Pá g i n a 1 0peraciones con matrices aplicadas a las ciencias 1. Escribe una matriz que cumpla las siguientes condiciones: Su dimensión es 3x2 32 21 11 1 a a a = ÷ = = 22 12 31 2 a a a = = ÷ = ÷ 2. Escribe un ejemplo de las siguientes matrices: a) Una matriz fila con cuatro columnas. b) Una matriz columna con cuatro filas. c) Una matriz cuadrada de orden 4. d) Una matriz diagonal de orden 4 cuya diagonal principal esté formada por -1. e) Una matriz triangular superior. f) Una matriz triangular inferior. g) Una matriz de orden tres simétrica. h) Una matriz de orden 4x5. i) Una matriz unidad de orden 3. 3. Dadas las matrices: 1 1 5 , 0 2 6 A | | = | \ . ( ) 1 2 5 7 8 , B = 2 1 , 0 0, 3 C ÷ | | = | \ . 2 1 , 0 E | | | = ÷ | | \ . ( ) 2 F = a) Indique el orden de cada matriz b) Cuáles matrices son cuadradas? 4. Escriba la matriz ( ) 3 3 i j x A a = que satisfaga: a) i j a =i+j b) i j a =i×j c) 2 i j a = i + j 5. Considere las siguientes matrices 1 2 3 ; 2 1 4 A | | = | \ . 1 0 2 1 ; 3 2 B | | | = | | \ . 3 1 3 4 1 5 ; 2 1 3 C ÷ | | | = | | \ . 3 2 ; 2 5 D ÷ | | = | \ . 2 4 5 0 1 4 3 2 1 E ÷ | | | = | | \ . Calcule, si es posible: a) C E + b) A D · c) 2A B ÷ d) 2 A · e) 5 2 D E · + · f) B A · g) C E · h) D A · i) A B C E · ÷ · 6. Calcule: ( ) T A B si A y B son matrices : ( ) i j i+3 si j=1 a = , i-j si j 1 ¦ ´ = ¹ ( ) i j 2i-3j si i=1 b = i+4j si i 1 ¦ ´ = ¹ 7. En cada caso, determine el valor de las incógnitas. a) 1 0 2 4 2 2 4 x u v y x w ÷ | | | | = | | ÷ ÷ \ . \ . b) 2 1 5 1 3 2 0 2 x y x y + | | | | = | | ÷ \ . \ . P á g i n a 1 P á g i n a 2 8. Se venden listones con dos calidades y de dos longitudes. Los listones grandes de baja calidad cuestan 0,75 euros y 1 euro los de alta, mientras que los listones pequeños de baja calidad cuestan 0,45 euros y 0,60 euros los de alta. Anota estos datos en forma de matriz. 9. Una empresa naviera tiene tres líneas: A, B y C. El lunes salieron 6 barcos en la línea A, 5 en la B y 7 en la C. El martes salieron 2 barcos de la línea A, 3 de la B y 1 de la C. El jueves salieron 5 barcos de la línea A, 3 de la B y 7 de la C. Represéntalo en forma de matriz. 10. Una fábrica elabora dos tipos de productos, X e Y, que vende a tres empresas A, B y C. Inicialmente distribuía 1000 unidades de cada producto a cada una, pero en este mes la empresa A recibió 600 unidades de X y 300 de Y, la empresa B recibió 500 unidades de X y 250 de Y y la empresa C recibió 900 unidades de X y 400 de Y. Representa mediante una matriz las disminuciones porcentuales que se han producido en la distribución de los productos a estas empresas. 11. Calcule el valor de x IR e tal que: ( ) 1 1 5 1 8 6 3 6 2 1 12 4 8 6 5 2 - x = x + | | | | | | · · | | | | \ . \ . 12. Halla el valor de cada incógnita para que las dos matrices sean iguales. 5 2 1 2 a) 1 1 5 x z A y B x y + ÷ | | | | = = | | ÷ + ÷ \ . \ . 1 3 0 2 1 0 b) 1 2 1 2 3 x y C y D z x z y y + + | | | | = = | | + + ÷ + \ . \ . }} 13. Dadas las matrices 9 2 1 7 0 2 1 1 2 1 , , , 5 0 0 3 1 8 1 1 0 1 A B C D ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ | | | | | | | | = = = = | | | | ÷ ÷ ÷ ÷ \ . \ . \ . \ . Calcular: A+B, B-A, C+D, D-C, 2A, -3C, 2A-B 14. Dadas las matrices del ejercicio anterior calcula: - La matriz opuesta de A - La matriz opuesta de C. - t t t C B A , , - t A B + - t C D ÷ - ( ) t t t B A B A + + , 15. Averigua los valores que faltan si A+B = C siendo: 3 4 5 2 7 6 , , 5 3 1 1 1 0 c d f A B C a b e | | | | | | = = = | | | ÷ ÷ \ . \ . \ . P á g i n a 3 16. Dadas las matrices 2 1 2 1 1 0 1 3 , 1 1 , , 1 1 1 2 2 1 0 1 0 2 A B C D | | | | | | | | | | = = ÷ ÷ = = ÷ ÷ | | | | ÷ ÷ \ . \ . | | ÷ \ . \ . a) b) c) A B y B A B D y D B C D y D C · · · · · · ( ) ( ) d) e) f) , , t t t t t A B D C B D y C B D A B A B B A · · · · · · · · · 17. Dadas las matrices 1 0 3 2 0 1 2 1 0 , 3 2 0 1 0 1 1 0 1 A B ÷ | | | | | | = = ÷ | | | | ÷ ÷ \ . \ . calcula . A B y B A · · 18. Dada la matriz 1 1 0 1 1 1 0 0 1 A | | | = | | \ . hallar , n A n N e . Solución: Para 2 n = se tiene que: 2 1 1 0 1 1 0 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 0 0 1 0 0 1 0 0 1 A A A | || | | | | | | = · = = | | | | | | \ .\ . \ . . Para 3 n = se tiene que: 3 2 1 1 0 2 2 1 4 4 7 1 1 1 2 2 2 4 4 4 0 0 1 0 0 1 0 0 1 A A A | || | | | | | | = · = = | | | | | | \ .\ . \ . . Ahora podemos suponer que 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2 0 0 1 n n n n n n n A ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ | | ÷ | = | | \ . y demostrar para n+1 que sigue la regla anterior, 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 2 2 2 1 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 0 0 1 0 0 1 0 0 1 n n n n n n n n n n n n n n A AA ÷ ÷ ÷ + ÷ ÷ ÷ | | | | ÷ ÷ | | | | | = = = | | | | | | \ .\ . \ . . 19. Determine el (los) valores de ì para los cuales la matriz 2 ( ) A M IR e bdada por: 2 5 2 satisfaga ( ) si ( ) 7 10 0 A P A P x x x ì | | = = ÷ + | \ . P á g i n a 4 20. Dadas las matrices 0 1 2 1 3 , 1 2 1 2 0 1 1 A B | | | | | = = ÷ | | ÷ \ . | \ . De las siguientes operaciones, algunas no se pueden realizar; razona por qué. Efectúa las que se puedan realizar. , , t t A B B A A B y A B + + · · ( Andalucía 2005) 21. Sea la siguiente matriz 0 2 1 5 A | | = | \ . . Calcula . A A y A A t t · · ( la Rioja 2002 ) 22. Con las matrices 2 1 3 4 2 1 , , 5 3 4 4 2 1 A B C ÷ | | | | | | = = = | | | ÷ \ . \ . \ . comprobar la propiedad asociativa del producto de matrices. 23. Averigua los valores que faltan si A+B = C siendo: 3 4 5 2 7 6 , , 5 3 1 1 1 0 c d f A B C a b e | | | | | | = = = | | | ÷ ÷ \ . \ . \ . 