Matemática básica

PROF.:THI AGO PACÍ F I CO ht t p: / / w w w. euvoupassar .com.br Eu Vou Passar – e você? Página 1 Professor Thiago Pacífico – Matemática-Módulo-04 “As equações são mais importantes para mim que a política, pois esta é feita para o presente, enquanto que as primeiras são algo para a Eternidade.” ALBERT EINSTEIN Æ Conj unt o dos Númer os Nat ur ai s N = {0, 1, 2, 3, 4, ...} Æ Conj unt o dos Númer os Nat ur ai s Não- Nul os N* = N – {0} = {1, 2, 3, 4, ...} Æ Conj unt o dos Númer os I nt ei r os Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} Æ Conj unt o dos Númer os I nt ei r os Não- Nul os Z* = Z – {0} = {..., –3, –2, –1, 1, 2, 3, ...} Æ Conj unt o dos Númer os I nt ei r os Não- Negat i vos Z + = {0, 1, 2, 3, ...} Æ Conj unt o dos Númer os I nt ei r os Não- Posi t i v os Z _ = {..., –3, –2, –1, 0} Æ Conj unt o dos Númer os I nt ei r os Posi t i v os Z + * = Z + – {0} = {1, 2, 3, ...} Æ Conj unt o dos Númer os I nt ei r os Negat i vos Z _ * = Z _ – {0} = {..., –3, –2, –1} Æ Conj unt o dos Númer os Raci onai s ¹ ' ¹ ¹ ' ¹ ≠ ∈ · · 0 q com Z q p, ; q p x/x Q → Propriedades • Todo número que pode ser escrito na forma de fração é um número racional. • Todo número inteiro é um número racional. • Todo número decimal exato é um número racional. • Toda dízima periódica, seja ela simples ou composta, é um número racional. CONJUNTOS NUMÉRI COS PROF.:THI AGO PACÍ F I CO ht t p: / / w w w. euvoupassar .com.br Eu Vou Passar – e você? Página 2 Æ Conj unt o dos Númer os I r r aci onai s ¹ ' ¹ ¹ ' ¹ ≠ ∈ ≠ · · 0 q com Z q p, ; q p x/x Ι Q → ... 4142 , 1 2 · → e = 2,71828... → π = 3,14159... Æ Conj unt o dos Númer os Reai s Q Q R ∪ · Æ Conj unt o dos Númer os Compl ex os 1} 2 i e R b a, com bi a {z/z C − · ∈ + · · RESUMO DOS CONJUNTOS NUMÉRI COS ( DI AGRAMA DE VENN) Æ Nat ur ai s e I nt ei r os Todos os naturais e inteiros podem ser escritos como fração. Afinal, eles representam divisões exatas. Exemplos: 5 10 1 2 2 · · 5 30 1 6 6 − · − · − 8 0 1 0 0 · · 2 18 1 9 9 81 · · · Æ Deci mai s Esse número pode ser escrito na forma fracionária colocando-se o número sem vírgula sobre 1 seguido de tantos zeros quanto forem as casas decimais, ou seja, após a virgula. Exemplos: 10 4 4 , 0 · 100 12 12 , 0 · 1000 8125 125 , 8 · 10 15 100 225 25 , 2 · · PROF.:THI AGO PACÍ F I CO ht t p: / / w w w. euvoupassar .com.br Eu Vou Passar – e você? Página 3 Æ Di zi ma Per i ódi ca Si mpl es Nem toda dízima pode ser escrita em forma de fração, só as periódicas. No caso das simples, elas possuem apenas uma parte periódica, ou seja, que se repete. Para transformar em fração, basta escrever o número que se repete, sobre tantos noves quantos forem os algarismos que se repetem. Exemplos: 9 4 ... 444 , 0 4 , 0 · · 999 125 .... 125125125 , 0 125 , 0 · · 99 12 ... 121212 , 0 12 , 0 · · 9999 5526 .... 26 5526552655 , 0 5526 , 0 · · Æ Di zi ma Per i ódi ca Compost as No caso das compostas, elas possuem um parte não periódica (que não se repete) e outra parte periódica (que se repete). Para transformar em uma fração equivalente você pode escrever a parte não periódica seguida da parte periódica, menos a parte não periódica, tudo sobre tantos noves quantos forem os algarismos que se repetem seguidos de tantos zeros quantos forem os algarismos que estão após a vírgula. Exemplos: 90 221 90 24 245 ... 4555 , 2 5 4 , 2 · − · · 990 5331 990 53 5384 ... 3848484 , 5 84 3 , 5 · − · · 900 4846 900 538 5384 ... 38444 , 5 4 38 , 5 · − · · 900 1985 900 220 2205 ... 20555 , 2 5 20 , 2 · − · · 990 804 990 8 812 ... 8121212 , 0 12 8 , 0 · − · · 999 5379 999 5 5384 ... 384384384 , 5 384 , 5 · − · · I NTERVALOS REAI S → [a, b] = { ¦ b x a / R x ≤ ≤ ∈ → ]a, b[ = { ¦ b x a / R x < < ∈ → [a, b[ = { ¦ b x a / R x < ≤ ∈ → ]a, b] = { ¦ b x a / R x ≤ < ∈ → [a, +∞ [ = { ¦ a x / R x ≥ ∈ → ] –∞, a] = { ¦ a x / R x ≤ ∈ → ] –∞, +∞ [ = R PROF.:THI AGO PACÍ F I CO ht t p: / / w w w. euvoupassar .com.br Eu Vou Passar – e você? Página 4 Obser v ação → Um número p é chamado de primo quando ele admite apenas dois divisores naturais (1 e p). → Quando um número não é primo dizemos que ele é composto. → Existem infinitos números primos. I mpor t ant e Dois números naturais a e b são ditos primos entre si ou relativamente primos, se e somente se, o MDC (a, b) = 1. DI VI SÃO EM N Æ Al gor i t mo da Di v i são Onde: a = b⋅q + r Obs.: r < b (sempre!!!) Æ Cr i t ér i os de Di vi si bi l i dade Divisibilidade Condição por 2 Se termina em número par. por 3 Se a soma dos algarismos é múltiplo de 3. por 4 Se seus dois últimos algarismos é 00 ou é um múltiplo de 4. por 5 Se termina em 0 ou em 5. por 6 Se é divisível por 2 e por 3. por 