EDUCAÇÃO A DISTÂNCIAMatemática Licenciatura em MATEMÁTICA BÁSICA Jocemar de Quadros Chagas Luciane Grossi Bombacini pONTA gROSSA - PARANÁ 2009 CRÉDITOS João Carlos Gomes Reitor Carlos Luciano Sant’ana Vargas Vice-Reitor Pró-Reitoria de Assuntos Administrativos Ariangelo Hauer Dias - Pró-Reitor Pró-Reitoria de Graduação Graciete Tozetto Góes - Pró-Reitor Divisão de Educação a Distância e de Programas Especiais Maria Etelvina Madalozzo Ramos - Chefe Núcleo de Tecnologia e Educação Aberta e a Distância Leide Mara Schmidt - Coordenadora Geral Cleide Aparecida Faria Rodrigues - Coordenadora Pedagógica Sistema Universidade Aberta do Brasil Hermínia Regina Bugeste Marinho - Coordenadora Geral Cleide Aparecida Faria Rodrigues - Coordenadora Adjunta José Trobia - Coordenador de Curso Mary Ângela Teixeira Brandalise - Coordenadora de Tutoria Colaborador Financeiro Luiz Antonio Martins Wosiak Colaboradora de Planejamento Silviane Buss Tupich Colaboradores em EAD Dênia Falcão de Bittencourt Jucimara Roesler Colaboradores de Informática Carlos Alberto Volpi Carmen Silvia Simão Carneiro Adilson de Oliveira Pimenta Júnior Juscelino Izidoro de Oliveira Júnior Osvaldo Reis Júnior Kin Henrique Kurek Thiago Luiz Dimbarre Thiago Nobuaki Sugahara Colaboradores de Publicação Elisabete Ferreira Silva - Revisão Edson Gil Santos Júnior - Diagramação Paulo Sérgio Schelesky - Ilustração Colaboradores Operacionais Edson Luis Marchinski Joanice Kuster de Azevedo João Márcio Duran Inglêz Kelly Regina Camargo Mariná Holzmann Ribas Projeto Gráfico Anselmo Rodrigues de Andrade Júnior Todos os direitos reservados ao Ministério da Educação Sistema Universidade Aberta do Brasil Ficha catalográfica elaborada pelo Setor de Processos Técnicos BICEN/UEPG. C433m Chagas, Jocemar de Quadros Matemática básica./ Jocemar de Quadros Chagas e Luciane Grossi Bombacini. Ponta Grossa : UEPG/NUTEAD, 2009. 155p. il. Licenciatura em Matemática - Educação a Distância. 1. Conjuntos numéricos. 2. Operações numéricas. 3. Produ tos notáveis e expressões algébricas. 4. Equações de 1 e 2 graus. 5. Inequações. I. Bombacini, Luciane Grossi. II. T. CDD : 510.7 UNIVERSIDADE ESTADUAL DE PONTA GROSSA Núcleo de Tecnologia e Educação Aberta e a Distância - NUTEAD Av. Gal. Carlos Cavalcanti, 4748 - CEP 84030-900 - Ponta Grossa - PR Tel.: (42) 3220-3163 www.nutead.uepg.br 2009 APRESENTAÇÃO INSTITUCIONAL Prezado estudante Inicialmente queremos dar-lhe as boas-vindas à nossa instituição e ao curso que escolheu. Agora, você é um acadêmico da Universidade Estadual de Ponta Grossa (UEPG), uma renomada instituição de ensino superior que tem mais de cinqüenta anos de história no Estado do Paraná, e participa de um amplo sistema de formação superior criado pelo Ministério da Educação (MEC) em 2005, denominado Universidade Aberta do Brasil (UAB). O Sistema Universidade Aberta do Brasil (UAB) não propõe a criação de uma nova instituição de ensino superior, mas sim, a articulação das instituições públicas já existentes, possibilitando levar ensino superior público de qualidade aos municípios brasileiros que não possuem cursos de formação superior ou cujos cursos ofertados não são suficientes para atender a todos os cidadãos. Sensível à necessidade de democratizar, com qualidade, os cursos superiores em nosso país, a Universidade Estadual de Ponta Grossa participou do Edital de Seleção UAB nº 01/2006-SEED/MEC/2006/2007 e foi contemplada para desenvolver seis cursos de graduação e quatro cursos de pós-graduação na modalidade a distância. Isso se tornou possível graças à parceria estabelecida entre o MEC, a CAPES e as universidades brasileiras, bem como porque a UEPG, ao longo de sua trajetória, vem acumulando uma rica tradição de ensino, pesquisa e extensão e se destacando também na educação a distância. A UEPG é credenciada pelo MEC, conforme Portaria nº 652, de 16 de março de 2004, para ministrar cursos superiores (de graduação, seqüenciais, extensão e pósgraduação lato sensu) na modalidade a distância. Os nossos programas e cursos de EaD, apresentam elevado padrão de qualidade e têm contribuído, efetivamente, para a democratização do saber universitário, destacandose o trabalho que desenvolvemos na formação inicial e continuada de professores. Este curso não será diferente dos demais, pois a qualidade é um compromisso da Instituição em todas as suas iniciativas. Os cursos que ofertamos, no Sistema UAB, utilizam metodologias, materiais e mídias próprios da educação a distância que, além de facilitarem o aprendizado, permitirão constante interação entre alunos, tutores, professores e coordenação. Este curso foi elaborado pensando na formação de um professor competente, no seu saber, no seu saber fazer e no seu fazer saber. Também foram contemplados aspectos éticos e políticos essenciais à formação dos profissionais da educação. Esperamos que você aproveite todos os recursos que oferecemos para facilitar o seu processo de aprendizagem e que tenha muito sucesso na trajetória que ora inicia. Mas, lembre-se: você não está sozinho nessa jornada, pois fará parte de uma ampla rede colaborativa e poderá interagir conosco sempre que desejar, acessando nossa Plataforma Virtual de Aprendizagem (MOODLE) ou utilizando as demais mídias disponíveis para nossos alunos e professores. Nossa equipe terá o maior prazer em atendê-lo, pois a sua aprendizagem é o nosso principal objetivo. EQUIPE DA UAB/UEPG . Frações algébricas Equações de 1º e 2º graus e sistema de equações ■■ ■■ ■■ ■■ SEÇÃO 1.SUMÁRIO ■■ PALAVRAS Dos PROFESSORes 7 ■■ OBJETIVOS E ementa 9 Conjuntos numéricos ■■ ■■ ■■ ■■ ■■ ■■ SEÇÃO 1.Sistemas de equações de 1º grau SEÇÃO 3. radiciação e logaritmação SEÇÃO 5.Expressões algébricas SEÇÃO 2.Multiplicação e divisão SEÇÃO 3.Produtos notáveis SEÇÃO 5.Conjunto dos números reais – axiomas e propriedades SEÇÃO 4.Situações-problema envolvendo inequações 56 59 62 67 72 77 83 85 87 91 96 105 107 110 116 118 .Tipos de inequações: simultânea. produto e quociente SEÇÃO 3.Expressões numéricas 21 23 25 26 33 35 37 41 48 50 Produtos notáveis e expressões algébricas 55 ■■ ■■ ■■ ■■ ■■ ■■ SEÇÃO 1.Potenciação.Adição e subtração SEÇÃO 2.Operações com monômios e polinômios SEÇÃO 4.Inequações de 2º grau SEÇÃO 4.Intervalos SEÇÃO 6.Monômios e polinômios SEÇÃO 3.Equações do 2º grau SEÇÃO 4.Conjuntos numéricos SEÇÃO 3.Inequações de 1º grau SEÇÃO 2.Fatoração de expressões algébricas SEÇÃO 6.Situações-problema envolvendo equações INEQUAÇÕES ■■ ■■ ■■ ■■ SEÇÃO 1.Equações de 1º grau SEÇÃO 2.Operações numéricas com frações SEÇÃO 4.Módulos 11 13 19 Operações numéricas ■■ ■■ ■■ ■■ ■■ SEÇÃO 1.Conjuntos SEÇÃO 2.Desigualdades SEÇÃO 5. Equações exponenciais SEÇÃO 3.Radiciação e logaritmação SEÇÃO 4.Potenciação SEÇÃO 2.Potenciação e suas operações inversas ■■ ■■ ■■ ■■ SEÇÃO 1.Equações logarítmicas 123 124 127 129 135 ■■ PALAVRAS FINAIS 141 ■■ REFERÊNCIAS 143 ■■ NOTAS SOBRE OS AUTORES 145 ■■ RESPOSTAS DAS ATIVIDADES PROPOSTAS 146 . Estude! Divirta-se! Trabalhe! Sonhe! Você está na Universidade. será preciso muita dedicação. Através dela. Em boa parte delas você estará sozinho.. estudos. Esta será uma fase de aprendizados. Por isso este livro é tão importante. Será seu amigo. seu colega e seu guia. Ele será seu apoio nas horas de estudo. Em compensação. poderá comemorar as etapas concluídas. É.. Serão horas de estudo. muita coragem. Boa sorte nesta sua nova jornada! Jocemar de Quadros Chagas Luciane Grossi Bombacini .. Você e seu material. em outros dias. desafios. a vida de estudante também proporciona alegrias e satisfações! Para que você consiga fazer um excelente curso. em outras noites você vai poder dormir com a sensação do dever cumprido e.. Afinal. alguns domingos serão sacrificados em benefício do estudo. você irá relembrar (ou mesmo aprender) e fixar vários aspectos da matemática básica que lhe serão muito úteis e necessários ao longo de todo o curso e também de sua vida profissional. Algumas noites sem dormir virão. Dedique-se ao máximo a esta disciplina.PALAVRAS DOs PROFESSOREs Caro(a) aluno(a): Você está iniciando uma nova fase em sua vida. como professor. não é todo dia que se começa um curso de Licenciatura em Matemática. . ■■ Identificar e resolver equações exponenciais e logarítmicas. Este livro está dividido em unidades. que irá assessorá-lo no que for preciso. no qual outras atividades e exercícios estarão à sua espera. Produtos notáveis e fatoração. Equações do 2º grau. Durante o curso. só seguindo adiante quando se sentir seguro com o que aprendeu. Propriedades das potências. com este livro. Inequações do 1º e do 2º grau. . Você deve estudar unidade por unidade. você terá acesso ao Espaço Virtual de Aprendizagem – EVA. contribuir para que você atinja os seguintes objetivos: ■■ Relembrar os principais conjuntos numéricos e os símbolos mais utilizados no estudo da matemática. Equações do 1º grau. Um desses instrumentos é este livro. ■■ Identificar. Expressões algébricas. Sistemas de equações. Sempre que tiver dúvidas. fatorar e desenvolver operações matemáticas com expressões numéricas e algébricas. e irá também realizar processos de avaliação. Objetivos Pretende-se. modelar e resolver problemas de equações e inequações de primeiro e de segundo graus. ■■ Identificar. Ementa ■■ Conjuntos numéricos. recorra a seu professor tutor. Propriedades dos logaritmos. Operações numéricas. e estas em seções. Equação logarítmica.OBJETIVOS E ementa Prezado(a) acadêmico(a) O processo de ensino e aprendizagem no ensino a distância da UAB/ UEPG conta com instrumentos que se interligam e se complementam. Equação exponencial. . Intervalos ■■ SEÇÃO 6 . ■■ Compreender o princípio da boa ordenação dos números reais. ROTEIRO DE ESTUDOS ■■ SEÇÃO 1 .Conjuntos numéricos ■■ SEÇÃO 3 .Desigualdades ■■ SEÇÃO 5 .Módulos UNIDADE I conjuntos numéricos .Conjuntos ■■ SEÇÃO 2 .OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM ■■ Relembrar os principais conjuntos numéricos e conhecer os símbolos mais utilizados no estudo da matemática.Conjunto dos números reais – axiomas e propriedades ■■ SEÇÃO 4 . os primeiros números. os números de contagem (por nós conhecidos como Números Naturais). Com o passar do tempo surgiram palavras e símbolos para representar as quantidades antes identificadas apenas pela comparação direta. o conceito do zero também serviu para facilitar as operações numéricas (imagine como seria efetuar uma multiplicação ou divisão usando algarismos romanos). Esse foi o primeiro passo para o desenvolvimento do que hoje conhecemos por matemática. A criação de um símbolo para representar o “nada”. De fato. Assim. necessários para que você possa avançar em seus estudos. e tirado quaisquer dúvidas que porventura tiver com seu tutor. por exemplo. a cada troca de lua era feita uma marca num osso ou numa parede de caverna. nesta primeira unidade. já que o ser humano possui apenas habilidade para distinguir pequenas quantidades numa rápida olhada. 3 ou no máximo 4 unidades. fazemos isso agrupando em pequenos grupos de 2. o zero. Bom estudo! A idéia de número está ligada ao desenvolvimento da humanidade. Quando o homem passou a fixar-se em determinados locais para se dedicar à agricultura e à criação de animais. Como um conselho inicial. você encontrará noções de conjuntos. a cada animal do rebanho era colocada uma pedrinha num saco. por meio da correspondência. ou seja. houve a necessidade de criar mecanismos para identificar. Como curiosidade. como diferenciar os números 403 (quatro centenas e três unidades) e 43 (quatro dezenas e três unidades)? Além de responder a essa questão. leia a história “O Corvo que Sabia Contar”. a passagem das luas ou a quantidade de animais de um rebanho. E o mecanismo criado para isso foi o da correspondência biunívoca. surgiram com o desenvolvimento de atividades humanas. Alguns animais possuem também a capacidade de reconhecer pequenas quantidades que vão de um até três ou quatro unidades. surgiu como uma resposta a uma necessidade da numeração escrita. Nesse sentido. Por exemplo.Universidade Aberta do Brasil PARA INÍCIO DE CONVERSA O objetivo deste curso de Matemática Básica é possibilitar que você relembre os conceitos básicos de matemática. 12 unidade 1 . Por exemplo. quando contamos. irá rever os principais conjuntos numéricos e algumas propriedades do principal deles: o conjunto dos números reais. sugerimos que você apenas avance para outras unidades quando já tiver lido toda esta primeira unidade. podiam-se fazer contagens corretas de grandes quantidades. Esse é o motivo que explica por que. A representação desse conjunto por 13 unidade 1 .. Um dia. b. Nesta unidade você vai estudar cada um desses conjuntos numéricos. um ficou lá dentro e o outro saiu. e os elementos (quando forem genéricos) com letras minúsculas (a.. e só voltava ao ninho quando o homem saia da torre. Quando o quarto homem saiu da torre. Mas o corvo não voltou ao ninho enquanto o segundo homem estava escondido lá dentro. Por exemplo: com a letra maiúscula A pode-se nomear o conjunto cujos elementos são as letras minúsculas a. com três e quatro homens. Formas de representar um conjunto Os conjuntos são nomeados com letras maiúsculas (A. c.). As noções de conjunto e de elemento são idéias primitivas em matemática (ou seja. sempre com o mesmo resultado: o corvo só voltava ao ninho quando todos os homens saíam da torre.números negativos. Pode-se descrever um conjunto citando um a um seus elementos ou apresentando uma característica comum a eles. Por diversas vezes tentou surpreender o pássaro. B. Assim que o segundo homem saiu. os O Corvo Que Sabia Contar (Autor desconhecido) Um fazendeiro estava querendo capturar um corvo que fez um ninho numa torre de sua propriedade. o corvo perdeu as contas. que são seus elementos. seção 1 Conjuntos A idéia de conjunto é simples: um conjunto é uma coleção de objetos. o fazendeiro bolou uma tática: dois homens entraram na torre. C. Matemática Básica Surgiram também. A tática foi repetida nos dias seguintes.. os racionais e também os irracionais. o corvo saia voando. mas em vão: quando o homem se aproximava. o corvo voltou.. b e c.). sempre para solucionar problemas da humanidade. pousava em uma árvore distante. Até que foram utilizados cinco homens. não são definidas). Voltou ao ninho e foi apanhado pelo quinto homem. quando se quer representar o conjunto por enumeração e tal conjunto tem um número muito grande de elementos. De fato. Outro exemplo: considere o conjunto B formado por todos os números múltiplos de 3. John Venn. 15. 2. temos a representação do conjunto A através de um diagrama de Venn. 6. }. b. 12. . 100 } 14 unidade 1 . Às vezes.. da seguinte forma: B = { x | x é múltiplo de 3 }.Universidade Aberta do Brasil enumeração é a seguinte: A = { a. matemático e lógico inglês. As reticências servem para indicar que o conjunto “não tem fim”.. 99. Esse conjunto pode ser representado por descrição. esse é um conjunto infinito (tem infinitos elementos). Diagrama de Venn. Você também pode representar o conjunto B por enumeração: B = { 3. c } Outra representação possível é colocar os elementos no interior de uma linha fechada simples. 3. Por exemplo: C = { 1. 1843-1923. 5. Nesse caso. . A barra ( | ) tem o significado “tal que” e a leitura da “frase”completa é “B é o conjunto formado por todos os números x tais que x é múltiplo de 3”. 4.. usam-se reticências também em conjuntos finitos (que têm um número finito de elementos).. 9. A = {2. têm exatamente os mesmos elementos. Se um elemento b não pertence a um conjunto A. 3. Então 3∈A e 6∉A Dois conjuntos A e B são iguais somente quando os dois conjuntos. 2. 4. o conjunto A é igual ao conjunto B e ao conjunto C. 7 ∈ D. 2} Neste caso. Atenção: não é correto escrever 7 = {7} ou 7 = D. 3. e 7 é um elemento (o único) do conjunto D. e conjuntos vazios (que não têm nenhum elemento). Considere o conjunto D = {7}. B = {3. A e B.2} e C = {2. da seguinte forma: b ∉ A. 5}. então. usa-se o símbolo ∉ (não pertence). 3. por exemplo: E = { } ou F = Ø. A = B = C. Escrevese. 2. 3. 15 unidade 1 . Logo. Seja A = {1. como. você deve usar o símbolo ∈ (pertence). Elementos e conjuntos Para indicar que um elemento a pertence a um conjunto A. sendo que a segunda é a mais usada. já que D é um conjunto unitário.Matemática Básica Fique atento: existem também conjuntos unitários (que têm um só elemento). Essas são as duas formas de representar conjuntos vazios. por exemplo: D = {5}. 3}. 3. da seguinte forma: a ∈ A (lê-se: o elemento a pertence ao conjunto A). todos os conjuntos têm somente os elementos 2 e 3 (embora os conjuntos A e B tenham seus elementos invertidos e no conjunto C apareçam várias vezes os mesmos elementos). ou seja. 8} e B = {1. 6. Duas dessas construções muito usadas são a união e a intersecção de conjuntos. pode-se construir com eles outros conjuntos. 6. 16 unidade 1 . 10} e D = {1. 2. União e intersecção de conjuntos Dados dois conjuntos A e B. Você saberia dizer se está correto escrever Ø ≠ {Ø}? Subconjuntos Um conjunto A está contido num conjunto B se todo elemento de A estiver também em B. 4. 9} Neste caso. C não está contido em D. 10 ∈ C. escreve-se C ⊄ D. 9} Neste caso. então A é subconjunto de B. 4. pois o elemento 10 está em C e não está em D (ou seja. 4. 6. 4. 5. e escreve-se: A ⊂ B (A está contido em B) A = {2. Quando isso ocorre. 8. 8. Se isso ocorrer. Então.Universidade Aberta do Brasil Quando dois conjuntos A e B são diferentes. 3. 5. C = {2. 7. 2. todos os elementos de A também estão em B. 3. 7. é correto dizer que A está contido em B (ou que B contém A) e escrever A ⊂ B (ou B ⊃ A). 8. escreve-se A ≠ B. mas 10 ∉ D). 6. 4. 2. chama-se complementar de A ao conjunto dos elementos de U que não estão em A. 17 unidade 1 . 3.que pertencem a A ou que pertencem a B. 3 } e B = {3. 4. ao mesmo tempo. Ou seja: A ∪ B = {x | x ∈ A ou x ∈ B} Matemática Básica A união de dois conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os elementos A = {1. escreve-se A ∩ B = Ø. 4. 7} A intersecção de dois conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem. A ∪ B = {1. Ou seja: A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B} A = {1. A ∩ B = {3} Observação: dois conjuntos A e B são ditos disjuntos se não têm nenhum elemento em comum. 5. 3 } e B = {3. 7} Neste caso. Neste caso. 6. e escreve-se CA ou CA. Denota-se por A ∩ B. 6. a A e a B. 2. 6. 5. Complementar e diferença Dado um conjunto A contido num conjunto universo U. 7} Neste caso. Denota-se por A∪B. 5. 2. 6} A = {1. Outros símbolos Além dos símbolos vistos acima. 2.Universidade Aberta do Brasil U = {x | x é letra do nosso alfabeto} e A = {x | x é vogal} Neste caso. 5. fazem parte do conjunto diferença B – A apenas os elementos que estão em B e não estão em A. 2. e escreve-se B – A. 3} e B = {3. temos: B – A = {x ∈ U | x ∈ B e x ∉ A} A = {1. 5. 5. 6} Esse último exemplo mostra que. Dados dois conjuntos A e B. Simbolicamente. 6} Neste caso. 5. existem outros de ampla utilização em um texto matemático. 4. chama-se diferença entre B e A. 2. Abaixo. 4. 6} Neste caso. 3. contidos em um conjunto universo U. ao conjunto dos elementos que pertencem a B e não pertencem a A. B – A = {4. você vai ver alguns deles. 3} e B = {1. e algumas das “frases matemáticas” que podem ser obtidas com sua utilização: 18 unidade 1 . B – A = {4. e o complementar de A é o conjunto CA = {x | x é consoante}. mesmo se A contiver elementos que não estão em B. o conjunto universo é o conjunto das letras de nosso alfabeto. .-2. -1) são chamados de inteiros negativos..1.0.3. isto é: N = {0.2. que é denotado por Z... A união dos números naturais com os inteiros negativos resulta no conjunto dos números inteiros..3..5. e suas respectivas notações. Se o zero não for considerado nesse conjunto..} Conjunto dos números inteiros Os números -1..2.3.. . também chamados de números de contagem. seção 2 Conjuntos numéricos Nesta seção você vai conhecer os principais conjuntos numéricos com os quais irá trabalhar durante o curso. -2..6.-1..} 19 unidade 1 . em uma notação melhor: . (ou. -3..