matematica discreta

Universidade Federal Rural de Pernambuco Reitor: Prof. Valmar Corrêa de Andrade Vice-Reitor: Prof. Reginaldo Barros Pró-Reitor de Administração: Prof. Francisco Fernando Ramos Carvalho Pró-Reitor de Extensão: Prof. Paulo Donizeti Siepierski Pró-Reitor de Pesquisa e Pós-Graduação: Prof. Fernando José Freire Pró-Reitor de Planejamento: Prof. Rinaldo Luiz Caraciolo Ferreira Pró-Reitora de Ensino de Graduação: Profª. Maria José de Sena Coordenação de Ensino a Distância: Profª Marizete Silva Santos Produção Gráfica e Editorial Capa e Editoração: Allyson Vila Nova, Rafael Lira, Aline Fidelis, Italo Amorim e Alesanco Andrade Revisão Ortográfica: Ivanda Martins Ilustrações: Allyson Vila Nova e Diego Almeida Coordenação de Produção: Marizete Silva Santos Sumário Plano da Disciplina......................................................................................... 6 Ementa..................................................................................................... 6 Objetivo Geral.......................................................................................... 6 Objetivos Específicos............................................................................... 6 Conteúdo Programático........................................................................... 6 Referências.............................................................................................. 7 Apresentação.................................................................................................. 8 Capítulo 1 - Somatório: representando somas............................................ 9 1.1 Conhecendo o somatório........................................................................ 9 1.2 Propriedades do somatório e algumas somas especiais..................... 12 1.2.1 Propriedades................................................................................. 12 1.2.2 Demonstrações............................................................................. 12 1.2.3 Somas Especiais........................................................................... 12 1.3 Dígito Verificador.................................................................................. 15 Capítulo 2 - Matrizes: armazenando dados................................................ 27 2.1 Matriz.................................................................................................... 27 2.2 Definição............................................................................................... 29 2.3 Tipos especiais de matrizes.................................................................. 29 .............................4........................3 Listas de comprimento maior do que dois.2 Princípio Multiplicativo: contagem de listas de comprimento dois.................................................2 Relações binárias em um conjunto A............................ 38 2........4 Matrizes Booleanas..................................... 39 Capítulo 3 ................................4......................... 49 3.................4...................7 Permutações..2...........5 Princípio Aditivo......1 Tipos de Relações Binárias.................... 50 3.............................6 Fatorial............... 47 3....................................................................................................................Relações: uma abordagem....................... 47 3................. 33 2.................................. 57 3...........................................................1 Adição de matrizes.............................................................................................4.......................................................... 50 3.........4 Operações com matrizes..... 34 2............................ 36 2..................8 Combinações.........................5 Adição e multiplicação de matrizes booleanas....... 70 4.... 48 3..4 Listas de comprimento k sem repetição de elementos......................................................................3 Multiplicação de matrizes.................. 32 2.... 73 .................................2 Multiplicação de uma matriz por um escalar....... 69 4... 58 Capítulo 04 ... 32 2......6 Multiplicação de matrizes booleanas.......................... 58 3.................Princípios de Contagem: como contar?.................................................................4...4...........1 Listas..................... ..........3 Operações com relações: como operar com relações binárias?...4....4 Propriedades das Relações definidas em um conjunto A.. 74 4................. 83 . 78 4........................ 77 4....................... 79 4....................................................5 Representação gráfica de Relações Binárias............................................ 76 4....8 Álgebra Relacional...................................7 Relação n-ária............6 Grafo de uma relação em um conjunto A............................. Objetivos Específicos • Aprender a encontrar modelos matemáticos que representem certos problemas concretos (noções de modelagem matemática). Recursão. Funções. Indução Matemática. visando dar a base para a compreensão de conceitos de estruturas de dados. • Introdução à Lógica Matemática. Portas Lógicas. bem como. Conteúdo Programático Módulo 1 – Fascículo 1 Carga horária do Módulo 1: 20h • Conjuntos.Plano da Disciplina Ementa Conjuntos. Técnicas de provas. Princípios de Contagem. Matrizes. . para dar suporte na construção de algoritmos em seus diferentes níveis de complexidade. • Portas Lógicas. Somatório. em especial quando estes se referem a situações práticas • Familiarizar-se com a escrita matemática formal e a linguagem computacional • Representar fenômenos na forma algébrica e na forma gráfica • Conhecer técnicas de resolução de problemas • Desenvolver a capacidade de raciocínio abstrato (lógico-matemático). Relações. Introdução à Lógica Matemática. Objetivo Geral O objetivo geral é abordar conteúdos selecionados da Matemática Discreta que realizam interface com o curso de Sistema de Informação. Tradução de Alfredo Alves de Farias.Módulo 2 – Fascículo 2 Carga horária do Módulo 2: 20h Somatório. Scheinerman. Marc Lars. B. LIPSON. ROSS. 2003. PAPAVERO. WRIGHT. Iniciação à Lógica Matemática. Prentice Hall. • Recursão. Charles R. Addison Wesley. Jair Minoro. Relações Módulo 3 – Fascículo 3 Carga horária do Módulo 3: 20h • Funções. Judith L. Princípios de Contagem. Nelson. Técnicas de provas. Discrete mathematics for computer scientist. Referências GERSTING. 1997 ALENCAR Filho. 1995. São Paulo: Pioneira Thomson Learning. Teoria intuitiva dos conjuntos. Edgard de. Teoria e Problemas de Matemática Discreta. Matrizes. LIPSCHUTZ. K. Seimour. 1999. Livros de referência: ABE. TRUSS. Tradução Valéria de Magalhães Lorio. Fundamentos Matemáticos para a Ciência da Computação. • Indução Matemática. São Paulo McGraw Hill:. Edward R. J. 2004. Discrete Mathematics. Porto Alegre: Bookman. Rio de Janeiro: LTC. Matemática Discreta: uma introdução. Kenneth A. 1999. São Paulo: Nobel. 2004 . Apresentação Caro(a) cursista. abordaremos. conhecerá as matrizes booleanas. Esperamos que você aproveite ao máximo este segundo módulo. Seja bem-vindo(a) a mais um módulo de Matemática Discreta! Dando continuidade à disciplina. você descobrirá como as matrizes podem ser utilizadas para armazenamento de dados e as operações aritméticas que nelas podem ser efetuadas. matrizes. as operações entre relações e como elas podem ser usadas para manipulação de um banco de dados. no quarto capítulo será abordado o conceito de relações entre dois ou mais conjuntos. No terceiro capítulo. alguns tópicos de importância e aplicabilidade nas áreas de informática. estudando detalhadamente o assunto e realizando todos os exercícios propostos. você estudará as propriedades do somatório e como elas são úteis na determinação de somas especiais e de uso freqüente na matemática. tais como: somatórios. No segundo capítulo. você terá oportunidade de conhecer diversas técnicas de contagem. Por fim. neste segundo fascículo. muito empregadas na informática. Além disso. empregadas no cálculo e na diferenciação dos agrupamentos que se podem formar com os elementos de um dado conjunto. Bons estudos! . No primeiro capítulo. princípios de contagem e relações. A expressão n ∑x i =1 i é lida assim: “soma dos valores xi para i variando de 1 até n”. x1 + x2 + x3 + .1 Conhecendo o somatório Você já se deparou com a necessidade de escrever expressões que envolvem somas com termos que obedecem a certa lei de formação do tipo 1 + 2 + 3 + 4 + . código de barras e número de conta corrente bancária. Assim. 1. a soma x1 + x2 + x3 pode ser escrita: 3 ∑x i =1 i 9 . i varia de 1 até n).. Para representar a parte variável de cada parcela. + xn = n ∑x i =1 i A letra maiúscula grega ∑ (sigma) é o símbolo utilizado para representar as operações de adição entre as parcelas e xi é a parcela genérica. saiba que podemos codificá-la através do uso de somatório assim: x1 + x2 + x3 + .. + 100? Se temos uma soma de n parcelas. apresentaremos métodos de geração de dígitos verificadores em seqüências especiais de algarismos. Por fim... inclusive. tais como o CPF.Somatório: representando somas Neste capítulo mostraremos o uso do somatório na escrita de somas de parcelas variáveis ou constantes.Matemática Discreta Capítulo 1 . Estudaremos as propriedades do somatório e como elas são úteis na determinação de somas especiais e de uso freqüente na matemática. Você deve estar atento para o fato de que é fundamental que o índice i assuma todos os valores inteiros consecutivos entre dois valores dados. + xn.. utilizamos a letra i e indicamos a variação de i (no caso.. . conforme a observação acima.Matemática Discreta Atenção Para contar quantos termos uma soma tem. Exemplo 4: 4 ∑ (i + 1) x i −1 i = 2x1 + 3x2 + 4x3 + 5x4 indica a soma de 4 parcelas xi multiplicadas por coeficientes variáveis (i+1).1 – 1 = 1 2 3 4 5 6 2. denotaremos as parcelas variáveis por xi = 2. i ∑x i = x + x2 + x3 + . basta calcular no somatório. + an = Compreenda melhor a aplicação do conceito de somatório..3 + 1 = 5 parcelas. variando de 1 a 7. A expressão Exemplo 8.. + 40.. isto é: 2 + 4 + 6 + 8 + . + indica a soma de 2 4 8 128 parcelas iguais a uma fração onde o numerador é 1 e os denominadores são potências inteiras de 2: 21. i =k ∑x i =1 7 = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 é a soma de 5 parcelas.5 -1 = 9 2. Exemplo 1: Exemplo 2: Exemplo 3: i tem n . O índice i. até 27.i. através dos exemplos seguintes... Para representar por meio da notação de somatório a soma dos números pares. indica quantas parcelas contém a soma.. de modo que podemos 1 escrever a soma sob a forma de somatório com xi = i . iniciando por 2 até 40. A soma dos números ímpares 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 se escreve na notação de somatório. do seguinte 2 7 1 1 1 1 1 modo: + + + .. A soma ak + ak+1 + ak+2 + . de forma que. + = ∑ i 2 4 8 128 i =1 2 Exemplo 7. 23. com i variando de 1 até 6. podemos escrever 2 + 4 + 6 + 8 + . a diferença entre o índice superior e o inferior e somar 1. com o índice i variando de 1 até 20... Para escrever a expressão 10 .. como identifica as parcelas como potências de expoente inteiro. 22..4 – 1 =7 2.6 – 1= 11 1 1 1 1 + + + .k + 1 termos. + 40 = Exemplo 6. conforme podemos observar na tabela seguinte: i= 1 xi = 2i -1 2.. Exemplo 5.1 – 1 = 3 2.3 – 1 = 5 2.. n ∑a 5 7 ∑x i =3 i = x3 + x4 + x5 + x6 + x7 indica a soma de 7 . + x7 representa a soma de 7 i =1 parcelas. tomando as parcelas xi = 2i – 1. Além disso.1-1= 9 10. com a mesma variação do índice i.1 10.2-1= 19 10. você deve notar que os denominadores assumem valores crescentes de 1 até 50.Matemática Discreta sob a forma de somatório.5 -1 = 49 Logo. 30 485 − 5i 9+i Exemplo 10. indicando que a soma é constituída por 50 parcelas e que a variação do índice i é de i = 1 até i = 50. Exemplo 9.. A soma S dos 30 primeiros termos da série pode ser expressa por meio de um somatório.1. da forma 9 + i. A soma 50 acima pode ser então escrita assim: ∑ i =1 2i −1 i . conforme tabela seguinte: i= 1 2 3 4 5 xi = 10i . O somatório expressa a soma de cinco parcelas xi = 10i -1. temos = 9 + 19 + 29 + 39 + 49 11 . iniciando por 10.4 – 1= 39 10. Os denominadores formam uma seqüência natural de inteiros. a soma pode ser escrita assim: Confira os valores de xi = i= 1 30 ∑ i =1 485 − 5i 9+i 485 − 5i na tabela seguinte: 9+i 2 3 4 . ai = 480 + (i-1). logo..3 – 1= 29 10. lembrando que as parcelas xi são frações cujos numeradores constituem uma progressão aritmética de termo inicial 480 e razão r = -5 com termo de ordem i.(-5) = 485 – 5i. Então. com o índice i variando de 1 até 30. verifica-se que os numeradores são números ímpares da forma 2i . xk + c. ∑   i =k m n d) ∑∑ xij = i =1 j =1 n m xij . + c. algumas propriedades merecem destaque pela simplificação que emprestam aos cálculos. i =k d) Consultar as referências bibliográficas....2 Propriedades do somatório e algumas somas especiais No desenvolvimento de somatórios. ∑ .. (somatório duplo) ∑∑ j =1 i =1 1. + yn) = b) n ∑ c. 1. 1. = c..2. + (xn + yn) i = (xk + xk+1 + . 12 .2.x i =k i n n i =k i =k ∑ xi + ∑ y i .xk+1 + c. + xn) = c.xn = = c.xk+2 + . + c = c(n-k+1)..xi = c.2 Demonstrações a) n ∑ (x i =k + y i ) = (xk + yk) + (xk+1 + yk+1) + .1 Propriedades a) n n n i =k i =k i =k ∑ ( xi + y i ) = ∑ xi + ∑ y i n n i =k i =k b) ∑ c..2.. c) n ∑x i =k i n ∑ c = c + c + c + ..3 Somas Especiais As identidades seguintes são bastante úteis no cálculo de somas.(xk + xk+1 + xk+2 + ..Matemática Discreta 1.xi c) n c =  n − (k −1) c ... + xn) + (yk + yk+1 + . Bom. 1 + 2 + 3 + 4 + .. Sabemos que a soma S = b) n ∑ (2i − 1) i =1 Prova: Atenção 1 + 3 + 5 + 7 + .. n 2n 2 . a) n 1 + 2 + 3 + 4 + . 