.12) FV 100(1 8. com as seguintes taxas de juros: a) 12. e 1% a.a. no regime de juros simples. diretamente ligado ao regime de juros compostos.i ) FV 100(1 4. 6% a. O conceito de taxas equivalentes está. portanto..682% ao ano b) 6. 00. para esse tipo de cálculo a HP 12C não é muito eficaz. e é esclarecido pelos exemplos dados abaixo. pelo mesmo prazo no regime de juros simples. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 34 . 00 Ressaltamos que os cálculos foram realizados no regime de juros simples. 06) FV 100(1 48. Assim vemos que a diferença entre taxas equivalentes e taxas proporcionais se prende exclusivamente ao regime de juros considerado. no regime de juros compostos.0. podemos concluir que as taxas de 12% a.0.1520% ao semestre c) 1% ao mês Prof. Nota-se que.i ) FV PV (1 n. 00. 6. No Excel podemos fazer da seguinte maneira: Prof. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 35 . Ms. e que nos três casos o principal e o prazo foram os mesmos.00 Armazena o principal [FV] 161.00 Armazena o tempo. 100 [CHS] [PV] -100. pelo mesmo prazo.00 Armazena o principal [FV] 161.22. $161.00 Armazena o tempo.682% ao ano.15 Armazena a taxa de juros ao semestre.68 Armazena a taxa de juros ao ano.682 [i] 12.22 Valor futuro (montante) Observamos que os cálculos foram realizados no sistema de juros compostos.1520% ao semestre e 1% ao mês são taxas equivalentes. 100 [CHS] [PV] -100.22 Valor futuro (montante) Solução (c) Teclas (modo RPN) Visor [f] CLEAR [FIN] Zerar os registros financeiros 48 [n] 48.1520 [i] 6. 100 [CHS] [PV] -100.Solução (a) Teclas (modo RPN) Visor [f] CLEAR [FIN] Zerar os registros financeiros 4 [n] 4. pois produzem o mesmo montante ao serem aplicadas sobre o mesmo principal.22 Valor futuro (montante) Solução (b) Teclas (modo RPN) Visor [f] CLEAR [FIN] Zerar os registros financeiros 8 [n] 8. no regime de juros compostos. 6. 1 [i] 1.00 Armazena a taxa de juros ao mês. 12. Como o montante obtido no final de quatro anos foi sempre o mesmo. pode concluir que as taxas 12.00 Armazena o tempo.00 Armazena o principal [FV] 161. 100[-] 12.m 1% a.00 para realizar um investimento que lhe dê uma rentabilidade de 1% a.00 Armazena o principal [FV] 106.m Nq Nq iq 1 it Nt 1 .100 12 6 iq 1 0.15% a. Ms. Taxa semestral Teclas (modo RPN) Visor [f] CLEAR [FIN] Zerar os registros financeiros 6 [n] 6 Armazena o período de 12 meses 1 [i] 1 Armazena a taxa de juros mensal 100 [CHS] [PV] -100. 100[-] 6.a iq 6.15 Taxa anual equivalente à 1% a.m.100 iq 1 it Nt 1 . Quando queremos encontrara a taxa equivalente algebricamente. podemos utilizar a seguinte fórmula: Nq iq 1 it Nt 1 . 01 1 1 .s Prof.00 Armazena o principal [FV] 112.68 Calcula o valor futuro ao longo do 12 meses.Exemplo 3 Determinar a taxa anual e semestral que é equivalente à taxa de 1% ao mês.100 Em que: i q é a taxa que queremos encontrar it é a taxa que temos Nq é o período que queremos encontrar Nt é o período que temos Utilizando a fórmula acima no exemplo 3 para encontrarmos a taxa anual: Taxa anual equivalente a 1% Taxa semestral equivalente a a. Taxa anual Teclas (modo RPN) Visor [f] CLEAR [FIN] Zerar os registros financeiros 12 [n] 12 Armazena o período de 12 meses 1 [i] 1 Armazena a taxa de juros mensal 100 [CHS] [PV] -100.15 Calcula o valor futuro ao longo do 6 meses. 01 1 1 . Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 36 . Solução: Suponha inicialmente que você tenha a disposição R$ 100.100 iq 12.m.68 Taxa anual equivalente à 1% a.m.100 iq 1 0. 68% a. Aplicando a fórmula acima no Excel: Exemplo 4 Determinar a taxa mensal que é equivalente à taxa de 10% ao ano. Nesse caso, suponha que você tenha $100,00 para aplicar durante um ano; qual o valor futuro acumulado no final de um ano, sabendo que a taxa é de 10% a.a.? Logicamente, teremos um valor futuro de $ 110,00. Sendo assim, qual a taxa mensal que nos levaria a acumular um $ 110,00 em um ano com um investimento de $ 100,00? Teclas (modo RPN) Visor [f] CLEAR [FIN] Zerar os registros financeiros 12 [n] 12,00 Armazena o período 100 [CHS] [PV] -100,00 Armazena o principal 110 [FV] 110,00 Armazena o valor futuro (montante) [i] 0,80 Calcula a taxa mensal equivalente à 10% a.a. Taxa mensal equivalente a 10% a.a Nq iq 1 it Nt 1 .100 1 iq 1 0,10 12 1 .100 iq 0,8% a.m Prof. Ms. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 37 3.4 Taxa Nominal Taxa nominal é a taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. A taxa nominal geralmente é fornecida em termos anuais, e os períodos de capitalização podem ser semestrais, trimestrais, mensais ou diários. São exemplos de taxas nominais: 12% ao ano, capitalizados mensalmente; 24% ao ano, capitalizados semestralmente; 10% ao ano, capitalizados trimestralmente; 18% ao ano, capitalizados diariamente. A taxa nominal, apesar de bastante utilizada no mercado, não representa uma taxa efetiva e, por isso, não deve ser usada nos cálculos financeiros, no regime de juros compostos. Toda taxa nominal traz em seu enunciado uma taxa efetiva implícita, que é a taxa de juros a ser aplicada em cada período de capitalização. Essa taxa efetiva implícita é sempre calculada de forma proporcional, no regime de juros simples. Nos exemplos anteriores, a taxas efetivas que estão implícitas nos enunciados das taxas nominais são as seguintes: 12% a.a 12% ao ano, capitalizados mensalmente; 1% ao mês 12 meses 24% a.a 24% ao ano, capitalizados semestralmente; 12% ao semestre 2 semestres 10% a.a 10% ao ano, capitalizados trimestralmente; 2,5% ao trimestre 4 trimestres 18% a.a 18% ao ano, capitalizados diariamente; 0,05% ao dia 360 dias Devemos então abandonar os valores das taxas nominais e realizar todos os cálculos financeiros, no regime de juros compostos, com valores das taxas efetivas correspondentes, ou seja, 1% ao mês. 12% ao semestre, 2,5% ao trimestre e 0,05% ao dia. Conforme podemos observar, a taxa efetiva implícita de uma taxa nominal anual é sempre obtida no regime de juros simples. A taxa anual equivalente a essa taxa efetiva implícita é sempre maior que a taxa nominal que lhe deu origem, pois essa equivalência é sempre feita no regime de juros compostos. Essa taxa anual equivalente será tanto maior quanto maior for o número de períodos de capitalização da taxa nominal. Exemplo 5 Determinar as taxas efetivas anuais que são equivalentes a uma taxa nominal de 9% ao ano, com os seguintes períodos de capitalização: a) Mensal; b) Trimestral; c) Semestral. Prof. Ms. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 38 Como a taxa nominal é de 9% ao ano, basta dividir por 12 meses, para obtermos a taxa mensal. Assim, temos: iN 9 im 0,75% ao mês 12 12 a) Podemos obter esse resultado na HP-12C, pelos seguintes procedimentos: Teclas (modo RPN) Visor [f] CLEAR [FIN] Zerar os registros financeiros 12 [n] 12 Armazena o período de 12 meses 0,75 [i] 0,75 Armazena a taxa de juros mensal 100 [CHS] [PV] -100,00 Armazena o principal [FV] 109,38 Calcula o valor futuro ao longo dos 12 meses. 100[-] 9,38 Taxa anual equivalente à 0,75% a.m. b) Capitalização trimestral – taxa efetiva trimestral i N 9% it 2,25% ao trimestre 4 4 Podemos obter esse resultado na HP-12C, pelos seguintes procedimentos: Teclas (modo RPN) Visor [f] CLEAR [FIN] Zerar os registros financeiros 4 [n] 4 Armazena o período de 4 trimestres 2,25 [i] 2,25 Armazena a taxa de juros trimestral 100 [CHS] [PV] -100,00 Armazena o principal [FV] 109,30 Calcula o valor futuro ao longo dos 4 trimestres. 100[-] 9,31 Taxa anual equivalente à 2,25% a.t. c) Capitalização Semestral – Taxa efetiva semestral i N 9% is 4,5% ao semestre 2 2 Podemos obter esse resultado na HP-12C, pelos seguintes procedimentos: Teclas (modo RPN) Visor [f] CLEAR [FIN] Zerar os registros financeiros 2 [n] 2 Armazena o período de 2 semestres 4,5 [i] 4,5 Armazena a taxa de juros semestral 100 [CHS] [PV] -100,00 Armazena o principal [FV] 109,20 Calcula o valor futuro ao longo dos 2 semestres. 100[-] 9,20 Taxa anual equivalente à 4,5% a.s. Prof. Ms. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 39 No Excel, usando a fórmula de taxa equivalente encontramos: Se repetirmos esse mesmo problema para as taxas nominais de 12% a.a., 24%a.a. e 36%a.a., obtemos os resultados indicados na tabela abaixo, com duas casas decimais: Taxa nominal Taxas efetivas anuais equivalentes (em %) quando o anual (%) período de capitalização for anual semestral trimestral Mensal 9,0 9,0 9,20 9,31 9,38 12,0 12,0 12,36 12,55 12,68 24,0 24,0 25,44 26,25 26,82 36,0 36,0 39,24 41,16 42,58 Ao analisarmos os valores da tabela acima, podemos tirar as seguintes conclusões: a) a taxa efetiva anual é sempre maior que a taxa nominal anual correspondente; b) a diferença entre essas duas taxas aumenta quando: - aumenta o número de períodos de capitalização; - aumenta o valor da taxa nominal. 3.5 Taxa Média de Juros A taxa média de juros tem como base teórica o conceito matemático de média geométrica. Do ponto de vista da matemática financeira, podemos calcular a taxa média de um conjunto de taxas extraindo a raiz n-ésima, tomando-se como base o número de termos do próprio conjunto de taxas. Suponha um conjunto de taxas (5%, 7% e 2%); nesse exemplo, temos 3 termos. 1 i( média ) 1 i1 .(1 i2 )....(1 in ) n 1 .100 Em que n = número de taxas analisadas Exemplo 6 Abaixo temos a variação do IGP-M (FGV) acumulada cinco meses. Calcule a taxa média. Prof. Ms. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 40 ou seja.6 Taxa real de juros A taxa real de juros nada mais é que a apuração de ganho ou perda em relação a uma taxa de inflação ou de um custo de oportunidade.96154%. e que no mesmo período ocorreu uma inflação de 8%.000. O cálculo da taxa real pode ser feito através da seguinte expressão: Taxa _ Re al 1 taxa _ efetiva 1 100 1 taxa _ de _ atualizaçã o _ monetária Exemplo 6 Suponha que determinada aplicação financeira tenha rendido no mês de junho uma taxa efetiva de 5% e que a variação do IGP-M(Índice Geral de Preços de Mercado) no mesmo mês foi de 4%. 01). Suponha um capital hipotético =$100. é correto afirmar que o ganho real dessa aplicação não foi 10%.(1 0.(1 0.00% IGP-M/FGV (mês 5)=0. Ms.m 3. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 41 . temos de encontrar a Taxa Real de Juros.23% IGP-M/FGV (mês 3)=0. Se considerarmos que determinada aplicação financeira render 10% em um determinado período. 0056).04) Observa-se que um capital corrigido pela taxa de atualização monetária de 4% e sobre o montante obtido aplica-se a taxa de juros real de 0.(1 0. tendo em vista que o rendimento correspondente sofreu uma desvalorização de 8% no mesmo período.05 Taxa _ Re al 1 100 0. 0062 . 0023). Na verdade. significa dizer que a taxa real de juros é o verdadeiro ganho financeiro. será obtido um capital mais uma taxa de juros de 5%.00 Taxa de atualização monetária =4% Prof.56% IGP-M/FGV (mês 4)=1.(1 0.IGP-M/FGV (mês 1)=0. 0086) 5 1 .96154% no período (1 0. dessa forma temos de encontrar qual é o verdadeiro ganho em relação à inflação. Qual a taxa real que remunerou tal aplicação? Solução: Taxa _ Re al 1 taxa _ efetiva 1 100 1 taxa _ de _ atualizaçã o _ monetária 1 0.62% IGP-M/FGV (mês 2)=0.100 i( média ) 0. 65% a.86% 1 i( média ) 1 0. 2) Determinar as taxas trimestral e anual proporcionais à taxa de 0. 