Mate y Sociedad

Mateociales1 9 788471 317919 I S B N 8 4 - 7 1 3 1 - 7 9 1 - 5 Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales 1 H u m a n i d a d e s y C i e n c i a s S o c i a l e s 1 º B A C H I L L E R A T O C a r l o s G o n z á l e z G a r c í a J e s ú s L l o r e n t e M e d r a n o M ª J o s é R u i z J i m é n e z % % % % % % 1 º B A C H I L L E R A T O 7915 M a t e m á t i c a s a p l i c a d a s a l a s C i e n c i a s S o c i a l e s 1 GUÍA DIDÁCTICA GUÍA DIDÁCTICA GUÍA DIDÁCTICA G U Í A D I D Á C T I C A Carlos González García Profesor de Enseñanza Secundaria, especialidad de Matemáticas Jesús LLorente Medrano Profesor de Enseñanza Secundaria, especialidad de Matemáticas María José Ruiz Jiménez Catedrática de Enseñanza Secundaria, especialidad de Matemáticas 1º BACHILLERATO Humanidades y Ciencias Sociales Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales 1 G U Í A D I D Á C T I C A G U Í A D I D Á C T I C A • 3 1. PRESENTACIÓN .................................................................................................... 5 2. INTRODUCCIÓN .................................................................................................... 7 3. OBJETIVOS DEL CURSO .......................................................................................... 9 4. BLOQUE TEMÁTICO I: ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA ......................................................... 13 Introducción y estructura de unidades didácticas ............................................. 15 Unidad didáctica 1: Números reales ........................................................... 17 Unidad didáctica 2: Polinomios. Fracciones algebraicas ............................. 27 Unidad didáctica 3: Ecuaciones y sistemas. ............................................... 35 Unidad didáctica 4: Inecuaciones y sistemas ............................................. 45 Unidad didáctica 5: Logaritmos. Aplicaciones ............................................ 55 Criterios y actividades de evaluación ................................................................ 65 5. BLOQUE TEMÁTICO II: FUNCIONES Y GRÁFICAS ......................................................... 69 Introducción y estructura de unidades didácticas ............................................. 71 Unidad didáctica 6: Funciones reales. Propiedades globales .................... 73 Unidad didáctica 7: Funciones polinómicas y racionales .......................... 83 Unidad didáctica 8: Funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas ..................................................... 99 Unidad didáctica 9: Interpolación ............................................................ 111 Unidad didáctica 10: Límites de funciones. Continuidad ............................ 121 Unidad didáctica 11: Introducción a las derivadas y sus aplicaciones ........ 131 Criterios y actividades de evaluación ................................................................ 145 6. BLOQUE TEMÁTICO III: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD ............................................... 149 Introducción y estructura de unidades didácticas ............................................. 151 Unidad didáctica 12: Estadística. Tablas y gráficos .................................... 153 Unidad didáctica 13: Distribuciones unidimensionales. Parámetros ........... 167 Unidad didáctica 14: Distribuciones bidimensionales. Correlación y regresión ............................................. 177 Unidad didáctica 15: Distribuciones discretas. Distribución binomial ........ 187 Unidad didáctica 16: Distribuciones continuas. Distribución normal .......... 199 Criterios y actividades de evaluación ................................................................ 211 7. BLOQUE TEMÁTICO IV: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS ................................................. 215 Í Í N N D D I I C C E E G U Í A D I D Á C T I C A • 5 La intencionalidad de esta guía didáctica es la de complementar nuestro libro de tex- to Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales 1, correspondiente a la asignatura del mismo título del Bachillerato de Humanidades y Ciencias Sociales. El profesorado podrá encontrar en esta guía: • Pautas para trabajar con el grupo-clase, referidas a: — Metodología y tratamiento de la diversidad. • Objetivos generales del curso y su conexión con el segundo ciclo de la ESO. • Tratamiento de cada uno de los bloques temáticos, en cada uno de los cuales se en- contrará: — Introducción al bloque y estructura de Unidades. — Desarrollo de cada Unidad Didáctica contemplando: • Objetivos didácticos de la Unidad. • ¿Cómo trabajar la Unidad? • Estructura de contenidos: conceptos, procedimientos y actitudes. • Resolución de los diferentes tipos de actividades: actividades iniciales, actividades para resolver, actividades de enseñanza-aprendizaje y actividades de la Re- solución de problemas. — Criterios y actividades de evaluación. Queremos agradecer desde aquí a nuestros compañeros su colaboración en forma de opi- niones, críticas, sugerencias sobre todo aquello que consideren oportuno con el fin de mejorar nuestros materiales en posteriores ediciones. Los autores 1 1 . . P P R R E E S S E E N N T T A A C C I I Ó Ó N N G U Í A D I D Á C T I C A • 7 METODOLOGÍA Concebimos la metodología como la forma con- creta en la que se organizan, regulan y se relacionan entre sí los diversos componentes que intervienen en el proceso de aprendizaje: objetivos, contenidos, actividades, recursos y medios didácticos; y, especialmente, alumnado, profesorado y comunidad educativa. La metodología, en consecuencia, se identifica en nuestro proyecto con la concepción curricular que desarrollamos, siendo para nosotros esencial la consecución de las metas educativas propuestas. La metodología implícita en estos materiales cu- rriculares se explica en las respuestas que damos a las siguientes preguntas: ¿Cómo vamos a intervenir con nuestro grupo-clase? 1. A través de actividades dirigidas a: • Conocer las ideas previas de los/as alumnos/as y su grado de elaboración. • Modificar sus ideas iniciales construyendo de forma significativa nuevos conocimientos. El profesor/a es mediador y plantea actividades de aprendizaje para modificar las concepciones iniciales, para que el alumno/a dé pasos progresivos a nivel de identidad y elaboración personal, abriendo la posibilidad de llevar a cabo una reflexión crítica sobre ellos. • Fomentar el rigor en el uso de lenguajes (algebraico, geométrico, gráfico y probabi- lístico). • Potenciar los siguientes aspectos: — La reflexión sobre lo realizado. — La recogida de datos. — Elaboración de conclusiones. — Recopilación de lo que se ha aprendido. — Analizar el avance en relación con las ideas previas (punto de partida). — Facilitar al alumno la reflexión sobre: habilidades de conocimiento, procesos cognitivos, control y planificación de la propia actuación, la toma de decisiones y la comprobación de los resultados. 2. La intervención en relación con la enseñan- za-aprendizaje requiere: • Una actividad previamente diseñada (trabajo prospectivo del profesor). • Negociación de los objetivos concretos de aprendizaje (trabajo del profesor como orientador). • Toma de decisiones acerca de los métodos de trabajo y la evaluación del proceso de aprendizaje. Valoración por parte del profesor del proceso de aprendizaje (trabajo del profesor como asesor e investigador). 3. Esta metodología permite el establecimiento de redes conceptuales y exige un marco interactivo. ¿Qué pautas metodológicas seguiremos? Como pautas de reflexión metodológica, suge- rimos: • Promover el aprendizaje significativo, ya que para conseguir verdaderos aprendizajes escolares es necesaria la actividad construc- tiva del/a alumno/a. Desde esta perspectiva planteamos las actividades de enseñanza- aprendizaje, con una intención clara, dentro de unas tareas que tienen sentido para el alumno/a y que así hemos experimentado en nuestra actividad docente, consideradas de manera que los/as alumnos/as puedan adquirir, por sí solos, su sentido, significativi- dad y utilización para otros contextos diferentes. 2 2 . . I I N NT T R R O OD DU UC C C C I I Ó ÓN N • Considerar el tratamiento de atención a la diversidad como esencial en todo el desarrollo del currículo y para ello proponemos actividades directas, guiadas, contextualiza- das, de análisis, síntesis, etc, que refuercen y amplíen los aprendizajes de los alumnos/as. • Potenciar la globalización, a través de lo que denominamos «contenidos mínimos», considerados éstos como un conjunto de los diferentes contenidos y capacidades a desarrollar. • Practicar el aprendizaje interactivo, básico para la construcción del conocimiento, pero sin caer en el activismo, sino fomentando la participación de nuestros alumnos/as en las tareas de aula. • Propiciar la motivación, organizando una se- cuencia clara, sencilla y asequible que conec- te a los alumnos/as con la realidad y el entorno en el que se desenvuelven. ¿Cómo planteamos la evaluación? Consideramos que para realizar una adecuada intervención educativa, es necesario plantear una evaluación amplia y abierta a la realidad de las tareas de aula, y de las características de los alumnos/as, con especial atención al tratamien- to de la diversidad. Nuestros referentes están en los objetivos generales de curso, contenidos y criterios pres- criptivos de evaluación, que responden al qué evaluar, teniendo en cuenta para ello la diversidad de tareas de evaluación de conceptos, procedimientos y actitudes. Partimos para ello, en cada Unidad Didáctica, de una evaluación inicial, que nos permite conocer el nivel de aprendizaje del que parten nuestros alumnos/as y al final del aprendizaje de cada Bloque Temático proponemos una serie de actividades que sirven para evaluar objetivos y contenidos. Consideramos que estamos en la línea de una evaluación formativa (véase la incidencia en las actividades de refuerzo y ampliación), que nos proporciona una mayor información sobre cuál es la situación de cada alumno/a en su proceso de enseñanza. Por supuesto, también de una evaluación continua, que realizamos a lo largo de todo el proceso de enseñanza-aprendizaje, y no sólo al final del mismo. Al evaluar de esta manera reflexionamos sobre la práctica educativa. Luego cada profesor/a planteará los correctores adecuados, individua- les y grupales, para mejorar el proceso de en- señanza-aprendizaje. Este proceso de evaluación debe ser entendido como construcción conjunta, en el que consideramos al profesor/a como un mediador que debe ofrecer la ayuda necesaria y oportuna, en relación con las demandas de necesidades que plantee el grupo-clase. Los criterios de evaluación que proponemos responden al modo de comprobar los objetivos de curso proyectados a través de los objetivos didácticos que constituyen las metas de las distintas Unidades Didácticas. Estos criterios los planteamos por Bloques Te- máticos ya que entendemos que esta agrupa- ción curricular es más coherente, teniendo en cuenta que vienen a ser complemento y señal del resto del conjunto de actividades planteadas en cada Unidad Didáctica, herramienta impres- cindible para la evaluación continua. ¿Qué diferencias existen con respecto a la etapa anterior? A lo largo de la ESO los/as alumnos/as han seguido un proceso de construcción del conocimiento matemático basado en la aproximación de forma intuitiva y práctica a los contenidos conceptuales y procedimentales. En el Bachillerato se introducen nuevos conceptos y se modifican las estructuras conceptuales, profundizando en el tratamiento de procedimientos, destrezas y algoritmos. Hemos de tener en cuenta que esta nueva etapa debe cumplir una triple finalidad educativa: de formación general, de orientación de los alumnos y de preparación de los mismos para estudios superiores. No debe olvidarse que las Matemáticas en el Bachillerato desem- peñan un triple papel: instrumental, formati- vo y de fundamentación teórica. Las Matemáticas de esta etapa han de contribuir a la adquisición de nuevas actitudes y al desarrollo de las adquiridas en la etapa anterior, como la curiosidad ante situaciones nuevas, el interés por investigar a fondo una situación, la actitud crítica ante informaciones, la mentalidad abierta y receptiva a las ideas de los otros y la confianza en las propias capacidades. 8 • G U Í A D I D Á C T I C A G U Í A D I D Á C T I C A • 9 Formulamos los siguientes Objetivos Generales para el primer curso de Bachillerato correspondientes a la modalidad de Humanidades y Ciencias Sociales en el área de Matemáticas: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS En el Segundo Ciclo de la ESO el alumno/a ha alcanzado estrategias y recursos técnicos sencillos en la resolución de problemas. Estos recursos están relacionados con las fases de comprensión del enunciado y búsqueda de estrategias, así como en la puesta en practica de alguna estrategia (simplificar el problema, particularizar, etc.) en la resolución de un problema. En primer curso de Bachillerato el alumno/a de- berá ser capaz de: • Alcanzar estrategias y recursos más generales para resolver problemas, poner en práctica la estrategia elegida en la fase de búsqueda de estrategias, analizar los resultados obtenidos y validar o no las estrategias utilizadas. En de- terminados casos debe generalizar las situaciones que haya solucionado. • Elaborar, de forma precisa y clara, el protocolo de resolución, ser capaz de modificar su punto de vista y perseverar en la búsqueda de las soluciones a los problemas. Este objetivo general se trata en todas las Uni- dades Didácticas, en las dos páginas finales de cada Unidad que se desarrollan bajo el título «Resolución de Problemas». LENGUAJES MATEMÁTICOS En el Segundo Ciclo de la ESO el alumno/a se ha familiarizado con el uso de los distintos lenguajes matemáticos. En el primer curso de Bachillerato el alumno/a deberá ser capaz de: • Utilizar, correctamente, los números enteros, fraccionarios, decimales e irracionales, en diferentes contextos y situaciones de las ciencias sociales y humanas y en las actividades cotidianas. • Incorporar los lenguajes simbólico y gráfico y en particular el lenguaje algebraico a la reso- lución de ecuaciones, inecuaciones, sistemas y, en definitiva, a la resolución de problemas. • Consolidar el lenguaje probabilístico. Utilizar éste como herramienta para comunicar y cuan- tificar situaciones relacionadas con el azar. Este objetivo general se trata, en su contexto más amplio, en todas las Unidades Didácticas. FORMAS DE HACER PROPIAS LAS MATEMÁTICAS En el Segundo Ciclo de la ESO el alumno/a ha in- terpretado funciones dadas por medio de su gráfica, que responden a fenómenos reales y a situaciones próximas a su entorno. Asimismo ha entrado en contacto con el tratamiento esta- dístico mediante la recogida de datos relativos a su propio entorno, construyendo con ellos algunas tablas, diagramas y gráficas estadísticas, así como a calcular los parámetros asociados a variables estadísticas unidimensionales y bidimensionales. En primer curso de Bachillerato el alumno/a de- berá ser capaz de: • Organizar y relacionar informaciones diversas relativas a la vida cotidiana, obteniendo las expresiones analíticas en los fenómenos en los que aparecen funciones polinómicas de primero y segundo grado así como funciones exponenciales o logarítmicas. • Utilizar técnicas de recogida de datos, representar la información relativa al estudio de la relación entre dos variables de forma numéri- ca y gráfica, calcular los parámetros estadísti- cos más usuales e interpretar los resultados. Este objetivo general se trata en las Unidades Didácticas: — Número 6: Funciones reales. Propiedades globales. 3 3 . . O OB B J J E E T T I I V V O OS S D DE E L L C C U UR R S S O O 10 • G U Í A D I D Á C T I C A — Número 7: Funciones polinómicas y racionales. — Número 8: Funciones exponenciales, loga- rítmicas y trigonométricas. — Número 10: Límites de funciones. Continui- dad. — Número 12: Estadística. Tablas y gráficas. — Número 13: Distribuciones unidimensionales. Parámetros. — Número 14: Distribuciones bidimensionales. Correlación y regresión. — Número 15: Distribuciones discretas. Distri- bución binomial. — Número 16: Distribuciones continuas. Distri- bución normal. VALORACIÓN Y ACTITUD Al ser éste un objetivo general actitudinal es vá- lido para todo el Bachillerato y en particular en primer curso. En éste el alumno/a deberá ser capaz de: • Conocer y valorar las propias habilidades ma- temáticas para afrontar las situaciones que requieran su empleo o que permitan disfrutar con los aspectos creativos, manipulativos o utilitarios de las Matemáticas. Este objetivo general se trata en todas las Uni- dades Didácticas. Estos Objetivos de curso se concretan en cada Unidad Didáctica dentro de lo que llamamos Objetivos Didácticos. Estos aparecen descritos en las páginas posteriores correspondientes cada una de las Unidades Didácticas. CONEXIONES CON LA EDUCACIÓN SE- CUNDARIA OBLIGATORIA El currículo oficial determina las enseñanzas mí- nimas relativas a contenidos, así como los objetivos generales y los criterios de evaluación para la materia de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I correspondiente al Bachille- rato de la modalidad de Humanidades y Cien- cias Sociales. Partiendo de este marco hemos construido el Proyecto de Matemáticas para el primer curso de Bachillerato. Para ello, hemos tenido muy presente los conceptos y capacidades que el alumno/a ha adquirido en el Segun- do Ciclo de la ESO. A continuación describimos y comentamos, para cada Bloque Temático que contempla el cu- rrículo oficial, la conexión existente entre las capacidades y contenidos ya adquiridos en el Se- gundo Ciclo de la ESO con las capacidades y contenidos que deben adquirir en primer curso de Bachillerato aludiendo así, obviamente, a nuestra consideración sobre la recurrencia y el tratamiento en espiral de los contenidos. Éstos a su vez servirán, en algún caso, de punto de partida en segundo curso de Bachillerato. 1. Bloque Temático I: Aritmética y álgebra. En el Segundo Ciclo de la ESO los alumnos/as: • Manejan los números naturales, enteros, decimales y fraccionarios. Estableciendo relaciones de ordenación, expresión de cantidades y medidas, cálculo de razones y porcentajes y relaciones de divisibilidad. • Son capaces de operar con soltura utilizando las reglas de los paréntesis y la jerarquía de las distintas operaciones. • Saben qué tipo de operaciones deben utilizar en problemas con contextos reales, lo más cerca posible a su entorno. • Utilizan la calculadora con las operaciones elementales, además en relación con el cálculo con paréntesis, notación científica, jerarquía de las operaciones y cálculos con las funciones elementales. • Se inician para manejar las operaciones con polinomios, la resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones de primer grado y segundo grado y pasar al lenguaje algebraico enunciados literales y de otro tipo. Asimismo, serán capaces de resolver problemas sencillos mediante el empleo de ecuaciones y sistemas de ecuaciones. Además se iniciarán en el estudio y en la reso- lución de desigualdades e inecuaciones. En primer curso de Bachillerato, los alumnos/as: • Adquirirán mayor soltura en el manejo e in- terpretación de las distintas clases de núme- ros. Manejarán con soltura los métodos algo- rítmicos y aplicarán todo lo que conocen a las situaciones de resolución de problemas. • Reforzarán la capacidad de operar con soltura, aplicando la jerarquía de operaciones y la utilizarán con las operaciones de la potencia- ción y la radicación. G U Í A D I D Á C T I C A • 11 • Serán capaces de manejar la calculadora cien- tífica utilizando todas las posibilidades que ofrece en relación a los cálculos numéricos. Se iniciarán, en lo posible, en el uso de la calculadora gráfica. • Adquirirán las nociones necesarias para manejar, con soltura, la resolución de ecuaciones e inecuaciones y sistemas de ecuaciones e inecuaciones de primer grado y segundo grado y pasar al lenguaje algebraico enunciados literales y de otro tipo. Asimismo, serán capaces de resolver problemas mediante el empleo de ecuaciones e inecuaciones y sistemas de ecuaciones e inecuaciones. Se iniciarán en el manejo de nuevos métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales como el mé- todo de Gauss. 2. Bloque Temático II: Funciones y gráficas. En el Segundo Ciclo de la ESO los alumnos/as: • Saben interpretar y manejar funciones dadas por medio de su gráfica, tabla, expresión algebraica sencilla o descripción verbal. Así mismo analizarán las gráficas atendiendo a nuevos conceptos: acotación, crecimiento, máximos y mínimos, etc. • Conceptualizan las funciones constantes, lineales o de proporcionalidad directa y afines; así como los elementos asociados a ellas. Se- rán capaces de identificar estas relaciones funcionales con problemas y fenómenos reales. • Se iniciaron en el estudio de las funciones exponenciales y logarítmicas. Diferenciando las características gráficas de ambas familias de funciones. En el primer curso de Bachillerato los alumnos/as: • Sabrán interpretar y manejar funciones dadas por medio de su gráfica, tabla, expresión algebraica o descripción verbal. Asimismo analizarán las gráficas atendiendo a nuevos conceptos: continuidad, crecimiento, extremos, etc. • Conceptualizarán las principales familias de funciones: polinómicas de primer y segundo grado, de proporcionalidad inversa, exponenciales y logarítmicas; así como las principales propiedades asociadas a ellas. Deberán identificar estas funciones en situaciones de reso- lución de problemas y fenómenos reales. • Se iniciarán el estudio de los conceptos asociados a las tendencias de las funciones en re- lación con los límites. 3. Bloque Temático III: Estadística y probabilidad. En el Segundo Ciclo de la ESO los alumnos/as: • Han adquirido los conceptos relativos a la Es- tadística, de forma precisa, así como la utilidad práctica de la misma. Interpretarán informaciones dadas a través de tablas o gráficas, mediante el estudio de los parámetros. • Se han iniciado en el estudio de las posibles relaciones estadísticas entre dos variables. Deberán ser capaces de interpretar la relación entre dos variables a través de un diagrama de puntos o mediante el cálculo del coeficiente de correlación. • Conceptualizan los experimentos o fenóme- nos deterministas y aleatorios. En cada experimento aleatorio saben describir el conjunto de los resultados posibles. Se iniciarán en la probabilidad, como medida de lo esperable de un suceso. • Se aproximan a las nociones de azar y probabilidad a través de simulaciones de experimentos aleatorios (dados, monedas, chinchetas, etc.). Serán capaces de asignar probabilidades a sucesos equiprobables por medio de la Regla de Laplace y a sucesos no equiprobables por métodos empíricos. • Saben aplicar procedimientos propios asociados a las formas de contar en diferentes situaciones sencillas. • Asignan probabilidades a sucesos equiprobables por medio de la Regla de Laplace y mediante las propiedades de la probabilidad. Se iniciarán en el estudio de la probabilidad condicionada a través de tablas de contingencia y diagramas de árbol. En el primer curso de la Bachillerato los alumnos/as: • Revisarán los conceptos asociados al estudio de las variables estadísticas unidimensionales: tablas, gráficos y parámetros, tanto de centralización como de dispersión. • Se iniciarán en el estudio de las posibles relaciones estadísticas entre dos variables. Debe- rán ser capaces de interpretar la relación entre dos variables a través de un diagrama de puntos o mediante el cálculo del coeficiente de correlación. • Formalizarán el estudio de variables aleatorias discretas y continuas. Aplicarán las distribuciones de probabilidad binomial y normal a situaciones pertinentes. Manejarán con soltura las tablas de la distribución normal estándar. 4. Bloque Temático IV: Resolución de problemas. En el Segundo Ciclo de la ESO los alumnos/as: • Han conseguido recursos técnicos sencillos en la resolución de problemas. Estos recursos están relacionados con las fases de com- prensión del enunciado y búsqueda de estrategias. • Logran estrategias y recursos más generales para resolver problemas, pondrán en prácti- ca la estrategia elegida en la fase de bús- queda de estrategias, analizar los resultados obtenidos y validar o no las estrategias utilizadas. En el primer curso de la Bachillerato los alumnos/as: • Utilizarán alguno de los modelos descritos en la resolución de problemas. Pondrán en prác- tica las estrategias más habituales en la reso- lución de problemas. • Elaborarán, de forma precisa y clara, el protocolo de resolución de un problema, serán capaces de modificar su punto de vista y perseverar en la búsqueda de las soluciones a los problemas. 12 • G U Í A D I D Á C T I C A 4 4 . . B B L L O O Q Q U U E E T T E E M M Á Á T T I I C C O O I I : : A A R R I I T T M M É É T T I I C C A A Y Y Á Á L L G G E E B B R R A A G U Í A D I D Á C T I C A • 15 Unidad Didáctica 1: Números reales. 1. Números naturales y enteros. 2. Números racionales. Potencias. 2.1. Potencias de números racionales 3. Relaciones entre los números racionales y decimales. 4. Números irracionales. 5. Números reales. Representación. 6. Conjuntos en la recta real. 7. Aproximaciones decimales. 8. Redondeos y truncamientos. 9. Errores. 10. Notación científica y orden de magnitud. 11. Radicales. 11.1. Los radicales como potencias de exponente fraccionario. 12. Operaciones con radicales. 13. Racionalización de denominadores. Unidad Didáctica 2: Polinomios. Fracciones algebraicas. 1. Polinomios. Identidad de polinomios. 2. Operaciones con polinomios. 3. División de polinomios. 4. División por x – a. Regla de Ruffini. 5. Teorema del resto y teorema del factor. 6. Descomposición factorial de un polinomio. 7. Máximo común divisor y mínimo común múltiplo de polinomios. 8. Fracciones algebraicas. 9. Operaciones con fracciones algebraicas. Unidad Didáctica 3: Ecuaciones y sistemas. 1. Ecuaciones de segundo grado. Resolución. 2. Propiedades y aplicaciones de la ecuación de segundo grado. 3. Ecuaciones de grado superior. 4. Ecuaciones irracionales. 5. Sistemas de ecuaciones de 2º grado. 6. Sistemas de ecuaciones lineales. 7. Sistemas equivalentes. 8. Método de Gauss. 9. Resolución de problemas con ecuaciones. Unidad Didáctica 4: Inecuaciones y sistemas. 1. Inecuaciones de primer grado. Resolución. 1.1. Resolución. 2. Sistemas de inecuaciones de primer grado con una incógnita. Resolución. 3. Inecuaciones de segundo grado. 4. Inecuaciones racionales. 5. Inecuaciones de primer grado con dos incógnitas. Resolución. 5.1. Resolución. 6. Sistemas de inecuaciones de primer grado con dos incógnitas. 7. Resolución de problemas con inecuaciones. Unidad Didáctica 5: Logaritmos. Aplicaciones. 1. Logaritmo de un número. Propiedades. 1.1. Propiedades. 2. Ecuaciones exponenciales. 3. Sistemas de ecuaciones exponenciales. 4. Ecuaciones logarítmicas. 5. Sistemas de ecuaciones logarítmicas. 6. Interés simple. 7. Interés compuesto. 8. Anualidades de capitalización. 9. Anualidades de amortización. ESTRUCTURA DE UNIDADES Aritmética y álgebra Aritmética y álgebra Aritmética y álgebra I II G U Í A D I D Á C T I C A • 17 Al finalizar esta Unidad Didáctica, el alumno y la alumna deberán ser capaces de: 1. Comprender el concepto de número real y las distintas clases de números reales. 2. Representar números reales en la recta real. 3. Utilizar las estimaciones, aproximaciones y redondeos en situaciones reales. 4. Trabajar con intervalos y entornos de la recta real. 5. Utilizar la calculadora como herramienta habitual en cálculos numéricos. • Haciendo énfasis especial en la definición de los distintos conjuntos numéricos, para que el alumno sepa distinguirlos. • Utilizando múltiples ejercicios de cálculo, con el fin de aplicar propiedades y la jerarquía de las operaciones. • Trabajando con números decimales de forma operativa y sabiéndolo clasificar en racionales e irracionales. • Utilizando la calculadora en redondeos, para expresar números en notación científica y en cálcu- los numéricos. • Haciendo múltiples ejercicios de operaciones con radicales. ¿CÓMO TRABAJAR LA UNIDAD? OBJETIVOS DIDÁCTICOS PÁGINA • 9 ACTIVIDADES INICIALES 1. Encuentra varios números que estén comprendidos entre los que se indican: a) 2/5 y 3/5; b) 2,1 y 2,2; c) 2,01 y 2,1. a) Números comprendidos entre y son: 0,42; 0,46; 0,54; 0,57. b) Números comprendidos entre 2,1 y 2,2 son: 2,11; 2,14; 2,18; 2,195. c) Números comprendidos entre 2,01 y 2,1 son: 2,03; 2,045; 2,076; 2,098. 2. Utilizando solamente las teclas de las operaciones elementales de tu calculadora, describe un procedimiento que te permita calcular . 10 3 3 5 2 5 18 • G U Í A D I D Á C T I C A CONCEPTOS 1. Números naturales y enteros. 2. Números racionales. Potencias. 2.1. Potencias de números racionales. 3. Relaciones entre los números racionales y decimales. 4. Números irracionales. 5. Números reales. Representación. 6. Conjuntos en la recta real. 7. Aproximaciones decimales. 8. Redondeos y truncamientos. 9. Errores. 10. Notación científica y orden de magnitud. 11. Radicales. 11.1. Los radicales como potencias de exponente fraccionario. 12. Operaciones con radicales. 13. Racionalización de denominadores. ACTITUDES PROCEDIMIENTOS RESOLUCIÓN DE ACTIVIDADES • Operar correctamente con números enteros, utilizando la jerarquía de las operaciones. • Expresar los números racionales en forma de fracción o decimal. • Operar con soltura con nú- meros racionales haciendo uso de la jerarquía de las operaciones. • Representar en la recta números naturales, enteros y racionales, utilizando esta representación para com- pararlos. • Utilizar correctamente la calculadora en operaciones con números y en la nota- ción científica. • Utilización de la calculadora, así como algoritmos de lápiz y papel para la realiza- ción de cálculos numéricos, en particular con radicales. • Utilización de aproximaciones y redondeos en la re- solución de problemas que comporten números reales. • Representación sobre la recta real de conjuntos usuales de números reales como intervalos y entornos. – Incorporación del lenguaje numérico al lenguaje habitual. – Reconocimiento y valora- ción de la calculadora como instrumento útil en cálculos numéricos. – Apreciación de los números como entes necesarios para estudiar la realidad. – Valoración de la utilidad del lenguaje numérico para representar o comunicar situaciones del ámbito cientí- fico. – Curiosidad e interés por en- frentarse a problemas nu- méricos. – Gusto por la presentación ordenada de los procesos y resultados obtenidos en los cálculos numéricos. – Disposición favorable hacia el trabajo propuesto. Utilizando la tecla del producto podemos conseguir aproximaciones sucesivas al valor de . Así: 2 × 2 × 2 < < 3 × 3 × 3 2,1 × 2,1 × 2,1 < < 2,2 × 2,2 × 2,2 2,15 × 2,15 × 2,15 < < 2,16 × 2,16 × 2,16 2,154 × 2,154 × 2,154 < < 2,155 × 2,155 × × 2,155 2,1544 × 2,1544 × 2,1544 < < 2,1545 × × 2,1545 × 2,1545 3. Ordena de menor a mayor los siguientes números: 5,31; –4,21; 5,201; –4,201; 5,201; 5,2101; –4,2101; 4,211; 4,201. La ordenación es: –4,2101 < –4,21 < –4,201 < 4,201 < 4,211 < < 5,201 < 5,2101 < 5,31. 4. Comprueba que la siguiente igualdad es cierta: . Elevando al cuadrado ambos miembros obtenemos: Es cierta la igualdad. 5. ¿Para qué valores de n y a se cumple ? n par y a ʦ ޒ + o n impar y a ʦ ޒ. PÁGINA • 19 ACTIVIDADES PARA RESOLVER 1. Expresa en notación científica e indica el orden de magnitud en cada caso: a) 57 billones b) 623 cienmilésimas c) 0,035 millones d) 12 milésimas a) 5,7 · 10 13 (10 14 ) b) 6,23 · 10 –3 (10 –2 ) c) 3,5 · 10 4 (10 4 ) d) 1,2 · 10 –2 (10 –2 ) Los paréntesis indican el orden de magnitud. 2. Efectúa las siguientes operaciones utilizando la calculadora e indica el orden de magnitud del resultado: a) 2,32 · 10 4 · 7,2 · 10 –3 b) 6,215 · 10 5 : 3,25 · 10 –2 a) 167,04 el orden de magnitud es 10 2 . b) 1 912,307692 = 1,912307692 · 10 3 y el orden de magnitud es 10 3 . PÁGINA • 24 ACTIVIDADES DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE Ordena, de mayor a menor, los siguientes números: 0,4 ; 0 ; –0,3 ; 42 ; –2,3 ; –20 ; 428 La ordenación pedida es: 428 > 42 > 0,4 > 0 > –0,3 > –2,3 > –20 Efectúa los siguientes cálculos haciendo uso de la jerarquía de las operaciones: a) 7 – 2 · (– 4) + 3 – 5 · (–2 + 7) b) 4 · 2 2 – (–1) 3 + [3 – (5 – 3 2 )] c) (–3) 2 – 3 2 + 2 · (–1) 3 d) 8 : 4 · 5 – (–4 – 3) 2 – 3 · (–13) a) –7; b) 24; c) –2; d) 0 Efectúa las siguientes operaciones, dando el resultado lo más simplificado posible: a) b) c) d) e) f) 1 1 1 1 1 1 2 + − − 2 3 1 1 5 2 3 + − ⋅ 2 1 4 1 2 7 3 2 5 4 − ¸ ¸ _ , ⋅ − ¸ ¸ _ , + 3 2 2 5 2 5 : ⋅ 1 1 2 3 2 1 3 − ¸ ¸ _ , ⋅ − + 3 2 1 4 3 5 2 − + − 3 2 1 a n ʦ ޒ 2 2 3 6 2 4 2 3 6 2 2 12 8 4 3 8 4 3 2 2 2 2 – – ( ) ( ) ⇓ ⇓ − ( ) ( ) + ( ) − ⇓ ⇓ − · − 2 2– 3 = 6 – 2 10 3 10 3 10 3 10 3 10 3 10 3 G U Í A D I D Á C T I C A • 19 a) – ; b) – ; c) ; d) ; e) ; f) 0 Efectúa, dejando el resultado en forma de potencia de exponente natural: a) b) c) d) e) f) a) 3 6 ; b) 1; c) 1 ; d) 1 ; e) ; f) Indica, sin efectuar la división, qué tipo de decimal genera cada racional siguiente. Compruébalo con la calculadora: a) b) – c) d) e) a) Decimal periódico puro; b) Decimal finito; c) Decimal periódico puro; d) Decimal periódico mixto; e) Decimal periódico mixto. Clasifica los siguientes números en racionales e irracionales: a) 232,25 b) 452, 323 323 323… c) 0,273 45 45 45… d) 37, 34 334 3334 33334… e) 0,010 33333… f ) 522, 1248163264… g) –22 h) 3,141592653589… Racionales: a), b), c), e), g). Irracionales: d), f), h). Un agricultor recoge 120 000 kg de man- zanas. Vende a un mayorista los de la cosecha. De lo que le sobra vende a peque- ños comerciantes los . Del resto están estropeados los que se lleva un ganadero para alimento del ganado. De lo que le queda vende 20 000 kg a una fábrica de zumo y los kilogramos restantes los utiliza para el consumo familiar. ¿Cuántos kg consume la familia? Vende al mayorista · 120 000 = 105 000 kg. Le quedan 15 000 kg. Vende a pequeños comerciantes · 15 000 = = 6 000 kg. Le quedan 9 000 kg. Se lleva el ganadero · 9 000 = 3 857,14 kg. Le quedan 5 142,86 kg, luego no se puede dar la so- lución. PÁGINA • 25 Un alumno tarda en pasar un trabajo a ordenador 12 horas, un segundo alumno tarda en pasar el mismo trabajo 8 h. El primer alumno traba- ja durante 4 h y deja el resto del trabajo al segundo. ¿Cuán- to tiempo tardará este en finalizarlo? El 1 er alumno hace del trabajo, luego quedan por hacer del trabajo. El 2 o alumno tarda: : = = 5,3 ) horas = 5 h 20 min en terminar el trabajo. 64 12 1 8 8 12 8 12 4 12 8 3 7 2 5 7 8 3 7 2 5 7 8 7 6 2 145 2 100 42 528 73 63 36 225 28 126 5 5 6 6 ¸ ¸ _ , 1 2 4 ¸ ¸ _ , 5 6 5 6 6 5 8 5 3 ¸ ¸ _ , ⋅ ¸ ¸ _ , ¸ ¸ _ , − : 1 2 1 2 1 2 5 4 3 ¸ ¸ _ , − ¸ ¸ _ , ⋅ ¸ ¸ _ , : 3 2 2 3 2 3 4 3 6 0 ¸ ¸ _ , ⋅ ¸ ¸ _ , ¸ ¸ _ , ¸ 1 ] 1 1 − : 2 1 3 5 3 2 2 − ¸ ¸ _ , ⋅ ¸ ¸ _ , − 3 5 3 5 3 5 3 5 2 ¸ ¸ _ , ¸ ¸ _ , ⋅ ¸ ¸ _ , : 1 3 2 3 ¸ ¸ _ , ¸ 1 ] 1 1 − 4 71 13 5 11 3 2 1 6 3 20 20 • G U Í A D I D Á C T I C A Razona la verdad o la falsedad de las siguientes afirmaciones: a) Algún número decimal es racional. b) Todo número entero es natural. c) Ningún número racional es entero. d) Algún número real es irracional. e) Ningún número natural es racional. a) Verdadero; todos los números decimales son racionales excepto los decimales infinitos y no periódicos. b) Falso; los números enteros negativos no son naturales. c) Falso; muchos números racionales son enteros, todos los que su división es exacta. d) Los números reales son los racionales y los irracionales, luego es verdadero. e) Falso; todo número natural es racional. Halla el menor conjunto numérico al que pertenecen los siguientes números: 3 ʦ ގ; 4,23 ʦ ޑ; ʦ މ; 0 ʦ ގ; – ʦ ޑ; = 8 ʦ ގ; 1,03 ៣ ʦ ޑ; – = –4 ʦ ޚ; = –2 ʦ ޚ; ʦ މ; ʦ ޑ. Representa en la recta real los siguientes números: Dibuja sobre la recta real los siguientes conjuntos: a) Los números reales mayores o iguales que 3. b) B= {b ʦޒ ¦ b < 0 y b > –7} c) (– ؕ , –5] d) D= {dʦޚ ¦ d> 1 o d> –5} e) E(5,2) f) Los números naturales mayores que –1,6 y menores que 6. g) E* (2,5) a) b) c) d) e) f) g) Expresa de forma simbólica los siguientes conjuntos y estudia su acotación y la existencia de supremo, ínfimo, máximo y mínimo. a) b) c) d) e) f) g) h) a) (1,+∞). No acotado. b) (–2,2]. Acotado. Inf = –2. Máximo = 2. c) [–4,–1] ʜ[1,4). Acotado. Mínimo = –4. Sup = 4. d) {x ʦ ޚ ¦ –1 ≤ x ≤ 3}. Acotado. Mínimo = –1. Máximo = 3. e) (–∞,–3] ʜ [1,3]. Acotado. f) (–3,3) ʜ {5}. Acotado. Inf = –3. Máximo = 5. g) (–∞,1) – {–1}. No acotado. h) (–∞,–5] ʜ [5,+∞) – {7}. No acotado. Para el número p + F calcula las siguientes aproximaciones a decimales: a) Aproximación decimal a décimas por exceso y por defecto. 14 5 – 5 7 1 – 1 5 – 3 3 1 3 – 3 – 1 0 1 2 3 1 4 – 1 – 4 2 – 2 1 13 –3 7 2 0 4 5 3 2 1 3 7 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3... –5 0 –7 3 0 12 11 –1,3 0,5 1 π –8 3 12 3 64 3 7 13 10 9 G U Í A D I D Á C T I C A • 21 3 4,23 0 1,03 ៣ – , , 1 3 0 5 1 π –8 3 – 12 3 64 – 3 7 13 –3 2 1,6 0,7 ៣ 4 1 2 – 18 9 125 3 – 4 3 – 8 8 5 2 3 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 –3 2 0,7 ) 4 1 / 2 –4 3 – 8 5 – O −18 9 − · − 2 2 8 2 3 125 3 2 3 2 3 2 2 1,6 22 • G U Í A D I D Á C T I C A b) Aproximación decimal por defecto a milésimas. c) Aproximación decimal por exceso a centésimas. p + F = 4,75962664 ... a) Aproximación decimal a décimas por exceso es 4,8. Aproximación decimal a décimas por defecto es 4,7. b) Aproximación decimal por defecto a milésimas es 4,759. c) Aproximación decimal por exceso a centésimas es 4,76. Dado el número 1 724,157203... a) Calcula sus respectivos redondeos con las siguientes cotas de error: b) Indica cuáles de las siguientes aproximaciones decimales del número anterior son redondeos. En los casos en que lo sean escribe la cota de error. a) Cota de error 5 ⇒ redondeo a decenas 1 720. Cota de error 0,5 ⇒ redondeo a unidades 1 724. Cota de error 0,005 ⇒ redondeo a centésimas 1 724,16. Cota de error 0,0005 ⇒ redondeo a milésimas 1 724,157. Cota de error 500 ⇒ redondeo a unidades de mil 2 000. b) 1 725 no es redondeo. 1 724,16 es un redondeo a centésimas. 1 724,2 es un redondeo a décimas. 1 724,1 no es redondeo. 1 724,158 no es redondeo. 1 724,1572 es un redondeo a diezmilésimas. PÁGINA • 26 En un supermercado nos presentan la cuenta a cobrar en euros. Los productos que hemos comprado tienen los siguientes precios: a) 1,325 euros b) 0,477 euros c) 25,008 euros d) 122,553 euros e) 82,572 euros f) 7,634 euros El supermercado redondea a centésimas de euro. ¿Cuántos euros pagaremos si: • primero redondea y luego suma o • primero suma y luego redondea? Primero redondea y luego suma: 1,33 + 0,48 + 25,01 + 122,55 + 82,57 + 7,63 = = 239,57 euros. Primero sumamos y después redondeamos a centési- mas: 1,325 + 0,477 + 25,008 + 122,553 + 82,572 + + 7,634 = 239,569 euros redondeando a centésimas queda: 239,57 euros. Calcula, aproximadamente, el error absoluto y relativo que se comete al tomar como valor aproximado de p 221/71. Consideramos como valor real p = 3,141592. Error absoluto: ¦ 3,141592 – ¦ = 0,028916... Error relativo: = = 0,0092... Calcula, aproximadamente, el error absoluto y relativo que se comete al redondear el número de oro F a centésimas. F = 1,61803398... Redondeo a centésimas: 1,62. Error absoluto = 0,00197... Error relativo = 0,00121506... Expresa en notación científica las siguientes cantidades y determina el orden de magnitud: a) Distancia Tierra-Luna: 384 000 km. b) Distancia Tierra-Sol: 150 000 000 km. 19 18 0,028916 3,141592 Error absoluto Valor real 221 71 17 16 15 5 0,5 0,005 0,0005 500 1 720 1 724,158 1 724,1572 1 725 1 724,16 1 724,2 1 724,1 c) Distancia Tierra-Neptuno: 4 308 000 000 km. d) Virus de la gripe: 0,000 000 002 2 m. e) Radio del protón: 0,000 000 000 05 m. f) Peso de un estafilococo: 0,000 000 000 1 g. g) Distancia del universo observable: 2,5 · 10 10 años luz (1 año luz es 9,4 · 10 12 km). a) 3,84 · 10 5 el orden de magnitud es 10 5 b) 1,5 · 10 8 " " " " " 10 8 c) 4,308 · 10 9 " " " " " 10 9 d) 2,2 · 10 –9 " " " " " 10 –9 e) 5 · 10 –11 " " " " " 10 –11 · 10 = = 10 –10 f) 1 · 10 –10 " " " " " 10 –10 g) 2,35 · 10 23 " " " " " 10 23 La capacidad de memoria de un ordenador se mide en: Byte = 2 3 Bits; K-Byte = 2 10 Bytes Megabyte = 2 10 K-Bytes; Gigabyte = 2 10 Megabytes Expresa en forma de potencia y en nota- ción científica la capacidad de los siguientes ordenadores y disquetes en By- tes y Bits: a) Disco duro de 6,2 Gigas b) Disquete de 1,44 Megas c) Un disco Zip de 100 Megas d) Un CD-ROM de 650 Megas a) 6,2 · 2 30 Bytes = 6,2 · 2 33 Bits. b) 1,44 Megas = 1,44 · 2 20 Bytes = 1,44 · 2 23 Bits. c) 100 Megas = 1 · 2 22 Bytes = 1 · 2 25 Bits. d) 650 Megas = 6,5 · 2 22 Bytes = 6,5 · 2 25 Bits. Simplifica los siguientes radicales: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) Efectúa las siguientes operaciones: a) b) c) d) a) b) c) d) x 37 20 2 2 3 – 3 5 4 3 36 3 25 4 9 6 x x x x x – – + + + 4 5 8 50 7 2 18 3 4 98 – – + 2 16 3 128 5 54 3 3 3 + – 3 12 5 27 243 1 5 75 – – + 22 x y x y z x y x y z x z 3 5 5 4 9 4 2 3 6 4 · ⋅ 5 1 25 5 3 9 3 · 8 81 2 3 3 4 3 3 a b a b a 3 · 72 2 36 6 7 3 4 2 x x x x · · 3 3 3 3 3 3 4 4 4 3 16 7 16 · ⋅ · 2 8 2 2 3 4 12 ⋅ · x x x 14 3 2 3 · x x x x ⋅ · · 3 4 2 – – 1 080x x x 5 3 2 3 6 5 · 729 3 7 6 6 a a a · x y x y 4 6 2 3 · 128 8 2 3 x x x · x y x y z x y 3 5 5 4 9 4 2 5 1 25 3 3 8 81 4 3 a b 3 72 2 7 3 x x 3 3 3 4 4 2 8 3 4 ⋅ x 14 3 x x ⋅ 3 –1 080x 5 3 729 7 6 a x y 4 6 128 3 x 21 20 G U Í A D I D Á C T I C A • 23 PÁGINA • 27 Efectúa las siguientes operaciones, simplificando todo lo posible los resultados: a) b) c) d) a) b) c) 1 d) Racionaliza las siguientes fracciones: Efectúa y simplifica: a) b) c) d) e) f) g) h) La naranja al pelarla pierde de su peso; la naranja pelada pierde al exprimirla para hacer zumo un 30 % de su peso. ¿Cuántos kg de naranjas hemos de comprar para obtener 2 400 kg de zumo? 1 5 26 a b c d a a a a a a a a a e f ) ) ) ) ) ) 98 48 18 10 2 4 3 4 9 729 4 9 9 36 6 9 17 9 17 9 17 64 4 250 16 4 64 10 4 6 14 3 3 3 2 2 3 3 2 3 3 4 2 3 3 4 8 37 24 13 24 3 3 3 3 3 – – – – – – – + 1 000 · · ⋅ · · ⋅ + · ( ) · · · ⋅ · ⋅ ⋅ · · · ¸ ¸ _ , ⋅ · · · · + 77 81 14 4 4 42 36 21 8 42 6 21 2 2 42 6 42 4 42 12 2 5 3 2 2 5 3 2 2 3 2 38 12 10 2 2 3 57 18 10 2 3 4 – – – – – – – – – – – · + · · · · · · · · g h ) ) + 2 5 3 2 2 5 3 2 2 3 2 – – + 42 36 21 8 – 14 7 81 4 + – 250 16 4 3 3 3 – ( ) ⋅ a a a 2 3 3 4 ⋅ 9 17 9 + 17 – 3 3 ⋅ 4 9 729 3 98 48 18 1 2 1 2 1 2 – + 25 3 3 2 3 3 1 2 5 5 10 2 3 162 3 7 7 3 3 3 2 2 6 3 2 2 3 3 2 3 3 2 5 2 5 2 9 4 5 1 11 3 5 2 7 3 5 22 7 17 7 1 2 7 5 3 7 5 5 5 3 6 · · · ⋅ · + · · + · · + + + · ; ; ; ; – ; – – – ; – – ; – ; – 3 087 3 24 4 10 20 – 4 4 2 + 3 3 2 – 72 20 2 2 2 8 7 2 – – – ( ) ( ) + 1 2 1 2 2 2 2 2 + + + ( ) ( ) ( ) ( ) – – 2 2 2 2 2 2 2 + + ( ) ( ) ( ) – – 3 2 2 2 3 3 + ( ) ( ) ⋅ – 23 24 • G U Í A D I D Á C T I C A 3 2 2 + 7 7 3 3 ⋅ 2 3 5 5 1 2 5 2 3 7 1 2 7 5 + + 11 3 5 2 7 – 5 2 5 2 – + 3 3 2 3 – El zumo supone · · Peso = · P. Por tanto, · P = 2 400 ⇒ P = 4 285,7 kg naranjas. La cantidad de azúcar morena que se obtiene de la caña es 12/19 de su peso. La cantidad de azúcar blanca que se obtiene de refinar el azúcar morena es 4/3 de su peso. ¿Cuánta caña de azúcar se necesita para obtener 10 toneladas de azúcar blanca? Efectúa, simplificando lo más posible el resultado: a) b) c) d) e) f) En qué cifra termina cada uno de los siguientes números: a) 3 535 b) 2 2 001 + 1 c) 8 1 999 – 1 a) Las terminaciones de las potencias de 3 son: 3 535 = 3 4·133+3 3 535 termina igual que 3 3 en 7 b) Las terminaciones de las potencias de 2 son: 2 2 001 termina igual que 2 1 es decir, en 2; por tanto: 2 2 001 + 1 termina en 3 c) Las terminaciones de las potencias de 8 son: 8 1 999 termina igual que 8 3 es decir, en 2; por tanto: 8 1 999 – 1 termina en 1 8 8 8 64 8 512 8 4 096 8 32 768 1 2 3 4 5 · · · · · ¹ ; ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ 2 2 2 4 2 8 2 16 2 32 1 2 3 4 5 · · · · · ¹ ; ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ 3 3 3 9 3 27 3 81 1 2 3 4 · · · · ¹ ; ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ 29 f ) 2 8 2 8 2 4 8 7 8 · ⋅ · b c ) ) 2 81 3 24 192 3 6 3 6 3 3 3 4 2 5 5 2 2 5 2 5 5 2 2 5 2 5 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 6 12 · · · ⋅ ⋅ · · ¸ ¸ _ , – – + + 4 ⋅ ¸ ¸ _ , ⋅ ¸ ¸ _ , · ¸ ¸ _ , · ⋅ · ( ) · · ⋅ ⋅ · 4 2 12 3 12 4 2 2 3 5 3 4 30 20 12 45 60 17 60 5 2 2 5 2 5 2 5 7 2 6 7 2 6 7 2 6 5 3 3 3 3 3 3 3 3 3 d e ) ) – – + a) 16 16 16 16 256 1 2 3 2 1 2 1 2 3 2 4 2 4 2 ¸ ¸ _ , ¸ 1 ] 1 1 1 1 1 · ¸ ¸ _ , · · – – – 2 8 4 3 3 3 3 3 5 3 4 7 2 6 7 2 6 – ⋅ + 2 5 5 2 2 5 3 2 81 3 24 192 3 3 3 3 3 – + 16 16 1 2 3 2 1 2 4 / / – / ¸ ¸ _ , ¸ 1 ] 1 1 28 Azúcar moreno ( ) caña ( ) Azúcar blanca ( ) ( ) T T de caña AM C AB AM AB C C C · · ¹ ; ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ⇒ ⇒ · ⋅ ⋅ · ⋅ ⋅ ⇒ · 12 19 4 3 12 19 4 3 10 12 19 4 3 11 875 , 27 28 50 28 50 4 5 70 100 G U Í A D I D Á C T I C A • 25 PÁGINA • 29 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 1. SUMAS. Considera la serie de números pares 2, 4, 6, 8, etc. ¿Cuánto vale la suma de los m primeros? 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 2m = m (m + 1). 2. EL CAMELLO SEDIENTO. El beduino Ali- kan desea transportar 100 bidones llenos de agua desde Kamal hasta Wadi, pueblos separados por 100 km de desierto. Para ello, dispone de un camello capaz de andar indefinidamente descargado, o de cargar con un solo bidón, debiendo en este caso, cada vez que completa 100 km cargado, beber una cantidad de agua igual a la que contiene aquél. El beduino no dispone de más agua para el camello que la contenida en los bidones. ¿Cuántos de estos 100 bidones podrán llegar a Wadi? • Supongamos que el camello lleva un bidón hasta la mitad del camino, vuelve a Kamal, carga con otro bidón hasta el mismo punto y se bebe uno de los bidones transportados, quedándole otro. Repitiendo este proceso conseguirá llevar 50 bidones hasta la mitad del camino. Desde aquí repitiendo lo mismo hasta Wadi conseguirá que lleguen 25 bidones = = 100 · . • Si mejoramos la solución conseguiremos que lleguen más bidones, haciendo el camino en tres fases tras el 1. er tercio, el camello habrá bebido 33,333... bidones y quedan 66,666... En el 2.º tercio se bebe 22,22... y quedan 44,444... En Wadi se bebe 14,81... y quedan 29,629... bidones, es decir: 100 · = 100 · . • Avanzando por cuartos de camino se puede mejorar la solución (llegan 31,640 ≅ 100 · = = 100 · = 100 · ( ) 4 bidones). Siguiendo así sucesivamente se puede decir que en el mejor de los casos llegan 100 · ( ) 100 ≅ 100 · . 1 e 99 100 3 4 3 4 4 4 81 256 2 3 3 3 8 27 1 2 2 2 26 • G U Í A D I D Á C T I C A Al finalizar esta Unidad Didáctica, el alumno y la alumna deberán ser capaces de: 1. Realizar con corrección todas las operaciones elementales con polinomios. 2. Relacionar el resto con los factores en las divisiones por x – a o x + a. 3. Aplicar los resultados obtenidos de las divisiones de polinomios. 4. Operar con fracciones algebraicas. • Reforzar el trabajo con los conceptos previos asociados al potente lenguaje algebraico, en particular con los polinomios. • Trabajando las operaciones con polinomios, en particular, el cociente de polinomios. • Aplicando los resultados de la división de polinomios en la factorización de estos, para calcular el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de dos o más polinomios. • Operando con fracciones algebraicas y con las descomposiciones en fracciones simples. G U Í A D I D Á C T I C A • 27 OBJETIVOS DIDÁCTICOS ¿CÓMO TRABAJAR LA UNIDAD? PÁGINA • 31 ACTIVIDADES INICIALES 1. Calcula el cociente y el resto en cada una de las siguientes divisiones: a) (x 3 – 3x 2 + 4) : (x + 1) b) (x 4 – x) : (x – 2) a) Por Ruffini: b) Por Ruffini: 2. Calcula el valor de a para que el polinomio: A(x) = x 3 + ax 2 – 7x – 2 dé resto 5 al dividirlo por x + 3. Utilizando el teorema del resto: Resto = A(–3) ⇒ 5 = (–3) 3 + a (–3) 2 – 7 (–3) – 2 ⇒ ⇒ a = 13 9 El resto es 14. El cociente es: x 3 + 2x 2 + 4x + 7 1 0 0 1 0 2 2 4 8 14 1 2 4 7 14 − · R El resto es 0. El cociente es: x 2 – 4x + 4 1 3 0 4 1 1 4 4 1 4 4 0 − + − − + − − + · R 28 • G U Í A D I D Á C T I C A CONCEPTOS 1. Polinomios. Identidad de polinomios. 2. Operaciones con polinomios. 3. División de polinomios. 4. División por x – a. Regla de Ruf- fini. 5. Teorema del resto y teorema del factor. 6. Descomposición factorial de un polinomio. 7. Máximo común divisor y mínimo común múltiplo de polinomios. 8. Fracciones algebraicas. 9. Operaciones con fracciones algebraicas. – Curiosidad e interés por en- frentarse a problemas algebraico. – Gusto por la presentación ordenada de los procesos y resultados obtenidos en las operaciones con polinomios y fracciones algebraicas. – Perseverancia y flexibilidad en la búsqueda de soluciones a las actividades propuestas con polinomios y fracciones algebraicas. – Tomar conciencia de la importancia de las situaciones que pueden formularse a través del lenguaje algebraico. • Empleo correcto del lenguaje algebraico. • Utilización de las técnicas y procedimientos que permitan realizar las operaciones con monomios, polinomios y fracciones algebraicas. • Utilización de la regla de Ruffini en la factorización de polinomios. • Aplicación de los conceptos asociados a la divisibilidad de polinomios al cálculo de restos, factores o coeficientes de polinomios; además de a la simplificación de fracciones algebraicas. ACTITUDES PROCEDIMIENTOS RESOLUCIÓN DE ACTIVIDADES 3. Descompón en factores los siguientes polinomios: a) A(x) = x 3 – 5x 2 + 6x b) B(x) = x 4 – 16 a) x 3 – 5x 2 + 6x = x (x – 2) (x – 3) b) x 4 – 16 = (x – 2) (x + 2) (x 2 + 4) 4. Efectúa y da el resultado en forma de frac- ción irreducible: PÁGINA • 33 ACTIVIDADES PARA RESOLVER 1. Dados los polinomios: A(x) = –x 3 – 2x + 5; B(x) = 2x 4 + x 3 ; C(x) = 2x – 5 calcula: a) A(x) + B(x) – C(x) b) A(x) – [B(x) – C(x)] c) A(x) – 2 B(x) d) B(x) · C(x) e) [B(x)] 2 f) C(x) · [B(x) + A(x)] a) A(x) + B(x) – C(x) = 2x 4 – 4x + 10 b) A(x) – [B(x) – C(x)] = –2x 4 – 2x 3 c) A(x) – 2 · B(x) = –4x 4 – 3x 3 – 2x + 5 d) B(x) · C(x) = 4x 5 – 8x 4 – 5x 3 e) [B(x)] 2 = 4x 8 + 4x 7 + x 6 f) C(x) · [B(x) + A(x)] = 4x 5 – 10x 4 – 4x 2 + 20x – 25 2. Efectúa las siguientes operaciones: a) (3 – 2x) 2 b) (5x – 2) (5x + 2) c) (2 + x) 3 d) ( + 4x ) 2 e) (x – 3) 2 – (x + 3) 2 f) (3x + 5) 2 – (3x – 5) (3x + 5) a) (3 – 2x) 2 = 9 – 12x + 4x 2 b) (5x – 2) (5x + 2) = 25x 2 – 4 c) (2 + x) 3 = 8 + 12x + 6x 2 + x 3 d) ( + 4x 2 ) 2 = + 4x 2 + 16x 4 e) (x – 3) 2 – (x + 3) 2 = –12x f) (3x + 5) 2 – (3x – 5) · (3x + 5) = 30x + 50 PÁGINA • 34 1. Determina el cociente y el resto de la divi- sión (–2 + 3x 2 + 2x – 3x 4 ) : (x 2 + 4 + 2x). Comprueba que: a) Dividendo = divisor · cociente + resto. b) Grado del resto < grado del divisor. c) Grado del cociente = grado del dividendo – grado del divisor. Cociente: – 3x 2 + 6x + 3 Resto: –28x – 14 a) Efectivamente se verifica la igualdad: (x 2 + 2x + 4) · (–3x 2 + 6x + 3) + (–28x – 14) = = –3x 4 + 3x 2 + 2x – 2 b) Grado resto = 1 < 2 = grado divisor. c) Grado cociente (2) = grado dividendo (4) – grado divisor (2) PÁGINA • 35 1. Efectúa las siguientes divisiones utilizando la regla de Ruffini: a) (x 4 – 3x 3 + 4x – 2) : (x – 1) b) (2x 4 – 17) : (x + 2) c) (x 5 – 32) : (x – 2) a) Cociente = x 3 – 2x 2 – 2x + 2 Resto = 0 b) Cociente = 2x 3 – 4x 2 + 8x – 16 Resto = 15 c) Cociente = x 4 + 2x 3 + 4x 2 + 8x + 16 Resto = 0 2. Calcula el valor de a para que las siguientes divisiones sean exactas: a) (3x 3 – 2x 2 + 5x + a) : (x + 1) b) –(x 4 + 2x 3 – ax + 1) : (x – 2) 1 4 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 − ¸ ¸ _ , ⋅ + − · − ⋅ ⋅ + − + · x x x x x x x x x x ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 2 − ¸ ¸ _ , ⋅ + − x x x x G U Í A D I D Á C T I C A • 29 a) Aplicando la regla de Ruffini obtenemos: a = 10 b) Aplicando la regla de Ruffini obtenemos: a = PÁGINA • 38 1. Descompón en factores los siguientes polinomios: a) A(x) = 3x 2 – 48 b) B(x) = x 3 + 8x 2 + 16x c) C(x) = x 3 + 3x 2 – x – 3 a) A(x) = 3 · (x – 4) (x + 4) b) B(x) = x · (x + 4) 2 c) C(x) = (x – 1) (x + 1) (x + 3) 2. Encuentra las raíces de cada uno de los polinomios siguientes: a) A(x) = x 3 – 4x b) B(x) = 2x 4 – 32 c) C(x) = x 3 + 2x 2 – 4x – 8 Descomponemos en factores cada uno de los polinomios: a) A(x) = x · (x – 2) (x + 2) Las raíces de A(x) son 0, 2 y –2. b) B(x) = 2 · (x – 2) (x + 2) (x 2 + 4) Las raíces de B(x) son 2 y –2. c) C(x) = (x – 2) (x + 2) 2 Las raíces de C(x) son 2 y –2; esta última es raíz doble. 