2n . + n2 = d) Veja demonstração nas referências. + 2n = n(n+1) números inteiros pares positivos... Trata-se da soma S dos termos de uma Progressão Aritmética de termos inicial 1 e termo final (1 + 2n − 1). como você poderá utilizar as somas especiais? Veja alguns 13 É a soma dos quadrados dos n primeiros números inteiros positivos! . + (n + 1)n 2 ∑i = i =1 Prova: ∑i i =1 n Bem. Trata-se da soma S dos termos de uma (n + 1)n ... obtemos = 1 + 2 + 3 + 4 + ... 2 (n + 1)n . + 2n é a soma S dos n primeiros i =1 2 + 4 + 6 + 8 + . Trata-se da soma S dos termos de uma Progressão Aritmética de termos inicial 2 e termo final 2n.. podemos escrever: S = = = n2 2 2 c) n Atenção ∑ (2i) = n(n + 1) i =1 Prova: A soma dos n primeiros inteiros pares positivos é n ∑ (2i) = 2 + 4 + 6 + 8 + .. Assim. logo.. + n = 2 razão r = 1... 2 É a soma dos n primeiros números inteiros positivos! Progressão Aritmética cujo termo inicial a1 = 1 e termo final an = n e (a1 + a n )n .1. + (2n – 1) é a soma S dos n i =1 É a soma dos n primeiros números ímpares! primeiros números inteiros ímpares positivos.Matemática Discreta notadamente quando se deseja calcular quantas operações são executadas em programas de computador envolvendo laços (for). Atenção n= desenvolvendo o somatório.. + n. ( 2 + 2n) n podemos escrever S = = n(n + 1) 2 Atenção 12 + 22 + 32 + 42 + . logo. n ∑ (2i − 1) = 1 + 3 + 5 + 7 + . + (2n-1) = n2 = n2... .454 Exemplo 5... De fato. Como os números são ímpares... + 234 – (2 + 4 + 6 + . + n (n + 1)n 100. + 96) = = 117(118) – 48(49) = 13. poderá fazer uso da identidade ∑ i = . + 79? Observe que: 21 + 22 + 23 + .. para valores inteiros de i. + 20) = = Exemplo 3..600 Exemplo 4..352 = 11.. usando a identidade escrita a forma seguinte: n ∑ (2i − 1) i =1 S = 1 + 3 + 5 + . Como calcular a soma S de todos os números pares entre 98 e 234? Você pode calcular essa soma fazendo uso da identidade n ∑ (2i) = n(n + 1) .806 – 2. + 100 = Exemplo 2. + 79 = = n2. + 79.1. Como proceder para calcular a soma dos quadrados 14 .. Qual o valor da soma S dos números ímpares entre 1 e 79? Observe que S = 1 + 3 + 5 + . de modo que.... + 79 = 1 + 2 + 3 + . temos x40 = 2(40) – 1 = 79. + 79 – (1 + 2 + 3 + .. a soma S pode ser = 402 = 1. Qual é o valor da soma 21 + 22 + 23 + .. Exemplo 1... Assim... para i = 40. 2 i =1 1 + 2 + 3 + 4 + . + 234 = 2 + 4 + 6 + .Matemática Discreta exemplos. eles são da forma xi = 2i . i =1 Observe que 98 + 100 +102 + 104 + . Se você quer saber a soma S = 1 + 2 + 3 + 4 + .... .. + 302 = 30 ∑i 2 = i =1 30.Matemática Discreta dos 30 primeiros números inteiros positivos? Você quer calcular a soma S = 12 + 22 + 32 + 42 + .3 Dígito Verificador Você já percebeu que alguns números de fundamental importância para nós. número de agência bancária. códigos de barras. De modo que S = 12 + 22 + 32 + 42 + .. em geral inteiros em ordem crescente ou decrescente e tomar a soma S desses produtos. Como é calculado o dígito verificador? Você vai conhecer alguns exemplos de cálculos desses dígitos verificadores.(61) = = 9455 ..(31). + 302 e deverá fazer uso da identidade .. como o CPF. 15 .(30 + 1). constituem uma seqüência de algarismos que ao final tem a adição de um ou mais dígitos? Esse dígito adicional é denominado Dígito Verificador (DV) e é importante para se evitar erros na digitação de tais seqüências numéricas.30 + 1) 30. + 452.. Conta Bancária. calcule a soma 172 + 182 + 192 + . A maioria dos casos consiste em multiplicar cada um dos algarismos da seqüência por um peso. 1. 6 6 Como demonstração de que você entendeu o emprego da identidade .(2. N2 + 5. Em seguida.N5 + 2. Os restos da divisão de S por p são 0. 6. p . alternativas podem ser usadas..N4 + 3. Se não.N5.4 = 7. N5 = 3 e N6 = 4. verifique se entendeu como o digito verificador dessa matrícula foi calculado. acertou? Exemplo 2. 2. Você deve encontrar o valor D = 7.N3 + 4.N5 + 2. 59mod11 = 4. 4.N6 . Agora. onde D é o dígito verificador calculado da seguinte maneira: Vamos multiplicar os algarismos da matrícula. Isto é. da esquerda para direito pelos pesos 7.N3 + 4. A matricula é 240134-7.N2. N i =1 i = 7. ponha D = 0. dividir essa soma por um inteiro p (em geral 10 ou 11) e calcular o resto da divisão da soma S por p. . pois o resto da divisão de 59 por 11 é 4. Esses restos serão indicados pela expressão S mod p.N3.N4 + 3. E então.2+6.3+2. Conheça agora alguns exemplos da concepção e cálculos de dígitos verificadores: Exemplo 1. Uma rotina muito utilizada por programadores em 16 . se menor do que 10. . N2 = 4. tomar como dígito verificador o próprio resto. N3 = 0.. O digito verificador é calculado assim: D= 11 .Matemática Discreta Em seguida. O valor de Smod 11 = 59mod 11 = 4.Smod 11 = 11 .N2 + 5. efetuando os cálculos do dígito D da matrícula 451236 – D. N4 = 1.N6 =7.N1 + 6. 5.4 = 14 + 24 + 0 + 4 + 9 + 8 = 59.N4.N6. Inicialmente.1+3. Vamos calcular o dígito D da seguinte matrícula 240134-D. 3 e 2.D.0+4.4+5. Observe que a matrícula 240134 – D tem os dígitos N1 = 2. calculemos a soma S.1.N1 + 6. 1. Em seguida calculemos a soma S = 7. Observe que S = 11 Definimos D = 11 – Smod 11 onde Smod 11 = resto da divisão de S por Se o valor encontrado para D for 10 ou 11. de modo que podemos escrever: S= 6 ∑ (8 − 1). Considere o número de matrícula de uma escola constituído por sete algarismos N1. D1 + 10.D7 + 3.D3 + 8.Matemática Discreta softwares comerciais é a validação do Cadastro de Pessoas Físicas .2 + 9.D6 + 5. Caso D10 resulte em 11 ou 10.8 + 2..D4 + 6. D8 = 4 e D9 = 8. 17 . sendo os dois últimos os dígitos de verificação.4 + 2. Caso D11 resulte em 10 ou 11. D6 = 9..D2 + 9. D5 = 3.939.D4 + 7.9 + 4.4 + 8.4 + 3.D1 + 9.D6 + 4.4 + 7. D7D8D9 – D10D11.[S 2 ]mod 11.9 + 6.9 + 5.8 = 20 + 27 + 32 + 63 + 18 + 45 + 16 + 12 + 16 = 249 (S1)mod11 = 249mod 11 = 7 O digito D10 = 11 – 7 = 4 A rotina do dígito D11 requer a soma S2. O número do CPF é constituído de 11 dígitos D1D2D3 . onde S2 = .4 = 22 + 30 + 36 + 72 + 21 + 54 + 20 + 16 + 24 + 8 = 303 (S2)mod 11 = 303mod11 = 6.D7 + 4. D3 = 4.D9 = 10.448 –C10C11. calculados da seguinte maneira: Dígito D10: D10 = 11 - .3 + 9.D5 + 5.D5 + 6.D3 +7.3 + 8. onde S1 = .D8 + 2. S1.D8 + 3.D2 + 8.4 + 3.CPF que serve para identificar cada indivíduo no país. Dígito D11: D11 = 11 .3 + 6. ponha D11= 0 Vamos calcular os valores dos dígitos D10 e D11 do CPF 234.D10 = 11. D4 = 9. o CPF apresenta os seguintes dígitos: D1= 2. ponha D10 = 0. Inicialmente.2 + 10. D2 = 3.9 + 7.4 + 4.3 + 5. No cálculo do digito D10 é necessário calcular inicialmente a soma S1 = = 10. D7 = 4.D9 + 2. S2 = = 11. os próximos dígitos determinam o produto. 9. distribuídos em três campos... no cálculo do primeiro digito verificador D10 e que os pesos usados no cálculo do segundo digito verificador D11 são 11. . de modo que os três primeiros dígitos identificam o país onde o produto foi fabricado (789. Atenção Você observou que os pesos que multiplicam os nove primeiros algarismos do CPF são 10. inicialmente devemos multiplicar os algarismos de ordem ímpar da seqüência N1. o segundo campo identifica o fabricante. 2? E agora. . .N2. .N4.. como teste. 2.. experimente calcular os dois dígitos verificadores do seu próprio CPF! Exemplo 3.Matemática Discreta De modo que o dígito D11 = 11 – 6 = 5. agilizam processos de armazenagem.. .448 – 45. . As barras armazenam informações sobre o produto no computador.N3. .939. 8. Por ser lido por leitura ótica. 9.N2.N3.N4. O código EAN consiste em uma seqüência de 13 dígitos: N1. E o CPF é 234. transporte de produtos. O último dígito N13 é o dígito de controle.. 10.. controle do estoque e de vendas.N13. O Código de Barras EAN – 13 desenvolvido nos Estados Unidos por volta de 1970 é um dos mais usados no mundo na identificação dos produtos.N12 pelo peso 1 e os algarismos de ordem par pelo 18 . . os códigos de barras.. no caso do Brasil). Para o cálculo do dígito verificador do EAN 13. A soma S correspondente será S = 1.. Se tiver dúvidas. ponha N13 = 0.8 + 3. achou N13 = 0? Aprenda Praticando ...9 = 7 + 24 + 9 + 3 + 2 + 9 + 4 + 15 + 6 + 21 + 8 + 27 = 135 Como Smod 10 = 135mod 10 = 5. + 1233 = 19 .N12 que escrita sob a forma se somatório..1 Demonstre que você entendeu bem os assuntos desse capítulo. Escreva as expressões abaixo usando a notação de somatório.2 + 3. As respostas dos exercícios de número par são apresentadas logo a seguir. Está correto o digito verificador do EAN..N3 + 3.N2 + 1. temos que o digito N13 = 10 . o valor da soma S será: S = 1. E então. + 220 = d) 53 +73 + 93 + . Caso N13 resulte em 10.N 2i ) .9 + 3. a) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + .7 + 3.Matemática Discreta peso 3..5 = 5. Agora você tem a tarefa de calcular o digito verificador do EAN 789 61894 2011 N13 de uma garrafa de vinho produzido no Rio Grande do Sul..3 + 1. O digito N13 é definido por N13 = 10 – Smod 10.. + 57 = c) 2 + 4 + 6 + .. +35 = b) 3 + 5 + 7 + 9 + .N11+ 3.7 + 1.1 + 1. resolvendo os exercícios propostos. 1.6 + 3.4 + 3..Exercício Proposto 1.N 2i −1 ) + ∑ (3. procure saná-las com professores executores e tutores da disciplina em fóruns de discussão que serão formados.N1 +3.N4 + . em seguida somar os produtos. + 1. tomará a expressão S = 6 6 i =1 i =1 ∑ (1.5 + 1.8 + 1. Vamos verificar se o digito verificador do EAN da figura acima está calculado corretamente? A figura acima mostra o EAN 789 12345 6789 5. 31 = f) g) 11 + 21 + 31 + 41 + . 1 2 3 4 20 . D k) ∑a 5 ∑ i. os seguintes dados: a) A soma S dos 50 primeiros termos da série 1000 997 994 991 + + + + . Escrevam na forma de somatório. 5 + .. 3 + 7) + . 5 + ... 1 + 3) + (2 ...... Desenvolver os seguintes somatórios: 5 a) b) 5 ∑ 2i c) i =0 e) 6 1 1 +∑ i = ∑ i i =1 2 i =4 2 h) ∑ (2i − 1). 4 + 4 .. + 3 .. 3 + 3 . 3 + 3 . 2 + 5) + (2 . Escrever sob a forma de somatório as seguintes expressões: 4. + (2 . + 121= h) 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 = i) j) k) (2 . 2 + 2 . 17 = l) 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 2. 15 + 31) = m) 3 . j  ∑   i =1  j =1  4 r) 3.Matemática Discreta e) 1 . 4 + 3 . + 30 .N i i =1 3 m) i =1 p) i =1 3 j =2 j i i) i =1 n 6 n) ∑x j =1 5 4 ∑ (∑ (i + j )) f) i =0 3 j) 6 ∑ a 6 −i ∑ (1 + 2i) 2 i =0 g) i =1 5 4 d) ∑ (7i − 1) l) i i =1 4 ∑ (∑ ( 2 i 3 j ) i =1 1 ∑b j =2 q) 5 o)  i 5 ∑  ∑ a b i =1  j =1 i j       4  ∑ ai .. a) Forneça uma expressão matemática para a rotina acima descrita.N4. Rotina para se obter os dígitos verificadores C1 e C2: Cálculo de C1 1º. Calcule o dígito verificador C para as contas de números 134792-D. etc. 3º. 6. 3. As contas do Banco Baú da Sorte apresentam numeração com seis dígitos: N1. 3 e assim sucessivamente até 9.Matemática Discreta b) A soma S dos 15 primeiros termos de S= 1 2 4 8 16384 + + + + . O dígito verificador será C1 = 11 – R.. e em seguida. 2º.. Calculamos a soma S1 dos resultados dessas multiplicações. fazendo-o ocupar a posição N13..N5. 4º. Multiplicamos da direita para esquerda os algarismos do CNPJ (de N12 até N1) pelos pesos 2.N6 seguidos de um dígito D de controle. Calculamos o resto R da divisão de S1 por 11. ponha C1 = 0. até encontrar o algarismo mais à esquerda N1.. Multiplique da direita para esquerda os algarismos da forma utilizada para o calculo de C1. calculado por : Se o valor encontrado para D for 10 ou 11. Suponha que o CNPJ de uma empresa seja N1 N2 N3 N4 N5 N6 N7 N8 / N9 N10 N11 N12 – C1 C2. Se C1 = 10 ou 11. Cálculo de C2 1º. ponha D = 0. recomeçamos multiplicando por 2. 245318-C e 875346-D.N3.N2.. b) Calcular os dígitos do CNPJ 05559748/0001-C1C2 21 . + 225 196 169 144 1 5. Proceda com a mesma rotina para calcular C1. Incorpore ao CNPJ o dígito C1 calculado.. 2º. f4 = 3. x4 = 7. Calcule o valor de Q. do autor Seymour Lipschutz. Você encontrará diversas formas do uso de dígito verificador. fi − x) = 0 . i 11.x i = k. f3 = 3. 8. para o ISBN encontrado no livro de Programação utilizado por você. a editora. f5 = 5.. x3 = 5.br) o seguinte: “Dígito Verificador”. . x5 = 9 e f1 = 1.com. b) Repetir o exercício. notadamente em inscrições de firmas comerciais na Secretaria da Fazenda dos estados brasileiros.. Conheça alguns exemplos e expresse a fórmula do cálculo da inscrição por meio de somatório. onde é a média aritmética dos xi.n e que n ∑ i =1 k . 10. Dado que x1 = 1. o número designado pela companhia editora e são seguidos de um dígito verificador D. x2 = 3. n ∑x i =1 i . Calcule 6 ∑ x . 2 n ∑ i =1 k = k .i e yi = 1 + i2. f2 = 5.844-D10. c) Certo livro tem ISBN 85-221-02Q1 – 0.0361-D encontrado no livro de Matemática Discreta.y i =1 i sabendo que xi = 7 . que pode ser um número inteiro de 0 a 9 ou a letra X (usada para representar o número 10).Matemática Discreta 7. N2. N9 que identificam a sua publicação. N3 .D11 usando os métodos descritos no Exemplo 2.363. O cálculo de D é feito da seguinte maneira: D= a) Calcule o dígito verificador D do ISBN 85. Pesquisar na Internet (www. Esses nove dígitos são distribuídos em blocos que identificam a língua. calcule: a) 5 ∑ xi 5 ∑ b) i =1 i =1 5 e) Mostre que ∑ (x i =1 12. Calcule os dígitos verificadores do CPF 033. f i fi 5 d) i =1 ∑ (x ) i =1 i 2 . .939. editado pela Bookman. 9. Livros são identificados pelo ISBN (International Standard Book Number) com 9 dígitos N1. . Sabendo que i 5 c) ∑ xi . n ∑i = i =1 22 n(n + 1) .google. 1 + 2.X3 + ... + 4(87) = Respostas dos Exercícios 1.D3 + 7.N2 + 3. + a6 l) 1 + 1 + 1 + .....X2 + 7. + 183 = f) 31 + 32 + 33 + .N4 + 5..1 2.X1 + 8..N5 k) a1 + a2 + .3 + 2.5 + . + 31 = d) 2..X9 j) 1.. calcule: i =1 a) 100 ∑ (2i − 1) b) 100 ∑ (2i − 1) i = 41 i =1 c) 1 + 3 + 5 + 7 + ...... 1 1 2 3 n b b 23 b b .Matemática Discreta calcule: a) 100 ∑i i =1 d) c) b) e) 51 + 52 + 53 + ... + 101 = g) 10(55) + 10(56) + 10(57) + . + 1.N3 + 4. + x6 g) h) 1.N1 + 2. Sabendo que n ∑ (2i − 1) = n 2 . + 87= f) 4(41) + 4(43) + 4(45) + .D5 i) 9. + 10(99) = 13.D2 + 5... + 2.... a) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 b) 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 c) 6 + 13 + 20 + 27 + 34 d) 12 + 32 + 52 + 72 e) a6 + a5 + a4 + a3 + a2 + a1 f) x1 + x2 + ..D4 + 9.51 = e) 21 + 23 + 25 + 27 + ..D1 + 3. 