APUNTES DE MATEMÁTICA IIDOCENTE: Miguel Felix Alvino Instituto San Jose Oriol 30 de enero de 2018 Índice general 1. Ecuaciones e Inecuaciones 2 1.1. Ecuaciones de primer y segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.1. Ecuaciones de primer grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.2. Ecuaciones de Segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2. Sistema de ecuaciones Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3. Inecuaciones (Desigualdades) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.1. Propiedades de las desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.2. Inecuaciones de primer grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.3. Inecuaciones de segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.4. Inecuaciones Fraccionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2. Aplicaciones 10 2.1. APLICACIONES DE ECUACIONES LINEALES . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.1.1. Modelos de costo lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.1.2. Análisis del punto de Equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.1.3. Ecuaciones de oferta, demanda y punto de equilibrio . . . . . . . . . . . 16 2.1.4. Programación Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 Capítulo 1 Ecuaciones e Inecuaciones 1.1. Ecuaciones de primer y segundo grado Sabemos que toda ecuación tiene la siguiente característica f (x) = 0 El objetivo de una ecuación es hallar el valor de la incógnita o variable desconocida x.1. 1.1. A continuación pasare a mencionar algunas ecuaciones de gran importancia. usando diferentes herramientas matemáticas. b son constantes y a 6= 0. Ecuaciones de primer grado Una ecuación de primer grado o lineal tiene el siguiente rostro o característica: f (x) = ax + b = 0 donde a. cuya solución es : b x= a Geometricamente hallar la solución de ax + b = 0 es: 1 Ejemplo 1 Sea f (x) = 3x + 1 = 0 entones su solución es x = 3 2 . b.1) existen varias técnicas del álgebra como son completación de cuadrados.2. 3. Si < 0.1) con el eje horizontal o X Ejemplo 2 Sea 3x2 6x + 1 = 0 hallar las soluciones de la ecuación. Si > 0.1) donde a. Solución 3 Usando la formula general tenemos lo siguiente a = 3 b= 6 c=1 . La ecuación cuadrática posee dos soluciones reales y distintas. La ecuación cuadrática posee soluciones complejas. de aquí obtenemos los siguientes casos: 1. es la interseccion de la gra…ca de (1. La ecuación cuadrática posee dos soluciones repetidas. Para hallar la solución de (1. el cual se le conoce como la discriminante = b2 4ac. aspa simple y la formula general. Desde el punto de vista de la geometria. el cual pasare a mencionar: p b b2 4ac x= 2a Si analizamos el interior del radical.S. entonces reemplazando estos valores tenemos lo siguiente q ( 6) ( 6)2 4 (3) (1) x = 2 (3) p 6 36 12 x = p6 6 24 x = 6p p 6 2 6 3 6 x = = 6 3 donde las dos soluciones son: p p x1 = 3+3 6 x2 = 3 3 6 3 .Docente: Miguel Felix Alvino I. c son constantes y ademas a 6= 0. San Jose Oriol MATEMÁTICA II 1.1. 2. Si = 0. Una ecuación de segundo grado siempre posee dos únicas soluciones. En este caso solo usaremos la formula general. Ecuaciones de Segundo grado Toda ecuación de segundo grado o cuadrática o parabólica posee la siguiente característica: f (x) = ax2 + bx + c = 0 (1. Dadas dos rectas L1 y L2 .2. 4 . k son constantes reales y ni a y b. d. uno y sólo uno de los siguientes eventos puede ocurrir: L1 y L2 se cortan exactamente en un punto. h. representada por la primera y segunda ecuaciones del sistema. Ahora estudiaremos la naturaleza de la solución de un sistema de ecuaciones lineales con más detalle. Recuerde que la grá…ca de cada ecuación en el sistema (1.2) es una línea recta en el plano. ni c y d son ambos ceros. Resuelva las siguientes ecuaciones de 2. b. L1 y L2 son paralelas y distintas. L1 y L2 son paralela y coincidentes.Docente: Miguel Felix Alvino I. San Jose Oriol MATEMÁTICA II Problemas de Aplicación de ecuaciones de primer y segundo grado 1.1t x2 + x = 12 2x 6 x+3 = x+3 2 3x2 21x 234 = 0 x+1 3 + x+2 7 =2 2x2 + 3x 