Matematica 1

Professor Acácio Pedro da Silva JuniorNIVELAMENTO MATEMÁTICA MARINGÁ-PR 2012 Reitor: Wilson de Matos Silva Vice-Reitor: Wilson de Matos Silva Filho Pró-Reitor de Administração: Wilson de Matos Silva Filho Presidente da Mantenedora: Cláudio Ferdinandi NEAD - Núcleo de Educação a Distância Diretoria do NEAD: Willian Victor Kendrick de Matos Silva Coordenação Pedagógica: Gislene Miotto Catolino Raymundo Coordenação de Marketing: Bruno Jorge Coordenação Comercial: Helder Machado Coordenação de Tecnologia: Fabrício Ricardo Lazilha Coordenação de Curso: Ariane Maria Machado de Oliveira, Camila Barreto Rodrigues Cochia, Danillo Xavier Saes, José Renato de Paula Lamberti, Márcia Maria Previato de Souza , Reginaldo Aparecido Carneiro e Silvio Silvestre Barczsz Supervisora do Núcleo de Produção de Materiais: Nalva Aparecida da Rosa Moura Capa e Editoração: Daniel Fuverki Hey, Fernando Henrique Mendes, Luiz Fernando Rokubuiti e Renata Sguissardi Supervisão de Materiais: Nádila de Almeida Toledo Revisão Textual e Normas: Cristiane de Oliveira Alves, Gabriela Fonseca Tofanelo, Janaína Bicudo Kikuchi, Jaquelina Kutsunugi e Maria Fernanda Canova Vasconcelos. “As imagens utilizadas neste livro foram obtidas a partir dos sites PHOTOS.COM e SHUTTERSTOCK.COM”. Av. Guedner, 1610 - Jd. Aclimação - (44) 3027-6360 - CEP 87050-390 - Maringá - Paraná - www.cesumar.br NEAD - Núcleo de Educação a Distância - bl. 4 sl. 1 e 2 - (44) 3027-6363 - [email protected] - www.ead.cesumar.br NIVELAMENTO MATEMÁTICA Professor Acácio Pedro da Silva Junior procurei proporcionar métodos mais lógicos. Depois de algum tempo trabalhando exclusivamente com matemática. quando possível. trataremos das especificidades em cada uma das áreas do conhecimento. sobretudo. você terá baterias extensas de exercícios e problemas. É claro que a mecanização de alguns conceitos é importante para a maioria dos cursos. mas.APRESENTAÇÃO Livro: MATEMÁTICA Professor Acácio Pedro da Silva Junior Caro aluno. apresento a você o livro que será uma ferramenta importante para o seu desenvolvimento acadêmico. com certeza. apesar da linguagem pouco formal nas explicações e resoluções de exercícios. métodos e conceitos que não se perderão com facilidade. nem sempre adquiridos de forma rápida mas. aplicações em diversas áreas do conhecimento técnico. se você quer aproveitar bem o seu curso. É evidente que cada curso terá uma aplicação diferente dos conteúdos. Trata-se de um material com algumas aplicações cotidianas e. você vai vencer o medo da matemática. a “Lâmpada da Ideia” se acendeu sobre a minha cabeça e passei a trabalhar mais com os conceitos do que com os números. mas será necessário muito empenho de sua parte para a realização desse MATEMÁTICA | Educação a Distância 5 . descobri que não são só os números que interessam à matemática: todo o raciocínio faz parte da construção e amadurecimento dos conceitos. Este material foi elaborado com fins científicos e. com um pouco de dedicação aliado à maturidade adquirida durante esses anos de estudos. por isso. O sucesso é certo. Trabalho com matemática desde sempre e posso garantir que. Meu objetivo ao escrever este livro não foi o de fornecer só fórmulas e expressões prontas. Tudo contribuirá para o seu desenvolvimento acadêmico global e. Sou o professor Acácio e trabalhei com muito afinco para proporcionar a você conhecimentos sobre o temido mundo da Matemática. Nessa oportunidade. dependendo do tema. apresenta toda a formalidade exigida na apresentação teórico-conceitual. é aconselhável que você aproveite todas as oportunidades que lhe forem dadas. Você verá desde os mais básicos pré-requisitos até os mais aprimorados. pelo contrário. mas. 6. em excesso. Se você gosta de estudar ouvindo música. Seja humilde! Sempre há algo para aprender. DICAS PARA APROVEITAR MELHOR O MATERIAL: 1. Faça exercícios! Exercícios físicos ajudam a oxigenar o cérebro: você consegue aumentar a qualidade e a quantidade das ligações sinápticas e seu cérebro funciona no modo “Turbo”. Não ache que estudando por horas você conseguirá grande absorção de conteúdos. mesmo que você já tenha estudado algo parecido em outra oportunidade. não dará nem para segurar pelos cabelos”.intenso e árduo trabalho. Exercícios mentais ficam bem mais fáceis quando o cérebro está funcionando bem. durante 7 dias ao invés de 3horas e 30 minutos de uma só vez. 4. 2. “O trabalho dignifica o homem”. releia! 3. 5. Preze pelo silêncio! Estudar em ambiente com muito barulho atrapalha seu rendimento e não permite que você se concentre. Passar tempo demais estudando é prejudicial: Prefira 30 minutos por dia. pois se você deixá-la passar. destrói. Gerencie melhor o seu tempo! Reserve parte do dia para estudar e reserve parte do dia para descansar. Não se exceda! Mantenha-se nos seus limites. Isso é lenda! 7. Aproveite as oportunidades! Há uma história que diz: “a oportunidade é uma mulher que só tem cabelo na frente e vem correndo ao seu encontro. 8. Dedique-se! Mostre-se forte! 