033. y i = i =1 6 ∑ (7 − i).37 12. CNPJ. código de barras.10 + 3. 24 . a) 6. Além disso. ISBN. 6 ∑ xi . entre outros.26 + 1.17 + 2.(1 + i 2 ) i =1 = 6.2 + 5.150 c) 9.5 + 4.050 b) 15.800 d) 1.250 Conclusão No primeiro capítulo deste fascículo.Matemática Discreta 3 4 i =1 j =2 ∑ (∑ (i + j )) m) = = = [(1 + 2) + (1 + 3) + (1 + 4)] + [(2 + 2) + (2 + 3) + (2 + 4)] + [(3 + 2) + (3 + 3) + (3 + 4)] = [12] + [15] + [18] = 45 4. conheceu o emprego de somatório na definição do dígito de verificação em numerações especiais como CPF. a) 5.844-20 10. você aprendeu o uso do somatório e como as suas propriedades facilitam o cálculo de somas.939. a) C1 = 11Se C1 = 10 ou 11 ponha C1 = 0 C2 = 11Se C2= 10 ou 11 ponha C2 = 0 b) 05559748/0001-77 8. LIPSON. Porto Alegre: Bookman.Matemática Discreta Saiba Mais Você poderá aprender mais sobre somatório.2. Seimour. LIPSCHUTZ. Teoria e Problemas de Matemática Discreta.ean. http://problemasteoremas. 25 . A propriedade m n ∑∑ xij = i =1 j =1 n m xij ∑∑ j =1 i =1 é uma identidade que mostra como podemos somar os elementos de uma tabela constituída por m linha e n colunas: como a soma dos elementos xij situados nas linhas da tabela ou como soma dos elementos situados nas colunas. Marc Lars. Rio de Janeiro: LTC. Tradução Valéria de Magalhães Iorio.com/2007/11/20/somatorio-duplo/ http://www.com. 2004. consultando os seguintes livros e sites: GERSTING. Judith L. Tente fazê-la e discuta o resultado com seus colegas nos fóruns de discussão que serão formados com esse objetivo.br Orientação de Estudos A demonstração da propriedade 1. Fundamentos Matemáticos para a Ciência da Computação.wordpress. 2004.1 letra d pode ser feita por você. o que justifica a troca da ordem no somatório duplo.. 26 . + S nc ............Matemática Discreta m n Mostre a igualdade ∑∑ xij = i =1 j =1 n m xij ∑∑ j =1 i =1 se verifica. provando que a soma S dos elementos da tabela pode ser feita de duas maneiras: somando-se as linhas i ou somando-se as colunas j. + S ml e S = S1c + S c2 + S3c ..... de modo que: S = S1l + S 2l + S 3l + ... + .. arrays. Na literatura de informática. as matrizes são estruturas que armazenam dados. as matrizes são conhecidas por diversos nomes. Trataremos também de matrizes booleanas e as operações definidas nesse tipo de matriz.Matemática Discreta Capítulo 2 .1 Matriz Uma matriz m x n é uma tabela de mn números dispostos em m linhas e n colunas e será denotada assim A = (aij)m x n. O tamanho da matriz é a dimensão m x n da tabela seguinte: A= A i-ésima linha de é 27 . multiplicação de matriz por um número real e multiplicação de matrizes apropriadas. etc. os diversos tipos de matrizes e as operações de soma. Nesse caso. entre os quais arranjos. 2.Matrizes: armazenando dados Neste capítulo serão feitas revisões sobre matrizes de entradas reais. 28 .8  Existem duas maneiras de denotar um elemento individual de uma representam o elemento da matriz A situado na matriz: aij ou posição ij. sua 3ª linha é e sua 3ª coluna é 1 2 .3  7 . que está na linha i na coluna j.3  0    .1 0   A=  2 .2 . podem ser representadas por uma matriz T do tamanho 3x7. ou seja. As observações sobre as temperaturas médias em três cidades diferentes ao longo de uma semana.2     .8  . cujo elemento genérico tij é a temperatura média (em graus Celsius) da cidade i no dia j.1 .2    9 . A matriz A seguinte é do tipo 4 x 3. Exemplo 2. Podemos usar matrizes como modelo para representar dados.Matemática Discreta A j–ésima coluna de A é Exemplo 1. A matriz T é a tabela seguinte: 1 (Dom) 2 (Seg) 3 (Ter) 4 (Qua) 5 (Qui) 6 (Sex) 7 (Sab) Cidade 1 23 23 24 25 21 24 25 Cidade 2 17 16 18 19 15 16 17 Cidade 3 29 27 28 29 31 30 30 Na matriz T podemos verificar que a temperatura média na cidade 2 no dia 5 é t25 = 15°C e que a temperatura mínima na cidade 3 ocorreu no dia 2 com valor t23 = 27°C. têm propriedades que as diferenciam das demais..  0 0  0 0 0 e B =  0 0 . .2 Definição Duas matrizes A = (aij)m x n e B = (bij)r x s são iguais se e somente se elas têm o mesmo tamanho. seja pela quantidade de linhas ou colunas. a22 e a33 e constituem a diagonal 8 4 5    principal de A. recebem nomes especiais. Recordaremos alguns tipos. O valor de x nas matrizes A =  que A = B é x =2. ou seja. Como exemplo. A =    0 0 0  0 0 • Matriz Coluna (matriz unidimensional) é aquela matriz A = (ai. j)i x 1. m = r e n = s. temos as matrizes A e B do Exemplo 2. m. Caso a matriz seja A = 0 2 6 . .3 Tipos especiais de matrizes Ao trabalharmos com matrizes. 2. que possui uma única coluna. e se os elementos que ocupam posições iguais são iguais. isto é. estes tipos de matrizes surgem com freqüência na prática e. • Matriz Nula é aquela em que aij = 0 para todo i e j. Por exemplo. observamos que existem algumas que. a diagonal principal 5 1 7  é constituída pelos elementos 8. A3x3 = os elementos aij tais que i = j são a11.. 2 e 7. 29 . tem o número de linhas igual ao número de colunas. por exemplo. Além disso. • Matriz Quadrada é uma matriz n x n. 2 Exemplo 3. Numa matriz quadrada. ou pela natureza de seus elementos. i = 1 . assim.  x 2 3 x  e B= 8  4 x + 1 8  tal 2. 3.Matemática Discreta 2. n3 = 8.7.8. isto é. numa matriz simétrica. Observe que. 3. . 0 1 0 0 1  • Matriz Simétrica é aquela matriz quadrada onde aij = aji.0. n2. 7.7 e n7 = 2. 0 0 1  • Matriz Identidade Quadrada é a matriz quadrada em que aij = 1 se i = j e aij = 0 para i j. Freqüentemente.Matemática Discreta .. em programação. j)ixj. Exemplo:  .7] Podemos denotar todas as notas da lista pelo símbolo n e índices diferentes que indicam a posição de cada nota no array: [n1.2     . 10. • Matriz Diagonal é uma matriz quadrada onde aij = 0 para i j. listas em que os elementos são indexados por um ou mais índices.0. n3.. 2.. De modo que.. em relação à diagonal. isto é os elementos que não estão na diagonal principal são nulos. a parte superior é uma reflexão da parte inferior.  2 0 0 Exemplo: 0 3 0  .8  • Matriz Linha (matriz unidimensional) é a matriz A = (ai.5. dados são armazenados em vetores (arrays). Exemplo: . n10]. as notas em Matemática Discreta de dez alunos do Curso de Sistemas de Informação podem ser listados no seguinte array: [8.1.3   0  . . Um array unidimensional é uma matriz linha ou matriz coluna e sua dimensão é o número de índices.0. Por exemplo.. 5. j = 1. • Array.0. 5. 6. 2.0. 8. 6. 9. 30 . n. que possui apenas uma linha. 1 0 0  1 0 Exemplos: I3 = 0 1 0  e I2 =   .0. . denominada transposta de A. a) A soma dos elementos situados na 3ª linha de A é S = a3. Exemplo 4.1 + a3.4 = 20 + 18 + 17 + 16 = 71. obtemos: 31 . cujas linhas são as colunas de A. podemos obter uma matriz AT = (bij)n x m. 2 3 5 Exemplo: A =   AT = 1 8 2  2 3  5 1 8  2 Observe que é uma matriz quadrada A é simétrica se e só se: A = AT.4 = 10 + 13 + 17 + 24 = 64.i . bij = aji. j = representa a soma dos elementos da matriz A situados na 2ª coluna.3 + a3.   4 d) O duplo somatório S = ∑  ∑ ai . isto é.Matemática Discreta 1 2 3  .1 + a2.2 + a3. o somatório interno calcula a soma dos elementos da linha i. b) O somatório S = 4 ∑a i =1 i.  8 3 3 8 5  Os elementos simétricos em relação à diagonal principal são iguais.1 8  Exemplos: 2 6 8 e  .3 + a4. c) Se queremos escrever a soma dos elementos da matriz A 4 situados na diagonal escrevemos S = ∑a i =1 i .2 + a3. de modo que S = a1. fazendo o índice j variar de 1 a 4.2 4 ∑a j =1 3. Desse modo. j  representa a soma de i =1  j =1  4 L todos os elementos da matriz A. Para cada valor do índice i no primeiro somatório. • Matriz Transposta. Considere a matriz A = do tipo 4 x 4. Dada uma matriz A = (aij)m x n. 3 + a3.1 + ai . j  . Essas operações tornam não só as matrizes muito interessantes.2 + a4. É claro que a soma SC resulta em 272.3 + a4. a soma dessas duas matrizes.3 + a2.4 Operações com matrizes Podemos definir operações numéricas entre matrizes cujos elementos (entradas) são numéricos.4) + (a3. Se A =  − 3 32 3 2  2/3   8 5 2 B=   . então: − 5 7/3  . se A = (aij)m x n e B= (bij)m x n. cujo elemento na posição ij é definido como sendo a soma dos elementos de A e B que ocupam a posição ij.1 + a4.2 + a1.1 + a3.4) = (10 + 12 + 15 + 20) + (12 + 13 + 14 + 15) + (20 + 18 + 17 + 16) + (21 + 22 + 23 + 24) = 57 + 54 + 71 + 90 = 272. Agora.3 + a1. Observe que somamos os elementos de A.3 + ai . obtido do somatório anterior trocando a ordem ∑ ji =1  i =1  4 dos índices i e j.4) + (a2. j  i =1  j =1  4 L = 4 ∑ (a i =1 i . se A e B são duas matrizes de mesmo tamanho m x n. Ou seja. é também uma matriz Cm x n.4) + (a4. como objeto de estudo. Isto é. experimente fazer SC =  4   ∑ ai . 4 )= = (a1.4. tomando a soma de cada linha.  2 Exemplo 5. 2.2 + a2. como úteis na solução de diversos problemas.Matemática Discreta   4 S = ∑  ∑ ai . então C = A + B é a matriz (cij)m x n definida por cij = aij + bij.2 + a3. 2.1 Adição de matrizes A adição de matrizes é definida para matrizes de mesmo tamanho.1 + a1. 2 + ai . se você quer obter a soma dos elementos de S tomando a soma dos elementos das colunas. denotada por A + B.1 + a2. você provavelmente está se perguntando. F1 + F2 = 2.4. finalizado na fábrica F2 em São Paulo. de que modo pode-se empregar a soma de matrizes em situações reais? O exemplo seguinte responde ao questionamento. 33 . Cada um deles é produzido parcialmente na fábrica F1 em Campinas e.2 Multiplicação de uma matriz por um escalar Na seção anterior você conheceu como as matrizes podem ser somadas. Um fabricante de um produto produz três modelos A. vamos mostrar quando é possível multiplicar uma matriz de qualquer tamanho por um número real. agora.Matemática Discreta C= . Bem. B e C. F1 = F2 = A matriz F1 + F2 = FT fornece o total dos custos de produção e transporte para cada produto. O custo de cada produto é composto pelo custo de produção e pelo custo de transporte. Assim. As matrizes F1 e F2 seguintes descrevem o custo dos três produtos em cada fábrica. então. Exemplo 6. Bem. 9: 0. Além disso. V = 2. a matriz C = AB é do tipo m x n. se A = (aij)m x n então C = kA é a matriz (cij)m x n definida por cij = k . denotado por kA. aij Exemplo 7. se A é uma matriz m x p e B é uma matriz p x n. o produto AB é possível. cujo elemento na posição ij é definido como sendo o produto do elemento de A que ocupa a posição ij pelo escalar k. Para encontrarmos o elemento ij da matriz produto AB. Isto é. V= Bem. Uma empresa de material fotográfico tem loja em cada uma das cidades A. de modo que cada produto terá seu preço multiplicado por 0. Como as linhas da matriz A tem o mesmo número de elementos que as colunas de B. se a empresa planeja reduzir os preços de venda de seus produtos. semi-automático e não-automático. o produto da matriz A pelo escalar k. 34 . A matriz dos novos preços será obtida multiplicando a matriz V por 0. oferecendo desconto de 10% para pagamentos à vista. B e C. então a tabela de preços sofrerá alteração.3 Multiplicação de matrizes A multiplicação de matrizes está definida quando o número de colunas da primeira matriz é igual ao número de linhas da segunda matriz. Um marca específica de câmera está disponível para venda nos modelos automático. multiplicamos cada um dos elementos da linha i da matriz A pelo correspondente elemento da coluna j da matriz B e somamos os produtos obtidos. Cada uma dessas câmeras tem uma unidade de flash correspondente que é vendida juntamente com a câmera. Os preços de venda das câmeras e das unidades de flash são fornecidos pela matriz V do tipo 2x3. é também uma matriz m x n.9 .4. não sobram nem faltam elementos.Matemática Discreta Se A é uma matriz m x n e k é um escalar.9. Assim. 2.. Exemplo 8. + aipbpj p cij = ∑a k =1 ik bk j i = 1. 3. . 3. Caso as matrizes A e B do Exemplo 6 sejam A = 1 3 2 3 1   3 0 4  e B = 0 2  .Matemática Discreta A B C cij = ai1b1j + ai2b2j + ai3b3j + . Considere as matrizes A = eB= .. c11 = c12 = c21 = c22 = Exemplo 9. onde C = . a matriz C = AB é 2x2. j = 1.B será uma matriz de tamanho   3 2  2x2 obtida multiplicando os elementos de cada linha de A (Li) pelos respectivos elementos de cada coluna de B (Cj). O produto AB é possível.. . o produto A.. 2.. Assim. pois A é do tipo 2x3 e B do tipo 3x2.. 35 . F1 = = [100.2 3.40 + 200.1 + 0.3 + 0.3 =   L 2 . os cálculos nas operações 36 .32 + 200.C 2  2.F1? Bom.0 + 1.3 + 3.70 = [23700 100.2 + 1. multiplicando Q por F1. a matriz (F1)T. Desse modo.F1 apresenta o custo de produção e de transporte de toda a produção mensal dos três produtos.2  = Exemplo 10.C1 =   L2 . B e C. B e C. Se a matriz Q3x1 = representa a quantidade produzida de cada produto A. obtemos: Q. o que representa a matriz produto Q.20] 23000] A matriz Q.C 2  3.4. B e C produzidos na fábrica F1.  0   2   [3 0 4]   3 2       L1 . Que informações sobre o custo dos produtos A.4 Matrizes Booleanas Na grande maioria dos casos nós utilizamos matrizes cujos elementos são números reais. Considere a matriz F1 do Exemplo 6 que fornece o custo dos produtos A.C1 L1 .1 + 3.Matemática Discreta  1  3   [2 3 1]        A.3 2.80 + 150.QT fornece? Recorde o conceito de matriz transposta! 2.B =   .2 + 4.50 + 150. por mês.0 + 4. Na matriz A abaixo estabelecemos que aij = 1. O elemento aij = 0...j) uma matriz cujos elementos são os bits 0 e 1. Os dados codificados em binário são muito importantes e tem aplicações variadas no computador. George Boole. multiplicação por escalar e multiplicação de matrizes são feitos com os elementos escritos na base decimal... significa que a estação 1 transmite diretamente à estação 3 e a31 = 0 significa que a estação 3 não transmite 37 .. A matriz booleana que apresenta o registro da presença às aulas é uma matriz A30x22 da seguinte forma: A= 1 0 1 1 1 0 1 . Seja A = (ai. significa que o aluno i esteve presente à aula do dia j. Veja o diagrama abaixo..... Considere que uma rede de comunicações tem cinco estações com transmissores de potências diferentes... 