gorucroNEMosfRIANGUTCg OBIICUANGUT r . ¿ " . ¡ 3 s '& i *. t *4 , *1 OBIETTVO Proponer soluciones a situaciones probleniáticasdel ento rno. c n lr s c uaie s s c re q u i e re la resoiución de triángulos oblicuíngulos aplicando 1os teoremas ciei seno y del coseno,valorando la opinión de ios demás. [Jn faro ,4 se encuentra a 12 km al oriente de un faro B. (Jn bote parte del faro A y navega9 km hacia el noreste; en ese instante,desde el faro B, el bote se observa al noroeste, sobre la línea que forma un ángulo de 42" con la dirección este-oeste. Determina la distancia del bote al faro B. ó o h t t p: / / u' w- r v . z o n a v i rtu a l .,j o lg/ [5sc't rs I n rerl cti vas/ Escenas_Interactivas.htm l Btr s c a t r iqononle tríae i n g re s a e n el r c or enr l de l s e n o y d e l coseno. .i .o € I R caliz a las ¡ c t iv i d ¿ d e s p ro p u c s t as . ;;r;*;*r.dsiidi:É**!]!]M;*;:i.rr;:i#;;;#*e*#s z re;*. = z en la página r55 O Resuelto - ffi 1. Encuentra la rnedida del ángulo que falta en cada &iingulo y luego nórnbralos de acuerdo con la rnedida de sus ángulos. 3. Resuelve. a. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 12 cm y 5 cm. ¿Cuánto mide la hipotenusa? e- b. En la intersección de dos calles dos automóviles parten al mismo tiempo y recorren en línea recta 150 my 120 m respectivamente.Si se sabe que el ángulo formado por ambas calles en la inrersección es de 75", ¿aqué distancia estánlos automóviles entre sí? F: 4. Resuelve el triángulo rectángulo inforrnación dada. a.b:5,F:25" usando la 2. Explica qué es el teorema de Pitágoras y describe algunas de sus utilidades prácticas. b.a:6,F:45o c. b: 4,ot: 12" d.a:5,cr:30ó e.c:10,ct:40" ó 3l E Uttlizarás, con seguridad y precisión, el teorema del seno, al solucionar ejercicios sobre triángulos oblicuángulos. Utllizarás, con seguridad y precisión, el teorema del coseno,al solucionar ejercicios sobre triángulos oblicuángulos. Resolverásproblemas con actitud propositiva y perseverantetrabajando en equipo, aplicando el teorema del coseno. = o I z : F z Resolverás problemas con actitud propositiva y perseverante,aplicando el teorema del seno trabajando en equipo. o ',tt En LADC.. E I .En un triángulo. se traza la altura /¡ sobre el lado a para generar LADC y LADB. 3.se riene: Figura1 R.iiiliÍi: TRIÁNGUIOS OBLTCUÁNGULOS Escribe los nombres que reciben los triángulos según la medida de sus ángulos.: r: Se conocen un lado y dos ángulos..Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia. Este tipo de triángulos se denominan oblicuángulos. ."otu-iento -$i:-É-i lógico matemático 'á ó € E En LADB.r n n: ! z = z Q) al entorno @ O con lenguaje matemático ! h:csenB elfcación de la Matemática .c: I h :b s e n C $ comonicación . :. .lliiüi. Resolver un triángulo es encontrar el valor de sus ángulos y de suslados. Es conveniente recordar tres propiedades de los triángulos: 1. TEOREMA O LEY DEL SENO En todo triángulo. a Es decir... 2.rj . ' Para resolver triángulos que cumplen las condiciones de los casos3 y 4 se usa ley del coseno. Se conocen dos iados y el ángulo opuesto ¿ uno de ellos.'i il i: SobreA. En la resolución de triángulos oblicuángulos se presenran cuaffo casos: . el seno de los ángulos y la medida de los lados respectivamente opuestos a dichos ángulos son directamente proporcionales. comprendido entre ellos.La suma de los ángulos internos de un triángulo es 180". '. se tiene: I .. dado LABC se cumple que: senA abc senB senC c Para demostrar el teorema del seno es necesario verificar la igualdad de las razones mencionadas en un triángulo acutángulo y en un triángulo obtuó sánsulo. A ' :l :'i I 'i : : Se conocen dos lados y el ángulo Se conocen los tres lados. conociendo ciertos datos.) .En este tema se estudiarála solución de triángulos en los cuales ninguno de los ángulos es recto.' . a mayor lado se opone mayor ángulo. i .4BCffigura1. Para resolver triángulos que cumplen las condiciones de los casos1 y 2 se usa la ley del seno..r. ft. LADC 4). tanto. ..2571.r n n :! h:csenB@ h:bsen(1. Figura4 5) y setiene: Ahora sobreA..:.también es igual a 165" 6'7".."i r-:. Por tanto.'r : i :. h.a) : s e na v b senA: h.... Sin embargo.40" + 14" 53' 53" + F : 180" z = z o L u e g o .g Figura5 sen-| 0. F :125' 6' 7" . se uttliza la 1ey del seno.. ilr ' .. .i:. rI i!.4BC setrazala altura/r.po.-.. : :.po.. Resuelve el triángulo DEF delafigura 6. -# senB t) senB oL 1- senC Los anteriores razonamientos constituyen la demostración del teorema del seno. ti . tanto..2571 : ó € . nuroru-ienro lógico matemático j$ Co-ori"ución con lenguaje matemático antcaclót de la Matemática al entorno ffi I . En LADC. sen sen B : Se r ( 180".2571 Se despeja 14" 53'. la suma de los ángulos interiores del triángulo excedería los 180'..portanto.::. sobreel lado c ffigura A ftr : b sen A : ?. ''ot. 0.a sen B a s enB *f De donde. .53" Por tanto.r:!. -.: Explica qué datos debes conocer en un triángulo acutángulo para poder resolverlo aplicando la ley de senos.. La medida de F se obtiene mediante la expresión: € I D + E I F : 180" . ji !.1ii'.. se tiene: En LADB.en el cual D : 40o e: 2 c fi a . E : sen-l 0. : I i ri .::r-.I :.d : 5 crn y 1.estano puede ser la medida de E porque como D mide 40".80"-q Puestoque: : q : senC.seúazala alturafusobreel lado a paragenetar SobreA.. se tiene: ser(180"-C):i h .:ri.' t.4B C ffigura y LADB. Para determinar la medida de -8. ser(180" h:bsenC C Al igualarO V @se tiene b senC : csenB senC :-.t..: .senB Dedonde.:. 2 sen 40" : ff senL. i:....entonces. senE senD sen40" ^ : sen E senE ^ Se reemplazan los datos. .1.. . ' Los datos generan un triángulo rectángulo. se determina la medida del lado a: s e nA : _ senB o b sen74" 51' 8" _ : sen 42" d 9 a: 9 sen74" 5 l ' g" : il . desde el faro B.A: 180".f : 6.seni25" 6' 7" JSenrzJ r ta . Así: sen sen .. Luego. Cuando el ángulo OPA es de 15". 2.rr42 La distancia del bote al faro B es de13 km.T '_ r 'senF .e : 2 cnt.86 cm..540" . la solución del triángulo es: d: 5 c rn . un bote parte del faro A y navega9 km hacia el noreste.o z) . i!l:jI .36 crn Luego. Determina la distancia del bote al faro B ffigura Z). 36. Se denomina caso ambiguo a la solución de triángulos oblicuángulos cuando se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.D : 40" . del ne un automóla manivela 7 62cm cigüeñal tie7.4 se encuentra a L2 km al oriente de un faro B. '1 r : : : I i .el bote se observa al noroeste.Resuelve.62 cm de p € I z = z o longitud y la biela tiene 22. Primero se determinala medida de C: j lllls XlC .8: 1.sen42o : Yll cb129 12 sen42" : senC: 0.80" 74" 50' 56" .Para determinar \a medida del lado J se utiliza nuevamente la ley del seno. ¿quétan lejos estáel pistón P del centro O del cigüeñal? . o E .) ) J_ t:- o / sen40 6.8922 C .sedeterminala medida de. En vil.sen-'0. I Resuelve.1uegoA + 42" + 63" 9' 42" : i. .TI) .8922: 63" 9' 42" ' Luego.: . lJn faro.4"53' 53" y F: 125" 6. en eseinstante.36 crn.. 'u Los datos no generan ningún triángulo.o ffi Resuelvecada triángulo.4: A + B * C : ¿Existe otra posibilidad pata la solución del problema? ¿Cuál es? Po r ta n to . sobre la línea que forma un ángulo de 42" con la dirección este-oeste. Se le llama así debido a que: ' Los datos generan dos triángulos. 