6 MATEMÁTICA | Educação a Distância . No mínimo. Você deve agarrá-la quando ela se aproxima. Não deixe para fazer tudo de uma só vez! Isso acarreta estafa mental. coloque no seu playlist apenas as músicas que não possibilitem cantar junto. Símbolos A matemática usa alguns símbolos de forma recorrente para simplificar a linguagem e para universalizá-la. isto é. escrever de forma que a leitura independa do idioma em que o texto está escrito. Símbolo / Significado “tal que” “existe ao menos um” “existe um único” “qualquer que seja” ou “para todo” “implica” ou “então” “é equivalente a” “é diferente de” “é maior que” “é menor que” “é menor ou igual a” “é maior ou igual a” “mais ou menos” Ǝ Ǝ! ═› ═ ›═ ═› ou ≡ ≠ > < ˃ ± A ˃ MATEMÁTICA | Educação a Distância 7 . isso facilitará a leitura dos problemas. É conveniente que você se esforce para reconhecê-los. 8 MATEMÁTICA | Educação a Distância . .....SUMÁRIO UNIDADE I TEORIA DE CONJUNTOS E CONJUNTOS NUMÉRICOS CONJUNTOS..............................16 CONJUNTOS NUMÉRICOS..................................................................................................................................................................................32 ........... . Plano de Estudo A seguir. • Relacionar conjunto a conjunto. Interpretar e Resolver problemas. • Entender. os diferentes Conjuntos. • Dominar as operações entre conjuntos. de forma coerente. • Identificar os elementos de um conjunto por meio de sua característica. • Representar e Identificar.UNIDADE I TEORIA DE CONJUNTOS CONJUNTOS NUMÉRICOS Professor Acácio Pedro da Silva Junior Objetivos de Aprendizagem • Entender os conceitos da teoria de Conjunto. apresentam-se os tópicos que você estudará nesta unidade: • Conjuntos • Relação entre Elemento e Conjunto • Representação de um conjunto • Conjuntos Especiais • Relação entre Conjunto e Conjunto • Operações entre conjuntos • Resolução de Problemas • Conjuntos Numéricos . • Conhecer os conjuntos numéricos básicos. . Neste tópico. limites e derivadas. No campo da matemática. que deu origem aos descobrimentos de novas terras e novas riquezas. metais). pela falta de matéria-prima (sobretudo. você estudará um tema muito importante para o mundo da matemática: A teoria de Conjuntos. A história se beneficia com uma breve abordagem acerca da expansão comercial desenvolvida durante os séculos XV e XVI. pelo crescimento MATEMÁTICA | Educação a Distância 13 . busco mostrar a importância da mecanização do processo sem que se perca todo o raciocínio lógico por trás de um problema. e contribuirá maciçamente com sua formação pessoal e acadêmica. você aprenderá a manipular algumas “ferramentas fortes” para o desenvolvimento de conceitos mais elaborados como funções. Da necessidade do homem para desenvolver o comércio. A expansão marítimo-comercial foi impulsionada pela necessidade da abertura de novos mercados. Trata-se de um conteúdo cercado de história. surgiram novas formas de representar os números. surgiram novos conjuntos numéricos e houve um maior estímulo ao estudo das ciências.INTRODUÇÃO Nesta primeira unidade. Entender como os conjuntos se relacionam impulsiona a compreensão do conceito “Função”. que dará início a tantos outros conceitos intimamente relacionados à matemática do ensino superior. animais ou coisas constitui um conjunto. ainda mais. O conjunto dos Números Inteiros. você precisará desses conceitos para alavancar muitos outros. a crise econômica europeia.com/socialsciences/1738724-expans%C3%A3o-maritima-comercial/#ixzz1nUkwxJT1>. pela aparente crise econômica da Europa e até pela propagação da fé cristã. obrigando os navegadores a evitar o Mar Mediterrâneo. (<http://pt. 14 MATEMÁTICA | Educação a Distância . Exemplos: I. Como o Porto de Constantinopla havia sido tomado pelos Turcos Otomanos. Assim. II. escolhendo rotas alternativas pelo Oceano Atlântico para chegar às Índias. CONJUNTOS Quando tratamos da teoria de conjuntos. Portugal. o comércio com o Oriente agravou. Dependendo da sua área.das transações comerciais com o Oriente. além de outras abordagens. pessoas. qual é a probabilidade de algo acontecer. Algumas vezes será necessário entender se dado problema admite solução. todo agrupamento ou coleção de objetos. se a solução é aceitável. Cada um dos objetos que compõem um conjunto é denominado elemento. ainda detinha conhecimentos adicionais da arte da navegação (principalmente o uso do astrolábio e da bússola) e estimulava os estudos na Escola de Sagre. não temos interesse exclusivo em conjuntos numéricos. 1. III. Acesso em 12 fev. 2012). A palavra “conjunto” aparece no dicionário como coleção de objetos com uma característica comum. quantas são estas soluções. O conjunto dos Meses do Ano. O conjunto musical “IRA!”. além de sua localização privilegiada.shvoong. agosto. com letras minúsculas a. julho... e. março. maio. abril. 5. agosto. -1. c. 1. 3. novembro e dezembro e pode ser escrito como: M = {janeiro. -5. -2.. 2. Ricardo Gaspa} III. 4. O conjunto “I” dos componentes atuais do grupo musical IRA! é composto pelos elementos Nasi. .1. 7. Observação: quando não conhecemos os elementos de um conjunto... março. MATEMÁTICA | Educação a Distância 15 .Exemplos: I. A.. Edgard Scandurra. -3.. -7. 1. -4.. O conjunto “M” dos Meses do Ano é composto pelos elementos janeiro. B. julho.. b. outubro. junho. Edgard Scandurra. inteiros. . -7. 8. André Jung e Ricardo Gaspa e pode ser escrito como: I = {Nasi. -5. 7. dezembro} II. -8. novembro. pelos elementos negativos -1. 6. Esse símbolo indica que o conjunto é infinito e admite valores maiores que 8 e também valores menores que -8. -6. fevereiro. 4. -6. usamos letras maiúsculas.. setembro.. outubro. -4. d. 0.) neste conjunto. para representar conjuntos.. desde que. Relação entre Elemento e Conjunto Para indicar que determinado objeto “▪” é elemento de um dado conjunto Q.. abril. André Jung. 6.. . representamos tais elementos. 