1 O elemento aij = 0. 1  0 1 1 1 1 1 0 . notadamente em videogames. significa que a estação i pode transmitir diretamente à estação j.Matemática Discreta de adição.. o uso de dados na notação binária é necessário... Mas.. comunicação por fax. Exemplo 12.. etc.    1 1 1 1 1 1 1 ................. entendendo que esses dígitos como valores lógicos (0 representando FALSO e 1 representando VERDADEIRO). na tecnologia da informação... Suponha que numa sala de aula com 30 alunos queremos registrar a presença (1) e a ausência (0) nos 22 dias de aulas do mês. transferências de dinheiro por meio de caixas eletrônicos.. homenagem ao matemático inglês do século XIX. quando o aluno i faltou à aula do dia j. 0 1  A = 0  0 0  1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0  1 0  O elemento a13 = 1. aij = 0 significa que a transmissão da estação i não alcança a estação j... Exemplo 11......... Essas matrizes são chamadas matrizes booleanas... 0   . Qual o significado da diagonal nula de A? A matriz A é simétrica? A diagonal nula de A. Além disso. exceto pelo fato de que agora usamos as operações booleanas de adição e multiplicação.4.Matemática Discreta diretamente à estação 1.5 Adição e multiplicação de matrizes booleanas Podemos definir a adição ( ∨ ) e produto booleano ( ∧ ) de duas matrizes de mesmo tamanho da maneira usual. y) e x ∧ y = Min (x. 1 0  0 1 a) A soma booleana das matrizes A =   e B =   é dada por 0 1  0 1 1 0  0 1 1 ∨ 0 0 ∨ 1 1 1  =  A∨B= ∨   =  0 1  0 1 0 ∨ 0 1 ∨ 1  0 1  1 1 1 1  B=  b) O produto booleano das matrizes A =    é dado  0 1 1 0  1 1 1 1  1 ∧ 1 1 ∧ 1  1 1  ∧  por A ∧ B =   = = . Isso significa a não comutatividade da comunicação entre duas estações.  0 1 1 0 0 ∧ 1 1 ∧ 0  0 0 38 . 2. logo a matriz A não é simétrica. conforme tabelas a seguir: ∨ 0 1 ∧ 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 Tabela da adição Tabela da Multiplicação As tabelas acima definem a adição booleana ( ∨ ) e o produto booleano ( ∧ ) de acordo com a seguinte notação: x ∨ y = Max (x.y) Se A = (aij)n x m e B = (bij)n x m são matrizes booleanas. então: A ∨ B = (aij ∨ bij)n x m e A ∧ B = (aij ∧ bij)n x m Exemplo 13. significa que uma estação não transmite para si mesma. observe que A AT. 1 1 1  1 1 0  1 0 1  B = 0 1 1  .4. é com você..6 Multiplicação de matrizes booleanas A multiplicação de matrizes booleanas (Aij)m x p e (Bij)p x n denotada por A ⊗ B é definido como a matriz C do tipo m x n tal que cij = ∧ bpj) = (ai1 ∧ bij) ∨ (ai2 ∧ b2j) ∨ (ai3 ∧ b3j) ∨ . faça o exercício b. Considere as matrizes booleanas A= 0 0 1 .. C = 1 1 1  . 2 e 3 estão interligados por vôos 39 . Exemplo 14. Os aeroportos 1. Efetue as seguintes operações booleanas: 0 1 0 0 0 1 a) A ∧B f) (A ∧ B) ∨ C b) A ∨ B c) B ∨ C g) A ∨ (C ∧ B) d) A ∨A e) B ∧B 2. ∨ (aip Perceba que esse produto é obtido multiplicando cada linha de A pelo produto booleano e somando esses produtos pela soma booleana.Matemática Discreta 1 0 1  Agora. Calcule o seguinte A ⊗ B nos seguintes casos: 0 1  1 0 1    a) A =  B= 1 1    0 1 1  0 0  1 0 1    b) A= 0 0 1 B =   1 1 1  1 1 0  0 1 1    0 1 0 0 1  a) A ⊗ B = 1 0 1  ⊗  = 0 1 1  1 1     0 0  Agora. 1 1 1  Você deverá chegar à matriz booleana A ⊗ B = 0 1 0 1 1 1  Exemplo 15. bij = 0. Mas.j)3x3 é tal que ai. Além disso. partindo de 3 podemos atingir 2 passando por 1.j = 0.Matemática Discreta diretos e/ou com escala. Isto é. há esses vôos com escala. caso contrário. 40 . 0 1 0  0 1 0  M ⊗ M = 1 0 1  ⊗ 1 0 1      1 0 0 1 0 0 1 0 1   = 1 1 0 0 1 0  O diagrama ao lado indica os vôos com escala.j = 1.j) onde M2 = M ⊗ M tal que bij =1 significa que há vôo do aeroporto i para o aeroporto j com escala. De fato. se não há vôo direto do aeroporto i para o aeroporto j é 0 1 0  M = 1 0 1  . passado por 2. A matriz M2= (bi. nem do 3 para 2. e ai. partido de 1 podemos alcançar 3. A matriz M = (ai. se há vôo direto do aeroporto i para o aeroporto j.   1 0 0 Os vôos de um aeroporto para outro são representados no diagrama seguinte: Observe que não há vôos diretos do aeroporto 1 para o aeroporto 3. Considere a matriz B =  2  0 a) 4 ∑ b2.B + A)T B.4 3.1 Verifique se você entendeu bem os assuntos desse capítulo.1 a) A2 = A. Se tiver dúvidas.A b) A3 e) Mostre que A.Matemática Discreta Aprenda Praticando .B nos seguintes casos:  2   a) A = [ 1 -1 0] e B =  1  − 2  − 1 2 b) A =   eB= . Considere as matrizes A =   B =  -1 1 1 2 1    2 .2 1 .j) i =1 d) 2.2  2 . Calcule.2 quando possível.  .1     2 1 2 3 0   c) A =   e B =  -1 1 1 2 1   2 . Se A =  eB=   3 1  . j j =1 b) 4 ∑ j =1 bi.Exercício Proposto 2.BT + B  2 1 2 3 0   4. As respostas dos exercícios de número par são apresentadas logo a seguir.3 1   2 . 1 3 1. resolvendo os exercícios propostos.5 .3 c) 2 -2 0 1 -1 4 -3 1 4 ∑ i =1 1 2 . procure saná-las com professores e tutores da disciplina em fóruns de discussão que serão montados para esse fim. calcule: 3 c) B2 d) B3 f) (A+ B)T h) AT.B g) (A. Calcule o produto A.A     2 . os seguintes produtos: 41    . Calcule: 1  3 4 ( ∑ bi. Considere as matrizes indexadas 2 x 2 Bi definidas por i − 1 i + 1 Bi =  i  com i i + 2 N*. e) O que significa o valor encontrado para o seguinte somatório ? MP = 8. 6. a média aritmética dos elementos situados na 25ª coluna de A. Qual o modo mais eficiente de calcular o produto ABC.C ou A. d) Expresse sob a forma de somatório.C)? Justifique sua resposta computando o número de multiplicações que se efetua em cada caso.AT b) B.B i i =1 T i i 5 ∑ (B ) i =1 i t ) 7. do tipo 30 x 30: a) Escreva os elementos de A. Seja A = 2  2 x − 1 x2 . Os aeroportos 1.Matemática Discreta a) AT.. . 3 e 4 estão interligados por vôos diretos e/ 42 ... 2. b) Expresse sob a forma de somatório.j). Considere a matriz A= (ai. B2.A 5. a soma dos elementos situados na 12ª linha de A. respectivamente de ordens 3 x 7. a soma dos elementos de A situados na 13ª coluna. é (A.B). B e C são matrizes de números. a) Escreva as matrizes B1.(B. B5 b) Calcule o valor da soma S = 5 ∑B i =1 c) Determine o valor da soma S = d) Calcule a soma S = 3 ∑ ( B .BT c) BT. 7 x 2 e 2 x 5. Suponha que A. 0  Qual o valor de x tal que AT = A 9. sob a forma de somatório. c) Expresse. Bernardo conversa com Adriano. Carla e Daniela. Suponha seis pessoas – Adriano (A). 1  0 a) Faça um diagrama representando os vôos diretos. e Fábio conversa com Adriano.j = 1. Daniele e Fábio. se não há vôo direto do aeroporto i para o aeroporto j é 0 0 M=  1  1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 . b) Calcule a matriz M2= (bi. 2 2 Porta  O fabricante tem uma fábrica em Caruaru e outra em Campina Grande e o custo de cada um desses processos. Carla (C). A matriz M = (ai. Eunice conversa com Carla. Daniele e Eunice. Daniele (D). Bernardo (B).j) onde M2 = M ⊗ M tal que bi. Tudo que uma pessoa conversa com outra num dia. se há vôo direto do aeroporto i para o aeroporto j. 11. Carla.Matemática Discreta ou com escala. Eunice (E) e Fábio (F) – que adoram uma fofoca via telefone. Cada dia Adriano conversa com Bernardo e Fábio.B. Daniele com Bernardo. 43 .j)4x4 é tal que ai. O tempo gasto em cada um desses processos é fornecido (em horas) pela matriz  Montagem Acabamento  A= 3 4 Janela  . Uma fabricante produz janelas e portas e cada um desses produtos passa por um processo de montagem e por um processo de acabamento.j = 0. por hora trabalhada é fornecido pela matriz B= Calcule a matriz A. Eunice e Fábio. 10.B e diga o significado dos elementos do produto A. ela repassa a fofoca para as outras no dia seguinte. Daniele e Eunice. e ai. Carla com Bernardo.j =1 significa que há vôo do aeroporto i para o aeroporto j com escala e faça um diagrama representativo da situação. a) B1 =  . a letra L significa ligado (1) e a letra D significa desligado (0). 5 b) S = ∑B c) S = ∑ (B ) i =1 = i 5 d) S = i =1 i 3 t = ∑ ( B . Caso contrário.B i =1 i T i ) 44 1 5   2 1 c)  c) 4 5   6 7  eB=  .1  0 0  . b) Encontre uma matriz B3x3 do tipo ligado/desligado tal que A ∧ B seja uma matriz em que todo elemento seja desligado. mi. Na matriz booleana A3x3 abaixo.1 2  4.j = 0.. BB2=2  . uma fofoca recebida por Adriano na segunda–feira leva para chegar aos ouvidos de Daniele? 12.j)6x6 onde mi. B3= 4 5 . D L L  a) Encontre uma matriz B3x3 do tipo ligado/desligado tal que A v B seja uma matriz em que todos os elementos sejam ligado.2  5 8 1 b) .2 0 1  1 2   2 3 6.1 2    1 1 . a) 8 .1 1     2 2 . B4 = 3 4 2 3     . Respostas dos Exercícios 2.Matemática Discreta a) Modele este esquema de fofocas por telefone utilizando uma matriz booleana M = (mi. L L D A = D L D  . b) M é simétrica? c) Quantos dias. a) [1] b)  5 .j = 1 significa que a pessoa i conversa com a pessoa j. no mínimo.5 5  2.1 . D D L  D D D   12. Você poderá aprender mais sobre matrizes. Introdução à Álgebra Linear: com aplicações. 2004. +  .Matemática Discreta 0 1  0 2  1 2  1 3 . cujos elementos são varáveis booleanas. Ligado/Desligado. você aprendeu sobre matrizes. x = 1 10. Tradução Valéria de Magalhães Iorio. 2006.  5 6 4 6 6 7  5 7  + 8. Conheceu também as matrizes booleanas. Porto Alegre: Bookman. LIPSCHUTZ. 3 5      3 4 3 5  4 5  4 6 . Rio de Janeiro: LTC. Tradução de Alessandra Bosquilha. 45 . KOLMAN. As operações entre matrizes booleanas foram apresentadas através de exemplos. as operações que nelas podemos efetuar e como as matrizes podem ser usadas como estrutura de armazenamento de dados. 2004. Judith L. AB = A matriz AB indica o custo total de fabricação de janela e portas nas duas fábricas. Marc Lars. Fundamentos Matemáticos para a Ciência da Computação. Bernard. tipo Sim/Não. Seimour.  + 2 3 1 3 3 4 2 4 =   2 3  2 4  4 5 . consultando os seguintes livros e sites: GERSTING.  +  . a) L L L b) L D L      L D D  L D D  Saiba Mais No segundo capítulo deste fascículo. LIPSON. Rio de Janeiro: LTC. Teoria e Problemas de Matemática Discreta. Matemática Discreta http://www.mat.ufmg.br/~elaine/GAAL/gaalt1.pdf http://www.funepe.edu.br:91/funepe/professores/materiais/57/MATRIZES. ppt#256,1,matrizes Orientação de Estudos Você sabe como funcionam os mecanismos de busca para encontrar informações e acessar a internet? Eles utilizam matrizes para rastrear as localizações da informação, cada tipo de informação em uma localização, determinam a palavra-chave que aparece na informação e os sites da Web que tem informações em comum. O mecanismo utilizado no site do Google, por exemplo, em vez de rastrear diretamente uma determinada página real na Web ou de um único assunto de pesquisa, ele usa uma estrutura matricial focalizando buscas de páginas que correspondam ao assunto pretendido. A busca é feita utilizando uma matriz booleana Anxn, chamada matriz de conectividade, onde n é o número de páginas acessíveis na Web durante um determinado mês, de modo que todos os elementos assumem inicialmente o valor zero. Quando o site j está relacionado com o site i, define-se o elemento ai,j = 1, caso contrário ai,j = 0. Dado que o número de sites é bastante grande, a maioria dos elementos da matriz A é igual a zero. Em seguida, são listados todos os sites que tem conexão com o site j. Se você quer mais informações sobre o assunto acesse o site: www.google.com/technology/index.html e participe dos fóruns de discussão para debater o assunto com seus colegas e professores da disciplina. 46 Matemática Discreta Capítulo 3 - Princípios de Contagem: como contar? A Combinatória é a parte da matemática que tem como objetivo o estudo de problemas de contagem do número de agrupamentos que podem ser obtidos com os elementos de um dado conjunto. Fazer contagem é uma tarefa que temos em diversas situações. Por exemplo, quando queremos dimensionar quantos espaços um banco de dados consome, quantos usuários a configuração de um computador suporta, quantos cálculos certo algoritmo resolve, quantas linhas tem a tabela-verdade de uma proposição composta por n proposições simples, quantas senhas de acesso a um caixa eletrônico podem ser formadas, com quatro algarismos, entre outros casos. Inicialmente, o que é uma lista? 3.1 Listas Uma lista é uma seqüência ordenada de objetos. Para escrevermos uma lista, escrevemos os seus elementos entre parênteses. Por exemplo, (2, a ,3, X) é uma lista cujo primeiro elemento é 2, o segundo é a, o terceiro é 3 e o quarto elemento é X. Isso significa que a ordem em que os elementos figuram na lista é relevante: a lista (a, c, h) é diferente da lista (c, a, h). Além disso, uma lista pode conter elementos repetidos: (1, a , 2, 2). O número de elementos de uma lista é dito comprimento da lista. A lista (1, a, 2, 2) tem comprimento 4. Uma lista de comprimento 2 é chamada de par ordenado, como por exemplo, (1, 2). Claro que ( ) é uma lista vazia, de comprimento 0. 47 Matemática Discreta Dizemos que duas listas são iguais se tem o mesmo comprimento e se os elementos nas posições correspondentes são iguais. Exemplo 1. a) Senha numérica com quatro algarismos é uma lista de comprimento 4. b) CPF é uma lista de comprimento 11. c) Matricula de aluno de uma faculdade: 2008 2 169 034 é uma lista de comprimento 11. d) O Código de Endereçamento Postal – CEP é uma lista de comprimento 8 (Veja exercício 15). Como se calcula o número de listas? O cálculo é feito por meio de princípios de contagem. Estudaremos dois deles. 