} Observações: O símbolo * é usado para retirar o zero de qualquer conjunto numérico. que é indicado pelo símbolo N*.. e também o significado da “frase” completa.-3. tem-se então o conjunto dos números naturais não nulos. pergunte ao seu tutor o que significa cada símbolo.1. ou seja: Z* = {..Matemática Básica ∀ – para qualquer (ou para todo) ∃ – existe ∃! – existe um único ∀ x ∈ A – para qualquer x pertencente a A ∃ x ∈ A – existe x pertencente a A x | x ∈ A – x tal que x pertence a A entre outras formulações. Z* significa o conjunto dos inteiros sem o zero. Representa-se o conjunto dos números naturais pelo símbolo N... -2. Em caso de dúvida.-3.2. isto é: Z = {..3.. isto é: N* = {1.2.. Conjunto dos números naturais São os primeiros números conhecidos.} Você nunca deve continuar a leitura de um texto matemático sem saber o que os símbolos representam..-1.1..-2. -3.5.4.4.6. Assim... no que diz respeito à sua representação decimal. como. . com m.... A diferença básica entre os números racionais e irracionais. com m.71.-2. os números 2 = 1. Z+ significa o conjunto dos inteiros não negativos.-1} Conjunto dos números racionais Os números que podem ser escritos da forma m .. é a seguinte: todo número irracional tem notação decimal infinita e não periódica.0} e Z *− = {. Assim.-3...3.-2.. .} A combinação dos símbolos * e + resulta no seguinte conjunto: Z *+ = {1. por exemplo. n ≠ 0} n (lê-se: o conjunto dos racionais é formado por todos os números x tais que x pode ser escrito como o quociente entre m e n.Universidade Aberta do Brasil O símbolo + é utilizado para indicar apenas os números não negativos.. π = 3. onde m e n são números inteiros. ou seja: Z+ = {0. não há algarismo ou grupo de algarismos que se repitam periodicamente.1415.2.2. que é denotado por I. Foi o matemático alemão Richard Dedekind (1831-1916) quem esclareceu completamente o conceito de número irracional.} O símbolo – é usado para indicar apenas os números não positivos. Assim: Z − = {. desfazendo uma dificuldade que os matemáticos enfrentavam desde a época de Pitágoras..3. n ∈ Z.1.. e formam o conjunto dos números racionais. Esses números formam o conjunto dos números irracionais.. 20 unidade 1 .. entre outros.-1. n ∈ Z e n n ≠ 0. que é denotado por Q. isto é: Q = {x | x = m . depois da vírgula... n ∈ Z são chamados de n frações... ou seja: em um número irracional.-3. com n diferente de zero) Conjunto dos números irracionais Existem números que não podem ser representados na forma m .414. m. e = 2. . chamadas adição e multiplicação. existe um e apenas um número real denotado por a + b. o resultado será também um número real.b ou a x b). chamado produto. Nesse conjunto. Só por curiosidade. as operações básicas da álgebra são fechadas. Fechamento Se a. sempre que você operar com dois números reais. que é denotado por R. o que significa que. que satisfazem os axiomas abaixo: 1.) seção 3 Conjunto dos números reais – axiomas e propriedades Nesta seção você verá os axiomas e propriedades que tornam os números reais um conjunto “bom” de se trabalhar. 21 unidade 1 . as são conhecidas com certeza do valor de pi? E o que significa esse número? Conjunto dos números reais Finalmente.reticências são usadas para indicar que a notação decimal do número pi é infinita e não periódica. Nessa representação. e existe um e apenas um número real denotado por ab (ou a. b ∈ R. Axiomática dos números reais No conjunto dos números reais existem duas operações.. que está contido em Q.14159. que está contido em R. a união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais forma o conjunto dos números reais. você faz idéia de quantas casas depois da vírgula Matemática Básica Observe o número irracional pi: π = 3. chamado soma. isto é: R=Q∪I Observação: uma relação de inclusão importante entre os conjuntos de números estudados é a seguinte: N⊂ Z⊂ Q⊂R (N está contido em Z. 7. é com a sua utilização que outros fatos matemáticos (lemas. então a (b + c) = ab + ac 5. podemos definir a subtração e a divisão de Axioma é um fato matemático aceito sem demonstração. então a + (b + c) = (a + b) + c e a(bc) = (ab)c 4. 6. Distributividade Se a. então a+b=b+a e ab = ba 3. Todo elemento a ∈ R tem um inverso. b. a a a a Usando os axiomas 6 e 7 acima. c ∈ R. b ∈ R e a ≠ 0. proposições e teoremas) são demonstrados. a a . Os axiomas são o ponto de partida de qualquer teoria matemática. c ∈ R.1 = a (elemento neutro da multiplicação). o quociente entre b e a é definido por b 1 = b. denotado=por b . denotado por –a. é definida por a – b = a + (–b) * Divisão: se a. b. b ∈ R. existe 0 ∈ R tal que a + 0 = a (elemento neutro da adição). e existe 1 ∈ R tal que a. c ∈ R. tal que a + (–a) = 0.Universidade Aberta do Brasil 2. 1 = 1. Existência de inversos b 1 b a. . b. Associatividade Se a. a diferença entre a e b. Existência de simétricos Todo elemento a ∈ R tem um simétrico. denotada por a – b. Existência de elementos neutros Para qualquer a ∈ R. 22 unidade 1 números reais: * Subtração: se a. tal que = b. Comutatividade Se a. Desigualdades Nesta seção irá aparecer o conceito de ordem. (ii) A soma de dois números positivos é um número positivo. e somente se. existe um subconjunto denominado de números positivos. Em outras palavras. tal que: (i) Se a ∈ R. Axioma de ordem Em R. 23 unidade 1 . (ii) a ≥ b ⇔ a – b é positivo ou a = b.a é positivo. (iii) O produto de dois números positivos é um número positivo. Definição: o número real a é negativo se. ocorre uma e apenas uma das três afirmações abaixo: a = 0. Os símbolos ≤ (menor ou igual que) e ≥ (maior ou igual que) são definidos da seguinte forma: (i) a ≤ b ⇔ b – a é positivo ou a = b. que permitirá a você dizer Matemática Básica seção 4 quando um número real é maior ou menor que outro. esta seção irá lhe apresentar a boa ordenação dos números reais. enquanto a ≤ b e a ≥ b são desigualdades não estritas. Expressões envolvendo os símbolos definidos acima são chamadas de desigualdades: a < b e a > b são desigualdades estritas. a é positivo. . – a é positivo Desigualdades Os símbolos < (menor que) e > (maior que) são definidos da seguinte forma: (i) a < b ⇔ b – a é positivo. (ii) a > b ⇔ a – b é positivo. Então: (i) se a > b e b > c. então a + c > b + d. Escolha números que satisfaçam a hipótese e verifique a conclusão. b = 3 e c = –2. ac < bc) Essas comprovações numéricas servem apenas para que você entenda as propriedades com mais facilidade. c. teremos: 5 . então ac < bc. Elas não servem como provas das propriedades. (vi) se a > b > 0 e c > d > 0. (v) se a > b e c > d. Na propriedade (iii) podemos escolher a = 5. Se você tiver dificuldades para entender essas propriedades. Assim. (–2) = –10 e 3 . faça uma comprovação numérica.Universidade Aberta do Brasil Propriedades das desigualdades Sejam a. As provas das propriedades podem ser feitas usando-se as definições anteriores. (iii) se a > b e c < 0. (ii) se a > b e c > 0. d ∈ R. O fato –10 < –6. para todo real c. então ac > bc. então a > c. significa que 5 . (–2) (ou seja. b. então ac > bd. (–2) < 3 . (iv) se a > b. (–2) = –6. então a + c > b + c. 24 unidade 1 . b].b]. Denota-se por (a. * Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita: {x | a < x ≤ b}. Denota-se por (a. temos Matemática Básica Prova da propriedade (i): (se a > b e b > c.b] ou por ]a. você usará as seguintes notações para representar e identificar os intervalos: * Intervalo aberto: {x | a < x < b}. Denota-se por [a. Se a > b ⇒ (a – b) > 0 (pela definição) Se b > c ⇒ (b – c) > 0 (pela definição) Usando a parte (ii) do axioma de ordem. 25 unidade 1 .b[. * Intervalo fechado: {x | a ≤ x ≤ b}. * Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita: {x | a ≤ x < b}. Denota-se por [a.b) ou por ]a.b) ou por [a. então a > c) (a – b) + (b – c) > 0 ⇒ a–c>0 ⇒ a > c (pela definição) □ seção 5 Intervalos Intervalos são conjuntos infinitos de números reais. Nesse estudo.b[. + ∞ ) ou ]a. 26 unidade 1 .∞ .b] {x ∈ R | x < b}. + ∞ ) ou [a. denota-se por (.b] ou ]. + ∞ [ {x ∈ R | x ≤ b}. b) ou ]. denota-se por [a.∞ . Geometricamente. + ∞ [ {x ∈ R | x ≥ a}.Universidade Aberta do Brasil * Intervalos infinitos (ou intervalos não limitados): são os intervalos dos tipos mostrados abaixo: {x ∈ R | x > a}. se x > 0 | x | = 0. denota-se por (.∞ .∞ . independente de sua direção. se x = 0 − x.b[ seção 6 Módulos O módulo (ou valor absoluto) de um número real x é definido e representado por: x. se x < 0 O módulo (ou valor absoluto) de um número real x é sempre não negativo. denota-se por (a. o valor absoluto de um número real x é sua distância do ponto de origem. | x | ≤ a. Matemática Básica |6 – 1| = |5| = 5. Então: (i) |x| ≥ 0. (ix) |x – y| ≤ |x| + |y|. sem a preocupação com qual dos números é maior. Então | x | < a. sendo que |x| = 0 ⇔ x = 0. (vii) |x – y| ≥ |x| . (vi) |x + y| ≤ |x| + |y| (desigualdade triangular). (iv) |x|2 = x2 e |x| = ( x 2 ) (aqui. Neste exemplo. e somente se. e somente se. 27 unidade 1 .|y|. (v) |xy| = |x|. se.|y|. x > a ou x < − a. (viii) |x + y| ≥ |x| . interessa apenas a raiz positiva). se. x ≥ a ou x ≤ − a. e somente se. se y ≠ 0. (ii) |x| ≥ x. | x | > a. | x | ≥ a. e somente se. = y | y| (xi) Seja a um número real positivo. − a < x < a. (iii) |-x| = |x|. se. − a ≤ x ≤ a. |6 – 1| e |1 – 6| é a distância entre 1 e 6. (x) x | x| . Propriedades do módulo Sejam x e y dois números reais.|y|.e |1 – 6| = |–5| = |5| = 5. se. Por isso. temos a igualdade |5 + 2| = |5| + |2| Se. na mesma propriedade (vi) escolhermos x = –5 e y = 2. Assim. temos a desigualdade estrita |–5 + 2| < |5| + |2|. teremos: |–5 + 2| = | – 3 | = 3 e |–5| + |2| = 5 + 2 = 7. Elas não servem como provas das propriedades. teremos: |5 + 2| = | 7 | = 7 e |5| + |2| = 5 + 2 = 7. Agora é hora de rever alguns desses conceitos. bem como teve as noções de intervalo de números reais e de módulo de um número real. Nesta unidade.Universidade Aberta do Brasil Na propriedade (vi) podemos escolher x = 5 e y = 2. Ou seja. e viu definições e axiomas dos números reais. falamos que |x + y| ≤ |x| + |y| Ressaltamos que essa comprovação numérica serve apenas para que você entenda as propriedades com mais facilidade. você teve contato com noções e símbolos da Teoria dos Conjuntos. 28 unidade 1 . Ou seja. Você pode também escolher números para as variáveis x e y e verificar as demais propriedades. visualizou conjuntos numéricos que irá utilizar durante o curso. 5... m.-3. Denota-se por (a.b) ou por ]a. * Intervalos infinitos (ou intervalos não limitados).b).b]. * Intervalo fechado: {x | a ≤ x ≤ b}. Matemática Básica Símbolos da Teoria dos Conjuntos ∪ (união).3. ∈ (pertence). ∩ (interseção). a > b. n ∈ Z.3.2.0. Conjunto dos números naturais: N = {0. Intervalos são conjuntos infinitos de números reais. enquanto a ≤ b e a ≥ b são desigualdades não estritas. Denota-se por [a..1...2. ∉ (não pertence). As expressões a < b. * Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita: {x | a < x ≤ b}. Denota-se por [a.4. n com m. chamadas adição e multiplicação. se x > 0 | x | = 0. se x = 0 − x.. que satisfazem a um grupo de sete axiomas.} Conjunto dos números racionais: Q = {x | x = m . O módulo (ou valor absoluto) de um número real x é definido e representado por: x. Tipos de intervalos: * Intervalo aberto: {x | a < x < b}. ⊂ (está contido)..-1.. a ≤ b e a ≥ b são chamados de desigualdades: a < b e a > b são desigualdades estritas. Denota-se por (a.6. n ∈ Z e n ≠ 0} Conjunto dos números reais: R = Q ∪ I Axiomática dos números reais: no conjunto dos números reais existem duas operações. * Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita: {x | a ≤ x < b}.-2. se x < 0 29 unidade 1 .b].} Conjunto dos números inteiros: Z = {..1. n ≠ 0} n Conjunto dos números irracionais: I = { x | x não pode ser escrito como m . ⊄ (não está contido).b[. 2. 4. 4}. A = {1.5[ 3) Represente. 8} e escreva os conjuntos que se pede.1) c) (. a) [-3. a) A ∪ B = b) A ∩ C = c) B – A = d) C – B = e) CA = 2) Represente sobre a reta real cada um dos intervalos abaixo. -2] d) [4. na reta real. 6. 7} e C = {2. dois pontos situados a a) 3 unidades da origem b) 5 unidades do ponto equivalente a -6 30 unidade 1 .∞ .Universidade Aberta do Brasil 1) Considere os conjuntos U = N. B = {1. 3. 5.5] b) [0. 3. unidade 1 31 Matemática Básica . unidade 1 32 Universidade Aberta do Brasil . Matemática Básica UNIDADE II Operações numéricas ROTEIRO DE ESTUDOS ■■ SEÇÃO 1 .Adição e subtração ■■ SEÇÃO 2 .Operações numéricas com frações ■■ SEÇÃO 4 . ■■ Realizar operações numéricas com elementos dos vários conjuntos numéricos.Potenciação.Expressões numéricas 33 unidade 1 . radiciação e logaritmação ■■ SEÇÃO 5 .OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM ■■ Conhecer as operações numéricas. ■■ Compreender a ordem de resolução de uma expressão numérica.Multiplicação e divisão ■■ SEÇÃO 3 . devido à constante utilização em expressões matemáticas. publicado em Leipzig em 1489. Em 1637. usado para a multiplicação. Entretanto. o Ambiente Virtual de Aprendizagem disponibilizado durante a duração do curso e seus professores tutores. de João Widman D´Eger. de 1657. outro matemático. usadas para indicar divisão. 34 unidade 2 . estava relacionado com os números positivos em problemas envolvendo negócios. Por exemplo: 7 .Universidade Aberta do Brasil PARA INÍCIO DE CONVERSA Nesta unidade você poderá rever as operações numéricas básicas. usava um ponto entre os dois fatores para indicar o produto a efetuar. em 1698. apesar de não representar a idéia de adição. O sinal “x”. efetuar cálculos numéricos envolvendo essas operações e até tirar aquelas pequenas dúvidas que talvez você já traga consigo há muito tempo. O sinal + (mais) apareceu pela primeira vez no tratado Aritmética Comercial. inicial da palavra latina plus. O sinal de menos parece ter vindo da utilização da palavra latina minus que. Os antigos matemáticos gregos indicavam a adição de duas parcelas simplesmente escrevendo as parcelas lado a lado (da mesma forma que ainda fazemos até hoje quando indicamos a soma de um número inteiro com uma 2 fração. Nesse mesmo ano. do matemático inglês Guilherme Oughtred. acabou perdendo aos poucos os traços das letras e virando apenas um tracinho ( – ). era usada como sinal de adição a 3 letra P. René Descartes já escrevia apenas os fatores lado a lado para indicar a multiplicação a efetuar. Harriot. para tirar quaisquer dúvidas que aparecerem. publicado em 1631. Em outra época. e foi usado para indicar divisão por Leibniz. a e . além deste material escrito. foi empregado pela primeira vez no livro Clavis Matematicae. Use para isso. Já o sinal ÷ parece ter resultado da combinação entre os sinais já existentes : e –. O sinal dois pontos ( : ) aparece para indicar a razão entre As formas a duas quantidades numa obra de Oughtred. são atribuídas aos b b matemáticos árabes. 35 unidade 2 . ← resultado da soma. estão sendo somadas as parcelas 3 e 4. Solução: 8 + (–12) 8 – 12 –4 ← indicação da soma a realizar. mas a subtração não é comutativa (ou seja. Na sentença 7 – 4 = 3 está sendo subtraído o subtraendo 4 do minuendo 7. Na sentença 3 + 4 = 7. A adição é comutativa (isto é: a + b = b + a). ← utilização da regra dos sinais. geralmente b – a ≠ a – b). para obter-se a soma 7. para obter-se a diferença 3. verificamos que a subtração é também uma adição. O símbolo + é utilizado para representar a adição. Somar os números inteiros 8 e –12.Adição e subtração Nesta seção você irá rever o conceito de adição e de subtração de dois números. ou de acrescentar uma quantidade à outra. Matemática Básica seção 1 bem como visualizar exemplos dessas operações realizadas com números de todos os conjuntos numéricos estudados. A subtração entre a e b ∈ R é definida como a – b = a + (–b) Dessa forma. A adição é uma operação matemática que corresponde à idéia de juntar quantidades. .721 1 ← (1 = 0 + 1 é a soma dos dois algarismos mais à direita) Dando seqüência ao cálculo. Por exemplo: 3 + 5 = 8 (na adição. 850 e 21. Solução via algoritmo da soma: 14. (-1) = -1 (+1) ÷ (-1) = -1 (-1) . (2) = –2.571 ↑ 6 = 1 + 4 + 1.721 36. e não 5 = 1 + 4. está acontecendo a multiplicação (+ 1) .Universidade Aberta do Brasil Nesse exemplo.850 + 21. ← regra dos sinais: +(–2) = (+1) .571. Para resolver situações como essa. para evitar a sobreposição dos símbolos + e –. Exemplo: Somar 14. 721. minuendo menos subtraendo é igual à diferença).850 + 21. você pode usar as seguintes regras dos sinais: (+1) . (–1) . 12. (+1) = -1 (-1) ÷ (+1) = -1 (-1) . ← resultado da soma. temos: 1 ← algarismo que representa a dezena na soma anterior 14. foi necessário utilizar parêntesis em torno do número inteiro negativo –12. O resultado da soma é o número real decimal 36. 36 unidade 2 ← indicação da soma a realizar. Solução: 7 + (-2) 7–2 5 A subtração é a operação inversa da adição. (2) = (–1) . (–1) . na verdade. (+1) = +1 (+1) ÷ (+1) = +1 (+1) . parcela mais parcela é igual à soma) 8 – 5 = 3 (na subtração. (-1) = +1 (-1) ÷ (-1) = +1 Somar os números inteiros 7 e –2. Onde aparece “+ (–12)”. Na adição conhecemos duas parcelas e buscamos uma soma: já na subtração conhecemos um minuendo (soma) e um subtraendo (parcela) e buscamos uma diferença (parcela). 5. basta fazer 6 x 2 = 12 (seis lados do dado. Na multiplicação 5 x 2. 37 unidade 2 . Por exemplo: 2.5 para se obter o produto 12. Outro significado da multiplicação é a idéia de ampliação ou redução de um determinado comprimento.7 pode significar a ampliação de um comprimento de 1. ↑ Soma de cinco parcelas iguais a 2.5 x 1. Multiplicação A multiplicação é uma operação matemática associada a vários significados. combinados com cada uma das duas faces da moeda). Um significado é que a multiplicação equivale a uma soma de parcelas iguais.5. bem como visualizar exemplos. Por exemplo: 5 x 2 = 2 + 2 + 2 + 2 +2 = 10.5 = 12.7 unidades duas vezes e meia. Outro significado da multiplicação é a determinação do número de combinações resultantes do cruzamento dos elementos de um conjunto com cada um dos elementos de outro conjunto. estão sendo multiplicados os fatores 5 e 2. Se desejamos saber a quantidade de combinações possíveis de resultados quando são jogados um dado e uma moeda.Multiplicação e divisão Nesta seção você vai rever os conceitos de multiplicação e de divisão de dois Matemática Básica seção 2 números. temos: 1 ← 1 é o algarismo que representa a dezena de 10 = 2 x 5 654 x 32 0 8 ← 8 = 2 x 4 (produto dos primeiros algarismos à direita) ↑ 0 é o algarismo que representa a unidade de 10 = 2 x 5 Continuando. o produto entre 654 e 32 é 20... no resultado final. 20928 ← fator ← fator ← produto Assim. temos: 1 654 x 32 1308 ↑ 13 = (2 x 6) + 1 (soma-se o algarismo marcado acima) No próximo passo. coloca-se a vírgula a partir da direita tantas casas quanto for a soma. temos: 11 654 x 32 1308 + 1 9 6 2. aplicase o mesmo algoritmo. 38 unidade 2 . Solução via algoritmo da multiplicação: 654 x 32 8 ← 8 = 2 x 4 (produto dos primeiros algarismos à direita) Dando seqüência ao cálculo.928 Para efetuar a multiplicação entre números decimais (números com vírgula).Universidade Aberta do Brasil Multiplicar 654 por 32. mas considera-se uma regrinha prática: conta-se o número de casas depois da vírgula (somando os números de casas depois da vírgula nos dois fatores) e. . Divisão de números inteiros A divisão é uma idéia matemática que corresponde a saber quantas vezes uma quantidade cabe em outra. 20. A partir de agora você verá o conceito de divisão de números.2. A divisão entre a e b ∈ R. vale a relação: dividendo = (quociente x divisor) + resto No caso do exemplo. você tem 6 doces e quer distribuí-los entre três crianças. Se a partilha for feita por igual.54 x 3. 14 = (3 x 4) + 2.54 por 3. quando trabalhamos com números naturais. encontrará a seguinte situação: dividendo → 14 | 4 . que simboliza uma divisão.928 ← três casas depois da vírgula (2 + 1) Assim. quantos doces você dará para cada criança? A resposta neste caso é simples: você dará 2 doces para cada criança. 