UNIVERSIDAD CESAR VALLEJOEscuela de Ingeniería Civil Sesión Nº 1: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES En muchos casos de nuestra vida diaria encontramos que el valor de una cantidad depende de dos o más cantidades, con frecuencia, las relaciones de este tipo también se pueden expresar matemáticamente mediante las llamadas Funciones de Varias Variables. Ejemplos: 1.- El promedio de la primera unidad (PU1) del curso de Matemática II, depende de las notas que tengamos en: Comprensión de Lectura (CL), Trabajos de Aula (TA), Practica Calificada (PC), Intervenciones Orales (IO), luego podemos expresar la nota de la primera unidad del curso de Matemática II como una función que depende de varias variables independientes, así: PU 2 * CL TA PC IO 5 2.- El volumen de un cilindro circular recto está dada por la siguiente fórmula . r 2 .h , donde h es su altura y r es el radio de la base circular, es decir para determinar el volumen de un cilindro debemos conocer su altura y radio, por eso podemos decir que el volumen de un cilindro depende de los valores de su altura y radio. En otras palabras podemos expresar el volumen del cilindro como una función de dos variables: h y r , a las cuales llamaremos variables independientes. Dicha función puede quedar representada como V ( r , h) . r 2 . h 3.- El área de un rectángulo, es una función de dos variables independientes: A(b, h) b.h 4.- Un fabricante determina que en el mercado nacional pueden venderse n unidades de cierto artículo a un costo de $ 10 la unidad, y pueden venderse m unidades a mercados extranjeros a $ 50 la unidad, entonces el ingreso total, R (n, m) , obtenido de todas las ventas, esta dado por: R ( n, m) 10n 50m 5.- Un carpintero que construye una caja para almacenar cierto tipo de herramientas, de dimensiones l cm de largo, a cm de ancho y h cm de altura, sabe que la caja tendrá volumen V y área de superficie S, donde: V (l , a, h) l.a.h , S (l , a, h) 2l.a 2l.h 2a.h Definamos ahora una función de varias variables: Docentes: Lic. Carlos Javier Ramírez Muñoz – Lic. Victoria de los Ángeles Agustín Díaz ... se denota por z f ( x1 . tal que para cada vector x ( x1 . x2 .. xn ) .... x1 2... x3 : Docentes: Lic. x2 x.xx x2 .. Carlos Javier Ramírez Muñoz – Lic. 4 Remplacemos ahora el valor de x1 .....denotado por D f . y ) ( x1 ... xn en la regla de correspondencia de la función.. el valor del área del rectángulo es 40 cm2 2. x2 ..h ... luego: A(5.Dada la función A(b. . x2 .. deseamos conocer el valor del área del rectángulo cuya base mide 5 cm.8) 5 8 40 Luego. x2 .El valor real de la función f .. x3 ) x1.. .. xn ) Notas: ..... x3 ) Consideremos la función: f : R n R .. x2 . x2 .. x2 .x3 -4.. x2 3. z es la Observación: Si n 1 f : D R B R x z f (x) Si n 2 f : D R 2 B R Si n 3 f : D R 3 B R ( x ..El conjunto D representa al dominio de la función f . - El dominio de existencia de la función f .. Ejemplos: 1. xn ) se sustituye el valor de las variables independientes x1 .. x2 .Sea f ( x1 . xn ) R n z f ( x1 .UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Escuela de Ingeniería Civil Definición: Una función real de n variables reales f : D R n B R es una regla de correspondencia de un conjunto de vectores de R n a un conjunto B de números reales.. Victoria de los Ángeles Agustín Díaz .. xn se denominan variables independientes y variable dependiente. xn ) f ( x ) f ( x1 .. denotado por R f . esta definido por: R f z R / x ( x1 . x3 ) z f ( x1 .Las variables x1 . h) b.. está definido por: - El rango de la función f . x2 .. y ) z f ( x. si . x2 .. f : D Rn B R x ( x1 . xn ) / z R z f ( x1 . xn ) D existe uno y solo un elemento f ( x) B . x2 x. xn ) D f x ( x1 . x2 .. xn ) VALOR NUMERICO DE UNA FUNCION DE VARIAS VARIABLES Para determinar el valor de una función z f ( x1 . x3 hallare el valor de f 1 .. x2 .. y su altura mide 8 cm. x2 ..x3 x1.. r 2 .0) 2 5 0 5(0) ( 2) 4 4 4 4 ¿COMO HALLAR EL DOMINIO DE UNA FUNCION DE VARIAS VARIABLES? En este caso. y ) 9 x 2 y 2 Solución: En este caso para que la función exista.6) . o más precisamente los valores para los que f (x ) es un numero real.5. ésta existirá si su argumento es estrictamente mayor que cero.f ( x. el radicando tiene que se mayor o igual que cero: 9 x2 y 2 0 . 