MATEMÁTICA IISegundo ciclo 2013 2 CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC Índice Índice Índice Índice Presentación 4 Red de contenidos Unidad de aprendizaje 1 5 1.1. Tema 1 : Matrices, Orden y Operaciones 6 1.1.1 : Tipos de matrices. Determinante 22 Unidad de aprendizaje 2 2.1 Tema 2 : El plano cartesiano, Recta, Distancia entre dos puntosÁngulos, Áreas, Punto medio, baricentro. 49 2.1.1. 2.1.2 La Recta, ecuaciones, Gráficas Distancia de un punto a una recta 62 71 2.2 Tema 3 : La parábola, Ecuaciones y Gráficas 75 Unidad de aprendizaje 3 3.1 Tema 4 : Funciones, Dominio, Rango y Regla de correspondencia Intercepto con los ejes coordenados. 87 3.2 Tema 5 : Funciones básicas: Lineal, Valor Absoluto, Raíz cuadrada Funciones Cuadrática. 97 Unidad de aprendizaje 4 4.1 Tema6 4.1.1 4.1.2 4.1.3 : Límites de funciones Límites indeterminados : Polinómicas Límites indeterminados con radicales Límites en el infinito 109 4.2 Tema 7 : Límites laterales. Continuidad de una función 121 MATEMÁTICA II 3 CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES Unidad de aprendizaje 5 5.1 Tema 8 : Derivadas,Fórmulas de derivación 134 5.1.1 Derivada de funciones algebraicas 138 5.2 Tema 9 5.2.1 : Ecuación de la recta tangente Interpretación geométrica de la derivada 151 151 5.3 Tema 10 5.1.1 5.1.2 5.1.3 : Derivada de funciones especiales Derivada de orden superior Derivada de funciones logarítmicas Deriva de funciones exponenciales 163 164 166 4 CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC Presentación MatemáticaII pertenece a la línea formativa, analítica y de solución de problemas, propios del cálculo diferencial y se dicta en todas las Carreras Profesionales de Cibertec. El curso brinda un conjunto de herramientas algebraicas y geométricasque permitirán el desarrollo de las capacidades de abstracción y de resolución de problemas. La forma didáctica en que presentamos los temas permitirá que sea un material complementario para afianzar el aprendizaje de nuestros alumnos. El presente manual de matemática II, ha sido diseñado bajo la modalidad de unidades de aprendizaje (UA), las que se desarrollarán durante las 15 semanas de clasesprogramadas. En cada una de ellas, se hallarán los logros que se deben alcanzar al final del desarrollo de la unidad.El tema tratado de cada UA, será ampliamente desarrollado tanto en el fundamento teórico del tema, como en la parte práctica, los mismos que tendrán problemas desarrollados, problemas propuestos y auto-evaluaciones que en su mayoría son problemas de evaluaciones continuas, parciales y finales propuestas en semestres pasados.Las sesiones de aprendizaje fomentarán la participación activa de los alumnos mediante ejercicios dirigidos, dinámicas individuales y grupales, además de la práctica de ejercicios y problemas tipos, que le garanticen un nivel óptimo de aprendizaje. Se utilizarán controles de desempeño con el fin de promover el trabajo en equipo, el pensamiento critico, la argumentación y justificación de sus ideas así como la comunicación El curso es de naturaleza práctica. Se inicia manejando las herramientas básicas del algebra matricial, efectuando las operaciones básicas con matrices: la adición, multiplicación y otras aplicaciones; seguidamente, en el plano cartesiano, aprenderemos a construir gráficas de rectas y cónicas como circunferencias y parábolas, así como reconocer dichas cónicas a partir de sus ecuaciones.Del mismo modo, se analizarán las gráficas y el comportamiento en el plano de funciones algebraicas, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas. Finalmente, se analizarán la continuidad o discontinuidad de funciones algebraicas resolviendo los diferentes casos de límites indeterminados, a fin de hallar y manejar las diferentes aplicaciones del cálculo diferencial. RED DE CONTENIDOS MATRICES MATEMATICA II GEOMETRÍA ANALITICA FUNCIONES LÍMITES Y CONTINUIDAD DERIVADAS MATRICES Y DETERMINATES LOGRODE LA UNIDAD DE APRENDIZAJE Al término de la unidad, el alumno resuelve problemas de operaciones con matrices y calcula el determinante de una matriz aplicando las propiedades de matrices y las leyes del álgebra básica. TEMARIO MATRICES Y DETERMINANTES Matrices :Definición Igualdad de matrices Operaciones con matrices Tipos de matrices , matrices especiales Determinante de orden 2 y 3 Regla de Cramer ACTIVIDADES PROPUESTAS • Escribe explícitamente matrices de orden mxn • Efectúa operaciones con matrices: Adición, producto de un escalar por una matriz, multiplicación de matrices. • Identifica las diferentes clase de matrices • Halla el determinante de una matriz de orden 2 y orden 3 • Aplica la Regla de Cramer para resolver Sistemas de Ecuaciones. UNIDAD DE APRENDIZAJE 1 TEMA 1 MATEMÁTICA II 7 CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES MATRICES Las matrices son herramientas matemáticas de mucha aplicabilidad en el campo de las ciencias económicas, sociales, administrativas entre otras áreas. Durante muchos años, los matemáticos puros fueron los únicos que se dedicaron al estudio de las matrices y de sus propiedades, pero en la actualidad existe un gran interés por el conocimiento de este tema, debido a sus numerosas aplicaciones en el estudio y solución de problemas concretos, sobre todo, por parte de quienes se dedican al estudio de la ciencias administrativas y sociales. Es sumamente importante, para quienes se inician en el estudio de estos temas, tener muy presente que el concepto de matriz es completamente diferente al de “determinante”, tal como lo haremos notar más adelante. La rápida difusión de las calculadoras y, en particular, de las computadoras electrónicas, han creado la necesidad de impulsar el uso de las matrices en el planeamiento y solución de problemas concretos. Una matriz A de orden m por n es un arreglo rectangular de elementosordenados en filas y columnas, que tienen la forma: columna 1 ↓ ¸ = 1 m 1 i 11 a a a A columna j ↓ mj ij j 1 a a a columna n ↓ ( ( ( ( ( ( ¸ ( mn in n 1 a a a ← Fila 1 ← Fila i ← Fila m ... ... ... ... ... ... Abreviadamente suele expresarse en la forma A = ( j i a ) n x m , con i =1,2,3, ...,m j =1, 2, ..., n. Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila (i) y el segundo la columna (j). Por ejemplo el elemento a 25 será el elemento de la fila 2 y columna 5. Ejemplos: I. DEFINICIÓN 8 CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC Nota 1. Una matriz usualmente se representa por letras mayúsculas A, B, C, etc. y a sus elementos por letras minúsculas a ij , b ij y c ij ,etc. Ejemplos: ( ( ( ¸ ( ¸ = ( ¸ ( ¸ = 33 23 13 32 22 12 31 21 11 22 21 12 11 b b b b b b b b b B a a a a A Nota 2. Los elementos a ij de una matriz “A” pueden ser números reales, números complejos, funciones, vectores o cualquier objeto no numérico, como por ejemplo, las fichas de un ajedrez o los apellidos de personas cuando son codificados en orden alfabético, etc. Ejemplo: . , 1 2 3 4 columnas de número al igual filas de número cuadrada matriz una Es A ( ¸ ( ¸ = ( ( ( ¸ ( ¸ = 18 12 6 16 10 4 14 8 2 B columnas de número al igual filas de número cuadrada matriz una Es , ( ( ( ¸ ( ¸ = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 I ( ( ( ¸ ( ¸ = 1 0 0 1 I Matrices identidad. ( ( ( ¸ ( ¸ = 0 0 0 0 0 0 D ( ( ( ¸ ( ¸ = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 E Estas matrices son nulas. . ( ( ( ¸ ( ¸ = 15 10 3 D Está matriz que tiene una columna, se conoce como vector columna. [ ] 2 4 0 3 = E Está matriz que tiene una fila, se conoce como vector fila. ( ¸ ( ¸ = 7 3 10 1 4 9 C ( ( ( ¸ ( ¸ = 13 12 11 c c c C MATEMÁTICA II 9 CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES ( ( ( ( ( ( ¸ ( ¸ = 7 5 7 5 4 3 8 5 , 0 7 3 1 π A ( ( ¸ ( ¸ = Senx x senx x Cosx Senx B 3 ( ¸ ( ¸ − − = i i i i H 1 3 3 2 ( ( ( ¸ ( ¸ = Hilario Cruz Baldin Flores Castro Abad I Nota 3. La matriz no tiene valor numérico; es decir, no puede identificarse con un número. ORDEN DE UNA MATRIZ El orden de una matriz es el producto indicado del número de filas por el número de columnas de la matriz. Ejemplo: 3 x 3 15 e 5 8 3 1 5 3 3 A ( ( ( ¸ ( ¸ π = Número de filas Número de columnas si la matriz tiene 3 filas y 3 columnas, entonces es de orden 3x3. Dos matrices A y B son iguales, si y sólo si, son del mismo orden y sus respectivos elementos son iguales. [ ] [ ] ij ij ij , b a B A ∀ = ⇔ = Ejemplo: Sean: ( ¸ ( ¸ − − = π e A 20 10 ( ¸ ( ¸ − − = π e B 20 10 Averigüe si son iguales o no Solución: A y B tienen el mismo orden (2 x 2). Veamos si tienen los mismos elementos: II. IGUALDAD DE MATRICES 10 CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC π − = = − = = = = = = 22 22 21 21 12 12 11 11 b a e b a 20 b a 10 b a Luego, A = B 1. ADICIÓN DE MATRICES Sean las matrices: A = [a ij ] y B = [b ij ], ambas del mismo orden m x n. La matriz suma de A y B es otra matriz C = A + B = [a ij + b ij ], la cual también es de orden m x n. Ejemplos: 1. Sean las matrices: 3 2 3 2 2 5 5 2 3 1 4 2 6 5 3 1 x x B A ( (( ( ¸ ¸¸ ¸ ( (( ( ¸ ¸¸ ¸ − −− − − −− − = == = ( (( ( ¸ ¸¸ ¸ ( (( ( ¸ ¸¸ ¸ = == = Hallar A + B Solución Entonces: 3 2 ) 2 ( 4 5 6 5 2 2 5 3 3 ) 1 ( 1 x B A ( ¸ ( ¸ − + + + + + − + = + 3 x 2 2 7 11 7 6 0 B A ( ¸ ( ¸ = + 2. Sean las matrices: 3 3 3 3 1 2 3 3 2 1 3 2 3 3 3 0 1 1 1 2 2 2 x x N M ( (( ( ( (( ( ( (( ( ¸ ¸¸ ¸ ( (( ( ¸ ¸¸ ¸ − −− − − −− − − −− − = == = ( (( ( ( (( ( ( (( ( ¸ ¸¸ ¸ ( (( ( ¸ ¸¸ ¸ − −− − − −− − = == = Hallar M + N Solución Entonces: 3 x 3 ) 1 ( 3 2 3 ) 3 ( 0 3 1 2 1 1 1 ) 3 ( 2 2 2 3 2 N M ( ( ( ¸ ( ¸ − + − + − + + + − + − + + + = + III. OPERACIONES CON MATRICES MATEMÁTICA II 11 CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES 3 x 3 4 5 3 4 1 2 1 4 5 N M ( ( ( ¸ ( ¸ − − − = + PROPIEDADES DE LA ADICIÓN DE MATRICES: Consideremos las matrices A, B y C del mismo orden y “ λ ” es un escalar. Entonces: a) A + B = B + A , Conmutativa b) A + (B+C) = (A+B) + C, Asociativa c) λ (A+B) = λ A + λ B , Distributiva d) Existe una matriz 0 tal que para todo A, A + 0 = A. 2. SUSTRACCIÓN DE MATRICES Consideremos dos matrices A y B del mismo orden.Entonces, la diferencia de las matrices A y B definiremos por: A - B = A + (-1) B Ejemplos: 1. Sean las matrices: ( ( ( ¸ ( ¸ − − − − = ( ( ( ¸ ( ¸ − − = 3 1 2 6 4 2 1 2 3 B 3 2 1 6 3 4 1 3 2 A Hallar A - B Solución A - B = A +(-1) B = ( ( ( ¸ ( ¸ − − = − → ( ( ( ¸ ( ¸ − − − − − + ( ( ( ¸ ( ¸ − − = 0 3 1 0 1 2 2 5 5 B A 3 1 2 6 4 2 1 2 3 3 2 1 6 3 4 1 3 2 3. MULTIPLICACIÓN DE UNA MATRIZ POR UN ESCALAR Sea A = [a ij ] una matriz de orden m x n, y λ un número. Entonces λ A= [ λ a ij ]. Ejemplo: Sea ( ( ( ¸ ( ¸ = 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a A = 5 y ( ( ( ¸ ( ¸ − − = 3 4 2 1 7 6 5 3 2 A ( ( ( ¸ ( ¸ − − − − − + ( ( ( ¸ ( ¸ − − 3 1 2 6 4 2 1 2 3 ) 1 ( 3 2 1 6 3 4 1 3 2 12 CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC Entonces ( ( ( ¸ ( ¸ − − = ( ( ( ¸ ( ¸ − − = λ 15 20 10 5 35 30 25 15 10 ) 3 ( 5 ) 4 ( 5 ) 2 ( 5 ) 1 ( 5 ) 7 ( 5 ) 6 ( 5 ) 5 ( 5 ) 3 ( 5 ) 2 ( 5 A 4. PRODUCTO DE UN VECTOR FILA POR UN VECTOR COLUMNA Sean: [ ] ( ( ( ( ( ¸ ( ¸ = = n n b b b B y a a a A . . ,..., , 2 1 2 1 Entonces: A x B = [ ] ( ¸ ( ¸ = + + + ∑ = n i i i n n b a b a b a b a 1 2 2 1 1 ... Ejemplo:Si: A = [4 8 -2] ;B = ( ( ( ¸ ( ¸ − 3 2 1 Hallar A.B Solución [ [[ [ ] ]] ] [ [[ [ ] ]] ] [ [[ [ ] ]] ] [ [[ [ ] ]] ] [ [[ [ ] ]] ] 18 6 16 4 6 16 4 3 2 2 8 1 4 3 2 1 2 8 4 − −− − = == = − −− − − −− − = == = − −− − + ++ + − −− − + ++ + = == = − −− − + ++ + − −− − + ++ + = == = ( (( ( ( (( ( ( (( ( ¸ ¸¸ ¸ ( (( ( ¸ ¸¸ ¸ − −− − − −− − = == = B A B A B A . ) ( ) ( . ) )( ( ) )( ( ) ( . 5. PRODUCTO DE DOS MATRICES Dos matrices se pueden multiplicar sólo si el número de columnas de la primera matriz es igual al número de filas en la otra. Dada las matrices: A = [a ij ] m x n , B = [b ij ] n x p y C = [c ij ] m x p Entonces: C B x A = MATEMÁTICA II 13 CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES Nº de columna debe ser igual a Nº de filas [a ij ] m x n . [b ij ] n x p = [c ij ] m x p La matriz C debe ser de Orden mxp Ejemplo: Calcular AB si: ( ( ( ¸ ( ¸ = ( ( ( ¸ ( ¸ = 7 0 3 4 3 1 2 6 5 B y 5 1 4 3 1 0 4 3 2 A Solución: ( ( ( ¸ ( ¸ ( ( ( ¸ ( ¸ = 7 0 3 4 3 1 2 6 5 5 1 4 3 1 0 4 3 2 AB [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ¸ ( ¸ ( ( ( ¸ ( ¸ ( ( ( ¸ ( ¸ ( ( ( ¸ ( ¸ ( ( ( ¸ ( ¸ ( ( ( ¸ ( ¸ ( ( ( ¸ ( ¸ ( ( ( ¸ ( ¸ ( ( ( ¸ ( ¸ ( ( ( ¸ ( ¸ = 7 4 2 5 1 4 0 3 6 5 1 4 3 1 5 5 1 4 7 4 2 3 1 0 0 3 6 3 1 0 3 1 5 3 1 0 7 4 2 4 3 2 0 3 6 4 3 2 3 1 5 4 3 2 AB ( ( ( ¸ ( ¸ + + + + + + + + + + + + + + + + + + = ) 7 ( 5 ) 4 ( 1 ) 2 ( 4 ) 0 ( 5 ) 3 ( 1 ) 6 ( 4 ) 3 ( 5 ) 1 ( 1 ) 5 ( 4 ) 7 ( 3 ) 4 ( 1 ) 2 ( 0 ) 0 ( 3 ) 3 ( 1 ) 6 ( 0 ) 3 ( 3 ) 1 ( 1 ) 5 ( 0 ) 7 ( 4 ) 4 ( 3 ) 2 ( 2 ) 0 ( 4 ) 3 ( 3 ) 6 ( 2 ) 3 ( 4 ) 1 ( 3 ) 5 ( 2 AB ( ( ( ¸ ( ¸ = 47 27 36 25 3 10 44 21 25 AB PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE MATRICES a) AB no es igual BA (no conmuta) b) A· (B · C) = (A·B) ·C 14 CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC c) A· (B + C) = A · B + A · C d) (B + C) A = B. A + C.A e) K (A B) = A · (K · B) , K es un escalar. Suponiendo que las operaciones indicadas están definidas. 6. POTENCIA DE UNA MATRIZ Sea A una matriz cuadrada de orden n x n. Definiremos: 1. Aº = I A 3 =A.A.A A 1 = A A 2 = A.A A n =A.A.A … 2. A n .A m = A n+m 3. (A n ) m = A n.m 4. A y B se llaman conmutables ↔ AB = BA Afirmación: Si las matrices A y B son conmutables cualquier potencia natural de los mismos son conmutables y, s arbitrario n , B . A ) B . A ( n n n Ν ∈ = Ejercicios resueltos: 1) Sean las matrices: A= | | ¹ | \ | +1 1 2 t t t yB= | | ¹ | \ | + + 0 1 1 2 t t t Hallar: A+B Solución: A+B = | | ¹ | \ | + + + + = | | ¹ | \ | + + + + + + 1 1 1 2 ) 1 ( 0 1 1 1 2 1 2 2 2 t t t t t t t t t 2) Sean: A= | | | ¹ | \ | − 1 4 1 10 1 0 5 3 1 ; B = | | | ¹ | \ | − − − − 1 4 1 3 1 3 2 7 2 ; C= | | | ¹ | \ |− 0 8 0 7 0 3 7 10 1 Hallar: (A+B ) - C Solución: MATEMÁTICA II 15 CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES A+B = | | | ¹ | \ |− = | | | ¹ | \ | − + + − − − + + + − 0 8 0 7 0 3 7 10 1 1 1 4 4 1 1 3 10 1 1 3 0 2 5 7 3 2 1 ( A+B ) - C= | | | ¹ | \ |− 0 8 0 7 0 3 7 10 1 _ | | | ¹ | \ |− 0 8 0 7 0 3 7 10 1 = | | | ¹ | \ | 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3) Halle AB, si A=ቂ 5 3 0 5 ቃ ; B=ቂ െ8 0 7 1 3 2 ቃ Solución: AB=ቂ 5 3 0 5 ቃ ቂ െ8 0 7 1 3 2 ቃ = ሺ5,3ሻ. ሺെ8,1ሻ ሺ5,3ሻ. ሺ0,3ሻ ሺ5,3ሻ. ሺ7,2ሻ ሺ0,5ሻ. ሺെ8,1ሻ ሺ0,5ሻ. ሺ0,3ሻ ሺ0,5ሻ. ሺ7,2ሻ ൨ =ቂ െ40 3 0 9 35 6 0 5 0 15 0 10 ቃ =ቂ െ37 9 41 5 15 10 ቃ 4) Halle CA, si C=൭ 1 0 0 3 7 1 ൱ ;A=ቂ 5 3 0 5 ቃ Solución: CA=൭ 1 0 0 3 7 1 ൱ቂ 5 3 0 5 ቃ CA=൭ 1 0 0 3 7 1 ൱ቂ 5 3 0 5 ቃ = ሺ1,0ሻ. ሺ5,0ሻ ሺ1,0ሻ. ሺ3,5ሻ ሺ0,3ሻ. ሺ5,0ሻ ሺ0,3ሻ. ሺ3,5ሻ ሺ7,1ሻ. ሺ5,0ሻ ሺ7,1ሻ. ሺ3,5ሻ = | | | ¹ | \ | 26 35 15 0 3 5 5) si A=ቂ 5 3 0 5 ቃ,Halleܣ ଶ Solución: ܣ ଶ = A.A = ቂ 5 3 0 5 ቃ ቂ 5 3 0 5 ቃ = ሺ5,3ሻ. ሺ5,0ሻ ሺ5,3ሻ. ሺ3,5ሻ ሺ0.5ሻ. ሺ5,0ሻ ሺ0,5ሻ. ሺ3,5ሻ ൨ =ቂ 25 0 15 15 0 0 0 25 ቃ =ቂ 25 30 0 25 ቃ 6) Halle BC, si B= ቂ െ8 0 7 1 3 2 ቃ ; C=൭ 1 0 0 3 7 1 ൱ 16 CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC Solución: BC=ቂ െ8 0 7 1 3 2 ቃ ൭ 1 0 0 3 7 1 ൱ BC= ሺെ8,0,7ሻ. ሺ1,0,7ሻ ሺെ8,0,7ሻ. ሺ0,3,1ሻ ሺ1,3,2ሻ. ሺ1,0,7ሻ ሺ1,3,2ሻ. ሺ0,3,1ሻ ൨=ቂ െ8 0 49 0 0 7 1 0 14 0 9 2 ቃ BC= ቂ 41 7 15 11 ቃ 7). Halle݂ ሺሻ , si I X X f X − − = 2 ) ( , A= 2 1 1 3 1 2 1 െ1 0 ൩ Solución: Hallandoܣ ଶ 2 1 1 3 1 2 1 െ1 0 ൩ 2 1 1 3 1 2 1 െ1 0 ൩ ൌ ሺ2,1,1ሻ. ሺ2,3,1ሻ ሺ2,1,1ሻ. ሺ1,1, െ1ሻ ሺ2,1,1ሻ. ሺ1,2,0ሻ ሺ3,1,2ሻ. ሺ2,3,1ሻ ሺ3,1,2ሻ. ሺ1,1, െ1ሻ ሺ3,1,2ሻ. ሺ1,2,0ሻ ሺ1, െ1,0ሻ. ሺ2,3,1ሻ ሺ1, െ1,0ሻ. ሺ1,1, െ1ሻ ሺ1, െ1,0ሻ. ሺ1,2,0ሻ ܣ ଶ = | | | ¹ | \ | + − + − + − + + − + + + + + − + + + 0 2 1 0 1 1 0 3 2 0 2 3 2 1 3 2 3 6 0 2 2 1 1 2 1 3 2 ܣ ଶ = | | | ¹ | \ | − − 1 0 1 5 2 11 4 2 6 , Nota: I= | | | ¹ | \ | 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Se tiene I X X f X − − = 2 ) ( ֜ ݂ ሺሻ ൌ A ଶ െܣ െܫ | | | ¹ | \ | − − = 1 0 1 5 2 11 4 2 6 ) ( A f - | | | ¹ | \ | − 0 1 1 2 1 3 1 1 2 - | | | ¹ | \ | 1 0 0 0 1 0 0 0 1 = | | | ¹ | \ | − − − + + − − − − − − − − − − − − − − − 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 2 5 1 1 2 0 3 11 0 1 4 0 1 2 1 2 6 f(A)= | | | ¹ | \ | − − 2 1 2 3 0 8 3 1 3 MATEMÁTICA II 17 CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES E EE Ejercicios propuestos jercicios propuestos jercicios propuestos jercicios propuestos 1) Halle x + y + z, si A = B Siendo A = ( ¸ ( ¸ + = ( ¸ ( ¸ − − 4 3 4 2 ; 3 1 y B x z y x 2) Escriba explícitamente la matriz A y halleA-2B Si A=[ ] ¦ ¹ ¦ ´ ¦ > = + < = j i si j j i si j i j i si i a a j i x j i , , , / 2 3 B= ( ( ( ¸ ( ¸ 2 5 3 0 2 1 3) Si 2 2 2 ) )( 2 ) : 4 2 1 1 , 3 2 1 2 B A b B AB A a Halle B A + + + ( ¸ ( ¸ = ( ¸ ( ¸ − = 4) Dadas las matrices A, B y C, donde: ( ( ( ¸ ( ¸ − − = ( ( ( ¸ ( ¸ − − = ( ¸ ( ¸ − − = 4 0 1 0 2 1 C 5 0 3 0 1 3 0 7 1 B 0 5 2 0 7 1 A Verificar que (AB) C = A (BC) 5) Dadas las matrices A, B y C donde: ( ( ( ¸ ( ¸ = ( ( ( ¸ ( ¸ − = ( ( ( ¸ ( ¸ − − = 0 0 0 4 1 2 1 1 1 C 1 1 3 1 1 2 1 1 1 B 2 1 3 2 1 2 2 1 1 A Verificar que AC = BC 6) Si ( ¸ ( ¸ + + + ( ¸ ( ¸ − = ( ¸ ( ¸ z w z y x w y w z y x 2 4 2 1 6 3 halle x + y + z + w 7) Halle a, b, c y d para que satisfaga la ecuación. 18 CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC ( ¸ ( ¸ = ( ( ( ( ¸ ( ¸ ( ¸ ( ¸ 3 5 7 6 9 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 2 0 1 2 9 3 1 d c b a 8) Si 9) Si ( ( ( ¸ ( ¸ − = ( ( ( ¸ ( ¸ ( ( ( ¸ ( ¸ − − − 3 5 1 z y x 0 1 3 1 0 2 1 2 0 Calcule E = x + y + z 10) Hallex, y, z, si ( ( ( ¸ ( ¸ = ( ( ( ¸ ( ¸ ( ( ( ¸ ( ¸ 2 5 1 Z Y X 1 0 1 5 1 0 0 2 1 11) Dadas las matrices: [ ] [ ] xyz E halle , 3 2 1 , 1 0 1 3 5 2 1 2 3 = = − = = ( ( ( ¸ ( ¸ − − − = C BA Si C y z y x B A 10)Consideramos las siguientes matrices: ( ( ( ¸ ( ¸ − − − = ( ( ( ¸ ( ¸ − = ( ( ( ¸ ( ¸ − = ( ( ( ¸ ( ¸ = 4 3 8 1 4 2 0 6 2 , 1 0 3 0 1 5 4 2 3 . 1 1 1 0 , 2 3 0 1 . B A ii B A i a) Calcule A − B b)Calcule A.B 11) Consideramos las siguientes matrices: d c b a m : de valor el Halle 1 0 7 5 5 11 1 1 0 0 0 0 3 0 2 1 0 3 0 2 1 1 1 1 2 2 + + + = ( ¸ ( ¸ − − = ( ( ( ( ¸ ( ¸ ⋅ ( ¸ ( ¸ − b a c d a b MATEMÁTICA II 19 CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES ( ( ( ¸ ( ¸ − = ( ( ( ¸ ( ¸ − = ( ( ( ¸ ( ¸ = 4 0 2 2 11 4 C , 1 2 1 0 3 2 B , 6 4 2 5 3 1 A Calcule:a) A + B b) A – B c) (A + B) + C d) (A – B) + C Autoevaluación Autoevaluación Autoevaluación Autoevaluación 1) Sean las matrices A = ( ( ( ¸ ( ¸ − − − + − + z x y y x z x 2 8 1 2 1 2 1 2 1 2 ; B = ( ( ( ¸ ( ¸ − − − − + + − 1 8 5 z x 2 z 1 3 z y x 2 y 2 3 Si A = B,Halle el valor de xyz. 2) Halle x + y, si A = B Siendo A = ( ¸ ( ¸ + = ( ¸ ( ¸ − − 4 3 4 2 ; 3 2 y B y x x y x 3) Dadas las matrices | | | ¹ | \ | − = | | | | | ¹ | \ | − = − − m k n B k t a e A k 0 5 1 2 3 1 , 1 5 1 2 4 9 3 3 2 2 1 0 1 calcule el valor de k + m para que las matrices sean iguales 4) Sea M=N ( ( ( ¸ ( ¸ + − − = ( ( ( ¸ ( ¸ − + − + = m z y N n z x y x M 100 27 6 0 2 2 2 , 2 2 3 4 0 2 2 3 Calcule: E= ) ( y x z − + 20 CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC 5) Escriba explícitamente las siguientes matrices y halle AB. [ ] ( ) [ ] ( ) j i b b B b j a a A a ij ij i ij x ij 2 / ) 2 / ) 4 3 3 3 − = = + = = × 6) Escribe explícitamente la matriz B y halle 2 BD Si B=[ ] ¦ ¹ ¦ ´ ¦ > − = + < − = j i si i j j i si j i j i si j i b b j i x j i , , , / 2 3 D= ( ¸ ( ¸ − 3 2 2 1 7) Se tienen las matrices: M=[ ] 3 2 0 0 1 − N= ( ( ( ( ( ( ¸ ( ¸ − − − − 3 2 4 1 0 Halle NM 8) Resolver las siguientes ecuaciones: ( ¸ ( ¸ = ( ¸ ( ¸ − + + − ( ¸ ( ¸ − = ( ¸ ( ¸ − + 1 4 0 3 2 3 ) 4 4 3 2 2 ) v u y x v u y x b y y x x a ( ) ( ¸ ( ¸ − + = ( ¸ ( ¸ + − ( ¸ ( ¸ = ( ¸ ( ¸ + 0 1 2 4 1 1 0 2 ) 9 1 16 4 1 2 3 ) 2 2 z w y x d v u y x c 9) Consideramos las siguientes matrices: MATEMÁTICA II 21 CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES ( ( ( ¸ ( ¸ − − − − = ( ( ( ¸ ( ¸ − = ( ( ( ¸ ( ¸ − = ( ( ( ¸ ( ¸ = 4 3 8 8 1 4 3 2 0 1 6 2 , 3 1 2 1 0 3 0 1 5 4 2 3 . 