2=0 4(x 2) 3 3 (x + 7) (x 1) = (x + 1)2 x 3 + x = x(x 3) 5 3 5 3 2x 3 = x+5 x+4 =4+ x 2 1. Recuerde que este sistema se puede escribir en la forma general L1 : ax + by = h (1. Resuelva las siguientes ecuaciones de primer grado segundo grado x+1 x x 1 1 6 = 2 + 6 5x2 15 = 0 3x+2 3 2 x+1 4 =2 5x 80 = 0 8 x 1 = x4 x2 1=0 x 6 2x 1 6 1 2 3 5 x 3 =0 4x2 3x = 0 2x+1 3 + 16 = 3x x2 + 3x = 28 0.2) L2 : cx + dy = k donde a. Sistema de ecuaciones Lineales Comenzamos considerando un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables. c.4 + 0.9t = 0.S. de modo que geométricamente la solución del sistema es el (los) punto(s) de intersección de las dos rectas L1 y L2 . (5) Por último reemplazamos (5) en (4) para obtener el valor de x x=1 3 (0) = 1 ) x = 1 Así la solución del sistema lineal es x = 1 y y = 0 5 ....(1) 2x y = 2 ..2) se tienen las siguientes propiedades a b h 1. Si 6= 6= se dice que el sistema posee una única solución c d k a b h 2.. San Jose Oriol MATEMÁTICA II Del grá…co y de los coe…cientes o constantes del sistema (1. Si = 6= el sistema no tiene solución (es indeterminado) c d k Para resolver sistemas con dos incógnitas existen varios métodos.S.... Si = = se dice que el sistema posee in…nitas soluciones c d k a b h 3.....(4) Reemplazando (4) en (2).....Docente: Miguel Felix Alvino I.(2) Despejando de (1) x=1 3y ........ tenemos 2 (1 3y) y = 2 2 6y y = 2 y = 0 .. pero en esta ocasión veremos solo dos casos: Método de Sustitución Sea el sistema: x + 3y = 1 .. 2x + 5y = 9 4x + 3y = 11 6x 9y = 12 3x 8y = 1 2... 3x 4y = 7 9x 12y = 14 3 19. x + 5y = 4 4 3 3x + 2y = 6 3x + 8y = 1 1 4 x + 35 y = 6 x + 4y = 7 3. 2 x 2y = 4 1 x + 3y = 2 3x + y = 2 21. 6x + 7y = 9 12. 2 x +y =5 5x + 4y = 8 5. 5 x 2 y =3 17. multiplicaremos a (2) por 2 1 3x 2y = 6 . 5x 2y = 1 5x 6y = 1 6.Docente: Miguel Felix Alvino I. San Jose Oriol MATEMÁTICA II Método de Reducción Dado el siguiente sistema: 3x 2y = 6 ..5y = 2 6x 15y = 30 5x + 2y = 1 22...... 4x 5y = 6 16.(2) Así nuestro nuevo sistema tiene el siguiente forma 3x 2y = 6 4x + 2y = 10 sumando obtenemos lo siguiente 16 7x = 16 ) x = 7 Reemplazando el valor de x en (1) o en (2) tenemos 16 3 2 +y =5) y = 7 7 y así obtenemos la solución del sistema lineal Problemas de Aplicación de sistemas lineales 1.S.(1) 2x + y = 5 .(2) aquí eliminaremos la variable y para hallar el valor de x para lo cual...(1) 2 2x + y = 5 . 2x 3y = 6 3x + 4y = 9 6x 9y = 12 4. 1 21 x + 43 y = 3 2 8. 6x + 2y = 1 10x 12y = 16 8x + 3y = 5 2 13 x + 21 y = 1 3 6 . 2x 5y = 10 14. 4x + 5y = 3 1=2x + 0. 3x + 7y = 3 3 13.33x + 1=3y = 1 7... 0. 5x 6y = 8 15. 7x + 5y = 5 2x y = 4 11. x + 2y = 7 1 x + 34 y = 15 2x y = 4 2 4 20... x 3y = 1 9. 2x 4y = 5 10. 18. 9x 3y = 24 24.22 30. Si a los dos miembros de una desigualdad se les suma o resta la misma expresión.3. x 2y = 5 35. 15x 12y = 10 25. 2. 2x + 3y = 1 36.55x + 15 y = 0. 3 x 3 y = 3 31.1 m 2n = 4 16x + 13y = 1 1 x + 13 y = 0. Si se multiplican o dividen los dos miembros de una desigualdad por un número positivo.Docente: Miguel Felix Alvino I. 5 2 x + 32 y = 1 2 32.1. 1. Inecuaciones de primer grado Una inecuación de primer grado tiene la siguiente forma general ax > b: b Si a > 0 entonces x > a b Si a < 0 entonces x < a 7 . 2m n = 10 29. 31x + 21y = 20 1x + 2y = 1 21x 31y = 30 1 5 x + 21 y = 0.3 34. ésta cambia de sentido. Propiedades de las desigualdades 1. 2 x + 34 y = 3 2 27. que son todos los números que pertenecen a determinados intérvalos. obtenemos una misma desigualdad del mismo sentido. San Jose Oriol MATEMÁTICA II 3 23. 1. 0.2. se obtiene una desigualdad del mismo sentido.31y = 5 28. Inecuaciones (Desigualdades) Escribir una desigualdad es expresar matemáticamente que una expresión A es mayor o menor que B: A > B se lee A mayor que B A < B se lee a menor que B Se llama inecuación a una desigualdad en la que aparece alguna variable en uno de sus miembros o en los dos. 4x + 3y = 26 3x 11y = 7 1 3 x + 23 y = 1 3 1 3 x + 3y = 5 1 1 33. Si se multiplican o dividen los dos miembros de una desigualdad por un número negativo. 3x 6y = 5 4 15x 14y = 16 2x + 4y = 6 5 2 1 26. 