PRUEBA DE DEFINICIÓN DE NIVELESMATEMÁTICA Facultad de Administración en Hotelería y Turismo, Facultad de Ciencias de la Salud y Facultad de Educación CUADERNO AUTOINSTRUCTIVO DE PREPARACIÓN 2012 ÍNDICE Capítulo 1. Los números reales.......................................................................................... 1 1.1 Conjuntos numéricos………………………………………………...…..…......... 1 1.2 Relación de orden……………………………………………………….….......... 1 1.3 Operaciones básicas………………………………………………….……........... 2 1.4 Orden de operaciones…………………………………………………..…........... 4 1.5 Problemas de modelación con números reales………………………..……......... 5 Capítulo 2. Razones y proporciones................................................................................... 7 2.1 Razón...................................................................................................................... 7 2.2 Proporción.............................................................................................................. 8 Capítulo 3. Magnitudes proporcionales.............................................................................. 10 3.1 Magnitudes directamente proporcionales............................................................... 10 3.2 Magnitudes inversamente proporcionales.............................................................. 10 3.3 Proporcionalidad compuesta.................................................................................. 11 Capítulo 4. Regla de Tres simple y compuesta.................................................................. 14 4.1 Regla de Tres simple.............................................................................................. 14 4.1.1 Regla de Tres simple directa........................................................................ 14 4.1.2 Regla de Tres simple inversa........................................................................ 15 4.2 Regla de Tres compuesta....................................................................................... 15 Capítulo 5. Porcentajes....................................................................................................... 18 5.1 Definición............................................................................................................... 18 5.2 Aumento y disminución porcentual........................................................................ 19 5.3 Descuentos y aumentos sucesivos.......................................................................... 20 5.4 Variación porcentual.............................................................................................. 20 5.5 Aplicaciones al campo económico......................................................................... 21 i Capítulo 6. Teoría de ecuaciones. Ecuaciones de primer grado......................................... 23 6.1 Definiciones básicas............................................................................................... 23 6.2 Clasificación de las ecuaciones.............................................................................. 24 6.3 Teoremas elementales............................................................................................. 24 6.4 Resolución de ecuaciones de primer grado............................................................ 25 Capítulo 7. Sistema de ecuaciones lineales con dos variables........................................... 27 7.1 Definición............................................................................................................... 27 7.2 Solución de un sistema de ecuaciones lineales con dos variables.......................... 27 7.3 Clasificación de sistemas de ecuaciones lineales................................................... 27 7.4 Resolución de sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas... 27 7.5 Modelación y resolución de problemas.................................................................. 29 Capítulo 8. Ecuaciones cuadráticas.................................................................................... 31 8.1 Definición............................................................................................................... 31 8.2 Métodos de resolución............................................................................................ 31 8.3 Modelación y resolución de problemas.................................................................. 33 Capítulo 9. Expresiones algebraicas................................................................................... 36 9.1 Definición............................................................................................................... 36 9.2 Valor numérico de una expresión algebraica......................................................... 36 9.3 Término algebraico................................................................................................. 37 9.3.1 Términos semejantes.................................................................................... 37 9.4 Monomios y polinomios......................................................................................... 37 9.4.1 Valor numérico de un polinomio.................................................................. 38 9.4.2 Operaciones con polinomios........................................................................ 38 Capítulo 10. Productos notables......................................................................................... 40 Capítulo 11. Sistema de Coordenadas Cartesianas............................................................ 42 11.1 Gráfica de ecuaciones........................................................................................... 43 11.2 Lectura de gráficas............................................................................................... 44 11.3 Distancia entre dos puntos.................................................................................... 45 11.4 Punto medio de un segmento............................................................................... 46 ii Capítulo 12. Curvas cuadráticas......................................................................................... 48 12.1 La circunferencia.................................................................................................. 48 12.2 La elipse................................................................................................................ 49 Capítulo 13. Ecuación de la recta....................................................................................... 51 13.1 Pendiente de una recta.......................................................................................... 51 13.2 Ecuación de la recta.............................................................................................. 52 13.3 Intersección entre rectas....................................................................................... 54 13.4 Posiciones relativas de dos rectas........................................................................ 55 13.5 Aplicaciones económicas de la recta.................................................................... 55 Capítulo 14. Funciones....................................................................................................... 58 14.1 Definición y características.................................................................................. 58 14.2 Gráfica de una función......................................................................................... 59 14.2.1 Función creciente, decreciente y constante................................................ 60 14.2.2 Razón de cambio promedio........................................................................ 61 14.3 Funciones básicas................................................................................................. 62 14.4 Transformaciones básicas..................................................................................... 64 14.5 Función definida por tramos................................................................................. 66 14.6 Función lineal....................................................................................................... 67 14.7 Función cuadrática................................................................................................ 67 14.8 Función exponencial............................................................................................. 70 14.9 Función logarítmica.............................................................................................. 71 14.9.1 Ecuación logarítmica y exponencial........................................................... 73 Capítulo 15. Estadística...................................................................................................... 75 15.1 Aspectos generales............................................................................................... 75 15.2 Organización de datos.......................................................................................... 77 15.3 Medidas de tendencia central............................................................................... 85 iii Capítulo 16. Vectores......................................................................................................... 90 16.1 Definición............................................................................................................. 90 16.2 Propiedades y operaciones con vectores.............................................................. 90 16.3 Componentes de un vector................................................................................... 92 16.4 Vectores unitarios................................................................................................. 92 16.5 Suma de vectores por el método de componentes............................................... 93 16.6 Producto escalar.................................................................................................... 94 16.7 Producto vectorial................................................................................................. 95 Capítulo 17. Matrices......................................................................................................... 98 17.1 Definición............................................................................................................. 98 17.2 Tipos de matrices.................................................................................................. 98 17.3 Operaciones con matrices..................................................................................... 99 17.4 Aplicaciones del producto de matrices................................................................ 101 17.5 Determinantes....................................................................................................... 103 17.6 Regla de Cramer................................................................................................... 104 Capítulo 18. Límites........................................................................................................... 107 18.1 Idea intuitiva del concepto de límite.................................................................... 107 18.2 Límites laterales.................................................................................................... 108 18.3 Límites infinitos.................................................................................................... 110 18.4 Asíntota vertical.................................................................................................... 112 18.5 Leyes y propiedades de los límites....................................................................... 115 iv LOS NÚMEROS REALES 1.1 Conjuntos numéricos El conjunto de los números reales, que se denota con R, tiene los siguientes subconjuntos notables: a. Números naturales. Se denota por N y se expresa como: N 1;2;3;4;5. .. b. Números enteros. Se denota por Z y se expresa como: Z ... - 3;-2;-1;0; 1;2;3... c. Números racionales. Son los números reales que se pueden representar por el cociente de dos números enteros a y b, donde b tiene que ser diferente de cero. a , b 0 y se denota por Q. b Simbólicamente se representa como Ejemplos: 3 11 3 7 ; ; ; 2; 5; 0 y 3,5 . 5 4 750 2 d. Números irracionales. Son los números reales que no son racionales. No pueden a expresarse como el cociente de dos números enteros , b ≠ 0. Se denota por I. b 4 Ejemplos: 2; 7 ; 1.2 Relación de orden Dos números reales a y b, pueden compararse mediante la relación de orden de menor que, representado por el símbolo <, se escribe a < b y se lee: a es menor que b. Similarmente, se pueden comparar dos números reales distintos por la relación de orden mayor que, representada por el símbolo >, se escribe a > b , y se lee: a es mayor que b. Recta numérica: La recta de números reales determina una posición según su orden. La relación de orden menor que, a < b , significa en la recta que el punto que le corresponde al número a se halla a la izquierda del punto que le corresponde al número b. Ejemplo: Ordene en forma ascendente los números –2; 3,04; –2/5; 3,58; 5 . Dibuje una recta numérica y ubíquelos en ella. –2,5 –2 El orden ascendente es: –2,5 0 –2 5 5 3,04 3,58 3,04 1 3,58 Ejercicios: 1. Indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas y justifique sus respuestas. a. 7 2,645751311 b. Es posible que la resta de dos números irracionales sea natural. c. (2 3)0 3 1 es un número natural. d. 2 1,414213562 2. Marque con un aspa todos los conjuntos a los que pertenece cada uno de los siguientes números: 35 –3 0 3 7 3,444... 3,1416 3 27 9 Naturales Enteros Racionales Irracionales Reales 1.3 Operaciones básicas La adición, sustracción, multiplicación y división son las cuatro operaciones básicas. Por ejemplo: Adición y Sustracción Multiplicación División –6 – 3 = –9 (13)(4) = 52 15 12 = 5/4 –9 + 5 = –4 (–3)(14) = –52 –27 51 = –27/51 –6 + 7 – 3 – 5 + 4 = –3 (–15)(–12) = 180 –12 (–8) = 3/2 Adicionalmente se define las operaciones de potenciación y radicación tal como se detalla a continuación: Potencia de un número real a de exponente entero Una potencia de base real a y exponente n entero positivo, es el producto de n factores iguales a a. a n = a.a.a........a n veces a. Notación: an b donde: a = Base, n = Exponente, b = Potencia 2 b. Existen dos potencias que deben tenerse en cuenta: a1 a a 0 1, a 0 c. Reglas de signos: Si n es un número entero y a un número real no nulo: a 0 a n es un número positivo a n es positivo si n es par a0 n a es negativo si n es impar Ejemplos: 32 3 3 9 2 3 2 2 2 8 (3) 2 (3) (3) 9 (2)5 (2) (2) (2) (2) (2) 32 Radicación de un número real a Se define cuando una potencia de a tiene como exponente un número racional, no necesariamente entero y n un número natural. Notación: n a b donde: a = Radicando, n = Índice, b = Raíz n-ésima de a Si n es un entero positivo impar, entonces se define: n a = b, sí y sólo si bn = a. 3 Si n es un entero positivo par y a 0; b 0, entonces se define: n 4 3 16 2 27 3 25 , no es un número real. Propiedades: Si a 0 ; b 0, entonces Si a 0 ; b 0 , entonces 8 2; 3 8 2 Ejemplo: 9 3 ; 4 16 2 a = b, sí y sólo si bn = a. Ejemplos: Ejemplo: ab a b . a a b b 3 Ejemplos: 9 121 9 121 3 11 33 3 12 3 3 4 3 2 6 3 3 4 4 2 3 8 9 3 27 9 1.4 Orden de operaciones a. Orden de operación sin símbolos de agrupación o colección Para calcular expresiones numéricas en las cuales no hay símbolos de agrupación (paréntesis, corchetes o llaves), se opera en el siguiente orden: 1. Potencias y raíces. 2. Multiplicaciones y divisiones. 3. Adiciones y sustracciones. Si hay dos operaciones de la misma jerarquía, se opera de izquierda a derecha. Ejemplos: 2 + 6+18 3 – 3 = 11 3 x 5 2 – 7 = 3 x 25 – 7 = 75 – 7 = 68 10 + 12 3 x 2 = 10 + 4 x 2 = 10 + 8 = 18 b. Orden de operación sin símbolos de agrupación o colección Si la expresión numérica contiene símbolos de agrupación como paréntesis, corchetes y llaves, se efectúa primero las operaciones indicadas dentro de los símbolos de agrupación empezando por los interiores y respetando la jerarquía de operaciones. Ejemplos: Resolver: 0,9 – 2 6 9 x 0,2 – 0,4(6 + 1 22) = 0,9 – 2 6 3 x 0,2 – 0,4(6 + 1 4) = 0,9 – 2 2 x 0,2 – 0,4(6 + 0,25) ¡Error común! = 0,9 – 2 0,4 – 0,4(6,25) = 0,9 – 2 0,4 – 2,5) 9 – 7 (2 x 5 –1) = 0,9 – 2 –2,1 = 0,9 + 4,2 = 5,1 Calcule el valor de la expresión T (3) 2 3 24 42 2 ( 3) 2 4(3 27 2) 9 324 42 2 (9) 4(3 2) 9 324 42 18 20 9 324 42 2 9 324 21 9 33 99 T0 4 Supresión de paréntesis Cuando una expresión dentro de símbolos de agrupación está precedida del signo +, se puede quitar los símbolos respectivos sin hacer ningún cambio en la expresión. Ejemplo: 2 3 (7,5 3 ) 2 3 7,5 3 9,5 2 3 Cuando una expresión dentro de símbolos de agrupación está precedida del signo –, se puede quitar los símbolos respectivos cambiando el signo de cada uno de los términos de la expresión. Ejemplo: 2 3 (7,5 3 ) 2 3 7,5 3 5,5 Ejercicios: Calcular el valor de cada una de las siguientes expresiones: 1. 432 ( 3) 3 12 34 3 56 4 32 8 1 6 2. 48 3 3 4 3 2 2 5 32 1.5 Problemas de modelación con números reales Ejemplos: Dos personas se dedican a fabricar chocolates. El primero de ellos hace 30 chocolates por hora y el segundo 75 en el mismo tiempo. Para la campaña de Navidad, el primero ha empezado 39 horas antes del segundo y ambos terminaron cuando habían fabricado igual número de chocolates. ¿Cuántas horas trabajó cada uno? Solución: Como el primero ha empezado 39 horas antes, en ese lapso ha fabricado: 39 x 30 = 1 170 chocolates, cantidad en la que aventaja al segundo. Cuando empieza a trabajar el segundo, éste hace 45 chocolates (75 – 30) más que el primero en cada hora. Es decir que en cada hora el segundo reduce la ventaja de 45 chocolates. Para eliminar la ventaja el segundo empleará entonces 26 horas debido al cálculo: 1170 = 26 y el primero habrá trabajado (26 +39) horas, o sea 65 horas. 45 Respuesta: Total de horas de trabajo del primero: 65 horas. Total de horas de trabajo del segundo: 26 horas. Un negociante de provincia ha adquirido en la capital, al por mayor, 910 libros: El precio unitario era de 5 soles, pero se le ha regalado un libro por cada docena que adquirió. En su pueblo decide regalar 2 libros por cada docena que tiene para la biblioteca del colegio, ¿a cuánto debe vender el ejemplar, si quiere ganar 3 600 soles? Solución: Primero se calcula el costo total: Al adquirir una docena de libros, le regalan uno. Entonces, se considera grupos de 13 libros. 