1 4 1 1 3 0 , 2 5 3 0 2 1 . B A ii B A i Calcule A + B Resumen 1. Matriz cuadrada: Número de filas igual al número de columnas 2. Condición para sumar o restar matrices: mxn mxn mxn R N M = ± Las matrices deben ser del mismo orden 3. Condición para multiplicar matrices: mxn qxn mxq P N M = Número de columnas de la matriz M es igual al número de filas de la matriz N. • Si desea saber más acerca de estos temas, puede consultar las siguientes páginas: 1.http://es.wikibooks.org/wiki/%C3%81lgebra_Lineal/Operaciones_entre_matrices 2.http://www.e-torredebabel.com/Psicologia/Conexionismo/Conexionismo- Matrices.htm. BIBLIOGRAFIA: Espinoza Ramos, Eduardo Matrices y Determinantes J.J Servicios Lima 2005 Lázaro, Moisés Colección 22 CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC Vera, Carlos Algebra Lineal Moshera Lima 2004 http://descartes.cnice.mec.es www.eneayudas.cl/geomanal.html a. MATRIZ NULA Una matriz, en la cual todos sus elementos son ceros, se denomina matriz nula y se denota 0. Ejemplo: [ ] ( ¸ ( ¸ = = ( ( ( ¸ ( ¸ = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 b. MATRIZ COLUMNA Tiene m filas y una columna. Ejemplos: [ ] 8 ; 3 3 3 3 ; 20 15 10 5 = ( ( ( ( ¸ ( ¸ = ( ( ( ( ¸ ( ¸ = P N M c. MATRIZ FILA Está formada por una fila y n columnas Ejemplos: IV. TIPOS DE MATRICES MATEMÁTICA II 23 CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES [ [[ [ ] ]] ] [ [[ [ ] ]] ] [ [[ [ ] ]] ] x x x x C x x B A 5 4 1 3 1 1 2 40 30 20 10 3 2 2 − −− − − −− − = == = − −− − + ++ + − −− − = == = = == = d. MATRIZ CUADRADA Una matriz A es cuadrada, cuando el número de filas es igual al número de columnas, (m = n). Ejemplos: La matriz ( ( ( ¸ ( ¸ = 2 2 2 1 1 1 1 1 1 A es cuadrada de orden 3 x 3 La matriz ( ¸ ( ¸ = 7 5 3 2 B es cuadrada de orden 2 x 2 ¿Qué es la Diagonal Principal de una Matriz? La Diagonal principal de una matriz cuadrada, es la línea formada por los elementos a 11 , a 22 , a 33 …, a nn . : Diagonal Secundaria Diagonal principal Ejemplo: Diagonal principal: Diagonal secundaria: ( ( ( ¸ ( ¸ = 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a A 24 CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC MATRICES ESPECIALES 1. MATRIZ DIAGONAL Una matriz diagonal es una matriz cuadrada cuyos elementos son todos iguales a cero, excepto los que pertenecen a su diagonal principal. Ejemplos: ( ( ( ( ( ¸ ( ¸ = ( ( ( ¸ ( ¸ = ( ( ( ¸ ( ¸ = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 1 C y 10 0 0 0 0 0 0 0 5 B ; 20 0 0 0 15 0 0 0 8 A 2. MATRIZ ESCALAR Es aquella matriz diagonal en la cual todos los elementos de la diagonal principal son iguales: Ejemplos: ( ( ( ( ¸ ( ¸ = ( ( ( ( ¸ ( ¸ = 3 1 0 0 0 3 1 0 0 0 3 1 N , 3 0 0 0 0 3 0 0 0 0 3 0 0 0 0 3 M 3. MATRIZ IDENTIDAD Una matriz identidad es una matriz diagonal cuyos elementos de la diagonal principal son todos iguales al número uno. Ejemplos: ( ( ( ( ¸ ( ¸ = ( ( ( ¸ ( ¸ = ( ¸ ( ¸ = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ; 1 0 0 1 C y B A MATEMÁTICA II CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC 4. MATRIZ TRANSPUESTA La transpuesta de una matriz A de orden m x n es una matriz de orden n x m, denotada por A T , cuyas de A. Ejemplos: C Si 2 x 3 entonces 20 5 2 10 8 3 A ( ( ( ¸ ( ¸ = C Si 4 4 8 7 5 3 4 1 3 17 5 1 7 2 3 1 P ( ( ( ( ( ( ¸ ( ¸ = π Propiedades de la matriz transpuesta 1. Ejemplos: Si ¸ = 0 1 I 2. Ejemplo: Si ¸ − = 1 1 2 B I I T = ( ) B B T T = CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES MATRIZ TRANSPUESTA La transpuesta de una matriz A de orden m x n es una matriz de orden n x m, , cuyas filas son las columnas de A, y cuyas columnas son las filas 3 x 2 T 20 5 10 8 2 3 A entonces ( ¸ ( ¸ = 2 4 7 1 5 3 4 1 7 2 3 1 T x P entonces ¸ = Propiedades de la matriz transpuesta ( ¸ ( ¸ = ⇒ ( ¸ ( 1 0 0 1 1 0 T I ¸ − − = ( ( ( ¸ ( − 3 0 4 1 1 2 6 2 3 4 1 0 1 T B entonces 25 CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES La transpuesta de una matriz A de orden m x n es una matriz de orden n x m, filas son las columnas de A, y cuyas columnas son las filas 4 2 4 8 7 3 17 5 1 x ( ( ( ( ¸ ( π ( ( ( ¸ ( 6 2 1 26 CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC Luego: ( ) ( ( ( ¸ ( ¸ − − = 6 2 1 3 4 1 0 1 2 T T B Por tanto: ( ) B B T T = 3. T T B K KB . ) ( = , “K” es un escalar - Si 5 k y 6 5 2 4 1 3 B = ( ( ¸ ( ¸ = = ( ( ¸ ( ¸ = ( ( ¸ ( ¸ = 6 25 10 4 5 15 6 5 2 4 1 3 5 KB = ( ¸ ( ¸ = 6 25 4 5 10 15 ) KB ( t - Si ( ( ¸ ( ¸ = 6 5 2 4 1 3 B y K = 5 = ( ¸ ( ¸ = 6 5 4 1 2 3 B T = ( ¸ ( ¸ = ( ¸ ( ¸ = 6 25 4 5 10 15 6 5 4 1 2 3 5 KB T Por lo tanto verificamos que: (KB) t = KB t 4. t t t B A B A + ++ + = == = + ++ + ) ( Ejemplo: * Si ( ¸ ( ¸ − − − = ( ¸ ( ¸ = 0 8 1 2 1 2 1 3 B A = ( ¸ ( ¸ − = + 1 6 0 1 B A MATEMÁTICA II 27 CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES = ( ¸ ( ¸ − = + 1 0 6 1 ) ( t B A ** Si ( ¸ ( ¸ = ( ¸ ( ¸ = 1 1 2 3 1 2 1 3 t A entonces A Si ( ¸ ( ¸ − − − = ( ¸ ( ¸ − − − = 0 1 8 2 0 8 1 2 t B entonces B ¬ ( ¸ ( ¸ − − − + ( ¸ ( ¸ = + 0 1 8 2 1 1 2 3 t t B A ¬ ( ¸ ( ¸ − = + 1 0 6 1 t t B A Por lo tanto: (A + B) t = A t + B t 5. t t t A B AB . ) ( = * Si ( ¸ ( ¸ = → ( ¸ ( ¸ = → ( ¸ ( ¸ = ( ¸ ( ¸ − = 7 5 7 5 ) AB ( 7 7 5 5 AB 2 2 1 1 B , 4 1 1 3 A t * * Si ( ¸ ( ¸ = → ( ¸ ( ¸ = 2 1 2 1 2 2 1 1 t B B Si ( ¸ ( ¸ = ( ¸ ( ¸ − ( ¸ ( ¸ = → ( ¸ ( ¸ − = → ( ¸ ( ¸ − = 7 5 7 5 4 1 1 3 2 1 2 1 . 4 1 1 3 4 1 1 3 t t t A B A A Luego verificamos que:(AB) t = B t .A t 5. MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR Una matriz cuadrada A=[a ij ] se llama triangular inferior si y solo si, sus elementos a ij = 0 para i < j Ejemplos: ( (( ( ( (( ( ( (( ( ¸ ¸¸ ¸ ( (( ( ¸ ¸¸ ¸ = == = ( (( ( ¸ ¸¸ ¸ ( (( ( ¸ ¸¸ ¸ = == = 7 1 6 1 5 1 0 0 0 3 1 3 1 8 0 3 e B A π ππ π ( (( ( ( (( ( ( (( ( ( (( ( ( (( ( ¸ ¸¸ ¸ ( (( ( ¸ ¸¸ ¸ = == = 7 7 7 7 0 5 5 5 0 0 3 3 0 0 0 2 C 28 CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC ( (( ( ( (( ( ( (( ( ¸ ¸¸ ¸ ( (( ( ¸ ¸¸ ¸ = == = 33 32 31 22 21 11 0 0 0 d d d d d d D 6. MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR Una matriz cuadrada A = [a ij ] se llama triangular superior si y sólo si, sus elementos a ij = 0 para i > j ( ¸ ( ¸ = 2 0 4 5 D ( ( ( ¸ ( ¸ = 7 0 0 5 4 3 1 0 3 2 4 M 7. MATRIZ SIMÉTRICA Sea la matriz cuadrada A = [a ij ]. A es simétrica, si y sólo sí Ejemplos: ( ( ( ¸ ( ¸ = ⇒ ( ( ( ¸ ( ¸ = 5 4 3 4 6 2 3 2 1 5 4 3 4 6 2 3 2 1 t A A ( ¸ ( ¸ − − = ⇒ ( ¸ ( ¸ − − = 5 8 3 2 P 5 3 8 2 P t 8. MATRIZ ANTISIMÉTRICA Sea la matriz cuadrada A = [a ij ]. A es antisimétrica, si y sólo si, t A A − = Ejemplo: ( ( ( ¸ ( ¸ − − − = − ⇒ ( ( ( ¸ ( ¸ − − − = ⇒ ( ( ( ¸ ( ¸ − − − = 0 8 3 8 0 2 3 2 0 0 8 3 8 0 2 3 2 0 0 8 3 8 0 2 3 2 0 t t A A A PROPIEDADES DE LA TRAZA Latraza en una matriz cuadrada es la suma de los elementos de la diagonal principal. Es decir Traz(A)= .... ......... 33 22 11 + + + + kk a a a a 1) Traz(λA) = λ Traz(A) T A A= ( ( ( ( ¸ ( ¸ = 8 0 0 0 4 2 0 0 1 4 0 0 8 7 0 2 R MATEMÁTICA II 29 CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES 2) Traz(A ± B) = Traz(A) ± Traz(B) 3) Traz(AB) = Traz(BA) 4) Traz(A) = Traz ( ) t A 1. Ejemplo: Si ( ¸ ( ¸ − − = ( ¸ ( ¸ = 2 5 3 1 4 6 3 1 B A Halle Traz(A+B) Solución: = + ) ( B A Traz 5-3=2 2. Ejemplo: Sean las matrices: 3 x 3 3 x 3 1 2 3 3 2 1 3 2 3 N 3 3 0 1 1 1 2 2 2 M ( ( ( ¸ ( ¸ − − − = ( ( ( ¸ ( ¸ − − = Halle Traz(M+N) Solución 2 y = 4 x - x 2 1 ( a , b ) ( 2 , 5 ) y x 2 4 1 5 ) ( 4 5 3 4 1 2 1 4 5 = − + = + → ( ( ( ¸ ( ¸ − − − = + N M Traz N M 30 CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC DETERMINANTES Se llama determinante de una matriz cuadrada a un número real asociado a dicha matriz. Se llama determinante de la matriz ( ¸ ( ¸ = 22 21 12 11 a a a a A al número real asociado a ella, denotado por det A o por A . 22 21 12 11 a a a a A = y se define como sigue: det (A) = |A| = = 22 21 12 11 a a a a a 11 a 22 - a 12 a 21 entonces ) ( ) ( 21 12 22 11 a a a a A − = 1. Ejemplo: Hallar el determinante de: ( ¸ ( ¸ = 6 3 5 2 A Entonces de 3 15 12 5 3 6 2 6 3 5 2 − = − = − = = x x A ¬ ( ) 3 A det − = 2. Ejemplo Si ( ¸ ( ¸ = 2 3 3 2 B entonces |B| = 2 - 3 = -1. 3. Ejemplo: Si ( (( ( ( (( ( ( (( ( ¸ ¸¸ ¸ ( (( ( ¸ ¸¸ ¸ − −− − = == = 4 5 2 3 4 1 2 1 B I. DEFINICIÓN DE DETERMINANTE II. DETERMINANTE DE ORDEN 2 MATEMÁTICA II 31 CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES 1 8 3 8 5 ) 4 1 )( 2 3 ( ) 4 5 )( 2 1 ( 4 5 2 3 4 1 2 1 ) det( = ∴ + = − − = − = ⇒ B B 3 3 3 2 2 2 1 1 1 c b a c b a c b a A = Para desarrollarlo, tomamos referencia a sus dos diagonales con sus respectivos signos. Existen dos maneras de desarrollar esta expresión, veamos: a)REGLA DE SARRUS POR FILAS 2 2 2 1 1 1 3 3 3 2 2 2 1 1 1 c b a c b a c b a c b a c b a A = det(A)=a 1 b 2 c 3 +a 2 b 3 c 1 +a 3 b 1 c 2 - (a 3 b 2 c 1 +a 1 b 3 c 2 + a 2 b 1 c 3 ) b) REGLA DE SARRUS POR COLUMNAS (-) (-) (-) 3 3 3 3 3 2 2 3 2 2 1 1 1 1 1 b a c b a b a c b a b a c b a A = (+) (+) (+) det(A)=a 1 b 2 c 3 + b 1 c 2 a 3 + c 1 a 2 b 3 –(a 3 b 2 c 1 + b 3 c 2 a 1 + c 3 a 2 b 1 ) Ejemplo: Calcule el|A| (+) III. DETERMINANTE DE ORDEN 3 32 CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC ( ( ( ¸ ( ¸ − − − = 1 2 1 1 1 2 2 1 1 A SOLUCION: Por Sarrus, método de columnas 1 2 1 1 1 2 2 1 1 − − − = A (2) (2) (-2) 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 − − − − − = A =(8+1-1)- (2+2-2)=6 (1) (-1) (8) TEOREMA En la matriz de tercer orden: 33 32 31 23 22 21 13 12 11 b b b b b b b b b B = El determinantede la matriz B se calcula por: 32 31 22 21 13 33 31 23 21 12 33 32 23 22 11 b b b b b b b b b b b b b b b B + − = Ejemplo: Sea la matriz la siguiente ( ( ( ¸ ( ¸ − = 5 2 2 2 5 0 2 0 1 A , calcule el |A| Solución: 5 2 2 2 5 0 2 0 1 − = A MATEMÁTICA II 33 CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES 2 2 5 0 2 5 2 2 0 0 5 2 2 5 1 + − − − = A A = 1( - 25 – 4) + 0( 0(-5)-2(2) ) + 2( 0 – 10 ) A = - 49 Ejemplo Calcule el determinante de la matriz: ( ( ( ¸ ( ¸ − − = 5 1 3 3 2 2 6 7 4 A Solución: Det (A) = |A| = 1 3 2 2 6 5 3 3 2 7 5 1 3 2 4 − + − − − − |A| = ( ) [ ] ( ) [ ] [ ] ) 2 )( 3 ( ) 1 )( 2 ( 6 ) 3 ( 3 5 2 7 ) 3 ( 1 5 2 4 − − + − − − − − − |A| = [ ] [ ] ) 6 ( ) 2 ( 6 9 10 7 ) 3 10 ( 4 − + − + + − − + |A| = 4(13) - 7 (-1) + 6 (-8) |A| = 52 + 7 - 48 11 = A PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES I. Si se intercambian las filas de una matriz, el determinante cambia de signo, es decir, A B − = II. Al multiplicar todos los elementos de una fila por un mismo número, el determinante queda multiplicado por dicho número. Es decir A k B = III. Si a una fila se le suma un múltiplo de otra fila, el determinante no cambia su valor. Es decir: |B| = |A| IV. El determinante de un producto de matrices cuadradas es igual al producto de los determinantes de las matrices. 34 CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC En general: Para matrices A y B de orden n se cumple que: |A.B| = |A| |B| TEOREMA (REGLA DE CRAMER) 1. Sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. La regla de Cramer da la siguiente solución: 0 , ; ≠ ∆ ∆ ∆ = ∆ ∆ = si y y x x d c b a f c e a y d f b e x = ∆ = ∆ = ∆ , , 2. Sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. 0 , ; ; : solución siguiente la da Cramer de regla La 3 3 3 2 2 2 1 1 1 ≠ ∆ ∆ ∆ = ∆ ∆ = ∆ ∆ = = + + = + + = + + si z z y y x x r z c y b x a q z c y b x a p z c y b x a 3 3 3 2 2 2 1 1 1 3 3 2 2 1 1 3 3 2 2 1 1 3 3 2 2 1 1 1 , , , c b a c b a c b a r b a q b a p b a z c r a c q a c p a y c b r c b q c b p x = ∆ = ∆ = ∆ = ∆ MATEMÁTICA II 35 CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES 3 3 3 2 2 2 1 1 1 3 3 2 2 1 1 3 3 3 2 2 2 1 1 1 3 3 2 2 1 1 3 3 3 2 2 2 1 1 1 3 3 2 2 1 1 ; ; c b a c b a c b a r b a q b a p b a z c b a c b a c b a c r a c q a c p a y c b a c b a c b a c b r c b q c b p x = = = Ejemplo 1 Halle la solución del siguiente sistema de ecuaciones. 9 2 3 11 3 4 = + = + y x y x Solución Por la regla de Cramer 1 9 8 2 3 3 4 3 33 36 9 3 11 4 5 27 22 2 9 3 11 − = − = = ∆ = − = = ∆ − = − = = ∆ y x ∆ ∆ = ∆ ∆ = y y x x ; 3 1 3 ; 5 1 5 − = − = = − − = y x Ejemplo 2 Resolver el sistema a + b + 2c = 8 2a - b + c = 1 -a + 2b - c = 3 36 CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC Solución: Por la regla de Cramer 6 ) 1 4 ( 2 ) 1 2 ( 1 ) 2 1 ( 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 = − + + − − − = − − − = ∆ 6 ) 3 2 ( 2 ) 3 1 ( 1 ) 2 1 ( 8 1 2 3 1 1 1 2 1 8 = + + − − − − = − − = ∆a 18 ) 1 6 ( 2 ) 1 2 ( 8 ) 3 1 ( 1 1 3 1 1 1 2 2 8 1 = + + + − − − − = − − = ∆b 12 ) 1 4 ( 8 ) 1 6 ( 1 ) 2 3 ( 1 3 2 1 1 1 2 8 1 1 = − + + − − − = − − = ∆c a= 1 6 6 = = ∆ ∆a , b= 3 6 18 = = ∆ ∆b , c= 2 6 12 = = ∆ ∆c Por lo tanto: a=1, b=3, c=2 Ejemplo 3 Sean las matrices ( ¸ ( ¸ = ( ¸ ( ¸ − = 2 3 1 0 B ; 1 0 3 2 A Además el sistema MATEMÁTICA II 37 CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES ¦ ¹ ¦ ´ ¦ = + + = + − = − + ) ......( .......... . ) .....( .......... 3 2 ) .....( .......... 2 3 γ β α B A Z Y X B Z Y X A Z Y X Donde: X, Y, Z son matrices de orden 2. Halle la matriz E = 19X Solución: a. Resolviendo el sistema tenemos: (α) + (β) 3X + 2Y -Z = A 2X– 3Y +Z =B 5x - y =A+B …………………. (*) b. Resolviendo (β) y (γ) (-1) (2X- 3Y + Z) = B (-1) X + Y + Z = AB -2X + 3Y -Z = -B X + Y + Z= A.B -X + 4Y = AB - B …………..(**) De (*) y (**) 4 (5X - Y) = (A +B) 4 -X + 4Y = AB - B 20X– 4Y = 4A + 4B -X + 4Y = AB - B B A B A X . 3 4 19 + + = …………..(***) c. Remplazando las matrices A y B en (***) tenemos: ( ¸ ( ¸ ( ¸ ( ¸ − + ( ¸ ( ¸ + ( ¸ ( ¸ − = 2 3 1 0 1 0 3 2 2 3 1 0 3 1 0 3 2 4 19X ( ¸ ( ¸ − − + ( ¸ ( ¸ + ( ¸ ( ¸ − = 2 3 8 9 6 9 3 0 4 0 12 8 19X Ejemplo 4 Si, ( ( ( ¸ ( ¸ − − − − = 4 3 2 1 1 x a x b b b a A es una matriz simétrica Hallar: M = A 2 - 4I + 2E; donde E = matriz escalar, k=2 38 CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC Solución: Si A es una matriz simétrica ¬ a - b = 2 …………………….….……… C b - x = -1 ¬ 1 + = b x …….………. C a- x = b …………………………….….. C Reemplazando (2) en (3) tenemos: a - x = b a - (b+1) = b a-b-1 = b 0 1 b 2 a = − − …….C De (1) y (4) ¬ -1 (a-b) = (2) (-1) a-2b = 1 -a+b = -2 a-2b = 1 -b = -1 1 = b ¬ 2 = x 3 = a ¬ la matriz A es: ( ( ( ¸ ( ¸ − − = 4 1 1 1 3 2 1 2 1 A Nos piden: M = A 2 - 4I + 2E ( ( ( ¸ ( ¸ + ( ( ( ¸ ( ¸ − ( ( ( ¸ ( ¸ − − ( ( ( ¸ ( ¸ − − = 2 0 0 0 2 0 0 0 2 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 4 4 1 1 1 3 2 1 2 1 4 1 1 1 3 2 1 2 1 M ( ( ( ¸ ( ¸ + ( ( ( ¸ ( ¸ − − − + ( ( ( ¸ ( ¸ − − = 4 0 0 0 4 0 0 0 4 4 0 0 0 4 0 0 0 4 18 5 3 5 14 7 3 7 6 M Sumando las tres matrices tenemos: ( ( ( ¸ ( ¸ − − = 18 5 3 5 14 7 3 7 6 M Ejemplo 5 MATEMÁTICA II 39 CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES Sea una matriz A de orden 3, A = aI + bD, en donde D es una matriz, tal que todos sus elementos de la diagonal principal son ceros y todos los demás son unos. Halla “a” y “b” de manera que A 2 = I Solución: “A” es una matriz de 3x3 ¬ ( ( ( ¸ ( ¸ = 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a A ( ( ( ¸ ( ¸ = 0 1 1 1 0 1 1 1 0 D Pero: A = aI + b.D ( ( ( ¸ ( ¸ + ( ( ( ¸ ( ¸ = 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 b a A ( ( ( ¸ ( ¸ = ( ( ( ¸ ( ¸ + ( ( ( ¸ ( ¸ = a b b b a b b b a 0 b b b 0 b b b 0 a 0 0 0 a 0 0 0 a A ( ( ( ¸ ( ¸ = a b b b a b b b a A Además: A 2 = I ¬ A.A = I ( ( ( ¸ ( ¸ = ( ( ( ¸ ( ¸ ( ( ( ¸ ( ¸ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 . a b b b a b b b a a b b b a b b b a ( ( ( ¸ ( ¸ = ( ( ( ¸ ( ¸ + + + + + + + + + + 1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b a ab b ab b ab b a b b ab b ab b ab b b a 40 CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC ¬ 1 b 2 a 2 2 = + …………… (1) ^ 2ab + b 2 = 0 ……..(2) b (b + 2a) = 0 0 = b v 0 2 = + a b En (1): Si b = 0 ¬ a 2 = 1 ¬ 1 ± = a Si b = 2a ¬ a 2 + 8a 2 = 1 ¬ a 2 = 9 1 ¬ 3 1 ± = a Ejercicios propuestos Ejercicios propuestos Ejercicios propuestos Ejercicios propuestos 1. Sean las matrices: A = ( ¸ ( ¸ − y x y x 1 3 , B = ( ¸ ( ¸ − − x y 6 1 6 2 , C = ( ¸ ( ¸ 3 2 x y Determine A t +C -1 , si A = B. 2. Dada la matriz ( ¸ ( ¸ = 2 5 1 3 A se le pide que a) Halle la matriz I A A M t 2 . . 3 − = MATEMÁTICA II 41 CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES b) Halle la matriz X de: ( ¸ ( ¸ = − 1 0 0 2 . 1 M X 3. Sean las matrices A y B. Se tiene el siguiente sistema de ecuaciones : | | ¹ | \ | = + | | ¹ | \ | = + 3 2 2 3 2 3 2 3 3 2 3 2 B A B A Halla (AB) -1 . 4. Niveles de Colesterol:Los señores Cruz, Jiménez y Sánchez sufren una enfermedad en las coronarias. Como parte del tratamiento se les da una dieta baja en colesterol. El señor Cruz lleva la dieta I, Jiménez la dieta II y Sanchez la dieta III. Se mantuvieron registros de los niveles de colesterol de cada paciente. Al principio de los meses1,2,3 y 4 dichos niveles eran: Cruz: 220, 215, 210 y 205 Jiménez: 220, 210, 200 y 195. Sánchez: 215, 205, 195 y 190. Represente esta información en una matriz 3 x 4. 5. Ingreso en Taquilla: Cinema Center tienen 4 salas, de la I a la IV. El precio de cada función es de S/. 2 por niño, S/. 3 por estudiante y S/. 4 por adulto. La asistencia a la matiné del domingo está dad por la matriz. ( (( ( ( (( ( ( (( ( ( (( ( ¸ ¸¸ ¸ ( (( ( ¸ ¸¸ ¸ = == = 225 250 0 110 85 280 225 180 75 50 110 225 A Si las filas representan a las diferentes salas y las columnas a las personas. a) Escriba un vector columna B que represente el precio de entrada. b) Luego calcule AB, el vector columna que representa el ingreso bruto de cada sala. c) Por último, encuentre el ingreso total por conceptode entradas de matiné. 6. Sean las matrices: [ ] [ ] ¹ ´ ¦ ≥ − < + = = + = = j i , j 2 i j i , j i b donde , b B y j i 3 a donde , a A ij 2 x 2 ij ij 2 x 2 ij . X halla , A 4 X B Si T 2 = 7. Sean las matrices : [ ] T ij x ij A C XB que sabe se si X halla C y B j i a donde a A + = ( ¸ ( ¸ − − = ( ¸ ( ¸ = = = 2 : , , 2 5 1 3 8 7 6 5 ), , max( 2 2 42 CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC ( (( ( ( (( ( ( (( ( ( (( ( ( (( ( ( (( ( ( (( ( ¸ ¸¸ ¸ ( (( ( ¸ ¸¸ ¸ − −− − − −− − + ++ + = == = 2 10 7 8 2 3 11 6 x y x E 8. Sean las matrices : [ ] T ij 2 x 2 ij A C 2 XB : que sabe se si , X halla , 2 5 1 3 C y 8 7 6 5 B ), j , i max( a donde a A + = ( ¸ ( ¸ − − = ( ¸ ( ¸ = = = 9. Resuelva el sistema de ecuaciones utilizando la regla de Cramer 7x - 5y = - 17 2x – y = -1 Rpta: x = 4 , y = 9 10. Halle el valor de x ,en 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 = − − x x 11. Sean las matrices: ( (( ( ( (( ( ( (( ( ( (( ( ¸ ¸¸ ¸ ( (( ( ¸ ¸¸ ¸ − −− − − −− − + ++ + = == = 10 4 3 7 2 y x y x D Si TRAZ(D)=TRAZ(B) y 21 21 e d = ,calcule M=4x-2y 12.Dadas las matrices: -1 0 1 2 -1 1 A= 0 2 -1 ; B= 0 3 -1 1 1 -1 1 -1 0 Halle la traza de: 3AxB – 4 A T + 3I Autoevaluación Autoevaluación Autoevaluación Autoevaluación 1) Sean A y B matrices cuadradas tales que AB = I Si ? , 1 0 6 0 0 5 = ( ( ( ¸ ( ¸ = B halla c b a A 2) Si la matriz ( ( ( ( ¸ ( ¸ − = 2 1 2 3 2 3 2 1 B MATEMÁTICA II 43 CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES Demuestre que I BB t = 3) Dadas las matrices ( ¸ ( ¸ − = ( ¸ ( ¸ = 1 2 1 1 , 2 2 2 3 D A , si DX=A calcule 2 ) ( A D D X t + − 4) Halle la solución de los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando la regla de Cramer: a) 2x - 3y = - 6 3x + 3y = 21 Rpta: x = 3 , y = 4 b) 9x + 5y = 0 2x + y = - 1 Rpta: x = -5 , y = -1 c) x + 4y + 5z = 11 3x - 2y + z = 5 4x + y - 3z = -26 Rpta: x = - 2 , y = - 3 , z = 5 5) Si ( ( ( ¸ ( ¸ − + + − − = 5 5 0 2 1 x a x b b a b A calcule los valores de a, b y x para que la matriz sea simétrica. Además calcule t A 6) Dadas las matrices ( ( ( ¸ ( ¸ − − − = 1 0 1 3 5 2 1 2 3 A , [ ] 3 2 1 − = ( ( ( ¸ ( ¸ = C Y z y x B 44 CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC SI C A B t = == = .HallarE= x + y + z Rpta: x = 0, y = -2, z = -5 7) Si ( ( ( ¸ ( ¸ − − − = 5 3 2 7 4 1 6 5 4 z y x A es una matriz triangular superior, calcule la inversa de la matriz ( ¸ ( ¸ + = z x z y x D 8) Si ( ( ( ¸ ( ¸ − − − + = 0 9 1 2 0 3 1 0 a b b a M es una matriz antisimétrica y ( ( ( ¸ ( ¸ − = 0 0 0 0 0 0 2 b b a N , halla la matriz P = M.N – 3I 9) En la ecuación: 2B A A T = == = ⋅ ⋅⋅ ⋅ , donde A es matriz triangular superior y B = ( (( ( ( (( ( ( (( ( ¸ ¸¸ ¸ ( (( ( ¸ ¸¸ ¸ 2 0 0 0 2 3 0 3 5 calcula la matriz A (considera soluciones positivas). 10) Si A + 2B = ( ) 2 4 0 2 3 2 1 ; 1 0 3 2 T T B A Calcule B A − ( ¸ ( ¸ = − ( ¸ ( ¸ 11) Resuelve el siguiente sistema de ecuación matricial: X – Y = A ; X + 2Y = B M N B N M A que Sabiendo ⋅ = ⋅ = además M = ( ¸ ( ¸ − − = ( ¸ ( ¸ 2 1 1 0 N ; 2 3 0 1 12) ( ( ( ¸ ( ¸ − + − = 8 k 4 2 k 2 k k 7 2 1 A halla el valor de “k” de manera que 0 A = MATEMÁTICA II 45 CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES 13) Resuelve: 0 ; 1 1 5 2 > − + = x si x x x x x x 14) Halla el determinante de ( ) T T Y X + si X – 2Y = A 2 ....... (I) 2X + 3Y = B -1 ....... (II) ( ¸ ( ¸ − − = ( ¸ ( ¸ − − = 2 3 2 2 1 1 ; 1 0 2 1 B A siendo 15) Halle el valor de x en cada caso: a) 12 3 8 2 0 2 1 0 0 = − x b) 0 1 1 1 1 1 2 = x x x c) 0 0 3 8 3 8 0 5 3 2 = x x d) 5 1 8 3 0 2 1 0 1 2 − = x 16) Si ( ( ( ¸ ( ¸ − − − = 2 2 0 3 4 1 0 1 b a a b M es una matriz simétrica y N una matriz escalar con b a k + = , halle la matriz abN M P − = 2 17) Mi Vivienda S.A. Empresa de bienes raíces, construye casas en 3 departamentos. El número proyectado de unidades habitacionales de cada modelo por construir en cada departamento está dado por la matriz: 46 CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC ( (( ( ( (( ( ( (( ( ¸ ¸¸ ¸ ( (( ( ¸ ¸¸ ¸ = == = 5 30 15 10 10 60 30 20 40 120 80 60 A Si las filas representan a los departamentos y las columnas a los diferentes modelos de casas y las ganancias proyectadas son S/. 20 000, S/. 22 000, S/. 25 000 y S/. 30 000 respectivamente para cada modelo de casa del I al IV. a) Escriba una matriz columna B que represente la ganancia para cada tipo de casa. b) Encuentre la utilidad total esperada por Mi Vivienda S.A. en cada departamento si se venden todas las casas. 