1Universidad Nacional de Moquegua Carrera Profesional de Ingeniería de Minas Guía 02 de Matematica IV Docente: José O. Quintana Q. Fecha: Setiembre de 2010. —————————————————————————————– Crecimiento y Decrecimiento Poblacional El problema de valor inicial dx dt = kx x(t 0 ) = x 0 (1) este modelo matemático se usa para determinar el crec- imiento poblacional o el decrecimiento poblacional bajo ciertas condiciones, donde k es la constante de propor- cionalidad y x(t) es la población en cualquier instante t, x 0 es la población inicial para un tiempo t 0 : 1. Si k > 0 la población crece. 2. Si k < 0 la población decrece. Este modelo (1) se usa en Biología para modelar el crecimiento o decrecimiento poblacional de ciertas bac- terias, en Física para modelar la desintegración radioac- tiva de una sustancia, en Química para poder modelar la cantidad restante de una sustancia durante ciertas reac- ciones. NOTA: La constante k se determina a partir de la solución de la ecuación (1) usando una población poste- rior al instante t 0 es decir t 1 > t 0 : Ejemplo 1 Se sabe que la población en cierta comu- nidad aumenta en un instante cualquiera con una rápidez proporcional al número de personas presentes en dicho instante si la población es de 10,000 habitantes después de 3 años y la población se duplica en 5 años ¿Cuál será la población inicial? ¿Cuál será población en 10 años?. Solución. Usemos el modelo (1) dx dt = kx (2) sea x 0 la población inicial t = 3 años x(t) = 10000 t = 5 años x(t) = 2x 0 t = 0; x 0 =? t = 10 años x(10) =? resolvamos la ecuacion diferencial (2) t = 0 =x(0) = x 0 Separando variables e integrando la ecuación (2) se tiene _ dx x = _ kdt lnx = kt +c x = ce kt Si t = 0 =x 0 = ce 0 =c = x 0 ) x(t) = x 0 e kt (3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . para determinar x 0 =? consideramos t = 3 =x(3) = 10000 = 10 4 = x 0 e 3k (4) t = 5 =x(5) = 2x 0 = 2x 0 = x 0 e 5k (5) de la ecuación (??) despejamos k ln2 = 5k =k = ln2 5 determinamos x 0 de (4) reemplazando k y tenemos 10 4 = x 0 e 3( ln 2 5 ) x 0 = 10 4 e 3 5 ln 2 habitantes hallamos x(10) =? consideremos (3) x(t) = x 0 e kt reemplazamos en (3) t = 10; x 0 = 10 4 e 3 5 ln 2 x(10) = 10 4 e 3 5 ln 2 :e 10 5 ln 2 x(10) = 10 4 e (2 3 5 ) ln 2 x(10) = 10 4 e 7 5 ln 2 habitantes. Ejemplo 2 La cantidad de bacterias de un cultivo crece, en un instante cualquiera, con una rápidez proporcional al número de ellos que haya en dicho instante, después de 3 horas se observa que se tienen 400 bacterias, y que al cabo de 10 horas hay 2000 ¿Cuál es el número inicial de bacterias? Solución. Sea x 0 = población inicial la razón de variación de bacterias es dx dt = kx (I) t = 3 horas =x(3) = 400 bacterias t = 10 horas =x(10) = 2000 bacterias t = 0 =x(0) = x 0 =? Resolvemos la ecuación diferencial (I) por separación de variable y integrando se tiene _ dx x = k _ dt =lnx = kt +c x = e kt+c x = ce kt 2 ) x(t) = ce kt II usamos las condiciones dadas para hallar x 0 =? Si t = 3 =x(3) = 400 =400 = ce 3k (1) Si t = 10 =x(10) = 2000 =2000 = ce 10k (2) (+) obtenemos el sistema (+) hallamos c y k para poder determinar x 0 =? al dividir la ecuación 1 entre la ecuación 2 hallamos k esto es: 1 5 = e 7k =ln _ 1 5 _ = ÷7k =k = ÷ 1 7 ln _ 1 5 _ para hallar c reemplazamos el valor de k en cualquier ecuación del sistema + por ejemplo ecuación (1) del sistema (+) c = 400:e 3k c = 400:e 3( 1 7 ln( 1 5 )) c = 400e 3 7 ln( 1 5 ) como ya conocemos el valor de k y c reemplazamos en II 10 4 = x 0 e 3( ln 2 5 ) x 0 = 10 4 e 3 5 ln 2 es decir x(t) = ce kt x(t) = 400e 3 7 ln( 1 5 ) e [ 3 7 ln( 1 5 )]t ahora si t = 0 hallamos x(0) = x 0 =? x(0) = 400e 3 7 ln( 1 5 ) e [ 7 7 ln( 1 5 )](0) x(0) = 400e 3 7 ln( 1 5 ) es la población inicial. Ejemplo 3 Inicialmente había 100 miligramos de masa de una sustancia radioactiva, después de 6 horas la masa disminuyo en 3 % si la rapidez de desintegración es en un instante cualquiera proporcional a la cantidad de sus- tancia en dicho instante. Halle la cantidad que queda después de 24 horas. Solución. t = 0 =x(0) = 100 miligramos t = 6 horas = x(6) = 100 % ÷ 3 % = 97 % = 97 miligramos dx dt = kx t = 0 =x(0) = 100 miligramos x(t) = ce kt t = 0 =x(0) = 100 usando la condición inicial se tiene que c = 100 ) x(t) = 100e kt Para hallar la cantidad de sustancia después de 24 horas usamos (I) para esto falta determinar k =? usamos la segunda condición dada del problema t = 6 horas =x(6) = 97 usamos (I) 97 = 100e 6k = 97 100 = e 6k = ln _ 97 100 _ = 6k k = 1 6 ln _ 97 100 _ reemplazamos