Universidade de Caxias do Sul Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Departamento de InformáticaMatemática Discreta Márcia Rodrigues Notare Caxias do Sul, julho de 2003. ÍNDICE 1 TEORIA DOS CONJUNTOS ........................................................................................................... 4 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 2 RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA ........................................................................................................... 4 ALGUNS CONJUNTOS IMPORTANTES ............................................................................................. 4 RELAÇÃO DE INCLUSÃO ................................................................................................................ 5 IGUALDADE DE CONJUNTOS.......................................................................................................... 6 PERTINÊNCIA X INCLUSÃO ............................................................................................................ 6 INTRODUÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA ............................................................................... 7 2.1 CONECTIVOS LÓGICOS .................................................................................................................. 7 2.1.1 Negação ............................................................................................................................... 7 2.1.2 Conjunção............................................................................................................................ 8 2.1.3 Disjunção ............................................................................................................................. 8 2.1.4 Condicional (Implicação) .................................................................................................... 8 2.1.5 Bicondicional ....................................................................................................................... 9 2.2 FÓRMULAS BEM-FORMADAS ........................................................................................................ 9 2.3 TABELAS-VERDADE PARA WFFS .................................................................................................... 9 2.4 EQUIVALÊNCIA ........................................................................................................................... 10 2.5 QUANTIFICADORES ..................................................................................................................... 11 3 ÁLGEBRA DE CONJUNTOS........................................................................................................ 13 3.1 OPERAÇÃO DE UNIÃO ................................................................................................................. 13 3.1.1 Propriedades da União...................................................................................................... 14 3.2 OPERAÇÃO DE INTERSEÇÃO ........................................................................................................ 15 3.2.1 Propriedades da Interseção ............................................................................................... 16 3.3 OPERAÇÃO COMPLEMENTO ........................................................................................................ 16 3.3.1 Propriedades de DeMorgan............................................................................................... 17 3.4 OPERAÇÃO DE DIFERENÇA ......................................................................................................... 17 3.5 CONJUNTO DAS PARTES .............................................................................................................. 18 3.6 PRODUTO CARTESIANO .............................................................................................................. 18 3.7 UNIÃO DISJUNTA ........................................................................................................................ 19 4 RELAÇÕES ..................................................................................................................................... 20 4.1 RELAÇÃO BINÁRIA ..................................................................................................................... 20 4.2 ENDORRELAÇÃO COMO GRAFO .................................................................................................. 21 4.3 RELAÇÃO COMO MATRIZ ............................................................................................................ 21 4.4 PROPRIEDADES DAS RELAÇÕES .................................................................................................. 22 4.4.1 Relação Reflexiva............................................................................................................... 22 4.4.2 Relação Irreflexiva............................................................................................................. 23 4.4.3 Relação Simétrica .............................................................................................................. 24 4.4.4 Relação Anti-Simétrica ...................................................................................................... 24 4.4.5 Relação Transitiva ............................................................................................................. 25 4.5 FECHOS DE RELAÇÕES ................................................................................................................ 25 4.5.1 Fecho Reflexivo.................................................................................................................. 26 4.5.2 Fecho Simétrico ................................................................................................................. 26 4.5.3 Fecho Transitivo ................................................................................................................ 26 4.6 RELAÇÃO DE ORDEM .................................................................................................................. 26 4.6.1 Elemento Mínimo ............................................................................................................... 28 4.6.2 Elemento Minimal.............................................................................................................. 28 4.6.3 Elemento Máximo .............................................................................................................. 28 4.6.4 Elemento Maximal ............................................................................................................. 28 4.7 RELAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA ...................................................................................................... 29 4.7.1 Congruência em Z.............................................................................................................. 30 4.8 RELAÇÃO INVERSA ..................................................................................................................... 30 4.9 COMPOSIÇÃO DE RELAÇÕES ....................................................................................................... 31 4.9.1 Composição de Relações como Produto de Matrizes ........................................................ 32 5 TIPOS DE RELAÇÕES .................................................................................................................. 33 Matemática Discreta Márcia Rodrigues Notare 2 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 6 6.1 6.2 7 7.1 7.2 7.3 8 9 8.1 9.1 9.2 10 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 RELAÇÃO FUNCIONAL ................................................................................................................ 33 RELAÇÃO INJETORA.................................................................................................................... 33 RELAÇÃO TOTAL ........................................................................................................................ 34 RELAÇÃO SOBREJETORA............................................................................................................. 34 MONOMORFISMO ........................................................................................................................ 35 EPIMORFISMO ............................................................................................................................. 35 ISOMORFISMO ............................................................................................................................. 35 FUNÇÃO PARCIAL ....................................................................................................................... 37 FUNÇÃO TOTAL .......................................................................................................................... 37 CARDINALIDADE FINITA E INFINITA ........................................................................................... 38 CARDINALIDADE DOS CONJUNTOS NÃO-CONTÁVEIS ................................................................. 39 CARDINAL .................................................................................................................................. 39 PRIMEIRO PRINCÍPIO DE INDUÇÃO MATEMÁTICA ....................................................................... 41 DEFINIÇÕES RECORRENTES ........................................................................................................ 47 SEQÜÊNCIAS DEFINIDAS POR RECORRÊNCIA .............................................................................. 47 ESTRUTURAS ALGÉBRICAS ................................................................................................. 49 OPERAÇÕES ................................................................................................................................ 49 PROPRIEDADE DAS OPERAÇÕES BINÁRIAS .................................................................................. 49 GRUPÓIDES ................................................................................................................................. 50 SEMIGRUPOS ............................................................................................................................... 50 MONÓIDES .................................................................................................................................. 51 GRUPOS ...................................................................................................................................... 52 FUNÇÕES PARCIAIS E TOTAIS ................................................................................................ 37 CARDINALIDADE DE CONJUNTOS ......................................................................................... 