8 Se seus três últimos algarismos é 000 ou é um múltiplo de 8. por 9 Se a soma dos algarismos é múltiplo de 9. por 10 Se termina em 0. Æ Ex t r as → Divisibilidade por 7 Separa-se o algarismo das unidades do restante, então a diferença entre esse número e o dobro do algarismo das unidades, tem que ser divisível por 7. → Divisibilidade por 11 A diferença entre as somas dos algarismos de ordem ímpar e de ordem par (ou somar e subtrair os algarismos alternadamente) resulta em um n o divisível por 11. Di ca O resto da divisão por 9 de um número natural é igual ao resto da divisão por 9 da soma dos algarismos desse número. PROF.:THI AGO PACÍ F I CO ht t p: / / w w w. euvoupassar .com.br Eu Vou Passar – e você? Página 5 Æ Múl t i pl os de um Númer o Nat ur al M(1) = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} M(2) = {0, 2, 4, 6, 8, 10, ...} M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, ...) M(4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, ...} .............................................. M(x) = {0, x, 2x, 3x, 4x, 5x, ...} Æ Di v i sor es de um Númer o Nat ur al D(1) = {1} D(2) = {1, 2} D(3) = {1, 3} D(4) = {1, 2, 4} D(5) = {1, 5} D(6) = {1, 2, 3} D(7) = {1, 7} D(8) = {1, 2, 4, 8} Obser v ação → Um número p é chamado de primo quando ele admite apenas dois divisores naturais (1 e p). → Quando um número não é primo dizemos que ele é composto. → Existem infinitos números primos. Æ MMC e MDC MMC à mínimo (ou menor) múltiplo comum O m.m.c de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores comuns e não-comuns a eles, cada um elevado ao maior expoente. MDC à máximo (ou maior) divisor comum O m.d.c de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores comuns a eles, cada um elevado ao menor expoente. Exemplos: M(12) = {12, 24, 36, 48, 60, ...} D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12} M(18) = {18, 36, 54, 72, 90, ...} D(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18} MMC(12, 18) = 36 MDC(12, 18) = 6 Obser v ação Podemos calcular o MMC e o MDC de uma quantidade qualquer de números. PROF.:THI AGO PACÍ F I CO ht t p: / / w w w. euvoupassar .com.br Eu Vou Passar – e você? Página 6 I mpor t ant e Dois números naturais a e b são ditos primos entre si ou relativamente primos, se e somente se, o MDC(a, b) = 1. Æ Rel ação ent r e MMC e MDC MMC(a, b) ⋅ MDC(a, b) = a ⋅ b FRAÇÕES Æ Repr esent ação b a ou b a a à numerador e b à denominador Æ Númer o Mi st o b b Ac b A A c c c + · + · Æ Soma e Subt r ação d b b c d a d c b a ⋅ ⋅ t ⋅ · t Æ Mul t i pl i cação d b c a d c b a ⋅ ⋅ · ⋅ Æ Di v i são c d b a d c b a ⋅ · Æ I nver são a b b a 1 · , ` . | − PROF.:THI AGO PACÍ F I CO ht t p: / / w w w. euvoupassar .com.br Eu Vou Passar – e você? Página 7 I mpor t ant e d c b a · à ad = bc d b c a d c b a t t · · → Se a = k⋅b ↔ a/b = k, dizemos que a é diretamente proporcional à b. → Se a = k/b ↔ a⋅b = k, dizemos que a é inversamente proporcional à b. → kà constante de proporcionalidade QUESTÕES DE CONCURSOS 01. Três irmãos, Maria, José e Thiago Pacífico, receberam respectivamente 1/2, 1/3 e 1/9 de uma determinada herança. A fração desta herança que não foi distribuída entre estes irmãos foi de: a) 2/3 b) 8/9 c) 1/2 d) 1/18 02. Fiz compras em 5 lojas, gastando em cada uma delas a metade do que eu tinha no bolso. Na saída paguei R$ 2,00 de estacionamento e ainda me restaram R$ 20,00. Ao entrar na primeira loja eu tinha: a) R$ 704,00 b) R$ 640,00 c) R$ 1.408,00 d) R$ 1.280,00 03. O número que deve ser colocado na posição ⊗ para tornar válida a igualdade 0 1 1 1 1 2 · ⊗ + − − é: a) 0 b) 1/3 c) 1/2 d) 1 04. Uma pessoa gasta 1/4 do dinheiro que tem e, em seguida, 2/3 do que lhe resta, ficando com R$350,00. Quanto tinha inicialmente? a) 1600 b) 1400 c) 1000 d) 700 PROF.:THI AGO PACÍ F I CO ht t p: / / w w w. euvoupassar .com.br Eu Vou Passar – e você? Página 8 05. No esquema abaixo tem-se representada a multiplicação de dois números inteiros, no qual alguns algarismos foram substituídos pelas letras A, B, C e D. AB2C x 4 157D2 Completado o diagrama corretamente, é verdade que: a) C = D + 1 b) B = A 2 c) A + B = C + D d) A – C = 5 06. O número de três algarismos 2m3 é somado ao número 326, resultando o número de três algarismos 5n9. Sabendo-se que 5n9 é divisível por 9, temos que m + n é igual a: a) 2 b) 6 c) 4 d) 8 07. Um número natural N tem três algarismos. Quando dele subtraímos 396 resulta o número que é obtido invertendo-se a ordem dos algarismos de N. Se, além disso, a soma do algarismo das centenas e do algarismo das unidades de N é igual a 8, então o algarismo das centenas de N é: a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 08. A respeito de uma divisão em que o dividendo é representado por D, o divisor por d, o quociente por q e o resto por r, assinale o que for correto. 