en I y tenemos x(t) = 1000e [ 1 6 ln( 97 100 )] t ahora, ya se puede determinar, usamos la ecuación anterior: x(24) = 100e [ 1 6 ln( 97 100 )] 24 x(24) = 100e 4 ln( 97 100 ) x(24) = 88;529281. Ley de Enfriamiento de Newton La ley de Newton de enfriamiento: dice que un cuerpo que se esta enfriando la razón de cambio de la temper- atura T (t) es proporcional a la diferencia entre la tem- peratura del cuerpo y la temperatura constante T m del medio que lo rodea es decir: dT dt = k (T ÷T m ) donde k es la constante de proporcionalidad. Ejemplo 4 Un termómetro que está en el interior de una habitación se lleva al exterior, en donde la temper- atura del aire es de 5 o F. Después de 1 minuto el ter- mometro marca 55 o F y después de 5 minutos marca 30 o F ¿Cuál es la temperatura de la habitación? Solución. T m = 5 o F t = 1 minuto =T = 55 o F t = 5 minutos =T = 30 o F t = 0 minuto =T (0) =? sabemos que la razón de cambio de temperatura de cuerpo es: dT dt = k (T ÷T m ) ; t m = 5 o F dT dt = k (T ÷5) Resolvemos la ecuación diferencial por separación de variables _ dT T ÷5 = k _ dt ln(T ÷5) = kt +c T ÷5 = e kt+c T ÷5 = ce kt T = 5 +ce kt (+) con las condiciones del problema podemos hallar c y k una vez hallamos esto valores podremos hallar T (0) =? en efecto: Si t = 1 minuto =T = 55 o F =55 = 5 +ce k Si t = 5 minutos =T = 30 o F =30 = 5 +ce 5k 3 resolvemos el sistema 50 = ce k (1) 25 = ce 5k (2) dividimos (1) entre (2) hallamos k 2 = e 4k =ln2 = ÷4k =k = ÷ 1 4 ln2 reemplazamos k en cualquier ecuación del sistema por ejemplo la ecuación (1) para hallar c 25 = ce 1 4 ln 2 =c = 25e 5 4 ln 2 reemplazamos 1 valor de c y k en (+) T (t) = 5 + 25e 5 4 ln 2 :e ( 1 4 ln 2)t T (t) = 5 T (t) = 25e 5 4 ln 2 :e ( 1 4 ln 2)t (++) determinamos T (0) =? Si t = 0 reemplazamos en (++) T (0) = 5 + 25e 5 4 ln 2 :e ( 1 4 ln 2)(0) T (0) = 5 + 25e 5 4 ln 2 (1) T (0) = 5 + 25 _ 4 _ 2 _ 5 Ejemplo 5 Una pequeña barra de metal, cuya temper- atura inicial es de 20 o C, se deja caer en un recipiente con agua hirvindo. Calcule el tiempo que dicha barra de- morará en alcanzar los 90 o C si se sabe que su temper- atura aumento 2 o C en 1 segundo ¿Cuánto demorará la barra en alcanzar los 98 o C? Solución. T (0) = 20 o C temperatura inicial de bar- ra T m = 100 o C temperatura del medio ambiente t =? T = 90 o C t = 1 seg =T (1) = 22 o C ¸20 o + 2 o | resolvemos el problema con condición lineal dT dt = k (T ÷T m ) ; t (0) = 20 o C al hacer separación de variables e integrar se tiene _ dT T ÷100 o = k _ dt ln(T ÷100) = kt +c T ÷100 = e kt+c T = 100 +ce kt + hacemos uso de la condición lineal para hallar c 20 = 100 +ce k(0) c = ÷80 reemplazamos el valor de c en (+) y tenemos T = 100 ÷80e kt (++) ahora hallamos el valor de k con la segunda condición t = 1 seg T = 22 o C reemplazando en (++) tenemos: 22 = 100 ÷80e k 78 80 = e k =ln _ 78 80 _ = k reemplazamos en (++) el valor de k T = 100 ÷80e t ln( 78 80 ) + ++ ahora recien podemos responder las interrogantes: t =? para que T = 90 o C reemplazamos en (+ + +) 90 = 100 ÷80e t ln( 70 80 ) ÷10 = ÷80e t ln( 70 80 ) ln _ 1 8 _ = t ln _ 78 80 _ t = ln _ 1 8 _ ln _ 78 80 _ t = ÷ ln8 ln 39 40 t =? para que T = 98 o C reemplazando en (+ + +) se tiene 98 = 100 ÷80e t ln( 78 80 ) ÷2 = ÷80e t ln( 78 80 ) ln _ 1 40 _ = t ln _ 78 80 _ t = ln _ 1 40 _ ln _ 78 80 _ t = ÷ ln40 ln 39 40 Circuitos Eléctricos Aplicamos las ecuaciones deferenciales lineales de primer orden a circuitos eléctricos en serie. 1. Circuitos eléctricos L-R en serie. a) LA SEGUNDA LEY DE KIRCHOFF: Dice que en un circuito en serie que contiene sólo una resitencia y una inductancia, la suma de las caídas de voltaje a través del inductor \L di dt " y del resistor “iR” es igual a la tensión E (t) aplicada al circuito es decir: donde L y R son constantes conocidos como inductancia y resistencia respectivamente L se mide en Henrys y R en Ohmios b) Circuitos Electricos R-C en serie Aplicando nuevamente la segunda ley de Kir- cho¤: La suma de las caídas de voltaje a través de un capacitador con capacitancia C dado por “ q (t) C ” y el resistor “iR” es igual a la tensión “E (t)” apli- cado en el circuito esto es: Ri + 1 C q = E (t) . ¸¸ . 