3.3.S. 7m + 12n = 1 2 3 x + 43 y = 1 3x y = 7 5m 3n = 7 1.3. Las inecuaciones tienen in…nitas soluciones. 4 x + 0. no olvidando que : Q (x) 6= 0 Para luego utilizar el método de puntos criticos. c 2 R. (3x + 1) (x 2) > (x 3) (3x + 4) 9. siendo a 6= 0. 3(2x 1) > 4 + 5(x 1) 23.S. 2x + 1 < 3 x < 2x + 5 4 2x 3 24.1) + 1.3. (x + 3)2 > (x 2)2 7. 2x 11 5x + 6 16. Inecuaciones de segundo grado Las inecuaciones de segundo grado son de la forma: ax2 + bx + c 0 _ ax2 + bx + c 0 donde a. b.4x 3. 1. x2 x 6 0 4 6. >1+ 28. x + > +1 3 4 1 x 1 25.3 (t 1) 3. 5x 7 3x + 1 6x 11 4 3 6 8 . 2x 3 < 1 + x < 3x 1 3 1 12. 5 0. 5 + 3x < 11 14. La solución de estas inecuaciones se obtienen mediante las propiedades de los numeros reales o tambien por medio de la naturaleza de las raices del trinomio ax2 + bx + c = 0. 2x2 10x 12 < 0 20. 2 (1.3t < 2.5 (t + 1) 2. 4 2x < x 2 < 2x 4 10. 3 2y 7 15. 5x + 7 > 31 3x 1 3x 18. 1. 2 (x + 4) 2 5 (1 4x) 27. (3x 1) (2x + 3) > (2x + 1) (3x + 2) 8.2 (2t 3) 2. Inecuaciones Fraccionarias Son aquellas inecuaciones que reducida a su mas simple expresión asume la siguiente forma general: P (x) P (x) 0_ 0 Q (x) Q (x) de donde la expresión se reduce a: P (x) Q (x) > 0 .7 2 (2. Problemas de Aplicación 1.3. 4 (2x 1) x< 6 3 26.5) 17. (2x + 3) (3x 1) (6x + 1) (x 2) 1 21. x4 5x2 36 0 19. San Jose Oriol MATEMÁTICA II 1. 3x + 7 > 5 2x 13 6x 11.3.Docente: Miguel Felix Alvino I.5x 2. 4 1 5. vistas anteriormente en ecuaciones.1 + 0. 5 < 2x + 7 < 13 4. 0 9x2 49 22. 3x 5 < 1 + x < 2x 3 y+1 y 2y 1 13.4. que la empresa ha estado x adquiriendo de proveedores externos a x 1 32. <x empaques. prima y mano de obra al producir cada ¿Cuántos empaques deberá usar la artículo. San Jose Oriol MATEMÁTICA II x+1 número de unidades que debería 29. Gasta $40 en materia obra será de 60c/ por cada empaque. y tiene costos adicionales empresa al mes para justi…car la (…jos) de $3000 a la semana en la decisión de fabricar sus propios operación de la planta.10 cada uno. 30. Encuentre el empaques? 9 . 3 x 5 34. El administrador de una fábrica debe 4 decidir si deberán producir sus propios 31.S. $1.Docente: Miguel Felix Alvino I. La fabricación de los x+2 x empaques incrementaría los costos 33. 2< x 3 producir y vender para obtener una 2x + 1 utilidad de al menos $1000 a la semana. El fabricante de cierto artículo puede generales de la empresa en $800 al mes vender todo lo que produce al precio de y el costo de material y de mano de $60 cada artículo. 2. La grá…ca de la ecuación (2. Los costos variables dependen del nivel de producción. intereses sobre préstamos y salarios de administración. intervienen dos tipos de costos. Los costos de los materiales y de la mano de obra son ejemplos de costos variables. enhorabuena. Es por que tú si lo has intentado". APLICACIONES DE ECUACIONES LINEALES En esta sección.1) es un ejemplo de un modelo de costo lineal. estudiaremos algunas aplicaciones de las ecuaciones lineales y líneas rectas a problemas en la administración.1.1) C (x) = mx + c0 donde: m es el costo variable por unidad de producción c0 es el costo …jo La ecuación (2. 2. A los costos …jos hay que enfrentarse sin importar la cantidad producida del artículo.1. es decir. b) Determine el costo de procesar 1000 kilos de granos de café en un día.Capítulo 2 Aplicaciones La frase del dia: "Si te equivocas. no dependen del nivel de producción. de la cantidad de artículos producidos. es decir. El costo total está dado por Costo total = Costos variables + Costos f ijos (2. a) Dé la ecuación de costo lineal y dibuje su grá…ca. 10 . que se conocen como costos …jos y costos variables. Ejemplo 4 (Modelo de costo lineal) El costo variable de procesar un kilo de granos de café es de 50c/ y los costos …jos por día son de $300.1.1) es una línea recta cuya pendiente representa el costo variable por unidad y cuya ordenada al origen da los costos …jos. Modelos de costo lineal En la producción de cualquier bien por una empresa. Ejemplos de costos …jos son las rentas. mientras que cuesta $600 producir 20 máquinas del mismo tipo al día.1) tenemos que: m = 0.1.Docente: Miguel Felix Alvino I.2. Suponiendo un modelo de costo lineal.50 y c0 = 300.50x + 300 Y su grá…ca es: b) para x = 1000.50 (1000) + 300 = 800 En consecuencia. determine la relación entre el costo total C (x) de producir x máquinas de escribir al día.S. entonces C (x) = 0. obteniéndose nuevamente una relación lineal. 