01. D – r = d x q (V) 02. d = D x q – r (F) 04. d = q r D+ (F) 08. d x q + r = D (V) 16. q = d r D− (V) 32. D = d x q, se r = 0 (V) 09. Considere o número de 9 algarismos, dos quais o algarismo das unidades é n e todos os demais são iguais a 2. (Isto é: o número 22222222n). O valor de n a fim de que este número seja divisível por 6 é: a) 2 ou 8 b) 2 ou 7 c) 0 ou 6 d) 3 ou 9 e) 4 PROF.:THI AGO PACÍ F I CO ht t p: / / w w w. euvoupassar .com.br Eu Vou Passar – e você? Página 9 10. Seja um número natural N que deixa resto 2 quando dividido por 5; resto 5 quando dividido por 11; resto 1 quando dividido por 13. Determine o resto da divisão do número ) 12 N )( 6 N )( 3 N ( K + + + · por 715. 11. Assinale a alternativa que consta um múltiplo de 54. a) 2 24 ⋅ 3 11 b) 2 31 ⋅ 5 40 c) 3 29 ⋅ 5 19 d) 5 17 ⋅ 7 94 e) 2 24 ⋅ 5 56 12. Inaugurada em 1900, a torre Eiffel construída pelo engenheiro francês de ascendência germânica Gustavo Eiffel (1832-1923) é visita obrigatória de quem vai a Paris. Um grupo de 40 turistas pagou 280 francos pela visita, onde o custo dos ingressos era de 10 francos para adultos e 5 francos para crianças até 12 anos. Quantos adultos e crianças faziam parte desse grupo? a) 20 adultos e 20 crianças b) 16 adultos e 24 crianças c) 24 adultos e 16 crianças d) 15 adultos e 25 crianças e) 25 adultos e 15 crianças 13. Para a orientação dos maquinistas, ao longo de uma ferrovia existem placas com a indicação da quilometragem. Um trem percorre essa ferrovia em velocidade constante e, num dado instante, seu maquinista observa uma placa em que o número indicador da quilometragem tinha 2 algarismos. Após 30 minutos, ele passa por uma outra em que, curiosamente, os algarismos assinalados eram os mesmos da primeira, só que escritos na ordem inversa. Decorridos 30 minutos de sua passagem pela segunda placa, ele passa por uma terceira em que o número marcado tinha os mesmos algarismos das anteriores mas na mesma ordem dos da primeira e com um zero intercalado entre eles. Nessas condições, a velocidade desse trem, em quilômetros por hora, era: a) 72 b) 90 c) 100 d) 116 e) 120 14. Determine o valor do algarismo X, tal que o número 321X8, seja divisível por 12. a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 15. Numa divisão o quociente é 3 e o resto 6. A soma do dividendo, do divisor, do quociente e do resto é 107. Qual a diferença entre o dividendo e o divisor? a) 23 b) 75 c) 52 d) 58 e) 79 PROF.:THI AGO PACÍ F I CO ht t p: / / w w w. euvoupassar .com.br Eu Vou Passar – e você? Págin a 10 16. Sejam os números A = 2 3 . 3 2 . 5 e B = 2 . 3 3 . 5 2 . O MDC e o MMC entre A e B valem, respectivamente: a) 2 . 3 2 . 5 e 2 3 . 3 3 . 5 2 b) 2 . 5 2 . 5 2 e 2 2 . 3 2 . 5 c) 2 . 3 . 5 e 2 3 . 3 3 . 5 2 d) 2 2 . 3 2 . 5 e 2 . 3 2 . 5 e) 2 3 . 3 2 . 5 2 e 2 . 3 3 . 5 2 17. Dados n = 2 2 .3 a .5 2 .7 3 e m = 2 3 .3 5 .5 2 .7 b .11, os valores de a e b, tais que o mdc(m,n) = 18.900, são: a) a = 2 e b = 3. b) a = 3 e b = 1. c) a = 0 e b = 2. d) a = 3 e b = 2. e) a = 2 e b = 2. 18. Considerando os números 68 e 36, é correto afirmar: 01. que 4 é o máximo divisor comum de 36 e 68.(V) 02. que 17 é o máximo divisor comum de 36 e 68.(F) 04. que 4 é o mínimo divisor comum de 36 e 68.(F) 08. que 612 é o máximo múltiplo comum de 36 e 68.(F) 16. que 2 é o mínimo múltiplo comum de 36 e 68.(F) 32. que 0 é um múltiplo comum de 36 e 68.(V) 64. que, se 36 e 68 são os dois primeiros termos de uma progressão aritmética, o quarto termo é 132.(V) 19. Dois ônibus partem simultaneamente de um mesmo terminal rodoviário com destinos diferentes. Um dos ônibus torna a partir do terminal a cada 80 minutos e o outro a cada 90 minutos. Quantos minutos serão necessários para os ônibus partirem novamente juntos do terminal? a) 450 minutos b) 810 minutos c) 650 minutos d) 500 minutos e) 720 minutos 20. Suponha que da estação rodoviária de Montes Claros saia um ônibus para o bairro Santos Reis, a cada 45 minutos, e um ônibus para o bairro Independência, a cada 50 minutos. Suponha, ainda, que a primeira saída conjunta do dia ocorra às 6 horas da manhã. A que horas, depois da primeira saída conjunta, ocorrerá a próxima? a) 21h15min b) 13h30min c) 19h20min d) 16h50min 21. Uma faixa retangular de tecido deverá ser totalmente recortada em quadrados, todos de mesmo tamanho e sem deixar sobras. Esses quadrados deverão ter o maior tamanho (área) possível. Se as dimensões da faixa são 105 cm de largura por 700 cm de comprimento, o perímetro de cada