3. Calcula el MCD y el mcm de los polinomios de los siguientes apartados: a) A(x) = 3x 2 – 12 B(x) = 2x 4 – 2x 3 – 4x 2 b) A(x) = x 3 – x 2 – 9x + 9 B(x) = x 3 – 1 c) A(x) = x 3 + 2x 2 – 4x – 8 B(x) = x 3 + x 2 – 4x – 4 C(x) = 2x 3 + 2x 2 – 4x a) A(x) = 3 · (x – 2) · (x + 2) B(x) = 2 · x 2 · (x – 2) · (x + 1) MCD [A(x), B(x)] = (x – 2) mcm [A(x), B(x)] = 6 · x 2 · (x – 2) (x + 2) (x + 1) b) A(x) = (x – 1) (x – 3) (x + 3) B(x) = (x – 1) · (x 2 + x + 1) MCD [A(x), B(x)] = (x – 1) mcm [A(x), B(x)] = (x – 1) (x – 3) (x +3) (x 2 +x +1) c) A(x) = (x – 2) · (x + 2) 2 B(x) = (x – 2) · (x + 1) · (x + 2) C(x) = 2 · x · (x + 2) · (x – 1) MCD [A(x), B(x), C(x)] = (x + 2) mcm [A(x), B(x), C(x)] = (x + 2) 2 · 2 · x · (x – 2) · · (x + 1) · (x – 1) 4. Para los polinomios del apartado a) anterior comprueba: MCD [A(x), B(x)] · mcm [A(x), B(x)] = A(x) · B(x) Fácilmente se comprueba esta igualdad a partir de las descomposiciones factoriales de los polinomios. PÁGINA • 41 1. Efectúa las siguientes operaciones y obtén en cada caso la fracción irreducible: a) – b) · c) : d) + e) ( 1 + ) : f) : · a) b) = c) = d) e) = 1 f) 3 · (x + 1) 2 x 3 – x 2 (x + 2) · x · (x – 2) x (x – 2) · (x + 2) 5x – 4 x 2 – x – 2 2 (x – 1) (x + 3) x (x + 3) 2 · 4 · (x – 1) 2 x (x – 1) · 2 · (x + 3) 4 · x x – 1 x · (x + 1) · 4 · (x 2 + 1) (x 2 + 1) · (x + 1) · (x – 1) x 2 + 1 x 2 – 1 3x – 12 x 2 – x x 2 – 16 x 2 + 2x + 1 x 2 + 4x x 2 x 2 – 4 x 2 – 2x 2 x 3 x + 1 2 x – 2 2x + 6 4x 2 – 8x + 4 x 2 + 6x + 9 x 2 – x 4x 2 + 4 x 2 – 1 x 2 + x x 2 + 1 1 x + 1 x x – 1 1 2 30 • G U Í A D I D Á C T I C A PÁGINA • 42 ACTIVIDADES DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE Encuentra el polinomio A(x) que satisfaga la igualdad: (x 2 – 3) · A(x) = x 3 + 2x 2 – 3x – 6 • Mediante identidad de polinomios: (x 2 – 3) (ax + b) = x 3 + 2x 2 – 3x – 6 ax 3 + bx 2 – 3ax – 3b = x 3 + 2x 2 – 3x – 6 Identificando coeficientes obtenemos: a = 1, b = 2 ⇒ el polinomio A(x) = x + 2 • Mediante la división: A(x) = = x + 2 Determina a y b de modo que sea cierta la siguiente igualdad: Operando y utilizando la identidad de polinomios obtenemos: a = 1 b = –2 Descompón en factores los siguientes polinomios: a) A(x) = x 4 – 25x 2 + 144 b) B(x) = x 3 + 2x 2 + x c) C(x) = x 3 – x 2 – x + 1 d) D(x) = 8x 3 + 2x 2 – 13x + 3 e) E(x) = x 4 – 2x 3 – 2x 2 – 2x – 3 Las descomposiciones pedidas son: Calcula el MCD y el mcm de los siguientes polinomios: a) A(x) = x 3 – 5x 2 + 6x; B(x) = x 2 + x – 6 b) C(x) = x 3 – 4x 2 + 5x – 6; D(x) = x 3 – 5x 2 + 8x – 4 c) E(x) = 2x 3 – 2x 2 – 2x – 4; F(x) = –2x 2 – x + 10 En cada uno de los casos descomponemos los polinomios en factores y calculamos el MCD y el mcm. Resuelve las siguientes cuestiones: a) Dado el polinomio P(x) = x 4 +x 3 – 2x 2 +3 calcula: P(0), P(1) y P(–2) b) Calcula el valor de k para que el polinomio P(x) = 2x 3 – kx 2 + 6 sea divisible por x + 1. c) Calcula el valor de a para el cual el res- to de la división (x 4 – 4x 3 + ax) : (x + 2) es 2. d) Calcula el resto de dividir el polinomio B(x) = x 2 + 3x – 5 por x. a) P(0) = 3; P(1) = 3; P(–2) = 3 b) Debe verificarse que P(–1) = 0 ⇒ k = 4 c) Debe verificarse que P(–2) = 2 ⇒ a = 23 d) El resto de esta división es B(0) = –5 Obtén la fracción irreducible en cada una de las siguientes: a) b) 2 4 4 4 2 x x x – – + 5 15 10 15 2 3 2 x x x x – + 6 5 a A x x x x B x x x A x B x x A x B x x x x x b C x x x x D x x x ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ), ( )] ( ) [ ( ), ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) · − − · + − ¹ ; ¹ ⇒ ⇒ · − · − − + · − − + · − − 3 2 3 2 2 3 2 3 3 2 2 1 2 2 MCD mcm ¹¹ ; ¹ ¹ ¹ ⇒ ⇒ · · ⋅ · + + − · − + ¸ ¸ _ , ¹ ; ¹ ¹ ¹ ⇒ ⇒ · − MCD mcm MCD mcm [ ( ), ( )] [ ( ), ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) – ( ) [ ( ), ( )] ( ) [ ( ), ( C x D x C x D x C x D x c E x x x x F x x x E x F x x E x F x 1 2 1 2 2 2 5 2 2 2 2 ) )] )] – ( ) ( ) · − + + + ¸ ¸ _ , 2 2 1 5 2 2 x x x x 4 a A x x x x x b B x x x c C x x x d D x x x x e E x x x x ) ) ) ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) · − + − + · + · − + · − − ¸ ¸ _ , + ¸ ¸ _ , · + − + 3 3 4 4 1 1 1 8 1 1 4 3 2 1 3 1 2 2 2 3 ( – ) ( ) – – x x ax b x x x 2 3 2 2 3 5 4 7 1 + + + = + ⋅ 2 x 3 + 2x 2 – 3x – 6 x 2 – 3 1 G U Í A D I D Á C T I C A • 31 c) d) Efectúa las siguientes operaciones y da el resultado en forma de fracción irreducible: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) PÁGINA • 43 Utilizando la identidad de polinomios resuelve las siguientes cuestiones: a) Calcula a y b de forma que se verifique: (x 2 + x + 1) · (ax + b) = 2x 3 + x 2 + x – 1 8 a x x x x x x x b x x x x c x x x x x x x x d x x x x x x ) ) ) ) 5 3 3 2 5 7 9 3 2 2 1 4 2 2 3 4 7 3 5 3 6 9 7 22 15 9 2 6 1 5 5 4 12 2 3 5 1 2 2 2 2 2 2 2 + + ) ( + + + + – ( ) – – – – – – – – – – – ( ) ( ) · − + + − · · + + ⋅ · − ⋅ ⋅ + (( ) ( ) – : – – – ( ) ( ) ( ) ( ) – – – : – x x x x e x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x − + ⋅ ⋅ − · · − · − ⋅ − ⋅ + + − + · · − + ⋅ 1 1 4 3 5 2 2 1 2 6 1 3 9 1 3 3 2 3 1 1 3 2 2 6 5 5 6 2 8 2 10 2 2 2 2 2 2 ) ( + ) ( ) ( + + + ) ) ++ ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) 2 ( ) + 3 1 5 2 2 3 2 3 1 5 2 1 1 1 1 1 1 2 x x x x x x x x x x x x x g x x x x x x x x x h x x x x x x · · − − ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ + + + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − · · − ¸ ¸ _ , · − − · + ¸ ¸ _ , ( ( – : – : – : – – ) ) 11 1 2 1 1 1 2 2 3 3 9 3 9 3 9 3 3 3 9 3 3 2 2 2 3 2 3 2 ¸ ¸ _ , · − − − · · − − ⋅ ⋅ − · − ¸ ¸ _ , ⋅ · − ⋅ + − · · − + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − x x x x x x x x x x x x i x x x x x x x x x x x x x x x x : ( ) ( ) ( ) – – ( ) ( ) ( ) ) + ) ( ·· · + + · + + + ⋅ ¸ ¸ _ , · + ⋅ − + − · · − ⋅ + ⋅ ⋅ + − · − − ( ) ( + + ) ( ( ) ( x x x x x j x x x x x x x x x x x x x x 3 9 3 3 9 27 3 1 2 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2 3 2 2 ) – – ( ) ) ( ) ) x x x x + + 1 2 1 1 1 1 ⋅ ¸ ¸ _ , – – x x x x x 3 3 9 3 3 – – ¸ ¸ _ , ⋅ + x x x x x x + – : – – 1 1 ¸ ¸ _ , ¸ ¸ _ , x x x x – : – 1 1 ¸ ¸ _ , x x x x x x x x x x 2 2 2 2 2 6 5 5 6 2 8 2 10 3 – – – : – + + + + ⋅ x x x x – : – – – 1 2 6 1 3 9 2 + 2 6 1 5 5 4 12 2 x x x x – – – ⋅ + 7 3 5 3 6 9 2 x x x x x – – – + + 2 1 4 2 2 2 x x x – – – + 5 3 3 2 x x x + + – 7 a x x x x x x x x x x x b x x x x x x c x x x x x x x x x ) ) ) 5 15 10 15 5 3 5 2 3 3 2 3 2 4 4 4 2 2 2 2 2 6 2 8 2 3 1 2 4 2 3 2 2 2 2 2 2 2 – ( ) ( ) – – ( ) ( ) – – – ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + + + · − + · − · − − · − · − + − − + · − − 33 4 8 12 6 2 12 2 3 2 4 6 2 3 4 6 6 4 6 3 2 3 2 2 2 2 2 2 x d x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + · − + − − − · · − + − − · + − − − ) – – – ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + + x x x x x x 3 2 3 2 8 12 6 2 12 – – – + + + 6 2 8 2 2 – – – x x x x + 32 • G U Í A D I D Á C T I C A b) Calcula la siguiente raíz: c) Calcula A y B de modo que se verifique la igualdad siguiente: a) Utilizando el principio de identidad de polinomios obtenemos: b) c) Encuentra las raíces de los siguientes polinomios: A(x) = x 4 – x 3 – x 2 – x – 2 B(x) = x 3 + 4x 2 + 4x C(x) = x 3 + 9x Obtenemos la raíces de los polinomios a partir de su descomposición factorial: A(x) = (x + 1) (x – 2) (x 2 + 1). Las raíces son 2 y –1. B(x) = x (x + 2) 2 . Las raíces de B(x) son 0 y –2; esta última es raíz doble. C(x) = x (x 2 + 9). Las raiz de C(x) es 0. Halla los valores que deben tomar a y b para que las siguientes fracciones sean equivalentes: Estas fracciones son equivalentes siempre y cuando sus fracciones reducidas sean equivalentes: Mediante el principio de identidad de polinomios obtenemos: b = –3 ; a = –5 Halla un polinomio de primer grado sabiendo que su raíz es –2 y que toma el valor de 5 para x = 3. El polinomio buscado será P(x) = ax + b Debe cumplir: El polinomio es: P(x) = x + 2 Estudia si el polinomio P(x) = x n – 1 es divisible por x + 1, siendo n un núme- ro natural. Observamos que P(–1) = (–1) n – 1 = 0 si n es par. Por tanto P(x) es divisible por (x + 1) siempre que n sea par. Halla a y b para que el polinomio A(x) = x 3 + ax + b tenga la raíz doble 1. Para que A(x) tenga por raíz doble 1 debe verificarse: x 3 + ax + b = (x – 1) 2 · (x + c) Utilizando el principio de identidad de polinomios obtenemos: Por tanto a = –3; b = 2 Encuentra el polinomio en cada uno de los siguientes casos: a) Raíces 1, 2 y 3 b) Raíces 0 y 1 raíz doble c) Raíces 0 raíz doble y –1 raíz triple a) El polinomio que tiene como raíces 1, 2, 3 es de la forma: P(x) = a · (x – 1) · (x – 2) · (x – 3). Un caso particular es: P(x) = (x – 1) · (x – 2) · (x – 3). 14 Para Para Para x a b x b c x a b c a b c · ⇒ + + · · ⇒ · · − ⇒ − − + · − + ¹ ; ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ⇒ · − · · 1 1 0 0 1 1 4 4 3 2 2 13 12 P a b P a b a b ( ) ( ) − · ⇒ − + · · ⇒ + · ¹ ; ¹ ⇒ · · 2 0 2 0 3 5 3 5 1 2 11 x x x x x x ax b x x x ax b x x x + + · − − − + + ⇒ · + ⋅ − + + · · + ⋅ − − 2 1 6 2 1 6 2 2 3 2 2 3 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x x 2 3 2 4 3 2 2 1 − − − + + = ( ) x x x x x x x ax b 2 3 2 3 2 4 3 2 6 − − − − − − + + y 10 9 5 4 2 1 2 2 1 2 5 4 2 3 6 2 1 3 9 3 2 2 x x x A x B x x x A x B x x x A A x B B − − − · + + − − − ⇒ ⇒ + + − · − · ⇒ · ⇒ · · − ⇒ − · − ⇒ · ( ) ( ) ( ) ( ) Para Para x x x x x 3 2 3 3 3 3 3 1 1 1 − + − · − · − ( ) ( ) Para Para x b x a b b a · ⇒ · − · ⇒ + · ¹ ; ¹ ⇒ · − · 0 1 1 3 3 3 1 2 5 4 2 2 1 2 x x x A x B x − − − · − + + x x x 3 2 3 3 3 1 − + − G U Í A D I D Á C T I C A • 33 b) El polinomio que tiene como raíces 0 y 1 doble es de la forma: P(x) = a · x · (x – 1) 2 c) El polinomio que tiene como raíz doble el 0 y raíz triple el –1 es de la forma: P(x) = a · x 2 · (x + 1) 3 Comprueba si son o no ciertas las siguientes igualdades: a) (x 2 + 1) 2 – (x 2 – 1) 2 = 4x 2 b) a) Operando obtenemos: (x 2 + 1) 2 – (x 2 – 1) 2 = x 4 + 2x 2 + 1 – (x 4 – 2x 2 + 1) = 4x 2 luego esta igualdad es cierta. b) luego esta igualdad es cierta. Halla m y n para que el polinomio 4x 4 + mx 3 – 11x 2 – 6x + n sea un cuadrado perfecto. Se debe verificar que: 4x 4 + mx 3 – 11x 2 – 6x + n = (2x 2 + ax + b) 2 Utilizando el principio de identidad de polinomios, dando valores a la x, obtenemos: a = 1 b = –3 m = 4 n = 9 Para estos valores se cumple: 4x 4 + 4x 3 – 11x 2 – 6x + 9 = (2x 2 + x – 3) 2 PÁGINA • 45 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 1. DECORACIÓN. ¿Cómo colocarías 10 lám- paras de pie en torno a un cuarto de estar cuadrado, de manera que haya el mismo número de lámparas junto a cada pared? De la siguiente forma: Cada punto representa una lámpara. 2. LAS CALLES DEL PUEBLO. Todas las calles de un pueblo son rectas, sin que haya dos paralelas. Al emplear una farola en cada cruce, se colocan 66 farolas. ¿Cuántas calles tenía el pueblo como mínimo? Si hay n calles el número máximo de cruces es: C n,2 = Luego si hay 66 farolas ⇒ 66 cruces ⇒ ⇒ ⇒ n 2 – n – 132 = 0 ⇒ n = 12 calles como mínimo tenía el pueblo. 3. UN CRIADO SABIO. Un señor tenía sus mejores botellas de vino dispuestas en la cava de la manera indicada en la figura. Desconfiaba de su criado y, todas las no- ches, antes de acostarse, bajaba a la cava y las contaba sumando el número de botellas que había en los tres compartimentos de cada uno de los cuatro lados. Si la suma era 21 botellas en los cuatro casos, descansa- ba feliz. El criado, por su parte, sabedor de la es- tratagema y del bajo concepto que de él te- nía el señor, decidió robarle botellas. ¡Y lo consiguió! Le robaba unas cuantas y redis- tribuía las restantes, de tal modo que no perturbase los sueños del amo. ¿Cuántas botellas, como máximo, pudo robar? ¿Cómo quedó la cava? Ésta es una de las disposicio- nes en que quedó la cava. Como máximo pudo robar: 60 – 42 = 18 botellas. La disposición de las 42 botellas en la cava admite muchas formas diferentes. n 2 – n 2 n 2 – n 2 16 x x x x x x − − · − − · 1 1 1 1 1 x x x − − · 1 1 1 15 34 • G U Í A D I D Á C T I C A 1 20 20 1 6 9 6 9 9 6 9 6 Al finalizar esta Unidad Didáctica, el alumno y la alumna deberán ser capaces de: 1. Reconocer y diferenciar las ecuaciones y sistemas de primero y segundo grado de otros. 2. Resolver con corrección ecuaciones y sistemas de ecuaciones de primero y segundo grado. 3. Utilizar los diferentes métodos de resolución de ecuaciones y sistemas. 4. Aplicar el lenguaje simbólico y algebraico a la resolución de problemas. 5. Usar el método de Gauss en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. • Pueden ponerse en práctica algunas estrategias de resolución de problemas, sobre todo la correspondiente a la elección de un lenguaje adecuado. • Debe buscarse entre las experiencias del alumno sus conocimientos en el ámbito que nos ocupa. • Reforzaremos el razonamiento inductivo a través de situaciones concretas. G U Í A D I D Á C T I C A • 35 OBJETIVOS DIDÁCTICOS ¿CÓMO TRABAJAR LA UNIDAD? PÁGINA • 47 ACTIVIDADES INICIALES 1. Halla los valores que, sustituidos por x, verifiquen las igualdades siguientes: a) (x – 2) 2 = x 2 – 5x + 5 b) (x + 1) 2 = x 2 + 2x + 1 a) Operando obtenemos: x 2 – 4x + 4 = x 2 – 5x + 5 ⇒ x = 1 Esta igualdad sólo se verifica para x = 1. b) Esta igualdad se verifica para todos los valores de x. 2. ¿Qué dos números dan el mismo resultado cuando se suman que cuando se multipli- can? ¿Y si consideramos tres números? • Son números x, y que verifican: x + y = x · y. Es decir: = y. Todos los números x; con x ≠ 1 dan igual resultado al sumar que al multiplicar. • En el caso de tres números son números de la forma: x; y; con x · y ≠ 1 y se obtienen de forma análoga al caso anterior. 4. Los pueblos de Abejar, Buitrago y Cidones no están situados en línea recta. Para ir desde Abejar a Cidones, pasando por Bui- trago, se recorren 24 km. En el camino de Buitrago a Abejar, pasando por Cidones, se cubren 32 km. Caminando desde Cido- x + y xy – 1 x x – 1 x x – 1 36 • G U Í A D I D Á C T I C A CONCEPTOS 1. Ecuaciones de segundo grado. Re- solución. 2. Propiedades y aplicaciones de la ecuación de segundo grado. 3. Ecuaciones de grado superior. 4. Ecuaciones irracionales. 5. Sistemas de ecuaciones de 2º grado. 6. Sistemas de ecuaciones lineales. 7. Sistemas equivalentes. 8. Método de Gauss. 9. Resolución de problemas con ecuaciones. – Curiosidad e interés por en- frentarse a problemas que comportan el uso del lenguaje algebraico. – Gusto por la presentación ordenada de los procedimientos y resultados obtenidos en la resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones. – Perseverancia y flexibilidad en la búsqueda de soluciones de ecuaciones, sistemas y problemas que comporten ecuaciones y sistemas. – Disposición favorable hacia el trabajo propuesto. • Formulación de problemas haciendo uso del lenguaje simbólico y algebraico. • Revisión de las técnicas de resolución de ecuaciones de primero y segundo grado. • Utilización del método de Gauss en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. • Uso del lenguaje algebraico para representar, comunicar o resolver situaciones con igualdades en los ám- bitos cotidiano, científico o técnico. ACTITUDES PROCEDIMIENTOS RESOLUCIÓN DE ACTIVIDADES nes a Buitrago, pasando por Abejar, se recorren 28 km. ¿Cuáles son los pueblos más cercanos? Consideremos el siguiente esquema: Imponiendo las condiciones del problema obtenemos: PÁGINA • 60 ACTIVIDADES DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 1 – = + b) – = 2 c) – 1 = d) – – ( – ) = 0 a) 1 – = + ⇒ x = b) – = 2 ⇒ x = 3 c) – 1 = ⇒ x = 4 d) – – ( – ) = 0 ⇒ x = Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 2x (x + 3) = 3 (x – 1) b) x + 1 = c) (x + 2) (x – 2) = 2 (x + 5) + 21 d) – = 2 e) (x 2 – 5) (x 2 – 3) = –1 f) x 4 – 13x 2 + 36 = 0 g) 9x 4 + 5x 2 = 4 h) 4x 4 – 65x 2 + 16 = 0 i) (x 2 – 16) (x 2 + 25) = 0 j) x 3 + 2x 2 – 5x – 6 = 0 Las soluciones son: a) 2x (x + 3) = 3 (x – 1) ⇔ 2x 2 + 3x + 3 = 0 No tiene soluciones reales. b) x + 1 = ⇔ x 2 + x – 6 = 0 ⇒ x 1 = 2; x 2 = –3 c) (x + 2) (x – 2) = 2 (x + 5) + 21 ⇔ ⇔ x 2 – 2x – 35 = 0 ⇒ x 1 = 7; x 2 = –5 d) – = 2 ⇔ x 2 + 6x – 27 = 0 ⇒ ⇒ x 1 = 3; x 2 = –9 e) (x 2 – 5) (x 2 – 3) = –1 ⇔ x 4 – 8x 2 + 16 = 0 ⇒ ⇒ x 1 = 2; x 2 = –2 f) x 4 – 13x 2 + 36 = 0 ⇒ ⇒ x 1 = 2; x 2 = –2; x 3 = 3; x 4 = –3 g) 9x 4 + 5x 2 = 4 ⇒ x 1 = ; x 2 = – h) 4x 4 – 65x 2 + 16 = 0 ⇒ x 1 = +4; x 2 = –4; x 3 = ; x 4 = – i) (x 2 – 16) · (x 2 + 25) = 0 ⇒ x 2 – 16 = 0 ⇒ ⇒ x 1 = 4; x 2 = –4 j) x 3 + 2x 2 – 5x – 6 = 0 ⇒ ⇒ (x – 2) (x + 1) (x + 3) = 0 ⇒ ⇒ x 1 = 2; x 2 = –1; x 3 = –3 Resuelve las siguientes cuestiones: a) Halla el valor de m en la ecuación x 2 + + mx – 24 = 0 sabiendo que una de las raíces es 8. b) Las raíces de la ecuación x 2 + ax + b = 0 son 2 y –3. Halla a y b. c) Halla b en en la ecuación 2x 2 + bx + + 50 = 0 para que las dos raíces de la ecuación sean iguales. d) Dada la ecuación x 2 + 6x = 0, escribe una ecuación de segundo grado que tenga como soluciones las soluciones dobles de las de la ecuación dada. 3 1 2 1 2 2 3 2 3 x 3 9 x 6 x x 3 9 x 6 x 2 3 5 x 3 2 5 1 3 2x – 1 6 x 6 4 x 8 x 3 4 3x + 2 x + 1 6 5 x – 1 6 x 2 x + 1 6 x 3 2 5 1 3 2x – 1 6 x 6 4 x 8 x 3 4 3x + 2 x + 1 x – 1 6 x 2 x + 1 6 1 x y y z x z x y z + · + · + · ¹ ; ¹ ¹ ¹ ⇒ · · · 24 32 28 10 14 18 km de Abejar a Buitrago km de Buitrago a Cidones km de Abejar a Cidones ABEJAR BUITRAGO CIDONES z x y G U Í A D I D Á C T I C A • 37 a) Si una de las raíces es 8, esta verifica la ecuación; es decir, 8 2 + m · 8 – 24 = 0 ⇒ m = –5. b) Si las raíces de la ecuación son 2 y –3, éstas deben verificar la ecuación, por lo tanto: c) Las dos raíces son iguales si el valor del discrimi- nante es 0, es decir: b 2 – 4ac = 0 ⇒ b 2 – 4 · 2 · 50 = 0 ⇒ b = ±20 d) La ecuación x 2 + 6x = 0 tiene como soluciones x 1 = 0 y x 2 = –6. La ecuación que tenga como soluciones dobles de las anteriores, 0 y –12, es: x 2 + 12x = 0 Descompón 200 en dos partes de forma que la cuarta parte de la primera menos la quinta parte de la segunda de 32. Las dos partes son x e y; deben verificar: Luego las dos partes son 160 y 40. Encuentra un número de dos cifras sabiendo que éstas suman 11 y que si invertimos el orden de las cifras el número obtenido excede en 45 al número dado. Llamando xy al número de dos cifras e imponiendo las condiciones del enunciado obtenemos: Por tanto el número buscado es 38. La edad actual de Luis es el triple de la de su hija María. Halla las edades de ambos sabiendo que dentro de 16 años el padre tendrá doble edad que la hija. Llamando x a la edad de Luis e y a la edad de Ma- ría. Se debe cumplir: Luis tiene 48 años y María tiene 16 años. En un parking hay 37 vehículos entre coches, motos y camiones de 6 ruedas. El nú- mero de motos excede en 3 al de coches y camiones juntos. Halla el número de ve- hículos de cada clase si en total suman 118 ruedas. Llamando x al nº de coches, y al de motos y z al de camiones. Se tiene que cumplir: La diferencia de cuadrados de dos números pares consecutivos es 100. ¿Cuáles son esos números? Sean los números pares consecutivos: (2x + 2) y (2x). Se debe cumplir: (2x + 2) 2 – (2x) 2 = 100 ⇒ x = 12 Los números buscados son 26 y 24. PÁGINA • 61 Resuelve las siguientes ecuaciones: Elevando al cuadrado ambos miembros y operando obtenemos: x 2 – 9 = 0. Las soluciones de la ecuación son: x 1 = 3; x 2 = –3 Elevando al cuadrado ambos miembros y operando: 3x 2 + x – 2 = 0 ⇒ x 1 = –1; x 2 = La solución que verifica la ecuación dada es x = 2 3 2 3 b x x x ) 2 5 3 2 1 – + = – a x ) 2 5 2 – = a x b x x x c x x d x x x e x x f x x x ) ) ) ) ) ) 2 2 2 2 5 2 5 3 2 1 9 21 3 3 3 3 2 1 2 4 3 3 6 3 3 – = – + = – + + = – + = + – – – = + + + = + 9 8 x y z y x z x y z x y z + + · · + + + + · ¹ ; ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ⇒ · · 37 3 4 2 6 118 12 20 5 coches motos = camiones 7 x y x y x y · + · ⋅ + ¹ ; ¹ ⇒ · · 3 16 2 16 48 16 ( ) 6 x y y x x y x y + · + − + · ¹ ; ¹ ⇒ · · 11 10 10 45 3 8 ( ) ( ) 5 x y x y x y + · − · ¹ ; ¹ ¹ ¹ ⇒ · · 200 4 5 32 160 40 4 4 2 0 9 3 0 1 6 + + · − + · ¹ ; ¹ ⇒ · · − a b a b a b 38 • G U Í A D I D Á C T I C A Operando de forma análoga a los casos anteriores obtenemos: Las soluciones que verifican la ecuación dada son: x 1 = 4; x 2 = –4 Elevando al cuadrado ambos miembros y operando obtenemos: 4x 2 – 21x – 18 = 0 ⇒ x 1 = 6; x 2 = – La solución que verifica la ecuación dada es: x 1 = 6 Elevando ambos miembros al cuadrado obtenemos: Elevando, otra vez, ambos miembros al cuadrado obtenemos: x = Esta solución no verifica la ecuación dada, por tan- to la ecuación dada no tiene soluciones. Elevando al cuadrado ambos miembros obtenemos: 9x + 18 = 0 ⇒ x = –2 La ecuación dada tiene como solución: x = –2 El dividendo de una división es 1 081. El cociente y el resto son iguales y el divisor es doble del cociente. Halla el divisor. Las condiciones del problema nos dan: De donde: 1 081 = 2x 2 + x ⇔ 2x 2 + x – 1 081 = 0 Las soluciones son: x 1 = 23; x 2 = –23,5 El divisor de esta división es 46 o –47 Los dos catetos de un triángulo rectángu- lo difieren en 5 unidades y la hipotenusa mide 25 cm. Calcula los catetos. El triángulo tiene por catetos x, x – 5 y por hipotenusa 25, por lo tanto: x 2 + (x – 5) 2 = 25 2 ⇔ x 2 – 5x – 300 = 0 ⇒ ⇒ x = 20 cm Un cateto mide 20 cm y el otro 15 cm. La suma de un número y su inverso es 34/15; ¿cuánto vale el número? Llamando x al número e imponiendo las condiciones del enunciado obtenemos: x + = ⇔ 15x 2 – 34x + 15 = 0 Las soluciones son: x 1 = ; x 2 = El número de días que tiene un año tiene la propiedad de ser el único número que es suma de los cuadrados de tres números consecutivos. Además es también suma de los cuadrados de los dos números consecutivos a los anteriores. Demuéstralo. (x – 1) 2 + x 2 + (x + 1) 2 = 365 ⇒ x = 11 Los números son: 10, 11, 12. Los números consecutivos a éstos son: 13 y 14 y se cumple 13 2 + 14 2 = 365. Resuelve los siguientes sistemas: a) b) c) d) e) f) x y x y + = = – 0 7 3 ⋅ ¹ ; ¹ x y x y 2 2 2 3 – = 1 = + ¹ ; ¹ ¹ ¹ x y x y 2 2 1 8 + = 60 – = ¹ ; ¹ ¹ ¹ y x x y · + − · − ¹ ; ¹ 2 3 5 3 2 ( ) ( ) x y x y − − · − + · − ¹ ; ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ 2 2 7 3 2 2 2 5 ( ) x y y x − · + · + ¹ ; ¹ ¹ ¹ 3 2 1 3 4 3 14 13 3 5 5 3 34 15 1 x 12 11 1 081 2 x x x 10 e x x x x x x x x x ) + + + = + + + 3 6 3 3 3 3 6 3 9 18 2 · + + ⇔ + + · − ( ) ( ) 5 2 − · − 1 2 4 x e x x x x ) 2 1 2 4 3 2 1 3 2 4 – – – = – ⇔ ⇔ · + − 3 4 d x x x x x ) 3 3 3 3 2 3 3 3 – + = + + ⇔ − · x x x x x x 4 2 1 2 3 4 43 432 0 3 3 3 3 4 4 − + · ⇒ ⇒ · · − · · − ; ; ; c x x x x ) 2 2 2 2 9 21 9 21 + + = + ⇔ · − G U Í A D I D Á C T I C A • 39 Halla las dimensiones del rectángulo de 60 cm 2 de área y cuya base es 7 cm más larga que su altura. Llamando x a la longitud de la altura, la base tendrá por longitud (7 + x). Conocida el área se verifica: x (7 + x) = 60 ⇒ x = 5 cm El rectángulo mide 5 cm de altura y 12 cm de base. Marta quiere hacer el marco de un espejo con un listón de madera de 2 m, sin que le sobre ni le falte nada. Sabiendo que el espejo es rectangular y que tiene una superficie de 24 dm 2 , ¿de qué longitud deben ser los trozos que ha de cortar? El espejo será como el de la figura. Llamando x a la longitud de la base e y a la de la altura e imponiendo las condiciones del problema obtenemos: Las sumas de las áreas de dos cuadrados es 3 250 m 2 y su diferencia 800 m 2 . Cal- cula la medida de sus lados. Llamando x al área de un cuadrado e y al área del otro obtenemos: De donde el lado de un cuadrado mide 35 m y el del otro mide 45 m. Dos albañiles hacen un trabajo en 3 horas. Uno de ellos lo haría en sólo 4 horas. Calcula el tiempo que tardaría en hacerlo el otro solo. Llamando x al tiempo que tarda él solo en hacer el trabajo obtenemos: + = ⇒ x = 12 horas tardaría el solo. Los estudiantes de 1º de Bachillerato es- tán preparando una excursión. La Agen- cia de Viajes les da un presupuesto de 1 620 euros. En el último momento dos estudiantes se ponen enfermos y al no poder ir de excursión el resto ha de pagar 4,8 más cada uno. ¿Cuántos estudiantes había en el curso? Llamando x al número de estudiantes del curso e y al dinero que han de pagar cada uno por la excursión, obtenemos: En un multicine hay dos salas de proyec- ción, una grande en la cual las entradas valen a 5 euros y otra pequeña en la cual el precio de las entradas es igual al 75 % del precio de las mismas en la otra sala. Un día en que asistieron al multicine 280 personas se recaudaron 1 287,5 euros. ¿Cuan- tas personas estuvieron en cada sala? Llamando x al número de personas que asistieron a la sala grande e y al número de personas de la sala pequeña; imponiendo las condiciones del enunciado obtenemos: PÁGINA • 62 Utilizando el método de Gauss, resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales: a) 2 4 3 2 x y x y + = – = 1 − ¹ ' ¹ 21 5 3 75 1 287 5 280 190 90 x y x y x y + ⋅ · + · ¹ ; ¹ · · , , personas en la sala grande personas en la sala pequeña 20 x y x y x y ⋅ · − ⋅ + · ¹ ; ¹ · · 1 620 2 4 8 1 620 27 60 ( ) ( , ) estudiantes euros paga cada uno 19 1 3 1 x 1 4 18 x y x y x y + · − · ¹ ; ¹ ⇒ · · 3 250 800 2 025 1 225 2 2 m m 17 2 2 20 24 6 4 4 6 x y x y x y x y + · ⋅ · ¹ ; ¹ ⇒ · · · · cm cm o bien cm cm x y 16 15 a) b) c) d) x y y x x y x y x y x y y x x y x y x y x y x − · + · + ¹ ; ¹ ¹ ¹ ⇒ · · − − · − + · − ¹ ; ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ⇒ · · − · + − · ⋅ − ¹ ; ¹ ⇒ · − · + · − · ¹ ; ¹ ¹ ¹ ⇒ · 3 2 1 3 4 3 5 2 2 2 7 3 2 2 2 5 4 4 2 3 5 3 2 1 4 160 8 2 2 ( ) ( ) ( ) −− · − · · − · + · ¹ ; ¹ ¹ ¹ ⇒ · · − + · ⋅ · − ¹ ; ¹ ⇒ · · − · − · 4 12 12 4 21 3 5 2 7 30 10 3 3 10 2 2 ; ; ; ; y x y x y x y x x x y x y x y x y e) f) 40 • G U Í A D I D Á C T I C A b) c) d) e) f) g) h) i) La suma de las tres cifras de un número es 7. La cifra de las centenas es igual a la suma de la de las decenas más el doble de la de las unidades. Si se permutan entre sí las cifras de las centenas y la de las unidades el número disminuye en 297 unidades. Calcula dicho número. Sea el número xyz. De las condiciones del enunciado obtenemos el siguiente sistema: Resolviendo el sistema obtenemos: x = 4, y = 2, z = 1. El número buscado es: 421. Un hombre le dijo a su hijo: Cuando transcurra la tercera parte de los años que yo tengo, tú tendrás la mitad de mi edad actual. Sí, contestó el hijo, pero hace sólo 4 años, tu edad era 11 veces la mía. ¿Cuál es la edad actual del hijo? Llamando x a la edad del padre e y a la edad del hijo obtenemos: El padre tiene 48 años y el hijo 8 años. Las tres cifras de un número suman 18. Si a ese número se le resta el que resulta de invertir el orden de sus cifras, se obtiene 594; la cifra de las decenas es media aritmética entre las otras dos. Halla dicho número. Sea el número xyz. Imponiendo las condiciones del enunciado obtenemos: El número es 963. Las edades de una familia formada por los padres y una hija suman 86 años. Halla la 25 x y z x y z z y x y x z x y z x z x y z x y z + + · + + − + + · · + ¹ ; ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ⇒ ⇒ + + · − · − + · ¹ ; ¹ ¹ ¹ ⇒ · · · 18 100 10 100 10 594 2 18 6 2 0 9 6 3 ( ) ( ) 24 y x x x y x y x y x y + = – = 11 ( – ) + = – 1 = – 0 = = 3 2 4 4 6 0 1 4 48 8 ¹ ; ¹ ¹ ¹ ⇒ − ¹ ; ¹ ⇒ 23 x y z x y z x y z z y x + + = – – = + + + + = 7 2 0 100 10 100 10 297 ⇒ ¹ ; ¹ ¹ ¹ ( ) – ( ) x y z x y z xyz zyx + + = = + – = 7 2 297 ¹ ; ¹ ¹ ¹ ⇒ 22 a) b) c) d) e) f) g) h) i) x y x y z x y z x y z x y z x y z x t y t x y z · · · · − · · − · · · · − · · · · · − · · − · − · − · · · 1 2 1 2 2 1 2 3 1 2 3 16 2 4 1 1 2 1 7 2 1 1 2 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; . ; ; Sistema incompatible. No tiene solución. Sistema indeterminado. Infinitas soluciones. x y z x y z x y z – + = – + = + – = 2 3 5 2 3 3 2 0 ¹ ' ¹ ¹ ¹ x y t x t x y t + + = – = – 6 1 3 2 11 + + · ¹ ' ¹ ¹ ¹ x y y z x z – = – = 1 1 3 − · ¹ ' ¹ ¹ ¹ 3 3 6 x y z x y z x y z + 4 – = – 6 + 2 = –16 – + 2 = –6 ¹ ' ¹ ¹ ¹ x y z x y z x y z + 4 – = – + 8 – = 6 – – 4 = 10 8 8 4 7 8 1 ¹ ' ¹ ¹ ¹ x y z x y z x y z + = + 3 + 5 = 1 – 5 + 6 = 9 + 2 2 1 2 ¹ ' ¹ ¹ ¹ x y z x z x y + 3 – = –1 + = + 5 = 8 2 2 2 ¹ ' ¹ ¹ ¹ x y z x y z x y z – = + + = 0 + – 4 = –9 + 2 7 2 5 1 ¹ ' ¹ ¹ ¹ G U Í A D I D Á C T I C A • 41 edad de cada uno de ellos sabiendo que la edad de la madre es triple de la edad de la hija, y las edades del padre y de la hija difieren en 26 años. Llamamos x a la edad del padre, y a la edad de la madre y z a la edad de la hija. Obtenemos: El padre tiene 38 años, la madre 36 años y la hija 12 años. Un país importa 22 400 vehículos entre motos, coches y todoterrenos, al precio de 4 800, 9 000 y 9 500 euros, respectivamente. Si el total de los vehículos impor- tados cuesta 168,65 millones de euros, ¿cuántos vehículos de cada tipo importa este país si de coches importa el 60 % de la suma de motos y todoterrenos? Llamamos x al número de motos que importa este país, y al de coches y z al de todoterrenos. Obtenemos: El país importa 8 500 motos, 8 400 coches y 5 500 todoterrenos. En un centro hay dos equipos de fútbol A y B. Si del equipo A pasan tres personas al B en ambos queda el mismo número. En cambio, si del B pasan 7 al A queda en éste un número que es el cuadrado de los de aquél. ¿Cuántos deportistas hay en cada equipo? Llamamos x al número de jugadores del equipo A e y al del equipo B. La única solución válida con el enunciado es que en el equipo A hay 18 deportistas y en el B hay 12. PÁGINA • 63 En un número de seis cifras, la cifra de su izquierda es 1. Si se lleva esta cifra al primer lugar de la derecha, el número obtenido es triple del primitivo. Calcula el nú- mero primitivo. Por ensayo y error dirigido obtenemos que el número es 142 857. También se puede hacer por ecuaciones: Número = 100 000 + x ⇒ 3 (100 000 + x) = = x · 10 + 1 ⇒ x = 42 857 ⇒ Número = 142 857 En un trabajo actúan tres mecanógrafas y lo terminan en cuatro días. Si trabajase solamente la primera, lo terminaría en 12 días; si trabajase solamente la segunda, lo terminaría en 10 días. ¿En cuánto tiempo lo terminaría la tercera actuando sola? Llamamos x al tiempo que invertiría la tercera ella sola. Obtenemos: + + = ⇒ x = 15 días tarda la 3ª Dos capitales se diferencian en 567 euros. Se sabe que si se colocan a interés simple al mismo tanto por ciento, el primero durante 4 meses y el segundo durante 13 meses, ambos producen el mismo interés. Determina dichos capitales. Llamando x e y a los capitales, obtenemos: Los capitales pedidos son de 819 euros y 252 euros. Invirtiendo mil euros en acciones de tipo A y dos mil en acciones de tipo B, obten- dríamos unos intereses totales (anuales) de 1 680 euros, y si invertimos dos mil en A y mil en B, obtenemos 1 560 euros. ¿Cuáles serían los intereses si se invirtie- ran 3 000 euros en A y 5 000 euros en B? Llamando x al interés que produce cada acción tipo A e y al que produce cada acción tipo B, obtenemos: Por tanto 3 000 euros en tipo A y 5 000 en B producen 4 440 euros. 1 000 2 000 1 680 2 000 1 000 1 560 0 48 0 6 x y x y x y + · + · ¹ ; ¹ ⇒ · · , , euros euros 31 x y x r y r x y x y x y − · ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ¹ ; ¹ ¹ ¹ ⇒ − · − · ¹ ; ¹ ⇒ · · 567 4 1 200 13 1 200 567 4 13 0 819 252 = 30 1 4 1 x 1 10 1 12 29 28 x y x y x y x y − · + + · − ¹ ; ¹ ¹ ¹ ⇒ · · · · 3 3 7 7 18 12 9 3 2 ( ) ; ; 27 x y z x y z y x z x y z + + · + + · ⋅ · + ¹ ; ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ⇒ ⇒ · · · 22 400 4 800 9 000 9 500 168 65 10 60 100 8 500 8 400 5 500 6 , ( ) 26 x y z y z x z x y z + + · · − · ¹ ; ¹ ¹ ¹ ⇒ · · · 86 3 26 38 36 12 42 • G U Í A D I D Á C T I C A Disponemos de fotos para pegar en las hojas de un álbum. Si pego 4 fotos en cada hoja, me sobran 2 hojas y si pego 3 fotos en cada hoja, me sobran 10 fotos. ¿Cuántas fotos tenemos y cuántas hojas tiene el álbum? Llamamos x al número de hojas del álbum e y al número total de fotos. Obtenemos: El álbum tiene 18 hojas y disponemos de 64 fotos. Una empresa recoge papel usado para re- ciclar, que clasifica en tres tipos: bueno, medio y bajo. Ha realizado tres pruebas con diferentes mezclas: en la primera han obtenido 4 kg, habiéndose utilizado 2, 3 y 1 kilogramo de cada tipo, respectivamente; en la segunda, con 1, 2 y 3 kg se produce un total de 5 kg; y en la tercera 3 kg con 3, 1 y 2 kg. ¿Cuál es el rendimiento de cada tipo de papel? Llamando x al rendimiento que produce el tipo bueno, y al del tipo medio y z al del tipo bajo, obtenemos: Un grupo de personas se reúne para ir de excursión, juntándose un total de 20 entre hombres, mujeres y niños. Contando hombres y mujeres juntas, su número resulta ser el triple del número de niños. Además, si hubiera acudido una mujer más, su número igualaría al de hombres. Averigua cuántos hombres, mujeres y ni- ños han ido de excursión. Llamando h al número de hombres, m al de mujeres y n al de niños, obtenemos: En total fueron de excursión 8 hombres, 7 mujeres y 5 niños. Un ganadero tiene vacas que comen la misma cantidad de pienso cada día. Ob- serva que si vende 15 vacas el pienso le dura 3 días más, y en cambio si compra 25 vacas el pienso le dura 3 días menos. ¿Cuantas vacas tiene este ganadero? Llamamos v al número de vacas que tiene el ganadero y t al tiempo en días que le dura el pienso para sus vacas. Obtenemos: El ganadero tiene 75 vacas. En cierto colegio, al principio de curso, la relación del número de alumnas al de alumnos era de 8/7. Al finalizar el curso, habían causado baja, por diversas causas, 40 chicas y el 4 % de los chicos, y la re- lación era de 15/14. ¿Cuántos alumnos de cada sexo acabaron el curso? Llamamos x al número de alumnas que había al principio en el curso e y al número de alumnos. Ob- tenemos: Finalizan el curso 360 chicas y 336 chicos. En una confitería envasan los bombones en cajas de 250 g, 500 g y 1 kg. Cierto día envasaron 60 cajas en total, habiendo 5 cajas más de tamaño pequeño (250 g) que de tamaño mediano (500 g). Sabien- do que el precio del kilo de bombones son 24 euros y que el importe total de los bombones envasados asciende a 750 euros, determina cuántas cajas se han envasado de cada tipo. Llamamos x al número de cajas de 250 g, y al de 500 g y z al de 1 000 g. Obtenemos: Se han envasado 25 cajas pequeñas, 20 medianas y 15 cajas grandes. x y z x y x y z x y z + + · · + + + ⋅ · ¹ ; ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ⇒ · · · 60 5 0 25 0 5 24 750 25 20 15 ( , , ) 37 x y x y x y · − ⋅ · ¹ ; ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ⇒ · · 8 7 40 0 96 15 14 400 350 , alumnas alumnos 36 v t v t v t v t v t ⋅ · − ⋅ + ⋅ · + ⋅ − ¹ ; ¹ ⇒ · · ( ) ( ) ( ) ( ) 15 3 25 3 75 12 vacas días 35 h m n h m n m h h m n + + · + · + · ¹ ; ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ⇒ · · · 20 3 1 8 7 5 34 2 3 4 2 3 5 3 2 5 7 9 4 9 10 9 x y z x y z x y z x y z + + · + + · + + · ¹ ; ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ⇒ · · · ; ; 33 4 2 3 10 18 64 ⋅ − · ⋅ · − ¹ ; ¹ ⇒ · · ( ) x y x y x y 32 G U Í A D I D Á C T I C A • 43 PÁGINA • 65 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 1. VENDIMIADORES. Una cuadrilla de vendimiadores tenía que vendimiar dos fincas, una de doble superficie que la otra. Toda la cuadrilla estuvo vendimiando en la finca grande durante medio día. Por la tarde la mitad de la cuadrilla vendimió en la finca pequeña y la otra mitad en la grande. Al finalizar el día sólo les quedó un poco de vendimiar en la finca pequeña, para lo cual fue necesario que vendimiara un solo vendi- miador el día siguiente. ¿Cuántos personas componían la cuadrilla? Podemos resolver este problema por medio de ecuaciones pero este camino es muy complicado. Intente- mos representar la situación: Las condiciones del problema nos muestran que si toda la cuadrilla trabajó durante la mitad del día en la finca grande y sólo la mitad de la cuadrilla el otro medio día. Entonces la mitad de la cuadrilla vendimió la tercera parte de la finca grande en medio día, es decir, x / 3 . Luego en la finca pequeña durante medio día ven- dimiaron el equivalente a la grande, es decir, x / 3 = 2x / 6 , luego quedó sin vendimiar x / 6 de la finca pequeña que la vendimió 1 trabajador al día siguiente. Si un trabajador vendimia x / 6 en un día y se vendimia- ron el campo grande 3x / 3 más el pequeño ( 3x / 6 – x / 6 ) todos los trabajadores en 1 día, entonces el primer día se hicieron: es decir, en la cuadrilla había 8 vendimiadores. 2. PRIMOS. Supongamos que X es cualquier número primo mayor que 3. Demostrar que X 2 da de resto 1 cuando se divide por 12. 3. TINTA DE IMPRENTA. Para numerar las pá- ginas de un libro grande hacen falta 2 989 dígitos. ¿Cuántas páginas tiene el libro? Hacemos el siguiente diagrama: * 2 889 + 100 = 2 989 En total hacen falta: 2 889 + 100 = 2 989 dígitos 100 dígitos son 25 páginas ⇒ hacen falta 999 = = 25 = 1 024 páginas. El libro tiene 1 024 páginas. 4. TRES NAIPES. Tres naipes de una baraja están colocados boca arriba en una fila horizontal. A la derecha del rey hay una o dos damas. A la izquierda de una dama hay una o dos damas. A la izquierda de un corazón hay una o dos picas. A la derecha de una pica hay una o dos picas. ¿Puedes decir de qué cartas se trata? Por medio de ensayo y error dirigido se obtiene: — Con la información referida a los Reyes (R) y las Damas (D) llegamos a que puede ser: RDD o DRD. — Con la información referida a los Corazones (C) y las Picas (P) llegamos a que puede ser: PCP o PPC. Juntando los resultados obtenidos llegamos a que la solución es: Rey de Picas - Dama de Picas - Dama de Corazones Páginas numeradas - - - 99 - 1 025 Dígitos usados Total dígitos 1 9 10 99 100 9 1 000 9 180 2 700 100 9 180 9 180 9 2 700 2 889 2 889 100 + + + · · + Hay que ver que Al ser primo y o y o o X X X X X X X X X X X 2 2 1 12 1 1 1 3 1 3 1 4 1 4 1 3 1 12 1 12 − · − · − + > ⇒ − · + · − · + · − · + · ¹ ' ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ⋅ ⋅ ⋅ . ( ) ( ). ˙ ˙ ˙ ˙ 3 3 3 6 3 6 6 6 2 6 8 6 8 6 x x x x x x x + − ¸ ¸ _ , · + · · ⋅ ¸ ¸ _ , Finca grande Finca pequeña 3 3 3 3 3 3 Superficie finca grande Superficie finca pequeña día toda la cuadrilla día media cuadrilla día media cuadrilla Sin segar x x x x x x x x 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 444 3 444 12 4 3 4 1 2 444 3 444 1 2 4 3 4 · · 44 • G U Í A D I D Á C T I C A En cualquier caso X 2 – 1 = 1 · 2. Al finalizar esta Unidad Didáctica, el alumno y la alumna deberán ser capaces de: 1. Reconocer y diferenciar los conceptos de desigualdad e inecuación. 2. Diferenciar las inecuaciones y sistemas de primero y segundo grado de otros. 3. Resolver con corrección inecuaciones de primero y segundo grado y sistemas de inecuaciones de primer grado. 4. Utilizar los diferentes métodos de resolución de inecuaciones y sistemas. 5. Aplicar el lenguaje simbólico y algebraico a la resolución de problemas afectados de desigualdades. • Pueden ponerse en práctica algunas estrategias de resolución de problemas, sobre todo la correspondiente a la elección de un lenguaje adecuado. • Debe buscarse entre las experiencias del alumno sus conocimientos en el ámbito que nos ocupa. • Reforzaremos el razonamiento inductivo a través de situaciones concretas. G U Í A D I D Á C T I C A • 45 OBJETIVOS DIDÁCTICOS ¿CÓMO TRABAJAR LA UNIDAD? PÁGINA • 67 ACTIVIDADES INICIALES 1. Dos segmentos miden 10 y 15 cm, respectivamente. ¿Qué dimensiones puede tener un tercer segmento para que forme trián- gulo con los anteriores? La medida del tercer segmento debe estar entre 5 y 25 cm. 2. La desigualdad 25 > 15 es verdadera. Es- tudia si son verdaderas las desigualdades siguientes: a) 25 + 5 > 15 + 5 b) 25 – 6 > 15 – 6 c) 25 · 4 > 15 · 4 d) 25/5 > 15/5 e) 25 (–3) > 15 (–3) f ) 25/(–5) > 15/(–5) Son verdaderas las desigualdades a), b), c) y d). Son falsas las desigualdades e) y f). 3. Comprueba si los valores que se indican son soluciones de las inecuaciones correspondientes: a) x = 3, x = 4, x = 5 de x 2 + 3x > 30 b) x = –2, x = 6 de x + 2 < 8 – x c) x = 0, x = 2 de > 1 d) x = 0, x = 1 de > a) Los valores x = 3 y x = 4 no son soluciones de la inecuación dada. Sin embargo, x = 5 sí lo es. b) El valor x = –2 es solución de la inecuación dada y x = 6 no lo es. c) El valor x = 0 no es solución de la inecuación y x = 5 sí lo es. d) Los valores x = 0, x = 1 no son soluciones de la inecuación. 1 2 2x + 1 x – 2 2x + 3 x – 1 46 • G U Í A D I D Á C T I C A CONCEPTOS 1. Inecuaciones de primer grado. Re- solución. 1.1. Resolución. 2. Sistemas de inecuaciones de primer grado con una incógnita. Re- solución. 3. Inecuaciones de segundo grado. 4. Inecuaciones racionales. 5. Inecuaciones de primer grado con dos incógnitas. Resolución. 5.1. Resolución. 6. Sistemas de inecuaciones de primer grado con dos incógnitas. 7. Resolución de problemas con inecuaciones. – Curiosidad e interés por en- frentarse a problemas que comportan el uso del lenguaje algebraico. – Gusto por la presentación ordenada de los procedimientos y resultados obtenidos en la resolución de inecuaciones y sistemas de inecuaciones. – Perseverancia y flexibilidad en la búsqueda de soluciones a las actividades propuestas con desigualdades. – Disposición favorable hacia el trabajo propuesto. • Uso correcto del lenguaje algebraico en el trabajo con desigualdades. • Revisión de las técnicas de resolución de inecuaciones de primero y segundo grado. • Utilización de los métodos gráficos en la resolución de inecuaciones y sistemas de inecuaciones. • Uso del lenguaje algebraico para representar, comunicar o resolver situaciones con desigualdades en los ámbitos cotidiano y científico. ACTITUDES PROCEDIMIENTOS RESOLUCIÓN DE ACTIVIDADES 4. Un vehículo se desplaza en línea recta con una velocidad superior a 75 m/s e inferior a 110 m/s. ¿Entre qué distancias se encuentra el móvil al cabo de dos horas? Entre 540 km y 792 km. PÁGINA • 69 ACTIVIDADES PARA RESOLVER 1. Resuelve las siguientes inecuaciones: a) x + 3 > –x – 1 b) 2 (3 – x) < 7 – 5 (x – 1) c) – ≤ – 1 d) + < e) – ≥ + f) – + < – a) x + 3 > –x – 1 ⇒ 2x > –4 ⇒ x > –2 ⇒ ⇒ Solución (–2, +∞) b) 2(3 – x) < 7 – 5 (x – 1) ⇒ x < 2 ⇒ Solu- ción (–∞, 2) c) – ≤ – 1 ⇒ x ≤ – ⇒ Solu- ción d) + < ⇒ x < ⇒ Solu- ción e) – ≥ + ⇒ 5x +4 ≥ 5x + 4 ⇒ Solución ޒ f) – + < – ⇒ x < ⇒ Solución 2. Asocia a cada inecuación su conjunto de soluciones correspondiente: 1) ≤ 2x – 17 a) (–9, +∞) 2) 3x – 7 > x – 1 b) (–∞, 6] 3) < x + 3 c) 4) 2 (x – 3) ≤ x d) x > 3 Resolviendo las inecuaciones obtenemos: 1 con c); 2 con d); 3 con a); 4 con b) PÁGINA • 71 1. Asocia, de forma razonada, las siguientes soluciones con sus sistemas correspondientes: La solución es: a) con iii); b) con ii); c) con i) 2. Resuelve cada uno de los siguientes sistemas de inecuaciones: a) x x x x b) x x x x c) x x x x d) x x x x x e) x x x x x 4 7 2 2 3 5 1 2 10 2 3 17 3 5 8 2 4 9 5 5 3 11 3 1 2 3 2 4 2 3 5 2 1 2 1 3 5 − < + + ≥ ¹ ; ¹ + > + + < + ¹ ; ¹ + < − < ¹ ; ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ − ≤ − + − − > − ¹ ; ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ + < + + − > ( ) ( ) xx x − + < ¹ ; ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ 1 3 1 a) x x x x i) b) x x x x ii) c) x x x iii) 2 3 4 5 1 7 2 4 3 3 6 6 2 1 2 0 2 6 0 1 1 2 − < − + > − ¹ ; ¹ ¹ ¹ + ∞ − < + ≤ + ≥ ¹ ; ¹ ¹ ¹ − − < − ≥ − < ¹ ; ¹ ¹ ¹ ( , ) ( ) [ , ] ( , ) 9 4x – 6 7 x + 1 10 −∞ ¸ ¸ _ , , 257 220 257 220 2x 35 9 25 x 15 13 21 5x 7 1 3 5x 12 x 4 2x + 1 3 −∞ ¸ ¸ _ , , 6 13 6 13 –x + 2 5 x 6 x 2 −∞ − ¸ ¸ 1 ] 1 , 5 4 5 4 2x 3 1 3 6x 5 2x 35 9 25 x 15 13 21 5x 7 1 3 5x 12 x 4 2x + 1 3 –x + 2 5 x 6 x 2 2x 3 1 3 6x 5 G U Í A D I D Á C T I C A • 47 PÁGINA • 73 1. Resuelve las siguientes inecuaciones: a) –2x 2 + 12x + 18 < 0 b) 3x 2 – 12x + 15 ≥ 0 c) x 2 + 16 < 0 d) x 3 – 11x 2 + 10x ≤ 0 e) x 2 – 12x 2 + 32x > 0 f) x 3 – 1 ≥ 0 g) < 0 h) – 1 ≥ 0 i) ≤ 0 j) > 0 k) + 2 < 0 l) ≥ 0 PÁGINA • 74 1. Estudia en cada una de las siguientes inecuaciones si los puntos que se dan son o no soluciones de la misma: a) 3x – 2y > 5; A(1, 2), B(–1, 2), C(–2, 1) y M(0, 0) b) 4x + 3y ≤ –2; D ( , 1 ) , E ( – , –1 ) , F ( – , 0 ) y G ( – , ) Son soluciones de las inecuaciones: a) Ninguno de estos puntos. b) Los puntos E, F y G. 1 3 3 4 1 2 1 2 1 4 a) x x x x b) x x x x c) x d) x x x e) x x x − + + < ⇒ − − > · −∞ − ( ) + + ∞ ( ) − + ≥ ⇒ − + > · + < ⇒ · ∅ − + ≤ ⇒ · ∞ − + > 2 12 18 0 6 9 0 3 3 2 3 3 2 3 12 15 0 4 5 0 16 0 11 10 0 0 1 10 12 32 0 2 2 2 2 2 3 2 2 2 Solución Solución Solución Solución , , (– , ] [ , ] ʜ ʜ ޒ ⇒⇒ · ¸ ¸ _ , − ≥ ⇒ · + ∞ + < ⇒ · −∞ − − ≥ ⇒ · + − ≤ ⇒ · + > ⇒ · ∞ + ∞ + − Solución Solución Solución Solución Solución Solución 0 32 11 1 0 1 3 2 8 0 4 1 1 0 0 1 5 2 5 0 5 5 6 5 0 6 0 1 1 3 2 , [ , ) ( , ) ( , ] ( ) [– , ) (– , – ) ( , ) f) x g) x h) x i) x x j) x x k) x x ʜ ++ < ⇒ − − < ⇒ · ¸ ¸ _ , + − ≥ ⇒ · + ∞ 2 0 3 1 1 0 1 3 1 3 4 0 3 x x l) x Solución Solución , [– , ) x + 3 –4 x + 1 x – 1 x 2 + 6x 5 x + 5 2 (x – 5) 1 x 3 2x + 8 a) x x b) x x c) x x d) x x e) x x x f) x x x < ≥ ¹ ; ¹ ⇒ > < ¹ ; ¹ ⇒ < < ¹ ; ¹ ⇒ ∞ ≤ > ¹ ; ¹ ¹ ¹ ⇒ ¸ ¸ 1 ] 1 < − > − > ¹ ; ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ⇒ ∅ ≥ − < < − 3 1 1 3 3 14 3 14 15 90 1 7 2 0 0 7 2 2 5 19 1 2 6 – [ ( ( , Solución – , ) Solución , ) Solución – , 5) Solución Solución 11 3 2 x ≥ ¹ ; ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ⇒ ∅ Solución f) x x x x x ≥ − + < − > + ≤ + ¹ ; ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ 2 4 6 2 3 5 2 6 8 7 2 48 • G U Í A D I D Á C T I C A 2. Resuelve las siguientes inecuaciones: a) x – 2y < 0 b) 5x – 2y ≥ 3 c) –2x – y > 2 d) x + y ≥ –2 e) 2x – y < 4 f) 2x + 3y < 6 Las soluciones son las regiones rayadas. a) x – 2y < 0 b) 5x – 2y ≥ 3 c) –2x – y > 2 d) x + y ≥ –2 e) 2x – y < 4 f) 2x + 3y < 6 En los apartados b) y d) la solución incluye a la recta. PÁGINA • 78 ACTIVIDADES DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE Comprueba si los valores x = –2, x = –1, x = 0, x = 1 y x = 2 son soluciones de las inecuaciones siguientes: 1 Y X O 3 2 Y X O 2 3 2 Y X O –2 –2 Y X O –2 –1 1 Y X O –1 –2 1 2 Y X O 4 2 1 G U Í A D I D Á C T I C A • 49 50 • G U Í A D I D Á C T I C A a) 3 – x < 2 + 5x b) 1 + x > 2 – 3x c) x 2 – 2x + 8 < 0 d) ≤ 2 e) > 3 f ) > g) x (x + 4) < 2x 2 h) (x + 2) 2 > 9 i ) > 1 Las soluciones pueden verse en la tabla que sigue: Resuelve las siguientes inecuaciones: a) 2 (3x – 3) > 6 b) 3 (3 – 2x) < 2 (3 + x) c) 2 (x + 3) + 3 (x – 1) > 2 (x + 2) d) – < – 3x e) 2 (3 + x) > f) – 3x ≥ + 4 ¿Qué porcentaje mínimo de descuento se ha aplicado a un artículo de 60 euros si ahora cuesta menos de 40 euros? · 60 = 40 ⇒ x = 66,7 % Luego el porcentaje mínimo aplicado es del 100 % – 66,7 % = 33,3 % Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones: a) x x x x x x x x x b) x x x x x x x x 1 2 3 3 2 5 2 1 4 1 1 2 1 4 1 4 1 2 1 5 3 4 2 5 14 5 5 4 2 14 5 4 7 − < − + < + ¹ ' ¹ ⇔ < − < − ¹ ' ¹ ⇔ < > ¹ ' ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ⇒ ∈ ¸ ¸ _ , + < < − ¹ ' ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ⇔ < < − ¹ ' ¹ ¹ ¹ ⇔ < > ¹ ' Las soluciones son los valores : , ¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ⇒ ∈ −∞ ¸ ¸ _ , − > − + ≤ − ¹ ' ¹ ⇔ > ≤ − ¹ ' ¹ ⇔ > ≤ − ¹ ' ¹ ⇒ Las soluciones son los valores : El sistema no tiene solución. x c) x x x x x x x x , 4 7 5 7 5 3 1 1 6 12 2 2 2 1 a) x x x x b) x x x c) x x x x d) x x x x e) x x x x x x f) x 1 2 3 3 2 5 1 5 3 4 2 5 5 7 5 3 1 1 3 5 8 2 4 9 5 1 3 3 2 4 2 4 1 3 − < − + < + ¹ ' ¹ + < < − ¹ ' ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ − > − + ≤ − ¹ ' ¹ + > − > ¹ ' ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ − − + ≤ − − − ≥ ¹ ' ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ 55 7 2 3 5 6 − < − > − ¹ ' ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ x x x 4 x 100 3 + > + ⇔ + > + ⇔ ⇔ + > + ⇔ > − ⇔ ⇔ > − + − ≥ − + ⇔ + − ≥ ≥ − 2 3 8 3 6 2 8 3 18 6 8 5 10 2 1 2 3 1 5 3 4 3 3 18 2 10 x x x x x x x x x x x x x x ( ) e) f) ++ ⇔ − ≥ ⇔ ≤ − 24 5 23 23 5 x x a) b) c) d) 2 3 3 6 6 6 6 6 12 2 3 3 2 3 3 9 6 6 2 8 3 3 8 2 3 3 1 2 2 2 6 3 3 2 4 3 1 1 3 3 3 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x x x x x x x x x x x x x x x x − > ⇔ − > ⇔ > ⇔ > − < + ⇔ − < + ⇔ ⇔ − < − ⇔ > + + − > + ⇔ + + − − > + ⇔ > ⇔ > − −− + < − ⇔ − − − − < − ⇔ < ⇔ ⇔ < 4 8 2 4 3 12 12 40 80 5 60 27 92 3 41 x x x x x x x x x , 1 – 5x 3 x + 1 2 8 + x 3 x 4 4x + 8 2 3x – 3 5 2 Inecuación no no no sí sí no no no sí sí no no no no no sí sí sí no no no no no no no no no no no sí sí sí no no no no no no no sí no no no no sí x x x x x · − · − · · · 2 1 0 1 2 a) b) c) d) e) f) g) h) i) (x – 1) 2 – 6 3 – 2x 2 3 2x + 1 x + 5 x – 1 x + 3 2x + 3 x – 1 Juan tiene la costumbre de subir la escalera de su casa saltando los escalones de 2 en 2 y la baja con saltos de 3 en 3. No recuerda con exactitud cuántos saltos da entre la subida y la bajada: entre 45 y 50. ¿Cuántos escalones tiene la escalera de su casa? Llamando x al número de escalones, tenemos: El número de escalones está comprendido entre 54 y 60. En un concurso organizado en el aula, una de las pruebas consiste en tirar una moneda 20 veces. Si sale cara al jugador se le asignan 10 000 puntos y si sale cruz, 6 000. ¿Cuántas caras y cruces han podi- do salir si se sabe que ha ganado menos de 176 000 puntos? Llamando x al número de caras y (20 – x) al nú- mero de cruces obtenemos: 10 000 · x + 6 000 · (20 – x) < 176 000 x < 14 El máximo número de caras conseguido es de 14. Un vendedor recibe una cantidad fija al mes de 600 euros, además de un 5 % de las ventas que realice. ¿Qué cantidad debe vender para tener un sueldo mensual comprendido entre 1 200 y 1 500 euros? Llamando x a la cantidad que debe vender se cumple: 1 200 < 600 + 0,05 · x < 1 500 12 000 < x < 18 000 Debe vender una cantidad entre 12 000 y 18 000 euros. Resuelve las siguientes inecuaciones: a) –x 2 + 3x + 10 ≤ 0 ⇒ x 2 – 3x – 10 ≥ 0 La solución es (–∞, –2] ʜ [5, +∞) b) 9x 2 – 6x + 1 > 0 ⇒ (3x – 1) 2 > 0 La solución es ޒ – c) (x + 1) 2 – 8x + 4 ≥ 0 ⇒ x 2 – 6x + 5 ≥ 0 La solución es (–∞, 1] ʜ [5, +∞) d) ⇒ x + 12 < 0 La solución es (–∞, –12) Resuelve las siguientes inecuaciones: a) x 3 3 0 2 − > +∞ ( ) . , Las solución es: a) x b) x x c) x d) x x 3 2 0 3 3 0 10 2 0 6 2 3 0 − > − + ≤ − − < − + ≥ 9 ( ) x x x − + + < − 1 3 11 2 15 1 3 2 2 1 3 ¹ ' ¹ ¹ ; ¹ a) x x b) x x c) x x d) x x x − + + ≤ − + > + − + ≥ − + + < − 2 2 2 2 2 3 10 0 9 6 1 0 1 8 4 0 1 3 11 2 15 1 3 ( ) ( ) 8 7 6 45 2 3 50 45 5 6 50 9 6 10 54 60 < + < ⇔ < < ⇔ ⇔ < < ⇔ < < x x x x x 5 + > − > ¹ ' ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ⇔ + > − > ¹ ' ¹ ⇔ > d) x x x x x x x x x 3 5 8 2 4 9 5 5 3 120 9 8 90 8 120 xx x x x e) x x x x x x x x x x x x x x x x > ¹ ' ¹ ⇔ > > ¹ ' ¹ ⇒ ∈ +∞ ( ) − − + ≤ − − − ≥ ¹ ' ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ⇔ − − − ≤ − − + ≥ ¹ ' ¹ ⇔ − ≤ − ≥ ¹ ' ¹ ⇔ ≥ − ≤ − ¹ ' ¹ ¹ ¹ ¹ 90 15 90 90 1 3 3 2 4 2 4 1 3 2 2 3 9 6 12 6 4 4 12 7 11 4 2 11 7 1 2 Las soluciones son , ¹¹ ⇒ ⇒ ∈ − − ¸ 1 ] 1 − < − > − ¹ ' ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ⇔ − < − > − ¹ ' ¹ ⇔ ⇔ < > − ¹ ' ¹ ⇔ < > − ¹ ' ¹ ⇒ ⇒ ∈ − [ ] Las soluciones son los Las soluciones son los x f) x x x x x x x x x x x x x 11 7 1 2 5 7 2 3 5 6 7 5 70 5 3 90 2 70 2 90 35 45 45 35 , , G U Í A D I D Á C T I C A • 51 PÁGINA • 79 Deseamos constuir un cuadro metálico de forma cuadrada. El interior del cuadrado es de acero que vale a 150 euros el metro cuadrado y el marco de cobre cuesta 30 euros el metro. ¿Qué longitud tendrá como máximo el lado del cuadrado si no disponemos de más de 620 euros? Llamando x al lado del cuadrado obtenemos: 150 · x 2 + 30 · 4x ≤ 620 Las soluciones son los valores de x que estén en el intervalo (–2,47 ; 1,67). Luego la longitud máxima del cuadro es de 1,67 metros. Escribe los sistemas de inecuaciones que representan las regiones rayadas siguientes: Un alumno dispone de 30 euros y entra en una tienda de música. Quiere comprar cintas de casete y discos compactos. Cada cinta vale 8 euros y cada disco, 10 euros. ¿Cuántos discos y cintas puede comprar? Llamando x al número de cintas que puede comprar e y al número de discos compactos, obtenemos que podrá comprar las parejas (x, y) de números enteros que verifiquen: Las soluciones son: (0, 0) (1, 0) (2, 0) (3, 0) (0, 1) (0, 2) (0, 3) (1, 1) (1, 2) (2, 1) Es conocido que cada lado de un triángu- lo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia. Si en un trián- gulos dos de sus lados miden 2 y 10 cm, ¿qué se puede decir del tercero? El lado del triángulo buscado debe verificar: 8 < l < 12 Es decir, el lado debe estar entre 8 y 12 cm. Representa en el plano los puntos que cumplen las siguientes condiciones: Y X O –1 –1 a) x – y = 0 x + y + 1 = 0 a) x y y x y b) y y x y c) x y y x x y d) x y x y x y − > > + + > ¹ ' ¹ ¹ ¹ ≤ ≥ − < ¹ ' ¹ ¹ ¹ + ≤ > > > ¹ ' ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ − + − ≤ − + ≥ + + ≤ ¹ ' ¹ ¹ ¹ 0 0 1 0 2 1 2 12 0 0 1 0 1 0 1 0 14 13 Y X O 3 3 8 10 30 0 0 4 5 15 0 0 ⋅ + ≤ > > ¹ ; ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ⇒ + ≤ > > x y x y x y x y 12 a) x x b) x x y y c) x y d) y y x y > − < ¹ ' ¹ > < > − < − ¹ ' ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ < − > ¹ ' ¹ > − < − + < ¹ ' ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ 1 3 0 3 3 1 1 1 3 1 2 2 y a) x 3 –1 b) y x 3 –3 –1 c) y x –1 1 d) y x 2 –3 –1 o o o o 11 10 b) x x c) x d) x x 3 3 0 3 3 10 2 0 2 6 2 3 0 3 3 − + ≤ −∞ − ( ) +∞ [ ) − − < +∞ ( ) − + ≥ − ( ] . , , . , . , Las solución es: Las solución es: Las solución es: ʜ 52 • G U Í A D I D Á C T I C A Un quiosco vende bolígrafos a 0,2 euros y cuadernos a 0,6 euros. Llevamos 2 euros y pretendemos comprar los mismos cuadernos que bolígrafos por lo menos. ¿Cuál será el máximo número de piezas que podemos comprar? Sean x e y el número de bolígrafos y cuadernos, respectivamente, que podemos comprar. Se debe cumplir: Las soluciones son el conjun- to de pares enteros dentro del recinto rayado. Es decir: (0, 1) (0, 2) (0, 3) (1, 1) (1, 2) (1, 3) (2, 2) Halla el área de la parte del plano que cumple las condiciones: y > x, x > –5, –2 < y < 2 El área del recinto es de 18 unidades cuadradas. Resuelve gráficamente los sistemas de inecuaciones siguientes: Las soluciones pueden verse en los gráficos que siguen: La solución es la zona rayada y las semirectas más marcadas. c) Este sistema no posee soluciones. Y X O 2 –1 b) 2x – y + 2 = 0 y – x = 0 y + x = 0 Y X O 3 –2 a) x – 3y + 2 = 0 x + 4y – 12 = 0 2x + y – 3 = 0 a) x y x y x y b) x y x y x y c) x y x y − + < + − > + − < ¹ ' ¹ ¹ ¹ ≥ + ≥ − + ≥ ¹ ' ¹ ¹ ¹ − < < > + − < ¹ ' ¹ ¹ ¹ 3 2 0 2 3 0 4 12 0 0 2 2 0 2 2 4 1 0 17 Y X O –2 2 y = 2 y = –2 y = x –5 x = –5 16 Y X O x = y x + 3y = 10 x y x y x y x y x y x y > > ≤ + ≤ ¹ ; ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ⇒ > > − ≤ + ≤ ¹ ; ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ 0 0 0 2 0 6 2 0 0 0 3 10 , , 15 Y X O d) –x + y – 1 = 0 x + y + 1 = 0 –1 –1 Y X O 6 c) y = x x + 2y = 12 Y X O –1 2 b) y = 2 y = –1 x – y = 0 G U Í A D I D Á C T I C A • 53 En un campeonato de mus, cada partida ga- nada vale 2 puntos y cada partida perdida, 1 punto; además, no puede haber empates. A una pareja le faltan diez partidas por dis- putar. Para conseguir dicho campeonato tendrán que lograr un mínimo de 16 puntos. ¿Cuántas partidas han de ganar? Llamamos x al número de partidas ganadas; se debe cumplir: 2 · x + (10 – x) · 1 ≥ 16 ⇒ x ≥ 6 Por tanto ha de ganar más de 5 de las 10 partidas. Mezclamos azúcar de 2 euros/kg con otra de 3 euros/kg, y queremos obtener una mezcla de calidad intermedia cuyo precio no sobrepase las 2,6 euros/kg. Para conseguir 60 kg de esta calidad intermedia, ¿qué condiciones deberán cumplir los pesos de las dos clases mezcladas? Se debe cumplir: 2 · x + 3 · (60 – x) ≤ 2,6 · 60 ⇒ x ≥ 24 Por tanto deben mezclarse 24 o más kilos de 2 euros/kg con 36 o menos kilos de 3 euros/kg. Escribe un sistema de inecuaciones cuyas soluciones sea el conjunto de puntos seña- lado sobre la recta o los intervalos dados. a) b) c) (– ϱ , 1] d) [–3, –1] ʜ (2, 5] Un ejemplo de estos sistemas puede ser: PÁGINA • 81 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 1. RELACIONES FAMILIARES. Por ahí vienen nuestros padres, padres de nuestros hijos, maridos de nuestras madres y nuestros propios maridos. ¿Es esto cierto? Sí puede ser cierto; se trata de dos padres que se han casado cada uno con la hija del otro. 2. ANIMADO BAILE. Cuarenta y dos personas toman parte en un baile. Durante la velada una dama bailó con siete caballeros; una segunda, con ocho; una tercera, con nueve; y así sucesivamente, hasta la última, que bai- ló con todos los caballeros. ¿Cuántas damas había en aquel baile? a 1 = 7 a 2 = 8 ........................................ a n = 7 + (n – 1) · 1 = n + 6 Además sabemos que a n + n = 42 ⇒ n = 18 damas. a n = 42 – 18 = 24 caballeros. Había 18 damas y 24 caballeros. 3. LA PERRA CATI. Luis va todos los días desde su casa a la sierra más cercana, que dista 1,5 km. Va acompañado de su perra mastina Cati que va corriendo a la sierra. Cuando la perra llega a la sierra, vuelve con Luis y así sucesivamente, hasta que Luis llega a la sierra. Luis camina a 6 km/h y Cati va a 16 km/h. ¿Cuántos km recorre Cati ? Luis tarda 15 minutos en llegar a la sierra. La perra, por lo tanto, ha estado moviéndose durante 15 minutos. Por tanto ha recorrido: 16 km/h : 4 = 4 kilómetros. 4. LA EDAD DE ASTÉRIX. ¿Qué edad tendrá Astérix en el año 2000, sabiendo que esa edad será igual a la suma de las tres últimas cifras de su año de nacimiento? 2 000 – 19xy = 9 + x + y 2 000 – (1 000 + 900 + 10x + y) = 9 + x + y ⇒ ⇒ 11x + 2y = 91 ⇒ x = 7 y = 7, es decir, Astérix nació en el año 1977 y en el año 2000 tendrá 23 años. a) x x b) x x c) x x d) x x ≥ − < − ¹ ' ¹ − < < < < ¹ ' ¹ ≤ < ¹ ' ¹ − ≤ ≤ − < ≤ ¹ ' ¹ 4 1 1 1 3 5 1 7 3 1 2 5 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 20 19 18 54 • G U Í A D I D Á C T I C A Al finalizar esta Unidad Didáctica, el alumno y la alumna deberán ser capaces de: 1. Incorporar al lenguaje y modos de comunicación habituales los conceptos relacionados con la ma- temática financiera. 2. Comprender el concepto de logaritmo y las propiedades asociadas. 3. Resolver ecuaciones y sistemas logarítmicos y exponenciales. 4. Resolver problemas sencillos de amortización y capitalización. 5. Valorar la utilidad de la calculadora en el cálculo logarítmico y financiero. • Haciendo hincapié en el concepto de logaritmo y la utilización de sus propiedades, tanto para el desarrollo de expresiones como para la simplificación de las mismas. • Resolviendo múltiples ecuaciones y sistemas exponenciales y logarítmicos. • Proponiendo problemas de matemática financiera en diferentes contextos. G U Í A D I D Á C T I C A • 55 ¿CÓMO TRABAJAR LA UNIDAD? OBJETIVOS DIDÁCTICOS PÁGINA • 83 ACTIVIDADES INICIALES 1. Un fabricante incrementa el precio de sus productos en un 5 % anual. Actualmente, uno de sus productos cuesta 15 euros. ¿Cuánto costará este producto dentro de 3 años? ¿Cuánto costaba hace 2 años? Al cabo de 3 años costará Hace 2 años costaba . 2. ¿A qué rédito anual hemos de colocar 120 euros para que en 6 trimestres se conviertan en 150 euros? Los intereses que han producido son 30 euros, por tanto: El redito es del 50 %. 3. Resuelve las siguientes ecuaciones: • 8 x = 32 • 3 x · 9 x = 9 3 • ( ) x = PÁGINA • 87 ACTIVIDADES PARA RESOLVER 1. Resuelve los siguientes sistemas: a) b) 2 3 35 5 2 2 3 34 1 x y x y + + = – = – ⋅ ⋅ ¹ ; ¹ ¹ ¹ 5 2 80 9 3 1 ⋅ ¹ ; ¹ ¹ ¹ x y x y + – = = • • • 8 32 5 3 3 9 9 3 3 2 2 3 27 8 2 3 2 3 3 3 3 6 3 x x x x x x x x x · ⇒ · ⋅ · ⇒ · ⇒ · ¸ ¸ _ , · ⇒ ¸ ¸ _ , · ¸ ¸ _ , ⇒ · − − 27 8 2 3 30 120 6 1 200 50 · ⋅ ⋅ ⇒ · r r % 15 105 100 13 61 2 ⋅ ¸ ¸ _ , · − , euros 15 105 100 17 36 3 ⋅ ¸ ¸ _ , · , euros 56 • G U Í A D I D Á C T I C A CONCEPTOS 1. Logaritmo de un número. Propie- dades. 1.1. Propiedades. 2. Ecuaciones exponenciales. 3. Sistemas de ecuaciones exponenciales. 4. Ecuaciones logarítmicas. 5. Sistemas de ecuaciones logarítmi- cas. 6. Interés simple. 7. Interés compuesto. 8. Anualidades de capitalización. 9. Anualidades de amortización. – Valorar la utilidad de los logaritmos en la resolución de problemas de matemática financiera. – Gusto por la presentación ordenada y clara de los procedimientos y resultados obtenidos en la resolución de ecuaciones y sistemas. – Valorar la utilidad de la calculadora en el cálculo de logaritmos y en las aplicaciones financieras. • Resolución de ecuaciones logarítmicas y exponenciales. • Utilización de la calculadora en cálculos logarítmicos y exponenciales de cualquier base. • Cálculo de montantes con diferentes períodos de capi- talización. • Resolución de problemas de capitalización y amorti- zación. ACTITUDES PROCEDIMIENTOS RESOLUCIÓN DE ACTIVIDADES c) d) PÁGINA • 96 ACTIVIDADES DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE Utilizando la definición de logaritmo, calcula x en cada uno de los apartados: Utilizando las propiedades de los logaritmos desarrolla las expresiones: Utilizando las propiedades de los logaritmos simplifica las expresiones: Haciendo uso de los logaritmos y de la calculadora encuentra el valor de las operaciones: 4 a) b) log log 2 5 9 7 3 3 5 2 ⋅ ¸ 1 ] 1 1 ⋅ ⋅ ¸ 1 ] 1 1 a m h t p a) a b) m t p h log log log log log log log 2 2 2 5 3 7 3 9 1 2 2 5 2 − + − − + 3 a) b) c) log ln log 2 3 4 2 2 4 3 2 a b c a b c a b c a b c a b c a b c ⋅ ¸ ¸ _ , · + − ⋅ ¸ ¸ _ , · − + ⋅ ¸ ¸ _ , · + − − 2 3 4 3 2 2 4 4 3 2 5 3 4 5 2 2 2 log log log ln ln ln log log log a) a b c b) a b c c) a b c log ln log 2 2 4 ⋅ ¸ ¸ _ , ⋅ ¸ ¸ _ , ⋅ ¸ ¸ _ , − 3 4 3 4 2 3 2 5 2 a) b) c) d) e) f) g) h) i) x log log log log log log log ln log 1 000 3 10 27 3 3 8 1 16 4 32 5 1 2 2 1 2 100 2 1 27 3 3 3 2 2 1 2 2 · ⇒ · · ⇒ · · ⇒ · · ⇒ · − · − ⇒ · · ⇒ · − · ⇒ · · ⇒ · · − ⇒ · x x x x x x x x x x x x x x e x x x a) b) x c) x d) x e) f) x g) x h) x i) x x x log log log log log log log ln log 1 000 3 27 3 1 16 32 5 2 2 2 1 27 3 3 2 2 1 2 · · · · · − · · · · − 1 a) b) 5 2 80 9 3 2 16 3 3 4 2 1 1 3 2 3 35 5 2 2 3 34 3 2 35 5 2 1 2 1 1 ⋅ · · ¹ ; ¹ ¹ ¹ ⇒ · · ¹ ; ¹ ¹ ¹ ⇒ ⇒ + · · − ¹ ; ¹ ⇒ · · + · ⋅ − ⋅ · − ¹ ; ¹ ¹ ¹ · · + · − · − + − + − + x y x y x y x y x y x y y x y x y x y a b a b a b haciendo el cambio 2 obtenemos x 34 34 4 27 2 4 3 27 2 3 2 2 2 2 128 2 2 128 16 2 16 4 8 2 8 3 5 5 625 2 2 256 ¹ ; ¹ ⇒ · · ⇒ · ⇒ · ⇒ · ⇒ · · · ¹ ; ¹ ¹ ¹ · · · ⋅ · ¹ ; ¹ ¹ ¹ ⇒ · ⇒ · ⇒ · · ⇒ · ⇒ · · ⋅ ⋅ · ¹ + a b x y a b a b a x b y x y x y x y x y x y x y x y c) d) : haciendo el cambio 2 obtenemos a b ;; ¹ ¹ ¹ ⇒ · · ¹ ; ¹ ¹ ¹ ⇒ ⇒ − · + · ⇒ · · − + 5 5 2 2 4 8 6 2 4 8 x y x y x y x y x y 5 5 625 2 2 256 x y x y = = ⋅ ⋅ ¹ ; ¹ ¹ ¹ 2 2 2 2 128 x y x y : = = + ¹ ; ¹ ¹ ¹ G U Í A D I D Á C T I C A • 57 Demuestra: Un empresario incrementa el precio de sus productos en un 5 % anual. Actualmente, uno de sus productos vale 1,8 euros. Con- testa a las siguientes cuestiones: a) ¿Cuánto costará el producto dentro de 4 años? b) ¿Cuánto costaba hace 4 años? c) ¿Cuántos años han de pasar para que el precio actual del producto se duplique? El servicio de control de calidad de una gran empresa que fabrica cierta marca de televisores ha comprobado que el porcentaje de televisores que siguen funcionando al cabo de t años viene dado por la función: f (t) = ( ) t a) ¿Qué proporción de televisores siguen funcionando después de 5 años? ¿Y des- pués de 15 años? ¿Y al cabo de 20 años? 8 9 7 a) b) c) El producto dentro de 4 años costará : euros Hace 4 años costaba : euros Llamando al número de años que han de pasar obtenemos : Tomando logaritmos : = log 2 log 1, 05 años Por tanto, han de pasar casi 15 años. 1 8 1 05 2 19 1 8 1 05 1 48 3 6 1 8 1 05 2 1 05 14 21 4 4 , , , , , , , , , , , ⋅ · ⋅ · · ⋅ ⇒ · · − t t t t 6 c) 1 1 log log log a b a b a b a b ( ) + − ¸ ¸ _ , · + ( ) ⋅ − ¸ ¸ _ , ¸ 1 ] 1 + ·· · + ( ) ⋅ − ( ) ¸ 1 ] 1 1 · + ¸ ¸ _ , ⋅ − ( ) ¸ 1 ] 1 · · + ¸ ¸ _ , + − ( ) log log log log a b a b b a b a b a b a b 1 1 a) b) 2 2 2 1 2 1 2 2 2 log log log log log log log log a a a a ab a b b a ab a b b a a b · ⋅ · ⋅ · ( ) + − ¸ ¸ _ , · ( ) − ¸ ¸ _ , ¸ 1 ] 1 · · − ( ) a) a a b) a b ab a b b a c) a b a b a b a b 2 1 1 log log log log ( ) log log ( ) log log log ( ) · − ( ) · + − ¸ ¸ _ , + + − ¸ ¸ _ , · · + ¸ ¸ _ , + − 2 2 5 Tomamos logaritmos en cada una de ellas : a) b) c) d) log 735 log log log 56 · ⋅ · ⇒ ⇒ · ⋅ · ⋅ · ⇒ ⇒ · · · ⇒ · · ⋅ ( ) · + ⋅ · · ⇒ ⋅ 56 735 160 51 735 3 25 10 64 15 1 14 64 15 0 1291 64 15 1 346 333 1 5 333 0 5045 333 3 195 1 428 25 1 428 175 25 247 79 1 428 25 56 160 14 14 1 5 1 5 175 log , , , log , , , , log , , log log , 175 175 247 25 3 25 3 16 27 6 2 10 104 25 3 104 16 8086 104 6 44 10 104 2 15 7 36 27 972 9 38 10 · ⋅ · · ⇒ ⇒ · ⋅ ¸ 1 ] 1 1 · ⋅ − · ⇒ · ⋅ , log , , log log , , e) f) log log 2 36 2 36 104 15 7 104 15 7 a) b) c) d) e) f) 735 64 15 333 1 428 25 104 2 36 56 14 1 5 175 25 3 104 15 7 , ( ) ⋅ 58 • G U Í A D I D Á C T I C A b) ¿Cuánto tiempo deberá transcurrir para que funcionen el 40 % de los televisores fabricados? a) Al cabo de 5 años funcionan , el 55% de los televisores. Después de 15 años: , es decir, el 17% de los televisores. Al cabo de 20 años: , es decir, funcionan el 9% de los televisores. b) Deberán pasar t años y se debe cumplir: es decir, deberán pasar casi 8 años. PÁGINA • 97 Se ha comprobado experimentalmente que, al variar la altura respecto al nivel del mar, la presión en cada punto es, aproximadamente, 0,9 veces la presión existente en un punto inferior a él en 1 km. a) Completa la siguiente tabla, teniendo en cuenta que las alturas negativas significan profundidad terrestre: b) Encuentra la expresión que nos permite calcular la presión en función de la altura. c) ¿Qué presión hay a 12 km de altura? ¿Y en un valle de 2 km de profundidad? d) ¿Qué aumento de presión experimenta un montañero que desciende de 6 000 a 4 000 m? ¿Y un espeleólogo que desciende de – 4 000 a –6 000 m? a) b) La expresión es: P = 0,9 h c) A 12 km de altura hay una presión de 0,9 12 = 0,28 atmósferas. A 2 km de profundidad hay una presión de 0,9 –2 = 1,23 atmósferas. d) A 6 000 m la presión es de 0,9 6 = 0,53 atmósferas. A 4 000 m la presión es de 0,9 4 = 0,66 atmósferas. Por tanto el montañero sufre un aumento de 0,13 atmósferas. Al descender de –4 000 m en donde la presión es de 1,52 atmósferas a –6 000 m en donde es de 1,88 atmósferas sufre una diferencia de presión de 0,36 atmósferas. Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales: a) 128 x + 1 = 2 x 2 – x – 2 b) 3 x · 9 x = 9 3 c) 2 –x = 8 3 – x d) 2 x + 2 x + 1 + 2 x + 2 = 7 e) 6 1 – x + 6 x = 7 f) 4 x + 1 + 2 x + 3 – 320 = 0 g) 2 x + 2 x – 1 + 2 x – 2 = 1 h) 9 x – 2 · 3 x + 2 + 81 = 0 i) 5 x + 1 = 10 + 3 · 5 2 – x j) 2 x 2 – 5x = 64 –1 a) b) c) d) e) 128 2 9 1 3 9 9 3 3 2 2 8 2 2 9 2 2 2 2 7 2 2 2 4 2 7 2 1 0 6 6 7 1 2 1 2 3 3 6 3 9 3 1 2 1 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + − − − − − − + + − · ⇒ · · − ⋅ · ⇒ · ⇒ · · ⇒ · ⇒ · + + · ⇒ + ⋅ + ⋅ · ⇒ · ⇒ · + · y ⇒⇒ + · ⇒ · · + − · ⇒ ⋅ + ⋅ − − · ⇒ + ⋅ − · ⇒ · + + 6 6 6 7 0 1 4 2 320 0 4 2 8 2 320 0 2 2 2 80 0 3 1 2 1 3 2 2 x x x x x x x x x x x ; f) 9 Altura km -3 Presión atm 1, 37 ( ) − − ( ) 2 1 0 1 2 3 1 23 1 1 1 0 9 0 81 0 729 , , , , , 8 8 9 0 4 0 4 8 9 7 8 ¸ ¸ _ , · ⇒ · ¸ ¸ _ , · , log , log , t t 8 9 0 09 20 ¸ ¸ _ , · , 8 9 0 17 15 ¸ ¸ _ , · , 8 9 0 55 5 ¸ ¸ _ , · , G U Í A D I D Á C T I C A • 59 Altura (km) –3 –2 –1 0 1 2 3 Presión (atm) 1 Resuelve los siguientes sistemas: Resuelve las siguientes ecuaciones loga- rítmicas: a) 2 log 2 x – log 2 (x – 16) = log 2 4 b) log x = 1 + log (22 – x) c) 2 log (5x + 4) – log 4 = log (x + 4) d) (x 2 – 5x + 9) log 2 + log 125 = 3 e) ln (2x – 3) + ln (5 – x) = ln 5 f) ln x = ln 2 + 2 ln (x – 3) Resuelve los siguientes sistemas: a) log 3 3 0 3 1 3 2 62 0 38 0 38 2 62 x y x y x y x y x x y y + · + · ¹ ; ¹ ¹ ¹ ⇒ ⋅ · + · ¹ ; ¹ ⇒ ⇒ · · · · log , , , , ; ; a) x y x y b) x y x y c) x y x y d) x y x y log log log log log log log log log log log log log 3 3 2 2 0 3 11 1 1 3 3 5 5 + · + · ¹ ; ¹ − · − · ¹ ; ¹ ¸ ¸ _ , · + · ¹ ; ¹ ¹ ¹ − · + · ¹ ; ¹ 12 a) b) c) d) log log log log log log log 2 2 2 2 2 2 1 2 16 4 16 4 10 22 10 22 20 5 4 4 4 5 4 4 4 0 36 25 x x x x x x x x x x x x x x x − ¸ 1 ] 1 1 · ⇒ − · ⇒ ⇒ · ⋅ − ( ) [ ] ⇒ · − ( ) ⇒ · + ( ) ¸ 1 ] 1 1 · + ( ) ⇒ + ( ) · · + ⇒ · · − No tienes soluciones reales ; 22 125 1 000 2 8 2 3 2 3 5 5 2 3 5 5 4 9 4 2 3 2 2 2 5 9 5 9 1 2 1 2 2 x x x x x x x x x x x x x x x x − + − + ⋅ ¸ 1 ] 1 · ⇒ · · ⇒ · · − ( ) ⋅ − ( ) [ ] · ⇒ − ( ) − ( ) · · ⇒ · · · ⋅ − ( ) ¸ 1 ] 1 ⇒ · ⋅ − log ln ln ln ln ; ; e) f) 33 9 2 2 2 1 2 ( ) ⇒ ⇒ · · x x ; 11 a) b) c) 2 2 6 2 2 2 2 4 2 2 2 1 3 3 36 3 243 3 36 243 27 3 9 2 2 3 2 5 x y x y x y x y x y y x y x y a b a b a b a x a x y y + · − · ¹ ; ¹ ¹ ¹ ⇒ · · ⇒ · · + · · ¹ ; ¹ ¹ ¹ · · + · ⋅ · ¹ ; ¹ ⇒ · ⇒ · · ⇒ · · · + · + Haciendo 3 obtenemos : y b = 9 y b = 27 x 99 2 5 9 2 5 9 4 2 5 5 9 2 4 2 5 5 1 3 3 4 4 256 4 2 2 2 1 x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y + + − · − ¹ ; ¹ ¹ ¹ ⇒ + · ⋅ − ⋅ · − ¹ ; ¹ ¹ ¹ · ⇒ · · ⇒ · · ⋅ · ¹ ; ¹ ¹ ¹ ⇒ · + · ¹ ; ¹ ⇒ · · d) a) b) c) d) x y x y x y x y x y x y x y x y 2 2 6 2 2 2 3 3 36 3 243 2 5 9 2 5 9 3 3 4 4 256 2 1 + · − · ¹ ; ¹ ¹ ¹ + · · ¹ ; ¹ ¹ ¹ + · − ·− ¹ ; ¹ ¹ ¹ · ⋅ · ¹ ; ¹ ¹ ¹ + + + 10 + + · ⇒ + + · ⇒ · ⇒ · ¸ ¸ _ , · − − − 2 2 2 1 2 2 2 2 4 1 2 4 7 4 7 2 1 2 x x x x x x x x log log g) 00 81 9 2 3 81 0 3 18 3 81 0 2 5 10 3 5 5 5 10 75 5 1 2 64 2 2 2 3 2 2 1 2 5 1 5 6 1 2 2 2 , ; h) i) j) x x x x x x x x x x x x x x x x − ⋅ + · ⇒ − ⋅ + · ⇒ · · + ⋅ ⇒ ⋅ · + ⇒ · · ⇒ · ⇒ ⇒ · · + + − − − − − 60 • G U Í A D I D Á C T I C A PÁGINA • 98 Responde a las siguientes cuestiones relacionadas con el interés simple: a) Un capital de 1 000 euros colocado al 12 % de interés simple durante tres años, ¿en qué capital se transforma? b) ¿Cuánto tiempo hay que tener 3 000 euros al 10 % de interés simple para que se conviertan en 3 900 euros? c) Calcula los intereses que generan 12 000 euros colocados al 7 % de in- terés simple durante 4 años, si los intereses se devengan: c 1 ) Anualmente c 2 ) Mensualmente Calcula el montante que generan 15 000 euros colocados al 7 % de interés compuesto durante 4 años, si los intereses se devengan: a) Anualmente b) Mensualmente Calcula el tiempo que debe estar colocado un capital de 4 000 euros en una cuenta corriente al 5,5 % de interés compues- to anual para que el capital se duplique. Aplicando la fórmula M = C (1 + r) t obtenemos: Una caja de ahorros de tu localidad te oferta tres fórmulas distintas para colocar tu dinero, que asciende a 4 000 euros a interés compuesto durante 10 años: • Fórmula A: capitalización trimestral al 8,6 % anual. • Fórmula B: capitalización anual al 8,65 %. • Fórmula C: capitalización mensual al 8,55 % anual. ¿Cuál te parece mejor? La más conveniente es la fórmula C, porque es la que más interés devenga. El abuelo de Luis, al nacer éste, decidió ingresar en un banco un capital de 2 000 euros a interés compuesto anual del 17 • : , , • : , , • : , , Fórmula euros Fórmula euros Fórmula euros A M B M C M · + ¸ ¸ _ , · · + ( ) · · + ¸ ¸ _ , · 4 000 1 0 086 4 9 366 88 4 000 1 0 086 9 127 63 4 000 1 0 086 12 9 423 70 40 10 120 16 8 000 4 000 1 0 055 2 1 0 055 2 1 055 12 9 · ⋅ + ( ) ⇒ · + ( ) ⇒ · · , , log log , , t t t años 15 a M b M ) ) · ⋅ + ( ) · · ⋅ + ¸ ¸ _ , · 15 000 1 0 07 19 661 94 15 000 1 0 07 12 19 830 81 4 48 , , , , euros euros 14 a) b) c) i t t i i i i · ⋅ ⋅ · · ⋅ ⋅ ⇒ · · ⋅ ⋅ ⇒ · · ⋅ ⋅ ⇒ · 1 000 12 3 100 360 900 3 000 10 100 3 12 000 7 4 100 3 360 12 000 7 48 1 200 3 360 euros Se transforma en 1 300 euros años euros euros En ambos casos generan unos intereses de 3 360 euros. 13 b) c) log 2 2 2 2 11 1 11 10 10 3 1 3 x y x y x y x y x y x y − · − · ¹ ; ¹ ¹ ¹ ⇒ − · · ¹ ; ¹ ¹ ¹ ⇒ ⇒ · · ¸ ¸ _ log log ,, · + · ¹ ; ¹ ¹ ¹ ⇒ − · + · ¹ ; ¹ ⇒ ⇒ · − · ¹ ; ¹ ⇒ · · · · 1 3 1 3 3 5 5 2 5 25 5 5 log log log log log log log log log log log log log log log ; log log ; x y x y x y x x y y x y x y x x y y = 2 ; =100 log =1 ; =10 + d) G U Í A D I D Á C T I C A • 61 7,5 %. ¿Cuánto dinero recibirá al cumplir 25 años? Si la capitalización se hubiera hecho semestralmente, ¿cuánto dinero hubiera recibido? M = 2 000 · (1 + 0,075) 25 = 12 196,68 euros recibi- rá al cumplir 25 años. En caso de hacer la capitalización semestral recibirá: Calcula el tiempo necesario para que un capital impuesto a interés compuesto al 6 % anual se duplique. ¿Y para que se triplique? • Tomando logaritmos obtenemos Para que el capital se duplique han de pasar 11,9 años. • Para que el capital se triplique han de pasar 18,85 años. ¿A qué tanto por ciento anual debe pres- tarse un capital puesto a interés compuesto para que en 20 años se duplique? ¿Y para que se duplique en 10 años? • Tomando logaritmos obtenemos Para que el capital se duplique al cabo de 20 años el rédito debe ser de un 3,5 %. • Para que el capital se duplique en 10 años se debe colocar a un rédito del 7,2 %. Dos capitales que difieren en 2 500 euros se colocan al 4,5 % de interés compuesto el mayor y al 6 % el menor. Halla estos capitales sabiendo que en 20 años dan el mismo capital final. Llamando x e y a los capitales obtenemos: ¿Qué capital será preciso que coloque un padre, al nacer su hijo, en el Banco, si desea que cuando cumpla siete años pueda tener un capital de 2 100 euros? La im- posición la hace al 8 % de interés compuesto anual. 2 100 = C (1 + 0,08) 7 ⇒ C = 1 225,33 euros Deberá poner un capital de 1 225,33 euros. PÁGINA • 99 Una persona entrega al principio de cada mes y durante 4 años una cantidad fija de 60 euros. La capitalización es mensual al 5 % anual. ¿Qué capital tendrá al final de los 4 años? C = 3 194,1468 euros Al cabo de 4 años tendrá 3 194,1468 euros. ¿Qué anualidad habrá de colocarse al 13 % de interés compuesto para reunir en 5 años doce mil euros? Aplicando la fórmula obtenemos: euros C a r r r a a t · ⋅ + ( ) ⋅ + ( ) − ¸ 1 ] 1 · ⋅ + ( ) ⋅ + ( ) − ¸ 1 ] 1 ⇒ · 1 1 1 12 000 1 0 13 1 0 13 1 0 13 1 638 7385 5 , , , , 23 C · + ¸ ¸ _ , ⋅ + ¸ ¸ _ , − ¸ 1 ] 1 1 60 1 0 05 12 1 0 05 12 1 0 05 12 48 , , , 22 21 x y x y x y − · ⋅ + ( ) · ⋅ + ( ) ¹ ; ¹ ¹ ¹ ⇒ · · 2 500 1 0 045 1 0 06 10 084 91 7 584 91 20 20 , , , , euros euros 20 2 1 1 2 10 0 072 10 C C r r r · + ( ) ⇒ + ( ) · ⇒ · log log , log log , , 1 2 20 1 1 035 0 035 + ( ) · ⇒ + · ⇒ · r r r 2 1 2 1 20 20 C C r r · + ( ) ⇒ · + ( ) 19 3 1 0 06 3 1 06 18 85 C C t t · + ( ) ⇒ · · , log log , , años t · · log log , , 2 1 06 11 9 años 2 1 0 06 2 1 06 C C t t · + ( ) ⇒ · , , 18 M · ⋅ + ¸ ¸ _ , · 2 000 1 0 075 2 12 601 88 50 , , euros 62 • G U Í A D I D Á C T I C A ¿Qué anualidad de capitalización hemos de depositar en una entidad financiera, al principio de cada año, para capitalizar al cabo de 20 años, al 8 % anual, 30 000 euros? Aplicando la misma fórmula del problema anterior obtenemos: Al comienzo de cada uno de 4 años consecutivos depositamos en una libreta de ahorro 1 500 euros. Al comenzar el quin- to año, sacamos 5 000 euros de la libreta. ¿Qué cantidad de dinero queda en la libreta si sabemos que los intereses son compuestos al 4,5 % anual? Aplicando la misma fórmula que en los problema anteriores obtenemos: En la libreta después de sacar 5 000 euros quedan 1 706,06 euros. Se paga una deuda al 9 % en 6 años mediante una anualidad de amortización de 1 350 euros. ¿A cuánto ascendía la deuda? ¿Cuál es la cuota mensual de amortiza- ción de un préstamo hipotecario de 50 000 euros a 15 años al 11 % anual? ¿Qué cantidad de dinero pagamos durante los 15 años? Aplicando la fórmula anterior obtenemos: La cuota mensual de amortización es 568,298 euros. En total hemos pagado: Es decir, 260 767,83 euros. Una persona compra un piso en 100 000 euros. A la firma del contrato entrega 20 000 euros y el resto lo paga una entidad financiera que le ha concedido el préstamo correspondiente. Esta entidad le cobra un 9 % anual y las cuotas de amortización mensuales. ¿A cuánto asciende cada una de estas cuotas si ha de saldar la deuda en 20 años? La entidad le concede un préstamo de 80 000 euros. Aplicando la fórmula utilizada en el problema anterior, obtenemos: a = 719,78 euros mensuales debe pagar. Para amortizar una deuda de 29 500 euros, hemos abonado varias anualidades de 4 200 euros cada una al 7 % anual. ¿Durante cuántos años? Aplicando la fórmula obtenemos: ⇒ t = 10 años. Una empresa maderera compra un camión, el cual se com- promete a pagar en 13 anualidades al 6 %. Cada anualidad de amortización asciende a 21 000 euros. ¿Cuánto costó el camión? 30 4 200 29 500 0 07 1 07 1 07 1 1 07 1 9672 · ⋅ ⋅ − ⇒ · , , , , , t t t A D r r r t t · ⋅ ⋅ + ( ) + ( ) − 1 1 1 29 a · ⋅ + ¸ ¸ _ , + ¸ ¸ _ , − 80 000 1 0 09 12 0 09 12 1 0 09 12 1 240 240 , , , 28 C · ⋅ + ¸ ¸ _ , + ¸ ¸ _ , − ¸ 1 ] 1 1 568 298 1 0 11 12 1 0 11 12 1 0 11 12 180 180 , , , , a a · ⋅ + ¸ ¸ _ , ⋅ + ¸ ¸ _ , − ⇒ · 50 000 1 0 11 12 0 11 12 1 0 11 12 1 568 298 180 180 , , , , euros 27 Aplicando la fórmula obtenemos : La deuda asciende a euros. a D r r r D D t t · ⋅ ⋅ + ( ) + ( ) − · ⋅ ⋅ + ( ) + ( ) − ⇒ · 1 1 1 1 350 0 09 1 0 09 1 0 09 1 6 055 99 6 055 99 6 6 , , , , , 26 C C · ⋅ + ( ) + ( ) − ¸ 1 ] 1 ⇒ ⇒ · 1 500 1 0 045 1 0 045 1 0 045 6 706 06 4 , , , , euros 25 euros , , , 30 000 1 0 08 1 0 08 1 0 08 607 20 · ⋅ + ( ) + ( ) − ¸ 1 ] 1 ⇒ · a a 24 G U Í A D I D Á C T I C A • 63 Aplicando la fórmula anterior obtenemos: D = 185 906,34 euros costó el camión. Tu hermana se ha comprado una moto cuyo valor es de 10 000 euros. Ha de pa- garla mediante cuotas trimestrales de 528,7 euros al 8 % anual. ¿Cuántos años tardará en pagar la moto? Aplicando la fórmula anterior obtenemos: Es decir, pagará la moto en 6 años. Una empresa de mensajería adquiere 100 motocicletas a 2 000 euros cada una. Para ello contrata una financiación que le cobra el 5 % anual y debe pagar al final de cada año 22 565 euros. ¿Durante cuántos años deberá pagar esta cantidad a la financiera? En total la financiera le presta 200 000 euros. Apli- cando la fórmula del problema anterior obtenemos: PÁGINA • 101 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 1. PRODUCTO DE CUATRO ENTEROS. Ob- serva las siguientes igualdades: 1 · 2 · 3 · 4 = 5 2 – 1; 2 · 3 · 4 · 5 = 11 2 – 1; 3 · 4 · 5 · 6 = 19 2 – 1 ¿Será siempre cierto que el producto de cuatro enteros consecutivos es un cuadrado perfecto menos uno? Veamos si el producto de cuatro números enteros (x – 1) · x · (x + 1) (x + 2) es un cuadrado perfecto menos una unidad. 2. NAVES HACIA VENUS. Los cohetes A y B marchan hacia Venus a una velocidad de 50 000 km/s, formando sus trayectorias hacia dicho planeta un ángulo de 60°. En un instante dado, hallándose ambos a 3 000 000 de km de Venus, A emite una se- ñal de radio (velocidad de ésta 300 000 km/s), que una vez alcanzado B, es devuel- ta por éste hacia A. Éste nuevamente la re- envía y así sucesivamente, hasta que ambos cohetes llegan al planeta. Halla la distancia recorrida por las señales radio eléctricas desde su emisión hasta ese momento. Ambos cohetes tardan = 60 segundos en alcanzar Venus. Durante este tiempo la señal, en sus idas y venidas ha recorrido: 300 000 × 60 = 18 000 000 km. 3. A BUEN FIN, MEJOR PRINCIPIO. ¿En qué cifra termina 7 83 578 ? 7 1 = 7 ⇒ termina en 7 7 2 = 49 ⇒ " en 9 7 3 = 343 ⇒ " en 3 7 4 = 2 401 ⇒ " en 1 7 5 = 16 807 ⇒ " en 7 .............................................. Por tanto hay 4 terminaciones distintas que se repiten cíclicamente; de modo que: Es decir, 7 83 578 termina en el mismo número que 7 2 , es decir termina en 9. 83 578 2 4 20 894 R · 3 000 000 50 000 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x − + + · + − − + − · + − − + ¹ ; ¹ ¹ ¹ ⇒ − + + · + − − 1 1 2 2 2 1 2 2 1 1 1 2 1 1 4 3 2 2 2 4 3 2 2 2 Luego 22 565 200 000 0 05 1 05 1 05 1 22 565 1 05 1 10 000 1 05 12 565 1 05 22 565 12 · ⋅ ⋅ − ⋅ − ( ) · ⋅ ⋅ · · , , , , , , t t t t t t años 32 528 7 10 000 0 08 4 1 0 08 4 1 0 08 4 1 528 7 1 02 1 200 1 02 1 02 1 60845 24 , , , , , , , , , · ⋅ ⋅ + ¸ ¸ _ , + ¸ ¸ _ , − ⋅ − ( ) · ⋅ ⇒ ⇒ · ⇒ · t t t t t t períodos 31 21 000 0 06 1 06 1 06 1 13 13 · ⋅ ⋅ − D , , , 64 • G U Í A D I D Á C T I C A B V A 1. Usar los números reales (racionales e irracionales), sus notaciones, operaciones y procedimientos asociados para intercambiar información y resolver problemas de la vida cotidiana y de los ámbitos científico y sociológico. Este criterio supone: • Realizar adecuadamente los cálculos numéricos teniendo en cuenta la jerarquía de las operaciones. • Usar los diferentes tipos de números en la resolución de problemas. • Resolver problemas de Matemática Financiera haciendo uso del concepto de logaritmo y de sus propiedades. 2. Utilizar conveniéntemente redondeos y aproximaciones por defecto y por exceso de los números acotando el error, absoluto o relativo, en una situación de resolu- ción de problemas, desde la toma de datos hasta la solución. Este criterio supone: • Manejar los conceptos y procedimientos relacionados con la estimación, la precisión, la aproximación y el error. • Aplicar técnicas de obtención de números aproximados por redondeo y aproximaciones decimales por defecto y por exceso. 3. Utilizar las operaciones con distintos tipos de números para plantear ecuaciones y sistemas con soluciones en diferentes campos numéricos. Este criterio supone: • Resolver problemas surgidos de las operaciones con números. • Elegir la forma de cálculo apropiada, interpretando los resultados obtenidos. 4. Resolver problemas por medio de la simbolización de las relaciones que existan en ellos y, en su caso, en la resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones. Este criterio supone: • Utilizar las herramientas algebraicas básicas en la resolución de problemas. • Usar notaciones simbólicas en el planteamiento de problemas. • Resolver ecuaciones y sistemas, utilizando los procedimientos algebraicos convencionales. • Dar una interpretación, ajustada al contexto, a las soluciones obtenidas. 5. Resolver problemas por medio de la simbolización de las relaciones que existan en ellos y, en su caso, en la resolución de inecuaciones y sistemas de inecuaciones. Este criterio supone: • Utilizar las herramientas algebraicas básicas en la resolución de problemas. • Resolver inecuaciones y sistemas de inecuaciones, utilizando los procedimientos algebraicos convencionales. • Dar una interpretación, ajustada al contexto, a las soluciones obtenidas. G U Í A D I D Á C T I C A • 65 C C R R I I T T E E R R I I O OS S Y Y A AC C T T I I V V I I D DA AD DE E S S D DE E E E V VA AL L U UA AC C I I Ó ÓN N CRITERIOS 1. Efectúa las siguientes operaciones: a) Efectuamos las operaciones pasando los números decimales a forma de fracción: b) 2. Las expresiones decimales de π, Ø, e y son: π = 3,14159265… Ø = 1,61803398… e = 2,71828182… = 2,223606797… Obtén los respectivos redondeos a décimas y milésimas, indicando en cada caso el error cometido. • π = 3,14159265… 3,1 es un redondeo a décimas con cota de error de 0,05. 3,142 es un redondeo a milésimas con cota de error de 0,0005. • Ø = 1,61803398… 1,6 es un redondeo a décimas con cota de error de 0,05. 1,618 es un redondeo a milésimas con cota de error de 0,0005. • e = 2,71828182… 2,7 es un redondeo a décimas con cota de error de 0,05. 2,718 es un redondeo a milésimas con cota de error de 0,0005. • = 2,223606797… 2,2 es un redondeo a décimas con cota de error de 0,05. 2,236 es un redondeo a milésimas con cota de error de 0,0005. 3. Para la adquisición de un local comercial cuyo precio es de 92 409 euros, una persona dispone de unos medios financieros que le permiten pagar una cuota trimestral de amortización de 2 500 euros, efectuan- do cada pago al final de cada trimestre. ¿Cuántos pagos deberá hacer si el banco aplica un interés del 7 % anual? T = 60 períodos trimestrales. Debe hacer al banco 60 pagos, es decir, debe pagar durante 15 años. 4. Calcula, simplificando al máximo los resultados: a) Racionalizando y operando obtenemos: b) 5. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) − + − · − − + ( ) · ⇒ · − + · ⇒ · t · t 2 22 36 0 2 11 18 0 0 11 18 0 2 3 5 3 4 2 4 2 x x x x x x x x x x x a x x x b x x ) ) − + − · − − · − 2 22 36 0 2 2 1 2 1 5 3 3 5 2 3 45 125 1 2 80 3 5 2 5 5 5 2 5 3 5 5 15 ⋅ − + ¸ ¸ _ , · · ⋅ − + ( ) · · − ( ) · − 3 2 2 3 2 3 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 11 2 12 14 − + · − ( ) − ( ) + ( ) − ( ) · − a) b) 3 2 2 3 2 3 5 2 3 45 125 1 2 80 − + − − + ¸ ¸ _ , 2 500 92 409 0 07 4 1 0175 1 0175 1 2 500 1 0175 2 500 1 617 16 1 0175 882 85 1 0175 2 500 · ⋅ ⋅ − ⋅ − · ⋅ ⋅ · , , , , , , , , r T r T T 5 5 5 − ( ) ¸ 1 ] 1 · − ( ) · − ( ) · − 2 64 2 64 2 1 64 2 3 2 3 2 3 ; ; 37 30 8 11 11 12 187 240 : − · a) b) 1 23 0 72 11 12 2 2 2 2 3 2 3 2 3 , : , ; ; ) ២ − − ( ) ¸ 1 ] 1 − ( ) ( ) − 66 • G U Í A D I D Á C T I C A ACTIVIDADES 6. Dibuja la región factible correspondiente al siguiente sistema de inecuaciones y encuentra los vértices de la misma: La región factible es la zona sombreada del dibujo. Los vértices son: A(0, 0) B(1, 0) C(–1, 4) 7. Resuelve la siguiente inecuación: (x + 2) (x – 3) ≤ 0 Estudia si el conjunto solución está o no acotado. Resolvemos la ecuación (x + 2) (x + 3) = 0 y obtenemos como soluciones x = –2 y x = 3. Representando estas en la recta real obtenemos: La solución de la inecuación es el conjunto de núme- ros reales del intervalo [–2, 3]. Este conjunto solución está acotado superior e inferiormente, por tanto está acotado y tiene máximo absoluto el 3 y mínimo absoluto el –2. 8. Una panadería fabrica masa para pizzas y hace 80 pizzas de tres tamaños: grande, mediano y pequeño, con 6 700 g de harina. Si en cada pizza grande utiliza 120 g de harina, en cada una de las medianas 80 g y 60 g en cada una de las pequeñas, y además el número de pizzas grandes que fabrica con esa cantidad de harina es la tercera parte de las que fabrica en tamaño mediano y pe- queño juntas ¿cuantas pizzas fabrica de cada tamaño con esa cantidad de harina? Llamando G, M y P al número de pizzas grandes, medianas y pequeñas que fabrica, respectivamente, obtenemos el sistema siguiente: Resolviendo por el método de Gauss obtenemos: G = 20 ; M = 35 ; P = 25 Por tanto, con esa cantidad de harina fabrica 20 pizzas grandes, 35 medianas y 25 pequeñas. G M P G M P G M P + + · + + · · + ( ) ¹ ; ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ 80 120 80 60 6 700 1 3 –2 3 – + + Y X O –1 1 2x + y = 2 4x + y = 0 A B C 4 2 2 4 0 0 x y x y y + ≤ + ≥ ≥ ¹ ; ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ b) + − + − − − · − − · + − ( ) · + ( ) − · + + 0 3 3 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 8 4 2 1 2 2 2 x x x x x x x x x Esta ecuación tiene por soluciones : ; ; ; ; ⇒⇒ − + · ⇒ · · · · x x x x x x 2 6 5 0 1 5 1 5 ; Esta ecuación tiene por soluciones : y G U Í A D I D Á C T I C A • 67 5 5 . . B B L L O O Q Q U U E E T T E E M M Á Á T T I I C C O O I I I I : : F F U U N N C C I I O O N N E E S S Y Y G G R R Á Á F F I I C C A A S S G U Í A D I D Á C T I C A • 71 Unidad Didáctica 6: Funciones reales. Propiedades globales. 1. Formas de expresar una función. 2. Funciones reales de variable real. Dominio y recorrido de una función. 3. Monotonía. 4. Extremos relativos. 5. Funciones acotadas. Extremos absolutos. 6. Funciones simétricas. 7. Tendencias de una función. Asíntotas. Ramas infinitas. 8. Funciones periódicas. 9. Función inversa. Unidad Didáctica 7: Funciones polinómicas y racionales. 1. Funciones cuyas gráficas son rectas. 2. Funciones cuadráticas. 3. Funciones de oferta y demanda. 4. Funciones de proporcionalidad inversa. 5. Funciones de la forma y = . 6. Traslaciones de gráficas de funciones. Unidad Didáctica 8: Funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas. 1. Funciones exponenciales. 2. Funciones logarítmicas. 3. Unidades angulares. 4. Razones trigonométricas de un ángulo agudo. 5. Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera. 6. Reducción de un ángulo al primer giro. 7. Funciones circulares. 8. Funciones inversas de las funciones circulares. 9. Funciones relacionadas con las funciones circulares. Unidad Didáctica 9: Interpolación. 1. El problema de la interpolación. 2. Interpolación lineal. 3. Interpolación cuadrática. Unidad Didáctica 10: Límites de funciones. Continuidad. 1. Idea intuitiva de función convergente. 2. Límite de una función. 3. Límites infinitos cuando x tiende a un número finito. Asíntota vertical. 4. Límites finitos en el infinito. Asíntota horizontal. 5. Límites infinitos en el infinito. 6. Asíntotas de una función. 7. Operaciones con límites de funciones. 8. Cálculo de límites sencillos. 9. Funciones continuas. 10. Propiedades de las funciones continuas. Discon- tinuidad. Unidad Didáctica 11: Introducción a las derivadas y sus aplicaciones 1. Tasas de variación media e instantánea. 2. Derivada de una función en un punto. Significado geométrico y función derivada. 3. Derivadas de las operaciones con funciones. 4. Derivadas de las funciones elementales más sencillas. 5. Algunas aplicaciones de la derivada. 6. Optimización de funciones. 7. Representación gráfica de funciones polinómicas y racionales. ax + b cx + d ESTRUCTURA DE UNIDADES Funciones y gráficas Funciones y gráficas Funciones y gráficas II II II G U Í A D I D Á C T I C A • 73 Al finalizar esta Unidad Didáctica, el alumno y la alumna deberán ser capaces de: 1. Manejar el lenguaje funcional. 2. Utilizar las distintas formas de expresar una función. 3. Analizar gráficas de funciones atendiendo a sus características: dominio, recorrido, monotonía, extremos relativos, acotación, simetrías, periodicidad, tendencia y continuidad. 4. Representar gráficas de funciones que obedecen a unas características dadas. 5. Valoración del lenguaje funcional y gráfico como potente herramienta de las Matemáticas para la interpretación de fenómenos económicos y sociales. • Revisando los conceptos relativos a las funciones estudiados en la Educación Secundaria Obliga- toria. • Usar, profusamente, la representación gráfica de funciones por su gran utilidad en la visualización de las características más significativas de las mismas. • Traducir al lenguaje gráfico informaciones dadas en lenguaje verbal o numérico. • Obtener información de fenómenos descritos mediante una función. ¿CÓMO TRABAJAR LA UNIDAD? OBJETIVOS DIDÁCTICOS PÁGINA • 105 ACTIVIDADES INICIALES 1. Dibuja la gráfica de las funciones con las características siguientes: a) Dom f = (–6, 6); Im f = [0, 4]; simétri- ca respecto del eje OY, máximos en los puntos (3, 4) y (–3, 4) y mínimo en el punto (0, 0). b) Dom f = (–ؕ, 0); Im f = (–ؕ, 0) y estrictamente decreciente en todo su dominio. Una solución puede ser: 4 0 3 6 –3 –6 a) 74 •G U Í A D I D Á C T I C A CONCEPTOS 1. Formas de expresar una función. 1.1. Expresión mediante una tabla de valores. 1.2. Expresión mediante una grá- fica. 1.3. Expresión mediante una fór- mula matemática o expre- sión algebraica. 1.4. Expresión mediante la des- cripción verbal. 2. Funciones reales de variable real. Dominio y recorrido de una fun- ción. 2. 1. Dominios de las funciones más usuales. 2. 2. Recorrido de una función. 3. Monotonía. 4. Extremos relativos. 5. Funciones acotadas. Extremos absolutos. 6. Funciones simétricas. 7. Tendencias de una función. Asín- totas. Ramas infinitas. 8. Funciones periódicas. 9. Función inversa. ACTITUDES PROCEDIMIENTOS RESOLUCIÓN DE ACTIVIDADES • Utilización del lenguaje funcional y gráfico. • Estudio del dominio de las funciones elementales. • Utilización de las gráficas de funciones dadas para el estudio de sus características: recorrido, monotonía, extremos relativos, acotación, si- metrías, periodicidad, tendencia y continuidad. • Representación de funciones que obedecen a unas características dadas. • Interpretación de fenóme- nos mediante una función. – Valoración de la utilidad del lenguaje gráfico para el estudio de las características de una función. – Incorporación del lenguaje gráfico a la forma de tratar la información. – Gusto por la precisión y el cuidado en la representa- ción gráfica de las funciones y análisis de las mismas. 2. Encuentra la expresión algebraica asociada a la descripción verbal de la relación funcional de la página siguiente. La expresión algebráica pedida es: N = 2 t , siendo N el número de bacterias y t el tiempo en horas. PÁGINA • 110 ACTIVIDADES PARA RESOLVER 1. Estudia la acotación de las siguientes funciones y halla, en caso de que existan, los extremos absolutos, supremos e ínfimos. La función k(x) está acotada superior e inferiormente. Su supremo es 2 y no es máximo absoluto, y su ínfimo y mínimo absoluto es 0. La función h(x) está acotada superior e inferiormente. Su supremo y máximo absoluto es 3, y su ínfimo es 0, pero no tiene mínimo absoluto. PÁGINA • 118 ACTIVIDADES DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE Determina una tabla de valores, una fór- mula matemática y una gráfica de cada una de las siguientes funciones: a) La tarifa de precios de un aparcamiento urbano indica que el precio es de 1 euro por cada hora o fracción, siendo el precio máximo por día de 8 euros. Expresa esta función mediante su tabla de valores, su gráfica y su expresión algebraica. b) El espacio, en kilómetros, que recorre un au- tobús que lleva una velocidad constante de 100 km/h. c) La tarifa de los taxis que co- bran 1 euro por bajada de bandera y 0,05 euros por cada minuto recorrido en el taxi. d) El área de un rectángulo cuya base mide 5 m más que su respectiva altura. Expresar, en cada caso, sus dominios y recorrido o conjunto imagen. a) Tabla de valores: Dom f = (0, +∞); Im f = [1, +∞). La gráfica es: b) Fórmula: e = 100 · t Dom e = [0, +∞) Im e = [0, +∞) O t (horas) 2 1 100 e (km) 200 t e 1 100 1 5 150 2 200 , Precio (€) O Tiempo (h) 24 2 1 3 4 5 6 7 8 2 1 3 4 5 6 7 8 Fórmula si si si f x x x x ( ) · < ≤ < ≤ < ≤ ¹ ' ¹ ¹ ¹ 1 0 1 2 1 2 8 7 24 Tiempo en horas Precio en euros 1 1 5 2 8 9 1 2 2 8 8 , … … 1 h (x) = — 3 x 2 + 1 Y O X 3 k (x) = — 2x 2 x 2 + 1 Y O X 2 0 b) G U Í A D I D Á C T I C A • 75 c) P = 1 + 0,05 · t Dom P = [0, +∞); Im P = [1, +∞) d) Llamando x a la medida de la altura, sabemos que la base mide 5 + x, por tanto, el área es: A = x · (x + 5) ⇒ A = x 2 + 5x Dom A = (0, +∞); Im A = (0, +∞) Estudia el dominio de las siguientes funciones: j(x) = x 4 – 2x 2 k(x) = l(x) = m(x) = n(x) = o(x) = p(x) = q(x) = Dom f = ޒ Dom g = (–3, 0] Dom h = (–5, +∞) Dom i = (–∞,1) ʜ (4,+∞) Dom j = ޒ Dom k = ޒ – {2, 3} Dom l = ޒ – {1} Dom m = [–2, +∞) Dom n = ޒ Dom o = [1, +∞) Dom p = (–∞,–2] ʜ [2,+∞) Dom q = ޒ – {–1} Estudia el dominio y el recorrido de las siguientes funciones: a) Dom f = [0, +∞) Im f = [100, +∞) b) Dom g = (–∞, –1] ʜ [1, +∞) Im g = [–2, +∞) PÁGINA • 119 Analiza y estudia, en cada una de las siguientes funciones, el dominio, el recorrido o conjunto imagen, la monotonía y los extremos relativos: y = f (x) Y O X –2 –1 2 y = g(x) Y O X 4 y = f (x) 1 2 3 4 100 200 300 400 Y O X y = g(x) –1 –1 –2 1 Y O X b) a) 3 5 √x 3 – 2x 2 x + 1 6 √x 2 – 4 4 √x – 1 3 √x 2 + 5 6 √x + 2 –1 1 – x x 2 + 1 x 2 – 5x + 6 2 –5 y = h(x) 1 4 y = i(x) Y O X Y O X y = f (x) –3 y = g(x) Y O X Y O X 2 A (m 2 ) O x (m) 2 1 3 4 20 10 30 x A 1 6 2 14 3 24 4 36 P (€) O t (m) 10 5 15 20 2 1 3 t P 1 1 05 10 1 5 20 2 , , 76 •G U Í A D I D Á C T I C A • y = f (x) Dom f = ޒ; Im f = (0, +∞) Estrictamente creciente en todo su dominio. No tiene extremos relativos. • y = g(x) Dom g = ޒ – {–2, 2}; Im g = (–∞, –1] ʜ (0, +∞) Estrictamente creciente en (–∞, –2) ʜ (–2, 0) Estrictamente decreciente en (0, 2) ʜ (2, +∞) Máximo relativo (0, –1) • y = h(x) Dom h = ޒ – {2}; Im h = (–∞, 4). Carece de extremos relativos. Estrictamente creciente (2, +∞) Estrictamente decreciente (–∞, 2) • y = i (x) Dom i = (0, +∞); Im i = [–2, +∞) Mínimo relativo (2, –2) Estrictamente decreciente (0, 2) Estrictamente creciente en (2, +∞) • y = j (x) Dom j = ޒ; Im j = ޒ Máximo relativo (–5, 4); Mínimo relativo (–1, –3) Estrictamente creciente (–∞, –5) ʜ (–1, +∞) Estrictamente decreciente (–5, –1) • y = k(x) Dom k = ޒ; Im k = (–1, 1). Carece de extremos relativos. Estrictamente decreciente en todo su dominio. Dibuja las gráficas correspondientes a la funciones con las características que se citan a continuación: a) Dom f = (–∞, –2] ʜ[2, +∞); Im f = (–∞, 2]; máximos relativos en los puntos (–3, 2) y (3, 2). b) Dom g = R; Im g = (–3, 2); mínimo relativo en el punto (–2, –1) y máximo relativo en el punto (0, 1). c) Dom h = (–∞, 0); Im h = (1, +∞) y estrictamente creciente en todo su dominio. d) Dom i = R – {0}; Im i = R; estrictamente creciente en (–∞, 0) y estrictamente decreciente en (0, +∞). Estudia la acotación y la posible existencia de supremo, ínfimo y extremos absolutos en cada una de las siguientes funciones: –3 y = h(x) 5 –2 2 Y O X y = i(x) –8 8 Y O X y = f(x) 2 4 –2 Y O X y = g(x) –2 3 Y O X 6 –3 –2 2 3 2 0 y = f (x) a) –2 2 0 y = g(x) b) –3 –1 1 0 y = h(x) c) 1 0 y = i (x) d) 5 y = h(x) 4 2 Y O X y = k(x) 1 –1 Y O X y = j(x) –3 –5 –1 4 Y O X y = i(x) –2 2 Y O X G U Í A D I D Á C T I C A • 77 78 •G U Í A D I D Á C T I C A a) Esta función y = f (x) está acotada por 0 y 4. El supremo es 4 y el ínfimo es 0. Esta función tiene mínimo absoluto = 0. b) y = g(x) está acotada por 3 y –2. El supremo es 3 y el ínfimo –2. No tiene extremos absolutos. c) y = h(x) está acotada por –3 y 5. El supremo es 5 y el ínfimo –3. Esta función tiene máximo absoluto = 5. d) No está acotada y = i (x). e) y = j (x) está acotada inferiormente por (–1), luego tiene ínfimo (–1). No tiene supremo. Tiene un mínimo absoluto = –1. f) y = k(x) está acotada superiormente por (2). No tiene ínfimo, tiene supremo = 2. No tiene extremos absolutos. PÁGINA • 120 Estudia la simetría de las siguientes funciones: f (x) = x 6 – x 4 g(x) = x – 1 h(x) = i (x) = 8 j (x) = k(x) = l (x) = |x| m(x) = x · e x 2 • Las funciones: f; i; k; l; n; p; son simétricas respecto al eje de ordenadas. • Las funciones: h; j; m; q; r; s; son simétricas respecto al origen de coordenadas. • Las demás funciones no tienen estas simetrías. Estudia si las siguientes funciones son o no periódicas y, en caso afirmativo, halla el período: 1 π 2π j (x) = |cos x| – π π 2 – — π 2 — 3π 2 — Y O X 1 –1 h(x) = — x 2 e x 2 1 e — Y O X –2 –1 1 1 2 3 f (x) = [x – E(x)] 2 Y O X 3 2 –2 4 y = g(x) Y O X 8 y = r (x) Y O X y = s(x) Y O X y = q(x) Y O X y = n(x) Y O X y = p(x) Y O X x 2 – 4 x 2 + 1 x 3 x 2 + 4 1 x 7 2 y = k(x) 1 –1 Y O X y = j(x) –4 –1 Y O X • f (x) periódica de período T = 1. • g(x) periódica de período T = 2. • h(x) no periódica. • i (x) periódica de período T = π. • j (x) periódica de período T = 2 · π. Estudia y describe las tendencias de las funciones cuyas gráficas puedes ver en las actividades 2, 4 y 6. Actividad 2: Actividad 4: Actividad 6: Dibuja las gráficas correspondientes a las funciones que verifican las siguientes condiciones: a) Dom f = R; Im f = [0, +∞); simetría respecto del eje de ordenadas, máximo relativo en el punto (0, 2) y mínimos relativos en ( , 0) y en (– , 0). b) Dom f = R; simetría respecto del origen de coordenadas; acotada por –1 y 1, alcanzando la función ambos valores; mínimo relativo en (–2, –1) y máximo relativo en (2, 1). PÁGINA • 121 El siguiente dibujo muestra parte de la gráfica de una función y = f(x). Complé- tala de forma que verifique una de estas condiciones: 11 1 2 0 a) –1 b) –2 –1 2 1 0 X Y Y X √2 √2 10 y f x x y y g x x y x y y h x x y x y y i x x y x y y j x x y x y y k x x · ( ) → −∞ → { · ( ) → +∞ → − → −∞ → ¹ ' ¹ · ( ) → +∞ → − → −∞ → − ¹ ' ¹ · ( ) → − → +∞ → → −∞ ¹ ' ¹ ¹ ¹ · ( ) → +∞ → +∞ → −∞ → ¹ ' ¹ · ( ) → −∞ + − ; ; ; 4 2 3 3 3 8 8 0 ;; ; y x y x y → → +∞ → → → −∞ ¹ ' ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ 2 2 0 y f x x y x y y g x x y x y x y x y x y x y y h x x y x y x y y i x · ( ) → +∞ → +∞ → −∞ → ¹ ' ¹ · ( ) → −∞ → → − → +∞ → − → −∞ → → −∞ ¹ ' ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ → → +∞ → +∞ → · ( ) → +∞ → → −∞ → → → −∞ ¹ ' ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ · − + − + ; ; ; 0 0 2 2 2 2 0 4 4 2 (( ) → +∞ → → → +∞ ¹ ' ¹ ¹ ¹ · ( ) → +∞ → +∞ → −∞ → −∞ ¹ ' ¹ · ( ) → +∞ → − → −∞ → ¹ ' ¹ + x y x y y j x x y x y y k x x y x y 0 0 1 1 y f x x y x y y g x x y y h x x y y i x x y x y x y x y · ( ) → +∞ → +∞ → −∞ → +∞ ¹ ' ¹ · ( ) → − → t∞ { · ( ) → +∞ → +∞ { · ( ) → +∞ → +∞ → −∞ → +∞ → → −∞ → → −∞ ¹ ' ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ + + − ; ; ; 3 4 1 9 G U Í A D I D Á C T I C A • 79 a) Sea simétrica respecto al eje de ordenadas. b) Sea simétrica respecto al origen de coordenadas. Simétrica respecto OY Simétrica respecto OY La gráfica siguiente muestra los beneficios en miles de euros de una empresa desde el momento en que se fundó. Contesta razonadamente a cada una de las siguientes cuestiones: a) ¿Qué variables se relacionan? b) ¿Cual es el dominio y el recorrido de esta función? ¿Qué sentido tienen en el contexto del problema? c) ¿Al cabo de cuántos años tiene la empresa beneficios máximos? ¿A cuánto ascienden estos? d) ¿Cómo varían los beneficios los primeros años? ¿Y después? e) ¿Crees que habrá un punto en el que no existan ni beneficios ni pérdidas? a) La variable independiente es el número de años desde su fundación, y la variable dependiente el beneficio en miles de euros. b) Dom f = [0, +∞) Im f = [0, 75] c) La empresa tiene beneficios máximos al cabo de 4 años, y estos ascienden a 75 000 euros. d) Durante los 4 primeros años los beneficios crecen; a partir del 4º año empiezan a decrecer. e) Como en todo el dominio se verifica f(x) > 0, no habrá en ningún momento pérdidas; siempre ha- brá beneficios. En el año 1995 se fundó una ONG. El nú- mero de sus afiliados ha variado con los años según la función: N = 250 (2t 2 – 12t + 21) ¿Cuantos son los afiliados fundadores? 13 f (x) = 600 x x 2 + 16 O Miles euros Años 1 2 3 4 5 6 7 8 10 20 30 75 … 12 P(x) X O y = f(x) 1 3 5 7 1 3 –7 –3 P(x) X O y = f(x) 1 3 5 7 1 3 P(x) X O y = f(x) 1 3 5 7 1 3 80 •G U Í A D I D Á C T I C A Ayudándote de una calculadora indica cómo varía el número de afiliados. ¿En al- gún momento será nulo este número? Haciendo t = 0 obtenemos N = 5 250 socios fundadores. La gráfica de esta función viene dada por: El número de afiliados desciende los tres primeros años hasta alcanzar el número de 750 y, a partir de ese año, empieza a aumentar. En ningún momento es nulo este número. Una empresa Cable I ofrece una tarifa de utilización de Internet de 15 euros mensuales. La empresa Cable II ofrece una tarifa de 0,05 euros por hora. Discute qué tarifa te parece la más conveniente a la hora de elegir. Cable I ⇒ P = 15 Cable II ⇒ P = 0,05 · t Veamos a partir de qué número de horas el precio de una empresa y de la otra es el mismo: 0,05 t = 15 ⇒ t = 300 horas Hasta 300 horas mensuales interesa más la empresa Cable II; a partir de 300 horas mensuales interas más la empresa Cable I, y si se utiliza Internet durante 300 horas mensuales exactamente es indistinta la empresa a elegir. El autobús nº 5 hace siempre el mismo recorrido. Empieza su horario a las 8 de la mañana y termina a las 5 de la tarde. Va desde el Barrio de la Paz hasta la playa que está a 15 km empleando en el trayec- to 20 minutos; está parado en la playa 12 minutos y vuelve al punto de partida empleando otros 20 minutos. Para 8 minutos y vuelve a repetir el recorrido. Haz una gráfica que se ajuste a esta situación. ¿Qué características tiene esta gráfica? Esta es la gráfica que muestra el recorrido de este au- tobús desde las 8 de la mañana y que se repite hasta las 5 de la tarde. Es una función periódica de período 1 hora o 60 minutos. PÁGINA • 123 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 1. EL PEQUEÑO ASTUTO. El pequeño astuto tiene más de 36 cajas, pero menos de 1 991. Las dispone todas en una pila triangular y luego las dispone formando una pila cuadrada. ¿Cuántas cajas tiene? Hay que buscar un nº que sea a la vez triangular y cuadrado. N. os triangulares: 1, 3, 4, 10, 15, 21, …, N. os cuadrados: 1, 4, 9, 16, 25, …, n 2 . esto se cumple para n = 8, pues Como dice que tiene más de 36 cajas, hay que buscar otra solución, y ésta es: n = 49, pues Luego x 2 = 1 225 cajas tiene. 49 49 2 35 1 225 2 2 + · · . 8 8 2 36 2 2 2 + · ⇒ · x x . ⇒ + · ⇒ n n x 2 2 2 n n 2 2 + km Horas 10 9 11 8 15 15 14 Nº de afiliados O Años 750 2 1 3 4 5 6 5 250 1 000 2 000 3 000 4 000 5 000 G U Í A D I D Á C T I C A • 81 2. IGUALDAD. ¿Será cierta la siguiente igualdad? Observamos que Luego: Sumando: 3. TOSTADO RÁPIDO. Hay que tostar en un tostador tres rebanadas de pan. En el tostador caben dos rebanadas a la vez, pero sólo se tuestan por un lado. Se tarda 30 segundos en tostar una cara de una rebanada de pan; 5 segundos en colocarla en el tostador; 5 segundos, en sacarla; y 3 segundos, en darle la vuelta. ¿Cuál es el mínimo de tiempo que se necesita para tostar las tres rebanadas? Sean A, B, C, las tres rebanadas Con A 1 indicamos que se tuesta la cara 1 y con A 2 indicamos que se tuesta la cara 2. 1.º A 1 B 1 tarda: 30 segundos: tostar cara A 1 y B 1 5 s: colocar A 1 5 s: colocar B 1 5 s: sacar B 1 2.º A 2 C 1 3 s: dar la vuelta A 1 5 s: meter C 1 30 s: tostar cara A 2 y C 1 3 s: dar la vuelta C 2 3.