24. Sean las matrices 1 2 2 1 0 2 1 , , 0 2 0 2 1 2 2 2 0 A B C ÷ | | ÷ | | | | | = = = | | | ÷ \ . \ . | ÷ \ . a) Determine la dimensión de la matriz M para que pueda efectuarse el producto AMC b) Determine la dimensión de N para que B N C t · · sea una matriz cuadrada( Andalucía 2004 ) 25. Dadas las matrices 2 1 1 3 , 1 0 2 2 A B ÷ | | | | = = | | ÷ \ . \ . a) Calcula 2 2 2 B B A A + · + b) Calcula ( ) 2 B A+ 26. Sean A y B dos matrices cuadradas de tamaño 2x2. ¿Es cierta la igualdad ( ) ( ) 2 2 A B A B A B + · ÷ = ÷ ? Razona tu respuesta. Pruébalo si es cierto o da un contraejemplo en otro caso. ( La Rioja 2006 ) 27. Dadas las matrices 1 1 3 1 3 0 , , 2 3 2 1 1 1 A B C ÷ | | | | | | = = = | | | ÷ ÷ ÷ \ . \ . \ . comprueba si se cumple que ( ) A C A B C B A · + · = + · .Si no es cierto, aplica correctamente la propiedad. P á g i n a 5 28. Dadas las matrices efectúa la operación A C A B · + · , sacando previamente factor común A. ¿Qué propiedad has aplicado?. 29. Un fabricante de camisetas tiene la siguiente producción (en cientos de piezas) en sus fabrica de: Quilicura = 34 60 78 22 10 46 10 8 0 | | | | | \ . , San Bernardo = 10 0 50 30 10 0 40 20 30 | | | | | \ . a) Determine la matriz de la producción total en las dos plantas b) Si la producción de Quilicura se incrementa un 50% y un 25% en San Bernardo, calcule la nueva matriz que represente el total de ambas plantas. 30. La compañía Ottus fabrica un artículo en distintos modelos y colores y reporta sus ventas mensuales por medio de matrices; cuyos filas representan el número de modelos: básico, normal y Premium vendidos, mientras que las columnas dan el número de unidades de colores: rojas, blancas, azules y café vendidas. Las matrices para enero (E) y febrero (F) son: 2 6 1 2 0 1 3 5 2 7 6 0 E | | | = | | \ . 0 2 4 4 2 3 3 2 4 0 2 6 F | | | = | | \ . a) En enero, ¿cuántas unidades del modelo Premium blanca se vendieron? b) En febrero, ¿cuántos modelos normales azules se vendieron? c) ¿En qué mes se vendieron más modelos básicas café? d) ¿De qué modelo y color se vendió el mismo número de unidades en ambos meses? e) ¿En qué mes se vendieron más modelos Premium? f) ¿En qué mes se vendieron más artículos rojos? g) ¿Cuántos artículos se vendieron en enero? 31. Halle el valor de M si: 1 0 0 1 2 2 1 1 3 1 2 1 4 6 3 2 M ÷ | || | | | + = | | | ÷ ÷ \ .\ . \ . 32. La matriz K muestra los pesos de cuatro hombres y cuatro mujeres al comienzo de una dieta ideada para perder peso. La matriz M muestra los pesos después de la dieta. 160 158 172 193 Hombres , 132 143 119 157 Mujeres K ÷ | | = | ÷ \ . 154 148 163 178 Hombres 132 154 112 136 Mujeres M ÷ | | = | ÷ \ . Muestre una operación entre matrices cuyo resultado proporcione los pesos que perdió cada una de las ocho personas con la dieta. P á g i n a 6 33. Las matrices 1 S y 2 S representan las ventas anuales de tres productos de una empresa por región, expresadas en millones de dólares. 1 S representan las ventas durante el primer año de operaciones y 2 S las conseguidas en el segundo año. 1 Región 1 2 3 4 2.6 4.8 1.8 0.9 3.2 4.4 2.5 2.8 2.4 3.6 3.8 2.5 S | | | = | | \ . 2 Región 1 2 3 4 3.6 2.5 3.0 2.5 4.5 5.0 3.5 3.8 2.9 3.0 4.6 4.0 S | | | = | | \ . a) Calcule 2 1 S S ÷ e interprete el significado de la matriz resultante. b) Calcule 1 2 S S + e interprete el significado de la matriz resultante. Solución. a) 2 1 1 2, 3 1, 2 1, 6 1, 3 0, 6 1 1 0, 5 0, 6 0, 8 1, 5 S S ÷ ÷ ÷ | | | ÷ = ÷ ÷ ÷ ÷ | | ÷ ÷ ÷ \ . b) 1 2 6, 2 7, 3 4, 8 3, 4 7, 8 9, 4 6, 0 6, 6 5, 3 6, 6 8, 4 6, 5 S S | | | + = | | \ . 34. Determina A · B y B · A y compare los resultados. ¿Es cierto que A B B A · = · ? a) 2 1 , 3 7 A ÷ | | = | \ . b) 1 -1 2 A= 3 4 -4 , 2 1 3 | | | | | \ . 0 2 -3 B= 1 2 3 -1 -2 4 æ ö ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø 35. Tres inversionistas: 1 , I 2 I e 3 I , poseen individualmente cierto número de acciones 1 S , 2 , S 3 S y 4 S , según la matriz A. La matriz B contiene el valor actual V de cada porción de acción. Determine B A· e interprete el significado de sus elementos. 1 2 3 4 1 2 3 S S S S 50 100 30 25 I A= 100 150 10 30 I 100 50 40 100 I | | | | | \ . 1 2 3 4 V 20,37 s 16,21 s B= 90,80 s 42,75 s | | | | | | | \ . Solución. 6.432, 25 6.659, 00 10.754, 00 A B | | | · = | | \ . . P á g i n a 7 El número 6.432,25 representa el valor total que el inversionista 1 I posee en los cuatro tipos de acciones. 36. Sean las matrices 1 0 1 , 1 1 1 1 x A B x | | | | = = | | + \ . \ . . a) Encuentra el valor o valores de x que hacen cierta la igualdad . 2 A B = b) Determina x para que . I B A = · 37. Sea 1 1 x A y ÷ | | = | \ . a) Calcula 2 A b) Calcula todos los valores de x e y para los que se verifica que 2 1 2 2 1 x A + ÷ | | = | ÷ \ . . 38. Determina los valores x e y que hacen cierta la igualdad: 1 1 1 3 3 2 1 2 x x y y ÷ | | | | | | | | · = · | | | | ÷ \ . \ . \ . \ . 39. Sean 1 2 1 1 1 , 3 5 3 x A B y z x z ÷ ÷ | | | | = = | | + \ . \ . dos matrices de orden 2x3, en las que x, y, z son números reales. a) Determina, razonadamente, los valores de x, y z de manera que A=B. b) ¿Es posible el cálculo de B A· ? Razona la respuesta. 40. Razona si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: ( ) ( ) ) ) ) ) a A B B A b A B B A c A B C A B C A d A B C C A C B + = + · = · · + = · + · + · = · + · 41. Calcula la matriz inversa de las siguientes matrices: 1 2 a) 0 3 1 2 b) 5 1 A B ÷ | | = | \ . ÷ ÷ | | = | ÷ \ . 3 0 c) 0 3 1 2 d) 2 4 C D ÷ | | = | \ . ÷ | | = | ÷ \ . 2 0 ) 1 3 e E | | = | \ . P á g i n a 8 42. Dadas las matrices 1 0 1 2 3 1 1 , 2 2 , 2 1 1 1 0 1 1 A B C ÷ | | ÷ | | | | | = = = | | | \ . \ . | ÷ ÷ \ . hallar: a) C AB + ( ) 1 1 b) C AB ÷ ÷ + ( ) 1 c) C AB ÷ + 43. Dadas las matrices 2 4 1 2 1 4 0 1 A y B ÷ | | | | = = | | ÷ \ . \ . a) Comprobar que ( ) 1 1 1 AB B A ÷ ÷ ÷ = · b) Calcula ( ) 1 2 ÷ B de la manera más rápida posible. 