4 3 3 3 9 f ( 2. h) . x3 . Para determinar el dominio de una función real de varias variables. debemos sustituir estos valores en la función V ( r . y de radio 4m. Victoria de los Ángeles Agustín Díaz . ésta existirá solo si el radicando es mayor o igual que cero.. Si f (x ) es un logaritmo natural.Dada f ( x1 . ( 4m) 2 . x3 3 . x4 0 . si x1 2. utilizamos los mismos criterios de las funciones de una variable. es decir excluyendo aquellos valores para los cuales la función no está definida. x2 . . ésta no existe si el denominador se hace cero. x4 ) x1 x2 x3 x4 x2 x4 x1 x3 . Ejemplos Explicativos: Hallar el dominio de las siguientes funciones y representarlo gráficamente: 1. x2 5. h . OBSERVACIONES: - Si f (x ) es un cociente. el dominio de una función de varias variables no es especificado.Si deseamos determinar el volumen de un cilindro circular de cuya altura es 6m. ) (2)(3) (3)( ) (2)( ) 4 4 4 4 4 4 4 3. la cual representa el volumen del cilindro. Docentes: Lic. solo se da una regla o ecuación que define el dominio de la función. En estos casos decimos que el dominio de f es el conjunto mas grande de números reales para los cuales tiene sentido la regla... Carlos Javier Ramírez Muñoz – Lic. por lo que se deben excluir del dominio aquellos valores de x en los que esto sucede.UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Escuela de Ingeniería Civil 1 1 1 23 39 f ( 2. hallar el valor de f .. Si f (x) es un raíz cuadrada. entonces V ( 4. 3.6m 96 m 3 4. y ) ln( x y ) Solución: El argumento del logaritmo natural debe ser mayor que cero para que la función exista: 2 x2 y 0 . Victoria de los Ángeles Agustín Díaz .f ( x. y x2 Exterior de la parábola de centro en (0. Carlos Javier Ramírez Muñoz – Lic. y ) x 2 y 2 Solución: Para que la función exista.0) y que se abre hacia abajo D f ( x. y ) (0. y ) R 2 / y x 2 Gráficamente: 1 3. y ) 1 y x Solución: En este caso debemos de cuidar que el radicando sea mayor (estrictamente mayor pues esta en el denominador) que cero.. y ) R 2 / x 2 y 2 9 Gráficamente: 2. y ) R 2 / ( x.0) D f ( x. x 2 y 2 0.0) Gráficamente: 4.f ( x. si ( x...f ( x. x0 Docentes: Lic.0) y de radio 3 D f ( x. y x 0 y x x 0. debemos tener cuidado en que el denominador de la función sea diferente de cero: x2 y2 0 . y ) (0.UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Escuela de Ingeniería Civil x2 y2 9 Interior de la circunferencia de centro en (0. .f ( x. si ( x 0 y 0) ( x 0 y 0) ..f ( x.- f ( x.f ( x..- f ( x... y ) 1 x2 y2 y2 x 6. y . y ) x 2 y 2 5 2.UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Escuela de Ingeniería Civil D f ( x. Carlos Javier Ramírez Muñoz – Lic.f ( x. z ) 4. y ) R 2 / x y 2 Gráficamente: Hallar el dominio de las siguientes funciones y representarlo gráficamente: 1.f ( x.f ( x..3.f ( x. y ) R 2 / y x x0 Gráficamente: 5.. D f ( x.. y ) x xy 9. y ) 1 2 x y2 1 x2 y2 z2 2. y ) ln( x 2 y ) 3.