3. junho. -8.} Note a presença das reticências (. maio. fevereiro. C. 8. -3. utilizamos o símbolo “∈” e os relacionamos como “▪ ∈ Q” (lê-se: ▪ pertence ao conjunto Q). 5. O conjunto “Z” dos Números Inteiros é composto pelos elementos positivos 1. setembro. -2. e pelo elemento nulo 0 (zero) e pode ser escrito como: Z = {. na maioria das vezes. 2. Considere o conjunto “M” dos Meses do Ano. em algumas situações. escrevendo-os entre chaves e separando-os por vírgulas (exceto quando usamos números decimais. Representações de um Conjunto Há três formas clássicas de representar um conjunto: por Extensão. Considere o conjunto “Z” dos Números Inteiros.2. Podemos escrever: Janeiro ∈ M Domingo ∉ M II. optamos por outra forma de representação.1 Representação por Extensão Listamos todos os elementos. 1.2 Representação por Compreensão O conjunto será representado por meio de uma propriedade que caracteriza os seus elementos.2.2. 1.Para indicar que determinado objeto “▪” não é elemento de um dado conjunto A. Nesses casos.5 ∉ Z 1. utilizamos o símbolo “∈” e os relacionamos como “▪ ∈ A” (lê-se: ▪ não pertence ao conjunto A). Considere o conjunto “I” dos componentes atuais do grupo musical IRA! Podemos escrever: Nasi ∈ I Otto ∉ I III. é impossível escrever tal característica. Exemplos: I. por Compreensão e por Diagrama. Podemos escrever: 17 348 ∈ Z 0. 16 MATEMÁTICA | Educação a Distância . nesse caso usamos ponto e vírgula para separá-los). 1. 2. 5. mas é necessário deixar claro que o conjunto não possui apenas tais elementos.feira Sexta . 3.feira Quinta . elegemos alguns elementos para representar o conjunto. torna-se impossível.feira Quarta . 1834-1923) para representar tais elementos. Para conjuntos infinitos. 9. Para conjuntos finitos.feira Compreensão: A = {x ∈ IN/ x < 11} (lê-se: “x é um número natural tal que x é menor que 11") Extensão: {0. sexta-feira} Diagrama: U Segunda . Nesse caso. quinta-feira. Exemplos: Compreensão: o conjunto U dos dias úteis da semana: Extensão: U = {segunda-feira. 8. 7. 4. lógico inglês. 6. 1. quarta-feira.feira Terça . é fácil usar esta representação. terça-feira.3 Representação por Diagrama Utilizamos uma figura chamada Diagrama de Venn (John Venn.2. 10} Diagrama: A 4 3 2 10 5 0 1 9 6 7 8 MATEMÁTICA | Educação a Distância 17 . 2.5 que não é inteiro. Nesse caso. dizemos que não existe valor “x” que satisfaça e a solução é. o conjunto vazio. portanto.Observe que qualquer uma das formas de representação é suficiente para que se estabeleça a relação entre elemento e conjunto.3. 1. Conjunto Unitário É o conjunto que possui exatamente um elemento. Exemplo: T é o conjunto dos valores inteiros “x” tais que seu dobro é igual a 5. Conjunto Vazio É o conjunto que não possui elementos. Exemplo: H é o conjunto dos planetas reconhecidamente habitados do Sistema Solar. H = {Terra} 18 MATEMÁTICA | Educação a Distância . Domingo ∉ U 10 ∈ A 1. Representamos o conjunto vazio por { } ou por Ø. T = {x ∈ Z/ 2x = 5} → T = {5/2} Note que 5/2 = 5 ÷ 2 = 2. Conjuntos Especiais 1.3.3.1. é necessário que todos os elementos do conjunto A estejam em B. quinta-feira. quinta-feira.1. podemos dizer que U é subconjunto do conjunto S. sábado}.4. Conjunto Universo É o conjunto ao qual pertencem todos os elementos de todos os conjuntos que interessam ao desenvolvimento dos problemas. segunda-feira. quarta-feira. Relação entre conjunto e conjunto (Subconjuntos) Para indicar que um determinado conjunto “A” é subconjunto de um conjunto “B”. sexta-feira} e seja S = {domingo. Se o nosso problema englobasse a população paranaense. sexta-feira. Exemplos: Seja U = {segunda-feira. Acompanhe o diagrama: O conjunto U está sombreado MATEMÁTICA | Educação a Distância 19 . o conjunto universo teria.3. terça-feira. Há uma maneira pouco usual de representar a mesma relação: “B ⊃ A” (lê-se: B contém A). Nesse caso. A é subconjunto de B). terça-feira. como elementos. todos os habitantes do Paraná. pois todos os elementos que estão em U também estão em S (U ⊂ S). 1.3. utilizamos o símbolo “⊂” e os relacionamos como “A ⊂ B” (lê-se: A está contido em B ou. quarta-feira. mas. 10} e B = {0. sugiro que você leia diferente: “∈” como “é elemento de”. 6. Na língua portuguesa. 7. “⊂” como “é subconjunto de”. “B ⊃ / A” (lê-se: B não contém A). 2. Acompanhe o diagrama: O conjunto B está sombreado Caso existam alguns elementos de A que não esteja em B. pois todos os elementos que estão em B também estão em A (B ⊂ A). Assim ficará claro que os símbolos “∈” e “∉” são usados para relacionar elemento a conjunto e que os símbolos “⊂” e “⊂ / ” são usados para relacionar conjunto a conjunto. 5. 20 MATEMÁTICA | Educação a Distância . “⊂ / ” como “não é subconjunto de”. 3. podemos usá-los como sinônimos. 8. 3. 7}. 1. 9. “∉” como “não é elemento de”. Para evitar confusões entre tais termos. diremos que “A não é subconjunto de B” e simbolicamente escreveremos A ⊂ / B (lê-se: A não está contido em B) ou ainda.Seja A = {0. isso é um “crime”: só podemos usar o termo “está contido” para a relação conjunto – conjunto. 1. podemos dizer que B é subconjunto do conjunto A. em algumas situações. É muito comum confundir os termos “está contido” e “pertence”. para a matemática. 2. 