5 En 910 libros, hay 70 grupos de 13 libros por 910/13 = 70. El precio de cada grupo es el de 12 libros, lo que da 60 soles por 12 x 5 = 60. Como hay 70 grupos, el costo total de los libros es de 70 x 60 = 4 200 soles. Luego se calcula la venta total: Por cada docena, regala 2 libros; entonces se considera grupos de 14 libros. En 910 libros, hay 65 grupos de 14 libros por 910 / 14 =65. Entonces le queda para vender 65 x 12 = 780 libros. Para tener la ganancia de 3600 soles, deberá recaudar 7800 soles (4200 + 3600) y deberá vender cada libro a 10 soles por 7800/ 780. Respuesta: El precio de venta de cada ejemplar es de 10 soles. Ejercicios: 1. Juan tiene una tarjeta de crédito con un saldo a favor de S/.229,23. Pagó con la tarjeta: S/.296,06, S/.103 y S/.76,2. Como había gastado mucho, depositó $130 (tipo de cambio: S/.3,50). Si a fin de mes el banco le carga por aportaciones y otros S/.7,56, ¿cuál es el saldo de la tarjeta? 2. Una empresa de confecciones realiza una promoción en sus ventas y decide obsequiar una chompa a los cinco primeros alumnos de cada sección de un colegio y las demás venderlas a S/.40 cada una. Si en el colegio hay 7 secciones de primer grado de 37 alumnos cada una; 5 secciones de segundo grado de 39 alumnos cada una; 4 secciones de cuarto grado de 36 alumnos cada una y 4 secciones de quinto grado de 37 alumnos cada una. ¿Cuánto se recauda por el total de las ventas, si todos los alumnos restantes compraron su chompa? 3. Un comerciante compra al por mayor 300 vasos a S/.25 el ciento. Al transportar los 300 vasos a su tienda, se rompen 3 docenas. ¿A cuánto debe vender la docena si quiere ganar S/.35? 6 RAZONES Y PROPORCIONES NUMÉRICAS 2.1 Razón Definición: Es una comparación de dos cantidades comparables. Dicha comparación se puede hacer de dos maneras: Por cociente de dos reales: r a ;b 0 b Por diferencia de dos reales: r = b – a (razón geométrica) (razón aritmética) Observación: r es un número real. En el caso de la razón aritmética, las dos cantidades deben ser necesariamente comparables. Nota: En este documento sólo se tratará de la razón geométrica la cual se llamará simplemente razón. Vocabulario En una razón geométrica, r a se llama antecedente b se llama consecuente a ;b 0 b Ejemplos: Si un padre tiene 40 años y su hijo tiene 10 años, podemos decir que el padre le lleva 30 años a su hijo (razón aritmética con r = 30) o también que tiene 4 veces su edad (razón geométrica con r = 4). Densidad de la población: La extensión territorial de la ciudad “Aconao” es de 72 600 kilómetros cuadrados y su población aproximada en 1998 era de 609 840. ¿Cuál era su densidad poblacional en 1998? Solución: La densidad poblacional es el cociente del número de habitantes por kilómetros cuadrados. Se expresa en habitantes por kilómetros cuadrados. En este caso la densidad poblacional de la cuidad de Aconao es de 8,4 hab/km2 por el 609840 cociente 8,4 . 72 600 Respuesta: La densidad poblacional de la cuidad de Aconoa es 8,4 hab/km 2 . En una casa, el área construida es de 120 m2 y el área libre es de 80 m2, ¿Cuál es la razón entre el área construida y el área del terreno total? Solución: El área construida más el área libre representa el área total del terreno que es de 200 m2. 120 En este caso la razón es el cociente 0,6 . 200 Respuesta: La razón entre el área construida y el área total del terreno es de 0,6. 7 2.2 Proporción Definición: Es la igualdad de dos razones. Una proporción geométrica es de la forma: a c (con b0 y d0) b d a y d se llaman extremos de la proporción. Se lee “a” es a “b” como “c” es a “d”. b y c se llaman medios de la proporción. Propiedad Fundamental: Para todo a, b, c y d no nulos, a c es equivalente a ad = bc. b d Consecuencias Importantes: Se deduce que existe un número real tal que a= c, b= d. a 4 Por ejemplo: si entonces se tiene a = 4 y b=7 b 7 a c Si se tiene la proporción en la cual a, b, c y d son no nulos, entonces se puede b d a b formar la proporción siguiente: c d Ejemplos: Hay 22 personas presentes en una fiesta tales que para cada 4 hombres hay 7 mujeres. ¿Cuántas mujeres hay en la fiesta? Solución: El número de hombres es al número de mujeres como 4 es a 7, de donde se deduce que el número de hombres es 4k y el número de mujeres es 7k, siendo k un número real constante. La suma de ambos sería: 4k 7k 22 , donde k 2 Por lo tanto el número de mujeres es 7 k 7(2) 14 Respuesta: En la fiesta hay 14 mujeres. Por cada 25 minutos de ver televisión, hay 7 minutos de anuncios comerciales. Si ves 70 minutos de televisión, ¿cuántos minutos de anuncio verás? Solución: El total de minutos de ver televisión es de 25k y el total de minutos de ver anuncios comerciales es de 7k, siendo k un número real constante. Si ve 70 minutos de televisión, se determina que 25k es igual a 70, donde k= 2,8. Por lo tanto, el número de minutos de anuncio será de 7k = 7(2,8) = 19,6 Respuesta: El número de minutos de anuncio será de 19,6 minutos. 8 Al inicio de un partido de fulbito UPC–Lima Interuniversitario hay 200 asistentes de los cuales 80 son alumnos de la UPC y los restantes alumnos de la U. de Lima. ¿Cuántos asistentes adicionales de la UPC deben llegar para que, en el segundo tiempo, por cada 7 de la UPC haya 5 de la U. de Lima, si la cantidad de alumnos de la U. de Lima no varía? Solución: El número de alumnos restantes de la U. de Lima es de 120. Alumnos de la UPC 80 La razón es de Alumnos de la U Lima 120 La proporción es de Alumnos de la UPC 80 x 7 k Alumnos de la U Lima 120 5k 120 24 , por lo tanto: x = 7k – 80 = 7(24) – 80 = 88 5 Respuesta: El número de asistentes adicionales de la UPC es de 88 alumnos. Donde k = Ejercicios: 1. María ganó las elecciones para la presidencia de la Asociación de Estudiantes de Contabilidad por una razón de 5 a 2. ¿Cuántos votos recibió si votaron 168 estudiantes? 2. Juan desea comprar un terreno y adquiere información a través de una página Web. Uno de 180 m2 a $27 000,00 en San Borja y otro de 210 m2 a $30 000,00 en Monterrico. a. Si usted fuese el comprador, ¿cuál terreno adquiriría? b. ¿Cuál es el terreno más económico? 3. En una fiesta, antes de las 23 horas, el número de hombres es al número de mujeres como 9 es a 5. Después de las 23 horas, hay ocho hombres y cuatro mujeres menos, con lo cual la razón de hombres a mujeres es 7/4. ¿Cuántas mujeres había antes de las 23 horas? 9 MAGNITUDES PROPORCIONALES Una magnitud es todo aquello susceptible de medición. Se expresa usando un número real y una unidad de medición. 3.1 Magnitudes directamente proporcionales Definición: Dos magnitudes A y B son directamente proporcionales, cuando, al multiplicar el valor de una de ellas por un real no nulo, el valor correspondiente a la otra magnitud se encuentra multiplicado por el mismo real, manteniendo la misma proporción. Si A es directamente proporcional a B, entonces A k o A kB , B donde k es la constante de proporcionalidad. Ejemplos: Si se considera que las otras magnitudes que intervienen en el suceso tienen un comportamiento constante, se tiene las siguientes magnitudes directamente proporcionales: 1. Un objeto y el precio cuando se paga a razón del número de objetos. 2. La masa y el precio de una mercancía, cuando se paga a razón de la masa de la mercancía. 3. El área de un cuadrado y el cuadrado de su lado. A causa del terremoto en el Sur del país del 2001, una donación de 120 tarros de leche ha llegado a un caserío alejado de los andes. En este viven cuatro familias con 5, 3, 3 y 1 menores de edad respectivamente. El benévolo encargado de la distribución desea saber cuántos tarros de leche debe dar a cada familia si se reparte proporcionalmente al número de menores de edad de cada familia. Solución: Como el número de tarros de leche es directamente proporcional al número de menores de edad de cada familia, podemos indicar lo siguiente: 5k 3k 3k 1k 120 , por lo tanto k 10 El reparto sería el siguiente: Familia 1: 5k = 5(10) = 50 tarros Familia 2: 3k = 3(10) = 30 tarros Familia 3: 3k = 3(10) = 30 tarros Familia 4: 1k = 1(10) = 10 tarros 3.2 Magnitudes inversamente proporcionales Definición: Se dice que una magnitud A es inversamente proporcional a una magnitud B si la 1 magnitud A es directamente proporcional a la magnitud . B 10 Si A es inversamente proporcional a B, entonces k A o AB k , B donde k es la constante de proporcionalidad. Ejemplos: Si se considera que las otras magnitudes que intervienen en el suceso tienen un comportamiento constante, se tiene las siguientes magnitudes inversamente proporcionales 1. El número de obreros (de igual rendimiento) y el tiempo que emplean para hacer una obra. 2. El número de días y el número de horas por día que emplean los trabajadores (de igual rendimiento) en realizar una misma obra. 3. En un proceso isotérmico (temperatura constante) el volumen y la presión de un gas. Un padre de familia, al fallecer, deja una herencia de $620 000, de la cual la mitad corresponde a su esposa, y la otra mitad se distribuye de modo inversamente proporcional a la edad de sus tres hijos de 10, 15 y 25 años. ¿Cuánto dinero corresponde a cada hijo? Solución: La mitad que no le corresponde a su esposa es 620 000 Si la distribución es inversamente proporcional, entonces: por lo tanto k 1 500 000 . 2 = 310 000 1 1 1 k k 3 100 000 , 10 15 25 El reparto sería el siguiente: Hijo 1: 1/10k = 1/10(1 500 000) = $150 000 Hijo 2: 1/15k = 1/15(1 500 000) = $100 000 Hijo 3: 1/25k = 1/25(1 500 000) = $60 000 3.3 Proporcionalidad compuesta Sean A y B dos magnitudes proporcionales: 1. Si la magnitud A es directamente proporcional a la magnitud B e directamente proporcional a la magnitud C, entonces, la magnitud A es directamente proporcional a la magnitud BC, lo que se expresa con: A = kBC, donde k es la constante de proporcionalidad. 2. Si la magnitud A es directamente proporcional a la magnitud B y es inversamente proporcional a la magnitud C, entonces se expresa con: Ak B , donde k es la constante de proporcionalidad. C Nota: Estas propiedades se pueden generalizar para más de tres magnitudes. 11 Ejemplos: Sean tres magnitudes X, Y y Z, para los cuales: X es directamente proporcional a Y e inversamente proporcional al cuadrado de Z. a. Expresar X en términos de Y y de Z. b. Si el valor de X es 18 cuando Y toma el valor 5 y Z toma el valor de 2, determinar el valor que toma X cuando Y es 25 y Z, 3. Solución: Como X es directamente proporcional a Y e inversamente proporcional al Y cuadrado de Z, entonces por propiedad: X k 2 . Z 5 ). De donde k = 72/5. 22 Ahora si Y=25, Z =3 se tiene X = (72/5) (25/9)= 20 Con los datos se puede calcular k. Así 18 = k ( Respuesta: Si Y=25, Z =3 entonces X = 20. El valor de una obra de arte es proporcional al cuadrado de la antigüedad que tiene. Si actualmente tiene 20 años, ¿dentro de cuántos años cuadruplicará su valor? Solución: Si se denota con P la magnitud obra de arte y con A la magnitud antigüedad, entonces se tiene: P = k A2. p p P Por lo tanto, la relación: 2 = k, es siempre constante y se cumple: 12 22 A a1 a2 p1 4p 21 2 (20) a2 Se simplifica por p1, por ser no nulo, y por lo tanto, a22 = 4 (20)2= 1600. Como a2 es positivo, se deduce que a2 = 1600 = 40. Como p2 = 4 p1, se reemplaza los valores: Respuesta: El valor de la obra se cuadriplicará dentro de 20 años. Ejercicios: 1. Indique la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones, justificando su respuesta: A 10 25 50 80 a. Sean A y B dos magnitudes tales que: B 2 5 10 20 entonces se puede afirmar que A es directamente proporcional a B. b. Si las magnitudes A y B son tales que, al aumentar la magnitud A la magnitud B también aumenta, entonces A y B son directamente proporcionales. c. Si A y B no son directamente proporcionales entonces son inversamente proporcionales. d. Si A y B son directamente proporcionales entonces sus cuadrados son directamente proporcionales. 2. En una fábrica industrial la gratificación por Fiestas Patrias se pagó en forma directamente proporcional a los años de trabajo y al número de horas diarias de jornada, e inversamente proporcional a la cantidad de tardanzas acumuladas en el año. Si Juan Pérez recibió S/.2 400,00 por estar trabajando desde 12 años, haciendo una jornada diaria de 8 horas y 12 habiendo llegado tarde 5 veces, ¿cuánto le correspondería a Pedro Gómez por sus 14 años de experiencia, trabajando 10 horas diaria y habiendo acumulado 7 tardanzas? 3. Un negocio quiebra y queda una deuda de $840 000,00. Los tres socios de dicho negocio acuerdan pagar la deuda de manera que el que aportó más cantidad de dinero pague una parte menor en proporción a la deuda. Si los aportes de cada socio para establecer el negocio fueron de $2 000 000,00; $1 500 000,00 y $1 200 000,00, ¿cuánto deberá pagar cada socio? 13 REGLA DE TRES SIMPLE Y COMPUESTA 4.1 Regla de Tres simple Definición: La regla de Tres simple es un procedimiento que permite hallar un término desconocido de una proporción geométrica en la cual intervienen solamente dos magnitudes que tienen una relación de proporcionalidad. 4.1.1 Regla de Tres simple directa: Se dice cuando las magnitudes son directamente proporcionales. Ejemplo: En un restaurante, si se cobra 48 soles por un total de 12 menús, ¿cuánto cuestan 5 menús? Solución: Se observa que, en este caso, las dos magnitudes (precio y menú) son directamente proporcionales. En efecto, al aumentar el número de menús, el precio aumenta en la misma proporción. De esta manera se tiene: Precio k donde k es la constante de proporcionalidad Menú Menús (Número de) 12 5 Se presenta los datos de la siguiente manera: O de esta otra: 12 menús ............. S/. 48 5 menús ............... S/. x Precio (En Soles) 48 x Como las magnitudes son directamente proporcionales 12 48 - Se establece la proporción 5 x - Se aplica la propiedad fundamental (48)( 5) = 12 x (48)(5) ( 4)(5) - De donde: x = 20 12 1 Respuesta: Cinco menús cuestan S/.20,00 Nuevos Soles. Ejercicios: 1. Si 3,6 kg de harina cuestan S/.7,00, ¿cuánto costará 7,2 kg? 2. Un auto consume 5,7 litros de combustible en 80 km. A la misma velocidad, ¿cuánto consumirá aproximadamente en 560 km? 3. 30 conejos consumen al día 12 kg de alfalfa. ¿Cuánto consumirán 50 conejos en una semana? 14 4.1.2 Regla de Tres simple inversa: Se dice cuando las magnitudes son inversamente proporcionales. Ejemplo: Si 6 obreros demoran 20 días para realizar una obra, ¿cuantos días demorarían 8 obreros a hacer la misma obra en las mismas condiciones? Solución: Se observa que, en este caso, las dos magnitudes (tiempo y obrero) son inversamente proporcionales. En efecto al aumentar el número de obreros, el tiempo disminuye en la misma proporción. Se puede presentar los datos de la siguiente manera: Obreros ( Número) 6 8 O de esta otra: Tiempo (En días) 20 x 6 obreros .................... 20 días 8 obreros .................... x días Como las magnitudes son inversamente proporcionales: (Obreros) (Tiempo)= k 6 x - Se establece la proporción 8 20 - Se aplica la propiedad fundamental (6)(20) = 8 x (6)(20) - De donde: x = 15 . 8 Respuesta: 8 obreros se demorarían 15 días. Ejercicios: 1. Un tren que marcha a 120 km/h tarda 3 horas en conectar dos ciudades. ¿Cuánto tardaría si marchara a 80 km/h? 2. Un libro tiene 90 páginas y cada página tiene 20 líneas. ¿Cuántas páginas tendría el mismo libro si en cada página hubiese 30 líneas? 4.2 Regla de tres compuesta Definición: La regla de tres compuesta es un procedimiento que permite hallar un término desconocido de una serie de razones en la cual intervienen más de dos magnitudes que tienen entre sí relaciones de proporcionalidad. Procedimiento: Para resolver el problema se estudia la relación de proporcionalidad que tiene la magnitud que corresponde al valor desconocido con las otras magnitudes considerando en cada caso que las demás magnitudes presentan un comportamiento constante. 15 Sean A, B y C magnitudes tales que la magnitud A corresponde al valor desconocido. A a1 x B b1 b2 C c1 c2 Si, por ejemplo, A y B son directamente proporcionales, A y C son inversamente B proporcionales, entonces se tiene: A = k . C a 1 b1 c 2 a 1b 2 c1 De donde y x= x b 2 c1 b1c 2 Nota importante: Como A y B son directamente proporcionales entonces la razón mantiene el mismo orden. En cambio, como A y C son inversamente proporcionales la respectiva razón se invierte. . Ejemplos: Para una obra cinematográfica se encarga la confección del vestuario a 10 sastres que pueden hacer 1000 trajes en 40 horas. ¿Cuántos sastres más que trabajan de la misma forma se necesitan para hacer 600 trajes en 20 horas? Solución: Se establece la siguiente tabla con los datos Sastres ( Número) 10 x Tiempo (Horas) 40 20 Trajes (Número) 1000 600 Como a más sastres, menos tiempo, los sastres y el tiempo son magnitudes inversamente proporcionales Como a más sastres más trajes, entonces los sastres y los trajes son magnitudes directamente proporcionales 10 20 1000 ( )( ) x 40 600 (10)( 40)(600) 12 y por lo tanto 12 – 10 = 2 De donde: x ( 20)(1000) Y se tiene: Respuesta: Se necesita 2 sastres más. 20 obreros trabajando 8 horas al día hacen una obra en 24 días. ¿En cuántos días terminarán la obra 15 obreros trabajando 12 horas al día? Solución: Se determinan las relaciones de proporcionalidad de cada magnitud con la magnitud que corresponde a la variable. Obreros 20 15 Horas/día 8 12 16 Días 24 x Se aplica el principio de la constante de proporcionalidad: (20) (8) (24) = (15) (12x) De donde: x = 21,3 días. Obreros 20 15 Horas/día 8 12 Días 24 x I.P. I.P. Ejercicios: 1. Un artesano teje alfombras a mano y durante nueve días, trabajando nueve horas al día, teje ocho metros de alfombra. ¿Cuántos metros tejerá durante 25 días, trabajando 8 horas diarias? 2. 12 obreros comienzan a hacer un trabajo y, a los 15 días, han hecho la tercera parte de la obra. ¿Cuántos obreros adicionales de la misma eficiencia es necesario contratar para que la obra se termine a los 21 días de iniciada? 3. Se estima que 30 personas construyan una cerca en 60 días. Transcurridos 24 días se incorporan 12 personas más. ¿En cuántos días menos la obra estará terminada? 17 PORCENTAJES 5.1 Definición Un porcentaje es una razón cuyo antecedente es racional y cuyo consecuente es 100: a . Se 100 denota a% y se lee a por ciento. Se calcula el a% de una cantidad N de la siguiente manera: a% de N= a N. 100 Ejemplos: Calcular el 5% de 90. 5 ( 90) , o, lo que es lo mismo, (0,05) (90). 