3.2 Princípio Multiplicativo: contagem de listas de comprimento dois Considere as listas de dois elementos em que o primeiro pode ser escolhido de n maneiras e, para cada uma dessas escolhas, há m escolhas do segundo elemento da lista. Então, o número de listas de comprimento dois é n.m. Exemplo 1. Com os números 1, 2, 3, 4 e 5 podemos formar quantas dezenas? Bom, uma dezena é uma lista de comprimento dois, constituída por dois algarismos, escolhidos dentre 1, 2, 3, 4 e 5. Assim, queremos formar listas do tipo (x, y). Temos 5 escolhas para o primeiro elemento x e, para cada escolha do primeiro, existem 5 escolhas para o segundo elemento. Logo, podemos formar 5 x 5 = 25 dezenas. Exemplo 2. Suponha agora que queremos formar dezenas de dois algarismos diferentes com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5. A escolha do primeiro elemento do par pode ser feita de 5 maneiras. Escolhido o primeiro, restam 4 escolhas para o segundo elemento da lista. De modo que, podemos formar 5 x 4 = 20 listas de comprimento 2, com elementos distintos. 48 01. 49 . então podemos formar 1 x 1 x 2 x 2 x 2 x 2 x 1 x 1= 16 bytes c) Quantos bytes começam por 10 e não terminam por 01? Existe apenas uma maneira de preencher as duas primeiras posições e três maneiras de preencher as duas últimas: 00. a quantidade de listas será n . O primeiro elemento da lista pode ser escolhido de n formas diferentes.n   = nk k Fatores Exemplo 4. têm códigos de três letras... o aeroporto que serve São Paulo (Guarulhos) é GRU e o que serve Brasília é BSB. assim. Com as 26 letras do nosso alfabeto podemos formar 26. .. 10 e 11.3 Listas de comprimento maior do que dois Suponhamos que temos n elementos e queremos formar listas de comprimento k.. Um número binário com 8 dígitos é chamado “byte”. 10 e 11.. a) Quantos “bytes” podem-se formar? Como um byte é uma lista de comprimento 8 tal que cada posição pode ser ocupada por zero (0) ou um (1). o segundo também de n maneiras diferentes e.. Uma seqüência de dois bits é uma lista de comprimento dois formada por zero (0) e um (1) de comprimento dois. Exemplo 5.26 = 263 códigos diferentes. Por exemplo. b) Quantos bytes começam por 10 e terminam por 01? As duas primeiras posições e as duas últimas são ocupadas cada uma delas por um único determinado bit. o aeroporto que serve Recife é REC. E quando as listas têm comprimento maior do que dois? Como é feito o cálculo delas? 3.26. Podemos formar 2 x 2 = 4 listas: 00. Os aeroportos. Logo. embora tendo nomes diferentes. podemos formar 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 28 = 256 bytes. n n n. Um número binário é uma lista de zero e um.Matemática Discreta Exemplo 3. até o k-ésimo elemento que pode ser escolhido de n maneiras. De modo que podemos formar 1 x 2 x 2 x 2 x 2 x 3 = 48 bytes.. . 18. 19} e B = {10. como se processa o seu cálculo? 3. e finalmente n . 20}. x (n – (k .(k . dispondo de n elementos. inclusive? Bom. Podemos formar 263x103 placas distintas. 16. 13. 17. Se A é o evento de escolher um número primo entre 10 e 20 inclusive e B escolher um número par entre 10 e 20 inclusive. 3. 14. A = {11.5 Princípio Aditivo Se dois eventos A e B disjuntos (não ocorrem simultaneamente) tem n e m possibilidades. procedemos assim: temos n escolhas para o 1º elemento da lista. se queremos formar listas de k elementos (k n). sem repetições. As placas de licença de carros em certo estado dos Estados Unidos consistem em seis elementos: os três primeiros são letras maiúsculas (A-Z) e os três últimos são algarismos (0-9). 12.4 Listas de comprimento k sem repetição de elementos Agora. de quantas maneiras podemos escolher um número primo ou um número par entre 10 e 20.2) x .Matemática Discreta Quando as listas têm repetição de elementos. respectivamente. n . o número total de possibilidades para o evento A ou B é m + n.2 escolhas para o 3º. então. das quais 26 x 25 x 24 x 10 x 9 são placas em que nenhum elemento é repetido. n-1 escolhas para o 2º elemento da lista.1) x (n . então #(A B) = #A + #B= 4 + 6 = 10.1)) listas de comprimento k Exemplo 6. 50 .. Exemplo 7.1) escolhas para o kº elemento da lista. De modo que podemos formar n x (n . I < = 10. K++){ } 51 . Qual o valor de A após o seguinte código em C ter sido executado? int A = 0 for (int I = 0. Os dois princípios podem ser usados simultaneamente num problema? Sim. veja o seguinte exemplo! Exemplo 8. J < = 9: J ++){ } for (int K =1. } for (int J =1. 2.4 = 6 + 8 = 14 caminhos distintos. Observe que os caminhos do nó 1 até o nó 4. três entre 1 e 2 e quatro entre 3 e 4. 3 e 4. K < = 8. Existem dois caminhos entre 1 e 3. Uma rede de computadores é constituída por quatro nodos (ou nós): 1.Matemática Discreta Atenção O Princípio Aditivo pode ser usado apenas quando os eventos são disjuntos. Exemplo 9. quando não houver possibilidade em comum. dois entre 2 e 4. I ++) { A = A + 1. indo pelo nó 2 ou nó 3.2 + 2. isto é. Uma mensagem pode ser enviada do nodo 1 para o nodo 4 por meio 3. são eventos distintos. agora é a sua vez! Verifique se você entendeu os assuntos desse capítulo. K ++) { A = A + 1. J < = 9. Quando J varia de 1 a 9. Quantos telefones são possíveis? 2.9. onde o primeiro não pode ser nem zero nem um. A = 10 e no final do segundo for. A recebe o valor 27. Por fim. Um número de inscrição no Seguro Social de um país X é composto de nove algarismos (0-9). resolvendo os exercícios propostos. As respostas dos exercícios de número par serão apresentadas logo a seguir. A toma o valor 10. Aprenda Praticando . Finalmente. Qual o valor de A após o seguinte código em C ter sido executado? int A = 0 for (int I = 1. O número de telefone no país X é composto de dez algarismos. 1.8 = 72. para I variando de 1 a 10. Se tiver dúvidas. A assume o valor 9. tente esclarecê-las com os professores executores e tutores nos dos fóruns de discussão da disciplina que serão formados. K < = 8. A = 19. } } } Para K variando de 1 a 8.Exercício Proposto 3.8 = 720. I ++) { for (int J = 1. J ++) { for (int K = 1.1 Bem. Exemplo 10. o valor de A é 8.Matemática Discreta Ao final do primeiro for. a) Quantos números de Seguro Social são possíveis? b) Quantos deles são números pares? c) Quantos têm todos os algarismos números pares? 52 . I < = 10. e 15 perguntas adicionais. cada uma das quais com cinco respostas possíveis. mas J-31 e TURBINADA não são válidos. na questão anterior. Uma prova de múltipla-escolha tem 15 perguntas. Um sistema de computador permite atribuir nomes aos arquivos utilizando qualquer combinação de letras maiúsculas (A-Z) e de algarismos (0-9). Uma pessoa pode viajar no trecho Recife/Natal/Recife 53 . mas o número de caracteres no nome deve ser no máximo cinco (e deve haver ao menos um caractere no nome do arquivo). há cinco bandejas numeradas de 1 a 5 em que se colocam os CDs.Matemática Discreta d) Quantos podem ser lidos igualmente para trás e para frente (por exemplo. WJ. Uma senha de um usuário em um computador de grande porte consiste em três letras seguidas de dois dígitos. Quantas senhas diferentes são possíveis (considere o alfabeto com 26 letras)? 8. A423. cada qual com quatro respostas possíveis. Quantos números de CPF são possíveis? 10. Possuo 50 CDs. Quantas folhas de respostas diferentes são possíveis? 7. 122070221)? e) Quantos não têm nenhum dos seus algarismos igual a 8? f) Quantos têm exatamente um algarismo igual a 8? g) Quantos têm ao menos um algarismo igual a 8? 3. De quantas maneiras diferentes esses livros podem ser dispostos na prateleira? 5. Quantas senhas são possíveis. Uma prateleira contém 20 livros. Quantos nomes de arquivo diferentes podem ser formados nesse sistema? 4. se todas as bandejas são ocupadas por CDs? b) De quantas maneiras o CD player pode ser carregado se eu coloco apenas um CD no aparelho? 6. 4AA e CDEF4321 são nomes de arquivo válidos. Por exemplo. a) De quantas maneiras o CD player pode ser carregado. se diferenciarmos as letras maiúsculas das minúsculas? 9. Um compact disc player tem espaço para 5 CDs. I < = 10. Qual o valor de A após o seguinte código em C ter sido executado? int A = 2 for (int I = 1. C. J < = 9. Qual o valor de A após o seguinte código C ter sido executado? int A= 1 for (int I =1.Matemática Discreta de ônibus. } 14. } for (int K = 1. } } } 13. I++) { for (int J = 1. automóvel. K < = 8. B. navio ou trem. Quantas palavras existem nessa língua? 12. uma palavra é uma seqüência arbitrária de no máximo três letras. I < = 10. J < = 10. K < = 10: K ++) { A= A + 1. Se o meio de transporte da ida não é o mesmo da volta. I < = 10. de quantas maneiras essa pessoa pode realizar a viagem? 11. Um alfabeto consiste em três letras: A. Nessa língua. K++) { A= A + 1. I++) { 54 . J++) { for (int K = 1. J ++) { A= A +1. I++) { A = A + 1. } for (int J = 1. Qual o valor de A após o seguinte código em C ter sido executado? int A= 1 for (int I =1. avião. J < = 9.Matemática Discreta for (int J = 1. recebem o nome de Sufixo e destinamse à identificação individual de localidades. Logradouros. códigos especiais. cada um variando de 0 a 9. o 5º o Divisor de Subsetor e os três últimos. o 4º o Sub-setor. o 2º a Subregião. etc. O Código de Endereçamento Postal (CEP: _ _ _ _ _ . o 3º o Setor. K++) { A= A + 2. K < = 8. Um cofre tem três discos. Caixas Postais Comunitárias._ _ _) usado no Brasil tem como objetivo principal orientar e acelerar o tratamento e distribuição de objetos de correspondência. Região | Sub-Região | Setor | Sub-setor | Div de Setor | Sufixo | Sufixo | Sufixo a) Quantos são os CEP’s possíveis? b) Quantos são os CEP’s possíveis para atender à região 3 (Sede em Salvador)? c) Quantos são os CEP’s possíveis para atender à região 5 (Sede em Recife)? 16. de modo que o 1º dígito representa a Região do Brasil. cada um com as mesmas 26 letras e 55 . J++) { for (int K = 1. } } } 15. É constituído de 8 dígitos. Quantos números diferentes de 3 algarismos podemos formar com os algarismos 1. 5 e 8. Uma senha de computador é constituída por seis caracteres: três letras (de 26 letras) seguidas de três dígitos (de 0-9).Matemática Discreta só pode ser aberto quando se colocar uma determinada letra de cada um dos discos numa determinada posição. 21. de quantas maneiras diferentes se podem colocar as letras dos discos nas referidas posições? 17. vermelho e branco. b) os dígitos não podem ser repetidos. Supondo que se ignora o segredo do cofre. 6 e 8 no sistema decimal? 19. Com cinco pedaços de tecidos nas cores amarela. 4. quantos números de quatro algarismos diferentes podemos formar? Quantos são múltiplos de 5? Quantos são múltiplos de 10? 56 . c) as letras não podem ser repetidos. verde. Quantas senhas são possíveis no exercício anterior se elas apresentam as três letras e os três dígitos de forma alternada: LDLDLD ou DLDLDL? 22. 2. 2. azul. Com os dígitos 0. nos seguintes casos: a) tanto as letras como os dígitos podem ser repetidos. 1. d) nem as letras nem os dígitos podem ser repetidos. Determinar o número de senhas possíveis. 3 e 9 no sistema decimal? 18. quantas bandeiras tricolores podemos formar supondo que os tecidos são colocados só em tiras verticais? 20. Quantos números de quatro algarismos podemos formar com os algarismos 0. 1 = 4.4! De modo geral podemos escrever n! = n . .3.1 = 120 3! = 3.2. x 2 x 1 = 20! 6) 420 x 510 8) 523 x 102 10) 20 12) 721 14) 1.3! 2! = 2. definimos 1! = 1 e 0! = 1 Simplifique: a) 6! 8! b) 4!.1) . 1 Exemplos: 5! = 5. (n .1 = 6 Obs. 3! .. 6! 8!.1 2) a) 109 b) 5x108 c) 59d) 105 e) 9. .98=99 f) 99g) 109 – 99 4) 20 x 19 x 18 x 17 x . 5! 3! c) d) 57 5!.2. Sabemos que: 4! = 4.Matemática Discreta Respostas dos Exercícios 3.6 Fatorial Definimos o fatorial de um número inteiro n > 1 como o produto de todos os inteiros de n até 1.53 = 500 20) a) 263 x 103 b) 263 x 10 x 9 x 8 d) 26 x 25 x 24 x 10 x 9 x 8 c) 26 x 25 x 24 x 103 22) a) 96 b) 42 c) 24 3..4.1 = 5. Notação: n! = n .2. (n-2) .3.1 = 2 5! = 5.1)! Além disso.441 16) 263 18) 4.4. 2 ... (n .2.3. o número de n permutações Pp que podemos formar com p elementos é: n . (n-1) . que diferem entre si pela ordem ou pela natureza dos p elementos que compõem cada grupo. (n-2) .(p . 1 Ppn = n! (n − p )! n Quando p = n.(p-1)] . a segunda pode ser feita de n . 1 (n-p) . Assim. Qualquer um desses arranjos será chamado de permutação.8 Combinações Desejamos selecionar p objetos de um grupo de n objetos.. (n-p) .. 2 . 4! f) g) 5! 0! 4! 3. sucessivamente.(p-1)] = n . temos que a 1ª escolha pode ser feita de n maneiras diferentes. 2 . [n . Esses agrupamentos são chamados de combinações e o número de combinações é dado por: n Cp= n! p!(n − p )! Como distinguir agrupamento tipo permutação do tipo 58 .1) maneiras. (n-1) . Pelo Princípio Multiplicativo.. (n-2) .. (n-p-1) . 1) e queremos formar Suponha que temos n elementos (n grupos com p elementos distintos.Matemática Discreta e) 6! 2!. até que o p-ésimo elemento é escolhido de n . onde 0 p n. (n-p-1) . e assim. mas não desejamos relevar a ordem na qual eles aparecem no agrupamento. cada grupo é formado de n elementos e P n = n! 3.7 Permutações O Princípio Multiplicativo e suas generalizações aplicam-se freqüentemente quando fazemos várias escolhas de um único conjunto e temos interesse na ordem em que são feitas. [n .2 formas. 