38 INDUÇÃO MATEMÁTICA........................................................................................................... 41 RECURSÃO E RELAÇÕES DE RECORRÊNCIA ..................................................................... 47 Matemática Discreta Márcia Rodrigues Notare 3 1 TEORIA DOS CONJUNTOS Definição de Conjunto: um conjunto é uma coleção de zero ou mais objetos distintos, chamados elementos do conjunto, os quais não possuem qualquer ordem associada. Em outras palavras, é uma coleção não-ordenada de objetos. Exemplo: A = {branco, azul, amarelo} Em um conjunto, a ordem dos elementos não importa e cada elemento deve ser listado apenas uma vez. Podemos definir um conjunto de diferentes formas: Denotação por Extensão: os elementos são listados exaustivamente. Exemplo: Vogais = {a, e, i, o, u} Denotação por Compreensão: definição de um conjunto por propriedades comuns aos objetos. De forma geral, escreve-se {x | P(x)}, onde P(x) representa a propriedade. Exemplo: Pares = {n | n é par}, que representa o conjunto de todos os elementos n, tal que n é um número par. Ainda podemos especificar um conjunto omitindo alguns elementos que estão implícitos na notação adotada. Veja exemplos: Dígitos = {0, 1, 2, 3, ..., 9} Pares = {0, 2, 4, 6, ...} 1.1 - Relação de Pertinência Se a é elemento de um conjunto A, então podemos escrever: a∈ A e dizemos que a pertence ao conjunto A. - Se a não é elemento de um conjunto A, então podemos escrever: a∉ A e dizemos que a não pertence ao conjunto A. Exemplo: Considerando o conjunto Vogais = {a, e, i, o, u}, podemos dizer que: - e ∈ Vogais - m ∉ Vogais Considerando o conjunto B = {x | x é brasileiro}, temos que: - Pelé ∈ B - Bill Gates ∉ B 1.2 Alguns Conjuntos Importantes O Conjunto Vazio é um conjunto que não possui elementos e pode ser denotado por ∅ ou { }. Ainda temos: Matemática Discreta Márcia Rodrigues Notare 4 - N, que representa o conjunto dos números naturais; Z, que representa o conjunto dos números inteiros; Q, que representa o conjunto dos números racionais; I, que representa o conjunto dos números irracionais; R, que representa o conjunto dos números reais; C, que representa o conjunto dos números complexos. Definição de Alfabeto: um alfabeto é um conjunto finito, ou seja, um conjunto que pode ser denotado por extensão. Os elementos de uma alfabeto são chamados de símbolos ou caracteres. Definição de Palavra: uma palavra sobre um alfabeto é uma seqüência finita de símbolos do alfabeto, justapostos. ε Σ Σ* palavra vazia alfabeto conjunto de todas as palavras possíveis sobre o alfabeto Σ Exemplos: - ∅ é um alfabeto - {a, b, c, d} é uma alfabeto - N não é um alfabeto - ε é uma palavra sobre {a, b, c] - ε é uma palavra sobre ∅ - ∅* = {ε} Aplicações na Computação Chamamos de Linguagem Formal a um conjunto de palavras sobre um alfabeto. Portanto, podemos entender que uma linguagem de programação é o conjunto de todos os seus possíveis programas e que um programa é uma palavra da linguagem de programação. 1.3 Relação de Inclusão Se todos os elementos de um conjunto A são também elementos de um conjunto B, então dizemos que: A⊆ B A está contido em B ou que B contém A B⊇A Neste caso, podemos dizer que A é um subconjunto de B. Por outro lado, se A ⊆ B e A ≠ B, ou seja, existe b∈B tal que b∉A, então dizemos que: ou que A⊂ B B⊃A A está contido propriamente em B B contém propriamente A Neste caso, dizemos que A é um subconjunto próprio de B. Exemplos: - {1, 2, 3} ⊆ {3, 2, 1} - {1, 2} ⊆ {1, 2, 3} - {1, 2} ⊂ {1, 2, 3} Matemática Discreta Márcia Rodrigues Notare 5 ou seja: Exemplos: 0 . ou seja. ∅.2} = x ∈ Ν x ≥ 0 ∧ x < 3 - Ν = {x ∈ Ζ x ≥ 0} { } {a. Então: . d} ⊆ S Matemática Discreta Márcia Rodrigues Notare 6 . b. U não é um conjunto fixo e.{a} ∉ S . c} = {a. temos que A ⊆ U. d} ∉ S . para qualquer conjunto A. b.4 Igualdade de Conjuntos A = B ↔ ( A ⊆ B ∧ B ⊆ A) Dois conjuntos A e B são ditos iguais se. 1. b.∅∈S .1. b.{0} ∈ S . c. Exemplos: Considere o conjunto S = {a.{a. 2}}. é o conjunto que contém todos os conjuntos que estão sendo considerados. {0}. c. Dessa forma.2} ∈ S . c. preste atenção nos conceitos de pertinência e inclusão.Definição de Conjunto Universo: denotado por U. possuem os mesmos elementos. define o contexto de discussão. d.∅⊆S . c} 1.{a} ⊆ S .{a. b. c. e somente se.{1.{ . Portanto. c. b. {1.5 Pertinência x Inclusão Os elementos de um conjunto podem ser conjuntos. . que descreve as possíveis combinações dos valores lógicos das proposições. Proposição Composta: são proposições mais complexas.1.1 Conectivos Lógicos As proposições podem ser simples (atômicas) ou compotas e os conectivos têm a função de combinar sentenças simples para formar sentenças compostas.1 Negação A negação de uma proposição é construída a partir da introdução da palavra não ou não é o caso que. Para visualizar os valores lógicos de um conectivo utilizamos a tabela-verdade.Quatro é maior do que cinco. ou seja.Como isso pode acontecer! . . Matemática Discreta Márcia Rodrigues Notare 7 . Exemplos: . Definição de Proposição: uma proposição é uma construção que se pode atribuir juízo.Bom dia! 2. que pode ser apenas verdadeira ou falsa.Animais são peludos e aves têm penas. compostas por proposições mais simples através dos conectivos lógicos (ou operadores lógicos).Como vai você? . . então ¬P é falsa. Exemplos: . 2.São Paulo é uma cidade grande Exemplos que não são proposições: . Considerando que P denota uma proposição.Vou comprar um carro ou uma bicicleta. .Brasil não é um país. .Ela é muito inteligente. Proposição Atômica: são proposições que não podem ser decompostas em proposições mais simples. então sua negação é denotada por: ¬P ou ~P (lê-se "não P") Interpretamos a negação da seguinte forma: se P é verdadeira. São exemplos de proposições: . .Não é o caso que quatro é maior do que cinco.2 INTRODUÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA Lógica é o estudo dos princípios e métodos usados para distinguir sentenças verdadeiras de falsas. se P é falsa.Se chover então ficarei em casa.Um triângulo é equilátero se e somente se tiver os três lados iguais. então ¬P é verdadeira. Portanto.4 Condicional (Implicação) O condicional é falso se seu antecedente for verdadeiro e seu conseqüente for falso. É denotada por: (lê-se "P e Q") P∧Q A seguir a tabela-verdade da conjunção. É denotado por: (lê-se "se P então Q") P→Q Observe: a expressão “P → Q” assegura que: não é o caso que P e não Q. Verbalizando. ou seja. P Q P→Q V V V V F F F V V F F V Matemática Discreta Márcia Rodrigues Notare 8 . se considerarmos a expressão: “Se esfriar. Caso contrário. P V V F F Q V F V F P∧Q V F F F 2. é falsa. Caso contrário. ambos são verdadeiros sob as mesmas condições. P V V F F Q V F V F P∨Q V V F V 2. podemos obter a tabela-verdade de P → Q construindo a tabela verdade de ¬(P ∧ ¬Q).2 Conjunção Uma conjunção é verdadeira se ambos seus conjunctos são verdadeiros.1. Caso contrário.P ¬P V F F V 2. podemos dizer que um enunciado da forma P → Q tem o mesmo significado (semântica) que um enunciado da forma ¬(P ∧ ¬Q). então chove” (P → Q) podemos interpretá-la como sendo: “Não é o caso que esfria e não chove” ¬(P ∧ ¬Q) Assim.3 Disjunção Uma disjunção é verdadeira se pelo menos um dos seus disjunctos for verdadeiro. ele é verdadeiro.1.1. É denotada por: (lê-se "P ou Q") P∨Q A tabela-verdade da disjunção está apresentada a seguir. é falsa. ¬(P ∧ Q) ↔ (¬P ∨¬Q) 2.P ∨ ¬Q . P V F ¬ V F ¬ F V P V F 2. P Q P↔Q V V V V F F F V F F F V 2. P ∨ Q. d) preenchemos o segundo sinal de negação. portanto. parênteses e letras sentenciais. denotado por P ↔ Q .¬P. Assim. que é o operador principal e. P ∧ Q. Por fim. 1. Exemplos: . P V V F F Q V F V F ¬P F F V V ∨ V F V V Q V F V F Observe que o operador principal da fórmula acima é ∨ e. Assim: Matemática Discreta Márcia Rodrigues Notare 9 . escrevemos as letras sentenciais à esquerda da tabela e a fórmula à direita da tabela. portanto. tem o mesmo significado que (P → Q) ∧ (Q → P).(P ∧ ¬Q) → R .5 Bicondicional O bicondicional. A seguir. sub-wffs e por fim para a wff (operador principal).wff) são sentenças lógicas construídas corretamente sobre o alfabeto cujos símbolos são conectivos. Devemos completar com todas as possibilidades de valores verdade para as letras sentenciais. Construa a tabela-verdade para a fórmula ¬P ∨ Q. observando os passos de construção: ¬¬P. determina o valor-verdade da fórmula. devemos identificar o operador principal. pois é ele que determina o valor-verdade para toda a fórmula. completamos a tabela com os valores-verdade para os operadores.2 Fórmulas Bem-Formadas Fórmulas bem-formadas (well formed formula . a tabela-verdade de (P ↔ Q) pode ser obtida construindo a tabela-verdade de (P → Q) ∧ (Q → P). Construa a tabela-verdade para a fórmula ¬¬ a) preenchemos a coluna letra sentencial P. deve ter sua coluna como última a ser preenchida. P ↔ Q .1. Veja os exemplos abaixo. c) preenchemos o sinal de negação imediatamente à esquerda de P. b) preenchemos a coluna da ocorrência de P na fórmula (na wff). P → Q. completando-se os possíveis valores-verdade que P pode assumir.3 Tabelas-verdade para wffs Para construir uma tabela-verdade para uma wff.2. c) preenchemos as colunas da ocorrência de ∨ e ∧ na fórmula (mas não o ∧ principal). é verdadeira independentemente dos valores lógicos atribuidos as suas letras sentenciais. como no exemplo 5. preenchemos a coluna ∨. Uma tautologia é intrinsecamente verdadeira pela sua própria estrutura. d) preenchemos a coluna da ocorrência da negação do operador ∧. Uma contradiação é intrinsecamente falsa pela sua própria estrutura. b) preenchemos as colunas da ocorrência de ¬P e Q. c) por fim.4 Equivalência Dizemos que duas fórmulas P e Q são equivalentes se a fórmula P ↔ Q é uma tautologia. Construa a tabela verdade para a fórmula P ∧ ¬P. as etapas de construção são como segue: a) preenchemos as colunas das letras sentenciais P e Q (à esquerda da tabela). Então. portanto. b) preenchemos as colunas da ocorrência de P e Q na fórmula. que determina o valorverdade da fórmula. e) finalmente. Assim a coluna deste operador determina o valor-verdade da fórmula. 4. (Observe que o operador principal ∧ conecta as colunas de ∨ e ¬). ou seja. P V V F F Q V F V F P V V F F ∨ V V V F Q V F V F ∧ F V V F ¬ F V V V P V V F F ∧ V F F F Q V F V F O operador principal dessa fórmula é o ∧ (veja: (P ∨ Q) ∧ ¬(P ∧ Q)). uma fórmula que assume sempre o valor lógico F. é falsa independentemente dos valores lógicos atribuidos as suas letras sentenciais. é denominada uma tautologia. Construa a tabela verdade para a fórmula P ∨ ¬P.a) preenchemos as colunas das letras sentenciais P e Q (à esquerda da tabela). P V F P V F ∨ V V ¬P F V 5. Construa a tabela verdade para a fórmula (P ∨ Q) ∧ ¬(P ∧ Q). ou seja. 3. é denominada uma contradição. Denotamos essa propriedade por P⇔Q A seguir. que é o operador principal e. P V F P V F ∧ F F ¬P F V Uma fórmula que assume sempre o valor lógico V. exemplos de algumas equivalências tautológicas importantes. 