º B 2 C 2 5 s: sacar A 2 5 s: meter B 2 30 s: tostar B 2 y C 2 5 s: sacar B 2 5 s: sacar C 2 En total se necesitan: 136 s en tostar las 3 rebanadas. ⇒ ⋅ + ⋅ + ⋅ + … + ⋅ + ⋅ · 1 1 2 1 2 3 1 3 4 1 998 999 1 999 1 000 0 999 , 1 1 2 1 1 1 2 1 2 3 1 2 1 3 1 3 4 1 3 1 4 1 998 999 1 998 1 999 1 999 1 000 1 999 1 1 000 ⋅ · − ⋅ · − ⋅ · − … · … − … ⋅ · − ⋅ · − 1 1 1 1 1 2 ( ) . n n n n n − ⋅ · − − ≥ con 1 1 2 1 2 3 1 3 4 1 998 999 1 999 1 000 0 999 ⋅ ⋅ ⋅ … ⋅ ⋅ + + + + + + = , 82 •G U Í A D I D Á C T I C A Al finalizar esta Unidad Didáctica, el alumno y la alumna deberán ser capaces de: 1. Representar gráficamente funciones lineales, cuadráticas y de proporcionalidad inversa y analizar sus propiedades. 2. Asociar funciones lineales, cuadráticas y de proporcionalidad inversa a fenómenos concretos. 3. Valorar la utilidad del lenguaje gráfico en el estudio de fenómenos económicos, naturales y sociales. 4. Conocer algunas funciones asociadas a la oferta y demanda del mercado. • Representando gráficamente muchas funciones polinómicas y racionales. • Utilizando las funciones polinómicas y racionales en contextos reales. • Haciendo uso de la calculadora en las representaciones gráficas. • Utilizando las representaciones gráficas con el fin de deducir propiedades y resolver problemas de optimización. G U Í A D I D Á C T I C A • 83 OBJETIVOS DIDÁCTICOS ¿CÓMO TRABAJAR LA UNIDAD? PÁGINA • 125 ACTIVIDADES INICIALES 1. Dibuja las gráficas de las siguientes funciones y estudia sus propiedades: f (x) = 4; g(x) = 2x; h(x) = –3x + 1; i (x) = x 2 – 4x • f (x) es una función constante. Dom f = ޒ Im f = {4} Acotada por 4. • h(x) es una función afín. Dom h = ޒ Im h = ޒ Estrictamente decreciente en todo su dominio. • g(x) es una función lineal. Dom g = ޒ Im g = ޒ Estrictamente creciente en todo su dominio. • i (x) es una función cuadrática. Dom i = ޒ Im i = [–4, +∞) Acotada inferiormente (–4). Estrictamente decreciente (–∞, 2). Estrictamente creciente (2, +∞) Mínimo (2, –4). 2. Indica cuáles de las siguientes magnitudes son inversamente proporcionales: a) El número de invitados a una fiesta y los aperitivos que pueden comerse. i(x) = x 2 – 4x Y O X g(x) = 2x Y O X h(x) = –3x + 1 Y O X f(x) = 4 Y O X 84 •G U Í A D I D Á C T I C A CONCEPTOS 1. Funciones cuyas gráficas son rectas. 2. Funciones cuadráticas. 3. Funciones de oferta y demanda. 4. Funciones de proporcionalidad inversa. 5. Funciones de la forma y = . 6. Traslaciones de gráficas de funciones. ax +b cx +d – Valorar la gran utilidad de la representación gráfica para inferir propiedades de las funciones. – Curiosidad por abordar ma- temáticamente el estudio de fenómenos sociales y eco- nómicos. – Sensibilidad y gusto por la presentación, orden y limpieza en la representación gráfica de las funciones. – Valorar la utilidad de las gráficas en el estudio de fe- nómenos económicos y sociales. • Representar gráficamente funciones constantes, lineales, afines, cuadráticas y de proporcionalidad inversa; y analizar sus propiedades. • Interpretar fenómenos concretos a través de las gráfi- cas de las funciones que las describen. • Utilización de las gráficas de las funciones cuadráti- cas en la resolución de problemas de optimización. • Representar funciones a partir de la gráfica de una dada por traslación vertical u horizontal de esta. ACTITUDES PROCEDIMIENTOS RESOLUCIÓN DE ACTIVIDADES b) El número de lápices adquiridos y el precio pagado por ellos. c) La dosis de un jarabe y el peso del enfermo. d) El número de mecanógrafas y el tiempo que tardan en hacer un determinado trabajo. Son magnitudes inversamente proporcionales las que intervienen en las cuestiones a) y d). 3. La siguiente tabla muestra el tiempo que emplea un autobús de línea regular en realizar el trayecto entre dos ciudades en fun- ción de la velocidad media que lleva: Encuentra la expresión algebraica correspondiente a la función que define esta tabla. ¿Cuál es la distancia entre estas ciudades? La expresión algebráica correspondiente es: t = La distancia entre estas ciudades es de 400 km. PÁGINA • 136 ACTIVIDADES PARA RESOLVER 1. A partir de la gráfica de la función y = representa las gráficas de las funciones: y = – 1; y = + 2. 2. Dibuja las gráficas de las funciones y = 3 + x 3 , y = x 3 – 1 utilizando la gráfica de la fun- ción y = x 3 de la página siguiente. PÁGINA • 137 1. A partir de la gráfica de la función y = x 2 encuentra las gráficas de las funciones: y = x 2 – 6x + 9, y = x 2 + x + 2. Dibuja las gráficas de las funciones y = (x + 2) 2 – 1, y = a partir de las gráficas de las funciones correspondientes. y = (x + 2) 2 – 1 Proviene de y = x 2 trasladada 2 unidades a la izquierda y 1 hacia abajo. 2 x – 2 Y X O y = x 2 y = (x – 3) 2 ) ( y = x + — 1 2 2 1 4 Y X O y = x 3 + 3 y = x 3 – 1 y = x 3 Y X O y = — + 2 2 x y = — 2 x 2 x 2 x 2 x 400 v Velocidad (km/h) Tiempo (h) 4,21 80 85 90 5 4 71 4 44 95 100 105 110 115 4 3 81 3 64 3 48 , , , , , G U Í A D I D Á C T I C A • 85 y = proviene de y = trasladada 2 unidades hacia la derecha. PÁGINA • 138 ACTIVIDADES DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE Resuelve las cuestiones que siguen: a) Halla la función lineal cuya gráfica para por el punto (5, 3). b) La recta que pasa por los puntos (1, 2) y (–1, –2), ¿es una función constante, lineal o afín? c) Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(1, –3) y B(–2, 6). d) Averigua si los puntos (0, 7), (3, –6) y (–3, –8) están o no alineados. a) La función es y = · x b) Es una función lineal de ecuación y = 2x c) La ecuación es y = –3x d) No están alineados. Realiza la gráfica de las siguientes funciones: a) f (x) = ¦ x – 1 ¦ b) g(x) = |x| + c) h(x) = |x| – Representa gráficamente las siguientes funciones definidas a trozos: a) f(x) x x x x x b) g(x) x x x x x c) h(x) x x x x x · < − − − ≤ < − ≥ ¹ ' ¹ ¹ ¹ · − ≤ − · > ¹ ' ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ · − ≤ − < ≤ − > ¹ ' ¹ ¹ ¹ 3 1 1 2 1 1 3 1 1 5 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 5 6 5 si si si si si si si si si 3 Y X O –2 1 3 –1 g(x) = | x | – — | x | x Y X O 2 –1 g(x) = | x | + — | x | x 3 –1 Y X O f(x) = | x – 1 | 3 –1 |x| x |x| x 2 3 5 1 2 x 2 x – 2 Y X O y = — 2 x – 2 y = — 2 x 2 Y X O y = x 2 y = (x + 2) 2 – 1 –2 –1 86 •G U Í A D I D Á C T I C A Estudia en cada una de ellas: dominio, recorrido, monotonía, extremos relativos, acotación y simetría. • y = f (x) Dom f = ޒ Im f = (–1, +∞) Estrictamente decreciente: (–1, 1). Estrictamente creciente (1, +∞) No tiene extremos relativos. Está acotada inferiormente por (–1). No es simétrica ni respecto al eje de ordenadas ni respecto al origen. • y = g(x) Dom g = (–∞, 1] ʜ [2, +∞) Im g = ޒ Estrictamente creciente: (–∞, 1) ʜ (2, +∞). No tiene extremos relativos. No está acotada. No tiene simetrías. • y = h(x) Dom h = ޒ Im g = [–2, +∞) Estrictamente decreciente (–∞,2) Estrictamente creciente (5,+∞) Carece de extremos relativos. Está acotada inferiormente por 2 y no está acotada superiormente, luego no está acotada. No tiene simetrías. Los muros de las viviendas de una determinada urbanización se han construido con tres revestimientos aislantes de 10 cm de grosor. Para un determinado instante de tiempo con una temperatura exterior de 5 °C la siguiente función, f (x), describe la temperatura en un punto del muro situado a una distancia x cm del interior de la vivienda. Representa gráficamente la función f (x). La bajada de bandera de un taxi está en 1 euro y cada 3 minutos sube 0,2 euros el marcador. Dibuja la gráfica correspondiente a la primera media hora e indica el cos- to de una carrera de 15 minutos y 30 segundos. Una carrera de 15 min 30 s cuesta 2,2 euros. En la Oficina Central de Correos de cierto país están expuestas las tarifas del servicio de cartas, que son las siguientes: Cartas hasta 20 g de peso: 0,2 euros. Por cada 10 g o fracción de 10 g de exceso de peso: 0,03 euros más. a) Escribe la expresión algebraica de la función y = f (x), donde x representa el peso de la carta e y, el precio que hay que pagar por enviarla, hasta un peso máximo de 50 g. b) Representa gráficamente la función f (x). 6 P (€) t (m) O 1 2 3 6 3 9 12 15 18 21 24 27 30 f x x x x x x · ( ) < < < < < ¹ ' ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ 1 2 0 1 4 3 1 6 6 1 8 9 3 2 3 6 9 12 30 , , , , ........................... si si si si si 7 5 T (°C) x (cm) O 10 y = f(x) 5 15 20 25 30 5 10 15 20 f(x) x x x x x x · − + < ≤ − + < ≤ − + < ≤ ¹ ' ¹ ¹ ¹ 0 8 22 10 0 4 18 1 20 0 5 20 2 30 , , , 0 cm 0 cm 0 cm 4 y = h(x) –1 –1 1 2 –2 –2 1 2 X Y O 5 y = g(x) –1 –1 1 2 –2 –2 1 2 X Y O –1 –1 1 3 y = f (x) X Y O G U Í A D I D Á C T I C A • 87 PÁGINA • 139 Una determinada empresa nos ofrece la oferta siguiente por conectarnos a Internet: — Cuota mensual de abono 6 euros. — Cada hora de conexión 1,8 euros. a) Encuentra la función que nos indique el precio a pagar mensualmente, según las horas que se haya establecido cone- xión. b) Representa gráficamente esta función. c) La empresa carga un 16 % de IVA. ¿Cómo afecta esto a la función anterior y a su gráfica? a) La función es P = 6 + 1,8 · t, donde P es el precio a pagar en euros y t es el tiempo en horas. b) c) La función será: Todas las ordenadas de esta función quedan multi- plicadas por 1,16. Dibuja, para cada una de las siguientes funciones cuadráticas, sus respectivas gráficas: a) f (x) = x 2 – 8x + 12 b) g(x) = x 2 – 6x + 9 c) h(x) = x 2 – 2x + 3 d) i (x) = –x 2 + 4x – 6 e) j (x) = –x 2 + 6x – 5 f ) k(x) = –x 2 – 4x – 4 Estudia en cada una de estas funciones: dominio, recorrido, monotonía, extremos relativos, acotación y simetría. a) Dom f = ޒ Im f = [–4, +∞) Estrictamente decreciente en (–∞, 4). Estrictamente creciente en (4, +∞). Mínimo relativo (4, –4). Acotada inferiormente por (–4). Mínimo absoluto es –4. Es simétrica respecto a su eje x = 4. b) Dom g = ޒ Im g = [0, +∞) Estrictamente decreciente en (–∞, 3). Estrictamente creciente en (3, +∞). Mínimo relativo (3, 0). Acotada inferiormente por 0. Mínimo absoluto es 0. Es simétrica respecto a su eje x = 3. c) Dom h = ޒ Im h = [2, +∞) Estrictamente decreciente en (–∞, 1). Estrictamente creciente en (1, +∞). Mínimo relativo (1, 2). Acotada inferiormente por 2. Mínimo absoluto es 2. Es simétrica respecto a su eje x = 1. y = h(x) O X Y y = g(x) 3 O X Y y = f(x) O –4 2 4 6 X Y 8 f x P t ( ) ( , ) · · + 116 100 116 100 6 1 8 0 1 2 3 4 5 6 6 12 18 P (euros) 7,8 15 t (h) 7 f(x) · < < < < ¹ ' ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ≤ ≤ ≤ ≤ 0 2 0 0 23 2 0 3 0 4 20 30 40 50 , , si si 0 ,26 si 0 ,29 si 0 x x x x Precio (€) Peso (g) O 0,2 0,3 20 10 30 40 50 88 •G U Í A D I D Á C T I C A d) Dom i = ޒ; Im i = (–∞, –2] Estrictamente creciente en (–∞, 2). Estrictamente decreciente en (2, +∞). Máximo relativo (2, –2). Acotada superiormente por –2. Máximo absoluto es –2. Es simétrica respecto a su eje x = 2. e) Dom j = ޒ Im j = (–∞, 4] Estrictamente creciente en (–∞, 3). Estrictamente decreciente en (3, +∞). Máximo relativo (3, 4). Acotada superiormente por 4. Máximo absoluto es 4. Es simétrica respecto a su eje x = 3. f) Dom k = ޒ Im k = (–∞, 0] Estrictamente creciente en (–∞, –2). Estrictamente decreciente en (–2, +∞). Máximo relativo (–2, 0). Acotada superiormente por 0. Máximo absoluto es 0. Es simétrica respecto a su eje x = –2. Encuentra las ecuaciones o expresiones algebraicas de las funciones cuyas gráficas son las adjuntas. y = g(x) = –x 2 – 4x – 3 y = f(x) = x 2 – 4x + 6 Resuelve las cuestiones que siguen: a) Halla una función cuadrática que se anule, para x = 1 y para x = –1. ¿Cuántas soluciones hay? b) Estudia los intervalos en los cuales la función cuadrática f (x) = x 2 – 6x + 5 es positiva y los intervalos en los que es negativa. ¿Se anula para algún valor? c) Halla los intervalos en los cuales las ordenadas de la función f(x) = x 2 – 5x + 6 sean iguales o superiores a 2. a) Hay infinitas soluciones. Una de ellas es y = x 2 – 1 b) A la vista de la gráfica tenemos que: f (x) > 0 en (–∞, 1) ʜ (5, +∞). f (x) < 0 en (1, 5) f (x) = 0 en x = 1 y x = 5. c) f (x) = x 2 – 5x + 6 ≥ 2 ⇒ x 2 – 5x + 4 ≥ 0. Veamos los intervalos para los cuales la función g(x) = x 2 – 5x + 4 es positiva o nula. Para ello dibujamos su gráfica: g(x) > 0 en (–∞, 1) ʜ(4, +∞). g(x) = 0 en x = 1 y x = 4. Luego f (x) ≥ 2 en (–∞, 1] ʜ [4, +∞) Las funciones que aparecen a continua- ción, representan el beneficio, expresado en miles de euros, que obtiene una empresa por la fabricación de x unidades de dos productos distintos. f (x) = (–x 2 + 100x – 1 600) g(x) = 10x – x 2 – 21 a) Representa gráficamente las funciones. b) ¿Cuántas unidades hay que fabricar de cada producto para que no se produz- can pérdidas? c) ¿Cuál es el mayor beneficio posible? ¿Cuántas unidades deben fabricarse? 1 90 11 y = g(x) 4 4 –1 O X Y y = f(x) 5 3 –4 O X Y 10 y = f (x) 1 0 2 3 4 1 2 3 4 5 6 Y X y = g (x) –3 –2 –1 1 0 –4 –3 –2 –1 Y X 9 y = k(x) O X Y y = j(x) –2 –5 3 1 5 O X Y y = i(x) –2 –6 2 O X Y G U Í A D I D Á C T I C A • 89 a) b) En el primer caso hay que fafricar entre 20 y 80 unidades y el segundo caso entre 3 y 7 unidades. c) En la función f(x) el mayor beneficio se produce al fabricar 50 unidades y este beneficio es de 10 000 euros. En la función g(x) el mayor beneficio se produce al fabricar 5 unidades, y este beneficio es de 4 000 euros. PÁGINA • 140 Considérese la función La variable y = f (t) representa el precio (en euros) de un producto que ha estado diez años en el mercado, correspondiendo t = 0 a la salida del producto al mercado. a) Calcúlense los valores a y b si el producto salió al mercado con un precio de 54 euros y alcanzó su precio máximo después de 4 años. b) ¿Durante cuánto tiempo el precio su- peró los 48 euros? a) t = 0 ⇒ b = 54 euros. El precio máximo lo alcanzó para t = 4, luego a = 8. b) El precio superó los 48 euros para los valores de t entre 0 y 8 que verifiquen la inecuación: –t 2 + 8t + 54 > 48 y esto se verifica ᭙ t ʦ [0, 8]. La economía de un gran almacén de zapatos se rige por las siguientes funciones de oferta y demanda: f o (p) = p + 100 f d (p) = – p + Halla el precio y el número de unidades que se deben fabricar para que la oferta y la demanda coincidan, es decir, «precio de equilibrio» y «cantidad de equilibrio». El precio de equilibrio se consigue cuando coinciden ambas funciones: El precio de equilibrio es de 5 000, y la cantidad de equilibrio es 2 000 unidades. Las funciones de oferta y demanda correspondientes a un taller de alfarería son: f o (p) = 3p + 150 y f d (p) = 300 – 2p siendo p el precio unitario en euros. a) Encuentra el precio y la cantidad de equilibrio. b) ¿Qué ocurre, si el artesano pone un precio de 40 euros/unidad? ¿Y si el comprador no está dispuesto a pagar más de 15 euros/unidad? a) El precio de equilibrio es p = 30 euros y la cantidad de equilibrio es 240 unidades. b) Si pone un precio de 40 euros/unidad, él oferta 270 unidades y se demandan sólo 220 unidades. Si el precio es de 15 euros/unidad, la oferta es de 195 unidades y la demanda de 270, es decir, se produce un desequilibrio. Una agencia inmobiliaria de una zona tu- rística dispone de apartamentos para al- quilar. La función demanda de estos apartamentos obedece a un modelo lineal. La agencia observa que si el precio, p, de alquiler mensual por apartamento es de 600 euros, ésta alquila 100 apartamentos, mientras que si el alquiler mensual es de 15 14 19 50 100 2 3 16 000 3 5 000 p p p + · − + ⇒ · f d (p) = nº de unidades que el mercado pide p = precio que paga por unidad ¹ ¹ ' ¹ ¹ 16 000 3 2 3 f o (p) = nº de unidades que el almacén produce p = precio de cada unidad ¹ ¹ ' ¹ ¹ 19 50 13 f(t) t at b t t t · − + + ≤ ≤ − + < ≤ ¹ ' ¹ 2 si 0 si 8 17 8 10 12 X O 5 10 Y –21 5 3 7 y = g (x) X O 10 20 80 Y –17,8 y = f (x) 90 •G U Í A D I D Á C T I C A 750 euros, entonces alquila 50 apartamentos. Obtén la función demanda f d (p) e indica a partir de qué precio la agencia no alquila ningún apartamento. La función demanda que obedece a estas condiciones es: f d (p) = 300 – p No alquila ningún apartamento al precio de 900 euros. La función que determina la curva (de demanda) de un producto es f (x) = –2x + + 16, donde f (x) es la cantidad de producto fabricado por unidad de tiempo y x es el precio en dólares por unidad. Se define el ingreso total como el producto x · f (x). Dibuja, en el primer cuadrante, las funciones f (x) y g(x) = = x · f (x). Halla el punto de intersección y determina el ingreso total máximo. Si el ingreso total del producto aumenta de 14 a 24 dólares, antes de llegar al ingreso total máximo, ¿en qué cantidad aumenta el producto fabricado por unidad de tiempo y en qué cantidad disminuye el precio del producto? • El punto de intersec- ción lo hallamos resolviendo el sistema: Los puntos de intersec- ción son (8, 0) y (1, 14). El ingreso total máxi- mo se produce para x = 4 dólares y vale 32 dólares. • El ingreso total pasa de 14 a 24 dólares para valores de x ʦ (1, 2). La función f(x) que da la cantidad de producto fabricado disminuye de 14 a 12 unidades, no aumenta y el precio pasa de 1 a 2 dólares. Un restaurante abre sus puertas a las 12 h y las cierra a las 17 horas. La siguiente ex- presión algebraica muestra el número de clientes C en función del número de horas en que está abierto el restaurante: C = –10h 2 + 40h + 50 a) Representa gráficamente esta función. b) ¿Qué parte de la gráfica tiene sentido real? Indica el significado de los puntos de corte con los ejes. c) ¿Durante qué horas aumenta el núme- ro de clientes? d) ¿Entre qué horas hay más de 80 comensales? a) b) Tiene sentido real la parte dibujada de la gráfica. Los puntos de corte con los ejes significan que a las 12 horas tiene 50 clientes el restaurante y a la hora de cierre, las 17 horas, no tiene clientes. c) El número de clientes aumenta desde las 12 horas hasta las 14 horas en que tiene el máximo núme- ro del clientes. d) Resolvemos la inecuación: –10h 2 + 40h + 50 > 80 y obtenemos h ʦ (1, 3), es decir, entre las 13 horas y las 15 horas hay más de 80 comensales. PÁGINA • 141 Representa gráficamente las siguientes funciones de proporcionalidad inversa, realizando sus correspondientes tablas de valores: 18 Horas 50 13 16 14 15 17 Nº Clientes 10 90 12 17 y x x y x x y x y · − + · − + ¹ ; ¹ ¹ ¹ ⇒ ⇒ · · · · 2 16 2 16 8 0 1 14 2 ó X($) O 4 8 Y 2 6 2 16 32 y = f(x) y = g(x) = –2x 2 + 16x 16 1 3 G U Í A D I D Á C T I C A • 91 a) y = b) y = – c) y = d) y = – Encuentra la función de proporcionalidad inversa que se adecua a cada una de las siguientes gráficas: a) y = – b) y = c) y = La siguiente tabla muestra el tiempo de llenado de una piscina en función del nú- mero de grifos que se abren: a) Encuentra más valores para la tabla. b) ¿Cuál es la expresión matemática de la función que se ajusta a la tabla? c) Realiza la representación gráfica. a) b) La expresión correspondiente es y = , con lo cual podemos buscar todos los valores que queramos. c) La gráfica correspondiente viene dada por: La parte negativa de la gráfica no tiene sentido en el contexto del problema. Un cine-club piensa proyectar una gran película la próxima semana. El alquiler de la misma cuesta 300 euros que deben pagar entre todos los asistentes a la proyec- ción. Encuentra la función real de variable natural que matematiza esta función. Representa esta función gráficamente e indica qué tipo de función obtienes. La función es y = Es una función de proporcionalidad inversa. Su gráfi- ca viene dada por: La parte negativa de la gráfica carece de sentido en el contexto del problema. O Precio (€) Nº Asistentes 1 100 200 300 2 3 300 x 21 Y X O Tiempo (h) Nº Grifos 1 10 24 x 20 4 x 8 x 6 x 4 2 b) Y X O 3 –2 a) Y X O 2 2 c) Y X O 19 y = — 3 x a) 3 1 Y X O y = – — 3 x 3 –1 b) Y X O y = – — 1 3x y = — 1 3x c) Y X O 1 — 1 3 — 1 3 d) Y X O –1 1 3x 1 3x 3 x 3 x 92 •G U Í A D I D Á C T I C A nº de grifos (x) 2 3 4 5 6 tiempo en horas (y) 12 8 6 24/5 4 Un generador de sonidos emite éstos con distintas longitudes de onda y distintas frecuencias, según muestra la siguiente tabla. a) Completa esta tabla. b) Representa gráficamente los datos de esta tabla. c) Encuentra la fórmula matemática asociada a esta función. 22 a) b) c) La fórmula pedida es: y = Representa gráficamente la función: PÁGINA • 142 En la función de proporcionalidad inversa y = , halla: a) ¿Para qué valores de x la función es igual o menor que una millonésima? b) ¿Para qué valores de x la función es igual o mayor que una milésima? a) ≤ ⇒ x ≥ 10 6 ⇒ ∀x ≥ 10 6 b) ≥ ⇒ x ≤ 1 000 ⇒ ∀x ≤ 10 3 Dadas las funciones y = e y = , represéntalas gráficamente y encuentra sus asíntotas. La función y = tiene como asíntotas las rectas de ecuaciones: x = 2; y = 0 8 x – 2 y = — 8 x – 2 –1 Y X O –1 2 4 6 4 8 x – 2 –2 x + 1 25 1 1 000 1 x 1 1 000 000 1 x 1 x 24 O X 5 Y 1 2 1 2 –1 –1 y = f(x) 23 300 x O X (Frecuencia) 100 10 20 30 200 300 Y (Longitud de onda) Frecuencia 60 75 150 500 800 1 200 Longitud onda 5 4 2 0, 6 0, 375 0,25 6 50 G U Í A D I D Á C T I C A • 93 Frecuencia (ciclos/segundo) 6 60 75 150 500 800 1 200 Longitud de onda (metros) 50 5 4 2 f(x) · <− + − ≤ < + ≥ ¹ ' ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ 3 3 2 2 1 3 2 0 1 0 2 x x x x x x si si si La función y = tiene como asíntotas las rectas de ecuaciones: x = –1; y = 0 Representa gráficamente las siguientes funciones, determinando previamente sus respectivas asíntotas. a) y = b) y = c) y = d) y = a) Asíntotas: x = –1; y = 4. b) Asíntotas: y = 3; x = 2. c) Asíntotas: y = 1; x = –2. d) Asíntotas: y = –2; x = –2. Una fábrica dedicada al montaje de dispositivos para aviones ha calculado que la media de dispositivos que prepara cada trabajador viene dada por la siguiente función: y = siendo x el tiempo en días desde que el trabajador es contratado. ¿Cuántos dispositivos prepara un trabajador el primer 60x x + 5 27 y = — –2x – 8 x + 2 Y X O –2 –4 –4 –2 y = — 4x + 7 4x + 8 Y X O –2 1 y = — 6x – 11 2x – 4 Y X O 2 2 3 y = — 4x x + 1 –1 Y X O –1 1 4 –2x – 8 x + 2 4x + 7 4x + 8 6x – 11 2x – 4 4x x + 1 26 –2 x + 1 y = – — 2 x + 1 –1 Y X O –1 1 94 •G U Í A D I D Á C T I C A día? ¿Cuántos prepara el quinto día? ¿Y el trigésimo día? ¿Al cabo de cuántos días prepara 50 dispositivos? ¿Tiene ramas infinitas esta función? En caso afirmativo, discute su significado. El 1 er día prepara: = 10 dispositivos. El 5º día prepara: = 30 dispositivos. El 30º día prepara: = 51,4 dispositivos. Para preparar 50 dispositivos necesita: = 50 ⇒ x = 25 días. El vigésimo quinto prepara una media de 50 dispositivos. Esta función tiene dos ramas infinitas horizontales con asíntota horizontal y = 60. Las ramas infinitas verticales no tienen sentido en el contexto del problema porque están en x = –5. El sentido de la rama infinita horizontal es que la media de dispositivos que llega a hacer es de 60 como máximo. Un gabinete psicopedagógico ha hecho un estudio para determinar la memoria vi- sual de los empleados de un banco. Para ello, se pasó a cada empleado una colec- ción de 60 dibujos y se les dio dos días para que los memorizaran. El gabinete de- terminó que, durante cada uno de los 30 días siguientes, cada empleado debía es- cribir los nombres de los dibujos que re- cordaban, y obtuvo este gabinete que la media de aciertos es: y = siendo t el tiempo en días. Haz una tabla de valores y, a partir de ella, dibuja la gráfica correspondiente. ¿Cuántos dibujos recuerda un empleado al cabo de 8 días? ¿Y al cabo de 10 días? ¿Y al cabo de 15 días? ¿Cuál es el menor número de dibujos que retiene en la memoria? ¿Y el máximo? Estudia las ramas infinitas y asíntotas de esta función. Al cabo de 8 días recuerda: = 12,7 dibujos. Al cabo de 10 días recuerda: = 11,8 dibujos. Al cabo de 15 días recuerda: = 10,6 dibujos. El menor número de dibujos que retiene en la memoria es 8 dibujos. El mayor número lo da en 50 dibujos. Esta función presenta dos ramas infinitas verticales con asíntota vertical la recta t = –1 y dos ramas infinitas horizontales con asíntota horizontal y = 8. Las ramas verticales no tienen sentido en el contexto del problema. PÁGINA • 143 Cierta entidad financiera lanza al mercado un plan de inversión cuya rentabilidad R d (x) en miles de euros viene dada por: R d (x) = –0,001x 2 + 0,5x + 2,5 siendo x la cantidad invertida en miles de euros. a) Deduce razonadamente qué cantidad de dinero le conviene invertir a un cliente en dicho plan. b) ¿Qué rentabilidad obtendrá? La función R d (x) es una función cuadrática que alcanza un valor máximo en su vértice. Calculamos este vértice: x = = 250 y = –0,001 · 250 2 + 0,5 · 250 + 2,5 = 65 Por tanto, le conviene invertir 250 000 euros para obtener como rentabilidad máxima 65 000 euros. –b 2a 29 y = — 8t + 50 t + 1 Y t O –1 8 –6 50 t y 0 50 1 29 2 22 3 18 5 4 16 4 10 11 8 100 8 4 1 000 8 04 , , , , , 8 · 15 + 50 15 + 1 8 · 10 + 50 10 + 1 8 · 8 + 50 8 + 1 8t + 50 t + 1 28 60 · x x + 5 60 · 30 30 + 5 60 · 5 5 + 5 60 · 1 1 + 5 G U Í A D I D Á C T I C A • 95 A partir de las gráficas de las funciones básicas, dibuja las gráficas de las siguientes funciones: a) y = x 4 – 2 b) y = + 3 c) y = log 2 x + 2 d) y = (x – 2) 3 e) y = a) Se obtiene de trasladar la gráfica de y = x 4 , 2 unidades hacia abajo. b) Se obtiene de trasladar la gráfica de y = , 3 unidades hacia arriba. c) y = log 2 x + 2 se obtiene de trasladar y = log 2 x, 2 unidades hacia arriba. d) y = (x – 2) 3 se obtiene de trasladar la gráfica de y = x 3 , 2 unidades hacia la derecha. e) y = se obtiene de trasladar la gráfica de la función y = , 1 unidad hacia la izquierda. A partir de qué gráficas dibujarías las siguientes funciones y explica cómo lo ha- rías: a) y = (x – 1) 2 + 4 b) y = e x+2 – 2 a) Se obtiene de trasladar la gráfica de la función y = x 2 , 1 unidad hacia la derecha y a esta gráfica trasladarla 4 unidades hacia arriba. b) Se obtiene de trasladar la gráfica de la función y = e x , 2 unidades hacia la izquierda y a la nueva gráfica 2 unidades hacia abajo. A partir de la gráfica y = f (x) adjunta, dibuja las gráficas de las funciones: a) y = f (x + 2) b) y = f (x) – 5 c) y = –f (x) a) b) c) –2 2 2 4 5 –1 1 3 1 y = –f (x) –7 2 4 –5 1 y = f (x) – 5 –2 2 2 1 3 1 y = f (x + 2) –1 32 –2 2 2 4 5 –1 1 3 1 y = f (x) 31 1 x 4 1 (x + 1) 4 1 x 3 1 (x + 1) 4 1 x 3 30 96 •G U Í A D I D Á C T I C A Halla dos números cuya suma sea 18 y su producto sea máximo. Los números que suman 18 son x y (18 – x). Su producto es p = x (18 – x) ⇒ p = –x 2 + 18x. Este producto será máximo en el vértice de la función, es decir, para x = 9; y = 9 y p = 81. Halla el rectángulo de área máxima que se puede construir con una cuerda de 20 cm de longitud. Llamando x, y a la base y altura del rectángulo respectivamente, como el perímetro es 20 cm, se verifica que: y = 10 – x por tanto el área del rectángulo es: A = x (10 – x) = 10x – x 2 Es una función cuadrática con un máximo relativo en su vértice (5, 25). Por tanto, el rectángulo de área má- xima 25 cm 2 es un cuadrado de 5 cm de lado. En un cuadrado de lado 10 cm inscribi- mos otro cuadrado, como se muestra en la figura. Halla, en función de x, el área de este cuadrado. ¿Cuál es el dominio de la fun- ción? Halla el valor de x, para el cual el área del cuadrado inscrito es mínima. El área del cuadrado inscrito viene dada por: A(x) = 2x 2 + 100 – 20x El dominio de esta función es (0, 10) y el área de este cuadrado inscrito es mínimo en el vértice (5, 50), es decir, para x = 5 cm el área vale 50 cm 2 . Un cultivador de naranjas estima que si planta 60 naranjos en su finca, la pro- ducción media por árbol será de 400 naranjas, pero esta producción dismi- nuirá en un promedio de 5 naranjas por cada árbol de más que plante en la finca. Halla: a) La función que da la producción total de naranjas. b) Mediante la gráfica de esta función encuentra cuántos árboles debe plantar en la finca para maximizar la produc- ción. ¿Qué producción máxima llegará a obtener? a) La función que da la producción total de naranjas respecto al número x de árboles que planta es: P = (60 + x) · (400 – 5x) P = 24 000 + 100x – 5x 2 b) Esta función alcanza el máximo en el vértice x = 10; P = 24 500 naranjas. Maximiza la producción si planta 10 naranjos más y el máximo lo alcanza en 24 500 naranjas. PÁGINA • 145 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 1. VACAS LECHERAS. Cuatro vacas blancas y tres vacas negras dan tanta leche en cinco días como tres vacas blancas y cinco negras en cuatro días. ¿Qué clase de vaca es la más lechera, la blanca o la negra? 36 10 cm x 35 34 33 G U Í A D I D Á C T I C A • 97 Parábolas que forma el agua en la Fuente de Latona. La Granja de San Ildefonso. Llamemos B a las vacas blancas y Na las vacas negras: 5 · (4B + 3N) = 4 · (3B + 5N) 20B + 15N = 12B + 20N 8B = 5N Dan más leche las vacas negras. 2. IGUALDAD. En un almacén de fruta al- macenamos naranjas en pilas con forma de pirámide de base cuadrada. Cada lado de la base lo forman 15 naranjas, ¿cuál es el máximo número de naranjas que podemos apilar? Intenta generalizar este problema. El número de naranjas de la pirámide es: 1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + … + 14 2 + 15 2 = 1 240 naranjas. En general si el lado de la base es de n naranjas el nº de naranjas en la pirámide es: 3. TRES NAIPES. Tres naipes de una baraja están colocados boca arriba en una fila horizontal. A la derecha del rey hay una o dos damas. A la izquierda de una dama hay una o dos damas. A la izquierda de un corazón hay una o dos picas. A la derecha de una pica hay una o dos picas. ¿Puedes decir de qué cartas se trata? Por medio de ensayo y error dirigido se obtiene: — Con la información referida a los Reyes (R) y las Damas (D) llegamos a que puede ser: RDD o DRD. — Con la información referida a los Corazones (C) y las Picas (P) llegamos a que puede ser: PCP o PPC. Juntando los resultados obtenidos llegamos a que la solución es: Rey de Picas - Dama de Picas - Dama de Corazones 1 2 2 3 2 2 2 2 1 3 2 + + + · · + + · ∑ ... n i n n n i n 6 naranjas 98 •G U Í A D I D Á C T I C A Al finalizar esta Unidad Didáctica, el alumno y la alumna deberán ser capaces de: 1. Definir de forma clara y precisa cada una de estas funciones. 2. Identificar funciones con sus gráficas correspondientes. 3. Inferir las propiedades características de las funciones a partir de sus gráficas. 4. Valorar positivamente la utilidad del lenguaje gráfico como potente herramienta en el estudio de fenómenos reales. 5. Utilizar correctamente la calculadora en la representación gráfica de funciones. • Insistir en el concepto de familia de funciones como pieza fundamental en la clasificación de las mismas. • Representar gráficas de funciones con ayuda de la calculadora y manipularlas. • Utilizar las gráficas con el fin de deducir propiedades, comparar expresiones y cantidades, resolver problemas de optimización, etc. • Potenciar el uso del papel vegetal y/o acetatos para construir gráficas de funciones simétricas y de funciones inversas de unas dadas. • Utilizar diferentes contextos reales para trabajar las familias de funciones. G U Í A D I D Á C T I C A • 99 OBJETIVOS DIDÁCTICOS ¿CÓMO TRABAJAR LA UNIDAD? PÁGINA • 147 ACTIVIDADES INICIALES 1. En cada una de las siguientes gráficas estudia: dominio, recorrido, monotonía, acota- ción, simetrías y asíntotas. a) Dom f = ޒ Im f = ޒ Estrictamente creciente en todo su dominio. No acotada. Simétrica respecto al origen. Tiene dos ramas infinitas parabólicas. Continua en ޒ. O X Y c) O X Y O X Y a) b) 100 •G U Í A D I D Á C T I C A CONCEPTOS 1. Funciones exponenciales. 2. Funciones logarítmicas. 3. Unidades angulares. 4. Razones trigonométricas de un án- gulo agudo. 5. Razones trigonométricas de un án- gulo cualquiera. 6. Reducción de un ángulo al primer giro. 7. Funciones circulares. 7.1. Función seno. 7. 2. Función coseno. 7. 3. Función tangente. 8. Funciones inversas de las funciones circulares. 9. Funciones relacionadas con las funciones circulares. – Valorar la gran utilidad de las representaciones gráfi- cas para inferir propiedades de las funciones. – Gusto por la precisión y limpieza en las representaciones gráficas de funciones. – Reconocimiento y valora- ción de la utilidad del concepto de familia de funciones como método para comparar infinitas funciones con un mismo «tipo de comportamiento». • Encontrar las propiedades características de una fun- ción dada mediante su grá- fica. • Utilización de la calculadora en la representación grá- fica de funciones y en el estudio de sus propiedades. • Saber asociar a una gráfica dada su expresión analítica y viceversa. • Utilizar estas funciones en la resolución de problemas que requieran su uso. ACTITUDES PROCEDIMIENTOS RESOLUCIÓN DE ACTIVIDADES b) Dom f = ޒ – {0} Im f = (0, +∞) Estrictamente creciente en (–∞, 0). Estrictamente decreciente en (0, +∞). Acotada inferiormente por 0. Simétrica respecto a OY. Asíntota vertical: x = 0. Asíntota horizontal: y = 0. Continua en ޒ – {0}. c) Dom f = ޒ Im f = ޒ Estrictamente creciente en todo su dominio. No acotada. Simétrica respecto del origen de coordenadas. Tiene dos ramas infinitas parabólicas. No tiene asíntotas. PÁGINA • 164 ACTIVIDADES DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE Representa gráficamente las funciones: a) y = 3 x b) y = ( ) x c) y = e x d) y = 4 –x Ayúdate de la calculadora creando una tabla de valores para cada función. a) y b) A partir de la gráfica de la función y = e x representa las gráficas de las funciones y = e x – 1; y = e x + 2; y = e x–1 ; y = e x+2 . y = e x–1 se obtiene de trasladar la gráfica de la función y = e x , 1 unidad a la derecha. y = e x+2 se obtiene de trasladar la gráfica de la función y = e x , 2 unidades hacia la izquierda. Demuestra que si el punto (m, p) está en la gráfica de la función y = a x , el punto (–m, 1 / p ) está también en su gráfica. (m, p) ʦ y = a x ⇒ p = a m Veamos el punto si también pertenece a la función: ¿Respecto de qué rectas son simétricas las funciones f(x) = 4 x y g(x) = 4 –x ? Asimis- mo, la función t(x) = 2 |x| es simétrica respecto de una recta. ¿Qué recta es? Las funciones f(x) y g(x) son simétricas respecto del eje OY o eje de ordenadas (recta x = 0). Igualmente, la función y = 2 |x| es simétrica respecto al eje de ordenadas. 1 1 y = 4 x –1 4 X Y O y = 4 –x 4 a a p m p y a m m x − · · ⇒ − ¸ ¸ _ , ∈ · 1 1 1 efectivamente , − ¸ ¸ _ , m p , 1 3 1 2 3 –1 –2 1 2 3 4 5 –1 e 2 1 y = e x + 2 y = e x y = e x – 1 Y X O 2 1 1 y = e x –1 e X Y O c) 1 1 y = 4 –x –1 4 X Y O d) 1 1 y = 3 x –1 3 X Y O y = — x 1 3 ( ) 1 3 1 G U Í A D I D Á C T I C A • 101 Los controles de calidad de una cadena de montaje de ordenadores han obtenido que el porcentaje de ordenadores que siguen funcionando al cabo de t años viene dado por: p(t) = 100 · ( ) t a) Representa gráfi- camente esta fun- ción. b) ¿Tiene sentido real toda la gráfi- ca obtenida? c) ¿Qué porcentaje de ordenadores sigue funcionando al cabo de dos años? ¿Y al cabo de cinco años? d) ¿Qué significado tiene el punto de corte con el eje de ordenadas? a) b) La parte negativa de la gráfica no tiene sentido. c) t = 2 ⇒ p = 64 % siguen funcionando al cabo de 2 años. t = 5 ⇒ p = 32,768 % siguen funcionando al cabo de 5 años. d) El punto de corte con el eje de ordenadas significa el 100 % de ordenadores que funcionan en el momento de salir de la cadena de montaje. La cantidad de madera de un bosque aumenta en un 50 % cada 100 años. Toman- do como punto de partida y como unidad de medida la cantidad de madera que había en este bosque en el año 1600 y como unidad de tiempo el siglo: a) Encuentra la cantidad de madera que había en los años 1800, 2000, 1900. b) Encuentra la función correspondiente. c) ¿Cuánta madera había en los años 1500, 1400, 1450, 1000? d) Averigua cuándo habrá una masa de madera doble que en 1600 y cuándo la mitad. e) Averigua cada cuánto tiempo se triplica la cantidad de madera. a) En el año 1600 hay una unidad de madera. En 1800 había (1 + 50 % de 1) 2 = 1,5 2 unidades de madera. En 1900 había 1,5 3 unidades de madera. En 2005 habrá 1,5 4,05 unidades de madera. b) La función es y = 1,5 t , con t = siglos a partir de 1600. c) En 1500 había 1,5 –1 = 0,667 unidades de madera (u m). En 1400 había 1,5 –2 = 0,444 u m. En 1450 había 1,5 –1,5 = 0,544 u m. En 1000 había 1,5 –6 = 0,087 u m. d) Para que haya doble madera que en 1600 se ha de verificar: Es decir, en el año 1600 + 171 = 1771. Para que haya la unidad de madera se ha de verificar: Es decir, en el año 1600 – 171 = 1429. e) Si consideramos la madera en un tiempo t como 1,5 t y queremos saber cuánto tiempo t' ha de pasar para que la madera se triplique, 3 · 1,5 t , obtenemos: 1,5 t+t' = 3 · 1,5 t ⇒ 1,5 t' = 3 ⇒ t' = 2,710 siglos Es decir, cada 2,710 siglos o 271 años, la madera se triplica. 1 2 1 5 0 5 1 5 1 710 · ⇒ · · , log , log , – , t t siglos 2 1 5 2 1 5 1 710 · ⇒ · · , log log , , t t siglos 6 0 100 80 60 40 20 1 2 3 p t 64 51,2 4 5 5 102 •G U Í A D I D Á C T I C A PÁGINA • 165 Representa gráficamente las funciones: a) y = log 3 x b) y = log 1/3 x c) y = ln x d) y = log 1/4 x Ayúdate de una calculadora creando una tabla de valores para cada función. A partir de la gráfica de la función y = log 2 x representa las gráficas de las funciones: y = –1 + log 2 x ; y = 2 + log 2 x ; y = log 2 (x – 1) ; y = log 2 (x + 2). y = –1 + log 2 x se obtiene de trasladar la gráfica de y = log 2 x, 1 unidad hacia abajo. y = 2 + log 2 x se obtiene de trasladar la gráfica de y = log 2 x, 2 unidades hacia arriba. y = log 2 (x – 1) se obtiene de trasladar la gráfica de la función y = log 2 x, 1 unidad hacia la derecha. y = log 2 (x + 2) se obtiene de trasladar la gráfica de la función y = log 2 x, 2 unidades hacia la izquierda. A partir de las gráficas de las funciones siguientes, compáralas dos a dos: f(x) = 2 x g(x) = x 2 h(x) = log 2 x 2 x > x 2 en (–0,75; 2) 2 x < x 2 en (–∞; –0,75) ʜ (2, +∞) 2 x = x 2 en x = 2 y x ≈ –0,75 2 x > log 2 x ; ∀x ʦ ޒ x 2 > log 2 x ; ∀x ʦ ޒ Representa gráficamente, con ayuda de la calculadora, las siguientes funciones: f(x) = 4 x g(x) = ( ) x h(x) = log 4 x y(x) = log 1/4 x j(x) = 4 x + 2 k(x) = log 4 x + 4 1 1 –1 4 X Y O f(x) = 4 x g(x) = — x 1 4 ( ) 1 –1 4 X Y O i(x) = log x 1 4 – h(x) = log 4 x 1 4 10 1 1 –1 X Y O h(x) = log 2 x g(x) = x 2 1 1 –1 X Y O f(x) = 2 x h(x) = log 2 x 1 1 –1 4 X Y O f(x) = 2 x g(x) = x 2 9 1 y = log 2 x 2 4 X Y O 1 2 8 1 y = ln x –1 e X Y O 1 –1 4 X Y O y = log x 1 4 – 1 1 y = log 3 x –1 3 X Y O y = log x 1 3 – 7 G U Í A D I D Á C T I C A • 103 Representa gráficamente la función: En un pueblo de alta montaña se re- pobló una zona con acebos hace 6 años. Inicialmente se pu- sieron 100 ejemplares y en estos mo- mentos hay 2 010 ejemplares de ace- bo. Si sabemos que N = A · e Bt es la fun- ción que da el número N de acebos en función del tiempo que ha pasado, encuentra esta función para este enunciado. ¿Cuántos años han de pasar para que haya 14 850 ejemplares? Imponiendo las condiciones del enunciado obtenemos: La función buscada es: N = 100 · e 0,5t Para que haya 14 850 ejemplares han de pasar t años, y se debe verificar: 14 850 = 100 · e 0,5t ⇒ t = 10 años. En el contrato de trabajo de un empleado se especifica que cada año se le aumenta- rá el sueldo el 12 % de lo que cobró el año precedente, ¿cuántos años tardará en do- blar el sueldo? ¿Cuánto tardará en cuadri- plicar su sueldo? ¿Y en sextuplicarlo? El sueldo de este empleado al cabo de t años será y = 1,12 t · x, siendo x el sueldo inicial. • 2x = 1,12 t · x ⇒ años tardará en duplicar su salario. • 4x = 1,12 t · x ⇒ años tardará en cuadruplicar su sueldo. • 6x = 1,12 t · x ⇒ años tardará en sextuplicar su salario. La población de la Tierra, en 1986, era de 4 mil millones de personas. Suponiendo que tiene un crecimiento anual del 2 %, ¿cuándo se alcanzará una población de 10 mil millones? • Con un crecimiento anual del 2 % al cabo de t años, habrá en la Tierra una población: P = 1,02 t · 4 mil millones de habitantes • 10 = 1,02 t · 4 ⇒ años Al cabo de 46,27 años la población será de 10 mil millones. La función y = log x – log ( ) ¿es una función logarítmica? Razona la respuesta. No es una función logarítmica, sino una función constante. y x x x x · − ¸ ¸ _ , · · log log log log 2 2 2 x 2 15 log log , , 10 4 1 02 46 27 · · t 14 log log , , 6 1 12 15 8 t · · log log , , 4 1 12 12 23 t · · log log , , 2 1 12 6 12 t · · 13 100 2 010 100 20 10 6 0 5 0 6 · ⋅ · ⋅ ¹ ; ¹ ¹ ¹ · · ( ) · ⋅ A e A e A B B ln , , 12 Y X O e 1 1 2 –1 f(x) x x x x x x · + ≤ − + < ≤ > ¹ ' ¹ ¹ ¹ 2 3 1 2 1 1 1 2 si si si – – ln 11 1 1 X Y O j(x) = 4 x + 2 2 3 1 1 X Y O 4 k(x) = log 4 x + 4 104 •G U Í A D I D Á C T I C A Considerando la función f(x) = 2 – e –x , calcula: a) f(0) ; f(1). b) El valor de x que anulará la función. c) Los valores de x tales que f(x) = 5 / 2 y f(x) = 1 / 2 , respectivamente. Una fábrica produce dos tipos de ruedas de automóvil: Tipo S y Tipo N. Las ventas, en millones de ruedas, de cada uno de los tipos sigue las funciones: Tipo S ≡ y = 4 t–1 Tipo N ≡ y = 2 t t en años. A partir de sus gráficas indica en qué momento vende el mismo número de ruedas de cada tipo. ¿En qué momento vende más ruedas de calidad S que de calidad N? • Para ver en qué momento vende el mismo número de ruedas de cada tipo resolvemos la ecuación: 4 t–1 = 2 t ⇒ 2 2t–2 = 2 t ⇒ t = 2 años Al cabo de 2 años. • Vende más ruedas S que N para los valores de t que verifiquen la inecuación: 4 t–1 > 2 t ⇒ 2 2t–2 –2 t > 0 ⇒ t > 2 A partir del 2º año vende más ruedas de calidad S que de calidad N. PÁGINA • 166 Crecimiento de la población. Thomas Malthus enunció en su obra “Ensayo sobre el principio de la población”, publica- da en 1798, que el crecimiento de la po- blación sería de tipo exponencial, mientras que los alimentos crecerían de forma lineal. Pero en nuestro siglo los analistas han llegado a la conclusión de que el crecimiento de la población es de tipo logís- tico y, desde 1960, se ajusta a la función P(t) = siendo t los años transcurridos desde 1960 y P(t) la población en millones de habitantes. a) ¿Cuál sería la población mundial en el año 2000? b) ¿En qué año la población era de 5 000 millones de habitantes? c) Según esta función, P(t), ¿cuál es la población límite del planeta? a) P (40) = = 6 309,89 millones de habitantes fue la población en el año 2000. b) 5 000 = ⇒ t = 27 La población es de 5 000 millones de habitantes en el año 1960 + 27 = 1987. c) La población límite del planeta es de 36 000 millones de habitantes, que es hacia la recta que se di- rige la curva logística cuando t se hace infinitamente grande. Se sabe que cuando comienza el invierno el número de moscas decrece y en un determinado campo de cultivo dicho núme- ro viene dado por P(x) = 500 000 · e –0,06498x siendo x el tiempo medido en días. 19 36 000 1 + 11 · e –0,02123 · t 36 000 1 + 11 · e –0,02123 · 40 36 000 1 + 11 · e –0,02123t 18 17 a) b) c) f e f e e e x f x e e f x e e e x x x x x x x x 0 2 1 1 2 1 1 63 2 0 1 2 0 69 5 2 2 5 2 1 2 1 2 2 1 2 3 2 2 3 2 3 0 ( ) · − · ( ) · − · − · ⇒ · ⇒ · − ( ) · ⇒ − · ⇒ · · − ( ) · ⇒ − · ⇒ · ⇒ · ⇒ · ¸ ¸ _ , · − − − − − ; , , ln Imposible −− ⇒ · − 0 41 0 41 , , x 16 G U Í A D I D Á C T I C A • 105 a) Determina el número inicial de moscas. b) Encuentra el porcentaje de moscas su- pervivientes después de 16, 32, 64 y 128 días. a) El número de moscas inicial es de: P(0) = 500 000 b) • Al cabo de 16 días hay P(16) = 176 783,90 moscas, que supone un 35,36 %. • Al cabo de 32 días hay P(32) = 62 505,1 moscas, que supone el 12,5 %. • Al cabo de 64 días quedan 7 813,77 moscas, que supone el 1,56 %. • Al cabo de 128 días hay P(128) = 122,11 moscas, que supone el 0,024 %. Algunos expertos estimaron, a principios de los años ochenta, que una determinada enfermedad tropical muy contagiosa crecía a razón de un 15 % anual. Si suponemos que en esta fecha, en una determinada región, había 2 000 enfermos de la citada enfermedad y la expresión del crecimiento viene dada por P(x) = 2 000 (1 + 0,15) x , se pide: a) ¿Cuántos enfermos habría a comien- zos de 1983? ¿Y en el año 1990? ¿Y en el año 2000? b) ¿Cuánto tardará en duplicarse el nú- mero de enfermos? P(x) = 2 000 (1 + 0,15) x = 2 000 · 1,15 x a) P(3) = 3 041,75 enfermos había en 1983. P(10) = 8 091,12 enfermos había en 1990. P(20) = 32 733,07 enfermos había en el año 2000. b) Luego en el año 1985 se ha duplicado el número de enfermos. Indica el signo de cada una de las siguientes razones trigonométricas: a) sen 150° b) cos 285° c) tg 200° d) cos 170° e) tg 345° f) sen 55° g) cos 250° h) sen 320° i) tg 27° j) sen (–120°) Son positivas las razones trigonométricas de los apartados a) b) c) f) i). Son negativas las de los apartados d) e) g) h) j). Reduce los siguientes ángulos al primer giro: a) 1 215° b) –60° c) d) 18 750° e) A partir de las gráficas de las funciones circulares halla los valores de x en el intervalo [–π, π] que hagan ciertas las siguientes desigualdades: cos x ≤ – tg x > 1 2 > sen x cos x – ≥ 0 • 2 > sen x en todos los valores del intervalo (–π, π). PÁGINA • 167 Dibuja las gráficas de las siguientes funciones a partir de las gráficas de las funciones circulares: a) y = sen x – 3 b) y = cos x + 2 c) y = sen (x + π) d) y = cos ( x – ) e) y = 3 sen x f) y = cos (2x) g) y = sen h) y = –2 cos x i) y = 3 sen [ 2 ( x – ) ] π 2 x 2 x 2 24 • , cos 0 cos en x x − ≥ ⇒ ≥ − ¸ ¸ _ , 3 2 3 2 6 6 π π • , , • , , cos en t en x g x ≤ − − − ¸ ¸ _ , ∪ ¸ ¸ _ , > ¸ ¸ _ , ∪ − − ¸ ¸ _ , 1 2 2 3 2 3 1 4 2 3 4 2 π π π π π π π π 3 2 1 2 23 a) b) c) d) e) 1 215 135 3 360 135 60 300 300 23 6 690 330 1 360 330 18 750 30 360 52 30 26 3 1 560 120 4 360 120 ° · ° + ⋅ ° ⇒ ° − ° · ° ⇒ ° · ° · ° + ⋅ ° ⇒ ° ° · ° + ° ⋅ ⇒ ° · ° · ° + ⋅ ° ⇒ ° π π 26π 3 23π 6 22 21 4 000 2 000 1 15 1 15 2 2 1 15 4 96 · ( ) ⇒ · ⇒ ⇒ · · , , log log , , x x x 20 106 •G U Í A D I D Á C T I C A En una isla del Pacífico se ha comprobado que la temperatura media durante el mes de diciembre viene dada por (en grados centígrados): T = 5 cos [ ( ) · π ] + 10 °C siendo t la hora del día variando en [0, 24). 12 – t 12 25 π 1 –1 y = sen x 2π –π y = 3sen (2x – π) X O Y i) 3 –3 π 1 –1 y = cos x 2π –π X O Y h) y = –2 · cos x –2π 2 –2 π 1 –1 y = sen x 2π –π X O Y g) y = sen – x 2 ( ) π 1 –1 y = cos x 2π –π X O Y f) y = cos (2x) –2π π 1 –1 y = sen x 2π –π X O Y e) y = 3 sen x –2 2 π 1 –1 y = cos x 2π –π X O Y y = cos – x 2 ( ) d) –2π π 1 –1 y = sen x 2π –π y = sen (x + π) X O Y c) π 1 –1 2 y = cos x 2π –π y = cos x + 2 3 X O Y b) –2π π 1 –1 3 y = sen x 2π –π y = sen x – 3 –3 X O Y a) G U Í A D I D Á C T I C A • 107 a) ¿Qué temperatura habrá a las 16 horas? ¿Y a las 8 horas? b) ¿A qué hora del día la temperatura es de 10 °C? ¿Podrá ser la temperatura 0 °C? c) ¿A qué hora se alcanza la temperatura mínima? ¿Y la máxima? a) T(16) = 12,5 °C T(8) = 12,5 °C b) • A las 6 horas y a las 18 horas la temperatura fue de 10 °C. • Nunca podrá ser 0 °C la temperatura. c) La temperatura mínima fue de 5 °C y la alcanzó a las 0 horas. La temperatura máxima fue de 15 °C y la alcanzó a las 12 horas. Una persona está aprendiendo a nadar el estilo «espalda». Transcurridas x horas de entrenamiento, es capaz de nadar, en un minuto, una distancia de y metros, dada por la expresión: y = 16 (1 – e –0,035x ) a) ¿Qué distancia es capaz de recorrer en un minuto después de 12 horas de entrenamiento? b) ¿Cuántas horas de entrenamiento son necesarias para recorrer 12 metros en un minuto? c) ¿Cuántas horas de entrenamiento son necesarias para recorrer 20 metros en un minuto? a) Si x = 12 ⇒ y = 5,48 metros es capaz de recorrer en un minuto después de 12 horas de entrenamiento. b) Si y = 12 metros por minuto ⇒ c) Para recorrer 20 metros en un minuto necesita: 20 = 16 (1 – e –0,035x ) 1,25 = 1 – e –0,035x ⇒ e –0,035x = –0,25 Esta ecuación no tiene soluciones; por tanto, nunca podrá recorrer 20 metros en un minuto mediante la expresión que da el problema. Encuentra una solución en cada una de las siguientes ecuaciones: a) sen y = – b) x = arc cos c) tg y = –1 a) sen y y k k · − ⇒ ⇒ · ° + ° ⋅ ° + ° ⋅ ¹ ' ¹ 1 2 210 360 330 360 3 2 1 2 27 ⇒ · − ( ) · − ⇒ · · − · − ⋅ − ⋅ − ⋅ 12 16 1 0 75 1 0 25 0 25 0 035 39 61 0 035 0 035 0 035 e e e x x x x , , , , , ln , , , horas de entrenamiento 26 0 5 12 12 10 12 12 2 C cos C cos Imposible ° · ⋅ − ¸ ¸ _ , ⋅ ¸ 1 ] 1 + ° ⇒ ⇒ − ¸ ¸ _ , ⋅ ¸ 1 ] 1 · − ⇒ ⇒ t t π π 10 5 12 12 10 12 12 0 6 6 C cos C cos horas y horas ° · ⋅ − ¸ ¸ _ , ⋅ ¸ 1 ] 1 + ° ⇒ ⇒ − ¸ ¸ _ , ⋅ ¸ 1 ] 1 · ⇒ ⇒ · · − t t t t π π 108 •G U Í A D I D Á C T I C A Encuentra la expresión algebraica asociada a cada una de las siguientes funciones e indica el período de las mismas y los valores máximo y mínimo que alcanzan. a) b) c) d) a) y = sen x – 2 El período es 2π Los valores máximo lo alcanza en y el mínimo en . b) y = cos (3x) El período es . c) y = –sen El período es 4π. Máximo (3π, 1) Mínimo (π, –1). d) y = 2 · cos x El período es 2π. Máximo (2π, 1) Mínimo (π, –1). PÁGINA • 169 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 1. UN PASO DIFÍCIL. En la subida a un pico de montaña hay que pasar por un sendero muy estrecho en el que es imposible que se cru- cen dos personas, a excepción de un lugar al lado del camino en el que hay una pequeña cueva donde tan sólo cabe una persona. Un fin de semana en el que suben muchos mon- tañeros, coinciden dos grupos. Uno de ellos, compuesto por dos montañeros, está su- biendo al pico, mientras el otro, compuesto por tres, está bajando. ¿Cómo puede orga- nizarse el paso de los montañeros para que cada grupo pueda seguir su camino sin que ninguno tenga que retroceder? Los pasos a seguir son los siguientes, llamando AB a los montañeros que suben y abc a los que bajan. 1.º 2.º AB abc AB bc a 3.º 4.º AB bc a a AB bc 5.º 6.º a AB bc a AB c b 7.º 8.º a AB c b ab AB c 9.º 10.º ab AB c ab AB c 11.º 12.º ab AB c abc AB x ¸ ¸ _ , 2 Máximo Mínimo 2 3 1 3 1 π π , , ¸ ¸ _ , − ¸ ¸ _ , 2 3 π 3 2 3 π , − ¸ ¸ _ , π 2 1 , − ¸ ¸ _ , 2 –2 3π 2π π –π O Y X 1 –1 3π 2π π –π O Y X 1 –1 3π 2π π –π O Y X 1 –1 3π 2π π –π O Y X –2 –3 28 b) c) arc con tg x x k k y y k k · ⇒ ⇒ · ° + ° ⋅ ° + ° ⋅ ¹ ' ¹ · − ⇒ ⇒ · ° + ° ⋅ ° + ° ⋅ ¹ ' ¹ 3 2 30 360 330 360 1 135 360 315 360 G U Í A D I D Á C T I C A • 109 2. UNA ABEJA GOLOSA. Sobre una mesa hay 25 monedas, cada una de las cuales contiene una gota de miel, colocadas como indica la figura. Viene volando una abeja y se posa sobre una de las monedas para comerse la gota de miel. Como es muy golosa, quiere comerse todas las gotas, pero para ello debe pasar de una moneda a otra y no pisar dos veces una misma moneda. ¿Podrá hacerlo? Señalamos las monedas con C y X. • Consideramos el caso de que sólo tengamos 9 monedas. En este caso hay 5 caras C y 4 cruces X. Si la abeja parte de una moneda marcada con C, puede hacer el recorrido: CXCXCXCXC, pero si parte de una moneda marcada con X, no puede: XCXCXCXC... falta una C. • En nuestro caso hay 13 caras C y 12 cruces X. Si la abeja parte de una moneda marcada con C, es posible el recorrido, pero si parte de una moneda marcada con X no es posible. 3. LA MAGIA DE LOS NÚMEROS. Toma un número cualquiera de tres cifras diferentes, por ejemplo, 472. Dale la vuelta: 274. Res- ta el menor del mayor: 472 – 274 = 198. Invierte este número: 891. Suma los dos úl- timos y obtienes: 198 + 891 = 1 089. ¿Ocurre lo mismo con cualquier número de tres cifras distintas? Sea el número inicial xyz ⇒ (100x + 10y + z) – – (100z + 10y + x) = (x – z) 100 + (z – x) Si x > z ⇒ z – x < 0 ⇒ hay que poner la expresión anterior en la forma: (x – z – 1) 100 + 100 + (z – x) = = (x – z – 1) 100 + 9 · 10 + (10 + z – x) La 1.ª cifra de este número es: x – z – 1. La 2.ª cifra de este número es: 9. La 3.ª cifra de este número es: 10 + z – x. Observamos que (x – z – 1) + (10 + z – x) = 9, es decir, la 1ª + 3ª siempre da 9 y la 2ª también da 9. Lue- go siempre se cumple el resultado del problema. C C X X X C C C X 110 •G U Í A D I D Á C T I C A Al finalizar esta Unidad Didáctica, el alumno y la alumna deberán ser capaces de: 1. Obtener el polinomio interpolador que se ajuste a una tabla de valores dados. 2. Saber determinar el polinomio interpolador por varios métodos. 3. Interpolar y extrapolar valores que no están en una tabla obtenida experimentalmente. 