18) Una compañía tiene cuatro fábricas, cada una cuenta con Administradores, Supervisores y Obreros calificados en la siguiente forma: Puestos Fábrica 1 Fábrica 2 Fábrica 3 Fábrica 4 Administradores 2 1 3 2 Supervisores 4 6 5 3 Obreros 80 70 100 60 a) Si los administradores ganan $500, los supervisores $300 y los obreros $200, establecer la matriz SUELDO vs. FÁBRICA e indicar la planilla de cada fá brica . b) Si se incrementan los sueldos de todos los trabajadores en un 30%, estable- cer la nueva matriz SUELDO vs. FÁBRICA e indicar la nueva planilla. Resumen Resumen Resumen Resumen 1.El determinante de una matriz es un número que es asociado a ella. Una de los criterios más usado es la regla de Sarrus. 2. La regla de Cramer se usa para resolver un sistema consistente de n de ecuaciones con n incógnitas. 3. Una matriz cuadrada tiene inversa sólo si es una matriz regular(determinante diferente de cero). 4. Una matriz singular no tiene inversa. • Si desea saber más acerca de estos temas, puede consultar las siguientes páginas. MATEMÁTICA II 47 CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES 1.http://es.wikibooks.org/wiki/%C3%81lgebra_Lineal/Operaciones_entre_matrices 2.http://www.e-torredebabel.com/Psicologia/Conexionismo/Conexionismo- Matrices.htm. BIBLIOGRAFIA: Espinoza Ramos, Eduardo Matrices y Determinantes J.J Servicios Lima 2005 Lázaro, Moisés Vera, Carlos Algebra Lineal Colección Moshera Lima 2004 http://descartes.cnice.mec.es www.eneayudas.cl/geomanal.html 48 CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC GEOMETRÍA ANALÍTICA LOGRO DE LA UNIDAD DE APRENDIZAJE Al término de la unidad, el alumno utiliza diferentes métodos para resolver problemas geométricos aplicando la ecuación de la recta y de la parábola. Adicionalmente, utiliza el plano cartesiano para la construcción de gráficos e indica los elementos correspondientes de las cónicas. TEMARIO PLANO CARTESIANO Regiones en plano, áreas de regiones triangulares y perímetros Distancias entre puntos, punto medio Coordenadas del baricentro de un triángulo ACTIVIDADES PROPUESTAS • Calcula la distancia entre dos puntos y lo grafica en el plano cartesiano. • Calcula perímetros y áreas tanto analítica como geométricamente. • Calcula lascoordenadas del baricentro del triángulo. UNIDAD DE APRENDIZAJE 2 TEMA 2 MATEMÁTICA II 49 CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES EL PLANO CARTESIANO Es aquel sistema que posee dos ejes de coordenadas que se cortan formando un ángulo de 90°. Al eje horizontal se le denomina abscisa ( x) y al eje vertical ordenada (y). En este sistema cada punto tiene dos elementos abscisa y ordenada Ejercicios Propuestos 1. Grafique los siguientes puntos en un plano cartesiano. 2. Grafique las siguientes funciones evaluando los valores de X indicados (tabla de valores) Ejemplo: Grafique utilizan donde los valores de X están dados en la tabla. 1 2 + = x y ( ) ( ) 3 , 2 1 , 2 − ( ) 2 , 2 1 , 2 1 − | ¹ | \ | − A B C D 1 3 + − = x y 1 2 + = x y a) b) c) X Y -3 0 2 1 1 + x 2 = y I. SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS x x − −− − y y − −− − 50 CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC Evaluando x= -3 Evaluando en x = 0 y en x = 1/2 Al completar la tabla con los valores, queda de la siguiente manera: Ubicando los puntos obtenidos, podemos esbozar la gráfica de la ecuación con los valores indicados. X Y -3 0 2 1 ( ) 5 1 6 1 3 2 1 2 − = + − = + − = → + = y x y x -x y -y ( ) 5 , 3 − − ( ) 1 , 0 | ¹ | \ | 2 , 2 1 -3 -5 1 2 1 2 ( ) 5 , 3 − − ( ) 1 , 0 | ¹ | \ | 2 , 2 1 MATEMÁTICA II 51 CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES El ∆ P 1 QP 2 es recto en Q , Entonces, aplicando Teorema de Pitágoras a dicho triángulo, obtenemos: d 2 = (x 2 – x 1 ) 2 + (y 2 – y 1 ) 2 de donde: d = 2 1 2 2 1 2 ) ( ) ( y y x x − + − , d :distancia entre los puntos P 1 y P 2. Por lo tanto la fórmula, para determinar la Distancia entre ( (( ( ) )) ) 1 1 1 y x P ; y ( (( ( ) )) ) 2 2 2 y x P ; es: ( (( ( ) )) ) ( (( ( ) )) ) 2 1 2 2 1 2 y y x x d − −− − + ++ + − −− − = == = Ejemplo: 1. Calcule la distancia entre los puntos P = (3; 5) y Q (-3;-3). Solución: d = 2 2 ) 3 5 ( ) 3 3 ( + + + = 2 2 8 6 + = 10 2.Demuestre que el triángulo con vértices en A = (-2, 4), B = (-5, 1) y C = (-6, 5) es isósceles. Además halle el perímetro. Solución: Demostraremos que el ∆ tiene dos lados iguales. II. DISTANCIA ENTRE DOS PÚNTOS 52 CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC a) d AB = 2 2 ) 1 4 ( ) 5 2 ( − + − = 2 2 3 3 + = 3 2 d AB = 3 2 b) d BC = 2 2 2 2 ) 4 ( 1 ) 5 1 ( ) 6 5 ( − + = − + + − d BC = 17 c) d AC = ( ) 2 2 2 2 1 4 5 4 ) 6 2 ( + = − + + − = 17 d BC = d AC = 17 ABC ∆ ∴ es isósceles. El perímetro es la suma de todas las distancias =3 2 +2 17 3.-Calcule la distancia entre los siguientes puntos. a) A (2, 7) y B (-2, 4) b) T (-2, 5) y R (4,-3) c) M (4, 0) y N (11, ) 5 d) L(0,4) y S(- ) 9 , 11 e) S( ) 1 , 5 y Q (- ) 15 , 3 4.-Calcule el perímetro y el área del polígono cuyos vértices son los puntos: a) A(4,1) , B(7, 1) , C(9, 3) , D(7, 5) , E(4, 5) y F(2, 3) b) ) 1 , 11 ( ) 5 , 9 ( , ) 5 , 2 ( 3 2 1 − − − P y P P MATEMÁTICA II 53 CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES Ejercicios propuestos Ejercicios propuestos Ejercicios propuestos Ejercicios propuestos 1. Demuestre que el triángulo con vértices en A (3, -6), B (8, -2) y (-1, -1) es un triángulo rectángulo. (Sugerencia: Recuerde el teorema que deben satisfacer las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo,teorema de Pitágoras). 2. La distancia entre A y B es de 5 unidades. Si A (7; 1), B (3; y), entonces ¿ Cuál es el producto de los valores de ”y”? 3. F es el punto simétrico de (5,2) respecto al origen; A es el punto simétrico de (2;-6) respecto al eje X; C es el punto simétrico de (4; 3) respecto al eje Y. Si p es el perímetro del triángulo FAC, entonces ¿cuál es el valor numérico de la expresión ( ) 2 113 − p ?. 4. Si M (k,1+k) es un punto que equidista de R(2,1) y T(-6,5). Halla el valor de k. 5. Si M (k, 1+k) es un punto que equidista de R(2,1) y T(-6,5). Halla el valor de k. 54 CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC Nuestro objetivo es hallar las coordenadas X e Y del punto M ubicado a igual distancia de los extremos P y Q del segmento PQ . Para el caso, digamos que se trata de los puntos: ) , ( ), ; ( , ) ; ( 2 2 1 1 y x M Q P y x y x Obtención de la Abscisa X de M: a.Por los puntos P, M y Q tracemos perpendiculares al eje X. ( QC MB PA // // por ser perpendiculares a una misma recta). b.Aplicando el teorema de Thales se tiene: , BC AB MQ PM = pero como M es un punto medio, . MQ PM = Entonces, BC AB = 1 c.Observamos que 1 X X AB − = , X X BC − = 2 . Sustituyendo en 2: 1 2 1 = − − x x x x 2 2 1 2 1 x x x x x x x + = ↔ − = − ↔ II. PUNTO MEDIO DE DOS PÚNTOS MATEMÁTICA II 55 CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES Por igual procedimiento se demuestra que la ordenada “y” de Mes 2 2 1 Y Y Y + = (Queda como ejercicio para los alumnos) Por lo tanto, las coordenadas del punto medio de un segmento de extremos : P M ( x, y ) , donde | || | ¹ ¹¹ ¹ | || | \ \\ \ | || | + ++ + + ++ + = == = 2 2 2 1 2 1 y y x x P M ; Ejemplos: 1. Halle el punto medio (coordenadas) de los puntos A (-8,-2) y B (4,8) Solución: Se tiene que: 2. Los puntos medios de los lados de un triángulo son: P (2,5), Q (4,2), R (1,1). Halle las coordenadas de los tres vértices. Solución: Se tiene la gráfica: P = punto medio de CB ( ) ( ) : ; ; 2 2 1 1 son y x y x y ) , ( . . ; . . 3 2 2 8 2 2 4 8 − −− − = == = ∴ ∴∴ ∴ | || | ¹ ¹¹ ¹ | || | \ \\ \ | || | + ++ + − −− − + ++ + − −− − = == = M P M P 56 CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC ) 2 ......( .......... 10 2 5 ) 1 .........( .......... 4 2 2 3 2 3 2 3 2 2 3 = + = + = = + = + = y y y y x x x x Q = punto medio de AB ) 4 .......( .......... 4 2 2 ) 3 ........( .......... 8 2 4 2 1 2 1 2 1 2 1 = + = + = = + = + = y y y y x x x x R = punto medio de AC : ) 6 ........( .......... 2 2 1 ) 5 .........( .......... 2 2 1 3 1 3 1 3 1 3 1 = + = + = = + = + = y y y y x x x x (1)-(5) 3 , 1 , 5 10 2 8 2 1 3 2 2 1 2 1 2 = − = = = = + = − x x x x x x x x (2)-(6): 4 , 2 , 6 12 2 4 8 3 1 2 2 1 2 1 2 = − = = = = + = − y y y y y y y y Luego: A (3,-2) , B = (5,6) y C = (-1,4) MATEMÁTICA II 57 CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES El baricentro G de un triángulo ABC es el punto notable del triángulo que se obtiene como intersección de las tres medianas del triángulo. Si se tiene una región plana triangular, el baricentro G es el centro de gravedad de dicha región. El baricentro del triángulo se obtiene como promedio de las coordenadas de los tres vértices A, B y C. 3 C B A G + + = | ¹ | \ | + + + + = 3 ; 3 C B A C B A y y y x x x G 1. Ejemplo: Halle la coordenada del baricentro del triángulo cuyos vértices son A (3,-2), B = (5,6) y C = (-1,4). Solución: | ¹ | \ | = | ¹ | \ | + + − − + + = | ¹ | \ | + + + + = 3 8 ; 3 7 3 4 6 2 ; 3 1 5 3 3 ; 3 C B A C B A y y y x x x G III. COORDENADAS DEL BARICENTRO DE UN TRIÁNGULO 58 CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC Ejercicios propuestos Ejercicios propuestos Ejercicios propuestos Ejercicios propuestos 1. Encuentre la longitud y el punto medio del segmento cuyos extremos son los puntos dados. a.- A = (–1, 5) B =(2, –3) b. - E = (0, –1) D =(–3, –1) c. - Q= (–2, 1) W=(–2, 0) 2. Encuentre los puntos medios de los lados del cuadrado si los puntos ( ) 1 , 0 = A ( ) 5 , 3 = B ( ) 2 , 7 = C ( ) 2 , 4 − = D son sus vértices .También halle el área del cuadrado construido con sus puntos medios. 3. Dos vértices de un triángulo equilátero son ) 1 , 1 (− = A ( ) 1 , 3 = B . Encuentre las coordenadas del tercer vértice. (Recuerde tomar en cuenta ambos casos). 4. El punto medio de un segmento es ( ) 2 , 1 − = M y uno de sus extremos es ( ) 5 , 2 = N , encuentre las coordenadas del otro extremo. 5. Encuentre las coordenadas de los extremos de A y B de un segmento, que se divida en tres partes iguales por los puntos P (2; 2) y Q(1,5). 6. ¿Hasta qué punto debe prolongarse el segmento que une a ( ) 1 , 1 − = A y ( ) 5 , 4 = B en la dirección de AB para que su longitud se triplique? 7. En el triángulo rectángulo con vértices en los puntos A(-2,2),B(4,5) y C(6.5,0).Calcule el valor de k, si k=AC/BM. M está en AC y BM es la mediana relativo al vértice B. Halle la coordenada del baricentro. 8. El área de un triángulo es 6u 2 , dos de sus vértices son: A(3,1) y B(1,-3), si el tercer vértice C está en el eje Y . Halle las coordenadas del vértice C.Halle la coordenada del baricentro. 9. Hallar el área del triángulo formado por los ejes coordenados: X, Y y la recta L: 5x + 4y - 2 = 0. Construya su gráfica en cada caso MATEMÁTICA II 59 CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES Autoevaluación 1. Halla la longitud de cada segmento cuyos extremos son los puntos siguientes: a) A(-3;2) y B(5;2) b) E(-2;-1) y F(3;4) c) P(6;4) y Q(8;2) d) R(-2;-1) y S(7;3) e) ) 2 1 ; 0 ( M y N (9; 0) f) T(2,5; 8) y ) 4 3 ; 3 (− S 2. Se sabe que 6 = EF siendo E(x;2) ,F(5;8) y que 8 = CD cuando C(-3;4), D(5;y). Entonces el valor de 3 ) 3 ( 2 y x es: a) 3 15 2 b) 3 15 3 c) 3 15 d) 3 15 4 3. Conociendo que 72 = PQ ; P(2;y) ,Q(8;7) y que 2 5 = RS ; R(x;-1) ,S(5;-2). el producto del mayor valor de “y” por el menor valor de x, es: a) –24 b) –18 c) -12 d) -26 4. Los vértices del ∆ EFG son E (4; 3), F (6;-2), G (-11;-3). Por tanto el triángulo es: a) Isósceles b) obtusángulo c) equilátero d) rectángulo 5. AC es la base del ∆ isósceles ABC cuyos vértices son A (-8;-1), B (6; 7), C (-2; y). Si C pertenece al II cuadrante, entonces la distancia de C al origen es: a) 445 b) 443 c) 130 6 71 + d) 127 4 41 + 6. El valor de x para que los puntos K(-2 ;5), T(1; 3), Q (x ;-1) sean colineales es: a) 8 b) 6,8 c) 7,2 d) 7 60 CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC Resumen Resumen Resumen Resumen 1) DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS d = 2 1 2 2 1 2 ) ( ) ( y y x x − + − , 2) PERÍMETRO DE UN POLÍGONO:Es la suma de todas las distancias. 3) PUNTO MEDIO DE DOS PUNTOS | || | ¹ ¹¹ ¹ | || | \ \\ \ | || | + ++ + + ++ + = == = 2 2 2 1 2 1 y y x x P M ; 4) BARICENTRO DE UN TRIÁNGULO ABC | || | ¹ ¹¹ ¹ | || | \ \\ \ | || | + ++ + + ++ + + ++ + + ++ + = == = 3 3 C B A C B A y y y x x x G ; BIBLIOGRAFIA: Lehmman, Charles Geometría Analítica Editorial LIMUSA USA 2001 LARSON Roland; HOSTETLER Robert Cálculo y Geometría Analítica McGraw Hill USA 1993 VERA, Carlos Matemática Básica Colección Moshera Lima 2001 ´http://coliman.tripod.com/mate/l_rectas.htm Aquí encontrará más información sobre el plano cartesiano y la ecuación de la recta ´http://www.zonavirtual.org/EscenasInteractivas/paginas/Plano_Cartesiano.htm Aquí encontrará ejercicios para desarrollar del plano cartesiano. ´http://www.iesadpereda.net/thales/suma_ejercicio.htm Aquí encontrará ejercicios para desarrollar del punto medio. MATEMÁTICA II 61 CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES GEOMETRÍA ANALÍTICA LOGRO DE LA UNIDAD DE APRENDIZAJE Al término de la unidad, el alumno utiliza diferentes métodos para resolver problemas geométricos aplicando la ecuación de la recta y de la parábola. Adicionalmente, utiliza el plano cartesiano para la construcción de gráficos e indica los elementos correspondientes de las cónicas. TEMARIO ECUACIONES DE LA RECTA Ángulo de inclinación de una recta, rectas paralelas y perpendiculares Ecuación de recta: Punto-pendiente; dados dos puntos. Distancia de un punto a una recta ACTIVIDADES PROPUESTAS • Halla las diferentes formas de la ecuación de la recta. • Encuentra el ángulo que forma la recta y el eje x. • Halla la distancia de un punto a una recta UNIDAD DE APRENDIZAJE 2 TEMA 3 62 CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC ECUACIONES DE LA RECTA Dada una recta “ L “ ubicada en el plano cartesiano, se llama ángulo de inclinación de una recta, al ángulo que forma dicha recta respecto a la horizontal (eje x), medido en sentido anti horario. Así, en los gráficos siguientes, α y 1 α son los ángulos de inclinación de las rectas L y L 1 respectivamente. El ángulo de inclinación α (alfa) de cualquier recta está comprendido entre 0° y 180°. Pendiente de una recta La pendiente de la recta L se denota con la letra m y su valor está dado por la función tangente trigonométrica de su ángulo de inclinación α . α tg m = Si la recta es paralela al eje x, su ángulo de inclinación es 0°. Si la recta es perpendicular al eje x, su ángulo de inclinación es 90°. 0 0 180 0 ≤ ≤ α α1 α y x x y L 1 L I. ÁNGULO DE INCLINACIÓN DE UNA RECTA MATEMÁTICA II 63 CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES NOTAS IMPORTANTES SOBRE PENDIENTES 1. Si α =37°entonces la pendiente de la recta L es m=tg(37 °)= 4 3 2. Si α =127°entonces la pendiente de la recta 1 L es 1 m =tg(127°)=tg(180°-53°) 1 m = -tg (53°)=- 3 4 3. Si α =120°entonces la pendiente de la recta 2 L es 2 m =tg(120°)=tg(180°-60°) 2 m = -tg(60°)= - 3 4. Si α =30°entonces la pendiente de la recta 3 L es 3 m =tg(30°)= 3 1 α Cateto opuesto Cateto adyacente adyacente cateto opuesto cateto tg = α recorrido o avance elevación m= 64 CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC 1 2 1 2 x x y y m − − = La pendiente m de una recta L que pasa por los puntos ) , ( ) , ( 2 2 2 1 1 1 y x P y y x P es el número: 1 2 1 2 x x y y m − − = Demostración 1 2 y y QA − = ; 1 2 x x AP − = AP QA tg = α → 1 2 1 2 x x y y tg − − = α ∴ Ejemplo:Determine la pendiente de una recta que pasa por los puntos P 1 (1,2) y P 2 (-3,4). Aplicando la fórmula de la pendiente Por los puntos P y Q de L tracemos paralelas a los ejes X e Y. En el triángulo rectángulo PAQ: QPA α ( correspondientes) 1 2 1 2 x x y y m − − = 2 1 4 2 ) 3 ( 1 4 2 ; 2 1 4 2 1 3 2 4 − = − = − − − = − = − = − − − = m m II. PENDIENTE DE UNA RECTA CONOCIENDO DOS PUNTOS Fórmula Pendiente MATEMÁTICA II 65 CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES m m L L 2 1 2 1 // = ⇔ 1 . 2 1 2 1 − = ⇔ ⊥ m m L L Rectas paralelas Así: Rectas perpendiculares Así: Si dos rectas son paralelas, entonces tiene igual pendiente. Si las pendientes de dos rectas son iguales, entonces son paralelas. Si dos rectas son perpendiculares entonces el producto de sus pendientes es –1. Si el producto de las pendientes de dos rectas es –1, entonces las rectas son perpendiculares. III. RECTAS PÁRALELAS Y PERPENDICULARES 66 CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC Ejemplo:Se definen 2 pares de rectas y . Determine qué rectas son paralelas y en cuales son perpendiculares. A. Calculamos las pendientes de L 1 y L 2 . Las pendientes de ambas rectas son iguales. Luego, cumplen con la condición de paralelismo (L 1 y L 2 son rectas paralelas). B. Ahora, calculamos las pendientes de L 3 y L 4 . 1 6 6 2 4 6 2 4 3 9 3 = == = = == = + ++ + = == = − −− − − −− − − −− − = == = ) ( mL 1 2 2 0 2 2 0 4 − −− − = == = − −− − = == = − −− − − −− − = == = mL Las pendiente de las rectas no son iguales, pero su producto es -1. Luego, cumplen con la condición de Perpendicularidad (L 3 y L 4 son perpendiculares). Es aquella expresión matemática que indica la condición que deben cumplir todos los puntos que pertenecen a una misma recta. A. PRIMER CASO: CONOCIENDO DOS PUNTOS DATOS: ) , ( , ) , ( 2 2 2 1 1 1 y x P y x P = = L1: (1,3) y (2,5) L2: (3,11) y (-4,-3) L3: (-2,3) y (4,9) L4: (0,2) y (2,0) 2 7 14 3 4 11 3 2 = == = − −− − − −− − = == = − −− − − −− − − −− − − −− − = == = mL 2 1 2 1 2 3 5 1 = == = = == = − −− − − −− − = == = mL IV. ECUACIONES DE LA RECTA MATEMÁTICA II 67 CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES Por división de segmento con una razón dada: r PP P P = 2 1 luego: ) 1 .......( 2 1 x x x x r − − = y Igualando ambas ecuaciones (1) = (2): x x x x − − 2 1 = y y y y − − 2 1 y resolviendo, obtenemos la ecuación: que llamamos Ecuación Punto-Punto. Ejemplos: 1. Calcule la ecuación de la recta que pasa por los puntos (1,3) y (2,5). Solución: Ya que conocemos 2 puntos de la recta, podemos utilizar la ecuación Punto-Punto. Para aplicar esta ecuación, debemos escoger cuál de los puntos será ) , ( : 1 1 1 y x P y ( ) 2 2 2 , : y x P . Recordemos que es irrelevante cuál sea P 1 y cual P 2 a nivel del resultado. ) 3 , 1 ( : 1 P ( ) 5 , 2 : 2 P 2. Dado el trapecio A (-4;-2), B (8,2), C (4,6) y D (-2,4). Halle las ecuaciones de sus diagonales. (figura A) ) 2 .( .......... 2 1 y y y y r − − = ) ( 1 1 2 1 2 1 x x x x y y y y − −− − − −− − − −− − = == = − −− − ) ( 1 1 2 3 5 3 − −− − − −− − − −− − = == = − −− − x y ) 1 ( 1 2 3 5 3 − − − = − x y ) 1 ( 1 2 3 − = − x y 1 2 + ++ + = == = x y 68 CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC Figura A Solución: Primero, calcularemos la ecuación de AC. ( ) 2 , 4 : 1 − − P y ( ) 6 , 4 : 2 P Aplicando el mismo procedimiento, podemos obtener la ecuación de la diagonal que pasa por BD y verificar que es B. SEGUNDO CASO: CONOCIENDO UN PUNTO Y LA PENDIENTE Si analizamos las ecuaciones y Nos damos cuenta que tienen en común la expresión de la pendiente. Entonces, al sustituir una expresión en la otra nos queda: a la que llamaremos Ecuación Punto Pendiente. Ejemplo: Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto (2,3) y tiene pendiente igual a 2. Solución: Aplicando la ecuación Punto Pendiente ( )→ − − − − − − = − − ) 4 ( ) 4 ( 4 ) 2 ( 6 ) 2 ( x y ) 4 ( 4 4 2 6 2 + + + = + x y ) 4 ( 8 8 2 + = + x y 4 2 + = + x y 0 2 = + − y x 0 18 5 = == = − −− − + ++ + y x 1 2 1 2 x x y y m − − = ) ( 1 1 2 1 2 1 x x x x y y y y − − − = − ( (( ( ) )) ) 1 1 x x m y y − −− − = == = − −− − ( ) 2 2 3 − = − x y 4 2 3 − = − x y 0 1 2 = − − y x MATEMÁTICA II 69 CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES En los últimos dos ejemplos hemos expresado la ecuación de la recta pedida escribiendo a x e y en el mismo miembro e igualando toda la expresión a cero. Podemos generalizar estas expresiones de la forma Ax+By+C=0, siendo ésta la ecuación general de la recta. C. TERCER CASO: ECUACIÓN PENDIENTE – INTERCEPTO Conociendo la pendiente y el intercepto con el eje “y” Datos: ) , 0 ( 1 b P = Pendiente =m L: y –b = m(x – 0) L: y = m x + b ( Ecuación Pendiente Intercepto) Ejemplo: Dada la ecuación de la recta L: 3x + 4y = 7, halle la pendiente y el intercepto de dicha recta. Solución: De la ecuación L tenemos: 4y = -3x + 7 4 7 4 3 + − = → x y Luego: y 4 7 = b 4 3 − = m 70 CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC 2 2 0 0 B A c By Ax d + + + = Ejemplo: Halle la distancia del punto P 0 = (1,1) al recta L:3x+4y+2 = 0 Solución: Reemplazando valores en la fórmula anterior: 2 2 0 0 B A c By Ax d + + + = tenemos : 8 , 1 5 9 4 3 2 ) 1 ( 4 ) 1 ( 3 2 2 = = + + + = d V. DISTANCIA DE PUNTO A RECTA MATEMÁTICA II 71 CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES Ejercicios propuestos Ejercicios propuestos Ejercicios propuestos Ejercicios propuestos 1. Hallar la ecuación de la recta que pasa por ) 3 , 2 ( 1 − − P y tiene la misma pendiente que la recta 2x+ 3y = 1. 2. Hallar la ecuación de la recta que pasa por ) 2 , 3 ( 1 − P y su pendiente es inversa y con signo contrario de la pendiente de la recta x + 2y = 3. 3. Hallar la ecuación de la mediatriz de un segmento cuyos extremos son: ). 