quadrado, em centímetros, será: a) 28. b) 60. c) 100. d) 140. e) 280. PROF.:THI AGO PACÍ F I CO ht t p: / / w w w. euvoupassar .com.br Eu Vou Passar – e você? Págin a 11 22. Considere um número inteiro formado por cinco algarismos cuja representação na base dez seja abcde. Considere também o fato de que um número dessa forma é divisível por 11 se, e somente se, a + c + e – b – d for divisível por 11. Com base nessas condições, assinale a alternativa na qual consta um número divisível por 11. a) 50623 b) 65432 c) 71819 d) 78321 e) 83621 23. Se p e q são números naturais distintos e primos, então o MDC(p, q) + MMC(p, q) é igual a: a) p + q b) pq c) pq + 1 d) 2 e) nda 24. Dois números naturais têm soma 63 e razão 6. O produto desses números é: a) 198 b) 258 c) 312 d) 356 e) 486 25. Numa família, a soma das idades da mãe e dos dois filhos gêmeos é exatamente a idade do pai. Se a soma das idades dos pais e dos dois filhos é 54, qual é a idade do pai? a) 21 b) 23 c) 25 d) 27 e) 29 26. Três lápis de tamanhos diferentes são tais que o segundo é 2cm maior que o primeiro e o terceiro ultrapassa o segundo em 3cm. Se a soma dos comprimentos dos três lápis é 28cm, determine, em cm, o comprimento do lápis intermediário. a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 27. A idade de Ricardo, hoje, é igual à idade de sua esposa Luíza mais 3/4 da idade dela. Sabendo- se que há 10 anos a idade de Ricardo era o dobro da idade de sua esposa. Qual a soma das idades de Ricardo e Luíza, hoje? a) 40 b) 70 c) 110 d) 150 e) 190 PROF.:THI AGO PACÍ F I CO ht t p: / / w w w. euvoupassar .com.br Eu Vou Passar – e você? Págin a 12 28. Um certo número de ingressos para um show foi dividido igualmente entre os alunos presentes em uma sala de aula. Sabe-se que, se houvesse 8 alunos a mais na sala, cada um deles receberia 1 ingresso a menos e se houvesse 10 alunos a menos, cada um receberia 2 ingressos a mais. Nessas condições, é correto afirmar que o número de ingressos que coube a cada aluno presente foi a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 29. Um supermercado adquiriu detergentes nos aromas limão e coco. A compra foi entregue, embalada em 10 caixas, com 24 frascos em cada caixa. Sabendo-se que cada caixa continha 2 frascos de detergentes a mais no aroma limão do que no aroma coco, o número de frascos entregues, no aroma limão, foi: a) 110 b) 120 c) 130 d) 140 e) 150 30. O máximo divisor comum dos números 36, 48, 72, é: a) 36 b) 48 c) 72 d) 144 e) 12 31. Uma sentinela vigia uma ponte que tem capacidade de suportar apenas 100 pessoas de cada vez, cabendo-lhe indagar o tamanho de cada destacamento que atravessa a ponte. O capitão de um desses destacamentos respondeu à sentinela que, para chegar a 100, ele deveria tomar o número de pessoas do seu destacamento, e: -dobrar esse número; -acrescentar a metade desse número; -somar mais um quarto desse número; e -incluir ele próprio. Qual o tamanho deste destacamento? a) 30 b) 32 c) 35 d) 36 e) 40 32. Um galpão na forma de um paralelepípedo reto de dimensões 30m, 72m e 6m deve ser preenchido completamente com caixas cúbicas de mesmo volume. Qual o menor número de caixas a serem utilizadas? a) 80 b) 70 c) 60 d) 50 e) 40 PROF.:THI AGO PACÍ F I CO ht t p: / / w w w. euvoupassar .com.br Eu Vou Passar – e você? Págin a 13 33. A Editora do livro Como ser aprovado no vestibular, recebeu os seguintes pedidos: Livraria N o de exemplares A 130 B 195 C 390 A Editora deseja remeter os três pedidos em n pacotes iguais, de tal forma de n seja o menor possível. Calcule o valor de n. 34. Qual o valor de a+b, se b a é a fração irredutível equivalente a ... 222 , 1 ... 444 , 3 ? a) 9 42 b) 9 21 c) 21 d) 42 35. A expressão 6 8 0 9 3 5 9 8 1 4 2 2 9 3 − é igual a: a) 0 b) 9 c) –3 d) 3 36. Três quartos da despesa de uma firma são com o pagamento da folha salarial, nela incluídos os encargos trabalhistas. Sabendo que a firma gasta R$ 210 000,00 com a folha salarial, seu gasto total por mês é de: a) R$ 270 000,00 b) R$ 280 000,00 c) R$ 290 000,00 d) R$ 300 000,00 37. Júnior possui uma fazenda onde recolhe 45 litros de leite de cabra por dia, que são utilizados na fabricação de queijo. Com cada 5 litros de leite, ele fabrica 1kg de queijo. O queijo fabricado é então dividido em porções de 125g que são empacotadas em dúzias. Cada pacote é vendido por R$ 6,00 . Quanto Júnior arrecada por dia com a venda do queijo? a) R$ 35,00 b) R$ 34,00 c) R$ 33,00 d) R$ 37,00 e) R$ 36,00 PROF.:THI AGO PACÍ F I CO ht t p: / / w w w. euvoupassar .com.br Eu Vou Passar – e você? Págin a 14 38. Calculando-se os 3 4 dos 2 5 dos 7 3 de 120, obtém-se: a) 95 b) 87 c) 84 