0 p n . a 3ª de n .1 formas. Queremos assim encontrar o número de agrupamentos de p elementos que sejam diferentes apenas pela natureza de pelo menos um elemento. vermelho e branco.Matemática Discreta combinação? Suponha que dispomos dos objetos A. quantas bandeiras tricolores podemos formar supondo que os tecidos são colocados só em tiras verticais? Dispomos de n = 5 pedaços de tecido e queremos escolher p = 3 pedaços de tecido para formar uma bandeira de três cores distintas. Trata-se. Primeiro. Com cinco pedaços de tecidos nas cores amarela. Agora. Assim podemos formar Exemplo 2. B e C e queremos formar agrupamento de dois elementos. Agora mude a ordem dos livros: CAB.. Forma-se uma bandeira com os pedaços de cores A B V. É claro que elas são iguais. e indague se a escolha é a mesma ou diferente. dentre 5. Logo. a pessoa só dispõe de dinheiro para adquirir apenas três deles. devemos Exemplo 1. dispondo de n = 5 livros. pois foram escolhidos os mesmos livros. é formar agrupamentos de três livros ABC. De quantos modos podem ser feita a escolha de três desses livros? Ora.. portanto. Mude a ordem dos pedaços de tecidos: BVA. Para uma escolha diferente. pergunte: a bandeira ABV é igual ou diferente da bandeira BVA? É claro que as bandeiras são diferentes pela ordem com que os pedaços de tecido aparecem. forme um agrupamento: AB. em seguida mude a ordem de seus elementos: BA. azul. a partir da haste da bandeira. No entanto. verde. O número de escolhas é 59 . constituindo-se permutações de 3 elementos escolhidos bandeiras. será necessária a troca de pelo menos um dos livros escolhidos inicialmente. bandeiras tricolores são agrupamentos que diferem pela ordem ou pela natureza de seus elementos (pedaços de tecido). BA. Se AB fazer permutações. Uma pessoa manifestou interesse por cinco livros diferentes numa feira de livros. escolher p = 3 entre os cinco. Todos os livros estavam em promoção por um preço único. Pergunte se AB = BA ou AB BA. Se AB = BA devemos fazer combinações. de agrupamento tipo combinação. De modo que teremos Exemplo 4. Considere os algarismos 1. Considerando os dígitos 1.2 Os exercícios seguintes referem-se ao Capítulo 3. De quantas maneiras podemos formar uma comissão composta por 3 professores? 3. seis para o projeto 3 e duas pessoas responsáveis pelo projeto 4. Você deve responder as questões. e 5. Trata-se. discutir com seus colegas e.Matemática Discreta Exemplo 3. Há necessidade de escolher seis pessoas para o projeto um. Para resolvê-los você fará uso dos princípios de contagem estudados e das técnicas de classificação de agrupamentos em permutação ou combinação. consulte seus tutores. Quantos anagramas de duas letras diferentes podemos formar com um alfabeto de 26 letras? 2. Numa empresa de Tecnologia da Informação trabalham 22 pessoas.000 podemos formar se: a) o número é par? b) o número é ímpar? c) o número é par ou ímpar? 5. De quantas formas é possível fazer-se a escalação? Aprenda Praticando . Há 15 estações num ramal de uma estrada de ferro. 2. 2. . quantos números de 2 algarismos diferentes podemos formar? 4. 3. 4 e 5. Em um congresso há 12 professores de Física. Quantos tipos de bilhetes de passagem são necessários para permitir a viagem entre duas estações quaisquer? A viagem entre as estações C e D é diferente da viagem entre D e C. todas disponíveis para exercer diversas atividades em quatro projetos atualmente em execução. 1. quatro pessoas para o projeto 2. portanto de permutação de n = 15 com p = 2 estações. De quantas formas podem ser escolhidos um presidente e um 60 . 4. Quantos números com algarismos distintos. 3. superiores a 100 e inferiores a 1.Exercício Proposto 3. em caso de dúvidas. De quantas maneiras podemos formar uma comissão para revisão curricular do curso composta por cinco professores. Quantas comissões podem ser formadas: a) sem restrições b) havendo pelo menos um professor de Matemática? c) havendo pelo menos 4 professores de Matemática e 2 de Física? 11. Um time de futebol leva 18 jogadores na comitiva. Uma biblioteca tem 4 livros sobre Sistemas Operacionais. 11 jogadores compõem o time titular. 7 sobre Programação e 3 sobre Estrutura de Dados. Considere a palavra NUMERO: a) Quantos são os anagramas que podemos formar com as letras da palavra NUMERO? b) Quantos anagramas começam e terminam por vogal? c) Quantos começam e terminam por consoante? d) Quantos anagramas começam por consoante e terminam por vogal? 9. sendo dois mestres e três doutores? 10. De quantas maneiras o time titular pode ser formado? 12.Matemática Discreta vice-presidente dentre um grupo de 20 pessoas? 6. Em um congresso há 12 professores de Física e 10 de Matemática e queremos formar comissões de 8 professores. De quantas maneiras os livros podem ser arrumados numa prateleira. Quantas palavras de 6 letras distintas podemos formar com as letras da palavra MAXWEL? 7. O corpo docente de um curso de Sistemas de Informação de uma faculdade é composto por nove professores portadores do título de mestrado e quatro professores com título de doutorado. sabendo os livros de uma mesma matéria precisam ficar juntos? 8. De quantas formas um júri popular de 5 homens e 7 mulheres pode ser selecionado dentre um elenco de 17 homens e 23 mulheres? 61 . a) De quantas formas podem ser retiradas quatro fichas? b) De quantas formas podem ser retiradas 4 fichas. Pergunta-se: a) A rede é projetada para resistir à falha de quaisquer dois nós. 62 . C(6. Uma rede de computadores consiste em 60 nós. C(6.2).4).0). C(6. Quatro fichas são retiradas da caixa. C(6. sem que estes sejam quaisquer um dos nós que falharam? d) Se dois nós falharem. De quantas formas esse tipo de falha pode ocorrer? b) De quantas maneiras podem falhar um ou dois nós? c) Se um dos nós falhar. de quantas maneiras podemos selecionar sete nós.6). Numa classe existem 8 alunas. sem reposição. uma das quais se chama Maria e sete alunos um dos quais se chama José. Uma caixa contém cinco fichas vermelhas e sete pretas. Calcule C(6. de quantas maneiras podemos selecionar sete nós de forma que eles incluam um dos nós que falharam? 14. Quantas são as comissões das quais: a) Maria participa? b) Maria participa sem José? c) José participa? d) José participa sem Maria? e) Maria e José participam simultaneamente? f) Maria e José são excluídos? g) Ou Maria ou José participa? 16.Matemática Discreta 13.3). Formam-se comissões de 5 alunas e 4 alunos. duas pretas e duas vermelhas? c) De quantas formas podemos retirar todas as quatro fichas vermelhas ou todas as quatro pretas? d) De quantas formas podemos retirar quatro. todas de uma só vez.1). sendo três ou quatro fichas pretas? 15.5) e C(6. C(6. passando ou não por B? c) ir de A até C e voltar? d) ir de A até C e voltar. 2 e 1. 3 estradas diferentes entre B e C e 2 estradas diferentes entre A e C. prata e bronze. ela não é reposta no saco. Cinqüenta corredores competem em uma corrida de 10 quilômetros. Quais? Que relação existe entre as combinações iguais? Teste. 17. Um saco contém 20 fichas idênticas. Extraem-se aleatoriamente cinco fichas. nos seguintes casos. B. sem passar duas vezes pela mesma estrada? 18. C. 2. Há quatro estradas diferentes entre as cidades A e B. 3. numeradas de 1 a 20. passando pelo menos uma vez por B? e) ir de A até C e voltar. c) A corrida é um evento olímpico final e só interessa quem ganha medalha de ouro. 63 . 4. 20. Quantas senhas de três letras podemos formar com as letras A. Uma vez extraída uma ficha. Calcular de quantas formas cinco fichas podem ser extraídas. extrair as fichas 1. 4 e 5 é diferente de extrair as fichas 5. b) A corrida é uma prova de qualificação. Quantos resultados são possíveis. D e E? Quantas senhas de três letras sem repetição? Quantas senhas de três letras diferentes não contêm a letra A? Quantas senhas de três letras diferentes contêm a letra B? 19. sem considerar empates: a) Quando queremos saber em que lugar cada corredor terminou a corrida. nos seguintes casos: a) As fichas são extraídas uma a uma. 3. Assim. e desejamos apenas saber quais são os dez corredores mais rápidos. passando por B? b) ir de A até C. sem reposição. De quantas maneiras podemos: a) ir de A para C.Matemática Discreta Algumas dessas combinações são iguais. enquanto que. 4. 4. o segundo o relator. escolhidos ao acaso. Para o grupo de três elementos. Nessa situação. Considere o seguinte algoritmo: void MaxMin ( vetor A. 60. 2 e 1. 4. . p) a combinação de m elementos p a p e por P(m. extrair as fichas 1. sem reposição. além da sena e das quinas? 23. p) o permutação de m elementos p a p. 3. 3. determinada organização precisa definir dois grupos de trabalho. representando por C(m. 5 é diferente de extrair 2. vetor. com reposição. O jogo da Mega Sena consiste no sorteio de 6 números distintos. 21. sendo premiadas aquelas que acertarem 4 (quadra). Essa organização conta com um quadro de quatorze funcionários. . além da sena? c) Caso o grupo acerte na sena. quantas quinas premiadas.. 2. entre os números 1. a) Quantos são os jogos de 6 números que o grupo pode fazer com esses 20 números? b) Caso o grupo acerte na sena. a ordem de nomeação não é relevante. todos igualmente aptos a compor qualquer um dos grupos de trabalho. 4 e 5 é o mesmo que extrair as fichas 5. um com três membros e outro com quatro membros. 2.. (ENADE 2005). int* Min: integer) 64 . para o grupo de quatro elementos. int*Max. em qualquer função. 2. 3. Assim. no máximo. 2. sendo que cada um integrará.Matemática Discreta b) As fichas são extraídas todas de uma vez. quantas quadras premiadas. um desses grupos. Para o desenvolvimento de um projeto. c) As fichas são extraídas uma de cada vez. 1. Cada ficha extraída é devolvida ao saco. Um grupo de apostadores escolhe 20 números para jogar. 5. Assim. o primeiro indivíduo nomeado será o presidente. Uma aposta é uma escolha de 6 números distintos entre os 60 possíveis. e o terceiro será o auxiliar. 5 (quina) ou todos os 6 números sorteados. extrair as fichas 1. 2. conclui-se que a quantidade de maneiras distintas que a organização citada dispõe para compor os seus dois grupos é igual a: 22. } } } Quantas comparações entre os elementos do vetor A = [A[1]. na qual participaram 20 homens e 17 mulheres. Calcule: a) d) P36 + P45 P58 P2n C 3n − C 2n b) P3n c) P2n e) 65 C 58 + P33 P25 . . Em uma comemoração. tanto para se cumprimentarem quanto para se despedirem. Numa certa comunidade. Duas mulheres só trocam acenos. todos iguais. Calcule quantos apertos de mão e quantos acenos foram dados.A[15]] são efetuadas? 24. = 15.. A seguir.Matemática Discreta Max = A[1]. A partir de 64 cubos brancos. I++) { if ( A[I] > Max) { Max =A[i]. A[2]. forma-se um novo cubo. todos se cumprimentaram e se despediram na forma acima descrita. dois homens sempre se cumprimentam (na chegada) com um aperto de mão e se despedem (na saída) com outro aperto de mão. . este novo cubo tem cinco de suas seis faces pintadas de vermelho. As permutações da palavra PROVA foram listadas em ordem alfabética. Min = A[1] for (int I = 2. como se fossem palavras de cinco letras em um dicionário. } if (A[I] < Min) { Min = A[i]. Qual a 73ª palavra dessa lista? 27.. I . mas se despedem com um aceno. Um homem e uma mulher se cumprimentam com um aperto de mão. Qual o número de cubos menores que tiveram pelo menos duas de suas faces pintadas de vermelho? 26. 25. C 25 c) C45 + C 47 d) C37 . RAOPV Saiba Mais Neste capítulo você teve oportunidade de conhecer técnicas de contagem de elementos de um dado conjunto.p) = C(n . a) 22. C(n . conheceu técnicas de diferenciação de agrupamentos tipo combinação e permutação. fazendo uso do princípio aditivo e do princípio multiplicativo. a) b) = c) + 12.C15 + C47 16. a) b) C 27 .20. C312 = 220 4. a) C b) b) 6 d) 1 x 4 x 3 x 3 c) 20. 14. 6! 8. 66 . 26.20 = 205 c) 1 24. 720 apertos de mão e 612 acenos.20. n-p) 18.20. Além disso.1 2. a) 720 d) 216 10. a) 53 b) 5 x 4 x 3 c) 4 x 3 x 2 20. a) 24 b) 36 c) 60 b) 144 c) 144 6.Matemática Discreta Respostas dos Exercícios 3. ele sentou-se num lugar seguro (na verdade o lugar seguro) e todos os seus companheiros morreram e apenas ele escapou.C. Campinas: Editora da Unicamp. e mais quarenta companheiros estavam numa caverna cercados por soldados romanos. Como ele conseguiu isso? Você está desafiado a resolver esse problema. Conta a lenda que Josephus. conseguiu escapar da morte graças ao seu conhecimento em matemática e sua habilidade de pensar rápido. Decide-se eliminar n-1 pessoas do grupo da seguinte forma: as pessoas são colocadas em um círculo com lugares marcados em ordem crescente no sentido horário. tantas vezes quanto necessário. pense em n pessoas. como era conhecido. 1995. Para melhor equacioná-lo. e toda segunda pessoa viva nesta visitação é eliminada até que apenas uma sobreviva. José Plínio de Oliveira. Sem alternativas. Como Josephus não queria morrer. começando pela pessoa no lugar 1. o círculo é percorrido no sentido horário. Qual é a posição que a pessoa sobrevivente ocupa? 67 . Introdução a análise combinatória. decidiram cometer suicídio. Fariam da seguinte maneira: eles se posicionariam em forma de um circulo e começariam a se matar: sempre o companheiro da esquerda.Matemática Discreta Para conhecer mais sobre combinatória. entre as quais se encontra Josephus. Desafio Tito Flavius Josephus foi um historiador que viveu em Jerusalém no século I D. consulte o seguinte livro: SANTOS.. Boa sorte! 68 .Matemática Discreta Participe de um fórum de discussão que será orientado pelos professores executores e tutores para auxiliá-lo a resolver esse problema. Trataremos inicialmente de um tipo de relações.3). 2) . as relações binárias. Podemos então dizer que dados dois conjuntos A e B.3). 69 . onde o conjunto A é chamado de conjunto de partida e B é o conjunto de chegada da relação R. “maior ou igual”. uma relação binária de A em B é um subconjunto de A x B. Sejam os conjuntos A = {1. como Banco de Dados Relacional. Em computação e Informática. 2. No cotidiano. o produto cartesiano A x B é ele próprio uma relação de A para B. dizemos que x está relacionado a y por meio de R e indicamos o fato escrevendo x R y. Assim. 3)}. 3}. (2. (1.Matemática Discreta Capítulo 04 . então escrevemos x R y (x. escrevemos R: A B. É claro que uma relação R de A para B é um subconjunto do produto cartesiano A x B. (3. Uma relação binária R de A para B é um conjunto de pares ordenados (x. Se R é uma relação binária em A x B. y) com x A e y B. Se (x. Sejam A e B dois conjuntos. são exemplos de relação: “irmão de”. O produto cartesiano dos dois conjuntos A x B = {(1. y) R. (3.2). “faz fronteira com”.2). (2. muitas construções são baseadas em relações.Relações: uma abordagem Intuitivamente o conceito de relação é próximo do conceito formal de relação. y) R Exemplo 1. 