3 , 5 ( ) 1 , 3 ( 2 1 − − − P P y 4. Un punto P de abscisa 2, pertenece a una recta cuya pendiente es 1 y que pasa por Calcule la ordenada de P. 5. Determine la pendiente, la ordenada en el origen y grafique, dadas las rectas: 6. El punto de intersección de las rectas 0 2 2 : , 0 : 2 1 = − − = − y x L y x L , Es el punto medio del segmento cuyos extremos son: M (a,2) y N(2,b) .Halle el valor de a y b. 7.Se tienen las rectas 0 20 5 4 : , 0 4 : 2 1 = − + = − − y x L y x L , encuentre el área de la región limitada por las rectas 2 1 , L L y el eje x. 8. Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto P (2,-1) y cuyo ángulo de inclinación es 45°. 9. En las ecuaciones L 1 : a x + (2 - b) y – 23= 0, L 2 : (a – 1) x + by =15. Halle los valores de a y b para que representen rectas que pasan por el punto P (2,-3). 10. Determine la ecuación de la recta cuya pendiente es 2 1 − y que corta al eje de las y en (0,5). 2 3 2 ) − = x y a 3 3 4 ) − = − y x b ) 1 , 2 ( 1 − − P 72 CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC Autoevaluación Autoevaluación Autoevaluación Autoevaluación 1. Halle la ecuación de la recta que es mediatriz del segmento que une a los puntos A (7,4) y B (-1,-2). 2. Si la recta L 1 que contiene a los puntos A(a ,2 ) y B (0 , 2 a) es paralela a la recta L 2 que contiene a los puntos C (-a ,3 ) y D(1 ,-2 a ), Hallar el valor de “a” 1. Dado el triángulo de vértices A (-4,3), B (5,-1) y C(7,5). Halle las ecuaciones de las rectas que pasan por el vértice C y trisecan al lado opuesto AB . 2. Una recta pasa por el punto P (2,3) y la suma de los segmentos que determina sobre los ejes coordenados es 10. Halle la ecuación de la recta. 3. Calcule la ecuación de la recta cuya ordenada y abscisa en el origen suman 2 y cuya pendiente es 9/5. 4. El producto de los interceptos de una recta con los ejes coordenadas es igual a -6. Halle la ecuación de la recta, si su pendiente es igual a 3. 5. Calcule la ecuación de una recta cuya ordenada al origen es el doble de la ordenada de la recta 2x-3y+5=0, sabiendo que pasa por el punto P, siendo P el punto medio de A(3,-1) y B(-2,8). MATEMÁTICA II 73 CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES Resumen Resumen Resumen Resumen Pendiente de una recta: α tan = m Para los puntos: ) , ( ) , ( 2 2 2 1 1 1 y x P y y x P la pendiente es: 1 2 1 2 x x y y m − − = Distancia de punto a recta 2 2 0 0 B A c By Ax d + + + = BIBLIOGRAFIA: Lehmman, Charles Geometría Analítica Editorial LIMUSA USA 2001 LARSON Roland; HOSTETLER Robert Cálculo y Geometría Analítica McGraw Hill USA 1993 VERA, Carlos Matemática Básica Colección Moshera Lima 2001 http://descartes.cnice.mec.es www.eneayudas.cl/geomanal.html www.elrincondelvago.com/algebra-y-geometriaanalitica.html ´http://coliman.tripod.com/mate/l_rectas.htm Aquí encontrará más información sobre el plano cartesiano y la ecuación de la recta. 0 0 180 0 ≤ ≤ α m m L L 2 1 2 1 // = ⇔ 1 . 2 1 2 1 − = ⇔ ⊥ m m L L 74 CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC GEOMETRÍA ANALÍTICA LOGRO DE LA UNIDAD DE APRENDIZAJE Al término de la unidad, el alumno utiliza diferentes métodos para resolver problemas geométricos aplicando la ecuación de la recta y de la parábola. Adicionalmente, utiliza el plano cartesiano para la construcción de gráficos e indica los elementos correspondientes de las cónicas. TEMARIO • La parábola Ecuación canónica Ecuación ordinaria Ecuación general ACTIVIDADES PROPUESTAS • Halle las ecuaciones canónica y ordinaria de la parábola. • Encuentre los elementos de la parábola: vértice, foco, directriz y lado recto, a partir de la ecuación general. • Construya gráficas de la parábola en sus distintos métodos. UNIDAD DE APRENDIZAJE 2 TEMA 4 MATEMÁTICA II 75 CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES LA PARÁBOLA Es el conjunto de puntos ubicados en el plano cartesiano, que equidistan de una recta fija llamada directriz y de un punto fijo llamado foco. ELEMENTOS: a. Vértice (V): Es el punto de intersección de la parábola con el eje de simetría. b. Foco (F):Es el punto fijo, situado sobre el eje de simetría, ubicado a p unidades del vértice. c. Eje de simetría o Eje Focal ( l ): Es la recta perpendicular a la directriz y pasa por el vértice y foco. d. Cuerda ( AR): Es el segmento de recta que une dos puntos cualesquiera de la parábola. e. Directriz (d): Es la recta fija perpendicular al eje de simetría ubicada a p unidades del vértice, en sentido opuesto al foco. f. Cuerda focal ( AB):Segmento de recta que une dos puntos de la parábola, pasando por el foco. g. Lado recto ( LR ):Es una cuerda focal, perpendicular al eje de simetría. h. Radio vector ( PF): Segmento de recta que une el foco con un punto de la parábola. 76 CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC La ecuación canónica modela parábolas cuyo vértice está en el origen de coordenadas. El eje de simetría de la parábola puede ser horizontal o vertical. Ecuación canónica Horizontal Cuando el eje de simetría coincide con el eje x. Se sabe que: PF PQ = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 - 2 - 0 ) ( y p px x x px p y p x x p y p x x p y p x x p + + = + + + = + + − = + − + − = + Ecuación de la Parábola: px y 4 2 = == = . Esto es conocido como la ecuación canónica de la parábola con vértice en el origen de coordenadas y su eje de simetría coincide con el eje x. El gráfico de la parábola se abre dirigido hacia el eje x, porque en la ecuación se ve que es lineal en la variable x. Analizando: px px y 2 4 ± = ± = p y x deben tener el mismo signo, es decir que p< 0 ó p> 0, de donde se concluye que: a. Si p >0, la parábola se abre hacia la derecha. y el foco está en la parte positiva del eje x. b. Si p<0 la parábola se abre hacia la izquierda y el foco está en la parte negativa del eje x. I. ECUACIÓN CANÓNICA DE LA PARÁBOLA MATEMÁTICA II 77 CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES px y 4 2 = == = px y 4 2 − −− − = == = Ecuación Canónica Vertical Cuando el eje de simetría coincide con el eje y. Se sabe que: PF PQ P = : ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 p py y x y px p p py y x y p p y x y p + + = + + + + = + + = + Ecuación de la Parábola: py x 4 2 = == = Analizando la ecuación (2): py py x 2 4 ± = ± = , de donde se concluye que p y x deben tener el mismo signo .p>0 ó p<0. a) Si p >0 la parábola se abre hacia arriba y el foco está en la parte positiva de y. b) Si p<0 la parábola se abre hacia abajo y el foco está en la parte negativa del eje y. 78 CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC py x 4 2 = == = py x 4 2 = == = Ejemplos: 1. Halle la ecuación de la parábola cuyo vértice es el origen de coordenadas, sabiendo que es simétrica respecto al eje Y; y que pasa por el punto (4,-8) Solución: ( ) ) 8 - ( 4 4 → 4 : 2 2 p py x P = = 2. Halle en la parábola x y 12 2 − = los puntos cuyos radios vectores son iguales a 6 Solución: Se tiene 3 12 4 4 2 − = → − = → = p p px y 2 1 → 32 - 16 → − = = p p y x y x 2 - → ) 2 1 ( 4 ∴ 2 2 = − = MATEMÁTICA II 79 CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES 6 , 1 = = + r r p x Sabemos que 3 9 6 3 6 3 6 6 6 1 1 1 1 1 1 1 − = ∨ = → − = − ∨ = − → − = + ∨ = + → = + x x x x p x p x p x ) 6 , 3 ( ) 6 , 3 ( 6 36 ) 3 ( 12 2 2 − − ∨ − → ± = → = ∴ − − = → y y y Ejercicios Propuestos 1. Una parábola tiene su vértice en el origen y su eje coincide con el eje x. Si P (2,-2) es un punto de la parábola, halle la ecuación de la parábola, las coordenadas del foco y la ecuación de su directriz. 2. Halle las coordenadas del vértice, del foco y la ecuación de la directriz de las parábolas cuyas ecuaciones son: 3. Una cuerda de parábola 0 4 2 = − x y es el segmento de recta 0 2 = − y x .Hallar la longitudde dicha cuerda. a) x y 3 2 = b) x y 12 2 − = c) y x 4 2 = d) y x 8 2 − = 80 CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC La ecuación ordinariamodela una parábola cuyo vértice está en un punto (x,y) que no coincide con el origen del sistema de coordenadas. La ecuación canónica es un caso particular de la ecuación ordinaria cuando las coordenadas del vértice son (0,0). La forma de la ecuación varia con el eje de simetría de la parábola a la que representa. Ecuación Ordinaria de la Parábola con eje de simetría paralela al eje “y” Ecuación Ordinaria de la Parábola con eje de simetría paralela al eje “x” II. ECUACIÓN ORDINARIA DE LA PARÁBOLA ( (( ( ) )) ) ( (( ( ) )) ) k y p h x Fórmula − −− − = == = − −− − 4 2 : ) , ( : p k h Foco + p k y Directriz − = : ( (( ( ) )) ) ( (( ( ) )) ) h x p k y Fórmula − −− − = == = − −− − 4 2 : ) , ( : k p h Foco + p h x Directriz − = : MATEMÁTICA II 81 CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES Ejemplo: 1.Calcule el vértice, el foco y la directriz de las siguientes parábolas. Solución: A. Resolvamos en primer lugar a Las parábolas están expresadas en forma de ecuación general 0 2 = + + + D Cy Bx Ax o 0 2 = + + + D Cx By Ay . Para calcular las coordenadas 0 = F + Ey + Dx + 2 x y 0 = F + Ey + Dx + 2 y de sus elementos (foco, vértice y directriz) vamos a expresarlas en su ecuación ordinaria siguiendo los siguientes pasos. i. Determina si el eje de simetría de la parábola es Horizontal o Vertical. Esto lo puedes determinar analizando cuál es la variable que NO ESTÁ ELEVADA AL CUADRADO, ya que ésta determina a cuál de los ejes del sistema de referencia es paralelo el eje de simetría de la parábola. En el caso concreto de la parábola, el eje de simetría es paralelo al eje Y. ii. Escoge la ecuación según el eje de simetría y completa cuadrado. En nuestro ejemplo, la ecuación a utilizar es ( (( ( ) )) ) ( (( ( ) )) ) k y p h x - 4 - 2 = == = . El proceso de completar cuadrado y obtener la ecuación es como sigue: ) 2 ( 2 ) 3 ( 4 2 9 6 2 6 13 2 2 6 6 13 2 6 2 2 2 2 2 2 - - - - y x y y x y y x y x x = + = + + | ¹ | \ | + = | ¹ | \ | + + = + Coordenadas del vértice: Vértice (-3,2) Valor de : 0 13 2 6 2 = + − + y x x 0 23 2 24 6 2 = + + + x y y 0 13 2 6 2 = == = + ++ + − −− − + ++ + y x x 0 2 1 > = p 0 = 13 + y 2 x 6 + 2 x - 82 CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC Coordenadas del vértice: Recta directriz: 2 3 → 2 1 2 = == = = == = y y Gráfica B. Aplicando el mismo procedimiento para Se tiene: Coordenadas del Vértice: | ¹ | \ | −2 , 2 1 Valor de P: 0 < 12 1 = p 3 1 = p 4 → ( La parábola se abre a la izquierda ) Coordenadas del foco: | ¹ | \ | − → | ¹ | \ | − − 2 , 12 5 2 , 12 1 2 1 Recta Directriz: 12 7 12 1 2 1 = → + = x x Gráfica ) 2 5 , 3 ) 2 1 + 2 , 3 - F( → F(- 0 23 2 24 6 2 = == = + ++ + + ++ + + ++ + x y y MATEMÁTICA II 83 CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES 2.Calcule la ecuación de la recta que pasa por los vértices de las parábolas 0 26 18 3 2 = + + − y x x y 0 18 8 2 = + + + x y y Solución: Calculamos las ecuaciones canónicas de cada parábola. Utilizando las coordenadas de los vértices y la ecuación Punto-Punto, calculamos la ecuación de la recta. ( (( ( ) )) ) ( (( ( ) )) ) 0 2 - y - 2 - 3 - 1 - 3 - 3 - 2 - 1 - 4 - 1 - - - - - 1 1 2 1 2 1 = == = ⇔ ⇔⇔ ⇔ = == = ⇔ ⇔⇔ ⇔ = == = = == = = == = x x y x y x y x x x x y y y y ( ) ( ) ( ) ( ) 1 , 3 : 1 - 3 1 - 3 - 3 1 3 - 3 - 26 - - 18 - 3 0 26 18 - 3 2 2 2 2 vertice y x y x y x x y x x = + = = = + + ( ) ( ) ( ) ( ) 4 2 2 4 2 4 16 8 16 8 18 8 0 18 8 2 2 2 2 2 - , - : - - - 1 - - - - vertice x y x y x y y x y y x y y + = + = + + = + + = + = + + + 84 CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC ¿Por qué es importante estudiar la Parábola? Las aplicaciones de las parábolas son básicamente aquellos fenómenos en donde nos interesa hacer converger o diverger un haz de luz y sonido principalmente. Por ejemplo las antenas parabólicas, las lámparas sordas, los faros de los autos. Se pueden construir, por la misma propiedad de las parábolas, hornos solares. Los micrófonos de ambiente en algunos deportes también tienen forma paraboloide. Las parábolas tienen una propiedad Si se coloca una bombilla encendida en el foco de la parábola, algunos haces de luz serán reflejados por la parábola y todos estos rayos serán perpendiculares a la directriz. Esta propiedad es usada en las lámparas sordas o en los faros de los automóviles estos están formados por un paraboloide (parábola en 3 dimensiones) de espejos y una bombilla en el foco de este paraboloide. En algunas lámparas se puede mover la bombilla del foco y los haces de luz divergirán o convergerán. Este principio funciona también en las antenas parabólicas. Un satélite envía información a la Tierra, estos rayos serán perpendiculares a la directriz por la distancia a la que se encuentra el satélite. Al reflejarse en el plato de la antena (blanca, casi siempre) los rayos convergen en el foco en donde se encuentra un receptor que decodifica la información. También en los telescopios se usa esta propiedad. MATEMÁTICA II 85 CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES Ejercicios Ejercicios Ejercicios Ejercicios propuestos propuestos propuestos propuestos 1. Calcule la distancia del vértice de la parábola y²+2y+x-4=0 a su punto P(x;4): 2. P(6;y) es un punto de la parábola 2x²-4x-y+6=0. calcule la ecuación de la circunferencia que pasa por P y cuyo centro es el vértice de la parábola. 3. En los ejercicios a y b, halle la ecuación y gráfica de la parábola, conociendo: a. Vértice (2, 1) y foco (2, -4) b. Foco (4, -3) y directriz y = 1 4. Halle las coordenadas del vértice, foco, lado recto, ecuación de la directriz y gráfica, conociendo a. x 2 – 4x + 8y – 16 = 0 b. y 2 +2x+6y-5=0 5. Encontrar los puntos máximos o mínimos, según el caso, en: a. 4y = x 2 – 4x - 4 b. x 2 + 4x + 6y – 8 = 0 6. El propietario de un terreno rectangular, donde uno de los lados está cercado, desea cercar el resto que llega a 200 m. ¿Cuál será el área máxima que podrá cercarse? 86 CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC Autoevaluación 1. P y Q, ambos de abscisa -21, son puntos de la parábola y²+2y+x+6=0. Calcule la ecuación de una circunferencia, sabiendo que uno de sus diámetros tiene como extremos a P y Q. 2. Calcule vértice, foco y directriz de las siguientes parábolas: • 2y²-20y-x+53=0 • 2x²-8x-y+9=0 • 2y²-12y+x+17=0 • x²+2x+2y+5=0 3. Halle la ecuación de la circunferencia cuyo centro es la intersección de las rectas L1: x-2y+4=0 y L2:2x-y-4=0; además pasa por P(5, 6) 4. Una parábola tiene su vértice en el origen de coordenadas y pasa por el punto el (2; 4). Halle su ecuación 5. Una parábola, con vértice en el origen de coordenadas, tiene por directriz 2x - 5=0. Halle su ecuación. 6. Halle la ecuación de la parábola de vértice en el origen, cuyo eje es el Eje Y, y que pasa por el punto (8,-4) 7. Encuentre el foco y la directriz de la parábola: 0 = x 7 y 2 2 - MATEMÁTICA II 87 CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES Resumen Resumen Resumen Resumen *) py x 4 2 = . Parábola de eje vertical *) px y 4 2 = . Parábola de eje horizontal *) *) BIBLIOGRAFIA: Lehmman, Charles Geometría Analítica Editorial LIMUSA USA 2001 LARSON Roland; HOSTETLER Robert Cálculo y Geometría Analítica McGraw Hill USA 1993 VERA, Carlos Matemática Básica Colección Moshera Lima 2001 http://descartes.cnice.mec.es www.eneayudas.cl/geomanal.html ( ) ( ) k y p h x − = − 4 2 ) , ( : p k h Foco + p k y Directriz − = : ( ) ( ) h x p k y − = − 4 2 ) , ( : k p h Foco + p h x Directriz − = : 88 CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC FUNCIONES: DOMINIO Y RANGO LOGRODE LA UNIDAD DE APRENDIZAJE Al término de la unidad, el alumno, aplica diferentes técnicas y/o métodos de resolución para hallar el dominio y rango de los diferentes tipos de funciones básicas y funciones seccionadas, utiliza el plano cartesiano y formula las restricciones de dominios de cada función. TEMARIO DOMINIO Y RANGO Funciones:conceptos básicos Regla de correspondencia: Dominio y rango de una función. Dominio de una Función Intercepto con los ejes coordenados ACTIVIDADES PROPUESTAS - Identifican una función real de variable real y su gráfica en el plano cartesiano. - Calcula el dominio de funciones Polinómicas, racionales, irracionales y evalúa sus restricciones. UNIDAD DE APRENDIZAJE 3 TEMA 5 MATEMÁTICA II 89 CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES FUNCIONES I. Definición Intuitiva: ¿QUÉ ES UNA FUNCIÓN? Caso 1 Supongamos que un cultivo de bacterias se inicia con 5 000 de ellas y la población se duplica cada hora, entonces el número N de bacterias dependedel número t de horas transcurridas. El biólogo observa que el número de bacterias del cultivo se incrementa con el transcurso del tiempo y trata de determinar la regla ofunción que relaciona ambos. Un cálculo sencillo nos permite determinar que esta relación se puede expresar como: t N 2 5000 × = t (horas) N 0 5 000 1 10 000 2 20 000 3 40 000 ……… ……… Caso 2 Un físico se da cuenta que el peso de un astronauta depende de la distancia a la que se encuentra del centro de la tierra, entonces intenta descubrir la regla o función que relaciona el peso F con la distancia h a la superficie de la Tierra. ( ) 2 h R m M G F T T + = Siempre que una variable dependa de otra, genera una relación funcional, por ello podríamos definir a la función de la siguiente manera: Una función f es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto A exactamente un elemento, denotado por f(x), de un conjunto B. Si x está en el conjunto A , entonces f(x) es llamado la imagen de x bajo f. El conjunto A es llamado Dominio de la función f y se denota por Dom(f). Al dominio de f, se le llama conjunto de pre imágenes 90 CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC El conjunto Ran(f) = {f(x) / x∈A} es llamado el rango de f ; el cual nos indica el conjunto de las imágenes de x. Ejemplo: • Indique cuáles de los siguientes conjuntos de pares ordenados son funciones. ( ) ( ) ( ) ( ) { } ( ) ( ) ( ) ( ) { } 5 , 1 , 4 , 1 , 3 , 1 , 1 , 1 , , , , , , , 2 1 = = f s d r c q b p a f Solución: Comencemos analizando 1 f . Si representamos este conjunto con un diagrama sagital tendremos lo siguiente: AB Analicemos ahora 2 f . A B De donde: Do (f 1 ) = { a, b, c, d } y Ra (f 1 ) = { p, q, r, s } Do (f 2 ) = { 1 } y Ra (f 2 ) = { 1, 3, 4, 5 } a b c d p q r s En este diagrama, vemos fácilmente que cada elemento del primer conjunto (conjunto de partida) se relaciona con un único elemento del segundo conjunto (conjunto de llegada). Luego 1 f es una función. 1 1 3 4 5 En este diagrama vemos fácilmente que el elemento del conjunto de partida se relaciona con varios elementos del conjunto de llegada. Luego 2 f no es una función. MATEMÁTICA II 91 CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES II. FUNCION REAL DE VARIABLE REAL Gráfica de una Función Si f es una función, entonces la gráfica de f es el conjunto de todos los puntos ( ) y x, en 2 R , para los cuales, ( ) y x, es una pareja ordenada en f . (Es un punto de la gráfica y satisface su ecuación). Ejemplo: Grafique la función 2 + = x y y verifique que algún punto geométrico de la gráfica satisface la ecuación. Usando esta tabla de valores graficamos la función. 3 3 2 1 3 2 = + = + = x y PROPIEDAD FUNDAMENTAL: Al trazar cualquierrecta vertical a la gráfica de f, la gráfica debe ser cortada en un solo punto para que sea función, caso contrario no es la gráfica de una función real. RESTRICCIÓN DEL DOMINIO: 1. Función Polinómica Un polinomio es de la forma n n n n n a x a x a x a x a + + + + + −1 2 - 2 1 - 1 0 ... . Las funciones lineales, cuadráticas, cúbicas, etc. son ejemplos de este tipo de funciones. 2. Función Racional Tiene la forma ( ) ( ) ( ) x Q x P x f = ,es decir, es el cociente de 2 funciones polinomiales. Verifiquemos ahora los puntos de la gráfica, por ejemplo ( ) 3 , 1 Restricción de dominio: Cualquier valor real de x genera una imagen real en y . Luego, el dominio de toda función polinómica son TODOS LOS NUMEROS REALES. R Domf = 92 CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC Ejemplos: 1. Calcule el Dominio de 1 2 + ++ + = == = x y Aplicando la restricción Gráfica Luego el dominio es: { } 1 − − R 2. Calcule el dominio de ( (( ( ) )) ) 9 2 − −− − = == = x x x f 3 9 0 9 2 ± ≠ ≠ ≠ − x x x Gráfica { } 3 , 3 − − = R Domf 1 0 1 − ≠ ≠ + x x Restricción de dominio: El polinomio del denominador debe ser distinto de cero. 0 ≠ ≠≠ ≠ ) ( x Q MATEMÁTICA II 93 CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES 3. Función Irracional Cuando la regla de correspondencia esta afectado por un radical como n x P y ) ( = . Ejemplos: 1. Calcule el dominio de la siguiente función ( (( ( ) )) ) x x f = == = Aplicando la restricción { } 0 / ≥ ∈ = x R x Domf que también se expresa como [ [[ [ +∞ +∞ +∞ +∞ = == = , 0 Domf 0 ≥ x Si n es impar positivo, P(x) no tiene restricción para calcular el dominio entonces R Domf = Si n es par positivo, P(x) tiene restricción para calcular el dominio, 0 ) ( ≥ x P entonces Domf=D(f)= } { 0 ) ( / ≥ ∈ x P R x 94 CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC 2. Calcule el dominio de la siguiente función: ( ) 4 2 − = x x f Solución ( )( ) 0 2 2 0 4 2 ≥ − + ≥ − x x x Un método interesante para resolver la inecuación es mediante el Método de los puntos críticos, para dos factores, el cual nos dice que el conjunto solución son las regiones laterales, al dividir la recta en tres regiones. + - ( + -2 2 Dado que la inecuación está definida para valores positivos, se toman como solución las regiones positivas. ] ]] ] [ [[ [ ∞ ∞∞ ∞ ∪ ∪∪ ∪ − −− − ∞ ∞∞ ∞ − −− − , , : 2 2 Domf GRAFICA MATEMÁTICA II 95 CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES Ejercicios propuestos Ejercicios propuestos Ejercicios propuestos Ejercicios propuestos 1..Sea { } 4 , 3 , 2 , 1 = A se definen de A en N las funciones f y g tales que: { } ) , ( ), 3 , 1 ( ), 5 , 3 ( ), 5 , 2 ( ), , 1 ( k p k f = p kx x g 2 ) ( + = . a) Halle la suma de los elementos del rango de g(x) b) Encuentre el valor de : [ ] [ ] [ ] ) 1 ( 2 ) 4 ( ) 1 ( ) 3 ( f f f g f g f E + − + = 2. Sea f(x) una función lineal y . 