39 unidade 2 .928. por um motivo também simples: na expressão 6 : 3 = 2. ← uma casa depois da vírgula 1308 + 1 9 6 2. observe que a divisão é também uma multiplicação.Solução: (o cálculo já foi feito. se você quiser dividir 14 por 4. Divisão Imagine a seguinte situação: no dia de São Cosme e Damião. com b ≠ 0. o resultado da multiplicação é 20. Por exemplo..12 ← 3 ← 2 ← divisor quociente resto ou seja. então basta aprender a lidar com a vírgula) 6. o resultado é 2 porque o número 2 cabe três vezes no número 6.2 ← duas casas depois da vírgula Matemática Básica Multiplicar 6. é definida como b 1 = b. a a Dessa forma. obtemos: dividendo → 14 | 4 – 12 ← 3.5 40 ← quociente 20 – 20 0 0 ← resto zero Assim. na divisão conhecemos um dividendo (produto). unidade 2 divisor .12 3. a divisão não para quando o resto é menor que o divisor.Universidade Aberta do Brasil Divisão de números reais Se você estiver interessado em encontrar o quociente entre dois números reais.. Em vez disso. uma vírgula (uma vez somente) ao quociente e continuamos com o cálculo. Na multiplicação conhecemos dois fatores e buscamos um produto. o resultado da divisão de 14 por 4 é 3.... 20 A divisão é a operação inversa da multiplicação. dividendo → 14 | 4 . .5. e um zero ao resto menor que o divisor Continuando com o cálculo. um divisor (fator) e buscamos um quociente (fator). ← ↑ divisor ← quociente ↑ acrescentamos uma vírgula ao quociente . Dividir 14 por 4. acrescentamos um zero (quantas vezes forem necessárias) ao resto. Outro significado de fração é a idéia de razão entre duas grandezas.Matemática Básica seção 3 Operações numéricas com frações Em diversas situações práticas é necessário operar com números que não são inteiros. efetuando a divisão indicada por 1 . . Neste caso.. uma costureira pretende fazer um vestido.25. Por exemplo. Entendidas dessa forma. 2 e 5 são frações próprias. 100. visualizando o caso particular das operações realizadas com frações (lembre-se: todo número racional pode ser escrito como uma fração). 4 Não confunda número decimal com fração decimal. Por exemplo. é bom que você relembre os nomes das partes de uma fração: Quando você considerar uma fração como uma divisão entre dois números. Por exemplo. Antes de seguir adiante. Fração Em matemática.. você terá que operar com frações. As frações podem ser classificadas em frações próprias e frações impróprias. gerando assim um número decimal. 8 3 41 unidade 2 . Frações próprias são aquelas em que o numerador é menor que o denominador. Nesta seção você verá detalhes sobre frações e terá oportunidade de ampliar e fixar os conhecimentos sobre as operações numéricas. 1000. você deve obter o número decimal 0. Como será feito o cálculo do valor total a pagar pelo tecido e pela fita? Para resolver situações como essa. Um deles é a idéia de parte de um todo. Uma fração decimal é uma fração onde o denominador é uma potência de 10 (10. as frações representam números racionais.). fração é uma palavra com mais de um significado. no qual serão utilizados dois metros e meio de um tipo de tecido e 25 centímetros de uma fita de cetim. a fração indica as partes tomadas de um todo. a fração 1 pode significar a divisão do 4 número 1 pelo número 4. Por exemplo. essa divisão pode ser efetuada. Um terceiro significado é o de divisão. 3 e 8 são frações impróprias. 8 = 2 4 42 unidade 2 e −15 = –3 5 . Escrever a fração imprópria 8 Solução: na sua forma mista. embora escritas na forma m quando a divisão é efetuada. Uma fração imprópria escrita desta forma é chamada fração mista. na verdade. ou seja. números inteiros. Dessa forma. 2 5 Quando uma fração é imprópria. o numerador da parte fracionária é o resto da divisão e o denominador da parte fracionária é o mesmo denominador da fração original. Tais frações são. a n divisão é exata. pode-se efetuar a divisão utilizando o algoritmo da divisão dos números inteiros.Universidade Aberta do Brasil Frações impróprias são aquelas em que o numerador é maior que o denominador. 5 3 8 3 = 1 (oito quintos é igual a um inteiro e três quintos) 5 5 Existem também as chamadas frações aparentes. a fração original será igual a uma parte inteira (número inteiro) mais uma parte fracionária (fração própria): a parte inteira é o quociente da divisão. dividendo → 8 | 5 ← divisor –5 1 ← quociente resto → Assim. Por exemplo. obtém-se resto zero. que são aquelas que. Simplificar uma fração consiste em dividir numerador e denominador pelo mesmo número. basta que você estude como somar frações e irá aprender como somar e como subtrair frações de uma só vez.A simplificação de frações é uma ferramenta que você deve utilizar para expressar frações de forma mais simples. 3 2 3+ 2 5 + = = 7 7 7 7 6 3 6−3 3 – = = 5 5 5 5 Para somar frações que têm denominadores diferentes. mas equivalente. 43 unidade 2 . 6 6÷3 2 = = 9 9÷3 3 e Matemática Básica Simplificação de frações 25 25 ÷ 5 5 = = 45 45 ÷ 5 9 Adição e subtração de frações Como a subtração foi definida como uma adição. de denominadores iguais. você poderá utilizar frações equivalentes às originais. Primeiramente você deve relembrar como se efetua a adição de frações que têm o mesmo denominador: basta manter o denominador e somar os numeradores. 5. e a fração 3 é equivalente 4 3 12 9 à fração . somar ou subtrair as frações encontradas (que são equivalentes às frações dadas). 1 3 → 2 3 4 5 . Observação: quando as frações não possuem o mesmo denominador. 4.. 3. em seguida. e você tem a vantagem de ter duas novas frações equivalentes às 12 originais. . . a fração 1 é equivalente à fração 4 . . 6 9 12 15 Outra maneira de resolver essa soma de frações é encontrando o mínimo múltiplo comum (mmc) dos denominadores das frações.. Para encontrar o mmc entre dois ou mais números. devemos reduzi-las ao menor denominador comum (ou mínimo múltiplo comum) e.Universidade Aberta do Brasil Somar 1 Assim: 3 com 3 4 é o mesmo que somar 4 12 com 9 12 .. (4 + 9) 13 1 3 4 9 + = + = = 12 3 4 12 12 12 Neste caso.. . você deve multiplicar o numerador e o denominador (ao mesmo tempo) por 2. Para encontrar frações equivalentes. mas agora com o mesmo denominador. . fazemos a decomposição simultânea em fatores primos. 44 unidade 2 . O produto de todos os fatores primos que aparecem nessa decomposição será o mínimo múltiplo comum. 3.5 = 60 O próximo passo é reduzir as frações em frações equivalentes e executar as operações entre elas. a costureira pagou no total R$31. e 25 centímetros de uma fita de cetim que custava R$ 4.00 o metro. 12 e 15 é 60. 12. Se essa costureira realmente fez a compra do tecido e da fita.Matemática Básica 1 1 7 − + .3. 1 12.00. 15) = 22.5 O mmc entre 2. 6 3 1 2 15 2 15 3 15 5 5 1 60 = 22. 2 12 15 Somar Solução: decomposição dos denominadores em fatores primos 2. 45 unidade 2 . se fez a compra.00 o metro. 1 1 7 30 5 28 30 − 5 + 28 25 + 28 53 − + = − + = = = 2 12 15 60 60 60 60 60 60 Você lembra do caso da costureira que pretendia fazer um vestido? Para esse vestido seriam necessários dois metros e meio de um tipo de tecido que custava R$ 12. escreve-se mmc(2. quanto ela pagou? Solução: 1 5 Dois metros e meio = 2 m = m 2 2 1 25 centímetros = m 4 5 1 2 x 12 + 4 x 4 = 30 + 1 = 31 Assim. 2x 3 (2. para b d efetuar a divisão a a c ou b ÷ c b d d o procedimento é o seguinte: você deve manter a primeira fração como está e multiplicá-la pelo inverso da segunda fração.5) 3 5 15 No caso em que você queira multiplicar um número inteiro por uma fração.Universidade Aberta do Brasil Multiplicação de frações A multiplicação de frações é feita de forma muito simples: basta multiplicar numerador por numerador e denominador por denominador. basta multiplicar o número pelo numerador e manter o denominador. Ou seja: a c a d ad ÷ = . Divisão de fração por fração Para efetuar a divisão de uma fração a por outra fração c .3) 6 = = 7 7 7 Divisão de frações Veremos agora alguns casos de divisão de frações.3) 2 3 6 x = = (3. (2. = b d b c bc 46 unidade 2 . ou seja. Dessa forma. 2. = 7 1 7 1 3 3 47 unidade 2 . 1 3= 3 . basta considerar o número inteiro como uma fração de denominador 1. por exemplo. 1 500 = 500 1 por 2. os números inteiros -4. 1 2= 2 . 3 3 2 3 1 3 = . = = ÷ 2 4 2 3 6 3 Divisão de fração por número inteiro ou divisão de número inteiro por fração Para efetuar esse tipo de divisão. como -4 = Dividir 3 7 −4 . = ÷ 2= ÷ 7 7 1 7 2 14 Dividir 2 por 3 . 500. 4 1 3 1 4 4 2 = .2 Matemática Básica Dividir 1 por 3 . 7 2 ÷ 3 2 3 2 7 14 = ÷ = . você deve escrever. 3. está sendo elevada a base 2 ao expoente 4. Para montar um cubo igual a esse. Esse é um exemplo de potência.3 .2 .3. 33 . a radiciação e a logaritmação. fazer 3 x 3 x 3.3.3 = 36 = 729 3 3 3. dada uma base e um expoente. Esse cubo é constituído de seis faces coloridas. Numa notação mais reduzida. Potência é um produto de fatores iguais. 32 . 3.4 16 48 unidade 2 .2 = 16 ↑ o número 2.3. sendo que cada face é um quadrado com lado igual a 3 unidades. Potenciação é a operação matemática na qual. 24 = 2.3. e o objetivo do jogo é deixar apenas uma cor por face (sem quebrar o brinquedo.3. você encontrará uma unidade dedicada a essa operação numérica e as suas operações inversas. radiciação e logaritmação Nesta seção você irá encontrar o conceito básico da potenciação. com lado igual a 3 unidades. Ou seja. de lado igual a 1 unidade. é claro).3 9 ( 3 )2 = x = = 4 4 4 4. multiplicado quatro vezes por ele mesmo Na sentença 24 = 16. Potenciação Você deve conhecer um brinquedo chamado cubo mágico. seriam necessários? Para resolver esse problema. certo? É um excelente quebra-cabeças. calcula-se uma potência. você saberia dizer quantos cubinhos menores.2 . 34 = 3.Universidade Aberta do Brasil seção 4 Potenciação.3. no final deste livro. para se obter a potência 16. Salientamos que. basta multiplicar o número 3 (medida do lado) por ele mesmo 3 vezes.3 = 3. calcula-se uma raiz. Com esse exemplo. você pode verificar que a intensidade desse terremoto foi de aproximadamente 77. busca-se encontrar um logaritmo. muitos outros problemas físicos envolvem logaritmos. 49 unidade 2 . Quando se deseja calcular uma raiz do tipo n b . elevado ao expoente n resulte na potência b?” A resposta a essa questão será a raiz procurada. dado uma base e um número real (potência). o número 3 é chamado de raiz e o número 2 (que não aparece de fato) é chamado de índice. Em 6 de abril de 2009 o centro da Itália foi sacudido por um terremoto R= ln10 de 5. Usando a fórmula acima. Além desse exemplo. vemos que existem situações nas quais são utilizados logaritmos para obter informações que você está acostumado(a) a ouvir na mídia. o número 9 é chamado de radicando. 9 = 3 No exemplo acima. Mas ela tem também operação inversa? Matemática Básica Você já sabe que a adição e a multiplicação são operações diretas. dado um radicando e um índice.5. Logaritmação é a operação matemática na qual. respectivamente.8 graus na escala richter. Logaritmação Na escala Richter. A potenciação é também uma operação direta. a magnitude de um terremoto de intensidade I é dada por ln I .operações de subtração e de divisão. o que justifica o seu estudo. são suas operações inversas. e que as Que operação seria essa? Radiciação Radiciação é a operação matemática em que. deve-se perguntar: “qual é o número a que. da seguinte maneira: se an = b então log a b = n (a) log 10 1000 = 3. ou seja.Universidade Aberta do Brasil log 2 8 = 3 ← isso porque 23 = 8 Na sentença log 3 81 = 4. o número 3 é chamado de base. para obter o valor pago pela costureira que pretendia fazer um vestido.” Podemos fazer uma ligação da logaritmação com a potenciação. Expressões numéricas são utilizadas em muitas situações práticas. pois 103 = 1000 (b) log 2 16 = 4. Por exemplo. A leitura da sentença acima é a seguinte: “o logaritmo de 81 na base 3 é igual a 4. e o número 4 é chamado de logaritmo. Nesta seção você terá a oportunidade de verificar qual é a correta ordem de efetuação dos cálculos em expressões numéricas. foi obtido o valor numérico da expressão numérica: 5 5 2 x 12 + 2 x 4 = 50 unidade 2 . em expressões que envolvem números e as operações até aqui estudadas. pois 24 = 16 seção 5 Expressões numéricas Chegou o momento de testar os seus conhecimentos adquiridos ou revistos até aqui. ↑ Resultado (ou valor numérico da expressão numérica) Nas expressões numéricas podem aparecer alguns símbolos que interferem na ordem dos cálculos. 3º) a expressão que está dentro das chaves. 51 unidade 2 . Para obter o valor de uma expressão numérica. ← Por fim. a ordem de resolução é a seguinte: 1º) a expressão que está dentro dos parêntesis. 2º) a expressão que está dentro dos colchetes. Observe que. apesar de os símbolos usados para agrupar os elementos de uma expressão parecerem a mesma coisa. Encontrar o valor numérico da expressão 3 . Matemática Básica Expressão numérica é uma seqüência de operações numéricas indicadas. Quando esses símbolos aparecem. você deve efetuar os cálculos na seguinte ordem: 1º) potências.mas não efetuadas. ( ) → parêntesis [ ] → colchetes { } → chaves Os três símbolos acima são utilizados para agrupar as parcelas envolvidas em uma operação. a diferença está na hierarquia entre eles. 48 – 5 43 ← Em seguida. efetua-se a multiplicação e a divisão. radicais e logaritmos 2º) multiplicações e divisões 3º) adições e subtrações. Ou seja. 16 – 10:2 ← A primeira operação a ser efetuada será a potência. efetua-se a subtração. 42 – 10 : 2 Solução: 3 . Na adição a + b = c. 52 unidade 2 . a e b são chamados fatores. ← Por último. Para somar frações com o mesmo denominador mantém-se o denominador e somam-se os numeradores. finaliza-se o cálculo. e c é chamado produto. Na divisão c : b = a. resolve-se o que está entre parêntesis. resolve-se o que está entre chaves. 1 + {22 + 7 – 3} ← Em seguida.Universidade Aberta do Brasil Encontrar o valor numérico da expressão 1 + {22 + [12 – (10 – 10 : 2)] – 3} Solução: 1 + {22 + [12 – (10 – 5)] – 3} 1 + {22 + [12 – 5] – 3} ← Primeiro. a é a diferença entre o minuendo c e o subtraendo b. c é o dividendo. b é o divisor e a é o quociente. resolve-se o que está entre colchetes. A multiplicação de frações é feita multiplicando-se numerador por numerador e denominador por denominador. você teve contato com as operações numéricas que podem ser realizadas com os números reais (e seus subconjuntos) e teve noções específicas de como operar com frações (números racionais). Na subtração c – b = a. Na multiplicação a . ↑ Resultado (ou valor numérico da expressão numérica) Nesta unidade. b = c. 1 + {4 + 7 – 3} 1+8 9 ← Depois. ou calculando o mmc dos denominadores. Agora é hora de rever algumas dessas lições. a e b são as parcelas e c é a soma. Frações com denominadores diferentes podem ser somadas usando frações equivalentes. 5 = c) 12 .775 = d) {[12 . (3 + 42) – 445] – (24. e/ou chaves.775)} = e) 12.5 : 7 + 28. é feita considerando o número inteiro como uma fração de denominador 1. 2º) a expressão que está dentro dos colchetes.5 : 7 + 28. 725 – (49 : 4) = f) (-6/5) . são dados uma base e um logaritmando. 2 = b) 1564 : 16 + 11. a ordem de resolução é a seguinte: 1º) a expressão que está dentro dos parêntesis. (2/5) + (1/5)2 = g) {[(1/2) : 2]3 + [(-1/3) : (-2/9 + 1/6)]} = h) { 1 + [5 . A divisão de fração por número inteiro ou a divisão de número inteiro por fração. radicais e logaritmos 2º) multiplicações e divisões 3º) adições e subtrações Quando aparecerem parêntesis. 3 + 42 – 445 – 24. 2} = 53 unidade 2 .por outra fração c é feita multiplicando a b d primeira fração pelo inverso da segunda. Na potenciação an = b. são dados um radicando e um índice. Expressão numérica é uma seqüência de operações numéricas indicadas. e calcula-se um logaritmo. mas não efetuadas. para se Matemática Básica A divisão de uma fração a obter a potência b. 3º) a expressão que está dentro das chaves. e calcula-se uma raiz. Na logaritmação. 1) Encontre os valores numéricos das seguintes expressões numéricas: a) 54321 – 12345 . está sendo elevada a base a ao expoente n. (1/5)2 – 1/10] . Na radiciação. Para se obter o valor de uma expressão numérica. os cálculos devem seguir a seguinte ordem: 1º) potências.789 + 4. unidade 2 54 Universidade Aberta do Brasil . Monômios e polinômios ■■ SEÇÃO 3 . ■■ Desenvolver operações matemáticas com monômios e polinômios.Operações com monômios e polinômios ■■ SEÇÃO 4 .Expressões algébricas ■■ SEÇÃO 2 .Frações algébricas UNIDADE III Produtos notáveis e .Fatoração de expressões algébricas ■■ SEÇÃO 6 .expressões algébricas OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM ■■ Reconhecer uma expressão algébrica e encontrar seu valor numérico. ■■ Fatorar expressões algébricas e operar com frações algébricas.Produtos notáveis ■■ SEÇÃO 5 . ROTEIRO DE ESTUDOS ■■ SEÇÃO 1 . Universidade Aberta do Brasil PARA INÍCIO DE CONVERSA Você deve ter percebido que neste livro já foram utilizadas muitas letras para representar números desconhecidos e até para generalizar propriedades e fórmulas. É a Álgebra, a parte da matemática que estuda equações e cálculos com números representados por letras. Nesta unidade, você vai poder rever e estudar os conceitos básicos da álgebra. Embora os antigos matemáticos gregos, como Euclides e Aristóteles, já utilizassem letras para representar números e relações, atribui-se o início da Álgebra ao matemático árabe Al-Khowarizmi. No século IX esse matemático escreveu um livro sobre resolução de equações que, por utilizar letras para representar incógnitas, é considerado o início da álgebra. A palavra álgebra deriva do título de tal livro Al-Jabr wa’l mukabala - que significa “restaurando o equilíbrio”. Esse título se referia à idéia de imaginar uma equação como uma balança em equilíbrio. seção 1 Expressões algébricas No nosso dia-a-dia, muitas vezes usamos expressões algébricas sem perceber que elas estão ali. Por exemplo, numa papelaria, quando calculamos o preço de um caderno somado ao preço de duas canetas, usamos a expressão 1x+2y, em que x representa o preço do caderno e y o preço de cada caneta. E, ao calcularmos o valor do troco, usamos outra expressão algébrica T = V – (1x + 2y), na qual T significa o troco e V o valor entregue ao caixa da papelaria. 56 unidade 3 Chama-se variável a letra que irá representar qualquer número ou um conjunto de números. Por exemplo, na sentença 2x, a letra x pode representar qualquer número real, ou qualquer número de um conjunto específico. A expressão 2x significa o dobro do número x. Normalmente, usamos para representar variáveis as últimas letras de Matemática Básica Variáveis e constantes nosso alfabeto, em minúsculas (x, y , z, etc.). Chama-se constante ou coeficiente o valor que está multiplicando a variável. No caso da sentença 2x, o número 2 é a constante. Expressões algébricas Expressões algébricas são expressões matemáticas que, além de operações e números (ou coeficientes), apresentam letras (ou variáveis). São também denominadas expressões literais. São exemplos de expressões algébricas: 12a3 ← expressão algébrica com números e apenas uma letra; 3x2 + 4y – 5z 5 ← expressão algébrica com números, operações e letras; ← expressão algébrica contendo apenas número. Nas expressões algébricas não se escreve o sinal de multiplicação. Observe: 3 . x é representado apenas como 3x 5 . a . b é representado apenas como 5ab Imagine que uma pessoa ganha R$ 35,00 por dia de trabalho. Para escrever o quanto essa pessoa ganhará durante alguns dias de trabalho, é possível usar a expressão algébrica 35x, em que x representa o número de dias trabalhados, que pode variar: 1 dia, 2 dias, 10 dias, etc. 57 unidade 3 Universidade Aberta do Brasil Identificação das expressões algébricas Um exemplo de expressão algébrica é 3x2y. Essa expressão algébrica depende das variáveis literais x e y. Uma boa forma de facilitar o seu uso é adotar a seguinte notação para identificar as expressões algébricas: p(x,y) = 3x2y na qual fica claro que essa é uma expressão algébrica que depende das variáveis x e y. p(a) = 12a3 ← expressão algébrica que depende da variável a. p(x,y,z) = 3x2 + 4xy – 5z ← expressão algébrica que depende das variáveis x, y e z. p(x) = 3x3 + 3x2 + 1 ← expressão algébrica que depende da variável x. Valor numérico de uma expressão algébrica O valor numérico de uma expressão algébrica é o valor que obtemos quando substituímos as letras da expressão algébrica por números dados e realizamos todas as operações indicadas. Vale lembrar que, uma vez substituídas todas as letras, a expressão se torna uma expressão numérica, como aquelas que você já resolveu quando estudou a unidade 2. No caso da pessoa que ganha R$ 35,00 por dia de trabalho, a expressão algébrica que simboliza a relação “dia de trabalho/ganho em reais” é p(x) = 35x, na qual x representa o número de dias trabalhados. Se você quiser saber quanto essa pessoa ganhará se trabalhar 3 dias, basta substituir x por 3: p(3) = 35 . 