d) 21 e) 16,8 39. Um maratonista calcula que, se correr a uma velocidade constante de 10km por hora, chegará ao final do percurso da corrida às 10:00 horas. Contudo, se sua velocidade constante for de 15km por hora, ele chegará às 8:00 horas. Para que ele chegue exatamente às 9:00 horas, sua velocidade constante deverá se de a) 12 km/h b) 12,5 km/h c) 11 km/h d) 11,5 km/h e) 13 km/h 40. Um nadador, disputando a prova dos 400 metros, nado livre, completou os primeiros 300 metros em 3 minutos e 51 segundos. Se este nadador mantiver a mesma velocidade média nos últimos 100 metros, completará a prova em: a) 4 minutos e 51 segundos. b) 5 minutos e 8 segundos. c) 5 minutos e 28 segundos. d) 5 minutos e 49 segundos. e) 6 minutos e 3 segundos. GABARITO 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 D A D B B B C - A 0 A B B C C A B - E B 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 D C C E D C C D C E D C 11 D A B E C A B após a virgula.PROF.14159. q ∈ Z com q ≠ 0 q  → Æ 2 = 1. → π = 3.71828.. eles representam divisões exatas. ou seja. b ∈ R e i2 = −1} RESUMO DOS CONJUNTOS NUMÉRICOS (DIAGRAMA DE VENN) Æ Naturais e Inteiros Todos os naturais e inteiros podem ser escritos como fração... Conjunto dos Números Reais R =Q∪Q Æ Conjunto dos Números Complexos C = {z/z = a + bi com a.br Eu Vou Passar – e você? Página 2 . p.25 = 225 15 = 100 10 http://www.. Exemplos: 0.4142 . Exemplos: 2= 2 10 = 1 5 −6= −6 30 = 1 −5 0= 0 0 = 1 8 81 = 9 = 9 18 = 1 2 Æ Decimais Esse número pode ser escrito na forma fracionária colocando-se o número sem vírgula sobre 1 seguido de tantos zeros quanto forem as casas decimais.125 = 8125 1000 2.:THIAGO PACÍFICO Æ Conjunto dos Números Irracionais Q = Ι = x/x ≠    p ... → e = 2.com.4 = 4 10 0.euvoupassar.12 = 12 100 8. Afinal. b] = {x ∈ R / a < x ≤ b} [a. +∞ [ = {x ∈ R / x ≥ a} → ] –∞..... +∞ [ = R http://www.. menos a parte não periódica. = 5384 − 53 5331 = 990 990 2205 − 220 1985 2. = 125 999 5526 9999 0.12 = 0... tudo sobre tantos noves quantos forem os algarismos que se repetem seguidos de tantos zeros quantos forem os algarismos que estão após a vírgula. b[ = {x ∈ R / a ≤ x < b} ]a.3848484 .com. = 0.812 = 0.8121212.38444 .384 = 5. Exemplos: 245 − 24 221 = 90 90 5384 − 538 4846 5.4555. 5526 = 0. ou seja... = Æ Dizima Periódica Compostas No caso das compostas. = 4 9 12 99 0.444. Para transformar em uma fração equivalente você pode escrever a parte não periódica seguida da parte periódica. = INTERVALOS REAIS → → → → → [a. basta escrever o número que se repete.205 = 2. b] = {x ∈ R / a ≤ x ≤ b} ]a.5526552655 26.. a] = {x ∈ R / x ≤ a} → ] –∞.125125125.. No caso das simples. Para transformar em fração.. = = 900 900 812 − 8 804 0. b[ = {x ∈ R / a < x < b} [a.PROF.20555 .. elas possuem apenas uma parte periódica.. só as periódicas.45 = 2.. = = 990 990 2.. = = 900 900 5384 − 5 5379 5. elas possuem um parte não periódica (que não se repete) e outra parte periódica (que se repete). sobre tantos noves quantos forem os algarismos que se repetem.... = = 999 999 5..euvoupassar.121212. Exemplos: 0. 384 = 5. que se repete. 4 = 0.384384384.br Eu Vou Passar – e você? Página 3 .125 = 0.38 4 = 5.:THIAGO PACÍFICO Æ Dizima Periódica Simples Nem toda dízima pode ser escrita em forma de fração... tem que ser divisível por 7.br Eu Vou Passar – e você? Página 4 . o MDC (a. Se termina em 0 ou em 5. Importante Dois números naturais a e b são ditos primos entre si ou relativamente primos. http://www. Separa-se o algarismo das unidades do restante. DIVISÃO EM N Æ Algoritmo da Divisão Onde: a = b⋅q + r Æ Critérios de Divisibilidade Divisibilidade por 2 por 3 por 4 por 5 por 6 por 8 por 9 por 10 Æ Extras → Divisibilidade por 7 Obs. Dica O resto da divisão por 9 de um número natural é igual ao resto da divisão por 9 da soma dos algarismos desse número. → Divisibilidade por 11 A diferença entre as somas dos algarismos de ordem ímpar e de ordem par (ou somar e subtrair os algarismos alternadamente) resulta em um no divisível por 11.euvoupassar.PROF. então a diferença entre esse número e o dobro do algarismo das unidades.:THIAGO PACÍFICO Observação → Um número p é chamado de primo quando ele admite apenas dois divisores naturais (1 e p). Se termina em 0. → Existem infinitos números primos. Se é divisível por 2 e por 3. Se a soma dos algarismos é múltiplo de 3. Se seus três últimos algarismos é 000 ou é um múltiplo de 8. Se seus dois últimos algarismos é 00 ou é um múltiplo de 4. b) = 1.com. → Quando um número não é primo dizemos que ele é composto. se e somente se. Se a soma dos algarismos é múltiplo de 9.: r < b (sempre!!!) Condição Se termina em número par. ) M(4) = {0.. 