4 donde al corriente i y la carga q están rela- cionados por i = dq dt luego la ecuación (+) se transforma en: R dq dt + 1 C q = E (t) NOTA: Las ecuaciones L di dt +Ri = E (t) R dq dt + 1 C q = E (t) Son ecuaciones lineales que se pueden llevar a la forma di dt + R 2 i = E L (t) (1) dq dt + 1 RC q = E (t) R (2) sabemos que su factor integrante para (1) es: u(t) = e R L t y de (2) es u(t) = e 1 RC t por ejemplo resolvamos (1) di dt + R L i = E (t) L multiplicamo por su factor integrante u(t) = e R L t a (1) se tiene e R L t di dt +e R L t R L i . ¸¸ . q = e R L t E (t) L ¸ .. ¸ d dt _ ie R L t _ = e R L t E (t) L ie R L t = _ e R L t E (t) L dt +C i = e R L t _ e R L t E (t) dt +Ce R L t ) i (t) = e R L t L _ e R L t E (t) dt +Ce R L t Observación: L y R son constantes dados en el problema E (t) puede que sea constante o una función que dependa de t Por ejemplo: 1. Si E (t) = E 0 senwt i (0) = i 0 Resolver la ecuación 1 esto es: L di dt +Ri = E (t) i (0) = i 0 es un problema de valor inicial, luego di dt + R L i = E (t) L reemplazamos E (t) = E 0 senwt di dt + R L i = E 0 senwt L ; E 0 =constante(+) sabemos que su factor integrante es u(t) = e R L t multiplicamos a (+) por u(t) y se tiene: e R L t di dt +e R L t R L i . ¸¸ . q = e R L t E 0 senwt L ¸ .. ¸ d dt _ ie R L t _ = e R L t E 0 senwt L e R L t i = E 0 L _ e R L t senwtdt +C (++) desarrollamos la integral _ e R L t senwtdt =? integración por partes Sea u = e R L t =du = R L e R L t dt dv = senwtdt =v = ÷ 1 w cos wt _ e R L t senwtdt = ÷ e R L t w cos wt + r Lw _ e R L t cos wtdt nuevamente integramos por partes _ e R L t senwtdt = ÷ e R L t w cos wt + + R Lw _ e R L t w senwt ÷ R Lw _ e R L t senwtdt _ luego: _ e R L t senwtdt = ÷e R L t cos wt + R Lw 2 e R L t senwt ÷ _ R Lw _ 2 e R L t senwtdt _ e R L t senwtdt = ÷e R L t cos wt + R Lw 2 e R L t senwt 1 + _ R Lw _ 2 Reemplazando el valor de esta integral en (++) se tiene e R L t i = E o L _ ¸ ¸ ¸ _ ÷e R L t cos wt + R Lw 2 e R L t senwt 1 + _ R Lw _ 2 _ ¸ ¸ ¸ _ +C i = E o L e R L t _ ¸ ¸ ¸ _ ÷e R L t cos wt + R Lw 2 e R L t senwt 1 + _ R Lw _ 2 _ ¸ ¸ ¸ _ + Ce R L t i (t) = E o L _ ¸ ¸ ¸ _ ÷cos wt + R Lw 2 senwt 1 + _ R Lw _ 2 _ ¸ ¸ ¸ _ +Ce R L t 5 Hallamos C haciendo uso de la condición lineal: i (0) = i o ¸t = 0 =i (0) = i o | i o = E o L _ ¸ ¸ ¸ _ ÷1 + 0 1 + _ R Lw _ 2 _ ¸ ¸ ¸ _ +C C = i o + E o L _ 1 + _ R Lw _ 2 _ luego, la solución será: i (t) = E o L _ ¸ ¸ ¸ _ ÷cos wt + R Lw 2 senwt 1 + _ R Lw _ 2 _ ¸ ¸ ¸ _ + i o + E o e R L t L _ 1 + _ R Lw _ 2 _ Ejemplo 6 A un circuito en serie, en el cual la resi- tencia es de 1000 y la capacitancia de 5 10 6 F, se le aplica una tensión de 200 V. Encuentre la carga q (t) en el capacitador si i (0) = 0;4 Determinar la carga y la corriente para t = 0;005 seg y la carga cuando t ÷· Solución. R = 10 3 C = 5 10 6 F E (t) = 200V q (t) =? i (0) = 0;4 q (0;005) =? i (0;005) =? q (·) =? Sabemos que R dq dt + 1 C q = E (t) dq dt + 1 RC q = E (t) R Reemplazando el valor de R, C y E se tiene dq dt + q 10 3 5 10 6 = 200 1000 dq dt + q 5 10 3 = 1 5 dq dt + 200q = 1 5 ; u(t) = e 200 R dt = e 200t e 200t dq dt +e 200t 200q = e 200t 5 d dt _ e 200t q _ = e 200t 5 e 200t q = 1 5 _ e 200t dt e 200t q = 1 10 3 e 200t +C q = 1 10 3 +Ce 200t ) q (t) = 1 10 3 +Ce 200t (+) determinamos C usando la condición i (0) = 0;4 0;4 = 1 10 3 +Ce 20 0(0) C = 0;4 ÷ 1 10 3 C = 400 ÷1 10 3 = 399 10 3 C = 399 10 3 ) q (t) = 1 10 3 + 399 10 3 e 200t la carga para cualquier tiempo si t = 0;005 =q (0;005) =? q (0;005) = 1 10 3 + 399 10 3 e 200(0;005) q (0;005) = 1 10 3 + 399 10 3 e 1 q (0;005) = Hallamos i (0;005) sabemos que i = dq dt i = dq dt = ÷ 200 399 10 3 e 200t i = ÷ 2 399 10 e 200t si t = 0;005 i = ÷ 2 399 10 e 200(0;005) i (0;005) = ÷ 2 399 10e si t ÷·=q (·) = 1 10 3 + 399 10 3 e 200t q (·) = 1 10 3 Aplicación de Mezclas Hay muchas aplicaciones de ecuaciones diferenciales a los procesos químicos por ejemplo: Se quiere saber la concentración de una sustancia en cualquier instante en un tanque. Sea x(t) la concentración de sustancia entonces la razón de cambio de la concentración en el tanque es da- do por: dx dt = _ Tasa ingreso _ ÷ _ Tasa salida _ en la formulación de la ecuación diferencial ocurre 3 casos Primer Caso: Cuando el volumen del tanque permanece constante, consideremos el siguiente gra…co Se ve que el tanque ingresa una concentración de 3 lb/gl a una rapidez de 5 gl/minuto y sale la sustancia del tanque a una rapidez de 5 gl/minuto y se considera que en el tanque hay 100 gl inicialmente en el cual hay 20 gl de cualquier sustancia disuelta. Y si quisieramos hallar la cantidad de sustancia para cualquier instante. Observación: se ve en este problema que el volumen del tanque permanece constante ya que entre 5 gl/minuto y sale a 5 gl/minuto. 