9) Determinar o montante acumulado no final de dois anos ao se aplicar um principal de $1.00 100 Valor final de resgate =$105.96154 Valor dos juros real = 104.9% ao mês.7 Outras taxas do mercado financeiro Taxa prefixada: possibilita ao aplicador ou tomador dos recursos saber.96154% Valor principal corrigido= 100. negociada a uma taxa de 25% ao ano.05% ao mês.4% ao ano. 7) Determinar a taxa efetiva mensal equivalente a uma taxa nominal de 8. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 42 .000. 3) Determinar as taxas mensal e trimestral equivalentes à taxa de 9. 1) Determinar a taxa mensal e diária proporcional à taxa de 3.00 3.0% ao trimestre e 4% ao semestre.000. Taxa líquida: é aquela obtida considerando o valor da aplicação e o valor do resgate líquido. Exercícios Propostos Considere em todos os problemas o ano comercial com 360 dias.6% ao trimestre.0% ao ano. sem depender do conhecimento da variação de algum indicador econômico ou financeiro. para um período de 92 dias pelo regime de juros compostos. 6) Determinar as taxas efetivas anuais equivalentes às taxas de 2.0001 0.5% ao ano.00.00 0.04 $104. 10) Determinar o montante de uma aplicação de R$13. Taxa bruta: é aquela em que não são considerados os efeitos dos impostos sobre a rentabilidade da aplicação financeira.Taxa de juros real =0. Prof. quando da data da contratação da operação o valor final a ser pago ou resgatado.20% ao ano.000. capitalizados trimestralmente. 4) Determinar a taxa diária equivalente à taxa de 6% ao semestre. capitalizados mensalmente. a qual será capitalizada em função de determinada quantidade de dias no mês. Ms. 5) Determinar as taxas efetivas trimestral e anual equivalente à taxa de 1.500. já levando em conta o desconto dos impostos. 8) Determinar as taxas efetivas trimestral e anual equivalentes à taxa nominal de 11. Taxa over: é aquela taxa de juros que é dividida por 30 (mês comercial). $1.000. encontrando-se a taxa diária. capitalizados mensalmente.000.00 à taxa de 10. 00. 7 .72073 % ao mês. 12.m. 2. 2.87716 % ao trimestre.24322 % ao ano. 0.0.000. durante 218 dias.3.16 % ao ano.17782 % ao trimestre.01492 % ao ano. 9 .5954% a.39 Rendimento líquido: R$319.4814% a.0.225.7 % ao trimestre.1.$1.18319 % ao trimestre.421.292. 13.0.11) Qual o valor do investimento que.25? 12) Qual é a taxa de juros necessária para dobrar um capital no fim de 15 meses? 13) Taxa efetiva e taxa líquida – Aplicação Uma aplicação para 25% ao ano para um período de 30 dias.m Rendimento: R$375.70337 % ao mês 8 .2. 8. a taxa real de juros e o rendimento para uma aplicação de R$20.08 Taxa líquida: 1. Ms. 6 .m.563. 10.35373 % ao ano. produziu um resgate de R$ 125. 4 . líquida. aplicado à taxa de 12% ao trimestre.8769% a.73% ao mês 13 – Taxa efetiva: 1.03238 % ao dia 5 . Taxa real: 0.2 % ao mês.8 % ao ano. calcular a taxa efetiva. RESPOSTAS 1.2.8.35 12 – 4.24 10 – R$ 14. Prof. sabendo-se que a inflação do mesmo período é de 18% ao ano e que o governo tributa o rendimento das aplicações em 15%.22 11 – R$95.04 % ao dia. 3 . Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 43 . ou um único capital era aplicado para a formação de um montante. prestação ou simplesmente pagamento da renda. na maioria das vezes. As séries podem ser classificadas de diferentes formas: Prof. uma série uma prestação. As rendas podem ser certas ou aleatórias. Aleatórias são aquelas cujos pagamentos têm vencimentos. agir. Ou serão várias aplicações. 4. Apenas as primeiras serão tratadas aqui. feitas em datas diferentes. ou ainda vários pagamentos realizados periodicamente com a finalidade de pagar o uso de um bem ou serviço. valores e número preestabelecidos e a taxa de juros fixada.1 Renda Essas séries de capitais disponíveis ou pagamentos vencíveis em datas diferentes constituem o que se chama renda. como acontece com os rendimentos de ações ou prêmios de seguro. estudar. Ms.” Anônimo Introdução Nos Capítulos anteriores foram analisadas as operações financeiras.2 Classificação de rendas De modo geral. Os exemplos dados ou exercícios propostos que envolviam várias aplicações de capitais ou vários pagamentos feitos em datas diferentes foram resolvidos como se cada uma dessas aplicações ou cada um desses pagamentos fosse independente. ouvir. Esse procedimento acarretou. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 44 . pois apenas estas podem ter valores determinados por cálculos matemáticos. ou pagamento corresponde a toda e qualquer sequencia de entradas ou saídas de caixa com um dos seguintes objetivos: (1) amortização de uma dívida ou (2) capitalização de um montante. com a finalidade de constituir um montante rio futuro.CAPÍTULO 4 – Séries de Pagamentos “Há cinco degraus para se alcançar a sabedoria: Calar. neste último caso incluem-se também os descontos de títulos. em que. 4. Os intervalos de tempo entre os vencimentos de dois pagamentos consecutivos são chamados períodos da renda. de modo mais apropriado. várias prestações que pagarão uma dívida assumida hoje em forma de empréstimo ou de algum bem adquirido a prazo. Neste capítulo serão estudadas. ou uma dívida assumida era saldada com um único pagamento. valores e número aleatórios ou a taxa variável. Certas são aquelas cujos pagamentos têm vencimentos. com a denominação genérica de rendas. como no caso de aluguéis ou salários. as operações financeiras que envolvem conjuntos de capitais disponíveis em datas diferentes. Cada um dos pagamentos da série se chama termo. lembrar. uma sobrecarga de cálculos na resolução desses problemas. Quanto ao prazo dos Postecipadas: quando os pagamentos ou recebimentos pagamentos iniciam após no final do primeiro período. Infinitas: quando ocorrem de forma ad etermum. pagamentos Não periódicas: quando os pagamentos ou recebimentos acontecem em intervalos irregulares de tempos Quanto ao valor das Uniformes: quando os pagamentos ou recebimentos são prestações sempre de mesmo valor. Quanto a Periódicas: quando os pagamentos ou recebimentos ocorrem periodicidades dos a intervalos constantes. Antecipada: quando os pagamentos ou recebimentos ocorrem na entrada. do início da série. como financiamentos de eletroeletrônicos. São bastante comuns em operações comerciais. sua representação genérica pode ser vista abaixo. Prof. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 45 . quando houver um prazo maior pagamento que um período entre a data do recebimento do financiamento e a data de pagamento da primeira prestação. financiamento imobiliário etc. Não diferidas: quando não existir prazo superior a um período entre o início da operação e o primeiro pagamento ou recebimento.Quanto ao número de Finitas: quando ocorrem durante um período predeterminado prestações de tempo.3 Pagamentos ou recebimentos iguais As séries uniformes apresentam prestações iguais. Não uniformes: quando os pagamentos ou recebimentos apresentam valores distintos. Ms. Quanto ao primeiro Diferidas: ou com carência. isto é. 4. Em se tratando de uma sequencia de pagamentos. quando os pagamentos ou recebimentos duram infinitamente. Prof. Ms. aproximado para o inteiro superior. valor da prestação (ou pagamento) [FV] Do inglês Future Value. sem carência temos que FV PV (1 i) n e substituindo na equação anterior obtemos: (1 i ) n 1 PV PMT n i(1 i) ou i(1 i) n PMT PV (1 i) 1 n Se a série tiver carência de m 1 períodos. temos: PMT [(1 i) n 1] FV i Para séries postecipadas.(1 i) m (1 i) 1 n Onde m 1 é a carência até o primeiro pagamento. as séries uniformes podem ser representadas através de seu valor futuro equivalente.Cálculos com séries uniformes na HP 12C As principais funções financeiras da HP 12C para operações com séries uniformes são: [n] Número de pagamentos. [i] Taxa da série (válido para séries uniformes e não uniformes) [PV] Do inglês Present Value.2 . etc. [PMT] Do inglês Payment. conforme descrito na fórmula seguinte: i) FV PMT [(1 i) n1 (1 i) n2 (1 i) 1] Onde: FV = valor futuro PMT = valor da prestação periódica i = taxa de juros n = número de pagamentos da série Multiplicando ambos os termos por (1 i) temos: ii) FV (1 i) PMT [(1 i) n (1 i) n1 (1 i)] Fazendo ii-i. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 46 . posicionado no último período da série. valor futuro. montante. valor presente. 4. a fórmula genérica para séries uniformes é dada por: i(1 i) n PMT PV . etc.Matematicamente. capital. consulte a função VP.2 Simbologia e convenções adotadas na HP-12C 4. Ms. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 47 . É de extrema necessidade fazer considerações em relação as convenções dos sinais da HP 12C. ou o saldo. algum valor foi colocado com o sinal errado (todos os valores tem o mesmo sinal) ou valores de i. PV e FV são tais que não existe solução n. Nper: é o número total de pagamentos pelo empréstimo. Vf: é o valor futuro.vf. Taxa: é a taxa de juros por período.tipo) Para obter uma descrição mais detalhada dos argumentos em PGTO. a HP 12C alerta o usuário com a seguinte mensagem: Error 5: erro em operações com juros compostos. e preciso inicialmente determinar se a série calculada é postecipada (configurada por [g] [END]) ou antecipada (configurada por [g] [BEG]). será considerado 0 (o valor futuro de determinado empréstimo. que você deseja obter depois do último pagamento. Provavelmente.Cálculos com séries uniformes no Excel As principais funções financeiras do Excel para operações com séries uniformes são: Função PGTO Retorna o pagamento periódico de uma anuidade de acordo com pagamentos constantes e com uma taxa de juros constante. Vp: é o valor presente — o valor total presente de uma série de pagamentos futuros. Tipo: é o número 0 ou 1 e indica as datas de vencimento.nper. Sintaxe: PGTO(taxa. Prof.3 .vp. Se Vf for omitido. No caso de a convenção dos sinais não ser respeitada e todos os parâmetros serem abastecidos com o mesmo sinal. Para operar com o registrador PMT da HP 12C. Figura 4. por exemplo. Desembolsos de caixa devem ser colocados com sinal negativo e recebimentos com o sinal positivo. 0). sabendo-se que o valor do principal é de R$ 1800.00 Armazena o tempo do financiamento [PMT] -389.Exemplo 1 Determinar o valor das prestações anuais de um financiamento realizado com a taxa efetiva de 8% ao ano no regime de juros compostos. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 48 .00 Armazena a taxa de juros 1800 [PV] 1800. Teclas (modo RPN) Visor [f] CLEAR [FIN] Zerar os registros financeiros [g] [END] Coloca a calculadora no modo END 8 [i] 8. Ms.00 e que o prazo da operação é de 6 anos. Prof.37 Calcula o valor das prestações Solução no Excel.00 Armazena o valor principal do financiamento 6[n] 6. Ms.563. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 49 .79 Calcula a taxa de juros mensal.00 Armazena o valor futuro [n] 8.00 Calcula o tempo – período.00 Armazena o valor principal 100[CHS] [PMT] -100.00.00.5 [i] 3.00 Armazena o principal 114563 [FV] 114. Qual a taxa de juros mensal cobrada pela loja? Teclas (modo RPN) Visor [f] CLEAR [FIN] Zerar os registros financeiros [g] [END] Coloca a calculadora no modo END 12 [n] 12.Exemplo 2 Um congelador no valor de R$ 950.00 cada. colocado a juros compostos à taxa de 3. cerca de 40 segundos (quanto maior o número de períodos.00 a vista é vendido em 12 pagamentos mensais iguais e sem entrada no valor de R$ 100.00 Armazena o valor das prestações [i] 3.50 Armazena a taxa de juros 87. Esse procedimento faz com que a Hp12 C (versão Gold e Platinum) operem com certa demora. elevou- se no fim de certo tempo a R$ 114. Teclas (modo RPN) Visor [f] CLEAR [FIN] Zerar os registros financeiros [g] [BEG] Coloca a calculadora no modo BEGIN 3. Calcule esse tempo.5% ao mês.000. Prof.000 [CHS] [PV] 87. maior será o tempo gasto).563.00.00 Armazena o período 950 [PV] 950. Exemplo 3 O principal de R$ 87. A nova versão da Hp12C – Prestige apresenta um desempenho melhor para a realização deste procedimento. Exemplo 4 Determinar o valor principal de um financiamento realizado com uma taxa efetiva de 1% ao mês.09 Calcula o principal do financiamento Exemplo 5 Um investidor efetua quatro depósitos anuais. no regime de juros compostos.00 Armazena a taxa de juros 1200 [CHS] [PMT] -1200.492. Ms. Teclas (modo RPN) Visor [g] [BEG] Coloca a HP no modo antecipado [f] CLEAR [FIN] Zerar os registros financeiros 4 [n] 4. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 50 . sucessivos no valor de R$ 500.00 Armazena o período 9 [i] 9.00? Teclas (modo RPN) Visor [f] CLEAR [FIN] Zerar os registros financeiros 12 [n] 12.montante Prof. capitalizados a uma taxa de 9% ao ano.36 Calcula o valor futuro .00 Armazena o valor das prestações [PV] 13. sucessivas de R$ 1200.506.00.00 Armazena a taxa anual de juros 500 [CHS] [PMT] -500.00 Armazena o período 1 [i] 1.00 Armazena o valor das prestações [FV] 2. e que deve ser liquidado em 12 prestações mensais. determine o montante após esses quatro anos. 000.000.se que o financiamento é realizado a juros compostos de 15% ao ano.00. No final de um ano.500. Para diminuir o valor das prestações. a juros compostos.00. assumindo que a 1ª prestação ocorre 30 dias após a liberação dos recursos. iguais e sucessivas. com o principal de $ 10. Determinar a parcela que deve ser paga ao cliente para que a agência adquira esse veículo assumindo o restante do financiamento.Exercícios propostos 1) Um empréstimo. Ms.000. a título de entrada. e que a 1ª prestação ocorre 30 dias após a liberação dos recursos.00. foi realizado a juros compostos.00 por ocasião da compra. iguais e sucessivas. Assumir os meses com 30 dias e determinar o valor dessas prestações nas seguintes hipóteses: a 1ª prestação deve ser paga 30 dias após a liberação dos Prof. no prazo de um ano. capitalizados mensalmente. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 51 . cujo principal é de $ 20. e que a 1ª prestação ocorre 30 dias após a liberação dos recursos. Determinar o valor que deve ser dado de sinal. para a parte financiada.00. com a mesma taxa de 1% ao mês. no regime de juros compostos. 3) Um empresário deseja obter um financiamento para adquirir um equipamento. sucessivas e iguais a $ 1. seja limitado a $ 1. sabendo .000. esse cliente procurou a mesma agência para vender esse automóvel.00 deve ser liquidado com 10 prestações mensais.000.075. iguais e sucessivas.00.000.00. cujo valor à vista é de $10.00 está sendo financiado a juros compostos de 12% ao ano. Assumir que a 1ª ocorre 30 dias após a liberação dos recursos. 7) Um financiamento.000. para que o valor das 12 prestações mensais. e a agência lhe ofereceu $18.00 com uma taxa de juros de 1% ao mês. deve ser liquidado em 10 prestações mensais.00. 4) Um equipamento cujo valor á vista é de $25. 5) Um cliente de uma agência de automóveis adquiriu um veículo financiado em 24 prestações de $1. ele pretende dar uma entrada de $ 3.5% ao mês. capitalizados mensalmente.7000. para pagamento à vista. Determinar a taxa de juros desse financiamento. Determinar o valor dessas prestações para uma taxa de 1. capitalizados mensalmente. no regime de juros compostos. com uma taxa de 1. iguais e sucessivas. 2) Um principal de $10. no regime de juros compostos.2% ao mês. iguais e sucessivas. Determinar o valor das 24 prestações mensais. 6) Um financiamento cujo principal é igual a $10.deve ser liquidado em quatro prestações semestrais.000. e deve ser liquidado mediante o pagamento de 12 prestações mensais. Determinar o valor dessas prestações sabendo – se que a taxa de juros cobrada é de 12% ao ano. nos instantes 1. imediatamente após a efetivação de seu último depósito.106. RESPOSTAS 1 .73 10 .2. Determinar o valor das oito prestações anuais. cada termo da série. no regime de juros compostos.117.3.05 3 .PMT = $1. c) PMT = $1.00.$1.776. 1. b) PMT = $1.recursos.40 ..2043 % a. os juros devidos nos dois primeiros anos de carência não são pagos e sim capitalizados.4. iguais e sucessivas.000. nas seguintes hipóteses: a 1ª prestação ocorre 30 dias após a liberação do principal. e deve ser amortizado no prazo de 10 anos.. 9 . 4.000.PMT = $339.18 .00 é realizado com uma taxa de 10% ao ano.067. que deverão ser pagas a partir do final do 3º ano.Sinal = $5. a título de entrada.00 deve ser liquidado mediante o pagamento de 12 prestações mensais de $900. 9) Um empréstimo de $100. 7 a) PMT = $1.0794 % a.m.53 . O valor presente da série uniforme infinita (perpétua) é dado por: R R R R PV (1 i) (1 i) (1 i) 2 3 (1 i) n Prof.000. observe a Figura 4.4313 % a. nas seguintes hipóteses: os juros devidos nos dois primeiros anos de carência são pagos no final de cada ano.00. 8) Um financiamento de $10. a 1ª prestação deve ser paga no ato da liberação dos recursos. Determinar a taxa efetiva mensal desse financiamento. no regime de juros compostos.a) PMT = $18.866.. . Seja R .m.06 8 a) 1.744.000.4 Rendas perpétuas Chamamos de séries uniformes infinita todo o conjuntos de capitais de mesmo valor. a 1ª prestação deve ser paga 120 dias após a liberação dos recursos. com os dois primeiros anos de carência. Ms. a 1ª prestação ocorre na mesma data da liberação do principal.n.110. 10) Um investidor efetuou 10 depósitos mensais de $2.3.1. era de $ 21.41 4 .m.37 5 . Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 52 ..98 2 .680.m.054.38 6 . b) PMT = $22.3370 % a.00 numa instituição financeira e verificou que o saldo a sua disposição.PMT = $3.1. Determinar a taxa de remuneração mensal desses depósitos no regime de juros compostos. 600.5%a.m. qual a retirada mensal que poderá fazer (retiradas constante) de modo a ter uma renda perpétua? (Considere a primeira retira daqui a um mês) 3) Um empresário pretende doar a uma escola um valor suficiente para gerar uma bolsa de estudos nos valor de $500. então: 1 i i 1 (1 i ) (1 i ) R PV i Exemplo 6 Quanto deverá um investidor aplicar hoje numa caderneta de poupança (que rende taxa real de 0. b) 0. atualizados monetariamente.O segundo membro dessa expressão é a soma dos termos de uma progressão R 1 geométrica infinita.000.600.00. no qual o primeiro membro é a1 e a razão é q .) para ter uma renda perpétua mensal (série infinita) de $8. segue que: n 1 q R R (1 i ) (1 i ) R PV .m.8%a.? Prof. R 8.000. Qual o valor da doação. se o investidor aplicar hoje $1.2% a. começando dentro de 1 mês? Considere as seguintes taxas de juros: a) 0.m. 2) Você dispõe hoje de $3. atualizados monetariamente.m. c) 0.00 i 0.00 por mês (renda perpétua) atualizados monetariamente.500.m. À taxa de 1.5% a.00. Exercícios propostos 1) Quanto uma pessoa deverá aplicar hoje num fundo de investimento para uma renda perpétua mensal de $10.m..00 atualizados monetariamente pelo índice de correção da poupança? Considere a primeira retirada um mês após a aplicação. Ms.000. d) 1.2%a.5%a.00.005 Assim. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 53 . se a taxa de juros for de 0.000 PV 1.0%a.m. terá um renda perpétua mensal de $8.00.000.00. Como (1 i ) 1 i a 0 q 1 a soma dessas infinitas séries é dada pela expressão S 1 . 00 c) 1.250.00 4) $300.000.000.00 Prof.500.00 3) $100. Qual o valor a ser depositado hoje se a taxa de juros é de 0.000. e pretende fazer uma aplicação que lhe garanta uma renda perpétua. atualizados monetariamente.4) Você está planejando uma aposentadoria mais tranquila.000.000.000.? Respostas 1) a) $ 5. Ms.000. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 54 .000.5%a.000. Sabendo-se que deseja uma retirada mensal (constante) de $1.00.00 2) $42.00 d) 1.m.00 b) $2. ou seja. 5. CFn parcela do fluxo de caixa no ponto n (Cash Flow no ponto n) Vamos sempre chamar de CFo a parcela do fluxo de caixa colocada no ponto zero da escala de tempo. por representar desembolso. de todos os fluxos de caixa da série não uniforme. 5. nesse caso. que apresentam períodos diferentes. Internal Rate of Return) corresponde ao valor da taxa de juros que torna nulo o valor do VPL. tem sinal negativo. chamamos de CF j qualquer parcela do fluxo de caixa que ocorrer a partir do final do 1º período até o final do último período (n). dois critérios são empregados nas análises: a taxa interna de retorno (TIR ou IRR) e o valor presente líquido (VPL ou NPV). Genericamente. Através deste cálculo podemos avaliar um determinado projeto de investimento na data presente. uma saída de caixa.CAPÍTULO 5 . Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 55 . Desde modo utilizamos dois parâmetros no seu estudo: o VPL e a TIR VPL: Valor Presente Líquido (ou NPV. somado algebricamente com a grandeza colocada na data zero. O VPL de um fluxo de caixa é igual ao valor presente de suas parcelas futuras (que são descontadas com uma determinada taxa de desconto -TMA).. Às vezes. do inglês. parcelas diferidas ao longo dos n períodos.3 – Valor Presente Líquido O Valor Presente Líquido (VPL) determina o valor líquido o investimento. Essa parcela normalmente corresponde ao investimento inicial e. Net Present Value) representa a soma. descontado com a Taxa Mínima de Atratividade (TMA) na data zero.1 – Séries com prestações diferentes As séries não uniformes apresentam valores de prestações diferentes..Valor Presente Líquido e Taxa Interna de Retorno Introdução O objetivo deste capítulo é apresentar operações que envolvem séries não uniformes (fluxo de caixas não homogêneos) de pagamento. 5. do inglês. Basicamente.2 – Representação de fluxo de caixa não homogêneo Na HP 12C podemos realizar cálculos com um fluxo de caixa não homogêneos. na data zero. Prof. é denominado Valor Atual líquido (ou VAL) TIR: Taxa Interna de Retorno (ou IRR. Ms. Assim temos: CFo parcela do fluxo de caixa no ponto 0 (Cash Flow no ponto 0) CF1 parcela do fluxo de caixa no ponto 1 (Cash Flow no ponto 1) CF2 parcela do fluxo de caixa no ponto 2 (Cash Flow no ponto 2) . isto é. . os argumentos que são valores de erro ou texto que não podem ser traduzidos em números são ignorados.4 – Valor Presente Líquido – EXCEL O Excel apresenta as funções VPL e XVPL. Ms.. valor2. somente os números dessa matriz ou referência são usados. valor2.. Um projeto de investimento é considerado atrativo quando o VPL for positivo.. a grandeza colocada na data zero corresponde ao investimento inicial e tem sinal negativo. Sintaxe: VPL (taxa. use a função VPL.devem ter o mesmo intervalo de tempo entre eles e ocorrer ao final de cada período. valor2.) Taxa: é a taxa de desconto sobre o intervalo de um período. Para calcular o valor presente líquido para uma sequencia de fluxos de caixa que é periódica. Vejas as sintaxes dessas duas funções: Função VPL: Calcula o valor líquido atual de um investimento utilizando a taxa de desconto e uma série de futuros pagamentos (valores negativos) e receita (valores positivos). . ambas para cálculo do valor presente líquido.valor1. 