44. Sean las matrices 2 1 1 2 2 0 2 4 A y B ÷ | | | | = = | | ÷ \ . \ . calcula ( ) 1 t A B A ÷ · ÷ 45. Dada la matriz 1 0 1 B b | | = | \ . calcula el valor de b para que 2 2 I B = 46. Dada la matriz 2 0 2 x A x | | = | + \ . a) Halla los valores de x para los que se verifica 2 2 A A = b) Para x = -1 calcula la inversa de A. Comprueba el resultado calculando 1 ÷ · A A 47. Sean las matrices 1 0 1 2 x y A y B y x ÷ | | | | = = | | ÷ \ . \ . a) Calcula, si existe, la matriz inversa de B. b) Si 3 t A B B A y A A I · = · + = , calcula x e y. 48. Dadas las matrices 2 1 1 2 2 0 2 4 A y B ÷ | | | | = = | | ÷ \ . \ . resuelve las siguientes ecuaciones matriciales: a) 2 b) 2 c) 2 A X B A X B A X B ÷ + = + = ÷ = 1 d) 2 e) 3 3 A X B A X B + = + = 2 f) 3 1 g) 5 B X B A X B ÷ + = ÷ = P á g i n a 9 49. Resuelve los siguientes sistemas matriciales: 1 0 2 1 1 a) 1 3 5 4 X Y X Y ¦ | | + = ¦ | ÷ ¦ \ . ´ | | ¦ ÷ = | ¦ ÷ \ . ¹ 2 4 4 2 b) 2 8 3 12 2 X Y X Y ¦ | | + = ¦ | ÷ ¦ \ . ´ ÷ | | ¦ ÷ + = | ¦ \ . ¹ 1 4 2 1 2 c) 2 1 3 0 0 X Y X Y ¦ | | + = ¦ | ÷ ¦ \ . ´ ÷ | | ¦ ÷ + = | ¦ \ . ¹ 50. Determinar las matrices A y B que cumplen: 4 1 7 3 2 4 2 2 6 0 3 3 5 1 A B y A B ÷ ÷ ÷ | | | | ÷ = + = | | ÷ \ . \ . 51. Calcular dos matrices A y B, que cumplan: 4 5 3 0 2 3 2 1 1 2 A B y A B ÷ ÷ | | | | + = ÷ = | | ÷ ÷ ÷ \ . \ . 52. Despeja la matriz X de la ecuación A X B · = y calcúlala siendo 1 2 1 2 3 0 1 0 1 1 A y B | | | | = = | | ÷ ÷ \ . \ . 53. Calcula la matriz A que cumple: 1 3 2 1 4 2 5 3 A | | | | = · | | \ . \ . 54. Halla la matriz A que verifica¨: 2 3 9 1 5 28 A | | | | · = | | ÷ \ . \ . 55. Obtener de forma razonada la matriz X que verifica 2 A X B C · = ÷ siendo 2 1 3 4 2 7 , , 5 0 1 1 13 2 A B C ÷ ÷ ÷ | | | | | | = = = | | | ÷ ÷ \ . \ . \ . . 56. Se Consideran las matrices 2 1 4 20 , 3 1 16 5 A B | | | | = = | | ÷ \ . \ . a) Despeja X de la ecuación matricial 2 A X B · = b) Calcula X. 57. Sean las matrices 2 1 1 0 , 1 0 1 2 A B ÷ | | | | = = | | ÷ \ . \ . P á g i n a 1 0 a) Calcula ( ) 1 2 3 A B I ÷ · + b) Determine la matriz X para que X A A I · = + 58. Encuentra una matriz X que verifique I B X A = + · siendo 0 1 1 2 , 1 0 3 4 A B ÷ | | | | = = | | \ . \ . 59. Determina una matriz X de dimensión 2x2 tal que 1 3 0 1 1 0 2 2 5 1 1 3 1 X ÷ | | | | | | · ÷ · = | | | ÷ \ . \ . \ . , X A B · = 60. En un hospital oncológico se aplica a un grupo de cuatro pacientes un tratamiento de quimioterapia mediante un protocolo CMF (C=ciclofosfamida, M=metrotexate, F=5-fluoracilo). Las cantidades diarias que necesita cada paciente de cada uno de los compuestos varían según la superficie total corporal, del siguiente modo: Paciente 1: 1200 mg de C, 80 mg de M y 1200 mg de F. Paciente 2: 900 mg de C, 60 mg de M y 950 mg de F. Paciente 3: 1100 mg de C, 70 mg de M y 1000 mg de F. Paciente 4: 1150 mg de C, 80 mg de M y 1100 mg de F. Teniendo en cuenta que el tratamiento se va a aplicar durante tres semanas a los pacientes 1, 3 y 4 y dos semanas al paciente 2, hallar la matriz de necesidades diarias y las cantidades de cada compuesto necesarias para poder atender correctamente los tratamientos de los cuatro pacientes. Solución. La matriz de necesidades diarias es: Pac. 1 Pac. 2 Pac. 3 Pac. 4 1200 900 1100 1150 80 60 70 80 5 1200 950 1000 1100 Cliclofosfamida Metrotexate Fluoracilo ÷ 1200 900 1100 1150 A = 80 60 70 80 1200 950 1000 1100 | | | ÷ | | \ . Si representamos por D el vector columna que expresa el número de días que cada paciente debe seguir el tratamiento, se tiene: 21 14 D = 21 21 | | | | | | | \ . Las necesidades totales de cada compuesto se obtienen multiplicando la matriz A por la D: P á g i n a 1 1 21 1200 900 1100 1150 85 050 14 80 60 70 80 5 670 21 1200 950 1000 1100 82 600 21 A D | | | | | | | | | | · = · = | | | | | | \ . \ . | \ . = Así pues, se necesitan: 85.050 mg de ciclofosfamida, 5.670 de metrotexate y 82.600 mg de 5- fluoracilo. 61. Un grupo de inversionistas que planean abrir un centro comercial decidieron incluir un supermercado, una peluquería, una tienda miscelánea, una farmacia y una pastelería. Estimaron el costo inicial y la renta garantizada (ambas en dólares por pie cuadrado) para cada tipo de tienda, respectivamente, como sigue: costo inicial: 18, 10, 8, 10 y 10; renta garantizada: 2.7, 1.5, 1.0, 2.0 y 1.7. Escriba esta información primero como una matriz de 5 2 × y luego como una matriz de 2 5 × . Solución. 5 2 18 2.7 10 1.5 8 1.0 10 2.0 10 1.7 × ( ( ( ( ( ( ( ¸ ¸ 2 5 18 10 8 10 10 2.7 1.5 1.0 2.0 1.7 × ( ( ¸ ¸ 62. Los señores Cruz, Jiménez y Sánchez sufren una enfermedad en las coronarias. Como parte del tratamiento, se les da una dieta baja en colesterol. El señor Cruz lleva la dieta I; Jiménez la dieta II, y Sánchez la dieta III. Se mantuvieron registros de los niveles de colesterol de cada paciente. Al principio de los meses 1, 2, 3 y 4, dichos niveles eran: Cruz: 220, 215, 210 y 205 - Jiménez: 220, 210, 200 y 195 - Sánchez: 215,205, 195 y 190 Represente esta información en una matriz 3 4. × . Solución. 3 4 220 215 210 205 220 210 200 195 215 205 195 190 × ( ( ( ( ¸ ¸ 63. Un dietista prepara una dieta especificando las cantidades que un paciente debe tomar de cuatro grupos básicos de alimentos: grupo I, carnes; grupo II, frutas y legumbres; grupo III, panes y harinas; grupo IV, productos lácteos. Las cantidades se dan en intercambios que representan 1 onza (carne), 1/2 taza (frutas y legumbres), 1 rebanada (pan), 8 onzas (leche), u otras medidas apropiadas. a) El número de intercambios para el desayuno para cada uno de los cuatro grupos de alimentos, son respectivamente: 2, 1, 2 y 1; para la comida: 3, 2, 2 y 1; y para la cena: 4, 3, 2 y 1. Escriba una matriz de 3 4 × usando esta información. P á g i n a 1 2 b) Las cantidades de grasa, carbohidratos y proteínas en cada grupo de alimentos, respectivamente, son como sigue. Grasas: 5, 0, 0, 10 - Carbohidratos: 0, 10, 15, 12 - Proteínas: 7, 1, 2, 8 Use esta información para escribir una matriz de 4 x 3. c) Hay 8 calorías por unidad de grasas, 4 calorías por unidad de carbohidratos y 5 calorías por unidad de proteínas; resuma estos datos en una matriz de 3x1. Solución. A) 3 4 2 1 2 1 3 2 2 1 4 3 2 1 × ( ( ( ( ¸ ¸ B) 4 3 5 0 7 0 10 1 0 15 2 10 12 8 × ( ( ( ( ( ¸ ¸ C) 3 1 8 4 5 × ( ( ( ( ¸ ¸ 64. Al principio de un experimento en laboratorio, cinco ratas jóvenes midieron 5.6, 6.4, 6.9, 7.6 y 6.1 centímetros de longitud y pesaron 144, 138, 149, 152 y 146 gramos, respectivamente. a) Escriba una matriz de 2x5 usando esta información. b) Al final de dos semanas, sus longitudes eran de 10.2, 11.4, 11.4, 12.7 y 10.8 centímetros y pesaron 196, 196, 225, 250 y 230 gramos. Escriba una matriz de 2x5 con esta información. c) Use resta de matrices con las matrices encontradas en (a) y (b) para escribir una matriz que dé la cantidad de cambio en longitud y peso para cada rata. d) La siguiente semana las ratas crecieron 1.8, 1.5, 2.3, 1.8 y 2.0 centímetros, respectivamente, y ganaron 25, 22, 29, 33 y 20 gramos, respectivamente. Establezca una matriz con esos incrementos y use la adición matricial para encontrar sus longitudes y pesos al final de esa semana. Solución. 