4. Valorar la utilidad de la interpolación en la inferencia de valores. • Revisando los distintos métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales, haciendo hin- capié en el método de Gauss. • Utilizando la calculadora para interpolar y extrapolar valores. • Obteniendo muchos polinomios interpoladores asociados a diferentes fenómenos con el fin de manjar correctamente los algoritmos de cálculo. G U Í A D I D Á C T I C A • 111 OBJETIVOS DIDÁCTICOS ¿CÓMO TRABAJAR LA UNIDAD? PÁGINA • 171 ACTIVIDADES INICIALES 1. Calcula la ecuación de la función cuadráti- ca que pasa por los puntos (0, 0), (4, 4) y (1, –2). La parábola que pasa por estos puntos tiene por ecua- ción: y = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 = P (x) Calculamos los coeficientes: El polinomio buscado es:y = P(x) = –3x + x 2 2. Las diferentes contracciones de un muelle (en mm) sometido a diferentes cargas (en kg) vienen dadas por la tabla: Halla la función cuadrática cuya gráfica pase por los puntos (5, 49), (10, 105) y (25, 352). Comprueba si esta función aproxima convenientemente los otros valores de la tabla. La función cuadrática buscada será de la forma: f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 Caculamos los coeficientes: Por tanto, Para Para Esta función nos permite obtener buenas aproximaciones de x = 15 y x = 20. x f · ( ) · + ⋅ + ⋅ · 20 20 37 6 29 4 20 79 300 20 256 5 2 ; , x f · ( ) · + ⋅ + ⋅ · 15 15 37 6 29 4 15 79 300 15 174 17 2 ; , f x x ( ) · + ⋅ + 37 6 29 4 15 79 300 2 49 5 25 105 10 100 352 25 625 37 6 29 4 79 300 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 · + + · + + · + + ¹ ; ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ⇒ · · · a a a a a a a a a a a a 0 4 4 16 2 0 3 1 0 0 1 2 0 1 2 0 1 2 · · + + − · + + ¹ ; ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ⇒ · · − · a a a a a a a a a a 112 •G U Í A D I D Á C T I C A CONCEPTOS 1. El problema de la interpolación. 2. Interpolación lineal 3. Interpolación cuadrática. – Valorar la utilidad de la in- terpolación en la inferencia de valores. – Rigor y claridad en los procesos que nos permiten encontrar el polinomio interpolador. • Obtener, por interpolación lineal, un valor intermedio entre dos dados en funciones no algebraicas. • Obtener el polinomio de in- terpolación cuadrática. • Interpolar y extrapolar valores. • Obtener el polinomio interpolador por diversos métodos. ACTITUDES PROCEDIMIENTOS RESOLUCIÓN DE ACTIVIDADES Carga x 5 10 15 20 25 Contracción y 49 105 172 253 352 PÁGINA • 179 ACTIVIDADES DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE Obtén la función de interpolación lineal que pasa por los puntos: (–1, 1) y (2, 4) Interpola el valor a = 0 y extrapola el valor a = 5. La gráfica adjunta representa dos interpo- laciones lineales. Halla la tabla de valores que corresponde a los puntos A y B y su correspondiente polinomio interpolador. De igual forma calcula la tabla de valores y el polinomio interpolador correspondiente a los puntos B y C. Interpola el valor que corresponde a x = 2 y extrapola el valor de x = 6, utilizando, en cada caso, el polinomio adecuado. Recta AB: (1,2) (3,1) Polinomio de la forma: f 1 (x) = a 0 + a 1 x, y debe verificar: Luego la función lineal que pasa por A y BA: De la misma forma la función que pasa por: Haciendo uso de la interpolación lineal, resuelve las siguientes cuestiones: a) Calcula de forma aproximada sen 31° 25’ sabiendo que sen 31° = 0,515038 y sen 32° = 0,529919. b) Sabiendo que tg 42° = 0,900404 y tg 43° = 0,932515, determina de forma aproximada el valor de tg 42° 42’. c) Calcula cos 10° 25’ a partir de cos 10° = = 0,984808 y de cos 11° = 0,981627. d) Determina el valor de ln 6,3 sabiendo que ln 6 = 1,791759 y ln 7 = = 1,945910. a) Aplicando la interpolación lineal obtenemos: f(x) = a 0 + a 1 · x b) Aplicando la fórmula: f a y y x x a x y tg tg ( ) ≅ − − ⋅ − ( ) + ° ≅ − ⋅ + ⇒ ° ≅ 1 0 1 0 0 0 42 42 0 932515 0 900404 60 42 0 900404 42 42 0 09228817 ' ' , , ' ' , ' , obtenemos : f f a a a a a a x x sen 31 0 515038 32 0 529919 31 0 515030 32 0 529919 0 053471 0 014889 0 053471 0 014889 31 25 0 52123 0 1 0 1 0 1 ( ) · ( ) · ¹ ; ¹ ¹ ¹ ⇒ + · + · ¹ ; ¹ ¹ ¹ ⇒ · · ⇒ · + ⋅ ⇒ ° ·· , , , , , , , , ' , sen 3 B C f x f f f f x 3 1 5 2 1 2 1 2 2 5 2 1 3 2 6 5 2 3 1 2 2 1 1 2 1 2 6 3 1 2 5 2 2 1 1 2 2 , , • ; • ; ( ) ( ) · − ( ) · − · ( ) · − · − ( ) · − · ( ) · − · ( ) y es : f x x 1 5 2 1 2 ( )· − f a a f a a a a 1 0 1 1 0 1 1 0 1 2 2 3 1 3 1 1 2 5 2 ( ) · ⇒ + · ( ) · ⇒ + · ¹ ; ¹ ¹ ¹ ⇒ · − · 1 2 3 Y X O 4 5 1 2 3 A B C 2 La función de interpolación lineal es : La función buscada es Para el valor , obtenemos : Para el valor , obtenemos : y y y y x x x x y x y x f x x a f a f a f f − · − − ⋅ − ( ) − · − + ⋅ + ( ) ⇒ · + ( ) · + · ( ) · + ⇒ ( ) · · ( ) · + ⇒ ( ) · 0 1 0 1 0 0 1 4 1 2 1 1 2 2 0 0 2 0 2 5 5 5 2 5 7 1 G U Í A D I D Á C T I C A • 113 c) Buscamos la función de interpolación lineal que pase por los puntos (10; 0,984808) y (11; 0,981627) y obtenemos: f(x) = a 0 + a 1 x También lo podíamos haber obtenido por medio de: d) Aplicando la fórmula del apartado (b) o mediante f(x) = a 0 + a 1 x obtenemos: Determinar el polinomio interpolador cuya gráfica pasa por los puntos: (–1, 12), (0, 6) y (3, 0) Encuentra por interpolación el valor del polinomio para x = 2,75 y encuentra por ex- trapolación el valor que toma el polinomio para x = –1,25. El polinomio interpolado es: P(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 P(x) = 6 – 5x + x 2 P(2,75) = 6 – 5 · 2,75 + 2,75 2 = –0,1875 P(–1,25) = 6 – 5 · (–1,25) + (–1,25) 2 = 13,8125 Encuentra, por interpolación, un polinomio de grado 2 cuya gráfica pase por los puntos (1, –5), (2, 2) y (–1, –7). El polinomio será de la forma: P(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 El polinomio buscado es: P(x) = –8 – x + 2x 2 Halla haciendo uso del polinomio interpolador de segundo grado de la fun- ción f (x) = en los puntos x 1 = 121; x 2 = 144; x 3 = 169. Buscamos el polinomio interpolador de segundo grado que pase por los puntos (121, 11) (144, 12) (169, 13) y será de la forma: P(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 Luego el polinomio buscado es: Obtén la función cuadrática de interpola- ción cuya gráfica pasa por los puntos: (0, 4), (2, 9), (4, 20) La función cuadrática buscada es: P(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 P a P a a a P a a a a a a 0 4 4 2 9 2 4 9 4 20 4 16 20 4 1 3 4 0 0 1 2 0 1 2 0 1 2 ( ) · ⇒ · ( ) · ⇒ + + · ( ) · ⇒ + + · ¹ ; ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ⇒ · · · 7 P x x x P ( ) · + − ( ) · · ⇒ ⇒ ≅ 2 574 575 173 2 760 1 13 800 150 28 171 2 300 12 25 150 12 25 2 Luego , , P a a a P a a a P a a a a a a 121 11 121 121 11 144 12 144 144 12 169 13 169 169 13 2 574 575 173 2 760 1 13 800 0 1 2 2 0 1 2 2 0 1 2 2 0 1 2 ( ) · ⇒ + ⋅ + ⋅ · ( ) · ⇒ + ⋅ + ⋅ · ( ) · ⇒ + ⋅ + ⋅ · ¹ ; ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ⇒ · · · − √x √150 6 − · + + · + + − · − + ¹ ; ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ⇒ · − · · 5 2 2 4 7 8 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 a a a a a a a a a a a a 5 12 6 0 3 9 6 5 1 0 1 2 0 0 1 2 0 1 2 · − + · · + + ¹ ; ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ⇒ · · − · a a a a a a a a a a 4 ln ln 6 3 1 945910 1 791759 1 0 3 1 791759 6 3 1 8380043 , , , , , , , ≅ − ⋅ + ⇒ ≅ cos ' , , ' , cos ' , 10 25 0 981627 0 984808 60 25 0 984808 10 25 0 983482583 ° ≅ − ⋅ + ⇒ ° · 0 984808 10 0 981627 11 0 003181 1 016618 1 016618 0 003181 10 25 0 983482583 10 25 0 983482583 0 1 0 1 1 0 , , , , , , ' , cos ' , · + · + ¹ ; ¹ ¹ ¹ ⇒ · − · ¹ ; ¹ ¹ ¹ ⇒ ( ) · − ° ( ) · ° · a a a a a a f x x f Con lo cual 114 •G U Í A D I D Á C T I C A La función cuadrática es: Obtén el polinomio interpolador cuya grá- fica pasa por los puntos: (0, 0), (1, 15), (3, 7), (5, 2) Extrapola el valor x = 5,8. Es un polinomio de tercer grado de la forma: El polinomio es: P(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 PÁGINA • 180 Obtén el polinomio interpolador cuya grá- fica pasa por los puntos: (–1, 2), (0, 3), (1, 2) y (2, 0) Determina los valores que corresponden a x = 1,6 y a x = 2,4. Buscamos un polinomio de interpolación de grado tres. Será de la forma: P(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 Dada la tabla de la función f(x), calcula el polinomio interpolador de segundo grado cuya gráfica pase por los tres primeros puntos (1, 2), (2, –1) y (3, 6). Determi- na el error cometido cuando se calcula f(4) por extrapolación. La función buscada es: f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 Para hacer más sencillo en los cálclos podemos tomar la función cuadrática de la forma f(x) = A 0 + A 1 (x – 1) + A 2 (x – 1) (x – 2) a 0 + a 1 x + a 2 x 2 = A 0 + A 1 (x – 1) + A 2 (x – 1) (x – 2) donde desarrollando el segundi miembro y por el principio de identidad de polinomios tenemos que: El polinomio buscado es: f(x) = 2 – 3 (x – 1) + 5 (x – 1) (x – 2) ⇒ ⇒ f(x) = 5x 2 – 18x + 15 f(4) = 5 ·16 – 18 · 4 + 15 = 23 Por tanto, el error cometido es 23. La población activa española en el sector agrícola en los años que se indican fue: 11 f A f A A f A A A A A A 1 2 2 2 1 1 3 6 2 2 6 2 3 5 0 0 1 0 1 2 0 1 2 ( ) · ⇒ · ( ) · − ⇒ + · − ( ) · ⇒ + + · ¹ ; ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ⇒ · · − · a A A A a A A a A 0 0 1 2 1 1 2 2 2 3 3 · − + · − · ¹ ; ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ 10 a a a a P x 3 1 6 1 1 6 0 1 2 3 ⇒ · · − · − · ¹ ; ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ⇒ (( ) · − − + ( ) · ( ) · − 3 1 6 1 6 1 6 0 856 2 4 0 856 2 3 x x x P P • , , • , , P a P a a a a P a a a a P a a a a 0 3 3 1 2 2 2 0 2 4 8 0 1 2 2 0 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3 ( ) · ⇒ · ( ) · ⇒ + + + · ( ) · ⇒ + + + · − ( ) · ⇒ − + − · ¹ ; ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ 9 P a P a a a a P a a a a P a a a a a a a a P x 0 0 0 1 15 15 3 7 3 9 27 7 5 2 5 25 125 2 0 3 043 120 1 404 120 161 120 0 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3 ( ) · ⇒ · ( ) · ⇒ + + + · ( ) · ⇒ + + + · ( ) · ⇒ + + + · ¹ ; ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ⇒ · · · − · ( ) El polinomio es : ·· − + ( ) · 161 120 1 404 120 3 043 120 5 8 15 2656 3 2 x x x P , , 8 P x x x ( ) · ⋅ + + 3 4 4 2 G U Í A D I D Á C T I C A • 115 x 1 2 3 4 f(x) 2 –1 6 0 116 •G U Í A D I D Á C T I C A donde el número de ocupados viene dado en miles. a) Obtén la función de interpolación cua- drática. b) Determina por interpolación el nú- mero de ocupados en el sector agrí- cola en el año 1989 y por extrapola- ción el número de ocupados en el año 1992. a) La función es: f(x) = a o + a 1 x + a 2 x 2 Tomamos 1988 como año 0, 1990 como año 2 y 1991 como año 3 y obtenemos: Luego f(x) = 1 694,2 – 77,65x – 13,35x 2 b) f(1) = 1 603,2 ⇒ en 1989 había: 1 603,2 ocupados f(4) = 1 170 ⇒ en 1992 había: 1 170 ocupados En España, en el año 1993, la inflacción en los meses que se indican fue: Haz sendas estimaciones para los meses de agosto y noviembre. Considerando julio como mes 0, septiembre como mes 2 y octubre como mes 3, obtenemos la función de interpolación cuadrática que se ajusta a estos datos: • f(1) = 4,4; la inflación en agosto es 4,4 • f(4) = 5,3; la inflación en noviembre es 5,3 Los gastos de producción y los ingresos por ventas (ambos expresados en millones de euros) de cierta editorial en los años que se citan fueron: a) Obtener el polinomio interpolador que expresa los ingresos por ventas en función de los gastos de produc- ción. b) ¿Qué ingresos cabe esperar que obtenga la editorial en 1997 si los gastos de producción estimados son de 9 millones de euros? a) Hallamos el polinomio interpolar cuadrático que pase por los puntos (3, 60) (4,5; 78) (7, 120): P(x) = a o + a 1 x + a 2 x 2 es el polinomio buscado b) Hallamos P(9) = 164,4 Cabe esperar unos ingresos de: 164,4 millones de euros. P a a a P a a a P a a a a a a P x x x 3 60 3 9 60 4 5 78 4 5 20 25 78 7 120 7 49 120 40 2 3 1 2 40 2 3 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 2 ( ) · ⇒ + + · ( ) · ⇒ + + · ( ) · ⇒ + + · ¹ ; ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ⇒ · · · ¹ ; ¹ ¹ ¹ ⇒ ( ) · + ⋅ + ⋅ , , , , , , , 13 f a f a a a f a a a a a a f x x x 0 4 9 4 9 2 4 3 2 4 4 3 3 4 6 3 9 4 6 4 9 0 7 0 2 4 9 0 7 0 2 0 0 1 2 0 1 2 0 1 2 2 ( ) · ⇒ · ( ) · ⇒ + + · ( ) · ⇒ + + · ¹ ; ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ⇒ · · − · ¹ ; ¹ ¹ ¹ ⇒ ( ) · − + , , , , , , , , , , , , 12 a a a a a a a a a a 0 0 1 2 0 1 2 0 1 2 1 694 2 2 4 1 485 5 3 9 1 341 1 1 694 2 77 65 13 35 · + + · + + · ¹ ; ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ⇒ · · − · − , , , , , , Julio Septiembre Octubre 4,9 4,3 4,6 1994 1995 1996 Gastos de producción 3 4,5 7 Ingresos por ventas 60 78 120 1988 1990 1991 1 694,2 1 485,5 1 341,1 El número de lineas telefónicas instaladas en España en los años que se indican han sido los que aparecen en la tabla. a) ¿Es lineal el aumento producido en 1997? b) Calcula el valor esperado en 1998 mediante una extrapolación cuadrática. a) Hallamos el polinomio de interpolación lineal que será: P(x) = 8,547 + 0,335 · x Veamos si se verifica para el año 1997 P(2) = 9,217 no es lineal el aumento b) Hallamos el polinomio de interpolación cuadrático y obtenemos: P(x) = 8,547 + 0,1235 · x + 0,2115x 2 Luego el valor esperado para 1998 es de: P(3) = 10,821 millones de líneas telefónicas. PÁGINA • 181 En la tabla siguiente se indica el tiempo (en días) y el peso (en gramos) de tres em- briones de cierta especie animal: a) Obtén el polinomio de interpolación correspondiente. b) Determina a partir de dicho polinomio el peso que corresponderá a un em- brión de 6,5 días. c) ¿Cuánto tiempo estimas que tendría un embrión de 52 g? a) Hallamos el polinomio de interpolación cuadrática: P(x) = a 0 + a 1 x +a 2 x 2 b) P(6,5) = 43,625 g c) 5 – 5,1x + 1,7x 2 = 52 ⇒ x = 6,97 aproximadamente 7 días Se ha medido la velocidad a la que un ci- clista sube una cuesta: al empezar, pasada media hora y pasada una hora, dando los siguientes resultados: a) Encuentra el polinomio interpolador que nos da la velocidad en función del tiempo. b) ¿Cuál será su velocidad al cabo de 1h 15 minutos de empezar? c) ¿Cuánto tiempo ha transcurrido para que lleve una velocidad de 27 km/h? a) Hallamos el polinomio de interpolación cuadrática: b) P(1,25) = 6,5625 km/h c x x x s x s ) , , , 30 37 5 15 27 0 08273 4 58 2 41726 2 25 2 2 1 2 − + · ⇒ · · · · ¹ ; ¹ ¹ ¹ min h min P a P a a a P a a a a a a P x x x 0 30 30 1 2 15 2 4 15 1 7 5 73 30 37 5 15 30 37 5 15 0 0 1 2 0 1 2 0 1 2 2 ( ) · ⇒ · ¸ ¸ _ , · ⇒ + + · ( ) · ⇒ + + · ¹ ; ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ⇒ · · − · ¹ ; ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ⇒ ( ) · − + , , , 16 P a a a P a a a P a a a a a a P x x x 3 5 3 9 5 5 22 5 25 22 8 73 8 64 73 5 5 1 1 7 5 5 1 1 7 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 2 ( ) · ⇒ + + · ( ) · ⇒ + + · ( ) · ⇒ + + · ¹ ; ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ⇒ · · − · ¹ ; ¹ ¹ ¹ ⇒ ( ) · − + , , , , 15 14 G U Í A D I D Á C T I C A • 117 Año 1995 1996 1997 Millones de 8,547 8,882 9,640 líneas tiempo 3 5 8 peso 8 22 73 Tiempo (horas) 0 1 Velocidad (km/h) 30 15 7,5 1 2 La primera solución se calcula por interpolación y la segunda por extrapolación. (La más fiable es la primera.) Dada la tabla siguiente, obtén por inter- polación el valor : Calculamos el polinomio de interpolación cuadrática: Encuentra el valor de a en la siguiente tabla de valores para que p(x) sea un polinomio de segundo grado: Calculamos el polinomio de interpolación cuadrática para los otros tres valores: En la siguiente tabla se dan los pesos, en kg, de una niña al nacer y en los dos siguientes meses: Utilizando un polinomio de interpolación, ¿qué peso estimas que tendrá cuando tenga año y medio? ¿Puedes estimar, por este procedimiento, cuánto pesará cuando tenga 5 años? Con el polinomio interpolador podemos calcular (ex- trapolando) el valor para x = 60 que es P (60) = 38,66 kg pero este valor no tiene mucho sentido por que está muy alejado de los puntos que hemos considerado para calcular el polinomio interpolador. En una farmacia encontramos junto a la máquina de pesar una tabla en la que indica los pesos ideales de mujeres, en kg, en función de la altura en cm. La tabla es: a) Calcula por interpolación lineal el peso de una mujer de 168 cm de altura. b) ¿Qué altura corresponde a una mujer que pesa 62,5 kg? a) Calculamos el polinomio de interpolación lineal utilizando los puntos (160, 52) y (170, 60) por que la altura que nos piden está entre esos dos valores y por tanto la interpolación será más precisa: 20 P a P a a a P a a a a a a P x x x 0 3 2 3 2 6 7 3 6 36 7 3 12 11 1 12 144 11 1 3 2 0 675 0 0014 0 0014 0 675 3 0 0 1 2 0 1 2 0 1 2 2 ( ) · ⇒ · ( ) · ⇒ + + · ( ) · ⇒ + + · ¹ ; ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ⇒ · · − · − ¹ ; ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ⇒ ⇒ ( ) · − + + , , , , , , , , , , , , , , 2 18 14 9 P ( ) · kg pesará a los 18 meses. 19 P a a a P a a a P a a a a a a P x x x P a 2 14 2 4 14 6 2 6 36 2 8 8 8 64 8 32 11 1 11 32 4 4 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 2 ( ) · ⇒ + + · ( ) · ⇒ + + · ( ) · ⇒ + + · ¹ ; ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ⇒ · · − · ¹ ; ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ⇒ ⇒ ( ) · − − + ( ) · luego = 4 18 P a P a a a P a a a a a a P x x x P 0 1 1 1 1 4142 1 4142 2 1 7321 2 4 1 7321 1 0 4635 0 04815 0 04815 0 46235 1 0 4 0 6 0 0 1 2 0 1 2 0 1 2 2 ( ) · ⇒ · ( ) · ⇒ + + · ( ) · ⇒ + + · ¹ ; ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ⇒ · · · − ¹ ; ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ⇒ ⇒ ( ) · − + + ≈ − , , , , , , , , , , (( ) · 0 705256 , √0,4 17 118 •G U Í A D I D Á C T I C A Meses 0 6 12 Peso (kg) 3,200 7,300 11,100 Altura (cm) 155 160 170 Peso (kg) 48 52 60 PÁGINA • 183 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 1. SUMAS. Considera los números impares 1, 3, 5, 7, etc. ¿Cuánto vale la suma de los n primeros? 1 + 3 + 5 + 7 + … + 2n – 1 = · n = n 2 2. CASTILLO DE NAI- PES. En la figura tienes un castillo de naipes de dos pisos. Han sido necesarias 7 cartas para formarlo. ¿Cuántas cartas serán necesarias para hacer un castillo similar de 15 pisos de altura? ¿Cuántos pisos tendrá un castillo que tiene 3 775 naipes? 1. er piso: se necesitan 2 naipes. 2.º piso: se necesitan 5 naipes. 3. er piso: se necesitan 8 naipes. 4.º piso: se necesitan 11 naipes. Luego en el enésimo piso habrá (3n – 1) naipes. Una torre con n pisos tendrá: naipes. Una torre con 15 pisos tendrá: = 345 naipes. Veamos cuántos pisos tendrá un castillo de = 3 775 3n 2 + n – 7 550 = 0 ⇒ n = ⇒ 3. LAS BICIS. Un padre y un hijo van en sendas bicis a la misma velocidad. La rueda trasera de la bici del padre da una vuelta, al tiempo que la rueda trasera de la bici del hijo da vuelta y media. En la rueda de la bici del padre hay dos marcas, azul y roja, diametral- mente opuestas, y análogamente ocurre en la rueda de la bici del hijo. En un determinado instante, las dos marcas rojas están sobre el suelo. ¿Cuándo coincidirán por primera vez las marcas azules sobre el suelo? Imaginamos que la rueda del padre tarda 6 segundos en dar una vuelta y la del hijo 6 segundos en dar vuelta y media. En la situación de partida vuelven a estar al cabo de 12", pero en ningún momento coincidirán las marcas azules sobre el suelo. 4. NÚMERO FANTASMA. Tu amigo Juan dice haber encontrado un número cuyo cuadrado acaba en tres cifras idénticas. ¿Dice la verdad? ¿Sería cierto si las cifras no pueden ser cero? El cuadrado de cualquier número entero termina en 0, 1, 4, 5, 6, 9. Si el número entero es par, su cuadrado es múltiplo de 4. Así, 14 2 = 196 = • 4. Si el número entero es impar, su cuadrado es múltiplo de 4 +1. Así, 13 2 = 169 = • 4 + 1. Ahora bien, si el número al cuadrado termina en 111, 555, 666 o 999, éstos no son ni múltiplos de 4 ni múltiplos de 4 + 1, luego no pueden ser. Veamos, pues, los que terminan en 000 o 444. Efectivamente: 10 000 = 100 2 ⇒ acabando en cero se cumple. También 1 444 = 38 2 , luego también se verifica si no son cero las cifras. 5. DESIGUALDAD. ¿Es cierta la siguiente desigualdad?: (2n)! > [1 · 3 · 5 · … · (2n – 1)] 2 · (2n)! = 2n · (2n – 1) · (2n – 2) · ... · 3 · 2 · 1 √2n + 1 PADRE R R R HIJO R A R 6 6 6 6 " " " " → → → → A Azul R Rojo A Azul R Rojo n = 50 pisos –1 ± 301 6 (3n + 1) · n 2 3 775 naipes (3 · 15 + 1) · 15 2 (3n + 1) · n 2 1 + (2n – 1) 2 y x y x y b x x − · − − − ( ) ⇒ · − ( ) · − · ⇒ · 52 60 52 170 160 60 0 8 7 6 168 58 4 0 8 76 62 5 173 125 , , , , , calculamos ahora el valor kg ) , cm G U Í A D I D Á C T I C A • 119 Veamos si es cierta la igualdad anterior transformada en otra: 2n · (2n – 1) · (2n – 2) · ... · 3 · 2 · 1 > > [1 · 3 · 5 · ... · (2n – 1)] 2 · ⇒ ⇒ > ⇒ ⇒ > Esto es lo que vamos a demostrar por el método de in- ducción. Para n = 1 ⇒ 2 > ⇒ 2 > Supongamos que es cierto para n: > Veamos que es cierto para n + 1: ¿ > ? ( I ) = = · > > Veamos si es cierto que: > Elevando al cuadrado: (2n + 2) 2 (2n + 1) > (2n + 1) > (2n + 1) 2 (2n + 3) ⇒ ⇒ 16n + 4 > 14n + 3 ⇒ 2n + 1 > 0 Esto siempre es cierto, pues n ʦN ⇒ es cierta la desigualdad ( I ) ⇒ es cierto el enunciado. √2n + 3 √2n + 1 (2n + 2) (2n + 1) √2n + 1 (2n + 2) (2n + 1) 2n (2n – 2) · ... · 4 · 2 (2n – 1) · ... · 5 · 3 · 1 (2n + 2) (2n + 1) (2n + 2) (2n) (2n – 2) · ... · 4 · 2 (2n + 1) (2n – 1) · ... · 5 · 3 · 1 √2n + 3 (2n + 2) (2n) (2n – 2) · ... · 4 · 2 (2n + 1) (2n – 1) · ... · 5 · 3 · 1 √2n + 1 2n · (2n – 2) · ... · 4 · 2 (2n – 1) · ... · 5 · 3 · 1 √3 √2 · 1 + 1 √2n + 1 2n · (2n – 2) · ... · 6 · 4 · 2 (2n – 1) · ... · 5 · 3 · 1 √2n + 1 2n [1 · 3 · 5 · ... · (2n – 1)] √2n + 1 120 •G U Í A D I D Á C T I C A Al finalizar esta Unidad Didáctica, el alumno y la alumna deberán ser capaces de: 1. Estudiar las tendencias laterales finitas mediante tablas de valores y calculadora. 2. Comprender los conceptos asociados a la convergencia de funciones. 3. Interpretar las tendencias infinitas a partir de las gráficas de las funciones correspondientes y determinar, si existen, asíntotas. 4. Calcular límites sencillos utilizando las gráficas de las funciones elementales y de las familias de funciones. 5. Valorar la utilidad de la representación gráfica y de la calculadora en el estudio de la convergencia y las tendencias infinitas. • Revisando las representaciones gráficas de las funciones elementales y de las familias de funciones. • Utilizando tablas de valores, calculadora y representaciones gráficas. • Insistiendo mucho en los ejercicios de obtención de gráficas de las funciones que se adecuen a unas características prefijadas. • Utilizando múltiples gráficas para inferir propiedades de las funciones representadas. G U Í A D I D Á C T I C A • 121 ¿CÓMO TRABAJAR LA UNIDAD? OBJETIVOS DIDÁCTICOS PÁGINA • 185 ACTIVIDADES INICIALES 1. Comenta la tendencia de las siguientes funciones: • f (x) tiende a (3) cuando x tiende a (–∞) y tiende a (+∞) cuando x tiende a (+∞). • g(x) tiende a (–∞) cuando x tiende a (–∞) y tiende a (+∞) cuando x tiende a (+∞). • h(x) tiende a (–2) cuando x tiende a (–∞) y tiende a (2) cuando x tiende a (+∞). • t (x) tiende a (+∞) cuando x tiende a (–4) y tiende a (–∞) cuando x tiende a (+∞). PÁGINA • 202 ACTIVIDADES DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE En las siguientes funciones, cuyas gráficas se dan, calcula los valores pedidos: y = f (x) 1 2 3 4 5 1 –1 –1 –2 –3 –4 –5 –6 2 3 1 y = g(x) O Y X y = f(x) O Y X y = t(x) O Y X –4 y = h(x) 2 –2 O Y X 3 122 •G U Í A D I D Á C T I C A CONCEPTOS 1. Idea intuitiva de función convergente. 2. Límite de una función. 3. Límites infinitos cuando x tiende a un número finito. Asíntota vertical. 4. Límites finitos en el infinito. Asín- tota horizontal. 5. Límites infinitos en el infinito. 6. Asíntotas de una función. 7. Operaciones con límites de funciones. 8. Cálculo de límites sencillos. 9. Funciones continuas. 10. Propiedades de las funciones continuas. Discontinuidad. – Valorar la utilidad de la re- presentación gráfica en el estudio de la convergencia, las tendencias infinitas y las asíntotas de las funciones. – Apreciar la gran utilidad de la calculadora en el estudio de la convergencia y las tendencias infinitas de las funciones. • Calcular las tendencias finitas de una función mediante la calculadora o su repre- sentación gráfica. • Encontrar las asíntotas de una función dada por su gráfica. • Representar gráficamente funciones que se ajustan a unas características dadas. • Calcular tendencias infinitas de funciones dadas mediante su gráfica. • Calcular límites sencillos. ACTITUDES PROCEDIMIENTOS RESOLUCIÓN DE ACTIVIDADES Identifica cada una de las tres expresiones siguientes con su gráfica correspondiente: Representa gráficamente funciones que sa- tisfagan las siguientes condiciones: a) ; f (2) = 5; Dom f = R; Im f = (–2, +ؕ) b) ; g(x) estrictamente creciente en (–ؕ, 1); Im g = (–ؕ, 4] c) ; ; h(2) = 3; Dom h = [0, 3] d) e) l (x) > 0 x > 2; l (x) ≤ 0 x < 2; f) Dom n = R – (2, 3]; Im n = R; ; ; n(0) = 0 lím n(x) = –2 x → 3 + lím n(x) = 0 x → 2 – lím l (x) x → 2 E / A A lím t (x) x → 1 lím t (x) = x → 0 lím t (x) = x → –1 lím h(x) = 5 x → 2 + lím h(x) = 3 x → 2 – lím g(x) = 4 x → 1 lím f(x) = –2 x → 2 3 a lím g x b g c lím g x x x ) ) ) ∃ · · · → → + / ( ) ( ) ( ) 1 1 3 1 3 3 lim g(x) = 3 x → 1 3 1 c ∃ / lim g(x) = 3 x → 1 + g (1) = 3 3 1 a 3 1 b 2 • ( ) ; ( ) ; (– ) (– ) ; ( ) ; ( ) ; ( ) ; ( ) ; ( ) ; ( ) ; ( ) f f f f lím f x lím f x lím f x lím f x lím f x lím f x lím f x x x x x x x x 2 1 5 2 5 6 1 1 1 2 1 3 5 5 6 2 2 5 5 · · · − · − · − · · · → − → − → − → → → → − + − + − − + no definida; no existe ·· · · · − · · − · · − → − → − → → → → + 3 1 5 1 5 1 2 2 0 2 5 3 2 0 2 2 5 2 5 1 2 2 3 ; ( ) , ; ( ) , • ( ) ; ( ) ; ( , ) ( ) ( ) ; ( ) ; ( ) ; ( ) ; , , – lím f x lím f x g g g g lím g x lím g x lím g x lím g x x x x x x x no existe; no existe; no existe + + lím lím g x lím g x x x → → 3 3 – ( ) ; ( ) no existe no existe • ( ) • ( ) • ( , ) • ( ) • ( ) • ( ) • ( ) • ( ) • ( ) • ( ) – – + + g g g g lím g x lím g x lím g x lím g x lím g x lím g x x x x x x x 1 2 2 5 3 1 2 2 3 3 3 → → → → → → 3 2 1 –1 –2 y = g(x) • ( ) • ( ) • (– ) • (– ) • ( ) • ( ) • ( ) • ( ) • ( ) • ( ) • ( ) • ( ) • – – – – , – – – + – + – + + f f f f lím f x lím f x lím f x lím f x lím f x lím f x lím f x lím f x lím x x x x x x x x x 2 5 5 6 5 5 6 2 2 5 5 2 5 2 → → → → → → → → → ,, ( ) 5 f x G U Í A D I D Á C T I C A • 123 PÁGINA • 203 En las siguientes funciones, cuyas gráficas se dan, calcula los valores pedidos: • • • • • • • Ecuaciones de las asíntotas horizontales y verticales, si es que existen. • • • • • • • Ecuaciones de las asíntotas horizontales y verticales, si es que existen. • = –ؕ; = +ؕ; = +ؕ; = –ؕ; = –1; = –1. Asíntota horizontal: y = –1. Asíntotas verticales: x = –1; x = 1. • = +ؕ; = +ؕ; = +ؕ; = 0; = +ؕ; = 4. Asíntota horizontal: y = 0. Asíntota vertical: x = 2. Representa gráficamente funciones que sa- tisfagan las siguientes condiciones: a) Asíntota vertical en x = –2; b) ; ; ; c) h(–4) = 2; ; lím h(x) = –ؕ x → –2 – lím g(x) = +ؕ x → +ؕ lím g(x) = –ؕ x → 3 – lím g(x) = –ؕ x → 3 + lím g(x) = 1 x → 1 lím f (x) = 2 x → +ؕ lím f (x) = x → –ؕ 5 lím g(x) x → 1 lím g(x) x → +ؕ lím g(x) x → –ؕ lím g(x) x → 2 lím g(x) x → 2 + lím g(x) x → 2 – lím f (x) x → –ؕ lím f (x) x → +ؕ lím f (x) x → 1 + lím f (x) x → 1 – lím f (x) x → –1 + lím f (x) x → –1 – lím g(x) x → 1 lím g(x) x → +ؕ lím g(x) x → –ؕ lím g(x) x → 2 lím g(x) x → 2 + lím g(x) x → 2 – 1 2 4 y = g(x) lím f (x) x → –ؕ lím f (x) x → +ؕ lím f (x) x → 1 + lím f (x) x → 1 – lím f (x) x → –1 + lím f (x) x → –1 – –1 –1 1 y = f (x) 4 f) e) 1 3 3 y = n(x) 0 2 y = l (x) 0 –1 –2 –2 2 d) c) 5 2 3 1 y = t (x) 0 2 y = h(x) 0 3 –1 b) a) 2 y = f (x) 0 5 4 1 y = g(x) 0 124 •G U Í A D I D Á C T I C A ; ; d) t (0) = 1; ; ; Calcula los límites siguientes: PÁGINA • 204 Dada la función: calcula: ; ; ; ; ; ; ; . Comprueba los resultados obtenidos por medio de la gráfica. lím f (x) lím x lím f (x) lím lím f (x) lím f (x) lím lím f (x) lím x x x x x x x x x x → − → − → − → − → − → → → → − − + + − − + + · − · − · − · − ¹ ; ¹ ¹ ¹ ⇒ ⇒ · − · − · − · + · ¹ ; ¹ ¹ ¹ ⇒ 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 3 3 3 3 3 3 1 3 ( ) ( ) ( ) ( ) lím f (x) x → +ؕ lím f (x) x → –ؕ lím f (x) x → 2 lím f (x) x → 2 + lím f (x) x → 2 – lím f (x) x → –1 lím f (x) x → –1 + lím f (x) x → –1 – f x x x x x (x) = si < si < + si 2 1 1 3 1 2 1 2 – – – – ≤≤ ≥≥ ¹ ' ¹ ¹ ¹ 7 c) lím x d) lím x e) lím f) lím x g) lím x h) lím x i) lím x j) lím x k) lím x x x x x x x x → − → − → − → → → → + → − · · − − · − · + − · · − · · + − 3 2 5 0 10 10 0 13 13 1 6 1 1 9 7 7 4 1 0 1 1 0 2 2 ϱ ϱ ϱ ϱ ϱ ϱ ϱ – ( ) xx x x x x x x x x x x l) lím x m) lím x n) lím x ñ) lím x o) lím x p) lím x q) lím x r) lím x s) lím x → → → → → + → − → → − − → → + − + − + · · + · + · − · · + − · − + · − · + 0 3 0 6 0 7 0 7 6 6 1 2 1 1 0 9 7 0 7 1 1 1 0 3 2 2 1 1 ϱ ϱ ϱ ϱ ϱ ϱ ϱ ϱ ( ) ( ) ·· +ϱ a) lím b) lím x x x → → + · · 0 5 2 2 0 ϱ – a) lím b) lím x c) lím x d) lím x e) lím f) lím x g) lím x h) lím x i) lím x j) lím x k) lím x l) lím x m) lím x n) lím x x x x x x x x x x x x x → → → → → → → → → → → → → − 0 5 3 2 5 0 10 10 0 13 13 1 6 0 3 0 6 0 7 2 1 7 4 1 1 1 2 7 1 + + + + ؕ ؕ ؕ ؕ ؕ – – – – – – (– ) – – xx x x x x x x x ñ) lím x o) lím x p) lím x q) lím x r) lím x s) lím x → → → → → → → − + 0 7 6 6 1 2 1 1 0 9 7 1 1 3 2 1 – – – – ( ) ( ) + + + ؕ ؕ ؕ 6 –2 0 2 y = f (x) a) 1 0 y = g(x) b) 1 3 –2 0 2 y = h(x) c) 2 0 y = t (x) d) 1 3 –4 –1 2 2 lím t (x) = +ؕ x → 3 + lím t (x) = x → 3 – lím t (x) = 2 x → 2 lím t (x) = –ؕ x → 0 + lím h(x) = –1 x → 2 + lím h(x) = 2 x → 2 – lím h(x) = +ؕ x → –2 + G U Í A D I D Á C T I C A • 125 Calcula los siguientes límites: Calcula los siguientes límites: b) lím x x x x x lím x x x x x c) lím x x x lím x x x x d) lím x x lím x x x x x x → → → → → − → + − + · · + − + · − − − · · − + − + · − + · · 0 2 3 2 0 2 3 2 2 3 1 4 3 2 1 2 1 1 9 5 13 6 3 3 3 5 2 6 17 1 1 0 0 0 ᭺ ᭺ ᭺ 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) −− → → → → + + + − + · − − − · − ( ) + ( ) − + ( ) · · − − + ( ) · − + 1 3 3 3 2 2 1 1 1 1 1 4 3 3 2 6 3 3 2 6 3 3 2 3 3 1 4 3 5 6 0 0 ( ) ( – ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x x x e) lím x x lím x x x x lím x x x f) lím x x x x x x x 2 2 0 0 ᭺ ᭺ 22 2 2 0 4 4 2 3 2 1 1 2 0 0 − + · − − − · t − − · → → x lím x x x g) lím x x x x ᭺ ᭺ 0 0 ( ) ( ) ( ) ϱ a) lím x x x x lím x x x x x x x x → → − + − · · − + + − + · 1 3 3 2 1 1 2 3 1 1 1 3 3 4 0 ᭺ 0 2 ( ) ( ) ( ) ( ) a) lím x x x x b) lím x x x x x c) lím x x x d) lím x x e) lím x x f) lím x x x x g) lím x x h) lím x x x x x x x x x → → → → → → → → − − 1 3 3 2 0 2 3 2 3 2 2 1 4 3 3 2 2 2 0 1 2 1 2 3 2 9 5 13 6 1 1 3 2 6 5 6 4 4 1 1 2 – – – – – – – – – – – – + + + + + + –– – 1 1 2 2 2 2 2 x i) lím x x x x → − + − 9 a) lím x x b) lím x x c) lím x x d) lím x x e) lím x x x f) lím x x x x x x x x x → + → − → − → − → + → + − + · + − + · − + · + − + − · + − · − + − + ϱ ϱ ϱ ϱ ϱ ϱ ϱ ϱ ϱ [ ] [ ] [ ] – – 2 7 2 2 3 5 2 0 4 7 5 3 2 4 5 1 2 3 0 2 7 5 2 4 3 2 4 5 2 3 2 2 + xx g) lím x x h) lím x x x i) lím x x x x x x − · − + · + · + + + + · → + → − → + 3 1 7 2 1 2 3 2 4 5 6 2 2 3 2 4 2 2 ϱ ϱ ϱ ϱ – a) lím x x b) lím x x c) lím x x d) lím x x e) lím x x x f) lím x x x x g) lím x x x x x x x x → → → → → → → − + + + + + + + + + + + + ؕ ؕ ؕ ؕ ؕ ؕ ؕ [ – ] – [ – ] [– – ] – – – – – – – – 2 7 2 2 3 5 2 4 7 5 3 2 4 5 1 2 3 2 7 5 2 4 3 7 2 3 2 4 5 2 3 2 2 2 xx h) lím x x x i) lím x x x x x → → + + + + – – ؕ ؕ 3 2 4 5 6 2 2 4 2 2 + 8 –2 0 1 y = f (x) –1 2 2 3 4 5 –1 –2 –3 –4 –5 lím f x → ⇒ 2 (x) (x) lím f (x) lím f (x) x x no existe → − → + · − · + ϱ ϱ ϱ ϱ ; 126 •G U Í A D I D Á C T I C A Calcula los límites siguientes: Calcula los siguientes límites: a) lím x x e e e b) lím x x x x e x x lím x x x lím x x x x lím x x x x → + − + − ¸ ¸ _ , − + − → + − + ¸ 1 ] 1 · · · · − − − ¸ 1 ] 1 1 · · → + → + → + ϱ ϱ ϱ ϱ ϱ ϱ ϱ ϱ ϱ 5 2 5 3 2 6 2 5 3 3 5 2 5 3 1 15 5 3 3 2 2 2 2 1 2 1 ᭺ ᭺ ᭺ 2 22 6 2 5 1 5 5 4 2 10 2 2 0 x x x x lím x x x x e e x − − − − ¸ ¸ _ , − + − − − · · · · → +ϱ ϱ 3 2 2 a) lím x x b) lím x x x x c) lím x x x x x x x x → → → ¸ 1 ] 1 ¸ 1 ] 1 1 ¸ 1 ] 1 + + + + ؕ ؕ ؕ 5 2 5 3 2 6 2 5 4 3 5 3 3 2 2 2 3 2 – – – – – – – 11 ⋅ + ¸ 1 ] 1 1 · ⋅ ⋅ + ⋅ · · + · + − → → → → + 2 2 3 2 2 3 2 2 3 9 4 9 0 3 0 0 2 0 d) lím x x x lím x x x lím x x e) lím x x x x x x x 2 3 2 2 0 + ( ) ( ) – ᭺ ϱ ϱ 22 9 4 9 2 9 4 9 2 9 4 9 2 4 2 9 4 9 2 4 6 2 3 2 1 2 2 2 2 [ ] · · + − ( ) + + − ( ) + − · · + + − · · · − ¸ → + → +∞ → +∞ → +∞ ɕ ϱ ϱ ϱ ϱ ϱ – – – lím x x x x x x x x x lím x x x x lím x x f) lím x x x x x x x x 2 2 2 2 2 2 3 2 + + + + ᭺ 1 ] 1 1 · · + − + − + + + · · − + + + + + + · − → +∞ → +∞ ɕ ϱ ϱ – ( ) ( ) ( ) lím x x x x x x x lím x x x x x x x x 2 2 3 2 2 3 3 2 3 2 2 1 2 2 4 2 2 2 2 2 4 2 a) lím x x lím x x lím x x b) lím x x lím x x lím x x c) lím x x lím x x x x x x x x x → → → → → → → +∞ → +∞ − + − + + − · − + − · + ⇒ ⇒ / ∃ + − + · + + · + ⇒ ⇒ + · + − [ ] · · 1 1 1 0 2 0 2 0 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 +3 ϱ ϱ ϱ ϱ ϱ ϱ ϱ ; ; – ɕ ++ − ( ) + + ( ) + + · · + + · → +∞ 3 3 3 3 3 0 2 2 2 x x x x x lím x x x a) lím x x b) lím x x c) lím x x d) lím x x x e) lím x x x f) lím x x x x x x x x x x → → → +∞ → → → − [ ] ⋅ ¸ 1 ] 1 1 − [ ] − ¸ 1 ] 1 1 1 0 2 0 3 2 1 1 2 2 2 3 9 4 9 2 2 1 2 2 2 2 + 2 2 + 3 2 + + + 3 + + + + – – – ؕ ؕ 10 0 0 0 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 4 · − − − + − + · · − − − + · − − + · − → → → lím x x x x lím x x x lím x x x x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) h) h) lím x x lím x x x x lím x x x lím x x x x i) lím x x x lím x x x x x x → → → → → → − − · − + − + · · − + − · · − + + − · − + − · · 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 2 2 2 0 0 0 ᭺ ᭺ ᭺ 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( xx x x x lím x x x x x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 8 0 − + + ( ) − · · − + + ( ) − · → ) ( ) ᭺ 0 G U Í A D I D Á C T I C A • 127 Halla las asíntotas, si las tienen, de cada una de las siguientes funciones: a) Asíntota vertical: x = 1 Asíntota horizontal: y = 2 b) Asíntotas verticales: x = 2; x = –2 Asíntota horizontal: y = 0 c) Asíntota vertical: x = 3 Asíntota oblicua: y = x + 3 d) Asíntota horizontal: y = 0 e) Asíntotas verticales: x = 1; x = –1 Asíntota horizontal: y = 1 f) Asíntota vertical: x = 0 Asíntota oblicua: y = x PÁGINA • 205 Obtén las gráficas de las funciones siguientes y calcula los límites indicados: a) f (x) = ; f (x) ; f (x) ; f (x) ; f (x) b) g(x) = ; g(x) ; g(x) ; g(x) ; g(x) c) h(x) = ; h(x) ; h(x) ; h(x) ; h(x) Estudia la continuidad de estas funciones en los puntos que se indican: f (x) en x = 0; g(x) en x = 2; h(x) en x = 1. En las siguientes funciones, calcula f (x); g(x) y h(x). Estudia su continuidad en las respectivas tendencias de x. a) f(x) no es continua en x = 0 pues no está definida en ese punto. f(x) no existe lím x → 0 lím x → 1 lím x → 0 lím x → 0 14 • • • • • l m h x l m h x l m h x l m h x x x x x x í í í í Esta función es continua en + → ∞ →−∞ → → ( ) · −∞ ( ) · ( ) · ( ) · · − + 0 1 1 1 1 1 Y X O 1 1 –1 c) y = h(x) –1 • • • • • l m g x l m g x l m g x l m g x g x x x x x x í í í í es discontinua no evitable en + → ∞ →−∞ → → ( ) · ( ) · ( ) · −∞ ( ) · +∞ ( ) · − + 1 1 2 2 2 Y X O 1 –1 b) –2 y = g(x) 2 –4 • í • í • í • í es discontinua no evitable en + l m f x l m f x l m f x l m f x f x x x x x x →−∞ → → → ∞ ( ) · +∞ ( ) · ( ) · − ( ) · − ( ) · − + 0 0 1 2 2 0 • Y X O 1 1 –1 a) –2 y = f(x) lím x → 1 + lím x → 1 – lím x → –ϱ lím x → +ϱ 1 ——— si x ≤ 1 2 – x 2 – x si x > 1 lím x → 2 + lím x → 2 – lím x → –ϱ lím x → +ϱ x + 4 x – 2 lím x → +ϱ lím x → 0 + lím x → 0 – lím x → –ϱ x 2 + 1 si x ≤ 0 – 2 si x > 0 13 a) f (x) x x b) g(x) x x c) h(x) x x d) k(x) x x e) m(x) x x f ) r(x) x x · − − · − · − · + · − − · − 2 3 1 3 4 3 3 1 4 1 4 2 2 2 2 2 2 12 3 3 4 3 5 3 1 1 4 3 5 3 x x lím x x x lím x c) lím x x e e x x → + − − − − − ¸ ¸ _ , − + − − ¸ 1 ] 1 · · · → + → + ϱ ϱ ϱ ϱ ᭺ ( ) 33 5 3 1 3 3 − · · · x e e 128 •G U Í A D I D Á C T I C A ¹ ' ¹ ¹ ' ¹ b) g(x) es continua en toda la recta real. g(x) = 1 c) h(x) es continua en toda la recta real. h(x) = –1 Estudia la continuidad de las siguientes funciones definidas a trozos: • Veamos la continuidad de f (x) en x = 2 y x = 4. f (2) = 0 = = 0 = f (2) = = 0 = f (2) Luego f (x) es continua en x = 2. f (4) = 2 = = 5 ≠ f (4) = = 2 = f (4) f (x) no es continua en x = 4. • Veamos la continuidad de g(x) en los puntos de abscisa x = 0 y x = 3. g(0) = = –1 = = 1 ≠ g(0) = = –1 = g(0) La función g(x) no es continua por la derecha en x = 0, luego no es continua en x = 0. g(3) = = 2 = = 2 = g(3) = = 2 = g(3) La función g(x) es continua en x = 3. Conclusión: la función f (x) no es continua en x = 4 y la función g(x) no es continua en x = 0. Un estudio biológico establece que el nú- mero de animales de una determinada po- blación de una especie protegida vendrá dado, durante los próximos años, por la función: F(t) = (t son años transcurridos) Halla: a) El tamaño actual de la población. b) Si esta función fuese válida indefinidamente, ¿se estabilizaría el tamaño de la población? Si es así, ¿a qué número de individuos? a) F(0) = 5 000 animales hay en la actualidad (t = 0). b) La población tiende a estabilizarse a 7 500 animales, puesto que: La siguiente función muestra los beneficios en miles de euros de un banco en fun- ción del tiempo x desde que abrió sus puertas. f (x) = (x en años) ¿Qué pasa con los beneficios cuando el tiempo se hace infinitamente grande? Los beneficios se anulan cuando el tiempo crece indefinidamente. l m x x x í →+∞ + + · 60 810 9 0 2 60 x + 810 x 2 + 9 17 l m t t x í →+∞ + + · 15 000 10 000 2 2 7 500 15 000 t + 10 000 2t + 2 16 √x + 1 lím x → 3 – lím g(x) x → 3 – 10 x + 2 lím x → 3 + lím g(x) x → 3 + √4 5 x – 5 lím x → 0 – lím g(x) x → 0 – √x + 1 lím x → 0 + lím g(x) x → 0 + 5 –5 lím (x – 2) x → 4 – lím f (x) x → 4 – lím 5 x → 4 + lím f (x) x → 4 + lím (x 2 – 4) x → 2 – lím f (x) x → 2 – lím (x – 2) x → 2 + lím f (x) x → 2 + g(x) x x x x x x = si + si < + si > 5 5 0 1 0 3 10 2 3 – ≤≤ ≤≤ ¹ ' ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ f (x) x x x x x = si < si si > 2 4 2 2 2 4 5 4 – – ≤≤ ≤≤ ¹ ' ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ 15 –2 –1 1 1 2 Y O X O Y X x + 1 si x > 0 –x – 1 si x < 0 f (x) = –x 2 + 1 si x < 0 1 si x ≥ 0 g(x) = 1 –1 O Y X 2 –1 –1 1 3 4 6 8 x 2 – 2x si x ≤ 1 x – 2 si x > 1 h(x) = f (x) = |x| + — |x| x lím x → 1 lím x → 0 G U Í A D I D Á C T I C A • 129 PÁGINA • 207 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 1. FICHAS DE COLORES. Tenemos 16 fichas, de las cuales 4 son rojas; 4, verdes; 4, azules; y 4, amarillas. En cada uno de los colores tenemos una ficha cuadrada, una circular, una triangular y otra pentagonal. Coloca estas fichas en una cuadrícula o tablero 4 x 4, de manera que en cada fila, co- lumna o diagonal haya una ficha de cada color y de cada forma. Designamos los colores por: rojo (R), verde (V), azul (Z) y amarillo (A); y las tres formas por: cuadrada (C), circular (O), triangular (T) y pentagonal (P). Por ensayo y error las colocamos en un tablero 4 x 4, cumpliendo las condiciones que marca el enunciado. Una solución es: Podemos encontrar hasta 72 soluciones distintas. 2. AMANITAS MUSCARIAS. Juan fue con su padre a ver una exposición micológica. Les llamó la atención el colorido de la Amanita muscaria. Al día siguiente, su amigo le pre- guntó por el número total de ejemplares que habían visto de esta variedad en la ex- posición, a lo que Juan respondió: Había 8/9 de las “Amanita muscaria” más 8/9 de “Amanita muscaria”. ¿Cuántos ejemplares de amanita había en la exposición? El número total de amanitas ha de ser múltiplo de 9 menos 1, es decir, 8 amanitas. Haciendo el problema mediante ecuaciones: 3. LATAS DE ZUMO. Hay un cierto número de latas de zumo en la nevera. Invitas a dos amigos a tu casa a merendar. El primero se bebe la mitad de las latas que hay en la nevera más media lata; el segundo, la mitad de las que quedan más media lata; y tú te bebes la mitad de las que quedan más media lata. Después de esto, no queda ninguna lata de zumo. ¿Cuántas latas había inicialmente? El enunciado del problema nos muestra que el núme- ro de latas de zumo debe ser un número impar. Por ensayo y error dirigido obtenemos: Hay 7 latas de zumo. El 1. er amigo se bebe + 0,5 = 4 latas. Quedan 3 latas. El 2.º amigo se bebe + 0,5 = 2 latas. Queda 1 lata. El dueño de la casa se bebe + 0,5 = 1 lata. Luego, efectivamente, había inicialmente 7 latas de zumo. Este problema se puede resolver también por medio de ecuaciones. 3. MÚLTIPLO DE DOCE. El cuadrado de un número natural multiplicado por el número anterior a ese cuadrado, ¿es múltiplo de 12? Sea n un número natural. Veamos si n 2 · (n 2 – 1) = 12 n 2 (n 2 – 1) = n · n(n – 1) · (n + 1) , pues es producto de tres núme- ros consecutivos. Si , luego , Si , por lo que , Si En cualquier caso, efectivamente, n 2 · (n 2 – 1) = 12 · . n n n n n n + · ⇒ · ⇒ ⇒ − ⋅ + · ⋅ ⋅ · ⋅ 1 3 2 1 1 2 2 3 12 ˙ ˙ ( ) ( ) ˙ ˙ ˙ n n n n ⋅ − ⋅ ⋅ + · ⋅ ⋅ · ⋅ ( ) ( ) ˙ ˙ ˙ 1 1 2 3 2 12 n n − · ⇒ · 1 3 2 ˙ ˙ ( ) ( ) ˙ ˙ ˙ n n n − ⋅ ⋅ + · ⋅ ⋅ · ⋅ 1 1 3 2 2 12 n n n · ⇒ − · + · ˙ ˙ ˙ 3 1 2 1 2 y ( ) ( ) ˙ n n n − ⋅ + · 1 1 3 1 2 3 2 7 2 8 9 8 9 8 x x x + · ⇒ · amanitas RC VO ZT AP ZP AT RO VC AO ZC VP RT VT RP AC ZO 130 •G U Í A D I D Á C T I C A Al finalizar esta Unidad Didáctica, el alumno y la alumna deberán ser capaces de: 1. Comprender el concepto de derivada de una función en un punto así como su significado geo- métrico. 2. Saber encontrar, haciendo uso de la definición, la función derivada de una función dada. 3. Saber hallar la ecuación de la recta tangente a una curva en un punto dado. 4. Utilizar las operaciones con funciones derivadas y las reglas de derivación en el cálculo de derivadas de funciones dadas. 5. Utilizar la derivada para estudiar aspectos de una función como la monotonía y los extremos. • Insistiendo en el concepto de derivada de una función en un punto y su interpretación geométrica. • Utilizando la definición calcular funciones derivadas de las funciones dadas. • Haciendo múltiples ejercicios dirigidos con el fin de que el alumno memorice, de forma progresi- va, las derivadas de las funciones elementales. • Proponiendo al alumno gran variedad de ejercicios en los que aparezcan funciones compuestas de funciones diversas, para que éste adquiera gran soltura en la derivación e interpretación de la derivada. G U Í A D I D Á C T I C A • 131 ¿CÓMO TRABAJAR LA UNIDAD? OBJETIVOS DIDÁCTICOS 132 •G U Í A D I D Á C T I C A CONCEPTOS 1. Tasas de variación media e instan- tánea. 2. Derivada de una función en un punto. Significado geométrico y función derivada. 3. Derivadas de las operaciones con funciones. 4. Derivadas de las funciones elementales más sencillas. 5. Algunas aplicaciones de la derivada. 5.1. Estudio de la monotonía de una función. 5.2. Estudio de los extremos relativos de una función. 6. Optimización de funciones. 7. Representación gráfica de funciones polinómicas y racionales. – Valorar la utilidad del límite en el cálculo de derivadas de una función en un punto y de funciones derivadas. – Apreciar la importancia que tiene el concepto de derivada en el cálculo de rectas tangentes a una curva dada. – Tomar conciencia de que la derivada es una buena herramienta para medir el cambio o variación que sufre una función en un pun- to. • Interpretar el cambio que experimenta una función en un intervalo a través de las tasas de variación media e instantánea. • Saber determinar la recta tangente a una curva en un punto dado. • Cálculo de derivadas de funciones sencillas. • Estudiar la monotonía de funciones sencillas haciendo uso de las derivadas. • Optimizar situaciones sencillas haciendo uso de la derivada. ACTITUDES PROCEDIMIENTOS RESOLUCIÓN DE ACTIVIDADES PÁGINA • 209 ACTIVIDADES INICIALES 1. Calcula los siguientes límites: a) f (x) = 3x + 5; lím h→0 b) g(x) = 4x 2 ; lím h→0 2. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto A(2, –3) y su pendiente vale –1/5. Las rectas de pendiente son de la forma: y = – x + b La que pase por (2, –3) es: y = – x – 3. ¿En qué dos partes debe dividirse el núme- ro 12 para que su producto alcance el má- 13 5 1 5 1 5 –1 5 lím lím h h x xh h x h h x h → → · + + − ·· + ( 0 2 2 2 0 4 8 4 4 8 4 a) b) lím lím lím lím lím h h h h h f h f h h h h h g x h g x h x h x h → → → → → + ( ) − ( ) · + ( ) + − · · · + ( ) − ( ) · + ( ) − · 0 0 0 0 0 2 2 2 2 3 2 5 11 3 3 4 4 g (x + h) – g(x) h f (2 + h) – f (2) h ximo valor posible? Ayúdate de una tabla de valores y de la correspondiente repre- sentación gráfica. Los números son x y 12 – x. y = (12 – x) ⇒ f(x) = –x 2 + 12x Es una función cuadrática y el máximo lo alcanza en su vértice, es decir, para x = 6. Los números buscados son 6 y 6. 4. Calcula la tasa de variación media en los intervalos [0, 2] y [2, 4] para cada una de las siguientes funciones: a) f 1 (x) = 2x b) f 2 (x) = 2x + 2 c) f 3 (x) = x 2 d) f 4 (x) = 2 x PÁGINA • 215 ACTIVIDADES PARA RESOLVER 1. Dadas las siguientes funciones con sus respectivas derivadas, calcula las derivadas que se indican: • f (x) = x 3 – 3; f' (x) = 3x 2 • g(x) = sen x; g' (x) = cos x a) D[f(x) + g(x)] b) D[–2 · g(x)] c) D[f(x) · g(x)] d) D [ ] e) D[sen (x 3 – 3)] PÁGINA • 227 ACTIVIDADES DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE Completa en tu cuaderno la tabla que sigue con la determinación de las tasas de varia- ción media correspondientes. [ ] ( )=3 ( )=3 –2 ( )=3 +2 [–2,0] [–1,1] [0,2] [1,2] [ , +1] [ ] ( )= ( )= ( )=3 [–2,0] [–1,1] [0,2] [1,2] [ , 1 2 3 4 2 5 3 6 t f x x f x x f x x a a t f x x f x x f x a vm vm x 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 4 0 1 2 4 4 3 7 6 4 9 5 3 − aa+1] 2 1 3 3 1 2 3 2 a a a a + + + ⋅ 1 a) b) c) D f x g x D f x D g x x x D g x D g x x D f x g x D f x g x f x D g x x x x ( ) + ( ) [ ] · ( ) [ ] + ( ) [ ] · + − ⋅ ( ) [ ] · − ⋅ ( ) [ ] · − ⋅ ( ) ⋅ ( ) [ ] · ( ) [ ] ⋅ ( ) + ( ) ⋅ ( ) [ ] · · ⋅ + − 3 2 2 2 3 3 2 2 3 cos cos sen (( ) ⋅ ( ) ( ) ¸ 1 ] 1 1 · ( ) [ ] ⋅ ( ) − ( ) ⋅ ( ) [ ] ( ) [ ] · · ⋅ − − ( ) ⋅ ( ) − ( ) [ ] · ( ) [ ] · · ( ) ( ) [ ] ⋅ cos sen cos sen sen o x D f x g x D f x g x f x D g x g x x x x x x D x D g f x D g f x D f e) f) 2 2 3 2 3 3 3 3 xx x x ( ) [ ] · − ( ) ⋅ cos 3 2 3 3 f(x) g(x) a) b) c) t f f t f f t f f t f f t f f vm vm vm vm vm 0 2 2 0 2 0 2 2 4 4 2 4 2 2 0 2 2 0 2 0 3 2 4 4 2 4 2 2 0 2 2 0 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 , , , , , [ ] · ( ) − ( ) − · [ ] · ( ) − ( ) − · [ ] · ( ) − ( ) − · [ ] · ( ) − ( ) − · [ ] · ( ) − ( )) − · [ ] · ( ) − ( ) − · [ ] · ( ) − ( ) − · [ ] · ( ) − ( ) − · 2 0 2 2 4 4 2 4 2 6 0 2 2 0 2 0 3 2 2 4 4 2 4 2 6 3 3 4 4 4 4 t f f t f f t f f vm vm vm , , , d) G U Í A D I D Á C T I C A • 133 Un depósito de agua tiene forma cilíndrica con unas medidas de 1 m de radio y 3 m de altura. a) Realiza la gráfica de la función que proporciona el volumen de agua en función de la altura del líquido. b) Calcula la tasa de aumento medio del volumen en litros por centímetro de altura de agua cuando el nivel sube de 0,5 a 1 m; de 1,5 a 2 m y de 2 a 2,5 m. c) ¿Cuánto vale la tasa de aumento medio entre dos niveles de agua? a) Llamando x a la altura del líquido obtenemos: V = π · x con 0 ≤ x ≤ 3 Un país desea enviar un satélite artificial al espacio. El cohete que lo transportará lle- vará una ecuación de movimiento e = 3t 2 + + 8t, siendo e el espacio recorrido en km, desde la superficie terrestre y t el tiempo en minutos, desde que la lanzadera espacial pone en movimiento al cohete. Calcula la velocidad media del cohete en los intervalos [0, 3]; [2, 5]; [1, 8]; [8, 12]. Al alejarse de la Tierra el cohete, ¿cómo varía su velocidad?, ¿aumenta o disminuye? Al alejarse de la Tierra aumenta la velocidad del cohete. La función C = 10 · 0,92 t nos da la cantidad del fármaco Valium presente en la sangre, en mg, en función del tiempo, en horas, desde que este fármaco llega a la sangre. a) ¿Cuál es la dosis inicial administrada? b) ¿Cuál es la variación media de la cantidad del fármaco en sangre entre la primera y segunda hora? ¿Cuál es el significado del resultado obtenido? c) ¿Cuál es la variación instantánea al cabo de hora y media? ¿Y cuál es su significado? a) La dosis inicial es 10 mg. b) t C C vm 1 2 2 1 1 10 0 92 10 0 92 0 736 2 , , , , [ ] · ( ) − ( ) · ⋅ − ⋅ · · − 4 V t e e V t e e V t e e m vm m vm m vm [ , ] [ , ] ( ) ( ) [ , ] [ , ] ( ) ( ) [ , ] [ , ] ( ) ( ) 0 3 0 3 3 0 3 0 3 3 8 3 3 17 2 5 2 5 5 2 5 2 115 28 3 29 1 8 1 8 8 1 8 1 256 11 7 35 2 · · − − · ⋅ + ⋅ · · · · − − · − · · · · − − · − · · km/m km/m km/m VV t e e m vm [ , ] [ , ] ( ) ( ) 8 12 8 12 12 8 12 8 528 256 4 68 · · − − · − · · km/m 3 c) t a b b a b a vm [ ; ] · − − · π π π b) t t t vm vm vm [ , ; ] , , [ , ; ] , , [ ; , ] , , 0 5 1 0 5 0 5 1 5 2 2 1 5 0 5 2 2 5 2 5 2 0 5 · − · · − · · − · π π π π π π π π π 0 altura (m) 1 2 3 π 2π 3π volumen (m 3 ) 2 134 •G U Í A D I D Á C T I C A Significa que va disminuyendo la cantidad de fármaco a medida que pasa el tiempo. Significa que es negativa la velocidad de aumento del fármaco al cabo de hora y media. Calcula, usando la definición de derivada de una función en un punto, las derivadas siguientes en los puntos que se indican: a) f (x) = 6; D[f (3)] b) g (x) = 7 – x; D[g (0)] c) h(x) = 3x 2 + 2; D[h(–1)] d) l (x) = ; D[l (3)] Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a las gráficas de las funciones de la actividad anterior en los puntos indicados en la misma. Obtén las funciones derivadas de las funciones de la actividad número 5. PÁGINA • 228 Calcula en cada una de las siguientes funciones las derivadas que se indican: 1 1 2 y = 2x – 1 y = f (x) y = 1 3 4 5 6 2 3 Y O X D[f(2)] y D[f(6)] –1 1 1 y = –x y = g (x) 2 Y O X –2 2 D[g(2)] –1 1 1 2 y = f (x) 3 2 Y O X –2 –3 D[f(0)] y D[f(2)] 8 a) c) c) d) f x g x h x x l x x ' ' ' ' ( ) · ( ) · − ( ) · ( ) · + 0 1 6 1 2 1 7 d) La recta tangente a l xx x P y x x y ( ) · + ( ) − · − ( ) ⇒ − + · 1 3 2 2 1 4 3 4 5 0 en es : , a) b) c) La recta tangente a en el punto es : La recta tangente a en el punto es : La recta tangente a +2 en es : f x P y x y g x x P y x y x h x x P y x y x ( ) · ( ) − · − ( ) ⇒ · ( ) · − ( ) − · − − ( ) ⇒ · − + ( ) · − ( ) − · − + ( ) ⇒ · − − 6 3 6 6 0 3 6 7 0 7 7 1 0 7 3 1 5 5 6 1 6 1 2 , , , 6 a) b) c) D f l m f h f h l m h D g l m g h g h l m h h D h l m h h h h l h h h h h 3 3 3 6 6 0 0 0 0 7 7 1 1 1 1 0 0 0 0 0 ( ) [ ] · + ( ) − ( ) · − · ( ) [ ] · + ( ) − ( ) · − − · − − ( ) [ ] · − + ( ) − − ( ) · · → → → → → í í í í í ímm h h l m h h h D l l m l h l h l m h h l m h h h h h h h h → → → → → − + ( ) + − · − · − ( ) [ ] · + ( ) − ( ) · + − · · + ( ) − + + ( ) · 0 2 0 2 0 0 0 2 2 3 1 2 5 3 6 6 3 3 3 4 2 4 2 4 2 1 4 0 í í í í 0 d) ᭺ √x + 1 5 c) t l m C h C h D C v h i 1 5 1 5 1 5 1 5 10 0 92 0 92 0 736 0 1 5 , í ln ( ) · + ( ) − ( ) · ( ) [ ] · ⋅ ⋅ · − → , , , , , , , G U Í A D I D Á C T I C A • 135 Calcula las derivadas de las siguientes funciones potenciales: a) D[x 6 ] b) D [ ] c) D [ ] d) D[x 3 · (x 2 – 3) 4 ] e) D[(x 2 + x) 4 ] f ) D [ 3 √ ÷ x 2 + 1 ] g) D [ ] h) D [ ] i ) D [ ] Calcula las derivadas de las siguientes funciones exponenciales: a) D [ 4 ] b) D[3 · 2 x ] c) D[e 2x 2 – e x – 2] d) D[2 x 2 · 3 x 2 ] e) D [ ] f ) D[(e 2x + 1) 3 ] Calcula las derivadas de las siguientes funciones logarítmicas: a) D[ln(x 2 + 7)] b) D[ln(e x + 2)] c) D[ln(3 – 4x 3 ) 5 ] d) D[ln[(2x 2 – 1) · (x 2 – 2)] e) D[log 2 (x 2 + 1)] f) D [ ln ( )] a) D x x x b) D e e e c) D x D x x x x x D x x D x x x x [ ] [ ] [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ln ln ln ln 2 3 5 3 3 3 2 2 2 7 2 7 2 2 3 4 5 3 4 5 12 3 4 60 3 4 2 1 2 2 1 + · + + · + − · ⋅ − · · ⋅ − − · − − − ( ) − ( ) [ ] · · − ( ) + 2 2 2 ln ln d) ln ln log ln 2 2 x x x x x x x x x D x x x 2 2 2 3 4 2 2 2 2 4 2 1 2 2 8 10 2 5 2 1 2 1 − ( ) [ ] · − + + − · − − + + ( ) [ ] · + ( ) ⋅ e) 1 – x 1 + x 11 a) D x b) D c) D e e e x e d) D D x e) D e e f) D x x x x x x x x x x x x x x 4 4 4 3 3 2 3 2 2 2 4 2 3 6 6 2 6 4 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 [ ] · ⋅ ⋅ − ¸ ¸ _ , ⋅ · ⋅ ⋅ − − · ⋅ − ⋅ · · ⋅ ⋅ ¸ 1 ] 1 1 · − − − ln ln ln [ ] [ ] [ ] [ ] [[ ] ( ) ( ) e e e x x x 2 3 2 2 1 6 1 + · ⋅ + 2 e –2x 4 3 x 10 a) b) c) d) D x x D x D x x D x D x x D x x x x x x x x 6 5 5 5 6 3 1 3 4 3 3 2 4 2 2 4 4 2 3 2 3 6 3 3 15 1 1 3 3 3 3 8 3 3 11 [ ] · ¸ 1 ] 1 · ⋅ [ ] · − ¸ 1 ] 1 · ¸ 1 ] 1 1 · − − ( ) ¸ 1 ] 1 · − ( ) + + − ( ) · − ( ) − − 44 2 2 4 2 3 2 3 2 3 2 3 2 5 2 5 4 5 2 6 2 9 4 2 8 1 2 3 1 1 3 25 10 3 1 4 − ( ) + ( ) ¸ 1 ] 1 · + ( ) ⋅ · · + ( ) + [ ] · + ( ) − + ( ) ¸ 1 ] 1 1 1 · − + − + ( ) − ¸ x D x x x x x x x x D x x x D x x x x x x D x e) f) g) h) 1 ] 1 1 · + ¸ 1 ] 1 · − + ( ) x D x x x 2 3 4 5 12 4 5 2 2 3 i) 3 √ ÷ 4x 2 + 5 x 2 –1 4 1 (x 5 – x 2 + 3) 5 1 3 √ ÷ x 3 x 5 9 a) b) c) D f D f D g D f D f 0 3 2 2 3 2 2 1 2 2 6 0 ( ) [ ] · ( ) [ ] · ( ) [ ] · − ( ) [ ] · ( ) [ ] · 136 •G U Í A D I D Á C T I C A Halla la ecuación de la recta tangente a la parábola y = 2x 2 – 12x + 10 en los puntos en que ésta corta al eje de abscisas. La parábola corta al eje de abscisas en: P (5, 0) y Q (1, 0). Además y’ = 4x – 12. Por tanto: Recta tangente en P ⇒ y – 0 = 8 (x – 5) ⇒ ⇒ y = 8x – 40 Recta tangente en Q ⇒ y – 0 = –8 (x – 1) ⇒ ⇒ y = –8x + 8 PÁGINA • 229 Calcula las derivadas de las siguientes funciones