600) 600 350 250 m= = = 25 20 10 10 2. el ingreso total sera proporcional al numero de unidades vendidas. Solución 7 Para hallar la relación del costo entre la producción recurrimos a hallar la pendiente de la recta. el costo de procesar 1000 kilos de granos de café al día será de $800. 11 . San Jose Oriol MATEMÁTICA II Solución 5 a) De acuerdo a (2. el ingreso total I esta dado por la ecuación: I (x) = px Si el precio de venta p de un articulo no depende de la cantidad vendida (es constante). para lo cual tenemos los pares ordenados (10. Ejemplo 6 El costo de fabricar 10 máquinas de escribir al día es de $350. Análisis del punto de Equilibrio El ingreso total es el dinero que un fabricante recibe por la venta de su producto y está dado por la ecuación Ingreso total = (precio por unidad) (Número de unidades vendidas) Si p es el precio de venta por unidad de un producto y x representa el numero total de unidades vendidas. 350) y (20. tenemos C (1000) = 0. Ejemplo 8 Para un fabricante de relojes. El número de unidades producidas y vendidas en este caso se denomina punto de equilibrio. el costo de mano de obra y de los materiales por reloj es de $15 y los costos …jos son de $2000 al día. es decir. Si vende cada reloj a $20. San Jose Oriol MATEMÁTICA II Si el costo total C (x) de producción excede el ingreso total I obtenido por las ventas. Si el costo total de producción es igual al ingreso total no hay perdida ni ganancia. entonces el negocio sufre una perdida.S. 20x = 15x + 2000 5x = 2000 x = 400 De modo que deberá producir y vender al día 400 relojes para garantizar que no haya utilidades ni pérdidas. el negocio esta en equilibrio. ¿cuántos relojes deberá producir y vender cada día con objeto de garantizar que el negocio se mantenga en el punto de equilibrio? Solución 9 Del problema obtenemos las ecuaciones del costo e ingreso total C (x) = 15x + 2000 I (x) = 20x El punto de equilibrio se obtiene cuando los ingresos son iguales a los costos. existe una utilidad o ganancia. 12 . el ingreso total sobrepasa el costo total. Si por el contrario.Docente: Miguel Felix Alvino I. Los costos …jos son $30.000 y cada unidad se vende a) Encuentre el punto de equilibrio. el Costo Fijo mensual del 13 .50 por unidad. Si los costos …jos al año son c) Obtenga la pérdida cuando sólo $4500 y los costos variables son $6 por 1500 unidades se producen y collar. El fabricante son de $1200 por mes y los artículo se vende por $1. Los costos …jos por producir cierto la semana. ¿le convendría hacerlo? artículo son de $5000 al mes y los costos variables son de $3.50 por ¿Cuántos artículos deberá producir y unidad. el punto de equilibrio del mercado para responda a cada uno de los incisos su producto ocurre cuando el volumen siguientes. Un fabricante vende un producto en $10 artículo es de 90c/ por unidad y los por unidad. de equilibrio. San Jose Oriol MATEMÁTICA II Problemas de Aplicación 1. I(x) = 15x equilibrio.8x + 600 y cada llegue al equilibrio? artículo se vende a $4. Áurea y Manuel Ortuño determinan que productor vende cada uno a $6.20 cada uno. Determine el punto de equilibrio para la 7. en $140.los vende a un precio de determine el punto de equilibrio. de ventas alcanza $70. y vende todos los que pueda $1000 mensuales. determine el punto de a) C(x) = 5x + 10000.00. Carolina Leticia vende collares en $9 mes para obtener una utilidad de cada uno. para ganancias ni pérdidas? alcanzar su punto de equilibrio? 