2aCD + CD" &:h2+DBz P: b2. Es decir.delafgura ple que: 8.5625 z D: S co{1 0. se cumple que: é:b2-fa2-2abcosC b2:a2+ C * 2accosB a2: b2 + ?-2bccosA Para demostrar el teorema del coseno es necesario verificar las isualdades mencionadas en un triángulo. La ley del coseno se puede uttlízar para resolver triángulos cuando se conocen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos o cuando se conocen los tres lados del triángulo (casos3 y 4.5625: 55" 46'. En LABC.t CD)' : a" .dí+i¿lffi TEOREM. il : 5 cm. eD:bcosC Estos razonamientos constituyen la demostración del teorema del coseno.A O LEY DEL COSENO En todo triángulo. e : 4 crÍr v: f :6crn .secumple que: : .. 1.h esla altura sobre el lado f C . h2: b2 Como DE : aPor tanto se tiene: CD !:i¡i DB" : \a- .se obtiene: . a2:b2* ?-2bccosA Sereemplaza. o '" Para encontrar la medida de D se aplica la ley del coseno.ación con lenguaje matemático I enlicación de la Matemática al entorno = z o ffi . en el cual. fr:& -ff -2 e f c o s D 52:42+62-2.6" comoni.' Si se toma la altura sobre el lado AC. seobtiene: b2:a2* ?-2accosB . Sesimplifca.DCz I a2-2aCD + CDz P: b2* a2-2aeD f:b2 la2-2abcosC Si setomala altura sobre el lado AB. Figura8 l.4.6c0sD 25:16+36-48cosD 16 136-2s cosD: Fígura9 Rurotu*iento lógico matemático 'o ó o € I :0.DCz b2 h2+ Dcz. menos dos veces el producto de estas longitudes por el coseno del ángulo comprendido entre ellos.se cum- *l \ t\ B---T-A \ / 4o'r\ ¿Se puede resolver el triángulo utilizando la ley de senos? ¿Porqué? l: h 2+ DB z y en el AADC.página 150). pn LABD. dado LABC.de donde.Resuelve LDEF de la figura 9. el cuadrado de la longitud de uno de los lados es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros lados. ' b2 : b .r. Encuentra {CAB.2ac cos B .i i- Dos balsas. así: Figura10 b 2: a 2 + ?-2atcos B . cuando la balsa C ha recorrido 1.(* -c c" \ Resuelve. Para encontrar la distancia que las separase utiliza la ley del coseno. la balsaá recorre 3 krn ffigura 11).34" * F: : De donde.* . e2:&+ft-2dfcosE 42 : 52+ 62-2. -l 7A 1^ : u. Se utiliza la ley del coseno. .en la cual B:130".si ó € = E I .60 cos E cosE : -1é-'" )F.u..e:4cm..". se mueven en línea recta desde el punto B. Determina la distancia que las separa cuando la balsa C ha recorrido 1 .8:4I"24'34"y d: 5 cm. aproximadamente.2 - a2 + ? . I z \\ \\ = z o '\zo\ [__\ \i2: ffi. F:82" 49'9".¿Por qué el teorema de Pitágoras es un caso particular de la ley del coseno? .f 190. La distancia que separala balsa C del a balsa A es./\ tn "\ Deterrnina la medida de los ángulos de C ..a:70cmyc:5cm.i:i.. A y C. setiene: -l D + E F: 180' f ... Puesto que la balsa A se mueve con el doble de rapidez que la balsa C."24'. cm. Parahallarla medidade se utlhzalaley del coseno. b2 : b2: L_ I02 + 52_2..5 km.la solución del triángulo es: :6cm.. !'.L6 : 25 + 36. O ffi R"ro"lve cada triángulo.cuya velocidad es el doble de la balsa C. de tal manera que la recta sobre la que se mueve la balsa C forma un ángulo de 42" con la recta sobre la que se mueve la balsa A. aunqueesposiblede-E terminarlamediantela aplicaciónde la ley del seno...D:55"46'16".Determina la medida del lado b pata AABC de la figura 70. 10'5 ros 130' + ¿os 130o El lado ü mide 3.::. Á to . km.75: +1" 24' 35" Paraencontrar la medida de F.Resuelve. Un sólido rectangular tiene lados como se indica en la figura. 2. 5.5 k m.F 82" 49' 10" Luego. 