2 5 5.6 6.4 6.9 7.6 6.1 144 138 149 152 146 A × ( = ( ¸ ¸ 2 5 10.2 11.4 11.4 12.7 10.8 196 196 225 250 230 x B ( = ( ¸ ¸ 2 5 4.6 5 4.5 5.1 4.7 52 58 76 98 84 C B A × ( = ÷ = ( ¸ ¸ 2 5 1.8 1.5 2.3 1.8 2.0 25 22 29 33 20 D × ( = ( ¸ ¸ 2 5 12 12.9 13.7 14.5 12.8 221 218 254 283 250 B D × ( + = ( ¸ ¸ 65. La matriz A representa los números de tres tipos de cuentas bancarias el primero de enero en el Banco Central y sus sucursales. P á g i n a 1 3 Oficina Ctasde cheques Ctasde ahorro Ctasde depósitoaplazo A Matriz 2820 1470 1120 Oeste 1030 520 480 Norte 1170 540 460 La matriz B representa los números y tipos de cuentas abiertas durante el primer trimestre y la matriz C se refiere a los números y tipos de cuentas cerradas durante el mismo periodo, 260 120 110 140 60 50 120 70 50 B ( ( = ( ( ¸ ¸ 120 80 80 70 30 40 60 20 40 C ( ( = ( ( ¸ ¸ a) Encuentre la matriz D, la cual representa el número de cada tipo de cuenta al final del primer trimestre en cada lugar. b) Debido a la apertura de una fábrica cercana, se prevé un incremento de 10% en la cantidad de cuentas en cada lugar durante el segundo trimestre. Escriba una matriz E que refleje este incremento previsto. Solución. 2960 1510 1150 1100 550 490 1230 590 470 D A B C ( ( = + ÷ = ( ( ¸ ¸ ( ) 3256 1661 1265 1.1 1210 605 539 1353 649 517 E D ( ( = · = ( ( ¸ ¸ 66. Un fabricante de camisetas tiene la siguiente producción ( en cientos de piezas ) en sus fábrica de: 34 60 78 Arica 22 10 46 10 8 0 ( ( = ( ( ¸ ¸ , 10 0 50 30 10 0 40 20 30 Talca ( ( = ( ( ¸ ¸ a) Determine la matriz de la producción total en las dos plantas b) Si la producción de Arica se incrementa un 50% y un 25% en Talca, calcule la nueva matriz que represente el total de ambas plantas. Solución. A) 44 60 128 52 20 46 50 28 30 ( ( ( ( ¸ ¸ B) 63.5 90 179.5 70.5 27.5 69 65 37 37.5 ( ( ( ( ¸ ¸ 67. Hay tres tiendas de abarrotes en San Pedro. Esta semana, la tienda I vendió 88 paquetes de pan, 48 cuartos de leche, 16 tarros de crema de maní y 112 libras de carnes frías. La tienda II vendió 105 paquetes de pan, 72 cuartos de leche, 21 tarros de crema de maní y 147 libras de carnes frías. La tienda III vendió 60 paquetes de pan, 40 cuartos de leche, nada de crema de maní y 50 libras de carnes frías. P á g i n a 1 4 a) Use una matriz de 3 x 4 para expresar la información sobre las ventas de las tres tiendas. b) Durante la siguiente semana, las ventas de esos productos en la tienda 1 se incrementaron 5%; las ventas en la tienda II se incrementaron en 1/3 y las ventas en la tienda III se incrementaron 10%. Escriba la matriz de ventas para esa semana. c) Escriba una matriz que represente las ventas totales en el periodo de las dos semanas. Solución. A) 88 48 16 112 105 72 21 147 60 40 0 50 ( ( ( ( ¸ ¸ B) 110 60 20 140 140 96 28 196 66 44 0 55 ( ( ( ( ¸ ¸ C) 198 108 36 252 245 168 49 343 126 84 0 105 ( ( ( ( ¸ ¸ 68. Una compañía de juguetes tiene plantas en Boston, Chicago y Seattle que fabrican cohetes y robots de juguete. La siguiente tabla da los costos de producción (en dólares) para cada artículo en la planta de Boston: 4.27 6.94 3.45 3.65 Cohetes Robots Material Mano de obra a) En Chicago, un cohete cuesta $4.05 por materiales $3.27 por mano de obra; un robot cuesta $7.1 por materiales y $3.51 por mano de obra. En Seattle, los costos materiales son de $4.40 para los cohetes y de $6.90 los robots; los costos de mano de obra son de $3.54 para los cohetes y de $3.76 para los robots. Escriba las matrices de costos de producción para Chicago y Seattle. b) Suponga que cada planta hace el mismo número de cada artículo. Escriba una matriz que exprese los costos promedio de producción para las tres plantas. c) Suponga que los costos de mano de obra se incrementan en $0.11 por artículo en Chicago y los costos por material se incrementan ahí en $0.37 para un cohete y $ 0.42 para un robot. ¿Cuál es la nueva matriz de costos producción para Chicago? d) Después de los incrementos en costo en Chicago, la planta de Boston cierra y la producción se divide en partes iguales entre las otras dos plantas. ¿Cuál es la matriz que ahora expresa los costos promedio de producción para todo el país? Solución. A) 4.27 6.94 3.45 3.65 B ( = ( ¸ ¸ 4.05 7.1 3.27 3.51 CH ( = ( ¸ ¸ 4.40 6.90 3.54 3.76 S ( = ( ¸ ¸ B) 4.24 6.98 3.42 3.64 C ( = ( ¸ ¸ C) 2 4.42 7.52 3.38 3.62 CH ( = ( ¸ ¸ D) 2 4.41 7.21 3.46 3.69 C ( = ( ¸ ¸ 69. La compañía Widget tiene sus reportes de ventas mensuales dados por medio de matrices cuyos filas, en orden, representan el número de modelos regular, de lujo y de extra lujo vendidos, mientras P á g i n a 1 5 que las columnas dan el número de unidades rojas, blancas, azules y púrpuras vendidas. Las matrices para enero (E) y febrero (F) son: 2 6 1 2 0 1 3 5 2 7 6 0 E ( ( = ( ( ¸ ¸ 0 2 4 4 2 3 3 2 4 0 2 6 F ( ( = ( ( ¸ ¸ a) En enero, ¿cuántas unidades de los modelos de extra lujo blancas se vendieron? b) En febrero, ¿cuántos modelos de lujo azules se vendieron? c) ¿En qué mes se vendieron más modelos regulares púrpuras? d) ¿De qué modelo y color se