6 Resolvamos este problema. Planteamos la ecuación diferencial, consideremos x(t) la cantidad de sustancia la razón de cambio de la sustancia en el tanque será: dx dt = _ Tasa ingreso _ ÷ _ Tasa salida _ a) Concentración que entra al tanque 3 lb gl 5gl minuto = 15 lb minuto es la concentración de sustancia y no el volumen del liquido. b) Concentración que sale del tanque Sea x la cantidad de sustancia en el tanque disuelto en los 100 gl del tanque. En cualquier instante ya que el volumen del liquido permanece constante. Hallamos entonces la concentración que sale xlb 100gl 5gl minuto = 5 100 lb minuto luego reemplazamos en (+) los resultados obtenidos en a) y b) dx dt = 15 ÷ 5x 100 x(0) = 20 es un problema con condiciones lineales es una ecuación lineal dx dt + 1 20 x = 15 x(0) = 20 su factor integrantes es u(t) = e 1 20 R dt = e t 20 luego, e t 20 dx dt +e t 20 1 20 x . ¸¸ . = 15e t 20 d dt _ e t 20 x _ = 15e t 20 e t 20 x = 15 _ e t 20 dt +C e t 20 = 15 20e t 20 +C x(t) = 300 +Ce t 20 si t = 0 =x(0) = 20 20 = 300 +C =C = ÷280 ) x(t) = 300 ÷280e t 20 Rpta. Segundo caso Cuando el volumen del tanque varía , puede ocurrir que aumente o disminuya. a) Si el volumen aumenta Observar el siguiente grá…co Observación: Por cada minuto que transcurre del tanque aumenta en 2 gl por que entra 5 gl/minuto y sale 3 gl/minuto y la diferencia es 2 gl/minuto. El planteamiento de la ecuación diferencial será: consideramos x(t) concentración de sustancia y la razón de variación de la concentración será: dx dt = _ Tasa ingreso _ ÷ _ Tasa salida _ (+) i) determinamos la concentración que entra al tanque: 3lb gl 5gl minuto = 15lb minuto ii) determinamos la concentración que sale del tanque. Sea x la cantidad de sustancia en lb disuelta en (100 + 2t) gl en cualquier instante, luego x (100 + 2t) gl 3gl minuto = 3x 100 + 2t lb minuto reemplazamos en (+) los valores obtenidos en (i) y (ii) y obtenemos dx dt = 15 ÷ 3x 100 + 2t x(0) = 20 _ _ _ (++) (++) es una ecuación lineal con condiciones ini- ciales, esto es dx dt + 3 100 + 2t x = 15 (I) x(0) = 20 su factor integrante será u(t) = e 3 R dt 100+2t = e 3 2 lnj100+2tj = (100 + 2t) 3 2 u(t) = (100 + 2t) 3 2 multiplicamos a (I) por el valor de u(t) (100 + 2t) 3 2 dx dt + 3 (100 + 2t) 3 2 100 + 2t x = 15 (100 + 2t) 3 2 (100 + 2t) 3 2 dx dt + 3 (100 + 2t) 1 2 x . ¸¸ . q = 15 (100 + 2t) 3 2 d dt _ (100 + 2t) 3 2 x _ = 15 (100 + 2t) 3 2 (100 + 2t) 3 2 x = 15 _ (100 + 2t) 3 2 dt+ c (100 + 2t) 3 2 x = 15: 1 5 (100 + 2t) 3 2 +c x = 3 (100 + 2t) +c (100 + 2t) 3 2 (+ + +) determinamos el valor de c con la condición inicial x(0) = 20 reemplazamos en (+ + +) si t = 0 =x(0) = 20 20 = 300 +c10 3 =c = ÷ 280 10 3 = ÷280 10 3 reemplazamos el valor de c en (+ + +) ) x(t) = 3 (100 + 2t) ÷28 10 4 (100 + 2t) 3 2 es la cantidad de concentración de la sustancia en cualquier instante en el tanque. 7 b) Si el volumen del contenido del tanque disminuye Observar el siguiente gra…co Observación: Se ve que el volumen del líquido contenido que transcurre ya que ingresa 5 gl/minuto y sale a 7 gl/minuto la diferencia es 2 gl/minuto en esta vez sólo plantearemos la ecuación diferencial y la solu- ción es similar a los casos resueltos. La razón de cambio de la concentración de la sus- tancia es: dx dt = dx dt = _ Tasa ingreso _ ÷ _ Tasa salida _ i) Concentración de sustancia que entra al tanque 3 lb gl : 5gl minuto = 15 lb minuto ii) Concentración de sustancia que sale del tanque xlb (100 ÷2t) gl 7gl minuto = 7x 100 ÷2t reemplazamos en (+) los resultados obtenidos en i) y ii) y obtenemos: dx dt = 15 ÷ 7x 100 ÷2t x(0) = 20 dx dt + 7 100 ÷2t x = 15 x(0) = 20 (++) (++) Es una ecuación lineal con condición inicial y se resuelve similarmente como en el caso anterior. PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Se sabe que la población de cierta comunidad au- menta en un instante cualquiera con una rápidez proporcional al número de personas presentes en dicho instante. Si la población se duplica en 5 años, ¿Cuánto demorará en triplicarse?¿Cuánto demor- ará en cuadriplicarse? Rpta. 7.9 años, 10 años. 2. La población de una pequeña ciudad crece en un instante cualquiera, con una rapidez proporcional a la cantidad de habitantes en dicho instante, su población inicial inicial de 500 aumenta 15 % en 10 años ¿Cuál será la población dentro de 30 años? Rpta. 760 3. Bacterias en un cierto cierto incrementan a una tasa proporcional al número presente. Si el número original se incrementa en un 50 % en 1 2 hora. ¿En cuánto tiempo se espera tener tres veces el número original?