6 cos E :. b2 : 1. aproximadamente.75 E : cos-i0.r 55"46'L6" + 41./ /\ . Sien LXYZ. La formula que determina el valor del área de un triángulo cuando se conocen los tres lados se denominá formula de Herón y se enuncia así: ó o E está determinada oor: . Entre sus inventos se cuenta el odómetro.02 y planteó la formula para determinar el írea de un triángulo cuando se conoce la medida de sus tres la- Y si se toma la alturasobreel lado x.se tiene que: l-b+l A_ '''. En matemáticas desarrolló un método para calcular la niz c6bica de 100 con una aproximación menor que 0. Se conocen las medidas de dos lados y del ángulo comprendido entre ellos. El área del LXYZ A xz senY :____T A"XYZ es n_xzsenY 2 ^nA -_ yz senX z . en su versión moderna. Se conocen las medidas de los tres lados. La demostración de este resultado requiere el uso de identidades trigonométricas. = = z ffi nu"oru-iento lógico matemático f[ Co-ori"ución con lenguaje matemático I afücación de la Matemática al entorno . de C.lii'r.h:xsenZ 11 z I Reemplazando esta expresión en la formul del área.) Contribuyó al desarrollo temprano de la mecánica.t¡ii. el área se expresa como: =' :=.xy ysonlados y ZelánguIo comprendido entre xy y. este es el dispositivo del que estánprovistos los automóviles para contar el número de revoluciones del motor. se procede así: En LXYZsetiene qu-e: ! Donde I es la altura sobre el lado y.si se toma la altura trazada sobre z.il+iül Ánpe DEuN rRrÁNcuro Explica qué datos debesconocer en un triángulo para resolverlo aplicando la ley de cosenos. s e n Z :. Es posible deducir expresionespara determinar el área de un triángulo en los siguientescasos: : . las cuales se estudian en la siguiente unidpd. En forma análoga. el área de LXYZ se expresa como: El áreade un triángulo de base b y altura fose calculamediante: . que consiste en un sistema de engranajes combinados que sirve para contar las vueltas de una rueda..h 2 n- A_f vx senZ 2 Para demostrar este hecho.É'- a: @donde s:+@+y+ z) € = = I s se llama el semiperímetro del triángulo.Además. .T yx senZ z Lo cual demuestra la expresión dada.l uego. A= b.í2 ! Luego. se tiene que el área de AXYZ se exDresa mediante: yzsenX A _ 2 Flerón de Alejandría (siglo II a. ¿cuántocuestael lote? b.: El áreadel L¿nC es_ cm2. i. 5c m ¿:@ . y el ángulo comprend. s--=. r y s. se aplica la expresión -¿R rssenT 4 cm. Lasdimensiones de un lote triangular son 300 m.19 cmr.5 cm 4 . 5+ 5 )c m: 6 . 3.1. S ecalc u la e ls e mip e rí me rrc s : + e + b+ d : t e . A: El áreadel ARSf es8. 150 m y 225 m.ji:. t + El área es: b: 4.r -l iiili l. Encuentra el irea de la vela.El diagrama muestra las dimensiones de una vela para un modelo de bote. o Resuelve.5 cm C Fígura12 ffi Encuenta el irea de cada triángulo.00por metro cuadrado. : a =3 . 5 cm sen125" ^_ A:2-:--!___T8.':rl r. 'o como se conoce la medida de dos lados. ¿encuán' to seincrementael costodel mismo? 'd o E I z z = @ .s: 5 crn y T:125".Determinaelárea de ARSTsi r: 4 crr:. a.5 cm.5 crrry c:5 ctn (figuraI2). T.ido entre ellos. - Observa los datos en los dibujos y resuelve. T 2.. ::rr. .¡ {:i! 1 i¡ 1.il-1. Si seduplicanlasdimensiones del lote.9 cm. 45cm b. a.Encuentra el irea del segmento circularDE. Si el precio del rerreno es de $200..Determina el área del LABC cuyos lados rniden a : b:4. ¡ :r "'obtusángulo ._l¡li.' firt¡. por la medida de sus ángulos se clasificanen f :.c:58"..LLL " Rectángulo 'Ley del coseno cuando ninguno de sus ángulo es recto se llaman 'acutángulo I I se pueden resolver por medio de dos teoremas I se utiliza cuando los triángulos cumplen las condiciones I se utiliza cuando los triángulos cumplen las condiciones Encuentra la rnedida de los lados y los ángulos de cada triángulo.a: 8. c : J.2. i.2 o 4 C b.¡ ¡+ r.t i.u:7oo.a : 1. .. A : 49".Completa el mapa de conceptos.i l.2.l i1 i. a.B: 57" A C: 4A CB : +ABC : b. B Solucionacada triángulo urilizando la ley de fifr senos.7.'