vendió el mismo número de unidades en ambos meses? e) ¿En qué mes se vendieron más modelos de lujo? f) ¿En qué mes se vendieron más artículos rojos? g) ¿Cuántos artículos se vendieron en enero? Solución a) 7 b) 3 c) En Febrero. d) Modelo de lujo azul. e) En Febrero. f) En febrero. g) 35 70. Una empresa utiliza tres tipos de materias primas: 1 , M 2 M y 3 M en la elaboración de dos productos: 1 P y 2 P . El número de unidades de 1 M , 2 M y 3 M usados por cada unidad de 1 P son 3, 2 y 4, respectivamente y por cada unidad de 2 P son 4, 1 y 3, respectivamente. Suponga que la empresa produce 20 unidades de 1 P y 30 unidades de 2 P a la semana. Exprese las respuestas a las siguientes preguntas como producto de matrices. a) ¿Cuál es el consumo de las materias primas? b) Si los costos por unidad (en dólares) para 1 M , 2 M y 3 M son 6, 10 y 12, respectivamente. ¿Cuáles son los costos de las materias primas por unidad de 1 P y 2 P ? c) ¿Cuál es la cantidad total gastada en materias primas a la semana en la producción de 1 P y 2 P ? Solución. 3 2 4 4 1 3 A ( = ( ¸ ¸ ; 20 30 B = ( ¸ ¸ ; 6 10 12 C ( ( = ( ( ¸ ¸ a) 180 70 170 B A · = ( ¸ ¸ b) 86 70 A C ( · = ( ¸ ¸ c) | | 3820 B A C · · = 71. Probar que t AA y t A A son siempre matrices simétricas. ¿Es conmutativo el producto anterior? Mostrar también que t A A + es simétrica, si A es cuadrada; ¿qué sucede con t A A ÷ ? Solución: P á g i n a 1 6 Por definición X es una matriz simétrica si t X X = , para t AA se tiene que: ( ) ( ) t t t t t t AA A A AA = = y para t A A resulta que ( ) ( ) t t t t t t A A A A A A = = . En general no es conmutativo el producto anterior, baste considerar un contraejemplo: 1 0 1 2 1 2 0 , 0 0 1 1 1 t A A | | | | | = ÷ = | | \ . | \ . Pues resulta 1 0 1 2 1 6 1 2 0 0 0 1 1 1 1 1 t AA | | | | | | | = = | | | \ . \ . | \ . y 1 0 1 2 1 1 2 1 2 0 2 4 2 0 0 1 1 1 1 2 2 t A A | | | | | | | | = = | | | \ . | | \ . \ . que evidentemente no pueden ser iguales. Ahora la matriz A es cuadrada para poder efectuar la suma con su transpuesta A t , en cuyo caso ( ) ( ) t t t t t t t A A A A A A A A + = + = + = + luego t A A + es simétrica; y ( ) ( ) ( ) t t t t t t t A A A A A A A A ÷ = ÷ = ÷ = ÷ ÷ cumple que la transpuesta coincide con la opuesta que significa que t A A ÷ es antisimétrica. 72. Sea: 1 2 ; 0 1 A | | = | \ . halle ; n A n IN e 73. Dada la ecuación: ( ) . T T AX B XAB · = Despeje X en función de A y B. 74. Determine x IR e de modo que: 2 0 1 2 0 x S x | | + e | \ . siendo { } 2 ( ) / T S A M IR A A = e = ÷ 75. Dadas las matrices: 1 2 1 0 3 4 3 ; 1 0 ; 1 2 1 1 2 3 1 A B D ÷ | | | | | | | = = ÷ = | | | ÷ ÷ ÷ \ . \ . | \ . Encuentre la matriz X tal que: T 2 1 X 2 AB D ÷ = 76. a) Si B es una matriz antisimétrica, ¿qué se puede decir de T C A BA = ? b) Si A y B son matrices simétricas, ¿qué se puede decir de AB BA ÷ ? Solución. a) B es Antisimétrica t B B ÷ = ÷ . Y como t C A BA = tenemos que: P á g i n a 1 7 ( ) ( ) ( ) , t t t t t t t t t t t C A BA A B A A B A A B A A BA C = = = = ÷ = ÷ = ÷ Luego C es Antisimétrica. b) Por ser A y B matrices simétricas se cumple que t A A = y t B B = y entonces ( ) ( ) t t t t t AB BA B A A B BA AB AB BA AB BA ÷ = ÷ = ÷ = ÷ ÷ ÷ ÷ es Antisimétrica. 77. Dadas las matrices ( ) i j A a = y ( ) i j B b = de orden 3 3 × definidas por: ( ) ij 1 si i j i+j si i j a = , b = ij i si i=j i*j si i=j = = ¦ ¦ | | ´ ´ | \ . ¹ ¹ Calcule: a) C AB = b) 11 22 33 ? C C C + + = 78. Dadas las matrices: 1 1 y . 1 1 2 1 T p q A B ÷ | | | | = = | | ÷ \ . \ . Determine “p” y “q” para que: ( ) 2 2 2 A B A B + = + 79. Sea: 1 2 4 3 A | | = | ÷ \ . Encontrar: a) 2 3 A y A b) ( ) f A donde 3 ( ) 2 4 5 f x x x = ÷ + c) Demostrar que A es una raíz ó un cero del polinomio: 3 ( ) 2 4 5 g x x x = ÷ + 80. Hallar p y q para que se verifique la ecuación: 2 (0) A pA qI + + = siendo 2 1 1 2 A | | = | \ . e 1 0 0 1 I | | = | \ . . Solución: Sustituyendo en la ecuación 2 (0) A pA qI + + = se tiene que: 2 2 1 2 1 1 0 0 0 5 4 2 1 1 0 0 0 1 2 1 2 0 1 0 0 4 5 1 2 0 1 0 0 p p q p q p p q | | | | | | | | | | | | | | | | + + = · + + = | | | | | | | | \ . \ . \ . \ . \ . \ . \ . \ . P á g i n a 1 8 5 2 4 0 0 4 5 2 0 0 p q p p p q + + + | | | | · = | | + + + \ . \ . 5 2 0 4 0 4 0 5 2 0 p q p p p q + + = ¦ ¦ + = ¦ · ´ + = ¦ ¦ + + = ¹ y resolviendo el sistema se obtiene p=-4 y q=3. 81. Dada la matriz 1 2 2 3 | | | \ . = A, Calcular 2 5 2 A A I ÷ + · . 82. Dada la matriz 1 0 0 0 2 1 0 0 3 A | | | = | | \ . Calcular 2 5 2 A A I ÷ + · . 83. Dadas las matrices 1 2 2 1 , 3 4 3 2 A B ÷ | | | | = = | | ÷ ÷ \ . \ . a) Calcular 2 ( ) A B + b) Calcular 2 2 2 A AB B + + , compare los resultados de a) con b) ¿ Deberían coincidir.? c) Calcular 2 2 A B ÷ , Compruebe que es distinto a ( )( ) A B A B ÷ + 84. Despeje la variable X en las siguientes ecuaciones a) 1 2 5 3 2 , si , 1 0 1 0 X A BX A B ÷ ÷ | | | | + = = = | | ÷ ÷ \ . \ . b) 1 1 2 5 ( ) 3 , si , 0 1 0 1 T T A X B X A B ÷ | | | | ÷ + = = = | | ÷ \ . \ . c) 1 1 4 0 ( ) , si , 0 2 2 4 T AXB I B A B ÷ ÷ | | | | ÷ = = = | | ÷ \ . \ . 85. Siendo A, B matrices de tamaño nxn , invertibles simplificar la expresión d) 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) C A B B A B AB A A A ÷ ÷ ÷ = + ÷ + ÷ + e) Determine la matriz C de a) si 1 1 1 0 1 1 A B ÷ ÷ | | = | \ . P á g i n a 1 9 86. (Costos de suministros) Un contratista puede adquirir las cantidades requeridas de madera, ladrillo, concreto, vidrio y pintura de cualquiera de 3 proveedores. Los precios que cada proveedor fija a cada unidad de estos materiales están contemplados en la siguiente matriz 8 5 7 2 4 9 4 5 2 5 9 5 6 1 5 A | | | = | | \ . Cada fila se refiere a un proveedor y las columnas a los materiales. El contratista tiene la política de adquirir todos los materiales requeridos en cualquier obra particular al mismo proveedor a fin de minimizar los costos de transportes .Hay tres obras en construcción O1, O2 y O3. O1 requiere 20 unidades de madera, 4 de ladrillos, 5 de concreto, 3 de vidrio y 3 de pintura. O2 requiere 15 unidades de madera, 0 de ladrillos, 8 de concreto, 8 de vidrio y 2 de pintura. O3 requiere 30 unidades de madera, 10 de ladrillos, 20 de concreto, 10 de vidrio y 12 de pintura. Usando matrices decida cuál proveedor deberá usar en cada obra. 87. ¿Son conmutables x y A y x | | = | ÷ \ . y u v B v u | | = | ÷ \ . para todo x,y,u,v números reales?. 