¿cinco veces el número original? Rpta.1.35 horas; 1.98 horas 4. Si la población de un país se duplica en 50 años ¿En cuántos años será el triple suponiendo que la velocidad de aumento sea proporcional al número de habitantes presentes en dicho instante? Rpta. 79 años 5. En cierto cultivo de bacterias la velocidad de au- mento es proporcional al número presente. a) Si se ha hallado que el número se duplica en 4 horas ¿Qué número se debe esperar al cabo de 12 horas? b) Si hay 10 4 bacterias al cabo de 3 horas y 4 10 4 bacterias al cabo de 5 horas ¿Cuál será el número de bacterias inicialmente? Rpta. a) 8x 0 ;[x 0 número de bacterias inicialmente] b) x(0) = 10 4 8 bacterias 6. En un cultivo de levadura la cantidad de fer- mento activo crece a una velocidad proporcional a la cantidad presente. Si se duplica la cantidad en 1 hora, ¿Qué cantidad habrá después de 2.45 horas con respecto a la cantidad inicial? Rpta. 6;73x 0 [x 0 cantidad inicial] 7. Si una sustancia se enfría desde 100 C hasta 60 C en 10 minutos en donde la temperatura del medio ambiente es de 20 C ¿Cuál será la temperatura de la sustancia después de 40 minutos? Rpta. 25 C 8. Agua a una temperatura de 100 C se enfría en 10 minutos a 80 C en un cuarto con temperatura de 25 C a)¿Qué temperatura tendrá el agua después de 20 minutos? b) ¿Cuándo la tenperatura del agua será de 40 C? ¿26 C? Rpta. a) 65.3 C b) 52 minutos, 139 minu- tos 9. Un termometro se saca de una habitación en donde la temperatura del aire es de 70 F, al exterior, en donde la temperatura es de 10 F. Después de 1 2 minuto el termometro marca 50 F ¿Cuánto mar- ca el termometro cuando t = 1 minuto?, ¿Cuánto tiempo transcurrirá para que el termometro mar- que 15 F?. 10. Si la temperatura del aire es de 20 C y el cuerpo se enfría en 20 minutos desde 100 C hasta 60 C ¿den- tro de cuanto tiempo su temperatura será 30 C? Rpta. 60 minutos 11. Si se arroja una pelota hacia arriba, desde el suelo, con una velocidad inicial de 97 pies/seg ¿A qué al- tura sube la pelota y por cuánto tiempo permanece en el aire? Rpta. 144 pies, 6 segundos 8 12. Se suelta una pelota de lo alto de un edi…cio de 960 pies de altura ¿Cuánto tiempo tarda en lle- gar la pelota al piso, y con que velocidad golpea el piso? Rpta. _ 60 seg; 32 _ 60 pies/seg 13. Los frenos de un automovil se accionan cuando este se mueve a 60 millas/hora t 88 pies/seg. Los frenos proporcional una desaceleración constante de 40 pies/seg 2 ¿Qué distancia recorre el auto antes de detenerse? 14. Un auto viaja a 88 pies/seg se desplaza 176 pies de- spués de aplicar sus frenos. La desaceleración que proporcionan los frenos es constante ¿Cuál es el valor de ésta? Rpta. 22 pies/seg 15. Un conductor implicado en un accidente a…rma que circulaba a 25 millas/hora cuando la policía revisa su auto, determina que si los frebnos se aplicaban a 25 millas/hora, el auto recorrería solamente 45 pies antes de detenerse. Los marcos de demape del auto en la escava del accidente miden 210 pies. Supon- ga que la desaceleración es constante y calcule la velocidad con la que viajaba antes del accidente. Rpta. 5 _ 210 millas/hora 16. A un circuito en serie, en el cual la inductancia es de 0.1 H y la resistencia es de 50 se le aplica una tensión de 30 vol Calcular la corriente Determinar también la corirente cuando t ÷· Rpta. i (t) = 3 5 ÷ 3 5 e 500t ; i ÷ 3 5 cuando t ÷· 17. A un circuito en serie, en la cual la resistencia es de 200 y la resistencia es de 10 4 F; se le aplica una tensión de 100 vol. Calcular la carga q (t) en el capacitador si q (0) = 0 y obtenga la corriente i (t) : Rpta. q (t) = 1 100 ÷ 1 100 e 50t ; i (t) = 1 2 e 50t 18. Un tanque contiene 200 litros de un liquido en el cual se disuelven 30 gramos de sal, una salmuera que contiene 1 gramo de sal por litro se bambea al tanque con una intensidad de 4 litros por min- uto, la solución adecuadamente mezclada se bam- bea hacia afuera con la misma rapidez. Encuentre el número de gramos A(t) de sal que hay en el tanque en un cualquiera. Rpta. A(t) = 200 ÷170e t 50 19. Un gran deposito esta lleno con 500 galones de agua fuera, una salmuera que contiene 2 litros de sal por galón se bombea al tanque a razón de 5 ga- lones por minuto, la solución adecuadamente mez- clada se bombea hacia afuera con la misma rapi- dez. Halle el número de libras de sal que hay en el tanque en un instante cualquiera. Rpta. A(t) = 100 ÷1000e t 100 20. Un gran tanque esta parcialmente lleno con 100 galones de liquido en los cuales se disuelvan 10 li- bras de sal. Una salmuera que contiene 1 2 libra de sal por galón se bambea al tanque con una rapi- dez de 