2. Por outro lado. como no exemplo 4. determina o valor verdade da fórmula. onde 1 representa uma tautologia e 0 representa uma contradição: Matemática Discreta Márcia Rodrigues Notare 10 . preenchemos a coluna do operador principal ∧. x>0" como sendo uma proposição verdadeira sobre os inteiros positivos. Eles agem sobre combinações e expressões verdadeiras e falsas para produzir um valor lógico final. o valor lógico não será afetado. não conseguiríamos simbolizar a sentença "Para todo x. assim como o fluxo de controle do programa.Distributividade: . A ∧ ¬(A ∧ B) ⇔ A ∧ (¬A ∨ ¬B) ⇔ (A ∧ ¬A) ∨ (A ∧ ¬B) ⇔ 0 ∨ (A ∧ ¬B) ⇔ (A ∧ ¬B) ∨ 0 ⇔ A ∧ ¬B (DeMorgan) (Distributividade) (Complemetar) (Comutatividade) (Elemento Neutro) Podemos então reecrever a proposição da seguinte forma: if ((x < y) and not (z < 1000)) do AlgumaCoisa. a sentença acima pode ser simbolizada por: Matemática Discreta Márcia Rodrigues Notare 11 . deve ser introduzido. se o valor lógico da expressão condicional for verdadeiro. Assim. Tais valores lógicos permitem a decisão do fluxo de controle em programas de computador..Elemento Neutro: . Veja o exemplo a seguir: if ((x < y) and not ((x < y) and (z < 1000))) do AlgumaCoisa. estão disponíveis em muitas linguagens de programação. ele execurá outro trecho do seu código. a expressão condicional tem a forma A ∧ ¬(A ∧ B). frases que dizem "quantos objetos" apresentam determinada propriedade. else do OutraCoisa. 2. em uma ramificação condicional de um programa. Quantificadores são frases do tipo para todo.5 Quantificadores Wffs formadas apenas pelos cinco operadores lógicos (¬ ∧ ∨ → ↔) têm possibilidade limitada de expressões. Quantificador Universal: é simbolizado por ∀ e lê-se para todo. como o de quantificador. o programa executará um trecho do seu código.DeMorgan: ¡ A∨B⇔B∨A (A ∨ B) ∨ C ⇔ A ∨ (B ∨ C) A ∨ (B ∧ C) ⇔ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C) A∨0⇔A A ∨ ¬A ⇔ 1 ¬(A ∨ B) ⇔ ¬A ∧ ¬B A∧B⇔B∧A (A ∧ B) ∧ C ⇔ A ∧ (B ∧ C) A ∧ (B ∨ C) ⇔ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C) A∧1⇔A A ∧ ¬A ⇔ O ¬(A ∧ B) ⇔ ¬A ∨ ¬B Aplicações na Computação Os conectivos lógicos E (AND). Portanto novos conceitos. mas o novo código será mais fácil de ser entendido e poderá ser executado mais rapidamente. isto é. respectivamente ∧. Se a expressão condicional for substituída por outra expressão equivalente mais simples. OU (OR) e NÃO (NOT). Nesse exemplo.Complementares: .Associatividade: . else do OutraCoisa. Por exemplo. Podemos simplificar essa expressão utilizando as equivalências vistas anteriormente. para cada ou para algum. Assim.Comutatividade: . para qualquer ou para cada. onde A é "x < y" e B é "z < 1000". se o valor lógico da expressão condicional for falso. ∨ e ¬. o valor lógico da expressão é falso.(∀x )(x > 0) O valor lógico da expressão (∀x)(x>0) depende do domínio dos objetos sobre os quais estamos nos referindo. Esta expressão é verdadeira. para pelo menos um. y) é lida como "para todo x existe um y tal que Q(x. se invertermos a ordem dos quantificadores escrevendo (∃y)(∀x)Q(x. P(x) é a propriedade que x é positivo ou negativo e o conjunto universo é conjunto de todos os inteiros. a mesma interpretação diz que existe um inteiro y que é maior que qualquer outro inteiro x. P(x) é a propriedade que x é amarelo e o conjunto universo é o conjunto de todas as flores. Isto ressalta o fato de que a ordem dos quantificadores é importante! Matemática Discreta Márcia Rodrigues Notare 12 . a expressão (∃x )(x > 0) pode ser lida como "existe um x tal que x é maior do que zero". Quantificador Existencial: é simbolizado por ∃ e lê-se existe. para algum. Entretanto. que chamamos de conjunto universo. existe algum. y). Qual seria o valor lógico da expressão (∀x)P(x) em cada uma das seguintes interpretações? P(x) é a propriedade que x é amarelo e o conjunto universo é o conjunto de todos os botõesde-ouro. Assim. A expressão (∀x)(∃y)Q(x. y) é a propriedade x < y. a expressão diz que para todo inteiro x existe um inteiro maior. Neste caso. y)". Considerando que o conjunto universo é conjuntos dos números inteiros e que Q(x. A união dos conjuntos A e B. os retângulos são utilizados para representar o conjunto universo e as elipses para representar os demais conjuntos. Por exemplo. Assim. 3. c} A A⊆B S U S⊆U A relação de inclusão é transitiva. é como segue: Em outras palavras. resulta em um conjunto cujos elementos pertencem a pelo menos um dos dois conjuntos. uma Álgebra de Conjuntos é constituída por operações definidas para todos os conjuntos. para qualquer elemento a ∈ A . temos que A ⊆ C.1 Operação de União A ∪ B = {x x ∈ A ∨ x ∈ B} Sejam A e B conjuntos. ou seja. ou seja: A⊆ B∧B⊆C ⇒ A⊆C Prova: Suponha A. pela definição de subconjunto. B e C conjuntos quaisquer tal que A ⊆ B e B ⊆ C. denotada por A ∪ B .3 ÁLGEBRA DE CONJUNTOS Entendemos que uma álgebra é constituída de operações definidas sobre um conjunto. temos que a∈A a∈B pela definição de subconjunto (A ⊆ B) a∈C pela definição de subconjunto (B ⊆ C) Logo. a união de dois conjuntos A e B considera todos os elementos que pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B. b. temos que a ∈ C. Seja a ∈ A. Matemática Discreta Márcia Rodrigues Notare 13 . chamados Diagramas de Venn. Podemos representar conjuntos e suas operações através de figuras geométricas. como elipses e retângulos. Usualmente. Então. Dessa forma. as figuras abaixo representam: A a b c B O conjunto A = {a. x ∈ (A ∪ A) ⇔ x∈A∨x∈A⇔ x∈A (definição de união) (idempotência do conectivo ∨) Matemática Discreta Márcia Rodrigues Notare 14 . . u} Dados os conjuntos A = {x ∈ Ν | x > 2} e B = { x ∈ Ν | x2 = x}. Q e I. 6. e.1 Propriedades da União Elemento Neutro: A ∪ ∅ = ∅ ∪ A = A Prova: Seja x ∈ (A ∪ ∅).. 8. 3. 2. a.} Considere R. 7. i. x ∈ (A ∪ ∅) ⇔ x∈A∨x∈∅⇔ (definição de união) x∈A (elemento neutro) Logo. temos que D ∪ V = {0. 9. temos que ∅∪∅=∅ U∪∅=U U∪A=U U∪U=U 3. 8. 7. e.A operação de união pode ser visualizada através de um diagrama de Venn. 4. 2. Exemplos: . 5.1. i. 9} e V = {a. como mostrado a seguir. 3. Temos que R∪Q=R R∪I=R Q∪I=R - Para qualquer conjunto universo U e qualquer A ⊆ U. x ∈ (∅ ∪ A) ⇔ x∈∅∨ x∈A⇔ (definição de união) x∈A∨x∈∅⇔ (comutatividade) x∈A (elemento neutro) Logo. A ∪ ∅ = A Analogamente. 5. ∅ ∪ A = A Idempotência: A ∪ A = A Prova: Seja x ∈ (A ∪ A). 6. 4.Dados os conjuntos D = {0. 3. 7. u}. 1. 5. 9. 1. o. temos que A ∪ B = {0. 8. 2. seja x ∈ (∅ ∪ A). 6. 1.. 4. o. pela definição de inclusão. temos que A ∪ (B ∪ C) ⊆ (A ∪ B) ∪ C. pela definição de igualdade de conjuntos. x∈A∪B⇒ x∈A∨x∈B⇒ (definição de união) x∈B∨x∈A⇒ (comutatividade do conectivo ∨) x ∈ (B ∪ A) (definição de união) Logo. pela definição de igualdade de conjuntos. (A ∪ B) ∪ C ⊆ A ∪ (B ∪ C). x ∈ (A ∪ B) ∪ C ⇒ x ∈ (A ∪ B) ∨ x ∈ C ⇒ (x ∈ A ∨ x ∈ B) ∨ x ∈ C ⇒ x ∈ A ∨ (x ∈ B ∨ x ∈ C) ⇒ x ∈ A ∨ x ∈ (B ∪ C) ⇒ x ∈ A ∪ (B ∪ C) (definição de união) (definição de união) (associatividade do conectivo ∨) (definição de união) (definição de união) Logo. simultaneamente.Logo. Portanto. 3. x ∈ A ∪ (B ∪ C) ⇒ x ∈ A ∨ x ∈ (B ∪ C) ⇒ (definição de união) x ∈ A ∨ (x ∈ B ∨ x ∈ C) ⇒ (definição de união) (x ∈ A ∨ x ∈ B) ∨ x ∈ C ⇒ (associatividade do conectivo ∨) x ∈ (A ∪ B) ∨ x ∈ C ⇒ (definição de união) x ∈ (A ∪ B) ∪ C (definição de união) Logo. (B ∪ A) ⊆ (A ∪ B). Caso 2: Seja x ∈ B ∪ A. podemos concluir que A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C. Matemática Discreta Márcia Rodrigues Notare 15 . é como segue: Em outras palavras. x∈B∪A⇒ x∈B∨x∈A⇒ x∈A∨x∈B⇒ x∈A∪B (definição de união) (comutatividade do conectivo ∨) (definição de união) Logo. resulta em um conjunto cujos elementos pertencem aos conjuntos A e B. Portanto. denotada por A ∩ B . Associatividade: A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C Prova: Caso 1: Seja x ∈ A ∪ (B ∪ C). A ∪ A = A Comutatividade: A ∪ B = B ∪ A Prova: Caso 1: Seja x ∈ A ∪ B. Caso 2: Seja x ∈ (A ∪ B) ∪ C. ou seja. pela definição de inclusão. podemos concluir que A ∪ B = B ∪ A. A interseção dos conjuntos A e B. a interseção de dois conjuntos A e B considera todos os elementos que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B. (A ∪ B) ⊆ (B ∪ A).2 Operação de Interseção A ∩ B = {x x ∈ A ∧ x ∈ B} Sejam A e B conjuntos. Q e I. o.A operação de interseção pode ser visualizada através de um diagrama de Venn. 8.2.Dados os conjuntos D = {0. 2.}. 4. 4.3 Operação Complemento ~ A = {x ∈ x ∉ A} Suponha o conjunto universo U. i. é como segue: Matemática Discreta Márcia Rodrigues Notare 16 . 2. 6. Exemplos: . denotado por ~ A . 9}.1 Propriedades da Interseção Elemento Neutro: A ∩ U = U ∩ A = A Idempotência: A ∩ A = A Comutatividade: A ∩ B = B ∩ A Associatividade: A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C As provas são análogas à operação de união e ficam sugeridas como exercício. 3. 2. 7. Propriedades que envolvem União e Interseção a) Distributividade da Interseção sobre a União: A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) b) Distributividade da União sobre a Interseção: A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) 3. e. V = {a. 4.. u} e P = {0.. 8. temos que ∅∩∅=∅ U∩A=A U∩∅=∅ U∩U=U - 3. como mostrado a seguir. Temos que R∩Q=Q R∩I=I Q∩I=∅ Para qualquer conjunto universo U e qualquer conjunto A ⊆ U. 8} D∩V=∅ Chamamos conjuntos cuja interseção é o conjunto vazio de conjuntos disjuntos. 5. O complemento de um conjunto A ⊆ U. 1. Dados os conjuntos A = {x ∈ Ν | x > 2} e B = { x ∈ Ν | x2 = x}. 6. 6. . temos que D ∩ P = {0. temos que A∩B=∅ (conjuntos disjuntos) Considere R. 1. a diferença entre dois conjuntos A e B considera todos os elementos que pertencem ao conjunto A e que não pertencem ao conjunto B. temos que ~∅ = U ~U = ∅ Considerando R como conjunto universo.3. 5. 4.4 Operação de Diferença A − B = {x x ∈ A ∧ x ∉ B} Sejam A e B conjuntos. x∈A⇒ para ~A. 1. (definição de complemento) 3. temos que ~A = {3. temos que ~A = {x ∈ N | x > 2} Para qualquer conjuntos universo U. temos que A ∪ ~A = U A ∩ ~A = ∅ ~ ~A = A - - Podemos provar o último caso da seguinte forma: Suponha um elemento x ∈ A.1 Propriedades de DeMorgan ⇔ ⇔ A ∪ B = ~(~A ∩ ~B) A ∩ B = ~(~A ∪ ~B) a) ~(A ∪ B) = ~A ∩ ~B b) ~(A ∩ B) = ~A ∪ ~B 3. denotada por A − B . 3. 2}. Então para qualquer conjunto A ⊆ U.Dados o conjunto universo U = {0. como mostrado a seguir. ¬¬(x ∈ A). ou seja ¬(x ∈ A) ⇒ para ~ ~A. 7. 9} e o conjunto A = {0. Exemplos: .A operação complemento pode ser visualizada através de um diagrama de Venn. 7. A operação de diferença pode ser visualizada através de um diagrama de Venn. é como segue: Em outras palavras. 8. 2. 8. 4. Matemática Discreta Márcia Rodrigues Notare 17 . temos que ~Q = I ~I = Q Suponha U qualquer. 9} Dados o conjunto universo U = N e o conjunto A = {0. 1. 6. x ∈ A. como mostrado a seguir. 5. ou seja. A diferença entre os conjuntos A e B. x ∉ A. 6. 