. i $ i.3 .. a.A : L07". a:g4 I z ts z @ ffi Ru"otu-iento lógico matemático @ comunicución con lenguaje matemático ! arucacion de la Matemática al entorno .g o 4 AB: j a.LLA 'oblicuángulos 'Ley del seno . F1. Justifica tu respuesta con un dibujo y un argurnento. zrA : 80" ffi Utiliza.albsenA Encuentra la rnedida de los ángulos y los lados de cada uno de los triángulos.5". b : 7 crn. Q y.a 1úy bs enA < a c. ¿A qué distancia de cada uno de los guardabosques está el incendio? cm.r : 3 cm. AB: 4ABC: la ley de Realiza un dibujo que represente la situación.A 15 km se localíza el punLos to C donde se encuentra otro guardabosques. \ . a: 2 crn../r\r. a : 2 crn. a. c : 4 crn.Determina el triángulo que se forrna para cada condición. a2l b2l c2 -2abc cosA .h: b sen A. a. AC: b . Si una circunferencia de radio r se circunscribe en un triángulo de vértices P.la leV de cosenospara demostrar la expresron.c : 9crn d.entonces: q h -..b : 2 cfi't.Á d .a > b ¡-B AC: A. Luegoo dernuestra la afirrnación propuesta.b :' l Resuelve. Suponiendo que en el triángulo no rectángulo ABC. AC: CB= 4ACB: b. a : 10 cm. En el punto B de un bosque se encuentra ubicado un guardabosques.a : bs enA 4ACn: 4BAC: c. /iB : 45" b. senP s e nH s enQ Resuelve los triángulos utilizando cosenos. :o-b- cosB ó € 'á 6 O cos C c € E I = F z o .ziC : 50" c. dos observan un incendio en el punto A.El gtardabosquesque se encuentra ubicado en el punto B registra el ángulo ABC con una medida de 40" y el que se encuentra ubicado en el punto C registra el ángulo BCA igual a 80. I Ocnrm¡¡¡ ortllFn.\ ol arr d.f=4cm.a|r co h¡r{r cu.determin¡ l¡ ¡um¡ de l¡s áre¡s..l cnr. Tonu como b¡sc cl riguienteprocedinriento p¿ri¡ demoor¡r ler igud&del de c¡d¡ lirenl.Lucgo.¿ = 9cm.la= a r b * c .:s dirgonelcsde un panlclognmo tc con¡n mun¡¿mcnte cn p¡ner iguelet. Si un¡ dc l¿sdi¡gondcsmide 5 cm.*Z = Uf b.hn.l.t I nocrt-ür .[=3cm. -*t a.2P.Si doodc lo¡ l¿doo del triángulo midcn 20 pulgdal y 2{ pulgadrs. nf = ócm.& = . rerpectiramcntc.ü = 7 cm. Ata= Lrort. hn c¡lcul¡r el ár¡ epluimeü dc un lego.R. t .un ropógnfo c¡nún¿ por todo cl pcrímetro del lago y ¡om¡ l¿smcdid¡sque sc nrue$&¡n.l¿ otn dirgoml midc ó cm y el ángulo guc !. 2 (P -ü )= a ' h + c b . ¿cuá|es l¡ mcdid¿de loo l¿doedcl prnlclogrrmo? d. I I En ¡odotriánguloABC - I i d t e a Itl I r-.t¡zr lo qoc r i¡dlcr.ro. P = 3 cm. cscl áre¡ ¿Cuál apruimdr del lego? b.A -'r Árc¡R¡¡uolw. cdr trilngulo. form¡ en¡rr cll¿scs dc fl". /\ . _rrC T t T t f T 3 Sugerencia: utiliz¡ le lcy de loe cosenoo en loo tret quc triánguloo rc muc$n¡n.4R = ll(1" b. I p= ]G*t*r ) 2P= a+ t + t *.i=ócm E R¡.¿cuát c l¿ mcdid¡ del ánguloquc form¿n? E ol l¡o¡ do crd¡ cllryulo. ¡.g = 2 cnr.to d toonm¡ d.dm|ó¡r:o adco I cocc.2a w 2 (P -a l= ' a * b .o I errcraLdr b r¡nrdo rt ¡¡cr I . z (P -d = a + b ' t f'.r = l0cnr c. Hoóo. Un ümbre dc 60 pulgdes de lergo e¡ dobl¿do cn form¿& triángulo. 235 rn de longitud. formados por la actividad industrial y por el tráfico vehicular. De acuerdo con la siguiente figura. a ello se debe su inclinación. Originalmente la torre de Pisa tenia 56.Luego.XIII) cuya planra es cilíndrica. averigua la distancia más corta de C ala recta AB. Pisa es una ciudad de Italia ubicada a orillas del curso inferior del río Arno. encuentra el ángulo CAB. ¿cuántos aparatos se utilizan aproximadamente para medir la acidez del agua en la finca? z = z @ 37. Resuelve. ¿Cuálesla longitud del segmentoBC? ó . con seis pisos de arcadasy presenta una inclinación hacia el lado sur. el campanile o torre de Pisa (s. Cuando llueve. Támbién es un centro muy conocido por algunas construcciones arquitectónicas. 