88. Halla A y B si se verifica 1 2 3 5 8 1 A B ÷ | | ÷ = | \ . y 2 4 3 3 0 A B | | ÷ + = | \ . 89. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones a) 3 5 3 1 2 4 0 x y z w x y z w + ÷ + = ¦ ´ + + ÷ = ¹ b) 1 2 3 4 1 5 4 1 22 0 1 2 1 16 3 2 3 1 30 2 2 1 0 22 x x x x ÷ | || | | | | | | | | | = | | | ÷ | | | ÷ \ .\ . \ . 1 4 2 3 . 10, 2 R x x x x ÷ = = = = 90. (Asignación de maquinarias) Una empresa produce tres tipos de productos A, B y C, los que procesa en tres máquinas. El tiempo en horas requerido para procesar una unidad de cada producto por las tres máquinas está dada por la matriz 1 3 1 2 2 1 2 4 3 2 1 1 Maquina A B C Se dispone 850 horas de máquina 1, de 1200 horas de máquina 2 y de 550 horas de máquina 3 a) Cuantas unidades de cada producto deberían producirse con el objeto de emplear todo el tiempo disponible d las máquinas? b) Determine la capacidad ociosa de maquinas si se producen 80 unidades de A, 140 de B y 160 de C. P á g i n a 2 0 c) Sin resolver el sistema nuevamente, calcular las unidades de A, B y C a producir si los recursos (horas de máquina) se reducen en un 10% 91. Una empresa elabora 4 tipos de productos P1, P2, P3 y P4 usando 4 insumos A, B, C y D. La cantidad en unidades de materia prima a usar para elaborar una unidad de cada producto se registra en la siguiente matriz 5 10 0 10 4 1 2 1 5 0 10 5 4 0 1 6 j A B C D P | | | | = | | \ . Las cantidades de materia prima disponible son 63 de A, 55 de B, 32 de C y 77 de C. a) Determine el nivel de producción de i P a fin de usar todos los recursos. b) Se impone la producción de P1, P2 en la misma cantidad que P3, P4 .Calcular el cambio en los recursos. c) Cada unidad de A cuesta $ 10 , cada unidad de B cuesta $ 8,cada unidad de C cuesta $ 6 y cada unidad de C cuesta $ 5.Calcular usando matrices el costo por unidad para cada uno de los productos. 92. Sea A una matriz cuadrada de orden n. Demuestra que . t B A A = + es matriz simétrica. 93. Sea A una matriz cuadrada de orden n. Demuestra que t B A A = ÷ , es matriz antisimétrica. 94. Si A es antisimétrica, prueba que A 2 y A 4 son simétricas. Idem probar que A 3 y A 5 son antisimétricas 95. Tres personas P1,P2 y P3 compran tres tipos de productos A1,A2,y A3 P1 compra 10 unidades de A1, 15 de A2 y nada de A3. P2 compra 15 unidades de A1, 8 de A2 y 1 de A3. P3 compra 10 unidades de A1, 6 de A2 y 10 de A3. a) Si los precios por unidad de A1, A2 y de A3 son respectivamente $ 2, $ 5 y $8.Calcular usando matrices, el monto total gastado por persona. b) Determine los precios de los artículos a que deben comprar las personas si ellas disponen de $ 120, $ 100 y $ 136 respectivamente de modo de comprar la cantidad estipulada más arriba. c) Suponiendo que el precio del artículo A3 aumenta en un 10% .¿Cuánto dinero adicional requieren las personas para comprar la cantidad estipulada.?( Debe usar matrices) 96. Dada la matriz 1 2 1 0 A | | = | ÷ \ . , halla una matriz M tal que AM = I. 97. Dada la matriz 3 1 5 2 A | | = | \ . hallar 3 2 t A A I ÷ y resuelve 2 0 0 1 AX | | = | \ . P á g i n a 2 1 98. (Carga aérea) Una compañía de carga transportó tres tipos de flete en su transporte aéreo ligero. El espacio requerido por cada unidad de los tres tipos de carga eran de 5, 2 y 4 metros cúbicos respectivamente. Cada unidad de los tres tipos de carga pesó 2, 3 y 1 kilogramos respectivamente, mientras que los valores unitarios de los tres tipos de carga fueron de $10, $40 y $60 respectivamente a) Determine el número de unidades de cada tipo de carga transportada si el valor total de la carga fue $ 13.500, ocupó 1.050 metros cúbicos y pesó 550 kilogramos b) Si se transportó 40 unidades del flete 1, 80 unidades del flete 2 y 120 unidades del flete 3, determine cuanto se dejo de ganar, cuanto espacio quedo libre y cuanto kilos dejó de llevar. 99. Considere tres productos P1, P2, P3. Para hacer una unidad de cada producto se requiere 3 operaciones O1, O2, O3. La tabla siguiente muestra el tiempo en minutos que requiere estar cada producto en las operaciones, para hacer una unidad de ellos. P1 P2 P3 O1 1 2 1 O2 3 0 2 O3 1 4 0 Las ganancias por unidad de cada producto son $3, $2 y $5 respectivamente. Se dispone de 429 minutos para O1, 460 minutos para O2, y de 418 minutos para O3. a) Determine el número de unidades de P1, P2 y P3 que pueden fabricarse usando la totalidad de los recursos . b) Suponga que los recursos (minutos de operación), aumentan en un 50 %, sin resolver de nuevo el sistema involucrado, determinar el numero de unidades de P1, P2 y P3 que se pueden fabricar. c) Calcular la ganancia total para el número de unidades fabricadas en la parte a) 100. Dada la matriz a b A c d | | = | \ . , hallar las condiciones que debes establecer para que 2 A xA yI = + , siendo x e y variables numéricas e I la matriz unidad de orden 2 101. Escribir como producto de matrices la matriz ax ay A bx by | | = | \ . 102. Una pequeña empresa constructora cobra $ 6 la hora por un camión sin conductor, $ 20 la hora por un tractor sin conductor y $10 la hora por cada conductor. La empresa utiliza la matriz A para diversos tipos de trabajo Tipos de trabajo I II III IV 1 1 1 2 Camión 2 0 1 1 Tractor P á g i n a 2 2 3 1 3 4 Conductor a) Si la matriz anterior es la matriz de demanda en horas, calcule usando matrices el ingreso total por concepto de arriendo de camión, tractor y conductor. b) Si la empresa en un pequeño proyecto tiene oferta para utilizar 20 horas de trabajo I , 30 horas de trabajo II, nada del trabajo III ni IV .Determine horas se ocupan de camión de tractor y conductor en dicho proyecto.