2}. A = {0. V = {a. {b}. c}. Q e I.Dados os conjuntos D = {0. c}. temos que R-Q=I R-I=Q Q-I=Q Para qualquer conjunto universo U e qualquer conjunto A ⊆ U. y ou (x. 3. i. 3. B = {a.P(A) = {∅. {a. 9}.. 2. n objetos em ordem fixa. 2. 1. b}.∅⊆A . vamos definir uma seqüência: uma seqüência de n elementos é definida como sendo uma n-upla ordenada. então {x} ⊆ A A operação unária.P = {1.Exemplos: . {a. {b. {c}. resulta num conjunto constituído de todos os subconjuntos de A é denominada conjunto das partes de A e é denotada por: P(A) = {X X ⊆ A} Exemplo: Dados os conjuntos A = {a}. u} e P = {0. ou seja.5 Conjunto das Partes Dado conjunto A. 4.P(∅) = {∅} .P(B) = {∅. temos que A .. b} e C = {a. 6. . Matemática Discreta Márcia Rodrigues Notare 18 . 9} . c}. c}} Se o número de elementos de um conjunto X é n. e. b.B = {3. y ) . 5. 5.. 6 . 5. {b}. temos que: . 1} Dados os conjuntos R. b}} . dizemos que uma 2-upla é uma par ordenado e é representada por x. 3. que aplicada a um conjunto A. {a}} . então o números de elementos de P(X) é 2n. 4.A = ~A U-U=∅ - 3.. {a}. {a. 8.Se x ∈ A.7 .}.Dados os conjuntos A = {x ∈ N | x > 2} e B = {x ∈ N | x = x2}. {a}. temos que ∅-∅=∅ U-∅=U U . 7. temos que .A⊆A . 6. 8. o. 7.6 Produto Cartesiano Antes de definirmos a operação produto cartesiano. 4.} B . . Particularmente.P(C) = {∅. temos que D-V=D D . b. {a. 1 .1 . b.. a . 7D.. a . é como segue: onde os pares ordenados a. a. 2D. a. denotada por A + B .2 . a. . 2P. 3. 7. temos que: .1 .A + A = {a0. V = {a. a. b. P = {0. a..} 2 2 (A × B )× C = { a. 8. 2}. a .2 } } A×∅ = ∅ ∅ ×A =∅ ∅2 = ∅ Observações: . 1. b . b . 2. b. a.Não-associatividade: (A × B )× C ≠ A × (B × C ) Propriedades que envolvem Produto Cartesiano. 0P. b . 1. 1D. b } A × Ν = { a. 5D. i.1 . b . b1.0 .. 6. x . 2.Não-comutatividade: A × C ≠ C × A .0 . 9D. eV. iV.} .0 . o. temos que: A × B = a. Também podemos denotar a união disjunta da seguinte forma: A + B = { A a ∈ A}∪ { B b ∈ B} a b Exemplos: Dados os conjuntos D = {0.0 . 9}. 4D. a. 2.D + P = {0D. 5D. c1} Matemática Discreta Márcia Rodrigues Notare 19 . b a ∈ A ∧ b ∈ B} 2 Denotamos o produto cartesiano de um conjunto A por ele mesmo como A × A = A . a. x.. 3D. a } B = { a.1 . u}. a. b . Sejam A e B conjuntos. b. b. 4D. a. b . 5. oV. 8D. A união disjunta dos conjuntos A e B. e. B = {a. a .2 . 2D. a. a . 0.. a. a1. identificação . B representam elemento. b } A = { a. 4P. 1. y ≠ y. A × (B × C ) = { a.2 a. 4. b - { } B × C = { a.} e A = {a.D + V = {0D. b. 6P. 1. uV} . b. b0. a. a . União e Interseção a) Distributividade sobre a União: A × (B ∪ C ) = (A × B ) ∪ (A × C ) b) Distributividade sobre a Interseção: A × (B ∩ C ) = (A × B ) ∩ (A × C ) 3. c}.2 } C × B = { 0. bA. b} e C = {0.2 . a.. 9D. b. 6. b. 6D. A a ∈ A}∪ { b. 4. Exemplos: Dados os conjuntos A = {a}. a .0 . 3D.∅+∅=∅ . O produto cartesiano de A por B é como segue: A × B = { a. 2. 1D.0 . B b ∈ B} Sejam A e B conjuntos.2 . 8D. a . . a.1 . a.Observação: A ordem dos elementos é importante! Logo.0 .A + ∅ = {aA. a .1 . cA} . A e b. a.7 União Disjunta A + B = { a. c0. 7D. a. aV. 6D. b de R : A → B C . b } ⊆: P( B) → P( B) ≤ : C →C =: A → A { a. a } Endorrelação ou Auto-Relação: dado um conjunto A.1 . Então.B é o contra-domínio. são endorrelações: Ν. Podemos denotar uma relação R da seguinte forma: R : A → B e.∅ é uma relação de A em B A × B = a. ou seja R ⊆ A × B .2 } A seguir. algumas definições referentes ao conceito de relação: Matemática Discreta Márcia Rodrigues Notare 20 . 2}. < = { 0.A é o domínio. Assim. a . 0.2 . 1. A C B C 0 0 b a 1 2 1 2 par a.4 4. São exemplos de relações: .1 RELAÇÕES Relação Binária Dados dois conjuntos A e B. ≤ Q. b ∈ R . 1. onde: . temos que origem e destino são o mesmo conjunto e podemos denota-la por A. Exemplos: Sejam A = {a}. origem ou conjunto de partida de R . uma relação do tipo R : A → A é dita uma Endorrelação ou Auto-Relação. ≤ - Ζ. a. então afirmamos que "a relaciona-se com b". B = {a. ⊆ P(R). 0.2 } Relação de C em B: { 0. como mostram as figuras abaixo. se a. b é uma relação de A em B - a. para um elemento denota-lo como aRb . = P( A). R . destino ou conjunto de chegada de R Para R ⊆ A × B . a .1 .2 . 1. podemos { } - Relação de Igualdade de A em A: Relação "menor" de C em C: { 0. 1. ⊂ Uma relação binária pode ser representada no diagrama de Venn. b ∈ R . Exemplos: Seja A um conjunto. b} e C = {0. uma relação binária R de A em B é um subconjunto de um produto cartesiano A × B . . b2. c) a matriz resultante possui m x n células.2 } 4.1 . 1. a2. b. < = { 0. b) cada par a.a) a....2 . b) Domínio de definição: é o conjunto de todos os elementos de A para os quais R está definida. A representação da relação R : A → B como matriz é como segue: a) o número de linhas é n (número de elementos do domínio). seu valor será falso (0).2 Endorrelação como Grafo Toda endorrelação R : A → A pode ser representada como um grafo. onde: a) cada elemento do conjunto A é representado como um nodo do grafo. .. 0. 1} e o conjunto imagem é o conjuto {1..3 Relação como Matriz R : C → C tal que R = { 0. o domínio de definição é o conjunto {0. b da relação é representada como uma aresta do grafo. 2] para a relação = : A → B . temos que . o domínio de definição é o conjunto {a} e o conjunto imagem também é o conjunto {a}. 2.0 . então a posição determinada pela linha i e pela coluna j da matriz contém valor verdadeiro (1). c) Conjunto imagem: conjunto de todos os elementos de B que estão relacionados com algum elemento de A. com origem em a e destino em b. b ∈ R : dizemos que R está definida para a e que b é a imagem de a. < . b) o número de colunas é m (número de elementos da imagem). 1. 2.para a endorelação C . B = {a. 4. e) se a i . Exemplos: Dados os conjuntos A = {a}.2 } Sejam A = {a1. an} e B = {b1. d) cada uma das m x n células possuem um valor lógico associado. . 2}. b j ∈ R .2 . bm} dois conjuntos finitos. Exemplos: a a b ∅: A → A = : B → B = { a. b} e C = {0. a . b 0 1 2 } 0 1 2 C . caso contrário. Matemática Discreta Márcia Rodrigues Notare 21 . b }: C → B ⊆: P( A) → P( B) 4. b} 1 1 2 1 1 0 2 1 0 1 b 1 ∅: A → A B. 1. < R : C → C tal que R = { 0. = .2 } A× B a 1 0 0 A× B = A → B S 0 1 2 ⊆ ∅ {a} S = { 0. 4. b} e C = {0. ⊆ .2 A. R é uma relação reflexiva se: (∀a ∈ A)(aRa ) A negação da propriedade reflexiva é como segue: (∃a ∈ A)(¬(aRa )) Exemplos: Dado o conjunto A = {0. A seguir serão apresentadas as propriedades que envolvem as endorrelações. pois todo elemento é igual a si mesmo A matriz e o grafo de uma relação reflexiva apresentam uma característica especial: a diagonal principal da matriz contém somente valores lógicos verdadeiro (1) e qualquer nodo do grafo Matemática Discreta Márcia Rodrigues Notare 22 . pois todo elemento é igual a si mesmo - P( A). B = {a.Exemplo: Dados os conjuntos A = {a}. = C.0 . temos que ∅ a = a b < 0 1 2 R 0 1 2 a a 0 a 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 b 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 a 1 b 0 1 0 ∅ 1 0 {a} 1 1 {b} 1 0 {a. 1. pois todo conjunto está contido em si mesmo A 2 : A → A .4 Propriedades das Relações Uma endorrelação binária em um conjunto A pode ter determinadas propriedades. a .1 e 2.1 Relação Reflexiva Sejam A um conjunto e R uma endorrelação em A. pois esta relação contém os pares 0. temos que as seguintes relações são reflexivas Ν. 2}. 2}. 1. 2.0 . ≤ .4. 1.2 . 2. 2. ∅ :A→ A ∅ 0 1 2 0 0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 0 1 0 2 Matemática Discreta Márcia Rodrigues Notare 23 . = = 0 1 2 0 1 0 0 1 0 1 0 2 0 0 1 1 0 2 4.2 Relação Irreflexiva Sejam A um conjunto e R uma endorrelação em A. a A. Veja as matrizes e grafos referentes a alguns dos exemplos apresentados acima. ⊂ .2 . se S = 0. nem irreflexiva: . 2. Veja as matrizes e grafos referentes a alguns dos exemplos apresentados acima. se R = { 0. pois não há nenhum elemento do tipo a. ≠ .1 . A2 0 1 2 0 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 A :A→ A 2 0 2 A. 1.possui uma aresta com origem e destino nele mesmo. a Exemplo de relação nem reflexiva. S . pois não há nenhum elemento do tipo a. 2}.A. temos que as seguintes relações são irreflexivas Ζ. R . pois para a relação "está contido propriamente" os conjunto precisam se diferentes ∅: A → A. 2. pois não elemento diferente de si mesmo - P( A).0 .4.2 { } A matriz e o grafo de uma relação irreflexiva apresentam uma característica especial: a diagonal principal da matriz contém somente valores lógicos falso (0). 1.2 .1 }. R é uma relação irreflexiva se: (∀a ∈ A)(¬(aRa )) Exemplos: Dado o conjunto A = {0. e qualquer nodo do grafo não possui aresta com origem e destino nele mesmo. temos que as seguintes relações são anti-simétricas Matemática Discreta Márcia Rodrigues Notare 24 . = ∅: X → X A matriz e o grafo de uma relação simétrica apresentam uma característica especial: na matriz. ou não existe aresta. 2. no grafo.2 . R é uma relação simétrica se: (∀a ∈ A)(∀b ∈ A)(aRb → bRa ) Exemplos: Dados o conjunto A = {0.4.1 .≠ P( X ). 1.1 } R 0 1 2 0 0 0 0 1 1 0 1 2 0 1 0 1 0 2 4. ou existem duas arestas. e. a metade acima da diagonal principal é a imagem espelhada da metade de baixo.R = { 0.= - X.3 Relação Simétrica Sejam A um conjunto e R uma endorrelação. 1.4 Relação Anti-Simétrica Sejam A um conjunto e R uma endorrelação em A. entre dois nodos quaisquer. 2} e X um conjunto qualquer. temos que as seguintes relações são simétricas . = = 0 1 2 0 1 0 0 1 0 1 0 2 0 0 1 1 0 2 4. R é uma relação anti-simétrica se: (∀a ∈ A)(∀b ∈ A)(aRb ∧ bRa → a = b ) Exemplos: Dados o conjunto A = {0. 1.4. 2} e X um conjunto qualquer. uma em cada sentido. A :A→ A 2 A2 0 1 2 0 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 0 2 A.X2: X → X X. Veja as matrizes e grafos referentes a alguns dos exemplos apresentados acima. existe no máximo uma aresta.0 .0 . R .1 . então ela é a seu próprio fecho em relação a P.= - Ν.- X.2 . se R = { 0. temos que as seguintes relações não são transitivas Ζ. se S = 0.= P( X ). ⊂ Exemplos: Dado um conjunto X qualquer. 1. S . temos que as seguintes relações são transitivas . a correspondente célula na outra metade é falsa (0). 1. R . 2. < P( X ). se R = { x. R é uma relação transitiva se: (∀a ∈ A)(∀b ∈ A)(∀c ∈ A)(aRb ∧ bRc → aRc ) Exemplos: Dado um conjunto X qualquer.∅: X → X X. Veja a matriz e o grafo referentes a um dos exemplos apresentado acima. R .5 Relação Transitiva Sejam A um conjunto e R uma endorrelação em A. R = { 0.X2: X → X . para qualquer célula verdadeira (1) em uma das metades da matriz. ≤ Ζ.2 } R 0 1 2 0 1 0 0 1 0 1 0 2 0 1 0 1 0 2 4. 1.5 Fechos de Relações Sejam R: A → A uma endorrelação e P um conjunto de propriedades. o fecho de R em relação a P é a menor endorrelação em A que contém R e que satisfaz as propriedades de P.1 .4. 2. Então. Se a relação R já contém as propriedades de P.1 . entre dois nodos quaisquer. ≠ - A. no grafo. nem anti-simétrica: . y ∈ Ν2 y = x2 } Exemplo de relação nem simétrica. se R = { 0. R ⊆ FECHO − P(R ) Matemática Discreta Márcia Rodrigues Notare 25 . 