100 Respuesta: El resultado es 4,5. Solución: Se calcula ¿Cuál es el 20% del 30% de 150? 30 Solución: El 30% de 150 es: x150 = 0,30 x 150. 100 20 30 El 20% del 30% de 150 es x x150 = 0,20 x 0,30 x 150= 9 100 100 Respuesta: El resultado es 9. La leche da 12,5% de su volumen en crema. Si se ha obtenido 30 dm3 de crema, ¿cuántos litros de leche se ha procesado? Solución: Si V es el volumen en dm3 de leche procesado, se debe cumplir: 12,5% de V = 30. De donde: 12,5 V 30 y 100 V (30)(100) 240 12,5 V = 240 dm3. 1dm3 = 1 litro Respuesta: Se ha procesado 240 litros de leche. Ejercicios: 1. Si 200 es el 85% de A y B es el 85% de 200, ¿cuál es mayor, A ó B? 2. El 32,5% de las páginas de una revista es publicidad. La revista tiene 160 páginas, ¿cuántas de ellas son de publicidad? Transformar razón a porcentajes: Tomar el a a de N es equivalente a tomar el 100 % de N. b b 18 Ejemplos: 3 (3)(100) de N equivale a tomar el % de N, es decir el 75% de N. ¿Qué 4 4 porcentaje de 250 es 50? Tomar los (50)(100) 50 a = 20 . Por lo tanto: a = 250 100 250 Respuesta: 50 es el 20% de 250. Solución: Se debe cumplir Un par de zapatos de 150 Nuevos Soles se rebaja a 120 Nuevos Soles. ¿Cuál es el porcentaje de descuento? Solución: Se ha aplicado al precio una rebaja de 30 Nuevos Soles por 150 – 120. Ahora, se 30 a calcula el porcentaje de descuento con la proporción: 150 100 De donde: a = 20. Respuesta: El porcentaje de descuento es 20%. 5.2 Aumento y disminución porcentual Aumento porcentual: El Impuesto general a las ventas (I.G.V.) se calcula aplicando a cada precio inicial el 19%. ¿Cómo se calcula los nuevos precios? Solución. Si P es el precio inicial, entonces el IGV es el 19% de P o sea (0,19) P. Como es un aumento, el nuevo precio es: P + 19%P = P + (0,19)P = (1+0,19)P = 1,19P Respuesta: Para calcular los nuevos precios se multiplica los precios iniciales por 1,19. Disminución porcentual: Una tienda de ropa inicia una campaña de oferta, aplicando a cada prenda un descuento del 15%. ¿Cómo se calcula los nuevos precios? Solución. Si P es el precio de una prenda, entonces el 15% de P es (0,15)P. Como es un descuento, el nuevo precio es: P –15%P = P – (0,15)P = (1 – 0,15)P = 0,85P. Respuesta: Para calcular los nuevos precios se debe multiplicarlos por 0,85. Ejercicios: 1. ¿Qué porcentaje de descuento se está aplicando a un vestido que cuesta $150,00 y está rebajado a $67,50? 2. Los gastos en materiales de construcción de una empresa ascienden a 7 735 soles incluido el IGV. ¿Cuál sería el gasto sin IGV? 3. Un obrero desea comprar dos artículos A y B que cuestan $1 750. Por pagar al contado consigue descuentos del 10% para A y del 5% para B y de esta manera paga solamente $1 660. ¿Cuál era el precio original de cada artículo? 19 5.3 Descuentos y aumentos sucesivos Descuento sucesivo: Suponga que en una tienda se le aplica al precio de un artículo un descuento del 10%, seguido posteriormente de un descuento del 20%. Se desea saber cuál sería el descuento único equivalente a los dos descuentos anteriores Solución. (0,9) (0,8) = 0,72 = 72% 100% – 72% = 28% Respuesta: El descuento único equivalente será de 28% Aumento sucesivo: Un vendedor de electrodomésticos decide aumentar en 8% los precios de sus artículos, pero para obtener una ganancia mayor decide además aplicarle otro aumento del 12%. ¿Cuál fue el aumento único equivalente? Solución. (1,08) (1,12) = 1,2096 = 120,96% Respuesta: El aumento único equivalente será de 20,96% Ejercicios: 1. A qué descuento único equivalen los descuentos sucesivos del 10%, 30% y 50%. 2. A qué aumento único equivalen los aumentos sucesivos del 5% y 12%. 3. Juan entra a un casino con S/. 160 y apuesta 3 veces consecutivas, perdiendo y ganando alternadamente: 25%, 50% y 20%, siempre de lo que le iba quedando. Al final, ¿ganó o perdió y cuánto? 5.4 Variación porcentual El cálculo de variaciones es sumamente útil para ver el crecimiento o decrecimiento porcentual de algún factor en comparación a un comportamiento anterior. Ejemplo: Con la finalidad de vender la mayor cantidad de artículos después de las Fiestas Patrias, un comerciante reduce sus precios en un 20 % y observa que sus ventas en el mes de agosto aumentan en un 30%. ¿En qué porcentaje varió su ingreso en agosto con respecto a julio? Solución: El ingreso se calcula multiplicando el precio por el número de artículos vendidos. En el mes de julio, se tiene: IJ = PN, donde P es el precio y N el número de artículos. En el mes de agosto, se tiene IA = (0,80P) (1,30N) = (1,04PN) La variación del ingreso del mes de julio al mes de agosto está dada por: I A I J 1,04PN - PN = 0,04 = 4%. IJ PN Respuesta: La variación de su ingreso de julio a agosto es un aumento del 4%. 20 Ejercicios: 1. El precio de un artículo pasa de $320 a $360; calcule la variación porcentual en el precio. 2. ¿En qué porcentaje varía el área de un terreno rectangular si uno de sus lados aumenta en 40% y su otro lado disminuye en 20%? 3. Con la finalidad de vender la mayor cantidad de artículos después de las Fiestas Patrias, un comerciante reduce sus precios en un 20% y observa que sus ventas en el mes de agosto aumentan en un 30%, ¿en qué porcentaje varió su ingreso en agosto con respecto a julio? 5.5 Aplicaciones al campo económico Ejemplos: Una tienda vende chompas a S/.60 ganando un 20% del costo. ¿Cuál es el costo de una chompa? Solución: Si C es el costo, entonces el precio de venta se expresa por: 60 = (1 + 20%)C. De donde 60 = 1,20C y C = 50. Respuesta: El costo de una chompa es de S/.50. Un juego de comedor de $650,00 se rebaja en un 20%. Al mes siguiente sube el precio en un 25%, ¿cuánto le cuesta al final el juego del comedor? Solución: El costo original del comedor es $650,00. Como vemos, el problema consta de dos partes, la primera en donde hay una rebaja del 20% y en la segunda (después de un mes) el precio sube en un 25%. Si rebajamos el comedor en un 20%, obtendremos que el nuevo precio a pagar será: 650 (100%–20%) de 650 = 80% de 650 = 80 x = 520 100 Luego, después del descuento del 20%, el nuevo precio a pagar es de $520,00 Después de un mes, el precio sube en un 25%, es decir: 520 = 650 100 Respuesta: El precio final del comedor es de $650,00. (100% + 25%) de 520 = 125% de 520 = 125 x Un automovilista va a comprar aceite para su motor en su grifo favorito y descubre que los precios han aumentado de 15% desde el mes anterior. Si, al comprar el aceite, el vendedor le hace una rebaja de 15% por ser cliente preferencial, ¿ha ganado o perdido el automovilista en la transacción? ¿Cuál es su porcentaje de ganancia o pérdida? Solución: Si P es el precio inicial del aceite, con el aumento de 15% se transforma en 1,15P. Luego, se aplica la rebaja de 15% al nuevo precio y se transforma en: (0,85)(1,15)P o sea en 0,9775P. Este resultado significa que el automovilista ha pagado el aceite a un 97,75% del precio del mes anterior y ha ganado el 2,25% (100% – 97,75%) sobre el precio del mes anterior. 21 Ejercicios: 1. Compré una joya en 500 dólares y quise venderla inicialmente en "N" dólares, pero dada la recesión decidí venderla tan sólo al 80% de dicho precio. Luego, para realizar la venta hice un descuento adicional de 25%, obteniendo una ganancia de 20%. Hallar "N". 2. ¿Cuál es el precio de venta que se debe fijar a un artículo si se quiere ganar el 20% del costo, si se sabe que ganando el 10% del costo, el precio sería 132 soles? 3. Un señor requiere $8 850 para comprar un auto. Para esto invierte una cantidad de dinero en un negocio en el cual espera ganar el 18% y así alcanzar la suma que necesita. a. ¿Cuánto debe invertir? b. Si por la actual coyuntura económica, al invertir en dicho negocio, no gana, sino pierde el 12%, ¿cuánto dinero le faltará para alcanzar los $8 850? 4. ¿En qué porcentaje se debe aumentar el costo de un artículo para fijar su precio, de tal manera que aun haciendo un descuento del 20% del precio fijado se gane el 40% del costo? 22 TEORÍA DE ECUACIONES ECUACIONES DE PRIMER GRADO 6.1 Definiciones básicas Ecuación. Una ecuación algebraica es una igualdad de dos expresiones algebraicas Estas expresiones son llamadas miembros o lados de la ecuación. x2 1 x 1 ; x2 + 5 = 1 Ejemplos: x + 2 = 5; x2 – x – 6 = 0; x 1 Valor admisible de una ecuación: Es un valor admisible para las dos expresiones algebraicas involucradas. Ejemplos: 2 es un valor admisible para la expresión tendrá 1 1 1 . x2 22 4 –2 es un valor admisible para la expresión tendrá 1 1 , ya que al remplazar x = 2 en , se 2 x2 1 1 , ya que al remplazar x = –2 en , se x2 x2 1 1 1 . Recuerde que no existe una división con respecto a cero. x 2 (2) 2 0 Conjunto de Valores admisibles (C.V.A.) de una ecuación: Es el conjunto de los valores permitidos para la variable en la ecuación dada. Ejemplos: Para la ecuación Para la ecuación Para la ecuación x 2 1 1 , x4 C.V.A. = R – {– 4} x2 1 x 1 , C.V.A. = R – {1} x 1 x 1 , C.V.A. = R 2 x 4 Solución de una ecuación: Es un número real que al ser sustituido en la variable la convierte en una identidad numérica se llama solución de la ecuación. Nota: En el caso de una ecuación polinómica, P(x) = 0 donde P es un polinomio, la solución se llama también raíz del polinomio P(x). El grado del polinomio indica el número de soluciones de la ecuación. Estas soluciones pueden o no ser todas iguales. El conjunto de todas las soluciones se llama Conjunto Solución y se denota C. S. 23 Ejemplos: x = 3 es solución de x + 2 = 5, puesto que (3) + 2 = 5, Reemplazando en la ecuación para otro valor de x no se convierte en una identidad numérica. Luego, 3 es el único valor de x que satisface la ecuación. Por lo tanto, C.S. = {3} La ecuación x2 + 5 = 0 no tiene solución en el conjunto de los números reales, por lo tanto, C.S. = . 6.2 Clasificación de las ecuaciones Tipo de ecuación Ecuación Condicional Característica C. S. y C. S. C. V. A. Identidad C. S. . y C. S. = Ecuación Imposible C. S. = C. V. A Ecuaciones equivalentes Dos ecuaciones se llaman equivalentes si tienen las mismas soluciones. Ejemplo: Las ecuaciones (1) 3x – 2 = 10; (2) 13 –2x = 5 Son equivalentes. (Por que el C.S. es x = 4). 6.3 Teoremas elementales TEOREMA 1 Si se multiplica o divide a los dos miembros de una ecuación por un mismo número real no nulo, se obtiene otra ecuación equivalente. Es decir: Sean F(x) y G(x) dos expresiones algebraicas. F(x) = G(x) es equivalente a k.F(x) = k.G(x) F(x) = G(x) es equivalente a F ( x) G ( x) k k donde k R ; k 0 TEOREMA 2 Si se suma o resta un polinomio P(x) a los dos miembros de una ecuación, se obtiene otra ecuación equivalente. Es decir: Sean F(x) y G(x) expresiones algebraicas y P(x) un polinomio. La ecuación F(x) = G(x) es equivalente a F(x) P(x) = G(x) P(x) 24 6.4 Resolución de ecuaciones de primer grado Son ecuaciones que tienen como forma general: ax + b =0, donde: a , b ; a 0. x : incógnita o variable C. V. A. = b C.S a Estrategia de solución: Para resolver una ecuación de primer grado se aplica la siguiente estrategia de solución: Resuelva la ecuación: Pasos 2x x 1 5 3 4 12 1. Eliminar los denominadores si lo hubiere, para esto se multiplica a toda 2 x x 1 5 12 12 la ecuación por el M.C.M. de los 4 3 12 denominadores. 2. Efectuar operaciones con el fin de 8x 3x 3 5 eliminar signos de agrupamiento. 3. Transponer los términos, para obtener en un miembro de la ecuación 5 x 2 solamente los términos de primer grado. 4. Reducir los términos semejantes y 2 x despejar la incógnita. 5 5. Verificar la solución. 2 2 2 1 5 5 5 4 12 3 6. Escribir el conjunto solución. 2 C.S 5 Ejercicios: 1. Resuelva las siguientes ecuaciones y determine su conjunto solución: a. b. 5 x 2 3 x 6 4 2 x x 1 3 x 4 1 2 c. x2 2x x2 3 6 d. 2 y 7 8y 9 3y 5 3 14 21 25 2. Resuelva los siguientes problemas de modelación: a. Gonzalo tiene el doble de dinero que Cristian, si entre ambos se quieren comprar una pelota de S/.110,00 Gonzalo debería tener el doble de dinero que tiene. ¿Cuánto dinero tiene Cristian? b. Una tienda de equipos etiqueta cada artículo que vende con un 60% sobre el precio de mayoreo. ¿Cuál es dicho precio, si al menudeo el equipo se vende a $144,00? c. Antonio y Bruno coleccionan cuadros. Actualmente Antonio tiene 360 y Bruno tiene 80. Si cada año cada uno compra 6 cuadros. ¿Dentro de cuántos años Antonio tendrá el triple de cuadros de Bruno? d. Un vendedor de artículos electrodomésticos, gana semanalmente un salario fijo más un porcentaje de las ventas como comisión. Cierta semana, su ingreso por ventas valorizadas en $4 000 fue de $660. En la siguiente, su ingreso por ventas valorizadas en $6 000 fue de $740. Encuentre el salario semanal y el porcentaje de comisión de ventas del vendedor. 26 SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON DOS VARIABLES 7.1 Definición Se llama sistema de ecuaciones lineales al conjunto de ecuaciones de primer grado con dos o más incógnitas. Nota: En este cuaderno se tratará sólo sistemas de ecuaciones con dos incógnitas o variables. A1 x + B1 y = C1 Notación: , donde: A1, A2, B1, B2, C1, C2 son constantes. A2 x + B2 y = C2 7.2 Solución de un Sistema de ecuaciones lineales en dos variables Se llama solución del sistema a todo par ordenado de valores reales que sustituidos en las ecuaciones en forma simultánea, las convierten en identidades numéricas. Ejemplo: 5 x + 3 y = 2 tiene por solución al par ordenado (2; –4) puesto 3 x 2 y = 14 que satisface cada una de las ecuaciones propuestas. El sistema de ecuaciones En cuanto al número de soluciones un sistema de ecuaciones lineales puede tener sólo una solución, infinitas soluciones o ninguna solución. De acuerdo a ello el sistema de ecuaciones se clasifica en: compatibles e incompatibles. 7.3 Clasificación de sistemas de ecuaciones lineales Compatible. Es cuando el sistema admite solución. 4 x y = 5 Ejemplo: El sistema tiene por única solución el par (–1; 1) 2 x 4 y = 2 Ejemplo: El sistema x 2 y = 7 admite infinitas soluciones. 2 x 4 y = 14 Incompatible. Es cuando el sistema no admite solución. x y = 3 no admite solución, es decir su C.S.= . Ejemplo: El sistema 3 x 3 y = 12 7.4 Resolución de un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas Existen varios métodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales, entre los más importantes se encuentra el Método de reducción o de eliminación. Este método consiste en multiplicar cada ecuación por un número real, de tal manera que los coeficientes de una de las incógnitas sean opuestos y después se suma las dos ecuaciones para obtener una ecuación de primer grado con una incógnita. 27 Ejemplos: 2 x 3 y 7 ...(1) Resolver 3 x 5 y 1 ...(2) Solución: Para eliminar la variable "y" se multiplica a la primera ecuación por 5 y a la segunda por 3 y se suma las dos ecuaciones. 10 x 15 y 35 9 x 15 y 3 19 x 38 de donde x = 2 Se reemplaza x = 2 en la primera ecuación para calcular y: 2(2) + 3y = 7, de donde 3y = 3 y finalmente y = 1. Respuesta: C.S = (2; 1) 2 x 5 4(y 2 ) x 3 5 Resolver el sistema 3x 5 y 3 y 4 6 Solución: Multiplicando por el M.C.M. denominadores cada ecuación: 5(2x–5) + 12(y+2) = 15x 3(3x–5) – 2(y+3) = 12y Realizando operaciones y reduciendo términos: –5x + 12y = 1 9x – 14y = 21 Multiplicando la primera ecuación por 9, la segunda por 5 y sumando ambas ecuaciones: 38y = 114 de donde y = 3 Reemplazando y = 3 en la ecuación 9x – 14y = 21 para obtener el valor de x: 9x – 14(3) = 21 de donde x = 7 Respuesta: C.S = (7; 3) Ejercicios: 1. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones lineales e indique su conjunto solución. 2 x 7 y 59 a. x 3 y 10 2 x 3 y 6 b. 4 x 6 y 12 28 3x y 4 c. 12 x 4 y 2 7.5 Modelación y resolución de problemas Ejemplos: El costo total de 5 ejemplares de un libro y 4 lapiceros NF es de $32; el costo total de 6 ejemplares del mismo libro y 3 lapiceros NF es de $33. Hallar el costo de cada artículo. Solución: a. Sea x: El costo en dólares de cada libro. y: El costo en dólares de cada lapicero. 5 x 4 y 32 6 x 3 y 33 c. La solución de este sistema es x = 4, y = 3. b. Se forma las ecuaciones Respuesta: El costo de cada ejemplar es $4 y el costo de cada lapicero NF es $3. Hace 18 años la edad de Juan era el doble de la de Pedro, dentro de 9 años la edad de Juan sólo será 5 la edad de Pedro. ¿Cuántos años tienen actualmente Juan y Pedro? 4 Solución: a. Sea J: Edad actual de Juan P: Edad actual de Pedro b. Se confecciona el siguiente cuadro: Hace 18 años Ahora Dentro de 9 años Edad de Juan J – 18 J J+9 Edad de Pedro P – 18 P P+9 J 18 2( P 18) Del cuadro se deduce: 5 J 9 4 ( P 9) c. Operando y reduciendo se lleva a la forma estándar: J 2 P 18 ... (1) 4 J 5P 9 .... (2) d. Se aplica el método de reducción: se multiplica la primera ecuación por –4 y se suma las ecuaciones. 4 J 8P 72 4 J 5P 9 3P 81 De la cual P = 27 y se reemplaza en (I) para calcular J = 36. Respuesta: Las edades de Pedro y Juan son 27 y 36 años respectivamente. 29 Ejercicios: 1. En mi clase somos 33 estudiantes entre hombres y mujeres y recaudamos S/.11 600 para ayudar a los damnificados por el terremoto de Pisco del año 2007. Si cada hombre colaboró con S/.400 y cada mujer con S/.300, ¿cuántas mujeres hay en mi clase? 2. Una compañía que fabrica sillas de madera las hace de dos tipos. El modelo básico que requiere 1 hora para ensamblarse y 0,5 horas para pintarse, y el modelo de lujo que requiere 3,2 horas para ensamblarse, pero sólo 0,4 horas para pintarse. En un día particular la compañía dedica 46,4 horas×persona para ensamblar y 8,8 horas×persona para pintar. ¿Cuántas sillas de cada tipo se pueden hacer exactamente sin desperdiciar recursos? 3. La compañía controles universales fábrica unidades de control. Sus modelos nuevos son el Argón I y el Argón II. Para fabricar cada unidad de Argón I, usan 6 medidores y 3 controladores. Para fabricar cada unidad de Argón II, usan 10 medidores y 8 controladores. La compañía recibe un total de 760 medidores y 500 controladores diarios de sus proveedores. ¿Cuántas unidades de cada modelo puede producir diariamente? Suponga que se utilizan todas las partes. 