4. Se existir ao menos um elemento que falte a um dos conjuntos.4. você sempre pode optar por não escolher elemento algum (conjunto vazio).1.1. (A = 1. não há elementos diferentes entre A e B. A = B. R2: o Conjunto vazio está contido em qualquer conjunto (∀ C. Observe um exemplo no diagrama: O conjunto Ø está sombreado Qualquer que seja o conjunto.2. dizemos que os conjuntos são diferentes / B). Resultados Importantes R1: se A ⊂ B e B ⊂ A ⇒ A = B. MATEMÁTICA | Educação a Distância 21 . portanto. Ø ⊂ C). De fato: se “todos os elementos de A estão em B” e “todos os elementos de B estão em A”.4. Igualdade entre Conjuntos Dois conjuntos são ditos “iguais” (A = B) quando possuem os mesmos elementos. Saturno. Saturno. Exemplos: Sejam os conjuntos: A = {Terra. Mercúrio. Marte. Vênus. União de Conjuntos Dados os conjuntos A e B. Netuno. Vênus} A ∪ B = {Terra. definimos como “União entre A e B” (A ∪ B) o conjunto formado exclusivamente por todos os elementos de A e todos os elementos de B.1. terça-feira. Mercúrio} O conjunto A ∪ B está sombreado Note que os elementos “Terra” e “Vênus” foram escritos apenas uma vez. Sejam os conjuntos: U = {segunda-feira. apesar de aparecerem nos dois conjuntos. quinta-feira. sexta-feira} 22 MATEMÁTICA | Educação a Distância .5 Operações entre conjuntos 1. Marte} B = {Terra. quarta-feira.1.5. Netuno. Vênus. Mercúrio. segunda-feira. apesar de aparecerem nos dois conjuntos. sexta-feira. sábado}. Saturno. Exemplos: Sejam os conjuntos: A = {Terra. quarta-feira. quinta-feira.5.2. definimos como “Intersecção entre A e B” (A ∩ B) o conjunto formado por todos os elementos que estão simultaneamente em A e em B. Netuno. Marte} B = {Terra. 1. Intersecção entre Conjuntos Dados os conjuntos A e B. O conjunto S ∪ U está sombreado Note que os elementos “segunda-feira”. Vênus. quarta-feira. U ∪ S = {domingo. “quarta-feira”. quinta-feira. sexta-feira. sábado}. “quinta-feira” e “sexta-feira” foram escritos apenas uma vez. terça-feira. “terça-feira”. Vênus} MATEMÁTICA | Educação a Distância 23 .S = {domingo. segunda-feira. Vênus} A ∩ B = {Terra. terça-feira. quinta-feira.O conjunto A ∩ B está sombreado Sejam os conjuntos: U = {segunda-feira. terça-feira. sexta-feira} S = {domingo. sexta-feira}. quinta-feira. quarta-feira. quinta-feira. terça-feira. 24 MATEMÁTICA | Educação a Distância . quarta-feira. sábado}. U ∩ S = {segunda-feira. segunda-feira. quarta-feira. sexta-feira. terça-feira. O conjunto S ∩ U está sombreado Se a intersecção entre os conjuntos A e B não tem elementos (A ∩ B = Ø). dizemos que os conjuntos A e B são disjuntos. n(B) é o número de elementos do conjunto B. qual é o motivo para que esta expressão se verifique? Acompanhe os diagramas enquanto lê a explicação: Quando você busca o número de elementos da união de dois conjuntos A e B. R2: se A ⊂ B ⇒ A ∩ B = A.3. contamos novamente a sua intersecção com o conjunto A. assim: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) Mas. R3: se n(A) é o número de elementos do conjunto A. Suponha que exista intersecção entre os conjuntos A e B.1. contamos sua intersecção com B e. MATEMÁTICA | Educação a Distância 25 . quando contamos os elementos do conjunto B. Para se estabelecer a relação de igualdade. n(A ∪ B) é o número de elementos da união dos conjuntos A e B e n(A ∩ B) é o número de elementos da intersecção dos conjuntos A e B. você utiliza todos os elementos do conjunto A e todos os elementos do conjunto B. Quando contamos o número de elementos do conjunto A.5. Resultados Importantes R1: se A ⊂ B ⇒ A ∪ B = B. precisamos descontar os elementos que foram contados duas vezes. Saturno. Vênus} A − B = {Marte} B − A = {Netuno.5. Diferença entre Conjuntos (Subtração) Dados os conjuntos A e B. Assim: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) 1. Marte} B = {Terra. Mercúrio} O conjunto A − B está sombreado O conjunto B − A está sombreado 26 MATEMÁTICA | Educação a Distância . Mercúrio. Por isso. definimos como “Diferença entre A e B” (A − B) o conjunto formado por todos os elementos que estão em A e não estão em B. Netuno.4.Contamos a intersecção quando selecionamos A e depois contamos novamente quando selecionamos B. Exemplos: Sejam os conjuntos: A = {Terra. descontamos n(A ∩ B). Vênus. Saturno. para praticar. sexta-feira. terça-feira. Exercícios que envolvam apenas conceitos imediatos e teoria servem apenas para fixar o conteúdo.6.Note que A − B ≠ B − A Sejam os conjuntos: U = {segunda-feira. quinta-feira. geralmente. 1. U−S={} S − U= {domingo. sábado} O conjunto S − U está sombreado Note que U − S ≠ S − U Observação: se U ⊂ S. a diferença S – U denomina-se complementar do conjunto U em relação ao conjunto S. quarta-feira. Em outras palavras. sábado}. MATEMÁTICA | Educação a Distância 27 . Resolução de Problemas A teoria dos conjuntos tem várias aplicações em situações cotidianas que. segunda-feira. quarta-feira. é o que falta a U para ser S. sexta-feira} S = {domingo. terça-feira. aparecem em forma de problema. quinta-feira. c) 40%. 5 comeram a sobremesa X. b) 14%. 80% dos alunos leem o jornal X e 60%. Sabendo que todo aluno é leitor de pelo menos um dos jornais. o jornal Y. Mas.Após um jantar. assinale a alternativa que corresponde ao percentual de alunos que leem ambos: a) 80%. Assim.Em uma universidade são lidos apenas dois jornais. (INFO) . X e Y. (Alternativa C) II. o total é 100%. Sabe-se que das 10 pessoas presentes. e) 48%. 40% leem ambos os jornais. (INFO) . foram servidas as sobremesas X e Y. Resolução: Como todo aluno é leitor de pelo menos um dos jornais. 