3 = R$ 105,00 58 unidade 3 10 = R$ 350. Matemática Básica Se a pessoa trabalhar 10 dias (substituindo x por 10.00 e assim por diante. 3 + 4 . nas variáveis a e b. seção 2 Monômios e polinômios Os tipos de expressões algébricas mais utilizadas para representar situaçõesproblema envolvendo matemática são os polinômios. 59 unidade 3 . para a = 2 e b = 3. 32 ← substituição dos valores a = 2 e b = 3. 22 . p(2.3) = 3 . 5 ← monômio composto somente por número. a ← monômio composto somente por letra. Monômios Monômios são expressões algébricas que apresentam apenas produto de um número (ou constante) por algumas letras (ou variáveis).3) = 108 ← valor numérico da expressão algébrica dada.b) = 3a2b + 4ab2 ← expressão algébrica dada. p(2. 2 . 9 ← expressão numérica obtida. você descobrirá que) ela Encontre o valor numérico da expressão p(a. Abaixo. Solução: p(a. 2 .3) = 3. xy ← monômio composto somente por letras. São exemplos de monômios: 2 p7q18r 15 a 2 ← monômio composto por número e letras.ganhará p(10) = 35 . você verá os conceitos sobre esse tipo de expressão algébrica.3) = 36 + 72 p(2. ← monômio composto por número e uma letra. 4 . para a = 2 e b = 3.b) = 3a2b + 4ab2. p(2. 3 + 4 . e de três termos. Os monômios que fazem parte do polinômio são chamados de termos do polinômio. ← monômio de grau 2 na variável x.y. de dois termos. 60 unidade 3 . –3a2b ← monômio de grau 1 na variável b. um polinômio de um termo pode ser chamado monômio.z) = 3x2 + 4xy – 5z ← polinômio nas variáveis x. São exemplos de polinômios: p(x) = 3x3 + 3x2 + 1 ← polinômio na variável x. se têm as mesmas letras com os mesmos índices). Um polinômio pode ser denominado de acordo com o seu número de termos. trinômio. –3ab e -8 x2y 123ab Grau de um monômio Chama-se grau de um monômio na variável x ao expoente no qual a variável x está elevada. São exemplos de monômios semelhantes: x2y. binômio. –3a b ← monômio de grau 2 na variável a. 3x2 17a3 ← monômio de grau 3 na variável a. 8x y ← monômio de grau 5 na variável x. 17x2y e ab. 3x2y. 2 5 Polinômios Polinômios são expressões algébricas compostas pela soma (ou subtração) de um número finito de monômios.Universidade Aberta do Brasil Monômios semelhantes Dois monômios são semelhantes se apresentam a mesma parte literal (ou seja. isto é. p(x. 8x2y ← monômio de grau 1 na variável y. y e z. b) = 3a2b – ab2 + 8b3 ← polinômio de grau 2 na variável a. p(a. 3 é o coeficiente do monômio. p(x) = a0xn + a1x(n – 1) + a2x(n – 2) + … + a(n – 1)x + an ← polinômio. e não 3.y) = 5xy ← monômio: possui um termo apenas. p(x) = 3x3 + 3x2 + 1 ← polinômio de grau 3 na variável x. p(x) = 3x3 + 3x2 + 1 ← trinômio: possui três termos. Então. o grau do monômio é 4. e 4 é o expoente da variável x. Grau de um polinômio O grau de um polinômio na variável x é o maior expoente com que a variável x aparece no polinômio.b(a. p(x) = 10 + x2 – 7x3 + 5x4 ← polinômio de grau 4 na variável x. Matemática Básica m(x. p(a. Por exemplo. Atenção: quando você for identificar o grau de um polinômio.b) = 3a2b – ab2 ← binômio: possui dois termos. 61 unidade 3 .b) = 3a2b – ab2 + 8b3 ← polinômio de grau 3 na variável b. em p(x) = 3x4. sem nome específico. tome cuidado para não confundir o coeficiente do termo com o expoente da variável. [ 1 + 3 + 17 + (–8) ] x2y [ 1 + 3 + 17 – 8 ] x2y ← indicação da soma dos coeficientes.Universidade Aberta do Brasil seção 3 Operações com monômios e polinômios Operações com monômios Para somar monômios semelhantes. o sinal é o positivo. 17x2y e –8x2y Solução: x2y + 3x2y + 17x2y + (–8)x2y ← indicação da soma a realizar. Observe que. Para subtrair monômios semelhantes. 62 unidade 3 . Somar os monômios x2y. ← regra de sinais. se um monômio não tem sinal aparente. Para que dois monômios possam ser somados ou subtraídos. eles devem ser semelhantes! Para eliminar os parênteses em uma expressão algébrica. 13x y ← resultado da soma (a parte literal permanece 2 como estava). basta subtrair os coeficientes e manter a parte literal. deve-se utilizar da regra dos sinais (que você já viu na unidade 2). você deve somar os coeficientes e manter a parte literal. 3x2y. bem como outras que lhe serão indicadas. Matemática Básica Somar os monômios ab. [(–3) + (–7)] x ← indicação da soma dos coeficientes. [– 3 – 7] x –10x ← aplicação da regra dos sinais. ← resultado da multiplicação. –3ab e 123ab ← aplicação da regra dos sinais. Solução: 6a2b3 . c3 18a b c 3 5 3 ← multiplicação a realizar. (b .Solução: + ab + (–3)ab + 123ab [+ 1 + (–3) + 123 ] ab [ 1 – 3 +123 ] ab 121ab ← indicação da soma a realizar. você vai precisar de algumas propriedades da potenciação. multiplica-se a parte numérica e a parte literal. ← indicação da soma dos coeficientes. b) . Solução: (–3x) + (–7x) ← indicação da soma a realizar. Observação: para multiplicar e dividir monômios e para calcular a potência de um monômio. c) = (a . 3ab2c3 6 . você irá estudar mais profundamente na última unidade deste livro. Você vai utilizar as seguintes propriedades: an . c – propriedade associativa da multiplicação a) Multiplicar os monômios 6a2b3 e 3ab2c3. Somar os monômios –3x e –7x. am = a(n+m) – multiplicação de potências de mesma base a . b2 . b3 . a . Salientamos que as propriedades da potenciação que você irá utilizar aqui. 63 unidade 3 . ← resultado da soma. ← resultado da soma. a2 . ← multiplicamos termos de mesma natureza. Para multiplicar monômios. 3 . . 2 . y2 . x . b z2 . 2 . a . Você pode dividir monômios. ← indicação da divisão por elementos semelhantes. c) Multiplicar os monômios (–2x2y) e 5xy2 Solução: (–2x2y) . 64 unidade 3 . Solução: 25a3y2 : 5a2y ← indicação da divisão a realizar. 32 x 4bz 2 4x2 z 32 x 4 . x2 . z. x . desde que todas as variáveis que aparecem no divisor apareçam também no dividendo. 5 . x2 .Universidade Aberta do Brasil b) Multiplicar os monômios 2xy e 3y2z4 Solução: 2xy . y2 –10x3y3 ← resultado da multiplicação. 3y2z4 ← multiplicação a realizar. Você vai precisar da seguinte propriedade: an : am = a(n – m) – divisão de potências de mesma base a) Dividir o monômio 25a3y2 pelo monômio 5a2y. z4 6xy3z4 ← resultado da multiplicação. b) Dividir o monômio 32x4bz2 pelo monômio 4x2z. com grau maior ou igual ao que está no divisor. y . 5 a y (25 : 5) . 8x2bz ← resultado da divisão. y(2 – 1) ← divisão dos elementos semelhantes. 5xy2 (–2) . 25 a 3 y 2 . Solução: 32x4bz2 : 4x2z ← indicação da divisão a realizar. y . 1 z b . 3 . 4 x2 8 . 25a 3 y 2 5a 2 y ← divisão escrita na forma de fração algébrica. 5ay ← resultado da divisão. ← indicação da divisão por elementos semelhantes. y ← resultado da divisão dos elementos semelhantes. a(3 – 2) . 5 . basta que você efetue a soma dos termos semelhantes e deixe as demais somas apenas indicadas. Solução: (–1)4 . x(2 . b) Efetuar a soma (2a2b – 2ab + 5ab2) + (8a3b + 2a2b – 3ab2 + b . Solução: (4ab3)2 ← potenciação a realizar. 8a3b + 4a2b – 2ab + 2ab2 + b – 1 ← resultado da soma dos polinômios. (b3)2 ← aplicação da primeira propriedade. 2) ← resultado da potenciação do monômio.1). você vai utilizar as seguintes a) Obter o quadrado do monômio 4ab3. 42 . = 8x3 + (3 – 2)x2 + (–2 – 3)x + (5 + 1) ← soma dos termos semelhantes. b) Calcular a potência (–x2y3z)4. (z)4 (–1)4 . a) Somar os polinômios p1(x) = 3x2 – 2x + 5 e p2(x) = 8x3 – 2x2 – 3x + 1.m Matemática Básica Para calcular a potência de um monômio.a . 4) . z4 x8y12z4 ← resultado da potenciação do monômio Operações com polinômios Para somar polinômios.b ← aplicação da segunda propriedade. 4 . b)n = an . Solução: 8a3b + (2 + 2)a2b + (–2) ab + (5 – 3)ab2 + b – 1 ← soma dos termos semelhantes. = 8x3 + 1x2 + (–5)x + 6 ← aplicação da segunda propriedade. bn (an)m = an. 65 unidade 3 . y(3 .propriedades da potenciação: (a . p1(x) + p2(x) = 8x3 + x2 – 5x + 6 ← resultado da soma dos polinômios. 2 2 16a2b6 (3 . 4) . (x2)4 . a2 . (y3)4 . Solução: p1(x) + p2(x) = (3x2 – 2x + 5) + (8x3 – 2x2 – 3x + 1) ← soma a realizar. a3) – (4a2 . para efetuar a subtração de dois polinômios. Solução: m(a) .Universidade Aberta do Brasil Observação: como você viu na unidade 2. 3a) + (2 . p(x) = (4a2) . [(4a2 . você deve efetuar o produto do monômio por cada um dos termos do polinômio. (4a2) . utilize as regras dos sinais. a subtração é a operação inversa da adição. portanto. Para eliminar os parêntesis. (a3 – 3a + 1) ← multiplicação de cada termo do primeiro polinômio pelo segundo polinômio. Solução: (4a2 + 2) . 1)] (4a5 – 12a3 + 4a2) + (2a3 – 6a + 2) 4a5 + (–12 + 2)a3 + 4a2 – 6a + 2 4a5 – 10a3 + 4a2 – 6a + 2 66 unidade 3 ← resultado da multiplicação. (x3 – 2x + 1) ← multiplicação a realizar. a) Multiplicar o monômio m(a) = 4a2 pelo polinômio p(x) = x3 – 2x + 1. a técnica é a mesma usada para somar dois polinômios. Multiplicação de polinômios Para efetuar uma multiplicação de monômio por polinômio. 3a) + (4a2 . Para efetuar uma multiplicação de polinômio por polinômio. a3) – (2 . = (4a2)(x3) – (4a2)(2x) + (4a2)(1) ← multiplicação do monômio por cada um dos termos do polinômo. a) Multiplicar os polinômios (4a2 + 2) e (a3 – 3a + 1). (a3 – 3a + 1) + (2) . 1)] + [(2 . p(x) = 4a2x3 – 8a2x + 4a2 ← resultado da multiplicação. (a3 – 3a + 1) ← multiplicação a realizar. m(a) . . você precisa fazer o produto de cada termo de um polinômio por cada termo do outro polinômio (e somar os termos semelhantes no produto final). ( a – b )² . Devido à sua importância. ( a + b ). Se você lembrar deste detalhe não precisará decorá-los.(b + c) = a.Produtos notáveis No cálculo algébrico existem alguns produtos bastante utilizados e que são de Matemática Básica seção 4 grande importância para simplificações realizadas em expressões algébricas. esses produtos são chamados de produtos notáveis. (a + b )³ . então a . b. você poderá rever o conceito de produtos notáveis.b + a.c Os produtos notáveis que mais se destacam na álgebra são: ( a + b )² . Solução: ( 3x + 2 )² = (3x)² + 2 (3x)2 + (2)² 67 unidade 3 . mais o quadrado do 2º termo.( a – b ) . Nesta seção. (a – b )³ Quadrado da soma de dois termos ( a + b )² = ( a + b ) ( a + b ) ( a + b )² = a² + ab + ab + b² ( a + b )² = a² + 2 ab + b² Dizemos que o quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do 1º termo mais duas vezes o 1º termo multiplicado pelo 2º termo. c ∈ R. Todos esses produtos são desenvolvidos apoiados na propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição e à subtração. Lembre-se da propriedade distributiva: Se a. a) Desenvolva o produto notável ( 3x + 2 )². 3y2z)² = a²x² . Solução: (4x + 3y)² = (4x)² + 2(4x)(3y) + (3y)2 (4x + 3y)² = 16x² + 24xy + 9y2 Quadrado da diferença de dois termos ( a .ab + b² ( a .b )² = a² .b ) ( a .ab .b ) = a² .3y2z)² = (ax)² .b ) ( a . 68 unidade 3 .b ) = a² . mais o quadrado do 2º termo.b )² = a² .2 ab + b² Dizemos que o quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do 1º termo menos duas vezes o 1º termo multiplicado pelo 2º termo.3y2z )².b )² = ( a . a) Desenvolva o produto notável (ax .2(ax)( 3y2z) + (3y2z)2 (ax .b² Dizemos que o produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do 1º termo menos o quadrado do 2º termo.2 (2x)(5xy) + (5xy)2 (2x -5 )² = 4x² .b² ( a + b ) ( a .6axy2z + 9y4z2 b) Desenvolva o produto notável (2x -5 )². Solução: (ax .20 x2y + 25 x2y2 Produto da soma pela diferença de dois termos ( a + b ) ( a . Solução: (2x -5xy )² = (2x)² .ab + ab .Universidade Aberta do Brasil ( 3x + 2 )² = 9x² + 12 x + 4 b) Desenvolva o produto notável (4x + 3y)². ( 3 .( 3 .(3z)2 Matemática Básica a) Desenvolva o produto notável (4x + 3z ).(2)2 ( 3 + 2).(4x . ( a + b ) ( a + b )3 = a³ + a²b + 2 a²b + 2ab² + ab² + b³ ( a + b )3 = a³ + 3 a²b + 3 ab² + b³ Dizemos que o cubo da soma de dois termos é igual ao cubo do 1º termo mais três vezes o quadrado do 1º pelo 2º termo.(4x . (4x + 3z ).(4x .(39)? Utilizando produto notável.3z )= 16x² .2). tem-se: (41).2) = 3 – 4 = -1 Você sabia que utilizando os conceitos de produtos notáveis fica fácil fazer alguns cálculos específicos? Veja um exemplo: qual o produto de (41). mais três vezes o 1º termo pelo quadrado do 2º termo.9z2 b) Desenvolva o produto notável ( 3 + 2).3z ).( 3 . 69 unidade 3 .(99). Solução: ( 3 + 2).(39) = ( 40 + 1).Solução: (4x + 3z ). Cubo da soma de dois termos ( a + b )3 = ( a + b )2 . mais o cubo do 2º termo. ( a + b ) ( a + b )3 = (a² + 2 ab + b²) .2) = ( 3 )² .1² = 1600 -1 = 1599 Agora é sua vez de tentar! Use produto notável para calcular (101).(40 -1) = 40² .3z )= (4x)² . .b³ ( a – b )3 = a³ – 3 a²b + 3 ab² – b³ Dizemos que o cubo da diferença de dois termos é igual ao cubo do 1º termo menos três vezes o quadrado do1º pelo 2º termo... menos o cubo do 2º termo. mais três vezes o 1º termo pelo quadrado do 2º termo.............. Observação: não é necessário que você memorize todas as fórmulas.....Universidade Aberta do Brasil Calcule o produto notável ( x² + 3y )³.... No quadrado da diferença e no cubo da diferença podemos usar o desenvolvimento da soma onde o segundo termo é negativo e elevar o termo negativo ao respectivo expoente: ( a – b )² = ( a+ (– b) )2 = a² + 2 a(– b) + (– b) ² = a² – 2 ab + b² ( a – b )3 = ( a+ (– b) )3 = a³ + 3 a²(– b) + 3a(– b) ² + (– b) ³ = a³ – 3 a²b + 3 ab² – b³ Você saberia dizer quanto é ( a + b )4 ? Veja como é fácil desenvolver (a + b)4 seguindo os passos a seguir: 1º passo: coloque a e b elevado ao expoente nas extremidades assim : a4 ...................... ( a – b ) ( a – b )3 = (a² – 2 ab + b²) .. ( a – b ) ( a – b )3 = a³ – a²b – 2 a²b + 2ab² + ab² ..... Solução: ( x² + 3y )³ = ( x²)³ + 3 ( x²)² (3y) + 3 (x² ) (3y )² + (3y )³ ( x² + 3y )³ = x6 + 9 x4 y + 27 x² y² + 27y³ Cubo da diferença de dois termos ( a – b )3 = ( a – b )2 .........b4 70 unidade 3 ............ a4 b0+ a³b1 + a²b² + a1b3 + a0 b4 Observação: como a0 = b0 = 1..Matemática Básica 2 º passo: entre a4 e b4 coloque os produtos ab (n-1) vezes.. isto é... no 1° termo... 4º passo: forma de determinar os coeficientes a partir do 2º termo no desenvolvimento do binômio: use o expoente de a do termo anterior (4. nos extremos esses termos foram acrescentados.. a5 b0 + 5 a4 b1 + 10 a3 b2 + 10 a2 b3 + 5 a1 b4 + 1 a0 b5 O desenvolvimento da expressão (a + b)n. 1 a4 b0 + 4 a³b1 + 6 a²b² + 4 a1b3 + 1 a0 b4 então : ( a + b )4 = a4 + 4 a³b1 + 6 a²b² + 4 a1b3 + b4 Vamos desenvolver agora o binômio ( a + b )5 : (a + b)5 = 1a5 ... quanto é ( a + b+ c )2 ? 71 unidade 3 . no 1º termo) multiplicado pelo coeficiente do termo anterior (1.......a5 b0 + ab + ab + ab + ab + a0 b5 (a + b)5 = 1. é conhecido como Binômio de Newton.... para n > 1 inteiro. 4 – 1 = 3 vezes... e assim por diante...... a4 + ab + ab + ab + b 4 3º passo: decrescer os expoentes a4 até a1 e crescer os expoentes b1 até b4. Você irá estudá-lo na disciplina Fundamentos da Matemática...... Você saberia desenvolver o quadrado de um trinômio. em seguida... divida pelo expoente de b do termo anterior (0... a5 b0 + a4 b1 + a3 b2 + a2 b3 + a1 b4 + a0 b5 (a + b)5 = 1.. no nosso caso... pois temos 1 a4 b0) e.b5 (a + b)5 = 1.. no 1° termo) adicionado de 1(um)... (x + y) 72 unidade 3 ← polinômio a fatorar. elevadas ao menor expoente que cada variável aparece no polinômio. a 2 x3 a 4 x5 = a2 x2 . (ab – 5b c + 3ac d) ← resultado da fatoração. em seguida divida cada termo por a²x³. onde um será o fator comum. . diferença entre dois quadrados e trinômio quadrado perfeito. Solução: observe que “a” e “x” são comuns em todos os termos. 2 3 a x a6 x4 = a4 x a² x³ então : a²x³ + a4x5 + a6x 4 = a²x³. e extraindo o mdc.determinando as variáveis comuns a todos os termos do polinômio.isolando as partes numéricas das partes variáveis. agrupamento. podemos transformá-lo num produto de dois fatores.( 1 + a2x2 + a4x ) b) Fatorar o polinômio 5a3b6c – 25a2b5c3 + 15a3b3c4d. Você pode determinar esse fator da seguinte forma: . ← resultado da fatoração. . que será a parte numérica do fator comum. Solução: fator comum: 5a2b3c 5a3b6c – 25a2b5c3 + 15a3b3c4d ← polinômio a fatorar. Solução: fator comum: (a+b) (a+b)x + (a+b)y (a+b) . a 2 x3 =1.Universidade Aberta do Brasil seção 5 Fatoração de expressões algébricas Nesta seção. você verá quatro processos de fatoração: evidenciação. 5a b c . 2 3 3 2 2 3 c) Fatorar o polinômio (a+b)x + (a+b)y. então coloque o “ a² ” e “ x³ ” em evidência (pois são comuns e de menores expoentes). Fatorar uma expressão algébrica é transformar uma soma em um produto de duas ou mais expressões algébricas menores. chamadas fatores. Fator comum em evidência Quando os termos de um polinômio apresentam fatores comuns. a) Fatorar a expressão algébrica a²x³ + a4x5 + a6x 4. Esse tipo de fatoração consiste em colocar os termos comuns em evidência parcialmente, isto é, localizar primeiro os termos que têm fator comum e então aplicar duas vezes o processo de fatoração evidenciação. Matemática Básica Fatoração por Agrupamento a) Fatorar o polinômio ax + ay + bx + by. Solução: Fator comum aos primeiros dois termos: a Fator comum aos últimos dois termos: b ax + ay + bx + by ← polinômio a fatorar. a(x+ y) + b(x+ y) ← após a primeira fatoração. Novo fator comum: (x+ y). (x+ y) . (a+ b) ← resultado obtido após a segunda fatoração. b) Fatorar o polinômio 2b² + ab² + 2c³ + ac³. Solução: Fator comum aos primeiros dois termos: b2 Fator comum aos últimos dois termos: c3 2b² + ab² + 2c³ + ac³ ← polinômio a fatorar. b2(2+ a) + c3(2+ a) ← após a primeira fatoração. Novo fator comum: (2+ a). (2+ a) . (b2+ c3) ← resultado obtido após a segunda fatoração. c) Fatorar o trinômio x² -5x + 6. Solução: para fatorar por agrupamento, a quantidade de termos deve ser sempre par. No caso desse trinômio, precisamos primeiro decompor a constante do termo central de tal forma que o produto dessa decomposição seja igual à constante do último termo, ou seja: -5 x = -2x - 3x e (-2).(-3) = 6. Assim: x² -5x + 6 ← trinômio a fatorar. x² -2x - 3x + 6 ← decomposição do segundo termo. x ( x - 2) - 3( x - 2) ← fatoração por agrupamento. ( x - 2). ( x - 3) ← resultado da fatoração. 73 unidade 3 Universidade Aberta do Brasil Fatoração por diferença de quadrados Esse processo de fatoração é bastante simples, afinal, é uma aplicação inversa de um produto notável: o produto da soma pela diferença de dois termos. Quando você identificar a diferença entre dois quadrados, basta extrair os quadrados dois termos e escrever o produto. a) Fatorar o binômio 25 x² - 4 y2. Solução: 25 x² - 4 y2 ← binômio a fatorar. 25x 2 = 5x e 4 y 2 = 2 y ← raízes quadradas de cada um dos termos. O segundo termo do binômio é negativo. Então o produto da soma pela diferença é: ( 5x + 2y ) (5x - 2y) ← resultado da fatoração. b) Fatorar o binômio 25x2 – 4. Solução: os dois termos 25x2 e 4 são dois quadrados perfeitos, com raízes 5x e 2. 25x2 – 4 ← polinômio a fatorar. (5x+2)(5x-2) ← resultado da fatoração. c) Fatorar o binômio 1 – 16y4. Solução: os dois termos 1 e 16y4 são dois quadrados perfeitos, com raízes 1 e 4y2. 1 – 16y4 ← polinômio a fatorar. (1 + 4y2)(1 – 4y2) ← resultado da primeira fatoração. O segundo fator é novamente a diferença entre dois quadrados (1 e 4y2), então: (1 + 4y2)(1 + 2y)(1 – 2y) ← resultado final da fatoração. 