2.10. Si cada 10. b) Determine el ingreso total recibido por la venta de collares en el punto a) Encuentre el punto de equilibrio. venden cada mes. ¿cuál c) ¿Cuántos collares debe producir y debería ser el precio …jado a cada vender para tener una ganancia de artículo para garantizar que no $30. El costo variable de producir cierto 6.000. Si cada artículo puede venderse a $7.00.2x + 120. Si el fabricante puede reducir b) C(x) = 0. b) Si se sabe que al menos 450 unidades se venderán. costos variables son de $2. Un fabricante produce artículos a un $900? costo variable de 85c/ cada uno y los costos …jos son de $280 al día.4x los costos variables a $4 por artículo incrementando los costos …jos a $1200 a 3. producir.Docente: Miguel Felix Alvino I. ¿Cuántas unidades debe vender para garantizar que no haya producir el fabricante cada mes.S. El costo de producir x artículos está vender Carolina Leticia para que dado por C (x) = 2. R(x) = 0. Un fabricante de lavaplatos marca artículo puede venderse a $1. El costo de producir x artículos a la empresa cuya función de costo C y semana está dado por C (x) = función de ingreso I son: 1000 + 5x. "Zeferina". Determine el costo variable por b) Determine el número de unidades unidad.000? haya pérdidas? d) ¿Cuántos collares debe producir y vender para tener una pérdida de 5. Si el 8. Los costos …jos del costos …jos son de $240 al día. que deben producirse y venderse al 9. a) ¿Cuántos collares debe producir y 4. $800. punto de equilibrio y trace la grá…ca correspondiente. está formado por costos …jos de $6000 más costos de producción de $300 por c) Si el fabricante vende 5 lava platos. . El costo total funciones Ingreso.Si el Precio de 14. c) ¿Cuántos pares deben venderse a) Indicar cuál es la ecuación de para que la compañíano gane ni Ingreso. por unidad.00. Los costos …jos son de $7000.el Costo Fijo es de jamón crudo de primera calidad y vende $1200 y el Costo Variable unitario de todo lo que produce. San Jose Oriol MATEMÁTICA II fabricante es de $4000 y el Costo b) Gra…car en un mismo sistema de Unitario variable es el 50 % del precio coordenadas cartesianas las de venta. Costo Total. c) ¿Y para alcanzar el Punto de Equilibrio entre Costo Total e b) Calcular el nivel de producción en Ingreso? el punto de equilibrio. CostoFijo. Los ingresos $22.S. 12. ¿Cubre los Costos Fijos?. y ¿los totales? a) ¿Cuántas unidades deberá vender d) Hallar las coordenadas del punto el fabricante para alcanzar el punto de equilibrio entre el Costo Total y de equilibrio? el Ingreso b) ¿Cuál es la utilidad o la pérdida e) ¿Cuantos lavaplatos debe vender del fabricante si se venden 100 para comenzar a percibir unidades? utilidades? c) ¿Cuántas unidades debe vender el fabricante para obtener una 11. fabrican y venden. Un fabricante puede vender bolsas de coordenadas cartesianas las dormir a $450 la unidad. funciones Ingreso y Costo Total.Docente: Miguel Felix Alvino I. Costo Total. La empresa “Kika’s”fabrica sandalias 15. si los costos totales aumentan un 5 %. El producto se vende a $12 por par. b) Gra…car en un mismo sistema de 13.Costo Total y representa el número de unidades que se Utilidad.Costo Total y pierda? Utilidad. Un fabricante tiene un costo …jo que tienen costo de materiales de $8 por mensual de $40000 y un costo de par y costo de mano de obra de $9. La cocina Económica"Pan…la".Costo Total y b) ¿Cuál es la función de ingreso? Utilidad. Los producción de $8 por cada unidad costos variables adicionales suman $3 producida. desea utilidad de $3000? determinar sus ingresos mensuales considerados lineales. Costo Fijo. b) Gra…car en un mismo sistema de coordenadas cartesianas las a) Hallar el nivel de producción en el funciones Ingreso. El frigorí…co “El Congelador”fabrica Ventas es $55. Costo Fijo. c) ¿Cuál es la función de utilidad? 14 . a) ¿Cuál es la función de costo? a) Indicar cuál es la ecuación de Ingreso. unidad. totales están dados por: I(x) = 7x Los costos totales están dados a) Indicar cuál es la ecuación de por:C(x) = 6x + 800. en donde “x” Ingreso. Si venden cada par a $25. La empresa Gibson Corporation fabrica 19. equilibrio. 16. vestidos infantiles son de $11175 y le cuesta $6500 confeccionar un video. El costo variable de fabricar una silla de b) Determine el ingreso total por la estilo es de $3850 y los costos …jos son venta de x gorras a la semana. Una fabrica de gorras tiene costos …jos bombas de bicicleta. 