5.. texto ou valores de erro da matriz ou referência são ignorados. Certifique-se de fornecer os valores de pagamentos e receita na sequencia correta. Função XVPL: Retorna o valor presente líquido de um programa de fluxos de caixa que não é necessariamente periódico.. Células vazias.. Valor1.. células vazias.. ao serem descontadas com uma determinada taxa. para interpretar a ordem de fluxos de caixa. são argumentos de 1 a 254 que representam os pagamentos e a receita. Se um argumento for uma matriz ou referência.. O VPL é igual a zero quando as grandezas futuras. valores lógicas ou representações em forma de texto de números são contados. valores lógicos. uma vez que representa a saída de caixa. produzem um valor presente para o fluxo de caixa igual ao investimento inicial (desembolso) colocado na data zero. A função VPL utiliza a ordem de valor1. Prof. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 56 . Normalmente. sendo que o projeto que apresentar maior VPL será o projeto mais atrativo. Valor1.valor2.. A taxa interna de retorno (TIR) de um fluxo de caixa é a taxa de desconto que faz seu valor presente líquido ser igual a zero. Argumentos que são números. 000 [g] [CFj] 1. 92.500.500.valores. Teclas (modo RPN) Visor [f] CLEAR [FIN] Zerar os registros financeiros 10000 [CHS] [g] [CFo] -10.00 Armazena o retorno do 6º ano 12 [i] 12.000.00 Armazena o retorno do 4º ano 3.500. mas podem estar em qualquer ordem.datas) Taxa : é a taxa de desconto a ser aplicada ao fluxo de caixa.00 que tem retorno projetado conforme a seguir: 1º ano R$ 1.500.00 6º ano R$ 4. deverá ser negativo.00 5º ano R$ 3.00 Armazena o retorno do 5º ano 4.500.00 Armazena o retorno do 2º ano 2.00 Armazena o retorno do 3º ano 2.500.Sintaxe: XVPL(taxa. verificamos que o VPL é de R$ 519.000.00 4º ano R$ 2.500.000.00 2º ano R$ 2.500 [g] [CFj] 4. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 57 .a.000.500.500.92 Calcula o VPL Com base nos cálculos acima. A série de valores deve conter pelo menos um valor positivo e um negativo.00 Armazena a TMA [f] [NPV] 519.00 Determine o valor presente líquido e verifique se o projeto de investimento é viável.00 Armazena o valor do investimento 1.500 [g] [CFj] 2.500 [g] [CFj] 2. Ms.00 Armazena o retorno do 1º ano 2. portanto este projeto de investimento é viável tomando com base a análise por meio do VPL. Todas as outras datas devem ser posteriores a essa data.00 3º ano R$ 2. Todos os pagamentos subsequentes são descontados com base em um ano de 365 dias. Valores: é uma sequencia de fluxos de caixa que corresponde a um cronograma de pagamentos em datas.500 [g] [CFj] 3. positivo e. Prof. Datas: é um cronograma de datas de pagamentos que corresponde aos pagamentos de fluxo de caixa.500 [g] [CFj] 2. pretende efetuar um investimento de R$ 10. Exemplo 1 Uma empresa cuja TMA é de 12% a. Se o primeiro valor for um custo ou pagamento. O primeiro pagamento é opcional e corresponde a um custo ou pagamento que ocorre no início do investimento.500. A primeira data de pagamento indica o início do cronograma de pagamentos. 000.00 Armazena o retorno do 6º ano 12 [i] 12.500 [g] [CFj] 3. resolver esse exercício de uma maneira mais rápida. Teclas (modo RPN) Visor [f] CLEAR [FIN] Zerar os registros financeiros 40000 [CHS] [g] [CFo] -40. Analise a viabilidade desde projeto.00 Indica que o valor de 8.000. Ms.00 durante os 10 anos de sua vida útil.000.00 Armazena o retorno do 1º ano 2.00 Armazena o retorno anualmente 9 [g] [Nj] 9.000.00 Armazena o retorno do 5º ano 4.00 Indica que o valor de 2.000.68 Calcula o VPL Prof.500.00 Armazena a TMA [f] [NPV] 6.00 Armazena a TMA [f] [NPV] 519.000 [g] [CFj] 1.92 Calcula o VPL Observação: Na célula B9 após calcularmos o VPL é necessário subtrair o valor do investimento para obter o VPL líquido final.500 [g] [CFj] 2.000 [g] [CFj] 8.00 Armazena o valor do investimento 8.500.Podemos ainda.00 e deverá gerar fluxos de caixas anuais iguais a $8.00 teve três entradas de caixa. Sabe-se que o veículo custará $40.00 Armazena o retorno do 2º ano 3 [g] [Nj] 3.500 [g] [CFj] 4.489.00. O custo de capital da empresa é estimado em 12% a.500. Veja abaixo outro procedimento: Teclas (modo RPN) Visor [f] CLEAR [FIN] Zerar os registros financeiros 10000 [CHS] [g] [CFo] -10.000.000.a.000. estima-se que o bem apresentará um valor residual igual a $4.00 Armazena o valor do último retorno mais o valor residual do caminhão 12 [i] 12. Após o horizonte analisado.00 Armazena o valor do investimento 1. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 58 .500. Exemplo 2 A Comercial Trio Liro gostaria de analisar a possibilidade de investimento em um novo modelo de caminhão de entregas.000. 3.00 teve 9 entradas consecutivas e iguais 12.000 [g] [CFj] 12. 00 Valor Residual R$ 65.000 35.000. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 59 .000.000. o projeto de investimento deveria ser aceito. 18 [i] 18.000 [CHS] [g] [CFj] -30.0 R$ 30.000. Nesse caso.000.00 Indica que o custo de 30. Exemplo 3 – Análise do VPL com informações de custo de projeto Uma empresa está estudando a alternativa de aquisição de um caminhão para executar o transporte entre as filiais da empresa.000.000.O VPL obtido foi positivo.00 Armazena a TMA [f] [NPV] -210.a. A TMA da empresa é de 18% a. O investidor tem a alternativa de aquisição de um caminhão novo ou usado para executar este serviço.03 Calcula o VPL Prof. Ms.00 Custo Anual R$ 30.00 Caminhão Novo Teclas (modo RPN) Visor [f] CLEAR [FIN] Zerar os registros financeiros 145000 [CHS] [g] [CFo] -145. As informações de aquisição e de custos anuais com consumo de combustível e manutenção dos caminhões são: Dados Caminhão Novo Caminhão Usado Custo de aquisição R$ 145.00 Armazena diferença entre o valor residual e o [-] [g] [CFj] custo de manutenção do caminhão com quinto ano.000 [ENTER] 30.00 Armazena o valor do investimento 30. para um período de cinco anos do uso do caminhão.00 R$ 65.000. indicando que os fluxos futuros somados na data zero superam o investimento inicial. 65.00 durante os quatro primeiros anos.000.403.00 R$ 45.000.00 Armazena o custo anualmente 4 [g] [Nj] 4. a melhor alternativa é o caminhão usado.000 [ENTER] 45.00 Armazena o retorno do 1º ano 8. 18 [i] 18.a.000 [CHS] [g] [CFj] -45.42 Calcula o VPL Análise dos resultados: Mesmo considerando que o custo operacional anual do caminhão usado é 50% superior ao do caminhão novo.000.000.000.455. R$8.00. Ms.00 Armazena a TMA [f] [NPV] -192. R$ 12.000.000 [g] [CFj] 14. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 60 .00 durante os quatro primeiros anos. Teclas (modo RPN) Visor [f] CLEAR [FIN] Zerar os registros financeiros 35000 [CHS] [g] [CFo] -35.000. R$ 10. 30.000.00 com retorno estimado nos próximos cinco anos de R$6. Sabe-se que a empresa tem a sua disposição uma taxa mínima de atratividade de 14% a.00 Armazena o retorno do 2º ano 10. Exemplo 4 A empresa de confecção Pano Bom planeja aumentar sua produção anual de camisas.000 [g] [CFj] 6.000 [g] [CFj] 10.000.00 Armazena o valor do investimento 45.00 Armazena o retorno do 4º ano 14.000 [g] [CFj] 8.00 Armazena diferença entre o valor residual e o [-] [g] [CFj] custo de manutenção do caminhão com quinto ano.00. pois apresenta o menor VPL.000. você terá menos custo ao longo dos cinco anos. em função do valor do investimento do caminhão novo.00 Armazena o valor do investimento 6.00 respectivamente.00.00 Armazena o retorno do 3º ano 12.00 Armazena a TMA [f] [NPV] -2.Caminhão Usado Teclas (modo RPN) Visor [f] CLEAR [FIN] Zerar os registros financeiros 65000 [CHS] [g] [CFo] -65.000.000.00 e R$14. Com base nesses dados verifique se o investimento é viável.00 Armazena o custo anualmente 4 [g] [Nj] 4.000.00 Armazena o retorno do 5º ano 14 [i] 14.000.609. Para poder realizar esse aumento será necessário um investimento no valor de R$ 35.000.000. ou seja.000.000 -15.000 [g] [CFj] 12.00 Indica que o custo de 30.000.26 Calcula o VPL Prof. 490. pois apresenta um VPL negativo. Análise dos resultados: Com base no VPL obtido.000. Para esse exercício usaremos a função XVPL disponível no Excel.50%.380. retorna menos do que o investido.00 no dia 23/04/2011 que gerará seis parcelas em datas futuras como mostra a tabela seguir.450. Datas Capitais 23/04/2011 -R$ 125.000. pois a HP 12C não efetua cálculos com períodos heterogêneos.00 Sabendo que a taxa mínima de atratividade anual seja de 12. Exemplo 5 A empresa está analisando o investimento de R$125.00 28/05/2011 R$ 13.00 22/07/2011 R$ 16. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 61 .720. verificamos que o investimento não é viável. analise esse investimento.650.00 26/04/2012 R$ 33. Prof. ou seja.00 31/08/2011 R$ 19. Ms.00 23/01/2012 R$ 28.00 20/10/2011 R$ 24.250. não é necessário fornecer estimativa para o cálculo de TIR. Estimativa: é um número que se estima ser próximo do resultado de TIR. é fundamental que todos os valores referentes a ingresso de recursos financeiros sejam considerados com o sinal positivo. basta compará-la com a TMA. TIR usa a ordem de valores para interpretar a ordem de fluxos de caixa.5. custos e despesas. tente novamente com um valor diferente para estimativa.5 Taxa Interna de Retorno – TIR A taxa interna de retorno (TIR) representa o valor do custo de capital que torna o VPL nulo. não sendo possível a determinação da TIR quando só forem conhecidos valores de custo do projeto. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 62 . Valores devem conter pelo menos um valor positivo e um negativo para calcular a taxa interna de retorno.1 (10 por cento). Se TIR fornecer o valor de erro #NÚM!. Prof. ou se o resultado não for próximo do esperado. Logo. A taxa interna de retorno é a taxa de juros recebida para um investimento que consiste em pagamentos (valores negativos) e receitas (valores positivos) que ocorrem em períodos regulares. o projeto é atrativo. Certifique-se de inserir os valores de pagamentos e rendas na sequencia desejada. o valor de erro #NÚM! será retornado. será considerada 0. significa que o rendimento esperado do projeto é inferior ao nível mínimo desejado pelo investidor. TIR refaz o cálculo até o resultado ter uma precisão de 0. Função TIR . só é possível a determinação da TIR quando no projeto forem analisados receitas. Na maioria dos casos. portanto a uma taxa que remunera o valor investido no projeto. estes valores serão ignorados. Normalmente.Retorna a taxa interna de retorno de uma sequencia de fluxos de caixa representada pelos números em valores. É evidente que se a TIR for negativa. Quando superior ao custo de capital do projeto. Estes fluxos de caixa não precisam ser iguais como no caso de uma anuidade. Se TIR não puder localizar um resultado que funcione depois de 20 tentativas. ao mês ou qualquer outro período.00001 por cento. os fluxos de caixa devem ser feitos em intervalos regulares. Entretanto. Se a TIR for superior à TMA. desde que os valores de retorno sejam reaplicados pela TIR. A TIR representa também a taxa efetiva recebida no investimento. enquanto as saídas de recursos com sinal negativo. o projeto apresentará prejuízo efetivo. Sintaxe: TIR(valores. no entanto. podendo ser calculada ao ano. este deve ser aceito. Para analisar a TIR. se a TIR for inferior à TMA. Se estimativa for omitida.estimativa) Valores: é uma matriz ou uma referência a células que contêm números cuja taxa interna de retorno se deseja calcular. é calculada de forma anual. Para a determinação da TIR. Começando por estimativa. Ms. como mensalmente ou anualmente. O Microsoft Excel usa uma técnica iterativa para calcular TIR. Se uma matriz ou argumento de referência contiver texto. valores lógicos ou células em branco. Corresponde. 