74 unidade 3 A soma de dois cubos a³ + b³ aparece no desenvolvimento do cubo da soma (a + b)³, visto na seção anterior. Então: (a + b)3 = a³ + 3 a²b + 3 ab² + b³ ← isolando-se a³ + b³ do lado esquerdo. Matemática Básica Soma ou diferença entre dois cubos (a + b)3 – 3 a²b – 3 ab² = a³ + b³ a³ + b³ = (a + b)3 – 3 a²b – 3 ab² ← reescrevendo a equação. a³ + b³ = (a + b)3 – 3ab(a + b), ← tirando (– 3ab) em evidência. a³ + b³ = (a + b) ( (a + b)2 – 3ab ), ← tirando (a + b) em evidência. a³ + b³ = (a + b) ( a² + 2 ab + b²– 3ab ), ← desenvolvendo o quadrado da soma. a³ + b³ = (a + b) ( a² – ab + b²) ← fórmula da soma de dois cubos. A diferença de dois cubos a³ – b³ aparece no desenvolvimento do cubo da soma (a – b)³, visto na seção anterior. Manipulando os termos de mesma forma como foi feito na soma de dois cubos, tem-se: a³ – b³ = (a – b) (a² + ab + b²) ← fórmula da diferença de dois cubos. Fatoração da soma ou diferença entre dois cubos Para fatorar uma soma ou diferença entre dois cubos, deve-se primeiro encontrar a raiz cúbica de cada termo (desprezando o sinal), e substituir na fórmula da soma ou da diferença entre dois cubos desenvolvida acima. Façamos um exemplo para melhor elucidar: a) Fatore a expressão algébrica 8 x3 – 27 y3. Solução: 8 x3 – 27 y3 3 3 8x = 2x e 3 ← expressão a fatorar. 3 27 y = 3 y ← raízes de cada um dos dois termos. Observe que o sinal negativo ocorre no segundo termo da expressão a ser fatorada, então temos a diferença de dois cubos em que a = 2x e b = 3y. (2x – 3y) ( (2x)² + (2x)( 3y) +(3y)² ) (2x – 3y) ( 4x² + 6xy + 9y² ) ← resultado da fatoração. 75 unidade 3 O termo restante é o dobro do produto entre as raízes. a) Fatorar o trinômio 4x2 + 12xy + 9y2. Solução: os termos 1 e 4a2 são dois quadrados perfeitos. ou seja. Você pode aplicar essa forma de fatoração identificando dois termos do trinômio que sejam quadrados perfeitos e extraindo suas raízes. 2a 1 – 4a + 4a2 ← polinômio a fatorar. faça um teste para verificar se o termo que sobrou no trinômio é o dobro do produto das duas raízes encontradas. Solução: os termos 4x2 e 9y2 são dois quadrados perfeitos. O termo restante é o dobro do produto entre as raízes. ou seja. 3y 4x2 + 12xy + 9y2 (2x + 3y)2 ← polinômio a fatorar. 12xy = 2 . com raízes 2x e 3y. e o termo central é exatamente o dobro do produto entre as raízes quadradas dos dois termos extremos. o sinal do segundo termo indica se na fatoração teremos o quadrado de uma soma ou o quadrado de uma diferença. 1 . Como esse tipo de fatoração é a aplicação de produtos notáveis. b) Fatorar o polinômio 1 – 4a + 4a2. ← resultado da fatoração. 4a = 2 . Reparar no sinal negativo do 2° termo. 2x . com o sinal do 2º termo podendo ser positivo ou negativo.Universidade Aberta do Brasil Fatoração do trinômio quadrado perfeito Essa forma de fatoração está baseada nos seguintes produtos notáveis: a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 a2 – 2ab + b2 = (a – b)2 e vale para trinômios. O que caracteriza um trinômio quadrado perfeito é que ele possui três termos: os termos extremos são positivos e possuem raízes quadradas. (1 – 2a)2 ← resultado da fatoração. 76 unidade 3 . Em seguida. com raízes 1 e 2a. 6(a + b)(x2 – 4) ← aqui ainda há uma diferença de quadrados a fatorar. Solução: 6ax2 + 6bx2 – 24a – 24b ← polinômio a fatorar. seção 6 Frações algébricas Chamamos de fração algébrica ao quociente entre dois polinômios p(x) e q(x). 6[x2(a + b) – 4(a + b)] ← fatoração por agrupamento. q( x) com q(x) ≠ 0. São exemplos de frações algébricas: 3x + 3 . devemos fatorá-la por completo. Observação: ao fatorar uma expressão algébrica. x2 − 1 5y .o trinômio pode não ser um trinômio quadrado perfeito. 6(a + b)(x + 2)(x – 2) ← resultado da fatoração. Para que o trinômio seja trinômio quadrado perfeito é necessário que um de seus termos seja o dobro do produto das raízes quadradas dos outros dois (2ab). Matemática Básica Mesmo que um trinômio tenha dois termos que sejam quadrados perfeitos. uma fração algébrica tem a forma: p( x) . 6(ax2 + bx2 – 4a – 4b) ← fator comum em evidência. desde que q(x) não se anule. mesmo que isso signifique aplicar vários tipos de fatoração em seqüência. x+ y 3a − 4b 12a 77 unidade 3 . Fatorar o polinômio 6ax2 + 6bx2 – 24a – 24b. Isto é. depois. . tanto numerador quanto denominador são monômios (portanto já Solução: fatorados). . . simplifique os fatores que forem comuns ao numerador e ao denominador.primeiro. . . ← expressão algébrica simplificada. 25 a 4 b c d 3 4 1 3 1 . ← indicação da simplificação por elementos semelhantes.b . x 2 − 49 Fatoração do numerador: 2x + 14 = 2(x + 7) Fatoração do denominador: x2 – 49 = (x – 7)(x + 7) 2( x + 7) ← fração algébrica. com numerador e denominador fatorados. Aqui. basta que você efetue a divisão dos termos semelhantes: 20 a 3 b 4 c 2 1 . ( x − 7)( x + 7) ← resultado da simplificação da expressão algébrica dada. fatore o numerador e o denominador da fração algébrica. 3 5 a d 4b3c 5ad 3 78 unidade 3 ← simplificação por elementos semelhantes. Simplifique a expressão 20a 3b 4 c 2 25a 4bcd 3 20a 3b 4 c 2 ← fração algébrica a simplificar. Você pode simplificar uma fração algébrica seguindo os seguintes passos: . .Universidade Aberta do Brasil Simplificação de frações algébricas Simplificar uma fração algébrica é reduzi-la à sua forma mais simples.c. 25a 4bcd 3 Neste caso. Simplifique a expressão Solução: 2 x + 14 x 2 − 49 2 x + 14 ← fração algébrica a simplificar. Variável é a letra que usamos para representar qualquer número. 2a 3 − 18a Fatoração do numerador: 3b(a2 – 6a + 9) = 3b(a – 3)2 Matemática Básica Simplifique a expressão Fatoração do denominador: 2a(a2 – 9) = 2a(a + 3)(a – 3) 3b(a − 3) 2 ← fração algébrica. Dois monômios são semelhantes se apresentam a mesma parte literal. Constante ou coeficiente é o valor que multiplica a variável. 2a (a + 3)(a − 3) 3b(a − 3) ← resultado da simplificação da expressão algébrica dada. onde letras são usadas para representar desde incógnitas até generalizações de propriedades matemáticas. 2a (a + 3) Nesta unidade. você teve noções básicas de álgebra.Solução: 3a 2b − 18ab + 27b . O valor numérico de uma expressão algébrica é o valor que obtemos quando substituímos as letras da expressão algébrica por números dados e realizamos todas as operações indicadas. Agora é hora de rever alguns dos conceitos que foram vistos. com numerador e denominador fatorados. Polinômios são expressões algébricas compostas por uma soma finita de 79 unidade 3 . Monômios são expressões algébricas que apresentam apenas produto de número e letras. Expressões algébricas (ou literais) são expressões matemáticas que apresentam operações com números e letras. Chama-se grau de um monômio na variável x ao expoente ao qual a variável x está elevada. Podemos usar a notação p(variável) para identificar as expressões algébricas. 2a 3 − 18a 3a 2b − 18ab + 27b ← fração algébrica a simplificar. Quadrado da diferença de dois termos: ( a – b )² . O grau de um polinômio numa variável é o maior expoente da variável no polinômio. Para multiplicar monômio por polinômio.Fatoração do Trinômio Quadrado Perfeito Uma fração algébrica é o quociente entre dois polinômios p(x) e q(x). efetua-se o produto do monômio por cada um dos termos do polinômio.Fatoração por Diferença de Quadrados . desde que todas as variáveis que aparecem no divisor apareçam também no dividendo.Cubo da soma de dois termos: (a + b )³ . basta operar com os coeficientes e manter a parte literal. Os monômios que fazem parte do polinômio são chamados de termos do polinômio.Universidade Aberta do Brasil monômios. trinômio. É possível dividir monômios. e de três termos.( a – b ) .Fator Comum em Evidência . Um polinômio de um termo é um monômio. com grau maior ou igual ao que está no divisor. Para multiplicar monômios. binômio.Produto da soma pela diferença de dois termos: ( a + b ). Isso pode ser feito eliminando os fatores comuns ao numerador e denominador. Simplificar uma fração algébrica é reduzi-la à sua forma mais simples.Fatoração por Agrupamento . com q(x) ≠ 0. basta efetuar a soma dos termos semelhantes e deixar as demais somas apenas indicadas.Cubo da diferença de dois termos: (a – b )³ Fatorar uma expressão algébrica é transformá-la em um produto de duas ou mais expressões algébricas menores. multiplica-se a parte numérica e a parte literal. Principais formas de fatoração: . chamadas fatores.Quadrado da soma de dois termos: ( a + b )² . Os produtos notáveis que mais se destacam na álgebra são: . Para somar ou subtrair monômios semelhantes. Para somar ou subtrair polinômios. basta fazer o produto de cada termo de um polinômio por cada termo do outro polinômio. É também possível calcular a potência de um monômio. Para multiplicação polinômio por polinômio. 80 unidade 3 . de dois termos. (–2a + 5a2b2) = f) (4x2y4z)3 = 2) Fatore os polinômios abaixo: a) 4x² – 8x + 4 b) 9x4 – 12x3 + 15x2 – 3x c) 15a²b + 3ac – 20abm – 4mc d) x² + 6x + 9 1 x² y 4 – 5 x y3 + 25y2 4 f) x2 – 9 e) g) –25 x4 + 4 y10 h) 3 9 15 3 5 a²y³ – ay4 – ay 8 4 16 3) Simplifique as seguintes frações algébricas: a) b) 36a 2b 6 a 3b 4 c 3 a2 − x2 a 2 − 2ax + x 2 81 unidade 3 .d) + (2a2 – b2 + 2c3 – 2d) = d) (–3a2b) . (7x2y3) = b) 14a2b2c3 : 7abc = Matemática Básica 1) Efetue as operações entre polinômios solicitadas: c) (3a2 – 3b2 – 4c3 .a) (3xy2) . (3ab – 2c + 4d) = e) (2a2b – 3ab3) . unidade 3 82 Universidade Aberta do Brasil . modelar e resolver problemas de equações de segundo grau. ■■ Identificar.Equações de 1º grau ■■ SEÇÃO 2 .Equações do 2º grau ■■ SEÇÃO 4 . modelar e resolver problemas de equações de primeiro grau e sistemas de equações de primeiro grau.OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM ■■ Identificar. Matemática Básica e sistemas de equações UNIDADE IV Equações de 1º e 2º graus ROTEIRO DE ESTUDOS ■■ SEÇÃO 1 .Sistemas de equações de 1º grau ■■ SEÇÃO 3 .Situações-problema envolvendo equações 83 unidade 3 . Esse e outros problemas você será capaz de resolver até o final desta unidade. 84 unidade 4 . além de sistemas de equações. temos a seguinte representação matemática: x + y = 22 x = y–4 A população da cidade A é o triplo da população da cidade B. Em caso de dúvidas.Universidade Aberta do Brasil PARA INÍCIO DE CONVERSA Nesta unidade você revisará conceitos já aprendidos no ensino básico. O foco principal será o aprendizado de técnicas de manipulações algébricas utilizadas para determinar o conjunto solução das equações.000 habitantes. facilitando o entendimento do todo. A representação matemática de um problema pode ser descrita de uma forma simples. Se as duas cidades juntas têm uma população de 100. quantos habitantes tem a cidade B? A = 3B A + B = 100. não deixe de saná-las com o seu tutor.000 Veja se você consegue montar a equação que modela este problema: Eu tenho o dobro da idade da minha filha. qual a minha idade? Caso você não tenha conseguido. Considerando x = idade de João e y = idade Carlos. assim como escrever a equação matemática que o representa a partir de um problema. sabendo-se que João é 4 anos mais novo do que Carlos. Descubra a idade de cada um deles. Veja os exemplos a seguir: A soma das idades de João e Carlos é de 22 anos. como equações de 1º e 2º graus. não se preocupe. Se a diferença de nossas idades é de 23 anos. a Vejamos agora alguns exemplos resolvidos. x é a variável. Logo. Resolver uma equação é encontrar o valor ou os valores das variáveis cuja substituição na equação mantém a igualdade verdadeira. vamos começar a estudar as seções sobre o assunto. seção 1 Equações de 1º grau Nesta seção. você precisa relembrar alguns conceitos. Resolvemos a equação de 1º grau ax + b = 0 seguindo os passos abaixo: ax = –b ← subtrai-se b nos membros da equação b x=− a ← divide-se os dois membros por a Resolver uma equação significa determinar o seu conjunto verdade ou conjunto b solução S. Esses valores são conhecidos como soluções ou raízes da equação. 85 unidade 4 . o conjunto solução é S = − . A equação do 1º grau é aquela em que a variável x está elevada à potência 1. Depois desses esclarecimentos.entendimento do problema em questão. sendo a e b conhecidos e a ≠ 0. Mas. você relembrará alguns conceitos para identificar uma equação de 1º grau e verá como encontrar sua solução. Vamos a eles! Equação é uma sentença matemática na qual aparece um sinal de igual e Matemática Básica Uma equação pode descrever uma situação-problema cuja solução nos dá o uma ou mais letras representando números que não conhecemos e que chamamos de variáveis ou de incógnitas. antes de modelarmos um problema. Uma equação em x é uma afirmação tal como: 2x − 3 = 5 x 2 = 3x − 4 mx + p = 0 ← equação literal. ax + b = 0 . a solução é S = − 5 5 Agora você sabe encontrar a solução de uma equação do 1º grau.Universidade Aberta do Brasil Encontre a solução das equações abaixo: a) 3 x − 4 = 23 Solução: 3x – 4 = 23 3x = 23 + 4 3x = 27 27 x= 3 x = 9. Caso tenha dúvidas. No final desta unidade você encontrará uma lista de exercícios sobre de equações de 1º grau para praticar o que aprendeu. m p Portanto. a solução é S = {9} b) mx + p = 0 Solução: mx + p = 0 mx = − p x = − p . Portanto. Portanto. pergunte ao seu professor tutor! 86 unidade 4 . a solução é S = − m c) 12 x + 3 = 7 x − 4 Solução: 12x + 3 = 7x – 4 12x – 7x = – 4 –3 5x = – 7 x= −7 7 . muitas vezes chegando a milhares. Neste livro você verá apenas como resolver sistemas de equações de 1º grau em duas incógnitas. você aprenderá a identificar e modelar um problema de sistema de equações de 1º grau. então dizemos que o conjunto solução é S = {(9. sabendo-se que João é 4 anos mais novo do que Carlos. o problema das idades de João e Carlos é escrito da seguinte forma: x + y = 22 x − y = −4 Resolver tal sistema de equações é o mesmo que obter os valores de x e de y que satisfazem simultaneamente a ambas as equações. 87 unidade 4 . a) Método da substituição Este método consiste na idéia básica de isolar uma incógnita numa equação e substituí-la na outra equação do sistema dado. João tem 9 anos e Carlos 13 anos.Matemática Básica seção 2 Sistemas de equações de 1º grau Nesta seção. Para responder suas dúvidas você recordará três métodos de resolução de um sistema de equações do 1º grau: método da substituição. Por exemplo. e existe um grande número de pesquisadores estudando formas de resolvê-los. Você certamente se lembra do problema inicial proposto nesta unidade: a soma das idades de João e Carlos é de 22 anos. Você deve estar curioso(a) para saber como chegamos à solução do problema. recaindo-se numa equação do 1º grau com uma única incógnita. isto é. Descubra a idade de cada um deles. 13) }. y) Muitos problemas nas áreas exatas. A resposta de um sistema de equações é denotada por um par ordenado(x. Problemas reais nessas áreas envolvem sistemas de várias variáveis. tecnológicas e até mesmo biológicas recaem em sistemas de equações. método da adição e método da comparação. assim como os métodos de resolução desse sistema. Um sistema de equações do 1º grau em duas incógnitas x e y é um conjunto formado por duas equações do 1º grau nessas duas incógnitas. A representação matemática do problema foi dada como: x + y = 22 x = y–4 Esse problema é um exemplo de sistema de equações lineares. Para entender o método. A solução desse sistema é x = 9 e y = 13. veja o exemplo resolvido abaixo. de números reais. Desta forma. Portanto. em qualquer das equações. recaindo numa equação do 1º grau com uma única incógnita. Para entender o método. 1)} b) Método da adição Este método consiste em deixar os coeficientes de uma incógnita opostos. somando membro a membro as duas equações eliminamos uma incógnita. x + 1 = 4 x = 4 – 1 x=3 A solução do sistema é o par ordenado (3. S = {(3. determinando x.(4 – y) – 3y = 3 ← substitui-se esse valor na 2ª equação 8 – 2y – 3y = 3 ← resolve-se a equação formada para determinar o valor de y –2y – 3y = 3 – 8 –5y = –5 ← multiplica-se a equação por (-1) y = 5/5 y=1 Agora. 1). consideremos o sistema abaixo: Resolva o sistema 88 unidade 4 x + y = 4 2 x − 3 y = 3 . substituímos o valor encontrado de y.Universidade Aberta do Brasil x + y = 4 Resolva o sistema 2 x − 3 y = 3 Solução: x = 4 – y ← isola-se o valor de x na 1ª equação 2. multiplicamos a primeira equação por um número para cancelar uma das incógnitas. x + y = 4 ⋅ (3) Assim: 2 x − 3 y = 3 ⇒ 3 x + 3 y = 12 2 x − 3 y = 3 Matemática Básica Solução: 3 x + 3 y = 12 ← adiciona-se membro a membro as equações 2 x − 3 y = 3 5 x = 15 x = 15/5 x =3 Agora. 1)} c) Método da comparação ou igualdade Este método consiste em isolarmos uma incógnita numa equação e a mesma incógnita na outra. Portanto. depois basta igualar as duas. x + y = 4 3 + y = 4 y = 4 -3 y = 1 A solução do sistema é o par ordenado (3. neste caso. vejamos o exemplo resolvido abaixo: x + y = 4 Resolva o sistema 2 x − 3 y = 3 Solução: x = 4 . S = {(3. substituímos o valor encontrado de x.y x= ← isola-se o valor de x na 1ª e na 2ª equação 3 + 3y 2 89 unidade 4 . cancelaremos a incógnita y ao multiplicar a primeira equação por 3. Para entender o método. recaindo numa equação do 1º grau com uma única incógnita. 1). determinando y.Primeiramente. em qualquer das equações. 3y = 3 . 3 + 3y 4–y= 2 2 (4 . determinando x. Nesta seção você aprendeu formas de resolver um sistema. substituímos o valor encontrado de y. Logo. igualamos as duas equações para determinar o valor de y.Universidade Aberta do Brasil No próximo passo. S = {(3. 90 unidade 4 . a solução é a mesma. 1).8 –5y = –5 ← multiplica-se a equação por (–1) y = 5/5 y=1 Agora. Portanto. mas na seção 4 voltaremos a falar de sistemas de equações e veremos como montá-los a partir de uma situação-problema. em qualquer das equações. fica a seu critério a escolha do método a ser utilizado. independentemente do método. 1)} Como você pode observar. x + 1 = 4 x = 4 – 1 x=3 A solução do sistema é o par ordenado (3.y) = 3 + 3y 8 – 2y = 3 + 3y –2y . então x = y ou x = . a −c caso < 0. ou quando ambos são nulos. Diz-se que uma equação do 2º grau é completa quando b e c são diferentes de zero. Uma equação do 2º grau é incompleta quando b ou c são iguais a zero. y ∈ R e x2 = y. y = 0. 2 Tipos de equação do 2º grau Uma equação do 2º grau pode ser completa ou incompleta. então x = 0 ou y = 0.y . 1º caso (quando b = 0 ): equação do tipo ax 2 + c = 0 .16 = 0 A equação do segundo grau é também chamada de equação quadrática. Solução: 2 ax + c = 0 ax 2 = −c −c x2 = a −c Temos como solução duas raízes reais se > 0. Como exemplo. em que a. A parte histórica sobre o desenvolvimento das equações será estudada na disciplina de Instrumentação para o Ensino de Matemática. Como exemplo. Uma equação do segundo grau na incógnita x é uma equação da forma a x +bx+c=0. y ∈ R e x . temos as seguintes equações: x² – 6x + 9 = 0 –x² + 10x . b e c ∈ R são os coeficientes da equação. 2ª propriedade: se x ∈ R. a não tendo raiz real 91 unidade 4 . pois o termo de maior grau está elevado ao quadrado. você verá os tipos de equações 2º grau e a forma algébrica de resolvê-los. sendo a ≠ 0 . temos as seguintes equações: 2x² – 18 = 0 (b = 0) 3x² – 15x = 0 (c = 0) 4x² = 0 (b = c = 0) Resolução de equações incompletas do 2º grau Na resolução de uma equação incompleta utilizamos as técnicas da fatoração vistas na unidade 3 e duas importantes propriedades dos números reais: 1ª propriedade: se x ∈ R.Matemática Básica seção 3 Equação do 2º grau Nesta seção. 2º caso (quando c = 0): equação do tipo ax 2 + bx = 0 . 8} . a solução é S = {−3.Universidade Aberta do Brasil Encontre as raízes das equações a) 2 x 2 − 18 = 0 Solução: 2 2 x − 18 = 0 2 x 2 = 18 x2 = 9 Pela 2ª propriedade: x 2 = 9 ⇒ x = 9 ou x = . Solução: ax 2 + bx = 0 x(ax + b) = 0 Pela 1ª propriedade: x(ax + b) = 0 ⇔ x=0 ou Temos como soluções duas raízes reais. 