7 comeram a sobremesa Y e 3 comeram as duas. Quantas não comeram nenhuma das sobremesas? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 0 28 MATEMÁTICA | Educação a Distância . se você somar as parciais 80% e 60% o resultado é 140%.Exemplos I. Os 40% excedentes representam os valores que foram contados duas vezes: foram contados como leitores de X e depois como leitores de Y. d) 60%. posicionamos o valor correspondente à intersecção dos conjuntos (“3 comeram as duas”). o diagrama teria: 2 que comeram só X.Resolução: Acompanhe o diagrama enquanto lê a resolução: Para resolver este tipo de problema você precisa organizar os conjuntos citados X e Y contando com uma possível intersecção. (Alternativa A) MATEMÁTICA | Educação a Distância 29 . esta não comeu sobremesa alguma. Somando essas quantidades encontramos 9. A seguir. completamos os conjuntos X e Y: X já tem 3 elementos e precisa de mais 2 para completar 5. Y já tem 3 elementos e precisa de mais 4 para completar 7. Falta 1 pessoa para completar as 10 citadas. que representam as 9 pessoas que comeram alguma coisa (seja só X. Desta forma. Na sequência. só Y ou ambas). 4 que comeram só Y e 3 que comeram as duas sobremesas (X e Y). eles limitavam-se a fazer marcas e em uma vara. Quando descobriu o fogo.. 2. Mas como controlar o rebanho? Como ter certeza de que nenhuma ovelha (cabra) havia fugido ou sido devorada por algum animal selvagem? 30 MATEMÁTICA | Educação a Distância . o homem alimentava-se daquilo que a natureza oferecia: caça. Com o passar do tempo. Conjunto dos Números Naturais O trabalho de um pastor primitivo era muito simples. Para registrar os animais mortos em uma caçada.000 anos. para contar eram usados os dedos. ovos. as recolhia e guardava em um cercado. o homem vivia em pequenos grupos. passou a cultivar algumas plantas e criar animais. Em vez de apenas caçar e coletar frutos e raízes. frutos. sementes.. pedras.1. este sistema foi se aperfeiçoando até dar origem aos números. pela noite. ou cabras. marcas em um osso. Há mais de 30. A escrita ainda não tinha sido criada. morando em grutas e cavernas para se esconder dos animais selvagens e para se proteger da chuva e do frio.000 anos. A descoberta do número não aconteceu de repente. Os números surgiram da necessidade de contar objetos.2. para pastar e. mas não foi bem assim. Mais ou menos há 10. levava suas ovelhas. Nos primeiros tempos da humanidade. nem foi uma única pessoa a responsável por essa façanha. Pela manhã. Nessa época. Era o início da agricultura. apreendeu a cozinhar os alimentos e a proteger-se melhor contra o frio. nós em uma corda. o homem começou a modificar bastante o seu sistema de vida. CONJUNTOS NUMÉRICOS Você sabe como surgiram os números? Alguma vez parou para pensar nisso? Certamente já imaginou que um dia alguém teve uma ideia genial e de repente inventou o número. à medida que os animais entravam no cercado. Conjunto dos Números Inteiros Com o início do Renascimento surgiu a expansão comercial. (Esse pastor jamais poderia imaginar que milhares de anos mais tarde haveria um ramo da Matemática chamado Cálculo. No fim do dia.. 2. 2. que aumentou a circulação de dinheiro. A maneira que eles encontraram de resolver tais situações-problema consistia no uso dos MATEMÁTICA | Educação a Distância 31 . 5.. que em latim quer dizer contas com pedras). cinco animais. pela necessidade de contar. 3. Assim. representam o Conjunto dos Números Naturais ℕ = {0. Foi contando objetos com outros objetos que a humanidade começou a construir o conceito de número. e assim por diante. ele ia retirando as pedras do saquinho. 1.2. A associação entre dedos e números até hoje está presente na palavra dígito. obrigando os comerciantes a expressarem situações envolvendo lucros e prejuízos. cinco peixes. que provém do latim “digitus” e significa dedo. E os números que surgiram “naturalmente”. cada animal que saía para pastar correspondia a uma pedra. Pois se passou a relacionar a ideia de contagem com os dedos da mão: cinco dedos.O jeito que o pastor arranjou para controlar o seu rebanho foi contar as ovelhas (cabras) com pedras. O pastor colocava todas as pedras em um saquinho.}. 6. Nosso corpo teve papel importantíssimo nesse processo. 4. não bastava escrever lucros e prejuízos.}. A solução para isso foi vender partes da produção: meia cabra. Suponha que um comerciante tenha 30 kg de determinado produto em seu armazém.b ∈ ℤ e b ≠ 0}. Se ele vendesse 5 Kg desse produto.. 1. representam o Conjunto dos Números Racionais ℚ = {a/b. Surgia um novo conjunto numérico representado pela letra ℤ (Zahlen em alemão significa número).3. 0. E os números naturais acompanhados de seus opostos (negativos). ℕ⊂ℤ 2.}. 32 MATEMÁTICA | Educação a Distância . –1. elencando todos os números que podem ser escritos em forma de fração... –1. “Razão” à “Fração”. 3. 4. –2.–4. “Fração” à “Divisão” e “Divisão” a “Quociente”. Conjunto dos Números Racionais A expansão comercial aumentou ainda mais a circulação de dinheiro e. 2. E os números que surgiram pela necessidade de comercializar partes de algo. pois relacionamos “Racionais” à “Razão”. 0. escreveria o numeral 7 acompanhado do sinal +. se ele comprasse 7 Kg. 6. Era difícil pensar na comercialização de ovelhas e cabras inteiras (mesmo porque algumas famílias não tinham posses suficientes para compras de grande porte). –5.. –4. Surge nesse momento a necessidade de representar partes de um todo e com ele o conjunto ℚ dos números racionais.. 