30 ECUACIÓNES CUADRÁTICAS 8.1 Definición Es aquella que se puede expresar de la forma: ax2 + bx + c = 0, donde a, b, c son constantes reales con a 0 Ejemplos: x2 = 5x; x2 – 2x = 3; 3x2 – 7x – 5 = 0 Nota: Toda ecuación de segundo grado tiene C.V.A. = R 8.2 Métodos de resolución Método 1: El método más sencillo para resolver una ecuación cuadrática es factorizarla y aplicar la siguiente propiedad del factor cero: Si ab = 0, entonces a = 0 o b = 0 o ambos. Ejemplos: Resolver las ecuaciones cuadráticas a. x2 = 5x b. x2 – 2x – 3 = 0 c. 2x2 – 5x + 2 = 0 Solución: a. Ordenando la ecuación Factorizando (factor común Por la propiedad factor cero x2 – 5x = 0 x(x – 5) = 0 x=0 o x–5=0 x=0 o x=5 Respuesta: C.S. = {0; 5} b. x2 – 2x – 3 = 0 Factorizando por aspa simple: (x – 3)(x + 1) = 0 x–3=0 o x+1=0 x = 3 o x = –1 Respuesta: C.S. = {–1; 3} c. 2x2 – 5x + 2 = 0 Factorizando por aspa simple (2x – 1) (x – 2) = 0 2x – 1 = 0 o x – 2 = 0 x = 1/2 o x = 2 Respuesta: C.S. = {1/2; 2} Método 2: Usando diferencia de cuadrados: En efecto, x2 – k = 0 es equivalente a (x – De donde x = k o x = – k x2 – k = 0 con k > 0. k ) (x + k ).= 0 Propiedad de la raíz cuadrada Si k > 0, las soluciones de x2 = k son x = + k . 31 Ejemplos: Resolver las ecuaciones cuadráticas: a. x2 = 32 b. x2 = –9 Solución: a. En x2 = 32, vemos que 32>0, entonces, x = + 32 = + 4 2 C.S. = {– 4 2 ; 4 2 } b. En x2 = – 9, vemos que – 9<0, por lo tanto no existen raíces reales y C.S. = . Método 3: En el caso que no sea fácil de aplicar las propiedades anteriores, se utiliza la fórmula cuadrática. Siendo la ecuación ax2 + bx + c = 0, donde a, b, y c son coeficientes reales y a 0, se considera para el análisis de la naturaleza de las raíces al valor de b2 – 4ac como discriminante y se le representa por . Luego se tiene: a) Si 0 : hay dos raíces reales y distintas: x1 b b 2 4ac 2a y x2 b b 2 4ac 2a b) Si 0 : hay dos raíces reales e iguales (raíz doble) x1 = x2 = b 2a . c) Si 0 : no existen raíces reales. Nota: Si 0 : entonces el polinomio P(x) = ax2 + bx + c se dice que es primo o irreductible. Ejemplos: Los polinomios P(x) = x2 – x +1 y P(x) = x2 +1 son irreductibles porque en cada caso 0: Resolver la ecuación 3 x 2 7 x 5 0 usando la fórmula cuadrática. Solución: En este caso: a = 3, b = –7 y c = –5 De donde b 2 4ac 0 y hay dos raíces reales y distintas: Luego: x 7 Entonces : x1 = x 7 2 43 5 23 7 109 6 y Respuesta: C.S. = x1 ; x2 = C.S . o sea : x2 = x 7 109 6 7 109 6 7 109 6 32 x ; 7 109 6 Determinar el valor de k en la ecuación 4x2 – 10x + (2k – 3) = 0, para que tenga sus dos raíces iguales. Solución: El discriminante debe ser igual a cero, es decir, = 0, De donde –– (10)2 – 4(4) (2k – 3) = 0 100 – 32k + 48 = 0 37 Respuesta: k = 8 Resolver x 1 x 2 3 x 1 x 2 Solución: Esta ecuación se reduce a una cuadrática. Los valores que puede tomar x son: x 1, x –2 de donde C.V.A. = R – {1; –2} Hallar el M.C.M. y efectuando ( x 1)( x 2) ( x 1)( x 2) 3 ( x 1)( x 2) Operando x2 + 3x + 2 + x2 – 3x + 2 = 3(x – 1) (x + 2) Simplificando x2 + 3x – 10 = 0 Factorizando (x + 5) (x – 2) = 0 x + 5 = 0 o x –2 = 0 x = –5 o x = 2 Se observa que – 5 y 2 son valores admisibles Respuesta: C.S = {–5; 2} Ejercicios: 1. Determine el conjunto solución en cada caso: a. 6 z 25 z 2 0 b. 6 y 2 11 y 35 0 2. Resuelva las siguientes ecuaciones y determine su conjunto solución. a. ( y 9)(y 2) (3y 1)2 b. x( x 3) 5x 7 x 2 6 12 8.3 Modelación y resolución de problemas Problema 1 Si la longitud y el ancho de un terreno rectangular de 6 m y 10 m respectivamente se aumentan en una misma cantidad de metros, el área del nuevo rectángulo excede en 20m2 al doble del área original. ¿En cuánto se incrementaron las dimensiones originales? 33 Solución: a. Sea x: el número de metros incrementados en cada lado b. Terreno inicial Área = (10)(6) m2 = 60 m2 6m 10 m Terreno Incrementado (6 + x) m Área = (10 + x) (6 + x) m2 (10 + x) m Por dato c. Efectuando: (10 + x) (6 + x) = 20 + 2 (60) 60 + 10x + 6x + x2 = 20 + 120 x2 + 16x – 80 = 0 (x + 20)(x – 4) = 0 x + 20 = 0 o x – 4 = 0 x = – 20 ó x = 4 La única solución del problema es x = 4, porque debe representar a una longitud. Respuesta: Cada dimensión original se incrementó en 4 m. Problema 2 Ofelia compró cierto número de lapiceros por 180 Nuevos Soles. Al día siguiente le hubieran dado 10 lapiceros más por la misma cantidad, con lo cual le hubiera resultado 20 céntimos más barato cada lapicero. ¿Cuántos lapiceros compró y cuál fue el precio de cada uno? Solución: Sea x: el número de lapiceros que compró Ofelia. a. Cada lapicero le costó: 180 x b. Al día siguiente le hubiera costado cada lapicero: 180 x 10 180 180 – = 0,20 x x 10 180(x + 10) – 180x = 0,20x(x + 10) 1800 = 0,20x2 + 2x 18000 = 2x2 + 20x c. Donde se tendría: d. Efectuando: x2 + 10x – 9000 = 0 (x + 100) (x – 90) = 0 34 x = – 100 (No se considera) x = 90 Respuesta: Ofelia compró 90 lapiceros a 2 Nuevos Soles cada uno. Ejercicios: 1. ¿Qué edad tengo, si dentro de tres años mi edad será el cuadrado de la edad que tuve hace nueve años? 2. William tiene un terreno de 15 m de ancho por 20 m de largo y quiere tener un jardín de igual ancho alrededor de toda la casa. ¿Cuál debe ser el ancho del jardín si desea que su casa tenga un área construida de 234 metros cuadrados? 35 EXPRESIONES ALGEBRAICAS 9.1 Definición Una expresión algebraica es toda combinación finita de números y letras, sometidas un número finito de veces a las operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación. Notas: Las variables siempre se encuentran como base, nunca como exponente. El exponente de la variable es siempre un número racional. Ejemplos de expresiones algebraicas: 2x; x + 2; x2; 0,5 x 3 6x y 2 1 2 3 x y 5z ; ; 5x2 – 15xy + 3y2; 4a – 5b + 7 2 z Las expresiones 2 x ; log x no son expresiones algebraicas. Notación: Las expresiones algebraicas se denotan por las letras mayúsculas, indicando entre paréntesis las variables que lo conforman: E(x, y): Expresión algebraica de variables x e y Ejemplo: En la expresión algebraica E (u, v) = 2au3– 7uv2+ 2x5 las únicas variables son u y v. Observaciones: Si la letra es utilizada para representar a cualquier número de un conjunto, se hará referencia a ella como una variable. En cambio, una constante es un número fijo, tal como 2, 3 , etc., o una letra que represente un número fijo. Se considera a las constantes y las variables como números reales. 9.2 Valor numérico de una expresión algebraica Es el número real que se obtiene al sustituir las letras por números reales, reemplazando cada letra por un mismo número. Ejemplos: En la fórmula del área del cuadrado A = l2, donde l es la longitud del lado se tiene: Solución: Para l = 2, el valor numérico es A = (2)2 = 4; Para l = 3, el valor numérico es A = (3)2 = 9. El valor numérico de E = 5x2 – 15xy + 3y2 para x = 2, y = 1 es: Solución: E = 5(2)2 – 15(2)(1) + 3(1)2 = –7 2 xy 1 , para x 2, y 1 yx 2 2 1 1 Solución: B (2;1) 3 1 2 B ( x; y ) 36 9.3 Término algebraico Es una expresión algebraica que sólo contiene productos, cocientes y potencias de variables y constantes numéricas. Ejemplo: 2x3; 3x/y2; –9y2; ax1/2; –7x3y1/2 Exponente Signo Notación: –7 x 3 y 1/2 Coeficiente Parte literal 9.3.1 Términos semejantes Dos o más términos son semejantes, si éstos se diferencian sólo en sus coeficientes, es decir, presentan la misma parte literal donde las variables tienen respectivamente iguales exponentes. Ejemplos: 5x2y, –4x2y, 7yx2; son términos semejantes 8x / y, –5xy–1; son términos semejantes Reducir a términos semejantes: 3x2 – 4x2 + 12x2 = (3 – 4 + 12) x2 = 11x2 Ejercicios: Reducir los siguientes términos semejantes: 2 2 2 2 1. 20x y + xy – 45 xy – x y 4 3 2 3 2 3 7 3 2 3 2 3 1 2 3 2. vw v w vw v w v w 5 4 10 16 8 3x 2 5 x 2 x 2 x 3. y y 3y 2 y 9.4 Monomios y polinomios Monomio: Es aquel término algebraico cuyas variables solo se encuentran en el numerador y con exponentes enteros no negativos entre las variables que lo conforman. Ejemplos: 5x2; – 3 xy4 Polinomio: Es la suma algebraica de cualquier número finito de monomios. Notación. Se denota a los polinomios usando letras mayúsculas e indicando entre paréntesis el nombre de la variable o de las variables. Ejemplos: P(x) = x2 – 6x + 12; Q(x, y) = x2 + xy; R(x,y) = –3x2y + xy – y3 + 5 37 9.4.1 Valor numérico de un polinomio Recordemos: es el número que se obtiene al sustituir cada variable por el valor asignado a ella. Ejemplos: Sea P(x) = x2 – 6x + 12. Para x = 3, se obtiene: P (3) = (3)2 – 6(3) + 12 = 3 Ahora determine los siguientes valores numéricos: P(1) = 7 P(0) = 12 P(–2) = 28 Observe que: P(1) : Suma de los Coeficientes. P(0) : El termino independiente. Son valores numéricos notables de polinomios en una variable. Sea R(x, y) = – 3x2y + xy – y3 + 5. Obtenga el valor numérico para: x = 2; y = –1 …… R(x, y) = 16 x = –3; y = –2…… R(x, y) = 73 9.4.2 Operaciones con polinomios Adición y sustracción: Para sumar o restar polinomios se suma o resta los coeficientes de los respectivos términos semejantes. Ejemplos: Sean: P ( x) 6 x 2 4 x 3 y Q( x) 9 2 x 2 6 x . Halle: P ( x) Q( x) Solución: P ( x ) Q ( x ) = (6 x 2 4 x 3) (9 2 x 2 6 x) 6 x 2 4 x 3 9 2 x 2 6 x = (6 x 2 2 x 2 ) (4 x 6 x) (3 9) 4 x 2 2 x 6 P ( x) Q( x) Solución: P ( x ) Q ( x ) = (6 x 2 4 x 3) (9 2 x 2 6 x) 6 x 2 4 x 3 9 2 x 2 6 x = (6 x 2 2 x 2 ) (4 x 6 x) (3 9) 8 x 2 10 x 12 Multiplicación: Al efectuar esta operación resulta conveniente calcular los términos del producto por medio de las llamadas leyes de los exponentes. a. Para multiplicar dos o más monomios, se multiplica sus respectivos coeficientes y variables y se aplica las leyes de exponentes tanto para los coeficientes como para las variables Ejemplos: 1) (6x2y3)(–3x4y) = (6)(–3) x2 x4 y3 y = –18x6y4 2) (–3x2y3)2 = (–3)2(x2)2(y3)2 = 9x4y6 38 b. Para multiplicar un monomio por un polinomio se aplica la ley distributiva multiplicando el monomio por cada término del polinomio. Ejemplo: Efectuar el producto –5x (2x4 – x2 – 6x) Solución: –5x (2x4 – x2 – 6x) = –10x5 + 5x3 + 30x2 c. Para multiplicar dos polinomios, se multiplica cada término de uno de los polinomios por cada uno de los términos del otro polinomio y luego se reduce los términos semejantes Ejemplo: Efectuar el producto (2x – 5)(3x2 – x + 2) Solución: (2x – 5) (3x2 – x + 2) = 6x3 – 2x2 + 4x – 15x2 + 5x – 10 = 6x3 – 17x2 + 9x – 10 Ejercicios: 1. a. Sea Q( x) x 3 6 x 2 4 x 8 . Calcule: 3 Q(0) Q(1) 4 Q (1) b. Si P ( x) x 2 x 3 , Q( x) x x 4 Calcule: 2. Efectúe las operaciones indicadas y simplifique: a. 34 x x 2 2x 2 3 x b. (2a 3 bc)(4a 2 b 2 c 2 )(5abc) c. 5a 2 (6a 2 12a 8) 3a (10a 3 20a 2 ) 39 P(3) P(1) 2 Q(2) PRODUCTOS NOTABLES Las fórmulas que se expone a continuación son el resultado de algunos de los productos que, con mayor frecuencia, se presentan en el cálculo algebraico, y con los cuales el alumno debe procurar familiarizarse. La comprobación de dichos resultados se realiza ejecutando las multiplicaciones correspondientes. Binomio al cuadrado: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 Ejemplos: (x + 3)2 = (x)2 + 2(x)(3) + (3)2 = x2 + 6x + 9 (3x – 5y)2 = (3x)2 – 2(3x)(5y) + (5y) 2 = 9x2 – 30xy + 25y2 Diferencia de cuadrados: (a + b)(a – b) = a2 – b2 Ejemplos: (3x – 1) (3x + 1) = (3x)2 – (1)2 = 9x2 – 1 (x + 2y) (x – 2y) = (x)2 – (2y)2 = x2 – 4y2 Cubo de un binomio: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 Ejemplos: (x + 2)3 = (x)3 + 3(x)2 (2) + 3(x)(2)2 + (2)3 = x3 + 6x2 + 12x + 8 (2x – y2)3 = (2x)3 – 3(2x)2 (y2) + 3(2x)(y2)2 – (y2)3 = 8x3 – 12x2y2 + 6xy4 – y6. Suma y diferencia de cubos: (a + b) (a2 – ab + b2 ) = a3 + b3 (a – b) (a2 + ab + b2 ) = a3 – b3 40 Ejemplos: (x + 2)(x2 – 2x + 4) = x3 + 8 (a – 3)(a2 + 3a + 9) = a3 – 27 Ejercicios: 1. Efectúe y simplifique: a. (2 x 3) 2 3(1 2 x) 2 ( x 2) 2 5 b. 4 x 2 9 x 2 1 x 2 1 32 2 2 c. (a + b)2 (a2 – ab + b2)2 + (a – b)2 (a2 + ab + b2)2 – 2b6 d. (2b + 3c)2 + (5b 6c)2 (4b c)(4b + c) 2. a. b. 1 2 -2 3 , calcule x x . x 2 2 Si a b 2 y ab = 1, calcule a b . Si x 3. Simplifique: 4. Efectúe: b. ( x y )( x y ) 2 ( x 2 y 2 ) 2 ( 2 xy ) 2 y 1 y x4 y4 2 y 1 y 3 1 y 6 41 1 1 1 6 SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS Y El Plano Cartesiano: II Eje X: eje de abscisas Eje Y: eje de ordenadas I b Cuadrantes del plano cartesiano: I; II; III y IV P(a; b) X a III P: es un punto del plano, de coordenadas (a; b) IV Determinación de un punto por sus coordenadas: Ejemplo: Ubicar en el sistema de coordenadas cartesianas los puntos A(3; 2), B(–2; 3), C(–3; –2) y D(2,5; –1,5). B (–2; 3) A (3; 2) D (2,5; –1,5) C(–3;–2) Ejercicios: 1. Ubicar los puntos (–2; 5), (–4; –4), (0; 2); (0; –3) y (5; –2). 2. Si las siguientes coordenadas se refieren al mismo punto: (2a–1; 3) y (3; 3). Hallar a. 3. Determinar en qué cuadrantes se encuentran los siguientes puntos (a, b): a. a > 0 y b < 0 b. a < 0 y b < 0 c. a > 0 y –b > 0 42 d. a > 2 y 0 < b < 5 11.1 Gráfica de ecuaciones Una ecuación con dos incógnitas tiene infinitas soluciones. Cada una de ellas está formada por una pareja de valores, (x; y), que gráficamente representa las coordenadas de un punto en el plano. Al dibujar esos infinitos puntos en un sistema de ejes coordenados se obtiene la gráfica de la ecuación. Ejemplo: Graficar 2x + y = 1 y Tabulando, se obtiene: A x y –1 3 0 1 1 –1 1,5 –2 B x C D Interceptos con los ejes coordenados: Los puntos de intersección de la gráfica de una ecuación con los ejes coordenados X e Y son: Con el eje X, se obtiene haciendo y = 0 en la ecuación. Es decir, si y = 0, entonces x = a. Intercepto: (a; 0) Con el eje Y, se obtiene haciendo x = 0 en la ecuación. Es decir, si x = 0, entonces y = b. Intercepto: (0; b) 43 Ejemplo: Graficar y= 4– x2 Intersección con el eje Y Tabulando, se obtiene: x y –3 –5 –2 0 –1 3 0 4 1 3 2 0 Intersecciones con el eje X 11.2 Lectura de gráficas Temperaturas a lo largo de un día de invierno en un cierto pueblo. En el eje horizontal X: Horas del día y en el eje vertical Y: Temperatura en grados centígrados. a. ¿En qué horario la temperatura fue bajo cero? b. ¿A qué hora se dio la temperatura más alta? c. ¿Entre qué horas la temperatura se mantuvo constante? Solución: a. Aproximadamente entre la 1:00 a.m. y las 10:00 a.m. b. A las 4:00 p.m. c. Entre las 4:00 a.m. y las 6:00 a.m. 44 11.3 Distancia entre dos puntos Sean los puntos A(a; b) y B(c; d). Se define la distancia dAB entre los puntos A y B en el plano cartesiano mediante la siguiente fórmula: d AB c a 2 ( d b)2 Se obtiene un triángulo rectángulo, donde la distancia dAB entre los puntos A y B, es la longitud de la hipotenusa de dicho triángulo. La distancia entre los puntos y C es c a (en valor absoluto, pues la distancia no puede ser negativa) y la distancia entre C y B es d b Ejemplo: Determine la distancia entre los puntos A(–1; 3) y B(2; –1) y represéntelo en el plano. Solución: Sea d la distancia pedida. Si usamos la fórmula obtenemos: d 2 ( 1) 2 ( 1 3 ) 2 3 2 ( 4 ) 2 . Luego, d , entonces d 5 (–1; 3) 45 (2; –1) Ejercicios: 1. Encuentre para cada caso, la longitud del segmento AB si las coordenadas de los puntos A y B son: a. b. (4; –1) y (2; 0) (–2; 1) y (–2; –3) c. ( 1 ; 2) y (–2; 1) 2 2. Dados los puntos A(–1; 0), B(2; 3) y C(6; –1), determine: a. b. Si el triángulo de vértices ABC es isósceles, equilátero o escaleno. Si el triángulo de vértices ABC es triángulo rectángulo. 3. Dados los puntos P(5; 6) y Q(2; m), determine el valor de m si la distancia entre los puntos es 25. 11.4 Punto medio de un segmento Sean las coordenadas de los puntos A(a; b) y B(c; d). Las coordenadas del punto medio M del segmento de recta AB están dadas por: ac bd ; M 2 2 Ejemplo: Determine la distancia y el punto medio entre los puntos (–4; 2) y (10; –5) Solución. Punto medio: M AB 4 10 2 5 ; , entonces M 2 2 46 AB 3 3; 3; 1, 5 2 Ejercicios: 1. Determinar las coordenadas del punto medio M de los puntos A(–1; 3) y B(4; 11) y graficar los tres puntos en un plano cartesiano. 2. Mi casa está en la posición (0; 6) y la universidad está en la posición (2; 2). Si hay un grifo exactamente en la mitad del camino y las medidas están en kilómetros, ¿cuál será su posición? 3. Un hacendado deja, como herencia por testamento, un gran terreno para su esposa y sus cuatro hijos. Este terreno, en el plano, tiene como vértices A(2, 2), B(2; 10), C(8; 10) y D(8; 2). El legado para la esposa consiste en el terreno MNPQ, donde M, N, P y Q son los puntos medios de los segmentos AB, BC, CD y DA respectivamente. A los hijos les toca uno de cada uno de los cuatro terrenos restantes. a. Graficar las características de este caso en un plano cartesiano usando una escala adecuada. b. Calcular el área total del terreno y el área concedida a cada persona. c. Determinar el porcentaje de la herencia que fue legada a cada heredero. 47 CURVAS CUADRATICAS 12.1 La Circunferencia Es el lugar geométrico de los puntos P(x, y) del plano que (equidistan) de un punto C(h, k) llamado Centro. r = radio P(x; y) C(h,k) = Centro P(x,y) = Punto cualquiera de la circunferencia (h; k) Diámetro = 2r (x - h)2 + (y - k)2 = r2 Ejemplos: Dada la ecuación : (x – 1)2 + (y + 3)2 = 16. Su centro es C(1,–3) y radio r = 4 Dada la ecuación x2 + (y – 4)2 = 7. Su centro es C(0, 4) y el radio r = 7. Si el centro de la circunferencia es C(0; 0) y radio r = 3; la Ecuación es: x2 + y2 = 9. Ejercicios: 1 3 1. Determinar la ecuación general de la circunferencia de centro C , y radio r = 3 2 2 2 2. Determinar la ecuación de la circunferencia si los extremos del diámetro son A(–2, 4) y B(0, –8). 3. Determinar la Ecuación de la circunferencia de centro C(–1,4) y es tangente al eje de las abscisas. 48 12.2 La Elipse Es el lugar geométrico de los puntos P(x, y) del plano, cuya suma de distancias a dos puntos F1 y F2 (focos) es constante. (Ver grafica). Donde: C(h, k) es el centro. A1, A2, B1, B2 son los vértices F1, F2 Focos. A1 A2 = 2a Eje mayor. B1 B2 = 2b Eje Menor. B b a A A (hb k) a = Es la distancia del centro C al vértice A a C B x b = Es la distancia del centro al vértice B Ecuación de la elipse A partir de la definición se obtienen dos ecuaciones llamadas canónicas. Estas son: Caso I: Cuando el eje focal está paralelo al eje de las abscisas: x h 2 y k 2 a2 b2 1 Caso II: Cuando el eje focal está paralelo al eje de las coordenadas: x h 2 y k 2 b2 a2 1 Observación: El centro es C(h; k) a2 y b2 están relacionadas con el eje mayor y menor respectivamente, por lo tanto para identificar los dos casos, solo se tiene que ver con quien está el mayor denominador (con la variable x o con la variable y). Ejemplo: Graficar : x 32 y 12 9 4 1. Solución: x Tiene como C(3, –1) y el eje mayor paralelo a las abscisas. Luego, a = 3 y b = 2. 