MATEMATICA_ APLIC_ECONOMIA_201101

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE MATEMÁTICAMATEMÁTICA APLICADA À ECONOMIA Prof. Francisco Leal Moreira 2011/1 SUMÁRIO 1. FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS 1.1. FUNÇÕES HOMOGÊNEAS 1.2. CURVAS DE NÍVEL 1.3. SITE RELACIONADO 1.4. RESPOSTAS 2. DERIVADAS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS 2.1. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DAS DERIVADAS PARCIAIS 2.2. TAXAS DE VARIAÇÃO 2.3 ELASTICIDADE 2.4. DERIVADAS PARCIAIS DE SEGUNDA ORDEM 2.5. HESSIANO 2.6. REGRA DA CADEIA(RC) 2.7. FUNÇÃO IMPLÍCITA 2.8. DERIVAÇÃO IMPLÍCITA 2.9. TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO 2.10. SITES RELACIONADOS 2.11. RESPOSTAS 3. DIFERENCIAIS 3.1. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTICA DA DIFERENCIAL 3.2. DERIVADA COMO UM QUOCIENTE 3.3. DIFERENCIAL TOTAL 3.4. RESPOSTAS 4. ANÁLISE DO COMPORTAMENTO DE UMA FUNÇÃO 4.1. PONTO CRÍTICO 4.2. FUNÇÃO CRESCENTE E FUNÇÃO DECRESCENTE 4.3. DETERMINAÇÃO DOS INTERVALOS DE CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO 4.4. DETERMINAÇÃO DOS EXTREMOS RELATIVOS DE UMA FUNÇÃO 4.4.1. TESTE DA DERIVADA PRIMEIRA(TDP) 4.4.2. TESTE DA DERIVADA SEGUNDA(TDS) 4.5. CONCAVIDADE E INFLEXÃO 4.5.1. TESTE DA CONCAVIDADE 4.5.2. PONTO DE INFLEXÃO 4.6. TAXA DE VARIAÇÃO DE UMA TAXA DE VARIAÇÃO 4.7. WINPLOT 4.8. SITES RELACIONADOS 4.9. RESPOSTAS 5. MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS 5.1. PONTO CRÍTICO DE UMA FUNÇÃO DE DUAS VARIÁVEIS 5.2. CRITÉRIO PARA CARACTERIZAÇÃO DE PONTOS EXTREMANTES 5.3. MÁXIMOS E MÍNIMOS CONDICIONADOS 5.3.1. MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO 5.3.2. MÉTODO DOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE 5.4. SITES RELACIONADOS 5.5. RESPOSTAS 6. INTEGRAL INDEFINIDA 6.1. PRIMITIVA 6.2. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA INTEGRAL INDEFINIDA 6.3. REGRAS DE INTEGRAÇÃO 6.4. SITES RELACIONADOS 6.5. RESPOSTAS 7. INTEGRAL DEFINIDA 7.1. PROPRIEDADES BÁSICAS 7.2. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA INTEGRAL DEFINIDA 7.3. ÁREA DA REGIÃO ENTRE DUAS CURVAS 1 3 4 5 6 9 11 12 13 15 16 17 18 19 21 22 22 24 25 26 27 29 30 31 31 31 32 32 33 34 34 34 36 37 38 38 40 41 42 43 44 45 46 47 48 48 48 49 55 56 58 59 60 61 3. FATORAÇÕES COMUM E DIFERENÇA DE DOIS QUADRADOS 8.2. RESPOSTAS 18.7. OPERAÇÕES COM FRAÇÕES 3. BIBLIOGRAFIA 9. BIBLIOGRAFIA 64 65 66 66 67 68 68 69 69 70 71 72 73 73 74 75 75 76 77 78 79 80 82 82 82 87 88 90 90 92 . RESOLUÇÃO DE INEQUAÇÕES DO 1O GRAU 12.6. PRODUTOS NOTÁVEIS 7. EXCEDENTE DO CONSUMIDOR 7. DERIVADA DE UMA FUNÇÃO OU FUNÇÃO DERIVADA 17.1.CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS 2.4. DERIVADAS DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL 17. APLICAÇÕES DE DERIVADAS 17. REGRAS DE DERIVAÇÃO 17. RESPOSTAS 8. SITES RELACIONADOS 7. OPERAÇÕES COM CONJUNTOS 6.7. PRODUTO NULO 11. INTERVALOS 5. POTÊNCIAS 14.4.5. EXCEDENTE DO PRODUTOR 7. RESOLUÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1O GRAU 13. RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DE 1O GRAU 9. RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DE 2O GRAU 10.6. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NUM PONTO 17. SITES RELACIONADOS 17. SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES 4. EQUAÇÃO PONTO-DECLIVIDADE 15. IMAGEM DE UMA FUNÇÃO NUM PONTO 16.5. RESPOSTAS 17. APÊNDICE 1. neste caso.y) 2 para os quais a função 0.y) 2 par é dada por f(x.y).y) = x 2 3 y2 0. o Dom f = 2 . f(–1. Exemplo: Seja a função dada por f(x. neste caso. a im f = .y) = x 2 (x. f(1. 1 .1. –1) = ( 1) 2 ( 1) 2 2 c) f(1. O gráfico de f é a superfície do que apareça abaixo.0) = 0 2 02 0 0 b) f(–1. e) A imagem de f é o conjunto formado pelas imagens de todos os elementos do domínio de f. para os quais a f(x. para qualquer y 2 é um número real. como a imagem de qualquer (x. Dom f e Im f.y) = x 2 y 2 .y) faz corresponder um único número real f(x. –1). Determine f(0.0). Solução: a) f(0.2) = 12 2 22 5 d) O domínio de uma função de duas variáveis é o conjunto de pares ordenados do tem sentido. Como x2 +y2 . FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS Uma função f de duas variáveis é uma relação que a cada par ordenado de números reais (x.2). z x y Observação: As funções de três ou mais variáveis não podem ser representadas graficamente. 0) 2) f(3. –4) (parabolóide abaixo). –7) 3) f(1. –1) 4) Dom f 5) a representação gráfica do Dom f E4) Represente graficamente os domínios das seguintes funções : 1) f(x.y) = 1) f(1.m. 2 .m. o primeiro a 50 u. Sejam x e y as quantidades vendidas dos dois produtos.y) = x2 + y2 (duas variáveis). Determine: y x 3) f(1.y) = x 1 2 .0) 2) f(3.y + 1) 4) f(x.y)= x y 1 2) f ( x. a unidade. –7) 3x .m.y) para os quais a receita é 300 u. Encontre: 1) f(1. y) 1 2x y 1 3) f(x.2) 2) f(0.y)= ln (x2.0) 3 3) f(–3. –1) 4) Dom f 5) a representação gráfica do Dom f E3) Seja f(x. Determine: y 1) f(1.y) = ln x x 1 E5) Uma loja vende apenas dois produtos.E1) Seja a função dada f(x. z 4) Dom f 5) Im f O gráfico de f é uma superfície do y x E2) Seja a função dada por f(x. a unidade e o segundo a 60 u. Determine: a)função receita b)a representação gráfica dos pontos (x. Se f(4.f ( x.y) = 2x 3y 10x 3y 2x 2 E10) Seja a função dada por f(x.y) = 5 6 xy 2 3) f(x. x n ) = m f( x1.. Por quanto devem ser multiplicados x e y para que P seja multiplicada por 2 ? 3 .2) = 10. Interpretação: Se uma função f é homogênea de grau m..f ( x. Observação: Como f (λx.y) = x 3 Solução: f (λx. 0. E11) Uma função P = f(x. x 2. x e y por 4.. Se f(2. y) . E9) Verifique se as funções abaixo são homogêneas. x 2. se multiplicarmos.y) é homogênea do grau –1.f ( x. E6) Uma função f é homogênea de grau 2. y) y 3 é homogênea..y) = x 4 2y 4 2) f(x) = 2x –1 6) f(x. 1) f(x. em caso afirmativo determine o grau. y) .y) = xy + 5x 10) f(x.1.f ( x. em caso afirmativo determine o grau. o valor da função f ficará multiplicado por m .x n ) é dita homogênea de grau m se.x n ). E8) Uma função f é homogênea de grau –2.4y) = 4 3 / 2.y) ficará multiplicada por 8.y) = 2x + 3y 8) f(x.y) = xy – x2 9) f(x. encontre f(2.y) = x – y 5) f(x. λy) λ 3 / 2 . encontre f(10. f( x 1 . y) 8.y) = y3 + 4xy2 + 3x2 4) f(x.15). Logo. isto é. λy) (λx) 3 (λy) 3 λ3x3 λ3y3 λ 3 (x 3 y3 ) λ 3 (x 3 y3 ) λ 3 / 2 .y) = 12) f(x.3) = 4.y) = x . multiplicando-se as variáveis independentes por um certo número real (lambda) positivo. FUNÇÕES HOMOGÊNEAS Uma função z = f( x1.. por exemplo. a função f é homogênea de grau 3/2. encontre f(15). E7) Uma função f é homogênea de grau –1.y) = xy 7) f(x. x 2 .1.y) = 2x 2 + 3xy – y2 11) f(x.. Exemplo: Verifique se a função dada por f(x. a f(x. f(4x. x 2y 1)Determine e represente graficamente o domínio da f. Se f(5) = 20.1). 2)f é homogênea ? Em caso afirmativo determine o grau. 0) e raio x2 + y2 = 3 (circunferência de centro C(0. Determine as curvas de nível para z = 1 .0) e raio 1 ) x2 + y2 = 2 (circunferência de centro C(0.1. y) Exemplo: Seja a função dada por z= x2 + y2 . Solução: z=1 z=2 z=3 z=4 x2 + y2 = 1 (circunferência de centro C(0. CURVAS DE NÍVEL Ck = (x. z =2 . Gráfico da Função (parabolóide) z y x 4 .0) e raio 2 ) Mapa de curvas de nível y x Observação: As curvas de nível nunca se interceptam. z = 3 e z = 4.0) e raio 2 ) 2 / f ( x .2. y) k 3 ) x2 + y2 = 4 (circunferência de centro C(0. As curvas de nível da função Utilidade são denominadas curvas de indiferença. Faça as curvas de nível para z = 0. onde x e y são quantidades de insumos(mão – de-obra e capital). z =1 e z =2 E13) Seja a função dada por z = 4 x 2 y 2 . z =2 e z =4 3) z = y – ln x para z = 0. z = 1 e z = 2 E14) Seja C(x. E16) Seja U(x. pois representam as combinações de quantidades x e y que possuem o mesmo custo. q1 = 2 e q1 = 4. E15) Seja P(x.uel. pois representam as combinações de quantidades x e y que fornecem o mesmo nível de utilidade ou satisfação ao consumidor. As curvas de nível da função Produção são denominadas isoquantas.br/revistas/geografia/V14N1/Artigo15.y) = x2. Faça as curvas de nível para P = 10 e P = 20. pois representam as combinações de preços p1 e p2 que determinam a mesma demanda do produto de quantidade q 1. Faça as curvas de nível para U = 2 e U = 4.3. pois representam as combinações de quantidades x e y que correspondem a mesma produção.y) = 2x + 3y + 5 a função Custo Total para dois produtos de quantidades x e y. Faça as curvas de nível para C = 11 . C = 23 e C = 29. 1. As curvas de nível da função Demanda são denominadas curvas de isodemanda. As curvas de nível da função Custo são denominadas curvas de isocusto. SITE RELACIONADO www.pdf 5 .y a função Produção de uma empresa. E17) Seja q1( p1.y) = xy a função que dá a utilidade de um consumidor que deseja adquirir dois produtos em quantidades x e y.E12) Esboce as curvas de nível das funções: 1) z = y – x2 para z = 0. Faça as curvas de nível para q 1 = 0 . z =1 e z =2 2) z = y – x para z = 0. p2 ) = –p12 + p2 + 2 a função Demanda de um produto em função do próprio preço p 1 e do preço p2 de outro produto que lhe é substituto. C = 17 . 4.8 E8) 40 E9) 1) Sim. grau 1 5) Sim. y) 2 /y x 1} 2) {( x.1. y) 2 / x 2y 0} 2) Sim. y) 4) {( x. grau 0 12) Sim. grau 2 7) Sim. y) 4) {( x. y) /y /y x} x 2} 1 4 2 2 2 E4) 1) {( x. grau 2 2) Não 6) Não 10) Sim. grau 1 8) Sim. grau 0. grau 2 11) Não 4) Sim. RESPOSTAS E1) 1) 5 E2) 1) –3 E3) 1) 1 2) 0 2) 2) 9 10 3) 25 3) 3) 4) 2 5) [0. 2 ) 3 2 4) {( x. grau –1 E10) 1) {( x. grau 0 E11) 1 2 6 . y) 2 /y 2x 1} 2 /y x 2 1} 2 /x 0 e x 1} y 5 E5) 1) R = 50x + 60y 2) 0 E6) 180 6 x E7) 0.6 3) Sim. y) 3) {( x. grau 2 9) Sim. E12) 1) y 2) y 3) y x x x E13) y x E14) y x E15) 7 . y x E16) y x E17) p2 p1 8 . Solução: f (x. y 0 y) f ( x. Uma derivada parcial é obtida quando x varia e y permanece constante e.y) é uma função de duas variáveis. denominadas derivadas parciais.y) = 2y – 2x3 + 20xy3 y E1) Determine as derivadas parciais z e x z das funções: y 2) z = x y 3) z = ln(xy2) 2 x 3y x2 4y 1) z = 4x2y – 5x3y2 + 2x – y x2 y2 1 4) z = 5) z = 2xy 3x 2 y 6) z = 7) z = (2x – y)exy 8) z = 2x2y. As derivadas parciais de f em relação a x e a y são denotadas por fx ou f e fy ou x f e são definidas y por fx(x.2. a outra. quando y varia e x permanece constante.ln 2y 9) z = 1 x 1 + ln exy 2y 9 . y) y Nota: é uma variante da letra grega (delta minúsculo).y) = x2 + y2 – 2x3y + 5xy4 – 1 . Se z = f(x.y) = lim y f ( x.y) = lim x f (x 0 x .y) = 2x – 6x2y + 5y4 x f (x. y) x e fy(x. DERIVADAS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS Se y = f(x) é uma funçã o de uma variável real. por isso. y ) f ( x . podemos falar em duas derivadas. Exemplo: Seja a função dada por f(x. sua derivada f ’(x) = lim x 0 f (x x) f (x) pode ser x interpretada como a taxa de variação de y em relação a x ou como a função declividade da reta tangente ao gráfico de f. Determine as derivadas parciais de f. a mão-de-obra disponível é constituída por 30 operários especializados e 60 operários nãoespecializados. Nota: Dois produtos são chamados de produtos substitutos se o aumento da demanda de um resulta na diminuição da demanda do outro. . 1) Determine as funções produção marginal. caso o operário especializado seja contratado. Esses produtos são substitutos ou complementares ? Por que ? E5) A produção semanal de certa fabrica é dada pela função P(x.00 e um volume de mão-de-obra de 991 homens-horas. 2) Use os métodos de análise marginal(uso de uma derivada parcial) para estimar a variação da produção se mais um operário especializado for contratado. Se C = 8 + 4x + 6y é a função Custo associada. Dois produtos são chamados de produtos complementares se o aumento da demanda de um resulta no aumento da demanda do outro.000.E2)Sejam px = 8 – x e py = – 2y + 34 as equações da demanda para dois produtos de quantidades x e y. 2) O fabricante deve aumentar o capital imobilizado ou o volume de mão-de-obra para aumentar mais rapidamente a produção ? 