- f ( x. y ) Solución: Debemos cuidar que el radicando sea mayor que cero: x y 2 0. y ) 5..f ( x.. y ) 1 x y2 1 2 10.. Victoria de los Ángeles Agustín Díaz . y ) 1 x 2 1 y 2 7..f ( x.f ( x. y ) x 2 y 4. y ) ln( x y ) 8. y ) ln( xy ) Ejemplos de Aula: Hallar el dominio de las siguientes funciones y representarlo gráficamente: 1.f ( x.. xy 2 D f ( x. y ) ln( xy ) Solución: El argumento debe ser mayor que cero: x y 0.f ( x. y ) 1 x y2 Docentes: Lic. y ) x 2 xy 2 y 5 y 2 5.f ( x. y ) R 2 / ( x 0 y 0) ( x 0 y 0) Gráficamente: 1 x y2 6. y ) x 2 y 2 f ( x. y ) con planos del tipo y kx y estudiar el tipo de curvas resultantes.Graficar las siguientes funciones. y ) x 2 y 2 2 f ( x.1 Dada la función f ( x. Victoria de los Ángeles Agustín Díaz . y ) 1 x 2 y 2 6 f ( x. y ) x 2 y 2 Hallamos sus curvas de nivel x 2 y 2 k k 0 x2 y2 0 k 1 x2 y2 1 k 2 x2 y2 2 k 3 x2 y2 3 IV. y ) 4 f ( x. TÉCNICA PARA GRAFICAR FUNCIONES DE DOS VARIABLES. y ) x 2 6 x y 2 2 y 10 x2 y2 Docentes: Lic. y ) k .UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Escuela de Ingeniería Civil GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN DE VARIAS VARIABLES Los dominios de las funciones definidas en porciones del plano pueden tener puntos interiores y puntos frontera. estas están determinadas por la ecuación f ( x. En particular utilizaremos los planos: XY z 0 YZ x 0 XZ y 0 z x=0 y=0 y z=0 x 2. Carlos Javier Ramírez Muñoz – Lic. Ejemplo 2. que representa la curva que está en el nivel o a una altura k . de la misma manera que los dominios de funciones de una variable. 1. 1 f ( x. Trazamos sus curvas de nivel. y ) x 2 2 x y 2 2 y 2 5 f ( x.. Cortar la superficie z f ( x. y ) x 2 2 x y 2 2 y 2 3 f ( x. . Dada la función f ( x. y la curva de intersección se proyecta sobre el plano XY. y ) 9 x 2 y 2 5. la gráfica de esta función es una superficie de R 3 . El conjunto de curvas de nivel se llama Mapa de Contorno Ejemplos 1...UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Escuela de Ingeniería Civil CURVAS DE NIVEL Sea f : R 2 R una función tal que z f ( x.. y ) ln y x 5.f ( x.f ( x. y ) ( x 1) ( y 1) 2 de nivel de 2 3. y ) x y 1 Docentes: Lic. y ) k .f ( x.f ( x. y ) 8 x 2 2 y HOJA DE PRÁCTICA I. y ) .f ( x. y damos valores a k k 0 x2 y2 0 k 1 x2 y2 1 k 2 x2 y2 2 k 3 x2 y2 3 2.2.Hallar y representar gráficamente el dominio e las siguientes funciones 1.Hallar las curvas de nivel de f ( x.n) paralelos al plano XY... Esta curva proyectada tiene por ecuación f ( x.f ( x. Carlos Javier Ramírez Muñoz – Lic.Hallar las curvas de nivel de f ( x.. y ) se corta mediante una familia de planos de la forma z k (k 1.. y ) x 2 4 4 y 2 3. hallar sus curvas de nivel Para hallar sus curvas de nivel. y ) x 25 x 2 y 2 2. Victoria de los Ángeles Agustín Díaz .. hacemos x 2 y 2 k . y ) x y 6.f ( x. Supongamos que la superficie z f ( x. y ) 25 x 2 y 2 4.. y ) xy 4.f ( x.. y ) 36 4 x 2 9 y 2 9..3. y la curva se llama curva de nivel de la función f en k .- Hallar las curvas f ( x.f ( x... y ) 1 y x 1 7. y ) x 2 y 2 . y ) x arcsen y 2 2 10..f ( x. y ) x 2 y 2 4 x 3... z x 0... x 1. y 1.f ( x.f ( x. y ) y x 2 5. y ) 1 2 x 4. y 1 .Bosquejar las curvas de nivel de las siguientes funciones 1. z ) x y z xy xz yz. z ) ln( x y z ) 3 xyz .. f ( x.Hallar el valor numérico de las siguientes funciones: 1. 2 2 2 4. y ) x 2 y 2 6 x 4 y 7 4. IV. x y2 1 3x 4 y f ( x. 3.Representar matemáticamente 5 ejemplos reales mediante funciones de varias variables.f ( x.f ( x. y.. x 3. y 0 . y... y ) x y 2. x 8.- y 2 z x 1.. Victoria de los Ángeles Agustín Díaz .f ( x.. y h) x 2.. y ) 3x 7 y 2 7.f ( x. y ) x 2 y 2 1 y 1 1 3 ye f ( x h. y ) ln y f ( x. z ) x y z x y z ..f ( x. x2 y2 x y 10. y. 1 1 1 x 4.f ( x. Carlos Javier Ramírez Muñoz – Lic.f ( x. y ) y x3 Docentes: Lic. 5. y ) 2..f ( x. y ) . f ( x.f ( x. y 2. y ) 6.- x y x2 y 2 x 4. 9... y ) ( x 1) 2 2 y 3 . y5 III.UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Escuela de Ingeniería Civil II.- xy y 2. z 2 x 3.f ( x.