6.... cada um elevado ao menor expoente. 3x.. 20.. 2... 72. 3} D(7) = {1. 6.. 9.. 12.} MMC(12..} Æ Divisores de um Número Natural D(1) = {1} D(2) = {1.. 8} Observação → Um número p é chamado de primo quando ele admite apenas dois divisores naturais (1 e p)... quando fatorados.. 60. 1..} M(18) = {18. . 5.. 36. 4} D(5) = {1.com..c de dois ou mais números..br Eu Vou Passar – e você? Página 5 ... 3. 3. Exemplos: M(12) = {12. 48. 8. 54. é o produto dos fatores comuns a eles... . 36.. 4. 3. http://www.. 24.. cada um elevado ao maior expoente.. 2.... quando fatorados..c de dois ou mais números..m... 3} D(4) = {1.} M(3) = {0. → Existem infinitos números primos.. 5} D(6) = {1. MDC à máximo (ou maior) divisor comum O m.. 12} D(18) = {1.d. 2. x.. Æ MMC e MDC MMC à mínimo (ou menor) múltiplo comum O m. . 6... . 15.} ... M(x) = {0.. 3.. .. 2} D(3) = {1. 2.. 18) = 36 D(12) = {1. 10. 12. 9. 90. → Quando um número não é primo dizemos que ele é composto. 18} MDC(12. 4.. 4. 5x. 6... é o produto dos fatores comuns e não-comuns a eles... 2..euvoupassar.PROF.. 2x..} M(2) = {0.. 4.. 16.. .:THIAGO PACÍFICO Æ Múltiplos de um Número Natural M(1) = {0. 4. 2.. 18) = 6 Observação Podemos calcular o MMC e o MDC de uma quantidade qualquer de números. 8. 4x.. 2. 7} D(8) = {1.. . euvoupassar. Relação entre MMC e MDC MMC(a. b) ⋅ MDC(a. o MDC(a. se e somente se.PROF.:THIAGO PACÍFICO Importante Dois números naturais a e b são ditos primos entre si ou relativamente primos.com. b) = 1.br Eu Vou Passar – e você? Página 6 . b) = a ⋅ b Æ FRAÇÕES Æ Representação a b a à numerador Æ Número Misto ou a e b b à denominador A Æ Soma e Subtração b b Ac + b =A+ = c c c a c a ⋅ d ± c ⋅b ± = b d b⋅d Æ Multiplicação a c a⋅c ⋅ = b d b⋅d Æ Divisão a Æ Inversão b = a⋅d c b c d −1 a   b = b a http://www. José e Thiago Pacífico. 2/3 do que lhe resta. A fração desta herança que não foi distribuída entre estes irmãos foi de: a) 2/3 b) 8/9 c) 1/2 d) 1/18 02. dizemos que a é diretamente proporcional à b. gastando em cada uma delas a metade do que eu tinha no bolso. O número que deve ser colocado na posição ⊗ para tornar válida a igualdade 2 − a) 0 b) 1/3 c) 1/2 d) 1 1 1 1− 1+ ⊗ = 0 é: 04. Três irmãos. Na saída paguei R$ 2.00 03.00 c) R$ 1.br Eu Vou Passar – e você? Página 7 .00 d) R$ 1.00.00.280.408. → kà constante de proporcionalidade QUESTÕES DE CONCURSOS 01. Quanto tinha inicialmente? a) 1600 b) 1400 c) 1000 d) 700 http://www. 1/3 e 1/9 de uma determinada herança.00 de estacionamento e ainda me restaram R$ 20. Fiz compras em 5 lojas. dizemos que a é inversamente proporcional à b.:THIAGO PACÍFICO Importante a c a±c a c = = = à ad = bc b d b±d b d → Se a = k⋅b ↔ a/b = k. Maria. Uma pessoa gasta 1/4 do dinheiro que tem e. ficando com R$350.com. → Se a = k/b ↔ a⋅b = k.00 b) R$ 640. em seguida.PROF. Ao entrar na primeira loja eu tinha: a) R$ 704.euvoupassar. receberam respectivamente 1/2. d = D+r q (F) (V) (V) 08. então o algarismo das centenas de N é: a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 08. Quando dele subtraímos 396 resulta o número que é obtido invertendo-se a ordem dos algarismos de N. temos que m + n é igual a: a) 2 b) 6 c) 4 d) 8 07. é verdade que: a) C = D + 1 b) B = A2 c) A + B = C + D d) A – C = 5 06. d x q + r = D D−r 16. Um número natural N tem três algarismos. 01. D = d x q. AB2C x 4 157D2 Completado o diagrama corretamente.euvoupassar. d = D x q – r (F) 04. Se. D – r = d x q (V) 02.PROF. No esquema abaixo tem-se representada a multiplicação de dois números inteiros. assinale o que for correto. no qual alguns algarismos foram substituídos pelas letras A.com. resultando o número de três algarismos 5n9. o quociente por q e o resto por r. (Isto é: o número 22222222n). se r = 0 (V) 09. dos quais o algarismo das unidades é n e todos os demais são iguais a 2. além disso. Considere o número de 9 algarismos.:THIAGO PACÍFICO 05. o divisor por d. A respeito de uma divisão em que o dividendo é representado por D. C e D. O valor de n a fim de que este número seja divisível por 6 é: a) 2 ou 8 b) 2 ou 7 c) 0 ou 6 d) 3 ou 9 e) 4 http://www. Sabendo-se que 5n9 é divisível por 9. q = d 32. B. O número de três algarismos 2m3 é somado ao número 326. a soma do algarismo das centenas e do algarismo das unidades de N é igual a 8.br Eu Vou Passar – e você? Página 8 . ao longo de uma ferrovia existem placas com a indicação da quilometragem. a torre Eiffel construída pelo engenheiro francês de ascendência germânica Gustavo Eiffel (1832-1923) é visita obrigatória de quem vai a Paris. os algarismos assinalados eram os mesmos da primeira. curiosamente. do divisor.com. A soma do dividendo. Após 30 minutos. seu