3} e B = {2. Para exprimir que R é uma relação de A para B. pela descrição x R y 3)} Exemplo 3. (3.2) e (3. Então a relação R que contém esses pares é R1= {(x. (1. etc. y) R x divide y. 2. y) A x B: y = x+1} = {(1. y ) satisfaz à relação R.Matemática Discreta a) Se estivermos interessados na relação de igualdade. Considere S = {1.3) são os únicos que apresentam essa propriedade. (2. 4. 4} e a relação R definida de A em A pela condição (x.2). (2. 4). 3) e (4. A divisão no conjunto dos números naturais é aquela que não deixa resto. 4). 3. 3). A relação R pode ser descrita com palavras ou simplesmente pela enumeração dos pares ordenados que a satisfazem. 2). y) A x B: x = y}. y) A x B: x > y}. 70 . Então R = {(1. y). Considere o conjunto A = {1. então R consiste em um conjunto de pares ordenados (x. a relação R é constituída pelos pares (1. a relação será R2 = {(x. 2) (1. b) Se estivermos interessados na propriedade do primeiro número do par ser maior que o segundo escolheremos o par (3. Exemplo 2. 2} e T = {2. Nesse caso. A notação x R y indica que o par ordenado ( x. então os pares (2. 4). de modo que 1 divide 1. 1 divide 2. 3. 3) }. (1. 2 divide 4. Uma determinada primeira componente x e uma determinada segunda componente y podem ser relacionadas diversas vezes na relação R. 4). a) A relação R é dita um-para-um (ou injetiva) se cada primeiro componente x e cada segundo componente y aparecem apenas uma vez na relação.1 Tipos de Relações Binárias Em relação ao número de elementos que se relaciona com um dado elemento. (2. Assim.2). (1. (2. 4} e R a relação dada x + y é ímpar. como se classificam as relações binárias? Se R é uma relação binária em S x T. 2). c) A relação R3 = {(x. 2 não divide 3. 1). Matemática Discreta Exemplo 4. A relação do conjunto S = {1, 2, 3, 4} no conjunto T = {a, b, c, d, e} constituída pelos pares (1, b), (2, c), (3, a) e (4, d) é uma relação um-para-um. Exemplo 5. A relação R definida no conjunto S = {x: x é um CPF} no conjunto T = {x: x é aluno do curso de Sistemas de Informação da UAB – UFRPE} é uma relação um-para-um. b) A relação R é dita um-para-vários se alguma primeira componente x aparece mais de uma vez, isto é , se um determinado x faz par com mais de um y. Exemplo 6. A relação do conjunto S = {1, 2, 3, 4} no conjunto T = {a, b, c, d, e}, constituída pelos pares (1, b), (1, c), (3, a) ,(2, d), é uma relação um-para-vários. Exemplo 7. A relação R que faz corresponder um departamento (S) de uma empresa a uma seção (T) desse departamento. c) A relação R é dita vários-para-um se alguma segunda componente y faz par com mais de uma primeira componente x. 71 Matemática Discreta Exemplo 8. A relação definida do conjunto S = {2, -2, 1, -1, 3} no conjunto T = {1, 4, 5, 9} pela condição (x, y) R y = x2. Exemplo 9. A relação definida no conjunto A de todas as mulheres da cidade de Trindade (PE) com correspondentes em A através da condição (x, y) R x filha de y é uma relação vários-para-um. d) A relação R é dita vários-para-vários se pelo menos um y faz par com mais de um x e pelo menos um x faz par com mais de um y. Exemplo 10. A relação definida do conjunto S = {0, -1, 1} no conjunto T = {0, 1, -1} pela condição (x, y) R x2 + y 2 2 é uma relação vários para vários. Exemplo 11. Uma relação R definida no conjunto C de clientes de uma empresa no conjunto P dos produtos que esta empresa vende, tal que (x, y) R x compra produto y, é uma relação vários para vários. 72 Matemática Discreta 4.2 Relações binárias em um conjunto A Uma relação em um conjunto A é uma relação do conjunto A em A. Trata-se de um subconjunto do produto cartesiano A x A = A2. Exemplo 12. Considere o conjunto A = {1, 2, 3}. Os pares da relação R definida em A pela condição (x, y) R x 2y são R = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,2), (3, 3)}. Exemplo 13. Seja A = {Mara, Cláudia, Anamaria, Beth, João, Clara, José} um conjunto de pessoas tais que, Anamaria é mãe de Clara e de Cláudia, Clara é mãe de Beth e Beth é mãe de Mara, de João e de José. Escreva os pares das seguintes relações definidas em A: a) x R y x é irmã (ão) de y. x é ancestral de y. (x é ancestral de y, se x é pai, mãe, b) x S y avô ou avó de y) Podemos escrever as relações na forma de tabelas: Relação R Relação S “irmã (ao) de” “ancestral de” x y Anamaria Clara Clara Cláudio Anamaria Cláudia Cláudio Clara Anamaria Beth Mara João Anamaria Mara João Mara Anamaria João Mara José Anamaria José José Mara Clara Beth João José Clara Mara José João Clara João Clara José Beth Mara Beth João Beth José 73 as relações binárias são conjuntos de pares ordenados. Isso significa que R1 e R2 são subconjuntos de A x A.Forneça descrições verbais para as relações abaixo e escreva os seus elementos: As tabelas representativas das relações R1 e R2 são as seguintes: Relação R1 1 1 1 2 1 3 2 2 2 3 3 3 Relação R2 1 1 2 1 2 2 3 1 3 2 3 3 74 Relação R1 1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 R2 . Além disso. Podemos também definir a relação complementar. 3} definidas por x R1 y x y e x R2 y x y.Matemática Discreta 4. novas relações binárias denotadas por: Exemplo 14. Considere R1 e R2 duas relações binárias em A = {1. Sejam R1 e R2 relações binárias em num conjunto A. Então podemos realizar seguintes operações que resultem em novos subconjuntos de A x A. a interseção de relações. Escreva os pares ordenados de R1 e R2 . isto é. definimos a relação diferença e a relação diferença simétrica. portanto podemos definir a união.3 Operações com relações: como operar com relações binárias? Ora. 2. y) (R1 R2) x (x. R S o estudante a é obrigado ler livro b no seu g) (a. R–S o estudante a é obrigado ler livro b no seu e) (a. ordenados (a. b) R o estudante a é obrigado ler livro b no seu curso. y ou x 2 3 3 y. Descreveremos os pares. b) curso e não o leu ou o Estudante a já leu livro não obrigatório b. y) x < y. Sejam R e S duas relações definidas. b) S–R o estudante a já leu livro não obrigatório b. (a. Exemplo 15. f) (a. respectivamente. (x. y) (R1 R2) x = y. b) em cada uma das seguintes R S o estudante a é obrigado ler livro b no seu a) (a. y) x > y. b) o estudante a não leu o livro b. (x. b) (a. o estudante a não é obrigado ler livro b no seu d) (a. b) R seu curso. por: (a. 75 . b) S o estudante a leu o livro b. b) curso ou já leu o livro b. b) curso e não o leu.Matemática Discreta Relação R1 1 2 3 Relação R2 1 2 3 2 3 3 Relação 1 1 2 1 1 2 Dizemos que: (x. Seja A o conjunto de todos os estudantes de uma faculdade e B o conjunto de todos os livros de sua biblioteca. S o estudante a já leu o livro obrigatório b no c) (a. b) curso. simétricas. (4.4)} R2 = {(1.1). y) A. (2. (4. (2.4). z em R e (y.y d) R é anti-simétrica. (3. (1.y) R e (y. z c) R é transitiva se isto é. (4. se (x.1). R7 e R8. R5 e R8 Simétricas: R2.3)} R7 = {(3. anti-simétricas e transitivas? R1 = {(1. 2.y) R e (y.3)} R5 = {(1.2). (3.3). z) R. z) A. (1. R3 e R8 Transitivas: R4. (1. (3. (1. se (x. (x. y A.4 Propriedades das Relações definidas em um conjunto A Seja R uma relação binária em A. mas (x. (4. (2.4). (4. R ou R Exemplo 16. (2. (x.1).3).4). Quais dessas relações são reflexivas. A. R então (x .1).4). R5 . R6. Dizemos que: a) R é reflexiva se x R não é reflexiva.2). para x.2). (3. (1.R7 e R8 Anti-simétricas: R4. (2. 76 . 4}.Matemática Discreta 4. (4. (3. z) y então. se x R y e y R z então x R z.y) y com (x.1). x) R.x) R.4).3). x x A tal que (x.2). y em A. x) A. se (x. (3.2). isto é. R. R5.2). (2.1). R. isto é. (2.1). (2. para x.3). se A.4)} R8 = {(1.1)} R3 = {(1. (y. (4. y) x. mas (y.1).x) R. Reflexivas: R3.y. y. x.4). se x x R. (1. se R.1). (2.2).1). 3. x R x.2). mas não ambos R não é anti-simétrica.3). x. (3.2). z) R não é transitiva.4)} R4 = {(2. x) R não é simétrica.1). se y) R então (y.4)}. se (x b) R é simétrica. (3. (1.4)} R6 = {(3. (2.3). (4. (4. Considere as seguintes relações em S = {1. se x R y então y R x.1). x) R.2). e. flecha ou linha.a). b) corresponde uma seta. (a1.5 Representação gráfica de Relações Binárias Uma relação binária R de um conjunto finito A para um conjunto finito B pode ser representada graficamente da seguinte maneira: a cada elemento de A e cada elemento de B corresponde um nó.(b. b3)} do conjunto A = {a1. b. anti-simétrica e transitiva. não é anti-simétrica. 4.b).b). Relação R2: Não é reflexiva.(b. Exemplo 18. (a2. Relação R3: Não é reflexiva. Veja o exemplo seguinte. ligando o elemento a A ao elemento b B. b2. b3} pode ser representada por: 77 .b). Quais das relações abaixo são reflexivas. não é anti-simétrica e não é transitiva.a).(a. a2. b1). não simétrica.c)} R3 = {(a.b). não é transitiva. Relação R4: Não é reflexiva nem simétrica.a). simétricas. a4} no conjunto B = {b1. b2). b1).(b.a). b3). nodo ou aresta. A relação R = {(a1.(c.c)} Relação R1: Reflexiva. a cada par da relação (a.c).(a. (a3.(c. (a2.a)} R4 = {(a. c} R1 = {(a.c)} R2 = {(a. simétrica.(b.b). transitivas e anti-simétricas? Considere A = {a. É simétrica.Matemática Discreta Exemplo 17.(a. É anti-simétrica e transitiva. a3.(c. Matemática Discreta 4. Isso significa que o grafo de R tem um laço em cada nó. (a. (b.2). para cada seta entre dois nodos. com origem em a e destino em b. b. a). x R todo x x.1). (a.1).b) . a). o par (x.2). A figura abaixo é o grafo de R: Atenção Observe que uma relação em A é reflexiva se para A. a) R são representados por um laço. uma seta ligando cada elemento a si mesmo.1). para cada par (a. Atenção O grafo de uma relação simétrica de A em A apresenta. b) R existe o par inverso (b.c) } não é simétrica. (a. (2.3). (1. ou seja.x) A. Os pares (a.a). Seja A = {1.c). 78 .2. onde R = {(a. A relação em A = {a.a) .2)}. onde R = {(a. indicando que.1).2) é uma relação reflexiva. (3. O grafo de apresenta uma seta de b para c mas não apresenta seta de c para b. R = {(1. c}. Exemplo 22. Exemplo 21. (3. b. c}. (1. outra seta no sentido contrário. (3. (1. ou seja. Exemplo 20. (1.a). Seja R é uma relação de A em A= {1. A tal representação dá-se o nome de grafo orientado ou dígrafo. A relação em A = {a. (3.6 Grafo de uma relação em um conjunto A Uma relação R de A em A pode ser representada por um grafo onde cada elemento do conjunto A é denominado nodo e cada par (a.3).3). Exemplo 19.(b. b). (2.3}.3} definida por R = (1. b) é representado por uma seta (aresta do grafo). (c.2.2). se x y x então x = y. 4. y. A3. 3. b). Exemplo 24. c} é dita anti-simétrica se x então (x. A relação não é simétrica. se x yey z então x z. No seu grafo existe. uma relação n-ária em A1 x A2 79 . pois 3 4 não implica 4 relação é anti-simétrica. An. Observe que também falta um laço em b. Uma relação de A em A = {a.Matemática Discreta (b. x) R Atenção Uma relação R de A em A é transitiva se x R y e y R z então x R z. mas não apresenta seta ligando c ao b. b. . pois. a). uma seta ligando dois nodos diferentes. b. Também apresenta seta ligando c ao elemento a. (c. (a. pois apresenta seta de c para a. simétrica. 3. (c. Considere a relação em A = {a. A2. se existe uma seta de x para y e uma seta de y para z então existe uma seta de x para z.. (b. x x é verdadeira. a). (b. c)} não é transitiva. pois para quaisquer x. seta de a para c. A relação R é anti-simétrica. no máximo. (a. mas não apresenta laço de c para c. c)}.4} e S = P (X) = {Y: Y é subconjunto de X}. a). uma seta ligando dois nodos diferentes. para quaisquer x. a).. seta do a ao b. y) R ou (y. y N. Isto significa que. (c.7 Relação n-ária Dados os conjuntos A1. 2. transitiva e não é anti-simétrica. z N. c). É também transitiva. Seja X = {1. y Exemplo 23. A ye Exemplo 25. c} definida por R = {(a. Atenção Observe que uma relação R é antisimétrica se no seu grafo existe.. no máximo. A relação no conjunto dos números naturais N é reflexiva porque para qualquer x N. Definimos a relação em S por A B A B. c). Verifica-se que é reflexiva. Exemplo 26. 80 .. a) Seja R é uma relação interna ternária em N x N x N onde R x2 + y2 = z2. o conjunto das cidades e o conjunto das horas. 0 5 3 4 6 8 5 0 4 3 8 6 5 5 5 5 10 10 b) Considere o conjunto A = {1.. Alguns ternos da relação R são (x . Recife.. o conjuntos das cidades. D é o ponto de destino e H é a hora da partida. 1 1 1 1 2 3 1 4 1 2 2 2 3 1 2 4 2 2 1 1 1 1 1 2 3 4 1 2 1 1 1 1 1 4 1 2 3 4 1 1 1 2 2 2 3 4 1 3 2 2 2 2 2 4 1 3 2 4 3 3 3 3 4 2 2 3 4 1 4 3 1 4 4 4 1 1 1 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 1 1 2 3 3 4 4 1 4 3 2 3 Exemplo 27. a relação é chamada relação externa. 