3} b) 2 x 2 + 72 = 0 Solução: 2 x 2 + 72 = 0 2 x 2 = −72 x 2 = −36 Como x = −36 ∉ R. não temos solução real. x = 0 ou x = ax + b = 0 −b a Encontre as raízes da equação 2 x 2 − 8 x = 0 Solução: 2 2x − 8x = 0 2 x( x − 8) = 0 ⇔ x = 0 ou x − 8 = 0 92 unidade 4 ⇒ Portanto. ou seja. Portanto. a solução é S = {0.9 . x = 3 ou x = -3. a solução é S = ∅ Observação: o conjunto é vazio por considerarmos apenas as raízes pertencentes ao conjunto dos números reais. Portanto. pelo menos um século antes da publicação de Bhaskhara? Denomina-se discriminante da equação do 2º grau a x 2 + bx + c =0 ao número ∆ = b 2 −4a. 2a 2a b ∆ = 0 ⇒ as duas raízes são reais e iguais (raiz dupla): x1 = x2 = − . Escreva-o na forma do quadrado da soma e do outro lado da equação trabalhe com as frações: 2 b −4ac + b 2 x+ = 2a 4a 2 x+ b b 2 − 4ac =± 2a 4a 2 x=− b b 2 − 4ac ± 2a 2a ← extrai-se a raiz ← isola-se a variável x Desta forma. chegamos a x = Bhaskhara. conhecida como fórmula de 2a Existência de raízes reais Você sabia que a fórmula de Bhaskhara não foi descoberta por ele. 93 unidade 4 .Matemática Básica Resolução de equações completas A solução da equação do 2o grau a x 2 + bx + c =0. −b + ∆ −b − ∆ e x2 = . podem ocorrer três situações: . em que a.c. . 2a ∆ > 0 ⇒ as duas raízes são reais e diferentes: x1 = ∆ < 0 ⇒ não há raízes reais. −b ± b 2 − 4ac . c ∈ R e a ≠ 0 são as raízes da equação que é dada pela fórmula de Bhaskhara : −b ± b 2 − 4ac 2a Veja abaixo como deduzir a fórmula de Bhaskhara. mas pelo matemático hindu Sridhara. b. bx c x2 + + = 0 ← divide-se a equação a x 2 + bx + c =0 por a a a x= x2 + bx c =− a a 2 2 2bx b c b2 b x + + = − + 2 ← soma-se o termo em ambos os lados 2a 2a a 4a 2a 2 Observe que do lado esquerdo temos um produto notável. e conforme o valor de ∆ (lê-se: delta). . x + 9 = 0 − (−1) ± (−1) − 4. Nos números complexos. Logo.3 = 16 -12 = 4 .(1) 2 Então as raízes são: x1 = 4+2 =3 2 e x2 = 4−2 =1 2 Logo.1. onde i = −1 . temos duas raízes reais x= −b ± b 2 − 4ac −(−4) ± 4 4±2 = = 2a 2. − 1. Mas dentro do conjunto dos números complexos teremos duas raízes. não há raízes reais. o conjunto solução é: S = {1} c) 2x2 . − 1 −2 ± 4 − 4 −2 ± 0 −2 x= = = = = =1 2a 2.4x + 3 = 0 ∆= (−4) 2 −4. o conjunto solução é: S = ∅ O conjunto é vazio por considerarmos apenas as raízes pertencentes aos números reais. temos duas raízes iguais x1 = x2 = 1 Logo.Universidade Aberta do Brasil Use a fórmula de Bhaskhara e encontre as raízes das equações abaixo: a) x2 .2 4 2 x= = 1 ± −71 4 Como ∆< 0.9 −b ± b 2 − 4ac 1 ± 1 − 72 = = 2a 2. temos: x= 1 ± −1 ⋅ 71 1 ± −1 ⋅ 71 1 ± i ⋅ 71 = = 4 4 4 Logo: x1 = 94 unidade 4 1 + i ⋅ 71 e 4 x2 = 1 − i ⋅ 71 4 . como ∆>0. o conjunto solução é: S = {1.(−1) −2 −2 −2 2 Como ∆= 0. 3} b) -x2 + 2x -1 = 0 −b ± b 2 − 4ac − (2 ) ± (2 ) − 4.2. Matemática Básica Neste livro trabalharemos apenas com soluções dentro do conjunto dos Escreva na forma fatorada as equações abaixo: a) x2 .5).5x + 6 = 0 Solução: usando a fórmula de Bhaskhara. vemos que as raízes são: x1 = x2 = 5. pergunte ao seu tutor! Agora você já consegue encontrar a solução de equações de 1º e 2º grau.5x + 6 = 0 na forma fatorada (x . (x .números reais.x1 ) . mas sabe como modelar uma situação-problema que recai em uma dessas equações? É o que veremos a seguir.x2 ) = 0 A forma fatorada da equação do 2º grau será utilizada na próxima unidade. Caso tenha dúvidas. 95 unidade 4 . vemos que as raízes são: x1 = 2 e x2 = 3. para poder praticar o que aprendeu. Forma fatorada da equação do 2º grau A equação ax2 + bx + c = 0. ao resolvermos inequações de polinômio de graus maiores ou iguais a 2. mas na disciplina de Fundamentos da Matemática II você conhecerá melhor o conjunto dos números complexos. pode ser escrita na forma fatorada como: a. Então escrevemos 2x2 – 20x + 50 = 0 na forma fatorada 2(x . Então podemos escrever x2 .(x -5) = 0 ou 2(x . cujas raízes reais são x1 e x2 .2).(x .(x -3) = 0 b) 2x2 – 20x + 50 = 0 Solução: usando a fórmula de Bhaskhara.5)2 = 0 No final desta unidade você encontrará uma lista de exercícios sobre equações de 2º grau. e que 4 = 3+1 e 5 em relação a 3 é dado como 5 = 3 + 2. que 3. 96 unidade 4 . . podemos dizer que: o primeiro número é x. e sua resolução pode ser desenvolvida de várias maneiras. Seguindo essa linha de raciocínio. . 41 e 42. 5 são consecutivos.Montar e resolver a equação: x + (x + 1) +( x +2) = 123 3x + 3 = 123 3x = 123 -3 3x = 120 x= 120 3 x = 40 Logo. saber o que o problema quer descobrir. Sabemos. Veja algumas situações-problema resolvidas e como foram aplicados os passos acima.Identificar a operação envolvida: a operação é adição. Quais são esses números? . . .Identificar as operações envolvidas. Problema : A soma de três números consecutivos é 123. A representação matemática de um problema facilita o entendimento do todo.Dados do problema: (I) três números consecutivos (II) a soma dos números é 123.Resolver a equação encontrada. por exemplo.Montar a equação.Universidade Aberta do Brasil seção 4 Situações-problema envolvendo equações Na resolução de situações-problema são muito utilizadas equações de diversos graus.Identificar qual será a incógnita.Identificação das incógnitas: quais são os três números. pois a soma dos números é 123. o segundo é x + 1 e o terceiro é x +2. . .Retirar os dados importantes para a resolução do problema. . os três números consecutivos cuja soma é 123 são 40. Nesta seção você aprenderá a modelar uma situação-problema. ou seja. obtendo o valor da incógnita. Para modelar um problema em linguagem matemática é preciso seguir alguns passos: . 4. ou seja. Hoje ela tem x anos. que chamaremos de x. então: x − 15 = 16 2 Agora é só resolver a equação: x − 15 = 16 2 x – 15 = 32 ← multiplicou-se a equação por 2 para eliminar o denominador x = 32 + 15 x = 47 Logo. b) A diferença entre um número e sua quinta parte é igual a 36. ou seja. o número procurado é 45. 97 unidade 4 . O problema também informou que a metade da idade dela há 15 anos é igual a 16. a metade da sua idade seria 16 anos. Luísa tem 47 anos.x = 36 5 5x − x = 36 5 1 x. x -15. Qual é esse número? Solução: a incógnita é o número desconhecido x. Matemática Básica Modele e resolva os problemas abaixo: Quantos anos ela tem? Solução: a incógnita é a idade atual de Luísa.a) Se Luísa fosse 15 anos mais nova. Sua quinta parte é A diferença entre um número e sua quinta parte é 36. 5 1 x = 36 5 4x = 180 x= 180 4 x = 45 Logo. quinze anos atrás ela teria a idade de hoje menos 15 anos. x Agora é só resolver a equação: 1 x . Eu tenho o dobro da idade de minha filha é x = 2y.000 100. e seu modelo é dado pelo sistema abaixo.000 B = 4 B = 25.000 ⋅ (−1) A − 3B = 0 − A − B = −100. a cidade B tem 25. Se as duas cidades juntas têm uma população de 100. 98 unidade 4 . minha idade vem primeiro. Se a diferença de nossas idades é 23 anos. Como sou a mais velha. Então denotemos: x = minha idade.4B = .000 habitantes. qual a minha idade? Solução: neste caso temos duas incógnitas: a minha idade e da minha filha. y = a idade da minha filha.000 ← adiciona-se membro a membro as equações ← multiplica-se por (-1) Logo. A diferença nas idades é 23.000 Multiplicamos a 2ª equação por (-1) para cancelar a incógnita A. Modele e resolva os problemas: a) A população de uma cidade A é o triplo da população da cidade B.000 habitantes.100. quantos habitantes tem a cidade B? Solução: já vimos esse problema. A = 3B A + B = 100. substitua o valor de B em uma das duas equações que você encontrará. assim: A − 3B = 0 A + B = 100.000 ⇒ A − 3B = 0 − A − B = −100. Se você quiser saber quantos habitantes tem a cidade A.000 .000 A − 3B = 0 ⇒ A + B = 100.Universidade Aberta do Brasil Vejamos agora algumas situações-problema que recaem em um sistema de equações de 1º grau onde utilizaremos as técnicas de resolução vistas na seção 2. então temos x – y = 23. b) Eu tenho o dobro da idade da minha filha. x − 2 y = 0 x − y = 23 ⋅ (−2) x− 2y = 0 −2 x + 2 y = −46 ⇒ x− 2y = 0 −2 x + 2 y = −46 ← adiciona-se membro a membro as equações . mais sete é igual ao dobro de alunos de Luísa. L = alunos da Luísa. se a Rita tivesse sete alunos a mais. x = 2y x − y = 23 x − 2 y = 0 ⇒ x − y = 23 Como queremos saber a minha idade (incógnita x). Quantos alunos cada uma tem? Solução: neste caso temos duas incógnitas. a minha idade é 46 anos. O total de alunos é 68.46 ← multiplica-se por (-1) x = 46 Logo.x = . Então denotemos: R = alunos da Rita. Mas se você quiser saber a idade de minha filha. Descobriram que as duas juntas têm ao todo 68 alunos e que. Alunos da Rita. temos o sistema: R + L = 68 R + L = 68 ⇒ R + 7 = 2L R − 2 L = −7 Multiplicamos a 2ª equação por (-1) para cancelar a incógnita R. temos o sistema: por (-2) para cancelar a incógnita y. R + L = 68. ou seja. multiplicamos a 2ª equação Matemática Básica Desta forma. R + L = 68 − R + 2 L = +7 ← adiciona-se membro a membro as equações 3 L = 75 L = 75 3 L = 25 99 unidade 4 . c) Rita e Luísa são tutoras on-line e resolveram comparar o número de alunos em suas turmas. substitua o valor de x em uma das duas equações que você encontrar. então R + 7= 2L . Desta forma. teria o dobro de alunos de Luisa. Universidade Aberta do Brasil Substituindo o valor de L em uma das duas equações, temos: R + 25 = 68 R = 68 -25 R = 43 Logo, Rita tem 43 alunos, enquanto Luísa tem 25. Agora, veremos uma situação-problema que recai em uma equação do 2º grau na qual utilizaremos a forma de resolução vista na seção 3. O quadrado de um número é igual a dois, menos o próprio número. Qual é esse número? Solução: a incógnita é o número desconhecido x. A frase “o quadrado de um número é igual a dois menos o próprio número” pode ser escrita em linguagem matemática como: x2 = 2 – x. Agora é só resolver a equação: x2 = 2 – x x2 + x – 2 = 0 Resolvendo essa equação por Bhaskhara, ∆= (1)2−4.1.(-2) = 1 + 8 = 9 , como ∆>0, temos duas raízes reais x= −b ± b 2 − 4ac −1 ± 9 −1 ± 3 = = 2a 2.(1) 2 Então as raízes são: x1 = −1 + 3 =1 2 e x2 = −1 − 3 =−2 2 Logo, existem dois números que verificam a equação: −2 e 1. 100 unidade 4 como equações de 1º grau, sistemas de equações de 1º grau e equações de 2º grau. Vejamos um resumo do que foi visto: Matemática Básica Nesta unidade você relembrou e estudou conceitos básicos de matemática Equações de 1º grau : equação da forma ax + b = 0, sendo a e b conhecidos b e a ≠ 0, possui uma única raíz, isto é, x = − . a Sistema de equações do 1º grau em duas incógnitas x e y: conjunto formado por duas equações do 1º grau nessas duas incógnitas. x + y = 22 Por exemplo, cuja solução é denotada pelo par ordenado (x, y), x − y = −4 em que x, y ∈ R. Foram vistos três métodos de resolução: método da substituição, método da adição e método da igualdade. Equação do 2º grau: equação da forma: , em que a, b e c ∈ R e a ≠ 0 . Uma equação do 2º grau é completa quando b e c são diferentes de zero; e incompleta quando b ou c é igual a zero, ou quando ambos são nulos. As raízes de uma equação do segundo graus são determinadas por x= −b ± b 2 − 4ac . 2a Conforme o valor de ∆= b 2 −4a.c, podem ocorrer três situações: ∆>0 ⇒ as duas raízes são reais e diferentes, ∆=0 ⇒ as duas raízes são reais e iguais, ∆<0 ⇒ não há raízes reais. Vimos que para modelar um problema em linguagem matemática é preciso seguir alguns passos: retirar os dados importantes, identificar a incógnita, identificar as operações envolvidas, montar e resolver a equação utilizando algumas das técnicas vistas nas outras seções. Os conceitos ora aprendidos serão importantes nas próximas disciplinas. Voltaremos a falar de alguns conceitos vistos aqui na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I, quando você estudar funções polinomiais. Caro(a) aluno(a), só prossiga para a próxima unidade após realizar as atividades de auto-avaliação e se certificar de que os conceitos vistos aqui foram bem aprendidos. Em caso de dúvidas, fale com seu tutor. Bons estudos! 101 unidade 4 Universidade Aberta do Brasil 1) Encontre a solução das seguintes equações de 1º grau: a) 2 x + 1 = 15 b) 2 x + 1 = 3 x − 4 c) x 1 1 x + = − a a 3 a 2) Determine as raízes reais das equações de 2º grau: a) 3 x 2 − 12 = 0 c) x 2 + 1 = 0 b) 2 x 2 − x = 0 d) 6 x 2 + 5 x − 4 = 0 3) Escreva as equações de 2º grau na sua forma fatorada : a) 2 x 2 − 50 = 0 b) x 2 − 3 x + 2 = 0 d) 2 x 2 − x − 1 = 0 e) 2 x 2 − 8 x + 8 = 0 c) 2 x 2 − 4 x = 0 4) Modele em linguagem matemática e resolva os problemas abaixo: a) O triplo de um número é igual a sua metade mais 20. Qual é esse número? b) Oscar é o cestinha do time de basquete de sua escola. Nos jogos da Primavera do ano passado, seu time foi campeão. O quádruplo do número de pontos que ele fez, na final, diminuído de 29 pontos, resultou em 127. Quantos pontos ele fez nesse jogo? c) Márcio retira em um caixa eletrônico R$ 150,00, recebendo 11 notas, algumas de R$ 10,00 e outras de R$ 20,00. Quantas notas de R$ 10,00 ele recebeu? d) Qual é o número não nulo, cujo quadrado da metade e do seu terço, e do seu quarto, todos juntos somados é o próprio número? 102 unidade 4 unidade 4 103 Matemática Básica . unidade 4 104 Universidade Aberta do Brasil . simultâneas.Situações-problema envolvendo inequações. tais como: inequação produto.Inequações de 1º grau ■■ SEÇÃO 2 .Tipos de inequações: simultânea. quociente. ROTEIRO DE ESTUDOS ■■ SEÇÃO 1 . sistemas de inequações.Inequações de 2º grau ■■ SEÇÃO 4 . ■■ Desenvolver procedimentos para encontrar o intervalo que representa o Matemática Básica UNIDADE V Inequações conjunto solução das inequações polinomiais. 105 unidade 5 . produto e quociente ■■ SEÇÃO 3 . ■■ Modelar situações-problema envolvendo inequações.OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM ■■ Identificar os vários tipos de inequações polinomiais. 59 < x ≤ 2. tem-se: zero 7.5% Alíquotas do I.582.5% para x ≤ 1.60 até R$ 2.866.00 para 2. para 1. você irá rever algumas propriedades de desigualdades para resolver uma inequação.866.71 até R$ 3.01 até R$ 2.866.582. não deixe de saná-las com o seu tutor.5% (de R$ 2.59).150. São cinco alíquotas conforme os rendimentos mensais: 0% (até R$ 1.150.01)”.434. 15% (de R$ 2. 15% 22.5% (a partir de R$ 3.25 litro podem ser retirados de modo que restem mais de 3 litros? Caso você não tenha conseguido. Considerando x = rendimento mensal da pessoa física.866. 7. não se preocupe.582.434.00). 106 unidade 5 . Veja o exemplo abaixo.00 para x > 3. Ao pegar um jornal na banca você lê a seguinte notícia “A Receita Federal definiu novas alíquotas para o Imposto de Renda a partir da declaração do próximo ano. aprenderá a identificar uma inequação e verá que inequações surgem no nosso cotidiano. 22. R. em caso de dúvidas. até quantos copos com capacidade de 0.5% 27.00 < x ≤ 2.434. Um parágrafo cheio de números e porcentagens pode ser traduzido de uma forma mais simples.Universidade Aberta do Brasil PARA INÍCIO DE CONVERSA Nesta unidade.150.00) e 27.434. Mas. nas atividades científicas e na resolução de problemas.150.00 Você conseguiria montar a inequação que modela o problema abaixo? De um garrafão contendo 10 litros de garapa.59. Esse e outros problemas você será capaz de resolver até o final desta unidade.70 < x ≤ 3.5% (de R$ 1. A linguagem matemática pode descrever uma situação do nosso cotidiano de uma forma simples.70 para 2.582.70). grau Nesta seção. tais como: 2 x -3 < 5 2 x2 . se caracteriza pela presença de um dos seguintes sinais de desigualdades: >. <. grau Denomina-se inequação do 1º.4 > 16 7 ≤ 3 x . ≥ ou ≤ .4 < 5 Resolver uma inequação é encontrar um intervalo numérico cuja substituição na inequação mantém a desigualdade verdadeira. pois a solução de uma inequação não é apenas um número. 2x−10 é um polinômio do 1o grau. Inequação do 1º.INEquaçÕES de 1º. Resolução de inequação do 1º grau Resolver uma inequação é encontrar um intervalo numérico que satisfaça a sentença tornando-a verdadeira. mas um intervalo numérico. grau na variável x toda desigualdade que pode ser reduzida a um polinômio linear com alguma das desigualdades abaixo: ax +b<0 ax +b≤0 ax +b>0 a x + b≥ 0 Verificar se 5( x − 2) − x 2 ≥ 5 x − x ( x +2) é uma inequação do 1o grau. Uma inequação na variável x. você notará que resolver uma inequação é diferente de resolver Matemática Básica seção 1 uma equação. então 5(x −1)− x2 ≥ 5 x − x (x +2) é uma inequação do 1o grau. Vamos recordar de algumas propriedades da desigualdade que serão usadas para resolver inequações: 107 unidade 5 . 5(x −2) − x2 ≥ 5 x − x (x +2) 5 x − 10 − x2 ≥ 5 x − x2−2 x 5 x − 5 x +2 x −10 ≥ 0 2 x − 10 ≥ 0 Logo. então: - Se a > b. Sejam a. então a + c > b + c - Se a > b e c > 0. o conjunto solução é S ={ x ∈ R.Universidade Aberta do Brasil Na resolução das inequações. você trabalhará com intervalos. Resolver as seguintes inequações e representar a solução na reta real: a) 5( x −2)− x2 ≥ 5x− x (x +2) Solução: 5(x −2) − x2 ≥ 5 x − x (x +2) 5 x − 10 − x2 ≥ 5 x − x2− 2 x 5 x − 5 x +2 x −10 ≥ 0 2 x − 10 ≥ 0 2 x ≥ 10 x ≥5 Logo. então a ⋅ c < b ⋅ c Se você tiver dúvidas sobre desigualdades e operações com intervalos. b e c ∈ R. Desta forma. retorne à unidade 1 ou procure saná-las com o seu professor tutor. então a ⋅ c > b ⋅ c - Se a > b e c < 0. é importante que os conceitos vistos na primeira unidade estejam consolidados. x ≥ 5} b) x −1 1− x 2− x + > 2x + 3 2 6 Solução: x −1 1− x 2− x + > 2x+ 3 2 6 2( x − 1) + 3(1 − x) 6(2 x) + (2 − x) > 6 6 108 unidade 5 ← calcula-se o mmc . x < − 1 } 12 c) –7 ≤ –3 –3x < 4 Solução: –7 ≤ –3 –3x < 4 ← adiciona-se +3 à inequação –7 + 3 ≤ -3 +3 –3x < 4 +3 – 4 ≤ –3x < 7 ← divide-se a inequação por 3 4 7 ≤ –x < ← multiplicando por (−1) 3 3 4 7 ≥ x >– 3 3 7 4 – < x ≤ 3 3 7 4 Logo.(−1) ← multiplica-se por (−1) Matemática Básica 2 x − 2 + 3 − 3 x 12 x + 2 − x > 6 6 12 x < −1 x< −1 12 ← solução Logo. As inequações simultâneas onde aparece a incógnita nos extremos recaem em um sistema de inequações e serão resolvidas na próxima seção. 109 unidade 5 .− x + 1 > 11x + 2 ← simplifica-se o denominador −12 x > 1 . S ={x∈ R. S ={ x ∈ R. Então é possível resolvê-la diretamente. pois em seus extremos não aparece a incógnita. – < x ≤ } 3 3 – Observação: Embora a inequação do exemplo (c) seja uma inequação simultânea. ela não entrou na seção abaixo. Inequação simultânea e sistema de inequações de 1º grau Uma inequação simultânea pode ser expressa como um sistema de inequações. Resolvendo (i) Resolvendo (ii) 3 x + 2 < − x + 3 − x + 3 ≤ x + 4 3 x + x < 3 − 2 −x − x ≤ 4 − 3 4 x < 1 −2 x ≤ 1 1 4 −x ≤ 1 2 x≥− 1 2 x< Expressamos as soluções de (i) e (ii) geometricamente. (-1) . isto é: 110 unidade 5 . a solução da inequação simultânea é a intersecção das soluções de (i) e (ii). Resolver a inequação 3 x + 2 < − x + 3 ≤ x + 4 Solução: transforma-se a inequação simultânea em um sistema de inequações: 3 x + 2 < − x + 3 (i ) e − x + 3 ≤ x + 4 (ii ) Encontradas as soluções das inequações (i) e (ii). produto e quociente Nesta seção. você verá detalhes de como resolver os vários tipos de inequações e relembrará como trabalhar com intervalos numéricos para encontrar a solução dessas inequações.Universidade Aberta do Brasil seção 2 Tipos de inequações: simultâneas. O conjunto solução S de um sistema de inequações é determinado pela intersecção dos conjuntos soluções de cada inequação do sistema. Resolver a inequação ( x − 2). Mostraremos agora duas formas de se resolver uma inequação produto.Matemática Básica A solução é a intersecção de (i) e (ii). y < 0. ( x − 2) ≥ 0 e ( x + 1) ≥ 0 x – 2 ≥ 0 ⇒ x ≥ 2 (i) e x +1 ≥ 0 ⇒ x ≥ -1 (ii) 111 unidade 5 . x > 0 e y > 0 ou x < 0 e y <0 (se o produto de dois fatores é positivo. x > 0 e y < 0 ou x < 0 e y >0 (se o produto de dois fatores é negativo. utilizaremos técnicas da fatoração e duas importantes propriedades dos números reais: 1ª propriedade: se x ∈ R. analisando cada um dos casos: Caso 1: os dois fatores são positivos. Temos os seguintes casos: Caso 1: os dois fatores são positivos ou Caso 2: os dois fatores são negativos. então. y ∈ R e x .( x + 1) ≥ 0 Solução: é uma inequação produto ( x − 2). então. então os dois fatores são positivos ou os dois são negativos). Faremos aqui a forma analítica. então os dois fatores têm sinais contrários).( x + 1) ≥ 0 . Vejamos um exemplo resolvido. ) 2 4 2 4 Inequação produto Para resolver uma inequação produto. y > 0. y ∈ R e x . 2ª propriedade: se x ∈ R. 1 1 1 1 S1 = {x ∈ R / − ≤ x < }= [− . isto é. A primeira é a forma analítica. ou seja. 112 unidade 5 . O “ou” simboliza união.∞ . então a solução é a união das soluções de cada caso (S1 e S2). isto é: Geometricamente Logo. o conjunto solução é S = S1 ∪ S2 = (. S2 = {x ∈ R / x ≤ -1}= (. ou seja. ou seja. foram geradas duas situações: caso 1 ou caso 2. isto é.