1.2 } 4.0 . ⊆ P( X ).2 { } A matriz e o grafo de uma relação anti-simétrica apresentam uma característica especial: na matriz.0 . 2.1 } A. 2.A. = ∅: X → X Ν. Matemática Discreta Márcia Rodrigues Notare 26 . 1. c ∈ Fecho − { transitiva}(R ) . 3. 2.2 . 2. 1. b ∈ Fecho − { transitiva}(R ) . b ∈ R} Exemplo: Dados o conjunto A = {1.2 .5 . 1.5 . 2. 4.4 .3 . a a ∈ A} Exemplo: Dados o conjunto A = {1. 1.5. podemos pensar numa relação de ordem quando lembramos de uma fila no banco.3 .2 Fecho Simétrico Suponha R: A → A uma endorrelação.2 .4 }.3 . 3.4 .1 } 4. 1.4 }.5 } 4.3 Fecho Transitivo Suponha R: A → A uma endorrelação. 5} e R: A → A uma endorrelação. Então o fecho transitivo de R é definido como segue: a) se a. 1. 1.5 .4 } Algumas notações são importantes e podem ser utilizadas para simplificar e representar as seguintes relações: transitiva}(R ) a) R + = Fecho − { * b) R = Fecho − {reflexiva.4 . 1.4. 3. temos que - Fecho − { transitiva}(R ) = {1. 3.5 .2 . 2. 1. a R = {1.5. tal que - Fecho − {simétrica}(R ) = {1. 3.5.5 .4 .3 . 2.2 .1 Fecho Reflexivo Suponha R: A → A uma endorrelação. 4. então Exemplo: Dados o conjunto A = {1.4 }. 2. temos que - Fecho − {reflexiva}(R ) = {1. temos que a.4 . 2. b ∈ Fecho − { transitiva}(R ) e b. 2. então a. 2. 5} e R: A → A uma endorrelação. c ∈ Fecho − { transitiva}(R ) . 2. 2.2 .5 . 5} e R: A → A uma endorrelação. 1. de uma fila de alunos dispostos numa sala de aula. 2. 2. Então o fecho reflexivo de R é definido como segue: Fecho − {reflexiva}(R ) = R ∪ { a. 3. 3.1 . 2. transitiva}(R ) Portanto.4 .2 . 3.3 . tal que R = {1. a.3 . 3.5 . 5. b ∈ R .4 .6 R * = {1. tal que R = {1.3 . considerando o exemplo acima.1 . 3. 4. 4.3 . 4. 3. Então o fecho simétrico de R é definido como segue: Fecho − {simétrica}(R ) = R ∪ { b.3 .3 . etc.3 .2 . 2.4 . 3. 5.2 . temos que 4. 1. 1. na relação "menor ou igual" no números naturais. 5.5 } Relação de Ordem Intuitivamente. 3.3 . 4. 1. b) se a.2 .1 .4 . ≤ - P( Ν).2} {1} {2} ∅ - Dados o conjunto A = {1. o diagrama de Hasse está representado abaixo. {1. 3} e a relação de ordem A. já que a disposição dos elementos no diagrama preserva essa informação. temos seus respectivos grafo e diagrama de Hasse representados abaixo. anti-simétrica e transitiva. Cada elemento de A é representado por um ponto (vértice) do diagrama. 3.2}). Se A é um conjunto finito. São exemplos de relação de ordem parcial: Ν. ⊆ Ζ + . 2. simultaneamente. então dizemos que parcialmente ordenado. O diagrama de Hasse pode ser construído com base num grafo. desnecessária. então o elemento 1 aparece abaixo do elemento 2. x _ divide _ y A. ≤ . 18} e a relação de ordem "x divide y". ou seja. R é um conjunto Se R é uma relação de ordem parcial em A. 3 1 2 3 2 1 (grafo) (diagrama de Hasse) Observe que os elementos da relação são representados no diagrama em ordem crescente de baixo para cima. então podemos representar visualmente um conjunto parcialmente ordenado em A por um diagrama de Hasse. reflexiva. seu diagrama de Hasse está representado abaixo. Matemática Discreta Márcia Rodrigues Notare 27 . Veja o exemplo a seguir. ⊆ . Exemplo: Dados o conjunto A = {1. Exemplos: 1 . 12. como 1 ≤ 2. dessa forma. 2. As orientação das arestas torna-se. 6.Dada a relação de ordem P ({ .Ordem parcial: é toda relação binária em um conjunto A que é. onde as arestas que representam as relações reflexivas e transitivas ficam implícitas no diagrama. 6. d . R uma relação de ordem. d . c .1 é elemento minimal. c. pois não existem elementos com os quais eles relacionamse. c .1 R se Suponha A um conjunto e A. e . 12.6. a. a . . e. Elemento Mínimo que o conjunto dado pela relação de ordem é 4. R uma relação de ordem. pois não há elemento que relaciona-se com ele. Dizemos que m é elemento máximo (∀a ∈ A)(aRm) Elemento Maximal 4. Dizemos que m é elemento mínimo de (∀a ∈ A)(mRa ) Elemento Minimal 4. a. f . R uma relação de ordem.1 é elemento mínimo. pois está relacionado com todos os outros elementos de A.6.6.12 6 2 1 18 3 - Dado o diagrama de Hasse a seguir. cujo diagrama de Hasse já foi apresentado anteriormente. e b c d a f temos { a. 18} e a relação de ordem "x divide y". b. d . a ∉ R) Exemplo: Dados o conjunto A = {1. b .3 de R se Suponha A um conjunto e A. 3.2 de R se Suponha A um conjunto e A. e . Dizemos que m é elemento maximal (∀a ∈ A)( m. d . R uma relação de ordem. 2. 6. a. . m Elemento Máximo ∉ R) 4.12 e 18 são elementos maximais. b . Matemática Discreta Márcia Rodrigues Notare 28 . e . Dizemos que m é elemento minimal (∀a ∈ A)( a. a.4 de R se Suponha A um conjunto e A. temos que . f }. reflexiva. Observe que o conjunto A foi divido em subconjuntos tais que todos os alunos da turma pertencem a um.- não há elemento máximo. 1} e aRb ↔ a = b 2 Partição de um Conjunto: uma partição de um conjunto A é um conjunto de subconjuntos disjuntos não-vazios cuja união é igual ao conjunto A.= - A.7 Relação de Equivalência A relação de equivalência nos dá a noção de igualdade semântica. R . Classes de Equivalência: se R é uma relação de equivalência em um conjunto A e se a ∈ A. Relação de Equivalência: é toda relação binária em um conjunto A que é. se A = {0. x _ sen ta _ na _ mesma _ fila _ que _ y . Um possível diagrama é o apresentado a seguir: 4. obtemos a figura abaixo. suponha um conjunto A = {x x é aluno de Matemática Discreta} e a relação xRy ↔ A. como no caso dos alunos da turma de Matemática Discreta. pois não há elemento que se relaciona com todos os outros elementos de A. e somente um. ou seja. Matemática Discreta Márcia Rodrigues Notare 29 . tais que existam dois elementos minimais. não existam elementos mínimo e máximo e cada elemento está relacionado com dois outros elementos. simétrica e transitiva. Os subconjuntos que compõem a partição são formados agrupando-se os elementos relacionados. podemos escrever que [a] = {x x ∈ A ∧ aRx} Teorema: uma relação de equivalência R em um conjunto A determina uma partição de A e uma partição de A determina uma relação de equivalência em A. denotamos por [a] o conjunto de todos os elementos relacionados a a em A e o chamamos de classe de equivalência de a. Dessa forma. Ao agruparmos todos os alunos do conjunto A que estão relacionados entre si. dois elementos maximais. Para visualizar uma partição. de elementos que apresentam um mesmo significado. subconjunto. simultaneamente. Qualquer relação de equivalência divide o conjunto onde está definida em uma partição. São exemplos de relações de equivalência: X. Exemplo: Desenhe um diagrama de Hasse para um conjunto parcialmente ordenado com quatro elementos. 3.2 . 3. Suponha agora que x ≡ y (mod m ) e que y ≡ z (mod m ).} . Logo. simétrica e transitiva e. reflexiva. Logo. Tal relação divide o conjunto N em duas partes. se x é ímpar. a relação inversa é como segue: Matemática Discreta Márcia Rodrigues Notare 30 . então x − y e y − z são divisíveis por m. simétrica e transitiva. ou seja. 6. . Então − (x − y ) = y − x também também é divisível por m. [n] = {n} b) Em A = {1. temos que a soma Suponha que x ≡ y (mod m ) . simultaneamente. Então. Assim. então x + y é ímpar para todo número ímpar. Podemos representar essa partição de N como mostra figura abaixo.1 As classes de equivalência são as seguintes: [1] = {1.Exemplo: Considere o conjunto dos números naturais e a relação de equivalência Ν. mostramos que a relação de congruência módulo m em Z é. (x − y ) + ( y − z ) = x − z Relação Inversa 4. 2. Para verificar que isso é válido. " x + y _ é _ par" . Dizemos que x é congruente a y módulo m. ou seja. 1.1 Congruência em Z Considere o conjunto dos números inteiros Z e um número inteiro m > 1 . Acompanhe o raciocínio a seguir: para qualquer inteiro x. então x − y é divisível por m.8 Seja uma relação R: A → B.3 . temos que x ≡ x(mod m ) .classe dos ímpares: [1] = [11] = [2451] = {1. Então. em duas classes de equivalências.. 4.2 . portanto. Assim. A relação de congruência em Z define uma relação de equivalência em Z. 2. 3} e R = 1. para todo número par.. Se x é par. temos que a relação é simétrica. então x + y é par.7. a) Ν. temos que a relação é reflexiva. x ≡ z (mod m ) e a relação é transitiva. Observe que as classes de equivalência podem ser representadas por qualquer objeto pertencente à ela: . . 2} = [2] [3] = {3} { } 4. denotada por x ≡ y (mod m ) se x − y é divisível por m. 5. todos os números pares formam uma classe de equivalência e todos os números ímpares formam uma segunda classe de equivalência. é uma relação de equivalência. tais que cada classe de equivalência contém um único elemento. 2.. 7.} Exemplo: Para cada uma das relações a seguir. 2. Logo. = Possui n classes de equivalência. temos que mostrar que a relação de congruência em Z é uma relação reflexiva.1 . é divisível por m.classe dos pares: [2] = [6] = [1034] = {0. se x = y + km para algum inteiro k.. pois x − x = 0 é divisível por m. descreva as classes de equivalência correspondentes. é tal que (∀a ∈ A)(∀b ∈ B )(∀c ∈ C )(aRb ∧ bSc → a(R $ S )c ) Ou seja. d}. 5. R é dada por - -1 R −1 : A → B = { a.4 . x . < . b. temos que { } { } a composição de R e S é como segue R $ S = { a.3 } Dados o conjunto C = {2. b ∈ R ∧ b . z . temos que (T $ S ) $ R = T $ (S $ R ) = T $ S $ R Matemática Discreta Márcia Rodrigues Notare £ B 1 2 3 4 5 S x y z C 31 . e R: A → B e S: B → C relações. c ∃b ∈ B ∧ a . 5} e C = {x. y . d . a relação inversa pode ser visualizada no diagrama a seguir: 2 3 4 2 3 4 2 3 4 2 3 4 < :C → C 4. b ∈ R} Exemplos: . x .2 . y . S: B → C e T: C → D. b . y. b.Dados os conjuntos A = {a. 3. a . c ∈ S } Exemplo: Dados os conjuntos A = {a.3 . 2. b. Então. z R S } e pode ser visualizada no diagrama a seguir: A a b c d R A composição de relações é associativa. denotada por R S : A → C . 5. ou seja: Sejam as relações R: A → B.5 e S : B → C = 1. b.9 ¢ < −1 => : C → C Composição de Relações Sejam A. B = {1. A composição de R e S. b} e B = {2. a a. 4} e a relação R : B → A = 2. 4} e a relação C . 3. 3. d . 3. c. y . 2.1 . R $ S = { a . { } temos que a relação inversa de R. 4. B e C conjuntos. z} e as relações R : A → B = a. d .R −1 : B → A = { b. Exemplo: Sejam R e S relações em X = {a. Determinaremos a composição de R e S através da { }e multiplicação das correspondentes matrizes. Matemática Discreta Márcia Rodrigues Notare 32 . c} definidas por R = a. a . { temos que a } R S é dada pela matriz R ⋅ S . composição R $ S = a. c . b. a }.9. a. b. b. c . a S = { a. Veja o exemplo a seguir. temos as correspondentes matrizes que representam as relações R e S. b .4. b . a . c. b. ou seja. b . c . Abaixo.1 Composição de Relações como Produto de Matrizes A composição de relações pode ser vista como o produto de matrizes. a. b. R a b c a 0 1 0 b 1 0 0 c 1 0 0 S a b c a 0 1 1 b 0 1 0 c 1 0 0 A multiplicação das matrizes R e S é dada como segue: 0 + 1 + 1 0 + 1 + 0 0 + 0 + 0 2 1 0 R ⋅ S = 0 + 0 + 0 0 + 0 + 0 1+ 0 + 0 = 0 0 1 0 + 0 + 0 0 + 0 + 0 0 + 0 + 0 0 0 0 ¤ Assim. temos que.2 Relação Injetora Relação injetora é o conceito dual (inverso) de relação funcional. 