2. z) x divide y + z... = An a relação é dita interna. Os seus domínios são o conjunto de todas as companhias aéreas.. Quando A1 = A2 = . A2 . x An. y. São Paulo. x An é um subconjunto de A1 x A2 x A3 x . . Seja R uma relação externa consistindo de 5-uplas (A. A tabela apresenta os ternos dessa relação. N. Se TAM tem um vôo de número JJ 3501 de Recife para São Paulo às 02h35min então (TAM. JJ 3501. y. 3..Matemática Discreta x A3 x . P.. 4} e a relação interna R R definida no produto cartesiano A x A x A pela sentença: (x. Os conjuntos A1. são chamados de domínios da relação. o conjunto dos números naturais... onde A é a companhia aérea. e n é o seu grau. 02h35min) pertence a R. A1 An. P é o ponto de partida. An.. A2 Caso. N é o número do vôo. H) representando uma viagem aérea. z) apresentados na tabela a seguir. Um elemento da relação é chamado uma n-upla. D. b) R o estudante a é obrigado ler livro b no seu curso. Sejam R e S duas relações definidas de A em B.7654 6. (a. Curso. O modelo relacional representa o banco de dados de registros como uma relação n-ária. L3. respectivamente. cujas operações são descritas em termos de álgebra relacional. Com este modelo. por: (a. F.9870 6. sob a forma de tabela. a inscrição do estudante. L2.. Média ). H} o conjunto de alguns estudantes de uma universidade e B = {L1. C.Matemática Discreta Companhia TAM TAM GOL Vôo JJ 3501 JJ 3515 G3 1992 Partida RECIFE RECIFE FORTALEZA Destino SÃO PAULO SÃO PAULO NATAL Horário 2:35 10:00 11:50 TAM JJ 3817 CURITIBA 20:00 GOL G3 1629 BELO HORIZONTE PORTO SEGURO RECIFE 3:20 Exemplo 28. Inscrição.9834 Exemplo 29. Nome FREDERICO ANA ROBERTA HUGO Inscrição 23456-5 45629-2 12345-7 98734-0 Curso DIREITO DIREITO SI ADMINISTRAÇÃO Média 7. Na Informática. B.9847 8.. Os modelos relacionais são compostos de relações ou tabelas bidimensionais. E. de acordo com as tabelas 81 ... D. Abaixo relacionamos alguns exemplos de registros desse banco de dados. um banco de dados contendo registro dos vestibulandos de uma faculdade feito em domínios contendo o nome do estudante. Esses registros são representados por uma 4-upla da forma ( Nome. Seja A = {A. L10} o conjunto de alguns livros de sua biblioteca. a grande aplicação das relações externas são os bancos de dados que utilizam os modelos relacionais. as tabelas de dados podem ser manipuladas para retornar outras tabelas de dados oferecendo aos usuários informações. e a média alcançada. Por exemplo. o curso pretendido. G. b) S o estudante a leu o livro b. R – S. Livro L9 L2 L10 L3 L4 L8 R–S S Livro L4 L2 L7 82 Aluno A B A D E F Livro L1 L2 L3 L5 L6 L3 . R Livro L1 L2 L3 L4 L2 L5 L6 L3 L7 Aluno A B A B C D E F G R Aluno B C G S Aluno D E F C A H S. R S.Matemática Discreta abaixo: Relação R Aluno Livro A L1 B L2 A L3 B L4 C L2 D L5 E L6 F L3 G L7 Relação S Aluno Livro B L4 D L9 C L2 E L2 F L10 G L7 C L3 A L4 H L8 As tabelas abaixo apresentam as relações R S–ReR S. 38 Cadastro Nome Aline da Silva Aline da Silva Carina Sousa Carlos André Carlos André Carlos André Fernando Antunes Laura Abreu Vivian Peixoto Vivian Peixoto Cód_Disc MAT0285 SIS0214 MAT0285 MAT0285 SIS0225 MAT0331 SIS0214 MAT0285 MAT0285 SIS0214 83 Sexo Feminino Feminino Masculino Masculino Feminino Masculino Feminino .1 Rua do Padre. 18 Rua 24 de Abril.90 Rua Jacinto. 23 Rua Abreu. Considere o seguinte banco de dados composto pelas tabelas (relações) seguintes: Nome Aline da Silva Carina Sousa Carlos André Fernando Antunes Laura Abreu Marcelo Silva Vivian Peixoto Aluno Endereço Rua das Flores.1 Rua Getulio.Matemática Discreta S–R Aluno D E F C A H Livro L9 L2 L10 L3 L4 L8 Aluno A B A D E F R Livro L1 L2 L3 L5 L6 L3 S Aluno D E F C A H Livro L9 L2 L10 L3 L4 L8 4.8 Álgebra Relacional É o conjunto de operações formais realizadas sobre relações produzindo como resultado relações. 10 Rua Vargas. (Disciplina) Curso Ciência da Comp. Restrição de Aluno onde Sexo = “Masculino” fornecendo Resultado 1: sexo = Masculino Carlos André Fernando Antunes Marcelo Silva (Aluno) Resultado 1 Rua Abreu. Informática Administração Teoria da Comp.90 Masculino Masculino Masculino Exemplo 31. 100 Rua Getulio. 24 de Abril. Restrição de Disciplina onde Curso = “Ciência da Computação” fornecendo Resultado 2: curso = Ciência da Computação Cód_Disc MAT0285 SIS0214 SIS0225 Resultado 2 Nome_da_disciplina Matemática Discreta Lógica Teoria da Comp. 18 Rua. Ciência da Comp. Matemática I Licenciatura em Comp.Matemática Discreta Cód_Disc MAT0285 SIS0214 SIS0237 SIS0225 MAT0331 Disciplina Nome_da_disciplina Curso Matemática Discreta Ciência da Comp. Exemplo 32. Ciência da Comp. Ciência da Comp. Lógica Ciência da Comp. Podemos usar duas operações unárias com as relações. A operação Restrição (seleciona) cria uma nova tabela composta pelas linhas da tabela original que satisfaça a uma certa propriedade (predicado) A sintaxe utilizada é predicado (Relação) Exemplo 30. Restrição de Cadastro onde Cód_Disc = “SIS0214” fornecendo Resultado 3: Cod_Disc = SIS 0214 84 (Cadastro) . Endereço (Aluno) Resultado 4 Nome Aline da Silva Carina Sousa Carlos André Fernando Antunes Laura Abreu Marcelo Silva Vivian Peixoto Endereço Rua das Flores. Curso (Disciplina) Resultado 5 Nome_da_disciplina Curso Matemática Discreta Ciência da Comp. Lógica Ciência da Comp. Informática Administração Teoria da Comp. Endereço) fornecendo Resultado 4: Nome. Projeção de Disciplina baseada em (Nome_da_ disciplina.38 Exemplo 34. A sintaxe usada é: lista de atributos (Relação) Exemplo 33. 23 Rua Abreu.Matemática Discreta Resultado 3 Nome Cód_Disc Aline da Silva SIS0214 Fernando Antunes SIS0214 Vivian Peixoto SIS0214 A operação Project (projeção) cria uma nova tabela composta por determinadas colunas da tabela original. 18 Rua 24 de Abril. 10 Rua Vargas. Projeção de Aluno baseada em (Nome. 85 . Matemática I Licenciatura em Comp.1 Rua Getulio. Ciência da Comp. Curso) fornecendo Resultado 5: Nome_da_disciplina.100 Rua do Padre.90 Rua Jacinto. eliminando quaisquer linhas duplicadas. 38 Rua Jacinto.Matemática Discreta Exemplo 35. Projeção de Disciplina baseada em (Código da disciplina. Nome_da_disciplina Cód_Disc MAT0285 SIS0214 SIS0237 SIS0225 MAT0331 (Disciplina) Resultado 6 Nome_da_disciplina Matemática Discreta Lógica Informática Teoria da Comp. A sintaxe é: (Relação A) |X| < condição de junção > (Relação B).1 Rua Jacinto. 18 Rua Abreu. Nome da disciplina) fornecendo Resultado 6: Cod_disc.38 Sexo Feminino Feminino Feminino Masculino Masculino Masculino Masculino Feminino Feminino Feminino Cód Disc MAT0285 SIS0214 MAT0285 MAT0285 SIS0225 MAT0331 SIS0214 MAT0285 MAT0285 SIS0214 Exemplo 37.100 Rua do Padre. É realizada pela “seleção” das linhas e a “projeção” das colunas do “produto cartesiano” das relações. 18 Rua Abreu. Junção de Aluno e Cadastro baseada em Nome fornecendo Resultado 7: (Aluno |X| <Nome> Cadastro): Nome Aline da Silva Aline da Silva Carina Sousa Carlos André Carlos André Carlos André Fernando Antunes Laura Abreu Vivian Peixoto Vivian Peixoto Resultado 7 Endereço Rua das Flores. 18 Rua 24 de Abril. Junção de Cadastro e Disciplina baseada em Cod_ Disc fornecendo Resultado 8: (Cadastro |X| < Cod_Disc > Disciplina): 86 . Exemplo 36. 10 Rua Vargas. 10 Rua das Flores. 23 Rua Abreu. Matemática I A operação junção natural (natural join) cria uma relação pela combinação dos campos de uma relação com aquelas de outra baseada nos valores comuns em um conjunto de colunas comuns. 2). Ciência da Comp. R1 = {(a. (3. 3} 2. Ciência da Comp. (6. As respostas dos exercícios de número par serão apresentadas logo a seguir. (8.Matemática Discreta Resultado 8 Nome Cód_Disc Nome_da_ disciplina Aline da Silva MAT0285 Matem. Ciência da Comp. b): a b} R2 = {(a. 4). Discreta Vivian Peixoto MAT0285 Matem. tente esclarecê-las com os professores executores e tutores nos dos fóruns de discussão da disciplina que serão formados. um–para–vários. b): a = b ou a = -b} R4= {(a. (1.5). Ciência da Comp. Ciência da Comp.. Licenc. b): a + b Faça tabelas de cada uma das relações acima indicadas. 12} como um–para–um.4). (8. 3)} b) R2 = {(9. 3). resolvendo os exercícios propostos. Classifique cada uma das relações abaixo definidas de A em A. Discreta Laura Abreu MAT0285 Matem. (2. Ciência da Comp. (4. Aprenda Praticando . 12)} 87 . 1. vários–para–um e vários–para–vários. Ciência da Comp. 5)} c) R3 = {(12. cada uma com pelo menos cinco pares. 3). Discreta Aline da Silva SIS0214 Lógica Fernando Antunes SIS0214 Lógica Vivian Peixoto SIS0214 Lógica Carlos André SIS0225 Teoria da Comp. a) R1 = {(1. 3. em Comp. (6. b): a > b} R3 = {(a. (7.1 Agora é a sua vez! Verifique se você entendeu os assuntos desse capítulo referentes ao conceito de relações.Exercício Proposto 4. Discreta Carlos André MAT0285 Matem.7). b): a = b + 1} R6 = {(a. Ciência da Comp. (1. Caso persistam dúvidas. 2. Discreta Carina Sousa MAT0285 Matem. Carlos André MAT0331 Matemática I Curso Ciência da Comp. Considere as seguintes relações definidas de Z em Z. b): a = b} R5 = {(a. onde A = {1.. 6). 5).. 6). Lab2. Tiago} D = {SI101. 3}) A R B d) A = N x R y xé #A = #B x=5 x 4. anti-simétricas ou transitivas. Lab5} H = {08h00min-09h50min. SI203. Dados os conjuntos A de alunos do Curso de SI. (8. b) R se e somente se. 26. Determine as relações R. definidas no conjunto de todas as pessoas. 5). SI304} L = {13. simétricas. a) a é mais alto que b b) a e b nasceram no mesmo dia c) a tem o mesmo primeiro nome que b d) a é primo de b (a é primo de b se um dos pais de a é irmão de um dos pais de b). 6). como um–para–um. Bianca. SI201. L de salas onde serão ministradas as aulas e H de horários de aulas: A = {José. 18h45min20h15min. onde (a. e) a é ancestral de b. são reflexivas. 34. D de disciplinas oferecidas no segundo semestre de 2008. SI103. Classifique cada uma das relações definidas de A em A. (7. Sejam R e S relações binárias em N definidas por xRy divide y e x S y 5x y.7). um–para–vários. Joana.1)} 3. 10h00min-11h50min. (10. vários–para–um e vários– para–vários: x=y+1 a) A = N xRy b) A = conjunto de todas as mulheres de Recife x R y filha de y c) A = P({1. Quais pares pertencem às relações seguintes: 5.Matemática Discreta d) R4 = {(2. 20h30min-22h00min} 88 . 6. 2. 4). (2. R e S. Seja o conjunto S = {Mara. Tomando por base as tabelas apresentadas no item 4.8. de João e de José e as x é irmã (ão) de y. que fornece a relação das disciplinas de cada aluno. Cláudia. definidas nos conjuntos S dados como reflexivas. 3}. João. simétricas.3}) ARB |y| #A x1 x2 e y1 #B 9. e) Dê os nomes de todos os alunos do sexo feminino que cursam SIS0214. R S. Clara é mãe de Beth e Beth é mãe Mara. Anamaria. Beth.y é par c) S = {1. y2) y2 d) S = P({1. Quais relações. Sabendo que Anamaria é mãe de Clara e de Cláudia. x seguintes relações definidas em S: x R y Sy x é ancestral de y. d) Dê os nomes de todas as disciplinas que Carlos André cursa. relação entre as disciplinas e o seu local. 89 .2. S.Matemática Discreta Simule tabelas (um mínimo de 5-uplas) representando as seguintes relações: a) R1 de A em D. 3} x {1. expresse cada pesquisa abaixo em álgebra relacional e apresente o resultado em forma de tabela: a) Dê os nomes de todos os alunos que são do sexo feminino. (x1. c) R3 de L em H. desenhe os grafos das relações R. Classifique as relações a seguir. y1) R (x2. b) R2 de D em L. Clara. a) S = Z xRy |x| b) S = N xRy x. S R. c)Dê os nomes de todos os alunos que cursam Matemática Discreta. b)Dê os nomes de todas as disciplinas do Curso de Ciência da Computação. José}. 2. simétricas. 2. que relaciona a sala de aula com horários. anti-simétricas e transitivas? 8. 7. anti-simétricas e transitivas. são reflexivas. aprendemos a distinguir as propriedades das relações binárias internas e representar as relações por grafos... . 17) e (1. a2. Aprendemos como efetuar operações com relações. (3..vários 4. 90 . 6).. bm }. Saiba Mais As relações binárias podem ser também representadas por matrizes booleanas da seguinte forma. . onde mij =1 se (ai.15). 17) d) (2. notadamente as operações de restrição (seleção). b2. a) (2. bj) R e mij = 0 se (ai.1 2. Suponhamos que R é uma relação do conjunto A = {a1 . 12) c) (3. a) vários – para – vários b) vários – para – um. Conhecemos como as relações se classificam quanto ao número de elementos relacionados. c) um – para – um. . d) um – para .. por n – uplas e por tabelas.Matemática Discreta Resposta do Exercício 4. an} no conjunto B = {b1.0) b) (2. bj) R.. projeção e junção em tabelas de banco de dados relacional. A relação R é representada pela matriz n x m MR = [mij]. Conclusão No último capítulo deste fascículo abordamos o conceito de relação. GERSTING. Técnicas de Provas e o Princípio de Indução Finita. contagem e relações. 2004. Porto Alegre: Bookman. 6} definida por a R b a b. Teoria e Problemas de Matemática Discreta. matrizes. Percebeu através de exemplos que existem muitas aplicações nas áreas de computação e informática. A matriz de uma relação é uma excelente maneira de representar relacionamentos e. Recursão. No próximo fascículo. 3. Fundamentos Matemáticos para a Ciência da Computação. Marc Lars. Seimour. Judith L. Considerações Finais Caro cursista. Tradução Valéria de Magalhães Iorio. através dela podemos verificar se uma dada relação de A em A é reflexiva. Se você se interessa pelo assunto. transitiva e anti-simétrica. abordaremos os seguintes temas da Matemática Discreta que são também utilizados nos cursos das áreas de computação e informática: Função. LIPSON. consulte as obras abaixo indicadas. Rio de Janeiro: LTC. considere a relação em A = {2. 2004. LIPSCHUTZ. A matriz de R é M = . 91 .Matemática Discreta Por exemplo. nesse fascículo você teve oportunidade de conhecer os conceitos de somatório. simétrica. ean. 1995.pdf http://www. Tradução de Alfredo Alves de Farias. 1997. São Paulo: McGraw Hill. Teoria e Problemas de Matemática Discreta. Addison Wesley. SCHEINERMAN. K. LIPSON.mat. ALENCAR Filho. WRIGHT. Jair Minoro.com. Charles R. 2004. SANTOS. Edgard de. 2006 LIPSCHUTZ.br/~elaine/GAAL/gaalt1. José Plínio de Oliveira. São Paulo: Nobel. Discrete mathematics for computer scientist. 1995.br:91/funepe/professores/materiais/57/ MATRIZES.com/2007/11/20/ somatorio-duplo/ http://www. Matemática Discreta: uma introdução. Bernard.wordpress.Matemática Discreta Referências ABE. ROSS. Kenneth A. Introdução à Álgebra Linear: com aplicações. Tradução Valéria de Magalhães Iorio. J. Nelson. TRUSS. Introdução a analise combinatória. 2003.edu. KOLMAN. PAPAVERO. 1999. Rio de Janeiro: LTC. Campinas: Editora da Unicamp.funepe.ufmg. Porto Alegre: Bookman. São Paulo: Pioneira Thomson Learning. Fundamentos Matemáticos para a Ciência da Computação.br http://www. B.ppt#256. Marc Lars. Tradução de Alessandra Bosquilha. Rio de Janeiro: LTC. Teoria intuitiva dos conjuntos. Prentice-Hall.matrizes 92 . Edward R. 2004. Discrete Mathematics. http://problemasteoremas. Iniciação à Lógica Matemática. 1999. Judith L. GERSTING. Seimour.1. Documents Similar To matematica discretaSkip carouselcarousel previouscarousel nextAlgoritmo de Formação Da Matriz Zbarra (1)96979Portaria Normativa Num 3-2003 - SLTI-MPOGExemplos de PlanilhasManoel Paiva VOL 3 Cobrança não registradaAula - Operações com MatrizesCOLEÇÃO SCHAUM - INTRODUÇÃO AO CÁLCULO - Portugues.pdfMatemática Discreta e Suas Aplicações Kenneth H. Rosen 6ª Ed. PTNBR2108_20062a. 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