49 Ejercicio: 1. Graficar: ( x 2) 2 ( y 1) 2 1 9 4 2. A partir de la gráfica deduzca la ecuación: y x 3. Graficar: ( x 2) 2 y2 1 16 50 ECUACION DE LA RECTA 13.1 Pendiente de una recta La pendiente es una medida numérica que representa la inclinación de la recta con respecto a la horizontal. Ejemplo: Si aumenta la elevación en un cerro y el recorrido permanece constante, entonces el cerro se vuelve más empinado, esto se mide con la pendiente. ¿Cómo se calcula? Si una recta pasa por dos puntos cualesquiera (x1; y1); (x2; y2) Recta P2(x2, y2) Elevación P1(x1, y1) Su pendiente es: m y 2 y1 x 2 x1 Muy importante: Cuando la pendiente es positiva, tanto x como y aumentan o bien, ambas disminuyen en la misma proporción. Si la pendiente es positiva, el ángulo de inclinación es agudo y la recta es creciente. Cuando la pendiente es negativa, cuando x aumenta, y disminuye o bien, x disminuye al aumentar y, siempre en forma proporcional, es decir, están en relación inversamente proporcional. Si la pendiente es negativa, el ángulo de inclinación es obtuso y la recta es decreciente. Cuando la pendiente es cero, tenemos una recta horizontal. Cuando x varía y no varía, permanece constante. Cuando la pendiente es cero, tenemos una recta vertical. Interpretación analítica de la pendiente: La pendiente (m) de una recta es la variación de "y" respecto a la variación de "x"; es decir, es el aumento o la disminución de "y" por cada aumento unitario de "x". Ejemplo: Determine la pendiente de la recta que pasa por los puntos A (0; 2) y B (3; –1) 51 Solución: La pendiente de la recta es: m 2 ( 1) 3 , entonces m 1 0 3 3 1 La pendiente de la recta es –1.Por cada unidad de aumento de x, y disminuye una unidad. Ejercicios: 1. Ubique los puntos dados, únalos a través de una recta y calcule su pendiente. a. b. c. d. e. P(2; 3) y Q(–1; –2) M(0; 2) y N(1; 6) P(2; 3) y Q(3, –1) R(3; 1) y Q(1; 2) P(2; 3) y Q(5; 3) 13.2 Ecuación de una recta Una vez asimilado el concepto de pendiente de una recta, podemos deducir la ecuación de la recta. Nosotros vamos a trabajar con la ecuación de una recta en la forma pendiente–ordenada en el origen que está dada por: y mx b Donde m es la pendiente y b es la ordenada en el origen. Casos: a. Determinar la ecuación de la recta conociendo dos puntos de referencia: P1(x1; y1) y y0 y y0 1 x x0 x 1 x0 P(x; y) P0(x0; y0) Ejemplo: B(4; 9) Determinar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(–2; 5) y B(4; 9). P(x; y) A(-2; 5) 52 Solución: 95 y5 x ( 2) 4 ( 2 ) Por lo tanto: y 2 19 x 3 3 b. Ecuación de la recta conociendo un punto y la pendiente: y y0 m( x x0 ) Ejemplo: Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(4; –7) y tiene por pendiente –2. Solución: La ecuación de la recta es: y 7 2( x 4) Ejercicios: 1. Determinar la ecuación de la recta en cada caso: a. Pasa por los puntos (–2; 3) y (2; 3) b. m = 0 y pasa por (2; –4) c. Pasa por los puntos (–1; 1) y (–5; 2) d. m = –1/3 y pasa por (4; –1) 2. A partir de la gráfica, determinar la ecuación de cada recta: 53 13.3 Intersección entre rectas Analíticamente encontramos la solución del sistema de ecuaciones a través del método de igualación. Gráficamente, representamos las rectas en un mismo par de ejes cartesianos y vemos en qué puntos se cortan. Ejemplo: Encontrar el punto de intersección de las rectas y x 1 ; 3 x 2 y 6 y graficarlo. Solución: Por el método de igualación, reemplazamos el valor de “y” en la segunda ecuación 3x 2 y 6 . Tenemos: 3 x 2 y 6 8 5 Reemplazando en la primera ecuación: y x 1 8 3 y 1 5 5 8 3 El punto de intersección de ambas rectas es ; 5 5 3 x 2( x 1) 6 , por lo tanto x Gráficamente: y x 1 Tabulación x y 0 –1 1 0 3x 2 y 6 x y 0 3 2 0 Ejercicios: 1. Determine el punto de intersección de las rectas: 2x–y =4 y 3y – 12= –3x. 2. Determine el punto de intersección de las 2y =–x + 2 y 3x –4 = y. 3. Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de la rectas x 3 y 3 0 , x y 1 0 y su pendiente es igual a –5. 54 13.4 Posiciones relativas de dos rectas Rectas paralelas: “Dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales”. m1 m2 Ejercicios: 1. Grafique las siguientes rectas: a. y = 2x +1 b. y = 2x– 3 c. y = 2x + 5 2. La recta L1 : 3 x ny 7 0 pasa por el punto A(3; 2) y es paralela a la recta L 2 : mx 2 y 13 0 . Calcule m y n. Ejercicio y problema de modelación: 1. Encuentre la ecuación de la recta que cumpla las condiciones dadas: a. Pendiente 3, pasa por (–2; 3). b. Pendiente –2/3; pasa por (1; –1). 2. La compañía de teléfonos celulares TOM tiene dos planes de pago mensual por consumo de llamadas telefónicas. El primer plan cuesta $20 por cargo fijo y $ 0,50 por minuto y el segundo plan cuesta $30 por cargo fijo y $ 0,25 por minuto. a. Exprese la ecuación de la recta para cada plan. b. Trace la gráfica de cada plan. 13.5 Aplicaciones económicas de la recta En la producción de cualquier bien por una empresa intervienen dos tipos de costos; que se conocen como costos fijos y costos variables, donde los costos fijos no dependen del nivel producción. Por ejemplo: Rentas, intereses sobre préstamos, Salarios. Los costos variables dependen del nivel de producción. Por ejemplo: los costos de los materiales. Costo total = Costos totales variables + Costos fijos C = mx+b m : costo variable por unidad x : cantidad de unidades producidas b : costo fijo El ingreso está dado por el precio de venta multiplicado por el número de artículos, entonces: I= px p: precio por unidad 55 x: cantidad de unidades producidas. La utilidad o beneficio total del productor es el monto resultante, luego de restar el ingreso obtenido en la venta efectuada menos los costos de producción: U=I–C Ejemplos: El costo C (en dólares) de fabricar x artículos está dado por la ecuación C = 45x + 6 000. Cada artículo puede venderse en $60. a. Encuentre una ecuación que exprese el ingreso I por vender x artículos. b. ¿Cuál es el ingreso por vender 500 artículos? c. Encuentre la ecuación que expresa la utilidad U por vender x artículos, ¿que representa la pendiente? d. ¿Se obtendrá ganancia o pérdida al vender 500 artículos? e. En un mismo sistema de coordenadas, grafique C, I y U. Solución: a. El ingreso estaría dado por I = 60x b. El ingreso es I = 60 x 500 = 30 000 c. U= 60x – (45x+60000) = 15x–6000. La pendiente vale 15, significa que por cada artículo que se venda se obtendrá una ganancia de $15 d. Al vender 500 artículos, U = 15 x 500 – 6000 = 1500 CIU I C U 6000 q 400 –6000 56 Una PYME está interesada en producir un nuevo producto, dispone de la siguiente gráfica e información referida a ella. El gerente del departamento de cotos y análisis desea saber cuántas unidades debe producir para recuperar la inversión. Pendiente de la recta C : 3 Pendiente de la recta I : 5 Determine: a. Las ecuaciones de costo e ingreso. b. El intercepto de U con el eje y. Solución: a. La ecuación del ingreso es: I=5x De la gráfica el I= 500 entonces: 500= 5x con lo que x = 100. El punto de intersección es (100; 500). La ecuación del costo sería: C= 3x+b, reemplazando el punto 500 = 3(100)+b, b = 200. Por lo tanto, C= 3x+200. b. La ecuación de la Utilidad sería: U = 5x–(3x+200) = 2x–200. La intersección con el eje Y sería: (0; –200). Ejercicios: 1. Suponga que las ventas de un comerciante son aproximadas por una ecuación lineal y que ellas fueron de $850 000 en el 2002 y de $1 265 000 en el 2007. Considere que x = 0 corresponde al 2002. a. Encuentre una ecuación que dé las ventas anuales del comerciante. b. Use esta ecuación para aproximar las ventas del 2009. c. El comerciante estima que una nueva tienda será necesaria cuando las ventas excedan $2 170 000. ¿Cuándo ocurrirá esto? 2. El gráfico mostrado representa la ecuación del costo total de la producción de un determinado artículo. Si dicho artículo se vende a $8,00 cada uno, determinar la ecuación del costo total. a. Determinar y graficar la ecuación del ingreso. b. Determinar y graficar la ecuación de la utilidad. c. Determinar el Volumen mínimo de producción (cantidad de producción donde la utilidad es cero). C(miles $) 57 q(cientos unid.) FUNCIONES 14.1 Definición y características Definición Una función es una regla de correspondencia que asigna a cada número de entrada x exactamente un número de salida f (x). f (x) se lee “f de x”. Por ejemplo: Para f (x) = x + 2, se tiene que f (3) es el valor de salida correspondiente a la entrada 3. Además, f (3) = 5. Dominio y rango de una función Al conjunto de número reales de entrada se llama dominio de f y se denota por dom(f). Al conjunto de números reales de salida se llama rango de f y se denota por ran(f ). Función en un diagrama f 1 1 3 4 5 6 7 9 8 Al valor f (x) se le llama “imagen de x”, y a x “preimagen de f(x)”. Por ejemplo: 4 es imagen del 3 y 3 es preimagen del 4. Función como un conjunto de pares ordenados Como una función asigna a cada número de entrada x exactamente un número de salida f (x), entonces cada abscisa x de un par ordenado debe tener una única ordenada y. Por ejemplo: El conjunto: f = {(1; 1), (3; 4), (5; 6), (7; 6), (9; 8)} corresponde a una función. El conjunto: g = {(1; 1), (1; 4), (5; 6), (7; 6), (9; 8)} no corresponde a una función. Función como regla de correspondencia y = f(x) En la expresión y = f(x) se dice que “x” es la variable independiente y que “y” es la variable dependiente. Por ejemplo: f (x) = x2 – 3, para 1 < x < 5, es una función cuyo dominio es ]1; 5[. 58 Función con dominio implícito Si una función se define como: f (x) = x2 – 3, y no se especifica el dominio, entonces se considera que el dom(f ) es la totalidad de los números reales tales que f (x) está definida, y se le llama dominio implícito de f. Por ejemplo: Para f ( x) 2 se tiene que domf = R { 23 ; 0} 3x 2 x 2 Para g ( x) 2 x se tiene que domg = ]–∞; 2] Ejemplos: 2 x 23, si 2 x 0 si 0 x 2 Dada la función f definida por: f ( x) x , 2, si x 2 a. Evalúe f ( f (1)). b. Indique el dominio. c. Halle los valores de x del dominio tal que f (x) = 2. Solución: a. Reemplazando x = 1 en la regla de correspondencia respectiva, se tiene: f (1) = –1. Luego se reemplaza x = –1 en la regla de correspondencia respectiva. Por lo tanto: f (– 1) = 1. b. Observando las restricciones, se tiene que: domf = [–2; +∞[ c. Se tiene que: f (x) = 2 para x ≥ 2, además: f (x) = 2 para x = –½. Por lo tanto la respuesta es: 2 ; { 12} Determine el dominio de la siguiente función: f ( x) x2 3 x Solución: Se analiza el denominador: x ≠3. Se determina los valores de x que hacen posible la existencia de la raíz: 3 – x ≥ 0. Considerando los resultados anteriores: domf = ; 3 . 14.2 Gráfica de una función Dominio y rango en un gráfico La gráfica de una función f es la gráfica de la ecuación y = f (x) para x en el dominio de f. 59 Por ejemplo: Vemos que: f(2) = 2, f(4) = f(6) = 5 Así también: dom(f) = ]1; 7] y ran(f) = [2; 6] Prueba de la recta vertical Una curva en el plano xy es la gráfica de una función en la variable x, si ninguna recta vertical corta a la curva más de una vez. Por ejemplo: 3 2 0 0 1 -2 0 0 2 4 2 Sí es función No es función 14.2.1 Función creciente, decreciente y constante Sea f una función definida en un intervalo I, y sean x1, x2 cualesquiera dos números en I con x1< x2. La función f es: Creciente en I, si f (x1) < f (x2) Decreciente en I, si f (x1) > f (x2) Constante en I, si f (x1) = f (x2). 60 Por ejemplo: Para la función f se tiene: Es creciente en [–4; 0] f Es constante en [0; 2] Es decreciente en [2; 4] 14.2.2 Razón de cambio promedio La razón de cambio promedio de f cuando x varía de x0 a x1 se define por: f f ( x1 ) f ( x0 ) x x1 x0 Note que se puede representar por: y y1 y0 que x x1 x0 es la pendiente de la recta secante a la gráfica de f. Ejemplo: A partir de la gráfica de la función f: a. Determine los intervalos en donde f es: creciente, decreciente o constante. b. Determine el dominio y rango de f. c. f (f (–3)) + f (f (4) – 2) Solución: a. Del gráfico claramente se observa que la función f es creciente en: [–4; 0] y [2; 4], es decreciente en: [0 ;1] y [4; 5] y es constante en [1; 2]. b. domf = [– 4; 5] y ranf = [–2; 2]. c. f (f (–3)) + f (f (4) – 2) = f (1) + f (2 – 2) = – 2 + f (0) = – 2 + 2 = 0. Ejercicios: 1. Determinar el dominio de las siguientes funciones: a. f(x) = 5x 6 b. f(x)= 4 3 x 14 c. f(x)= 61 2x 5 x5 2. Utilizar la gráfica de la función dada en la figura y responder: - ¿Cuál es el valor de f(0) y f(6)? ¿Es f(–4) positivo o negativo? ¿Para qué valores de x se cumple que f(x) = 0? ¿Cuál es el dominio y el rango de la función? ¿Cuáles son los puntos de intersección con el eje X? ¿Cuáles son las intersecciones con el eje Y? ¿Cuántas veces la recta y = 1 corta a la gráfica? ¿Cuántas veces la recta y = –1 corta la gráfica? Determinar f(0) y f(–4) ¿Es f(–1) un valor positivo o negativo? ¿Para qué valores de x se cumple que f(x) > 0? ¿Para qué valores de x, la función presenta los mismos valores (es constante)? Y (0; 4) (6; 1) (-6; 0) (-2; 0) X (-4;-2) 14.3 Funciones básicas Función constante Regla de correspondencia: f (x) = c Dominio = R; Rango = { c } Por ejemplo: (3; 4) f (x) = 2. Función identidad Regla de correspondencia: f (x) = x Dominio = R; Rango = R 62 Función cuadrática Regla de correspondencia: f (x) = x2 Dominio = R; Rango = [0; +∞[ Función cúbica Regla de correspondencia: f (x) = x3 Dominio = R; Rango = R Función raíz cuadrada Regla de correspondencia: f (x) = x2 Dominio = [0; ∞[; Rango = [0; +∞[ Función valor absoluto Regla de correspondencia: f (x) = | x | Dominio = R; Rango = [0; +∞[ Función recíproca Regla de correspondencia: f (x) = 1 x Dominio = R – {0}; Rango = R – {0} 63 14.4 Transformaciones básicas Previos: interceptos y simetría a. Cálculo de los interceptos: Intersección con el eje Y Intersección con el eje X: Determinar el valor numérico para x = 0. Resolver la ecuación que resulta de hacer y = 0. Es decir: f(0). Es decir: f (x)=0; x=k Intercepto eje y :(0; f (0)) Intercepto eje x: (k; 0) b. Simetrías: Simetría con respecto al eje Y: Un gráfico es simétrico con respecto al eje y cuando para cada punto (x, y) del gráfico, el punto (–x, y) también pertenece a dicho gráfico. Por ejemplo: La función: f (x) = x2 es simétrica con respecto al eje Y. Simetría con respecto al origen de coordenadas: Un gráfico es simétrico con respecto al origen cuando para cada punto (x; y) en el gráfico, el punto (–x; –y) también pertenece a dicho gráfico. 3 Por ejemplo: La función: f (x) = x es simétrica con respecto al origen Traslaciones, reflexiones, ampliaciones y contracciones a. Traslación Horizontal: f (x + c) indica una traslación en c unidades a la izquierda f (x – c) indica una traslación en c unidades a la derecha b. Traslación Vertical: f (x) + c indica una traslación en c unidades hacia arriba f (x) – c indica una traslación en c unidades hacia abajo c. Reflexión sobre el eje X: – f (x) indica una reflexión sobre el eje X d. Reflexión sobre el eje Y: f (–x) indica una reflexión sobre el eje Y e. Ampliación y Contracción: c.f (x) representa una ampliación si c > 1, y representa una contracción si 0 < c < 1 64 Ejemplos: Sea f (x) = x 2 corresponde a la traslación a derecha de la función básica g(x) = x 4 2 2 0 0 g (x) = x 0 0 5 f (x) = (función básica) 5 x2 (función trasladada) Observar que para efectuar las transformaciones básicas es importante graficar correctamente la función base. Trace la gráfica de la siguiente función haciendo uso de transformaciones. Indique sus intersecciones con los ejes, dominio y rango. f ( x) 1 ( x 4) 2 Solución: Paso 1. Graficamos la función base: f ( x) x Paso 2. Graficamos la tras. horizontal: f ( x) ( x 4) 2 2 8 6 6 4 4 2 2 0 0 0 0 Paso 3. Graficamos la reflexión: f ( x) ( x 4) Paso 4. Grafica Final Graficamos la tras. vertical: 2 f ( x) 1 ( x 4) 2 4 dom f = R 2 0 5 dan f = ;1 0 -2 4 2 0 -2 -4 65 0 5 14.5 Función definida por tramos 2 x 3, si 2 x 0 si 0 x 2 Dada la función f definida por: f ( x) x 2 , 2, si x 2 Trace la gráfica de f y determine su rango. 4 Solución: Realizamos la correspondencia dominio. gráfica de regla parte restringiendo 2 de su 0 -5 0 5 -2 Así se tiene: -4 Del gráfico se observa que: ranf = ]–4; 3[ Ejemplo: Trace la gráfica de la siguiente función e indique su domino y rango: x0 2 x 3, 2 0 x2 f ( x) x , 3, x3 Solución. Graficando cada regla de correspondencia y considerando sus restricciones respectivas, se tiene: 4 2 0 -5 0 -2 -4 Luego, se tiene: domf = ] – ∞ ; 2 [ [ 3 ; +∞ [ y ranf = ] – ∞ ; 4 [ Ejercicios: Graficar: 2 x 4 1. f(x) = 5 x 2 x 1 si x 1 si 1 x 3 si x3 66 5 x 2. f(x) = 3 x 2 si x 4 si 4 x 4 si x 4 14.6 Función lineal Regla de correspondencia: f (x) = mx + b ; .Dominio = R; Rango = R Nota: m es la pendiente de la función y b es su intercepto con el eje y. Si m > 0, entonces, la función es creciente Si m < 0, entonces, la función es decreciente. Si m = 0, entonces la función es constante. Observe los gráficos y vea la pendiente e intercepto de sus respectivas reglas de correspondencia: 2 0 -2 2 2 0 2 f (x) = – x + 1 0 -2 0 f (x) = x + 1 -2 0 0 2 f (x) = 1 Nota: En toda función lineal, la razón de cambio promedio entre cualquier par de valores de su dominio coincide con su pendiente. Esto es, si: f (x) = mx + b, entonces: f m x 14.7 Función cuadrática Definición Una función cuadrática es una función f de la forma: son números reales con a ≠ 0, y x es la variable real. f ( x) ax 2 bx c donde a, b y c Características: La gráfica de una función cuadrática es una parábola con eje vertical y con vértice V(h; k) dado por: b y k f ( h) h 2a 67 La parábola se abre hacia arriba si a > 0, y se abre hacia abajo si a < 0. Además la intersección con el eje y es (0; c). Ranf k ; Ranf ; k Valores máximo o mínimo de una función cuadrática. Sea f una función cuadrática con forma estándar: f ( x) a ( x h) 2 k El valor máximo o mínimo de f ocurre cuando: f x 5 x 2 30 x 49 Ejemplo: Determine el valor máximo o mínimo de la función: Calculamos el vértice: h 30 3 . Luego calculamos el valor de 2(5) k 5(3) 2 30(3) 49 34 Por lo tanto el mínimo valor de f es 34 y el valor de x que hace mínima a la función es 3. Determine el valor máximo o mínimo de la función: f ( x) x 2 3 , 1 x 4 Observamos que la función tiene máximo pues a < 0. Calculamos el vértice: V(h ;k) = (0 ; 3). Pero por la restricción debemos evaluar la función en los extremos del intervalo: f(1)=2 y f (4) = –5. Luego, el valor máximo de la función es 2, pues el vértice no se encuentra en el dominio asignado a f. 68 f ( x) x 2 6 x 5 Considere la función cuadrática: a. Determine su vértice. b. Determine los puntos de cortes de la gráfica de f con los ejes coordenados. c. Indique su dominio y rango d. Trace la gráfica de f. e. Para que valores de x se tiene f (x) < 0 Solución a. Calculamos: h 6 3 , luego k 32 6(3) 5 4 . Por tanto: V(h;k) = (3;– 4) 2 b. Determinamos los interceptos: Con el eje X. Hacemos y = 0. Entonces: 0 x 2 6 x 5 de donde: x = 5 y x = 1 Con el eje Y. Hacemos x = 0. Entonces: y = 5. Por tanto los interceptos son: (1; 0) , (5; 0) y (0; 5). c. domf = R ; ranf = [ – 4 ; +∞ [ e. Se observa del gráfico que: f (x) < 0 cuando x 1 ; 5 Ejercicios: 1. Graficar: a. y = 5x2 + 2x – 3 b. y = (x + 4)2 – 3 c. y = 3x – x2 2. El ingreso de un determinado producto en función de su precio (en dólares) está dada por la ecuación: I = –p2 +70p +1225 a. Grafique la curva que represente el ingreso. b. Determine el precio del producto para el cual el ingreso es máximo. c. ¿Qué precio tendrá que cobrarse para no obtener ingreso? 