1. 5.–6. a . agora. escreveria o número 5 acompanhado do sinal –. –3. compõem o Conjunto dos Números Inteiros ℤ = {. parte de um porco.. 4. –3..símbolos + e –. Utilizando essa nova simbologia. Z = {. os Matemáticos da época desenvolveram técnicas operatórias capazes de expressar qualquer situação envolvendo números positivos e negativos... 2.. Usamos a letra ℚ para os racionais. 3. pela necessidade comercial de representar as dívidas. –2. Note que não conseguiríamos escrever todos os números racionais. 3/2.. ℕ⊂ℤ⊂ℚ O diagrama abaixo pode ser favorável para a memorização.5 que.. A parte branca corresponde às frações cujo quociente não é um número inteiro {1/2. . 1/3. que. −3.}. 1/3.. 3/3. MATEMÁTICA | Educação a Distância 33 ... Note que 1/2 = 0.. O que podemos fazer é citar alguns exemplos: {1/2. −5. Note ainda que 2/2 = 1 que. caso você tenha dificuldades em entender: Na representação acima: A parte cinza corresponde aos números naturais {0. −2. 1/4. 5. além de ser uma dízima periódica. é racional. 4. . 2.. A parte listrada corresponde aos números inteiros negativos {. é racional.. 3/4. 2/4.. . portanto. portanto. . 1. −1}.... é racional. 3..33333333..}.}. ainda pôde ser escrito em forma de fração e. ainda pôde ser escrito em forma de fração e. 2/3. também pôde ser escrito em forma de fração e. portanto.. uma vez que todos os números inteiros poderiam ocupar o lugar de “a” e “b”. Note também que 1/3 = 0. −4.. além de ser um decimal exato.. além de ser inteiro. 2/2.. 13/28. O Documentário é dividido em 4 capítulos. Conjuntos Numéricos Especiais Podemos ainda definir alguns conjuntos numéricos especiais. 34 MATEMÁTICA | Educação a Distância . Procure-os! Vale a pena! 2. Marcus du Sautoy. se um número for múltiplo de algum outro número (que não o 1). Apresentado pelo pesquisador e professor da Universidade de Oxford.estudarcomputacao. Este foi escolhido como Melhor Documentário produzido no ano pela estação BBC. Em outras palavras. Capítulo 1 .A Linguagem do Universo Capítulo 2 . o fi lme volta à história da matemática da Grécia e de Atenas e explica o quão importante ela ainda é para nós nos dias de hoje. cada capítulo está dividido em 5 ou 6 partes.1.com/2010/06/historia-da-matematica-serie-da-bbc-em. alguns funcionais e outros apenas curiosos.As Fronteiras do Espaço Capítulo 4 - Rumo ao Infi nito e Mais Além Devido ao limite de 10 minutos por vídeo postado no Youtube.Você pode encontrar no Youtube uma série vídeos produzidos pela BBC de Londres: “A História da Matemática” (The story of maths). Você encontra os links na sequência em: <http://www. não será primo.O Gênio do Oriente Capítulo 3 . 2.html>.4. Conjunto dos Números Primos É formado por todo número natural que pode ser dividido APENAS por 1 e por si mesmo.4. 47. Acesse o site a seguir e veja que muitos ainda estão construindo a matemática. 3.2. O que você precisa saber é “o que é um número primo” e não “quais são os números primos”. há números primos absurdamente grandes.com.4. memorize os cinco ou seis primeiros. Isso já é suficiente. 55.. 5.} Não há uma ordem de formação para o conjunto dos números primos.matematicahoje. 6. 29. 3. não tente criar um padrão pois você irá perder tempo.}. 31. Se houver dificuldade. 43. 13. 28. T = {1. . 23. Conjunto dos Números Triangulares É formado pelos números naturais que podem ser escritos geometricamente como uma figura triangular..br/telas/cultura/curiosidades/curiosidades. 17.P = {2. MATEMÁTICA | Educação a Distância 35 . 2. 7. e outros tantos são descobertos de tempos em tempos: <http://www.asp?aux=E>.. 37. 45. 11. 21. 19. 15.. 10. 36. 41. 62.4. Q = {1. 121. o que você precisa saber é isso. 52. . 82.. 36 MATEMÁTICA | Educação a Distância .3. Conjunto dos Números Quadrados É formado pelos números naturais que podem ser escritos geometricamente como uma figura quadrangular ou algebricamente como um número inteiro ao quadrado. 81. 9. 36. 64.} Q = {12.Tente se lembrar de um jogo de boliche ou de um jogo de sinuca Certamente. veremos mais conjuntos numéricos. 72. 32. 16. 4. 112. 2. 22. No momento. 100. 25. 92....} No futuro. 102. você reconheceu os números triangulares nos 10 pinos de boliche ou nas 15 bolas de sinuca. 49. 42. 6. 3.. 2. apesar de não conseguirmos explicitá-los. mas você deve saber identificá-los quando aparecerem. 5.} ℕ+ = {0. 0} Podemos estender o conceito para todos os outros conjuntos. 4. . 8. Outros Símbolos Há. 5. -5. é um múltiplo de dois! Note que zero pode ser escrito como duas vezes algum número inteiro: o próprio zero)..2.. -3. 6... -5. 2. -1. 6. MATEMÁTICA | Educação a Distância 37 ... .... . 3. 1. -2. 7. ℕ* = {1. -4. -2. 3. -4. . 5.} ℤ + = {0. mas tem paridade: ZERO É PAR! (afinal. -3.} = ℕ ℕ− = {0} ℤ* ={.. 4. . 7. 1. 8. ainda. 1. 2. 3. -1.5. 5. − no canto inferior esquerdo representa os números não positivos que fazem parte daquele conjunto (não confunda com negativos!).} = ℕ ℤ − = {.. + no canto inferior direito representa os números não negativos que fazem parte daquele conjunto (não confunda com positivos!). outros símbolos que nos ajudarão a restringir os conjuntos. 7. Eles não aparecem com tanta frequência.. 4. 8. 4. 2. Comentário: o número ZERO NÃO TEM SINAL (não é positivo nem negativo). * no canto superior direito representa os números não nulos que fazem parte daquele conjunto. 7. F e G.EXERCÍCIOS: 01. 