00 Armazena o retorno do 3º ano 2.000. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 63 .5% a. Observação: Para o cálculo da taxa interna de retorno (TIR) a HP12C Gold e a Platinum apresentam um rendimento vagaroso para a realização deste cálculo. já conseguiremos chegar ao resultado. Teclas (modo RPN) Visor [f] CLEAR [FIN] Zerar os registros financeiros 10000 [CHS] [g] [CFo] -10.500.5% a.00 que tem retorno projetado conforme a seguir: 1º ano R$ 1.00 Armazena o retorno do 6º ano [f] [IRR] 13. A HP12C Prestige.a. Prof.500 [g] [CFj] 2. que significa que.00 6º ano R$ 4.00 Armazena o retorno do 5º ano 4.50 Calcula a TIR – 13.00 5º ano R$ 3. o que mostra que foi superior a TMA que nesse caso era de 12%.500.a.000 [g] [CFj] 1.000.500. se informa a TMA no [i].00 Determine a taxa interna de retorno (TIR).500 [g] [CFj] 3.00 Armazena o retorno do 2º ano 2.00 Armazena o valor do investimento 1.500.00 2º ano R$ 2. apresenta um rendimento melhor para esse tipo de cálculo podendo realizar o mesmo procedimento quatro vezes mais rápido do que a Gold ou Paltinum. pretende efetuar um investimento de R$ 10.500.Exemplo 6 Uma empresa cuja TMA é de 12% a.500. dependendo do número de entradas existentes no fluxo de caixa do projeto..500 [g] [CFj] 4. face à dificuldade de análise do fluxo de caixa.. podendo demorar até 40 segundos.a.500.00 Armazena o retorno do 4º ano 3.000. Ms. Quando calculamos a TIR (IRR) eventualmente a calculadora poderá apresentar o ERROR 3. Logo que a calculadora exibir ERROR 3.500 [g] [CFj] 2.500 [g] [CFj] 2. logo o projeto deve ser aceito.a. Normalmente.a.500.500.00 Armazena o retorno do 1º ano 2. Análise dos resultados Nesse projeto a TIR obtida foi de 13.000.500. deveremos efetuar o seguinte procedimento: informar uma estimativa de taxa (TMA) na função [i] e na sequencia pressionar as teclas [RCL] [g] [R/S]. e necessário informar uma estimativa facilitando assim a lógica de cálculo.00 3º ano R$ 2.00 4º ano R$ 2. pois a HP 12C não efetua cálculos com períodos heterogêneos.00 20/10/2011 R$ 24.00 Armazena a 72ª parcela [f] [IRR] 0. Prof.00 28/05/2011 R$ 13.00 31/08/2011 R$ 19.81 Armazena o valor do investimento na data zero.000. Teclas (modo RPN) Visor [f] CLEAR [FIN] Zerar os registros financeiros 234.00 23/01/2012 R$ 28.00 no dia 23/04/2011 que gerará seis parcelas em datas futuras como mostra a tabela seguir.00 Armazena a 30ª parcela 0 [g] [CFj] 0.490.81 Inicialmente verificamos que o período não é regular. e sendo assim teremos de transformar em período em regular.00 26/04/2012 R$ 33. igual a 7.78%a.81 [CHS] [g] [CFo] -234. Exemplo 8 A empresa está analisando o investimento de R$125.00 Calcula a Taxa Interna de Retorno desse investimento. Pense que cada dia seja um período e assim poderemos encontrar a taxa diária.00 22/07/2011 R$ 16.00 Valor suposto para investimento inicial 30 [n] 30. A HP 12C sempre trabalha com período regulares. 0 [g] [CFj] 0. e nem mesmo as entradas de caixa.250. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 64 .m.78 Calcula o montante após 30 dias 100 [-] 7. Para esse exercício usaremos a função XTIR disponível no Excel. Datas Capitais 23/04/2011 -R$ 125.00 Armazena a parcela de nº 1 29 [g] [Nj] 29.Exemplo 7 Determine a taxa interna de retorno do investimento dado pelo fluxo de caixa abaixo: 170 100 30 72 (dias) 234.380.00 Armazena o tempo de 30 dias [FV] 107.25 Calcula a taxa interna de retorno diária Cálculo da taxa interna de retorno mensal [i] 0.000.00 Armazena a 31ª parcela 41 [g] [Nj] 41.00 Armazena as 29 primeiras parcelas 100 [g] [CFj] 100. Ms.650.00 Armazena as próximas 41 parcelas 170 [g] [CFj] 170. depois simplesmente converteremos para mensal.450.25 Armazena a taxa diária 100 [CHS] [PV] -100.720.78 Calcula a taxa interna de retorno mensal. $250.00 para ser pago em 3 prestações vencíveis em 1. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 65 .000.000.m.7% a.000.000..00.00 2) Um banco concede a uma empresa um empréstimo de $600.? 5) Uma pessoa aplicou $500. a) Qual a taxa interna de retorno desse investimento? b) Supondo que a taxa de atratividade do investidor seja de 6% a.000.a. $300.00 2 40.00 e recebeu $200. Período Fluxo 0 (70.000. Ms.000.2 e 3 meses com valores de $200.00 em 3 parcelas mensais e iguais. respectivamente.000.000. a) Qual a taxa de juros do financiamento? b) Qual a melhor alternativa para o comprador. $60. Qual a taxa de juros desse empréstimo? 3) Um equipamento é vendido à vista por $1.00 cada uma.00 após 7 meses.00 após 3 meses.00 ou então tal quantia pode ser financiado com $300.00 3 30. estime o VPL e a TIR. Sabendo que o custo de capital da empresa é igual a 12%a. verifique se ele deve ser feito.00 após 1 mês. sem acréscimo sendo a primeira dada como entrada.00 após 5 meses e $90. Os fluxos de caixa decorrentes do investimento estão apresentados na tabela seguinte. Qual a taxa interna de retorno? 6) Aplicando $120.m. Prof.000.00.000.000.000.000.Exercícios propostos 1) A Transportadora Rápido Como o Vento pensa em comprar um novo caminhão no valor de $70.000.000. se ele consegue aplicar seu dinheiro a 1.000.00 após 2 meses e $300.00 uma pessoa recebe $40.000.00 e $400. há um desconto de 5% sobre o preço de venda.00) 1 50.00 de entrada mais três parcelas mensais de $400. Qual a taxa de juros desse financiamento? 4) Uma matéria-prima é vendida por $90.300.00 após 3 meses.000.000.000.00. Se o pagamento for efetuado a vista. 61% a. 8 .$2. Calcule o valor a ser pago no final do terceiro mês para liquidar a dívida.00 à taxa de 120%a.3742 2. Sendo de $1.000.500.m.134. capitalizados mensalmente.. a primeira prestação vence três meses após a compra). Sim deve ser feito 7 – 6% a. Ms. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 66 . RESPOSTAS 1 -NPV: 27884. 3 – 9.65% a. calcule a taxa mensal de juros pela financiadora. 4 – a) 5.a.20.00 pode ser paga em 4 prestações mensais e iguais.000. 6 – 8.00 Prof.0197. 8) Uma empresa obteve um financiamento no valor de $10.m.m.36% b) à vista 5 – 21.00 no final do primeiro mês e $3.m.750.7) Uma mercadoria cujo valor à vista é de $3.91 o valor de cada uma das prestações. sendo dados ao cliente 2 meses de carência ( ou seja.7% a.00 no final do segundo mês.85% a.000. TIR:36. A empresa pagou $6.m. A seguir são descritos alguns sistemas de amortização. Assim. Ms. tanto por parte do devedor como por parte do credor. também denominado de Tabela Price. Os sistemas de amortização são os mais variados. em conhecer. a cada período de tempo.CAPÍTULO 6 . Por isso. A necessidade de recursos obriga àqueles que querem fazer investimentos a tomarem empréstimos e assumirem dívidas que são pagas com juros de forma que variam de acordo com contratos estabelecidos entre as partes interessadas. podem ser três tipos principais: americano. as prestações são constantes. é comum a elaboração de demonstrativos que acompanham cada pagamento do empréstimo. empregam esse sistema na determinação do ressarcimento dos juros e da quitação do principal. o estado da dívida. As formas de pagamento dos empréstimos são chamadas sistemas de amortização. Geralmente. para os quais são calculados os valores dos pagamentos e. Alguns desses sistemas de amortização são mais comuns e tem até denominações próprias. o pagamento dos juros é decrescente. os juros são pagos periodicamente. Nos sistema americano. francês (PRICE) ou amortizações constantes (SAC). nos casos de parcelamento. enquanto as amortizações do principal são crescentes. ainda.Sistemas de Amortização Introdução Os objetivos deste capítulo consistem em discutir de forma mais clara e simples possível os principais conceitos associados aos sistemas de amortização. os sistemas podem ser de três tipos principais: americano. o valor de cada pagamento ser subdividido em juros e amortização (devolução do principal emprestado). Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 67 . quando utilizados.1 – Sistemas e metodologias de cálculos de juros e amortizações As classificações dos sistemas de amortização são usualmente feitas com base na forma de cálculos das anuidades. as séries são sempre uniformes. seguidos de exemplos. que. como os bonds (títulos de dívida pública ou corporativa) ou as debêntures. Outros não têm denominações próprias e. como o sistema PRICE. sendo o principal quitado apenas no final da operação. outros possibilitando parcelamentos. existe interesse. Não existe um modelo único de demonstrativo mas todos eles devem constar o valor de cada pagamento e o saldo devedor. francês ou com amortizações constantes. ou seja. são descritos pormenorizadamente nos contratos de empréstimo. Alguns ativos financeiros. são elaborados os demonstrativos e/ou planilhas. o total pago e o saldo devedor. isto é. Prof. No sistema francês. alguns prevendo pagamento único. 6. basicamente. Quando a forma escolhida para a amortização de uma dívida prevê pagamento parcelado. devendo. outros cálculos. 6.24 Calcula o saldo devedor após o 2º pagamento 1 [f] [AMORT] -31. Ms.m. Qual o valor dos juros e da amortização quitada em cada parcela? Teclas (modo RPN) Visor [f] [REG] Limpa a memória da Hp12C 400 [PV] 400. são facilitadas pela função [f] [AMORT] Exemplo 1 Um empréstimo no valor de R$ 400. com a primeira vencendo 30 dias após a liberação do principal.00 Calcula os juros pagos no período 1 [x><y] -109.00 Armazena o valor do empréstimo 20 [i] 20.00 Calcula o saldo devedor após o 3º pagamento Prof. as prestações são decrescentes.65 Calcula os juros pagos no período 3 [x><y] -158.87 Calcula a amortização no período 2 [RCL] [PV] 158.00 Armazena o período do empréstimo [g] [END] Coloca a H12C no modo postecipado [PMT] -189. sucessivos e iguais. No sistema de amortizações constantes. Adicionalmente.02 Calcula os juros pagos no período 2 [x><y] -131.00 deve ser pago em três parcelas mensais e iguais. ou simplesmente. SAC.90 Calcula o valor de cada pagamento 1 [f] [AMORT] -80. A taxa acordada para esta operação é de 20%a. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 68 .2 – Sistema Francês – Tabela Price Nessa modalidade de amortização. Quando as prestações são mensais e a taxa apresentada é anual com capitalização mensal.00 Armazena o taxa de juros do empréstimo 3[n] 3. o sistema francês recebe o nome de Tabela Price. A calculadora HP12C permite que os cálculos com o sistema francês sejam executados da mesma forma que as operações com séries uniformes. Logo. Corresponde ás series uniformes já estudadas anteriormente. como a determinação dos juros ou amortização pagas em cada prestação. as amortizações são uniformes e o pagamento de juros decai com o tempo.24 Calcula a amortização no período 3 [RCL] [PV] 0. a dívida é resgatada ou quitada mediante uma série de n pagamentos periódicos.11 Calcula o saldo devedor após o 1º pagamento 1 [f] [AMORT] -58.89 Calcula a amortização no período 1 [RCL] [PV] 290. 