5. um elemento do conjunto destino (o que significa que podem haver elementos da origem não relacionados a algum elemento do destino). no máximo. temos que o correspondente 2 } { } diagrama é como segue: A a b c a b c A Observe que. no máximo. Veja a seguir o diagrama que representa a relação R. temos que cada elemento de B está relacionado a. cada elemento do conjunto origem deve estar relacionado a. cada elemento do conjunto destino deve estar relacionado a. tal que A = {1. tal que X = x. de fato. temos que. Podemos também visualizar uma relação funcional no diagrama de Venn. existe no máximo um inteiro y tal que y = x . c}. y ∈ Ζ y = x . A matriz de uma relação injetora tem uma característica particular: existe no máximo um valor lógico verdadeiro (1) em cada coluna. b.1 . b. um elemento do conjunto destino. B = {1. Exemplo: Dada a relação R: A → B. { } Matemática Discreta Márcia Rodrigues Notare 33 . 2 2 2 2 Exemplo: Dada a relação X : Z → Z. um elemento de A. tal que R = a. e somente se: (∀b ∈ B )(∀a1 ∈ A)(∀a 2 ∈ A)(a1 Rb ∧ a 2 Rb → a1 = a 2 ) Em outra palavras. Relação Funcional Uma relação binária R: A → B é uma relação funcional se. c e A = {a. no máximo.3 . 2}. 1. temos que para uma relação ser funcional.1 TIPOS DE RELAÇÕES Vamos estudar agora os diferentes tipos de relações.2 . Considerando a relação R: A → A.5 5. para um relação ser injetora. cada elemento do conjunto origem está relacionado a. A matriz de uma relação funcional tem uma característica particular: cada linha da matriz pode conter no máximo um valor lógico verdadeiro (1). Uma relação binária R: A → B é uma relação injetora se. no máximo. 3} e R = 1. um elemento do conjunto origem. para { cada inteiro x. a . 2. 2. e somente se: (∀a ∈ A)(∀b1 ∈ B )(∀b2 ∈ B )(aRb1 ∧ aRb2 → b1 = b2 ) Em outras palavras. todos os elementos do conjunto destino devem estar relacionados a algum elemento do conjunto origem. O conjunto imagem é o próprio conjunto B.1 . b . tal que A = {1. 2}. temos que para uma relação ser sobrejetora. Uma relação binária R: A → B é uma relação sobrejetora se. Na matriz de uma relação total. tal que A = {a. Exemplo: Dada a relação R: A → B. B = {a. Veja a seguir o diagrama que representa a relação R. e somente se: (∀b ∈ B )(∃a ∈ A)(aRb ) Em outras palavras. Na matriz de uma relação sobrejetora.3 . a . b} e R = a. temos que cada elemento de B está relacionado a algum elemento de A.A 1 2 1 2 3 B 5. e somente se: (∀a ∈ A)(∃b ∈ B )(aRb ) Em outras palavras. 2.2 .4 Relação Sobrejetora Relação sobrejetora é o conceito dual (inverso) de relação total. Exemplo: Dada a relação R: A → B. todos os elementos do conjunto origem devem estar relacionados a algum elemento do conjunto destino. 3} e R = 1. c.3 Relação Total Uma relação binária R: A → B é uma relação total se. b. c}. 2. 2. O domínio de definição é o próprio conjunto A. temos que cada elemento de A está relacionado a algum elemento de B. B = {1. { } Matemática Discreta Márcia Rodrigues Notare 34 . A 1 2 1 2 3 B { } 5. temos que para uma relação ser total. deve existir pelo menos um valor lógico verdadeiro em cada coluna. Veja a seguir o diagrama que representa a relação R. deve existir pelo menos um valor lógico verdadeiro em cada linha. ¥ ¥ ¥ ¥ Matemática Discreta Márcia Rodrigues Notare 35 . Exemplo: A relação =: A → B . 1.S: C → B. podemos chama-los de conjuntos isomorfos. se R S = idA e S R = idB.A a b c B a b 5. for simultaneamente uma relação total e injetora. onde A = {a} e B = {a. e somente se.6 Epimorfismo Epimorfismo é o conceito dual (inverso) de monomorfismo. o conjunto imagem é o próprio conjunto B e cada elemento de A está relacionado com no máximo um elemento de B. b}. = e idB é uma endorrelação de igualdade em B B. Exemplo: São exemplos epimorfismo. Uma relação R: A → B é um epimorfismo se. se existe um isomorfismo entre dois conjuntos. 1. 5. existe uma relação S: B → A tal que: R S = idA S R = idB onde idA é uma endorrelação de igualdade em A A. Dessa forma. chamadas de relação identidade. a . Ainda. A matriz de um monomorfismo tem a seguinte característica: existe pelo menos um valor verdadeiro em cada linha da matriz (o que carateriza a relação total) e existe no máximo um valor lógico verdadeiro em cada coluna (o que carateriza a relação injetora). 2}: . é um monomorfismo. tal que S = 0. podemos afirmar que a relação R possui inversa. Assim. b} e C = {0. A matriz de um epimorfismo tem a seguinte característica: existe pelo menos um valor verdadeiro em cada coluna da matriz (o que carateriza a relação sobrejetora) e existe no máximo um valor lógico verdadeiro em cada linha (o que carateriza a relação funcional). = . Dessa forma.5 Monomorfismo Uma relação R: A → B é um monomorfismo se. b { } 5. o domínio de definição é o próprio conjunto A e cada elemento de B está relacionado com no máximo um elemento de A.7 Isomorfismo Uma relação R: A → B é um isomorfismo se. B = {a. sendo que onde A = {a}. for simultaneamente uma relação funcional e sobrejetora. e somente se. e somente se.=: A → A . a . b. b. f . Então R é um isomorfismo se. g . Podemos observar que para uma relação ser um isomorfismo. e . injetora. c} e B = {e. g } = idB Logo. f . R $ R −1 = { a. R for simultaneamente um monomorfismo e um epimorfismo. e somente se. Teorema: Seja R: A → B uma relação. e somente se. os conjuntos origem e destino devem possuir o mesmo número de elementos. c. e .Exemplo: Dados os conjuntos A = {a. f . uma relação é um isomorfismo se. f . a . a relação R possui inversa e os conjuntos A e B são conjuntos isomorfos. g . c }. b . b. funcional e sobrejetora. pois considerando a relação inversa de R. R é um isomorfismo. c } = idA Matemática Discreta Márcia Rodrigues Notare 36 . for simultaneamente uma relação total. g} e a relação R: A → B tal que R = a. f. g . temos que { } R −1 $ R = { e. c. R −1 : B → A = { e. b . Dessa forma. Portanto.2 não é uma relação { } { } funcional e. dizemos apenas que é uma função. cada elemento do domínio está relacionado a no máximo um elemento do contra-domínio. tal que g = 0. uma função bijetora é uma função injetora e sobrejetora. consequentemente. 1. b ∈ f pode ser representado por f (a ) = b .1 } não é uma relação total e. Um elemento pertencente à função parcial a. Entretanto. 2} e a função f : B → A = 0. Exemplo: Dados os conjuntos A = {a} e B = {x.1 . { } Para que a relação inversa de uma função f seja uma função. Podemos considerar também a função g: A → B. temos que a relação inversa de f. a relação inversa de uma função não necessariamente é uma função.1 .0 . f deve ser uma função bijetora. assim como nem toda função parcial é uma função total. 1. é uma função parcial definida para todos os elementos do domínio. g −1 = { 0. 6. 1. podemos verificar as seguintes propriedades: Função Injetora = monomorfismo Função Sobrejetora = epimorfismo Função Bijetora = isomorfismo Ou seja. 2. Matemática Discreta Márcia Rodrigues Notare 37 .0 . Em outras palavras.2 { } { } não é uma relação funcional e. não é uma função parcial.1 . 6. 1.2 Função Total Uma função total é uma função parcial que é total.R : B → A = x. 0. y . Considerando os conjuntos A = {0. então a denominamos de função total. y} temos que as seguintes relações são funções parcias: . não é uma função. A inversa de g. portanto. ou seja. temos que a relação inversa de f. nem toda relação é uma função parcial.0 . podemos dizer que toda função total é uma função parcial e que toda função parcial é uma relação. f −1 = 0. Da mesma forma que para funções parciais. Se a relação funcional for também total. f −1 = 1. não é uma função. Se considerarmos o conjunto A = {0. a { } - =: B → B Vale observar que a relação inversa de uma função parcial não necessariamente é uma função parcial. 1. estamos nos referindo a funções totais. portanto.1 .6 FUNÇÕES PARCIAIS E TOTAIS Uma função parcial nada mais é do que um relação que é funcional. 1} e B = {0. Se uma função é total. Assim. sempre que mencionarmos apenas função. a . 1.0 .1 Função Parcial Uma função parcial é uma relação funcional. ou seja. Para que a relação inversa de uma relação funcional seja uma função parcial. 2. 2} e a função parcial f: A → A tal que f = 0.0 . 1.0 .1 . ela deve ser também injetora (que é o dual de funcional). O conceito de cardinalidade permite definir conjuntos finitos e infinitos. Z é um conjunto infinito.. 7. Infinita: se existe uma bijeção entre A e um subconjunto próprio de A. Podemos dizer que um conjunto infinito A é dito: Matemática Discreta Márcia Rodrigues Notare 38 . a -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 . tal que: se a ≥ 0 . 3. como por exemplo. n}. para algum n ∈ Ν . ou seja. o conjunto dos números naturais N. precisamos encontrar uma função bijetora f : Ζ → Ν . ... 2. como queríamos mostrar. Vale ressaltar que nem todos os conjuntos infinitos possuem a mesma cardinalidade. denotado por # A =# B se existe uma correspondência um-para-um f : A → B . #A = n. f(a) 7 5 3 1 0 2 4 6 8 .. A cardinalidade de um conjunto A.. representada por #A é: Exemplo: Mostre que o conjunto dos números inteiros Z é um conjunto infinito.. ou ainda são ditos equipotentes. Temos que f é uma função bijetora e sabemos que N é um subconjunto próprio de Z. Portanto. então f (a ) = 2a − 1 A tabela abaixo mostra os valores de f(a) e sugere o relacionamento um-para-um entre Z e N. Para mostrar que Z é um conjunto infinito. Dois conjuntos A e B possuem o mesmo número de elementos ou a mesma cardinalidade.7 CARDINALIDADE DE CONJUNTOS A cardinalidade de um conjunto nada mais é do que a medida de seu tamanho..1 - Cardinalidade Finita e Infinita Finita: se existe uma bijeção entre A e o conjunto {1. então f (a ) = 2a se a < 0 . Portanto. Neste caso. precisamos mostrar que existe uma bijeção entre ele e um subconjunto próprio dele. Suponha f : Ζ → Ν . se conseguimos "tirar" alguns elementos de A e ainda assim podemos estabelecer uma bijeção com A. então #A < #2A. portanto. ou seja: # A ≤# B quando existe uma função injetora f : A → B . Assim. #A ≤ #2A. podemos dizer que os conjuntos A e B possuem a mesma cardinalidade. f : A → 2 A uma função tal que. podemos considerar o cardinal como uma classe de equivalência dos conjuntos equipotentes. apresentando uma função injetora f : A → 2 A . Seja f é injetora e. que #A < #2A. Então. por absurdo.2 Cardinalidade dos Conjuntos Não-Contáveis Todos os conjuntos contáveis possuem mesma cardinalidade. Prova: Parte 1: Vamos mostrar que #A ≤ #2A. Logo. Suponha que existe uma função bijetora g : A → 2 A . A bijeção que define o conjunto A como conjunto contável é dita enumeração de A.3 Cardinal A relação estabelecida entre conjuntos equipotentes é uma relação de equivalência. Exemplo: Os conjuntos Z (inteiros) e Q (racionais) são conjuntos contáveis e os conjuntos I (irracionais) e R (reais) são conjuntos não-contáveis. Seja o seguinte subconjunto B de A: Matemática Discreta Márcia Rodrigues Notare 39 . mostrando. Entretanto. Pela definição de conjuntos equipotentes. tem-se que: f (a ) = {a} Parte 2: Vamos mostrar que #A ≠ #2A. existe uma função bijetora g : A ↔ B . 