9} G = {4. 4. 6. 2. 1. 4. 8} a) E ∪ F c) F ∪ G e) E ∪ G ∪ F g) E ∩ F ∩ G i) E – F b) F – E d) G – E f) G – F h) (F – G) ∩ (G – F) j) (E ∩ G) ∩ (G – F) 02. {3}. 8} F = {1. 5. 6. 2. 8. Considere o conjunto A = {0. 6. abaixo. 3. para determinar o que se pede: E = {3. Ø} para determinar se são verdadeiras (V) ou falsas (F) as afirmações a seguir: a) ( c) ( e) ( g) ( i) ( k) ( m) ( ) 0 ∈ A ) 0 ⊄ A ) 3∉ A ) {3} ∈ A ) {3} ⊄ A ) Ø ∈ A ) Ø ⊄ A b) ( d) ( f) ( h) ( j) ( l) ( n) ( )0⊂A ) 3∈ A )3⊄A ) {3} ∉ A ) {3} ⊂ A )Ø∉A )Ø⊂A 38 MATEMÁTICA | Educação a Distância . Considere os conjuntos E. 05. Seja o conjunto H = {n ∈ IN/ 2 < n < 40. 60 deles leem A e 80 leem o jornal B. 2. Ø} ⊂ A ) {1. a) Quantos alunos leram os dois romances? MATEMÁTICA | Educação a Distância 39 . Escreva todos os elementos que compõem o conjunto H. 1. Dos 56 alunos de uma classe da escola. 2. 2. {3}} ⊂ A ) {1. Uma pesquisa foi feita com 100 leitores de um jornal. 4}. 3} ∈ A ){}∈A 03. 3} ⊂ A ) {1. B = {0. 1. Quantos leitores leem os dois jornais? 06. use os símbolos ⊂ e ⊄ para determinar a relação de inclusão entre os pares de conjuntos a seguir: a) A ___ B b) A ___ C c) A ___ D d) B ___ C e) B ___ D f) C ___ D 04. Dados os conjuntos A = {1}. 1. onde n é múltiplo de 2 e não é múltiplo de 3}. {3}} = A ) A ⊂ Ø p) ( r) ( t) ( v) ( x) ( z) ( ) {1} ∈ A ) {1. 1} C = {1. 2} ⊂ A ) {{3}. Constatou-se que cada um deles é leitor de pelo menos um dos jornais A ou B. 3} ⊂ A ) {0. 40 já leram pelo menos um dos romances de Machado de Assis. 3} e D = {0. 2.o) ( q) ( s) ( u) ( w) ( y) ( ) {1} ⊂ A ) {1. Memórias Póstumas de Brás Cubas (MPBC) ou Dom Casmurro (DC). 28 alunos já leram MPBC e 31 já leram DC. 2. Ø} ⊂ A ) {0. Considerando que todas as pessoas encontradas no local são suspeitas. 80 estão matriculados em Francês. 2 mulheres usavam óculos. 5 pessoas usavam óculos. Itajubá-MG) Uma população utiliza 3 marcas diferentes de sabonete: A. 270 leram B. Qual é o percentual de pessoas que não tem nem o pé nem o irmão chato? 09. colheram-se os resultados: 21 consumidores usam A. (F. Qual é a probabilidade de que o estudante selecionado esteja matriculado em pelo menos uma dessas disciplinas? 08. Feita uma pesquisa de mercado. d) Quantos utilizam duas marcas. 6 usam B e C. 180 frequentavam um curso de idiomas e 120 realizavam as duas atividades. e 340 não leram o romance A. 40% da população têm pé chato.M. (UFMA) Em um homicídio praticado na Rua X. O número de estudantes desse grupo é igual a: 12. 17 usam B. f) Quantos não utilizam A. 240 praticavam futebol. sobre as pessoas encontradas no local do crime: havia 5 mulheres. h) Quantos não utilizam C. Em um grupo de estudantes. B e C. g) Quantos não utilizam B. 4 homens não usavam óculos. então quantos são 40 MATEMÁTICA | Educação a Distância . Dos 500 alunos entrevistados em um colégio. b) Quantos só utilizam B. Seleciona-se. um dos 200 estudantes. e) Quantos utilizam exatamente duas marcas. Quantos realizam pelo menos uma atividade? 10. De um grupo de 200 estudantes. a polícia fez as seguintes anotações. Em uma certa cidade. c) Quantos só utilizam C. ao acaso. no boletim de ocorrência. 11. Calcule: a) Quantos consumidores só utilizam A. 7 usam A e C e 3 consumidores usam as 3 marcas. verificou-se que 310 leram apenas um dos romances. 4 usam A e B. 80 leram A e B. 25% um irmão chato e 15% além de ter pé chato ainda têm um irmão chato. A ou B. 15 usam C. 110 em Inglês e 40 não estão matriculados nem em Inglês nem em Francês.b) Quantos alunos não leram MPBC? 07. . . observando dois tipos de contaminação dos animais. (UEL) Um grupo de estudantes resolveu fazer uma pesquisa sobre preferências dos alunos quanto ao cardápio do Restaurante Universitário.8 pessoas leem as revistas A e B. B e C.5 pessoas leem as 3 revistas. 7 por carne bovina e frango. O número de alunos que gostam de Matemática e Física simultaneamente é: 14. 77 apresentavam sinais de contaminação tanto por óleo mineral como por radioatividade e 43 apresentavam sinais de apenas um dos dois tipos de contaminação. estão indicados abaixo: . 36 não optaram por carne bovina e 42 não optaram por peixe. Quantas tartarugas foram observadas? 15. 9 por peixe e carne bovina e 4 pelos três tipos de carne. 35 não apresentavam sinais de contaminação por radioatividade. Considerando que 20 alunos manifestaram-se vegetarianos.os suspeitos? 13.63 pessoas leem a revista C. .65 pessoas leem a revista B. MATEMÁTICA | Educação a Distância 41 . Em um colégio de segundo grau com 2000 alunos. A. . foi realizada uma pesquisa sobre o gosto dos alunos pelas disciplinas de Física e Matemática. . constatou em um de seus postos de pesquisa que: 88 tartarugas apresentavam sinais de contaminação por óleo mineral. 800 de Física e 500 não gostam de nenhuma das duas. (CONSULPLAN) Os resultados de uma pesquisa em que várias pessoas foram entrevistadas sobre suas preferências em relação a 3 tipos de revistas. 3 somente por peixe.39 pessoas não leem nenhuma das 3 revistas. Quantos alunos foram entrevistados? 16. Nove alunos optaram somente por carne de frango. (FEI-SP) Um programa de proteção e preservação de tartarugas marinhas. Os resultados da pesquisa são: 1000 alunos gostam de Matemática.52 pessoas leem a revista A. foram consultadas 470 pessoas e o resultado foi o seguinte: 250 delas leem o jornal A.300 pessoas apreciam os dois clubes e 4 500 pessoas apreciam o clube A. constatou-se que 1. Uma cidade que tem 10.12 pessoas leem as revistas A e C.200 pessoas não apreciam nenhum dos clubes. 