maquinista observa uma placa em que o número indicador da quilometragem tinha 2 algarismos. Determine o resto da divisão do número K = ( N + 3)(N + 6)(N + 12) por 715. Um grupo de 40 turistas pagou 280 francos pela visita. seja divisível por 12. tal que o número 321X8. do quociente e do resto é 107. Seja um número natural N que deixa resto 2 quando dividido por 5.euvoupassar. resto 5 quando dividido por 11. Determine o valor do algarismo X. Decorridos 30 minutos de sua passagem pela segunda placa. só que escritos na ordem inversa. resto 1 quando dividido por 13. Assinale a alternativa que consta um múltiplo de 54. ele passa por uma terceira em que o número marcado tinha os mesmos algarismos das anteriores mas na mesma ordem dos da primeira e com um zero intercalado entre eles. onde o custo dos ingressos era de 10 francos para adultos e 5 francos para crianças até 12 anos. Quantos adultos e crianças faziam parte desse grupo? a) 20 adultos e 20 crianças b) 16 adultos e 24 crianças c) 24 adultos e 16 crianças d) 15 adultos e 25 crianças e) 25 adultos e 15 crianças 13.br Eu Vou Passar – e você? Página 9 . a velocidade desse trem. ele passa por uma outra em que. num dado instante. Numa divisão o quociente é 3 e o resto 6. Inaugurada em 1900. em quilômetros por hora. a) 224 ⋅ 311 b) 231 ⋅ 540 c) 329 ⋅ 519 d) 517 ⋅ 794 e) 224 ⋅ 556 12. Qual a diferença entre o dividendo e o divisor? a) 23 b) 75 c) 52 d) 58 e) 79 http://www. era: a) 72 b) 90 c) 100 d) 116 e) 120 14. 11. Nessas condições.PROF. a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 15. Um trem percorre essa ferrovia em velocidade constante e.:THIAGO PACÍFICO 10. Para a orientação dos maquinistas. (V) 02.(F) 16. Sejam os números A = 23 . 32 . 52 e 2 . o perímetro de cada quadrado.7b. ocorrerá a próxima? a) 21h15min b) 13h30min c) 19h20min d) 16h50min 21. é correto afirmar: 01. Considerando os números 68 e 36.35.900.11. que 2 é o mínimo múltiplo comum de 36 e 68. d) 140. e) 280. Suponha que da estação rodoviária de Montes Claros saia um ônibus para o bairro Santos Reis. são: a) a = 2 e b = 3.(F) 04. 52 e 22 . depois da primeira saída conjunta. 5 e 2 . b) a = 3 e b = 1. 52 17. em centímetros. e um ônibus para o bairro Independência.br Eu Vou Passar – e você? Página 10 . a cada 45 minutos. que 17 é o máximo divisor comum de 36 e 68. respectivamente: a) 2 . 33 . Uma faixa retangular de tecido deverá ser totalmente recortada em quadrados. 52 d) 22 . b) 60. que 4 é o mínimo divisor comum de 36 e 68. tais que o mdc(m. que 612 é o máximo múltiplo comum de 36 e 68.(F) 32.:THIAGO PACÍFICO 16. que a primeira saída conjunta do dia ocorra às 6 horas da manhã. c) 100. Quantos minutos serão necessários para os ônibus partirem novamente juntos do terminal? a) 450 minutos b) 810 minutos c) 650 minutos d) 500 minutos e) 720 minutos 20. 32 . que 0 é um múltiplo comum de 36 e 68.3a. que. 32 . Suponha. 52 . 32 . 52. O MDC e o MMC entre A e B valem. Se as dimensões da faixa são 105 cm de largura por 700 cm de comprimento. se 36 e 68 são os dois primeiros termos de uma progressão aritmética. A que horas.52.(V) 19.com. 33 . 18. 5 e B = 2 .73 e m = 23.52. 3 .n) = 18. todos de mesmo tamanho e sem deixar sobras. d) a = 3 e b = 2. Dados n = 22. Dois ônibus partem simultaneamente de um mesmo terminal rodoviário com destinos diferentes. 52 b) 2 . 5 c) 2 . 32 . http://www. os valores de a e b. o quarto termo é 132. 5 e) 23 . ainda. c) a = 0 e b = 2. e) a = 2 e b = 2. a cada 50 minutos.euvoupassar. 33 . 32 .PROF. será: a) 28. 5 e 23 . Um dos ônibus torna a partir do terminal a cada 80 minutos e o outro a cada 90 minutos. 33 .(F) 08. 5 e 23 . que 4 é o máximo divisor comum de 36 e 68. Esses quadrados deverão ter o maior tamanho (área) possível.(V) 64. determine. e somente se.br Eu Vou Passar – e você? Página 11 . Dois números naturais têm soma 63 e razão 6. qual é a idade do pai? a) 21 b) 23 c) 25 d) 27 e) 29 26. Numa família. a soma das idades da mãe e dos dois filhos gêmeos é exatamente a idade do pai. hoje.PROF. o comprimento do lápis intermediário. Qual a soma das idades de Ricardo e Luíza. é igual à idade de sua esposa Luíza mais 3/4 da idade dela. a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 27.:THIAGO PACÍFICO 22. a) 50623 b) 65432 c) 71819 d) 78321 e) 83621 23. q) é igual a: a) p + q b) pq c) pq + 1 d) 2 e) nda 24. assinale a alternativa na qual consta um número divisível por 11. então o MDC(p. A idade de Ricardo. Considere um número inteiro formado por cinco algarismos cuja representação na base dez seja abcde. hoje? a) 40 b) 70 c) 110 d) 150 e) 190 http://www. Sabendose que há 10 anos a idade de Ricardo era o dobro da idade de sua esposa. a + c + e – b – d for divisível por 11. O produto desses números é: a) 198 b) 258 c) 312 d) 356 e) 486 25. Se p e q são números naturais distintos e primos. em cm. Três lápis de tamanhos diferentes são tais que o segundo é 2cm maior que o primeiro e o terceiro ultrapassa o segundo em 3cm. Considere também o fato de que um número dessa forma é divisível por 11 se.com. Se a soma das idades dos pais e dos dois filhos é 54.euvoupassar. Com base nessas condições. q) + MMC(p. Se a soma dos comprimentos dos três lápis é 28cm. A compra foi entregue. no aroma limão. o número de frascos entregues. 