10 . E6) Um fabricante estima que a produção mensal de certa fábrica é dada pela função de Cobb-Duglas P(K.75 . de câmaras fotográficas e filmes fotográficos. onde x é o número de operários especializados e y o número de operários não-especializados no trabalho.y 0.L) = 50K0. determine a função Lucro e as funções Lucro Marginal. Produtos substitutos são competitivos.4L0.25 uma função Produção. No momento. como manteiga e margarina.6 . para um capital imobilizado de R$ 750. É o caso.y) = 1200x + 500y + x 2y –x3 – y2 unidades. E4) Se qx = –px –2py + 10 a função que descreve a demanda de um produto em função do seu preço p x e do do preço de outro produto. 3) Calcule a variação exata da produção. onde K é o capital imobilizado em milhares de reais e L é o volume de mão-de-obra em homens-hora: 1) Determine as funções produtividade marginal. Determine as funções Produção Marginal. E3) Seja z x 0. no ponto ( 1.2. –2).1. y y E7) Encontrar a declividade da reta tangente à curva resultante da intersecção de: 1) z = x2 + y2 com o plano x = 1.y1) na direção paralela ao eixo y.1. y f f (x.8) 3) z = 34 9x 2 4 y 2 com o plano y = 2. a derivada parcial de f em relação a y no ponto (x 1.k). INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DAS DERIVADAS PARCIAIS Considere a superfície abaixo. isto é Exemplo: Encontrar a declividade da reta tangente à curva resultante da intersecção de: f(x. Para y = k (constante) a função f se reduz a uma função de uma variável x. no ponto (2.y). a derivada parcial de f em relação a x no ponto (x 1. z t z = f(x.y) P y1= k 0 x1 x z= f(x.3) 11 .y1) = at y Solução: A intersecção do plano com o gráfico da f é uma curva com a direção do eixo y.k) y Portanto. f (x1. isto é f (x1.2.y1) na direção paralela ao eixo x. a declividade da reta tangente é a = –16.y1) representa a declividade da superfície no ponto (x1.y1).1) = –16. logo at = Como f (x1.2.2. gráfico de uma função z = f(x. z = f(x.y1) = at x Analogamente . no ponto (1.y) = x 2 + y2 – 2x3y + 5xy4– 1 com o plano x = –1 no ponto (–1.y) = 2y – 2x3 + 20xy3 e (–1.5) 2) z = x2 + y2 com o plano y = 2.y1) representa a declividade da superfície no ponto (x1. y) = x2 3xy y 2 y x 1) Determine e represente graficamente o domínio da f. 2) Verifique se f é homogênea.4) 3) f y(3. Determine a taxa de variação de T em relação à distância no ponto P(1. 3) f é homogênea ? Em caso afirmativo determine o grau.2.y) = y 2 x 1 2 y2 . mede a taxa de variação x de f(x. TAXAS DE VARIAÇÃO f fornece a taxa de variação de f(x.y) em relação à x para y = k (constante). determine o grau. isto é.E8) Dada a função f(x.4) 4) o coeficiente angular da reta tangente à curva que é a intersecção do gráfico de f com o plano x = 3 no ponto em que y = 4. isto é.y) se move na direção do eixo x. y E10) Seja a função dada por f(x. E9) Seja a função dada por f(x. mede a taxa de variação y de f(x. 3) Encontre f x 2. E11) Uma placa de metal aquecida está situada em um plano xy de modo que a temperatura T no ponto (x.y) em relação à y para x = k (constante).y) quando (x.y) = x y 1)Represente graficamente o domínio da f.2) na direção: 1) do eixo das abscissas 2) do eixo das ordenadas 12 .y) é dada por T(x. em caso afirmativo. f fornece a taxa de variação de f(x. determine : 1) o domínio de f 2) f x(3.y) quando (x.y) =10( x2 + y2 )2 .y) se move na direção do eixo y. 2)Encontre f . ou x y y dx y Este limite fornece a variação percentual aproximada da função correspondente a uma variação de 1% em x. cujo limite quando x tende Como y = f(x+ x ) – f(x). Da figura acima. .2. podemos escrever a (1) como Δx y a zero é lim x 0 f (x dy x x) f (x) x x . A variação relativa média em y por unidade de variação relativa em x é (1) x y x x y x f(x Δx) f(x) x . onde q é a quantidade demandada e P é o preço unitário do produto. c) calcule a elasticidade da demanda em relação ao preço de 5 u. Se y = f(x) representar a função demanda. x y y y y x y x . 13 . observa-se que uma variação A variação relativa em x é x em x corresponde uma variação y x e a variação relativa em y é . então o produto dy x é denominado elasticidade-preço da demanda e representado por e. dx y Exemplo: Seja q = 110 – 4p2 a equação da demanda para um certo produto. . . .m. b) use o resultado anterior para obter uma aproximação da elasticidade da demanda para o preço de 5 u.1 u.m. para 5. y y+ y f y 0 x x+ x x y em y. .m.3 ELASTICIDADE Seja y = f(x) uma função.m.. dx y e= dy x . .. Determine: a) a variação relativa da demanda quando o preço da unidade passa de 5 u. = f’(x). onde x representa o preço unitário de venda do produto. um aumento de 1% no preço p. temos e = -20 q q Um acréscimo(ou decréscimo) de 1 % no preço no preço unitário 5. a demanda terá um decréscimo de 40. q = 5. Portanto. para p = 5.04 e Para p =5. logo. Observação: Quando a quantidade demandada de um produto é expressa em função do preço de outro produto. Seja q = f(p1. .4 = 20.04 = = -0. representará um decréscimo de 40.1.4 %. q q = -4. 2 c) A elasticidade da demanda é dada por e = dq p . p2 q A elasticidade e representa.4% na demanda.p2) a equação da demanda de um certo produto em função do seu preço p 1 e do preço p2 de outro produto . representará um decréscimo(ou aumento) aproximado de 20% na demanda. a variação percentual da demanda decorrente da variação de 1% no preço . dp q Como dq dp -8p e = -8p. q 4.Solução: a) A variação relativa da demanda é dada por q . e q p1 . p 8p 2 = . a elasticidade é chamada de elasticidade cruzada. aproximadamente.96. 10 q b) Um aumento de 2% no preço p. 14 .2 % na demanda. p1 q ec q p2 . representa um decréscimo de 40. Portanto.404. Para p = 5 e q = 10. q = 10 e. . E12) Seja q1 = 200 0. 2) Determine a elasticidade da demanda da manteiga em relação ao preço da margarina. portanto: e c q1 p 2 .3p 2 a equação que descreve a demanda da manteiga em função do seu preço p1 e do preço p2 da margarina. nesse caso. Suponha que os preços desses produtos são p 1 = 300 e p2 = 200. 15 . Determine a elasticidade da demanda em relação ao preço p2. DERIVADAS PARCIAIS DE SEGUNDA ORDEM f x 2 Derivadas puras: f 2 x x f xx . 1) Determine a elasticidade da demanda da manteiga em relação ao próprio preço. Solução: Estamos interessados.Exemplo: 2 Seja q1 = p1 p 2 10 a função que descreve a demanda de um certo produto em função do seu preço p1 e do Preço p2 de outro bem. q1= – 22 – 3 + 10 = 3 e p2 q1 3 3 ec 1.6p1 0. E13) Se qx = – px – 2py + 10 a função que descreve a demanda de um produto em função do seu preço p x e do preço py de outro produto. na elasticidade cruzada. são iguais para funções continuas com derivadas parciais continuas. y f y 2 f y2 f yy Derivadas mistas ou cruzadas: x f y f x y 2 f yx . determine a elasticidade da demanda em relação ao preço py . 2. para p1 = 2 e p2 = 3 e interprete o resultado obtido.4. y f x f y x 2 f xy Observação: As derivadas parciais de segunda ordem mistas. p 2 q1 q1 p2 1 . a demanda do produto de quantidade q 1 vai cair aproximadamente 1%(produtos complementares). 3 3 1 Interpretação: Se o preço p2 aumentar 1%. 2) A função f é homogênea ? Em caso afirmativo.5. y 1) Encontre as derivadas parciais de segunda ordem da z.y) = 2y – 2x3 + 20xy3 y y2 2 ( x . y) y x 2 6x 2 20 y 3 2 f f (x.y) a função H(x. 2. y) x y 6x 2 20 y 3 E14) Determinar as derivadas parciais de segunda ordem das funções dadas por: 1) z = x2y – xy2 + 2x – y 5) z = 2) z = xy 6) z = x3y2 3) z = ln(xy) 7) z = xe-y 4) z = e xy2 2y x 8) z = xln exy E15) Seja a função dada por z = x . determine o grau de homogeneidade. y) f xy ( x. y) 2 60xy 2 f ( x . y) 2 6y (x. y) Exemplo: Calcule o Hessiano da função dada por f(x.y) = 2x3y2 + 4x2y4– 3 no ponto (1.Exemplo: Encontrar as derivadas parciais de segunda ordem da função dada por f(x.y) = 2x – 6x2y + 5y4 f ( x .y) = f xx ( x. -1) 16 .y) = x 2 + y2 – 2x3y + 5xy4– 1 Solução: 2 f f x x2 ( x . HESSIANO Chama-se Hessiano da função z = f(x. y) f yx ( x. y) f yy ( x. onde x = 2t e y = t2. isto é. dz (1) = 36 dt dz (1) do problema acima.6.y) = 4x3y + 16x2y3 f yx ( x. x dt f dy . – 1) 2. y dt Se z = x2y + 2xy2 . z = 4t4 + 4t5 e daí. – 1) 2) f(x. sendo: dt E18) Determine 1) z = x2 + xy – y2 .y) = x2y3 + 2xy – 4x + 3y – 5 no ponto (– 1.y) . u é função de x. dt Logo. encontre dz para t = 1. x = 1 – t . y = ln t 17 . du dx b) Se z = f(x.Solução: fx(x.y) = 21xy 2 2 8y 4 3 12x y 32xy 4x 3 48x y 2 2 H(1. y) 4x 3 48x 2 y 2 fy (x. dt dz = 16t3 + 20t4. REGRA DA CADEIA(RC) a) Se y = f(u) e u=g(x). dt Como x e y dependem de t. onde x = g(t) e y = h(t) então Considere o seguinte problema: dz dt f dx .y) = x3 – y3 + 2xy – 1 no ponto (2. y) 12x 2 y 32xy 3 12x 2 y 32xy 3 29 44 44 44 H(x. y) 12xy 2 8y 4 f xy ( x. x = – t . podemos escrever z como função de uma única variável t . y) 12x 2 y 32xy 3 f yy ( x.y) = 6x2y2 + 8xy4 f xx ( x. y = et 2) z = x2y + xy – 3 . E17) Use a Regra da Cadeia para calcular dz . então dy dx dy du .-1) = = 1276-1936=-660 E16) Calcule o Hessiano da função dada por: 1)f (x. y y y x x x O gráfico da equação y2 – x = 3 pode ser pensado como os gráficos de. uma equação F(x.2. as equações y2 – x = 3. x2 + y2 = 4 e x2 +2y3 = 3xy. isto é. Por exemplo. Por exemplo. 18 . FUNÇÃO IMPLÍCITA Uma função dada na forma y = f(x) é chamada função explícita porque y está explicitado. Nesse caso. duas funções y = f(x).y) = 0 pode definir uma ou mais funções y = f(x). pelo menos. Funções definidas implícitamente pela equação. O gráfico da equação x2 + y2 = 4 pode ser pensado como os gráficos de. Funções definidas implícitamente pela equação. pelo menos. as equações y = x2 –3 e y = –2x – 1 definem explícitamente duas funções. isolado. Em determinadas condições. y y x x Nem sempre uma função é definida explícitamente. dizemos que estas funções são definidas implícitamente pela equação. três funções y = f(x). duas funções y = f(x).7. pelo menos. O gráfico da equação x2 +2y3 = 3xy pode ser pensado como os gráficos de. Nesse caso. dx (1) Esta fórmula é válida para todas as funções deriváveis que a equação x2 +2y3 = 3xy define implicitamente. a derivada no ponto 1.y’. Do último exemplo.y) = 0.1 dx 2y3 – 3y + 1 = 0 1 3 y=1 19 . Exemplo: Encontre Solução: Podemos encontrar a derivada 1ª ) Derivação Implícita Derivando ambos os membros: Dx( x2 + 2y3 ) = Dx3xy Como Dx3xy é a derivada de um produto e Dx(y)p = Dx[f(x)]p = p. 6y2. isto é.1 . estamos interessados em analisar o comportamento de uma função dy y = f(x). 1) 2x – xy +1 = 0 2) x 2 + y2 – 4 = 0 3) e y – x = 0 2. temos: 2x + 6y2. definida implicitamente por uma equação F(x.y’ – 3x. Para resolver um problema desse tipo observe o exemplo abaixo. por exemplo. x=1 Logo. 1 + 2y3 = 3y dy 3.y’ = 3x.1 (1) = 6. Vamos admitir também. DERIVAÇÃO IMPLÍCITA Vamos supor que numa aplicação. que seja impossível explicitar y na equação. podemos observar que nem sempre é possível explicitar y na equação. escrever a função na forma explícita.8.essas funções são denominadas funções implícitas definidas pela equação F(x.1 . isto é. precisamos da derivada para estudar dx a função implícita f. Se queremos.y’ = 3y – 2x ou y’(6y2 – 3x) = 3y – 2x Logo: y’ = dy 3y 2 x = dx 6 y 2 3x dy = y’ de duas maneiras: dx dy de uma função y = f(x) definida implicitamente pela equação x2 +2y3 = 3xy.y) = 0.2.y’ + 3y Isolando y’:. devemos encontrar primeiro o correspondente valor de y na equação x2 +2y3 = 3xy.3. E19) Encontre uma função y = f(x) definida implicitamente por cada uma das equações abaixo.yp-1. y dx F dy =– x F dx y Que é uma fórmula válida para todas as funções deriváveis que a equação F(x.y) . Encontre dy dx (1. onde x = g(t) e y = h(t) então dz dt dz dx f dx . segue que: Como. z = F(x.0). pois z = 0 e dx dx 1 . y dx No caso. dada em forma implícita. dx E22) Seja y = f(x) uma função dada implicitamente pela equação e xy + 3x = 3y3+ 4 . Comparando com a situação anterior em que F(x. E20) Encontre as derivadas 1) 2xy – ln xy + 5 = 0 dy das funções y = f(x) definidas implicitamente pelas equações: dx 2) 4x3y – 3xy2 – 6 = 0 3) 9x + 3y – 7xy2 – 8 = 0 E21) Determine dy para a função ( 2x – 1 )4 + 10 = y2 + 20. y dx F .1). 20 . x dt F dx .2ª ) regra da Cadeia Se z = f(x.y) = x2 +2y3 – 3xy.1 x F dy . y dt F dy . E23) Seja y = f(x) uma função dada implicitamente pela equação ln (xy) = 2x – 2y2 . Encontre dy dx (1. x dx f dy . resulta: 0 = F =– x F dy . dz dx 0 . neste caso.y) = 0 e y =h(x). F x 2x – 3y e F y (2) 6y2 – 3x F 2 x 3y 3y 2 x dy =– x =– 2 = F dx 6 y 3x 6 y 2 3x y Compare a (2) com a (1).y) = 0 define implicitamente. 