17. San Jose Oriol MATEMÁTICA II d) Calcule la utilidad (o pérdida) c) ¿Cual es el costo y el ingreso total correspondiente a niveles de si la empresa produce y vende 5000 producción de 8000 y 12000 pelotas? unidades. Si la fabricar cada unidad es de 40 % del empresa vende una gorra en $1250.S. fabricar x pelotas al mes. Determine el costo total de fabricar x sillas al día. Si a) Determine el costo total de cada vestido es vendido en $12350. Los costos …jos de una fabrica de empresa vende una pelota en $950. Si la 20. Cada bomba se semanales de $485000 y la fabricación vende a $9 y el costo variable de de cada gorra le cuesta $565. ¿Cuál es a) Determine el costo total de el punto de equilibrio? fabricar x gorras a la semana. precio de venta. ¿Cual es el costo c) ¿Cual es el costo y el ingreso total de fabricar 100 sillas al día? si la empresa produce y vende 1850 gorras semanalmente? 18. de $82000. Determine la cantidad de vestidos que b) Determine el ingreso total por la debe confeccionar para mantenerse en venta de x pelotas al mes. Los costos mensuales …jos de la división son $50000.Docente: Miguel Felix Alvino I. 15 . Una fabrica de pelotas de tenis tiene costos …jos mensuales de $2350 y le cuesta $750 fabricar cada pelota. Curva lineal de la oferta De…nición 12 (Equilibrio) Situación del mercado en el que no existen fuerzas que lo muevan de la situación establecida. los gustos y el ingreso de los individuos. La grá…ca de una ley de demanda se llama curva de demanda. Un fabricante de destornilladores puede suponiendo que es lineal.1. mientras que solo puede vender 2000 2. La ley más simple es una relación del tipo p = mx + b en donde p es el precio por unidad del articulo y m y b son constantes. empresa ofrece 8000 arreglos ‡orales Determine la ley de demanda para mesas de restaurante al mes. Para ganar más.3. Problemas de Aplicación 1.Docente: Miguel Felix Alvino I. una destornilladores a $1445 cada uno. Tecnología y Clima." De…nición 10 (Demanda) Máxima cantidad de un bien o servicio que un individuo está dispuesto a comprar a cada precio de este bien dado: el precio de los bienes relacionados. Curva de demanda lineal De…nición 11 (Oferta) Máxima cantidad de un bien o servicio que un productor está dispuesto a vender a cada precio de este bien dado: Precio de los insumos. a 16 .S. Ecuaciones de oferta. A un precio de $1350 por unidad. tienes que saber como convertir negativos en positivos. demanda y punto de equilibrio La frase del día: "La vida es una ecuación matemática. San Jose Oriol MATEMÁTICA II 2. La grá…ca de una ecuación de la oferta (o ley de la oferta) se conoce como curva de la oferta. vender 3000 al mes a $1050 cada uno. 5. Si para un cierto producto el ‘precio las ventas ascienden a 2000 televisores unitario se …ja en $2100 los al mes. a $4 cada unidad. 9. mientras que sólo pueden venderse p= : 21q 2000 martillos a $2. una consumidores en este producto con compañía proveería 1200 unidades de su el precio de equilibrio. consumidores compraran 900 unidades. b) Si la ley de oferta para este artículo es 7. producto. Determine el precio y cantidad de 3. 2625 + 200 m si q 6000 Determine la ley de demanda.S. una con base a ello: empresa ofrecerá 8000 camisetas al mes. 11. A un precio de $10 por unidad.75 cada uno.Docente: Miguel Felix Alvino I. pero que las ventas se incrementan a 12000 cuando el precio se a) Determine la ecuación de demanda reduce a $1. Un comerciante puede vender diariamente 200 unidades de cierto bien 4. 4200 producira 14000 arreglos ‡orales al mes. A un precio de $2. Un fabricante de televisores advierte que a un precio de $500 por televisor. Determine la ecuación de precio por unidad es …jado en $2625 los demanda. pero que las ventas S : p = 10 x+2 S : 7p 3x = 56 se incrementen a 12000 cuando el recio D : 4p + x = 50 D : 5p + 8x = 80 se reduce $570 por paquete. Un fabricante de herramientas puede 8 21q vender 3000 martillos al mes a $2 cada < 1680 + 80 si 0 q 6000 uno. Determine el punto de equilibrio y la cantidad total gastada por los 8. Un fabricante de detergente encuentra en $30 por unidad y 250 unidades en que las ventas son de 10000 paquetes a $27 por unidad. las ventas son de 2400 unidades por mes. unidades. San Jose Oriol MATEMÁTICA II $2100 por unidad.20 para ese bien es 6p = x + 48: por paquete. Determine para el bien. 10. la misma empresa producto. la misma empresa a) Suponiendo linealidad. b) Encuentre el precio y la cantidad de equilibrio. suponiendo que es lineal.50 por unidad. 