trigonométricas: a) D[sen 4x] b) D[4 sen x] c) D [ sen ( )] d) D [ sen ( )] e) D[sen x 4 ] f) D[sen 4 x] g) D[sen 2x – 2 cos x] h) D[sen x –4 ] i) D[ ] j) D[3 · cos (x + 1)] k) D[cos 2 (x 2 + 1)] l) D[cos 2 x + cos x 2 ] m) D[tg (x 2 + 2)] n) D[tg ] ñ) D[x · tg x] o) D[sen (cos x)] p) D[tg (3 x )] q) D[tg 3 x 3 ] La gráfica adjunta corresponde a la función derivada de una determinada función f (x). Indica cuál de las gráficas, A, B, o C corresponde a la función f (x), justificando la respuesta. f’(x) = x La función f(x) se corresponde con c) f(x) = x 2 – 3 1 3 2 3 O –3 3 X Y –3 c) O 2 X Y b) O 3 3 X Y –3 a) O 2 3 X Y f' (x) 14 - 2 sen cos sen cos 4 sen cos + sen cos + sen cos D x x x D x x x D x x D x x x x [ ] · − ⋅ ( ) [ ] · ( ) ⋅ ( ) [ ] · − − + ( ) ( ) [ ] · − + ( ) ⋅ − h) i) j) k) 4 3 1 3 4 1 1 4 1 4 4 5 4 3 4 2 2 2 ++ ( ) [ ] · − − ⋅ ( ) [ ] · ( ) [ ] · ⋅ [ ] · + + ( ) ( ) [ ] · − ⋅ ( ) ( ) [ ] · 1 2 2 2 2 2 1 2 1 3 2 2 2 2 2 2 2 2 l) m) n) ñ) o) p) D x x x x x x D x x x D x x x D x x x x x D x x x D x cos +cos cos sen sen tg + cos + tg cos tg tg tg sen cos sen tg cos cos 33 3 1 3 9 1 2 3 2 2 3 2 3 x x D x x x x ⋅ ⋅ + ( ) [ ] [ ] · ⋅ + ( ) ln tg tg tg tg 3 q) a) D x x b) D x x c) D x x d) D x x x e) D x x x f) D x D x sen cos 4 sen cos sen cos sen cos sen cos sen sen sen 2 4 4 4 4 4 4 1 4 4 4 4 4 4 4 4 3 4 4 [ ] · ⋅ [ ] · ⋅ ¸ ¸ _ , ¸ 1 ] 1 · ¸ ¸ _ , ¸ 1 ] 1 · − ⋅ ¸ ¸ _ , · ⋅ · · ⋅ [ ] [ ] [ ] ( ) 33 cos sen cos cos 2 sen x x D x x x x ⋅ − [ ] · + ⋅ g) 2 2 2 2 √x √sen x 4 x x 4 13 12 ln ln ln D x x D x x x x 1 1 1 1 1 1 1 1 − + ¸ ¸ _ , ¸ 1 ] 1 · − ( ) − + ( ) [ ] · · − − − + · f) −− − 2 1 2 x G U Í A D I D Á C T I C A • 137 Dada la función f (x) = ax + b, calcula a y b, de modo que f (1) = 1 y f' (1) = 2. Imponiendo las condiciones del enunciado obtenemos: Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las siguientes funciones: a) f (x) = 7 – 3x b) g(x) = 2x 2 c) h(x) = d) l (x) = 8x – x 2 – 4 e) t (x) = x 3 – 6x 2 + 9x – 5 f ) s(x) = a) f' (x) = – 3 ⇒ f(x) es decreciente en todo ޒ b) g' (x) = 4x ⇒ g(x) es creciente en (0, + ∞) y decreciente en (–∞,0) c) h' (x) = – ⇒ h(x) es decreciente en ޒ – {0} d) l' (x) = 8 – 2x ⇒ l(x) es creciente en (–∞, 4) y decreciente en (4, + ∞) e) t' (x) = 3x 2 – 12x + 9 ⇒ t(x) es decreciente en (1, 3) y creciente en (–∞, 1) ʜ (3, +∞) f) s' (x) = ⇒ s(x) es creciente en (–∞, 0) y decreciente en (0, +∞) Encuentra los máximos y mínimos de las siguientes funciones: a) f (x) = x 2 + 2x b) g(x) = 6x 2 – x 3 c) h(x) = x 4 – 8x 2 a) f'(x) = 2x + 2 = 0 ⇒ x = –1 f''(x) = 2 > 0 ⇒ f(x) tiene mínimo en (–1, –1) g(x) tiene mínimo en (0, 0) y máximo en (4,32) Halla dos números cuya suma sea 50 y tales que el doble del cuadrado del primero más el triple del cuadrado del segundo sea mínimo. Los números son x y (50 – x). P (x) = 2· x 2 + 3 (50 – x) 2 = 5x 2 – 300x + 7 500 P' (x) = 10x – 300 = 0 ⇒ x = 30 P'' (x) = 10; P'' (30) > 0 Mínimo Los números pedidos son: 30 y 20. Entre los rectángulos de 4 m de períme- tro, determina el de área máxima. ¿Cuál será el de diagonal mínima? Los rectángulo de 4 cm de perímetro tendrán por dimensiones x y (2 – x) El rectángulo de área máxima tiene de dimensiones 1 m y 1 m, es decir, un cuadrado de 1 m de lado. El rectángulo de diagonal mínima tienes de dimensiones 1 m y 1 m, es decir, un cuadrado de 1 m de lado. Entre todos los triángulos rectángulos de igual hipotenusa, 10 m, ¿cuál es el de área máxima? Llamamos x, y a los catetos del triángulo rectángulo. Se verifica: x 2 + y 2 = 100 ⇒ y = √100 – x 2 20 • ' ' ' ; ' ' La diagonal será : Mínimo D x x x x x D x x x x x D x x x x x D ( ) · + − ( ) · − + ( ) · − ( ) − + · ⇒ · ( ) · − + ( ) ⋅ − + ( ) > 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 1 2 2 0 1 2 2 2 2 2 1 0 • ' ' ' ; ' ' El área será : Mínimo A x x x x x A x x x A x A ( ) · − ( ) · − + ( ) · − + · ⇒ · ( ) · − ( ) < 2 2 2 2 0 30 2 1 0 2 19 18 h" h" h" h x h x h x ( ) < ⇒ ( ) ( ) ( ) > ⇒ ( ) − ( ) − ( ) > ⇒ ( ) − − ( ) ¹ ' ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ 0 0 0 2 2 0 2 14 2 0 2 14 , , , tiene máximo en tiene mínimo en tiene mínimo en c) h' h" x x x x x x x x ( ) · − · ⇒ · · · − ( ) · − 4 16 0 0 2 2 12 16 3 2 ; ; b) g' g" g" g" x x x x x x x ( ) · − · ⇒ · · ( ) · − ( ) > ( ) < ¹ ' ¹ ¹ ¹ 12 3 0 0 4 12 6 0 0 4 0 2 ; 17 –2x (x 2 + 1) 2 1 x 2 1 x 2 + 1 1 x 16 f a b f a a b 1 1 1 1 2 2 2 1 ( ) · ⇒ + · ( ) · ⇒ · ¹ ; ¹ ¹ ¹ ⇒ · · − ' 15 138 •G U Í A D I D Á C T I C A A'' (5 ) > 0 ⇒ área máxima. El triángulo rectán- gulo de área máxima es un triángulo rectángulo isós- cles de catetos 5 unidades. ¿En qué punto de la curva f (x) = x 2 – 1 la recta tangente tiene de pendiente 1? f' (x) = 1 ⇒ x = 1 el punto es P ( 1, – ) PÁGINA • 230 Dada la función f (x) = x 4 – 18x 2 + 2. Ha- lla: a) La ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa 1. b) Los intervalos en los que la función es creciente y en los que es decreciente. c) Los extremos relativos de esta función. a) P(1, –15) f' (x) = 4x 3 – 36x ⇒ f' (1) = m = –32 La recta tangente tiene de ecuación: y = –32x + 17 b) f' (x) = 4x 3 – 36x = 0 ⇒ x = 0; x = 3; x = –3 f (x) es creciente en (–3, 0) ʜ (3, +∞) y decreciente en (–∞, –3) ʜ (0, 3) El consumo, en litros, de un vehículo en función de la velocidad, en km/h, por cada 100 kilómetros recorridos viene dado por: C = 0,1 · v 2 – 12 · v + 368 ¿Para qué valores de la velocidad aumenta el consumo? ¿Para qué valores disminuye? ¿Para qué valor de la velocidad el consumo es mínimo y cuál es este? El consumo aumenta para los valores de v que hacen C' (x) > 0, es decir, para v ʦ (60, +∞) y disminuye para los valores de v que hacen C' (v) < 0, es decir, v ʦ (0, 60). El consumo es mínimo para v = 60 km/h y este consumo es de 8 litros. Una finca rectangular se divide en tres rectángulos iguales con el fin de plantar diferentes variedades de árboles. Para vallar todas las partes se utilizan 4 000 metros de alambre. ¿Qué dimensiones ten- drá la finca para que el área encerrada por la valla sea máxima? Llamamos x e y a las dimensiones del rectángulo. Se debe cumplir: 4x + 2y = 4 000 ⇒ y = 2 000 – 2x Área = x · y = x · (2 000 – 2x) = 2 000x – 2x 2 A' = 2 000 – 4x = 0 ⇒ x = 500 A'' = –4 < 0 Máxima El área es máxima para x = 500 m y = 1 000 m. La producción de fresas en un invernadero depende de la temperatura T, en °C, del mismo según muestra la función: P = 60 + 120 · T + 27 · T 2 – T 3 (con P en kg) ¿A qué temperatura se conseguirá el má- ximo número de kg de fresas en el invernadero? Se conseguirá el máximo número de kg de fresas para la temperatura que haga máxima la función dada: P' = 120 + 54T – 3T 2 = 0 ⇒ T = 20°; T = –2° P'' = +54 – 6 T; P'' (20) < 0 La temperatura será de 20 °C. 25 x y 24 23 c) f x f x x f f f f f f ' " " " " , ( ) · ( ) · − ( ) < ( ) ( ) ( ) > ( ) − ( ) − ( ) > ( ) − − ( ) ¹ ' ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ 0 12 36 0 0 0 2 3 0 3 3 0 3 79 2 x tiene un máximo en , x tiene un mínimo en , 79 x tiene un mínimo en 22 1 2 1 2 21 √2 √2 Área A' A" · ⋅ ⋅ − ( ) · − − · − − · ⇒ ⇒ · t ( ) · − − ( ) − 1 2 100 100 2 2 100 50 100 0 5 2 2 300 2 100 100 2 2 2 2 2 3 2 2 x x x x x x x x x x x x x G U Í A D I D Á C T I C A • 139 Una empresa ha estimado que los gastos anuales (en euros) que genera la fabrica- ción y venta de x unidades de un producto vienen dados por las funciones: Ingresos: I (x) = 2x 2 – 500x – 350 000 Gastos: G(x) = 3x 2 – 2 000x + 120 000 a) Determina la función que da el beneficio anual de la empresa? b) ¿Qué número de unidades hay que vender para que el beneficio sea máximo? c) ¿A cuánto asciende este beneficio má- ximo? a) Beneficio = Ingresos – Gastos B (x) = I (x) – G (x) = –x 2 + 1 500x – 470 000 b) Esta función es una función cuadrática que alcanza un valor máximo en su vértice: B' (x) = –2x + 1 500 = ⇒ x = 750 B'' (x) = –2 < 0 El beneficio es máximo al vender 750 unidades c) Este beneficio máximo asciende a: B (750) = 92 500 euros ¿Qué número verifica que la diferencia entre él y su cuadrado sea máxima? Llamamos x al máximo: D (x) = x – x 2 D' (x) = –2x + 1 = 0 x = D'' (x) = –2 < 0 ⇒ La diferencia es máxima para x = . Luego el número es 0,5. Encuentra los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos, si es que los tiene, de la función: f (x) = 2x 2 + 4 ln x f(x) = 2x 2 + 4 ln x f' (x) = 4x + = Esta función es creciente en (0, +∞) y decreciente en (–∞, 0) pero aquí no esta definida, por tanto f(x) solo es creciende en (0, +∞). Carece de extremos relativos. Para qué valores reales de p y q la fun- ción: f (x) = x 3 + px 2 + qx + 1 tiene un mínimo en el punto (1,1)? Si la función f(x) tiene un mínimo en el punto (1, 1) verifica: Para p = –2 y q = 1 la función f(x) = x 3 – 2x 2 + x + 1 tiene un mínimo en el punto (1, 1). PÁGINA • 231 Representa gráficamente las siguientes funciones: a) y = 3x 2 – 2x 3 b) y = x 4 – 8x 2 + 16y c) 4x 2 – 2x 4 d) y = e) y = f ) y = g) y = h) y = i ) y = a) y = 3x 2 – 2x 3 Máximo (1, 1) Mínimo (0, 0) Cortes (0, 0) (1,5 ; 0) b) y = x 4 – 8x 2 + 16 Máximo (0, 16) Mínimos (–2, 0) (2, 0) Cortes (–2, 0) (2, 0) (0, 16) Simétrica respecto OY Y X O –2 2 16 Y X O –1 1 1,5 x 2 x – 2 x x 2 – 4 x – 2 x + 2 4 x 2 + 1 –2x x + 4 3 x – 2 30 a) b) f p q f p q p q 1 1 1 1 1 1 0 0 3 2 2 1 ( ) · ⇒ · + + + ( ) · ⇒ · + + ¹ ; ¹ ⇒ · − · ' 29 4x 2 + 4 x 4 x 28 1 2 1 2 27 26 140 •G U Í A D I D Á C T I C A c) y = 4x 2 – 2x 4 Máximos (–1, 2) (1, 2) Mínimo (0, 0) Cortes (–1,4 ; 0) (1,4 ; 0) (0, 0) Simétrica respecto OY d) y = Corte (0; –1,5) Asíntotas: e) y = Asíntotas: Cortes (0, 0) f) y = Cortes (0, 4) Máximo (0, 4) Asíntonta y = 0 Simétrica respecto OY g) y = Cortes (0, –1) (2, 0) Asíntontas x = –2; y = 1 h) y = Cortes (0, 0) Asíntontas x = 2; x = –2; y = 0 Simétrica respecto al origen. x x 2 – 4 Y X O –2 2 x – 2 x + 2 Y X O 1 –2 –1 2 4 x 2 + 1 Y X O 4 x y · − · − ¹ ' ¹ 4 2 –2x x + 4 Y X O –2 –4 x y · · ¹ ' ¹ 2 0 3 x – 2 Y X O –2 2 Y X O –2 1 2 G U Í A D I D Á C T I C A • 141 i) y = Cortes (0, 0) Asíntontas x = 2; y = x + 2 Máximo (0, 0) y Mínimo (4, 8). Una compañía de autobuses observa que sus ingresos dependen del precio p a que cobren el billete, en euros, según la función: I (p) = 18p – 3p 2 ¿Para qué valores de p aumentan los ingresos? ¿Para qué valor de p los ingresos alcanzan el mayor valor posible? ¿Cuál es este valor máximo • Los ingresos aumentan para los valores de p que hacen l' (p) > 0 es decir: l' (p) = 18 – 6 p l' (p) > 0 ∀p ʦ (0, 3) • Los ingresos alcanzan el valor máximo para p = 3 euros y este ingreso máximo asciende a l (3) = 27 euros. Se ha comprobado que la evolución desde el año 1980 (t = 0) del número de ejemplares de lince ibérico sigue la ley: N = (con N miles de ejemplares y t tiempo en años). Representa gráficamente esta función y haz un estudio de la evolución de esta especie animal. En la gráfica esta representada la función: N = En el contexto del problema sólo tiene sentido la parte de gráfica correspondiente al primer cuadrante. En el año 1980 (t = 0) había 2 000 ejemplares de lince ibérico, estos van disminuyendo con los años tendiendo hacia 1 000 ejemplares. Un instituto concierta un viaje con una agencia de forma que hasta 40 alumnos cobra a cada uno 50 euros. La agencia ofrece una oferta especial diciendo que por cada alumno más que se apunte des- contará 1 euro en el precio del viaje. ¿Qué número de alumnos hacen máximos los ingresos de la agencia? ¿Cuál es el valor de dichos ingresos máximos? Los ingresos de la agencia vendrán dados por la fun- ción I (x) = (40 + x) (50 – x) siendo x el número de alumnos de más que van de viaje. Veamos para qué valor de x estos impresos son máximos. I (x) = –x 2 + 10x + 2 000 I' (x) = –2x + 10 = 0 ⇒ x = 5 alumnos I'' (x) = –2 < 0 Máximo Los ingresos son máximos para 5 alumnos de más, y estos ingresos ascienden a I (5) = 2 050 euros. Calcula las derivadas de las siguientes funciones: a) y = (x 2 – 1) · √x + 2 34 33 N t O 1 –1 2 –2 t + 2 t + 1 t + 2 t + 1 32 31 x 2 x – 2 Y X O –2 2 142 •G U Í A D I D Á C T I C A b) y = e 3x · x 2 c) y = d) y = e) y = 3 · sen (x – 2) f ) y = sen 2 7x – cos 4x g) y = ln ( ) h) y = ln (4x 2 – 5) 3 i ) y = (e –x – x) 2 En el mes de enero hubo una epidemia de gripe que afectó a los habitantes de una ciudad. El número de enfermos, N, es función del número, t, de días que trans- currieron desde que comenzó la epidemia viene dado por: N = 56t – 2t 2 + 120 ¿En qué momento aumenta el número de enfermos? ¿Cuándo alcanza el número máximo de enfermos? ¿Cuál fue el núme- ro máximo de enfermos? • El número de enfermos aumenta cuando N' (t) > 0 N' (t) = 56 – 4t N' (t) > 0 para t ʦ (0, 14) • El número máximo de enfermos lo alcanza para t = 14 días puesto que: N' (14) = 0 y N'' (14) < 0 • El número máximo de enfermos fue de: N (14) = 512 enfermos PÁGINA • 233 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 1. FONOTECA. La empleada de la fonoteca no ha parado de trabajar en toda la semana. El lunes recibió varios discos y marcó algunos de ellos. El martes recibió tantos discos nuevos como no había marcado el lunes y marcó 12. El miércoles recibió 14 más que el lunes y marcó doble número que el lunes. El jueves recibió el doble de los discos que había marcado el miércoles y marcó 10. El viernes recibió 4 discos y marcó 14 menos de los que había recibido el miércoles. El sábado marcó los 20 discos que le quedaban. ¿Cuántos discos re- cibió el lunes? Vamos a organizar los datos en una tabla: Los discos que recibe menos los que marca son los 20 discos que le quedaron para el sábado: X + X – M + X + 14 + 4M + 4 – – (M + 12 + 2M + 10 + X) = 20 ⇒ ⇒ 3X + 3M + 18 – 3M – X – 22 = 20 2X = 24 ⇒ discos recibió el lunes. 2. CAMIÓN Y TRACTOR. Un camión tarda en pasar a un tractor, una vez que lo alcanza, el doble de lo que tardan ambos en cruzar- se cuando circulan en direcciones opuestas. ¿Qué relación existe entre las velocidades de ambos? X = 12 Recibe Marca Lunes X M Martes X – M 12 Miércoles X +14 2M Jueves 4M 10 Viernes 4 X +14 – 14 Sábado 20 35 a) b) c) d) e) f) g) h) i) y x x x y e x x y x x y x x y x y x x x y x x y x x y e x x ' ' ' ln ' ' ' cos ' ' ' · + − + · + ( ) · − · − ( ) · ⋅ − ( ) · ⋅ + · − · − · ⋅ − − 5 8 1 2 2 3 2 1 3 2 1 3 2 14 7 7 4 4 10 5 2 24 4 5 2 2 3 2 2 2 2 2 2 cos sen sen xx e x ( ) ⋅ − − ( ) − 1 2 – 5x 2 4 –3x 2 4x 2 – 2 ln x x G U Í A D I D Á C T I C A • 143 Sea v la velocidad del camión y w la velocidad del tractor. v + w = 2 (v – w) ⇒ es decir, la velocidad del camión es el triple de la velocidad del tractor. 3. RELOJES DE ARENA. Disponemos de dos relojes de arena: el uno mide cuatro minutos y el otro nueve minutos. Se trata de conseguir medir intervalos de uno, dos, tres, cuatro, cinco, seis, siete, ocho, nueve y diez minutos. Describe, razonadamente, los procedimientos a utilizar. Llamamos R 4 al reloj que mide 4 minutos y R 9 al que mide 9 minutos. — Para medir 1 minuto: ponemos ambos relojes. Cuando pasan 4 minutos, damos vuelta a R 4 y al pasar otros 4 minutos, lo que queda en R 9 es 1 minuto. — Para medir 2 minutos: conseguimos 1 minuto por el procedimiento anterior. A la vez que logra- mos 1 minuto, el reloj de 4 minutos lo ponemos y quedan en él 3 minutos. En ese momento ponemos a funcionar R 9 y al terminar, queden en éste 6 minutos; ponemos a funcionar R 4 y al terminar éste último, queden en el anterior 2 minutos. — Para medir 3 minutos: está explicado en el procedimiento anterior. — Para medir 4 minutos: con el reloj R 4 . — Para medir 5 minutos: ponemos R 4 y R 9 ; al terminar R 4 , queden en R 9 5 minutos. — Para medir 6 minutos: esta situación está expli- cada en el procedimiento de medir 2 minutos. — Para medir 7 minutos: conseguimos 2 minutos por el procedimiento dado anteriormente. Los 2 minutos los tenemos en R 9 . Ponemos a funcionar R 4 y al pasar los 2 minutos de R 9 , queden en R 4 2 minutos. Ponemos a funcionar R 9 y al pasar los 2 minutos de R 4 , queden en R 9 7 minutos. — Para medir 8 minutos: ponemos dos veces R 4 . — Para medir 9 minutos: ponemos a funcionar R 9 . — Para medir 10 minutos: conseguimos que queden 6 minutos en R 9 por los procedimientos ya vis- tos anteriormente y cuando pasan esos 6 minutos, ponemos a funcionar R 4 , con lo que obtenemos 10 minutos. 4. TRIÁNGULOS. La figura adjunta muestra la estrella pitagórica ins- crita en un pentágono regular. ¿Cuántos trián- gulos pueden verse en esta figura? En esta figura podemos encontrar los siguientes tipos de triángulos: En cada figura podemos encontrar 5 triángulos iguales al rayado en la misma; por tanto, en total hay 5 × 6 = 30 triángulos. v = 3w 144 •G U Í A D I D Á C T I C A 1. Interpretar situaciones presentadas mediante relaciones funcionales expresadas en forma de tablas numéricas, gráficas o expresiones algebraicas. Este criterio supone: • Utilizar gráficas de funciones dadas para el estudio de sus características: dominio, recorrido, extremos, acotación, simetrías, periodicidad y continuidad. • Construir gráficas de funciones que se ajustan a unas características dadas. 2. Reconocer las familias de funciones más frecuentes en los fenómenos económicos y sociales, relacionando sus gráficas con situaciones que se ajusten a ellas e interpretar, cuantitativa y cualitativamente, las situaciones presentadas mediante relaciones funcionales expresadas en forma de tablas numéricas, gráficas o expresiones algebraicas. Este criterio supone: • Reconocer las familias de funciones elementales en contextos reales. • Representar funciones asociadas a situaciones económicas y sociales. 3. Utilizar tablas y gráficas como instrumento para el estudio de situaciones empí- ricas relacionadas con fenómenos sociales y analizar funciones que no se ajusten a ninguna fórmula algebraica, encontrando métodos numéricos para la obtención de valores no conocidos. Este criterio supone: • Obtener el polinomio interpolador que se ajuste a una tabla de valores. • Interpolar y extrapolar valores que no están en una tabla obtenida experimentalmente. 4. Interpretar situaciones presentadas en forma gráfica o a través de expresiones po- linómicas o racionales sencillas, que exijan tener en cuenta intervalos de crecimiento y decrecimiento, continuidad, máximos y mínimos y tendencias de evolu- ción de la situación. Este criterio supone: • Resolver problemas sencillos de optimización. • Calcular límites sencillos utilizando las gráficas de las funciones y la calculadora. • Interpretar las tendencias infinitas a partir de las gráficas de las funciones, determinando, si existen, las asíntotas. G U Í A D I D Á C T I C A • 145 C C R R I I T T E E R R I I O OS S Y Y A AC C T T I I V V I I D DA AD DE E S S D DE E E E V VA AL L U UA AC C I I Ó ÓN N CRITERIOS 1. Un establecimiento de hostelería abre sus puertas a las 9 de la noche, sin ningún cliente, y las cierra cuando todos se han mar- chado. Se supone que la función que representa el número de clientes, C, en función del número de horas que lleva abierto el establecimiento, h, es: C = 80h – 10h 2 . a) Determina el número máximo de clientes que van una determinada noche al establecimiento. b) Si deseamos ir cuando haya menos de 150 personas y más de 70, ¿entre qué horas debemos hacerlo? c) Si deseamos ir cuando haya menos de 150 personas y más de 70 y, además, queremos que durante nuestra estancia disminuya el número de clientes, ¿entre qué horas debemos ir? d) A qué hora cierra el establecimiento? En la gráfica esta representada la situación que plantea este problema. A partir de la gráfica respondemos a las cuestiones planteadas en el mismo. a) El número máxi- mo de clientes es de 160 a las 4 horas de abrir el establecimiento, es decir, a la 1 de la madrugada. b) Debemos ir en los intervalos: (22, 24) ʜ (2, 4). c) Esto tiene lugar entre las 2 y las 4 horas, es decir, en el intervalo (2, 4). d) El establecimiento cierra a las 5 de la mañana. 2. Dibuja la gráfica de la función que se ajusta a las siguientes características: a) Dom f = R – {–3, 3}; Im f (–∞] ʜ (1, + ). b) Función simétrica respecto del eje de ordenadas. c) Máximo relativo en el punto (0, 0). d) Asíntota horizontal y = 1 3. El número N de faros que un mecánico consigue montar al día viene dado en fun- ción de los días t que lleva realizando este trabajo mediante la expresión: a) Representa gráficamente la función e indica la parte gráfica que tiene sentido en el contexto del problema. b) ¿Cuántos faros monta al empezar a trabajar? ¿Y al cabo de un día de trabajo? c) ¿Al cabo de cuántos días monta 20 faros? ¿Cuál es el número máximo de faros que puede llegar a montar? d) Calcula: a) La gráfica de esta función viene dada por: N (nº de faros) t (días) O 5 3 –1 15 25 lím t t lím t t t t →+∞ →− + + + + + 25 5 1 25 5 1 1 ; N t t t ( ) · + + 25 5 1 Y X O 1 3 –3 e) lím f x lím f x x x → → − + ( ) · +∞ ( ) · −∞ 3 3 ; C (h) Nº de personas O 20 21 h (horas) C(h) = 80h – 10h 2 22 23 24 1 2 3 4 160 140 120 100 80 60 40 70 150 146 •G U Í A D I D Á C T I C A ACTIVIDADES Sólo tiene sentido la parte de gráfica situada en el primer cuadrante. b) Al empezar a trabajar monta N (0) = 5 faros y al cabo de un día N (1) = 15 faros. c) 20 = ⇒ t = 3 días. Al cabo de 3 días monta 20 faros. El número máximo de faros que llega a montar es 25. 4. El número de kilos de una que compra una cooperativa depende del precio de la misma como muestra la siguiente tabla: Encuentra el polinomio de interpolación cuadrática que se ajuste a estos valores. ¿Cuántos kilos compraría la cooperativa a 200 céntimos de euro/kg? ¿Y a 50 cénti- mos de euro/kg? El polinomio que se ajusta a estos valores fue de la forma: P(x) = a o + a 1 x + a 2 x 2 El polinomio buscado es: P(x) = 6 200 – 2x – 0,04x 2 • P(200) = 4 200 kg de uva compraría a 200 cénti- mos de euro/kg. • P(50) = 6 000 kg de uva compraría la cooperativa a 50 céntimos de euro/kg. 5. La densidad de población a t kilómetros de un gran aeropuerto viene dada, en miles de persona por Km 2 , por la expresión: a) ¿Qué densidad de población hay en el aeropuerto? ¿Y a 2 Km del mismo? b) ¿A qué distancia del aeropuerto se du- plica la densidad de población? a) En el aeropuerto la densidad de población es: A 2 km del aeropuerto la densidad de población es de unos: b) Veamos a qué distancia la densidad de población es de 500 hab./Km 2 . A 86,64 km la densidad de población es de 500 hab/km 2 . 6. Halla el domino de definición de las siguientes funciones: Dom f = ޒ – {0, 2} Dom f = ޒ – {x ʦ ޒ| x + 2 ≥ y x – 3 ≥ 0} Resolvemos el sistema: Es decir: Dom f = {x ʦ ޒ| x ≥ 3} = [3, +∞) 7. Un agricultor quiere vallar una finca rectangular uno de cuyos lados limita con un río. Dispone de 400 m de alambre para vallar los otros tres lados de la finca. Halla las dimensiones para que la superficie vallada sea máxima. 2x + y = 400 Área = x · y = x · (400 – 2x) = –2x 2 + 400x x y x río x x x + ≥ − ≥ ¹ ; ¹ ≥ 2 0 3 0 3 y obtenemos f x x x g x x x ( ) · − ( ) · + − − 1 2 2 3 2 500 1 4 1 000 2 2 0 008 2 0 008 86 64 0 008 0 008 · ⋅ ⋅ · · ⋅ ⇒ · · ⋅ ⋅ e e t t t t , , ln , ln , , km d e 2 1 4 254 0 016 2 ( ) · ⋅ · , hab/km d e 0 1 4 1 4 250 0 2 ( ) · ⋅ · ⇒ hab/km d t e t ( ) · ⋅ ⋅ 1 4 0 008 , P a a a P a a a P a a a a a a 300 300 300 2 000 250 250 250 3 200 150 150 150 5 000 6 200 2 0 04 0 1 2 2 0 1 2 2 0 1 2 2 0 1 2 ( ) · + ⋅ + ⋅ · ( ) · + ⋅ + ⋅ · ( ) · + ⋅ + ⋅ · ¹ ; ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ⇒ ⇒ · · − · − , Precio (Kg) Número Kg 2 000 3 200 5 000 300 250 150 d lím t t lím t t t t ) ; →+∞ →− + + · + + · −∞ + 25 5 1 25 25 5 1 1 25t + 5 t + 1 G U Í A D I D Á C T I C A • 147 La función cuadrática A = –2x 2 + 400x tiene su valor máximo en su vértice 0 dando A' (x) = 0 y A'' (x) < 0 es decir: A' (x) = –4x + 400 = 0 ⇒ x = 100 A'' (x) = –4; A'' (100) < 0 Las dimensiones de la finca son: x = 100 m y = 200 m 8. Deriva las siguientes funciones: D x x x D x x x x x x 2 1 2 3 8 2 3 1 2 1 1 2 1 2 2 2 − + ¸ 1 ] 1 · + ( ) + + ( ) [ ] · + + + + + ln f x x x g x x x ( ) · − + ( ) · + + [ ] 2 1 2 3 1 ln 148 •G U Í A D I D Á C T I C A 6 6 . . B B L L O O Q Q U U E E T T E E M M Á Á T T I I C C O O I I I I I I : : E E S S T T A A D D Í Í S S T T I I C C A A Y Y P P R R O O B B A A B B I I L L I I D D A A D D G U Í A D I D Á C T I C A • 151 Unidad Didáctica 12: Estadística. Tablas y gráficos. 1. Estadística: clases y conceptos básicos. 2. Variables o caracteres estadísticos. 3. Tablas estadísticas: recuento. 4. Tablas estadísticas: frecuencias. 4. 1. Frecuencias acumuladas. 5. Otra forma de recuento: diagrama de tallos y hojas. 6. Gráficos para variables estadísticas cualitativas. 7. Gráficos para variables estadísticas cuantitativas. 8. Series temporales y otros gráficos. Unidad Didáctica 13: Distribuciones unidimensionales. Parámetros. 1. Parámetros de centralización. 1.1. Media aritmética. 1.2. Moda. 1.3. Mediana. 1.4. Percentiles. 2. Parámetros de dispersión. 2.1. Recorrido. 2.2. Desviación media. 2.3. Varianza. 2.4. Desviación típica. 2.5. Coeficiente de variación. 3. Estudio conjunto de x – y σ. Unidad Didáctica 14: Distribuciones estadísticas bidimensionales. Correlación y regresión. 1. Variables estadísticas bidimensionales. 1.1. Distibuciones bidimensionales. 2. Diagramas de dispersión o nube de puntos. 3. Dependencia o correlación. 4. Correlación lineal. Coeficiente de Pearson. 4.1. Escala de valores del coeficiente de correla- ción lineal. 5. Regresión. Rectas de regresión. 5.1. Estimaciones con la recta de regresión. 6. Calculadora científica y estadística bidimensional. 7. Calculadora gráfica y estadística bidimensional. Unidad Didáctica 15: Distribuciones discretas. Distribución binomial. 1. Experimentos aleatorios. Espacio muestral. Su- cesos. 2. Probabilidad. Propiedades. 3. Regla de Laplace. 4. Probabilidad condicionada. Sucesos dependientes e independientes. 5. Distribuciones estadísticas discretas. 6. Distribuciones de probabilidad discretas. 6.1. Parámetros. 7. Distribución binomial o de las pruebas de Ber- noulli. 7.1. Función de probabilidad binomial. 7.2. Media y desviación típica. Unidad Didáctica 16: Distribuciones continuas. Distribución normal. 1. Distribuciones estadísticas continuas. 2. Distribuciones de probabilidad continuas. 3. Distribución normal o de Gauss. 4. Distribución normal estándar. 5. Tipificación de la variable. 6. La distribución binomial se aproxima a la normal. ESTRUCTURA DE UNIDADES Estadística y probabilidad Estadística y probabilidad Estadística y probabilidad III III III G U Í A D I D Á C T I C A • 153 Al finalizar esta Unidad Didáctica, el alumno y la alumna deberán ser capaces de: 1. Conocer los principales conceptos usados en Estadística: población, muestra e individuo. 2. Diferenciar los tres tipos de variables estadísticas: cualitativas, cuantitativas discretas y cuantitativas continuas. 3. Diseñar tablas estadísticas para coleccionar y ordenar datos. 4. Extraer la información almacenada en los gráficos estadísticos. 5. Construir los principales tipos de representaciones usados en Estadística. • Hacer aflorar las ideas que el alumno tiene sobre las situaciones de tipo estadístico que ha adquirido en cursos pasados. • Fomentar el razonamiento deductivo, a través de los procesos seguidos en la obtención de las tablas y gráficos que aparecen en la unidad. • Orientar el desarrollo de la unidad, haciendo primar los procedimientos y técnicas, poniendo el énfasis en una metodología heurística. ¿CÓMO TRABAJAR LA UNIDAD? OBJETIVOS DIDÁCTICOS PÁGINA • 237 ACTIVIDADES INICIALES 1. Un grupo de estudiantes ha realizado una recogida de plantas de una misma especie, anotando el número de éstas, por dam 2 , en función de su latitud, como puede verse en la tabla que sigue: Determina el porcentaje total de plantas que corresponde a cada altitud. Los porcentajes de plantas que corresponden a cada altitud se recogen en la tabla siguiente: 2. La tabla muestra los porcentajes de la pro- ducción mundial de petróleo en el año 1990. Representa estas producciones sobre un círculo, de manera que cada sector circular tenga una amplitud propor- cional a cada uno de los tantos por ciento de la tabla. La representación gráfica de las producciones es, aproximadamente, la del dibujo siguiente: Oriente Medio Antigua URSS Norteamérica 59,76° Iberoamérica Asia y Oceanía 38,16° África 33,48° Europa Occidental 22,32° 70,92° 94,68° 40,68° 154 • G U Í A D I D Á C T I C A CONCEPTOS 1. Estadística: clases y conceptos bá- sicos. 2. Variables o caracteres estadísticos. 3. Tablas estadísticas: recuento. 4. Tablas estadísticas: frecuencias. 4.1. Frecuencias acumuladas. 5. Otra forma de recuento: diagrama de tallo y hojas. 6. Gráficos para variables estadísticas cualitativas. 7. Gráficos para variables estadísticas cuantitativas. 8. Series temporales y otros gráficos. ACTITUDES PROCEDIMIENTOS RESOLUCIÓN DE ACTIVIDADES • Construcción de tablas es- tadísticas a partir de una co- lección de datos. • Construcción de gráficas a partir de tablas estadísticas. • Construcción de tablas a partir de una gráfica. – Reconocimiento y valora- ción de la utilidad del lenguaje estadístico para representar problemas de la vida cotidiana y del conocimien- to científico. – Interés por el uso del lenguaje estadístico en informaciones de los medios de comunicación. Altitud (m) 100 200 300 400 500 600 700 800 Nº de plantas 1 5 10 15 17 8 3 1 Altitud (m) 100 200 300 400 500 600 700 800 Nº de plantas 1,67 8,33 16,67 25 28,33 13,33 5 1,67 Región Porcentaje Oriente Medio 26,3 Antigua URSS 19,7 Norteamérica 16,6 Iberoamérica 11,3 Asia y Oceanía 10,6 África 9,3 Europa Occidental 6,2 PÁGINA • 239 ACTIVIDADES PARA RESOLVER 1. Clasifica los siguientes caracteres estadísticos: a) Número de músculos de los animales vertebrados. b) Intención de voto. c) Velocidad que, en un instante dado, llevan las motocicletas que circulan por las carreteras y calles de una gran ciudad española. d) Talla de pantalones de los alumnos de tu centro. e) Tipos de zumos que prefieren los ado- lescentes. f) Temperatura mínima en tu ciudad cada día del año. g) Las marcas de los coches que circulan en España. h) Deporte practicado por los chicos y chicas de tu centro. i) La duración de cada pila eléctrica pro- ducida por una empresa durante un se- mestre. Son variables o caracteres cualitativos las correspondientes a los apartados b), e), g) y h). Son variables o caracteres cuantitativos discretos las correspondientes a los apartados a), c) y d). Son variables o caracteres cuantitativos continuos las correspondientes a los apartados f) e i). PÁGINA • 245 1. La asociación de vecinos de cierto barrio desea conocer el número de personas que habitan cada uno de los edificios del citado barrio. Para ello, ha realizado una encuesta y ha obtenido los datos siguientes: 47 42 27 25 23 78 75 53 67 38 89 35 71 46 35 34 63 79 47 63 71 77 36 84 47 44 69 25 45 85 86 37 58 50 38 81 46 56 79 36 33 67 52 45 50 32 52 54 68 58 29 70 54 28 25 37 87 57 28 51 a) Realiza el gráfico de tallo y hojas correspondiente a los datos anteriores. b) Agrupa los datos en intervalos de amplitud 10, siendo el centro del primer intervalo (marca de clase) 25 y construye la tabla con frecuencias absolutas y relativas, tanto simples como acumuladas, así como los porcentajes simples y acumulados. a) El gráfico de tallo y hojas es: 2: 3 5 5 5 7 8 8 9 3: 2 3 4 5 5 6 6 7 7 8 8 4: 2 4 5 5 6 6 7 7 7 5: 0 0 1 2 2 3 4 4 6 7 8 8 6: 3 3 7 7 8 9 7: 0 1 1 5 7 8 9 9 8: 1 4 5 6 7 9 b) La tabla de frecuencias y porcentajes es: 2. Construye el gráfico de tallo y hojas de los datos que siguen, relativos a las puntuaciones obtenidas en un test de habilidad nu- mérica por un grupo de alumnos que inician la enseñanza secundaria. 47 20 42 33 53 31 53 64 42 31 20 42 20 34 45 67 54 56 36 27 64 51 18 31 39 29 75 33 46 50 24 63 28 61 77 27 45 27 64 66 42 19 30 41 45 50 54 74 28 20 44 49 30 18 23 57 53 48 51 31 El gráfico de tallo y hojas es: 1: 8 8 9 2: 0 0 0 0 3 4 7 7 7 8 8 9 3: 0 0 1 1 1 1 3 3 4 6 9 4: 1 2 2 2 2 4 5 5 5 6 7 8 9 5: 0 0 1 1 3 3 3 4 4 6 7 6: 1 3 4 4 4 6 7 7: 4 5 7 Frecuencias absolutas Frecuencias relativas Porcentajes Intervalo Simples Acumuladas Simples Acumuladas Simples Acumulados 8 8 0,1333 0,1333 13, 33 13, 33 20 30 30 40 11 19 0 1833 0 3166 18 33 31 66 40 50 9 28 0 1500 0 4666 15 00 46 66 50 60 12 40 0 2000 0 6666 20 00 66 66 60 70 6 46 0 1000 0 7666 10 00 76 66 70 80 8 , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , [ ) [ ) [ ) [ ) [ ) [ ) 54 54 0 1333 0 9000 13 33 90 00 80 90 6 60 0 1000 1 0000 10 00 100 00 , , , , , , , , , [ ] G U Í A D I D Á C T I C A • 155 PÁGINA • 254 ACTIVIDADES DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE Enuncia cinco variables estadísticas de cada una de las clases que aparecen en el texto, referidas a los alumnos de tu curso. Variables o caracteres cualitativos: 1. Color del cabello. 2. Deporte favorito. 3. Asignatura favorita. 4. Diversión más practicada. 5. Marca de zapatos que utiliza. Variables o caracteres cuantitativos discretos: 1. Número de hermanos. 2. Número de deportes practicados. 3. Películas vistas a la semana. 4. Número de electrodomésticos en su hogar. 5. Libros leídos al año. Variables o caracteres cuantitativos continuos: 1. Estatura. 2. Peso. 3. Perímetro torácico. 4. Tiempo en realizar una prueba. 5. Longitud de las piernas. Responde a lo que se pide en la actividad anterior, referidas, en este caso, a un individuo de tu lugar de residencia. Variables o caracteres cualitativos: 1. Color de los ojos. 2. Marca de pantalones que utiliza. 3. Tipo de programa de televisión más visto. 4. Deporte practicado. 5. Marca del automóvil de su familia. Variables o caracteres cuantitativos discretos: 1. Número de miembros en su familia. 2. Número de operaciones quirúrgicas que se han efectuado. 3. Días de baja por enfermedad. 4. Número de vehículos en su familia. 5. Refrescos que toma al día. Variables o caracteres cuantitativos continuos: 1. Perímetro craneal. 2. Gastos anuales en alimentación de su familia. 3. Longitud de los brazos. 4. Superficie de su vivienda. 5. Gastos mensuales en actividades lúdicas. Clasifica las siguientes variables estadís- ticas: a) Temperaturas registradas cada día en un observatorio. b) Duración de un determinado modelo de pila eléctrica. c) Número de frutas producidas por cada árbol de una plantación de melocoto- neros. d) Número de caries de cada alumno de un instituto. e) Gasto medio de litros de gasóleo por cada 100 km de un determinado modelo de camión. f ) Número de espectadores que han asisti- do a un pabellón durante los partidos de baloncesto de toda la liga. a) Continua. b) Continua. c) Discreta. d) Discreta. e) Continua. f) Continua. Una determinada especie de mamíferos tiene en cada parto un número variable de hijos. Se observa que las camadas de 35 familias durante un año han sido las que se recogen en la tabla adjunta. Elabora una tabla estadística completa con todos los tipos de frecuencias existentes. La tabla pedida es la siguiente: 4 3 2 1 156 • G U Í A D I D Á C T I C A Nº de hijos 0 1 2 3 4 5 6 7 Nº de familias 2 3 10 10 5 0 5 0 La realización de una prueba de habilidad motora por parte de 60 niños ha dado los resultados que siguen: a) Agrupa estos datos en intervalos de amplitud 5, realizando la correspondiente tabla estadística completa. b) Responde a las mismas cuestiones del apartado anterior tomando clases de amplitud 10. a) La tabla con intervalos de amplitud 5 es la siguiente: b) La tabla con intervalos de amplitud 10 es la siguiente: En 1798 el científico inglés Henry Caven- dish midió la densidad de la Tierra a través de una balanza de torsión. Realizó 29 observaciones y obtuvo los siguientes valores (en g/cm 3 ). Agrupa los datos en 5 clases de amplitud 0,25, considerando como lími- te inferior de la primera clase el valor 4,75 y construye la correspondiente tabla completa de frecuencias. La tabla de frecuencias es: PÁGINA • 255 Elabora una tabla completa de frecuencias de la aparición de vocales de la frase que sigue: «There are two ways of talking about ambi- guity: we can talk of one string representing two different sentences, or we can say that one sentence has two different meanings.» La tabla de frecuencias es: Frecuencias absolutas Frecuencias relativas Porcentajes Vocales Simples Acumuladas Simples Acumuladas Simples Acumuladas a e i o TOTAL 52 12 12 0 2308 0 2308 23 08 23 08 21 33 0 4038 0 6346 40 38 63 46 8 41 0 1538 0 7885 15 38 78 85 9 50 0 1731 0 9615 17 31 96 15 2 52 0 0385 1 0000 3 85 100 00 , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , u 7 Frecuencias absolutas Frecuencias relativas Porcentajes Intervalo Simples Acumuladas Simples Acumuladas Simples Acumuladas 4 75 5 00 1 1 0 0345 0 0345 3 45 3 45 5 00 5 25 2 3 0 0690 0 1034 6 90 10 34 5 25 5 50 13 16 0 4483 0 5517 44 83 55 17 5 50 5 75 10 26 0 3448 0 8966 34 48 89 66 5 75 6 , ; , , , , , , ; , , , , , , ; , , , , , , ; , , , , , , ; , [ ) [ ) [ ) [ ) 00 00 3 29 0 1034 1 0000 10 34 100 00 [ ) , , , , 6 15, 35, 18, 23, 75, 81, 19, 27, 15, 18, 63, 45, 31, 32, 45, 18, 29, 17, 30, 77, 76, 75, 19, 15, 23, 35, 81, 15, 81, 41, 76, 24, 27, 69, 15, 18, 13, 18, 76, 14, 29, 31, 52, 46, 18, 17, 35, 62, 44, 31, 18, 27, 32, 74, 19, 31, 47, 19, 82, 50. 5 G U Í A D I D Á C T I C A • 157 5,50 5,61 4,88 5,07 5,26 5,55 5,36 5,29 5,58 5,65 5,57 5,53 5,63 5,29 5,44 5,34 5,79 5,10 5,27 5,39 5,42 5,47 5,63 5,34 5,46 5,30 5,75 5,68 5,85 158 • G U Í A D I D Á C T I C A El número de trabajadores en las 60 empresas de una determinada localidad es la siguiente: En ocasiones no resulta útil usar intervalos de la misma amplitud como ocurre en este caso. Utiliza los intervalos [0, 15), [15, 30), [30, 45), [45, 60], [60, 75), [75, 90), [90, 450) y elabora la tabla estadística completa. La tabla completa es: Completa los datos que faltan en las tablas estadísticas siguientes: Las tablas estadísticas completas son: En un centro de enseñanza hay 240, 160, 200 y 120 alumnos de primero, segundo, tercero y cuarto curso de Enseñanza Secundaria Obligatoria, respectivamente. Se pide: a) Representar gráficamente estos datos mediante un diagrama de sectores. b) Representar mediante un diagrama de barras el número de alumnos que ten- dría cada curso si el centro decide: aumentar en un 5 % el número de alumnos matriculados en primer curso, mantener el número de matriculados en segundo y tercero, y disminuir el número de matriculados en cuarto curso, de manera que no se modifique el número total de alumnos. a) El diagrama de sectores es: 4º ESO 3º ESO 2º ESO 1º ESO 120° 80° 100° 60° 10 a) b) c) d) Calificación Insuficiente Suficiente 20 0,25 Notable 16 0,20 Sobresaliente 14 0,175 Total 80 1 000 Número de caries 20 0,2 35 0, 35 15 0,15 5 0, 05 TOTAL 100 Número de hijos 15 0, 3 15 0, 3 5 0,1 4 0, 08 1 TOTAL 50 1, 00 f h f h p f h x f F i i i i i i i i i 30 0 375 0 25 0 25 25 1 20 2 35 3 10 4 5 1 00 100 0 10 0 2 1 2 3 4 5 0 02 , , , , , ii i h 1 3 3 0, 05 2 4 7 0, 07 3 9 16 0,15 4 7 23 0,12 5 5 28 0, 08 6 10 38 0,17 7 7 45 0,12 8 15 60 0,25 9 Frecuencias absolutas Frecuencias relativas Porcentajes Número de trabajadores Simples Acumuladas Simples Acumuladas Simples Acumuladas 0 15 10 10 0 1667 0 1667 16 67 16 67 15 30 8 18 0 1333 0 3000 13 33 30 00 30 45 9 27 0 1500 0 4500 15 00 45 00 45 60 15 42 0 2500 0 7000 25 00 70 00 60 75 7 49 0 1167 0 8167 11 67 81 67 , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , [ ) [ ) [ ) [ ) [ ) 75 75 90 7 56 0 1167 0 9333 11 67 93 33 90 450 4 60 0 0667 1 0000 6 67 100 00 , , , , , , , , , , [ ) [ ) 13, 50, 46, 22, 54, 5, 61, 26, 43, 34, 75, 79, 234, 434 ,45, 36, 84, 75, 56, 53, 5, 64, 74, 25, 62, 6, 49, 75, 34, 2, 83, 42, 53, 67, 63, 96, 15, 7, 33, 45, 16, 54, 3, 47, 4, 22, 50, 42, 18, 46, 95, 27, 4, 45, 32, 86, 58, 72, 38, 4. 8 Número de caries 0 1 2 3 4 TOTAL f i 25 20 15 h i 0,25 0,2 0,15 0,05 p i Número de hijos 0 1 2 3 4 5 TOTAL f i 15 5 4 50 h i 0,2 0,02 Calificación Insuficiente Suficiente Notable Sobresaliente Total f i 20 16 80 h i 0,375 x i f i F i h i 1 3 2 4 3 16 0,15 4 7 5 5 28 6 38 7 7 45 8 a) c) d) b) b) El 5 % de 240 es · 240 = 12 alumnos. La composición del centro será: El diagrama de barras de la nueva composición del centro es: En este diagrama de sectores aparecen re- presentados el número de hermanos de un grupo de 36 alumnos de 1º de bachillerato. Construye la tabla de frecuencias absolutas correspondiente. La tabla de frecuencias buscada es: PÁGINA • 256 Las dianas logradas en un campeonato por 25 tiradores fueron: 8, 10, 12, 12, 10, 10, 11, 11, 10, 13, 9, 11, 10, 9, 9, 11, 12, 9, 10, 9, 10, 9, 10, 8, 10 Resume los datos anteriores en una tabla de frecuencias absolutas y relativas, y dibuja el correspondiente diagrama de barras. Los datos tabulados son: El diagrama de barras es: Se ha realizado un test de habilidad nu- mérica a los alumnos de una clase. Los resultados obtenidos son: Representa los datos mediante un histograma. 13 Frecuencias absolutas N.º de dianas 2 1 4 3 5 7 6 9 8 10 8 9 10 11 12 13 N.º de dianas Frecuencias absolutas Frecuencias relativas x i 8 2 0 08 9 6 0 24 10 9 0 36 11 4 0 16 12 3 0 12 13 1 0 04 , , , , , , 12 Número de hermanos Frecuencias absolutas 0 7 1 12 2 9 3 5 4 3 120° 1 hermano 2 hermanos 3 hermanos 4 hermanos 0 hermanos 90° 50° 30° 70° 11 100 50 200 150 250 108 4º ESO 200 3º ESO 160 2º ESO 252 1º ESO Curso Número de alumnos ESO ESO ESO ESO Total 1 252 2 160 3 200 4 108 720 º º º º 5 100 G U Í A D I D Á C T I C A • 159 Puntuaciones [10, 15) [15, 20) [20, 25) [25, 30) [30, 35) [35, 40) [40, 45) [45, 50] Nº de alumnos 4 6 6 10 8 10 3 3 El histograma es: Se ha aplicado un test a los empleados de una fábrica, obteniéndose la siguiente tabla: Construye el histograma y el polígono de frecuencias absolutas acumuladas. El histograma es: El polígono de frecuencias absolutas acumuladas es: Para la tabla de ingresos adjunta, construye el histograma de frecuencias relativas y el polígono de frecuencias. Los gráficos son: Los pesos en kg de 20 alumnos de cierto centro de enseñanza son: 51, 47, 55, 53, 49, 47, 48, 50, 43, 60, 45, 54, 62, 57, 46, 49, 52, 42, 38, 61 Agrupa los datos en clases de amplitud 5, siendo el extremo inferior del primer intervalo 37,5. Dibuja el correspondiente histograma. La tabla de datos agrupados es: Intervalos Marcas de clase Frecuencias absolutas x f i i [ , ; , ) [ , ; , ) [ , ; , ) [ , ; , ) [ , ; , ) 37 5 42 5 40 2 42 5 47 5 45 5 47 5 52 5 50 6 52 5 57 5 55 4 57 5 62 5 60 3 16 Ingresos Frecuencias menos de 40 000 55 000 75 000 90 000 115 000 más de 130 000 20 10 40 30 60 50 80 70 90 Ingresos 0,2 0,1 0,3 Frecuencias relativas menos de 40 000 55 000 75 000 90 000 115 000 más de 130 000 15 Puntuaciones del test N.º de trabajadores 41 47 53 59 65 71 77 20 10 40 30 50 60 80 70 90 100 Puntuación del test 10 5 20 15 25 30 N.º de trabajadores 41 47 53 59 65 71 77 14 Puntuaciones 2 1 4 3 5 7 6 9 8 10 N.º de alumnos 12,5 17,5 22,5 27,5 32,5 37,5 42,5 47,5 160 • G U Í A D I D Á C T I C A x (38, 44] (44, 50] (50, 56] (56, 62] (62, 68] (68, 74] (74, 80] Nº de trabajadores 7 8 15 25 18 9 6 Ingresos Frecuencias Menos de 40 000 35 40 000-70 000 70 70 000-80 000 70 80 000-100 000 90 100 000-130 000 85 Más de 130 000 64 El histograma es: Como resultado de un estudio es- tadístico sobre los ingresos por ventas (en miles de euros) realizado sobre un grupo de 100 empresas del sector de la alimentación, se ha obtenido la tabla de la derecha. Identificar, entre los siguientes, el histograma de frecuencias asociado a los datos de la tabla. Explicar razonadamente la elección efectuada. El histograma correcto es el correspondiente al gráfi- co A. Puede observarse que las alturas de los rectán- gulos son proporcionales a los resultados 10, 20, 40, 20 y 10, respectivamente. PÁGINA • 257 Después de medir a 60 compañeros una alumna ha entregado el siguiente diagrama de tallo y hojas: a) Realiza el mismo gráfico con los datos ordenados. b) Con los mismos datos construye un único diagrama de tallo y hojas. c) Agrupando adecuadamente los datos, construye la correspondiente tabla de frecuencias. a) El mismo gráfico con los datos ordenados es: b) Un único diagrama de tallo y hojas es: c) La tabla de frecuencias absolutas es: Frecuencias absolutas Alturas Simples Acumuladas 140 150 4 4 150 160 12 16 160 170 19 35 170 180 19 54 180 190 6 60 , , , , , [ ) [ ) [ ) [ ) [ ) 14 15 16 17 18 6 7 9 9 2 4 4 4 5 5 5 5 8 8 9 9 0 2 3 3 3 4 5 5 5 5 6 7 7 8 8 8 9 9 9 0 0 1 1 2 2 2 3 3 4 5 5 6 6 6 7 7 8 9 0 1 2 2 3 6 18 A B C 17 Peso (en kg) 2 1 4 3 5 6 Frecuencias absolutas 40 45 50 55 60 7 G U Í A D I D Á C T I C A • 161 Ingresos Resultados [100, 200) 10 [200, 300) 20 [300, 400) 40 [400, 500) 20 [500, 600] 10 Alumnas Alumnos 9 6 14 7 9 5 5 2 8 4 4 15 5 9 8 4 5 9 5 2 0 5 5 6 3 9 8 5 16 8 7 9 3 4 3 9 8 7 9 0 3 3 6 2 8 1 17 7 5 0 4 2 1 6 2 5 6 7 2 0 18 1 3 6 2 Alumnas Alumnos 9 6 14 7 9 8 5 5 4 4 2 15 4 5 5 8 9 9 9 8 6 5 5 5 5 3 2 0 16 3 3 4 7 7 8 8 9 9 9 8 6 3 3 2 1 0 17 0 1 2 2 4 5 5 6 6 7 7 2 0 18 1 2 3 6 En un proceso experimental se han medido la longitud de 80 plantas adultas de cierta variedad de tomate cultivadas en las mismas condiciones en el interior de un invernadero, con los siguientes resultados, expresados en milímetros: a) Efectúa el recuento de los datos anteriores realizando un diagrama de tallo y hojas. b) Elabora la tabla estadística correspondiente a las distintas frecuencias y porcentajes, tomando 9 intervalos de la misma amplitud. c) Representa dos histogramas, uno con las frecuencias relativas y otro con las frecuencias relativas acumuladas de la tabla anterior. a) El diagrama de tallo y hojas es: b) La tabla es: c) El histograma de frecuencias relativas es: El histograma de frecuencias relativas acumuladas es: Las alturas, en centímetros, de 60 alumnos que cursan 3º de ESO son: a) Agrupando los datos en intervalos de amplitud 10 centímetros, haz una tabla de frencuencias y el correspondiente histograma. 155 157 153 172 165 166 170 159 159 162 151 154 163 172 166 163 162 165 173 152 170 179 168 164 159 176 162 170 158 161 158 157 163 164 159 160 161 161 154 167 158 162 154 157 175 169 162 163 168 172 176 170 164 161 155 170 159 162 165 154 20 Medidas en mm 0,2 0,1 0,3 Frecuencias relativas 105 115 125 135 145 155 165 175 185 0,5 0,4 0,6 0,8 0,7 0,9 1 Medidas en mm 0,2 0,1 0,3 Frecuencia relativa 105 115 125 135 145 155 165 175 185 130 140 9 24 0 1125 0 3000 11 25 30 00 140 150 14 38 0 1750 0 4750 17 50 47 50 150 , , , , , , , , , , [ ) [ ) ,, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , 160 19 57 0 2375 0 7125 23 75 71 25 160 170 10 67 0 1250 0 8375 12 50 83 75 170 180 10 77 0 1250 0 9625 12 50 96 25 180 190 3 80 0 0375 1 0000 3 75 100 00 [ ) [ ) [ ) [ ) Frecuencias absolutas Frecuencias relativas Porcentajes Medidas en mm. Simples Acumuladas Simples Acumuladas Simples Acumuladas 100 110 2 2 0 0250 0 0250 2 50 2 50 110 120 6 8 0 0750 0 1000 7 50 10 00 120 130 7 15 0 0875 0 1875 8 75 18 75 , , , , , , , , , , , , , , , [ ) [ ) [ ) [ ) 10 11 12 13 14 15 16 17 18 4 4 2 3 6 7 8 9 2 2 2 6 6 6 9 1 2 2 4 4 7 7 9 9 0 0 0 2 4 5 5 5 6 7 8 9 9 9 0 1 2 2 2 2 3 3 3 4 5 5 5 5 6 6 6 7 8 0 0 1 2 2 5 5 5 8 9 0 0 0 0 1 2 2 5 5 7 0 2 8 113 126 139 171 119 134 170 144 153 175 180 139 126 149 117 154 122 137 140 142 152 149 129 148 175 168 104 104 134 145 131 122 153 149 169 132 147 150 152 140 116 153 177 146 152 112 140 145 152 151 112 162 188 156 170 165 156 156 157 161 162 155 170 160 172 165 155 170 160 172 165 155 182 132 126 158 137 118 145 155 19 162 • G U Í A D I D Á C T I C A b) Realiza una tabla y un diagrama aná- logos a los del apartado anterior, agrupando los datos en intervalos de amplitud 5 centímetros. a) La tabla y el histograma son: b) La tabla y el histograma son: PÁGINA • 258 Se ha controlado el peso de 50 recién naci- dos, obteniéndose los siguientes resultados: Representa gráficamente estos datos, eli- giendo el gráfico más adecuado. Realizamos un histograma de frecuencias absolutas: Se considera una distribución de datos agrupados en intervalos cuyo polígono de frecuencias acumuladas es el de la figura. a) Calcular la tabla de distribu- ción de frecuencias absolutas. b) Dibuja el correspondiente histograma. a) La tabla de frecuencias es: b) El histograma es: El producto interior bruto (PIB) de los países que se indican tuvo la siguiente distribu- ción en porcentajes durante el año 1986: 23 Marea de clase 2 1 3 Frecuencias absolutas 40 60 80 5 4 6 20 100 Intervalos Marea de clase Frecuencia absoluta 10 30 20 3 30 50 40 6 50 70 60 5 70 90 80 0 90 110 100 6 , , , , , [ ) [ ) [ ) [ ) [ ) 100 80 60 40 20 0 20 14 9 3 22 Peso en kg 8 4 12 Frecuencias absolutas 20 16 2,65 2,95 3,25 3,55 3,85 4,15 4,45 21 Medidas en cm 10 5 15 Frecuencias absolutas 25 20 30 152,5 157,5 162,5 167,5 172,5 177,5 Alturas Frecuencias absolutas 150 155 7 155 160 13 160 165 18 165 170 9 170 175 9 175 180 4 , , , , , , [ ) [ ) [ ) [ ) [ ) [ ) Medidas en cm 10 5 15 Frecuencias absolutas 155 165 175 25 20 30 Alturas Frecuencias absolutas 150 160 20 160 170 27 170 180 13 , , , [ ) [ ) [ ) G U Í A D I D Á C T I C A • 163 Peso en kilogramos [2,5; 2,8) [2,8; 3,1) [3,1; 3,4) [3,4; 3,7) [3,7; 4) [4; 4,3) [4,3; 4,6] Número de niños 2 2 4 10 16 10 6 País Agricultura Industria Servicios Austria 4 40 56 Bélgica 2 31 67 Canadá 3 24 72 Eitopía 42 18 40 España 6 40 54 Grecia 17 29 54 Ghana 51 16 33 Italia 4 34 62 Mozambique 50 12 38 Venezuela 7 44 49 Representa estos datos en un diagrama triangular. Los datos pueden verse en el diagrama adjunto: Expresa en tablas de forma aproximada los datos recogidos en cada una de las gráficas. Las tablas buscadas son: a) b) c) PÁGINA • 259 Con los datos que aparecen en los gráfi- cos que siguen elabora sendos diagramas de rectángulos. Los diagramas de rectángulos son: N.º de estaciones C o n t i n e n t a l O i l 3 500 P e t r o g a l S h e l l T o t a l - F i n a O t r a s B P C a m p s a R e p s o l 3 500 540 559 191 150 140 130 100 300 500 700 900 1 100 1 300 1 700 1 500 1 700 25 Fuente de energía Petróleo Carbón Nuclear Gas natural Renovables Hidráulica Porcentaje 51, 83 21 06 15 96 6 17 2 97 2 58 , , , , , Mes E F M A M J J A S O N D Temp. C 9 Precip. (mm) 490 390 290 190 170 70 90 130 230 400 620 640 ° 10 12 17 21 26 26 24 20 17 12 11 Países EE UU Canadá Ibero - américa Europa Occidental Ex - URSS Oriente Medio Argelia Asia Oceanía Millones de Tep 440 100 88 170 650 100 50 140 24 164 • G U Í A D I D Á C T I C A 100 0 90 10 80 20 70 30 60 40 50 50 40 60 30 70 20 80 10 90 0 100 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 SERVICIOS I N D U S T R I A A G R I C U L T U R A Et Mo Gh G Es C A V I B EL CLIMOGRAMA O DIAGRAMA TERMOPLUVIOMÉ- TRICO. Realizando esta actividad conoce- rás un nuevo gráfico estadístico. En una capital de provincia se han regis- trado las siguientes temperaturas y precipitaciones a lo largo de un año: a) Con los datos de las precipitaciones realiza un diagrama de barras. b) Con los datos de las temperaturas dibuja un polígono de frecuencias. c) Realiza los dos diagramas anteriores uno encima del otro teniendo en cuenta que debes situar el eje vertical con las lluvias a la derecha y el eje vertical de las temperaturas a la izquierda. El último gráfico recibe el nombre de climograma o diagrama termopluviométrico. Los gráficos pedidos son: a) b) c) El climograma es: PÁGINA • 261 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 1. CUADRADOS. Un cuadrado tiene uno de sus vértices en el centro de otro cuadrado del mismo lado que el anterior, como se muestra en la figura. ¿Cuánto vale el área de la re- gión limitada por ambos? Basta con mover el cuadrado para ver que el área de la región limitada es: del área del cuadrado. 2. ROSA DE CUATRO PÉTALOS. La figura adjunta muestra una rosa de 4 pétalos y se corresponde con el símbolo de una asocia- ción. Esta asociación ha convocado un 1 4 °C 10 20 30 40 50 60 Meses E F M A M J J A S O N D 10 20 30 40 50 60 mm Temperaturas (°C) 10 20 30 40 50 60 Meses E F M A M J J A S O N D Precipitación (mm) 10 20 30 40 50 60 Meses E F M A M J J A S O N D 26 N.º de estaciones A s t u r i a s C a n t a b r i a C a s t i l l a y L e ó n M a d r i d C a s t i l l a - L a M a n c h a 574 171 116 678 368 638 221 155 73 322 1 003 172 694 265 1 176 294 G a l i c i a N a v a r r a L a R i o j a A r a g ó n C a t a l u ñ a B a l e a r e s P a í s V a s c o V a l e n c i a M u r c i a A n d a l u c í a E x t r e m a d u r a 100 300 500 700 900 1 100 G U Í A D I D Á C T I C A • 165 Temperaturas Precipitaciones (mm) E 3,6 39 F 4,9 34 M 8,2 48 A 10,4 32 M 13,6 42 J 18,4 27 J 21,4 15 A 21,2 14 O 12,5 41 N 7,5 49 D 4,3 53 S 18,1 22 Proceso de construcción de un climograma. 