8 ) ( 2 − = x x g Si f(2)=g(3) y la gráfica de f pasa por el punto (3,4);Halla el rango de f si su dominio es ] 6 , 2 ) ( − = f Dom 3. Sea la función { } ) 8 , ( ), 9 , 5 ( ), , 7 ( ), , 5 ( ), 8 , 7 ( 2 a a m m f + = a) Halle Do(f) ∩ Ra(f). b) Si g es una función definida en el Do(f), mediante g(x)=mx+n tal que f(5)=g(2) Halle Ra(g) 4. Halle el dominio de las siguientes funciones: 3 2 2 2 2 1 9 ) 2 1 ( ) ( ) 1 1 4 4 1 ) ( ) x x x x x x x f b x x x x x f a − + − + − − = + + − + − = ( ) x x x x x x x f c 3 2 5 3 ) 1 ( 3 2 ) ( ) 2 2 − + − − + + − = 8 ) 2 1 ( 5 9 9 2 ) ( ) 20 3 ) 1 ( 4 5 ) ( ) 4 2 2 4 2 1 9 2 ) ( ) 3 4 2 2 4 6 2 2 2 2 − − − + − − + − = − − + + + − = − + + | | ¹ | \ | − − − = x x x x x x x x x f f x x x x x x x x f e x x x x x x f d 5. Halle el dominio de la función: 2 2 2 1 2 4 5 4 ) ( x x x x x x x f + + − − + − = 96 CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC Autoevaluación Autoevaluación Autoevaluación Autoevaluación Halle el dominio de lassiguientes funciones: 1.- 2 2 2 1 2 4 5 4 ) ( x x x x x x f + + − + − = 2.- 3 2 1 4 1 16 3 ) ( 2 2 2 − + | ¹ | \ | − − + − + = x x x x x x x f 3.- x x x x x x f 3 9 . 2 ) 1 3 ( ) ( 2 2 3 + − − − = 4.- 2 2 2 2 1 2 9 2 4 ) ( x x x x x x x x f − − − + − − = +3x+1 5. 4 2 4 11 3 4 11 3 ) ( 2 2 + | | ¹ | \ | − − + | | ¹ | \ | − − = x x x x x x x f 6. 25 ) 9 ( 4 2 ) ( 2 2 − + − + + = x x x x x f 7. 2 2 2 4 2 3 5 9 5 2 1 49 28 4 1 ) ( x x x x x x x x x x x f − + − + − − + + − + = 8. Halle el dominio de la función : 3 2 1 4 1 3 ) ( 2 2 − + | ¹ | \ | − − + = x x x x x x f 9. Halle el dominio y la gráfica de la siguiente función: 1 ) ( + = x x f MATEMÁTICA II 97 CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES Resumen Resumen Resumen Resumen *) Función racional: ( ) ( ) ( ) x Q x P x f = dom(f)=R - {x / Q(x)=0 } *) Función irracional: ( ) { } ( ) R f Dom x F x f x F x R f Dom x F x f impar par = → = ≥ − = → = ) ( ) ( 0 ) ( / ) ( ) ( BIBLIOGRAFIA: FIGUEROA, Ricardo Matemática Básica Edit Gráficas América S.R.L Lima 2004 LARSON Roland; HOSTETLER Robert Cálculo y Geometría Analítica McGraw Hill USA 1993 VERA, Carlos Matemática Básica Colección Moshera Lima 2001 http://descartes.cnice.mec.es Se muestra gráficamente algunos conceptos. www.elrincondelvago.com/algebra-y-geometriaanalitica.html Se muestran ejercicios y problemas 98 CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC FUNCIONES:FUNCIONESBÁSICAS LOGRO DE LA UNIDAD DE APRENDIZAJE Al término de la unidad, el alumno determina el dominio y rango de los diferentes tipos de funciones aplicando distintos métodos de resolución y construye sus representaciones gráficas en el plano cartesiano. TEMARIO DOMINIO Y RANGO Función Lineal Función Cuadrática Función Raíz Cuadrada Función Valor Absoluto ACTIVIDADES PROPUESTAS - Construye la gráfica y calcula dominio y rango de funciones lineales. - Construye la gráfica y calcula dominio y rango de función valor absoluto. - Construye la gráfica y calcula dominio y rango de función raíz cuadrada. - Construye la gráfica y calcula dominio y rango de función cuadrática. - Calcula dominio y rango de funciones seccionadas y de funciones cuadráticas. UNIDAD DE APRENDIZAJE 3 TEMA 6 MATEMÁTICA II 99 CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES c c x f = == = ) ( x x f = == = ) ( FUNCIONES BÁSICAS 1. FUNCIÓN CONSTANTE A la función f , la llamaremos función constante , si su regla de correspondencia es: , ) ( C x f = donde c es una constante. También la función constante, se puede definir por: { } . / ) , ( c y R R y x f = × ∈ = donde c es constante donde su dominio es R D f = == = , su rango es { {{ { } }} } c R f = == = y su gráfica es: 2. FUNCIÓN IDENTIDAD A la función f , le llamaremos función identidad, si su regla de correspondencia es : identidad se define : { } . / ) , ( x y R R y x f = × ∈ = También la función Donde: R D f = == = ; R R f = == = Y su gráfica es: x x f = ) ( 100 CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC b ax x f + ++ + = == = ) ( x x f = == = ) ( 3. FUNCIÓN LINEAL A la función f , le llamaremos función lineal , si su regla de correspondencia es : Donde a y b son constantes y 0 ≠ a . También a la función lineal se puede expresar en la forma: { {{ { } }} } . / ) , ( b ax y R R y x f + ++ + = == = × ×× × ∈ ∈∈ ∈ = == = Donde R D f = == = y R R f = == = ; a , b 0 ≠ ∈ a y R cuya gráfica es : 4. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO A la función f , le llamaremos función valor absoluto, si su regla de correspondencia es : También se puede expresar en la forma: { } x y R R y x f = × ∈ = / ) , ( Donde R D f = == = ; [ [[ [ ∞ ∞∞ ∞ = == = , 0 f R y su gráfica es: b ax x f + = ) ( ¹ ´ ¦ < − ≥ = = 0 , 0 , , ) ( x x x x x donde x x f MATEMÁTICA II 101 CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES x x f = == = ) ( 5. FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA A la función f , le llamaremos función raíz cuadrada , si su regla de correspondencia es : 0 ) ( ) ( ) ( ≥ ⇔ = X U x U x f Un caso particular es de la forma: { } x y R R y x f = × ∈ = / ) , ( Donde [ ∞ = = + , 0 0 f f R y R D y su gráfica es: 6. FUNCIÓN CUADRÁTICA A la función f, le llamaremos función cuadrática, si su regla de correspondencia es: También, la ecuación cuadrática se expresa así: La gráfica de la función cuadrática es una parábola con eje perpendicular al eje x en el cual se presenta dos casos. • Si a>0 la gráfica se abre hacia arriba. • Si a<0 la gráfica se abre hacia abajo. El dominio de la función cuadrática es: R D f = . El rango se determina completando cuadrados. 0 , , , ) ( 2 ≠ ∈ + + = a R c b a c bx ax x f { } 0 , , , , / ) , ( 2 ≠ ∈ + + = × ∈ = a R c b a c bx ax y R R y x f 102 CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC Como a b ac a b x a x f a b c a b x a b x a x f c bx ax x f 4 4 ) 2 ( ) ( 4 ) 4 ( ) ( ) ( 2 2 2 2 2 2 2 − + + = − + + + = ⇒ + + = Luego el vértice de la parábola es: ) 4 4 , 2 ( 2 a b ac a b V − − Si a>0 se tiene : R D f = == = ; +∞ +∞ +∞ +∞ ¸ ¸¸ ¸ − −− − = == = , a b ac R f 4 4 2 Si a<0 se tiene : R D f = == = ; ( (( ( ( (( ( ¸ ¸¸ ¸ ( (( ( ¸ ¸¸ ¸ − −− − ∞ ∞∞ ∞ − −− − = == = a b ac R f 4 4 2 , FUNCIONES SECCIONADAS Son aquellas que tienen varias reglas de correspondencia ¹ ´ ¦ ∈ ∈ = 2 2 1 1 , ) ( , ) ( ) ( A x si x f A x si x f x F donde ¹ ´ ¦ = = ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 2 1 f Ra f Ra f Ran A A f Dom U U MATEMÁTICA II 103 CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES Ejercicios propuestos Ejercicios propuestos Ejercicios propuestos Ejercicios propuestos 1. Construya la gráfica y calcule el dominio y rango de: 3 2 , 5 2 4 ) ( ≤ − − − = x para x x f 2. Halle el dominio y la gráfica de la siguiente función: 1 ) ( − = x x f 3. Halle dominio, rango y esbozar la gráfica de la función: [ ] ¦ ¦ ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ¦ ¦ ´ ¦ > ∞ < ∈ > ∈ − − ∈ + − − − ∈ − − ∞ − ∈ − = , 6 ; 6 6 , 0 [ ; 4 0 , 5 ; 3 1 5 1 6 , 9 ; 9 , ; ) ( x x x x x x x x x x f 4. Hallar dominio, rango y esbozar la gráfica de la función: 5. Hallar dominio, rango y esbozar la gráfica de la función : ݂ሺݔሻ ൌ ቐ ݔ ଶ െ 6ݔ 7 ݏ݅ 0 ൏ ݔ ൏ 3 √ݔ 1 െ 1 ݏ݅ 3 ݔ 15 5 െ |ݔ െ 7| ݏ݅ ݔ 15 ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ ≥ − < ≤ − + < ≤ − − < − = 8 , 2 12 8 4 , 4 2 4 0 , 2 0 , , 2 ) ( x si x x si x x si x x x si x f 104 CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC APLICACIONES DE LAS FUNCIONES a. Un fabricante de filtros para agua, tiene costos fijos por S/. 20 000, costos de producción de S/. 20 por unidad y un precio de venta unitario de S/. 30. Determina las funciones de costos, ingresos y ganancias para Rango. Además indica su punto de equilibrio y gráfica. b. Juan Manuel es dueño de la panadería “Pan y Sabor” y contrató un consultor para analizar las operaciones del negocio. El consultor dice que sus ganancias P(x) de la venta de “x” unidades de panes están dadas por P(x) 120x – x 2 . ¿Cuántos panes debe vender para maximizar las ganancias? ¿Cuál es la ganancia máxima? c. Para una editorial, el costo de mano de obra y materiales por unidad de producción es de $ 5 y los costos fijos son de $200 diarios. Si se vende cada libro a $15 a. ¿Cuántos libros se deberán producir y vender diariamente para mantener el negocio en un punto de equilibrio? Grafique el modelo. b. Si se producen y venden 75 libros ¿pierde o gana? ¿cuánto? d. Los impuesto personales en Estados Unidos entre 1960 y 1990 son aproximados por: ( (( ( ) )) ) ¹ ¹¹ ¹ ´ ´´ ´ ¦ ¦¦ ¦ − −− − + ++ + = == = 1990 1975 6 361 4 35 1975 1960 4 50 9 7 a de x a de x x f . . . . Trace la gráfica de la función si x = 0 representa 1960. ¿Qué sucedió a los impuestos personales en 1975? MATEMÁTICA II 105 CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES A AA Autoevaluación utoevaluación utoevaluación utoevaluación 1. Halle dominio, rango y esbozar la gráfica de la función: [ ] ¦ ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ¦ ´ ¦ > ∈ < ∪ − ∪ > − − ∈ − ∞ − ∈ + + ∈ − ∈ + = 9 , 6 [ , ] 3 , 2 2 , 2 2 , 3 [ , 4 3 , , 24 10 6 , 3 , 5 30 , 9 , 1 ) ( 2 x x x x x x x x x x x f 2. Hallar dominio, rango y esbozar la gráfica de la función: ( ) [ ] ( ) ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ´ ¦ > ∞ ∈< − − − ∈ − − − − ∈ − − ∈ + − − − = , 4 , 1 8 4 , 2 , 1 2 2 , 4 , 2 4 , 13 , 4 2 ) ( 2 x x x x x x x x x f 3. Halle el dominio, rango y esbozar la grafica de la función. [ ] [ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ´ ¦ − ≤ + − +∞〉 ∈ + − ∈ − ∈ − 〉 〈 ∈ − − ∈< + | ¹ | \ | = 2 , 6 3 , 10 , 6 10 , 8 , 4 8 , 4 , 10 2 4 , 2 , 2 ] 2 , 2 , 4 4 1 ) ( 2 x x x x x x x x x x x x x f 4. Dada la siguiente función ¦ ) ¦ ` ¹ ¦ ¹ ¦ ´ ¦ | ¹ | \ | + = | ¹ | \ | + ∈ = 2 2 2 1 4 3 / ) , ( x y R y x f Halle ) ( ) ( f Rang f Dom A I = 106 CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC 5. Dada la siguiente función ( ) ( ) ) ` ¹ ¹ ´ ¦ − = − ∈ = 2 2 2 4 1 4 / ) , ( x y R y x f Halle ) ( ) ( f Rang f Dom B I = 6. Halle dominio, rango y esbozar la gráfica de la función: ( ) ¦ ¹ ¦ ´ ¦ ≥ − − − ∈ − − − ≤ − = 4 , 4 2 , 1 , 4 2 1 , 3 2 ) ( 2 x x x x x x x x f 7. Hallar la longitud de la cuerda común de 15 16 4 ) ( 2 − + = x x x f y 4 5 2 ) ( − + − = x x x g 8. APLICACIONES DE LAS FUNCIONES: A. Supóngase que el costo de fabricación de “x” artículos diariamente tiene el siguiente modelo: C(x) = 0.2x² + 10x +320 y cada una se vende a S/ 30 .00. o Determine el punto de equilibrio o Determina el nivel de producción que maximice sus utilidades. o ¿Cuál es la utilidad máxima? o Realiza la gráfica correspondiente B. Para una fábrica de zapatos, el costo de mano de obra y materiales por cada par de zapatos es de S/. 20 y los costos fijos son S/. 3000 diarios. Si se vende cada par de zapatos a S/. 35 + Modele matemáticamente el Costo Total y la Venta Total. + Encuentre el punto de equilibrio e interprételo económicamente. + Si vende 800 pares de zapatos diarios, ¿gana o pierde? ¿Cuánto? C. Para una editorial, el costo de mano de obra y materiales por unidad de producción es de $ 5 y los costos fijos son de $500 diarios. Si se vende cada libro a $15 o ¿Cuántos libros se deberán producir y vender diariamente para mantener el negocio en un punto de equilibrio? Grafique el modelo. o Si se producen y venden 100 libros ¿pierde o gana? ¿cuánto? MATEMÁTICA II 107 CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES MISCELANEA DE PROBLEMAS SOBRE FUNCIONES I. Asocia cada función con su gráfica: a) 5 x y + − = b) 3 x 2 3 y + = c) x 2 1 y = d) 2 x y 2 + = e) 1 x y 2 + − = f) x 2 y − = g) 2 3 y − = h) 2 x 2 y = 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Rp. a. (1) b.(4) c.(6) d.(8) e.(3) f.(2) g.(5) h.(7) II.El perímetro de un rectángulo es de 30 cm. Obtén la función del área del rectángulo en función de la longitud de la base x. III.Determina el dominio, el rango y esboza la gráfica de las siguientes funciones: 1. ¹ ´ ¦ − ≥ + − < ≤ − + − = 5 x , 9 x 2 5 x 10 , 8 x 3 ) x ( f [ [ ∞ − = ∞ − = , 1 ) x ( f Ran , 10 ) x ( f Dom ¦ ¹ ¦ ´ ¦ ≥ − < ≤ − − − < + + = 3 x , 1 3 x 2 , 1 x 2 x , 1 x 6 x ) x ( f 2 [ ∞ − = = , 8 ) x ( f Ran R ) x ( f Dom 108 CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC Resumen Resumen Resumen Resumen *) Función constante: C x f = ) ( *) Función identidad: x x f = ) ( *)Función lineal: b ax x f + = ) ( *) Función valor absoluto: ¦ ¹ ¦ ´ ¦ < − ≥ = 0 , 0 , x x x x x • Si a>0 la gráfica se abre hacia arriba. • Si a<0 la gráfica se abre hacia abajo. El dominio de la función cuadrática es: R D f = . El rango se determina completando cuadrados.El vértice de la parábola es: ) 4 4 , 2 ( 2 a b ac a b V − − 1. Si a>0 se tiene : R D f = +∞ ¸ − = , 4 4 2 a b ac R f 2. 3. Si a<0 se tiene : R D f = ( ¸ ( ¸ − ∞ − = a b ac R f 4 4 , 2 4. BIBLIOGRAFIA: FIGUEROA, Ricardo Matemática Básica Edit Gráficas América S.R.L Lima 2004 LARSON Roland; HOSTETLER Robert Cálculo y Geometría Analítica McGraw Hill USA 1993 VERA, Carlos Matemática Básica Colección Moshera Lima 2001 LEITHOLD, Louis Cálculo con Geometría analítica Editorial Oxford México 2004 http://descartes.cnice.mec.es Se muestra gráficamente algunos conceptos. www.elrincondelvago.com/algebra-y-geometriaanalitica.html Se muestran ejercicios y problemas 0 , , , ) ( 2 ≠ ∈ + + = a R c b a c bx ax x f Cuadrática Función MATEMÁTICA II 109 CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES FUNCIONES: FUNCIONES ESPECIALES LOGRO DE LA UNIDAD DE APRENDIZAJE Al término de la unidad, el alumno determina el dominio y rango de los diferentes tipos de funciones aplicando distintos métodos de resolución y construye sus representaciones gráficas en el plano cartesiano. TEMARIO DOMINIO Y RANGO Función Logarítmica Función Exponencial ACTIVIDADES PROPUESTAS - Construye la gráfica y calcula dominio y rango de funciones exponenciales. - Construye la gráfica y calcula dominio y rango de funciones logarítmicas. UNIDAD DE APRENDIZAJE 3 TEMA 7 110 CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC ( (( ( ) )) ) x x f 2 = == = FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTIMICA 1. FUNCIÓN EXPONENCIAL Sea “a” un número real positivo diferente de 1, la función exponencial de base “a” está definida por: ( (( ( ) )) ) R x a x f x ∈ ∈∈ ∈ ∀ ∀∀ ∀ = == = ; Como quiera que “a” mayor que cero, por la condición, entonces x a es siempre positivo, para todo R x∈ ∈∈ ∈ , por lo tanto el rango de la función f está formado por todos los números reales positivos. Por lo tanto, la función exponencial de base “a”es: R D f = == = [ [[ [ ∞ ∞∞ ∞ = == = ; 0 f R Ejemplo 1: Sea la función ( (( ( ) )) ) x x f 2 = == = . Construir su gráfica y hallar el dominio y rango. Dominio: R D f = == = Rango: [ [[ [ ∞ ∞∞ ∞ = == = ; 0 f R MATEMÁTICA II 111 CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES ( (( ( ) )) ) x x f | || | ¹ ¹¹ ¹ | || | \ \\ \ | || | = == = 2 1 Ejemplo 2: Sea la función ( (( ( ) )) ) x x f | || | ¹ ¹¹ ¹ | || | \ \\ \ | || | = == = 2 1 . Construir su gráfica y hallar el dominio y rango. Dominio: R D f = == = Rango: [ [[ [ ∞ ∞∞ ∞ = == = ; 0 f R OBSERVACIONES: a. Si la base “a” es un número positivo menor que 1, ( (( ( ) )) ) x a x f = == = , disminuye a medida que el valor de “x” aumenta, es decir, la función es decreciente. b. Si la base “a” es un número positivo mayor que 1, ( (( ( ) )) ) x a x f = == = , aumenta a medida que el valor de “x” aumenta, es decir, la función es creciente. Problemas Propuestos para la Clase: A. Algunos tipos de bacteria tienen un crecimiento muy rápido de su población. La bacteria Escherichia coli puede duplicar su población cada 15 minutos. Si se hace un cultivo en el que inicialmente hay 5000 bacterias de este tipo, ¿cuántas habrá al cabo de cuatro horas? B. Una tienda comercial pone en promoción uno de sus artículos. Suponiendo que la promoción durará 6 días y que cada día se venderá el doble del anterior, calcula: + El número de artículos que se venderá el tercer día, si el primer día vendieron treinta artículos. + El número de artículos que se venderá el último día. + El número total de artículos vendidos durante la promoción. FUNCIÓN EXPONENCIAL CON BASE e (Epsilón) Una función exponencial especialmente importante es ( (( ( ) )) ) x e x f = == = cuya base es el número e = 2,718281…. 112 CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC Este número irracional se obtiene dando valores muy grandes a “n” en la expresión: n n | || | ¹ ¹¹ ¹ | || | \ \\ \ | || | + ++ + 1 1 ( (( ( ) )) ) R x e x f x ∈ ∈∈ ∈ ∀ ∀∀ ∀ = == = ; 2. FUNCION LOGARÍTMICA A la función inversa de ( (( ( ) )) ) x a x f = == = , se le denomina función logarítmica de base “a”. Esta función logarítmica de base “a” es denotada por x Log a . Es decir: ( (( ( ) )) ) x Log x f a = == = Donde su dominio y rango es: ∞ ∞∞ ∞ = == = ; 0 f D R R f = == = Ejemplo 1: Sea la función ( (( ( ) )) ) x x f log = == = . Construir su gráfica y hallar el dominio y rango. MATEMÁTICA II 113 CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES Dominio: ∞ ∞∞ ∞ = == = ; 0 f D Rango: R R f = == = Ejercicios propuestos Ejercicios propuestos Ejercicios propuestos Ejercicios propuestos 1. Para medir la intensidad de los terremotos se utiliza una escala logarítmica de base 10 llamada Ritcher. La magnitud de un terremotose mide por M = log P, donde M es el gardo del terremoto en la escala de Ritcher y P es la potencia queindica cuántas veces ha sido mayor la amplitud de la onda sísmica del terremoto que la onda de referencia en situación normal. ¿Cuántas veces ha sido mayor la potencia de un terremoto de gardo 7 que otro de gardo 5? 