2) Encontre a TMS de x por y no ponto (4. em (4.2. F x F y dy TMS = dx A TMS representa.5).5). Seja y = f(x) uma função definida implícitamente pela equação F(x. onde U = 6xy + 9x +3y +3 é a função que dá a utilidade de um consumidor de dois produtos de quantidades x e y.3). TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO Se z = F(x. a equação F(x.5).y) é uma função e z = k(constante) .3) = 6x 3 27 = –1 27 Interpretação: A utilidade do consumidor no ponto (4. Interprete o resultado obtido. 21 . Calcule a Taxa Marginal de Substituição no ponto (2. será aproximadamente a mesma se for substituída uma unidade de y por uma unidade de x. aproximadamente. Exemplo: Encontre a TMS no ponto (4.3). usando y = f(x) ? E25) Seja z =10x2y a função Produção de uma empresa que utiliza dois insumos em quantidades x e y.y) = k representa todas as combinações de x e y que fornecem o mesmo valor k para a função F. para que se tenha o mesmo valor k para a função. 3) Qual a quantidade de y que pode ser substituída por uma unidade de x.9.3). a quantidade de y que pode ser substituída por uma unidade de x. E24) Seja U = x2y a função utilidade de um consumidor que deseja adquirir dois produtos de quantidades x e y. logo TMS(4.y) = 0. Solução U = 6y + 9 e x U = 6x + 3 y dy TMS = dx U x U y 6y 9 . 1) Calcule o valor da utilidade no ponto (4. 4x2 – 10x3y – 1 2) y .ucs.ips.unesp.br/anderson/arquivos/DERIVADAS%20PARCIAIS.75 E4) Complementares E5) 1) Px(x.br/professor/luiza/CDI-III/func3.br/ccet/denq/prof/ana/deripar. Py(x.sorocaba. 25 . x 2 y 3) 1 2 .pop. Lx = – 2x + 4 .google.esce. x2 y y2 1 5) 4y 2 (3x 2 y) 2 .pt/disciplinas/licenciatura/pe/materiais/Adm/Aulas%20Te%C3%B3ricas_elastic_T.com. Ly = – 4y + 28 E3) z x 0.25x 0. zy 0. SITES RELACIONADOS http://didisurf.pdf http://www.pt/ppereira/micro1200320042. exy(2x2 – xy – 1) 8) 4xyln 2y .br/repositorio/1824/meusite/03%20-%20Teoria%20do%20Consumidor.10.com.75y 0.11.pucpr.pdf http://www. 6x 2 (3x 2 y) 2 6) 2x 2 (x 2 6 xy 8 y 4 y) 2 .pdf http://www.las.br/famat/demat/facin/calcb/material_200502/Topico_09_Derivadas_parciais.dmat.com/calculo2 http://www.75 y 0.ufba.googlepages.M1 http://ube-164.uma.br/books?id=lBQCU3svvFEC&pg=PA176&lpg=PA176&dq=taxa+marginal+de+substit ui%C3%A7%C3%A3o&source=web&ots=OLa7rlQt_h&sig=QRZ-AlCYvRgkBGCbMA_zHLFh6hw&hl=ptBR#PPA255. 1 2y 2 x (ln exy = xy) E2) L = – x2 – 2y2 + 4x + 28y – 8 .y) = 500 + x2 – 2y 2) 2100 3)2069 22 .ppt 2. 3x 2 (x 2 8x 4 y) 2 7)exy(2xy – y2 + 2) .pdf http://www.Cons.com/calculo2 http://didisurf. 2x2(ln 2y + 1) 9)Nota: ln exy = xy . RESPOSTAS E1) 1) 8xy – 15x2y2 + 2 .pucrs. 25 x 0.y) = 1200 + 2xy – 3x2 .br/mat042/aula26/aula26. 1 x2 y .htm http://www.2.htm http://www.ppt http://books.googlepages. x y 4) x2 x y2 1 . x2 1 . 0 . 2 x2 1 . 1 xy2 3) . grau 0. -2x .5 3) 1.0. -e-y E15) 1) zxx = 0 .0)} 2) 3 125 3) 4) 996 125 E9) 1) {( x.75 2p y px 2p y 10 E14) 1) 2y .8 23 . zxy = zyx = 2) – 4 2) 2tln t – ln t + t – 1 2) y = 2) 12 x 2 y 3y 2 4x 3 6 xy 1 y2 2) Sim .64 e 26. 2e (xy 3 y) 5) 4y x 3 6) 6xy2 . 2x3 .25 E13) e c 2) 400 2) 0. y) E10) 1) {( x. 2x . 0 . xe-y . y) 2 / x y 0} 2 2) f y 1 2 x y 3) x2 3) Sim . 6x2y 7) 0 . 2xe xy2 (2xy 2 1) .E6) 1) 23. grau 1 2 xy E11) 1) 200 E12) 1) – 2. zyy = E16) 1) 68 E18) 1) –2e2t – tet + 2t – 2 E19) 1) y = 2 + E20) 1) E21) 2x y 3 8) 2y .84 E7) 1) 4 E8) 1) 2 2) mão-de-obra 2) 4 3) – 3 996 125 {( 0. grau 0 1 x 4 x 2 ou y = 4 x2 3) 3) y = ln x y x 3 9 7y 2 3 14xy 4(2x 1) y E22) –3 E23) 1 5 E24) 1) 80 E25) -3 2) – 2. 2x – 2y 4) y 4 e xy2 2) 0 .0 y2 .5 2y 2 (y x) 2 /x y 0} 2) Sim. concluímos que dx = Δx . dy = 1. como y = x. Δx . E2) O raio de uma circunferência aumenta de 10 m para 10.3. a diferencial de dy é uma função é obtida pela multiplicação da derivada f’(x) pela diferencial de x. Logo. a diferencial da variável independente x. chamamos de diferencial de f a função dada por dy = f’(x) Δx onde x está no domínio de f’e Δx é um acréscimo arbitrário de x. dy = –1. a diferencial de x é definida por dx = Δx onde x está no domínio de f’e Δx é um acréscimo arbitrário de x. Exemplo: Se y = x4 – 8x2.1. Queremos definir agora. DIFERENCIAIS Se f é uma função dada por y = f(x). Nesse caso. Assim. da definição.8. Em particular. Compare essa estimativa com a variação A. Se f é uma função dada por y = f(x). Utilize diferencial para estimar o aumento da área da circunferência. isto é a diferencial de y = x. dy = 12 Δx . se x = –1. se x = 3 e dx =–0. 24 . Em particular. E1)Use diferencial para encontrar um valor aproximado para a variação da área de um quadrado quando seu lado passa de 2 cm para 1. dy = (4x3 – 16x) Δx . dy = f’(x)dx Exemplo: Se y = 3x2 – 2 então dy = 6xdx. então f(x) = x4 – 8x2 e f’(x) = 4x3 – 16x .8 cm.1 m. 1. 25 . INTERPRETAÇÃO GEOMÉTICA DA DIFERENCIAL y f(x1 + Δx ) f Q t Δy T dy P f(x1) 0 x1 α R dx= Δx x1 + Δx x A medida do segmento orientado PR é dx = Δx . Δy dy f(x+ Δx ) – f(x) f’(x).dx f(x+ Δx ) f’(x). tangente ao gráfico de f em P é a t = tg α = med (RT ) med (PR ) med (RT ) dx Como at = f’(x1). Então. observa-se que a diferencial dy num ponto depende de Δx e. quanto menor for Δx mais próximo dy estará de Δy .3. podemos dizer que dy é o acréscimo Δy caso seguíssemos a reta tangente t ao invés do gráfico de f. Da figura acima. para pequenos valores de Δx .dx + f(x) (1) 3 62 . Exemplo: Use diferenciais para aproximar o valor de Solução: dy = f’(x) dx e para Δx pequeno. A declividade da reta t. Conclusão: A diferencial de uma função pode ser usada para calcular aproximadamente variações da função. f’(x1) = med (RT ) ou med (RT ) = f’(x1)dx dx dy = med (RT ) . A medida do segmento orientado RQ é Δy . 1 3 64 3 2 Substituindo em (1) estes dados. Use diferencial para calcular o acréscimo aproximado da produção quando q passa de 10 para 10. se dx 0. Logo. portanto.2.16 62 . E4) Seja R = 100q – 2q2 uma função receita e q a quantidade vendida. E3) Seja P = 0. temos: f(64+(-2)) Mas f(62) = 3 (-2) + 3 64 f(62) 2 + 4.952.1q3 – 2q uma função produção e q a quantidade de insumo.Como queremos calcular a raiz cúbica de 62. Use diferencial para calcular a variação aproximada da receita quando q passa de 30 para 31. dx Exemplo: Se y = 2x3 – 5x2 + 6x – 1 então dy d = (= 2x3 – 5x2 + 6x – 1) = 6x2 – 10x + 6 dx dx 26 . em relação a x é igual à razão da diferencial de y. Observações: a) dy é a notação de Leibniz para derivada. 3.a dx dx derivada de y. logo 3 62 1 95 +4= 24 24 3.2. ou f(x).953 Observação: Uma calculadora fornecerá o valor será aproximado 3. podemos escrever dy df ( x ) = f’(x) ou = f’(x). também é correto dx d escrever (y). e a diferencial de x. a função f é f(x) = O valor mais próximo da 3 3 x e a derivada de f é f’(x) = 1 3 x2 3 . 3. logo. dx b) d pode ser interpretado como um operador da mesma forma que D x e. 62 que conhecemos é 3 64 4 . devemos considerar x = 64 e dx = -2. DERIVADA COMO UM QUOCIENTE Da definição de diferencial dy = f’(x)dx. 5 cm e sabe-se que o erro cometido na sua medição não excede 0.E5) O raio de uma esfera metálica cresceu de 8. E10) Seja z = 4. y) x2 y 2 no ponto (4. DIFERENCIAL TOTAL Analogamente ao que foi visto para função de uma variável. 27 . Então o diferencial dz. E8) O raio de uma esfera de aço mede 1. E6) Encontre um valor aproximado para a variação da área de um Triângulo eqüilátero quando seu lado passa de 4 cm para 4.y) em ( x0.3.1 cm de espessura e o das laterais tem espessura de 0.2 3.0 cm para 8. Use diferencial para estimar o volume aproximado do gelo. E9) Use diferencial para aproximar: a) 3 10 b) 4 80 c) 35 d) 5 32. Determine dz. ou seja podem ter qualquer valor.y0. E11) Determine a diferencial de f ( x . Estime o erro possível no cálculo do volume.y2. isto é. definiremos os diferenciais dx e dy como variáveis independentes. z f (x x. Use diferencial para calcular o acréscimo aproximado do volume. produzida pelas variações de x e z representa a variação de z ao y em x e y. ao longo do plano tangente à superfície de equação z = f( x. é definido por dz = fx (x.1 cm de espessura. produzida pelas variações dx e dy em x e y respectivamente. se z = f(x.1 cm com aquecimento.y) dy . O volume da esfera é calculado a partir da medida de seu raio. 3). y) . y) é uma função de duas variáveis .z0). Assim dz é a variação de z. E12) Utilize diferencial para estimar a quantidade de metal em uma lata cilíndrica fechada de 10cm de altura e 4cm de diâmetro se o metal das tampas de cima e de baixo têm 0.y) dx + fy (x.1 cm. também chamado de diferencial total.001 cm. y y) f ( x .x3. E7) Um cubo de 10 cm de aresta cobriu-se uniformemente com uma camada de gelo de 0.05cm. Enquanto que longo da superfície. Se as arestas sofrerem acréscimos de 1 % . quando seu raio varia de 2 cm para 2.2) a (1.81 por cm2 e suas sofrerem um acréscimo de 10 % no raio e 2 % na altura. com tampa.2 cm.y) = x 2 y 2 varia de (2. 28 . Se o custo custo do material usado em sua confecção é de R$ 0.02. E18) Mediram-se o raio e altura de um cilindro circular reto.1. E19) Considere um recipiente. E15) Considere uma caixa.2 cm. com a forma de um paralelepípedo retângulo de dimensões a = 2 cm . com um erro de medida possível de 0. Determine a variação aproximada da diagonal se o lado a aumentar 0. obtendo-se 3 cm e 8 cm.y) = 2 x 2 .01 cm e o lado b diminuir 0.02) b) f(x. com dimensões: raio = 2 cm e altura = 5 cm.3xy varia de (1.01) E14) Calcule um valor aproximado para a variação da área de um triângulo retângulo quando seus catetos passam de 4 cm para 4. Use diferencial para obter uma aproximação do erro máximo no volume calculado do cilindro. com tampa. determine: a) o valor aproximado do acréscimo no custo do recipiente b) o valor exato do acréscimo no custo do recipiente E20) Use diferencial para encontrar um valor aproximado para a expressão (1.1) a (2.01. determine: a) o acréscimo aproximado do volume b) o acréscimo exato do volume E16) Use diferencial para calcular o aumento aproximado do volume de um cilindro circular reto.1. E17) Considere um retângulo de lados a = 3 cm e b = 4 cm. se: a) f(x.1 cm e 3 cm para 2.1 cm e a altura varia de 6 cm para 6. 10 % e 2 %.E13) Calcule z e dz para as seguintes funções.1 cm. respectivamente.2.8 cm. respectivamente. de forma cilíndrica.001) 3. b = 3 cm c = 4 cm. 6 cm3 E6) dA = 0.47 29 .00 E12) dV = 2.2 cm3 V = 3.6 E4) -20 E5) dV = 25.17 E10) dz = 12x2y2dx + 8x3ydy E11) df(4.8 cm2 E2) dA = 2 m2 .002 3 cm2 E7) .0804 .3899 .99 c) 5.3) = 2 3 dx dy 5 10 A = 2.92 e) 2. dz = .85 cm3 E19) a) dC = R$ 10. E16) dV = 3.19728 cm3 E17) dD = -0.003 b) C = R$ 10.9 cm3 b) 2.0.25 cm2 E15) dV = 3.17 E20) 1.0.38 E14) dA = .3.0.0.01 m2 0.8 cm3 E13) a) z = .08 b) z = 0. RESPOSTAS E1) dA = . dz = 0.12 cm3 .154 cm E18) dV = 2. dV = 60cm3 E8) dV = E9) a) 2.01 m2 e = 0.4. E3) 5. c) Retas horizontais tem declividade “zero”. y f 20 10 -10 -5 0 -10 -20 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 x a) A função f é crescente em ( . de uma função polinomial f. nos intervalos (-5. 0]  [15. por exemplo. pois não existe o ponto baixo do gráfico. por exemplo. b) Os pontos onde f muda o crescimento apresentam retas tangentes ao gráfico de f horizontais. respectivamente. f) A função f possui máximos.5) e (20.40]. 30 . ). d) A função f não possui máximo. nos pontos 0 e 25. e) A função f não possui mínimo. b) A função f é decrescente em [0.20) e (35. j) Os máximos e mínimos relativos de f são denominados extremos relativos de f. h) Os máximos relativos de f são 20 e 10. que acontecem. portanto f’(0) = f’(15) = f’(25) = f’(40) = 0. pois não existe o ponto mais alto do gráfico. Este tipo de mínimo é denominado mínimo local ou relativo. nos intervalos (10.45). que acontecem.25]  [40. Observações: a) Os intervalos onde f é crescente ou decrescente são partes do domínio da f. i) Os mínimos relativos de f são -10 e -20. respectivamente.4. ANÁLISE DO COMPORTAMENTO DE UMA FUNÇÃO Considere o gráfico abaixo. nos pontos 15 e 40. g) A função f possui mínimos. Este tipo de máximo é denominado máximo local ou relativo.15]  [25.30). FUNÇÃO CRESCENTE E FUNÇÃO DECRESCENTE Uma função f é dita crescente num intervalo I. o valor de f(x) também cresce. PONTO CRÍTICO Um ponto c do domínio de uma função f é chamado de ponto crítico de f se f ’(c) = 0. a) Se f ’(x)>0 para todo x b) Se f ’(x)< 0 para todo x Exemplo: Determine os intervalos de crescimento e decrescimento da função dada por f(x) = x 3 – 6x2 + 1.2. Uma função f é dita decrescente num intervalo I.b) então f é crescente em [a. Geometricamente: y t 0 y c x y t 0 c x 0 c x 0 c x 0 c x 0 c y t x 0 y t c y t x 0 y c t y t x E1) Encontre os pontos críticos de f.b) então f é decrescente em [a.b).b] e derivável em (a.b] 31 . ou f ’(c) não existe. sendo: 1)f(x)=x3 – 3x + 2 2) f(x)=x4– 2x2 + 3 3) f(x)= 5 x 3 4) f(x)= 3 x2 4 4. se a medida que x cresce. (a. o valor de f(x) decresce.1.3.4. 