1. Quantas pessoas foram entrevistadas? a) 180 c) 170 e) 190 17.14 pessoas leem as revistas B e C. 180 leem o jornal B e 60 leem os jornais A e B. Senhora b) 200 d) 210 42 MATEMÁTICA | Educação a Distância .000 habitantes possui dois clubes de futebol: A e B. 19. Uma editora estuda a possibilidade de lançar novamente as publicações: Helena.. . Pergunta-se: a) Quantas pessoas leem apenas o jornal A? b) Quantas pessoas leem apenas o jornal B? c) Quantas pessoas leem jornais? d) Quantas pessoas não leem jornais. Em uma pesquisa sobre a preferência em relação a dois jornais. Em uma pesquisa feita com todos os habitantes. Pergunta-se: a) Quantas pessoas apreciam apenas o clube A? b) Quantas pessoas apreciam o clube B? c) Quantas pessoas apreciam apenas o clube B? 18. Feito um levantamento de mercado sobre o consumo desses produtos. b) O número de pessoas que não leu nenhuma obra. Em um grupo de 99 esportistas. efetuou uma pesquisa de mercado e concluiu que em cada 1000 pessoas consultadas: 600 leram A Moreninha. 400 leram Helena. 11 jogam as três modalidades. Para isto. 20.e A Moreninha. B e C. 300 leram Senhora. 40 jogam vôlei. Calcule: a) O número de pessoas que leu apenas uma das três obras. 150 leram A Moreninha e Senhora. c) O número de pessoas que leu duas ou mais obras. obteve-se o seguinte resultado disposto na tabela a seguir: MATEMÁTICA | Educação a Distância 43 . 20 leram as três obras. 200 leram A Moreninha e Helena. 18 jogam vôlei e tênis. 20 jogam vôlei e xadrez. Em uma cidade são consumidos três produtos A. O número de pessoas que jogam xadrez é igual ao número de pessoas que jogam tênis. 100 leram Senhora e Helena. Pergunta-se: a) Quantos jogam tênis e não jogam vôlei? b) Quantos jogam xadrez ou tênis e não jogam vôlei? c) Quantos jogam vôlei e não jogam xadrez? 21. 22 jogam xadrez e tênis. 260 acertaram o segundo. B e C Nenhum Pergunta-se: Número de Consumidores 150 200 250 70 90 80 60 180 a) Quantas pessoas consomem apenas o produto A? b) Quantas pessoas consomem o produto A e o produto B? c) Quantas pessoas consomem o produto A ou o produto B? d) Quantas pessoas consomem apenas o produto C? e) Quantas pessoas foram consultadas? 22. verificou-se que 2000 pessoas usam os produtos A ou B. e 320 pessoas usam os dois produtos ao mesmo tempo. O produto B é usado por 800 pessoas. Em uma pesquisa de mercado. 100 alunos acertaram os dois e 210 erraram o primeiro. 300 alunos acertaram somente um dos problemas. (Faap-SP) Uma prova era constituída de dois problemas. Quantas pessoas usam o produto A? 23.Produtos A B C AeB AeC BeC A. Quantos alunos fizeram a prova? 44 MATEMÁTICA | Educação a Distância . Qual seria o melhor método para aplicar tal teoria em seu curso? MATEMÁTICA | Educação a Distância 45 . de que forma isso surge? 3. Além disso. As situações envolvendo teoria de conjunto são bastante racionais. interpretar. Entender a história pode representar um conhecimento mais amplo acerca de diversos conceitos. seria mais fácil enumerar os seus elementos termo a termo. você verá que há muitos problemas para ler. No decorrer do material.CONSIDERAÇÕES FINAIS Durante esta unidade. o que falta é a prática (mesmo que seja exigida desde a contagem). Nesse contexto. você deve ter visto a importância de representar os números em conjuntos. agrupar informações relevantes e determinar o método de resolução para que. Deve ter visto também. finalmente. você verá que a matemática é composta por diversos conceitos e teorias que podem fazer muita diferença para o seu desenvolvimento acadêmico. ATIVIDADE DE AUTOESTUDO 1. sem generalizações? 2. Geralmente. Se não existisse o conceito. Para a matemática. sejam feitos alguns cálculos a fim de encontrar uma resposta. digo que não existem dificuldades na matemática. a possibilidade de reescrever os conjuntos de outras formas. de acordo com a necessidade. Há vários problemas envolvendo conjuntos. deve ter cansado de ver a palavra “necessidade” explicando o surgimento da matemática. Trata-se de um livro completo. a contextualização e a interdisciplinaridade. Luis Roberto.DANTE. São Paulo: Ática. atual e perfeitamente sintonizado com as novas tendências para os conceitos e conteúdos do Ensino Médio. 3. Matemática: Contextos e Aplicações – Volume Único. priorizando a compreensão. edição. 2008. O livro inclui 300 questões dos últimos vestibulares e dos últimos exames do Enem. 46 MATEMÁTICA | Educação a Distância . Documents Similar To Matematica 1Skip carouselcarousel previouscarousel nextConjunto conjuntos 3AVALIAÇÃO 1 - PRODUÇÃO DE MATERIAIS AUTOINSTRUTIVOS PAR EAD-Texto de matemática - EMAula_02Teoria Dos ConjuntosQUESTOES_GABARITADASLivro+Pre CalculoSimbolos MatematicosAula 1nivelamento matematicaARTIGO DISCALCULIAConjuntos Númericos e Teoria Dos Conjuntos Teoria 2Fórmula Da União de 3 ConjuntosAula 06 conjuntos.pdfSímboloCurso de Analise Vol11 (1)( Aula 1 ) Conjuntos numéricosLivro Proprietario - Fundamentos de MatematicaApostila de Matemática IEron Conjuntos Reais Relacoes Matematica Uneb Parforprecalculo1aula01_cal1109046836Aritmética FRAGMENTOS e SUMÁRIO2Apostila UECE 2016 Free, Para Comprar Mande Um Email Para [email protected]ímbolos MatemáticosTeoria Dos Conjuntos02- Módulo de Matemática - Ministério da Fazenda - Assistente Téc. 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