2. Grafica y determina su dominio y rango de las siguientes funciones: A. ( (( ( ) )) ) ) ( 1 + ++ + = == = x Log x f B. ( (( ( ) )) ) 1 + ++ + = == = ) ( x Log x f C. ( (( ( ) )) ) 2 − −− − = == = ) ( x Log x f D. ( (( ( ) )) ) 2 1 + ++ + + ++ + = == = ) ( x Log x f E. ( (( ( ) )) ) ) ( 3 − −− − = == = x Log x f F. ( (( ( ) )) ) ) ( 1 + ++ + − −− − = == = x Log x f G. ( (( ( ) )) ) ) ( 1 + ++ + − −− − = == = x Log x f H. ( (( ( ) )) ) ) ( 1 + ++ + − −− − − −− − = == = x Log x f I. ( (( ( ) )) ) x x f 3 = == = J. ( (( ( ) )) ) 2 + ++ + = == = x e x f K. ( (( ( ) )) ) 2 3 + ++ + = == = x x f L. ( (( ( ) )) ) 1 + ++ + − −− − = == = x e x f M. ( (( ( ) )) ) 2 + ++ + − −− − = == = x e x f N. ( (( ( ) )) ) 2 + ++ + − −− − = == = x e x f O. ( (( ( ) )) ) ) ( 5 + ++ + − −− − = == = x Ln x f P. ( (( ( ) )) ) ) ( 3 2 + ++ + = == = x Ln x f 3. En una colonia de insectos, cuya población es controlada cada año, se observa que en diez añosno ocurrió ningún sucesoq ue alterase su ley de crecimiento. La población existente cada año era los 4/3 del año anterior. Si el año que empezó el estudio había 7290 ejemplares, ¿cuánto había al cabo de 6 años? 114 CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC Autoevaluación Autoevaluación Autoevaluación Autoevaluación 1.Grafica y determina su dominio y rango de las siguientes funciones: - ( (( ( ) )) ) ) ( 3 2 + ++ + = == = x Log x f - ( (( ( ) )) ) 1 + ++ + − −− − = == = ) ( x Log x f - ( (( ( ) )) ) 2 2 − −− − − −− − = == = ) ( x Log x f - ( (( ( ) )) ) 2 4 + ++ + − −− − − −− − = == = ) ( x Log x f - ( (( ( ) )) ) ) ( 7 + ++ + = == = x Log x f - ( (( ( ) )) ) 2 1 1 / ) ( − −− − + ++ + = == = x Log x f - ( (( ( ) )) ) ) / ( 3 1 + ++ + = == = x Log x f - ( (( ( ) )) ) x x f 4 = == = - ( (( ( ) )) ) 9 − −− − = == = x e x f - ( (( ( ) )) ) 2 5 + ++ + = == = x e x f - ( (( ( ) )) ) 1 + ++ + − −− − = == = x e x f - ( (( ( ) )) ) 2 2 + ++ + − −− − = == = x e x f - ( (( ( ) )) ) 2 5 / − −− − − −− − = == = x e x f - ( (( ( ) )) ) 1 5 + ++ + + ++ + − −− − = == = ) ( x Ln x f - ( (( ( ) )) ) 2 3 2 + ++ + + ++ + = == = ) ( x Ln x f MATEMÁTICA II 115 CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES Resumen Resumen Resumen Resumen 1. FUNCIÓN EXPONENCIAL ( (( ( ) )) ) R x a x f x ∈ ∈∈ ∈ ∀ ∀∀ ∀ = == = ; El dominio y rango de función exponencial de base “a” es: R D f = == = [ [[ [ ∞ ∞∞ ∞ = == = ; 0 f R 2. FUNCIÓN LOGARÍTMICA El dominio y rango de función logarítmica de base “a” es: ( (( ( ) )) ) x Log x f a = == = ∞ ∞∞ ∞ = == = ; 0 f D R R f = == = BIBLIOGRAFIA: FIGUEROA, Ricardo Matemática Básica Edit Gráficas América S.R.L Lima 2004 LARSON Roland; HOSTETLER Robert Cálculo y Geometría Analítica McGraw Hill USA 1993 VERA, Carlos Matemática Básica Colección Moshera Lima 2001 LEITHOLD, Louis Cálculo con Geometría analítica Editorial Oxford México 2004 http://descartes.cnice.mec.es Se muestra gráficamente algunos conceptos. www.elrincondelvago.com/algebra-y-geometriaanalitica.html Se muestran ejercicios y problemas 116 CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC LÌMITES Y CONTINUIDAD LOGRO DE LA UNIDAD DE APRENDIZAJE Al término de la unidad, el alumno resuelve problemas de límites indeterminados y de continuidad de una función en un punto dado, utilizando las propiedades de límites, las condiciones de continuidad, las leyes del álgebra básica y las representaciones gráficas en el plano cartesiano. TEMARIO • Límites de funciones : - Límites indeterminados o Algebraicos, de la forma 0 0 o Con radicales, de la forma 0 0 - Límites en el infinito de la forma ∞ − ∞ ∞ ∞ , ACTIVIDADES PROPUESTAS • Calcula límites indeterminados de funciones algebraicas, racionales e irracionales. • Calcula límites indeterminados cuando la variable tiende al infinito. UNIDAD DE APRENDIZAJE 4 TEMA 8 MATEMÁTICA II 117 CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES LÍMITE DE UNA FUNCIÓN I. IDEA DE LÍMITE 2 - x 4 - 4x - 2 3x F(x) = 5 5.75 6.5 7.25 7.7 7.97 7.997 8.003 8.03 8.3 8.75 9.5 10.25 x 1 1.25 1.5 1.75 1.9 1.99 1.999 2.001 2.01 2.1 2.25 2.5 2.75 8 2 - x 4 - 4x - 2 3x 2 lim = → x ; 8 2) (3x = + → = + → 2 lim 2 - x 2) - 2)(x (3x 2 lim x x II. DEFINICIÓN: Sea F(x) una función definida en un intervalo que contiene o no al número “a”. Se dice que cuando x se aproxima al número “a” la función F(x) tiende al número L, que se denota por: F(x) a x Lim → =L, sí para todo número positivo ε> 0 existe un número positivo δ tal que |F(x)-L|<ε siempre que x∈D (F) ∧ 0 <|x-a|<δ Ejemplos: 1. Si ε = 0.03 halla el valor positivo δ tal que |(3x + 7)-1|<ε siempre que 0 <|x - (-2) |<δ Solución: ε < + 6 3x , 0 <|x +2 |<δ 3| x +2 |<ε→ 3 2 ε < + x → →→ →δ = 3 ε ∴ ∴∴ ∴δ = 0.01 2.Demuestre que 8 1 3 1 2 1 = − + − → x ) x )( x ( lim x , a = 1, L = 8, |F(x) – L |<ε siempre que 0 <|x - a | 3 4 1 3 1 1 2 + + = − + + − = x x x ) x )( x )( x ( ) x ( F 7 5 5 7 5 5 1 1 1 1 5 1 5 1 5 4 8 3 4 2 2 < + < → < + < → < − < − → = δ ε < + − ε < + − → ε < + + → ε < − + + x x x ; x . x ) x )( x ( x x x x acotando 7 1 1 7 7 5 ε < − → ε < − → = + x x . x , asumiendo δ = 7 ε por lo tanto δ = min {1, 7 ε }, con lo cual queda demostrado el Límite. 118 CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC III. TEOREMAS SOBRE LÍMITES 1. ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 0 x h Lím L x f Lím x h x g x f Sí x x x x → → = = ∧ ≤ ≤ L x g Lím x x = ∴ → ) ( 0 2. : ) ( ) ( 2 1 0 0 entonces L x g Lím L x f Lím Si x x x x = ∧ = → → a) ( ) 2 1 0 0 0 L L ) x ( g Lím ) x ( f Lím ) x ( g ) x ( f lím x x x x x x ± = ± = ± → → → b) 2 1 . ) ( ). ( ) ( ). ( 0 0 0 L L x g Lím x f Lím x g x f Lím x x x x x x = = → → → c) 2 2 1 1 1 0 0 0 L ) x ( g Lím ) x ( g Lím L Sí x x x x = = ⇒ ≠ → → d) 2 1 2 0 0 0 0 L L ) x ( g Lím ) x ( f Lím ) x ( g ) x ( f Lím L Sí x x x x x x = = ⇒ ≠ → → → e) R C L C x f Lím C x f C Lím x x x x ∈ = = → → , . ) ( . ) ( . 1 0 0 . f) C x f Lím te Cons C x f Si x x = ∴ = = → ) ( tan ) ( 0 g) Si N m L x f x x Lím x f x x Lím m m m ∈ = | | ¹ | \ | → = → , ) ( ) ( ) ) ( ( 1 0 0 IV. CÁLCULO DE LÍMITES Calcule: a) ( ) ( ) ( ) 6 4 2 3 2 2 4 3 2 4 3 2 4 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = + − = + − = + − = + − → → → → → → ) ( ) x ( Lím x Lím ) ( Lím ) x ( Lím ) x ( Lím x x Lím x x x x x x b) ( ) ( ) ( ) 2 8 5 13 5 5 3 1 3 1 3 1 13 3 13 = = − = − = − → → x Lím x Lím x x MATEMÁTICA II 119 CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES V. FORMAS INDETERMINADAS Las formas indeterminadas que analizaremos en este capítulos son las siguientes: ∞ ∞ , 0 0 VI. LÍMITES ALGEBRAICOS : 1) Calcule: 3 2 2 2 3 2 4 1 2 2 2 3 2 4 1 lim − − + + + + − − → x x x x x x x x x Solución: 0 0 3 2 2 2 3 2 4 1 2 2 2 3 2 4 1 lim = − − + + + + − − → x x x x x x x x x (forma indeterminada) Factorizando por el Método de Evaluación Binómica o Ruffini ) 3 5 2 3 3 ( ) 1 3 2 3 ( 1 lim ) 3 5 2 3 3 )( 1 ( ) 1 3 2 3 )( 1 ( 1 lim + + + − − − → = + + + − − − − − → x x x x x x x x x x x x x x x x 3 1 12 3 5 3 1 1 3 1 1 4 − = = + + + − − − = − , luego 3 1 3 2 2 2 3 2 4 1 2 2 2 3 2 4 1 lim − = − − + + + + − − → x x x x x x x x x 2) Calcule: 2 2 2 2 lim − − → x x x Solución: 0 0 2 2 2 2 lim = − − → x x x Racionalizando tanto el numerador como el denominador | | ¹ | \ | + + | | ¹ | \ | + + | | ¹ | \ | − − → 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 lim x x x x x x x = 2 1 120 CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC 3) Calcule: 1 2 1 3 − −− − − −− − + ++ + → →→ → x x x x lim Solución: 6 5 3 1 2 1 ) 1 )( 1 ( ) 1 ( 1 lim ) 1 ( 1 1 lim ) 1 )( 1 ( ) 1 ) )(( 1 ( 1 lim ) 1 )( 1 ( 1 1 lim 1 1 1 lim 1 1 1 lim 0 0 1 2 1 lim 3 1 3 2 3 1 3 2 3 1 2 3 1 3 1 3 3 = + = + + − − → + + → + + − + + − → + + − − → − − → + − − → = = − − + → x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 4)Calcule: x x x 4 12 3 3 − −− − − −− − → →→ → lim Solución: = = × − − = − − → 0 0 3 4 12 3 3 4 12 3 3 lim x x x Indeterminado Levantamos la indeterminación: 4 1 4 1 ) 3 ( ) 3 ( ) 3 ( 4 ) 3 ( 3 3 = × − − = − − → → x x Lim x x Lim x x 5) Calcule: x x Lim x 3 3 0 − −− − + ++ + → →→ → Solución: 0 0 0 3 0 3 3 3 0 = − + = − + → x x Lim x =indeterminado Levantando la indeterminación: 6 3 3 3 1 0 , ) 3 3 ( ) 3 3 ( 3 ) 3 ( ) 3 3 ( ) 3 3 ( ) 3 3 ( 3 3 0 0 0 0 0 = + + ≠ + + = + + − + + + + + × − + = − + → → → → → x Lim x x x x Lim x x x Lim x x x x Lim x x Lim x x x x x MATEMÁTICA II 121 CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES 6)Halle 3 4 2 3 2 2 1 + ++ + − −− − + ++ + − −− − → →→ → x x x x Lim x Solución: 0 0 3 4 1 2 3 1 3 4 2 3 2 2 1 = + − + − = + − + − → x x x x Lim x =indeterminado Levantando la indeterminación: 2 1 2 1 ) 3 ( ) 2 ( 1 ) 1 )( 3 ( ) 1 )( 2 ( 3 4 2 3 1 1 2 2 1 = − − = − − ≠ − − − − = + − + − → → → x x Lim x x x x x Lim x x x x Lim x x x VII. LÍMITES AL INFINITO Casos a) L x f Lim x = +∞ → ) ( b) L x f Lim x = −∞ → ) ( c) ∞ = + − +∞ → ) (x f Lim x d) ∞ = + − −∞ → ) (x f Lim x Ejemplos: 1.Calcule: 5 2 1 2 4 2 + + + +∞ → x x x Lim x Solución: +∞ = = + + + = ∞ + ∞ ∞ + ∞ + = + + + + + + = + + + + + + +∞ → +∞ → +∞ → 0 4 0 0 0 0 4 5 2 1 2 4 5 2 1 2 4 5 2 1 2 4 5 2 1 2 4 2 2 2 2 2 2 x x x x Lim x x x x x Lim x x x Lim x x x 122 CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC 2. Calcule: 2 3 2 2 2 + + ∞ → x x Lim x Solución: 3 1 2 3 2 1 ) 2 3 ( ) 2 1 ( 2 3 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = ∞ + ∞ + ∞ → = + + = + + = + + ∞ → ∞ → ∞ → x Lim x x x x Lim x x Lim x x Lim x x x 3. Calcule: ) ) )( ( ( x x x Lim x − −− − + ++ + + ++ + ∞ ∞∞ ∞ → →→ → + ++ + − −− − 5 2 Solución: ∞ − ∞ = − + + ∞ → + − ) ) 5 )( 2 ( ( x x x Lim x (Forma indeterminada) Eliminando la indeterminación: ). x x x ( Lim x − + + ∞ → 10 7 2 ) 10 7 ( ) ) 5 )( 2 ( ( 2 x x x x x x + + + + + + 0 , 2 7 1 10 7 1 10 7 ) 1 10 7 1 ( ) 10 7 ( 10 7 10 7 10 7 10 7 2 2 2 2 2 2 > = + + + + ∞ → = + + + + + + + + = + + + − + + ∞ → +∞ → ∞ → x x x x x Lim x x x x x Lim x x x x Lim x x x x x x Lim x x x 4. Calcule: 3 3 4 2 1 2 3 4 6 lim − + + + − ∞ → x x x x x x Solución: 3 4 3 1 2 4 1 3 1 2 3 lim 3 3 4 2 1 2 3 4 6 lim 6 = − + + + − ∞ → = ∞ ∞ = − + + + − ∞ → x x x x x x x x x x x x MATEMÁTICA II 123 CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES 5. Calcule: 5 11 243 3 5 − −− − + ++ + − −− − ∞ ∞∞ ∞ → →→ → x x x x ) )( ( lim Solución: m x f x m x f x propiedad la Aplicando x x x x x L x x x x L ) ( lim ) ( lim : ; 5 11 243 3 15 5 lim 5 11 243 ) 3 )( 5 ( lim ∞ → = ∞ → − − − + ∞ → = ∞ ∞ = − + − ∞ → = 5 11 243 15 2 1 5 11 243 15 2 1 lim 5 11 243 15 2 lim = ∞ − ∞ + ∞ + − = − + + − ∞ → = − + + − ∞ → = x x x x x x x x L 3 1 5 243 1 − = − = 6. Calcule: ) 2 2 ( lim x x x x x − − + ∞ → Solución: 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 lim ) 2 2 ( 2 2 lim ) 2 2 ( ) 2 ( 2 lim ) min det ( ) 2 2 ( lim = = ∞ − + ∞ + = − + + ∞ → − + + ∞ → = − + + − − + ∞ → ∞ − ∞ = − − + ∞ → x x x x x x x x x x x x x x x x x x ada er in Forma x x x x x 124 CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC Ejercicios propuestos Ejercicios propuestos Ejercicios propuestos Ejercicios propuestos Calcula los siguientes límites: 1. 1 x 5 3 6 3 x x 2 lím 2 1 x − − − + → Rp. 3 4 − 2. 3 1 x 10 x 5 40 lím 4 8 x − + − → Rp. 54 − 3. 2 5 2 3 2 x x 8 x 4 x 7 x 3 lím − + − → Rp. 6 1 4. ( ) 2 4 x 4 x 4 x 4 x lím − + − → Rp. 16 1 5. 1 x 3 1 x x lím 2 1 x − − − → Rp. 2 5 − 6. x x x x lím 3 0 x + − → Rp. ∞ + 7. 2 3 1 x x 9 x 6 1 x 12 4 lím − − − → Rp. ∞ + 8. ( ) ( ) b x a x x lím x − − − ∞ → Rp. 2 b a + 9. x 4 1 x x 3 x 3 x 3 lím 3 2 2 2 x + − + + ∞ → Rp. 4 3 10. ( ) ( )3 2 3 3 2 x 3 x 2 x 5 1 x 8 lím + + + + ∞ → Rp. 4 11. x x 2 x 2 x 2 lím x − + + ∞ → Rp. ∞ − 12. 1 2 2 2 2 4 3 lim 2 3 4 2 3 + − − − − + − +∞ → x x x x x x x x Rp. 0 13. 10 7 6 10 2 lim + + + +∞ → x x x x Rp. 1/7 MATEMÁTICA II 125 CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES Autoevaluación Autoevaluación Autoevaluación Autoevaluación I. CALCULE LOS SIGUIENTES LÍMITES: 3 3 6 4 . 1 6 − + → x x Lím x 8 8 . 2 2 2 − + − → x x Lím x x x x Lím x 4 16 . 3 3 2 4 − − → 4 2 . 4 2 2 3 2 − + − → x x x Lím x 4 16 5 . 5 4 + + − → x x Lím x 2 5 4 25 . 6 2 5 2 − − → x x Lím x 3 27 . 7 3 3 + + − → x x Lím x 7 49 . 8 2 7 + − − → x x Lím x 8 64 . 9 2 8 + + − − → x x Lím x x x x x Lím x 4 2 5 . 10 2 2 0 − − → 1 2 . 11 2 1 − − + → x x x Lím x 6 15 8 . 12 2 2 3 − + + + − → x x x x Lím x 54 3 27 21 2 . 13 2 2 9 − − + − → x x x x Lím x 5 11 2 5 21 4 . 14 2 2 5 + − + − → x x x x Lím x 8 7 1 . 15 2 3 1 − + − → x x x Lím x 8 8 16 10 . 16 3 2 2 − − − → x x x Lím x 64 16 24 19 2 . 17 2 2 8 + − + − → x x x x Lím x 1 64 1 4 32 . 18 3 2 4 1 − − − → x x x Lím x 16 24 9 4 3 . 19 2 2 3 4 + + − + − → x x x x Lím x 1 6 1 4 3 . 20 2 2 3 1 − + − + − → x x x x Lím x II. CALCULE LOS SIGUIENTES LÍMITES: 3 x 9 + x 9 x lim . 1 - → 6 1 - 4 - 16 → lim . 2 x x x 1 x 1 x 1 x lim . 3 - - → 8. x x x − + − → 1 3 2 1 lim 2 5 5 5 lim . 9 − − → x x x 6 6 0 lim .. 10 − + → x x x 126 CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC 3 - 2 49 - 7 → lim . 4 2 x x x − 2 4 4 lim . 5 − − → x x x 9 3 9 lim . 6 − − → x x x 7. x x x x x x x x 2 3 2 1 2 3 lim 2 5 7 3 4 + − + + − + ∞ → x 5 1 x + 5 3 4 x lim . 11 - - - → 3 k 3 x 7 k 7 x k x lim . 12 - - → 13. 4 10 2 4 4 1 3 4 16 lim + + + + ∞ → x x x x x RESPUESTAS DE I: 1)2 2)-6/5 3)0 4)-1 5) ∞ − 6)4 7)27 8)14 9)16 10)1/2 11)3 12)-2/5 13)1 14)19/9 15)1/3 16)2 17) ∞ 18)1 19)- ∞ 20)2/5 RESPUESTAS DE II:1) ∞ 2)1/8 3)2 4)-56 5)4 6)-1/6 7)0 8)60 9)1/2 10)2 5 11)2 6 MATEMÁTICA II 127 CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES RESUMEN 1. ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 0 x h Lím L x f Lím x h x g x f Sí x x x x → → = = ∧ ≤ ≤ L x g Lím x x = ∴ → ) ( 0 2. : ) ( ) ( 2 1 0 0 entonces L x g Lím L x f Lím Si x x x x = ∧ = → → a) ( ) 2 1 0 0 0 L L ) x ( g Lím ) x ( f Lím ) x ( g ) x ( f lím x x x x x x ± = ± = ± → → → b) 2 1 . ) ( ). ( ) ( ). ( 0 0 0 L L x g Lím x f Lím x g x f Lím x x x x x x = = → → → c) 2 2 1 1 1 0 0 0 L ) x ( g Lím ) x ( g Lím L Sí x x x x = = ⇒ ≠ → → d) 2 1 2 0 0 0 0 L L ) x ( g Lím ) x ( f Lím ) x ( g ) x ( f Lím L Sí x x x x x x = = ⇒ ≠ → → → e) R C L C x f Lím C x f C Lím x x x x ∈ = = → → , . ) ( . ) ( . 1 0 0 . f) C x f Lím te Cons C x f Si x x = ∴ = = → ) ( tan ) ( 0 g) Si N m L x f x x Lím x f x x Lím m m m ∈ = | | ¹ | \ | → = → , ) ( ) ( ) ) ( ( 1 0 0 BIBLIOGRAFIA: FIGUEROA, Ricardo Matemática Básica Edit Gráficas América S.R.L Lima 2004 VERA, Carlos Matemática Básica Colección Moshera Lima 2001 LEITHOLD, Louis Cálculo con Geometría analítica Editorial Oxford México 2004 http://descartes.cnice.mec.es 128 CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CONDICIONESDE CONTINUIDAD LOGRO DE LA UNIDAD DE APRENDIZAJE Al término de la unidad, el alumno resuelve problemas de límites indeterminados y de continuidad de una función en un punto dado, utilizando las propiedades de límites, las condiciones de continuidad, las leyes del álgebra básica y las representaciones gráficas en el plano cartesiano. CONDICIONES DE CONTINUIDAD TEMARIO • Límites laterales • Continuidad de una función en un punto ACTIVIDADES PROPUESTAS • Calcula límites laterales. • Evalúa la Continuidad de una función en un punto y en un intervalo. UNIDAD DE APRENDIZAJE 4 TEMA 9 MATEMÁTICA II 129 CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES LIMITES LATERALES I. Límites laterales por la derecha Dada una función ) (x f .Si ” 0 x ” es un punto de acumulación de ∞ ∩ , 0 x D f entonces δ < − < ∧ ∈ ε < − > δ ∃ > ε ∀ ↔ = + → 0 0 0 0 0 x x D x que siempre , L ) x ( f / , L ) x ( f f x x Lím y X δ + 0 X 0 X ε + L L ) (x f x } ) (x f { { 0 LÍMITE LATERALPORLADERECHA δ { δ } δ − 0 X ε − L ε ε ) x ( f Lim x x + → 0 (Se lee límite de la función f(x) al acercarse a x 0 por la derecha) EJEMPLOS: 1) Calcule: ) ( 2 x f Lim x + − → 11 ) 1 ( 2 ) ( 4 0 1 0 2 ) 1 ( 2 ) ( 2 2 2 2 2 = − + = ¦ ¹ ¦ ´ ¦ ≤ < + ≤ ≤ − − + = + + − → − → x Lim x f Lim x x x x x f Si x x 130 CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC 2)Calcule: ) ( 0 x f Lim x + → [ ( ) 4 4 ² 2 , 0 , 4 ² 0 , 3 , 1 ) ( 0 = + → ¦ ¹ ¦ ´ ¦ 〉 ∈ + 〉 〈− ∈ + = + → x Lim x x x x x x f Si x II. Límite lateral por la izquierda Dada una función ) x ( f , si ” 0 x ” es un punto de acumulación de 0 , x D f ∞ − ∩ ; entonces δ δδ δ ε εε ε δ δδ δ ε εε ε < << < < << < < << < − −− − > >> > > >> > = == = x x D x que siempre L x f L x f f x x Lím - 0 ∧ ∈ 0 ∃ 0 ∀ ↔ 0 → 0 , ) ( / , ) ( y X δ + 0 X 0 X ε + L L ) (x f x } ) ( x f { { 0 LÍMITE LATERAL POR LA IZQUIERDA δ { δ } δ − 0 X ε − L ε ε ) x ( f Lim x x − → 0 (Se lee límite de la función f(x) al acercarse a x 0 por la izquierda) MATEMÁTICA II 131 CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES Ejemplos: 1) Calcule: ) x ( f Lim x − →8 ¦ ¹ ¦ ´ ¦ < − − ≥ − = 8 , ) 8 ( 8 , ) 8 ( ) ( 3 3 x x x x x f Si Solución: 0 ) 8 ( 3 8 = − − − → x Lim x 2) Calcule: ) ( ) ( x f Lim x − −− − − −− − → →→ → 2 1 16 15 2 1 4 2 1 2 1 4 ) ( 2 1 ) ( : 2 1 , 3 2 2 1 , 4 2 1 ) ( 2 3 2 3 2 1 2 1 2 3 = | ¹ | \ | − + | ¹ | \ | − = ( ¸ ( ¸ + = ¦ ¹ ¦ ´ ¦ − ≥ − − < + = − − − → − → x x Lim x f Lim Solución x x x x x x f Si x x 3) Calcule: ) ( x f Lim x − −− − − −− − → →→ → 2 1 2 8 8 ) ( : 2 , 2 5 8 3 2 2 2 , 8 ) ( 3 3 2 2 2 3 − = − − = − = ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ 〈 + − − ≤ ∨ ≥ ⇒ ≥ − = − − − → − → x Lim x f Lim Solución x x x x x x x f Si x x OBSERVACIÓN: • Una función f(x) tiene límite en x 0 ⇔ L ) x ( f Lim ) x ( f Lim x x x x = = + − → → 0 0 • Si , ) ( ) ( 0 0 x f Lim x f Lim x x x x + − → → ≠ se dice que = → ) x ( f Lim x x 0 no existe. 132 CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC Ejemplos: Calcule ) ( 1 x f Lim x→ si es que existe. Si ¦ ¹ ¦ ´ ¦ < + ≥ + = 1 19 8 1 , ) 2 ( ) ( 3 2 x x x x x f Solución: 3 ) ( , tan 3 19 8 , 3 ) 2 ( 1 3 1 2 1 = = + = + → → → − + x f Lim to Por x Lim x Lim x x x III. LÍMITES IMPROPIOS 1) ∞ ∞∞ ∞ = == = + ++ + − −− − → →→ → + ++ + ) ( x f Lim x x 0 2) ∞ ∞∞ ∞ = == = + ++ + − −− − → →→ → − −− − ) ( x f Lim x x 0 +∞ +∞ +∞ +∞ = == = − −− − −∞ −∞ −∞ −∞ = == = − −− − +∞ +∞ +∞ +∞ = == = −∞ −∞ −∞ −∞ = == = = == = ∞ ∞∞ ∞ − −− − − −− − = == = ∞ ∞∞ ∞ − −− − = == = ∞ ∞∞ ∞ − −− − = == = ∞ ∞∞ ∞ ∈ ∈∈ ∈ − −− − + ++ + + ++ + − −− − + ++ + 0 0 0 0 0 0 0 0 a a a a a a a a R a Sea : Ejemplos: Calcule los siguientes límites laterales: a) +∞ = = − + → + 0 1 1 1 1 x Lim x b) −∞ = − − → 1 1 1 x Lim x c) −∞ = = + = − + + = − + − − → → − − 0 4 ) 6 )( 0 ( 1 3 ) 3 )( 3 ( 1 9 1 3 2 3 x x x Lim x x Lim x x d) 0 0 4 2 16 4 lim = − − − → x x x MATEMÁTICA II 133 CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES −∞ = − = − − − → = − − − − → = − − − → + + − − 0 8 2 16 4 lim ) 2 16 ) 4 ( 4 lim 2 16 ) 4 ( 4 lim 4 ) 4 )( 4 ( 2 16 x x x x x x x x x x x x IV. CONTINUIDAD EN UN PUNTO Se dice que una función f(x) es continua en un punto x 0 , del dominio de la función, si cumple las siguientes condiciones: Si cualquiera de las tres condiciones no se cumple, la función no es continua o se dice que es discontinua en dicho punto. Una función es continua en un intervalo, si es continua en cada uno de los puntos de dicho intervalo. Una función polinomial es continua en todos los reales y una función racional es continua en todos los reales con excepción de los puntos que anule el denominador. Ejemplos: 1) Probar si f(x) es continua en x =0 para: 2 0 2 0 2 2 2 0 2 2 2 2 0 0 0 0 2 0 2 0 0 2 0 0 0 0 0 0 2 = == = = == = = == = → →→ → ⇒ ⇒⇒ ⇒ = == = + ++ + = == = = == = − −− − = == = − −− − = == = = == = + ++ + = == = = == = = == = ¦ ¦¦ ¦ ¹ ¹¹ ¹ ¦ ¦¦ ¦ ´ ´´ ´ ¦ ¦¦ ¦ > >> > − −− − ≤ ≤≤ ≤ + ++ + = == = → →→ → → →→ → → →→ → → →→ → → →→ → − −− − − −− − + ++ + + ++ + ) ( ) ( ) ) ( lim ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) , , ) ( x f Lim f iii x f x x Lim x f Lim y x Lim x f Lim ii f x f x i Solución x x x x x f x x x x x ∴f(x) es continua en x =0 i) f(x 0 ) existe, es decir, es un número real. ii) ) ( 0 x f Lim x x→ existe, es decir, sus límites laterales son iguales iii) ) ( ) ( 0 0 x f Lim x f x x→ = 134 CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC 2) Dada la función: ? ¿ , , ) ( 2 2 2 2 7 3 2 3 2 = == = ¦ ¦¦ ¦ ¹ ¹¹ ¹ ¦ ¦¦ ¦ ´ ´´ ´ ¦ ¦¦ ¦ ≠ ≠≠ ≠ − −− − + ++ + − −− − = == = = == = x en continua Será x x x x x x f Solución 5 3 5 2 2 1 3 2 2 7 3 3 2 2 2 0 2 2 2 2 0 0 ≠ ≠≠ ≠ ≠ ≠≠ ≠ = == = − −− − − −− − − −− − = == = − −− − + ++ + − −− − = == = = == = = == = = == = → →→ → → →→ → → →→ → → →→ → ) ( ) ( ) ) ( ) )( ( ) ( ) ) ( ) ( ) x f Lim x f iii x x x Lim x x x Lim x f Lim ii f x f x i x x x x Por lo tanto f(x) no es continua en x =2 3) Halle las constantes a y b, para que f(x) sea continua en todo su dominio si [ [ ¦ ¹ ¦ ´ ¦ 〉 ∈ − 〉 ∈ + 〉 〈− ∈ − = 2 , 1 , 2 1 , 0 , 0 , 5 , 1 ) ( x x x b ax x x x f Solución: La función debe ser continua en 1 0 = = x y x b f x f Lim iii x Lim ii b b a f x f i x Para x x = − = − = − = − = + = = = → → − 1 ) 0 ( ) ( ) 1 1 0 ) 1 ( ) ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) 0 * 0 0 0 MATEMÁTICA II 135 CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES 0 1 1 1 ) ) ( ) ( ) 1 2 1 ) 1 ( ) ( ) 1 * * 1 1 0 0 = → − = − + = − + = + = − = − = = = − − → → a a b a iii b a b ax Lim x f Lim ii f x f i x Para x x 4) Calcule los puntos de discontinuidad para la función definida por: 0 2 2 4 4 1 3 3 2 ≠ ≠≠ ≠ + ++ + − −− − = == = − −− − − −− − + ++ + = == = ) )( ( ) ( x x x x x Solución x x x x f La ecuación polinomial del denominador forma una restricción, por ello el dominio: Df = R - { 0, -2, 2 } Por lo tanto f(x) es discontinua en x =0, x = -2 y x = 2. 5)Calcule los puntos de discontinuidad para la función definida por: ( )( ) ( )( ) x x f ndo simplifica x x x x x x f do Factorizan Solución x x x x f 1 ) ( : 1 1 1 1 ) ( : : 1 ) ( 3 2 = + − + − = − − = …..(1) La ecuación polinomial del denominador (1) forma una restricción, por ello el dominio es :Df = R - { 0, -1, 1 } Por lo tanto f(x) es discontinua en x =0, x = -1 y x = 1. 136 CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC Ejercicios propuestos Ejercicios propuestos Ejercicios propuestos Ejercicios propuestos I. Determina si las siguientes funciones son continuas en todos los números reales. a. ¦ ¹ ¦ ´ ¦ > + − = < − = 1 , 1 1 , 4 1 , 2 6 ) ( x x x x x x f Rp. No es continua b. ( ) ¦ ¹ ¦ ´ ¦ ≥ − < ≤ + − < − = 11 x , 6 11 x 5 , 5 x 5 x , 5 x ) x ( f 2 Rp. Sí es continua c. ¦ ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ¦ ´ ¦ ≥ < < + − ≤ − + = 2 x , 3 x 2 x 1 , 1 x x 3 8 1 x , x 2 3 x 2 ) x ( f Rp. Sí es continua II. Resuelve. 1. Halla los valores de c y k para que la función dada sea continua. ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ > − ≤ ≤ + < − − + = 5 x , cx 2 k 5 x 0 , c 2 kx 3 0 x , x x 4 4 x ) x ( f Rp. 14 3 k 4 1 c − = = 2. Halle los valores de m y n para que la función dada sea continua. ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ > − + ≤ ≤ + < + − − = 3 x , mx nx 2 13 3 x 1 , m 2 nx 1 x , 3 x 2 x 1 ) x ( f 2 3 Rp. 3 2 n 1 m − = = 3. Halle los valores de a y b para que la función dada sea continua. ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ − > + − − + − ≤ ≤ − − − < + − = 1 x , 1 x 6 x 5 x 2 x 1 x 5 , ax 4 b 5 x , 13 bx ax ) x ( f 2 3 2 Rp. 2 b 1 a − = − = MATEMÁTICA II 137 CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES 4. Halle R m∈ , de tal manera que: ¦ ¹ ¦ ´ ¦ = ≠ + − − = 1 1 3 2 1 3 x si m x si x x ) x ( f sea continua en 1 0 = x 5. Sea la función f(x) definida por: ¦ ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ¦ ´ ¦ > − ≤ ≤ − + − < + = 1 3 1 2 2 2 2 x si , n x x si , n mx x si , m x ) x ( f Halle el valor de m y n para que la función sea continua en los puntos -2 y 1. 