3. Los ingresos I de un negocio recién inaugurado están en función del mes x, según: I = –100x2 + 800x a. Si la gráfica corta al eje x en A y en B, halle las coordenadas de A y B y explique el significado de cada punto ? b. ¿Cuál es el ingreso en julio? c. ¿En qué mes se alcanza el máximo ingreso y cuál fue este ingreso? 69 14.8 Función exponencial Definición: f ( x) a x , donde a>0 y a 1 se denomina La función f de variable real x definida por Función Exponencial. Ejemplos: f ( x) 2 ; h( x) 0,5 ; x t ( x) e ; x x Gráfico de una función exponencial: Ejemplo: Grafique f ( x) 2 x Solución: Tabulando: x y 2 4 1 2 0 1 –1 ½ –2 ¼ Ubicar los puntos en el plano cartesiano. Características: Dom f R y Ran f 0; Es una función creciente La ecuaciòn de la asintota horizontal es y 0 1 Ejemplo: Grafique f ( x) 2 Solución: x Tabulando: 2 x y ¼ 1 ½ 0 1 –1 2 –2 4 70 1 g ( x) 2 x Ubique los puntos en el plano cartesiano: Características: Dom f R y Ran f 0; Es una función decreciente La ecuaciòn de la asintota horizontal es y 0 Ejemplo: Grafique mediante transformaciones básicas la función f definida por f ( x) 3 e x 2 Solución: Establecer una secuencia de las transformaciones para graficar: x y1 = e : función básica y2 y1 f (x) 3 ex2 y2 = ex + 2 : traslación horizontal de y1 en 2 unidades hacia la izquierda: y3 = – ex + 2 : reflejo del gráfico de y2 respecto al eje x y4 = 3 – ex + 2 : desplazamiento vertical de y3 en 3 unidades hacia arriba y3 Características: Dom f R y Ran f ; 3 Es una función decreciente La ecuaciòn de la asintota horizontal es y 3 14.9 Función logaritmo Definición: La función logaritmo de base a, donde a>0 y a 1 , se denota por log a y se define como f ( x) log a x , x > 0 Ejemplos: f ( x) log 2 x; h( x) log 3 x; t ( x) log1 / 2 x; 71 g ( x) log1 / 3 x Gráfico de una función logaritmo: Ejemplo: Grafique f ( x) log 2 x Solución: Tabulando: x y ¼ –2 ½ –1 1 0 2 1 –4 2 Ubique los puntos en el plano cartesiano: Características: Dom f 0; y Ran f R Es una función creciente La ecuaciòn de la asintota vertical es x 0 Ejemplo: Grafique f ( x) log1 / 2 x Solución: Tabule x y ¼ 2 ½ 1 1 0 2 –1 –4 –2 Ubique los puntos en el plano cartesiano. Características: Dom f 0; y Ran f R Es una función decreciente La ecuaciòn de la asintota vertical es x 0 72 14.9.1 Ecuaciones logarítmicas y exponenciales Simbólicamente, log a x y; a 0, a 1 es equivalente a a y x . La expresión log a x y se lee “el logaritmo en base a de x es y”, esto también significa que a elevada a la y es x. Logaritmos comunes: El logaritmo común de un número y es log10 y , se denota simplemente por log y : x log y, si sólo si y 10 x Logaritmos naturales: Podemos formar logaritmos con base e, donde e 2,7 . Estos se denominan logaritmos naturales, se denota simplemente por ln y : y e x si y sólo si x log e y ln y Propiedades de los logaritmos: 1. El logaritmo en base a de a es igual a uno: log a a 1 Ejemplos: log10 1, ln e 1 y log 2 2 1 2. El logaritmo de uno es igual a cero: log a 1 0 Ejemplos: log1 0, ln 1 0 y log 2 1 0 3. El logaritmo de un producto es la suma de logaritmos: log a ( xy ) log a x log a y ( x, y 0) 4. El logaritmo de un cociente es la diferencia de logaritmos: x log a ( ) log a x log a y ( x, y 0) y 5. El logaritmo de la potencia de un número es igual al exponente multiplicado por el logaritmo del número: log a x r r log a x ( x 0) 6. Fórmula para cambiar la base: si x>0, entonces log a x real b>0 y b 1 . Ejemplo: log 2 7 log b x para cualquier número log b a log 7 log 2 7. Si x = y, entonces log a x log a y 8. Si log a x log a y, entonces x y 9. Si b x1 b x2 , entonces x1 x 2 Ecuación logarítmica: Las ecuaciones que contienen logaritmos a menudo se resuelven usando el hecho de que una ecuación logarítmica puede reescribirse (con la definición de logaritmos) como una ecuación exponencial. En otros casos, las propiedades de los logaritmos pueden ser útiles para simplificar una ecuación que contenga logaritmos. Ejemplo: Resuelva: log2 x log2 ( x 2) 3 73 Solución: Reescriba la ecuación aplicando las propiedades de logaritmos: log2 x log2 ( x 2) 3 log 2 ( x.( x 2)) 3 x( x 2) 23 x ( x 2) 8 Resuelva la ecuación x2 2x 8 0 ( x 4)( x 2) 0 x 4 ó x2 Verifique la respuesta: No se acepta el valor –4 ya que al reemplazar en la ecuación original se tendrá logaritmo de número negativo. Escriba el conjunto solución: C.S. = {2} Ecuación exponencial: Es aquella ecuación en la que la incógnita es el exponente. Ejemplos: Resuelva: 52 x 1 7 x 2 Solución: Tome logaritmos a ambos lados log 52 x 1 log 7 x 2 Despeje “x” haciendo uso de las propiedades de logaritmo : (2 x 1) log 5 ( x 2) log 7 2 x log 5 log 5 x log 7 2 log 7 2 x log 5 x log 7 log 5 2 log 7 x (2 log 5 log 7) log 5 2 log 7 x log 5 2 log 7 2 log 5 log 7 Haciendo uso de la calculadora, aproxime su respuesta x 4,325 Resuelva la ecuación 3 x 21 Solución: Se obtienen los logaritmos de ambos miembros log(3 x ) log 21 Por propiedad x log 3 log 21 74 Se divide entre log 3 x log 21 2,77 log 3 Determine la ecuación de la asíntota del gráfico de la función f ( x) 3 x 2 Aplicando las técnicas básicas para graficar se obtiene: y 3x 3 x2 x y 2 Ejercicios: 1. Determinar la ecuación de la asíntota de la gráfica de f ( x) e x 1 3 2. Determinar el dominio de f ( x ) log 3 ( x 2 7 x ) 3. Resolver log 2 x log 2 ( x 1) 1 75 ESTADÍSTICA 15.1 Aspectos generales Estadística: Es la ciencia que proporciona un conjunto de métodos, técnicas o procedimientos para recopilar, organizar, presentar y analizar datos. Tipos de Estadística: Estadística Descriptiva: Es el conjunto de métodos estadísticos que se relacionan con el resumen y descripción de los datos, como tablas, gráficas y análisis mediante algunos cálculos. Estadística Inferencial: Es el conjunto de métodos con los que se hace la generalización o a la inferencia sobre una población utilizando una muestra. Población: Es el conjunto de elementos que contiene una o más características observables de naturaleza cualitativa o cuantitativa que se puede medir. El resultado de medir una característica observable, desde la unidad elemental de denomina dato estadístico. Tipos de población: Finita e Infinita. Muestra: Es una parte de la población, seleccionada de acuerdo a un plan o regla, con el fin de establecer información acerca de la población de la cual proviene. La muestra debe ser seleccionada de manera que sea representativa de la población. Variable estadística: Es una característica definida en la población por la investigación estadística, y puede tomar dos o más valores o modalidades. Si una variable se denota por X, sus n valores observados o unidades estadísticas, se denotan por: x1, x2 , x3 , ..... , xn , conforme al orden con que se han obtenido. La medición se define como la asignación de números a los objetos o fenómenos atendiendo a reglas establecidas de antemano. La medición y el proceso de medición se centrarán en variables y conceptos, escalas de medición, conceptos de validez y evaluación de confiabilidad. Tipos de variable: Cualitativa o categórica: Es la variable para la cual su asignación de valores sólo tiene sentido cuando se usa una escala nominal u ordinal, así por ejemplo: lugar de procedencia de un conjunto de personas, color de los autos producidos por una fábrica, etc. Cuantitativa: Es la variable que cuantifica, para la cual su asignación de valores tiene sentido cuando se usa una escala de intervalos o de razón. Ejemplo: salario de una persona que trabaja en una empresa, tiempo de vida de un aparato electrónico fabricado por cierta fabrica, cantidad de vehículos vendidos por una distribuidora, etc. 76 De acuerdo al conjunto de valores que puede tomar la variable, estas se clasifican en: - Discretas: si el conjunto de valores que puede tomar la variable es finito o infinito enumerable, es decir toma valores enteros. Ejemplo: número de hijos. - Continuas: si el conjunto de valores que puede tomar la variable pertenecen a un intervalo, es decir toma valores reales. Ejemplo: la inflación, tiempo de vida de un aparato electrónico, etc. Ejemplo. Mencione si cada una de las siguientes variables es cualitativa o cuantitativa a. b. c. d. e. f. Edad. Lugar en clase. Marca de automóvil. Número de personas a favor de la pena de muerte. Ventas anuales. Modo de pago (Efectivo, Cheque, Tarjeta de crédito). Solución: a. Cuantitativa, b. Cualitativa, c. Cualitativa, d. Cuantitativa, e. Cuantitativa, f. Cualitativa. De las siguientes variables indica cuáles son discreta y cuáles continuas: a. b. c. d. Número de acciones vendidas en la Bolsa. Temperaturas registradas cada hora en un observatorio. Consumo de gasolina de un automóvil. Número de hijos de 50 familias. Solución: a. Discreta b. Continua c. Continua d. Discreta 15.2 Organización de datos Una vez obtenidos los datos a través de una encuesta es necesario organizarlos en un cuadro de tal manera que podamos obtener información relevante. Los cuadros donde se registra el número de elementos de cada categoría, los porcentajes respectivos entre otros, se denomina distribución de frecuencias. Todo cuadro estadístico debe tener: Título. Fuente de información. Unidades. o Los cuadros numéricos de una sola variable estadística se denominan “Distribución de frecuencias”. 77 Distribución de frecuencias: Para variables cualitativas: Suponga que en una muestra de n datos estadísticos se observan k categorías o modalidades de alguna variable cualitativa X. La tabulación de estos n datos se presentan en un cuadro como el siguiente: Categoría o Modalidad C1 C2 C3 ... ... Cn Frecuencia absoluta fi f1 f2 f3 ... ... fn n Frecuencia relativa hi h1 h2 h3 ... ... hn 1 Frec. Porcentual pi Frecuencia absoluta (fi): Es el número de datos observados en cada categoría o modalidad. Frecuencia relativa (hi): se define como: hi = fi /n. La representación gráfica de una distribución de frecuencias de una variable cualitativa se hace comúnmente por medio de barras separadas (pueden ser verticales u horizontales y su longitud proporcional a su frecuencia) o sectores circulares (de arco proporcional a su frecuencia). Ejemplo: X = Estado civil. n = 80 personas. Estado civil Soltero Casado Divorciado Viudo Frecuencia absoluta fi 20 18 30 12 80 Frecuencia relativa hi 0,25 0,23 0,37 0,15 1,00 Frecuencia Porcentual pi 25% 23% 37% 15% 100% Representación gráfica: Gráfico de Barras: Estado civil frecuencia Solteros Casados 35 30 25 20 15 10 5 0 Divorciados Viudos Estado Civil 78 Gráfico de sectores circulares: Calculo de arcos: Es ta d o C iv il s = 0,25 x 360 = 90 15% 25% Solteros Cas ados c = 0,22 x 360 = 79.2 Div orc iados 37% d = 0.38 x 360 = 136.8 23% V iudos v = 0.15 x 360 = 54 Ejemplo: Durante el mes de marzo del año 2010, se realizó un estudio preventivo sobre los desórdenes alimenticios en un colegio de la ciudad de Lima. Se observó con precaución a 27 alumnos con síntomas de anorexia, registrándose los siguientes signos visibles: Dieta Severa Uso de Ropa Holgada Miedo a Engordar Dieta Severa Dieta Severa Hiperactividad Uso de Laxantes Uso de Laxantes Uso de Ropa Holgada Miedo a Engordar Dieta Severa Dieta Severa Uso de Ropa Holgada Dieta Severa Uso de Laxantes Dieta Severa Hiperactividad Hiperactividad Hiperactividad Uso de Laxantes Uso de Ropa Holgada Dieta Severa Uso de Ropa Holgada Miedo a Engordar Uso de Ropa Holgada Uso de Laxantes Dieta Severa a. Resuma la información anterior en una tabla de distribución de frecuencias. b. Construya un gráfico adecuado para resumir la información anterior. Solución: Signo Visible Dieta severa Miedo a engordar Hiperactividad Uso de laxantes Uso de ropa holgada Total fi 9 3 4 5 6 27 hi pi 33,3 11,1 14,8 18,5 22,5 100 (Fuente:http://dta.utalca.cl/estadistica/) 79 Ejercicios: 1. Para la información mostrada: ¿Dónde debe de ser juzgado Montesinos? Base Naval del Callao 17% Teatro Felipe Pardo y Aliaga 12% Sede de Sala Penal Especial 28% Palacio de Justicia 43% Total de votos: 2005 Fecha de inicio: 9/1/2003 Fecha de cierre:3 1/1/2003 Fuente: http://www.pj.gob.pe/administrador/encuestas/historico.asp a. Determine el tipo de variable. b. Construya una tabla de distribución de frecuencia. 2. El restaurante “Tradiciones Limeñas” usa un cuestionario para conocer la opinión de sus clientes sobre el servicio. Esta encuesta se valoró en una escala de Notable (O), Muy Bueno (M), Bueno (B), Regular (R) y Malo (L). Aplique la estadística para resumir los datos acerca de la calidad del servicio. O O B B M R O B R R L B R B R R M B R B L L R O R L M O B O B M B O B B B O B O M M O B M M L B a. ¿Qué categoría obtuvo la mayor frecuencia? b. ¿Qué porcentaje de los clientes piensa que la calidad del servicio es mala? c. Construya un gráfico de barras. a. Para variables cualitativas discretas: Suponga que se han recibido n valores de alguna variable X, el procedimiento más simple de organizar estos datos consiste en ordenar en forma ascendente sus valores. La tabulación de estos n datos se presentan en un cuadro como el siguiente: Valores de la variable X1 X2 X3 ... ... Xn Frecuencia absoluta fi f1 f2 f3 ... ... fn n Frecuencia relativa hi h1 h2 h3 ... ... hn 1 80 Frecuencia Porcentual pi La representación gráfica de una distribución de frecuencias de una variable cuantitativa discreta se hace comúnmente por medio de bastones (segmentos verticales de recta de longitud proporcional a su frecuencia). Ejemplo: X = Número de hijos de empleados de la empresa ACME. n = 100 empleados. Número de hijos 1 2 3 4 Frecuencia absoluta fi 30 20 40 10 100 Frecuencia relativa hi 0,30 0,20 0,40 0,10 1,00 Gráfico de bastones: Frecuencia 50 – 40 – 30 – Número de hijos 1 2 3 4 b. Para variables cuantitativas continuas: Cuando la variable estadística es continua se usa la distribución de frecuencias por intervalos o clases. También se usa esta forma de organización de datos cuando se trata de una variable cuantitativa discreta con un rango muy amplio de valores. Recomendaciones: escoger entre 5 y 20 intervalos, ya que muchos intervalos pueden complicar los cálculos de las medidas descriptivas y pocos intervalos podrían omitir características importantes. Para encontrar la distribución de frecuencias de una variable cuantitativa continua, se deben seguir los siguientes pasos: a. Identificar el valor máximo (Xmax) y el valor mínimo (Xmin), y calcular el rango R de variación de datos: R = Xmax – Xmin b. Determinar el número de intervalos k: k = 1 +3.3 log (n)(Regla de Sturges) El valor de k debe ser redondeado al entero inmediato mayor. c. Determinar la amplitud del intervalo A: A = Rango / k Por convención, los intervalos son cerrados por izquierda y abiertos por derecha, a excepción del último intervalo que es cerrado en ambos extremos. 81 d. Determinar la marca de clase mi de cada intervalo, que es el punto medio de cada clase y representa a todos los datos que caen en el intervalo. Intervalo Conteo I1 I2 I3 ... ... Ik //// // ////// ... ... ///// Marca de Clase mi m1 m2 m3 ... ... mk Frecuencia fi f1 f2 f3 ... ... fk n hi h1 h2 h3 ... ... hk 1,00 La representación gráfica de una distribución de frecuencias de una variable cuantitativa continua se hace comúnmente por medio de histogramas o polígonos de frecuencias. - Histogramas: se realiza por medio de barras rectangulares verticales. La base de cada barra es proporcional a la amplitud del intervalo que representa y su altura proporcional a su frecuencia. - Polígono de frecuencias: se realiza por medio de una poligonal cerrada, que se obtiene uniendo con segmentos de recta los puntos de abscisa la marca de clase y ordenada la frecuencia de cada intervalo. Distribución de frecuencias acumuladas: Frecuencia absoluta acumulada (Fi): la frecuencia acumulada Fi del valor xi de la variable cuantitativa X, es la suma de las frecuencias absolutas de los valores menores o iguales a xi. Frecuencia relativa acumulada (Hi): la frecuencia acumulada Hi del valor xi de la variable cuantitativa X, se define: H Fi n La representación gráfica más usada para frecuencias acumuladas es la OJIVA, que es una poligonal abierta que se obtiene uniendo por segmentos de recta, los puntos de abscisa proporcional al límite superior y de ordenada proporcional a la frecuencia acumulada de cada intervalo. Ejemplo: Las inversiones anuales, en miles de dólares, de una muestra de 40 empresas fueron: 15 36 25 17 39 19 28 27 18 29 33 20 30 37 28 10 26 27 23 34 12 27 31 25 46 24 29 28 41 33 22 4 18 26 35 24 23 31 21 a. Construir tabla de distribución de frecuencias. b. Dibujar el histograma, polígono de frecuencias y ojiva de dicha distribución. c. Determinar el número de empresas con una inversión menor a 25 000 dólares. Solución: n = 40, Xmax = 46, Xmin = 4, entonces: Rango = R = 46 – 4 = 42. k = 1 + 3.3 log 40 = 6.28679, entonces: k = 7. 82 Amplitud = 42 / 7 = 6. Cuadro de distribución de frecuencias: Título: “Inversión anual de empresas” Unidades: miles de dólares. Intervalo 4, 10 10, 16 16, 22 22, 28 28, 34 34, 40 40, 46 Marca de clase mi 7 13 19 25 31 37 43 Frecuencias Conteo / /// //// / //// //// // //// //// / //// // fi 1 3 6 12 11 5 2 hi 0,025 0,075 0,150 0,300 0,275 0,125 0,050 40 1,000 Frecuencias acumuladas Fi Hi 1 0.025 4 0,100 10 0,250 22 0,550 33 0,825 38 0,950 40 1,000 Histograma: frecuencia 12 – 11 – 10 – 9 – 8 – Inversión anual en miles de dólares 7 – Polígono de frecuencias: frecuencia 12 – 11 – 10 – 9 – 8 – Inversión anual en miles de dólares 7 – 6 83 Ojiva ascendente: 40 – frecuencia – – 34 – 32 – – – – Inversión anual en miles de dólares Ejercicios: 1. Los datos de la lista siguiente representan unidades producidas por un empleado durante los últimos 20 días. 160 198 179 170 179 178 181 162 151 156 150 157 176 162 154 148 156 179 160 144 170 154 162 175 Resuma los datos mediante: a. Un cuadro de distribución de frecuencias.( Cuatro intervalos). b. Histograma. c. Ojiva. 