( Debe usar Matrices.) c) Con el resultado obtenido en b) Determine el costo total del proyecto. d) Si la empresa ofrece un servicio adicional de asesoría en los diversos tipos de trabajos I, II, III y IV donde se requieren 3, 2, 1, 0 horas respectivamente, si además la empresa dispone: 25 horas de camión a la semana, 20 horas de tractor a la semana, 55 horas de conductor y 30 horas de asesorías. Determine el número de horas máximo posible en los trabajos I, II, III y IV a modo de satisfacer la demanda. 103. Resuelve la ecuación 2A+BX=C, siendo 0 1 1 2 1 1 2 1 , , 1 2 1 1 3 0 1 1 A B C ÷ ÷ ÷ | | | | | | = = = | | | \ . \ . \ . 104. Probar que si A es simétrica, , t AA es también simétrica. 105. ¿Qué matrices triangulares son simétricas? ¿Qué matrices triangulares son antisimétricas? ¿Es simétrica la matriz unidad? 106. Descompón la matriz unidad de orden 3 en suma de una matriz simétrica y otra antisimétrica, según el método estudiado. ¿qué ocurre? 107. Si AB = AC, ¿podemos deducir que necesariamente B = C ?. 108. Dos marcas de material deportivo, “Keni” y “Didasa”, patrocinan a cuatro equipos de basket: A, B, C y D. “Keni” ofrece 150.000 pts por partido ganado y 90.000 pts por partido empatado. “Didasa” ofrece 130.000 pts por partido ganado y 100.000 pts por empatado. Los partidos ganados o empatados por los cuatro equipos al finalizar la temporada, se recogen en la tabla siguiente: A B C D GANADOS 15 12 14 20 EMPATADOS 10 13 11 5 a) Obtén una matriz que refleje, para cada equipo, el capital recibido de cada patrocinador. b) Idem. las contribuciones totales para cada equipo. 109. Demuestra que las matrices simétricas x y A y x | | = | \ . y u v B v u | | = | \ . son conmutables. 110. Calcula una matriz X que verifique AX = B, siendo 2 3 1 2 A | | = | \ . y 1 1 2 1 B | | = | ÷ \ . ¿Verifica también la matriz X la igualdad XA = B? P á g i n a 2 3 111. Sea una matriz cuadrada A tal que A 2 = A. Siendo B = 2A – I. Demostrar que B 2 es igual a la matriz unidad. a) Tiene rango 3 112. Dada 1 2 3 5 A | | = | \ . calcula ( ) 2 1 t A A A ÷ 113. Dadas 1 0 1 2 2 3 A | | ÷ | = ÷ | | \ . y 2 1 0 0 1 2 B ÷ | | = | ÷ \ . obtener, si procede ( ) 1 BA ÷ 114. Dada la matriz 1 0 0 1 1 0 1 0 1 A | | | = | | \ . , calcula A 100 . 115. Guillermo y Miguel tienen acciones de la bolsa, dadas por la matriz 200 300 100 200 Guillermo 100 200 400 0 Miguel ( = ( ¸ ¸ BAC GM IBM TRW A Al cierre de operaciones en cierto día, los precios de las acciones están dados por la matriz 54 48 98 82 BAC GM B IBM TRW ( ( ( = ( ( ¸ ¸ Calcule AB, y explique el significado de las entradas de la matriz AB. réditos fueron para María y los peores para Esteban. 116. Un comité de admisión de una universidad anticipa la inscripción de 8000 estudiantes de primer ingreso para el próximo año. Para satisfacer las cuotas de ingreso, se ha clasificado a los futuros estudiantes según sexo y lugar de residencia. El número de estudiantes en cada categoría está dado por la matriz A. Hombre Mujer 2700 3000 Local A= 800 700 Foráneo 500 300 Extranjero ( ( ( ( ¸ ¸ Ly C Artes Admin Ing. 0.25 0.20 0.30 0.25 Hombres B= 0.30 0.35 0.25 0.10 Mujer ( ( ¸ ¸ Al utilizar los datos acumulados de años anteriores, el comité de admisión considera que estos estudiantes optarán por asistir a la Facultad de Letras y Ciencias, a la Facultad de Artes, la Escuela de Administración y la Escuela de Ingeniería según los porcentajes que aparecen en la matriz B. Encuentre la matriz AB que muestra el número de estudiantes locales, foráneos y extranjeros que P á g i n a 2 4 se espera que se inscriban en cada facultad o escuela. Solución. L y C Artes Admin Ing. 1575 1590 1560 975 Local B= 410 405 415 270 Foráneo 215 205 225 155 Extranj. A ( ( ( ( ¸ ¸ 117. Cindy realiza llamadas regulares de larga distancia a Londres, Tokio y Hong Kong. Las matrices A y B dan las longitudes (en minutos) de sus llamadas en horas peak y no peak, respectivamente, a cada una de estas ciudades durante el mes de junio. Londres Tokio Hong Kong A= 80 60 40 horas peak ( ¸ ¸ Londres Tokio Hong Kong B= 300 150 250 horas no peak ( ¸ ¸ Los costos de las llamadas para los periodos peak y no peak en el mes en cuestión están dados, respectivamente, por las matrices hora peak 0.34 Londres C= 0.42 Tokio 0.48 Hong Kong ( ( ( ( ¸ ¸ hora no peak 0.24 Londres D= 0.31 Tokio 0.35 Hong Kong ( ( ( ( ¸ ¸ Calcule la matriz AC + BD y explique lo que representa. Solución. | | | | | | AC= 71. 6 Costo conferenciashora pico BD= 206.0 Costo conferenciashora no pico AC+BD= 277. 6 Total 118. La producción total de sistemas de audio en las tres plantas de la compañía Sonic durante mayo y junio está dada por las matrices A y B, respectivamente, donde: Modelo A B C D 320 280 460 280 Fábrica I A = 480 360 580 0 Fábrica II 540 420 200 880 Fábrica III ( ( ( ( ¸ ¸ Modelo A B C D 210 180 330 180 FábricaI B = 400 300 450 40 Fábrica II 420 280 180 740 Fábrica III ( ( ( ( ¸ ¸ Los costos de producción y los precios de venta de cada unidad de estos sistemas están dados por las matrices C y D, respectivamente, donde: 120 Modelo A 180 Modelo B C= 260 Modelo C 500 Modelo D ( ( ( ( ( ¸ ¸ 160 Modelo A 250 Modelo B D= 350 Modelo C 700 Modelo D ( ( ( ( ( ¸ ¸ P á g i n a 2 5 Calcule las siguientes matrices y explique el significado de las entradas de cada matriz. a) AC b) AD c) BC d) BD e) (A+B)C f) (A+B) D g) A (D-C) h) B (D-C) i) (A+ B) (D - C) 119. Un nutriólogo planea una comida con base en tres alimentos. El número de unidades de vitamina A, vitamina C y calcio en cada onza de estos alimentos se representa mediante la matriz M, donde Alimento I II III 400 1200 800 Vitamina A M= 110 570 340 Vitamina C 90 30 60 Calcio ( ( ( ( ¸ ¸ Las matrices A y B representan la cantidad de cada alimento (en onzas) consumida por una mujer