950m u a.XII . el baptisterio (i153) edificio circular que está decorado con gabletes y pináculos y el cementerio o camposanto en el que se contempla gran variedad de frescos. en el agua se producen procesos químicos que forman el ácido sullúrico y ácido nítrico. a 10 km aproximadamente de la costa Ligur.49m . los ácidos que están disueltos en el agua causan daños en el follaje y las raíces de los árboles. Este es el modelo de una finca que sirve para estudiar eGctos de la lluvia ácida o La torre de Pisa fue construida sobre un subsuelo débil. A1 absorber estos compuestos. Pisa es principalmente un centro cultural y universitario.además tienen efectos nocivos en los suelosy ríos. En la denominada piazza deí Miracoli se encuentra un conjunto monumental formado por la catedral rornánica (1068 -1118) donde se guardan notables obras de arte.ffi $| ree y resuelve. ¿Cuál es la medida del ángulo ABD? b.E- € E I c. los cuales son altamente tóxicos y corrosivos.Allí hay una gran industria de construcción de maquinarias. El agua de la atmósfera se torna ácida porque absorbe dióxido de azufre (SOr) (producido por la combustión del carbón y del petróleo) y dióxido de nitrógeno (NO2) (contenido en los gasesproducidos por los vehículos en movimiento). arnbiental La lluvia ácida se produce por emisiones de gases. En las zonas del planeta donde hay mayor industrializaci6n y concentraciones urbanas los árboles pierden su follaje y los bosques tienden a desaparecer. las edificaciones y las piedras calizas. Si se utlliza un aparato para medir la acidez del agua cada 30 nf . o o. Imagina que d es la distancia.a . en millas. 'I o .lJn satélite de vigilancia da vueltas alrededor de la Tierra a una altura de ft millas por encima de ia superficie. sobre la superficie de la Tierra que puede ser observada desde el satélite. ¿Cuál de las siguientesno es una característica de la distribución normal estándar? a.O la.O "..4696 15. ¿euéárea de la curva normal le corresoonde? 1.1 [_--T 2 d. a.O 10.O o .(x)/s l* o . c..2mo cosN b.O ¿.Qu.O 6.0.O 7. n2 : m2 + o2 I 2mo cosN ml n* o : --^ C.Q c.Q u. ¿Cuál es la probabilidad de que caigan4 caras? ( a.O a..Ob. u. c. u. r n x o o . ¿Cuáles la expresión paracd. x-i/s d.Od.Q c. Atraigual 1.O u. -0.O 1.. A= 2ph p(p . Las cinco monedas. d.Q a.O.O.Q ". ¿Cuál delassiguientes expresiones escorrecta paracalcular el áreadel triángulo MNO cuyo semiperímetro esp? mlnI.9. 11.O.cuTar z? a. x * x /s b.9696 b..Oa. En esteexperimento binomial.La media esde 68 puntos y la desviaciónestándar es de 8 puntos. L1.O¿..O u. Completa los enunciados del 14 al 16 con base en la siguiente información 10.Ou.\ ¿mo lt-(os1 -l.Q 12. Cara y Escudo.O .O ". Discreta c.O s.4696 d. ^ -a..+ b. Binomial Sea el triángulo MNO: M .o- E I z F- z b.O e.O ".O a. d: .m)(p - 12. por lo que el profesor decide hacer algunos cálculoscon baseen ella.l)/s c.O 3.Qu.O.O¿..^ IU b.O".Od.Oa.Od.Ob. d.Oa. (x . La variablede esteexperimento no es: a. Continua d..Qu.a.O.O 13.O.v1.O b. a. -0. A: d. rUi. b.O ".Q¡. x. Érito y fracaso. Generatablaspara su cálculo. Luis tiene la nota más alta y es de 83 puntos . Aleatoria b.Qu.O ) '.Qa. La ley de los cosenosparan se expresade la forma: a. A: c. 3 caras y dos escudos.O "..O 15.9696 c. rosN : a.Ou.CrU + 13. 5 to d. a. . Completa los enunciados del 7l al t3 con base en la siguiente información. 