0).00 569. Período Saldo Pagamentos Saldo Inicial Juros Amortização Prestação Devedor 0 57.611.061.24 189.00 90.89 158.00 é feito pelo sistema francês de amortização em seis meses. construa uma tabela de amortização.000. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 69 .573.24 31.00 80.50 13.62 5 24.23 15.000.964.000.388.62 3.061.50 2 50.96 1.24 3 158.50 0.54 13.096.00 Total 169.89 0.46 15. à taxa de 15%a.488.485.50 24.50 7.89 189. Exemplo 2 O financiamento de um equipamento no valor de R$57.096. e no cálculo das prestações vamos travar todas as células da função PGTO =PGTO($D$5.488.67 Para cálculo das prestações mensais e iguais usamos a função PGTO do Excel..000.80 4 34.488.369.80 5.00 Prof.388.061.11 58.00 1 400.00 109.$D$4.02 131.485.18 15.158.66 15. Após preencher o primeiro período.04 8.m.096.01 57.32 9.061. Ms.672.50 50.96 6 13.00 1 57.061.11 2 290.84 11..00 8550.96 15.27 7.TABELA DE AMORTIZAÇÃO Período Saldo Pagamentos Saldo Inicial Juros Amortização Prestação Devedor 0 400. vamos travar os juros.00 Total 33.388. célula =$D$5*F9.27 6.000.27 3 43.50 43.87 189.50 15.450.061.67 400. Selecione toda alinha da 1ª prestação e use a alça de preenchimento para completar a tabela.903.000.65 158.89 290.50 34.$D$3.369.00 6511. 000.00 4. em que o valor de cada amortização é igual a VP/n.000.000.00 1 16.00 4.000.00 8.00 Prof. as parcelas são decrescentes.000. Exemplo 3 Um empréstimo no valor de $16.000.00 80.000.00 320. como saldo devedor e o pagamento de juros decrescem.000.000.00 16.6.00 4 4.00 4.00 3 8.160.000.00 160.00 4.00 2 12.00 deve ser quitado em quatro parcelas mensais mediante o pagamento do Sistema de Amortização Constante – SAC. Assim. Os juros incidentes sobre o saldo devedor são quitados juntamente com a amortização do principal.00 Total 800.00 4. Calcule o valor de cada parcela.3 – Sistema SAC Nesse sistema de amortização a dívida (PV) assumida é quitada em n parcelas iguais.000. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 70 .00 0. Ms.00 4. Período Saldo Pagamentos Saldo Inicial Juros Amortização Prestação Devedor 0 16.000. A taxa de juros mensal da operação é igual a 2%.800.00 240.080.00 4.00 12.320.00 16. sabendo que a primeira será paga dentro de 30 dias.000.240.000.00 4.00 4. Todas as características desse investimento. da seguinte maneira: Prof. as debêntures constituem uma das formas mais antigas de captação de recursos por meio de títulos.00 Pelo diagrama de fluxo de caixa da operação. com o valor nominal igual a $100. de médio e longo prazo. qual a taxa de juros semestral efetivamente paga pela empresa? Valor presente da debênture VP=$90. como o mercado de debêntures.000.000.00. são definidas na escritura de emissão. Ms.00 Pagamento de juros periódicos PMT=$4. O que são debêntures? Debênture é um título de dívida. mostrado na figura acima. vencimento em três ano e pagamento semestral de juros no valor de $4.bmfbovespa. Quem investe em debêntures se torna credor dessas companhias.000.00. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 71 . Se a debênture estiver sendo vendida hoje por $90. No Brasil.00.6. O emprego de sistemas de amortização do tipo americano é comum em algumas operações de mercado financeiro.com. uma empresa pensa em lançar debêntures no mercado nacional. remuneração etc. (fonte: http://www.000..000. que confere a seu detentor um direito de crédito contra a companhia emissora. podemos encontrar a taxa de juros usando a HP 12C.br/pt-br/renda-fixa/o-que-sao-debentures.000. como prazo.00 Pagamento de valor nominal VF=$100.aspx?idioma=pt-br) Por exemplo. enquanto os juros são sempre pagos periodicamente.4 – Sistema Americano Consiste no pagamento do principal (ou capital inicial ou valor presente) no final do período que caracteriza o prazo do empréstimo. série postecipada.m. vencendo a primeira 60 dias após o empréstimo. amortização e saldo devedor) para os casos em que o pagamento é parcelado: a) Capital e Juros Simples pagos no final. c) Plano C: 4 prestações semestrais de $1. mais quatro prestações semestrais iguais.00 e determinar os valores das parcelas do seguinte plano de financiamento: a) Plano A: 24 prestações mensais. 3) Um empréstimo de R$ 100. g) Três prestações mensais com amortizações iguais. 5) Uma instituição financeira oferece financiamentos de 24 meses e deseja que todos os seus planos de financiamento sejam equivalentes.00 é financiado pelo prazo de quatro meses.00 deve ser liquidado num prazo de cinco anos.00. mais 24 prestações mensais iguais. Descreva como será o pagamento em cada caso e faça uma planilha (com pagamentos.00 Armazena o valor presente 4000 [CHS] [PMT] 4.000. Considerar um principal de $10.00 Armazena o valor nominal da debênture [g] [END] Coloca a HP 12C no modo postecipado [i] 6.000. d) Plano D: 24 prestações mensais de $200. sendo a primeira no final do 8º mês e a segunda no final do 16º mês.5% ao mês.000. h) Duas prestações mensais iguais.0359 Calcular a taxa de juros Exercícios propostos 1) Um principal de $10.. 2) Um principal de $10. no Sistema de Amortizações Constantes .000. a uma taxa de 1. 6) Um financiamento cujo principal é $10. no regime de juros compostos. no regime de juros compostos. Determinar os valores dos juros pagos no final do 4º mês.000.00 Armazena o pagamento dos juros 100000 [CHS] [FV] 100.000. 4) Um financiamento com um principal de $10.000. Determinar o valor dessas últimas seis prestações para que a Prof. Determinar os valores dos juros pagos no final do 4º mês. As seis primeiras prestações são iguais a $1.Teclas (modo RPN) Visor [f] CLEAR [FIN] Zerar os registros financeiros 6 [n] 6.00 Registra o tempo 90000 [PV] 90.00 deve ser liquidado por meio de 12 prestações mensais.00 é financiado pelo prazo de quatro meses. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 72 . juros.000. vencendo a primeira 30 dias após o empréstimo (Sistema Price). e) Juros compostos pagos antecipadamente e capital pago no final.00 e as seis últimas prestações também devem ter valores iguais. pelo SAC. com juros de 18% a.000.00.5% ao mês.00 deve ser pago em três meses. d) Juros simples pagos antecipadamente e capital pago no final.000. no regime de juros compostos. c) Juros pagos mensalmente e capital pago no final (Sistema Americano). b) Plano B: 24 prestações mensais de $ 250. Ms. mais duas parcelas intermediárias iguais. a serem pagas a partir de 30 dias após a liberação dos recursos. no Sistema PRICE. f) Três prestações mensais iguais. b) Capital e juros compostos pagos no final. a uma taxa de juros compostos de 9% ao ano.00.SAC.5% ao mês. por meio dos Sistema Price. a uma taxa efetiva de 1. determinar o valor dos juros contidos na 3ª prestação. a uma taxa de 1.000. 0289% Prof.500.00.303.5 anos.80) e também R$ 100. cujo valor à vista é de $10.se que o financiamento é realizado a juros compostos de 15% ao ano. para a parte financiada. Para diminuir o valor das prestações. Se a taxa de juros compostos cobrada pela loja é igual a 2. sabendo .41 8) 6% a.000. iguais e sucessivas.333.000.2% ao mês. e) R$ 64.00 a vista.07 7) $339.33. R$ 45. 7) Um empresário deseja obter um financiamento para adquirir um equipamento.333.44 vencendo respectivamente 60 e 90 dias após o empréstimo.552.00 pode ser paga em 4 prestações mensais e iguais. taxa de cupom igual a 12% a. RESPOSTAS 1) $38. sendo dados ao cliente 2 meses de carência ( ou seja.20 antecipados (empréstimo real de R$ 35.33 e R$ 39.00 por mês e R$ 100. Sendo de $1.88 6) $792.333.a.33. ele pretende dar uma entrada de $ 3. 4) $585. capitalizados mensalmente.39 g)Três prestações mensais de R$ 51. desenvolva a planilha de amortização para todo o período supondo o sistema: SAC Price 10) Sabendo que as debêntures emitidas pela Companhia Águas do Norte Ltda.70 5) a) $499. a primeira prestação vence três meses após a compra).134.m.00) e também R$ 100.00 no final d) R$ 54.71 d) $3.00. possuem valor nominal igual a $60. estime a taxa trimestral de rentabilidade do título.00 b) R$ 164. estão cotadas a $55..00 por ocasião da compra. 8) Uma mercadoria cujo valor à vista é de $3. calcule a taxa mensal de juros pela financiadora. sobre o valor nominal.368.taxa efetiva de juros desse financiamento seja igual a 1. respectivamente h) Duas prestações mensais de R$ 75.303.65 c) $338.000. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 73 .000.00.000.50 3) a) R$ 154.00 no final f) Três prestações mensais de R$ 45.000.m.5% a.24 b) $1.000. ou em cinco parcelas mensais e iguais sem entrada. Determinar o valor das 24 prestações mensais.992.576.20 c) R$ 18.000.000.91 o valor de cada uma das prestações. com pagamento trimestral de juros e vencimento programado para daqui a 2. 10) 4. Ms.000.00 antecipados (empréstimo real de R$ 46.34 2) $37.000.00 no final. no regime de juros compostos. e que a 1ª prestação ocorre 30 dias após a liberação dos recursos. 9) Uma loja de microinformática está anunciando vendas de impressoras a laser por R$ 1400.696. 000. imediatamente após o pagamento da quarta prestação. concordando em quitá-Io em 30 paga¬mentos anuais iguais e postecipados.00 ou então a prazo em 24 prestações mensais de $ 2. Sabendo que serão pagas cinco parcelas sem entrada e que a taxa de juros vigente na operação foi igual a 5% ao mês. sem pagamentos de nenhum tipo nesse período. à taxa de 10% a. Sabendo-se que a taxa efetiva desse financiamento. 5) Um automóvel foi financiado no sistema SAC em oito parcelas mensais.00 a uma taxa de juros compostos igual a 26% ao ano. quanto deveria ser pago? 4) Um financiamento. Se quisesse liquidar a dívida imediatamente após o sexto pagamento.000. Como fica a planilha de financiamento com a primeira prestação vencendo daqui a um mês? Período Saldo Pagamento Saldo Final Inicial Juros Amortização Prestação 1 2 3 4 5 6 2) Um automóvel no valor de $ 40.000. é de 4% ao mês. para cada período. Caso a primeira prestação vencesse cinco meses após a compra. Ms. sendo os juros capitalizados no financiamento.00.000.00 cada.000. 6) Um financiamento imobiliário de $ 300. o valor pago a título de juros e a título de amortização. A primeira prestação vence um mês após a compra. mantendo a taxa de juros e o número de Prof. iguais e sucessivas. cujo principal é $ 90.00 foi realizado no sistema Pri¬ce. (b) valor do saldo devedor (princi¬pal remanescente)..00 e a taxa da operação foi igual a 2% a.Exercícios complementares 1) O financiamento de um equipamento no valor de $ 60. deve ser liquidado mediante o pagamento de 15 prestações mensais. A primeira prestação ocorre 30 dias após a liberação dos recursos.m. Período Saldo Pagamento Saldo Final Inicial Juros Amortização Prestação 1 2 3 4 5 3) Um cliente do Banco da Praça tomou emprestado $ 100.m. Pede-se obter o valor dos juros pagos na sexta parcela. a juros compostos.00 é feito pela Tabela Price em 6 meses. mediante uma taxa de 3% a.000.00 foi financiado segundo um sistema de prestações constantes. 