6 galones por minuto, la solución adecuada- mente mezclada se bambea enseguida hacia afura del tanque con una rapidez de 4 galones por min- uto. Halle el número de libras de sal que hay en el tanque después de 30 minutos Rpta. 64.38 libras 21. Un tanque que esta lleno con 8 galones de agua salada en el cual hay 2 libras de sal disuelta. Agua salada con 3 litros de sal por galón entra al tanque a 4 galones por minuto, y la mezcla bien agitada sale a la misma tasa. a) Establezca una ecuación diferencial para la cantidad de sal como una función del tiem- po t b) Halle la cantidad de sal como una función del tiempo c) Encuentre la concentración de sal después de 8 minutos d) ¿Cuánta sal hay después de un tiempo largo? Rpta.x(t) = 24 ÷22e t 2 ; 3 libras/gal; 24 libras. 22. Un tanque tiene 40 galones de agua pura. Una solu- ción de agua salada con 1 libra de sal por galón entra a 2 galones por minuto, y la mezcla bien ag- itada sale a la misma tasa. a) ¿Cuánta sal hay en el tanque en cualquier tiempo? b) ¿Cuándo el agua que sale tendrá 1 2 libra de sal por galón? Rpta. x(t) = 40 _ 1 ÷e t 20 _ ; 13.9 minutos 23. Un tanque tiene 60 galones de agua salada con 2 libras de sal por galón, una solución con 3 libras de sal por galón entra a 2 galones por minuto, y la mezcla sale a la misma tasa ¿Cuándo habrá 150 libras de sal en el tanque? Rpta. 20.8 minutos 24. Un tanque tiene 100 galones de agua salada con 40 litros de sal disuelta. Agua pura entra al tanque a 2 galones por minuto y sale con la misma tasa. ¿Cuándo la concentración de sal será 0.2 libras por galón? ¿Cuándo la concentración será menor que 0.01 libras por galón? Rpta. 34.7 minutos; 184.5 minutos 9 25. Un tanque tiene 10 galones de agua salada con 2 libras de sal disuelta. Agua salada con 1.5 libras de sal por galón entra a 3 galones por minuto, y la mezcla bien agitada sale a 4 galones por minuto. a) Encuentre la cantidad de sal en el tanque en cualquier tiempo b) Encuentre la concentración de sal después de 10 minutos Rpta. x(t) = 1;5 (10 ÷t)÷0;0013 (10 ÷t) 4 0 _ t _ 10; 1.5 libras/galón 26. Un tanque tiene 60 galones de agua pura. Una solu- ción con 3 libras de sal por galón entra a 2 galones por minuto y sale a 2.5 galones por minuto. a) Encuentre la concentración de sal en el tanque en cualquier tiempo. b) Encuentre la concentración de sal cuando el tanque tenga 30 galones de agua salada Rpta. x(t) = 3 _ 1 ÷ _ 1 ÷ t 120 _ 4 _ 0 _ t _ 120; 2.82 libras/galón 27. Un tanque de 1500 galones incialmente contiene 600 galones de agua con 5 libras de sal disueltas. El aguan entra al tanque a una razon de 9 galones por hora que contiene una concentración de sal de 1 5 (1 + cos t) libras por galon. Si la solución bien mezclada sale del tanque a una razon de 6 galones por hora, Cuanta sal hay en el tanque cuando el tanque se llena? Rpta. 279.797 libras 28. En cierto cultivo de bacterias la razón de cremiento es proporcional al número de bacterias presentes. a) Si el número se duplica en 4 horas, cuantas habra en 12 horas?. Rpta: b) Si existen 10 4 al …nalizar 3 horas y 4(10 4 ) al …nalizar 5 horas. 29. La velocidad con que se desintegran los nucleos ra- diactivos es proporcional al número de nucleos pre- sentes en una muestra dada. La mitad del nucleo original de núcleos radiactivos ha experimentado la desintegración en un periodo de 1500 años. a) ¿Qué porcentaje de núcleos originales radiac- tivos continuarán después de 4500 años? b) ¿En cuántos años quedará solamente un déci- mo del número original de núcleos radiac- tivos? Rpta. 12.5 % de x 0 ; 4983 años. 30. Una barra metálica a una temperatura de 100 F se pone en un cuarto a una temperatura constante de 0 F: Después de 20 minutos la temperatura de la barra es 50 F. a) ¿Cuánto tiempo tardará la barra para llegar a una temperatura de 25 F? b) ¿Cuál será la temperatura de la barra después de 10 minutos? Rpta. 40 minutos; 71 F: 31. Un cuerpo a una temperatura desconocida se pone a un refrigerador a una temperatura constante de 1 F. Si después de 20 minutos la temperatura del cuerpo es de 40 F y después de 40 minutos es de 20 F:Hallar la temperatura inicial de éste. Rpta. 81 F 32. Una cierta presa, en su máxima capacidad, con- tiene 1000 millones de m 3 de agua. En un instante dado, estando llena la presa, tiene una mas de contaminantes, distribuida en forma homogénea. Suponga que en temporadas de lluvias entra agua a la presa a una razón de 10 millones de m 3 ; con una masa de contaminantes de 0.09 % toneladas por millón por m 3 de agua y sale