2. La oficina de censos de un país publica información diversa acerca de la población de ese país. La siguiente información es la distribución de frecuencias porcentuales de la población por edad desde el primero de julio del 2005. EDAD Frecuencia Porcentual 0-13 14-17 18–24 25–34 35–44 45–54 55–64 65 o más 20 5,7 9,6 13,6 16,3 13,5 8,7 12,6 a. ¿Qué porcentaje de la población tiene 34 años o menos? b. ¿Qué porcentaje de la población tiene entre 25 y 54 años inclusive? c. ¿Qué porcentaje de la población es mayor de 34 años? 84 d. La población es de 275 millones. ¿Cuántas personas son menores de 25 años? e. Suponga que usted cree que la mitad de las personas en la clase 55–64 están retiradas y que aproximadamente todas las personas de 65 años o más están retiradas. Estime el número de personas retiradas de la población. 15.3 Medidas de tendencia central Una manera de representar características de un conjunto de datos en estadística es a través de tres medidas numéricas: media, mediana y moda. Cada una de ellas representa un tipo de promedio, el cual indica la tendencia central del conjunto de datos. En esta parte del curso veremos como calcularlos y que información nos brindan. MODA: La moda es el dato que más se repite (el de más alta frecuencia). Por ejemplo: ¿cuántas veces se repite la letra “e” en la palabra “representatividad”? se repite 3 veces y te fijarás que es la que más se repite, por lo tanto se dice que la letra “e” es la moda de este conjunto de letras. Podremos determinar la moda en muestras de variables tanto cualitativas como cuantativas (datos agrupados o no). La moda es muy fácil de calcularla y útil, pero tiene sus limitaciones, a veces no encontraremos moda (cuando todos o más de dos tienen la misma frecuencia) o muestras bimodales (con dos modas). Por lo tanto veremos otras opciones. Para datos no agrupados: La moda se define como el valor o clase que tiene la mayor frecuencia, en un conjunto de observaciones. Cuando los datos obtenidos solamente pueden clasificarse en categorías, se emplea la moda para describirlo. Sin embargo el empleo de la moda no está limitado al tipo de datos cualitativos o descriptivos. La moda resulta sumamente útil para expresar la tendencia central de observaciones correspondientes a características cualitativas tales como color, estado civil, ocupación, lugar de nacimiento, etc. Para datos agrupados: Para calcular la moda de n datos tabulados por intervalos, primero se determina el intervalo que contiene a la moda, esto es, el intervalo que tiene la mayor frecuencia (intervalo modal). Luego se utiliza la fórmula: d1 M o Li d1 d 2 donde: Li es el límite inferior del intervalo modal. d1= fi – fi–1 d2= fi – fi+1 A= amplitud del intervalo modal 85 A Ejemplo: La siguiente tabla muestra la inversión anual de 44 empresas. Título: “Inversión anual de empresas” Unidades: miles de dólares. Marca de clase mi Interval o 4, 10 10, 16 16, 22 22, 28 28, 34 34, 40 40, 46 7 13 19 25 31 37 43 Frecuencias fi 1 3 6 12 11 5 2 hi 0,025 0,075 0,150 0,300 0,275 0,125 0,050 40 1,000 Frecuencias acumuladas Fi Hi 1 0,025 4 0,100 10 0,250 22 0,550 33 0,825 38 0,950 40 1,000 El intervalo donde se encuentra la mayor frecuencia es el cuarto intervalo Entonces: Li = 22 d1= fi – fi–1 = 12 – 6 = 6 d2= fi – fi+1 = 12 – 11= 1 A=6 de donde: Mo= 22 + 6 6 = 27,143 6 1 Esto significa la mayoría de las empresas invierten 27 143 dólares. MEDIA: La media es el promedio aritmético de los valores de la variable. Obviamente, al ser promedio, tiene sentido en variables de tipo cuantitativo Para datos no agrupados En ocasiones puede conducirnos a interpretaciones incorrectas. Simbólicamente la media en el caso de una muestra se representa por x, y en el caso de población por Se calcula sumando todos los datos y dividiendo dicha suma por el número de datos. media x1 x2 ....... xn n Ejemplo: Si las notas en el curso de Instrumentos en el análisis económico y financiero en el derecho de 10 alumnos son: 14, 18, 12, 16, 14, 15, 16, 18, 10, 12 Solución: x 14 18 12 16 14 15 16 18 10 12 10 x 14,5 86 Media aritmética ponderada La media aritmética de los valores x1, x2, x3, .........., xk ponderada por los pesos w1, w2, w3, ........ wk es el número. x w 1 x 1 w 2 x 2 ......... w k x k w 1 w 2 .......... w k Ejemplo: Si un alumno el año pasado obtuvo 11 en Instrumentos y su peso es cinco, 13 en el curso Lengua 1 de peso cuatro y 16 en Seminario de peso 3, ¿cuál fue su promedio? Solución: 11 ( 5 ) 13 ( 4 ) 16 ( 3 ) 5 4 3 x 12 , 92 x Media aritmética para datos tabulados de variables discretas Si los n valores de una variable estadística discreta X se clasifican en k valores distintos x1, x2, x3, .........., xk con frecuencias absolutas respectivas f1, f2, f3, ......, fk, entonces su media aritmética es el número: x f 1 x 1 f 2 x 2 ......... f k x k f1 f 2 .......... f k Ejemplo: En un estudio de edades de estudiantes de teatro se obtuvo la siguiente tabla de distribución: Edades Frecuencia 16 17 18 19 20 Total 5 10 6 4 2 26 Determine la edad promedio. Solución: x 5(16 ) 10 (17 ) 6 (18 ) 4 (19 ) 2 ( 20 ) 5 10 6 4 2 = 18,23 años MEDIANA: La mediana de un conjunto de observaciones se define como el valor que queda en la parte central de un grupo de observaciones arreglados en orden de magnitud. La mediana de un conjunto de datos es el valor que se encuentra al medio de la distribución ordenada (en forma ascendente o descendente). Cuando se tiene mediana uno sabe que es la misma cantidad de datos que se encuentra por encima de dicha mediana que por debajo. 87 Para datos agrupados Para calcular la mediana para datos agrupados considerando las frecuencias absolutas, en primer lugar se encuentra el intervalo donde se encuentra la mediana, este se encontrará en el primer intervalo cuya frecuencia absoluta acumulada contiene a la mitad de la muestra. n Fi 1 2 A Luego se utiliza la fórmula: M e Li fi Li N Fi–1 fi A = = = = = Es el límite inferior del intervalo de la mediana Número de datos observados Frec. acu. abs. del intervalo inmediatamente anterior al de la mediana. Frecuencia absoluta del intervalo de la mediana Amplitud del intervalo de la mediana Ejemplo: Título: “Inversión anual de empresas” Unidades: miles de dólares. Intervalo 4, 10 10, 16 16, 22 22, 28 28, 34 34, 40 40, 46 Marca de clase mi 7 13 19 25 31 37 43 Frecuencias Conteo / /// //// / //// //// // //// //// / //// // fi 1 3 6 12 11 5 2 hi 0,025 0,075 0,150 0,300 0,275 0,125 0,050 40 1,000 Frecuencias acumuladas Fi H i 1 0,025 4 0,100 10 0,250 22 0,550 33 0,825 38 0,950 40 1,000 n 20 2 El intervalo donde se encuentra n/2 es el número cuatro, luego: Li= 22; n = 40; Fi–1 =10; fi =12; A= 6 40 10 Me = 22 + 2 6 = 27 12 Por lo tanto: Interpretación: Más del 50% de las empresas invierte 27000 dólares. Ejercicios: 1. Una muestra de 15 estudiantes del último año de carrera mostró las siguientes horas– crédito tomadas durante el período final de su último año de universidad: 15 20 21 18 18 15 16 18 16. 21 19 15 14 Calcule la media, mediana y moda e interprete sus resultados. 88 18 17 2. A partir de una encuesta realizada en un Supermercado, se determino que una persona promedio pasa 45 minutos diarios escuchando música. Los siguientes datos de cantidad de minutos escuchando música se obtuvieron con una muestra de 35 individuos. 88,3 0 99 150 135 35 5 4,3 99 100 180 110 62 15 4,6 120 72 30 15 12 125 7 90 3 40 90 15 0 9,2 70 25 50 120 18 20 a. Calcule la media y moda. b. Estos resultados ¿coinciden con la media que menciona el diario? ¿Porque cree usted que se dieron estas diferencias? c. Entre la media y la mediana que medida sería la más acertada? ¿O ambas? 3. A continuación se presenta una distribución de frecuencias de la duración de 20 llamadas telefónicas de larga distancia en minutos. Calcule e interprete la media, mediana y moda. Duración de llamada 4–7 8–11 12–15 16–19 20–23 24–27 Total Frecuencia 4 5 7 2 1 1 20 89 VECTORES Es frecuente necesitar en las aplicaciones de las matemáticas a la física e ingeniería del uso de cantidades que poseen magnitud y dirección. Dichas cantidades pueden ser representadas geométricamente por un segmento de recta dirigido. Es así que los físicos e ingenieros denominan a dicho segmento de recta dirigido vector y a las cantidades que representan, cantidades vectoriales. 16.1. Definición Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector posee unas características que son: Origen. O también denominado Punto de aplicación. Es el punto exacto sobre el que actúa el vector. Módulo. Es la longitud o tamaño del vector. Para hallarla es preciso conocer el origen y el extremo del vector, pues para saber cuál es el módulo del vector, debemos medir desde su origen hasta su extremo. Dirección. Viene dada por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene. Sentido. Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector. Hay que tener muy en cuenta el sistema de referencia de los vectores, que estará formado por un origen y tres ejes perpendiculares. Este sistema de referencia permite fijar la posición de un punto cualquiera con exactitud. 16.2. Propiedades y operaciones con vectores 1. Igualdad de vectores Dos vectores son iguales si tienen la misma magnitud y apuntan en la misma dirección. Todo vector puede desplazarse paralelamente a su dirección. 90 2. Suma de vectores (método gráfico) La suma o resultante de dos vectores A y B es un vector C que se obtiene de la adición de las componentes de A y B . Gráficamente el vector resultante se obtiene colocando el origen del segundo vector en la punta del primero y trazando la resultante como el vector que va del origen del primero a la punta del segundo, como se puede observar en la figura 15.1b. B A (a) C A (b) B B C (c) Figura 15.1 La suma de vectores es conmutativa, así: A B B A (figura 1c). Además la adición de vectores se puede realizar gráficamente usando el método del Polígono (ver figura 15.2). D A B C R R D C B A R ABCD R ABCD Figura 15.2. Suma de vectores aplicando el método del polígono. Muchos estudiantes creen que la magnitud del vector C A B es siempre igual a C = A + B, confundiendo escalares y vectores. Tener cuidado. 3. Negativo de un vector y resta de vectores Se define como aquel vector que sumado al vector A nos da cero. Esto es A ( A ) 0 Observa que el vector A tiene la misma magnitud que el vector A, pero dirección opuesta. Así la resta o diferencia A B se define como la suma vectorial de A y B : A B A ( B) 4. Multiplicación de un vector por un escalar y vectores paralelos. A se multiplica por un Un vector puede multiplicarse por un escalar. Cuando un vector escalar , el resultado A tiene magnitud ||.| A |. Dados dos vectores A y B , se dice que son paralelos si: A B y >0. Si <0, los vectores son antiparalelos. 91 16.3. Componentes de un vector Considere el vector A , en un sistema de coordenadas rectangulares como se muestra en al figura 3. El vector A puede ser representado como la suma de dos vectores: y A Ax Ay θ donde , Ax = A cos , Ay = A sen La magnitud y la dirección de A se determinan por A Ax2 Ay2 A Ay tan 1 Ax x Figura 15.3 Ay A x Ejemplo: Hallar las componentes rectangulares del vector a = 5u, en la dirección 30º respecto al semieje positivo de las x. Solución: Ubicamos el vector a, a un sistema de coordenadas cartesianas y lo proyectamos en cada uno de los semiejes ax a a x 4.33 cos 30 0 sen 30 0 ay a de donde a x a cos 30 0 5 cos 30 0 de donde a y asen 30 5.sen 30 a y 2,5 16.4. Vectores unitarios Un vector unitario es un vector adimensional con magnitud igual a 1. Sirve para describir una dirección. En un sistema coordenado xy se pueden definir los vectores unitarios ˆi y ˆj (figura 4). y Dado el vector A se define el vector Unitario μ A como: Ay A A μˆ A ˆj A θ x μˆ A no tiene significado físico pero se usa para Ax ˆi especificar una dirección en el espacio. Los vectores Figura 15.4 unitarios en el sistema cartesiano xyz (figura 5) son: 92 ˆi : Vector unitario a lo largo del eje x. ˆj : Vector unitario a lo largo del eje y. A kˆ : Vector unitario a lo largo del eje z. La representación de un vector en el plano cartesiano, en el caso de tres dimensiones es: Figura 15.5 A Ax ˆi A y ˆj Az kˆ Y su módulo es A Ax2 A y2 Az2 . 16.5. Suma de vectores por el método de componentes Para este método primero debe dibujarse un sistema de coordenadas el cual servirá de referencia para la ubicación de los vectores. Luego se determinan las componentes de cada uno de los vectores a sumarse, obteniéndose finalmente las componentes del vector resultante. Suma vectorial: C AB Componente x: Cx = A x + B x Componente y: Cy = A y + B y Ejemplo: Tres personas tiran de un cuerpo al mismo tiempo aplicando las siguientes fuerzas: F1 = 5N al Sur. F2 = 10N 30º al Sur–Este y F3 = 7N 45º al Nor–Este. Calcular por medio de componentes rectangulares, la fuerza resultante y la dirección a donde se mueve. Solución: Graficar todas las fuerzas con sus respectivas componentes en el sistema de coordenadas rectangulares y calcular las componentes rectangulares. 93 F1 y F1.sen90 0 (5)(1) 5 N F2 x F2 . cos 60 0 10(0.5) 5 N F2 y F2 .sen60 0 10(0.8) 8 N F3 x F3 . cos 450 7(0.7) 4.9 N F3 y F3 .sen450 7(0.7) 4.9 N Ahora se calculan las Fx y Fy , entonces Fx F1x F2 x F3 x 0N 5N 4,9N 9,9N Fx 9.9N Fy F1y F2 y F3y 5N 8N 4,9N 13N 4,9N 8,1N Fy 8;1N Luego se calcula la fuerza resultante, aplicando teorema de Pitágoras 2 2 FR Fx Fy 9,9N 2 8,1N 2 98,01N 2 65,61N 2 163,62N 2 12,7N Calcular la dirección Fy Fx tan g 1 8,1 0 ' '' tg 1 39 17 21.86 9 , 9 Grafica de la solución A 16.6. Producto escalar Se define como, A B AB cos θ Además: ˆi ˆi 1 ˆj ˆj 1 kˆ kˆ 1 ˆi ˆj 0 94 ˆi kˆ 0 kˆ ˆj 0 B En el sistema de coordenadas rectangular A ˆi Ax , A ˆj Ay , A kˆ Az Entonces A B Ax B x A y B y Az B z C A B 16.7. Producto vectorial B Se define como: AB C Cuyo módulo es: A C AB sen θ Aplicado a los vectores unitarios tenemos: ˆi ˆi 0 ˆj ˆj 0 ˆi kˆ ˆj kˆ kˆ 0 ˆi ˆj kˆ kˆ ˆi ˆj ˆj ˆi kˆ ˆj kˆ ˆi kˆ ˆj ˆi En coordenadas cartesianas, el producto vectorial puede expresarse como ˆi A B Ax ˆj Ay kˆ Az C x ˆi C y ˆj C z kˆ Bx By Bz Donde las componentes se calculan por C x A y B z Az B y C y Az B x Ax B z C z Ax B y A y B x Ejemplo: Dados los siguientes vectores: a 2 iˆ 3 ˆj kˆ ; b 4 iˆ 3 ˆj 3 kˆ y c jˆ 4 kˆ . Determinar: a) a b b) a 3 b 2 c c) ( a 2 b ) 3 c d) ( 4 b 3 c ) 2 b e) El ángulo que forma el vector a con cada uno de los ejes coordenados. f) El ángulo entre los vectores: 3b y 2c 95 Solución: a) a b ( 2 4) iˆ 3 ( 3) ˆj (1 3) kˆ 6 iˆ 6 jˆ 2 kˆ a b ( 6) 2 6 2 ( 2) 2 76 8,7 b) a 3b 2c (2iˆ 3 jˆ kˆ ) 3(4iˆ 3 jˆ 3kˆ 2( jˆ 4kˆ) (2 12)iˆ (3 9 2) jˆ (19 8)kˆ a 3 b 2 c 14 iˆ 10 ˆj c) ( a 2 b ) 3c (2 iˆ 3 jˆ kˆ 8 iˆ 6 jˆ 6 kˆ ) ( 3 jˆ 12kˆ ) (10iˆ 9 jˆ 5 kˆ ) ( 3 iˆ 12 ˆj ) ( 10 )( 0) (9)( 3) ( 5)(12 ) 87 d) ( 4 b 3 c ) = 4( 4 iˆ 3 jˆ 3 kˆ ) 3( ˆj 4 kˆ ) 16 iˆ 9 ˆj ( 4 b 3 c ) 16 iˆ 9 ˆj 2b 8 iˆ 6 ˆj 6 kˆ iˆ ( 4 b 3 c ) 2 b 16 ˆj kˆ 9 0 54 iˆ 96 ˆj 24 kˆ 6 8 6 e) Ángulos que forma a con los ejes coordenados Con el eje X : cos a x 2 122 ,3 º 14 a Con el eje Y : Con el eje Z : cos cos ay a 3 az a 14 1 14 36 , 7 º 74 ,5 º f) Angulo entre los vectores 3 b y 2 c 3 b ( 2 c ) 3 b . 2 c cos 90 306 68 cos Ejercicios: 1. Dados los vectores A (2,4,–2); B (–1,3,2), determina: a. Expresa dichos vectores en función de sus componentes rectangulares. b. Determina el vector suma y su módulo. c. Calcula el vector V= 2A–B y su módulo. 2. Cuatro vectores fuerzas coplanarios están aplicadas a un cuerpo en un punto 0, como lo indica la figura. Hallar gráficamente su resultante. 96 128 ,6 º 3. Un vector M de magnitud 15 unidades, y otro vector N de magnitud 10 unidades se encuentran formando un ángulo de 60º. Encontrar el producto escalar y el producto vectorial. 4. Dados A(5,3,4) y B=6i–j+2k, calcular: a. su producto escalar b. el ángulo que forman c. los cosenos directores del vector B. 97 MATRICES 17.1. Definición Una matriz es un arreglo rectangular de números de la forma: a1n a2 n a3n am 2 am 3 amn Esta matriz de orden m x n de elementos aij dispuestos en m líneas horizontales (filas) y n líneas verticales (columnas) se representa también por: a11 a 21 A a31 am1 a12 a22 a32 a13 a23 a33 A = (aij), con i =1, 2, ..., m, j =1, 2, ..., n. Los subíndices de aij indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila (i) y el segundo la columna (j). 17.2. Tipos de matrices Matrices Iguales Sean A y B matrices de orden mxn. Si sus elementos que ocupan el mismo lugar en ambas matrices son iguales, se dice que las matrices son iguales. 1 1 22 2 1 2 3 0 6 0 Matriz cero La matriz cero, está representada por 0, y tiene cada elemento igual a 0. 0 0 0 0 0 Matriz fila Solo tiene una fila, es de orden 1xn. A a11 a12 a13 .... a1n a11 a Solo tiene una columna, es de orden mx1. A 21 .... am1 Matriz cuadrada Matriz columna Una matriz cuyo número de filas es igual al número de columnas, es decir de orden n x n. 2 4 3 A 1 0 0 2 3 1 3 x 3 98 Matriz diagonal. Matriz cuadrada donde aij = 0 para i ≠ j 3 0 0 C 0 1 0 0 0 2 Matriz Identidad. Es la matriz In de orden n x n y se define 1, si i j a ij 0, si i j Ejemplo: I2 = 1 0 0 1 1 0 0 I3 = Matriz Triangular Superior. 0 1 0 0 0 1 Si aij = 0 para i > j 3 2 4 A 0 1 0 0 0 2 Matriz Triangular Inferior. Si aij = 0 para i < j 3 0 0 B 2 1 0 1 0 2 Transpuesta de Matriz • La transpuesta de la matriz A =(aij), de orden mxn es la matriz At = (aji) de orden nxm. • At es la matriz que tiene por elemento de lugar (ij) al elemento de lugar (ji) de la matriz A. Ejemplo: 1 4 A 2 5 3 6 1 2 3 A 4 5 6 t 17.3. Operaciones con matrices Suma de matrices Si A =(aij), y B =(bij) son matrices m x n, entonces la suma A+B es la matriz m x n que se obtiene al sumar las entradas correspondientes de A y B, esto es A + B=(aij + bij). Para sumar las matrices A y B deben ser del mismo orden. C = A+B = (cij)m×n = (aij+bij) Ejemplo: Encuentre la suma de A+B. Donde : 99 2 1 A 1 0 4 2 4 3 B 2 2 3 2 2 4 A B 1 2 7 0 Solución: Multiplicación de una matriz por un número Si c es un número real y A =(aij) es una matriz m x n, entonces el producto cA es la matriz m x n que se obtiene al multiplicar las entradas correspondientes de A por c, esto es cA =(caij). 3 2 1 6 Ejemplo.Dada la matriz : A 1 0 Entonces: 3A 3 0 4 2 12 6 Producto de matrices Sea A = (aij) de orden mxn y B = (bij) de orden nxp. El producto AB es la matriz C = (cij) de orden mxp, tal que: cij = ai1b1j + ai2b2j + … + ainbnj Orden de A mxn Orden de B nxp igual entonces el orden de AB es m x p El número de columnas de A debe ser igual al número de filas de B para poder efectuarse el producto. El elemento c i j de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B sumándolos. Ejemplo: 1 3 3 9 4 1 5 1 Si: A 4 2 , B 6 12 y C ; hallar la matriz D (2A 3 B)C 2 1 1 1 0 0 15 Solución: 3 3 9 2 6 1 1 Sea : 2A B = 8 4 2 4 6 0 3 2 0 2 5 2 5 4 1 5 2 1 1 3 9 Por lo tanto: 6 0 = 2 5 6 12 6 24 6 30 2 7 5 100 Donde : d11 3 4 9 2 6 6 12 6 Respuesta: D 24 6 30 2 7 5 Ejercicios: 1. Determine B ( AC ) 3D , si es posible. 