∞ .-1] Se o produto de dois fatores é positivo. + ∞ ) Caso 2: os dois fatores são negativos.Universidade Aberta do Brasil Geometricamente temos: A solução do caso 1 é a intersecção de (i) e (ii). S1 = {x ∈ R / x ≥ 2}= [2.-1] ∪ [2. + ∞ ). ( x − 2) ≤ 0 e ( x + 1) ≤ 0 x – 2 ≤ 0 ⇒ x ≤ 2 (iii) e x +1 ≤ 0 ⇒ x ≤ -1 (iv) Geometricamente temos: A solução do caso 2 é a intersecção de (iii) e (iv). Olhemos para cada fator lembrando que representa ax + b = 0. Graficamente: Vejamos agora o mesmo exemplo anterior pelo estudo dos sinais da equação de 1º grau.fatores de 1º grau. Procuramos a raiz da equação e identificamos o sinal de a da equação ax + b = 0 x − 2 = 0 x=–1 x = 2 é raiz e a = 1 >0 é raiz e a = 1 >0 113 unidade 5 . Resolver a inequação ( x − 2). primeiramente. Estudo do sinal da equação de 1º grau Matemática Básica Mostraremos agora a outra forma de se resolver uma inequação produto com −b é a raiz da equação ax + b = 0 e que a representação a geométrica da equação de 1º grau é uma reta.( x + 1) ≥ 0 Solução: vejamos os sinais dos fatores. introduzir o conceito de sinal da equação de 1º grau. Para isso precisaremos. Se a é positivo: a reta que passa pela raiz mudará de sinal de (-) para (+). Se a é negativo: a reta que passa pela raiz mudará de sinal de (+) para (-). Teremos duas situações de retas Sabemos que x = passando pela raiz x conforme o valor de a da equação ax + b = 0. x > 0 e y > 0 ou y (se o quociente de dois números é positivo. + ∞ ).( x + 1) ≥ 0 . onde o produto dos sinais dos fatores ( x − 2). y ∈ R e x<0 e y <0 x > 0. Desta forma. então os dois números são positivos ou os dois são negativos). y ∈ R e x<0 e y >0 x < 0. então os dois números têm sinais contrários). então. A solução é dada na última linha. Como temos ( x − 2). 1ª propriedade: se x ∈ R.∞ . Inequação quociente Da mesma forma que uma inequação produto. 2ª propriedade: se x ∈ R. use a regra de produto de sinais e veja o intervalo onde o sinal é positivo.( x + 1) ≥ 0 .-1] ∪ [2. Acompanhe o exemplo resolvido abaixo.( x + 1) satisfaz ( x − 2). Para a raiz de cada fator representaremos uma bolinha. 114 unidade 5 . usaremos a tabela de sinais. As duas formas mostradas para resolver uma inequação produto também se aplicam para resolver uma inequação quociente. Por comodidade. a bolinha preenchida representa as desigualdades (≤ ou ≥). utilizaremos técnicas da fatoração e duas importantes propriedades dos números reais para resolver uma inequação quociente. em que a bolinha vazia representa as desigualdades (< ou >). e as análises de sinal em cada linha. o conjunto solução é S = (.Universidade Aberta do Brasil Montamos uma tabela com a reta real orientada e as raízes sobre ela. então x > 0 e y < 0 ou y (se o quociente de dois números é negativo. use a regra da divisão de x−2 sinais e veja o intervalo onde o sinal é positivo. e as −3 x + 1 análises de sinal em cada linha. na análise de sinal da tabela para x = 2 usa-se bola aberta. Montaremos uma tabela com a reta real orientada e as raízes sobre ela. então x ≠ 2 . ≥ 0 . O conjunto solução é S = [ . Como temos ≥ 0. logo. onde os sinais do quociente satisfazem a inequação −3 x + 1 1 1 ≤ x < 2}. para não ter divisão por zero. A solução é dada na última linha.equação ax+b=0 −3 x + 1 = 0 x= 1 é raiz e a = -3 <0 3 Matemática Básica −3 x + 1 ≥0 x−2 Solução: procuramos a raiz dos termos lineares e identificamos o sinal de a da Resolver a inequação x−2=0 x = 2 é raiz e a = 1 >0 Observação: como o denominador é ( x − 2) . 2 ) ou S = {x ∈ R / 3 3 x−2 115 unidade 5 . se forem conhecidas suas raízes... você verá que para resolver uma inequação do 2º grau.( x − xn ) Vejamos agora alguns exemplos resolvidos com inequações envolvendo polinômios de graus maiores e iguais a 2.. Logo. A equação x 2 − x − 2 = 0 tem raízes reais x1 = 2 e x2 = -1. Suponha que x1 . a inequação x 2 − x − 2 < 0 é equivalente a ( x − 2).. x2 . Dado o polinômio Pp (x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + . Assim como vimos que uma equação do 2º grau pode ser escrita na forma fatorada.. Então podemos escrever a forma fatorada do polinômio por: Pp (x ) = an ( x − x1 ). se an ≠ 0 então n é o grau do polinômio. an ∈ R são coeficientes e n é um inteiro não negativo. temos que escrevê-la na forma fatorada. .. ou que envolva polinômios de grau maior que 2.. . a) Resolver a inequação x 2 − x − 2 < 0 Solução: como a inequação envolve um polinômio de grau 2. xn sejam as raízes de um polinômio de grau n.Universidade Aberta do Brasil seção 3 Inequações do 2º grau Nesta seção.. o mesmo vale para um polinômio de grau n. + an −1 x n −1 + an x n . precisamos fatorar o polinômio envolvido em fatores lineares do 1° grau..( x + 1) < 0 . a1 .( x − x2 ). Procuramos a raiz da equação e identificamos o sinal de a da equação ax + b = 0 116 unidade 5 x − 2 = 0 x +1 = 0 x = 2 é raiz e a = 1 > 0 x = −1 é raiz e a=1>0 .. em que a0 . b) Resolver a inequação x3 – 9x > 0 Solução: como a inequação envolve um polinômio de grau maior que 2. a inequação x3 – 9x > 0 é equivalente a x. (x – 3).(x + 3) > 0. Matemática Básica Montamos uma tabela com a reta real orientada e as raízes sobre ela.( x + 1) satisfaz ( x − 2). Procuramos a raiz da equação e identificamos o sinal de a da equação ax + b = 0 x = 0 x – 3 = 0 x = 0 é raiz x = 3 é raiz a=1>0 a = 1 > 0 x+3= 0 x = – 3 é raiz a=1>0 O próximo passo é montar uma tabela com as raízes encontradas e a análise de sinal em cada linha. a raiz de cada termo será uma bolinha vazia. use a regra de produto de sinais e veja o intervalo onde o sinal é negativo.(x + 3) ← por evidenciação ← por diferença dos quadrados Logo. Como a desigualdade da inequação é restrita (menor. temos que escrevê-la na forma fatorada. 117 unidade 5 . onde o produto dos sinais dos fatores ( x − 2). Como a desigualdade da inequação é restrita (menor.(x + 3) > 0. S = {x ∈ R / -1 < x < 2} = (-1. (x2 – 9) 3 x3 – 9x = x.como as análises de sinal em cada linha. 2). usando as técnicas já aprendidas na unidade 3.( x + 1) < 0 . assim A solução é dada na última linha.( x + 1) < 0 . use a regra de produto de sinais e veja o intervalo onde o sinal é positivo. (x – 3). <). Como temos x. (x – 3). ou seja. <). a raiz de cada termo será uma bolinha vazia. Como temos ( x − 2). x3 – 9x = 0 pode ser escrito como x – 9x = x. até quantos copos com capacidade de 0. a que chamaremos de x. Veja algumas situações-problemas resolvidas.0.(x + 3) satisfaz x. Comecemos com o desafio deixado no início desta unidade. podemos ter situações que recaiam em inequações.3). Os passos para modelar um problema em linguagem matemática são os mesmos.25 x > 3 Agora é só resolver a inequação: 118 unidade 5 . O copo tem capacidade 0. Então: 10 . S = {x ∈ R / – 3 < x < 0 ou x > 3}. Então quando usamos o copo. seção 4 Situações-problema envolvendo inequações Da mesma forma que vimos na Unidade 4 sobre a resolução de situaçõesproblemas usando equações.25 x. Modele e resolva os problemas. ou seja.Universidade Aberta do Brasil A solução é dada na última linha. De 10 litros você tira 0.25 litro podem ser retirados de modo que restem mais de 3 litros? Solução: A incógnita é a quantidade de copos.(x + 3) > 0. Você já tentou resolvê-lo? Façamos juntos.25.25 x para que reste no garrafão mais de 3 litros. onde o produto dos sinais dos fatores x. (x –3). a) De um garrafão contendo 10 litros de garapa. usaremos 0. (x . 25 x > 3 -10 .25 x > -7 7 0. 25 .0. haverá R$ 150. Supondo que eles querem gastar menos de R$ 200.00 e cada bebida R$ 3. eles poderão consumir 16 bebidas. não podemos usar 28 copos.25 x > 3 x < 28 Logo. 119 unidade 5 .00.0. a que chamaremos de x. A entrada custa R$ 30.00. b) Cinco amigos querem comemorar em uma danceteria a aprovação no vestibular.00 de gasto com as entradas.66 x< Logo. A entrada custa R$ 30.28 ← multiplicando por (-1) .150 3 x < 50 50 3 x < 16.. Observação: como a desigualdade é estrita.0. logo.x>- Matemática Básica 10 . do galão de 10 litros podemos tirar até 27 copos para que ainda restem 3 litros. e eles querem gastar menos de R$ 200.00 e são 5 rapazes.x > . quanto de bebida poderão consumir? Solução: A incógnita é a quantidade de bebidas.00. Então: 150 + 3 x < 200 Agora é só resolver a inequação: 3 x < 200 . Cada bebida custa R$ 3.00. também.Universidade Aberta do Brasil Nesta unidade você descobriu que inequações surgem no nosso cotidiano.( x − xn ) . ..( x − x2 ).. . é fundamental que você os tenha bem claro. caro(a) aluno(a). . <. viu.Você viu que. só prossiga para a próxima unidade após realizar as atividades de auto-avaliação e se certificar de que os conceitos vistos aqui foram bem aprendidos. Os conceitos aprendidos aqui serão importantes nas próximas disciplinas. produto ou quociente . pois a solução de uma inequação é um intervalo numérico. nas mais diversas situações. Portanto.Inequação do 1º grau na variável x é toda desigualdade da forma : a x + b < 0. Assim. podese utilizar a linguagem matemática para descrever uma situação-problema de uma forma simples. a x + b > 0 ou a x + b≥ 0. a x + b ≤ 0. para resolver uma inequação do 2º grau ou polinômios de grau maiores que 2. Em caso de dúvidas.simultâneas. é preciso fatorar o polinômio envolvido em fatores lineares do 1o grau. assim como utilizar técnicas da fatoração e algumas propriedades dos números reais. Vejamos um resumo do que foi visto: . fale com seu tutor! Bons estudos! 1) Resolva as inequações abaixo: a) 2 + 3 x < 5 x + 8 c) x + 1 ≤ 7 − 3 x ≤ 120 unidade 5 x − 1 2 b) 5 ≤ 2 x − 3 ≤ 13 d) −5 ≤ 4 − 3x <1 2 . que a forma fatorada de um polinômio de grau n é P (x ) = an ( x − x1 ). .Para resolver os tipos de inequações .é necessário trabalhar com intervalos numéricos para encontrar a solução dessas inequações.Você tem que ter claro que resolver uma inequação é diferente de resolver uma equação.Uma inequação envolve desigualdades: >. ≥ ou ≤. Até mesmo em uma notícia no jornal de domingo. preciso ter no tanque de meu carro para percorrer mais de 700 quilômetros sem abastecer. ele percebeu que só tinha R$ 130.00 por dia e 50 centavos o quilômetro rodado. Quais cidades ele conseguiu visitar (sem esquecer que ele precisa voltar ao ponto de partida)? 121 unidade 5 . sabendo que meu carro percorre 12 quilômetros com 1 litro de gasolina? b) Se o perímetro de um triângulo eqüilátero é menor do que 18 cm.00 reais no bolso. g) Matemática Básica x −1 < 0 x+3 f) x 2 − 6 x − 7 ≤ 0 e) (3 x + 1).(2 x − 5) ≥ 0 2) Modele em linguagem matemática e resolva os problemas abaixo: a) Quantos litros de gasolina. Carlos alugou um carro para ir às cidades A (20 quilômetros do seu ponto de partida). qual o maior valor inteiro pode ter o comprimento do lado? c) Uma empresa de aluguel de carros oferece carros a R$ 80. B (20 quilômetros adiante da cidade A) e C (20 quilômetros adiante da cidade B). Ao começar a viagem. no mínimo. unidade 5 122 Universidade Aberta do Brasil . OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM ■■ Conhecer a operação numérica potenciação e suas operações inversas.Potenciação ■■ SEÇÃO 2 .Equações exponenciais ■■ SEÇÃO 3 . ■■ Compreender a forma de resolução de equações exponenciais e logarítmicas.Radiciação e logaritmação ■■ SEÇÃO 4 .Equações logarítmicas 123 unidade 5 . Matemática Básica operações inversas UNIDADE VI Potenciação e suas ROTEIRO DE ESTUDOS ■■ SEÇÃO 1 . A notação que usamos hoje para raiz quadrada. devido à propriedade dos logaritmos transformarem potências em produtos.Universidade Aberta do Brasil PARA INÍCIO DE CONVERSA Esta unidade foi pensada para que você tenha um contato maior com as operações de potenciação. Nesta seção você irá fazer um estudo mais aprofundado da potenciação e verá também as suas propriedades. calcula-se uma potência. 124 unidade 6 . essas operações vão se mostrar muito acessíveis. com a intenção de simplificar cálculos aritméticos. seção 1 Potenciação Na unidade 2 você já viu o conceito básico da potenciação. Bom estudo! A potenciação surgiu para simplificar a notação da multiplicação envolvendo fatores iguais. Potência é um produto de fatores iguais. raiz cúbica. procure entender cada um deles e faça todos os exercícios propostos. Mais uma vez. criaram os logaritmos. permitindo que se realizassem cálculos complicados em um tempo muito menor. multiplicações em adições e divisões em subtrações. Ao estudá-la. Potenciação é a operação matemática na qual. Você vai ver que. etc. dada uma base e um expoente. radiciação e logaritmação. John Napier e Jost Bürgi. agindo assim. lembre-se de que os professores tutores estão aí para ajudá-lo a sanar quaisquer dúvidas que você tiver. No início do século XVII. dois matemáticos. é devida ao matemático alemão Michel Stifel. refaça todos os exemplos. trabalhando independentemente. Matemática Básica 24 = 2.2.2.2 = 16 ↑ o número 2 aparece multiplicado quatro vezes por ele mesmo. Na sentença 24 = 16, está sendo elevada a base 2 ao expoente 4, para se obter a potência 16. Generalizando, escreve-se an para indicar uma potência qualquer, onde a (um número real positivo) é a base e n (um número natural) é o expoente. A base a pode também ser um número negativo? Resposta: pode. Mais à frente você visualizará o que ocorre, se esse for o caso. Outra pergunta que você pode estar fazendo é: “e se o expoente não for um número inteiro?” A resposta a essa questão você também verá mais adiante, nesta unidade ainda. Propriedades da potenciação A potenciação admite as seguintes propriedades: am . an = am + n n an a = (se b ≠ 0) b bn (a . b)n = an . bn (an )m = an.m 32 . 34 = 3.3 . 3.3.3.3 = 3.3.3.3.3.3 = 36 = 3(2+4) 2 32 3 3 3.3 9 3 = x = = = 4 4 4 4.4 16 42 (3 . 4)2 = (3 . 4) . (3 . 4) = 3 . 4 . 3 . 4 = 144 = 9 . 16 = 3 . 3 . 4 . 4 = 32 . 42 (23)2 = (23) . (23) = (2.2.2) . (2.2.2) = 2.2.2.2.2.2 = 26 = 2(3 . 2) A potenciação é uma operação direta, assim como a adição e a multiplicação. Mas difere das duas últimas, pois tem duas operações inversas diferentes: a radiciação e a logaritmação. 125 unidade 6 Universidade Aberta do Brasil Preste atenção ao que acontece quando é necessário dividir duas potências de 7 mesma base. Como exemplo motivador, veja o que acontece no cálculo de 3 4 : 3 37 3.3.3.3.3.3.3 ← número de fatores: 7 no numerador e 4 no denominador = 3.3.3.3 34 Aplicando a lei da simplificação, obtemos apenas: 37 = 3.3.3 34 ← número de fatores que o numerador tem a mais que o denominador: 3 Assim, pode-se escrever: 37 3.3.3.3.3.3.3 = = 3.3.3 = 27 = 33 4 3.3.3.3 3 Generalizando, encontramos a seguinte propriedade da potenciação: am : an = am = a(m – n) an (se a ≠ 0) 325 : 323 = 3(25 – 23) = 32 = 3.3 = 9 Usar essa generalização para calcular o valor de a0. Solução: an =1 (se a ≠ 0) n a Ou seja, a0 = 1, para qualquer valor de a diferente de zero. Esta também é a0 = a(n – n) = an : an = uma propriedade da potenciação. O valor da potência 00 é uma indeterminação, isto é, não tem um valor numérico definido. Você saberia dizer por quê? A partir da mesma generalização, você pode também aprender a calcular uma potência quando o expoente é um inteiro negativo. Veja só: 126 unidade 6 a(-n) = a(0 – n) = a0 1 = n an a ⇒ am , tem-se: an 1 a (– n) = n . a Com mais esta propriedade, você está apto a calcular uma potência quando Matemática Básica Considerando-se m = 0 na igualdade a(m – n) = o expoente é um número natural ou um número inteiro (inclusive se o expoente for o zero). Calcular 40 e 4(– 2). Soluções: 40 = 1 e 4(– 2) = 1 1 = 2 16 4 seção 2 Equações exponenciais Na unidade 5 você viu o conceito de equação. Nesta seção você voltará a estudar equações, mas agora de um tipo especial: as equações exponenciais ou potenciais. Em comum, elas têm a necessidade de resolver a equação, isto é, a necessidade de encontrar suas raízes. Equação exponencial é uma sentença matemática que apresenta um sinal de igual, e onde as variáveis aparecem no expoente de uma potência. São exemplos de equações exponenciais: 2x = 8; 4x – 2x = 2; 3x+1 + 3x-1 = 90; 2x = 1 16 Para resolver uma equação exponencial, você primeiro deve utilizar as propriedades das potências para transformar a equação dada em uma igualdade de potências de mesma base (isto é, você deve reescrever o primeiro e o segundo membro da equação como potências de bases iguais); em seguida, basta resolver a equação que resulta da igualdade dos expoentes, quando se suprimem as bases. (já que a base é a mesma, é nos expoentes que a equação que você vai resolver aparece). 127 unidade 6 pois devemos ter y = 2x > 0 para qualquer x. 128 unidade 6 . ↑ O resultado da equação exponencial é S = { 3 }. Solução: 3x+1 + 3x-1 = 90 3x . Resolver a equação exponencial 4x – 2x = 2. 31 + 3x . 3x . resta y = 2. 32 3 . x=3 ← equação resultante da igualdade dos expoentes. ← neste passo. Os termos aparecem como potências de mesma base. y = 2 ou y = – 1 ← raízes (ou soluções) da equação de 2º grau em y. Resolver a equação exponencial 3x+1 + 3x-1 = 90. 3 x 2 ← propriedades da potenciação. a solução da equação exponencial é S = { 3 }. ↑ Neste caso. (3/10) 3x = 33 x=3 ← equação resultante da igualdade dos expoentes. (3 + 1/3) = 10 .Universidade Aberta do Brasil Resolver a equação exponencial 2x = 8. então 4x = 22x. Então. Assim: equação resultante da substituição y = 2. 2x = 2 ← x=1 ← equação resultante da igualdade dos expoentes. 32 . 3(– 1) = 10 . 32 3x = 10 . Solução: 4x – 2x = 2 (22)x – 2x – 2 = 0 y2 – y – 2 = 0 ← já que 22 = 4. Solução: 2x = 23 ← já que 23 = 8. A solução y = – 1 não faz sentido. colocou-se em evidência o fator 3x. efetua-se a substituição y = 2x. (10/3) = 10 . ← neste passo. ↑ O resultado da equação exponencial é S = { 1 }. fica fácil trabalhar com essas operações inversas. o número 3 é chamado de raiz e o número 2 (que não aparece de fato) é chamado de índice. Dessa forma. então b=a Ou seja. diferentemente da Matemática Básica seção 3 adição e da multiplicação. dado um radicando e um índice. Radiciação Radiciação é a operação matemática na qual. 129 unidade 6 . podemos fazer a relação n b =b (1 ) n .Radiciação e logaritmação Aqui você terá oportunidade de visualizar o fato de que. calcula-se uma raiz (base). deve-se perguntar: “qual é o número a que. De fato. resulte na potência b?” A resposta a essa questão será a raiz procurada. A radiciação é uma operação inversa da potenciação. na potenciação. o número 9 é chamado de radicando. quando se vai calcular uma raiz do tipo n b . podemos fazer uma ligação da radiciação com a potenciação. Observação: a radiciação também pode ser vista como uma potência. se os conceitos forem bem entendidos. 9 = 3 No exemplo acima. da seguinte maneira: se n an = b. dada uma base e um expoente. procura-se uma potência. calcula-se uma raiz. elevado ao expoente n . De fato. dado um radicando (potência) e um índice (expoente). a radiciação. E verá ainda que. Na sua operação inversa. a potenciação tem duas operações inversas distintas: a radiciação e a logaritmação. Universidade Aberta do Brasil Já é possível responder à seguinte questão: o que acontece com a potenciação se. quando o índice é par. De fato.m a Observação: a radiciação. ocorre o seguinte: n b m = b( m n) Propriedades da radiciação A radiciação admite as seguintes propriedades: n a. só está definida para radicandos não negativos.x 6 3 = 3 3 3 = 27 ⋅ 3 x 6 6 ⋅ x3 ← propriedade da radiciação ← propriedades da potenciação e da radiciação 3 = 33 ⋅ x 2 = 3 x2 130 unidade 6 b) 3 2 c) 3 3 = 3⋅2 a3 ⋅ b6 = 3 ← propriedade da radiciação a3 ⋅ 3 b6 ← propriedade da radiciação 3 = 3 6 . tivermos um expoente racional? A resposta é esta: a potenciação vira uma radiciação. Simplifique os radicais: a) 3 27. em vez de expoente inteiro. n b n b m = b( n an = a n a na = b nb n m m n) a = n.b = n a . equivalente. devemos multiplicar ambos os termos da fração por um número conveniente. Neste caso. 3 3 2 e x 2 . Vejamos alguns exemplos: 1º caso: o denominador é da forma a b . 