4. DETERMINAÇÃO DOS INTERVALOS DE CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO Seja f uma função continua em [a.b] (a. se a medida que x cresce. logo f é crescente em (4. + ) . exceto possivelmente em c a) Se f ’ passa de positiva para negativa em c então f(c) é máximo relativo de f b) Se f ’ passa de negativa para positiva em c então f(c) é mínimo relativo de f c) Se f ’ não muda de sinal em c então f(c) não é extremo relativo de f (a.1.4) e (4. TESTE DA DERIVADA PRIMEIRA(TDP) Seja f uma função continua e derivável em (a.4.Solução: 1o) Determinação dos pontos críticos: f’(x) = 3x2 – 12x 3x2 – 12x = 0 3x.+ . logo f é decrescente em (0. DETERMINAÇÃO DOS EXTREMOS RELATIVOS DE UMA FUNÇÃO 4.(x – 4) = 0 3x = 0 ou x – 4 = 0 ): C={0.b) Geometricamente: y t 0 c1 x 0 c2 y t x 0 c3 y t x 0 c4 y t x c1 é ponto de máximo relativo e f(c1) é máximo relativo de f c2 é ponto de mínimo relativo e f(c2) é mínimo relativo de f c3 e c4 não são pontos extremantes 32 . + ). f’(x) > 0.4). f’(x) < 0. basta escolher um ponto qualquer do intervalo e calcular a derivada nesse ponto. .0) . Para qualquer x (4.4} 2o) Determinação do sinal da derivada nos intervalos ( Para qualquer x ( . f’(x) > 0. logo f é crescente em ( Para qualquer x (0.0) . Importante: Para determinar o sinal da derivada num intervalo. E2)Determine os intervalos de crescimento e decrescimento das funções dadas por: 1) f(x)=x3 –5 2) f(x)=x4– 8x2 – 5 3) f(x)= 2x – 1 4) f(x)= x 4– 4x3 4.4.0). (0.b).4) . + ).b). c) Se f ’’(c) = 0.-2).(x2 – 4) = 0 4x = 0 ou x2 – 4 = 0 C={-2. f’(x) > 0. Exemplo: Determine os máximos e os mínimos relativos da função dada por f(x) = x 4 – 8x2 . Solução: 1o) Determinação dos pontos críticos: f’(x) = 4x3 – 16x 4x3 – 16x = 0 4x. logo f é decrescente em ( Para qualquer x (-2. + TDP f(-2) = -16 é mínimo relativo de f. f(0) =0 é máximo relativo de f e f(2) = -16 é mínimo relativo de f. TESTE DA DERIVADA SEGUNDA(TDS) (a.Exemplo: Determine os máximos e os mínimos relativos da função dada por f(x) = x 4 – 8x2 .2.0) .(x2 – 4) = 0 4x = 0 ou x2 – 4 = 0 .2) e (2. Para qualquer x (2.4.0. f’(x) < 0. logo f é crescente em ( -2.b) e c a) Se f ’’(c) > 0 então f(c) é mínimo relativo de f.0). tal que f ’(c)= 0. f’(x) < 0.0) .2} 2o) Determinação do sinal da derivada nos intervalos ( Para qualquer x ( . b) Se f ’’(c) < 0 então f(c) é máximo relativo de f. Seja f uma função derivável em (a. logo f é crescente em (2.2} 33 . nada podemos concluir.+ . Solução: 1o) Determinação dos pontos críticos: f’(x) = 4x3 – 16x 4x3 – 16x = 0 4x. f’(x) > 0.2). (0. ): C={-2. logo f é decrescente em (0.0.-2) . Para qualquer x (0.-2) . (-2. ) .2) . E3) Encontre os máximos e mínimos relativos das funções dadas por: 1) f(x)= x4 – 8x2 + 1 2) f(x)= x3 + 3x2 – 5 3) f(x) = 3x4 + 4x3 – 12x2 + 16 4) f(x) = x3 – 12x 4. b). Exemplo: Determine os intervalos de CPC. 4. x (a. f’(x) > 0. b) côncavo para cima (CPC) se f ’’(x) > 0. + .2). x (a.2o) Determinação da derivada segunda: f’’(x) = 12x2 – 16 TDS f’’(-2) = 32 > 0 então f(-2) = -16 é mínimo relativo de f f’’(0) = -16 < 0 então f(0) =0 é máximo relativo de f f’’(2) = 32 > 0 então f(2) = -16 é mínimo relativo de f E4) Encontre os máximos e mínimos relativos das funções dadas por: 1) f(x)= x3–12x+4 2) f(x)=x3– 3x2+5 3) f(x)= x4 – 8x2 + 6 4) f(x)= 3x5– 5x3 4. logo o gráfico de f é CPB em ( ) . Neste caso.2. (c.+ . f’’(x) < 0. os intervalos de CPB e os pontos de inflexão da função dada por f(x) = x3 – 6x2 + 1. PONTO DE INFLEXÃO Um ponto c pertencente ao domínio da f é um ponto de inflexão de f se o gráfico de f muda a concavidade em c.1.f(c)) é um ponto de inflexão do gráfico de f. Solução: 1o) Determinação dos pontos críticos da f’: f’(x) = 3x2 – 12x f’’(x) = 6x – 12 6x – 12 = 0 x=2 C’={2} ): . 2o) Determinação do sinal da derivada segunda nos intervalos ( Para qualquer x ( Para qualquer x (2.5.b) então o gráfico de f é a) côncavo para baixo (CPB) se f ’’(x) < 0.2) e (2. TESTE DA CONCAVIDADE Se f ’’(x) existe em um intervalo (a. CONCAVIDADE E INFLEXÃO 4.5. + 34 .2) . ). b). logo o gráfico de f é CPC em (2.5. A que horas.00 por metro linear e o custo para cercar a frente e o fundo seja de R$ 500. Determine as dimensões do quadrado retirado para que o volume da caixa seja máximo. o serviço de transito vem pesquisando a velocidade do tráfego numa auto-estrada. 2) Determine os intervalos de CPC e CPB do gráfico da função Produção. basta escolher um ponto qualquer do intervalo e calcular a derivada segunda nesse ponto. 1) Determine a quantidade de fertilizante necessária para que se tenha a produção máxima. 3) Faça um esboço do gráfico de P. observando os resultados obtidos nos ítens anteriores 35 . Neste caso. dentro do intervalo de tempo mencionado. 1)f(x)= 3x4 – 8x3+ 6x2 4) f(x) = x2 – 4x + 6 2) f(x)=2x3 – 3x2 – 12x + 10 5) f(x) = x3 – 6x2+ 12x – 4 3) f(x) = x3 3 2x 2 3x 10 E7) Deseja-se cercar um terreno retangular de área 60 m2. E10) Seja P = – x3 + 300x a função que dá a quantidade produzida de certo produto agrícola em função da quantidade de fertilizante. o tráfego se move mais rapidamente e a que horas se move mais lentamente ? E9) De uma folha laminada quadrada de 2 dm de lado. Determine as dimensões do terreno de modo que o custo para cercá-lo seja o menor possível. entre 1 e 6 horas a velocidade do tráfego é de.Importante: Para determinar o sinal da derivada segunda num intervalo. qual o custo mínimo? E8) Por várias semanas. de modo que o custo para cercar as laterais seja R$ 300. foram cortados quadrados iguais nos quatro cantos e com o restante da folha foi construída uma caixa sem tampa. onde t é o número de horas transcorridas após o meio-dia. aproximadamente v(t) = 2t3–21t2 + 60t + 40 km/h.00 por metro linear. Verificou-se que. num dia normal de semana. à tarde. E5) Encontre os intervalos de CPC e CPB das funções dadas por: 1) f(x)= x3–3x 2) f(x) = 2x4– 12x2 3) f(x)= 3x4 – 12x3 + 26 4) f(x)=x3+ 3x2 – 9x–5 E6) Faça um estudo completo do comportamento das funções abaixo. a taxa segundo a qual ela cresce está decrescendo. 36 . portanto f cresce a taxas crescentes. b) em (c. TAXA DE VARIAÇÃO DE UMA TAXA DE VARIAÇÃO Podemos ouvir de um economista que. E13) Seja C(x) = x3 – 6x2 +100x a função custo total para produzir x unidades de um certo produto. f é decrescente (y ’ < 0) e y ’’ > 0 (f ’ é crescente).c). se houver. Isto significa que os preços ainda continuam a subir. portanto f decresce a taxas crescentes. os intervalos de CPC e CPB. E12) Se L(x)= –x2 + 6x – 5 é a função lucro na venda de x unidades de um certo produto. f é crescente (y ’ > 0) e y ’’ < 0(f ’ é decrescente).c). 6) Determine a Receita Marginal para q = 5 e interprete o resultado obtido. assinalando os resultados obtidos no itens anteriores. f é decrescente (y ’ < 0) e y ’’ < 0 (f ’ é decrescente).b). No segundo gráfico observa-se que: a) em (a. a função Receita. 3) Determine. embora a taxa de inflação esteja crescendo.6. f é crescente (y ’ > 0) e y ’’ > 0 (f ’ é crescente).b). b) em (c. portanto f decresce a taxas decrescentes. portanto f cresce a taxas decrescentes. 1) Para que valores de q a função Receita tem sentido ? 2) Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento da função Receita.E11) Seja R(q) = – q3 + 15q2 . Determine: 1) o Custo Marginal 2) o Custo Médio 3) o Custo Médio Marginal 4) o Custo Médio Mínimo 4. determine o lucro máximo. mas não tão rapidamente quanto antes. 4) Qual é a receita máxima e a receita mínima ? 5)Faça o gráfico da função. Observe os gráficos abaixo: y f y f 0 a c b x 0 a c b x No primeiro gráfico observa-se que: a) em (a. Ache o ponto de diminuição de resultados para este produto(ponto de retorno decrescente). 37 .com. Encontre o ponto de inflexão da função I e discuta o seu significado. WINPLOT O winplot é um programa para plotagem de gráficos de funções de uma e duas variáveis. 4. E15) Um índice de preços ao consumidor(IPC) é descrito pela função I = – 0. extremamente simples de ser utilizado pois dispensa o conhecimento de qualquer linguagem de programação e é distribuído gratuitamente. 0 t 9 onde t = 0 corresponde ao ano de 1991.ig. 0 x 200.7.htm ou da página do professor com manual.000 x 3 ).E14) Aumentando seu gasto x com propaganda(em milhares de reais). podendo ser baixada da internet pelo site baixaki.br/download/WinPlot. uma empresa constata que pode aumentar as vendas y (em milhares de reais) de um produto de acordo com o modelo y 1 (300x 2 10.2t3 + 3t2 + 100. 4.8. SITES RELACIONADOS http://pt.wikibooks.org/wiki/C%C3%A1lculo_I/%C3%8Dndice/Aplica%C3%A7%C3%B5es_ das_derivadas http://www.cepa.if.usp.br/e-calculo/ http://www.ufpi.br/uapi/conteudo/disciplinas/matematica/download/unidade5.pdf http://www.exatec.unisinos.br/~kessler/arquivos/edirigido.doc http://www.google.com.br/search?sourceid=navclient&ie=UTF8&rlz=1T4SUNA_enBR239BR240&q=aplica%c3%a7%c3%b5es+de+derivadas+na+adminis tra%c3%a7%c3%a3o http://www.scribd.com/doc/271621/Apostila-de-limites-e-derivadas http://www.vestibular1.com.br/revisao/revisao_matematica_III.pdf 4.9. RESPOSTAS E1) 1) –1 ; 1 2) –1 ; 0 ; 1 3) –3 4) –2 ; 0 ; 2 E2) 1) Cresc. 3) Cresc. 2) Cresc.:[-2,0] 4) Cresc.: [3, [2, ) , Decresc.: ( ,3] , 2] [0,2] ) , Decresc.: ( E3) 1) Máx. Relativo: f(0) = 1 2) Máx. Relativo: f(–2) = –1 3) Máx. Relativo: f(0) = 16 4) Máx. Relativo: f(–2) = 16 E4) 1) Máx. Relativo: f(–2) = 20 2) Máx. Relativo: f(0) = 5 3) Máx. Relativo: f(0) = 6 4) Máx. Relativo: f(–1) = 2 Mín. relativo : f( –2) = f(2) = –15 Mín. relativo : f(0) = –5 Mín. relativo : f(-2) = -16 e f(1) = 11 Mín. relativo : f(2) = –16 Mín. relativo : f(2) = –12 Mín. relativo : f(2) =1 Mín. relativo : f( –2) = f(2) = –10 Mín. relativo : f(1) = –2 38 E5) 1) CPB: ( ,0) , CPC: (0, CPC: ( ) ,0) (2, ) 2) CPB: ( 1,1) , 4) CPB: ( CPC: ( , 1) ) (1, ) 3) CPB: (0,2) , E6) 1) Cresc.: [0, CPC: ( 2) Cresc.: ( CPB: ( 3) Cresc.: ( CPB: ( 4) Cresc.: ( PI : NE 5) Cresc.: ( 1 , ) 3 , 1) , CPC: ( 1, ) , Decresc.: ( (1, 1 ,0] , Máx. Relativo: NE , Mín. relativo : f(0) = 0 , CPB: ( ,1) , 3 1 e1 ) , PI : 3 , 1] [2, ) , Decresc.:[-1,2] , Máx. Relativo: f(–1) = 17 , Mín. relativo : f(2) = –10 , ) , PI : 1 2 34 , Mín. relativo : f(3) = 10 , 3 1 1 , ) , CPC: ( , 2 2 ,1] [3, ) , Decresc.:[ –1,3] , Máx. Relativo: f(1) = ,2) , CPC: (2, ) , PI : 2 ) , Máx. Relativo:NE , Mín. relativo : f(2) = 2 , CPC: ( , ), ,2] , Decresc.: [2, , ) , Máx. Relativo: NE , Mín. relativo : NE , CPB: ( ,2) , CPC: (2, ) , PI : 2 E7) 10 m, 6 m e R$ 12000,00 E8) 2. horas e 5 horas E9) 1 dm 3 2) CPB: [0,10 3 ] E10) 1) x = 10 E11) 1) [0,15] 4) Rmáx = 500 , Rmín = 0 E12) 1) Lmáx = 4 2) C: [0,10] , D: [10,15] 6) 75 3) CPC: [0,5] , CPB: [5,15] E13) 1) Cmg = 3x2 – 12x + 100 2) Cme = x2 – 6x + 100 3) Ç'me = 2x – 6 4) 91 E14) 100 E15) 5 39 5. MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS Seja z = f(x,y) uma função de duas variáveis. Dizemos que um ponto (x o,yo) do domínio de f é ponto de máximo relativo ou local de f, se existir uma bola aberta de centro em (xo,yo) e raio r tal que, para todo ponto P(x,y) do domínio situado no interior dessa bola, tenhamos f(x,y) f(xo,yo). O número f(xo,yo) recebe o nome de máximo relativo ou local de f. Exemplos: Figuras 2 e 3 Seja z = f(x,y) uma função de duas variáveis. Dizemos que um ponto (x o,yo) do domínio de f é ponto de mínimo relativo ou local de f, se existir uma bola aberta de centro em (xo,yo) e raio r tal que, para todo ponto P(x,y) do domínio situado no interior dessa bola, tenhamos f(x,y) f(xo,yo). O número f(xo,yo) recebe o nome de mínimo relativo ou local de f. Exemplos: Figuras 1 e 3 Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4 Seja z = f(x,y) uma função de duas variáveis. Dizemos que um ponto (xo,yo) do domínio de f é ponto de máximo absoluto ou global de f, se para todo ponto P(x,y) do domínio, tivermos f(x,y) f(xo,yo). O número f(xo,yo) recebe o nome de máximo absoluto ou global de f. Exemplo: Figura 2 40 O número f(xo.y) = 4x – 2y + 4 41 .y) = x3 + y3 – 3x2 – 3y 3)f(x. Um ponto (xo. PONTO CRÍTICO DE UMA FUNÇÃO DE DUAS VARIÁVEIS Seja z = f(x.y) uma função definida num conjunto aberto D 2 . Dizemos que um ponto (x o.0) é o ponto crítico de f. y x2 y2 0 O gráfico da f é a superfície abaixo.yo) e fy(xo. se para todo ponto P(x.yo). Exemplo: Encontre os pontos críticos da função dada por f(x.y) uma função de duas variáveis. z y x E1) Encontre os pontos críticos das funções: 1) f(x.yo) D é um ponto crítico de f se as derivadas parciais fx(xo.y) do domínio.y) = Solução: fx = 1 2 (x 2 y2 ) 1/ 2 x2 y2 1 .1.Seja z = f(x. 2x x 2 x y 2 fy = 1 2 (x 2 y2 ) 1/ 2 2y x 2 y y2 fx x fy x 2 0 y2 se x = 0 e y = 0.yo) do domínio de f é ponto de mínimo absoluto ou global de f. Geometricamente. logo o ponto (0. Exemplo: Figura 1 5.y) = x2 + y2 2) f(x. tivermos f(x.y) f(xo. são pontos do gráfico da função onde o plano tangente é horizontal ou não existe.yo) recebe o nome de mínimo absoluto ou global de f.yo) são nulas(extremos suaves) ou não existem(extremos bruscos). fx e fy não existem. é ponto de sela. CRITÉRIO PARA CARACTERIZAÇÃO DE PONTOS EXTREMANTES TESTE DO HESSIANO Seja z = f(x. o ponto crítico de f é (0. Substituindo na equação (2). b) Determinação do Hessiano de L: fx = –6x + y fxx = –6 e fxy = 1 H(x.yo) não e ponto extremante.5. vem: 2 y x 0 (2) y = 6x.2.yo) é ponto de mínimo relativo de f. 42 . com derivadas parciais até segunda ordem continuas e (x o. c) Se H(xo.y) = –3x2 – y2 + xy – 5. Exemplo: Determine e caracterize os pontos extremantes da função f(x. tal que fx(xo. Como y = 6x e x = 0 y = 0. o ponto (0. vem: – 2. Solução a) Determinação dos pontos críticos da função: 6x y 0 (1) fx = –6x + y fy = –2y + x isolando y na equação (1).0). b) Se H(xo. nada se pode afirmar.y) uma função continua.yo) < 0 então (xo.yo) > 0 então (xo. Como fxx(0.yo) um ponto crítico de f.0) = –6 < 0. Logo.6x + x = 0 –12x + x = 0 –11x = 0 x = 0.0) é ponto extremante(de máximo ou de mínimo). y por 6x. a)Se H(xo.0) = 6 1 1 2 6 1 fy = –2y + x 1 2 fyy = –2 e fyx = 1 = 12 – 1 = 11> 0.yo) = 0. d) Se H(xo.yo) é ponto de máximo relativo de f.yo) > 0 e fxx(xo.yo) < 0 então (xo.y) = c) Caracterização do ponto crítico: H(0.yo) = fy(xo.yo) = 0.0) é ponto de máximo.yo) > 0 e fxx(xo. logo (0. y) = 8x 3 3 2xy 3x 2 y2 1 E3) A função lucro de uma loja foi determinada como sendo L(x. 5. Determine a receita máxima.E2) Determine e caracterize os pontos extremantes das funções: 1)f(x. onde x e y são quantidades de dois insumos utilizados na fabricação da quantidade z de um produto.y) = x2 + y2 – 2x + 1 4) f(x.y) = 0. Calcule o lucro máximo. onde x e y são as quantidades de dois produtos negociados .3. Quais os valores de x e y que maximizam o lucro ? E4) Sejam px = 27 – x2 e py = 12 – y2 as funções Demanda para dois produtos de quantidades x e y.y) = –x2 – y3 + 4x + 3y 8) f(x. z máx de f sem restrição máx de f com restrição z 0 y 0 restrição R y x x 43 .y) = 3x4 + 8x3 – 18x2 + 6y2 + 12y – 4 3) f(x. O preço unitário de cada insumo é 3. E5) Seja z = 10 – 2x2 + xy – y2 + 5y uma função Produção.y) = x3 + y2 – 6xy + 6 2) f(x.y) = 8x 3 – 3x2 + y2 + 2xy + 2 6) f(x. MÁXIMOS E MÍNIMOS CONDICIONADOS Seja z = f(x.y) = x3 + 3xy + y2 – 2 5) f(x.y) = x3 + 2y2 – 3x – 4y – 8 7) f(x.y) a função da qual se quer determinar o máximo ou mínimo sujeito à condição R(x.y) = – x3– x2 – y2 + 2xy + 3x + 10. e o produto acabado é vendido por 6. seja y = função de variável x : F(x) = 2x + 50 50 . Queremos que a produção seja de 50 unidades. na função f. Substituindo na função Custo. e o problema se reduz à determinação de máximos e mínimos da função de uma variável. obtemos uma x x 50 + 6 e. a) Determinação dos pontos críticos de F: 50 50 50 F’(x) = 2 2 =0 2= 2 2 x x x2 b) TDS: F’(x) = 2 > 0 .5. x 2 3 x2 = 25 x = 5 ou x = – 5(não tem sentido. o ponto (5. Onde x e y são quantidades de dois insumos e z é a quantidade do produto acabado. neste caso).10) é ponto de mínimo da função custo C sujeita à restrição R. Solução: 1o) Identificação da função e restrição: Queremos o custo mínimo para a produção de 50 unidades. y por . recaímos num problema de máximos e mínimos de x funções de uma variável. MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO Consiste em substituir x (ou y) obtido a partir da restrição R(x. Como F’’(5) = 100 Conclusão: o custo mínimo para a produção de 50 unidades é C(5. 44 .10)= 26.1.y) = xy – 50 = 0. 2o) Aplicação do Método da Substituição: Podemos isolar x ou y na restrição. logo a restrição é z = 50 ou R(x. Determine o custo mínimo para a produção de 50 unidades. que pode ser resolvido pelo Teste da derivada primeira(TDP) ou pelo teste da derivada segunda(TDS). logo a função que deve ser otimizada é a custo C = 2x + y + 6. o ponto 5 é ponto de mínimo da F e. x x 53 50 como y = .y) = 0.3. 50 F’’(x) = 100 . Obtém-se dessa forma uma função de uma só variável. Exemplo: Sejam z = xy e C = 2x + y + 6 as funções Produção e Custo associadas para um determinado produto. portanto. temos: x.5. o custo mínimo para a produção de 50 unidades é C(5. neste caso).y. ) = f(x.y0) tais que (x0 . Vamos resolvê-lo pelo Método dos multiplicadores de Lagrange. MÉTODO DOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE Consiste em construir a função de Lagrange L(x. onde x e y são quantidades de dois insumos e z é a quantidade do produto acabado. Solução: Este é o mesmo exercício do exemplo anterior. isto é: Mín C s. Substituindo y por 2x na restrição. λ ) = 2x + y + 6 – λ (xy – 50 ) =2x + y + 6 – λ xy + 50 λ 2o) Cálculo das derivadas parciais de L: Lx = 2 – λ y Ly = 1 – λ x 3o) Resolução do sistema formado por Lx = 0. à R(x. ) são soluções do referido sistema. 2x2 = 50 x2 = 25 x = 5 ou x = – 5(não tem Então o ponto (5.R(x. Determine o custo mínimo para a produção de 50 unidades.y) . 45 . Ly = 0 e R(x. Como y = 2x e x = 5 y = 10.10) é ponto de mínimo da função custo C sujeita à restrição R. 1o) Construção da função de Lagrange: L(x.y) = 0 são os pontos (x 0 .2.y) e resolver o sistema L 0 x L 0 y R ( x . vem: λ = 2 y 1 x y = 2x.10)= 26. isto é.2x – 50 = 0 sentido.y) = 0: 2 λy 0 1 λx 0 xy 50 0 isolando λ nas duas primeiras equações. Exemplo: Sejam z = xy e C = 2x + y + 6 as funções Produção e Custo associadas para um determinado produto. y) 0 Os possíveis pontos extremantes de f sujeita à restrição R(x.y.y0.y) = xy – 50 = 0.3. y) = 9 – x2 – y2 .ppge.y)=xy é a função índice de utilidade de um consumidor e que sua restrição orçamentária é 2x+3y =36.pdf http://docentes.ufrgs.br/sergio/oferta.pdf http://www. ainda. E10)Sabendo que U(x. que o fabricante limita seu custo em 46 e decida em que ponto se tem a produção máxima com o custo fixado em 46. Suponha.pucrs.y) = 2x + y – 10 .pdf http://www. determine o lucro máximo que se pode atingir com um custo de 77.pt/~mdsoares/caderno6. sujeito a 2x + 10y = 60 E9) Suponha que a função Produção para uma empresa é z = 10x 1 / 2 y1 / 2 e que a função Custo associada é C = 2x + 2y + 10.ufrgs.y) = x2 + y2 .4. E11)Seja z = xy a função Produção de uma empresa que utiliza dois insumos em quantidades x e y.ppge.br/famat/demat/eng/calculo_I/files/material_apoio/extremos2. Calcular o lucro máximo.00 por metro linear.pdf http://miltonborba.pps#264 46 .br/disciplinas/calcIII/4-Maximos%20e%20m%C3%ADnimos.E6) Seja L(x. o custo fixo de produção é 5 e o produto acabado é vendido por 6. sujeito a x + y – 4 = 0 3)f(x.unisul.y) = x 1 / 2 y1 / 2 .00 por metro linear e o custo para cercar a frente e o fundo seja de R$ 500. Se os Preços unitários dos insumos são px = 2 e py = 3 . Determine as dimensões do terreno de tal modo que o custo para cercá-lo seja o menor possível.br/sergio/demanda. Nesse caso. sujeito a xy = 200 4) f(x.org/CDI2/Func_vv.pps#265 http://www. sujeito a x + y – 2 = 0 2)f(x.fe. E7) Deseja-se cercar um terreno retangular de área 60 m2. determine as quantidades x e y que maximizam U. sabendo que a produção da indústria é limitada em 24 unidades. 5. qual o custo mínimo para cercá-lo ? E8) Ache o ponto de máximo ou de mínimo das funções a seguir: 1)f(x.y) = – 2x2 – y2 + 32x + 20y a função lucro de uma indústria que produz e comercializa dois produtos em quantidades x e y.unl.eqm. de modo que o custo para cercar as laterais seja R$ 300. SITES RELACIONADOS http://www. (2.0) é ponto de sela.00 E8) 1) (2.1) é ponto de máximo E3) (1.0) 2) (0. (2. ( . 6 m e R$ 12000. ) é ponto de mínimo 2 4 1 1 4) (0. –1) é ponto de mínimo 7) (2.9) E10) (9.0) é ponto de sela . (1.0) é ponto de mínimo E2) 1) (0.-20) 3) (1.18) é ponto de mínimo 6) (–1. –1) e (2.2) E9) (9. –1) . –1) e (–3.-1) é ponto de sela. –1) é ponto de sela . RESPOSTAS E1) 1) (0.1) 3) Não tem 2) (1.5/2) = 93 E6) 204 E7) 10 m. ( .6) E11) 1219 2) (10.1).0) é ponto de sela. (1. (0.5.1) 4) (15.3) 47 .20) e (-10. (6.5.1) E4) 70 E5) Lmáx = L(1/2.0) é ponto de sela. (1.1) é ponto de sela .1) é ponto de mínimo 8) (0. –1) são pontos de mínimo 3 9 3) (0. ) é ponto de mínimo 3 3 5) (0. F3(x) = x2 – 1 são primitivas da função dada por f(x) = 2x.6. que desfaz o efeito da primeira. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA INTEGRAL INDEFINIDA A integral indefinida de uma função f é representada geometricamente por uma família de curvas que em pontos de mesma abscissa possuem retas tangentes paralelas. F2 (x) = x2 + 1. x I. Exemplo: 2 xdx x2 k 48 . DERIVAÇÃO F F’= f PRIMITIVAÇÃO 6. a divisão é a operação inversa da multiplicação e a extração da raiz quadrada é a inversa da operação que eleva ao quadrado. Estamos agora interessados na operação inversa da derivação. a subtração é a operação inversa da adição. A função f possui infinitas primitivas que podem ser representadas por F(x) + k chamada de primitiva geral ou integral indefinida da f que é notada por f(x)dx ou seja f(x)dx = F(x) + k. cada vez que definimos uma operação.2. Exemplos: As funções dadas por F1(x) = x2.1. pensamos na sua operação inversa. Assim. PRIMITIVA Uma função F é chamada de primitiva de uma função f em um interva lo I se F’(x) = f(x). INTEGRAL INDEFINIDA Em matemática. 6. e x dx 5 e x dx 5e x k b) 3 dx 2 3 dx 2 3x 2 k 3. dx x ln | x | k E2) Encontre: 1) 2dx 2) (3 e x )dx 3) (1 4 5 2 )dx x 2 )dx 3x 4) edx 5) (ln2 5e x )dx 6) ( 7) ( 2e ln 6)dx 8) (3e e x )dx 9) ( 2x 3 )dx x 49 .3. sendo c uma constante Exemplos: a) 5. [f(x) g(x)]dx f(x)dx g(x)dx Exemplos: a) (e x 1)dx e x dx dx ex x k b) (3x 2 1)dx 3x 2 dx dx x3 x k 2. e x dx ex k 5. cf(x)dx c f(x)dx . REGRAS DE INTEGRAÇÃO 1.E1) Determine: 1) 2xdx 2) 5dx 3) 3x 2 dx 4) (5x 4 4x 3 )dx 6. dx x k 4. sendo p p 1 -1 Exemplos: a) x 3 dx x4 4 k b) 3 x 2 dx x 2 / 3 dx 3 x5/3 5/3 k k 3 x5 5 1 k 3 k c) dx x 4 x 4 dx x 3 3x 3 E3) Encontre: 1) 3x 2 dx dx 3x 2 2) (2x 4 . se p p 1 1 Exemplos: a) (2x .6. Se u = f(x) .4) 4 4 k .2x 3 5x .3)dx 4) 5) x dx 6) dx x 3 7) x x dx 8) x dx x 9) ( 2 x 1 3 x2 )dx 10) ( 5 2x 2 3 x )dx 4 11) x3 2x 1 dx x2 12) ( 3x 2 x )dx 7. x p dx xp 1 k . (3x .2) 5 15 k 50 .2dx (2x . dx 3 1 (3x .2) 4 .2) 5 .4) 3 . observe que u = 2x – 4 e u’ = 2 b) (3x .x 2)dx 3) (x 5 . observe que u = 3x – 2 e u’ = 3 não aparece na integral.3dx 3 1 (3x .2) 4 dx . 3 5 k (3x .x 3 3x 2 . u p u ' dx up 1 k.2) 4 .2) 4 dx 3 (3x . e 3x-2 dx 3 e 3x-2 . dx 5 1 (5x 3)1/2 . dx 3 1 3x-2 e .4 k .2dx 2 1 (2x 6) -2 . observe que u = 2x – 4 e u’ = 2 b) e 3x .e 2 2x 6 k e 1 2x 6 k E5) Encontre: 1) e 4x 4dx 2) e 4x dx 3) e -x dx 51 .4 . e u u ' dx eu k Exemplos: a) e 2x.(-2)dx 2 1 .3dx 3 1 3x .2 dx . (2x 6) -3 dx 2 (2x 6) -3 .e 3 2 k c) dx e 2x 6 e 2x 6 dx .2dx e 2x. 5 3/2 2 (5x 3) 3 15 (5x 3)1/2 dx 5 (5x 3)1/2 . observe que u = 2x + 6 e u’ = 2 não aparece na integral. Se u = f(x) .dx (5x 3)1 / 2 dx .x) 5 dx 8. 2 -2 k 1 4(2x 6) 2 k E4) Encontre: 1) (3x 1) 4 3dx 2) (3x 1) 4 dx 3) (1 . 1 (5x 3) 3/2 . observe que u = 2x + 6 e u’ = 2 não aparece na integral. dx e 2x 6 dx e -2x-6 . dx 2 1 (2x 6) -3 . observe que u = 5x +3 e u’ = 5 não aparece na integral.5dx 5 k k d) dx (2x 6) 3 (2x 6) 3 dx . observe que u = 3x – 2 e u’ = 3 não aparece na integral.c) 5x 3. -2 dx -2 1 e -2x-6 . u ' dx u ln | u | + k Exemplos: a) 2dx 2x .2 3 dx . observe que u = 3x – 2 e u’ = 3 não aparece no numerador. observe que u = 2x – 4 e u’ = 2 aparece no numerador. b) dx . 