1 0 6 1 A 2 3 4 0 1 0 C 1 0 1 2 B 0 1 1 D 2 2. Se define el cuadrado de una matriz M mediante la operación M 2 M M si: 2 5 , calcule ( A I )2 A 3 3 17.4. Aplicaciones del producto de matrices Un contratista ha aceptado pedidos para cinco casas estilo rústico; siete, estilo moderno y 12 estilo colonial. Las materias primas que se utilizan en cada tipo son acero, madera y vidrio. Las cantidades usadas de cada una de ellas se muestran en el siguiente cuadro: Rustico Moderno Colonial Acero 5 7 6 Madera 20 18 25 Vidrio 16 12 8 a. Exprese la información en forma matricial. b. ¿Qué producto de matrices muestra la cantidad de materia prima requerida? c. Determine las unidades de materia prima requeridas para realizar el pedido. Solución: 5 7 6 5 a. A 20 18 25 y B 7 16 12 8 12 5 7 6 5 b. A B 20 18 25 7 16 12 8 12 101 146 c. A B 526 260 Las cantidades de materia prima son: Acero: 146, Madera: 526, Vidrio: 260 (en unidades) Ejercicios: 1. Las tres sucursales de la cadena de la tiendas Azulito venden zapatos, zapatillas y botas. La primera vende 900 pares de zapatos, 600 pares de zapatillas y 750 pares de botas al mes. La tienda 2 vende, en pares, 1500 zapatos, 900 zapatillas y 950 botas al mes y la tercera tienda, en pares, 1150 zapatos, 825 zapatillas y 800 botas. Si se venden los zapatos a S/.90 cada par, las zapatillas S/.60 el par y las botas S/.150 el par. Encuentre los ingresos mensuales en cada una de las tiendas usando producto de matrices. 2. La compañía cervecera A&B ha hecho una planificación semanal sobre sus necesidades de materia prima, de tal manera que en un mes requiere las siguientes cantidades de levadura, malta y agua: Semana Levadura Malta Agua 1ra. 8 4 12 2da. 10 6 5 3era. 7 8 5 4ta. 11 7 9 Esta compañía recibe materia prima de dos proveedores a precios distintos, en US$ por unidad, según el siguiente cuadro: Materia prima Proveedor I Proveedor II Levadura 10 12 Malta 20 17 Agua 15 13 a. Utilizando el producto de matrices, obtenga una matriz en la que se pueda observar el costo total semanal de toda la materia prima por cada proveedor. b. ¿Cuál de los dos proveedores es más conveniente? 102 17.5. Determinantes Asociado a una matriz cuadrada A, hay un número real, llamado determinante de la matriz A y se simboliza: |A| ó det(A) A |A| = k matriz cuadrada determinante de A = número real Para la matriz A = (a11) cuadrada de orden 1, se tiene: Así, si A = 6, entonces: |A| = a11 |A| = 6 Para una matriz cuadrada de orden 2: a A 11 a21 a12 a22 | A | = a11.a22 – a21.a12 Ejemplo: El determinante de A: 1 2 A 3 5 | A | = 1 x 5 – (–3)(–2) = –1 ¿Para una matriz cuadrada de orden 3? Regla de Sarrus Escriba la matriz A y enseguida las primeras dos columnas de A como se muestra a continuación Calcule los productos indicados por las flechas (que a continuación se indican). Los productos correspondientes a las flechas que se dirigen hacia abajo se toman con signo positivo, mientras que los productos correspondientes a las flechas que se dirigen hacia arriba se toman con signo negativo. + + + – – – 103 Sume los productos con los signos adecuados según se determinó en el paso 2. Ejemplo: Calcular el determinante de la matriz A usando la regla de Sarrus. Solución: Ejercicios: b 1 1. Sea la matriz A determine todos los valores de x para los cuales el c bc x determinante es 1. 1 1 a 4 2. ¿Para que valor de a el determinante de la matriz A 2 1 0 es uno? 1 3 1 a 1 1 1 1 1 , halle su determinante. 5 1 0 3. Dada la matriz 0 17.6. Regla de Cramer Sea un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas como sigue: a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2 . . . . . . . . . . an1x1 + an2x2 + … + annxn = bn 104 Considere las siguientes notaciones: D: matriz de coeficientes del SEL Dj: matriz obtenida reemplazando j–ésima columna de D por la columna de constantes Si D 0 , entonces el sistema tiene una única solución. La solución del sistema está dada por: x1 | D1 | |D| x2 | D2 | ... |D| xn | Dn | |D| ……… Ejemplo: Determine los valores de x, y, z usando el método de Cramer: x 21 2 y 8 4 2 z 11 2 Ejercicios: 1. Una compañía fabrica tres tipos de muebles de Lujo, Estándar y Económicos. Para la fabricación de estos utiliza ciertas cantidades madera, plástico y aluminio, como se muestra en la siguiente tabla: Madera Plástico Aluminio Lujo 1 1 2 Estándar 1 1 3 Económico 1 2 5 105 Si se tiene en almacén 400 unidades de madera, 600 unidades de plástico y 1 500 unidades de aluminio, y si se utiliza todo el material existente, ¿Cuántos muebles de cada tipo fabrico? Resuelva usando el método de Cramer. 2. En una carpintería se fabrican mesas, sillas y estantes; para ello se emplean los procesos de corte, ensamble y acabado. En la siguiente tabla se muestra el número de horas que se emplea en la producción de cada uno de dichos artículos. Estante Mesa Silla Corte 7 2 4 Ensamble 4 4 4 Acabado 10 5 1 Halle el número de unidades de cada uno de los productos que se deben producir en una semana de cinco días, sabiendo que se emplean exactamente 8 horas diarias en cada proceso. Resuelva usando el método de Cramer. 106 LÍMITES y 18.1 Idea intuitiva del concepto de límite En la figura 18.1 se muestra la gráfica de una función f . Se ve claramente que el número a no está en el dominio de f , pero que los números f L cercanos a a si están en ese conjunto. Planteamos la siguiente pregunta: ¿Cómo se comportan las imágenes f (x) cuando x se aproxima al número 0 a? a x Figura 18.1 Se puede ver que cuando x se aproxima al número a sus imágenes f x se aproximan al número L . En la simbología matemática este hecho se escribe de la manera siguiente: lim f x L x a y se lee “el límite de f de x cuando x tiende a a es L ”. El significado de lim f x L es que la distancia entre las f x y L se puede hacer tan x a pequeña como se quiera, tomando los x suficientemente cercanos al número a , pero sin llegar a ser a . En conclusión, la expresión lim f x L x a Significa que Se lee La distancia entre las f x y L se puede El límite de f de x cuando x hacer tan pequeña como se quiera, tomando tiende a a es L . los x suficientemente cercanos al número a , pero sin llegar a ser a . Ejemplo: Considere la función f x x2 4 . x2 Y Es claro que su dominio es IR 2 y en la figura 18.2 se muestra su gráfica. Se puede ver que cuando x se aproxima a 2 las imágenes f x x2 4 x2 se aproximan a 4 . Por eso f 2 x 4 4 . Además, x2 x 2 cuando x se aproxima a 0 las imágenes podemos escribir que lim 4 x2 4 se aproximan a 2 , por lo que x2 lim f x 2 . 2 f x x 0 107 X 2 0 Figura 18.2 Ejemplo. En la figura 18.3 se muestra la gráfica de la función f ( x) senx . x Figura 18.3 Es claro que el número 0 no está en el dominio de f y sin embargo cuando x se aproxima a 0 las imágenes f ( x) senx senx 1. se aproximan a 1 . Así, tenemos que lim x0 x x Observación 1: 1. El número lim f x no depende de que si a está o no en el dominio de f . x a 2. Si a está en el dominio de f , el número lim f x no depende de f (a) . x a 3. Para analizar el lim f x es necesario que la función f esté definida en las cercanías del x a número a . 18.2 Límites laterales En la figura 18.4 se muestra la gráfica de una función f . Planteamos la siguiente pregunta: ¿Cómo se comportan las imágenes f (x) cuando x se aproxima al número a ? Y f L2 Se puede ver que la función f no tiene un comportamiento definido en las cercanías de a . En efecto, cuando x está cerca de a , pero a la izquierda de a , las imágenes f x se aproximan a L1 ; mientras que cuando x está cerca de a pero a la derecha de a , las imágenes f x se aproximan a L2 . L1 0 a X Figura 18.4 Como L1 y L2 son distintos es claro que no hay un comportamiento definido en las cercanías del número a . En este caso decimos que no existe el lim f x . Sin embargo, los números L1 y x a 108 L2 se llaman respectivamente el límite lateral izquierdo de f en a y límite lateral derecho de f en a . Estos hechos se escriben simbólicamente así: lim f x L1 x a y lim f x L2 x a La expresión lim f x L1 x a Significa que Se lee La distancia entre las f x y L se puede hacer El límite de f de x cuando x tan pequeña como se quiera, tomando los x a tiende a a por la izquierda es L1 . la izquierda y suficientemente cercanos al número a , pero sin llegar a ser a . La expresión lim f x L2 xa Significa que Se lee La distancia entre las f x y L se puede El límite de f de x cuando x hacer tan pequeña como se quiera, tomando tiende a a por la derecha es L2 . los x a la derecha y suficientemente cercanos al número a , pero sin llegar a ser a . Propiedad 1. lim f x L xa sí , y solo si lim f x L xa lim f x L y x a La propiedad 1 significa que para que exista el lim f x los límites laterales x a lim f x deben ser iguales. lim f x y x a x a Ejemplo: En la figura 18.5 se muestra la gráfica de la función f x x x x0 x x 1 y lim x 0 f . Vea que 0 no está en el dominio de f . De la gráfica de f se ve que lim Y x x 1 . Por la propiedad 3 se concluye que no existe el lim x0 x x 1 0 X -1 . Figura 18.5 109 Ejemplo: En la figura 18.6 se muestra la gráfica de una función f . Determine: a) d) lim f x b) lim f x f 1 e) lim f x x 1 x 1 x2 Y c) lim f x 4 x 1 f 3 f) lim f x x2 2 g) lim f x h) f 2 i) lim f x j) lim f x k) lim f x l) f 4 -1 a) lim f x 2 b) lim f x 2 c) lim f x 2 e) lim f x 4 f) lim f x 2 g) lim f x no existe i) lim f x 3 j) lim f x 3 k) lim f x 3 x2 x4 x4 x4 2 X 4 Figura 18.6 Solución: x 1 x2 x4 x 1 x2 x4 d) f 1 4 x 1 x2 x4 h) f 2 4 l) f 4 3 Observación 2: 1. No siempre se cumple que lim f x f ( a ) . En el Ejemplo 4 se ve que lim f x 3 f 4 xa x4 pero lim f x 2 y f 1 4 . x 1 2. El hecho de que a esté en el dominio de una función f no garantiza que exista el lim f x . En el Ejemplo 4 , 2 D f ,pero no existe lim f x . xa x2 18.3 Límites infinitos En las secciones anteriores se estudió el comportamiento de una función f en las cercanías de un número a . En el mejor de los casos, cuando x se aproximaba al número a las imágenes f x se aproximaban a un número L , lo cual se expresaba como lim f x L . xa Cuando no sucedía eso, entonces la función f presentaba comportamientos diferentes a los lados del número a ; es decir, lim f x L1 y lim f x L2 , donde L1 L2 . Sin embargo, x a xa estas dos situaciones no son las únicas que se pueden dar. 110 Por ejemplo, considere la función f x 1 cuya gráfica x2 se muestra en la Figura 18.7. ¿Cómo se comporta la función f cerca de 0 ? Y f x Se puede ver que cuando x se aproxima más a 0 las 1 imágenes f x 2 toman cada vez valores más grandes x 1 x2 en forma ilimitada. Este hecho en matemática se escribe 1 y diremos que la recta x 0 es una x0 x2 asintota vertical de la gráfica de f . Esta situación da como lim 0 X Figura 18.7 lugar a la definición de límite infinito. La expresión lim f x y xa f Significa que cuando x está cerca del número a las imágenes f x crecen en forma ilimitada. Se lee: “el límite de f de x cuando x tiende a a es más infinito.”. 0 x a Figura 18.8 En esta situación se dice que la recta x a es una asíntota vertical de la gráfica de f . La expresión lim f x Y xa Significa que cuando x está cerca del número a las imágenes f x decrecen en forma ilimitada. Se lee: “el límite de f de x cuando x tiende a a es f 0 a menos infinito.”. Figura 18.9 Aquí también se dice que la recta x a es una asíntota vertical de la gráfica de f . 111 X Situaciones similares a las anteriores se pueden dar con límites laterales: Y Y f a 0 lim f x X lim f x x a Y f a 0 a 0 X x a Y f f a 0 X X lim f x lim f x x a x a 18.4 Asíntota vertical La recta x a es una asíntota vertical de la gráfica de una función f si se cumple una de las condiciones siguientes: lim f x xa lim f x x a lim f x lim f x x a xa lim f x lim f x x a xa Y f ( x) ln x Ejemplo: En la Figura 18.10 se muestra la gráfica de la función f ( x) ln x . De ahí se puede ver que lim ln x ; es decir, la x 0 recta x 0 es una asíntota vertical. 0 Figura 18.10 112 X Ejemplo: En la Figura 18.11 se muestra parte de la gráfica de la función f ( x) tan x . De ahí se puede Y f ( x) tan x ver que: b) lim tan x a) lim tan x x c) lim tan x x x 2 2 d) 2 lim tan x x 0 2 2 3 2 3 2 Figura 18.11 Ejemplo: Trace la gráfica de una función f que satisfaga todas las condiciones siguientes: lim f x 1 x 2 lim f x x 1 lim f x lim f x 2 x 2 lim f x 1 x 0 lim f x x 0 lim f x 2 x 3 lim f x 0 x 3 x4 Solución: En este tipo de problemas no hay respuesta única. En realidad, hay infinitas funciones que satisfacen todas las condiciones dadas. En la figura 18.12 se muestra una de esas infinitas soluciones. y f 2 1 -2 0 1 3 4 x Figura 18.12 Ejercicios: 1. Explique con sus propias palabras qué se quiere dar a entender mediante la ecuación lim f x 5 . x2 ¿Es posible que se cumpla esta proposición y que todavía f 2 3 ? Dé una explicación. 2. Explique qué se quiere dar a entender con lim f x 3 y lim f x 7 . x 1 x 1 En esta situación, ¿es posible que lim f x exista? Dé una explicación. x 1 113 3. Para la función f cuya gráfica se proporciona, establezca el valor de cada cantidad, si existe. Si no la hay, explique por qué. a) lim f x b) lim f x d) lim f x e) f 3 . x 0 x 3 x 3 Y c) lim f x x 3 4 3 2 0 4. En el caso de la función R cuya gráfica se muestra, establezca lo siguiente: a) lim R x b) lim R x c) lim R x d) lim R x x 2 3 X Y x 5 x 3 0 -3 2 5 X x 3 e) Las ecuaciones de las asíntotas verticales. 5. Trace la gráfica de la función siguiente y úsela para determinar los valores de a para los cuales existe lim f x si x a 2 x , si x 1 f x x , si 1 x 1 2 x 1 , si x 1 6. Trace la gráfica de una función f que cumpla con todas las condiciones dadas: lim f x 1 x 0 lim f x 1 x 0 lim f x 0 x 2 f 0 no está definida. 114 lim f x 1 x 2 f 2 1 18.5 Leyes y propiedades de los límites Leyes de los límites Suponga que c es una constante y que los límites lim f x y lim g x existen. Luego, x a xa 1. limf x g x lim f x lim gx x a x a x a 2. limf x g x lim f x lim gx x a x a x a 3. limcf x c lim f x x a x a 4. limf x g x lim f x lim gx x a x a x a f x f x lim x a 5. lim , si lim g x 0 . x a x a g x g x lim x a Nota: Las leyes anteriores también se cumplen para los límites laterales. Y Ejemplo: En la figura 18.13 se muestra las gráficas de dos funciones f y g . Determine: a) lim f x g x b) lim f x .g x c) lim f x g x d) lim f x .g x x 1 f 3 x 1 x 2 2 x 2 g 2 1 0 X Figura 18.13 Solución: De la Figura 18.13 se puede ver que lim f x 3 y lim g x 2 x 1 x 1 a) Usando la ley 1 se tiene que lim f x g x lim f x lim g x 3 2 5 x 1 x 1 x 1 b) Usando la ley 4 se tiene que lim f x .g x lim f x . lim g x (3).(2) 6 x 1 x 1 x 1 c) De la figura 18.13 se puede ver que lim f x 2 y lim f x 3 y por lo tanto, no existe x 2 x 2 lim f x . Además, es claro que lim g x 0 . En este caso no podemos usar la ley 1, pues x 2 x 2 no existe lim f x . Sin embargo hallaremos los límites laterales: x 2 115 lim f x g x lim f x lim g x 2 0 2 x 2 x 2 x 2 lim f x g x lim f x lim2 g x 3 0 0 x 2 x 2 x2 Como lim f x g x lim f x g x se tiene que lim f x g x no existe. x 2 x 2 x 2 d) Aquí tampoco podemos usar la ley 4, pues no existe lim f x . Calcularemos los x 2 límites laterales: lim f x .g x lim f x . lim g x (2).(0) 0 x 2 x 2 x 2 lim f x .g x lim f x . lim g x (3).(0) 0 x 2 x 2 x 2 Como lim f x .g x 0 lim f x .g x se tiene que lim f x .g x 0 x 2 x 2 x 2 ALGUNOS LÍMITES NOTABLES n 1. Si n IN , entonces lim f x lim f x 2. lim C C 3. lim x a 4. lim x n a n 5. lim xa xa xa 6. lim x a n f x x a xa n n x a n lim f x x a x n a (Si n es par, a debe ser positivo) (Si n es par, lim f x debe ser positivo) x a Ejemplos: Calcule: a) lim 3 x 5 b) lim x 2 4 x 2 x 2 x 1 Solución: Aplicando las leyes y los límites notables se tiene que a) lim 3 x 5 lim3 x lim 5 3 lim x 5 32 5 1 x 2 x 2 x 2 x 2 2 2 b) lim x 2 4 x 2 lim x 2 lim4 x lim2 lim f x 4 lim x 2 1 41 2 3 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Observación: En la solución del ejemplo da la impresión que calcular lim f x se convierte x a en simplemente evaluar la función f en el número a . Si observamos bien, las dos funciones del ejemplo son funciones polinomiales y este hecho obedece a la siguiente propiedad: 116 Propiedad 1: Si f es una función polinomial, entonces para cualquier número real a se cumple lim f x f a x a Ejemplos: Calcule: a) lim x 2 2x 3 3x 1 b) lim x1 x2 x 2 x2 4 c) lim x2 x2 x 2 x2 4 Solución. a) Como el límite del denominador lim 3 x 1 5 0 , entonces podemos usar la ley 5: x 2 2 x 3 7 2 x 3 lim x2 x 2 3 x 1 lim3 x 1 5 lim x 2 b) Como el límite del denominador limx 2 4 3 0 , entonces también podemos usar la x 1 ley 5: x2 x 2 2 2 x 2 x 2 lim x 1 lim 2 2 x1 3 3 x 4 lim x 4 x 1 Observación: Al resolver las partes a) y b) también da la sensación de que calcular lim f x x a también es cuestión de evaluar la función f en el número a . Pero en este caso hay dos hechos notables: Primero que las funciones son racionales, y segundo, que el número a está en el dominio de la función. En realidad, esto obedece a la siguiente propiedad: Propiedad 2. Si f es una función racional y el número a está en el dominio de f , entonces lim f x f a x a x2 x 2 no podemos usar la propiedad 2, pues 2 no está en el x2 x2 4 dominio de la función y tampoco podemos usar la ley 5, pues el límite del denominador lim x 2 4 0 . En ese caso haremos uso del recurso algebraico de la manera siguiente: c) Para calcular el lim x 2 Cuando x está cerca de 2 , es claro que x 2 y por lo tanto, x 2 0 . Como x 2 x 2 x 1x 2 x 1 2 x 2x 2 x 2 x 4 117 se tiene que lim x 2 x 1 3 x2 x 2 lim 2 x2 x 2 4 x 4 Observación: Si en el ejemplo c hubiéramos evaluado directamente habríamos obtenido la 0 forma , que se conoce como una forma indeterminada. El procedimiento usado en la 0 explicación del ejemplo c) obedece a la siguiente propiedad: Propiedad 3. Si f y g son dos funciones tales que para los x cercanos al número a se cumple f x g x , entonces: lim f x lim g x x a x a x3 8 x2 x2 4 Ejemplo: Calcule lim Solución: Si evaluamos directamente vemos que el límite tiene la forma 0 . A partir de 0 x 2 x 2 2 x 4 lim x 2 2 x 4 12 3 x3 8 lim x2 x2 4 x2 x 2 x 2x 2 4 x2 lim x3 8 3. x2 x2 4 se tiene que lim Ejercicios: Calcule los siguientes límites: x 3 27 x 3 x 2 9 1. lim 2. lim x0 2 7x x2 9 3. lim 1 3 x x 1 2 118