15° concurso que consiste en calcular el área de la rosa, tomando una sola medida sobre ella. ¿Ganarías tú el concurso? Basta con conocer el lado del cuadrado que se forma dentro de la figura. La resolución de este problema nos recuerda al problema de los perros guardianes. El área de esta rosa de 4 pé- talos es igual al área del cuadrado rayado más 4 veces el área de un pétalo y. El área del pétalo y lo puedes encontrar en la resolu- ción del problema de los perros guardianes. 3. CUADRADO. En el cuadrado de la figura de lado a se han trazado arcos de circunfe- rencia con centro en cada uno de los vérti- ces del cuadrado y radio a. Halla el área de cada una de las regiones x, y y z. Área (x) = = Área cuadrado – Área triángulo – 2 · Área sector = Área (rayada) = Área círculo – – Área triágulo rectángulo = Área (y) = Área triángulo rectángulo – Área rayada – 4. DOS CUADRADOS SEPARADOS. Los cuadrados de la figura tienen 10 m de lado. Calcula el área de las zonas sombreadas. • En la figura (1) el área pedida es 2 veces el área de una de las aspas rayada en el dibujo adjunto. Área aspa = Área cuadrado – – 2 Área (a) – 2 Área (b) Vamos a hallar el área de la zona (a). El radio de esta zona es la mitad de la diagonal del cuadrado. D = = 10 ⇒ r = 5 Área (a) = π · r 2 = π · (5 ) 2 = = m 2 Vamos a hallar el área de la zona (b). El radio de esta zona es el lado del cuadrado menos el radio de la zona (a) ⇒ r = 10 – 5 . Área (b) = π · (10 – 5 ) 2 = m 2 Área aspa = 10 2 – 25 π – (75 – 50√ ÷ 2 ) π = = 100 – 100 π + 50√ ÷ 2 π Área pedida = 2 · Área aspa = = 2 (100 – 100 π + 50√ ÷ 2 π) ⇒ ⇒ • En la figura (2) el área pedida es igual al área del cuadrado de lado 10 m menos el área del círculo de radio 5 m. Área figura (2) = 10 2 – π · 5 2 = 100 – 25 π = 21,46 m 2 . Área pedida = 15,97 m 2 (75 – 50√ ÷ 2 ) π 4 √2 1 4 √2 25 π 2 50 π 4 √2 1 4 1 4 √2 √2 √10 2 + 10 2 b a 1) 2) · ⋅ − ⋅ · · ⋅ − ¸ ¸ _ , − − + + ⋅ ¸ ¸ _ , 2 2 2 4 2 2 3 2 12 Área Área rayada Área 2 2 2 2 2 ( ) ( ) z y a a a a a π π · · ⋅ − + − − ⋅ · · − + ⋅ π π π a a a a a a a a 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 6 3 3 − ⋅ · ⋅ − ¸ ¸ _ , − − ⋅ − − ¸ ¸ _ , · − + + ⋅ 2 2 4 2 2 1 3 4 6 3 2 12 Área 2 2 2 2 2 2 2 ( ) – x a a a a a a a π π π · ⋅ − · − ¸ ¸ _ , π π a a a 2 2 2 4 2 2 2 1 1 4 y · ⋅ − ⋅ ⋅ · − − ¸ ¸ _ , a a a a a 2 2 2 – 3 2 2 2 12 1 3 4 6 π π a a a a z y x Sector x a 60° y 166 • G U Í A D I D Á C T I C A Al finalizar esta Unidad Didáctica, el alumno y la alumna deberán ser capaces de: 1. Calcular los parámetros estadísticos de centralización y dispersión. 2. Utilizar correctamente los parámetros estadísticos, además de saber interpretarlos. 3. Diferenciar las distribuciones estadísticas simétricas de las que no lo son mediante el estudio conjunto de la media y la desviación típica. 4. Calcular y aplicar las puntuaciones típicas o normalizadas en las situaciones que lo requieran. • Hacer aflorar las ideas que el alumno tiene sobre las situaciones de tipo estadístico que ha adquirido en cursos pasados. • Fomentar el razonamiento deductivo, a través de los procesos seguidos en la obtención de los pa- rámetros que aparecen en la unidad y la posible comparación entre algunos de ellos. • Orientar el desarrollo de la unidad, haciendo primar los procedimientos y técnicas, poniendo el énfasis en una metodología heurística. G U Í A D I D Á C T I C A • 167 OBJETIVOS DIDÁCTICOS ¿CÓMO TRABAJAR LA UNIDAD? PÁGINA • 263 ACTIVIDADES INICIALES 1. Elabora un climograma con los datos siguientes: Calcula la temperatura media y la precipi- tación media anual El climograma pedido es el siguiente: La temperatura media es: La precipitación media anual es: 2. Con el fin de estimar el grupo sanguí- neo más abundante en un centro de 600 alumnos, hemos extraído una muestra de tamaño 25. Los grupos san- guíneos obtenidos son: A, A, O, A, O, O, O, O, A, O, O, A, O, O, A, A, O, O, B, AB, B, A, A, A, O Determina el grupo sanguíneo moda de esta muestra. Los resultados pueden verse en la siguiente tabla: p · · 386 12 32 17 , mm t · · ° 144 5 12 12 04 , , C °C 60 50 40 30 20 10 0 mm 60 50 40 30 20 10 0 E F M A M J J A S O N D 0 0 0 168 • G U Í A D I D Á C T I C A CONCEPTOS 1. Parámetros de centralización. 1.1. Media aritmética. 1.2. Moda. 1.3. Mediana. 1.4. Percentiles. 2. Parámetros de dispersión. 2.1. Recorrido. 2.2. Desviación media. 2.3. Varianza. 2.4. Desviación típica. 2.5. Coeficiente de variación. 3. Estudio conjunto de x – y σ. – Reconocimiento y valoración del trabajo en grupo, como la manera más eficaz para realizar determinadas actividades: encuestas, toma de datos, representación e inter- pretación de la información. – Sensibilidad y gusto por la precisión, el orden y la claridad en el tratamiento y pre- sentación de datos y resultados relativos al cálculo de los parámetros estadísticos. – Apreciar la gran utilidad de las calculadoras científica y gráfica en todas las situaciones de tipo estadístico. • Cálculo, análisis e interpre- tación de parámetros esta- dísticos. • Detección de la buena, regular o mala simetría de una distribución. • Utilizar con corrección la calculadora en los cálculos estadísticos. • Comparar dos situaciones, referidas a distribuciones diferentes, a través de las puntuaciones tipificadas. ACTITUDES PROCEDIMIENTOS RESOLUCIÓN DE ACTIVIDADES E F M A M J J A S O N D Temp. (°C) 3,7 4,9 8,2 10,5 13,6 18,4 21,5 21,3 18,1 12,5 7,5 4,3 Preci. (mm) 39 34 48 32 42 27 15 14 22 41 19 53 El grupo sanguíneo que presenta mayor frecuencia y, por tanto, el grupo moda es el grupo O. 3. Los cambios medios anuales del franco francés (pesetas por cada franco) durante los años que van desde 1985 hasta 1992 figuran en la siguiente tabla. Calcula la media del cambio del franco durante estos años. La media del cambio es = 19,346. PÁGINA • 276 ACTIVIDADES DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE Los sueldos mensuales en una empresa son los siguientes: 1 director, 3 000 euros; 3 jefes, 2 500 euros; 6 encargados, 1 500 euros, y 9 operarios, 800 euros. Calcula el sueldo medio. De una muestra de 16 tornillos, se ha medido, en cm, el diámetro de su cabeza, obteniendo los siguientes resultados: Calcula la media. La media del diámetro es = 0,0955 cm. Para comprobar la resistencia de unas varillas de nailon, se someten 250 varillas a un test de resistencia. El test consiste en comprobar si se rompen o no cuando se aplica una fuerza sobre 5 puntos diferentes de la varilla. El número de roturas sufridas por cada varilla aparece en la tabla adjunta. Calcula el número medio de roturas por varilla y el porcentaje de varillas que sufren más de 2 roturas. El número medio de roturas por varilla es: = 0,7 El porcentaje de varillas que sufren más de 2 roturas es: · 100 = 6,4 % A un conjunto de cinco números cuya media aritmética es 7,31 se le añaden 4,47 y 10,15. ¿Cuál es la media del nuevo conjunto de números? La media es: Un instituto tiene tres grupos de Bachille- rato. La nota media de los alumnos del grupo A es de 5,7 puntos. La de los alumnos del grupo B es de 5,6, siendo 5,5 para los del grupo C. En el grupo A hay 30 alumnos y se sabe que en el grupo C hay 5 alumnos más que en el grupo B. Si la nota media de todos los alumnos de Bachillerato es de 5,6 puntos, ¿cuántos alumnos de Bachillerato hay en el instituto? Los datos del problema aparecen en la siguiente tabla: Se tiene que: 5 6 5 7 30 5 6 5 5 5 30 5 , , , , · ⋅ + ⋅ + ⋅ + ( ) + + + n n n n Grupo Nota media Número de Nota media del grupo alumnos de todos los alumnos A 5,7 30 B 5,6 n 5,6 C 5,5 n + 5 5 5 7 31 4 47 10 15 7 51 17 7 7 31 ⋅ + + · · , , , , , 4 16 250 175 250 3 1,528 16 2 El sueldo medio es : 1 3 000 3 2 500 6 1 500 9 800 19 26 700 19 1 405 26 ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ · · · , 1 154,77 8 Grupo sanguíneo Frecuencia A 10 B 2 AB 1 O 12 G U Í A D I D Á C T I C A • 169 Años 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 Franco francés 19,00 20,22 20,93 19,57 18,57 18,72 18,42 19,34 Diámetro 0,092 0,093 0,094 0,095 0,096 0,097 0,098 Nº tornillos 1 2 3 2 2 2 4 Nº roturas 0 1 2 3 4 5 Nº varillas 141 62 31 14 1 1 Resolviendo la ecuación, se obtiene que n = 25 Por tanto, el número de alumnos es: 30 + 25 + 30 = 85 Una oficina bancaria ha tabulado las cantidades de dinero que retiran de sus cuentas 100 clientes jóvenes en un determinado día: Calcula la cantidad media de dinero retira- da por el cliente. La cantidad media de dinero retirado es: El siguiente diagrama de barras muestra las calificaciones obtenidas por un grupo de 50 alumnos. Cons- truye el histograma correspondiente a las calificaciones numéricas y calcula la calificación media, teniendo en cuenta el siguiente cuadro de calificaciones: El histograma pedido es: La calificación media es: PÁGINA • 277 Un especialista en pediatría obtuvo la siguiente tabla sobre los meses de edad de 50 niños de su consulta en el momento de andar por primera vez: a) Dibuja el polígono de frecuencias. b) Calcula la media, la moda y la mediana. a) El polígono de frecuencia es el siguiente: b) La media es: Se ha pasado un test de 79 preguntas a 600 personas. El número de respuestas correctas se refleja en la siguiente tabla: a) Representa los datos mediante un histograma. b) Calcula la media y la moda de respuestas correctas. c) Calcula la mediana y el primer cuartil. ¿Qué miden estos parámetros? 9 x M M e · · 610 50 12 2 0 , meses La moda es : =12 meses La mediana es : =12 meses 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 9 10 11 12 13 14 15 Meses Frecuencias 8 x · ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + + · · 2 5 20 6 14 8 12 9 5 4 20 14 12 4 275 50 5 36 , , , 7 suspenso 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 aprobado notable sobresaliente x · · 3 700 100 37 6 170 • G U Í A D I D Á C T I C A Euros [0, 20) [20, 40) [40, 60) [60, 80) [80, 100] Nº clientes 33 27 19 14 7 suspenso aprobado notable sobres [0, 5) [5, 7) [7, 9) [9, 10] Meses 9 10 11 12 13 14 15 Niños 1 4 9 16 11 8 1 Respuesta [0, 10) [10, 20) [20, 30) [30, 40) [40, 50) [50, 60) [60, 70) [70, 80 Nº de personas 40 60 75 90 105 85 80 65 a) El histograma pedido es el que sigue. Los gastos mensuales en lectura (periódi- cos, revistas y libros) de 7 personas fueron, en euros, 27, 29, 9, 28, 27,5, 30 y 28,5. a) Calcula la media y la mediana de los datos anteriores. ¿Cuál de ellas es más representativa para estos datos? b) Si el precio de los artículos de lectura sube un 10 % y se mantiene el consumo, deduce los nuevos valores de la media y la mediana a partir de los resultados obtenidos en el apartado anterior. a) La media es: La mediana de los datos del enunciado, previamente ordenados, es: Me = 28 euros En esta situación es más representativa la mediana que la media. b) Los parámetros anteriores aumentan ambos un 10 por ciento y valen: Para el siguiente conjunto de datos: 10, 13, 4, 7, 8, 11, 10, 16, 18, 12, 3, 6, 9, 9, 4, 13, 20, 7, 5, 10, 17, 10, 16, 14, 8, 18 Obtén su mediana y cuartiles. Ordenamos previamente los datos, éstos son: 3, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 11, 12, 13, 13, 14, 16, 16, 17, 18, 18, 20 Los cuartiles son: Los siguientes datos corresponden a la altura en centímetros de los alumnos de una determinada clase: 150, 169, 171, 172, 172, 175, 176, 177, 178, 179, 181, 182, 183, 184, 184 Calcula la moda, mediana y los cuartiles de la variable. Indica el significado de los parámetros encontrados. Existen dos valores modales, son 172 y 184 cen- tímetros. La mediana o segundo cuartil vale M e = Q 2 = 177 cm. Los otros dos cuartiles son Q 1 = 172 cm y Q 3 = 182 cm. 12 Q Q M Q e 1 2 3 7 10 14 · · · · ; y 11 x y Me · · 28 13 30 8 , , euros euros x · · 179 7 25 57 , euros. 10 b) c) La media es La desviación típica es La media es : El primer cuartil es : 1 : , : , , , , x M Q e · · · − ( ) · · + − ⋅ · · + − ⋅ · 25 600 600 42 67 1 345 000 600 42 67 20 52 40 300 265 105 10 43 33 20 150 100 75 10 26 67 2 σ 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 5 15 25 35 45 55 65 75 Respuestas Frecuencias G U Í A D I D Á C T I C A • 171 Se ha medido la altura (en cm) de un grupo de 100 alumnos de Segundo de Ba- chillerato y, posteriormente, se han agru- pado los datos en intervalos (abiertos por la derecha). Los resultados se han representado en el histograma adjunto. Se pide: a) Hallar la correspondiente tabla completa de frecuencias y calcular la media. b) Representar el polígono de frecuencias acumuladas y hallar la mediana y el primer cuartil. c) Calcular el percentil 60, es decir, encontrar un intervalo que abarque el 60 % de la población a) La tabla es: El polígono de frecuencias acumuladas es: PÁGINA • 278 Calcula todos los parámetros de disper- sión que se describen en el texto para las siguientes distribuciones estadísticas: a) Goles por partido en la liga de fútbol 86-87: b) Prueba, con puntuación de 0 a 10, a 20 personas: c) Calificaciones de 20 estudiantes: 6, 3, 2, 5, 7, 5, 9, 7, 6, 1, 4, 6, 6, 4, 2, 10, 8, 7, 5, 9. a) El ango es : La desviación media es = La varianza es La desviación típica es 2 r R DM · − · · · · − ( ) · 8 0 8 377 4 306 1 23 2 39 2 342 306 2 29 1 55 2 , , , , , σ σ 14 c) El percentil 60 e : = cm. 60 s P 175 60 100 100 36 40 5 178 + ⋅ − ⋅ · Altura Frecuencias absolutas acumuladas 150 160 170 180 190 200 210 20 10 40 30 50 60 80 70 90 100 b) La mediana es : = cm. El primer cuartil es : = cm. 1 M Q e 175 100 2 36 40 5 176 75 170 100 4 16 20 5 172 25 + − ⋅ · + − ⋅ · , , Frecuencias absolutas Frecuencias relativas Porcentajes Altura (cm) Simples Acumuladas Simples Acumuladas Simples Acumuladas 150 165 6 6 0 06 0 06 6 6 165 170 10 16 0 10 0 16 10 16 170 175 20 36 0 20 0 36 20 36 175 180 40 76 0 40 0 76 40 76 180 190 16 92 0 16 0 92 16 92 190 210 8 100 0 08 1 00 8 100 , , , , , , , , , , , , , , , , , , [ ) [ ) [ ) [ ) [ ) [ ) 150 165 170 175 180 190 210 0,06 0,1 0,08 0,16 0,2 0,4 h i 13 172 • G U Í A D I D Á C T I C A Nº de goles 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Partidos 32 71 80 62 36 15 6 2 2 Intervalo [0, 2) [2, 4) [4, 6) [6, 8) [8, 10] Nº de personas 2 4 8 5 1 Las ventas de tres modelos de coches de un concesionario durante 15 semanas son: Averigua la media y la desviación típica de las ventas de cada uno de los tres modelos de coches y, mediante el coeficiente de variación, compara las respectivas dispersiones relativas. Las dispersiones, en porcentajes, son, respectivamente: 27,99 %, 44,79 % y 39,46 % Los datos del modelo Y son los más dispersos. Los jugadores de un determinado equipo de baloncesto se clasifican, por alturas, según la tabla siguiente: Queremos analizar la variable altura, para lo cual se pide calcular: a) La mediana. b) La media y la desviación típica. c) ¿Cuántos jugadores se encuentran por encima de la media más una desviacion tí- pica? a) La mediana es: b) La media y la desviación típica son: c) Los jugadores que se encuentran por encima de: son 2 del intervalo [1,90 ; 1,95) y otros 2 del intervalo [1,95 ; 2,00); en total, 4. Un jugador de baloncesto tiene dos ofer- tas para la próxima temporada en equipos de categorías similares. Al consultar la in- formación de la pasada liga, observa que los componentes del equipo A tienen una media de 18 puntos con desviación típica de 4 puntos, mientras que en el equipo B la media es de 21 puntos con desviación típica de 9. Dado que las condiciones económicas de ambos contratos son prácticamente las 17 x + · + · σ 1 866 0 064 1 93 , , , x · · 1 866 0 064 , , σ Me · + − ⋅ · 1 85 23 2 8 8 0 05 1 872 , , , . cm 16 V V y z · · · · 10 839 24 2 0 4479 9 363 23 73 0 3946 , , , , , , Para el modelo tenemos : y Para el modelo tenemos : y Para el modelo tenemos : y Los coeficientes de variación son : x x y y z z V x y z x · · · · · · · · 20 8 5 822 24 2 10 839 23 73 9 363 5 822 20 8 0 2799 , , , , , , , , , σ σ σ 15 b) El coeficiente de variación es El ango es : La desviación media es = La varianza es La desviación típica es 2 V r R DM · · · − · · · · − ( ) · 1 55 2 29 0 6769 10 0 10 30 8 20 1 54 4 19 564 20 4 9 2 , , , , , , , σ σ 22 05 2 05 4 9 0 4184 10 1 9 38 8 20 1 94 5 74 742 20 5 6 2 40 2 40 5 6 0 4286 2 , , , , , , , , , , , , El coeficiente de variación es El ango es : La desviación media es = La varianza es La desviación típica es El coeficiente de variación es 2 V r R DM V · · · − · · · · − ( ) · · · c) σ σ G U Í A D I D Á C T I C A • 173 Semana 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Mod X 25 15 32 19 10 25 15 19 29 17 22 28 18 17 21 Mod Y 20 14 12 25 37 13 44 14 15 39 36 25 15 18 36 Mod Z 19 19 34 43 19 18 26 8 17 30 33 26 12 17 35 Altura [1,70; 1,75) [1,75; 1,80) [1,80; 1,85) [1,85; 1,90) [1,90; 1,95) [1,95; 2,00] Nº de jugadores 1 3 4 8 5 2 mismas, el jugador decide fichar por el equipo en el que tenga mayores posibilidades de destacar como figura. ¿Cuál será la opción elegida? Debe elegir el equipo A, ya que en él todos los jugadores son parecidos, y, sin embargo, en el equipo B los jugadores presentan grandes diferencias como lo muestra el alto valor de la desviación típica. En la tabla aparecen los resultados de las calificaciones correspondientes a un examen de Matemáticas para dos muestras de 10 alumnos: ¿Qué grupo obtuvo mejores resultados? ¿Cuál es más homogéneo? La media y la desviación típica de cada grupo es: Según la media los dos grupos obtienen igual resultado. El grupo B es más homogéneo al tener menor desviación típica. PÁGINA • 279 Se nos informa que los datos correspondientes a los gráficos A y B son, aproximadamente: – x 1 = 5,4; σ 1 = 3,3; – x 2 = 5,6; σ 2 = 2,5. Averiguar el gráfico correspondiente a cada par ( – x, σ), explicando el razonamiento que se ha seguido. El gráfico A presenta menos dispersión, por tanto le corresponden x – 2 = 5,6 y σ 2 = 2,5. La otra pareja de valores son los del gráfico B. En una clase hay 15 alumnos y 20 alumnas. El peso medio de los 15 alumnos es de 58,2 kg, y el de las 20 alumnas de 52,4 kg. Supongamos que las desviaciones típicas de los dos grupos son, respectivamente, 3,1 kg y 5,1 kg. El peso de Juan es de 70 kg y el de Pilar es de 65 kg. ¿Cuál de ellos puede, dentro del grupo de alumnos de su sexo, considerarse más grueso? Calculamos las puntuaciones típicas de ambos alumnos: • Pilar pesa 65 kg, con x – p = 52,4 y σ p = 5,1. • Juan pesa 70 kg, con x – g = 58,2 y σ g = 3,1. Por tanto, Debe considerarse a Juan más grueso, dentro del grupo de alumnos. Se han realizado dos pruebas, en una determinada asignatura, a un grupo de alumnos, la prueba M y la N. De la infor- mación obtenida se han hecho los siguientes cálculos: – x M = 15,5 – x N = 75 σ M = 2,5 σ N = 30,6 Los alumnos 1 y 2 han obtenido los siguientes resultados: x 1, M = 16,7 x 2, M = 14 x 1, N = 77,5 x 2, N = 82,4 ¿Cuál de los dos alumnos puede considerarse mejor? Calculamos las puntuaciones típicas de cada uno de los alumnos. Se tiene para el primer alumno que: Y para el segundo alumno: En el examen M ha sido mejor el alumno 1 y, por contra, en el examen N ha sido mejor el alumno 2. z z M N 2 2 14 15 5 2 5 0 6 82 4 75 30 6 0 242 · − · − · − · , , , , , , z z M N 1 1 16 7 15 5 2 5 0 48 77 5 75 30 6 0 082 · − · · − · , , , , , , , 21 z z p j · − · · − · 65 52 4 5 1 2 471 70 58 2 3 1 3 806 , , , , , , 20 19 Grupo Grupo A x B x A A B B : , , : , , · · · · 4 6 3 072 4 6 1 744 σ σ 18 174 • G U Í A D I D Á C T I C A Gráfico A Gráfico B Grupo A 0 1 1 3 5 5 6 8 8 9 Grupo B 2 2 4 4 4 5 5 6 6 8 Al estudiar la distribución de la edad en una población, se obtuvieron los resultados siguientes: Como se ve, se ha extraviado el dato correspondiente al intervalo (20, 40]. a) ¿Cuál sería el valor de ese dato si la edad media fuera de 35 años? b) ¿Cuál sería el valor de ese dato si la edad mediana fuera de 35 años? c) ¿Cuál sería la desviación típica si el dato fuera 16? a) En este caso, b) En este caso, c) Si el dato fuera 16 la desviación típiva sería: σ = 22,358 Las edades, en años, de los asistentes a cierto curso fueron: 37, 35, 38, 36, 37, 40, 38, 25, 38. a) ¿Cuál es la edad media de los asistentes? b) La varianza del conjunto de datos anterior es 16,9. Las mismas personas asistirán a otro curso dentro de 2 años. Obtén razonadamente la media y la varianza del nuevo conjunto de datos a partir de las correspondientes al conjunto de datos inicial. a) La edad media es x – = 36 años. b) La media y la varianza de los datos 39, 37, 40, 38, 39 ,42, 40, 27, 40, es: x – = 38 σ 2 = 16,9 Debe tenerse en cuenta que las varianzas de las dos series de datos coinciden y que la diferencia entre las medias son los dos años que han transcurrido. La suma de unos datos es de 25 unidades y la de sus cuadrados es de 250 unidades cuadradas. Si la media y la desviación tí- pica coinciden, calcular: a) La media de los datos. b) La varianza de los datos. Llamando n al número de datos, debe cumplirse: La solución del sistema es x – = 5; n = 5. a) La media de los 5 datos es x – = 5. b) La varianza de los 5 datos es σ 2 = 25. Las puntuaciones obtenidas por 50 alumnos en una cierta prueba pueden verse en la tabla. a) Calcular la moda, la mediana, el primer y el tercer cuartil. ¿Cuál es el significado de estos valores? b) Calcular la media, la varianza y la desviación típica de la puntuación obtenida. c) ¿Qué ocurre con el valor de la media si a todos los alumnos se les sube la pun- tuación obtenida 1 punto? ¿Y con la varianza? a) La moda es Mo = 6. La mediana es Me = 6. El primer cuartil es Q 1 = 4. El tercer cuartil es Q 3 = 7. b) La media es x – = 5,64. La derivación típica es σ = 1,852. La varianza es σ 2 = 3,43. c) La media aumenta en 1 punto y la varianza per- manece igual. PÁGINA • 281 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 1. EL PASTOR Y EL REBAÑO. Un pastor tiene un redil, donde guarda su rebaño, en lo alto de una montaña. Un determinado día sale de su casa a las 9 de la mañana y, 25 x n n x x · · − · ¹ ' ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ 25 250 2 σ 24 23 35 20 46 2 15 20 32 · + + − ⋅ ⇒ · x x x 35 10 15 30 50 15 70 16 15 15 16 82 · ⋅ + + ⋅ + ⋅ + + + ⇒ · x x x 22 G U Í A D I D Á C T I C A • 175 Edad (en años) [0, 20] (20, 40] (40, 60] (60, 80] Nº de individuos 15 ? 15 16 Puntuaciones 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Nº de alumnos 1 2 2 8 10 12 7 5 2 1 después de caminar todo el día, llega al lugar donde está el redil. Allí está durante 10 días, al término de los cuales y a las 9 de la mañana regresa a su casa. Al ir bajando, se pregunta: ¿Habrá algún punto del camino por el que pase a la misma hora que pasé el día que subí a la mon- taña? En el gráfico esá muy clara la situación del problema y la solución del mismo. Efectivamente, hay un punto por el que pasa a la misma hora, y es el punto (*) en el que se encuentra los dos trayectos: de ida y vuelta. 2. DOS DEPORTISTAS. Luis y Ana todos los días hacen deporte. Ayer fueron desde la Plaza Mayor hasta el Pinarcillo. Luis corrió la mitad de distancia y anduvo la otra mitad. Ana corrió la mitad del tiempo y anduvo la otra mitad. Los dos corren a la misma velocidad y andan a la misma velocidad. ¿Quién llegó antes al Pinarcillo? Cuando Luis está a mitad del camino, comienza a andar, luego la otra mitad va a velocidad más lenta. En cambio, Ana, al correr la mitad del tiempo, corre más de la mitad del camino, por lo que menos de la mitad lo hace andando, así que llega antes Ana. 3. TRIPLE OPERACIÓN. Un montañero ha su- frido una grave caída y, al llegar al hospital, ha de ser operado por tres cirujanos distintos. En ese momento hay una epidemia que pueden padecer los cirujanos y el montañe- ro. Esta enfermedad puede contagiarse a través de cualquier útil o por la piel. Las tres intervenciones se debían realizar con- secutivamente. Cada cirujano debe operar con ambas manos, pero en el hospital sólo había dos pares de guantes esterilizados. ¿Cómo consiguieron operar al montañero, utilizando los guantes disponibles y evitan- do toda la posibilidad de contagio? El primer cirujano se pone el guante (A) dentro del otro (B), es decir, se pone el A y encima se pone el B. El 2º cirujano se pone el guante (B) por la cara que no ha tocado al herido. El 3 er cirujano se pone el guante (A) dándole la vuelta y encima de éste el B, operando al herido por el lado del guante B con el que ya han operado los otros dos cirujanos. LUIS ANA anda anda corre corre Plaza Mayor Plaza Mayor Pinarcillo Pinarcillo * ida vuelta Tiempo REDIL Lugar 9 de la mañana sale hacia el redil 176 • G U Í A D I D Á C T I C A Al finalizar esta Unidad Didáctica, el alumno y la alumna deberán ser capaces de: 1. Conocer los conceptos de la Estadística bidimensional: variable bidimensional, nube de puntos o diagramas de dispersión, correlación y regresión. 2. Con los datos obtenidos en una variable bidimensional, hacer el recuento y confeccionar la tabla correspondiente. 3. Calcular, por procedimientos algorítmicos y mediante la calculadora, el coeficiente de correlación lineal de Pearson. 4. Ajustar la nube de puntos a la posible recta de regresión, calculando los coeficientes por procedimientos algorítmicos y mediante la calculadora. 5. Valorar la gran importancia que tienen la correlación y regresión en el estudio predictivo de diversas ciencias: políticas, sociales, medicina y economía. • Hacer aflorar las ideas que el alumno tiene sobre las situaciones de tipo estadístico que ha adquirido en cursos pasados. • Fomentar el razonamiento deductivo a través de los procesos seguidos en la obtención de los pa- rámetros y las rectas que aparecen en la unidad didáctica. • Orientar el desarrollo de la Unidad haciendo primar los procedimientos y técnicas, poniendo el én- fasis en una metodología heurística. G U Í A D I D Á C T I C A • 177 OBJETIVOS DIDÁCTICOS ¿CÓMO TRABAJAR LA UNIDAD? PÁGINA • 283 ACTIVIDADES INICIALES 1. Un centro sanitario está llevando a cabo un estudio sobre la edad y el peso de los ni- ños. Un determinado día obtiene los siguientes resultados: (6, 24) (4, 21) (2, 15) (4, 21) (3, 18) (3, 17) (5, 19) (5, 23) (7, 33) (6, 24) (3, 18) (4, 21) (5, 19) (7, 33) (6, 24) (8, 40) (5, 20) (6, 24) (5, 19) (6, 28) a) Construye una tabla estadística de doble entrada. b) Encuentra la media y la desviación tí- pica de las edades y del peso en kilogramos. a) La tabla de doble entrada es: b) Los parámetros de las edades son: x – = 5 σ x = 1,517 Los parámetros de los pesos son: y – = 23,05 σ y = 6,07 y x peso \ edad TOTALES 1 3 3 TOTALES 2 3 4 5 6 7 8 15 20 7 20 25 3 2 4 9 25 30 1 1 30 35 2 2 35 40 1 1 1 3 3 5 5 2 1 20 , , , , , [ ) [ ) [ ) [ ) [ ) 178 • G U Í A D I D Á C T I C A CONCEPTOS 1. Variables estadísticas bidimensionales. 1.1. Distibuciones bidimensionales. 2. Diagramas de dispersión o nube de puntos. 3. Dependencia o correlación. 4. Correlación lineal. Coeficiente de Pearson. 4.1. Escala de valores del coeficiente de correlación lineal. 5. Regresión. Rectas de regresión. 5.1. Estimaciones con la recta de regresión. 6. Calculadora científica y estadísti- ca bidimensional. 7. Calculadora gráfica y estadística bidimensional. – Reconocimiento y valora- ción de la utilidad del lenguaje estadístico bidimensional para matematizar e interpretar situaciones relacionadas con la vida cotidiana y con el conocimien- to científico. – Sensibilidad y gusto por la precisión, el orden y la claridad en el tratamiento y presentación de datos y resultados de observaciones y experimentos. – Disposición favorable hacia el trabajo propuesto. • Construcción de tablas es- tadísticas bidimensionales. • Cálculo e interpretación de los parámetros estadísticos centrales y de dispersión, así como el coeficiente de co- rrelación lineal de Pearson. • Utilización de las rectas de regresión en correlación lineal y cálculo de las mismas. • Utilización de la calculadora en los cálculos de esta- dística bidimensional. ACTITUDES PROCEDIMIENTOS RESOLUCIÓN DE ACTIVIDADES 2. Las ventas de libros de aventuras en una li- brería tiene como valores – x = 10, σ = 3. ¿Cómo se clasificaría un día que se vendan 15 libros de aventuras? Es un día raro, ya que 15 se sitúa en el intervalo (x – – 2σ, x – + 2σ). La puntuación típica z = = 1,6667 se aleja bastante de la media estándar que es cero. 3. Diez alumnos han realizado el último mes dos ejercicios de Matemáticas. Las notas son las de la tabla. Dibuja la nube de puntos. Ajusta a ojo una recta a la nube de puntos y estima el valor que tendrá la posible correlación. La nube de puntos será: La recta ajustada a ojo puede ser bisectriz del cuadrante, y = x. La correlación será positiva y fuerte, próxima a 1. PÁGINA • 296 ACTIVIDADES DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE Estudia si existe o no correlación entre las siguientes variables estadísticas e indica su tipo en caso de que exista. a) Estatura de un estudiante y calificación que este obtiene en Lengua. b) Visión espacial de un estudiante y cali- ficación que este obtiene en Dibujo Téc- nico. c) Número de vehículos en las carreteras y número de accidentes. d) Peso de un alumno y calificación en Educación Física. e) Gastos en publicidad de una empresa y ventas efectuadas por la misma. f) Número de plazas hospitalarias e índice de mortalidad de un país. a) No es probable que exista correlación. b) Es probable que haya correlación positiva y fuerte. c) Es probable que haya correlación positiva y fuerte. d) No es probable que exista correlación. e) Es probable que haya correlación positiva. f) Es probable que haya correlación positiva y fuerte. Se ha pasado una encuesta a los 20 vecinos de una urbanización de las afueras de una gran ciudad obteniéndose los siguientes resultados en los que el primer número se refiere al número de viajes realizados por los padres y el segundo al número de viajes realizados por sus hijos. (4, 1) (3, 4) (2, 5) (1, 6) (3, 2) (2, 6) (2, 6) (4, 2), (1, 7) (1, 6) (4, 1) (1, 7) (2, 4) (2, 6) (3, 3) (4, 2), (4, 1) (4, 2) (1, 6) (2, 5) a) Construye la tabla de doble entrada correspondiente. b) Representa gráficamente los datos de esta tabla y a la vista de la gráfica estudia si existe correlación entre las variables y el tipo de la misma. 2 1 Primer ejercicio Segundo ejercicio 10 8 6 4 2 O 2 4 6 8 10 15 – 10 3 G U Í A D I D Á C T I C A • 179 Primer ejercicio 4 7 6 9 4 7 9 4 8 10 Segundo ejerc. 5 8 5 10 3 6 8 4 8 10 a) La tabla de doble entrada es: b) El diagrama de dispersión es: Las variables presentan una correlación lineal fuerte y negativa. En una muestra de 100 familias se han estudiado las variables estadísticas X, número de miembros en edad laboral, e Y, número de ellos que se encuentran en activo. Los resultados obtenidos pueden verse en la tabla adjunta. a) Construye la tabla bidimensional simple correspondiente. b) Obtén las distribuciones marginales de X e Y. c) Calcula la media y la derivación típica de las distribuciones marginales. a) La tabla bidimensional simple es: b) Las distribuciones marginales son: • Número de miembros en edad laboral: • Número de miembros en activo: c) Los parámetros de las distribuciones marginales son: x – = 3,01 σ x = 0,985 y – = 1,54 σ y = 0,713 Se ha solicitado a un grupo de 50 individuos información sobre el número de horas que dedica diariamente a dormir y a ver la televisión. La clasificación de las respuestas ha permitido elaborar la siguiente tabla: a) Realiza el diagrama de dispersión correspondiente. b) Calcula la media y la desviación típica de cada una de las variables. c) Halla el porcentaje de individuos que ven la televisión por encima de la media. d) Calcula el coeficiente de correlación lineal. a) La nube de puntos es: Nº horas TV 4 6 8 10 O 5 7 9 3 2 1 Nº horas dormidas 4 y f i 1 2 3 59 28 13 x f i 1 2 3 4 9 21 30 40 x y f ij 1 2 2 3 3 3 4 4 4 1 1 2 1 2 3 1 2 3 9 14 7 16 9 5 20 12 8 3 Viajes padres Viajes hijos 1 2 3 4 2 1 4 3 5 6 7 y x viajes hijos viajes padres 3 \ 1 2 3 4 1 2 1 3 3 1 4 1 1 5 2 6 3 3 7 2 − − − − − − − − − − − − − − − − − − 180 • G U Í A D I D Á C T I C A x y 1 2 3 1 9 0 0 2 14 7 0 3 16 9 5 4 20 12 8 N.º horas dormidas X 6 7 8 9 10 N.º horas televisión Y 4 3 3 2 1 Frecuencias absolutas 3 16 20 10 1 b) La media y la desviación típica de cada una de las variables es: x – = 7,8 σ x = 0,89 y – = 2,82 σ y = 0,55 c) El porcentaje de individuos por encima de la media es: = 0,78, es decir, del 78 %. d) La covarianza es: σ xy = –0,436. El coeficiente de correlación lineal es: r · = –0,891 PÁGINA • 297 La siguiente tabla muestra el valor (en euros) de algunas monedas y su diámetro (en milímetros). ¿Qué tipo de correlación existe entre estas variables? Halla el coeficiente de co- rrelación. Los parámetros de las variables son: • Valor en euros: x – = 0,485 σ x = 0,654 • Diámetro en mm: y – = 21,4375 σ y = 2,904 La covarianza es: σ xy = 1,465. El coeficiente de correlación lineal es: r · = 0,772 La correlación es positiva y fuerte. En cinco estudios estadísticos se han obtenido los siguientes coeficientes de correla- ción lineal: r = –0,98 r = 0,93 r = 0,05 r = 0,71 r = –0,62 Identifica, justificando la respuesta, la nube de puntos correspondiente a cada uno de ellos: A los gráficos les corresponden los siguientes coeficientes de correlación: a) r = 0,05 b) r = 0,71 c) r = –0,98 d) r = 0,93 e) r = –0,62 Se han pasado dos pruebas a un grupo de alumnos de 4.º ESO. Una de ellas corresponde a Física y la 2.ª no sabe el tutor del grupo si era de Matemáticas o de Idioma. A la vista de la relación entre las variables indica a que asignatura crees tú que corresponde la 2.ª prueba. Los parámetros de la primera prueba son: x – = 12,5 σ x = 2,73 Los parámetros de la segunda prueba son: y – = 14,3 σ y = 2,72 La covarianza es: σ xy = 3,15 7 d) e) a) b) c) 6 1,465 0,654 · 2,904 5 –0,436 0,89 · 0,55 20 + 16 + 3 50 G U Í A D I D Á C T I C A • 181 Valor 0,01 0,02 0,05 0,1 0,2 0,5 1 2 Diámetro 16,25 18,75 21,25 19,75 22,25 24,25 23,25 25,75 Alumno/a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1.º 14 12 15 12 13 12 17 7 9 14 2.º 14 13 17 15 16 12 12 10 14 20 El coeficiente de correlación lineal es: r · = 0,42 Ante el valor obtenido podemos pensar que la segunda prueba corresponde a Idioma. PÁGINA • 298 La estadística de ingresos de determinadas empresas, en millones de euros, y de empleados, en miles, es la siguiente: a) Estudia la correlación existente entre ambas variables. b) Determina la recta de regresión de ingresos en función del número de empleados. Los parámetros de las variables son: x – = 2,68 σ x = 1,98 y – = 15,4 σ y = 7,96 σ xy = 8,47 a) La correlación es: r = = 0,54 b) La recta de regresión es: y – 15,4 = = (x – 2,68) Una compañía disco- gráfica ha recopilado la siguiente informa- ción sobre el número de conciertos ofreci- dos, durante el verano, por 15 grupos musicales y las ventas de discos de estos grupos (expresadas en miles de CDs), obteniendo los datos siguientes: a) Calcula el número medio de CDs vendidos por estos grupos. b) ¿Cómo es el grado de dependencia lineal del número de conciertos dado por el grupo con respecto al número de discos que ha vendido? c) Obtén la recta de regresión que explica la dependencia anterior. d) Si un grupo musical ha vendido 18 000 CDs, ¿qué número de conciertos es pre- visible que dé? Llamando x al número de CDs vendidos e y al nú- mero de conciertos, los datos en una tabla simple son: Los parámetros estadísticos son: x – = 9,6 σ x = 4,71 y – = 41 σ y = 16,55 σ xy = 63,4 a) El número medio de CDs vendidos es: x – = 9,6 b) El coeficiente de correlación lineal es: r = = 0,814 La dependencia lineal es moderada. c) La recta de regresión es: y – 41= (x – 9,6) d) Si x = 18, el número de conciertos aproximado es: y – 41 = (18 – 9,6); y = 65,01 conciertos. En la tabla figuran los datos correspondientes a una variable estadística bidimensional. a) Calcula la covarianza. b) Obtén e interpreta el coeficiente de co- rrelación lineal. c) Determina la ecuación de la recta de re- gresión de Y sobre X. 10 63,4 22,18 63,4 22,18 63,4 4,71 · 16,55 x y f i 3 7 5 7 5 7 5 15 15 20 20 35 60 35 60 3 1 4 1 1 5 15 , , , … → 9 8,47 3,92 8,47 1,98 · 7,96 8 3,15 2,73 · 2,72 182 • G U Í A D I D Á C T I C A Ingresos 5,7 3,8 1,9 1 1 Empleados 16 29 17 6 9 10-30 30-40 40-80 1-5 3 0 0 5-10 1 4 1 10-20 0 1 5 Y X 100 50 25 14 1 1 0 18 2 3 0 22 0 1 2 conciertos CDs Los valores de la variable en una tabla simple son: Los parámetros estadísticos son: x – = 60 σ x = 27,83 y – = 18,4 σ y = 2,8 a) La covarianza es: σ xy = – 60 · 18,4= –44 b) El coeficiente de correlación es: r = = –0,56 La correlación es negativa y débil. c) La recta de regresión de Y sobre X es: y – 18,4= (x – 60) La siguiente tabla muestra los valores ob- servados de dos variables X e Y en cinco individuos: a) Halla a para que el coeficiente de co- rrelación sea nulo. b) Suponiendo que a = 4, halla la recta de regresión de Y sobre X y estima el valor de Y cuando X tome el valor –2. a) El coeficiente de correlación lineal es nulo si la covarianza es nula. Por tanto, – (–0,4) · = 0 La solución de la ecuación es a = –2,083. b) Los parámetros de las variables son: x – = 1,8 σ x = 1,72 y – = –0,4 σ y = 1,85 σ xy = 2,92 La recta de regresión de Y sobre X es: y + 0,4 = (x – 1,8) ⇔ y = 0,99x – 2,18 Si x = –2, el valor estimado de y es: y = 0,99 (–2) – 2,18 ⇒ y = –4,16 De dos variables X e Y se sabe que la desviación típica de X es , la media y la desviación típica de Y valen 1 y 2, respectivamente, y la ecuación de la recta de regresión de Y sobre X es 2x + 3y = 6. Hallar: a) La media de X. b) La covarianza de X e Y. c) El coeficiente de correlación. d) La recta de regresión de X e Y. a) La recta de regresión 2x + 3y = 6 pasa por el punto (x – , y – ), por tanto: 2x – + 3·1 = 6 ⇒ 2x – = 3 ⇒ x – = b) El coeficiente de regresión vale para la recta 2x + 3y = 6 c) El coeficiente de correlación es: d) La recta de regresión de X sobre Y es: PÁGINA • 299 La siguiente tabla muestra las notas que 5 amigos de primer curso de Bachillerato obtuvieron en la primera y segunda eva- luación en la asignatura de Inglés: a) Calcula el coeficiente de correlación lineal, interpretando el resultado. b) Determina las rectas de regresión de Y sobre X y de X sobre Y. c) Halla el punto donde se cortan las dos rectas de regresión. 13 x y x y − · − · − ( ) ⇔ · − + 1 5 2 2 1 0 5 2 2 , , r x x y · ⋅ · − ⋅ · − σ σ σ 2 3 2 0 58 , σ σ σ σ xy x x xy 2 2 3 3 2 · − · · − ; , al ser obtenemos σ σ xy x 2 3 2 √3 12 2,92 (1,72) 2 5 + a 5 3 + 2a 5 11 –44 774,51 –44 27,83 · 2,8 10 600 10 x y f i 100 100 50 50 50 25 14 18 14 18 22 22 1 2 1 3 1 2 G U Í A D I D Á C T I C A • 183 X 1 –1 a 2 3 Y –2 –3 2 1 0 1ª Evaluación (X) 5 6,5 8 4 3 2ª Evaluación (Y) 4,5 7 7,5 5 3,5 a) Los parámetros son: x – = 5,3 σ x = 1,78 y – = 5,5 σ y = 1,52 σ xy = 2,55 El coeficiente de correlación lineal es: r = = 0,94 La correlación es positiva y muy fuerte: b) La recta de regresión de Y sobre X es: La recta de regresión de X sobre Y es: c) Las rectas de regresión se cortan en el punto (x – , y – ), es decir, en (5,3 ; 5,5). En las bibliotecas de seis ciudades se han analizado la afluencia de lectores X (ex- presada en miles de personas) y el núme- ro de libros prestados (Y), obteniéndose los siguientes datos: a) ¿Cuál es el nú- mero medio de libros prestados en el conjunto de bibliotecas? b) Ajusta estos datos a una recta en la que obtener el número de libros prestados a partir del nú- mero de lectores que van a la biblioteca. c) Si acudiesen 1 500 lectores a una biblioteca, ¿cuantos libros se prestarían? a) El número medio de libros prestados es y – = 285. b) La recta de regresión de Y sobre X es: c) Si x = 1,5 se prestarían, aproximadamente: y = 107,14 · 1,5 + 124,3 ⇒ y = 285 libros. Se observaron las edades de 5 niños/as y sus pesos respectivos, obteniéndose los siguientes resultados: a) Halla el coeficiente de correlación y las rectas de regresión de Y sobre X y de X sobre Y. b) ¿Qué peso corresponderá a un niño/a de 5 años? ¿Qué edad corresponderá a un peso de 36 kg? Los parámetros estadísticos de ambas variables son: x – = 5,54 σ x = 2,13 y – = 25,2 σ y = 7,49 σ xy = 15,41 a) El coeficiente de correlación lineal r es: Las rectas de regresión son: • De Y sobre X: • De X sobre Y: b) El peso de un chico de x = 5 años será, aproximadamente: La edad correspondiente a un peso de y = 36 kg es: La recta de regresión del gasto anual en alimentos Y (en euros) por familia, en función de los ingresos anuales X (en euros), viene dada por y = 600 + 1,5x. a) ¿Cuál es el gasto en alimentos en familias con ingresos anuales de diez mil euros? 16 x x − · − ( ) · 36 25 2 15 41 4 54 5 54 8 72 , , , , ; , años. x y − · − ( ) · 25 2 15 41 4 54 5 5 54 23 36 , , , , ; , kg. x y − · · − ( ) 05 54 15 41 56 1 25 2 , , , , y x − · · − ( ) 25 2 15 41 4 54 5 54 , , , , r · ⋅ · 15 41 2 13 7 15 0 96 , , , , 15 y x y x − · ( ) − ( ) ⇒ ⇒ · + 285 46 67 0 66 1 5 107 14 124 3 2 , , , , , 14 x y x y − · ( ) − ( ) ⇒ · − 5 3 2 55 1 52 5 5 1 1 0 77 2 , , , , , , y x y x − · ( ) − ( ) ⇒ · + 5 5 2 55 1 78 5 3 0 8 1 23 2 , , , , , , 2,55 1,78 · 1,52 184 • G U Í A D I D Á C T I C A X 0,5 1 1,3 1,7 2 2,5 Y 180 240 250 300 340 400 Edad, en años (X) 2 4,5 6 7,2 8 Peso, en kg (Y) 15 19 25 33 34 b) Sabiendo que el ingreso medio es de doce mil euros, hallar el gasto medio anual en alimentos. a) Si x = 10 000 euros, el el gasto anual en alimentos será: y = 600 + 1,5 ·10 000 ⇒ y = 15 600 euros. b) Como la recta de regresión para el punto (x – , y – ), al ser, x – = 12 000, obtenemos comos gasto medio anual n alimentos: y – = 600 + 1,5 · 12 000 ⇒ y – = 18 600 euros. La estatura media de una muestra de padres es de 1,68 m con una desviación típi- ca de 5 cm. En una muestra de sus hijos, la estatura media es de 1,70 m con una des- viación típica de 7,5. El coeficiente de co- rrelación entre las estaturas de padres e hijos es 0,7. Si un padre mide 1,80 m, ¿qué estatura se estima que tendrá su hijo? Al ser el coeficiente de correlación r = 0,7; obtenemos: La recta de regresión de Y (estatura de los hijos) sobre X (estatura de los padres) es: Si un padre mide x = 180 cm, se estima que su hijo tendrá: y = 1,05 · 180 – 6,4 ⇒ y = 182,6 cm. NOTA: Todos los datos se han convertido a centíme- tros. PÁGINA • 301 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 1. JUEGO AL QUINCE. Nueve tarjetas numeradas del 1 al 9 se colocan sobre la mesa. Es un juego para dos jugadores y gana el primero que consiga sumar 15, tomando al- ternativamente una tarjeta cada uno. Inten- ta elaborar dos estrategias que puedan conducir a la victoria: una para usarla, si eres tú el primero en comenzar el juego, y otra, si te toca en segundo lugar. La estrategia consiste en establecer una analogía con el cuadrado mágico 3 × 3 que contiene los nueve primeros números naturales 1 … 9 y la constante mágica 15. Hay que utilizarlo como si se jugase al tres en raya. 2. LAS GEMAS DE LA FAMILIA. Un antiguo problema indio cuenta de qué manera, al morir un rico nabab, sus hijos se repar- tieron la herencia, consistente en un cier- to número de gemas iguales. El hijo mayor tomó una piedra más una séptima parte del resto; el segundo, 2 piedras más un séptimo del resto; y así sucesivamente. Al terminar el reparto, todos los hijos habían recibido el mismo número de gemas. ¿Cuántos hijos y gemas tenía el nabab? En total el nabab tenía 36 gemas y 6 hijos. Al mayor le da: gemas. Quedan 30. Al 2.º le da: gemas. Quedan 24. Al 3.º le da: gemas. Quedan 18. Al 4.º le da: gemas. Quedan 12. Al 5.º le da: gemas. Quedan 6. Al 6.º le da: 6 gemas. 3. LÚNULA Y TRIÁNGULO. ¿Existe alguna relación entre el área de la lúnula y la del triángulo de la figura adjunta? Área triángulo = ; Área lúnula = Área semicírculo – Área (x) Área (x) = Área círculo – Área triángulo = = Área lúnula = π − ⇒ r r 2 2 4 2 1 4 1 2 r 2 2 x 5 7 7 6 + · 4 14 7 6 + · 3 21 7 6 + · 2 28 7 6 + · 1 35 7 6 + · 2 7 6 9 5 1 4 3 8 y x y x − · − ( ) ⇒ · − 170 26 25 5 168 1 05 6 4 2 , , , r xy x y xy xy · ⇒ · ⋅ ⇒ · σ σ σ σ σ 0 7 5 7 5 26 25 , , , 17 G U Í A D I D Á C T I C A • 185 = = = Ámbas áreas son iguales. 4. LA CADENA DEL ESTUDIANTE. Un estudiante, a mediados de mes, se ha quedado sin un duro y no puede pagar la pensión de los últimos quince días. Dispone de una cadena de oro de 15 cm de longitud y llega al acuerdo con la patrona de que le pagará la pensión entregándole 1 cm de cadena cada día. El estudiante decidió cortar la cadena en sólo 4 trozos. ¿Cómo consiguió pagar a la patrona? Cortó la cadena en 4 trozos de 1, 2, 4 y 8 cm cada uno. • El primer día le dio 1 cm. • El segundo día le dio el trozo de 2 cm y le de- volvió la patrona el de 1 cm. • El tercer día le dio el trozo de 1 cm, luego la patrona tiene 1 cm + 2 cm. • El cuarto día le dio el trozo de 4 cm y la patrona le devolvió los dos trozos que tenía. • Así sucesivamente. π ⋅ − π + · r r r r 2 2 2 2 4 4 2 2 1 2 2 2 4 2 2 2 2 ⋅ π ⋅ ¸ ¸ _ , − π − ¸ ¸ _ , r r r 186 • G U Í A D I D Á C T I C A Al finalizar esta Unidad Didáctica, el alumno y la alumna deberán ser capaces de: 1. Describir las distribuciones de probabilidad asociadas a las variables aleatorias discretas. 2. Representar gráficamente y utilizar para el cálculo de probabilidades las funciones de probabilidad. 3. Calcular e interpretar la media o valor esperado, así como la desviación típica de una variable aleatoria discreta. 4. Diferenciar las situaciones asociadas a las variables que siguen una distribución binomial. 5. Aplicar el modelo binomial a situaciones que presenten dos únicas opciones de ocurrencia. • Hacer aflorar las ideas que el alumno tiene sobre situaciones de tipo aleatorio que ha adquirido en cursos anteriores. • Realizar el desarrollo de la unidad a través de procedimientos que faciliten el razonamiento deductivo. • Poner en práctica algunas estrategias de resolución de problemas en la resolución de las actividades de esta unidad. G U Í A D I D Á C T I C A • 187 OBJETIVOS DIDÁCTICOS ¿CÓMO TRABAJAR LA UNIDAD? PÁGINA • 303 ACTIVIDADES INICIALES 1. En las familias formadas por cuatro hijos la probabilidad de que éstos sean dos varones y dos hembras es: a) 1/4. b) 1/2. c) 3/8. d) No puede saberse. (c) 2. Una empresa fabrica chips para ordenadores personales. Tras varios controles de calidad descubre que el 5 % de los que fabrica son defectuosos. Elegidos 5 chips al azar, ¿cuál es la probabilidad de que haya 4 defectuosos? 3. Un arquero tiene una probabilidad de 5/6 de hacer blanco. Si realiza cuatro disparos, calcula: a) La probabilidad de hacer dos blancos. b) La probabilidad de hacer dos o más blancos. a) b) 4. Una fábrica de galletas empaqueta éstas en cajas de cien unidades cada una. Para probar la eficacia de la producción, se han analizado 80 cajas, comprobando las galletas P B P B P B P B ( ) ( ) ( ) ( ) , ≥ · + + · · ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ¸ ¸ _ , + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ¸ ¸ _ , + ¸ ¸ _ , · 2 2 3 4 5 6 5 6 1 6 1 6 4 2 5 6 5 6 5 6 1 6 4 3 5 6 0 98 4 P B ( ) , 2 5 6 5 6 1 6 1 6 4 2 0 1157 · ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ¸ ¸ _ , · P x ( ) , · · ¸ ¸ _ , ⋅ ¸ ¸ _ , ⋅ · 4 5 4 5 100 95 100 0 0000297 4 P V M ( ) 2 2 4 2 1 2 1 2 3 8 2 2 y · ¸ ¸ _ , ⋅ ¸ ¸ _ , ¸ ¸ _ , · 188 • G U Í A D I D Á C T I C A CONCEPTOS 1. Experimentos aleatorios. Espacio muestral. Sucesos. 2. Probabilidad. Propiedades. 3. Regla de Laplace. 4. Probabilidad condicionada. Suce- sos dependientes e independientes. 5. Distribuciones estadísticas discretas. 6. Distribuciones de probabilidad discretas. 6.1. Parámetros. 7. Distribución binomial o de las pruebas de Bernoulli. 7.1. Función de probabilidad binomial. 7.2. Media y desviación típica. – Valoración de la utilidad de las variables aleatorias en la matematización de las situaciones de azar. – Curiosidad e interés por en- frentarse a problemas aleatorios. – Gusto por la presentación ordenada de los procesos y resultados obtenidos en los cálculos. – Disposición favorable hacia el trabajo propuesto. • Cálculo de probabilidades mediante la regla de La- place. • Construcción de la función de probabilidad y su aplica- ción al cálculo de probabilidades. • Cálculo y significado de la media y la desviación típi- ca de una variable aleatoria discreta. • Utilización del modelo binomial o de Bernoulli en el cálculo de probabilidades. ACTITUDES PROCEDIMIENTOS RESOLUCIÓN DE ACTIVIDADES defectuosas que contiene cada una y se han obtenido los resultados de la tabla: Calcula, para esta distribución, la media aritmética (µ), la desviación típica (σ) y el número de cajas que están en los intervalos (µ – σ, µ + σ), (µ – 2σ, µ + 2σ), (µ – 3σ, µ + 3σ). µ = 1,125; σ = 1,452 En (µ – σ, µ + σ) = (–0,327; 2,577) hay 65 cajas defectuosas, es decir, el 81,25 %. En (µ – 2σ, µ + 2σ) = (–1,779; 4,029) hay 77 cajas defectuosas, el 96,25 %. En (µ – 3σ, µ + 3σ) = (–3,231; 5,481) hay 79 cajas defectuosas, el 98,75 %. PÁGINA • 316 ACTIVIDADES DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE Lanzamos dos dados al aire y anotamos los números de sus caras superiores. Hallar: a) El espacio muestral. b) El suceso “la suma de los números obtenidos es 7”. c) El suceso “ambos números son iguales”. d) El suceso “el producto de los números es mayor o igual que 20”. e) La probabilidad de cada uno de los sucesos anteriores. a) E = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6) … (6, 5), (6, 6)} El espacio muestral tiene 36 elementos. b) A = “suma puntos es 7” = {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5,2), (6, 1)} c) B = “números iguales” = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)} d) C = “producto ≥ 20” = {(4,5), (4, 6), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 4), (6, 5), (6, 6)} e) P (E) = 1 P (A) = = ; P (B) = ; P (C) = = ; Extraemos una carta de una baraja española de 52 cartas. Sean los sucesos: A = {sacar copas} B = {sacar as} C = {sacar figura} a) Determina los sucesos siguientes: A ʝ B; A ʝ B ʝ C; A – ʝ C; B ʜ C b) Calcula las probabilidades asociadas a los sucesos anteriores. a) A ʝ B = sacar as de copas. A ʝ B ʝ C = sacar as de copas. Consideramos los ases como figuras. A – ʝC = {as oros, as espadas, as bastos, sota oros, sota espadas, sota bastos, caballo oros, caballo espadas, caballo bastos, rey oros, rey espadas, rey bastos} B ʜ C = “sacar as o sacar figura” b) P(A ʝ B) = ; P(A ʝ B ʝ C) = ; P(A – ʝ C) = = P(B ʜ C) = Una moneda está trucada de forma que la probabilidad de obtener cara es doble de la de obtener cruz. Halla cada una de estas probabilidades. Llamando c a sacar cara y x a sacar cruz obtenemos: Lanzamos tres monedas al aire, calcula la probabilidad de que: a) Salgan tres caras. b) Salgan al menos dos cruces. c) Salga como máximo una cara. d) No salga ninguna cara. El espacio muestral consta de 8 elementos. 