en dos comidas distintas, donde Alimento I II III 7 1 6 A é ù = ë û Alimento I II III B= 9 3 2 é ù ë û Calcule las siguientes matrices y explique el significado de las entradas de cada matriz: a) M A T b) M B T c)M (A + B) T 120. La compañía de Peluches Phiphi Toys recibió un pedido de otro parque de diversiones por: 900 pandas gigantes, 1200 San Bernardo y 2000 pájaros grandes. La gerencia de Phiphi Toys ha decidido procesar 500 pandas, 800 San Bernardo y 1300 pájaros en su planta en Los Ángeles y el resto lo cubrirá en otra planta Seattle. - Cada panda requiere 1.5 yardas cuadradas de felpa, 30 pies cúbicos de relleno y 5 piezas de adorno; - Cada pájaro requiere 1.1 yardas cuadradas de felpa, 14 pies cúbicos de relleno y 8 piezas de adorno; - Cada San Bernardo requiere 3 yardas cuadradas de felpa, 25 pies cúbicos de relleno y 15 piezas de adorno. - La felpa cuesta $4.50 por yarda cuadrada; el relleno, 10 centavos por pie cúbico, y el adorno, 25 centavos la unidad. a) Indica la cantidad de cada tipo de material que se debe adquirir por cada planta. b) ¿Cuál es el costo total de los materiales en que incurre cada planta y el costo total de los materiales utilizados por Phiphi Toys para cubrir el pedido? Solución. A) 2 San Bernardo Pandas Pájaros 800 500 1300 LA P = 400 400 700 Seattle ( ( ¸ ¸ 2 felpa relleno adornos 3 25 15 SanBernardo R = 1.5 30 5 Panda 1.1 14 8 Pájaro ( ( ( ( ¸ ¸ P á g i n a 2 6 2 2 felpa relleno adornos 4580 5320024900 P R = 2570 31800 13600 L A Seattle ( ( ¸ ¸ B) 2 2 $32 155 LA P R C= $18 145 Seattle ( ( ¸ ¸ ; costo total =$ 50 300 121. Los tres locales de Burger Barn venden hamburguesas, papas fritas y refrescos. Barn I vende 900 hamburguesas, 600 órdenes de papas fritas y 750 refrescos diariamente. Barn II vende 1500 hamburguesas diarias y Barn III vende 1150. Las ventas de refrescos son de 900 al día en Barn II y de 825 al día en Bam III. Barn II vende 950 y Barn III vende 800 órdenes de papas fritas al día. a) Escriba una matriz S de 3 X 3 que muestre las ventas diarias de los tres locales. b) Las hamburguesas cuestan $ 1.50 cada una, las papas fritas $0.90 por orden y los refrescos $0.60 cada uno. Escriba una matriz P de 1 X 3 que muestre los precios. c) ¿Qué matriz producto muestra los ingresos diarios en cada uno de los tres locales? d) ¿Cuál es el ingreso diario total de los tres locales? Solución. A) 1 ham papas refresco 900 600 750 1500 950 900 1150 800 825 I S II III ( ( = ( ( ¸ ¸ ó 2 I II III 900 1500 1150 600 950 800 750 900 825 hamburguesas S papas refresco ( ( = ( ( ¸ ¸ B) | | hamb papas refresco 1.50 0.90 0.60 P = C) la matriz S 1 por la matriz transpuesta de P ó la matriz P por S 2 D) 1 $2 340 $3 645 $2 940 T I S P II III ( ( = ( ( ¸ ¸ ó 2 I II III $2340 $3645 $2940 PS = ( ¸ ¸ 122. Los cuatro departamentos de la empresa Enterprise necesitan ordenar las siguientes cantidades de los mismos productos. Papel Cinta adhesiva Tonner Bloc Bolígrafos Departamento l 10 4 3 5 6 Departamento 2 7 2 2 3 8 Departamento 3 4 5 1 0 10 P á g i n a 2 7 Departamento 4 0 3 4 5 5 El precio unitario (en dólares) de cada producto está dado abajo para dos proveedores. Proveedor A Proveedor B Papel 2 3 Cinta adhesiva 1 1 Tonner 4 3 Bloc 3 3 Bolígrafos 1 2 a) Use la multiplicación de matrices para obtener una matriz que muestre los costos comparativos de cada departamento para los productos de los dos proveedores. b) Encuentre el costo total de comprar los productos con cada proveedor. ¿Con qué proveedor debe hacer la empresa sus compras? Solución. A) 10 4 3 5 6 7 2 2 3 8 4 5 1 0 10 0 3 4 5 5 A ( ( ( = ( ( ¸ ¸ ; 2 3 1 1 4 3 3 3 1 2 P ( ( ( ( = ( ( ( ¸ ¸ ; Prov. A Prov. B 57 70 1 41 54 2 27 40 3 39 40 4 D D AP D D ( ( ( = ( ( ¸ ¸ B) Prov. A Prov. B 57 70 1 41 54 2 27 40 3 39 40 4 164 204 D D D D ( ( ( ( ( ¸ ¸ es menor el costo si se compra con el proveedor A 123. La compañía Chocotito fabrica tres tipos de dulce de chocolate: Choco-fresa, Choco-café y Almendrado Light. La compañía fabrica sus productos en San Antonio, Chillan y Ovalle dos ingredientes principales: chocolate y azúcar. a) Cada kilo de Choco-fresa requiere 0.5 Kg. de azúcar y 0.2kg de chocolate; cada kilo de Choco- café requiere 0.4 Kg. de azúcar y .3 Kg. de chocolate; y cada kilo de Almendrado Light requiere 0.3 Kg. de azúcar y 0.3 Kg. de chocolate. Ponga esta información en una matriz de 2 X 3, indicando el nombre de las filas y las columnas. b) El costo de 1 Kg. de azúcar es de $3 en San Antonio, $2 en Chillan y de $1 en Ovalle. El costo de 1 Kg. de chocolate es de $3 en San Antonio, $3 en la Chillan y de $4 en Ovalle. Ponga esta información en una matriz de forma que cuando la multiplique por la matriz del inciso (a), obtenga una matriz que represente el costo de los ingredientes para producir cada tipo de dulce en cada ciudad. c) Multiplique las matrices en las partes (a) y (b), poniéndole nombre a la matriz producto. P á g i n a 2 8 d) De la parte (c), ¿cuál es el costo combinado de azúcar y chocolate para producir 1 Kg. de Choco-café en Ovalle? e) Chocotito necesita producir rápidamente una orden especial de 100 Kg. de Choco-fresa, 200 Kg. de Choco-café y 500 Kg. de Almendrado Light, y decide seleccionar una fábrica para surtir toda la orden. Use multiplicación de matrices para determinar en qué ciudad es más bajo el costo total de azúcar y chocolate para producir la orden. Solución. a) choco fresa café almendrado 0.5 0.4 0.3 kgazúcar 0.2 0.3 0.3 kgchocolate A ( = ( ¸ ¸ b) azúcar chocolate 3 3 2 3 1 4 San Antonio C Chillan Ovalle ( ( = ( ( ¸ ¸ c) choco fresa café almendrado 2. 1 2. 1 1. 8 1. 6 1. 7 1. 5 1. 3 1. 6 1. 5 San antonio CA Chillan Ovalle ( ( = ( ( ¸ ¸ d) El costo combinado de azúcar y chocolate para producir kg de choco-café en ovalle = $1.60 e) 100 choco fresa Q= 200 choco café 500 almendrado ( ( ( ( ¸ ¸ , 1530 SanAntonio Q(CA)= 1250 Chillan 1200 Ovalle ( ( ( ( ¸ ¸ , el menor costo es en Ovalle