72m e 6m deve ser preenchido completamente com caixas cúbicas de mesmo volume. Um supermercado adquiriu detergentes nos aromas limão e coco. -acrescentar a metade desse número. Sabendo-se que cada caixa continha 2 frascos de detergentes a mais no aroma limão do que no aroma coco. Uma sentinela vigia uma ponte que tem capacidade de suportar apenas 100 pessoas de cada vez. embalada em 10 caixas.br Eu Vou Passar – e você? Página 12 .PROF. 48. Um galpão na forma de um paralelepípedo reto de dimensões 30m. é: a) 36 b) 48 c) 72 d) 144 e) 12 31. com 24 frascos em cada caixa. é correto afirmar que o número de ingressos que coube a cada aluno presente foi a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 29. cada um deles receberia 1 ingresso a menos e se houvesse 10 alunos a menos. Qual o tamanho deste destacamento? a) 30 b) 32 c) 35 d) 36 e) 40 32.:THIAGO PACÍFICO 28. e -incluir ele próprio. O máximo divisor comum dos números 36. cabendo-lhe indagar o tamanho de cada destacamento que atravessa a ponte. Um certo número de ingressos para um show foi dividido igualmente entre os alunos presentes em uma sala de aula. 72. O capitão de um desses destacamentos respondeu à sentinela que.com. para chegar a 100.euvoupassar. se houvesse 8 alunos a mais na sala. foi: a) 110 b) 120 c) 130 d) 140 e) 150 30. Nessas condições. e: -dobrar esse número. cada um receberia 2 ingressos a mais. ele deveria tomar o número de pessoas do seu destacamento. Sabe-se que. Qual o menor número de caixas a serem utilizadas? a) 80 b) 70 c) 60 d) 50 e) 40 http://www. -somar mais um quarto desse número. . 34.222. Quanto Júnior arrecada por dia com a venda do queijo? a) R$ 35.com.00 b) R$ 34. recebeu os seguintes pedidos: No de exemplares 130 195 390 Livraria A B C A Editora deseja remeter os três pedidos em n pacotes iguais. Qual o valor de a+b. que são utilizados na fabricação de queijo.00 d) R$ 300 000. Sabendo que a firma gasta R$ 210 000. se a é a fração irredutível equivalente a ? b 1. de tal forma de n seja o menor possível.00 c) R$ 33. ele fabrica 1kg de queijo. 444.00 d) R$ 37. A Editora do livro Como ser aprovado no vestibular. Três quartos da despesa de uma firma são com o pagamento da folha salarial..00 37.:THIAGO PACÍFICO 33. Júnior possui uma fazenda onde recolhe 45 litros de leite de cabra por dia.PROF. nela incluídos os encargos trabalhistas. O queijo fabricado é então dividido em porções de 125g que são empacotadas em dúzias.euvoupassar.00 http://www. a) b) 42 9 21 9 c) 21 d) 42 35. Calcule o valor de n. 3.00 c) R$ 290 000. Cada pacote é vendido por R$ 6. seu gasto total por mês é de: a) R$ 270 000.00 b) R$ 280 000. Com cada 5 litros de leite.00 .br Eu Vou Passar – e você? Página 13 . A expressão a) 0 b) 9 c) –3 d) 3 3 24 95 18 −9 23 90 86 é igual a: 36.00 com a folha salarial.00 e) R$ 36... Um nadador.5 km/h e) 13 km/h 40. completará a prova em: a) 4 minutos e 51 segundos.euvoupassar. sua velocidade constante deverá se de a) 12 km/h b) 12. Se este nadador mantiver a mesma velocidade média nos últimos 100 metros.PROF. c) 5 minutos e 28 segundos. Um maratonista calcula que. e) 6 minutos e 3 segundos. ele chegará às 8:00 horas. se sua velocidade constante for de 15km por hora. se correr a uma velocidade constante de 10km por hora. 01 02 03 04 05 06 D A D B B B 21 22 23 24 25 26 D C C E D C GABARITO 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 C A 0 A B B C C A B E B 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 C D C E D C 11 D A B E C A B http://www. disputando a prova dos 400 metros. obtém-se: 4 5 3 39. Para que ele chegue exatamente às 9:00 horas. Calculando-se os a) b) c) d) e) 95 87 84 21 16. Contudo.com.:THIAGO PACÍFICO 38. b) 5 minutos e 8 segundos.5 km/h c) 11 km/h d) 11. nado livre. completou os primeiros 300 metros em 3 minutos e 51 segundos.8 3 2 7 dos dos de 120. d) 5 minutos e 49 segundos. chegará ao final do percurso da corrida às 10:00 horas.br Eu Vou Passar – e você? Página 14 . 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