7) Um veleiro está sendo vendido a vista por $ 30. determinar: (a) valor da amor¬tização do principal contido na nona prestação.m. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 74 .000. componha. Pede-se obter o valor dos juros e da amortização pagos na 16ª parcela. Sabe-se que o valor do bem foi igual a $ 20. com 20 parcelas mensais postecipadas iguais.000. 41 Prof. a uma taxa de 2% ao mês.15 4) a) $42. Calcule a amortização do saldo devedor embutida na primeira prestação mensal. vencendo a primeira prestação em 30 dias. qual seria o valor de cada nova prestação? Ou seja.00 6) juros: $2770. Ms.45 amortização: $17.000.913. Respostas 1) Completar a tabela 2) Completar a tabela 3) $99.394. calcule o valor da nova prestação supondo uma prorrogação de quatro meses.707. 8) Uma compra no valor de $ 20.00 deve ser paga com uma entrada a vista de 20% e o saldo devedor restante em 6 prestações mensais iguais.42 5) $150.prestações iguais.50 b) $70.433. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 75 .16 8)$2536.26 7) $2354. Obs. 8. possibilitando ao estudante uma compreensão de forma rápida e objetiva das principais funções da máquina. Prof. 8. [f] e o número 6 irá aparecer no visor 3.MY C PRGM Se aparecer a especificação acima no visor. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 76 .2 Separadores de dígitos Nada mais é do que a posição do ponto e vírgula.CAPÍTULO 7 – Conhecendo a HP 12 C Se quiseres ser rico. ou um erro na tomada de decisão pode ser fatal no que tange ao desempenho quer pessoal. 8. Soltando em seguida a tecla [X]. 7.3 O teclado Muitas das teclas da HP 12C executam duas ou até três funções. procedemos da seguinte maneira: Com a máquina desligada. também. 8. profissional ou administrativo. sendo o ponto para separar a parte fracionária e a vírgula para separar na parte inteira grupo de 3 dígitos. Essas funções secundárias são selecionadas apertando a tecla de prefixo apropriada antes da tecla da função. 8. 8. Para que possamos adequá-la ao nosso sistema.] mantendo-a pressionada. diferentes do nosso sistema. 8. caso contrário sua máquina está apresentando defeito e deve ser encaminhada para a assistência técnica. A função primária de uma tecla é indicada pelos caracteres impressos em branco na face superior.” Benjamin Flranklin Introdução Este material foi elaborado com objetivo de fornecer informações básicas na utilização da calculadora HP 12 C.: A máquina internamente trabalha com 10 casas decimais.1 Testando a calculadora Para testar o perfeito estado de funcionamento da máquina. A correta utilização da calculadora HP 12C possibilita ao usuário uma tomada de decisão segura e eficaz. não aprende só o modo de ganhar.143589. principalmente relacionadas às questões financeiras. 7. proceda da seguinte maneira: Desligue a máquina. pressione a tecla [X] e a tecla [ON]. o visor deverá apresentar a seguinte descrição: -8.]. Após alguns segundos onde aparece no visor a palavra "RUNNING". As funções secundárias de uma tecla são indicadas pelos caracteres impressos em letra laranja [f] acima da tecla e em letra azul [g] na face inferior. 8. 8. parabéns. onde a falta de conhecimento. aprende. Observamos que a evolução da humanidade tem exigido cada vez mais decisões rápidas. 7. em que a vírgula separa a parte fracionária e o ponto divide em 3 dígitos a parte inteira. Ms. ou seja. Solte a tecla [ON]. aperte a tecla [. Por exemplo: [f] e o número 2 irá aparecer no visor 3.14. relativas à aplicabilidade em operações de matemática financeira. 7. o modo de administrar o tua riqueza. normalmente as máquinas vem da fábrica com a notação americana. basta utilizarmos a tecla [f] e o número de casas desejado. user f g BEGIN GRAD D.4 Controlando o número de casas decimais O número de casas decimais pode ser controlado no visor. ligue a máquina [ON] e solte a tecla [. ou sem perda de generalidade de “pilhas"). 7. registros da pilha e mostrador. Ms. 7. o número do registro Y – são os números utilizados nos cálculos. Exemplo 1 Suponha que você deseja calcular 5+7=12 Modo RPN Modo ALG 5 [ENTER] 7 [+] 5 [+] 7 [=] Executaremos todos os próximos exemplos no modo RPN. o indicador de estado ALG está presente. multiplicação e divisão são executadas na maneira tradicional. Z e T. Quando o visor exibe um número negativo – quer dizer. Para selecionar o modo ALG: aperte [f] [ALG] para configurar a calculadora no modo ALG. No modo ALG. o indicador de estado RPN está presente. Para selecionar o modo RPN: aperte [f] [RPN] para configurar a calculadora no modo RPN. Os registros Z e T são utilizados basicamente para a retenção automática de resultados intermediários em cálculos complexos. Há várias operações que apagam ou zeram registros na HP 12C. como mostrado na tabela abaixo. e mostrador. Quando a calculadora está no modo RPN.5 Números negativos Para trocar de sinal de um número no visor – tanto um que acabou de se digitado quanto um que resultou de um cálculo – simplesmente aperte a tecla [CHS] (trocar sinal). o número exibido no visor é o número que se encontra no registro X. Para entender melhor o uso desses registros. registros financeiros registros da pilha. quatro registros especiais da HP 12C são utilizados para armazenar números durante os cálculos. as operações de adição. um número precedido pelo sinal de menos – apertado a tecla [CHS] remove o sinal do visor e o número se torna positivo. eles devem ser visualizados como se estivessem empilhados. Quando a calculadora está no modo ALG. (Por esse motivo são chamados de “registros de pilhas”.7 As teclas “RPN” e “ALG” A calculadora pode ser configurada para executar operações aritméticas tanto no modo RPN (Notação Polonesa Reversa) quanto no modo ALG (Algébrico).7. No modo RPN. LAST X. Tecla(s) Apagar / Zerar [CLx] Mostrador e registro X.8 A pilha operacional No modo RPN. Prof. Y. [f] CLEAR [ ] Registros estatísticos (R1 a R6). subtração. os resultados intermediários dos cálculos são armazenados automaticamente. O número do registro X – e no caso das funções de dois números. então não é necessário usar parênteses. 7. A menos que a calculadora esteja no modo de Programação. [f] CLEAR [PRGM] Memória de programação (só quando apertado no Modo de Programação) [f] CLEAR [FIN] Registros financeiros [f] CLEAR [REG] Registros de armazenamento de dados.6 Clear (apagar) Apagando um registro ou zerar o mostrador. Os registros da pilha são referenciados como X. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 77 . você precisa informar os números primeiro. A tecla [R] (roll down) permite visualizar o conteúdo de toda pilha operacional. O conteúdo de X é mostrado no visor. e indicar a operação a ser executada depois. e por engano introduziu 10 [ENTER] 15. Exemplo 5 Prof.1 Analisando a PILHA em cálculos aritméticos Para cada tecla pressionada. Depois de digitar o primeiro número. 7.9 Cálculos aritméticos No modo RPN. [ ] ou [ ] Exemplo 4 Calcule 17 5 Teclas (modo RPN) Visor 17 [ENTER] 17.8. 4) Aperte [ ]. 5 [ ] 3. [ . para executar uma operação aritmética temos: 1) Digite o primeiro número. ou seja. aperte a tecla [ENTER] para indicar que terminou de entrar o número. teremos a volta completa na pilha operacional.10 . Os dois números deveriam ser digitados na ordem em que apareceriam se o cálculo fosse escrito no papel: da esquerda para a direita. Através da tecla X. pois será invertida a posição na pilha operacional. Para executar um cálculo desse tipo com a HP 12C. os resultados ficam automaticamente armazenados e disponíveis na pilha operacional para serem utilizados no momento exato. subtração. qualquer cálculo aritmético simples compreende dois números em uma operação – adição. gira a pilha operacional. acionamos a tecla [R].7. Somente podemos introduzir 3 vezes o [ENTER]. ou seja: Você quer executar a operação 15 . depois que a tecla é pressionada. para que possamos saber o conteúdo de Y. Y podemos intercambiar o conteúdo dos registradores X e Y.00 Registra o primeiro número na calculadora Apertando a tecla ENTER separa o primeiro número do segundo. Z e T. 2) Aperte a tecla [ENTER] para separar segundo número do primeiro. Em resumo. Exemplo 2 Vamos examinar o cálculo para 7 3 : T 0 0 0 0 Z 0 0 0 0 Y 0 7 7 0 Visor X 7 7 3 4 Teclas 7 [ENTER] 3 [-] Exemplo 3 Vamos agora examinar o que acontece com a pilha em um cálculo complexo no modo RPN: (3 4) (5 6) 7 T 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Z 0 0 0 0 0 12 12 0 0 0 0 Y 0 3 3 0 12 5 5 12 0 42 0 Visor X 3 3 4 12 5 5 6 30 42 7 6 Teclas 3 [ENTER] 4 [x] 5 [ENTER] 6 [x] [+] 7 [ ] Como podemos observar. 3) Digite o segundo número. e pressionando 4 vezes a tecla [R]. Para corrigir.]. Ms. o diagrama ilustra o cálculo e mostra os números que se encontra em cada registro da pilha.40 Registra o resultado da operação. já digitado. Apertando a tecla [ENTER] separa-se o segundo número a ser entrado do primeiro. multiplicação ou divisão. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 78 . basta pressionar a tecla [ x y ]. qual é o novo saldo? 7.0 a . Ms. desejamos recuperar o índice da poupança. até 20 outros registros estão disponíveis para o armazenamento manual de números. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 79 . Digite o número do registro: 0 a 9 para registro de R0 a R9 .10. “LAST X”) é usado para armazenar o último número mostrado antes da execução da última operação. Para zerar todos os registros de armazenamento de uma só vez – incluindo os registros financeiros.10. então: Teclas (modo RPN) Visor [RCL] 1 0.86 R2 INPC 1. quatro registros especiais são usados para o armazenamento de números durante a execução de cálculos. Como vimos acima. e mais um (denominado o registro do último X.76 e os cheques tinham os valores R$ 32.Suponha que você escreveu três cheques sem atualizar os canhotos do seu talão. aperte [RCL] (recuperar). 7.armazenar) 2. Exemplo 6 Armazene as taxas abaixo nas respectivas memórias.6875% R1 Dólar R$1. Desligue a HP12C e recupere esses dados. a operação de armazenamento automaticamente zera o registro antes de armazenar o dado.86 [STO] 2 1. Aperte [STO] (store .45 .95 .50 Armazena o índice do INPC em R3 Para recuperar os dados. Não é necessário zerar um registro de armazenamento antes de armazenar um dado novo.0 a R9 . Poupança 0.50% R3 Teclas (modo RPN) Visor 0. Essa operação também zera o mostrador.6875 Recupera o valor do índice da poupança.50 em sua conta corrente. Por exemplo.registro de armazenamento Números (dados) na HP 12C são armazenados em memórias chamadas “registros de armazenamento” ou simplesmente “registros”.9 para os registros de R. e você acabou de depositar seu salário de R$1.670. Se o saldo era de R$ 89.2 Zerando os registros de armazenamento Para zerar um único registro de armazenamento simplesmente armazene o valor zero. Esses outros registros de armazenamento são designados R0 a R9 e R.0 a R9 Da mesma maneira para recuperar para o mostrador um número em um registro de armazenamento. basta digitar [RCL] e a memória onde está armazenado o valor. ou . Além desses registros em que números são armazenados automaticamente. os registros da pilha e o registro LAST X – aperte [f] CLEAR [REG].90 e R$ 123.50 [STO] 3 0.86 Armazena o valor em reais do dólar em R2 0. e depois digite o número do registro. R$ 68.10 Memória . Prof.6875 Armazena o índice da poupança em R1 1.1 Armazenamento e recuperação de números Para armazenar um número que aparece no mostrador em um registro de armazenamento de dados procedemos da seguinte maneira: 1.6875 [STO] 1 0. 