6. Determine los valores de a y b, de modo que la función sea continua en todo su dominio. ¦ ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ¦ ´ ¦ ≤ ≤ − < < − ≤ < − − = 3 2 2 2 2 0 0 3 1 x si x b x si a x x si ) x ( f 7. Determinar los valores de “a” y “b” Escriba aquí la ecuación. ݂ ሺ ݔ ሻ ࢌሺ࢞ሻ ൌ ە ۖ ۔ ۖ ۓ ࢞ ࢞ െ ࢞ ࢙ ࢞ െ ࢇ࢞ െ࢈ ࢙ െ ൏ ݔ 4 ࢞ െૡ െ √࢞ െ ࢙ ࢞ 4 138 CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC Autoevaluación Autoevaluación Autoevaluación Autoevaluación 1.Calcule si existe, ) ( 1 x f x Lím → , Donde: ¹ ´ ¦ > + ≤ + = 1 , 1 1 , 3 ) ( 2 x si x x si x x f 2.Calcule si existe, ) ( 2 x f x Lím → , Donde: ¹ ´ ¦ > − ≤ = 2 , 2 8 2 , ) ( 2 x si x x si x x f 3. En los siguientes ejercicios trace la gráfica y halle el límite si existe. Si no existe, explique por qué no existe. ¦ ¹ ¦ ´ ¦ < − = − < = x Si x si x si x f a 1 , 3 1 , 1 1 , 2 ) ( ) ¦ ¹ ¦ ´ ¦ < − ≤ ≤ − − − < + = x Si x x si x x si x x f b 3 , 5 3 3 , 9 3 , 5 ) ( ) 2 ¹ ´ ¦ < − − − ≤ + = t si t t si t t f c 4 , 3 4 , 4 ) ( ) ¦ ¹ ¦ ´ ¦ ≤ < = t si t t si t t f d 0 , 0 , ) ( ) 3 4. ¹ ´ ¦ ≤ + < + = x si k x x si x x f Sea 4 , 5 4 , 2 3 ) ( . Halle el valor de K para que ) ( 4 x f x Lím → exista. 5. Calcule x x x x x Lím + − → + 2 0 6. Calcule 9 5 3 2 − + → − x x x Lím 7. Calcule ( ) 3 2 2 4 2 − − → + x x x Lím MATEMÁTICA II 139 CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES 8. ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ < − + − ≥ − − − = 5 ; 5 35 12 5 ; 4 1 5 ) ( 2 x x x x x x x x g Para ¿ existe ) x ( g Lim x 5 → ? 9. Halle los valores A y B para que la función f(x) sea continua en su dominio. ¦ ¹ ¦ ´ ¦ ≥ − < ≤ − + − < − − = 3 ; 3 3 1 ; 1 ; 4 3 ) ( 2 x si x x si B Ax x si x x x f 10. Calcule R b ∈ , de tal manera que: ¦ ¹ ¦ ´ ¦ = ≠ − − + = 0 0 1 1 ) ( x si b x si x x x x f sea continua en 0 0 = x 11. Halle R c ∈ , de tal manera que: ¦ ¹ ¦ ´ ¦ = ≠ − − + − = 1 1 1 2 2 ) ( 2 3 x si c x si x x x x x f sea continua en 1 0 = x 140 CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC Resumen Resumen Resumen Resumen • Una función f(x) tiene límite en x 0 ⇔ L ) x ( f Lim ) x ( f Lim x x x x = = + − → → 0 0 • Si , ) ( ) ( 0 0 x f Lim x f Lim x x x x + − → → ≠ se dice que = → ) x ( f Lim x x 0 no existe. +∞ = − −∞ = − +∞ = −∞ = = ∞ − − = ∞ − = ∞ − = ∞ ∈ − + + − + 0 0 0 0 0 0 0 0 : a a a a a a a a R a Sea La función f(x) es continua en el punto x 0 si cumple las tres siguientes condiciones: a. f(x 0 ) existe, es decir, es un número real. b. ) ( 0 x f Lim x x→ existe, es decir, sus límites laterales son iguales c. ) ( ) ( 0 0 x f Lim x f x x→ = BIBLIOGRAFIA: FIGUEROA, Ricardo Matemática Básica Edit Gráficas América S.R.L Lima 2004 LARSON, Ron Cálculo Editorial McGraw-Hill México 2006 LEITHOLD, Louis Cálculo con Geometría analítica Editorial Oxford México 2004 STEWART J. Cálculo de una variable trascen- dente temprana Thompson Edit México DF 2001 http://descartes.cnice.mec.es MATEMÁTICA II 141 CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES LA DERIVADA Logros de la Unidad de Aprendizaje Al término de la unidad, el alumno resuelve ejercicios y problemas de derivación de funciones algebraicas, elabora la ecuación de la recta tangente y de la recta normal de una función en un punto dado aplicando las propiedades de la derivación, el álgebra básica y las representaciones gráficas en el plano cartesiano. TEMARIO LA DERIVADA • Definición de la derivada como un límite • Derivada de funciones algebraicas • Derivada de una función en un punto dado ACTIVIDADES PROPUESTAS • Calcula la derivada como el límite de una función, siempre que esta exista. • Interpreta la definición de la derivada como una aproximación de la secante a una tangente. • Calcula derivadas de funciones algebraicas básicas en un punto dado. UNIDAD DE APRENDIZAJE 5 TEMA 10 142 CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES DERIVADA DE UNA FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL I. Conceptos y Aplicaciones El concepto de derivada es uno de los cálculo infinitesimal ambos están relacionados por el vez, los dos conceptos centrales del cálculo están basados en el concepto de Límite, el cual separa las Trigonometría o la Geometría Analítica concepto más importante del La derivada es un concepto que tiene variadas aplicaciones. Se aplica en aquellos casos donde es necesario cambio de una magnitud fundamental en los estudios de sociales como la Economía la gráfica de dos dimensiones de pendiente de la recta aproximar la pendiente de esta tangente entre los dos puntos que determinan una recta decir, se transforma la recta secante en una recta tangente. Con esta interpretación, pueden determinarse muchas propiedades geométricas de los gráficos de funciones, tales como Algunas funciones no tienen derivada en todos o en alguno de sus puntos. Por ejemplo, una función no tiene derivada en los puntos en que se tiene una tangente vertical, una Afortunadamente, gran cantidad de l aplicaciones son continuas y su gráfica es una susceptible de derivación. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL Conceptos y Aplicaciones El concepto de derivada es uno de los dos conceptos centrales del cálculo infinitesimal. El otro concepto es la «antiderivada» o ambos están relacionados por el Teorema Fundamental del vez, los dos conceptos centrales del cálculo están basados en el concepto , el cual separa las matemáticas previas, como el Geometría Analítica, del Cálculo. Quizá la derivada es el concepto más importante del Cálculo Infinitesimal. La derivada es un concepto que tiene variadas aplicaciones. Se aplica en aquellos casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el magnitud o situación. Es una herramienta de cálculo fundamental en los estudios de Física, Química y Biología, o en ciencias Economía y la Sociología. Por ejemplo, cuando se refiere a os dimensiones de , se considera la derivada como la pendiente de la recta tangente del gráfico en el punto aproximar la pendiente de esta tangente como el límite cuando la distancia entre los dos puntos que determinan una recta secante tiende a decir, se transforma la recta secante en una recta tangente. Con esta interpretación, pueden determinarse muchas propiedades geométricas de los gráficos de funciones, tales como concavidad o convexidad Algunas funciones no tienen derivada en todos o en alguno de sus puntos. Por ejemplo, una función no tiene derivada en los puntos en que se tiene vertical, una discontinuidad o un punto anguloso Afortunadamente, gran cantidad de las funciones que se consideran en las aplicaciones son continuas y su gráfica es una curva suave, por lo que es susceptible de derivación. CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC DERIVADA DE UNA FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL dos conceptos centrales del . El otro concepto es la «antiderivada» o integral; undamental del Cálculo. A su vez, los dos conceptos centrales del cálculo están basados en el concepto previas, como el Álgebra, la . Quizá la derivada es el La derivada es un concepto que tiene variadas aplicaciones. Se aplica en con que se produce el o situación. Es una herramienta de cálculo , o en ciencias . Por ejemplo, cuando se refiere a , se considera la derivada como la del gráfico en el punto . Se puede cuando la distancia tiende a cero, es decir, se transforma la recta secante en una recta tangente. Con esta interpretación, pueden determinarse muchas propiedades geométricas de convexidad. Algunas funciones no tienen derivada en todos o en alguno de sus puntos. Por ejemplo, una función no tiene derivada en los puntos en que se tiene punto anguloso. as funciones que se consideran en las , por lo que es MATEMÁTICA II 143 CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES II. Definición de la Derivada Sea y = F(x), x pertenece Dom(F ) Entonces F ’(x) representa la derivada de la función F(x) con respecto a “x”, y se define por: F’(x) = x x ∆ ∆ + → ∆ F(x) - x) F(x 0 lim o F’(x) = h h h F(x) - ) F(x 0 lim + → Siempre que el límite exista, 0 ≠ = ∆ h x h x = ∆ es el incremento o variación de la variable independiente de la función F(x) y como consecuencia la función también se incrementa en y x F ∆ = ∆ ) ( , su valor se calcula por: ) ( ) ( ) ( ) ( x F h x F x F x x F y F − + = − ∆ + = ∆ = ∆ La nueva funciónF ’(x)es conocido como función derivada o primera derivada de l lafunción F(x). Derivada de una función en un punto dado El valor de la derivada en un punto x 0 conocido, se calcula con la expresión: F’( 0 x ) = x x ∆ ∆ + → ∆ ) F(x - x) x F( 0 lim 0 0 o F’( 0 x ) = h h h ) F(x - ) F(x 0 lim 0 0 + → Siempre que el límite exista. La tasa x y ∆ ∆ es conocida como razón de cambio promedio y ) ( 0 x f x y x Lím ′ = ∆ ∆ → ∆ es una razón de cambio instantánea. Otras notaciones de la primera derivada de la función y= f (x) o y y D dx df dx dy y x f x = = = = ′ = ′ ) ( 144 CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC Ejemplos de Aplicación: 1. Calcule la derivada de x x x f 2 8 ) ( 2 + = Por definición de derivada: h x f h x f Lim x f ó x x f x x f Lim x f h x ) ( ) ( ) ( ' ) ( ) ( ) ´( 0 0 − + = ∆ − ∆ + = → → ∆ …..( 2 ) Calculando ) ( x x f ∆ + , reemplazando x por ( ) x x ∆ + en la función f. [ ] ) ( 2 2 ) ( 8 . 16 8 ) ( 2 2 ) ( . 2 8 ) ( 2 ) ( 8 ) ( 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x f ∆ + + ∆ + ∆ + = ∆ + + ∆ + ∆ + = ∆ + + ∆ + = ∆ + Calculando: ) 2 8 ( ) ( 2 2 ) ( 8 . 16 8 ) ( ) ( 2 2 2 x x x x x x x x x f x x f + − ∆ + + ∆ + ∆ + = − ∆ + Simplificando: ) ( 2 ) ( 8 . 16 ) ( ) ( 2 x x x x x f x x f ∆ + ∆ + ∆ = − ∆ + Reemplazando en (2) y factorizando: 0 ) ´( → ∆ = x Lim x f x x x x ∆ + ∆ + ∆ ) 2 ) ( 8 16 ( Cancelando 0 ) ´( → ∆ = x Lim x f 2 0 8 16 2 8 16 + + = + ∆ + ) ( ) ) ( ( x x x 2 16 ) ´( + = x x f . Esta función es conocida como la función derivada. 2. Halle la derivada de 1 2 ) ( + = x x f , utilizando la definición de la derivada. Solución: Por definición ) 1 .( .......... .......... ) ( ) ( ) ´( 0 x x f x x f Lim x f x ∆ − ∆ + = → ∆ : x ∆ MATEMÁTICA II 145 CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES x x x x Lim x f x ∆ + − + ∆ + = → ∆ 1 2 1 2 2 ) ´( 0 Racionalizando el numerador para obtener un factor común x ∆ en el numerador y denominador: ) 1 2 1 2 2 ( 1 2 1 2 2 )( 1 2 1 2 2 ( ) ´( 0 + + + ∆ + ∆ + + + ∆ + + − + ∆ + = → ∆ x x x x x x x x x x Lim x f x ) ( ) ( ) ´( 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 0 + + + ∆ + ∆ + − + ∆ + = → ∆ x x x x x x x Lim x f x ) ( ) ´( 1 2 1 2 2 2 0 + + + ∆ + ∆ ∆ = → ∆ x x x x x Lim x f x , Cancelando x ∆ : 1 2 1 1 2 1 2 2 ) ´( + = + + + = x x x x f 3. Usando definición de la derivada, Calcule f ’(x) y f ’(5) si f(x) = (x 2 -5x) 2 Solución: Por definición h x f h x f Lim x f h ) ( ) ( ) ( ' − + = →0 2 2 2 2 )) ( 5 ) (( ) ( , ) 5 ( ) ( h x h x h x f x x x f + − + = + − = , remplazando en la fórmula estos datos. h x x h x h x Lim x f h 2 2 2 2 0 ) 5 ( )) ( 5 ) (( ) ( ' − − + − + = → [ ][ ] h x x h x h x x x h x h x Lim f h ) 5 ( ) ( 5 ) ( ) 5 ( ) ( 5 ) ( ' 2 2 2 2 0 − − + − + − + + − + = → [ ][ ] h h h xh x x h x h x Lim f h ) ( 5 2 ) 5 ( ) ( 5 ) ( ' 2 2 2 0 − + − + + − + = → [ ][ ] 5 2 ) 5 ( ) ( 5 ) ( ' 2 2 0 − + − + + − + = → h x x x h x h x Lim f h ) 5 2 )( 5 ( 2 ) ( ' 2 − − = x x x x f ; f ’(5) = 0. 1 2 1 2 2 2 ) ´( 0 + + + ∆ + = → ∆ x x x Lim x f x 146 CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES III. DERIVADA DE FUNCIONES 1. Derivada de una Constante 2. Derivada de “x” 3. Derivada de una función lineal 4. Derivada de una potencia 5. Derivada de una raíz 6. Derivada de una raíz cuadrada 7. Derivada de una Adición o Diferencia 8. Derivada de una Constante 9. Derivada de un Producto 10. Derivada de una constante entre una función DERIVADA DE FUNCIONES ALGEBRAICAS: Reglas Prácticas Derivada de una Constante Derivada de “x” Derivada de una función lineal Derivada de una potencia Derivada de una raíz Derivada de una raíz cuadrada Derivada de una Adición o Diferencia Derivada de una Constante por una Función Derivada de un Producto Derivada de una constante entre una función CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC : Reglas Prácticas MATEMÁTICA II CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC 11. Derivada de un cociente 12. Regla de la Cadena IV. Ejemplos: 1. Halle y’ si 2 3x y = == = ( Solución: 1 ( 4 10 ) 2 3 ( ´ 4 2 x y + + = 2. Halle y’ si 4 ) ( x f = == = Solución: 4 3 ( 4 3 ) ´( x x f ¸ − = 3 ) 1 ( 5 x x x + − + 3. Halle ) ´( x f si = == = y Solución: ) ´( ´ dx d x f y = = ) ( 3 ) ´( 3 + − = x dx d x f ) )( 3 ( 3 ) ´( 2 + − = x x f CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES Derivada de un cociente Regla de la Cadena 4 2 5 1 2 x + ++ + + ++ + ) ) 6 ( 5 1 ) 5 10 4 2 3 2 x x x x + + + 5 3 3 3 1 ) .( ) ( x x x x x + ++ + − −− − − −− − 5 3 2 ) 1 ( ) 2 1 3 .( ) x x x x x x + − ( ( ¸ ( − 3 4 3 3 2 4 ) ( 2 1 1 2 3 x x x x x x x − ( ¸ ( ¸ + + − 8 3 3 + ++ + + ++ + − −− − = == = = == = x x x f ) ( ) 8 ( ) ( ) 3 ( 3 dx d x dx d x + + − 0 ) ( + + x dx d 0 ) ( 1 0 + + x 1 9 ) ´( 2 + − = x x f 147 CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES 148 CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC 4. Halle ) ´(x f si 3 3 1 ) ( 3 + − = = x x x f y Solución: ) 3 ( ) ( ) 3 1 ( ) ´( ´ 3 dx d x dx d x dx d x f y + − = = 0 ) ( ) ( 3 1 ) ´( 3 + − = x dx d x dx d x f 0 ) ( 1 ) )( 3 ( 3 1 ) ´( 0 2 + − = x x x f 1 ) ´( 2 − = x x f 5. Halle la derivada de: ( ) 3 3 3 2 ) ( x x x f − = Solución: ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) 3 6 3 2 3 ) ( 3 2 3 2 3 ) ( 3 2 ) ( 2 2 3 3 2 3 3 3 − − = ′ ′ − − = ′ ′ − = ′ x x x x f x x x x x f x x x f 6. Si y = dt dy Calcule t t t u u v v . , , 1 3 2 3 2 3 + ++ + − −− − + ++ + = == = = == = Solución: Utilizando regla práctica para el cálculo de dt dy 3 2 2 3 ) 1 3 ( + − + = t t t y entonces y′ 3 ) 1 6 3 ( ) 1 3 ( 2 2 3 1 2 3 − + + − + = − t t t t t 7. Si 5 6 7 ) 1 2 ( 40 1 ) 1 2 ( 24 1 ) 1 2 ( 56 3 ) ( − − − − − = x x x x f , Calcula: dx dy Solución: y X δ + 0 X 0 X ε + L L ) ( x f x } ) ( x f { { 0 L Í M I T E L A T E R A L P O R L A D E R E C H A δ { δ } δ − 0 X ε − L ε ε MATEMÁTICA II 149 CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES Ejercicios propuestos Ejercicios propuestos Ejercicios propuestos Ejercicios propuestos I. Utilizando la definición de la derivada halle y ’ en las siguientes funciones: a) 1 ) ( 2 + − = x x x f b) x x f 3 2 ) ( − = II.Halle la derivada de f y evalúe f’(2), en las siguientes funciones: a) 1 1 2 − = x ) x ( f b) 5 ) ( 2 + = x x f c) 5 1 4 4 1 2 ) ( 2 4 3 + + − = x x x x f d) 3 3 2 4 2 1 ) ( x x x f − + = e) 2 2 5 ) 1 4 ( 3 ) ( + − + = x x x x f 150 CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC Ejercicios propuestos Ejercicios propuestos Ejercicios propuestos Ejercicios propuestos I.Determine la primera derivada para las siguientes funciones: 10 5 50 2 4 50 2 4 10 5 30 2 8 50 2 4 ) 1 ( ) 5 3 ( ) ) 5 3 ( ) 1 ( ) ) 1 3 8 ( 4 ) ) 5 3 ( ) + + − + − = − + − + + = − − + = − + − = − x x x x x y d x x x x x y c x x x y b x x x y a II. Calcule las derivadas de las siguientes funciones en el punto x=1: a) 1 , 0 1 2 2 2 ) ( x x x x f + + − = − b) 8 2 3 3 ) ( 3 + + − = x x x x f c) 7 , 0 3 6 1 1 4 3 ) ( − − − − + + = x x x x x f d) ) 2 )( 1 3 ( ) ( 3 2 x x x f + − + = e) ) 1 )( 1 ( ) ( 1 2 2 + + + + = − − x x x x x f f) 1 3 ) ( 2 + = x x x f g) 1 2 ) ( 2 3 + + = − x x x x f h) x x x x f 1 ) ( 2 − + = MATEMÁTICA II 151 CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES Autoevaluación Autoevaluación Autoevaluación Autoevaluación I.Utilizando la definición de la derivada halle y ’ en las siguientes funciones: a) 3 x ) x ( f = b) 2 1 x ) x ( f = c) 1 1 2 − = x ) x ( f d) 5 2 + = x ) x ( f e) ) 1 ( , 5 1 4 4 1 ) ( ' 2 4 3 f halle además x x x x f + + − = III. Encuentre el valor de verdad o falsedad en las siguientes proposiciones: a) La gráfica de la función derivada de y=0.5 2 x , es la función identidad. b) 2 , 2 4 2 2 = − − → x en derivada una es x x x Lim . c) La derivada de f(x) = x 5 , existe en x= 0. d) El h h h Lim 3 3 ) 5 ( 2 ) 5 ( 2 0 − + → , es una derivada de f(x)= 2 3 x en x= 5. e) 28 3 30 3 3 = − − + → t t t t Lim RESPUESTAS: VVFVV 152 CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC Resumen Resumen Resumen Resumen Reglas de derivación de funciones algebraicas Sean A, B y E funciones derivables y c una constante 1. D x c = 0 2. D x x m = m x m-1 3. ) ( ( x A D x ± B(x)) = ) ( ( x A D x )± )) ( ( x B D x = A’(x)± ( B’(x) 4. D x(A(x).B(x)) = A(x)B’(x) + B(x)A’(x) 5. 0 ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 ' ' ≠ − = x B x B x B x A x A x B x B x A D x 6. Si y = A(v), v = B(u), u = E(x) ;se pide dx dy y → v → u → x dx du du dv dv dy dx dy . . = , se conoce como la regla de derivación en cadena. 7. D x x = x 2 1 8. D x ) ( ) ( ' ) ( x A x A x A 2 = 9. D x 2 1 )) ( ( ) ( ' ) ( x A x A x A − = 10. D x 2 1 1 x x − = MATEMÁTICA II 153 CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES 1. h x f h x f h Lim x f ) ( ) ( 0 ) ( / − + → = 2. a x a f x f a x Lim a f − − → = ) ( ) ( ) ( / 3.La derivada en un punto existe si y solo si las derivadas laterales son iguales. BIBLIOGRAFIA: FIGUEROA, Ricardo Matemática Básica Edit Gráficas América S.R.L Lima 2004 LARSON, Ron Cálculo Editorial McGraw-Hill México 2006 LEITHOLD, Louis Cálculo con Geometría analítica Editorial Oxford México 2004 STEWART J. Cálculo de una variable trascen- dente temprana Thompson Edit México DF 2001 http://descartes.cnice.mec.es 154 CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE Y NORMAL Logros de la Unidad de Aprendizaje Al término de la unidad, el alumno resuelve ejercicios y problemas de derivación de funciones algebraicas, elabora la ecuación de la recta tangente y de la recta normal de una función en un punto dado aplicando las propiedades de la derivación, el álgebra básica y las representaciones gráficas en el plano cartesiano. TEMARIO ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE Y NORMAL • Interpretación geométrica de la derivada • Ecuación de la recta tangente y de la recta normal • Aplicaciones de la recta tangente y de la recta normal en un punto de la curva ACTIVIDADES PROPUESTAS • Halla las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal en un punto de la curva UNIDAD DE APRENDIZAJE 5 TEMA 11 MATEMÁTICA II CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA I. APLICACIONES DE LA DERIVADA La derivada de la función en el punto marcado equivale a la recta tangente (la gráfica de la función está dibujada en negro; la tangente a la curva está dibujada en rojo). En matemáticas, la derivada con la que cambia el valor de dicha función según cambie el valor de su variable independiente decir, se calcula como el en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se toma cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función Un ejemplo habitual aparece al estudiar el representa la posición velocidad de dicho objeto. Un avión que realice un vuelo transatlántic 4500 km en entre las 12:00 y las 18:00, viaja a una km/h. Sin embargo, puede estar viajando a velocidades mayores o menores en distintos tramos de l recorre 400 km, su velocidad media en ese tramo es de 800 km/h. Para conocer su velocidad instantánea calcular la velocidad media en intervalos de tiempo cada vez menores alrededor de esta hora: entre las 15:15 y las 15:25, entre las 15:19 y las 15:21, etc. El valor de la derivada de una función en un punto puede interp geométricamente, ya que se corresponde con a la gráfica de la función en dicho punto. La recta tangente es a su vez la gráfica de la mejor a punto. La noción de derivada puede generalizarse para el caso de funciones de más de una variable con la CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA DE LA DERIVADA La derivada de la función en el punto marcado equivale a la pendiente de la (la gráfica de la función está dibujada en negro; la tangente a la curva está dibujada en rojo). derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se toma cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado. Un ejemplo habitual aparece al estudiar el movimiento: si una función posición de un objeto con respecto al tiempo, su derivada es la de dicho objeto. Un avión que realice un vuelo transatlántic 4500 km en entre las 12:00 y las 18:00, viaja a una velocidad media km/h. Sin embargo, puede estar viajando a velocidades mayores o menores en distintos tramos de la ruta. En particular, si entre las 15:00 y las 15:30 recorre 400 km, su velocidad media en ese tramo es de 800 km/h. Para velocidad instantánea a las 15:20, por ejemplo, es necesario calcular la velocidad media en intervalos de tiempo cada vez menores alrededor de esta hora: entre las 15:15 y las 15:25, entre las 15:19 y las El valor de la derivada de una función en un punto puede interp geométricamente, ya que se corresponde con pendiente de la de la función en dicho punto. La recta tangente es a su vez la aproximación lineal de la función alrededor de dicho punto. La noción de derivada puede generalizarse para el caso de funciones de más de una variable con la derivada parcial y el diferencial. 