17 . es lineal. suponiendo que sea lineal. mientras que si el unidades. El administrador de un minimarket equilibrio para las curvas de demanda y encuentra que las ventas de paquetes de oferta siguientes: papas fritas son de 10000 paquetes a la semana cuando el precio por cada D : 2p + 3x = 100 D : 3p + 5x = 200 1 paquete es de $656. La ecuación de oferta la semana cuando el precio es de $1. suponiendo que es la relación de demanda. determine producirá 14. y a $15 por unidad.000 camisetas al mes. Determine S : 6p 5x = 10 S : 3x = 2p 1 la relación de la demanda suponiendo que es lineal. Determine la relación de la Determine la relación de la oferta oferta. 6. suponiendo que lineal. la ley de demanda para este Determine la ecuación de la oferta. suponiendo que es lineal. a $450 por consumidores compraran 10000 televisor. Sin embargo. suponiendo que es lineal. suponiendo que es lineal.10 por paquete. 4. San Jose Oriol MATEMÁTICA II 2. b y c son constantes y x. Solución óptima Es el punto cuyas coordenadas hacen de la función objetivo un valor máximo o mínimo. cada solución factible se representa por un punto del plano cartesiano. optimizando la función objetivo. 18 .S. y se llaman variables de decisión.C y D son posibles puntos de organización.1. de tal forma que las variables de dicha función estén sujetas a una serie de restricciones que expresamos mediante un sistema de inecuaciones lineales. Función objetivo Es una función lineal en dos variables que debemos maximizar o minimizar. La función objetivo presenta la siguiente forma: F (x. que llamaremos función objetivo. S= región factible. Conjunto de restricciones Es el sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas que expresan un conjunto de limitaciones que presenta el problema propuesto. ser acotada.Docente: Miguel Felix Alvino I. formulado por ecuaciones lineales. La solución óptima. en caso de existir. Aquí también se consideran a las variables de decisión como valores no negativos. es decir x 0 ^ y 0. he encontrado 10000 maneras en las que esto no funciona" (Tomas Edison) Es un modelo matemático mediante el cual se resuelve un problema indeterminado. o no. se alcanza en un vértice de la región factible. la primera incluye los puntos de su frontera y la otra no. en las otras puede o no existir solución. La programación lineal consiste en optimizar (minimizar o maximizar) una función lineal. también lineal. y) = ax + by + c donde a. B. Región factible Se llama así al conjunto convexo formado por todos los puntos que representan a las soluciones factibles. A. La región factible puede. Observación: Sólo las regiones factibles acotadas presentan siempre solución. Soluciones factibles Son cada una de las soluciones que veri…can al conjunto de restricciones. en una región poligonal. Programación Lineal La frase del día: "No he fracasado. 2. 3. De lo contrario. Encuentre los valores máximo y mínimo a) C = 3x + 2y + 5 19 . 0 y 15. De lo contrario. utilice una línea continua para indicar que la recta en sí constituye parte de la solución. Problemas de Aplicación 1. Utilice una línea discontinua o de puntos si el problema implica una desigualdad estricta. Elija un punto de prueba situado en uno de los semiplanos determinados por la línea que trazó en el paso 1 y sustituya los valores de x y y en la desigualdad. entonces P = 10(2) + 20(0) = 20 Como queremos el valor minimo. Bosqueje las grá…cas de los siguientes de la función objetivo C en la región de conjuntos de desigualdad. < o >. la …gura. la grá…ca de la solución de la desigualdad es la mitad del plano que contiene el punto de prueba. la solución es el semiplano que no contiene el punto de prueba.0). P (x. San Jose Oriol MATEMÁTICA II Procedimiento para gra…car desigualdades lineales 1.S. Para simpli…car. y) = 10x + 20y sujeta a las restricciones: 8 < x+y 2 x 2y 2 : y x Solución 14 Gra…quemos las restricciones: Para A(1. 