131 unidade 6 . Por exemplo: 1 .6 ⋅b3 = a ⋅ b2 a6 = b5 d) a6 b5 = = 6 a2 5 b2 a3 5 ou b2 e) 3 ← propriedade da radiciação Matemática Básica = 3 a3 a3 b5 x ⋅ y ⋅ 3 x2 ⋅ 3 y 4 = = 3 3 x ⋅ y ⋅ x2 ⋅ y 4 x3 ⋅ y 5 ← propriedade da radiciação ← propriedade da potenciação Racionalização de denominadores Existem frações cujo denominador é irracional. de denominador racional. Para isso. basta multiplicar o numerador e o denominador por b. 2 4 . 7− 3 Para facilitar os cálculos. é conveniente transformá-las em uma outra. 2 3 52 = 5 53 ← multiplica-se o numerador e denominador por 5 = 2 3 25 5 x3 . basta multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. de modo a tornar o expoente do radicando no denominador igual ao índice do radical. Neste caso. a) 2 = ← multiplica-se o numerador e denominador por 5 3 3 2 = 3 5 1 b) 5 x 2 2 3 52 ⋅ 3 5 3 52 = 2 3 52 3 5. Neste caso.Universidade Aberta do Brasil 4 a) b) = 3 1 = 2 3 4 3 ⋅ 1 2 3 3 = 3 ⋅ 3 4 3 ( 3) = 3 = 2 3 2 ( 3) 2 4 3 3 3 = 2. Observação: o conjugado da expressão a + b é é a+ b. devemos multiplicar o numerador e o denominador por um fator. obteremos o produto pela diferença.3 = 3 6 2º caso: o denominador é da forma a n b m . onde n > 2. a ± b ou a ± b . Assim. e de a− b . pois 2 + 3 = 5. 1 5 x2 ⋅ 5 x3 5 x3 = 5 5 x3 x 2 ⋅ x3 = 5 5 x3 x 2+3 = 5 x3 5 x5 3º caso: o denominador possui uma destas formas: = 5 x3 x a ± b .52 2 3 52 = 3 52 . pois 1 + 2 = 3. que resulta na diferença de dois quadrados. 132 unidade 6 a − b . o número 81 é o logaritmando e o número 4 é chamado de logaritmo. dados uma base e um número real (potência).html Logaritmação Logaritmação é a operação matemática na qual. e a logaritmação fornece a logaritmando (potência) e a base e busca encontrar o logaritmo (expoente). Ou seja. A potenciação. que está no site http://home. consulte o material elaborado pela professora Simone Leal Schwertl. o número 3 é chamado de base. A logaritmação é a outra operação inversa da potenciação.br/andresa/MatBas/MatBas. da seguinte maneira: se an = b então log a b = n. 2 − 2 2 2 Para saber mais sobre racionalização.” Podemos fazer uma ligação da logaritmação com a potenciação. A leitura da sentença acima é a seguinte: “o logaritmo de 81 na base 3 é igual a 4. Assim. busca-se encontrar um logaritmo. se você souber operar bem com a potenciação. na potenciação. A radiciação fornece a potência e o expoente e busca encontrar a base.(2 − 2 )= 2. tem duas operações inversas: a radiciação e a logaritmação. diferentemente da adição e da multiplicação.(2 − 2 )= 4. log 2 8 = 3 ← isso porque 23 = 8. o objetivo é encontrar o expoente.b) 1 3+ 2 4 2+ 2 = = ( 3 − 2 )= 3 − 2 2) ( 3 − 2) ( 3) −( 2) 1 ⋅ ( 3+ 4 (2 + 2 (2 − 2 ) 2 ) (2 − 2 ) ⋅ = 2 = 3− 2 = 3− 2 Matemática Básica a) 3− 2 = 3− 2 1 ( ) = 4. dada uma base e um expoente. não deve encontrar muitas dificuldades para operar com logaritmos.furb. procura-se uma 133 unidade 6 . 2 − 2 ( ) 4−2 2 (2 ) − ( 2 ) 4. onde dada uma base e uma potência. Na sentença log3 81 = 4. dado um logaritmando e uma base. (a) log 10 1000 = 3. Dessa forma. resulta na potência b?” A resposta a essa questão será o logaritmo procurado. pois 103 = 1000 (b) log 2 16 = 4. Lembre-se: calcular um logaritmo loga b = n é obter um expoente de uma potência an = b calcula-se um logaritmo. β) = log a α + log a β α log a = log a α . pois 70 = 1 (d) log 25 25 = 1. log a α log a α = log a β ⇔ α = β A logaritmação log a b apresenta as seguintes restrições quanto à base e a potência: (a) a ∈ R*+ (para que a expressão ax tenha significado para qualquer x ∈ R) (b) a ≠ 1 (pois se a = 1. pois 251 = 25 Propriedades da logaritmação A logaritmação admite as seguintes propriedades: log a (α . então temos que ax > 0 para qualquer x ∈ R) 134 unidade 6 .log a β β log a (α n) = n . elevando a base a ao expoente n .Universidade Aberta do Brasil potência. Na sua operação inversa logaritmação. log a b só teria significado para b = 1) (c) b ∈ R*+ (porque como a > 0. quando se vai calcular um logaritmo do tipo log a b = n deve-se perguntar: “qual é o número n que. pois 24 = 16 (c) log 7 1 = 0. 718283. Equações logarítmicas são aquelas em que as variáveis aparecem na posição da potência no logaritmo. temos: ln 2 = log 2 0.30103 log10 2 = = = 0. um matemático escocês que é considerado o descobridor dos logaritmos. Quando o logaritmo tem base O número e é um e.os logaritmos na base a. Solução: Utilizando a fórmula acima.. você pode obter o valor do logaritmo de um número em qualquer base. 4343 log10 e seção 4 Equações logarítmicas Nesta seção você voltará a estudar equações. log 3 (x + 2) = 1 + log (1/3) x 135 unidade 6 . O nome neperiano vem de John Napier. utilizando a seguinte Matemática Básica Observação: chama-se sistema de logaritmos de base a ao conjunto de todos com valor numérico de e = 2. 5 + 2.4343. só que agora serão as equações logarítmicas.30103 e log e = 0. Mudança de base Se você conhecer bem um sistema de logaritmos em alguma base.log x = 7.69313 log e 0. log x = 4.. São exemplos de equações logarítmicas: log 4x = 2. com a > 0 e a ≠ 1. Quando o logaritmo tem base 10. fórmula para a mudança de base em logaritmos: log a b = log c b log c a Dados log 2 = 0. calcule ln 2 . como se faz com o índice da raiz quadrada). é chamado de logaritmo natural ou logaritmo neperiano e indica-se por log e b número irracional ou apenas por ln b. é chamado logaritmo decimal e é indicado por log 10 b ou apenas por log b (suprimese a base. você deve analisar os resultados obtidos de acordo com as restrições para existência dos logaritmos. equação logarítmica. pois se deve ter b > 0 (restrição). para então validar os resultados ou não. ⇒ log x = 2 ← divisão de ambos os termos da equação pelo fator comum 2. ⇒ 2x2 – 7x + 6 = x2 ⇒ x2 – 7x + 6 = 0 ⇒ x = 1 ou x = 6 ← após aplicar propriedades de logaritmo. pois na equação original não apresenta problema. Solução: 2 log x = 4 ← equação logarítmica. Análise das soluções encontradas: x = 1 não é válida na equação original. você deve transformá-la em uma equação exponencial. Calcular o valor de x em log 4x = 2. Solução: log 4x = 2 ← ⇒ 4 x = 102 ← equação na forma exponencial associada. ⇒ x = 102 ← equação na forma exponencial associada ⇒ x = 100 ← solução da equação logarítmica. ← ← equação do 2° grau na variável x. ⇒ 4x = 100 ⇒ x = 25 Resolver a equação 2 log x = 4. ← solução da equação logarítmica. x = 6 é a solução possível.Universidade Aberta do Brasil Para resolver uma equação logarítmica. ⇒ ln(2x2 – 7x + 6) = ln x2 ← após aplicar propriedades de logaritmo. 136 unidade 6 . soluções ou raízes da equação do 2° grau. aplicando o fato que log a b = n se e somente se an = b. Resolver a equação ln (x – 2) + ln ( 2x – 3) = 2 ln x. Solução: ln (x – 2) + ln ( 2x – 3) = 2 ln x ← equação logarítmica original. Além disso. a oportunidade de conhecer dois tipos especiais de equações: as equações potenciais e as equações logarítmicas. A radiciação é uma das operações inversas da potenciação. b)n = an . 137 unidade 6 . você teve contato com as operações de potenciação. Radiciação é a operação matemática na qual. A logaritmação é a outra operação inversa da potenciação. também. Potência é um produto de fatores iguais. n b n b m = b( n an = a n a na = b nb n m m n) a = n. radiciação algumas dessas lições.m a0 = 1 a (– n) = (se a ≠ 0) 1 an Equações exponenciais são aquelas onde as variáveis aparecem no expoente de uma potência. Propriedades da radiciação n a.e logaritmação. dado um radicando e um índice. dada uma base e um expoente. Potenciação é a operação matemática na qual. Propriedades da potenciação am . busca-se encontrar um logaritmo. Agora é hora de rever Matemática Básica Nesta unidade. dada uma base e um número real (potência). calcula-se uma potência. Teve. bn (an )m = an. an = am + n n an a = (se b ≠ 0) b bn (a .m a Logaritmação é a operação matemática na qual.b = n a . calcula-se uma raiz. = c b e) 138 unidade 6 3x 2 y 3 3 ab 2 3 xy 2 2 2 2a b 3 = . então log a b = n Propriedades da logaritmação log a (α .Universidade Aberta do Brasil A logaritmação e a potenciação têm a seguinte ligação: se an = b. 1) Efetue as potências indicadas: a) (2a6) 2 = −2 2ab3 b) 4 = 5c −4 3 c) − 2 = 2a 2 3 2ab 2 a 2 c d) 3 . log a α log a α = log a β ⇔ α = β É possível realizar a mudança de base em logaritmos. utilizando a seguinte fórmula: log a b = log c b log c a Equações logarítmicas são aquelas em que as variáveis aparecem na posição da potência no logaritmo. β) = log a α + log a β α log a = log a α .log a β β log a (α n) = n . 5 2) Simplifique as expressões. 139 unidade 6 . utilizando as propriedades de potenciação: a) E = 3n + 2 ⋅ 3n 3 ⋅ 3n +1 b) F = 4n ⋅ 2( n −1) 4( n +1) c) G = 25n + 2 ⋅ 100 5n +1 Matemática Básica −2 f) −2 + 4 = 3) Racionalize o denominador de cada fração: a) b) c) 2 332 = 2 = x+ 4 3 = 1− x d) 3 = 3 +1 e) 1+ 2 = 2+ 2 4) Resolva as equações abaixo: a) 4 x = 512. d) log 2 x + log 4 x + log16 x = 7. b) 81x+ 2 = 1 c) 4 x − 5⋅ 2 x + 4 = 0. e) log 2 ( x +2) + log 2 ( x −2) = 5. . E nem foi tão difícil assim. não é mesmo? Agora. e com as habilidades que desenvolveu. com o conhecimento que você reviu ou adquiriu.Caro(a) aluno(a). use-o para sanar as dúvidas que surgirem em outras disciplinas e até em sua vida profissional. fazendo todas as atividades propostas. E lembre-se: este material permanece com você. Continue assim. Cada uma das disciplinas que você ainda fará tem importância na sua formação geral e você deve encarála com determinação. você está apto a dar seguimento a seu curso. Matemática Básica PALAVRAS FINAIS Parabéns! Você acaba de completar a disciplina Matemática Básica. sempre! Queremos vê-lo(a) formado(a)! Os professores autores Jocemar de Quadros Chagas Luciane Grossi Bombacini 141 PALAVRAS FINAIS . Vale lembrar que o mesmo empenho que você dedicou a esta disciplina deverá dedicar às próximas. . vol. vol. MACHADO. 2003. Gelson. Palhoça: UnisulVirtual. AMARAL. 2 ed. Antonio dos Santos. São Paulo: Editora Ática. funções. 1998.com. Cálculo I. Samuel. 2005. IEZZI. MACHADO. FLEMMING. Nelson et all. Antonio dos Santos. MURAKAMI. Matemática na escola de 2º grau. João Tomás. 5 Ed. Matemática: temas e metas. Fundamentos de Matemática Elementar: Complexos. São Paulo: Moderna. 1. 1988. vol. 2005. 09. BOULOS. Carlos. Elisa Flemming. DOLCE. HAZZAN. 8 ed. Gelson. 6. IEZZI.Matemática Básica REFERÊNCIAS BOSQUILHA.ensino: fundamental. vol. Gelson. LUZ. São Paulo: Pearson Makron Books. equações. 143 respostas5 unidade . 1996. 7 ed. 2001. 2004. 8 ed. 2. Paulo. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos.sercomtel. São Paulo: Atual. polinômios. WAGNER. Fundamentos de Matemática Elementar: Logaritmos. 1. 1. Matemática para o 2º Grau. Pré-cálculo. São Paulo: Moderna. Diva Marilia. 5 ed. MATEMATICA essencial .br/matematica/>. Christian. GENTIL. IEZZI. Minimanual compacto de matemática: Teoria e prática: Ensino Fundamental. São Paulo: Atual. Acesso em: 20 mar. São Paulo: Moderna. 2004. Alessandra. vol. São Paulo: Rideel. médio e superior Disponível em <http://pessoal. Osvaldo. Acesso em: 20 mar. br/>. Acesso em: 20 mar. FUNDAMENTOS de matemática elementar I . M. Acesso em: 20 mar.ufba. 09.html>. UOL Disponível em: <www. 09. MASCARENHAS.br/matematica/>. E.uol. Acesso em: 20 mar. MATEMÁTICA básica Disponível em: <http://home. 09.fund198. PRATES.A <www. 09..educacao.SÓ MATEMÁTICA Disponível em: <www.. C.brasilescola.furb.somatematica.br>..br/andresa/ MatBas/MatBas.com. Acesso em: 20 mar. BRASIL escola Disponível em: <www.com/matematica/>. G. 09. VALENTE. . DOMINGUEZ. Trabalhou como professora colaboradora na UFMT. desde 2006. UEPG. na UFSCar e na UEL. Luciane Grossi Bombacini É doutora e mestre em Ciência da Computação e Matemática Computacional pela Universidade de São Paulo. Trabalha como pesquisadora e orientadora de iniciação científica no grupo de pesquisa da UEPG em Análise Numérica. Atua como professora adjunta da Universidade Estadual de Ponta Grossa. Ministra disciplinas na área de matemática para licenciaturas e bacharelados. Ministra disciplinas na área de matemática para as Licenciaturas e Engenharias. USP. Participa do projeto de extensão Matemática para a Comunidade. 145 AUTOR . Atua como professor assistente da Universidade Estadual de Ponta Grossa. É graduada em Licenciatura Plena em Matemática pela Universidade Federal de Mato Grosso. UFSC. Trabalhou como professor colaborador na UDESC. UPF.Matemática Básica NOTAS SOBRE OS AUTORES Jocemar de Quadros Chagas É mestre em Matemática e Computação Científica pela Universidade Federal de Santa Catarina. Participa do projeto de extensão Matemática para a Comunidade. Também é ator e dramaturgo há 11 anos. UEPG. e como professora efetiva na UNIFIL. UFMT. É graduado em Licenciatura Plena em Matemática pela Universidade de Passo Fundo. desde 2007. Universidade Aberta do Brasil RESPOSTAS DAS ATIVIDADES PROPOSTAS 146 Respostas . 4. 7} b) A ∩ C = {2. 3.Exercício 1. 2.264 f) -11/25 g) 385/64 h) 6/5 147 respostas5 unidade ..275 e) 5.} Exercício 2. Exercício 3.25 c) -367. a) A ∪ B = {1. (a) 3 unidades da origem (b) 5 unidades do ponto equivalente a -6 UNIDADE 2 Exercício 1. 7} d) C – B = {2.8.6.4} c) B – A = {5. 5..7. 4.6.. a) 29631 b) 109.725 d) -249.8} Matemática Básica UNIDADE 1 e) CA = {5. . (2x). (3x – 4x + 5x – 1) 3 c) Fatore: Solução: 2 ← polinômio a fatorar. 15a²b + 3ac – 20abm – 4mc 15a²b + 3ac – 20abm – 4mc = 3.Universidade Aberta do Brasil UNIDADE 3 Exercício 1. Logo: x² + 6x + 9 = ( x + 3)2 e) Fatore: Solução: 148 Respostas 1 x² y 4 – 5 x y3 + 25y2 4 1 2 4 1 2 x y = xy e 4 2 25y 2 = 5 y (encontra-se a raíz quadrada dos extremos) .(5ab + c)– 4m. a) 21 x3y5 b) 2abc2 c) 5a2 –4 b2 .12a2bd e) – 4a3b + 10 a4b3 + 6 a2b3 . Solução: Fator comum: 3x 9x4 – 12x3 + 15x2 – 3x 3x . (3 ) = 6x (encontra-se a raíz quadrada dos extremos) (verifica-se se duas vezes as raízes é igual ao termo do meio) como o sinal do termo do meio é positivo temos um quadrado da soma.15 a3b5 f) 64x6y12z3 Exercício 2 a) Fatore: 4x² . 5a²b + 3ac – 4. (2 ) = 8x (encontra-se a raíz quadrada dos extremos) (verifica-se se duas vezes as raízes é igual ao termo do meio) como o sinal do termo do meio é negativo temos um quadrado da diferença. ← resultado da fatoração. Logo: 4x² . (x). (3a – 4m) d) Fatore: x² + 6x + 9 Solução: x2 = x e 9=3 2.2c3 – 3d d) – 9a3b2 + 6 a2bc .8x + 4 Solução: 4x 2 = 2x e 4 =2 2.8x + 4 = ( 2x .2)2 b) Fatorar o polinômio 9x4 – 12x3 + 15x2 – 3x.(5ab + c) 15a²b + 3ac – 20abm – 4mc = (5ab + c).5abm – 4mc 15a²b + 3ac – 20abm – 4mc = 3a. (5 y ) = 5 x y3 (verifica-se se duas vezes as raízes é igual ao termo 2 como o sinal do termo do meio é negativo temos um quadrado da diferença. x2 – 9 ← polinômio a fatorar.5 y)2 4 2 Matemática Básica 2.25 x4 + 4 y10 = ( 5 x² + 2 y5) ( . ( a– y– ay ) 4 2 1 4 Exercício 3: a) 36a 2b 6 a 3b 4 c 3 b) a2 − x2 a 2 − 2ax + x 2 = 6 ab3c3 = a+x a−x 149 respostas5 unidade .do meio) 1 2 x y ).5 x² + 2 y5) h) Fatore: 3 9 15 3 5 a²y³ . ← resultado da fatoração: produto da soma pela diferença dos dois termos. (x+3). ( a – y – 2 ay ) 8 4 16 2 1 2 2 coloque em evidência = 3 3 1 3 5 2 2 ay . ( f) Fatorar o polinômio x2 – 9. temos: ( 3 3.25 x4 + 4 y10 25x 4 = 5 x² e 4 y10 = 2 y5 (encontra-se a raíz quadrada de cada termo) Observe que o sinal negativo ocorre no primeiro termo do problema a ser fatorado ( 5x2 + 2y5 ) (–5x2 +2y5) (produto da soma pela diferença) Logo: . g) Fatore: .5 32 a²y³ ay4 – 4 a3y 5) 3 2 2 2 2 3 3 ay (pois são comuns e de menores expoentes) 22 3 9 15 3 5 3 1 1 3 1 5 2 2 então : a²y³ – ay4 – a y = 2 ay3. com raízes x e 3.ay4 – ay 8 4 16 Solução: Fatorando os coeficientes. Logo: 1 1 x² y 4 – 5 x y3 + 25y2 = ( x y2 . Solução: Os dois termos x2 e 9 são dois quadrados perfeitos.(x-3). chamaremos de x. UNIDADE 5 Exercício 1: a) S = (-3. 14/3] e) S = ( . c) Resposta: Ele recebeu 7 notas de R$ 10.(x – 2) = 0 c) 2x. 2} b) S = {0. Agora é só resolver a equação: 4x . } 3 2 Exercício 3: a) 2(x + 5).00 d) Resposta: O número é 144/61.Universidade Aberta do Brasil UNIDADE 4 Exercício 1: a) S = {7} b) S = {5} c) S = { a −3 } 6 Exercício 2: a) S = {-2. O quádruplo do número de pontos que ele fez (4x) menos 29 é 127. 7] g) S = (-3. -1/3] ∪ [5/2. + ∞ ) f) S = [-1.(x – 2) 2 = 0 Exercício 4: a) Resposta: O número é 8. 8] d) S = ( 2/3. + ∞ ) b) S = [4. b) Resposta: 39 pontos Solução : A incógnita é o número de pontos que ele fez. 1) Exercício 2 a) Resposta: 59 litros 150 Respostas c) S = ∅ .(x – 5) = 0 b) (x – 1).(x + 1/2) = 0 e) 2.∞ . 1/2} c) S = ∅ d) S = {- 4 1 .(x – 2) = 0 d) (x – 1).29 = 127 4x = 127 + 29 4x = 156 x = 156 / 4 x = 39 Logo. Oscar fez 39 pontos. 5 x ≤ 100 Ele poderá percorrer 100 quilômetros.5x ≤ 130 -80 0. e temos que usar o valor mínimo de litros que satisfaça a desigualdade.5x ≤ 50 x ≤ 50 / 0.5x. c) Resposta: Ele conseguira visitar as cidades A e B. então: 12 x > 700 Agora é só resolver a inequação: Matemática Básica Solução : A incógnita é a quantidade de litros de gasolina que chamaremos de 12 x > 700 700 12 x > 58. pegamos o próximo número inteiro.x. pois a desigualdade é estrita. O carro percorre 12 quilômetros com 1 litro de gasolina. Como a distância percorrida ida-volta 151 respostas5 unidade .33 x> Logo. Quero percorrer mais de 700 quilometros com x (rendimento do carro: 12 km/litro) litros de gasolina.5x ≤ 130 0. serão necessários 59 litros para percorrer 700 quilômetros sem abastecer.00 então: 80 + 0. então: 3 x < 18 x < 18/3 x<6 Logo. 6 não faz parte da solução. Solução : A incógnita é o quilometro rodado que chamaremos de x. Mas ele tem em dinheiro R$ 130.00 por dia e 50 centavos o quilômetro rodado. Observação: Como a desigualdade é estrita. isto é : 80 + 0. No nosso caso 59. A incógnita é o lado que chamaremos de x. o lado deve ter 5cm. b) Resposta: 5 cm Solução : Um triângulo eqüilátero tem os 3 lados iguais. O aluguel é de R$ 80. = 3 3 3 2 3 6 3y4 3 xy 2 a b 3 xy a b 27 x y 2 2 2a b −2 f) −2 + 4 = −6 5 5 −2 = 25 36 Exercício 2: a)E = 3n b)F = 2n –3 c)G = 5 n + 4 . 2 Exercício 3: a) b) c) d) 152 Respostas 2 332 = 2 3 22 332 3 22 = 2 3 22 = 3. = c b 4a 2b 4 a 6 c3 . 6 6 . e da B é 80. 3 c6 b = 4a8b c3 2 3x 2 y 2 3 3 3 3 x 2 y 2a 2 b 2 9 x 4 y 2 8a 6 b 6 ab 8x e) = = . Logo ele conseguira visitar as cidades A e B. UNIDADE 6 Exercício 1: a) (2a6) 2 = 4a12 −2 2ab3 5c 4 b) 4 = 3 5c 2ab 2 = 25c8 4a 2 b 6 4 −4 2a 2 16a8 3 c) − 2 = − = 81 2a 3 2 3 2ab 2 a 2 c d) 3 .Universidade Aberta do Brasil até a cidade C é de 120 quilômetros.2 3 22 3 2 2 x −2 4 = x−4 x+ 4 3 3+3 x = 1− x 1− x 3 = 3 +1 ( 3 − 1) = 3.( 3 − 1) ( 3 + 1) ( 3 − 1) ( 3 ) − (1) 3 ⋅ 2 2 = 3− 3 3− 3 = 3 −1 2 . 2 Voltando à igualdade 2 x = y : y1 =4: 2 x = y ⇒ 2 x =4 ⇒ 2 x = 22 ⇒ x =2. Matemática Básica ( ) ( ) = (1 + 2 )(. c) 4 x −5⋅ 2 x + 4 = 0. S={−2}. 2 − 2 ) (2 + 2 ) (2 − 2 ) (2) − ( 2 ) 1+ 2 2− 2 e) 1 + 2 = ⋅ Solução : Usando as propriedades das potências. d) log 2 x + log 4 x + log16 x =7.2}. 2 b) 81x+ 2 =1 Solução : Sabendo que 810 =1. Fazendo 2 x = y . y2 =1: 2 x = y ⇒ 2 x =1 ⇒ 2 x = 20 ⇒ x =0. Transformando para a base 2: 153 respostas5 unidade .2+ 2 2 = 2 2− 2 +2 2 −2 2 = 2 2 Exercício 4: a) 4 x =512. vamos fazer uma transformação na equação dada: 4 x −5⋅ 2 x +4=0 ⇒ (22 ) x −5⋅ 2 x +4=0 ⇒ (2 x ) 2 −5⋅ 2 x +4=0. 9 S= . S={0. vamos transformar o 1o e 2o membros da equação em potências de mesma base: 9 2 4 x =512 ⇒ (22 ) x = 29 ⇒ 22 x = 2 9 ⇒ 2 x =9 ⇒ x = . temos a equação do 2o grau em y : y 2 −5 y +4=0 ⇒ y = 5 ± 25 − 16 ⇒ y1 =4 e y2 =1. Solução: A condição de existência é x > 0. temos: 81x+ 2 =1 ⇒ 81x+ 2 = 810 ⇒ x +2=0 ⇒ x =−2. Solução : Usando as propriedades da potenciação. Universidade Aberta do Brasil log 2 x + log 4 x + log16 x =7 log 2 x + log 2 x log 2 x + =7 log 2 4 log 2 16 log 2 x + log 2 x log 2 x + =7 2 4 4log 2 x + 2log 2 x + log 2 x 28 = 4 4 7 log 2 x =28 log 2 x =4 24 = x x =16 ⇒ 16 satisfaz a condição de existência. Logo. Então: x > 2 log 2 ( x +2)+ log 2 ( x −2)=5 log 2 [( x +2)⋅( x −2)]=5 ( x +2)⋅( x −2)= 25 x 2 −4=32 x 2 =36 x 2 =±6 ⇒ −6 não satisfaz a condição de existência mas. 154 Respostas . 6 satisfaz. Logo. o conjunto solução é S={6}. o conjunto solução é S={16}. Solução : Condições de existência são: x +2>0 e x −2>0 ⇒ x >−2 e x >2. e) log 2 ( x +2)+ log 2 ( x −2)=5. Matemática Básica 155 respostas5 unidade .