7. Seja A conjunto e 2A o conjunto das partes de A. O cardinal do conjunto dos números naturais é representado por ℵ0 (aleph-zero). para todo a ∈ A. Como qualquer conjunto infinito contável possui mesma cardinalidade que o conjunto dos números naturais. nem todos os conjuntos não-contáveis possuem a mesma cardinalidade. Conjuntos Equipotentes: Dois conjuntos A e B são ditos equipotentes quando existe uma bijeção entre eles.- Contável: se existe um bijeção entre A e um subconjunto infinito de N. Não-Contável: caso contrário. então ℵ0 representa o cardinal de qualquer conjunto infinito contável e é o menor cardinal dos conjuntos infinitos. Teorema de Cantor: o conjunto das partes de um conjunto tem sempre cardinalidade maior que este. que não existe uma função bijetora entre A e 2A. 7. ou seja. Teorema Schröder-Bernstein: sejam A e B dois conjuntos tais que existem duas funções injetoras: f 1 : A → B e f 2 : B → A . podemos afirmar que todos os conjuntos contáveis são equipotentes. Dizemos que um conjunto A tem tantos elementos quanto um conjunto B. a 2 .1.. f (2 ) = a 2 . I = {a1 . Mas 1 yi = 2 se xii ≠ 1 se xii = 1 b ≠ a1 . a 3 . pois y 2 ≠ x 22 b ≠ a3 . Vamos listar seus elementos em f :Ν →Ι. é a cardinalidade do continuum.B = { ∈ A a ∉ g (a )} a Como A é um conjunto. portanto. . b ∈ Ι . pela definição de B. a 4 = 0. Seja uma coluna com sua expansão decimal: a1 = 0.}... a3 = 0. então. onde xij ∈ {0. Teorema: O conjunto I = [0. tem-se que b ∉ g(b) = B. tal que g (b ) = B . a suposição de que I é contável é falsa e... a 2 = 0. Considerando que χ 2k denota o cardinal do conjunto das partes com cardinalidade k.9}.. Então. como queríamos provar. pela definição de B. x31 x32 x33 x34 . x 41 x 42 x 43 x 44 . Seja b = 0.. então. tem-se que b ∈ g(b) = B.. existe uma função bijetora f (1) = a1 . ele pode ser um conjunto de conjuntos... y1 y 2 y 3 y 4 . pois y 3 ≠ x33 .. pois y1 ≠ x11 b ≠ a 2 . não existe uma função bijetora entre A e 2A. f (3) = a3 .. Portanto..}.. b ∉ Ι = {a1 . o que é uma contradição. a 2 . isto é. x 21 x 22 x 23 x 24 . já que b ∈ Ι ! Logo.. Prova (por absurdo): Suponha I contável.. Matemática Discreta Márcia Rodrigues Notare 40 . se b ∉ g(B).... tem-se que 2 0 é a cardinalidade do conjunto dos números reais.. Neste caso: se b ∈ B. O conjunto das partes de N é equipotente ao conjunto dos números reais R.. Portanto. um número real obtido da seguinte forma: . Suponha b ∈ A... I é não-contável.. 1] de todos os números reais entre 0 e 1 é não-contável.. a 3 . x11 x12 x13 x14 . ou seja..2.. O que é uma contradição! Logo. você é capaz de chegar ao primeiro degrau. você sempre é capaz de chegar ao próximo Para entender intuitivamente o que é a Indução Matemática.. Matemática Discreta Márcia Rodrigues Notare 41 . Provamos que. Exemplo: Suponha que um ancestral casou-se e teve dois filhos. A figura abaixo ilustra esse processo: Geração 1 2 3 .. 1. Você consegue alcançar o primeiro degrau 2. pela hipótese 2. P(1) é verdade 2.. então é válida para o próximo inteiro positivo k+1: P(k) → P(k+1) 8. (∀k)(P(k) é verdade → P(k+1) é verdade) E com isto.1 Primeiro Princípio de Indução Matemática O Primeiro Princípio de Indução Matemática é formulado da seguinte forma: 1. Assumimos que o número 1 tem a propriedade P: P(1) 2.. novamente pela hipótese 2. podemos deduzir que: A geração 1 possui 2 descendentes A geração 2 possui 4 descendentes A geração 3 possui 8 descendentes E assim sucessivamente. Suponha agora que cada um desses filhos teve dois filhos. vamos ilustrar a técnica: - Pela hipótese 1. Essa mesma propriedade é utilizada para provar propriedades dos números inteiros positivos! Considere que P(n) denota que o número inteiro positivo n possui a propriedade P. você consegue chegar ao segundo. Descendentes 2 = 21 4 = 22 8 = 23 .. Como saber se será capaz de chegar a um degrau arbitrariamente alto? Suponha as seguintes hipóteses: 1. que P(n) é verdade. e assim sucessivamente.. Então. Então a geração 2 contém quatro descendentes. ou seja. se a propriedade P é válida para qualquer número inteiro k. Uma vez chegando a um degrau. Supomos que a propriedade P é válida para qualquer inteiro positivo k: P(k) 3. Vamos chamar esses dois filhos de geração 1. provamos que a propriedade é verdadeira para todo inteiro positivo n. chega ao terceiro degrau. Imagine que esse processo continua de geração em geração.8 - INDUÇÃO MATEMÁTICA Você está subindo uma escada infinitamente alta. Demonstração por Indução Passo 1 Prove a base de indução Passo 2 Passo 3 Vejamos mais alguns exemplos: Exemplo: Prove que a equação a seguir é verdadeira para qualquer inteiro positivo n. vamos provar que nossa conjectura está correta. que P(k) → P(k+1)): P(k + 1) = 2 k +1 P(k + 1) = 2 ⋅ P(k ) = 2 ⋅ 2 k = 2 k +1 (o número de descendentes dobra de uma geração para outra) A tabela abaixo.P(k) Supomos que a propriedade é válida para n = k.. Suponha P (k ) Prove P (k + 1) HI 1 + 3 + 5 + . resume os três passos necessários para uma demonstração que usa o primeiro princípio de indução. + (2k − 1) = k 2 Passo de Indução .. ou seja.Então. através do primeiro princípio de indução matemática: Base de Indução (estabelecemos a veracidade da propriedade para n = 1): P(1) = 21 = 2 Hipótese de Indução (supomos que a propriedade é válida para algum inteiro k. + [2(k + 1) − 1]=(k + 1) ? 2 Matemática Discreta Márcia Rodrigues Notare 42 . podemos escrever que: P(n ) = 2 n Agora.. Ou seja.. + (2n − 1) = n 2 Base de Indução .. podemos fazer a seguinte conjectura: a geração n possui 2n descendentes. P(1) : 1 = 12 Hipótese de Indução . que: P(k + 1) : 1 + 3 + 5 + . k ≥ 1): P(k ) = 2 k Passo de Indução (provamos que a propriedade é válida para o inteiro seguinte k+1. P(k ) : 1 + 3 + 5 + .P(1) Verificamos que a propriedade é válida para n = 1.P(k + 1) Tentamos provar que a propriedade é válida para n = k + 1. ou seja.. .. concluindo a n ⋅ (n + 1) . 1 + 2 + 2 + . para qualquer inteiro positivo n. que: P(k + 1) : 1 + 2 + 2 2 + ..P(1) Verificamos que a propriedade é válida para n = 1.P(k) Supomos que a propriedade é válida para n = k.Para fazermos uma demonstração por indução. + 2 k +1 = 2 ( k +1) +1 − 1 P(k + 1) = 1 + 2 + 2 2 + .P(1) Verificamos que a propriedade é válida para n = 1... + n = Base de Indução . + 2 k + = 2 demonstração... 2 Exemplo: Prove que a equação a seguir é verdadeira para todo n ≥ 1. Matemática Discreta Márcia Rodrigues Notare 43 .. 2 1 ( k +1) +1 HI ? ( ) − 1 . + (2k − 1) + [2(k + 1) − 1] = k 2 + [2(k + 1) − 1] = k 2 + (2k + 2 − 1) = k 2 + 2k + 1 = HI (k + 1)2 Portanto. o que mostra que P(k + 1) é válida. 1 + 3 + 5 + ...... + [2(k + 1) − 1] = 1 + 3 + 5 + . + [2(k + 1) − 1] = (k + 1) ... P(k + 1) : 1 + 3 + 5 + . ou seja. 2 Exemplo: Prove que.. 1 + 2 + 3 + . o que mostra a validade de P (k + 1) .. + 2 k + 2 k +1 = 2 k +1 − 1 + 2 k +1 = 2 ⋅ 2 k +1 − 1 = 2 k +1+1 − 1 Portanto. vamos reescrever o lado esquerdo da equação de P(k + 1) incluindo a penúltima parcela e usaremos a hipótese de indução para provarmos o que queremos.. vamos utilizar a indução para provar a validade da propriedade. 1 + 2 + 2 2 + .. P(k ) : 1 + 2 + 2 2 + . Base de Indução .. + 2 k = 2 k +1 − 1 Passo de Indução . P(1) : 1 + 2 = 21+1 − 1 ou 3 = 2 2 − 1 Hipótese de Indução . + 2 k +1 = 1 + 2 + 2 2 + . + 2 n = 2 n +1 − 1 Novamente.P(k + 1) Provamos que a propriedade é válida para n = k + 1. P(k + 1) Provamos que a propriedade é válida para n = k + 1.P(k) Supomos que a propriedade é válida para n = k. 2 k + > k + 1 .P(1) : 1 = 1 ⋅ (1 + 1) 2 Hipótese de Indução . P(k + 1) : 1 + 2 + 3 + . 2 n − 1 é divisível por 3.. + k = k ⋅ (k + 1) 2 Passo de Indução .. P(k ) : 1 + 2 + 3 + .. P(1) : 21 > 1 Hipótese de Indução . + k + (k + 1) = k ⋅ (k + 1) + (k + 1) = 2 k ⋅ (k + 1) + 2 ⋅ (k + 1) = 2 (k + 1)⋅ (k + 2) = HI (k + 1)⋅ [(k + 1) + 1] 2 Nem todas as demonstrações por indução envolvem somas. Veja os exemplos a seguir.. Exemplo: Prove que... Base de Indução .P(1) Verificamos que a propriedade é válida para n = 1. para qualquer inteiro positivo n. P(k ) : 2 k > k Passo de Indução . + (k + 1) = 1 + 2 + 3 + . 2 Exemplo: Prove que.P(k) Supomos que a propriedade é válida para n = k. ? Matemática Discreta Márcia Rodrigues Notare 44 .. para qualquer inteiro positivo n.. 2 n > n . + (k + 1)= ? (k + 1)⋅ [(k + 1) + 1] 2 P(k + 1) = 1 + 2 + 3 + . P(k + 1) : 2 k +1 > k + 1 2 k +1 = 2 ⋅ 2 k k ⋅ 2 = k + k ≥ k + 1 > HI 1 Portanto.P(k + 1) Provamos que a propriedade é válida para n = k + 1. P(1) : 2 2⋅1 − 1 = 4 − 1 = 3 é divisível por 3 Hipótese de Indução .P(k + 1) Provamos que a propriedade é válida para n = k + 1. Base de Indução .P(2) Verificamos que a propriedade é válida para n = 2.P(k) Supomos que a propriedade é válida para n = k. Matemática Discreta Márcia Rodrigues Notare 45 . portanto. P(4) : 4 2 = 16 > 12 = 3 ⋅ 4 Hipótese de Indução .P(k + 1) Provamos que a propriedade é válida para n = k + 1.Base de Indução . P(k + 1) : 2 2 (k +1) − 1 é divisível por 3? 2 2⋅(k +1) − 1 = 2 2k +2 − 1 = (2 2 ⋅ 2 2 k ) − 1 = 2 2 ⋅ (3m + 1) − 1 = 12m + 4 − 1 = 12m + 3 = 3 ⋅ (4m + 1) HI 2 Exemplo: Prove que n > 3n para n ≥ 4 . P(k + 1) : (k + 1) > 3 ⋅ (k + 1) 2 ? (k + 1)2 = HI k 2 + 2k + 1 > 3k + 2k + 1 ≥ 3k + 8 + 1 > 3k + 3 = 3 ⋅ (k + 1) (pois k ≥ 4 ) 1 Exemplo: Prove que 2 n + < 3 n para todo n > 1 . que 2 2 k − 1 = 3m e que. 2 2 k = 3m + 1 Passo de Indução . Base de Indução .P(4) Verificamos que a propriedade é válida para n = 4. P(k ) : 2 2 k − 1 é divisível por 3. ou seja. k ≥ 4 Passo de Indução .P(1) Verificamos que a propriedade é válida para n = 1. P(k ) : k 2 > 3k .P(k) Supomos que a propriedade é válida para n = k. P(k + 1) : 2 ( k +1)+1 < 3 ( k +1) k +1 2 ( k +1)+1 = 2 ⋅ 2. P(k ) : 2 k +1 < 3 k .P(2) : 2 2+1 = 8 < 9 = 3 2 Hipótese de Indução . k > 1 Passo de Indução .P(k + 1) Provamos que a propriedade é válida para n = k + 1.P(k) Supomos que a propriedade é válida para n = k. <. k ⋅ 2 < 3 k ⋅ 3 = 3 k +1 3 HI ? Matemática Discreta Márcia Rodrigues Notare 46 . Um passo de indução ou recorrência.2 Seqüências Definidas por Recorrência Uma seqüência S é uma lista de objetos numerados em determinada ordem. tal que: 1. temos 2. 2. onde novos casos do item que está sendo definido são dados em função de casos anteriores. 4. Base ou condição básica. 13 Seqüência de Fibonacci: é uma seqüência introduzida pelo matemático italiano Fibonacci e é definida por recorrência da seguinte forma: F(1) = 1 F(2) = 1 F(n) = F(n – 2) + F(n – 1). 4. 7. T(1) = 1 2. T(n) = T(n .1 RECURSÃO E RELAÇÕES DE RECORRÊNCIA Definições Recorrentes Uma definição onde o item definido aparece como parte da definição é chamada de definição por recorrência. Uma definição recorrente é formada por duas partes: 1. para n ≥ 2 1. 