0.Ob. los resultados posibles y excluyentes son u. n2 : m2 + o2.4. La distribución de lasnorasde Matemática de cierto grupo de estudianteses simiiar a la distribución normal estándar. u. +n b. Es asimétrica. ". c.a. u.O¿.8.O¿. a. Es una distribución de probabilidad.O".O. Halla la altura del árbol y el ancho del río. Una rampa para personasdiscapacitadas no puede tener una inclinación mayor de 10o.E -rrl Dibuja y resuelve los problemas.4 hasta C hay 40 metros. b.:50o.F:52" 60o. E -I z i F z o .5 m. ¿Cuál es el mínimo largo de la rampa.ffiOrcuia los triángulosy calculasusáreas y perímetros. b. sombra proyectada 24. lJn triángulo tiene dos lados que miden 4 crn cada uno y el ángulo entre ellos es de 22". Desde. E É ffi _q .7. a. Un triángulo cuyos lados miden 3 crn. I Resuelvelos problemas. yd:100m. b. d. Calcula la altura del edificio. a. Halla la altura de un poste sabiendo que el ángulo de elevación es de 25" en un punro y de 35" al acercarse60 metros a la base. y 9 cm.5 cn:r. Lado (t) : 221 m. D c. En la figura halla BC si m : cx. a. si se necesita elevar a 1 metro y medio del suelo? 3 € . Encuentra la altura de la pirámide de Keops.n:74" . 10 R d. (AC). Genero Hombres Tipo de transacción Retiro Consulta de saldo Muieres 30 t2 20 15 Si llega un nuevo cliente al cajero automático y realiza un retiro. (CAB). (ACB).g.{A. cajero automáttcoy su distribución por género 1. Las opcionesa. . b.. (BC).O b. 66 % a 30 77 D' d" 30 50 42 o 3 77 . (BAC). 7. (CB).O coRRECro' ". +z ^a 77 12 42 b.O INCoRRECTo: b. (CBA)} b. ¿Cuál es el espaciomuestralde esteexperimento? a.Marca la respuestapara cada caso en el recuadro que se encuentra al final de la siguiente página. Si se lanza cinco vecesuna moneda. B. = z F z . {(ABC). (ACB).. (CAB). c.E :o '€ rg 4. (BCA). ¿Cuál es la probabüdad de que la bebida marca A no seaclasificadade primera? a. Ordenamientosdonde esténmarcas A y B. Completa los enunciados del 8 al 10 con base en la siguiente información.@ . 8. Rellena el círculo que ubica la respuestacorrecta.@ d. Completa los enunciados del 5 al 7 con base en la siguiente información Se le pide a una personaque pruebe tres fipos de refrescos La tabla de la siguiente columna muestra dos tipos de de lasmarcas A.O d. Ordenamientos donde no estéla marca C. (BAC). 0. (BCA). ¿Cuálde los siguientes no esun eventoposible en este experimento aleatorio? a. (BA). Luego sele solicitaque al probar las transacciones bancarias que realizanvarios usuariosde un tres bebidas.t 77 b. (ABC). d. { A . 6.f . Ordenamientos donde esté la marca B.o . + o :9 lli .ñ 1) c' AL La probabilidad de que la persona que se acerqueal cajero seahombre es de: a' ^.si 1. 66. C. 2 b. # d' ?n c' 50 77 77 La probabiJidad de que un hombre llegue al cajero y hagauna consultade saldoes de: a' c' 3. la probabilidadque seamujer es de: a' 2.+ 0 . a. (CAB)} d. Ordenamientos donde el tercer lugar lo ocupe la marcaA. L . (AB).l d. C} c.las clasifique en orden de preferencia.O ". B y C. (BAC).O .30 c. b y c son correctas. {(ABC). (CA). (CBA)) 5. ¿Cuál es la probabilidad de que la bebida marca A sea clasificadade primera y la bebida marca B sea clasificada de segunda? :. 6666 b.su distribución binomial se esquematizaen el gráfico. Completa los enunciados del 1 al 4 con base en la siguiente información . !. ra n t o .11 .' .4BC se traza la altura L. T:_T ir ¡ r r i:n l:l¡ l i¡¡¡. h r:b s e n A : a sen tanto. . ro .l.c: 5. así: senC -:_ ch senB Se reemplazan'los datos. como se indica en el gráfico.8 :4I" yC :94" . Determina la distancia entre los puntos A yB en las orillas opuestas de un lago. La medida de C se determina a continuación.i ó p = I z z o . -.ro. senA a : f f :senB sen C l.o"lwe cada triángulo. sobre a.6 sen 84' : 5.5 crn. se utiliza la lev del seno. a.6 crn..1" b : 3.A l i g u a l a rC V @ seti ene: senC b sen C : c sen B. así: senA senB q0 sen J) --o sen + | /ta 4 .b:3. sobre el lado c(figura 2) y se tiene: sen A: T .h.e lafigura J.46 crn A :5 5 " ..s b: 4 \ c o.O 3.5 crn.de donde. sen84" sen41" (^-:J ..Resuelve LABC a : 4 .6 crn Se reemytlazan los datos. Resuelve.