4 P c P x P c P x P c P x ( ) + ( ) · ( ) · ⋅ ( ) ¹ ; ¹ ¹ ¹ ⇒ ( ) · ( ) · 1 2 2 3 1 3 3 4 13 3 13 12 52 1 52 1 52 2 2 9 8 36 1 6 1 6 6 36 1 G U Í A D I D Á C T I C A • 189 Nº de galletas defectuosas 0 1 2 3 4 5 6 Número de cajas 40 15 10 9 3 2 1 Una urna tiene 10 fichas blancas, 8 azules y 7 verdes. • Sacamos una ficha, halla la probabilidad de que: a) Salga ficha azul. b) Salga ficha blanca o verde. c) No salga ficha verde. • Sacamos dos fichas, una detrás de otra y sin reemplazar la primera, halla la probabilidad de que: a) Salgan dos fichas verdes. b) Salga la primera azul y la segunda blanca. c) Salga una azul y una blanca. d) Salgan dos fichas iguales. • Haz el apartado anterior pero reempla- zando la ficha. • a) P(azul) = b) P(blanca o verde) = c) P(no verde) = • Sin reemplazamiento. a) P(2 verdes) = · = 0,07 b) P(1ªazul y 2ª blanca) = · = 0,13 c) P(una azul y una blanca) = · · 2= 0,27 d) P(dos iguales) = · + · + · = 0,31 • Con Reemplazamiento. a) · = 0,0784 b) · = 0,128 c) · · 2= 0,256 d) · + · + · = 0,3408 En una determinada ciudad el 40 % de la población son mujeres. La mitad de los hombres llevan gafas y las 3/5 partes de las mujeres no llevan gafas. a) Halla la probabilidad de elegir un hombre sin gafas. b) Sabiendo que hemos elegido una persona con gafas. Halla la probabilidad de que sea mujer. Con los datos del problema hacemos una tabla de contingencia y obtenemos: PÁGINA • 317 El Ayuntamiento ha decidido construir un parque público, pero, antes de comenzar las obras, quiere contar con la opinión del vecindario. Para ello, ha elegido una muestra de 117 ciudadanos y les ha informado sobre el parque. Después, les ha pregunta- do sobre el grado de aceptación del proyecto, pidiéndoles que puntúen de uno a diez, según estén muy poco de acuerdo, hasta total grado de acuerdo. Los resultados han sido: a) Representa los datos en el correspondiente diagrama de barras. b) Calcula la media aritmética (µ), la des- viación típica (σ) y el número de indivi- 7 M H Gafas No Gafas Totales H sin gafas M / gafas 16 30 46 24 30 54 40 60 100 30 100 0 3 16 46 0 35 a) b) P P ( ) · · ( ) · · , , 6 7 25 7 25 8 25 8 25 10 25 10 25 10 25 8 25 10 25 8 25 7 25 7 25 6 24 7 25 7 24 8 25 9 24 10 25 10 24 8 25 10 24 8 25 6 24 7 25 18 25 17 25 8 25 5 a) b) c) d) P P P P 3 1 8 2 4 8 1 2 1 4 8 1 2 1 8 caras al menos caras máximo cara ninguna cara ( ) · ( ) · · ( ) · · ( ) · 190 • G U Í A D I D Á C T I C A Aceptación x i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Frecuencia f i 1 3 15 25 30 24 16 2 1 0 duos que hay en cada intervalo (µ – σ), (µ – 2σ, µ + 2σ), (µ – 3σ, µ + 3σ). a) El diagrama es: b) µ = 4,983; σ = 1,46 En (µ – σ, µ + σ) = (3,523; 6,443) hay 79 individuos, es decir, el 67,52 %. En (µ – 2σ, µ + 2σ) = (2,063; 7,903) hay 110 individuos, el 94,02 %. En (µ – 3σ, µ + 3σ) = (0,603; 9,363) hay 117 individuos, el 100 %. Esta distribución presenta un comportamiento “normal”. En el lanzamiento de dos dados consideramos la variable aleatoria que asocia a cada resultado el mayor de los números obtenidos. a) Halla la función de probabilidad asociada a dicha variable aleatoria. b) Realiza el gráfico correspondiente. c) Calcula la media o valor esperado y la desviación típica. a) La función de probabilidad es: b) c) Responde a las cuestiones propuestas en la actividad anterior si ahora se considera la variable aleatoria diferencia de puntos de los dos dados, en valor absoluto. a) La función de probabilidad es: b) El gráfico se hace de forma análoga al anterior. c) Describe la función de probabilidad asociada a la variable aleatoria número de cruces en el lanzamiento de cuatro monedas. Halla el valor esperado y la desvia- ción típica. La función de probabilidad es: Valor esperado: Desviación típica: Una urna tiene 10 bolas negras y 6 bolas blancas. Sacamos tres bolas sucesivamente y consideramos la variable aleatoria “número de bolas blancas extraídas”. Halla: 11 σ · ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ − · 0 1 16 1 4 16 2 6 16 3 4 16 4 1 16 2 1 2 2 2 2 2 2 µ · ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ · 0 1 16 1 4 16 2 6 16 3 4 16 4 1 16 2 Nº Cruces Probabilidad 1 16 4 16 6 16 4 16 1 16 0 1 2 3 4 10 µ σ · ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ · · ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ − · · 0 6 36 1 10 36 2 8 36 3 6 36 4 4 36 5 2 36 1 94 0 6 36 1 10 36 2 8 36 3 6 36 4 4 36 5 2 36 1 94 1 44 2 2 2 2 2 2 2 , , , Mayor nº Probabilidad 6 36 10 36 8 36 6 36 4 36 2 36 0 1 2 3 4 5 9 µ σ · ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ · · ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ − · · 1 1 36 2 3 36 3 5 36 4 7 36 5 9 36 6 11 36 4 47 1 1 36 2 3 36 3 5 36 4 7 36 5 9 36 6 11 36 4 47 1 41 2 2 2 2 2 2 2 , , , 11 — 36 X 1 2 3 4 5 6 P(x) 9 — 36 1 — 36 3 — 36 5 — 36 7 — 36 Mayor nº Probabilidad 1 36 3 36 5 36 7 36 9 36 11 36 1 2 3 4 5 6 8 30 25 20 15 10 5 X i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 G U Í A D I D Á C T I C A • 191 192 • G U Í A D I D Á C T I C A a) La función de probabilidad asociada a dicha variable. b) La probabilidad de extraer dos o más bolas blancas. c) La probabilidad de extraer como máxi- mo dos bolas blancas. d) La esperanza matemática y la desvia- ción típica. Consideramos que reemplazamos las bolas a) La función de probabilidad es: Tomamos al azar una ficha del dominó y consideramos la variable aleatoria que des- criba la suma de puntos de la ficha. Calcu- la la función de probabilidad, su esperanza matemática y su desviación típica. La función de probabilidad es: µ = 6; σ = 3 En la siguiente distribución de probabilidad halla x e y sabiendo que la esperanza matemática es 1,1. Halla la desviación típica de esta variable aleatoria. Se debe cumplir: La desviación típica es: σ = 0,7 ¿Cuál es la esperanza matemática de ganar de un jugador que lanza dos dados de quinielas y recibe 90 euros si salen dos doses; 45 euros si sale un dos y paga 81 euros si no sale dos? Esperanza = 90 · + 45 · – 81 · = –6 euros La esperanza del jugador es de –6 euros PÁGINA • 318 Una variable aleatoria X sigue la ley binomial de tipo B (5; 0,3). Determina: a) Su función de probabilidad. b) La media y la desviación típica. c) Las probabilidades: c1) P(X = 2) c2) P(X = 3) c3) P(X < 2) c4) P(X ≥ 3) a) La función de probabilidad es: b) La media es µ = n · p = 5 · 0,3 = 1,5. La desviación típica es: c) P(X=2) = 0,3087 P(X=3) = 0,1323 P(X<2) =P(X=0) +P(X=1) = 0,1681+ 0,3602= = 0,5283 P(X≥ 3) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) = 0,1631 Se tiene una moneda trucada, de modo que la probabilidad de sacar cara es cuatro veces la de sacar cruz. Se lanza seis 16 σ · ⋅ ⋅ · ⋅ ⋅ · n p q 5 0 3 0 7 1 025 , , , X P i 0 1 2 3 4 5 0,1681 0,3602 0,3087 0,1323 0,0284 0,0024 15 4 9 4 9 1 9 Nº Doses Probabilidad 0 1 2 4 9 4 9 1 9 14 x y x y x y + · ⋅ + + · ¹ ; ¹ ⇒ · · 0 8 0 0 2 1 2 1 1 0 5 0 3 , , , , , 13 Sumapuntos Probabilidad 1 28 1 28 2 28 2 28 3 28 3 28 4 28 Sumapuntos Probabilidad 3 28 3 28 2 28 2 28 1 28 1 28 ( ) ( ) X P X P i i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12 b) c) d) P x P x P x ≥ ( ) · + · ≤ ( ) · − > ( ) · − · µ · · 2 135 512 27 512 0 32 2 1 2 1 27 512 0 95 1 125 0 84 , , , , Esperanza matemática Desviación típica σ N Bolas Blancas Probabilidades º 0 1 2 3 125 512 225 512 135 512 27 512 X 0 1 2 P i 0,2 x y veces la moneda. Calcula las siguientes probabilidades: a) Obtener dos veces cruz. b) Obtener, a lo sumo, dos veces cruz. Es una distribución binomial B (6; 4 / 5 ), con: P (cara) = y P (cruz) = a) P(X=4 caras) = b) P(X≥ 4 caras) = P(X=4) + P(X=5) + P(X=6) = El 4 % de los disquetes que fabrica una empresa son defectuosos. Los disquetes se distribuyen en cajas de 10 unidades. Hallar la probabilidad de que una caja tenga como mínimo 8 discos sin fallo. Es una distribución binomial B(10; 0,96) sea x el suceso salga disco sin fallo. La probabilidad de que salga cara con una moneda trucada es 0,45. Se lanza la moneda siete veces. Calcula la probabilidad de que: a) Salgan exactamente tres caras. b) Salgan, al menos, tres caras. c) Salgan como máximo tres caras. Es una binomial B (7; 0,45). a) P(X=3) = 0,45 3 · 0,55 4 = 0,2918. b) P(X≥3) = P(X=3) +P(X=4) +P(X=5) +P(X=6) = = 1 – P(X=0) – P(X=1) – P(X=2) = = 1 – 0,55 7 – 0,45 · 0,55 6 – – 0,45 2 · 0,55 5 = 0,6836. c) P(X≤3) = P(X=0) +P(X=1) +P(X=2) +P(X=3) = = 0,55 7 + 0,45 · 0,55 6 + + 0,45 2 · 0,55 5 + 0,45 3 · 0,55 4 = 0,6083. La probabilidad de que un estudiante de un determinado centro de enseñanza obtenga el título de bachillerato es de 0,7. Calcula la probabilidad de que de un grupo de diez estudiantes matriculados en ese centro: a) Los diez finalicen el bachillerato. b) Al menos dos acaben el bachillerato. Es una binomial B (10; 0,7). La probabilidad de que un alumno/a de Primero de Bachillerato estudie Matemá- ticas I es de 0,4. Calcula la probabilidad de que en un grupo de 20 alumnos/as elegidos al azar haya exactamente 7 que no estudien Matemáticas I. Es una binomial B (20; 0,6). En un examen trimestral de cierta asignatura suele aprobar el 70 % de los que se presentan. ¿Cuál es la probabilidad de que aprueben los 8 alumnos que se han presentado un día determinado? ¿Cuál es la probabilidad de que apruebe sólo uno? Es una distribución binomial B (8; 0,7). La probabilidad de que aprueben los 8 alumnos es: P(X=8) = 0,7 8 = 0,0576. 8 8 ¸ ¸ _ , 21 P x · ( ) · ¸ ¸ _ , ⋅ · 7 20 7 0 6 0 4 0 0146 7 13 , , , 20 a) b) P x P x P x P x P x · ( ) · ¸ ¸ _ , · ≥ ( ) · − < ( ) · − · ( ) − − · ( ) · − ¸ ¸ _ , − ¸ ¸ _ , ⋅ · · 10 10 10 0 7 0 0282 2 1 2 1 0 1 1 10 0 0 3 10 1 0 3 0 7 0 999 10 10 9 , , , , , , 19 7 3 ¸ ¸ _ , 7 2 ¸ ¸ _ , 7 1 ¸ ¸ _ , 7 0 ¸ ¸ _ , 7 2 ¸ ¸ _ , 7 1 ¸ ¸ _ , 7 0 ¸ ¸ _ , 7 3 ¸ ¸ _ , 18 P x P x P x P x ≥ ( ) · · ( ) + · ( ) + · ( ) · · ¸ ¸ _ , ⋅ + ¸ ¸ _ , ⋅ + + ¸ ¸ _ , · 8 8 9 10 10 8 0 96 0 04 10 9 0 96 0 04 10 10 0 96 0 99 8 2 9 10 , , , , , , 17 · ¸ ¸ _ , ⋅ ¸ ¸ _ , ⋅ ¸ ¸ _ , + ¸ ¸ _ , ⋅ ¸ ¸ _ , ⋅ + ¸ ¸ _ , ⋅ ¸ ¸ _ , · · 6 4 4 5 1 5 6 5 4 5 1 5 6 6 4 5 0 2458 4 2 5 6 , 6 4 4 5 1 5 0 2458 4 2 ¸ ¸ _ , ⋅ ¸ ¸ _ , ⋅ ¸ ¸ _ , · , 1 5 4 5 G U Í A D I D Á C T I C A • 193 La probabilidad de que apruebe sólo uno es: P(X=1) = 0,7 1 · 0,3 7 = 0,0012. En una asociación juvenil el 30 % de los socios juegan al baloncesto. Se quiere for- mar un equipo, por lo que se pregunta a 12 socios. ¿Cuál es la probabilidad de que haya 2 o más que jueguen a baloncesto? ¿Cuántos socios de ese grupo se espera que lo practiquen? Es una distribución binomial B (12; 0,3). Llamamos x al suceso jugar al baloncesto: µ = 12 · 0,3 = 4 socios se espera que practiquen baloncesto. En un examen tipo test hay 10 preguntas, con cuatro posibles respuestas a elegir en cada una. Si una persona descono- ce completamente la materia y responde al azar, a) ¿Cuántas respuestas acertará por tér- mino medio? b) ¿Cuánto vale la desviación típica? c) ¿Qué probabilidad tiene de acertar, al menos, cinco preguntas y, por tanto, aprobar? a) Es una binomial B . Acertará, por término medio, µ = 10 · = 2,5 preguntas. b) La desviación típica es: . c) La probabilidad pedida es: P(X≥ 5) = P(X=5) + P(X=6) + P(X=7) + + P(X=8) + P(X=9) + P(X=10) = 0,076 Supón que la probabilidad de que una persona sea mujer es 1/2. Se eligen al azar 100 familias de cinco hijos cada una. ¿En cuántas es de esperar que haya 2 mujeres y 3 hombres? Es una distribución B . La probabilidad de que una familia formada por 5 hijos sean 2 mujeres y 3 hombres es: = 0,3125. Entre las 100 familias cabe esperar que haya: 100 × 0,3125 ≅ 31 familias con 2 hijas y 3 hijos. La probabilidad de nacimientos de niños varones en España es de 51,7 %. Halla la probabilidad de que una familia de 6 hijos tenga: a) Por lo menos, una niña. b) Por lo menos, un niño. Es una distribución binomial B (6, 0,483). Sea x el número de niñas. PÁGINA • 319 Tráfico ha observado que el 60 % de los accidentes en fin de semana se producen por conductores que han sobrepasado el nivel de alcohol en sangre permitido. En un fin de semana en el que se produjeron 4 accidentes de tráfico. Encuentra la dis- tribución de probabilidad asociada a la variable aleatoria X “número de conductores que han sobrepasado el nivel de alcohol”. Halla P(X ≤ 3), la media y la des- viación típica. x P x 0 1 2 3 4 0 0256 0 1536 0 3456 0 3456 0 1296 ( ) , , , , , 26 a) b) P x P x P P P x ≥ ( ) · − · ( ) · − ¸ ¸ _ , · · ( ) · − ( ) · · − · ( ) · − ¸ ¸ _ , · 1 1 0 1 6 0 0 517 0 9809 1 1 6 1 6 6 0 483 0 9873 6 6 , , , , al menos un chico ningún chico 25 5 2 1 2 1 2 2 3 ¸ ¸ _ , ¸ ¸ _ , ⋅ ¸ ¸ _ , 5 1 2 ; ¸ ¸ _ , 24 σ · ⋅ ⋅ · 10 1 4 3 4 1 37 , 1 4 10 1 4 ; ¸ ¸ _ , 23 P x P x P x P x ≥ ( ) · − < ( ) · − · ( ) − − · ( ) · − ¸ ¸ _ , − ¸ ¸ _ , ⋅ · · 2 1 2 1 0 1 1 12 0 0 7 12 1 0 3 0 7 0 9150 12 11 , , , , 22 8 1 ¸ ¸ _ , 194 • G U Í A D I D Á C T I C A En una estación de ferrocarril se sabe que la probabilidad de que un tren cualquiera llegue a su hora es del 95 %. Un determinado día en el que llegan 20 trenes a la estación, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 18 lleguen a su hora? ¿Y la de que como máximo 1 no llegue a su hora? Es una distribución binomial B(20; 0,95). Llamamos x al número de trenes que llegan a su hora: Una empresa de estadística te ofrece dos tipos de contratos para un trabajo de en- cuestador. Después de hacer un minucio- so estudio de ambos concluyes que: — Contrato 1: Tienes una probabilidad de 0,9 de ganar 100 euros diarios y 0,1 de perder 50 euros diarios por gastos. — Contrato 2: Tienes una probabilidad de 0,7 de ganar al día 150 euros y una probabilidad de 0,3 de gastar 100 euros diarios en gastos de desplazamiento. ¿Qué contrato de parece más conveniente aceptar? Contrato 1: Esperanza = 100·0,9 – 50·0,1 = 85 euros diarios. Contrato 2: Esperanza = 150·0,7 – 100·0,3 = 75 euros diarios. Parece más conveniente el contrato 1. La función de probabilidad de una variable aleatoria discreta X es: Halla a, b, c sabiendo que la media es 2,45 y P(2 ≤ X ≤ 3) = 0,6. Una tómbola con el nombre “El cliente siempre gana” te ofrece un juego que consiste en lanzar 2 veces seguidas un dado tetraédrico y sumar los números obtenidos en las caras de la base. Si obtienes suma mayor que 5 el dueño te da 6 euros y si la suma es menor que 5 tú le das al de la tómbola 4 euros. ¿Te parece justo el juego? (Un juego es justo si la ganancia o pérdida esperada es cero). El juego no es justo, es favorable al dueño de la tómbola. El 5 % de los habitantes de un país pertenecen al grupo sanguíneo ORh – . En una ciudad acuden un día 60 personas a do- nar sangre. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno sea de ese grupo sanguíneo? ¿Cuántas personas del grupo ORh – cabe esperar que haya entre esos donantes? Es una distribución binomial B(60; 0,05). Sea x = nú- mero de personas con grupo 0Rh – . P x · ( ) · ¸ ¸ _ , ⋅ · 0 60 0 0 95 0 046 60 , , 31 Sea suma mayor que 5 X P x P x · ⇒ ( ) ( ) · · ⋅ − ⋅ · − 5 16 10 16 6 6 16 4 10 16 0 25 ; , µ 30 a b c a b c b c a b c + + · + + · + · ¹ ; ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ⇒ · · · 0 8 2 3 1 6 0 6 0 2 0 4 0 2 , , , , , , 29 28 P x P x P x P x P x P x P x ≥ ( ) · · ( ) + · ( ) + · ( ) · · ¸ ¸ _ , ⋅ + ¸ ¸ _ , ⋅ ⋅ + + ¸ ¸ _ , · ≥ ( ) · · ( ) + · ( ) · 18 18 19 20 20 18 0 95 0 05 20 19 0 95 0 05 20 20 0 95 0 9245 19 19 20 0 7358 18 2 19 20 , , , , , , , 27 Es una binomial Media Desviación típica B P x P x n p n p q 4 0 6 3 1 4 0 8704 4 0 6 2 4 0 98 ; , , : , , , ( ) ≤ ( ) · − · ( ) · µ · ⋅ · ⋅ · · ⋅ ⋅ · σ G U Í A D I D Á C T I C A • 195 X 0 1 2 3 4 5 P i 0,01 a b c 0,1 0,09 La esperanza es µ = 60 · 0,05 = 3 personas cabe esperar que haya entre sus donantes con grupo 0Rh – . PÁGINA • 321 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 1. EL BIZCOCHO. La figura representa la forma de un bizcocho especial. En la etiqueta figura que el volumen es: V = π · h · (R 2 + r 2 ). ¿Es cierto? Veamos los dos casos límites: 1. er r = 0 ⇒ V = π · h · R 2 = volumen del cilindro. 2.º r = R ⇒ V = π · h (R 2 + R 2 ) = 2 · π · R 2 · h, pero si r = R el volumen es 0. Luego la fórmula es falsa. 2. NÚMEROS FELICES. El número 44 es un número feliz, pues: 44 ⇒ 4 2 + 4 2 = 32 ⇒ 3 2 + 2 2 = 13 ⇒ 1 2 + 3 2 = 10 ⇒ 1 2 + 0 2 = 1 Investiga sobre los números felices. Números felices de 2 cifras: 10 ⇒ 1 2 + 0 2 = 1 13 ⇒ 1 2 + 3 2 = 10 ⇒ 1 2 + 0 2 = 1 23 ⇒ 2 2 + 3 2 = 13 ⇒ 1 2 + 3 2 = 10 ⇒ 1 2 + 0 2 = 1 31 ⇒ 3 2 + 1 2 = 10 ⇒ 1 2 + 0 2 = 1 32 ⇒ 3 2 + 2 2 = 13 ⇒ 1 2 + 3 2 = 10 ⇒ 1 2 + 0 2 = 1 44 ⇒ 4 2 + 4 2 = 32 ⇒ 3 2 + 2 2 = 13 ⇒ 1 2 + 3 2 = 10 ⇒ 1 2 + 0 2 = 1 Números felices de 3 cifras: 100 ⇒ 1 2 + 0 2 + 0 2 = 1 130 ⇒ 1 2 + 3 2 + 0 2 = 10 ⇒ 1 2 + 0 2 = 1 103 ⇒ 1 2 + 0 2 + 3 2 = 10 ⇒ 1 2 + 0 2 = 1 Igualmente: 310; 301; 230; 203; 320; 302; 440; 404. Números felices de 4 cifras: Igual que los que hemos formado de tres cifras más otros como 1 339. Así sucesivamente podemos seguir con los demás. 3. CAMBIO DE VAGONES. La figura muestra unas vías de tren, en las cuales hay dos vagones W 1 y W 2 ; una locomotora L, situada en una vía muerta; y un túnel, por el cual sólo puede pasar la locomotora. La locomotora puede enganchar los vagones por delante y por detrás, e incluso puede arrastrar los dos vagones a la vez. El problema consiste en cambiar la posición de los dos vagones, dejando la locomotora en una de las dos vías muertas. Puedes simular este problema utilizando tres monedas diferentes. Después de varios intentos vemos que la situación final, para lograr el objetivo buscado, que debe quedar en la vía muerta superior es: W 1 W 2 L. Llamamos A al lugar en el que inicialmente está el vagón W 1 y B al lugar en el que inicialmente está el vagón W 2 . Los pasos a seguir son: 1.º L coge a W 1 y lo lleva a la vía muerta de abajo. 2.º L da la vuelta al circuito pasando por el túnel y empuja a W 2 hasta el punto A. 3.º L coge a W 1 y lo lleva junto a W 2 . 4.º L da la vuelta al circuito y empuja a ambos vagones a la vía muerta de arriba, quedando la situa- ción que buscábamos, W 1 W 2 L. 5.º L remolca a W 2 hasta el punto A. 6.º L da la vuelta al circuito y engancha a W 1 lle- vándolo a la posición B. 7.º L vuelve a la vía muerta de arriba y los vagones han cambiado de posición. 4. DOBLE FRONTÓN. Un pelotari se encuentra en P y golpea la pelota. Ésta debe llegar al pelotari que se encuentra en Q, después de pegar en ambos frontones. Construye la trayectoria que debe seguir la pelota. L A B W 2 W 1 196 • G U Í A D I D Á C T I C A h r R Este problema es una doble simetría. Construimos P', simétrico de P respecto a la banda (1), y Q' simétrico de Q respecto a la banda (2). Unimos P' con Q' y llamamos A y B a los puntos en que la recta P' Q' corta a las bandas. La trayectoria pedida es: PABQ P Q P’ Q’ B A (1) (2) P Q G U Í A D I D Á C T I C A • 197 Al finalizar esta Unidad Didáctica, el alumno y la alumna deberán ser capaces de: 1. Describir las distribuciones de probabilidad asociadas a las variables aleatorias continuas. 2. Representar gráficamente y utilizar para el cálculo de probabilidades las funciones de densidad. 3. Calcular e interpretar la media o valor esperado, así como la desviación típica de una variable aleatoria continua. 4. Diferenciar las situaciones asociadas a las variables que siguen una distribución normal. 5. Aplicar el modelo de distribución normal estándar, con el uso adecuado de sus valores tabulados a cualquier situación que presente una distribución normal. • Hacer aflorar las ideas que el alumno tiene sobre situaciones de tipo aleatorio que ha adquirido en cursos anteriores. • Realizar el desarrollo de la unidad a través de procedimientos que faciliten el razonamiento deductivo. • Poner en práctica algunas estrategias de resolución de problemas en la resolución de las actividades de esta unidad. G U Í A D I D Á C T I C A • 199 ¿CÓMO TRABAJAR LA UNIDAD? OBJETIVOS DIDÁCTICOS PÁGINA • 323 ACTIVIDADES INICIALES 1. Calcula el área de cada uno de los recintos rayados: a) Área = = 0,5625 unidades cuadradas. b) Área = · 2 = 1,5 unidades cuadradas. c) Área = 1 · 0,5 + = 1 unidades cuadradas. 2. En una determinada ciudad se ha hecho un estudio sobre la edad de las personas que asistieron al último espectáculo musical del verano, y se han obtenido los siguientes resultados: Calcula la media aritmética y la desviación típica de esta distribución. ¿Qué % de personas hay en cada uno de los intervalos (µ – σ, µ + σ), (µ – 2σ, µ + 2σ), (µ – 3σ, µ + 3σ)? x – = 39,825 σ = 14,76 2 · 0,5 2 0,5 + 1 2 1,5 · 0,75 2 O c) Y 1 0,5 X 1 2 3 1 O a) X Y 2 1 1,5 1 O b) X Y 2 1 0,5 y = — x + — 1 4 1 2 200 • G U Í A D I D Á C T I C A CONCEPTOS 1. Distribuciones estadísticas continuas. 2. Distribuciones de probabilidad continuas. 3. Distribución normal o de Gauss. 4. Distribución normal estándar. 5. Tipificación de la variable. 6. La distribución binomial se aproxima a la normal. – Valoración de la utilidad de las variables aleatorias en la matematización de las situaciones de azar. – Curiosidad e interés por en- frentarse a problemas aleatorios. – Gusto por la presentación ordenada de los procesos y resultados obtenidos en los cálculos. – Disposición favorable hacia el trabajo propuesto. • Interpretación de la función de densidad de una variable aleatoria continua. • Construcción de la función de densidad y su aplica- ción al cálculo de probabilidades. • Cálculo y significado de la media y la desviación típi- ca de una variable aleatoria continua. • Utilización del modelo normal o de Gauss en el cálcu- lo de probabilidades. • Aplicación de la distribu- ción normal para el cálculo de probabilidades que siguen la ley binomial. ACTITUDES PROCEDIMIENTOS RESOLUCIÓN DE ACTIVIDADES Edad [0, 15) [15, 30) [30, 45) [45, 60) [60, 75) [75, 90] Nº de asistentes 12 120 310 95 47 16 En (µ – σ, µ + σ) = (25,065; 54,585) hay 405 personas, es decir el 67,5%. En (µ – 2σ, µ + 2σ) = (10,305; 69,345) hay 572 personas, es decir el 95,3%. En (µ – 3σ, µ + 3σ) = (–4,455; 84,105) hay 600 personas, el 100%. 3. Representa gráficamente la función siguiente y halla el área del recinto limitado por la gráfica de la función, el eje OX y las rectas x = y x = 3. Área rayada = = 0,5625 unidades cuadradas. PÁGINA • 336 ACTIVIDADES DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE La tabla siguiente recoge las estaturas en cm de los estudiantes de un instituto que practican balonmano. a) Representa gráficamente estos datos. b) Calcula la estatura media de estos estudiantes y la desviación típica correspondiente. c) ¿Cuántos estudiantes por altura están en ( – x – σ, – x + σ)? ¿Y en ( – x – 2σ, – x + 2σ)? d) ¿Qué porcentaje de estudiantes tienen su estatura comprendida entre 165 y 185 cm? a) El gráfico es un histograma. b) x – = 171,55 σ = 6,95 c) En (x – – σ, x – + σ) · (164, 6; 178, 5) hay 67 estudiantes. En (x – – 2σ, x – + 2σ) · (157, 65; 185, 45) hay 100 estudiantes. d) Hay 78 estudiantes con una estatura comprendida entre 165 y 185 cm que representan el 78 %. Estudia, ayudándote de la representación gráfica, si las siguientes funciones son funciones de densidad de ciertas variables aleatorias continuas. En caso afirmativo calcula: P(X ≤ 3); P(X ≥ 1); P(X = 2,5); P(2 ≤ X ≤ 3) a) f(x) ≥ 0 ∀x y además el área del recinto rayado vale 1, por tanto es función de densidad. b) g(x) ≥ 0 ∀x y además el área del recinto rayado vale = 1, por tanto es función de densidad. P x P x P x P x ≤ ( ) · ⋅ · ≥ ( ) · · ( ) · ≤ ≤ ( ) · 3 1 1 8 2 1 16 1 1 2 5 0 2 3 1 16 , O Y 1 X 1 2 3 4 5 6 0,5 y = g(x) 4 ·0,5 2 P x P x P x P x ≤ ( ) · ⋅ · ≥ ( ) · ⋅ · · ( ) · ≤ ≤ ( ) · ⋅ · 3 3 1 4 3 4 1 3 1 4 3 4 2 5 0 2 3 1 1 4 1 4 , O Y 1 X 1 2 3 –1 4 1 / 4 y = f(x) b) g(x) x x x x · < > − ≤ ≤ ¹ ' ¹ ¹ ¹ 0 2 6 1 8 1 4 2 6 si y si a) f (x) x x · < < ¹ ' ¹ ¹ ¹ 1 4 0 4 0 si para otros 2 Estatura (cm) 20 10 30 N.º Alumnos 165 170 175 180 155 160 185 190 1 1,5 ·0,75 2 0,5 O Y 1 X 1 2 3 f(x) x x x · − ≤ ≤ > ¹ ' ¹ ¹ ¹ 1 1 2 0 2 0 2 si si 1 2 G U Í A D I D Á C T I C A • 201 Estaturas [155, 160) [160, 165) [165, 170) [170, 175) [175, 180) [180, 185) [185, 190] Nº alumnos 2 17 25 27 15 11 3 En la siguiente función, calcula el valor de “a” para que sea una función de densidad para la variable aleatoria X continua: • f(x) ha de ser ≥ 0, por tanto a ≥ 0. • Como área rayada = 1 ⇒ = 1 ⇒ a = Por tanto f(x) es función de densidad si a = . Se ha hecho un estudio sobre una especie vegetal en tres zonas diferentes A, B y C, re- sultando que se ajustan a curvas normales N(5; 3,5), N(5; 1,5) y N(7; 1,5), respectivamente. a) Elige, de entre estas tres gráficas, la adecuada a cada caso. b) Haz un breve resumen, comparando las semejanzas y las diferencias que hay en la altura que alcanza el vegetal en las tres zonas estudiadas. a) La gráfica 1 se corresponde con N(7; 1,5). La gráfica 2 se corresponde con N(5; 1,5). La gráfica 3 se corresponde con N(5; 3,5). b) Las plantas más altas corresponden a la distribu- ción N (7; 1,5). En las otras distribuciones, la media de alturas coincide, y en N (5; 1,5) están más agrupadas, respecto a la media, que en N (5; 3,5). En una distribución normal N(0,1), calcula: a) P(Z ≤ 1,45) b) P(Z ≥ 0,25) c) P(Z ≤ –1,45) d) P(0,35 ≤ Z ≤ 1,5) e) P(–1,35 ≤ Z ≤ 0,25) f) P(Z ≥ –0,84) g) P(–1,45 ≤ Z ≤ –0,15) h) P(Z ≥ 3,8) Manejando la tabla de la distribución normal, obtenemos: a) P(Z ≤ 1,45) = 0,9265. b) P (Z ≥ 0,25) = 1 – P (Z < 0,25) = 1 – 0,5987 = = 0,4013. c) P (Z ≤ –1,45) = 1 – P (Z ≤ 1,45) = 1 – 0,9265 = = 0,0735. d) P (0,35 ≤ Z ≤ 1,5) = P (Z ≤ 1,5) – P (Z ≤ 0,35) = = 0,9332 – 0,6368 = 0,2964. e) P(–1,35 ≤ Z ≤ 0,25) = P(Z ≤ 0,25) – P(Z ≤ –1,35) = = P(Z ≤ 0,25) – [1 – P(Z ≤ 1,35)] = = 0,5987 – (1 – 0,9115) = 0,5102. f) P(Z ≥ –0,84) = P(Z ≤ 0,84) = 0,7995. g) P (–1,45 ≤ Z ≤ –0,15) = P (0,15 ≤ Z ≤ 1,45) = = P(Z ≤ 1,45) – P(Z ≤ 0,15) = 0,9265 – 0,5596 = = 0,3669. h) P (–2,25 ≤ Z ≤ 2) = P (Z ≤ 2) – P (Z ≤ –2,25) = = P(Z ≤ 2) – [1 – P(Z ≤ 2,25)] = = 0,9772 – (1 – 0,9878) = 0,965. PÁGINA • 337 En una distribución normal N(0,1), calcula el valor de k, sabiendo que k ≥ 0, en los siguientes casos: a) P(Z ≥ k) = 0,1075 b) P(Z ≥ k) = 0,7967 c) P(0 ≤ Z ≤ k) = 0,4236 a) P(Z ≥ k) = 0,1075 = 1 – P(Z ≤ k) ⇒ P(Z ≤ k) = 0,8925. Por tanto k = 1,24. b) P(Z ≥ k) = 0,7967 = 1 – P(Z ≤ k) ⇒ P(Z ≤ k) = 0,2033. Por tanto k = –0,83. c) P(0≤ Z ≤ k) = 0,4236. P(Z ≤ k) – P(Z ≤ 0)= 0,4236 ⇒ P(Z ≤ k) = 0,9236. Por tanto k = 1,43. En una distribución normal N(5,2), calcula: a) P(X ≤ 6) b) P(X ≥ 4,5) c) P(X ≤ 7,2) d) P(3 ≤ X ≤ 6) Tipificamos la variable X, convirtiéndola en normal N(0, 1) y, posteriormente, consultamos la tabla. a) P(X ≤ 6) = P = P(Z ≤ 0,5) = = 0,6915. Z x · − ≤ − ¸ ¸ _ , 5 2 6 5 2 7 6 5 5 5 5 10 10 10 O 1 2 3 Y X O Y X O Y X 4 1 3 1 3 6 · a 2 O Y a X 1 2 3 –1 4 –2 f (x) a x x · − ≤ ≤ ¹ ' ¹ si para otros valores de 2 4 0 3 202 • G U Í A D I D Á C T I C A b) P(X ≥ 4,5) = P = = P(Z ≥ –0,25) = P(Z ≤ 0,25) = 0,5987. c) P(X ≤ 7,2) = P = = P(Z ≤ 1,1) = 0,8643. d) P (3 ≤ X ≤ 6) = P = = P(–1 ≤ Z ≤ 0,5) = P(Z ≤ 0,5) – [1 – P(Z ≤ 1)] = = 0,6915 – (1 – 0,8413) = 0,5328. En una distribución normal N(5,2), calcula el valor de k, para que se cumplan las siguientes igualdades: a) P(X ≥ k) = 0,8106 b) P(X ≥ k) = 0,4801 c) P(5 – k ≤ X ≤ 5 + k) = 0,5934 a) P(X ≤ k) = 0,8106 P = 0,8106 ⇒ ⇒ = 0,88 ⇒ k = 6,76. b) P = 0,4801 ⇒ 1 – P = 0,4801 ⇒ ⇒ P = 0,5199 ⇒ ⇒ = 0,05 ⇒ k = 5,1. c) P(5 – k ≤ X ≤ 5 + k) = = P = = P = 2 P – 1 = 0,5934 ⇒ P = 0,7967 ⇒ = 0,83 ⇒ ⇒ k = 1,66. La duración media de un aparato de T.V. es de 20 años, con una desviación típica de 0,5 años. Si la vida útil del televisor se distribuye normalmente, halla la probabilidad de que al comprar un aparato de T.V., éste dure más de 20 años. La varilla X se distribuye según la normal N(20; 0,5). Una compañía de autobuses realiza un estudio sobre el número de veces que, se- manalmente, utilizan el autobús los usua- rios. Se sabe que los datos se distribuyen N(10,3). Calcula la probabilidad de que un usuario utilice el autobús: a) Más de 11 veces. b) Menos de 8 veces. a) P(X≥11) = P = P = = 1 – P = 1 – 0,6293 = 0,3707. b) P(X≤8) = P = P = = 1 – P = 0,2546. La dirección de una clínica ha observado que la estancia de los enfermos sigue una distribución normal de media 9 días y des- viación típica 3. Calcula la probabilidad de que la estancia de un enfermo: a) Sea superior a 8 días. b) Sea inferior a 5 días. c) Esté comprendida entre 11 y 13 días. a) P(X ≥ 8) = P = P = = P = 0,6293. b) P(X ≤ 5) = P = P = Z ≤ − ¸ ¸ _ , 4 3 X − ≤ − ¸ ¸ _ , 9 3 5 9 3 Z ≤ ¸ ¸ _ , 1 3 Z ≥ − ¸ ¸ _ , 1 3 X − ≥ − ¸ ¸ _ , 9 3 8 9 3 11 Z ≤ ¸ ¸ _ , 2 3 Z ≤ − ¸ ¸ _ , 2 3 X − ≤ − ¸ ¸ _ , 10 3 8 10 3 Z ≤ ¸ ¸ _ , 1 3 Z ≥ ¸ ¸ _ , 1 3 X − ≥ − ¸ ¸ _ , 10 3 11 10 3 10 P X P Z P Z P Z ≥ ( ) · ≥ − ¸ ¸ _ , · ≥ ( ) · · − ≤ ( ) · 20 5 20 5 20 2 0 25 1 0 25 0 4013 , , , , , 9 k 2 Z k ≤ ¸ ¸ _ , 2 Z k ≤ ¸ ¸ _ , 2 − ≤ ≤ ¸ ¸ _ , k Z k 2 2 5 5 2 5 5 2 − − ≤ ≤ + − ¸ ¸ _ , k Z k k − 5 2 Z k ≤ − ¸ ¸ _ , 5 2 Z k ≤ − ¸ ¸ _ , 5 2 Z X k · − ≥ − ¸ ¸ _ , 5 2 5 2 k − 5 2 Z X k · − ≤ − ¸ ¸ _ , 5 2 5 2 8 3 5 2 5 2 6 5 2 − ≤ − ≤ − ¸ ¸ _ , x Z x · − ≤ − ¸ ¸ _ , 5 2 7 2 5 2 , Z x · − ≥ − ¸ ¸ _ , 5 2 4 5 5 2 , G U Í A D I D Á C T I C A • 203 = P = 1 – 0,9082 = 0,0918. c) P (11 ≤ X ≤ 13) = P = = P = P – P = = 0,9082 – 0,7454 = 0,1628. El tiempo necesario para que una ambulancia llegue a un centro sanitario se distribuye según una variable normal de media 17 minutos y desviación típica 3 minutos. a) Calcula la probabilidad de que el tiempo de llegada esté comprendido entre 13 y 21 minutos. b) ¿Para qué valor de t, la probabilidad de que la ambulancia emplee más de t minutos en llegar es del 5 %? El tiempo empleado por estudiantes de Química en realizar cierto experimento de laboratorio se distribuye normalmente con media 30 minutos y desviación tí- pica 5. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante tarde menos de 28 minutos en realizar el experimento? b) ¿Cuál es el porcentaje de estudiantes que emplean entre 25 y 35 minutos? c) ¿Qué tiempo utilizan como máximo el 80 % de los estudiantes? La varilla se distribuye según la normal N(30;5). Un estudio antropológico de una tribu ha constatado que la longitud del dedo cora- zón de los adultos sigue una ley normal de media 60 mm y desviación típica de 3 mm. Si hay 800 adultos en esa tribu, determina cuántos tienen el dedo corazón: a) Más largo de 62 mm b) Más corto de 57 mm c) Entre 60 y 66 mm La variable de ajuste a la normal N(60; 3). Por tanto hay 201 adultos con el dedo corazón más largo de 62 mm. b) P(X ≤ 57) = P(Z ≤ –1) = P(Z ≥ 1) = 1 – P(Z ≤ 1) = = 0,1587. Es decir, el 15,87 % que suponen 127 adultos. c) P ( 60 ≤ X ≤ 66) = P (0 ≤ Z ≤ 2) = P (Z ≤ 2) – – P(Z ≤ 0) = 0,4772. Es decir, el 47,72 % que suponen 382 adultos. PÁGINA • 338 El peso teórico de la tableta de cierto me- dicamento es 234 mg. Si suponemos que los pesos de las tabletas siguen una dis- tribución normal de desviación típica 10 mg por tableta, a) ¿Cuál será el tanto por ciento de tabletas con peso menor o igual a 210 mg? 15 a) , 7 P X P Z P Z P Z ≥ ( ) · ≥ − ¸ ¸ _ , · ≥ ( ) · · − ≤ ( ) · ⇒ 62 62 60 3 0 6 1 0 67 0 2514 25 14 , , , % el 14 a) , b) P X P Z P Z P Z P X P Z P Z P Z P Z P Z < ( ) · < − ¸ ¸ _ , · < − ( ) · · − < ( ) · ≤ ≤ ( ) · − ≤ ≤ − ¸ ¸ _ , · · − ≤ ≤ ( ) · ⋅ ≤ ≤ ( ) · ≤ ( ) − ≤ ( ) [ ] · 28 28 30 5 0 4 1 0 4 0 3446 25 35 25 30 5 35 30 5 1 1 2 0 1 2 1 0 , , . 00 6826 68 26 0 80 30 5 0 80 30 5 0 84 34 2 , , %. , , , , es decir el minutos. c) P X t P Z t t t ≤ ( ) · ⇒ ≤ − ¸ ¸ _ , · − · ⇒ · 13 a) b) P t P Z P Z P Z P Z P X t P Z t t t 13 21 13 17 3 21 17 3 1 33 1 33 2 0 1 33 2 1 33 1 0 8164 0 95 17 3 0 95 17 3 0 645 ≤ ≤ ( ) · − ≤ ≤ − ¸ ¸ _ , · · − ≤ ≤ ( ) · ⋅ ≤ ≤ ( ) · · ⋅ ≤ ( ) − · ≤ ( ) · ⇒ ≤ − ¸ ¸ _ , · ⇒ ⇒ − · ⇒ · , , , , , , , , 21 21 935 22 , ⇒ ⇒ · t minutos aproximadamente 12 Z ≤ ¸ ¸ _ , 2 3 Z ≥ ¸ ¸ _ , 4 3 2 3 4 3 ≤ ≤ ¸ ¸ _ , Z 11 9 3 13 9 3 − ≤ ≤ − ¸ ¸ _ , Z Z ≥ ¸ ¸ _ , 4 3 204 • G U Í A D I D Á C T I C A b) ¿Cuál será el tanto por ciento de tabletas con peso superior a 240 gramos? a) P(X ≤ 210) = P = = P (Z ≤ –2,4) = 1 – P (Z ≤ 2,4) = 1 – 0,9918 = = 0,0082. Hay un 82 % con peso menor o igual a 210 mg. b) P (X ≥ 240) = P = = P (Z ≥ 0,6) = 1 – P (Z ≤ 0,6) = 1 – 0,7257 = = 0,2743. Hay un 27,43 % con peso superior a 240 mg. La calificación media de cierto examen ha sido de 5,5 con una desviación típica de 1,5, y el conjunto de notas se ajusta a una distribución normal. El profesor quiere calificar con sobresaliente al 10 % de la clase, y con notable al 30 %. ¿A partir de qué nota se conseguirá el sobresaliente y de cuál el notable? Llamamos k a la nota mínima a partir de la cual se conseguirá el sobresaliente. Debe cumplirse: P(X ≤ k) = 0,9000, luego P = 0,9000. Por tanto, = 1,282 ⇒ ⇒ k = 1,282 · 1,5 + 5,5 ⇒ k = 7,423. De igual forma, para la calificación de notable: P(X ≤ k) = 0,7000 ⇒ ⇒ P = 0,7000 ⇒ ⇒ = 0,525 ⇒ k = 0,525 · 1,5 + 5,5 ⇒ ⇒ k = 6,2875. Se lanza un dado 360 veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 3 menos de 55 veces? Es una distribución binomial B(360; 1 / 6 ) y la aproximamos con una distribución normal N(µ; σ) con: La probabilidad es P (X < 55); con la corrección de Yates obtenemos: P(X < 55) = P(X' ≤ 55,5) · P = = P(Z ≤–0,64) = 1– P(Z ≤ 0,64) = 1– 0,7389 = 0,2611. Un jugador de ajedrez gana 9 de cada 10 partidas que disputa. Juega 50 partidas. ¿Cuál es la probabilidad de que gane 40? Es una distribución binomial B(50; 0,9) que aproximamos a una distribución normal N(µ; σ) con: La probabilidad pedida con la corrección de Yates es: P(X = 40) = P(39,5 ≤ X' ≤ 40,5) = = P = = P (–2,59 ≤ Z ≤ –2,12) = 1 – P (2,12 ≤ Z ≤ 2,59) = = P(Z ≤ 2,59) – P(Z ≤ 2,12) = 0,0122. Se lanza una moneda 100 veces. ¿Cuál es la probabilidad de que el número de caras que se obtenga esté comprendido entre 45 y 55? Es una distribución binomial B (100; 0,5) que aproximamos con la normal N(µ; σ) con: La probabilidad pedida, con la corrección de Yates, es: P(45 < X < 55) = P(44,5 ≤ X' ≤ 55,5) · · P = = P(–1,1 < Z < 1,1) = P(Z <1,1) – [1 – P(Z < 1,1)] = = 0,8643 – (1 – 0,8643) = 0,7286. Un examen tipo test tiene 100 preguntas y cada pregunta 4 respuestas diferentes, de la que sólo una es correcta. Calcula la probabilidad de que un estudiante que responde al azar acierte más de 20 preguntas. Es una binomial B (100; 0,25) que aproximamos a la normal N(25; 4,33). 20 44 5 50 5 50 5 55 5 50 5 , , − < ′ − < − ¸ ¸ _ , X µ σ · ⋅ · · ⋅ ⋅ · 100 0 5 50 100 0 5 0 5 5 , , , . y 19 39 5 45 2 12 40 5 45 2 12 , , , , − ≤ ≤ − ¸ ¸ _ , Z µ σ · ⋅ · · ⋅ ⋅ · 50 0 9 45 50 0 9 0 1 1 12 , , , , . y 18 ′− ≤ − ¸ ¸ _ , X 60 7 07 55 5 60 7 07 , , , µ σ · ⋅ · · ⋅ ⋅ · 360 1 6 60 360 1 6 5 6 7 07 y , . 17 k−5 5 1 5 , , X k − ≤ − ¸ ¸ _ , 5 5 1 5 5 5 1 5 , , , , k−5 5 1 5 , , X k − ≤ − ¸ ¸ _ , 5 5 1 5 5 5 1 5 , , , , 16 X − ≥ − ¸ ¸ _ , 234 10 240 234 10 x − ≤ − ¸ ¸ _ , 234 10 210 234 10 G U Í A D I D Á C T I C A • 205 P(X > 20) = P(X' ≥ 19,5) · P= (Z ≥ –1,27) = = P(Z ≤ 1,27) = 0,8980. En un bombo de lotería tenemos 10 bolas idénticas numeradas del 0 al 9. Cada vez que hacemos la extracción de una bola después la devolvemos al bombo. a) Si tomamos 3 bolas, calcula la probabilidad de que el 0 salga una sola vez. b) Si hacemos 100 extracciones, calcular empleando la normal, la probabilidad de que el 0 salga más de 12 veces. La media de una distribución binomial B (n, p) con n = 10 es 8. Halla la des- viación típica. Si p es la probabilidad de obtener cara con una moneda trucada, ¿cuántas veces hay que lanzarla para que la probabilidad de obtener al menos una cara sea 0,893? µ = 8 = n · p ⇒ p = 0,8 Hay que lanzarla al menos dos veces. Se lanza una moneda 900 veces ¿cuál es la probabilidad de sacar menos de 440 caras? Es binomial B(900, 0,5). µ = 450 σ = 15 La aproximamos a la nomal N(450; 15). P(X < 440) = P(X ≤ 439,5) = P(Z ≤ –0,7) = =P(Z ≥ 0,7) = 1 – P(Z ≤ 0,7) = 0,242. La probabilidad de que un nacido sea va- rón es 0,52. Un año nacieron en mi ciudad 3 000 niños. ¿Cuál es la probabilidad de que hubiera entre 1 450 y 1 600 varones? Es una binomial B(3 000; 0,52) la aproximamos a la normal N(1 560; 27,4). P(1 450 < X < 1 600) = = P(1 449,5 ≤ X' ≤ 1 600,5) = P(–4 ≤ Z ≤ 1,48) = = P(Z ≤ 1,48) – P(Z ≤ –4) = 0,9306. María se presenta al examen teórico para obtener el carnet de conducir. El examen consta de 80 preguntas a las que debe contestar sí o no. Para aprobar debe acertar al menos 45 preguntas. ¿Qué probabilidad tiene de aprobar si contesta al azar? Es una binomial B(80; 0,5) la aproximamos a la normal N(40; 4,47). P(X ≥ 45) = P(Z ≥ 1,12) = 1 – 0,8686 = 0,1314. PÁGINA • 339 ¿Cuál es la relación que existe entre tres curvas de la distribución normal que tienen la misma media y diferente desviación típica? ¿Y si tienen la misma desviación tí- pica y diferente media? Si tienen igual media y diferente desviación típica se- rán tres curvas centrales en el mismo valor µ y con diferente altitud. Si tienen distinta media e igual desviación típica serán tres curvas con distintos centro e igual altitud. Según estudios médicos actuales el nivel de colesterol en una persona adulta sana sigue una distribución normal centrada en el valor 192 y con una desviación típi- ca de 12 unidades. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona adulta sana ten- 27 26 25 24 23 P n n n ninguna cara ( ) · − · ¸ ¸ _ , ⋅ · ⇒ · · 1 0 893 0 107 0 0 2 0 107 0 107 0 2 1 4 , , . , , log , log , , . La desviación típica es σ · ⋅ ⋅ · 10 0 8 0 2 1 26 , , , . 22 a) b) P B N P X P Z P Z p Z salga 0 una sola vez Es una binomial la aproximas a una normal ( ) · ⋅ ⋅ ⋅ · ( ) ≥ ( ) · ≥ − ¸ ¸ _ , · ≥ ( ) · · − ≤ ( ) · 1 10 9 10 9 10 3 0 243 100 0 1 10 3 13 13 10 3 1 1 1 0 1587 , . ; , ( ; ). , . 21 206 • G U Í A D I D Á C T I C A ga un nivel de colesterol inferior a 186 unidades? N(192; 12). P(X ≤ 186) = P(Z ≤ –0,5) = P(Z ≥ 0,5) = = 1 – P(Z ≤ 0,5) = 0,3085. El peso de las alumnas de 2º de Bachille- rato de un determinado centro sigue una distribución normal de media 54 kg y de desviación típica 2 kg. Halla: a) La probabilidad de que una alumna pese más de 51 kg. b) Calcula la pro- porción de alumnas que tendrán un peso comprendido entre 55 y 60 kg. N(54; 2). a) P(X ≥ 51) = P(Z ≥ –1,5) = P(Z ≤ 1,5) = 0,9332. b) P(55 ≤ X ≤ 60) = P(0,5 ≤ X ≥ 3) = = P(Z ≤ 3) – P(Z ≤ 0,5) = 0,3072. Consideremos una distribución normal de media µ = 50 en la que la probabilidad de obtener un valor por encima de 70 es 0,0228. ¿Cuál es la desviación típica? ¿Cuál será la probabilidad de los valores por debajo de 45? Una gran empresa debe reponer las batas de sus 1 000 operarios. Se sabe que la talla media es 170 con una desviación típi- ca de 3 cm. Las batas se confeccionan en tres tallas válidas para estaturas entre 155 y 165 cm, 165 y 175 cm y finalmen- te entre 175 y 185 cm. ¿Cuántas batas de cada talla ha de adquirir suponiendo que las tallas se distribuyen normalmente? De una urna que contiene 1 bola blanca y 2 bolas negras se hacen extracciones sucesivas y con reemplazamiento (una bola cada vez). Llamamos X al número de bolas blancas extraídas. a) Si se hacen 5 extracciones, ¿cuál es la distribución de probabilidad de X? ¿Cuánto valen su media y su desvia- ción típica? ¿Cuánto vale P(X ≥ 2)? b) Si se hacen 288 extracciones, ¿cuál es la probabilidad de que salgan más de 90 bolas blancas? a) Es una binomial B ( 5 ; ) . Media Desviación aproximamos a la normal µ σ · ⋅ · ⋅ · · ⋅ ⋅ · ⋅ ⋅ · ≥ ( ) · − < ( ) · − · ( ) − · ( ) · ¸ ¸ _ , ( ) > ( ) · ≥ ( ) · ≥ − ( n p n p q P X P X P X P X B N P X P X P Z 5 1 3 1 67 5 1 3 2 3 1 05 2 1 2 1 0 1 0 539 288 1 3 96 8 90 90 5 0 69 , , , . ; ; , , b) )) · · ≤ ( ) · P Z 0 69 0 7549 , , . x P x 0 1 2 3 4 5 2 3 5 2 3 1 3 10 2 3 1 3 10 2 3 1 3 5 2 3 1 3 1 3 5 4 3 2 2 3 4 5 ( ) ¸ ¸ _ , ⋅ ¸ ¸ _ , ⋅ ⋅ ¸ ¸ _ , ⋅ ¸ ¸ _ , ⋅ ¸ ¸ _ , ⋅ ¸ ¸ _ , ⋅ ¸ ¸ _ , ⋅ ¸ ¸ _ , ¸ ¸ _ , 1 3 31 N P X P Z P Z P Z P X P Z P Z P X 170 3 155 165 5 1 67 5 1 67 0 0475 48 165 175 1 67 1 67 2 0 1 67 2 0 9525 0 5 0 905 905 175 185 ; • , , , • , , , , , , • ( ) ≤ ≤ ( ) · − ≤ ≤ − ( ) · · ≤ ( ) − ≤ ( ) · · ≤ ≤ ( ) · − ≤ ≤ ( ) · · ≤ ≤ ( ) · − [ ] · ⇒ ≤ ≤ es decir batas. batas. (( ) · ≤ ≤ ( ) · ≤ ( ) − ≤ ( ) · ⇒ P Z P Z P Z 1 67 5 5 1 67 0 0475 48 , , , batas. 30 N P X P Z P Z P Z P Z P X P Z P Z 50 70 0 0228 70 50 0 0228 20 1 20 0 0228 20 0 9772 20 2 10 45 45 50 10 ; • , , , , . • σ σ σ σ σ σ σ ( ) ≥ ( ) · ≥ − ¸ ¸ _ , · ≥ ¸ ¸ _ , · − ≤ ¸ ¸ _ , · ⇒ ⇒ ≤ ¸ ¸ _ , · ⇒ · ⇒ · ≤ ( ) · ≤ − ¸ ¸ _ , · ≤ −00 5 0 5 0 3085 , , , . ( ) · · ≥ ( ) · P Z 29 28 G U Í A D I D Á C T I C A • 207 208 • G U Í A D I D Á C T I C A La probabilidad de que un golfista haga hoyo en un lanzamiento es 0,4. Si lo intenta 10 veces, calcula la probabilidad de que acierte a lo sumo 2 veces. Si lanza 1 000 veces y su capacidad de acierto se mantuviera, ¿qué probabilidad hay de que acierte más de 450 veces? • Es una binomial B(10; 0,4). • Es una binomial B(1 000; 0,4) que aproximamos a la normal N(400; 15,49). PÁGINA • 341 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 1. EL CARACOL. Un caracol se encuentra en el fondo de un pozo. Cada día asciende 30 m y por la noche se resbala 20 m hacia abajo. ¿Cuánto tiempo tardará el caracol en salir del pozo? El pozo mide 300 m de profundidad. Como cada día asciende 30 m y resbala 20 m, en realidad asciende 10 m. Luego al cabo de 27 días ha ascendido 270 m, y ya el día 28 asciende a la superficie, pues asciende 30 m ⇒ 270 + 30 = 300 m. El caracol tarda 28 días en salir. 2. TRIÁNGULO DE MONE- DAS. El triángulo de la figura está formado con 10 monedas iguales. ¿Cuál es el mínimo nú- mero de monedas que hay que cambiar de sitio para que el triángulo quede en posición invertida? Simplemente cam- biando tres monedas, las señaladas con los números 1 - 2 - 3, el triángulo invierte la posición. 3. VALOR DESCONOCIDO. Determina el valor de la siguiente expresión: Llamemos Elevando al cuadrado ⇒ 4. PIES GRANDES Y SUS AVES. El indio Pies Grandes, sale de su tienda con un montón de granos de maíz y, cuando regresa de nuevo, no tiene ninguno. Cuando llega a su tienda, su hija Luz de Luna le pregunta qué ha hecho con el maíz. Él le dice: A cada ave que me encontré le di la mitad de los granos que llevaba más uno. ¿Con cuántas aves te encontraste?, le vuelve a preguntar Luz de Luna. Me encontré con ocho, responde Pies Grandes. ¿Cuántos granos de maíz llevaba Pies Grandes al principio? Comenzando el problema desde el final. Ave 8ª le da 1 + 1 = 2. Ave 7ª (tiene 6) – le da 3 + 1 = 4 – le quedan 2. Ave 6ª (tiene 14) – le da 7 + 1 = 8 – le quedan 6. Ave 5ª (tiene 30) – le da 15 + 1 = 16 – le quedan 14. ⇒ · + + + + … ⇒ · + ⇒ ⇒ − − · ⇒ · t ⇒ ⇒ · + · · x x x x x x x 2 2 2 1 1 1 1 1 1 0 1 5 2 1 5 2 Φ nº áureo. x · + + + … 1 1 1 1 1 1 + + + … 1 1 3 3 2 2 P X P X P Z P Z > ( ) · ≥ ( ) · ≥ ( ) · · − ≤ ( ) · 450 450 5 3 26 1 3 26 0 0006 , , , , P X P X P X P X ≤ ( ) · · ( ) + · ( ) + · ( ) · · ¸ ¸ _ , + ¸ ¸ _ , ⋅ + ¸ ¸ _ , ⋅ · 2 0 1 2 10 0 0 6 10 1 0 4 0 6 10 2 0 4 0 6 0 167 10 9 2 8 , , , , , , 32 Ave 4ª (tiene 62) – le da 31 + 1 = 32 – le quedan 30. Ave 3ª (tiene 126) – le da 63 + 1 = 64 – le quedan 62. Ave 2ª (tiene 254) – le da 127 + 1 = 128 – le quedan 126. Ave 1ª (tiene 510) – le da 255 + 1 = 256 – le quedan 254. Al principio tenía 510 granos de maíz. 5. LAS PESAS. ¿Cuál es el juego de 4 pesas que es necesario tener para poder pesar en una balanza, con dos platos, cualquier cantidad entera desde 1 hasta 40 kg? Las pesas que necesitamos tener han de ser de: 1, 3, 9 y 27 kg. Así: 1 kg = 1 2 kg = 3 – 1 3 kg = 3 4 kg = 3 + 1 5 kg = 9 – 3 – 1 6 kg = 9 – 3 7 kg = 9 – 3 + 1 8 kg = 9 – 1 9 kg = 9 10 kg = 1 + 9 y así sucesivamente. La suma de los números significa que las pesas se colocan en el mismo plato de la balanza, y la diferencia, que se colocan en platos diferentes. G U Í A D I D Á C T I C A • 209 G U Í A D I D Á C T I C A • 211 1. Utilizar las tablas y gráficas como instrumento para el estudio de situaciones em- píricas relacionadas con fenómenos sociales. Este criterio supone: • Representar en una tabla los datos relativos a una variable estadística unidimensional. • Expresar con un gráfico los datos de una distribución estadística unidimensional. • Calcular los parámetros de centralización y de dispersión de una variable estadística unidimensional. • Interpretar los parámetros estadísticos relativos a una distribución estadística unidimensional. 2. Utilizar el coeficiente de correlación y la recta de regresión para valorar el grado y carácter de la relación entre variables en situaciones reales definidas mediante una distribución bidimensional y obtener las rectas de regresión para hacer pre- dicciones estadísticas en un contexto de resolución de problemas relacionados con fenómenos económicos y sociales. Este criterio supone: • Representar en una tabla o en un diagrama los datos relativos a una variable estadística bidimensional. • Analizar cualitativamente la correlación por medio de los diagramas de dispersión. • Saber calcular, por procedimientos algorítmicos y usando calculadora, e interpretar el coeficiente de correlación lineal de Pearson. • Determinar la recta de regresión lineal y mediante ella predecir resultados. 3. Tomar decisiones ante situaciones que se ajusten a una distribución de probabilidad binomial o normal, estudiando las probabilidades de uno o varios sucesos. Este criterio supone: • Analizar fenómenos aleatorios a través de las variables aleatorias. • Utilizar e interpretar los conceptos asociados a las variables aleatorias, tanto discretas como continuas: funciones de probabilidad o de densidad, media o valor esperado y des- viación típica. • Utilizar las distribuciones binomial y normal para el cálculo de probabilidades. • Calcular situaciones asociadas a la distribución binomial mediante la distribución normal, haciendo uso adecuado de los valores tabulados de la distribución normal estándar. C C R R I I T T E E R R I I O OS S Y Y A AC C T T I I V V I I D DA AD DE E S S D DE E E E V VA AL L U UA AC C I I Ó ÓN N CRITERIOS 212 • G U Í A D I D Á C T I C A 1. Diez alumnos/as de un mismo curso han realizado en un mes dos exámenes de Ma- temáticas. Las calificaciones vienen dadas en la siguiente tabla: a) Dibuja la nube de puntos. Ajusta a ojo una recta a la nube de puntos y estima el valor que tendrá el coeficiente de co- rrelación. b) Calcula el coeficiente de correlación. Compara el resultado con el del coeficiente anterior. c) Calcula las rectas de regresión. c) Un alumno/a que sacase 6 en el segundo examen, ¿qué calificación habría obtenido en el primer examen? a) La nube de puntos, así como una recta ajustada a ella, puede verse en la gráfica: b) Llamando X a la variable primer examen e Y a la variable segundo examen, obtenemos los siguientes parámetros: El coeficiente de correlación es: c) La recta de regresión de Y sobre X tiene por ecuación: La recta de regresión de X sobre Y tiene por ecuación: d) Sustituyendo y = 6 en la segunda recta de regre- sión, se obtiene: Obtendría 6,2 en el segundo examen. 2. El volumen de importaciones y exportaciones (en millones de dólares) de algunos países europeos se recoge en la tabla siguiente: Calcula la correlación entre importaciones y exportaciones. País RFA Francia R.Unido Suiza Italia URSS Holanda España Export Import 320 170 140 50 130 110 100 40 290 170 190 60 140 110 100 60 x x − · ⋅ − ⇒ ⇒ · 6 8 4 64 2 33 6 6 7 6 2 2 , , ( , ) ( , ) , x y − · ⋅ − 6 8 4 64 2 33 6 7 2 , , ( , ) ( , ). y x − · ⋅ − 6 7 4 64 2 14 6 8 2 , , ( , ) ( , ). r · ⋅ · 4 64 2 14 2 33 0 93 , , , , . x y x y xy · · · · · · · 68 10 6 8 67 10 6 7 2 14 2 33 4 64 , , , , , σ σ σ 7 49 6 36 42 9 81 8 64 72 4 16 4 16 16 8 64 8 64 64 10 100 10 100 100 68 508 67 503 502 x x y y x y i i i i i i 2 2 4 16 5 25 20 7 49 8 64 56 6 36 5 25 30 9 81 10 100 90 4 16 3 9 12 ⋅ Primer examen Segundo examen 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 4 7 6 9 4 7 9 4 8 10 2 5 8 5 10 3 6 8 4 8 10 º º ex. ex. ACTIVIDADES Mediante la calculadora obtenemos: El coeficiente de correlación de Pearson es: 3. Se lanzan dos dados y se suman los puntos obtenidos. Calcula la media y la desviación típica. La función de probabilidad de la variable aleatoria asociada es: Su media es: La desviación es: 4. Se elige al azar una familia de 6 hijos, ob- servando el número de hijos varones. Cal- cula la probabilidad de que la familia tenga: a) Tres hijos varones. b) Cuatro mujeres. c) Más de cuatro mujeres. d) Alguna mujer. Es una distribución binomial B(6; 1 / 2 ). Por tanto: a) P(Tres varones) = b) P(Cuatro mujeres) = P(Dos varones) = c) P(Más de 4 mujeres) = P(5 mujeres) + P(6 mujeres) = 0,0938 + 0,0156 = = 0,1094. d) P(Alguna mujer) = 1 – P(ninguna mujer) = = 1 – P (seis hombres) = 1 – 0,0156 = 0,9844. 5. La vida media de las baterías de un tractor, de una determinada marca, siguen una dis- tribución normal de media dos años y des- viación típica seis meses. Compramos una batería de dicha marca. Calcula: a) Probabilidad de que dure 17 meses o menos. b) Probabilidad de que dure entre 20 y 32 meses. c) Probabilidad de que dure más de 38 meses. Estamos ante una distribución normal N(24; 6). a) P(X ≤ 17) = = = P(Z ≤ –1,17) = 1 – P(Z ≤ 1,17) = 1 – 0,8790 = = 0,121. b) P(20 ≤ X ≤ 32) = = = P(–0,67 ≤ Z ≤ 1,33) = P(Z ≤ 1,33) – – P(Z ≤ –0,67) = 0,9082 – (1 – 0,7486) = 0,6568. c) P(X ≥ 38) = = P(Z ≥ 2,33) = = 1 – P(Z ≤ 2,33) = 1 – 0,9901 = 0,0099. 6. Se lanza un dado 100 veces. Calcula las probabilidades siguientes: a) Salga 30 veces o más el número 5. b) Salga menos de 25 veces el número 5. c) El número 5 salga 20 veces. Aproximamos la binomial B(100; 1 / 6 ) por una normal, de media µ = n · p = 100 · = 16,67, y desviación típica r · ⋅ ⋅ · 100 1 6 5 6 3 73 , . 1 6 P X− ≥ − ¸ ¸ _ , 24 6 38 24 6 P X 20 24 6 24 6 32 24 6 − ≤ − ≤ − ¸ ¸ _ , P x − ≤ − ¸ ¸ _ , 24 6 17 24 6 · − ¸ ¸ _ , ¸ ¸ _ , · 1 6 0 1 2 6 · ¸ ¸ _ , ¸ ¸ _ , + ¸ ¸ _ , ¸ ¸ _ , · 6 1 1 2 1 2 6 0 1 2 5 6 · ¸ ¸ _ , ¸ ¸ _ , ¸ ¸ _ , · 6 2 1 2 1 2 0 2344 2 4 , . 6 3 1 2 1 2 0 3125 3 3 ¸ ¸ _ , ¸ ¸ _ , ¸ ¸ _ , · , . · · 6 3333 2 52 , , . · ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ − · 2 1 36 3 2 36 4 3 36 5 4 36 6 5 36 7 6 36 8 5 36 9 4 36 10 3 36 11 2 36 12 1 36 7 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 r x p i i i · − · ∑ 2 2 µ µ · · ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅ · · ∑ x p i i i 2 1 36 3 2 36 4 3 36 5 4 36 6 5 36 7 6 36 8 5 36 9 4 36 10 3 36 11 2 36 12 1 36 252 36 7. X P i i 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 36 2 36 3 36 4 36 5 36 6 36 5 36 4 36 3 36 2 36 1 36 r · ⋅ · 5 700 81 8 71 76 0 97 , , , . x y x y xy · · · · · 132 5 81 8 140 71 76 5 700 , , , σ σ σ G U Í A D I D Á C T I C A • 213 214 • G U Í A D I D Á C T I C A La normal es N(16,67; 3,73). a) P(X ≥ 29,5) = = = P(Z ≥ 3,43) = 1 – P(Z ≤ 3,43) = 1 – 0,9997 = = 0,0003. b) P(X ≤ 24,5) = = = P(Z ≤ 2,10) = 0,9821. c) P(19,5 ≤ X ≤ 20,5) = = = = P(0,76 ≤ X ≤ 20,5) = P(Z ≤ 1,03) – P(Z ≤ 0,76) = = 0,8485 – 0,7764 = 0,0721. 7. En un determinado centro de enseñanza se sabe que por término medio el 15 % de los estudiantes falta a clase una vez al mes. Se- leccionamos al azar un grupo de 8 estudiantes un determinado mes. a) Halla la probabilidad de que ese mes no haya faltado ninguno de ellos. b) Halla la probabilidad de que hayan faltado más de 3 y menos de 6. Es una binomial B(8; 0,15). 8. Las calificaciones de los alumnos en un examen de Matemáticas siguen una distribu- ción normal de media 6 y desviación típi- ca 1,5. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno que se presente a su examen saque una nota igual o mayor de 7? b) Si queremos seleccionar el 15 % de los alumnos mejores en su asignatura ¿a partir de qué nota hemos de hacerlo? a) b) P X P Z P Z P Z P X k P Z k P Z k k k ≥ ( ) · ≥ − ¸ ¸ _ , · ≥ ( ) · · − ≤ ( ) · ≥ ( ) · ≥ − ¸ ¸ _ , · ⇒ ⇒ ≤ − ¸ ¸ _ , ·· ⇒ ⇒ − · ⇒ · 7 7 6 1 5 0 67 1 0 67 0 2514 6 1 5 0 15 6 1 5 0 85 6 1 5 1 04 7 56 , , , , . , , , , , , , Se han de seleccionar a partir de Se han de seleccionar a partir de 7 56 , . b) P X P X P X < < ( ) · · ( ) + · ( ) · · ¸ ¸ _ , ⋅ ⋅ + ¸ ¸ _ , ⋅ ⋅ · · 3 6 4 5 8 4 0 15 0 85 8 5 0 15 0 85 0 021 4 4 5 3 , , , , , a) P X · ( ) · ¸ ¸ _ , ⋅ ⋅ · 0 8 0 0 15 0 85 0 27 0 8 , , , P X 19 5 16 67 3 73 16 67 3 73 20 5 16 67 3 73 , , , , , , , , − ≤ − ≤ − ¸ ¸ _ , P X − ≤ − ¸ ¸ _ , 16 67 3 73 24 5 16 67 3 73 , , , , , P X − ≥ − ¸ ¸ _ , 16 67 3 73 29 5 16 67 3 73 , , , , , G U Í A D I D Á C T I C A • 215 Resolución de problemas Resolución de problemas Resolución de problemas IV IV IV Los diferentes contenidos relacionados con la resolución de problemas se han distribuido a lo largo de cada una de las Unidades Didácticas descritas con anterioridad. Los aspectos considerados son los que siguen. CONCEPTOS 1. ¿Qué es un problema? 2. Protocolo de un problema. 3. Modelos de resolución de problemas. 4. Fase de familiarización con el problema. 5. Fase de búsqueda de estrategias. 6. Fase de llevar adelante la estrategia. 7. Fase de revisar el proceso y sacar consecuencias de él. 8. Simplificar. Particularizar. 9. Experimentación. 10. Ensayo y error. 11. Organización. 12. Modificar el problema. 13. Codificación: Elección del lenguaje y notación adecuados. 14. Analogía. Semejanza. 15. La simetría y los casos lí- mite. 16. Trabajar marcha atrás. – Mostrar interés por los diversos aspectos de la resolución de problemas. – Presentar curiosidad por en- frentarse a problemas, investi- gaciones y, en definitiva, a situaciones desconocidas. – Habituarse a recorrer todas las fases que describe un modelo en la resolución de cualquier problema. – Perseverancia en la búsqueda de la solución de un problema. – Flexibilidad en la fase de apli- cación de las estrategias que posibilitan la resolución de un problema. – Interés y respeto por las estrategias y soluciones distintas a las propias. – Gusto por la presentación ordenada y clara del proceso seguido y de los resultados obtenidos en la resolución de problemas. – Tomar conciencia de la importancia de los aspectos de la re- solución de problemas en su aplicación a situaciones de la vida cotidiana. • Formulación clara y precisa de cada una de las fases de la re- solución de un problema. • Planificación y realización in- dividual o colectiva, buscando formas propias de actuación, del desarrollo del protocolo de la resolución de un problema. • Elección de la estrategia apropiada en la resolución de un problema, después de haber considerado las estrategias que no hacen avanzar en la resolución. • Diferenciación de las estrategias y las pautas que nos permiten resolver un problema. • Aplicación de las pautas y estrategias propias de la resolu- ción de problemas a cualquiera de las situaciones de las Matemáticas, en particular a cuestiones y actividades de tipo numérico, algebraico, geométrico, analítico, estadísti- co y probabilístico. • Manejo de todas las estrategias descritas para su posterior uso y aplicación. ACTITUDES PROCEDIMIENTOS

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