3 3x .4 ln | 2x 4 | k .2 1 ln | 3x 2 | k 3 E6) Encontre: 1) 2x x 2 dx 3 2) x x 2 dx 3 3) 1 dx 5x 2 E7) Encontre: 1) (2x 1) 3 2dx xdx 5 x 2 2) x 2 1. 2xdx 3) (3 x 2 4) 5 xdx 4) 5) dx (1 x ) 4 6) xdx (x 2 2) 3 dx 7) xdx 3 8) dx 2x 1 9) 3 x2 (2x 3) 5 x 2 dx x3 1 3xe x 2 3 10) 3e x 2dx e x 1 5 2x 3 x 2 dx 11) e 3x 1dx 12) 13) 14) dx 4x 2 x 15) dx 16) 20xdx x 2 10 17) 5e 2 dx 18) dx ex 52 . 3x .2 1 3dx 3 3x . Se u = f(x) .2 dx 3x .9. -2) e f ’(x) = ex – 2 2) P(1. Qual será a produção da fábrica. se E14) Uma empresa estima que o crescimento de sua renda mensal. Receita e Lucro. determine as funções Custo. será à taxa de 3(t + 4)-1/2.1) e f ’(x)= 2x 4) P(0. que atualmente custa R$ 1.5) e f ’(x) = 3) P(–2.00.000. sabendo que o custo de duas unidades é 84. Importante: A taxa de variação de f(x) em relação a x é o mesmo que a derivada de f(x) em relação a x. respectivamente Custo Marginal e Receita Marginal para um determinado produto. Sabendo que a renda atual da empresa é de 12 milhões. –3) e f ’(x) = 3x2 + x – 1 2 x E9) Dadas as funções Cmg = 22q e Rmg = 3q2 + 6q + 2. Custo Marginal e Custo Fixo para um mesmo produto. com a inflação. qual a função P = f(x) que dá a população em função do tempo? Qual será a população desse país daqui a 20 anos? 53 . calcule a renda daqui a um ano. varia. Se a população atual é de 120 milhões de habitantes. a uma taxa de 40x reais ao mês. determine a função Lucro. E15) Daqui a x anos. Cmg = 20 e Cf = 200. em meses. respectivamente Receita Marginal. a partir de hoje. em função do tempo. em milhões.E8) Determine a equação da curva y = f(x) que passa pelo ponto P. qual foi seu preço inicial ? E12) O preço de uma mercadoria.1x milhões de habitantes por ano. a população de certo país variará a uma taxa estimada de e0. Se a máquina durou quatro anos e seu valor residual foi R$ 40. Quantos custará daqui a cinco meses ? E13) Uma indústria que tem 225 operários produz 750 unidades de certo produto.5) e f ’(x)= 6x 2 – 2x + 5 5) P(1. E11) O preço de uma máquina desvaloriza-se a uma taxa de –20x mil reais ao ano . sabendo que: 1) P(2. E10) Dadas as funções Rmg = –4q3 + 64q. A taxa de variação da produção em relação ao número de operários é dada por forem admitidos mais 31 funcionários ? 25 x .000. em relação a um insumo de quantidade x. Determine a função Produção. 4) a função Lucro Marginal. sabendo que a quantidade produzida P é 11 quando a quantidade usada x de insumo é 1.E16)Um certo bem desvaloriza-se a uma taxa de –10x reais ao ano. determine: 1) a função Lucro Total. 5) o Lucro Marginal no ponto 4 e interprete o resultado obtido. é Pmg = – 3x2 + 24x.00. o custo marginal será Cmg=2x – 10. E18) Sabendo que o custo marginal é dado por Cmg(x) = 10 e o custo de produção de duas unidades é 35 u. 2) o lucro decorrente da venda de 5 unidades. Ache o lucro obtido pela produção e venda de 10 unidades desse produto. determine o custo fixo. As funções Custo Marginal e Receita Marginal são respectivamente Cmg = 2q + 20 e Rmg = –2q + 140. é dada por Pmg = –2x + 8.. E21)Um fabricante produz e vende uma quantidade q de certa mercadoria.00 a unidade. E20) Um fabricante pode produzir um determinado produto cujo preço de venda é R$ 20. sabendo que o custo de produção de quatro unidades é R$ 36. 6) a equação da demanda. 2) a função Produção. O fabricante estima que se x unidades forem vendidas por semana. Sabendo que o custo de produção de dez unidades é R$ 800. qual foi seu preço inicial ? E17) A função Produção Marginal de um produtor. Se o bem durou três anos e seu valor residual foi R$ 105. 54 . sabendo que a quantidade produzida P é 25 quando a quantidade usada x de insumo é 5.m. Determine: 1) a produção marginal no ponto 2 e interprete o resultado. E19) A função Produção Marginal de um produtor. em relação a um insumo de quantidade x .00 . 3) a variação do lucro decorrente da venda da 5a unidade.00 . com.com.yahoo.com.usp.dm.ufscar.6.br/regeq8/cardoso2.ufpi.cepa.sercomtel.htm http://pessoal.com.com/question/index?qid=20080223183956AAHLVc2 http://www.ufpi.br/matematica/superior/calculo/integral/integral.br/superior/integrais/integrais.hottopos.pdf http://pessoal.com.br/~matematica/arquivos/intindef.br/uapi/conteudo/disciplinas/matematica/uni07_fun_pri_01.org/wiki/C%C3%A1lculo http://www.htm#int10 http://pessoal.com/puc3ware/tutoria_de_matamatica.br/~arbalbo/arquivos/integralindefinida.unisinos.pdf http://wwwp.fc.doc http://www.php http://www.html http://www.sercomtel.sercomtel.com.html http://www.unesp.htm http://pt.br/~sampaio/calculo1_aula15.htm#int11 55 .if.somatematica.exatec.br/uapi/conteudo/disciplinas/matematica/uni07_int_ind_01.htm#int09 http://pessoal.br/matematica/superior/calculo/integral/integral.4. SITES RELACIONADOS http://www.wikipedia.br/matematica/superior/calculo/integral/integral.br/matematica/superior/calculo/integral/integral.htm http://www.sercomtel.pdf http://br.answers.br/famat/marcia/arquitetura/Integral_indefinida.pucrs.br/e-calculo/integrais/primitivas/primitivas.html#menu_de_assuntos http://www.geocities. 5.6. RESPOSTAS E1)1) x2 + k 2) 5x + k 2) 3x + e x + k 3) x 3 + k 3) x – 2ln |x| + k 4) x5 + x4 + k 5) xln 2 – 5ex + k 9) 2x – 3ln |x| + k E2) 1) 2x + k 6) 4x 5 4) ex + k 8)3ex + e x + k 2 ln | x | k 3 7) ( – 2e + ln 6)x + k E3) 1) x3 + k 2) 2x 5 5 x4 4 x3 x2 2 2x k 3) x6 6 x4 2 8) 33 x 5x 2 2 3x k 4) 1 3x k 5) 2 x3 3 5 2x k 6) 2 x k 7) 2 x5 5 1 x k k 9) 2 ln | x | 3 x k 10) 1 x3 k 11) x2 2 2 ln | x | k 12) 1 3x 2 x3 3 k E4) 1) (3x 1) 5 5 k 2) (3x 1) 5 15 e 4x 4 k k 3) (1 x ) 6 6 k E5) 1) e 4x k 2) 3) 1 ex k E6) 1) ln | x 2 3| k 2) 1 ln | x 2 2 3| k 3) 1 ln | 5x 2 | k 5 E7) 1) 5) (2x 1) 4 4 1 3(1 x ) 3 k k 2) 6) 2 ( x 2 1) 3 3 1 4( x 2 2) 2 k k 3) 7) (3x 2 4) 6 36 k 4) – 5 x 2 k 33 (3 x 2 ) 2 4 e 3x 3 1 k 8) 2x 1 k 9) 1 8(2x 3) 4 k 10) 3e x 5 ln | x | 2 3 x k 11) k 12) 1 ln | x 3 1 | k 3 13) 2 ex 1 k 1 14) ln | 4x 2 | k 4 3e x 15) 2 2 3 k 16)10ln(x2 +10) + k x 17)10 e 2 k 18) 1 ex k 56 . L = q3 – 8q2 + 2q – 40 E10) L = – q4 + 32q2 – 20q – 200 E11) V = 200.E8) 1) y = x2 – 3 4) y = ex – 2x –3 2) y = 2 x3 – x2 + 5x – 1 5) y = 2ln x + 5 3) y = x3 + x2 – x +1 2 E9) C = 11q2 + 40 . R = q3 + 3q2 + 2q .500.00 E13) P(256) = 800 E14) R(12) = 24 milhões E15) Aproximadamente 183.8 milhões de habitantes E16) 150 2) P = – x2 + 8x + 10 E17) 1) Pmg(2) = 4 E18) 15 E19) P = – x3 + 12x2 E20) 140 E21) 1) L =–2q2 + 120q – 500 5) 104 4) Lmg = –4q + 120 2) 50 6) q = –p + 140 3) 102 57 .000 E12) R$ 1. 7. A integral definida de f de a até b é o número real representado por b a f(x)dx e calculado por F(b) .F(a).F(a) Exemplos: 3 a)Calcule 0 x 2 dx Solução: 1o ) Cálculo da integral indefinida: x 2 dx 2o ) Cálculo da integral definida: 3 0 x3 3 k x3 x dx 3 2 3 9 0 0 9 1 4 b) Calcule 1 (1 x) dx Solução: 1o ) Cálculo da integral indefinida: (1 x ) 4 dx 2o ) Cálculo da integral definida: 1 1 (1 x ) 4 1 dx 1 1 (1 x) 4 ( 1)dx (1 x) 5 5 k 4 (1 x) dx = (1 x ) 5 5 1 0 1 32 5 32 5 E1) Calcule: 3 1) 0 x 2 dx 0 2) 1 (1 2x) 4 dx 58 . b a f(x)dx = [F(x)] b a = F(b) . INTEGRAL DEFINIDA Seja f uma função e F uma primitiva de f. PROPRIEDADES BÁSICAS a a a) f(x)dx = 0 a b b) b a f(x)dx = - f(x)dx c) b a c.7.x 11) 3 1 x4 x x3 dx 59 .6) 4 dx 8) 1 0 8x(x 2 1) 3 dx 9) 2 1 x2 (x 3 1) 2 dx 10) 0 -1 dx 1.b] E2)Calcule: 1) 1 0 (x 4 3x 3 1)dx 2) 0 1 (3x 5 3x 2 2x 1)dx 3) 9 1 t 1 t dt 4) 2 2 0 x (x .4) 5 dx 7) 2 4 (2x . x [a. se f(x) 0.1)dx 5) 1 2 t 1 t 2 dt 6) 2 1 (2x . sendo c uma constante b b f(x)dx ± g(x)dx a a d) b a [f(x) g(x)]dx = e) b c f(x)dx = f(x)dx + a a b f(x)dx a b c f(x)dx .1.f(x)dx = c. com a < c < b f) 0. b a f(x)dx . A = 0 e k = -F(a).F(a) = a f(x)dx b Se f é uma função continua e não negativa em [a. logo A = F(x) . Para x = a. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA INTEGRAL DEFINIDA Seja f uma função continua em [a. y f(x+ Δx ) A1 f(x) A3 A 0 a x A2 f ΔA x + Δx b x A é a área da região hachurada. A3 ( A2 + A3 ) (A1 + A2 + A3 ) f(x).b].7. o número a f(x)dx representa a área da região limitada pelo gráfico de f. ΔA é o acréscimo que sofre a área A quando x recebe um acréscimo Δx .F(a) Para calcular a área de a até b basta tomar x = b. Δx f(x) ΔA Δx f(x + Δx ) lim f(x) x 0 lim x 0 ΔA Δx lim f(x + Δx ) x 0 f(x) lim x 0 ΔA Δx f(x ) lim x 0 ΔA = f(x) Δx A’ = f(x) Então A é uma primitiva de f(x) . logo A = F(x) + k. Vamos calcular a área da região situada entre o gráfico de f e o eixo das abscissas de a até b.2. A = F(b) . Δx ΔA f(x + Δx ). x [a.b]. b Para x = b. pelo eixo Ox e pelas retas verticais x = a e x = b. y f R 0 a b x b AR = f(x)dx a 60 .b] com f(x) 0. 7. g.g(x)]dx a f R g 0 a b x E3) Escreva a integral que fornece a área da região R: 1) R –4 2) –1 y y f 0 2 x 0 R 6 x f 3) –2 y g 3 0 x R f 4) g y f R –3 0 5) –2 0 g R f y 4 x 3 x 61 . com f(x) b g(x) . Se R é a região limitada pelos gráficos de f. x=a e x=b então AR = y [f(x) . x [a. ÁREA DA REGIÃO ENTRE DUAS CURVAS Sejam f e g funções continuas em [a.b].b] .3. E4)Use integração para calcular as áreas das regiões hachuradas. a) f(x) = x b) f(x) = -x2 + 4 c) f(x) = x 2 – 4 d) f (x) x 2 2 62 . y=–x + 2 e y=0 7) y= x e y=x2 8) y=x e y=x3 63 .e) g(x) = x2 f(x) = x f) f x x3 gx -x 2 E5)Calcule a área da região limitada por: 1) y=–x2 + 4 e y=0 4) y=x2 – 1 e y=3 2) y=x 2 – 4. x=–1 e x=2 5) y=x2 + 1. x=–1 e x=2 3) y=x. x= –2 e x=1 6) y=x3. y=2x – 2. y=0. y=0. 00. 64 . Calcular o excedente do consumidor quando o preço de mercado é R$ 10. devemos encontrar a quantidade correspondente ao preço de mercado. p p0 0 q0 p = f(q) q O excedente do consumidor é dado pela área assinalada no gráfico acima e. isto é. Exemplo: A demanda de um produto é dada por p = 90 – 4q. EXCEDENTE DO CONSUMIDOR O excedente do consumidor representa a quantia total que os consumidores economizam quando adquirem um certo produto.00. EC = 0 (90 4q 10)dq 0 (80 4q)dq 80q 2q 2 (1600 800) (0 0) 800 Portanto. 10 = 90 – 4q 20 20 4q = 80 q = 20 20 0 Logo. onde p = f(q) representa o preço como função da demanda para um certo produto.4. Solução: Inicialmente. a diferença entre a quantia que os consumidores se dispõem a pagar pelo produto e o valor real do produto.7. q0 EC = (f(q) 0 p 0 )dq . o excedente do consumidor é R$ 800. representa o número de unidades monetárias que os consumidores deixam de gastar quando o preço unitário de mercado é igual ao preço de equilíbrio p0. 00. . p = –q + 4 3) p = 2q + 3 . Determine o 65 . EP = 0 (100 (2q 80)dq 0 (20 2q )dq 20q q 2 (200 100) (0 0) 100 Portanto. Calcular o excedente do produtor quando o preço de mercado é R$ 100.00. Solução: Inicialmente. 0 p p0 p = f(q) 0 q0 q O excedente do produtor é dado pela área assinalada no gráfico acima e. E6) Considere as equações de oferta e demanda de um certo produto e o ponto de equilíbrio de mercado e determine os excedentes do consumidor e do produtor: 1) p = 2q + 2 . onde p = f(q) representa o preço como função da oferta para um certo produto. p = –2q + 14 5 2) p = q2+ 2q . isto é.7. o excedente do Produtor é R$ 100. devemos encontrar a quantidade correspondente ao preço de mercado. EXCEDENTE DO PRODUTOR O excedente do produtor representa a quantia total que os produtores lucram quando vendem um certo produto.f(q))dq . Exemplo: A oferta de um produto é dada por p = 2q + 80.5. a diferença entre o valor real do produto e o valor que os produtores se dispõem a vender o produto. 100 = 2q + 80 10 10 2q = 20 q = 10 10 0 Logo.00. representa o número de unidades monetárias que os produtores economizam quando o preço unitário de mercado é o preço de equilíbrio p0. p = –q2 – 4q + 30 300 (2q 1) 2 E7) Suponha que a equação da demanda de um determinado produto seja p = excedente do consumidor se o preço for R$ 12. q0 EP = (p 0 . unesp.yahoo. 3 5) 2 [g ( x ) f ( x )]dx 32 u.a.com.sercomtel.a.answers. 32 3 b) c) d)5 u.br/matematica/superior/calculo/integral/integral.br/matematica/superior/calculo/integral/integral.7.somatematica.br/famat/marcia/arquitetura/Integral_definida.br/~arbalbo/arquivos/integraldefinida.geocities.sercomtel.6. SITES RELACIONADOS http://www.ufpi. Ep = 5 E7) Ec = 96 2) Ec = 1 5 .com. 3 1 u. 