con la misma rapidez. Determine la cantidad de contaminantes en la presa en cualquier instante. ¿En cuanto tiem- po se reducirá la contaminación total de la presa a 1.2 toneladas?. Rpta. 129.9 días. 33. un tanque inicialmente 100 dl de agua, en el cual se dusuelven 80kg de sal. Se introducen en el tanque agua pura a una velocidad de 4 dl/min y la mezcla, conservada homogenea mediante agitación, sale a la misma velocidad y va a parar a un segundo tanque que contiene al principio 100dl de agua pu- ra. Agitando la mezcla que sale de este segundo tanque a la misma velocidad. Hallar la cantidad de sal en el segundo tanque al cabo de 1 hora. Rpta. 17.4kg. 34. El uranio se descompone a una velocidad propor- cional a la cantidad presente. Si inicialmente hay 10 gramos y después de 2 horas se ha perdido el 5 % de su masa original, hallar. a) La cantidad restante de Uranio como función del tiempo. b) La cantidad de Uranio despues de 5 horas. 35. Cierto material radiactivo se desintegra con una rapidez proporcional a la cantidad existente en ca- da instante. En una prueba realizada con 60 mg de este material, se observó que después de 3 horas, solamente permanecía el 80 % de la masa original. Hallar 10 a) La cantidad restante de masa en cualquier in- stante. b) ¿Qué cantidad de material hay después de 5 horas? c) ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que la cantidad de material sea un cuarto de la can- tidad inicial? 36. Se ha observado en el laboratorio que el radio se desintegra a una rapidez proporcional a la canti- dad de radio presente. Su vida media es de 1600 años. ¿Qué porcentaje desparecerá en un año? 37. En un cultivo de levadura la rapidez de cambio es proporcional a la cantidad existente. Si la canti- dad de cultivo se duplica en 4 horas, ¿Qué cantidad puede esperarse al cabo de 12 horas? 38. Un cultivo tiene inicialmente una cantidad N 0 de bacterias. Para t = 1 hora, el número de bacterias medido es 3 2 N 0 : Si la rapidez de multiplicación es proporcional al número de bacterias presentes, de- termine el tiempo necesario para que el número de bacterias se triplique. 39. En cierto zoológico se ha observado que la can- tidad de animales aumenta proporcionalmente al número actual de dichos animales. Si después de 5 años el ´numero se ha duplicado y después de si- ete años el nu’mero de animales es 576, hallar el número de animales con que se contaba el ´ día de la inaguración. 40. Supóngase que la población P de bacterias en un cultivo al tiempo t; cambia a una razóm directa- mente proporcional a P 2 ÷ P. Si inicialmente hay 1000 bacterias y después de 5 horas la población se redujo a 100 baterias, determine: a) La población como función del tiempo. b) La población después de un tiempo grande. 41. Al apagar un motor su temperatura es de 98 C y el medio en que se encuentra se conserva a 21 C. Si después de 10 minutos el motor se ha enfriado a 88 C, encuentre: a) La temperatura como función del tiempo. b) El instante en el cual su temperatura es de 35 C: 42. Un cuerpo a una temperatura de 50 F se coloca al aire libre donde la temperatura es de 100 F: Si después de 4 minutos la temperatura del cuerpo es de 60 F; Cuánto tiempo transcurrirá para que la temperatura del cuerpo sea de 75 F? Cuál será su temperatura después de 20 minutos?. 43. Un cuerpo a una temperatura desconocida se colo- ca en un cuarto que se mantiene a una temper- atura constante de 30 F: Si después de 10 minutos la temperatura del cuerpo es de 0 F y después de 20 minutos la temperatura del cuerpo es de 15 F; Cuál es la temperatura inicialdel cuerpo? 44. Un tanque de 500 galones contiene inicialmente 300 galones de solución salina en la que se han disuelto 50 libras de sal. Se agrega solución salina que con- tiene 3 libras de sal por galón con una rapidez de 4 galones por minuto. Determine cuánta sal hay en el tanque en el momento que éste se desborda. 45. Un tanque de 100 litros de una solución que consta de 100 kg de sal disueltos en agua. Se bombea agua pura hacia el tanque a razón de 5 litros por segun- do y la mezcla, que se mantiene uniforme mediante agitación, se extrae a la misma razón. Cuánto tiem- po pasará antes de que queden solamente 10kg de sal en el tanque? 46. Un tanque tiene 60 galones de agua pura. Una solu- ción con 3 libras de sal por galón entra a 2 galones por minuto y la mezcla bien agitada sale a 2.5 ga- lones por minuto. a) Halle el número de libras de sal que hay en el tanque en cualquier tiempo t: b) Encuentre la concentración de sal en el tanque cuando contenga 30 galones de agua salada. 