155 CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA pendiente de la (la gráfica de la función está dibujada en negro; la tangente a es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función según cambie el valor de su . La derivada de una función es un concepto local, es apidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se toma cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de : si una función , su derivada es la de dicho objeto. Un avión que realice un vuelo transatlántico de velocidad media de 750 km/h. Sin embargo, puede estar viajando a velocidades mayores o menores a ruta. En particular, si entre las 15:00 y las 15:30 recorre 400 km, su velocidad media en ese tramo es de 800 km/h. Para as 15:20, por ejemplo, es necesario calcular la velocidad media en intervalos de tiempo cada vez menores alrededor de esta hora: entre las 15:15 y las 15:25, entre las 15:19 y las El valor de la derivada de una función en un punto puede interpretase de la recta tangente de la función en dicho punto. La recta tangente es a su vez la de la función alrededor de dicho punto. La noción de derivada puede generalizarse para el caso de funciones . 156 CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC II. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA En la figura podemos apreciar: 1° La pendiente de la RECTA SECANTE L 1 que pasa por los puntos P 0 (x 0 ,f(x 0 )) y P(x,f(x)) , es : 0 0 0 , ) ( ) ( x x x x x f x f Tg ≠ − − = α 2° La pendiente de la RECTA TANGENTE L es : θ Tg 3° Supongamos que el punto P 0 (x 0 ,f(x 0 )) pertenece a la curva f y es fijo. P(x,f(x)) es un punto de la curva que se mueve acercándose al punto P 0 (x 0 ,f(x 0 )). A medida que P(x,f(x)) se acerca a P 0 (x 0 ,f(x 0 )) resultará que la variable x se acerca a x 0 cada vez más, de modo que el incremento 0 x x x − = ∆ tiende a cero , pero nunca será cero. Este incremento es infinitésimo y se denota : Si 0 ) ( 0 0 → − = ∆ → x x x entonces x x Desde el momento en que el acercamiento (aproximación) es INFINITÉSIMO, entonces se hace uso del concepto de LÍMITE. 4° Así, llegamos a la siguiente conclusión: Cuando el punto P(x,f(x)) tiende a acercarse a P 0 (x 0 ,f(x 0 )) , entonces la RECTA SECANTE L 1 tiende a TRANSFORMARSE EN RECTA TANGENTE L. MATEMÁTICA II 157 CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES Además, la Pendiente de la recta secante L 1 = 0 0 0 x x , x x ) x ( f ) x ( f Tg ≠ − − = α , tiende a convertirse en : Pendiente de la recta tangente L = 0 , 0 ) 0 ( ) ( 0 lim x x x x x f x f x x Tg ≠ − − → = θ Además: 0 , ) ( ) ( lim ) ´( , ) ( ) ( lim ) ´( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ≠ − + = ≠ − − = → → h h x f h x f x f x x x x x f x f x f h x x Donde h = ∆xy la pendiente de la tangente es ) ( ' 0 x f m t = entonces: Ejemplo: Halle la pendiente de la recta tangente en el punto de abscisa 3 de la curva y= f(x) = 3x 3 +2x+1 Solución: Paso 1:Como la pendiente de la recta tangente es la derivada de la curva f, entonces derivamos f: 2 2 9 + ++ + = == = ′ ′′ ′ = == = ′ ′′ ′ x x f y ) ( Paso 2:Reemplazamos el valor de x = 3 en la derivada de la función: 83 2 2 3 9 3 = == = + ++ + = == = ′ ′′ ′ = == = ′ ′′ ′ ) ( ) ( f y x ) f(x x) f(x lim m 0 0 0 x t ∆ − ∆ + = → ∆ 158 CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES III. APLICACIONES GEOMÉTRICAS DE LA DERIVADA Ecuaciones de las rectas Tangente y normal - Sea la curva C cuya ecuación es F(x,y)=0 Sea la recta L T que es tangente a la curva C en el punto La ecuación de la recta Donde m = Pero la pendiente “m” la DERIVADA DE y CON RESPECTO A x EN EL PUNTO Es decir: m Entonces la ecuación de la recta tangente es: : L t APLICACIONES GEOMÉTRICAS DE LA DERIVADA Ecuaciones de las rectas Tangente y normal Sea la curva C cuya ecuación es F(x,y)=0 que es tangente a la curva C en el punto (x 0 ,y La ecuación de la recta L t es: y - y 0 = m (x - x 0 ). θ Tg = pendiente de la Recta Tangente la pendiente “m”, desde el punto de vista del cálculo diferencial, es DERIVADA DE y CON RESPECTO A x EN EL PUNTO (x 0 ,y 0 ). ) , ( 0 0 y x dx dy ( ¸ ( = Entonces la ecuación de la recta tangente es: ) )( ( 0 0 0 x x x f y y − −− − ′ ′′ ′ = == = − −− − CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC Ecuaciones de las rectas Tangente y normal ,y 0 ). lculo diferencial, es Entonces la ecuación de la recta tangente es: MATEMÁTICA II 159 CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES Si ) ( 0 x f ′ ′′ ′ ∞ ∞∞ ∞ = == = + ++ + − −− − , entonces ecuación de L t: x-x 0 =0 Si ∞ ∞∞ ∞ = == = ( (( ( ¸ ¸¸ ¸ ( (( ( + ++ + − −− − ) , ( 0 0 y x dx dy , entonces L t: x-x 0 =0 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. Como la recta normal es perpendicular a la recta secante en el punto de tangencia (x 0 ,y 0 ), entonces la ecuación de la recta normal es ) ( 1 : 0 0 x x dx dy y y L N − − = − Es decir, o x f si ≠ ≠≠ ≠ ′ ′′ ′ ) ( 0 . La Ecuación de la Recta Normal ) ( ) ( : 0 0 0 1 x x x f y y L N − −− − ′ ′′ ′ − −− − = == = − −− − Si ) ( 0 x f ′ ′′ ′ =0 entonces 0 0 = == = − −− − x x L N : 1. Una función es derivable en un punto, si se puede hallar una única recta tangente en dicho punto. 2. Si f es continua en x 0 , y ) ( ) ( 0 0 − + ′ = ′ x f x f entonces, se dice que la función esderivable o diferenciable enx 0 . 3. ) ( 0 + ′ x f es la derivada de f al acercarse a x 0 por la derecha y ) ( 0 − ′ x f es laderivada de f al acercarsea x 0 por la izquierda. 160 CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC EJEMPLOS: 1. Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 1 ) ( 2 + + = x x x f en el punto cuya abscisa es 2. Solución: Por definición; la ecuación de la recta tangente. ) 1 ......( .......... )......... ).( ´( ) ( 0 0 x x x f x f y − = − Por dato x 0 =2 …………………………..(2) ) 2 ( 5 7 ) 1 ( ) 2 ( ), 3 ( ), 4 ( Re ) 4 ....( 5 1 ) 2 ( 2 ) 2 ( ) ´( 1 2 ) ´( ) ´( ) 3 ........( .......... .......... .......... .......... 7 ) ( 1 2 2 ) 2 ( ) ( ' 0 0 0 2 0 − = − = + = = ⇒ + = = ∴ + + = = ⇒ x y en emplazando f x f x x f x f de Cálculo x f f x f 1. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva definida por f(x) =x 3 +1 en el punto cuya ordenada es 2. Solución: Por definición; la ecuación de la recta tangente. ) 1 ......( .......... )......... ).( ´( ) ( 0 0 x x x f x f y − = − Por dato 1 2 ) ( 3 0 + = = x x f …………....(2) ) 3 ....( .......... .......... .......... 1 1 0 3 = ∴ = ⇒ x x Cálculo de f´(x 0 ): ) 4 .....( .......... .......... .......... 3 ) 1 ( 3 ´ ) 1 ( 3 ) ´( 2 2 0 = = = f f x x f Reemplazando (4) , (3), (2) en (1) ) 1 ( 3 2 − = − x y MATEMÁTICA II 161 CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES 2 y=4x-x 2 1 (a,b) (2,5) y x 3. Calcule la ecuación de la recta tangente a la curva 8 3 ) ( 2 − = x x f que pasa por el punto (2,-44) Solución: 1.- Verificamos si el punto (2,-44) está en la curva 8 3 ) ( 2 − = x x f El punto (2,-44) 4 44 8 ) 2 ( 3 44 44 2 2 ≠ − ⇒ − = − ⇒ − = ∧ = ⇒ y x ∴Como no se cumple la igualdad, el punto no está en la curva. 2.- Se sabe que la recta tangente: ) )( ´( 0 0 0 x x x f y y L t − = − = …………(1) El punto de tangencia es ) , ( 0 0 y x 0 0 6 ) ´( 6 ) ´( x x f x x f = ⇒ = Reemplazando en (1) ) ( 6 ) 8 3 ( 0 0 2 0 x x x x y L t − = − − = Pero t L pasa por el punto de tangencia (2,-44), entonces éste verifica la ecuación de L t : 0 ) 2 )( 6 ( 0 12 4 6 12 8 3 44 ) 2 ( 6 ) 8 3 ( 44 0 0 0 2 0 2 0 0 2 0 0 0 2 0 = + − ⇒ = − − ↔ − = + − − ⇒ − = − − − x x x x x x x x x x 4 100 2 6 0 0 0 0 = ∨ = − = ∨ = y y x x Hay dos respuestas: 0 20 12 24 12 4 2 2 6 4 0 116 36 216 36 100 6 6 6 100 2 1 = + + ⇒ − − = − + − = − = = − − ⇒ − = − − = − = y x x y ) x )( ( y L y x x y ) x )( ( y L 4. Hay dos tangentes a la curva y = 4x-x 2 que pasan por el punto (2,5). Encuentre la ecuación general de ambas tangentes. Solución: 162 CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC Como (a,b) pertenece a la función, entonces se tiene b= 4a - a 2 ………………………….(1) mL t = f’(a), f’(x) = 4 - 2x , mL t = a b − − 2 5 f’(a) = 4 – 2a → b a a a b a − = + − ⇒ − − = − 5 2 4 8 2 5 2 4 2 2a 2 – 8a + 3 + b = 0 ……………….(2) remplazando (1) en (2) 2a 2 – 8a + 3 + 4a – a 2 = 0 ⇒ a 2 -4a -3 = 0 ⇒ (a - 3) (a - 1) = 0 a = 1 ó a = 3 Entonces, los puntos de tangencia son: P 1 (1,3), P 2 (3,3) b = 3 b = 3 Hallando la ecuación de la recta tangente en el punto P 1 (1,3) x 0 = 3 , y 0 = 3 , f ’ (3) = -2 x 0 = 1 , y 0 = 3 , f ’ (1) = 2 y – y 0 = f ’ (x 0 )(x – x 0 ) ⇒ y – 3 = 2 (x - 1) ⇒ Lt 1 : 2x – y + 1 = 0 Hallando la ecuación de la recta tangente en el punto P 2 (3,3) y – y 0 = f ’ (x 0 )(x – x 0 ), ( y – 3) = -2 (x - 3) , Lt 2 : 2x + y - 9 = 0 MATEMÁTICA II 163 CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES Ejercicios propuestos Ejercicios propuestos Ejercicios propuestos Ejercicios propuestos I. PRIMERA PARTE: EJERCICIOS 1. Halle la función derivada para las siguientes funciones : 5 3 2 3 15 4 ) 6 5 1 7 ) 4 ( ) 6 5 1 7 ) 2 3 5 4 ) 4 3 3 5 3 5 3 4 10 2 9 10 2 3 5 3 4 10 2 9 3 3 5 2 5 + − − + + − = + − + + + − = + − + + = − + − − = x x x x x x y d x x x x x x y c x x x x y b x x x x y a 2. Aplicando la derivada, halle la pendiente de la recta tangente a cada una de las siguientes curvas en el punto cuya abscisa se indica. a) 1 2 0 2 2 = − = x siendo x y b) 2 1 4 0 = − = x siendo x y c) 1 3 0 2 3 = − = x siendo x x y 3.Calcule las ecuaciones de la tangente y de la normal, a las curvas siguientes, en el punto dado. a) ) 2 , 2 ( ; 3 3 x x y − = b) ) 5 , 2 ( 3 1 2 x x y − + = 164 CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC 4. Sea G(x) = 4 3 6 4 2 + + + x x x , halle el valor de “m”, para que se cumpla que G ’(x) = 3 2 4 3 ) x x ( m + + 5.Determine todos los puntos sobre la curva G(x) = x 4 – 4x 3 – 12x 2 + 32x –16, tales que la recta tangente en dichos puntos, sea horizontal. 6.Si f(x) = 2 1 1 | ¹ | \ | − + x x , calcule el valor de k en la ecuación 2 1 2 0 2 0 2 3 − − = + | ¹ | \ | − ) ( f . k ) ( ' f k ) ( f ) ( ' f k 7.Determine la ecuación de la recta ortogonal a la gráfica g en el punto cuya abscisa es 0, si g(x) = (x 3 – 3x + 2) MATEMÁTICA II 165 CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES Problemas complementarios : 1. Halla la ecuación de la recta tangente y la recta normal a la curva : ݂ሺݔሻ ൌ 2 െ√ݔ 9 √ݔ En el punto de tangencia correspondiente a x=1. 2. Halla la ecuación de la recta tangente y la recta normal a la curva : ݂ሺݔሻ ൌ 8 √7ݔ 2 En el punto de tangencia correspondiente a x=2. 3. Halla la ecuación de la recta tangente y la recta normal a la curva : ݕ ൌ 2ݔ 3 √3ݔ 5 య En el punto de tangencia P(-2,k) 4. Halla la ecuación de la recta tangente y la recta normal a la curva : ݕ ൌ ቆ 9 െ2ݔ ଶ 3ݔ െ5 ቇ ଷ En el punto de abscisa 2. 5. Halla la ecuación de la recta tangente y la recta normal a la curva : ݂ሺݔሻ ൌ ሺ݁ ଶ௫ିଷ ሻ ൬ݔ ଶ െ 1 4 ൰ En el punto de abscisa 3/2. 166 CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC Autoevaluación Autoevaluación Autoevaluación Autoevaluación 1. Determina la ecuación de la recta tangente a la parábola con ecuación 2 x y = , y que es paralela a la recta con ecuación x 4 y = . Rp. 4 x 4 y − = 2. Encuentra la ecuación de la recta normal a la curva de ecuación 1 x y 3 + = , que es paralela a la recta de ecuación: 0 6 y 12 x = − + .Rp. 0 86 y 12 x = + + 3. Halla la ecuación de la recta tangente a la parábola 5 x 3 x y 2 + − = en el punto de abscisa 3 x = . Rp. 0 4 y x 3 = − − 4. Usa las reglas de derivación para calcular la derivada de las siguientes funciones: a. 3 5 x 2 x 1 ) x ( f | ¹ | \ | + − = Rp. ( ) ( ) 4 2 5 x 2 x 1 21 + − − b. 4 2 3 1 t 4 t t ) t ( g + + ⋅ = Rp. ( ) 4 3 2 3 2 2 1 t 4 t t 6 2 t 14 t 5 + + + + 5. Calcula ) x ( ' g , si 4 2 5 x 3 x 2 ln ) x ( g − + = Rp. g'(x) = 10 x 2 x 6 x 4 1 2 − − + 6. Si 2 2 1 x 1 x ) x ( f | | ¹ | \ | − + = , determina el valor de k en: ) 0 ( ' f 4 k 5 ) 1 ( f 3 ⋅ = + − ⋅ Rp. 1 k = 7. Halle la ecuación de la tangente y de la normal, a las curvas dadas, en los puntos indicados. a) y = x 2 + 2x + 2 ; x = 2 b) y = 4x 3 – 13x 2 + 4x –3 ; x = -1 8. Halle la derivada y’ de las funciones siguientes: a) y = x x 3 3 2 − en x = 2 b) y = ( ) 4 2 2 1 2 + − + x x x , en x = 3 c) y = (4x 3 – 3x + 1) 4 . (2 – x 2 – x 3 ) 2 ; en x = 0 d) y = ( ) ( ) ( ) 4 3 2 2 3 3 4 6 5 3 4 x x x − − − ; en x = 1 MATEMÁTICA II 167 CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES RESUMEN 1. La ecuación de la recta tangente es: ) )( ( : 0 0 0 x x x f y y L t − ′ = − (x 0, y 0 ) es el punto de tangencia. 2. La ecuación de la recta normal es: BIBLIOGRAFIA: FIGUEROA, Ricardo Matemática Básica Edit Gráficas América S.R.L Lima 2004 LARSON, Ron Cálculo Editorial McGraw-Hill México 2006 LEITHOLD, Louis Cálculo con Geometría analítica Editorial Oxford México 2004 STEWART J. Cálculo de una variable trascen- dente temprana Thompson Edit México DF 2001 http://descartes.cnice.mec.es o x f si x x x f y y L N ≠ ′ − ′ − = − ) ( , ) ( ) ( 1 : 0 0 0 0 168 CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC DERIVADA DE FUNCIONES ESPECIALES Logros de la Unidad de Aprendizaje Al término de la unidad, el alumno resuelve ejercicios y problemas de derivación de funciones algebraicas, elabora la ecuación de la recta tangente y de la recta normal de una función en un punto dado aplicando las propiedades de la derivación, el álgebra básica y las representaciones gráficas en el plano cartesiano. DERIVADA DE FUNCIONES ESPECIALES TEMARIO • Derivadas de orden superior • Derivadas de funciones logarítmicas • Derivadas de funciones exponenciales ACTIVIDADES PROPUESTAS • Calcula la derivada de funciones logarítmicas, exponenciales y de orden superior. UNIDAD DE APRENDIZAJE 5 TEMA 12 MATEMÁTICA II 169 CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES LA DERIVADA Y SUS APLICACIONES I. DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR Notaciones para las derivadas de orden superior ) ( : ...... : ) ( : ) ( : ) ( x f x f x f x f n ′ ′ ′ ′ ′ ′ y D y D y D y D N X X X X ;....... ; ; 3 2 n n dx y d dx y d dx y d dx dy .... ;......... ; ; 3 3 2 2 Dada la función f, su derivada, si existe, es otra función ) ( x f ′ . Esta segunda función se puede derivar y se obtiene ) (x f ′ ′ , la cual recibe el nombre de segunda derivada; en forma análoga, la tercera derivada será ) (x f ′ ′ ′ , y así sucesivamente. 1. Ejemplo:Calculey lV en 2 5 2 3 2 5 6 − −− − + ++ + + ++ + − −− − = == = x x x x y Solución: x x y x x y x x y x x x y x x x x y iv 120 1080 60 360 ' ' ' 4 20 90 ' ' 5 4 5 18 ' 2 5 2 3 2 2 3 3 4 4 5 2 5 6 − = − = + − = + + − = − + + − = 170 CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC 2. Ejemplo:Calculey’’’ en 5 2 + ++ + = == = x y Solución: 5 ´ 2 + = x x y 5 5 5 5 5 2 2 5 1 2 2 2 2 2 + ++ + + ++ + = == = + ++ + + ++ + − −− − + ++ + = == = x x x x x x x y ) ( . ) ( ´´ ) ( ) ( ) ( ) ( ´´ 5 5 2 5 5 2 2 5 5 0 2 2 2 2 2 2 + ++ + + ++ + ( (( ( ( (( ( ¸ ¸¸ ¸ ( (( ( ¸ ¸¸ ¸ + ++ + + ++ + + ++ + + ++ + − −− − = == = ′ ′′ ′ x x x x x x x y Simplificando: 5 5 15 2 2 2 + ++ + + ++ + − −− − = == = x x x y ) ( ´´´ Ejercicios propuestos Ejercicios propuestos Ejercicios propuestos Ejercicios propuestos I.Calculey lII de las siguientes funciones: 1. 3 2 2 2 1 − + = x x y 2. x x x y − − − = 1 4 2 3. 2 2 3 + − + = x x x y II. Halle la derivada enésima de 1. y = x 20 -2x 40 +1 2. x x y 1 12 + = MATEMÁTICA II CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC II. DERIVADA DE FUNCIÓN EXPONENCIAL La función exponencial está definida por Casos particulares: x x f y a e x f y e a x f y a x f y a \ | = = ⇒ = = = ⇒ = = = ⇒ = = = ⇒ = ) ( 2 1 ) ( 2 ) ( 2 10 ) ( 10 REGLA PRÁCTICA DE DERIVACIÓN + Derivada de la función exponencial + Derivada de la función exponencial de base “e” Ejemplos: 1. Calcule y’ 6 2 x y = . Solución: 2 ln ' 6 6 2 ' | ¹ | \ | = x x y 6 2 ln 5 6 6 2 ' x x x y = | ¹ | \ | = ⇒ CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES DERIVADA DE FUNCIÓN EXPONENCIAL La función exponencial está definida por y=f(x)=a x ,a>0, R x a ∈ ≠ , 1 x x x x | ¹ | \ | 2 1 2 10 ,e es la constante neperiana. REGLA PRÁCTICA DE DERIVACIÓN la función exponencial la función exponencial de base “e” 2 ln 6 2 . 5 x x 171 CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES R . la función exponencial de base “e” 172 CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC 2. Ejemplo: Calcule y’Si ax ax ax ax e e e e y − − + − = Solución: 2 ) ( )) ( ) ( )( ( ) ))( ( ) ( ( ax ax ax ax ax ax ax ax ax ax e e a e a e e e e e a e a e dx dy − − − − − + − + − − + − − = Simplificando: 2 2 ) 1 ( 4 + = ax e ae dx dy 3.Verifique que la función y = Ae 2x + B e -2x + Ce -3x - x e − 6 1 satisface la ecuación y ’’’ + 3y ’’ – 4y’ -12y = e -x Solución: y’ = 2Ae 2x – 2Be -2x – 3Ce -3x + x e − 6 1 y’’ = 4Ae 2x + 4Be -2x – 9Ce -3x - x e − 6 1 y’’’ = 8Ae 2x – 8Be -2x – 27Ce -3x + x e − 6 1 Remplazando en la ecuación dada se obtiene, 0 = 0 Ejercicios propuestos Ejercicios propuestos Ejercicios propuestos Ejercicios propuestos 1.Derivar: x x e xe y − = 2. Derivar: 1 1 ) ( + − = x x e e x f 3.Derivar: x xe y 2 = 4. Derivar: x n n x x f . ) ( = 5. Derivar: Lnt e s = MATEMÁTICA II 173 CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES PROPIEDADES DE LOGARITMO 2 1 3 4 5 6 7 8 c Lna = a e c = c a b = log a b c = Lnb Lna Lnab + = Lnb Lna b a Ln − = | ¹ | \ | B A B A b b b log log log ) . ( + = xLna Lna x = B A B A b b b log log log − = A n A b n b log log = donde .... 7182 , 2 = e a e c = 6.Encuentre el valor de k ( k = constante ) para que la función x e x y 2 2 1 = sea solución de la ecuación x e y y k y = + ′ + ′ ′ 7.Calcule:f / (x), si | ¹ | \ | + = 3 3 ) ( 2 3 4 x e x x f x 8.Dada 4 3 2 2 2 ) ( + − = x x x f , encontrar ) 0 ( ' f 9.Dada 8 1 8 2 4 3 ) ( + + − = x x x f , halle ) 0 ( ' f y la ecuación de la recta tangente en el punto de abscisa 0. 10.Halle la derivada enésima de y = xe x III. DERIVADA DE FUNCIÓN LOGARITMO 174 CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES REGLA PRÁCTICA DE DERIVACIÓN + Derivada de la funci + Derivada de la función u u x F u u x F u x F NOTA a ' ) ( ' ln ln ' ) ( ' , log ) ( : = == = ∴ ∴∴ ∴ = == = = == = Ejemplo: 1.Halle y’, si ( 3 2 3 − = x Ln y Solución: ( ) 2 6 1 3 2 1 3 2 ' 3 3 3 − = + − ′ + − = x x x x x x y 2.Halle y’, si 3 ln ) ( 3 + = x x e x f x Solución: ln 1 3 ln ) ( 3 2 3 + = + = e x x e x f x x 1 3 3 2 3 ) ( ' + − + = x x x x f 3.Halle y’,si 5 2 2 1 1 x x Ln y − + = Solución: REGLA PRÁCTICA DE DERIVACIÓN la función logaritmo la función logaritmo neperiano a u u a a e e u u x F x f u a ln . ' ln ln ln log ' ) ( ' ) ( = == = = == = ⇒ ⇒⇒ ⇒ = == = 1 ) 1 3 + x . 1 3 3 2 + − − x x 1 2 + x ) 1 3 ln( ln 2 + − x x =3x+2lnx-ln(3x+1) CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC MATEMÁTICA II 175 CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES ) 1 ( 5 1 ) 1 ( 5 1 2 2 x Ln x Ln y − − + = Derivando: ) 1 ( 5 2 ) 1 ( 5 2 ´ 2 2 x x x x y − − − + = = dx dy ) 1 ( 5 2 ) 1 ( 5 2 2 2 x x x x − + + Simplificando 4 5 5 4 x x dx dy − = 4.Halle y / si 4 − = x Ln y Solución: 4 1 2 1 ) 4 ( 2 1 − = ′ − = x y x Ln y Ejercicios propuestos Ejercicios propuestos Ejercicios propuestos Ejercicios propuestos Halle la derivada de cada función: 1. ) ln( x xe y = 2. 1 1 ln ) ( + − = x x e e x f 3. )} 2 2 ( ln{ 2 − = x xe y x 4. ) . ln( ) ( x n n x x f = 5. x x e e Ln y 2 1+ = 6. x x x x e e e e y − − + − = ln 7. | ¹ | \ | + = 3 3 ) ( 2 3 3 x e Ln x f x 176 CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC 8. τ τ 1 ) ( a f = 9. x a x f − = ) ( 10. f(x)=Log(3x 2 +x) 11. f(x)=Log 3 [8x 2 +x] 12. f(x)=Log 3 {2[8x 2 +x](6x 3 )} Autoevaluación Autoevaluación Autoevaluación Autoevaluación I. Halle la derivada de las siguientes funciones: 1. x e x f x ln 1 ) ( + = +ln(x 2 +3x-1) 2. 1 3 ) ( 3 2 2 + + = x e x g x II. Calcule ) 0 ´( f en las siguientes funciones. 1. ) ln( ) ( 2 e x x x f + = 2. x x e e y − + = 2 3 1 MATEMÁTICA II 177 CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES 7. y Ln u 1 = VI. Encontrar las ecuaciones de la recta tangente y normal a la curva 2x 3 + 2 – 9xy = 0 en el punto (2,1) III. Calcule las derivadas : 1. xLnx y = 2. ) ( t Lnt t y − = 3. x Lnx x f = ) ( 4. ( ) x x Log y 2 2 4 2 + = 5. ) 1 log( 2 ) ( 3 + = x x x f 6. 3 8 ) 1 ( 4 3 2 4 − + − = t t Ln s 178 CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC Resumen Resumen Resumen Resumen [ ] [ ] [ ] / ) ( ) ( ' ' ' ) ( ) ( ' ) ( ) ( )) ( ) ( ( . 6 ln ) ( ) ( )) ( ( . 5 ) ( ) ( )) ( ( . 4 ) ( . 3 ) ( . 2 ´ ))´ ´( ( ´´)´ ( ´´´ : ))´ ´( ( ´´ ) ( ´ ) ( . 1 ) ( ) ( x Lnu x v D a x v x v x v Log D x v x v x v Ln D Lna x v a a D x v e e D x f y y x f y x f y x f y x v x v x a x x x v x v x x v x v x x u x u = = = = = = = ⇒ = ⇒ ′ = ⇒ = BIBLIOGRAFíA: LARSON, RON Cálculo Editorial McGraw Hill México 2006 STEWART, JAMES Cálculo de una variable Thomson México 2001 SOBEL, MAX A. Precálculo Pearson México 2006 www.decarcaixent.com/actividades/mates/derivadas/derivadas4.htm