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Porto Alegre : Bookmann. São Paulo : Atual. David C. Matemática aplicada:economia. WAINWRIGHT.ed. Kevin. Pedro A. BONETTO. Alpha C.. Rio de janeiro: Campus. Giácomo. SIMON.. Edward T. BIBLIOGRAFIA CHIANG.8. Universidade de São Paulo : Harbra. Porto Alegre : Bookman.. São Paulo : McGraw-Hill. WEBER. Louis. Carl P. TAN. economia e contabilidade. São Paulo : Harper Row do Brasil. BUSSAB. Matemática aplicada à economia. LEITHOLD. VERAS. Soo Tang. Cálculo: funções de várias variáveis. 1981. Lilia Ladeira.SCHNEIDER. Matemática para economia e administração. DOWLING. São Paulo : Atlas. MUROLO. Matemática aplicada:à administração e economia..ed. 4. HAZZAN. 67 . 1984. 2. Matemática para economistas. 2006. 1999. 2004. 2. Afrânio. 1995. Matemática aplicada à economia e administração. Cyro de MORETTIN. Cálculo: funções de uma variável. Larry J. 2006. Matemática aplicada à administração. Jean E. administração e Contabilidade. ___________. São Paulo : Thomson Pioneira. GOLDSTEIN. 1999. ed. Matemática para economistas. 2001.São Paulo : Atual. Q.464101. (decimal infinita e não periódica) π 3.414213. com b 0 é o Conjunto dos números racionais e I é o conjunto dos números 0 1 Q..245730. 3 =0. Exemplos: 0= a /a. 3 8 2.. (decimal infinita e não periódica) 2 3 6 3 3.816496.. 4 9 3 Observações: 0 5 4 0. I. 0.75(decimal finita) 4 2 =0. – 4. 16 2.5 1 2 6 5 3 1 4 π 68 .CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS Q I Onde: Q irracionais.1. .(decimal infinita e periódica) 9 Q. APÊNDICE 1. – 4= 4 1 Q. 0 5 8 não existe . I. 2 1.. (decimal infinita e não periódica) I. 25 5 1 Q. 0 é indeterminado. I... 2 .222.9. ... REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DO CONJUNTO -2 -1 0 0. 3 2 6 .... . 0 1 i 16 4. 25 .141592. b b Z.π. 4 2i 1. 3 1. (decimal infinita e não periódica) 0.2 3 .. Exemplo: 2 5 4. Adição e subtração de frações Para adicionar(subtrair) frações. O máximo divisor comum entre 36 e 27 é 9. 27 36 : 9 4 27 : 9 3 69 .2. devemos multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda fração. Divisão de frações Para dividir frações. Exemplo: 2 3 5 2 4 4 15 24 6 5 6 2. devemos multiplicar numerador com numerador e denominador com denominador.2 40 6 20 3 2. devemos reduzir as frações ao mesmo denominador e adicionar(subtrair) os numeradores conservando o denominador comum.5 1. . OPERAÇÕES COM FRAÇÕES 2. devemos dividir o numerador e o denominador pelo máximo divisor comum de ambos(maior número inteiro que divide os dois). 3 2 4. Multiplicação de frações Para multiplicar frações.1.3.2.3. Exemplo: Seja a fração isto é: 36 27 36 . Exemplo: 2 5 : 3 2 2 2 .2. 3 5 4 15 3. Portanto. SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES Para simplificar uma fração. devemos dividir o 36 e o 27 por 9. 5.1.a) = x a /x a Observação: ( . Intervalo infinito fechado à esquerda: [a.6.b .7.b] = x a b /a x b 4. Intervalo infinito aberto à esquerda: (a. 4. a )= x /x a 4. Intervalo infinito fechado à direita: ( .b) = x a b /a x b 4. com a < b.4.a] = x a /x a 4. Intervalo fechado de extremos a e b: [a.8. a )= x /x a 4.2. Intervalo infinito aberto à direita: ( . Intervalo fechado à direita de extremos a e b: (a. INTERVALOS Sejam a.b] = x a b /a x b 4.4.b) = x a b /a x b 4. )= 70 .3. Intervalo aberto de extremos a e b: (a. Intervalo fechado à esquerda de extremos a e b: [a. 1. c) Falsa.2.4) = (-1. 5.4)={ } Solução a) Falsa.4} = {1. constituído por três elementos o 1. o segundo é um conjunto finito.1.2] {1.2. d) Falsa. B.2] 71 . o segundo é um conjunto finito.4} [1.4)={3} d) (3.2.3} c) (2.1. Intersecção A operação intersecção de dois conjuntos A e B é o conjunto representado por A elementos que pertencem simultaneamente aos conjuntos A e B. B.2. b) Falsa. formado Exemplos: a) {-1.2} [1.0.4) = [1.2] {1.0. o primeiro intervalo inclui o 1 e o 4.3]={1.2} b) (-1.0.3.3. o segundo é um conjunto vazio. o primeiro intervalo inclui todos os reais entre 3 e 4. o segundo intervalo não. o 3 e todos os reais entre 1 e 3. OPERAÇÕES COM CONJUNTOS 5.1.2} b) (-1.4) b) [1. o primeiro intervalo inclui todos os reais entre 2 e 4. União ou Reunião A operação união ou reunião de dois conjuntos A e B é o conjunto representado por A pelos elementos que pertencem a A ou a B.2.4} = {-1. constituído por um único elemento o 3. o 2 e o 3.4) 5.4] = (1. formado pelos Exemplos: a) {-1.3.Exemplo: Determine se verdadeira ou falsa cada uma das afirmações abaixo: a) [1. o primeiro intervalo inclui o 1. é o conjunto representado por A – B.3. 3] 5) (–3.(4x. formado pelos elementos que pertencem a A e não pertencem a B. Quadrado da Soma: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 6. nessa ordem. ) 4) ( 8) .5. 4] 9) (1.1.2}–{1.(x – 5) 8) (x + 4) (1 – x)2 9) ( 5) (2x – 3)2 10) (3x + 4 4 ). 4] [0.(3x.1. [1.0.4} = {-1.5) + 52 = 16x2 – 40x + 25 c) (2x + 3). Diferença A operação diferença de dois conjuntos A e B.1.4) = (-1.(x – ) 2 2 3 2x + )2 3 4 72 . 5) 7) [2.(2x – 3) = (2x)2 – 32 = 4x2 – 9 b)(4x – 5)2 c) (2x + 3). 3) – [0.3.1) E1) Represente graficamente os conjuntos: 1) (0. Exemplos: a) {-1.2.2. PRODUTOS NOTÁVEIS 6. ) ) 2) [1. 3) – [–3.2] – [1.2.(x + 1) 2) (x – 2)2 7) (2x + 3) (x + 5).2) + 22 = 9x2 + 12x + 4 b) (4x – 5)2 = (4x)2 – 2.0} b) (-1.(3x – ) 5 5 1 2 ) 2 1 1 ).2} 6.2] (1.(a – b) = a2 – b2 Exemplos: Desenvolva os produtos: a) (3x + 2)2 Solução a) (3x + 2)2 = (3x)2 + 2. Produto da Soma pela Diferença: (a + b).6) 3) (–2.7] 6) [–2. Quadrado da Diferença: (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 6. 5) 10) – {–2} – {0.5] (0.(2x – 3) E2)Desenvolva os produtos: 1) (x + 3)2 6) (x – 1). 7. a a 0 . A forma fatorada de uma diferença de dois quadrados a 2 – b2 é (a + b)(a – b). FATORAÇÕES COMUM E DIFERENÇA DE DOIS QUADRADOS Fatorar uma expressão é escrever a expressão na forma de multiplicação. – O máximo divisor comum da parte literal x4 e x2 é x2(letra comum com o menor expoente). vamos colocar em evidência o máximo divisor dos termos da expressão que é 6x 2. RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DE 1O GRAU ax = b. – O máximo divisor comum dos coeficientes 18 e 12 é 6. então: 4x2 – 25 = (2x + 5)(2x – 5) E3) Fatore as expressões: 1) 4x + 2x2 6) x4 – 4x2 2) 3x2 – 6x 7) x5 – x3 3) x3 + 5x2 8) x5 + x4 4) x2 – 1 9) 5) 4x2 – 9 10) 9x3 – x 16 x2 4 – 4 9 8. x = . com a a 0 Conjunto Solução: 73 . com a Solução : Como a 0 ax a b b daí. Portanto. podemos dividir os dois membros por a. S= x /x b . Exemplos: Fatore as expressões abaixo: a) 18x4 + 12x2 b) 4x2 – 25 Solução: a) Em 18x4 + 12x2 vamos aplicar a fatoração comum. 18x4 + 12x2 = 6x2( 18x 4 6x 2 12x 2 6x 2 ) = 6x2(3x2 + 2) b) 4x2 – 25 é uma diferença de dois quadrados. RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DE 2O GRAU ax2 + bx + c = 0. S ={– 1.6 2. logo: x = 5 52 4.( 1).( 1) 5 7 2 2 2 = 5 25 24 5 7 = 2 2 Portanto x1 = 5 7 2 12 2 6 ou x2 = 1 . b = 5 e c = 6. S ={-6} E4) Resolva as equações: 1) –4x = 2 2) x 4 3 5 3) –0.25x + 2 = 0.Exemplo: Resolva a equação Solução: 2x 3 4 2x 3 4 –2x = 12 2x 2 12 2 x = –6 . com a 0 Solução : Exemplo: x= b b2 2a 4ac Resolva a equação –x2 +5x + 6 = 0 Solução: a = –1 .2x – 4 6) x + 3 = x 2 1 3 x 2 2 2x 4 5 7) 3x – 2 + x2 = x2 – 4 8) (x – 2)2 = x2 + 3x 9) 10) x2 – 9 = (x + 2)2 9.3x = 2 3 4) 2x + 4 = 1 – x 5) 0.6} E5) Resolva as equações: 1) x2 – 4 = 0 5) x2 – 5x + 4 = 0 9) 5x – 2 – 2x2 = 0 2) x2 – 4x = 0 6) x2 + 4x + 4 = 0 10) x2 – 9 = 1 – (x + 2)2 3) x2 + 4 = 0 7) x2 – 2x + 4 = 0 4) 2x2 + 3x = 0 8) (x – 2)2 = x 74 . PRODUTO NULO a.( x – 1).3x 2 3 5) 2x + 4 < 1 – x 6) 0.(x – 4) = 0 x3.(x2 – 9) = 0 6) 2x5 + 6x4 = 0 10) x6 – 25x4 = 0 3) x2 – x = 0 4) x3 – 16x = 0 8) x4 + 4x3 + 4x2 = 0 7) x3 – 5x2 + 4x = 0 11.(x +2).b = 0 Exemplos: Resolva as equações: a) x2 – 4x = 0 Solução: a) x2 – 4x = 0 b) x5 – 9x3 = 0 x.(x2 – 9) = 0 x = 0 ou x – 4 = 0 x3 = 0 ou x2 – 9 = 0 x = 0 ou x = 4 x = 0 ou x = 3 b) x 5 – 9x3 = 0 a = 0 ou b = 0 E6) Resolva as equações: 1) (x – 4).3 2x 6 2x 2 6 2 x 3 x 3 . RESOLUÇÃO DE INEQUAÇÕES DO 1O GRAU Exemplo: Resolver a inequação Solução: 2x 3 2 4 2x 3 2 2x 3 4 2 2 4 2 2x 3 2 2x .10.(x +3) = 0 5) x4 + 3x3 = 0 9) x5 – 9x3 = 0 2) x.3 3 2 .2x – 4 7) x + 3 > x 2 2 8) 3x – 2 + x2 < x2 – 4 9) (x – 2)2 x2 + 3x 10) 2x 4 5 75 . S = [–3.25x + 2 x 2 1 3 0. ) –3 E7) Resolva as inequações: 1) 5x > 3 2) – 4x 2 3) x 4 3 5 4) –0. Substituindo o x obtido na 1a equação temos: 2( y + 4 ) + 3y = 3.1x 0.25y 1 76 . obtemos x = 3. RESOLUÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1O GRAU Exemplo: Resolver o sistema 2 x 3y x y 4 3 Resolução pelo método da substituição: Isolando x na 2a equação temos: x = y + 4.12. Resolvendo a equação do 1o grau obtemos: y = –1 Substituindo y = –1 na equação x = y + 4. Solução: x y 3 1 Resolução pelo método da adição: 2 x 3y x y 4 3 Multiplicando-se a 2a equação por 3 obtemos: 2 x 3y 3 3x 3y 12 Adicionando membro a membro as duas equações temos: 5x = 15 Substituindo x = 3 na 2a equação do sistema dado obtemos: y = –1 Solução: x y 3 1 x=3 E8) Resolva os sistemas: x 2 x y y 3 2 4 1) x y 3 x y 1 2) x 2y 6 x 3y 1 3) 3x y x 2y 6 2 4) x 3y 4x y 0 22 5) 6) 3x 7 y 5x 2 y 0 0 7) x y x 2y 6 2 8) 3x 5y 1 6x y 2 9) x 2 x 4 y 3 y 2 1 10) 4 2 x 3y 2 6 0. 2.3.(-3)2 = [(-3). (-3)..2 = 32 Propriedades a) a0 = 1.33 = 63 = 216 e) am an am n b) (-3)0 = 1 b) (-3)2.n Exemplos: a) 2 2 3 2 6 64 b) ( 3) 3 2 ( 3) 6 729 77 .  a    n vezes Exemplos: a) 25 = 2. a.. a 0 b) (-3)5 = (-3).3)3 =23 .2.(-3)3 = (-3)5 = -243 b) (-3)2. (-3).13.b)n = an.n {1.. (-3) = -243 Exemplos: a) 20 = 1 b) am.22 = 25 = 32 d) (a.(-3)]2 = 81 . (-3).}. a 0 Exemplos: a) 26 24 n 22 4 b) ( 3) 5 ( 3) 2 ( 3) 3 27 f) a b an bn . b 0 Exemplos: a) 2 3 n 3 23 3 3 8 27 b) ( 3) 3 ( 2) 3 3 2 3 3 2 3 27 8 g) a m = am.an = am+n Exemplos: a) 23 . an a .2.2. a.b e m. POTÊNCIAS Sejam a.bn Exemplos: a) (2. EQUAÇÃO PONTO-DECLIVIDADE r: y – y1 = a(x – x1) onde: P(x1.-3) e a = -2 5) P( 2 .-6) e a = 2 6) P(-2. y1) é um ponto da reta r e a é a declividade da reta r.2-9 5) (23 )2 11) (16)3/2 6) (-0.0) e a = 2 3) P( 1/2.h) a-n = 1 an .1) -3 12) 2-4:2-10 9) (-8)-1/3 E10)Aplique as propriedades adequadas: -5 10 5 1) x 2) x . y1 = 3 e a = –5 y – 3 = –5(x – (–2)) y – 3 = – 5x – 10 y = – 5x – 7 E11) Escreva a equação da reta que contém o ponto P e tem declividade a.3) e a = 5 4)P( 2 .3)0 8) (16)1/4 2 5 1 3) 4) 5-2 10) 25. Exemplo: Escreva a equação da reta que passa pelo ponto P(–2 3) e tem declividade – 5.x 1 3) x 3 4) x 25 x 20 3 5) (x13 )5 6) x 1/3 7) x 3/4 8) x-4:x-10 9) x2 10) x 2 14. 2 ) e a = -3 2) P( -1.a 0 Exemplos: a) 5 3 1 5 3 1 125 n b) 3 2 2 2 3 2 4 9 i) n a m = am/n . quando a Exemplos: a) 3 36 36 / 3 32 9 b) 2 4 2 4/2 2 2 1 4 E9) Calcule o valor de: 1) 34 7) (81)1/2 2) (0.-3) e a = 1/2 78 . sendo: 1)P( 2. Solução: x1 = –2 . Exemplo: Seja a função dada por f(x) = a) o domínio da f. f(0) e f(1). ). logo f(0) = d) f(1/2) é o valor da função f quando x = 1/2. a função só tem sentido quando x + 2 O domínio da função é o conjunto dos números reais diferentes de –2. x2 1 . 79 . isto é. 2) ( 2. como -2 (1 / 2) 2 1 1/ 2 2 1/ 4 1 5/ 2 5/ 2 5/ 2 1 Dom f. não existe f(-2) E12) Achar os domínios das seguintes funções: a)f(x) = 1 x 3 b) f(x) = 2x 1 5x 10 c) f(x) = 6 3x d) f(x) = 3 + x e)f(x) = 3 x x f) f(x) = x 3 x 2 g) f(x) = 2x 3 4x x 2 h) f(x) = 1 3 4 4 x 4 i) f(x) = 5 2x 1 j) f(x) = x 2 4 E13) Considere as funções do exercício anterior e determine f(-1) . dizemos que esta equação define uma função da variável x. . a equação y = f(x) fornece um único valor para y. para os quais a função tem sentido. Determine: x 2 b) f(-1) c) f(0) d) f(1/2) e) f(-2) Solução: a) Como o valor da função num ponto é o resultado de uma divisão. logo f(-1) = ( 1) 2 1 1 2 (0) 2 1 0 2 1 2 1 1 1 1 2 2 c) f(0) é o valor da função f quando x = 0. – a imagem de x1 pela f é f(x1).15. Dom f = ( 0. logo f(1/2) = e) f(-2) é o valor da função f quando x = -2. b) f(-1) é o valor da função f quando x = -1. IMAGEM DE UMA FUNÇÃO NUM PONTO Se para cada valor de x. onde: – o domínio da função f é o conjunto de números reais. 