47. El lago Ontario tiene un volumen de 1636 km 3 y una concentración inicial de contaminantes del 0.25 %. Hay un ingreso anual de 209 km 3 de agua con una concentración de contaminantes del 0.05 % y un derrame anual de igual cantidad, bien mez- clada en el lago. Cu’anto tiempo pasará para que la concentración de contaminantes en el estanque se reduzca al 0.1 %? 48. Un tanque de 500 galones contiene inicialmente 100 galones de agua, en la cual se han disuelto 50 li- bras de sal. Comenzando en t = 0; una salmuera que contiene una concentración de 2 libras de sal por galón entra al tanque a razón de 5 galones por segundo. La mezcla se mantiene uniforme mediante agitación, y estando bien agitada sale del tanque a una rapidez de 3 galones por segundo. Qué can- tidad de sal contendrá el tanque cuando esté lleno de salmuera? 49. Un tanque A contiene 100 litros de salmuera, que se obtuvo al disolver 40 kg de sal en agua. Se in- troduce en este tanque una salmuera, cuya concen- tración es de 3 kilogramos por litro, a una rapidez de 2 litros por minuto. La mezcla se conserva ho- mogénea, sale con la misma rapidez a va a para a un segundo tanque B que contiene al principio 100 11 litros de salmuera a una concentración de 0.1 kilo- gramos por litro. Agitando se mantiene homogénea la mezclada en el tanque B y sale de éste con una rapidez de 1 litro por minuto. Hallar la cantidad de sal en cada uno de los tanques en cualquier in- stante. 50. A un circuito en serie, en el cual la inductancia es de 0.1 henry y la resistencia es de 50 ohms, se le aplica una tensión de 30 volts. Determine la cor- riente i (t) si i (0) = 0: Cuál será el valor de la corriente después de un tiempo largo? 51. A un circuito en serie, en el cual la inductancia es de 0.1 henry y la resistencia es de 50 ohms, se le aplica una tensión de 30 volts. Determine la cor- riente i (t) si i (0) = 0: Cuál será el valor de la corriente después de un tiempo largo? 52. Un inductor de L henrys varía con el tiempo t (en segundos) de acuerdo a L = 0;05+0;001t: Se conec- ta en serie con un generador cuya fem es de 40 volts y una resistencia de 10 ohms. Si la corriente i (t) es cero inicialmente encuentre i para todo t > 0: Cuál es la corriente máxima teórica?. 53. Una resistencia de 20 ohms se conecta en serie a una condensador de 0.01 faraday y una fem en volts dad por 40e 3t + 20e 6t : Si q (0) = 0; muestre que la carga máxima en el condensador es de 0.25 coulumbs. 54. Si Q es la cantidad de material radiactivo presente en el instante t, entonces la ecaución diferencial es dQ dt = ÷kQ; donde k es la constante de desin- tegración. Se llama tiempo de vida media de un material radiactivo al tiempo necesario para que una cantidad Q 0 se transforme en Q 0 2 : Si T es el tiempo de vida media, mostrar que Q = Q 0 _ 1 2 _ t T : 55. Suponga que un elemento radiactivo A se descom- pone en un segundo elemento radiactivo B y este a su vez se descompone en un tercer elemento radiac- tivo C. Si la cantidad de A presente inicialmente es x 0 y las cantidades de A y B son x e y respectiva- mente en el instante t y si k 1 y k 2 son las constantes de rapidez de descomposción, hallar y en función de t: Rpta. k 1 ,= k 2 ; y = k 1 k 0 k 2 k 1 _ e k 1 t ÷e k 2 t _ ; si k 1 = k 2 ; y = k 1 x 0 te k 1 t 56. El aire de un teatro de dimensiones 1284 met- ros cúbicos contiene 0;12 % de su volumne de CO 2 . Se desea renovar en 10 minutos el aire, de modo que llegue a contener solamente el 0;06 % de CO 2 . Calcular el número de metros cúbicos por minuto que deben renovarse, suponiendo que el aire exte- rior contiene 0;04 % de CO 2 : Rpta. 53.23 metros cúbicos de aire por minuto. 57. Un tanque contiene 200 litro de una solución de colorante con una concentración de 1 gramo por litro. El tanque debe enjuagarse con agua limpia que entra a razón de 2 litros por minuto y la solu- ción bien homogenizada sale con la misma rapidez. Encuentre el tiempo que transcurrirá hasta que la concentración del colorante en el tanque alcance 1 % de su valor original. Rpta. 460.5 minutos. 58. Un tanque contiene inicialmente agua pura. Salmuera que contiene 2 libras de sal por galón en- tra al tanque a una velocidad de 4 galones por min- uto. Asumiendo la mezcla uniforme, la salmuera sale a una velocidad de 3 galones por minuto. Si la concentración alcanza el 90 % de su valor máxi- mo en 30 minutos, calcular los galones de agua que había inicialmente en el tanque. Rpta. Q = 30 4 p 101