7. 68. o novo número no registro é calculado segundo a regra abaixo: Número Número Número no atualmente no = previamente no registro registro mostrador Observação: Somente os registros R0 a R4 podem ser usados para essa operação.00.00 Registra o número base 18 [%] 100.76 Armazena o saldo atual no registro 0 32. Exemplo 8 Calcule 18% de R$560.95 [STO] [-] 0 32.90 Subtrai o segundo cheque 123.10.80 Calcula o valor Prof. automaticamente ao apertar qualquer uma dessas teclas. Teclas (modo RPN) Visor 89. e depois armazenar o resultado no mesmo registro sem alterar o número no mostrador. Aperte [STO] 2. Você não precisa converter porcentagens nos equivalentes decimais. Ao se fazer aritmética com registros de armazenamento. 2. Teclas (modo RPN) Visor 560 [ENTER] 560.50 Adiciona o depósito [RCL] 0 1534. [x] ou [ ] para indicar a operação desejada.90 [STO] [-] 0 68.76 [STO] 0 89. Porcentagem No modo RPN. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 80 . Aperte [+].95 Subtrai o primeiro cheque do saldo em R0 . como os dados armazenados na Memória Contínua da calculadora não são apagados. você a utilize para rastrear sua conta corrente.7. atualizamos o saldo da conta corrente. isso é feito . Você poderia usar os registros de armazenamento para rapidamente atualizar o saldo depois de fazer depósitos ou cheques.3 Aritmética com registros de armazenamento Suponha que você queira executar uma operação aritmética com o número no mostrador e um número em um registro de armazenamento.45 [STO] [-] 0 123. Aperte [ENTER] 3.11 Funções de porcentagem A calculadora HP12C tem três teclas para solucionar problemas relacionados com porcentagens: [%] [%] e [%T ] . Exemplo 7 No exemplo 10. Digite o número base.45 Subtrai o terceiro cheque 1670. para determinar o valor que corresponde à porcentagem de um dado valor: 1. 3. 1. Ms.50 [STO] [+] 0 1670. [-]. Digite o número do registro.96 Visualiza o saldo total 7. Aperte [%] . Suponhamos que. A HP12C permite a execução dessa operação em um único passo. Qual a diferença percentual? Teclas (modo RPN) Visor 58. 2.44% Porcentagem do total No modo RPN.80 Calcula o valor que o cliente deve pagar após o desconto de 8% Diferença percentual No modo RPN apara encontrar a diferença percentual entre dois número números procedemos da seguinte maneira: 1.70 para R$56.90 . Ms.59 [%] 4. como em um cálculo aritmético complexo. Observação: Se o segundo número for maior que o número base. Qual percentagem dos alunos corresponde ao curso de Administração? Teclas (modo RPN) Visor 640 [ENTER] 640 Registra o primeiro número 280 [+] 280 Acrescenta o segundo número 420 [+] 1340 Acrescenta o terceiro número para chegar ao total.Exemplo 9 Um vendedor propõe a um cliente um desconto de 8%. Qual a diferença percentual entre os meses de janeiro e março? Teclas (modo RPN) Visor 2.76%. Calcule o valor total somando os valores individuais.07% Exemplo 11 No mês de janeiro de 2007 o preço médio do litro de gasolina era de R$2. qual o valor que o cliente deverá pagar? Teclas (modo RPN) Visor 43. ou seja. 280 alunos em Publicidade e Propaganda e 420 em Contabilidade.20 Calcula o desconto [-] 197. 47. 4. 3. para calcular qual o percentagem um número é do outro: 1. 640 [ %T ] 47. o segundo número do número base. Digite o segundo número. enquanto uma resposta negativa indica uma redução.59 .70 [ENTER] 58. caso o cliente compre 5 peças de roupa.00 .00 [ENTER] 43.70 Registra o valor base 56.90 [%] -3. Aperte [ENTER] para separar. Digite o número cujo equivalente em percentagem deseja encontrar. Prof.00 Registra o valo de cada peça de roupa 5 [ ] 215. Portanto uma resposta positiva indica um aumento.44 Indica um aumento de 4. em 2006 apresentava os seguintes números em relação ao seu corpo discente: 640 alunos no curso de Administração. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 81 .48 Registra o número base 2. 3. o preço médio era contado em R$2.48 .00 Calcula o valor a pagar sem o desconto 8 [%] 17. 2.07 Indica uma queda de 3. Aperte a tecla [%T ] Exemplo 12 Uma universidade. Exemplo 10 Ontem o valor de uma ação da Vale do Rio Doce caiu de R$58. já no mês de março do mesmo ano. Sabendo que cada peça de roupa tem um preço de tabela de R$43. a diferença será positiva.76 Calcula qual porcentagem o número 640 é do total.48 [ENTER] 2. caso contrário negativa. Digite o número base. Aperte a tecla [%] . Para configurar a HP 12C para o formato mês-dia-ano. com dois dígitos. 7.Y]. Aperte a tecla do ponto decimal (. Para configurar a HP 12C para o formato dia-mês-ano. 4.Y]. Aperte a tecla [ %T ] novamente. 3. [f] 6 1. [f] 6 1. Você sabe em que dia da semana você nasceu? Você sabe quantos dias já decorreram desde o dia do seu nascimento? Se você pegar um dinheiro emprestado no dia 23/07/2007. por 721 duas corridos. com um ou dois dígitos. 4.M. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 82 . Aperte a tecla [ENTER] para separar o segundo número do total 3.1 Formato data Para todas as funções de calendário a calculadora utiliza dois formatos de data: mês-dia-ano e dia-mês- ano. As datas são exibidas no mesmo formato. Digite os quatro dígitos relativos ao ano. Para entrar uma data com esse formato ativado.D. No departamento vendas trabalham 340 pessoas.98 Calcula a porcentagem que corresponde o número 340 em relação ao número total de 1260 funcionários. Digite o valor total 2. para calcular qual percentagem outro valor é do total proceda da seguinte maneira: 1.12 Funções calendário As funções calendários fornecidas pela HP 12C – [DATE] e [ DYS ] trabalham com datas entre 15 de outubro de 1582 2 25 de novembro de 4046. Pressione [CLx] para zerar o mostrador 2. 26. 7. aperte [g] [D. 2.). 2. Para entrar uma data com esse formato ativado. qual a data de vencimento de tal obrigação? A HP 12C possui quatro funções de calendário que permitem efetuar cálculos de vencimentos de operações e número de dias corridos entre datas. Digite o outro valor 3.98%. qual o percentual de pessoas que trabalham nesse departamento? Teclas (modo RPN) Visor 1260 [ENTER] 1260 Registra o número total de funcionários 340 [ %T ] 26. quando você já sabe o valor do total: 1. Digite o mês. aperte a tecla [g] [M. Portanto. Prof. Aperte a tecla do ponto decimal (. Digite o mês.12. Ms. Digite o dia. Digite os dois dígitos do dia. Aperte a tecla [ %T ] Exemplo 13 Sabe que uma empresa o número total de funcionários é 1260. procedemos da seguinte maneira: Observação: Prepare a HP 12C para 6 casas decimais. procedemos da seguinte maneira: Observação: Prepare a HP 12C para 6 casas decimais.).Observação: A HP 12C retém o valor total na memória depois de calcular a percentagem do total. ou seja. Para calcular qual percentagem um número é de um total. 3. Digite os quatro dígitos relativos ao ano. com um ou dois dígitos. Digite o número cujo equivalente em percentagem deseja calcular 4. 061978 [ENTER] 25.042007 [ENTER] 25. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 83 .M. 27.12. Prof.04.2009 1 A data de vencimento é 20 de abril de 2009. 7. se houver. aperte a tecla [ x y ]. então a pessoa nasceu em um dia de domingo.061978 7 O zero pede a calculadora que conte zero dias após a data de 25 de junho de 1978.12.061978 Registra a data do nascimento da pessoa 0 [g] [DATE] 25. ou antes. Ms. A HP 12C também calcula o número de dias entre duas datas com base no ano comercial (mês de 30 dias).042007 Registra a data 724 [g] [DATE] 20. A HP 12C trabalha com uma conversão dos dias da semana da seguinte maneira: Indicador na HP 12C Dia da semana 1 Segunda-feira 2 Terça-feira 3 Quarta-feira 4 Quinta-feira 5 Sexta-feira 6 Sábado 7 Domingo Exemplo 15 Você sabe em que dia da semana nasceu? Suponha que uma pessoa tenha nascido no dia 25 de junho de 1978.7. Qual a data do resgate? Teclas (modo RPN) Visor [g] [D. aperte [CHS] 4. Se a outra data estiver no passado.000000 Exibe no visor da HP 12C seis zeros. incluindo 29 de fevereiro.3 Número de dias entre datas Para calcular o número de dias entre duas datas procede-se da seguinte maneira: 1.Y] Configura a calculadora para o formato dia-mês – ano [f] 6 0. determinada quantia em um Certificado de Depósito Bancário (CDB).Y] Configura a calculadora para o formato dia-mês –ano 25. por um prazo de 724 dias. Digite a data mais antiga e aperte [ENTER] 2. para mostrá-la.M. em que dia da semana ela nasceu? Teclas (modo RPN) Visor [g] [D. Digite o número de dias 3. Tabela de dias da semana. Essa resposta fica retida na memória da calculadora. mas 0 dias é o mesmo dia. Aperte [g] [DATE] Exemplo 14 Apliquei no dia 27/04/2007. Digite a data fornecida e aperte [ENTER] 2. Digite a data mais recente e aperte [g] [ DYS ] A resposta exibida no mostrador é o número exato de dias entre as duas datas. uma segunda-feira. de uma data fornecida procede- se da seguinte maneira: 1.2 Datas futuras ou passadas Para calcular a data e dia que certo número de dias está depois. 112003 [g] [ DYS ] 543 O mostrador exibe o número exato de dias. com data de 23. por um prazo de 71 dias.11. 49 dias 5) 29/03/2007 quinta-feira Prof. calcule quantos dias de vida você possui hoje. [ x y ] 535 O mostrador exibe o número de dias baseado no ano comercial. para o prazo de 245 dias. 2) Com base na sua data de nascimento. Ms. contados com base nas duas maneiras (exato e comercial) para calcular os juros simples acumulados de 3 de junho de 2002 e 28 de novembro de 2003? Teclas (modo RPN) Visor [g] [D.quinta-feira 55 dias b) segunda-feira.2001.M. quinta-feira. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 84 .062002 [ENTER] 3. Qual foi a data de resgate de tal aplicação e o respectivo dia da semana? Respostas 1) a) sexta-feira b) sábado c) domingo 2) pessoal 3) 06/07/2002 sexta-feira 4) a) sábado. b) Independência do Brasil: 7 de setembro de 1822. Qual da data de vencimento da aplicação? Que dia da semana cairá? 4) Qual o dia da semana das datas abaixo e quantos dias há entre elas? a) 04/07/1993 à 28/08/1993 b) 07/10/1993 à 25/11/1993 5) Um investidor aplicou determinada quantia no dia 17/01/2007.062002 Registra a primeira data 28.Exemplo 15 Qual seria o número de dias. c) A seleção brasileira de futebol vence a copa do mundo de 2002: 30 de junho de 2002. 3) Realizamos uma aplicação financeira junto à bolsa de mercadorias futura.Y] Configura a calculadora para o formato dia-mês – ano 03. Exercícios propostos 1) Verifique qual o dia da semana correspondente às datas a seguir: a) Proclamação da República: 15 de novembro de 1889. Anísio Costa. [14] TOSI. 3ª ed. 2004. Anderson Dias Gonçalves Matemática Financeira 85 . Matemática financeira.Bibliografia [1] ASSAF NETO. Edição Compacta. Matemática Financeira Aplicada – Método Algébrico. HP 12C e Microsoft Excel. São Paulo: Atlas. 2007. Alexandre. Prof. [4] CASTELO BRANCO. Matemática Financeira. PUCCINI Adriana. 2002. 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