16. RESPOSTAS E1) 1) 0 5 2) 1 4 3) -2 0 4) 7 5) 0 4 6) { } 7) 2 8) 0 1 2 9) 10) -2 E2) 1) x2 + 6x + 9 6) x2 – 1 2) x2 – 4x + 4 7) 4x2 + 2x + 3) x2 – 25 4) 1 – 2x + x2 9) 5) 4x2 – 12x + 9 1 4 8) x2 – 1 4 4x 2 9 x 9 16 10) 9x 2 16 25 E3) 1) 2x(2 + x) 5) (2x – 3)(2x + 3) 2) 3x(x – 2) 6) x2(x – 2)(x + 2) 3) x2(x + 5) 7) x3(x + 1)(x – 1) 4) (x + 1)(x – 1) 8) x4(x + 1) 9) x 2 12 5 2 3 x 2 2 3 20 9 10) x 3x 1 4 3x 1 4 E4) 1) S = 1 2 2) S = 3) S = 4) S = { -1} 5) S = { -120} 80 . 9 5) S = ( . 9) S = 2.2} 6) S = {-2} E6) 1) S = {-3.4} 7) S = 2 3 8) S = 3) { } 4 7 9) S = 4) S = 0. 2 ) 3 4 9) S = [ .0. para x 0 x 2 x – 2 6)y = E11) 1) y = 5x – 7 E12) A) 2) y = –2x – 5 B) 4) y = –3x + 4 2 5) y = x –2 2 {3} { 2} C) ( .-2.1. 1 ) 2 3) S = ( 4) S = [ 20 .0. 7 ) 10) S = [ x y 4 0 34 .0. x 2 ) 7) S = ( 8. 6 . 5 10 15 H) {4} C) 3.4} 10) S = {-3.5} ) . 12 ) 5 10) S = {-5. ) E) (0. 3 ) E8)1) y 1 2) y 1 3) 4) x y 6 2 5) 6) x y 0 0 7) x y 10 4 2 3 1 2 8) x y 1 3 0 1 25 1 10) 16 x 9) y 11 2 21 4 10) x y 15 2 1 E9) 1) 81 7) 9 2) 1 8) 2 2) x15 3) 9) 4) 5) 64 11) 64 5) x65 6) –1000 12) 64 6) 3 x E10) 1) 1 x5 4 3) x3 4) x5 7) x3 8) x6 9) x 2 / 3 3) y = 2x – 7 10) 1 .1} 1 2 4) S ={-4.1. NE 4 H) 1 3 . 1) 6) S = [120.3} . -1 . 1 J) 5 4 3 81 . 3 I) [1/2. 5 5 D) NE. ) F) E13) A) { 2.4} 7) { } 2) S = {-3. .0. NE . 1 3 . .3} 5) S = {1.1} 5) S = {-3. 3 . 2 4 4 . 1 3 I) 5 3 .6) S ={ -8} E5) 1) S = {-2. 34 3 3 2 10) S = 13 4 2) S = {0.4} 6) S = {0.1. 4 F) G) 1 .2] D) [0. 3 4 3 G) B) {1.-3} 3 E7) 1) S = ( . ) J) E) NE. 5 ) 7) {0.4} 3) {0. 0 . 4 3 2 2 3 4 . x 4 ) 8) S = ( x y 2 0 .4} 2) S = ( 8) S = {0.-2} 9) S = {-3.3} 3 1 1 .2} 1 1 1 .0} 8) S = {1. . DERIVADAS DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL 17.se y = f(x). DERIVADA DE UMA FUNÇÃO OU FUNÇÃO DERIVADA y x f (x x) f (x) x f ’(x) = lim x 0 lim x 0 Notações: f ’(x) .2x . dx Exemplo: f(x) = 2x + 1 f' x lim Δx 0 f x Δx f x Δx 2 x Δx 1 Δx 2x 1 2x 1 lim Δx 0 lim Δx 0 2x 2 x 1 Δx lim Δx 0 2x 2 x 1 .1 Δx 2 x Δx 2 lim Δx 0 0 lim Δx 2 17. Dx f(x) .17. DERIVADA DA FUNÇÃO IDENTIDADE Dx x = 1 3.2. DERIVADA DA FUNÇÃO EXPONENCIAL NATURAL (ex)’= ex 82 .1. DERIVADA DA FUNÇÃO CONSTANTE Dx c = 0 Exemplos: a) Dx 5 = 0 b) Se f(x) = 3 então f’(x) = 0 2 c) Se y = e então y’ = 0 2. d f (x) dx ou y’ . dy . REGRAS DE DERIVAÇÃO 1. Dx y . f(x))’ = c. DERIVADA DO PRODUTO DE UMA CONSTANTE POR UMA FUNÇÃO (c. 2 2 x 3 2x E1) Encontre y’.4. DERIVADA DA FUNÇÃO LOGARITMO NATURAL (ln x )’= 1 x 5.f ’(x) Exemplos: a) Dx 5x = 5. y = x-4 então y’ = – 4x-5 = 4 x5 83 . sabendo que: 1) y = x – 3 4) y = 2x + e 7) y = 12 x 9 3 2) y = ex + 5 5) y = 7 – 6x 8) y = 12 x 9 5 3) y = 4 – ln x 6) y = 3e x + 8ln x –1 9) y = x 3 ln x 2 5 10) y = ln 4 – 3e + 2 -1 7. DERIVADA DA SOMA DE DUAS FUNÇÕES (f(x)+ g(x))’= f ’(x)+ g ’(x) Exemplos: a) Dx ( 5 + ex ) = 0 + ex = ex b) Se f(x) = x – ln x então f’(x) = 1 – 1 x 6.1 = 5 b) Se f(x) = 3 ln x 3 1 então f’(x) = .x 1 / 2 = 2 2 c) Se y = 1 x 4 . DERIVADA DA FUNÇÃO POTÊNCIA (xp)’= pxp-1 Exemplos: a) Dx x3 = 3x2 b) Se f(x) = 3 x 3 x 3 . f(x) = x3/2 então f’(x) = . E2) Encontre y’, sabendo que: 1) y = x4 – 3x2 + 2x – 3 2) y = x2 2 3x e 3) y = x 3 2e x x e2 4) y = 2x 2 x 3x 5) y = x2 1 x 1 6) y = 3 2x 2 1 x 7) y = 2 x 10) y = 33 x 8) y = 3x3.(2 + 4x) 9) y = (x 2 – 1)(2 + x) 1 x 8. DERIVADA DO PRODUTO DE DUAS FUNÇÕES (f(x).g(x))’= f(x).g’(x) + g(x).f ’(x) Exemplo: Dx (x3.ln x ) = x3. 1 + .ln x . 3x2 = x2 + 3x2.ln x = x2.(1 + 3ln x) x 9. DERIVADA DO QUOCIENTE DE DUAS FUNÇÕES f (x) g( x ) ' g( x).f ' ( x ) f ( x).g' (x ) [g( x )] 2 Exemplo: Se f(x) = (1 4x ).2 (2x 3)( 4) 2x 3 então f’(x) = 1 4x (1 4x ) 2 2 8x 8x 12 (1 4x ) 2 10 (1 4x ) 2 E3) Encontre y’, sabendo que: 1) y = x.ln x 2) y = 3x 2ex 3) y = 2 3x 1 x 4) y = x2 2 1 2x 3( x 2 1) x 5) y = ex lnx 6) y = ex 2x 7) y = 5x3ln x 8) y = 9) y = 2 3 2x 10) y = x2 1 x 1 84 10. DERIVADA DA COMPOSTA DA POTÊNCIA COM UMA FUNÇÃO f ([f(x)]p)’ = p.[f(x)]p-1.f ’(x) Exemplos: a) Dx (x3– 1)5 = 5.(x3– 1)4. 3x2 = 15x2.(x3– 1)4 b) Se f(x) = 2x 6 , f(x) = (2x + 6)1/2 então f’(x) = 1 .(2x 6) 2 1/ 2 .2 = 1 2x 6 c) Se y = 1 (1 x ) 4 , y = (1 – x)-4 então y’ = – 4.(1 – x )-5.(-1) = 4 (1 x ) 5 E4) Encontre y’, sabendo que: 1) y = (2 – x)6 2) y = 3(5x + 4)5 3) y = (x2 + 3x – 1)2 4) y = 1 (2x 3) 5 x2 5 5) y = 4 3(1 2x )3 6) y = 2( x 3 2 4x ) 2 7) y = 4 x 2 8) y = 9) y = 2 1 x 10) y = 3 2 x2 3 2 11. DERIVADA DA COMPOSTA DA FUNÇÃO EXPONENCIAL NATURAL COM UMA FUNÇÃO f (ef(x) )’= ef(x) .f ’(x) Exemplos: a) Dx e x 3 1 = ex 6 3 1 . 3x2 = 3x2. e x 3 1 b) Se f(x) = e 2 x c) Se y = , então f’(x) =2. e 2 x 6 1 e 4x , y = e-4x então y’ = – 4.e-4x = 4 e 4x E5) Encontre y’, sabendo que: 1) y ex 2 5 2) y = 1 ex x2 2 3) y = e 3x 2 4) y = e x2 5) y = e 6) y = e 3x 1 x 85 12. DERIVADA DA COMPOSTA DA FUNÇÃO LOGARITMO NATURAL COM UMA FUNÇÃO f (ln f(x) )’ = f ' (x) f (x) Exemplos: a) Dx ln(x3– 1) = 3x 2 x3 1 1 (2 x 6) 1 / 2 .2 1 1/2 2 b) Se f(x) =ln(2x + 6) então f’(x) = = 1/ 2 2x 6 ( 2 x 6) Importante: Como as funções y = ex e y = ln x são inversas, e ln u = u e ln eu = u E6) Encontre y’, sabendo que: 1) y =3ln x2 2) y = ln (5x+2) 3) y = ln(4-5x) 4) y = e 2x . ln 2x 5) y = x2.ln x3 6) y = e ln 3 x 7) y = ln e5x E7) Se f(x) = 1) f ’(0) 2x 1 1 x , determine : 2) f ’’(2) 3) f ’’’(0) 4) f (4)(2) E8) Resolve as equações f’(x) = 0, para: a)f(x) = x2 – 4 e) f(x)= x4– 4x3 b) f(x) = x 2 – 3x + 2 f) f(x)= x3– 12x+4 c) f(x) = 5x – 4 g) f(x)=x3– 3x2+5 d) f(x)=x4– 8x2 – 5 h) f(x)= 3x5– 5x3 i) f(x) = x3 3 2x 2 3x 10 j) f(x) = x3 3 3 2 x 2 2x 1 86 a ordenada y1 é f(x1) = f(1) = 0. no mesmo sistema de eixos. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NUM PONTO A derivada f ’(x1). 3).y1) e tem declividade a é y – y1 = a(x – x1) Exemplo: Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função logaritmo natural no ponto de abscissa 1.17. f(x1)). no ponto P. a equação de uma reta. a equação da reta tangente é y – 0 = 1(x – 1) ou y = x – 1. fornece a declividade da reta tangente ao gráfico de uma função f no ponto P(x1 . y f t f(x1) 0 f ’(x1) = at P x1 x Importante: Da Geometria Analítica. 2)Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto x = 1. 1)Encontre a derivada da função f. 3) Escreva a equação da reta tangente. Solução: f(x) = ln x Se o ponto de tangência P tem abscissa x1 = 1. não vertical.3. E10) Seja a função definida por f(x) = 4x – x2 no ponto P(1. que passa pelo ponto P(x 1. 2)Calcule a declividade da reta tangente ao gráfico de f no ponto P. 3)Esboce os gráficos de f e da reta tangente. 87 . Portanto. E9) Seja a função definida por f(x) = x2. A declividade da reta tangente ao gráfico da f no ponto P é a = f’(x 1) = f’(1) = 1. se existir. 1)Calcule a declividade da reta tangente ao gráfico de f no ponto x = 1. determine a função receita marginal. LUCRO MARGINAL : Lmg(x) = L’(x) Se L é a função Lucro Total decorrente da produção e venda de “x ” unidades de um certo produto. E11) Se a função Custo Total é dada por C(x) = x3 – 30x2 + 400x + 500. Então. E12) Se a função Receita Total é dada por R(x) = – 2x2 + 100x. aproximadamente. chamamos de Lucro Marginal a derivada da função Lucro Total em relação a x. 3. fazendo x C(11) – C(10) = 101. No exemplo. a variação da receita total devido a venda de uma unidade a mais. APLICAÇÕES DE DERIVADAS 1. Observação: Da definição de derivada: C’(x) = lim x C( x 0 x ) C( x ) x x = 1. Observação: Do mesmo modo que a custo marginal. CUSTO MARGINAL : Cmg(x) = C’(x) Sendo C a função Custo Total para produzir “x ” unidades de um certo produto. Cmg(10) é aproximadamente o custo da décima primeira unidade.4. a partir de “x ” unidades.17. tem-se: Cmg Para x muito pequeno C’(x) C( x x ) C( x ) . determine a função custo marginal. RECEITA MARGINAL : Rmg(x) = R’(x) Se R é a função Receita Total decorrente da venda de “x ” unidades de um certo produto. 88 . a receita marginal calculada no ponto 5 é a variação aproximada da receita decorrente da venda da 6 a unidade. chama -se Custo Marginal a derivada da função Custo Total em relação a x. No exemplo anterior: Rmg(5) = 80 R(6) – R(5) = 78. a receita marginal representa. o custo marginal é aproximadamente a variação do custo decorrente da produção de uma unidade adicional. chamamos de Receita Marginal a derivada da função Receita Total em relação a x. 2. C( x 1) C( x ) 1 No exemplo acima: Cmg(10) = 100 Então. 12) a variação do lucro decorrente da produção e venda da 11a unidade. onde x representa a quantidade produzida e vendida. onde x representa a quantidade produzida e vendida. 2) a função Lucro Marginal. 11) o lucro decorrente da produção e venda de 11 unidades.E13) Se a função Receita é dada por R(x) = –2x2 + 100x e a função Custo Total dada por C(x) = x2 +10x + 375. 4) a interpretação do resultado 3. 5) o custo de produção de 11 unidades. 89 . 10) use a função Receita Marginal para estimar a variação da receita decorrente da venda da 11 a unidade. determine: 1) a função Custo Marginal. 7) use a função Custo Marginal para estimar o custo de produção da 11 a unidade. 6) o custo de produção da 11a unidade. determine: 1) a função Lucro Total. 3) o lucro marginal ao nível de 10 unidades. 3) a função Lucro Total. 13) use a função Lucro Marginal para estimar a variação do lucro decorrente da produção e venda da 11 a unidade. 4) a função Lucro Marginal. E15) Dadas as funções Receita e Custo R(x) = – x2 + 9x e C(x) = 2x + 6. 8) a receita decorrente da venda de 11 unidades. 9) a variação da receita decorrente da venda da 11a unidade. 2) a função Receita Marginal. determine o Lucro Marginal no x = 2 e interprete o resultado obtido. E14) Se a função Receita Total é dada por R(x) = 100x e a função Custo Total C(x) = x 2 +20x + 700. br/search?sourceid=navclient&ie=UTF8&rlz=1T4SUNA_enBR239BR240&q=fun%c3%a7%c3%b5es+marginais http://www.ufc.pdf http://www. SITES RELACIONADOS http://pessoal.br/revisao/tabela_derivadas.neema.br/e-calculo/ http://www.wikipedia.vestibular1.sercomtel.cepa.net/criar+/mat/deriv/derivadas.htm http://www.br/Ern_cap2_parte2.htm 17.com.google.qfojo.com.org/wiki/Derivada http://www.6.if.usp.5.com.htm http://pt.br/matematica/superior/calculo/derivada/derivada1. RESPOSTAS E1) 1) y’= 1 6) y’= 3ex + 2) y’= e x 8 x 7) y’= 4 1 x 12 8) y’= 5 3) y’= 2) y’= x – 3 4) y’= 2 9) y’= 3) y’= 3x2 –2ex – 1 3 1 2x 5) y’= –6 10) y’= 0 4) y’= 2 8) y’ = 18x2 + 48x3 E2) 1) y’= 4x3 – 6x + 2 5) y’ = 1 9) y’=3x2 + 4x – 1 6) y’= 10) y’ = 3 x 3 1 x 2 7) y’= 1 x 3 1 x 2 1 2 x3 E3) 1) y’= 1 + ln x 5) y’= ex ( 2) y’=3x e x (2 + x) 6) y’= e x ( x 1) 2x 2 3) y’= 1 (1 x ) 2 4) y’= 8) y’= 2x 2 3x 2 x 2 2x 4 3 (1 2 x ) 2 1 +ln x) x 4 7) y’= 5x2(1+3ln x) 9) y’= (3 2x ) 2 10) y’= 1 90 .17. x = 2 7) x = 0 . x = 1 E9) 1) 2 E10) 1) f’(x) = 4 – 2x E11) Cmg = 3x2 – 60x + 400 E12) Rmg = – 4x + 100 E13) 1) L = –3x2 + 90x – 375 2) 2 3) y = 2x + 1 2) Lmg = – 6x + 90 2) Rmg = 100 3) 30 3) L = –x2 + 80x – 700 4) Lmg = – 2x + 80 9) 100 E14) 1) Cmg = 2x + 20 5) 1041 10) 100 6) 41 11) 59 7) 40 12) 59 8) 1100 13) 60 E15) 3 91 . x = -1 . x = 2 2) y = 2x – 1 8) x = 0 . x = 2 6) x = -2 .E4) 1) y’= – 6(2 – x)5 5) y’= 9) y’= 8 (1 2 x ) 4 2) y’ = 75(5x + 4)4 6) y’= (x 6x 12 2 3) y’=(4x + 6)( x2 + 3x – 1) 7) y’= 4) y’= 8) y’= 10 (2x 3) 6 2 4x 2 x x 2 4x ) 3 5 1 (1 x ) 3 10) y’= 3 x (x x 2 2) 4 E5) 1) y’ = 2xe x 2 5 2) y’ =. x = -2 . x = 3 5) x = 0 . x = 3 10) x = 1 . x = 2 9) x = 1 .e 3) y’ = 3e 3x 2 4) y’ = 2xe x2 5) y’ = xe x2 2 6) y’= 2) y’= e 3 x ( 4 3x ) (1 x ) 2 5 5x 2 5 4 5x E6) 1) y’= 6 x 3) y’= 4) y’= e 2 x ( 1 x 2 ln 2x ) 5) y’= 2xln x3+3x 2) –2 6) y’= 3 4) –24 3) NE 7) y’= 5 E7) 1) 1 E8) 1) x = 0 3) 6 2) x = 3 2 4) x = 0 . contábeis. Cálculo: funções de Paulo : Atual. Wilton O. BIBLIOGRAFIA MORETTIN. BUSSAB. Sebastião Medeiros da. administração e ciências 92 ... 1981. Pedro A. São SILVA. HAZZAN.18. uma variável. Samuel . São Paulo : Atlas. Matemática para os Cursos de economia. 1999. Documents Similar To MATEMATICA_ APLIC_ECONOMIA_201101Skip carouselcarousel previouscarousel nextAplicacoes de Derivadas Na AdministracaoResolução de Exercicios de DerivadaTeste Derivadas Primeira Trabalho2sem00-Cálculo Um Curso Moderno e Suas Aplicações - Hoffmann e Bradley Ed. 9.pdfep01.pdfDesenvolvimento Econômico - Nali de Jesus (complemento)mat_eco_II_2005Extrem Oslo CA Is1982.docxderivadas_IIQuestões Para o Estudo Modelo ExinEconometriaHistória do pensamento econômico. Adilson Marques Gennari e Roberson de Oliveira. São Paulo. 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