5 x + y 12: 2. utilice el origen siempre que sea posible. por tanto la respuesta es 20.1).Docente: Miguel Felix Alvino I. Ejemplo 13 Determine el valor mínimo que toma la función objetivo. Trace la grá…ca de la ecuación obtenida de la desigualdad dada al sustituir el signo de desigualdad con un signo de igual. Si la desigualdad se cumple. a) x + y > 2 3x + y < 3 b) 2y + y > 4 x + 2y < 4 2x 3y < 3 c) 0 x 10. entonces P = 10(1) + 20(1) = 30 Para B(2. a) C = 3x + y s.Docente: Miguel Felix Alvino I.a: d) C = 3x y x 2y 8 7x 2y 28 x+y 4 4. Encuentre el valor mínimo de C en R. Trace la región R determinada por las restricciones dadas y marque sus vértices. x 0. Trace la región R determinada por las restricciones dadas y marque sus vértices. y 0 3x 4y 12 3x + 2y 24 3x y 15 b) C = 4x 2y s.a: x 0. y 0 2x + 3y 12 e) C = 3x + 4y 2x + 5y 16 20 . Encuentre el valor máximo de C en R.S. a) C = 3x + 6y s. San Jose Oriol MATEMÁTICA II b) C = 2x + 7y + 3 f ) C = 7x + 9y c) C = 2x + 3y 3.a. la restricciones dadas y marque sus producción diaria de raquetas estándar vértices.a: x 0. y 0 x+y 8 x+y 2 x+y 8 d) C = 5x + 4y 2x + y 10 s. Un fabricante de raquetas de tenis 3x + y 3 obtiene una utilidad de $15 por cada x + 5y 15 raqueta de tamaño grande y $8 por 2x + y 12 cada raqueta estándar. y 0 mantener alta calidad. Para mantener alta a) C = 2x + 4y calidad. y 0 producidas no debe exceder de 80 al x 2y 8 día. Para s.a: x 0.Docente: Miguel Felix Alvino I.a: x 0. San Jose Oriol MATEMÁTICA II b) C = 2x + 5y e) C = 3x + 5y s. Describa el conjunto de puntos debe ser entre 30 y 80 y la producción para los que C es un máximo en R.a: x 0. x+y 1 ¿Cuántos de cada tipo debe producir d) C = x + 3y diariamente para maximizar la utilidad? s. y 3 2x + 3y 12 3x + 2y 12 c) C = 3x + 4y s. Para satisfacer 5. y 0 x+y 2 g) C = 5x + 2y 2x + 3y 12 s. Un fabricante de teléfonos celulares s.5 estándar.5y 6. la producción x+y 6 diaria no debe exceder de 200 teléfonos. de raquetas de tamaño grande debe ser entre 10 y 30. Trace la región R determinada por las la demanda de compradores. y 0 3x + y 12 x + y 10 e) C = 2x + 3y 2x + y 10 s. y 0 f ) C = 5x + 3y 2x + 3y 6 s.a: x 0. ¿Cuántas raquetas de cada tipo 1 x+y 6 deben ser manufacturadas diariamente 2 3x + 2y 24 para maximizar la utilidad? b) C = 6x + 3y 7. y 7: tipos de cuadernos: un cuaderno de lujo 21 . y 1 obtiene una utilidad de $25 en un 2x + 3y 19 modelo de lujo y $30 en un modelo x + 0.a: x 0. y 0 x + 3y 6 2x + y 4 f ) C = 6x + y x+y 9 s.a: x 0. y 0 s. y 0 x+y 3 8. el número total de raquetas s.a: x 0. y 0 x + 2y 10 x+y 3 h) C = 2x + 4y x+y 9 s.a: y 0 6. Una compañía papelera fabrica dos x 5. y 0 x+y 2 x+y 2 x 5. La compañía desea producir al menos 80 modelos de lujo y al menos c) C = 2x + y 100 modelos estándar por día.a: x 0.a: x 0.S.a: x 0.a: x 2. La una hora.S. Para minimizar sus costos. mientras que podar un árbol compañía tiene las instalaciones para mayor consume una hora y media. para que poden vende en $3. El manufacturar entre 2000 y 3000 de lujo equipo se compromete a trabajar por un y entre 3000 y 6000 cuadernos regulares. es $3. San Jose Oriol MATEMÁTICA II con divisores de temas. manufacturados para maximizar la ¿cuántos árboles de cada tipo debe diferencia entre los precios de venta y pedirles el propietario del huerto que los costos de producción? poden? ¿Cual será el costo? 22 .00 y un cuaderno regular. El costo de producción al menos 25 de sus 50 árboles frutales.Docente: Miguel Felix Alvino I. mínimo de 30 horas y cobra $15 por pero no más de 7000 en total. El propietario de un huerto contrata un $4. ¿Cuántos cada árbol joven y $20 por cada árbol cuadernos de cada tipo deben ser mayor.00.20 por cada cuaderno de lujo y La poda de cada árbol joven requiere $2. que se vende en 9. que se equipo de trabajadores.60 por cada cuaderno regular.