-16cm c: J(r¡ T I Sedespeja c. 55" + 41" + C :180" É . B a senB sen B : 4... se utlliza la ley del seno. b senA : . 'ffi sen55 Sedespejab. B : 4!" y '' Para determinar la medida del lado b. A + Bf C :180" .. las medidas de los elementos del triángulo ABC son: a: 4 . d.. Aproxima tu respuestaa metros. en el cual A: 55".a senB Figura2 Dedonde. c-b ser!B Ahora.g1| * C :84" .Zf Así. Para determinar la medida del lado c.. /. o $ R".r ¡1q. respectivamente.COMPRENDER DIFERENTES REPRESENTACIONES 1. 9. si su base mrde 22 cm v f B : 26". 8. Si la longitud de uno de los cables es de 64 rn y la del otro es de 69 metros. Ties círculos con radios de 3 cm. el ángulo de elevación es de 31". 4 cm y 5 cm son tangentesentre sí. divisa dos embarcaciones que . ó o 10. Calcula la altura de la montaña. . ¿en qué dirección debe para interceptar al bardesplazarse co y en qué tiempo 1o interceptará? 2. Dos remolques que están separados por 36 metros tiran de un contenedor.4 y QE forman un ángu1o de 123".4BC. i . 6. Una persona sostiene dos cometas que están volando. El oiloto de un 62"24'.Si el ángu1o entre ellos mide 46. Determina el perímetro del triángulo isósceles.se -"6a Y"*. Un submarino :utlliza un sonar para determinar que un barco se encuentra a 4 millas al este y que viaja a L0 mi/h con dirección noroeste 62".encuentra el áreay e7perímetro del triángulo. Si el submarino viaja a 18 milh. como se muestra en la figura. A una de las cometas le ha soltado 1 000 metros de pita y a Ia otra 800 metros.6 metros más del punto anterior. Los dos radios Q. OBTENER D. Calcula la distancia que separauna embarcación de la otra. La base de un triángulo isóscelesnide 22 cm y la medida del ángulo opuesto a la base es 36". Dos de los lados de un triángulo miden 400 m y 600 m respectivamente.3". 4. rr: : r: -: conoclmlento que vuela sobre el mar a una altura de 2 500 metros. 3. Encuentra su perímetro. determina el ángulo que forman entre ellos. 'd € o I z t1 F z o .7 rl I 2500m encuentran en un mismo plano vertical con ángulos de depresión 62" 24' y 37" 18'.ATOSDE UN DIBU'O 5. El ángulo de elevación de la cima de una montaña desde un punto sobre la tierra es de 42". ¿a qué distancia está una cometa de la otra? 7.Desplazándose 304. El círculo Q mostrado en la figura tiene un radio de 15 cm.Encuentra eI áreade la región sombreada. Si el ángulo que forman ambaspitas es aproximadamente 30".Encuenffa la longitud de la cuerda determinada Dor los extremos de los radios. Algunos triángulos que pueden resolverse por el pueden también solucionarse teorema de los s'enos por el teorema de los cosenos. d. I 2 z (9 .g b. puede resolverse por el = teorema de los senos. si M es punto medio. Un pedestal de 1. b. 6c m 400m @ Resuelve.I Calcula el valor de los lados y ángulos que faltan en cada triángulo. Si se conocen las medidas de los tres lados de un triángulo no rectángulo. o a. Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son suDlementarios.Justificatu respuesta. c. ¿A / qué distancia del pie del pedestal se puede ver la parte más alta de la estatuay del pedestal con ángulos iguales a 40o? 40m T 1 @ Out""-ina si cada enunciado es verdadero o falso. a. . En un triángulo obtuso la suma de sus tres ángulos internos ouede ser mavor que 180". a.De ser verdadero. Calcula x y oL.5 m de altura sostie3m ne una estatua de PI 3 m de altura.da un ejemplo.