9. para n ≥ 2 Traduzindo. e assim por diante.1) para n ≥ 2 Assim. um segundo objetos. S(1) = 2 2. a partir destes mais simples e assim por diante. A parte 1 da definição nos permite começar. Uma seqüência é definida por recorrência nomeando-se o primeiro valor da seqüência e depois definindo os valores subseqüentes na seqüência em termos de valore anteriores.1) + 3.9 9. 8. Existe um primeiro objeto. é dado pela soma de seus dois valores anteriores. Daí o nome definição por indução. onde algum(s) caso(s) simples do item que está sendo definido é dado explicitamente. e assim por diante. 10. devido à analogia com as demonstrações por indução. o segundo valor da seqüência é S(2) = 2S(2-1) = 2S(1) = 2 ⋅ 2 = 4. ou definição recorrente. Matemática Discreta Márcia Rodrigues Notare 47 . A parte 2 nos permite construir novos casos.. exceto os dois primeiros. fornecendo alguns casos simples e concretos. 32. Exemplo: A seqüência S é definida por recorrência por 1. qualquer valor da seqüência de Fibonacci. ou ainda definição por indução. 16. o primeiro valor da seqüência é 2. Exemplo: Escreva os cinco primeiro valores da seqüência T. S(k) denota o k-ésimo objeto da seqüência. Continuando a seqüência. S(n) = 2S(n . o terceiro valor da seqüência é S(3) = 2S(2) = 2 ⋅ 4 = 8.. . 3 . para todo n ≥ 1. usando apenas a relação de recorrência na definição dos números de Fibonacci.5. podemos escrever os dez primeiros números da seqüência de Fibonacci. sem utilizar indução matemática. 55 Exemplo: Prove que. 13. 1. podemos utilizá-la para provar a fórmula: F (n + 4) = F (n + 3) + F (n + 2) = F (n + 2) + F (n + 1) + F (n + 2) = . 34. . 2. Logo. A relação de recorrência pode ser reescrita na forma F(n + 2) = F(n) + F(n + 1) F(n + 1) = F(n + 2) . na seqüência de Fibonacci. 8.Por exemplo. utilizando a sua definição por recorrência: 1.F(n). Podemos provar essa fórmula diretamente. F(n + 4) = 3F(n +2) – F(n). 21. . . . . . F ( n + 3) F (n + 2) + F (n + 2) − F (n) + F (n + 2) = . . . ( n +1) . F 3F (n + 2) − F (n) Matemática Discreta Márcia Rodrigues Notare 48 . Em outras palavras. iniciaremos este capítulo estudando operações e suas propriedades. Então. associativa. Propriedade Associativa: Seja ⊕ : A × A → A uma operação binária interna e fechada e x. é uma operação binária interna e fechada. y ) : x y b) A operação quadrado nos números naturais quadrado : Ν → Ν . Portanto. Então.2 Propriedade das Operações Binárias As principais propriedades das operações binárias internas e fechadas são: comutativa. y. 10. ou seja. Podemos defini-la como uma função parcial do tipo: ⊕ : A× B → C Operações Internas: operações internas a um conjunto A são operações cujo domínio e contradomínio são definidos sobre um mesmo conjunto A. é uma operação interna e fechada: quadrado(n ) : n 2 c) A operação união ∪ : P ( A) × P ( A) → P ( A) . definida como segue: divisão( x. definida como segue.1 Operações Operações Binárias: são operações cujo domínio é um conjunto resultante de um produto cartesiano. a operação ⊕ é associativa se: (∀x )(∀y )(∀z )[x ⊕ ( y ⊕ z ) = (x ⊕ y ) ⊕ z ] Propriedade Comutativa: Seja ⊕ : A × A → A uma operação binária interna e fechada e x. z elementos quaisquer de A. a operação ⊕ tem elemento neutro se: (∃e)(∀x )(x ⊕ e = e ⊕ x = x ) Matemática Discreta Márcia Rodrigues Notare 49 . elemento neutro e elemento inverso. a operação ⊕ é comutativa se: (∀x )(∀y )(x ⊕ y = y ⊕ x ) Elemento Neutro: Seja ⊕ : A × A → A uma operação binária interna e fechada e x elemento qualquer de A. 10. para um dado conjunto A. y elementos quaisquer de A. é uma operação definida para todo x ∈ A × A e cujo resultado pertence a A. que serão detalhadas a seguir. é uma função. Então. Exemplos: a) A operação de divisão nos números reais divisão : R × R → R é uma operação binária interna a R. Uma operação binária interna ao conjunto A é uma operação do tipo: ⊕ : A× A → A Operações Fechadas: uma operação fechada é uma operação total.10 ESTRUTURAS ALGÉBRICAS O estudo de álgebra está diretamente relacionado ao estudo de operações. adicionalmente. b) A operação de adição nos números naturais + : Ν × Ν → Ν satisfaz as propriedades comutativa. então Abeliano.∪ e P( A). As operações de união e interseção. associativa e elemento neutro (zero).• é um grupóide.∩ são grupóides abelianos. Portanto. basta tomar –n como elemento inverso. c) As seguintes operações são grupóides abelianos: Ν. A.Elemento Inverso: Seja ⊕ : A × A → A uma operação binária interna e fechada e x elemento qualquer de A.+ e Ν. já que. é uma álgebra cuja operação é fechada e associativa.4 Semigrupos Um semigrupo é um grupóide cuja operação interna é associativa. Portanto. b) Seja A um conjunto.× Ζ.⊕ é um Grupóide P( A).− - R . Então.× d) As seguintes operações não são grupóides: Ν. a operação for comutativa.÷ 10. a operação ⊕ tem elemento inverso se: (∀x )(∃x −1 )(x ⊕ x −1 = x −1 ⊕ x = e) Exemplos: a) A operação de união ∪ : P ( A) × P ( A) → P ( A) satisfaz as propriedades comutativa. então A.+ e Ζ. Exemplos: * * * a) Seja Σ um alfabeto não-vazio. para qualquer inteiro n. A operação de concatenação • : Σ × Σ → Σ é fechada. associativa e elemento neutro (zero) satisfaz também a propriedade elemento inverso.3 Grupóides Um grupóide é uma álgebra interna (operação binária interna) cuja operação interna é fechada. ∪ : P ( A) × P ( A) → P ( A) e ∩ : P( A) × P( A) → P( A) respectivamente.× R. mas não é comutativa. Matemática Discreta Márcia Rodrigues Notare 50 . ou seja: n + (− n ) = −n + n = 0 10. associativa e elemento neutro (conjunto vazio). Seja ⊕ : A × A → A uma operação binária e interna. Se. c) A operação de adição nos números inteiros + : Ζ × Ζ → Ζ . são fechadas e comutativas.+ e R. Se a operação for fechada. Σ * . Portanto. além de satisfazer as propriedades comutativa.⊕ é um grupóide. + e Ζ. c) As seguintes operações são semigrupos abelianos: Ν.0 e R. e é um Monóide ∪ : P( A) × P( A) → P( A) união e interseção. e ∩ : P( A) × P( A) → P( A) respectivamente.× Ζ.⊕ for associativa.×.1 A operação de concatenação Σ * . e ∩ : P( A) × P( A) → P( A) respectivamente.• e um semigrupo e possui elemento neutro (a palavra vazia ε).1 R. Se. são fechadas.0 e Ζ. P( A). Σ * . adicionalmente. a operação for comutativa.∪ e P ( A). Portanto.Seja ⊕ : A × A → A um grupóide. a operação for comutativa. simultaneamente. então A.∩. um semigrupo é.×. Se A. comutativas e de possuem elemento neutro. e é um monóide.⊕ é um semigrupo.∩ são semigrupos abelianos. operações de Portanto.+ e Ν.⊕. P ( A). Exemplos: a) A operação de concatenação • : Σ × Σ → Σ é fechada e associativa.×.× R. são fechadas.5 Monóides Um monóide é um semigrupo cuja operação possui elemento neutro.∪. adicionalmente.⊕ um semigrupo.+. Matemática Discreta Márcia Rodrigues Notare 51 . R − {0} ÷ 10.•.− - . Portanto.+ e R. fechado.+. abelianos.⊕ é um Semigrupo Abeliano. Σ * . associativas.⊕.0 e Ν.+. ∅ e P( A). Se ⊕ : A × A → A possui elemento neutro. Portanto. Exemplos: a) As operações A.1 c) Ζ. associativas e comutativas. A são monóides b) As seguintes operações são monóides abelianos: Ν. b) As ∪ : P( A) × P( A) → P( A) união e interseção. ε é um monóide. Seja A. associativo e possui elemento neutro.× d) As seguintes operações não são semigrupos: Ζ. Portanto. então A.• é * * * um semigrupo. então Abeliano. Se. então A. + é associativa. fechada. e é um grupo. pois a b e f i j a b e + i f + j c d + g h + k m = c d + g + k h + m a + (e + i ) b + ( f + j ) (a + e ) + i (b + f ) + j c + (g + k ) d + (h + m ) = (c + g ) + k (d + h ) + m = a b e f i j c d + g h + k m = Matemática Discreta Márcia Rodrigues Notare 52 . um grupo é uma operação que é. pois a adição de duas matrizes 2 × 2 é uma matriz 2 × 2 .+ é um grupo abeliano. adicionalmente. simultaneamente. precisamos verificar quais propriedades ela satisfaz: - Μ 2 (Ζ ). Tipo de Álgebra Grupóide Semigrupo Monóide Grupo Fechada Associativa Propriedades Elemento Neutro Elemento Inverso Exemplo: Seja Μ 2 (Ζ ) o conjunto de todas as matrizes 2 × 2 com elementos inteiros. Portanto. Seja A.⊕. e é um Grupo Abeliano. a operação for comutativa. então A. Se. Exemplos: a) A operação * R+ . então A. associativa.× é um grupo abeliano. b) A operação R. pois é uma operação fechada. Para verificarmos se a operação Μ 2 (Ζ ). possui elemento neutro e elemento inverso.6 Grupos Um grupo é um monóide cuja operação é possui elemento inverso. possui elemento neutro 1 e elemento inverso. comutativa. Μ 2 (Ζ ).10. Se ⊕ : A × A → A possui elemento inverso.× não é um grupo.+ é fechada.⊕ um monóide. pois não há número real x tal que: 0⋅ x = x⋅0 =1 Ou seja. o número 0 não possui elemento inverso! A tabela abaixo apresenta um resumo das estruturas algébricas estudadas e suas respectivas propriedades.+ é um grupo abeliano? Μ 2 (Ζ ). associativa.⊕. - Portanto. onde r é o resto da divisão de x × y por 5. como x + 5 y = r . Definimos a soma módulo 5. a inversa da matriz é a matriz 2 1 − 4 − 3 − 2 − 1 .+ 5 e Ζ 5 .4}.+ possui elemento inverso.- Μ 2 (Ζ ). denotada por + 5 . através das tabelas construídas. 3 × 5 4 = 2 . Matemática Discreta Márcia Rodrigues Notare 53 .× 5 são fechadas. Μ 2 (Ζ ). Por exemplo: 1 +5 2 = 3 3 + 5 4 = 2 .× 5 são comutativas. pois todos os resultados verificados Ζ 5 . onde r é o resto da divisão de x + y por 5.+ é comutativa.1. pois estão espelhadas em torno da diagonal principal. A multiplicação módulo 5 é definida por x × 5 y = r . pois 3 × 4 = 12 e o resto da divisão de 12 por 5 é 2. pois 2 × 3 = 6 e o resto da divisão de 6 por 5 é 1. Podemos também verificar que e Ζ 5 .+ é um grupo abeliano! 0 Exemplo: Seja Ζ 5 = { . Por exemplo. em Ζ 5 .2. pois a b e f a + e b + f e + a f + b e f a b c d + g h = c + g d + h = g + c h + d = g h + c d - 0 0 Μ 2 (Ζ ).3. pois 3 + 4 = 7 e o resto da divisão de 7 por 5 é 2.+ possui elemento neutro: 0 0 4 3 Μ 2 (Ζ ). As seguintes tabelas definem + 5 e × 5 em Ζ 5 : +5 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3 4 1 1 2 3 4 0 2 2 3 4 0 1 3 3 4 0 1 2 4 4 0 1 2 3 ×5 0 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 2 0 2 4 1 0 3 0 3 1 4 2 4 0 4 3 2 1 Podemos verificar que Ζ 5 .+ 5 nas tabelas são elementos de Ζ 5 . Por exemplo: 2 × 5 3 = 1 . possuem elemento inverso.+ 5 e Ζ 5 .× 5 possuem elemento neutro: o elemento neutro de Ζ 5 .+ 5 e Ζ 5 . Logo Ζ 5 .× 5 são associativas. podemos afirmar que Ζ 5 . o elemento inverso de 1 é 4.+ 5 é 0 e o elemento neutro de Ζ 5 . o elemento inverso de 4 é 1.× 5 é 1.× 5 é Matemática Discreta Márcia Rodrigues Notare 54 . Entretanto.× 5 um monóide abeliano.+ 5 é um grupo abeliano. não podemos verificar tal propriedade nas tabelas construídas. Entretanto. o elemento inverso de 3 é 2. Todos os elementos de Ζ 5 .Ainda é possível verificar que Ζ 5 .+ 5 possuem elemento inverso: o elemento inverso de 0 é 0. o elemento inverso de 2 é 3. Ζ 5 . nem todos os elementos de Ζ 5 . Portanto.